Apostila de FT

8/6/2019 Apostila de FT

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2. MECNICA DOS FLUIDOS

2.1. DEFINIES e PROPRIEDADES DOS FLUIDOS

2.1.1. DEFINIO DE FLUIDO

Fluido uma substncia que no possui forma prpria ( assume o formato do recipiente ) e que, se emrepouso, no resiste a tenses de cizalhamento ( deforma-se continuamente ).Tenso de Cizalhamento a razo entre a o mdulo da componente tangencialda fora a rea da superfcie sobre a qual a fora est sendo aplicada.

A F t = presso :

A F P n=

A Experincia das Placas

Consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. Suponhamos que a placa superior em umdado instante passe a se movimentar sob a ao de uma fora tangencial

A fora Ft , tangencial ao ao fluido, gera uma tenso de cizalhamento. O fluido adjacentes placa superior adquirem a mesma velocidade da placa ( princpio da aderncia ) As camadas inferiores do fluido adquirem velocidades tanto menores quanto maior for a distncia da placa

superior ( surge um perfil de velocidades no fluido ). Tambm pelo princpio da aderncia, a velocidade dofluido adjacente placa inferior zero. Como existe uma diferena de velocidade entre as camadas do fluido, ocorrer ento uma deformao

contnua do fludo sob a ao da tenso de cizalhamento.

2.1.2. VISCOSIDADE ABSOLUTA OU DINMICA

A definio de viscosidade est relacionada com a Lei de Newton :

A tenso de cisalhamento diretamente proporcional variao da velocidade ao longo da direo normal s placas

dydv

A relao de prporcionalidade pode ser transformada em igualdade mediante uma constante, dando origem equao 2.1 ( Lei de Newton ).

dydv. = ( eq 2.1 )

A viscosidade dinmica ( ) o coeficiente de proporcionalidade entre a tenso de cizalhamento e o gradientede velocidade. O seu significado fsico a propriedade do fluido atravs da qual ele oferece resistncia stenses de cizalhamento. Os fluidos que apresentam esta relao linear entre a tenso de cizalhamento e a taxade deformao so denominados newtonianos e representam a maioria dos fluidos.O valor da viscosidade dinmica varia de fluido para fluido e, para um fluido em particular, esta vicosidade

depende muito da temperatura. Os gases e lquidos tem comportamento diferente com relao dependncia datemperatura, conforme mostra a tabela 2.1 :

F

Ft

Fn

A

Ft Ft

v = 0

v = 0 v = 0

v = v0

x

y


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Tabela 2.1. Comportamento dos fluidos com relao viscosidadeFluido Comportamento Fenmeno

Lquidos A viscosidadediminui com atemperatura

Tem espaamento entre molculas pequeno e ocorre a reduoda atrao molecular com o aumento da temperatura.

Gases A viscosidadeaumenta com atemperatura

Tem espaamento entre molculas grande e ocorre o aumentodo choque entre molculas com o aumento da temperatura.

Anlise dimensional da viscosidade ( sistema [F][L][T] ):2

2 .=== L F

L F

A F

11

== T L

LT dydv

21

2 ... L

T F T L F

dydvdy

dv ====

Portanto, as unidades de viscosidade nos sistemas de unidades mais comuns so :

CGS :[ ] poisecm

sdina == 2 { poise = 100 cetipoise (cp) }

Mtrico Gravitacional ( MK*S ) :[ ] 2m skgf

= Sistema Internacional ( SI ) :[ ] s Pa

m s N == 2 )(11{ 2 Pascal Pam

N = Simplificao Prtica : a velocidade varia linearmente com y ( para distncias entre placas pequenas )

ev

ev

dydv 00

00 =

=

Neste caso, a equao 2.1 fica assim :

ev0. = ( eq.2.2 )

2.1.3. MASSA ESPECFICA e PESO ESPECFICO

Massa Especfica ( ) a massa de fluido contida em uma unidade de volume do mesmo :

V m=

=

=

=

=

3*

3

3

3

][:

][:

][:

][

m

utmS MK

mkg SI

cm g CGS

LM

( eq 2.3 )

Peso Especfico ( ) o peso ( G ) de uma unidade de volume de um fluido

V g m

V G .== . =

=

=

=

==

3*

3

3

33

2

][:

][:

][:

][

m Kgf S MK

m N SI

cmdinaCGS

L F

LT LM

( eq 2.4 )

Densidade a relao entre o peso especfico de uma substncia e o peso especfico da gua a uma determinadatemperatura. A densidade no depende do sistema de unidades

O H r

2

= ( eq 2.5 )

Ft

v = 0

v = v0

x

y e < 4 mm


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2.1.4. VISCOSIDADE CINEMTICA

frequente, nos problemas de mecnica dos fluidos, a viscosidade dinmica aparecer combinada com a massaespecfica, dando origem viscosidade cinemtica.

