Apostila de Matrizes e Determinantes

5/28/2018 Apostila de Matrizes e Determinantes

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lgebra Linear 1

Prof (s): MSc.Elisa Netto Zanette, Dr. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris

UNESCUNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE

Caderno Pedaggico de:

MSc Elisa Netto ZanetteDr Ledina Lentz Pereira

MSc Sandra Regina da Silva Fabris

Cricima (SC), 2010


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INTRODUO

A Matemtica, desde os seus primrdios, entrelaa-se intimamente com a histria dacivilizao e uma das alvancas principais do progresso humano (BAUMGART1, 1997). Vriosconceitos bsicos dessa cincia, criados para atender a certas necessidades e resolver problemasespecficos, posteriormente revelaram uma utilidade bem mais ampla do que a inicialmente pensadae vieram, com a evoluo das idias e o desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posio

definitiva de grande relevncia na Matemtica (LIMA2, 2000, p.28).Observamos uma mudana contnua que se processa tanto nas condies scio-poltico-

econmica das sociedades quanto na prpria Matemtica. fato que a validez das teoriasMatemticas perene e subsiste atravs dos sculos. Porm, a posio dessas teorias e tcnicas aelas associadas, varia bastante em termos de importncia, alcance e eficcia em fase dos novosdesenvolvimentos, das novas descobertas e da ocorrncia de reas recentes de aplicao, dentro efora da Matemtica (LIMA3, 2001, p.159).

Usamos Matemtica diariamente, mesmo sem perceber. Isso s, poderia justificar a suaimportncia. facilmente percebida, nas atividades simples do homem s mais complexas, nosesportes, na estatstica, nas construes, nas previses oramentrias. Sem dvida, ela confere

poder aos economistas, aos empresrios, etc. A Matemtica ferramenta imprescindvel para que

se possa ordenar os pensamentos, porque desafia e desenvolve a mente, ajuda a compreender aslinguagens que se utiliza no cotidiano.

As concepes matemticas desenvolvidas e acumuladas nas diversas geraes podem serdivididas em Aritmtica (nmeros), lgebra (letras + nmeros) e Geometria (figuras planas eespaciais). A Trigonometria pode ser considerada como um ramo da Geometria e a GeometriaAnaltica como uma fuso da lgebra com a Geometria. Resolvemos os problemas como o uso daaritmtica, da geometria, da trigonometria, da lgebra, do clculo diferencial e integral, etc. Algunsproblemas podem ser solucionados ao mesmo tempo pela lgebra, ou Geometria ou Aritmtica.Coube a Descartes a soluo de problemas geomtricos atravs da lgebra e vice-versa, em 1637.

Para Baumgart (1999) a origem da palavra lgebra estranha e intrigante. Ela no se sujeitaa uma etimologia ntida como, por exemplo, a palavra aritmtica, que se deriva do grego arithmos(nmero). lgebra uma variante latina da palavra rabe al-jabr (s vezes transliterada al-jebr),usada no ttulo de um livro, Hisab al-jabr wal-muqabalah (Cincia das equaes), escrito emBagd (ano 825) por um matemtico rabe. Esse tratado de lgebra com freqncia citado,abrevidamente, como Al-jabr. Ainda que originalmente lgebra refira-se a equaes, a palavrahoje tem um significado muito mais amplo e uma definio satisfatria requer um enfoque, tantocronolgico quanto conceitual, em duas fases: (1) lgebra antiga (elementar) o estudo dasequaes e mtodos de resolv-las; (2) lgebra moderna (abstrata) o estudo das estruturasmatemticas tais como grupos, anis, corpos, etc.

A lgebra Linear(o nome indica sua origem geomtrica) ou lgebra Vetorial uma parte dalgebra que, por sua vez, um ramo da Matemtica na qual so estudados matrizes, espaosvetoriais e transformaes lineares que contribuem para um estudo detalhado de sistemas linearesde equaes. um fato histrico que a inveno da lgebra Linear tenha origem nos estudos de

sistemas lineares de equaes.Segundo o matemtico Elon Lages Lima (LIMA, 2001), a lgebra Linear o estudo dos espaos

vetoriais e das transformaes lineares entre eles. Quando os espaos tm dimenses finitas, astransformaes lineares possuem matrizes. Tambm tm matrizes as formas bilineares e, mais,particularmente, as formas quadrticas. Assim a lgebra Linear, alm de vetores e transformaeslineares, lida tambm com matrizes e formas quadrticas.

1BAUMGART, John K. Tpicos de Histria da Matemtica para uso em sala de aula: lgebra. Trad. Hygino H Domingues. So Paulo:Atual, 1997.2LIMA, Elon Lages. Meu Profesor de Matemtica e outras histrias. (Coleo do Professor de Matemtica: SBA Sociedade Brasileira deMatemtica). Rio de Janeiro: Solgraf Publicaes Ltda, 2000.3LIMA, Elon Lages. Matemtica e Ensino. (Coleo do Professor de Matemtica: SBA Sociedade Brasileira de Matemtica). Rio deJaneiro: R&S, 2001.


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Tanto a lgebra Linear como a Geometria Analtica aplicam-se a vrias reas, em especial sEngenharias. Possibilitam explicar princpios fundamentais e simplificar os clculos em Engenharia,Cincia da Computao, Fsica, Biologia, Matemtica, Economia e Estatstica. , portanto relevante etem destaque em diversos cursos superiores, na graduao e na ps-graduao.

Muitos dos temas do mbito da lgebra Linear fazem parte integrande de planos de estudosdesses cursos j citados. Para Lay4 (1999) a lgebra Linear (e a Geometria Analtica, como suasubsidiria) constitui uma das reas da Matemtica com mais vastas e variadas aplicaes incluindoa sua importncia para as diversas reas da prpria Matemtica da Anlise Estatstica e Investigao Operacional em que temas fundamentais como Clculo Matricial ou o Clculo Vetorialso de utilizao constante e cotidiana. de extrema importncia para em seus tpicos maisavanados, simplificando sua teoria e em geral, para a maior parte da Matemtica.

Numa anlise comparativa com a Geometria, a lgebra, como estrutura lgica, tm-sedesenvolvido mais recentemente, principalmente nos ltimos 100 anos, com formulao simples,onde poucos axiomas so suficientes para organizar toda a estrutura da lgebra. Por sua vez, aGeometria, desenvolvida inicialmente pelos Gregos a mais de 2.000 anos, est sintetizada nos

Elementos de Euclides que formam a base da Geometria Plana e Slida atual, conservando amaneira sistemtica de analisar as propriedades de pontos, retas, tringulos, crculos e outrasconfiguraes. Tm-se introduzido em estudos recentes, conjuntos de axiomas e postulados que

melhoram sua estrutura lgica, mas o contedo da Geometria permanece o mesmo.Descobriu-se que, essencialmente, toda Geometria pode ser desenvolvida em linguagem

algbrica. Na associao de pontos e retas ao invs da geometria usual, realiza-se operaesalgbricas em certos objetos, denominados vetores. Esses vetores obedecem a certas leis algbricas,similares aos nmeros. Assim, trabalhamos teoremas da geometria atravs de teoremas da lgebrados vetores com nfase nas equaes, identidades e desigualdade em lugar de conceitosgeomtricos como, congruncia, semelhana e interseo de segmentos.

Os vetores tm papel relevante, no apenas na Matemtica, como na aplicao em outrasreas. O estudo desses vetores, normalmente feito por meio de dois tratamentos que secompletam:Geomtrico e Algbrico. A grande vantagem da abordagem geomtrica de possibilitarpredominantemente a visualizao dos conceitos que so apresentados para estudo, o que favoreceseu entendimento que sob o ponto de vista algbrico, so mais formais e abstratos.

Apesar da lgebra Linear representar um campo abstrato da Matemtica, ela tem um grandenmero de aplicaes dentro e fora da Matemtica. Haetinger (2007) cita algumas e afirma que,apesar de no conseguir abord-las todas, num curso de lgebra, o objetivo que o estudante tomecontato com o que representa o estado da arte desta rea. Alguns exemplos5de aplicaes: Jogos deEstratgia; Distribuio de Temperatura de Equilbrio; Gentica; Crescimento Populacional por FaixaEtria; Criptografia; Tomografia Computadorizada; etc.

Nos temas a serem trabalhados, incluimos a discusso sobre os conceitos tericos formalmente

instituidos, acompanhados de exemplos e atividades. Os textos so escritos em linguagem simples,mas com rigor matemtico. So apresentados em forma de resumo e de modo algum, dispensam apesquisa do acadmico aos diversos livros didticos da rea. Portanto, para aprofundar seusconhecimentos, sugerimos como fontes, os livros e links relacionados na bibliografia.

4LAY, C David. lgebra Linear e suas aplicaes. 2ed. Trad. Ricardo Camelier e Valria de M. Irio. Rio de Janeiro: LTC, 1999.5HAETINGER, Claus. 2007. Disponvel em http://ensino.univates.br/~chaet/Algebra_Linear.html. Acesso em Jan 2009.

Essa introduo - associando a geometria com a lgebra de vetores - informal e objetiva formaruma noo intuitiva da lgebra. O contedo programtico de lgebra Linear foi elaborado, visandoum conhecimento dos conceitos mnimos e indispensveis, de modo que se possa perceber a inter-relao entre os mesmos e a sua aplicao conjunta.


