Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

2

APRESENTAÇÃO

Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o conteúdo da programação da 3ª série do Ensino Médio (2º Grau).

Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para resolver os exercícios.

As dúvidas que surgirem deverão ser esclarecidas com o Orientador de Aprendizagem na Sala de Matemática.

Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade. Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor.

Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las procuramos elaborar esta apostila de maneira simples e objetiva com uma metodologia auto-instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é levado a construir seu conhecimento gradativamente.

No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos que serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado.

Não escreva na apostila, use seu caderno!

META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM “Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social,

adequando seus valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes transformadores dentro de uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo que vêem e pensam”.

OBJETIVOS (Módulo 13 e 14 )

Nesta U.E. você será capaz de; - Fazer uso das operações de permutação,combinação e probabilidade;

- Reconhecer a importância do plano cartesiano no estudo da equação da reta e sua aplicação na vida cotidiana;

3

MÓDULO 13

ANÁLISE COMBINATÓRIA O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está diretamente relacionada com atividades e técnicas para contagem do número de elementos de algum conjunto. As primeiras atividades matemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação de contar objetos de um conjunto, enumerando seus elementos.

As operações de adição e multiplicação são exemplos de “ técnicas” matemáticas utilizadas também para a determinação de uma quantidade. A primeira ( adição) reúne ou junta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda ( multiplicação) é normalmente aprendida como uma forma eficaz de substituir adições de parcelas iguais.

Exemplo : 4 + 4 +4 + 4 +4 = 20 corresponde a 5 . 4 = 20

A multiplicação também é base de um raciocínio muito importante em Matemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo constitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos ( como veremos nos exemplos). Esse princípio estabelece o número de maneiras distintas( diferentes ) de ocorrer um evento.

Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise combinatória.

A partir deste módulo, você vai aprofundar o estudo dessa parte da Matemática.

EXEMPLO 1 Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará,

separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.

4

Assim, Maria dispõem de 3 x 2 = 6 maneiras ou possibilidades

diferentes de se vestir.

EXEMPLO 2 Natália vai viajar de São Paulo a Salvador, passando pelo Rio de

Janeiro. De São Paulo ao Rio de Janeiro ela pode ir de carro, de avião ou de ônibus; do Rio de Janeiro a Salvador ela pode ir de avião ou ônibus. De quantas maneiras diferentes ela pode fazer a viagem?

Solução:

Aplicando o princípio fundamental da multiplicação, temos: 3 . 2 = 6 possibilidades.

EXEMPLO 3

Quantos números naturais de dois algarismos diferentes podemos formar usando 6,7,8 e 9?

Solução: Veja o diagrama de árvore abaixo, indicando todas as possibilidades:

São Paulo Rio de Janeiro Salvador

avião carro

ônibus

Avião

ônibus

três possibilidades duas possibilidades

6

7

8

9

7

8

9

689

679

678

67 68 69

76 78 79

86 87 89

96 97 98

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

(7) (8) (9)

(10) (11) (12)

Você não precisa fazer essa contagem basta aplicar o princípio fundamental da multiplicação. Você tem quatro algarismos e três possibilidades de combinação para cada um deles, portanto:

4 . 3 = 12 possibilidades

5

EXEMPLO 4 Quantos números naturais de dois algarismos podem ser formados

com os algarismos 5,6,7 e 8 ?

Solução:

Nesse caso, como não foi exigido que os algarismos sejam diferentes, existem 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e quatro para o das unidades. Logo, aplicamos o princípio fundamental da multiplicação:

4 . 4 = 16

EXEMPLO 5 De quantas maneiras diferentes é possível pintar a figura abaixo,

cobrindo os retângulos de preto ou vermelho?

Solução: Cada retângulo terá duas possibilidades : preto ou vermelho. Logo o

número total de possibilidades é, pelo princípio fundamental de multiplicação : 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 26 = 64

EXEMPLO 6 As placas de automóveis eram todas formadas por duas letras (

inclusive K,Y e W ) seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia as placas dos carros estão sendo todas trocadas e passaram a ter três letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas de cada tipo podemos formar?

Algarismos das dezenas

Algarismos das unidades

6

Solução :

No primeiro caso, escolhendo uma letra como exemplo:

Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras (total de letras ) e cada algarismo (N) de 10 modos distintos, a resposta é:

26.26.10.10.10.10 = 6 760 000

No segundo caso

26.26.26.10.10.10.10 = 26 . 6 760 000 = 175 760 000 A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma

variedade 26 vezes maior. A diferença é de 169 000 000 , ou seja, 169 milhões de placas diferentes a mais do que anteriormente.

