Notas de aulade

Matemtica Financeira

Professores:GelsonAugusto

2SUMRIO

1. Sistema de capitalizao simples .........................................................................................31.1 Introduo: ......................................................................................................................31.2 Conceitos Iniciais. ...........................................................................................................31.3 Juros Simples..................................................................................................................5

1.3.1 Montante simples......................................................................................................51.4 Mtodo Hamburgus:......................................................................................................61.5 Saldo mdio e Prazo Mdio ............................................................................................7

1.5.1 Saldo Mdio..............................................................................................................71.5.2 Prazo Mdio .............................................................................................................8

2. Descontos Simples ...............................................................................................................92.1 Introduo .......................................................................................................................92.2 Desconto .........................................................................................................................9

2.2.1Desconto Racional Simples.....................................................................................102.2.2 Desconto Comercial Simples..................................................................................11

2.3 Taxa efetiva de juros .....................................................................................................122.4 Equivalncia de Capitais e Fluxo de Caixa ...................................................................13

2.4.1 Fluxo de caixa.........................................................................................................132.4.2 Equivalncia de capitais .........................................................................................132.4.3 Equivalncia entre Conjunto de Capitais ................................................................14

3. Sistema de capitalizao composta....................................................................................153.1 Juros compostos. ..........................................................................................................153.2 Convenes ..................................................................................................................153.3 Clculo do juro e montante composto ...........................................................................163.4 Juros e Montante a taxa varivel ..................................................................................173.5 Taxa de juro no regime de capitalizao composta ......................................................17

3.5.1 Taxas equivalentes.................................................................................................184. Descontos Compostos........................................................................................................19

4.1 Desconto Racional Composto.......................................................................................194.2 Desconto Comercial ......................................................................................................194.3 Equivalncia de Capitais ...............................................................................................20

5. Financiamentos e Capitalizao .........................................................................................215.1 Fluxo de Caixa ..............................................................................................................215.2 Modelo Bsico de Financiamento .................................................................................215.3 Modelo Bsico de Capitalizao ...................................................................................235.4 Sistema de Amortizao ...............................................................................................25

5.4.1 Sistema de prestao Constante (Sistema Francs)..............................................255.4.2 Sistema de Amortizaes Constantes (SAC) .........................................................265.4.3 Sistema de Juro Constante ou Sistema Americano................................................275.4.5 Sistema de Amortizao Mixto (SAM) ....................................................................27

6) Anlise de Investimentos....................................................................................................306.1 Taxa Interna de Retorno (IRR)......................................................................................306.2 Mtodo do Valor Presente Lquido (NPV ou VPL) ........................................................32

8. BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................36

31. Sistema de capitalizao simples

1.1 Introduo:

Quanto vale o dinheiro?

Vivemos tanto tempo em uma economia com altas taxas de inflao, que perdemos anoo do valor do dinheiro, principalmente das pequenas quantias gastas no dia a dia.Quem liga para uma despesa de 2 reais por dia, por exemplo, de uma esmola para aquelavelhinha simptica perto do seu prdio? Algum prev isto no oramento?

Entretanto esta despesa de 2 reais por dia desprezada por voc representa no ano,730 reais, praticamente o valor de uma geladeira ou 2 televises.Se voc ganha 1500,00 reais por ms, ser a metade de seu dcimo terceiro!

E aquela revista de fofocas que compro toda semana, pois s custa 5 reais; ela vairepresentar um gasto anual de 260 reais!Se somarmos pequenas despesas dirias que no computamos, 1 real para isto, 2 reais paraaquilo etc., no final de um ano isto poder representar uma despesa considervel. No estouaconselhando a no dar esmolas, no comprar revistas ou deixar de gastar em pequenosprazeres, mas sim em ter conscincia do valor destes gastos em relao aos seus ganhos.

A soluo para isto voc fazer seu oramento em bases anuais. Nossos nveis deinflao j permitem isto e neste tipo oramento anual voc poder ter uma clara idia doque representaro estas "pequenas" despesas no total de seus gastos e administrar melhorseu caixa. Com fim de estudar o comportamento do dinheiro no tempo daremos incio aonosso estudo de Matemtica Financeira

1.2 Conceitos Iniciais.

Juro: Remunerao que o tomador de um emprstimo deve pagar ao dono do capital comcompensao pelo uso do dinheiro. Indicaremos o juro por J.

Capital: qualquer valor expresso em dinheiro e disponvel em uma determinada data. Ocapital que d incio a uma determinada operao chamado de Valor Presente (PV). Ocapital indicado apenas pela letra C por alguns autores.

Tempo: o prazo que decorre desde o incio at o final de uma dada operao financeira. Otempo pode ser contado em dias, bimestres, trimestres, quadrimestres, anos, etc.Indicaremos por n.

Na prtica o tempo pode ser contado de duas formas. Tempo exato: aquele que leva em conta a data real, onde o ano pode conter 365 ou

366 dias. (Ver tabela 1 em anexo) Tempo Comercial (ou aproximado): aquele que leva em conta o chamado ano

comercial, isto o ms contendo 30 dias e o ano 360 dias.

4CONTAGEM DE DIAS PARA O ANO CIVIL NO BISSEXTO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Dia doms Jan Fev Marc Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

Dia doms

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 12 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 23 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 34 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 45 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 56 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 67 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 78 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 89 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 1011 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 1112 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 1213 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 1314 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 1415 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 1516 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 1617 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 1718 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 1819 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 1920 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 2021 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 2122 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 2223 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 2324 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 2425 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 2526 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 2627 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 2728 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 2829 29 - 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 2930 30 - 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 3031 31 - 90 - 151 - 212 243 - 304 - 365 31

Tabela 1

Taxa de juro: a razo entre o juro obtido no fim do primeiro perodo financeiro e o capitalinicial. Indicaremos por i.A taxa i costuma apresentar-se de duas formas:

Forma percentual: representa o juro de 100 unidades do capital, no perodo tomadocomo unidade de tempo.

Forma unitria; ou centesimal.

Observe exemplo, conforme tabela 2, abaixo.

5Taxa de juro FormapercentualFormaunitria

Refernciatemporal

2 por cento ao dia 2,00% 0,0200 ad24 por cento ao ms 24,00% 0,2400 am

50,3 por cento aobimestre 50,30% 0,5030 ab

90,03 por cento aosemestre 90,05% 0,9005 as

315 por cento ao ano 315,00% 3,1500 aa

Tabela 2

Montante (FV) : Valor acumulado, relativo aplicao de um capital C (PV), definido comoo capital acrescido de seu respectivo juro J.

1.3 Juros SimplesO juro envolvido em certa operao financeira chamado Juro Simples quando sua

gerao, em cada perodo a que se refere taxa, durante todo o seu prazo de aplicao, forfeita exclusivamente com base no capital inicial.

Assim, aplicando um capital C a uma taxa de juro i por um perodo n teremos:

Obs: I e n devem referir-se a mesma unidade de tempo.

1.3.1 Montante simples

ou

Exerccios:1) Qual o tempo exato de uma aplicao financeira iniciada em 7 de junho de 2004 e

com vencimento em 14 de novembro de 2004? (160 dias)2) A quantos anos, meses e dias correspondem, pelo critrio do tempo comercial, 1926

dias? (5a 4m 6d)3) Calcular o juro simples gerado por uma capital de R$35.000,00, quando aplicado por

10 meses taxa de 9% am.(R$31.500,00)4) Encontrar o capital que aplicado taxa de 21,5% am, durante 4 meses, produz o juro

simples de R$62.178,00. (R$ 72.300,00)5) Encontrar a taxa de juro simples mensal, proporcional a 48% aa. (4%am)6) Encontrar a taxa de juros simples anual, proporcional a 20,05%am. (240,6%aa)7) Calcular o Juro simples produzido pelo capital de R$15.300,00, tomado a 84%aa,

durante trs meses. (R$3.213,00)

FV = PV +J

J = Cin

M = C (1 + in) FV = PV (1+ in)

68) Ivo aplicou um capital por 3 meses, taxa de juros simples de 7% am. Decorridos ostrs meses, o mesmo capital inicial foi aplicado por mais 2 meses, taxa de 48%aa. Asoma do juro obtido nas duas transaes foi R$ 36.250,00. Qual foi o capital inicialaplicado? ( R$125.000,00)

9) Fiz uma aplicao de R$ 300.000,00 a juros simples, esperando que o dinheirorendesse taxa de 60%aa. No entanto, aps certo perodo de tempo, a taxa foireduzida a 4%am. Qual foi o prazo em que vigorou a segunda taxa se, aps 10meses, o capital rende R$ 141.000,00 de juros simples? ( 3 meses)

10) Dois capitais foram colocados a juros simples, mesma taxa. O primeiro gerou dejuros em 1 ano e 8 meses, uma quantia igual a si prprio, e o segundo rendeu de juroR$ 52.500,00, em 15 meses. Calcular a taxa e os capitais envolvidos nessa operaosabendo-se que o segundo capital supera o primeiro em R$ 20.000,00.(C1 = R$ 50.000,00, C2 =R $70.000,00 e i = 5% am)

