apostila de fisica bom

Física Geral e Experimental III

Mauro Noriaki TakedaAparecido Edilson Morcelli

Revisada por Mauro N. Takeda e Aparecido E. Morcelli

É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Física Geral e Experimental III, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.

A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.

Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de informação e documentação.

Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.

A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!

Unisa Digital

APRESENTAÇÃO

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................5

1 MOMENTO DE UMA FORÇA ...........................................................................................................71.1 Momento Resultante .....................................................................................................................................................81.2 Exercícios Resolvidos ......................................................................................................................................................81.3 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 10

2 EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS ....................................................................................... 112.1 Exercício Resolvido ...................................................................................................................................................... 122.2 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 142.3 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 14

3 DINÂMICA ................................................................................................................................................ 173.1 Massa ................................................................................................................................................................................. 173.2 Força .................................................................................................................................................................................. 183.3 Princípio da Inércia ou Primeira Lei de Newton ................................................................................................ 183.4 Princípio Fundamental da Dinâmica ou Segunda Lei de Newton ............................................................ 183.5 Peso .................................................................................................................................................................................... 193.6 Princípio da Ação e Reação ou Terceira Lei de Newton ................................................................................. 193.7 Exercícios Resolvidos ................................................................................................................................................... 213.8 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 303.9 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 30

4 PLANO INCLINADO ............................................................................................................................ 334.1 Exercício Resolvido ...................................................................................................................................................... 344.2 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 354.3 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 35

5 TRABALHO ............................................................................................................................................... 375.1 Exercícios Resolvidos ................................................................................................................................................... 395.2 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 415.3 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 41

6 POTÊNCIA ................................................................................................................................................. 436.1 Exercícios Resolvidos ................................................................................................................................................... 436.2 Rendimento .................................................................................................................................................................... 446.3 Exercício Resolvido ...................................................................................................................................................... 446.4 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 456.5 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 45

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 47

RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 49

REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................. 65

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INTRODUÇÃO

Esta apostila destina-se a estudantes de graduação para os cursos de Engenharia Ambiental, Enge-nharia de Produção ou afins, para acompanhamento do conteúdo de Física Geral e Experimental III, nos cursos a distância.

Com o intuito de simplificar a exposição dos tópicos abordados, procurou-se, através de uma lin-guagem simples, expor o conteúdo de forma sucinta e objetiva, com a dedução de parte das equações expostas no texto.

Neste curso, serão abordados o estudo de momento de uma força, as grandezas relacionadas com momento e as condições necessárias para termos o equilíbrio dos corpos rígidos. Será feito um estudo da dinâmica, falando de massa, força, peso, passando pelas três Leis de Newton e também pela aplicação dessas leis no plano inclinado. Também será feito um estudo dos temas trabalho, potência e rendimento, que têm estreitas ligações entre si.

Para complementar a teoria, são propostas atividades com grau de dificuldade gradativo. Além desta apostila, você terá como materiais de estudo as aulas web, material de apoio e aulas ao vivo. Serão utilizadas para avaliação as atividades, podendo ser atribuída uma nota ou não, e a prova presencial.

Esperamos que os alunos tenham facilidade na compreensão do texto apresentado, na realização dos exercícios propostos, bem como na realização das atividades.

Mauro Noriaki Takeda

Aparecido Edilson Morcelli


MOMENTO DE UMA FORÇA1

1 MOMENTO DE UMA FORÇA

Você já imaginou o que é o momento de uma força?

Imagine-se aplicando uma força para fechar ou abrir uma porta. Suponha que a mesma seja

perpendicular à porta; você notará que é mais fácil abrir ou fechar se a intensidade da força aplicada

for maior e mais difícil se for menor. Outra situação é que, se a mesma força for aplicada próximo da

maçaneta, é mais fácil abrir ou fechar a porta, enquanto, se for aplicada próximo da dobradiça, é mais

difícil.

ATENÇÃO

Você deve prestar muita atenção na aplicação das forças envolvidas no problema, revendo o sentido e a direção das forças aplicadas. A noção de vetor será importante no estudo do momento de uma força.

Podemos observar que a eficiência de uma força em produzir rotação em um corpo está

relacionada com a força aplicada e a distância do ponto de aplicação ao eixo de rotação. A grandeza

física que relaciona a força aplicada e a distância do ponto de aplicação dessa força ao eixo de rotação

é denominada momento ou torque.

Considere a barra da figura com um eixo de rotação perpendicular ao plano da figura, passando

por O, chamado polo do momento, sob a ação da força . A reta que passa pela força é chamada linha

de ação da força e a distância d do ponto O até a linha de ação da força é o braço do momento.

O momento da força em relação ao ponto O é dado por:

Em que:

é o momento da força em relação ao polo O;

é a força;

d é o braço do momento;

O é o polo do momento.

Você já imaginou o que é o momento de uma força?

Imagine-se aplicando uma força para fe-char ou abrir uma porta. Suponha que a mesma seja perpendicular à porta; você notará que é mais fácil abrir ou fechar se a intensidade da força aplicada for maior e mais difícil se for menor. Ou-tra situação é que, se a mesma força for aplicada próximo da maçaneta, é mais fácil abrir ou fechar a porta, enquanto, se for aplicada próximo da do-bradiça, é mais difícil.

Podemos observar que a eficiência de uma força em produzir rotação em um corpo está re-lacionada com a força aplicada e a distância do ponto de aplicação ao eixo de rotação. A grande-za física que relaciona a força aplicada e a distân-cia do ponto de aplicação dessa força ao eixo de rotação é denominada momento ou torque.

Considere a barra da figura com um eixo de rotação perpendicular ao plano da figura, pas-sando por O, chamado polo do momento, sob a ação da força F

. A reta que passa pela força é chamada linha de ação da força e a distância d do ponto O até a linha de ação da força é o braço do momento.

O momento da força F

em relação ao pon-to O é dado por:

dFMo ⋅=

Em que:

�� oM

é o momento da força em relação ao polo O;

�� F

é a força;

�� d é o braço do momento;

�� O é o polo do momento.

O momento em relação a um ponto O pode ser positivo ou negativo. Por convenção, se a tendência de rotação é no sentido anti-horário, adota-se o valor positivo (+) e, se a rotação for no sentido horário, adota-se o valor negativo (-).

A unidade de momento no Sistema Inter-nacional de Unidades (SI) é o Newton por metro, representado por mN ⋅ .

AtençãoAtenção

Você deve prestar muita atenção na aplicação das forças envolvidas no problema, revendo o sentido e a direção das forças aplicadas.

A noção de vetor será importante no estudo do momento de uma força.

Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli


O momento em relação a um ponto O pode ser positivo ou negativo. Por convenção, se a

tendência de rotação é no sentido anti-horário, adota-se o valor positivo (+) e, se a rotação for no

sentido horário, adota-se o valor negativo (-).

A unidade de momento no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o Newton por metro,

representado por .

1.1 Momento Resultante

Se um corpo está sob a ação de várias forças, o momento resultante em relação a um ponto O é

a soma dos momentos em relação ao ponto:

Ou seja:

ou

1.1 Momento Resultante

1.2 Exercícios Resolvidos

ATENÇÃO Você deve refazer os exercícios a seguir e analisar as dificuldades encontradas. Você deve começar com a figura, analisando cada ponto que está sendo estudado. O momento é dado pela expressão:

1. Uma barra de massa desprezível é fixada num plano vertical e pode girar em torno do ponto de

fixação. A força tem intensidade de 30 N. Determine o momento da força nos seguintes casos:

a) b)

c) d)

Resolução:

a) O momento é dado por . Substituindo os valores, temos:

b) O momento é dado por . Substituindo os valores, temos:

c) Observe que a linha de ação da força, nesse caso, passa pelo ponto O; portanto, o braço do

momento é nulo, ou seja, igual a zero, logo:

d) Nesse caso, como no item c, a linha de ação da força passa pelo ponto O; portanto:

Se um corpo está sob a ação de várias forças, o momento resultante em relação a um ponto O é a soma dos momentos em relação ao ponto:

Ou seja:

o,Fo,Fo,FR n21MMMM

+++=

ou

∑=

=n

1io,FR i

MM


1. Uma barra de massa desprezível é fixada num plano vertical e pode girar em torno do ponto de fixação. A força F

tem intensidade de 30 N. Determine o momento da força F

nos seguintes casos:

AtençãoAtenção

Você deve refazer os exercícios a seguir e analisar as dificuldades encontradas.

Você deve começar com a figura, analisando cada ponto que está sendo estudado. O momento é dado pela expressão:

dFMo ⋅=

b)



Resolução:

a) O momento é dado por dFMo ⋅=

. Substituindo os valores, temos:

b) O momento é dado por dFMo ⋅=

. Substituindo os valores, temos:

c) Observe que a linha de ação da força, nesse caso, passa pelo ponto O; portanto, o braço do momento é nulo, ou seja, igual a zero, logo:


mN0Mo ⋅=

2. Calcule o momento resultante produzido pelas forças F1 = 10 N, F2 = 12 N e F3 = 8 N em relação ao polo O e determine o sentido em que a barra irá girar.

2. Calcule o momento resultante produzido pelas forças F1 = 10 N, F2 = 12 N e F3 = 8 N em relação ao

polo O e determine o sentido em que a barra irá girar.

Resolução:

Inicialmente, vamos calcular o momento de cada uma das forças que atuam sobre a barra.

Como a força F1 faz a barra girar no sentido horário, o momento será negativo, ou seja:

A linha de ação da força F2 passa pelo polo O; portanto, o momento é igual a zero, ou seja,

.

Como a força F3 faz a barra girar no sentido anti-horário, o momento será positivo, ou seja:

O momento resultante é a soma dos momentos individuais de cada força, ou seja,

. Portanto:

Como o momento resultante é negativo (-), a barra irá girar no sentido horário.

Resolução:Inicialmente, vamos calcular o momento de cada uma das forças que atuam sobre a barra.Como a força F1 faz a barra girar no sentido horário, o momento será negativo, ou seja:





a) b)

c) d)

Resolução:










a) b)

c) d)

Resolução:










a) b)

c) d)

Resolução:








Resolução:




.



. Portanto:




1.3 Resumo do Capítulo


mN0M o,F2 ⋅= .Como a força F3 faz a barra girar no sentido anti-horário, o momento será positivo, ou seja:

33o,F dFM3

⋅=

18M o,F3 ⋅=

mN8M o,F3 ⋅=


o,Fo,Fo,FR 321MMMM

++= . Portanto:



Resolução:




.



. Portanto:



Caro(a) aluno(a), você verificou, neste capítulo, o momento de uma força. Agora, você pode calcular o momento resultante de uma força.

A expressão algébrica para o cálculo do momento é dada por:

dFMo ⋅=


EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS2

Para que um corpo rígido sujeito a um sis-tema de forças esteja em equilíbrio, deverão estar satisfeitas as seguintes condições:

�� A resultante das forças externas que agem sobre o corpo deve ser nula:

0FFFF n21R =+++=

ou

0Fn

1ii =∑

=

Isso significa que a força resultante das pro-jeções dessas forças sobre o eixo x deve ser igual a zero:

0FFFF xxxx n21R =+++=

ou

0Fn

1iix =∑

=

E a força resultante das projeções dessas forças sobre o eixo y deve ser igual a zero:

0FFFF yyyy n21R =+++=

ou

0Fn

1iiy =∑

=

Para que um ponto material permaneça em equi-líbrio, basta que a soma vetorial das forças agen-tes seja nula, isto é, que a força resultante sobre o ponto seja igual a zero e a resultante dos mo-mentos externos em relação a qualquer ponto seja igual a zero.

CuriosidadeCuriosidade

�� A resultante dos momentos externos em relação a qualquer ponto deve ser nula:

0MMMM n21R =+++=

ou

0Mn

1ii =∑

=



2.1 Exercício Resolvido

1. Uma barra homogênea de peso 10 N está apoiada nos extremos A e B, distanciados de 1 m. A 0,30

m da extremidade B, foi colocado um corpo C de peso 30 N. Determine as intensidades das reações

dos apoios A e B sobre a barra.

