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1 Circuitos Eletrônicos Dedicados AMPLIFICADORES OPERACIONAIS Universidade Católica de Goiás Departamento de Engenharia Engenharia Elétrica Prof. Joaquim Francisco Martins, Mestre

Apostila de Circuitos Eletronicos Dedicados

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Circuitos Eletrônicos Dedicados

AMPLIFICADORES OPERACIONAIS

Universidade Católica de Goiás Departamento de Engenharia

Engenharia Elétrica

Prof. Joaquim Francisco Martins, Mestre

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Índice

1. AMPLIFICADOR OPERACIONAL ..................................................................... 6

1.1. Introdução ...................................................................................................................... 6

1.2. Amplificador Operacional Ideal................................................................................... 7

1.3. Conceito de “OFFSET” de saída.................................................................................. 9

1.4. Ganho de um amplificador ......................................................................................... 10 1.4.1 O Decibel (dB) ........................................................................................................ 10

1.5 Características de AOP’s ............................................................................................. 12 1.5.1 Resistência de entrada e resistência de saída de um AOP....................................... 12 1.5.2. Ganho de tensão ..................................................................................................... 13 1.5.3. Resposta de freqüência (BW) ................................................................................. 13 1.5.4. Sensibilidade à temperatura (“DRIFT”) ................................................................. 13

1.6. Alimentação do AOP................................................................................................... 14

1.7. Conceito de décadas e oitavas..................................................................................... 14

1.8. AOP real ....................................................................................................................... 14

2. MODOS DE OPERAÇÃO DO AOP .................................................................. 15

2.1. Sem realimentação....................................................................................................... 15

2.2. Realimentação positiva ............................................................................................... 15

2.3. Realimentação negativa .............................................................................................. 16 2.3.1. Sistema genérico com realimentação negativa....................................................... 16

2.4. Conceito de curto-circuito e terra virtuais ................................................................ 18

2.5. Curva de resposta em malha aberta e em malha fechada ....................................... 20

2.6. “Slew-Rate” ( SR ) ....................................................................................................... 21

2.7. Saturação...................................................................................................................... 22

2.8. Vantagens da realimentação negativa ....................................................................... 22 2.8.1. Impedância de entrada ............................................................................................ 22

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2.8.2. Impedância de saída................................................................................................ 23 2.8.3. Ruído ...................................................................................................................... 23

2.9. Freqüência de corte e taxa de atenuação................................................................... 24 2.9.1. Rede de atraso......................................................................................................... 24

2.9.1.1. O ângulo de fase do sinal de saída................................................................... 27

2.10. “Rise time” (tempo de subida).................................................................................. 28

2.11 “Overshoot” ................................................................................................................ 29

3. CIRCUITOS LINEARES BÁSICOS COM AOP’S............................................. 30

3.1. Amplificador inversor ................................................................................................. 30

3.2. Amplificador não inversor.......................................................................................... 31

3.3. Considerações práticas e tensão de “OFFSET”........................................................ 32

3.4. “Buffer” – Seguidor de tensão.................................................................................. 34

3.5. Associação de estágios não integrantes em cascata .................................................. 35

3.6. Amplificador somador inversor ................................................................................. 36

3.7. Amplificador somador não inversor .......................................................................... 37

3.8. Amplificador diferencial o subtrator......................................................................... 38

3.9. Razão de Rejeição de Modo Comum (CMRR) ......................................................... 39

3.10. Amplificador de Instrumentação ............................................................................. 41

3.11. Comportamento de resistores em função da freqüência........................................ 43

3.12. Amplificador de CA com AOP................................................................................. 44

4. DIFERENCIADORES, INTEGRADORES E CONTROLADORES.................... 46

4.1 O amplificador inversor generalizado ........................................................................ 46

4.2. AOP Diferenciador ...................................................................................................... 46

4.3. AOP Diferenciador prático......................................................................................... 48

4.4 AOP Integrador ............................................................................................................ 50

4.5. AOP Integrador prático.............................................................................................. 52

4

4.6. Integradores Especiais ................................................................................................ 53

4.7. Controladores analógicos com AOP’s ....................................................................... 54

4.8. Conceitos básicos sobre controle de processos.......................................................... 55 4.8.1. Controlador de ação proporcional .......................................................................... 56 4.8.2. Controlador de ação integral................................................................................... 57 4.8.3. Controlador de ação derivativa............................................................................... 58

5. APLICAÇÕES NÃO LINEARES COM AOP’S ................................................. 60

5.1. Comparadores.............................................................................................................. 60 5.1.1. Comparador não inversor ....................................................................................... 60 5.1.2. Comparador inversor .............................................................................................. 62

5.2. Limitando a tensão de saída de um comparador...................................................... 64 5.2.1. Primeiro método ..................................................................................................... 65 5.2.2. Segundo método ..................................................................................................... 65 5.2.3. Terceiro método...................................................................................................... 66

5.3. Comparadores sob forma de circuito integrado (CI)............................................... 66

5.4. Comparador regenerativo (“Schmitt Trigger”) ....................................................... 68 5.4.1. Histerese no comparador regenerativo ................................................................... 68 5.4.2. Projetando comparadores regenerativos................................................................. 70

5.5. Oscilador com ponte de Wien..................................................................................... 71

7. FILTROS ATIVOS............................................................................................. 72

7.1. Definição....................................................................................................................... 72

7.2. Classificação dos filtros ............................................................................................... 72 7.2.1. Classificação quanto à função executada ............................................................... 72

7.2.1.1. Filtros Passa-Baixa (PB).................................................................................. 72 7.2.1.2. Filtros Passa-Alta (PA).................................................................................... 72 7.2.1.3. Filtros Passa-Faixa (PF) .................................................................................. 73 7.2.1.4. Filtros Rejeita-Faixa (RF)................................................................................ 73

7.2.2. Classificação quanto à tecnologia empregada........................................................ 74 7.2.2.1. Filtros Passivos ................................................................................................ 74 7.2.2.2. Filtros Ativos ................................................................................................... 74

7.2.2.2.1. Vantagens e desvantagens dos filtros ativos ............................................ 74 7.2.2.3. Filtros Digitais ................................................................................................. 75

7.2.3. Classificação quanto à função resposta utilizada ................................................... 75 7.2.3.1. Filtro Butterworth............................................................................................ 75 7.2.3.2. Filtro Chebshev ............................................................................................... 78

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7.2.3.3. Filtro Cauer ou Elíptico ................................................................................... 80

7.3. Defasamento em filtros ativos..................................................................................... 80

8. PROJETOS DE FILTRO ATIVOS..................................................................... 81

8.1. Filtros Passa-Baixa de primeira ordem (VCVS) ...................................................... 81

8.2. Projeto de filtro de segunda ordem (VCVS) ............................................................. 82

8.3. Filtro de segunda ordem (MFB)................................................................................. 84

8.4. Filtro Passa-Alta de primeira ordem (VCVS) .......................................................... 85

8.5. Filtro Passa-Alta de segunda ordem VCVS .............................................................. 87

8.6. Filtro Passa-Alta de segunda ordem MFB ................................................................ 89

8.7. Filtros de ordem superiores à segunda ...................................................................... 90 8.7.1. Exemplo de aplicação: Projeto de um filtro de terceira ordem Chebshev.............. 91

8.8. Filtro Passa-Faixa........................................................................................................ 92 8.8.1. Filtro Passa-Faixa (MFB) ....................................................................................... 93

8.9. Filtro Rejeita-Faixa ..................................................................................................... 95

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1. Amplificador Operacional

1.1. Introdução

O Amplificador Operacional (AOP) é um dos componentes mais usados na eletrônica. Sua simplicidade conceitual e versatilidade são peças chaves da sua vasta e diversificada utilização. Inicialmente, os amplificadores operacionais foram usados sobretudo em

circuitos de componentes discretos (em conjunção com resistências e capacitores) para implementar filtros ou montagens que necessitam de amplificações. Os AOP’s são

facilmente integrados a blocos de circuitos de sistemas bastante complexos, geralmente fazendo parte de blocos de circuito de média complexidade como conversores,

sintetizadores, filtros, dentre outros. O campo de aplicações é bem vasto como exemplo: circuitos para computadores,

telecomunicações, diversos aparelhos elétricos, automóveis. Nestas aplicações, são parte integrante da maioria dos circuitos eletrônicos fundamentais tais como conversores

análogos digitais, osciladores, malhas de captura de fase, filtros analógicos, circuitos optoeletrônicos e periféricos de comunicação (placas de rede, placas de som, portos de

comunicação). O AOP pode ser definido como um amplificador alimentado por corrente contínua

multiestágio, com entrada diferencial, cujas características se aproximam de um amplificador ideal.

Logo passa a ser importante conhecer as características de um amplificador operacional ideal para depois adequar as características do amplificador operacional real.

As simbologias de um amplificador operacional são mostradas pela figura 1.1.

Figura 1.1 – Simbologias adotadas para amplificador operacional.

Onde:

• A – Entrada inversora; • B – Entrada não inversora;

• Y – saída.

Observação: O símbolo mais usual é o símbolo da figura 1.1 (a), logo também é o adotado neste trabalho.

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1.2. Amplificador Operacional Ideal

O amplificador operacional ideal deve possuir as seguintes características:

• Resistência de entrada infinita; • Resistência de saída nula; • Ganho de tensão infinito;

• Resposta de freqüência infinita; • Insensibilidade à temperatura;

Há vários fabricantes de circuitos integrados e cada fabricante estabelece uma codificação

própria para seus produtos. A conseqüência passa a ser importante o conhecimento da designação de cada fabricante para que no projeto de um equipamento ou em sua

manutenção possa-se estabelecer as equivalências destes produtos; isto é; conhecer suas características de funcionamento. A tabela 1.1 mostra a codificação utilizada pelos

fabricantes mais conhecidos no Brasil, sendo o amplificador escolhido o 741.

Tabela 1.1 – Codificação de AOP 741 de diversos fabricantes.

Na realidade, os AOP’s possuem pelo menos 8 terminais, como mostra a figura 1.2 que é

baseada nos AOP’s µA741 (FARCHILD) e LM741 (NATIONAL).

Figura 1.2 – Distribuição dos pinos de AOP’s.

Fabricantes Códigos FAIRCHILD µA741 NATIONAL LM741

MOTOROLA MC1741 RCA CA741

TEXAS SN741 SIGNETICS SA741 SIEMENS TBA221(741)

SID CA741

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Onde os pinos:

• 1 e 5 são destinados ao balanceamento do OFFSET do AOP;

• 2 é a entrada inversora; • 3 é a entrada não inversora;

• 4 é a alimentação negativa que varia de – 3 Volts à – 18 Volts; • 7 é a alimentação positiva que varia de + 3 Volts à + 18 Volts;

• 8 não possui conexão; • 6 é a saída.

O encapsulamento é o conceito de como o fabricante separa o mecanismo de

funcionamento do seu produto da sua “interface”, variando de fabricante para fabricante como mostra a figura 1.3.

Figura 1.3 – Formas diferentes de encapsulamento.

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A figura 1.3 mostra os tipos mais comuns de encapsulamento:

• Em (a) é mostrado o encapsulamento plano ou “Flat-pack” de 14 pinos;

• Em (b) é mostrado o encapsulamento metálico ou “Metalcan” de 8 pinos; • Em (c) o encapsulamento em linha dupla ou “Dip” (dual-in-line package).

O encapsulamento mais usual é o “Dip” de 8 pinos.

1.3. Conceito de “OFFSET” de saída

Devido à entrada diferencial dos AOP’s não serem idênticas, é provocado em sua saída uma tensão denominada “OFFSET”. Para que isso seja evitado é necessário colocar entre

os pinos 1 e 5 um potenciômetro com alimentação negativa (pino 4). Isto evita o OFFSET evitando erros na saída conforme mostra a figura 1.4.

Figura 1.4 – Potenciômetro para evitar “OFFXET” na saída.

Em algumas aplicações onde se trabalha com amplitudes pequenas mV ou µV o ajuste do

“OFFSET” passa a ser fundamental, por exemplo:

• Instrumentação petroquímica;

• Instrumentação nuclear;

• Instrumentação biomédica.

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1.4. Ganho de um amplificador

Um amplificador pode ser representado através de uma entrada, o estágio de amplificação e sua saída, conforme mostra a figura 1.5.

Figura 1.5 – Representação genérica de um amplificador.

Onde os parâmetros são Ei é o sinal de entrada, Eo sinal de saída e Av é o ganho do amplificador. É importante observar que se Av = 1 o sinal de saída é igual ao de entrada, se

Av < 1 há uma atenuação do sinal de saída em relação ao de entrada e se Av >1 há uma amplificação do sinal de saída em relação à entrada. Assim pode-se relacionar o ganho do

amplificador com a entrada e saída de sinal da seguinte maneira:

Av = Eo / Ei

1.4.1 O Decibel (dB)

O decibel é uma medida logarítmica que facilita a utilização se relaciona com valores altos e pequenos.

O dB é um número relativo e permite representar relações entre duas grandezas de mesmo tipo, como relações de potências, tensões, correntes ou qualquer outra relação

adimensional. Logo permite definir ganhos e atenuações, relação sinal/ruído, dentre outros. A amplificação portanto, pode ser representada por dB:

Av(dB) = 20 log ( Eo / Ei )

A tabela 1.2 mostra algumas relações típicas em dB e que para amplificar o sinal o valor dB

assume valor positivo e quando há atenuação assume valor em dB é negativo.

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Av(dB) Eo / Ei Po / Pi 120 1.000.000 1.000.000.000.000 90 31.600 1.000.000.000 60 1.000 1.000.000 30 31,6 1.000 20 10 100 10 3,16 10 6 2 4 3 1,414 2 0 1 1 - 3 0,707 0,5 - 6 0,5 0,25

- 10 0,316 0,10 - 20 0,1 0,01 - 30 0,0316 0,001 - 60 0,001 0,000001 - 120 0,000001 0,000000000001

Tabela 1.2 – Algumas relações típicas envolvendo do conceito de dB.

