Apostila de Matemática - Ens Fund - Caderno 01 Geometria

8/14/2019 Apostila de Matemtica - Ens Fund - Caderno 01 Geometria

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ESTADO DO PARANSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAO

DEPARTAMENTO DE ENSINO DE JOVENS E ADULTOS

MATEMTICAENSINO FUNDAMENTAL FASEII

CADERNO 1


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GOVERNO DO ESTADO DO PARAN Jaime Lerner

SECRETRIA DE ESTADO DA EDUCAOAlcyone Saliba

DIRETORA GERAL DA SEEDSnia Loyola

CHEFE DO DEPARTAMENTO DE ENSINO SUPLETIVORegina Clia Alegro

ASSISTENTE TCNICO ADMINISTRATIVOAnnete Elise Siedel

EQUIPE ELABORADORA (1 VERSO)Cristina N. Nakamura - CEEBJA de Maring

Leoni Teresa M. Brudzinski - CEEBJA de MaringSachika Sakai Takizawa - CEEBJA de Maring

Vera Lcia G. T. Sanches - CEEBJA de Maring

EQUIPE COLABORADORAGraa Rejane C. Montanher - CEEBJA de Maring

Mafalda D. Nascimento - CEEBJA de Nova Londrina

Missayo Yamada - CEEBJA de Jandaia do SulNeide Aparecida de S. Moreira - CEEBJA de Jandaia do Sul

Neuza Pinto - CEEBJA de Paranava

EQUIPE REVISORACristina Nishioka Nakamura - CEEBJA de MaringMirian Nazar B. Damaceno - CEEBJA de Maring

EQUIPE REVISORA (VERSO ATUAL)CEEBJA Paulo Freire

CEEBJA SESI-CIC

CAPARosngela Gonalves de Oliveira

ILUSTRAOHenrique Cesar Alves de Cerqueira

Jairo de Carvalho

DIAGRAMAOLuiz Carlos Tavares de S


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Este material foi preparado com a inteno de ajud-lo a compreender

idias e conceitos importantes da Matemtica e a suas relaes com a vida diria.

Esperamos que, quando necessrio, voc possa aplicar esses conhecimentos em

situaes novas, resolvendo seus problemas do dia-a-dia.

Ele foi escrito numa linguagem simples e informal, cuja a inteno lev-

la a compreenso dos assuntos bsicos da Matemtica, da maneira mais clara

possvel.

Os conhecimentos matemticos foram construdos ao longo do tempo e,

por acharmos importante para voc, apresentamos tambm alguns aspectos

histricos dessa construo.

Nossa expectativa que esse material torne til e interessante o seu Curso

de Matemtica de 5 a 8 srie de 1 grau.

EQUIPE ELABORADORA

APRESENTAO


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UNIDADE 1 INTRODUO GEOMETRIA ........................................... 05

1. Slidos Geomtricos.............................................................................. 06

2. Figuras Planas e Espaciais ..................................................................... 10

3. ngulos ................................................................................................ 15

4. Posio Entre Duas Retas...................................................................... 20

5. Tringulos ............................................................................................. 22

6. Quadrilteros......................................................................................... 26

UNIDADE 2 SISTEMA DE MEDIDAS ........................................................ 29

1. Medidas de Comprimento...................................................................... 29

2. Medidas de Superfcie .......................................................................... 36

3. Medidas de Volume............................................................................... 45

4. Massa .................................................................................................... 49

BIBLIOGRAFIA................................................................................................ 53

NDICE


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GOVERNADOR DO ESTADO DO PARAN

SECRETRIA DE ESTADO DE EDUCAO

DIRETORA GERAL DA SEED

SUPERINTENDENTE DE GESTO DE ENSINO

CHEFE DO DEPARTAMENTO DE ENSINO PARA JOVENS E ADULTOSRegina Clia Alegro

ASSISTENTE TCNICO ADMINISTRATIVOAnnete Elise Siedel

EQUIPE ELABORADORACristina N. Nakamura CEEBJA de MaringLeoni Teresa M. Brudzinski DEJAMirian N. B. Damaceno CEEBJA de MaringSachika Sakai Takizawa CEEBJA de MaringVera Lcia G. T. Sanches CEEBJA de Maring

EQUIPE COLABORADORAGraa Rejane C. Montanher CEEBJA de MaringMafalda D. Nascimento CEEBJA de Nova LondrinaMissayo Yamada CEEBJA de Jandaia do SulNeide Ap. de S. Moreira CEEBJA de Jandaia do SulNeuza Pinto CEEBJA de Paranava

EQUIPE REVISORA

Cristina Nishioka Nakamura CEEBJA de MaringMirian Nazar B. Damaceno CEEBJA de Maring

CAPARosngela Gonalves de Oliveira

ILUSTRAOHenrique Cesar Alves de CerqueiraJairo de Carvalho

DIAGRAMAOLuiz Carlos Tavares de S


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Na histria da Matemtica existem documentos que mostram a geometriapresente na vida do homem h mais de 4500 anos. Surgiu da necessidade do homemde medir terras. Vem da o seu nome de origem grega: Geo que significa terra emetria que significa medida.

Hoje em vrios campos de trabalho necessrio recorrer geometria, emespecial na Engenharia, Fsica, Qumica, Eletrnica, etc.

Vamos comear o estudo da geometria explorando o espao ao nosso redor,observando as formas da natureza e as formas das coisas construdas pelo homem.

Formas da natureza:

UNIDADE 1INTRODUO GEOMETRIA


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Observando as formas da natureza o homem constri pontes, viadutos,edifcios...

As formas da natureza e das coisas construdas pelo homem, tambm sotransportadas para os objetos que usamos no nosso dia-a-dia:

Observe e responda:

a) Quais destes objetos possuem s superfcies planas?b) E quais possuem superfcies curvas?

c) Cite alguns objetos que voc conhece que tm superfcies planas.d) E alguns que tm superfcies curvas.

