APOSTILA DE MATEMÁTICA 2018 3º ANOcolegioaplicacao.com.br/wp-content/uploads/2018/02/3-ano-matema… · MATEMÁTICA - 3º ANO – ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2018 6 14- Quantos números

MATEMÁTICA - 3º ANO – ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2018

1

APOSTILA DE MATEMÁTICA 2018

3º ANO

PROFESSOR: DENYS DOMICIANO

YOSHIDA

PERÍODO: MANHÃ


2

Sumário

1.Análise combinatória..................................................................................................................4

1.1 Princípio Fundamental da Contagem......................................................................................4

Exercícios propostos.....................................................................................................................4

1.2 Fatorial.....................................................................................................................................6

Exercícios propostos.....................................................................................................................7

1.3 Permutações simples..............................................................................................................9

1.4 Permutações com elementos repetidos................................................................................10

Exercícios propostos...................................................................................................................11

1.5 Arranjo simples......................................................................................................................13


1.6 Combinações simples...........................................................................................................15


1.7 Números Binomiais...............................................................................................................17

1.8 Triângulo de Pascal...............................................................................................................18


1.9 Binômio de Newton...............................................................................................................22


1.10 Experimentos aleatórios.................................................................................................23

1.11 Espaço amostral.............................................................................................................24

1.12 Evento...........................................................................................................................24


1.13 Probabilidade.......................................................................................................................25


Exercícios de vestibular...............................................................................................................28

2. Geometria Analítica.................................................................................................................33

2.1 Distância entre dois pontos...................................................................................................33


2.2 Ponto médio de segmento.....................................................................................................35


2.3 Condição de alinhamento de três pontos distintos ...............................................................37


2.4 Coeficiente angular de reta...................................................................................................39

2.5 Equação geral da reta...........................................................................................................40

2.6 Equação reduzida da reta.....................................................................................................40

2.7 Posições relativas entre duas retas.......................................................................................40



3

2.8 Estudo da circunferência.......................................................................................................45

2.9 Equação reduzida da circunferência.....................................................................................45



3. Números complexos................................................................................................................51

3.1 Unidade imaginária................................................................................................................51

3.2 Definição................................................................................................................................52


3.3 Operações com complexos...................................................................................................55

3.4 Inverso de um número complexo..........................................................................................58

3.5 Potências de i........................................................................................................................58


3.6 Representação geométrica dos números complexos...........................................................63

3.7 Módulo de um complexo.......................................................................................................64

3.8 Argumento de um complexo..................................................................................................65

3.9 Forma trigonométrica de um complexo.................................................................................66



4. Polinômios...............................................................................................................................73

4.1 Definição................................................................................................................................73

4.2 Polinômio nulo.......................................................................................................................74

4.3 Valor numérico de um polinômio...........................................................................................75


4.4 Operações com polinômios...................................................................................................77

4.5 Teoremas sobre divisão de polinômios.................................................................................80

4.6 Dispositivo de Briot-Ruffini....................................................................................................81



Referências bibliográficas...........................................................................................................88


4

1. Análise Combinatória

A partir da necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos de azar foi

desenvolvida a Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de

contagem. Os estudos sobre Análise Combinatória foram iniciados pelo matemático italiano

Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois estudada pelos franceses

Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa

desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de

um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

1.1 Princípio fundamental da contagem

Princípio Fundamental da Contagem também é conhecido como Regra do Produto, um

princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um evento pode

ocorrer.

O evento é formado por duas etapas caracterizadas como sucessivas e independentes:

O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos, o segundo estágio pode ocorrer de n

modos distintos.

Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um

evento é igual ao produto m. n.

Exemplo

1. Felipe possui 4 calças sociais e 6 camisas, de quantas maneiras distintas poderá associá-

las?

m. n = 4 . 6 = 24

Felipe pode associar suas roupas de 24 formas diferentes

Exercícios propostos

1- Com 3 tipos de macarrão e 2 tipos de molho, quantos pratos diferentes de macarronada

podem ser preparados com 1 tipo de macarrão e 1 tipo de molho?

2- Uma determinada viagem pode ser feita de carro, ônibus ou avião. De quantos modos

pode-se escolher o meio de transporte se não for usado na volta o mesmo meio de

transporte usado na ida?

3- Epaminondas quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que

há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes

para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis

Epaminondas poderá viajar de Recife a Porto Alegre?


5

4- De quantas maneiras distintas pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2

pares de meias e 2 pares de sapatos?

5- Numa lanchonete há 5 tipos de sanduíche, 4 tipos de refrigerante e 3 tipos de sorvete. De

quantas maneiras podemos tomar um lanche composto por um sanduíche, um refrigerante

e um sorvete?

6- Na eleição de uma escola há três candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, seis a

secretário e sete a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados dessa eleição?

7- Genoveva convidou sete meninas e dez rapazes para sua festa de aniversário. Contando

com ela, quantos casais podem ser formados?

8- Doze cavalos participam de uma corrida. Se nenhum pode ganhar mais de um prêmio, de

quantas maneiras podem ser distribuídos o 1º e o 2º prêmio?

9- Em uma prova classificatória para as olimpíadas, 10 atletas disputam os 800 metros. Sabe-

se que apenas os quatro primeiros serão classificados para as finais. Quantos resultados

possíveis existem para os quatro primeiros lugares?

10- Dispondo de seis cores, de quantas formas distintas podemos pintar uma bandeira com 3

listras verticais de cores diferentes?

11- Uma churrascaria oferece 30 tipos de salada, dez tipos de carne e cinco tipos de

sobremesa. Asclépio resolveu optar por um tipo de salada, um tipo de carne e um tipo de

sobremesa. Quantas opções ele tem para montar seu prato?

12- Uma comissão de uma câmara de vereadores será composta por 1 presidente, 1 secretário

e 1 relator. Considerando que essa câmara possui 18 vereadores, de quantos modos pode

ser formada essa comissão?

13- Quantos números de telefone com 8 algarismos podemos formar? E quantos números de

telefone com 8 algarismos e prefixo 3609 podemos formar?


6

14- Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados usando-se os

algarismos 3,4,5,7,8 e 9?

15- Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6 e 7, quantos números de 3 algarismos:

a) podemos formar?

b) distintos podemos formar?

16- Quantos números naturais de quatro algarismos distintos existem?

17- Quantos são os números de quatro algarismos formados somente por algarismos ímpares?

18- Quantos números naturais ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar com os

algarismos de 0 a 9?

19- As placas de automóveis são formadas por 3 letras e 4 algarismos. Quantas placas

podemos formar, utilizando apenas as vogais e os algarismos pares?

20- Um cofre de segurança possui um disco com as 26 letras do alfabeto e dois outros

numerados de 1 a 9. o segredo do cofre consiste em 4 letras distintas, em uma

determinada ordem, e 2 números distintos, também em ordem. Considerando que as letras

devem sempre anteceder os números, quantos segredos diferentes podem ter o cofre?

1.2 Fatorial de um número

Denominamos fatorial o produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1,

um fatorial é apresentado da forma n!, onde:

n! = n·(n-1)·(n-2)...(3)·(2)·(1)

Nota: Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.

Exemplo

1. Calcule 6!

Temos que 6! lê-se 6 fatorial e pela definição:

6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720


7

Escrevendo um fatorial a partir de outro fatorial menor

Conforme vimos acima, sabemos que 6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1, porém podemos escrevê-lo em

função de fatoriais menores, tais como 5!, 4!, 3! e 2!:

6! = 6. 5!

6! = 6. 5 . 4!

6! = 6. 5 . 4 . 3!

6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2!

Podemos generalizar a idéia, escrevendo:

n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!

Esse procedimento pode ser bastante utilizado para simplificação de expressões ou cálculo de

fatoriais.

Exemplo:

1. Simplifique as expressões abaixo:

a) 6! 6.5.4.3!

6.5.4 1203! 3!

b) ( 2)! ( 2)! 1 1

! .( 1).( 2)! ( 1) ²

n n

n n n n n n n n


1- Calcule o valor dos números fatoriais:

a) 0!

b) 1!

c) 7!

d) 2! + 3!

e) 3! – 2!

f) 2! . 3!

g) 4! . 2!


8

h) 0! . 5!

i) )!510(

2- Simplifique as expressões:

a) !11

!14

b) !11

!9

c) !6!2

!8

d) !28

!30!29

e) !38

!39!40

f) )!1(

!

n

n

g) )!3(

)!2(

n

n

h) !

)!3(

n

n

i) )!8(

)!10(

n

n

j) )!1(

)!1(

n

n


9

k) )!2(

)!22(

n

n

3- Simplifique a expressão !

)!1(!

n

nn .

4- Resolva as seguintes equações fatoriais:

a. 72)!1(

)!1(

x

x 3/ xNx

b. 2)!2(

!

n

n Nn

c. 2)!4(

)!3(8

x

x Nx

5- Resolva a equação )!1.(15)!1( xx tal que Nx .

1.3 Permutações simples

Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de

A, são denominados permutações simples de n elementos.

De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos

de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.

.

Cálculo do número de permutações simples

O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na

fórmula An , k = n (n – 1) (n – 2) . ... . (n – k + 1), temos:

Pn = A n,n = n·(n-1)·(n-2)...(3)·(2)·(1) = n! Portanto:

Pn = n!


10

Anagramas

Um tipo de exercício no qual se é muito comum o uso de permutação simples é o anagrama,

que consiste em investigar de quantas formas distintas um conjunto poderá ser arranjado.

Exemplo:

1. Quantos números de quatro algarismos podem ser escritos utilizando os números: 2, 3,

4,5?

Observe que o total de números a serem permutados são 4, portanto n=4, e pela definição:

P4=4! = 4.3.2.1 = 24

Os números 2, 3, 4,5 podem dar origem a 24 números distintos de quatro algarismos.

2. Quantos anagramas possui a palavra TECIDO?

A palavra TECIDO possui 6 letras, então n=6, portando pela definição:

P4=6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

A palavra TECIDO possui 720 anagramas.

Anagramas com elementos fixos

É um anagrama como os já vistos, porém, um ou mais dos elementos que compõem o conjunto

investigado pode estar fixo, de maneira que não permutará com os demais.

Exemplo

1. Quantos são os anagramas da palavra TECIDO, que começam com C?

Perceba que nesse caso só nos interessam os anagramas começados em C, de maneira que

essa letra é fixa, e a permutação deve ocorrer somente entre as letras: T, E, I, D, O, então

iremos permutar apenas as letras restantes, que são 5, portanto n=5.

P5= 5! = 120

Existem 120 permutações da palavra TECIDO que começam com C.

1.4 Permutações com elementos repetidos


11

De um modo geral, se estamos permutando n elementos dos quais um elemento se repete

vezes, teremos: !

!

nPn .

Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra CASA:

122

24

!2

!4P .


1- Calcule:

a) 4P

b) 5P

c) 7P

d) 9P

e) 2

5P

2- Considere a palavra LUCIANE:

a) Quantos são os anagramas dessa palavra?

b) Quantos anagramas começam por L?

c) Quantos começam com L e terminam em E?

d) Quantos começam por vogal?

e) Quantos apresentam as letras ANE juntas e nessa ordem?

f) Quantos apresentam as letras ANE juntas?

