Apostila de Equações Diferenciais Lineares

Embed Size (px)

Citation preview

Universidade Federal de Campina GrandeCentro de Cincias e Tecnologia AgroalimentarEquaes Diferenciais LinearesProf. Ms. Hallyson Gustavo G. de M. LimaPombal - PBContedo1 Introduo 31.1 Denies Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Equaes Diferenciais de Primeira Ordem 52.1 Equaes Diferenciais Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Problema de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Equaes Diferenciais No-Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . 82.3.1 Equao de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 Equao de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Equaes Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4 Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.5 Equao Separavl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.6 Equao Redutvel forma Separvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Teorema de Existncia e Unicidade e o Mtodo das Iteraes Sucessivas dePicard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.1 O Teorema de Existncia e Unicidade: Caso Linear . . . . . . . . . . 252.4.2 O Mtodo das Aproximaes Sucessivas ou Mtodo de Iterao dePicard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.3 O Teorema de Existncia e Unicidade: Caso No-linear . . . . . . . . 282.5 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.1 Crescimento e Decrescimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.2 Epidemia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.3 Trajetrias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.4 Problemas de Temperatura e a Lei de Resfriamento e Aquecimentode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.5 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.6 Circuitos Eltricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.7 Problemas de Crescimento e Declnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3922.5.8 Datao por Carbono 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.9 Investimentos Financeiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.10 Equaes Autnomas e Dinmica Populacional . . . . . . . . . . . . 392.5.11 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Equaes Diferenciais de Segunda Ordem 493.1 Equaes Diferenciais Lineares de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Equaes de Segunda Ordem com Coeciente Constantes . . . . . . . . . . 523.2.1 Raizes Reais e Distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.2 Raizes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.3 Mtodo de Reduo de Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.4 Raizes Repetida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 Equaes Diferenciais de Segunda Ordem No - Homogneas . . . . . . . . 603.4 Oscilaes Mecnicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4.1 Oscilao Livre No-Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4.2 Oscilao Livre Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 Equaes Diferenciais de Ordem Superior 744.1 Equaes Diferenciais de Ordem Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2 Equao de Euler-Cauchy Homogneas de ordem trs . . . . . . . . . . . . . 825 Sistemas de Equaes Lineares de Primeira Ordem 845.1 Sistema de Equaes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2 Independncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4 Sistemas de Equaes Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. . . . . . . 875.4.1 Sistemas Homogneos com coecientes constantes . . . . . . . . . . 885.4.2 Sistemas Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.4.3 Autovalores Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.4 Autovalores Repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.5 Sistemas de Equaes Diferenciais No-Homogneos . . . . . . . . . . . . . 103Captulo 1Introduo1.1 Denies PreliminaresDenio 1.1(Equaes Diferenciais) Uma Equao Diferencial uma equao que envolveuma funo (incognita) e ao menos uma das suas derivadas.Exemplo 1Sey=f(x) ouy=f(t) a funo de uma nica varivel independente ento asequaes abaixo so exemplos de Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO).(a)d2ydx2 5dydx + 6y = 0(b) y

+ 3y

+ 3y

+ y = 0(c)dydt+ 2yt= t2Exemplo 2Se w= f(x, y, z) a funo da varivel tempo t e das variveis x, y e z ento temoscomo exemplos de equaes diferenciais parciais (EDP).(a)_2wx2+2wy2+2wz2_ = 0(b) C_2wx2+2wy2+2wz2_ =wtDenio 1.2(Ordem)Aordemdeumaequaoaordemdaderivadademaiorgrauqueaparece na equao.Observao 1.3Uma equao diferencial de ordem n uma expresso da formaF(x, y, y

, y

, . . . , yn) = 0 (1.1)4Denio 1.4(Soluo) Uma funoy=(x) a soluo da equao 1.1 sey Cne almdisso F(x, (x),

(x),

(x), . . . , n(x)) = 0.Exemplo 3A equaod2ydx2 5dydx+ 6y= 0 tem como uma soluo a expresso y= e2x.De fato. Observe que, y

= 2e2xe y

= 4e2x. Da,d2ydx2 5dydx+ 6y= 0 =4e2x5 2e2x+ 6e2x= 0 =10e2x10e2x= 0 =0 = 0.Exemplo 4Verique se y= e3xtambm soluo ded2ydx2 5dydx+ 6y= 0.Observao 1.5Na verdade toda soluo da equao anterior da forma y= c1e2x+ c2e3xDenio 1.6(Equao Linear) Uma equao diferencial de ordem n, da formaF(x, y, y

, y

, . . . , yn) = 0 dita linear se a mesma mesma funo linear da variavis y, y

, y

, . . . , yn.Observao 1.7A forma geral de uma EDL de ordem n a0(x)yn+ a1(x)yn1+ . . . + an(x)y= g(x), onde, (a0(x) = 0)Exemplo 5(a) A equao cos(x)y

+ 7y

+ (x2+ 1)y= ln x linear.Dena L[x] = cos(x)y

+ 7y

+ (x2+ 1)y. Assim, L[y1 + y2] = cos(x)(y1 + y2)

+ 7(y1 + y2)

+ (x2+ 1)(y1 + y2) == cos(x)(y

1 + y

2) + 7(y

1 + y

2) + (x2+ 1)(y1 + y2) == cos(x)y

1 + cos(x)y

2 + 7y

1 + 7y

2 + (x2+ 1)y1 + (x2+ 1)y2== (cos(x)y

1 + 7y

1 + (x2+ 1)y1) + (cos(x)y

2 + 7y

2 + (x2+ 1)y2) =L[y1] + L[y2] L[ky] = cos(x)(ky)

+ 7(ky)

+ (x2+ 1)(ky) = cos(x)(ky

) + 7(ky

) + (x2+ 1)(ky) == k(cos(x)y

) + k7y

+ k(x2+ 1)y = k[cos(x)y

+ 7y

+ (x2+ 1)y] = kL[y](b) A equaod2ydx2 5dydx + 6y = 0 linear.(c) A equao y

+ y

+ 2y2= 0 no linear(d) A equao y y

= sen(x) no linear.Captulo 2Equaes Diferenciais de PrimeiraOrdem2.1 Equaes Diferenciais Lineares de Primeira OrdemDenio 2.1A forma geral de uma Equao Diferencial Ordinria Linear de Primeira Ordem y

+ p(x)y= q(x) (2.1)onde p e q, so funes contnuas em um intervalo aberto I.Observao 2.2Quando q(x) = 0 para todo x I a equao dita Equao Homognea.Mtodo de Resoluo"O lado esquerdo da equao 2.1 a derivada do produto envolvendo y".Suponha que exista u(x) tal que,u(x)y

+ u(x)p(x)y= u(x)q(x) (2.2)e alm dissou(x)y

+ u(x)p(x)y=ddx(u(x)y) (2.3)De 2.3, sendo y = 0 e u(x) = 0, temos queu(x)y

+ u(x)p(x)y= u(x)y

+ u

(x)y u(x)p(x) = u

(x)logou

(x)u(x)= p(x).6Note que,ddx(ln u(x)) =u

(x)u(x),dai,ddx(ln u(x)) = p(x) ln u(x) =_p(x) dx + C, onde C= 0portanto,u(x) = eRp(x)dx(2.4)Encontrando a soluo de yDe 2.2 e 2.3 obtemos,ddx(u(x)y) = u(x)q(x)e nalmente obtemosu(x)y=_u(x)q(x) dx + C y=_u(x)q(x) dx + Cu(x)(2.5)ou ainda,y= eRp(x)dx__eRp(x)dxq(x)dx + C(2.6)As expresses (2.5) e (2.6) so chamadas de soluo geral de (2.1).u(x) fator integrante.Exemplo 6Resolva a equaoty

+ 2y= sen(t), com t > 0.Determine como se comporta a soluo y(t) quando t Soluo: Temos quety

+ 2y= sen(t) =y

+2yt=sen(t)tNeste caso p(t) =2t, entou(t) = eR2tdt= e2 ln t= eln t2= t2Assim o fator integrante u(t) = t2. Deste modo temos,y

+2yt=sen(t)t=t2y

+ 2ty= tsen(t)7isto ddt(t2y) = tsen(t) =t2y=_tsen(t) dt + C=t2y= sen(t) tcos(t) + C.Logo,y(t) =sen(t) tcos(t) + Ct2Observe que y(t) 0 quando t .Exerccio 1: Resolvaasequaesabaixoedeterminecomoassoluessecomportamquando t +.a) y

+ 3y= t + e2te) y

2y= 3eti) ty

y= t2etb) y

2y= t2e2tf) y

+ 2ty= 2tet2j) y

+ y= 5cos(2t)c) y

+ y= tet+ 1 g) (1 + t2)y

+ 4ty= (1 + t2)2k) 2y

+ y= 3t2d) y

+1ty= 3cos(2t), t>0 h) 2y

+ y= 3t2.2 Problema de Valor InicialDenio 2.3Uma equao diferencialdydx= f(x, y),juntamente com a condio inicial y(x0) =y0, constituem o que chamamos de Problema deValor Inicial (PVI), a qual geralmente denotada por___dydx= f(x, y),y(x0) = y0.(2.7)Exemplo 7Resolva o seguinte PVI___ty

+ 2y= sen(t), se t > 0,y_2_ = 1.Soluo: J vimos no exemplo 1 quey(t) =sen(t) tcos(t) + Ct28. Queremos agora que, y_2_ = 1, isto ,1 = y_2_ =sen_2__2_cos_2_+ C_2_2.Segue que, C=_24_1.Logo a soluo do PVI y(t) =sen(t) tcos(t) +_24_1t2.Teorema FundamentalSe as funes p(x) e q(x) so contnuas em um intervalo aberto I=(, ) contendoo ponto x = x0 ento existe uma nica funo y= (x) que satisfaz a equao,y

+ p(x)y= q(x), x Ie a condio inicial y(x0) = y0.2.3 Equaes Diferenciais No-Lineares de Primeira OrdemAqui estudaremos mtodos de resoluo da equao diferencialy0= f(x, y),onde f uma funo no linear em relao a y.2.3.1 Equao de BernoulliDenio 2.4Uma equao diferencial, no linear, da forma,y

+ p(x)y= q(x)yn(2.8) chamada de Equao de Bernoulli (EB)Note que se n = 0 ou n = 1 a equao de Bernoulli torna-se linear___n = 0, y

+ p(x)y= q(x),n = 1, y

+ (p(x) q(x))y= 0.9Mtodo de ResoluoConsideren =0 oun =1. Deste modo, vamos procurar uma soluoy =y(x)diferente de zero (y = 0). Assim, sejaw = y1n(2.9)da,w

=dwdx= (1 n)yny

. (2.10)Multipliquemos ento (2.8) por (1 n)yn. Deste modo temos,(1 n)yny

+ (1 n)ynp(x)y= (1 n)ynq(x)yn(1 n)yny

+ (1 n)y1np(x) = (1 n)q(x) (2.11)Aplicando (2.9) e (2.10) em (2.11) obtemosw

+ (1 n)p(x)w = (1 n)q(x) (2.12)a qual uma EDL de 1oordem em w, a qual sabemos resolver.Pela relao em (2.9) encontramos a soluo da Equao de Bernoulli.Exemplo 8Resolva a equao diferencialy

+ 2x1y= x6y3, comx > 0.Soluo: Temos uma EB com n=3. Assim seja w=y2, da, w

= 2yy3. Segue entoque,y

+ 2x1y= x6y3(2y3)y

+ (2y3)2x1y= (2y3)x6y32y3y

4x1y2= 2x6ou seja,2y3y

4x1y2= 2x6w

_4x_w = 2x6onde w

_4x_w = 2x6 uma EDL de 1oordem.Fator Integrante10() u(x) = eR4xdx= e4 ln x=1x4;() w(x) =_ _1x4_(2x6) dx + C_1x4_ w(x) = 2x73+ Cx4Portanto, a soluo da EB em estudo dado pory(t) = ___12x73+ Cx4___12Exerccio 2: Resolva as equaes de Bernoulli abaixo:a) y