11) Um banco emprestou a quantia de R$70.000,00, taxa de 91,25% aa, no dia 2 deagosto de 2004 , com data de vencimento para 4 de dezembro de 2004. Quanto dejuro simples exato ele recebeu?(R$ 21.640,71)

12) No dia 8 de maro de 2004, uma pessoa tomou emprestada a quantia deR$ 185.500,00, comprometendo-se a liquidar a dvida em 1 ms e 10 dias, pagandopor ela R$ 296.000,00. A que taxa diria de juros simples deu-se essaoperao?(1,5%ad)

13) Uma loja vende um aparelho de som por R$1.800,00 a vista. A prazo o aparelho vendido por R$ 2.016,00, sendo R$ 360,00 de entrada e o restante pago aps 45 dias.Qual a taxa mensal de juros simples adotada nesta operao? (10%am)

14) Em quantos meses um capital dobra de valor, se aplicado a juros simples de2% am?(50 meses)

1.4 Mtodo Hamburgus:Existe um mtodo de se calcular os juros produzidos por k capitais C1,C2,C3,..., Ck.Aplicados pelos prazos n1,n2,n3...nK taxa de juros simples i.J1=C1n1iJ2=C2n2iJ3=C3n3iJ4=C4n4i...Jk=Cknki

J = J1 + J2 + .... + JkJ = i (C1n1 + C2n2 + ... + Cknk)

n

qqq nCiJ

1

Este mtodo usado para calcular, por exemplo, o juro sobre saldos devedores doscheques especiais.

7Exemplo 1: Um Cliente recebeu o extrato abaixo. Sabe-se que o banco cobra uma taxade juros de 30% am sobre os saldos devedores. Quanto este cliente dever pagar dejuros?

Data Histrico Valor (D/C) Saldo (D/C)1/5/2003 Transporte R$ - R$ 40.000,00 C8/5/2003 Cheque R$ 5.000,00 C R$ 45.000,00 C16/5/2003 Cheque R$(50.000,00) D R$ (5.000,00) D22/5/2003 Cheque R$(25.000,00) D R$(30.000,00) D26/5/2003 Cheque R$ 40.000,00 C R$ 10.000,00 C27/5/2003 Cheque R$(30.000,00) D R$(20.000,00) D1/6/2003 Cheque R$ 40.000,00 C R$ 20.000,00 C

Tabela 3

Soluo: Lembramos que o ms de maio tem 31 dias. Para clculo do juro montamosuma tabela usando apenas os saldos devedores e o prazo desses dbitos. Considere altima coluna da tabela 1.

A partir da tabela 2, abaixo, temos:

Saldo devedor Nmerode dias Total

R$ (5.000,00) 6 R$ (30.000,00) R$(30.000,00) 4 R$(120.000,00) R$(20.000,00) 5 R$(100.000,00)

TOTAL DEVIDO R$(250.000,00)Tabela 4

Logo:

Taxa diria: 010,030

3,0

Juro = 0,010 (250.000) = 2.500

1.5 Saldo mdio e Prazo Mdio

1.5.1 Saldo MdioSabe-se que freqentemente, as instituies bancrias exigem saldo mdio de seus

clientes para concesso de emprstimos, desconto de duplicatas ou de outro ttulo qualquer.Veja como se calcula o saldo mdio.

k

kkm nnn

nCnCnCS

......

21

2211

Onde, C1,C2,...Ck so os saldos credores e n1,n2,...,nk os prazos.

8Exemplo 2: Em julho um cliente apresentou os saldos credores que aparecem no quadro aseguir.Qual o saldo mdio desse cliente?

Saldocredor

Nmerode dias

R$250,00 7R$500,00 3R$50,00 10

Tabela 5

Soluo:

Saldocredor

Nmerode dias AxB

R$250,00 7 R$1.750,00R$500,00 3 R$1.500,00R$50,00 10 R$500,00

Total 20 R$3.750,00

Tabela 6

50,18720

3750mS

1.5.2 Prazo Mdio

Sejam C1,C2,...Ck , k capitais colocados mesma taxa i, durante os tempos n1,n2,...,nk ,respectivamente. Denomina-se prazo mdio o tempo sobre o qual deve ser colocada a somadesses capitais, mesma taxa, de modo que o juro produzido seja igual soma dos jurosproduzidos pelos k capitais dados. Temos ento, pela definio dada;

k

kkm CCC

nCnCnCT

.......

21

2211

Exemplo 3: Os capitais R$6.000,00, R4 10.000,00 e R$ 8.000,00 foram colocados mesmataxa durante 9,5 e 8 meses, respectivamente. Durante quanto tempo deveria ser empregadaa soma desses capitais, mesma taxa, para que o juro produzido fosse igual a soma dosjuros daqueles capitais nos prazos dados?

mTm 780001000060008800051000096000

92. Descontos Simples

2.1 IntroduoSo muito comuns, no mundo dos negcios, as operaes em que uma pessoa (fsica

ou jurdica) recebe algo de imediato e s efetua o devido pagamento depois de determinadoperodo de tempo, previamente combinado entre as partes envolvidas:

Tais operaes so chamadas operaes de crdito e so realizadas mediantedocumento comprobatrio da dvida chamado ttulo de crdito.

Dentre os ttulos de crdito reconhecidos pelo Direito Comercial Brasileiro, destaca-se: Nota promissria: documento oficial pelo qual uma pessoa, declarando-se

devedora de certa quantia a outra, compromete-se a pag-la em certa data,combinada entre as partes.

Letra de cmbio comercial: documento oficial pelo qual uma pessoa ordena outra que lhe pague certa quantia em determinada data.

Duplicata: documento oficial pelo qual uma pessoa se declara devedora decerta quantia a outra, relativa compra de mercadorias.

Endosso: As leis que regem as operaes financeiras permitem a transfernciade propriedade dos ttulos de crdito mediante a operao chamada endosso: oproprietrio do ttulo lana no documento sua assinatura, tornado-a assim aoportador, isto , de propriedade de seu eventual possuidor.

2.2 Desconto

o abatimento sobre o valor de um ttulo ao qual algum faz jus por compr-lo emdata anterior a seu vencimento. Indicaremos o desconto por D.

Nas operaes envolvendo um ttulo de crdito, destacamos alguns elementos relativos data posterior anlise do problema:

Valor Nominal: o valor do ttulo na data de vencimento. Indicaremos o valornominal por N.

Valor atual ou valor presente do ttulo: o valor do ttulo na data de anlise doproblema. Indicaremos o valor atual por A.

Exemplo 2: No caso de uma pessoa possuidora de uma duplicata de R$ 20.000,00 que avendeu a um banco, numa data anterior de seu vencimento, por R$ 15.000,00.

Temos:N = 20000A = 15000D = N A = 5000

Na prtica, o desconto consiste no juro cobrado pelo comprador do ttulo pelo aluguel dodinheiro. Quando esse juro cobrado pelo nico valor do ttulo, o desconto chamadodesconto simples.

10

2.2.1Desconto Racional SimplesTambm chamado desconto por dentro ou real sempre calculado sobre o valor atual

do ttulo A.A relao abaixo fornece esse desconto para o valor atual A , tempo n e taxa de

desconto i:

D = Ain

Como trabalhemos sempre a partir do valor nominal trabalharemos a relao para que fiqueapropriada.

D = Ain e A = N - DD = (N D) inD = Nin DinD + Din = NinD (1 + in) = Nin

Agora acompanhe a relao entre A e N:

inN

NinNinNimN

inNinNDNA

111

Portanto:

Obs: I e n devem se referir ao mesmo perodo de tempo

Exerccios:

15) Uma pessoa pretende saldar uma dvida cujo valor nominal de R$ 6.462,50, doismeses antes da data do vencimento. Qual o desconto que far jus se a taxa correnteno mercado de 60%aa e o critrio adotado foi o racional simples? (R$ 587,50)

16) Qual o valor atual de uma nota promissria de R$7.500,00, quatro meses antes deseu vencimento, taxa de 60%aa? (Considere o desconto racional simples)(R$6.250,00).

17) Uma nota promissria, resgatada 90 dias antes do vencimento, foi negociada porR$53.409,00, taxa de desconto racional de 84%aa. Qual era o valor nominal dessettulo?(R$ 64.624,89)

18) Dois ttulos, A e B, fora, resgatados racionalmente 2 e 3 meses, respectivamente,antes de suas datas de vencimento. A soma dos valores nominais dos dois ttulos deR$ 201.000,00, enquanto o valor de resgate do ttulo A supera o do ttulo B emR$ 20.000,00. Encontre o valor de resgate de cada ttulo, sabendo que ambos foramnegociados a taxa de 10%am. (A = R$ 90.800,00 e B = R$ 70.800,00)

inNinD

1

N = A (1 + in)

11

19) Um ttulo foi resgatado racionalmente 2 meses antes de seu vencimento. Qual foi ataxa simples adotada nessa operao, se o desconto concedido foi igual metade deseu valor atual na data de resgate?(25%am)

2.2.2 Desconto Comercial SimplesTambm chamado desconto por fora, o desconto simples aplicado sobre o valor

nominal do ttulo. Indicaremos o desconto comercial por Dc.Assim, para um ttulo de valor nominal N, descontado n perodos de tempo antes de

seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial ic, temos:

Dc = N icn

Vamos encontrar agora o valor atual comercial em funo do Nominal.