=

=

=

=

= =

smS MK

smSI

st stoke s

cmCGS

T L LM T LM 2

*

2

2

2

3

11

][:

][:

)(][:

][

( eq 2.6 )

EXERCCIOS RESOLVIDOS

Exerccio R.2.1.1.A massa especfica de um combustvel leve 805 kg/m3. Determinar o peso especfico e adensidade deste combustvel. ( considerar g=9,8 m/s2 )

).(78898,9805. 2323 smkg N

m N

sm

mkg g ====

A massa especfica da gua aproximadamente 1000 kg/m3

. Portanto, o peso especfico ser :323 98008,91000.2 m

N sm

mkg g O H ===

A densidade calculada a partir da relao :

805,098007889

2

===O H

r

Exerccio R.2.1.2Um reservatrio graduado contm 500 ml de um lquido que pesa 6 N. Determine o pesoespecfico, a massa especfica e a densidade do lquido ( considerar g=9,8 m/s2 )

33

105,05,0500 ml ml V

=== 333 00012105,0

6m N

m N

V G =

==

32

32

2

3

5,12248,9

/).(6

/8,9/12000.

m Kg

sm

m smkg

smm N

g g =====

22,1/9800/12000

3

3

2

===m N m N

O H r

Exerccio R.2.1.3Os tanques da figura esto totalmente preenchidos com um leo leve cuja densidade 0,82.Calcule a presso sobre a base em cada um dos casos.

32 80369800.82,0.82,0 m N O H r r ====

32

31 246228222 mV mV ====

N V G N V GV GV G 19286424.8036.642888.8036.. 2211 ========

2 m

2 m

2 m6 m

2 m

2 m1 2


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41

21 /160722.2

642881 m N A

G P Tanquebase

===

21 /160726.2

1928641 m N A

G P Tanquebase

===

As presses exercidas na base so iguais. Pelo teorema de Stevim tambm podemos comprovar, pois os doistanques tem a mesma altura :

222

211

/160722.8036./160722.8036.

m N h P m N h P

======

Exerccio R.2.1.4.A viscosidade cinemtica de um leo leve 0,033 m2/s e a sua densidade 0,86. Determinar a sua viscosidade dinmica em unidades dos sistemas Mtrico.

A peso especfico da gua aproximadamente 1000 kgf/m3.

33 860100086,022

mkgf

mkgf

O H r O H

r ====

==== 342

2

3 .75,87/8,9

/860. m

utmm

s Kgf sm

mkgf g g

24

22 .86,2.75,87033,0.m

skgf m

skgf sm ====

Exerccio R.2.1.4.Duas placas planas paralelas esto situadas a 3 mm de distncia. A placa superior move-secom velocidade de 4m/s, equanto que a inferior est imvel. Considerando que um leo ( = 0,15 stokes e =905 kg/m3 ) ocupa o espao entre elas, determinar a tenso de cizalhamento que agir sobre o leo.

sm

cmm

scm scm stokes

25

2

24

22 105,11015,0/15,015,0 ====

25 0136,0905105,1 m s N ===

Pam N

m sm

m s N

ev 1,181,18

003,0/40136,0. 22

0 ====

Exerccio R.2.1.5.Uma placa retangular de 4 m por 5 m escorrega sobre o plano inclinado da figura, comvelocidade constante, e se apoia sobre uma pelcula de leo de 1 mm de espessura e de = 0,01 N.s/m2. Se o peso da placa 100 N, quanto tempo levar para que a sua parte dianteira alcance o fim do plano inclinado.

mS S

o 205,0

101030sen ==

= 22045 m A ==

N G F o

T 505,010060cos. ===

ev0. = e

A F T = , ento :

A F

ev T o =.

sm A

e F v T o /25,001,020001,050

.. =

==

st sm

mvS t

t S v

oo 80/25,0

20 ====

EXERCCIOS PROPOSTOS

Exerccio P.2.1.1.A massa especfica de um fluido 610 kg/m3. Determinar o peso especfico e a densidade.Respostas :5978 N/m3 e 0,610

10 m

30o

FT

S

60o

G


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Exerccio P.2.1.2.A viscosidade cinemtica de um leo 0,028 m2/s e sua densidade 0,9. Determinar aviscosidade dinmica no sistema mtrico.Resposta :2,58 Kgf.s/m

Exerccio P.2.1.3.Um tanque de ar comprimido contm 6 kg de ar a 80oC, com peso especfico de 38,68 N/m3. Determine o volume do tanque.Resposta :1,52 m3

Exerccio P.2.1.4.O peso de 3 dm3 de uma substncia 2,7 Kgf. A viscosidade cinemtica 10-5 m2/s. Se g 10 m/s2, determine a viscosidade dinmica no sistema mtrico.Resposta :9 x 10-4 Kgf.s/m2

Exerccio P.2.1.5.Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma pelcula de leo em plano inclinado de 300. A velocidade da placa constante e igual a 2 m/s. Qual a viscosidade dinmica doleo se a espessura da pelcula 2 mm ?Resposta : 0,01 N.s/m2

Exerccio P.2.1.6.Um tanque cilndrico, de massa 50 kg, tem dimetro igual a 0,5 m e altura igual a 2,5 m.Este tanque totalmente preenchido com um lquido de peso especfico 8600 N/m3. Determine a foranecessria para imprimir uma acelerao de 2,5 m/s2 ao conjunto tanque+lquido.Resposta : 1201,9 N

Exerccio P.2.1.7.Um recipiente contm 30 kg de gua ( = 9800 N/m3 ) e est completamente cheio. Apsalgum tempo 2/3 ( dois teros ) da gua do recipiente consumida e o recipiente novamente completadodesta vez com um leo leve ( = 7742 N/m3 ) que, evidentemente, sobrenada sobre a gua. Para estas novascondies, determine a massa total de fluido ( leo + gua ) presente no recipiente.Resposta : 25,8 Kg

Exerccio P.2.1.8. Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma pelcula de leo em plano inclinado de 30. A partir da posio indicada na figura, necessrio um intervalo de tempo de 20segundos para que a placa atinja o final do plano. Considerando que a espessura da pelcula de leo 2 mmdetermine a viscosidade dinmica do leo.