+yx= xy2, com x > 0 c) xy

y= x3y4, com x > 0b) t2y

+ 2ty y3= 0, com t > 02.3.2 Equao de RicattiDenio 2.5A equao de Ricatti (ER) uma equao diferencial da formadydx= q1(x) + q2(x)y + q3(x)y2(2.13)onde q1(x), q2(x) e q3(x) so funes denidas em um intervalo I.Mtodo de ResoluoSuponha que y1(x) uma soluo da equao (ER). Considere,y= y1 +1v(x), v(x) = 0x.Temos ento quedydx=dy1dx v

(x)[v(x)]2Substituindodydx e y em (ER) encontramos,11dy1dx v

(x)[v(x)]2=dy1dx 1[v(x)]2v

(x) =dy1dx 1[v(x)]2dvdx=dy1dx 1[v(x)]2dvdx= q1(x) + q2(x)_y1 +1v(x)_+ q3(x)_y1 +1v(x)_2=dy1dx 1[v(x)]2dvdx= q1(x) + q2(x)y1 +q2(x)v(x)+ q3(x)y21 +2q3(x)y1v(x)+q3(x)[v(x)]2=dy1dx 1[v(x)]2dvdx= q1(x) + q2(x)y1 + q3(x)y21 +q2(x)v(x)+2q3(x)y1v(x)+q3(x)[v(x)]2=Sendo y1 soluo de (ER), segue que1[v(x)]2dvdx=q2(x)v(x)+2q3(x)y1v(x)+q3(x)[v(x)]2=dvdx= q2(x)v(x) + 2q3(x)y1v(x) + q3(x) =dvdx+ [q2(x) + 2q3(x)y1]v(x) + q3(x) = 0 (2.14)Logo, obtemos em (2.14) uma (EDL) de 1aordem em v.Portanto, a soluo de uma (ER) dada pela relaoy= y1 +1v(x)Exemplo 9Determine a soluo das seguintes equaes de Ricatti(a) y

= 1 + x22xy + y2, onde y1(x) = x(b)dydx [2cos2(x) sen2(x) + y2]2cos(x)= 0, onde y1(x) = sen(x)Soluo:a) Neste caso temos,q1(x) = 1 + x2, q2(x) = 2x, e q3(x) = 1.Da,dydx= (2x + 2 1 x)v(x) 1 =dydx= 1 =dv= dx =v= x + c.Logo,y= x +1c x12b) Temos que,dydx [2cos2(x) sen2(x) + y2]2cos(x)= 0 =dydx=[2cos2(x) sen2(x) + y2]2cos(x)=dydx=_cos(x) sen2(x)2cos(x)_+y22cos(x)Assim,q1(x) = cos(x) sen2(x)2cos(x), q2(x) = 0, e q3(x) =12cos(x)Da,dvdx= _0 + 2 12cos(x) sen(x)_v(x) 12cos(x)=dvdx+_sen(x)cos(x)_v(x) =12cos(x)Deste modo, obtemos uma (EDL) de 1aordem em v, a qual tem soluo,v(x) = sen(x)2+ ccos(x)Logoy= sen(x) +___1sen(x)2+ c cos(x)___Exerccio 3: Determine a soluo da seguinte equao de Ricatti,dydx= e2x+ (1 + 2ex)y + y2, onde y1(x) = ex2.3.3 Equaes ExatasAntes de tratamos a denio de Equaes Exatas vamos trabalhar com um pequenoexemplo, do que ser importante neste tpico.Observao 2.6Seja w = f(u, v) onde u = g(x) = x e v= h(x) = y com u = (x). Note quew = f(u, v) = f(x, y) = f(x, (x))Assim,dwdx=wu ux+wv vx=wu dudx+wv dvdx=dwdx=wu+wv y

13Exemplo 10Vamos resolver a equao abaixo2x + y2+ 2xyy

= 0, ()Soluo: Note que temos(2x + y2)dx + (2xy)dy= 0, ()Alm disso a funo, w = f(x, y) = x2+ xy2verica,wx= 2x + y2ewy= 2xyLogo a equao (*) pode ser escirta como,wu+wv y

= 0 =dwdx= 0 =w = cou seja,x2+ xy2= cDenio 2.7Uma equao diferencivel da formaM(x, y)dx + N(x, y)dy= 0 denominada exata se existe uma funo f= f(x, y) tal quef(x, y)x= M(x, y) ef(x, y)y= N(x, y)Neste caso a soluo dada implicitamente pela funo f(x, y) = cTeorema (Importante): SeasfunesM(x, y), N(x, y), My(x, y)eNx(x, y), foremcon-tnuas em um retngulo R, ento a equao,M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0 exata se, e somente se,My=NxExemplo 11Resolva a equaoeydx + (xey+ 2y)dy= 014Soluo: Temos uma equao da formaM(x, y)dx + N(x, y)dy= 0onde M(x, y) = eye N(x, y) = (xey+ 2y).Alm disso,My= ey=NxLogo a equao eydx +(xey+2y)dy= 0 exata. Deste modo existe uma funo f(x, y) talque,fx= eyefy= (xey+ 2y)Encontrando a funo f(x, y).Temos que,fx= ey=f(x, y) =_eydx=xey+h(y) +D, com D constantePara obter a soluo implcita na forma f(x, y) = C, obtemos,fy= xey+ h

(y)que comparandoxey+ h

(y) = xey+ 2y=h

(y) = 2y=h(y) = y2Portanto, concluimos quexey+ y2= f(x, y) =xey+ y2= CPassos para resolver os problemas Verique se a equao exata Derive com relao a x Integrar com respeito a y Calcular o h

(x) (comparando) Depois substituir h(x) em f(x, y)Exemplo 12(yexycos2x 2exysen2x + 2x)dx + (xexycos2x 3)dy= 0Temos que,15M(x, y) = yexycos2x 2exysen2x + 2x ==My(x, y) = exycos2x + xyexycos2x 2xexysen2x + 2x.N(x, y) = xexycos2x 3 =Nx (x, y) = exycos2x + xyexycos2x 2xexysen2x.ComoMy=Nx , ento a equao exata. Logo existe f(x, y) tal que,(a)fx= yexycos2x 2exysen2x + 2x;(b)fy= xexycos2x 3.Vamos ento calcular f(x, y). Por (b) temos quef(x, y) =_(xexycos2x 3) dy= xcos2x_1x_exy3y + g(x) = exycos2x 3y + g(x)Derivando com relao a x,fx= yexycos2x 2exysen2x + g

(x)Comparando com relao afx, obtemos queg

(x) = 2x =_g

(x) dx =_2x dx =g(x) = x2.Portanto,f(x, y) = exycos2x 3y + x2=exycos2x 3y + x2= cExemplo 13Equao que no exataydx + (x2y x)dy= 0Neste caso faremos a vericao ou teste.M(x, y) = y=My(x, y) = 1.N(x, y) = (x2y x) =Nx (x, y) = 2xy 1.Assim,My(x, y) =Nx (x, y), ou seja, a equao no exata.Faamos ento o seguinte, multipliquemos a equaoydx + (x2y x)dy=0 pelofator1x2. Da, temosydx + (x2y x)dy= 0 =yx2dx + (y 1x)dy= 0Agora,16M(x, y) =yx2=My(x, y) =1x2.N(x, y) = y 1x=Nx (x, y) =1x2.Assim,My(x, y) =Nx (x, y).Portanto, nosso objetivo agora , dada uma equao no exata,M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0determinar o fator, denotado por (x, y), que multiplicado em ambos os lados da equaoacima,(x, y)[M(x, y)dx + N(x, y)dy] = (x, y) 0 =(x, y)M(x, y)dx + (x, y)N(x, y)dy= 0,obtenhamos em uma equao exata.2.3.4 Fator IntegranteSe a equaoM(x, y)dx + N(x, y)dy= 0comdxdx= 1 edydx= y

, ou seja,M(x, y) + N(x, y)y

= 0no exata, encontraremos uma funo (x, y) tal que a equao(x, y)[M(x, y) + N(x, y)y

] = 0se torne exata.A funo (x, y) chamada de fator integrante.Exerccio: Mostre que se y= (x) soluo de M(x, y) +N(x, y)y

= 0, ento ele tambm soluo de (x, y)[M(x, y) + N(x, y)y

] = 0.Determinando o fator integrante (x, y)Seja,(x, y)M(x, y)dx + (x, y)N(x, y)dy= 0,a qual, para ser exata necessrio,(M)y=(N)x,17ou seja,(M)y= (N)x,Observao 2.8A equao (M)y= (N)x, uma equao diferencial parcial.Assim temos,yM+ My= xN+ NxSuponha agora que (x, y) = (x), ou seja, que dependa somente de x. Ento,My=ddxN+ Nx, (y= 0) =ddx=(MyNx)NSegue que,d=_MyNxN_dx =ln =_ _MyNxN_dxPortanto,(x) = e_ _MyNxN_dx(2.15)Observao 2.9 (a) Se considerarmos (x, y) = (y), obtemos ento,(y) = e_ _NxMyM_dy(2.16)(b) Se a equao exata, ento temos e0= 1, como sendo o fator integrante.Exemplo 14Determine a soluo das equaes abaixo:a) ydx + (x2y x)dy= 0 b) (3x2y + 2xy + y3)dx + (x2+ y2)dy= 0Soluo:a) Sendo a equao ydx + (x2y x)dy= 0, observe que,M(x, y) = y =My= 1N(x, y) = (x2y x) =Nx= 2xy 1Logo a equao no exata. Deste modo vamos calcular o fator integrante . Assim,_MyNxN_ =_1 (2xy 1)x2y x_ =_2 2xyx2y x_ =_2(xy 1)x(xy 1)_.Ento,(x) = e_2xdx= e2 ln x=(x) =1x218Da, o fator integrante (x) =1x2.Vamos agora determinar a soluo. Sabendo agora que a equao,yx2dx +(x2y x)x2dy= 0 =yx2dx +_y 1x_dy= 0 exata. Deste modo, observe que,M(x, y) =yx2=My=1x2N(x, y) =_y 1x_ =Nx=1x2Assim, existe uma funo f(x, y) tal que,fx(x, y) =yx2e = fy(x, y) =_y 1x_Ento,f(x, y) =_ _yx2_dx =yx+ h(y).Logo, derivando f(x, y) com relao a y, e comparando a expresso com h dada, temos,y 1x= fy(x, y) = 1x+ h

(y) =h

(y) = y=h(y) =y22 .Portanto,f(x, y) =y22 yx=y22 yx= Cb) Sendo a equao (3x2y + 2xy + y3)dx + (x2+ y2)dy= 0, observe que,M(x, y) = 3x2y + 2xy + y3=My= 3x2+ 2x + 3y2N(x, y) = x2+ y2=Nx= 2xLogo a equao no exata. Deste modo vamos calcular o fator integrante . Assim,_MyNxN_ =_3x2+ 2x + 3y22xx2+ y2_ =_3x2+ 3y2x2+ y2_ =_3(x2+ y2)x2+ y2_ = 3.Ento,(x) = e_3 dx= e3xDa, o fator integrante (x) = e3x.19Vamos agora determinar a soluo. Sabendo agora que a equao,e3x(3x2y + 2xy + y3)dx + e3x(x2+ y2)dy= 0 exata. Deste modo, observe que,M(x, y) = e3x(3x2y + 2xy + y3) =My= e3x(3x2+ 2x + 3y2)N(x, y) = e3x(x2+ y2) =Nx= 3e3x(x2+ y2) + 2xe3xAssim, existe uma funo f(x, y) tal que,fx(x, y) = e3x(3x2y + 2xy + y3) e = fy(x, y) = e3x(x2+ y2)Ento,f(x, y) =_e3x(x2+ y2) dy=f(x, y) = e3x_x2y +y33_+ g(x).Logo, derivando f(x, y) com relao a x, e comparando a expresso com h dada, temos,e3x(3x2y+2xy+y3) = fx(x, y) = 3x2ye3x+y3e3x+2xye3x+g

