Apostila de Matemática - Ens Fund - Caderno 03 Proporção

8/14/2019 Apostila de Matemtica - Ens Fund - Caderno 03 Proporo

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ESTADO DO PARANSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAO

DEPARTAMENTO DE ENSINO DE JOVENS E ADULTOS

MATEMTICAENSINO FUNDAMENTAL FASEII

CADERNO 3


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GOVERNO DO ESTADO DO PARAN Jaime Lerner

SECRETRIA DE ESTADO DA EDUCAOAlcyone Saliba

DIRETORA GERAL DA SEEDSnia Loyola

CHEFE DO DEPARTAMENTO DE ENSINO SUPLETIVORegina Clia Alegro

ASSISTENTE TCNICO ADMINISTRATIVOAnnete Elise Siedel

EQUIPE ELABORADORA (1 VERSO)Cristina N. Nakamura - CEEBJA de Maring

Leoni Teresa M. Brudzinski - CEEBJA de MaringSachika Sakai Takizawa - CEEBJA de Maring

Vera Lcia G. T. Sanches - CEEBJA de Maring

EQUIPE COLABORADORAGraa Rejane C. Montanher - CEEBJA de Maring

Mafalda D. Nascimento - CEEBJA de Nova Londrina

Missayo Yamada - CEEBJA de Jandaia do SulNeide Aparecida de S. Moreira - CEEBJA de Jandaia do Sul

Neuza Pinto - CEEBJA de Paranava

EQUIPE REVISORACristina Nishioka Nakamura - CEEBJA de MaringMirian Nazar B. Damaceno - CEEBJA de Maring

EQUIPE REVISORA (VERSO ATUAL)CEEBJA Paulo Freire

CEEBJA SESI-CIC

CAPARosngela Gonalves de Oliveira

ILUSTRAOHenrique Cesar Alves de Cerqueira

Jairo de Carvalho

DIAGRAMAOLuiz Carlos Tavares de S


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Este material foi preparado com a inteno de ajud-lo a compreender

idias e conceitos importantes da Matemtica e a suas relaes com a vida diria.

Esperamos que, quando necessrio, voc possa aplicar esses conhecimentos em

situaes novas, resolvendo seus problemas do dia-a-dia.

Ele foi escrito numa linguagem simples e informal, cuja a inteno lev-

la a compreenso dos assuntos bsicos da Matemtica, da maneira mais clara

possvel.

Os conhecimentos matemticos foram construdos ao longo do tempo e,

por acharmos importante para voc, apresentamos tambm alguns aspectos

histricos dessa construo.

Nossa expectativa que esse material torne til e interessante o seu Curso

de Matemtica de 5 a 8 srie de 1 grau.

EQUIPE ELABORADORA

APRESENTAO


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UNIDADE 1 NOO DE PROPORCIONALIDADE ................................. 05

1. Razo e Proporo .......................................................................................... 052. Regra de Trs.................................................................................................. 113. Porcentagem.................................................................................................... 14

UNIDADE 2 SEMELHANA........................................................................ 19

1. Teorema de Tales ............................................................................................ 192. Figuras Semelhantes ........................................................................................ 23

UNIDADE 3 NOES DE ESTATSTICA.................................................. 30

1. Anlise de Tabelas e Grficos.......................................................................... 322. Plano Cartesiano.............................................................................................. 363. Construo de Tabelas e Grficos.................................................................... 39

BIBLIOGRAFIA................................................................................................ 48

NDICE


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Proporcionalidade um dos contedos da Matemtica bastante utilizado navida diria. Estamos constantemente comparando variaes de preos, massa,velocidade, tempo, formas, tamanhos, enfim, tudo o que nos cerca. Essascomparaes, muitas vezes, nos facilitam na tomada de decises.

Veja, por exemplo, quando voc vai ao supermercado e v uma oferta de doispotes de margarina de 250 g por R$ 0,87, enquanto que o pote de 500 g, fora daoferta, custa R$ 1,54. O que voc faz para saber qual a compra mais econmica: osdois potes da oferta ou um pote de 500 g?

A seguir, so apresentadas algumas situaes - problemas para que voc leia,reflita sobre elas e discuta com seus colegas e professor sobre a questo daproporcionalidade.

Situao - 1

Com o uso de rgua mea o retngulos abaixo e escreva na tabela as medidasencontradas.

U N I D A D E 1NOO DE PROPORCIONALIDADE

1 RAZO E PROPORO

C

B

A

3

1

9

3

6

2


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6

Medidas em cm A B CLarguraComprimentoQuociente entre largura e comprimento

O quociente entre a largura e o comprimento de cada retngulo pode serrepresentado de diferentes maneiras. Veja:

Retngulo A3

1 ou 1 : 3

Retngulo B6

2 ou 2 : 6

Retngulo C9

3 ou 3 : 9

A diviso uma das formas que usamos para comparar dois nmeros. A cadaquociente damos o nome de razo. Dizemos que entre a largura do retngulo A e o

seu comprimento de3

1 ou 1 : 3, que se l um est para trs ou seja, para cada

centmetro na largura do retngulo A, temos 3 cm no comprimento.De maneira anloga pode ser feita a leitura das razes das dimenses do

retngulo A e retngulo B. Faa essa leitura e registre em seu caderno.

As razes ou quocientes6

2 e9

3 podem ser escritas na forma simplificada.

Assim:62 =

31 e

93 =

31

Como voc deve ter notado, em todos os retngulos, da situao 1, a razo

entre a largura e o comprimento de seus lados equivalente a3

1 .

Ento, podemos dizer que3

1 =6

2 =9

3 so fraes equivalentes.