Resolução:

Vamos esquematizar as forças que agem no sistema.

A barra e o corpo C estão fazendo uma força para baixo sobre o apoio A; o apoio A, por sua vez,

reage (reação do apoio), fazendo uma força sobre a barra de mesma intensidade, porém de sentido

contrário. Essa força é chamada força normal e vamos representá-la por NA.

ATENÇÃO

Você deve realizar uma revisão sobre vetores. Lembre-se de que uma quantidade vetorial depende do módulo, direção e sentido. Cuidado!

Temos o peso da barra, que chamaremos de PB, e, como a barra é homogênea, podemos

considerar que o peso está concentrado no seu centro de gravidade; nesse caso, no centro da barra.

Temos o peso do corpo C, que representaremos por PC, e temos, no apoio B, situação

semelhante à do apoio A; portanto, temos a força normal NB.

Então, nosso objetivo é determinar os valores de NA e NB.

Como o sistema está em equilíbrio, uma das condições é que a resultante das forças que agem

no sistema deverá ser igual a zero, ou seja, . Considerando as forças orientadas para cima

positivas (+) e as orientadas para baixo negativas ( ), temos:





Resolução:





ATENÇÃO











AtençãoAtenção

Você deve realizar uma revisão sobre vetores. Lembre-se de que uma quantidade vetorial depende do módulo, dire-ção e sentido. Cuidado!





Resolução:





ATENÇÃO










(2.1)

A outra condição é que a resultante dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, .

Considerando o polo em A, temos:

Momento da reação do apoio NA (a linha de ação da força passa pelo polo):

Momento do peso da barra PB (barra gira no sentido horário):

Momento do peso do bloco PC (barra gira no sentido horário):

Momento da reação do apoio NB (barra gira no sentido anti-horário):

A resultante dos momentos será:

Substituindo o valor de NB na equação (2.1), temos:

Podemos resolver o momento considerando o polo em B; assim, temos:

1. Uma barra homogênea de peso 10 N está apoiada nos extremos A e B, distanciados de 1 m. A 0,30 m da extremidade B, foi colocado um corpo C de peso 30 N. Determine as intensidades das reações dos apoios A e B sobre a barra.

Resolução:


A barra e o corpo C estão fazendo uma força para baixo sobre o apoio A; o apoio A, por sua vez, reage (reação do apoio), fazendo uma força sobre a barra de mesma intensidade, porém de sentido con-trário. Essa força é chamada força normal e vamos representá-la por NA.

Temos o peso da barra, que chamaremos de PB, e, como a barra é homogênea, podemos considerar que o peso está concentrado no seu centro de gravidade; nesse caso, no centro da barra.

Temos o peso do corpo C, que representaremos por PC, e temos, no apoio B, situação semelhante à do apoio A; portanto, temos a força normal NB.


Como o sistema está em equilíbrio, uma das condições é que a resultante das forças que agem no

sistema deverá ser igual a zero, ou seja, 0Fn

1ii =∑

=

. Considerando as forças orientadas para cima positivas

(+) e as orientadas para baixo negativas (-), temos:



A outra condição é que a resultante dos mo-

mentos deve ser igual a zero, ou seja, 0Mn

1ii =∑

=

.


�� Momento da reação do apoio NA (a li-nha de ação da força passa pelo polo):

mN0M A,NA ⋅=

�� Momento do peso da barra PB (barra gira no sentido horário):

�� Momento do peso do bloco PC (barra gira no sentido horário):

�� Momento da reação do apoio NB (barra gira no sentido anti-horário):

1NM BA,NB ⋅=

mNNM BA,NB ⋅=

�� A resultante dos momentos será:

�� Substituindo o valor de NB na equação (2.1), temos:

Podemos resolver o momento consideran-do o polo em B; assim, temos:

�� Momento da reação do apoio NA (barra gira no sentido horário):

�� Momento do peso da barra PB (barra gira no sentido anti-horário):

�� Momento do peso do bloco PC (barra gira no sentido anti-horário):

�� Momento da reação do apoio NB (a li-nha de ação da força passa pelo polo):

�� A resultante dos momentos será:

�� Substituindo o valor de NA na equação (2.1), temos:

(2.1)










(2.1)










(2.1)










(2.1)










Momento da reação do apoio NA (barra gira no sentido horário):

Momento do peso da barra PB (barra gira no sentido anti-horário):

Momento do peso do bloco PC (barra gira no sentido anti-horário):

Momento da reação do apoio NB (a linha de ação da força passa pelo polo):


Substituindo o valor de NA na equação (2.1), temos:


Você deve ter notado que o centro de gravidade de um corpo é o ponto de aplicação da força

peso. A Terra atrai o corpo como se toda a sua massa estivesse localizada no centro de gravidade. Para

os corpos homogêneos, que têm massa uniformemente distribuída e admitem eixo de simetria, o

centro de gravidade está sobre esse eixo.












mNNM AB,NA ⋅−=

1NM AB,NA ⋅−=












0M B,NB =















2.3 Atividades Propostas2.3 Atividades Propostas

1. Uma barra AO situada num plano vertical pode girar em torno de um ponto O. Determine o momento da força de intensidade 120 N em relação ao ponto O, nos casos: a) b) c)

2. (UFRGS) Na figura, está representado um sistema mecânico em equilíbrio estático. X é uma barra

rígida, cilíndrica e homogênea; P é um ponto fixo; Y é uma esfera de

massa igual a 2,0 kg, pendurada na barra por um fio de massa

desprezível. Qual é, em N, o peso da barra?

3. (UCMG) A barra AB = 12 cm é homogênea e pesa 30 N. Qual é a

reação no apoio C?

4. (MED. POUSO ALEGRE-MG) Para sustentarmos, em equilíbrio, uma carga de

20 kgf suspensa no ponto médio de uma alavanca homogênea horizontal com

10 kgf de peso, articulada em A, conforme mostra a figura, qual a força F que

devemos fazer?

5. (UFRGS) Uma barra homogênea AB de peso 60 N e comprimento 1,2 m está apoiada no extremo A,

sendo mantida em equilíbrio por meio do fio ideal, conforme a

figura. Determine a intensidade da força de tração no fio e a

intensidade da força que o apoio exerce na barra.

Você deve ter notado que o centro de gravidade de um corpo é o ponto de aplicação da força peso. A Terra atrai o corpo como se toda a sua massa estivesse localizada no centro de gravidade. Para os cor-pos homogêneos, que têm massa uniformemente distribuída e admitem eixo de simetria, o centro de gravidade está sobre esse eixo.

1. Uma barra AO situada num plano vertical pode girar em torno de um ponto O. Determine o momento da força F

de intensidade 120 N em relação ao ponto O, nos casos:

2.3 Atividades Propostas











devemos fazer?





2. (UFRGS) Na figura, está representado um sistema mecânico em equilíbrio estático. X é uma barra rígida, cilíndrica e homogênea; P é um ponto fixo; Y é uma esfera de massa igual a 2,0 kg, pendurada na barra por um fio de massa desprezível. Qual é, em N, o peso da barra?












devemos fazer?





3. (UCMG) A barra AB = 12 cm é homogênea e pesa 30 N. Qual é a reação no apoio C?












devemos fazer?





4. (MED. POUSO ALEGRE-MG) Para sustentarmos, em equilíbrio, uma car-ga de 20 kgf suspensa no ponto médio de uma alavanca homogênea horizontal com 10 kgf de peso, articulada em A, conforme mostra a figura, qual a força F que devemos fazer?



5. (UFRGS) Uma barra homogênea AB de peso 60 N e com-primento 1,2 m está apoiada no extremo A, sendo manti-da em equilíbrio por meio do fio ideal, conforme a figura. Determine a intensidade da força de tração no fio e a in-tensidade da força que o apoio exerce na barra.

6. Dois meninos, A e B, estão equilibrados numa tábua de peso desprezível, apoiada em C, conforme a figura. Se o menino A pesa 30 kgf, para que haja equilíbrio, quanto o menino B deverá pesar?

7. (UFRGS) A figura mostra uma régua homogênea em equilí-brio estático, sob ação de várias forças. Quanto vale F

, em N?

8. A barra homogênea BC da figura tem peso 105 N e seu comprimento é de 10 m. O Centro de Gravidade (CG) e o ponto de apoio A da barra estão, respectivamente, a 5 m e 2 m da extremidade B. Qual é, em N, o peso do corpo X que deve ser suspenso no ponto B para manter a barra em equilíbrio mecânico, na posição horizontal?

9. (PUC) Uma régua graduada em cm, homogênea, tem 60 cm de comprimento e está suspensa através de um fio preso na marca dos 30 cm. Para equilibrar um peso de 20 N, colocado na marca dos 10 cm, em que posição da régua deve-se colocar outro corpo de peso 50 N, a fim de que a régua fique em equilíbrio na posição horizontal?

10. (PUC-MG) Uma barra rígida, de peso próprio desprezível, é utilizada como alavanca, conforme a figura. Com a car-ga suspensa no ponto A, a força F

que equilibra o siste-ma vale 200 N. Colocando-se outra carga de mesmo valor no ponto B, calcule o valor da nova força necessária para equilibrar o sistema.

0,9 m

A B C


DINÂMICA3

3.1 Massa

É a parte da Mecânica que estuda a relação entre o movimento dos corpos e as forças que o produzem, as causas que levam um corpo a en-trar em movimento, modificar o movimento ou chegar a ficar em repouso.

Saiba maisSaiba mais

Isaac Newton nasceu em Londres, no ano de 1643, e viveu até o ano de 1727.

Pode-se afirmar que Isaac Newton foi químico, físico e matemático. Trabalhou com Leibniz na elabora-ção do cálculo diferencial e infinitesimal.

Durante sua trajetória, ele descobriu várias leis da física, entre elas, a lei da gravidade.

Os princípios da dinâmica estão sintetiza-dos nas três leis do movimento de Newton, na obra Principia Mathematica Philosophiae Naturalis, na qual explica de forma completa o movimento dos corpos. A teoria desenvolvida por Newton sobre os movimentos dos corpos é denominada Mecânica Clássica ou Mecânica Newtoniana, que estabelece a relação entre a massa e a força.

A massa é uma grandeza fundamental da Física e definida sem rigor como a quantidade de matéria contida num corpo. A massa de um corpo pode ser medida por comparação, a partir de um corpo padrão, chamado quilograma-padrão, defi-nido pelo SI como sendo a massa de um cilindro de platina-irídio preservado na Repartição Inter-nacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, França, sendo-lhe atribuído, por definição, a massa de exatamente 1 quilograma (kg).


Massa é definida como a quantidade de matéria con-tida em um objeto ou corpo.

Pode-se afirmar que corresponde ao número total de partículas subatômicas (elétrons, prótons e nêu-trons) de um objeto.

Além do quilograma (kg), é comum a uti-lização do grama (g) e da tonelada (t), que são, respectivamente, submúltiplo e múltiplo do qui-lograma, sendo:

�� 1 kg = 1000 g ou 103 g;

�� 1 g = 0,001 kg ou 10–3 kg;

�� 1 t = 1000 kg ou 103 kg.



3.2 Força

3.3 Princípio da Inércia ou Primeira Lei de Newton

Na linguagem cotidiana, associa-se força com empurrar ou puxar alguma coisa. Em Física, define-se força como uma grandeza que se ma-nifesta pela modificação que provoca na veloci-dade de um corpo, deformação ou ambos os fe-nômenos.


“A força resultante (FR) de um sistema de forças con-siste no efeito produzido por uma força única ca-paz de produzir um efeito equivalente ao das várias forças aplicadas ao corpo.” (http://www.infopedia.pt/$forca-resultante).

A força é uma grandeza vetorial, pois é ne-cessário determinar a sua medida (módulo ou in-tensidade), a sua direção e o seu sentido para que fique perfeitamente caracterizada.

No SI, a unidade de força é o newton (N). Um newton (N) é a intensidade da força que, apli-cada a um corpo de massa 1 kg, lhe imprime uma aceleração de 1 m/s2, na mesma direção e sentido da força.