(x) =g

(x) = 0 =g(x) = D.Portanto,f(x, y) = e3x_x2y +y33_ =e3x_x2y +y33_ = C2.3.5 Equao SeparavlDenio 2.10Uma equao diferencivel separvel se pode ser escrita na formadydx=f(x)g(y)ou g(y)dy= f(x)dx (2.17)Exemplo 15Determine a soluo da seguinte equao,___dydx=(1 + 2y2)cosxyy(0) = 1Soluo:Observe que,dydx=(1 + 2y2)cosxy=_y1 + 2y2_dy= cosxdx =_ _y1 + 2y2_ =_cosxdx =_14_ln |1 + 2y2| = senx + C20Da condio inicial obtemos_14_ln |1 + 2[y(0)]2| = sen(0) + C=_14_ln |1| = 0 + C=C= 0.Portanto,ln |1 + 2y2| = 4senx =y= _e4senx122.3.6 Equao Redutvel forma SeparvelEquao HomogneaDenio 2.11(Funo Homognea) Uma funo f(x, y) homognea de grau n sef(tx, ty) = tnf(x, y), com t RExemplo 16f(x, y) = x2+ xyObserve que,f(tx, ty) = (tx)2+ (txty) = t2x2+ t2xy= t2(x2+ xy) = t2f(x, y)Logo f(x, y) homognea de grau 2.Exemplo 17f(x, y) = sen_yx_Observe que,f(tx, ty) = sen_tytx_ = sen_yx_Logo f(x, y) homognea de grau 0.(Equao Homognea 1)Denio 2.12A equao diferencivelM(x, y)dx + N(x, y)dy= 0 (2.18) homognea se as funes M e N so homogneas de mesmo grau n.A equao (2.18) pode ser escrita da forma,dydx= f(x, y), com f(x, y) = M(x, y)N(x, y)(2.19)21Observe que f(x, y) homognea de grau zero. De fato,f(tx, ty) = M(tx, ty)N(tx, ty)= tnM(x, y)tnN(x, y)= M(x, y)N(x, y)= f(x, y)Importante: Se f(x, y) homognea de grau zero, f(x, y) = f(tx, ty), comt R.Para t =1x, temos, f(x, y) = f_1, yx_ = F_yx_(Equao Homognea 2)Denio 2.13A equao diferenciveldydx= f(x, y) (2.20) homognea se a funo depende unicamente da razoyx_ouxy_.Mtodo de ResoluoSe a equao (2.20) homognea ento,dydx= F_ouyx_()Seja v=yx ento y= vx. Da,dydx= xdvdx+ vDe (), obtemosxdvdx+ v= F(v) dvdx=F(v) vxdxx=dvF(v) vObservao 2.14Resolvidaa equaoseparvel, a soluoda equaohomognea dadaporv=yxExemplo 18a) Resolva a equaoy

=x + yxSoluo: Observe que,y

=x + yx= 1 +yx.Sendo v=yx=y= vx, ento,y

= xdvdx+ v.22Deste modo temos que,y

=x + yx=xdvdx+ v= 1 + v=dvdx=1x dxx= dvLogo,v= ln|x| + C,Portanto,y= xln|x| + Cx.b) Resolva a equaodydx=y2+ 2xyx2Soluo: Sendo v=yx=y= vx, temos que,y2+ 2xyx2=x2v2+ 2x(xv)x2=x2(v2+ 2v)x2= v2+ 2v= F(v)Da,dydx=y2+ 2xyx2=xdvdx+ v= v2+ 2v=dvdx=v2+ vx=dvv2+ v=dxx.Deste modo obtemos,_dxx=_dvv2+ v=_dxx=_dvvdvv + 1=ln |x| + C= ln |v| ln |v + 1| =.=ln |vv + 1| = ln |x| + C=lnvv + 1 = ln |x| + ln |k| ==lnvv + 1 = ln |kx| =vv + 1= kx =kx(v + 1) = v.Logo,v= kx(v + 1) =yx= kx_yx+ 1_ =y= kyx + kx2Portanto,y=kx21 kxc) Resolva a equaoy

=y + xsen_yx_x23Soluo: Observe que,y

=y + xsen_yx_x=y

=yx+ sen_yx_Sendo v=yx=y= vx, temos que,y

=yx+ sen_yx_ =y

= v + sen(v)Da,xdvdx+ v= v + sen(v) =dvdx=sen(v)x=dvsen(v)=dxx.Deste modo obtemos,_dxx=_dvsen(v)=ln |x| + C=_cossecv dv=ln |x| + C= ln |cossecv cotgv| =.=ln |kx| = ln |cossecv cotgv| =lnkxcossecv cotgv = 0 =kxcossecv cotgv = 1Logo,kx = cossecv cotgv=kx = cossec_yx_cotg_yx_2.4 Teorema de Existncia e Unicidade e o Mtodo das Iter-aes Sucessivas de PicardAt aqui buscamos determinar mtodos de resoluo de equaes diferenciais deprimeira ordem. Agora estamos interessados emsaber se dado o problema de valor inicial___dydx= f(x, y),y(x0) = y0,(2.21)este problema possui soluo e se esta soluo nica, caso exista. Isto porque o problemade valor inicial (2.21), s vezes, pode no ter soluo e, em alguns casos, possui mais deuma soluo. De fato, vejamos os exemplos abaixo.Exemplo 19Mostre que o problema de valor inicial___dydx= y13,y(0) = 0, t 0,(2.22)possui innitas solues.24Prova. Notemos que a equao diferencial acima separavl. Portanto, separando asvariveis e integrando, obtemosy(t) =_23(t + c)_3/2, t 0.Usando a condio inicial y(0) = 0, segue que c = 0. Logo,y(t) =_23t_3/2, t 0.Por outro lado, a funoy2(t) = _23t_3/2, t 0.tambmsoluodoproblema(2.22). Almdisso, umaoutrafunoquetambmsoluo de (2.22) a funoy3(t) = 0, t 0.Em geral, para qualquer t0> 0, a famlia de funesy= (t) =___0, se 0 t t0,_23t(t t0)_3/2, se t t0,so contnuas, diferenciveis (em particular, em t = t0) e solues do problema (2.22).Exemplo 20Mostre que o problema de valor inicial___dydx=y,y(0) = 0.(2.23)possui mais de uma soluo.Prova. fcil ver que as funesy1(x) =x24, para x 0, e y2(x) = 0.so solues do problema de valor inicial (2.23).Para que o problema (2.21) tenha nica soluo ser necessrio colocarmos algumas hipte-ses sobre a funo f. Vamos analisar os casos emque a equao diferencial dada em(2.21)seja linear e o caso em que no-linear.252.4.1 O Teorema de Existncia e Unicidade: Caso LinearVejamos inicialmente o caso em que a equao diferencial dada em (2.21) linear.Teorema 2.4.1Se as funes p e g so contnuas num intervalo aberto I, < t < contendo oponto t = t0, ento existe uma nica y= (t) soluo do problema de valor inicial_y

+ p(t)y= g(t),y(t0) = y0,(2.24)para cada t I, onde y0 um valor inicial arbitrrio prescrito.Prova.Existncia:Multiplicando a equao diferencial por um fator integrante (t), obtemos(t)y

+ p(t)(t)y= (t)g(t). (2.25)A expresso esquerda de (2.25) a derivada do produto (t)y, desde que (t) veriqueddt(t) = (t)p(t). (2.26)Logo, se existe (t) satisfazendo (2.26), ento segue de (2.25) queddt_(t)y(t)_ = (t)g(t),ou seja(t)y(t) =_t(s)g(s)ds + C, (2.27)onde C uma constante arbitrria.Podemosdeterminarofatorintegrante(t)apartirdaequao(2.26). Defato,suponhamos inicialmente que(t) >0. Ento de (2.26) segue que(t) =eR tp(s)ds+C.Podemos escolher C= 0 de tal modo que(t) = eR tp(s)ds. (2.28)Notemos que (t) realmente positivo.A Eq. (2.28) determina(t) a menos de um fator multiplicativo que depende dolimite de integrao. Se escolhermos esse limite inferior como sendo t0, ento(t) = eR tt0p(s)ds. (2.29)Note que (t0) = 1. Neste caso, a soluo dada pory(t) =1(t)__tt0(s)g(s)ds + C_. (2.30)26Por outro lado, usando a condio inicial y(t0) = y0, tem-se C= y0, pois (t0) = 1. Entoa soluo torna-sey(t) =1(t)__tt0(s)g(s)ds + y0_, (2.31)onde (t) dado em (2.29).Sendo p contnua em < t < , ento est denida neste intervalo e uma funodiferencivel e no-nula. Como e g so contnuas, a funo g integrvel e a Eq. (2.27)segue da Eq. (2.26). Alm disso, a integral deg diferencivel, de modo quey dadopela (2.27) existe e diferencivel no intervalo 0, ento interessa apenas o intervalo ]0, +). Logo o problema (2.36)ten soluo nica no intervalo 0 < t < +.Para determinar a soluo de (2.36), notemos primeiro que o fator integrante (t) = eR t2/sds= e2ln(t)= t2.Portanto, a soluo de (2.36) y(t) =1t2__t4s3ds + C_ =1t2_t4+ C_ = t2+Ct2.Usando a condio inicial y(1) = 2, segue que C= 1. Logoy(t) = t2+1t2, t > 0.Exemplo 22Determine o intervalo no qual o problema de valor inicial___y

+2ty= 4t,y(1) = 2,(2.33)tenha soluo nica e determine esta soluo.27Prova. Neste caso, o problema ter soluo no intervalo t 0 xo e seu tamanho. Se y= (t) a quantidade presenteem cada instante de tempo t, entoddy= k(A y), (2.47)onde k > 0 a constante de proporcionalidade e y< A, para todo t 0. A Equao (2.47) separvel e tem soluoy(t) = A Bekt, (2.48)onde A, B e k so constantes positivas.Observao: Notemos que limt+y(t) =A, isto , y =A assntota horizontal para ogrcodey =(t). Ogrcodafunoy(t) =A Bektdenominadocurvadeaprendizagem. Onomeapropriadoquandoy(t)representaacompetnciasegundoa qual uma pessoa realiza uma tarefa. Ao iniciar uma atividade, a competncia de umindivduo aumenta rapidamente e depois mais vagarosamente, j que uma experinciaadicional tem pouco efeito na habilidade de realizar a tarefa.Exemplo 31Um operrio recm-contratado realiza uma tarefa com mais ecincia a cada dia quepassa. Se y unidades forem produzidas por dia, aps t dias no trabalho, entodydt= k(80 y),ondek>0 ey0 quandoy for pequeno,h(y) decresa quandoy crescereh(y)0, isto , quando f