Resposta : 0,02 N.s/m2

Exerccio P.2.1.9.Duas placas de grandes dimenses so paralelas. Considerando que a distncia entre as placas de 5 mm e que este espao est preenchido com um leo de viscosidade dinmica 0,02 N.s/m2,

determine a fora necessria para arrastar uma chapa quadrada de 1 m de lado, de espessura 3 mm, posicionada igual distncia das duas placas, a uma velocidade constante de 0,15 m/s

Resposta: 6 N

5 mm Fleo 3 mm

1 m

10 m

30o

FT

G


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2.2.ESTTICA DOS FLUIDOS

2.2.1. CONCEITO DE PRESSO

planodo rea planoaolar perpendicuaplicada Fora P =

== Pa

m N

cm Kgf

A F P N 22 ;

2.2.2. TEOREMA DE STEVIN

Consideremos uma coluna de fluido de peso especfico e altura h

V G= V G =

basebase AV

AG

P

==

como h AV base = , temos :

base

base

Ah A P = h P =

A presso em um ponto do fluido diretamente proporcional profundidade deste ponto e ao pesoespecfico do fluido

Com base neste teorema, temos duas consideraes importantes a fazer :1) O fluido deve estar em repouso. Se o fluido estiver em movimento o teorema no vlido;2) Devemos notar que a presso em um ponto de um fluido em repouso depende a apenas da profundidade

do ponto e independe do formato do recipiente, conform mostra a figura abaixo.

P1 = P2 = P3

Pelo teorema de Stevin, podemos concluir que a presso a mesma em qualquer ponto situado em ummesmo nvel em um fluido em equilbrio.Para o caso de dois lquidos imissveis, como leo e gua em um tubo U de seo uniforme, consideremos presso sobre as reas S1 e S2, situadas no plano AB, que passa pela interface entre os fluidos. Se o fluido estequilbrio, temos que F1 = F2. Como S1 = S2, temos que :

2122

11 P P

S F

S F ==

F

A

fluido

A base.Ph

P2 P3P1


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Exemplo: Determine a distncia x na figura,considerando que o peso especfico da gua e 9800 N/m3 e que o peso especfico do leo 7350 N/m3.

cm X X X h

temos P P Comomcmh

leoO H

404,073503,09800

,21:3,030

2

====

===

2.2.3. LEI DE PASCAL

A presso aplicada em um ponto de um fluido incompressvel ( lquidos ) em repouso transmitidaintegralmente a todos os pontos do fluido.

2

2

1

1

A F P

A F P ==

==1

212

2

2

1

1

A A F F

A F

A F

A Fora F2 ser tantas vezes maior que a Fora F1 quantas vezes for a rea A2 maior que a rea A1. Por exemplo, em uma prensa hidrulica cuja rea do cilindro maior for 10 vezes maior que a rea do menor cilindro, consegue-se multiplicar a fora aplicada por 10.

2.2.3. ESCALAS DE PRESSO

Patm = ar . har Har : altura da camada atmosfrica

Experincia de Torricelli

A carga de presso ( h =760 mm ) da coluna de mercrio, multiplicada pelo peso especfico do mercrio (Hg ),equilibra a presso atmosfrica.

Patm = Hg . hHg Como Hg= 13600 Kgf/m3 e hHg = 760 mm = 0,76 mPatm = 13600 . 0,76 = 10330 Kgf/m2 = 1,033 Kgf/cm2

Patm = 1 atm = 760 mmHg = 101234 N/m2 = 1,033 Kgf/cm2 = 10,33 m.c.a. ( m de coluna dgua ) Escala de presso absoluta aquela que adota como referncia a presso do vcuo ( Pv = 0 ) Escala de presso efetiva aquela que adota como referncia a presso atmosfrica ( Patm = 0 )

Pabs = Pef + Patm

A1

F1

A2

F2

. .P P

TERRA

h

mercrio

760 mmPatm

2

1

P1 ef

P2 abs

P2 ef P1 abs


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2.2.5. APARELHOS MEDIDORES DE PRESSO

a) Piezmetro

PA = . h ( Patm = 0 )

Desvantagens : No serve para depresses No serve para gases No serve para presses elevadas

b) Manmetro com tubo em U

PA = 2 . h2 - 1 . h1

Se o fluido for gs : PA = 2 . h2

d) Manmetro Metlico ( Tubo de Bourdon )

Pm = Pi - Pe

Pi : presso internaPe : presso atmosfricaPm : presso do manmetro

Geralmente : Pe = 0 ( escala efetiva ), ento :

Pm = PiA figura abaixo ilustra alguns aspectos internos de um manmetro metlico.

EXERCCIOS RESOLVIDOS

Exerccio R.2.2.1.A figura mostra um tanque de gasolina com infiltrao de gua. Se a densidade da gasolina 0,68 determine a presso no fundo do tanque (H2O= 9800 N/m3 ).

P = H2O. h1 + g . h2 P = H2O. h1 + d g . H2O. h2 P = 9800 x 1 + 0,68 x 9800 x 5

P = 43120 N/m2

= 43,12 KPa = 4,4 m.c.a.

