Apostila de geometria analítica espacial (1)

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL

PROF. VINICIUS

4. Geometria Analítica Espacial

4.1 Vetores no Espaço

Na Geometria Analítica Plana, estuda-se as relações entre os objetos geométricos no

plano cartesiano ortogonal. Seguindo a mesma metodologia, pode-se estudar as relações

entre os objetos geométricos no espaço, tais como retas, planos, esferas e outras figuras

tridimensionais. O conjunto de técnicas e equações utilizadas para este propósito é

chamado de Geometria Analítica Espacial.

Observação: As noções de segmento orientado, vetor e as definições decorrentes

destas duas na Geometria Analítica Espacial são totalmente análogas as da Geometria

Analítica Plana. A única diferença é que, como o espaço é tridimensional, cada vetor terá

três coordenadas em lugar de duas.

Definição (espaço): O espaço é constituído por três eixos, , e ,

perpendiculares entre si, com mesma origem, a qual constitui o ponto de intersecção. Para

evitar confusão, os números reais associados a são chamados de abscissas, os números

associados a são chamados de ordenadas e os números associados a são chamados

de cotas.

Definição (segmento oposto): O segmento oposto a um segmento é o segmento

, ou seja, inverte-se a origem e a extremidade. Logo, se

, então

.

Exemplo: Se e , então

. E o segmento oposto de é o

segmento .

Exercício 4.1: Sejam , e . Calcule os segmentos

opostos dos vetores , e .

Definição (vetor nulo): Vetor nulo é aquele que possui módulo igual a zero.

Definição (vetor oposto): Dado um vetor , o seu oposto é o vetor que contém

todos os segmentos orientados opostos dos segmentos do vetor .

Definição (módulo): Seja um vetor. Chamamos de módulo de o

número .

Exemplo: Se , então .

Exercício 4.2: Sendo e , calcule e .

Definição (vetor unitário): Um vetor é unitário se .

Exemplo: O vetor é um vetor unitário, pois .

Exercício 4.3: Dados e , verifique quais vetores são

unitários e quais não são.

Definição (soma de vetores): Dados dois vetores e

, a soma de e é o vetor .


.

Exercício 4.4: Dados , e , calcule

, e .

Definição (diferença de vetores): Dados dois vetores e

, a diferença de e é o vetor .


.


, e .

Definição (multiplicação por número real): Dado um número real e um vetor

, a multiplicação por número real de por é o vetor

.


.


, e .

Definição (base): Assumindo , e podemos

representar qualquer vetor do espaço tridimensional (fazendo uso de soma de vetores e do

produto escalar). Por isto, o conjunto é chamado de base do espaço tridimensional

ou base do .

Exemplo: .

4.2 Produto Escalar, Produto Vetorial e Produto Misto

Definição (produto escalar): Dados dois vetores e

, o produto escalar é o número .


.

Exercício 4.7: Calcular o produto escalar , sendo e

.

Teorema: Dados dois vetores e , sendo o ângulo formado entre eles, então

.

Exemplo: Se e , então , e portanto,

.

Exercício 4.8: Calcular o ângulo entre e , sendo e .

Exercício 4.9: Calcular o módulo dos vetores e , sabendo que e

e o ângulo entre e é de .

Definição (vetores ortogonais): Dois vetores e são ortogonais quando .


, e portanto, e são ortogonais.

Exercício 4.10: Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor .

Observação: o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor, pois o produto escalar dele

com qualquer outro vetor sempre resulta em zero.

Observação: Uma forma alternativa de constatar que a ortogonalidade está ligada ao

fato de o produto escalar resultar em zero é observar que na expressão

do teorema acima, se , então .

Propriedades do produto escalar:

E1:

E2:

E3:

E4:

E5:

E6:

Definição (produto vetorial): Dados dois vetores e

, o produto vetorial entre e é o vetor ,

onde , e .


.

Observação: O significado geométrico do módulo do produto vetorial de dois

vetores é a área do paralelogramo formado pelos referidos vetores.

Exercício 4.11: Dados os vetores , e ,

calcular: a) ; b) ; c) .

Exercício 4.12: Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores

e .

Propriedades do produto vetorial:

V1:

V2:

V3:

V4:

V5: é ortogonal simultaneamente a e a

V6: e

Definição (produto misto): Dados três vetores , e

, o produto misto entre , e é o número

.

Exemplo: Se , e , então

.

