Hamilton Oliveira

MATEMÁTICA BÁSICA

ENGENHARIA CIVIL E AQUITETURA Professor Ms. Hamilton Oliveira

Hamilton Oliveira

CCCCaro aluno e professor...

A matemática é imprescindível à formação dos engenheiros, seja qual for o seu

ramo (engenharia civil, engenharia eléctrica etc). É usada na construção de edifícios,

estradas, túneis, metros, barragens, portos, aeroportos, fábricas, sistemas de

telecomunicações, criação de dispositivos mecânicos, eléctricos, desenvolvimento de

máquinas, entre outros.

No planejamento deste material, procuramos possibilitar ao aluno um

aprendizado gradual e eficiente através de uma linguagem simples, sequencial, clara

e objetiva.

Na elaboração de cada assunto, inserimos textos de criação própria e outros

retirados de livros e sites.

Ressaltamos que, para desenvolver em sala de aula todas as matérias

apresentadas de forma ampla e abrangente nem sempre é possível, uma vez que isso

depende de muitos outros fatores, tais como número de aulas, nível dos alunos,

tamanho das salas, etc.

Assim, sem qualquer prejuízo para o curso, fica a critério do professor a

adequação deste material à sua programação de ensino.

Comentários, críticas e sugestões da parte dos alunos e colegas professores

serão sempre bem-vindos, pois contribuem com importantes subsídios para o

aprimoramento deste trabalho.

Hamilton Oliveira

NNNNOÇÕES DE ÁLGEBRA ELEMENTAR

FFFFUNÇÕES E GRÁFICOS DO 1º E 2º GRAU

EEEEQUAÇÕES E SISTEMAS DE 1º E 2º GRAU

Hamilton Oliveira

“A álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se

lhe pede”. D’Alembert

_1_ CONCEITO

Uma expressão matemática é denominada algébrica ou literal quando possui “números e letras” ou explicitamente, apenas “letras”. As letras são chamadas variáveis. Exemplos: a) x + y b) 3xy c) x + 4 d) 4a + 5b

_2_ TERMO ALGÉBRICO

É todo produto indicado de números reais, representados ou não por variáveis, pertencente a uma expressão algébrica. Exemplo:

2xy2 + 5x3y – 10xy + 5

� 2xy2 → é um termo algébrico

� 5x3y → é um termo algébrico

� 10xy → é um termo algébrico

� 5 → é um termo algébrico ou termo constante

_3_ VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA

Quando substituímos cada variável de uma expressão algébrica por um número real e efetuamos as operações indicadas, obtemos o Valor Numérico (VN) da expressão. Exemplos: 1º) Determinar o valor numérico (VN)de cada expressão algébrica, abaixo: a) 2a + 3b, para a = 2 e b = 4

b) xy5

y2+x3, para x = 1 e y = –2

NOÇÕES DE ÁLGEBRA ELEMENTAR

Hamilton Oliveira

_4_ MONÔMIO

É uma expressão algébrica racional inteira composta de um só termo. Um monômio é composto por duas partes:

� O coeficiente, que é a parte numérica;

� A parte literal, que é composta pelas letras e seus respectivos expoentes. Exemplos: a) –3a2b ___ coeficiente e ___ parte literal

b) 4

nm52

___ coeficiente e ___ parte literal.

4.1 GRAU DE UM MONÔMIO É a soma dos expoentes da parte literal.

Exemplos:

a) –3a2b Grau: _______

b) xy2 Grau: _______

c) 4

nm 52

Grau: _______.

_5_ POLINÔMIO

É uma expressão algébrica racional inteira composta de dois ou mais monômios

ou termos.

Podemos ainda classificá-los como: Binômio: quando possui dois termos. Trinômio: quando possui três termos. Exemplos: a) x + y

b) 4x2 – 3x + 10

c) 2x2y – 5xy2 + 6xy + 12x2y2

d) 8a3b2c + 15ab3c2 – 18a2bc2 + 2a3b3c – abc + 1

Hamilton Oliveira

5.1 GRAU DE UM POLINÔMIO É obtido do termo de maior grau.

Exemplos: a) x + y Grau: ____

b) 4x2 –3x + 10 Grau: ____

c) 2x2y – 5xy2 + 6xy + 12x2y2 Grau: ____

d) 8a3b2c + 15ab3c2 – 18a2bc2 + 2a3b3c – abc + 1 Grau: ____

_6_ TERMOS SEMELHANTES

São monômios ou termos que possuem a parte literal idêntica. Exemplos: a) 3x2 e 5x2 → São semelhantes

b)3

5xyz2 e 2 xyz2 → São semelhantes

c) 10xy ev5xy2 → Não são semelhantes.

_7_ OPERAÇÕES COM MONÔMIOS E POLINÔMIOS

7.1) Adição e Subtração Soma-se ou subtraí-se monômios semelhantes. Da mesma forma, soma-se ou

subtraí-se polinômios, reduzindo seus termos semelhantes.

Exemplos: 1) Dados os monômios: A = 8xy, B = 2xy e C = -5xy, encontre:

a) A + B + C = b) A – B – C =

Hamilton Oliveira

2) Dados os polinômios: A = 10x2 + 5x + 8, B = x – 4, C = x3 + 3x2 + 4x, faça:

a) A + B + C =

b) A + B – C =

7.2) Multiplicação de monômios

Multiplica-se os coeficientes entre si, e na parte literal, conserva-se as variáveis e soma-se os expoentes das variáveis iguais.

