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PROFESSORA: Adriane Guarienti Disciplina: Matemática Financeira Curso: Administração APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

Apostila de Financeira- Unifra

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finanças e investimento

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XII Exerccios propostos

2110Apostila de Matemtica Financeira - UNIFRA

PROFESSORA: Adriane GuarientiDisciplina: Matemtica FinanceiraCurso: AdministraoAPOSTILA DE

MATEMTICA FINANCEIRA

1. Conceitos bsicos

A Matemtica Financeira uma ferramenta til na anlise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemticos para simplificar uma operao financeira. Ela tem por objetivo estudar as diversas formas de evoluo do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de anlise e comparao de alternativas para aplicao / obteno de recursos financeiros. Capital( O Capital o valor aplicado atravs de alguma operao financeira. Tambm conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializveis) disponvel em determinada poca. Referido montante de dinheiro tambm denominado de capital inicial ou principal. Juros (Juros representam a remunerao do Capital empregado em alguma atividade produtiva. O juro a remunerao pelo emprstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e est disposta a pagar um preo por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar at possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste perodo estiver disposta a emprestar esta quantia a algum, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinncia na proporo do tempo e risco, que a operao envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponvel no mercado para emprstimos definem qual dever ser a remunerao, mais conhecida como taxa de juros. Pode ser dito que o juro o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilizao de uma quantia monetria, por um certo perodo de tempo.Taxa de Juros ( um coeficiente que corresponde razo entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado perodo de tempo e o capital inicialmente empatado.

Ex.:

Capital Inicial :$ 100

Juros :

$ 150 - $ 100 = $ 50

Taxa de Juros:$ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao perodo

a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, ms, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitria.

Taxa de Juros unitria: a taxa de juros expressa na forma unitria quase que exclusivamente utilizada na aplicao de frmulas de resoluo de problemas de Matemtica Financeira; para conseguirmos a taxa unitria ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100:

5 % / 100 = 0.05

Montante ( denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicao financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Capital Inicial=$ 100

+ Juros

=$ 50

= Montante

=$ 150

Regimes de Capitalizao (quando um capital emprestado ou investido a uma certa taxa por perodo ou diversos perodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes bsicos de capitalizao de juros:

capitalizao simples;

capitalizao composta;

Capitalizao Simples (somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros so devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos perodos de capitalizao a que se refere a taxa de juros

Capitalizao Composta (os juros produzidos ao final de um perodo so somados ao montante do incio do perodo seguinte e essa soma passa a render juros no perodo seguinte e assim sucessivamente.

comparando-se os 2 regimes de capitalizao, podemos ver que para o primeiro perodo considerado, o montante e os juros so iguais, tanto para o regime de capitalizao simples quanto para o regime de capitalizao composto;

salvo aviso em contrrio, os juros devidos no fim de cada perodo (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros.

No regime de capitalizao simples, o montante evolui como uma progresso aritmtica, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalizao composta o montante evolui como uma progresso geomtrica, ou seja, exponencialmente.

Fluxo de Caixa (o fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicao financeira ou de um emprstimo consiste no conjunto de entradas (recebimentos) e sadas (pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado perodo.

Diferena entre juro e taxa de juro

O juro entendido como uma remunerao do capital sempre expresso em valor numa determinada moeda. Ex: R$ 10,00 (dez reais); US$ 20,00 (vinte dlares), etc.A taxa de juro, normalmente representada pela letra ( i ), um ndice que aplicado sobre o capital determina sua remunerao num determinado perodo de tempo (dias, meses, anos) que representado pela letra ( T ). Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificao do perodo de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano)

10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentao da taxa de juros a unitria, que igual a taxa percentual dividida por 100, sem o smbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao ms) 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)Observao: para simplificar as frmulas matemticas ser usada a forma unitria, assim, quando a taxa, por exemplo, for 5%, o ( i ) na frmula ser substitudo por 0,05.

Juro Comercial (para operaes envolvendo valores elevados e perodos pequenos (1 dia ou alguns dias) pode haver diferena na escolha do tipo de juros a ser utilizado. O juro Comercial considera o ano comercial com 360 dias e o ms comercial com 30 dias.

Juro Exato (no clculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365 dias (ou 366 dias se o ano for bissexto) e os meses com o nmero real de dias.

sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial

Taxa Nominal ( a taxa usada na linguagem normal, expressa nos contratos ou informada nos exerccios; a taxa nominal uma taxa de juros simples e se refere a um determinado perodo de capitalizao.

Taxa Proporcional (duas taxas so denominadas proporcionais quando existe entre elas a mesma relao verificada para os perodos de tempo a que se referem.

i1 =t1

i2

t2Taxa Equivalente (duas taxas so equivalentes se fizerem com que um mesmo capital produza o mesmo montante no fim do mesmo prazo de aplicao.

no regime de juros simples, duas taxas equivalentes tambm so proporcionais;

Tipos de Juros

Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

a) JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

b) JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo calculado a partir do saldo no incio de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambm.

Quando usamos juros simples e juros compostos?A maioria das operaes envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Esto includas: compras a mdio e longo prazo, compras com carto de crdito, emprstimos bancrios, as aplicaes financeiras usuais como Caderneta de Poupana e aplicaes em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: o caso das operaes de curtssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

CAPTULO 1 - JUROS SIMPLES

Como vimos, o regime de juros ser simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada perodo no incidiro novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em frmula temos:

1. Clculo do juro simples

No sistema de juro simples o mesmo no incide sobre o juro de perodos anteriores. Ou seja, no h clculo de juros sobre juros.

Frmula para o clculo do juro simples

Onde:J = juros

C = capital

i = taxa

T= nmero de perodo (tempo).

Exemplos de juros simples:

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados taxa de 36% a.a., durante 2 anos. Temos:

Primeiro: verificar as unidades da taxa e do perodo (elas devem ser iguais).

Capital: C = R$ 40.000,00

Taxa: i = 0,36 a.a

Perodo: T= 2 anos

Logo: J = 40.000,00 . 0,36 . 2

Juros = R$ 28.800,00

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos:

Primeiro: verificar as unidades da taxa e do perodo (elas devem ser iguais).

Capital: C = R$ 40.000,00

Taxa: i = 0,36 a.a ( como 1 ano tem 360 dias, logo a taxa i = 0,36/360 = 0,001 a.d.Perodo: T= 125 dias

Logo: J = 40.000,00 . 0,001 . 125 Juros = R$ 5.000,003 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?Temos imediatamente: Primeiro: verificar as unidades da taxa e do perodo (elas devem ser iguais).

Juros: J = R$ 3.500,00

Taxa: i = 1,2 % a.m = 0,012 a.m ( como 1 ms tem 30 dias, logo a taxa i = 0,012/30 = 0,0004 a.d.

Perodo: T= 75 dias

Logo: 3500,00 = C . 0,0004 . 75

C . 0,03 = 3500,00

C = R$ 116.666,67

4 - Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. Temos:

Primeiro: verificar as unidades da taxa e do perodo (elas devem ser iguais).

Capital: C = R$ 1.200,00

Taxa: i = 0,13 a.t ( como 1 trimestre tem 90 dias, logo a taxa i = 0,13/90 = 0,00144 a.d.

Perodo: T= 4 meses e 15 dias ( 135 dias

Logo: J = 1.200,00 . 0,00144 . 135

Juros = R$ 234,00

Exerccios de juros simples:

01)A que taxa anual um investimento render em 5 anos juros equivalentes a 4/5 desse mesmo investimento? R.16% a.a

2) Durante quanto tempo R$ 22.500,00 a 4% a.m. render R$ 27.000,00 de juros? R. 2 anos e 6 meses

3) Calcular o capital que, aplicado durante 3 anos e 9 meses a 4% a.m., produz R$ 8.062,50 de juros. R. R$ 4.479,16

4) Achar o capital que rende R$ 6.696,40 de juros em 2 anos, 7 meses e 24 dias a 36% a.a. R. 7019,29

5) Calcular os juros de uma aplicao de R$ 180.000,00 a 36% a.a., pelo prazo de um trimestre. R. R$ 16.200,00

6) Calcular a taxa de R$ 5.000,00 em 1 ano e 6 meses, que tenha produzido juros de R$ 675,00. R. 9% a.a

7) A que taxa um capital de R$ 2.500,00 em 2 anos e 6 meses para produz juros de R$ 1.250,00? R. 20% a.a

8) Quanto tempo devo aplicar o capital de R$ 10.053,40 para obter o montante de R$ 11.561,40 a 4,5% a.m.? R. 3 meses e 10 dias

9) Se aplicarmos R$ 15.877,50 a 5,5% a.m., quanto tempo ser necessrio para obtermos o capital mais os juros de R$ 28.539,80? R. 1 ano, 2meses e 15 dias

10) O capital de R$ 42.600,00 para produzir juros de R$ 46.008,00 a 6% a.m., qual o tempo necessrio? R. 1 ano e 6 meses

11) Em que prazo um capital aplicado a 20% a.a., tem um aumento que corresponde a 1 / 4 de seu valor? R. 1 ano e 3 meses.