Ac = N - DcAc = N - N icn

OBS: ic e n devem referir-se a um mesmo perodo de tempo.

Exerccios

20) Em 2004 um ttulo com valor nominal de R$ 35.000,00 foi resgatado 40 dias antes desua data de vencimento, taxa de 30%am. Qual o desconto comercial concedido?(R$ 14.000,00)

21) Em 2004 resolvi quitar uma dvida de R$ 8.500,00, faltando 23dias para o seuvencimento. Que valor devo pagar, se meu credor exigiu que a operao se realizassecom base na taxa de desconto comercial de 36%am?(R$ 6.154,00)

22) Por uma duplicata de R$ 20.000,00, um banco pagou o lquido de R$ 19.250,00.Quantos dias ainda faltavam para o vencimento do ttulo, se a operao deu-se taxacomercial de 30%aa? (45 dias)

23) Um banco opera no desconto de ttulos taxa comercial simples de 20%am. Osacador de uma duplicata de R$ 3.000,00 deseja vend-la a esse banco 7 mesesantes de sua data de vencimento. Vale a pena realizar essa operao?(No)

24) O quociente entre os descontos comercial e racional em um ttulo de 1,5. Qual ataxa de desconto comercial adotada n operao, se i = 2ic e o perodo de antecipaofoi de 5 meses?(20%am)

25) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 600.000,00, recebendo olquido de R$ 516.000,00. Sabendo-se que o banco cobra uma comisso de 2% sobreo valor do ttulo, que o regime de juros simples comerciais, sendo a taxa de juros96%aa, qual o prazo de desconto da operao?(45 dias)

Ac = N(1 - icn)

12

2.3 Taxa efetiva de juros

aquela que conduz, pelo critrio racional, ao mesmo valor que a taxa comercialconduziria pelo desconto comercial. Indicaremos:

A taxa de juro efetiva por i. A taxa de desconto comercial por ic.

Para que i corresponda a ic , demos ter D = Dc .D = DcAin = N icn (cancelando n nos dois membros)Ai = NicN(1 icn)i = Nic (cancelando N nos dois membros)(1 - icn)i = ic

Exerccios

26) Uma duplicata foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento, taxa de descontocomercial de 18%am. Qual a taxa de juro efetiva relativa a essa operao?(28,125%am)

27) Um banco deseja lucrar em suas operaes de descontos de ttulos, taxa de juroefetiva de 26%aa. Que taxa anual comercial dever exigir de um cliente naantecipao de um ttulo por 6 meses?(23%aa)

28) Um banco desconta ttulos de crdito, comercialmente, taxa de 20% am.Independentemente do prazo de antecipao do ttulo, cobra ainda uma taxa de 2%de despesas administrativas. Qual a taxa de juro efetiva cobrada por esse banco, nocaso de um ttulo descontado 2 meses antes do vencimento. (36,2%am)

Letra do tesouro Nacional qualquer ttulo emitido pelo governo federal com prazo fixo e que paga juros de

mercado. As LTNs so usadas como instrumento de controle do dinheiro circulante etambm para a captao de recursos para o financiamento de obras pblicas. Recebemtambm o nome de ttulos da dvida Pblica.

Nas operaes com LTNs, o juro e o desconto so calculados no sistema decapitalizao simples.

nii

ic

c

1

13

Exerccio:

25) Um lote de LTNs no valor nominal de R$ 10.000.000,00 adquirido no BancoCentral com prazo de resgate de 69 dias, taxa de desconto comercial de 22%am. Pede-seencontrar:

a) O preo de compra do lote das LTNs.(R$4.940.000,00)b) A taxa de rentabilidade (taxa de juros efetiva) da operao.(44,53%am)

2.4 Equivalncia de Capitais e Fluxo de Caixa

2.4.1 Fluxo de caixaChama-se fluxo de caixa sucesso de pagamentos ou recebimentos previsto ao longodo tempo.Para facilitar a visualizao de um fluxo, utilizamos uma reapresentao grficachamada de fluxo de caixa.

Nele, convencionamos: Um eixo horizontal, orientado para direita, indica os perodos de tempo (dias,

meses, anos, etc). As setas orientadas para cima representam as sadas de caixa (pagamentos,

desembolsos, etc). As setas orientadas para baixo representam as entradas de caixa (recebimentos,

reembolsos, etc).

2.4.2 Equivalncia de capitais

Dois ou mais capitais so ditos equivalentes quando, transportados para uma mesmadata, mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.

A data para qual os capitais sero transferidos ser chamada data focal.

0 1 2 3 4 5 6 7

14

Exerccios:

26)Verificar se os capitais R$ 6.400,00, com vencimento para 3 meses, eR$ 10.000,00, com vencimento para 7 meses, so ou no equivalentes pelo critrioda taxa comercial simples a 10%am, na data focal 5. (Sim)

27)Desejo substituir um ttulo de R$ 50.000,00 que vence hoje por outro quevencer daqui a trs meses. Para esse tipo de transao, o banco aplica a taxacomercial simples de 20%am e, par os clculos, adota a data focal 3. Qual o valordo novo ttulo?(R$125.000,00)

28)Uma pessoa trocou um ttulo de R$ 159.500,00, com vencimento para 45 dias,por outro a ele equivalente, a uma determinada taxa de desconto racional, comvencimento para 10 dias e valor nominal R$ 121.000,00. Qual o valor dessa taxaracional, considerando-se a data focal zero?(1%ad)

2.4.3 Equivalncia entre Conjunto de CapitaisDois ou mais conjuntos de capitais so ditos equivalentes quando a soma dos capitais

de cada conjunto, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa, produzir valoresiguais.

Exerccios

29) Uma pessoa deve a um banco os seguintes valores: R$ 30.000,00 com vencimentohoje, R$ 50.000,00 com vencimento para 30 dias e R$ 70.000,00 com vencimento em60 dias. No entanto, sentindo que no poder pagar essas quantias nas datasprevistas, prope a seu credor o pagamento total da dvida, em uma s vez, daqui a90 dias. Qual o valor desse pagamento nico, se foi usada na transao a taxasimples racional?(R$ 189.000,00)

30) Uma pessoa deve, em um banco, dois ttulos: o primeiro no valor de R$ 15.000,00,para pagamento imediato, e o segundo no valor de R$ 70.000,00, para pagamento em6 meses. Por lhe ser conveniente, o devedor prope ao banco o pagamento total dadvida em uma s vez, em trs meses. Qual o valor desse pagamento nico, se aoperao ser realizada comercialmente a 84%aa, na data focal 3 ?(R$ 74.287,34)

31) Um automvel vendido a vista por R$ 23.000,00. A prazo, o automvel vendido emdois pagamentos de R$ 13.200,00 mensais, sendo o primeiro em 30 dias. Qual foi ataxa racional de juro adotada nessa operao? (10%am)

15

3. Sistema de capitalizao composta

3.1 Juros compostos.

No sistema de capitalizao simples o juro de cada perodo calculado sempre combase no capital inicial.

No sistema de capitalizao composto o juro calculado sempre com base no saldodo incio do perodo.Vejamos a tabela 7, abaixo

Movimentao para juros simples de 10%amPerodo Saldo no Incio do ms Juro de cada ms Montante1 10000 10% de 10000 110002 11000 10% de 10000 120003 12000 10% de 10000 130004 13000 10% de 10000 14000

Tabela 7

Movimentao para juros compostos de 10%amPerodo Saldo no Incio do ms Juro de cada ms Montante1 10000 10% de 10000 110002 11000 10% de 11000 121003 12100 10% de 12100 133104 13310 10% de 13310 14641

Tabela 8

O montante simples pode ser representado por uma reta, j o composto por umaexponencial.

Percebe-se que no regime de juros compostos o montante obtido a cada perodo foicalculado com base no montante anterior, e no no capital inicial, como ocorria nos jurosimples. Portanto, o juro composto um sistema de juro sobre juro, que o que ocorre namaioria das transaes comerciais. Em funo disto, seu estudo mais importante que oestudo do juro simples.

O nico inconveniente da teoria de juros compostos que seu clculo maiscomplexo que o de juros simples, fato que pode ser minimizado se o estudante de utilizaruma calculadora cientfica ou o Excel.

3.2 Convenes

Se um exerccio no especifica o regime de capitalizao, entendemos ser um regimecomposto. Se no especifica se o sistema racional ou comercial, entendemos ser umregime racional.

16

3.3 Clculo do juro e montante compostoAcompanhe a seqncia abaixo:

M1 = C(1+ i)M2 = M1(1+ i) = C(1+ i) (1+ i) = C(1+ i)2M3 = M2(1+ i) = C(1+ i)2(1+ i) = C(1+ i)3

J = M C = C(1+ i)n C = C[(1+ i)n -1]

Onde:

J = Juro compostoC = capital inicialn = tempo de aplicao do capital iniciali = taxa de juros da operao.

Obs: Taxa e tempo deve estar na mesma unidade de tempo.