Com fraes equivalentes sempre podemos formar proporo:

3

1= 6

2 6

2= 9

3 3

1= 9

3

Observe que multiplicando cruzado obtemos sempre o mesmo valor:

3

1 =6

2 {1 . 6 = 2 . 36

2 =9

3 {2 . 9 = 6 . 3

3

1 =9

3 {1 . 9 = 3 . 3

igualdade entre duas razes chamamos de proporo.


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Considere a proporo:

3

1=

6

2ou 1 : 3 = 2 : 6 (l-se: um est para trs, assim como dois est para seis).

Nessa proporo dizemos que 1 e 6 so os extremos e 3 e 2 so os meios.

Agora, calcule o produto dos meios e separadamente o produto dos extremos.Voc obteve resultados iguais?

Dada a igualdade6

2 =9

3 ou 2 : 6 = 3 : 9, responda o que se pede.

a) Faa voc a leitura dessa proporo.b) Indique os extremos e meios.c) Calcule o produto dos meios e separadamente o produto dos extremos.d) Voc obteve resultados iguais?

Se nos dois casos, os resultados obtidos foram iguais, parabns! Voc acertou.

Podemos ento dizer que, em todas as propores o produto dos extremos igual ao produto dos meios.

Voc observou que a razo entre a largura e o comprimento de cada retngulo

31 ? Se no percebeu, leia novamente a situao 1.

Quando isso acontece dizemos que a largura e o comprimento dessesretngulos so proporcionais ou diretamente proporcionais.

Uma outra relao a ser observada que quando a largura do retngulo duplicao comprimento tambm duplica, quando a largura triplica o comprimento tambmtriplica, isso acontece com grandezas diretamente proporcionais. Portanto:

Situao - 2

Quando duas grandezas variam na mesma razo, dizemos que essasrandezas so diretamente proporcionais.


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Um mercado oferece um desconto de 30 centavos na compra de cada 2 litros deleite. Paulo foi ao mercado e comprou 4 litros, Marcos 6 litros e Joo 10 litros.Represente na tabela abaixo esses dados e resolva as questes indicadas.

Litros de leite Desconto

PauloMarcosJoo

a) Escreva a razo entre o desconto e a quantia de litros de leite de cada um.b) Voc obteve razes sempre com o mesmo valor?c) Com essas razes podemos formar propores?d) Podemos dizer que o nmero de litros de leite diretamente proporcional ao

desconto?

Voc observou que quando a quantidade (em litros) de leite duplica, o descontotambm duplica. Ento se voc respondeu que a quantidade de litros proporcionalao desconto, acertou.

Situao 3

Trs ciclistas, que vamos denomin-lo A, B e C, participaram de uma corridade 60 km de extenso, com as seguintes velocidades-mdias:

Ciclista A 30 km/h; Ciclista B 15 km/h; Ciclista C 10 km/h.

Calcule o tempo que cada ciclista levou para completar a prova, e preenchacom esses dados a tabela a seguir:

Velocidade Mdia TempoCiclista A 30Ciclista B 15Ciclista C 10

Nesta situao temos duas variveis que se relacionam entre si: velocidade etempo gasto para percorrer um percurso de 60 km.

Observe na tabela que, quando a velocidade cai pela metade, o tempo aocontrrio, duplica. Se a velocidade cai para a tera parte, o tempo ao contrriotriplica, e assim por diante. Quando isso acontece dizemos que as grandezas:velocidade e tempo, envolvidas nessa situao, so inversamente proporcionais.

Com base nos dados que voc colocou na tabela, responda:a) Qual o produto da velocidade pelo tempo gasto por cada ciclista?b) Voc encontrou produtos iguais?


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c) Qual o valor do produto?d) Compare esse produto com a distncia percorrida pelos ciclistas. O que voc

observou?

Se voc respondeu que o produto (velocidade x tempo) e a distncia percorrida

pelos ciclistas, so iguais, muito bem! Acertou. Com base nessa informao,podemos concluir que:

Escrevendo na forma irredutvel, a razo entre as velocidades dos ciclistas A e

B, assim:

15

30 =

1

2 .

Agora, escreva na forma irredutvel a razo entre o tempo gasto pelos ciclistasA e B e compare as duas razes. O que voc observou? Com essas razes podemosformar propores?

Faa o mesmo estudo comparando os ciclistas B e C, isto , escreva a razoentre as suas velocidades e a razo entre os seus respectivos tempos. Compare-as. Oque voc observou? Podemos com essas razes formar propores?

Com todas essas observaes e comparaes, podemos concluir que nessasituao a velocidade e o tempo variam na razo inversa.

Exemplo:

10

30 =1

3 razo entre as velocidades dos ciclistas A e C

6

2 =3

1 razo entre os tempos dos ciclistas A e C

1

3 =3

1 so razes inversas.

Situao - 4

Dona Leoni, que sindica, contratou uma firma para pintar seu edifcio. Apreviso foi de que 5 pintores levariam 48 dias para terminar o servio. Ela pediu,ento, que fizessem a previso para o caso de serem contratados 10 e tambm 15pintores.

A tabela abaixo dever ser completada com o total, em dias, para cada caso.

Com base nos dados da tabela, resolva as questes propostas.

Quando as grandezas so inversamente proporcionais o produto do 1termo do par pelo 2, constante.


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10

Nmero de Pintores Tempo Gasto5 481015

a) Quando o nmero de pintores dobra, o que acontece com o tempo necessriopara fazer o servio?

b) Quando o nmero de pintores triplica, o que acontece com o tempo?c) O nmero de pintores e o tempo gasto para pintar so grandezas diretamente

proporcionais ou inversamente proporcionais?d) Qual a razo, na forma irredutvel, quando o nmero de pintores passa de 5

para 10.e) Como escrevemos, na forma irredutvel, as razes entre os tempos dos mesmos

pintores (48 para 24).