1 SLIDOS GEOMTRICOS


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Da observao das formas dos objetos, o homem teve a idia derepresent-los atravs de modelos:

Esses modelos so chamados slidos geomtricos.

A palavra poliedro tem origem grega e quer dizer muitas faces.(Polimuitos e edroface).

Veja:

Os slidos geomtricos que possuem superfcies curvas so chamadoscorpos redondos

Os slidos limitados por figuras geomtricas planas so chamadosoliedros


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Agora, observe os slidos abaixo e marque com a letra R os que tmformas arredondadas e com a letra P os que tm forma polidrica.

Se observarmos a natureza ou objetos feitos pelo homem, verificamosdiversas formas semelhantes aos slidos geomtricos.

Exemplos:Observe a caixa abaixo:

Essa caixa tem forma semelhante ao slido geomtrico chamado de

paraleleppedo, que pode ser representado conforme a figura abaixo:

Veja outros exemplos de formas geomtricas:


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Agora, observe os poliedros abaixo:

Com base no que voc observou, responda:

a) Quais desses poliedros acima tm faces laterais triangulares?b) Quais desses poliedros tm faces laterais quadrangulares?

Esses poliedros que possuem faces laterais triangulares so chamados depirmides.

Os demais poliedros acima (a, c, d, e, g) so chamados prismas.


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ATIVIDADE - 1

1) Escreva nomes de objetos que voc conheceu que tenham formas de:

a) Cilindrob) Conec) Cubo

d) Esferae) Paraleleppedof) Pirmide

2) Escreva o nome dos slidos semelhantes a estes objetos:

POLGONOS

Passe o lpis contornando uma das faces de um caixa de sapatos. Se voc

contornar a face retangular, obtm uma figura plana que o retngulo.

Como essa figura no apresenta espessura, uma figura plana.

2 FIGURAS PLANAS E ESPACIAIS


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Os desenhos seguintes mostram alguns poliedros e as figuras planasoriginadas dos contornos de cada uma de suas faces. Complete colocando onome do poliedro e da figura plana:


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As faces dos poliedros so figuras planas chamadas de polgonos.A palavra polgono quer dizer muitos ngulos. (Polimuitos e

gonongulos).O nome de um polgono est relacionado ao nmero de lados ou de

ngulos desse polgono. O nmero de lados igual ao nmero de ngulos.

Nmero de ladosou de ngulos

Nome

3 Tringulo4 Quadriltero5 Pentgono6 Hexgono7 Heptgono8 Octgono

9 Enegono10 Decgono11 Undecgono12 Dodecgono15 Pentadecgono20 Icosgono

CRCULO E CIRCUNFERNCIA

Se voc contornar o fundo de uma lata de leo, obter uma figura plana,que denominamos de crculo.

Assim:

O contorno, comprimento do crculo, chamado de circunferncia.

Cuidado! No confunda crculo com esfera. Crculo uma figura plana eesfera uma figura espacial.

Como voc j sabe, figura plana no apresenta nenhuma espessura como oquadrado, tringulo, retngulo, crculo.

A caixa de sapatos, a lata de leo, a bola so figuras espaciais, poisapresentam espessura.


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POLGONOS REGULARES

Use a rgua e mea os lados dos polgonos abaixo. Em seguida use otransferidor e mea os ngulos dos mesmos.

O que voc observa em relao s medidas dos lados e dos ngulos decada polgono?

Se voc respondeu que todos os lados de cada polgono tm o mesmo

comprimento e todos os ngulos tm a mesma medida, acertou!

O polgono que apresenta essas caractersticas, chamado de polgonoregular.

ATIVIDADE II

1) Faa a mesma coisa com os polgonos abaixo:


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2) Podemos considerar como polgono regular as figuras do exerccio 1?

Justifique sua resposta.

3) Observe as figuras abaixo e marque com a letra p as que representamfiguras planas e com a letra e, as que representam figuras espaciais:


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NOES DE NGULOS

As noes de ngulo so muito importantes para as atividades quedesenvolvemos no nosso dia-a-dia. Vejamos alguns exemplos:

1) Voc iluminador de teatro e com alguns holofotes tem queiluminar o palco e s o palco. Como resolveria essa situao?

Resolveria simplesmente usando para localizao dos holofotes, ageometria, ou melhor, ngulos adequados.

2) Para que o salto em distncia de um atleta seja o mais longopossvel necessrio utilizar as noes de ngulos.

3) Para localizar uma cidade no mapa ou uma jogada na batalhanaval, novamente voc vai usar ngulo.

Discuta com seus colegas e professor de que maneira a noo de ngulo importante no desenvolvimento dessas atividades.

Assim, usamos as noes de ngulos, tambm, para ajuste de antenas,localizao de meridianos e paralelos da Terra, deslocamento de astros,lanamento de msseis, rotas areas e martimas, construo de paredes, rampas,carros de corridas, etc.

Na antigidade, povos como os egpcios, babilnicos e chineses jconheciam e usavam ngulos. Naquela poca suas aplicaes principais eram naastronomia e na arquitetura.

Voc j observou os ponteiros de um relgio?

Note que, conforme as horas vo passando, a abertura entre osponteiros aumenta ou diminui.

Essa abertura formada pelos ponteiros do relgio recebe o nome dengulo.

3 - NGULOS


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Observe tambm que os ponteiros do relgio nos do idia de duas

semi-retas que saem do mesmo ponto.

Em nosso dia-a-dia, sempre nos deparamos com ngulos, veja:

REPRESENTAO MATEMTICA DE UM NGULO

Dada a figura abaixo:

Esse ngulo indicado por AB que se l: ngulo AB.

As duas semi-retas AO e OB que formam o ngulo, so os lados dongulo.

