APOSTILA DE MATEMÁTICA

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Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 1 MatemticaBsica 2 Grau AsMatriasdestaapostilaforamreunidaseconsolidadasparaestudodosalunoso Instituto Marconi. A leitura deste contedo no exclui a consulta a outras fontes que possamenriquecereoferecermaiorabrangnciaaostpicossolicitadosemeditais de concursos pblicos e outras formas de seleo. Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 2 I - CONJUNTOS NUMRICOS Nmeros Naturais Soaquelesqueindicamgrandezasinteiras,incluindo-seozero.incorretodizerqueos nmeros naturais so os positivos. O correto dizer que eles no tm sinal. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} Nmeros Relativos Sonmerosquetambmexpressamgrandezasinteiras,massoacompanhadospelosinal positivo ou negativo. Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Nmeros Racionais So os fracionrios. Eles indicam uma razo entre dois nmeros. Lembretes: Osnmerosinteirosrelativostambmfazempartedesteconjunto,poispodemser expressos com o denominador 1. Entre dois nmeros racionais, existem infinitos outros nmeros racionais. No nmero 43, 3 o numerador e 4 o denominador. Nmeros Decimais As fraes cujos denominadores so potncias de 10 (10, 100, 1000, etc) so chamadas fraes decimais e podem ser expressas sob a forma de nmeros decimais. Exemplos: pois3 , 0103=3010 00,3 pois5 , 7100750=750100 507,5 0 Naprtica,nadivisopor10,100,1000,etc,desloca-seavrgulaparaaesquerdatantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Veja os exemplos:007 , 010007=(Nota: observe que 1000 tm trs zeros; logo, 0,007 tem trs casas decimais). 20 , 351003520=(Nota: neste caso, pode-se desconsiderar o ltimo zero de 35,20 grafando apenas 35,2). Pode-setambmfazeroinverso,isto,transformarumnmerodecimalemfrao, colocandonodenominadorumapotnciadedez,comtantoszerosquantasforemascasas decimais. Exemplo: 100043567567 , 43 =)` = ,...1475,..., 0 ,...,31,..., 3 ,...27..., QInstituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 3 II - OPERAES FUNDAMENTAIS 1 - Operao com nmeros inteiros Adio Disposio prtica: 25 +10parcelas 35soma ou total Se as parcelas tiverem o mesmo sinal, somam-se os seus Valores Absolutos (valor absoluto o nmero sem sinal) e repete-se o sinal. Seasparcelastiveremsinaiscontrrios,subtraem-seosseusvaloresabsolutos,sendoqueo resultado (a soma ou total) recebe o sinal do nmero de maior valor absoluto. Vejamos alguns exemplos: (7) + (-5) = 2 (Note bem: o nmero positivo no precisa ser identificado com sinal)

(-5) + (-3) = - 8 (2) + (-7) = - 5 Setivermosvriasparcelas,somamosentresiasparcelaspositivasetambmentresias parcelas negativas. Depois, subtramos os resultados. Vejamos como simples: 8 + (-4) + (-2) + 6 + (-12) + 14 = Vamos primeiro agrupar 8 + 6 + 14 + (-4) + (-2) + (-12) = 28 +(-18)=10 Subtrao Disposio prtica: 50 minuendo- 30 subtraendo 20 resto ou resultado Na subtrao, trocamos o sinal do subtraendo. Observe: (+10) (+ 8) =10 8 = 2 (+10) (- 8)=10 + 8 = 18 (-10) (+ 8)= -10 8 = -18 (-10) (- 8) = -10 + 8 = -2 Multiplicao e Diviso Disposio prtica: 12Fatores x 4Fatores 48Produto Dividendo (D)315Divisor (d) Resto (r)16Quociente (q) Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 4 Lembre-se: D = d x q + r (31 = 5 x 6 + 1) Quanto aos sinais, a regra simples: Multiplicao ou diviso de nmeros com sinais iguais: resultadopositivo Multiplicao ou diviso de nmeros com sinais contrrios: resultado negativo Exemplos: (- 9) x (- 3) = + 27(- 9) x ( +3) = - 27(- 9) : (- 3) = + 3 (- 9) : ( +3) = - 3 Notas A multiplicao indicada pelos sinais ( . ) ou ( x ); Antes de parnteses, costuma-se dispensar o sinal de multiplicao. Exemplo:3 (- 4) = -12; Na multiplicao entre nmero e letra no se coloca sinal. Exemplo: (3xy); A diviso indicada pelos sinais ( : ) ou (/). Este ltimo trao ou barra indicativa de frao, tambm pode ser grafado inclinado ( / ). Exemplos: 10 : 5, ou510, ou 10/5; Qualquer nmero multiplicado ou dividido por 1 (um) igual a ele mesmo; Qualquer nmero multiplicado por zero igual a zero; No existe diviso por zero. Sinal antes de parnteses Se antes de parnteses houver um sinal positivo, os nmeros que estiverem entre os parnteses mantmseussinais,quandoeliminamososparnteses.Seosinalantesdosparntesesfor negativo, os nmeros saem dos parnteses com sinal trocado. Exemplos: (-3) + (-2) (+5) + (-3) (-2) + (-1) = -3 -2-5- 3 + 2-1= -3 -2-5- 3 - 1+2= -14 + 2 =-12 - (-8 + 3) + (2 15) (14 + 4 7 1) = - (- 5 ) + (-13) (18 -8) = 5 - 13 - 10 = 5 - 23 =-18 Classificao das Fraes Uma frao chamada frao prpria, quando o numerador menor que o denominador. Exemplos:1/5,3/7,34/89,5/6. importantelembrarqueelasindicamnmerosmenoresque1(umaunidade).Sempre representam uma parte da diviso da unidade. Vejamos a representao da frao 3/7: Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 5 1/71/71/71/71/71/7 1/7 1/7 + 1/7 + 1/7 = 3/7 Note que poderamos dividir 3 por 7, com claro resultado menor do que um. Jafraocujonumeradormaiorqueodenominadorchamadodefraoimprpria. importantenotarqueelasrepresentamgrandezasmaioresdoqueaunidade.Porexemplo,a frao 7/2 indica que temos mais de 3 unidades, tal como se pode ver graficamente: 2/2+ 2/2 + 2/2+ =7/2 Verificamos que a frao imprpria 7/2 equivale a 3 inteiros e 1/2. Tambm podemos expressar o nmero fracionrio 7/2 na forma do nmero misto3 . Umaimportantepropriedadedasfraesaquegaranteequivalnciaentrefraesde diferentes denominadores. Podemos obter fraes equivalentes dividindo ou multiplicando numerador e denominador pelo mesmo nmero. Quandodividimos,chamamosesseprocessodesimplificaodefraes.Emgeral,isso facilita os clculos na resoluo de problemas. Vejamos: 32 18/612/6 1812= = Observemos a representao grfica: 123456789101112131415161718 123 2 - Operao com Nmeros Fracionrios Adio e Subtrao de fraes Fraescomomesmodenominador:conserva-seodenominadoreopera-secomos numeradores. Exemplo:

5258 - 1058 6 4585654= = += + Fraescomdenominadoresdiferentes:determinam-seasfraesequivalentesde denominador comum, atravs do Mnimo Mltiplo Comum (MMC) dos denominadores. Lembremos como o processo: Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 6 Os primeiros nmeros primos so: {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23,...} O nico nmero primo par o 2. ?1036154= + Vamos achar o MMC: 5 6102 5353 5155 111 Agoraassumimos30comodenominadorcomumeachamosasfraesequivalentes.Podemos aplicar a regra prtica do divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima : = + = + 303 ). 10 : 30 (301 ). 6 : 30 ( -304 ). 5 : 30 (1036154 3028309 5 243093053024=+ = + Sempre que possvel, devemos simplificar o resultado, dividindo ambos os elementos da frao: 15142 : 302 : 283028= = Dicas Multiplicao de fraes Oprodutoobtidomultiplicando-se:numeradorpornumeradoredenominadorpor denominador. Exemplo: 652 : 182 : 10: ndo simplifica18103x65 26532= = =xx Diviso de fraes: O resultado obtido multiplicando-se a primeira frao pelo inverso da segunda (invertem-se os lugares do numerador e do denominador da segunda). Veja o exemplo: 158345243:52= = xMMC:alinhamososnmeros(5,6, 10)dosquaisqueremosdescobriro MMC. Ao lado da barra, colocamos o menornmeroprimo(ques divisvelporelemesmoepor1)e efetuamosadivisopossvel. Continuamosoprocessoe,aofinal, multiplicamososnmerosprimosde forma a acharmos o MMC. MMC = 2 x 3 x 5 = 30 Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 7 3 - Operao com Nmeros Decimais Adio e Subtrao Para somarmos ou subtrairmos nmeros decimais, procedemos da seguinte forma: -Igualamos as casas decimais, colocando zeros ao final do nmero.-Lembrando que um nmero inteiro, o 3, por exemplo, pode ser escrito como nmero decimal: 3,0 ou 3,00 ou 3,000, e assim por diante. -Sempre colocando vrgula embaixo de vrgula, podemos fazer as operaes. Vejamos dois exemplos: 3 + 2,57 + 0,351 = ? Como o maior nmero de casas decimais (trs)estnonmero0,351,todosos nmerosdeverotertrscasas decimais. Observe: 3,000 +2,570 0,351 5,921

4 1,42 = ? Igualandoascasasdecimais, adicionamos duas casas ao nmero 4. 4,00 - 1,42 2,58 Multiplicao Multiplica-se normalmente, sendo o nmero de casas decimais do produto, igual soma de casas decimais dos fatores.Observe: 2,03 x 1,5 = ? 2,03 (duas casas decimais) x1,5 (uma casa decimal)Total:3 casas decimais 1015+ 203 3,045 Diviso Inicialmenteigualamosonmerodecasasdecimais.Emseguida,dispensamosavrgulae procedemos como na diviso de nmeros naturais. 1 exemplo:

7,5:1,25= ? 750125 0006 7,57,50 Ento: 7,5 : 1,25 = 6 2 exemplo: 0,25 :0,4= ? Ao eliminarmos as vrgulas, teremos25 : 40 = ?Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 8 DICA: quando voc tiver dvida quanto ao resultado da diviso, aplique a propriedade que j vimos: D = d . q + r Conferindo a diviso, temos:D = 40. 0,625 + 0 = 25 Acrescentamosumzeroem25ecolocamosumacasadecimalnoquocienteprocedendo diviso: 25040 1000,625 200 000 Portanto 0,25 :0,4= 0,625 Ento, o resultado est correto, j que o nmero original colocado fora da chave de diviso era realmente 25. Ele se tornou 250 apenas para podermos dividi-lo por 40. III - EXPRESSES ARITMTICAS As expresses aritmticas obedecem seguinte ordem de execuo: 1 Resolvem-se operaes contidas nos parnteses( ) 2 Resolvem-se operaes contidas nos colchetes[ ] 3 Resolvem-se operaes contidas nas chaves { } Emtodasassituaesacima,executamosprimeiramenteasmultiplicaesedivises,para depois efetuarmos somas e subtraes. Veja o exemplo detalhado: ( ) = )`+ ||

\|+ +412562 , 0 3 , 0 5 1 75 , 0415x x x Primeiroosparnteses:(1+5x0,3)e,dentrodeles,primeiroamultiplicao,lembrandode usararegradavrgulanamultiplicaodenmerosdecimais.Assim,temos(1+1,5).Depois vem a soma, e temos (2,5). Nem preciso lembrar que devemos colocar uma casa decimal no nmero 1 e alinhar as vrgulas para fazermos soma.