ATIVIDADE - I

1) Num teste de 12 questes Mrcio acertou 7. Nestas condies, complete:

a) A razo do nmero de acertos de Mrcio para o nmero total de questesdo teste ...................................................................

b) A razo do nmero total de questes do teste para o nmero de acertosde Mrcio .................................................................

c) As razes acima so chamadas razes....................................

2) Numa receita de bolo so necessrios 4 ovos. Complete a tabela abaixo paramostrar o nmero de ovos, caso se queira fazer 3 ou 5 receitas de bolo e, com basenos dados da tabela resolva as questes propostas.

N de receitas de bolo 1 3 5

N de ovos 4

a) Escreva as razes na forma irredutvel, entre o nmero de receitas de bolo e onmero de ovos correspondentes.

b) As razes so iguais?c) Nesta situao, as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais?

3) Vitor fez uma prova de matemtica com 12 questes. A razo entre o nmero

de questes que ele acertou e o nmero de questes que havia na prova de 43

.Nessas condies responda:


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a) Quantas questes Vitor acertou ?b) Quantas questes Vitor errou?c) Qual a razo entre o nmero de questes que ele errou e o nmero de

questes que ele acertou?

4) Jlio tem 24 anos e seu filho tem a oitava parte da idade do pai. Qual a razoentre a idade do pai e a idade do filho? Qual a razo entre a idade do filho e a idadedo pai?

5) A famlia de D. Amlia consome 3 quilos de arroz e 2 quilos de feijo em 5dias. D. Amlia vai ao mercado e quer comprar arroz e feijo para alimentar a suafamlia durante 30 dias. Complete a tabela abaixo indicando o nmero de arroz e defeijo que D. Amlia ter de comprar.

N de Dias Quilos de arroz Quilos de Feijo5 3 2

30

a) Entre os nmeros de dias.b) Entre os nmeros de quilos de feijo.c) Entre os nmeros de quilos de arroz.

Agora responda:

d) Voc obteve razes sempre com o mesmo valor?e) Com essas razes podemos formar propores?

H quem diga que as pessoas que sabem lidar com a regra de trs conseguemresolver mais da metade dos problemas do cotidiano, da Matemtica, da Qumica, daGeografia, enfim, das Cincias de um modo geral. Voc acredita nisso?

Se voc no sabe responder a essa pergunta, leia e analise cada uma dassituaes, a seguir, e depois d a sua opinio sobre o pargrafo acima.

Situao - 1

Aninha faz refresco de uva, misturando 2 copos de suco concentrado com 3copos de gua. Em 5 copos de suco concentrado, quantos copos de gua Aninha devemisturar?

2 REGRA DE TRS


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Vamos indicar por x essa quantidade de copos de gua e organizar os dados

numa tabela:

Suco Concentrado gua

2 35 x

Vamos analisar essa situao da seguinte maneira:

Se duplicamos o suco concentrado, temos que duplicar a gua. Logo as duasgrandezas so diretamente proporcionais. Ento, 2 e 5 so proporcionais a 3 e x.

Por isso, podemos escrever a proporo na mesma posio em que os nmeros

aparecem na tabela.

Assim:5

2 =x

3

Voc j viu que em toda proporo, o produto dos extremos igual ao produtodos meios.

Logo:5

2 =x

3 2x = 15Se 2x igual a 15, ento um x igual a metade, ou seja 7,5.

x =2

15

x = 7,5

Aninha deve misturar 7 copos e meio de gua, para 5 copos de sucoconcentrado.

Nesse tipo de clculo, se conhecem trs termos e o quarto (x) procurado. Dao nome regra de trs. Como as grandezas so diretamente proporcionais. A regra detrs direta.

Situao - 2

Para 2 pedreiros murarem um terreno, so necessrios 5 dias. Quantos dias sonecessrios para 5 pedreiros, nas mesmas condies, murarem esse mesmo terreno?

Vamos indicar por x esse nmero de dias e organizar os dados numa tabela:

Quantidade de pedreiros Dias utilizados2 5

5 x


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Se duplicarmos o nmero de pedreiros, o nmero de dias cair para a metade(razes inversas). Logo, as grandezas so inversamente proporcionais. Ento 2 e 5so inversamente proporcionais a 5 e x.

Por isso, para escrever a proporo, temos que inverter a posio dos nmeros

de uma das colunas da tabela. Assim:

2

5 =x

5

Agora temos uma proporo, ento o produto dos meios igual ao produto dosextremos:

Portanto, sero necessrios 2 dias para que 5 pedreiros faam o muro desseterreno.

Como as grandezas envolvidas nesse clculo so inversamente proporcionais, aregra de trs inversa.

ATIVIDADE - II

1) Um granjeiro tem rao para alimentar 300 galinhas durante 15 dias. Resolvecomprar mais 150 galinhas. Se a rao de cada galinha no foi diminuda, paraquantos dias dar a rao?

2) Um gramado foi podado por 3 homens que trabalharam 6 dias. Para conseguirpodar esse gramado em 2 dias, quantos homens sero necessrios?

3) Um pedreiro usa 20 quilos de cimento em cada 4 latas de areia para fazer umamassa de reboco. Quantas latas de areia so necessrias para fazer a mesma massausando 50 quilos de cimento?4) Com 2 limes Edmar faz 6 copos de limonada. Usando 5 limes da mesmaqualidade, quantos copos da mesma limonada Edmar pode fazer?

5) Gilberto tem uma foto 6 por 8 (6 cm de largura e 8 cm de altura) e desejaampli-la para fazer um pster com 40 cm de altura. Qual ser a largura do pster?


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6) Um poste de quatro metros projeta uma sombra de 5 metros. Nesse mesmoinstante um pinheiro projeta uma sombra de 15 m. Qual ser a altura do pinheiro?

