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APOSTILA DE MATEMÁTICA

1ª Edição - 2016

Produção

Prof. Allan Franklin

Prof.ª Bárbara Andrade

Prof. Filipe Bizarria

Prof. Gustavo Sousa

Prof. Leonardo Pacheco

Prof. Luís Augusto

Prof.ª Polianna Dantas

Design e Formatação

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Thales Quirino

Galt Vestibulares

Brasília, DF – Brasil

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SUMÁRIO

Frente 1 – Matemática I

Unidade 1 Números e conjuntos................................................................................................................. 01

Unidade 2 Grandezas proporcionais e porcentagem I.............................................................................. 02

Unidade 3 Grandezas proporcionais e porcentagem II............................................................................. 03

Unidade 4 Função e função polinomial de primeiro grau I....................................................................... 05

Unidade 5 Função e função polinomial de primeiro grau II...................................................................... 05

Unidade 6 Função polinomial de segundo grau I....................................................................................... 07

Unidade 7 Função polinomial de segundo grau II...................................................................................... 08

Unidade 8 Função modular.......................................................................................................................... 09

Unidade 9 Exponencial e logaritmo I.......................................................................................................... 10

Unidade 10 Exponencial e logaritmo II.......................................................................................................... 10

Frente 2 – Matemática II

Unidade 1 Matrizes e determinantes........................................................................................................... 12

Unidade 2 Sistemas lineares I...................................................................................................................... 12

Unidade 3 Sistemas lineares II..................................................................................................................... 13

Unidade 4 Estatística.................................................................................................................................... 14

Unidade 5 Combinatória I............................................................................................................................. 15

Unidade 6 Combinatória II............................................................................................................................ 15

Unidade 7 Probabilidade I............................................................................................................................. 16

Unidade 8 Probabilidade II............................................................................................................................ 16

Unidade 9 Progressões I............................................................................................................................... 17

Unidade 10 Progressões II.............................................................................................................................. 18

Frente 3 – Matemática III

Unidade 1 Geometria plana I........................................................................................................................ 19

Unidade 2 Geometria plana II....................................................................................................................... 19

Unidade 3 Geometria de posição e poliedros............................................................................................. 20

Unidade 4 Geometria espacial: prismas e cilindros I................................................................................ 21

Unidade 5 Geometria espacial: prismas e cilindros II............................................................................... 22

Unidade 6 Geometria espacial: pirâmides e cones I.................................................................................. 23

Unidade 7 Geometria espacial: pirâmides e cones II................................................................................. 24

Unidade 8 Geometria espacial: esferas e inscrição de sólidos................................................................ 24

Unidade 9 Números complexos I................................................................................................................. 25

Unidade 10 Números complexos II................................................................................................................ 26

Frente 4 – Matemática IV

Unidade 1 Trigonometria I............................................................................................................................ 27

Unidade 2 Trigonometria II........................................................................................................................... 27

Unidade 3 Trigonometria III.......................................................................................................................... 28

Unidade 4 Geometria analítica I................................................................................................................... 30

Unidade 5 Geometria analítica II.................................................................................................................. 30

Unidade 6 Geometria analítica III................................................................................................................. 31

Unidade 7 Geometria analítica IV................................................................................................................. 31

Unidade 8 Geometria analítica V.................................................................................................................. 31

Unidade 9 Polinômios e equações algébricas I.......................................................................................... 32

Unidade 10 Polinômios e equações algébricas II......................................................................................... 33

1

Frente 1 – Matemática I

Unidade 1 – Números e conjuntos

Questão 01

São feitas as seguintes afirmações:

I. O menor valor de x para que o número 2x+1.5.33.7 seja divisível por 216 é 3

II. Se -3 < x < -1 e 2 < y < 3 então 2

XY é menor que zero

III. O número x = 2aa3c (onde 2, a, 3, c são os algarismos) é divisível, simultaneamente, por 2, 3 e 5. O menor valor de a + c é 5.

IV. Você irá, de olhos fechados, colocar seu dedo sobre um dos números da tabela abaixo (colunas e linhas com as mesmas dimensões).

12 1 40 25 33

13 2 41 26 34

14 3 42 27 35

15 4 43 28 36

16 5 44 29 37

A probabilidade de você colocar o dedo sobre um número primo é de 30%.

V. Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 11 e o resto é o maior possível, então o dividendo é divisor de 258.

Associando C a afirmativa correta e E a afirmativa errada a sequência obtida na ordem da numeração das afirmações seria:

A) CCCCC B) ECEEC C) CECEE D) CCCEC E) ECCEE

Questão 02

São feitas as seguintes afirmações:

I. Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é 1/3

II. No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após 12 segundos elas voltarão a “piscar simultaneamente”

III. “A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita – com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas – e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença.”

Fonte (adaptado): prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html

Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à

Dengue. Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é 41.

IV. Se A = {x IR; –1 < x < 2} e B = {x IR; 0 x < 3}, o

conjunto A B é o intervalo [0; 2[

A) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. B) Somente as afirmativas II e II são verdadeiras. C) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. D) Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras E) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Questão 03

(ENEM) No dia 17 de Maio próximo passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma Universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da Universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:

A) 20 alunos B) 26 alunos C) 34 alunos D) 35 alunos E) 36 alunos

Questão 04

(UDESC 2009) O que os brasileiros andam lendo?

O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais resultados da pesquisa Retratos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-Livro ao Ibope Inteligência, que também pesquisou o comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos livros.

(Fonte: Associação Brasileira de Encadernação e Restaure, adapt.)

Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas leem somente revistas, 300 pessoas leem somente livros e 150 pessoas leem somente jornais.

Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 leem livros e revistas, 50 leem jornais e revistas, 60 leem livros e jornais e 40 leem revistas, jornais e livros.

Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações:

I. Apenas 40 pessoas leem pelo menos um dos três meios de comunicação citados.

II. 40 pessoas leem somente livros e revistas e não leem jornais.

III. Apenas 440 pessoas leem revistas ou livros.

Assinale a alternativa correta.

A) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. C) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. D) Somente a afirmativa II é verdadeira. E) Somente a afirmativa I é verdadeira.

2

Questão 05

(PUC)

I. Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. O percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é 70%

II. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 3700

III. Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.

Programas Número de

telespectadores

E 400

N 1220

H 1080

E e N 220

E e H 180

N e H 800

E,N e H 100

Nenhum x

O número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é 200

A) Somente a afirmativa I é verdadeira. B) Somente a afirmativa II é verdadeira. C) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. D) Somente a afirmativa I e II são verdadeiras. E) Todas as afirmativas são verdadeiras

Unidade 2 – Grandezas proporcionais e

porcentagem I

Questão 01

Sejam as afirmações:

I. Uma escola forneceu para o ano letivo de 2004 a redução de 25,6% na mensalidade vigente em 2003. Assim, um aluno que pagou em 2003 a mensalidade de R$ 700,00 pagou, em 2004, a mensalidade, no valor em reais, de R$ 520,80

II. O preço do cento de laranja sofreu dois aumentos consecutivos de 10% e 20% passando a custar R$ 5,28. O preço do cento da laranja antes dos aumentos era de R$ 4,00.

III. Um produto custava X e sofreu um aumento de 10% no seu preço, em seguida sofreu uma redução de 10% no seu preço, o produto custa agora X.

Atribuindo-se C para afirmação correta e E para afirmação errada, a sequência correta para as três afirmações anteriores é:

A) CCE B) CEC C) ECE D) EEC E) CCC

Questão 02


I. Um aumento de 100% significa dobrar e um aumento de 200% significa triplicar.

II. Em vez de aumentar o preço de uma barra de chocolate, o fabricante decidiu reduzir seu peso em 16%. A nova barra pesa 420g. O seu peso original é 500g.

III. Em uma loja, o metro de um determinado tecido teve seu preço reduzido de R$5,52 para R$4.60. Com R$126,96, a percentagem de tecido que se pode comprar a mais é de 20%.



Questão 03

I. Um terreno retangular tem lados com 40m e 60m. Nesse terreno vai ser construída uma casa térrea com uma área total de 240m2 de construção. A percentagem de área livre desse terreno será de 90%.

II. Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês, durante 5 meses e, em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples de 4% ao mês. No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 234,00. O valor da quantia aplicada inicialmente foi de R$ 150,00.

III. (ENEM) Uma pesquisa sobre orçamentos familiares, realizada recentemente pelo IBGE, mostra alguns itens de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de famílias com rendas mensais bem diferentes

Considere duas famílias com rendas de R$400,00 e R$6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os valores, em R$, gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da família de menor renda, são, aproximadamente quatro vezes maiores.



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Questão 04


I. Na semana que vem, Paulo deve fazer uma prova de Matemática em que, dos 60 pontos distribuídos, ele precisa de x. Se essa prova valesse 10 pontos, ele precisaria tirar 7. Paulo precisa obter 42 de nota.

II. A maquete de um posto de gasolina traz um mini shopping de conveniências cuja altura é de 50 cm. A altura real deste mini shopping é de 40m, com janelas de 3m de largura. A largura das janelas da maquete deve ser de 3,75 cm.

III. Dois atletas partem de um mesmo ponto e andam em uma mesma direção, um no sentido norte-sul e o outro no sentido sul-norte. A distância entre eles após duas horas de caminhada se o primeiro anda a 20 km/h e o segundo anda a 25 km/h é de 90 km.



Questão 05


I. Se o preço de uma pizza é proporcional à sua área e se uma pizza gigante (com 52 cm de diâmetro) custa R$ 22,80, uma pizza brotinho (com 16 cm de diâmetro) custará R$ 2,15

II. Num concurso público o número total de pontos máximo que um candidato poderia atingir seria de 120 pontos. Nesse concurso totalizei 90 pontos. Num outro concurso público o total de pontos seria 80 pontos. Para apresentar o mesmo rendimento que obtive no primeiro eu deveria tirar 60 neste segundo concurso.

III. A razão entre os números (x+3) e 7 é igual à razão entre os números (x-3) e 5. Nessas condições, o valor de x é 18



Unidade 3 – Grandezas proporcionais e

porcentagem II

Questão 01


I. Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador irão receber um prêmio de R$ 3.340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao número de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas.

A premiação referente a cada um deles vale respectivamente 1540, 1100 e 700.

II. (UECE) Em uma Olimpíada, um país conquistou medalhas de ouro, prata e bronze, totalizando 40 medalhas. Se as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze são proporcionais, respectivamente, a 2,3 e 5, o número de medalhas de ouro conquistadas foi 8

III. (UNIFOR) O setor de limpeza da Universidade de Fortaleza preparou um produto utilizando detergente e água, nessa ordem, em quantidades diretamente proporcionais a 3 e 8. Se, no preparo desse produto, são usados 93 litros de detergentes, então a diferença positiva entre as quantidades de água e de detergente em litros é igual a 155.



Questão 02


I. No mapa do município de Anicuns, as distâncias em linha reta entre a sede do município e Choupana e entre Anicuns e Capelinha são, respectivamente, de 5,0 cm e 4,5 cm. Já a distância entre Choupana e Capelinha corresponde a 6,5 cm.

Sabendo-se que a escala do mapa é de 1: 400 000, a distância real entre as localidades é de aproximadamente 20km, 18km e 26km

II. (Cesgranrio 2000) Quando o ouvido humano é submetido continuamente a ruídos de nível sonoro superior a 85dB, sofre lesões irreversíveis. Por isso, o Ministério do Trabalho estabelece o tempo máximo diário que um trabalhador pode ficar exposto a sons muito intensos. Esses dados são apresentados a seguir:

Nível sonoro (dB): 85 Tempo máximo de exposição(h): 8



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Observe-se, portanto, que a cada aumento de 5dB no nível sonoro, o tempo máximo de exposição cai para a metade. Sabe-se ainda que, ao assistir a um show de rock, espectadores próximos às caixas de som estão expostos a um nível sonoro de 110dB.