3- Quantos anagramas da palavra VESTIBULAR:

a) Têm juntas as letras V, E, S, T, nessa ordem?

b) Têm juntas todas as vogais?


12

4- Quantos anagramas da palavra BIGODE têm as consoantes e as vogais dispostas

alternadamente?

5- Com a palavra ADEUS, podemos formar:

a) Quantos anagramas?

b) Quantos anagramas que se iniciam com a letra A?

c) Quantos anagramas que se iniciam com vogal?

6- Qual é o número de anagramas da palavra BRASIL começados por A e terminados por R?

7- Quantos anagramas da palavra FUVEST possuem as vogais juntas?

8- Formados e colocados em ordem crescente todos os números naturais de quatro

algarismos distintos obtidos com os algarismos 1,3,5 e 7, que lugar ocupa o número 5731?

9- Forme números obtidos pela permutação dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9 e disponha-os em

ordem crescente. Que lugar ocupa o número 43892?

10- Dispostos em ordem crescente todos os números formados pelos algarismos 1, 3, 5, 7 e 9,

sem repetição, que posição ocupa o número 79531?

11- Quantos são os anagramas da palavra:

a) NATA

b) CLARA

c) ARARA

d) BALADA

e) DEZESSEIS

f) URUGUAI

g) MATEMÁTICA

h) ARGENTINA

12- Quantos são os anagramas da palavra AMORA que começam por A?

13- A partir da palavra CARAGUATATUBA determine quantos anagramas:


13

a) podemos formar;

b) começam por vogal

14- De quantos modos podemos separar 10 alunos de uma classe em dois grupos: um de 6

alunos e o outro de 4?

15- Quantos números de 8 algarismos podem ser formados usando os algarismos 1,1,1,3,3,7,7

e 8?

1.5 Arranjo simples

Chamam-se arranjos simples todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos

formar com n elementos distintos, sendo np . Cada um desses agrupamentos se diferencia

de outro pela ordem ou natureza de seus elementos.

A notação para o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p é: pnA , .

Exemplo:

Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e

um coordenador pedagógico. Quantas são as possibilidades de escolha?

4896!15

!18

)!318(

!183,18

A


1- Calcule:

a) 3,4A

b) 4,4A

c) 2,5A

d) 4,8A

e) 3,10A

f) 3,12A

g)

5,6

2,4

A

A


14

h) 13,7

2,9

A

A

2- Resolva as equações:

a) 22, nA

b) 122, nA

c) 302, nA

d) 83,

4,

n

n

A

A

3- Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto

}5,4,3,2,1{E ?

4- Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão escolhidos 3,

que disputarão para os cargos de diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras

pode ser feita a escolha?

5- Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente,

um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de

quantas maneiras pode-se formar uma diretoria?

6- Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em

cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta?

7- Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras ele poderá pintar os

estados da região sudeste do Brasil, cada um de uma cor?

8- Para estimular o uso da bicicleta, o prefeito de uma cidade resolveu premiar os primeiros

colocados de uma corrida de bicicletas ao redor da cidade com uma casa, um carro e uma

bicicleta. De quantas maneiras distintas 20 concorrentes poderão ganhar esses prêmios?

9- Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras

diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?

10- Num grande prêmio de Fórmula 1, participarão 20 pilotos e somente os 6 primeiros

marcam pontos. Quantas são as possibilidades de classificação nos 6 primeiros lugares?


15

1.6 Combinações Simples

Denominamos combinação simples aos agrupamentos formados com os elementos de um

conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Nesses casos a ordem

dos elementos não é importante.

Considere A como um conjunto com n elementos p um natural menor ou igual a n. Os

agrupamentos de p elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de

seus elementos são denominados combinações simples p a p, dos n elementos de A. para

esse cálculo utilizamos a expressão:

n,p

n!=

p!(n-p)!C

Exemplo

1. Quantas combinações de 3 letras elementos poderemos formar com os elementos de A =

{a, b, c, d}?

Temos um conjunto A com 4 elementos, ou seja n = 4, e precisamos de uma combinação

desses elementos de 3 a 3, ou seja p = 3, logo, aplicando a expressão:

4,3

4! 4! 4.3!= = = =4

3!(4-3)! 3!1! 3!C

Ou seja, podemos criar 4 combinações dos elementos de A, combinados 3 a 3.

Nota: Fica evidente que esse problema pode ser resolvido manualmente, porém, para um

conjunto com mais elementos o trabalho é relativamente árduo.


1- Calcule:

a) 3,5C


16

b) 4,8C

c) 3,9C

d) 5,7C

2- Em uma classe de 20 alunos, o professor deseja organizar grupos de 5 para trabalhar no

laboratório. Quantos grupos distintos podemos formar?

3- Quantas equipes de 3 astronautas podem ser formadas com 20 astronautas?

4- Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer

formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas

possíveis equipes podem ser formadas?

5- Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um conjunto de 8 elementos?

6- Quantos grupos diferentes de 4 lâmpadas podem ficar acesos num galpão que tem 10

lâmpadas?

7- Um baralho comum possui 52 cartas. De quantas formas distintas um jogador pode receber

5 cartas?

8- No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas(são excluídas

as cartas 8,9 e 10). De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3

cartas?

9- De quantas maneiras é possível escalar um time de futebol de salão dispondo de 8

jogadores?

10- Resolva a equação: 32, xC .

11- Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos de 2 rapazes e 3 moças podemos

formar?


17

12- O conselho desportivo de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos.

Candidataram-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse

conselho pode ser eleito?

13- Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. De

quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2

mulheres?

14- Num grupo de 4 rapazes e 7 moças, quantas comissões com 2 rapazes e 2 moças

podemos formar?

15- Em uma seleção de futebol, existem 8 jogadores de ataque, 6 de meio-campo, 6

defensores e 3 goleiros. Quantos times diferentes podem ser formados utilizando-se 1

goleiro, 4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes?

1.7 Números Binomiais

Para compreender melhor o conceito de números binomiais é necessário relembrar situações

que envolvem produtos notáveis. A partir da expressão

(x + y)n iremos calcular as expressões seguintes, com n ≤ 3.

1)( 0 yx

(x + y)¹ = x + y

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = x³ +3x²y + 3xy² + y³

Com base no desenvolvimento das expressões onde n ≤ 3, podemos estabelecer uma relação

para cálculos quando n > 3. Observe:

1)( 4 yx = (x + y)(x + y)³ = (x + y)*( x³ +3x²y + 3xy² + y³)

4x + 3x³y + 3x²y² + xy³ + xy³ + 3x²y² + 3xy³ + y4

4x + 3x³y + 6x²y² + 2xy³ + y4

Podemos verificar que com n > 3, os cálculos começam a ficar mais complexos e trabalhosos.

Podemos definir os coeficientes binomiais através da expressão:


18

n n!=

p p!(n-p)!

Casos Particulares

1. Quando p = 0:

¥

n n! n! = = = 1,

0 0!(n-0)! n!

2. Quando p = 1:

¥

n n! n(n-1)! = = = n,

1 1!(n-1)! (n-1)!

3. Quando p = n:

¥

n n! n! = = = 1,

n n!(n-n)! n!(0)!

1.8 Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é uma tabela na qual podemos dispor os coeficientes binomiais, onde

coeficientes de mesmo numerador agrupam-se em uma mesma linha, enquanto coeficientes de

mesmo denominador agrupam-se em uma mesma coluna:

0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

.......................................

k k k k k.

0 1 2 3 4

k......

k


19

Calculando os valores dos coeficientes acima, temos uma outra representação do triângulo de

Pascal:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1


1- Defina número binomial.

2- Calcule os seguintes números binomiais:

a)

3

4

b)

2

6

c)

6

7

d)

8

10

e)

18

20

f)

2

9


20

g)

7

10

h)

9

12

i)

1

30

j)

n

n 1

3- Calcule o valor das seguintes expressões:

a)

7

7

0

2

b)

0

8

1

4

c)

5

5

1

5

0

5

4- Calcule E, sendo

1

7

0

5

3

3

2

5E .

5- Calcular pela definição e pela Relação de Stifel a expressão

3

5

2

5.

6- Calcule o valor das expressões aplicando a Relação de Stifel:

a)

5

7

4

7


21

b)

8

10

7

10

7- Calcule o valor de x nas equações:

a)

3

77

x

b)

3

99

x

c)

x

8

2

8

d)

46

xx

e)

1

12

12

12

xx

f)

32

4

1

4

xx

g)

3

8

32

xx

h)

5

7

54

xx

8- Determine x na igualdade

8

12

5

12

xx.

9- Ache o conjunto solução da equação:

212

3

n

10- Simplifique a expressão:


22

4

5

x

x

1.9 Binômio de Newton

Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número

natural.

Exemplo:

1. B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).

Teorema do Binômio de Newton

Sendo x e y dois números reais e n um número natural, temos:

n n 0 n-1 1 n-2 2 1 n-1 0 nn n n n n= . . + . . + . . +...+ . . + . .

0 1 2 n-1 n(a+b) a b a b a b a b a b

Ou utilizando o símbolo somatório:

nn n-k k

k=0

n= . .

k(a+b) a b

Exemplo:

1. Desenvolva (2x + 3)3 através do teorema binomial:

Aplicando a expressão acima, temos:

4 4 3 2 1 00 1 2 3 4

4 4 3 2

4 4 4 4 4= . . + . . + . . + . . . .

0 1 2 3 0

= + + +

(3x+2) 3x 3x 3x 3x 3x1 1 1 1 1

(3x+2) 81x 216x 216x 96x 16


1- Desenvolva os binômios:


23

a) 4)12( x

b) 5)3( yx

c) 7)4( a

d) 4)3( x

2- Determine 551

.

3- Calcule, utilizando a fórmula do binômio de Newton:

a) 324

b) 431

4- Determine o termo pedido no desenvolvimento dos binômios abaixo:

a) O quarto termo de 7)14( x

b) O sétimo termo de 10)1( x

c) O quinto termo de 82( )x y

5- Determine a soma dos coeficientes no desenvolvimento de 9)( yx .

1.10 Experimentos aleatórios

Ao lançarmos uma moeda perfeita podemos obter cara ou coroa, mas o resultado será sempre

imprevisível; ao lançarmos um dado não viciado, teremos também um resultado imprevisível,

mas sabemos que sairá um dos pontos: 1,2,3,4,5 ou 6. A esses experimentos imprevisíveis e

que se conhecem todos os resultados possíveis chamamos experimentos aleatórios.

São exemplos de experimentos ou fenômenos aleatórios:

lançar uma moeda e observar a face de cima;

lançar um dado e observar a face de cima;


24

observar as peças defeituosas de um lote fabricado por uma maquina em determinado

tempo;

selecionar uma carta de um baralho;

retirar bolas coloridas de uma urna.

1.11 Espaço amostral

Chama-se espaço amostral o conjunto U formado por todos os resultados possíveis de um

experimento aleatório.

São exemplos de espaço amostral:

no lançamento de uma moeda: },{ coroacaraU ;

no lançamento de um dado: }6,5,4,3,2,1{U ;

no lote de dez peças, ocorrência de peças defeituosas: }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{U ;

no nascimento de uma criança: },{ meninameninoU

1.12 Evento

Chama-se evento qualquer subconjunto do espaço amostral. Quando o evento é o próprio

espaço amostral, ele é denominado evento certo. Vejamos alguns exemplos:

no lançamento de uma moeda: },{ coroacaraU . Evento A lançar uma moeda e obter

cara: }{caraA ;

no lançamento de um dado: }6,5,4,3,2,1{U . Evento B lançar um dado e obter um

número ímpar: }5,3,1{B .