É importante observar que quando não há nem ganho nem atenuação o valor em dB é zero. Quando se trata de potência o valor 3 dB representa que a potência de saída é o dobro da

entrada e com o valor 10 dB a potência de saída é 10 vezes maior que a entrada. Já quando assume o valor -3 dB representa que a potência de saída é a metade da entrada e

com o valor -10 dB a potência de saída é 10 vezes menor que a entrada. Trabalhar utilizando o conceito de dB implica em algumas vantagens, dentre elas:

• É mais conveniente somar os valores em decibéis em estágios sucessivos de

um sistema do que multiplicar os seus fatores de multiplicação.

• Facilita a representação gráfica de muitas grandezas que possuem uma ampla faixa de variação;

• Faixas muito grandes de razões de valores podem ser expressas em decibéis

em uma faixa bastante moderada, possibilitando uma melhor visualização.

Com a finalidade de mostra a conveniência de se trabalhar com operação em circuitos utilizando o conceito de decibel é exemplificada pela figura 1.6.

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Figura 1.6 – Operações utilizando o conceito dB.

De maneira geral, se Av = 10n seu correspondente Av(dB) = 20 * n.

1.5 Características de AOP’s

Foram comentadas, no item 1.1, as características ideais de um AOP, agora estas características são comentadas de forma mais elucidativa.

1.5.1 Resistência de entrada e resistência de saída de um AOP

A figura 1.7 mostra a representação gráfica de uma fonte que alimenta um AOP, que por sua vez alimenta uma carga.

Figura 1.7 – Representação gráfica de um AOP.

Ao analisar a entrada do AOP através da figura 1.7, por divisão de tensão:

VR1 = ( R1 * Vs ) / (R1 + Rs )

Quando se estipula uma tensão porcentual em VR1 em relação à tensão de entrada Vs, por exemplo: VR1 = 90% Vs, se tem uma relação proporcional de R1 em relação à Rs sendo

R1 = 9 Rs. Caso VR1 = 99% Vs, conclui-se que R1 = 99 Rs. Logo:

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R1 ∞ VR1 = Vs

A conclusão prática é que quanto maior R1 for maior em relação a Rs maior será a proporção Vs aplicada em R1. Logo para que a entrada no AOP seja mais próxima da

original (fonte) Vs a sua resistência de entrada R1 deve ser muito alta em relação à resistência de saída da fonte Rs.

Através da figura 1.7, saída de AOP indica que VRL = V0 – iL * RT. À medida que RT

diminui aumenta a proporção de tensão na carga RL e quando RT = 0:

VRL = V0

Nesta condição iL fica praticamente limitada pelo valor da carga RL, pois o valor máximo de iL realmente é limitado pelo que o AOP pode fornecer.

Por exemplo, o AOP 741 tem um valor máximo típico de corrente de 25 mA, sendo denominada corrente de curto-circuito de saída e representada por Ios.

Nos manuais dos fabricantes a resistência de entrada é representada por Ri e de saída por Ro.

É importante observar que na aplicação utilizando AOP não é relevante a transferir a máxima potência e sim transferir o máximo de sinal sobre a carga (RL).

1.5.2. Ganho de tensão

O ganho de tensão é importante para que o AOP possa receber sinais de baixas amplitudes e amplificá-los a níveis satisfatórios. Esta aplicação é importante quando os

sinais são captados por transdutores nas mais variadas aplicações da engenharia. A situação ideal é que o AOP tenha um ganho de tensão infinito.

Nos manuais o ganho de tensão é representado por Avo.

1.5.3. Resposta de freqüência (BW)

É fundamental o AOP ter uma largura de faixa ampla para que o sinal de qualquer freqüência possa ser amplificado de forma adequada; isto é; sem sofrer corte ou atenuação.

Idealmente BW (“BANDWIDTH”) deveria ter a faixa de freqüência no intervalo [0 , ∞] Hz.

1.5.4. Sensibilidade à temperatura (“DRIFT”)

As variações térmicas podem provocar alterações acentuadas nas características

elétricas de um AOP e quando isto ocorre este fenômeno é chamado de “DRIFT”. O ideal é que o AOP não tenha sensibilidade às estas variações de temperaturas.

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Nos manuais a variação de corrente é representada por ∆I / ∆T, sendo seu valor fornecido por mA/ºC. A variação da tensão é representada por ∆V / ∆T e seu valor é

fornecido em µV/ºC.

1.6. Alimentação do AOP

Normalmente os AOP’s são projetados para serem alimentados simetricamente e em alguns casos pode-se utilizar mono-alimentação, sendo que há AOP projetados com esta

proposta, como por exemplo, o LM3900.

1.7. Conceito de décadas e oitavas

Quando uma freqüência f1 varia para um valor f2 tal que f2 = 10 f1, é dito que f2

variou uma década. De forma geral f2 variou n décadas quando f2 = 10n f1.

E quando uma freqüência f1 varia para um valor f2 tal que f2 = 2 f1, é dito que f2 variou uma oitava.

De forma geral f2 variou n oitavas quando f2 = 2n f1. Estes conceitos são muito úteis nos estudos de AOP’s e de filtros ativos.

1.8. AOP real

O AOP real possui características diferentes do ideal, são elas:

• Resistência de entrada finita variando entre Mega (106) e Tera (1012) Ohms;

• Baixa resistência de saída, variando entre 10 a 1.000 Ohms;

• Ganho de tensão finito, variando entre 104 e 106 ;

• Resposta de freqüência (BW) finita, geralmente limitado a 1.0000 Hz;

• Insensibilidade à temperatura (DRIFT) limitada, geralmente dividida

em: o Comerciais: de 0 a 70º C; o Industriais: de –25 a 85º C; o Militares: de –55 a 125º C.

• Saturação: Quando não há mais variação de ganho no AOP, geralmente

ocorre quando a saída do AOP ultrapassa a 90% do módulo de sua alimentação.

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2. Modos de operação do AOP

Basicamente o AOP utiliza 3 (três) modos de operação:

• Sem realimentação; • Realimentação positiva; • Realimentação negativa.

2.1. Sem realimentação

Este modo de operação também denominada operação em malha aberta e o ganho do AOP é estipulado pelo fabricante, sendo sua característica é que não há controle sobre o mesmo.

Esta operação é útil quando o AOP é utilizado como comparador. A figura 2.1 mostra a forma esquemática de um AOP sem realimentação.

Figura 2.1 – Forma esquemática de um AOP sem realimentação.

2.2. Realimentação positiva

Este modo de operação também denominada de operação em malha fechada

apresenta como inconveniente o fato de conduzir o circuito à instabilidade. Sua aplicação mais comum é em osciladores. A figura 2.2 mostra a forma esquemática de um AOP com

realimentação positiva.

Figura 2.2 – Forma esquemática de um AOP com realimentação positiva.

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É importante observar que a saída é reaplicada à entrada não inversora do AOP através de um resistor de realimentação Rf.

2.3. Realimentação negativa

Este modo de operação também denominada de malha fechada é a mais utilizada pelos AOP a figura 2.3 mostra a forma esquemática de um AOP com realimentação

negativa.

Figura 2.3 – Forma esquemática de um AOP com realimentação negativa.

A saída é reaplicada à entrada inversora do AOP através do resistor Rf, algumas das

aplicações de AOP com Realimentação negativa são:

• Amplificador não-inversor; • Amplificador inversor;

• Somador; • Amplificador diferencial;

• Diferenciador; • Integrador;

• Filtros ativos.

2.3.1. Sistema genérico com realimentação negativa

A figura 2.3 mostra a forma esquemática de um sistema genérico com realimentação negativa.

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Figura 2.4 – Forma esquemática de um sistema genérico de realimentação negativa.

Onde:

• Vi é o sinal de entrada; • Vo é o sinal de saída;

• Avo é o ganho em malha aberta, dado pelo fabricante; • B é o fato de realimentação negativa;

• Vd é o sinal diferencial de entrada, comumente denominado de Erro; • Vf é o sinal que realimenta a entrada.

Pode-se observar pela figura 2.4, que:

Vd = Vi – Vf ( 2.1 )

Vd = Vo / Avo ( 2.2 )

Vf = B * Vo ( 2.3 )

Substituindo ( II ) em ( I ), é obtido:

( Vo / Avo ) = Vi – Vf ( 2.4 )

Substituindo ( III ) em ( IV ), é obtido:

( Vo / Avo ) = Vi – B * Vo ( 2.5 )

Rearranjando a equação ( V ), se tem:

( Vo / Vi ) = Avo / ( 1 + B * Avo ) ( 2.6 )

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A relação ( Vo / Vi ) é denominada ganho de malha fechada, sendo representada por Avf. Logo:

Avf = Avo / ( 1 + B * Avo ) ( 2.5 )

Se for considerado um ganho do AOP muito alto, tal que se possa dizer o ganho tenda ao

infinito ( Avo ∞ ), conclui-se que:

Avf = 1 / B ( 2.8 )

O ganho de malha fechada pode ser controlado através do circuito de realimentação, facilitando em muito a aplicação da técnica da realimentação negativa.

2.4. Conceito de curto-circuito e terra virtuais

Na figura 2.5 mostra um modelo de diagrama esquemático de um AOP real. Nota-se que a entrada é apresentada uma Ri finita, colocada entre o terminal inversor e não inversor. No

modelo está incorporada uma resistência R2 na realimentação negativa.

Figura 2.5 – Modelo de um diagrama esquemático de um AOP real.

Onde FTCT é uma fonte controlada por tensão, a qual possui um valor igual ao produto do

ganho em malha aberta (Avo) pela tensão diferencial de entrada (Vd). Quando a resistência Ri é muito alta (idealmente infinita) não há passagem de corrente no

circuito compreendido entre V1 e V2. Logo:

IB1 ≈ IB2 ≈ 0 (2.9)

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As correntes IB1 e IB2 são denominadas correntes de polarização das entradas, pois estão relacionadas aos transistores presentes no estágio diferencial de entrada do AOP.

Nos manuais de fabricantes é denominada “Input bias current”; isto é; corrente de polarização de entrada representada por IB sendo a média das correntes IB1 e IB2.

IB = IB1 + IB2 (2.10)

O valor desta corrente de polarização é pequeno em torno de alguns nano Ampères (nA) pico Ampères (pA). Por exemplo: no AOP 741 o valor típico IB = 80 nA, apresentando Ri

= 2 MΩ.

Aplicando Kirchhoff no nó a se tem:

I1 + I2 = IB1 = 0 Logo:

[ (V1 – Va) / R1 ] + [ (Avo Vd – Va ) / (Ro + R2) ] = 0

Considerando Vd = Vb – Va, tem-se:

Vb = [ Va ( Avo * R1 + Ro + R1 + R2 ) – V1 ( Ro + R2 ) ] / Avo * R1

Quando se considera Avo um valor extremamente alto tendendo ao infinito tem-se:

Vb = Va

Observe que este resultado é possível com a realimentação negativa, a qual tende a igualar os potenciais dos pontos a e b, quando o ganho de malha aberta tende ao infinito.

Concluindo:

Vd = Vb – Va = 0 ( 2.11 )

Esta equação ( 2.11 ) está de acordo com a observada em ( 2.2 ) também é observado que como Vb – Va = 0, independente de seus valores. Devido a isto se pode dizer que na

realimentação negativa há um curto-circuito virtual. O termo virtual significa que há um efeito devido a uma característica intrínseca do

equipamento. Pois neste caso se tem um V = 0 apresenta I = 0, diferente do curto-circuito real que para V = 0 e apresenta I ≠ 0.

Em um caso particular, quando o terminal não inversor estar aterrado seu potencial será nulo, conseqüentemente o curto-circuito virtual torna-se um terra virtual.

Estas equações descritas são fundamentais para análise de circuitos com AOP’s realimentados negativamente, sendo muito úteis em circuitos lineares básicos abordado no

capítulo 3.

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2.5. Curva de resposta em malha aberta e em malha fechada

Observando a folha de dados de um fabricante de AOP 741 é verificada a curva denominada ganho de tensão em malha aberta e fechada por freqüência, como mostra a

figura 2.6.

Figura 2.6 – Curva de ganho de tensão em malha aberta por freqüência.

Analisando a figura 2.6, nota-se que a resposta em freqüência (BW – largura de faixa) na qual se tem o ganho máximo é na ordem de 5 Hz, comumente denominada de freqüência de corte. Do ponto A ao ponto B há uma atenuação constante na ordem de 20 dB/década. Há

também são encontrados AOP’s que não apresentam atenuação constante. A freqüência fixa é quando o AOP apresenta ganho unitário, no caso fT = 1 M Hz.

No caso de realimentação negativa a curva apresenta-se constante, obedecendo a seguinte equação característica:

PGL = Avf * BW = fT ( 2.12 )

Onde: PGL é o Produto Ganho versus Largura.

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Neste caso como Avf = 10 (20 dB) e BW = 1 M Hz / 10 = 100 K Hz, ou seja, acima de 100 K Hz a curva em malha fechada se confunde com a de malha aberta, logo o sinal passa a ter

uma atenuação de 20 dB/década até atingir o ponto B(fT). Nos manuais fT é denominada como freqüência de transição ou largura de faixa de

ganho unitário.

2.6. “Slew-Rate” ( SR )

A máxima taxa de variação da tensão de saída por unidade de tempo de um AOP é definido como “Slew-Rate”. A unidade relacionada com SR é [ V / µs ].

SR está associado à velocidade de resposta de um AOP, ou seja, quanto maior o SR melhor o AOP.

Algumas literaturas tratam o SR como: taxa de subida, taxa de resposta, taxa de giro, dentre outras.

Considere um sinal senoidal na entrada de um AOP, sendo sua saída:

Vo = Vp sen(wt), Pela definição:

SR = [ dVo/dt ]max

Logo:

SR = [ V * w * cos(wt) ] wt = 0 Conseqüentemente:

SR = Vp * w ou SR = 2 * π * f * Vp ( 2.13 )

Onde: Vp é o valor de pico.

A equação ( 2.13 ) deve ser levada em conta, pois estabelece um comprometimento entre a freqüência e o valor de pico, caso não seja observada esta dependência poderá haver

uma distorção no sinal de saída conforme mostra a figura 2.7.