PA

h

PA

h2

h1

Pi

Pe

Gasolina

gua

h2=5 m

h1 = 1m


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Exerccio R.2.2.2.O Edifcio Empire State tem altura de 381 m. Calcule a relao entre a presso no topo ena base ( nvel do mar ), considerando o ar como fluido incompressvel (Ar = 12,01 N/m3 ).

P 2 = P atm = 101234 N/m2 P 2 P 1 = Ar .( h2 h1 ) P 1 = P 2 - Ar .( h2 h1 )

( )955,0101234

38101,121

.1 2

12

2

1

=

=

= P hh

P P Ar

Exerccio R.2.2.3.A gua de um lago localizado em uma regio montanhosa apresenta uma profundidademxima de 40 m. Se a presso baromtrica local 598 mmHg, determine a presso absoluta na regio mais profunda (Hg = 133 KN/m3 ). P fundo= P o + H2O. hlago onde, P o = Hg .h Hg a presso na superfcie do lago P fundo= Hg .h Hg + H2O. hlago = 133 (KN/m2 ) x 0,598 (m) + 9,8 (KN/m2 ) x 40 (m) P fundo= 472 KN/m2 = 472 KPa ( abs )Exerccio R.2.2.4.Um tanque fechado contm ar comprimido e um leo que apresenta densidade 0,9. O fluidoutilizado no manmetro em U conectado ao tanque mercrio ( densidade 13,6 ). Se h1 = 914 mm, h2 = 152mm e h3 = 229 mm, determine a leitura do manmetro localizado no topo do tanque.

P 1 = P arcomp + Oleo . (h1 + h2 ) P 2 = Hg . h3 P 1 = P 2 P arcomp + Oleo . (h1 + h2 ) = Hg . h3 P arcomp = Hg . h3 - Oleo . (h1 + h2 ) P arcomp = d Hg . H2O.. h3 - d Oleo . H2O . (h1 + h2 ) P arcomp = 13,6 x 9800 x 0,229 - 0,9 x 9800 x (0,914 + 0,152 ) P arcomp = 21119 N/m2 = 21,119 KPa

Exerccio R.2.2.5. No piezmetro inclinado da figura, temos1 = 800 Kgf/m2

e 2 = 1700 Kgf/m2

, L1 = 20 cme L2 = 15 cm , = 30oC. Qual a presso em P1 ?

h1 = L1.sem h2 = L2.sem P 1 = h1. 1 + h2. 2 = L1.sem . 1 + L2.sem . 2 P 1 = 0,20 x sen 30o x 800 + 0,15 x sen 30o x 1700 P 1 = 207,5 Kgf/m2

Exerccio R.2.2.6. Dois tanques de combustvel pressurizados esto interconectados por uma tubulaoconforme mostra a figura abaixo. Dado que o manmetro metlico M1 indica uma presso de 40 KPa e que o peso especfico do combustvel 7000 N/m3, determine :a) a presso indicada pelo manmetro M2; b) a presso indicada pelo manmetro M3.

P1

P2

h3

h2

Ar

leo

h1

L1L2

P1

h2h1

AA


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P M1= 40 kPa = 40000 N/m2 comb = 7000 N/m3

a) A presso ao longo do plano AA constante, portanto podemos fazer : P M1 + comb . 10 = P M2 + comb . 6 40000 + 7000 . 10 = P m2 + 7000 . 6 P M2= 68000 N/m2 = 68 kPa

b) O manmetro M3 mede a presso no plano AA, ento :

P M3 = P M1 + comb . 10 = 40000 + 7000 . 10 P M3= 110000 N/m2 = 110 kPaExerccio R.2.2.6. Na figura abaixo so conhecidas as seguintes medidas : h1 = 180 cm e h2 = 250 cm..Considerando que o peso especfico do mercrio 133280 N/m3 e que o sistema est em equilbrio, determine:a) a presso doGs A b) a indicao do manmetro (1), considerando que o manmetro (2) indica uma presso de 115000 N/m2 parao Gs B

Considerando o manmetro em U com mercrio do lado esquerdo, temos :2

221221 2154045,298008,1133280.... m N hh P h P h O H Hg GasAO H GasA Hg ===+= O manmetro metlico(2) indica a presso do Gs B : 22 115000 m N P P M GasB == O manmetro Metlico(1) indica a diferena de presso entre os Gases ( A B ):

kPam N P P P GasBGasAM 4,100100404115000215404 21 ====

Exerccio R.2.2.7.O sistema da figura est em equilbrio e a massa m sobre o pisto de 10 kg. Sabendo que aaltura h 100 cm, determinar a presso do Gs 2.Dados/Informaes Adicionais:

H2O= 9800 N/m3 Desprezar o peso do pisto

A presso do gs 1 pode ser calculada pelo delocamento da gua ( h ) :

Gs A Gs B

h1

(1)

(2)gua

Hg

h2

Gs 2

Gs 1

h

A= 400cm2m

H2O


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2321 980019800.

1100

m N m

m N h P

mcmh

O H Gas ===

==

A fora exercida pelo gs 1 no pisto :

N mm N A P F

A

F P

mcm A

GsGs

Gs

Gas392104009800.

1040040024

211

1

1

242

====

==

A fora peso da massa sobre o pisto :

N sm xkg g mG 988,910. 2 ===

O balano de foras do sistema o seguinte : a fora exercida pelo gs 1 mais o peso da massa sobre o pisto quilibrado pela fora exercida pelo gs 2.