12) Em que prazo um capital de R$ 100.000,00 a 2% a.m. obtm um montante de R$ 164.000,0? R. 2 anos e 8 meses

13) Qual o montante que d um capital de R$ 7.000,00 em 6 meses, taxa de 6% a.a.? R. R$ 7.210,00

14) Em quanto tempo, um determinado capital, rendendo juros de 5% a.a., duplica de valor? R. 20 anos

15) Um certo capital, foi duplicado em 10 anos a juros simples. A que taxa foi empregado? R. 10% a.a

2. Clculo do Montante

Ao somarmos os juros ao valor principal (Capital) temos o montante.

Montante = Capital + Juros M = C + J Montante = Capital + (Capital x Taxa de juros x Nmero de perodos)

M = C + C. i. TLogo, colocando C em evidncia, temos:

Onde:

M= valor do montante

J = juros

C = valor do capital

i = taxa

T= nmero de perodo (tempo).

Exemplos de juros simples e montante:

1 - Assim para calcularmos o Montante de R$ 100,00 ao final do terceiro perodo a uma taxa de juros de 10% ao perodo, temos:

M = 100,00 [1 + ( 0,10. 3) ]

M = 100,00 [1 + ( 0,30)]

M = 100,00 (1,30)

M = 130,00 (R$)

2 - Se a taxa de uma aplicao de 150% ao ano, quantos meses sero necessrios para dobrar um capital aplicado atravs de capitalizao simples? Objetivo: M = 2.C Dados: i = 150 % a.a = 1,5 a.a Frmula: M = C (1 + i.T) Desenvolvimento: 2C = C (1 + 1,5 T)

2 = 1 + 1,5 T T = 2/3 ano = 8 meses

3 - Calcule o montante resultante da aplicao de R$70.000,00 taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

M = R$ 72.960,42

Exerccios:01- Que capital deve ser aplicado para gerar um montante de R$130,00 em trs meses com taxa de juro de 10% ao ms?02- Que taxa deve ser aplicada sobre o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 130,00 em trs meses?03- Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 130,00 com taxa de juros de 10% ao ms?

04- Qual o juro de um capital de R$ 500,00 aplicado por 10 meses a uma taxa de 7% ao ms?(350,00)

05- Qual o juro e o montante acumulado em um ano a uma taxa de 10% ao ms a partir de uma aplicao de R$ 325,00?(j = 390,00 e M = 715,00)

06- Qual o montante acumulado em 18 meses a uma taxa de 0,10% ao dia a partir de um principal de R$ 1.000,00?(1.540,00)

07- Qual o montante acumulado em 120 dias a uma taxa de 24% ao ano a partir de um principal de R$ 5.000,00?(5.400,00)

08- Qual o capital necessrio para se obter um montante de R$ 970,00 daqui a trs semestres a uma taxa de 5% ao ms?(510,52)

09- Qual o capital necessrio para se obter um montante de R$ 1.070,00 daqui a trs anos a uma taxa de 0,7% ao ms? (854,63)

10- Qual o capital necessrio para se obter um montante de R$ 2.000,00 daqui a 18 meses a uma taxa de 7,5% ao ano?(1.797,75)

11- Qual o juro simples recebido em uma aplicao de R$ 5.000,00 a uma taxa de 2% ao ms pelo perodo de 15 dias?(50,00)

12- Foi efetuado um nico deposito de R$ 570,00 em uma aplicao financeira. Aps dois anos seu saldo era de R$ 775,20. Qual a taxa de juro recebida? (1,5% am) 13- A que taxa devemos aplicar um capital de R$ 100,00 para que ele duplique em 20 meses?(5% ao ms)

14- Fizemos uma dvida de R$ 10.000,00 para aquisio de um automvel. No foi efetuado nenhum pagamento e aps 5 meses ela estava em R$15.000,00. Qual a taxa de juro cobrada? (10% am)

15- Durante quanto tempo devemos aplicar um capital para que ele quadruplique de valor a uma taxa de 10% a.m?(30 meses)

16- Uma pessoa emprega seu capital a 8% a.a. e, no fim de 3 anos e 8 meses, recebe capital e juros reunidos no valor de R$ 38.800. Qual o capital empregado? R. R$ 30.000,00

17- Qual o capital que depois de 8 meses, taxa de 11 1/2%a.a. , d um montante de R$ 12.920,00? R. R$ 12.000,00

18- No fim de 3 anos, 9% a.a., o capital acumulado foi de R$ 2.540,00. Qual foi o juro e qual era o capital inicial? R R$ 2.000,00 e R$ 540,00

19- Achar o capital que, empregado a juros simples, taxa de 2/5% a.m., produz, no fim de um ano, 3 meses e 5 dias, o montante de R$ 159.100,00. R. 150.000

20- Uma pessoa empregou certo capital a 6% a.a. . Depois de um ano e meio, retirou capital e juros e empregou tudo a 8% a.a., retirando no final de dois anos e meio, o montante de R$ 26.160,00. Determinar o capital inicial. R. R$ 20.000,00

21- Por quanto tempo se deve empregar um capital para que, taxa de 10% a.a., o montante seja igual ao triplo deste capital? R. 20 anos

22- A que taxa se deve colocar R$ 800,00, em 2 anos, para render 88,00 de juros? R. 5,5%

CAPTULO 2 - DESCONTOS SIMPLESDesconto o abatimento que um ttulo de crdito (cheque, duplicata, nota promissria) recebe por ser liquidado antes de seu vencimento.

Um ttulo possui um valor, chamado Valor Nominal, a ele declarado, que corresponde ao seu valor no dia do vencimento. Antes disso, o titulo pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, sendo denominado Valor Atual ou Valor Presente.

Ento, para clculo do desconto importante saber:

Valor Nominal (N) o Valor impresso no ttulo. o que ele valer no vencimento.

Valor atual (A) o valor pelo qual o ttulo pode ser pago antecipadamente. Naturalmente um valor menor que o (N), pois se o mesmo for liquidado antecipadamente, ele ter um desconto (d).

Dessa forma o Desconto (d) igual ao Valor Nominal (N) menos o Valor atual (A) pelo qual o ttulo pode ser pago antecipadamente.

d = N - A

Chama-se Desconto Simples o calculado sobre um nico valor do ttulo (nominal ou atual). Se for calculado sobre:

Valor Nominal ................ temos ................. Desconto Comercial (Por fora)

Valor Atual ..................... temos ................. Desconto Racional (Por dentro)

2.1 Clculo dos Descontos Simples2.1.1 Desconto Comercial (Por fora)

Esse o tipo de desconto normalmente utilizado pelos bancos e pelo comrcio em geral. Neste tipo de desconto a base de clculo o valor Nominal (N).

d = N . i . TOnde: d = desconto Comercial (Por fora)

N = Valor Nominal

i = taxa

T= nmero de perodo (tempo).

Exemplos de desconto Comercial (Por fora):

1 - Uma duplicata de R$ 100,00 foi quitada trs meses antes do vencimento com taxa

de desconto comercial simples de 10% ao ms. Pergunta-se:

a) qual o valor do desconto?

b) por quanto ela foi quitada?

Dados: Valor Nominal: N = R$ 100,00

Taxa: i = 0,10 a.m

Perodo: T= 3meses

a) qual o valor do desconto?

Temos: d = N . i . T

d = 100,00 . 0,10 . 3

d = R$ 30,00 ............ Valor do desconto

b) por quanto ela foi quitada?

Logo, o Valor Atual:Temos: d = N A 30,00 = 100,00 A

A = R$ 70,00 ............ Valor atual (valor com desconto)Podemos resolver o exerccio acima utilizando o seguinte conceito:

d = N A ............... A = N d

A = N N . i . T

A = N ( 1 i . T)

b) por quanto ela foi quitada?

A = N . (1 i . T)

A = 100. (1 0,10. 3)

A = 100 . (1 0,30)

A = 100 . (0,70) = R$ 70,00 ............... Valor atual (valor com desconto)

a) qual o valor do desconto?

E, o Valor do desconto: d = N A = 100,00 70,00 = R$ 30,00 2.1.2 Desconto Racional (Por dentro)

O desconto racional ou por dentro equivale ao juro simples calculado sobre o valor atual do ttulo. denominado d e neste tipo de desconto a base de clculo o valor Atual (A):

d = A . i . T como d = N A logo, A = N d`d`= (N d`) .i . T

d` = N.i.T d`.i.T

d`+ d`.i.T = N.i.T

d`(1 + i.T) = N.i.T

Onde: d` = desconto Racional (Por dentro)

N = Valor Nominal

i = taxa

T= nmero de perodo (tempo).