CURIOSIDADES DA LOTECA

Ao apostar na Loteria Esportiva você quer acertar os 13 jogos, evidentemente. Mas não é tão fácil assim.

A certeza em acertar todos os jogos seria apostar “ triplo “ nos 13 jogos, o que você não pode fazer. Ao fazer isto, faria 313 = 1 594 323 apostas ( lembre-se que 313 = 3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3 ) e a probabilidade de acertar seria igual a 1.

L L N N N N

Não esqueça: São 26 letras do alfabeto e 10 algarismos.

L L L N N N N

7

Exercícios:

1) Andréa tem 4 blusas, 3 calças e 4 pares de tênis. De quantas maneiras diferentes ela pode combinar as 3 peças?

2) O cardápio de um restaurante oferece: dois tipos de salada, dez de pratos quentes, cinco de bebida e 3 de sobremesa. Quantos pedidos diferentes é possível fazer, escolhendo um item de cada?

3) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras ligando B a C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem?

AS PERMUTAÇÕES

Nesta aula você estudará um tipo muito comum de problemas de contagem que está relacionado com as várias formas de organizar ou arrumar os elementos de um conjunto.

Organizar tais elementos é uma atividade cotidiana que inclui várias possibilidades, sendo que cada pessoa adota uma estratégia. No entanto, muitas vezes precisamos saber quantas maneiras podemos arrumar um conjunto de elementos ou simplesmente saciar a curiosidade sobre o número total de possibilidades.

Consultando um dicionário encontramos:

PERMUTAR dar mutuamente, trocar.

PERMUTAÇÃO ato ou efeito de permutar, troca, substituição;

EXEMPLO 1: De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana? SOLUÇÃO:

Ao escolher uma pessoa para ocupar a 1ª posição na fila temos 5 pessoas à disposição, ou seja, 5 opções; para o 2º lugar, como uma pessoa já foi escolhida, temos 4 opções; para o 3º lugar sobram três pessoas a serem escolhidas; para o 4º lugar duas pessoas, e para o último lugar da fila sobra apenas a pessoa ainda não escolhida.

Pelo princípio multiplicativo ou seja, multiplicando o nº de opções temos:

8

5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 opções , essa seqüência de multiplicações é

denominada fatorial e é representada pelo símbolo (!). 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120, onde o símbolo ! é chamado fatorial.

FATORIAL Sendo um nº natural , n! ( lê-se n fatorial) é o produto de todos os

números naturais consecutivos de 1 até n. EXEMPLO 1: 3 ! = 3. 2 .1 = 6

7 ! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5040 fatorial é uma multiplicação

EXEMPLO 2 Quantos são os anagramas da palavra MARTELO?

SOLUÇÃO: Cada anagrama da palavra MARTELO é uma ordenação das letras

M, A, R, T, E, L, O. Assim, o número de anagramas é o número de permutações possíveis com essas letras, ou seja:

7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

EXEMPLO 3: Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 sabem

dirigir. De quantas maneiras é possível dispor as 5 pessoas durante a viagem?

SOLUÇÃO: O banco do motorista pode ser ocupado por uma das 2 pessoas que

sabem guiar o carro e as outras 4 podem ser permutadas pelos 4 lugares restantes, logo: trocam entre si 2 . 4! = 2 . 4 . 3 . 2 . 1 = 48 maneiras sabem dirigir

Você sabe o que é um anagrama? Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca) de

letras de outra palavra. Existem também anagramas de frases, nos quais se trocam as palavras, formando-se outra frase.

Ex: CASA Casamento Amizade Amor Satisfação

Satisfação Amor Amizade Casamento

9

EXERCÍCIOS:

4 ) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra AMOR?

5 ) a) Quantos números distintos de 6 algarismos podem se formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

b) Quantos desses números são pares?

PERMUTAÇÕES ( com repetição de elementos )

Quantos anagramas podemos formar com a palavra BANANA ?

Aparecem 3 vezes a letra A e 2 vezes a letra N . Calculamos o total de 6! = 720 e dividimos pelo fatorial de 3 e pelo fatorial de 2. 6! nº total de permutações de 6 letras. 3! 2! produto das repetições possíveis com as letras A e N. 2 6 . 5 . 4 . 3 . 2! = 6 . 5. 2 = 60 3 . 2 . 1 . 2!

Uma expressão geral para permutações com objetos nem todos distintos

Havendo n elementos para permutar e dentre eles um elemento se repete p vezes outro elemento se repete q vezes, temos:

n!

p! q!

No exemplo anterior, você viu que podemos ter mais de 2 elementos que se repetem. Neste caso, teremos no denominador da expressão o produto dos fatoriais de todos os elementos que se repetem.

Uma fração com fatoriais no numerador e no denominador pode ser facilmente simplificada.

