Cassilndia - 2010

1FACULDADE VALE DO APORDisciplina: Matemtica FinanceiraProf . Esp. Reginaldo de Oliveira Reinaldes UNIDADE IConceitos Fundamentais 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS1.1.FLUXO DE CAIXAO estudo da matemtica financeira desenvolvido, basicamente, atravs do seguinte raciocnio: aolongodotempoexistem entradas de dinheiro (receitas) e sadas de dinheiro (desembolsos) nos caixas das empresas e nas finanas das pessoas. Essa circulao de valores denominadafluxodecaixa. Etudoqueenvolvedinheiroemumdeterminadotempo, consequentementeenvolveumataxa, sejaeladejurosoudesconto, entopartiremos da afirmao ondetempo dinheiro, seja no presente ou no futuro. O Fluxo de Caixa pode ser representado da seguinte maneira:A representao acimapode ser entendida como: seta posicionada para cima indica que entrada em caixa (receita) e a seta posicionada para baixo (despesas) sadade caixa. Em um fluxo de caixapode haver vrias representaes de entradas e sadas.Deve-setambmobservar queumaoperaofinanceiraenvolvenomnimodois agentes.No caso de um emprstimo, tem-se o credor (fornecedor do dinheiro na operao) e o devedor (tomador do dinheiro). Por exemplo, para o credor representa uma sada de caixa (valor negativo), paraodevedor significa uma entrada de caixa (positivo).No futuropara liquidaradvida, oraciocnio ooposto: Para o credor ocorrer o oposto, ouseja,um embolso (entrada de caixa, portanto o valor positivo).A lgica de elaborao de um fluxo de caixa de uma operao financeira obedece a tica de um dos participantes. Num emprstimo, por exemplo, de R$1000,00 a uma taxa de 20%aa., apsumanodeoperao, haverumsaldodeR$1.200,00. Paraestecaso, a representao grfica dos diagramas de fluxo de caixapode ser mostrada a seguir:Agente Credor Agente Devedor(+) 1.200 (+) 1.000010 1 (-) 1.000 (-) 1.2001.2.JurosO conceito de juro de fundamental importncia no desenvolvimento de um curso de matemtica financeira. Pode-se dizer que os recursos financeiros complementares so captados atravs da emisso e obrigaes e/ou da obteno de emprstimos. A captao de 2fundosnomercadofinanceiroobtidamedianteapromessaderemunerao. Otipode remunerao exigido conhecidopor juro.Pode-seafirmar queaoseinvestir umcapital, espera-seser remuneradopor esta operao. Quandoseaplicaumcapital numnegcio, espera-seobter umaremunerao denominada lucro. Ao se investir no mercado financeiro, recebe-se uma remunerao chamada juro. A taxa de crescimento do dinheiro denominada da taxa de juros. A taxa de jurosrevela, almdonvel doincrementododinheiro, ointervalodetempoemquea operao de crescimento ocorre.Omercado financeiro trabalha combase na taxa de juros percentual, porm necessrio coloc-la na forma unitria para realizar os clculos financeiros.Forma Percentual Transformao Forma Unitria12% a.a 12/100 0,122%am. 2/100 0,020,1%a.d. 0,1/100 0,0011.3.Capital Entende-se por capital ao valor empregado ou umrecurso financeiro que seu proprietrio cede temporariamente ao tomador. O capital (dinheiro, no caso presente) assume valores diferentes emdatas diversas. Assim, adisponibilidadedeR$100,00hojeno equivalente a se ter R$100,00 daqui a um ano. Lembrando que tempo dinheiro, poiso que se compra hoje com este valor, pode no ser mais adquirido daqui a um ano com a mesma quantia. Capital o dinheiro disponvel em determinada poca.Nosmeioseconmicos, aconcepodecapitalmaisampla:considera-se capital, almdevalores, oconjuntodetodososbenseconmicos(equipamentos, terras, fbricas, matrias-primas, estoques, etc.) empregadosparaaelaboraodenovosprodutos(bense servios), para gerar riquezas aos capitalistas.1.3.1 PrincipalPrincipaldeumaoperaofinanceirapode serentendidocomo sendoseuvalorde referncia. No caso o principal prprio valor do capital.1.4. MontanteO montante tambm chamado de Valor Futuro, a quantia de resgate da operao financeira. o valor total resultante aps a remunerao do capital empregado. Corresponde ao saldo compreendido pela soma do principal e do juro total devido.1.5.Regime de capitalizaoO regime de capitalizao ou sistema de capitalizao a forma como se determina o juro a ser apropriado. No mercado financeiro, opera-se com dois sistemas de capitalizao. - Regime de capitalizao simples- Regime de capitalizao composta1.6.Perodo de Capitalizaoointervalodetempoparaoqual ojuroformado. oprazoemqueojuro calculado para a ocorrncia do fenmeno de capitalizao. Na capitalizao peridicaos juros so formados em intervalosdiscretos de tempo ( dia, ms, trimestre ,ano, etc.)3UNIDADE IIREGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES2.1. JURO SIMPLES2.1.1. IntroduoO regime de capitalizao simples tem como principal caracterstica a incorporao do juro somente no vencimento da operao financeira. Em outras palavras, o regime segundo o qual, os juros, produzidos nofinal decadaperodo, terosemprecomobasedeclculoocapital empregado. Seataxadejurospermanecer fixa, ojuroemcadaperodoserconstante, eem conseqncia o montante crescer de forma linear.O clculo de juros simples, em nvel de mercado financeiro, utilizado basicamente para apuraode valores monetriosdas operaes (encargos a pagar, rendimentos financeiros, etc). 2.1.2. Clculo de Juro SimplesAntes de iniciarmos os clculos, necessrio considerarmos algumas denotaes para composio das frmulas.Denotaes: JUROS - J CAPITAL (aplicao) - PMONTANTE - STAXA -i TEMPO - nA diferena entre o montante (S) e a aplicao (P) resulta na remunerao, rendimento ou juros ganhos.J = S POs juros ganhos em uma aplicao financeira o produto obtido pela taxa de juros, principal e tempo:J = P x i x n Exemplo:Qual o juro simplesproduzido por um capital de R$1000,00, aplicado durante cinco meses a uma taxa de 2%am?Dados:J = ? J = PxixnP = 1000 J = 1000 x 0,02 x 5n =5 meses J = 100,00i = 2 % am. = 0,0242.1.3.Clculo do MontanteO montante o valor do resgate de uma operao financeira, calculado em dada poca futura. S = P + JConsiderando o tempo equivalente a um perodo (um ms, um ano,etc.) e uma taxa equivalente ao mesmo perodo. Ento os juros produzidos sero equivalentes a:J = P x i x n (1)Como o montante corresponde ao capital empregado acrescido dos juros, temos:S =P + J (2)Os juros em relao ao montante, tambm podem ser calculado como:J = S P(3)Igualando-se as equaes (1) e (3) , temos a relao para o montante:

S P = P x inS = P.(1 + i.n)Prazo de Operao:Juros Comerciais ms comercial30 diasAno comercial 360 diasExemplos:1. Calcular os juros ganhos por $3.000,00 aplicados por um ano taxa simples de 25% a.a.Dados:P = 3.000, i = 25%a.a. = 0,25,J = ?J = P x i x nJ = 3000 x 0,25 x 1J =$750,002. Qual o montante de $1.600,00 aplicados por um ano taxa simples de 50% a.a.?Dados: S = ? , P = 1.600,i = 50% = 0,50 n = 1 anoS = P + JS = 1600 + 800J = P x i x nS = 2.400,00J = 1600 x 0,50 x 1J = $800,00Outra forma de resoluo:S = P(1 + i.n) S = 1600(1 + 0,50x1) S = 2400,002.1.4.Clculo do Capital5Entende-se por Capital ou Principal ao valor empregado em uma operao financeira. A partir da igualdade S = P(1 + in), podemos calcular o capital, isolando a varivel P, conforme segue:S = P(1 +in) P(1+i.n) = S isolando P, temos:) . 1 ( n iSP+2.1.5.Clculo da Taxa de JuroA taxa de juro o coeficiente que determina o valor do juro, isto , a remunerao do fator capital utilizado durante certo perodo de tempo.As taxas de juro referem sempre a mesma unidade do tempo (ms, ano, dia, etc).A unidade utilizada o percentual.Ainda considerando a expresso do montante S = P(1 + i.n), isolando a incgnita i temos,:S = P(1 + i.n) 1 + i.n = S/Pi.n = S/P -1nPSi1 2.1.6. Clculo do Tempo:Considerandoa equao do montante S = P(1 + i.n), isolandoa incgnita n, temos:i.n = S/P 1 iPSn1 Exemplos:1. Qual o montante de $1.200,00 aplicados de 57,60% ao ano findo um bimestre?Dados: S = ?,P = 1200,00, i = 57,60%= 0,576 aa. i = 0,576/12 = 0,048 ao msS = P(1 + i.n)S = 1200(1 + 0,048.2)S = $1315,202. Qual o rendimento de $10.000,00 aplicados por um ms taxa simples de 36% a.a.?Dados:P = $10.000,00;n= 1 ms;i = 0,36 a.a (0,36/12) = 0,03 am. J = ?S = P(1 + in) J = S - PS = 10.000(1 + 0,03.1) J = 10.300 -10000S = 10.000 + 300 J = 300,006S = 10.300Outra Soluo:J = PxixnJ = 10000x0,03x1J = 300,002.2.DESCONTO SIMPLESDesconto o abatimento que se faz sobre um valor ou um ttulo de crdito quando este resgatado antes de seu vencimento. Todo ttulo tem um valor nominal ou valor de face,que aquele correspondente a data de seu vencimento. A operao de desconto permite que se obtenha o valor atual ou valor presente do ttulo em questo. No regime de capitalizao simples existem dois tipos de desconto: - desconto comercial e desconto racional; a diferena entre ambos reside na base de clculo que cada um adota. Matematicamente, independentemente do tipo de desconto utilizadonaoperao, pode-sedizer queovalor seradiferenaentreovalor nominal eo desconto, ou seja:A = N DOnde;A = valor atualN = valor nominalD = desconto2.2.1. DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU DESCONTO BANCRIOEstedescontopossui umaamplautilizaonasoperaesdecurtoprazoemdescontode ttuloseduplicatascomerciais. aquelequecalculaosjurosdevidosaoperodofaltanteparao vencimento do papel, abatendo essa importncia da dvida.Obs.: Independentemente do vencimento do ttulo, a base de clculo sempre ser o valor nominal.Dc = N.i.nOnde,Dc = Desconto comercialN = Valor nominali = Taxa n = TempoExemplo:Umaduplicata, cujovalorderesgatede$500,00foiresgatadatrsmesesantesdovencimento atravs do desconto bancrio, taxa de 28% ao ano. Qual o valor do desconto?Dados: N= 500, n= 3 meses; i = 0,28 a.a. oui = 0,02333 a.m.Dc = N.i.nDc = 500.(0,02333).(3)Dc = $35,002.2.1.1.VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE7Podemos definir valor atual como sendo a diferena entre o valor nominal e o desconto, logo:Ac = N DcAc = N N.i.nAc = N.(1 i.n)Exemplo:Qual o valor atual de um ttulo de crdito de valor nominal $1350, 00, resgatado dois meses antes do vencimento, taxa de 44% ao ano?Dados:Ac = ?;N = 1350;i = 44% a.a. = 0,0366 a.m,n = 2 mesesAc = N(1 in)Ac = 1350.(1- (0,0366.2))Ac = $1251,002.2.2. DESCONTO RACIONALO desconto racional, tambm chamado desconto real, desconto verdadeiro ou desconto por dentro, o desconto calculado sobre o valor atual do ttulo.Supondo que faltam nperodos de tempo para o vencimento do ttulo de valor nominal Ne que a instituio financeira que vai descont-lo se utiliza da taxa ide desconto racional e que seu valor atual Ar na data do desconto, tem-se para o desconto racional Dr a expresso:Dr = Ar.i.nNa prtica, no possvel calcular o desconto racional com essa frmula, uma vez que o valor atual Ar s conhecido aps o clculodo desconto.Substituindo, ento Ar, pelo valor dado em(A = N D), tem-se:Dr =(N D)i.nAplicando a propriedade distributiva da multiplicao, vem;Dr = N.i.n Dr.i.nDr + Dri.n = N.i.nDr(1+i.n) = N.i.nn in i NDr. 1. .+Uma vez descontado racionalmente o ttulo, pode-se determinar seu valor atual Ar pela diferena:Ar = N DrOu:Ar = N - n in Ni n i N Nn in i N. 1. . .. 1. .+ ++8Ou, ainda:n iNAr. 1+Exemplo:Uma pessoa pretende resgatar um ttulo de valor nominal de $800, 00, o qual vencer dentro de trs meses. Qual o desconto a que ter direito, se o critrio utilizado for o do desconto simples racional razo de 5% ao ms?Dados:Dr = ?, N = 800, n = 3 meses, i = 5% = 0,05 a.m.n in i NDr. 1. .+) 3 . 05 , 0 1 (3 ). 05 , 0 .( 800+ DrDr = $104,352.3.EQUIVALNCIA DE CAPITAISDizemos que dois capitais so equivalentes quando tm o mesmo valor em uma determinada datadeavaliao(datafocal). Por exemplo, precisamosalterar aformadepagamentodeuma determinada dvida,ou apurar se uma proposta feita em uma data presente se eqivale forma combinada em uma data passada; sendo necessria a comparao de valores exigveis em datas diferentes, ela s ter sentido se feita em uma mesma poca pois, nessa poca, o valor da poca presente Ter que ser equivalente ao valor da poca passada. Para que possamos operacionalizar essa idia, devemos escolher uma data chamada data de comparao ou data focal e, em seguida, descontar os capitais que esto ao longo do fluxo de caixa para essa data. Para efeito didtico deste texto, convencionamos que a data focal ser a data zero.Exemplo:Uma empresa deve pagar dois ttulos; um chamado A no valor de $800 para cinco meses e outro, chamado B, exigvel dentro de sete meses com valor nominal de $1500. Entretanto, no podendo resgat-los no vencimento, prope-se ao credor substitu-los por um nico titulo para onze meses. Calcule o valor nominal do novo ttulo, sabendo-se que a taxa de 3% a.m.Resoluo:Nota: Baseadonapropostamatemtica, devemosmontarumaEQUAO, Chamadade EQUAODEEQUIVALNCIA onde, a soma dos Valores Atuais dos ttulos a serem substitudos A e B deve ser igual ao Valor Atual do ttulo substitudo, no caso X, ou seja:ACA + ACB = ACXA data de comparao da DATA ZERO, sendo assim, devemos calcular o Valor Atual de cada ttulo nessa data.Como Ac = N (1 i.n), temos:AC5 = 800(1 0,03.5)AC5 = 680,009AC7 = 1500(1 0,03.7)AC7 = 1185,00AC11 = X(1-0,03.11)AC11 = 0,67XSubstituindo os valores encontrados na equao de equivalncia, temos:AC5+AC7 =AC11680 + 1185 = 0,67 XX = 2.783,581 Lista de Exerccios (Juros Simples)1. Durante quantos meses o capital de R$4500,00, aplicados a 8%ao ms, produz juros de R$1.440,00? R: n = 42. Qual ataxadejuroscujocapital deR$590,00, aplicadosdurante14meses, produzjurosde R$371,70? R: i = 4.5%am3. Calculeocapital queaplicadoajurossimples, taxade60%aoano, rende, nesseperodo, R$120,00 de juros? R: R$ 200,004.Quaisosjurosproduzidosporumcapital de R$1200,00,aplicados taxa de 18% ao semestre durante dois meses? R: J = R$72,005. Um aplicador tem a importncia de R$800,00 e deseja obter um crescimento de 25% do seu capital ao final do 4 ms. Qual deve ser a taxa de juros simples que ele dever aplicar a este capital? R: i = 6.25%am6. Aplicadospor105diasumcapitaldeR$100,00transformou-seem R$145,00. Calcular ataxa mensal de juros simples ganha. R: i = 12.85%am7. Durante quantos meses o capital de R$2000,00 deve permanecer aplicado a juros simples, dada uma taxa de juros de 2,30% ao ms, para que se chegue ao montante de R$2368,00? R: n = 8 meses8. No dia 26 de maiode 2008 foi contratado um emprstimo de R$5.000,00 a juros simples de 24% a.a., para sertotalmenteliquidado em 90 dias. No dia 16 de junho foram pagos R$2.000 e no dia 11 de julho R$1500,00. Determinar a data de vencimento da dvida e o valor da quantia que dever ser pago naquela data para liquidar a dvida. R: valor de R$1661,609. Um indivduo aplicou a juros simples um certo capital. Consultando seu saldo, ele verifica que, aps seis meses, j existe o montante de R$75,00 e, finda a aplicao, aps nove meses ele possui R$82,00.Sabendo que a taxaficou inalterada ao longo de todo o perodo, calcule essa taxa,bem como o capital aplicado. R: P = R$70,601010. Em quanto tempo o montante produzido por um capital de R$ 1920,00 aplicado a 25%aa se iguala ao montante de um capital de R$ 2400,00 aplicado a 15%aa sendo que foram investidos na mesma data? R: n = 4 anos11. Dois capitais, um de R$ 2400,00 e outro de R$ 1800,00, foram aplicados a uma mesma taxa de juros simples. Calcular a taxa mensal considerando que o primeiro capital em 48dias rendeu R$ 17,00 a mais que o segundo em 30 dias.R: 0.833% am.2 Lista de Exerccios1. Qual o rendimento de R$ 10.000,00, aplicados por um ms a taxa simples de 36% aa ? R: J = R$300,002. Calcular o rendimento de R$ 12.000,00, aplicado durante oito meses e trs dias a taxa de juros simples de 40% aa. R: R$ 3240,003. Calcular o rendimento de R$ 23.000,00, aplicados por 14 dias a taxa simples de 2,5% am. R: J = R$ 288,34 4. Qual a remunerao obtida por um capital de R$ 2.400,00, aplicados durante 17 meses a taxa de juros simples de 60% aa? R: J = R$ 2040,005. Em quantos meses um capital de R$28.000,00 aplicado a taxa de juros simples de 48% aa produz um montante de R$ 38.080,00? R: n = 9 meses6. Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00de juros em 75 dias? R: P = R$ 116.666,677. Se a taxa de uma aplicao de 150% ao ano, quantos meses sero necessrios para dobrar um capital aplicado atravs de capitalizao simples? R: n = 8 meses8. Determinar o valor do montante acumulado em 12 meses, a partir de um principal de $10.000,00, aplicado a uma taxa de 12% ao ano, no regime de juros simples. R: S = R$ 11200,009. Determinar o nmero de meses necessrios para um capital dobrar de valor, com uma taxa de juros de 2% ao ms, no regime de juros simples. R: n = 50 meses10. Um capital de $ 3000,00 foi aplicado em 23 de maro de 1999 a juros simples de 96%a.a.. O resgate foi feito em 17 de setembro de 2000. Determine os juros desta aplicao. (O nmero de dias decorridos foi de 544). R: J = R$ 4352,0011. Umaempresa tomaemprstimodeR$150.000,00ataxa de1.8%aoms noregime de capitalizao simples. Sabendoqueaamortizaoser feita seis meses aps acontrataodo emprstimo, calcule o montante a ser pago no final deste perodo.a)R$ 166.946,73b) R$ 312.000,00c) R$151.620,00d) R$166.200,0011R: d12. Se aplicarmos a quantia de R$ 50 mil pelo prazo de 4 meses, teremos como remunerao deste capital a quantia de R$ 4.350,00. Qual a taxa de juros simples ao ms desta operao?a)2,11% amb)2,18% amc)8,70% amd)1,09% amR: b13. Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros for de 25% aa? R: n = 20 anos3 Lista de Exerccios1. Determinar quanto render um capital de R$ 60.000,00 aplicado taxa de 22% ao ano, durante 7 meses.R = 7.700,002. Um capital de R$ 150.000,00 aplicado durante 14 meses, rendeu juros de R$ 7.752,50 Determinar a taxa anual.R = 4,43%3. Durante 855 dias certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros de 1,5% ao ms, determinar o valor do capital aplicado. R =44.973,734. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00 resultante da aplicao de certo capital a taxa de 42% ao ano, durante 13 meses.R = 31.271,485. Qual o valor a ser pago, no final de 5 meses e 18 dias, correspondente a um emprstimo de R$ 125.000,00 sabendo-se que a taxa de juros de 27% ao semestre. R = 156.500,006. Em quanto tempo um capital de R$ 900.000,00 aplicado a taxa de 0,03% ao dia, gera um montante de R$ 994.500,00. R =350 dias7. UmcapitaldeR$50.000,00foiaplicadono dia 19/06/1997e resgatadoem 20/01/1998. Sabendo-sequeataxadejuros daaplicaofoi de56%aoano, calcular ovalor dos juros, considerando-se o nmerode dias efetivo entre as duas datas. R = 16.722,228. UmaempresaaplicouR$2.000.000,00noOpenMarket nodia15/07/1997eresgatouessa aplicao no dia 21/07/1997 por R$ 2.018.000,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operao. R = 4,5% ao ms9. Calcular o valor do capital que aplicado a taxa de 50,4% ao ano, durante 2 anos e 3 meses, produz um montante de R$ 600.000,00. R = 281.162,14 10. Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00 aplicado a taxa de 3% ao ms, produz R$ 18.600,00 de juros.R = 15,5 meses ou 465 dias11. Obteve-se um emprstimo de R$ 100.000,00 para ser liquidado por R$ 186.625,00 no final de 26 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operao. R = 46,2% ao ano12. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor. R = 25 meses1213. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a do seu valor.R = 2,5% ao ms14. Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicao foi de 13 meses e a taxa de juros de 2% ao ms, calcular o valor do montante.R = 468.720,0015. Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzir juros de R$ 62.196,60 a uma taxa de 3% ao ms.R = 230 dias16. Determinar o capital necessrio para produzir um montante de R$ 798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a taxa de 15% ao trimestre.R = 420.000,0017. AaplicaodeR$356.000,00gerouummontantedeR$661.270,00nofinal de20meses. Calcular a taxa anual. R = 51,45%18. Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000.000,00 sabendo-se que a taxa de juros de 5% ao ms e o prazo de 9 meses, calcular o valo dos juros. R = 310.344,8319. Determinar o montante correspondente a uma aplicao de R$ 450.000,00 por 225 dias, taxa de 2,6% ao ms.R = 537.750,0020. Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 1,2% ao ms, por 174 dias, produziu um montante de R$ 543.840,00. R = 508.451,7621. Um ttulo de renda prefixada foi adquirido por R$ 980.000,00 e resgatado por R$ 1.147.776,00 no final de 8 meses. Calcular a taxa mensal de juros. R = 2,1422. Em que prazo uma aplicao de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 610.000,00 a taxa de 2,2% ao ms.R = 10 meses23. A que taxa anual devo aplicar um capital de R$ 275.000,00 para obter juros deR$ 77.293,33 no final de 186 dias. R = 54,40%(Exerccios) Desconto Simples1. Qual o desconto racional de um ttulo cujo valor de $1420,00 resgatado 5 meses antes de seu vencimento, razo de 10% ao ms?2. Qual o desconto comercial de uma duplicata, cujo valor nominal de $1900,00, antecipada em 22 dias antes do vencimento taxa de 8,50% ao ms?133. Calcule o valor atual de um ttulo de $1100,00, resgatado 12 dias antes do seu vencimento, pelo desconto bancrio razo de 10% a.m.4. Uma duplicata de $1200,00 foi resgatada por $1056,00 quatro meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa utilizada, sabendo que foi usado o desconto simples comercial.5. Uma nota promissria foi resgatada 90 dias antes de seuvencimento por $534,09. Sabendo-se que a taxa de desconto racional foi de 84% a.a., determine o valor nominal deste ttulo.6. Um determinado ttulo foi descontado trs meses antes do seu vencimento. Supondo que o valor do desconto comercial seria de $285,00, enquanto o do desconto racional seria de $247,83, calcule a taxa da operao, dado um valor nominal de $1900,00.7. Calcule o valor nominal de um ttulo descontado quatro meses antes do vencimento taxa de 13% a.m., sabendo que a diferena entre o desconto comercial e o desconto racional de $266,84.8. Um ttulo de $300.000,00 foi resgatado dois meses antes do vencimento, com taxa de 10% a.m. de desconto racional. Qual o desconto e qual o valor recebido pelo seu portador?9. Um ttulo de valor nominal de $2000 exigvel em quatro meses, ser substitudo por outro com vencimento para 7 meses. Calcule seu valor nominal, sabendo-se que a taxa de desconto ser de 6% a.m.R = 2.621,0010. Um ttulo de valor nominal de $260 com vencimento para quatro meses, foi substitudo por outro de valor $845 exigvel em sete meses. Qual a taxa dessa operao?R = 12%UNIDADE IIIREGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTA3. JUROS COMPOSTOSNo regime de juros simples, apenas o capital inicial rende juros.No regime de juros compostos, aremuneraoourendimentogeradopelaaplicaoserincorporadoaela, 14passando a participar da gerao do rendimento no perodo seguinte. Dizemos, ento, que os juros so capitalizados.Seaplicarmos $100taxade20%a.m. durante3meses, teramos os seguintes rendimentos e montantes no regime de juros simplese no regime de juros compostos.Juros Simples Juros CompostosMs Rendimento Montante Rendimento Montante1 $1.000 x 0,2 = $200 $1.200 $1.000 x 0,2 = $200 $12002 $1.000 x 0,2 = $200 $1400 $1200 x 0,2 = $240 $1.4403 $1.000 x 0,2 = $200 $1600 $1440 x 0,2 = $288 $1.728Odinheirocrescemaisrapidamenteajuroscompostosdoqueajurossimples. Ajuros compostos, o dinheiro cresce exponencialmente em progresso geomtrica ao longo do tempo, dado queosrendimentosdecadaperodoso incorporados ao saldo anterior epassam, por suavez,a render juros. 3.1.Clculo do montante Paranperodos, podemos calcular diretamenteomontanteSresultantedaaplicaodo principal P durante n perodos a uma taxa de juros composta i:S = P.(1 +i)nOnde,S = montanteP = Capital (Principal) i = taxan = tempoA frmula expressa o montante ao fim de n perodos como uma funo exponencial do capital inicialaplicado. A taxadejurosdeveser sempre referida mesma unidade de tempo doperodo financeiro.Ofator (1+i)nchamadofator de capitalizao ou fatordevalor futuropara aplicao nica. o nmero pelo qual devemos multiplicar o valor da aplicao inicial para obtermos seu valor futuro ou de resgate. Exemplo: Seocapital fossede$1000, ataxacomposta,de20%a.m., eoprazo, de 3meses, o montante ao trmino do terceiro ms poderia ser calculado diretamente da seguinte forma:Dados:P = $1000 S = P(1+i)ni = 20% = 0,2 a.m. S = 1000.(1+0,2)3n = 3 meses S = $17283.2.Clculo do capitalO valor presente de um montante ou pagamento nico (capital) tem sua frmula deduzida da frmula do montante, como segue:S = P(1 + i)n15niSP) 1 ( +O fator