Exemplos: 1) Determine os produtos:

a) (3x2) ⋅ (5x) =

d) 5

3xyz ⋅ (–

2

1xw) ⋅ (–4wz) =

7.3) Multiplicação de monômio por polinômio Multiplica-se o monômio por cada termo do polinômio.

Exemplos: 1) Determine os produtos:

a) (3x) ⋅ (5x2 – 4x + 5) =

b) 5

3xyz ⋅ (–

2

1x + 5y – 10z) =

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7.4) Multiplicação entre polinômios Multiplica-se cada termo do primeiro polinômio por todos os termos segundo

polinômio e, depois, reduz-se os termos semelhantes.

Exemplos: 1) Determine os produtos:

a) (x + 2) ⋅ (x2 – 2x + 3) =

b) (5a2 + 2a – 1) ⋅ (–2a + 3) = 7.5) Divisão entre monômios ou “polinômios por monômios”

Divide-se os coeficientes entre si e a parte literal entre si, subtraindo os expoentes quando as letras são iguais.

Exemplos: 1) Efetue as divisões:

a) (10x2y2z) : (5xyz) =

b) (6x2 + 4x + 10) : (2x) =

7.6) Divisão entre polinômios

Algoritmo para divisão entre polinômios através do Método da Chave:

1º) ordenamos os polinômios em ordem decrescente de grau e completamos com zeros os termos faltosos;

2º) dividimos o termos de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor;

3º) multiplicamos o quociente pelo divisor e subtraímos entre resultado do dividendo;

4º) repetimos o processo com o resto da subtração + um termo.

Além disso, temos o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, que usa uma tabela com todos os coeficientes para efetuar a divisão.

Hamilton Oliveira

Exemplos: 1) Efetue as divisões através do Método da Chave e do Dispositivo Prático de Briot-Ruffini

a) (x2 – 2x + 3) : (x + 2) ⋅ =

b) (5a5 – 2a + 1) : (a + 1) =

_8_ FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Fatorar significa transformar em fatores. 1o) Caso: Fator Comum em Evidência ax + bx = x(a + b) Exemplos:

a) 6a4 – 12a2 + 18a3 = 6a2(a2 – 2 + 3a) b) 3x2y – 9xy2 = c) -15x2 – 20x3 – 30x4 – 60x5 = d) 3a(x + y) + 5b(x + y) = 2o) Caso: Agrupamento

ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) =

(a + b)(x + y)

Exemplos: a) 2am + 3bm + 2an + 3bn = b) 3ax – 3ay – 2bx + 2by =

6a2 é o fator comum em evidência; 6 é o maior divisor entre 6, 12 e 18; a2 é o maior divisor entre a2, a3 e a4, ou seja, a de menor expoente; Divide-se cada termo por 6a2 e o resultado coloca-se no parêntese.

Hamilton Oliveira

1) Fatorar as expressões abaixo.

a) 4ax + 2bx + 6x =

b) 7a3b4 – 14a2b5 + 21ab6 =

c) xy + ax + 3y + 3a =

d) 4a2 – 2ab =

e) 8x2y – 16xy2 + 24x2y2 =

f) 2x3 + x2 – 6x – 3 =

g) 4a4x6 – 40a7x5 =

Exercícios

Hamilton Oliveira

_9_ PRODUTO NOTÁVEIS

Casos Fórmulas

1o) Quadrado da Soma de Dois Termos (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2o) Quadrado da Diferença de Dois Termos (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3o) Produto da Soma pela Diferença de ... (a + b).(a – b) = a2 – b2

4o) Cubo da Soma de Dois Termos (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5o) Cubo da Diferença de Dois Termos (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

6o) Trinômio do 2o Grau (x + m).(x + n) = x2 + (m + n)x + m⋅⋅⋅⋅n

7o) Quadrado da Soma de Três Termos (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

8o) Formação da Soma de Dois Cubos (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

9o) Formação da Diferença de Dois Cubos (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

Exemplos: 1o) “Quadrado da soma de dois termos”: “O quadrado do 1º, mais 2 vezes o 1º vezes o 2º, mais o quadrado do 2º”.

(x + 1)2 =

2o) “Quadrado da diferença de dois termos”: “É igual ao quadrado do 1º, menos 2 vezes o 1º vezes o 2º, mais o quadrado do 2º”.

(y – z)2 =

3o) “Produto da soma pela diferença de dois termos”: “É igual ao quadrado do 1º, menos o quadrado do 2º”.

a) (x + 5)(x – 5) =

4o) “Cubo da soma de dois termos”: “É igual ao cubo do 1º, mais 3 vezes o quadrado do 1º vezes o 2º, mais 3 vezes o 1º vezes o quadrado do 2º, mais o cubo do 2º”.

(2x + y)3 =

5o) “Cubo da diferença de dois termos”: “É igual ao cubo do 1º, menos 3 vezes o quadrado do 1º vezes o 2º, mais 3 vezes o 1º vezes o quadrado do 2º, menos o cubo do 2º”.

(x2 – y2)3 =

Hamilton Oliveira

6o) “Formação do Trinômio do 2º grau”: “É igual ao quadrado do 1º, mais a soma dos segundos termos vezes x, mais o produto dos segundos termos”.

(x + 5)(x + 2) =

7o) “Quadrado da soma de três termos”: “É igual ao quadrado do 1º, mais o quadrado do 2º, mais o quadrado do 3º, mais 2 vezes o 1º vezes o 2º, mais 2 vezes o 1º vezes o 3º, mais 2 vezes o 2º vezes o 3º”.