Observe os exemplos:

a) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6! = 10 . 9 . 8 . 7 = 5040 6! 6!

10

b) 5! = 5! = 1

= 1

7! 7 . 6 . 5! 7 . 6 42

2 c) 5! = 5 . 4 . 3! = 5 . 4 = 20 = 10 3! 2! 3! 2! 2 . 1 2

EXERCÍCIOS: 6 ) Quantos são os anagramas da palavra PARANÁ ?

PERMUTAÇÕES CIRCULARES

A expressão geral do número de permutações circulares será o número total de permutações, n!, dividido pelas n vezes que cada roda equivalente foi contada: n! = n . ( n – 1 ) ! = ( n – 1 ) ! n n

EXEMPLO 1: Quantas rodas de ciranda podemos formar com 8 crianças?

SOLUÇÃO:

Podemos formar 8! = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 rodas diferentes. 8

EXEMPLO 2: Se no encontro de 7 presidentes as reuniões fossem ocorrer ao redor

de uma mesa, de quantas maneiras poderíamos organizá-los?

SOLUÇÃO:

7! = 6! = 6.5.4.3.2.1. = 720 posições circulares diferentes 7

EXERCÍCIOS:

7 ) De quantos modos 9 pessoas podem formar uma roda de ciranda?

11

AS COMBINAÇÕES

Até agora você estudou problemas de análise combinatória que envolvia o princípio multiplicativo e as permutações.

Se você observou os problemas de permutações apresentados, percebeu que possuem duas características em comum:

todos os objetos são usados na hora de formar o agrupamento;

a ordem em que os objetos são arrumados no agrupamento faz diferença.

Nos problemas que envolviam anagramas com as letras de uma palavra, por exemplo, todas as letras da palavra original tinham de ser usadas, e a ordem em que arrumávamos as letras era importante, pois cada ordem diferente fornecia um novo anagrama.

Agora, você estudará um tipo diferente de problema em que:

há um grupo grande de elementos e desse grupo formamos grupos menores,

não utilizamos todos os objetos;

a ordem em que os objetos são arrumados “não faz diferença”. Vamos começar a compreender .Leia e resolva o problema.

EXEMPLO 1: Em uma obra havia três vagas para pedreiro. Cinco candidatos (grupo

grande) se apresentaram para preencher as vagas. De quantas formas o encarregado da obra pode escolher os três (grupo menor) que ele precisa?

SOLUÇÃO: Note que não vai usar todos os candidatos, de 5 escolherá apenas 3. Além disso, a ordem em que ele vai escolhê-los não faz diferença (se

escolher primeiro João, depois José e por último Pedro, ou primeiro José, depois Pedro e por último João, o grupo escolhido será o mesmo).

Esse tipo de agrupamento chama-se combinação. No caso do nosso exemplo, temos uma combinação de 5 objetos (os 5 candidatos) 3 a 3 (apenas 3 serão escolhidos).

Vamos supor que temos n objetos disponíveis para escolha e que, destes, vamos escolher p objetos (p<n). O número de maneiras de se fazer essa escolha chama-se combinação e representa-se por C. Portanto, o número de combinações de n elementos p a p é calculado por: p C = n!

n (n – p)! p!

Onde : n = nº de elementos

P = nº de elementos

de cada grupo

12

Em nosso exemplo, temos n = 5 e p = 3. Aplicando a fórmula, obtemos: 3

C = 5! = 5! = 5 . 4 . 3! = 5 . 4 = 20 = 10 5 (5 – 3)! 3! 2! 3! 2! 3! 2.1 2

EXEMPLO 2: Determine quantas comissões de 3 alunos podem ser formadas entre

os 5 colegas que se dispuseram a representar a classe: André ( A ) Beatriz ( B ) Carla ( C ) Dario(D) Eloá ( E )

Solução : A comissão será formada por 3 alunos qualquer que seja a ordem. Assim { A,B,C} e {C,B,A} são a mesma comissão. Portanto cada comissão é uma combinação dos elementos do

conjunto tomados 3 a 3 .

CBA ,, DBA ,, EBA ,, ECB ,, EDB ,,

DCA ,, ECA ,, EDA ,, DCB ,, EDC ,,

Total = 10, isto é C3

5 = 10 usando a fórmula você obterá :

Cp

n = n! = 5! = 5.4.3! = 20 = 10

( n-p)! p! ( 5 – 3)! 3! 2! 3! 2

EXEMPLO 3:

Em um hospital há apenas 5 leitos disponíveis na emergência. Dez acidentados de um ônibus chegam e é preciso escolher 5 para ocupar os leitos. Os outros ficariam em macas, no corredor do hospital. De quantas formas poderíamos escolher 5 pessoas que ficariam nos leitos?