1- Dois dados, um vermelho e outro branco, são lançados, e observamos os números da face

de cima. Dê o espaço amostral desse experimento.


25

2- Considere o espaço amostral do exercício anterior e descreva os eventos:

a) A: ocorrer 6 no dado vermelho;

b) B: ocorrerem números cuja soma é 10;

c) C: ocorrerem números iguais nos dois dados.

3- Numa urna há seis bolas numeradas de 0 a 5:

a) Dê o espaço amostral deste experimento: retirar uma bola da urna e observar seu número.

b) Descreva o evento A: a bola retirada é um número par.

c) Descreva o evento B: a bola retirada é maior que 2.

d) Descreva o evento C: a bola retirada é maior que 2.

4- Um casal quer três filhos, mas não ao mesmo tempo. Determine:

a) O espaço amostral: sexo dos filhos.

b) O evento A: o casal tem dois filhos e uma filha.

c) O evento B: o casal não tem três filhos do sexo masculino.

5- No lançamento simultâneo de dois dados, descreva os eventos e determine o número de

seus elementos:

a) A: a soma dos pontos é 7.

b) B: os dois números são pares.

c) C: a soma dos dois números é menor que 4.

1.13 Probabilidade

Um espaço amostral é equiprovável se cada um de seus elementos têm a mesma

probabilidade de ocorrer. Por exemplo, no lançamento de um dado não viciado, o espaço

amostral é equiprovável; se o dado for viciado e tiver uma das faces com uma possibilidade

maior de aparecer, dizemos que o experimento é não equiprovável.


26

Para um fenômeno aleatório com o espaço amostral finito e equiprovável, a probabilidade de

ocorrer um evento A é dada por:

)(

)()(

Un

AnAP , onde:

P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A;

n(A) é o número de elementos do evento A;

n(U) é o número de elementos do espaço amostral U.

Exemplo: No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de obtermos quatro

pontos?

}6,5,4,3,2,1{U e }4{A

6)( Un e 1)( An . Logo:

%67,16...1666,06

1

)(

)()(

Un

AnAP

Logo a probabilidade de obtermos quatro pontos é de aproximadamente 16,67%.


1- Defina probabilidade.

2- No lançamento de uma moeda honesta, qual a probabilidade de aparecer cara?

3- Num baralho de 52 cartas, tira-se ao acaso uma carta. Qual a probabilidade de que a carta

retirada seja uma carta de paus?

4- No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:


27

a) um número qualquer;

b) um número primo;

c) um numero divisível por 2;

d) um numero menor que 5;

e) um número maior que 6.

5- Uma caixa contém 30 bolas de madeira e todas com o mesmo tamanho, sendo 18 azuis e

12 amarelas. Retirando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade de ela ser

azul? E a probabilidade de ser amarela?

6- Considere o experimento “jogar duas moedas para cima”.

a) Represente o espaço amostra, que é equiprovável.

b) Qual a probabilidade de obter duas caras?

c) Qual a probabilidade de obter somente uma coroa (em qualquer ordem)?

7- No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a

probabilidade dos seguintes eventos:

a) os números são iguais

b) a soma dos números é igual a 9

8- Genoveva possui uma gaveta com três pares de meias brancas, dois pares de meias

pretas, quatro pares azuis e três pares coloridos. Escolhendo ao acaso um desses pares,

encontre a probabilidade de esse par ser azul.


28

9- Num grupo de 50 pessoas, 16 têm o grupo sanguíneo A; 21 o grupo B; 11 o grupo AB e o

restante o grupo O. Calcule a probabilidade de que uma pessoa selecionada ao acaso

tenha grupo sanguíneo O.

10- Um baralho é formado por 52 cartas. Retira-se uma carta e obtém-se um 4 de ouros. Qual

é a probabilidade de retirar uma segunda carta sem reposição da primeira e obter-se outro

4 de qualquer naipe?

Exercícios de vestibular

1- (Cespe-DF) O lanche vespertino dos empregados de uma empresa consiste de uma

xícara de café, um biscoito e um sanduíche. O café é servido com açúcar ou sem açúcar.

Há três tipos de sanduíche e quatro tipos de biscoito. Considerando que um empregado

faça um lanche completo usando apenas uma de cada opção oferecida, o número

possível de maneiras diferentes de ele compor o seu lanche é:

a) Menor que 13

b) Maior que 13 e menor que 17

c) Maior que 17 e menor que 20

d) Maior que 20 e menor que 23

e) Maior que 23

2- (FGV-SP) As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos,

sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. Quantas são

as placas distintas, sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos?

3- (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si; todas elas devem ser usadas para

pintar as 5 letras da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais

sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos podem ser feito

isso?


29

4- (UFRN) Quantos números de telefone com prefixo 231 existem em Natal, com todos os

dígitos distintos e o último dígito igual ao dobro do penúltimo? Lembrete: Considere que

os telefones de natal têm números com 7 dígitos.

5- (MACK-SP) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos

distintos. Entre eles, quantos são divisíveis por 5?

6- (PUC-SP) Se 720)!6( n , então né igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

7- (Santa Casa – SP) A solução da equação 4)!1)!.(1(

)!2)!.(2(

nn

nn é um número natural:

a) par

b) cubo perfeito

c) maior que 10

d) divisível por 5

e) N.D.A

8- (UFSC) Qual é o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR

aparecem juntas nessa ordem?

9- (Unifesp) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem

alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. Qual é a 73ª

palavra nessa lista?


30

10- (ITA-SP) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5(cinco) algarismos

distintos, obtidos com 1,3,4,6 e 7, a posição do número 61473 será:

a) 76º

b) 78º

c) 80º

d) 82º

e) N.D.A

11- (IME-SP) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies

diferentes, podem ser feitas?

12- (UFSCar-SP) Num acampamento, estão 14 jovens, sendo 6 paulistas, 4 cariocas e 4

mineiros. Para fazer a limpeza do acampamento, será formada uma equipe com 2

paulistas, 1 carioca e 1 mineiro, escolhidos ao acaso. O número de maneiras possíveis

para se formar essa equipe de limpeza é:

13- (UFAL) João e Maria fazem parte de um grupo de 15 pessoas, 5 das quais serão

escolhidas para formar uma comissão. Do total de comissões que podem ser formadas,

de quantas fazem parte João e Maria?

14- (Mack-SP) Considere a sequência de afirmações:

I.

3

15

1

15

II.

13

15

2

15

III.

6

15

3

15

x implica 2x

Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se:


31

a) F, F, V

b) F, V, V

c) F, V, F

d) F, F, F

e) V, V, V

15- (FGV-SP) Sabendo-se que xp

m

e y

p

m

1

1, então

1p

m é:

a) yx

b) yx

c) xy

d)

e) py

16- (UECE) Calcule a soma das soluções da equação

14

18

6

18

x.

17- (UEPB) No lançamento simultâneo de dois dados honestos, um amarelo e outro branco,

qual é a probabilidade de não sair soma 5?

18- (UMC-SP) Uma roleta tem 37 posições numeradas 0,1,2,3,4,...,36. Suponhamos que a

bola caia em cada posição com probabilidades iguais. Qual é a probabilidade de a bola

cair em:

a) um número menor que 5?

b) um número maior que 30?

19- (Cesgranrio-RJ) Em uma amostra de 500 peças, existem exatamente quatro defeituosas.

Retirando-se, ao caso, uma peça dessa amostra, a probabilidade dela ser perfeita é de:


32

a) 99,0%

b) 99,1%

c) 99,2%

d) 99,3%

e) 99,4%

20- (PUC-SP) Serão sorteados 4 prêmios iguais entre os 20 melhores alunos de um colégio,

dentre os quais estão Tales e Euler. Se cada aluno pode receber apenas um prêmio, a

probabilidade de que Tales ou Euler façam parte do grupo sorteado é:

a) 95

3

b) 19

1

c) 19

3

d) 19

7

e) 95

38


33

2. Geometria Analítica

A Geometria Analítica foi concebida por René Descartes. Aliando a Álgebra à Geometria, ela

possibilita o estudo das figuras geométricas, associando-as a um sistema de coordenadas.

Desse modo, as figuras podem ser representadas de pares ordenados, equações ou

inequações. Neste número do Aprovar iremos estudar o ponto e a reta.

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Dado um plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das

abscissas, e y (Oy), eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o

plano é o plano cartesiano e o ponto O é a origem do sistema.

2.1 Distância entre dois pontos

Dados dois pontos, A e B, onde A = (x1, y1) e B= (x2, y2), é concebível que estejam a uma

distância, podemos calcular essa distância por meio da expressão:

2

12

2

12 )()(),( yyxxBAd

Exemplo

1. Calcule a distância entre os pontos A (3, 2) e B (1, - 2).

Aplicando a fórmula, temos:

52),(

20),(

164),(

)4()2(),(

)22()31(),(

)()(),(

22

22

2

12

2

12

BAd

BAd

BAd

BAd

BAd

yyxxBAd


34

A distância entre A e B é 2 5


1- Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos: A(1,-2), B(0,3),

C(3,-2), D(-3,3), E(-1,-5), F(0,-4).

2- Calcule a distância entre os pontos a seguir:

a) )5,2(A e )1,3(B

b) )0,4(P e )5,1( Q

c)

1,

2

1R e )1,5( S

d) )8,0( T e )0,7(V

3- Calcule a distância do ponto )4,3(A à origem do sistema cartesiano.

4- Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, B e C em cada caso:

a) )0,3(A , )4,0(B e )0,0(C

b) )3,1(A , )2,1( B e )0,5(C

c) )1,6( A , )2,4(B e )1,3( C

5- Classifique cada triângulo ABC como isósceles, equilátero ou escaleno:

a) )1,3(A , )6,1(B e )3,2(C

b) )3,2(A , )2,1(B e )3,2(C

c) )0,2(A , )0,2(B e )32,0(C

6- Demonstre que o triângulo de vértices A(-2,4), B(-5,1) e C(-6,5) é isósceles.

7- A distância do ponto A(a,1) ao ponto B(0,2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a.


35

8- Obtenha o valor de m sabendo que a distância entre os pares de pontos seguintes é d:

a) )2,1(),,6( BmA e 13d

b) )2,(),2,1( mBA e 5d

9- Mostre que o triângulo de vértices A (3,1), B(8,1) e C(3,7) é retângulo.

10- Considerando os vértices A(-1,-3), B(6,1) e C(2,-5), verifique se o triângulo ABC é

retângulo.

2.2 Ponto médio de um segmento

Sejam os pontos A, B, há um ponto M, ao qual chamamos ponto médio de AB, pois divide AB

ao meio, temos que XM e YM do ponto médio M são obtidos por meio da média aritmética das

abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais M é ponto médio. O cálculo do

ponto M é dado por:

A B A Bx +x y +y

M= ,2 2

Graficamente, temos:

Exemplo:

1. Qual o ponto médio do seguimento delimitado por A (3, 2) e B (1, - 2)?

Observando os pontos A e B, temos: xA=3, xB=1, yA=2 e yB=-2,

aplicando a fórmula do ponto médio:

A B A Bx +x y +y 3+1 2+(-2) 4 0M= , , , (2,0)

2 2 2 2 2 2



36

1- Determine o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:

a) )6,4(A e )10,8(B

b)

6,

3

5A e

1,

3

2B

c) )4,0(A e

0,

4

3B

d) ),2( bbA e )5,6( bbB

2- Qual a distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de

extremos (-2, -7) e (-4,1)?