Exemplos de desconto Racional (Por dentro):

1 Determinar o desconto racional de um ttulo de valor nominal equivalente a 135 u.m., pago 2 meses antes do vencimento a 1% ao ms.

Dados: Valor Nominal: N = 135

Taxa: i = 0,01 a.m

Perodo: T= 2meses

Temos:

Logo:

d`= 2,65 u.m

EXERCCIOS:

1) Um ttulo de R$ 7.300,00 descontado por fora, em 60 dias, a 5,5% a.m., quanto sofre de desconto? Resp. 803

2) Qual o desconto comercial de um ttulo de R$ 8.000,00, a 6% a.m., em 1 ano e 3 meses? Resp. R$ 7.200

3) A que taxa anual foi descontado um ttulo de R$ 2.000,00 em 75 dias, sabendo que houve desconto por fora de R$ 325,00? Resp. 78% a.a.

4) Um ttulo de R$ 2.000,00, descontado por fora, a 6% a.m., que valor lquido produz em 3 meses? Resp. R$ 1.640,

5) Qual o lquido de uma duplicata que, descontada por fora, a 5% a.m., em 120 dias, sofreu o desconto de R$ 700,00? Resp. R$ 2.800

6) A que taxa anual um ttulo de R$ 30.000,00, descontado 4 meses antes do vencimento, pode produzir R$ 1.000,00 de desconto comercial? Resp. 10% a.a.

7) Em que prazo um ttulo de R$ 9.000,00, descontado por fora, apresenta o lquido de R$ 8.280,00 taxa de 6% a.m.? Resp. 1 ms e 10 dias

8) Qual o nominal de uma promissria descontada por dentro, a 6% a.a., 90 dias antes do vencimento sabendo que produziu o desconto de R$ 450,00? R: R$ 30.450

9) Um ttulo de R$ 165.000,00 sofreu o desconto racional taxa de 12% a.a. e ficou reduzido a R$ 150.000,00. Determinar o tempo de antecipao. Resp. 10 meses

10) Um ttulo de R$ 2.250,00 sofreu o desconto racional, taxa de 10% a.a., ficando reduzido a R$ 2.000,00. Qual foi o prazo? Resp. 1 ano e 3 meses

11) Certo ttulo de R$ 63.600,00 sofreu um desconto por dentro ao prazo de 6 meses e foi pago com R$ 60.000,00. Qual foi a taxa anual da operao? Resp. 12% ao ano.

12) Uma duplicata de R$ 37.200,00 sofreu um desconto por dentro de R$ 1.200,00. Sabendo-se que o tempo foi de 5 meses, que taxa anual foi utilizada para o desconto? Resp. 8% ao ano.

13) Um ttulo descontado 27 dias antes do vencimento a 4,5% a.m., produz R$ 583,85 de desconto racional. Determinar o valor nominal. Resp. R$ 15.000

2.2 Relaes entre a Taxa do Juro e a Taxa do Desconto Comercial

2.2.1 Clculo da Taxa do juro em funo da taxa de desconto e do prazo do vencimento do ttulo

Onde: ij = Taxa de Juros

id = Taxa de descontos

Exemplo: 1 Qual a taxa que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 2% ao ms, pelo prazo de 5 meses?

Dados: Taxa de descontos: id = 0,02 a.m

Perodo: T= 5meses

Temos:

Logo: ou ij = 2,22 % a.m

2.2.2 Clculo da Taxa do desconto em funo da taxa do juro e do prazo do vencimento do ttulo

De forma inversa, quando se sabe a taxa de juros simples pode ser calculada a taxa de desconto comercial simples equivalente a essa taxa de juros com a seguinte frmula:

Onde: ij = Taxa de Juros

id = Taxa de descontos

Exemplo: Qual a taxa de desconto comercial simples equivalente taxa de juros simples de 5% a.m. num perodo de 9 meses?Dados: Taxa de juros: ij = 0,05 a.m

Perodo: T= 9 meses

Temos:

Logo:

id = 0,03448 ou 3,448% a m

Assim, a taxa de juros simples de 5% a.m. equivale taxa de desconto comercial simples de 3,448% a.m. com antecipao de 9 meses.

EXERCCIOS:

1) Calcular a taxa mensal que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 5% a.m., pelo prazo de 90 dias. Resp. 5,88% ao ms

2) Determinar a taxa trimestral que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 12% ao trimestre, durante 6 meses. Resp. 15,79% ao trimestre

3) Qual a taxa mensal de juros equivalentes ao desconto comercial de 5% a.m., pelo prazo de 60 dias? Resp. 5,55% ao ms4) Calcular a taxa semestral de desconto comercial equivalente aos juros de 14% a.s., pelo prazo de 1 ano. Resp. 10,94% a.s.

5) Encontrar a taxa mensal de desconto equivalente ao juro de 6% a.m., pelo perodo de 120 dias. Resp. 4,839% a.m

6) Que taxa mensal de juros se torna equivalente ao desconto comercial de 5% a.m., durante 4 meses. Resp. 6,25% a.m.

7) Calcular a taxa mensal de juro equivalente a 3,85% a.m., correspondente ao desconto por fora durante 8 meses. Resp. 5,563% a.m.

8) Certa pessoa emprega metade de seu capital a juros, durante 2 anos, taxa de 5% a.a., e metade durante 3 anos, taxa de 8% a. a. obtendo assim, rendimento total de R$2.040. Qual o seu capital? Resp. 12.000Capital, Taxa e Prazo Mdios

(em alguns casos podemos ter situaes em que diversos capitais so aplicados, em pocas diferentes, a uma mesma taxa de juros, desejando-se determinar os rendimentos produzidos ao fim de um certo perodo. Em outras situaes, podemos ter o mesmo capital aplicado a diferentes taxas de juros, ou ainda, diversos capitais aplicados a diversas taxas por perodos distintos de tempo.Capital Mdio (juros de diversos Capitais)( o mesmo valor de diversos capitais aplicados a taxas diferentes por prazos diferentes que produzem a mesma quantia de juros.

Cmd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn

i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + ... + in nn Taxa Mdia ( a taxa qual a soma de diversos capitais deve ser aplicada, durante um certo perodo de tempo, para produzir juros iguais soma dos juros que seriam produzidos por diversos capitais.

Taxamd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn C1 n1 + C2 n2+ C3 n3 + ... + Cn nnPrazo Mdio ( o perodo de tempo que a soma de diversos capitais deve ser aplicado, a uma certa taxa de juros, para produzir juros iguais aos que seriam obtidos pelos diversos capitais.

Prazomd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn C1 i1 + C2 i2+ C3 i3 + ... + Cn inMontante ( o CAPITAL acrescido dos seus JUROS.

M = C ( 1 + i x n )

a frmula requer que a taxa i seja expressa na forma unitria;

a taxa de juros i e o perodo de aplicao n devem estar expressos na mesma unidade de tempo;

Desconto Simples (quando um ttulo de crdito (letra de cambio, promissria, duplicata) ou uma aplicao financeira resgatada antes de seu vencimento, o ttulo sofre um ABATIMENTO, que chamado de Desconto.

Valor Nominal:valor que corresponde ao seu valor no dia do seu vencimento. Antes do vencimento, o ttulo pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, valor este denominado de valor Atual ou valor de Resgate.

Desconto Comercial (tambm conhecido como Desconto Bancrio ou por fora, quando o desconto calculado sobre o valor nominal de um ttulo.

pode ser entendido como sendo o juro simples calculado sobre o valor nominal do ttulo;

Dc = N x i x n

Onde:Dc= Desconto Comercial

N= Valor Nominal

i= Taxa de juros

n= Perodo considerado

Ex.:Uma promissria de valor nominal de $ 500 foi resgatada 4 meses antes de seu vencimento, taxa de 8 % a.a.. Qual o valor do Desconto ?

N = $ 500

i = 8 % a.a. = 0.08

Dc = N . i . n

n = 4 meses = 4/12

Dc = 500 . 0.08 . 4/12

Dc = ?

Dc = $ 13,33

Valor Atual (o Valor Atual (ou presente) de um ttulo aquele efetivamente pago (recebido) por este ttulo, na data de seu resgate, ou seja, o valor atual de um ttulo igual ao valor nominal menos o desconto. O Valor Atual obtido pela diferena entre seu valor nominal e o desconto comercial aplicado.

Vc = N - Dc

Ex.: Um ttulo de crdito no valor de $ 2000, com vencimento para 65 dias, descontado taxa de 130 % a.a. de desconto simples comercial. Determine o valor de resgate (valor atual) do ttulo.