Figura 2.7 – Distorção na saída por não respeitar SR.

22

2.7. Saturação

Quando um AOP em operação atingir em sua saída um nível fixo, ou seja, onde a partir daí não se observa nenhuma variação em sua saída é dito que o AOP atingiu sua

saturação. Geralmente atinge o nível de saturação quando a saída atinge 90% do módulo de

sua alimentação, como mostra a figura 2.8.

Figura 2.8 – Sinal de saída com AOP saturado com alimentação de ±15 Volts.

2.8. Vantagens da realimentação negativa

Foi visto que com a realimentação negativa é possível controlar o ganho da malha fechada (Avf ), outras vantagens também são:

2.8.1. Impedância de entrada

A impedância de entrada é aumentada consideravelmente e é calculada por:

Zif = Ri ( 1 + B * Avo ) ( 2.14 )

Onde:

• Zif é a impedância de entrada do circuito com realimentação negativa; • Ri e Avo são parâmetros definidos pelo fabricante;

• B parâmetro determinado pelo projetista.

Logo Zif pode ser controlada pelo projetista.

23

É importante observar que a equação ( 2.14 ) é válida somente para circuitos com a configuração não-inversora.

2.8.2. Impedância de saída

A impedância de saída apresenta um valor muito baixo e é calculada pela equação

Zof = Ro / ( 1 + B Avo ) ( 2.15 )

Onde: • Zof é a impedância de saída do circuito com realimentação negativa;

• Ro parâmetro definido pelo fabricante; • B parâmetro determinado pelo projetista.

Logo Zof pode ser controlada pelo projetista.

A equação ( 2.15 ) é geral, portanto vale para os circuitos que possuem as configurações não inversoras e inversoras.

2.8.3. Ruído Ruído é definido como qualquer sinal indesejável que pode aparecer no sinal desejado.

As fontes de ruídos mais comuns são: motores elétricos, linhas de transmissão, descargas atmosféricas, radiações eletromagnéticas.

Um bom aterramento é fundamental para minimizar o efeito do ruído em circuitos eletrônicos.

Outra ação é utilizar de capacitores da ordem de 0,1 µF entre o terra e o pino do circuito integrado ( CI ) onde se aplica a alimentação. Este capacitor funciona como passagem para as correntes parasitas de alta freqüência, normalmente produzidas ao longo dos condutores

entre a fonte de alimentação e o circuito. Para um bom aproveitamento desta técnica o capacitor deve estar o mais próximo possível do pino de alimentação do CI.

No caso dos AOP’s que tem a característica de alimentação simétrica, são necessários dois capacitores conforme mostra a figura 2.9.

Figura 2.9 - Capacitores em AOP que ajudam na minimização do efeito do ruído.

24

Na realimentação negativa o efeito do ruído é minimizado graças suas características intrínsecas.

2.9. Freqüência de corte e taxa de atenuação

Na curva de ganho de tensão versus freqüência de um AOP em malha aberta verifica-se a que no ponto A há uma queda de atenuação de ganho constante de 20 dB por década até atingir o ponto B onde se encontra a freqüência de ganho unitário. O ponto A é denominado de ponto de freqüência de corte ( fc ) do AOP, sendo por definição o ponto no qual o ganho máximo sofre uma atenuação de 3 dB. Este ponto também é conhecido como

ponto de meia potência. Representando o ganho máximo por Avo(máx) e o ganho no ponto A por Avo:

Avo = Avo(máx) / ( √2 ) (2.16)

Aplicando a definição de decibéis em (16) obtém-se:

20 log(Avo) = 20 log(Avo(máx) / √2)

Logo:

Avo(dB) = Avo(máx)(dB) – 3 (dB) (2.17)

Conforme a definição o ganho no ponto A tem uma atenuação de 3 dB em relação

ao ganho máximo.

2.9.1. Rede de atraso

Em sua estrutura interna o AOP possui um capacitor que forma uma rede de atraso que é responsável pela taxa constante de atenuação. A figura 2.10 mostra um diagrama

esquemático deste circuito.

Figura 2.10 – Diagrama esquemático da rede de atraso de um AOP.

25

Do circuito:

Avo = vo / vi = Xc ( √(R2 + Xc2) (2.18)

Avo passa a ser função da freqüência, já que Xc = 1 / (2πfcC)

Na situação particular onde Xc = R:

Av = R/ (√(R2 +R2) = 1 / √2

Ou: Av(dB) = - 3dB

Como Xc = 1 / 2πfC

E quando,

Xc = R fc = 1 / 2πRC (2.19)

Da equação 2.19: 2πRC = 1 / Xc,

Multiplicando os dois membros por R, tem-se: 2πfRC = R / Xc.

Mas 2πRC = fc.

Logo: f / fc = R / Xc.

Substituindo na equação 2.18:

Av = Xc/Xc / (√[ (R/Xc)2 + (Xc/Xc)2]

Conclui-se:

Av = 1 /√[1 + (f/fc)2] (2.20)

A figura 2.11 mostra o gráfico de Av pela freqüência f.

26

Figura 2.11 - Gráfico de Av em função de freqüência f.

É importante observar que para o ganho máximo a freqüência f é igual a zero.

A figura 2.12 mostra o diagrama de bode do gráfico obtido na figura 2.11.

Figura 2.12 – Diagrama de Bode da figura 2.11.

27

Utilizando a equação (20) e substituindo a freqüência f, tem-se:

• f = fc Av(dB) = - 3 dB;

• f = 10 fc Av(dB) = - 20 dB;

• f = 100 fc Av(dB) = - 40 dB;

• f = 1.000 fc Av(dB) = - 60 dB.

Logo se observa que a rede de atraso existente dentro de um AOP com compensação

interna de freqüência é responsável é pela taxa de atenuação constante igual a 20 dB/década.

2.9.1.1. O ângulo de fase do sinal de saída

Foi visto que a tensão de saída possui um atraso em relação à entrada. Este ângulo de fase varia em função da freqüência.

Verifica-se que até aproximadamente 0,1 fc o sinal de saída permanece em fase com sinal de entrada. A partir deste valor surge um defasamento que atinge – 45º quando f = fc. O defasamento máximo ocorre a partir de f = 10 fc estabilizando de forma assintótica em

torno de –90º. Torna-se óbvio que o limite de θo é –90º e ocorre quando f = ∞ Hz.

A figura 2.4 mostra o diagrama de bode para a variação do ângulo de fase do sinal de saída ( θo ) em função da freqüência.

Figura 2.13 – Diagrama de bole com ângulo de fase do sinal de saída.

28

2.10. “Rise time” (tempo de subida)

É uma característica importante do AOP, que é o tempo gasto pelo sinal de saída

para variar de 10% a 90% de seu valor final. Normalmente representado por Tr é da ordem típica de 0,3 µs. A figura 2.14 mostra o “Rise time”.

Figura 2.14 – Transitório contendo “Rise time” e “Overshoot”.

Há uma relação entre Tr e a resposta de freqüência (BW) sendo:

BW (MHz) = 0,35 / Tr (µs) (2.21)

O que determina o valor do “Rise time” ou Tr é a rede de atraso que pode ser representado por um circuito RC série conforme a figura 2.10. O processo de carga do capacitor nesta

rede de atraso é diretamente responsável por Tr. Seja a tensão instantânea sobre o capacitor:

vc = V( 1 – e–t/RC )

Onde V é a tensão contínua aplicada no capacitor. Sabe-se que depois de um tempo de

aproximadamente 5 RC o circuito entra em estabilidade, ou seja: vc = V(valor final). Seja t1 o tempo para o qual vc = V/10 e t2 para vc = 9V/10, logo:

t1 ≈ 0,1 RC ; t2 ≈ 2,3 RC

29

Então:

Tr = t2 – t1 Tr = 2,2 RC (2.22)

BW representa a largura de faixa da rede de atraso:

BW = 1 / 2πRC (2.23)

Substituindo as equações (2.22) em (2.23):

BW = 2,2 / 2πT BW = 0,35 / Tr

Este resultado explica sem rigor matemático a equação (21).

2.11 “Overshoot”

Característica do AOP que indica durante o estado transitório a “sobrepassagem”, normalmente porcentual, da tensão de saída no regime permanente.

O “Overshoot” é um fenômeno prejudicial, principalmente quando se trabalha com sinais de baixa amplitude e é dado por:

%vovs = (vovs / vo ) 100 (2.24)

A determinação dos parâmetros “Rise time” e de "Overshoot” é importante no estudo da

resposta transitória de um AOP.

30

3. Circuitos lineares básicos com AOP’s

É dito que um circuito utilizando AOP é linear quando o mesmo está operando como amplificador. A análise de circuitos lineares com AOP é simples quando se supõe o AOP

como ideal, pois neste caso pode-se aplicar os processos comuns de circuitos elétricos como: Leis de Kirchhoff, teorema de Thèvenin, Norton, dentre outros.

Será considerado o AOP como ideal, pois seus resultados são muito próximos de um AOP é real. Estes resultados podem ser ainda mais precisos se for utilizado um AOP com

características melhores, ou seja, próximas de um ideal.

3.1. Amplificador inversor

A denominação é dada ao AOP é devido que o sinal de saída estar defasado 180º em relação ao sinal de entrada. A figura 3.1 mostra a configuração padrão do circuito

amplificador inversor.

Figura 3.1 – Configuração padrão do AOP inversor.

Aplicando Kirchhoff no ponto a: I1 + If = IB1, considerando o AOP ideal então

IB1 = 0.

Logo: [ ( vi – va ) / R1 ] + [ ( vo – va ) / Rf ] = 0. Por outro lado foi visto que devido ao terra virtual va = 0.

Portanto: ( vi / R1 ) + ( vo / Rf ) = 0, conclui-se que:

Avf = vo / vi = - Rf / R1 ( 3.1)

O sinal negativo indica o defasamento do sinal de saída em relação ao sinal de entrada:

Avf = vo / vi = ( Rf / R1 ) ∟180º.

31

Uma desvantagem desta configuração é que a impedância de entrada Zif é dependente

apenas de R1, ou seja:

Zif ≈ R1 (3.2)

Como comentado no item 2.8.1, a equação:

Zif = Ri ( 1 + B * Avo )

Não é válida para o AOP inversor.

Para esta configuração o fator de realimentação:

B = R1 / ( R1 + Rf ) (3.3)

Nota-se que neste caso Avf ≠ 1 / B.

3.2. Amplificador não inversor

O AOP não-inversor não apresenta defasamento do sinal de saída em relação ao sinal de entrada.

Como visto no capítulo 2 são válidas as equações 2.14 e 2.15 para impedância de entrada e saída do AOP:

Zif = Ri ( 1 + B * Avo ) ( 2.14 )

Zof = Ro / ( 1 + B Avo ) ( 2.15 )

Reforça-se a conclusão que o AOP não-inversor possui alta impedância de entrada, pois é o produto da sua resistência interna por um fator de elevada grandeza. O fator de

realimentação (B) é dado por:

B = R1 / ( R1 + Rf ) (3.4)

Nota-se que esta relação é idêntica à utilizada para o AOP inversor, equação (3.3).

A figura 3.2 mostra a configuração de um AOP não inversor.

32

Figura 3.2- Configuração de um AOP não inversor.

Aplicando as leis de Kirchhoff (LCK) no ponto a:

[ ( 0 – va ) / R1 + [ ( vo – va ) / Rf ] = 0

Neste caso va = vi, pois vd = 0, logo:

- ( vi / R1 ) + ( vo – vi ) / Rf ] = 0

Ou seja:

Avf = vo / vi = 1 + ( Rf / R1 ) (3.5)

Neste caso: Avf = 1 / B.

3.3. Considerações práticas e tensão de “OFFSET”

O AOP apresenta uma tensão de “offset” na saída Vo mesmo que não haja sinais de entrada, como mostra a figura 3.3. Para cancelar o efeito de “offset” o fabricante fornece 2

(dois) terminais que estão conectados a um estágio diferencial de entrada do AOP, permitindo o balanceamento das correntes do coletor dos transistores. Este balanceamento

anula a diferença existente entre os valores da tensão de base e emissor. O Valor de "offset” é dado pelo fabricante e é denominado como “INPUT OFFSET VOLTAGE” .

A figura 3.3 mostra formas de compensação de “offset”.

33

Figura 3.3 – Formas de compensação de “offset”.

A figura 3.3 (a) mostra a opção convencional para compensação de “offset”, a figura 3.3 (b) e (c) mostram opções através de resistores externos quando o AOP não possuir terminais de

ajuste de balanceamento, como por exemplo, o LM 307 do fabricante National. Na figura 3.3 (b) optou-se por fazer a compensação utilizando a porta inversora e na

figura 3,3 (c) através da porta não inversora. Compensar o “offset” é uma tarefa que necessita de disponibilidade de tempo e

como são necessários resistores de precisão o custo é relativamente alto. Mesmo assim a compensação implica em redução do “offset” e não em sua eliminação.

Por isso os fabricantes indicam uma solução mais simples e barata que é a colocação de um resistor de equalização que é explicitado pela figura 3.4.

34

Figura 3.4 – Compensação de “offset” através de resistores de compensação.

A figura 3.4 (a) utiliza a realimentação negativa com entrada inversora e a figura 3.4 (b)

utiliza a realimentação negativa com entrada não inversora. O resistor de equalização é calculado pelo equivalente do paralelo entre R1 e Rf. Existe uma relação entre Vi(offset) e Vo(offset) e válidas para ambas configurações:

Vo(offset) = [ 1 + ( Rf / R1 ) ] Vi(offset) (3.6)

É importante observar que o ajuste de "offset" varia de acordo com a temperatura,

portanto é interessante verificar este ajuste de forma periódica.

3.4. “Buffer” – Seguidor de tensão

O seguidor de tensão, denominado de “Buffer” é um caso particular do AOP não inversor quando R1 for muito alto, e Rf muito baixo, em circunstâncias ideais R1 = ∞ e

Rf = 0. O que resulta em:

Avf = vo / vi = 1 (3.7)

35

Este circuito apresenta altíssima impedância de entrada e baixíssima impedância de saída, neste caso B = 1 o que difere dos amplificadores inversor e não inversor cujo valor

de B é menor que 1. A figura 3.5 mostra a configuração denominada “Buffer”.