3- Dados os pontos A(4,2), B(6,-5) e C(10,-3), calcule a medida da mediana MA do triângulo

ABC.

4- Calcule os comprimentos das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos A(2,-

6), B(-4,2) e C(0,4).

5- Sabendo que A(-1,6) e que o ponto médio do segmento AB é M(3,5), determine as

coordenadas do ponto B.

6- Uma das extremidades de um segmento AB é o ponto A(3,2). Sendo M(-1,3) o ponto

médio desse segmento, determine as coordenadas da outra extremidade do segmento.

7- Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(-2,-2). Sabendo que M(3,-2) é o ponto

médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B, que é a outra extremidade

desse segmento.

8- O ponto médio do segmento PQ é M(-2,4). Se P(2,-2) quais são as coordenadas do ponto

Q?

9- Determine as coordenadas do baricentro do triângulo ABC nos seguintes casos:

a) )3,1(A , )1,2(B e )7,0(C


37

b) )4,3(A , )3,1(B e )2,0(C

c)

2

1,8A , )3,2(B e )6,4( C

10- O baricentro de um triângulo é o par de coordenadas (4,2) e dois de seus vértices são (1,5)

e (2,8). Determine o terceiro vértice.

2.3 Condição de alinhamento de três pontos distintos

Considere três pontos distintos do plano cartesiano A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc). Esses pontos

estão alinhados se o determinante de suas coordenadas for igual a zero. Ou seja:

Então, basta resolvermos o determinante verificar se três pontos estão ou não alinhados.

Exemplo

1. Vamos verificar se os pontos P(2,1), Q(0,-3) e R(-2,-7) estão alinhados.

Resolução:

Vamos construir a matriz através das coordenadas dos pontos P, Q e R e aplicar Sarrus.

2.(–3).1 + 1.1.(–2) + 1.(–7).0 – [1.(–3).( –2) + 1.0.1 + 2.(–7).1] = 0

– 6 – 2 – 0 – [6 + 0 – 14] = 0

– 8 – 6 +14 = 0

–14 + 14 = 0

0 = 0

Como a igualdade é válida, os pontos estão alinhados.


1- Verifique se estão alinhados os pontos A, B e C nos seguintes casos:


38

a) A(3,4), B(1,2) e C(0,3)

b) A(3,-1), B(-2,-6) e C(8,4)

c) A(3,7), B(1,2) e C(0,0)

2- Determine o valor de x para que os pontos A, B e C sejam colineares:

a) A(x,2), B(3,1) e C(-4,2)

b) A(1,-4), B(-3,5) e C(4x,3)

c) A(1,2), B(x,0) e C(3,4)

3- Determinar a abscissa x do ponto B, de tal forma que A(4,2), B(x,4) e C(1,5) pertencem à

mesma reta.

4- Determine x de modo que os pontos )3,1(A , )1,(xB e )5,3(C sejam os vértices de um

triângulo.

5- Determine o valor de x para que os pontos )3,2( A , )7,(xB e )1,(xC sejam:

a) colineares

b) os vértices de um triângulo

6- Calcule a área S do triângulo de vértices A, B e C em cada um dos casos:

a) A(1,1), B(3,4) e C(0,4)

b) A(-1,2), B(-4,1) e C(3,0)

c) A(-1,-2), B(-5,-2) e C(-8,1)

7- Determine o valor de x para que o triângulo de vértices A(x,-2), B(1,6) e C(3,3) tenha área

igual a 6 u.a.

8- Determine o valor de y para que o triângulo de vértices A(4,3), B(5,y) e C(6,-3) tenha área

igual a 2 u.a.

9- Determine a ordenada y de um dos vértices do triângulo ABC cuja área vale 8 unidades de

área e os vértices são (1,y), B(2,0) e C(3,4).


39

10- Dados os vértices A(8,3), B(x,7) e C(2,1), determine a abscissa x de um dos vértices

desse triângulo cuja área vale 32 unidades de área.

2.4 Coeficiente Angular de uma Reta

Chamamos de coeficiente angular (m) de uma reta r não perpendicular ao eixo das abscissas,

a um número real m que é calculado pela tangente de um ângulo entre a reta e o eixo das

abcissas.

m tg

Caso não seja fornecido o valor do ângulo , podemos utilizar outra expressão para o cálculo

do coeficiente angular, de modo que sejam A(xA,yB) e B(xA, yB) pontos pertencentes à reta S,

conforme a figura

,

O coeficiente angular m, será dado por:

B A

B A

y ym

x x

Exemplo:

1. Determine o coeficiente angular da reta que passa por A(3 , 0) e B (8,4)

Solução:


40

4 0 41

8 4 4m

2.5 Equação geral da reta

Podemos representar toda e qualquer reta por uma equação do tipo:

0ax by c

Sendo que a, b, c são constantes e com 0 ou b 0a .

Exemplos:

São equações da reta

a) 2x + 3y - 4 = 0

b) -x + 2y- 8 = 0

c) x + 2y = 0

d) –x + 6 = 0

e) 3y - 4 = 0

2.6 Equação reduzida da reta

Chamamos equação reduzida da reta, a equação é obtida quando isolamos a variável y. Sendo

essa do tipo:

a cy x

b b

.

Nessa forma é mais fácil destacar o coeficiente linear n da reta, coeficiente esse que lida com a

translação da reta no eixo das ordenadas, pode e é calculado por c

b.

Note que, da definição de coeficiente angular, temos: a

m tg mb

E da definição de coeficiente linear, temos c

nb

.

Assim sendo, podemos escrever a equação reduzida da reta como:

y mx n

2.7 Posições relativas entre duas retas


41

Considere duas retas r e s no plano cartesiano, a posição dessas retas com relação uma à

outra podem ser classificadas como coincidentes, paralelas, concorrentes, conforme abaixo:

Retas Coincidentes

Duas ou mais retas são consideradas coincidentes, se uma reta estiver sobreposta à outra, ou

seja, todos os pontos de r pertencem a s e vice-versa:

r = s (Coincidentes)

r e s são coincidentes

Duas retas coincidentes têm a mesma expressão, ou seja:

r e s são coincidentes se 1 1

1 2 1 2

2 2

: e

:

r y a x ba a b b

s y a x b

Retas Paralelas

Duas ou mais retas são consideradas paralelas se possuem a mesma inclinação e nenhum

ponto em comum, conforme figura:

r

s

r e s são paralelas

Duas retas paralelas tem o mesmo coeficiente angular, ou seja:

r e s são paralelas: 1 1

1 2

2 2

:

:

r y a x ba a

s y a x b

Retas Concorrentes

Duas ou mais retas são concorrentes quando se interceptam uma com as outras. A intersecção

de duas retas sempre é um ponto.

r

s

r e s são concorrentes


42

Para duas retas serem concorrentes o valor do coeficiente angular de ambas deve ser

diferente.

r e s são concorrentes, se: 1 1

1 2

2 2

:

:

r y a x ba a

s y a x b

.

Retas Perpendiculares

Retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes, duas retas são

perpendiculares se tem intersecção e formam um ângulo de 90º.

r

s

r e s são concorrentes

Para duas retas serem concorrentes o valor de seus coeficientes angulares devem ser o

inverso uma da outra, ou seja:

r e s são perpendiculares, se: 1 1

1 2 1 2

2 2 2 1

: 1 1 e

:

r y a x ba a a a

s y a x b a a

.


1- Calcule o coeficiente angular do segmento AB em cada caso:

a) A(2,3) e B(3,4)

b) A(4,-1) e B(5,1)

c) A(3,2) e B(4,2)

d) A(-3,-4) e B(-2,-2)

e) A(-1,2) e B(-3,4)

f) A(2,5) e B(-2,-1)

g) A(-1,4) e B(3,2)


43

2- Usando o coeficiente angular e a condição de alinhamento de três pontos distintos,

verifique se os pontos A, B e C dados são colineares:

a) A(0,1), B(2,3) e C(4,1)

b) A(2,3), B(0,5) e C(3,-2)

c) A(6,4), B(3,2) e C(-9,-6)

3- Determine a equação fundamental da reta que passa pelos pontos A e B:

a) A(3,4) e B(-1,1)

b) A(-2,-1) e B(5,-2)

c) A(6,0) e B(0,4)

4- Qual a equação da reta que passa pelo ponto A (6,-9) e tem coeficiente angular 2

1?

5- Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos:

a) A(2,2) e B(4,3)

b) C(-1,6) e D(2,-3)

c) R(-3,2) e S(-1, -1)

d)

2,

3

4A e

5

1,3B

6- Verifique se o ponto A (2,2) pertence à reta de equação 2x+3y-10=0.

7- Verifique se os pontos P(2,1) e Q(1,4) pertencem à reta (r) = 2x+y-5=0.

8- Qual o valor de n para que o ponto Q(3,n) pertença à reta s, cuja equação é

075 yx ?

9- O ponto A(a, a+3) pertence á reta de equação 5x-y-5=0. Determine as coordenadas do

ponto A.


44

10- Dados os pontos A(-2,1), B(0,-3) e C(2,5), ache a equação das retas suportes desse

triângulo ABC.

11- Se um triângulo tem como vértices os pontos A(2,3), B(4,1) e C(6,7), determine a equação

geral da reta suporte da mediana relativa ao lado BC.

12- Determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas r e s, em cada caso:

a) 012: yxr e 0423: yxs

b) 0832: yxr e 01342: yxs

c) 032: yxr e 072: yxs

13- As retas 012:)( yxr e 0822)( yxs se encontram no ponto P(x,y).

Determine as coordenadas do ponto P.

14- Obtenha a equação reduzida de cada uma das retas a seguir:

a) 032 yx

b) 0196 yx

c) 123

yx

15- Escreva a equação reduzida da reta que tem coeficiente angular m = 2 e que cruza o eixo

y no ponto (0,-3).

16- Determine o coeficiente angular da reta que tem como equação 743 yx .

17- Determine a equação segmentária das retas que passam pelos pontos A e B:

a) A(3,0) e B(0,1)

b) A(3,0) e B(0,2)

c) A(-4,0) e B(0,2)

d) A(5,0) e B(0,-3)


45

18- Determinar a equação segmentária da reta r, conhecendo a sua equação geral

01243:)( yxr .

19- Encontre os pontos A e B de intersecção da reta de equação 0623 yx com os

eixos coordenados.

20- Determine a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos:

a) 0232)( yxr e 0864)( yxs

b) 0423)( yxr e 0123)( yxs

c) 0223)( yxr e 0332)( yxs

2.8 Circunferência

Chamamos circunferência a um conjunto de pontos equidistantes a um ponto C. O ponto C é

denominado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao

centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a medida desse segmento.