7) Para se fazer um doce de abbora, utilizou-se 500 gramas de acar-cristal e 2quilos de abbora. Quantos gramas de acar-cristal sero necessrios para se fazer omesmo doce utilizando 6 quilos de abbora?

8) Em uma prova de valor 8, Airton tirou nota 5,6. Qual seria a nota de Airton seo valor da prova fosse 10?

9) Doze pescadores partem para alto mar, levando reservas alimentares suficientespara 30 dias, mas do abrigo a 3 pessoas cujo barco afundou. Quantos dias vo duraras reservas alimentares?

10) Um carro com a velocidade mdia de 63 km/h, faz o percurso entre duascidades em 12 horas. Quanto tempo levaria para fazer o mesmo percurso se avelocidade mdia fosse 84 km/h?

As expresses por cento so freqentemente usadas nas mais diversasocasies.

Nas noticias que ouvimos no rdio ou na televiso: Salrios sobem 12% O rendimento da caderneta de poupana foi de 1,7%.

Nos folhetos que encontramos nos supermercados, lojas, farmciaspromovendo suas mercadorias:

Nos anncios em jornais e revistas, elas aparecem nas reportagens, nasentrevistas, como mostra os dados do grfico a seguir:

3 - PORCENTAGEM


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Estudaremos agora, o significado dessas expresses e, como efetuamos o clculo deporcentagem.

Situao - 1O chefe de recursos humanos de uma empresa declarou:

O salrio dos funcionrios de nossa empresa vai aumentar 20 por cento.

Nessa empresa os serventes ganham 230 reais, os escriturrios, 460 reais, oschefes de seo, 540 reais e outras categorias, 420 reais.

Vamos determinar, de diferentes maneiras, o valor do aumento de salriodesses funcionrios, de acordo com suas funes.

1) Resoluo Aritmtica:

Aqui temos que achar 20 por cento do salrio de cada categoria.

Em lugar da expresso por cento, podemos usar o smbolo %

Ento 20 por cento = 20% =100

20 = 0,20

Portanto, 20% o mesmo que 0,20 vezes o salrio de cada uma das categoriasprofissionais.

Com base nesses dados podemos calcular o aumento de cada categoria.Observe e calcule.

- Serventes 0,20 de 230 = 0,20 x 230 = 46- Escriturrio 0,20 de 460

- Chefes de Seo 0,20 de 540- Outras sees 0,20 de 420


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Voc sabe um outro jeito de resolver esse problema? Justifique sua resposta.Agora, verifique qual o salrio de cada categoria considerando o aumento de

20%.

2) Soluo Algbrica:

O que significa 20% de aumento?Nesse caso, significa que cada categoria ter um aumento de 20 reais, em cada100 reais de seu salrio.

No caso do salrio dos serventes, teremos:Se em cada 100 reais, 20 reais de aumento, ento no total de 230 reais teremos

de aumento a quantia desconhecida x que iremos determinar.Na tabela:

Salrio Aumento

100 20230 x

Veja:Se duplicarmos o salrio, o aumento tambm duplica, logo as grandezas acima

so diretamente proporcionais, ento podemos escrever a proporo:

230

100 =x

20

100 x = 230 . 20100 x = 4600

x =100

4600

x = 46

Observe que o termo desconhecido x igual a 46 reais, o que eqivale aoaumento de 20% sobre o salrio de 230 reais de categoria dos serventes.

Na soluo algbrica trabalhamos com nmeros e letras. A letra x representauma incgnita, isto , valor desconhecido que iremos determinar.

Situao - 2

Na compra de um par de tnis, Fernando obteve um desconto de 12%, pagandoento, R$44,00. Nessas condies, qual era o preo real, sem desconto, desse tnis.

1) Resoluo Aritmtica:


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Para resolver esta situao, temos que achar o preo real do tnis, quecorresponde a 100%. Ele sabe que pagou o correspondente a 100% - 12% = 88% dovalor real do tnis, ento 88% correspondem a R$44,00.

Como ele quer saber quantos reais correspondem a 100% basta descobrir qual o nmero que multiplicado por 88% resultou 44.

Para achar esse nmero temos que dividir 44 por 88%.Como 88% corresponde a 0,88, efetuamos a diviso de 44 por 0,88 e obtemos50 reais.

Ento chegamos a concluso que o preo real, sem desconto, do tnis eraR$50,00.

2) Soluo Algbrica:

Voc observou que Fernando pagou 44 reais pelo tnis, o que corresponde a

88% do valor real? O que se procura o valor que corresponde a 100% do preodeste tnis, o qual representamos pela letra x.

Na tabela:

Porcentagem Valor88 44100 x

Como as grandezas acima so diretamente proporcionais, podemos escrever aproporo:

100

88=

x

44

88 x = 100 . 4488 x = 4400

x =88

4400

x = 50 preo real do tnis

ATIVIDADE - III

1) O proprietrio de uma loja compra camisetas por R$ 12,00. Ele deseja vend-las tendo um lucro de 40% sobre o preo de custo. Por quanto deve ser vendida cadacamiseta?

2) Um agente imobilirio recebe uma comisso de 5% sobre qualquer venda quefaa. Quanto receber na venda de uma casa por R$17.500,00?


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Voc j ouviu falar nas pirmides do Egito? provvel que sim, porque elasso famosas no mundo inteiro.

Naquele tempo j era possvel medir a altura dessas pirmides. A histria contaque o filsofo e matemtico Tales de Mileto, em um de suas viagens ao Egito, ficou

famoso por ter medido a altura de uma dessas pirmides sem a necessidade de subirat o seu vrtice.

Sabe como ele fez essa faanha?

