Apostila de Mecanica Aplicada 5º Período

Prof. MSc. Eng. Pedro Genuino de Santana Jnior Email: [email protected]

MECNICA APLICADA 5 Perodo de Engenharia Civil

REVISAO GERAL

GRANDEZA ESCALAR caracterizada por um nmero real. Como, por exemplo, o tempo, a

massa, o volume, o comprimento, etc.

GRANDEZA VETORIALUma grandeza vetorial caracterizada pela dependncia de trs

elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemtico que possui

intensidade, direo e sentido. Em problemas de esttica muito comum a

utilizao de grandezas vetoriais como posio, fora e momento.

A posio de um ponto no espao em relao a outro ponto caracteriza

uma grandeza vetorial. Para descrever a posio de uma cidade A em relao

outra cidade B, insuficiente dizer que ambas esto separadas por uma

distncia de 100 km, para se caracterizar um vetor, deve-se dizer, por exemplo,

que a cidade B se encontra 100 km a oeste da cidade A.

A fora tambm caracterizada como uma grandeza vetorial, pois quando

se empurra uma pea de mvel atravs do cho aplica-se na mesma uma fora

com intensidade suficiente para mover o mvel e com a direo desejada para

o movimento.

REPRESENTAO DE UMA GRANDEZA VETORIAL

Uma grandeza vetorial pode ser representada graficamente por uma seta,

que utilizada para definir seu mdulo, sua direo e seu sentido. Graficamente

o mdulo de um vetor representado pelo comprimento da seta, a direo

definida atravs do ngulo formado entre um eixo de referncia e a linha de ao

da seta e o sentido indicado pela extremidade da seta.

A figura mostra a representao grfica de dois vetores fora atuando ao

longo dos cabos de fixao de um poste, o ponto O chamado de origem do

vetor e o ponto P representa sua extremidade ou ponta.


LEI DOS SENOS

Dado um tringulo ABC e seus ngulos internos a, b e g, a lei dos senos

definida da seguinte forma: Em todo tringulo, as medidas dos seus lados so

proporcionais.

LEI DOS COSSSENOS

A partir do mesmo tringulo ABC e seus ngulos internos a, b e g, a lei

dos cossenos definida do seguinte modo: Num tringulo, o quadrado da

medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois,

menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do

ngulo oposto ao primeiro lado.


SOMA VETORIAL REGRA DO PARALELOGRAMO

O Clculo da fora resultante pode ser obtido atravs da soma vetorial

com a aplicao da regra do paralelogramo.


EXEMPLO 01)O parafuso mostrado na figura est sujeito a duas foras F1 e F2. Determine omdulo e a direo da fora resultante.

SOLUO


EXEMPLO 02)Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com

problemas em seus motores. Sabendo-se que a fora resultante igual a 30KN.

Encontre suas componentes nas direes AC e BC.

SOLUO


EXERCICIOS PROPOSTOS

1) O elo da figura est submetido s foras F1 e F2, determine a intensidade e

a orientao da fora resultante.

SOLUO


2) A chapa est submetida a duas foras Fa e Fb. Se =60, determine aintensidade da fora resultante e sua intensidade em relao ao eixo horizontal.

SOLUO


3) Duas foras so aplicadas a fim de remover a estaca mostrada. Determine o

ngulo e o valor da fora F de modo que a fora resultante seja orientadaverticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750N.

SOLUO


4) A caminhonete mostrada rebocada por duas cordas. Determine os valores

de Fa e Fb de modo a produzir uma fora resultante de 950N orientada no eixo

X positivo, considerando =50.

SOLUO


5) O parafuso tipo gancho mostrado na figura est sujeito a duas foras F1 e F2.

Determine o mdulo e a direo da fora resultante.

SOLUO


6) A tora de madeira rebocada pelos dois tratores mostrados, sabendo que sea fora resultante igual a 10KN e est orientada ao longo do eixo x positivo.Determine a intensidade das foras Fa e Fb, considerando =15.

SOLUO


7) O gancho da figura est submetido s foras F1 e F2, determine a intensidade

e a orientao da fora resultante.

SOLUO


8) Determine o ngulo e a intensidade de Fb de modo que a resultante das

foras seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 1500N.

SOLUO


9) Trs foras atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ngulo e a

intensidade de F1 de modo que a resultante das foras seja orientada ao longo

do eixo x positivo e tenha intensidade de 1kN.

SOLUO


10) Determine o ngulo e a intensidade de F1 de modo que a resultante das

foras seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.