De acordo com as informações anteriores, a duração máxima aceitável de um show de rock, para os espectadores próximos às caixas de som, deveria de ser de 30 min

III. (Cesgranrio 2002) As escalas termométricas Celsius e Fahrenheit são obtidas atribuindo-se ao ponto de fusão do gelo, sob pressão de uma atmosfera, os valores 0 (Celsius) e 32 (Fahrenheit) e à temperatura de ebulição da água, sob pressão de uma atmosfera, os valores 100 (Celsius) e 212 (Fahrenheit). A temperatura 40°C corresponde a 98,4°F

Atribuindo-se C para afirmação correta e E para afirmação errada, a sequência correta para as três afirmações anteriores é: A) CCE B) CEE C) ECE D) EEC E) CCC

Questão 03


I. (Unesp 94) Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos. Admitindo que as gotas tenham sempre volume igual a 0,2ml, o volume de água que vaza por hora é 252 ml.

II. (Unicamp 91) Um pequeno avião a jato gasta sete horas a menos do que um avião a hélice para ir de São Paulo até Boa Vista. O avião a jato voa a uma velocidade média de 660km/h, enquanto o avião a hélice voa em média a 275km/h. A distância entre São Paulo e Boa Vista é 3300 km.

III. (Unicamp 92) Um relógio foi acertado exatamente ao meio dia. As horas e minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42° é 13h 24 min



Questão 04


I. (Unesp 1993) Em certo município, foram vacinados numa campanha 0,8 das crianças da zona urbana e 0,6 das crianças da zona rural da faixa etária indicada. Tendo sido vacinados, 0,72 da população infantil total dessa faixa etária, a relação entre o número de crianças da zona urbana e da zona rural desse município, nessa faixa de idade é 3/2

II. (Cesgranrio 1994) 3 profissionais fazem 24 peças em 2

horas, e 4 aprendizes fazem 16 peças em 3 horas. Então 2 profissionais e 3 aprendizes farão 48 peças em 2 horas

III. (Uel 1996) Um veículo percorre x/4 metros em y segundos. Se sua velocidade média for mantida, então em 40 minutos ele percorrerá 4x/5y km

Atribuindo-se C para afirmação correta e E para afirmação errada, a sequência correta para as três afirmações anteriores é: A) CCE

B) CEE

C) ECE

D) EEC

E) CCC

Questão 05


I. (ENEM 2012) A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.

A expressão que traduz a resistência S dessa viga de

madeira é 𝑆 =𝑘𝑏𝑑2

𝑥2

II. (Enem 2001) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade, copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e pesou numa balança de precisão, obtendo 40g. Em seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100m×100m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08g. Com esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em metros quadrados, é de, aproximadamente 5.000.000

III. (ESPM 96) O gás carbônico é uma substância formada de carbono e oxigênio na proporção 3/8 em peso. O peso do oxigênio x contido numa quantidade de gás carbônico que contém 36g de carbono é de 36 g


5

A) CCE

B) CEC

C) ECE

D) EEC

E) CCC

Unidade 4 – Função e função polinomial de

primeiro grau I

Questão 01


I. Se uma função é bijetora, então é ela sobrejetora.

II. Toda função injetora é bijetora.

III. Uma função afim do tipo f(x) = ax + b, com a0, com domínio e contradomínio nos reais é bijetora.



Questão 02


I. Uma função real f é tal que 4

)x(f

4

xf

. Se f(32) =

400, então f(2) = 100

II. Sendo f(x) = 2x – 3 e g(x) = 4 – x², então f(g(x)) =-2x2 +

5

III. Sabendo que f(4x – 1) = 8x + 5, então f(x) = 32x - 3


A) CCE

B) CEC

C) ECE

D) EEC

E) CCC

Questão 03


I. O domínio da função 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4 é x 2

II. O domínio da função 𝑓(𝑥) =5

𝑥−1 é x 1

III. O domínio da função 𝑓(𝑥) =√𝑥−2

√3−𝑥 é {x ∈ IR | 2 ≤ x < 3}.


A) CCE

B) CEC

C) ECE

D) EEC

E) ECC

Questão 04


I. A função f(x) = 2x é ímpar

II. A função f(x) = x2 -1

III. A função f(x) = x2 – 5x + 6


A) CCE

B) CEC

C) ECE

D) EEC

E) CCC

Questão 05

Observe os gráficos e analise as afirmações I, II e III.

I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos tecnológicos, comparado com 2001, foi maior que 1000%.

II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos tecnológicos que no ano anterior.

III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso tecnológico presencial e à distância foi de 2 para 5.

É correto o que se afirma em:

A) I e II, apenas.

B) II, apenas.

C) I, apenas.

D) II e III, apenas.

E) I, II e III.

Unidade 5 – Função e função polinomial de

primeiro grau II

Questão 01


I. (PUC-BH) A função R(t) = at + b expressa o rendimento

R, em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é

6

contado em meses, R(1) = –1 e R(2) = 1. Nessas

condições, o rendimento obtido nessa aplicação, em

quatro meses é 5000.

II. (ENEM-2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios

e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia

peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil,

em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas

plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam

para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe

o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o

ano de 2007

De acordo com as informações, 4 bilhões de sacolas

plásticas serão consumidas em 2011.

III. (PM SC 2011) Duas empresas A e B têm ônibus com 50

assentos. Em uma excursão para Balneário Camboriú,

as duas empresas adotam os seguintes critérios de

pagamento:

A empresa A cobra $25,00 por passageiro mais uma

taxa fixa de $400,00

A empresa B cobra $29,00 por passageiro mais uma

taxa fixa de $250,00.

O número mínimo de excursionistas para que o contrato

com a empresa A fique mais barato do que o contrato da

empresa B é 38


A) CCE

B) CEC

C) ECE

D) EEC

E) ECC

Questão 02

(ENEM 2010) Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese).

Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de

A) 24500. B) 25000. C) 220500. D) 223000. E) 227500.

Questão 03

(ENEM) Nos processos industriais, como na indústria de

cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir

elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de

elevação dessa temperatura deve ser controlado, para

garantir a qualidade do produto final e a economia no

processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é

programado para elevar a temperatura ao longo do tempo

de acordo com a função

em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno,

em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos,

decorrido desde o instante em que o forno é ligado.

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a

temperatura for 48°C e retirada quando a temperatura

for 200°C.

O tempo de permanência dessa peça no forno é, em

minutos, igual a

A) 100

B) 108

C) 128

D) 130

E) 150

Questão 04


I. O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.

7

Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.

Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é y = 872005 + 4300x

II. (Vunesp) Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos é 4 horas.

III. (PUC-SP) Às 8 horas de certo dia, um tanque, cuja capacidade é de 2 000 litros, estava cheio de água; entretanto, um furo na base desse tanque fez com que a água por ele escoasse a uma vazão constante. Sabendo que às 14 horas desse mesmo dia o tanque estava com apenas 1760 litros, determine após quanto tempo O tanque atingiu a metade da sua capacidade total após 25 horas

IV. A inversa de f(x)= 2x+3/(3x-5) é y = 5x+3/(3x-2)

Assinale a alternativa que contém todas as afirmativas corretas.

A) I e II B) II e III C) III e IV D) I, II e IV E) I, III e IV

Questão 05


I. (PUC-RIO 2008) A soma dos números inteiros x que

satisfazem 2x + 1 ≤ x +3 ≤ 4x é 3.

II. (UFRS) Tem-se (x+2) (x - 1) < 0 se e somente se x < -2

III. (EEM-SP) Uma empresa produz trufas de chocolate, cujo custo de fabricação pode ser dividido em duas partes: uma independentemente da quantidade vendida, de R$ 1500,00 mensais; outra depende da quantidade fabricada, de R$ 0,50 por unidade. Sabendo-se que o preço de venda de cada unidade é de R$ 1,50. A quantidade de unidades a serem vendidas para que a empresa não tenha prejuízos é maior ou igual a 1500.

IV. (PUC-SP) O menor número inteiro K que satisfaz a

inequação 8 – 3 (2k – 1) < 0 é 2.



Unidade 6 – Função polinomial de segundo grau I

Questão 01


I. (UFPE 2002) Suponha que o consumo de um carro para percorrer 100km com velocidade de x km/h seja dado por C(x)=0,006x²-0,6x+25. O consumo será mínimo se a velocidade for de 48 km/h.

II. (UFJF 2003) Um ônibus de 54 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa cobrou de cada passageiro a quantia de R$ 55,00 e mais R$ 2,50 por lugar vago. O número de passageiros que dá à empresa rentabilidade máxima é 16

III. (Unesp) O gráfico da função quadrática definida por y=x2-mx+(m-1), onde m é um número real, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x=2 é 1

Atribuindo-se C para afirmação correta e E para afirmação errada, a sequência correta para as três afirmações anteriores é: A) CCE B) CEC C) ECE D) EEC E) ECC

Questão 02


I. (UFRJ 2003) José pergunta ao Valdir: - Aquela bola que o jogador do Flamengo chutou, naquela falta contra o São Paulo na final da Copa dos Campeões, seguiu uma trajetória com forma de parábola? - Não, respondeu Valdir, pois a bola foi batida com muito efeito. Um exemplo de parábola seria uma bola chutada para frente e para cima, sem efeito e desprezando-se a resistência do ar. Considerando o comentário de Valdir, se uma bola fosse chutada para frente e para cima, sem efeito e desprezando-se a resistência do ar, atingindo altura máxima no ponto (2,4), como representado no gráfico abaixo, a distância (d), em metros, à partir da origem, do ponto em que a bola toca o chão pela primeira vez depois de ser chutada, equivale a 3 m.

II. (Cesgranrio) O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$9,00 em média 300 pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores. O preço para que a receita seja máxima é R$ 5,00.

III. (Faap) Supondo que no dia 5 de dezembro de 1995, o Serviço de Meteorologia do Estado de São Paulo tenha informado que a temperatura na cidade de São Paulo atingiu o seu valor máximo às 14 horas, e que nesse dia

http://www.folha.uol.com.br/

8

a temperatura f(t) em graus é uma função do tempo "t" medido em horas, dada por f(t)=-t2+bt-156, quando 8 < t < 20. O valor de b é 28.


A) CCE B) CEC C) ECE D) EEC E) ECC

Questão 03

(ITA) Os dados experimentais da tabela a seguir

correspondem às concentrações de uma substância

química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo

que a linha que passa pelos três pontos experimentais é

uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após

2,5 segundos é:

Tempo (s) Concentração (moles)

1 3,00

2 5,00

3 1,00

A) 3,60

B) 3,65

C) 3,70

D) 3,75

E) 3,80

Questão 04

(FAAP) A água que está esguichando de um bocal mantido horizontalmente a 4 metros do solo descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal. Sabendo-se que a corrente de água desce 1 metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de movimento horizontal, conforme a figura a seguir:

Podemos expressar y como função de x:

A) y = -x² + 4x + 10 B) y = x² - 10x + 4 C) y = (-x²/10) + 10 D) y = (-x²/100) + 10x + 4 E) y = (-x²/100) + 4

Questão 05

(UCSal) Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então:

A) o seu valor máximo é 1,25 B) o seu valor mínimo é 1,25 C) o seu valor máximo é 0,25 D) o seu valor mínimo é 12,5 E) o seu valor máximo é 12,5.

Unidade 7 – Função polinomial de segundo grau II

Questão 01


I. A solução de (3x – 1)(x + 1) ≥ 0 são todos os números reais tais que – 1 ≤ x ≤ ⅓.

II. O conjunto solução da inequação (x – 2)² < 2x – 1, considerando como universo o conjunto dos reais, está definido pelos números reais tais que 1 < x < 5.

III. A solução de 3x² + 10x + 7 < 0 é –7/3 < x < –1

IV. Se k é um número real diferente de 2, então a equação

(k - 2)x2 - 3kx + 1 = 0 sempre terá raízes reais distintas.

V. (FGV) A função f, de IR em IR, dada por f(x)=ax2-4x+a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a 2



Questão 02

(CESPE) Dada a inequação x + 2

x - 2 > - 3, é CORRETO afirmar

que o seu conjunto solução é:

A) x < 1 B) (1, 2)

C) (-∞ , 1) ∪ (2, +∞ )

D) (-∞ , 1] ∪ [2, +∞ )

E) x > - 5

Questão 03

(Cesgranrio) Qual é o menor valor inteiro que satisfaz a desigualdade apresentada a seguir?