Figura 3.5 – Diagrama de representação de “Buffer”.

O “Buffer” apresenta como principais aplicações:

• Isolador de estágios;

• Reforçador de corrente; • Casador de impedâncias, dentre outras.

Na figura 3.5 (b) apresenta o “buffer” casando a impedância com um outro sistema,

podendo ser um gerador de sinais por exemplo. Isto porque quando Rf assume o valor de Rs o ganho para a configuração AOP não inversor é igual a 1.

3.5. Associação de estágios não integrantes em cascata

É denominado de estágio não integrante aquele que apresenta alta impedância de entrada, de modo a não servir de carga para o estágio anterior. Isto porque, idealmente, não drena

corrente do mesmo. A figura 3.6 mostra um exemplo de estágios não integrantes em cascata.

Figura 3.6 – Estágios não integrantes em cascata.

36

Nesta associação se tem:

Onde N é o número de estágios. E em decibéis:

Avf = Avf(dB)1 + Avf(dB)2 + Avf(dB)3 + Avf(dB)4 + . . . + Avf(dB)N (3.9)

Podem ser utilizados como estágios não integrantes: “Buffer’s”, Amplificador não inversor, Amplificador não inversor com R1 de alto valor.

Quando se realiza a associação em cascata de estágios não integrantes há um estreitamento na largura de faixa (BW). Para um caso particular onde os N estágios são

idênticos se tem:

BWN = BW √(2(1/N) - 1) (3.10)

Onde: BWN é a largura de faixa da associação, BW é a largura de faixa de cada estágio e N é o número de estágios.

Logo a largura de faixa resultante da associação será menor que a largura de faixa de cada estágio individualmente.

3.6. Amplificador somador inversor

O AOP inversor pode ser utilizado com circuito somador, neste caso em particular com três entradas. Evidentemente o número de entradas pode variar. A figura 3.7 mostra

um circuito somador de 3 (três) entradas.

Figura 3.7 – Amplificador somador inversor.

37

É importante observar o resistor de equalização Re tem a finalidade de minimizar a tensão de “offset”, sendo que Re = R1 // R2 // R3.

Aplicando a LCK no ponto a, se tem: (v1/R1) + (v2/R2) + (v3/R3) + (vo/Rf) = 0, ou seja:

vo = - Rf [ (v1/R1) + (v2/R2) + (v3/R3) ] (3.11)

No caso particular onde R1 = R2 = R3 = Rf :

vo = - ( v1 + v2 + v3 ) (3.12)

Quando R1 = R2 = R3 = 3Rf , o sinal fornece a média aritmética do sinal aplicado:

vo = - ( v1 + v2 + v3 ) / 3 (3.12 a)

3.7. Amplificador somador não inversor

O AOP não inversor pode ser utilizado com circuito somador, neste caso em particular com três entradas. Evidentemente o número de entradas pode variar. A figura 3.8

mostra um circuito somador de 3 (três) entradas.

Figura 3.8 - Amplificador somador não inversor.

Aplicando a LCK no ponto b, se tem:

[ (v1 - vb) / R1) + [ (v2 - vb) / R2] + [ (v3 - vb) / R3 ] = 0, ou seja:

38

vb = [ ( G1 v1 ) + ( G2 v2) + (G3 v3) ] / (G1 + G2 + G3)

Onde G = 1 / R é a condutância [ S ].

Os resistores R e Rf formam o amplificador não inversor: vo = [ (1 + ( Rf / R ) ] vb. Logo:

vo = [ (1 + ( Rf / R ) ] [ ( G1 v1 ) + ( G2 v2) + (G3 v3) ] / (G1 + G2 + G3) (3.13)

Quando R1 = R2 = R3 e Rf , o sinal fornece a média aritmética do sinal aplicado:

vo = ( v1 + v2 + v3 ) / 3

3.8. Amplificador diferencial o subtrator

O AOP diferencial permite que se obtenha na saída uma tensão igual à diferença entre os sinais aplicados multiplicada por um ganho. A figura 3.9 mostra um circuito diferencial.

Figura 3.9 – Diagrama de um AOP diferencial.

Aplicando a LCK no ponto a, se tem:

[ (v1 – va) / R1) + [ (vo – va) / R2] = 0 (3.14)

Aplicando a LCK no ponto b, se tem: [ (v2 – vb) / R1) - [ vb / R2] = 0, de onde se obtém:

vb = [ R2 / ( R1 + R2 ) ] v2 ( 3.15)

Substituindo a equação 3.15 em 3.14 se tem como resultado:

39

vo = ( R2 / R1 ) ( v2 - v1 ) ( 3.16)

3.9. Razão de Rejeição de Modo Comum (CMRR)

Caso um ruído qualquer afete tanto a entrada inversora quanto não inversora v1 e v2 com a mesma amplitude e fase como mostrado através da figura 3.9, este sinal deve sofrer

uma atuação diferencial e idealmente ser eliminado. Esta característica é denominada Razão de Rejeição de Modo Comum (CMRR: Common Mode Rejection Ratio), a qual é

determinada pelo estágio diferencial do AOP. Portando pode-se definir CMRR como sendo a propriedade do AOP de rejeitar

(atenuar) qualquer sinal de entrada aplicado simultaneamente nas entradas inversora e não inversora.

Logo em um AOP ideal, para que resulte em vo = 0, utilizando a equação 3.16 é necessário que v1 seja igual a v2 ( v1 = v2 ).

Em um AOP real o que ocorre é uma atenuação que depende do valor característica de CMRR do AOP. A figura 3.10 mostra uma situação onde vc é comum à entrada inversora e

não inversora.

Figura 3.10 – Entradas inversora e não inversora, alimentadas por um vc comum.

Onde vc é denominado tensão de modo comum.

Caso Ad = R2 / R1, se tem na equação 3.16:

vo = Ad ( v2 – v1 ) (3.17)

40

Onde Ad é denominado ganho diferencial de tensão. E Ac representa o ganho do circuito, logo se tem:

vo = Ac vc (3.18)

Onde Ac é denominado ganho comum.

Através da equação 3.17 e 3.18 é estabelecido um mérito, o qual permite se ter um valor numérico relacionado ao CMRR, que por definição:

ρ = Ad / Ac (3.19)

ou em decibéis

ρ(dB) = 20 log Ad / Ac (3.20)

Para um AOP ideal Ac = 0, logo ρ tende ao infinito. Na prática um AOP de alta qualidade deve apresentar um valor de no mínimo ρ = 100 dB.

A figura 3.11 ilustra a propriedade do CMRR de um AOP, onde v1 e v2 são sinais de freqüência de 1 kHz defasados em 180º (cento e oitenta). Ambos estão sob influência de

ruído eletromagnético da rede, ou seja, ruídos de 60 Hz (sessenta). Quando se coloca v1 na entrada inversora e v2 na entrada não inversora, graças à atenuação causada pela Razão de Rejeição de Modo Comum o efeito é que como o sinal do ruído está

em fase nas duas entradas o AOP elimina sua influência saindo em sua saída vo apenas o sinal de 1 kHz amplificado com o ganho especificado do AOP de malha fechada com

realimentação negativa.

Figura 3.11 – Ilustração da propriedade do CMRR de um AOP.

O CMRR é relacionado com a freqüência do sinal de ruído como mostra a figura

3.12.

41

Figura 3.12 – Variação do CMRR de uma AOP em função da freqüência.

3.10. Amplificador de Instrumentação

É denominado amplificador de instrumentação um AOP com características diferenciadas tais como:

• Impedância de entrada extremamente alta;

• Impedância de saída menor que os AOP’s comuns; • CMRR superior a 100 dB;

• Ganho de tensão em malha aberta muito superior ao dos AOP’s comuns; • Tensão de "offset" de entrada muito baixa;

• Controle de ganho externo ajustável de malha fechada; • Baixa BW para minimizar a entrada de ruídos.

42

A figura 3.13 mostra o diagrama esquemático simplificado de um AOP de instrumentação que permite uma boa compreensão de seu funcionamento.

Figura 3.13 – Diagrama básico de um amplificador de instrumentação.

Através da figura 3.13, pode se notar que a altíssima impedância de entrada é estabelecida

pelos estágios não inversores colocados em sua entrada A1 e A2 e o controle de ganho externo ajustável de malha fechada é evidenciado através de Rg.

Os AOP de instrumentação possuem algumas limitações construtivas, alguns possuem alto ganho mas uma baixa resistência de entrada (µA725).

Outros apresentam baixo ganho (LH0036), uma outra classe possui um grande “Slew rate”, ou seja, uma baixa resposta à freqüência (BW), que em muitos casos é interessante para

minimizar o efeito do ruído. E em alguns casos possuem controle externo (LH0036, muito utilizado para AOP diferencial de alta precisão).

Já outros não possuem controle de ganho ajustável. Fica portanto, a critério do projetista avaliar quais das características citadas devem ser consideradas mais importantes.

De acordo com a figura 3.13 e utilizando o conceito de terra virtual se tem:

[ ( vx – v1 ) / R2 ] + [ (v2 – v1 ) / Rg ] = 0

43

vx = [ ( v1 Rg ) + ( v1 R2 ) + ( v2 R2 ) ] / Rg (3.21)

De outra forma:

[ ( vy – v2 ) / R2 ] + [ (v1 – v2 ) / Rg ] = 0 Logo:

Vy = [ ( v2 R2 ) + ( v2 Rg ) - ( v1 R2 ) ] / Rg (3.22)

Como o AOP de instrumentação é caracterizado por uma aplicação diferencial comentada anteriormente, vo = ( vy – vx ), e substituindo os valores de vy e vx das

equações 3.21 e 3.22, se tem que:

vo = [ 1 + ( 2 R2 / Rg ) ] ( v2 – v1 ) (3.23)

O que leva a conclusão que controlando o valor Rg, controla-se o ganho do AOP de instrumentação.

3.11. Comportamento de resistores em função da freqüência

Quando um resistor é submetido a altas freqüências aparecem “efeitos colaterais” indesejáveis, isto porque um resistor pode ser modelado de acordo de forma esquemática

mostrada pela figura 3.14.

Figura 3.14 – Diagrama de modelagem de um resistor.

Para freqüências até 100 kHz o resistor tem o valor de R, pois o indutor se torna um curto circuito e o capacitor um circuito aberto. Mas para valores acima de 100 kHz o efeito

tanto da reatância capacitiva quanto da reatância indutiva passam a não ser desprezíveis. Logo quando um AOP está sendo utilizado em altas freqüências o resistor passa a causar

distorções em sua resposta. Na prática adota-se para freqüência da ordem de 100 kHz resistores na faixa de 1k Ω. Para freqüência da ordem 1 MHz esta faixa é reduzia para a faixa de 1 kΩ a 10 kΩ.

Ou seja, quanto maior a freqüência menor é a faixa dos valores relacionados aos resistores.

44

3.12. Amplificador de CA com AOP

Há situações que é necessário bloquear a componente CC de um sinal amplificando somente a sua componente CA.

Utilizando o AOP inversor, basta acrescentar dois capacitores C1 e C2, respectivamente, na entrada e na saída conforme mostra a figura 3.15.

Figura 3.15 – AOP inversor bloqueando a componente CC e amplificando a componente CA de um sinal.

Na prática se torna conveniente dimensionar o C1 e C2 de modo que suas reatâncias não sejam representativas à passagem do sinal CA. Então é adotado um valor R1 10 vezes maior que XC1 e da mesma forma que a carga Rl conectada à saída seja aproximadamente

10 vezes maior que XC2. Logo:

R1 ≥ 10 / ( 2 π f C1) (3.24)

E:

RL ≥ 10 / ( 2 π f C2) (3.25)

Para o AOP não inversor é necessário incluir de um resistor (R2) para garantir o retorno da componente CC para a terra e conseqüentemente garantir a polarização da

entrada não inversora. Esta configuração não possui uma impedância de entrada (Zi’) alta, isto porque o

resistor R2 fica em paralelo com a impedância do circuito original e como esta impedância (Zi) tem um valor muito alto Zi’ passa a ter um valor aproximadamente igual a R2.

Na prática é comum adotar R2 com valor na faixa de 10 kΩ a 100 kΩ. A figura 3.16 mostra um AOP não inversor.

45

Figura 3.16 - AOP CA não inversor.

Para se obter um “Buffer” para CA utilizando a figura 3.16 fazendo R1 = ∞ e Rf = 0

(curto).

46

4. Diferenciadores, Integradores e Controladores

O AOP pode atuar como diferenciador, integrador e controlador e para isto são usados geralmente capacitores. Devido a isto, é uma aplicação linear mais complexa que as

descritas anteriormente.

4.1 O amplificador inversor generalizado

A figura 4.1 mostra um amplificador inversor generalizado, onde se tem impedância de entrada e impedância de realimentação, z1 e Zf respectivamente. Geralmente as

impedâncias são constituídas de resistores e capacitores. Raramente são incluídos indutores.

Figura 4.1 – Circuito de um AOP generalizado.

Onde: Avf = vo / vi = - Zf / Zi (4.1)

4.2. AOP Diferenciador

Este circuito apresenta uma saída proporcional à taxa de variação do sinal de entrada e seu diagrama é mostrado pela figura 4.2.

Figura 4.2 – Diagrama esquemático de um AOP diferenciador.

47

Aplicando LCK no ponto a, se tem: C ( dvi / dt ) + ( vo / Rf ) = 0, logo:

vo = - Rf C ( dvi / dt ) (4.2)

Como esperado o sinal de saída apresenta uma inversão em relação ao sinal de entrada.

Caso seja aplicado um sinal triangular simétrico na entrada de um AOP diferenciador, a sua saída será um sinal retangular, pois um sinal triangular pode ser

interpretado como um conjunto de rampas ascendentes e descendentes, logo sua derivada será uma constante, como mostra a figura 4.3.