Fincou uma estaca verticalmente no cho e observou que no momento em queo comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimento da estaca, a altura dapirmide seria igual ao comprimento da sombra da pirmide mais a metade damedida da base.

Situao - 1

A planta abaixo mostra dois terrenos A e B, cujas frentes esto para a ruaTibagi, fundos para a rua Iguau e as laterais so paralelas. Observe com ateno:

Mea, com rgua, as frentes e os fundos de cada terreno e complete a tabela

abaixo:

Frentes FundosTerreno ATerreno B

Vamos calcular a razo entre as medidas das frentes desses dois terrenos. (Apara B).


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Assim:4

2 = 0,5

Agora, calcule voc a razo entre as medidas dos fundos dos terrenos A e B.Comparando essas razes, o que voc observa?

Como as razes so iguais, podemos dizer que as medidas das frentes e e dosfundos dos terrenos A e B so proporcionais.

Ento4

2=

5

5,2= 0,5

Situao - 2

As retas r, s e t so paralelas, as retas m e n so chamadas de transversais.


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Mea com rgua os segmentos cujas medidas so a, b, c, d, em cm. Em

seguida calcule as razesb

a ed

c .

Compare as razes. O que voc observa?

Podemos dizer que os segmentos de medidas a, b, c, d, so proporcionais?Por qu?

Situao - 3

Na figura a seguir, as retas r, s, t, u so paralelas. Com as medidas dos

segmentos a, b, c, d, e, f determine as razes:b

a ,c

b ,e

d ,f

e .

Comparando as razes, o que voc observa?Podemos ento dizer que os segmentos de medida a, b, c, d, e, f so

proporcionais? Se os segmentos so proporcionais vlida a seguinte relao:

8,0

6,1 =4,0

8,0 =2,1

4,2 =6,0

2,1 .

Essa relao conhecida como Teorema de Tales, em homenagem aomatemtico grego Tales (624 548 a.c., aprox.) a quem foi atribudo o seudesenvolvimento.

Enunciado do Teorema de Tales:

Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversaissegmentos proporcionais


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Situao - 4

A planta abaixo mostra trs terrenos cujas laterais so paralelas. Quais soos valores de x e y em metros?

Pelo Teorema de Tales, temos:

18

15 =12

x

Como voc j sabe em toda proporo o produto dos extremos igual aoproduto do meio, temos:

18x = 12 . 1518x = 180

x =18

180

x = 10

y

18 =18

12

12y = 324

y =12324

y = 27

As medidas das distncias representadas por x e y, so respectivamente:10m e 27m.

ATIVIDADE - IV

1) Calcule o valor de x em cm, nas figuras abaixo, sabendo que DE paralela a BC.


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2) Nas figuras abaixo a, b, c so paralelas. Determine os valores de x.

3) Na planta abaixo temos trs lotes cujas laterais so paralelas. Calcule asmedidas das frentes destes lotes que do para a rua Paran.

Geralmente a palavra semelhante quer dizer parecido. Em Matemtica,dizemos que duas coisas so semelhantes quando apresentam a mesma forma,que tenham tamanhos diferentes.

Situao - 1

Observe as fotos abaixo:

2 FIGURAS SEMELHANTES


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S de olhar, d para perceber que ambas tm a mesma forma, apesar deseus tamanhos serem diferentes.

Mea com rgua, a altura e a largura das duas fotos e complete a tabelaabaixo:

Foto I Foto II Razo entre I e IIAlturaLargura

Compare as razes encontradas. Voc deve ter observado que as razespossuem o mesmo valor.

Como a razo entre os lados correspondentes

2

1 podemos dizer que a

reduo foi feita na razo 1 para 2.

Todos os segmentos da foto menor tem medidas duas vezes menor do queas correspondentes na foto maior.

Nas fotos I e II, os lados correspondentes so proporcionais, portanto

podemos escrever:6

3 =8

4 =2

1 .

As razes63 e

84 podem ser escritas na sua forma reduzida

21 . Essa razo

constante entre os lados correspondentes de figuras semelhantes chamamos emMatemtica, de razo de semelhana.

A foto e sua ampliao ou reduo, so sempre figuras semelhantes. A

escala a razo de semelhana, no caso2

1 .

Este procedimento utilizado por engenheiros e arquitetos na confecode maquetes e plantas.


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Situao - 2

Observe os mapas abaixo:

Estes mapas so de uma mesma regio, mas esto em escalas diferentes.

Com a rgua una Umuarama Londrina, Londrina Curitiba, Chapec Curitiba e Umuarama Chapec nos mapas I e II.

Mea essas distncias e complete a tabela abaixo:

Mapa I Mapa II Razo entre as distnciasUmuarama LondrinaLondrina CuritibaCuritiba ChapecChapec

Umuarama

Compare as razes encontradas. O que voc observa?

Como as razes so iguais, as distncias correspondentes so

proporcionais, ento podemos escrever5,2

5 =2

4 =5,1

3 = 2.


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Situao - 3

Mea com transferidor, os ngulos dos quadrilteros que voc obteve nosmapas I e II e complete a tabela abaixo:

Mapa I Mapa IIngulo com vrtice em Umuaramangulo com vrtice em Londrinangulo com vrtice em Curitibangulo com vrtice em Chapec

Compare as medidas dos ngulos correspondentes, formados entre asdistncias correspondentes, nos mapas I e II.

O que voc observa?

Voc deve ter observado nos mapas I e II que:

As distncias correspondentes so proporcionais. Os ngulos correspondentes tm medidas iguais. Tudo o que aparece no mapa I tambm aparece no mapa II.

No sentido matemtico, podemos dizer que os mapas I e II so figurassemelhantes. A razo de semelhana entre as distncias do mapa I e II 2.