MEDIDA DE NGULO

Quando medirmos um ngulo, medimos sua abertura.

Observe a abertura dos ponteiros nos relgios das figuras 1, 2 e 3, querepresentam ngulos de medidas iguais a:

90 graus ou 90 120 graus ou 120 180 graus ou 180, respectivamente.

ngulo o espao limitado por duas semi-retas que tm a mesma origem.


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TIPOS DE NGULOS

Observe os ngulos assinalados nos canteiros 1, 2, 3 e 4 da Praa dasPalmeiras.

Vamos classific-los quanto s suas medidas:

a) Pegue o teu transferidor e mea os ngulos assinalados nos canteiros 1 e2.

Voc deve ter encontrado a medida de 90

Ao nosso redor comum o ngulo reto. Observe as paredes da sala quevoc se encontra, janelas, portas, etc.

Veja:

b) Mea o ngulo assinalado do canteiro 3. Se voc encontrou umamedida igual a 30, acertou. Esse ngulo menor que 90.

Um ngulo de 90 chamado de ngulo reto.


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Observe alguns exemplos de ngulos agudos:

c) Quanto mede o ngulo assinalado no canteiro 4?Certamente voc encontrou uma medida maior que 90.

Veja alguns exemplos de ngulos obtusos:

Vamos voltar a pensar na situao do atleta de salto em distncia. Qualseria o ngulo adequado para que seu salto seja mais longo possvel?

O ngulo adequado o de inclinao igual a 45 (quarenta e cinco graus).

Usamos tambm o ngulo 45, sempre que quisermos ter um lanamento

de projtil o mais longo possvel (salto de vara, gua com a mangueira, umabola, uma bala de um canho, msseis controlados por computador, etc.)

Todo ngulo menor que 90 chamado de ngulo agudo.

Todo ngulo maior que 90 chamado de ngulo obtuso.


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Alm do ngulo de 45 que consideramos notvel pelo seu uso, os ngulosde 30, 60, 90, 180 e 360 tambm so consideradas especiais devido a suaaplicao no cotidiano das pessoas.

Vamos observar a planta de algumas ruas de Maring:

Situao 1O cruzamento da Avenida Pedro Taques com a Avenida Bento Munhoz

da Rocha Neto forma, entre si, ngulos retos (90 graus). Ao representarmosessas avenidas por duas retas, teremos ento, as chamadas retasperpendiculares.

Veja:

Podemos, ento, concluir que:

4 POSIO ENTRE DUAS RETAS

uas retas perpendiculares formam quatro ngulos iguais, chamadosngulos retos.


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Veja outros exemplos de retas perpendiculares:

Dentre outras...

Pense e desenhe outras aplicaes de retas perpendiculares que vocencontra na vida prtica.

Agora, volte a observar a planta das avenidas de Maring e verifique sea Avenida Mau tambm mantm a relao de perpendicularismo com aAvenida Pedro Taques.

Represente, atravs de retas, as quatro avenidas citadas na situaoestudada, marcando os ngulos retos.

Situao 2

As Avenidas Bento Munhoz da Rocha Neto e Avenida Mau estorepresentadas abaixo por duas retas, observe:

Ao prolongarmos indefinidamente essas retas, elas no se encontramem nenhum ponto. Nesse caso, chamamos as retas de paralelas.

Av. Bento Munhoz da rocha Neto

Av. Mau


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Situao - 3

Ao observarmos o mapa de nosso municpio, verificamos que nemsempre as ruas mantm entre si uma relao de paralelismo ouperpendicularismo. Muitas vezes as ruas se cruzam sem no entanto formar

ngulos retos entre si.O desenho abaixo representa o cruzamento da rua A com a rua B.

Neste caso dizemos que as ruas A e B representam retas concorrentes eque concorrem no ponto P.

Podemos, ento, concluir que:

A gravura abaixo composta por formas triangulares, observe:

Os tringulos que a compe so diferentes entre si.

Voc sabe o que difere um dos outros?

Se voc respondeu que a diferena est na medida dos lados e dosngulos internos, acertou!

No estudo da geometria, os tringulos so classificados quanto aoslados e quanto aos ngulos.

uas retas concorrentes tm um nico ponto comum.

5 - TRINGULOS

Rua B

Rua APonte de interseo das duas retas


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CLASSIFICAO DOS TRINGULOS QUANTO AOS LADOSE QUANTO AOS NGULOS

Vamos retornar gravura. Observando, alguns tringulos estonumerados:

Tringulo 1:

Mea os lados e os ngulos internos do tringulo 1 e anote essesvalores.

O que voc observou em relao s medidas dos lados desse tringulo?

Se voc encontrou medidas iguais para dois lados deste tringulo,acertou.

E o que voc observou quanto medida dos ngulos internos dessetringulo?

Um dos pontos que voc deve ter observado que esse tringulo temum ngulo reto.

1

Os tringulos que possuem dois lados com a mesma medida so chamados

de tringulos issceles.

Os tringulos que possuem um ngulo reto so chamados de tringulo

retngulo.


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Tringulo 2:

Mea os lados e os ngulos internos do tringulo 2 e anote essesvalores.


Ao medir os ngulos do tringulo 2 encontrou como resultado a medidade 60 para todos os ngulos internos?

Tringulo 3

Continue, medindo agora os lados e os ngulos internos do tringulo 3.Anote esses valores.


E em relao s medidas dos ngulos internos, o que voc observou?

2

Os tringulos que possuem as medidas dos trs lados iguais so chamados

de tringulo eqiltero.

Os tringulos que possuem os trs ngulos internos agudos so chamadosde tringulo acutngulo.

3

Os tringulos que possuem as medidas dos trs lados diferentes sochamados de tringulo escaleno.