9𝑥 + 2(3𝑥 − 4) > 11𝑥 – 14

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

Questão 04

(Cespe-IMA) Dada a inequação x+3

2 - 1 >

2x

3, quais das

alternativas abaixo apresenta uma solução inteira maior que zero e menor que 10?

A) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. B) 1, 2, 3, 4. C) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. D) 1 e 2. E) 8 e 9.

Questão 05

(Consuplan 2008) Segundo as previsões de um jornal

econômico, o PIB anual de um país(Y) em bilhões de

dólares daqui a X anos poderá ser calculado pela

expressão:

9

y = 4

5x2 - 8x + 80

Para quais valores de X, o PIB anual desse país ultrapassará 140 bilhões de dólares?

A) x > 15 B) x > 5 C) x < 15 D) x < 5 E) x > 10

Unidade 8 – Função modular

Questão 01


I. (Cesgranrio) O conjunto Imagem da função f(x)=|x2-4x+8|+1 é o intervalo [5, + ∞ [

II. (Ufrn) Considere a região S dos pontos (x, y) do plano cartesiano tais que |x| ≤ 1/2 e |y| ≤ 1/2. A região S tem 1 unidade de área.

III. (Ufrn) Um posto de gasolina encontra-se localizado no km 100 de uma estrada retilínea. Uma automóvel parte do km 0, no sentido indicado na figura abaixo, dirigindo-se a uma cidade a 250km do ponto de partida.

Num dado instante, x denota a distância (em quilômetros) do automóvel ao km 0. Nesse instante, a distância (em quilômetros) do veículo ao posto de gasolina é |x -100|.

IV. A soma das soluções de |2x - 1| = 3 é -1

V. Resolvendo |x+1| = 3x + 2 encontramos como solução -1/2

VI. Resolvendo |2x + 1| < 3 encontramos como solução inteira e não negativa somente o número 0(zero).

VII. A solução de |4x-3| > 5 é S = {x ∈IR/ x<-1/2 ou x>2}

O número de afirmações verdadeiras é:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Questão 02

(UTP) As raízes reais da equação |x|2 + |x| - 6 = 0 são tais que:

A) a soma delas é – 1. B) o produto delas é – 6. C) ambas são positivas. D) o produto delas é – 4. E) a diferença entre elas é 1

Questão 03

(UFCE) Sendo f(x) = |x²-2x|, o gráfico que melhor representa f é:

A)

B)

C)

D)

E) Uma parábola

Questão 04

(Unitau) Se x é uma solução de |2x -1| < 5 -x, então:

A) 5 < x < 7. B) 2 < x < 7. C) -5 < x < 7. D) -4 < x < 7. E) -4 < x < 2

Questão 05

(Ufpe) Na figura a seguir temos o gráfico de uma função f(x) definida no intervalo fechado [-4, 4]. Com respeito à função g(x) = f(|x|) é incorreto afirmar

10

A) O ponto (-4, -2) pertence ao gráfico de g. B) O gráfico de g é simétrico com relação ao eixo 0y das

ordenadas. C) g(x) se anula para x igual a -3, -1, 1 e 3. D) g(-x) = g(x) para todo x no intervalo [-4, 4]. E) g(x) ≥ 0 para todo x no intervalo [-4, 4]

Unidade 9 – Exponencial e logaritmo I

Questão 01


I. O valor da metade de 210

multiplicado por (82/3) (4

0,5)⁄

é igual a 210

.

II. Os gráficos das funções f(x) = 3x e g(x) = (1/3)

x são,

respectivamente, decrescente e crescente.

III. Os gráficos das funções f(x) = 3x e g(x) = (1/3)

x se

interceptam no ponto (1; 0).

IV. O valor da expressão log4 + log50 - log20 é igual a 10.

V. Sendo y = 100log x

e sendo x e y números reais

positivos, então y = x².

Pode-se afirmar que estão corretas:

A) I, II e III B) II, III e IV C) III, IV e V D) I e V E) II e IV

Questão 02

(UFOP-MG - adaptado) Seja a função f dada por

f(x) = a + b.2 - x

, cujo gráfico está representado a seguir:


I. O valor de “a”, na função f(x) = a + b.2 - x

, é igual a 2 e representa a assíntota da função f.

II. O gráfico da função é decrescente porque o valor de “b” é negativo.

III. O valor de “b”, na função f(x) = a + b .2 - x

, é igual a 1.

IV. O gráfico da função possui uma assíntota horizontal em y = 2 e outra vertical, que não foi representada no gráfico.

V. O valor de f(-1) é igual a 4.

Pode-se afirmar que estão ERRADAS:


Questão 03

(PUC-RS) Se f(x) = log x, então f(x) + f(1/x) é igual a:

A) a)10 B) b) f(x²) C) c) – f(x) D) d) 1 E) e) 0

Questão 04

(CEUB 2015 - adaptado) Dada a função

f(x) = log5

(5x + 3) - log5(3x - 1), se f(x) = 1, então x é igual a:

A) 0,2 B) 0,4 C) 0,6 D) 0,8 E) 1,0

Questão 05

(ITA-SP) A soma das raízes reais positivas da equação

4x ²

- 5 . 2x ² + 4 = 0 é igual a:

A) 2 B) 5

C) √2 D) 1

E) √3

Unidade 10 – Exponencial e logaritmo II

Questão 01

(Unifor-CE - adaptado) Na figura abaixo têm-se os gráficos

da função exponencial f(x) = bx e de sua função inversa

g(x) = logbx.


I. O valor de “b” é igual a 2. II. O gráfico de f indica que f(1/2) = -1. III. A função inversa de uma função exponencial é uma

função logarítmica.

11

IV. Quando g(x) = 3, temos x = 8. V. A função f não admite valores negativos no seu conjunto

imagem, assim como a função g não admite valores negativos no seu conjunto domínio.

Pode-se afirmar que está ERRADA:

A) I B) II C) III D) IV E) V

Questão 02

(UFSCar) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o modelo matemático:

h(t) = 1,5 + log3

(t + 1), com h(t) em metros e t em anos.

Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de:

A) 9 B) 8 C) 5 D) 4 E) 2

Questão 03

(UnB – PAS 2 2014 – adaptado) Em determinado município, o número de casos de dengue (N) pode ser

expresso por N = N(t) = No.2 k t

, em que t é o tempo, em dias, e No e k são constantes positivas. O número de casos de dengue aumentou de 20, em t = 0, para 1280, em t = 24. Então o número de casos de dengue no referido município,

para t = 32 dias foi de:

A) 2560 B) 5120 C) 10240 D) 20480 E) 40960

Questão 04

(Fuvest-SP) A curva que segue representa o gráfico da

função y = log10

x, para x > 0. Assim sendo, a área da

região hachurada, formada pelos dois retângulos, é:

A) log10

2

B) log10

3

C) log10

4

D) log10

5

E) log10

6

Questão 05

(UCB 2015 – adaptado) Em um tanque, a população de

peixes cresce de acordo com a expressão N(t) = a.ebt, em que 𝑎 e b são constantes positivas, a letra 𝑒 é a base do sistema de logaritmos naturais e t é dado em dias. Se, em determinado dia, a população era de 100 indivíduos e, 10 dias depois, era de 200, a população 30 dias depois da primeira contagem era de:

A) 300 B) 400 C) 600 D) 800 E) 900

12

Frente 2 – Matemática II

Unidade 1 – Matrizes e determinantes

Questão 01 - Considere as matrizes A = [1 24 5

] ,

B = [6 2 13 4 51 2 1

] e C = [cij]3x3 tal que cij = i - j. A partir das

afirmações abaixo, assinale a melhor alternativa:

I. A-1

= [-

5

3

2

3

4

3-

1

3

], onde A-1

é a matriz inversa de A.

II. Bt = [

1 3 62 4 21 5 1

] , onde Bt é a matriz transposta de B.

III. B × C = [

5 -5 -15

8 0 -8

7 0 -7

].

IV. det C = 0 .

A) Todas as afirmações estão corretas.

B) Apenas a primeira está correta.

C) As afirmações I, III e IV estão corretas.

D) Apenas a segunda está correta.

E) Nenhuma afirmação está correta.

Questão 02

(UFF-RJ) Um dispositivo eletrônico usado em segurança modifica a senha escolhida por um usuário de acordo com o procedimento descrito abaixo:

A senha escolhida S1S2S3S4 deve conter quatro dígitos, representados por S1, S2, S3 e S4. Esses dígitos são, então, transformados nos dígitos M1, M2, M3 e M4, da seguinte forma:

(M1

M2) = P(

S1

S2) e (

M3

M4) = P(

S3

S4) , onde P é a matriz (0 1

1 0).

Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é, M1 = 0, M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0, pode-se afirmar que a senha escolhida pelo usuário foi:

A) 0011 B) 0101 C) 1001 D) 1010 E) 1100

Questão 03

(Faap-SP) Uma montadora produz três modelos de veículos, A, B e C. Neles podem ser instalados dois tipos de air bags, D e E. A matriz [air bag modelo] mostra a quantidade de unidades de air bags instaladas:

Numa determinada semana, foram produzidas as seguintes quantidades de veículos, dadas pela matriz [modelo-quantidade]:

O produto da matriz [air bag modelo] pela matriz

[modelo-quantidade] é [1 6003 600

]. Quantos veículos do modelo

C foram montados na semana?

A) 300 B) 200 C) 150 D) 0 E) 100

Questão 04

(Cefet-MG) Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3,

onde:

aij= {2i - 3, se i < j

i - j, se i = j

i + j, se i > j

O valor do determinante de A é:

A) -57 B) -19 C) 0 D) 19 E) 57

Questão 05

(Fuvest-SP) Uma matriz real 𝐴 é ortogonal se AAt = I, onde

I indica a matriz identidade e At indica a transposta. Se

A= [1

2x

y z] é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:

(Atenção: lembre-se de que se a2 = 4, então a = ±2)

A) 1

B) √3

4

C) 1

2

D) 3

E) 3

2

Unidade 2 – Sistemas Lineares I

Questão 01

(Fuvest SP – adaptada) Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;

Carlos e Andreia pesam 123 kg;

Andreia e Bidu pesam 66 kg.

I. Carlos pesa 75kg

13

II. Andreia pesa 57kg III. Bidu pesa 17kg

Alternativas:

A) Somente I é verdadeira B) Somente I e II são verdadeiras C) Somente II e III são verdadeiras D) Todas são incorretas E) Todas são corretas

Questão 02

(Vunesp – adaptada) Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor.

I. No show estavam presentes 120 sócios II. No show estavam presentes 90 não sócios

Marque a alternativa correta:

A) Apenas I está correta B) Apenas II está correta C) Todas estão corretas D) Todas estão incorretas

Questão 03

Na matriz abaixo, resolvendo seu determinante, qual será o

resultado obtido?

A) 1

B) sen x

C) sen² x

D) sen³ x

E) Todas estão incorretas

Questão 04

(PUCRIO-03) Assinale a afirmativa correta.

