Apostila de Equações Diferenciais Lineares

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Text of Apostila de Equações Diferenciais Lineares

Universidade Federal de Campina GrandeCentro de Cincias e Tecnologia AgroalimentarEquaes Diferenciais LinearesProf. Ms. Hallyson Gustavo G. de M. LimaPombal - PBContedo1 Introduo 31.1 Denies Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Equaes Diferenciais de Primeira Ordem 52.1 Equaes Diferenciais Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Problema de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Equaes Diferenciais No-Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . 82.3.1 Equao de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 Equao de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Equaes Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4 Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.5 Equao Separavl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.6 Equao Redutvel forma Separvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Teorema de Existncia e Unicidade e o Mtodo das Iteraes Sucessivas dePicard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.1 O Teorema de Existncia e Unicidade: Caso Linear . . . . . . . . . . 252.4.2 O Mtodo das Aproximaes Sucessivas ou Mtodo de Iterao dePicard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.3 O Teorema de Existncia e Unicidade: Caso No-linear . . . . . . . . 282.5 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.1 Crescimento e Decrescimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.2 Epidemia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.3 Trajetrias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.4 Problemas de Temperatura e a Lei de Resfriamento e Aquecimentode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.5 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.6 Circuitos Eltricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.7 Problemas de Crescimento e Declnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3922.5.8 Datao por Carbono 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.9 Investimentos Financeiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.10 Equaes Autnomas e Dinmica Populacional . . . . . . . . . . . . 392.5.11 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Equaes Diferenciais de Segunda Ordem 493.1 Equaes Diferenciais Lineares de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Equaes de Segunda Ordem com Coeciente Constantes . . . . . . . . . . 523.2.1 Raizes Reais e Distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.2 Raizes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.3 Mtodo de Reduo de Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.4 Raizes Repetida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 Equaes Diferenciais de Segunda Ordem No - Homogneas . . . . . . . . 603.4 Oscilaes Mecnicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4.1 Oscilao Livre No-Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4.2 Oscilao Livre Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 Equaes Diferenciais de Ordem Superior 744.1 Equaes Diferenciais de Ordem Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2 Equao de Euler-Cauchy Homogneas de ordem trs . . . . . . . . . . . . . 825 Sistemas de Equaes Lineares de Primeira Ordem 845.1 Sistema de Equaes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2 Independncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4 Sistemas de Equaes Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. . . . . . . 875.4.1 Sistemas Homogneos com coecientes constantes . . . . . . . . . . 885.4.2 Sistemas Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.4.3 Autovalores Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.4 Autovalores Repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.5 Sistemas de Equaes Diferenciais No-Homogneos . . . . . . . . . . . . . 103Captulo 1Introduo1.1 Denies PreliminaresDenio 1.1(Equaes Diferenciais) Uma Equao Diferencial uma equao que envolveuma funo (incognita) e ao menos uma das suas derivadas.Exemplo 1Sey=f(x) ouy=f(t) a funo de uma nica varivel independente ento asequaes abaixo so exemplos de Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO).(a)d2ydx2 5dydx + 6y = 0(b) y

+ 3y

+ 3y

+ y = 0(c)dydt+ 2yt= t2Exemplo 2Se w= f(x, y, z) a funo da varivel tempo t e das variveis x, y e z ento temoscomo exemplos de equaes diferenciais parciais (EDP).(a)_2wx2+2wy2+2wz2_ = 0(b) C_2wx2+2wy2+2wz2_ =wtDenio 1.2(Ordem)Aordemdeumaequaoaordemdaderivadademaiorgrauqueaparece na equao.Observao 1.3Uma equao diferencial de ordem n uma expresso da formaF(x, y, y

, y

, . . . , yn) = 0 (1.1)4Denio 1.4(Soluo) Uma funoy=(x) a soluo da equao 1.1 sey Cne almdisso F(x, (x),

(x),

(x), . . . , n(x)) = 0.Exemplo 3A equaod2ydx2 5dydx+ 6y= 0 tem como uma soluo a expresso y= e2x.De fato. Observe que, y

= 2e2xe y

= 4e2x. Da,d2ydx2 5dydx+ 6y= 0 =4e2x5 2e2x+ 6e2x= 0 =10e2x10e2x= 0 =0 = 0.Exemplo 4Verique se y= e3xtambm soluo ded2ydx2 5dydx+ 6y= 0.Observao 1.5Na verdade toda soluo da equao anterior da forma y= c1e2x+ c2e3xDenio 1.6(Equao Linear) Uma equao diferencial de ordem n, da formaF(x, y, y

, y

, . . . , yn) = 0 dita linear se a mesma mesma funo linear da variavis y, y

, y

, . . . , yn.Observao 1.7A forma geral de uma EDL de ordem n a0(x)yn+ a1(x)yn1+ . . . + an(x)y= g(x), onde, (a0(x) = 0)Exemplo 5(a) A equao cos(x)y

+ 7y

+ (x2+ 1)y= ln x linear.Dena L[x] = cos(x)y

+ 7y

+ (x2+ 1)y. Assim, L[y1 + y2] = cos(x)(y1 + y2)

+ 7(y1 + y2)