Os tringulos que possuem um ngulo obtuso so chamados de tringuloobtusngulo


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SOMA DAS MEDIDAS DOS NGULOS INTERNOS DE UMTRINGULO

Desenhe um tringulo qualquer em uma folha de papel. Recorte otringulo destacando seus ngulos, como mostra a figura seguinte:

Mea, com um transferidor, os ngulos marcados nos tringulos eescreva as medidas correspondentes a cada um.

Agora, junte os trs vrtices num nico ponto, como mostra a figuraabaixo:

Nessa experincia, qual foi a soma dos trs ngulos internos do

tringulo?

Voc deve ter encontrado 180. Caso no tenha encontrado, consulteseu professor.

Faa essa experincia com tringulos de lados e ngulos diferentes doexemplo dado e compare com o resultado da experincia acima.

Construa um tringulo que tenha todos os lados iguais. Se os lados soiguais, os ngulos tambm so iguais? Quanto mede cada ngulo?

Se voc conclui que cada ngulo de um tringulo equiltero mede 60,parabns! Acertou.

Ento, quanto medem os trs ngulos juntos?

Podemos, ento dizer que em qualquer tringulo a soma das medidas de seus

ngulos internos 180.


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Paralelogramos: Os lados so paralelos dois a dois.

Quando o paralelogramo tem todos os ngulos com medidas iguaisrecebe o nome de retngulo.

Quando o paralelogramo tem todos os lados iguais e ngulos opostosiguais, recebe o nome de losango.

Se tiver todos os lados iguais e todos os ngulos iguais um quadrado.

Trapzios: So quadrilteros que tm apenas um par de ladosparalelos.

6 - Quadrilteros


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SOMA DOS NGULOS INTERNOS DE UM QUADRILTERO

Desenhe um quadriltero qualquer em uma folha de papel. Recorte oquadriltero destacando seus ngulos como mostra a figura:

Com um transferidor, mea os ngulos que esto marcados noquadriltero e anote essas medidas.

Agora, junte os quatro ngulos em um mesmo vrtice, como mostra afigura seguinte:

Nessa experincia, qual foi a soma dos quatro ngulos internos do

quadriltero?

Se voc encontrou 360, acertou.

Faa essa experincia com quadrilteros de diversas formas e comparecom o resultado da experincia anterior.

A soma das medidas dos ngulos internos de qualquer quadriltero 360.

ATIVIDADE III

1) Observe a figura do relgio quando marca uma hora:

Em um relgio como esse, a circunferncia tem um total de 360. Quantomede o ngulo assinalado no relgio acima?


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2) Quanto mede o menor ngulo formado pelos ponteiros do relgio, s 4 h?

3) Duas estradas partem do mesmo local.a) Se uma delas vai para o Sul (S) e outra para o Norte (N), qual a medida do

ngulo que elas formam?

b) Se uma delas vai para o Sul (S) e outra para Oeste (O), qual a medida dongulo que eles formam?

4) Com um transferidor, mea os ngulos abaixo:

5) Determine os valores dos ngulos x nas figuras a seguir, sem usar otransferidor.


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Voc j deve ter observado que em nosso dia-a-dia fazemos afirmaesassim:

A bola passou um palmo da trave. A rua tem 12 passos de largura. Comprei uma bacia de caqui. Usei uma pitada de pimenta. Peguei um punhado de amendoim.

Agora, observe essa afirmao:

Para ir de minha casa escola ando apenas 295 passos.

Nessa afirmao comparo a distncia entre minha casa e a escola com ocomprimento arbitrrio de meu passo.

Essas e muitas outras unidades no convencionais, so usadas no nossocotidiano. Elas so teis e nos ajudam a resolver muitos problemas. Porm,acontece que o uso dessas unidades de medida, trazem alguns problemas.Vamos pensar um pouco sobre isso. Todos os passos so iguais? Todos ospalmos so iguais? No.

Os povos antigos sentiam necessidade de medirem suas terras ecompararem tamanhos para o comrcio com um determinado padro, pois asmedidas como p, palmo, jarda, etc. criavam muita confuso devido asvariaes.

Quando os homens perceberam que essas medidas causavam uma enormeconfuso nas relaes comerciais, comearam a estabelecer as medidaspadronizadas, como: o metro, o litro, o quilmetro dentre outras.

UNIDADE 2SISTEMA DE MEDIDAS

1 MEDIDAS DE COMPRIMENTO


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Situao - 2

Observe, agora a representao do centmetro:

Quantas vezes essa medida cabe em 1 dm? fcil observar que em 1 decmetro cabe 10 vezes 1 centmetro, ou seja,

1 dm = 10 cm.Ento, pense: Se em 1 metro cabem 10 decmetros e, em cada decmetro

cabem 10 cm, ento, em 1 metro cabem 100 cm.

Situao 3

Continuando a observar a rgua voc percebe que cada centmetro estdividido tambm em 10 partes iguais. A cada uma dessas partes, ou distncias,chamamos de milmetro (mm).

Agora pense:

Quantas vezes um milmetro cabe em um centmetro? Quantas vezes um milmetro cabe em um decmetro? E quantas vezes um milmetro cabe em um metro?

Para verificar se o que voc pensou est correto, acompanhe o raciocnio.

1 cm = 10 mm1 dm = 10 cm = 10 x 10 mm = 100 mm1 m = 10 dm 10 x 100 mm = 1000 mm

Portanto:

1 m = 10 dm = 100 cm e 1 cm = 1001 m = 0,01 m.

1 m = 1000 mm e 1 mm =1000

1 m ou 0,001 m.


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Situao 4

Se o nosso problema a determinao da distncia entre duas cidades, ouo comprimento de um rio, ou a distncia entre dois planetas, verificamos que ouso do metro no adequado. Nesse, como em outros casos onde necessrio

determinar grandes distncias, utilizamos como unidade de medida o quilmetro(km).