e ftem o mesmosinal. Analogamente, o grco de y cncavo quando y

0 e 0 < T< K. Estudando a equao do problema (2.56) sobre a condio inicialY (0) =y0, obtemos que sey comea abaixo do limiarT, entoy decresce at chegar extino. Por outro lado, se y comea acima do limiar T, ento y acaba se aproximandoda capacidade de sustentao K.Um modelo desse tipo geral descreve, aparentemente, a populao de pombos sel-vagens que existia nos Estados Unidos em nmeros imensos at o nal do sculo XIX. Foimuito caado para comida e por esporte e, em consequncia, seus nmeros estavam dras-ticamente reduzidos na dcada de 1880. Infelismente, esses pombos selvagens s podiamse reproduzir com sucesso quando presentes em grandes concentraes, correspondendoa um limiar relativamente grandeT. Embora ainda existisse um nmero relativamentegrande de pssaros individuais ao nal da dcada de 1880, no havia um nmero su-ciente concentrado em nenhum lugar que permitisse reproduo com suceso e a popu-lao diminuiu rapidamente at a extino. O ltimo sobrevivente morreu em 1914. Odeclnio desenfreado na populao de pombos selvagens de nmeros imensos at a ex-tino em pouco mais de trs dcadas foi um dos primeiros fatores na preocupao sobreconservao naquele pas.462.5.11 Exerccios1. Encontre as famlias de curvas ortogonais s seguintes famlias de curvas:a) y= x + C b) y2+ (x C)2= 1 c)y22+x22= C2.2. Suponha que uma xcara de ch est a uma temperatura inicial de90Ce um min-uto depois a temperatura baixou para70Cnum quarto onde a temperatura de30C.Determine: a) a funo que representa a temperatura em cada instante de tempo; b) atemperatura da xcara aps 5 minutos.3. Umldesalmo, inicialmentea50oFcozidonumfornocomumatemperaturaconstante de400F. Aps 10 minutos a temperatura do l medida em150F. Con-siderando que o peixe no e macio, suponhamos numa primeira aproximao que suatemperatura uniforme. Quanto tempo levar at que o salmo seja considerado mal pas-sado, digamos, a 200F?Resposta: (t) = 400350e110ln(5/7)te t0= 10 ln(4/7)ln(5/7) 16, 5minutos.4. Em um circuito RC uma bateria gera uma diferena de potencial de 10 volts enquantoque a resistncia de 200 ohms e a capacitncia de 104farads. Encontre a carga Q(t)no capacitor em cada instante t, se Q(0)=0. Encontre tambm a corrente I(t) em cadainstante t. Resposta: Q(t) = 103(1 e50t) Coulombs e I(t) = 5.102e50tAmperes.5. Foram encontrados restos mortais numa certa regio. Vericou-se no laboratrio quea porcentagem relativa de istopos de carbono 14 encontrados eram de 0,12% da quan-tidade original. Calcule o tempo de antiguidade destes restos mortais. Resposta:t0=54.233, 87 anos.6. Foram encontrados restos mortais numa certa regio. Vericou-se no laboratrio que aporcentagemrelativa de istopos de carbono 14 encontrados eramde 0,1%da quantidadeinicial. Calcule o tempo de antiguidade destes restos mortais. Resposta: t0=55.707, 70anos.7. Numa certa cultura de bactrias, a taxa de crescimento das bactrias proporcional populao presente em cada instante. Se existirem 1000 bactrias inicialmente e a quan-tidade dobra em 12 minutos, quanto tempo levar at que haja 1.000.000 de bactrias?Resposta: t0= 119, 6 minutos (y(t) = 1000e0,0577583t).8. A taxa de crescimento da populao de uma cidade proporcional ao nmero de habi-tantesemcadainstante. Seapopulaoem1950erade50.000habitanteseem1980era 75.000, qual a populao esperada em 2010? Resposta:112.500 habitantes (y(t)=50.000eln 3/230t).9. Ataxadedecaimentodordioproporcionalaquantidadeexistenteemcadain-stante. Se houver 60 mg de rdio agora, determine a quantidade de rdio daqui a 100anos, sabendo que a meia vida do rdio de 1650 anos? Resposta: 57, 6 mg de rdio(y(t) = 60e0,0004101t).4710. A taxa de crescimento de certa cidade proporcional populao existente. Se apopulao aumenta de 40.000 para 60.000 em40 anos, quando a populao ser de 80.000?Resposta: 68, 4 anos depois (y(t) = 40.000eln 3/240t).11. Produtosqumicos emum aude. Considereumaudecontendoinicialmente10milhesdegales(cercade45milhesdelitros)deguafresca. Oauderecebeumuxoindesejveldeprodutosqumicosaumataxade5milhesdegalesporanoea mistura sai do aude a uma mesma taxa. A concentrao(t) de produtos qumicosna gua que est entrando varia periodicamente com o tempo de acordo com a frmula(t)=2 + sen(2t)g/gal. Construa um modelo matemtico desse processo de uxo e de-termine a quantidade de produtos qumicos no aude em qualquer instante.12. Misturas. Num instante t=0 um tanque contm Q0 lb de sal dissolvidos em 100gal(cerca de 455l). Suponha que gua contendo 1/4lb (cerca de 113g) de sal por galo estentrando no tanque a uma taxa de r gales por minuto e que o lquido, bem misturado,est saindo do tanque mesma taxa. Escreva o problema de valor inicial que descreve ouxo. Encontre a quantidade de sal Q(t) no tanque em qualquer instante t e ache, tam-bm, a quantidade limite QL presente aps um perodo muito longo de tempo. Se r = 3 eQ0= 2QL, encontre o instante Taps o qual o nvel de sal est dentro de uma faixa a 2%de QL. Encontre, tambm, a taxa de uxo necessria para que o valor de Tno exceda 45minutos.12. Ratos do Campo e Corujas. Considere uma populao de ratos do campo quehabitam uma certa rea rural. Vamos supor que, na ausncia de predadores, a populaoderatoscresceaumataxaproporcionalpopulaoatual. Essahiptesenoumalei fsica muito bem estabelecida , mas uma hiptese inicial usual em um estudo decrescimento populacional.Se denotarmos o tempo por t e a populao de ratos por p(t),ento a hiptese sobre o crescimento populacional pode ser expressa pela equaodpdt= rp, (2.57)onde o fator de proporcionalidade r chamado de taxa constante ou taxa de crescimento.Agora vamos aumentar o problema supondo que diversas corujas moram na mesma viz-inhana e que elas matam os ratos. Assim, o modelo que descreve essa nova situao dado pela equaodpdt= rp k, (2.58)onde k a taxa predatria. As taxas de crescimento r e predatria k devem ser dadas naequao para um mesmo tempo t. Para este problema, pede-se determinar a soluo dasequaes (2.57) e (2.58) e vericar a diferena entre cada situao determinando o com-portamento de cada soluo. Supondo que o tempo seja medido em meses, que a taxa rtenha o valor de 0, 5 por ms e que as corujas matam 15 ratos do campo por dia, deter-mine como deve ser a Equao (2.58) e sua soluo geral. Determine o instante em que a48populao extinta se a populao inicial de 850 ratos. E qual seria a populao inicialse a populao extinta em um ano?Captulo 3Equaes Diferenciais de SegundaOrdem3.1 Equaes Diferenciais Lineares de Segunda OrdemDenio 3.1A forma geral de uma Equao Diferencial de Segunda Ordem F(x, y, y

, y

) = 0 (3.1)Denio 3.2A forma geral de uma Equao Diferencial Ordinria Linear de Segunda Ordem y

+ p(x)y

+ q(x)y= g(x) (3.2)onde p, q e g, so funes contnuas em um intervalo aberto I.Denio 3.3Uma equao diferencialF(x, y, y

, y

) = 0,juntamente com a condio inicial y(x0) = y0 e y

(x0) = y0, constituem um Problema de ValorInicial (PVI), a qual geralmente denotada por___y

= f(x, y, y

),y(x0) = y0,y

(x0) = y0.(3.3)50Teorema 3.4(Existncia e Unicidade)Seja o seguinte PVI,___y

= f(x, y, y

),y(x0) = y0,y

(x0) = y0.(3.4)com x0I. Ento existe uma unica soluo y= (x) do PVI para todo x IExemplo 32Encontre a nica soluo do do problema,___y

+ p(x)y

+ q(x)y= g(x),y(x0) = 0, comx0 Iy

(x0) = 0.Soluo: A nica soluo do PVI y(x) = 0Teorema 3.5(Princpio da Superposio)Se y1 e y2 so solues da equao homognea,y

+ p(x)y

+ q(x)y= 0 (3.5)ento,y= C1y1 + C2y2onde C1 e C2 so constantes arbitrrias, tambm soluo de (3.5)Prova. Sendo y1 e y2 solues de (3.5) ento,y

1+ p(x)y

1 + q(x)y1= 0 e y

2+ p(x)y

2 + q(x)y2= 0Logo, sendo y= C1y1 + C2y2, e aplicando em (3.5), obtemos,(C1y1 + C2y2)

+ p(x)(C1y1 + C2y2)

+ q(x)(C1y1 + C2y2) = 0 ==(C1y

1+ C2y

2) + p(x)(C1y

1 + C2y

2) + q(x)(C1y1 + C2y2) = 0 ==(C1y

1+ p(x)C1y

1 + q(x)C1y1) + (C2y

2+ p(x)C2y

2 + q(x)C2y2) = 0 ==C1(y

1+ p(x)y

1 + q(x)y1) + C2(y

2+ p(x)y

2 + q(x)y2) = 0 =C1 0 + C2 0 = 0.Portanto, y= C1y1 + C2y2 soluo de (3.5).Pergunta:Podemos escolher constantes C1 e C2, tal que a soluo y= C1y1 + C2y2 satisfaa ascondies iniciais de (3.3)51Resposta:Suponha que sim. Logo,y(x0) = y0e y

(x0) = y0,isto ,C1y1(x0) + C2y2(x0) = y0e C1y

1(x0) + C2y

2(x0) = y0.Assim, temos que,_C1y1 + C2y2= y0C1y

1 + C2y

2= y0=_C1y1y

2 + C2y2y

2= y0y

2C1y

1y2C2y

2y2= y0y2=C1(y1y

2y

1y2) = y0y

2 y0y2Da,C1=y0y

2 y0y2y1y

2y

1y2.De forma analoga obtemos,C2= y0y1y

1y0y1y

2y

1y2.Em forma de determinante,C1=y0y2 y0y

2y1y2y

1y

2e C2= y0y

1y0y1y1y2y

1y

2Concluso:Podemos escolher as constantes C1 e C2 desde que,w[y1, y2] =y1y2y

1y

2= 0Denio 3.6O determinante da matriz,w[y1, y2] =y1y2y

1y

2 chamado de Determinante Wronskiano das solues y1 e y2.Teorema 3.7(Conjunto Fundamental de Solues)Se y1 e y2 so solues de (3.5)y

+ p(x)y

+ q(x)y= 0e se existe x0 I tal que w[y1, y2] = 0, entoy= C1y1 + C2y2 a soluo de (3.5)52Prova. Seja (x) uma soluo qualquer de (3.5) tal que_(x0) = y0

(x0) = y0Considere o seguinte (PVI)___y

+ p(x)y

+ q(x)y= 0(x0) = y0()

(x0) = y0Note que soluo de (). Por outro lado,w[y1, y2] = 0Logo vai existir uma constante C1 e C2 tal que y= C1y1 + C2y2 soluo de ().O teorema de Existencia e Unicidade garante que = y, ou seja, = C1y1 +C2y23.2 Equaes de Segunda OrdemcomCoeciente ConstantesConsidere a equaoay

+ by

+ cy= 0 (3.6)com a, b e c constantes.Exemplo 33Considere a seguinte equao diferencialy

y= 0.Observe que y1(x) = exe y2(x) = exso solues da equao diferencial. Alm disso,w[y1, y2] =exexexex = 1 1 = 0Logo a soluo da equao diferencial sery= C1ex+ C2exVamos procurar solues para (3.6) da forma y= erx. Deste modo, temos que,y

= rerxe y

= r2erxSubstituindo y, y

e y

em (3.6) obtemos,ar2erx+ brerx+ cerx= 053Da,(ar2+ br + c)erx= 0que verdade desde que,ar2+ br + c = 0 (3.7)A equao (3.7) chamada de Equao Caracterstica Associada a (3.6).ConclusoAfuno y= erx soluo da (3.6) se, e somente se, r raiz da equao caracterstica.Caso 1: raizes reais e distintas (>0, r1 = r2).Caso 2: raizes complexas conjugadas ( 0 r1= 1 r2=12Logo, a soluo geral da equao ,y= C1ex+ C2ex2Das condies iniciais obtemos,___C1 + C2= 2C1 +C22=1264onde C1= 1 e C2= 3.Portanto a soluo geral do PVI y= ex+ 3ex2Vamos agora determinar, se existir, um valor de mximo para a soluo.Um ponto x0 um ponto de mximo quando,y

(x0) = 0 e y

(x0) < 0.Ento derivando a soluo da equao temos,y= ex+ 3ex2=y

= ex+32ex2=ex+32ex2= 0 =ex2ex232ex2= 0 ==ex2_ex232_ = 0 =ex232= 0 =ex2=32devemos ento ter,ex2=32=x2= ln_32_ =x = ln_94_Derivando y