Orientados pelos mapas, os navegadores e os pilotos costumam traar suas

rotas, medindo ngulos e comparando distncias.Conhecendo a escala do mapa, eles podem avaliar a distncia a serpercorrida.

Situao - 4

Note que os dois polgonos abaixo representam as distncias entre ascidades consideradas no mapa I e II:

Lados correspondentes

AB ABBC BCCD CDDA DA

ngulos correspondentes

B BC CD D

A

B

CD

A

B

CD


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Observe que:

Os ngulos correspondentes tm medidas iguais.

Os lados correspondentes so proporcionais:5,2

5 =5,1

3 =2

4 =5,2

5 .

Sempre que essas duas condies forem satisfeitas, dizemos que ospolgonos so semelhantes.

Situao - 5

Agora desenhe dois tringulos com as seguintes medidas dos lados:

Tringulo I 6 cm, 3 cm e 7,5 cm.Tringulo II 4 cm, 2 cm e 5 cm.

Verifique se os lados correspondentes so proporcionais. Com transferidor, mea os ngulos dos tringulos I e II. Compare as medidas dos ngulos correspondentes nos tringulos I e II. O que voc observa?

Nos tringulos, se os lados forem proporcionais, os ngulos

correspondentes sero iguais e vice-versa.

Assim, basta verificar somente uma das duas condies para conferir asemelhana:

Todos os tringulos com lados correspondentes proporcionais so

semelhantes.

ou

Esta propriedade vlida somente para os tringulos. Em qualquer outropolgono a proporcionalidade dos lados no garante a igualdade dos ngulos evice-versa.

Todos os tringulos com ngulos correspondentes de medidas iguaisso semelhantes.


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28

ATIVIDADE - V

1) Verifique se so semelhantes os polgonos abaixo. Justifique sua resposta.

a)

b)

2) A sala de casa de Marcelo tem forma retangular medindo 6 m decomprimento por 4 m de largura. Marcelo fez o desenho abaixo para represent-la.

Verifique e responda:O desenho ficou semelhante a sala original? Justifique.

3) Um prdio projeta uma sombra de 8 m no solo no mesmo instante em que

uma estaca de 1,80 m projeta uma sombra de 0,60 m no solo, como mostra odesenho abaixo. Determine a altura do prdio.

4,5

9 3

1,5

43 4,5

6

3 cm

2cm


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4) Uma garrafa de coca-cola de um litro mede 32 cm de altura e o dimetroda base 8 cm. Deseja-se fabricar uma miniatura de 6 cm de altura semelhante agarrafa grande. Qual deve ser o dimetro da base dessa miniatura?

5) O bolo do aniversrio do Murilo tinha a forma de uma caixa com basequadrada cujo lado da base media 30 cm e a altura era de 15 cm. O Fernando emseu aniversrio, quer um bolo semelhante ao bolo do aniversrio do Murilo, combase medindo 50 cm. Qual deve ser a altura do bolo do aniversrio de Fernando?

50 cm50 cm

15cm

30cm

30

cmx


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30

Voc conhece esse refro?

Mais vale um simples desenho do que um longo discurso.

Hoje, vivemos numa sociedade tecnolgica onde a linguagem visualassume um papel fundamental.

Os meios de comunicao utilizam a linguagem grfica para comunicar osfatos cotidianos, ou fatos cientficos das diversas reas do conhecimentohumano.

Observe e analise algumas dessas publicaes feitas em jornais e revistas.

1. MERCADO DE TRABALHO

participao % em relao ao total de trabalhadores.

Fonte: Folha de So Paulo. 9 de maio de 1996

U N I D A D E 3NOES DE ESTATSTICA


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2.

Fonte: Veja, 9 de novembro de 1994

3 -NMERO DE LEITOS NO SUS


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Observando os grficos 1, 2 e 3, podemos chegar a concluso de que cada

vez mais os meios de comunicao utilizam grficos e tabelas para facilitar aleitura de fatos como o dessas reportagens e de outras, tais como:

ndice de oferta de emprego, da inflao e das perdas salariais. Produo de uma indstria. Inteno de votos numa eleio. Distribuio de renda entre a populao de uma regio. Exportao de alguns pases em determinado tempo. Acidentes de trnsito. E outros.

Para o estudo desses grficos e tabelas, vamos recorrer a uma Cincia que

chamamos de Estatstica.Atravs da anlise de determinados dados organizados em tabelas e

grficos, possvel fazer diagnstico de um problema para tomada de deciso eelaborao de planejamento para a soluo do mesmo, isso em vrios campos detrabalho. Portanto, podemos dizer que, Estatstica um conjunto de mtodos quepossibilitam a tomada de decises corretas frente incerteza.

Situao - 1

Suponha que voc trabalhe no setor de planejamento de uma loja deeletrodomsticos e tenha em mos uma tabela com dados, ms a ms, da venda egeladeiras dessa loja.

ObserveVenda Anual de Geladeiras

Da Loja X / 1996MS UNIDADES

Janeiro 320Fevereiro 480

Maro 440Abril 510Maio 800Junho 240Julho 125

Agosto 270Setembro 380

Outubro 600Novembro 940Dezembro 1000

1 ANLISE DE TABELAS E GRFICOS


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33

Veja que a organizao das datas em uma tabela facilita a leitura das

mesmas, mas a visualizao dos pontos mximos e mnimos de venda, aalterao ms a ms, anlises no so de visualizao imediata.

Nesse, como em outros casos, recorremos aos grficos para quevisualizemos melhor a situao.

Veja:

Analisando o grfico responda rapidamente as seguintes perguntas:

a) Em que ms houve a maior venda?

b) E a menor?c) Quantas unidades foram vendidas nos meses de outubro e dezembro?d) Em que perodo houve vendas crescentes por mais de trs meses?