Figura 4.3 – Sinal triangular simétrico aplicado à entrada de um diferenciador e sua saída.

Aplicando a equação 4.1 no AOP diferencial, onde:

Zf = Rf + j0 e Zi = 0 – j 2 π f XC :

Avf = – j 2 π f Rf C

48

Em módulo: Avf = 2 π f Rf C (4.3)

Pode-se constatar que o ganho é diretamente proporcional à freqüência do sinal aplicado, isto faz que o diferencial seja muito sensível às variações da mesma, causando:

• Instabilidade de ganho;

• Sensibilidade a ruídos;

• Processo de saturação muito rápido.

Estas limitações são a causam grande dificuldades de implementação de um AOP diferenciador, e devem ser eliminadas.

4.3. AOP Diferenciador prático

Com a finalidade de eliminar a dependência de AOP diferenciador da freqüência do sinal de entrada é inserido um resistor em série com o capacitor de entrada, o que resulta

em maior estabilidade do mesmo. A figura 4.5 mostra esta alteração.

Figura 4.5 – AOP diferencial prático com R1 em série com capacitor de entrada.

Onde Re = R1 // Rf

49

Neste caso se tem:

Avf = - Rf / [ R1 + ( 1 / j 2 π f C ) ]

Em módulo:

Avf = ( Rf / R1 ) / √ [ 1 + ( 1 / 2 π f C R1 )2 ] (4.4)

Observa-se que quando a freqüência f tende ao infinito o valor do ganho estabiliza como valor em módulo em –Rf / R1. O que leva a conclusão que em altas freqüências o

AOP diferenciador passa a se comportar como um AOP inversor. Outro dado importante é que ruídos em alta freqüência passam a não ter uma ação

acentuada sobre o AOP diferenciador. Na prática pode-se estabelecer um valor limite de freqüência que abaixo dela o AOP

se comporta como diferenciador e acima predomina o comportamento de AOP inversor. Esta freqüência, denominada de fL é a freqüência de corte de atraso do diferenciador:

fL = 1 / 2 π f R1 C (4.5)

Onde se:

• f < fL, o circuito atua como diferenciador;

• f > fL, o circuito atua como amplificador inversor com ganho: – Rf /R1.

É importante ressaltar que para que o funcionamento seja adequado fL deve ficar o mais distante possível de f, nos dois sentidos.

Na prática o AOP diferenciador apresentará uma saída mais precisa se for imposta como condição de projeto as seguintes relações:

R1 C ≤ T / 10

(4.6) Rf ≈ 10 R1

Ou seja, a constante de tempo da rede de atraso deve ser muito menor (pelo menos

10 (dez) vezes) do que o período do sinal aplicado. E a estabilização do ganho em altas freqüências deve ficar em torno de 10 (dez) vezes.

50

4.4 AOP Integrador

O AOP utilizado como integrador é bastante utilizado e não apresenta as limitações do AOP diferenciador. A figura 4.6 mostra seu diagrama esquemático.

Figura 4.6 – Diagrama esquemático de um AOP integrador.

Aplicando LCK no ponto a se tem: (vi / R1 ) + C (dvo / dt ) = 0, ou seja:

vo = ( - 1 / RC ) ∫ vi dt , no intervalo [ 0, t ] (4.7)

Caso o capacitor tenha uma tensão inicial, este valor deve ser somado ao resultado da

equação 4.7, por isso algumas vezes é utilizada uma chave em paralelo com o Capacitor C para garantir que ele esteja descarregado antes que o AOP integrador seja utilizado. Ou seja a chave está fechada antes da operação do AOP e aberta quando o mesmo estiver ativo. A

figura 4.7 mostra o diagrama desta configuração.

Figura 4.7 – Diagrama esquemático de um AOP integrador chaveado.

51

Quando é aplicado um sinal retangular simétrico na entrada de um AOP integrador em sua saída se tem um sinal triangular, como mostra a figura 4.8.

Figura 4.8 – Entrada de um sinal triangular em um AOP integrador e sua saída.

O ganho de tensão do circuito da figura 4.7 é:

Avf = - [ (1 / j 2 π f C ) ] / R1 = 1 / (j 2 π f R1 C )

Em módulo:

Avf = 1 / ( 2 π f R1 C ) (4.8)

52

4.5. AOP Integrador prático

A figura 4.9 mostra o AOP integrador prático.

Figura 4.9 – Diagrama de um integrador prático.

Como para o integrador o ganho é inversamente proporcional à freqüência o circuito não é tão sensível a ruídos de alta freqüência quanto o diferenciador.

Com a finalidade de possibilitar uma estabilização do ganho quando se tem um sinal de baixa freqüência aplicado na entrada do integrador se tem a seguinte configuração

mostrada pela figura 4.9. Considerando a equação 4.1, se tem:

Avf = - ( R1 / j 2 π f C ) / [ ( Rf + ( 1 / j 2 π f C ) ] / R1

Chegando finalmente a:

Avf = - ( Rf / R1 ) / ( 1 + j 2 π f C )

Em módulo:

Avf = ( Rf / R1 ) / √ [ 1 + ( 1 / 2 π f C Rf )

2 ] (4.9)

A estabilidade do ganho acontece quando a freqüência é nula ( f = 0 ) e o valor em módulo do ganho é de Rf / R1.

Pode-se concluir que o circuito da figura 4.9 funciona como integrador para altas freqüências e como inversor para baixas freqüências, ou seja:

Esta freqüência, denominada de fL é a freqüência de corte de atraso do diferenciador:

53

fL = 1 / 2 π f Rf C (4.10)

Onde se:

• f > fL, o circuito atua como integrador;

• f < fL, o circuito atua como amplificador inversor com ganho: – Rf /R1.

É importante ressaltar que para que o funcionamento seja adequado fL deve ficar o mais distante possível de f, nos dois sentidos.

Na prática o AOP integrador apresentará uma saída mais precisa se for imposta como condição de projeto as seguintes relações:

R1 C ≥≥≥≥ T / 10

(4.11) Rf ≈ 10 R1

Ou seja, a constante de tempo da rede de atraso deve ser muito maior (pelo menos 10 (dez) vezes) do que o período do sinal aplicado. E a estabilização do ganho em baixas

freqüências deve ficar em torno de 10 (dez) vezes.

4.6. Integradores Especiais

Em situações práticas também são utilizados os integradores soma e diferencial. O integrador soma, no caso com 3 (três) entradas é mostrado pela figura 4.10.

Figura 4.10 – Integrador soma de 3 (três) entradas.

O integrador soma pode ter mais ou menos entradas, ficando a cargo do projetista.

54

O integrador diferencial é mostrado pela figura 4.11

Figura 4.11 – Integrador diferencial.

É importante observar que na saída não ocorre a inversão da polaridade.

A saída do AOP integrador diferencial é dada por:

vo = ( 1 / RC ) ∫ ( v2 – v1 ) dt , no intervalo [0, 1] (4.13)

4.7. Controladores analógicos com AOP’s

Em alguns controles de processos industriais é necessário utilizar um elemento denominado controlador eletrônico analógico.

Sua função básica é avaliar os erros ou desvios das variáveis controladas no processo e enviar um sinal elétrico aos dispositivos diretamente relacionados com as mesmas, de

forma a atuar no sistema e corrigir os erros ou desvios encontrados. Pode-se exemplificar da seguinte forma:

• Imagine um controle que atue em um sistema de vazão de um determinado

líquido no processo industrial e que por algum motivo esta vazão saída do seu valor pré-estabelecido (“set-point”);

• Cabe ao controlador eletrônico detectar este desvio e emitir um sinal elétrico

para a válvula de controle de vazão (sistema eletropneumático) que abra ou feche a válvula para que a vazão retorne ao seu valor de “set-point”,

evitando assim problemas futuros na produção.

55

4.8. Conceitos básicos sobre controle de processos

A figura 4.12 mostra um diagrama esquemático simplificado de um sistema de controle de processos, onde E é o erro ou desvio encontrado quando é medido o valor Cm

da variável em relação ao seu “set-point” Csp.

Figura 4.12. – Diagrama esquemático simplificado de um sistema de controle de processos.

Através da figura 4.12, se tem:

E = Cm – Csp (4.14)

O valor de E está relacionado com a variável dinâmica do processo e pode ser: Vazão, Temperatura, Pressão, dentre outros. De tal forma que, através da malha fechada de

controle seja processada a ação corretiva necessária para prover a estabilidade do sistema. O valor de Cm é fornecido por um medidor que possui um transdutor adequado ao processo. Transdutor é definido como um dispositivo que converte uma grandeza

(normalmente não elétrica) em outra (normalmente elétrica). O conversor da figura 4.12 tem a finalidade de converter o sinal elétrico em um sinal não

elétrico atuando de forma direta o processo que é no elemento final de controle. Normalmente a corrente de um sistema de controle é baixa, geralmente situada entre 4 a 20

mA. O processo é realimentado negativamente e como já visto tende minimizar o erro ou desvio

( E ) tendendo a uma estabilizar o sistema compatibilizando-o com o “set-point”. Em alguns casos quando o erro ( E ) ultrapassa um valor limite do controlador não é

possível sua correção, por exemplo, em caso de vazamento. Devido a isto é importante o registro que pode indicar através de alarmes o operador do sistema para que atue no

mesmo.

56

É importante ressaltar que o controlador é o elemento importante no sistema, pois atua como o “cérebro” do mesmo. O controlador analisa o sinal de erro e determina o valor

necessário para corrigir a instabilidade do sistema. Para adequá-lo ao tipo de ação corretiva o mesmo assume 3 (três) características básicas:

• Controlador de ação proporcional ação P;

• Controlador de ação integral ação I;

• Controlador de ação derivativa ação D.

Estas três ações podem ser combinadas para melhorar a ação em um sistema de controle, logo se pode ter: Ação PI (proporcional + integral), ação PID (proporcional + integral +

derivativa), ação PD (proporcional + derivativa), dentre outras.

4.8.1. Controlador de ação proporcional

A ação mais elementar de controle, também conhecido como “On-Off”. Neste tipo de controle a saída do processo estará sempre com 0% ou 100 % de resposta, ou seja, uma

válvula estará ou totalmente fechada ou totalmente aberta. Uma extensão natural deste controle é o conceito de controle proporcional. Neste tipo de ação há uma relação linear entre o sinal de erro ( E ) de entrada e saída ( Po ) do

controlador, logo a saída tem uma resposta proporcional ao sinal de comando do controlador, que é mostrada pela figura 4.13.

Como a ação do controlador é determinada pelo sinal de erro ( E ), quando o erro é

nulo há uma saída fixada em um valor P1. Onde se tem:

Po = Kp E + P1 (4.15)

Onde Kp é uma constante de proporcionalidade.

Toda variável controlada possui um valor máximo ( Cmáx ) e um valor mínimo ( Cmín ). E o erro ( E ) pode ser relacionado com a faixa de variação da mesma. O erro ( E )

pode ser expresso de forma porcentual ( Ep ) dado por:

Ep = [ ( Cm – Csp ) / ( Cmáx – Cmín ) ] 100 (4.16)

Ep = ( E / ∆C ) 100 (4.16a)

A implementação eletrônica da equação 4.15 pode ser obtida através de AOP’s conforme mostra a figura 4.14. O potenciômetro R1 permite o ajuste da constante de

proporcionalidade ( Kp ).

57

Figura 4.14 - Implementação eletrônica de um AOP de ação P.

A equação de saída do circuito da figura 4.14 é:

vo = ( R2 / R1 ) ve + v1 (4.17)

Onde: • vo corresponde a Po; • ve corresponde a E;

• v1 corresponde a P1 para um erro nulo; • ( R2 / R1 ) corresponde à constante de proporcionalidade Kp.

É importante ressaltar que na entrada do controlador as correntes são convertidas em

tensões e na saída as tensões são convertidas em correntes, através de resistores de alta precisão.

4.8.2. Controlador de ação integral

A ação integral é quando s saída do controlador aumenta numa taxa proporcional ao erro da variável controlada. Logo a saída é a integral do erro ao longo do tempo e

multiplicada por uma constante de proporcionalidade denominada de ganho de integração. Este ação é muito aplicada em controle de velocidade de motores de corrente

contínua. O controlador detecta continuamente os erros e gera rampas de aceleração ou desaceleração, conforme a necessidade com a finalidade de manter a velocidade do motor

no “set-point”. A equação de saída do controlador de ação integral é:

Po = KI ∫ E(t) dt + P1(0), intervalo [0, t] (4.18)

Onde KI é o ganho de integração e P1(0) é à saída do controlador no instante t = 0.

58

A figura 4.15 mostra a implementação da equação 4.18.

Figura 4.15 – Implementação de um AOP de ação I.

Onde: • vo corresponde a Po(t); • ve corresponde a E(t);

• v1 corresponde a P1(0) em t = 0; • ( 1 / RC ) corresponde ao ganho de integração KI.

É importante lembrar que Rf tem como objetivo estabilizar o ganho do integrador em

baixas freqüências.

4.8.3. Controlador de ação derivativa

A ação derivativa é quando a saída do controlador é diretamente proporcional à taxa de variação do erro ou desvio da variável controlada. Logo a ação derivativa é caracterizada por não ser utilizada de forma isolada, ou seja, sempre esta associada às ações proporcional ou integral, pois caso ocorra um erro nulo não haverá nenhuma variação nominal no sinal

de saída. A equação de saída do controlador de ação derivativa é:

Po = KD ( dE(t) / dt ) (4.20)

Onde KD é uma constante de proporcionalidade denominada de ganho derivativo.

O circuito de figura 4.16 é a implementação da equação 4.20.

59

Figura 4.16 – Implementação de um AOP de ação D.

A equação de saída deste circuito é:

vo(t) = R2 C ( dvE(t) / dt ) (4.21)

Onde:

• vo corresponde a Po(t);

• vE corresponde ao sinal de erro E(t); • ( R2 C ) corresponde ao ganho derivativo KD.

Para que o projeto de um controlador de ação derivativa com boa estabilidade em altas freqüências é conveniente utilizar as condições de projetos dadas pela equação 4.6, isto é:

R1 C ≤ T / 10 e Rf ≈ 10 R1.