, obtemos,y

= ex+34ex2=y

_ln_94__ = eln(94)+34e12ln(94)= 94+34 32= 98< 0Logo, x = ln_94_ um ponto de mximo.Por ltimo, vamos determinar o ponto onde a soluo nula. Assim, vamos deter-minar o valor de x onde y(x) = 0. Logo,y= ex+ 3ex2=ex3ex2= 0 =ex2ex23ex2= 0 =ex2_ex23_ = 0 =ex23 = 0.Logo, ex2= 3. Portanto, x = ln 9.Reduo de OrdemExemplo 42Determine a soluo da equao,(x 1)y

xy

+ y= 0, onde, x > 1 e y1(x) = exSoluo:Observe que,(x 1)y

xy

+ y= 0 =y

xx 1y

+1x 1y= 065Sabendo que y1(x) = ex, vamos determinar y2(x), o qual da forma,y2(x) = v(x) y1(x), mboxcom v(x) = 0onde,v(x) =_u(x) dx u(x) =eRp(x)dxy21Assim queremos y2 da forma y2= v(x)ex. Ento, vamos determinar v. Da, temos que,u(x) =eRp(x)dxy21=e_xx 1dxe2x=e_ _1 1x 1dx_e2x=ex+ln (x1)e2x=ex(x 1)e2x==u(x) = ex(x 1)Deste modo,v(x) =_u(x) dx =_ex(x 1) dx =v(x) = xexLogo,y2= v(x)ex= (xex)ex=y2= xPortanto, a soluo geral ,y= C1exC2xMtodo da Variao de ParmetrosExemplo 43Determine a soluo da equaoy

+ 9y= 3sec23t, t _0,8_Soluo:Observe que temos a seguinte equao homognea associaday

+ 9y= 0Da a equao caracterstica associada a ela ,r2+ 9 = 0da qual obtemos, = 36 < 0 e r = 3iLogo a soluo desta yH= C1cos3t + C2sen3t66Vamos agora determinar a soluo particular yp= u1y1 + u2y2. Assim sendo,y1= cos3t e y2= sen3te o Wronskiano dado por,w[y1, y2] =cos3t sen3t3sen3t 3cos3t= 3Ento,u1= _y2g(x)w[y1, y2]dx = _3sen3t sec23t3dx = sec3tu2=_y1g(x)w[y1, y2]dx =_3cos3t sec23t3dx = ln |sec3t + tg3t|Logo,yp= sec3tcos3t + ln |sec3t + tg3t|sen3tPortanto, a soluo geral y= yH+ yp=y= C1cos3t + C2sen3t sec3tcos3t + ln |sec3t + tg3t|sen3t3.4 Oscilaes MecnicasNos estudaremos neste captulo o movimento de uma massa pressa a uma mola.Para isso vamos utilizar o Sistema Massa-Mola, o qual podemos ter uma ideia pelo gr-co abaixo.Figura 3.1: Sistema Massa-Mola67Nesse sentido dividiremos, inicialmente, emetapas o nosso estudo do sistema massa-mola. Deste modo,Etapa AMola de comprimento l sem peso.Etapa BCorpo de massa m preso a mola de comprimento l causando um deslocamento L nosentido positivo.Figura 3.2: Repouso Figura 3.3: DeslocadoNesta etapa duas foras atuam no corpo.(i) Fora Gravitacional (Fg)Fg= mg,onde, m a massa do corpo e g a fora gravitacional(ii) Fora da Mola (Fm)Lei de Hooke: A fora exercida por uma mola proporcional ao seu deslocamentoFm= kL,onde, k a constante de elastcidade.Quando o corpo est em equilibrio a fora resultante sobre o corpo nula, ou seja,mg kL = 0Etapa CFora externa aplicada ao corpo de massam, causando um deslocamento dey nosentido positivo.Segunda Lei de NewtonA segunda lei de Newton arma que,68Fora = massa aceleraoSe o deslocamento no instante t dada por y(t), ento da segunda Lei de Newton,obtemos,my

= f(t) (3.9)ondef(t) fora resultante sobre o corpo no instantet. Nesse sentido observe que, asforas so:1) Fg= mg2) Fm= k(L + y)3) F(t) =Fora externa aplicada a massa4) Fora de Amortecimento ou Fora resistiva (Fa)A Fora de Amortecimento ou Fora resistiva proporcional a velocidade do objetoe atua no sentido oposto ao deslocamento. Da temos que,Fa= constante velocidadeou seja,Fa= cy

(t)Reescrevendo (3.9) temos,my

= Fg + Fm + F+ Fa=my

= mg k(L + y) + F(t) cy

(t)=my

= mg kL. .0ky + F(t) cy

(t) =my

+ cy

+ ky= F(t) (3.10)onde as constantes m, c e k so positivas.A equao (3.10) chamada de Equao do Movimento da Massa.Estabelecemos as seguintes condies iniciais,(C.I.)_y(0) = y0, posio inicialy

(0) = y

0, velocidade inicialA equao (3.10) com as condies iniciais constituem um PVI no qual tem umanica soluo.3.4.1 Oscilao Livre No-AmortecidasComo o movimento no amortecido temos que c = 0 e a fora externa F(t) = 0.A equao nesta nesta situao de massa ,my

+ ky= 0 ou y

+kmy= 069cuja caracterstica ,r2+km= 0da,r = _km=r = i_kmLogo a soluo geral ,y(t) = C1 cos__kmt_+ C2 sen__kmt_Considere 20=km. Da temos,y(t) = C1 cos (0t) + C2 sen (0t) (I)ou ainda,y(t) = R cos (0t ) (II)onde, R =_C21+ C22 e = arc tg_C2C1_ObservaoToda soluo da forma (I) pode ser escrita na forma (II) e a reciproca tambm verdadeira. De fato,R cos (0t ) = Rcos0tcos Rsen0tsenonde,Figura3.4: tringuloretanguloa =_C21+ C22= R, b = C2, c = C1 e d = , dacos=C1R=C1= Rcosesen=C2R=C2= RsenPortanto,R cos (0t ) = C1cos0t C2sen0tComentrios:70(a) O movimento de massa peridico e o seu perodo ,t =20= 2_mk_1/2(b) Taumenta quando m aumenta, ou seja, "os corpos com mais massa, oscilam maislentamente".(c) Tdiminui quandokaumenta, ou seja, "Molas rgidas, provocam oscilaes maisrpidas".(d) A amplitude no diminui com o tempo por causa da ausncia de amortecimento.(e) ngulo de faces do movimento.3.4.2 Oscilao Livre AmortecidasEsta situao caracterizada pela ausncia da fora externa (f(t) = 0) e a constantede resistividade c no nula.Neste caso temos,my

+ cy

+ ky= 0Da qual a equao caracterstica ,mr2+ cr + k = 0onde c, m e k so constantes positivas. Deste modo, as raizes so:r = c c24mk2mPortanto existem trs situaes:1oCaso c2> 4mkEnto a equao caracterstica ter duas raizes reais distintasr1 er2 e a soluo dada por,y(t) = C1er1t+ C2er2tObservao:c24mk < c2=c24mk < cConcluso: r1< 0 e r2< 0.Portanto,y(t) 0, quando t 712oCaso c2= 4mkNeste caso,r1= r2= c2me a posio dada pory= (C1 + C2t)e(ct)/2mPortanto,y(t) 0, quando t 3oCaso c2< 4mkNeste caso, temos duas raizes complexas conjugadas. Da,y(t) = e(ct)/2m(C1cost + C2sent)onde,=(4mk c2)1/22mou ainda,y(t) = R e(ct)/2mcos(0t )Exemplo 44Um corpo com massa de 100 g estica em 5 cm uma mola. Se o corpo impulsionadoa partir do equilbrio com uma velocidade para baixo de 10 cm/s e se no houver resitncia do ar,determine a posio em qualquer instantet. Em que instante o corpo retorna pela 1ovez, a suaposio de equilbrio?Soluo:Observe que,m = 100 g; g= 9, 8 m/s2= 980cm/s2; L = 5 cm; k =mgL=100 9805= 19.600g cm/s2c = 0; F(t) = 0; y(0) = 0; y

(0) = 10 cm/sSabendo que a equao de movimento de massa ,my

+ cy

+ ky= F(t) =100y

+ 19.600y= 0.Temos a seguinte equao caracterstica associada,100r2+ 19.600 = 0 =r2+ 196 = 0,da qual obtemos,r = i196 =r = i14.72Deste modo a soluo geral ,y(t) = C1cos(14t) + C2sen(14t)Derivando y(t) obtemos,y

(t) = 14 C1sen(14t) + 14 C2cos(14t)Das condies iniciais, y(0) = 0 e y

(0) = 10 cm/s, obtemos,C1= 0 e C2=57Portanto a soluo ,y(t) =57sen(14t)Logo, o momento em que o corpo volta pela primeira vez dado pela expresso,57sen(14t) = 0 =sen(14t) = 0 =14t = =t =14Exemplo 45Um corpo com massa de 20 g estica em 5 cm uma mola. Suponha que o corpo estejaligado a um amortecedor viscoso, com constante de amortecimento 400 dyn s/cm. Se o corpo forpuxado 2 cm alm de sua posio de equilbrio e depois for solto, ache a sua posio em qualquerinstante t.Soluo:Observe que,m = 20 g; g= 9, 8 m/s2= 980cm/s2; L = 5 cm;k =mgL=20 9805= 3.920g cm/s2; c = 400 dyn s/cm; F(t) = 0y(0) = 2 cm; y

(0) = 0 cm/sSabendo que a equao de movimento de massa ,my

+ cy

+ ky= F(t) =20y

+ 400y

+ 3.920y= 0.Temos a seguinte equao caracterstica associada,20r2+ 400y

+ 3.920y= 0 =r2+ 20r + 196 = 0,da qual obtemos,r = 10 46 i.Deste modo a soluo geral ,y(t) = e10t[C1cos(46 t) + C2sen(46 t)]73Derivando y(t) obtemos,y

(t) = 10 e10t[C1cos(46 t)+C2sen(46 t)]+e10t[46 C1sen(46 t)+46C2cos(46 t)]Das condies iniciais, y(0) = 2 e y

(0) = 0, obtemos,C1= 2 e C2=56Portanto a soluo ,y(t) = e10t_2 cos(46 t) +56sen(46 t)_Captulo 4Equaes Diferenciais de OrdemSuperior4.1 Equaes Diferenciais de Ordem SuperiorDenio 4.1Uma Equao Diferencial Linear de Ordem n uma equao da forma,F(x, y, y

, y

, . . . , y(n)) = 0 (4.1)ou ela pode ser descrita da forma,A0(x)dnydxn+ A1(x)dn1ydxn1+ . . . + An1(x)dydx+ Any= G(x) (4.2)onde Ai(x), i = 1, . . . , n so funes contnuas num intervalo aberto (, ) comum reescrever a equao (4.2). Devemos terA0(x) =0, para todox. Destemodo temos,dnydxn+_A1(x)A0(x)_ dn1ydxn1+ . . . +_An1(x)A0(x)_ dydx+_An(x)A0(x)_y=G(x)A0(x)=dnydxn+ a1(x)dn1ydxn1+ . . . + an1(x)dydx+ an(x)y= g(x),ou simplismente,y(n) + a1(x)y(n 1) + . . . + an1(x)y

+ an(x)y= g(x). (4.3)75A equao (4.3) munido da seguintes condies iniciais,___y(x0) = y0y

(x0) = y

0...y(n1)(x0) = y(n1)0(4.4)constitue um Problema de Valor Inicial.Observao: A teoria para equaes de ordemn analogo a teoria desenvolvidapara EDLs de 2oOrdem.Teorema 4.2(Existncia e Unicidade)O problema de valor inicial formado pela equao (4.3) e as condies (4.4) tem uma nicasoluo no intervalo (, )Observao: Na equao quando a soluo S(x) 0 ento a identidade nula.Uma equao diferencial de ordem n da forma,y(n)+ a1(x)y(n1)+ . . . + an1(x)y

+ an(x)y= 0, (4.5) chamada de equao homognea (EDLOnH). Deste modo se y1, y2, . . ., yn so soluesda (EDLOnH), ento,y= C1y1 + C2y2 + . . . + Cnyn tambm soluo.Determinante WronskianoW[y1, y2, . . . , yn] =y1y2. . . yny

1y

2. . . y

n............y(n1)1y(n1)2. . . y(n1)nTeorema 4.3(Soluo Geral)Se y1, y2, . . ., yn so solues da equao homognea e se W[y1, y2, . . . , yn] = 0, ento todasoluo da equao homognea da forma,y= C1y1 + C2y2 + . . . + Cnyn76Equao Homognea com coecientes constantesSeja a equao homognea,a0y(n)+ a1y(n1)+ . . . + an1y

+ any= 0,onde cada ai, com i = 0, 1, 2, . . . , n um nmero real constante.Suponha que y= erxseja soluo da equao homognea de coecientes constantes.Da, sendo,y= erx, y