Exerccios

32) Um investidor aplicou a quantia de R$ 300.000,00, taxa de juro composto de7% am. Que montante este capital ir gerar aps 5 meses? (R$ 420.765,52)

33) Calcular o juro composto que se obter na operao de R$ 100.000,00 a 15% aa,durante 48 meses. (R$ 74.900,60)

34) Um capital de R$ 10.000,00 esteve aplicado por 4 meses e gerou um montante deR$ 12155,06. A que taxa mensal esteve aplicado? (5%am)

35) Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 35.000,00, taxa compostade 10%am, para que o mesmo produza juro de R$ 11585,00?(3 meses)

36) O capital de R$ 25.000,00 foi aplicado a juros composto de 3% am. Qual o montanteno final de 3 anos e 8 meses? (R$ 91.786,31)

37) Calcule a taxa mensal de juro composto que, aplicada ao capital de R$ 700.000,00, otransforma em um montante de R$ 958.230,00 em 2 meses. (17%am)

38) Em 2004, um capital no valor de R$ 500.000,00 foi aplicado taxa de juro compostode 23% am, e se elevou a R$ 756.450,00. Por quantos meses esse capital foiaplicado?(2 meses)

39) O preo de um objeto de R$ 1.200,00, podendo ser pago daqui a trs meses. Nacompra desse objeto, a vista, d-se um desconto de 15%. Qual a taxa de jurocomposto envolvida nessa operao?(5,56%am)

M = C(1+ i)n

J = C[(1+ i)n -1]

17

3.4 Juros e Montante a taxa varivelDe acordo com as definies dadas para juro e montante composto, podemos observar:

Onde:M = montanteJ = JuroC = capital inicialin = taxa de juros no tempo n

Exerccios

40) Uma pessoa aplicou, em caderneta de poupana, a quantia de R$ 300.000,00 por 3meses. Qual o seu saldo no fim desse prazo, se o rendimento do dinheiro nessesmeses deu-se com base nas taxas 1,2% ; 1,5% e 1% ? (R$ 311.235,54)

41) Tomei emprestado R$ 150.000,00 pelo prazo de 4 meses, comprometendo-me apagar juro com base nas taxas de inflao de cada perodo. Quanto pagarei de juro,se as taxas de inflao de cada perodo foram, respectivamente, 7%; 5,5%; 4% e5%?(R$ 34.905,60)

3.5 Taxa de juro no regime de capitalizao composta Em alguns tipos de operao financeira costuma-se expressar a taxa de juro em

tempos anuais. No entanto, essas mesmas operaes so realizadas em perodos decapitalizao mensais, bimestrais, etc. desse fato decorrem situaes em que a taxa de juro expressa em um perodo de capitalizao no coincidente com o perodo de tempo ao quala taxa se refere.

Nesses casos, faz-se necessria a distino entre taxa efetiva e taxa nominal.

Taxa efetiva: aquela que, como o prprio nome j diz, efetivamente verifica a operaofinanceira.

Taxa Nominal: taxa aparente que s pode ser definida quando a unidade qual a taxa serefere no coincide com a unidade do perodo de capitalizao, e a converso feitacalculando-se a taxa proporcional. A fim de evitarmos interpretaes ambguas, vamos convencionar:

Toda vez que a unidade qual a taxa se refere coincidir com o perodo decapitalizao, estaremos nos referindo a uma taxa efetiva.Assim, so exemplos de taxas efetivas:5% ao ms, capitalizados mensalmente.7% ab , capitalizados bimestralmente.

niiiiCM 1...111 321

11...111 321 niiiiCJ

18

No caso da taxa efetiva, costuma-se omitir o perodo de capitalizao.

Toda vez que a unidade qual a taxa se refere no coincidir com o perodo decapitalizao, estaremos nos referindo a um taxa nominal.Assim, so exemplos de taxas nominais:10% aa, capitalizados mensalmente.7% ab, capitalizados diariamente.Por conveno a obteno da taxa efetiva embutida em uma dada taxa nominal feita

no sistema de capitalizao simples, isto calcula-se a taxa proporcional dada, relativa unidade de tempo mencionada para capitalizao.

Assim:

ki

i kk

Sendo: i = taxa efetivaik = taxa nominalk = nmero de vezes em que o perodo correspondente taxa foi dividido.

3.5.1 Taxas equivalentesDuas taxas de juros so ditas equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital

produzem o mesmo montante.Assim:

12121122

11 1111

11

mamam

a iiiCiCiCMiCM

Analogamente podemos escrever: 3602412 11111 dstma iiiii

Exerccios

42) Calcular a taxa de juro efetiva, relativa `a taxa nominal de 36%aa, com capitalizaomensal e com capitalizao bimestral(3%am e 6%ab).

43) Calcular a taxa mensal de juro composto, equivalente a 9,2727%at.(3%am)44) Qual a taxa efetiva anual, relativa taxa de 36%aa, com capitalizao

mensal?(42,6%aa)45) No Brasil, as cadernetas de poupana pagam, alm da correo monetria, juro taxa

nominal de 6%aa, com capitalizao mensal. Pergunta-se:a) Qual a taxa efetiva mensal?(0,5%am)b) Qual a taxa efetiva anual?(6,1678%aa)46) Uma instituio financeira empresta dinheiro a 96%aa, adotando a capitalizao

mensal de juro. Qual seria o montante a ser pago por um emprstimo de R$ 45.000,00feito por 1 ano?(R$ 113.317,65)

47) Um investidor est indeciso se aplica uma quantia em dinheiro disponvel no banco A,que oferece a taxa composta de 2%am, ou no banco B, que oferece 27%aa, tambmde juro composto. Qual dos dois oferece melhor oportunidade de investimento?(Obanco B)

19

4. Descontos Compostos

Os descontos compostos podem ser de dois tipos: desconto comercial composto edesconto racional composto. No entanto, o desconto comercial composto quase noapresenta na prtica aplicao no Sistema Financeiro Brasileiro, razo pela qualapresentamos de forma sucinta, dedicando a maior parte desta unidade ao desconto racionalcomposto.

A simbologia que adotaremos no trato com o desconto composto a seguinte:Dc = desconto composto comercialD = desconto racional compostoN= valor nominalA = valor atual racionalAc = valor atual comerciali = taxa de desconto racionalic = taxa de desconto comercialn= prazo de antecipao

4.1 Desconto Racional Composto a diferena entre o valor nominal e o valor atual de um ttulo, os quais so

determinados com base no sistema de capitalizao composta.Assim, temos:

N = A(1+ i )n ; ni

NA

1

e

ni

ND1

11

Exerccios

48) Calcular o desconto racional composto, concedido no resgate de um ttulo deR$ 50.000,00, recebido 2 meses antes de seu vencimento, taxa de 3% am.(R$ 2.870,20)

49) Qual o valor atual de um ttulo de R$ 100.000,00, resgatado racionalmente taxacomposta de 4% am, 3 meses antes de seu vencimento?(R$ 88.899,60)

50) Por ter pagado uma dvida de R$ 300.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, umapessoa obteve um desconto de R$ 22.846,50. Qual a taxa de desconto racionalenvolvida nessa operao?(2%am)

51) Uma empresa tomou emprestada de um banco a quantia de R$ 2.000.000,00, taxade juro composto de 12%am, por 7 meses. No entanto, 15 dias antes da data previstapara o vencimento, a empresa decidiu liquidar a dvida. Qual o valor pago, se nessadata o banco estava operando a 15%am?(R$ 4.122.941,32)

4.2 Desconto ComercialAs frmulas de juro composto comercial composto, relativo a um dado ttulo de crdito,

so obtidas pelas frmulas do desconto comercial simples, aplicadas perodo a perodo.

Assim, temos:

20

ncc iNA 1

ncc

iAN

1

nccc iNAND 11Exerccios

52) Calcular o desconto comercial composto, concedido no resgate de um ttulo deR$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, taxa de 3%am.(R$ 2.955,00)

53) Qual o valor de um ttulo de R$ 100.000,00, 3 meses antes de seu vencimento,considerando-se a taxa composta de 4%am, sob o critrio do desconto comercial?(R$ 88.473,60)

4.3 Equivalncia de CapitaisJ trabalhamos com os principais conceitos envolvendo equivalncia de capitais, no

sistema de capitalizao simples. claro que os conceitos e a maneira de encararmos osproblemas sero os mesmos. Mudaremos apenas o regime de capitalizao e o fato de quea escolha da data focal no sistema composto irrelevante.