Inércia é a propriedade geral da matéria de resistir a qualquer variação em sua velocidade, ou seja, se a resultante das forças que agem sobre um corpo for igual a zero, ele tende a permanecer, por inércia, em repouso se estiver em repouso ou tende a permanecer, por inércia, em movimento retilíneo uniforme se estiver em movimento.

Newton enunciou sua primeira lei nas se-guintes palavras: “Qualquer corpo permanece em

seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja obrigado a modificar tal estado por forças aplicadas a ele.”

A ocorrência do repouso ou do movimento retilíneo uniforme depende apenas do referen-cial adotado. Os referenciais para os quais vale o princípio da inércia são chamados referenciais inerciais.

3.4 Princípio Fundamental da Dinâmica ou Segunda Lei de Newton

A segunda lei de Newton diz que, se a força resultante sobre um corpo for diferente de zero, sua velocidade sofre variação, ou seja, o corpo possui aceleração, portanto um corpo de massa m submetido a uma força resultante RF adquire uma aceleração a

na mesma direção e sentido da força, tal que:

A resultante das forças aplicadas a um cor-po é igual ao produto de sua massa pela acelera-ção adquirida.

No SI, a unidade de força é o newton (N); a unidade de massa, o quilograma (kg); e a unidade de aceleração, o metro por segundo por segundo (m/s2).

amFR ⋅=



3.5 Peso

Pela prática do nosso dia a dia e pela equa-ção fundamental da dinâmica amFR ⋅= , pode--se verificar que, se for aplicada a mesma força em corpos de massas diferentes, o corpo de maior massa adquire aceleração de menor módulo, ou

seja, é mais difícil fazer o corpo de maior massa sofrer variação da sua velocidade. Por isso, pode--se considerar a massa uma medida quantitativa da inércia de um corpo.

Todos os corpos abandonados próximo da superfície da Terra sofrem a influência de uma re-gião chamada campo gravitacional. Essa influên-cia manifesta-se na forma de força de atração, de-nominada força gravitacional.

O peso de um corpo, indicado por P , é a força gravitacional exercida sobre ele pela Terra. O peso, sendo uma força, é uma grandeza vetorial e tem direção vertical e sentido do centro da Terra.

Quando um corpo de massa m cai livremen-te, sua aceleração é a da gravidade g e a força que atua nele é o seu peso P . Aplicando-se a segunda lei de Newton, amFR ⋅= , a um corpo em queda livre, tem-se como força resultante RF o peso P e a aceleraçãoa é a aceleração da gravidade g . Portanto, pode-se escrever:

3.4 Princípio Fundamental da Dinâmica ou Segunda Lei de Newton

A segunda lei de Newton diz que, se a força resultante sobre um corpo for diferente de zero, sua

velocidade sofre variação, ou seja, o corpo possui aceleração, portanto um corpo de massa m

submetido a uma força resultante adquire uma aceleração na mesma direção e sentido da

força, tal que:

A resultante das forças aplicadas a um corpo é igual ao produto de sua massa pela aceleração

adquirida.

No SI, a unidade de força é o newton (N); a unidade de massa, o quilograma (kg); e a unidade de

aceleração, o metro por segundo por segundo (m/s2).

Pela prática do nosso dia a dia e pela equação fundamental da dinâmica , pode-se

verificar que, se for aplicada a mesma força em corpos de massas diferentes, o corpo de maior massa

adquire aceleração de menor módulo, ou seja, é mais difícil fazer o corpo de maior massa sofrer

variação da sua velocidade. Por isso, pode-se considerar a massa uma medida quantitativa da inércia

de um corpo.

3.5 Peso

Todos os corpos abandonados próximo da superfície da Terra sofrem a influência de uma região

chamada campo gravitacional. Essa influência manifesta-se na forma de força de atração, denominada

força gravitacional.

O peso de um corpo, indicado por , é a força gravitacional exercida sobre ele pela Terra. O

peso, sendo uma força, é uma grandeza vetorial e tem direção vertical e sentido do centro da Terra.

Quando um corpo de massa m cai livremente, sua aceleração é a da gravidade e a força que

atua nele é o seu peso . Aplicando-se a segunda lei de Newton, , a um corpo em queda

livre, tem-se como força resultante o peso e a aceleração é a aceleração da gravidade .

Portanto, pode-se escrever:

Em módulo:

Observe que massa e peso são grandezas diferentes. A massa de um corpo é uma grandeza intrínseca do corpo e o peso deste depende do local onde é medido em relação ao centro da Ter-ra, ou seja, do valor local de g.

gmP ⋅=

3.6 Princípio da Ação e Reação ou Terceira Lei de Newton

Quando dois corpos quaisquer interagem, as forças exercidas são mútuas. Quando um corpo exerce uma força sobre outro, o segundo corpo sempre exerce uma força no primeiro. Essas forças têm mesmo módulo e mesma direção, mas senti-dos opostos. Não existe uma única força isolada.

Se uma das forças envolvidas na interação entre dois corpos for denominada ”ação”, a outra será chamada “reação”. Qualquer delas pode ser considerada “ação” e a outra, “reação”.

Essa propriedade das forças foi enunciada originalmente por Newton em sua terceira lei de movimento: “A cada ação sempre se opõe uma reação igual, ou seja, as ações mútuas de dois cor-

pos, um sobre o outro, são sempre iguais e dirigi-das para partes contrárias.”

Observe que as forças de ação e de reação, que sempre ocorrem aos pares, atuam em corpos diferentes e, por esse motivo, não se equilibram. Se agissem no mesmo corpo, nunca se teria mo-vimento acelerado, uma vez que essas forças têm mesma intensidade, mesma direção e sentidos contrários, fazendo com que a força resultante sobre qualquer corpo seja sempre nula.

A Terra exerce, em um corpo próximo à su-perfície da Terra, a força peso P . Pelo princípio da ação e reação, o corpo também exerce uma força sobre a Terra, de mesma intensidade, mesma di-



reção e sentido contrário, P− (o sinal negativo é para indicar o sentido oposto). A reação do peso de um corpo está aplicada no centro da Terra.

Se um corpo em repouso estiver apoiado numa superfície horizontal, além da ação da força de atração da Terra, o corpo aplica sobre a super-fície uma força N de contato, cuja intensidade é igual à do seu peso P . Pelo princípio da ação e reação, a superfície exerce no corpo uma força N de reação de mesma intensidade, porém de sen-tido contrário.

Desse modo, no corpo atuam duas forças, que não formam entre si um par ação e reação, pois a reação do peso P está na Terra e a reação da força N está no apoio.

Não havendo outras forças aplicadas e es-tando o corpo em repouso, a resultante RF deve ser nula, o que ocorre se N = P.

A força de contato N é perpendicular à su-perfície de contato; por isso, é chamada força nor-mal ou reação normal do apoio.




do seu peso . Pelo princípio da ação e reação, a superfície exerce no corpo uma força de reação

de mesma intensidade, porém de sentido contrário.

Desse modo, no corpo atuam duas forças, que não formam entre si um par ação e reação, pois a

reação do peso está na Terra e a reação da força está no apoio.

Não havendo outras forças aplicadas e estando o corpo em repouso, a resultante deve ser

nula, o que ocorre se N = P.

A força de contato é perpendicular à superfície de contato; por isso, é chamada força normal

ou reação normal do apoio.


1. Um corpo de massa igual a 2 kg está apoiado sobre uma superfície horizontal

perfeitamente lisa. Uma força constante de intensidade 6 N é aplicada ao corpo,

conforme a figura. Determine a aceleração do bloco.

1. Um corpo de massa igual a 2 kg está apoiado sobre uma superfície ho-rizontal perfeitamente lisa. Uma força constante de intensidade 6 N é aplicada ao corpo, conforme a figura. Determine a aceleração do bloco.

Resolução:

De acordo com o enunciado do problema, tem-se:

�� m = 2 kg;

�� F = 6 N;

�� a = ?

Fazendo um esquema das forças que agem no bloco, tem-se:

A força peso P e a normal N anulam-se, pois têm a mesma intensidade e sentidos opostos, não sendo ação e reação entre si; portanto, a força resultante RF é a força F .

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, amFR ⋅= , e efetuando as substituições, tem-se:

amF ⋅= a26 ⋅=

26a =

2s

m3a =

2. O esquema representa um conjunto de três corpos, A, B e C, em tandem, de massas 2 kg, 3 kg e 5 kg, respectivamente. A força F , horizontal, tem intensidade 60 N. Desprezando os atritos, determine:

a) A aceleração do conjunto.

b) A tração no fio que une A e B.

c) A tração no fio que une B e C.

Resolução:Os dados fornecidos no enunciado do problema são:�� mA = 2 kg;

�� mB = 3 kg;

�� mC = 5 kg;

�� F = 60 N.

Resolução:

De acordo com o enunciado do problema, tem-se:

m = 2 kg;

F = 6 N;

a = ?

Fazendo um esquema das forças que agem no bloco, tem-se:

A força peso e a normal anulam-se, pois têm a mesma

intensidade e sentidos opostos, não sendo ação e reação entre si;

portanto, a força resultante é a força .

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, , e efetuando as substituições, tem-

se:

2. O esquema representa um conjunto de três corpos, A, B e C, em tandem, de massas 2 kg, 3 kg e 5 kg,

respectivamente. A força , horizontal, tem intensidade 60 N. Desprezando os atritos, determine:


b) A tração no fio que une A e B.

c) A tração no fio que une B e C.

Resolução:

Os dados fornecidos no enunciado do problema são:

;

;

;

F = 60 N.



a) Analisando as forças que agem em cada bloco e fazendo um esquema delas, excluindo o peso e a normal de cada bloco, que se anulam, como visto no exercício anterior, tem-se:

Em que, T1 é chamada força de tração (T) do fio e é uma força de ação e reação, ou seja, força que o bloco A exerce puxando o bloco B e reação do bloco B puxando A; portanto, têm a mesma intensidade, sentidos opostos e estão aplicadas em corpos diferentes. T2 também é força de tração (T) e é uma força de ação e reação, ou seja, força que o bloco B exerce puxando o bloco C e reação do bloco C puxando B; portanto, também têm a mesma intensidade, sentidos opostos e estão aplicadas em corpos diferentes.

No bloco A, existem duas forças agindo, F e T1, de sentidos opostos. Como a força F consegue puxar o conjunto de blocos A, B e C, ela é maior que T1; por isso, a força resultante RF no corpo A é 1TF − , ou seja, 1R TFF −= .

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, amFR ⋅= , no corpo A e substituindo RF por

1TF − , tem-se:

amTFAcorpo A1 ⋅=−⇒

No bloco B, também existem duas forças agindo, T1 e T2, de sentidos opostos. Como a força T1 con-segue puxar o conjunto de blocos B e C, ela é maior que T2; por isso, a força resultante RF no corpo A é

21 TT − , ou seja, 21R TTF −= .

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, amFR ⋅= , no corpo B e substituindo RF por

21 TT − , tem-se:

amTTBcorpo B21 ⋅=−⇒

No corpo C, só há uma força agindo, T2; portanto, a força resultante RF é igual a T2, ou seja, 2R TF = .

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, amFR ⋅= , no corpo C e substituindo RF por T2, tem-se:

amTCcorpo C2 ⋅=⇒

Somando-se as equações dos corpos A, B e C, tem-se:

amamamFamTamTTamTF

CBAC2B21A1

⋅+⋅+⋅=

+⋅=⋅=−⋅=−

B

a) Analisando as forças que agem em cada bloco e fazendo um esquema delas, excluindo o peso e a

normal de cada bloco, que se anulam, como visto no exercício anterior, tem-se:

Em que, T1 é chamada força de tração (T) do fio e é uma força de ação e reação, ou seja, força que

o bloco A exerce puxando o bloco B e reação do bloco B puxando A; portanto, têm a mesma

intensidade, sentidos opostos e estão aplicadas em corpos diferentes. T2 também é força de tração (T)

e é uma força de ação e reação, ou seja, força que o bloco B exerce puxando o bloco C e reação do

bloco C puxando B; portanto, também têm a mesma intensidade, sentidos opostos e estão aplicadas

em corpos diferentes.