PERMETRO

Antnio quer fazer um galinheiro que mede 3 m por 2 m. Quantos metrosde tela sero necessrios, considerando o espao de 0,80 m para o porto?

Para resolver esse problema vamos apresentar o galinheiro pelo retnguloabaixo:

Para saber a quantia, em metros de tela, devemos descobrir quantosmetros tem o contorno do galinheiro e retirar 80 centmetros referente ao porto.Para isso, somamos as medidas dos seus lados:

2 m + 3 m + 2 m + 3 m = 10 m 80 cm = 9,20 m

Se o contorno do galinheiro mede 10 m, descontando o comprimento do

porto, quantos metros de tela Antnio dever comprar?

Em Matemtica dizemos que o contorno do retngulo, ou a soma de seuslados, representa o permetro dessa figura plana. O permetro muito usadopelos pedreiros, carpinteiros, vidraceiros, etc.

Quando a figura plana um polgono, dizemos que:

1km = 1000 m

2 m

3 m

Permetro de um polgono a soma das medidas dos lados desseolgono.


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COMPRIMENTO DA CIRCUNFERNCIA

Se voc fosse colocar renda em volta de uma toalha de mesa, redonda,com as medidas representadas no desenho abaixo, quantos metros de rendaseriam necessrios?

Suponha que o crculo abaixo tem um barbante ajustado em sua volta. Secortarmos o barbante no ponto marcado e estic-lo, como mostra a figura,teremos o comprimento do contorno do crculo ou comprimento da

circunferncia.

Aps a realizao de vrias experincias, ficou provado que, em qualquercircunferncia, a diviso do comprimento da circunferncia pela medida dodimetro, sempre d o mesmo resultado.

=

dimetro

ernciaodacircunfcompriment 3,14159265...

Esse quociente de representao decimal infinita e no peridica:3,14159265... chama-se pi, cujo smbolo .

Para achar o comprimento da circunferncia, basta multiplicar o dimetropelo , ou seja, C = d. (C comprimento da circunferncia, d = dimetro).

Como o dimetro o dobro do raio, podemos tambm representar ocomprimento da circunferncia em funo do raio.

Assim:

C = 2r C = 2 r


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Agora, podemos calcular a metragem de renda da toalha da situaoanterior, multiplicando o dimetro por .

Assim:C = 4 . 3,14

C = 12,56 m

Portanto, gastaria 12,56 m de renda nessa toalha.

ATIVIDADE V

1) Complete com a unidade de medida correta:

a) Quando vamos confeccionar uma roupa (vestido, cala, blusa) usamos o.............................................

b) A largura de um caderno o .............................................c) A medida de seu palmo o ...........................................

2) Lembre-se que a unidade de medida de comprimento mais usada depoisdo metro o centmetro (cm) e responda:

a) Quantos centmetros (cm) tem aproximadamente seu palmo?b) Quantos palmos tem sua carteira?c) Quantos centmetros tem sua carteira?d) Qual a largura e o comprimento de seu caderno? Em palmos e em

centmetros (cm)?e) Qual a largura da sala de sua casa? Utilize seu p, calado.f) Quantos centmetros tem seu p?

3) Para medir o comprimento do corredor de sua escola, Robson anotou 16passos. Se cada passo mede 65 cm, qual o comprimento do corredor em

metros?

4) Mea os segmentos e de as respostas em centmetros (cm) e emmilmetros(mm).


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5) Um barbante de 3,20 m de comprimento foi cortado em 16 pedaos iguais.Qual ser o comprimento de cada pedao em cm?

6) Indo por uma estrada, voc encontra uma placa com os dizeres: Perigo!

Desvio a 2000 mn

. Quantos km voc percorre do ponto onde est a placaat o incio do desvio?

7) Suponha que voc, sua me ou sua esposa estivesse costurando umatoalha de mesa e fosse colocar renda em toda sua volta. Calcule quantosmetros de renda teria de comprar:

a) se a sua toalha fosse retangular

b) se fosse quadrada

c) se fosse um centro de mesa em forma de losango

8) Um ptio de escola tem 60 m de comprimento por 15 m de largura.Rodolfo pula com uma perna s em toda volta do ptio acompanhandosempre a beirada. Que distncia pulou?


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9) No fundo de sua casa h um espao que permite a seu Joo fazer umahorta. Ele quer fazer uma cerca de arame que fica mais barato. Observe afigura abaixo e calcule quantos metros de arame ter de comprar parafazer a cerca com 3 fios de arame.

10) Numa bicicleta em que o raio da roda de 26 cm, qual ser,aproximadamente, o comprimento da circunferncia da roda?

11) O contorno de uma pista de corrida de forma circular, mede 628 m. Qual a

medida do dimetro dessa pista?

Observe a planta:

Essa a planta baixa da casa do Sr. Antnio; ele quer fazer o piso decermica no quarto 2, na sala, no banheiro e na rea de servio. Para isso

necessita saber quantos metros quadrados de cermica sero necessrios paracada uma dessas dependncias da casa.

2 MEDIDAS DE SUPERFCIE


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Situao 1

Iniciamos pelo quarto 2, que tem a forma de um quadrado de 3 m de lado.

Vamos tomar como medida de rea um quadrado de lado igual a 1 m.

Para voc ter noo da quantidade de espao ocupada por 1 m 2 , construaem jornal, cartolina ou qualquer outro tipo de papel, um quadrado de 1 metropor 1 metro. Esse quadrado pode ser representado na escala 1:100.

Assim:

Vamos verificar quantas vezes esta unidade de rea cabe no desenho doquarto 2, com 3 m de lado.

Para isto, vamos divid-lo na horizontal e na vertical com linhas diferentesuma da outra 1 m (metro).

Assim obtemos 9 quadrinhos indicadores: esse quarto possui 9 unidadesde rea, ou seja, 9 metros quadrados (9m 2 ).