Exerccios

54) Uma pessoa deseja substituir um ttulo de valor nominal de R$ 85.000,00, comvencimento daqui a 2 meses, por outro ttulo, com vencimento para 5 meses. Qual ovalor nominal do novo ttulo, sabendo-se que o banco em questo adota, nesse tipode operao, a taxa composta de 9%am e o critrio do desconto racional?(R$ 110.077,46)

55) Um comerciante deve dois ttulos: um de R$ 90.000,00, com vencimento para 5meses, e outro de R$ 140.000,00, com vencimento para 7 meses, e deseja pag-loshoje. Quanto dever desembolsar, se a operao vai se realizar a 4%am, sob ocritrio do desconto racional composto?(R$ 180.361,95)

56) Uma pessoa deve, em um banco, dois ttulos: R$ 100.000,00 para pagamentoimediato e R$ 70.000,00 para pagamento em 6 meses. Por lhe ser conveniente, odevedor prope ao banco a substituio da dvida por um pagamento deR$ 150.000,00 em 3 meses e o saldo restante em 9 meses. Qual o valor do saldorestante se o banco realiza essa operao a 10%am, sob o critrio do descontoracional composto?(R$ 63.230,65)

57) Uma loja vende suas mercadorias a prazo em 3 pagamentos mensais iguais,acrescentando ao preo destas 20% sobre o preo a vista; o primeiro pagamento feito no ato da compra. Qual a taxa de juro composto cobrada por essaloja?(21,53%am)

21

5. Financiamentos e Capitalizao

5.1 Fluxo de CaixaUm fluxo de caixa representa uma srie de pagamentos ou de recebimentos que se

estima ocorrer em determinado intervalo de tempo. bastante comum, na prtica, defronta-se com operaes financeiras que se

representam por um fluxo de caixa. Por exemplo, emprstimos e financiamento de diferentestipos costumam envolver uma seqncia de desembolsos peridicos de caixa. De maneiraidntica, Tm-se os fluxos de pagamentos/recebimentos e aluguis, de prestaes oriundasde compras a prazo, de investimentos empresariais, de dividendos, etc.

Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termosde perodos de ocorrncia (postecipados, antecipados ou diferidos), de peridiocidade(perodos iguais ou diferentes), de durao (limitados ou indeferidos) e de valores(constantes ou variveis).

Com intuito de melhor estudar as formulaes e aplicaes prticas do fluxo de caixa,como um dos mais importantes temas de matemtica financeira, estudaremos primeiro ofluxo de caixa padro, tambm chamado de modelo bsico de financiamento em seguidaveremos, modelo bsico de capitalizao, modelos de financiamentos bancrio do SFH emodelos com prazo indeterminado.

5.2 Modelo Bsico de FinanciamentoO modelo bsico de financiamento representado por um fluxo de caixa que

verificado quando os termos de uma sucesso de pagamentos ou recebimentos apresentam,ao mesmo tempo, as seguintes classificaes:

Postecipados: indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos comeam aocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo. Por exemplo, no havendo carncia, aprestao inicial de um financiamento paga ao final do primeiro perodo do prazocontratado, vencendo as demais em intervalos seqenciais.

Limitados: O prazo total do fluxo de caixa conhecido a priori, sendo finito o nmerode termos (pagamentos e recebimentos).

Constantes: indica que os valores que compe o fluxo de caixa so iguais entre si. Peridicos: quando os intervalos entre os termos do fluxo so idnticos entre si. Ou

seja, o tempo entre um fluxo e outro constante.Graficamente, teramos:

22

Observe que a estrutura desse fluxo obedece classificao padro apresentadaacima:

O PMT inicial ocorre em n = 1: postecipados; A diferena entre a data de um termo e outro constante: peridico; O prazo do fluxo preestabelecido (fixo), apresentando n perodos: limitado ou

finito; Os valores do PMT so uniformes (iguais): constantes. PV = valor presentes PMT = pagamento n = nmero de pagamentos e i = taxa de juros.

Essa configurao de fluxo de caixa mostra que PV a soma na data focal zero,dos valores atuais de todas prestaes PMT.

Transportando estas prestaes para data focal zero, temos:

n

n

iiiiPMTPV

iPMT

iPMT

iPMT

iPMTPV

11...

11

11

11

1...

111

32

32

Observe que entre os colchetes temos a adio dos termos de uma progresso

geomtrica de razo i11 e com n temos termos. Assim, usando a soma dos termos

da PG finita, temos:

n

nnn

n

n

n iii

iii

iii

i

iiqqaS

11111

111

111

11

1

11

11

1

111

Convencionaremos que a soma dos n primeiros termos dessa PG ser indicada poran,i ou ani , que se l a,n cantoneira i. Alguns autores utilizam a nomenclatura FVA (fator devalor atual). Ento:

0 1 2 3 4 n-2 n-1 n (tempo)

PV

PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT

23

n

n

in iiia

111

, E teremos:

Exerccios

58) Uma mercadoria vendida, a prazo, com uma entrada de R$ 500,00 e mais 5prestaes mensais iguais de R$ 120,00. Qual o preo a vista dessa mercadoria, se aloja aplica nessa venda a taxa composta de 7% am? (R$ 992,02)

59) Uma cmera de vdeo custa, a vista, US$1200,00. A prazo, essa cmera pode seradquirida em trs parcelas mensais iguais, sem entrada, taxa de juro composto de3%am. Qual o valor nominal das prestaes?(US$ 424,24)

60) Um produto que custava a vista R$ 10.000,00 foi vendido sem entrada em 10 parcelasiguais de R$ 1.423,78. Qual a taxa mensal de juro aplicada? ( 7,023582 = 7%am)

61) Um automvel que custa a vista R$ 25.089,07 foi financiado em 3 prestaes fixas deR$ 10.000,00, sem entrada. Qual a taxa mensal de juro composto nessatransao?(2,508907 = 9,5%)

62) Determinado bem vendido em 7 pagamentos mensais iguais e consecutivos deR$ 4.000,00. Par uma taxa de juros de 2,6%am, at que preo compensa pagar avista?(R$ 25.301,00)

63) Um emprstimo de R$ 20.000,00 concedido para pagamento em 5 prestaesmensais, iguais e sucessivas de R$ 4.300,00. Calcular o custo mensal desteemprstimo? (2,46%am)

64) Um veculo novo est sendo vendido por R$ 4.000,00 de entrada mais 6 prestaesmensais, iguais e consecutivas de R$ 3.00,00. Sabendo-se que a taxa de juros demercado de 5,5% am, determinar at que preo interessa comprar o veculo a vista.(R$ 18.986,59)

5.3 Modelo Bsico de CapitalizaoEmbora a situao financeira da maioria dos brasileiros no permita que o indivduo

reserve uma parte de seu salrio para o uso em uma eventualidade ou para comprar algo nofuturo, quando isso ocorre, tem-se o processo de capitalizao.

De um modo geral, o estudo da capitalizao pretende responder seguinte questo:quanto se deve capitalizar por perodo, a fim de que, aps algum tempo, se tenha certocapital?

Se considerarmos parcelas com o mesmo valor nominal e capitalizao se iniciandono final do primeiro perodo, teremos o chamado modelo bsico, demonstrado no fluxo decaixa a seguir:

PV = PMT. an,i

24

Essa configurao de fluxo de caixa mostra que PV a soma, na data focal n, dosvalores nominais de todas as capitalizaes PMT. Observe que a capitalizao feitaapenas at o penltimo pagamento.

Temos ento que:

132

132

1...11111...111

n

n

iiiiPMTFViPMTiPMTiPMTiPMTPMTFV

Observe que entre os colchetes temos a adio dos termos de uma progressogeomtrica de razo i1 e com n temos termos. Assim, usando a soma dos termosda PG finita, temos:

in

nn

n Sii

qqaS ,1

111

1

Convencionaremos que essa soma ser representada por Sn,i ou Sni ( L-se: S, ncantoneira i). Alguns autores utilizam a nomenclatura FAC( Fator de acumulao de capital).

Temos ento:

Exerccios

65) Desejo adquirir um DVD que custa US$ 500,00. Como no disponho desse recurso nomomento, vou abrir uma poupana, na qual depositarei certa quantia mensalmente, demodo que, ao final de 18 meses, eu tenha o dinheiro necessrio. De quantos dlaresdeverei dispor, mensalmente, se a caderneta de poupana remunera0,5%am?(US$26,62)

66) A partir do prximo ms, depositarei mensal,ente R$ 200,00 em um banco queremunera taxa de juro composto de 10% am. Quanto terei no dia que efetuar oquinto depsito?(R$ 1.221,02)

67) Visando adquirir um novo equipamento, a diretoria de uma empresa decidiu, emjaneiro, que depositaria em uma instituio financeira R$ 15.000,00 por ms. Os

0 1 2 3 4 n-2 n-1 n (tempo)

FV

PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT

FV = PMT. Sn, i

25

depsitos foram iniciados no quinto dia de fevereiro e no quinto dia de setembro jpossua R$205.902,28. Qual a taxa composta de remunerao aplicada pelainstituio em que o dinheiro foi depositado? (15%am)

68) Qual a razo entre Sn,i e an,i ?69) Uma pessoa ir necessitar de R$ 22.000,00 daqui a um ano para pagar uma

Ps-graduao. Para tanto, est fazendo uma aplicao mensal de R$ 1.250,00, ataxa de juro composto de 4% am. Ela conseguir atingir seu objetivo? Porque? ( No)

5.4 Sistema de Amortizao

5.4.1 Sistema de prestao Constante (Sistema Francs)Neste sistema, tambm chamado sistema francs ou sistema price , as prestaes

so constantes, utilizando-se para o seu clculo a funo an,i .

Exemplo: Uma pessoa contrai emprstimo de R$ 60.000.000,00 para instalar umaindstria. As condies do emprstimo prevem o pagamento em 10 prestaes iguaissemestrais e consecutivas. Construir a planilha do emprstimo, sabendo-se que a taxaadotada de 10% as, com capitalizao semestral. Arredonde os centavos. Dado(a10,10)-1 = 0,1627454. Observe que utilizamos 7 casas decimais, pretende-se com isso umamelhor aproximao no fechamento da tabela.

Soluo: Por planilha, entendemos um quadro onde so colocados os valoresreferentes ao emprstimo, ou seja, o perodo, o juro do perodo, o saldo devedor, aprestao, o saldo aps pagamento e a amortizao.

Para montar uma planilha no sistema de prestaes constantes, devemos primeirocalcular a prestao, usando a funo an,i :

724.764.91627454,0000.000.601, inaPVPmt

Semestre Juro do perodoSaldo devedor

antes dopagamento

Prestaoconstante

Saldo devedoraps o

pagamentoAmortizao

0 R$ 60.000.000 1 R$ 6.000.000 R$ 66.000.000 R$ 9.764.724 R$ 56.235.276 R$ 3.764.7242 R$ 5.623.528 R$ 61.858.804 R$ 9.764.724 R$ 52.094.080 R$ 4.141.1963 R$ 5.209.408 R$ 57.303.488 R$ 9.764.724 R$ 47.538.764 R$ 4.555.3164 R$ 4.753.876 R$ 52.292.640 R$ 9.764.724 R$ 42.527.916 R$ 5.010.8485 R$ 4.252.792 R$ 46.780.708 R$ 9.764.724 R$ 37.015.984 R$ 5.511.9326 R$ 3.701.598 R$ 40.717.582 R$ 9.764.724 R$ 30.952.858 R$ 6.063.1267 R$ 3.095.286 R$ 34.048.144 R$ 9.764.724 R$ 24.283.420 R$ 6.669.4388 R$ 2.428.342 R$ 26.711.762 R$ 9.764.724 R$ 16.947.038 R$ 7.336.3829 R$ 1.694.704 R$ 18.641.741 R$ 9.764.724 R$ 8.877.017 R$ 8.070.02010 R$ 887.702 R$ 9.764.719 R$ 9.764.724 -R$ 5 R$ 8.877.022

Tabela 9

Observe que, ao final do primeiro semestre, o juro foi de 6.000.000, j que a taxa de10% as.

26

O saldo devedor aps o pagamento a diferena entre o saldo devedor antes dopagamento e a amortizao. Esse novo saldo calculado logo aps o pagamento daprestao.

O juro do perodo obtido pela aplicao da taxa combinada ao novo saldo devedordo ltimo perodo. No caso, como no h perodo anterior, o juro calculado sobre o valortotal da dvida (R$60.000.000,00).

A amortizao o que resta da prestao aps a separao do que se devia de juro.

5.4.2 Sistema de Amortizaes Constantes (SAC)Como o prprio nome diz, trata-se de um sistema em que as amortizaes so

constantes, o que implica prestaes maiores nos primeiros perodos, reduzindo-se aospoucos.

Para iniciarmos a construo da planilha,devemos primeiro dividir o valor da dvidapelo nmero de prestaes, obtendo o valor da amortizao constante.

O saldo devedor aps o pagamento a diferena entre o saldo devedor antes dopagamento e a amortizao. Esse novo saldo calculado logo aps o pagamento daprestao.

Perodo a perodo, calculamos ento o juro e, somando-o amortizao, obtemos aprestao.

Exemplo:Um emprstimo de R$ 20.000.000,00 foi feito no sistema de amortizaes constantes.

O prazo de pagamento de 5 anos e a taxa acordada de 10%aa. Construir a planilha,considerando os pagamentos anuais.

Soluo:Para se montar uma planilha no SAC, devemos primeiro calcular as amortizaes, no

caso 00.000.45

000.000.20 por ano.

No caso do primeiro perodo o juro de R$ 20.000.000 x 0,1 = R$ 2.000.000,00.Como a amortizao constante, j temos o valor da primeira prestao, que P = J + A = R$ 6.000.000,00.

Desta forma montamos a tabela abaixo:

Ano Juro doperodo

Saldo devedorantes do

pagamentoPrestao

Saldo devedoraps o

pagamento

AmortizaoConstante

0 R$ 20.000.000 1 R$ 2.000.000 R$ 22.000.000 R$ 6.000.000 R$ 16.000.000 R$ 4.000.0002 R$ 1.600.000 R$ 17.600.000 R$ 5.600.000 R$ 12.000.000 R$ 4.000.0003 R$ 1.200.000 R$ 13.200.000 R$ 5.200.000 R$ 8.000.000 R$ 4.000.0004 R$ 800.000 R$ 8.800.000 R$ 4.800.000 R$ 4.000.000 R$ 4.000.0005 R$ 400.000 R$ 4.400.000 R$ 4.400.000 R$ 0 R$ 4.000.000

Tabela 10

27

5.4.3 Sistema de Juro Constante ou Sistema AmericanoEsse sistema tambm conhecido como sistema americano. O juro calculado em

funo do saldo devedor. Para que o juro seja constante, sem se alterar a taxa, preciso queo saldo devedor seja constante, o que se consegue no amortizando a dvida perodo aperodo, mas im pagando-a de uma nica vez no final do emprstimo. Assim, as prestaesiniciais se limitam ao pagamento do juro.

Exemplo:Um emprstimo de R$ 10.000.000,00 foi feito pelo sistema de juro constante, com

pagamentos anuais. O prazo de pagamento foi estipulado em 6 anos, a taxa de jurocomposto de 10%aa. Construir a planilha.

Soluo:

Ano Juro ConstanteSaldo devedor

antes dopagamento

PrestaoSaldo devedor

aps opagamento

AmortizaoConstante

0 R$ 10.000.000 1 R$ 1.000.000 R$ 11.000.000 R$ 1.000.000 R$ 10.000.000 2 R$ 1.000.000 R$ 11.000.000 R$ 1.000.000 R$ 10.000.000 3 R$ 1.000.000 R$ 11.000.000 R$ 1.000.000 R$ 10.000.000 4 R$ 1.000.000 R$ 11.000.000 R$ 1.000.000 R$ 10.000.000 5 R$ 1.000.000 R$ 11.000.000 R$ 1.000.000 R$ 10.000.000 6 R$ 1.000.000 R$ 11.000.000 R$ 11.000.000 R$ 0 R$ 10.000.000

Tabela 11

5.4.5 Sistema de Amortizao Mixto (SAM)O Sistema de amortizao Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para as

operaes de financiamento do Sistema Financeiro de Habitao. Representa basicamente amdia aritmtica entre o sistema francs (SAF) ou Price e os Sistema de AmortizaoConstante (SAC), da explicando-se a sua denominao. Para cada um dos valores de seuplano de pagamentos, devem-se somar aqueles obtidos pelo SAF com o SAC e dividir oresultado por dis.

A tabela abaixo representa os resultados obtidos considerando os resultados no SAFe no SAC, para serem comparados com o misto SAM para um financiamento deR$ 100.000,00 a taxa de juros de 14,02%aa durante 10 anos.

28

SAC

A JuroSaldo devedor

antes dopagamento

PrestaoSaldo

devedor apso pagamento

AmortizaoConstante Taxa n

0 R$ 100.000 14,02% 101 R$ 14.018 R$ 114.018 R$ 24.018 R$ 90.000 R$ 10.000 2 R$ 12.616 R$ 102.616 R$ 22.616 R$ 80.000 R$ 10.000 3 R$ 11.214 R$ 91.214 R$ 21.214 R$ 70.000 R$ 10.000 4 R$ 9.812 R$ 79.812 R$ 19.812 R$ 60.000 R$ 10.000 5 R$ 8.411 R$ 68.411 R$ 18.411 R$ 50.000 R$ 10.000 6 R$ 7.009 R$ 57.009 R$ 17.009 R$ 40.000 R$ 10.000 7 R$ 5.607 R$ 45.607 R$ 15.607 R$ 30.000 R$ 10.000 8 R$ 4.205 R$ 34.205 R$ 14.205 R$ 20.000 R$ 10.000 9 R$ 2.804 R$ 22.804 R$ 12.804 R$ 10.000 R$ 10.000 10 R$ 1.402 R$ 11.402 R$ 11.402 R$ 0 R$ 10.000 T R$ 77.096 R$ 177.096 R$ 100.000

PRICE

A JuroSaldo devedor

antes dopagamento

Prestaoconstante

Saldodevedor apso pagamento

Amortizao

0 R$ 100.000 1 R$ 14.018 R$ 114.017,50 R$ 19.184,45 R$ 94.833 R$ 5.1672 R$ 13.293 R$ 108.126,27 R$ 19.184,45 R$ 88.942 R$ 5.8913 R$ 12.467 R$ 101.409,24 R$ 19.184,45 R$ 82.225 R$ 6.7174 R$ 11.526 R$ 93.750,66 R$ 19.184,45 R$ 74.566 R$ 7.6595 R$ 10.452 R$ 85.018,53 R$ 19.184,45 R$ 65.834 R$ 8.7326 R$ 9.228 R$ 75.062,37 R$ 19.184,45 R$ 55.878 R$ 9.9567 R$ 7.833 R$ 63.710,61 R$ 19.184,45 R$ 44.526 R$ 11.3528 R$ 6.241 R$ 50.767,61 R$ 19.184,45 R$ 31.583 R$ 12.9439 R$ 4.427 R$ 36.010,33 R$ 19.184,45 R$ 16.826 R$ 14.75710 R$ 2.359 R$ 19.184,45 R$ 19.184,45 R$ 0 R$ 16.826T R$ 91.844 R$ 191.844,49 R$ 100.000