Agora, j podemos efetuar as operaes que esto entre os colchetes: ||

\| ) 5 , 2 ( 75 , 0415 Como apareceu um sinal negativo antes dos parnteses, devemos trocar o sinal do nmero que extrairemos de l. Ficar assim: ||

\| ) 5 , 2 ( 75 , 0415 Lembrete:Pararealizarascontasacima,primeironecessrioencontrarfraes equivalentes, com o mesmo denominador. Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 9 Antes de outra coisa, vamos transformar os nmeros decimais em fraes com denominador que seja potncia de dez: 1007575 , 0 =(duas casas decimais > dois zeros no denominador) 10255 , 2 =(uma casa decimal > um zero no denominador) Prximo passo > Achar o Mnimo Mltiplo Comum ou simplificar as fraes. Como o denominador 100muitoelevado,oMMCtambmser.Nessecaso,aconselhvelsimplificarasfraes (quando possvel) antes de efetuar as contas: 4325 : 10025 : 7510075= = 255 : 105 : 251025= = Agora que temos: 2543415 + Vamos ao MMC. 4422 2212 11 MMC = 2 x 2 = 4 248410 3 1545 ). 2 : 4 (43 ). 4 : 4 (415 ). 4 : 4 (= = ||

\| += ||

\| + Acabamos de eliminar os colchetes. Ento, j podemos voltar expresso inicial, com os novos dados, para resolver as operaes entre as chaves: = )`+412562 , 0 2 x x= )`+412564 , 0 x Devemos agora converter o decimal 0,4 em nmero fracionrio e simplific-lo. Para tanto, vamos dividir o numerador e o denominador por 2. Feito isso, teremos: = = )`+ = )`+41258412565241256104x x x J realizamos a soma contida nas chaves. Agora vamos efetuar primeiro a multiplicao e depois a subtrao: 215842584 11 258411258 = = = xxx Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 10Repassando os conhecimentos utilizados at aqui nesta expresso: Paramultiplicarfraes,multiplicamosnumeradorpornumeradoredenominadorpor denominador (por isso indicamos o denominador do nmero 2) Multiplicao de nmeros com sinais contrrios resulta em sinal negativo - 2 . (+1) = - 2 Simplificamos a frao (- 2/4) dividindo seus membros por 2, o que resultou em ( -1/2) Resta agora realizarmos a ltima operao: 2158Comotemosduasfraescomdenominadoresdiferentes,procuramosoMMCde5e2e chegamosaonmero10.Aplicandoaregraparareduzirasfraesaomesmodenominador, temos: 1011105 16101 . 5 8 . 2101 ). 2 : 10 (108 ). 5 : 10 (=== Finalmente, obtivemos o resultado da expresso: 1011 Todo esse processo pode parecer trabalhoso, mas no . Com o ganho de prtica pela resoluo deexercciossemelhantes,nosermaisnecessriorealizarasoperaescomtantos detalhamentos e tudo ficar mais fcil. NOTA Dificilmentesersolicitadaaresoluodeumaexpressonumricacomoesta,duranteuma prova. O que de fato, pode ocorrer, at com freqncia, que, para resolver algumas questes, seja necessria a construo de expresses aritmticas. Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ IV - CONSTRUO DE EXPRESSES MATEMTICAS Pararesolverproblemasemmatemtica,opassomaisimportantesaberidentificarosdados fornecidospeloproblema.Tambmindispensvelverificaroselementosaqueosdadosse referem, se existe relao entre eles, se variam entre si, etc... Um bom mtodo agrupar as informaes e identific-las. Pode-se nome-las ou dar-lhes uma identidade provisria, utilizando as letras x, y, z, etc. O principal, sempre, ter clareza do que solicitadopeloproblema.Dessaforma,ficamaisfcilidentificareencontrarocaminhoparaa resposta. Umacoisacerta:amaiorchancedesechegaraoresultadocorretoestnaadequada construo do raciocnio, e no na resoluo das operaes. Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 11Existem dicas de traduo que sempre so teis: ProposioMatematiqus 100 de31100 x 31 A quarta parte de um valor que no conheoY41 O dobro da soma de duas idades2.(a+b) O produto de dois nmeros desconhecidosx.y A soma dos quadrados de dois nmeros(x2 + y2) O quadrado da soma de dois nmeros(x + y)2 20% da diferena entre dois nmerosb) - .(a10020 O triplo de um nmero3x Estessoexemplosdealgunstermosquepodemaparecernasprovas.Devemospratic-los. Vejamos alguns tipos de questes (ou problemas) e a forma prtica de resolv-la: 1Questo-Numadiviso,oquocientevale90,odivisormetadedoquocienteeexcedeo resto em 5. Determine o dividendo. Resoluo: Jsabemoseprecisolembrarnesteexerccio-,queoselementosdeumadiviso: dividendo(D), divisor(d) quociente(q) e resto(r) guardam relaes entre si, que podem ser expressas pela frmula D=d.q+r Inicialmente, vamos identificar os dados que dispomos no problema colocado: q = 90 d = 1q (o divisor a metade do quociente), ento: 2 d = x 90=90/2=45 Interpretando a frase o divisor excede o resto em 5, temos: d = r + 5 Comojsabemosovalordodivisor,vamosutiliz-lonaexpresso:45=r+5,donde conclumos que:r = (45 5) = 40 . Falta achar (D), o dividendo, como solicitado na questo.

Aplicando a regra da relao entre os termos da diviso: q = 90; d = 45; r = 40;D = ? D=d . q + r=45 . 90 + 40=(primeiro a multiplicao, depois a soma) D = 4050 + 40 = 4090 Resposta: O divisor 4.090 Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 122 Questo - Uma pessoa adquiriu 6 produtos A por R$ 240, 00, 5 produtos B por R$ 150,00 e 4 produtos C por R$ 280,00. Outra pessoa dispe de R$ 960,00 e quer comprar 7 produtos A e 4 produtos B e, com o restante, produtos C. Quantas unidades ela poder comprar do produto C? Resoluo: Parasaberquantasunidadeselapodercomprar,precisoidentificartodososelementosque aparecem no problema: Quanto custa os produtos C e B Quanto ela gastou com A e B. Isto , descobrir quanto custa cada unidade de A e de B. Os dados fornecidospodem fornecer estas informaes, j que: 6 produtos A custam 240,00. Traduzindo, temos: 6A = 240,00. Ento, A = 240,00 : 6 = 40,00 A = 40,00 Da mesma forma, 5B =150,00. Logo, B = 150,00 : 5 = 30,00 E como 4C = 280,00, ento C = 280,00 : 4 = 70,00 Podemos agora montar a relao proposta pela questo: A pessoa tem 960,00 e gastar tudo com 7 produtos A, com 4 produtos B e com x produtos C (umnmerodesconhecido,aincgnitadenossoproblema).Gastandotudo,restar(0,00), certo? Traduzindo, temos: 960,00 7.40,00 4.30,00 x.70,00 = 0,00 960,00 280,00 120,00 x.70,00 = 0,00 560,00 x.70,00 = 0,00 Aplicandoaregradasubtrao(minuendo+resto=subtraendo),temos:560,00+0,00= x.70,00, ou 560,00 = x.70,00 Aplicando agora a regra da multiplicao (dividindo o produto por um dos fatores achamos o outro fator), temos: 560,00 : 70,00 = 8 ( o x ou a incgnita da nossa questo). Certo? Resposta: A pessoa poder comprar 8 unidades do produto C 3Questo-UmapessoapediuaobancoumemprstimonovalordeR$180.000,00.Gastou 1/3comamo-de-obrae3/5emmaterialdeconstruo.Comorestantepagouoprojetoda obra. Qual o valor do projeto? Resoluo: Podemos resolver a questo de duas formas, ambas vlidas: Primeira forma: Totaldoemprstimo=180.000(podemossuprimiroszerosdepoisdavrgulaenquanto calculamos, mas a resposta final dever ser em reais e ter novamente os zeros). Como sabemos que ele gastou 1/3 do total com mo-de-obra, temos: 000 . 603180000118000031= = x Ele tambm usou 3/5 do total com material, portanto: 000 . 1085540000118000053= = x Comoapessoapagouoprojetocomorestantedodinheiro(oresto),temosquecalcular essa diferena: 180.000 60.000 108.000 = 12.000 Resposta: A pessoa gastou R$ 12.000,00 com o projeto. Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 13Segunda forma: A pessoa gastou 1/3 + 3/5 do emprstimo com dois itens.Assim ela gastou:{ } 15 5) e mmc(31514159 55331= =+= + Vemos que foi gasto 14/15 de UM emprstimo todo,restando uma parte p para o projeto. Traduzindo, temos: 1511514 - 15

15141 = = = PO valor do projeto (v) 1/15 do total. Traduzindo, temos: 000 . 1215000 . 180000 . 180151= = = x VResposta: O valor do projeto foi RS 12.000,00 4 Questo - Uma pessoa paga uma dvida em 3 anos. Outra paga a mesma dvida em 5 anos. Se ambas resolvessem pagar a dvida em conjunto, em quanto tempo poderiam sald-la? Resoluo: O problema trata do tempo necessrio para saldar a dvida, logo, preciso encontrar a relao entre dvida e tempo. Pelo enunciado, podemos nos enganar, achando que devemos encontrar o valor da dvida um dado impossvel de conseguir.Com os elementos disponveis, vamos buscar os dados na relao oferecida, investigando-a. O tempo sempre aparece em alguma unidade: (dias, meses, anos, etc).A unidade informada no problema em ano. Uma pessoa paga em 3, e a outra em 5 anos.Investigando: em um ano, quanto da dvida paga? A 1 pessoa paga 1/3 em um ano. A 2 pessoa paga 1/5 em um ano. Juntas, elas pagam (em um ano): 158153 55131=+= +Nota: Poderamos avanar na resoluo utilizando a regra de trs, mas, como trataremos desse assunto apenas mais adiante, vamos usar outra alternativa. Sabemos que as duas pessoas pagam 8/15 da dvida por ano. Mas precisamos saber quando a dvida inteira (uma dvida) estar paga. Comoafrao8/15tem15comodenominador,vamosexpressaradvidainteiracomo nmero 1, em quinze avos. Chamandootemponecessriodet,vamostraduzirparaomatematiqus:Notempot, multiplicado pela parcela anual paga, teremos quitado a dvida. Vejamos: 815 t 15 8t temos ento,1515158. = = = t Oclculoacimaindicaqueadvidaestarquitadaem15/8deano.(NOTA:Dificilmente aparece uma resposta dessa forma nas provas) Teremosqueconverteresseresultadoemunidadesmenores.Vamosconverteremdias, lembrando que, nas operaes, utilizamos o ano de 360 dias: dias de360815: so ano um815Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 14Ou seja, 67585400360815. = = x tResposta: O tempo necessrio para quitar a dvida de 675 dias. Vamos continuar praticando, mas sem consultar a resoluo e as respostas, antes de esgotar todas as tentativas de resolver o problema sozinho. Problemas propostos Com indicao dos concursos em que caram. Caso no consiga solucionar, veja a resoluo mais abaixo. Problema 1 - (TRF 1 regio - Tcnico Judicirio 2001) Cadaumdos784funcionriosdeumaRepartioPblicaprestaservioemumnicodos seguintes setores: Administrativo (X), Processamento de Dados (Y) e Servios Gerais (Z). Sabe-sequeonmerodefuncionriosdosetor(Y)iguala2/5donmerodosde(Z).Seos funcionrios do setor (X) so numericamente iguais a 3/8 do total de pessoas que trabalham na Repartio, ento a quantidade de funcionrios do setor: (A) (X) 284(B) (Y) 150(C) (Y) 180(D))(Z) 350(E) (Z) 380 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Problema 2 - (TRF 1 regio - Tcnico Judicirio 2001) No almoxarifado de certa empresa h 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se asquantidadesdepacotesemcadaprateleiracorrespondema4nmerosparessucessivos, ento, dos nmeros seguintes, o que representa uma dessas quantidades : (A) 8(B) 12(C) 18(D) 22(E) 24 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Resoluo do Problema 1 294 784 .83= = X Z Y .52=O problema informa que:x + y + z = 784