Verifique:

Uma outra maneira de realizar esse clculo, simplesmente encontrar oproduto dos lados.

O metro quadrado rea de uma superfcie delimitada por um quadrado de1 m de lado.


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Observe que a operao 3 x 3 uma multiplicao de fatores iguais. Essetipo de operao chamamos de potenciao e pode ser representada por 3 2 (l-setrs elevado ao quadrado).

Ento:

3 2 = 3 . 3 = 9

Vimos que o quarto 2 possui forma quadrada e sua rea 9 m 2 .

Vamos supor que no saibamos as medidas dos lados desse quarto, comocalcular essas medidas?

Vamos representar por l essas medidas.

Assim:

Sabemos que l x l = 9 e pode ser representado por l2 = 9.

Portanto l um nmero que elevado ao quadrado d 9. Como 3 2 = 9, l 3.

Esta operao chamamos de radiciao.

Indicamos por 2 9 = 3 (l-se raiz quadrada de 9 igual a 3).

Radiciao a operao inversa da potenciao.

Situao 2

Agora vamos calcular a rea do piso da sala, que tem a forma de umretngulo, do mesmo modo que calculamos a rea do quarto 2.

l

l


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Veja que a rea de um retngulo a multiplicao do comprimento pelalargura.

Ento, o Sr, Antnio necessitar de 20m 2 de piso para a sala.

Em Matemtica, quando resolvemos um problema de clculo de rea ondea superfcie pode ser representada por um retngulo, dizemos que a rea igualao produto da base pela altura.

Assim:

Situao 3

Para revestir o piso da rea de servio, o Sr. Antnio ficou preocupado,pois a forma de um trapzio, cujas medidas esto representadas na figura

abaixo. De que modo ele calcularia?

Como voc j sabe que a rea do retngulo comprimento multiplicadopela largura, ficou fcil!

Mas, a o nosso proprietrio compraria o dobro do piso necessrio.

Ento, conclumos que basta dividir essa metragem por dois.

A = b . h


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Chamaremos a parede de 5 m de B, a de 3 m de b e a altura de h com 2 m.Assim, a rea do trapzio ser dada pela expresso:

A =2

).( hbB +

A =2

2).35( +

A =2

2.8 A = 8m 2

Ento, o Sr. Antnio necessitar de 8 m 2 de piso para a rea de servio.

Situao 4

Para colocar o piso no banheiro teremos que calcular a rea de umtringulo. Observe na planta.Para fazer este clculo podemos utilizar dois tringulos iguais e montar

um quadriltero de lados com as mesmas medidas do banheiro citadas na planta.

Assim:

Observe que a rea de cada tringulo igual a metade da rea doquadriltero.

Ento, basta dividir esta rea por dois.Logo a rea do banheiro 9 : 2 = 4,5 m 2 .Como voc j sabe que a rea do quadriltero representada por A = b x h

e que a rea do tringulo a metade dessa rea, podemos represent-la assim:

A =2

).( hb

Verifique:

A =2

)3).(3( mm

A =2

9 2m

A = 4,5 m 2

A unidade padro para medir superfcies o metro quadrado (m 2 ), mas

quando a superfcie muito grande ou muito pequena esta unidade torna-seincmoda.


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Para essas superfcies existem as unidades do metro quadrado.

Exemplo: para calcular a extenso territorial de pas, um estado, ummunicpio, etc., usa-se o quilmetro quadrado (km 2 ).

Para a rea de um azulejo, da capa de um caderno, etc., empregamos ocentmetro quadrado (cm 2 ).

Alm das unidades derivadas do metro quadrado existem outros padresmuitos usados no Brasil, eles servem para medir grandes extenses, como porexemplo: stios, fazendas, chcaras, tais como:

Um alqueire paulista que igual a 24200 m 2 ; Um alqueire mineiro que igual a 48400 m 2 ; Um hectare (ha) que igual a 10000 m2 .

Situao 5

Foi construdo numa praa, um coreto, de 4 m de dimetro. Calcule oespao de praa que o coreto ocupa.

Voc se lembra quando vimos o comprimento da circunferncia e usamoso ?

Para calcular o espao que o coreto ocupa da praa, multiplicamos o pelo quadrado do raio do coreto (raio metade do dimetro) ou seja:

A = . r 2 A = 3,14 . 2 2 A = 3,14 . 4

A = 12,56 m2

Ento, o espao o rea do coreto 12,56 m 2 .


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ATIVIDADE VI

1) Dona Sachiko, quer saber quantos quadrados sero necessrios para fazera calada na frente de sua casa. O pedreiro falou que vai gastar 9 fileirascom 60 ladrilhos cada uma, conforme o desenho abaixo:

Agora responda:

a) Quantos ladrilhos ela usar para cobrir a calada?

b) Considerando que os ladrilhos so de 20 cm por 20 cm, qual a dimensodo comprimento e da largura dessa calada?

2) Voc j sabe deve ter ouvido falar sobre rea, em assuntos ligados terra,como plantaes, pastos, etc, assim:

A fazenda de Seu Emlio tem 65 hectares. A plantao de Dona Anglica de 4000 ares.

Ento, essas medidas hectares (h) e ares (a) so medidas de rea usadaspara medir terras.

Um hectare equivalente a um terreno quadrado com 100 metros de ladodizemos que esse terreno tem 1 hectare de rea, ou seja, um hectare de cho paraplantar (a rea).

Com base no texto, responda:

a) Quantos metros quadrados h em 1 hectare?b) Quantos metros quadrados (m 2 ) tem um stio de 13,2 ha?c) Uma chcara de 8 ha est venda por R$154.000,00. Qual o preo do

metro quadrado?

3) Para reas muito grandes usa-se o quilmetro quadrado (km 2 ). Porexemplo: a rea do Paran 199 554 km 2 .


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Imagine um terreno quadrado com1 km de lado, ou seja, 1000 m de lado.Dizemos que a superfcie desse terreno 1 km 2 .