O sistema:

A) Não tem solução B) Tem solução única x = 1, y = 0, z = 0 C) Tem exatamente duas soluções D) Tem uma infinidade de soluções E) Tem uma solução com z = 1

Questão 05

(UFC 2003) Se um comerciante misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, ele obtém um tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do quilograma do café do tipo II são respectivamente:

A) R$ 5,00 e R$ 3,00 B) R$ 6,40 e R$ 4,20 C) R$ 5,50 e R$ 4,00 D) R$ 5,30 e R$ 4,50 E) R$ 6,00 e R$ 4,00

Unidade 3 – Sistemas Lineares II

Questão 01

Julgue os itens:

I. O sistema {x - 2y + 3z = 0

3x - 7y - 2z = 0 deve ter solução não nula

II. Para qualquer “k” ∈ R, o sistema {

kx + y + z = 1x + ky + z = 1x + y + kz = 1

tem

solução

III. Se os sistemas {x + y = 1

x - 2y = -5 e {

ax - by = 5

ay - bx = -1 são

equivalentes, então a² + b² é igual a 9

A) Apenas I é correto B) Apenas II é correto C) Apenas III é correto D) Todas são incorretas E) Todas são corretas

Questão 02

(UFPA) O sistema {2x + 3y = 5

2x + 3ay = 7 é determinado. Então

podemos concluir que:

A) A é qualquer valor real B) A = 0 C) A = 1 D) A ≠ 0 E) A ≠ 1

Questão 03

(PUC-SP) Sabendo que a + b = 1200, b + c = 1100 e

a + c = 1500, então a + b + c vale:

A) 3800 B) 3300 C) 2700 D) 2300 E) 1900

Questão 04

O sistema abaixo:

A) É impossível; B) É possível e determinado; C) É possível e indeterminado; D) Admite apenas a solução (1; 2; 3); E) Admite a solução (2; 0; 0)

Questão 05

Considere o sistema linear e as afirmações abaixo:

14

{

2x + my = -2

x + y = -1

y + z + 2w = 2z - w = 1

I. Para que o sistema tenha uma única solução m ≠2

II. Para que o sistema não tenha solução m = 1

III. Para m = 2, o valor de 2x + y – z – 2w é igual a -4.

Julgue as alternativas:

A) Apenas I está correta

B) Apenas I e II estão corretas

C) Apenas I e III estão corretas

D) Apenas II e III estão corretas

E) Nenhuma está correta

Unidade 4 – Estatística

Questão 01 – A tabela abaixo mostra o número de gols por

partida marcados pelo Náutico em um campeonato de 38

jogos. A respeito dos dados fornecidos e das sentenças

abaixo, assinale a melhor alternativa:

Gols por partida Frequência de jogos

4 2

3 6

2 12

1 10

0 8

(Para agilizar as contas, use calculadora)

I. A moda dos gols é 2.

II. A média dos gols é 1,58.

III. A mediana dos gols é 2.

IV. O desvio padrão dos gols, usando o valor da média com

duas casas decimais, é 1,15.

V. A variância dos gols, usando o valor da média com duas

casas decimais, é 1,33.

A) Apenas as afirmações I, II e III estão corretas

B) Apenas as afirmações I e III estão corretas

C) Apenas as afirmações I, II, III e IV estão corretas

D) Todas as afirmações estão corretas

E) Nenhuma afirmação está correta

Questão 02

(UFPI) O histograma abaixo apresenta as alturas de trinta

atletas de uma equipe de futebol.

Com esses dados, podemos concluir que a média das

alturas dos atletas é aproximadamente:

A) 1,58m

B) 1,65m

C) 1,74m

D) 1,81m

E) 1,92m

Questão 03

(UFPR) Em um levantamento feito numa sala de aula de um curso da UFPR, verificou-se que a média das idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos. Nesse levantamento foram considerados apenas os anos completos e desconsideradas todas as frações (meses, dias, etc). Passadas algumas semanas, a coordenação do curso verificou que um aluno havia desistido e que a média das idades caiu para 20 anos. Como nesse período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, qual a idade do aluno que desistiu?

A) 37 anos B) 25 anos C) 29 anos D) 33 anos E) 41 anos

Questão 04

(FGV-SP adaptada) A tabela abaixo representa a distribuição de frequência dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, em certo mês.

O salário médio e a variância dos salários nesse mês foram, respectivamente:

(Use calculadora para o cálculo da variância)

A) R$ 2400 e 826530,6 B) R$ 2200 e 805421,2 C) R$ 2640 e 778924,3 D) R$ 3100 e 896522,0 E) R$ 2850 e 728332,4

Questão 05

(Fuvest adaptada) Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8. A partir dessas informações, assinale a melhor alternativa:

A) A média dos alunos antes dos 5 pontos extras era 80,5 e com a atribuição dos pontos 3 alunos deixaram de estar reprovados.

B) A média dos alunos antes dos 5 pontos extras era 72,2 e com a atribuição dos pontos 3 alunos deixaram de estar reprovados.

C) A média dos alunos antes dos 5 pontos extras era 77,5 e com a atribuição dos pontos nenhum aluno deixou de estar reprovado.

D) A média dos alunos antes dos 5 pontos extras era 72,2 e com a atribuição dos pontos todos os alunos foram aprovados.

E) A média dos alunos antes dos 5 pontos extras era 74,4 e com a atribuição dos pontos 2 alunos deixaram de estar reprovados.

15

Unidade 5 – Combinatória I

Questão 01

Para ir de um ponto A para um ponto B, uma pessoa pode tomar 4 caminhos diferentes, enquanto para ir do ponto B para o ponto C existem 6 caminhos possíveis (qualquer caminho de A para C, ou vice-versa, passa necessariamente por B). Com base nesses dados analise as informações abaixo:

I. Se uma pessoa quiser ir de A até C e voltar a A sem utilizar, no percurso de volta, qualquer trecho do trajeto utilizado na ida, então ele dispõe de 360 maneiras diferentes de fazer esse caminho.

II. Se a pessoa quiser fazer o percurso de ida e volta de A a C, podendo repetir na volta o mesmo caminho entre B e C usada na ida, mas não o caminho usado de A a B, então o número possível de trajetos é 524.

III. Admitindo que os caminhos de B até C estejam numerados de 1 a 6 e que a pessoa queira fazer o percurso de A até C e voltar até B, sem repetir na volta os números pares do trecho B a C, então o número de trajetos é 52.

Marque a alternativa correta:

A) Somente I é verdadeira B) Somente II é verdadeira C) Somente I e II são verdadeiras D) Todas são verdadeiras E) Todas são falsas

Questão 02

Para controlar o estoque de uma padaria, são colocadas etiquetas nos produtos. Para cada etiqueta é assinalada um número de 4 algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais. O total de etiquetas desse tipo que podem ser emitidas é:

A) 4.608 B) 5.184 C) 6.561 D) 8.100 E) 9.000

Questão 03

Em quantos modos diferentes podemos dividir um grupo de seis pessoas em dois grupos de 3?

A) 20 B) 30 C) 18 D) 22 E) 33

Questão 04

De quantas maneiras diferentes podemos dividir um grupo de nove pessoas em três grupos de três?

A) 200 B) 240 C) 250 D) 280 E) 300

Questão 05

Um vagão de trem tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar

de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não tem preferência. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando-se as preferências?

A) 42.000 B) 39.200 C) 45.500 D) 51.000 E) 43.200

Unidade 6 – Combinatória II

Questão 01

Dado A = {1,2,3}

Quantos conjuntos de 2 elementos distintos podemos formar a partir de A?

A) 3 B) 2 C) 9 D) 6 E) 12

Questão 02

Ao término de uma conferência, cada um dos presentes cumprimentou os demais com um aperto de mão uma única vez. Quantas pessoas estavam presentes se, ao todo, tiveram 1.225 apertos de mão?

A) 50 B) 49 C) 62 D) 73 E) 57

Questão 03

No Brasil as placas de carro possuem o formato: AAA 0000, ou seja, três letras na frente seguidas de quatro algarismos. Detalhe: a legislação brasileira não permite a existência de placas com 4 algarismos 0.

Dada a informação, quantas placas de carro diferentes podem ser feitas no país?

A) 175.760.000 B) 175.742.424 C) 175.777.576 D) 174.870.000 E) Nenhuma das anteriores

Questão 04

Em uma primeira fase de um campeonato cada jogador joga 1 vez contra todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?

A) 50 B) 78 C) 20 D) 13 E) 25

Questão 05

Um clube resolve fazer uma sessão de cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse

16

caso, o número de maneiras diferentes que se pode fazer a programação dessa semana é:

A) 720 B) 1040 C) 360 D) 540 E) Nenhuma das anteriores

Unidade 7 – Probabilidade I

Questão 01 – Julgue os itens a seguir:

I. Escolhendo ao acaso uma peça de um jogo de dominó comum, a probabilidade de que a peça escolhida tenha

dois números iguais é de 7

28.

II. Retirando-se uma carta de um baralho comum de 52

cartas, a probabilidade de que ela seja de copas é de 1

5.

III. Retirou-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas e obteve-se uma dama. Retirando-se outra carta

a probabilidade de ser outra dama é de 1

17.

A respeito dos itens acima marque a opção correta:

A) Apenas I é correta B) Apenas I e II são corretas C) Apenas I e III são corretas D) Apenas II e III são corretas E) Todas são incorretas

Questão 02

Numa urna há uma bola numerada com o número 1, duas

bolas numeradas com o número 2, três bolas numeradas

com o número 3, e assim sucessivamente até n bolas com

o número n.

Uma bola é retirada ao acaso dessa urna. Admitindo-se que

todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem

escolhidas julgue os itens:

I. Para n = 5, a probabilidade de que o número da bola

retirada seja primo é de 11

15.

II. Se n é par e n ≥ 2, então a probabilidade de que o

número seja par é de n+2

2(n+1).

III. Se n é ímpar e n ≥ 3, então a probabilidade de que o

número da bola retirada seja par é de n - 1

2n.

Acerca das informações acima, é correto afirmar que:

A) Todas são corretas

B) Todas são incorretas

C) Apenas a I é verdadeira

D) Apenas I e II são verdadeiras

E) Apenas II e III são verdadeiras

Questão 03

Considere o espaço amostral S = {a1, a2, a3, a4} e a distribuição de probabilidades pi = p({a1}) = ki, ∀ i ∈ {1,2,3,4}. Com base nisso julgue:

I. a constante k vale 1

5

II. p1 + p2 + p3 + p4 = 1

2

III. p4 = 2

5


A) Apenas I é correta B) Apenas II é correta C) Apenas III é correta D) Apenas II e III são corretas E) Todas são incorretas

Questão 04

(PUC-SP 2010) Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas condições, a probabilidade deque esse aluno seja aprovado em pelo menos uma dessas Universidades é de:

A) 78% B) 68% C) 70% D) 60% E) 58%

Questão 05

Ao dar um tiro, a probabilidade de um certo atirador acertar o alvo é de 0,6. Se esse atirador der quatro tiros consecutivos, calcule a probabilidade desse atirador acertar o alvo. Desconsidere a parte fracionária, caso exista:

A) 100% B) 92% C) 89% D) 97% E) 78%

Unidade 8 – Probabilidade II

Questão 01

Considere dois dados, um honesto e outro viciado, sendo que, no viciado a probabilidade de ocorrer o número “6” é igual a 0,5 e os demais números têm a mesma probabilidade de ocorrer. Com base nisso, julgue os itens:

I. Escolhendo-se um dos dados ao acaso, a probabilidade

de ocorrer o número 4 é de 1

15

II. Escolhendo-se um dos dados ao acaso e se efetuam dois lançamentos, obtendo-se, nos dois lançamentos, o número 6. Nessas condições, a probabilidade de que o

dado escolhido seja o viciado é de 9

10.


A) Apenas I é correta B) Apenas II é correta C) Todas são corretas D) Todas são incorretas E) n.d.a

Questão 02

(PUC-RIO 2010) Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda?

A) 1/8

B) 2/9

17

C) 1/4

D) 1/3

E) 3/8

Questão 03

(UFMG 2008) Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é:

A) 27

64

B) 27

256

C) 9

64

D) 9

256

E) 9

81

Questão 04

(FUVEST 2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de:

A) 2/9 B) 1/3 C) 4/9 D) 5/9 E) 2/3

Questão 05

(UFPR 2010) Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é 1/25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/4, e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/40. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores é de:

A) 1% B) 2,4% C) 4% D) 3,4% E) 2,5%

Unidade 9 – Progressões I

Questão 01


I. A razão da P.A ( -5, -10, -15, ...) é 5. II. A sequência numérica ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) é uma

P.A. III. A razão da P.A (x, x+2, x+4, ...) é 4. IV. Uma sequência numérica infinita (a1, a2, a3, ..., an, ...) é

tal que a soma dos n termos iniciais é igual a n² + 6n. O quarto termo dessa sequência é igual a 13.