= rerx, y

= r2erx, . . . , y(n1)= rn1erxe y(n)= rnerx,temos que,a0y(n)+ a1y(n1)+ . . . + an1y

+ any= 0 ==a0rnerx+ a1rn1erx+ . . . + an1rerx+ anerx= 0 ==erx_a0rn+ a1rn1+ . . . + an1r + an_ = 0.Equao CaractersticaSeja a equao de polinmio caracterstica dada por,a0rn+ a1rn1+ . . . + an1r + anNote que y=erx uma soluo da equao de coecientes constantes desde que rseja raiz do polinmio caracterstico, ou seja,a0rn+ a1rn1+ . . . + an1r + an= 0.Um polinmio de grau n tem raizes da forma r1, r2, . . ., rn1, rn.1oCaso (Raizes reais e distintas)Se o polinmio assim possui n raizes distintas ento a soluo geral pe da forma,y= C1er1x+ C2er2x+ . . . + Cn1ern1x+ Cnernx2oCaso (Raizes complexas conjugadas)Para cada raiz complexa r = p iq (sempre ocorrem em par) obtemos duas soluesreais,y1= epxcos(qx) e y2= epxsen(qx)773oCaso (Raizes repetidas)Se r1= r2= . . . = rn1= rn= r ent a soluo geral dada pory=_C1 + C2x + . . . + Cnxn1_erxExemplo 46Determine a soluo da equao diferencial abaixo.y(4)y= 0Soluo:Sendo a equao diferencial dada por,y(4)y= 0temos o seguinte polinmio caracterstico associado,r41 = 0 =(r21)(r2+ 1) = 0da qual obtemos,r21 = 0 =r = 1 e r2+ 1 = 0 =r = i.Logo, a soluo geral ,y= C1ex+ C2ex+ C3cosx + C4senxExemplo 47Determine a soluo da equao diferencial abaixo.d5ydt5 3d4ydt4+ 3d3ydt3 d2ydt2= 0Soluo:Sendo a equao diferencial dada por,d5ydt5 3d4ydt4+ 3d3ydt3 d2ydt2= 0temos o seguinte polinmio caracterstico associado,r53r4+ 3r3r2= 0 =r2(r33r2+ 3r 1) = 0 =r2(r 1)3= 0.da qual obtemos,r2= 0 =r1= r2= 0 e (r 1)3= 0 =r3= r4= r5= 1.Logo, a soluo geral ,y= C1 + C2t + C3t2et+ C4t3et+ C5t4et78Exemplo 48Determine a soluo da equao diferencial abaixo.y

2y

y

+ 2y= 0Soluo:Sendo a equao diferencial dada por,y

2y

y

+ 2y= 0temos o seguinte polinmio caracterstico associado,r32r2r + 2 = 0 =(r 1)(r2r 2) = 0 =r2(r 1)3= 0.da qual obtemos,r 1 = 0 =r1= 1 e r2r 2 = 0 =r2= 2 e r3= 1.Logo, a soluo geral ,y= C1ex+ C2e2x+ C3exMtodo da Variao de ParmetrosConsidere a seguinte equao,y(n)+ p1(x)y(n1)+ . . . + pn1(x)y

+ pn(x)y= g(x), (4.6)Se y1, y2, . . ., yn1 e yn so solues linearmente independentes (L.I.), ( ou seja,W[y1, y2, . . . , yn1, yn] = 0) da equao homognea,y(n)+ p1(x)y(n1)+ . . . + pn1(x)y

+ pn(x)y= 0, (4.7)ento sua soluo geral ,yH= C1y1 + C2y2 + . . . + CnynSe Y1 e Y2 so solues da equao no-homognea (4.6), ento Y1 Y2 soluoda equao homognea (4.7).Da, para Y1= y e Y2= yP, segue que,y yp= C1y1 + C2y2 + . . . + Cnyn=y= yH+ yp.Vamos supor que a soluo particular dada por,y= u1y1 + u2y2 + . . . + unyn.79Deste modo possvel se mostrar que,uj=_g(x)wjw(x)dx, comj= 1, 2, . . . , n onde w(x) = W[y1, y2, . . . , yn1, yn]ewj o determinante obtido do Wronskiano pela troca dajsima coluna pela coluna(0, 0, . . . , 1).Por exemplo considere n = 3.y

+ p1(t)y

+ p2(t)y

+ p3(t)y= g(t)Suponha que,yp= u1y1 + u2y2 + u3y3Derivando obtemos,y

p= (u

1y1 + u

2y2 + u

3y3) + (u1y

1 + u2y

2 + u3y

3)Tome, u

1y1 + u

2y2 + u

3y3= 0 . Da, y

p= u1y

1 + u2y

2 + u3y

3.Derivando mais uma vez, obtemos,y

p= (u

1y

1 + u

2y

2 + u

3y

3) + (u1y

1+ u2y

2+ u3y

3)Tome, u

1y

1 + u

2y

2 + u

3y

3= 0 . Da, y

p= u1y

1+ u2y

2+ u3y

3.Derivando novamente, obtemos,y

p= (u

1y

1+ u

2y

2+ u

3y

3) + (u1y

1+ u2y

2+ u3y

3 )Substituindo os valores de yp , y

p , y

p e y

pna equao obtemos,y

p+ p1(t)y

p+ p2(t)y

p + p3(t)yp= g(t) ==[(u

1y

1+ u

2y

2+ u

3y

3) + (u1y

1+ u2y

2+ u3y

3 )] + p1(t)[u1y

1+ u2y

2+ u3y

3]++p2(t)[u1y

1 + u2y

2 + u3y

3] + p3(t)[u1y1 + u2y2 + u3y3] = g(t) ==[y

1+ p1(t)y

1+ p2(t)y

1 + p3(t)y1]u1 + [y

2+ p1(t)y

2+ p2(t)y

2 + p3(t)y2]u2++[y

3+ p1(t)y

3+ p2(t)y

3]u3 + (u

1y

1+ u

2y

2+ u

3y

3) = g(t) ==u

1y

1+ u

2y

2+ u

3y

3= g(t)80Formamos ento o seguinte sistema,___u

1y1 + u

2y2 + u

3y3= 0u

1y

1 + u

2y

2 + u

3y

3= 0u

1y

1+ u

2y

2+ u

3y

3= g(t)Note que,Det[coef] = W[y1, y2, y3] = 0Logo pela Regra de Cramer,u

1=0 y2y30 y

2y

3g(t) y

2y

3W[y1, y2, y3]=u

1=g(t)0 y2y30 y

2y

31 y

2y

3W[y1, y2, y3]=u1=_g(t)W1 dxW[y1, y2, y3]u

2=y10 y3y

10 y

3y

1g(t) y

3W[y1, y2, y3]=u

2=g(t)y10 y3y

10 y

3y

11 y

3W[y1, y2, y3]=u2=_g(t)W2 dxW[y1, y2, y3]u

3=y1y20y

1y

20y

1y

2g(t)W[y1, y2, y3]=u

3=g(t)y1y20y

1y

20y

1y

21W[y1, y2, y3]=u3=_g(t)W3 dxW[y1, y2, y3]Exemplo 49Resolva o seguinte problema de valor inicial___y

+ y

= secty(0) = 2y

(0) = 1y

(0) = 2Soluo:Iremos inicialmente determinar a soluo homognea da equao diferencial. Daesta dada por,y

+ y

= 081Temos ento a seguinte equao caracterstica associadar3+ r = 0da qual obtemosr(r2+ 1) = 0 =r1= 0, r2= i e r3= iDa,yH= C1 + C2cost + C3sentondey1= 1, y2= cost e y3= sentAssim, calculando o Wronskiano temos,W[y1, y2, y3] =1 cost sent0 sent cost0 cost sent= 1W1 =0 cost sent0 sent cost1 cost sent= 1 W2 =0 0 sent0 0 cost1 1 sent= cost W3 =0 cost 00 sent 01 cost 1= sentDeste modo,u1=_g(t)W1 dxW[y1, y2, y3]=u1=_sect dt = ln(sect + tgt)u2=_g(t)W2 dxW[y1, y2, y3]=u2=_sect(cost) dt =u2=_1 dt = tu3=_g(t)W3 dxW[y1, y2, y3]=u3=_sect(sent) dt =u3=_tgt dt = ln(cost)Segue ento que,yp= ln(sect + tgt) tcost + ln(cost) sentLogo,y(t) = yH+ yp= C1 + C2cost + C3sent + ln(sect + tgt) tcost + ln(cost) sent82Utilizando as condies iniciais temos,y(t) = C1 + C2cost + C3sent + ln(sect + tgt) tcost + ln(cost) sent =y(0) = 2 =C1 + C2 = 2.y

(t) = C2sent + C3cost + sect cost + tsent + costln(cost) sent tgt =y

(0) = 1 =C3 = 1.y

(t) = C2cost C3sent +sect tgt +sent +sent +tcost sentln(cost) cost tgt cost tgt sent sec2t ==y

(0) = 2 =C2 = 2.Da, C1= 0.Portanto, a soluo geral ,y(t) = 2cost + sent + ln(sect + tgt) tcost + ln(cost) sent4.2 Equao de Euler-Cauchy Homogneas de ordem trsDenio 4.4Uma equao de Euler-Cauchy de ordem 3 uma equao da forma:x3y

+ ax2y

+ bxy

+ cy= 0, (4.8)onde a, b e c so constantes.Denio 4.5Uma funo y(x) = xm soluo da equao de Euler-Cauchy se, e somente se, mfor raiz da equao auxiliar m3+ (a 3)m2+ (2 a + b)m + c = 0.Prova. Considere y(x) = xmuma soluo da equao (4.8). Observe que,y

= mxm1, y

= m(m1)xm2e y

= m(m1)(m2)xm3Substituindo os valores na equao (4.8), obtemos,x3y

+ ax2y

+ bxy

+ cy= 0 =x3m(m1)(m2)xm3+ ax2m(m1)xm2+ bxmxm1+ cxm= 0 ==(m33m2+ 2m)xm+ a(m2m)xm+ bmxm+ cxm= 0 ==(m33m2+ 2m + am2am + bm + c)xm= 0 ==m3+ (a 3)m2+ (2 a + b)m + c = 0Exemplo 50Use o exerccio anterior para resolver a seguinte equaox3y

+ x2y

2xy

+ 2y= 2x4, comx > 083Soluo:Sabendo quey= yH+ ypento vamos determinar yH e yp Determinando yHConsiderando a equao diferencial homognea,x3y

+ x2y

2xy

+ 2y= 0onde a = 1, b = 2 e c = 2, temos a seguinte equao auxiliarm32m2m + 2 = 0obtemos as seguintes raizesm1= 1, m2= 1 e m3= 2Logo as solues soy1= x1, y2= x e y3= x2Alm disso,W[y1, y2, y3] =x1x x2x21 2x2x30 2= 6x1= 0, pois x > 0W1=0 x x20 1 2x1 0 2= x2W2=x10 x2x20 2x2x31 2= 3 W3=x1x 0x21 02x30 1= 2x1ento,u1=_2x4 x2dx6x1=_x7dx3=x824, u2=_2x4 (3) dx6x1=_x5dx = x66eu3=_2x4 2x1dx6x1=_2x4dx3=2x515Logo, a soluo ,y= yH+ yp= C1x1+ C2x + C3x2+ x2 x1+ (3) x + 2x1 x2= C1x1+ C2x + C3x2Captulo 5Sistemas de Equaes Lineares dePrimeira Ordem5.1 Sistema de Equaes LinearesDenio 5.1Um sistema de m equaes e n varaveis um conjunto da forma,___a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn= b2...............am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn= bm(5.1)Observe que podemos colocar o sistema (5.1) na forma,__a11a12. . . a1na21a22. . . a2n............am1am2. . . amn____x1x2...xn__=__b1b2...bm__ou seja A X= B, ondeA =__a11a12. . . a1na21a22. . . a2n............am1am2. . . amn__, a qual denominada Matriz dos Coecientes85X=__x1x2...xn__, a qual a Matriz das IncognitasB=__b1b2...bm__, a qual a Matriz dos Termos IndependentesQuando a matriz B a matriz nula, ou seja, B =__0...0__ o sistema (5.1) homogneo.Se det(A) = 0 ento a matriz A admite inversa A1. Ento segue,A1(A X) = A1B=(A1A) X= A1B=Imn X= A1B=X= A1B,ou seja, se det(A) =0 o sistema tem uma nica soluo se o sistema homogneo, entoa nica soluo a soluo nula.Se det(A) = 0 o sistema no tem soluo ou a soluo no nica.5.2 Independncia LinearUm conjunto de vetores X= {

X1,

X2, . . . ,

Xn} linearmente independente (LI) se,c1 X1 + c2 X2 + . . . + cn Xn= 0, (5.2)ento,c1=c2=. . . =cn=0. Caso contrrio o conjunto dito linearmente dependente(LD).Considere,

X1= (x11, x21, . . . , xm1)

X2= (x12, x22, . . . , xm2)......