SOLUO


PRINCPIOS DA ESTTICA

1 A ao de um sistema de foras no se altera se a ele acrescentarmos, ou

dele subtrairmos, um sistema equilibrado de foras.

2 A condio necessria e suficiente para que duas foras constituem um

sistema equilibrado que elas sejam colineares, tenham o mesmo mdulo e

sentidos contrrios.

3 A ao de duas foras aplicadas num mesmo ponto equivalente ao de

uma fora nica, aplicada nesse ponto, representada pela diagonal do

paralelogramo formado pelos vetores representativos daquelas duas foras.

4 A ao de um corpo sobre outro corresponde sempre uma reao igual e

contrria, deste corpo sobre o primeiro.


CONSEQUENCIAS IMEDIATAS DOS PRINCIPIOS DA ESTTICA

No estudo do equilbrio dos corpos rgidos, podem supor-se as foras

aplicadas em qualquer ponto das respectivas linhas de ao.

Porem quando os problemas envolvem os esforos internos ou

deformaes de um corpo, os mesmos podem sofrer uma compresso ou trao.

MOMENTO DE UMA FORA

O momento de uma fora em relao a um ponto ou a um eixo, fornece

uma medida da tendncia dessa fora provocar a rotao de um corpo em torno

do ponto ou do eixo.

Momento uma grandeza vetorial, possui intensidade direo e sentido.

determinado atravs da equao:


M = F x d onde,M= momento

F= fora

d= distncia.

Rotao no sentido horrio Momento negativo

Rotao no sentido anti-horrio Momento positivo

MOMENTO DE UM BINRIO

Um binrio definido como duas foras paralelas de mesma intensidade,

sentidos opostos e separadas por um distncia d. O efeito de um binrio

proporcionar rotao ou tendncia de rotao em um determinado sentido.

A soma das componentes das duas foras em qualquer direo zero.

Entretanto, a soma dos momentos das duas foras em relao a um dado ponto

no zero. Pois as foras tendem a girar o corpo.

EXEMPLO 01)Determine o momento da fora em relao ao ponto O.


SOLUO

EXEMPLO 02)Determine o momento da fora em relao ao ponto O.

SOLUO

EXEMPLO 03)Determine os momentos da fora de 800N em relao aos pontos A, B, C e D..


SOLUO

EXEMPLO 04)Determine o momento das foras que atuam na estrutura mostrada


em relao ao ponto A.

SOLUO

VARIAO DO MOMENTO DE UM SISTEMA COM CENTRO DEREDUO


Admita-se que um dado sistema de foras se reduz no ponto B

resultante R e o momento Mb. Pode-se transportar essa fora R para um outro

ponto A, desde que se considere o seu momento de transporte (R x d) do ponto

B para o ponto A. Nessas condies o sistema equivalente ao sistema inicial.

Portanto o Ma o momento do sistema dado, em relao ao ponto a, pode-se

escrever: Ma = Mb + R x d

EXEMPLO 01)Substitua as trs foras mostradas na figura por uma fora resultante e um

momento equivalente em relao ao ponto O.

SOLUO


EXEMPLO 02)Uma fora vertical de 100 N aplicada na extremidade de uma alavanca que

est fixa em O. Determine:

a) O momento da fora de 100 N em relao ao ponto O;

b) A intensidade da fora horizontal aplicada em A que produz o mesmo

momento em relao ao ponto O;

c) A menor fora em A que produz o mesmo momento em relao ao ponto O;

d) A que distncia do eixo dever estar uma fora vertical de 240 N de modo a

produzir o mesmo momento em relao ao ponto O,

e) Se alguma das foras obtidas nas alneas b) c) e d) so equivalentes fora

original.

SOLUO


CARGAS DISTRIBUDAS

At o presente momento consideramos em nossas aulas apenas foras

concentradas, isto , que atuam em um nico ponto do corpo.

Na realidade, a ao de uma fora sempre distribuda continuamente,

quer por um volume, quer sobre uma superfcie.

Dessa forma a ao de infinitas resultantes atuando em todas as

partculas de um corpo ou em todos os pontos da superfcie de contato entre

dois corpos.

A fora concentrada apenas uma abstrao, e pode ser considerada

como a resultante de um sistema contnuo de esforos elementares. A

substituio desse sistema contnuo pela sua resultante isto , hiptese de

fora concentrada um procedimento somente valido nos problemas de

esttica dos corpos rgidos. No obstante, quando uma fora se distribui sobre

uma superfcie de dimenses muito pequenas, pode-se, muitas vezes, admitir

essa superfcie reduzida a um ponto, mesmo na esttica dos corpos

deformveis, por ser desprezvel o erro introduzido nos resultados.