V. O milésimo número ímpar positivo é 1999.

Pode-se afirmar que as alternativas corretas são:

A) I, II e III B) I, III e V C) II, III e IV D) II, IV e V E) I, IV e V

Questão 02


I. O 61º termo da P.A (9, 13, 17, 21, ...) é 253.

II. A razão da P.A (a1, a2, a3, ...) em que a1 = 2 e a8 = 3 é 1

7

III. O número de termos da P.A (4, 7, 10, ..., 136) é 45. IV. A soma dos 80 primeiros termos da P.A (6, 9, 12, 15,

18...) é 9960. V. O número de termos da P.A, cujo primeiro termo é 1, o

último termo é 157 e a soma dos seus termos é 3160, é 50.

Pode-se afirmar que as alternativas erradas são:

A) I e II B) II e III C) III e IV D) IV e V E) I e V

Questão 03

(MACK-SP) O produto das raízes da equação

x² + 2x – 3 = 0 é a razão de uma PA de primeiro termo 7. O 100º termo dessa PA é:

A) -200 B) -304 C) -290 D) -205 E) -191

Questão 04

(PUC-RS) Na sequência definida por an = 5n - 1

2, a soma dos

10 primeiros termos é igual a:

A) 53

2

B) 265

2

C) 53

D) 265

E) 530

Questão 05

Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem em progressão aritmética. O valor da segunda hora é R$ 4,00 e o da sétima é R$ 0,50. Quanto gastará o proprietário de um automóvel estacionado 5 horas nesse local?

A) R$11,80 B) R$17,80 C) R$18,00 D) R$18,70 E) R$20,00

18

Unidade 10 – Progressões II

Questão 01


I. O 15° termo da PG (256, 128, 64, 32, ...) é 1

64

II. A soma dos onze primeiros termos da PG (2, 4, 8...) é 4094.

III. A sequência numérica (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma P.G.

IV. A sequência definida por

*

.1

1

3

4Nnpara

aa

a

nn

é uma P.G de razão 3.

V. Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. O primeiro termo dessa PG é 3.

Pode-se afirmar que as alternativas corretas são somente:

A) I, II e III B) II, III e V C) III, IV e V D) I, II e IV E) Todas são corretas

Questão 02

(Cefet-MG) A sequência (m, 1, n) é uma progressão aritmética e a sequência (m, n, – 8) é uma progressão geométrica. O valor de n é:

A) -2 B) -1 C) 3 D) 4 E) 8

Questão 03

A soma dos termos de uma PG é expressa por Sn = - 3 +

3n + 1

. A razão da progressão é:

A) 2 B) 3 C) 6

D) √2

E) √6

Questão 04

(UFRGS) Numa progressão aritmética de razão 1/2, o primeiro, o sétimo e o décimo nono termo formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é:

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

Questão 05

(Osec-SP) Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50 m da primeira roseira e cada roseira dista 2 m da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e

despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde, ele terá andado:

A) 1200 m B) 1180 m C) 1130 m D) 1110 m E) 1000 m

19

Frente 3 – Matemática III

Unidade 1 – Geometria Plana I

Questão 01

Considerando a figura e as afirmações abaixo, assinale a melhor alternativa:

I. O segmento BC tem comprimento igual a 8cm

II. O ângulo β vale π

6 rad

III. Δ ABD ~ Δ ACE IV. O segmento AH (altura do triângulo ACE) vale 7,2cm

A) Todas as afirmações estão corretas B) Apenas as afirmações I, II e III estão corretas C) Apenas a primeira afirmação está correta D) Nenhuma afirmação está correta E) Apenas as afirmações I, III e IV estão corretas

Questão 02

(Fuvest) Na figura adiante, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo A mede 40°, então o ângulo XYZ mede:

A) 40° B) 50° C) 60° D) 70° E) 90°

Questão 03

(PUC-RS) Para medir a altura de uma árvore, foi usada uma vassoura de 1,5m verificando-se que, no momento em que ambas estavam em posição vertical em relação ao terreno, a vassoura projetava uma sombra de 2m e a árvore, de 16m. A altura da árvore é:

A) 3m B) 8m C) 12m D) 15,5m E) 16m

Questão 04

(Cefet - MG) No triângulo ABC, um segmento MN, paralelo a BC, divide o triângulo em duas regiões de mesma área, conforme representado na figura abaixo:

Para essa situação, a razão AM

AB é igual a:

A) √3

2

B) √2

2

C) 1

2

D) 2

E) √2+1

2

Questão 05

Um campo retangular tem o perímetro de 780m. A diferença entre o comprimento e a largura é de 150m. Qual é a área desse terreno em hectares?

A) 3,24 hm2 B) 2,33 hm2

C) 32,4 hm2 D) 23,3 hm2 E) 0,324 hm2

Unidade 2 – Geometria Plana II

Questão 01

A partir da figura e as sentenças, assinale a melhor alternativa:

I. Os ângulos α e β são ângulos inscritos II. O ângulo α é central e β é tangente III. O ângulo α é inscrito e β é central

IV. Se α = π

5 rad, então o ângulo β vale 72°

V. Para que um retângulo de lados L e 3L tenha a mesma área que a circunferência da figura, então devemos ter

L ≅ 3,07cm

(Nessa questão use π = 3,14 rad)

A) Nenhuma afirmação está correta B) Apenas as afirmações III, IV e V estão corretas C) Apenas as afirmações III e IV estão corretas D) Todas as afirmações estão corretas E) Apenas a afirmação II está correta

20

Questão 02

(UFMG) Na figura abaixo, a circunferência tem centro O e o seu raio tem a mesma medida do segmento BC. Sejam α a medida do ângulo AÔD e β a medida do ângulo AĈD.

A relação entre α e β é:

A) α = 3β

B) α = 5β

2

C) α = β

D) α = 2β

5

E) α = 2β

Questão 03

(UFRS) Na figura abaixo, os segmentos AD e BC são perpendiculares a AB:

Sabendo que a área do trapézio ABCD é igual ao dobro da

área do triângulo OAD, temos que a razão OB

OA é igual a:

A) √2

B) √3

C) √2 - 1

D) √3 - 1

E) √3 - √2

Questão 04

(Unicamp adaptada) Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro de um hexágono regular cujo lado mede 1,5m. O comprimento dos lados do triângulo e a razão entre as áreas do hexágono e do triângulo valem, respectivamente:

A) 5cm e 5/2 B) 3cm e 1/2 C) 3cm e 3/2 D) 1,5cm e 3/2 E) 4cm e 2

Questão 05

Considere um setor circular de raio 6cm cujo ângulo central mede 60°, a área e o comprimento do arco associado a esse setor valem, respectivamente: (use π = 3,14 rad)

A) 6π cm2 e 6,28cm

B) 100 cm2 e 12cm

C) 3π cm2 e 5cm

D) 2,2π cm2 e 6cm

E) 10 cm2 e 4cm

Unidade 3 – Geometria de posição e poliedros

Questão 01

Na figura abaixo, as retas r, s, t, u, v, w, x, z são as que contêm as arestas do cubo.

Com base na figura, julgue os itens a seguir:

I. As retas r e t são paralelas. II. As retas r e s são concorrentes. III. As retas r e z são paralelas. IV. As retas r e w são reversas. V. As retas u, t e w são perpendiculares.

Estão corretos:

A) Os itens II e IV. B) Os itens I, III e V. C) O item IV. D) Os itens II, III e V. E) Todos os itens.

Questão 02

(Fatec-SP) Seja A um ponto pertencente à reta r, contida no plano α. É verdade que:

A) existe uma única reta que é perpendicular à reta r no ponto A.

B) existe uma única reta, não contida no plano α, que é paralela à reta r.

C) existem infinitos planos distintos entre si, paralelos ao plano α, que contêm a reta r.

D) existem infinitos planos distintos entre si, perpendiculares ao plano α, que contêm a reta r.

E) existem infinitas retas distintas entre si, contidas no plano α e que são paralelas à reta r.

Questão 03

(Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura abaixo, é:

A) 6 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

Questão 04

(CESGRANRIO) Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O número de vértices do poliedro é:

A) 80 B) 60

r s

t u v

w

x

y z

A

B

C

D

21

C) 50 D) 48 E) 36

Questão 05

(PUC-SP) Qual é o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas?

A) hexaedro B) octaedro C) dodecaedro D) icosaedro E) tridecaedro

Unidade 4 – Geometria espacial: prismas e

cilindros I

Questão 01

O prisma ABCDEF, abaixo, é formado por triângulos equiláteros (por exemplo, ABC) como bases e quadrados (por exemplo, ABDE) como faces laterais. A aresta DE possui tamanho a.

Com base na figura, julgue os itens a seguir:

I. Trata-se de um prisma triangular, regular e reto.

II. Possui 5 faces, 6 vértices e 9 arestas.

III. O prisma possui 6 diagonais nas faces laterais e nenhuma diagonal nas bases.

IV. O volume do prisma é a3√3

2

V. A área total do prisma é a2(√3

2+3)

Estão corretos:


Questão 02

(ENEM) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m3 de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada.

Utilize 3,0 como aproximação para . Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?

A) 0,5 B) 1,0 C) 2,0 D) 3,5 E) 8,0

Questão 03

(ENEM) Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces. Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu? A) 6 B) 8 C) 14 D) 24 E) 30

Questão 04

(ENEM) Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2.

A medida da altura desconhecida vale A) 8 cm B) 10 cm C) 16 cm D) 20 cm E) 40 cm

Questão 05

Em uma confeitaria, um cliente comprou um cupcake (pequeno bolo no formato de um tronco de cone regular mais uma cobertura, geralmente composta por um creme), semelhante ao apresentado na figura:

6

4 cm

3

x

A

C

B

D E

F

22

Como o bolinho não seria consumido no estabelecimento, o vendedor verificou que as caixas disponíveis para embalar o doce eram todas em formato de blocos retangulares, cujas medidas estão apresentadas no quadro:

Embalagem Dimensões

(comprimento x largura x altura)

I 8,5 cm x 12,2 cm x 9,0 cm

II 10 cm x 11 cm x 15 cm

III 7,2 cm x 8,2 cm x 16 cm

IV 7,5 cm x 7,8 cm x 9,5 cm

V 15 cm x 8 cm x 9 cm

A embalagem mais apropriada para armazenar o doce, de forma a não deformá-lo e com menor desperdício de espaço na caixa, é A) I B) II C) III D) IV E) V

Unidade 5 – Geometria espacial: prismas e

cilindros II

Questão 01

Na figura ao lado, temos um cilindro oblíquo e um prisma de mesma altura (h) e mesma área de base

(r2).

Com base nisso, julgue os itens a seguir:

I. O volume do cilindro é igual a hr2. II. Aplica-se, aos dois sólidos, o princípio de Cavalieri. III. O volume do prisma é igual ao do cilindro. IV. Caso o cilindro fosse reto, teríamos sua área lateral

igual a 2hr. V. O prisma possui 2 bases pentagonais, 5 faces laterais

quadrangulares, 15 arestas e 10 vértices.

Estão corretos:


Questão 02

(ENEM) Uma empresa necessita colorir parte de suas embalagens, com formato de caixas cúbicas, para que possa colocar produtos diferentes em caixas distintas pela cor, utilizando para isso um recipiente com tinta, conforme Figura 1. Nesse recipiente, mergulhou-se um cubo branco, tal como se ilustra na Figura 2. Desta forma, a parte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta.

Qual é a planificação desse cubo após submerso?

A)

B)

C)

D)

E)

Questão 03

(PUC-Campinas) Numa indústria, deseja-se utilizar tambores cilíndricos para a armazenagem de certo tipo de óleo. As dimensões dos tambores serão 30 cm para o raio da base e 80 cm para a altura. O material utilizado na tampa e na lateral custa R$ 100,00 o metro quadrado. Devido à necessidade de um material mais resistente no fundo, o preço do material para a base inferior é de R$ 200,00 o metro quadrado. Qual o custo de material para a confecção de um desses tambores sem contar as perdas

de material? Em seus cálculos, considere = 3,14.