Xn= (x1n, x2n, . . . , xmn)86Reescrevendo (5.2), temos,c1(x11, x21, . . . , xm1) + c2(x12, x22, . . . , xm2) + . . . + cn(x1n, x2n, . . . , xmn) = 0De onde obtemos,___c1x11+ c2x12+ . . . + cnx1n= 0c1x21+ c2x22+ . . . + cnx2n= 0...............c1xm1+ c2xm2+ . . . + cnxmn= 0isto ,__x11x12. . . x1nx21x22. . . x2n............xm1xm2. . . xmn____c1c2...cn__=__00...0__=X C= 0m1.Deste modo, sedet(X) =0 ento a nica soluo c1=c2=. . . =cn=0, casocontrrio, se det(X) = 0 ento existe uma nica soluo no-nula, neste caso x L.D.5.3 Autovalores e AutovetoresUm nico C um autovalor da matriz A se a matriz A satisfaz a equao,AX= X, onde X=__x1x2...xn__= 0Dizemos que A um autovetor associado ao autovalor .Assim temos,AX X= 0 =(A Imn)X= 0que tem solues no nulas se, e somente se, det(A Imn) = 0ConclusoOs autovalores de A so os valores de para os quais det(A Imn) = 0Observao 5.2A equao det(A Imn)=0 um polinmio de grau n em logo existem nautovalores 1, 2, . . . , n alguns dos quais podem ser repetidos.87Observao 5.3Autovetores associados a autovalores distintos so L.I..Observao 5.4Um autovalor de multiplicidadem pode terq autovalores L.I., associados com1 q mObservao 5.5Qualquer mltiplo de autovetor ainda um autovetor.5.4 Sistemas de Equaes Diferenciais Lineares de PrimeiraOrdemDizemos que um sistema de equaes diferenciais lineares de primeira ordem seeste descrito da forma,___x

1= P11(t)x1+ P12(t)x2+ . . . + P1n(t)xn+ g1(t)x

2= P21(t)x1+ P22(t)x2+ . . . + P2n(t)xn+ g2(t)..................x

n= Pn1(t)x1+ Pn2(t)x2+ . . . + Pnn(t)xn+ gn(t)(5.3)ou na forma matricialX

= P(t)X + G(t),onde X

, X, P(t) e G(t) so matrizes.Quando,G(t) =_____g1(t)...g2(t)_____ =_____0...0_____o sistema chamado de homogneo e temos, X

= P(t)XDenio 5.6(Soluo)Um vetor

Xk uma soluo de (5.3) se os seus componentes satisfazem ao sistema.Notao:

X1,

X2, . . .,

Xn onde,

Xk=_____x1k...xnk_____88Teorema 5.7(Soluo Geral)Se

X1,

X2, . . .,

Xnsosolueslinearmenteindependentesdosistema(5.3), entosuasoluo geral da forma,

X= C1 X1 + C2 X2 + . . . + Cn Xnonde cada

Xi, uma matriz e Ci uma constante, com 1 i n.Exemplo 51Dado o sistema,_x

1= x1 + x2x

2= 4x1 + x2temos que,x1= C1e3t+ C2ete x2= 2C1e3t2C2etos quais satisfazem as condies do sistema.Portanto, a soluo geral ,X= C1_12_e3t+ C2_12_etDenio 5.8(Determinante Wronskiano)Sejam

X1,

X2, . . .,

Xn solues do sistema de n equaes. Ento o determinante WronskianoW[

X1,

X2, . . . ,

Xn] =x11x12. . . x1nx21x22. . . x2n............xn1xn2. . . xnnSendo W[

X1,

X2, . . . ,

Xn] = 0, logo a soluo direta, onde

X1,

X2, . . .,

Xn so solues L.I.5.4.1 Sistemas Homogneos com coecientes constantesConsidere o sistema,X

= AX (5.4)onde A uma matriz de ordem n, com cada aij uma constante, ou seja,A = (aij)nnObservemos o caso em que n = 1. Assim o sistema torna-sex

= ax dxdt= ax89da,dxdt= ax =dxx= adt =_dxx=_adt =ln |x| = at + C=|x| = C1eatSuponha que X=ert, onde uma matriz de autovetores, soluo do sistema(5.4). Ento,X

= AX=rert= Aert=r= Ada,(A rI)= 0 (5.5)na qual temos duas possibilidades,= 0m1ou det(A rI) = 0.Mas = 0mn a soluo obvia, a qual no interessante. Logo devemos ter,det(A rI) = 0 (5.6)Exemplo 52Determine um conjunto soluo para o sistema,X

=__1 14 1__XSoluo:Vamos procurar uma soluo na forma,X= ertPor substituio no sistema obtemos(ArI) = 0 =____1 14 1__r__1 00 1______x1x2__ =__00__ =__1 r 14 1 r____x1x2__ =__00__o qual um sistema algbrico. Queremos que,det_1 r 14 1 r_ = 0 =(1 r)24 = 0 =r22r 3 = 0Assim as raizes so, r1= 3 e r2= 1.Determinando o autovetor associado a r1= 3. Assim,_ 2 14 2__x1x2_ =_00_ =_ 2x1 + x2= 04x12x2= 090Da, x2= 2x1. Assim,1=_x1x2_ =_x12x1_ = x1_12_Deste modo, o autovalor associado ao autovetor r1= 3 1=_12_Ento a soluo associada ,X1(t) =_12_e3tDeterminando o autovetor associado a r2= 1. Assim,_2 14 2__x1x2_ =_00_ =_2x1 + x2= 04x1 + 2x2= 0Da, x2= 2x1. Assim,2=_x1x2_ =_x12x1_ = x1_12_Deste modo, o autovalor associado ao autovetor r2= 1 2=_12_Ento a soluo associada ,X2(t) =_12_etCalculando o determinante Wronskiano, temos,W[x1, x2] =e3tet2e3t2et = 4e2t= 0Portanto a soluo geral ,x(t) = C1_12_e3t+ C2_12_etExemplo 53Determine a soluo do seguinte problema de valor inicial,___x

1= 5x1x2x

2= 3x1 + x2com x1(0) = 2 e x2(0) = 191Soluo:Reescrevndo o problema na forma matricial temos,_x

1x

2_ =_5 13 1__x1x2_Para solues da formaX(t) =erttemos o sistema equivalente(A rI) =0.Assim calculando det(A rI) temos_5 r 13 1 r_ = r26r + 8do qual obtemos r1= 2 e r2= 4.Determinando o autovetor associado a r1= 2. Assim,_3 13 1__x1x2_ =_00_ =_3x1x2= 03x1x2= 0Da, x2= 3x1. Assim,1=_x1x2_ =_x13x1_ = x1_13_Deste modo,X1(t) =_13_e2tDeterminando o autovetor associado a r2= 4. Assim,_1 13 3__x1x2_ =_00_ =_x1x2= 03x13x2= 0Da, x1= x2. Assim,2=_x1x2_ =_x1x1_ = x1_11_Deste modo,X2(t) =_11_e4tPortanto a soluo ,X(t) = C1_13_e2t+ C2_11_e4t92Utilizando as condies iniciais temos,X(0) = C1_13_e0+ C2_13_e0=_21_ = C1_13_+ C2_11_ ==_C1 + C2= 23C1 + C2= 1=C1= 32e C2=72Portanto a soluo geral ,X(t) = 32_13_e2t+72_11_e4t5.4.2 Sistemas HermitianosMatriz HermitianaUma matriz A=(aij)mn Hermitiana se ela for uma matriz quadrada onde aij=aji, ou seja, a matriz conjugada igual a matriz transposta, A = AtExemplo 54Se A =__1 ii 1__, ento At=__1 ii 1__e A =__1 ii 1__, ou seja, A = AtExemplo 55B=_____3 2 42 0 24 2 3_____, da B= BtSistemas HermitianosO sistemaX

= AX hermitiano se a matriz dos coecientes A for hermitiano.93ImportantePara uma matriz Hermitiana vale o seguinte:(a) Todos os autovalores so nmeros reais(b) Sempre obtemos n autovetores L.I., mesmo que alguns autovalores sejam repetidos,ou seja, se temos n autovalores r1, r2, . . . , rn obtemos n autovetores 1, 2, . . . , nAs solues em um sistema hermitiano so dadas por,x1(t) = 1er1t, x2(t) = 2er2t, . . . , xn(t) = nerntObserve que,W[x1,x2,. . . ,xn] =__________11er1t12er2t. . . 1nernt21er1t22er2t. . . 2nernt............n1er1tn2er2t. . . nnernt__________= er1ter2t. . .ernt=__________1112. . . 1n2122. . . 2n............n1n2. . . nn__________== er1t+r2t+...+rnt||= 0No caso, a soluo geral ,X(t) = C11er1t+ C22er2t+ . . . + CnnerntExemplo 56Determine uma soluo para a expresso,X

=__ 322 2__XSoluo:Vamos procurar uma soluo na forma,X= ertPor substituio no sistema obtemos(ArI) = 0 =____322 2__r__1 00 1______x1x2__ =__00__ ==__3 r22 2 r____x1x2__ =__00__94o qual um sistema algbrico. Queremos que,det_ 3 r22 2 r_ = 0 =(3 r)(2 r) 2 = 0 =r2+ 5r + 4 = 0Assim as raizes so, r1= 1 e r2= 4.Determinando o autovetor associado a r1= 1. Assim,_ 222 1__x1x2_ =_00_ =_ 2x1 +2x2= 02x1x2= 0Da, x2=2x1. Assim,1=_x1x2_ =_x12x1_ = x1_12_Deste modo, o autovalor associado ao autovetor r1= 1 1=_12_Ento a soluo associada ,x1(t) =_12_etDeterminando o autovetor associado a r2= 4. Assim,_122 2__x1x2_ =_00_ =_x1 +2x2= 02x1 + 2x2= 0Da, x1= 2x2. Assim,2=_x1x2_ =_ 2x1x2_ = x1_ 21_Deste modo, o autovalor associado ao autovetor r2= 4 2=_ 21_Ento a soluo associada ,x2(t) =_ 21_e4tCalculando o determinante Wronskiano, temos,W[x1, x2] =et2e4t2ete4t = 3e5t= 095Portanto a soluo geral ,x(t) = C1_12_et+ C2_ 21_e4t5.4.3 Autovalores ComplexosConsidere ainda o sistema,X

= AXonde a matriz dos coecientes A real. Se procurarmos solues da forma X= ert,onde uma matriz de autovetores asssociada ao autovalores r1, r2, . . ., rn, os quais soraizes da equao,det(A rI) = 0e que os autovetores associados satisfazem da,(A rI)= 0Neste sentido, autovalores complexos aparecemempares conjugados. Por exemplo,se r1= p +iq um autovalor de A ento r2= p iq tambm . Alem disso os autovetoresassociados 1 e 2 tambm so complexos conjugados. Vejamos, Prova. Suponha que r1e 1 satisfazem,(A r1I)1= 0Calculando a equao complexa conjugada dessa e observando que A e I so reais, obte-mos,(A r1I)1= 0onde r1 e 1 so complexos conjugados de r1 e 1, respectivamente. Em outras palavras,r2= r1 um autovalor e 2= 1 um autovetor associado.Determinamos assim duas solues,X1(t) = 1e(p+iq)te X2(t) = 2e(piq)tonde X1(t) = X2(t).Nosso objetivo agora determinar solues reais. Assim, seja 1= a +ib, onde a e bso reais. Ento,X1(t) = (a + ib)e(p+iq)t= (a + ib)ept[cos(qt) + isen(qt)].da,X1(t) = ept[acos(qt) bsen(qt)] + iept[asen(qt) + bcos(qt)].se escrevermos X1(t) = U(t) + iV (t), ento temos,U(t) = ept[acos(qt) bsen(qt)]96V (t) = ept[asen(qt) + bcos(qt)]ArmaoU(t) e V (t) so solues reais do sistema.Prova. Seja X