,_

+ni) 1 (1 conhecido como fator de valor presente, fator de desconto, ou fator de atualizaoparapagamentonico. simplesmenteovalorinversodofatordevalor futuropara pagamento nico. Portanto, o clculo do valor presente de uma aplicao, conhecido o montante, apenas uma operao inversa do clculo do montante, conhecido o valor da aplicao. Exemplo:1) Qual o capital que, em 6 anos taxa de juros compostos de 15% a.a., monta $14.000?Dados:P = ?niSP) 1 ( +n = 6 anos6) 15 , 0 1 (14000+ Pi = 15% a.a. = 0,15S = 140006) 15 , 1 (14000 P=31306 , 214000 P = $6.052,593.3.Clculo da taxa de juroAinda considerando a equao do montante, e isolando a incgnita i(taxa), temos a equao para o clculo da taxa de juro.11 ,_

nPSiEx.: A que taxa de juros um capital de $13.200 poder transformar-se em $35.112,26, se o perodo de aplicao for de 7 meses?Dados:i = ?P = 13200S = 35.112,26n = 7 meses11 ,_

nPSi 11320026 , 3511271

,_

i ( ) 1 66 , 2 71 i16i = 766 , 2- 1 i = 1,15 1i = 0,15i = 15%3.4.Clculo dotempo3.5.Para determinarmos em que tempo ocorre uma operao financeira, usaremos a equao do montante, aplicando em seguida a propriedade logartmica da potncia.S = P(1 + i)nExemplo:Em queprazoumemprstimode$55.000 pode ser quitado por meio de um nico pagamento de $110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15%a.m.?Dados: P = 55000 S = 110624,80 i = 15% a.m. = 0,15n = ?S = P(1 + i)n110624,80 = 55000(1 + 0,15)nn) 15 , 1 (5500080 , 1106242,01136 = (1,15)nlog 2,01136 = log(1,15)n15 , 1 log01136 , 2 log nn = 5 meses3.6.Clculo do juroNumaoperaofinanceira, ojuroconsistenadiferenaentreomontanteeaaplicao (capital), assim a equao para o clculo efetivo do juro :J = P(1 + i)n- P1 Lista de Exerccios1.Qual omontantedeumcapital deR$3500,00aplicadosem8meses, ajuroscompostosde 20%am? R: R$ 15049,36172.A que taxa de juros um capital de R$13200,00 pode transformar-se em R$35.112,26, considerando um perodo de aplicao de sete meses? R: i = 15%am3.Quanto rende um capital de R$4000,00 aplicados por dez meses a juros efetivos de 2% am?R: J = R$ 875,984.A que taxa de juros um capital de R$ 2000,00 obtm-seum rendimento de R$280 em dois meses? R: i = 6.77%am5.Determinar o capital que, aplicado por sete meses a juros efetivos de 4% a.m., rende R$10000,00. R: R$ 7600,006. Em quantos meses um capital de R$5000,00, aplicados a uma taxa de juros efetiva de 5% a.m., produz juros de R$1700,48? R: n 6 meses7.Um aplicador deposita R$2800 em um banco que paga 5% ao ms durante dois anos. Qual ser o montante ao final desse perodo? R: S = R$ 9030,288. Calcule qual foi o capital aplicado taxa de 3,25% ao ms que, aps um semestre produziu um montante de R$1393,28. R: P = R$ 1150.009.UmapessoaaplicaR$1500.00por30dias, taxade60%aoano, capitalizadosmensalmente. Quanto receber no final da aplicao? R: S = R$ 1578,4210.DurantequantosmesesdevodeixarR$1400.00aplicadostaxade6%aoms, parareceber R$2507,18? R: n = 10 meses11.Um aplicador deposita a quantia de R$3000 e, passados oito meses, ele resgata R$5977,68. Qual a taxa anual dessa operao? R: i = 9%aa12. UmapessoadepositouR$2000,00emumapoupana. Doismesesdepois, depositamaisR$ 2500,00 e, dois meses depois deste ltimo depsito, realiza uma retirada de R$ 1300,00. Qual ser o saldo da poupana ao fim do quinto ms, considerando que a taxa de juros compostos ganha de 15% am? R: Saldo de R$ 6329,90 13. Quanto tempo deve transcorrer para que o montante de um capital de R$ 5000,00 aplicado a juros efetivos e 6%am se iguale ao montante de outro capital de R$ 8000,00 aplicado taxa efetiva de 4% am? R: n = 24,67444477 ou n = 740 dias.2 Lista de Exerccios1.Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicao de umcapital de R$100.000,00 `a taxa de 3,75% ao ms? R = R$144.504,39182.Um agiota empresta R$80.000,00 hoje para receber R$507.294,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal e anual deste emprstimo. R = 8% ao ms e 151,817% ao ano.3. Uma empresa obtm um emprstimo de R$700.000,00 que ser liquidado, de uma s vez, no final de 2 anos. Sabendo-se queataxade juros de 25% ao semestre,calcular o valor pelo qualesse emprstimo dever ser quitado? R = R$1.708.984,394. Em que prazo uma aplicao de R$272.307,03 em letras de cmbio, taxa de 3,25% ao ms, gera um resgate de R$ 500.000,00? R = 19 meses.5. A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor? R= 4,162% ao ms.6. Qual mais vantajoso: aplicar R$10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao ms, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao ms? DESCONTO COMPOSTOComo vimos o desconto comercial incide sobre o valor nominal e o racional incide sobre o valor atual de um ttulo. Vamos ver agora outro tipo de desconto chamado composto, por ser peculiar ao regime de capitalizao composta. 19Existemdois tipos de desconto composto: ODesconto Racional e o Desconto Comercial, sendo que o primeiro eqivale soma de descontos simples racionaiscalculados isoladamente em cada um dos perodos que faltam para o vencimento do ttulo: analogamente, o desconto comercial eqivale soma de descontos simples comerciais.3.6.1.Desconto composto racional3.6.1.1. Valor Atual (Ar)O valor atual consiste no valor que ser pago aps decorrido o desconto a um determinado ttulo. Chamaremos de Ar ao valor atual de um desconto racional.niNAr) 1 ( +Exemplo:Um ttulo de valor nominal $800 foi resgatado seis meses antes do vencimento taxa de 5% ao ms. Determine o valor do resgate, empregando o desconto composto racional.Dados:N = 800; n = 6 meses;i = 5% a.m. = 0,05; Ar = ?niNAr) 1 ( +6) 05 , 0 1 (800+ Ar34009 , 1800 ArAr = $596,67Ovalor Atual adiferenaentreovalor Nominal eoDesconto, portantoaequao equivalente ao clculo do desconto racional pode ser escrita da seguinte forma:1]1

+ niN Dr) 1 (11Exemplo:Qual o desconto composto relativo a um ttulo de valor nominal de $1000 descontados seis meses antes do vencimento razo de 7% a.m.?Dados:Dr= ? N = 1000;n = 6 mesesi= 7% = 0,07 a.m.1]1