Para voc pesquisar junto a uma loja de eletrodomsticos de sua cidade.

a) Qual o ms em que, se vende o maior nmero de geladeiras?b) E a menor?


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Situao - 2

A tabela abaixo mostra a produo de uma indstria de automveisdurante o 2 semestre de 1993.

Meses Nmero de automveis Porcentagens

Julho 8 000 16%

Agosto 3 500 7%

Setembro 15 200 30,4%

Outubro 9 000 18%

Novembro 11 300 22,6%

Dezembro 3 000 6%

Total 50 000 100%

As porcentagens referem-se distribuio da populao do semestre quefoi de 50 000 automveis.

Esses dados organizados na tabela vista, podem ser representados emgrficos de barras, de linhas e de setores.


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REPRESENTAO EM GRFICOS DE BARRAS

REPRESENTAO EM GRFICOS DE LINHAS


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REPRSENTAO EM GRFICOS DE SETORES

Na situao 1, voc fez a anlise da venda anual de geladeiras da loja X.

Na situao 2 voc verificou a possibilidade de mostrar a produo deautomveis de uma indstria durante o 2 semestre de 1993 de maneirasdiferentes, ou seja, atravs de uma tabela, ou de grficos de barras, de linhas ede setores.

Mas como proceder na construo desses grficos estatsticos?

O ponto de partida o conhecimento do plano cartesiano para aconstruo dos grficos de barras e de linhas, de noo de ngulo, de diviso dacircunferncia e porcentagens nos grficos de setores.

O plano cartesiano foi criado no incio do sculo XVII, pelo matemtico efilsofo francs Ren Descartes e foi uma das mais teis e importantesinvenes matemticas, pois tem aplicaes na medicina, engenharia, economia,etc.

Considere a situao:

2 PLANO CARTESIANO


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37

Os seguintes pares ordenados correspondem aos pontos que permitiro

desenhar um barquinho no quadriculado:

(3, 1); (4, 1); (5, 1); (6, 2); (4, 2); (4, 4); (2, 2)

Para marcar o ponto (3, 1) no quadriculado procedemos assim:

O primeiro nmero do par 3, ento samos do ponto zero ecaminhamos na horizontal, 3 unidades para a direita. O segundo nmero do par 1, ento a partir do 3 caminhamos uma

unidade para cima e marcamos o ponto (3, 1) (observe: ele j marcadono quadriculado).

Procedendo sempre dessa maneira, marque os outros pontos, una-os naordem em que foi escrito para obter o desenho do barquinho.

A reta horizontal o eixo das abscissas (x) e a vertical eixo dasordenadas (y). Os pares de nmeros usados so chamados pares ordenadosporque escrito nesta ordem:

Primeiro o nmero que pertence ao eixo x e depois o nmero quepertence ao eixo y.

Cada par ordenado de nmeros (x, y) chamado coordenadas do ponto.Sendo assim, na situao anterior, o primeiro ponto representado pelo parordenado (3, 1), sendo 3 e 1 suas coordenadas.

O plano determinado pelas retas x e y o que chamamos de planocartesiano. O ponto de encontro das duas retas chamado origem e


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O plano cartesiano um dos conhecimentos mais importantes que ohomem construiu para nos ajuda a resolver problemas da vida prtica como reade terrenos, salrios, gastos, localizao e problemas relacionados s Cinciascomo um todo.

ATIVIDADE VI

1) Esto escritos, logo abaixo, os pares que correspondem aos pontos quepermitem desenhar o chapu do zorro, no quadriculado (plano cartesiano):

(-3, 0) ; (6, 4) ; (2, 3) ; (1,5) ; (-1, 4) ; (0,2)

Localize esses pontos no plano cartesiano abaixo, una-os na ordem emque esto escritos. Ligue, por fim, o ltimo ao primeiro.

2) Em um cinema, as poltronas esto distribudas em 8 colunas e 8 linhas,como mostra a figura seguinte. D ento a localizao das poltronas A, B, C, D,E, F, usando pares ordenados.

3) Localize no plano cartesiano os pontos:A (-2, 3); B (5, 0); C (0, 5); D (3, -1); E (-1, -3); F (3, 2); G (-3, 1)


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4) O diretor do jardim zoolgico recebe uma mensagem secreta anunciandoa chegada de um novo animal. Encontre os pontos correspondentes aos paresescritos na mensagem. Ligue-os na ordem em que esto escritos e obter aresposta.

Mensagem escrita:

(4, 7); (5, 5); (6, 7); (6, 8); (4, 9); (3, 8); (3, 6); (2, 4); (0, 4); (1, 3); (3, 4); (4, 6);(3, 2); (4, 5); (5, 4); (5, 1); (6, 1); (7, 4); (8, 4); (9, 1); (10, 1); (10, 4); (12, 2);(10, 5); (9, 7); (6, 7).

GRFICO DE BARRAS.

No CEEBJA de Maring, em 1993 foram efetuadas 2756 matriculas de 1grau e 1150 de 2 grau. O Diretor encomendou da secretria grficos com essese outros dados. Como ela est com algumas dificuldades, vamos ajud-la!

Como? Assim:

Precisamos organizar esses dados em uma tabela.

importante dar um ttulo que informe o assunto da tabela ou dogrfico.

3 CONSTRUO DE TABELAS E GRFICOS


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40

Veja:

Matriculados de 1 e 2 graus CEEBJA Maring - 1993

Grau Nmero deAlunos

Porcentagem

1 2756 71%2 1150 29%

Total 3906 100%

Com esses dados colocados na tabela, podemos construir o grfico debarras.


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Como voc est observando esses grficos fornecem as informaes da

tabela.

Esse tipo de grfico geralmente usado para fazer comparaes dediversas grandezas da mesma natureza.

Mas, como chegamos a essa representao?