Observação: O significado geométrico do módulo do produto misto de três vetores é

que o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores (deste que estes não sejam

colineares), é dado por .

Exercício 4.13: Calcular o produto misto dos vetores , e

.

Exercício 4.14: Dados os vetores e , determine o volume do

paralelepípedo definido por , e , onde , e

.

Propriedades do produto misto:

M1:

M2:

M3:

4.3 Projeção

Definição (projeção de um vetor): A projeção de um vetor sobre um vetor é

dada por .


.

Exercício 4.15: Determinar o vetor projeção do vetor na direção de

.

Exercício 4.16: Qual o comprimento do vetor projeção de sobre o eixo

dos ?

4.4 Estudo da Reta e do Plano

Equações Reduzidas da Reta:

Exemplo:

Equação vetorial da reta: Seja o vetor que determina todos os pontos de

uma reta , seja um ponto qualquer de e um vetor que possui mesma

direção de . Então . O vetor é chamado de vetor diretor de .

Exemplo: Partindo de , vamos considerar o ponto , o

ponto e o vetor formado por e , no sentido de , ou seja,

. Como possui mesma direção de , então podemos

tomar na equação vetorial. Logo, a equação vetorial de pode ser escrita como

.

Equações Paramétricas da Reta: .

Exemplo: Partindo da equação vetorial , poderíamos

escrever as equações paramétricas de como .

Equação Simétrica: .

Exemplo: Partindo da equação paramétrica , poderíamos escrever a

equação simétrica .

Observação: Da equação simétrica podemos voltar para a equação reduzida. Por

exemplo, da equação simétrica , podemos isolar em função de e

obter

, e também podemos isolar em função de e obter

.

Portanto, , que é exatamente a equação de onde partimos.

Exercício 4.17: Obtenha os quatro tipos de equação da reta para as retas

, , e .

Definição (pontos colineares): Dizemos que três pontos são colineares quando estes

pontos pertencem a mesma reta.

Condição de colinearidade: Três pontos , e

são colineares se .

Exemplo: Os pontos , e são colineares,

pois satisfazem a condição acima.

Exercício 4.18: Mostre que os pontos , e são

colineares.

Condição de paralelismo de retas: Sejam e retas e e

seus respectivos vetores diretores. Então e são paralelas se

.

Exemplo: e são paralelas, pois seus vetores

diretores e satisfazem a condição de paralelismo.

Exercício 4.19: Mostre que as retas e são

paralelas.

Condição de coplanaridade de retas: Sejam e retas, e

seus respectivos vetores diretores, um ponto qualquer de e um

ponto qualquer de . Então e são coplanares se .

Exemplo: As retas e são coplanares. De fato,

se considerarmos o vetor diretor de , e o vetor diretor de , ,

e além disso, tomarmos os pontos e , teremos

, e assim, a condição de coplanaridade estará satisfeita.

Exercício 4.20: Mostre que as retas e são

coplanares.

Equação do plano: , onde são as coordenadas de

algum vetor ortogonal a . O vetor é chamado de vetor normal do plano .

Observação: Analisando a equação do plano, nota-se que os coeficientes são

dados diretamente por algum vetor normal ao plano. No entanto, ainda faltará determinar o

coeficiente , que só pode ser obtido substituindo-se um ponto qualquer do plano na

equação. Logo, para formar a equação de um plano no espaço tridimensional, precisa-se de

um vetor normal a este plano e um ponto do plano.

Exemplo:Vamos encontrar a equação de um plano que tem vetor normal

, sendo um ponto deste plano. Como , então a

equação deste plano tem a forma . Para determinar , basta

substituir o ponto na equação. Deste modo temos, , e assim,

. Portanto a equação do plano é .

Exercício 4.21: Encontre a equação do plano que tem vetor normal

e contém o ponto .

Observação: Nem sempre o vetor normal é dado para obter a equação do plano. No

entanto, outras informações tais como vetores diretores de retas ou coordenadas de pontos

no plano, por exemplo, podem ajudar na obtenção de um vetor normal. Podemos

convenientemente utilizar a propriedade que diz “o produto vetorial de dois vetores é

simultaneamente ortogonal aos dois vetores” para obter vetores ortogonais ao plano. Isto

pode ser feito através do cálculo do produto vetorial de dois vetores diretores de retas, ou

dois vetores obtidos de pontos no plano, desde que tais vetores não sejam paralelos (pois

neste caso o produto vetorial entre os vetores será zero, e não será possível obter o vetor

normal).