+ niN Dr) 1 (111]1

+ 6) 07 , 0 1 (11 1000 Dr 1]1

50073 , 111 1000 DrDr = 333,663.2.1. DESCONTO BANCRIO OU COMERCIAL.3.2.2.1. Valor Atual(Ac)O valor atual de um desconto composto comercial obtido:20Ac = N(1 i)nEx.:Qual o valor atual de um ttulo com vencimento para 6 meses, cujo valor nominal de $4500, se a taxa de desconto comercial for de 2% a.m.?Dados:Ac = ?;N = 4500; i = 0,02n = 6 mesesAc = N(1 i)nAc = 4500(1 0,02)6Ac = 4500(0,88584)Ac = 3986,283.2.2.2. Desconto Comercial ou bancrioDc =N AcDc = N[1 (1 i)nExemplo:Um ttulo no valor de 10.000 foi saldado 6 meses antes de vencer. O possuidor do ttulo obteve uma taxadedescontocomercial compostade2%a.m. Qual odescontocomercial equal aquantia recebida? Dados: N = 10000; n = 6 meses;i = 2% = 0,02 Dc = ?Dc = N[1 (1- i)nDc = 10.000[1 (1 0,02)6Dc = 10.000[1 0,88584)Dc = $1141,583.3. EQUIVALNCIA DE CAPITAIS - REGIME COMPOSTONo sistema de capitalizao composta os juros so inversamente proporcionais aos descontados, adatafocalpodesedarem qualquer pontodofluxo decaixa bastando,paratanto, capitalizar ou descapitalizar os valores para essa data. Comoregrageral, devemosescolherumapocaondeestejaconcentradoomaiornmero possvel de capitais, facilitando, dessa forma, os clculos necessrios resoluo dos problemas.Exemplo:Uma empresa tem uma dvida no valor de $50.000,00 exigvel no final de 2 anos. Desejando antecipar o pagamento, ela prope ao credor liquidar a dvida atravs de dois pagamentos com vencimentos, respectivamente, dentro de um semestre e de 1 ano. Calcule o valor nominal dos mesmos, sendo que foi acordada entre as partes uma taxa de 10% ao semestre.Graficamente, teramos: X_________________________________________________________________________210 1 2 3 4 5.........n (semestresY1Y2Onde: X = dvida original exigvel no final de 2 anos ( 4 semestres)Y1 = valor antecipado exigvel no final de 1 semestre.Y2 = valor antecipado exigvel no final de 1 ano.Resoluo:Vamos estabelecer dois critrios para a escolha da DATA FOCAL a fim de comprovarmos que, independentemente da data escolhida,o valor apurado ser sempre o mesmo.Critrio 1:Data focal = 0 isto implica DESCONTARMOS todos os valores para esta data.Ar = niN) 1 ( +EQUAO DE EQUIVALNCIA: Ar4 = Ar1 + Ar24) 10 , 0 1 (50000+ = 1) 10 , 0 1 ( +Y + 2) 10 , 0 1 ( +Y34150,67 =10 , 1Y + 21 , 1YMMC(1,10 e 1,21) = 1,33134150,67 = 331 , 131 , 2 YY =19.677,29Critrio 2: Data Focal = 4 isto implica CAPITALIZARMOS todos os valores pra esta dataS = P(1 + i )nEQUAO DE EQUIVALNCIA: S4 = S2 + S350.000 = Y(1 + 0,10)2 + Y(1 +0,10)350.000 = 1,21000Y + 1,331000Y50.000 = 2,54100YY = 19.677,29Exerccios:1.Umapessoa temumadvidade $1000 que vence em dez meses e prope-se a pag-la em trs parcelas: $350 daqui a trs meses, $300 daqui a sete meses e uma parcela final no vencimento da dvida. A juros efetivos de 4% a.m., determinar o valor da parcela final que liquida a dvida.222.Um ttulo de valor nominal de $20.000 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratada a taxa de 2,5% a.m. Qual foi o desconto racional concedido?3. Ao descontar uma nota promissria no valor de $5000 no vencimento, a financeira informou que sua taxa de desconto racional era de 30% a.a. Se o desconto fosse efetuado 2 meses antes do vencimento, qual seria o valor lquido (valor atual) recebido pelo possuidor desse ttulo?4. Numa operao de desconto, o possuidor do ttulo recebeu $10.000 como valor de resgate. Sabendo-se que a antecipao fora de 6 meses e o desconto de $1.401,75, pergunta-se qual foi a taxa de juros anual adotada?5. Em um ttulo no valor nominal de $6500, o desconto sofrido foi de $835,63. Se a taxa de juros de mercado for de 3,5% a.m., qual dever ser o prazo de antecipao?6. Um ttulo no valor nominal de $2000 foi descontado num estabelecimento financeiro onde adotado o desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de juros considerada foi de 1% a.m., e que a antecipao foi de 2 meses, qual foi o valor do desconto?7. Qual o valoratualde umttulo com vencimento para 6 meses,cujo valor nominal de $4500 se a taxa de desconto comercial for de 2% a.m.?UNIDADE IVTAXAS DE JUROS4.TAXAS DE JUROS4.1. Taxas Proporcionais23Consideremos duas taxas i e i, que respectivamente referem-se aos perodos n e n, dizemos que elas so proporcionais se expressando os perodos a que se referem numa mesma unidade de tempo for verificada a seguinte relao:i= ni = nNa relao acima i e i podem estar ou sob a forma unitria ou sob a forma percentual, porm necessrio que ambas estejam sob uma mesma forma.Exemplo:Astaxasde4%aotrimestreede16%aoanosoproporcionais, poisexpressando-seos perodos a que se referem na unidade ms, tm-se uma igualdade.anotrimestre% 16% 4 = mesesmeses123 = 41 = 41Outra definio de proporcionalidade :Duas ou mais taxas de juros so ditas proporcionais quando forem aplicadas a um mesmo capital duranteomesmoperodode tempoproduzirem ummesmomontantenofinaldaquele prazo no regime de juros simples.Exemplo:1. Qual o montante acumulado no final de 4 anos, a partir de um principal de $100 com uma taxa de juros de 12% ao ano, no regime de juros simples?S = ? n = 4 anos P = 100 i = 0,12 aaS = P(1 + in)S = 100(1 + 0,12.4)S = 148,002. Com os mesmos dados do exerccio anterior, calcule o montante se a taxa de juros for de 6% ao semestre.S = 100( 1 + 0,06. 8)S = 148,00Logo, ambas as taxas so proporcionais, conforme definio.4.2.TaxasEquivalentes na Capitalizao CompostaTaxas Equivalentes: So aquelas que aplicadas ao mesmo principal, durante o mesmo espao de tempo, produzem montantes iguais.Matematicamente temos:241 ) 1 (1 + nei ieOnde;ie =taxa de juros equivalentei = taxa de jurosne = perodoequivalenteExemplo:1. Qual a taxa de juros mensal equivalente a 60% ao ano?Dados:ie = ?i = 60% = 0,60ne = 12 mesesn = 1 ano1 ) 1 (1 + nei ie 1 ) 060 1 (121 + ieie =0,0399 = 0,04ie = 4,0% a.m.Podemos, ainda, calcular a taxa i em funo da taxa ie:(1 + i)n= (1 + ie)neComo n=1, temos(um ms, um semestre, um ano, um perodo)1 + i = (1 + ie)nei = (1 + ie)ne 1Exemplo:1. Qual a taxa de juros semestral equivalente taxa de 2% a.m.?Dados: i =?ie =2% a.m. = 0,02ne =6 mesesi = (1 + ie)ne 1i = ( 1 + 0,02)6 -1i = 0,1262 i = 12,62% a.s.4.3. Taxa de Juros Nominal e Taxa EfetivaExistemalgumas situaes em que a taxa utilizada na operao no coincide com o perodo de capitalizao. Por exemplo, aplica-se $1000 a juros compostos por trs meses taxa de 70% ao ano, capitalizadosmensalmente. Noteque, apesar dataxaser expressaemtermos anuais, a capitalizao se d em termos mensais. Isto implica estarmos utilizando uma taxa nominalanual 25quando, efetivamente, aremuneraodocapital sedemtermosmensais. Paratanto, faz-se necessria a distino entre taxa nominal e taxa efetiva.- Taxa Nominal: aquela cuja unidade do perodo a que se refere no coincide com a unidade do perodo de capitalizao.Exemplos:18% ao ano capitalizada mensalmente;5% ao ms capitalizada diariamente:8% ao semestre capitalizada mensalmente:- Taxa Efetiva: aquela que efetivamente grava uma operao financeira.Dada uma taxa de juros nominal procede-se, para o clculo da respectiva taxa de juros efetiva, por conveno, demaneiraigual adosistemadecapitalizaosimples, isto, calcula-seataxa proporcional dada, relativa unidade de tempo mencionada para a capitalizao, e, posteriormente, apura-se exponencialmente a taxa efetiva nominal. Matematicamente, temos:1 ) 1 ( + kkiifOnde,if = taxa efetivai = taxa nominalk = freqncia de perodos relativos capitalizao de if.Exemplo:1. Qual a taxa efetiva em relao taxa de 39% a.a. capitalizada trimestralmente?Dados:if = ?i = 0,39k = 4 trimestres1 ) 1 ( + kkiif 1 )439 , 01 (4 + ifif = 45,08% a.a.2. Qual a taxa efetiva de retorno das cadernetas de poupana, lembrando-se que a taxa paga de 6% ao ano e que a incorporao dos juros ao capital se d a cada 30 dias?Dados;if = ?i = 0,06k = 30 dias1 ) 1 ( + kkiif 1 )3006 , 01 (30 + ifif = 6,17% a.a.Exerccios:1. Qual a taxa trimestral equivalente taxa mensal de 5%?2. Dada uma taxa nominal de 40% ao ano, determine as respectivas taxas anuais efetivas para:a) Capitalizaes mensais.b) Capitalizaes bimestrais26c) Capitalizaes trimestraisd) Capitalizaes quadrimestraise) Capitalizaes semestrais. 3. Determine as taxas mensais equivalentes seguintes taxas:a) i = 150% ao ano;b) i = 30% ao trimestre.4. Um capital de $2000 ser resgatado ao final de trs anos razo de 16% a.a., capitalizados trimestralmente. Qual o valor do resgate?4.4. Taxa de Juros Aparente e Taxa de Juros RealAtaxaaparente(chamadanominal nastransaesfinanceirasecomerciais) aquelaque vigora nas operaes correntes. A taxa real calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionrios.As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma: (1 + i) = (1 + ir) . (1 + I)Onde:i = taxa aparente; ir = taxa real I = taxa de inflaoPor exemplo, o custo real de um emprstimo contratado a uma taxa efetiva aparente de 20%, considerando uma inflao para o mesmo perodo de 15%, :ir = ) 1 () 1 (Ii++ - 1 =15 , 120 , 1 - 1 =0,043478= 4,3478%Exemplos de aplicao:Uma empresa financeira rende juros nominais de 6%a.a. capitalizados mensalmente. Considerando uma taxa de inflao de 5,5%a.a., calcular as taxas de juros aparente e real ganhas pela aplicao.Dados:i = 6% a.a.k = 12, I = 5,5% a.a., if =?Ir = ? Clculo da taxa efetiva aparente1 ) 1 ( + kkiif 1 )1206 , 01 (12 + ifif = 6,17% a.a. Clculo da taxa efetiva realir =) 1 () 1 (Iif++ - 1ir =) 055 , 0 1 () 0617 , 0 1 (++ - 1 ir =) 055 , 1 () 0617 , 1 ( - 1 ir = 0,6351%Qual a taxa real de juros de uma aplicao, dada uma taxa de juros mensal de7%, se houve uma inflao no mesmo perodo de 3,50%?Dados:ir = ?if = 7%;I = 3,50%27ir =) 1 () 1 (Iif++ - 1 ir =) 035 , 0 1 () 07 , 0 1 (++ - 1ir = 3,38% a.m.4.5. Taxa de Juros de Funo da Taxa de DescontoConsidere a seguinte situao: um indivduo detendo um ttulo de crdito de valor nominal de $100,00, e faltandoum ms para o vencimento, resolve descont-lo em um banco A taxa de 1% ao ms. Fazendo os clculos: Ac = N(1 i.n)Ac = 100( 1 0,01.1)Ac = $99,00Aps sair do banco A, ele entra em um banco B e aplica seu capital mesma taxa, durante o mesmo perodo. Assim:S = P(1 +i.n)S = 99.(1 + 0,01.1)S = 99,99Intuitivamente, espervamos que este indivduo fosse receber os mesmos $100,00, uma vez que foi utilizado o mesmo prazo e a mesma taxa. Istono ocorre em funo das bases de clculos serem diferentes, pois, enquanto a taxa de juros incide sobre um valor presente, a taxa de desconto incide sobre um valor futuro. Os fluxos de caixa abaixo, demonstram o comportamento das taxas em relao s suas respectivas bases de clculo ao longo do tempo: S ijPNid AcChamaremos de ij e id, respectivamente, as taxas de juros e de desconto as quais proporcionariam as seguintes sentenas matemtica:n ididij. 1Onde:ij = taxa de jurosid = taxa de desconton = tempoExemplo: Qual a taxa que produz juros equivalentes taxa de desconto comercial de 5% a.m. em 3 meses?Dados:ij = ?, id = 5% = 0,05, n = 3 meses28n ididij. 1ij = 3 . 05 , 0 105 , 0ij = 0,0588 a.m ouij = 5,88%Para um valor hipottico de $100,00, um prazo de 3 meses e uma taxa de 5%, temos:Ac = N(1-i.n)Ac = 100(1-0,05.3)Ac = $85,00Logo, para P = $85,00, aplicado por 3 meses, taxa de 5,88% a.m., temos:S = P.(1 + i.n.)S = 85 (1+0,0588.3)S = $100,004.6. Taxa de Desconto em Funo da Taxa de JurosSeguindo o mesmo raciocnio, podemos encontrar a equao matemtica para o clculo da taxa de desconto em funo da taxa de juros.n ijijid. 1+Exemplo:Qual a taxa de desconto comercial equivalente taxa de juros de 7% a.;m. dado o prazo de um semestre?Dados: id = ?, ij = 0,07,n = 6 mesesn ijijid. 1+Id = 4,93%UNIDADE V AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS29 5. AMORTIZAO DE EMPRSTIMOSNo mundo dos negcios, bastante comum contrair-se uma dvida para sald-la a mdio e longo prazo. Considerando o fato de que o valor nominal de cada pagamento consiste em uma mescla de pagamentos de juros e de amortizao do principal, podem-se usar vrias metodologias para estabelecer a forma de liquidar-se uma dvida. Para efeito ilustrativo, lembramos que a crise pela qual vempassandooS.F.H. (SistemaFinanceirodaHabilitao), aliadaestabilizaodaeconomia, implicou uma srie de alternativas de financiamentos, consrcios e cooperativas no ramo imobilirio. Taissituaesprticasconstituem-senaaplicabilidadedoassuntoaqui tratado; sobremaneiranos sistemas utilizados com maior freqncia.Ossistemasdeamortizaosodesenvolvidosbasicamenteparaoperaesdeemprstimose financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos peridicos do principal e encargos financeiros.Umacaractersticafundamentaldossistemasde amortizao aseremestudados a utilizao exclusiva do critrio de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurado em perodo imediatamente anterior.Conceitos IniciaisAmortizao: o pagamento do principal ou capital emprestado que feito, normalmente, de forma peridica e sucessiva durante o prazo de financiamento.Juros: o custo do capital tomado sob o aspecto do muturio e o retorno do capital investido sob o aspecto do mutuante.Prestao: o pagamento da amortizao mais os juros relativos ao saldo devedor imediatamente anterior ao perodo referente prestao. A taxa de juros pode ser pr ou ps-fixada, dependendo de clusula contratual. Entende-se como taxa pr-fixada aquela cuja expectativa de inflao futura j est incorporada taxa, enquanto na ps-fixada existe a necessidade de apurar-se a desvalorizao ocorrida por conta da inflao, compensado-a atravs da correo monetria.Saldodevedorouestadodadvida:ovalor devidoemcertoperodo, imediatamenteapsa realizao do pagamento relativo a este perodo.5.1. SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE(S.A.C)Este tipo de sistema, como o prprio nome sugere, consiste na amortizao constante do principal durante todo o prazo de financiamento. A prestao a ser paga ser decrescente, na medida em que os juros incidiro sobre um saldo devedor cada vez menor. O valor da amortizao calculado atravs da diviso entre o capital inicial e o nmero de prestaes a serem pagas.Exemplo.Fazer o quadro demonstrativo para um emprstimo no valor de $10.000, o qual ser amortizado em cinco prestaes trimestrais razo de 7% ao trimestre atravs do S.A.C. 30Para montagem da planilha, devemos inicialmente calcular o valor da amortizao:nPA Onde:A = AmortizaoP = Principaln = nmeros de prestaesResoluo:nPA 510000 A A = $2.000,00Perodo Saldo Devedor Amortizao Juros Prestao Saldo Atual0 10.0001 10.700 2.000,00 700,00 2.700,00 8.000,002 8560,00 2.000,00 560,00 2.560,00 6.000,003 6420,00 2.000,00 420,00 2.420,00 4.000,004 4.280,00 2.000,00 280,00 2.280,00 2.000,005 2.140,00 2.000,00 140,00 2.140,00 0,00Totalizaes 10.000,00 2.100,00 12.100,00Observaes: Os juros so obtidos sobre o saldo devedor anterior ao perodo de apurao do resultado. A prestao a soma da amortizao aos juros calculados no perodo. O saldo devedor a soma dos juros ao saldo anterior; O saldo atual a diferena entre o saldo devedor e a prestao;Exerccio:Uma empresa contraiu um emprstimo para financiar uma subsidiria no valor de $300.000,00 taxa de 20% a.s. Sabendo que o emprstimo ser amortizado em oito prestaes semestrais pelo S.A.C, montea planilha financeira.Perodo Saldo Devedor Amortizao Juros Prestao Saldo Atual012345678Totalizaes5.2.SISTEMA DE AMORTIZAO FRANCS (PRICE) (S.A.F)31Estesistemaestabelece, aocontrrio doS.A.C,que as prestaessoiguais e sucessivas durantetodooprazodaamortizao. importantenotar que, medidaqueasprestaes so realizadas, o saldo devedor diminudo implicando, dessa forma, uma concomitante diminuio dos juros apurados para o perodo em anlise. Porm, em funo de manter-se a uniformidade em relao ao valor da prestao, a amortizao aumenta de forma a compensar a diminuio dos juros. O clculo do valor da prestao feito, a partir do FATOR DE VALOR PRESENTE POR OPERAO MLTIPLA, atravs da frmula:1 ) 1 (. ) 1 (. ++nnii iP ROnde:R = valor das prestaesP = principali = taxa de jurosn = perodoExemplo:Uma pessoa contraiu um emprstimo de $20.000,00 para ser pago ao longo de cinco anos com prestaes semestrais (sistema francs) taxa de 18% ao semestre. Monte a planilha financeira.Resoluo:1 Clculo dovalor da prestao:1 ) 1 (. ) 1 (. ++nnii iP R1 ) 18 , 0 1 (18 , 0 . ) 18 , 0 1 (. 200001010 ++ RR = $4.4450,302 Montagem da planilha:Perodo Saldo Devedor Amortizao Juros Prestao Saldo Atual0 - - - - 20.000,001 23.600,00 850,30 3.600,00 4.450,30 19.149,702 22.596,65 1.003,35 3.446,95 4.450,30 18.146,353 21.412,69 1.183,96 3.266,34 4.450,30 16.962,394 20.015,62 1.397,07 3.053,23 4.450,30 15.565,325 18.367,08 1.648,54 2.801,76 4.450,30 13.916,786 16.421,80 1.945,28 2.505,02 4.450,30 11.971,507 14.126,36 2.295,43 2.154,87 4.450,30 9.676,068 11,417,76 2.708,61 1.741,69 4.450,30 6.967,469 8.2221,60 3.196,16 1.254,14 4.450,30 3.771,3010 4.450,13 3.771,47 678,83 4.450,30 0,00Totalizaes 20.000,00 24.502,83 44.502,83Observaes:1. Os juros incidem sobre o saldo atual.2. A amortizao a diferena entre a prestao e os juros.3. Osaldoatual consistenadiferenaentreosaldoatual anterior ea amortizao.4. O saldo devedor consiste nasoma do saldo atual mais os juros.Exerccio:32Um imvel no valor de $60.000,00 ser pago atravs de prestaes trimestrais durante 4 anos. Elabore a planilha financeira pelo sistema francs, sabendo que a taxa de 7% a.t.5.3. ANLISE COMPARATIVAS.A.CxS.A.FVisandocompararasduas metodologias aqui apresentadas,faremos um estudo em conjuntoa partir de uma situao hipottica a seguir:Principal: $15.000,00Taxa de Juros: 10% a.p.Nmero de Perodos: 101 Clculo da amortizao para o S.A.CnPA 1015000 A A = 1.500,00