SOLUÇÃO: Na realidade, os responsáveis pela emergência estudariam cada caso

e escolheriam os mais graves, mas imagine que todos tenham a mesma gravidade.

Onde n = 5 p = 3

13

Nesse caso, há duas coisas a observar: de 10 pessoas, 5 serão escolhidas e a ordem em que a escolha é feita não importa. Trata-se, então, de uma combinação onde:

n = 10 (número de “objetos” disponíveis) p = 5 (número de “objetos” a serem escolhidos)

Usando a fórmula, temos:

5 = 10! = 10! = 10 . 9 . 8. 7 . 6 . 5! = 10 .9 . 8. 7. 6 = 10 (10 – 5)! 5! 5! 5! 5! 5! 5!

= 30240___ = 30240 = 252 5. 4. 3. 2. 1 120

Logo, há 252 formas de escolher as 5 pessoas que irão ocupar os 5 leitos.

EXERCÍCIOS:

8 ) Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar num grupo de sete pessoas ?

9 ) Uma quituteira faz 10 tipos diferentes de docinhos e 15 qualidades de salgadinhos. Para organizar uma festa, Lúcia vai escolher 10 tipos de salgadinhos e 6 tipos de docinhos diferentes. De quantas formas ela pode escolhê-los?

Sugestão: Use duas vezes a fórmula da combinação. Primeiro para os docinhos e depois para os salgadinhos.

O CONCEITO DE PROBABILIDADE

C

14

15

Veja outros exemplos de experimentos aleatórios: 1 ) O lançamento de uma moeda Não se pode determinar o resultado, antes de efetuar o lançamento da

moeda. 2 ) A aposta em jogo qualquer da Loteria Esportiva. Não se pode prever o resultado, antes do jogo ser efetuado. 3 ) A disputa de par ou ímpar. Não se pode prever o resultado, se par ou ímpar, antes da disputa.

Daremos início ao estudo das probabilidades. Quando usamos probabilidades?

Você ouviu falar desse assunto em situações como: a probabilidade de ser sorteado, de acertar numa aposta, de um candidato vencer uma eleição, de acertar o resultado de um jogo etc. Portanto, “usamos probabilidades em situações em que dois ou mais resultados diferentes podem ocorrer e não é possível saber, prever, qual deles realmente vai ocorrer em cada situação”.

Ao lançar para o alto uma moeda e quiser saber se o resultado é cara ou coroa, não podemos prever o resultado mas podemos calcular as chances de ocorrência de cada um. Este cálculo é a probabilidade de ocorrência de um resultado.

Por meio dos exemplos abaixo você aprenderá o cálculo de probabilidades.

EXEMPLO 1: Qual a chance de dar cara no lançamento de uma moeda? SOLUÇÃO: Raciocinando matematicamente os resultados cara e coroa têm as

mesmas chances de ocorrer. Como são duas possibilidades (cara ou coroa) podemos dizer que a chance de dar cara é de 1 para 2. Isto é o mesmo que dizer que a probabilidade de o resultado ser cara é ½ (1:2) ou 0,5 ou 50%.

Neste exemplo você Calculou intuitivamente a probabilidade do resultado ser cara e você deve Ter percebido que a probabilidade de dar coroa é a mesma, 50%.

No entanto, quando dizemos que a probabilidade é ½ ou 50% isso não significa que a cada 2 lançamentos um vai ser cara e o outro vai ser coroa. O fato da probabilidade ser ½ ou 50% quer dizer apenas que as chances são iguais e que, se fizermos muitos lançamentos, é provável que aproximadamente metade deles dê cara como resultado.

16

EXEMPLO 2: No lançamento de um dado qual a probabilidade do resultado ser um

número par? SOLUÇÃO:

Para que o resultado seja par devemos conseguir:

Assim, temos 3 resultados favoráveis (2, 4 ou 6) em um total de 6 resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6).

As chances de dar um resultado par são 3 num total de 6. Então, podemos dizer que a probabilidade de isso acontecer é 3/6 ou ½.

Generalizando essa solução:

P (par) = nº de resultados favoráveis = 3 = 1 = 50% nº total de resultados possíveis 6 2

Onde P (par) significa probabilidade de o resultado ser par.

Nos três exemplos que acabamos de ver há dois ou mais resultados possíveis, todos com a mesma chance de ocorrer. A probabilidade de ocorrer um desses resultados ou um conjunto de resultados que satisfaçam uma condição ou exigência. E, é representado por p (E) e calculado por:

p (E) = nº de resultados favoráveis a E

nº total de resultados possíveis

EXEMPLO 3:

Numa urna estão 10 bolas de mesmo tamanho e de mesmo material, sendo 8 pretas e 2 brancas. Pegando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade de ela ser branca?

