Apostila de Mec+ónica dos Fluidos (Prof Guedes - IME)

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  • 7/23/2019 Apostila de Mec+nica dos Fluidos (Prof Guedes - IME)

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    CURSO DE EXTENSO EM ENGENHARIA DO AR CONDICIONADO

    APOSTILA DE MECNICA DOS FLUIDOS AUTOR : PROF. RDRIGO OTVIO DE CASTRO GUEDES

    VENDA PROIBIDA MATERIAL PARA USO INTERNO E TREINAMENTO REVISO - ABRIL2010 1

    REALIZAOCOORDENAO E APOIOIME - INSTITUTO MILITAR DE

    ENGENHARIA

    9oCURSO DE EXTENSOEM ENGENHARIA DO AR CONDICIONADO

    APOSTILA DE MECNICADOS FLUIDOS

    AUTOR:PROFESSOR RODRIGO OTVIO DE CASTRO GUEDES

    PATROCINADORES

    SPRINGERCARRIER

    HEATINGCOOLING

    FIRJANSENAI

    HITACHI

    TROX

    NEWTECHNICAL

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    MECNICA DOS FLUIDOS

    1. Conceitos Gerais sobre o Escoamento dos Fluidos

    A fim de entendermos a natureza das simplificaes que sero feitas no nosso estudo,consideraremos algumas caractersticas gerais do escoamento dos fluidos.

    Escoamento estacionrio e escoamento no-estacionrio

    O movimento do fluido denomina-se estacionrioquando a velocidade v, em qualquerponto, for independente do tempo, isto , constante. Em outras palavras, em qualquer pontodado, a velocidade de cada partcula do fluido que passa por este ponto sempre a mesma. Estascondies podem ser alcanadas quando as velocidades de escoamento so pequenas, como emum crrego que escoa mansamente. Ao contrrio, no escoamento no-estacionrio, como emuma onda do mar, as velocidades v so funo do tempo. No caso de escoamento turbulento,

    como nas cachoeiras e quedas dgua, as velocidades variam ao acaso, de um ponto a outro,assim como de um instante para o seguinte.

    Escoamento rotacional e escoamento irrotacional

    Se, em cada ponto, um elemento do fluido possui velocidade angular resultante nula, emtorno daquele ponto o escoamento chama-se irrotacional. Podemos imaginar uma pequena rodade ps imersa em um fluido mvel. Se a roda se mover sem girar, o movimento irrotacional;caso contrrio, ele chamado de rotacional. O escoamento rotacional abrange movimentosturbulentos, tais como os redemoinhos.

    Escoamento compressvel e escoamento incompressvelO escoamento dos lquidos pode ser geralmente considerado incompressvel, porm

    mesmo um gs altamente compressvel pode, em certos casos, sofrer variaes pequenas demassa especfica e seu escoamento ser ento praticamente incompressvel. Por exemplo, no voa velocidades muito inferiores a do som no ar, o movimento do ar em relao s asas umescoamento quase incompressvel. Em tais casos, a massa especfica constante, independenteda posio e do instante de tempo observado, e o tratamento matemtico do escoamento dofluido por isso grandemente simplificado.

    Escoamento viscoso e escoamento no-viscoso

    A viscosidade do movimento de um fluido anloga ao atrito no movimento dos slidos.Em muitos casos, como nos problemas de lubrificao, ela extremamente importante; outrasvezes, porm, desprezvel. A viscosidade introduz foras tangenciais entre camadas do fluidoque possuem movimento relativo, resultando em dissipao de energia mecnica. Limitaremos o nosso estudo quase exclusivamente ao escoamento estacionrio,irrotacional, incompressvel e no-viscoso. Posteriormente introduziremos os efeitos viscosos. Adespeito destas simplificaes, a anlise limitada que ser apresentada tem ampla aplicao na

    prtica.

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    2. Linhas de Corrente

    Vimos que no escoamento estacionrio, a velocidade v em dado ponto independente dotempo. Na figura, uma partcula que passe pelos pontos P, Q e R descreve uma linha de corrente,

    supondo que o escoamento seja estacionrio. Qualquer outra partcula que passe por P devedescrever a mesma linha de corrente, se o escoamento for estacionrio. A velocidade daspartculas do fluido tangente linha de corrente em qualquer ponto. Duas linhas de correntejamais se cruzam. Se isto ocorresse, uma partcula do fluido que alcanasse P poderia seguir umaou outra trajetria e o escoamento no seria mais estacionrio. No escoamento estacionrio aslinhas de corrente so estacionrias no tempo.

    Se agora escolhermos um certo nmero de linhas de corrente de forma a formar um feixe,como na figura abaixo, podemos chamar esta regio tubular de tubo de escoamento. O contornode tal tubo constitudo de linhas de corrente e sempre paralelo velocidade das partculas dofluido. Portanto, nenhum fluido pode atravessar o contorno de um tubo de escoamento, que secomporta como uma canalizao: o fluido que entra em uma extremidade deve sair na outra.