No bloco A, existem duas forças agindo, F e T1, de sentidos opostos. Como a força F consegue

puxar o conjunto de blocos A, B e C, ela é maior que T1; por isso, a força resultante no corpo A é

, ou seja, .

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, , no corpo A e substituindo por

, tem-se:

No bloco B, também existem duas forças agindo, T1 e T2, de sentidos opostos. Como a força T1

consegue puxar o conjunto de blocos B e C, ela é maior que T2; por isso, a força resultante no

corpo A é , ou seja, .

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, , no corpo B e substituindo por

, tem-se:

No corpo C, só há uma força agindo, T2; portanto, a força resultante é igual a T2, ou seja,

.

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, , no corpo C e substituindo por

T2, tem-se:



Quando se efetua a soma de ( )11 TT −+ e ( )22 TT −+ , eles se anulam. Desse modo, no primeiro membro da igualdade (antes do sinal de igual), fica só a força F e, no segundo membro (depois do sinal de igual), pode-se colocar a aceleração (a) em evidência, ficando:

( ) ammmF CBA ⋅++=

Substituindo os valores fornecidos pelo problema na equação, calcula-se a aceleração adquirida pelo conjunto:

b) Substituindo o valor da aceleração (a) na equação do corpo A, tem-se:

Multiplicando ambos os membros da igualdade por (-1), tem-se:

c) Efetuando-se a substituição dos valores da aceleração (a) e da tração T1 na equação do corpo B, determina-se o valor da tração T2:


Quando se efetua a soma de e , eles se anulam. Desse modo, no primeiro

membro da igualdade (antes do sinal de igual), fica só a força F e, no segundo membro (depois do

sinal de igual), pode-se colocar a aceleração (a) em evidência, ficando:

Substituindo os valores fornecidos pelo problema na equação, calcula-se a aceleração adquirida

pelo conjunto:








pelo conjunto:








pelo conjunto:



c) Efetuando-se a substituição dos valores da aceleração (a) e da tração T1 na equação do corpo B,

determina-se o valor da tração T2:


Efetuando-se a substituição do valor da aceleração (a) na equação do corpo C, tem-se:

Observe que as trações T2, aplicada ao corpo B, e T2, aplicada ao corpo C, são iguais, pois elas

formam par ação e reação entre si; portanto, têm a mesma intensidade.

3. A figura mostra um bloco A, de massa 6 kg, sobre uma superfície

horizontal lisa, puxado por outro bloco B, de massa 2 kg, através de uma

corda que passa sobre uma polia (roldana). Suponha que a polia não

tenha massa nem atrito, servindo apenas para mudar a direção da tração

da corda naquele ponto e considere . Determine a aceleração

do sistema e a tração na corda.

Resolução:


;

;

.





Observe que as trações T2, aplicada ao corpo B, e T2, aplicada ao corpo C, são iguais, pois elas for-mam par ação e reação entre si; portanto, têm a mesma intensidade.

3. A figura mostra um bloco A, de massa 6 kg, sobre uma superfície hori-zontal lisa, puxado por outro bloco B, de massa 2 kg, através de uma corda que passa sobre uma polia (roldana). Suponha que a polia não tenha massa nem atrito, servindo apenas para mudar a direção da tra-ção da corda naquele ponto e considere













Resolução:


;

;

.

. Determine a ace-leração do sistema e a tração na corda.

Resolução:Os dados fornecidos no enunciado do problema são:�� mA = 6 kg;

�� mB = 2 kg;

��













Resolução:


;

;

.

.

Inicialmente, deve-se fazer uma análise das forças que agem em cada bloco e fazer um esquema delas:













Resolução:


;

;

.













Resolução:


;

;

.













Resolução:


;

;

. Inicialmente, deve-se fazer uma análise das forças que agem em cada bloco e fazer um esquema

delas:

O corpo B não está apoiado em uma superfície horizontal; portanto, não existe a força normal

agindo sobre ele. A força peso do corpo B (PB) está puxando o corpo B para baixo, que, por sua vez,

puxa o corpo A através da corda, com uma força de tração T (ação). O corpo A, por sua vez, reage

fazendo uma força T sobre o corpo B.

No corpo B, existem duas forças agindo, e T, de sentidos opostos. Como a força

consegue puxar o conjunto de blocos A e B, ela é maior que T; por isso, a força resultante no corpo

B é , ou seja, .


, tem-se:

No corpo A, o peso PA e a normal anulam-se, como visto no exercício 1; portanto, o corpo A está

sujeito somente à força de tração T, que é a ação do corpo B puxando A. Como, no corpo A, só há uma

força agindo, T, a força resultante é igual a T, ou seja, .


T, tem-se:

Somando-se as equações dos corpos A e B, tem-se:



O corpo B não está apoiado em uma superfície horizontal; portanto, não existe a força normal agindo sobre ele. A força peso do corpo B (PB) está puxando o corpo B para baixo, que, por sua vez, puxa o corpo A através da corda, com uma força de tração T (ação). O corpo A, por sua vez, reage fazendo uma força T sobre o corpo B.

No corpo B, existem duas forças agindo, BP e T, de sentidos opostos. Como a força BP consegue puxar o conjunto de blocos A e B, ela é maior que T; por isso, a força resultante RF no corpo B é TPB −, ou seja, TPF BR −= .

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, amFR ⋅= , no corpo B e substituindo RF por TPB − , tem-se:

amTPBcorpo BB ⋅=−⇒

No corpo A, o peso PA e a normal anulam-se, como visto no exercício 1; portanto, o corpo A está sujeito somente à força de tração T, que é a ação do corpo B puxando A. Como, no corpo A, só há uma força agindo, T, a força resultante RF é igual a T, ou seja, TFR = .

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, amFR ⋅= , no corpo A e substituindo RF por T, tem-se:

amTAcorpo A ⋅=⇒


amamPamTamTP

BABABB

⋅+⋅=

+⋅=⋅=−

Como T e -T são forças de ação e reação relativas aos corpos A e B, elas têm a mesma intensidade; desse modo, quando se efetua a soma de ( )TT −+ , elas anulam-se. Portanto, no primeiro membro da igualdade (antes do sinal de igual), fica só a força peso PB e, no segundo membro (depois do sinal de igual), pode-se colocar a aceleração (a) em evidência, ficando:

( ) ammP BAB ⋅+=

De acordo com essa equação, a força resultante é PB; portanto, deve-se determinar a intensidade de PB para determinar a aceleração do conjunto.

Conforme visto anteriormente, o peso de um corpo é dado por:

gmP ⋅=

Ou seja, para o corpo B, tem-se:

gmP BB ⋅=

A



Como T e -T são forças de ação e reação relativas aos corpos A e B, elas têm a mesma

intensidade; desse modo, quando se efetua a soma de , elas anulam-se. Portanto, no

primeiro membro da igualdade (antes do sinal de igual), fica só a força peso PB e, no segundo membro

(depois do sinal de igual), pode-se colocar a aceleração (a) em evidência, ficando:

De acordo com essa equação, a força resultante é PB; portanto, deve-se determinar a intensidade

de PB para determinar a aceleração do conjunto.



Sendo a massa do corpo B dada no problema igual a 2 kg, o peso de B terá intensidade:

Substituindo a intensidade de PB e as massas de A e B na equação , calcula-

se a aceleração adquirida pelo conjunto:

Para determinar a tração na corda que une os corpos A e B, substitui-se o valor da aceleração (a)

na equação do corpo B, tendo:


Substituindo a intensidade de PB e as massas de A e B na equação ( ) ammP BAB ⋅+= , calcula-se a aceleração adquirida pelo conjunto:

Para determinar a tração na corda que une os corpos A e B, substitui-se o valor da aceleração (a) na equação do corpo B, tendo:


Efetuando-se a substituição do valor da aceleração (a) na equação do corpo A, determina-se tam-bém a intensidade da tração:




























Efetuando-se a substituição do valor da aceleração (a) na equação do corpo A, determina-se

também a intensidade da tração:

4. No arranjo experimental da figura (máquina de Atwood), os fios e as polias têm massas desprezíveis.

O fio é inextensível e passa sem atrito pela polia. Considere: e

. Adote . Determine:

a) A aceleração dos corpos.

b) A tração no fio.

c) A tração na haste que sustenta a polia.

Resolução:


;

;

.

a) Analisando as forças que agem em cada bloco e fazendo um esquema delas, tem-se:










Resolução:


;

;

.




4. No arranjo experimental da figura (máquina de Atwood), os fios e as polias têm massas despre-zíveis. O fio é inextensível e passa sem atrito pela polia. Considere:










Resolução:


;

;

.


e










Resolução:


;

;

.


Adote










Resolução:


;

;

.


Determine:




Resolução:

Os dados fornecidos no enunciado do problema são:��










Resolução:


;

;

.


;

��










Resolução:


;

;

.


;

��










Resolução:


;

;

.



O corpo A não está apoiado em uma superfície horizontal; portanto, não existe a força normal agin-do sobre ele, o mesmo ocorrendo com o corpo B. A força peso do corpo A (PA) está puxando o corpo A para baixo e a força peso do corpo B (PB) está puxando o corpo B para baixo; portanto, deve-se calcular as intensidades dos pesos de A e B para determinar o sentido do movimento do conjunto.

O peso do corpo A é:










Resolução:


;

;

.











Resolução:


;

;

.


O corpo A não está apoiado em uma superfície horizontal; portanto, não existe a força normal

agindo sobre ele, o mesmo ocorrendo com o corpo B. A força peso do corpo A (PA) está puxando o

corpo A para baixo e a força peso do corpo B (PB) está puxando o corpo B para baixo; portanto, deve-

se calcular as intensidades dos pesos de A e B para determinar o sentido do movimento do conjunto.


O peso do corpo B é:

Sendo o peso de A maior que o de B, o conjunto move-se no sentido horário, ou seja, o corpo A

desce e o corpo B sobe.

O corpo A puxa o corpo B através da corda com uma força de tração T (ação). O corpo B, por sua

vez, reage fazendo uma força T sobre o corpo A.

No corpo A, existem duas forças agindo, e , de sentidos opostos. Como o corpo A está

descendo, a força é maior que T; desse modo, a força resultante no corpo A é , ou seja,

.


, tem-se:

No corpo B, existem duas forças agindo, e , de sentidos opostos. Como foi verificado na

análise das forças, o corpo B está subindo, portanto é maior que ; desse modo, a força resultante

no corpo B é , ou seja, .


, tem-se:




Sendo o peso de A maior que o de B, o conjunto move-se no sentido horário, ou seja, o corpo A desce e o corpo B sobe.

O corpo A puxa o corpo B através da corda com uma força de tração T (ação). O corpo B, por sua vez, reage fazendo uma força T sobre o corpo A.

No corpo A, existem duas forças agindo, AP e T , de sentidos opostos. Como o corpo A está des-cendo, a força AP é maior que T; desse modo, a força resultante RF no corpo A é TPA − , ou seja,

TPF AR −= .

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, amFR ⋅= , no corpo A e substituindo RF por TPA − , tem-se:

amTPAcorpo AA ⋅=−⇒

No corpo B, existem duas forças agindo, BP e T , de sentidos opostos. Como foi verificado na aná-lise das forças, o corpo B está subindo, portanto T é maior que BP ; desse modo, a força resultante RF no corpo B é BPT − , ou seja, BR PTF −= .

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, amFR ⋅= , no corpo B e substituindo RF por

BPT − , tem-se:

amPTBcorpo BB ⋅=−⇒


amamPPamPTamTP

BABABBAA

⋅+⋅=−

+⋅=−⋅=−

Como T e -T são forças de ação e reação relativas aos corpos A e B, elas têm a mesma intensidade; desse modo, quando se efetua a soma de ( )TT −+ , elas anulam-se. Portanto, no primeiro membro da igualdade (antes do sinal de igual), fica a força peso PA menos a força peso PB e, no segundo membro (depois do sinal de igual), pode-se colocar a aceleração (a) em evidência, ficando:

( ) ammPP BABA ⋅+=−

O corpo A não está apoiado em uma superfície horizontal; portanto, não existe a força normal

agindo sobre ele, o mesmo ocorrendo com o corpo B. A força peso do corpo A (PA) está puxando o

corpo A para baixo e a força peso do corpo B (PB) está puxando o corpo B para baixo; portanto, deve-

se calcular as intensidades dos pesos de A e B para determinar o sentido do movimento do conjunto.