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SUMRIO

INTRODUO...................................................... ........................................................... ........................................................... 2I MATRIZES ......................................................... ............................................................ .......................................................... 6

1 Introduo .......................................................... ........................................................... ................................................. 6

2. Definio................................................... ............................................................ .......................................................... 63. Tipos de Matrizes..................................................... ........................................................... ..................................... 104. Proposies: Igualdade de Matrizes e Matriz Oposta...................................................... ................. 125. Matriz Transposta.................................................... ........................................................... ..................................... 126. Simetria em Matrizes....................................................... ........................................................... ........................... 13

Lista 1 de Atividades - Matrizes .......................................................... ........................................................... ................. 147. Operaes com Matrizes ......................................................... ........................................................... ................. 16

7.1 Adio e Subtrao de matrizes...................................................... ......................................................... 167.2 Multiplicao por um escalar ................................................... ........................................................... ....... 177.3 Multiplicao entre matrizes.................................................... ........................................................... ....... 18

8. Potncia de uma Matriz ........................................................... ........................................................... ................. 229. Propriedades das Operaes com Matrizes......................................................... ..................................... 23

Lista 2 de Atividades Operaes com Matrizes .................................................... ........................................................ 2410. Equivalncia de Matrizes ...................................................... ........................................................... ................. 28

Lista 3 de Atividades Equivalncia de Matrizes/escalonamento................................................................................... 30II DETERMINANTES E MATRIZES ........................................................ ........................................................... ................. 32

1 Classe de uma Permutao ..................................................... ........................................................... ................. 322 Determinante de uma matriz ........................................................... ........................................................... ....... 33

2.1 Determinante de 1 ordem ....................................................... ........................................................... ....... 342.2 Determinante de 2 ordem ....................................................... ........................................................... ....... 342.3 Determinante de 3 ordem: Regra de Sarrus........................................................ ........................... 352.4 Determinante de ordem n > 3: Teorema de LAPLACE.......................................................... ....... 372.5 Processo de triangulao para clculo de determinante.................................................... ....... 38

3 Propriedades dos determinantes................................................... ........................................................... ....... 394 Determinante e Matriz Inversa....................................................... ........................................................... ....... 40

Lista 4 de atividades Determinantes e Matrizes.................................................... ........................................................ 435 Aplicao matemtica do conceito de determinantes na geometria .......................................... 46

Lista 5 de atividades - Determinantes ............................................................ ........................................................... ....... 47III SISTEMAS DE EQUAES LINEARES E MATRIZES ....................................................... ..................................... 48

1 Equaes Lineares.................................................... ........................................................... ..................................... 482 Sistema de Equaes Lineares ........................................................ ........................................................... ....... 50

2.1 Conceito ....................................................... ........................................................... ............................................... 502.2 Representao Matricial de um Sistema de Equaes Lineares............................................ 502.3 Classificao dos Sistemas de Equaes Lineares........................................................ ................. 522.4 Equivalncia de Sistemas de Equaes Lineares........................................................... ................. 542.5 Resoluo de Sistemas de Equaes Lineares pelo princpio da equivalncia:Mtodo de condensao ou de eliminao de Gauss-Jordan.................................................... ....... 552.6 Soluo de um sistema de equaes lineares pela Regra de Cramer................................. 58

3 Sistema Homogneo de Equaes Lineares: Discusso da soluo ............................................ 59Lista 6 de atividades Parte I................................ ........................................................... ............................................... 61Lista 6 de atividades - Parte II ................................................... ........................................................... ........................... 61

4 Discusso de um Sistema de Equaes Lineares homognio e no-homognio.................. 65Lista 7 de atividades ........................................................ ........................................................... ..................................... 66

APNDICE A.................................................. ............................................................ ........................................................ 67Matriz de Co-Fatores e Adjunta Clssica.......................................................... ............................................... 67Aplicao de Determinante: Adjunta Clssica e Matriz Inversa ........................................................ 67

1 Encontrando a Matriz de Co-fatores ........................................................... ............................................... 672 Encontrando a Matriz Adjunta Clssica..................................................... ............................................... 68


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3 Encontrando a Matriz Inversa por Determinante.................................................... ........................... 70Lista de atividades Determinantes, Matriz Inversa e Adjunta Clssica........................................................ ................. 71

Bibliografia .................................................... ............................................................ ........................................................ 72


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CCCAAAPPPTTTUUULLLOOOIII

MMAATTRRIIZZEESS,,DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESSEESSIISSTTEEMMAASS

s Matrizes formam um importante conceito em matemtica, de especial uso no estudo detransformaes lineares. Os fundamentos e operaes bsicas com matrizes, determinantes e

sistemas de equaes lineares so importantes no desenvolvimento de conceitos da lgebraLinear e portanto, pr-requisito para o estudo da mesma.

I MATRIZES

1 Introduo

requentemente nos deparamos com conjuntos de nmeros ou outros objetos matemticos, que

podem ser tratados em blocos por serem operados essencialmente da mesma maneira. Paraisso, usamos matrizes.

As matrizes so tabelas de nmeros, utilizados como instrumentos de clculo, surgidas em meadosdo sculo XVII como um novo instrumento que, de incio, servia para resolver sistemas lineares.Dentre as matrizes as que mais uso teve e tem, a matriz quadrada.

As primeiras concepes sobre matrizes na Matemtica, surgiram com o ingls Arthur Cayley (1821-1895). Sua preocupao vinculava-se na forma e na estrutura em lgebra. Sob esse aspecto, criouum modelo considerado referncia mas sem a menor idia de qualquer possvel utilidade prtica.

Hoje a teoria das matrizes uma das partes da matemtica mais frteis em aplicao: naMatemtica, na Fsica, na Fsica Atmica, na Estatstica, na Economia, na Engenharia, naComputao, etc. Vrias operaes executadas por crebros eletrnicos so computaes por

matrizes. As matrizes so tabelas de nmeros, utilizados como instrumentos de clculo. Dos eventose atividades nos quais somos, direta ou indiretamente, envolvidos no cotidiano, muitos deles podemser dispostos em forma de tabela/matrizes.

VVVooocccsssaaabbbiiiaaaqqquuueee:::

A gerao dos movimentos e deformaes que vemos nos efeitos especiais do cinema, da TV, dosgames de computadores e nas visualizaes das simulaes cientficas est baseada na multiplicaode matrizes 4x4 no caso espacial e 3x3 no caso plano. Nessas aplicaes o problema computacionalno est no tamanho das matrizes mas na quantidade delas e na rapidez de processamento dasmultiplicaes (para que se tenha um movimento realstico).

Em muitas outras aplicaes, temos uma situao quase que oposta: uma nica matriz suficientemas seu tamanho pode ir a ordem de centenas e mesmo milhares de linhas e colunas. Isso ocorre

normalmente em problemas que envolvem o estudo de camposeltricos, magnticos, de tenseselsticas, trmicos, etc, os quais - por um processo de discretizao- so reduzidos a um sistemade equaes lineares, cuja matriz tem grande tamanho. Esse tipo de problema um dos maiscomuns em vrios campos da Engenharia. Outra situao que nos leva a nos envolvermos commatrizes enormes so as associadas a grandes redes de distribuio de energia eltrica, redes decomunicaes, redes de transporte, etc. (SILVEIRA, 1999).

2. Definio

A

F


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hamamos de matriz de ordem m por n a qualquer quadro ou tabela formada por m x nelementos (nmeros, polinmios, fraes, etc.) dispostos em m linhas e ncolunas.

Ou, uma matriz qualquer tabela formada por nmeros ou outro tipo de objeto matemticoque se pretende operar em bloco, simultaneamente.

Ou, uma matriz um conjunto ordenado de nmeros e esto associdados a duas dimenses: adimenso das linhas e a das colunas. Um importante exemplo prtico de matriz surge na

informtica: os programas conhecidos como planilhas eletrnicas correspondem a matrizes. Umaplanilha, tal como uma matriz, est dividida em linhas e colunas e, cada clula da planilharepresenta um elemento da matriz.

De forma genrica, uma matriz pode ser representada por uma letra maiscula do alfabeto ou porseus elementos representativos. Estes elementos so dispostos normalmente entre parnteses ( )ou entre colchetes [ ] ou duplas barras . Da mesma forma, cada elementos est associado adois subndices que indicam sua posio na matriz.

Assim, podemos dizer que cada elemento de uma mtria A representado por aij, ondeirepresentaa linha eja coluna, onde o elemento a se encontra localizado. A matriz com m linhas e n colunaspossui dimenso mxn (l-se m por n)e indicamos por Amxn.

Exemplo 1:

(a) A2x3=

534

012 uma matriz de 2 linhas e 3 colunas onde cada elemento de A ocupa

um lugar determinado na matriz. O elemento (-5), por exemplo est na segunda linha (i=2) eterceira coluna (j=3) que indicamos por a23= -5. Os demais elementos indicamos por:

534

012

232221

131211

===

===

aaa

aaa

(b) B2x2=

4

91

i

uma matriz de ordem 2 x 2 ou B = [bij]2x2

(c) C1x4 = [ ]9422 uma matriz de ordem 1 x 4 ou C = [cij]2x2Exemplo 2:Consideremos a situao-problema de 03 pessoas, candidatas a um emprego esubmetidas a testes. Podemos representar o resultado dos testes num quadro de avaliao:

1 teste 2 teste 3 teste

Teresa 4,0 3,5 1,0

Paulo 5,0 7,3 8,0

Marcos 4,8 7,2 3,0

Andr 9,0 8,8 6,5Os nmeros distribuidos na horizontal representam a pessoa avaliada e formam o quedenominamos de linhae, os colocados na vertical representam o grau de aprovao no teste eso chamados de coluna. A tabela de valores resultante do quadro denominada matrizecada nmero chamado de elemento.

Neste exemplo, temos uma tabela/matriz de ordem quatro por trs(4 x 3) ou seja, uma amatriz com 4linhas e 3colunas. Assim, representamos a situao-problema em:

C


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A4x3=

5,68,80,9

0,32,78,4

0,83,70,5

0,15,30,4

Exemplo 3: Vamos considerar agora, a representao em matriz da seguinte situao:Analisando a pontuao (de 0 a 10) obtida por Paulo, Andr e Luana, no programa deformao continuada da empresa em que trabalham, nos ltimos anos, temos: Paulo, com 8,7, 9 e 8 pontos; Andr, com 6, 6, 7, 6 e Luana, com 4, 8, 5, 9.

Esta situao-problema pode ser representando num quadro ou numa matriz com a pontuaodos trs por ano. Observe:

Representando num quadro:

2004 2005 2006 2007

Paulo 8 7 9 8

Andr 6 6 7 6

Luana 4 8 5 9

Representando numa matriz:

Para saber a pontuao de Andr, por exemplo, em 2006, basta procurar o nmero que fica na2 linha e na 3 coluna da tabela ou da matriz. Temos nesse caso, uma matriz de ordem 3 x 3ou seja, nossa matriz tem 3linhas e 3colunas e indicamos por A3,3. Quando uma matriz tem onmero de linhas igual ao nmero de colunas, chamada de matriz quadrada.