    3. Equao da Continuidade (conservao de massa)

    Considere um tubo de escoamento estreito. A velocidade do fluido em seu interior, emboraseja paralela ao tubo em cada ponto, pode ter valores diferentes em diferentes pontos. Seja v 1o

    mdulo da velocidade da partcula em P e v2 em Q. Sejam A1 e A2 as reas das seestransversais do tubo, perpendiculares s linhas de corrente em P e Q, respectivamente.

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    Em um intervalo de tempo t um elemento de fluido desloca-se aproximadamente de vt.Ento, a massa de fluido m1 que atravessa a seo A1 no intervalo t , aproximadamente,

    m1= 1A1v1t

    ou seja, o fluxo de massa m1 / t aproximadamente 1 A1 v1. Devemos fazer tsuficientemente pequeno para que v e A permaneam aproximadamente constantes, ao longo da

    distncia que o fluido percorre neste intervalo. No limite, quando t 0, obtemos a definioprecisa

    fluxo de massa em P = 1A1v1fluxo de massa em Q = 2A2v2

    onde 1 e 2 so as massas especficas do fluido em P e Q, respectivamente. Como nenhumfluido pode atravessar as paredes do tubo, a massa de fluido que atravessa cada seo transversaldo tubo, por unidade de tempo, deve ser a mesma. Assim,

    1A1v1= 2A2v2ou

    A v = constante

    Este resultado expressa a lei da conservao da massana dinmica dos fluidos para umescoamento estacionrio, tambm conhecida por equao da continuidade.

    Se o escoamento for incompressvel, como vamos supor daqui por diante, esta equaotoma a forma mais simples

    A1v1= A2v2ou

    A v = constante

    O produto Av fornece a vazo, muitas vezes simbolizada por Q. A unidade no SI para a vazo m3/s.

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    Exemplo: Num duto de ventilao industrial devem passar 2400 ps cbicos de ar por minuto(CFM) (68 m3/min), com uma velocidade de 600 ps por minuto (183 m/min). Qual o dimetrodo duto no trecho?

    Soluo:Pela equao da continuidade:

    A = Q/v = 2400 / 600 = 4 ft2 = 4 X 144 = 576 in2ou 576 X 6,451 = 3716 cm2

    Para um duto circular, A = d2/ 4 e, portanto, d = 27 in ou 68,6 cm.

    Obs: 1. Em um escoamento permanente e incompressvel a velocidade do escoamento inversamente proporcional rea da seo transversal, tornando-se maior nas partes maisestreitas do tubo.

    2. Se uma partcula de fluido tem velocidade v1em P, deve ser desacelerada para adquirirem Q a velocidade menor v2. Isto , o fluido desacelerado ao passar de P para Q. Este

    retardamento pode ser proveniente de uma diferena de presso que atue na partcula do fluido,ao passar de P para Q, ou da ao da gravidade. Se o tubo for horizontal, a fora gravitacionalno varia; portanto, podemos concluir que em um escoamento estacionrio horizontal a presso maior onde a velocidade menor.

    4. Equao de Bernoulli

    Como todas as equaes da mecnica dos fluidos, a equao de Bernoulli no um princpionovo, mas deriva das leis bsicas da Mecnica Newtoniana. Neste caso, ela essencialmente umoutro enunciado do princpio da conservao de energia, adequado ao escoamento dos fluidos.

    Considere a figura abaixo, onde uma quantidade de fluido move-se ao longo de um conduto,

    desde a posio indicada em (a) at a posio indicada em (b). Em todos os pontos da parteestreita do tubo a presso p1e a velocidade v1; em todos os pontos da parte mais larga do tubo a

    presso p2e a velocidade v2.

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    O princpio da conservao de energia estabelece que o trabalho realizado pela resultantedas foras que atuam em um sistema igual variao da energia cintica do sistema. Assim,na figura acima, supondo-se desprezvel a viscosidade, as foras que realizam trabalho sobre osistema so as foras de presso p1A1 e p2A2, que atuam, respectivamente, nas extremidades

    esquerda e direita e a fora da gravidade. Conforme o fluido escoa atravs do tubo, a poro defluido em estudo passa da posio indicada em (a) na figura para (b), enquanto o restante dofluido permanece invarivel enquanto o fluido escoa.

    Pode-se determinar o trabalho, W, realizado pela fora resultante sobre o sistema, como sesegue:

    1. O trabalho realizado sobre o sistema pela fora de presso p1 A1 p1A1l1 ( fora xdeslocamento).

    2. O trabalho realizado sobre o sistema pela fora de presso p 2 A2 p2A2l2, ele negativo, o que significa que o sistema realiza um trabalho positivo.