Os trs tipos mais utilizados de cargas distribudas so:

Retangular

Triangular

Trapezoidal


EXEMPLO 01)Calcular o valor da resultante da carga uniformemente distribuda representada

abaixo:


EXEMPLO 02)Calcular o valor da resultante da carga triangular distribuda representada

abaixo:

EXEMPLO 03)Calcular o valor da resultante da carga trapezoidal distribuda representada

abaixo:


MOMENTO DE UMA CARGA DISTRIBUDA

O momento de uma carga distribuda representa a soma de todos os

momentos das foras elementares, em relao a um ponto qualquer, pode ser

obtido com teoremas desde que se conheam a resultante e o eixo central do

sistema.

EXEMPLO 01)Calcular o momento em relao aos pontos A e B e C, da carga distribuda da

figura abaixo:


EXEMPLO 02)Calcular o momento em relao ao ponto D da carga distribuda da figura:

EXEMPLO 03)Calcular o momento em relao aos pontos A e B e C, da carga distribuda

triangular da figura abaixo:

FRMULA MOMENTO MOMENTO DE UM PONTO FORA DA CARGAMa = P x L/2 x 2L/3 Mc = P x L/2 (L/3 + a)Mb = P x L/2 x L/3 Mc = P x L/2 (2L/3 + a)


EXEMPLO 04)Calcular o momento em relao aos pontos A, B e C da carga distribuda

Trapezoidal da figura abaixo:


EQUILIBRIOS DOS SISTEMAS DE FORAS

Condies gerais de equilbrio. Para que um sistema de foras coplanares

seja equilibrado, necessrio e suficiente que sejam satisfeitas de acordo com

as seguintes condies:

1. As somas das projees de todas as foras do sistema, sobre dois eixos

quaisquer, Ox e Ou, no plano das foras, devem ser nulas.

2. A soma dos momentos de todas as foras do sistema em relao a um

ponto arbitrrio, A, do seu plano, deve ser nula.

Essas condies se indicam com as seguintes equaes simblicas:

Fx = 0

Fy = 0

Ma = 0As duas primeiras condies so necessrias para que a resultante do

sistema seja nula; a terceira necessria para que o sistema no seja redutvel

a um binrio.

Essas condies so tambm suficientes, pois, satisfeitas as duas

primeiras, o momento do sistema ser, o mesmo em relao a qualquer ponto.

As trs equaes so de grande importncia para a mecnica aplicada,

sendo chamadas de equaes algbricas redundantes.

APOIOS

So elementos que restringem os movimentos das estruturas e podem ser

classificados em:


EXEMPLO 01)

Determine as reaes nos apoios A e B da viga ilustrada abaixo.

SOLUO


1) Determine as reaes nos apoios, sabendo que F = 15 KN e a=1,2m; b=3,5m;

c=2,4m e d=1,6m:


SOLUO

2) Determine as reaes no apoio A.

SOLUO


3) Determine as reaes nos apoios.

SOLUO


4) Substitua as cargas atuantes na viga por uma nica fora resultante e um

momento equivalente no ponto A.

SOLUO


5) Substitua as cargas atuantes na viga por uma nica fora resultante.

Especifique onde a fora atua, tomando como referncia o ponto B.

SOLUO


CENTRO DE GRAVIDADE; CENTRDE E BARICENTRO

CENTRO DE GRAVIADADE

Um corpo composto de uma srie infinita de partculas de tamanho

diferenciado, e assim, se o corpo estiver localizado dentro de um campo

gravitacional, ento cada uma das partculas ter um peso dW. Esses pesos

formaro um sistema de foras aproximadamente paralelas, e a resultante desse

sistema o peso total do corpo, que passa por um nico ponto chamado centro

de gravidade, G.

Equaes para localizao do centro de gravidade G em relao aos eixos

x, y, e z tornam-se: = = = CENTRO DE MASSA DE UM CORPO

Para estudar a resposta dinmica ou movimento acelerado de um corpo,

importante localizar o centro de massa Cm do corpo. Essa localizao pode

ser determinada substituindo-se dW = g x dm ,nas equaes anteriores. Como g

constante, ele cancelado e, portanto, temos as seguintes equaes para o

centro de massa. = = =


CENTRIDE DE UM VOLUME

Se um corpo feito de um material homogneo, ento sua densidade

(rho) ser constante. Portanto um elemento diferencial de volume dV tem uma

massa dm = x dV. Substituindo essa massa nas equaes do centro de massa

e cancelando , obtemos as frmulas que localizam o centride C ou o centro

geomtrico do corpo; conforme as equaes abaixo: = = = CENTRIDE DE UMA REA

Se uma rea se encontra no plano xy e estiver contornada pela curva

y = f(x), ento seu centride estar nesse plano xy e pode ser determinado a

partir de integrais semelhantes s equaes do volume: = = Essas integrais podem ser avaliadas realizando-se uma integrao