SOLUÇÃO:

p (branca) = nº de bolas brancas = 2 = 1 = 20% nº total de bolas 10 5

17

EXEMPLO 4: De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas retiramos uma

das cartas ao acaso. Qual a probabilidade de: a) ser um ás? b) Ser um coringa, em jogos que também consideram o 2 como

coringa?

SOLUÇÃO: O número total de cartas é 54 sendo que há 13 cartas (às, 2 a 10,

valete, dama, rei) de cada um dos 4 naipes (copas, ouro, paus e espadas) e 2 coringas.

a) p (ás) = nº de ases existentes = 4 = 0,07 = 7% nº total de cartas 54

b) Como as 4 cartas com o nº 2 também são consideradas coringas, a probabilidade de tirar um coringa será:

p (ás) = nº de coringas = 6 = 0,11 = 11% nº total de cartas 54

VOCÊ VENCEU !! Qual é a probabilidade de você existir ? Podemos dizer que a nossa vida tem início com uma competição

esportiva: uma corrida que reúne 225 milhões de espermatozóides. Nessa corrida pela vida, o percurso é coberto em cerca de 8 horas. A

meta final é o óvulo da mãe. Só o vencedor sobrevive. Se todos esses espermatozóides pudessem fecundar os óvulos,

teríamos milhões de indivíduos diferentes. Assim, a chance que você teve de nascer foi de 1 ou, simplesmente 0,0000004%.

225000000

EXERCÍCIOS: 10 ) De um baralho de 52 cartas é retirada uma carta ao acaso. a )Qual a probabilidade de a carta retirada ser um rei? b )Qual a probabilidade de a carta retirada ser uma figura (valete,

dama ou rei)?

11 ) No lançamento de um dado: a) qual a probabilidade de o número obtido ser menor ou igual a 4?

b) E de ser obtido o número 1

18

GABARITO:

1 ) 48

2 ) 300

3 ) 12

4 ) 24

5 ) a ) 720 b ) 360

6 ) 120

7 ) 40320

8 ) 35

9 ) 630630

10 ) a ) 4/52 ou 7,69% b ) 12/52 ou 23%

11 ) a ) 4/6 ou 66% b ) 1/6 ou 16%

19

Módulo 14

INTRODUÇÃO A GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA

Com a Geometria Analítica é possível dar uma interpretação geométrica (através de medidas e retas), a equações com duas variáveis (letras).

A utilização do método cartesiano (gráficos) contribuiu decisivamente para o progresso das ciências.

As representações cartesianas são utilizadas, entre outras coisas, para:

Mostrar a variação da temperatura de um doente;

Perceber a variação da inflação;

Registrar o resultado de uma pesquisa;

Localizar um ponto qualquer no globo terrestre, etc. Você pode localizar qualquer lugar do mundo. Para isso bastam duas

indicações que se “juntam” (latitude e longitude), para formar um ponto. A associação de pontos com números é a base da Geometria

Analítica.,também chamada de Geometria de Coordenadas e baseiam-se nos eixos X (horizontal) e Y (vertical).

Você já estudou como se localiza pontos no referencial cartesiano, mas é necessário recordar para entender este módulo. Veja:

1- um ponto é formado por um par ordenado de números, onde o 1º número é o X e o 2º é o Y. ( X , Y )

Veja o plano cartesiano desenhado abaixo e observe as localizações dos pontos A (2 ,2 ) B (-3 , 3 ) C (-2 , -3 ) D ( 1, –2 ) E ( -2, 1 )

B.

.

D

E

X

Y

-3 -2 -1 0 1 2 3

3 2

1

-1

-2

-3

A

C .

20

XA é um número do eixo X XB é um outro número do eixo X

Observe que os dois pontos A e B tem o mesmo valor no eixo Y. Isso mostra que o segmento AB é paralelo ao eixo X

V (m/s)

60

Agora, você vai estudar outros assuntos relacionados com o referencial cartesiano.

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Com dois pontos pode-se traçar uma reta. Localizando esses pontos quaisquer na reta você tem um segmento (pedaço) de reta. Para saber a distância entre esses dois pontos ou o comprimento do segmento é necessário saber a localização desses pontos no plano cartesiano. Para isso fixa-se uma unidade de medida tanto para o eixo X como para o eixo Y.