Agora responda:

a) Quantos m2

cabem em 1 km2

?b) Se um are a medida da superfcie de um quadrado de 10 metros de ladoento, quantos metros quadrados eqivale a um are?

3) O desenho abaixo representa a sala de um apartamento cuja forma deum paralelogramo. Deseja-se acarpetar totalmente o piso dessa sala. Quantosmetros quadrados de carpete sero necessrios?

Antes de resolver este problema observe as figuras abaixo. Cortando umparalelogramo como mostra a figura B, podemos mont-lo como um retngulo(fig. C).

A rea do paralelogramo (fig. A) igual a rea do retngulo obtido(fig.C). Ou seja, o produto da medida da base pela medida da altura.

4) Mrcia quer colocar lajotas no piso da sacada de seu apartamento que tem

a forma e medidas da figura abaixo. Quantos metros quadrados ir usar?


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Antes de resolver esse problema observe as figuras abaixo. Usando dois

tringulos iguais, como mostra a figura B, podemos montar um paralelogramo(fig. C).

A rea do tringulo da figura A igual a rea do paralelogramo obtido(fig. C) dividida por dois.

6) Um zelador deve encerar um longo corredor. Este tem 3m de largura.Uma lata de cera basta para 36m2. Qual o comprimento do corredor que pode serencerado com o contedo de uma lata?

7) Com ajuda de uma rgua, mea os comprimentos necessrios e determinea rea das figuras.

8) Uma toalha formada por 200 retalhos quadrados que tm 0,10 m delado. Qual a rea dessa toalha?

9) Quero colocar lajotas no piso de minha cozinha que tem 12m2 de rea.Cada lajota tem 0,04 m2 de rea. Quantas lajotas devo comprar?

10) Uma quadra de basquete tem as medidas abaixo.

a) Quer-se construir uma grade de proteo em todo o contorno da quadraquantos metros de grade devem ser construdos deixando 1,20 m para oporto?

b) Qual a rea da quadra?


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11) Abri um lata de marmelada e dividi em 8 pedaos iguais. Calcule a reada superfcie de cada pedao, se a lata tem 16 cm de dimetro.

12) A rea de um tapete circular de 3,14 m2. Ache o raio.

13) Numa fazenda de criao de gado, cada h deve ser ocupado por 15 bois.

Quantos bois poderiam ser criados num terreno de 90 000 m2 ?

Voc j deve ter ouvido dizer: gastamos 21 m3 de gua, comprei 5 m3 deareia, vendi 2 m3 de lenha ou tomei 1 cc de injeo. Essas afirmaes falam devolume.

Para medir superfcie, tomamos como unidade fundamental um quadradode 1 m de comprimento por 1 m de largura, ou seja, o metro quadrado.

E, para medir a quantidade de espao ocupado por um corpo, objeto oulquido, qual a unidade padro que tomamos como referncia?

A unidade bsica das medidas de volume um metro cbico. Aquantidade de espao ocupado por um metro cbico (1 m3) equivalente aoespao ocupado por um cubo de 1 m de comprimento, 1 m de largura e 1m dealtura.

Situao 1

Se voc e seus colegas construram o metro quadrado em papel, procureento, construir um cubo utilizando seis desses metros quadrados para ter anoo da quantidade de espao que o metro cbico ocupa, assim:

Observe que:

Se a aresta do cubo medir 1m, o volume ser de 1m3. Se a aresta do cubo medir 1 cm, o volume do cubo ser de 1cm3. O mesmo acontece com arestas de 1 dm, ou um mm, onde obteremos

respectivamente volumes de 1dm3 e 1mm3.

3 MEDIDAS DE VOLUME


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Vamos, agora, estudar as relaes do metro cbico com seus mltiplos?

Observe:

Com base na representao do metro cbico, responda:a) Quantos dm3 cabem em 1m3?b) Quantos cm3 cabem em 1 dm3 ?c) E quantos cm3 cabem em 1 m3?d) Quantos mm3 cabem em 1 cm3?

e) Quantos mm

3

cabem em 1 dm

3

?f) E, quantos mm3 cabem em 1 m3?

Situao - 2

Quando compramos leite, a unidade utilizada o litro. Litro uma medidapadro de capacidade.

Voc sabe qual a relao do litro com o m3?

Antes de responder essa pergunta, vamos verificar qual a relao do dm3com o litro.

Faa uma caixinha de 1 decmetro (dm) de lado.Assim:


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Nessa caixinha cabe um litro.

Portanto, 1 dm3 = 1 litro.

Como voc deve ter respondido que em 1m3 cabem 1000 dm3, e que emcada dm3 cabe 1 litro, ento podemos afirmar que em 1m3 cabem 1000 litros, ou

Situao - 3

Com certeza, voc j ouviu falar em milmetro (ml), que a unidadeusada para medir pequenas quantidades de lquido. Como por exemplo: copo

para refrigerante, copinho para caf, frasco de xarope, quantidade de remdio,etc.

O que ml?

Recorte o molde a seguir, cole e voc ter a resposta a essa pergunta.

Agora responda:

a) quantos ml cabem em 1 litro?b) correto afirmar que 1 dm3 = 1000 ml? Por qu?

Situao 4

Volume do paraleleppedo.

Vamos calcular o volume ocupado por um reservatrio de gua com aforma e dimenses representadas na figura abaixo:

Se voc observar, nesse espao cabem trs camadas com 24m3 de gua, ou

seja, cabem 72 m

3

.

Um litro o volume contido em um cubo de 1 dm de lado.

1 m3 = 1000 l

Essa caixinha representa um cubo aberto de1cm de lado. Seu volume 1cm3 ou 1ml.


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Tambm podemos calcular o volume desse reservatrio, representado porum paraleleppedo, multiplicando as suas dimenses.