2.9 Equação reduzida da circunferência


46

Podemos inscrever circunferências no eixo cartesiano, conforme a figura acima. Seja uma

circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos que o ponto P (x, y) é pertencente à

circunferência se, e somente se, sua distância ao centro da circunferência for igual ao valor do

raio r, então:

2 2 2 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )d A B r x a y b r x a y b r

Então, uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r tem equação:

2 2 2( - ) ( - )x a y b r (Equação reduzida da circunferência).

Podemos verificar que, caso o centro da circunferência seja a origem do plano cartesiano, com

a = b = 0, teremos, a partir da equação reduzida da circunferência:

2 2 2( 0) ( 0)x y r , Então:

2 2 2x y r

Exemplos:

1. Determine a equação reduzida da circunferência com raio 2 e centro

Q (2,1):

Solução

Utilizando a equação reduzida, e substituindo as informações acima, temos que:

2

2 2 2 2( 2) ( 1) 2 ( 2) ( 1) 2x y x y

2. Determine a equação reduzida da circunferência com raio 2 e centro na origem do plano

cartesiano


47

Solução

Note que o centro da circunferência é na origem do plano cartesiano Q(0, 0), então:

2 2 2 2 23 9x y x y


1- Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio r e centro C, em cada caso:

a) C(3,3) e 3r

b) C(1,1) e 1r

c) C(-3, -2) e 1r

d) C(1,2) e 3r

e) C(0,0) e 3r

f)

3

2,

3

1C e 1r

2- Calcule o raio e o centro das circunferências com as seguintes equações reduzidas:

a) 25)2()2( 22 yx

b) 9)1()3( 22 yx

c) 9)2()1( 22 yx

d) 1622 yx

3- Determine o ponto em que a circunferência 25)4()2(:)( 22 yx intercepta o

eixo Ox.

4- Determine o ponto em que a circunferência 4)2()2(:)( 22 yx intercepta o

eixo Oy.

5- Determine as coordenadas do centro e o raio das seguintes circunferências:

a) 8)6()5( 22 yx

b) 25)4( 22 yx


48


1- (PUC-SP) O triângulo de vértices A(4,3), B(6,-2) e C(-11,-3) é:

a) equilátero

b) isósceles

c) acutângulo

d) obtusângulo

e) retângulo

2- (UFU-MG) São dados os pontos ),2( yA , )4,1( B e )1,3( C . Qual deve ser o valor de y

para que o triângulo ABC seja retângulo em B?

3- (Vunesp-SP) Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (1,-1) e (-3,4) de

um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice,

se ele pertence ao eixo das ordenadas?

4- (UFES) As coordenadas do ponto médio de um segmento AB são (-1,2). Sabendo-se que

as coordenadas do ponto A são (2,5), então as coordenadas de B são:

a) (4,1)

b) (-4,1)

c) (4,-1)

d) (-1,-4)

e) N.D.A

5- (CTA-SP) É dado o triângulo ABC, no qual )5,3(A , )3,1(B e )4,0( C . Se E é o ponto

médio da mediana CD, então as coordenadas de E são:

a)

2

1,0

b)

0,

2

1

c)

0,

2

1

d)

2

1,

2

1

e) N.D.A


49

6- (FMU-SP) Qual é o valor de p para o qual os pontos (3p, 2p), (4, 1) e (2, 3) são colineares?

7- (PUC-SP) A(3,5), B(1,-1) e C(x,-16) pertencem a uma mesma reta, se x for igual a:

a) -5

b) -1

c) -3

d) -4

e) -2

8- (UFPB) Se os pontos )0,1( , )1,0( e ),( nm do plano xOy estão sobre uma mesma reta,

então:

a) 1 nm

b) 1nm

c) nm 2

d) 2 nm

e) N.D.A

9- (PUC-MG) Determine t, sabendo que os pontos

tA ,

2

1,

0,

3

2B e )6,1(C são

colineares.

10- (USJT-SP) Qual é a área do triângulo de vértices A(1,-2), B(2,1) e C(3,0)?

11- (EEM-SP) os pontos )4,5(),1,1( BA e ),0( yC são vértices de um triângulo. Ache os

valores de y de modo que a área do triângulo ABC seja numericamente igual a 2

7.

12- (Fuvest-SP) Dados os pontos A(2,3) e B(8,5), determine a equação geral da reta que passa

pelos pontos A e B.

13- (Mack-SP) Qual é a equação geral da reta que passa pelos pontos )1,3(A e )0,2(B ?


50

14- (UFES) O valor de k para que a equação 063 kykx represente a reta que passa

pelo ponto )0,5( é:

a) 3

b) -9

c) 9

d) -3

e) N.D.A

15- (UFCE) Seja r a reta que passa pelos pontos )1,1( e )3,2( . Então, r intercepta o eixo dos y

no ponto:

a)

2

3,0

b)

3

2,0

c) )1,0(

d) )2,0(

e) N.D.A

16- (UFSCar-SP) No plano cartesiano, seja r uma reta de equação 022 yax . Sabendo

que P(1,-1) é um ponto de r, determine o valor de a.

17- (PUC-SP) Determine a equação da reta de coeficiente angular igual a 5

4 e que passa

pelo ponto ).5,2( P

18- (Mapofei-SP) Determine a intersecção das retas 32:)( yxr e 532:)( yxs .

19- (FEI-SP) Encontre a equação da circunferência que passa pelo ponto A(1,1) com centro

C(2,1).

20- (PUC-RS) O ponto P(-3,b) pertence à circunferência de centro C(0,3) e raio 5r . Quais

os valores de b?


51

3. Números Complexos

Em geral os conjuntos numéricos surgem da necessidade de se trabalhar com certas

operações que são restritas aos conjuntos numéricos conhecidos, vamos relembrar como se

desenvolveram os conjuntos numéricos que conhecemos:

No início era conhecido o conjunto dos números naturais, que surgiu a partir da

necessidade básica de contar objetos concretos;

A necessidade de subtração entre quaisquer dois números fez com que surgissem os

números inteiros;

Com a limitação do conjunto dos inteiros para a divisão, surgiu o conjunto dos números

racionais;

Os números irracionais surgiram após a descoberta dos números incomensuráveis, que

são tão grandes ou tão pequenos que se tornam impossíveis medir;

O conjunto que engloba os números naturais, inteiros, racionais e irracionais é chamado de

conjunto dos números reais.

Surgimento dos números complexos

Meado do século XVI partir da necessidade de resolução de uma expressão matemática, o

matemático Cardano deparou-se com o termo , então após anos de estudos, foi

necessário que o matemático Bombelli conseguisse a façanha de resolver a equação, para isso

foi necessário desfazer-se da proibição sobre raízes de números negativos, Bombelli concluiu

que, havendo uma unidade i, podemos dizer que , e obteve o resultado da expressão

matemática. Vale a pena ressaltar que os números complexos nem sempre tiveram aceitação

da comunidade matemática, sendo obtida no século XVIII, mais de dois séculos após sua

descoberta.

3.1 Unidade Imaginária

A essa altura de nossos estudos conhecemos as principais operações que podem ser

realizadas com pares ordenados, então vamos considerar o produto entre dois pares

ordenados, sabemos que:

(a, b). (c, d) = (ac – bd, ad – bc), então vamos considerar o produto:

(0,1).(0,1) = (0.0 – 1.1 , 0.1 – 1.0) = (-1, 0)

Se chamarmos o par ordenado (0,1) da unidade imaginária, podemos representá-lo por i,

teremos que:

i.i = (-1) ou i²=(-1)


52

Então, a partir da definição da unidade imaginária, podemos facilmente chegar à mesma

conclusão que Bombelli .

3.2 Definição

Denominamos conjunto dos números complexos, o conjunto representado por ℂ , o conjunto de

pares ordenados, z = (x, y) onde x pertence a ℝ e y pertence a ℝ.

Considere o par ordenado (x, y), temos:

( , ) ( ,0) (0, )

( , ) ( ,0) ( 0 0 1, 1 1 0)

( , ) ( ,0) ( ,0) (0,1)

x y x y

x y x y y

x y x y

Sabemos que, ( ,0) , ( ,0) e (0,1)x x y y i

Então sendo assim, temos que:

( , ) ou x y x y i z x y i

Sendo z = x + y.i a forma algébrica de representar um número complexo, de maneira que x é

chamada de parte real e y (que sempre acompanha o i) é chamada de parte imaginária,

indicadas por:

Re( ) e Im( )x z y z

Se x =0 chamamos o número de imaginário puro, se y=0, temos que z é um número real.

Exemplos:

1. Sejam os números complexos abaixo, indique sua parte real e sua parte imaginária:

a. (2, 1) 2 i

Solução:

Re(z) = 2 e Im(z) = 1

b. 3 6z i

Solução:

Re(z) = -3 e Im(z) = 6

2. Determine o valor de a e b, para que z seja um número imaginário puro:

z = 3a + (a+2b-3)i

Solução:


53

Para que seja um imaginário puro, a parte real deverá ser zero, então:

3 0 0a a

Também para que seja um número imaginário puro, temos que a parte imaginária precisa ser

diferente de 0, sou seja Im( ) 0z

Se Im( ) 5 2 3z a b , precisamos que resolver a inequação:

5 2 3 0

5.(0) 2 3 0(Como sabemos a = 0)

2 3 0

3

2

a b

b

b

b

Então, z é um número imaginário puro para qualquer 3

2b

.


1- Identifique a parte real e a parte imaginária em cada caso:

a. iz 9

b. 4z

c. iz 32

d. iz 82

e. iz 53

2- Determine o valor de m e n para que o complexo inmz )162()1( 22 seja um

imaginário puro.

3- Para que o complexo iaz )1(2 2 seja um número real, quais devem ser os valores

de a?

4- Determine os números reais x e y, tais que o número complexo iyxz )16()6( 2

seja:


54

a) Um número real

b) Um número imaginário puro

c) O real 0z

5- Dados os complexos a seguir, determine:

a) O valor de m e n para que inmmz )12( seja imaginário puro.

b) O valor de a e b para que ibaz )72()54( seja real.

c) O valor de x e y para que iyxz )3()42( seja o real 0z .

6- Resolva as equações a seguir dentro do conjunto dos complexos:

a) 092 z

b) 0362 z

c) 01212 z

d) 0152 z

e) 01342 zz

f) 034 2 zz

g) 0125 2 zz

h) 012 zz

i) 032 2 zz

j) 0364 z

7- Quais os valores complexos de x que tornam verdadeira a igualdade 0544 2 xx ?

8- Quais os valores complexos de x que tornam verdadeira a igualdade 06242 xx ?

9- Sabendo que as expressões xx 2 e 5x são iguais, determine os valores de x, no

universo dos números complexos.

10- Dê 5 exemplos de números:

a) complexos

b) reais


55

c) complexos que não são reais

3.3 Operações com complexos

Igualdade entre números complexos

Dois números complexos serão iguais se, e somente se, tiverem partes imaginárias iguais e

partes reais iguais simultaneamente. Ou seja:

Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d

e bi = ei.

Exemplos:

1. Encontre o valor de a e b para que (a+2b) + (-a+b)i = 5 + i.

Solução:

Da definição de igualdade temos:

o sistema2 5 1

1 2

resolvendoa b a

a b b

Como os demais conjuntos numéricos que estudamos até o momento, os números complexos

permitem operações matemáticas, operações essas que iremos estudar a seguir.

Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di. Vamos estudar como se dá cada

uma das operações elementares para os elementos desse conjunto.