    3. O trabalho realizado pela gravidade sobre o sistema est associado elevao da porode fluido desde a altura y1at a altura y2e vale mg (y2y1), onde m a massa da porode fluido. O trabalho negativo porque o sistema realiza trabalho contra as foras

    gravitacionais.O trabalho W realizado sobreo sistema pela fora resultante obtido somando-se as trs

    parcelas acima, ou seja,

    W = p1A1l1p2A2l2mg (y2y1)

    Mas, A1l1 (= A2l2) o volume do elemento de fluido considerado, que pode serrepresentado por m / , sendo a massa especfica considerada constante. Observe que os doiselementos tem a mesma massa, logo, ao fazer A1l1 = A2l2 , estamos supondo que oescoamento seja incompressvel. Com esta suposio, temos

    W = (p1 p2) (m / ) mg (y2y1)

    Por outro lado, a variao de energia cintica do elemento de fluido

    K = mv22 mv1

    2

    e, atravs do princpio da conservao de energia,

    W = Kou

    (p1 p2) (m / ) mg (y2y1) = mv22 mv1

    2

    que pode ser escrito sob a seguinte forma:

    p1+2

    1v2

    1 + g y1= p2+ 22v2

    1 + g y2

    Como os ndices 1 e 2 se referem a duas posies quaisquer no tubo de escoamento,podemos suprimi-los escrevendo:

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    p + 2v2

    1 + g y = constante.

    Esta equao chamada equao de Bernoulli para escoamento estacionrio,

    incompressvel e no-viscoso.

    Obs: Se o fluido se encontra em repouso, v1= v2= 0 e a equao de Bernoulli transforma-sena equao da esttica dos fluidos, p2 p1= - g (y2 y1) , utilizada na medio de pressesatravs de um manmetro.

    Todos os termos da equao de Bernoulli tm as dimenses de presso. A presso p + gy que existe mesmo quando no h escoamento (v = 0) denomina-se presso esttica, enquanto otermo v2chama-se presso dinmica, como veremos mais adiante.

    Se dividirmos todos os membros da equao de Bernoulli pelo peso especfico do fluido,= g, estes termos passam a ter dimenses lineares, que significam tanto alturas como energias

    por unidade de peso do sistema em movimento:

    p

    +g2

    v2+ y = constante

    onde

    p= altura piezomtrica. Representa a altura de uma coluna lquida, de peso especfico

    , suposta em repouso, e que exerce sobre sua base uma presso unitria p, no estando suaextremidade superior submetida a presso alguma.

    g2

    v2= altura de presso dinmica.

    y = altura representativa da posio ou energia potencial especfica

    A equao de Bernoulli pode ser empregada para determinar a velocidade de fluidos,mediante a medida de presses. O princpio geralmente usado nestes dispositivos o seguinte: aequao da continuidade exige que a velocidade de um fluido aumente em um estrangulamento;de acordo com a equao de Bernoulli haver nessa regio uma queda de presso. Isto , em umacanalizao horizontal, se v aumentar e o escoamento for incompressvel, p dever diminuir.

    Aplicao: Medidor de Venturi

    Trata-se de um medidor que colocado em uma canalizao cuja seo reta tem rea A, afim de medir a velocidade de escoamento de um lquido, de massa especfica , que flui atravs

    dela. No estrangulamento a rea reduzida para a, introduzindo-se a uma das extremidades domanmetro. Seja man a massa especfica do lquido manomtrico, por exemplo, mercrio.Aplicando as equaes de Bernoulli e a da continuidade aos pontos 1 e 2, fcil mostrar que avelocidade de escoamento no ponto A dada por

    v = a)aA(

    )(hg222

    man

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    5. Presses Esttica, de Estagnao (ou Total) e Dinmica

    Os conceitos de presso esttica, de estagnao e dinmica podem ser compreendidos apartir de uma das aplicaes da equao de Bernoulli que a medida da velocidade deescoamento do ar ou de um outro gs.

    A presso p que se usou na deduo da equao de Bernoulli a presso termodinmica,a qual comumente chamada depresso esttica. aquela presso que seria medida por uminstrumento movendo-se com o escoamento (solidariamente, ou seja, de um modo estticoem relao ao fluido).

    Vamos examinar agora um instrumento utilizado para medir a velocidade de escoamentode um gs chamado de Tubo de Pitot.

    Considere o ar que escoa atravs das aberturas existentes em a. Estas aberturas so

    paralelas direo de escoamento e suficientemente afastadas na parte posterior para que avelocidade e presso fora delas no sejam perturbadas pelo tubo. A presso no ramo esquerdo domanmetro, que est ligado a estas aberturas, por isso, a presso esttica da corrente de ar, p a(no existe variao de presso na direo normal s linhas de corrente de um escoamento quandoestas linhas so retilneas).

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    A presso de estagnao , por definio, aquele valor obtido quando o fluido emescoamento desacelerado at atingir velocidade nula em um processo livre de frico. Aabertura do ramo direito do manmetro perpendicular corrente. A velocidade reduz-se a zeroem b e o ar a fica estagnado; portanto nesta regio a presso a presso de estagnao pb.

    Aplicando-se a equao de Bernoulli aos pontos a e b obtm-se

    pa+ 2v2

    1 = pb

    em que pb, como mostra a figura maior do que pa. O termo 2v2

    1 usualmente chamado de

    presso dinmica. Sendo h a diferena entre as alturas do lquido nos ramos do manmetro emana massa especfica do lquido manomtrico, temos

    pa+ mang h = pb

    Comparando as duas equaes encontra-se

    2v2

    1 = mang h

    isto ,

    v =

    manhg2

    que fornece a velocidade do ar. Este medidor pode ser calibrado de modo a fornecer vdiretamente, tornando-se neste caso um velocmetro.