N = $ 2000

Dc = N . i . n = $ 2000 . 1.30 . 65/360

n = 65 dias= 65/360

Dc = $ 469,44i = 130 a.a. = 1.30

Dc = ?

Vc = N Dc = $ 2000 - $ 469,44

Vc = ?

Vc = $ 1.530,56

Desconto Racional (o desconto racional ou por dentro corresponde ao juro simples calculado sobre o valor atual (ou presente) do ttulo. Note-se que no caso do desconto comercial, o desconto correspondia aos juros simples calculado sobre o valor nominal do ttulo.

Dr = N x i x n

( 1 + i x n )

Ex.: Qual o desconto racional de um ttulo com valor de face de $ 270, quitado 2 meses antes de seu vencimento a 3 % a.m. ?

N = $ 270

Dr = N . i . n / (1 + i . n)

n = 2 meses

Dr = $ 270 . 0.03 . 2 / (1 + 0.03 . 2)

i = 3 a.m. = 0.03 a.m.

Dr = $ 16,20 / 1.06

Dr = ?

Dr = $ 15,28

Valor Atual Racional ( determinado pela diferena entre o valor nominal N e o desconto racional Dr

Vr = N - Dr

Equivalncia de Capitais

Capitais Diferidos (quando 2 ou mais capitais (ou ttulos de crdito, certificados de emprstimos,etc), forem exigveis em datas diferentes, estes capitais so denominados DIFERIDOS.

Capitais Equivalentes (por sua vez, 2 ou mais capitais diferidos sero equivalentes, em uma certa data se, nesta data, seus valores atuais forem iguais.

Equivalncia de Capitais p/ Desconto Comercial (

Chamando-se de Vc o valor atual do desconto comercial de um ttulo num instante n e de Vc o de outro ttulo no instante n, o valor atual destes ttulos pode ser expresso como segue:

Vc = N ( 1 i.n ) eVc = N ( 1 i . n )

Para que os ttulos sejam equivalentes, Vc deve ser igual a Vc, ento:

N = N ( 1 i x n)

1 i x n

onde:N = Capital Equivalente

N = Valor Nominal

n = perodo inicial

n = perodo subseqente

i = taxa de jurosEx.: uma promissria de valor nominal $ 2000, vencvel em 2 meses, vai ser substituda por outra, com vencimento para 5 meses. Sabendo-se que estes ttulos podem ser descontados taxa de 2 % a.m., qual o valor de face da nova promissria ?

$ 2.000

N

N = ?

]

]

]

]

]

]

N = $ 2.000

0

1

2

3

4

5

n = 5 meses

n = 2 meses I = 2 % a.m. = 0,02 a.m.

N = N (1 i . n) / 1 i . n = 2.000 (1 0.02 . 2) / (1 0.02 . 5)

N = $ 2.133Equivalncia de Capitais p/ Desconto Racional (

Para se estabelecer a equivalncia de capitais diferidos em se tratando de desconto racional, basta lembrar que os valores atuais racionais dos respectivos capitais devem ser iguais numa certa data.

Chamando-se de Vr o valor atual do desconto comercial de um ttulo na data n e de N o valor nominal deste ttulo na data n, e de Vr o valor racional atual de outro ttulo na data n, e de N o valor nominal do outro ttulo na data n, temos:

Vr = N / ( 1 + i.n ) eVr = N / ( 1 + i . n )

Para que se estabelea a equivalncia de capitais devemos ter Vr = Vr, logo:

N = N ( 1 + i x n ) 1 + i x n

onde:

N = Capital Equivalente

N = Valor Nominal

n = perodo inicial

n = perodo subseqente

i = taxa de juros

Ex.: qual o valor do capital disponvel em 120 dias, equivalente a $ 600, disponvel em 75 dias, `a taxa de 80 % a.a. de desconto racional simples ?

N $ 600

N = ?

]

]

]

]

0

75

120

Vr 75

Vr 120

Vr 75 = ?

Vr 120 = ?

n = 75 dias

n = 120 dias

i = 80 % a.a. = 0.80 a.a. = 0.80/360 a.d.

Como Vr 75 = Vr 120, temos ( N = 600 . ( 1 + 0.80/360 . 120) / (1 + 0.80/360 . 75)

N = $ 651,28

1. JUROS COMPOSTOS

Conceito:No regime de Juros Compostos, no fim de cada perodo de tempo a que se refere a taxa de juros considerada, os juros devidos ao capital inicial so incorporados a este capital. Diz-se que os juros so capitalizados, passando este montante, capital mais juros, a render novos juros no perodo seguinte.

Juros Compostos (so aqueles em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescidos dos juros acumulados at o perodo anteriorClculo do Montante (vamos supor o clculo do montante de um capital de $ 1.000, aplicado taxa de 10 % a.m., durante 4 meses.

CAPITAL ( C )Juros ( J )Montante ( M )

1 Ms1.0001001.100

2 Ms1.1001101.210

3 Ms1.2101211.331

4 Ms1.3311331.464

Pode-se constatar que a cada novo perodo de incidncia de juros, a expresso (1 + i) elevada potncia correspondente.

S = P ( 1 + i ) n

Onde:

S =Soma dos MontantesP=Principal ou Capital Inicial

i=taxa de jurosn=n de perodos considerados a taxa de juros i e o perodo de aplicao n devem estar expressos na mesma unidade de tempo;

Ex.: Um investidor quer aplicar a quantia de $ 800 por 3 meses, a uma taxa de 8 % a.m., para retirar no final deste perodo. Quanto ir retirar ?

S = ?

0

i = 8 % a.m.

$ 800

n = 3

Dados:

Pede-se: S = ?P = $ 800

n = 3 meses

i = 8 % a.m. = 0.08 a.m.

S = P (1 + i ) n = 800 x (1 + 0.08) 3 = 800 x (1.08) 3

S = $ 800 x 1.08 x 1.08 x 1.08

S = $ 1.007,79

Valor Atual (Considere-se que se deseja determinar a quantia P que deve ser investida taxa de juros i para que se tenha o montante S, aps n perodos, ou seja, calcular o valor atual de S.

- Basta aplicarmos a frmula do Montante, ou Soma dos Montantes, para encontrarmos o valor atual

P = S / ( 1 + i ) n

Onde:

S =Soma dos MontantesP=Principal ( VALOR ATUAL )

i=taxa de juros n =n de perodos considerados

Interpolao Linear ( utilizada para o clculo do valor de ( 1 + i ) n , quando o valor de n ou de i no constam da tabela financeira disponvel para resolver o problema.

a interpolao muito utilizada quando se trabalha com taxas de juros quebradas ou perodos de tempo quebrados. Ex.: taxa de juros de 3.7 % a.m. ou 5 meses e 10 dias

Como a tabela no fornece o valor da expresso ( 1 + i ) n para nmeros quebrados, devemos procurar os valores mais prximos, para menos e para mais, e executarmos uma regra de trs, deste modo:

Ex.: Temos que calcular o montante de um principal de $ 1.000 a uma taxa de juros de 3.7 % a.m., aps 10 meses, a juros compostos.

A tabela no fornece o fator ( 1 + i ) n correspondente a 3.7 %, mas seu valor aproximado pode ser calculado por interpolao linear de valores fornecidos na tabela.

Procuramos, ento, as taxas mais prximas de 3.7 %, que so 3 % e 4 %. Na linha correspondente a 10 perodos (n), obtm-se os fatores correspondentes a ( 1 + i ) n que so, respectivamente, 1.343916 e 1.480244. Procedemos, ento, a uma regra de trs para encontrarmos o fator referente a 3.7 %:

para um acrscimo de 1 % ( 4% - 3% ) temos um acrscimo de 0.136328 (1.480244 1.343916);

para 0.7 % de acrscimo na taxa, o fator ( 1 + i ) n ter um acrscimo de x. Portanto:

1 % --------------- 0.136328

0.7 % ------------- x

x = 0.09543- Somando-se o valor encontrado (0.09543) ao do fator ( 1 + i ) n correspondente taxa de 3 % (1.343916), teremos o fator (1.439346) correspondente taxa de 3.7 %.

- Voltando soluo do problema, temos: S = 1.000 x 1.439346 (S = $ 1.439,34

Taxas Proporcionais

Na formao do montante, os juros podem ser capitalizados mensalmente, trimestralmente, semestralmente e assim por diante, sendo que, via de regra, quando se refere a perodo de capitalizao, a taxa de juros anual. Assim, pode-se falar em:

juros de 30 % a.a., capitalizados semestralmente;

juros de 20 % a.a., capitalizados trimestralmente;

juros de 12 % a.a., capitalizados mensalmente;

Quando a taxa for anual, capitalizada em perodos menores, o clculo de ( 1 + i ) n feito com a taxa proporcional. Dessa forma:

Para 30 % a.a., capitalizados semestralmente, a taxa semestral proporcional 15% a.s.