V = 6m . 4m . 3mV = 72m3

Note que 6 x 4 = 24 representa a superfcie da base que multiplicadapela altura de 3m, obtendo-se 72m3.

Situao 5

Volume do cubo.Como o quadrado um caso particular do retngulo, tambm podemos

considerar o cubo um caso particular do paraleleppedo.

Um paraleleppedo que tem todas as suas arestas com a mesma medidarecebe o nome de cubo.

Para o clculo do volume do cubo podemos considerar a mesma frmulado volume de um paraleleppedo.

V = 3m x 3m x 3m = (3m)3 = 27m3

Como a = b = c, podemos simplificar a frmula escrevendo:

V = a3

V = 33 = 27m3

V = a . b . c

V = a x b x c


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Observe as afirmaes que voc, com certeza, l ou ouve, no dia-a-dia:

Comprei 300 gramas de mortadela. Vendi 50 t. de gs liquefeito. A carga tem 20 kg de peso bruto. Colhi uma arroba de algodo.

Elas esto se referindo a medidas de massa (de um corpo), comumentechamado de peso.

A unidade fundamental de massa o quilograma (simbolizado por kg).

O quilograma (kg) aproximadamente o peso de 1 dm de guadestilada temperatura de 4C.Para medir massa menor que kg podemos usar o grama que a milsima

parte do quilograma. Ento: 1kg = 1000 g.Por exemplo: 5kg eqivalem a 5000g.Existem corpos de massa muito pequena, como as cpsulas de remdio.

Para que se possa medir a massa desses corpos usamos o miligrama,equivalente a milsima parte do grama.

Uma unidade de medida para grandes massas, muito usada, a tonelada

(t). Como para medir a carga de um caminho, trem, navio, etc.

Para medir pequenas massas, como pedras preciosas e metais preciososusa-se o quilate, que eqivale a 0,2g.

Ateno: Todos os smbolos de unidades de medidas devem ser escritosem letras minsculas. Por exemplo:

Quilometro km Metro m Milmetro mm Quilograma kg Tonelada t Litro l

4 - MASSA

Uma tonelada eqivale a 1000 kg.


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6) O que mais vantajoso, comprar uma embalagem de coca-cola de 1250ml por R$1,50 ou uma de 2 litros por R$2,40?

7) Um shampoo de certa marca vendido no comrcio em 3 frascos detamanhos diferentes. Observe, abaixo, o volume e o preo de cada frasco e

responda:

Frasco de 100 ml por R$3,95Frasco de 230 ml por R$4,37Frasco de 480 ml por R$5,20

a) Qual frasco mais vantajoso comprar?b) Represente o contedo do frasco pequeno em litro?c) Quantos ml faltam para o frasco maior completar um litro?

8) O gasto mensal de creme dental da famlia do meu amigo de 450g. Amarca que ele usa vendida em tamanhos de 50g e 90g e custam,respectivamente, R$0,90 e R$1,30. Na compra de creme, qual embalagem (50gou 90g) sairia mais em conta? Explique.

9) Leia o texto responda:

a) quantos quilmetros de pistas foram recapeados?b) Se todas as pistas tivessem 20m de largura, qual seria a rea das

pistas recapeadas?c) Quantos quilmetros de pista sofreram recuperao?d) Quantos metros de pista oposta foram recuperados?

10) Cristina comprou um ovo de Pscoa de 250g e pagou R$5,49. Quanto

custa o kg desse chocolate?

11) Uma camionete transporta legumes em caixas de 22,3kg. Se sua cargamxima 1,5t, qual o maior nmero de caixas que pode carregar?

12) Dona Beatriz foi fazer algumas compras. No aougue, comprou meioquilo de carne moda. Na padaria, pediu: 15 pezinhos de 50 gramas cada um;um pacote de manteiga de 250 gramas; 2 quilos de acar e um quarto de quilode p de caf. Na quitanda, comprou 2 quilos de batatas e um pedao de abbora

de 1 quilo e 350 gramas. Ao chegar em casa, dona Beatriz sentiu ao braoscansados. Qual o peso que ela estava carregando?

Bandeirantes (SP 348)Recapeamento entre os km 83 e 88 (pista sentido interior) e entre os km 88 e

89,5 (pista oposta). Recuperao no pavimento entre os km 47 e 52 (pistasentido interior e entre os km 47 e 60 ista o osta .


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13) Para fazer um po, Mirian usa 300g de farinha de trigo. Com um pacotede 5kg de farinha quantos pes Mirian pode fazer?

14) A cidade de So Paulo desperdia 147,8 mil toneladas por ano dehortalias e frutas distribudas no mercado varejista (F. de S.P. 31.05.94).

Baseado nesta afirmao, responda:a) 147,8 mil toneladas (t) correspondem a quantos kg?b) Qual o desperdcio mensal mdio?c) Se fosse distribudo entre a populao carente este desperdcio, e se cada

famlia recebesse 20kg mensais, quantas famlias seriam favorecidas?

15) Um vidrinho de remdio contm 20 drgeas de 75 mg. Calcule:a) A massa total das drgeas do vidrinho.b) A massa desse vidrinho corresponde a que parte do kg?

16) Um frasco de corretivo Toque Mgico contm 18 ml e custa R$3,20.Pergunta-se :a) Se um aluno gastou R$9,60 em 1 ms, quantos frascos ele usou?b) Quantos frascos necessitariam (aproximadamente) para encher uma

vasilha de meio litro?c) Se Alexandre gastou 4 vidros em um ano, quantos reais gastou?

17) O nosso consumo de gua, durante o ms, medido pela SANEPAR emmetros cbicos. Se o consumo de gua de uma famlia, num determinado msfoi 26m3 isto significa que esta famlia gastou quantos litros de gua?


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Apostila de Matemática - Ens Fund - Caderno 01 Geometria