Sendo o peso de A maior que o de B, o conjunto move-se no sentido horário, ou seja, o corpo A

desce e o corpo B sobe.

O corpo A puxa o corpo B através da corda com uma força de tração T (ação). O corpo B, por sua

vez, reage fazendo uma força T sobre o corpo A.

No corpo A, existem duas forças agindo, e , de sentidos opostos. Como o corpo A está

descendo, a força é maior que T; desse modo, a força resultante no corpo A é , ou seja,

.


, tem-se:

No corpo B, existem duas forças agindo, e , de sentidos opostos. Como foi verificado na

análise das forças, o corpo B está subindo, portanto é maior que ; desse modo, a força resultante

no corpo B é , ou seja, .


, tem-se:



Substituindo as intensidades de PA e PB e as massas de A e B na equação, determina-se a aceleração adquirida pelo conjunto:

b) Para determinar a tração na corda que une os corpos A e B, substitui-se o valor da aceleração (a) na equação do corpo A, tendo:


Efetuando-se a substituição do valor da aceleração (a) na equação do corpo B, determina-se tam-bém a intensidade da tração:

c) Para calcular a tração na haste que sustenta a polia (será chamada T1), consideram-se as forças aplicadas à polia. O fio que une os corpos aplica sobre a polia duas forças de intensidades T e o fio que prende ao teto aplica uma força de tração T1, conforme esquema de forças na figura a seguir.




primeiro membro da igualdade (antes do sinal de igual), fica a força peso PA menos a força peso PB e,

no segundo membro (depois do sinal de igual), pode-se colocar a aceleração (a) em evidência,

ficando:

Substituindo as intensidades de PA e PB e as massas de A e B na equação, determina-se a

aceleração adquirida pelo conjunto:

b) Para determinar a tração na corda que une os corpos A e B, substitui-se o valor da aceleração (a) na

equação do corpo A, tendo:





primeiro membro da igualdade (antes do sinal de igual), fica a força peso PA menos a força peso PB e,

no segundo membro (depois do sinal de igual), pode-se colocar a aceleração (a) em evidência,

ficando:

Substituindo as intensidades de PA e PB e as massas de A e B na equação, determina-se a

aceleração adquirida pelo conjunto:

b) Para determinar a tração na corda que une os corpos A e B, substitui-se o valor da aceleração (a) na

equação do corpo A, tendo:


Efetuando-se a substituição do valor da aceleração (a) na equação do corpo B, determina-se


c) Para calcular a tração na haste que sustenta a polia (será chamada T1), consideram-se as forças

aplicadas à polia. O fio que une os corpos aplica sobre a polia duas forças de intensidades T e o fio que

prende ao teto aplica uma força de tração T1, conforme esquema de forças na figura a seguir.

Como T e T1 têm sentidos opostos, para que a força resultante sobre a polia seja nula, é

necessário que T1 = 2T, portanto o valor de T1 será:


Olá, aluno(a)! Agora, você é capaz de calcular a força da aceleração de um corpo de massa m.

Lembre-se de que as equações de Newton são importantes no estuda da dinâmica.

Neste capítulo, você aprendeu a definir a força como interações entre corpos, que causam

variações no seu estado de movimento ou uma deformação.

Você deve lembrar-se do princípio fundamental da dinâmica, ou segunda lei de Newton:

















Como T e T1 têm sentidos opostos, para que a força resultante sobre a polia seja nula, é necessário que T1 = 2T, portanto o valor de T1 será:














Olá, aluno(a)! Agora, você é capaz de calcular a força da aceleração de um corpo de massa m. Lem-bre-se de que as equações de Newton são importantes no estuda da dinâmica.

Neste capítulo, você aprendeu a definir a força como interações entre corpos, que causam varia-ções no seu estado de movimento ou uma deformação.


amF

⋅=


1. Dois corpos, A e B, de massas mA = 2,0 kg e mB = 3,0 kg, encontram-se apoiados sobre um plano horizontal liso. Ao corpo A, é aplicada uma força F horizontal, de módulo 10 N, con-forme a figura. Determine:


b) A força que o corpo A exerce em B.

2. Os corpos A, B e C têm massas mA = 1,0 kg, mB = 3,0 kg e mC = 2,0 kg. Os fios que ligam os corpos são ideais e a força F horizontal aplicada ao corpo C tem módulo 30 N. Considerando o atrito desprezível, determine:

a) A aceleração do conjunto de corpos.

b) A tração em cada fio.


1. Dois corpos, A e B, de massas mA = 2,0 kg e mB = 3,0 kg, encontram-se apoiados sobre um plano

horizontal liso. Ao corpo A, é aplicada uma força horizontal, de módulo 10 N, conforme a figura.

Determine:



2. Os corpos A, B e C têm massas mA = 1,0 kg, mB = 3,0 kg e mC = 2,0 kg. Os fios que ligam os corpos são

ideais e a força horizontal aplicada ao corpo C tem módulo 30 N. Considerando o atrito desprezível,

determine:




ideais. A força horizontal aplicada ao corpo C tem módulo 28 N e a força horizontal aplicada ao corpo

A tem módulo 10 N. Considerando o atrito

desprezível, determine:



4. Os corpos da figura estão ligados por um fio ideal, que passa por uma polia de atrito desprezível.

Considerando que a superfície horizontal na qual o corpo B está apoiado

tem atrito desprezível, determine:

a) A aceleração de cada corpo.

b) A tração no fio que une os corpos.

5. Na figura, sistema conhecido como máquina de Atwood, as massas dos corpos

A e B são mA = 4,0 kg e mB = 1,0 kg. Considerando a polia ideal, determine:

a) A aceleração dos corpos A e B.

b) A tração no fio que liga os corpos.

Adote g=10 m/s2.




Determine:





determine:


















Adote g=10 m/s2.



3. Os corpos A, B e C têm massas mA = 1,0 kg, mB = 3,0 kg e mC = 2,0 kg. Os fios que ligam os corpos são ideais. A força horizontal aplicada ao corpo C tem módulo 28 N e a força horizontal aplicada ao corpo A tem módulo 10 N. Considerando o atrito desprezível, determine:



4. Os corpos da figura estão ligados por um fio ideal, que passa por uma polia de atrito desprezível. Considerando que a superfície ho-rizontal na qual o corpo B está apoiado tem atrito desprezível, de-termine:



5. Na figura, sistema conhecido como máquina de Atwood, as massas dos cor-pos A e B são mA = 4,0 kg e mB = 1,0 kg. Considerando a polia ideal, deter-mine:



Adote g=10 m/s2.

6. O corpo A está preso por um fio ideal ao corpo B, passando por uma polia de massa desprezível. O corpo A arrasta um corpo sobre o plano horizontal. Determine:



c) A força que B aplica em C.

7. Supondo desprezíveis os atritos, determine as trações nos dois fios, no sistema representado na figura. Adote g = 10 m/s2.




Determine:





determine:


















Adote g=10 m/s2.




Determine:





determine:


















Adote g=10 m/s2.




Determine:





determine:


















Adote g=10 m/s2.

6. O corpo A está preso por um fio ideal ao corpo B, passando por uma

polia de massa desprezível. O corpo A arrasta um corpo sobre o plano

horizontal. Determine:




7. Supondo desprezíveis os atritos, determine

as trações nos dois fios, no sistema

representado na figura. Adote g = 10 m/s2.

8. Dois corpos, A e B, de massas respectivamente iguais a 4 kg e 5 kg, estão ligados por um

fio ideal, conforme mostra a figura. Aplica-se ao corpo A uma força , vertical, de

intensidade 117 N. Adote g = 10 m/s2.

a) Qual a aceleração do conjunto?

b) Qual a intensidade da tração no fio?

9. Na figura, X e Y são corpos interligados por um fio inextensível, de massa

desprezível e perfeitamente flexível, que passa por uma polia. A aceleração de Y é

igual a 2,0 m/s2 e seu peso é igual a 30,0 N. A seta indica o sentido da aceleração

de Y. Considerando que os atritos são desprezíveis e que a aceleração

gravitacional local é igual a 10,0 m/s2, calcule a massa do corpo X.

10. O sistema de dois blocos ligados por um fio é puxado, sobre um plano horizontal sem atrito, por

uma força constante , paralela ao plano. Determine a razão

entre os módulos da força e a força de tração no fio AB.

























8. Dois corpos, A e B, de massas respectivamente iguais a 4 kg e 5 kg, estão ligados por um fio ideal, conforme mostra a figura. Aplica-se ao corpo A uma força F , vertical, de intensidade 117 N. Adote g = 10 m/s2.



9. Na figura, X e Y são corpos interligados por um fio inextensível, de massa desprezível e perfeitamente flexível, que passa por uma polia. A aceleração de Y é igual a 2,0 m/s2 e seu peso é igual a 30,0 N. A seta indica o sentido da aceleração de Y. Considerando que os atritos são desprezíveis e que a acele-ração gravitacional local é igual a 10,0 m/s2, calcule a massa do corpo X.













































10. O sistema de dois blocos ligados por um fio é puxado, sobre um plano horizontal sem atrito, por uma força constante F , paralela ao plano. Determine a razão entre os módulos da força F e a força de tração no fio AB.
























4 PLANO INCLINADO

As forças que agem sobre um corpo apoiado em um plano inclinado, que forma um ângulo

com a horizontal, são:

Adotando um sistema de coordenadas, de modo que o eixo x seja paralelo ao plano inclinado,

temos:

Fazendo a decomposição das forças segundo o sistema de coordenadas, temos:

A componente do peso na direção de x é determinada por:

PLANO INCLINADO4

As forças que agem sobre um corpo apoiado em um plano inclinado, que forma um ângulo α com a horizontal, são:

Adotando um sistema de coordenadas, de modo que o eixo x seja paralelo ao plano inclinado, temos:

4 PLANO INCLINADO




temos:




4 PLANO INCLINADO




temos:





A componente do peso na direção de y é determinada por:

Na direção y, .

Na direção tangente ao plano inclinado, temos:


1. (UF-PI) Um bloco de peso P desliza ao longo de um plano

inclinado com atrito desprezível, conforme a figura. Dados

e , determine a aceleração do bloco.


Na direção y, .







A componente do peso na direção de x ( )xP é determinada por:

A componente do peso na direção de y ( )yP é determinada por:


Na direção y, .






Na direção y, α⋅⋅== cosgmPN y .Na direção tangente ao plano inclinado, temos:

amFR ⋅=

amPx ⋅=

amsengm ⋅=α⋅⋅

α⋅= senga

1. (UF-PI) Um bloco de peso P desliza ao longo de um plano inclinado com atrito desprezível, con-forme a figura. Dados

2s

m8,9g = e α = 30°, determine a aceleração do bloco.





Resolução:

Como a única força que age no bloco no sentido do movimento é a componente Px, a aceleração

é determinada por:


Você aprendeu a realizar a decomposição da força peso na direção normal ao plano e da força

peso na direção paralela ao plano.

Lembre-se de que:

e


1. Um corpo de massa 6 kg é abandonado sobre um plano inclinado, com ângulo de elevação de 30º.

O atrito entre o corpo e o plano é desprezível. Considere g = 9,8 m/s2. Determine:

a) A aceleração do corpo.

b) A intensidade da reação normal de apoio.

2. Um corpo de massa 4 kg move-se sobre um plano inclinado perfeitamente liso, puxado por uma

força paralela ao plano inclinado, conforme a figura. Considerando g = 9,8 m/s2, determine a

intensidade de nos seguintes casos:

a) O corpo sobe o plano inclinado com aceleração de 2 m/s2.

b) O corpo sobe o plano inclinado com velocidade constante.