(x + y + 2)2 =

8o) “Formação da soma de dois cubos”: “É igual ao cubo do 1º, mais o cubo do 2º”.

(x + 2)(x2 – 2x + 4) =

9o) “Formação da diferença de dois cubos”: “É igual ao cubo do 1º, menos o cubo do 2º”.

(x – 3)(x2 + 3x + 9) =

_10_ FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Fatorar significa transformar em fatores.

3o) Fatoração de Trinômio Quadrado Perfeito

Exemplos: a) x2 + 2xy + y2 = b) x2 – 2xy + y2 = 4o) Fatoração da Diferença de Dois Quadrados

Exemplos: a) x2 – y2 = b) x2 – 4 =

Hamilton Oliveira

_11_ SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS

Exemplos:

a) 3

x6 =

b) x3

x9+x32

=

c) 3x

9x2

-

- =

f) 9+x6x

9x2

2

-

- =

Hamilton Oliveira

_12_ OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ALGÉBRICAS

12.1. Adição e Subtração de Frações Algébricas 12.1.1. Com denominadores iguais: Conservam-se os denominadores e somam-se ou

subtraem-se os numeradores.

Exemplos:

a) 2

y+

2

x =

b) 4x

x2

4x

x7+

4x

x5222 -

---

=

13.1.2. Com denominadores diferentes: Encontra-se o MMC dos denominadores.

Exemplos:

a) 4

y+

2

x =

b) 1+x

1 +

1x

1

- =

c) 9x

12 -

+ 3+x

1 =

Hamilton Oliveira

13.2. Multiplicação de Frações Algébricas Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si.

Exemplos:

a) b

y

a

x. =

b) 5

3+x.

x4

3 =

c) 4x

1

4+x

16x2

-.

- =

13.3. Divisão entre Frações Algébricas

Conserva-se a 1ª fração e multiplica-se pelo inverso da 2ª fração.

Exemplos:

a) y

b÷

a

x =

b) 3+x

x÷

5

x3 =

c) 4

5x÷

5+x

25x2 --

Hamilton Oliveira

FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

Não é paradoxo dizer que em nossos momentos mais teóricos podemos

estar mais próximos de nossas aplicações mais práticas.

Whitehead

_1_ CONCEITO

Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios e uma relação binária de A em B, diz-

se que essa é uma “função de A em B” se, e somente se, cada elemento x ∈ A faça

corresponder um único elemento y ∈ B.

Notação: f:A → B Lê-se: f é uma função de A em B. x a y

onde

A = D(f) Lê-se: O conjunto A é igual ao domínio da função f.

B = CD(f) Lê-se: O conjunto B é igual ao contradomínio da função f.

B ⊇ Im(f) Lê-se: O conjunto B contém ou é igual à imagem da função f.

Representação de uma relação através diagramas e setas

• A variável x serve para designar os elementos do domínio, chamada variável independente;

• A variável y serve para receber os valores da função, chamada variável dependente. A variável y representa a própria função, ou seja, y é uma função de x.

• Como y é a própria função, então y = f(x) que representa a regra que faz cada x ∈ A

corresponder um único y ∈ B. Assim, as expressões: y = x2 + 5, y = x + 10, y = 3x2 – 4, etc., podem ser escritas como: f(x) = x2 + 5, f(x) = x + 10, f(x) = 3x2 – 4, etc.

• D(f) significa o domínio de f e é o conjunto que fornece valores para x, onde os quais devem satisfazer a função, sem restrição.

• CD(f) significa o contradomínio de f e é o conjunto que contém todos os possíveis valores calculados pela função f para todo valor de x.

• Im(f) significa a imagem de f e é o subconjunto de B que contém apenas os valores calculados pela função para cada valor de x.

FFFFUNÇÕES E GRÁFICOS DO 1º E 2º GRAU

Hamilton Oliveira

Conforme a definição de função, vamos verificar quais das relações abaixo são consideradas funções, através de duas representações distintas: Diagramas com Setas e

Gráficos Cartesianos:

1º) Diagramas com Setas

Hamilton Oliveira

2º) Gráficos Cartesianos Exemplos: 1) Considerando cada função abaixo e seus respectivos domínios, determine o que se pede:

a) f(x) = 2x + 1, D = {1, 2, 3}. Calcule o valor de f(x) para a todo x ∈ D.

b) g(x) = x2 – 4, D = [0, 6]. Encontre alguns valores de g(x) com x ∈ D.

Hamilton Oliveira

_2_ QUALIDADE DE UMA FUNÇÃO

2.1) Função Injetora (ou Injetiva)

Se quaisquer elementos distintos do domínio correspondem a elementos distintos da imagem, diz-se que a função é injetora. Exemplos:

2.2) Função Sobrejetora (ou Sobrejetiva)

Uma função é considerada sobrejetora quando a imagem for igual ao contradomínio, ou seja, Im(f) = CD(f). Exemplos:

2.3) Função Bijetora (ou Bijetiva)

Hamilton Oliveira

Uma função é considerada Bijetora quando é, ao mesmo tempo, Injetora e Sobrejetora. Ou seja, se quaisquer elementos distintos do domínio correspondem a elementos distintos da imagem, e a Imagem é igual ao Contradomínio. Exemplos:

2.4) Função Inversa

Uma função é inversível se for bijetora, ou seja, para uma função f:A → B, bijetora,

sua inversa é f-1:B → A. Exemplos:

a) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, sendo f:A → B definida pala regra f(x) = x + 2.