= AX, ento temosX

1= AX1ou seja,U

(t) + iV

(t) = A(U(t) + iV (t))da,U

(t) = AU(t) e V

(t) = AV (t)Logo, U(t) e V (t) so solues reais do sistema.Exemplo 57Encontre um conjunto fundamental de solues reais do sistema,X

=_____1 0 02 1 23 2 1_____XSoluo:Antes de determinarmos a soluo observemos que o sistema ,X

=____1 0 02 1 23 2 1____X=____x

1x

2x

3____ =____1 0 02 1 23 2 1________x1x2x3____ =___x

1= x1x

2= 2x1 + x22x3x

3= 3x1 + 2x2 + x3Assim, paradeterminarumconjuntofundamental desoluesdosistema, pre-cisamos determinar inicialmente os autovalores associados ao sistema, ou seja, os valoresde r para os quais, det(A rI) = 0. Assim,det(ArI) = 0 =1 r 0 02 1 r 23 2 1 r= (1 r)34(1 r) = (1 r)(r22r +5) = 097de onde obtemos os seguintes autovalores,r1= 1, r2= 1 + 2i e r3= 1 2iDeterminando o autovetor associado a r1= 1. Assim,____0 0 02 0 23 2 0________x1x2x3____ =____000____ =_2x12x3= 03x1 + 2x2= 0Da, x3= x1 e x2= 32x1. Assim,1=____x1x2x3____ =____232____Assim,X1(t) =____232____etDeterminando o autovetor associado a r2= 1 + 2i. Assim,____2i 0 02 2i 23 2 2i________x1x2x3____ =____000____ =___2ix1= 02x12ix22x3= 03x1 + 2x22ix3= 0Da, x1= 0 e x2= ix3. Assim,1=____x1x2x3____ =____0i1____Assim,X2(t) =_____0i1_____e(1+2i)t=_____0i1_____et(cos(2t)+isen(2t)) =_____0sen(2t)cos(2t)_____et+i_____0cos(2t)sen(2t)_____et= U(t)+iV (t)Portanto a soluo geral ,X(t) = C1X1(t) + C2U(t) + C3V (t) =98X(t) = C1____232____et+ C2____0sen(2t)cos(2t)____et+ C3____0cos(2t)sen(2t)____et5.4.4 Autovalores RepetidosConsidere ainda o sistema,X

= AXSuponha que r= seja um autovalor de multiplicidade k da matriz A. Nesta situ-ao h duas possibilidades a ser considerada.Caso 1Existem k autovetores L.I. 1, 2, . . ., k associados ao autovalor r = . Neste caso,X1(t) = 1et, X2(t) = 2et, . . . , Xk(t) = ketso k solues linearmente independentes do sistema.Exemplo 58Encontre um conjunto fundamental de solues reais do sistema,X

=_____0 1 11 0 11 1 0_____XSoluo:Antes de determinarmos a soluo observemos que o sistema ,X

=____0 1 11 0 11 1 0____X=____x

1x

2x

3____ =____0 1 11 0 11 1 0________x1x2x3____ =___x

1= x2 + x3x

2= x1 + x3x

3= x1 + x2Assim, paradeterminarumconjuntofundamental desoluesdosistema, pre-cisamos determinar inicialmente os autovalores associados ao sistema, ou seja, os valores99de r para os quais, det(A rI) = 0. Assim,det(A rI) = 0 =r 1 11 r 11 1 r= r3+ 3r + 2 = 0de onde obtemos os seguintes autovalores,r1= 2, e r2= 1 = r3Determinando o autovetor associado a r1= 2. Assim,____2 1 11 2 11 1 2________x1x2x3____ =____000____ =___2x1 + x2 + x3= 0x12x2 + x3= 0x1 + x22x3= 0Da, x1= x2= x3. Assim,1=____x1x2x3____ =____111____Assim,X1(t) =____111____e2tDeterminando o autovetor associado a r = r2= r3= 1. Assim,____1 1 11 1 11 1 1________x1x2x3____ =____000____ =___x1 + x2 + x3= 0x1 + x2 + x3= 0x1 + x2 + x3= 0Da, x3= x2x1. Assim, escolhendo, x1= 1 e x2= 0 temos x3= 1, da,3=____101____e escolhendo,100 x1= 0 e x2= 1 temos x3= 1, da,3=____011____Portanto a soluo geral ,X(t) = C1____111____e2t+ C2____101____et+ C3____011____etCaso 2Existem um nmero menor quek autovetores L.I.. Assim vamos estudar os casosde autovalores de multiplicidade 2 e 3.Suponha que r=rho seja um autovalor de multiplicidade 2(3) e que h um s au-tovetor associado L.I..Primeira SoluoX1(t) = 1etonde 1 satisfaz a equao (A I)1= 0.Segunda SoluoX2(t) = 1tet+ 2etonde 2 satisfaz a equao (A I)2= 1.Primeira SoluoX3(t) = 1t22 et+ 2tet+ 3etonde 3 obedece a equao (A I)3= 2.Exemplo 59Encontre um conjunto fundamental de solues reais do sistema,X

=_____1 1 12 1 10 1 1_____XSoluo:101Antes de determinarmos a soluo observemos que o sistema ,X

=____1 1 12 1 10 1 1____X=____x

1x

2x

3____ =____1 1 12 1 10 1 1________x1x2x3____ =___x

1= x1 + x2 + x3x

2= 2x1 + x2x3x

3= x2 + x3Assim, paradeterminarumconjuntofundamental desoluesdosistema, pre-cisamos determinar inicialmente os autovalores associados ao sistema, ou seja, os valoresde r para os quais, det(A rI) = 0. Assim,det(A rI) = 0 =1 r 1 12 1 r 10 1 1 r= (1 r)33(1 r) 2 = 0de onde obtemos os seguintes autovalores,r1= 1, e r2= 2 = r3Determinando o autovetor associado a r1= 2. Assim,____2 1 12 2 10 1 2________x1x2x3____ =____000____ =___2x1 + x2 + x3= 02x1 + 2x2x3= 0x2 + 2x3= 0Da, x2= 2x3 e x3= 23x1. Assim,1=____x1x2x3____ =____342____Assim,X1(t) =____342____et102Determinando o autovetor associado a r = r2= r3= 2. Assim,____1 1 12 1 10 1 1________x1x2x3____ =____000____ =___x1 + x2 + x3= 02x1x2x3= 0x2x3= 0Da, x1= 0 e x3= x2. Assim,2=____x1x2x3____ =____011____Assim,X2(t) =____011____e2tAgora, X3= 2te2t+ 3e2t, onde (A 2I)3= 2. Assim,____1 1 12 1 10 1 1________x1x2x3____ =____011____ =___x1 + x2 + x3= 02x1x2x3= 1x2x3= 1Da, x1= 1 e x2= 1 x3. Assim,3=____x1x2x3____ =____101____Assim,X3(t) =____011____te2t+____101____e2tPortanto a soluo geral ,X(t) = C1X1(t) + C2X2(t) + C3X3(t)X(t) = C1____342____et+ C2____011____e2t+ C3______011____te2t+____101____e2t__1035.5 Sistemas de Equaes Diferenciais No-HomogneosA parti de agora trabalharemos com sistemas de equaes diferenciais lineares deprimeira ordem, o qual descrito da forma,___x

1= P11(t)x1+ P12(t)x2+ . . . + P1n(t)xn+ g1(t)x

2= P21(t)x1+ P22(t)x2+ . . . + P2n(t)xn+ g2(t)..................x

n= Pn1(t)x1+ Pn2(t)x2+ . . . + Pnn(t)xn+ gn(t)(5.7)ou na forma matricialX

= P(t)X + G(t), (5.8)onde X

, X, P(t) e G(t) so matrizes.Quando,G(t) =_____g1(t)...g2(t)_____=_____0...0_____o sistema assim descrito chamado de no-homogneo.Para resolver problemas desse tipo vamos utilizar o conceito de variao de parmet-ros.Mtodo da Variao de ParmetrosConsidere o sistema (5.8). Se

X1(t),

X2(t),. . .,

Xn1(t) e

Xn(t) so solues linear-mente independentes (L.I.), ( ou seja, W[

X1(t),

X2(t), . . . ,

Xn(t)] =0) da equao ho-mognea,X

= P(t)X, (5.9)ento sua soluo geral ,XH= C1 X1(t) + C2 X2(t) + . . . + Cn Xn(t)Se X1(t) e X2(t) so solues da equao no-homognea (5.8), ento X1(t) X2(t) soluo da equao homognea (5.9).Da, para X1(t) = X(t) e X2= XP(t), segue que,X(t) Xp(t) = C1 X1(t) + C2 X2(t) + . . . + Cn Xn(t) =X= XH+ Xp.Vamos supor que a soluo particular dada por,Xp(t) = u1 X1(t) + u2 X2(t) + . . . + un Xn(t).104Deste modo substituindo Xp(t) em (5.8) obtemos,X

p = P(t)Xp + G(t) ==(u1 X1(t) + u2 X2(t) + . . . + un Xn(t))

= P(t)(u1 X1(t) + u2 X2(t) + . . . + un Xn(t)) + G(t) ==u

1 X1(t)+u1 X

1(t)+. . .+u

n Xn(t)+un X

n(t) = P(t)u1 X1(t)+P(t)u2 X2(t)+. . .+P(t)un Xn(t)+G(t) ==(u

1 X1(t)+. . .+u

n Xn(t))+(u1 X

1(t)+. . .+un X

n(t)) = u1P(t)

X1(t)+u2P(t)

X2(t)+. . .+unP(t)

Xn(t)+G(t).Sabendo que, X

1= P(t)X1, . . ., X

n= P(t)Xn, obtemos ento,u

1

X1(t) + . . . + u

n

Xn(t) = G(t)Exemplo 60Determine um conjunto soluo para o sistema,X

=__2 11 2__X +__2et3t__Soluo:Vamos inicialmente calcular as solues do sistema homogneo, ou seja,X

= AXPor substituio no sistema (A rI)

= 0 obtemos,__2 11 2_r_1 00 1___x1x2_ =_00_ =_2 r 11 2 r__x1x2_ =_00_Calculando det(A rI) = 0, temos,2 r 11 2 r = 0 =(2 r)21 = 0 =r2+ 4r + 3 = 0De onde obtemos os seguintes autovalores, r1= 3 e r2= 1.Substituindo o autovalor r1= 3 na equao (A rI)

1= 0, temos,_1 11 1__x1x2_ =_00_ =_x1 + x2= 0x1 + x2= 0Assim, x2= x1. Deste modo, o autovalor associado ao autovetor r1= 3 1=_11_Ento a soluo associada ,X1(t) =_11_e3t105Substituindo o autovalor r1= 1 na equao (A rI)

1= 0, temos,_ 1 11 1__x1x2_ =_00_ =_ x1 + x2= 0x1x2= 0Assim, x2= x1. Deste modo, o autovalor associado ao autovetor r2= 1 2=_11_Ento a soluo associada ,X2(t) =_11_etCalculando o determinante Wronskiano, temos,W[X1, X2] =e3tete3tet = 2e4t= 0Vamos agora calcular a soluo particular. Segue ento que,u

1

X1(t) + u

2

X2(t) = G(t) ==u

1_11_e3t+ u

2_11_et=_2et3t_ =_u

1e3t+ u

2etu

1e3t+ u

2et_ =_2et3t_De onde obtemos o seguinte sistema,_u

1e3t+ u

2et= 2etu

1e3t+ u

2et= 3tento,u

1= e2t32te3te u

2= 1 +32tetAssim,u1=12e2t12te3t+16e3te u2= t +32tet32et