Exercício 4.22: Escreva a equação do plano determinado pelos pontos ,

e .

Exercício 4.23: Determine a equação do plano que contém os pontos e

e é perpendicular ao plano .

Exercício 4.24: Determine a equação do plano que contém o ponto e é

perpendicular aos planos e .

Exercício 4.25: Determine a equação do plano que contém as retas

e .

Exercício 4.26: Determinar a equação do plano que contém o ponto e a

reta .

4.5 Distâncias no Espaço

Distância entre dois pontos: Dados dois pontos e , a

distância entre e é o número .

Exercício 4.27: Mostrar que o ponto é eqüidistante dos pontos

e .

Distância entre ponto e reta: Dado um ponto qualquer no espaço e uma reta de

vetor diretor , a distância entre e é pode ser calculada pela fórmula

, onde é algum ponto da reta .

Exercício 4.28: Calcule a distância do ponto à reta .

Distância entre retas paralelas: Dadas duas retas paralelas e , a distância entre e

pode ser calculada por uma das duas fórmulas seguintes: , com ;

ou , onde .

Exercício 4.29: Calcule a distância entre as retas e .

Distância entre retas concorrentes: Por definição, se duas retas e são

concorrentes, logo, .


Distância entre retas reversas: A distância entre duas retas reversas e é calculada

por , onde , , é vetor diretor de e é vetor diretor de .


Distância entre ponto e plano: Dado um ponto qualquer do espaço e

um plano de vetor normal , a distância entre e é calculada através da

fórmula .

Exercício 4.32: Calcule a distância do ponto ao plano

.

Distância entre planos: Dados dois planos paralelos e , a distância entre estes

dois planos pode ser calculada através de qualquer uma das duas fórmulas seguintes:

, com ; ou , com .

Exercício 4.33: Determinar a distância entre os planos paralelos

e .

Distância entre reta e plano: Dada uma reta e um plano , a distância de até é

calculada por , onde .

Exercício 4.34: Determine a distância da reta ao plano .

4.6 Esfera

Equação da esfera centrada em com raio :

.

4.7 Superfícies Quádricas

Elipsóide: .

Hiperbolóide de uma folha: ou

ou .

Hiperbolóide de duas folhas: ou

ou .

Parabolóide elíptico: ou

ou .

Parabolóide hiperbólico: ou

ou .

Nos exercícios que vão de 4.35 até 4.42, identifique a quádrica representada pela

equação fornecida:

Exercício 4.35:

Exercício 4.36:

Exercício 4.37:

Exercício 4.38:

Exercício 4.39:

Exercício 4.40:

Exercício 4.41:

Exercício 4.42:

Nos exercícios que vão de 4.43 até 4.50, reduza cada uma das equações `forma

canônica e identifique a quádrica:

Exercício 4.43:

Exercício 4.44:

Exercício 4.45:

Exercício 4.46:

Exercício 4.47:

Exercício 4.48:

Exercício 4.49:

Exercício 4.50:

3.8 Respostas dos Exercícios

4.1) ; ;

4.2) e

4.3) não é unitário; é unitário.

4.4) ; ;

4.5) ; ;

4.6) ; ; .

4.7)

4.8)

4.9) ;

4.10) Um deles é

4.11) a) ; b) ; c)

4.12)

4.13)

4.14) unidades de volume

4.15)

4.16) unidades de medida

4.17) Se você conseguir voltar para a equação reduzida original, então está correto.

4.18) Basta mostrar que satisfazem a condição de colinearidade.

4.19) Basta mostrar que satisfazem a condição de paralelismo de retas.

4.20) Basta mostrar que satisfazem a condição de coplanaridade de retas.

4.21)

4.22)

4.23)

4.24)

4.25)

4.26)

4.27)

4.28)

4.29)

4.30)

4.31)

4.32)

4.33)

4.34)

4.35) Superfície esférica

4.36) Elipsóide

4.37) Hiperbolóide de uma folha

4.38) Hiperbolóide de duas folhas

4.39) Parabolóide circular


4.41) Parabolóide hiperbólico


4.43) , elipsóide

4.44) , hiperbolóide de uma folha

4.45) , hiperbolóide de duas folhas

4.46) , superfície esférica

4.47) , parabolóide circular

4.48) , parabolóide elíptico

4.49) , parabolóide hiperbólico

4.50) , hiperbolóide de uma folha

Vinicius Carvalho Beck, 1º edição, Outubro de 2011

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