1º caso: Os pontos A e B são extremos de um segmento paralelo ao eixo x, conforme mostra o desenho abaixo:

Definimos: Distância D (A,B ) = XB - XA

Lê-se: distância de A e B é igual ao módulo da diferença das abscissas (pontos do eixo X) de A e B

Este conceito é usado freqüentemente em física. Por exemplo: O gráfico da velocidade de um carro em função do tempo mostra quanto tempo ele permaneceu em velocidade constante. Veja o gráfico:

XA XB

A B

8 32 t (s) X1 X2

21

A B

3 6

2

X

Para determinar a resposta basta calcular a distância entre os dois valores de X usando a fórmula: D = X2 - X1 32 - 8 = 24 segundos. Portanto esse valor mostra o tempo em que o carro manteve a velocidade constante de 60 m/s. 2º Ex.: Qual a distância entre os pontos A (3,2) e B (6,2)?

Para você entender observe o plano cartesiano abaixo cujo segmento AB é paralelo ao eixo do X (abscissa):

A é 1º ponto do eixo X, logo A =(3 , 2) B é o 2º ponto de X, logo B =(6 , 2)

X1Y1 X2 Y2

Observe que Y1 = Y2 = 2 pois a reta está no mesmo ponto, portanto: D = X2 - X1 D = 6 – 3 D = 3 R: 3 unidades iguais á fixada nos dois eixos.

2º Caso: Os pontos são extremos de um segmento paralelo ao eixo y . Definimos D (A,B) = YB – YA pois XA = XB Lê-se: distância

de A e B é igual ao módulo da diferença das ordenadas ( valor de Y) dos pontos A e B.

EX.: Qual é a distância entre os pontos A(7,2) e B(7,5) D (A,B) = YB – YA = 5 – 2 = 3

R: 3 unidades de comprimento .

2

5

Y

B

A

7

22

Nos dois casos descritos onde os segmentos de reta são paralelos ao eixo X ou Y não existe coeficiente angular, pois não existe inclinação da reta.

3ºcaso: O segmento AB está numa reta inclinada formando com o eixo X um ângulo que pode ser maior ou menor do que 90º. Para calcular o coeficiente angular ( inclinação) aplica-se o conceito de tangente do ângulo.

tang = cateto oposto ( segmento do eixo Y) cateto adjacente ( segmento do eixo X ) O coeficiente angular é representado pela letra M e para calcular usa a fórmula:

A fórmula do coeficiente angular é a mesma da tangente. Você pode determinar a medida do ângulo (graus) olhando e comparando o resultado do coeficiente angular na coluna da tangente da tabela trigonométrica. 1º EXEMPLO: ÂNGULO MENOR DO QUE 90º (a reta é crescente e o coeficiente angular é positivo). Observe o gráfico abaixo:

COEFICIENTE ANGULAR

M = Y2 – Y1

X2 – X1

Y2 Cat. oposto

Y1

X1 X2 Cat. adjacente

4 5 X X1 X2

Y

Y2 4

Y1 1

No gráfico ao lado a reta inclinada forma com o eixo X um ângulo menor do que 90º.

Aplicando a fórmula você determina o coeficiente angular que a

reta tem com o eixo do X

23

M = Y2 – Y1 = 4 - 1 = 3 = 3 X2 – X1 5 – 4 1

Na física podemos enumerar uma infinidade de exemplos desse gráfico que representa uma função crescente, tais como:

- o espaço percorrido por um carro em determinados instantes, - a velocidade desse carro em função do tempo decorrido, - a elevação da temperatura de uma pessoa durante um intervalo de

tempo, etc.

Exemplo: O espaço percorrido por um móvel pode ser dada através de um gráfico

identificando a posição (eixo vertical) em m (metros) em função do tempo ( eixo horizontal) em s ( segundos), onde S é o espaço percorrido.

1- Qual o coeficiente angular ( nesse caso, a velocidade média), entre os pontos A e B?

Na física a velocidade média é dada pela fórmula: V = S2 - S1 que é a mesma do coeficiente angular, portanto t2 - t1

V = 30 – 10 = 20 = 5m/s ( coeficiente angular) do segmento AB. 4 - 0 4

30

20

10

0 2 4

S(m)

A

B

Olhando na coluna da tangente da tabela trigonométrica verificamos que a medida em graus que mais se aproxima do valor 3 do coeficiente angular encontrado é aproximadamente 72º

24

2º EXEMPLO: ÂNGULO MAIOR DO QUE 90º ( a reta é decrescente e o coeficiente angular é negativo, portanto o 1º ponto é ( 1 , 7 ) e o 2º é ( 5 , 2 ) X2 Y2

M = Y2 - Y1 = 2 - 7 = - 5 = - 5 = - 1,25 X2 - X1 5 - 1 4 4

Este gráfico mostra a variação decrescente de uma função. Veja alguns exemplos aplicado em física.:

- a diminuição da velocidade em função do tempo ( aceleração negativa),

- a diminuição da temperatura de uma pessoa em função do tempo, etc.