1 ano = 2 semestres ( 30 % a.a. = 2 x 15 % a.s.

Para 20 % a.a., capitalizadas trimestralmente, a taxa trimestral proporcional 5 % a.t.1 ano = 4 trimestres ( 20 % a.a. = 4 x 5 % a.t.

Para 12 % a.a., capitalizados mensalmente, a taxa mensal proporcional 1 % a.m.

1 ano = 12 meses ( 12 % a.a. = 12 x 1 % a.m.

Ex.: Qual o montante do capital equivalente a $ 1.000, no fim de 3 anos, com juros de 16 %, capitalizados trimestralmente ?

Dados:

P = 1.000

i = 16 % a.a. = 4 % a.t. = 0.04 a.t.

n = 3 anos = 12 trimestres

S = P . (1 + i ) n

S = 1.000 . (1 + 0.04 ) 12

S = 1.000 x (1.601032) (S = $ 1.601,03TAXAS EQUIVALENTES

So taxas diferentes entre si, expressas em perodos de tempo diferentes, mas que levam um capital a um mesmo resultado final ao trmino de um determinado perodo de tempo.

Duas taxas so equivalentes quando, referindo-se a perodos de tempo diferentes, fazem com que o capital produza o mesmo montante, num mesmo intervalo de tempo.

Temos, ento:

C = ( 1 + ie ) n

, onde: ie = taxa de juros equivalente

Ck = ( 1 + ik ) nk, onde: ik = taxa de juros aplicada

- Como queremos saber a taxa de juros equivalente (ik), para um mesmo capital, temos:

C = Ck ( ( 1 + ie ) n = ( 1 + ik ) nk

Ento:

ie = ( 1 + ik ) k - 1

- Esta frmula utilizada para, dada uma taxa menor (ex.: dia, ms, trimestre), obter a taxa maior equivalente (ex.: semestre, ano).

Ex.: Qual a taxa anual equivalente a 10 % a.m. ?

ik = 10 % a.m. = 0.1 a.m. ie = ?

k = 1 ano = 12 meses

( ie = ( 1 + ik ) k 1 = (1 + 0.1) 12 - 1 = 2.138428

ie = 2.138428 ou transformando para taxa percentual ( ie = 213,84 %

TAXAS NOMINAL e EFETIVA (ou REAL)

No regime de juros simples, as taxas so sempre EFETIVAS. Para melhor compreenso dos conceitos de Taxa Nominal e Taxa Efetiva, no sistema de juros compostos, vamos considerar os seguintes enunciados:

1. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos taxa de 10 % a.a., com capitalizao anual, durante 2 anos ?

Soluo:Tal enunciado contm uma redundncia, pois em se tratando de uma taxa anual de juros compostos, est implcito que a capitalizao (adio de juros ao Capital), feita ao fim de cada ano, ou seja, anual. Elaborado visando o aspecto didtico, este enunciado objetivou enfatizar que a taxa efetivamente considerada a de 10 % a.a., ou seja, que a taxa de 10 % uma taxa efetiva.

2. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos, taxa de 10 % a.a., com capitalizao semestral, durante 2 anos ?

Soluo:Este segundo enunciado tambm apresenta uma incoerncia, pois sendo uma taxa anual, os juros s so formados ao fim de cada ano e, portanto, decorridos apenas 1 semestre, no se tero formados ainda nenhum juros e, por conseguinte, no poder haver capitalizao semestral.

Portanto, na prtica costuma-se associar o conceito de taxa nominal ao de taxa proporcional

Assim, se a taxa de juros por perodo de capitalizao for i e se houver N perodos de capitalizao, ento a taxa nominal iN ser:

IN = N x i

O conceito de taxa efetiva est associado ao de taxa equivalente. Assim, a taxa efetiva ie pode ser determinada por equivalncia, isto , o principal P, aplicado a uma taxa ie, durante um ano, deve produzir o mesmo montante quando aplicado taxa i durante n perodos.

i = ( 1 + ie) 1/n - 1

Ex.: Vamos supor $ 100 aplicados a 4 % a.m., capitalizados mensalmente, pelo prazo de 1 ano. Qual a taxa nominal e a taxa efetiva.

a) Taxa Nominal

IN = N x i ( 12 x 0.04 = 0.48 ( IN = 48 % a.a. ( Taxa Nominal

b) Taxa Efetiva

P = $ 100

S = P (1 + i) nS = ?

i = 4 % a.m. = 0.04 a.m.

S = 100 x ( 1 + 0.04) 12n = 12 meses

S = 100 x 1.60103

S = $ 160,10

Logo, J = 160,10 100 ( J = $ 60,10, que foi produzido por $ 100; ento:

ie = 60,10 % a.a.

A taxa equivalente tambm poderia ser determinada pela frmula:

i = ( 1 + ie) 1/n - 1ie = ( 1 + i)n - 1 = (1 + 0.04)12 1 = 1.60103 1 = 0.60103

ie = 0.6010 ( transformando-se para a forma percentual, temos:

ie = 60,10 % a.a.CAPITALIZAO EM PERODOS FRACIONRIOS

No regime de capitalizao composta, os juros so capitalizados ao final de um perodo inteiro de capitalizao (ms, ano, bimestre, semestre, etc). Dentro deste conceito, qual o tratamento a ser dado para os perodos no inteiros de uma operao? Nestas situaes pode ser adotada a conveno linear ou a exponencial.

CONVENO LINEAR

Por esta conveno, calcula-se o montante a juros compostos do nmero de perodos inteiros. Ao montante obtido, adicionam-se os juros simples a ele correspondente no perodo fracionrio.

Denominando-se de t + p / q o prazo total; de t, o nmero de perodos inteiros, e de p / q uma frao desse perodo, para calcular o montante S, atingido pelo capital P, na taxa i, ao fim de t + p / q perodos, temos:

S = P . ( 1 + i )n + P ( 1 + i )n . i . p / q

Juros compostos

juros simples nas fraes de perodos

Nos perodos inteiros

(taxa proporcional)

S = P ( 1 + i ) n . ( 1 + i . ( p / q ) )

Ex.: Dado um capital de $ 100.000, aplicado a juros compostos durante 3 anos e 2 meses, taxa de 12 % a.a., capitalizados anualmente, calcular S, pela converso linear.

Dados:

P = $ 100.000

Pede-se: S = ?

i = 12 % a.a. = 0.12 a.a.

n = 3 anos

S = P (1 + i)n . (1 + i . p/q)

p / q = 2 meses = 1 / 6 ano

S = 100.000 (1+0.12)3 (1+0.12 . 1/6)

S = $ 143.302,66

CONVENO EXPONENCIAL

Na conveno exponencial, o capital render juros compostos durante todo o perodo de aplicao, ou seja, nos perodos inteiros e fracionrios. conveniente notar que, nos perodos fracionrios, o clculo efetuado pela taxa equivalente. Assim, temos:

S = P ( 1 + i ) n( + p / q)

Ex.: Um capital de $ 135.000 foi aplicado a juros compostos de 12.6825 % a.a. , capitalizados anualmente, durante um prazo de 2 anos e 3 meses. Calcular S pela conveno exponencial.

Dados:

P = $ 135.000

Pede-se: S = ?

n = 2 anos = 24 meses

p / q = 3 meses

n + p/q = 24 + 3 = 27 meses

i = 12.6825 % a.a. = ? a.m.

Antes de resolver a questo, devemos ter a taxa e o perodo de capitalizao numa nica unidade de tempo, isto , homogeneizados. Como temos a taxa anual, vamos determinar a taxa mensal equivalente. Temos:

Dados:

P = $ 100

Pede-se: i = ?S = $ 112,6825

n = 12 meses

S = P ( 1 + i )n (

112,6825 = 100 ( 1 + i )12

( 1 + i )12 = 1.126825

consultando a tabela de ( 1 + i )n, a taxa correspondente ao fator 1.1268, para n = 12, obtm-se i = 1 %. Como n est expresso em meses, a taxa ser de 1 % a.m. Voltando ao problema, temos:

S = P ( 1 + i ) n ( + p / q) = 135.000 ( 1 + 0.01) 27

- Como a tabela de ( 1 + i ) n para i = 1 e n = 18, obtm-se 1.196147 e para n = 9, obtm-se 1.093685, logo:

S = 135.000 x (1.196147) x (1.093685) =>S = $ 176.608,13

ATENO:Ao se resolverem problemas de capitalizao com perodos fracionrios, o primeiro passo definir claramente qual a conveno a ser utilizada, isto , se vai ser aplicada a conveno linear ou a exponencial. Definido que ser a linear, deve-se trabalhar com taxas proporcionais para o clculo da capitallizao no perodo fracionrio. Caso definido que ser empregada a exponencial, ser utilizada a taxa equivalente.