350 784 .52294 = = + + Z Z Z140 350 .52= = Y YResposta: A alternativa correta (D) Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 15Resoluo do Problema 2 Sabemosqueso4nmerosparesconsecutivos.Logo,sodistanciadosentreside2(por exemplo: 6, 6+2=8, 6+2+2=10, etc). Vamos chamar de x o primeiro deles. Ento a seqncia ser: x,x + 2, x + 4,x + 6 Sabemos que a soma dos pacotes d um total de 68. Logo: x + x + 2 + x + 4 + x + 6 = 68 4x + 12 = 68 4x=68 12 =56 x=56 : 4= 14 Portanto, a seqncia 14, 16, 18, 20. Resposta: A alternativa correta a C. Ainda praticando, tente resolver estes problemas: Problema 1 - (Oficial de Promotoria MP SP 2001) Um funcionrio de um supermercado pesou 10 pacotes de certo produto. Cada pacote deveria ter 700 gramas, mas uns tinham mais e outros menos do que 700 gramas. O funcionrio anotou a diferena em cada pacote: Esses 10 pacotes pesam juntos: (A) 6.940 gramas(B) 6.951 gramas(C) 6.965 gramas(D) 6.976 gramas(E) 6.984 gramas. Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Problema 2 - (Escrevente Judicirio 2002)Um campo de futebol est sendo totalmente reformado com um novo tipo de grama. Na primeira semanafoigramado2/6docampoe,nasemanaseguinte,2/4.Faltaaindagramaraseguinte parte do campo: (A) 1/6(B) 4/12(C)10/12(D) 4/10(E) 5/10 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Problema 3 - (Tcnico Previdencirio 2005) SeverinafoiaomercadocomR$3,00paracomprar2 kgdefeijo.Lchegandoviuocartaz- Feijo kg - R$ 1,10; Arroz kg - R$ 2,00; Batata kg - R$ 0,90; Mandioca kg - R$ 0,70; Tomate kg -R$0,90.Comoospreosestavammaisbaixos,Severinarecebeutroco.Comessetrocoela poderia comprar: -10 +11 -13+7-26 -7-14+10+12-19 Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 16(A) 0,5 kg de arroz(B) 0,5 kg de batata(C) 1,0 kg de batata(D) 1,0 kg de tomate (E) 1,5 de mandioca Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Problema 4 - (Tcnico Previdencirio 2005)Seu Manoel comprou uma saca que ele pensava conter 100 kg de feijo por R$ 81,00. Depois de empacotarofeijoemsacosde2kg,SeuManoelcontouapenas45sacos,ouseja,haviana saca menos feijo do que ele pensava. Na realidade, quanto Seu Manoel pagou, em reais, por kg de feijo? (A) 0,81(B) 0,83(C) 0,85(D) 0,87(E) 0,90 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Problema 5 - (Tcnico Bancrio CEF 2000) Ao receber moedas como parte de um pagamento, um caixa de uma agncia bancria contou t moedasde1real, yde50centavos, zde10centavosewde5centavos.Aoconferirototal, percebeu que havia cometido um engano: contara 3 das moedas de 5 centavos como sendo de 50 centavos e 3 das moedas de 1 real como sendo de 10 centavos. Nessas condies, a quantia correta igual inicial, (A) acrescida de R$ 1,35(B) diminuda de R$ 1,35(C) acrescida de R$ 1,65 (D) diminuda de R$ 1,75(E) acrescida de R$ 1,75 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Problema 6 - (Tcnico Bancrio CEF 2000)Afiguraseguinteformadaporquatrotringulosdemesmotamanho,algunsdosquaisesto subdivididos em 9 triangulozinhos de mesmo tamanho. Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 17Lembrete Importante Paraquepossamosrealizaroperaescomumsistemademedida,asunidades de medida devem ser as mesmas. A que frao do total corresponde a parte sombreada? (A) 1/12(B) (C) 7/9(D) 4/9(E) 2/3 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Confira as Respostas: 1B; 2A; 3B; 4E; 5A; 6D. V - SISTEMAS DE MEDIDAS Paramensurarcomprimentos,superfcies,massas,tempos,etc.,utilizamunidadesdemedida. Por exemplo: 4m (metros), 35s (segundos), 350g (gramas), 7,5m2 (metros quadrados). Nestemdulo,anossatarefarealizarconversesdeunidadeeoperaescomessas converses. Vejamos este exemplo: Como somar 2,5 horas com 17 minutos? Geralmente,raciocinamosassim:2,5horassoduashorasemeia,ouseja,2horase30 minutos;sesomarmos17minutos,teremos2horase47minutos.Operandodessaforma, encontramos resultados muito teis em nosso cotidiano, como: saber quanto tempo falta para o almoo; h quanto tempo estamos esperando em uma fila, etc. Porm,existemproblemasemmatemticaondeasunidadesaparecemmaismisturadas, tornandooclculomentalmuitomaisdifcil.Porissoprecisoestudareconhecerbemos sistemas de medidas para conseguir resolver as questes sobre esse assunto. Analiseatentamenteossetesistemasbsicosdemensurao,incluindoosistemamtrico decimal, que apresentamos em seguida: MEDIDAUnidade Bsica 1. comprimentom (metro) 2. superfcie (ou rea)m2(metro quadrado) 3. volumem3(metro cbico) 4. capacidadel (litro) 5. massag (grama) 6. tempos (segundo) 7. ngulograu Oscincoprimeirossistemasapresentadosacimapodemserexpressosporprefixosgregose latinos, que designam seus mltiplos e submltiplos. Mltiplos Chamamos de mltiplos s unidades superiores unidade principal. Os mltiplos so 10, 100 e 1000 vezes maiores e so indicados pelos radicais gregos: Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 18 RadicalSignificadoAbreviatura DECA10da HECTO100h QUILO100k Nota: Os radicais so sempre seguidos da unidade principal. Exemplos: km= quilmetro (1.000 metros) dal = decalitro (10 litros) hg = hectograma (100 gramas) bvioque,emnossocotidiano,simplificamosascoisas.Ningumvaipadariaepede1 hectogramadequeijo;ousugerequesecoloquemeiodecalitrodeguanabanheira,no mesmo? Masnecessriosabermosestasdesignaes,poisemmuitasreas,trabalhoseproblemas estas unidades so corriqueiras. Ateno-Hummltiplodemassausadocorriqueiramenteequenoseencontranatabela acima: a tonelada, que equivale a 1000 kilogramas (um milho de gramas). Submltiplos Chamamos de submltiplos s unidades menores do que a principal. Os submltiplos so 10, 100 e 1000 vezes menores do que a unidade principal e so indicados pelos radicais latinos: RadicalSignificadoAbreviatura DECIDcima parte (0,1)d CENTICentsima parte (0,01)c MILIMilsima parte (0,001)m Exemplos: dm = decmetro = 0,1 m cm = centmetro = 0,01 m mm = milmetro = 0,001 m Tambm podemos compor os submltiplos, da seguinte forma: Dcimo de milmetro = 0,1 . 0,001 m = 0,0001 m Centsimo de milmetro = 0,01 . 0,001 m = 0,00001 m Vamos examinar, em seguida, cada um dos sete Sistemas Bsicos de Mensurao. 1 Unidades de Comprimento NomeSmboloValor Mltiplos quilmetro hectmetro decmetro km hm dam 1000 m 100 m 10m Unidademetrom1m Submltiplos decmetro centmetro milmetro dm cm mm 0,1 m 0,01 m 0,001 m Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 19Operaes: Pararealizaroperaesqueenvolvemmltiplosesubmltiplosdeunidadesdemedidas, necessrio converter todos os elementos da operao na mesma unidade (em geral na unidade padro). Veja um exemplo: Efetuar e apresentar o resultado em metros: 2 hm + 456,3 dm + 0,3481 km = ? Vamos expressar as trs parcelas em metros. H duas formas bsicas de converter as unidades: por regra de trs ou por uma regra prtica. Veja: Aplicando a regra de trs: dmm 10,1 456,3x Logo: 1.x = 0,1. 456,3 x = 45,63 m Falta aplicar a regra prtica neste problema, mas antes, convm entender com clareza os tpicos a seguir, para procedermos corretamente: Converter um submltiplo na Unidade Padro: Deve-se deslocar a vrgula para a ESQUERDA, tantas casas decimais quanto for a distncia deste submltiplo na tabela, em relao unidade padro. Um exemplo: A medida 456,3 dm est a uma distncia da unidade padro na tabela. Ento, andamos apenas uma casa para a esquerda. Logo: 456,3 dm = 45,63 m Converter um Mltiplo na Unidade Padro: Deve-sedeslocaravrgulaparaaDIREITA,tantascasasdecimaisquantoforadistncia deste mltiplo na tabela, em relao unidade padro. Ateno: Estasregrasprticassvalemparaunidadesdecimais.Portantonovalemparatempoe ngulo, ou para lineares (quando o expoente da unidade padro 1). No caso de rea (m2), a cada distncia da unidade padro deve-se transferir a vrgula DUAS casas decimais. Nocasodevolume(m3),acadadistnciadaunidadepadrodeve-setransferiravrgula TRS casas decimais. Exemplo: Amedida0,3481kmestatrsdistnciasdaunidadepadronatabela.Ento,andamos trs casas para a direita. Logo: 0,3481 km = 348,1 m Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 20Entendendomelhoraregraprtica,jpodemosretornarquestoqueestvamos resolvendo: 2 hm + 456,3 dm + 0,3481 km = ? 2 hm = 200 mComo hm mltiplo de m, e est a duas distncias, ento: duas casas para a direita. 456,3 dm = 45,63 m Como dm submltiplo de m, e est a uma distncia, ento: uma casa para a esquerda. 0,3481 km = 348,1 mComo km mltiplo de m, e est a trs distncias, ento: trs casas para a direita. Agora que convertemos todas as medidas mesma unidade, podemos efetuar a soma: 200 m + 45,63 m + 348,1 m = 593,73 m 2 Unidades de rea (ou Superfcie) NomeSmboloValor Mltiplos Quilmetro quadrado Hectmetro quadrado Decmetro quadrado km2 hm2 dam2 1.000.000 m2 10.000 m2 100m2 UnidadeMetro quadradom21m2 Submltiplos Decmetro quadrado Centmetro quadrado Milmetro quadrado dm2 cm2 mm2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2 Nota: Tambm medem reas ou superfcies: 1 ha (hectare)=10.000 m2 1 a (are) = 100m2 3 Unidades de Volume NomeSmboloValor Mltiplos Quilmetro Cbico Hectmetro Cbico Decmetro Cbico km hm3 dam3 1.000.000.000 m3 1.000.000 m3 1.000m3 UnidadeMetro Cbicom31m3 Submltiplos Decmetro Cbico Centmetro Cbico Milmetro Cbico dm3 cm3 mm3 0,001 m3 0,000001 m3 0,000000001 m3 4 Unidades de Capacidade NomeSmboloValor Mltiplos Quilolitro Hectolitro Decalitro kl hl dal 1000 l 100 l 10 l UnidadeLitrol1 l Submltiplos Decilitro Centilitro Mililitro dl cl ml 0,1 l 0,01 l 0,001 l Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 21Ateno: Asunidadesdecapacidadesoutilizadasparamedirmosovolumedelquidos.Portanto,h alguma relao entre volume e capacidade. Aprpriadefiniodelitrovemdesuarelaocomovolume.Umlitroacapacidadede1 dm3, por definio. Ou seja, a quantidade de lquido que cabe em um cubo com 1dm (ou 10 cm) de aresta. Grave bem estas relaes: 1 litro=1dm3=0,001 m3 1.000 l = 1 m3 5 Unidades de Massa NomeSmboloValor Mltiplos Quilograma Hectograma Decagrama kg hg dag 1000 l 100 l 10l UnidadeGramag1l Submltiplos Decigrama Centigrama Miligrama dg cg mg 0,1 l 0,01 l 0,001 l Uma curiosidade: Voc sabe a que equivale o Quilograma?Resposta: Um kg a massa equivalente a 1 litro de gua (em determinada temperatura). 6 Unidades de Tempo Utilizamos como unidade de tempo o segundo (s). NomeSmboloValor Mltiplos Dia Hora Minuto d h min 86.400 s 3.600 s 60 s UnidadeSegundos1 s PararealizarmosoperaesreferentesatempofundamentalobservarqueestaNOuma grandeza decimal, ou seja, no a cada 10 unidades que atingimos o seu mltiplo. Note bem: Comprimentoumagrandezadecimal,pois10m=1dam.Mas10snoigualaum minuto(omltiploseguinte).Ento,paraconvertertempoemunidadesdiferentes,devemos proceder da seguinte forma: Podemos converter as diferentes parcelas de uma adio, por exemplo, na menor unidade entre as parcelas. Veja: 15 min + 47 s + 0,5 h + 23 s = ? A menor unidade de tempo entre as parcelas, da adio acima, o segundo (s). Ento, podemos converter todas as parcelas em segundos, e teremos: 15 min = 15 x 60s = 900s 0,5 h = 30 min = 30 x 60s = 1800s Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 22Agora, basta somar: 900s + 47s + 1800s + 23s = 2770s conveniente apresentar o resultado na forma composta, tal como apresentado inicialmente na adio. Isto , identificando horas e minutos embutidos na resposta. Sabendo que cada minuto tem 60 segundos, se dividirmos o resultado por 60, ter no quociente onmerodeminutosenorestoonmerodesegundosquenocompletamumminuto. Vejamos: A diviso (2770 : 60) tem como quociente 46 e como resto 10. Portanto, 2770s = 46min e 10s. Podemostambmprocederdemaneiramaissimples(o quenemsemprepossvel),somando asparcelasapresentadasemminutos,emseparadodasparcelasemsegundos,eidentificando se h necessidade de alterar as unidades de tempo. Vejamos: 15 min + 47 s + 0,5 h + 23 s = ? 15 min + 30 min + 47 s + 23 s =45 min + 70 s = Como, 70 s = 1 min + 10 s, temos: 45 min + 1 min + 10 s = 46 min e 10 s Por fim, vamos analisar um modo mais formal de proceder: Suponhaquevoctenhaquesomarotempo(5d,23h, 5min,30s)aotempo(2d,18h,18min, 45s). Oquesepodefazersomarasmesmasunidadesdetempoemseparado,acrescentandoas unidades que ultrapassam seus mltiplos na unidade superior. Parece difcil nas palavras, mas simples na operao, como veremos: 5d23h50min30s +2d18h18min45s 7d41h 68m 75s Agora, sempre iniciando pela menor unidade de tempo, verificamos se ela pode enviar alguma parcela para a unidade imediatamente superior. Veja: 75s = 1min + 15s; ento: 7d41h68min75s + 1min-60s 7d41h69min15s Usamos o mesmo processo com os minutos e temos: 69 min = 1h + 9min. 7d41h 69min15s + 1h 60min_____ 7d42h 9min 15s Por fim, usamos igual procedimento com as horas: 42h = 1d + 18h 7d 42h9min 15s + 1d 24h . 8d18h 9min15s Pronto! Chegamos ao resultado: 8d, 18h, 9min, 15s Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 23 Nasubtraocomunidadesdetempo,operamosdemaneiraparecidaadio, verificando apenas se a primeira parcela tem unidades suficientes para subtrairmos a segunda parcela. Vejamos: 2d 5h 4min - 1d 7h 42min= ? Comoos4mindaprimeiraparcelanososuficientesparasubtrairmosos42mindasegunda parcela, devemos transformar uma das 5h da primeira parcela, em minutos: 2d 5h 4min -1h+ 60min 2d4h 64 min(primeira parcela alterada) - 1d7h 42min (segunda parcela) 1d?22min Observando o resultado, conclumos que preciso fazer o mesmo com as horas: 2d 4h -1d+ 24h(parte da primeira parcela alterada) 1d+ 28h No preciso operar com os minutos, pois j temos esse resultado (22 m) 1d 28h -1d 7h 0d 21h Portanto, chegamos ao resultado: 2d 5h 4min- 1d 7h 42min =21h e 22min Parafixaraaprendizagem,vamospraticarmaisumpouco,resolvendoamesmasubtrao pelo mtodo de reduo menor unidade: 2d 5h 4min = ? min 2d = 2.24 h = 48 h = 48.60min = 2880 min 5h = 5.60 min = 300min Logo: 2d 5h 4min = 2880min + 300min + 4min = 3184min 1d 7h 42min = ? min 1d = 1.24h = 24.60min = 1440min 7h = 7.60min = 420min Logo: 1d 7h 42min = 1440min + 420min + 42min = 1902min Ento: 2d 5h 4min- 1d 7h 42min =3184min 1902min = 1282min Resposta em minutos: 1.282min. Lembrete: Como j frisamos, sempre que possvel, devemos converter a resposta em nmero misto, tambm chamado de nmero composto. Assim, vamos dividir 1282min por 60, para descobrir quantas horas ele contm: 1282 : 60 = ? Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 24Sendooquociente21eoresto22,significaquetemos21he22min,talcomohavamos encontrado anteriormente. 7 Unidades de ngulos A medida de ngulo utilizada com maior freqncia o grau (o). Seus submltiplos so: o minuto () e o segundo (). Porsetratardeunidadesexagesimal,comoaunidadedetempo,osprocedimentosdeseu clculo so anlogos aos da unidade de tempo. Para converter, devemos considerar que: 1 grau (1o) = 60 minutos (60) = 3600 segundos (3600) 1 minuto (1) = 60 segundos (60) Notao (o mesmo que representar por sinais): O ngulo de trinta graus, quarenta minutos e dez segundos ser assim notado: 300 40 10 Praticando a aprendizagem: Neste ponto, convm exercitar os novos conhecimentos adquiridos. Certamente que as questes deprovaseconcursosnovopedirapenasconversesdeunidade.Maselassempresero necessrias.Em90%doscasos,oproblemarequisitarmaisdoqueisso:aconstruode raciocnios complexos para encontrar as solues. Problema1Considerandoqueumapessoaprecisade200ldeguapordia,pergunta-se: qual seria o volume expresso em m3 da caixa dgua de um edifcio que possui 12 andares, com 4apartamentosporandar,sendoque,emcadaapartamentohabitaro,emmdia,5pessoas, supondoqueestevolumedeveseracrescidode1/5parareservacontraincndioedeveser suficiente para um dia de reserva? Resoluo: preciso saber, primeiro, quantos litros de gua precisam para atender s necessidades por um dia. Iniciemos pelo clculo voltado s pessoas: Sabemos que so 5 pessoas por apartamento; 4 apartamentos por andar; e que o prdio tem 12 andares. Vamos representar o nmero de pessoas por p. Ento, temos que: p = 5 . 4 . 12 = 240 Secadapessoanecessitade200ldeguapordia,240pessoasnecessitamde240.200= 48000 l. Mas a caixa dgua deve ter 1/5 de reserva para incndio, ou seja, 1/5 de 48000 = 1/5 48000 = 9600 litros Assim, teremos uma caixa dgua com 48000 + 9600 = 57600 l Acontece que o enunciado nos pede aresposta em m3. Portanto, precisamos fazer aconverso de medidas, lembrando que 1 l= 1dm3.Ento: 57600 l = 57600 dm3 Para convertermos dm3 em m3, precisamos deslocar a vrgula trs casas para a esquerda. Dessa forma, temos: 57600 dm3 = 57,6 m3 Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 25Resposta: O volume da caixa dgua 57,6 m3 Problema 2 Uma pessoa adquire um terreno que ser pago em 4 parcelas iguais. Sabendo-se que a rea do terreno de 0,018 hm2 e que o preo do m2 da regio de R$ 820,00, qual ser o valor de cada parcela? Resoluo: Inicialmente preciso converter a unidade. Sabemos que: hm2=10.000 m2 Como o terreno tem 0,018 hm2, o clculo simples: 0,018 hm = 0,018 . 10000 = 180 m2. No clculo acima, tambm poderamos usar a regra prtica, apenas deslocando 4 casas decimais para a direita, pois hm2 est a duas distncias de m2. Resta agora, multiplicar o nmero de metros quadrados pelo preo do metro quadrado na regio, para sabermoso preodo terreno.Esta informao necessria paradepois sabermos o preo de cada uma das 4 parcelas. Preo do terreno = 180. 820 = 147600 Preo de cada parcela = 147600 : 4 = 39600