+ (x2+ 1)(y1 + y2) == cos(x)(y

1 + y

2) + 7(y

1 + y

2) + (x2+ 1)(y1 + y2) == cos(x)y

1 + cos(x)y

2 + 7y

1 + 7y

2 + (x2+ 1)y1 + (x2+ 1)y2== (cos(x)y

1 + 7y

1 + (x2+ 1)y1) + (cos(x)y

2 + 7y

2 + (x2+ 1)y2) =L[y1] + L[y2] L[ky] = cos(x)(ky)

+ 7(ky)

+ (x2+ 1)(ky) = cos(x)(ky

) + 7(ky

) + (x2+ 1)(ky) == k(cos(x)y

) + k7y

+ k(x2+ 1)y = k[cos(x)y

+ 7y

+ (x2+ 1)y] = kL[y](b) A equaod2ydx2 5dydx + 6y = 0 linear.(c) A equao y

+ y

+ 2y2= 0 no linear(d) A equao y y

= sen(x) no linear.Captulo 2Equaes Diferenciais de PrimeiraOrdem2.1 Equaes Diferenciais Lineares de Primeira OrdemDenio 2.1A forma geral de uma Equao Diferencial Ordinria Linear de Primeira Ordem y

+ p(x)y= q(x) (2.1)onde p e q, so funes contnuas em um intervalo aberto I.Observao 2.2Quando q(x) = 0 para todo x I a equao dita Equao Homognea.Mtodo de Resoluo"O lado esquerdo da equao 2.1 a derivada do produto envolvendo y".Suponha que exista u(x) tal que,u(x)y

+ u(x)p(x)y= u(x)q(x) (2.2)e alm dissou(x)y

+ u(x)p(x)y=ddx(u(x)y) (2.3)De 2.3, sendo y = 0 e u(x) = 0, temos queu(x)y

+ u(x)p(x)y= u(x)y

+ u

(x)y u(x)p(x) = u

(x)logou

(x)u(x)= p(x).6Note que,ddx(ln u(x)) =u

(x)u(x),dai,ddx(ln u(x)) = p(x) ln u(x) =_p(x) dx + C, onde C= 0portanto,u(x) = eRp(x)dx(2.4)Encontrando a soluo de yDe 2.2 e 2.3 obtemos,ddx(u(x)y) = u(x)q(x)e nalmente obtemosu(x)y=_u(x)q(x) dx + C y=_u(x)q(x) dx + Cu(x)(2.5)ou ainda,y= eRp(x)dx__eRp(x)dxq(x)dx + C(2.6)As expresses (2.5) e (2.6) so chamadas de soluo geral de (2.1).u(x) fator integrante.Exemplo 6Resolva a equaoty

+ 2y= sen(t), com t > 0.Determine como se comporta a soluo y(t) quando t Soluo: Temos quety

+ 2y= sen(t) =y

+2yt=sen(t)tNeste caso p(t) =2t, entou(t) = eR2tdt= e2 ln t= eln t2= t2Assim o fator integrante u(t) = t2. Deste modo temos,y

+2yt=sen(t)t=t2y

+ 2ty= tsen(t)7isto ddt(t2y) = tsen(t) =t2y=_tsen(t) dt + C=t2y= sen(t) tcos(t) + C.Logo,y(t) =sen(t) tcos(t) + Ct2Observe que y(t) 0 quando t .Exerccio 1: Resolvaasequaesabaixoedeterminecomoassoluessecomportamquando t +.a) y

+ 3y= t + e2te) y

2y= 3eti) ty

y= t2etb) y

2y= t2e2tf) y

+ 2ty= 2tet2j) y

+ y= 5cos(2t)c) y

+ y= tet+ 1 g) (1 + t2)y

+ 4ty= (1 + t2)2k) 2y

+ y= 3t2d) y

+1ty= 3cos(2t), t>0 h) 2y

+ y= 3t2.2 Problema de Valor InicialDenio 2.3Uma equao diferencialdydx= f(x, y),juntamente com a condio inicial y(x0) =y0, constituem o que chamamos de Problema deValor Inicial (PVI), a qual geralmente denotada por___dydx= f(x, y),y(x0) = y0.(2.7)Exemplo 7Resolva o seguinte PVI___ty

+ 2y= sen(t), se t > 0,y_2_ = 1.Soluo: J vimos no exemplo 1 quey(t) =sen(t) tcos(t) + Ct28. Queremos agora que, y_2_ = 1, isto ,1 = y_2_ =sen_2__2_cos_2_+ C_2_2.Segue que, C=_24_1.Logo a soluo do PVI y(t) =sen(t) tcos(t) +_24_1t2.Teorema FundamentalSe as funes p(x) e q(x) so contnuas em um intervalo aberto I=(, ) contendoo ponto x = x0 ento existe uma nica funo y= (x) que satisfaz a equao,y

+ p(x)y= q(x), x Ie a condio inicial y(x0) = y0.2.3 Equaes Diferenciais No-Lineares de Primeira OrdemAqui estudaremos mtodos de resoluo da equao diferencialy0= f(x, y),onde f uma funo no linear em relao a y.2.3.1 Equao de BernoulliDenio 2.4Uma equao diferencial, no linear, da forma,y

+ p(x)y= q(x)yn(2.8) chamada de Equao de Bernoulli (EB)Note que se n = 0 ou n = 1 a equao de Bernoulli torna-se linear___n = 0, y

+ p(x)y= q(x),n = 1, y

+ (p(x) q(x))y= 0.9Mtodo de ResoluoConsideren =0 oun =1. Deste modo, vamos pr