DESCONTOS COMPOSTOS

Corresponde soma dos descontos simples, calculados isoladamente em cada perodo de capitalizao.

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO O desconto racional composto calculado sobre o valor atual (presente) de um ttulo, utilizando-se do regime de capitalizao composta. Dessa forma, o desconto racional composto (real, ou racional, ou por dentro) pode ser entendido como sendo os juros compostos calculados sobre o valor presente (ou atual) de um ttulo. Em outras palavras, a taxa de desconto, aplicada sobre o valor atual, resulta no valor futuro( ou nominal ) do ttulo.

Dr = S . ( 1 + i ) n - 1

( 1 + i ) n

Ex.: O valor do desconto real de uma nota promissria, que vence em 36 meses, de $ 11.318,19. Admitindo-se que utilizada uma taxa de 2 % a.m. de desconto racional, qual o valor nominal do ttulo ?

Dados:

D = $ 11.318,19

Pede-se: S = ?

i = 2 % a.m. = 0.02 a.m.

n = 36 meses

- Aplicando-se a frmula, encontramos:

( 11.318,19 = S x (1 + 0.02)36 1 / ( 1 + 0.02) 36 (S = $ 22.202,19

EQUIVALNCIA DE CAPITAIS

Trabalhando-se no regime de capitalizao simples, a equivalncia de capitais ocorre quando dois ou mais capitais diferidos (exigveis em datas diferentes) descontados (comercialmente ou racionalmente), possuem o mesmo valor atual na data zero.

No sistema de capitalizao composta usual (juros compostos e desconto racional composto), a equivalncia de capitais pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer outra data, vez que os juros compostos so equivalentes aos descontos compostos.

Ex.: Considere uma dvida de $ 2.000 no final de 3 meses, a uma taxa de juros compostos de 10 % a.m. Quanto seria o valor do capital da data de hoje?

Capital A = ?

Capital B = $ 2.000 (

capital B = Capital A

i = 10 % a.m. = 0.10 a.m.

2.000 = capital A ( 1 + 0.10) 3

n = 3 meses

2.000 = capital A ( 1.1 x 1.1 x 1.1)

Capital A = 2.000 / 1.331 ( C = $ 1.502,63RENDAS CERTAS

(Denomina-se Renda o conjunto de 2 ou mais pagamentos, ocorridos em pocas distintas, objetivando a formao de um capital ou o pagamento de uma dvida.

Termos (os pagamentos (prestaes ou depsitos) so os termos da Renda.

Montante da Renda (quando a renda for destinada formao de um capital, este capital ser denominado de Montante da Renda.

Valor Atual da Renda (se o objetivo da renda for o pagamento de uma dvida, o valor da dvida ser designada por Valor Atual da Renda.

Graficamente, temos:

S

0

1

2

3

4

|

R

R

R

Onde:

S = Montante de uma Renda com 3 termos (depsitos)

P

0

1

2

3

|

R

R

R

Onde:

P = Valor Atual ou presente de uma Renda com 3 termos (Pagamentos)

As Rendas podem ser classificadas em funo de:

a) possibilidade de se estabelecer previamente o nmero de termos de uma renda, seus vencimentos e respectivos valores. Nas Rendas Certas, o nmero de termos, seus vencimentos e respectivos valores podem ser previamente calculados.

Ex.: as prestaes necessrias para pagar uma compra a prazo.

As rendas aleatrias so aquelas em que pelo menos um dos elementos da renda (nmero de termos, vencimentos, valores) no pode ser previamente estabelecido.

Ex.: pagamento de uma penso vitalcia.

b) Durao, periodicidade e valores dos termos.

Por este critrio as rendas podem ser classificadas em:

Temporrias - so as rendas em que o nmero de termos finito e a renda tem um termo final.

Ex.: venda de um carro financiado em 15 parcelas;

Perptuas so as rendas em que o nmero de termos infinito.

Ex.: direitos autorais

Peridicas so aquelas em que a freqncia entre pagamentos constante.

Ex.: Aluguis mensais;

No Peridicas so aquelas em que a freqncia entre os pagamentos no constante.

Ex.: venda de um bem a prazo, com pagamento de uma parcela no ato, a 2 com 30 dias e 3 com 50 dias.

Constantes - so aquelas em que todos os pagamentos so de um mesmo valor

Ex.: financiamento de um veculo em 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas;

Variveis so aquelas em que os pagamentos no so do mesmo valor.

Ex.: parcelas de um consrcio.

c) Vencimento dos termos

quanto ao vencimento dos termos as Rendas podem se classificar em:

rendas imediatas (ou postecipadas) - quando os pagamentos ocorrem no fim de cada perodo (conveno de fim de perodo do fluxo de caixa)

rendas antecipadas - quando os pagamentos ocorrem no incio de cada perodo;

rendas diferidas quando o pagamento (ou recebimento) dos termos passa a ocorrer aps determinado perodo de tempo (prazo de carncia)

1. RENDAS IMEDIATAS

Valor Atual de uma Renda Imediata (o valor atual (ou presente) de uma renda equivale ao valor de uma dvida (emprstimo, valor vista de um bem) que ser pago em prestaes.

1234.....nRenda imediata ( 0

R R R R R

P = R x ( 1 + i )n - 1

i x ( 1 + i )n

Onde:

P =Capital

R = Renda ou Prestao

i =Taxa de juros

n = Perodos

Ex.:Qual o valor da prestao mensal de um financiamento de $ 250,000, em 5 parcelas, uma taxa de 5 % a.m. ?

Dados:

P = $ 250.000

Pede-se: R = ?

n =5 meses

i =5 % a.m. = 0,05 a.m.

P = R .( (1 + i)n - 1) / i . (1 + i) n

250,000 = R . ((1 + 0,05)5 1) / 0,05 . (1 + 0,05)5 .

250,000 = R . (1,276281 1) / (0,05 . 1,276281)

R = (250,000 x 0,063814) / 0,276281 ( R = $ 57.743,70

Montante de Rendas Imediatas (O montante de uma renda imediata corresponde soma dos depsitos (termos) individuais, durante n perodos, a uma taxa i de juros.

devemos lembrar que o valor presente da srie de n termos da renda, no instante zero, deve ser equivalente ao montante S no instante zero.

S = R x ( 1 + i )n - 1

i

Onde:

S =Montante

R = Renda ou Prestao

i =Taxa de juros

n = Perodos

Ex.:Se quisermos ter $ 2,000,000 daqui a 12 meses, quanto deveremos depositar mensalmente sabendo que a taxa de juros de 15 % a.m. ?

Dados:

S = $ 2,000,000

Pede-se: R = ?

n = 12 meses

i = 15 % a.m. = 0,15 a.m.

S = R . ((1 + i)n - 1) / i

2,000,000 = R . ((1 + 0,15) 12 - 1 ) / 0,15 ( 2,000,000 = R . 4,35025 / 0,15

R = 2,000,000 x 0,15 / 4,35025(R = $ 68,961.552. RENDAS ANTECIPADAS

Valor Atual de uma Renda Antecipada (Nas rendas imediatas, o primeiro pagamento ocorre no final do primeiro perodo e dos demais no final dos respectivos perodos. Nas Rendas antecipadas, o 1 pagamento ocorre no instante zero e os demais pagamentos ocorrem no incio de cada perodo.

1234.....nRenda imediata ( 0

R R R R R

123

nRenda ANTECIPADA (

0

R R R R R( Comparando-se os diagramas de renda imediata com o de renda antecipada, a nica diferena que o primeiro termo, na renda imediata, ocorre no fim do 1 perodo, enquanto na antecipada, o 1 pagamento ocorre no instante zero.

Caso o 1 pagamento da srie antecipada ocorresse no final do 1 perodo, automaticamente a srie antecipada seria transformada em imediata (postecipada).

Para empurrar o 1 termo para o final do instante 1 ( e os demais para o final dos respectivos perodos), basta que multipliquemos a srie de pagamentos por ( 1 + i )n , deslocando o grfico para a direita por um perodo. Como resultado desta transformao, a srie de pagamentos antecipados passa a ser uma renda postecipada.

Portanto, para encontrarmos o valor das rendas antecipadas, basta dividirmos o valor encontrado para as rendas imediatas por ( 1 + i ) .

R antecipada = R imediata / ( 1 + i ) Ex.:Um apartamento vendido vista por $ 100,000, mas pode ser vendido a prazo em 19 prestaes mensais, iguais, vencendo a 1 no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros de 2% a.m., qual o valor da Prestao ?

Dados:

P = $ 100,000

Pede-se: R = ? (antecipada)n = 19 meses

i = 2 % a m. = 0,02 a m.

Soluo:Primeiramente, calculemos o valor das prestaes caso o produto fosse vendido sem entrada, com a 1 prestao somente no final do 1 perodo.