Resolução:

Como a única força que age no bloco no sentido do movimento é a componente Px, a aceleração

é determinada por:


Você aprendeu a realizar a decomposição da força peso na direção normal ao plano e da força

peso na direção paralela ao plano.

Lembre-se de que:

e


1. Um corpo de massa 6 kg é abandonado sobre um plano inclinado, com ângulo de elevação de 30º.

O atrito entre o corpo e o plano é desprezível. Considere g = 9,8 m/s2. Determine:



2. Um corpo de massa 4 kg move-se sobre um plano inclinado perfeitamente liso, puxado por uma

força paralela ao plano inclinado, conforme a figura. Considerando g = 9,8 m/s2, determine a

intensidade de nos seguintes casos:



Resolução:

Como a única força que age no bloco no sentido do movimento é a componente Px, a aceleração é determinada por:

Você aprendeu a realizar a decomposição da força peso na direção normal ao plano e da força peso na direção paralela ao plano.

Lembre-se de que:

αPsenPx =e

αcosPPy =

1. Um corpo de massa 6 kg é abandonado sobre um plano inclinado, com ângulo de elevação de 30º. O atrito entre o corpo e o plano é desprezível. Considere g = 9,8 m/s2. Determine:



2. Um corpo de massa 4 kg move-se sobre um plano inclinado per-feitamente liso, puxado por uma força F

paralela ao plano incli-nado, conforme a figura. Considerando g = 9,8 m/s2, determine a intensidade de F

nos seguintes casos:





3. No sistema, o atrito entre os blocos e o plano inclinado e o atrito na polia são desprezíveis. Sendo

, as massas do corpo A e B, respectivamente, 30 kg e 20

kg e adotando g = 9,8 m/s2, determine:

a) A força normal que os blocos A e B exercem sobre a superfície.

b) A aceleração do sistema.

c) A tração no fio.

4. Um corpo de peso 200 N encontra-se em equilíbrio sobre um plano inclinado sob a ação de uma

força paralela ao plano. Desprezando os atritos, calcule:

a) A intensidade da força .

b) A intensidade da força normal que o corpo exerce sobre o plano

inclinado.

5. No esquema, os corpos A e B têm massas 3 kg e 2 kg,

respectivamente. O plano inclinado é perfeitamente liso e o fio e a

roldana são ideais. Sendo g = 10 m/s2, determine:



3. No sistema, o atrito entre os blocos e o plano inclinado e o atrito na polia são desprezíveis. Sendo α = 30°, as massas do corpo A e B, respectivamente, 30 kg e 20 kg e adotando g = 9,8 m/s2, determine:




4. Um corpo de peso 200 N encontra-se em equilíbrio sobre um plano in-clinado sob a ação de uma força F

paralela ao plano. Desprezando os atritos, calcule:

a) A intensidade da força F

.

b) A intensidade da força normal que o corpo exerce sobre o plano inclinado.

5. No esquema, os corpos A e B têm massas 3 kg e 2 kg, respectiva-mente. O plano inclinado é perfeitamente liso e o fio e a roldana são ideais. Sendo g = 10 m/s2, determine:













inclinado.
















inclinado.







5 TRABALHO

Em Física, trabalho é uma grandeza que mede a relação entre força e deslocamento. Na figura,

tem-se o caso mais simples, no qual a força é constante e o corpo movimenta-se no mesmo sentido

da força.

Nesse caso, o trabalho realizado pela força sobre o corpo é definido como:

Em que:

(letra grega, lida como tau) é o símbolo de trabalho;

F é a força aplicada no corpo;

d é o deslocamento produzido pela força.

A unidade de medida do trabalho no SI é o joule, cujo símbolo é J. Como a força é medida em

newton (N) e o deslocamento em metro (m), o joule corresponde a newton por metro, ou seja:

A grandeza que estamos denominando de trabalho é completamente descrita por um número,

positivo ou negativo. No caso de a força não provocar deslocamento, o trabalho é nulo.

Para um caso mais geral, a força aplicada ao corpo pode ter uma direção que não seja

totalmente coincidente com a direção do deslocamento, ou seja, a força pode estar inclinada em

relação à direção do deslocamento. Nesse caso, a força pode ser decomposta e uma de suas

componentes estará na direção do deslocamento , conforme figura a seguir. Esta é a

componente que nos interessa, pois é ela que realiza trabalho (produz deslocamento).

TRABALHO5

Em Física, trabalho é uma grandeza que mede a relação entre força e deslocamento. Na figura, tem-se o caso mais simples, no qual a força F

é constante e o corpo movimenta-se no mes-mo sentido da força.

Nesse caso, o trabalho realizado pela força F

sobre o corpo é definido como:

dF ⋅=τ

Em que:

�� t (letra grega, lida como tau) é o símbo-lo de trabalho;

�� F é a força aplicada no corpo;

�� d é o deslocamento produzido pela for-ça.

A unidade de medida do trabalho no SI é o joule, cujo símbolo é J. Como a força é medida em newton (N) e o deslocamento em metro (m), o joule corresponde a newton por metro, ou seja:

mN1J1 ⋅=

A grandeza que estamos denominando de trabalho é completamente descrita por um nú-mero, positivo ou negativo. No caso de a força não provocar deslocamento, o trabalho é nulo.

Para um caso mais geral, a força aplicada ao corpo pode ter uma direção que não seja to-talmente coincidente com a direção do desloca-mento, ou seja, a força pode estar inclinada em relação à direção do deslocamento. Nesse caso, a força pode ser decomposta e uma de suas com-ponentes estará na direção do deslocamento ( )α⋅cosF , conforme figura a seguir. Esta é a com-ponente que nos interessa, pois é ela que realiza trabalho (produz deslocamento).

Sendo a força de interesse que realiza tra-

balho α⋅cosF , de acordo com a definição de trabalho, pode-se escrever:

( ) dcosF ⋅α⋅=τ

Ou reordenando os fatores:

α⋅⋅=τ cosdFEm que:

�� F = força aplica no corpo;

�� d = deslocamento;

�� a = ângulo entre a força e a direção do deslocamento;

�� cosa = cosseno do ângulo a.



Sendo a força de interesse que realiza trabalho , de acordo com a definição de trabalho,

pode-se escrever:

Ou reordenando os fatores:

Em que:

F = força aplica no corpo;

d = deslocamento;

= ângulo entre a força e a direção do deslocamento;

cos = cosseno do ângulo .

Observe que a componente é a componente perpendicular à direção do movimento e

não influencia o deslocamento; portanto, não realiza trabalho.

O trabalho é positivo quando a força e o deslocamento estão no mesmo sentido. Nesse caso, a

força está a favor do movimento do corpo, conforme figura a seguir.

O trabalho é negativo quando a força e o deslocamento estão em sentidos opostos, como

mostra a figura a seguir. Nesse caso, a força que está produzindo o trabalho negativo é contrária ao

movimento do corpo, como no caso da força de atrito.

Um caso particular importante é o trabalho realizado pela força peso (P). Se um corpo estiver a

uma determinada altura do solo, a força peso irá atuar de modo a produzir um deslocamento vertical

no corpo, trazendo-o em direção ao solo.

Se um corpo de massa m cai em queda livre, em um local em que a aceleração da gravidade é g,

a força peso é . Se o corpo estava a uma altura h do solo, o deslocamento será h, conforme

mostra a figura a seguir.

Assim sendo, substituindo os valores na expressão do trabalho , o trabalho da força peso

será:


1. Considere um corpo C sob a ação de uma força F = 35 N. Sabendo que a força provoca um

deslocamento de d = 60 m e que a força está no mesmo sentido desse deslocamento, calcule o

trabalho realizado pela força.

Observe que a componente α⋅ senF é a componente perpendicular à direção do movimento e não influencia o deslocamento; portanto, não realiza trabalho.

O trabalho é positivo quando a força e o deslocamento estão no mesmo sentido. Nesse caso, a força está a favor do movimento do corpo, conforme figura a seguir.

O trabalho é negativo quando a força e o deslocamento estão em sentidos opostos, como mostra a figura a seguir. Nesse caso, a força que está produzindo o trabalho negativo é contrária ao movimento do corpo, como no caso da força de atrito.

Um caso particular importante é o trabalho realizado pela força peso (P). Se um corpo estiver a uma determinada altura do solo, a força peso irá atuar de modo a produzir um deslocamento vertical no corpo, trazendo-o em direção ao solo.

Se um corpo de massa m cai em queda livre, em um local em que a aceleração da gravidade é g, a força peso é gm P ⋅= . Se o corpo estava a uma altura h do solo, o deslo-camento será h, conforme mostra a figura ao lado.

Assim sendo, substituindo os valores na expressão do trabalho dF ⋅=τ , o trabalho da força peso será:

Um caso particular importante é o trabalho realizado pela força peso (P). Se um corpo estiver a

uma determinada altura do solo, a força peso irá atuar de modo a produzir um deslocamento vertical

no corpo, trazendo-o em direção ao solo.

Se um corpo de massa m cai em queda livre, em um local em que a aceleração da gravidade é g,

a força peso é . Se o corpo estava a uma altura h do solo, o deslocamento será h, conforme

mostra a figura a seguir.

Assim sendo, substituindo os valores na expressão do trabalho , o trabalho da força peso

será:


1. Considere um corpo C sob a ação de uma força F = 35 N. Sabendo que a força provoca um

deslocamento de d = 60 m e que a força está no mesmo sentido desse deslocamento, calcule o

trabalho realizado pela força.

hgm ⋅⋅=τ

hP ⋅=τ




1. Considere um corpo C sob a ação de uma força F = 35 N. Sabendo que a força provoca um deslocamento de d = 60 m e que a força está no mesmo sentido desse deslocamento, calcule o trabalho realizado pela força.

Resolução:

Os dados fornecidos no problema são:

�� F = 35 N;

�� d = 60 m.

Na figura a seguir, está representada a situação na qual a força está no mesmo sentido do desloca-mento.

Substituindo os valores fornecidos no problema na expressão do trabalho dF ⋅=τ , tem-se:t = 35 . 60

t = 2100 JObservação: Neste caso, o trabalho é positivo, denominado trabalho motor, pois a força favorece o

deslocamento.

2. Considere um corpo C sob a ação de uma força F = 27 N atuando em sentido contrário ao do deslocamento do corpo. Se o deslocamento do corpo é d = 15 m, calcule o trabalho.

Resolução:


�� F = 27 N;

�� d = 15 m.

Na figura a seguir, está representada a situação na qual a força está em sentido contrário ao do deslocamento.

Resolução:


F = 35 N;

d = 60 m.

Na figura a seguir, está representada a situação na qual a força está no mesmo sentido do

deslocamento.

Substituindo os valores fornecidos no problema na expressão do trabalho , tem-se:

= 35 . 60

= 2100 J

Observação: Neste caso, o trabalho é positivo, denominado trabalho motor, pois a força favorece

o deslocamento.

2. Considere um corpo C sob a ação de uma força F = 27 N atuando em sentido contrário ao do

deslocamento do corpo. Se o deslocamento do corpo é d = 15 m, calcule o trabalho.

Resolução:


F = 27 N;

d = 15 m.

Na figura a seguir, está representada a situação na qual a força está em sentido contrário ao do

deslocamento.



Como o deslocamento e a força têm sentidos contrários, se considerar que o deslocamento é no

sentido positivo, a força deverá ser considerada negativa, ou seja, F = -27 N. Substituindo os valores

fornecidos no problema na expressão do trabalho , tem-se:

= –27 . 15

= -405 J

Observação: Neste caso, o trabalho é negativo, denominado trabalho resistente, pois a força está

em sentido contrário ao do deslocamento. Este é o caso de força dissipativa, como o atrito.

3. Um corpo de massa m = 4 kg cai de uma altura de 36 m. Sabendo que a aceleração da gravidade no

local é , calcule o trabalho realizado pela força peso.

Resolução:


m = 4 kg;

h = 36 m;

.