N F G F F

Gs

GsGs

49098392212

=+=+=

A presso do gs 2 ento :

kPam

N P A

F P GsGsGas 25,121225010400

4902

24

22 ==

==

EXERCCIOS PROPOSTOS

Exerccio P.2.2.1.A presso sangunea das pessoas usualmente especificada pela relao entre a pressomxima ( presso sistlica ) e a presso mnima ( presso diastlica ). Por exemplo, um valor tpico de um serhumano adulto 12 x 7, ou seja mxima de 12 cm de Hg e mnima de 7 cm de Hg. Determine o valor destas presses em Pascal. Dado :Hg = 133280 N/m3 Resposta : 15993,6 Pa e 9329,6 Pa

Exerccio P.2.2.1.A presso do ar preso no tanque da figura 41,4 kPa. Sabendo eu a massa especfica da

glicerina 1260 kg/m3

, calcule a presso no fundo do tanque.

Resposta : 79 kPa

Exerccio P.2.2.2.A figura mostra um tanque fechado que contm gua. O manmetro indica que a presso doar 48,3 kPa. Determine :a) a altura h da coluna aberta;

b) a presso no fundo do tanque;c) a presso absoluta do ar no topo do tanque se a presso atmosfrica for 101,13 kPa

Respostas: 5,53 m ; 60 kPa ; 149,4 kPa

Ar

Glicerina

Ar h

0,6 m

0,6 mgua

3,05 m


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Exerccio P.2.2.3. No manmetro da figura, o fluido A gua ( peso especfico de 1000 Kgf/m3 ) e o fluido Be mercurio (peso especfico de 13600 Kgf/m3 ). As alturas so h1 = 5 cm, h2 = 7,5 cm e h3 = 15 cm. Qual a presso P1

Resposta: 1335 kgf/m3

Exerccio P.2.2.4.Dado o dispositivo da figura, onde h1 = 25 cm, h2 = 10 cm e h3 = 25 cm, h4 = 25 cm,calcular :a) A presso doGs 2 b) A presso doGs 1, sabendo que o manmetro metlico indica uma presso de 15000 N/m2 c) A presso absoluta doGs 1, considerando que a presso atmosfrica local 730 mmHg

Dados : oleo = 8000 N/m3 Hg = 133280 N/m3 agua = 9800 N/m3

Resposta: 32970 N/m2 17970 N/m2 115265 N/m2

Exerccio P.2.2.5. No dispositivo da figura o manmetro indica 61600 N/m2 para a diferena de presso entre o Gs 2 e o Gs 1. Dadosgua = 9800 N/m3 eHg = 133000 N/m3 , determinar :a) A presso do Gs 2 b) A distncia x na figura.

Resposta: 1233200 N/m2 ; 0,5 m

P1h3

h2h1

h4h

Gs 2

leo

hGs 1

Hg

H2O

h3

Gs 2

Gs 1 Hg

guaguaHg

1,0 m

x


50/66


51/66

51

2.3. CINEMTICA DOS FLUIDOS

2.3.1. VAZO EM VOLUME

Vazo em Volume o volume de fluido que escoa atravs de uma certa seo em um intervalo de tempo

== scm

hm

sl

sm

t V

tempo seo pela passouquevolume

Q

333

,,,

v At x A

t x AQ s AV ....como ====

AvQ .=

onde, v a velocidade mdia do fluidoA a rea da seo

2.3.2. VAZO EM MASSA

Vazo em Massa a massa de fluido que escoa atravs de uma certa seo em um intervalo de tempo

=

sutm

hutm

hkg

skg

t mQm ,,,

V mV m .como == , portanto : Q

t V

t V Qm ...

===

QQm . = e como AvQ .= , temos : AvQm .. =

2.3.3. VAZO EM PESO

Vazo em peso o peso de fluido que escoa atravs de uma certa seo em um intervalo de tempo

=

s Kgf

h Kgf

h st GQG ,,,

AvQQ g g Q g Qt g mQ g mG mG ..........como ======= , portanto :

AvQG .. =

2.3.4. EQUAO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE

Consideremos um fluido escoando por uma tubulao no regime permanente. O regime permanente secaracteriza por no haver variaes das propriedades do fluido em cada ponto, ou seja, as propriedades na seo[1] ( v1 , 1 , etc. ) so constante e as propriedades na seo [2] ( v2 , 2 , etc. ) tambm so constantes.

(1)(2)

Fluido

A

x


52/66


53/66

53

( ) sutm

cmmcm

sm

mutm AvQm 32

242

3111 10.4,210.20.10.12,0.. =

==

c) As vazes em volume em (1) e (2) so so diferentes ( fluido compressvel ):

( ) sl Q smm sm AvQ 2010201020.10. 13324111 ==

==

( ) sl Q smm sm AvQ 7,26107,261010.7,26. 133242221 == ==

Exerccio R.2.3.3. No tanque misturador da figura 20 l/s de gua ( = 1000 Kg/m3 ) so misturadoscom 10 l/s de um leo ( = 800 Kg/m3 ) formando uma emulso. Determinar a massa especfica e avelocidade da emulso formada.

sl QQQ oae /301020 =+=+=

ooaaeeom

am

em QQQQQQ +=+= ..

=

+

=

333 33,93310.80020.100030. m

kg sl

mkg

sl

mkg

sl

ee

( )

=

= 22

423

3 10.30.10.30.cmmcmv

l m

sl AvQ eee

smve /10=

Exerccio R.2.3.4.Os dois tanques cbicos com gua so esvaziados ao mesmo tempo, pela tubulaoindicada na figura, em 500 s. Determinar a velocidade da gua na seo A, supondo desprezvel avariao de vazo com a altura.