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5)}

Hamilton Oliveira

b) A função inversa de f, f-1:B → A é obtida invertendo a ordem dos elementos de cada par

ordenado da função f:A → B.

f-1 = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)}

Como y = x + 2, substituindo y por x, tem-se:

x = y + 2

y + 2 = x

y = x – 2

f-1(x) = x – 2.

_3_ DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

Dada a fórmula de uma função, determina-se o seu domínio D nos reais para que a

mesma seja válida para todo x ∈ D. Exemplos: 1) Determine o domínio de cada função polinomial abaixo.

a) f(x) = x2 – 10x + 4 →

c) f(x) = 10x + 4 → 2) Encontre o domínio das funções não polinomiais (fracionárias).

a) f(x) = 8x2

10

- →

b) f(x) = x

5+x3 →

Hamilton Oliveira

3) Encontre o domínio das funções não polinomiais (irracionais).

a) f(x) = 8 - 2x →

b) f(x) = 8x2

1

- →

4) Encontre o domínio das funções logarítmicas do 1º grau.

a) f(x) = ln (x – 10) →

b) f(x) = ln (2x – 8) →

_4_ REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO

A representação gráfica de uma função f com domínio D, é o conjunto dos pontos (x,

y) do plano, tais que:

x ∈∈∈∈ D e y = f(x).

Calculando-se alguns valores de y = f(x) para valores convenientes de x, podemos fazer uma representação aproximada da função f.

Exemplo: 1º) f(x) = x2 para x ≥ 0, esboce o gráfico desta função no plano cartesiano.

Hamilton Oliveira

1) Construir uma representação gráfica aproximada para cada função abaixo:

a) f(x) = 2x + 3

b) f(x) = 10 – 4x, com x ∈ [0, 5]

c) f(x) = 52

10

+x, com x ∈ [-1, 3]

d) f(x) =

≥<

0xse,x

0xse,x2

_5_ FUNÇÕES LINEARES OU FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1º GRAU

5.1 Função Constante

f(x) = k, onde k é um número real qualquer. Gráfica: Reta paralela ao eixo das abscissas. Exemplo:

a) f(x) = 5

Exercícios

Hamilton Oliveira

5.2 Função Linear f(x) = Ax, com x∈ℜ e A um número real qualquer não nulo. Gráfica: A reta passa obrigatoriamente no ponto de origem (0, 0). Exemplo:

a) f(x) = 3x

5.3 Função Linear Afim

f(x) = Ax + B, com x ∈R e A e B são números reais quaisquer não nulos. Gráfica: A reta passa obrigatoriamente no ponto (0, B). Exemplo:

a) f(x) = 2x + 3

Hamilton Oliveira

5.4 Significado dos Parâmetros A e B Para f(x) = ax + b,

Coeficiente linear

Coeficiente Angular

Coeficiente Angular da Reta: Para cada aumento unitário em x, implica que y varia

A unidades.

Coeficiente Linear da Reta: A reta intercepta o eixo vertical (y) na altura B.

Exemplo:

f(x) = 3x + 2

Tem-se: Coeficiente Angular: a =

Coeficiente Linear: b =

Gráfico:

Hamilton Oliveira

_6_ FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

É a função f dada por y = Ax2 + Bx + C, com x ∈ ℜ e A, B, C números reais quaisquer, com A ≠ 0.

6.1) Dados do gráfico ou da parábola

a) Cruzamento com o eixo das abscissas: raízes: x1 e x2;

b) Cruzamento com o eixo das ordenadas: ponto: (0, C);

c) Vértice: V = a4

,a2

b ∆ ⇒ Vx =

a2

b e Vy =

a4

Δ

d) Eixo de simetria: é a reta perpendicular que passa pelo Vx = a2

b

e) Concavidade para cima: a > 0, implica que o vértice é ponto mínimo;

f) Concavidade para baixo: a < 0, implica que o vértice é ponto máximo.

6.2) Cálculo dos pontos necessários para a construção da parábola

1º) Encontrar as duas raízes: x1 e x2, quando existirem.

∆∆∆∆ = b2 – 4ac Se ∆ > 0 ⇒ ∃ x1 e x2, e x1 ≠ x2,

Se ∆ = 0 ⇒ ∃ x1 e x2, e x1 = x2,

Se ∆ < 0 ⇒ ∃/ x1 nem x2,

Caso ∆ > 0 ou ∆ = 0, podemos usar a fórmula de Báskara para encontrar as raízes:

Fórmula de Báskara: x = a2

±b ∆

2º) Calcular o vértice da parábola.

V = (Vx, Vy) = a4

,a2

b ∆-- ⇒ Vx =

a2

b- e Vy =

a4

-∆

3º) Caso a função seja incompleta, podemos achar: x1 e x2 sem usar Báskara.

Hamilton Oliveira

Exemplo: a) Construir o gráfico da função quadrática: f(x) = x2 – 6x + 8 e identifique o ponto

máximo mínimo, eixo de simetria, os intervalos crescentes e decrescentes, o domínio, o contra-domínio e a imagem.