MISTO

A JuroMIXTO

Saldo devedorantes do

pagamento

PrestaoMISTA

Saldodevedor apso pagamento

AmortizaoMISTA

0 R$ 100.000 1 R$ 14.018 R$ 114.018 R$ 21.601 R$ 92.417 R$ 7.5832 R$ 12.954 R$ 105.371 R$ 20.900 R$ 84.471 R$ 7.9463 R$ 11.841 R$ 96.312 R$ 20.199 R$ 76.112 R$ 8.3594 R$ 10.669 R$ 86.781 R$ 19.498 R$ 67.283 R$ 8.8295 R$ 9.431 R$ 76.715 R$ 18.797 R$ 57.917 R$ 9.3666 R$ 8.119 R$ 66.036 R$ 18.097 R$ 47.939 R$ 9.9787 R$ 6.720 R$ 54.659 R$ 17.396 R$ 37.263 R$ 10.6768 R$ 5.223 R$ 42.486 R$ 16.695 R$ 25.792 R$ 11.4719 R$ 3.615 R$ 29.407 R$ 15.994 R$ 13.413 R$ 12.37910 R$ 1.880 R$ 15.293 R$ 15.293 R$ 0 R$ 13.413T R$ 84.470 R$ 184.470 R$ 100.000

Tabela 12

29

5.4.5 Outros Exemplos

Como financiamentos so acordados entre as partes, em princpio o que forconsensual entre elas, e no ferir a legislao pode ser pactuado.

Na prtica, porm, quem tem maior poder de barganha acaba definindo os critrios.Assim, quando se vai a um banco pedir um emprstimo, em regra, ou se aceitam seuscritrios e taxas ditadas pelo banco, ou no se obtm o dinheiro.

Algumas vezes, o financiamento no se adequa aos casos padronizados. Nessascircunstncias, deve-se elaborar um modelo especfico, que possa resolver aquele caso emparticular. Claro que no possvel abordar todos os casos imaginveis, mas algunsexerccios sero feitos de modo a ilustrar o procedimento a ser adotado.

Um emprstimo foi obtido nas seguintes condies: carncia de 2 anos, nos quais ojuro no ser pago; depois mais 2 anos de carncia, sendo pago somente o juro e, nosltimos 4 anos, o pagamento ser feito pelo sistema de amortizaes constantes. Construir aplanilha, sabendo que a taxa acordada foi de 10%aa e o valor do emprstimo deR$ 50.000.000,00.

Soluo:

Ano Juro do perodoSaldo devedor

antes dopagamento

PrestaoSaldo devedor

aps opagamento

AmortizaoConstante

0 R$ 50.000.000 1 R$ 5.000.000 R$ 55.000.000 R$ 55.000.000 2 R$ 5.500.000 R$ 60.500.000 R$ 60.500.000 3 R$ 6.050.000 R$ 66.550.000 R$ 6.050.000 R$ 60.500.000 4 R$ 6.050.000 R$ 66.550.000 R$ 6.050.000 R$ 60.500.000 5 R$ 6.050.000 R$ 66.550.000 R$ 21.175.000 R$ 45.375.000 R$ 15.125.0006 R$ 4.537.500 R$ 49.912.500 R$ 19.662.500 R$ 30.250.000 R$ 15.125.0007 R$ 3.025.000 R$ 33.275.000 R$ 18.150.000 R$ 15.125.000 R$ 15.125.0008 R$ 1.512.500 R$ 16.637.500 R$ 16.637.500 R$ 0 R$ 15.125.000

Tabela 13

Exerccios

70) Um financiamento de R$ 1.000.000,00 foi feito no sistema de prestaesconstantes, a juro composto de 8%aa, e o pagamento ser feito em 5 prestaesanuais. Construir a planilha, arredondando os centavos.

71) Um emprstimo de R$ 2.000.000,00 foi feito com base no sistema price, com jurosnominais de 8%aa e capitalizao semestral, e deve ser pago em 4 semestres.Construir a planilha, desprezando os centavos.

72) Um emprstimo de 4 milhes de dlares foi concedido a um pas, que secomprometeu a amortizar a dvida em parcelas iguais ao longo de 8 anos, empagamentos anuais. A taxa de juro composto acordada foi de 8%aa. Construir aplanilha.

73) A fim viabilizar a implantao de uma fbrica, foi feita um emprstimo deR$ 50.000.000,00 pelo sistema de amortizaes constantes, mas com as seguintesparticularidades: um prazo de carncia de 2 semestres, durante os quais s sepagaro os juros; pagamento das amortizaes em 4 semestres; prazo total definanciamento correspondente a 3 anos. A taxa de juro composto acertada foi de30% as. Construir a planilha.

30

74) Um emprstimo foi concedido a uma indstria no sistema de juro constante, taxade 40%aa, pelo perodo de 4 anos, ao fim do qual a indstria dever amortizar osR$ 20.000.000,00 emprestados. Construir a planilha.

75) Uma empresa acertou, com um banco, um emprstimo no qual foram pactuadas asseguintes condies: sistema de juro constante com amortizao total no sextoano, taxa de juro composto de 10%aa, pagamentos de juro devido a cada ano evalor do emprstimo U$$ 4.000.000,00. Construir a planilha.

76) Uma empresa obtm um financiamento de R$ 10.000.000,00, sendo acertado que,nos dois primeiros anos, o juro ser incorporado dvida e, a partir do terceiro ano,passa a vigorar o sistema de juro constante, a 10%aa, por 4 anos. Construir aplanilha.

6) Anlise de Investimentos

Basicamente, toda operao financeira representada em termos de fluxos de caixa,ou seja, em fluxos futuros esperados de recebimentos e pagamentos de caixa. A avaliaodesses fluxos consiste, em essncia, na comparao dos valores presentes, calculadossegundo o regime de juros compostos a partir de uma dada taxa de juros, das sadas eentradas de caixa.

Em considerao ao conceito de valor do dinheiro no tempo, raciocnio bsico damatemtica financeira adotado neste livro, coloca-se como fundamental estudar-se somenteos mtodos que levem em conta o critrio do fluxo de caixa descontado.

Dessa maneira, o captulo desenvolve os mtodos da taxa interna de retorno de dovalor presente lquido, admitidos como os de maior utilizao e rigor conceitual nas anlisesdas operaes financeiras (aplicaes e captaes) e de projetos de investimento.

6.1 Taxa Interna de Retorno (IRR)A taxa interna de retorno a taxa de juros (desconto) que iguala, em determinado

momento do tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com o dassadas(pagamentos) previstas de caixa. Geralmente, adota-se a data de incio da operao,momento zero, como a data focal de comparao de fluxos de caixa.

Normalmente, o fluxo de caixa no momento zero(fluxo de caixa inicial) representadopelo valor do investimento, ou emprstimo ou financiamento; os demais fluxos de caixaindicam os valores das receitas ou prestaes devidas.

Nestas condies, a identidade de clculo da taxa interna de retorno identificada daseguinte forma:

nn

o iFC

iFC

iFC

iFCFC

1...

111 23

221

Deduzindo-se que:

n

jj

jo i

FCFC

1 1

31

Onde: FCo = valor do fluxo de caixa no momento zero ( recebiemnto , emprstimo ou

Pagamento, investimento) FCj = fluxos previstos de entradas ou sadas de caixa em cada perodo de

tempo; I = taxa de descontos que iguala, em determinada data, as entradas com as

sadas previstas em caixa. Em outras palavras, i representa a taxa interna deretorno.

Considerando que os valores de caixa ocorrem em diferentes momentos, possvelconcluir que o mtodo da taxa da IRR, ao levar em conta o valor do dinheiro no tempoexpressa na verdade a rentabilidade se for uma aplicao, ou custo, no caso de umemprstimo ou financiamento, do fluxo de caixa. A rentabilidade ou custo indicado emtermos de uma taxa de juros equivalente peridica.

Exemplo 1: Admita um emprstimo de R$ 30.000,00 a ser liquidado atravs de doispagamentos mensais e sucessivos de R$ 15.500,00 cada.

Graficamente, tem-se a seguinte representao:

A TIR desta operao dada pela equao:

2115500

11550030000

ii

Resolvendo essa equao na HP 12C : 30000 [CHS][g][CFo] 15500[g][CFj] 15500[g][CFj] [f][IRR] 2,21%am

Resolvendo no Excel 2003 Observe que na clula E2 inserimos o comando = TIR(B2:B4) para obter o

resultado. A B C D E1 Srie de Capitais TIR "= TIR(B2:B4)"2 0 -30000 TIR 2,214%3 1 155004 2 15500

Tabela 14

0 1 2)

R$ 30.000,00

R$15.500,00 R$ 15.500,00

32

Exemplo 2: Determinar a taxa interna de retorno referente a um emprstimo deR$ 126900,00 a ser liquidado em quatro pagamentos mensais e consecutivos deR$ 25.000,00; R$ 38.000,00; R$ 45.000,00 e R$ 27.000,00.