EXEMPLO Quando você caminhar pelas ruas de Votorantim observe que

algumas apresentam declividade ou coeficiente angular. Leia o texto da figura.

A inclinação de uma reta é chamada coeficiente angular (ou gradiente).

Em alguns países você vê coeficientes angulares nos sinais de trânsito para indicar subida muito íngreme (difícil de subir).

X1 Y1

No gráfico ao lado a reta inclinada forma com o eixo X um ângulo maior do que 90º. Por essa reta passsam dois pontos: ( 1 , 7 ) e ( 5 , 2 ) X1 Y1 X2 Y2

1 5 X

X1 X2

Y

Y1 7

Y2 2

25

EXERCÍCIOS: 1. Localize os pontos e calcule o coeficiente angular da reta:

Vista parcial da Av. Luiz do Patrocino Fernandes 2) Ao descer a Av. Luiz do Patrocino Fernandes observe a sua

declividade. Tome como referência a escola EMEF “Profº Abimael Carlos de Campos, que está localizada no ponto A ( -10 , 631) e, a primeira casa da Avenida, localizada no ponto B ( 10 , 36 ), em relação a linha de trem, que representa o eixo X. O canteiro central da avenida representa o eixo Y. Determine o coeficiente angular desse intervalo da avenida, observando o gráfico que está representando o problema aplicando a fórmula.

X1 , Y1 ( -10 , 631)

(10 ,36)

Y

X

A escola está localizada na calçada de nº ímpar

e a casa na outra calçada. O canteiro

central é o ponto zero

Y2 19

Y1 4

0 3 X1 X2

26

EQUAÇÃO GERAL DA RETA

X - X1

= Y - Y1

X2 - X1 Y2

-

Y1

3. Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos: A ( - 6 , 2 ) e B ( 4 , -7). Preste atenção na regra de sinais ao

substituir os números negativos na fórmula.

4. O crescimento Y de uma cultura biológica passa de 8 cm² para 10cm², enquanto o tempo X aumenta de 1 para 2 horas. Se a taxa média de crescimento é representada pelo coeficiente angular da reta que passa por esses dois pontos, determine essa taxa média de crescimento.

Observação: para resolver, determine os pontos e aplique a fórmula do coeficiente angular. Se quiser faça o esquema do gráfico.

EQUAÇÃO GERAL DA RETA A equação geral da reta é dada pela função linear ( 1º grau )

representada pela fórmula aX + bY + c = 0 onde:

a é o nº que acompanha a variável X b é o nº que acompanha a variável Y c é o nº que não tem variável.

OBSERVE O EXEMPLO: 4X –2Y +10 a b c

Para determinar a equação da reta é necessário que se conheça dois pontos que pertençam a ela para aplicar a fórmula:

LEMBRE-SE que o 1º ponto é formado por (X1 , Y1 ) e o 2º ponto por (X2 , Y2).

a = 4 b = -2 c = 10

27

1º EXEMPLO: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A e B, sabendo que A ( 1 , 2 ) e B ( 3 , 5 )

para aplicar a fórmula você precisa determinar os valores de X1 = 1 Y1 = 2 X2 = 3 Y2 = 5

X - X1 = Y - Y1 SUBSTITUINDO AS LETRAS PELOS NÚMEROS X2 - X1 Y2 - Y1

X - 1 = Y - 2 3 - 1 5 - 2

X - 1 = Y - 2 EFETUA-SE A MULTIPLICAÇÃO APLICANDO A 2 3 PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA, isto é, multiplica pelos dois termos dos numeradores)

3 . ( X - 1) = 2 . (Y - 2) =

3X - 3 = 2Y - 4 (A EQUAÇÃO TEM QUE SER IGUAL A ZERO PORTANTO TROCAM-SE OS SINAIS DOS TERMOS QUE PASSAM PARA O 1º MEMBRO DA IGUALDADE)

3X – 3 - 2Y + 4 = 0 (REDUZ OS TERMOS SEMELHANTES)

3X - 2Y + 1 = 0 É A EQUAÇÃO DA RETA

2º EXEMPLO: Determine a equação da reta que passa pelos pontos (2 , -1) e (-3, 2)

X - X1

= Y - Y1 SUBSTITUINDO PELOS NÚMEROS X2 - X1 Y2 - Y1

X - 2 = Y - (-1) ( USE A REGRA DE SINAIS) -3 - 2 2 - (-1)

X - 2 = Y + 1 = (MULTIPLICANDO) -5 3 3X - 6 = -5Y - 5 3X - 6 + 5Y +5 = 0 3X +5Y - 1 = 0 EQUAÇÃO DA RETA

X1 = 2 Y1 = -1

X2 = -3 Y2 = 2

1º ponto

2º ponto

28

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Reduzir é deixar a equação geral da reta (aX + bY + c ) em função da

variável Y.