Figura 1 Figura 2

23

A) R$ 235,50 B) R$ 242,50 C) R$ 247,90 D) R$ 249,10 E) R$ 250,00

Questão 04

(Unicap-PE - adaptada) Por questões técnicas, pretende-se substituir um reservatório, na forma de um cubo de 3 metros de aresta, por outro reservatório, na forma de um cilindro circular reto. Os volumes devem ser iguais e a área lateral do cilindro deve ser igual à área da superfície do cubo. Nesse caso, julgue os itens a seguir: I. O raio da base do cilindro deve medir 1 metro. II. A altura do cilindro deve medir 27 metros.

III. 2 m2 deve ser a soma das áreas das bases.

IV. (54 + 2)m2 deve ser a área total do cilindro. V. Supondo que não há desperdício de material, a

construção do cilindro consome a mesma quantidade de chapas de ferro que foi usada na construção do cubo.

Estão corretos: A) Todos os itens. B) Apenas os itens I e IV. C) Apenas os itens II e IV. D) Apenas os itens I e V. E) Apenas os itens I, III e IV.

Questão 05

(UF-RN - adaptada) Um fabricante de doces utiliza duas embalagens, X e Y, para acondicionar seus produtos. A primeira (X) tem formato de um cubo com aresta de 9 cm, e a segunda(Y) tem formato de um cilindro reto cujas medidas da altura e do diâmetro da base medem, cada uma, 10 cm. Sendo assim, julgue os itens a seguir: I. A área total da embalagem Y é 3/5 da área total da

embalagem X. II. O volume total da embalagem Y é 3/4 do volume da

embalagem X. III. A área total da embalagem X é menor que a área total

da embalagem Y. IV. O volume da embalagem X é menor que o volume da

embalagem Y.

Estão corretos:

A) Apenas os itens II e III. B) Apenas o item II. C) Apenas os itens I e III. D) Apenas o item IV. E) Apenas os itens I, III e IV.

Unidade 6 – Geometria espacial: pirâmides e

cones I

Questão 01

Em uma viagem ao Egito, Tales observou uma pirâmide reta VABC cuja base é um quadrado de lado 1 e cuja altura também é 1 (estádio). Julgue os itens a seguir.

I. A pirâmide referida é regular. II. O volume da pirâmide é 1/3. III. O raio da circunferência inscrita na base é 1.

IV. Sendo M ponto médio de uma aresta da base AB, a

distância entre o vértice da pirâmide V e o ponto M é √5

2

V. A área lateral da pirâmide é 3√5

4

Estão corretos:


Questão 02

(Católica - adaptada) De um cone circular reto com raio da base igual a 6 metros e altura igual a 1 metro foi retirada, a partir do vértice e perpendicularmente à base, uma parte correspondente a 72° do círculo da base, como na figura apresentada. Qual é o volume, em metros cúbicos, da parte restante do cone? Adote o valor aproximado π = 3,14, e despreze a parte os dígitos após a vírgula.

A) 5 B) 7 C) 39 D) 37 E) 90

Questão 03

(Fatec-SP) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15 cm, e sua base é um quadrado cujos lados medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em centímetros, é igual a:

A) 3√5

B) 3√7

C) 2√5

D) 2√7

E) √7

Questão 04

(U. F. Uberlândia-MG) Considere um cubo cuja aresta tem comprimento igual a 1 cm. Sejam A, B, C, D os centros de suas faces laterais e E, o centro de sua base, determine o volume da pirâmide de vértice E, cuja base é o quadrilátero ABCD.

Observação: Considere que o centro de uma face é o ponto de intersecção determinado pelas diagonais dessa face.

A) 2

3 cm3

B) 1

12 cm3

C) 1

3 cm3

72o

24

D) √3

6 cm3

E) √3

3 cm3

Questão 05

(UF-RS) A figura ao lado representa a planificação de um sólido. O volume desse sólido, de acordo com as medidas indicadas, é: A) 180 B) 360 C) 480 D) 720 E) 1440

Unidade 7 – Geometria espacial: pirâmides e

cones II

Questão 01

Considere uma ampulheta formada por dois cones retos iguais, cada um com raio r e altura h. Quando em descanso, a areia ocupa exatamente o volume do cone inferior da ampulheta. Quando em funcionamento, a areia escorre do cone superior para o inferior. Com base nisso, julgue os itens a seguir.

I. O volume de areia é π.r2.h

3

II. A geratriz de cada cone (g) é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são r e h.

III. A área total do vidro da ampulheta é 2.π.r.(r + g). IV. Com a ampulheta em funcionamento e a areia

ocupando no cone superior espaço até a metade da altura, o volume de areia no cone inferior é igual a 7/8 do total.

V. Cada cone é formado pela rotação de um triângulo retângulo de lados g (geratriz), h e r.

Estão corretos:


Questão 02

(ENEM) Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o volume

do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada. Qual é a profundidade, em metros, desse poço? A) 1,44 B) 6,00 C) 7,20 D) 8,64 E) 36,00

Questão 03

(Faap-SP) Um copo de chope é um cone (oco) cuja altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde que o copo está cheio até o nível da bebida ficar exatamente na metade da altura do copo, a fração do volume total que deixou de ser consumida é: A) 3/4 B) 1/2 C) 2/3 D) 3/8 E) 1/8

Questão 04

(UEL) Considere o tronco de uma pirâmide regular de bases quadradas representado na figura ao lado. Se as

diagonais das bases medem 10√2 e 4√2, a área total desse tronco, em centímetros quadrados, é:

A) 168 B) 186 C) 258 D) 266 E) 284

Questão 05

(ITA-SP) Seja uma pirâmide de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original?

A) 2 m B) 4 m C) 5 m D) 6 m E) 8 m

Unidade 8 – Geometria espacial: esferas e

inscrição de sólidos

Questão 01

Uma laranja tem o formato perfeito de uma esfera de raio 5 cm, contendo 10 gomos iguais. Com base nisso, e considerando = 3, julgue os itens a seguir:

I. O volume da laranja é 500 cm3. II. A área da casca da laranja é 300 cm2. III. Se cortarmos a laranja tirando uma tampa, ou seja,

fazendo uma secção plana, a 4 cm do centro, obteremos uma calota de raio 3 cm.

IV. Cada gomo tem um volume de 50 cm3. V. Cada gomo tem uma área total de 105 cm2.

60o

15

15

12 12 8

8

25

Estão corretos:


Questão 02

(Católica – Adaptada) Uma estrutura esférica formada por

três circunferências de mesmo raio foi inscrita em um cubo.

Considere 𝒓 o raio da esfera e 𝒍 o lado do cubo. Com base

nesses dados, julgue os itens a seguir.

I. 𝑟 =𝑙

2

II. 𝑙 =𝑟√2

2

III. A esfera e o cubo possuem exatamente 4 pontos comuns

IV. A razão entre a superfície da esfera e do cubo é

6

V. A razão entre o volume da esfera e do cubo é 4

3

Assinale a alternativa correta

A) Apenas os itens II e IV estão corretos. B) Apenas os itens I e V estão corretos. C) Apenas os itens II, III e IV estão corretos. D) Apenas os itens I e IV estão corretos. E) Apenas os itens I, IV e V estão corretos.

Questão 03

(UE-RJ - adaptada) Sabe-se que três quartos da superfície do planeta Terra são cobertos por água e um terço da superfície restante é coberto por desertos. Considere o planeta Terra esférico, com raio de 6.400 km e

use igual a 3.

A área dos desertos, em milhões de quilômetros quadrados, é igual a:

A) 122,88 B) 81,92 C) 61,44 D) 40,96 E) 42,87

Questão 04

(Fuvest-SP) Numa caixa em forma de paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 26 cm, 17 cm e 8 cm, que deve ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O número de esferas iguais a essa que cabem juntas na caixa é:

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

Questão 05

(Cefet-MG) Uma pirâmide de base hexagonal é inscrita em um cone, com altura h = 2 dm e base circular de raio r = 3 dm. O volume da pirâmide, em litros, é igual a:

A) 6π B) 12

C) 6√3

D) 9√3

E) 27√3

Unidade 9 – Números Complexos I

Questão 01


I. O número complexo z = 3 + 5i possui parte imaginária igual a 5i.

II. O número complexo z = -3i é um número imaginário puro.

III. Sendo i a unidade imaginária, (1 – i)-2 é igual a i

2.

IV. Sendo i a unidade imaginária, o valor de i10 + i-100 é zero.

V. O produto (5 + 7i) (3 – 2i) vale 1 + 11i.


A) II, III e IV B) I, III e V C) II, IV e V D) I, II e III E) I, IV e V

Questão 02

(Unirio) Sejam z1 e z2 números complexos representados pelos seus afixos na figura abaixo. Então, o produto de z1 pelo conjugado de z2 é:

A) 19 + 10i B) 11 + 17i C) 10 D) -19 + 17i E) -19 + 7i

Questão 03

(UFF 2009) No período da “Revolução Científica”, a humanidade assiste a uma das maiores invenções da Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o número complexo. Rafael Bombelli (1526 – 1572), matemático italiano, foi o primeiro a escrever as regras de adição e multiplicação para os números complexos.

26

Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta.

A) O conjugado de (1 + i) é (1 - i)

B) |1 + i| = √2

C) (1 + i) é raiz da equação z2 – 2z + 2 = 0

D) (1 + i)-1 = (1 – i)

E) (1 + i)2 = 2i

Questão 04

(Fatec) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss.

É verdade que:

A) O argumento principal de z é 5π

6

B) A parte imaginária de z é i

C) O conjugado de z é √3 + i D) A parte real de z é 1 E) O módulo de z é 4

Questão 05

(UEL) Seja o número complexo z = 2 . i

342

(1 + i)2. A imagem de

z no plano complexo é um ponto do plano que pertence ao:

A) Eixo imaginário B) Eixo real C) 2º quadrante D) 3º quadrante E) 4º quadrante

Unidade 10 – Números Complexos II

Questão 01


I. O número complexo z = - 2 - 2i na forma trigonométrica

é 2√2 (cos5π

4 + i.sen

5π

4).

II. O argumento do número complexo z = -2√3 + 2i é 5π

3.

III. O número complexo 2 (cos11π

6 + i.sen

11π

6) escrito na

forma algébrica é √3-i.

IV. Seja z o produto dos números complexos √3 + i e 3

2 (1+

√3i). Então, o módulo e o argumento de z são,

respectivamente, 6 e π

4.

V. O quociente 8 + i

2 - i é igual a 3 + 2i.


A) I, II e III B) I, III e V C) II, III e IV

D) I, IV e V E) Todas estão corretas.

Questão 02

Considerando z = – 1 – i, de módulo 𝜌 e argumento 𝜃, é falso dizer que:

a) O afixo de z pertence ao 3º quadrante. b) z . z̅ = 2

c) z2 = 2 . z̅ + 2

d) ρ3 = 8 e) tan θ = 1

Questão 03

(UEL) Seja z um número complexo de módulo 2 e argumento principal 120º . O conjugado de z é:

A) 2 - 2i√3

B) 2 + 2i√3

C) -1 - i√3

D) -1 + i√3

E) 1 + i√3

Questão 04

(Vunesp) Seja o número complexo z = 10 + 10i, no qual i =

√1. A forma trigonométrica que representa este número é:

A) 10 (cosπ

2+isen

π

2)

B) 10 (cosπ

4+isen

π

4)

C) 10√10 (cosπ

6+isen

π

6)

D) 10√2 (cosπ

2+isen

π

2)

E) 10√2 (cosπ

4+isen

π

4)

Questão 05

(PUCSP) Considere a equação matricial

em que i é a unidade imaginária. Os números complexos x e y que satisfazem essa equação são tais que a medida do argumento principal de x + y é:

A) 120º B) 135º C) 225º D) 240º E) 330º

27

Frente 4 – Matemática IV

Unidade 1 – Trigonometria I

Questão 01


I. Se um triângulo retângulo é isósceles, então possui dois ângulos internos iguais cuja tangente é igual a 1.

II. Se um triângulo possui um ângulo reto além dos outros dois ângulos internos, α e β, então sen α = cos β.

III. Um triângulo que possui lados que medem, em metros, 3, 4 e 5 é retângulo e a tangente de um de seus ângulos é igual a 0,75.

IV. Se um triângulo retângulo possui um ângulo de 30° e hipotenusa medindo 10 cm, então seus catetos medem

5 e 5√2 cm. V. Observou-se que, ao escorar uma escada de 5 m de

comprimento exatamente no topo de um muro vertical, o ângulo formado entre a escada e o solo (horizontal) é igual a 60°. Então, esse muro tem 2,5 m de altura.



Questão 02

Analisando os itens:

I. Um avião de controle remoto decola de uma planície horizontal e percorre uma trajetória retilínea que forma com o solo um ângulo de 30°. Pode-se dizer que, ao atingir 25 m de altitude, a distância percorrida pelo avião será de 50 m.

II. Em uma área plana, há duas torres de alturas distintas e distantes 14 m uma da outra. Uma haste metálica retilínea de 28 m de comprimento conecta as torres encostando uma de suas extremidades no topo de uma das torres e a outra extremidade no topo da outra torre. Pode-se dizer que, o ângulo de inclinação da haste em relação à direção horizontal é igual a 60°.

III. No retângulo da figura cos α = 1/2.

Pode-se afirmar que estão corretos:

A) I e II B) II e III C) I e III D) todos E) nenhum

Questão 03

Uma menina está a 100 m de uma igreja e precisa inclinar a cabeça 60° em relação à horizontal para avistar o sino no topo de uma igreja. Quantos metros a menina precisa se afastar do ponto em que está para que possa avistar o sino inclinando sua cabeça apenas 30°?

A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500

Questão 04

(U. F. Viçosa-MG) Na figura abaixo, os triângulos ABC e

ADC são retângulos, com hipotenusa comum AC̅̅ ̅̅ , sendo ABC um triângulo isósceles com catetos medindo 4 cm.

Se o cateto AD̅̅ ̅̅ do triângulo ADC mede 2 cm, então o valor

de tg x é:

A) √7/4

B) √7

C) √7/2

D) √7/3

E) √7/7

Questão 05

(UCB 2014 – adaptado)

Considere o triângulo com ângulos α, β e 135°, e lados 1/3, 5/3 e b, como na figura apresentada. Os ângulos α e β estão medidos em graus e as medidas dos lados referem-se a uma mesma unidade de comprimento. Julgue os itens a seguir, admitindo que as medidas que neles aparecem se referem às mesmas unidades usadas nessa figura.

I. sen α = √2/10. II. tg α = 1/9. III. (1/3)² = (5/3)² + b² - 2.(5/3).b.cos α. IV. b² = 1/9 + 25/9 – 2cos β. V. α + β = 60°.


A) I e II B) I e III C) II e III D) II e IV E) III e V

Unidade 2 – Trigonometria II

Questão 01


I. Um triângulo possui dois lados que medem 1 cm e 3 cm. O ângulo interno formado por esses lados vale 𝜋/3.

28

Pode-se concluir que o lado oposto a esse ângulo mede

√7 cm.

II. Observam-se no triângulo abaixo a medida de dois de seus lados e o valor de um de seus ângulos. O ângulo α

é obtuso. O valor de cos α é igual a −√7/2.

III. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa tem o dobro do comprimento de um de seus catetos. Sendo α e β os dois ângulos agudos desse triângulo retângulo, onde α < 𝛽, então o valor de sen(α + 3β) é -1/2.


A) I e II B) II e III C) I e III D) I, II e III E) nenhum

Questão 02


I. É verdadeira a expressão:

cos (2π/3) + sen(3π/2) + tg(5π/4) = -1/2.

II. (CEUB 2014 – adaptado) A diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da função abaixo vale 25/14.

y = 10

9 + 5sen(35x)

III. (Mackenzie-SP – adaptado) A soma dos valores máximo e mínimo da expressão 2 + (2/3)cos²x é 14/3

IV. Para todo número real x, a expressão cos x = 4k - 1 é válida se, e somente se, k estiver no intervalo [0; 1/2]

V. (UA-AM – adaptado) Sabendo que sen x = 2/3 e que x

está no 1° quadrante, o valor de cotg x é √5/2


A) I, II e III B) II, III e IV C) III, IV e V D) todos E) nenhum

Questão 03

(Vunesp-SP) Se x é a medida de um ângulo em radianos e

π/2 < x < 3π/4, então:

A) sen 2x > 0 B) cos 2x < 0 C) tg x > 0 D) sen x < 0 E) cos x > 0

Questão 04

(Cefet-MG) Assinale a alternativa FALSA:

A) cossec x = 50 B) tg x = 50000 C) cos x = 3/4 D) sen x = 1 E) sec x = 1/3

Questão 05

(ENEM 2015 – adaptado) Em relação aos produtos

sazonais, existem épocas do ano em que sua produção e a

sua disponibilidade nos mercados varejistas ora são

escassas, com preços elevados, ora são abundantes, com

preços mais baixos. A partir de uma série histórica,

observou-se que o preço P(x), em reais, do quilograma de

certo produto sazonal pode ser descrito pela função

P(x)= 8 + 5cos (πx - π

6)

onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao

mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim

sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de

dezembro.

Na safra, o mês de produção máxima desse produto é:

A) Janeiro. B) Abril. C) Junho. D) Julho. E) Outubro.

Unidade 3 – Trigonometria III

Questão 01

Sejam as identidades:

I. tg²x .cossec²x = tg²x + 1.

II. sen 75 . cos 15 = (2 + √3)/4.

III. sen 2x

1 + cos 2x= tg x.

IV. [sen (x

2) + cos (

x

2)]

2

=1 + sen x.

V. cos4x - sen4x = 2cos2 - 1.


A) I, II e III B) II, III e IV C) III, IV e V D) todas E) nenhuma

Questão 02

Seja a função f(x) = 1 + 3sen(2x + π/4). O domínio (D), o período (P) e a imagem (Im) de f(x) são, respectivamente:

A) D= ℝ; P= 2π; Im= [-1; 1]. B) D= ℝ∗; P= π; Im= [-3; 3]. C) D= ℝ+

∗ ; P= 2π; Im= [-2; 4]. D) D= ℝ; P= π; Im= [-1; 1]. E) D= ℝ; P= π; Im= [-2; 4].

29

Questão 03

(UCB 2015 - adaptado)

Com base nesses gráficos de quatro funções

trigonométricas, pode-se afirmar que:

A) O gráfico I representa a função y = sen x

B) O gráfico II representa a função y = cos(2x).

C) O período da função representada no gráfico I é maior

que 6.

D) O gráfico III representa a função y = 2cos x.

E) O gráfico IV representa a função y = 3sen x.

Questão 04

(UF-SE) Na figura abaixo, tem-se um esboço do gráfico da

função f, de ℝ em ℝ, definida por f(x) = a + b.cos x.

Os números reais “a” e “b” são tais que:

A) b = 2a B) a = 2b C) a.b = 2 D) a – b = -1 E) 2a + b = 0

Questão 05

(CEUB 2014) Considere a função f:[0; 2 π] → ℝ, definida

por:

f(x)=[sen (

x2

) + cos(x) +sen (-x2

) + cos(-x)]

2

O gráfico que melhor representa essa função f é:

A)

B)

C)

D)

E)

30

Unidade 4 – Geometria Analítica I

Questão 01

Dadas as assertivas abaixo, marque a opção que incluir apenas as corretas.

I. a distância entre os pontos A(3, 7) e B(1, 4) é 13. II. um triângulo com vértices A(0, 5), B(3, - 2) e C(-3, -2) é

isósceles com perímetro igual a 17. III. a equação 3x² + 3y² + 42x + 22y + 46 = 0 satisfaz um

ponto P(x, y) cuja distância ao ponto A(5, 3) é sempre duas vezes a distância do ponto P ao ponto B(-4, -2).

A) I B) II C) III D) I e II E) I, II e III

Questão 02

Um segmento de reta tem, em uma de suas extremidades, o ponto A(-2, -2). Sabendo que M(3, -2) é o ponto médio desse segmento, as coordenadas do ponto B(x, y) que é a outra extremidade são:

A) (8, 3) B) (4, -2) C) (8, -1) D) (4, -1) E) (8, -2)

Questão 03

Dadas as assertivas abaixo, marque a opção que incluir

apenas as corretas.

I. os pontos A(0, 2), B(-3, 1) e C(4, 5) estão alinhados.

II. sabendo que P(a, b), A(0, 3) e B(1, 0) são colineares e

que P, C(1, 2) e D(0, 1) são colineares, as coordenadas

de P são (1/2, 3/2).

III. A(-1, 3), B(2, 4) e C(-4, 10) podem ser os vértices de um

mesmo triângulo.

A) I

B) II

C) III

D) II e III

E) I, II e III

Questão 04

(UCP) A distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos (-2, -7) e (-4, 1) é:

A) 3 B) 2 C) -3 D) 1

E) 3√2

Questão 05

(FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1), (3,1) e (-1,3), o baricentro (ponto de encontro das medianas) é:

A) (1, 3/2) B) (3/2, 1) C) (3/2, 3/2) D) (1, 5/3) E) (0, 3/2)

Unidade 5 – Geometria Analítica II

Questão 01

Dadas as assertivas abaixo, marque a opção que incluir apenas as corretas.

I. o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(3, 2) e B(-3, -1) é igual a 1/2.

II. o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos L(2, -3) e T(-4, 3) é positivo.

III. o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P(3, 2) e H(3, -2) é igual a 2.

IV. o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos F(-1,4) e G(3, 2) é negativo.

A) I, II e III B) II e III C) I e IV D) I, III e IV E) I, II e IV

Questão 02

Dadas as assertivas abaixo, marque a que tiver apenas opções corretas.

I. a equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 6) e B(2, -3) é 3x + y – 3 = 0.

II. a forma reduzida da equação da reta que passa pelos pontos C(2, 7) e D(-1, -5) é y = 4x - 1.

III. a forma segmentária da equação 3x + 9y – 36 = 0 é

x/4 + y/4 = 1.

A) I e III B) II e III C) III D) I e II E) I, II e III

Questão 03

Dadas as assertivas abaixo, marque a que tiver apenas opções corretas.

I. a posição da reta 15x + 10y – 3 = 0 em relação à 9x + 6y - 1 = 0 é de paralelismo

II. as coordenadas do ponto de intersecção das retas x + 3y + 4 = 0 e 2x - 5y - 2 = 0 são P(2, -4)

III. quando duas retas forem perpendiculares, o produto do coeficiente angular delas será igual a -1.

A) II B) I e III C) III D) II e III E) I, II e III

Questão 04

(PUC-SP - adaptado) A distância do ponto O(1,1) à reta t, cuja equação é x + y - 3 = 0 é igual a:

A) 3/√5 B) √3/2 C) √2 D) 2 E) √2/2

Questão 05

As retas-suporte dos lados de um triângulo têm como

equações x + 2y - 1 = 0, y - 5 = 0 e x - 2y - 7 = 0. A área do triângulo é:

31

A) 84,5 B) 116 C) 80 D) 169 E) 47

Unidade 6 – Geometria Analítica III

Questão 01

Dada a equação reduzida da circunferência (x +3)² + (y – 1)² = 9, a equação geral da circunferência é:

A) x² + y² + 5x – 4y + 1 = 0

B) x² + y² + 6x – 2y + 1 = 0

C) x² + y² - 8x – 14y + 1 = 0

D) x² + y² - 3x – 9y + 1 = 0 E) x² + y² + 6x + 4y + 1 = 0

Questão 02

Dada a equação geral da circunferência

x² + y² - 2x + 4y – 4 = 0, o valor das coordenadas do centro (x e y) e o valor do raio ao quadrado é respectivamente, igual a:

A) 1, -2 e 3 B) 1, -2 e 9 C) -2, 1 e 3 D) 3, 1 e -2 E) 9, 1 e 3

Questão 03

A equação da circunferência que tem como centro o ponto G(3, 4) e passa pela origem é:

A) x² + y² - 6x - 8y = 0

B) x² + y² - 4x - 8y - 25 = 0

C) x² + y² - 4x - 8y - 16 = 0

D) x² + y² - 8x + 4y = 0

E) x² + y² - 4x - 8y - 37 = 0

Questão 04

Dada a equação de circunferência x² + y² + 6x – 8y = 0 e as

equações de reta 2x + y – 1 = 0, 3x + 4y +3 = 0 e 6x + 8y + 36 = 0, temos que a posição relativa entre as retas e a circunferência são respectivamente:

A) secante, tangente e exterior. B) exterior, secante e secante. C) exterior, secante e exterior. D) secante, exterior e tangente. E) secante, secante e tangente.