60

5. Aplicações não lineares com AOP’s

A denominação circuitos não lineares está relacionada com os tipos de respostas dos circuitos, os quais não são funções lineares dos sinais de entrada. Estes circuitos têm grande aplicabilidade pratica, são eles: Comparadores, “Schmitt Trigger’s”, Oscilador com ponte

de Wien, Temporizadores, Multivibrador Astável, Gerador de Onda Dente de Serra, Circuitos Logaritmos e Antilogaritmos, Retificadores Reguladores de Tensão.

5.1. Comparadores

Em várias situações é necessário comparar dois sinais entre si, para isso é importante pré-estabelecer qual dos dois é a referência. É possível através de AOP’s

implementar um circuito que realize esta comparação e que por isso são denominados comparadores.

Os comparadores produzem saídas em forma de pulsos discretos em função do nível do sinal aplicado. Geralmente os comparadores trabalham em regime de saturação, ou seja,

se o nível for alto à saída está na saturação positiva e se for baixo a saída encontra-se na saturação negativa.

Basicamente há dois tipos de controladores:

• Comparador não inversor; • Comparador inversor.

5.1.1. Comparador não inversor

A figura 5.1 mostra o controlador não inversor e sua respectiva saída ou resposta.

Figura 5.1 – Circuito elementar de: (a) Comparador não inversor ;

(b) Saída do comparador não inversor.

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É importante observar que a saída apresenta uma comutação entre estados quando o sinal de entrada passa por zero, devido esta característica também é denominado “detector

de passagem por zero”. Por ser um circuito de malha aberta o comparador apresenta um elevado ganho Av, ou seja, ganho de malha aberta. Sua operação é simples é amplificada a diferença de tensão entre as entrada não inversora e inversora e que o leva a saída de +Vsat ou –Vsat, diferença

positiva e diferença negativa respectivamente. Matematicamente é representado:

+ Vsat , se vi > 0 vo = (5.1)

- Vsat , se vi < 0

Quando a saída é positiva é dito que o comparador está operando no primeiro quadrante e quando a saída é negativa é dito que o comparador está operando no segundo quadrante. A

figura 5.2 mostra um exemplo de operação de um comparador não inversor.

Figura 5.2 – Operação de um comparador não inversor.

62

5.1.2. Comparador inversor

A figura 5.3 mostra um comparador inversor e sua respectiva saída.

Figura 5.3 - Circuito elementar de: (a) Comparador inversor ;

(b) Saída do comparador inversor.

A figura 5.4 mostra um exemplo de operação de um comparador não inversor.

Figura 5.4 – Operação de um comparador não inversor.

63

Matematicamente é representado:

+ Vsat , se vi < 0 vo = (5.2)

- Vsat , se vi > 0

Quando a saída é positiva é dito que o comparador está operando no segundo quadrante e quando a saída é negativa é dito que o comparador está operando no quarto quadrante. Nos dois exemplos de comparadores o referencial adotado é a terra e normalmente uma

pequena diferença de tensão é suficiente para acionar o comparador levando-o a comutação, na ordem de 1 mili Volt.

E possível utilizar uma referência, caso necessário, diferente de nulo, o que é alterado é o ponto de comutação. A figura 5.4 mostra um comparador com referência não nula.

Figura 5.5 – Comparador inversor com referência não nula.

Matematicamente é representado:

+ Vsat , se vi < Vref vo = (5.3)

- Vsat , se vi > Vref

Pode-se dizer que todos os comparadores são casos particulares de uma situação genérica, representada pela figura 5.6, na qual um AOP opera como comparador, em malha aberta, cujas entradas são aplicadas v1 (inversora) e v2 (não inversora). No qual se aplica a

equação 5.4.

64

vo = Avo ( v2 – v1 ) (5.4)

Figura 5.6 – Comparador genérico.

Aplicando neste comparador genéricos algumas condições particulares se tem:

• Comparador não inversor:

v1 = 0 Condição: vo = Avo vi

v2 = vi

• Comparador inversor:

v1 = vi Condição: vo = - Avo vi

v2 = 0

• Comparador inversor com referência não nula:

v1 = vi Condição: vo = Avo ( vref - vi )

v2 = vref

O que reflete a concordância com os resultados obtidos nas equações 5.1, 5.2 e 5.3.

5.2. Limitando a tensão de saída de um comparador

65

5.2.1. Primeiro método

Este método consiste na utilização de dois diodos Zener conectados “anodo contra anodo” ou “catodo contra catodo”, colocados entre a saída e o terminal inversor do AOP. Como

mostra a figura 5.7.

Figura 5.7 – Limitação da saída de um comparador.

Note que o nível de saída fica limitado às tensões de regulação dos diodos Zener acrescido de 0,7 Volts. Cabe ao projetista optar por diodos Zener iguais ou diferentes,

alterando assim as amplitudes positivas e negativas da saída.

5.2.2. Segundo método

O método é mostrado pela figura 5.8.

Figura 5.8 – Limitação da saída de um comparador.

É importante um resistor de aproximadamente 330 kΩ para limitar a corrente sobre os diodos. As considerações são idênticas ao do primeiro método.

66

5.2.3. Terceiro método

Neste método é escolhido quando se quer ter níveis de saída compatíveis com a família TTL, portanto o Diodo Zener Vz deve possuir um valor superior a 5,1 Volts. A

figura 5.9 mostra a implementação do circuito.

Figura 5.9 – Limitação da saída de um comparador.

Nota-se que no semiciclo negativo há uma tensão negativa de 0,7 Volts devido à

polarização direta do diodo Zener.

Outra observação importante é a utilização de diodos convencionais na entrada do AOP que possuem a finalidade de protegê-lo.

5.3. Comparadores sob forma de circuito integrado (CI)

A ampla utilização de AOP’s como controladores levou à fabricação de CI’s comparadores específicos, como por exemplo, LM 311 e LM 339 (National).

O LM 311 é um comparador de alta velocidade de comutação, em torno de 200 ns. Este CI (LM 311) pode ser utilizado como elemento de interface para circuitos lógicos

porque apresenta saída compatível com as famílias lógicas TTL e CMOS, pois é possível alimentá-lo com uma única fonte de 5 Volts.

Em caso de maiores especificações se deve obter no “Databoock” do fabricante na seção “Voltage Comparators”.

A figura 5.10 mostra a pinagem do LM 311 com encapsulamento DIP de 8 pinos.

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Figura 5.10 – Pinagem do comparador LM 311 da National semiconductors.

O LM 339 é um integrado que apresenta quatro comparadores independentes no mesmo encapsulamento DIP, também permite o interfaceamento com as famílias TTL e CMOS com faixa de alimentação de 2 a 16 Volts. A figura 5.11 apresenta a pinagem do

LM 339.

Figura 5.11 – Pinagem do comparador LM 339 da National semiconductors.

68

O LM 339 apresenta uma velocidade de comutação, em torno de 1.300 ns, mas pelo fato de possuir 4 (quatro) comutadores em um único encapsulamento e seu baixo consumo

o torna economicamente viável. Os comparadores sob forma de CI apresentam características que o tornam superiores aos comparadores implementados utilizando AOP’s, as principais são:

• Alto ganho;

• Ampla resposta em freqüência (BW); • Grande velocidade de comutação

Quando modelados os comparadores não apresentam o capacitor para compensação interna

de freqüência e este é o motivo que os comparadores raramente são utilizados como circuitos lineares.

Uma característica de efeito prático e importante é que os pinos não utilizados de um comparador devem ser aterrados, isto para evitar instabilidade e outros distúrbios no

restante do circuito.

5.4. Comparador regenerativo (“Schmitt Trigger”)

O termo regenerativo é empregado de forma sinônima a regeneração positiva, isto é, a utilização de um comparador na qual é empregada a realimentação positiva. È uma

aplicação importante e algumas literaturas o denominam de “Schmitt Trigger” ou disparador de Schmitt.

5.4.1. Histerese no comparador regenerativo

A propriedade mais importante do comparador regenerativo é a característica de histerese apresentada pelo mesmo. Este termo vem do grego “Hystéresis”, que significa

atraso. É importante ressaltar que este fenômeno não é exclusividade do magnetismo, ou seja, em

alguns circuitos eletrônicos e em controles industriais há ocorrência da histerese. Em um sistema as saídas são denominadas de efeitos e as entradas são denominadas

de causas, isto é, para determinadas causas ocorrem determinados efeitos. É dito que um circuito possui histerese quando há ocorrência de um atraso na

mudança de seu estado de saída (efeito), apesar das condições de entrada (causas) serem alteradas.

No estudo do comparador regenerativo há como ser verificada a histerese na resposta do mesmo.

A importância da histerese no comparador regenerativo é evitar que ruídos sejam interpretados como variação do sinal de entrada (causa) e o comparador realizar

chaveamentos (efeito) inadequados. Para utilizar este conceito devem ser definidos pelo projetista dois níveis denominados: Tensão de disparo superior (VDS) e Tensão de disparo inferior (VDI). Estes níveis devem estar separados por uma certa faixa de tensão como por

69

exemplo: 50 mV, 100 mV, dentre outros, que depende do valor de pico a pico da tensão de ruído ou interferência sobreposta ao sinal normal de entrada. A diferença entre estes dois

níveis é denominada margem de tensão de histerese (VH):

VH = VDS - VDI (5.5)

A figura 5.12 mostra a atuação de um comparador comum e um “Schmitt Trigger”, sob um mesmo sinal.

Figura 5.12 – Atuação de um comparador comum (b) e um “Schmitt Trigger” (c), sob um mesmo sinal (a).

Na figura 5.12 (a) o sinal apresenta em seu semiciclo negativo um ruído. Este ruído provoca no comparador inversor, comutações errôneas conforme indica a figura 5.12 (b). Supondo que a referência do comparador é o valor de VDI, se aplicarmos histerese

ao comparador se tem uma saída de acordo com a figura 5.12 (c), ou seja, neste caso o ruído no sinal não provoca nenhuma comutação ou chaveamento indevido.

70

Graças à histerese as comutações só ocorrem após ser atingido os níveis de disparo (VDS ou VDI).

5.4.2. Projetando comparadores regenerativos

A figura 5.14 mostra um comparador regenerativo, isto é, um AOP utilizando a realimentação positiva.

Figura 5.14 – AOP utilizando realimentação positiva comparador regenerativo.

Devido à realimentação positiva a saída do circuito estará em um dos dois estágios de saturação +Vsat ou –Vsat. É importante estabelecer dois níveis de referência, ou seja,

tensões de disparo. E o estado de saída dependerá destes valores de tensões de disparo.

VDS = [ R1 / ( R1 + R2 ) ] +Vsat (5.6)

VDI = [ R1 / ( R1 + R2 ) ] -Vsat

Na prática é estabelecido que +Vsat é aproximadamente 1,5 de V e -Vsat é aproximadamente 1,5 de –V. Logo VDS e VDI dependem das tensões de alimentação do

comparador. A figura 5.15 mostra a curva característica ou curva de transferência de um

comparador inversor regenerativo. Esta curva mostra uma relação entre os sinais de entrada e saída o que permite compreende o funcionamento do circuito e a aplicação da histerese

em um comparador.

71

Figura 5.15 – Curva característica de um AOP inversor regenerativo.

A tensão de disparo VDI ou VDS, responsáveis pela comutação de estado da saída,

depende do sentido de comutação do comparador em um determinado instante. Ou seja, do estado baixo ( -Vsat ) para o estado alto ( +Vsat ) ou do estado alto ( +Vsat ) para o estado

baixo ( -Vsat ).

5.5. Oscilador com ponte de Wien

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

72

7. Filtros Ativos

A noção intuitiva de filtro é a de um elemento inserido em um sistema capaz de separar do todo, o desejável do indesejável.

No campo das telecomunicações, instrumentação industrial e biomédica, teleprocessamento, dentre outros; os filtros possuem acentuadas aplicações.

7.1. Definição

A definição formal de filtro é um quadripolo capaz de atenuar determinadas freqüências do espectro do sinal de entrada e permitir a passagem das demais.

Espectro de um sinal é a sua decomposição em uma escala de amplitude x freqüência. Isto pode ser feito através das séries de Fourier ou por um analisador de espectro. A finalidade do espectro é analisar um determinado sinal no domínio da freqüência, assim como o osciloscópio é analisar um sinal no domínio do tempo.

7.2. Classificação dos filtros

Os filtros podem ser classificados sob três aspectos:

• Função executada;

• Tecnologia empregada;

• Função resposta utilizada.

7.2.1. Classificação quanto à função executada

Em relação à função executada os filtros podem ser divididos em: Passa-Baixa (PB), Passa-Alta (PA), Passa-Faixa (PF) e Rejeita-Faixa (RF).

7.2.1.1. Filtros Passa-Baixa (PB)

Este filtro só permite a passagem de freqüências abaixo de uma determinada freqüência

denominada freqüência de corte (fc), onde freqüências superiores são atenuadas.

7.2.1.2. Filtros Passa-Alta (PA)

Este filtro só permite a passagem de freqüências acima de uma determinada freqüência denominada freqüência de corte (fc), onde freqüências inferiores são atenuadas.

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7.2.1.3. Filtros Passa-Faixa (PF)

Este filtro só permite a passagem de freqüências situadas entre uma freqüência de corte inferior (fci) e outra superior (fcs), onde freqüências inferiores à freqüência de corte inferior

e superiores à freqüência de corte superior são atenuadas.

7.2.1.4. Filtros Rejeita-Faixa (RF)

Este filtro só permite a passagem de freqüências situadas abaixo uma freqüência de corte inferior (fci) e acima de outra superior (fcs), onde as freqüências entre as freqüências de

corte inferior e superior são atenuadas.

A figura 7.1 (a) mostra a simbologia adotada e a figura 7.1 (b) mostra a resposta dos mesmos na situação ideal.

Figura 7.1 – (a) Simbologia adotada e (b) Respostas ideais.

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7.2.2. Classificação quanto à tecnologia empregada

Em relação à tecnologia empregada os filtros podem ser divididos em filtros Passivos, Ativos e Digitais.