Resposta: O valor de cada parcela ser R$ 39.600,00. Problema 3 Dois relgios esto marcando o mesmo horrio. Um atrasa 0,5 min em cada 12h de funcionamento, enquanto o outro adianta 1 min a cada 8 h. Depois de 7 dias, se o primeiro marca 10 h e 40min, que horrio estar marcando o segundo relgio? Resoluo: Sesoubermosadiferenadetempoqueseproduzacadadiaentreosdoisrelgios, encontraremos facilmente o horrio do segundo relgio. Ento, tratemos de descobrir essa diferena: Em um dia, quantos minutos o primeiro relgio atrasa? Sabemos que atrasa 0,5 min a cada 12 horas. Como o dia tem 24 h, isto , o dobro de 12 horas, ele atrasa o dobro de minutos. Ento, em um dia ele atrasa (2 . 0,5 m) = 1 min. Poderamos chegar mesma concluso, aplicando uma regra de trs bastante simples. Agora,precisodescobrirquantosminutososegundorelgioficaadiantadoemumdia. Sabemos que ele adianta 1 min a cada 8 horas. Como o dia tem 24 h (o triplo de 8 h) ele adianta o triplo de minutos, ou seja, 3 minutos. Vejamos: por dia, um atrasa 1 min e o outro adianta 3 min. Logo, a cada dia eles se distanciam em 4 minutos. Em sete dias, eles tero se distanciam 4.7 = 28 min.