1) Para cada função abaixo, esboce o gráfico e identifique o ponto máximo mínimo, eixo de simetria, os intervalos crescentes e decrescentes, o domínio, o contra-domínio e a imagem. a) f(x) = x2 – 5x + 6 b) f(x) = x2 – 2x – 15 c) f(x) = x2 – 16 d) f(x) = 4x2 + 4x + 1 e) f(x) = 25 – x2

Exercícios

Hamilton Oliveira

FFFFUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

TTTTRIGONOMETRIA

Hamilton Oliveira

_1_ FUNÇÃO EXPONENCIAL

1) Definição

Sendo a um número real e n um número natural maior ou igual a 2, definimos a n-ésima (enésima) potência de a como sendo:

an = a · a · a · a · a · a … · a (n vezes) onde o fator a é repetido n vezes, ou seja, o produto possui n fatores.

Denominamos o fator a de base e n de expoente; an é a n-ésima potência de a. Portanto, potência é um produto de n fatores iguais.

A operação através da qual se obtém uma potência, é denominada potenciação.

Nota: A potência 10n é igual a 1 seguido de n zeros.

Convenções:

a) Potência de expoente zero. a0 = 1

b) Potência de expoente unitário. a1 = a

1.1) Propriedades das potências

São válidas as seguintes propriedades das potências de expoentes naturais, facilmente demonstráveis:

(1) am. an = am+n

Exemplo:

23. 25 =

(2) am / an = am-n

Exemplo:

26. 22 =

(3) (am)n = am.n

Exemplo:

(23)5 =

(4) am. am = (a.b)m

Exemplo:

23. 23 =

(5) am/bm = (a/b)m

Exemplo:

26/23 =

(6) a-n = 1/an

Exemplo:

2-5 =

FFFFUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Hamilton Oliveira

2) Função Exponencial

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. A função f: IR → IR+ definida por f(x) = ax, com a IR+ e a ≠ 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).

2.1) Gráfico cartesiano da função exponencial Temos 2 casos a considerar: • quando a > 1; • quando 0 < a < 1.

Exemplo1:

y = 2x (nesse caso, a = 2, logo a > 1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x y

-2 ¼

-1 ½

0 1

1 2

2 4

Exemplo 2: y = ( ½ )x (nessa caso, a = ½, logo 0 < a < 1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos

a tabela e o gráfico abaixo:

x y

-2 4

-1 2

0 1

1 ½

2 ¼

Hamilton Oliveira

Nos dois exemplos, podemos observar que: a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) Os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im = IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte: Se 0 < a < 1, então f será decrescente. Se a > 1, então f será decrescente.

1) Resolva as equações:

a) 255 = 125

b) 95 = 243

c) (1/2)x = 1/32

d) (3/5)x = 27/125

e) 4x = 3 32

f) 10.3x-3 = 810

g) 4x - 9.2x + 8 = 0

2) Construa o gráfico, determine o conjunto imagem e classifique em crescente ou decrescente as funções:

a) f(x) = 4x

b) f(x) = (1/4)x

c) y = 2x + 1

d) y = (1/2)x+1

Exercícios

Hamilton Oliveira

_2_ FUNÇÃO LOGARÍTMICA

1) O Conceito de Logaritmo

Sejam a, b ∈ ℝ*+ e a ≠ 1. O número a que satisfaz a igualdade ax = b é chamado logaritmo

na base a de b.

O símbolo para representar a sentença “O logaritmo na base a de b é igual a x” é: logab = x.

Portanto, logab = x ⟺ ax = b.

1.2) Propriedades dos logaritmos

Sejam a, b, c ∈ ℝ*+ e a, c ≠ 1.

• O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja, logb1 = 0 porque b0 = 1.

Exemplo:

log31 = 0

• O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja, logbb = 1, porque b1 = b.

Exemplo:

log22 =

• logbbk = k, porque bk = bk.

Exemplo:

log332 =

• loga(b.c) = logab + logac

Exemplo:

log5(3.2) =

• loga(b/c) = logab - logac

Exemplo:

log3(2/5)=

• cologbN = - logbN

Exemplo:

colog35 =

• loga(b.c) = logab + logac

Hamilton Oliveira

Exemplo:

log2(2.5) =

• logab

m = b.logam

Exemplo:

log35

2 =

• logab = alog

blog

c

c , com logc a ≠ 0

Exemplo:

log35 =

2) Função Logarítmica

Dada a função exponencial f: R → R*+ tal que y = ax, com 0 < a ≠ 1, podemos determinar a sua função inversa, visto que, estas condições, a função exponencial é BIJETORA. A função logarítmica é a função inversa da exponencial, isto é:

y = ax � x = logay ou permutando as variáveis: y = logax.

Exemplo 1 0 < x1 < x2 � logax1 < logax2

Hamilton Oliveira

Exemplo 2 0 < x1 < x2 � logax1 > logax2

1) Calcular os seguintes logaritmos:

a) 27log 9/1

b) 27log33

2) Considerando que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule: a)log 8 = b) log 72 = c) log 5 =

3) Determina o conjunto solução das equações logarítmicas.

a) log3(x + 2) + log3( x – 1) = 2

b) log4x + log4( x + 12) = 3

c) log3(2x + 1) + log3( x + 8) = 3

4) Construir o gráfico das seguintes funções:

a) y = log3x

b) y = log1/3x

Exercícios

Hamilton Oliveira

_1_ TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂGULO

1) Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, podemos estabelecer relações entre os seus lados: catetos e hipotenusa. Consideremos um triângulo ABC retângulo em C e um ângulo agudo A de

medida α.