7.2.2.1. Filtros Passivos

São construídos com elementos passivos, tais como: resistores, capacitores e indutores. Tais filtros são inviáveis em baixas freqüências por exigirem indutores de grande tamanho

e em baixas amplitudes causam uma atenuação das mesmas.

7.2.2.2. Filtros Ativos

São construídos com alguns elementos passivos associados a elementos ativos, atualmente utilizam amplificadores operacionais com elemento ativo aproveitando as suas

características. Alta impedância de entrada e a baixa impedância de saída são associadas as suas outras características permitem implementar filtros de grandes qualidades.

Anteriormente foram utilizadas válvulas, primeira geração, posteriormente transistores, segunda geração e atualmente AOP’s, terceira geração.

7.2.2.2.1. Vantagens e desvantagens dos filtros ativos

Os filtros ativos possuem uma série de vantagens em relação aos filtros passivos:

• Eliminação de indutores, os quais em baixas freqüências são volumosos, pesados e caros;

• Facilidade de projeto de filtros complexos através da associação em cascata de estágios simples;

• • Possibilidade de se obter grande amplificação do sinal de entrada, ou seja,

ganho. Principalmente quando o sinal possuir baixa amplitude;

• Alta flexibilidade de projeto.

Suas desvantagens são:

• Necessitam de fonte de alimentação, geralmente simétrica;

• A resposta em freqüência dos filtros é limitada a resposta a freqüência dos AOP’s utilizados;

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• Atualmente não podem ser aplicados em sistemas de média e alta potência, como por exemplo, em acionamentos industriais.

Os filtros ativos são largamente utilizados dentro da área de instrumentação, principalmente

na área de engenharia biomédica por terem como características baixas amplitudes, normalmente mili e microVolts, e baixo espectro de freqüência.

7.2.2.3. Filtros Digitais

Utilizam componentes digitais como elementos construtivos. São aplicados quando o sinal está em forma digital. São muito utilizados em sistema de transmissão de dados.

7.2.3. Classificação quanto à função resposta utilizada

São filtros que são projetados baseados em uma função resposta ou aproximação e possuem uma função matemática específica, através da qual se consegue uma curva de resposta

aproximada para um determinado filtro. Em relação à função de resposta utilizada os filtros mais comuns são os filtros

Butterworth, Chebshev e Cauer (também conhecido como Elíptico).

7.2.3.1. Filtro Butterworth

Os filtros Butterworth possuem a seguinte função resposta:

|H(jw)| = KPB / [ √( 1 + (w/wc)2n ] (7.1)

Onde: • KPB é o ganho do filtro quando a freqüência w é nula;

• wc é a freqüência de corte;

• n é a ordem do filtro ( n = 1, 2, 3, ...)

Fisicamente a ordem do filtro é referente à quantidade do número de redes de atraso

presentes em sua estrutura. Matematicamente significa o número de pólos existentes na função de transferência.

É importante frisar que quanto maior a ordem do filtro mais sua resposta aproximará da condição ideal. A figura 7.2 mostra diversas curvas de resposta obtidas a partir da equação

7.1, supondo KPB = 1 e n = 2, 4, 6, 8 e comparando do o filtro ideal Passa-Baixa.

76

Figura 7.2 – Curvas de resposta para ordens 2, 4, 6 e 8 e comparando com filtro ideal Passa-Baixa.

A resposta do filtro Butterworth é considerada plana, porque não possui nenhuma oscilação

denominada “Ripple”. A resposta máxima é na vizinhança de w = 0, conforme mostra a figura 7.2.

Pode-se observar que quanto maior a ordem do filtro mais sua reposta aproxima de um filtro Ideal.

Quando se considera w >> wc, pode-se aproximar a equação 7.1 de:

|H(jw)| ≈ KPB (wc/w)n

Em decibéis:

|H(jw)(dB)| ≈ 20 log(KPB) – 20 n log(w/wc) (7.2)

Onde o ganho máximo é dado por 20 log(KPB) e a taxa de atenuação (TA) é:

TA = 20 n log(w/wc) (7.3)

Para n = 1, TA = 20dB/década. Para n = 2, TA = 40 dB/década e assim sucessivamente. A figura 7.3 mostra o filtro Butterworth Passa-Alta

77

Figura 7.3 – Curvas de resposta para ordens 2, 4, 6 e 8 e comparando com filtro ideal Passa-Alta.

A figura 7.4 mostra o filtro Butterworth Passa-Faixa

Figura 7.4 – Curvas de resposta para ordens 2, 4, 6 e 8 e comparando com filtro ideal Passa-Faixa.

78

A figura 7.5 mostra o filtro Butterworth Rejeita-Faixa

Figura 7.5 – Curvas de resposta para ordens 2, 4, 6 e 8 e comparando com filtro ideal Rejeita-Faixa.

7.2.3.2. Filtro Chebshev

O filtro Chebshev possui uma eficiência maior que o filtro Butterworth na vizinhança da freqüência de corte, principalmente em baixa ordem. Mas apresenta “ripples” na faixa de passagem conforme mostra a figura 7.6. Os “ripples” na faixa de passagem são iguais à

ordem do filtro.

Figura 7.6 - Curvas resposta para filtros Chebshev.

79

A função resposta aproximada para o filtro Chebshev é a seguinte:

|H(jw)| = KPB / [ √( 1 + E2 (Cn )2 (w/wc) ] (7.4)

Onde: • KPB é o ganho do filtro quando a freqüência w é nula;

• wc é a freqüência de corte;

• n é a ordem do filtro ( n = 1, 2, 3, ...);

• Cn é o polinômio de Chebshev.

A taxa de atenuação (TA) do filtro de Chebshev é na maioria das vezes superior a 20n

dB/dècada. Seu valor pode ser calculado pela expressão:

|H(jw)(dB)| ≈ 20 log(KPB) – 20 log[E-6(n-1)] - 20 n log(w/wc) (7.5)

de onde se obtém:

TA = – 20 log[E-6(n-1)] - 20 n log(w/wc) (7.6)

A amplitude do “Ripples” (PR) em decibéis pode ser calculada como:

E = √ ( 10 PR/10 –1) (7.7)

Da qual se obtém:

PR(dB) = 20 log [ √ (1+ E2) ] (7.8)

O valor de PR é utilizado para caracterizar o filtro de Chebshev, por exemplo: filtro de 0,5 dB, filtro de 1,0 dB, dentre outros.

Quanto maior a amplitude dos “Ripples” maior será a atenuação na faixa de corte. O valor máximo permitido é de 3 dB ( E ≈ 0,99763).

Por outro lado os “Ripples” são indesejáveis e cabe ao projetista escolher a melhor situação que se adapte ao seu problema.

É importante observar que para E =1 e n = 1, o filtro de Chebshev ede Butterwothr possuem a mesma taxa de atenuação. Logo para filtros de primeira ordem a função resposta

destes dois filtros é a mesma.

80

7.2.3.3. Filtro Cauer ou Elíptico

Este tipo de filtro apresenta “Ripples” tanto na faixa de passagem quanto na faixa de corte. Todavia são os que têm a melhor definição em termos de freqüência de corte, ou seja,

sua faixa de transição é a menor dos filtros mencionados. São normalmente usados em filtros de alta precisão no ponto de corte. A figura 7.7

mostra a resposta típica para um filtro elíptico ou Cauer.

Figura 7.7 – Curva de resposta de um filtro Cauer.

7.3. Defasamento em filtros ativos

Os filtros ativos causam um defasamento entre a entrada e a saída do sinal. O filtro Chebshev causa um defasamento menos linear que o Butterworth quando comparado na

mesma ordem. O defasamento, em determinadas situações, pode prejudicar o desempenho do sistema, como por exemplo, em linhas telefônicas. Pois neste sistema o sincronismo é

fundamental e a ocorrência de atrasos pode ser prejudicial. Existem circuitos que colocados em série com a linha de transmissão corrigem o

atraso, tais circuitos são denominados circuitos deslocadores de fase e em algumas literaturas são denominados filtros Passa-Todas.

81

8. Projetos de filtro ativos

No capítulo anterior foram vistos os fundamentos teóricos sobre filtros ativos. Neste capítulo são desenvolvidos alguns projetos de filtros ativos.

Existem várias formas de implementação de filtros ativos as mais comuns são a estrutura de realimentação múltipla, MFB (Multiple-Feed-Back) e a estrutura de fonte de tensão, VCVS (Voltage-Controlled-Voltage-Source). Estas duas estruturas são utilizadas

por apresentarem:

• Boa estabilidade; • Baixa impedância de saída;

• Facilidade de ajuste de ganho e de freqüência; • Não necessitam de muitos componentes externos.

Um fator limitante é que o máximo valor do fator Qo para estas estruturas é da ordem de 10

(dez). É importante verificar que a estrutura MFB apresenta ganho invertido.

Com estas estruturas é possível implementar qualquer tipo de função resposta, Butterworth, Chebshev, Bessel, dentre outros apenas alterando os valores dos componentes da estrutura,

os quais são encontrados em tabelas obedecendo as condições de projeto dos filtros.

8.1. Filtros Passa-Baixa de primeira ordem (VCVS)

O filtro Passa-Baixa de primeira ordem utilizando a estrutura VCVS é mostrado pela figura 8.1.

Figura 8.1 – Filtro Passa-Baixa de primeira ordem (VCVS).

O circuito da figura 8.1 possui um ganho dado por:

K = 1 + R3 / R2 (8.1)

Para atenuar o efeito do “Offset” R1 assume o valor de:

82

1/R1 = 1/R2 + 1/R3 (8.2)

O valor de R1 esta ligado à freqüência de corte:

R1 = 1 / ( b wc C ) (8.3)

Onde b é uma constante que determina o tipo de função resposta para o filtro. Para filtros

de ordem maiores e iguais a 2 (dois). Substituindo R3 da equação 8.1 na equação 8.2 se obtém:

R2 = [ K / ( K - 1 ) ] R1 (8.4)

Substituindo R2 da equação 8.1 na equação 8.2 se obtém:

R3 = K R1 (8.5)

Para se calcular o valor de C, normalmente escolhe-se um valor em torno de 10/fc, onde fc é dado em Hertz e C em microfarad. No caso de filtros de primeira ordem o valor de b é igual

a 1 (um). Para ordens superiores o valor de b é dado em tabelas. As etapas de um projeto de um filtro Passa-Baixa de primeira ordem VCVS é mostrado

pela tabela 8.1.

Passos Etapas do Projeto 1 Estabelecer o ganho K, onde K > 1. 2 Estabelecer o valor da freqüência de corte fc. 3 Determinar o valor comercial de C ≈10/fc. 4 Determinar o valor de R1, equação 8.3 com b = 1. 5 Determinar o valor de R2, equação 8.4. 6 Determinar o valor de R3, equação 8.5. 7 Montar um protótipo e realizar testes. 8 Ajustar o ganho através de R2 ou R3. 9 Ajustar a freqüência de corte fc em –3dB através de R1. 10 Montar o circuito do filtro definitivo

Tabela 8.1 – Etapas do projeto de um filtro Passa-Baixa (VCVS).

8.2. Projeto de filtro de segunda ordem (VCVS)

A implementação do filtro Passa-Baixa de segunda ordem com a estrutura VCVS é mostrado pela figura 8.2, que lembra o amplificador não inversor, já comentado.

83

Figura 8.2 – Filtro Passa-Baixa de segunda ordem (VCVS).

As equações para o projeto deste filtro são, Ganho:

K = 1 + R4 / R3 (8.6)

Resistência R1:

R1 = 2 / a C2 + √ [ [ a2 + 4 b( K – 1 ) ] C2

2 – 4bC1C2 ] (8.7)

Resistência R2: R2 = 1 / ( b C1 C2 R1 wc

2 ) (8.8)

Resistência R3: R3 = K ( R1 + R2 ) / ( K – 1 ) (8.9)

Resistência R4:

R4 = K ( R1 + R2 ) (8.10)

Os parâmetros a e b são obtidos em tabelas apropriadas e definem o tipo de função resposta ou aproximação desejada.

A escolha de C2 comercial próximo a 10/fc, determina-se o máximo valor comercial de C1 baseado na seguinte equação:

C1 ≤ [ a2 + 4b ( K – 1 ) ] C2 / 4 b (8.11)

Obedecendo estas equações, de 8.6 a 8.11 o filtro é projetado.

A tabela 8.2 mostra as etapas do projeto de um filtro Passa-Baixa de segunda ordem de estrutura de fonte de tensão controlada por tensão (VCVS).

Passos Etapas do Projeto

84

1 Estabelecer o valor de K, K > 0. 2 Estabelecer o valor da freqüência de corte fc. 3 Estabelecer o valor de PR (caso o filtro for Chebshev) 4 Determinar os parâmetros a e b através de consulta à tabela adequada. 5 Determinar C2 = 10/fc. 6 Determinar C1, equação 8.11. 7 Determinar R1, equação 8.7. 8 Determinar R2, equação 8.8. 9 Determinar R3, equação 8.9. 10 Determinar R4, equação 8.10. 11 Montar um protótipo e realizar ajustes. 12 Ajustar K e fc. 13 Montar o circuito definitivo.

Tabela 8.2 – Etapas do projeto para implementar um filtro de segunda ordem (VCVS).

8.3. Filtro de segunda ordem (MFB)

A implementação um filtro de segunda ordem com estrutura de realimentação múltipla é mostrada pela figura 8.3.

Figura 8.3 – Filtro de segunda ordem com estrutura de realimentação múltipla (MFB).

A equações de projeto para este filtro são:

Ganho:

K = - R2 / R1 (8.12)

Resistência R2:

85

R2 = 2 / a C2 + √ [ a2 C2 - 4 b C1 C2 ] wc (8.13)

Resistência R1:

R1 = R2 / K (8.14)

Resistência R3:

R3 = 1 / ( b C1 C2 R2 wc

2 ) (8.15)

Os parâmetros a e b são obtidos em tabelas apropriadas e definem o tipo de função resposta ou aproximação desejada.

A escolha de C2 comercial próximo a 10/fc, determina-se o máximo valor comercial de C1 baseado na seguinte equação:

C1 ≤ a2 C2 / [ 4b ( K – 1 ) ] (8.16)

É importante verificar que o valor comercial C1 deva ser o maior possível,

respeitando a equação 8.16. Os resistores R1, R2 e R3, devem ter os valores o mais próximo possível dos valores

calculados pelas equações 8.14, 8.13 e 8.15, respectivamente. A tabela 8.3 mostra as etapas do projeto de um filtro Passa-Baixa de segunda ordem MFB.

Passos Etapas do Projeto

1 Estabelecer o valor de K, K > 0. 2 Estabelecer o valor da freqüência de corte fc. 3 Estabelecer o valor de PR (caso o filtro for Chebshev) 4 Determinar os parâmetros a e b através de consulta à tabela adequada 5 Determinar C2 = 10/fc. 6 Determinar C1, equação 8.16. 7 Determinar R1, equação 8.14. 8 Determinar R2, equação 8.13. 9 Determinar R3, equação 8.15. 10 Montar um protótipo e realizar ajustes. 11 Ajustar K e fc. 12 Montar o circuito definitivo.

Tabela 8.3 – Etapas do projeto de um filtro Passa-Baixa de segunda ordem MFB.

8.4. Filtro Passa-Alta de primeira ordem (VCVS)

86

O filtro Passa-Alta estrutura VCVS é mostrado através da figura 8.4, observa-se que é a mesma topologia do filtro Passa-Baixa apenas trocando o posicionamento dos

elementos R1 e C.

Figura 8.4 – Filtro Passa-Alta de primeira ordem (VCVS).

As equações deste projeto são:

Ganho: K = 1 + R3 /R2 (8.17)

Resistência R1:

R1 = 1 / wc C (8.18)

Resistência R2, para K >1:

R2 = K R1 / ( K – 1 ) (8.19)

Resistência R3:

R3 = K R1 (8.20)

Obedecendo este equacionamento a atenuação de “Offset” já está implícita, pois caso substituir a equação 8.17 em 8.19 obtém-se R1 = (R2 R3) / ( R2 + R3 ).

O valor de C é em torno de 10/fc e os resistores devem ser os mais próximos dos calculados no equacionamento teórico.

87

A tabela 8.4 mostra as etapas do projeto da implementação de um filtro Passa-Alta de primeira ordem de estrutura VCVS.

Passos Etapas do Projeto

1 Estabelecer o valor de K, K > 0. 2 Estabelecer o valor da freqüência de corte fc. 3 Determinar C = 10/fc. 4 Determinar R1, equação 8.18. 5 Determinar R2, equação 8.19. 6 Determinar R3, equação 8.20. 7 Montar um protótipo e realizar ajustes. 8 Ajustar K e fc. 9 Montar o circuito definitivo.

Tabela 8.4 – Etapas do projeto de um filtro Passa-Alta de primeira ordem VCVS

8.5. Filtro Passa-Alta de segunda ordem VCVS

O diagrama de um filtro Passa-Alta de segunda ordem VCVS é mostrado pela figura 8.5.

Figura 8.5 – Filtro Passa-Alta de segunda ordem VCVS.

O projeto deste filtro pode ser obtido pelas seguintes equações:

88

Ganho:

K = 1 + R4 / R3 (8.21)

Resistência R1:

R1 = 4b / a + √ [ a2 C2 + 8 b ( K – 1 ) ] wc C (8.22)

Resistência R2:

R2 = b / ( C2 R1 wc2 ) (8.23)

Resistência R3, para K > 1:

R3 = K R1 / ( K – 1 ) (8.24)

Resistência R4:

R4 = K R1 (8.25)

Relembrando que o valor de C é conveniente que seja um valor comercial em torno de 10/fc e que o “Offset” é atenuado pois obedecendo este equacionamento obtém-se para R1: R1

= ( R2 R3) / (R2 + R3). A tabela 8.5 mostra as etapas do projeto para um filtro Passa-Alta de segunda ordem

VCVS.

Passos Etapas do Projeto 1 Estabelecer o valor de K, K > 0. 2 Estabelecer o valor da freqüência de corte fc. 3 Estabelecer o valor de PR (caso o filtro for Chebshev) 4 Determinar os parâmetros a e b através de consulta à tabela adequada 5 Determinar C = 10/fc. 6 Determinar R1, equação 8.22. 7 Determinar R2, equação 8.23. 8 Determinar R3, equação 8.24. 9 Determinar R4, equação 8.25. 10 Montar um protótipo e realizar ajustes. 11 Ajustar K e fc. 12 Montar o circuito definitivo.

Tabela 8.5 – Etapas de projeto de filtro Passa-Alta de segunda ordem VCVS.

89

8.6. Filtro Passa-Alta de segunda ordem MFB

A figura 8.6 mostra o diagrama de um filtro Passa-Alta de segunda ordem MFB.

Figura 8.6 – Diagrama de um filtro Passa-Alta de segunda ordem MFB.

As equações de projeto para este filtro são as seguintes:

Ganho:

K = - C1 / C2 (8.26)

Resistência R1:

R1 = a / [ ( 2 C1 + C2 ) wc ] (8.27)

Resistência R2:

R2 = b ( 2 C1 + C2 ) / ( a C1 C2 wc) (8.28)

Os valores de a e b são obtidos em tabelas adequadas, dependendo da aproximação desejada.

O valor de C1 é calculado como o valor comercial mais próximo de 10/fc. A tabela 8.6 mostra as etapas do projeto para um filtro Passa-Alta de segunda ordem de

estrutura de realimentação múltipla (MFB).

90

Passos Etapas do Projeto

1 Estabelecer o valor de K, K > 0. 2 Estabelecer o valor da freqüência de corte fc. 3 Estabelecer o valor de PR (caso o filtro for Chebshev) 4 Determinar os parâmetros a e b através de consulta à tabela adequada 5 Determinar C1 = 10/fc. 6 Determinar C2, equação 8.26. 7 Determinar R1, equação 8.27. 8 Determinar R2, equação 8.28 9 Montar um protótipo e realizar ajustes. 10 Ajustar K e fc. 11 Montar o circuito definitivo.

Tabela 8.6 – Etapas do projeto de um filtro de segunda ordem MFB.

8.7. Filtros de ordem superiores à segunda

Como visto anteriormente é possível associar os AOP’s em estágios não integrantes em cascata. Este recurso permite associar filtros de primeira e segunda ordem de forma a se

obter filtros de ordem maior. A figura 8.7 mostra duas das muitas combinações possíveis. A figura 8.7 (a) mostra um filtro Passa-Baixa de ordem 6 (sexta ordem) e a figura 8.7 (b) um

filtro Passa-Baixa de ordem 5 (quinta ordem).

Figura 8.7 – Combinações de filtros de primeira e segunda ordem para obtenção de ordens superiores.

É importante ter o cuidado de utilizar somente uma estrutura de implementação nesta associação em cascata, ou seja, ou só em MFB ou só em VCVS.

Cada estágio deve ser projetado de forma independente, os valores de a e b devem ser utilizado de acordo com a tabela em função da ordem e da resposta desejada.

91

Como o ganho de uma associação em cascata é dado pela soma em decibéis (dB), ou seja, pelo produto dos ganhos é interessante distribuir este os ganhos entre os estágios e no final compor o ganho total. De forma geral quando se associa m estágios com ganho final KT o

ganho de cada estágio K é dado por:

K = ( KT )1/m (8.29)

Como exemplo, é projetado um filtro de terceira ordem, de função resposta Chebshev de 0,5 dB, ganho total de 4,0 e freqüência de corte de 1 kHz. A estrutura utilizada é a VCVS.

Os capacitores escolhidos são de 0,01 µF.

8.7.1. Exemplo de aplicação: Projeto de um filtro de terceira ordem Chebshev

A topologia escolhida foi de se utilizar um estágio de segunda ordem seguido de um estágio de primeira ordem. A figura 8.8 mostra o diagrama esquemático do filtro.

Figura 8.8 – Projeto de um filtro Passa-Baixa de ordem 3, utilizando dois filtros em cascata e ordem 2 e posteriormente de ordem 1.

Conforme mencionado os cálculos para os filtros Passa-Baixa de segunda e primeira ordem são feitos independentes e os valores de a e b devem ser utilizado de acordo com a tabela

em função da ordem e da resposta desejada.

Passos Etapas do Projeto do filtro Passa-Baixa de segunda ordem 1 K = ( 4 ) 1/2. K = 2.

92

2 fc = 1000 Hz 3 PR = 0,5 dB. 4 a = 0,626456 e b = 1,142448. 5 C2 = 10/fc C = 0,01 µF 6 Determinar C1, equação 8.16.C1 ≤ 0,010853 C1 = 0,01 µF 7 Determinar R1, equação 8.22. R1 = 25,4 kΩ. 8 Determinar R2, equação 8.23. R2 = 8,7 kΩ. 9 Determinar R3, equação 8.24. R3 = 68,2 kΩ. 10 Determinar R4, equação 8.25. R4 = 68,2 kΩ.

Passos Etapas do Projeto do filtro Passa-Baixa de primeira ordem 1 K = 2 2 fc = 1000 Hz 3 PR = 0,5 dB. 4 b = 0,626456. 5 C = 10/fc C = 0,01 µF 6 Determinar o valor de R1, equação 8.3. R1’ = 25,4 kΩ. 7 Determinar o valor de R2, equação 8.4. R2’ = 50,8 kΩ. 8 Determinar o valor de R3, equação 8.5. R3’ = 50,8 kΩ

Logo o projeto de um filtro Passa-Baixa de ordem 3 utilizando dois filtros Primeiramente

de ordem 2 e posteriormente de ordem 1 é representado pela figura 8.9

Figura 8.9 – Projeto de um filtro Passa-Baixa de ordem 3, utilizando dois filtros em cascata e ordem 2 e posteriormente de ordem 1.

8.8. Filtro Passa-Faixa

93

Os filtros Passa-Faixa também podem ser implementados com as estruturas MFB e VCVS. Outra opção, inclusive mais simples, é associar em cascata um filtro Passa-Baixa e

posteriormente um filtro Passa-Faixa. É importante lembrar que os filtros devem ser de mesma ordem, assim o filtro resultante terá a ordem em dobro. A figura 8.10 esta aplicação.

Figura 8.10 – Filtro Passa-Faixa utilizando um filtro Passa-Baixa e posteriormente um filtro Passa-Alta.

A figura 8.11 mostra a curva resposta de um filtro Passa-Faixa.

Figura 8.11 – função resposta de um filtro Passa-Faixa.

Onde fo é a freqüência de ressonância dada por

fo = √( fc1 fc2 ) (8.30)

8.8.1. Filtro Passa-Faixa (MFB)

94

A figura 8.12 mostra a implementação de um filtro Passa-Faixa com estrutura de realimentação múltipla. O fator Qo (fator de qualidade) está intimamente ligado com os

valores de componentes passivos do circuito, não podendo exceder a 10 (dez).

Figura 8.12 – Diagrama do Filtro Passa-Faixa.

Para se projetar um filtro Passa-Faixa, inicia-se por considerar a faixa de operação

identificando fc1 e fc2, logo se tem fo, BW e Qo do filtro. O ganho K também é requisito importante no projeto e deve obedecer à seguinte condição:

K < 2 Qo

2 (8.31)

O valor de C deve obedecer à situação prática de em torno de 10/fc. Os resistores podem ser calculados segundo as seguintes equações:

Ganho:

K = R3 / 2 R1 (8.32)

Resistor R1:

R1 = Qo / ( wo C K ) (8.33)

Resistor R2:

R2 = Qo / [ wo C ( 2 Qo2 – k ) ] (8.34)

Resistor R3:

R3 = 2 Qo / ( wo C ) (8.35)

Os valores fo e K podem ser ajustados através de R1 e R2.

A tabela 8.7 mostra as etapas do projeto de um filtro Passa-Faixa.

95

Passos Etapas do Projeto 1 Estabelecer fc1 e fc2. 2 Determinar fo e wo, equação 8.30. 3 Determinar Qo, equação 7.4. 4 Estabelecer o valor de K equação 8.31. 5 Determinar o valor comercial em torno de C = 10/fc. 6 Determinar R1, equação 8.33. 7 Determinar R2, equação 8.34. 8 Determinar R3, equação 8.35. 9 Montar um protótipo e realizar ajustes. 10 Ajustar K e fo. 11 Montar o circuito definitivo.

Tabela 8.7 – Etapas do projeto de um filtro Passa-Faixa MFB.

8.9. Filtro Rejeita-Faixa

Pode-se obter um filtro Rejeita-Faixa através de combinações de filtros ou através das estruturas MFB e VCVS. A aplicação mais comum é a estrutura VCVS de segunda ordem,

como mostra a figura 8.13.

Figura 8.13 – Filtro Rejeita-Faixa de segunda ordem VCVS.

Os procedimentos para determinar fo, Qo e C são análogos aos utilizados para o filtro

Passa-Faixa. E os valores para obter os resistores são: Resistor R1:

R1 = 1 / ( 2 Qo wo C ) (8.36) Resistor R2:

R2 = 2 Qo / ( wo C ) (8.37)

96

Resistor R3:

1/R3 = 1/R2 + 1/R3 (8.38)

Os valores fo e K podem ser ajustados através de R1 e R2. A tabela 8.8 mostra as etapas do projeto de um filtro Rejeita-Faixa.

Passos Etapas do Projeto

1 Estabelecer fc1 e fc2. 2 Determinar fo e wo, equação 8.30. 3 Determinar Qo, equação 7.4. 4 Estabelecer o valor de K = 1. 5 Determinar o valor comercial em torno de C = 10/fc. 6 Determinar R1, equação 8.36. 7 Determinar R2, equação 8.37. 8 Determinar R3, equação 8.38. 9 Montar um protótipo e realizar ajustes. 10 Ajustar fo. 11 Montar o circuito definitivo.

Tabela 8.8 – Etapas do projeto de um filtro Rejeita-Faixa de segunda ordem VCVS.