Restadescobrirohorrioqueosegundorelgioestarmarcando,sabendoqueeleestar adiantado28minemrelaoaoprimeiro,queestarmarcando10h e40min.ssomar28 min a 10 h e 40 min: 10h 40min + 28min = 10h 68min. Como: 68 min so 1h 8min, ento teremos 11h 8min. Resposta: O segundo relgio marcar 11 horas e 8 minutos. Problema4Resolve-secercarumtrechode1,5kmdeumaestrada,comestacasacada 2,5m. Pergunta-se qual o nmero necessrio de estacas, supondo que ser colocada uma estaca no incio e outra no fim do trecho construdo. Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 26Resoluo: Observemos a informao que vem por ltimo no enunciado. Ela informa que haver uma estaca a mais que o nmero de espaamentos. Analise um exemplo em que temos 5 espaamentos e seis estacas, representadas pela letra x. XXXXXX Como o estacamento proposto pelo enunciado similar a este, teremos uma estaca a mais que o nmero de espaamentos. Observao:Muitasvezes,emdetalhescomoessequeperdemosaquesto!Sempre preciso prestar muita ateno e, na medida do possvel, tentar reproduzir a situao proposta. E isso vale para qualquer problema de matemtica! Vamosprosseguirnaresoluopropriamentedita.Precisamosdescobrirquantosespaamentos teremos, j que a linha a ser cercada tem 1,5km e cada estaca ficar a 2,5m uma da outra. Tudo indica que precisamos descobrir quantas vezes 2,5m cabem em 1,5km, certo? Para prosseguir, preciso converter uma das unidades. Optamos por converter km em m. Ento: 1,5km = 1500m. Secadaestacaestdistantedaoutra2,5m,temosquedividiralinhaasercercadapor2,5. Assim, 1500 : 2,5 = 600 Conclumosquetemos600espaamentos.Comoteremosmaisumaestacaaofinaldo estacamento, teremos: 600 + 1 = 601 estacas. Resposta: Sero necessrias 601 estacas. Problema 5 - (Tcnico Judicirio TRF 1 Regio 2001) Certodia,umtcnicojudiciriotrabalhouininterruptamentepor2horase50minutosna digitao de um texto. Se ele concluiu essa tarefa quando eram decorridos 11/16 do dia, ento ele iniciou a digitao do texto s: (A))13h40min(B) 13h20min(C) 13h (D) 12h20min(E) 12h10min Resoluo: Vamos primeiramente descobrir a que horas ele concluiu a tarefa. Sabemos que ele concluiu aos 11/16 do dia, ento: h h h d2333 .21124 .16111 .1611= = = Se dividirmos 33 por 2, teremos 16,5. Significa que ele terminou a tarefa s 16,5h (ou 16 horas e meia hora, o que equivale a 16h30min). Ento temos que subtrair 2h50min (tempo trabalhado) de 16h30min (quando terminou a tarefa) para encontrarmos a hora em que iniciou a digitao. Vamos l? 16h30min - 2h50min ? ? Percebemosqueprecisotermaisminutosnaprimeiraparcelaparadelaextrairasegunda. Ento vamos converter uma hora da primeira parcela em minutos (16h 30min = 15h 90min): Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 27 15h 90min -2h 50min 13h 40min Logo, ele iniciou a tarefa s 13h40min. Resposta: A alternativa correta (A) Nota: possvel utilizar outros caminhos para resolver a mesma questo. Tente identific-los. De qualquer forma, o que realmente importa acertar a resposta! Neste ponto, sugerimos que voc resolva sozinhos os prximos exerccios. Mas, antes de iniciar, e para no ficar desanimado, preste ateno a algumas mximas pedaggicas: Quantomaispraticamos,maisaprendemos.Saprendemosfazendo.Oalunoquem constri o prprio conhecimento. errando e tentando que se aprende. Problema 1 - (Escrevente Judicirio 2002) A distncia entre duas cidades de aproximadamente 8,6 quilmetros. Uma pessoa que estava fazendoessepercursodeumacidadeoutrateveumproblemanoseuveculonomeiodo caminho e parou. Esta pessoa j havia percorrido quantos metros? a) 4,0b) 4,3c) 43d) 4300e) 4600 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Problema 2 - (Tcnico Previdencirio 2005) Seu Jos produziu 10 litros de licor de cupuau e vai encher 12 garrafas de 750 ml para vender na feira. No havendodesperdcio, quantos litros de licor sobraro depois queele encher todas as garrafas? a) 1,00b) 1,25c) 1,50d) 1,75e) 2,00 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Problema 3 - (Tcnico Previdencirio 2005) Um Terreno de 1 km2 ser dividido em 5 lotes, todos com a mesma rea. A rea decada lote, em m2 ser de: a) 1.000b) 2.000c) 20.000d) 100.000e) 200.000 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Problema 4 - (Tcnico Judicirio TRF 1 Regio 2001) Para o transporte de valores de certa empresa so usados dois veculos, A e B. Se a capacidade de A de 2,4 toneladas e a de B de 32.000 quilogramas, ento a razo entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a: (A) 0,0075 %(B) 0,65 %(C) 0,75 %(D) 6,5 %(E)) 7,5 % Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 28O grau de uma equao dado pelo maior expoente da incgnita 2x + 4 = 0 (Equao de 1 grau) _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Ateno:ArazoentreAeBovalorA/B.Logo,ovalorencontradoserumnmerodecimalquedeverser convertido em porcentagem perdendo duas casas decimais. Trataremos desse assunto mais adiante. Problema 5 - (Tcnico Bancrio CEF 2000) Joo e Maria acertaram seus relgios s 14 horas do dia 7 de maro. O relgio de Joo adianta 20spordiaeodeMariaatrasa16spordia.Diasdepois,JooeMariaseencontrarame notaramumadiferenade4minutose30segundosentreoshorriosqueseusrelgios marcavam. Em que dia e hora eles se encontraram? a) Em 12/03 meia noiteb) Em 13/03 ao meio dia c) Em 14/03 s 14 hd) Em 14/03 s 22 h e) Em 15/03 s 2 h Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Verifique agora a sua performance, conferindo os seus resultados com as respostas corretas: 1D; 2A; 3E; 4E; 5E VI - EQUAES Equao uma sentena matemtica aberta (porque no conhecemos inicialmente os valores de todos os termos) que representa a igualdade de duas expresses (membros). Veja: coeficientes termo independente 5 x + 4 y 2=2 x + y + 13 1 membro2 membro incgnitas ou variveis EQUAES DO 1 GRAU So todas asequaesda forma ax + b =0,onde x ovalor aserdeterminado (varivel ou incgnita). Em outras palavras, toda equao em que o maior expoente de x 1. Resoluo de equaes do 1 grau O1passoagruparostermoscomvariveisnomesmomembrodaequaoeostermos independentes no outro membro. Na prtica: tudo que tem x para um lado, tudo que no tem x para o outro lado.Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 29 Para isso, podemos lanar mo dos seguintes mecanismos: 1-Pode-sesomar,subtrair,multiplicar,dividir,etc,todosostermosdaequaopor um mesmo nmero, que o resultado no se altera. Veja: (2 = 2) e (2 + 3 = 2 + 3) Somamos3aosdoismembrosdaequaoeelacontinuaverdadeira,ouseja,continua expressando uma igualdade. Se tivermos (x + 4 = 0), podemos subtrair 4 dos dois membros e chegaremos ao valor de x Veja: x+ 4 4=0 4 x+0=- 4 Logo:x = - 4

Naprtica,dizemos:passarparaooutroladodaequao,quandomudamosostermosdos membros. Neste caso: invertemos o sinal: x+4=0 x= -4 Tambmnaprtica,dizemos:oqueestmultiplicandodeumlado,passaparaooutrolado dividindo. Veja: 8 4 = X 2 248= = = X X

Nota: na verdade, dividimos os dois membros pelo nmero 4. 2Muitasvezesnecessrioprepararaequaopararealizarmosasoperaes inversas, aplicando outras propriedades da matemtica, tais como, propriedade distributiva

4( 3 +2x)=2x ( 3 x ) 4 . 3+4.2x=3.2x -2.x.x 12+8x =6x- 2x2

Aplicando a inverso de operaes, temos: 2x2 +8x-6x = - 12 Note que trocamos o sinal Enfim, temos: 2x2+2x=- 12 Neste caso, chegamos a uma equao de segundo grau. Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 30Nota: Para resolver a equao acima, devemos seguir outros passos que mais adiante veremos. 3-Nuncaesquea:umadaspartesmaisimportantesdaresoluodeproblemasem matemtica a construo correta da equao. Vamos agora resolver passo a passo a seguinte equao: 411] 2) 2X ( - X [=+X Primeiro: equacionar o que estiver dentro dos parnteses. Neste caso, extramos os nmeros, mas trocando o sinal. 4112] - 2X X [=X Em seguida, fazemos as operaes possveis dentro dos colchetes (subtramos os coeficientes de x) e trocamos o sinal para extrair o contedo dos colchetes. Como no passo anterior, o sinal do lado de fora dos colchetes negativo: 411 - X2 X

411] 2) - X - [=+ =X Podemos multiplicar em cruz, isto , multiplicar o denominador do 1 membro pelo numerador do2,eodenominadordo2pelonumeradordo1(oqueequivaleadizerqueestamos multiplicando os dois membros tanto por (x+1) quanto por 4, conforme a regra descrita acima). Teremos: 4 (X + 2)=1 (X 1) Aplicando a propriedade distributiva: 4X + 4.2=1X 1.1 4X + 8 =X 1 Agrupandoostermoscomvariveisdo1membroeostermosindependentesno2(sem esquecer de trocar o sinal na passagem), temos: 4X X = -1 8 3X= - 9 Passamos o coeficiente de x para o outro membro, realizando a operao inversa (diviso): =39X X = - 3 Ateno:Resolverumaequaosignificaencontrarumvalorque,colocadonolugarda incgnita,tornaasentenaverdadeira.Portanto,sevoctivertempoduranteaexecuoda prova, substitua na equao o valor encontrado e confira o resultado. Agoraquejsabemosovalordaincgnita(x),que(-3),podemosconferiraequaoque acabamos de resolver: =+ 4112)] (2X X [X 41) 1 3 (2)] (2(-3) (-3) [= + Instituto Marconi Matemtica Para Concursos Instituto Marconi Matemtica Para Concursos 31 =+ 4142)] (-6 (-3) [ 4144)] ( (-3) [= =+4144] [-3 =41414141=