simples se usarmos uma faixa retangular para o elemento de rea diferencial

CENTRIDE DE UMA LINHA

Se um segmento de linha (ou barra) estiver dentro do plano xy e puder

ser descrito por uma curva fina y = f(x), ento seu centride determinado a

partir de: = =


O centride representa o centro geomtrico de um corpo. Esse ponto

coincide com o centro de gravidade somente se o material que compe o

corpo for uniforme ou homogneo.

As frmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou o centride

simplesmente representam um equilbrio entre a soma dos momentos de

todas as partes do sistema e o momento da ``resultantepara o sistema.

Em alguns casos, o centride est localizado em um ponto que no est

sobre o objeto, como no caso de um anel, onde o centride est no seu

centro. Alm disso, esse ponto estar sobre qualquer eixo de simetria

para o corpo.


FORMULRIO


EXEMPLO 01)A figura mostrada no quadro feita de um pedao de arame fino e homogneo.

Determine a localizao do centro de gravidade.


EXEMPLO 02)Uma barra semicircular uniforme de peso W e raio r ligada a um pino em A e

repousa sobre uma superfcie sem atrito em B. Determine as reaes em A e B.


EXEMPLO 03)Numa chapa quadrada ABCD, homognea e de lado a = 24 cm faz um corte

tambm quadrado EFGH, de lado b = 12 cm. Determine a distncia do centro de

massa da chapa cortada linha de base AD.


EXERCCIOS PROPOSTOS

Determinar o centro de massa das figuras abaixo:

A)

SOLUO


B)


C)


D)

E)


F)


G)


H)


2) Determine a fora aplicada no cabo AB.


3) Determine o centroide da figura abaixo. Considere o eixo xy indicado nafigura.

A)


B)


4) Determinar a fora aplicada na haste BC da figura abaixo.


MOMENTO DE INERCIA DE AREA

O momento de inrcia de rea representa o segundo momento de rea

em relao a um eixo. Normalmente ele usado em frmulas relacionadas

fora e estabilidade de membros estruturais ou elementos mecnicos.

Se a forma da rea for irregular, mas puder ser descrita matematicamente,

ento um elemento diferencial precisa ser relacionado e a integrao sobre a

rea total deve ser realizada para determinar o momento de inrcia.

Ix = y da

Iy = x da

TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS

Se o momento de inrcia para uma rea for conhecido em relao a um

eixo Centroidal, ento seu momento de inrcia em relao a um eixo paralelo

pode ser determinado pelo teorema dos eixos paralelos.

_I = I + Ad


Frmulas para as figuras mais usadas.

Ix = 1 x b x h Iy = 1 x b x h12 12

IX = 1 x b x h36


EXEMPLO 01)Determine o momento de inrcia em relao aos eixos centroidais x e y.



1) Determine os momentos de inrcia em relao aos eixos centroidais X e Y da

pea mostrada na figura abaixo:

2) determine o centro de massa da figura:


TRELIAS

Trelia uma estrutura de elementos delgados ligados entre si pelas

extremidades.

Trelias planas so aquelas se distribuem em um plano e geralmente so

utilizadas em estruturas de telhados e pontes.

Os elementos de uma trelia atuam como barras de duas foras. Se uma

fora tende a alongar o elemento, chamada de fora de trao. Se uma fora

tende a encurtar o elemento, chamada de fora de compresso.

MTODO DOS NSQuando calculamos os esforos, admitimos que as foras saem dos ns

e nos prximos ns usamos os resultados das foras do n anterior fazendo a

troca de sinais.

Importante lembrar que somente os jogos de sinais devero ser feitos nas

equaes dos ns, pois as foras das reaes horizontais e verticais devem ser

inseridas na equao considerando-se exclusivamente os sinais que possuem,

ou seja, no fazer jogo de sinais para tais reaes.

EXEMPLO 01)Calcular as foras normais N nas barras da viga sobre dois apoios em trelia

representada na figura abaixo:



1) Calcule as reaes de apoio e as foras normais nas barras atravsdo Mtodo dos Ns nas figuras abaixo:

A)


B)


C)


D)


E)

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Apostila de Mecanica Aplicada 5º Período