P = R . ((1 + i)n 1) / (i . ( 1 + i)n (100,000 = R . ((1,02)19 1) / (0,02 . (1,02)19 )

100,000 = R . 0,456811 / (0,02 . 1,456811) (100,000 = R . 0,456811 / 0,029136

R = 100,000 x 0,029136 / 0,456811(R = $ 6.378,13 (imediata)

R (antecipada) = $ 6.378,13 / (1 + 0,02) (R = $ 6.253,07 (antecipada)

Montante de Rendas Antecipadas (

A exemplo dos valores atuais de rendas imediatas e antecipadas, o montante de uma renda antecipada ir diferir do montante de uma renda imediata (ou postecipada) no tocante ocorrncia do 1 depsito.

Portanto, para encontrarmos o valor do montante antecipado, basta dividirmos o valor encontrado para o montante imediato por ( 1 + i ) .

S antecipada = S imediata / ( 1 + i ) Ex.:Quanto devo depositar mensalmente num fundo de investimento que paga 4 % a m., para que, no fim de 10 meses, no ocorrendo nenhum resgate, possa dispor de $ 150,000, supondo o 1 depsito na data zero, e o total de 10 depsitos ?

Dados:

S = $ 150,000

Pede-se:R = ?n = 10 meses

i = 4 $ a m. = 0,04 a.m.

Soluo:Primeiramente, calculemos o valor dos depsitos caso o primeiro fosse feito no na data zero, mas 30 dias aps, ou seja, no final do 1 perodo.

S = R . ((1 + i)n - 1) / i(150,000 = R . ((1 + 0,04)10 1) / 0,04

150,000 = R . (1,04)10 1) / 0,04(150,000 = R . (1,480244 1) / 0,04

150,000 = R . 0,480244 / 0,04(R = 150,000 x 0,04 / 0,480244

R = $ 12.493,65 (imediata)( R antecipada = R imediata / 1 + i

R antecipada = 12.493,65 / 1,04(R = $ 12.013,12 (antecipada)3. RENDAS DIFERIDAS

Valor Atual de Rendas Diferidas (As rendas diferidas so aquelas em que os pagamentos ou depsitos passam a ocorrer aps um certo prazo, prazo este denominado prazo ou perodo de carncia.

P

renda de 5 termos, c/ 3 perodos de

Carncia.

0

12345678

R

o clculo do valor atual de uma renda diferida pode ser decomposto em 2 etapas:

1 etapa:clculo do valor presente da renda at o final do perodo de carncia;

2 etapa:clculo do valor presente, na data zero, do valor obtido no final do perodo de carncia.

clculo da renda aps a carnciaP = 1 x R x ( 1 + i )n - 1

( 1 + i )n i x ( 1 + i )nEx.:Qual o valor atual de uma renda de $ 100, de 3 termos mensais, com 2 meses de carncia, taxa de 6 % a m. ?

P = ?

i = 6 % a m.

0

12345

--- carncia ------- R = 100

1 etapa:

Dados:

R = 100

Pede-se: P2 = ?n = 3 meses

i = 6 % a m. = 0,06 a m.

P = R . ((1 + i)n - 1) / i .(1 + i)n (P = 100 . ((1 + 0,06)3 1) / (1 + 0,06)3 (P = 100 . (1,191016 1) / 1,191016 x 0,06

P = 100 . 0,191016 / 1,191016 x 0,06

(P2 = $ 267,30

2 etapa:

Dados:

Pede-se: P = ?P2 = 267,30

P = P2 / (1 + i)n (P = $ 267,30 / (1 + 0,06)2n = 2 meses

i = 6 % a m. = 0,06 a m.

P = 267,30 / 1,1236 ( P = $ 237,90

Valor Atual de Rendas Perptuas Imediatas (Rendas Perptuas so aquelas em que o nmero de termos infinito. O valor atual de uma renda perptua imediata dado pela frmula:

P = R / i

Onde:

P = Valor do Capital

R =Renda ou pagamento

I = taxa de juros

Ex.:Durante 10 anos um investidor pretende depositar mensalmente uma certa quantia para, aps o trmino dos depsitos, ter uma renda perptua de $ 2,000 por ms. Considere a conveno de fim de perodo e juros de 1 % a m.

S

0

1

120 R00

R

1 etapa:vamos, inicialmente, calcular o valor que proporciona uma renda mensal vitalcia de $ 2,000

P = R / i(

P = 2000 / 0,01(P = $ 200,0002 etapa:agora o problema se resume a, dado o Montante S, achar a Renda N:

Dados:

S = $ 200,000

Pede-se: R = ?i = 1 % a m. = 0,01 a m.

S = R . ((1 + i)n - 1) / i

n = 120 meses

200,000 = R . ((1 + 0,01)120 1) / 0,01

200,000 = R . (1,01120 1) / 0,01(200,000 = R . (1,01120 1)/ 0,01

R = 200,000 x 0,01 / (1,01120 1) (

R = 2000 / 2,3003841

R = $ 869,42

Valor Atual de Rendas Perptuas antecipadas (Para calcular o valor atual de rendas perptuas antecipadas, basta adicionar o termo que ocorreu no instante zero frmula das rendas perptuas imediatas. Assim, temos:

P = R + R / i

Ex.:Uma pessoa pretende se aposentar e viver de juros. Quanto deve ter depositado para receber $ 2,000 mensalmente, sabendo que o investimento feito paga juros de 1 % a. m.. Considerar srie infinita de pagamentos antecipados.

P = R + R / i(P = 2000 + 2000 / 0,01(P = $ 102,000SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS

Quando se contrai uma dvida, o devedor se compromete a devolver o capital emprestado acrescido dos juros, que a remunerao do capital. Como a remunerao do capital depende do regime de juros adotados, geralmente este regime determinado pelo prazo em que o emprstimo efetuado.

Sistemas de Amortizao de Curto Prazo (Para os casos de emprstimos de curto prazo (inferior a 1 ano) costuma-se utilizar o sistema de juros simples, sendo que as formas mais freqentes de se quitar o dbito so:

a) O principal e os juros so pagos somente no final do perodo do emprstimo ( P + E), ou comumente chamado de principal mais encargos no final.

Supondo um emprstimo de $ 100,000, por 4 meses, taxa de 10% am., temos:

M = C ( 1 + in)

100,000

M = 100,000 ( 1+ 0,1 . 4)

0

4

M = 140,000

140,000

b) Os juros devidos ao principal, pelo perodo total do emprstimo, so cobrados antecipadamente, ou seja, no prprio momento em que se contrai a dvida. Isto conhecido como encargos antecipados, principal no final, e , praticamente, a nica forma de financiamento a juros simples que existe no mercado, atualmente. o que ocorre no Desconto de Duplicatas. O comerciante entrega duplicatas com valor de face de $ 100,000, mas recebe somente $ 92.455,62. No vencimento das duplicatas, o banco recebe o seu valor de face.

100,000

0

4

7.544,38

100,000

c) Um terceiro mecanismo de amortizao de emprstimo a curto prazo, aquele em que o dbito saldado com os juros sendo pagos mensalmente e o principal no final do prazo do financiamento (encargos mensais, principal no final).

0

1 2 3

4

4,000 4,000 4,000

104,000

Sistemas de Amortizao a Longo Prazo ( O regime estipulado para a remunerao de capitais emprestados a longo prazo (mais de 1 ano), costuma ser o de juros compostos. O mtodo mais utilizado para o resgate de emprstimos de longo prazo chamado de Prestaes Peridicas Constantes, ou Tabela Price.

O SISTEMA PRICE

O emprstimo amortizado em prestaes iguais e consecutivas, a partir do momento em que comeam as amortizaes

Como as prestaes so iguais e consecutivas, durante um certo nmero de perodos, tais pagamentos podem ser calculados da seguinte maneira:

P = R x ( 1 + i )n - 1

i x ( 1 + i )n

Ex.:( AFRF2002) - Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituda por vinte prestaes semestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente aps o pagamento da dcima prestao, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma reduo da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais prximo da nova prestao do financiamento.

a) R$ 136.982,00b) R$ 147.375,00c) R$ 151.342,00d) R$ 165.917,00e) R$ 182.435,00

Soluo do Prof. Francisco Velter (Site Ponto dos Concursos):

A principal caracterstica do sistema price a de que o muturio obrigado a devolver os juros mais o principal em prestaes peridicas e constantes.Estamos, portanto, diante de trs problemas para construir a planilha financeira: como obter o valor das prestaes, o valor dos juros e o valor da amortizao em cada prestao.Partindo do pressuposto de que a prestao a soma do valor da amortizao e dos juros, temos as trs relaes a seguir:

P = A + J A = P J J = P A

(A prestao pode ser calculada pela aplicao da frmula seguinte:

P =Va ((1 + i)n - 1

i (1 + i)n

(O valor dos juros obtido pela multiplicao da taxa de juros unitria (i) do perodo (n) pelo saldo devedor (SD) do perodo anterior (n-1).