A C

B

α

1.1) Seno de um ângulo agudo: Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é

a razão entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo e da hipotenusa.

sen α = AB

BC

1.2) Cosseno de um ângulo agudo: Num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo

agudo é a razão entre as medidas do cateto adjacente a esse ângulo e da hipotenusa.

cos α = AB

AC

1.3) Tangente de um ângulo agudo: Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo

agudo é a razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente a esse ângulo.

tg α = AC

BC

2) Ângulos notáveis 2.1) Seno, Cosseno e Tangente de 30º, 45º e 60º

De acordo com o triângulo equilátero, temos:

a a

a 2

a 3 2

o60

30o

sen 30° = a

a2 =

21

cos 30° = a

a2

3=

23

tg 30º =

232

a

a =

33

TTTTRIGONOMETRIA

Hamilton Oliveira

2.1) Seno, Cosseno e Tangente de 60º. Observe que os ângulos 30º e 60° são complementares, logo:

sen 60o = cos 30o = 23

cos 60o = sen 30o = 21

tg 60o = otg30

1 = 3

Para calcularmos as razões trigonométricas de 45°, tomemos um quadrado de lado a. A

diagonal de um quadrado é igual a D = a 2 , logo:

a 2

o

45

a

sen 45o = 2a

a =

21

= 22

cos 45o = 2a

a =

21

= 22

tg 45o = a

a = 1

Organizando os resultados, podemos organizar a tabela:

Função 30o 45o 60o

Seno 2

1

22

23

Cosseno 2

3

22

21

Tangente 3

3

1

3

Hamilton Oliveira

Exemplos: 01) Dado o triângulo retângulo MTN, calcule:

β

(

α(

N

TM

26 cm

10 cm.

a) sen β

b) cos β

c) tg α 02) Num campeonato de asa-delta, um participante se encontra a uma altura de 160 m e vê o ponto de chegada a um ângulo de 60o. Calcular o componente horizontal da distância aproximada em que ele está desse ponto de chegada. 03) Uma escada faz um ângulo de 30o com a parede vertical de um prédio, ao tocar o topo distante 6 m do solo. Determine o comprimento da escada. 04) Uma corda com 27 m de comprimento tem suas extremidades fixadas em dois pontos distintos “A” e “B”, de um terreno plano e horizontal. Afastando a corda do chão e esticando-a, forma-se um triângulo retângulo em “B”, com o ângulo “A” medindo 30o. Determine o valor da hipotenusa desse triângulo mede, em metros.

A B30O

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05) Uma rampa lisa de 20 m de comprimento faz um ângulo de 30o com o plano horizontal. Determinar a elevação vertical de uma pessoa que sobe essa rampa inteira. 06) Quando o Sol está a 42o acima da linha do horizonte, qual é o comprimento da sombra projetada no solo por uma chaminé de 18 m de altura? (Considere sen 42o = 0,67, cos 42o = 0,74 e tg 42o = 0,90)

01) A figura abaixo mostra um painel solar de 3 m de largura equipado com um ajustador hidráulico. À medida que o Sol se eleva, o painel é ajustado automaticamente de modo que os raios de Sol incidam perpendicularmente nele.

3 m

P ain el

ajustadorhidráulico

0

A C X

Y

)

Considere esse enunciado para as três questões seguintes:

1.1 Determine o valor de Y ( em metros ) em função de θ:

1.2 Para θ = 60o, determine o valor de Y (em metros).

1.3 Para θ = 60o, o valor de X ( em metros ) é: 02) Uma pessoa de 1,64 m de altura observa o topo de uma árvore sob um ângulo de 30o com a horizontal. Conhecendo a distância de 6,0 m do observador até a árvore, calcule a altura da árvore. (Dado: tg 30o = 0,58)

Exercícios

Hamilton Oliveira

03) Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AC um ângulo de 30o. Sabe-se que o móvel caminha com uma velocidade constante de 50 km/h.

Determine: Após 3 horas de percurso, a distância a que o móvel se encontra da reta AC. 04) Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75o e o ângulo ACB mede 75o. Determine a largura do rio. 05) (Unicamp-SP) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 1200 m. Quando em A ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60o; quando em B; verifica que o ângulo NBA é de 45o. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia. 06) Uma pessoa, para atravessar um campo de futebol de várzea, parte de um ponto A em direção a um ponto B. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120o com a lateral segmento AC conforme a figura.

C A

B

120O

Sabendo que a largura desse campo é de 60 m, Determine: o número de metros completos que essa pessoa percorre. 07) Determine x e y na figura abaixo

.9

x

y

((

60O

45O

Hamilton Oliveira

08) Uma pessoa de 1,70 m de altura observa o topo de uma árvore sob um ângulo de 30°. Determine a altura da árvore sabendo-se que a pessoa encontra-se a uma distância de 30 3 m dela.

(30O

1,70 m

h

30 3

09) Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 3,25m de comprimento e α

radianos de inclinação, conforme a figura. Devem-se construir, sobre a rampa, 5 degraus de

mesma altura. Determine a altura, em metros, de cada degrau, sabendo que tg α = 125 .

10) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma

distância x da base do farol, a partir de um ângulo α, conforme a figura:

Admitindo-se que sen α = 53 , calcule a distância x.

Hamilton Oliveira

_2_ O CICLO TRIGONOMÉTRICO (Parte 1)

2.1) Medida de um arco Arco de circunferência é um segmento qualquer da circunferência, limitado por dois de

seus pontos distintos.

α

B

A

)

.

.

O

2.2) Grau ( o ): Dividimos a circunferência em 360 partes iguais e a cada arco unitário, que corresponde a 1/360 da circunferência, chamamos de grau. Os submúltiplos do grau são

o minuto ( ′ ) e o segundo ( ′′ ).

1 grau = 60 minutos � 1o = 60′ 1 minuto = 60 segundos �1′ = 60′′

2.3) Radiano (rad): Radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do arco de circunferência no qual está contido. Uma circunferência de raio r = 1 possui

como medida 2π radianos ( 2π rad ). Sabendo que a medida da circunferência é 360o ou 2π rad, podemos estabelecer a seguinte correspondência:

1 radiano

B

A

)

.

.A.

raio

O

360o � 2π rad ou 180o � π rad

Hamilton Oliveira

2.4) Comprimento de arco: Considerando uma circunferência de raio r, um ângulo central

α, em radiano, e o correspondente arco AB contido nesse ângulo, podemos estabelecer a

seguinte regra de três:

α

B

A

)

.

.

O

AB = . Raio em radianos

αα

)

Exemplos: 01) Converter em radianos os seguintes ângulos: a) 30o b) 45o c) 60o 02) Escreva em graus os arcos de:

a) 5π3

rad

b) 6π7

rad

c) 10

π5 rad

03) Sendo A = 88o20′, B = 31o40′ e C = 3π

radianos, determine o valor da expressão: A + B –

C. 04) Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 60o contido numa circunferência de raio r = 1,5 cm? 05) Determine, na figura abaixo, o valor de x e de y.

x 5,2

5 cm

y

6 cm 2,5 cm

Hamilton Oliveira

01) Determine, em centímetros, o comprimento de um arco AB correspondente a um ângulo central AÔB cuja medida é 3 rad, contido numa circunferência de raio r = 6. 02) A professor Hamilton está interessado no conteúdo calórico dos alimentos. Ele considera que uma pizza redonda de mussarela tenha área superficial de 2000 cm2, e que as calorias estão distribuídas de modo que cada cm2 da superfície coberta corresponde a 1,5 calorias. Se ele deseja comer uma fatia de uma pizza dessas e consumir no máximo 500 calorias, qual será o ângulo compreendido pelas laterais da fatia? 03) Os primeiros relógios baseavam-se no aparente movimento do Sol na abóboda celeste e no deslocamento da sombra projetada sobre a superfície de um corpo iluminado pelo astro. Considere que: a Terra é esférica e seu período de rotação é de 24 horas no sentido oeste-leste; o tempo gasto a cada 15° de rotação é de 1 hora; o triângulo Brasília/Centro da Terra/Luzaka (Zâmbia) forma, em seu vértice central, um ângulo de 75°.

Determine a hora marcada em Luzaka, num relógio solar, quando o sol está a pino em Brasília. 04) João caminha numa pista circular todos os dias. O raio da pista é 100 m. Se João costuma caminhar aproximadamente 10 km por dia, quantas voltas inteiras ele percorre por dia?

Exercícios

Hamilton Oliveira

_3_ O CICLO TRIGONOMÉTRICO (Parte 2)

O Ciclo Trigonométrico é uma circunferência à qual associamos um sistema de

coordenadas cartesianas ortogonais, onde: O centro coincide com a origem do sistema; O raio corresponde a uma unidade de medida dos eixos; O sentido positivo é o anti-horário.

Primeiroquandrante

Segundoquandrante

Quartoquandrante

Terceiroquandrante

As retas x e y, eixos do sistema de coordenadas ortogonais, dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes iguais. Cada uma dessas partes denomina-se quadrante. 3.1) Arcos côngruos Dizemos que dois arcos são côngruos (ou congruentes) quando a diferença entre suas

medidas é 360o ou um múltiplo de 360o. Podemos dizer também que arcos côngruos são arcos que se diferem apenas pelo número

de voltas.

Considere β a medida de um arco, a expressão geral das medidas dos arcos côngruos a ele é dada por:

αααα + K.360o ( em graus ) ou αααα + K.2.ππππ ( em radianos ) onde:

α é a medida do arco côngruo da 1a volta positiva e K ∈ Ζ;

α é chamada de 1a determinação positiva. Exemplos 01) Determina o quadrante que pertence as extremidades dos ângulos seguintes: a) 1280o b) 2750o 02) A extremidade do arco 960o está no a) 1o quadrante b) 2o quadrante c) 3o quadrante d) 4o quadrante

Hamilton Oliveira

3.2) Redução ao primeiro quadrante Considere um arco não pertencente ao 1o quadrante, reduzir esse arco ao 1o quadrante, é relacioná-lo através de simetria, com algum arco do 1o quadrante, objetivando conhecer o sen x, cos x e tg x.

3.2.1) Redução do 2o para o 1o quadrante. Sejam os arcos:

xo ( do 1o quadrante ) 180o – xo ( do 2o quadrante )

Sendo os pontos dos arcos simétricos com relação ao eixo dos senos, eles têm ordenadas

iguais a abscissa oposta. sen ( 180o – xo ) = sen xo cos ( 180o – xo ) = - cos xo

3.2.2) Redução do 3o para o 1o quadrante. Sejam os arcos:

xo ( do 1o quadrante ) ( 180o + xo ).( do 3o quadrante )

Sendo os pontos dos arcos simétricos com relação ao centro O da circunferência (

diretamente opostos ), eles têm ordenadas opostas e abscissas opostas. sen ( 180o + xo ) = - sen xo cos ( 180o + xo ) = - cos xo

3.2.3) Redução do 4o para o 1o quadrante. Sejam os arcos:

xo ( do 1o quadrante ) 360o – xo ( do 4o quadrante )

Sendo os pontos dos arcos simétricos com relação ao eixo dos cossenos, eles têm

ordenadas opostas e abscissas iguais. sen ( 360o – xo ) = - sen xo

cos ( 360o – xo ) = cos xo

Hamilton Oliveira

Exemplos 01) Reduza ao 1o quadrante e simplifique, se possível as seguintes expressões: a) cos 330o b) sen 300o

c) sen 330o

02) O ângulo de 2396o é cônguo a: a) 136o

b) 236o

c) 336o

d) 436o

01) Quantas voltas dá a roda de uma bicicleta que possui 30 cm de raio para percorrer 37,68 m? 02) Suponha que uma prova de fórmula Indy será realizada numa pista circular de 800 m de raio. A prova é composta de 200 voltas. a) Qual à distância percorrida durante a prova? b) Se um carro tem velocidade média de 250 km/h, em quanto tempo, aproximadamente, concluirá a prova? 03) Um arco de circunferência mede 300o, e seu comprimento é 2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros? 04) Consideremos a expressão:

a = cos 12º + cos 25º + ... + cos 156º + 168º Calculando o valor numérico de a, determine f (a) = 1 + 2ª

Exercícios

Hamilton Oliveira

_4_ FUNÇÕES TRIGONOMETRICAS

4.1) Função seno: Considere a circunferência trigonométrica seguinte.

sen x

MP

O

A

Seno do ângulo xo é o segmento OP . (sen x = OP )

Como r = 1, o maior valor do seno é 1 e o menor valor é -1. Valores notáveis: Usando a definição de seno, temos:

xo

0o 2

π

π 23π

2π

sen xo 0 1 0 -1 0

Variação do sinal do seno: Sabendo que seno é a ordenada da extremidade do arco, deduzimos facilmente os quadrantes em que o seno de um arco é positivo ou negativo.

Quadrante 1o 2o 3o 4o

sen xo + + - -

Gráfico: Para fazer o gráfico da função seno vamos fazer uso da tabela de valores notáveis.

* Domínio� D(f ) ∈ R

* Imagem � Im(f ) = { y ∈ R -1< y < 1}

* Período � P = 2π

4.2) Função cosseno: Considere a circunferência trigonométrica seguinte.

Hamilton Oliveira

M

P

O

A

COS x

Cosseno do ângulo xo é o segmento OP. (cos x = OP) Como r = 1, o maior valor do o cosseno é 1 e o menor valor é -1. Valores notáveis Usando a definição de seno, temos:

xo

0o 2

π

π 2

3 π

2π

cos xo 1 0 -1 0 1

Variação do sinal do cosseno: Sabendo que cosseno é a abscissa da extremidade do arco, deduzimos facilmente os quadrantes em que o cosseno de um arco é positivo ou negativo.

Quadrante 1o 2o 3o 4o

cos xo + - - +

Gráfico: Para fazer o gráfico da função cosseno, vamos fazer uso da tabela de valores notáveis.

* Domínio� D(f ) ∈ R

* Imagem � Im(f ) = { y ∈ R/ -1< y < 1}

* Período � P = 2π 4.3) Função tangente: Considere a circunferência trigonométrica seguinte.

Hamilton Oliveira

tg x

eixo dastangentes

M

P

O A

Tangente do ângulo xo é o segmento AP. (tg x = AP) Valores notáveis: Usando a definição da tangente, temos:

xo

0o 2

π

π 23π

2π

tg xo 0 ± ∝ 0 ± ∝ 0

Variação do sinal da tangente: Sabendo que a tangente é dada pelo prolongamento do raio no eixo das tangentes, deduzimos facilmente os quadrantes em que a tangente de um arco é positivo ou negativo.

Quadrante 1o 2o 3o 4o

tag xo + - + -

Gráfico: Para fazer o gráfico da função tangente vamos fazer uso da seguinte tabela de valores notáveis.

* Domínio � D(f) = {x ∈ R x ≠ 2π

+ kπ, onde k ∈ Z}

* Imagem � Im(f) = R

* Período � P = π

Hamilton Oliveira

Função cotangente: Considerando um arco AP, cuja medida é o número real x, temos:

cotg x =x sen

x cos , sendo sen x ≠ 0, isto é x ≠ kπ, com k ∈ Z.

Função secante: Considerando um arco AP, cuja medida é o número real x, temos:

sec x =x cos

1 , sendo cos x ≠ 0, isto é x ≠ 2π

+ kπ, com k ∈ Z.

Função cosecante: Considerando um arco AP, cuja medida é o número real x, temos:

cossec x =x sen

1 , sendo sen x ≠ 0, isto é x ≠ kπ, com k ∈ Z.

Exemplos 01) Esboçar o gráfico das funções e identificar o conjunto imagem e o período: a) y = 2.sen x

b) y = 2.cos x

c) y = 2.tg x

Hamilton Oliveira

01) Construir o gráfico das funções e identifique a imagem e o período. a) y = 3.cos x b) y = sen 2x c) y = | cos x | d) y = tg x/2 e) y = | sen x/2 | 02) Determine a função do gráfico abaixo:

03) Determine a e b, sabendo que f(x) = a + b . sen x tem como gráfico.

2

2

= 2

2

y

1

x

3

1

3

2

2

2

y

2

x

Exercícios