Substituindo os valores fornecidos no problema na expressão do trabalho da força peso

, tem-se:

= 4 . 10 . 36

= 1440 J

4. Um corpo se desloca d = 80 m, sob a ação de uma força F = 3 N. Sabe-se que a força faz um ângulo

de 30º com a direção do deslocamento. Calcule o trabalho.

Como o deslocamento e a força têm sentidos contrários, se considerar que o deslocamento é no sentido positivo, a força deverá ser considerada negativa, ou seja, F = -27 N. Substituindo os valores for-necidos no problema na expressão do trabalho dF ⋅=τ , tem-se:

t = –27 . 15t = -405 J

Observação: Neste caso, o trabalho é negativo, denominado trabalho resistente, pois a força está em sentido contrário ao do deslocamento. Este é o caso de força dissipativa, como o atrito.

3. Um corpo de massa m = 4 kg cai de uma altura de 36 m. Sabendo que a aceleração da gravida-de no local é




= –27 . 15

= -405 J





Resolução:


m = 4 kg;

h = 36 m;

.


, tem-se:

= 4 . 10 . 36

= 1440 J



, calcule o trabalho realizado pela força peso.

Resolução:


�� m = 4 kg;

�� h = 36 m;

��




= –27 . 15

= -405 J





Resolução:


m = 4 kg;

h = 36 m;

.


, tem-se:

= 4 . 10 . 36

= 1440 J



.

Substituindo os valores fornecidos no problema na expressão do trabalho da força peso hgm ⋅⋅=τ, tem-se:

t = 4 . 10 . 36t = 1440 J

4. Um corpo se desloca d = 80 m, sob a ação de uma força F = 3 N. Sabe-se que a força faz um ângulo de 30º com a direção do deslocamento. Calcule o trabalho.

Resolução:


��F = 3 N;��d = 80 m;��α = 30°.



Na figura a seguir, está representada a situação na qual a força faz um ângulo α com o sentido do deslocamento.

Substituindo os valores fornecidos no problema na expressão do trabalho da força que está inclina-da em relação à direção do deslocamento α⋅⋅=τ cosdF , tem-se:

Resolução:


F = 3 N;

d = 80 m;

.

Na figura a seguir, está representada a situação na qual a força faz um ângulo α com o sentido

do deslocamento.

Substituindo os valores fornecidos no problema na expressão do trabalho da força que está

inclinada em relação à direção do deslocamento , tem-se:


Você observou que trabalho, em Física, está sempre relacionado a uma força e a um

deslocamento. Uma força aplicada a um corpo realiza trabalho quando produz um deslocamento do

corpo. Como a força é uma quantidade vetorial, ela depende de módulo, direção e sentido.

Agora, você já sabe definir o trabalho motor em relação ao trabalho resistente.


1. Um corpo sofre a ação de uma força F = 10 N e se desloca, na mesma direção e sentido da força, por

2 m. Calcule o trabalho realizado pela força.


Você observou que trabalho, em Física, está sempre relacionado a uma força e a um deslocamento. Uma força aplicada a um corpo realiza trabalho quando produz um deslocamento do corpo. Como a força é uma quantidade vetorial, ela depende de módulo, direção e sentido.

Agora, você já sabe definir o trabalho motor em relação ao trabalho resistente.


1. Um corpo sofre a ação de uma força F = 10 N e se desloca, na mesma direção e sentido da força, por 2 m. Calcule o trabalho realizado pela força.

2. Um corpo sofre a ação de uma força F = 25 N e se desloca, na mesma direção, porém em senti-do contrário ao da força, por 4 m. Calcule o trabalho realizado pela força.

3. Um corpo de massa m =15 kg cai de uma altura de 50 m, sob a ação da gravidade terrestre. Calcule o trabalho realizado pela força da gravidade. Considere

2sm8,9g = .

4. Um corpo sofre a ação de uma força F = 8 N. Esta atua em uma direção que faz um ângulo de 45º com a direção do deslocamento. Calcule o trabalho realizado pela força, sabendo que o corpo se desloca por 25 m.



5. Uma pequena esfera de massa m = 0,2 kg está presa à extremidade de um fio de comprimento 0,8 m, que tem a outra extremidade fixa num ponto O. Determine o trabalho que o peso da esfera realiza no desloca-mento de A para B, conforme a figura. Considere

2sm8,9g = .

6. Um corpo de 10 kg de massa é deslocado, por uma distância de 20 m, pela força F = 50 N apli-cada na direção do deslocamento. Sendo o coeficiente de atrito entre o corpo e a superfície

3,0=µ , calcule o trabalho realizado pela força resultante.

7. Um corpo de 0,200 kg cai do repouso em queda livre durante 5,0 s. Considerando o valor da aceleração da gravidade no local igual a

2sm8,9 , determine o trabalho realizado pela força

gravitacional durante a queda.

8. Um móvel de massa 40 kg tem velocidade constante de 90 km/h. Num determinado ins-tante, entra numa região rugosa, na qual o coeficiente de atrito é igual a 0,2. Considerando

2sm8,9g = , determine:

a) O espaço percorrido pelo móvel na região rugosa até parar.

b) O trabalho realizado pela força de atrito.


POTÊNCIA6

Potência é definida como a razão entre o trabalho realizado por uma força e o intervalo de tempo gasto para realizar esse trabalho.

tP

∆τ

=

Em que:

�� P é a potência;

�� t é o trabalho realizado;

�� ∆t é o intervalo de tempo.

Vimos que dF ⋅=τ . Substituindo na equa-ção da potência, temos:

tdFP

∆⋅

=

Mas t

dvm ∆= .

Quando 0t →∆ , vm = v, portanto, P = F.v

Em que:

�� P é a potência;

�� F é a força que realiza o trabalho;

�� v é a velocidade.

A unidade de potência no SI é o watt (W),

que corresponde a joule por segundo (sJ ). Ou-

tras unidades de potência muito utilizadas são o

Horse Power (HP) e o Cavalo-Vapor (CV), e as suas

relações com o watt são:�� 1 CV = 735,5 W;

�� 1 HP = 746 W.

É comum utilizar o múltiplo do watt, que é o quilowatt, representado por kW, ou seja, 1 kW = 1000 W.


1. Calcule a potência média desenvolvida por uma pessoa que eleva a 20 m de altura, com velo-cidade constante, um corpo de massa 5 kg, em 10 s. Adote

2s

m8,9g = .

Resolução:

Inicialmente, devemos calcular o trabalho realizado:


1. Calcule a potência média desenvolvida por uma pessoa que eleva a 20 m de altura, com velocidade

constante, um corpo de massa 5 kg, em 10 s. Adote .

Resolução:


Tendo o trabalho, podemos determinar a potência:

2. Uma força horizontal constante é aplicada pelo motor de um carro, a fim de manter sua velocidade

constante igual a 30 m/s, na direção da força aplicada. Se a potência do motor é de 60000 W, qual a

intensidade da força aplicada por ele?

Resolução:

P = F.v

60000 = F.30

F = 2000 N

6.2 Rendimento

A eficiência de uma máquina é determinada pela grandeza chamada rendimento , que é

definida como a razão entre a potência útil e a potência total , ou seja,



6.2 Rendimento



2. Uma força horizontal constante é aplicada pelo motor de um carro, a fim de manter sua veloci-dade constante igual a 30 m/s, na direção da força aplicada. Se a potência do motor é de 60000 W, qual a intensidade da força aplicada por ele?

Resolução:




Resolução:






Resolução:

P = F.v

60000 = F.30

F = 2000 N

6.2 Rendimento


definida como a razão entre a potência útil e a potência total , ou seja,




Resolução:






Resolução:

P = F.v

60000 = F.30

F = 2000 N

6.2 Rendimento


definida como a razão entre a potência útil e a potência total , ou seja, A eficiência de uma máquina é determina-da pela grandeza chamada rendimento ( )η , que é definida como a razão entre a potência útil ( )uP e a potência total ( )tP , ou seja,

tu

PP

=η

Observações:

1. O rendimento é adimensional;

2. O rendimento pode ser expresso em percentagem;

3. O rendimento sempre é maior que zero e menor que 1.

1. O rendimento de uma máquina é de 80%. Sabendo-se que ela realiza um trabalho de 1000 J em 20 s, determine a potência total consumida pela máquina.

Resolução:

Primeiramente, devemos calcular a potência útil.



Observações:

1) O rendimento é adimensional;

2) O rendimento pode ser expresso em percentagem;

3) O rendimento sempre é maior que zero e menor que 1.


1. O rendimento de uma máquina é de 80%. Sabendo-se que ela realiza um trabalho de 1000 J em 20

s, determine a potência total consumida pela máquina.

Resolução:


O rendimento de 80% é igual a 0,8; assim, utilizando a equação do rendimento, podemos

determinar a potência total:

O rendimento de 80% é igual a 0,8; assim, utilizando a equação do rendimento, podemos determi-nar a potência total:

Observações:

1) O rendimento é adimensional;

2) O rendimento pode ser expresso em percentagem;

3) O rendimento sempre é maior que zero e menor que 1.


1. O rendimento de uma máquina é de 80%. Sabendo-se que ela realiza um trabalho de 1000 J em 20

s, determine a potência total consumida pela máquina.

Resolução:


O rendimento de 80% é igual a 0,8; assim, utilizando a equação do rendimento, podemos

determinar a potência total:


Agora, você já pode definir a potência. Devemos lembrar-nos da relação algébrica:

Para definirmos a potência média, basta realizarmos a razão entre o trabalho desenvolvido por uma força e o tempo gasto em realizá-lo.

tPpot ∆

=τ


1. Calcule a potência média de um motor, cuja força realiza um trabalho de 1600 J, em 8 segundos.

2. Um corpo de massa 2 kg está inicialmente em repouso. Num dado instante, passa a atuar sobre ele uma força F

constante e igual a 10 N. Sabendo-se que, após percorrer 10 m, sua velocidade é de 10 m/s, calcule nesse deslocamento:

a) O trabalho da força F

.

b) Sua potência média.

c) Sua potência instantânea (para v = 10 m/s).



3. Para arrastar um corpo de massa 100 kg entre dois pontos com movimento uniforme, um mo-tor de potência igual a 500 W opera durante 120 s. Determine o trabalho motor realizado.

4. Uma locomotiva, deslocando-se com velocidade constante de 15,2 m/s, exerce uma tração de 91000 N no engate. Qual a potência em CV que desenvolve?

5. Um motor de potência 60 kW aciona um veículo durante 2 h. Calcule o trabalho desenvolvido pelo motor.


Espera-se que, com esta apostila, o(a) aluno(a) se envolva na disciplina, entenda e consiga definir os conceitos básicos de momento de uma força, equilíbrio dos corpos rígidos e dinâmica; conceituar e definir as três leis de Newton, massa e peso; saber as grandezas envolvidas nas três leis de Newton; definir trabalho de uma força, potência e rendimento; desenvolver o raciocínio lógico; saber utilizar e aplicar as equações pertinentes aos vários assuntos abordados e estudados na presente apostila no âmbito profis-sional e, consequentemente, na sociedade em que se encontra inserido(a).

CONSIDERAÇÕES FINAIS7


RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS


CAPÍTULO 2

ATENÇÃO

Prezado(a) aluno(a), a seguir, você poderá se utilizar da resolução comentada das atividades propostas sobre momento de uma força e equilíbrio dos corpos rígidos. Tenha em mãos uma calculadora científica para facilitar os cálculos. Tente resolver as atividades antes e, posteriormente, consulte a resolução.

1. a)

O momento de F, em relação ao ponto O, é nulo, pois a distância do ponto O até a linha de ação

F é nula.

b) A rotação será no sentido anti-horário (+). A força F = 120N e d = 3m.

c)

A rotação será no sentido anti-horário (+). Vamos, agora, calcular o momento:


CAPÍTULO 2

ATENÇÃO


1. a)


F é nula.


c)


AtençãoAtenção

Prezado(a) aluno(a), a seguir, você poderá se utilizar da resolução comentada das atividades propostas sobre mo-mento de uma força e equilíbrio dos corpos rígidos.

Tenha em mãos uma calculadora científica para facilitar os cálculos.

Tente resolver as atividades antes e, posteriormente, consulte a resolução.

1. a)

O momento de F, em relação ao ponto O, é nulo, pois a distância do ponto O até a linha de ação F é nula.

b)

A rotação será no sentido anti-horário (+).

A força F = 120N e d = 3m.

( ) ( ) mNmNM F ⋅=⋅= 36031200,

c)


CAPÍTULO 2

ATENÇÃO


1. a)


F é nula.


c)



CAPÍTULO 2

ATENÇÃO


1. a)


F é nula.


c)




2. 3.

=0

4.

2. 3.

=0

4.

A rotação será no sentido anti-horário (+).

Vamos, agora, calcular o momento:

mNmNM F ⋅=⋅= 72061200,

2.

3.

2. 3.

=0

4.

2. 3.

=0

4.

4.

2. 3.

=0

4.



5. 6. 7.

5. 5. 6. 7.

5. 6. 7.



8. Devemos analisar a partir do ponto de apoio A.

9. 10. À distância do polo O até o ponto p corresponde a e à distância até a aplicação da força F corresponde 3a.



CAPÍTULO 3 ATENÇÃO Caro(a) aluno(a)! Antes de utilizar a resolução das atividades, faça um breve resumo das equações utilizadas em dinâmica. A aplicação das equações nas atividades comentadas, utilizando a álgebra, é importante no desenvolvimento da Física. 1- a) Você deve isolar os corpos e indicar as forças que agem sobre cada um. Para cada corpo, vamos ter uma equação de acordo com a equação:

Realizando a soma das equações temos:

b) Agora, calcule a força que o corpo A exerce no corpo B.

2. a) Para você calcular a aceleração, basta utilizar a equação:

b) A tração no fio será dada por:






AtençãoAtenção

Caro(a) aluno(a)!

Antes de utilizar a resolução das atividades, faça um breve resumo das equações utilizadas em dinâmica.

A aplicação das equações nas atividades comentadas, utilizando a álgebra, é importante no desenvolvimento da Física.








3. a) Você pode calcular a aceleração do conjunto utilizando a equação:

b) Para calcular a tração em cada fio, você deverá utilizar cada equação:

4. a) A aceleração do conjunto será dada pela equação:

b) Você pode calcular a tração no fio que liga o corpo A e o corpo B utilizando a equação:

5. a) Você pode calcular a aceleração do conjunto. Observe que o peso do corpo A corresponde a 40N. Utilize a equação:

b) A tração nos fios que liga os corpos, pode ser calculado por:

6. a) Você deve isolar cada corpo e verificar as forças que agem sobre cada um.

b) A tração no fio:

c) Para a força que o corpo B aplica em C, você deve usar a equação:

7. Você deve calcular a aceleração do conjunto. Vamos utilizar a equação:

Para calcular a tração em cada fio, temos:



























8. a) Para você determinar a aceleração dos corpos, não se esqueça de analisar o peso do corpo A. A equação será dada por:


9. Como X terá a mesma aceleração de Y, temos:

equação 1 Para determinar a massa de corpo Y, temos:

Substituindo o valor da massa do corpo Y na equação 1, temos:

10. Para determinar a razão entre a força e a tração, devemos verificar as forças aplicadas em cada corpo.



8. a) Para você determinar a aceleração dos corpos, não se esqueça de analisar o peso do corpo A. A equação será dada por:


9. Como X terá a mesma aceleração de Y, temos:

equação 1 Para determinar a massa de corpo Y, temos:

Substituindo o valor da massa do corpo Y na equação 1, temos:

10. Para determinar a razão entre a força e a tração, devemos verificar as forças aplicadas em cada corpo.

A soma das equações: A tração será dada por:

A razão será:

CAPÍTULO 4 ATENÇÃO

Olá, aluno(a)!

Até aqui, você já dominou a decomposição das forças e já realizou os cálculos utilizando as equações.

Você, agora, vai analisar a decomposição da força em um plano inclinado. Não se esqueça de que o

ângulo dado será importante para a análise das forças que agem sobre o corpo

1. a) Você deve analisar as forças que estão agindo sobre o corpo. Não se esqueça de determinar o cosseno e o seno do ângulo de 30º.

Para você determinar a aceleração do corpo no plano inclinado, você deve utilizar as forças que agem no plano, ou seja:

Agora, você determinou a aceleração do bloco no plano inclinado. Foi fácil! Basta decompor a força peso. b) A intensidade da reação normal de apoio no plano inclinado é:

Você deve lembrar que a normal é perpendicular ao plano. Caso tenha dúvida, volte ao texto sobre a decomposição da força peso no plano inclinado. Vamos, agora, substituir o peso pelas variáveis massa e aceleração gravitacional:




A razão será:


Olá, aluno(a)!









A razão será:


Olá, aluno(a)!








AtençãoAtenção

Olá, aluno(a)!

Até aqui, você já dominou a decomposição das forças e já realizou os cálculos utilizando as equações. Você, agora, vai analisar a decomposição da força em um plano inclinado. Não se esqueça de que o ângulo dado será importante para a análise das forças que agem sobre o corpo

2.

a) O corpo sobe o plano inclinado com aceleração de . Você deve analisar as forças que

agem tangencialmente no plano. A equação será:

b) O corpo sobe o plano com velocidade constante. Neste caso, você já sabe que a aceleração será zero e a nossa equação será dada por:

3. a) Você deve analisar cada bloco de forma isolada.

b) Você, agora, vai calcular a aceleração do sistema. Neste caso, vamos necessitar do valor do peso do bloco B na direção x, ou seja:

A aceleração do sistema será:

c) Você, agora, pode calcular a tração no fio. Você pode notar como é fácil calcular a tração no fio. Vamos utilizar a equação:

2.











A razão será:


Olá, aluno(a)!









A razão será:


Olá, aluno(a)!








2.








2.








4. a) Para você calcular a intensidade da força , basta realizar a decomposição das forças que agem sobre o bloco, como você fez nos exercícios anteriores. O bloco está em equilíbrio no plano inclinado, portanto:

b) Você pode calcular a normal ao plano utilizando a equação:

5. a) Você vai calcular a aceleração dos blocos. Qual o sentido da aceleração? Você deve analisar o peso de cada bloco. Neste caso, temos:

Como , o corpo B desce e o corpo A sobe ao longo do plano inclinado.









CAPÍTULO 5

ATENÇÃO Você vai poder aplicar a equação da definição do trabalho de uma força. Lembre-se da equação:

Faça uma revisão do texto escrito e refaça os exercícios resolvidos. Acredito que você vai conseguir

resolver facilmente os exercícios propostos.

1. Você deve utilizar a equação da definição do trabalho de uma força. Neste caso, temos:

Você deve lembrar-se da unidade joule. Como o trabalho é motor.

2. Você deve observar que a força está na mesma direção, porém em sentido oposto ao do deslocamento. A partir da equação do trabalho, temos:

Neste caso, você deve observar que o trabalho é dito resistente, pois .

3. Você deve analisar o problema relativo ao trabalho realizado pelo corpo de massa m, que se encontra a certa altura h e sob a ação da aceleração gravitacional local g. Vamos analisar a equação do trabalho:

4. Neste exercício, você não pode esquecer-se de relacionar o ângulo de 45º com a direção de deslocamento. O trabalho será dado por:

CAPÍTULO 5










AtençãoAtenção

Você vai poder aplicar a equação da definição do trabalho de uma força. Lembre-se da equação:

dFBA ⋅=

,τFaça uma revisão do texto escrito e refaça os exercícios resolvidos. Acredito que você vai conseguir resolver facilmen-te os exercícios propostos.

CAPÍTULO 5










5.

Você deve lembrar que a força peso da bola na posição A, em função da aceleração gravitacional local, fará com que a bola se desloque do ponto A até o ponto B. Vamos calcular o trabalho, utilizando a equação:

6. Neste problema, foi introduzido o conceito do coeficiente de atrito. A força de atrito é dada por: . Como a normal é igual ao peso, temos: .

A força resultante será dada por:

Agora, você pode calcular o trabalho realizado, dado por:

7. O problema nos fornece o tempo de queda do corpo, que está sob a ação da aceleração

gravitacional. A altura pode ser calculada pela equação: . Portanto, a altura será:

Agora, você pode calcular o trabalho realizado pela força gravitacional durante a queda livre:

8. Você deve observar que a superfície rugosa possui um coeficiente de atrito igual a e atuará no sentido contrário ao do deslocamento. A força de atrito será: ; portanto, a

aceleração será .

a) Como você já calculou a aceleração, agora é possível calcular o espaço percorrido, dado pela equação de Torricelli:








CAPÍTULO 5










CAPÍTULO 5










5.













5.











b) O trabalho realizado pela força de atrito será: (o trabalho é resistente)

CAPÍTULO 6

ATENÇÃO

Agora, vamos resolver os problemas envolvendo o conceito de potência. Você irá relacionar as

equações que usamos anteriormente no cálculo da potência. Não esqueça a equação que relaciona o

trabalho pela unidade de tempo, ou seja:

1. Você pode perceber que o problema fornece o trabalho e o tempo. Neste caso, pode-se utilizar a equação:

2.

a) Para calcular o trabalho, temos: .

b) Pela equação de Torricelli, temos:

Você pode calcular o tempo através da equação: ; portanto, a potência será:

c) Para calcular a potência, temos:

3. Neste exercício, você deve lembrar que o corpo realiza um movimento uniforme, ou seja, a aceleração é zero. O cálculo do trabalho em função da potência e do tempo é dado por:

Ou:


CAPÍTULO 6

ATENÇÃO





2.






Ou:

AtençãoAtenção

Agora, vamos resolver os problemas envolvendo o conceito de potência. Você irá relacionar as equações que usamos anteriormente no cálculo da potência. Não esqueça a equação que relaciona o trabalho pela unidade de tempo, ou seja:


CAPÍTULO 6

ATENÇÃO





2.






Ou:


CAPÍTULO 6

ATENÇÃO





2.






Ou:

4. O problema pede para você calcular a potência, em cavalo-vapor, que a locomotiva desenvolve. O problema fornece a força e a velocidade média. Vamos utilizar a equação:

Para transformar W em CV, temos:

5. Neste exercício, você deve lembrar que 60 kW = 60000 W. Como é fornecido o tempo em horas, vamos transformá-lo em segundos, ou seja, 2 h = 7200 s. Agora, vamos substituir na equação para o cálculo da potência:



5.












CAPÍTULO 6

ATENÇÃO





2.






Ou:


CAPÍTULO 6

ATENÇÃO





2.






Ou:


CAPÍTULO 6

ATENÇÃO





2.






Ou:

4. O problema pede para você calcular a potência, em cavalo-vapor, que a locomotiva desenvolve. O problema fornece a força e a velocidade média. Vamos utilizar a equação:

Para transformar W em CV, temos:

5. Neste exercício, você deve lembrar que 60 kW = 60000 W. Como é fornecido o tempo em horas, vamos transformá-lo em segundos, ou seja, 2 h = 7200 s. Agora, vamos substituir na equação para o cálculo da potência:


REFERÊNCIAS

AMALDI, U. Imagens da física: as idéias e as experiências do pêndulo aos quarks. São Paulo: Scipione, 1995.

BONJORNO, R. A. et al. Física fundamental: 2º Grau, volume único. São Paulo: FTD, 1993.

FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T.; SANTOS, J. I. C. Aulas de física 1. São Paulo: Atual, 1984.

______. Física básica – Volume único. São Paulo: Atual, 1998.

HALLIDAY, D. et al. Física 1. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

HERSKOWICZ, G.; PENTEADO, P. C. M.; SCOLFARO, V. Curso completo de física: volume único. São Paulo: Moderna, 1991.

OREAR, J. Fundamentos da física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1981. 1 v.

PARANÁ, D. N. Física – Volume único. São Paulo: Ática, 1995.

PAULI, R. U. et al. Física 1: mecânica. São Paulo: Pedagógica e Universitária, 1978.

RAMALHO JUNIOR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. Os fundamentos da física. São Paulo: Moderna, 1993. 1 v.

TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 1 v.

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