Qt1 + Qt2 = Qtubo

( ) smv

mv sm

sm

Avt

V t

V

/32

10.45.500

4.4.4500

2.2.2

.

2433

21

=

=

+

=+

EXERCCIOS PROPOSTOS:

Exerccio P.2.3.1.gua descarregada de um tanque cbico de 5 m de aresta por um tubo de 5 cm de

dimetro localizado na base. A vazo de gua no tubo 10 l/s. Determinar a velocidade de descida dasuperfcie livre da gua do tanque e, supondo desprezvel a variao de vazo, determinar o tempo queo nvel da gua levar para descer 20 cm.

A=30 cm2

gua leo

4 m2 m

45 cm2

A


54/66


55/66


56/66

56

Energia Total ( E )

A energia total do fluido a soma das parcelas.

E = EPPo + EPPr + Ec

2.4.2. PRINCPIO DE CONSERVAO DA ENERGIA

No escoamento de um fluido ideal, sua energia total permanece constante

E1 = E2 ouEPPo1 + EPPr 1 + Ec1 = EPPo2 + EPPr 2 + Ec2 ou

22

22

21

11 ..2

1.....21... vm P G z g mvm P G z g m ++=++

2.4.3. EQUAO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL

Pelo princpio de conservao da energia, temos :

2....

2....

2222

2111

vm P G z g mvm P G z g m ++=++

Como, G = m.g , temos :

g vG P G zG

g vG P G zG

.2...

.2...

222

2

211

1 ++=++

Dividindo ambos membros por G, temos :

g v P z

g v P z

.2.2

222

2

211

1 ++=++ ou H1 = H2

onde,

(m)velocidadedecarga2.gv

(m) pressodecarga

P(m) posiodecargaz

2

E1

E2FluidoIdeal


57/66

57

Exerccio R.2.4.1.O tanque da figura tem grandes dimenses e descarrega gua pelo tubo indicado.Considerando o fluido ideal, determinar a vazo em volume de gua descarregada, se a seo do tubo 10 cm2.

Para aplicar a equao de Bernoulli adotamos como seo (1) a superfcie livre da gua e (2) a sadado tubo. Portanto, temos que :

H1 =H2

g v P z

g v P z

.2.2

222

2

211

1 ++=++

Como adotamos a escala efetiva de presso, as presses P1 e P2 so nulas pois so iguais pressoatmosfrica. Em relao ao plano de referncia, temos que :

z1 = 10 e z2 = 2

Como o tanque tem grandes dimenses, a velocidade da superfcie livre da gua pode ser consideradadesprezvel. Portanto :

v1 = 0

Logo, a equao de Bernoulli fica reduzida :

g v z z.2

22

21 += ( ) ( )( )m sm z z g v 2108,92..2 2212

== smv 5,122 =

A vazo em volume ser :

( ) smm sm AvQ 32422 0125,010105,12. =

== sl Q 5,12=

2.4.4. O TUBO VENTURI

O venturi consiste de uma tubulao cuja seo varia at um minmo e, novamente, volta a ter amesma seo inicial. Este tipo de estrangulamento denominado de garganta. A equao de Bernoulliaplicada entre as sees (1) e (2) na figura abaixo fornece :

10 m

2 m

(1)

(2)

(1)(2)


58/66

58

21

21

22

222

2

211

1 222 P P

g vv

g .v P z

g .v P z =++=++

Como v2 > v1 , temos que P1 > P2 , pode-se avaliar a velocidade medindo-se a diferena de pressoentre as sees (1) e (2). Portanto, medindo-se a diferena de presso e conhecendo-se as reas dasees, pode-se calcular a vazo com este dispositivo, pois pela equao da continuidade, temos :

2211 A.v A.vQ ==

Exerccio R.2.4.2.No Venturi da figura gua escoa como fluido ideal. A rea na seo (1) 20 cm2 enquanto que a da seo (2) 10 cm2. Um manmetro cujo fluido manomtrico mercrio (Hg =13600 kgf/m3 ) ligado entre as sees (1) e (2) e indica um desnvel h de 10 cm. Pede-se a vazoem volume de gua (H2O= 1000 kgf/m3 )

H1 = H2 ou g v P z

g v P z

.2.2

222

2

211

1 ++=++

Como os centros geomtricos das sees (1) e (2) esto na mesma altura : z1 = z2 , portanto :

g

vv P P

g

v

g

v P P

g

v P

g

v P

.2.2.2.2.2

21

2221

21

2221

222

211 ==+=+

Como A2 < A1 v2 > v1 ( energia cintica aumenta ) energia de presso diminui ( P2 < P1 )

A presso em (a) igual a presso em (b) : Pa = P b , ou :

P1 + H2O . x + H2O . h = P2 + H2O . x + Hg . h

P1 P2 = (Hg - H2O) . h = ( 13600 1000 ) . 0,10 = 1260 kgf/m2

Substitundo em , temos :

2

221

22

21

22

21

2221 7,24

8,9210001260

.2 smvvvv

g vv P P =

==

Pela equao da continuidade, temos :( )( ) 220

10.... 2122

21

221221121

vvcmcmv

A Avv Av AvQQ =====

Substitundo em , temos :

smvv

v /7,57,242 22

222 ==

h

(1) (2)