2Clculo da prestao para o S.A.F.1 ) 1 (. ) 1 (. ++nnii iP R1 ) 10 , 0 1 (10 , 0 . ) 10 , 0 1 (. 150001010 ++ RR = 2.441,18S. A. C.Perodo Saldo Devedor Amortizao Juros Prestao Saldo Atual0 15.000,001 16.500,00 1.500,00 1.500,00 3.000,00 13.500,002 14.850,00 1.500,00 1.350,00 2.850,00 12.000,003 13.200,00 1.500,00 1.200,00 2.700,00 10.500,004 11.550,00 1.500,00 1.050,00 2.550,00 9.000,005 9.900,00 1.500,00 900,00 2.400,00 7.500,006 8.250,00 1.500,00 750,00 2.250,00 6.000,007 6.600,00 1.500,00 600,00 2.100,00 4.500,008 4.950,00 1.500,00 450,00 1.950,00 3.000,009 3.300,00 1.500,00 300,00 1.800,00 1.500,0010 1.650,00 1.500,00 150,00 1650,00 0,00Totalizaes 15.000,00 8.250,00 23.250,00S. A. F. Perodo Saldo Devedor Amortizao Juros Prestao Saldo Atual0 15.000,001 16.500,00 941,18 1.500,00 2.441,18 14.058,822 15.464,70 1.035,30 1.405,88 2.441,18 13.023,52333 14.325,87 1.138,83 1.302,35 2.441,18 11.884,694 13.073,16 1.252,71 1.188,47 2.441,18 10.631,985 11.695,18 1.377,98 1.063,20 2.441,18 9.254,006 10.179,40 1.515,78 925,40 2.441,18 7.738,227 8.512,04 1.667,36 773,82 2.441,18 6.070,868 6.677,95 1.834,096 607,09 2.441,18 4.236,779 4.660,45 2.017,50 423,68 2.441,18 2.219,2710 2.441,19 2.219,25 221,93 2.441,18 0,00Totalizaes 15.000,00 9411,81 24.411,81Como podemos constatar a partir da anlise das planilhas, as prestaes do S.A.C. so maiores doqueasdoS.A.Fnoinciodoperodo, ficandomenores nofinal. Evidentemente, existeum momentoemqueocorreaigualdadedospagamentos. Podemoscalcular esteinstanteatravsdo seguinte raciocnio:Sendoj = P. i. n (juros) nPA (amortizao)R = A + j(prestao)Ento:1 . . 1 i PnPR + De fato:R1 = 1 . 10 , 0 . 150001015000+R1 = $3000,00AtentandoparaaplanilhadoS.A.C. notamos, apartir do2 perodo, queasprestaes apresentam valores aritmeticamente decrescentes, da podemos expor em termos matemticos:R2 = A + {j [(1/n . P). i]}nn i PnPR) 1 .( .{ 2+ De fato: 10) 1 10 .( 10 , 0 . 15000{10150002+ R } = R2 =2.850,00Podemos generalizar esta frmula da seguinte maneira:nk n i PnPRk) 1 ( .[ .{ + }34Onde: K = perodo de anliseExemplo:Calcule a prestao do S.A.C. em relao ao 7 perodo.Resoluo:10) 1 7 ( 10 .[ 10 , 0 . 15000{10150007 + RR7 = $2.100,005.4.SISTEMA DE AMORTIZAO AMERICANO (S.A.A.)Este sistema caracteriza-se pelo fato da devoluo do principal ser feita de uma s vez no final do perododa amortizao. Nosoprevistas amortizaes intermedirias durante a vigncia dos pagamentos, sendoosjurospagosperiodicamente. Devidoaoimpactofinanceiroqueoprprio sistema concebe visando o pagamento nico da dvida, faz-se necessria a constituio de um fundo de amortizao, o qual ir financiar tal quantia. importante notar que este fundo ser constitudo concomitantemente aos pagamentos dos juros do principal atravs do uso doFATORDE ACUMULAO DE CAPITAL POR OPERAO MLTIPLA (F.A.C.m.)Resumindo: Neste esquema de amortizao o principal restitudo por meio de uma parcela nica ao fim da operao. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado.Matematicamente temos;1 ) 1 ( +niiSp RExemplo:A importncia de $75.000,00 ser amortizada atravs do S.A.A. no final do 8 ano. Sabendo que osjurospagossofeitosrazode50%a.a. equeodevedor irconstituir umfundode amortizao com captaes mdias razo de 35% a.a., monte a planilha financeira.Resoluo:1Clculo do valor da prestao:1 ) 1 ( +niiSp R1 ) 35 , 0 1 (35 , 0750008 + RR = 2.616,522 Montagem da planilhaPlanilha Financeira Fundo de AmortizaoPerodo Saldo DevedorAmortizao Juros Prestao Depsito Juros Montante0 75.000,000 -351 75.000,000 - 37.500,00 37.500,00 2.616,00 0,00 2.616,522 75.000,000 - 37.500,00 37.500,00 2.616,00 915,78 3.532,303 75.000,000 - 37.500,00 37.500,00 2.616,00 1.236,31 3.532,304 75.000,000 - 37.500,00 37.500,00 2.616,00 1.669,01 4.768,615 75.000,000 - 37.500,00 37.500,00 2.616,00 2.253,17 8.690,796 75.000,000 - 37.500,00 37.500,00 2.616,00 3.041,78 11.732,567 75.000,000 - 37.500,00 37.500,00 2.616,00 4.106,40 15.838,968 75.000,000 - 37.500,00 112.500,00 2.616,00 5.543,64 21.382,60Totalizaes 75.000,00 300.000,00 375.000,00 20.932,16 18.766,08 75.000,00Exerccio:1. Monte a planilha financeira atravs do S.A.A. a partir das seguintes informaes:Principal: $250.000,00Taxa de Juros: 60% a.a.Taxa Mdia de captao: 42% a.a.Prazo de financiamento: 10 anos.5.5. APLICAO EM VALOR PRESENTE LQUIDOEm uma operao financeira de Investimento ou Financiamento, existem vrias situaes que interferem na nossa deciso sobre a escolha de uma dentre as vrias possveis alternativas. Em geral, temosoconhecimentodaTaxadeMercado,tambm conhecida comoa Taxade Atratividadedo Mercado e desejamos saber a taxa real de juros da operao, para poder tomar uma deciso.Existem dois importantes objetos matemticos que so utilizados na anlise da operao financeira de Investimento ou Financiamento: Valor Presente Lquido (NPV) e Taxa Interna de Retorno (IRR).Toda ao feita no mbito financeiro implica, necessariamente,na busca da otimizao do fluxo de caixa gerado atravs dessa ao, ou seja, fluxos de receitas e despesas. Utilizando a idia bsicadamatemtica financeiraquepermite, atravs dacapitalizaoedadescapitalizao, a comparao do capital no tempo, demonstraremos a seguir um dos mtodos empregados na escolha da alternativa que propicia maior rentabilidade ou menor custo. 5.5.1. Valor Presente Lquido (VPL)O mtodo do Valor Presente Lquido (VPL) tem como finalidade valorar em termos de valor presente o impacto dos eventos futuros associados a um projeto ou alternativa de investimento, ou seja, medeovalorpresente dos fluxos de caixa gerados pelo projeto ao longo sua vida til. No existindo restrio do capital, argumenta-se que esse critrio leva escolha tima, pois maximiza o valor da empresa.O objetivo do VPL encontrar projetos ou alternativas de investimento que valham mais para ospatrocinadoresdoquecustamprojetosquetenhamumVPLpositivo.Seuclculorefleteas preferncias entre consumo presente e consumo futuro e a incerteza associada aos fluxos de caixa futuros. Oprocessopormeiodoqual osfluxosdecaixasoajustadosaessesfatoreschama-se desconto, e a magnitude desses fatores refletida na taxa de desconto usada (custo do capital). O processo de desconto converte os fluxos de caixa futuros em valores presentes, pois fluxos de caixa de pocas diferentes no podem ser comparados nem agregados enquanto no forem colocados em uma mesma poca.36OclculodoVPLconsistenaDIFERENAentreosFluxosFuturosprovenientesdocapital inicial devidamente atualizado atravs de uma taxa igual ao custo de oportunidade e este Capital.O critrio de deciso implcito a este parmetro o seguinte:1. Se o VPL for MAIORou IGUAL a Zero, entende-se que o fluxo ser vivel economicamente, ou seja, o projeto conceber um retorno maior ou, na pior das hipteses, igual ao retorno exigido e, sendo assim, aceitamos o projeto; caso contrrio o rejeitamos. 2. Se tivermos vrios fluxos possveis em relao ao mesmo capital, escolheremos aquele que produz MAIOR diferena lquida, pois representa aquele que proporciona MAIOR rentabilidade financeira.Matematicamente temos;VPL = [ ++1) 1 ( iN ++2) 1 ( iN++3) 1 ( iN......+niN) 1 ( P]Onde:VPL Valor presente lquidoN Valor NominalP capitali taxa de jurosEXEMPLO:Uma empresa estuda a possibilidade de reformar uma mquina. A reforma est orada em $200.000 e darumasobrevidadecincoanosaoequipamento, proporcionandoumadiminuionoscustos operacionais da ordem de $75.000 ao ano. Considerando um custo de capital de 15% a.a. e usando o mtodo do VPL, analisar a viabilidade econmica da reforma do equipamento.Soluo:VPL = [ ++1) 1 ( iN ++2) 1 ( iN++3) 1 ( iN......+niN) 1 ( P]n = 5 anosi = 15% a.a.N = 75000,P = 200000,VPL = [ ++1) 15 , 0 1 (75000 ++2) 15 , 0 1 (75000++3) 15 , 0 1 (75000++4) 15 , 0 1 (75000+5) 15 , 0 1 (75000 P]VPL = 65217,39 + 56710,77 + 49313,72 + 42881,49 + 37288,26 200000VPL =51.411,63VPL > 0 Projeto economicamente vivel.MATEMTICA COMERCIALREGRA DE SOCIEDADE37Quandoduasoumaispessoassejuntam, formandoumasociedadenumaatividadecomfins lucrativos, justo que os lucros ou prejuzos, sejam divididos entre elas, proporcionalmente ao capital que cada uma empregou e ao tempo que o capital esteve empregado. Na resoluo de situaes-problema dessa natureza, usa-se a chamadaregra de sociedade, que consisteemdividiraquantiaconsideradaempartes diretamenteproporcionais aocapital empregado, ao tempo de aplicaoou a outrasgrandezas. , portanto,uma das aplicaes da diviso proporcional, que tem como objeto a diviso dos lucros ou dos prejuzos entre scios que formam uma sociedade. Uma sociedade pode ser classificada em simples ou composta, dependendo dos capitais aplicados e dos perodos de tempo de aplicao que podem ser iguais ou diferentes para cada scio.REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES1 caso: Os capitais so iguais e aplicados durante o mesmo tempo: O lucro ou o prejuzo dividido pelo nmero de scios.Exemplo:Trs scios obtiveram um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais qual a parte de cada um dos scios?Neste caso, basta dividir o lucro pelo nmero de scios.

3222600 = 74 200 Logo, a parte de cada scio de R$ 74200,002 caso: Os capitais so diferentes e empregados durante o mesmo tempo:Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuzo em parte diretamente proporcionais aos capitais dos scios.Exemplo: Por ocasio do balano anual de uma firma comercial formada por trs scios, verificou-se um prejuzo de R$ 27 000,00. Qual a parte correspondente a cada scio se os seus capitais so de R$ 54 000,00 R$ 45 000,00 e R$ 36 000,00.54000x = 45000y = 36000z 13500027000= 54000x = 45000y=36000zx = 10 800y = 9 000z = 7 200Logo, o prejuzo correspondente a cada scio, respectivamente, de : R$ 10 800 , R$ 9 000e R$ 7 2000.3 caso: Os capitais so iguais e empregados durante tempos diferentes:38Os lucros e os prejuzos so divididos em partes diretamente proporcionais aos perodos de tempo em que os capitais ficaram investidos.Exemplo:Trs amigos A, B e C, juntaram-se numa sociedade com idntica participao no capital inicial. A deixou seu capital durante 4 meses, B por 6 meses e C por 3 meses e meio. Sabendo que, ao final de um ano, houve um lucro de R$ 162 000, 00, como dividir essa quantia entre os trs?120A =180B=105C

405162000 =120A =180B=105CA = 4800 B = 72 000C = 42 000Na prtica este caso no ocorre, porque, em uma sociedade, os scios no podem permanecer por tempo desiguais. No momento em que um antigo scio se retira ou um novo scio admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, aps o balano.REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTANa sociedade composta, tanto os capitais quanto os perodos de investimento so diferentes para cada scio. Trata-se, portanto, de dividir os lucros ou os prejuzos em partes diretamente proporcionais, tanto ao capital quanto ao perodo de investimento.Ento:Quando os capitais e os perodos de tempo forem diferentes, os lucros ou os prejuzos sero divididos empartediretamenteproporcionais aoprodutodos capitais pelos perodos detempo respectivos. uma diviso proporcional composta estudada no captulo anterior.Exemplo: Uma sociedade teve um lucro de R$ 11 700,00. O primeiro scio entrou com R$ 1 500,00 durante5 meses, e o outro, com R$ 2 000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um?5 . 1500x =6 . 2000ye x + y = 11 7007500x= 4 500e y = 7 2001 Lista de Exerccios391.Trs scios sofreram um prejuzo de R$ 14400,00. Os trs entraram para a sociedade com o mesmo capital, ficando o primeiro durante 11 meses, o segundo12 e o terceiro 13 meses. Qual foi o prejuzo de cada um?(4 400,00; 4 800,00; 5 200,00)2.Um investimento total de R$ 60 000,00 foi feito por trs amigos. Sabendo que o tempo foi o mesmo e que o segundo scio ganhou o dobro do primeiro, e o terceiro o triplo, quanto investiu cada um?(10000, 20000 e 30000)3.JonasePauloseassociaramparajogarnaloteria. JonasdeuR$1,80ePauloR$1,20. Tendo acertado um terno, eles ganharam R$ 1 600,00. Quanto receber cada um? (960,00 e 640,00)4.Trs pedreiros, ganhando o mesmo salrio-hora, trabalharam , respectivamente, 24, 18 e 20 horas. Na hora do pagamento, o dono da obra tinha em mos um envelope com R$ 3 100,00. Como foi feita a diviso do dinheiro?(1 200, 900 e 1 000)5.Uma sociedade entre dois amigos, A e B, foi estabelecida com as seguintes caractersticas:CAPITALTEMPO DE APLICAOSCIOA2 500,001 ano e 6 meses SCIOB3 000,001 ano e 9 mesesDivida o lucro de R$ 18 000,00 entre os scios. ( 7 500 e 10 500)6.Marcos e Antonio montaram uma locadora de vdeo empregando respectivamente, capitais de R$ 50 000,00 e R$ 30 000,00. Em um determinado ms, a loja obteve um lucro de R$ 3 200,00. Quanto coube a cada um? (2 000,00 e 1 200,00)7.Dois scios lucraram, em um determinado perodo, R$ 28 200,00. O primeiro aplicou R$ 80 000,00, durante 9 meses, e o segundo RS 20 000,00, durante 11 meses. Qual foi o lucro de cada um? (21 600 e 6 600)8.Trs amigos, A, B e C, saram para comer um pizza. No final, perceberam que A comeu da pizza, B comeu 1/3 e C comeu 1/5. O preo da pizza era R$ 14, 10. Calcule a parte da despesa de cada um , sabendo que desejavam dividi-la em partes proporcionais ao consumo de cada um.(4,50;6,00 e 3,60)9.Umsupermercadofaziaaseguintepromoo: Pague3sabonetes eleve5. Aproveitandoa promoo, levei 30 sabonetes. Quantos sabonetes paguei?(18)BIBLIOGRAFIA CHERRUZ, Richard T. Introduo administrao financeira. So Paulo, Atlas, 1995.40 MARTINS, Eliseu & ASSAF NETO, Alexandre. Administrao financeira. So Paulo, Atlas, 1995. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemtica financeira. 6 ed. , So Paulo, Saraiva, 1999. ROOS, Johan. Princpios da administrao financeira. So Paulo, Atlas, 1998.SANVICENTE, Antonio Z. Administrao financeira. So Paulo, Atlas, 1998.VERAS, L. L. Matemtica financeira. 3 ed., So Paulo, Atlas, 1999.SOBRINHO, J.D.V. Matemtica Financeira. 3 edio. So Paulo, Atlas, 1988.TEIXEIRA, J, NETTO, S. Di Pierro. Matemtica Financeira. So Paulo, Pearson Educationdo Brasil, 1998. SAMANEZ, C. P. Matemtica Financeira. Aplicaes Anlises de Investimentos. 3 edio, SP, Pearson Education do Brasil, 2002.41