Exemplo 4:Vamos avaliar uma outra situao-problema na comparao entre pessoas comseus respectivos pesos, alturas e idade. Podemos representar no quadro abaixo os valoresencontrados:

Altura(m) Massa(kg) Idade(anos)

Eduardo 1,83 72 18

Fernando 1,75 54 14Este quadro pode ser representada por uma matriz A de ordem 2 x 3ou seja com 2 linhas e 3colunas. As linhas so enumeradas de cima para baixoe as colunas, da esquerda para direita.

A2x3=

145475,1

187283,1 LINHAS

COLUNAS

1 linha2alinha

3 coluna2acoluna1acoluna


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Resumindo:

1.Algebricamente, usamos letras maisculas (A, B, ...) para indicar as matrizes genricas eletras minsculas ou nmeros para indicar os elementos.

2.As tabelas com m linhas e ncolunas so denominadas matrizes de ordem mx n. Portanto:Denomina-se matriz de ordem mx n(l-se: mpor n) com m, n1, a uma tabela formada

por m x n elementos (nmeros, polinmios, funes, etc.), dispostos em m linhas e ncolunas.

3. A representao genrica de uma matriz Ade ordem m x n :

Amxn=

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

...

...............

...

...

321

2232221

1131211

, com menN*

Indica-se a matriz acima por:Amxn= [ aij ]m x ncom i {1, 2, ..., m} N e j { 1, 2, ..., n} N ouAmxn= [ aij], (1 i m e 1 j n).

Note que cada elemento aijda matriz A, est vinculado a dois ndices: i e j. O primeiroindica a linha e o segundo a coluna em que o elemento pertence. Exemplo: O elemento a25indica que o elemento aest localizado na 2 linha e 5 coluna da matriz A.

4. A representao de uma matriz a partir de uma lei de formao permite calcular o seu nmerode elementos e encontr-los.

Exemplo:Encontre a matriz A = (a ij)3x2sabendo que aij= 2i 3j.

Resolvendo: A representao abreviada de A = (ai j)3 x 3indica que A tem ordem 3 x 2 ou seja 3linhas e 2 colunas. Ento mx n= 3 x 2 = 6. Assim, nossa matriz tem 6 elementos e sua

representao genrica A3x2=

3231

2221

1211

aaaa

aa

. Logo, para aij= 2i 3j temos:

a11= 2.1 - 3.1 = 2 3 = -1a12= 2.1 3.2 = 2 6 = -4a21= 2.2 3.1 = 4 3 = 1a22= 2.2 3.2 = 4 6 = -2a31= 3.3 3.1 = 9 3 = 6a32= 3.3 3.2 = 9 6 = 3.

A matriz procurada A3x2=

36

21

41


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3. Tipos de Matrizes

lgumas matrizes, por suas caractersticas, recebem denominaes especiais. Vamosconhecer!

1. Matriz Retangular: Se m n ento A dita matriz retangular de ordem m x n.

Exemplo: A3x4=

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

uma matriz retangular de ordem 3 4ou A = [aij]3x4

2. Matriz Linhaou vetor linha: a matriz de ordem 1 x n, ouseja, formada por uma nica linha. Exemplo: A1x4 =( )8513

3. Matriz Colunaou vetor coluna: a matriz de ordem mx 1,

ou seja, com uma nica coluna.Exemplo:B2x1=

9

4.

4.Matriz Nulaou matriz nula: a matriz em que todos os elementos so nulos. representada

por 0m x n.Exemplo:02x3=

000

000

Exemplo complementar: A tabela a seguir apresenta os preos dos produtos qumicos paratratamento de gua P1, P2, P3, P4 das empresas A, B, e C.

P1 P2 P3 P4A 190 182 204 179B 191 180 200 177C 192 181 205 175

Neste exemplo temos uma matriz retangular de ordem 3 x 4, formada por 3 linhase 4 colunas.

Os preos da empresa A formam a matriz linha 1x4 indicada por A =( )179204182190 . Idem para os preos das empresas B e C.

Os preos do produto P1, relacionados as empresas A, B e C formam a matriz coluna

3x1, indicada por P1=

192

191

190

. Idem para os produtos P2, P3 e P4.

5. Matriz Quadrada: Se m = nento a matriz A denominada matriz quadrada de ordem nisto , A uma matriz que tem um nmero igual de linhas e colunas. Exemplos:

A3x3=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

e B2x2=

40

31. A uma matriz quadrada de ordem 3 e B tem ordem 2.

Os elementos aijda matriz quadrada quando i = jformam a diagonal principal da matriz.A outra diagonal chamada diagonal secundria.

Exemplo:A3x3=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Diagonal principal

Diagonal secundria

Note que: Matrizes com acaracterstica de ser linha oucoluna tm papel importantena lgebra e sodenominadas vetores. Eestes tm representaogeomtrica no plano e no

espao tridimensional.


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Na diagonal principal esto os elementos que tm os dois ndices iguais a11, a22, ... ann

Na diagonal secundria esto os elementos aijtais que i+j = n+1ou seja, que tm soma dosndices igual a n+1 So: a1n, a2(n-1), ... an1.

As matrizes quadradas se classificam em:5.1Matriz diagonal: a matriz quadrada em que

todos os elementos que no esto na diagonalprincipal so iguais a zero ou seja, se A=[ aij],ento aij = 0 quando i j. Indicamos por D =diag (a11, a22, ... ann).

Exemplo 1:D3x3=

200

0310

005

5.2 Matriz identidade ou matriz unidade: amatriz quadrada em que todos os elementos dadiagonal principal so iguais a 1 e os demais sonulos. representada por In, sendo na ordemda matriz ou simplesmente I.

Ou, matriz identidade uma matriz diagonalcom os elementos no nulos iguais a 1.

Exemplo: I3=

100

010

001

Pode ser representada genericamente por:

In= [ aij] com aij=

=

jise0,jise,1

Note que: A multiplicao de qualquer matrizpela identidade resulta na matriz original.

5.3 Matriz escalar ou singular: a matrizdiagonal cujos elementos da diagonal principalso iguais. Note que toda matriz identidade uma matriz escalar.

Exemplo: A3=

500

050

005

5.4 Matriz triangular superior: a matrizquadrada cujos elementos abaixo da diagonal

principal so nulos ou a matriz A=[aij] cujoselementos aij so nulos (aij= 0) para i >j Exemplo:A4=

2000

0100

1220

1865

5.5 Matriz triangular inferior: a matrizquadrada cujos elementos acima da diagonalprincipal so nulos ou a matriz quadradaA=[aij] cujos elementos aij so nulos (aij= 0)para i


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4. Proposies: Igualdade de Matrizes e Matriz Oposta

4.1Duas matrizes de mesma ordem podem ser iguais.

Duas matrizes A = [ aij] e B =[ bij], de mesma ordem, so iguais se, e somente se, todos seuselementos correspondentes so iguais ou seja, se aij= bij.

Exemplo 1:A matriz A = [ 2 -4 1,5 ] igual a matriz B = [ a -4 1,5 ] se, cadaum dos seus elementos so iguais. Neste caso, a = 2.

Exemplo 2:Seja A =

dc

bae B =

51

61. A=B se a = 1, b = 6, c = -1 e d = 5.

Exemplo 3:SejaA =

22

41e B =

+

wy

zx

1

2temos que A = B ou B = A se

22 41 =

+

wyzx

1 2

=

=

=+

=

2

42

21

1

w

z

y

x

=

=

=

=

2

2

1

1

w

z

y

x

4.2Toda matriz A tem uma matriz oposta (-A).

Se A = [ aij ]m x n ento existe uma matriz oposta de A representada por (-A) de modo que aij= - aij. A matriz (-A) oposta de A obtida trocando-se todos os sinais dos elementos de A oumultiplicando A pelo escalar (-1).

Exemplo 1:Se A=

40

31ento (-A) =

40

31.

Exemplo 2:Se A=

22

41ento B oposta de A se B =

22

41

5. Matriz Transposta

ada uma matriz Am,n, chama-se transposta de A a matriz At que se obtem trocando

ordenadamente as linhas pelas colunas.Ou, a matriz transposta de uma matriz A= [aij], de ordem mxn, a matriz A

t, de ordem nxm,

que se obtm escrevendo ordenadamente as linhas de A como colunas ou vice-versa.

Exemplo:Se A =

324

611ento At=

36

21

41

Note que a 1 linha de Acorresponde 1 coluna de Ate a 2 linha de A corresponde 2 coluna.

Obs: Algumas propriedades se definem nas transpostas envolvendo soma e produtode matrizes. Portanto, sero comentadas aps as operaes com matrizes.

D


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lgebra Linear 13


6. Simetria em Matrizes

ma matriz qualquer quadrada, pode sersimtricae anti-simtrica. Observe:

6.1Matriz simtrica: a matriz quadrada de ordem

n tal que A = At. a matriz cujos elementos aij=aji. Em geral a matriz simtrica indicada pelaletra S

Tambm podemos dizer que: Se uma matriz(quadrada) A e a sua transposta Atso iguais, isto, as jiij aa = para todo i e j, ento a matriz A

simtrica (com relao a sua diagonal principal).A = AtMatriz Simtrica

Exemplo:A =

712

130 205 = At= S

Observe que na Matriz simtrica oselementos dispostos simetricamente emrelao a diagonal principal so iguais.Neste exemplo, temos:

a12= a21= 0a13= a31= 2a23= a32= -1

6.2Matriz anti-simtrica: a matriz quadrada deordem n tal que At= (-A) ou a matriz cujoselementos aij= (-aji) para ij e aij=0 para i=j. Emgeral a matriz simtrica indicada pela letra S

A = -AtMatriz anti-simtrica

Observe nos exemplos que, como A=(-At) ento A simtrica e

a12 = - a21,a13 = - a31,a23 = - a32a11 = a22 = a33 = 0

NNNooottteeeqqquuueee:::Se uma matriz A anti-simtria, seuselementos dispostos simtricamente em relao diagonal principal so opostose os elementos dadiagonal principal so nulos.

Exemplo 1: A=

012

105250

=-At= S

Exemplo 2: B=

031

304

140

=-Bt=S

Agora, tente voc!

Resolva a lista de atividades 1

U


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lgebra Linear 14


Lista 1 de Atividades - Matrizes

1.Uma agncia de automveis efetuou de vendas, durante o quatro trimestre: 106 Gols, 40 Zafiras e12 Passats no 1oms, 100 Gols, 22 Zafiras e 6 Passats no 2oms, no ltimo ms foram 86 Gols,40 Zafiras e 20 Passats. Monte a tabela de vendas e transforme em matriz.

2.Encontre as matrizes definidas em:

(a) A=(aij)3x2com aij=i5j (b) B=(bij)4x4com bij=

=

jise,0jise1

3.Encontre as matrizes definidas em:

(a) A=(aij)3x2com aij=4ij(b) B=(bij)3x3com bij=i

2+j2

(c) C=(cij)2x3com cij=

=+

jise,2

jise4

ji

j

i

(d) D = (dij)3x3, matriz identidade

4.Considere a matriz B =

5,68,80,9

0,32,78,4

0,83,77,50,15,30,4

. Encontre os valores dos seguintes elementos de B:

a) b11 b) b21 c) b12 d) b32 e) b42 f) b24

5.Uma matriz possui 8 elementos. Quais os tipos possveis para essa matriz? 1x8, 2x3, 5x7, 4x2,2x4, 2x6!

6. Quantos elementos tem uma matriz de ordem 4 por 7?7. Encontre a tabela de carros financiados por uma agncia bancria nos meses de junho, julho e

agosto. Represente em matriz e analise: (a) Qual o modelo de carro mais financiado? (b) Em qual

ms houve um maior nmero de carros financiados. (c) Qual o total de carros financiados pelaagncia mensalmente e, ao final dos trs meses?

8.D exemplo de:(a) Matriz simtrica S e anti-simtrica Sde ordem 3.(b) Matriz escalar de ordem 4.(c) Matriz Identidade de ordem 5.

9.Considere as matrizes retangulares A =6200

4531 +xe B =

6400

4631

y.

(d) Determine os valores de x e y de forma que as matrizes A e B sejam iguais;(b) Encontre Ate Bt.

10.Determine a matriz oposta de A2x3=

250

321

11.A partir de uma matriz triangular superior de ordem 3, encontre a sua matriz oposta.12.A partir de uma matriz diagonal de ordem 4, encontre sua transposta.

13.Encontre a transposta da matriz A = [aij]3x2em que aij=

=

jiij

jiji

se

se

14.Para a matriz linha A = [aij]1x3em que aij=2i-j, prove que (At)t= A.

15.Encontre a matriz diagonal A = [a ij] de ordem 3, sabendo que a ij= 3i-j. Aps, determine asoma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundria.


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lgebra Linear 15


16.Para A =

215

36

420

y e B =

z

x

84

13

560

encontre os valores de x, y e z para B = At.

17.Verifique se a matriz identidade de ordem 3 simtrica ou anti-simtrica e justifique.18.Determine uma matriz triangular superior A e uma matriz triangular inferior B de ordem 3,

para aij= i+j e bij= i-j.

19.Considere a matriz A =

18

9

431

z

yx . Para que valores de x, y e z, A uma matriz simtrica.

Respostas da Lista de Atividades 1

(1) Gol Zafira PassatM1 106 40 12M2 100 22 6

3 86 40 20

(2)A=

72

83

94

(2)B =

0111

1011

1101

1110

(3) A =

1011

67

23

(3)B =

181310

1385

1052

(3) C =

3/868

3/423;

(3)D =

100

010

001

(4)(a) b11=4,0 (b) b12=3,5 (c) b42=8,8 (d) b21=5,7 (e) b31=7,2 (f) b24=no existe;

(5)1x8, 4x2 e 2x4 (6) 4x7 = 28 elementos (7)

2015115104598

25106

(a) modelo A; (b) ms 07; (c) ms 06 = 113; ms 07 =

153 e ms 08 = 150. Ao final de 3 meses financiaram 416 carros.

(8)(a) S =

2042

4453

23106; S=

042

403

230 (b) E=

2000

0200

0020

0002

(c) I =

10000

01000

00100

00010

00001

(9a) x=1 e y = 6

(9b)At=

64

26

03

01Bt; (10)(-A)=

250

321 , (11)A=

1800

1380

1052, (-A) =

1800

1380

1052 (12)D =

7000

0100

0030

0002= Dt.

(13)At

101

210 (14)A = ( )101 , At=

1

0

1, (At)t= ( )101 = A (provado) (15)D =

33

22

11

00

00

00

a

a

a=

600

040

002

(2+4+6)+(0+4+0) = 16. (16) x= 2 , y=8 e z=2 ou S={( 2 ,8,2)}; (17) simtrica pois aij= ajipara i j e no anti-

simtrica pois aij0 para i = j; (18)A =

600

540

432, B =

012

001

000 (19)A simtrica para x=3, y = 8 e z = 4

204086

622100

1240106


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lgebra Linear 16


7. Operaes com Matrizes

7.1 Adio e Subtrao de matrizes

uas matrizes, A = [aij] e B = [bij], s podem ser adicionadas ou subtradas se tem a mesma

ordem. Neste caso, a soma (adio)de A com B uma matriz C = [c ij], indica-se por A + B= C, tal que:cij = aij + bij

A diferena (subtrao)entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, definida pela soma de Acom (-B), indica-se: A + (-B)= A B, tal que:

cij = aij - bij

Assim, duas matrizes podem ser somadas (ou subtradas) se e somente se elas possuem a mesmadimenso ijij ba =

Exemplo 1: Se

=

2221

1211

aaaaA e

=

2221

1211

bbbbB ento

++++=+

22222121

12121111

babababaBA

Exemplo 2: A tabela a seguir mostra o nmero de embalagens em mil, dos modelos C1, C2,C3 produzidas numa semana pelas industrias A, B e C integrantes de um mesmo grupoempresarial, numa semana:

C1 C2 C3A 18 41 17B 17 52 15C 25 48 19

A matriz correspondente a produo das embalagens indicada por P1 =

194825

155217174118

.

Considerando que a quantidade de embalagens semanais produzidas no se altera, qual o totalde embalagens produzidas pelo grupo, por indstria e por modelo, ao final de duas semanas?

1 semana + 2 semana = P1+ P2=

194825

155217

174118

+

194825

155217

174118

=

389650

3010434

348236

.

A matriz P1+ P2indica a produo por empresa e produto ao final de duas semanas. Temosento:Indstria A:produziu 36 mil embalagens do modelo C1, 82 mil do C2e 34 mil de C3.Indstria B:produziu 34 mil embalagens do modelo C1, 104 mil do C2e 30 mil de C3.Indstria C:produziu 50 mil embalagens do modelo C1, 96 mil do C2e 38 mil de C3.

Este um exemplo de soma de matrizesAnalisando a matriz resultante, podemos encontrar outros dados, facilmente. Por exemplo:O total de embalagens produzidas do modelo C1(= 120 000), do modelo C2(= 282 000), do

modelo C3(=102 000).O total de embalagens produzidas, por industria, nos trs modelos: A (=152 000), B (=168

000) e C = (184 000)O total de embalagens produzidas nas trs industrias (=504 000)

D


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lgebra Linear 17


Exemplo 3: Se A =

02

41e B =

68

35ento A + B =

02

41+

68

35=

610

76

Exemplo 4: Se A =

02

41e B =

68

35ento A - B =

02

41-

68

35=

66

14

Exemplo 5: Se A=

753

234

321

e B=

351

484

323

ento,

A+B=

753

234

321

+

351

484

323

=

+++

+++

+++

375513

)4(28344

332231

=

10104

650

644

=C

AB=

753

234

321

-

351

484

323

=

375513

)4(28344

332231

=

402

2118

002

=D

Exemplo 6:Se A = [ ]12 b e B =

323

1 A + B =

+ 22

3

7b

Exemplo 7:Se A = [ ]152 e B = [ ]423 ento A + (-B) = AB = [ ]571

7.2 Multiplicao por um escalar

eja A = [aij] e k um escalar (nmero) real ou complexo. O produto da matriz A pelo escalar k,

a matriz B = [bij] tal que bij = kaij, ou seja, a matriz obtida multiplicando-se cadaelemento de A por kb ij = kaij

Exemplo 1: k A= k

02

41=

02

4

k

kksek=5 temos 5A=5

02

41=

010

205=B

Exemplo 2: Se A=[ ]423 ento =A.3

1[ ]423.

3

1 =

4.

3

12.

3

13.

3

1=

3

4

3

21 .

Exemplo 3: Considermos o mesmo problema anterior do quadro demonstrativo de produode embalagens de indstrias que integram o mesmo grupo empresarial. A tabela a seguirmostra o nmero de embalagens em mil, dos modelos C1, C2, C3produzidas pelas industrias A,B e C, numa semana:

C1 C2 C3A 18 41 17B 17 52 15C 25 48 19

S


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lgebra Linear 18


A matriz correspondente a produo das embalagens indicada por P1=

194825

155217

174118

. Para

atender as necessidades do mercado, a produo precisa dobrar nas duas ltimas semanas doms. Qual deve ser o quadro de produo da empresa num ms de 04 semanas?

1 semana: P1=

194825

155217174118

= P22 semana;

3 semana: P3= 2.P1= 2.

194825

155217

174118

=

389650

3010434

348236

= P44 semana;

Produo nas 4 semanas: P1+P2+ P3+ P4= 3. P4=

114288150

90312102

102246108

OU podemos resolver fazendo Pi = 6.P1= 6.

194825

155217

174118

=

114288150

90312102

102246108

7.3 Multiplicao entre matrizes

Vamos introduzir o conceito a partir de exemplos:

Exemplo 1: Em trs lojas A, B, C, de uma rede, so vendidos mensalmente, calados do tipo C1, C2e C3 conforme tabela:

Tabela MatrizC1 C2 C3

A 18 41 17B 17 52 15C 10 39 16

V =

163910

155217

174118

Se os calados do tipo C1, C2 e C3 so vendidos respectivamente no valor de 50, 40 e 60 reais cada,

ento os preos das mercadorias podem ser representadas pela matriz P =

60

40

50

.

O valor recebido pelas vendas dos calados na loja A obtido pela multiplicao de cada elementoda 1 linha da matriz V pelos correspondentes elementos da matriz P. Assim,

V =

163910

155217

174118

. P =

60

40

50

= 18.50+41.40+17.60 = 900+1640+1020 = 3560 reais Loja A


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lgebra Linear 19


Da mesma forma, obtemos o valor recebido pelas vendas das lojas B e C.

V =

163910

155217

174118

. P =

60

40

50

= 17.50+52.40+15.60 = 850+2080+900 = 3830 reais Loja B

V =

163910

155217174118

. P =

60

4050

= 10.50+39.40+16.60 = 500+1560+960 = 3020 reais Loja C

Portanto, o valor recebido pelas vendas dos trs tipos de calados nas lojas A, B e C representado

pela matriz V.P =

163910

155217

174118

.

60

40

50

=

3020

3830

3560

. Assim, o valor recebido pelas lojas A, B e C na

venda mensal dos calados do tipo C1, C2 e C3 de R$ 10.410,00 que equivale a R$ 3.560,00 daLoja A, R$ 3.830,00 da Loja B e R$ 3.020,00 da Loja C.

Exemplo 2:Uma empresa produz dois tipos de produtos, P1e P2. So usados trs tipos deingredientes na produo: x, y, z nas seguintes propores:

Tabela MatrizP1 P2

x 3 1y 4 2z 3 7

Ip=

73

24

13

Diariamente so fabricados 80 produtos do tipo P1e 120 do tipo P2. Esta quantidade de

produtos pode ser representada pela matriz produo P =

12080 .

Para saber a quantidade de ingredientes utilizados diariamente, fazemos:Ingrediente x 3.80+1.120 = 240+120=360Ingrediente y 4.80+2.120 = 320+240=560Ingrediente z 3.80+7.120 = 240+840=1080

Esta quantidade de produtos pode ser representada pela matriz P i=

1080

560

360

.

Podemos obter esta matriz Pidenominada de matriz produto de Ippor P, da seguinte forma:

73

2413

.

120

80=

+

+

+

120.780.2

120.280.4120.180.3

=

1080

560360

= Pi

Note que: cada elemento da matriz final a soma dos produtos ordenados de uma linha daprimeira matriz pela coluna da segunda matriz ou seja:

360 = 3.80+1.120560 = 4.80+2.1201080= 3.80+7.120

Este mais um exemplo de multiplicao de matrizes.


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lgebra Linear 20


Conceituando o produto de matrizes:

Utilizamos na definio de produto de matrizes o conceito de somatrio: Vamos rever este conceito?

Saiba Mais:

Definio:

Produto entre duas matrizes A e B s possvel se o nmero de colunas da primeira igualao nmero de linhas da segunda matriz. Se existir o produto de A por B, o tipo da matrizproduto dado pelo nmero de linhas de Ae pelo nmero de colunas de B. Pode existir oproduto de A por B, mas no existir o produto de B por A.

Dadas as matrizes A = (aik)mxn e B = (bik)mxp, define-se como produto de A por B a matriz C =(cij)mxp tal que o elemento cij a soma dos produtos da i-sima linha de A pelos elementoscorrespondentes da j-sima coluna de B.

C = A B cij = ).(1 ikp

k ikBA =

Se considerarmos, por exemplo, as matrizes A = [ aij]2xne B = [ bij]mx1, com m = n, o produto AB,

nesta ordem, a matriz C = [ c ij ]2x1 tal que, cij a soma dos produtos, na ordem em que estodispostos, dos elementos da matriz-linha A, pelos elementos da matriz-coluna B. Note que a matrizresultante C tem o mesmo nmero de linhas de A e o nmero de colunas de B.

Exemplo 1: Seja A = [ ]423 , B =

4

2

1

, C =

352

624e D =

6721

0132

1425

.

a) A x B = ?Resoluo: A1x3x B3x1= [(3x1) + (-2x2) + (4x4)] = [3-4+16] = [15] = C1 x 1.

b) B x C = ?Resoluo: B3x1 x C2x2=? No existe produto BC pois o n de colunas de B diferente don de linhas de C ou 1 2.

c) C x D = ?

Resoluo: C2x3 x D3x4=

352

624x

6721

0132

1425

= M2x4=

24232221

14131211

aaaa

aaaa

Para determinar M que o produto das matrizes C x D, consideramos cada linha damatriz A como uma matriz-linha e cada coluna da matriz B como matriz-coluna.Calculamos cada elementos aijda matriz M = CD. Como?

(1)Multiplicamos a 1 linha de C pela 1 coluna de D. A seguir, multiplicamos a 1 linhade C pela 2 coluna de D. E, assim, sucessivamente, multiplicamos a 1 linha de C

O

Na multiplicao de matrizes, utilizamos o smbolo de somatrio (letrasigma maiscula do alfabeto grego) para representar uma soma. Por exemplo,

a soma a1+ a2+ a3+ a4+ a5 pode ser representada abreviadamente por:

=

5

1iia (l-se: somatrio de aicom i variando de 1 a 5). Assim,

=

5

1iia = a1+ a2+

a3+ a4+ a5. Generalizando: =

n

mi

ia = am+ am+1+ am+2+...+ an. Neste caso, i o

ndice da soma, m o limite inferior do somatrio e n o limite superior dosomatrio.

Exemplo: =

5

1

23i

i = 3.12+3.22+3.32+3.42+3.52=3.1+3.4+3.9+3.16+3.25=165.


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lgebra Linear 21


pela 3 e 4 colunas de D. Obtemos respectivamente, os elementos a11, a12, a13e a14que formam a primeira linha da matriz M.

(2)Encontramos a segunda linha de M, multiplicando a 2 linha de C pela 1, 2, 3 e4 coluna de D e assim sucessivamente. Ou seja:

a11=(1 linha de C)x(1 coluna de D) = 4x5 + 2x2 + 6x1 = 20 + 4 + 6 = 30a12=(1 linha de C)x(2 coluna de D) = 4x2 + 2x3 + 6x2 = 8 + 6 + 12 = 26a13=(1 linha de C)x(3 coluna de D) = 4x4 + 2x1 + 6x7 = 16 + 2 +42 = 60a14=(1 linha de C)x(4 coluna de D) = 4x1 + 2x0 + 6x6 = 4 + 0 + 36 = 40a21=(2 linha de C)x(1 coluna de D) = 2x5 + 5x2 + 3x1 = 10 + 10 + 3 = 23a22=(2 linha de C)x(2 coluna de D) = 2x2 + 5x3 + 3x2 = 4 + 15 + 6 = 25a23=(2 linha de C)x(3 coluna de D) = 2x4 + 5x1 + 3x7 = 8 + 5 + 21= 34a24=(2 linha de C)x(4 coluna de D) = 2x1 + 5x0 + 3x6 = 2 + 0 + 18= 20

Portanto, o produto das matrizes C(2,3)e D(3,4) a matriz M(2,4) =

20342523

40602630

Exemplo62: Sejam as matrizes A e B defindas por: A =

43

21 e B =

24

31. Determinar a

matriz C resultante do produto de A por B.Resoluo: O produto de A com B resulta numa matriz C, quadrada de ordem 2.Procedemos multiplicando os elementos equivalentes de cada linhas de A por cadacolunas de B, adicionando os resultados. Vejamos:

A2x2 x B2x2=C2x2 =

2221

1211

cc

cc. Fazendo A.B temos A.B =

43

21.

24

31=

C11=resultado do produto e soma da 1 linha com 1 coluna




6SOMATEMATICA: Ensino Superior: Teoria, Exerccios. (CD-Room). Virtuous Tecnologia da Informao Ltda. 2008


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lgebra Linear 22


Portanto, A2x2 x B2x2=C2x2 =

2221

1211

cc

cc=

1713

77

Observe que, fazendo B.A, neste caso, obtemos um resultado diferente de A.B.

B2x2 x A2x2=

24

31.

43

21=

Portanto, B2x2 x A2x2=D2x2 =

2221

1211

dd

dd=

1610

108.

8. Potncia de uma Matriz

ma matriz quadrada A pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resulta

dessas operaes, e que representamos por A

n

denominada potncia n da matriz A .

Exemplo 1: A =

02

11A2= A.A =

02

11.

02

11=

22

13. Assim, a matriz

22

13 a

potncia 2 da matriz A e indicamos por A2.

Note que:

Se An= A para n 2 ento A uma matriz peridica. Em particularse a matriz peridica paran = 2 ou seja, se A2= A ento A tambm chamada de uma matriz idempotente.

Se existir um nmero n, inteiro e positivo, tal que An=0 ento A uma matriz nihilpotente.

Note que, se A2

= 0, ento A3

= A4

= A5

= ... = An

= 0Exemplos:

Exemplo 1: A matriz A =

344

232

112

idempotente porque

A2= A ou, A.A =

344

232

112

.

344

232

112

=

344

232

112

=A

U

Dica: Utilizando o conceito de matriz transposta e produto de matrizes podemos verificarde uma matriz ortogonal (formada por vetores linhas ou vetores colunas cujo ngulo entre siequivale a 90). Se uma matriz A multiplicada pela sua transposta resulta na matriz Identidadeento os vetores de A so perpendiculares ou ortogonais.Assim, se A. At= I ento A uma matriz ortogonal.


23/72

lgebra Linear 23


Exemplo 2: A matriz7A =

444

333

111

nihilpotentede ndice 2 porque A2= 0, A3= A4

= ... =0. Portanto A3 = A2.A = 0.A=0.

Exemplo 3: A matriz B =

312

625

311

nihilpotentede ordem 3 porque

A3= 0 ou A.A =

311

933

000

e A2.A =

000

000

000

= 0.

Como A3= 0 ento A4= A5= ... = An=0

Exemplo 4: As matrizes A =

64

96e B =

129

1612so nihilpotente de ndice 2 porque

A2= 0 e B2 = 0.

9. Propriedades das Operaes com Matrizes

Propriedades da adio de matrizesPara as matrizes A, B e C, de mesma ordem, valem as seguintes propriedades:

1)Comutativa

2)Associativa

3)Elementro Neutro

4)Simtrica

A + B = B + C

A+ (B + C) = (A + B) + C

A + 0 = 0 + A, sendo 0 a matriz Nula

A + (-A) = A - A = 0 Propriedades do produto de uma matriz por um escalarPara as matrizes Ae B, de mesma ordem e ke k, escalares quaisquer, ento:

k(A + B)=kA + kBe (k mk)A = kA mkA.

E, tambm, (kk) A=k(k A) e se kA = kBento A = B. Propriedades do produto de matrizesSejam as matrizes A, B e C. Verificadas as condies de existncia para a multiplicao dematrizes, valem as seguintes propriedades:

1) Associativa2) Distributiva em relao adio

3) Elementro Neutro

A(BC) = (AB)C(A+B)C = AC + BCou C(A+B) = CA + CB

AIn= InA = A, sendo Ina matriz Identidade de ordem nNote que:

7Steinbruch (1987, p.406)


24/72

lgebra Linear 24


(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

Se o produto AB possvel, ento (kA)B= A(kB) = k(AB) para qualquer kescalar.

Se AB= 0, no implica necessariamente que A = 0ou B = 0

Se AB=AC, no implica necessariamente que B=C

Se Ae Bso matrizes quadradas(igual nmero de linhas e colunas), ambos os produtosAB e BA podem ser calculados. Entretanto, na multiplicao de matrizes, a ordem dos

fatores no indiferente. Em geral, AB BA.

A2x2=

01

11, B2x2=

43

21ento AB =

21

24e BA =

31

13

Se AB = BA, as matrizes so ditas comutativas. Propriedades da matriz transpostaSejam A e B, matrizes, k um escalar qualquer e, se satisfazem as condies de adio emultiplicao de matrizes, so vlidas as propriedades:

1) (A + B)t = At+ Bt

2)(kA)t = kAt

3)(AB)t = BtAt (AB)tAtBt

4)(At)t= A

5) (-A)t= -(At)

Propriedades das matrizes simtricas e anti-simtricasSejam A e B, matrizes, k um escalar qualquer e, se satisfazem as condies de adio emultiplicao de matrizes, so vlidas as propriedades:1) O produto de uma matriz quadrada Apela sua transposta At uma matriz simtrica SAssim, A

At= S2)A soma de uma matriz quadrada Acom sua transposta At uma matriz simtrica S

Assim, S = A + At= St

3)A diferena entre uma matriz Ae sua transposta At, uma matriz anti-simtrica SAssim, A - At= S

Exemplo 1: Consideremos as matrizes Ae sua transposta Atpara:

A =

40

31e sua transposta At=

43

01.

Fazendo A At =

40

31

43

01=

++

++

4.40.0)3.(41.0

4).3(0.1)3).(3(1.1=

1612

1210 = S. Note

que a matriz resultante S uma matriz simtrica pois s12= s21

Fazendo A + At =

40

31+

43

01=

83

32= S

Note que a matriz resultante S uma matriz simtrica pois s12= s21

Fazendo A - At =

40

31-

43

01=

03

30= S

Note que a matriz resultante S uma matriz anti-simtrica pois (-s12)= s21

AAAgggooorrraaa,,,ttteeennnttteeevvvoooccc!!!Resolva a Lista de Atividades

Lista 2 de Atividades Operaes com Matrizes

1. Encontre os elementos da matriz A = (a ij)3x2em que aij= i + j e da matriz B = (bij)3x2em que aij= i - j . Encontre:


25/72

lgebra Linear 25


(b)A + B; (c)A + (-B); (d)5A + 3B.

2. Considere as matrizes A =

22

11, B =

20

54, C =

312

119e D =

342

111.

(a)Verifique se A B = B A;

(b)Determine (A C) + (B D);

(c) possvel determinar C D? Justifique.

3. Para as matrizes quadradas de ordem 3 definidas por A=(aij) com aij=i2e B=(bij) com bij=-j

2encontre:

(a) A+B (b) A+(-B) (c) A.2B (d) (AB)+(BA)

4. Se A =

263

174

952

calcule:

(a)A + At= S. Verifique se S uma matriz simtrica e justifique;

(b)A - At= P. Verifique se P uma matriz anti-simtrica e justifique.


75

32, B =

918

721

534

e C =

695

243

172

. Encontre as

matrizes S e verifique se so simtricas e/ou anti-simtricas.

(a) S = A.At (b) S = C+Ct (c) S = C - Ct (d) S = B Bt (e) S = B + Bt

6. Para atender a um projeto experimental de tratamento de esgoto, foram elaborados doismodelos de experimentos E1e E2. Nos dois modelos sero utilizados os mesmos produtos x, y ez para tratamento com dosagens diferentes. No experimento E1sero utilizados 5 medidas do

produto x, 8 medidas do produto y e 1 medida do produto z. No experimento E2 a dosagemequivale a 4, 6 e 3 medidas de x, y e z, respectivamente. Para controle, sero produzidas 75amostras do experimento E1e 96 amostras do experimento E2. Estruture o problema em tabelae matriz e determine:

(a)quantas dosagens de produtos sero utilizados para a produo das amostras?

(b)Considerando que, o custo de dosagem dos produtos equivalem a: R$ 1,30 para x, R$2,30 para y e R$ 7,50 para z. Qual o custo por amostra? Qual o custo total para aproduo das amostras?

7. Considere as matrizes triangulares superiores A e B e as matrizes trinagulares inferiores C e D,

definidas por A =

200310

112

, B =

200130

121

, C =

111011

002

e D =

121010

002

.

Determine:

(a) E = A.B;

(b) F = C.D

(c) Classifique E e F por triangular inferior ou superior.

(d) Verifique se a matriz A ortogonal.

8. Prove que, o produto de duas matrizes diagonais resulta numa matriz diagonal. Utilize matrizesde ordem 3.


26/72

lgebra Linear 26



sen-cos

cos-sen, B =

53

106e C =

42

105.

(a) Mostre que A.At= I sendo I a Matriz Identidade. Logo A uma matriz ortogonal.

(b) Verifique se B e C so matrizes idempotentes, peridicas ou nihilpotente. Analise parao perodo 1 ou seja para B2e C2somente.

10. Verifique se as matrizes A e B so nihilpotentes, para A =

6496 e B =

129

1612

11. Dadas as matrizes diagonais A =

800

010

001

e B =

600

040

002

calcular AB e classificar este produto.

12. Considere a matriz A =

344

232

112

. Calcule A2e classifique A. (STEINBRUCH, 1987, p.413)


(1) A =

54

43

32

, B =

12

01

10

(a) A+B=

66

44

22

(b) A+(-B)=

42

42

42

(c) 5A+3B=

2826

2018

1210

(2a) A.B =

68

34 B.A =

44

66(2b)

8414

427+

684

19166=

14410

23141.

(2c) No possvel determinar o produto C.D pois a dimenso das linhas de C diferentes da dimenso das colunas de D.

(3) A =

999

444

111

, B=

941

941

941

(3) A+B=

058

503

830

,(3b) A+(-B)=

181310

1385

1052

(3c)

48621654

2169624

54246

(3d)

24310827

1084812

27123

+

989898

989898

989898

=

341206125

206146110

125110101

(4a) A+At=S =

4712

7149

1294

S simtrica pois aij= aji para i j. (4b) A-At=P=

056

501

610

S anti-simtrica pois aij= (-aji) para i j e

aij= 0 par i = j. (5) A matriz S em a,b, e simtrica porque Aij=Aji. A matriz S em c,d anti-simtrica pois aij= (-aji)

para i j e aij= 0 par i = j. (5a) S=

7411

1113

(5b)

1276 784

644

(5c)

0114 11010

4100

(5d)

083 804

340

(5e)

18613

642

1328

(6a) x = 759, y = 1176 e z = 363 ou

363

1176

759

.(6b) O custo por amostra : E1= R$ 32,40; E2= 41,50 ou C

= ( )50,4140,32 . O custo total para a produo das amostras de R$ 6.414,00 = ( )50,4140,32

96

75.(7a) E =


27/72

lgebra Linear 27


400

730

172

;(7b) F =

131

012

004

;(7c) E triangular superior e F inferior.(8) Criar matrizes e provar.(9a) Fazer A.At

e mostrar que o resultado a matriz identidade(Dica: lembre-se que sen2x + cos2x = 1). (9b) As matrizes B e C soidempotentes de ordem 2 ou de perodo 1 porque B.B=B2=B e C2=C.

(10) A e B so nihilpotentes de ordem 2 pois A2=0=A3=A4=... Idem para a matriz B. (11) AB=

4800040

002

e AB diagonal.

(12) A2=

344

232

112

. Como A2A no idempotente.


28/72

lgebra Linear 28


10. Equivalncia de Matrizes

izemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, so equivalentes quando so obtidas apartir de operaes elementares efetuadas entre elas ou:Dada uma matriz A, diz-se que uma matriz B, de mesma ordem, equivalente a matriz A

(indica-se B

A) se for obtida a partir de operaes elementares efetuadas em A, ondecada linha ( Li ou j) de B uma combinao linear das linhas de A.

A matriz B encontrada equivalente a matriz A e tambm denominada, matriz escalonada porlinhas de A . As operaes elementares possveis so:

1. Li Lj2. Lik.Lj com k 03. Lik.Lj + Li com k 0

1. Troca de linhas entre si;2. Multiplicao de linha por escalar;3. Substituio de uma linha pela adio de k vezes

outra linha.

Note que: Se aplicarmos as inversas das operaes em B, obtemos A.

A matriz B encontrada dita matriz escalonada por linhas de A.Exemplo 1: Se A =

43

21ento podemos encontar uma matriz B =

100

21dita

matriz escalonada por linhas de A .

Uma matriz B equivalente a uma matriz A dita matriz escalonada reduzida por linhas(ou matriz na forma cannica por linhas)se:os elementos distinguidos8so nicos no nulos de suas respectivas colunas;os elementos distinguidos so iguais a 1.

Exemplo 2: B =

10

01

Exemplo 3: B =

4100

7010

2001

A matriz B est representada na forma cannica por linhas pois o 1 elemento de cadalinha igual a 1 e o nico no nulo em sua respectiva coluna.

Exemplo 4: Para a matriz A =

13111

11500

11131

11012

encontre sua matriz B,

equivalente a A ou seja encontre a matriz escalonada por linhas de A.

Resoluo: Nosso objetivo encontrar uma matriz B cujos elementos abaixo da diagonalformada pelos elementos (2), (3), (-5), (-3) sejam todos iguais a zero. Para issoaplicamos as operaes elementares de linhas Li:

8Elementos distinguidos so os primeiros elementos no nulos das linhas de uma matriz

D


29/72

lgebra Linear 29


A =

13141

11500

11131

11072

L4 L3

(troca de linhas entre si)

11500

13141

11131

11072

L2 L1 + 2L2;

L3 L1 - 2L3.

11500

37210

33210 11072

L3 L2 + L3.

11500

610400

33210

11072

L4 5L3 + 4L4.

2654000

610400

3321011072

= B

Note que a matriz B encontrada equivalente a matriz A e,abaixo da diagonal todos os elementos so nulos.

A matriz B tambm chamada, forma escalonada de A.

2654000

610400

33210

11072

= B

Importante: Para a soluo de alguns problemas matemticos, uma matriz B, escalonada por linhasde A, necessita apresentar-se numa forma mais reduzida, ou seja, na forma escalonada reduzidapor linhas. Neste caso, pode-se afirmar que:

Uma matriz B equivalente a A dita matriz escalonada reduzida por linhas (ou matriz naforma cannica por linhas)se, e somente se, seus elementos distinguidos so iguais a um

e so os nicos no nulos de suas respectivas colunas.

Exemplos: C =

100010

001

ou D =

41002010

9001

ou E =

1000007100

03021

.

As matrizes C, D e E, esto representadas na forma cannica por linhaspois o 1 elemento de cadalinha igual ao nmero 1e, o nico no nulo em sua respectiva coluna.

AAAgggooorrraaa,,,ttteeennnttteeevvvoooccc!!!Resolva a Lista 3 de atividades


30/72

lgebra Linear 30


Lista 3 de Atividades Equivalncia de Matrizes/escalonamento

1. Encontre a forma escalonada por linhas das matrizes A. Indique-as por A.

a) A =

231

110

012

121

b) A =

1240

511

412

023

c) A=

0110

2001

0201

1011

d) A =

32

363

42

2. Encontre a forma escalonada por linhas das matrizes e verifique se esto corretas asequivalncias:

a) A=

5013

0121

2001

0100

2120

2001

=B b) A=

18512

6243

1121

551100

3120

1121

=B

c)A=

7283

2131

1241

8000

1110

1241

=Bd) A =

90

20

00

20= B

3. Encontre a forma cannica por linhas das matrizes:

a) A=

521

614

436

b) A =

56263

32142

12121

c) A=

4350

1200

3140

2310

4. Encontre a matriz triangular superior que seja equivalente a cada uma das matrizes dadas.

A =

1053

521

132

B =

1053

521

132

C =

1103

2221

0342

1231

D =

521

614

436

E =

22262

13452

11131

4321

F =

875

654

321

G =

223

142

111

H =

241

132

111

5. Encontre a matriz escada, equivalente por linhas

A =

2242

1111

1121

B =

52333

42123

13212

C=

1111

2212

5103

D =

3213

2212

1321

6. Aplicao de escalonamento de matrizes: Tente resolver o sistema, aplicando a equivalncia dematrizes.


31/72

lgebra Linear 31


=+

=+

=+

19234

4422

632

zyx

zyx

zyx


(1) (a) A=

000

300

250121

; (b) A=

000

4500

1270023

; (c) C=

0000

2200

12101011

; (d) D=

00

00

42;

(2) No so equivalentes somente as matrizes (2b) e (2c) pois em (2b) A

29900

3120

1121B e em (2c),

temos A

0000

1110

1241B.

(3) (a)

0009

26109

701

; (b)

611000

001003

40021; (c)

0000

1000

0100

0010

(4) A

400

910

521B

000

310

121 C

15000

4100

1010

1231

D

000

52180

436E

0000

2200

7410

4321

; F

100

210

321G

1100

120

111 H

000350

111

(5a) A

00002010

1121

(5b) B

8200055410

13212

; (5c) C

22000010

1111

(Observe que houve troca de linhas);

(5d) D

10700

4430

1321(6) O sistema equivale a matriz escalonada

101000

81060

6321. A soluo do sistema x = 3, y = 3

e z = 1 ou S = {(3,3,1)}.


32/72

lgebra Linear 32


II DETERMINANTES E MATRIZES

1 Classe de uma Permutao

ara uma melhor compreenso do conceito de determinantes importante revermos osconceitos de permutao. Conceito: Dados nobjetos distintos a1, a2, ..., an. Uma permutao destes objetos consiste em displos em uma determinada ordem. Ou seja, para nelementos

distintos denominamos depermutaoa disposio dos mesmos numa certa ordem.

As permutaes podem nos dizer o n de arranjos possveis em certas situaes. Representamospermutao por S(A) ou S(n).

Exemplo:Para os algarismos 1, 2 e 3 podemos obter 6 permutaes que so:

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2,

3 2 1Permutao principal (2) (3) (4) (5) (6)

A quantidade de permutaes dos nelementos dada por n!(l-se: n fatorial) onde:

n ! = n x (n-1) x (n-2) x . . . x 2 x 1para n >0.

Portanto, se n = 3 temos: 3! = 3 x 2 x 1 = 6 permutaes. Se n = 0 temos 0! = 1.

Proposies:

Diz-se que dois elementos de uma permutao formam uma inverso se esto em ordeminversa da permutao principal. Considerando uma permutaoa c b, os elementos ce bformam uma inverso.

Para uma permutao do conjunto N*, dizemos que existe uma inverso quando um nmerointeiro precede um outro menor que ele.Exemplo1:Os algarismos 1, 2, 3, 4 e 6 admitem 120 permutaes pois 5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1 =

120 e a permutao 6 4 3 2 1 admite 10 inverses que so: 64, 63, 62, 61, 43, 42,41, 32, 31 e 21.

Exemplo 2:A permutao 54321 tem 10 inverses que so: 54, 53, 52, 52, 43, 42, 41, 32, 31e 21.

Exemplo 3:A permutao 4521 tem 05 inverses que so: 42, 41, 52, 51 e 21.

Observe na tabela de nmeros as permutaes e inverses dos algarismos 1, 2, 3:

Permutaes N de inverses Permutaes N de inverses

1 2 3 0 2 3 1 2

1 3 2 1 3 1 2 2

2 1 3 1 3 2 1 3

Uma permutao tem classe par ou classe mpar, (indica-se classe )conforme apresentaum nmero par ou mpar de inverses. Assim, para uma permutao arbitrria em Sn, (Snindica o conjunto de permutaes), dizemos que mpar ou par, conforme exista um n parou mpar de pares (i, k) para os quais i > k mas i precede k em . Exemplificando: Apermutao 1 3 2 tem uma inverso, logo tem classe mpar.

P


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lgebra Linear 33


Definimos como sinal ou paridade da classe, indica-sesgn por

Sgn =

.,1

;,1

mparse

parse

Ou seja: Quando na permutao existir um nmero par de inverses ento o sinal de (sgn )

positivo. Quando na permutao existir um nmero mpar de inverses entosgn negativo.

Exemplo1:A permutao 5 3 1 2 4tem 6 inverses (quantidade par) logosgn =1.Exemplo 2:S3= 3! = 3.2.1 = 6. Observe na tabela a seguir.

Permutao 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1

N de inverses 0 1 1 2 2 3

Par ou mpar Par mpar mpar Par Par mpar

Sgn + - - + + -

2 Determinante de uma matriz

imos que a matriz quadrada a que tem o mesmo nmero de linhas e de colunas (ou seja, do tipo nxn). A toda matriz quadrada est associado um nmero ao qual damos o nome dedeterminante.

Dentre as vrias aplicaes dos determinantes na Matemtica, temos:

Resoluo de alguns tipos de sistemas de equaes lineares; Clculo da rea de um tringulo situado no plano cartesiano, quando so conhecidas as

coordenadas dos seus vrtices.

Mas, o que um determinante?

Denomina-se determinantede uma matriz quadrada soma algbrica dos produtos que se obtm,efetuando todas as permutaes dos segundos ndices do termo principal, fixados os primeirosndices, e fazendo-se preceder dos produtos o sinal (+) ou (-), conforme a permutao dos segundosndices seja de classe par ou mpar.

Defini-se como termo principal, ao produto dos elementos da diagonal principal de umamatriz quadrada;

Denomina-se ordem de um determinantea mesma ordem da matriz a que o mesmo equivale;

Indica-se o determinante de uma matriz quadrada A, por det A, representando a matriz entredois traos verticais.

A notao do determinante de uma matriz || ou seja, representamos o determinante de umamatriz entre duas barras verticais, que no tm o significado de mdulo.

Saiba Mais:

V


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lgebra Linear 34


Como calcular o determinante?

2.1 Determinante de 1 ordem

ada uma matriz quadrada de 1 ordem M=[a11], o seu determinante o prprio nmero reala11ou seja, det M =|a11| = a11

Exemplo:

M= [5] det M = 5 ou |5| = 5 M = [-6] det M = -6 ou |-6| = -6

2.2 Determinante de 2 ordem

ada a matriz quadrada M de ordem 2, por definio o determinante associado a M,determinante de 2 ordem, dado por:

D

D

Considere a seguinte situao problema: Qual o valor real de x e y para que A.B = C sendo A =

45

21, B =

y

xe C =

1

1?. Para determinar os valores de x e y, aplicamos o produto A.B =

C e obtemos:

4521

.

y

x=

11

. Resolvendo o produto, encontramos:

+

+

yx

yx

45

2=

1

1. Aplicando o conceito de igualdade de matrizes, temos o sistema:

=+

=+

145

12

yx

yxResolvendo o sistema pelo mtodo de adio, temos:

=+

=+

145

.(-5)12

yx

yx

=+=

1455105

yxyx

6)104(

6104145

5105

=

=

=+

=

y

yyyx

yx

y =1046 =

)5.2()4.1(6 =

66

=1. Se fizermos o

mesmo procedimento para encontrar o valor de x, iremos observar que o denominador tambm (-6). Portanto x = -1. Observe que a expresso numrica (1.4)-(2.5), comum nas expresses,permite que calculemos o valor de x e y e determina se o sistema tem soluo (se determinadaou indeterminada). Da a origem do nome determinante.Observe tambm que a expresso

(1.4)-(2.5) tem relao com os termos da matriz A=

45

21. A teoria dos determinantes surgiu,

quase simultaneamente, na Alemanha e no Japo, quando dois matemticos, Leibniz (1646-1716)e Seki S.Kowa (1642-1708), resolveram problemas de eliminaes, necessrias resoluo de um

sistema de n equaes lineares com n variveis. Depois deles, surgiram os trabalhs de Cramer,Bezout, Laplace, Vandermonde, Lagrange, Cauchy e Jacobri.


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lgebra Linear 35


Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 dado pela diferena entre o produto doselementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria.

Observe os exemplos:

(a) Para M =

54

32temos: det M = (2.5)-(4.3) = 10-12= -2.

(b) Se A =

2

1

4

3ento det A =

2

1

4

3 = (1 x 4) (2 x 3) = -2

2.3 Determinante de 3 ordem: Regra de Sarrus

determinante de uma matriz de ordem 3 pode ser obtido pela regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para D=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

.

1 passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira ou repetimos direita doselementos da matriz A, as duas primeiras colunas:

2 passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principalcom os doisprodutos obtidos pela multiplicao dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve serprecedida do sinal positivo):

3 passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundriacom os doisprodutos obtidos pela multiplicao dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve serprecedida do sinal negativo):

O


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lgebra Linear 36


Assim:

ou det D = +a11a22a33 + a13a21a32+ a12a23 a31-a11a23a32-a12a21a33 -a13a22a31

Exemplo 1:Encontrar |A| para A =

011

021

121

.

Resoluo: Pela regra de Sarrus, fazemos

11

2121

011

021121

=

(-1.2.0)+(2.0.-1)+(1.1.1)-(2.1.0)-(-1.0.1)-(1.2.-1) = 0+0+1-0-0+2 = 3.Logo |A|= 3 ou Det A = 3.

Exemplo 2:Determine o valor de x sabendo que

381

52

14

x

x

=0

Resoluo: Pela regra de Sarrus, fazemos

81

24

381

5214

xx

xx

= 0. Logo,

12x 5x + 16 6x 160 +x = 0 2x 144 = 0 x = 144/2 x = 72.


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lgebra Linear 37


2.4 Determinante de ordem n > 3: Teorema de LAPLACE

imos que a regra de Sarrus vlida para o clculo do determinante de uma matriz de ordem3. Quando a matriz de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace parachegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Teorema de LAPLACE: Segundo Laplace, o determinante da matriz A = aij igual soma dosprodutos obtidos multiplicando os elementos de qualquer linha(ou coluna) de A pelos seusrespectivos cofatores Cij:

det A = ai1Ci1+ ai2Ci2+ ...+ ainCin

oudet A = a1jC1j+ a2jC2j+ ... + anjCnj

Mas, o que so cofatores? Reveja este assunto no Apndice A deste caderno.

Exemplo 2: Seja A =

317

132

101

.

O Det A, segundo Laplace calculado da seguinte forma:Escolha uma linha ou coluna d preferncia para aquela que tem elementos nulos. Nestecaso escolhemos a linha 1.

Det A =(-1) . C11 +(0). C12 + (1). C13 (fixada 1 linha ).

Det A =(-1) . (-1)1+13113 + (0). C12 + (1). (-1)1+3

1732

Det A =(-1) . 1 . [9-(-1)] + 0 + 1. 1 . (2-21)

Det A =-1.1.10 + 0 + 1.1.-19

Det A = - 10 + 0 - 19

Det A = - 29

Por Regra de Sarrustemos

Det A =

17

3201

317

132101

= (-1.3.3)+(0.-1.7)+(1.2.1)-(1.3.7)-(-1.1.-1)-(3.0.2)

= -9 + 0 + 2 21 1 0 = -29.

Exemplo 3: Seja A =

241

325

431

. Calcule o Det A.

O Det A, segundo Laplace:

V


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lgebra Linear 38


Det A =(1) . C11 +(5). C21 + (1). C31 (fixada 1 coluna).

Det A =(1) . (-1)1+124

32 +(5). (-1)2+1

24

43 + (1). (-1)3+1

32

43

Det A =(1) . 1 . [4-(-12)] +(5).(-1).(6-16) + 1. 1 . (-9-8)

Det A =(1).1.(16) +(5).(-1).(-10) + 1. 1 . (-17)

Det A = 16 + 50 + (-17)

Det A = 49

Por Regra de Sarrustemos

Det A =

41

25

31

241

325

431

= (1.2.2)+(3.-3.1)+(4.5.4)-(4.2.1)-(1.-3.4)-(3.5.2)

= 4 -9 + 80 8 + 12 - 30 = 96 47 = 49.

2.5 Processo de triangulao para clculo de determinante

processo de triangulao para clculo de determinante pode ser aplicado em todasas matrizes quadradas de ordem n 2.

Para se executar o processo de triangulao, se procura colocar, por meio de operaes adequadas(e das respectivas compensaes quando for o caso), como elementos da diagonal principal, excetoo ltimo, o nmero 1.

Obtido o n 1 na 1 linha e 1 coluna, isto , a11 = 1, substituindo-se, por meio de operaescompetentes, todos os demais elementos da 1 coluna por zeros; da mesma forma, depois de obtera22= 1, substituem-se os demais elementos da 2 coluna, situados abaixo de a22por zeros, e assimpor diante. Quanto a cada um dos elementos da diagonal principal da matriz A, trs hiptesespodem ocorrer:

1) O elemento igual a zero neste caso, deve-se proceder a operao de troca de linhas emultiplicar o det A por 1, como compensao, isto , para que o determinante de A conserve o seuvalor.

2) O elemento igual a k1 nesse caso, deve-se multiplicar todos os elementos da linha por i/k,com o que se obtm o nmero 1 como elemento da diagonal principal dessa linha. Por outro lado,

para compensar, isto , para que o det A mantenha o seu valor, deve-se multiplic-lo pelo inversode 1/k, isto k.

3) O elemento igual a 1nesse caso nada a fazer no que diz respeito diagonal principal.

Agora, tente voc Calcule o determinante da matriz

=

435

231

712

A , usando o processo da

triangulao. Voc deve obter como resposta, det A = - 66

O


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3 Propriedades dos determinantes

s matrizes quadradas de ordem napresentam as seguintes propriedades:

1. O determinante de uma matriz quadrada A igual ao de sua transposta Atou seja, |A| =|At|.

Exemplo 1: Se A =

42

31ento At=

43

21. E, det At= 1.4 2.3 = -2 = det A.

Exemplo 2: det A =

342

212

321

= 9= det At=

323

412

221

= 9

2. Se a matriz quadrada A tem duas linhas (ou colunas) iguais ento det A = 0 ou se duas

filas paralelas de uma matriz so proporcionais, ento seu determinante nulo.

Exemplo 1: Exemplo 2:3. Se a matriz quadrada A tem uma linha ou coluna nula ento det A = 0 ou Quando todos os

elementos de uma fila (linha ou coluna) so nulos, o determinante dessa matriz nulo.Exemplos:

4. Se uma matriz quadrada A trocarmos a posio de duas linhas (ou colunas) odeterminante troca de sinal.

Exemplo:

5. Se A uma matriz triangular (superior ou inferior) ento det A = produto dos elementosdiagonais. Exemplos:

6. Se cada elemento de uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada A multiplicado porum escalar k ento o det A fica multiplicado por k.

Conseqncia: Se cada elemento de uma linha (ou coluna) de uma matriz A contm umfator k, podemos coloca-lo em evidncia.

A


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Exemplo 1:A =

032

1154

361

A= 3

012

154

321

(det A) = 3 (det A).

Exemplos 2 e 3

7. O determinante de um produto de duas matrizes A e B igual ao produto de seusdeterminantes ou seja, det(A.B) = (det A) . (det B) ou |A.B|=|A|.|B.|

8. Uma matriz quadrada A inversvel se o det A 0.

9. Se os elementos de uma fila de uma matriz so combinaeslineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, entoseu determinante nulo. Exemplo:

10

Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz no se altera quando somamos aoselementos de uma fila uma combinao linear dos elementos correspondentes de filasparalelas.

Exemplo: 9

342

212

321

= Substituindo a 1 coluna pela soma dessa mesma coluna com o

dobro da 2, temos:

4 Determinante e Matriz Inversa

onsideremos a matriz quadrada A, de ordem n. Definimos como inversa de A, a matriz A-1talque A . A-1 =I = A-1 . Asendo Ia matriz identidadede ordem n.

Proposies:

(i)Se A tem inversa, diz-se que A inversvel.

C


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(ii)Se A e B so matrizes quadradas, de mesma ordem e inversveis, ento:

(A-1)-1=A AxB inversvel (A.B)-1= B-1.A-1 (A+B)-1=A-1+ B-1 Posto A = n.

(iii) Toda matriz quadrada A, cujo determinante nulo, dita matriz singular e, se odeterminante de A for diferente de zero, dizemos que A uma matriz no-singular. Emconseqncia, toda matriz no-singular sempre tem inversa e toda matriz singular notem inversa. Portanto, nem toda matriz quadrada tem inversa.

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Apostila de Matrizes e Determinantes