Questão 05

(UFBA – adaptado) O comprimento da corda determinada pela intersecção da reta r, de equação x + y - 1 = 0, com a circunferência de equação x² + y² + 2x + 2y - 3 = 0 é igual a:

A) 4

B) 2√2

C) √8

D) √2 E) 2

Unidade 7 – Geometria Analítica IV

Questão 01

(Fuvest) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é:

A) √15

B) √17

C) √18

D) √19

E) √20

Questão 02

(Fuvest) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale:

A) √5

B) 2√5 C) 5

D) 3√5 E) 10

Questão 03

(FAAP - adaptado) Unindo os pontos de intersecção da circunferência de equação x² + y² - 4y - 4 = 0 com os eixos de coordenadas, obteremos um quadrilátero. A área desse quadrilátero é aproximadamente:

A) 21,3 B) 14 C) 14,2 D) 11,2 E) 11,3

Questão 04

(UFRGS - adaptado) A reta r de equação x = 3 é tangente à

circunferência de equação x² + y² + 4x - 2y + k = 0. Nessas condições, o valor de k é igual a:

A) -20 B) 5 C) 10 D) -2 E) 10

Questão 05

As circunferências de equação x² + y² - 2x + 2y – 10 = 0 e

(x - 1)² + (y – 1)² = 4 são:

A) exteriores, sem ponto comum. B) tangentes internas. C) secantes. D) tangentes externas. E) interiores, sem ponto comum.

Unidade 8 – Geometria Analítica V

Questão 01

Dadas as seguintes assertivas, são corretos os itens:

I. a equação da parábola com foco no ponto F(3, 0) e

diretriz de equação x = -3 é y² = 12x.

32

II. a equação da parábola com diretriz y = 3 e vértice (0, 0)

é x² = -12y. III. a equação da parábola que tem foco no ponto F(1, 2) e

diretriz de equação x = - 2 é x² = 19x - 10. IV. a equação da parábola que tem diretriz x = 2 e vértice

V(-1, -3) é (y+3)² = 12(x + 1).

A) I e III B) I, III e IV C) I e II D) I, II e IV E) I, II, III e IV

Questão 02

A equação da elipse que passa pelos pontos (2, 0), (-2, 0) e (0, 1) é:

A) x² + 4y² = 4 B) x² + (y²/4) = 1

C) 2x² - 4y² = 1

D) x² - 4y² = 4 E) x² + y² = 4

Questão 03

As excentricidades das elipses 4x² + 9y² = 36, 2x² + y² = 2 e x² + 2y² = 50 são respectivamente iguais a:

A) √3/3, √3/2 e √5/2. B) √3/3, √2/2 e √2/2. C) √4/3, √2/2 e √9/2. D) √3/3, √7/2 e √2/2. E) √3/3, √7/2 e √5/2.

Questão 04

Numa hipérbole de excentricidade igual a √5, os vértices

são os pontos A1(2, 0) e A2(-2, 0). As coordenadas do foco

são:

A) F1(5√5, 0) e F2(-5√5, 0). B) F1(3√5, 0) e F2(-3√5, 0). C) F1(2√5, 0) e F2(-2√5, 0). D) F1(2, 0) e F2(-2, 0). E) F1(3√5, 0) e F2(-3√5, 0).

Questão 05

As coordenadas dos focos e as coordenadas dos vértices da hipérbole equilátera de equação x² - y² = 25 são:

A) F1(5√2, 0) e F2(-5√2, 0); A1(5, 0) e A2(-5, 0). B) F1(5√3, 0) e F2(-5√3, 0); A1(3, 0) e A2(-3, 0). C) F1(4√5, 0) e F2(-4√5, 0); A1(4, 0) e A2(-4, 0). D) F1(4√3, 0) e F2(-4√3, 0); A1(4, 0) e A2(-4, 0). E) F1(4√2, 0) e F2(-4√2, 0); A1(5, 0) e A2(-5, 0).

Unidade 9 – Polinômios e equações algébricas I

Questão 01 – Considere os polinômios

P(x) = 6x4 - x3 + 3x2 - x + 1

G(x) = 2x2 + x - 3

T(x) = (a - 1)x5 + 2bx4 - x3 - (c + 5)x2 - x + d

Q(x) = x + 2

Analise as sentenças abaixo e assinale a melhor alternativa:

I. P(x) admite 4 raízes complexas

II. x = 2 é raiz de P(x) III. Para que P(x) ≡ T(x), precisamos ter

a = 1, b = 3, c = -8 e d = 1.

IV. P(x)

G(x) = 3x2 - 2x + 7 e o resto dessa divisão é

r(x) = -14x + 22

V. O resto da divisão G(x)

Q(x) é 3

A) Apenas as afirmações I, III, IV e V estão corretas B) Apenas as afirmações I, III e V estão corretas C) Apenas as afirmações I e III estão corretas D) Todas as afirmações estão corretas E) Apenas a afirmação II está correta

Questão 02

(Unifesp) A divisão de um polinômio P(x) por um polinômio

G(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) =

x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de

G(x) por x é 2, o resto da divisão de P(x) por x é:

A) 10

B) 12

C) 17

D) 25

E) 70

Questão 03

(PUC-Camp) Se o grau dos polinômios f, g, h são, respectivamente, 4, 3 e 2, então o grau do polinômio:

A) g - h é 1 B) f + h é 6 C) f * g é 7 D) 3 * f é 12 E) g2 é 9

Questão 04

(PUC PR) Na divisão do polinômio F(x) pelo binômio f(x), do 1° grau, usando o dispositivo de Ruffini, encontrou-se o seguinte:

Qual o dividendo dessa divisão?

A) x4 + 3x3 + 6x2 - 12x + 8 B) x4 - 2x3 + 4x2 - 4x + 8 C) x - 2 D) x4 - 2x3 - 4x2 + 4x - 8 E) x4 - 2x3 - 4x2 + 4x + 8

Questão 05

(UFGO - adaptada) Considere os seguintes polinômios

p(x) = x4 - 13x3 + 30x2 + 4x - 40 e q(x) = x2 - 9x - 10. A razão

s(x) = p(x)

q(x) e a solução da inequação p(x) < 0 valem,

respectivamente:

A) s(x) = x2 − 4x + 4 e S = {x ∈ ℝ ∣ −1 < x < 10 e x ≠ 2} B) s(x) = x3 + x2 + 4 e S = {x ∈ ℝ ∣ −2 < x < 12} C) s(x) = x2 − 4x + 4 e S = {x ∈ ℝ ∣ −1 < x < 10} D) s(x) = x3 − 4x2 + 4 e S = {x ∈ ℝ ∣ x < 10 e x ≠ 2} E) s(x) = x2 + x − 1 e S = {x ∈ ℝ ∣ −1 < x < 10 e x ≠ 2}

33

Unidade 10 – Polinômios e equações algébricas II

Questão 01

Considere os polinômios P(x) = x3 + x2 - x + 2, G(x) =

x5 - 3x4 + 5x3 - 15x2 + 4x + m = 0 e Q(x) = 2x3 + x2 - 25x + 12.

I. Sabendo que uma das raízes de P(x) é -2,

podemos dizer que as outras duas são

complexas não reais.

II. Se um polinômio de grau n tem 1, 𝑖 e 2𝑖 − 1

como raízes, então n = 3

III. Se um polinômio de grau n tem 1, i e 2i - 1

como raízes, então n ≥ 3

IV. Sabendo que i e 2i são raízes de G(x), então

podemos dizer que m=-12

V. Q(x)possui 2 raízes racionais, uma positiva e

outra negativa

A) Apenas as afirmações I, II e V estão corretas

B) Apenas as afirmações I, III e V estão corretas

C) Apenas as afirmações I, III, IV e V estão corretas

D) Nenhuma afirmação está correta

E) Apenas a afirmação III está correta

Questão 02

(UERJ adaptada) As dimensões de um paralelepípedo

retângulo são dadas pelas raízes do polinômio P(x) = 3x3 −

13x2 + 7x − 1. Em relação a esse paralelepípedo, a sua

área total e seu volume total são, respectivamente:

A) 14

3 e

1

3

B) 2 e 1

3

C) 3 e 1

2

D) 14

3 e

1

2

E) 14

4 e

1

2

Questão 03

(Fuvest) O gráfico:

Pode representar a função f(x) =

A) x (x - 1) B) x2 (x2- 1) C) x3 (x - 1) D) x (x2 - 1) E) x2 (x - 1)

Questão 04

(UFOP-MG) Um polinômio é da forma p(x) = x3 + bx2 +cx + d. Considerando que p(x)é divisível por x2 − 1 e que o gráfico da função polinomial p(x) passa pela origem, qual o

valor de p(x)?

A) p(x) = x3 + 2x + 1 B) p(x) = x3 − x2 − x

C) p(x) = x3 + x2 − 3x + 4

D) p(x) = x3 − 1 E) p(x) = x3 − x

Questão 05

(Unicamp - adaptada) As três raízes da equação x3 −3x2 + 12x − q = 0, onde q é um parâmetro real, formam uma progressão aritmética. A partir dessas informações, podemos afirmar que:

A) q = −10 e 1, 3i e − 3i são raízes da equação B) q = 10 e 1, 1 − 3i e 1 + 3i são raízes da equação C) q = 5 e 1 e 3 são raízes da equação D) q = 10 e 1 e 3 são raízes da equação E) q = −5 e 1, 1 − 3i e 1 + 3i são raízes da equação

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Gabaritos: Frente 1

Q. 1 Q. 2 Q. 3 Q. 4 Q. 5

Unidade 1 B E C D C

Unidade 2 A E E E E

Unidade 3 E B E B A

Unidade 4 B C E E E

Unidade 5 B D D E E

Unidade 6 D D D E E

Unidade 7 B C B D A

Unidade 8 E D A E E

Unidade 9 D E E D C

Unidade 10 B B B A D

Gabaritos: Frente 2

Q. 1 Q. 2 Q. 3 Q. 4 Q. 5

Unidade 1 C C B B E

Unidade 2 E A D D E

Unidade 3 D E E C D

Unidade 4 D C E A B

Unidade 5 A C A D E

Unidade 6 D A B D A

Unidade 7 C E C E D

Unidade 8 B C A A D

Unidade 9 D E C B B

Unidade 10 E D B E B

Gabaritos: Frente 3

Q. 1 Q. 2 Q. 3 Q. 4 Q. 5

Unidade 1 E D C B A

Unidade 2 B E B D A

Unidade 3 E E B B D

Unidade 4 E C C B D

Unidade 5 E C A B D

Unidade 6 E C B B C

Unidade 7 E B E E C

Unidade 8 E D D D D

Unidade 9 A B D A A

Unidade 10 B D C E C

Gabarito: Frente 4

Q. 1 Q. 2 Q. 3 Q. 4 Q. 5

Unidade 1 A D B E B

Unidade 2 C D B E D

Unidade 3 D E C E A

Unidade 4 C E D D E

Unidade 5 C D B E A

Unidade 6 B B A E D

Unidade 7 D A E A C

Unidade 8 D A B C A

Unidade 9 A C C E A

Unidade 10 C A D E B

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APOSTILA DE MATEMÁTICA - galtvestibulares.com.br de Matematica - Galt...Unidade 3 Grandezas proporcionais e porcentagem II..... 03 Unidade 4 Função e função polinomial de primeiro