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    6. Escoamento em Canos e Dutos

    Em um escoamento real, a viscosidade do fluido oferece uma resistncia ao deslocamentodo fluido e, portanto constitui-se em um processo comum de atrito, pelo qual a energia mecnica transformada em calor. A parcela de energia que transformada em calor depende da naturezado fluido, do escoamento e dos contornos fixos em contato com os quais se desloca o fluido.

    Regimes laminar e turbulento nmero de ReynoldsA observao mostra que existem dois regimes de escoamento de caractersticas diversas,

    chamados regime laminar e regime turbulento. No regime laminar, as partculas apresentamtrajetrias individuais bem ntidas, cuja visualizao possvel pela injeo de um corante numdispositivo de anlise adequado. No regime turbulento, as tenses tangenciais criadas peladesordenao da corrente no so suficientes para evitar as flutuaes de velocidade e oescoamento se verifica ento de forma turbulenta.

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    A maior ou menor estabilidade de uma corrente fluida escoando em um tubo pode sercaracterizada por um fator que depende, necessariamente da massa especfica do fluido, , de suaviscosidade, , do dimetro do tubo, D, e da velocidade do escoamento, v. Este fator que umnmero adimensional o nmero de Reynolds dado por:

    Re =

    Dv

    Comprova-se experimentalmente que quanto menor o numerador e maior o denominador,maior ser a estabilidade da corrente. Para a engenharia, o escoamento em tubos geralmenteconsiderado laminar se Re < 2000 e turbulento se Re > 4000. Entre estes dois valores fica azona crtica onde o escoamento pode ser laminar, turbulento ou em processo de transio,dependendo de vrias condies.

    Obs: Raio hidrulico. No caso de tubos de seo no circular, como dutos de insuflamentoretangulares, o clculo do nmero de Reynolds feito substituindo-se o dimetro circular D pelodimetro hidrulico, que vale quatro vezes o raio hidrulico, definido por

    RH= rea da Seo Reta do Escoamento / Permetro Molhado

    onde o permetro molhado o permetro do duto em contato com o fluido.

    Perda de carga

    A equao de Bernoulli uma forma de expresso da lei de conservao de energiaaplicada ao escoamento de fluidos em dutos. A energia total em um ponto qualquer, acima de um

    plano de referncia horizontal arbitrrio, igual soma da energia (carga) de elevao, daenergia (carga) de presso e a energia (carga) de velocidade

    y +g

    P

    +g2

    v2

    = H

    Se as perdas por atrito forem desprezadas e nenhuma energia adicionada ou retirada do sistemade tubulaes ( bombas, turbinas), a carga total, H, ser constante para qualquer ponto do fluidoe teremos a Eq. de Bernoulli desenvolvida anteriormente. No entanto, na prtica, perdas ouacrscimos/decrscimos de energia so encontrados e devem ser incluidos na Eq. de Bernoulli.Assim, um balano de energia pode ser escrito entre dois pontos de um fluido

    y1+g

    P

    1

    1

    +

    g2

    v 21 = y2+g

    P

    2

    2

    +

    g2

    v 22 + hLT

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    Observe que a perda por atrito no tubo entre o ponto 1 e o ponto 2 (hLT) pode serenxergada como a perda de carga em metros de fluido.

    Clculo da perda de carga

    A perda de carga total, hLT , interpretada como a soma das perdas principais, hL,devidas a efeitos de atrito no escoamento em tubos de rea constante e de perdas secundrias,hLm, devidas a entradas, conexes, variaes de seo transversal e assim por diante. Portantoconsideraremos as perdas principais e secundrias separadamente.

    Perdas principais: fator de atrito

    O balano de energia pode ser usado para avaliar a perda de carga principal. Para oescoamento atravs de um tubo de rea constante temos

    21 PP = g ( y2 y1) + hL (com dimenso de energia por unidade de massa; J/kg)

    Se o tubo for horizontal, y2= y1, e

    21 PP =

    P= hL

    Obs: 1. Nas equaes acima, as dimenses so de energia por unidade de massa do fluido em

    escoamento. Se dividirmos estas equaes pela acelerao da gravidade, g, obteremos energiapor unidade de peso, e, ento, as dimenses resultantes para hLso metros.

    2. A perda de carga principal representa a energia convertida de energia mecnica paraenergia trmica por efeitos de atrito; a perda de carga para escoamento em dutos de reaconstante depende apenas dos detalhes do escoamento atravs do duto, e conseqentemente, a

    perda de carga para o escoamento em um tubo horizontal vlida, tambm, para escoamento demesma vazo em um tubo inclinado.

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    A equao geral para a queda de presso, conhecida como frmula de Darcy

    hL= fD2

    vL 2, ou, em metros, hL= f

    Dg2

    vL 2,

    onde f = fator de atritoL = comprimento do tubov = velocidade mdia do escoamentoD = dimetro do tubo

    Fator de atrito

    O fator de atrito f determinado experimentalmente. Se o escoamento laminar (Re 4000), o fator de atrito depende no somente donmero de Reynolds como tambm da rugosidade relativa (e/D), ou seja, a rugosidade das

    paredes do tubo (e) comparada ao dimetro do tubo (D). Assim, para se determinar a perda decarga para escoamentos com condies conhecidas, o nmero de Reynolds calculado em

    primeiro lugar. O valor da rugosidade relativa, e/D, para o escoamento obtido, por exemplo,atravs do grfico abaixo.