Hg

x

(a) (b)


59/66

59

Portanto, a vazo em volume ser :34

22 107,510107,5. === AvQ

sl Q /7,5=

2.4.5. EQUAO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL COM MQUINA NO ESCOAMENTO

Mquina qualquer elemento, que introduzido no escoamento, capaz de fornecer ou retirar energiado fluido na forma de trabalho. Podemos ter dois casos :- Bomba: qualquer mquina que fornece energia ao fluido- Turbina : qualquer mquina que retira energia do fluido

Consideremos um escoamento de um fluido. Se no houver mquina no escoamento, sabemos que :

g v P z

g v P z

.2.2

222

2

211

1 ++=++ ou H1 = H2

Caso haja uma mquina no escoamento, teremos o seguinte

a) Se for bomba : H1 + HB = H2 ( H1 < H2 )

onde , HB = carga manomtrica da bomba ( m )

a) Se for turbina : H1 - HT = H2 ( H1 > H2 )

onde , HT = carga manomtrica da turbina ( m )Portanto, a equao de Bernoulli ficar assim :

H1 + HM = H2 ou g .v P

z H g .v P

z M 22

222

2

211

1 ++=+++

onde HM = +HB ( se bomba ) ou HM = -HT ( se turbina )

Potncia Retirada ou Fornecida e Rendimento

Da definio de trabalho, temos :

Trabalho = Fora x Deslocamento

M H GW = como : V GV G == , ento :

(1) (2)

(1) (2)M


60/66

60

M H V W =

dividindo pelo tempo, obtemos :

t H V

t W M = como :

t V Qe ) potncia(

t W == , obtemos :

M H Q =

Unidades de Potncia :

Sistema Internacional [ ] W s J

sm N m

sm

m N ====

3

3

Sistema Mtrico [ ] ) s

kgmCV ( s

kgm s

mkgf m sm

mkgf 751

3

3 ====

O Rendimento( ) definido como : fornecidarealmente potncia

til potncia=

No caso da bomba a potncia til fornecida ao fluido menor que a potncia da mquina, assim :

NaBomba : B

B B

B

=

=

onde B o rendimento da bomba.

No caso da turbina a potncia til da mquina menor que a potncia fornecida pelo fluido, assim :

NaTurbina : T T T T =

=

onde T o rendimento da turbina.

Exerccio R.2.4.3.O reservatrio de grandes dimenses da figura descarrega gua pelo tubo a umavazo de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a mquina instalada bomba ou turbina edeterminar sua potncia se o rendimento for de 75%. A rea da seo do tubo 10 cm2.

A velocidade na sada do tubo pode ser obtida atravs da vazo( )( ) smm

sm AQv AvQ /10

1010/1010. 24

33

22 ====

Na equao de Bernoulli adotamos como seo (1) a superfcie da gua (v1=0 ) e (2) a sada do tubo.

H 1 + H M = H2 g v P z H g v P z M .2.2

2222

2111 ++=+++

Como as presses P1 e P2 so nulas pois so iguais presso atmosfrica, temos que :

20 m

5 m

(1)(2)

M


61/66

61

20 + 0 + 0 + H M = 5 + 0 + 8,92102

Hm = - 9.9 m

Como no sentido do escoamento o HM ficou negativo, ento a mquina uma turbina. A potncia :

M H Q = ( ) W s J

sm N m

sm

m N 2,9702,9702,9709,910109800

33

3 ====

Nem toda potncia posta em jogo pelo fluido aproveitada pela turbina, assim :

W T T T T 6,72775,02,970 ===

=

Exerccio R.2.4.4.Uma empresa de energia utiliza um sistema de armazenamento de energiaconforme mostra a figura. A noite, quando sobra energia, feito um bombeamento de gua de umlago para um reservatrio elevado e, durante o dia esta gua utilizada para gerar energia em umaturbina. Considerando que a vazo de gua sempre 500 litros/s e que os rendimentos da bomba e daturbina so 70%, calcule:a) a potncia ( em kW ) necessria na bomba; b) a potncia ( em kW ) recuperada na turbina

a) Tomando a seo (1) como a superfcie livre do lago e a seo (2) como a superfcie livre doreservatrio e aplicando Bernoulli para mquina no escoamento, temos:

)dim(0)dim(0)(0)(0

80)(0

:.2.2

21

21

21

222

2

211

1

enses grandesdeioreservatr venses grandesdelagovefetivaaatmosfric presso P efetivaaatmosfric presso P

m zrefernciadenvel z

onde g

v P z H g

v P z M

======

++=+++

m H H H

Bombaumam H H B BM

M M

80

)(800080000

=+=

=++=+++

B T

80 m 80 m

lago lago


62/66

62

A vazo de 500 litros/s, correspode a 0,5 m3/s. Portanto, a potncia requerida para o bombeamento :

B H Q = ( ) W s J

sm N m

sm

m N 392000392000392000805,09800

3

3 ====

A potncia requerida na bomba deve levar em conta o rendimento, assim : KW W B

B B

B B 56056000070,0

392000 ====

=

b) Tomando a seo (2) como a superfcie livre do reservatrio e a seo (3) como a superfcie livredo lago e aplicando Bernoulli para mquina no escoamento, temos:

)dim(0)dim(0)(0)(0

)(080

:.2.2

32

32

32

233

3

222

2

enses grandesdelagovenses grandesdeioreservatr vefetivaaatmosfric presso P efetivaaatmosfric presso P

refernciadenvel zm z

onde g

v P z H g

v P z M

====

==

++=+++

m H H H Turbinaumam H H

T T M

M M

80)(800000080

===++=+++

A potncia fornecida pelo fluido :

T H Q = ( ) W s J

sm N m

sm

m N 392000392000392000805,09800

3

3 ====

A potncia aproveitada na turbina deve levar em conta o rendimento, assim : KW W T T T T T 4,27427440070,039200 ====

=

Portanto, levando em conta as perdas nas mquinas, a energia aproveitada bem menor que a energiautilizada para o armazenamento.