4141=(c.q.d., ou seja, como queramos demonstrar) Ateno:Comaprtica,eapsresolvermuitosexerccios,muitaspassagenspodemser feitas mentalmente. Mesmo assim, cuidado! s vezes um pequeno equvoco - com um sinal, por exemplo, pe a perder toda a questo! Vamostreinar!Procureresolverasequaespropostas,antesdeverificararesoluesqueas acompanham: a)11 4 3 2 = + X X b) 35 22342 =++ X X X c) 2683+= X X Resolues: a) 2x - 3 + 4x = 11 - x 2x + 4x + x=11 + 3 7x=14 714= XX=2 b) 35 22342 =++ X X X 35 24) 3 ( 24) 2 ( 1 =++ X X X 35 24) 3 ( 2 ) 2 ( 1 = + + X X X 35 242 6 2 = + + X X X 35 248 =+ X X ) 5 2 ( 4 ) 8 ( 3 = + X X20 8 24 3 = + X X 24 20 8 3 = X X44 11 = X1144= Xou x = 4 Ateno:Nestaresoluo,optamosporencontraro MMC apenas das fraes do 1 membro (MMC (2, 4)=4). TambmpoderamosextrairoMMCdosdoismembros daequaoemconjuntoe depoiselimin-lo.Este um procedimentoquevocpodeadotar,semprequetiver equaes em que os dois membros apresentam fraes. Veja como fazer: =++35 22342 X X X MMC(4,2,3)=12 12) 5 2 ( 412) 3 ( 6 ) 2 ( 3 = + + X X X INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi32Vamoseliminarosdenominadores(equivale amultiplicarosdoismembrospor12)e aplicar a propriedade distributiva: 3x + 6 + 18 6x=8x 20 3x 6x 8x = - 20 6 18 44 11 = X 1144= Xx = 4 c) 2683+= X X 3 (x + 2) = 6 (x 8) 3x + 6=6x 48 3x 6x= - 48 6 - 3x= - 54 x = - 54- 3 x =18 Dica: Nas situaes em que o coeficiente de x negativo, pode-se multiplicar por (-1) os dois membros, para no haver confuso com os sinais. Veja: [ - 3x = - 54 ].( - 1 ) 3x = 54 x = 18 Noesquea:Semprequepossvel,volteequaooriginalesubstituaovalorencontrado,paraconferiro resultado. 2683+= X X 2 1868 183+= 2 :2 :206103= 103103= Ateno: Boa parte das questes das provas se compe da resoluo de problemas de primeiro grau. Por isso, ser til que voc desenvolva a habilidade de traduzir as informaes dos enunciados para o matematiqus. Problemas com Equaes do 1 Grau. Nota: Tente resolv-los sozinho, antes de consultar a resoluo que apresentamos. Problema1-Determineonmeroque,somadoasuateraparte,equivalediferenaentre seu triplo e 10. Resoluo: INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi33A questo clara. Temos que achar um nmero que desconhecemos, isto , uma incgnita. Para prosseguir, vamos chamar essa incgnita de x. Representando a tera parte de x, temos: x/3 Seu triplo: 3x O nmero desconhecido somado sua tera parte: 3XX +A diferena entre seu triplo e 10 > 3X 10 O nmero somado sua tera parte equivale diferena entre seu triplo e 10, ento: 10 33 = + XXX Essa a equao do problema! A prxima etapa resolver a equao: = + 10 33XXX4x = 3 (3x 10) 4x =9x - 30. 4x 9x = - 30 - 5x = - 30530= XX = 6 Resposta: O nmero 6 Problema2DistribuirR$140,00entrePaulo,JoseOtvio,demodoquePauloreceba R$15,00amenosqueJos,eesterecebaR$25,00amaisqueOtvio.Quantorecebercada um? Nota: Este tipo de questo muito comum nos concursos. Por isso grave bem a forma de resolv-la. Resoluo: De incio, precisamos nomear com x uma das quantias, pois elas guardam relaes entre si.Escolhendo a quantia de Otvio para nomear com x, temos: NomeElementos do problemaExpresso OtvioSua quantia ser a incgnita, ou xx JosRecebe 25 a mais que Otviox + 25 PauloRecebe 15 a menos que Jos(x+25) 15, ou, x + 10 Alm destas relaes mantidas entre si, h uma outra que nos permite montar a equao: As trs quantias somadas resultam no total a ser distribudo, que 140. Assim, temos: x + x+25 + x+ 10=140 Essa a equao do problema. Ateno:AindaprecisamosacharovalordexparasaberaquantiaqueOtviorecebere depois achar a quantia dos outros. s vezes resolvemos o problema inteiro e erramos na hora da resposta, porque nos confundimos quanto ao que pede o problema! Para acharmos o valor de x, basta resolver a equao encontrada, que bem simples: x + x + 25 + x + 10 = 140 3x + 35 = 140 3x = 140 35 3x = 105 INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi343105= X x = 35 Identificadoovalordanossaincgnita(x=35),svoltaraoenunciadodoproblema,ouao quadro anterior, para calcular quanto receber cada um: NomeExpresso matemticaQuantia Otvio x = 35R$ 35,00 Josx + 25 = 35 + 25 = 60R$ 60,00 Paulox + 10 = 35 + 10 =R$ 45,00 Pronto, est resolvido o problema 2. Problema3Asomadequatronmerosinteirosconsecutivos38.Qualomaiordestes nmeros? Resoluo: Sendo os nmeros consecutivos, esto distantes entre si por uma unidade. Exemplo: (4, 5, 6 e 7) so nmeros consecutivos, isto , (5 = 4 +1), (6 = 5 +1) e (7 = 6 + 1). Naresoluodeproblemascomoeste,nomeamoscomx(incgnita),omenordosnmeros,e somamos 1 a cada nmero consecutivo. Veja: 1 nmero = x 2 nmero = x + 1 3 nmero (Muita ateno!) > formado pelo 2 nmero mais a unidade. Ou seja: (x + 1) + 1 ou, (x + 2) 4 nmero: O terceiro mais 1, ou seja, (x+2+1) = x + 3 Sendo assim, a seqncia pode ser expressa da seguinte forma: x, x+1, x+2, x+3 Ateno:O enunciadodo problema informa que ovalor da soma dos quatro nmeros 38. Falta, ento, descobri-los. Para isso, basta montar e resolver a equao respectiva: x+x + 1 +x + 2+ x + 3 = 38 4x + 6 = 38 4x = 38 6 4x = 32 432= Xx=8 Cuidado! Se a questo da prova tiver uma alternativa com o valor 8, e voc estiver desatento, poder indicar essa resposta e errar. Vejabem:Aindanoachamosaresposta!Encontramosapenasovalordaincgnita.Noissooquepedeo problema. De acordo com o enunciado, preciso achar: Qual o maior nmero da seqncia. J sabemos que o valor da incgnita (o menor dos nmeros), ( 8 ). Logo, o maior dos nmeros : (x + 3), ou seja, 8 + 3, que igual a 11. Portanto, a resposta 11. Est resolvido o problema 3. INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi35Problema 4 Um av tem 60 anos e seu neto 15. Ao final de quantos anos a idade do av ser o dobro da idade do neto? Resoluo: Temos que saber o nmero de anos que se passaro at que ocorra a situao mencionada pelo enunciado. Vamos representar esses anos (a incgnita), por x. Para montar a equao, verificamos que h uma relao determinada pelo problema: daqui a x anos, o av ter o dobro da idade do neto. Tambmtemosumarelaoentreasidades,quesemantmconstante:sehojeoavtem60 anos e o neto tem 15, o av tem 45 anos a mais que o neto.Uma coisa certa: O av sempre ter 45 anos a mais que o neto. Mas, temos uma questo: Daqui a x anos, quantos anos tero o av e o neto respectivamente? Concluso: 60 + x e 15 + x Voltando ao enunciado do problema: preciso encontrar o nmero de anos (x) que se passaro at que a idade do av (que ter 60 + x) seja igual ao dobro da idade do neto (que ter 15 + x). Sabemos que, daqui a x anos, a idade do av ser igual ao dobro da idade do neto. Ento: 60 + x =2 . (15 + x) Acabamos de montar a equao do problema! Ateno:Procureencontrarrelaesentreosfenmenosqueaparecemnosproblemas,comoaidade,por exemplo,equeestoescondidas,ousubentendidas.Raciocinandocomateno,sempredescobrimosquesabemos mais do que pensamos! Montada a equao, j podemos resolv-la: 60 + x = 2 ( 15 + x ) 60 + x = 2.15 + 2 . x 60 + x = 30 + 2x x 2x = 30 60 - x = - 30 x = 30 A resposta, portanto, 30 De fato, daqui a 30 anos o av ter 90 anos (60 + 30). O que ser o dobro da idade do neto: 45 anos (15 + 30). Est resolvido o problema 4. Problema5-Numafrao,odenominadorexcedeonumeradorem5.Seaumentarmoso numerador em 2 unidades, a frao ficar aumentada em 1/4. Determine esta frao.