    Ento, o fator de atrito, f, lido atravs da curva apropriada, chamada diagrama deMoody, nos valores conhecidos de Re e e/D. Finalmente, de posse de f, a perda de carga calculada usando-se a frmula de Darcy mostrada acima.

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    Exemplo: Considere a gua que escoa atravs de um cano horizontal de 150 mm de dimetro(e/D = 0,0002) a uma vazo de 0,1 m3/s. Determinar a queda de presso ao longo de umcomprimento de 10 m de cano.

    Soluo:

    21 PP = hL= fD2

    vL 2,

    ou

    P1-P2= fDL

    2v2

    f = f (Re, e/D) e Re =

    Dv

    Para gua a 20 oC, = 999 kg/m3e = 1 X 10-3kg/ms de modo que, como v =A

    Q=

    4/D

    Q2

    =

    5,66 m/s,

    Re =

    2D

    Q4= 8,48 x 105

    com Re = 8,48 x 105

    e e/D = 0,0002 , atravs do diagrama de Moody, f = 0,0149ento, P1-P2= 15,9 kPa.

    Perdas secundrias

    O escoamento atravs de uma tubulao pode requerer a passagem atravs de umavariedade de conexes, curvas ou variaes abruptas de rea. Perdas de carga adicionais ocorrem

    principalmente como resultado da separao do escoamento. Estas perdas sero secundrias se osistema de encanamento em questo inclui comprimentos longos de rea de tubo constante. A

    perda de carga secundria pode ser expressa como

    hLm= K2v2

    onde o coeficiente de perda, K, deve ser determinado experimentalmente para cada situao. Aperda de carga secundria pode tambm ser expressa como

    hLm= fD

    Le

    2

    v2

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    onde Le consiste num comprimento equivalentede tubo reto, ou seja,

    Le =f

    KD

    Assim, a perda de carga devido ao atrito para uma canalizao complexa, constituda porcondutos retos e acessrios, pode ser facilmente calculado, considerando-se um comprimentohipottico ( dito equivalente total) dado pela soma dos comprimentos correspondentes aoscondutos retos com aqueles equivalentes aos diversos acessrios:

    L = L condutos+ L acessrios= L + Df

    K

    A ttulo de ilustrao, podemos examinar os dados para algumas situaes comumenteencontradas. Os dados experimentais para coeficientes de perda secundria so numerosos eencontram-se espalhados em vrias fontes. Uma boa fonte de consulta o manual da CRANE,conhecido como Technical Paper No. 410 M, Flow of Fluids Through Valves, Fittings andPipe.

    a. acessos e comprimentos de entrada

    b. variaes bruscas de rea

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    c. sadas

    d. curvas em canos

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    e. vlvulas e conexes

    Tipo de Conexo Descrio Comprimento equivalente,Le/D

    Vlvula-globo Completamente aberta 350Vlvula-gaveta Completamente aberta 13

    aberta 35 aberta 160

    aberta 900Vlvula de segurana 50-100Joelho a 90opadro 30Joelho a 45opadro 16Joelho a 90o Raio longo 20Joelho macho/fmea a 90o 50Joelho macho/fmea a 45o 26T Escoamento da linha reta 20

    Escoamento em curva 60Curva em U Desenho fechado 50

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    Exemplo: Qual o nvel, h, que deve ser mantido no reservatrio para produzir uma vazovolumtrica de 0,03 m3/s de gua? O dimetro interno do cano liso de 75 mm e o comprimento de 100 m. O coeficiente de perda, K, para a entrada K = 0,5. A gua descarregada para aatmosfera.

    Soluo:

    2

    2221

    211 gz2

    vpgz2

    vp = hLT = hL+ hLm

    onde

    hL= fD

    L

    2

    v2e hLm= K

    2

    v2

    Para o problema em questo, p1= p2= patm, v10 e v2= v. Se for suposto que z2=0, ento, z1=h. Simplificando a equao acima, resulta

    gh -2

    v2= f

    D

    L

    2

    v2+ K

    2

    v2

    Ento,

    h =g2

    v2

    1KD

    Lf

    como v =A

    Q=

    2D

    Q4

    , ento

    h =gD

    Q842

    2

    1KD

    Lf

    Supondo a gua a 20oC, = 999 kg/m3e = 1 X 10-3kg/ms. assim,

    Re =

    Dv=

    2D

    Q4= 5,09 x 105

    Para um cano liso, atravs do diagrama de Moody, f = 0,0131. Ento, h = 44,6 m.

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    Exemplo:

    gua a 20C escoa dentro de um tubo de ao galvanizado Sch 40 com dimetro nominal de com uma vazo de 0,5 l/s. Calcule o fator de atritofe aperda de presso por metro de tubo.