Veja o exemplo: 3X +5Y - 10 = 0 EQUAÇÃO DA RETA (isola-se o termo com Y,

passando os outros termos para o outro membro, trocando os sinais) 5Y = - 3X + 10 Y = - 3X + 10 OU

5 Y = -3X + 10 Y = -3X + 2

5 5 5

OBSERVAÇÃO: Na equação reduzida você encontra o coeficiente angular e o

coeficiente linear sem usar fórmulas. No exemplo acima você tem: Y = -3X + 2

5 onde -3 é o coeficiente angular e +2 é o coeficiente linear .

5

Exercícios:

5. Determine em cada caso a equação da reta que passa pelos pontos: a) ( 1 , 3) e ( 2 , 5)

b)

6. Escreva a equação da reta 4X - 5Y -10 = 0 na forma reduzida ( em função de Y)

Y

7 4 1 2 X

29

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA NO PLANO CARTESIANO

Para determinar a distância entre o ponto P e a reta r (olhe o gráfico), você aplica a fórmula:

OBSERVAÇÃO: as duas barras verticais da fórmula representam o valor absoluto do número, isto é, sem sinal positivo ou negativo pois não existe medida negativa da distância.

1º Exemplo: Qual a distância entre o P.A. (Pronto Atendimento) de Votorantim em

relação a Avenida 31 de março sabendo-se que o P.A. está localizado no ponto (800 , 392) e a reta da avenida é determinada pela equação: 4X – 5Y + 40 = 0

Substituindo os valores a = 4 b = - 5 c = 40 e X = 800 Y = 392 na fórmula,

D = a . X + b .Y + c D = 4 . 800 – 5 . 392 +40 D = 3200 – 1960 +40

b² a² 5² 4² 25 16

D = 1280 = 1280 = D = 200 41 6,4

A distância entre o P.A. e a Av. 31 de março é de 200m.

2º Exemplo: Calcular a distância do ponto P( 5 , 4 ) à reta 1X + 2Y – 9 = 0 D = a . X + b . Y + c

b² a²

D = 1. 5 + 2 . 4 – 9 = 5 + 8 – 9 = 4 = 1,8 2² 1² 5 2,2

.P (X , Y)

r

D = a . X + b .Y + c onde a,b,c são os

b² a² coeficientes da reta e X , Y os nº do ponto.

X Y a b c

30

EXERCÍCIOS:

7. Determine a distância do ponto ( 3 , 2 ) à reta 3X + 4Y – 29 = 0

8. Um menino está soltando pipa e a linha esticada está representada pela equação da reta 3X + 4Y +20 = 0 A ponta de uma antena de TV está distante da linha no ponto P (80 , 60). Determine a distância, em metros, entre a ponta da antena e linha da pipa.

CONDIÇÃO PARA QUE DUAS RETAS SEJAM PARALELAS

1- Duas retas são paralelas quando tem o mesmo coeficiente angular .

Mr = Ms

P ( 80 , 60 )

Use a fórmula da distância entre um ponto e uma reta

r s

Exemplo:

Y = 3X - 9 ( equação da reta r )

Y = 3X + 2 (equação da reta s ) então 3 é o coeficiente angular de r e s, logo Mr = Ms = 3

31

2-Duas retas são perpendiculares (formam entre si ângulos de 90º) quando

o coeficiente angular de uma é igual ao inverso do coeficiente angular da outra reta.

Os coeficientes têm sinais contrários.

Mr = - 1 Ms

GABARITO 1º 5

2º -29, 75

3º - 9

10

4º 2cm²

5º a) 2X – Y +1 = 0 b) 3X – Y +1 = 0

6º Y = 4X - 10 ou Y = 4X – 2 5 5 5 7º D = 2,4

8º A distância entre a torre e a pipa é 100m

r

s

Ms

Mr

Exemplo:

Y = 3X - 9 ( equação da reta r)

Y = - 1 X + 2 (equação da reta s) 3 então 3 é o coeficiente angular de r e - 1

é o coeficiente angular de s, 3

logo Mr = - 1

Ms

32

Bibliografia:

Desenhos ilustrativos tirados dos livros:

BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.

IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999.

SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997.

ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:

- Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans

COLABORAÇÃO:

- Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos

DIREÇÃO:

- Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper

COORDENAÇÃO:

- Neiva Aparecida Ferraz Nunes

APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim

This document was created with Win2PDF available at http://www.win2pdf.com.The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.This page will not be added after purchasing Win2PDF.