J = SDn-1 x I

(O valor da amortizao obtido pela diferena entre o valor da prestao e o valor dos juros.

A = P J

(O saldo devedor do perodo obtido pela subtrao da amortizao do perodo (n) do saldo devedor do perodo anterior (n-1).

SDn = SDn-1 - AnAteno!!!

(Nas provas de concursos, as questes sobre prestaes normalmente versam sobre este tipo de amortizao. Por isso vamos aprofundar o assunto com um exemplo completo e analis-lo sob todos os aspectos possveis, inclusive dando alguns macetes que voc nunca viu antes!!!!!!!

(Suponha que voc queira adquirir um veculo, cujo preo vista de R$ 20.441,07, em 12 prestaes trimestrais. A financeira prope uma taxa de juros de 40% ao ano, com capitalizao trimestral. Voc no d entrada. Nessas condies, aps calcular o valor de cada prestao, podemos montar a planilha financeira.

P =Va ((1 + i)n - 1

i (1 + i)n

Procurando na tabela o valor de an i ,com n = 12 e i = 10%, encontramos o valor:

6,813692. Dessa forma, o valor de P ser:

P = R$ 20.441,07 / 6,813692

P = R$ 3.000,00

Planilha financeira do sistema de amortizao Francs ou Price. I = 10% a. t.

nSaldo devedor (SD)Amortizao (A)Juros (J)Prestao (P)m

020441,0700012

119485,18955,892044,113.000,0011

218433,711051,471948,533.000,0010

317277,091156,621843,383.000,009

416004,801272,291727,713.000,008

514605,291399,511600,493.000,007

613065,821539,471460,533.000,006

711372,411693,411306,593.000,005

89509,661862,751137,253.000,004

97460,632049,03950,973.000,003

105206,702253,93746,073.000,002

112727,372479,33520,673.000,001

120,102727,26272,743.000,000

Concluses:

1 - O Saldo devedor de R$ 0,10 no significa que voc ficar devendo aps ter pago todas as prestaes e tampouco que a financeira no receber o inicialmente pactuado, pois o valor do principal e os juros esto calculados na prestao. Esse saldo decorre apenas do processo de arredondamento das clculos.

2 O saldo devedor terico, imediatamente, aps o pagamento da penltima prestao igual a amortizao relativa a ltima prestao. Isso decorre do raciocnio natural de que quando pagamos a ltima prestao, estamos liquidando a nossa dvida.

3 As prestaes so, sempre, fixas.

4 A amortizao crescente de forma no linear, isto , cresce de forma exponencial. Com isso, ocorre uma menor amortizao na fase inicial e uma maior amortizao mais no final do perodo do emprstimo.

5 O valor dos juros decrescente de forma no linear, isto , de forma exponencial.

6 O valor da ltima amortizao pode ser obtido da seguinte expresso:

P = A + J

(Como os juros incidem sobre o valor do saldo devedor do perodo anterior, e como o valor da ltima amortizao , teoricamente, idntico ao saldo devedor anterior, ento os juros incidem sobre a prpria ltima amortizao.

Cuidado! Esse raciocnio s aplicvel aps o pagamento da penltima prestao, isto , vale para valores da ltima amortizao, prestao, juros ou saldo devedor.

Nessas condies, temos que:

P = An + ( An x i )

Conferindo com o nosso exemplo, temos que:

P = R$ 3.000,00A12 = ?i = 10% ao trimestre, logo

3.000,00 = A12+ (A12 80,1)(3.000,00 = A12 + 0,1 A12(1,1 A12 = 3.000,00

A12 = 3.000,00 / 1,1 (A12 = R$ 2.727,27

7 Agora, uma das grandes novidades. Voc sabia que o valor A12 ou outro An qualquer, pode ser obtido pela aplicao da frmula do montante de juros compostos?

Ento veja:

A12 = A1 x (1+ i)n-1(A12= A1 x (1,1)11(A12 = 955,89 x 2,853117

A12 = 2.727,27

Assim, se voc se deparar diante de uma questo de prova, em que seja solicitado o valor originrio de um financiamento e a banca examinadora apresentar uma planilha financeira com somente os seguintes elementos, no se apavore, pois o trem tem soluo, seno vejamos:

Planilha financeira do sistema de amortizao Francs ou Price.

nSaldo devedor SD)Amortizao (A)Juros (J)Prestao (P)m

000012

111

210

31.156,629

48

57

61.460,536

75

84

92.049,033

102

111

120

(Como foi visto antes, o valor de An pode ser obtido pela frmula do montante.

(Assim, o valor de A9 representa o montante de A3, com n sendo igual a 6 perodos.

(O primeiro passo a executar calcular a taxa de juros que est embutida nessa planilha. Para isso basta dividir o valor de A9 pelo valor de A3 e obteremos o valor de (1+i)6.

(Uma vez obtido o valor de (1+i)6 , procuramos na tabela, na linha de 6 perodos, at encontrarmos o valor.

Ento:

(1+i)6 = A9 ( A3((1+i)6 = 2049,03 ( 1156,62 ( (1+i)6 = 1,77156,

valor encontrado na coluna de 10%, logo a taxa utilizada de 10% ao perodo.

(Sabido a taxa, agora s achar o valor da 6 amortizao, para som-la aos juros e obter o valor da prestao. Assim:

A6 = A3 x (1 + 0,1)3(A6 = 1156,62 x 1,331(A6 = 1539,46

Dessa forma o valor da prestao ser:

P = A6 + J6

(

P = 1.539,47 + 1460,53(P = R$ 3.000,00

(Mas, ainda no encontramos o valor do financiamento. Para isso, preciso saber o valor dos juros embutidos na 1 prestao e esse valor obtenho pela diferena entre a prestao e o valor da amortizao. Ento teremos que calcular o valor da 1 amortizao:

A3 = A1 x (1,1)2(

1156,62 = A1 x 1,21(A1 = 1.156,62 ( 1,21

A1 = 955,89

Logo, os juros da 1 prestao so:J = P A

J = 3000 955,89

J = 2.044,11

(Finalmente podemos achar o valor do financiamento, pois sabemos que esse valor dos juros representa 10% do valor do saldo devedor anterior, ou seja, do valor do financiamento.

Dessa forma, o valor financiado :

2.044,11 ................> 10

X......................> 100

X = 2.044,10 x 100 ( 10(X = R$ 20.441,00

Dessa vocs no sabiam, sabiam???!!!!!

Tambm, j era hora de aparecer algo de novo que compensasse o tempo investido.

no sistema de amortizao Francs ou Price, as prestaes so constantes, os juros so decrescentes de forma exponencial, a amortizao crescente de forma exponencial e o saldo devedor decrescente.

Aps este pequeno intrito, podemos finalmente resolver a questo da prova:

O primeiro passo calcularmos o valor financiado, pois temos o valor das prestaes, a taxa de juros e o nmero de perodos, no se esquecendo que o valor financiado o prprio valor atual.

Va = P x ani (Va = 200.000 x 6,259331

(Va = 1.251.866,20

Podemos, agora, calcular o juro embutido na 1 prestao:

J1 = 0,15 x 1.251.866,20

(

J1 = 187.779,93

Uma vez calculado o juro, temos condies de saber o valor da amortizao da 1 prestao:

P = A + J (A = P J = 200.000,00 187.779,93 = 12.220,07

Agora, podemos calcular o valor da 10 amortizao:

A10 = A1 ( 1 + 0.15)9 (A10 = 12.220,07 x 3,517876 = 42.988,69

Como P = A + J, o juro embutido nessa 10 prestao :

200.000,00 42.988,69 = 157.011,31

Esse juro representa 15% do Saldo Devedor do perodo anterior, ento, o SDn-1 :

157.011,31 ................>15%

X

................>100%

(X = 1.046.742,06

Assim, o Saldo Devedor antes de pagar a 10 prestao era de 1.046.742,06.

Aps o pagamento da 10 prestao, o SD ser:

SDn = SDn-1 An

(

SD10 = 1.946.742,06 42.988,69 = 1.003.753,37

Esse valor ser o novo valor atual para calcularmos o valor da prestao renegociada.

n = 15

i = 12

Va = 1.003.753,37 P = ?

P = Va ( anI(P = 1.003.753,37 ( 6,810864 ( P = 147.375,33

Portanto, a resposta correta a letra bperodo de carncia

Professora Adriane Guarienti

e-mail: [email protected]

_1216709194.unknown

_1216710957.unknown

_1216711246.unknown

_1216712438.unknown

_1216710444.unknown

_1215431961.unknown

_1216708526.unknown

_1215429350.unknown