Chegamos representao dos grficos acima utilizando o planocartesiano e procedendo da seguinte forma:

No eixo x, representamos o grau a que pertencem os alunosmatriculados no CEEBJA em 1993.

No eixo y, colocamos o nmero ou a porcentagem corresponde a cadagrau em relao ao total de matrculas.

Usamos uma escala, no caso, 1 cm corresponde a 500 alunos (grficoI) ou 1 cm corresponde a 10% do total de matriculas (grfico II).

No eixo x desenhamos uma barra para cada grau, com a altura igual aonmero de alunos matriculados (grfico I) ou porcentagemcorresponde (grfico II).

Esses retngulos que formam as barras tm bases de mesma medidas.


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GRFICO DE LINHAS

Esclarecemos, ainda, que existe o grfico de linhas, para facilitar o seu

servio que construir um grfico com o nmero de matriculados dos alunos de1 grau, efetuamos no CEEBJA de Maring desde 1985 at 1993.

A tabela:

MATRICULADOS DE 1 GRAU (1985 1993) CEEBJA DE MARING

Ano Nmero de alunos matriculados1985 130

1986 2671987 4291988 6291989 6681990 6431991 11271992 11661993 1999Total 7078

Com os dados da tabela acima vamos construir um grfico de linhas(segmentos).


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O grfico de linhas geralmente usado para mostrar a variao de algumacoisa num determinado tempo.

Para a construo do grfico de linhas, tambm utilizamos o planocartesiano. Com os valores da tabela formamos pares ordenados (1985, 130)

para acharmos o ponto no plano.

No eixo x, representamos os anos. No eixo y, o nmero de matriculas. Usamos uma escala, nesse caso foi usada a representao 1 cm para

200 alunos. Marcamos os pontos usando os dados da tabela, que indicam o nmero

de matriculados em cada ano. Unimos os pontos com segmentos e temos a um grfico de linhas.

Veja que esse grfico contm as mesmas informaes da tabela, mas demodo muito eficiente, pois com uma rpida observao, percebe-se que onmero de matriculas do CEEBJA vem aumentando.

GRFICO DE SETORES

Vamos esclarecer para a secretria que com os mesmos dados anteriores,ela pode tambm construir o grfico de setores:


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O grfico de setores usado para representar partes de um todo egeralmente as partes so expressas em porcentagens.

Para sua construo:

Usamos o compasso e desenhamos um crculo com raio qualquer quevai representar os 100% dos dados.

Calculamos a porcentagem do crculo que representa cada categoria,no caso, 1 grau e 2 grau. Assim: como todo crculo possui 360 e estrepresentando 100%, ento, calculamos 71% de 360.

0,71 x 360 0,255,6e

29% de 360 0,29 x 360 = 104,4

Agora com o uso do transferidor, dividimos esse crculo em partes, deacordo com os ngulos obtidos (255,6 e 104,4) nos clculos querepresentam as porcentagens de 71% e 29%.

ATIVIDADE - VII

1) O grfico abaixo mostra a produo anual de aguardente em milhares dedzias, da Empresa Missiato Indstria e Comrcio LTDA de Jandaia do Sul, dasmarcas Jamel e 61.

PRODUO ANUAL EM MILHARES DE DZIASMISSIATO IND. E COMRCIO LTDA

Analisando o grfico, responda:

a) Que tipo d grfico esse?b) Em que ano se deu a maior produo de Jamel? E de 61?c) Em que ano a produo de Jamel foi menor que a de 61?d) Em que ano ocorreu maior diferena entre Jamel e 61?e) Quantas unidades de 61 foram produzidas em 1989?


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2) O grfico abaixo mostra a distribuio de associados por unidades daCooperativa Agrria dos cafeicultores de Nova Londrina (COPAGRA).

DISTRIBUIO DE ASSOCIADOS POR UNIDADES

5.270 ASSOCIADOS

a) Que tipo de grfico esse?

b) Em que cidade se tem o maior nmero de associados?

c) Quantos associados a Empresa possui em Querncia do Norte?

d) Qual o total de associados da Empresa?

e) Quantos Entrepostos possui a Empresa?


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3) O grfico mostra a evoluo dos gols nas Copas:

A EVOLUO DOS GOLS NAS COPASMDIA DE GOLS POR PARTIDA

Analise o grfico e responda:

a) Que tipo de grfico esse?

b) Em que ano aconteceu o maior nmero de gols? Qual foi a mdia?

c) Qual a mdia de gols em 1990?

d) Em que ano se realizou a primeira Copa Mundial?

e) Quantas Copas Mundiais j se realizaram?


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4) Com os dados da tabela abaixo construa um grfico de linhas e responda:

O tamanho do copoConsumo mdio anual do brasileiro em diversos tipos debebida em litros por habitantes.

Cerveja 35

Refrigerante 35

Leite 20

Aguardente 6,7

Fontes: Nielsen, IBGE, Adrabe e Uvibra

a) Quais as bebidas de maior consumo no Brasil?b) Qual o consumo mdio anual em litros de leite por habitantes no Brasil?c) O que voc acha do consumo da cerveja e do refrigerante ser maios do

que o consumo do leite?

5) Uma Empresa possui um total de 120 funcionrios, sendo, 92 homens e28 mulheres. Com esses dados faa a tabela e construa um grfico de barras.

6) A tabela abaixo mostra a produo em toneladas de uma indstria de 1991 1993.

Produtos Ano de 1991 Ano de 1992 Ano de 1993

Fcula de mandioca 1876 1483 1373Polvilho 1440 1244 1489Sagu - 638 1079

Construa no mesmo plano cartesiano, os grficos de linha de cadaproduto.


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Documents

Apostila de Matemática - Ens Fund - Caderno 03 Proporção