Adição

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Assim como na igualdade, para somarem-se números complexos basta distinguir entre parte

real e parte imaginária, ou seja, somar parte real com parte real e parte imaginária com parte

imaginária.

Exemplo:

1. Dados os números complexos z1 = 1 + 2i, z2 = 3 + i e z3 = 2 – 3i, calcule:

a. z1 + z2

Solução

(1 + 2i) + (3 + i) = (1 + 3) + (2 + 1)i = 4 + 3i

b. z2 + z3


56

Solução:

(3 + i) + (2 – 3i) = (3 + 2) + (1 – 3)i = 5 –2i

Subtração

Da mesma maneira realizamos a subtração entre números complexos, observe:

z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Exemplo:

1. Dados os números complexos z1 = 1 + 2i, z2 = 3 + i e z3 = 2 – 3i calcule:

a) z1 - z2

Solução

(1 + 2i) - (3 + i) = (1 - 3) + (2 - 1)i = -2 + i

b) z2 - z3

Solução:

(3 + i) - (2 – 3i) = (3 - 2) + [1 –(– 3)]i = 1 –4i

Multiplicação

Considere z1 e z2, para realizarmos a multiplicação z1. z2, temos:

z1 .z2 = (a + bi).(c + di) = a.c + a.di + c.di + b.di²

Como i2 = – 1.

Temos: z1 .z2 = ac + adi + cdi - bd

Agrupando os termos da parte real e parte imaginária, obtemos:

z1 .z2 = (ac –bd) +(ad + bc)i

Exemplo:

1. Dados os números complexos z1 = 1 + 2i, z2 = 3 + i e z3 = 2 – 3i calcule:

a) z1 . z2

Solução

(1 + 2i). (3 + i) = (1.3 – 2.1)+(1.1 + 2.3)i = 1 + 3i

b) z2 . z3

Solução:

(3 + i). (2 – 3i) = [3 . 2 – 1(-3)] + [3.(– 3)+1.2]i = 9 –11i


57

Conjugado de um número

Para realizar a divisão entre números complexos, primeiramente precisamos conhecer o

conceito de conjugado, o conjugado de um número complexo z é representado por z de forma

que:

z = a + bi

z = a - bi

Ou seja, praticamente, basta copiar a parte real do número complexo e acrescentar o oposto

de sua parte imaginária.

Exemplo

1. Dê o conjugado dos números complexos abaixo:

a) z = 1+2i

Solução:

z = 1 - 2i

b) z = 2 - 5i

Solução:

2- (-5) 2 5z i i

Divisão

Agora que já definimos o conjugado de um número complexo, vamos ao procedimento de

divisão, dados z1 e z2, temos:

1

2

.z a bi c di

z c di c di

Ou seja, basta multiplicar e simultaneamente dividir o numerador pelo conjugado do

denominador. Com esse procedimento, fazemos com que o denominador seja um número real

puro, observe:

2

1

2 2 2

2

2 2 2 2

( ).( )

( 1) ( ) ( ) ( )

( 1)

z a bi c di ac adi bci bdi

z c di c di c cdi cdi d i

ac bd ad bc i ac bd ad bc i

c d c d


58

1. Dados os números complexos z1 = 2 + 2i, z2 = 3 - i calcule 1

2

z

z

Solução:

2

1

2 2

2

(2.3 1. ) 2.( 1) (1.3)2 1 3 (6 1) ( 2 3) 5.

3 3 3 9 1 8

i iz i i i i

z i i i

Simplificação

A simplificação de um número complexo, é utilizada no caso de termos uma divisão com um

número complexo no denominador, nesse caso, utilizaremos o mesmo artifício utilizado na

divisão, também com o objetivo de eliminar quaisquer termos com parte imaginária do

denominador:

3.4 Inverso de um número complexo

Dado o número complexo z = x+yi, chamamos 1 1

z a bi

o inverso de z, como vimos acima

é necessário simplificar quando temos um termo com parte imaginário no denominador, assim

sendo, aplicando a simplificação:

2 2

1 1 1 a bi a bi

z a bi a bi a bi a b

Exemplo

1. Encontre o inverso de z = 2 + 1, se necessário simplifique.

1 1

2z i

é o inverso de z, como o denominador tem parte imaginária, precisamos simplificar:

2 2

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2 1 5

i i i

z i i i

.

3.5 Potências de i

Como os demais conjuntos, os números complexos poderão ser apresentados em forma de

potência, caso a potência seja aplicada à parte real, o procedimento é exatamente o mesmo

que utilizamos nos números reais, agora quando a parte imaginária é elevada a uma potência,

podemos seguir uma regra prática:

2 2

1 1 a bi a bi

a bi a bi a bi a b


59

i0 = 1

i1 = i

i2 = – 1

i3 = i

2 . i = (–1) . i = –i

i4 = i

2 . i

2 = (–1) . (– 1) = 1

i5 = i

4. i = 1 . i = i

i6 = i

5 . i = i . i = i

2 = –1

i7 = i

6 . i = (–1) . i = – i

i8 = i

4 . i

4 = 1 . 1 = 1

i9 = i

8. i = 1 . i = i

i10

=(i2)5 = (–1)

5 = –1

Perceba que a partir da potência i4 o resultado se repete de 4 em 4 potências, para

calcularmos in (onde n>3 é um número inteiro qualquer), podemos dividir o expoente n por 4, e

verificar a existência de um resto r, podemos verificar que : i n = i

r

Exemplo:

1. Calcule o valor das potências abaixo:

a) i43

Solução

Conforme o procedimento prático das potências em ℂ , temos:

4310

4 com resto 3, assim sendo i

43 = i

3= - i

b) i1001

Solução

Conforme o procedimento prático das potências em ℂ , temos:

1001250

4 com resto 1, assim sendo i

43 = i

1= i


1- Dados iz 311 e iz 22 calcule:

a) 21 zz

b) 21 zz

c) 12 zz


60

d) 21 32 zz

e) 21 25 zz

f) 21.zz

g) 12 .zz

h) 2

1z

i) 2

2z

j) )).(( 2121 zzzz

2- Calcule a e b reais, para que biaii )31()54( .

3- Efetuar:

a) )31).(42( ii

b)

ii 2

2

1.

3

1

4- Calcule o valor do número 22 )5()5( iiz .

5- Efetue as operações:

a) 22 )1.()1( ii

b) iii .)1.()1( 22

6- Resolva:

a) 2)43( i

b) 3)2( i

c) 4)1( i

7- Escreva o conjugado de cada um dos complexos:

a) 13 iz


61

b) 3 iz

c) iz 24

d) iz2

7

e) 14z

f) iz 32

8- Calcule o produto de cada número complexo abaixo pelo seu conjugado:

a) iz 27

b) iz 41

c) iz 23

d) yixz 2

9- Sendo biaz , prove que:

a) azz 2

b) bizz 2

10- Efetue as divisões:

a) i

iz

1

24

b) i

iz

35

c) i

iz

1

1

d) 52

34

i

iz

11- Qual é o conjugado do número i

z

1

4?

12- Determine o conjugado do número i

iz

23

32

.


62

13- Calcule o conjugado de cada um dos números complexos:

a) i

z1

b) i

z

1

2

c) i

iz

2

3

14- Determine o inverso dos números:

a) iz

b) iz 3

c) iz 24

d) 2

iz

e) 3

54 iz

15- Dadas as funções 12)( 2 xxxf e xxxg 2)( , calcule )1(

)2(

ig

if

.

16- Achar todos os valores reais de x, de modo que a parte real do número complexo

ix

ixz

seja negativa.

17- Calcule as potências de i:

a) 68i

b) 54i

c) 145i

d) 327i

e) 401i

f) 578i


63

18- Ache o valor de 180123 ii .

19- Simplifique a expressão:

)1.(4)2.(3)1( 6286 iii

20- Determine o número z tal que:

a) 1

3618

4175

ii

iiiz

b) 3028

10423

2

2

ii

iiiz

c) 15385

12427

734

32

iii

iiiz

3.6 Representação geométrica dos números complexos

Também podemos representar os números complexos de forma geométrica, através de pares

ordenados no Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss.

Consideremos um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy e um ponto P de

coordenadas (a, b) num Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss. Sabendo que c = (a, b) =

a + bi, concluímos que há uma relação biunívoca entre os pontos do plano e os números

complexos.

Ponto P: imagem geométrica de ℂ ou o afixo de ℂ .

Eixo das abscissas Ox: eixo real, uma vez que seus pontos são os afixos dos números reais.

Eixo das ordenadas Oy: eixo imaginário, uma vez que seus pontos são os afixos dos números

imaginários puros.


64

Exemplo:

1. Escreva z = 2 - i na forma de par ordenado, e localize-o no plano Argand- Gauss.

Resolução:

Como vimos basta que consideremos a parte real como o correspondente a Ox e a parte

imaginária como correspondente a Ou, assim sendo:

z = 2 - i = (2, - 1)

Para sua localização no plano Argand Gauss, identificarmos o ponto

(2, - 1) e marcar no plano.

3.7 Módulo de um complexo

O módulo ρ simboliza a distância entre os pontos P e O, pois conforme o teorema de Pitágoras

temos:

2 2 2 2 2

OP OPd a b d a b


65

Exemplo

1. Encontre o módulo de z = 3 – 4i

Solução

2 23 ( 4) 9 14 25 5

3.8 Argumento de um complexo

O argumento θ simboliza a medida do ângulo constituído por Oa e Opuuur uuur

, que é determinado

no sentido anti-horário partindo do semieixo Oauuur

. Sendo assim, da trigonometria, temos:

cos e a b

sen

,

Representando o complexo c na forma algébrica fazemos uma referência ao ponto P dado

pelas suas coordenadas polares.

z= a + bi ⇔ P(a, b)

Exemplo

1. Determine o argumento de z = (1, -1)

Solução:

Da trigonometria, temos que:


66

cos arccosa a

,e arcb b

sen sen

2 21 ( 1) 2

1 2arccos arccos

22 e

1 2arc arccos

22sen

Pela trigonometria, temos que o único ângulo que satisfaz simultaneamente essas

duas conduções é 7

4

.

3.9 Forma trigonométrica de um complexo

Representando o complexo c na forma trigonométrica fazemos uma referencia ao ponto P dado

pelas coordenadas polares.

ℂ = ρ (cos θ + i . sen θ) ⇔ P(ρ, θ)

Exemplo

1. Escreva o complexo z = (1, -1) na forma trigonométrica

Solução:

Do exemplo anterior, temos que 7

4

e

2 21 ( 1) 2 .

Assim sendo:

ℂ = ρ (cos θ + i . sen θ) = 7 7

2(cos )4 4

isen

Nota: Para converter da forma trigonométrica para a forma algébrica basta desenvolver os

termos da expressão.

7 72(cos )

4 4isen

=

2 2 2 22 2

2 2 2 2i i

2 2

2 2 2 21

2 2 2 2i i i


1- Escreva na forma de par ordenado os complexos:


67

a) iz 52

b) iz 94

c) )3).(3( iiz

d) i

iz

2

25

e) i

iz

2

24

f) 2)24( iz

g) 2)43( iz

2- Localize no plano de Argand-Gauss os afixos de z:

a) )2,0(z

b) 42iz

c) 31iz

d) 60iz

e) 17

2030

i

iiz

3- Determine o módulo dos seguintes complexos:

a) iz 34

b) iz 52

c) iz 22

d) iz 3

e) )3,0(z

f) )25).(23( iiz

g) i

iz

23

24

4- Determine o argumento do número complexo z nos seguintes casos:


68

a) )1,1(z

b) iz 3

c) iz 3

d) iz 44

e) iz 6

f) 12z

g) iz 10

5- Sendo iz 4 e iw 23 , calcule:

a) z

b) w

c) wz.

6- Determinar o módulo, o argumento e fazer a representação geométrica do complexo

iz 3 .

7- Escreva na forma trigonométrica o número complexo z, dado em cada item:

a) )2,2( z

b) iz2

1

2

3

c) iz 3

d) iz 31

e) iz 33

f) iz 4

8- Represente na forma trigonométrica os complexos a seguir:

a) i

z

1

1

b) 2)632( iz


69

9- Escreva na forma algébrica os números complexos z:

a)

6.

6cos.4

seniz

b)

4.

4cos.2

seniz

c)

3.

3cos.6

seniz

d) seniz .cos.4

e) º0.º0cos seniz

10- Determine e represente graficamente as raízes cubicas de:

a) 8i

b) 27


1- (Cescem-SP) Determine os números reais x e y que satisfazem a equação

xiyiyx )43()3(2

2- (Unic-MT) Para que o número )3).(3( xiixz seja real, devemos ter Rx tal que:

a) 0x

b) 3

1x

c) 9x

d) 3x

e) N.D.A

3- (PUC-MG) O produto )32).(( iyix é um número real quando x e y são reais e:

a) 03 yx

b) 032 yx

c) 022 yx

d) 032 yx


70

e) 023 yx

4- (Unimep-SP) O número complexo im

i

3 tem a parte imaginária nula. O valor do número

real m é:

a) -3

b) 3

c) 0

d) 1

e) -1

5- (FEI-SP) Escreva na forma a+bi o quociente i

i1.

6- (UCMG) Calcule o quociente de i

i

2

8.

7- (UFBA) Sendo iz 2 , calcule o inverso de 2z .

8- (UFPel-Rs) Dado o número complexo iz 21 , escreva, na forma algébrica, o

complexo 1z .

9- (UCDB-MS) Calcule o valor de

2

32

51

i

i.

10- (FEI-SP) Calcule a forma algébrica do número complexo

3

1

1

i

iz .

11- (F.E.Bauru-SP) A expressão 10

)3).(2).(1.( iiii, onde i é a unidade imaginária, é igual

a:

a) 1

b) i

c) -1


71

d) i

e) N.D.A

12- (AMAN-RJ) Sendo 1i , calcule o resultado da expressão i

i

i

i

3131

21

.

13- (UFAL) Seja o número complexo 106105104103102101 iiiiiiz . Calcule

2z .

14- (Fafi/BH-MG) A fração 301316

351723

iii

iiii

corresponde ao número complexo:

a) i1

b) i1

c) i1

d) i1

e) i2

15- (UFV-MG) Calculando a expressão iii

iii2

)1).(1(

).12.()1( 32

, obtém-se:

a) 1

b) Zero

c) 14 i

d) -1

e) N.D.A

16- (Cesgranrio-RJ) Determine o módulo do complexo i

i

5

32.

17- (Mack-SP) Qual o módulo de i

i

3

3?

18- (Mack-SP) Sendo iz 241 e iz 212 , então 21 zz é igual a:

a) 5


72

b) 5

c) 53

d) 10

e) 153

19- (UERN) Se i

iz

1

)1( 2

, o argumento de z é:

a) 4

3

b) 4

c) 4

d) 2

e) 4

3

20- (PUC-RS) Qual é a forma algébrica do número complexo

6

11.

6

11cos.2

seniz ?


73

4. Polinômios

4.1 Definição

Denominamos polinômios a expressões matemáticas do tipo:

p(x)=an xn+a(n-1) x

(n-1)+...+a2 x

2+a1 x+a0

Os polinômios são formados através de coeficientes (an, an–1, an–2,..., a2, a1, a0) pertencentes ao

conjunto dos números reais ligados à variável x. São classificados quanto ao grau de maior

valor da variável x, observe:

p(x) = a1x + a0 →Polinômio de grau 1

p(x) a2 x2+a1 x+a0 → Polinômio de grau 2

p(x) = a3 x3 + a2 x

2+a1 x+a0 → Polinômio de grau 3

___________________________________________

p(x) = an xn+a(n-1) x

(n-1)+...+a2 x

2+a1 x+a0 → Polinômio de grau n

Exemplos

1. Classifique os polinômios abaixo quanto a seu grau

a. p(x) = 2x+5x4+x

2-8

Solução:

O maior grau é 4, portanto p(x) é um polinômio de grau 4.

b. p(x) = x6 - 3x

4 – x + 40

Solução:

O maior grau é 6, portanto p(x) é um polinômio de grau 6.

c. p(x) = x - 1

Solução:

O maior grau é 1, portanto p(x) é um polinômio de grau 1, aos quais também

chamamos de monômios.

Podemos calcular o valor da expressão polinomial para qualquer valor real, basta substituir o

valor da incógnita x.

Exemplo

2. Calcule os valores das expressões polinomiais abaixo

a) p(x) = 2x2+x-1, para x = 1


74

Solução

Basta substituir x por 1, então teremos:

p(1) = 2(1)2+(1) – 1 = 2 + 1 – 1 = 2

b) p(x) = x4– x

3 + x

2– x + 1, para x = 2

Solução

Exatamente como o anterior

p(2) = 24–2

3 + 2

2– 2 + 1 = 16 – 8 + 4 – 2 + 1 = 11

4.2 Polinômio Nulo

Um polinômio é dito nulo se, e somente se, todos seus coeficientes forem iguais à zero.

Indicamos por ( ) 0p x

Exemplo:

1. Seja 2( ) ( 2) (2 4) ( 5)p x m x n x t ,determine m, n e t, para que ( ) 0p x

.

Solução

Como já vimos os coeficientes devem ser zero, para que, ( ) 0p x

então:

2 0 2

2 4 0 2

5 0 5

m m

n n

t t

Identidade polinomial

Dois polinômios p1(x) e p2(x) são idênticos, se e somente se, seus coeficientes forem

ordenadamente iguais, assim sendo, indicamos 1 2( ) ( )p x p x .

1. Seja 2( ) ( 2) (2 4) ( 5)p x m x n x t ,determine m, n e t, para que

( ) ( )p x f x dado que ( ) 2 12f x x .

Solução

Vamos ordenar e igualar os coeficientes, então:


75

2 0 2

2 4 2 1

5 12 7

m m

n n

t t

4.3 Valor numérico de um polinômio

O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o número que se obtém substituindo x por

a e efetuando todas as operações indicadas pela expressão que define o polinômio. Se P(a) =

0, o número a é denominado raiz ou zero de P(x).


1- Determine o grau dos polinômios a seguir:

a) 123)( 3 xxxp

b) xxp )(

c) 427 332)( xxxxp

2- Discuta o grau dos polinômios em função de Rk :

a) 1)3()62()( 3 xkxkxp

b) 3)2()4()( 22 xkxkxp

3- Dado o polinômio 33)( 25 xxxp , calcule:

a) )1(p

b) )1(p

c)

2

1p

4- Dados os polinômios 1)( 23 xxxxA e 23)( 2 xxxB , calcule:

a) )1()0( BA


76

b) )1(2

1

BA

5- Dado o polinômio 32)( 23 xxxxP , calcule

2

1

)1(.2)2(

P

PP.

6- Dado o polinômio 22)( 2 kxxxp , determine k, sabendo que 6)2( p .

7- Sendo 12)( 2 xxxp , calcule:

a) )(iP

b) )1( iP

c) )2( iP

8- Determine k para que 3x seja raiz do polinômio 12)( 23 xxkxxp .

9- Sendo 12)( 2 xxxP , calcule o valor de )()1( xPxP .

10- Mostre que 1 e 3 são raízes do polinômio 33)( 23 xxxxp .

11- Mostre que o número 2 é raiz da equação: 863 23 xxx .

12- Quais dos seguintes números: 2,1,0,1,2 são raízes da equação: 0223 xxx ?

13- Classifique em verdadeiro ou falso:

a) A expressão 85)( 2 xxxP define uma função polinomial.

b) -1 é raiz de 133)( 23 xxxxp

14- Determine a, b e c para que os seguintes polinômios sejam nulos:


77

a) )9()2()2()( 23 cxbxaxp

b) )16()36()5()( 423 cxbxaxp

15- Determine a e b, sabendo que os números 2 e -2 são raízes do polinômio

baxxxxp 23 2)( .

4.4 Operações com polinômios

As operações de adição, subtração ou multiplicação de polinômios são análogas às que já

realizamos com as equações, na álgebra, por exemplo, o que tem um aprofundamento em

nosso curso atual é a divisão de polinômios, para realizarmos as operações iremos operar com

dois polinômios genéricos

( 1) 2

1 ( 1) 2 1 0

( 1) 2

2 ( 1) 2 1 0

... e

...

n n

n n

n n

n n

p x a x a x a x a x a

p x b x b x b x b x b

.

Adição

Basta realizar a soma, agrupando seus coeficientes, considere a soma polinomial p1(x) +

p2(x), teremos:

1 2

( 1) 2 ( 1) 2

( 1) 2 1 0 ( 1) 2 1 0

( 1) 2

( 1) ( 1) 2 2 1 1 0 0

+

... + ...

( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

n n n n

n n n n

n n

n n n n

p x p x

a x a x a x a x a b x b x b x b x b

a b x a b x a b x a b x a b

Subtração

Assim como na adição, basta subtrair, agrupando seus coeficientes, considere a soma

polinomial p1(x) - p2(x) teremos:

1 2

( 1) 2 ( 1) 2

( 1) 2 1 0 ( 1) 2 1 0

( 1) 2

( 1) ( 1) 2 2 1 1 0 0

-

( ... ) - ( ... )

( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

n n n n

n n n n

n n

n n n n

p x p x

a x a x a x a x a b x b x b x b x b

a b x a b x a b x a b x a b

Multiplicação

A multiplicação entre dois polinômios pode ser realizada, destacando se membro a membro de

um polinômio e multiplicando por todo o segundo polinômio, conforme se segue:


78

1 2

( 1) 2 ( 1)

( 1) 2 1 0 ( 1) 1 0

( 1) 2

2 ( 1) 2 2 2 1 2 0 2

( ... ) . ( ... )

...

n n n n

n n n n

n n

n n

p x p x

a x a x a x a x a b x b x b x b

a x p x a x p x a x p x a x p x a p x

Observação: para multiplicar cada um dos termos pelo segundo polinômio, basta aplicar a

distributiva no formato: ( )a b c ab ac .

Exemplos

1. Dado f(x) = 2x3 – x² +5x – 6 e g(x) = x

4 + 3x

2 – x + 1, calcule:

a) f(x)+ g(x)

f(x)+ g(x) = (2x3 – x² +5x – 6)+( x

4 + 3x

2 – x + 1) =

f(x)+ g(x) = (0+1) x4 + (2+0) x

3+[(-1)+1] x

2+(5-1)x + [(-6)+1] =

f(x)+ g(x) = x4

+ 2 x3 +4x – 5

b) f(x) – g(x)

f(x) – g(x) = (2x3 – x² +5x – 6) – ( x

4 + 3x

2 – x + 1) =

f(x) – g(x) = (0-1) x4 + (2-0) x

3+[(-1)-1] x

2+[5-(-1)]x + [(-6)-1] =

f(x) – g(x)) = -x4 + 2 x

3 – 2 x

2 +6x – 7

c) 2.f(x)

2.f(x) = 2.(2x3 – x² +5x – 6) = (2.2x

3 – 2.x² +2.5x – 2.6)

2.f(x) = 4x3 – 2x² +10x – 12

d) f(x).g(x)

f(x).g(x) = (2x3 – x² +5x – 6).( x

4 + 3x

2 – x + 1) =

(2x3)(x

4+3x

2–x+1)–(x²)(x

4+3x

2–x+1)+5x(x

4+3x

2–x+1)–6(x

4+3x

2–x+1)=

(2x7+6x

5–2x

4+2x

3)–(x

6+3x

4–x

3+x

2)+(5x

5+15x

3–5x

2+5x)–(6x

4+18x

2–6x+6.

A partir daqui basta agrupar os termos e realizar as somas e subtrações deixamos

essas operações a cargo dos leitores.

Divisão de Polinômios

Sejam dois polinômios: f(x) denominado dividendo e g(x) denominado divisor, com g(x) ≠ 0.

Dividir f(x) por g(x0 é determinar outros dois polinômios q(x) (quociente) e r(x) (resto) tais que :

( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x


79

O grau de r < grau de g ou ( ) 0r x

Podemos representar a divisão com uma chave, conforme abaixo:

( ) ( )

( ) ( )

f x g x

r x q x

Verifique passo a passo com o exemplo a seguir:

Exemplo

1. Sejam os polinômios f(x) = x3 + 3x

2 – 4x +1 e g(x) = x

2 – x + 1, calcule f(x): g(x).

Solução:

Deve-se escolher o primeiro termo do quociente, que deve ser multiplicado pelos

termos do divisor.

Segundo passo é passar o inverso do resultado para subtrair do polinômio.

Então se repete o primeiro passo, ou seja, escolher o termo conveniente para

multiplicar pelo primeiro termo do divisor para que fique igual ao primeiro termo do

polinômio que foi resultado da primeira operação.

Repetir o mesmo processo do segundo passo.


80

Assim temos que q(x) = x + 4 e que r(x) = – x -3.

4.5 Teoremas sobre divisão de polinômios

Começaremos nossos estudos sobre divisão de polinômios com um caso particular, a divisão

de um polinômio p(x) por um binômio do tipo x-a ,onde:

aℂ , estudaremos essa divisão a partir de alguns métodos, conforme veremos.

O teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio p(x) pelo binômio (x-a) é igual a P(a).

O quociente da divisão de p(x) por (x-a) é um polinômio q(x) de grau inferior de uma unidade

ao do polinômio p(x) e o resto r(x) é um número constante r, assim podemos escrever:

p(x) = ( x -a ) . q(x) + r

Para x = a temos:

p(a) = (a -a ) .q(a) + r

Logo: p(a) = r

Exemplo:

1. Determine o resto da divisão de f(x) = x3 + 3x

2 – 4x +1 por g(x) = x + 1

Resolução

Vemos que a raiz do divisor é:

0 1 1x x

Então pelo teorema do resto, afirmamos que r = f(-1),

r = f(-1) = (-1)3 + 3(-1)

2 – 4(-1) +1 = -1+3+4+1 = 7

O teorema de D’Alembert

Analisando o teorema do resto, o matemático francês D’Alembert provou, levando em

consideração o teorema citado acima, que todo polinômio p(x) quando dividido por um binômio

do tipo x – a, resultará em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e somente se,

a constante a for raiz do polinômio p(x).

Exemplo:

http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2007/10/divisao-polinomios2.jpg


81

1. Verificar se P(x) = x3 – 2x

2 + 1 é divisível por:

a) x + 1

Solução:

Para P(x) ser divisível por x + 1 é necessário que P(–1) = 0. Então:

P(–1) = (–1)3 – 2(–1)

2 + 1 = –1 – 2 + 1 = -2

Logo, P(x) não é divisível por x + 1.

b) x – 1

Solução

Para P(x) ser divisível por x – 1 é suficiente que P(1) = 0. Então:

P(1) = (1)3 – 2(1)

2 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0

Logo, P(x) é divisível por x – 1.

4.6 Dispositivo de Briot- Ruffini

Os matemáticos e Charles August Briot e Paolo Ruffini criaram um dispositivo prático para

realizar a divisão de um polinômio por um monômio do tipo x-a, dispositivo este que recebeu

seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini.

Esse algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x -a). Para

divisão utilizando o dispositivo usaremos apenas os coeficientes do polinômio e o termo

constante (a).

Chamemos de p(x) o polinômio a ser dividido (dividendo); e h(x) o divisor no qual h(x)=x-a.

Com isso, a estrutura do dispositivo é a seguinte:

Para melhor compreendermos como este dispositivo funciona, utilizá-lo-emos em um exemplo,

e explicaremos passo a passo seu processo.

Exemplo:

1. Efetue a divisão de p(x) por h(x), na qual:


82

Solução

Agora multiplique esse termo repetido pelo divisor, o resultado será somado ao próximo termo

do dividendo p(x).

Repita o processo agora para o novo elemento, multiplique esse número pelo divisor e some-o

ao próximo termo.

Obtemos o resto 0 e um quociente da seguinte forma:

Para verificarmos se a divisão foi feita de forma correta, podemos utilizar o algoritmo da divisão

que diz o seguinte:


83

Dessa forma, temos:

Logo, a divisão foi feita corretamente, pois ao verificar os termos da divisão no algoritmo da

divisão constatamos que a igualdade é verdadeira.


1- Dados os polinômios 12)( 234 xxxxp , 13)( 5 xxq e 14)( 2 xxt ,

obtenha:

a) )()( xqxp

b) )().( xtxq

c) )()( xtxq

d) )(.3)(.2 xqxp

e) )(.4)(.2 xtxq

f) )()().( xqxpxt

g) 2))(( xq

h) )(.16))(( 2 xpxt

i) )())(( 2 xpxq

j) 2))(( xp

2- Verifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa:

a) Se o grau do polinômio p é 5, então o grau do polinômio 2p é 10.

b) Se o grau do polinômio p é 7 e do polinômio q é 1, então o grau do polinômio qp. é 7.

3- Dado 23 2)( xxxp . O valor de 2)(xp é igual a:


84

a) 456 45 xxx

b) 456 44 xxx

c) 456 24 xxx

d) 456 42 xxx

e) 456 44 xxx

4- Qual o polinômio que subtraído de 542)( 23 xxxxA dá o polinômio

13)( 2 xxxB ?

5- Efetue a divisão de p(x) por d(x) em cada item:

a) 562)( 23 xxxxp e 12)( 2 xxxd

b) 475)( 23 xxxxp e 1)( xxd

c) xxxxxp 4425)( 345 e xxxd 2)(

d) 133)( 23 xxxxp e 12)( 2 xxxd

6- Verifique se o polinômio 22)( 345 xxxxxP é divisível por 1x .

7- A divisão do polinômio )(xP por xx 32 resulta no quociente 2x e resto 5. Determine

o polinômio )(xP .

8- Calcule o valor de t sabendo que o resto da divisão de 524)( 23 txxxxp por

2x é 1.

9- Determine o resto r(x) das divisões de p(x) por d(x) em cada caso a seguir:

a) 132)( 34 xxxp e 12)( xxd

b) 2345 2)( xxxxxp e 3)( xxd

c) 65)( 2 xxxp e 3)( xxd

d) 3456 22)( xxxxxp e 1)( xxd


85

10- Determine o quociente q(x) e o resto r(x) das divisões de p(x) por d(x):

a) 123)( 23 xxxxp e 1)( xxd

b) 34)( 45 xxxp e 2)( xxd

c) 135)( 2 xxxp e 1)( xxd

d) 1)( 5 xxp e 1)( xxd


1- (MACK-SP) Determine Rm , para que o polinômio

4)4()16()4()( 223 xmxmxmxp seja de grau 2.

2- (EEM-SP) Determinar os valores de p e q na identidade: )1()2.(132 xqxpx .

3- (UFAL) Um polinômio p, do segundo grau, é tal que

12)2(

3)1(

3)1(

p

p

p

. Após determinar p,

encontre o valor de )3(p .

4- (UFRGS) Se )(xP é um polinômio de grau 5, então o grau de

)(.2)]([)]([ 23 xPxPxP é:

a) 3

b) 8

c) 15

d) 20

e) 30

5- (PUC-CAMP) Dado o polinômio 3...)( 21 xxxxxP nn se n for ímpar, então

P(-1) vale:

a) -1

b) 0


86

c) 1

d) 2

e) N.D.A

6- (UFBA) Considere os polinômios na variável a:

323

1 743 bbaaP

323

2 5156 bbaaP

323

3 pbbnamaP

Sendo 0321 PPP , calcule o valor de pnm .

7- (Osec-SP) Sejam os polinômios 12)( 2 xaxxf , 2)( xxg e

cxbxxxh 3)( 23, os valores de a, b e c, tais que hgf . são, respectivamente:

a) -1,2 e 0

b) 0, 1 e 2

c) 1, -1 e 2

d) 1, 0 e 2

e) 2, -1 e 0

8- (FGV-SP) Seja Q(X) o quociente da divisão do polinômio 1)( 6 xxP pelo polinômio

1)( xxd . Então:

a) 0)0( Q

b) 0)0( Q

c) 6)1( Q

d) 1)1( Q

e) N.D.A

9- (UFRN) O quociente da divisão de um polinômio P(x) por 12 xx é igual a

132 23 xx , e o resto dessa divisão é 711 x . Qual é o polinômio P(x)?

10- (UFU-MG) Dividindo-se o polinômio p(x) por 742 xx , obtém-se 12 x como

quociente e 8x como resto. É correto afirmar que o coeficiente do termo de grau 2 é:


87

a) -1

b) 4

c) 8

d) 5

e) 1

11- (UFES) O polinômio P(x), quando dividido por 12 xx , fornece o quociente 1x e o

resto 1x . Qual é o coeficiente do termo do primeiro grau no polinômio P(x)?

12- (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por xx 2 resulta no quociente 356 2 xx e

resto x7 . Qual o resto da divisão de P(x) por 12 x ?

13- (Fuvest-SP) Dividindo-se o polinômio p(x) por 132 2 xx , obtém-se quociente 13 2 x e

resto 2 x . Nessas condições, o resto da divisão de p(x) por 1x é:

a) 2

b) 1

c) 0

d) -1

e) -2

14- (UFRN) O resto da divisão de 185 x por 1x é igual a:

a) -2

b) -1

c) 0

d) 1

e) 2

15- (Santa Úrsula-RJ) Se 113 x é dividido por 1x , o resto é:

a) 1

b) -1

c) 0

d) 2

e) 13


88

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

NICOLAU, Antonio. Matemática de olho no mundo do trabalho. São Paulo: Scipione,

2004.

RUY, José. Matemática Fundamental: Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.

BARRETO, Benigno. Matemática: Aula por aula. São Paulo FTD, 2000.

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