Graficamente, tem-se a seguinte representao:

A TIR desta operao dada pela equao:

432 127000

145000

138000

125000126900

iiii

Resolvendo essa equao na HP 12C : 126900 [CHS][g][CFo] 25000[g][CFj] 38000[g][CFj] 45000[g][CFj] 27000[g][CFj] [f][IRR] 2,47%am

Resolvendo no Excel 2003 Observe que na clula E2 inserimos o comando = TIR(B2:B6) para obter o resultado

A B C D E F

1 Srie de Capitais TIR"=

TIR(B2:B6)"

2 0 -126900 TIR 2,470% 3 1 250004 2 380005 3 450006 4 27000

Tabela 15

6.2 Mtodo do Valor Presente Lquido (NPV ou VPL)O mtodo do valor presente lquido para anlise dos fluxos de caixa obtido pela

diferena entre o valor presente dos benefcios(ou pagamentos) previstos de caixa, e o valorpresente do fluxo de caixa inicial (valor do investimento, do emprstimo ou financiamento).

A identidade de clculo do NPV expressa da forma seguinte:

0 1 2 3 4

R$ 126.900,00

R$25.000,00 R$ 38.000,00 R$ 45.000,00 R$ 27.000,00

33

023

221

1...

111FC

iFC

iFC

iFC

iFCNPV n

n

01 1FC

iFC

NPVn

jj

j

Onde: FCj = valor de entrada (ou sada) de caixa previsto para cada intervalo de tempo; FC0 = fluxo de caixa verificado no momento zero(momento inicial), podendo ser um

investimento, emprstimo ou financiamento.

Comparativamente ao mtodo da IRR, o valor presente lquido exige a definio prviada taxa de desconto a ser empregada na atualizao dos fluxos de caixa. Na verdade, o NPVno identifica diretamente a taxa de rentabilidade (ou custo) da operao financeira, aodescontar todos os fluxos de entradas e sadas de caixa por uma taxa de desconto mnimaaceitvel, o NPV denota, em ltima anlise, o resultado econmico da alternativa financeiraexpressa em moeda atualizada.

O NPV caracteristicamente referenciado ao momento inicial (data zero).Exemplo 1:

Admita que uma empresa esteja avaliando um investimento no valor de R$ 750.000,00do qual se esperam benefcios anuais de caixa de R$250.000,00 no primeiro ano,R$ 320.000,00 no segundo ano, R$ 380.000,00 no terceiro ano. Admitindo que a empresatenha definido em 20% aa a taxa de desconto a ser aplicada aos fluxos de caixa doinvestimento. Represente o clculo do NPV e seu valor.

Aplicando na expresso do NPV, temos:

750000

2,01000.280

2,01000.380

2,01000.320

2,01000.250

432

NPV

0 1 2 3 4

R$ 750.000,00

R$250.000,00 R$ 320.000,00 R$ 380.000,00 R$ 280.000,00

34

Resolvendo essa equao na HP 12C , temos: 750000 [CHS] [g] [CFo] 250000 [g] [CFj] 320000 [g] [CFj] 380000 [g] [CFj] 280000 [g] [CFj] 20 [ i ] [ f ] [npv] R$ 35.493,82

Resolvendo no Excel 2003 Observe que na clula B9 inserimos o comando =VPL(B7;B3:B6)-B2 para obter o

resultado.

A B1 ANOS CAPITAIS2 0 -R$ 750.000,003 1 R$ 250.000,004 2 R$ 320.000,005 3 R$ 380.000,006 4 R$ 280.000,00

7 Taxa de juro 20,00%

8 VPL " =VPL(B7;B3:B6) - B2"9 VPL R$ 35.493,83

Tabela 16

Exerccios

77) Esto sendo avaliadas quatro propostas de investimentos cujas informaesbsicas so apresentadas a seguir:

Fluxos esperados de CaixaProposta Investimentona data zero Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4A R$ 390.000,00 R$ 210.000,00 R$ 180.000,00 R$ 120.000,00 R$ 100.000,00B R$ 580.000,00 R$ 90.000,00 R$ 130.000,00 R$ 470.000,00 R$ 710.000,00C R$ 260.000,00 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ 200.000,00 R$ 200.000,00D R$ 850.000,00 R$ 520.000,00 R$ 410.000,00 R$ 390.000,00 R$ 390.000,00

Tabela 17

Pede-se:a) Determinar a IRR e o NPV de cada projeto admitindo uma taxa de desconto mnima

aceitvel de 25% aa. Indique, com base nesse retorno exigido, as propostaseconomicamente aceitveis.

b) Se a taxa de desconto exigida se elevar para 35%, quais propostas que seriamaceitas?

78) Certa alternativa de investimento requer um dispndio integral de capital deR$150.000,00, estimando-se um retorno de R$ 45.000,00, R$ 60.000,00,R$ 70.000,00, R$ 80.000,00 e R$ 100.000,00, respectivamente, ao final de cada

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um dos prximos 5 anos. Admitindo que os quatro primeiros fluxos de caixapossam ser reinvestidos, at o prazo final de vida da alternativa, s taxas de28%aa,26%aa,24%aa e 22%aa, respectivamente, pede-se determinar a IRR dessaoperao considerando as diferentes taxas de reinvesti mento. ( 29,5%aa)

79) Determinada empresa transportadora esta avaliando a compra de um caminhopor R$ 60.000,00. O veculo ser usado durante 5 anos, aps o qual se prev umarevenda de R$ 7.200,00. A empresa estima, ainda, um custo anual demanuteno, combustvel, etc. de R$24.000,00, no primeiro ano, crescendo essegasto 10%aa. Segundo essa empresa esperada benefcios lquidos de caixagerados pelo caminho de R$ 60.000,00, R$ 56.000,00, R$ 48.000,00,R$ 40.000,00 e R$36.000,00, respectivamente nos prximos 5 anos. Para umataxa de desconto de 12%aa, demonstrar se economicamente vivel a compradesse caminho.

80) Um imvel colocado a venda por R$ 360.000,00 a vista, ou em 7 parcelasmensais nos seguintes valores; As duas primeiras de R$ 50.000,00; As duas seguintes de R$ 70.000,00; As trs ltimas parcelas de R$ 80.000,00.

Determinar o custo mensal desta operao expresso pela taxa interna de retorno.(2,84%aa)

81) Uma empresa contrata um financiamento de R$25.000,00 para ser pago em 6prestaes trimestrais, iguais e sucessivas no valor de R$ 8.600,00 cada. Abe-seque a primeira prestao ser liquidada ao final do nono ms (dois trimestres decarncia). Determinar a IRR dessa operao. ( 14,65% at)

82) Uma empresa leva quatro duplicatas para desconto junto a um banco nos valoresde R$28.000,00, R$ 65.000,00, R4 47.000,00 e R$ 88.000,00, vencveis,respectivamente, em 17, 28, 34 e 53 dias. O banco credita a importncia lquida deR$ 218.720,00 na conta do cliente. Determinar a taxa efetiva mensal de juroscobrada pelo banco. (3,39% am)

83) Abaixo so apresentados os NPV de quatro propostas de investimentos admitido-se diferentes taxas de desconto.

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Taxa dedesconto

Projeto A(R$)

Projeto B(R$)

Projeto C(R$)

Projeto D(R$)

0,00% 25,20 50,00 40,00 50,004,00% 8,20 37,00 26,40 30,108,00% (0,20) 25,90 14,90 13,70

12,00% (9,90) 16,30 5,00 0,0016,00% (18,10) 7,90 (3,43) (11,40)20,00% (25,20) 0,50 (10,80) (21,00)

Tabela 18

Pede-se:a) Se a taxa de desconto mnima aceitvel atingir 16%, indicar as alternativas de

investimento que podem ser aceitas;b) Qual alternativa que apresenta a maior taxa de rentabilidade peridica?c) Qual a IRR da alternativa D?d) O projeto c mais rentvel (apresenta maior IRR) que o projeto D?e) A IRR do projeto b maior ou menor que 20%?f) A IRR do projeto A menor que 8%?

84) Admita um ativo que tenha sido adquirido por R$ 140.000,00. Este ativo tem vidatil estimada de 7 anos e valor residual de R$ 15.000,00 ao final da vida. Os custosoperacionais do ativo atingem a R$ 20.000,00 no primeiro ano, crescendo taxaaritmtica constante de R4 10.000,00/ano. Para uma taxa de juro de 12%aa,determinar o custo equivalente anual deste ativo. ( R$ 74.704.40)

8. BIBLIOGRAFIA

8.1 SAMANES, Carlos Patrcio. Matemtica Financeira: Aplicaes Anlise deInvestimentos. So Paulo: Editora Makron Books,1999. ISBN: 85-346-0925-X.

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8.3 PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemtica Financeira Objetiva e Aplicada. SoPaulo:Editora Saraiva,1999. ISBN: 85-02-02719-0.

8.4 PARENTE, Eduardo & CARIBE, Roberto. Matemtica Comercial & Financeira. SoPaulo: FTD , 1996 . ISBN : 85-3222-26200-5

8.5 CARVALHO, Thales de Mello, Matemtica Comercial e Financeira: Complementosde Matemtica. Rio de Janeiro, Fename,1977.