2.4.6. EQUAO DE BERNOULLI PARA FLUIDO REAL COM MQUINA NO ESCOAMENTO

Se o fluido no for ideal, devido ao efeito doatrito, ocorrer uma dissipao da energia do fluidoentre as sees (1) e (2).

Neste caso, temos que :H1 > H2

Para restabelecer a igualdade, deve ser computado em (2) a energia dissipada entre (1) e (2). Portantoa equao de Bernoulli ficar assim :H1 = H2 + HPonde, HP = energia dissipada entre (1) e (2) ou perda de carga

Levando em conta a presena de uma mquina no escoamento, teremos :

H1 + HM = H2 + HP ou P M H g .v P z H

g .v P z +++=+++

22

222

2

211

1

(1) (2)

Energia dissipada


63/66

63

Exerccio R.2.4.5.Na instalao da figura a mquina uma bomba e o fluido gua. A bomba tem potncia de 3600 W e seu rendimento 80%. A gua descarregada na atmosfera a uma velocidadede 5 m/s pelo tubo, cuja rea da seo 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as sees (1) e (2).

A vazo de gua pelo tubo :( ) sm AvQ /005,010105. 34 ===

A altura manomtrica da bomba obtida considerando que :

B H Q = e Q H ou B B B B B

B B

==

=

m H B 8,58005,09800

80,03600 =

=

Na equao de Bernoulli adotamos como seo (1) a superfcie da gua (v1=0 ) e (2) a sada do tubo.

H1 + HM = H2 + HP ou ( ) P B H g v P z H

g v P z +++=+++

.2.2

222

2

211

1

m H H P P 5,628,925008,58005

2

=+

++=+++

EXERCCIOS PROPOSTOS

Exerccio P.2.4.1.Uma caixa dgua de 1,0 m de altura est apoiada sobre uma lage de 4,0 m dealtura e alimenta a tubulao de um chuveiro. Considerando que o dimetro da tubulao prximo aochuveiro na seo (2) polegada e que esta seo est a 2,0 m do solo, determinar para fluido ideal:a) A vazo em volume de gua; b) A vazo em volume de gua considerando que a altura da lage 10 m.

Respostas :0,97 l/s ; 1,7 l/s

1 m

4 m

2 m

(1)

(2)

5 m

(1)

(2)B


64/66

64

Exerccio P.2.4.2.Em uma indstria de engarrafamento de gua mineral, a gua de um reservatrio degrandes dimenses situado no piso inferior, deve ser recalcada, conforme mostra a figura, paralimentar a linha de engarrafamento. O dimetro da tubulao de recalque 1,6 cm. Considerando quea altura manomtrica ( HB ) da bomba 13 m e que a gua se comporta como um fluido ideal,determine :a) a vazo de gua recalcada b) o nmero de garrafes de 20 litros que podem ser enchidos por hora.

Respostas :12,52 m/s ; 454 garrafes

Exerccio P.2.4.3. No Venturi da figura querosene ( densidade:r = 0,85 ) escoa como fluido ideal.A rea na seo (1) 24 cm2 enquanto que a da seo (2) 12 cm2. As velocidades mdias doquerosene nas sees (1) e (2) so 4,5 m/s e 9 m/s, respectivamente. Um manmetro cujo fluidomanomtrico mercrio ( = 133280 N/m3 ) ligado entre as sees (1) e (2) e indica um desnvelh. Pede-se desnvel h indicado.

Resposta :0,206 m

Exerccio P.2.4.4.A gua contida em um reservatrio elevado, de grandes dimenses, alimenta por gravidade a linha de engarrafamento, em uma fbrica de gua mineral gasosa, conforme mostra afigura. O reservatrio pressurizado e o manmetro no topo indica uma presso de 50 kPa. Odimetro da tubulao de descarga 1,6 cm. Considerando a gua um fluido ideal, determine :a) a velocidade da gua mineral na sada da tubulao de descarga b) o nmero de garrafes de 20 litros que podem ser enchidos por hora.

,

5 m

B

Patm

15 m

h

(1)(2)

Hg

x

(a) (b)

querosene


65/66


66/66

Exerccio P.2.4.7.Em um pequeno edifcio, uma bomba utilizada para recalcar gua de umreservatrio subterrneo para uma caixa dagua situada no topo do edifcio. A tubulao de recalque,conforme mostra a figura, tem dimetro de ( 0,5 polegadas ) e a vazo de gua 3 litros/s.Considerando a gua um fluido ideal, determine :a) a altura manomtrica da bomba b) a potncia da bomba ( em HP ), considerando que o seu rendimento 65%

Dados/Informaes Adicionais reservatrio subterrneo tem grandes dimenses e est aberto para a atmosfera g= 9,8 m/s 1=2,54 cm 1 HP =745,7 W

Resposta : 46,7 m ; 2,8 HP

B

23 m

5 m

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