    Soluo:

    Propriedades: = 1,003 x 10-3kg/m.s ; = 998 kg/m

    Calculado: = 1,005 x 10-6m2/sDimetro (tabela Sch40): nominal 15,80 mm = 0,01580 mVelocidade mdia: vm= Vazo / (D/4) = (0,5 / 1000) (m/s) / (x 0,01580 (m)/4)

    vm= 2,550 m/sNmero de Reynolds: Re = vmD/

    = 2,550 (m/s) x 0,01580 (m) / 1,005 x 10-6m/sRe = 4,009 x 104

    Rugosidade da tabela: = 0,15 mmRugosidade relativa: /D = 0,00949do diagrama de Moody : f = funo (Re, /D) = funo (4,009 x 104, 0,00949)

    f = 0,039calculado numericamente pela equao de Colebrook: f = 0,03871 (diferena: 0,7492%)

    usando a frmula de Darcy:

    D2

    vf

    L

    P2

    m

    )m(01580,0x2)s/m(550,2x)m/kg(998

    03871,0LP 2223

    L

    P7950 Pa/m = 7,95 kPa/m

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    Exemplo:

    gua a 20C escoa dentro de uma vlvula globo roscada de ao galvanizado Sch 40 com

    dimetro nominal de 4 com uma vazo de 10 l/s. Calcule a perda localizada Pv. Compare coma perda de presso por metro de tubo e determine o comprimento equivalente.

    Soluo:

    Propriedades: = 1,003 x 10-3kg/m.s ; = 998 kg/m

    Calculado = 1,005 x 10-6m2/sDimetro (tabela Sch40): nominal 4 102,26 mm = 0,10226 mVelocidade mdia: vm= Vazo / (D/4) = (10 / 1000) (m/s) / (x 0,10226 (m)/4)

    vm= 1,218 m/sda Tabela: K = 5,7

    usando a frmula para perda de presso:

    2

    vKP

    2m

    V

    = 5,7

    2

    )s/m(218,1x)m/kg(998 2223

    VP 4217 Pa

    Nmero de Reynolds: Re = vmD/= 1,218 (m/s) x 0,10226 (m) / 1,005 x 10-6m/s

    Re = 1,239 x 10

    5

    Rugosidade da tabela: = 0,15 mmRugosidade relativa: /D = 0,00147

    calculando f numericamente: f = 0,02327

    usando a frmula de Darcy:

    D2

    vf

    L

    P2

    m

    L

    P168 Pa/m

    Comprimento equivalente:

    Le =)m/Pa(168

    )Pa(4217

    L/P

    Pv

    = 25,10 m

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    Exemplo:

    Tubo Galvanizado (= 0,15 mm), D = 5 X 10-2 m , L = 10 m

    1hg21V1P

    = 2h

    g22V2P

    + HLT

    A1V1= A2V2= Q Como A1= A2 , ento V1= V2= V

    E, como P2 = Patm = 0 (manomtrico),

    g2

    2VK

    g2

    2V

    D

    Lf1

    P

    e

    V = 2D

    Q4

    A

    Q

    g24D

    2QK8

    g2

    2Q5D

    Lf81

    P

    K

    D

    Lf

    24gD

    82Q

    1,5 m =

    K

    m210X5

    m10027,0

    24m210X52s/m81,9

    82Q

    Para k = 0,2 (ABERTA) Q = 0,0045 m3= 4,5 l/s

    Para k = 1,1 (75% ABERTA)Q = 0,00418 m3= 4,18 l/s

    Para k = 3,6 (50% ABERTA)Q = 0,00355 m3= 3,55 l/s

    Para k = 28,8 (25% ABERTA)Q = 0,00182 m3= 1,82 l/s

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    EXEMPLO:

    Efeito do comprimento do duto sobre a ao do damper

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    Bibliografia

    Resnick, R. e Halliday, D. Fsica, vol. 2, LTC editora, 1981.

    Fox, R. W. e McDonald, A.T. Introduo Mecnica dos Fluidos, 4aEdio, LTC editora,

    1992 .

    CRANE Co. Technical Paper No. 410 M, Flow of Fluids Through Valves, Fittings and Pipe,1986.

    ASHRAE Fundamentals Handbook 2001

    Costa, E. C. Arquitetura Ecolgica-Condicionamento Trmico Natural, Editora EdgardBlucher, 1982.

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    ANEXO

    Perda de carga em dutos retangulares

    Como vimos, as perdas de presso ou perda de carga em uma rede de dutos podem serclassificadas em perda por atrito (ou perdas principais) e perda dinmica (ou perdas secundrias).A perda por atrito resulta do atrito do ar com as paredes do duto. Ela pode ser calculada emtermos de altura de coluna de fluido pela equao

    HF=g2

    V

    D

    Lf

    2

    onde f o fator de atrito, L o comprimento do duto, D o dimetro interno do duto, V avelocidade do ar e g a acelerao da gravidade.

    O fator de atrito pode ser obtido pelo diagrama de Moody como funo do nmero deReynolds do escoamento (Re) e da rugosidade relativa da superfcie interna do tubo (/D). Ofator f tambm pode ser calculado atravs de correlaes experimentais como, por exemplo, a

    equao de Colebrook 2

    f)D/(Re

    3,91log2

    Dlog214,1

    1f

    ou pela aproximao

    f = 0,0055

    3/16

    Re

    10

    D200001

    ou ainda por uma expresso da forma

    f = Cte / Re0,2

    O Nmero de Reynolds, por sua vez, definido como

    Re =

    DV

    onde a viscosidade do fluido.