Resoluo: Este um problema que, para solucionar, precisamos montar uma equao. Vamos iniciar: Chamando de x o numerador, o denominador ser ( x + 5). INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi36A frao inicial , portanto:5 + XX A nova frao, em que o numerador tem 2 unidades a mais, 52++XX A relao entre elas que a nova um quarto a mais que a inicial, ou seja, (nova = inicial + 1/4). Temos assim a equao: 5) (X 4 MMC 415 52+ = ++=++XXXX ) 5 ( 4) 5 ( 1) 5 ( 44) 5 ( 4) 2 ( 4++++=++XXXXXX 4x + 8 = 4x + x + 5 4x - 4x - x = 5 - 8 - x = -3 x = 3 O problema solicitou a frao inicial, ento: 83) 5 335=+=+ XX Resposta: A frao 3/8. Est resolvido o problema 5 Nesteponto,vocdevepraticarsozinhoasoluodealgunsexerccios.omelhormtodoparaexercitara construo e regras de resoluo das equaes. Questes: 1) Qual o nmero que adicionado a seu triplo e a 5 igual o seu quntuplo? Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2) Um nmero, somado com seu dobro, mais a sua quarta parte, igual soma entre seus trs quartos, seu quntuplo, e 2. Qual esse nmero? Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3) A idadedeJooodobrodaidadedeseuirmoPedro.Sabendo-sequea idadedoavde ambos (50 anos) o triplo da idade do neto mais novo somada idade de Joo, qual a idade de Pedro? Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi374) Oficial de Promotoria MP SP 2001. Emumasalahtrslmpadasiguais,umtelevisoreumaparelhodearcondicionado.ATV consome1/3dosquilowatts-hora(kWh)queumadaslmpadasconsome.Oaparelhodear condicionadoconsome15vezesoqueconsomeumalmpada.Quandoestotodosligadosao mesmo tempo, o consumo total de 1.100 kWh. Portanto o televisor consome: a) 24 kWhb) 22 kWhc) 20 kWhd) 18kWhe) 16kWh Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 5) Oficial de Promotoria MP SP 2001. Uma parede com 18 m2 de rea est pintada com 2 cores: a de cor amarela corresponde a 3/5 da rea total, a de cor azul corresponde a 2/3 da rea amarela. Ento, a rea pintada em azul de: a) 14,4 m2b) 12,0 m2c) 10,8 m2d) 7,2 m2e) 3,6 m2 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 6) Oficial de Promotoria MP SP 2001. Umpaitemhoje54anoseseusquatrofilhostmjuntos39anos.Aidadedopaiserigual soma das idades de seus filhos daqui a: a) 5 anos.b) 8 anos.c) 10 anos.d) 12 anos.e) 15 anos. Dica: a cada ano que o pai faz, os filhos somam quatro anos. Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 7) Tcnico Previdencirio 2005. Umprmioemdinheirofoidivididoentretrspessoas:aprimeirarecebeu1/4dovalordo prmio,asegundarecebeu1/3eaterceiraganhouR$1.000,00.Ento,ovalordesseprmio, em reais, era de: a) 2.400,00b) 2.200,00c) 2.100,00d) 1.800,00e) 1.400,00 8) Tcnico Previdencirio 2005.Ummotoristapraemumpostoparaabastecerseucaminhocomleodiesel.Elepagoucom umanotadeR$100,00erecebeuR$5,75detroco.SeolitrodeleodieselcustavaR$1,45, quantos litros ele comprou? a) 55b) 58c) 65d) 75e) 78 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi38 9) Escrevente Judicirio 2002. Umreservatriocontmlcoolat2/5desuacapacidadetotalenecessitade15litrospara atingir 7/10 da mesma. Qual a capacidade total (em litros) desse reservatrio? a) 30b) 35c) 40d) 45e) 50 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Concludos os seus clculos, confira as respostas dos nove problemas: 1=5; 2=-4/5; 3=10 anos; 4=C; 5=D; 6=A; 7=A; 8=C; 9=E. Sistemas de duas equaes do 1 grau com duas variveis Umsistemasimplesdo1graucomduasvariveiscorrespondeaumconjuntodeduas equaes com duas incgnitas. Issoequivaleaduasexpressesquepodemserformadascontendodoisdadosque desconhecemos, mas que mantm relaes entre eles. Vejamos um exemplo: Duas pessoas juntas possuem um capital de R$ 36.000,00. Sabendo-se que uma possui o dobro do capital da outra, determine a quantia de cada uma. Resoluo: Chamemos o capital da primeira de x e o capital da segunda de y. Sabemos que a soma dos dois capitais 36.000, ento j temos a primeira equao: x + y = 36.000 O enunciado tambm nos informa que um capital (podemos assumir que o capital x) igual ao dobro do outro, ou seja: x = 2y Reunindo as duas equaes em um sistema (assim chamado porque os valores de x de y em uma equao devem fazer com que a outra equao seja verdadeira), temos: == +Y XY X236000 Resolver um sistema desse tipo determinar o conjunto de pares ordenados (x, y) que satisfaa as duas equaes ao mesmo tempo. Vamos diretamente reposta, substituindo as incgnitas pelos respectivos valores, apenas para demonstrarqueestesistematemsoluo.(Maisadiante,eapsnovasexplicaes,faremosa resoluo detalhada). Neste caso, o valor de x 24000 e de y 12000. Verificando: a)Sabemos que x + y = 36000.b) Substituindo x por 24000 e y por 12000, temos: c)24000 + 12000 = 36000 d) Sabemos quex = 2y e)Substituindo: 24000 = (2. 12000) = 24000 Como o importante saber resolver, passemos a essa etapa. INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi39Mtodos de resoluo de Sistemas do 1 grau com duas variveis. H, basicamente, dois mtodos de resoluo de um sistema: Mtodo da Substituio e Mtodo da Adio ou Subtrao. 1) Mtodo da Substituio: Consisteemisolarumadasincgnitasemumaequaoesubstitu-lanaoutra.Emoutras palavras,operamosdeformaadeixarnoprimeiromembrodeumaequaoapenasumadas incgnitas,revelandoquantoelavale(qualarelaodeumaunidadedestaincgnita)em relao outra. Tomemos o seguinte sistema como exemplo: == +II) (equao 2 y- x I) (equao 6 yx NaequaoIpodemosisolarx,enviandoyparaosegundomembro(trocando-lheosinal, como voc j sabe): x + y = 6x = 6 y(equao III) Substituindo o valor de x na equao II, temos: x -y = 2 6 y -y = 2 J podemos encontrar o valor de y, pois esta uma equao com apenas uma varivel: 6 y y = 2 - 2y = 2 6 - 2y = - 4 - 2y = 4 y = 4/2 y = 2 O prximo passo retornarmos com o valor de y relao que encontramos quando isolamos x (equao III): x = 6 y x = 6 2 x =4 Logo, os valores de x e y so, respectivamente, 4 e 2. Podemos, ainda, dar a resposta na forma de conjunto verdade ( V ) V = {(4, 2)} 2) Mtodo da Adio ou Subtrao Consiste na eliminao de uma das incgnitas, adicionando ou subtraindo as duasequaes, membro a membro, para obtermos uma nova equao com apenas uma incgnita. Para elimin-la,necessrioqueseucoeficientenasegundaequaosejaoopostodeseucoeficientena primeira equao. INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi40Exemplo:== +II) (equao9 3y - 5xI) (equao 16 2y4x Somando as duas equaes, membro a membro, temos: 4x + 2y = 16 (+)5x- 3y = 9 9x-y= 25 Anovaequaoencontradaaindamantmduasvariveis.Portanto,noresolveonosso problema. Ateno: Precisamos somar as equaes originais de forma a obtermos coeficientes opostos em umadasvariveis.Ento,temosqueprepararasequaesparaestasoma.Paraisso,vamos multiplic-las por valores adequados. Tentemos eliminar a varivel y, sabendo que seus coeficientes so: (2) na primeira equao e (3) na segunda. Para torn-los coeficientes opostos, devemos proceder da seguinte forma: 4x + 2y = 16 (vamos multiplicar essa equao por 3, que o coeficiente de y na segunda equao). 5x-3y=9(vamosmultiplicaressaequaopor2,queocoeficientedeynaprimeira equao) Ento: (4x + 2y = 16).(3) 12x + 6y = 48 (5x- 3y =9) .(2) 10x- 6y = 18 Vejaqueosnovoscoeficientesdeyso(6)e(6),ouseja,nmerosopostosque,quando somados, tero zero como resultado, eliminando a varivel y da nova equao.