    No caso especfico de ar condicionado, as perdas por atrito em in H2O por 100 ft decomprimento de duto podem ser obtidas dos grficos abaixo como funo da vazo ou davelocidade do ar. Os grficos foram preparados para o ar padro com massa especfica de 0,075lbm/ft3, escoando em um tubo circular de ao galvanizado com aproximadamente 40 juntas por100 ft.

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    Aqui cabe uma importante observao a respeito do uso destes grficos com dutosretangulares. No caso de dutos retangulares, a equao de perda de carga a ser utilizada aseguinte:

    HF= g2

    V

    D

    L

    f

    2

    h onde Dh o dimetro hidrulico do duto. Uma expresso para D hpode ser obtida considerandoque para um duto circular o dimetro dado por

    DD

    4/D4

    Permetro

    taReSeoderea4 2

    A mesma expresso para um duto de seo retangular produz

    )(

    2

    )(2

    4Re4

    ba

    ab

    ba

    ab

    Permetro

    taSeodereaDh

    (1)

    O dimetro assim obtido para um duto retangular pode ser utilizado para se obter a perda decarga atravs do grfico acima desde que se entre no grfico com a velocidade do escoamento eo dimetro hidrulico obtido da equao (1). No entanto, a vazo de ar mostrada no grfico seaplica apenas a dutos circulares, ao invs de retangulares, ou seja, para a situao de dois dutos,um circular e o outro retangular, com a mesma velocidade de escoamento e mesma queda de

    presso em um mesmo comprimento de duto, a equivalncia entre os dimetros dos dois dutos calculada atravs do dimetro hidrulico.

    Para que o grfico possa ser aplicado a dutos retangulares, necessrio calcular um dimetroequivalenteao do duto. Assim, o duto circular equivalente aquele que conduz a mesma vazode ar e provoca a mesma perda de carga que um duto retangular. Para se determinar o dimetrocircular equivalente de um duto retangular deve-se escrever a equao de perda de carga emtermos da vazo de ar, Q, em vez de velocidade.

    Pela equao da continuidade, a vazo Q dada por Q = A V, onde A a rea da seo reta eV a velocidade do escoamento. Assim, a equao da perda de carga fica

    HF=g2

    )A/Q(

    D

    Lf

    2

    h

    Agora, utilizando uma expresso para f da forma f = Cte / Re0,2, resulta

    HF=g2

    )A/Q(

    D

    L

    Re

    Cte 2

    h2,0

    (2)

    Para um duto circular, a equao (2) toma a forma

    HF=g2

    4/D

    Q

    D

    L

    D

    QD4

    Cte

    2

    2

    2,0

    2

    e para um duto retangular, onde V = Q / ab,

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    HF=g2

    ab

    Q

    ba

    ab2L

    ab

    ba

    ab2Q

    Cte

    2

    2,0

    A perda de carga de um duto de seo retangular calculada pela expresso acima dever ser amesma que aquela obtida para um duto circular conduzindo a mesma vazo de ar, ao longo domesmo comprimento de duto, se a seguinte igualdade se verificar

    2

    2,0

    422,0 )ab(

    1

    ab2

    ba

    2

    ba

    D

    16

    D)D4(

    1

    Logo,

    Deq = 25,0

    625,0

    8 2

    5

    ba)ab(30,1

    )ba()ab(30,1

    (3)

    Na prtica, conveniente usar a seguinte tabela para obter-se o dimetro equivalente:

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    Assim, com o dimetro equivalente Deq o grfico pode ser utilizado diretamente para determinara perda de carga a partir da vazo. No entanto, com este procedimento a velocidade indicada

    pelo grfico no real, devendo ser calculada pela relao Q/A.

    A equao (3) vale apenas para dutos retangulares com razo de aspecto(largura = b / altura = a) < 8.

    Exemplo : Uma vazo de ar de 2400 CFM escoa por um duto retangular de 1 ft x 2 ft. Determinea perda de carga em 120 ft de duto reto utilizando (a) Dhe (b) Deq.

    Soluo(a)

    Dh =

    3

    124ft

    3

    4

    21

    212

    ba

    ab2

    =16 in

    V =f tf t

    CFM

    21

    2400

    = 1200 ft/min

    Do grfico, para V = 1200 FPM e Dh= 16 in, obtm-se HF= 0,13 in H2O / 100 ft. Observeque a vazo de 1650 CFM indicada pelo grfico no vlida. Assim, em 120 ft de duto a perdade carga ser de 0,156 in H2O.

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    (b)

    Deq = 1,30

    25,0

    625,0

    2412

    2412

    = 18,28 in ou, atravs da tabela, obtm-se Deq = 18,3 in.

    Do grfico, com Q = 2400 CFM e Deq = 18,3 in , obtm-se uma perda de carga de 0,13 inH2O / 100 ft, tal qual no tem (a). Observe que agora a velocidade de 1250 FPM indicada nogrfico no vlida. A velocidade correta deve ser de 1200 FPM ( V = Q/ab = 2400/ (2X1) =1200).

    As perdas por atrito obtidas pelo mtodo acima podem tambm ser calculadas pela equao:

    HF= 0,03 X f X82,1

    22,1 1000

    V

    D

    L

    onde HF a perda de carga em inH2O, f o fator de atrito ( f = 0,9), L o comprimento do dutoem ft, D o dimetro do duto circular em in e V a velocidade do ar no duto em FPM.

    Exemplo 2: Um duto de 20 in por 11 in deveria estar conduzindo uma vazo de 3000 CFM de ar.Um engenheiro, chamado a verificar o desempenho do duto, obtm leituras de 1,75 inH2O e 1,63inH2O a partir de manmetros distantes um do outro 50 ps. O sistema est conduzindo a vazoapropriada? Caso negativo, qual a vazo?

    Soluo

    Da tabela, o dimetro equivalente para um duto retangular 20X11 16 in.

    Usando o grfico, para Deq = 16 in e Q = 3000 CFM, obtm-se HF/100ft = 0,37 inH2O

    e para 50 ft, tem-se HF=

    100

    37,0X 50 = 0,19 inH2O.

    A perda de carga real HF= 1,75 1,63 = 0,12 inH2O

    e, consequentemente, o duto est fornecendo menosde 3000 CFM.

    As condies reais so:

    HF/100ft =ft50

    OinH12,0 2 X 100 ft = 0,24 inH2O.

    Do grfico, a esta perda de carga a vazo de 2400 CFM.Obviamente, este teste s preciso se a instalao for similar instalao na qual os grficos de

    perda de carga esto baseados.

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    Exemplo 3: Uma empresa quer instalar um duto com uma vazo de 3000 CFM de ar penduradoem um teto que possui um espao vertical de 12 in disponvel para tal fim. A velocidade no dutono pode exceder 1600 FPM de forma a evitar rudos indesejveis. Qual a dimenso do duto aser instalado?

    Soluo

    Pretende-se manter a razo de aspecto a mais baixa possvel para reduzir a perda por atrito etambm para economizar chapas, de forma que a empresa tentar usar o mximo possvel dos 12ft disponveis. Vamos supor que a empresa vai utilizar um isolamento de 1 in no duto. Assim, a

    profundidade mxima do duto pode ser de 10 in.

    Do grfico, com 3000 CFM a 1600 FPM, obtm-se um duto de circular com 19 in de dimetro.Da tabela, para um duto circular com 19 in de dimetro, o duto retangular equivalente com 10 inde lado o duto de 33in X 10 in. Esta soluo adequada pois a razo de aspecto 33/10 = 3,3.

    Perdas de Carga Secundrias

    As perdas de carga dinmicas ocorrem devido a variao de velocidade do ar ou mudanasde direo no escoamento.

    As perdas dinmicas podem ser calculadas em inH2O usando a equao:2

    D 4005

    VCH

    ondeC = coeficiente de perda dinmica, obtido experimentalmente.V = velocidade mdia do ar em FPM.

    As perdas dinmicas tambm podem ser expressas em termos de comprimento equivalentede dutos.

    Os principais acidentes em redes de dutos so as curvas e redues na rea da seo reta doduto na direo do escoamento como consequncia do decrscimo de vazo.

    Perdas de carga em curvas

    Quando se trabalha com dutos retos a largura sempre a dimenso horizontal e aprofundidade a dimenso vertical. No caso de curvas, estes termos tm significados diferentes.Assim, a largura do duto a dimenso medida no plano que contm o raio da curva. A

    profundidade (altura) a dimenso perpendicular. A figura abaixo esclarece o conceito delargura e profundidade em curvas horizontais e verticais.

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    Assim, a largura da curva A 20 in e a profundidade 10 in. No caso da curva B, a largura 10in e a profundidade 20 in.

    Indicando a largura por W e o raio da curva por R, define-se a relao de raio (RR) peloquociente:

    W

    RRR

    Um valor aconselhado para RR 1,5.A relao de aspecto de uma curva o quociente entre a profundidade, H, e a largura da

    curva, W.

    O comprimento equivalente (L) de curvas pode ser obtido da figura abaixo como funo darelao de raio e da relao de aspecto H/W, definida acima.

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    Exemplo 4: Calcular o comprimento equivalente de uma curva com largura de 18 in,profundidade de 20 in, sabendo que o raio interno da curva vale 9 in.

    Soluo

    Relao de raio:

    18

    9RR ; RR =1/2

    Razo de aspecto:

    11,118

    20

    W

    H

    Da figura, obtm-se:

    49W

    L

    Comprimento equivalente:L = 49 X ft5,73

    12

    18

    Obs: A relao L/W pode tambm ser calculada pela equao

    W

    R33,0

    W

    L

    onde126,0

    W

    H13,2

    Para curvas com ngulos menores do que 90, o comprimento equivalente proporcional aocomprimento equivalente de uma curva de 90. Assim, o comprimento equivalente de uma curvade 45 metade daquele associado a uma curva de 90.