Faamos a soma: 12x + 6y = 48 (+) 10x- 6y = 18 22x + 0y = 6622x = 66 x = 66/22 x = 3 Encontrado o valor de (x), j que a equao que resultou da soma tinha apenas uma varivel, s substitu-lo em qualquer uma das duas equaes originais e teremos o valor de (y). Por exemplo: 12x + 6y = 48 12.3 + 6y = 48 36 + 6y = 48 6y = 48 36 6y = 12 y = 12/6 y = 2 Logo, j temos a reposta: V = {(3, 2)} Este mtodo pode parecer complicado, mas no . Na verdade, facilita a resoluo de problemas. Achaveestemsaberporquantodevemosmultiplicaruma,ouasduasequaes,para encontrar coeficientes opostos para uma das incgnitas. Outros exemplos: INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi41 x + y = 6 x -y = 2 2x = 8 Com coeficientes opostos em y, bastou somar as equaes. 3x + 2y = 113x + 2y = 11 ( x + 2y = 5 ). ( -1) - x - 2y = - 5 2x =6 (4x y = 2). ( 2 )8x2y=4 3x + 2y = 7 3x+2y=711x = 11 Perceba como as equaes (grafadas em azul), que saem da soma, so de fcil resoluo. Neste ponto, j resolver o sistema determinado pelo exemplo que demos mais acima: DuaspessoaspossuemjuntasumcapitaldeR$36.000,00.Sabendo-sequeuma possui o dobro do capital da outra, determine a quantia de cada uma. Havamos construdo o seguinte sistema: x + y=36000 x= 2y Aplicandoasubstituiodiretanaprimeiraequao,poisasegundaequaojtraza incgnita x isolada: 2y + y = 36000 3y = 36000y = 36000/3 y = 12.000 Substituindo o valor de y na segunda equao: x = 2y x = 2 . 12000 x=24.000 Ento: V = {(24.000,00 ; 12.000,00)}, como tnhamos afirmado. Para fixar os conceitos, acompanhemos a resoluo de outros problemas. Problema 1 - Calcule a rea de um terreno retangular, sabendo-se que seu permetro tem 60m e o comprimento tem o dobro da largura. Resoluo: Areaoprodutodocomprimentopelalargura;comonosabemosnenhumdosdoisdados, temosqueencontr-losapartirdoproblema.Vamosnomearasmedidasquequeremos encontrar: x = comprimento y = largura O permetro, que vale 60m, a soma dos lados, ou seja, dois comprimentos mais duas larguras. Traduzindo: 60 = 2x + 2y Como o comprimento o dobro da largura, segundo o enunciado, j temos o sistema: x = 2y 2x + 2y = 601 x= 2y2 Substituindo 2em1:2(2y) + 2y = 60, INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi42E resolvendo: 4y + 2y = 60 6y = 60 y = 60/6 y = 10 Portanto: a largura do terreno mede 10m. Falta descobrir o comprimento, no mesmo? Vamos l: Substituindo o valor em2: x = 2y;x = 2.10; x = 20 Portanto: O comprimento mede 20m. Sabendoasmedidasdalarguraedocomprimento,scalcularareaparasolucionaro problema. Como a rea (A) dada por ( x . y), ento: (A = 20x10) A = 200m2 Resposta: A rea do terreno tem 200m. Problema2Uminvestidorpossui1000aesdeumaempresa,entrenominativaseao portador.SuascotaesnominativasvalemR$60,00,eaoportador,R$70,00.Quantasaes ele possui de cada modalidade sabendo-se que, se as vendesse hoje, apuraria R$ 66.000,00? Resoluo: Vamos nomear as nossas incgnitas: x = nmero de aes nominativas y = nmero de aes ao portador Se ele tem 1000 aes no total, ento: (x + y = 1000). Temosototaldovalordasaeshoje:(66000).Essetotalequivaleaovalordasaes nominativas,multiplicadopelonmerodestasaes,maisovalordasaesaoportador, multiplicado pelo nmero destas aes. A equao que expressa esse raciocnio : 60x + 70y = 66000 (Sem as casas decimais) Nosso sistema, ento, : x + y = 1000 60x + 70y = 66000 Resolvendo pelo Mtodo da Adio: Temos (+60x) na segunda equao, logo, precisamos (-60x) na primeira. Como o coeficiente de x na primeira equao 1, vamos multiplicar a equao por (60) (x + y = 1000) . (-60) 60x + 70y = 66000 INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi43Efetuando a multiplicao e somando membro a membro: - 60x- 60y = - 60000 60x + 70y = 66000 10y= 6000 y = 6000/10ento,y = 600 Substituindo o valor de y na primeira equao: x + y = 1000 x + 600 = 1000 x = 1000 600 x = 400 Resposta: O investidor possui 400 aes nominativas e 600 aes ao portador. Problema3DorivalpossuiR$3.000,00emduascontasbancrias.Sabendo-seque4/5do saldodaprimeiraexcedeosaldodasegundaemR$240,00,quaisvaloreseletememcada conta? Resoluo: x = o que possui na primeira conta y= o que possui na segunda conta Temos que: x + y = 3000 (total das duas contas) Tambm temos: 4/5x = 240 + y Montando e resolvendo o sistema: + == +Y XY X240543000 Pelomtododasubstituio,vamosdefinirynaprimeiraequaoesubstituirnasegunda, ficando: y = 3000 x Substituindo: X X + = 3000 24054 Resolvendo, vamos somar os termos independentes e enviar x para o primeiro membro: 324054= +X XAplicamos o MMC ao primeiro membro para somarmos os coeficientes de x, e temos: 1800 3240 5 9 324055 493240 5= = = =+X XX X X = 1.800 Como sabemos que (y = 3000 x), basta substituir e resolver: y = 3000 1800 Logo: y = 1.200 Resposta:OsaldodeDorivalnaprimeiracontadeR$1.800,00,enasegundade R$1.200,00. INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi44Agora, voc j pode praticar sozinho, resolvendo os sistemas a seguir: 1) = +=4 y 2x2 y- x 2) = += +4 1 y 2x5 y3x 3) = = +1 y 2 5x4 y2x 4) = += +4 y 2 x5 y2x 5) == +2 3y - 5x14 2y3x Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Agora, resolva os seguintes problemas: 6)AdiferenaentreoscapitaisdeduaspessoasdeR$2.000,00.Seforemacrescidos R$200,00 a cada capital, um deles tornar-se- o triplo do outro. Quais so estes capitais? Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 7) Oficial de Promotoria MP SP 2001 Certo veculo utilitrio custa R$ 15.000,00 a mais que o modelo sedan da mesma marca. Se os dois juntos custam R$69.000,00, o utilitrio custa: a) R$41.000,00.b) R$41.500,00.c) R$42.000,00.d) R$42.500,00.e) R$43.000,00. Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 8) Tcnico Previdencirio 2005 Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmo e pagou a dvida com notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Se, ao todo, o irmo de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00? a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Concluindo os exerccios, confira as respostas: 1={(2,0)};2={(-9,32)};3={(1,2)};4={(2,1)};5={(2,4)};6=R$800,00eR$2800,00; 7=Alternativa C; 8=Alternativa C. INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi45EQUAES DO SEGUNDO GRAU So as equaes em que o maior expoente da incgnita 2 e que se apresentam com a seguinte forma: ax2 + bx + c = 0 Nessa equao, (a, b, c) so nmeros reais e (a = 0).Neste tipo de equao, x o par de valores a ser determinado.As solues das equaes do 2 grau so chamadas de razes. Vejamos um exemplo de equao de segundo grau: 2x2 4x - 6 = 0 Nesta equao, (a = 2),(b = - 4) e(c = - 6). Suas razes so:(x1 = - 1) e (x2 = 3) Se substituirmos cada valor na equao, o resultado zero. Verifiquemos: Para: x = - 1 2 (-1)2 4(-1) 6 = 0 2.1 + 4 6 = 0 6 6 = 0 Para: x = 3 2 (3)2 4(3) 6 = 0 2.9 12 6 = 0 18 18 = 0 Importante:Noesqueaqueoquadradodeumnmeronegativosemprepositivo. Memorize as regras de sinais na multiplicao de nmeros inteiros. Resolvendo Equaes do 2 grau H dois tipos de equaes de 2 grau: as incompletas e as completas. Somente nas completas necessrio encontrar o (delta). Vejamos como se resolvem esses dois tipos de equao. 1) Equaes incompletas: A) Quando: b = 0 ax2 + c = 0 Resoluo: Isolamos a varivel x, da mesma forma como procedemos nas equaes de primeiro grau. Exemplo: 2x2 8 = 0 2x2 = 8 x2 = 8/4 x2 = 4 4 = Xx1 = 2ex2 = -2 Observao importante: tanto (+2) quanto (2), quando elevados ao quadrado, resultam em (+4). Portanto, muita ateno com isso! INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi46Outro exemplo: 3x2 27 = 0 3x2 = 27 x2 = 27/3 x2 = 9 9 = x3 x e32 1 = + = x Agora, outro exemplo, que exige uma ateno especial: x2+ 16 = 0 x2= -16 vazio onjunto 6 1 c x = Muita Ateno! Esta equao no tem soluo no conjunto dos nmeros reais, no qual no existe raiz quadrada de nmero negativo. Portanto, a resposta conjunto vazio ou, no h resposta. B) Quando:c = 0ax2 + bx = 0 Resoluo: Notequeovalorxaparecenosdoiselementos.Quandoissoocorre,podemosfatorara expresso. Exemplo: Na equao:x2 8x = 0, vemos que: x = x . x Ento:x . x 8x = 0 Colocando x em evidncia:x.(x 8) = 0 Seaplicarmosapropriedadedistributiva,veremosqueaexpressoretornaformaoriginal. Veja: x . (x - 8) =x2-8x Agora, temos: x . ( x 8 ) = 0. Mas, se o resultado da multiplicao de dois fatores zero, pelo menos um dos fatores zero, ou seja: x . ( x 8 ) = 0 1 fator 2 fator Logo, aqui cabem duas respostas, pois: Se o 1 fator = 0 , ento:x = 0 Se o 2 fator = 0 , ento x 8 = 0x = 8 Assim, a resposta : V = {0 , 8} Outro exemplo: 2x2 + 4x = 0 x (2x + 4) = 0 ento: x = 0 ou: 2x + 4 = 0 2x = - 4 x = - 2 Logo:x1 = 0ex2 = - 2 V = { 0, - 2 } Nota: Nas equaes deste tipo, uma raiz sempre zero. INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi47Quando = 0 = 0 = 0 = 0 ..... Duas razes idnticas (um s valor) Quando < 0 < 0 < 0 < 0 ..... No h razes reais (nenhum valor para x) Quando > 0. > 0. > 0. > 0..... Duas razes (dois valores para x) Equaes completas So aquelas em que a, b e c so diferentes de zero. x2 5x + 8 = 0 Nesta equao: a = 1, b = -5 e c = 8 Para resolver equaes deste tipo, utilizamos a seguinte frmula: aac b bX242 = Onde: = = = = b2 4ac Aplicando a frmula equao:X2 5X + 8 = 0Temos: a = 1 b = - 5 c = 8 Ento: = = = = b2 4ac = (5) = (5) = (5) = (5)2 22 2 4(1) (8) = 25 32 =7 4(1) (8) = 25 32 =7 4(1) (8) = 25 32 =7 4(1) (8) = 25 32 =7 Seguindo a frmula, teramos que extrair a raiz quadrada do delta, neste caso ( 7). Como isso no possvel no conjunto dos nmeros reais, dizemos que no h razes reais. Ento, a resposta conjunto vazio, que podemos expressar das seguintes formas: V = {} ou Outro exemplo: 2x2 + 4x + 2 = 0 = b2 4ac = (4)2 4(2)(2) = 16 16 = 0 Apliquemos a frmula para a 1 raiz:1442 20 41 ==+ = XApliquemos a frmula para a 2 raiz:1442 20 42 == = X Como a raiz quadrada de zero zero, as duas razes so iguais, X1=X2=-1. Neste caso, dizemos que as duas razes so idnticas entre si e iguais a (1). Veja a regra: Resolvendo exemplos: 1)4x2 4x + 1 = 0 ; a = 4;b = -4;c = 1

= b2 4ac =(4)2 4(4)(1) = 16 16 = 0 (Sendo delta = zero, encontraremos apenas um valor para x) INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi4821844 20 42 1= == =X X212 1= =X X 2)x2 5x + 6 = 0 ;a = 1;b = -5;c = 6 =b2 4ac = (5)2 4(1)(6) = 25 24 = 1 = 1 3261 21 51= =+= X2241 21 52= == X V = { 2 , 3 } 3) > (x+6) . (x 3) = 6x 17 Ser esta uma equao do 2 grau? Aplicando a propriedade distributiva, vamos realizar as operaes possveis: ( x+6 ).( x-3 )=6x-17 X2 3x +6x 18 = 6x -17 Como temos x2, ento a equao de 2 grau. x2 3x + 6x 6x 18 +17 = 0(Neste caso, trazemos os termos independentes para o primeiro membro) x2 3x 1 = 0;a = 1;b = -3;c = -1 Agora, j temos a forma necessria para resolvermos a equao. = b2 4ac = (3)2 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13 213 31 213 3e 213 31 213 31 1==+=+= X X Neste caso, no h como simplificar mais. 4)14 1=+++ xXXX Ateno com os denominadores, que nunca podemos dividir por zero. Logo, (x) no pode ser (1) nem ( 4), o que tornaria um dos denominadores zero. Portanto, esses valores esto excludos da resposta. Para iniciar a resoluo, antes preciso encontrar o MMC, multiplicando os denominadores entre si: MMC = (x + 1) (x + 4) (vamos aplicar e depois elimin-lo): INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi49( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 4 14 1 14 114 1) 4 (+ ++ +=+ ++++ ++X XX XX XX XX XX X Aplicamos a propriedade distributiva e temos: X2 + 4X + X2 + X = X2 +4X + X + 4 X2 + X2 - X2+ 4X + X - 4X - X 4 = 0 Efetuando as operaes: x2 4 = 0 (Uma equao bem simples de resolver) x2 = 4(Ateno! A raiz quadrada de 4 pode ser +2 ou 2) Logo, V = {-2 , 2} Teste agora o seu entendimento, procurando resolver as equaes e os problemas a seguir: 1)3x2 + 2x = 0 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2)3x2- 243 = 0 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3)x2 + 2x 3 = 0 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 4)34 301032X X = Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 5) A diferena entre um nmero natural e seu inverso 24/5. Calcular este nmero. (Dica:vocencontrarduasrespostas,masdeveficarapenascomapositiva,poisoenunciadopedeumnmero NATURAL. E saiba que o inverso de x 1/x). Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

INSTITUTO MARCONI MATEMTICA BSICA Instituto Marconi50 6) Calcular dois nmeros naturais e consecutivos cujo produto 110.(Dica: novamente, trata-se de nmeros naturais na resposta. Lembre que representamos dois nmeros consecutivos com x e x+1). Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 7) - Escrevente Judicirio 2002.A diferena entre o quadrado e o triplo de um nmero inteiro igual a 4. Qual esse nmero? a) 4b) 1 ou 4c) 2 ou 3d) 1 ou 3e) 1 ou 4 Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 8) - Escrevente Judicirio 2002).Dado as afirmaes: I.Toda equao do primeiro grau possui no mximo uma soluo. II.Toda equao do segundo grau possui duas razes diferentes. III.Toda equao do segundo grau possui como razes nmeros inteiros. IV.As equaes do primeiro grau podem possuir como soluo um nmero fracionrio. Esto corretas apenas as afirmaes: a) I e IIb) I e IVc) IV e Vd) II e III e) apenas a afirmao I Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 9) - Escrevente Judicirio 2002.Dada a equao x2 + 5x + 4, podemos afirmar que: a) suas razes so 1 e 4b) a soma de suas razes igual a 5 c) o produto de suas razes 4 d) uma de suas razes 1 e) esta equao no possui razes Anotaes do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _______