Apostila de Metodo dos Elementos de Contorno Completa · de nota parcial da Disciplina de Métodos dos Elementos de Contorno do curso de Doutorado do Programa de ... 6. 4 - Tensões

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

Apostila de Método dos Elementos de Contorno por

Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ

20 - JULHO - 2006

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LUCAS MÁXIMO ALVES

Apostila de Métodos dos Elementos de Contorno

Prof. Dr. Luiz Alkimin Lacerda e José Antonio Marques Carrer


20 - JULHO – 2006

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LUCAS MÁXIMO ALVES

Apostila de Método dos Elementos de Contorno

Trabalho Apresentado como requisito para obtenção de nota parcial da Disciplina de Métodos dos Elementos de Contorno do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná

Prof. Dr. Luiz Alkimin Lacerda e José Antonio Marques Carrer


20 - JULHO - 2006

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ÌNDICE

Apresentação ............................................................................................................................18 Capítulo – I ...............................................................................................................................19 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS ............................................................19 1. 1 – Objetivos do capítulo......................................................................................................19

1. 2 – Introdução 19

1. 3 – Simplificação de um Problema Real ..............................................................................20

1. 4 – Equações Diferenciais ....................................................................................................20

1. 5 – Discretização do Problema .............................................................................................20

1. 6 – Escolha do Método Aproximado para a solução do problema.......................................21

1.6.1 - Vantagens do Método dos Elementos de Contorno ......................................................24 1.6.2 - Desvantagens do Método dos Elementos de Contorno.................................................24 Capítulo – II..............................................................................................................................25 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ...........................................................................................25 2. 1 - Objetivos do capítulo ......................................................................................................25


2. 3 – Conceitos Fundamentais.................................................................................................26

2.3.1 – O problema unidimensional..........................................................................................26 2.3.2 – O conceito de Funções de Distribuição de Erros..........................................................26 2.3.3 – Analisando o Problema no Contorno – 1ª Integração por Partes .................................27 2.3.4 – 2ª Integração por Partes ................................................................................................27 2.3.5 – 3ª Integração por Partes ................................................................................................29 2.3.6– 4ª Integração por Partes .................................................................................................30 2. 4 – Soluções Aproximadas ...................................................................................................32

2.4.1 – Resolução a partir de Soluções Aproximadas ..............................................................32 2.4.2 – Avaliando os Erros de Aproximação............................................................................33 2. 5 – Técnicas de Resíduos Ponderados..................................................................................35

2. 6 – Aplicação Prática dos Método dos Resíduos Ponderados ..............................................37

2.6.1 - Exemplo 2.1 – Obtendo uma solução Exata .................................................................37 2.6.2 – Método do Ponto de Colocação....................................................................................39 2.6.3 – Método da Colocação por Subdomínio ........................................................................41 2.6.4 – Método de Galerkin......................................................................................................43 2.6.5 - Exemplo 2.2 – Obtendo uma solução aproximada por um Método de Domínio..........45 2.6.6 – Método do Ponto de Colocação....................................................................................47 2.6.7 - Exemplo 2.3 – Obtendo uma solução aproximada por um Método de Domínio..........49 2. 7 – Aplicação Prática da Formulação Fraca e da Formulação Inversa.................................52

2.7.1 – Formulação Fraca - 5ª Integração por Partes................................................................52 2.7.2 – Formulação Inversa - 6ª Integração por Partes.............................................................53 2.7.3 – Exemplo 2.4 – Formulação Fraca usando o Método de Galerkin ................................54 2. 8 – Soluções de Contorno e Domínio...................................................................................59

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2.8.1 - Aplicação Prática...........................................................................................................59 Solução 60 2.8.2 – Formulação Fraca dos Resíduos Ponderados ...............................................................61 2.8.3 - Método dos Elementos Finitos.....................................................................................62 2. 9 – Formulação Inversa dos Resíduos Ponderados ..............................................................63

2.9.1 – Método de Treffitz........................................................................................................64 2.9.2 – Exemplo de utilização do Método de Treffitz ..............................................................64 Solução: 65 2.9.3 - Método de Contorno .....................................................................................................67 2.9.4 – Exemplo de utilização do Método de Contorno ...........................................................70 Solução: 70 2. 10 – Quadro Resumo dos Métodos Aproximados................................................................73

2. 11 – Lista de Exercícios e Problemas...................................................................................74

2.11.1 – Resolver a equação diferencial ...................................................................................74 Solução. 74 2.11.3 - Resolver a equação diferencial....................................................................................78 Solução: 78 2.11.5 - Resolver a equação diferencial....................................................................................82 Solução: 82 2.11.6 – Resolver a equação diferencial ...................................................................................86 Solução: 86 Conclusão 93 Capítulo – III ............................................................................................................................94 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO ...............................94 3. 1 -Objetivos do capítulo .......................................................................................................94

3. 2 - Introdução 94

3. 3 – Precursores do Método de Elementos de Contorno........................................................95

3.3.1 – Método das Funções de Green......................................................................................96 3.3.2 – Integração por Partes em duas dimensões ....................................................................97 3. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método ................................................100

3.4.1 – Solução Fundamental-Função de Ponderação............................................................103 3.4.2 - Valor Principal de Cauchy ..........................................................................................108 3.4.3 – Solução Numérica da Equação de Laplace.................................................................110 3. 5 – Discretização do Contorno ...........................................................................................112

3.5.1 - Elemento Constante – Discretização Linear ...............................................................113 3.5.2 - Elemento Linear – Discretização Linear.....................................................................114 3. 6 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................119

3. 7 – Exercícios e Problemas.................................................................................................120

Capítulo – IV ..........................................................................................................................121 PROBLEMAS DE POTENCIAL...........................................................................................121 4. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................121


4. 3 – A Equação de Poisson ..................................................................................................122

4.3.1 – O problema bidimensional..........................................................................................122

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4.3.2 – A 2ª Identidade de Green............................................................................................123 1ª Integração por Partes ..........................................................................................................123 2ª Integração por Partes ..........................................................................................................125 4.3.3 - Levando o problema para o contorno..........................................................................127 3ª Integração por Partes ..........................................................................................................127 4ª Integração por Partes ..........................................................................................................128 4. 4 – A Formulação Fraca do Método dos Resíduos Ponderados .........................................129

4.4.1 – Resolvendo o problema no contorno ..........................................................................129 5ª Integração por Partes (Formulação Fraca) .........................................................................130 4.4.2- Motivos da “fraqueza” .................................................................................................132 4. 5 – A Formulação Inversa do Método dos Resíduos Ponderados ......................................133

6ª Integração por Partes ..........................................................................................................133 4. 6 – Equações Integrais Básicas...........................................................................................134

4.6.1 – Solução Fundamental .................................................................................................136 4.6.2 – Análise das soluções fundamentais bi e tridimensional .............................................140 4.6.3 – Aplicação da Solução Fundamental a Equação Integral ............................................141 4.6.4 – Equação Integral de Contorno ....................................................................................142 4. 7 – Método de Discretização do Contorno .........................................................................144

4.7.1 – Montagem das matrizes Hij e Gij ................................................................................146 4. 8 – Elementos de Discretização de um Contorno em 2D...................................................149

4.8.1 – Elementos de função constante ou Elementos Constantes .........................................151 4.8.2 – Elementos de função linear ou Elementos Lineares...................................................152 4.8.3 – Elementos de função parabólica ou Elementos Quadráticos......................................154 4. 9 – Os Métodos de Cálculo das Integrais Hij e Gij..............................................................155

4.9.1- Integrações Não-Singulares .........................................................................................156 4.9.2- Integrações Quase-Singulares ......................................................................................156 4.9.3- Integrações Singulares..................................................................................................156 4. 10 – O Mapeamento Global do Contorno para o Cálculo das Integrais Hij e Gij ...............157

4.10.1 - Cálculo Analítico da Integral Hij para i≠ j.................................................................157 4.10.2 - Cálculo Analítico de dr/dnj para i ≠j .........................................................................160 4.10.3 - Cálculo Analítico da Integral Gij para i≠ j.................................................................162 4.10.4 – O Cálculo da Integrais Hij = Hii para i = j para r ≠ 0 ................................................163 4.10.5 - Cálculo Analítico de dr/dni para i = j ........................................................................164 4.10.6 – O Cálculo da Integrais Hij = Hii para i = j para r = 0 ................................................168 4.10.7 – O Cálculo da Integral Gij = Gii para i = j e r ≠0........................................................170 4. 11 – Mapeamento Local do Contorno ................................................................................171

4.11.1 – Mapeamento Linear do Contorno.............................................................................172 4.11.2 – Calculo da derivada dr/dn da Transformação de coordenadas do Mapeamento Linear do Contorno ............................................................................................................................177 4.11.3 – Jacobiano da Transformação do Mapeamento Linear do Contorno.........................179 4. 12 – Aplicação do Mapeamento Local as Integrais Hij e Gij ..............................................180

4.12.1 – O Cálculo da Integral Hij para i ≠ j ...........................................................................180 4.12.2 – O Cálculo da Integral Hij = Hii para i = j ..................................................................183 4.12.3 – O Cálculo da Integral Gij para i ≠ j ...........................................................................184 4.12.4 – O Cálculo da Integral Gij = Gii para i = j ..................................................................187

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4. 13 – Integração Numérica pelo Método da Quadratura de Gauss ......................................188

Capítulo – V ...........................................................................................................................194 APLICAÇÕES PRÁTICAS ...................................................................................................194 5. 1 – Objetivos do capítulo....................................................................................................194


5. 3 – Problema de o Potencial Escalar sobre uma Placa Plana .............................................195

5. 4 – Solução do Problema de o Potencial Escalar sobre uma Placa Plana ..........................199

5.4.1 – Mapeamento Linear do Contorno do Problema .........................................................199 5.4.2 – Elementos Constantes.................................................................................................200 5.4.3 – Elementos Lineares e Quadráticos .............................................................................201 5.4.4 – Análise da Simetria do Problema na redução do número de integrais .......................202 5.4.5 – Mapeamento Numérico dos Elementos e de suas Coordenadas.................................204 5.4.6 – Tabelas de Hij e Gij para dois pontos de Gauss...........................................................205 5.4.7 – Tabelas de Cálculo de Inversão das Matrizes Hij e Gij para dois pontos de Gauss ....215 5.4.8 – Tabelas de Hij e Gij para os pontos internos com dois pontos de Gauss.....................217 5.4.9 – Tabelas de Hij e Gij para quatro pontos de Gauss .......................................................222 5.4.10 – Tabelas de Cálculo de Inversão das Matrizes Hij e Gij para quatro pontos de Gauss 236 5.4.11 – Tabelas de Hij e Gij para os pontos internos com quatro pontos de Gauss ...............238 5. 5 – Alteração do programa POCONBE de cálculo pelo Método de Elementos de Contorno

para o Problema do Potencial Escalar ....................................................................................245

5.5.1 - Entrada de Dados do Programa POCONBE na forma Original..................................247 5.5.2 - Saída de Dados do Programa POCONBE na forma Original .....................................248 5.5.3 - Saída de Dados do Programa POCONBE na forma Modificada ................................250 Capítulo – VI ..........................................................................................................................252 INTRODUÇÃO A TEORIA DA ELASTICIDADE .............................................................252 6. 1 - Elementos de mecânica dos sólidos ..............................................................................252

6. 2 - Análise do estado das tensões .......................................................................................253

6.2.1 – Tração e vetores de acoplamento das tensões ............................................................253 6.2.2 – Componente das tensões.............................................................................................254 6.2.3 – Tensão em um ponto ..................................................................................................256 6.2.4 – Tensão sobre o plano normal......................................................................................258 6.2.5 – Representação dyádica das tensões ............................................................................260 6. 3 - Equações de Equilíbrio..................................................................................................261

6.3.1 – Princípios Físicos e Matemáticos ...............................................................................261 6.3.2 – Momento linear ..........................................................................................................262 6.3.3 – Momento angular........................................................................................................264 6. 4 - Tensões Principais.........................................................................................................267

6. 5 – Análise das deformações ..............................................................................................268

6.5.1 – Tensor das deformações .............................................................................................271 6.5.2 – Densidade de energia de deformação .........................................................................271 6.5.3 – Equações de compatibilidade .....................................................................................272 6.5.4 – Materiais Elásticos Lineares.......................................................................................273 6.5.5 – Complementaridade da densidade da energia de deformação....................................275

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Capítulo – VII.........................................................................................................................278 PROBLEMAS DE ELASTOSTÁTICA.................................................................................278 7. 1 – Objetivos do capítulo....................................................................................................278


7. 3 – Notação Cartesiana Indicial..........................................................................................279

7. 4 – Teoria da Elasticiade Linear .........................................................................................279

Trabalho do curso - 1:.............................................................................................................281 Solução: 281 7. 5 – Método dos Elementos de Contorno ............................................................................284

Trabalho do curso - 2:.............................................................................................................285 Solução: 285 Trabalho do curso -3:..............................................................................................................288 Solução: 289 7.5.1 - Soluções Fundamentais ...............................................................................................290 7.5.2 - Dedução formal da Identidade Somigliana .................................................................291 7.5.3 - Tensões nos Pontos Internos .......................................................................................293 7.5.4 - Método dos Resíduos Ponderados ..............................................................................294 7.5.5 - Equação Integral de Contorno.....................................................................................295 7.5.6 - Regiões e Domínios Infinitos......................................................................................297 Para problemas 3D (X ∈ Γρ): .................................................................................................298 Para problemas 2D. ................................................................................................................299 7.5.7 - Implementação Numérica ...........................................................................................300 7.5.8 - Sub-Regiões ................................................................................................................308 7.5.9 – Propriedades de Simetria ............................................................................................310 7.5.10 - Problema da placa com um furo................................................................................314 Capítulo – VIII .......................................................................................................................315 APLICAÇÕES PRÁTICAS EM ELASTICIDADE ..............................................................315 8. 1 – Objetivos do capítulo....................................................................................................315


8. 3 – Problema da Placa Plana com furo circular de raio r = 5,0 resolvido pelo Método dos

Elementos de Contorno 316

8.3.1 – Apresentação do Problema Placa Plana com furo .....................................................316 8.3.2 - Metodologia de Análise do Problema .........................................................................317 8.3.3 – Consideração da Simetria da Peça na Análise Elástica ..............................................317 8.3.4 – Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo ................................................318 8.3.5 – Arquivo de Entrada de Dados da Placa Plana com furo para o Programa BINN na forma da malha Original.........................................................................................................319 8.3.6 - Desenho da Malha Origina da Placa Plana com furo circular.....................................321 8.3.7 - Arquivo de Saída de Dados da Placa Plana com furo circular para o Programa BINN na forma Original....................................................................................................................322 8.3.8 – Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo Circular Deformada...............326 8. 4 – Problema da Cavidade com Pressão Uniforme – 12 Elementos resolvido pelo Método

dos Elementos de Contorno....................................................................................................327

8.4.1 –Apresentação do Problema da Cavidade com Pressão ................................................327 8.4.2 - Metodologia de Análise do Problema .........................................................................328

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8.4.3 – Consideração da Simetria da Cavidade com Pressão na Análise Elástica .................328 8.4.4 - Arquivo de Entrada de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Original ........................................................................................................................329 8.4.5 – Desenho da Malha Original da Cavidade Com Pressão mas sem Deformação .........331 8.4.6 - Arquivo de Saída de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Original 332 8.4.7 – Desenho da Malha Original da Cavidade com Pressão Deformada...........................336 8. 5 – Problema da Viga de Parede resolvido pelo Método dos Elementos de Contorno ......337

8.5.1 – Apresentação do Problema da Viga Parede................................................................337 8.5.2 - Metodologia de Análise do Problema .........................................................................338 8.5.3 - Esquema de Análise da Malha Original da Viga Parede ............................................338 8.5.4 – Desenho da Malha Original da Viga Parede sem Deformação ..................................338 8.5.5 – Consideração da Simetria da Viga na Análise Elástica..............................................339 8.5.6 – Desenho da Malha Original da Viga sem Deformação com Simetria........................339 8.5.7 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original sem Simetria 340 8.5.8 - Desenho da Malha Original da Viga Parede sem Simetria .........................................342 8.5.9 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original sem Simetria 343 8.5.10 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original com Simetria 348 8.5.11 - Desenho da Malha Original da Viga Parede com Simetria.......................................350 8.5.12 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original com Simetria 351 8.5.13 - Desenho da Malha Original da Viga Deformada ......................................................356 8. 6 – Alteração do programa BINN de cálculo pelo Método de Elementos de Contorno para o

Problema Elástico 357

8.6.1 – Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular................................357 8.6.2 – Arquivo de Entrada de Dados da Placa Plana com furo circular para o Programa BINN na forma da Malha Duplicada ................................................................................................358 8.6.3 - Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular ................................361 8.6.4 - Arquivo de Saída de Dados da Placa Plana com furo circular para o Programa BINN na forma Duplicada ................................................................................................................362 8.6.5 – Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular Deformada.............368 8.6.6 - Desenho da Malha Duplicada da Cavidade com Pressão para o Programa BINN .....369 8.6.7 – Arquivo de Entrada de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Duplicada .....................................................................................................................370 8.6.8 – Desenho da Malha da Cavidade com Pressão na forma Duplicada ...........................372 8.6.9 - Arquivo de Saída de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Duplicada .....................................................................................................................373 8.6.10 – Desenho da Malha da Cavidade com Pressão na forma Duplicada .........................378 8.6.11 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga sem Simetria .............................379 8.6.12 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada sem Simetria ...........................................................................................................................380 8.6.13 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga com Simetria.............................384 8.6.14 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada com Simetria...........................................................................................................................385 8.6.15 - Desenho da Malha Duplicada ...................................................................................388

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8.6.16 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada sem Simetria 389 8.6.17 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada com Simetria 396 8.6.18 - Desenho da Malha Duplicada e Deformada..............................................................402 8.6.19 - Comparação dos Resultados dos Deslocamentos dos Corpos ..................................403 Capítulo – IX ..........................................................................................................................405 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................................405 9. 1 – Quanto aos Resultados dos Cálculos da Placa Plana....................................................405

9. 2 – Quanto aos Resultados dos Cálculos da Elasticidade...................................................405

9. 3 – Quanto ao curso de Método de Elementos de Contorno ..............................................406

Referências Bibliográficas......................................................................................................407 Apêndices ...............................................................................................................................408 A. 1 – Cálculo Analítico das Matrizes Hij e Gij.....................................................................408

A.1.1 – Cálculo das Matrizes Singulares Hii e Gii usando o Maple – 9.0 .............................408 A.1.2 – Cálculo das Matrizes Não-Singulares Hij e Gij usando o Maple – 9.0 .....................411 A. 2 – Listagem fonte do programa POCONBE Original ......................................................415

A. 3 – Listagem fonte do programa POCONBE Modificado ................................................421

A. 4 – Listagem fonte do programa POTENCIAL CONSTANTE........................................427

A. 4 – Informativo das Variáveis do programa BINN Original .............................................436

I – Variáveis............................................................................................................................436 II – Variáveis ..........................................................................................................................436 III – Variáveis.........................................................................................................................436 IV – Incidência dos elementos................................................................................................437 V – 437 VI – 437 VII – 437 VIII – 438 A. 5 – Formato do Arquivo de Entrada de Dados do Programa BINN..................................439

A. 6 – Listagem fonte do programa BINN Original...............................................................441

A. 7 – Listagem fonte do programa BINN Modificado .........................................................465

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LISTA DE FIGURAS

Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real.................................20 Figura - 1. 2. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo Discreto Aproximado. ..............................................................................................................21 Figura - 1. 3. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas equivalentes. .............................................................................................................................21 Figura - 1. 4. Diagrama de passos simplificadores de um problema real.................................22 Figura - 1. 5. Problema de fluxo de condução de calor em uma chapa plana. .........................22 Figura - 1. 6. Funções potenciais..............................................................................................23 Figura - 2. 1. Estrutura dos Métodos Aproximados de Solução de Equações Diferenciais .....73

Figura - 2. 2. Gráfico da solução da equação diferencial: )1(144

)( xxxu −= . ...................76

Figura - 2. 3. Condições de contorno do problema. .................................................................78 Figura - 2. 4. Intervalo de validade da função p(x)...................................................................89 Figura - 2. 5. Intervalo de validade da função p(x)...................................................................91 Figura - 4. 1. Domínio sob consideração para as definições básicas da equação de Poisson.................................................................................................................................................122 Figura - 4. 2. Domínio Ω e o contorno Γ = Γ1 + Γ2, de um problema de Laplaciano de um potencial, u. ............................................................................................................................129 Figura - 4. 3. Definições geométricas da equação de Laplace. ..............................................134 Figura - 4. 4. Espaço vetorial das soluções fundamentais circularmente simétricas..............137 Figura - 4. 5. Circulo de raio r centrado em ξ no domínio infinito Ω∞. .................................139 Figura - 4. 6. Pontos de contorno para o caso bi- e tridimensional, aumentado por uma pequena hemisfera ou semicírculo. ........................................................................................142 Figura - 4. 7. Diferentes tipos de elementos de contorno. ......................................................144 Figura - 4. 8. Elementos de Contorno, linear ou curvo (parabólico ou cúbico) definido por meio dos nós geométricos. .....................................................................................................149 Figura - 4. 9. Elementos de Contorno, linear ou curvo (parabólico ou cúbico) definido por meio dos nós funcionais. ........................................................................................................150

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Figura - 4. 10. Diferentes tipos de integração de acordo com a posição relativa dos nós nos elementos de contorno. ...........................................................................................................155 Figura - 4. 11. Erros de aproximação cometidos em integrais quase-singulares devido ao número de pontos de Gauss sobre o próprio elemento...........................................................156 Figura - 4. 12. Mapeamento Global de um contorno Γ. ........................................................157 Figura - 4. 13. Integração entre dois elementos de contornos i e j diferentes. .......................158 Figura - 4. 14. Relação entre elementos retos diferentes i ≠ j. ..............................................159 Figura - 4. 15. Cálculo das distâncias entre os elementos i ≠ j...............................................161 Figura - 4. 16. Integração entre dois elementos de contornos i e j diferentes. .......................163 Figura - 4. 17. Cálculo das distâncias entre os elementos i =j para um elemento reto. .........165 Figura - 4. 18. Decomposição do vetor normal em termos dos cossenos diretores................167 Figura - 4. 19. Intervalo de raio ε sobre o elemento reto ξi = j. ..............................................169 Figura - 4. 20. Transformação entre as coordenadas globais e as coordenadas locais de um contorno de geometria qualquer. ............................................................................................171 Figura - 4. 21. Mapeamento linear local da geometria do elemento reto j de funcionalidade constante em u e q. .................................................................................................................173 Figura - 4. 22. Sistema de coordenada do elemento de contorno...........................................187 Figura - 4. 23. Transformação de coordenadas do mapeamento linear do contorno..............188 Figura - 4. 24. Integral de Gauss da função z(η) nas coordenadas de generalizadas ηk.........189 Figura - 4. 25. Processo de Integração de Gauss. ...................................................................192 Figura - 4. 26. Integração de Gauss para um função linear. ...................................................193 Figura - 5. 1. Placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (2,0m x 2,0m) sujeitos as condições de contorno de potencial constante uu = e fluxo constante qq = . ..................195 Figura - 5. 2.. Placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (2,0m x 2,0m) com oito elementos retos de funcionalidade constante, sujeitos as condições de contorno de potencial constante uu = e fluxo constante qq = .............................................................................196 Figura - 5. 3. Dependência da distância d com o raio de integração entre os elementos de contorno. .................................................................................................................................197 Figura - 5. 4. Variação da distância relativas entre os elementos de um contorno.................197 Figura - 5. 5. Simetrias no processo de integração das Matrizes Hij e Gij entre os elementos do contorno de uma placa plana. ............................................................................................203 Figura - 5. 6. Placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (2,0m x 2,0m) com oito elementos de funcionalidade constante, sujeitos as condições de contorno de potencial constante uu = e fluxo constante qq = .............................................................................204 Figura - 5. 7. Dependência da distância d com o raio de integração entre os elementos de contorno. .................................................................................................................................245 Figura - 5. 8. Variação da distância relativas entre os elementos de um contorno.................246 Figura - 6. 1. Corpo deformável sob carregamento externo...................................................253 Figura - 6. 2. Tensor das tensões normais e cisalhantes em um corpo...................................254 Figura - 6. 3. Forças agindo sobre um tetraedro elementar em um ponto P...........................256 Figura - 6. 4. Elemento diferencial de superfície ...................................................................258 Figura - 6. 5. Corpo em equilíbrio. .........................................................................................262 Figura - 6. 6. Deformação tridimensional em um corpo flexível. .........................................269 Figura - 6. 7. Casos de a) deformação e b) rotação do ponto de vista de deslocamento vetorial.................................................................................................................................................270 Figura - 7. 1. Domínio Ω finitos e infinitos com contorno externo e interno respectivamente.................................................................................................................................................280 Figura - 7. 2. Corpo em equilíbrio sob a ação de cargas e deslocamentos prescritos. ...........284

13

Figura - 7. 3. Região complementar em equilíbrio sob a ação de cargas e deslocamentos prescritos.................................................................................................................................284 Figura - 7. 4. Sistema de coordenadas dos eixos principais, P1, P2, P3, do problema elástico com domínio Ω e contorno Γ e domínio recíproco Ω * e contorno recíproco Γ*...............287 Figura - 7. 5. ...........................................................................................................................291 Figura - 7. 6. Ponto de Colocação ξ pertencente ao contorno Γ............................................296 Figura - 7. 7. Regiões e domínios finitos................................................................................298 Figura - 7. 8. Utilização dos Métodos Numéricos na solução de problemas práticos onde os domínios e os contorno são internos ou externos. ..................................................................300 Figura - 7. 9. Pontos nodais de um contorno regular no caso bidimensional. ........................301 Figura - 7. 10. Elemento linear com o ponto fonte ou de de colocação ξ coincidente com o nó geométrico. .............................................................................................................................302 Figura - 7. 11. Elemento linear com o ponto de colocação ξ coincidente com o ponto de colocação. ...............................................................................................................................302 Figura - 7. 12. .........................................................................................................................305 Figura - 7. 13. Elemento linear com o ponto de colocação ξ coincidente com o ponto de colocação. ...............................................................................................................................306 Figura - 7. 14. Separação do Domínio em Sub-Domínios ou Sub-Regiões e Sub-Contornos.................................................................................................................................................308 Figura - 7. 15. Problema real de simetria de ordem dois e quatro..........................................310 Figura - 7. 16. Simulação da Simetria de um problema real ..................................................311 Figura - 7. 17. .........................................................................................................................311 Figura - 7. 18. .........................................................................................................................312 Figura - 7. 19. .........................................................................................................................313 Figura - 7. 20. .........................................................................................................................314 Figura - 7. 21. Placa infinita com um furo no meio. ..............................................................314 Figura - 8. 1 -Geometria e carregamento da peça em análise como exemplo de um domínio finito. (produzida originalmente por Raphael Scuciato) ........................................................316 Figura - 8. 2 - Consideração da simetria da peça na análise elástica.....................................317 Figura - 8. 3 - Discretização do contorno da considerando a simetria do desenho da Malha Original da Placa Plana com furo circular (produzida originalmente por Rapahel Scuciato).................................................................................................................................................318 Figura - 8. 4 - Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo circular (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno) ................................................................................321 Figura - 8. 5 – Desenho da Malha Original Deformada (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno) .....................................................................................326 . ...............................................................................................................................................326 Figura - 8. 6 - Geometria e Carregamento da Cavidade com Pressão em Análise com um exemplo de domínio infinito (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ...................327 Figura - 8. 7 - Discretização do contorno da considerando a simetria do desenho da Malha Original da Cavidade com Pressão mas sem Deformação (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ..................................................................................................................328 Figura - 8. 8 - Desenho da Malha Original da Cavidade com Pressão mas sem Deformação (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).................................................331 Figura - 8. 9 - Deformação da Malha Original. Deformada (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno). ....................................................................................336

14

Figura - 8. 10 - Geometria e carregamento da peça em análise (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ..................................................................................................................337 Figura - 8. 11 - Esquema de Análise da Malha Original da Viga Parede (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ....................................................................................338 Figura - 8. 12 – Desenho da Malha Original da Viga sem Deformação (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ....................................................................................338 Figura - 8. 13 - Consideração da Simetria da Viga na Análise Elástica (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ....................................................................................339 Figura - 8. 14 - Discretização do contorno da considerando a simetria da Viga na Análise Elástica (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ....................................................339 Figura - 8. 15 - Desenho da Malha Original da Viga Parede sem Simetria (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno). ...............................................................................342 Figura - 8. 16 - Desenho da Malha Original da Viga Parede com Simetria (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno). ...............................................................................350 Figura - 8. 17 - Deformação da Malha Original da Viga Deformada com Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno)...............................................................356 Figura - 8. 18 - Deformação da Malha Original da Viga Deformada com Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno)...............................................................356 Figura - 8. 19 - Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular (produzida por Lucas Máximo Alves). ...........................................................................................................357 Figura - 8. 20 - Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo circular duplicada (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).................................................361 Figura - 8. 21 – Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular Deformada (10x). ......................................................................................................................................368 Figura - 8. 22 - Desenho da Malha Duplicada da cavidade com Pressão (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ....................................................................................369 Figura - 8. 23 - Desenho da Malha Duplicada da cavidade com Pressão (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno). ....................................................................................372 Figura - 8. 24 - Desenho da Deformação Malha Duplicada da Cavidade com Pressão (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).................................................378 Figura - 8. 25 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga Parede sem Simetria (produzida por Lucas Máximo Alves)....................................................................................379 Figura - 8. 26 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga Parede com Simetria. ....384 Figura - 8. 27 - Desenho da Malha Duplicada da Viga (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno). ....................................................................................388 Figura - 8. 28 - Desenho da Malha Duplicada da Viga Parede Deformada sem Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).................................................402 Figura - 8. 29 - Desenho da Malha Duplicada da Viga Parede Deformada com Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).................................................402

15

LISTA DE TABELAS

Tabela - II. 1. Resultados para o Método do Ponto de Colocação ...........................................48 Tabela - II. 2. Resultados para o Método de Galerkin..............................................................51 Tabela - II. 3. Comparação dos resultados exatos e aproximados com o exemplo 1.2 do livro..................................................................................................................................................77 Tabela - V. 1. Coordenadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno ..........................205 Tabela - V. 2. Coordenadas dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno........................207 Tabela - V. 3. Cálculo das Coordenadas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .................................................................................................................................209 Tabela - V. 4. Cálculo das Coordenadas das Normais e de suas Derivadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno....................................................................................................211 Tabela - V. 5. Cálculo das Matrizes Hij e Gij dos Pontos Campo dos Elementos de Contorno................................................................................................................................................213 Tabela - V. 6. Cálculo das Matrizes Inversas de Hij e Gij dos Pontos Campo dos Elementos de Contorno ............................................................................................................................215 Tabela - V. 7. Coordenadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno ..........................217 Tabela - V. 8. Coordenadas dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno........................218 Tabela - V. 9. Cálculo das Coordenadas e dos raios de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno ..........................................................................................................219 Tabela - V. 10. Cálculo das Coordenadas das Normais e de suas Derivadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno....................................................................................................220 Tabela - V. 11. Cálculo das Matrizes Hij e Gij dos Pontos Internos dos Elementos de Contorno .................................................................................................................................221 Tabela - V. 12. Coordenadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno ........................222 Tabela - V. 13. Coordenadas dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno......................224 Tabela - V. 14. Cálculo das Abcissas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .................................................................................................................................226

16

Tabela - V. 15. Cálculo das Ordenadas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .................................................................................................................................228 Tabela - V. 16. Cálculo dos Raios de Gauss e das Coordenadas das Normais dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .......................................................................................230 Tabela - V. 17. Cálculo das Derivadas das Coordenadas das Normais dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno ..........................................................................................................232 Tabela - V. 18. Cálculo das Matrizes Hij e Gij dos Pontos Campos dos Elementos de Contorno .................................................................................................................................234 Tabela - V. 19. Cálculo das Matrizes Inversas de Hij e Gij dos Pontos Campo dos Elementos de Contorno ............................................................................................................................236 Tabela - V. 20. Coordenadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno ........................238 Tabela - V. 21. Coordenadas dos Pontos Campos dos Elementos do Contorno ....................239 Tabela - V. 22. Cálculo das Abcissas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .................................................................................................................................240 Tabela - V. 23. Cálculo das Ordenadas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .................................................................................................................................241 Tabela - V. 24. Cálculo dos Raios de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno................................................................................................................................................242 Tabela - V. 25. Cálculo das Coordenadas das Normais e de suas Derivadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno....................................................................................................243 Tabela - V. 26. Cálculo das Matrizes Hij e Gij dos Pontos Internos dos Elementos de Contorno .................................................................................................................................244 Tabela - VIII. 1.Análise dos Resultados para uma Placa com Furo de Raio = 5,0 ................403 Tabela - VIII. 2. Análise dos Resultados para uma Cavidade com Pressão Uniforme ..........403 Tabela - VIII. 3. Análise dos Resultados para uma Viga Parede sem Simetria .....................404 Tabela - VIII. 4. Análise dos Resultados para uma Viga Parede com Simetria.....................404

17

18

Apresentação Esta apostila de Método de Elementos de Contorno é resultado da digitação das

aulas do curso ministrado pelo professores Dr. Luiz Alkimin de Lacerda e Dr. José Antonio

Marques Carrer e de estudos pessoais do estudante de doutorado M. Sc. Lucas Máximo

Alves, do Programa de Pós-Graduação de Métodos Numéricos para a Engenharia-PPGMNE

da Universidade Federal do Paraná.

19

Capítulo – I

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS

RESUMO

Neste capítulo será visto como a utilização de métodos aproximados pode ajudar a

resolver problemas de equações diferenciais, quando a solução analítica é inacessível.

Abordaremos o tema das hipóteses simplificadoras e a utilização de equações algébricas na

substituição de equações diferenciais complexas.

1. 1 – Objetivos do capítulo

i) Entender a problemática dos Métodos Aproximados aplicados a Engenharia.

ii) Distinguir situações onde a utilização dos Métodos Aproximados é viável.

iii) Saber da existência de diversos Métodos Aproximados.

1. 2 – Introdução

A solução de problemas em ciência em engenharia passa por diversas etapas de

simplificação. Entre elas está a proposição do modelo matemático aproximado, utilizando-se

equações diferenciais. A escolha do método de solução destas equações diferenciais e a

simplificação numérica através da discretização do problema.

O método dos elementos de contorno é um dos métodos aproximados utilizados

em ciência e em engenharia. Ele é aplicado na solução de equações diferenciais, onde estas

são transformadas em equações integrais aplicadas ao contorno do problema. Este por sua vez

é discretizado em elementos que podem ser, constantes lineares, quadráticos ou cúbicos.

20

1. 3 – Simplificação de um Problema Real

Na tentativa de se descrever quantitativamente um problema (fenômeno) físico, ou

seja, de se obter uma expressão matemática que corresponda ao fenômeno em questão,

inicialmente o problema físico real é substituído por um problema equivalente, mais simples.

Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real

Neste novo problema são selecionados os parâmetros considerados fundamentais

e que podem ser descritos matematicamente através de um sistema de equações diferenciais

válido em todo o domínio do problema. A esse sistema são impostas condições de contorno

e/ou condições iniciais apropriadas.

1. 4 – Equações Diferenciais

Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a

uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de

um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,

saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois

apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a

classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.

1. 5 – Discretização do Problema

Um sistema de equações diferenciais constitui um modelo contínuo, que possui

infinitos graus de liberdade, uma vez que as variáveis se distribuem continuamente em todo o

domínio do problema. Com exceção de alguns casos mais simples, em geral não é possível

encontrar soluções analíticas para o problema. Recorre-se, então, aos modelos discretos (ou

numéricos), obtidos dos modelos contínuos através de hipóteses simplificadoras: As variáveis

que constituem infinitos graus de liberdade, são expressos em termos de um número finito de

graus de liberdade. Esses graus de liberdade são incógnitas dos modelos discretos dos

21

sistemas equivalentes e são determinados a partir da solução de um sistema de equações

algébricas.

Figura - 1. 2. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo Discreto Aproximado.

Resumidamente, quando o modelo contínuo é substituído por um modelo discreto,

o problema matemático da solução de um sistema de equações diferenciais é substituído pelo

problema da solução de um sistema de equações algébricas.

Figura - 1. 3. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas equivalentes.

Portanto, só nos resta agora estudar as equações diferenciais para se poder aplicar

os métodos aproximados na solução de problemas físicos reais.

1. 6 – Escolha do Método Aproximado para a solução do problema

Diversas são as técnicas de aproximação para solução de equações diferenciais e

equações integrais. Entre os métodos de equações diferenciais, destacam-se o método das

diferenças finitas, o método dos elementos finitos, o método dos volumes finitos, e por último

entre os métodos de equações integrais, temos o método dos elementos de contorno. O

método dos elementos de contorno consiste em resolver basicamente a equação de Laplace

em termos de integrais, ou seja:

+→=∇Γ

Γφ duqquEscalarCampo

)**(02 (1. 1)

Em todas elas o problema físico é reduzido a um modelo que por sua vez é reduzido a um

modelo matemático, conforme mostra o esquema da Figura - 1. 4.

22

Figura - 1. 4. Diagrama de passos simplificadores de um problema real

O exemplo mais comum é aquele de uma chapa plana sujeita um fluxo térmico

q , conforme mostra a Figura - 1. 5.

Figura - 1. 5. Problema de fluxo de condução de calor em uma chapa plana.

Equivalentemente o método dos elementos finitos, utiliza a discretização do

domínio ao invés do contorno. No método dos elementos finitos as matrizes geradas são do

tipo banda,

YXA

y

y

y

y

x

x

x

x

a

a

a

a

=

=

4

3

2

1

4

3

2

1

44

33

22

11

100110011001

(1. 2)

enquanto, que no método dos elementos do contorno a matriz é cheia, ou seja, completa.

23

YXA

y

y

y

y

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

=

=

4

3

2

1

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

(1. 3)

O método dos elementos de contorno se aplica aos diferentes problemas em

engenharia, tais como: mecânica da fratura, mecânica do contato, barreira acústica, proteção

catódica (em casco de navios e torres de distribuição elétrica), e problemas de elasticidade.

Em todos eles a equação de Laplace possui larga aplicação. Contudo, singularidades fracas e

fortes surgem nessas formulações matemáticas, as quais devem ser contornadas por técnicas e

artifícios numéricos. Entre elas temos as singularidades do tipo:

drrα1

(1. 4)

onde a funções potenciais geram as singularidades do tipo:

21

32

2

1 e

11

1 e

11

1 e

1)ln(

++→

→

→

ααα rrr

rrr

rrr

(1. 5)

cujos gráficos são do tipo mostrado na Figura - 1. 6.

Figura - 1. 6. Funções potenciais

24

1.6.1 - Vantagens do Método dos Elementos de Contorno

1 ) Precisão dos Resultados

2 ) Problemas infinitos ou semi-inifinitos (elimina o efeito de bordas)

3) Envolve somente a discretização do contorno o que diminui o custo computacional

1.6.2 - Desvantagens do Método dos Elementos de Contorno

1) Falta de programas comerciais abrangentes

2) Problemas de não-linearidades das equações

3) Implementação Computacional mais difícil

4) Necessidade de cálculo de soluções fundamentais para cada caso.

25

Capítulo – II

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

RESUMO

Neste capítulo serão vistos os conceitos fundamentais para a solução das equações

diferenciais pelos métodos de domínios e de contorno, incluindo a formulação fraca, a

formulação inversa, o Método Treffitz e o Método de Galerkin e o Método dos Resíduos

Ponderados. Aplicaremos as integrações por partes à versão unidimensional da equação de

Poisson.

2. 1 - Objetivos do capítulo

i) Entender a conceituação básica de distribuição de erros e do Método dos

Resíduos Ponderados.

ii) Saber aplicar o Método dos Resíduos Ponderados a solução de equações

diferenciais.

iii) Resolver problemas de equações diferenciais pertinentes ao Método.


A utilização de equações diferenciais como a equação de Poisson é muito útil na

Engenharia. Para dar início ao entendimento dos métodos de soluções aproximadas mais

utilizados, nós iremos em primeiro lugar abordar o assunto sob o ponto de vista

unidimensional para que os conceitos fundamentais possam ser bem estabelecidos para em

seuida genealizar para os caso bi e tridimensional.

26

2. 3 – Conceitos Fundamentais

2.3.1 – O problema unidimensional

Considere uma equação diferencial muito simples aplicada a um domínio

unidimensional x, desde x = 0 até x = 1, isto é:

022

2

=−+ budx

ud λ em x (2. 1)

onde u é a função que governa a equação e nós geralmente precisamos achá-la usando uma

técnica numérica que fornece uma solução aproximada. λ2 é uma constante positiva conhecida

e b é uma função conhecida de x.

A solução da equação (2. 1) pode ser achada supondo-se uma variação para u

consistindo de uma série de funções de forma conhecidas, multiplicadas por coeficientes

desconhecidos. Estes coeficientes podem ser obtidos forçando a equação (2. 1) satisfazer uma

série de pontos.

2.3.2 – O conceito de Funções de Distribuição de Erros

O conceito de distribuição ou ponderação de uma equação diferencial não é

somente válido para soluções aproximadas, mas este é um conceito matemático fundamental.

Para entender o que estes conceitos significam antes de propor quaisquer

aproximações considera-se uma outra w, arbitrária exceto por ser contínua no domínio x e

cujas derivadas são contínuas acima de um grau requerido (o grau de continuidade variará

com o problema e será mostrado rapidamente). Pode-se agora multiplicar toda a equação (2.

1) por esta função w e integrar sobre o domínio x como segue:

0)( 21

02

2

=−+ wdxbudx

ud λ (2. 2)

Esta operação é chamada de um produto interno na matemática e embora não

implique em quaisquer novos conceitos, permite-nos investigar as propriedades da equação

governante.

27

2.3.3 – Analisando o Problema no Contorno – 1ª Integração por Partes

Isto é feito integrando-se por partes os termos com derivadas na expressão acima.

Neste caso pode-se somente “manipular” desta forma o primeiro termo, isto é, 22 / dxud , o

que resulta:

duvvu

dvu

dxdxdw

dxdu

dxdu

wdxdx

udw

−= 1

0

1

0

1

02

2

(2. 3)

onde

dxdxdw

dwduwu === (2. 4)

e

dxdu

vdxdx

uddv == 2

2

(2. 5)

Note que a integração por partes tem produzido dois termos, um no domínio com

primeiras derivadas de u e w e outro nos contornos (o qual neste caso são simplesmente os

dois pontos x = 0 e x = 1). Substituindo (2. 3) em (2. 2) obtemos:

0)()(1

0

1

0

221

02

2

=+

−+

−=−+ dxdu

wdxwbudxdw

dxdu

wdxbudx

ud λλ (2. 6)

2.3.4 – 2ª Integração por Partes

Além disso, se a função w possui grau suficiente de continuidade, pode-se integrar

por partes novamente e obter:

duv

u

v

udv

dxdx

wdu

dxdw

udxdxdw

dxdu

2

21

0

1

0

1

0 +−=

− (2. 7)

Onde

28

dxdx

wddu

dxdw

u 2

2

== (2. 8)

e

uvdxdxdu

dv == (2. 9)

Substituindo (2. 7) em (2. 6) obtemos:

0)()(1

0

1

0

1

0

22

22

1

02

2

=−+

−+=−+ dxdw

udxdu

wdxwbudx

wduwdxbu

dxud λλ

(2. 10)

A expressão (2. 10) é claro é equivalente a expressão (2. 6), mas aqui não,

somente, tem-se passado todos as derivadas para a nova função w, mas dois termos em x = 0 e

x = 1 nos dá uma visão para dentro das condições de contorno necessárias para resolver o

problema. Neste caso u ou du/dx precisa ser conhecida em x = 0 e x = 1.

Note que a função w a qual em princípio era uma função arbitrária com um certo

grau de continuidade pode ser feita para satisfazer certas condições de contorno se assim

desejarmos.

Embora a equação (2. 10) fornece ao usuário uma visão para dentro, do tipo de

condições de contorno requeridas para resolver o problema, estas condições ainda não foram

explicitamente incorporadas dentro do problema. De forma a fazer assim vamos considerar

que as condições de contorno são dadas por:

1

0

===

==

xemqdxdu

q

xemuu (2. 11)

onde as derivadas de u são agora definidas como q e os termos com barras representam

valores conhecidos da função e de suas derivadas. É usual chamar as condições de primeiro

tipo em (2. 11) de “condições essenciais” e aquelas como q envolvendo derivadas são

chamadas de “condições naturais”.

Substituindo-se os valores de (2. 11) em (2. 10) obtemos:

29

0)(01

01

1

0

22

2

=

−−−+

−+==

==xx

xx dxdw

udxdw

uqwqwdxwbudx

wdu λ (2. 12)

2.3.5 – 3ª Integração por Partes

Agora é interessante retornar a expressão original (2. 2) pela integração por partes

novamente, mas desta vez passando as derivadas de w para u.

A primeira integração fornece:

duvvdv

dxdxdu

dxdw

dxdw

udxdx

wdu

−= 1

0

1

0

1

02

2

(2. 13)

onde

dxdxdw

duuu == (2. 14)

e

dxdw

vdxdx

wddv == 2

2

(2. 15)


0

)(

010

101

1

0

2

=+−−

+−+

−+

−

===

===

xxx

xxx

dxdw

udxdw

uqw

qwdxdw

udxdw

udxwbudxdu

dxdw λ

(2. 16)

A equação (2. 16) fica:

)(01

00

1

0

2 −+−+

−+

− ====

xxxx

qwqwdxdw

udxdw

udxwbudxdu

dxdw λ

(2. 17)

30

2.3.6– 4ª Integração por Partes

Além disso, após uma segunda integração resulta em:

dxdx

udw

dxdu

wdxdxdu

dxdw

duv

u

v

udv

2

21

0

1

0

1

0 +

−=

−

(2. 18)

onde

dxdx

uddu

dxdu

u 2

2

== (2. 19)

e

wvdxdxdw

dv == (2. 20)


0

)(

01

0100

1

0

22

2

=+−

−+−+

−+

==

====

q

x

q

x

xxxx

dxdu

wdxdu

w

qwqwdxdw

udxdw

uwdxbudx

ud λ

(2. 21)

Mais uma vez um termo desaparece, neste caso 0=x

wq

0)(11

00

1

0

22

2

=−+−+

−+ ====

xxxx

qwqwdxdw

udxdw

uwdxbudx

ud λ (2. 22)

Note que sendo q = du/dx conforme definida anteriormente, nós podemos agrupar os termos

chegando agora a uma expressão interessante diferente da fórmula original (2. 10).

0)()()(1

0

1

0

22

2

=−−−+

−+ ==

xx

wqqdxdw

uuwdxbudx

ud λ (2. 23)

Esta expressão implica que estamos tentando forçar não somente a satisfação da equação

diferencial em x, mas as duas condições de contorno. Onde as funções w e dw/dx podem ser

vistas como multiplicadores de Lagrange. Além disso, nada foi dito sobre aproximações, as

31

expressões acima são válidas para soluções exatas também. Em outras palavras o

procedimento descreve uma ferramenta geral para a investigação das equações diferenciais.

32

2. 4 – Soluções Aproximadas

Vamos agora obter soluções aproximadas para os problemas envolvendo equações

diferenciais

2.4.1 – Resolução a partir de Soluções Aproximadas

Embora nas secções anteriores tenhamos introduzido o conceito de distribuições,

as formulações aplicam-se independentemente do tipo de solução que se acha, isto é, elas são

válidas tanto para soluções exatas como para soluções aproximadas. Esta secção, contudo,

investigará o que acontece quando o conceito de uma solução aproximada é introduzido na

formulação. Na prática de engenharia a solução exata pode somente ser conhecida em alguns

casos simples e este é, portanto importante ver como as soluções se comportam quando se

introduz uma aproximação. Vamos considerar agora que a função u define uma solução

aproximada ao invés de uma solução exata. Neste caso pode-se escrever, por exemplo:

...332211 +++= φαφαφαu (2. 24)

onde os i´s são os coeficientes desconhecidos e os φi são uma seqüência de funções

linearmente independentes as quais são conhecidas. Os αi são coeficientes generalizados

embora em alguns casos eles podem ser associados com valores nodais da variável sob

consideração. Em geral nos problemas de engenharia, prefere-se usar valores nodais

conforme eles têm um significado físico claro e este é feito em elementos finitos, diferenças

finitas ou métodos dos elementos de contorno. Em tais casos a aproximação para u pode ser

escrita como:

...332211 +++= φφφ uuuu (2. 25)

ou

=

=N

jjjuu

1

φ (2. 26)

onde os φj são uma seqüência de funções linearmente independentes que são algumas vezes

chamados de funções de interpolação. uj são os valores nodais das variáveis de campo ou de

suas derivadas (ou mais geralmente o valor nodal de qualquer variável com significado físico

diretamente relacionado a u ou suas derivadas).

33

2.4.2 – Avaliando os Erros de Aproximação

Introduzindo a aproximação para u dentro da equação diferencial governante

acha-se que esta equação não é mais identicamente satisfeita exceto para o caso no qual (2.

25) ou (2. 26) pode representar a solução exata. Isto produz um erro ou uma função residual

que logo será definida.

Por exemplo, introduzindo um valor aproximado de u dentro da equação (2. 1)

geralmente acha-se que:

022

2

≠−+ budx

ud λ em x (2. 27)

O mesmo geralmente ocorrerá com as condições de contorno correspondente a esta equação,

isto é:

1000

=≠−=≠−

xemqq

xemuu (2. 28)

Pode-se agora introduzir o conceito de uma função erro ou função residual que

representa os erros ocorrentes no domínio ou no contorno devido a não-satisfação das

equações acima. A função erro no domínio é chamada R e é dada por:

budx

udR −+= 2

2

2

λ (2. 29)

E no contorno tem-se:

qqR

uuR

−=−=

2

1 (2. 30)

Embora o caso da equação (2. 29) acima é uma equação particular e relativamente

simples o mesmo ocorre para qualquer outro problema. Se se considera a equação de Poisson

bu =∇2 , por exemplo, a função erro no domínio é:

buR −∇= 2 em Ω (2. 31)

E os erros para as condições de contorno ( uu = em Γ1 e qnu

q =∂∂= em Γ2) são definidos

por:

34

22

11

Γ−=Γ−=

emqqR

emuuR (2. 32)

Os métodos numéricos usados na engenharia tentam reduzir estes erros a um

mínimo pela aplicação de diferentes técnicas. Esta redução é levada a cabo forçando os erros

serem zero em certos pontos, regiões ou em uma forma média. Esta operação pode ser

geralmente interpretada como distribuição destes erros. A forma na qual esta distribuição é

feita produz diferentes tipos de técnicas de distribuição de erros que, em geral, força as

integrais dos resíduos ponderados, por uma certa função, ser zero. Por causa disto elas são

chamadas de Técnicas dos Resíduos Ponderados.

35

2. 5 – Técnicas de Resíduos Ponderados

A solução do problema de valor de contorno definida pelas equações (2. 27) e (2.

28), (2. 31) e (2. 32) ou seqüências similares para outros problemas pode ser tentada pela

escolha de uma função para a aproximação de u. Pode-se então ter três tipos de método.

(i) Se a suposta solução aproximada satisfaz identicamente todas as condições de contorno

mas não as equações governantes em Ω, tem-se um método de puro domínio.

(ii) Se a solução aproximada satisfaz o campo ou as equações governantes, mas não as

condições de contorno têm-se um método de contorno.

(iii) Se a suposta solução não satisfaz nem as equações de campo nem as condições de

contorno, tem-se um método misto.

Vamos primeiro supor que as funções φj que são definidas para aproximar u,

satisfaz todas as condições de contorno. Têm-se então uma função residual R no domínio

conforme as equações de campo são geralmente não identicamente satisfeitas. A idéia é agora

fazer R tão pequeno quanto possível estabelecendo seu peso residual igual a zero para os

valores das funções de ponderação, ψj, tal que, basicamente tem-se:

0= ΩψΩ

Ω dR j em Ω com j =1,2, ...N (2. 33)

Onde =ΩR )(u é um operador diferencial, e =u solução aproximada, dada por:

j

N

jjuu ψ

==

1

(2. 34)

Estas funções têm de ser linearmente independentes.

Note que de uma outra forma escrevendo (2. 33) em uma forma que é mais

compacta, é fácil operar com ela, pela definição de uma nova função w, tal que:

j

N

jjNNw ψβψβψβψβ

=

=+++=1

2211 ... (2. 35)

onde βj são coeficientes arbitrários. Portanto, a equação (2. 33) pode agora ser escrita em

termos, de uma forma mais compacta, como,

36

0= ΩΩ

Ω wdR em Ω (2. 36)

Diferentes tipos de funções de ponderação ψj (ou w) definirão diferentes métodos

aproximados. A equação (2. 33) ou (2. 35) produzirá um sistema de equações algébricas das

quais os valores desconhecidos dos coeficientes αi ou ui usados em u (equação (2. 24) ou (2.

25) pode ser obtida.

A aproximação pode sempre ser melhorada pelo aumento do número de funções N

usadas (N é o número de termos na solução aproximada igual ao número de funções peso

requeridas).

Os método aproximados baseados na equação (2. 36) são chamados de Método

dos Resíduos Ponderados e dada uma solução aproximada, o método varia de acordo com as

funções de ponderação usadas como peso. No que segue um pouco será revisto.

(i) Método dos Pontos de Colocação ( )( jj xx −= δψ )

(ii) Método da Colocação por Sub-regiões ou Subdomínios (

∈

∉=

j se1

se0

ΩΩ

ψx

x jj )

(iii) Método de Galerkin ( jj φψ = )

(iv) Método dos Momentos ( jj x=ψ ).

37

2. 6 – Aplicação Prática dos Método dos Resíduos Ponderados

2.6.1 - Exemplo 2.1 – Obtendo uma solução Exata

Como uma ilustração de como usar os método dos resíduos ponderados, considere

a seguinte equação diferencial ou equação de campo no domínio unidimensional x (onde x

varia de x = 0 até x = 1) isto é:

02

2

=+ xdx

ud (2. 37)

com condições de contorno homogêneas, isto é:

100 === xexemu (2. 38)

(Note que a equação (a) é um caso particular da equação (2. 1) quando λ = 0 e b = x). A exata

solução de (a) pode ser achada pela integração e dá:

66

3xxuexata −= (2. 39)

Vamos agora tentar resolver (a) usando a Técnica de Resíduos Ponderados

descrita anteriormente acima, começando pela definição de uma solução aproximada que

satisfaz as condições de contorno e pode ser escrita como:

...332211 +++= φαφαφαu (2. 40)

Pode-se usar polinômios Hermiteanos para φj, mas desde que somente duas delas satisfaçam

as condições de contorno homogêneas, somente estas duas serão usadas, isto é:

2211 φαφα +=u (2. 41)

onde

232

321 2

xx

xxx

−=

+−=

φφ (2. 42)

A função erro ou residual neste caso é obtida pela substituição de (2. 41) na equação (2. 37)

que fornece:

38

xxx

xdx

ddxd

xdx

udxR

+−+−=

++=

+=

)26()46(

),,(

21

22

2

221

2

1

2

2

211

αα

φαφα

αα

(2. 43)

Vamos agora reduzir (2. 43) usando as várias técnicas de resíduos ponderados.

39

2.6.2 – Método do Ponto de Colocação

Neste caso N pontos x1, x2, ...,xN são escolhidos no domínio e o resíduo é

estabelecido zero nestes pontos. Esta operação pode ser interpretada como funções de

ponderação definidas em termos das funções deltas de Dirac nestes pontos, isto é:

Njxx jj ,...,2,1);( =−= δψ (2. 44)

)( jxx −δ no ponto jxx = tem um valor infinito, mas é tal que sua integral da a unidade, isto

é:

Njdxx j ,...,2,1;1)( ==Ω−Ω

δ (2. 45)

A função de Dirac pode ser interpretada como o limite de uma função regular

quando sua base tende a zero.

Portanto, a equação (2. 33) pode agora ser escrita como:

NjdxxR j ,...,2,1;1)( ==Ω−Ω

δ (2. 46)

A qual simplesmente diz que a função erro é zero na série de pontos, isto é:

NjRjxx

,...,2,1;0 ===

(2. 47)

O método consiste de uma série de funções erros ou funções residuais iguais a

zero em que muitos pontos como estes são coeficientes desconhecidos na solução

aproximada. A distribuição dos pontos de colocação é em princípio arbitrária, mas na prática

melhores resultados são obtidos se eles são uniformemente distribuídos.

Solução do Exemplo 2.1 pelo Método do Ponto de Colocação:

Aqui força-se os resíduos serem zero na série dos pontos. Considere neste caso

que R é zero nos dois pontos x = 0,25 e x = 0,75. Esta fornece

0)26()46(25,025,0225,0125,0

=+−+−===== xxxx

xxxR αα (2. 48)

e

0)26()46(75,075,0275,0175,0

=+−+−===== xxxx

xxxR αα (2. 49)

ou

40

01210 2125,0=+−−=

=αα

xR (2. 50)

e

03102 2175,0=++=

=αα

xR (2. 51)

E ainda

−−

=

+−−

31

102210

2

1

αα

(2. 52)

Do qual se obtém que os seguintes resultados para α1 e α2:

31

61

2

1

−=

=

α

α (2. 53)

Substituindo (2. 62) em (2. 41) dá o seguinte resultado

66

631

62

31

61

][31

]2[61

3

23

2332

xxu

xxxu

xxxxxu

+−=

+

−−

−=

−−+−=

(2. 54)

Note que este caso é demais trivial e os mesmos resultados foram obtidos por

todos os outros métodos. Em geral isto não será verdade quando a solução exata não pode ser

reproduzida pelo valor proposto de u e se achará diferentes resultados dependendo do método

usado.

41

2.6.3 – Método da Colocação por Subdomínio

Para este método o domínio Ω é dividido em M subdomínios e a integral do erro

em cada um deles é estabelecida ser zero. As funções pesos são simplesmente escolhidas

como,

Ω∉

Ω∈=

j

j

j xpara

xpara

0

1ψ (2. 55)

(∈ indica pertencente a, e Ωj é o j´esimo subdomínio). A equação (2. 33) torna-se

0=Ω

dxRj

com j =1,2, ...N (2. 56)

Solução do Exemplo 2.1 pelo Método dos Pontos de Colocação por Subdomínios:

Considere o domínio dividido em duas partes iguais, uma de 0 a ½ e a outra de ½

a 1. Neste caso pode-se escrever:

=+−+−=2/1

021

2/1

0

0])26()46([ dxxxxdxR αα (2. 57)

e

=+−+−=1

2/121

1

2/1

0])26()46([ dxxxxdxR αα (2. 58)

que produz o seguinte sistema de equações

02

)22

6()42

6(

02

)22

6()42

6(

1

2/1

21

2/1

2

2

1

2/1

2

1

2/1

0

22/1

0

2

2

2/1

0

2

1

=+−+−

=+−+−

xx

xx

x

xx

xx

x

αα

αα (2. 59)

ou

0375,020,125,0

0125,025,020,1

21

21

=+++=+−−

αααα

(2. 60)

e ainda

42

−−

=

−−375,0125,0

2,125,025,02,1

2

1

αα

(2. 61)

do qual se obtém que:

31

61

2

1

−=

=

α

α (2. 62)


66

631

62

31

61

][31

]2[61

3

23

2332

xxu

xxxu

xxxxxu

+−=

+

−−

−=

−−+−=

(2. 63)

Note que a solução exata (2. 41) foram obtidas desde que as funções de forma supostas para u

são capazes de representá-lo.

43

2.6.4 – Método de Galerkin

No caso do Método de Galerkin as funções de ponderação são as mesmas que as

funções de aproximação, isto é:

jj ψφ = (2. 64)

Portanto a equação (2. 33) torna-se:

0= ΩφΩ

Ω dR j j =1,2, ...N (2. 65)

Usando-se a mesma definição que em (2. 35) esta pode ser escrita como

0= ΩΩ

Ω wdR j =1,2, ...N (2. 66)

com

NNw φβφβφβ +++= ...2211 (2. 67)

Este método é o ponto de partida de muitas formulações do Método dos

Elementos Finitos para os quais a simetria de jj ψφ = acoplada as equações de campo

inerentemente simétricas, levam a matrizes algébricas simétricas.

Solução do Exemplo 2.1 pelo Método de Galerkin:

Neste caso as funções peso são:

22

11

φψφψ

==

(2. 68)

e as expressões dos resíduos ponderados são:

=+−+−+−1

0

3221 0)2]()26()46([ dxxxxxxx αα (2. 69)

e

=−+−+−1

0

2321 0)]()26()46([ dxxxxxx αα (2. 70)

o qual produz as seguintes equações algébricas em α1 e α2.

44

0)2(

)2()26()2()46(

1

0

32

321

02

321

01

=+−−

+−−++−−

dxxxxx

dxxxxxdxxxxx αα (2. 71)

e

=−−−−+−−1

0

1

0

23231

02

231 0)()()26())(46( dxxxxdxxxxdxxxx αα (2. 72)

ou

05,14

014

21

21

=−−=++−

αααα

(2. 73)

E ainda

−=

−++−

5,11

4114

2

1

αα

(2. 74)

Do qual também se obtém que:

31

61

2

1

−=

=

α

α (2. 75)


66

631

62

31

61

][31

]2[61

3

23

2332

xxu

xxxu

xxxxxu

+−=

+

−−

−=

−−+−=

(2. 76)

Note que a solução exata (2. 41) foram obtidas desde que as funções de forma supostas para u

são capazes de representá-lo.

45

2.6.5 - Exemplo 2.2 – Obtendo uma solução aproximada por um Método de Domínio

Vamos agora estudar uma outra equação usando o ponto de colocação tal que

neste caso nós obteremos uma solução aproximada ao invés da solução exata. Considere a

equação (2. 1) com λ2 = 1 e x = -b, isto é:

02

2

=++ xudx

ud (2. 77)

e as condições de contorno homogêneas, u ≡ 0 em x = 0 e x = 1.

A exata solução de (2. 77) pode ser facilmente obtida pela integração e dá:

xsensenx

u −=1

(2. 78)

Ao invés de usar (2. 78) nós tentaremos aproximar esta solução definindo uma solução do

tipo:

...332211 +++= φφφ aaau (2. 79)

onde os φi são termos de um polinômio em x, isto é:

...;;1 2321 xx === φφφ (2. 80)

De forma a satisfazer as condições de contorno exatamente, a equação (2. 79) tem que dá

100 === xexemu (2. 81)

o que implica que,

0...1

00

321

1

=+++=→===→=

aaauxem

auxem (2. 82)

Portanto, 01 ≡a e a2 pode ser expressa em função dos outros parâmetros ai, isto é:

...)( 432 ++−= aaa (2. 83)

Substituindo 01 ≡a e (2. 83) em (2. 79) nós podemos escrever:

...))(1())(1(

...)()()(

443

45

34

23

+−−+−−−=+−+−+−=

xaxxaaxx

xxaxxaxxau (2. 84)

Definindo agora uma nova série de parâmetros desconhecidos αi, tais que:

46

,...., 42431 aaa −=−−= αα (2. 85)

Pode-se escrever:

...))(1( 21 ++−= xxxu αα (2. 86)

Esta função satisfaz as condições de contorno em u e tem o grau de continuidade

requerido pelas derivadas na equação (2. 77), portanto, diz-se ser “admissível”. Nós também

veremos que a “distância” entre as soluções exatas e aproximadas diminui quando o número

de termos em (2. 86) aumenta e isto implica que a formulação aproximada u é “completa”,

isto é, tende a representar a solução exata melhor e melhor quando o número de termos

aumenta.

47

2.6.6 – Método do Ponto de Colocação

De forma a aplicar a técnica de ponto de colocação nós nos restringiremos a dois

termos na expressão (2. 86), isto é:

))(1( 21 xxxu αα +−= (2. 87)

Substituindo esta função na equação governante (2. 77) acha-se o seguinte resíduo, isto é:

xxxxxxxudx

udR +−+−+−+−=++= 2

321

22

2

)62()2( αα (2. 88)

A colocação pode agora ser interpretada como estabelecendo R ≡ 0 em dois

pontos, a saber x = ¼ e x = ½. Isto também pode ser expresso em termos das funções delta de

Dirac aplicadas a estes dois pontos, isto é, a função de ponderação é:

)21

()41

( 2211 −+−= xxw δβδβ (2. 89)

A integral dos Resíduos Ponderados é representada por:

01

0

= wdxR (2. 90)

ou simplesmente

21

41

0 ==≡ xexemR (2. 91)

Substituindo estes valores de x em (2. 88) obtém-se duas equações em α1 e α2. Eles podem ser

escritos na forma de matriz como segue:

0)62()2(

0)62()2(

2/12/1

3222/1

21

4/14/1

3224/1

21

=+−+−+−+−

=+−+−+−+−

===

===

xxx

xxx

xxxxxx

xxxxxx

αα

αα (2. 92)

ou

021

87

47

041

6435

1629

21

21

=++−

=++−

αα

αα (2. 93)

e ainda

48

=

−

2141

87

47

6435

1629

2

1

αα

(2. 94)

A solução deste sistema fornecerá:

21740

316

2

1

=

=

α

α (2. 95)

O valor aproximado de u na equação (2. 87) pode agora ser escrito como:

)4042(217

)1(x

xxu +−= (2. 96)

Tabela - II. 1. Resultados para o Método do Ponto de Colocação

X u (exata) u (aproximada) R 0,10 0,018641 0,019078 -0,009953 0,30 0,051194 0,052258 +0,002027 0,50 0,069746 0,071428 +0,00000 0,70 0,065585 0,065806 -0,024884 0,90 0,030901 0,032350 -0,081474

Note que a função erro pode agora ser também totalmente definida em termos de

x, pela substituição de α1 e α2 em (2. 88). Isto dá

)402194(2171 32 xxxR −−+−= (2. 97)

Estes resultados podem ser tabelados na Tabela - II. 1, onde eles são comparados

em termos da solução exata u. Note que os valores de R são identicamente zero em x = ¼ e x

= ½, mas o que isto não significa que a solução para u é exata naqueles pontos.

49

2.6.7 - Exemplo 2.3 – Obtendo uma solução aproximada por um Método de Domínio

Vamos aplicar a técnica de Galerkin na equação (2. 1) para a qual 12 =λ e

xb −=

02

2

=++ xudx

ud (2. 98)

com condições de contorno homogêneas

100 === xexemu . (2. 99)

A solução aproximada será a mesma que no exemplo 2.2, isto é:

)1()1( 221 xxxxu −+−= αα (2. 100)

o qual pode ser escrita como:

2211 φαφα +=u (2. 101)

onde φ1 e φ2 são funções de forma φ1 = x(1-x) ; φ2 = x2(1-x). O resíduo é o mesmo que o do

exemplo anterior, isto é:

02

2

≠++= xudx

udR (2. 102)

logo

xxxxxxR +−+−+−+−= 232

12 )62()2( αα (2. 103)

A função de ponderação w em Galerkin é suposta ter a mesma função de forma como a

solução aproximada (2. 101), isto é:

2211 φβφβ +=w (2. 104)

Os coeficiente β1 e β2 são arbitrários.

A Sentença de Resíduos Ponderados é:

0=Ω

dxRwj

(2. 105)

a qual produz duas expressões integrais como β1 e β2 são arbitrários, isto é:

50

0)( 2211

1

0

=+ dxR φβφβ (2. 106)

ou simplesmente

01

1

0

= φR (2. 107)

e

02

1

0

= dxRφ (2. 108)

Substituindo (2. 102) e as funções de φ1 e φ2 em (2. 107) e (2. 108) temos:

0)]1(][)62()2([ 232

12

1

0

=−+−+−+−+− dxxxxxxxxx αα (2. 109)

e

0)]1(][)62()2([ 22

321

21

0

=−+−+−+−+− dxxxxxxxxx αα (2. 110)

Após a integração isto fornece o seguinte sistema.

=

201

121

10513

103

103

103

2

1

αα

(2. 111)

Note a matriz é simétrica porque a equação é de uma ordem par e as funções de

ponderação e as funções aproximadas são as mesmas. Resolvendo (2. 111) temos como

resultado:

417

36971

2

1

=

=

α

α (2. 112)

Substituindo estes valores em (2. 100) produz-se a solução aproximada para u, isto é:

51

)1(417

)1(36971 2 xxxxu −+−= (2. 113)

Pode-se achar também a função residual R (equação (2. 102) que agora é:

)6386216(369

1 32 xxxR −−+−= (2. 114)

Os resultados para u e R são dadas na Tabela - II. 2 onde elas são comparadas em

função da solução exata de u. Note que embora a solução exata de u é sobretudo mais precisa

do que no caso de usar a técnica de colocação, agora precisa-se levar a cabo algumas

integrações como mostrado na formula (2. 109) e (2. 110). Esta operação não é necessária

para o caso do ponto de colocação.

Tabela - II. 2. Resultados para o Método de Galerkin

x u (exata) u (aproximada) R 0,10 0,018641 0,018853 -0,0269450 0,30 0,051194 0,051162 +0,004850 0,50 0,069746 0,069444 +0,013888 0,70 0,065582 0,065505 +0,005070 0,90 0,030901 0,0311460 -0,034165

52

2. 7 – Aplicação Prática da Formulação Fraca e da Formulação Inversa

Considere agora a equação (2. 1) novamente para ilustrar como uma formulação

fraca pode ser usada e como a Sentença dos Elementos de Contorno e do Domínio são

obtidas.

Vamos começar com a equação (2. 23) que foi deduzida a partir da equação (2. 1)

por um processo de integração por partes, com aplicação das condições de contorno, isto é:

0])[(])[()( 012

1

02

2

=−+−−−+ == xx dxdw

uuwqqdxwbuwdx

ud λ (2. 115)

que pode também ser expressa em uma forma mais compacta em função dos resíduos, isto é:

0][][ 0112

1

0

=+− == xxx dxdw

RwRwdxR (2. 116)

A função u será agora assumida satisfazer exatamente as condições de contorno

“essenciais” uu = em x = 0. Neste caso (2. 115) torna-se

12

1

02

2

])[()( =−=−+ xwqqdxwbuwdx

ud λ (2. 117)

ou em termos de (2. 116), simplesmente

12

1

0

][ == xwRwdxR (2. 118)

2.7.1 – Formulação Fraca - 5ª Integração por Partes

Integrando por partes a equação (2. 117) pode-se escrever:

1

1

0

21

0

])[()( =

=

=−+

−=−+

x

x

x

wqqwdxdu

dxwbudxdw

dxdu λ (2. 119)

ou cancelando-se os termos semelhantes temos:

102

1

0

][][)( == −=−+

− xx wqqwdxwbudxdw

dxdu λ (2. 120)

53

Se a função peso w é forçada satisfazer a versão homogênea das condições de

contorno essenciais em x = 0, a equação (2. 120) torna-se:

12

1

0

][)( =−=−+

− xwqdxwbudxdu

dxdu λ (2. 121)

a qual é análoga a equação (4. 50) obtida para a equação de campo de Laplace.

Note que a equação (2. 116) também pode ser obtida pela aplicação das condições

de contorno dentro da sentença (2. 3) e que esta sentença foi simplesmente obtida por

integração por partes da expressão dos resíduos (2. 2).

2.7.2 – Formulação Inversa - 6ª Integração por Partes

O tipo de sentença Elementos de Contorno governante, por exemplo, sob

discussão é achada fazendo-se duas integração por partes consecutivas (2. 23) e esta dá a

fórmula previamente obtida (2. 13), isto é:

0

][][)(

01

012

1

02

2

=

−

−

−+−+

==

==

xx

xx

dxdw

udxdw

u

qwwqdxwbudx

wdu λ

(2. 122)

Esta expressão poderia também ter sido obtida por uma dupla integração por

partes da equação dos resíduos ponderados (2. 2) e aplicando depois disso as condições de

contorno.

É correto notar que ambos neste exemplo unidimensional e nas equações de

Laplace bidimensional, uma sentença tipo de elementos finitos pode ser obtida depois da

primeira integração por partes (equação (2. 3) e (4. 49)), e a equação integral tipo Elemento de

Contorno após a segunda integração (equação (2. 10) e (4. 24) ou (4. 25))

54

2.7.3 – Exemplo 2.4 – Formulação Fraca usando o Método de Galerkin

Resolva a seguinte equação diferencial:

02

2

=++ xudx

ud (2. 123)

com as seguintes condições de contorno

0 em 0 == xu (2. 124)

e

0 em === xqdxdu

q (2. 125)

Usando a formulação fraca (Galerkin)

1

1

0

2 ][)( =−=

−+

− xwqdxwbu

dxdw

dxdu λ (2. 126)

onde λ = 1 e b = -x, então

1

1

0

][)( =−=

++

− xwqdxwxu

dxdw

dxdu

(2. 127)

Fazendo

33

2210 xxxu αααα +++= (2. 128)

e

33

2210 xxxw ββββ +++= (2. 129)

e satisfazendo as condições de contorno u = 0, x = 0, logo α0 = 0 também e w, logo, β0 = 0 e

2321 32 xx

dxdu ααα ++= (2. 130)

e

2321 32 xx

dxdw βββ ++= (2. 131)

55

e substituindo (2. 130) e (2. 131) em (2. 127) temos:

13

32

21

1

0

33

221

33

221

/

2321

/

2321

])([

)(])([)32()32(

=++−=

++++++++++−

x

w

wudxdwdxdu

xxxq

dxxxxxxxxxxxx

βββ

βββαααβββααα

(2. 132)

i) Fazendo β1 = 1, β2 = 0, β3 = 0 temos:

=−=++++++−1

01

33

221

2321 ][])[(1).32( xxqdxxxxxxxx αααααα (2. 133)

ou

qdxxxxxxx −=++++−−−1

0

243

32

21

2321 )32 αααααα (2. 134)

e

qdxxxxxxx −=++−++−++−1

0

2423

32

21 ))3()2()1( ααα (2. 135)

Integrando temos:

dxxxxxxx

x =+

+−+

+−+

+−

1

0

1

0

31

0

53

3

1

0

42

2

1

0

3

1 3533

422

3ααα

(2. 136)

Ou

q−=+

+−+

+−+

+−31

51

141

131

1 321 ααα (2. 137)

Logo

31

54

43

32

321 −−=−−− qααα (2. 138)

56

ii) Fazendo β1 = 0, β2 = 1 e β3 = 0

=−=++++++−1

01

2233

221

2321 ][])[()2)(32( xxqdxxxxxxxxx αααααα (2. 139)

ou

12

1

0

353

42

31

33

221 ][)()642( =−=++++++− xxqdxxxxxxxx αααααα

(2. 140)

e

qdxxxxxxxx −=++++−−−1

0

353

42

31

33

221 642 αααααα (2. 141)

ou

qdxxxxxxxx −=++−++−++−1

0

3533

422

31 ))6()4()2( ααα (2. 142)

Integrando temos:

qdxxxxxxxx −=+

+−+

+−+

+−

1

0

41

0

64

3

1

0

53

2

1

0

42

1 4646

534

422 ααα

(2. 143)

Ou

q−=+

+−+

+−+

+−41

61

46

51

34

41

1 321 ααα (2. 144)

Logo

41

2432

1517

43

321 −−=−−− qααα (2. 145)

57

iii) Fazendo β1 = 0, β2 = 0 e β3 = 1

==++++++−1

01

3333

221

22321 ][])[()3)(32( xxqdxxxxxxxxx αααααα

(2. 146)

ou

13

1

0

463

52

41

53

321

2 ][)()963( =−=++++−−− xxqdxxxxxxxx αααααα

(2. 147)

e

qdxxxxxxxx −=++−++−++−1

0

4653

532

421 ))9()6()3( ααα (2. 148)

Integrando temos:

qdxxxxxxxx −=+

+−+

+−+

+−

1

0

51

0

76

3

1

0

64

2

1

0

53

1 5769

646

533 ααα (2. 149)

Ou

q−=+

+−+

+−+

+−51

71

69

61

46

51

1 321 ααα (2. 150)

Logo

51

4250

2432

54

321 −−=−−− qααα (2. 151)

Montando o sistema de equações temos:

31

54

43

32

321 −−=−−− qααα

41

2432

1517

43

321 −−=−−− qααα

51

4250

2432

54

321 −−=−−− qααα

(2. 152)

58

Resolvendo este sistema por Matrizes temos:

+

+

+

=

514131

2432

2432

54

2432

1517

43

54

43

32

3

2

1

q

q

q

ααα

(2. 153)

cuja matriz inversa é:

+

+

+

−−

−−

−−

=

514131

9563475

2391300

239420

2391300

2391120

239300

239420

239300

2391200

3

2

1

q

q

q

ααα

(2. 154)

solução fornece os valores para:

2393475

51

2391300

41

239420

31

3

2391300

51

2391120

41

239300

31

239420

51

239300

41

2391200

31

2

1

−

++

++−

+=

++−

++−

+=

−

++−

++

+=

qqq

qqq

qqq

α

α

α

(2. 155)

59

2. 8 – Soluções de Contorno e Domínio

Na secção anterior vimos as Técnicas de Resíduos Ponderados, tais como:

- Método de Contorno

- Método de Domínio

- Método Misto

As formas para se obter um método de contorno são:

(i) Selecionar a nossa função de ponderação, w, de tal forma que ela satisfaça a

equação governante homogênea (Método de Treffitz)

(ii) Selecionar a função de ponderação w de tal forma que a integral de domínio

Ω

seja eliminada (Método dos Elementos de Contorno)

Vejamos agora como ficam as fórmulas para o Método dos Elementos Finitos

(MEF), Método de Treffitz e o Método dos Elementos de Contorno para uma equação

unidimensional do tipo dada pela equação (2. 1).

2.8.1 - Aplicação Prática

Considere a equação diferencial dada por:

022

2

=−+ budx

ud λ (2. 156)

No domínio Ω = [0 ;1]

com condições de contorno:

====

1 para

0 para

xqq

xuu (2. 157)

Resolver este problema usando a Formulação Fraca pelo Método dos Elementos

Finitos e a Formulação Inversa pelo Método de Treffitz e pelo Método dos Elementos de

Contorno.

60

Solução

Supondo uma solução aproximada do tipo

)(xuu = (2. 158)

os erros de aproximação desta solução no domínio e no contorno são dados por:

022

2

≠−+= budx

ud λεΩ (2. 159)

com

ΓεΓε

Γ

Γ

em 1 para

em 0 para

2

1

=−=

=−=

xqq

xuu (2. 160)

A sentença Geral de Resíduos Ponderados é dada por:

021 21=++ ΓεΓεΩε

ΓΓ

ΓΓ

ΩΩ dwdwwd (2. 161)

Considerando que a aproximação satisfaz exatamente as condições de contorno, portanto

tendo um método aplicado apenas ao domínio temos as seguinte Solução de Domínio.

0= ΩεΩ

Ω wd (2. 162)

ou seja:

022

2

=

−+ Ωλ

Ω

wdbudx

ud (2. 163)

61

2.8.2 – Formulação Fraca dos Resíduos Ponderados

Integrando-se por partes uma vez obtém-se

=−+

−=

−+

1

0

21

0

1

0

1

0

22

2

0)( wdxbudxdxdw

dxdu

dxdu

wwdxbudx

ud λλ (2. 164)

onde

dxdxdw

dwduwu === (2. 165)

e

dxdu

vdxdx

uddv == 2

2

(2. 166)

chamando de dxduq /= no contorno temos:

0)(1

0

21

0

1

0

22

2

=

−+

−+=

−+ dxwbudx

dxdw

dxdu

qwwdxbudx

ud λλ (2. 167)

logo

1

0

1

0

2 )( qwdxwbudxdxdw

dxdu −=

−+

− λ (2. 168)

Forçando w = 0 quando x = 0 temos:

1

1

0

2 )( =−=

−+

− xqwdxwbudx

dxdw

dxdu λ (2. 169)

Impondo as condições de contorno qq = em x =1 temos:

1

1

0

2 )( =−=

−+

− xqwdxwbudx

dxdw

dxdu λ (2. 170)

62

2.8.3 - Método dos Elementos Finitos

A equação (2. 170) é a sentença básica do Método dos Elementos Finitos.

Dividindo-se o domínio Ω = [0;1] em E subdomínios, ou seja:

=

=E

ee

1

ΩΩ (2. 171)

Discretizando e escolhendo-se a solução aproximada do tipo u(x) dado a partir de

+

==≅

1

1

N

mmmuuu φ em Ω , (2. 172)

Para E = N aplicado em (2. 170) temos o sistema de equações do Método dos Elementos

Finitos, dado por:

00)()(

2

2

1

=

−+

−−

=ΓφΩφφ

ΓΩdq

dxd

wdxdx

xdwu m

lmm

l

N

mm (2. 173)

Subdividindo o domínio Ω em Ωe subintervalos temos:

0)(

)()(

12

2

1

1

1

=

−+

−

==

+

=b

em

B

b

ele

em

em

E

e

el

N

mm dq

dxxd

wdxdx

xdwu

be

ΓφΩφφ

ΓΩ

(2. 174)

Escolhendo por Galerkin

el

el

el ww φ== (2. 175)

Temos:

0)(

)()(

12

2

1

1

1

=

−+

−

==

+

=b

em

B

b

ele

em

em

E

e

el

N

mm dq

dxxd

dxdx

xdu

be

ΓφφΩφφφΓΩ

(2. 176)

Observe que na sentença básica de resíduos ponderados aparecem derivadas de

ordem dois, consequentemente, é necessário que as funções de aproximação possuam

derivadas de ordem um, contínuas. Neste caso, precisaríamos de elementos finitos quadráticos

para as funções de interpolação. Contudo, para contornar essa situação utilizando elementos

finitos lineares, podemos resolver a equação diferencial a partir da forma fraca dos resíduos

ponderados.

63

2. 9 – Formulação Inversa dos Resíduos Ponderados

Integrando-se por partes uma segunda vez a expressão (2. 170) temos:

dxwbudx

wdu

dxdw

uwdxbudxdxdw

dxdu

−++−=−+

−1

0

22

21

0

1

0

21

0

)()( λλ

(2. 177)

onde

2

2

dxwd

dudxdxdw

u == (2. 178)

e

uvdxdxdu

dv == (2. 179)

Substituindo (2. 178) e (2. 179) em (2. 177) obtemos:

1

0

1

0

1

0

22

2

dxdw

uwqdxbwwdx

wdu +−=

−

+ λ (2. 180)

Aplicando as condições de contorno uu = em x = 0 e qq = em x = 1 obtivemos:

−+−−=

−

+ ==== 0101

1

0

22

2

][][][][ xxxx dxdw

udxdw

uqwqwdxbwwdx

wdu λ

(2. 181)

64

2.9.1 – Método de Treffitz

Escolhendo a nossa função de ponderação w de tal forma que ela satisfaça a

equação diferencial na sua forma homogênea, ou seja:

022

2

=+ wdx

wd λ (2. 182)

resolvendo-se esta equação diferencial para achar o w obtemos a solução da equação

homogênea para w a qual é usada como função de ponderação, na sentença abaixo

satisfazendo a condição homogênea.

−+−−=

−

+ ==== 0101

1

0

22

2

][][][][ xxxx dxdw

udxdw

uqwqwdxbwwdx

wdu λ (2. 183)

Retornando-se a equação integral da formulação inversa temos:

−+−−=

−

+ ====

=

0101

1

0

0

22

2

][][][][ xxxx dxdw

udxdw

uqwqwdxbwwdx

wdu

λ (2. 184)

Logo

( )

−+−−=− ==== 0101

1

0

][][][][ xxxx dxdw

udxdw

uqwqwdxbw (2. 185)

onde q e u são valores desconhecidos e q e u são valores conhecidos.

2.9.2 – Exemplo de utilização do Método de Treffitz

Resolvendo a seguinte equação diferencial com λ = 0 e b = -x temos:

02

2

=+ xdx

ud (2. 186)

Com as condições de contorno u = 0 para x = 0 e u = 0 para x = 1.

Partindo da seguinte integral por partes:

−+−−=

−

+ ==== 0101

1

0

22

2

][][][][ xxxx dxdw

udxdw

uqwqwdxbwwdx

wdu λ (2. 187)

65

Solução:


−+−−=

−

+ ====

=

0101

1

0

0

22

2

][][][][ xxxx dxdw

udxdw

uqwqwdxbwwdx

wdu

λ (2. 188)

Logo

( )

−+−−=− ==== 0101

1

0

][][][][ xxxx dxdw

udxdw

uqwqwdxbw (2. 189)

Resolvendo a equação diferencial homogênea para λ= 0 temos:

022

2

=+ wdx

wd λ (2. 190)

Temos:

02

2

=dx

wd (2. 191)

onde

1

10

adxdw

xaaw

=

+= (2. 192)

Substituindo (2. 192) na equação (2. 189) temos:

( ) ( )dxxaabdxbw +−=−1

010

1

0

( (2. 193)

Logo

( )

00101

010110

1

010

)(

)]([)]([(

aqaaq

xaaqxaaqdxxaax xx

++−=

+−+−=+ == (2. 194)

Onde a0 e a1 são constantes arbitrárias.

i) Fazendo a0 = 0 e a1 = 1 temos:

66

1

1

0

2 qdxx −= (2. 195)

Ou

31

3[ 11

1

0

3

−=−= qqx

(2. 196)

i) Fazendo a0 = 1 e a1 = 0 temos:

01

1

0

qqdxx +−= (2. 197)

Ou

21

2[ 0101

1

0

2

=+−+−= qqqqx

(2. 198)

Usando-se q1 = 1/3 temos:

61

31

21

00 =++= qq (2. 199)

Assim o problema está resolvido, pois se conhece o potencial u e o fluxo q no contorno (em x

= 0 e x = 1).

67

2.9.3 - Método de Contorno

Escolhendo a nossa função de ponderação w de tal forma que ela satisfaça a

equação diferencial de Green, ou seja:

)(22

2

ξδλ −−=+ xwdx

wd (2. 200)

resolvendo-se esta equação diferencial para achar w, encontra-se a solução fundamental de

Green, w = u*, para w a qual é usada como função de ponderação, na sentença abaixo

satisfazendo a condição fundamental da seguinte forma:

−+−−=

−

+ ==== 0101

1

0

22

2

][][][][ xxxx dxdw

udxdw

uqwqwdxbwwdx

wdu λ (2. 201)


−+−−=

−

+ ====

−

0101

1

0

)(

22

2

][][][][ xxxx

x

dxdw

udxdw

uqwqwdxbwwdx

wdu

ξδ

λ (2. 202)

logo

( )

−+−−=−− ==== 0101

1

0

][][][][)( xxxx dxdw

udxdw

uqwqwdxbwxu ξδ (2. 203)

Pela propriedade da função Delta de Dirac já vimos que:

)()()(1

0

ξΩξδ fdxxf =− (2. 204)

Logo

)()()(1

0

ξΩξδ udxxu −=−− (2. 205)

Assim tem-se em (2. 102) que:

68

−+−−=−− ==== 0101

1

0


udxdw

uqwwqdxbwu ξ

(2. 206)

Como w = u*(x) é a solução fundamental do problema e q* = dw/dx = du*/dx podemos

escrever (2. 206) como sendo:

0101

1

0

*][*][*][*][*)( ==== −+−−=−− xxxx quuqquuqdxbuu ξ (2. 207)

Sabendo que a solução unidimensional u*(x) para o caso unidimensional é dado por:

≥−≤−=ξξ

ξξ xpara )1(

xpara )1(*

x

xu (2. 208)

Logo

≥−≤−=ξξ

ξξ xpara )1(

xpara )1(*

x

xq (2. 209)

Substituindo estas soluções em (2. 207) temos:

01

01

1

0

2

2

)()1(

)()1(

)1( )1(

)1()1(

)2

(

2

)1()(

==

==

−−

−

−−

+

−−

+

−−

−=

−

−−−

xx

xx

uu

x

xq

x

xq

xx

x

bu

ξξ

ξξ

ξξ

ξξ

ξ

ξξ

(2. 210)

Fazendo ξ = 0 temos:

69

01

01

1

0

2

2

)0()01(

0)01(

0)1( )01(

0)1()01(

0)2

(

2

)01()0(

==

==

−−

−

−−

+

−−

+

−−

−=

−

−−−

xx

xx

uu

x

xq

x

xq

xx

x

bu

(2. 211)

ou

01

01

2

01

01

0

0 0

2)0(

==

==

−

++

−=

−−

xx

xx

uu

xq

xq

xbu

(2. 212)

logo

uuqbu −++−=−− )0(0)0( (2. 213)

Fazendo ξ = 1 temos:

01

01

1

0

2

2

)1()11(

1)11(

1)1( )11(

1)1()11(

1)2

(

2

)11()0(

==

==

−−

−

−−

+

−−

+

−−

−=

−

−−−

xx

xx

uu

xx

qx

xq

xx

x

bu

(2. 214)

Ou

70

01

01

1

0

2

2

)1(0

10

1)1( 0

)1(0

1)2

(

2

0)0(

==

==

−−

−

+

−+

−−=

−−−

xx

xx

uu

xx

qx

xq

xx

x

bu

(2. 215)

logo

uuqbu +−+=−−− )1()1(0)21

1()1( (2. 216)

Portanto

1 para 2/)1(0 para 2/)0(2

=−=+=+=+

ξξ

ubq

uqbu (2. 217)

2.9.4 – Exemplo de utilização do Método de Contorno

Resolvendo a seguinte equação diferencial com λ = 0 e b = -x temos:

02

2

=+ xdx

ud (2. 218)

Com as condições de contorno u = 0 para x = 0 e u = 0 para x = 1.

Partindo da seguinte integral por partes:

−+−−=

−

+ ==== 0101

1

0

22

2

][][][][ xxxx dxdw

udxdw

uqwqwdxbwwdx

wdu λ (2. 219)

Solução:


−+−−=

−

+ ====

−

0101

1

0

)(

22

2

][][][][ xxxx

x

dxdw

udxdw

uqwqwdxbwwdx

wdu

ξδ

λ (2. 220)

71

logo

( )

−+−−=−− ==== 0101

1

0


udxdw

uqwqwdxbwxu ξδ (2. 221)

Pela propriedade da função Delta de Dirac temos que:

−+−−=−− ==== 0101

1

0


udxdw

uqwwqdxbwu ξ

(2. 222)

Resolvendo a equação diferencial homogênea para λ= 0 temos:

)(22

2

ξδλ −−=+ xwdx

wd (2. 223)

temos:

)(2

2

ξδ −−= xdx

wd (2. 224)

Onde a solução fundamental é dada por:

>≤

=ξξξ

x

xxw

se

se (2. 225)

Substituindo (2. 225) na equação (2. 222) temos:

−+−−=−− ==== 0101

1

0


udxdw

uqwwqdxbwu ξ

(2. 226)

Onde

01

1

0

][][)( == −−=−− xx qwwqdxxwu ξ (2. 227)

sendo

==

=1 se

0 se 0

x

xw

ξ (2. 228)

72

temos:

0)( 01

1

0

2 qqdxxdxxu +−=++− ξξξξ

ξ

(2. 229)

Logo

ξξξξ

ξ

1

12

0

3

2[

3[)( q

xxu −=++− (2. 230)

e

ξξξξξ 1

33

223)( qu −=−++− (2. 231)

ξξξξ 1

3

26)( qu −=+−− (2. 232)

Se ξ = 1 u = 0 -1/6 + ½ = -q1, portanto:

31

1 −=q (2. 233)

Pode-se obter

6631

26)(

33 ξξξξξξ +−=−+−=u (2. 234)

Como uma solução que atende as condições de contorno. E para o fluxo:

61

2)(

2

+−= ξξq (2. 235)

Uma outra solução fundamental que também atende às condições de contorno é dada por:

>−≤−

=ξξξξ

xx

xxw

se )1(

se )1( (2. 236)

73

A qual é a função de Green. Se derivarmos a expressão do potencial em relação a ξ temos o

fluxo em qualquer ponto do domínio.

2. 10 – Quadro Resumo dos Métodos Aproximados

A metodologia de solução de equações diferenciais por métodos aproximados é

mostrada no quadro da Figura - 2. 1.

Figura - 2. 1. Estrutura dos Métodos Aproximados de Solução de Equações Diferenciais

74

2. 11 – Lista de Exercícios e Problemas

2.11.1 – Resolver a equação diferencial

02

2

=++ xudx

ud (2. 237)

Com condições de contorno u(0) = u(1) = 0 usando uma função tentativa da forma

2210 xaxaau ++= e ponto de colocação para x = 1/2. Faça um gráfico da solução e

compare esta com aquela do exemplo 1.2 do texto e com a solução exata dada pela equação

(b) daquele exemplo.

Solução.

A solução aproximada sendo do tipo:

2210 xaxaau ++= (2. 238)

Para satisfazer exatamente as condições de contorno devemos ter:

( ) 00.0.0 2210 =++= aaau (2. 239)

e

( ) 01.1.1 2210 =++= aaau (2. 240)

logo

( ) 00000 === aau (2. 241)

e

( ) 1221 01 aaaau −==+= (2. 242)

reescrevendo a solução temos

)1(12

11 xxaxaxau −=−= (2. 243)

cuja derivada é

75

e 2 11 xaadxud −= 12

2

2adx

ud −= (2. 244)

O erro de aproximação é dado por:

02

2

≠++= xudx

udΩε (2. 245)

Logo

0)1(2 11 ≠+−+−= xxxaaΩε . (2. 246)

A sentença de resíduos ponderados é dada por

=B

A

wd 0ΩεΩ (2. 247)

Substituindo (2. 246) em (2. 247) para o ponto de colocação x =1/2 temos.

0)21

(])1(2[1

011 =−+−+− dxxxxxaa δ (2. 248)

logo

0])1(2[ 2/111 =+−+− =xxxxaa

e

021

)21

1(21

2 11 =+−+− aa

021

)21

(21

2 11 =++− aa

21

42 1

1 −=+−a

a

21

48 11 −−=

+− aa

(2. 249)

76

21

47 1 −=

− a

144

1 =a

Portanto a solução aproximada é:

)1(144

xxu −= (2. 250)

Cujo gráfico é:

Figura - 2. 2. Gráfico da solução da equação diferencial: )1(144

)( xxxu −= .

Comparando com a solução do exemplo 1.2 do texto e com a solução exata dada pela equação

(b) daquele exemplo temos:

)4042)(1(2171

xxxu +−= (2. 251)

Esta solução é um função de grau 3 enquanto a solução do problema acima é uma função de

grau 2. Porque as soluções aproximadas utilizadas ))(1()( 21 xxxxu αα +−= no cálculo

são de graus 3 e a do problema acima é de graus 2, respectivamente.

77

Tabela - II. 3. Comparação dos resultados exatos e aproximados com o exemplo 1.2 do livro

x u (exata) u (aproximada) u (aproximada) 0,00 0 0 0 0,10 0,018641 0,019078 0,025714 0,30 0,051194 0,052258 0,060000 0,50 0,069746 0,071428 0,071428 0,70 0,065582 0,065806 0,060000 0,90 0,030901 0,032350 0,025714 1,00 0 0 0

78

2.11.3 - Resolver a equação diferencial

2∇ u = 0 (2. 252)

No domínio plano y0 ; 10 ∞≤≤≤≤ x , conforme mostra a Figura - 2. 3.

Figura - 2. 3. Condições de contorno do problema.

e com as condições de contorno dadas por:

)1()0,(0),(

0),1(),0(

xxxu

xu

yuyu

−==∞

== (2. 253)

usando uma função tentativa de forma u(x,y) = A(y)x(1-x) e usando como ponto de colocação

x =1/2, para y0 ∞≤≤ .

Solução:

A equação diferencial é dada por:

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

yu

xu

(2. 254)

Sendo as condições de contorno da forma:

79

u(0,y)= u(1,y)=0

u(x,0)= x(1-x)=0

u(x,∞ )=0

(2. 255)

E usando uma função u da forma

u(x,y)=A(y)x(1-x) (2. 256)

No intervalo y0 ∞≤≤ . Para que estas condições de contorno sejam satisfeitas, devemos

ter:

u(0,y)=A(y).0.(0-1)=0 (2. 257)

E

u(1,y)=A(y).1.(1-1)=0 (2. 258)

E ainda

u(x,0)=A(y).x.(1-x)=x(1-x) (2. 259)

Isto significa que quando y tende para a zero para um x qualquer, devemos ter:

1)(lim0

=→

yAy

(2. 260)

e

u(x,∞)=A(∞).x.(1-x)=0 (2. 261)

O que também significa que quando y tende para o infinito para um x qualquer, devemos ter

0)(lim =∞→

yAy

(2. 262)

Portanto a função A(y) que satisfaz as condições de contorno é do tipo:

yeyA α−=)( (2. 263)

Sendo uma A(y) uma função desta forma temos que:

)1(),( xxeyxu y −= −α (2. 264)

Cujas derivadas são:

80

)21( xexu y −=

∂∂ −α ye

xu α−−=

∂∂

22

2

(2. 265)

E

)1( xxeyu y −−=

∂∂ −αα )1(2

2

2

xxeyu y −=

∂∂ −αα (2. 266)

O erro de aproximação é dado por:

02

2

2

2

≠∂∂+

∂∂=

yu

xu

Ωε (2. 267)

Logo

0)1(2 2 ≠−+−= −− xxee yy ααΩ αε (2. 268)

A sentença de resíduos ponderados é dada por

=B

A

wd 0ΩεΩ (2. 269)

Substituindo (2. 268) em (2. 269) para o ponto de colocação x =1/2 temos:

=−−+− −−∞ 1

0

2

0

0)2/1()]1(2[ dxdyxxxee yy δα αα (2. 270)

Ou

=−−+−∞

−1

0

2

0

0)2/1()]1(2[ dxdyxxxe y δαα (2. 271)

Logo

0)]1(2[ 2/12

0

=−+− =

∞−

xy xxdye αα

Dividindo tudo por dye y∞

−

0

α temos:

81

0)21

1(21

2 2 =−+− α

2)21

(212 =α

2412 =α

8±=α

(2. 272)

Portanto a solução aproximada é:

)1(8 xxeu y −= − (2. 273)

82

2.11.5 - Resolver a equação diferencial

0)1( =

+dxdu

udxd

(2. 274)

desde x = 0 até x = 1, com condições de contorno u(0) = 0 e u(1) = 1, usando

2210 xaxaau ++= (2. 275)

como função tentativa e o método da colocação por subdomínio com um único subdomínio x

de [0 ; 1].

Solução:

Reescrevendo a equação acima temos:

0.1( =

+dxdu

udxdu

dxd

(2. 276)

Aplicando as regras de derivação da soma e do produto temos,

0)()( =+dxdu

udxd

dxdu

dxd

(2. 277)

Após aplicarmos as regras de derivação temos

0)( 2

22

2

2

=++dx

udu

dxdu

dxud

(2. 278)

Reescrevendo a equação (2. 278) o erro de aproximação é dado por:

22

2

)()1(dxdu

udx

ud ++=Ωε (2. 279)

Efetuando as derivadas em u em termos da solução aproximada dada em (2. 275) temos:

22

2

2adx

ud = (2. 280)

83

xaadxdu

.2 21 += (2. 281)

e

2221

21

221

2 )2(22).2()( axaaaxaadxdu ++=+= (2. 282)

aplicando as condições de contorno para u temos:

12212

210

02

210

1111.1.)1(

000.0.)0(

aaaaaaau

aaaau

−==+=++=

==++= (2. 283)

Levando os valores de 00 =a com 12 aa −= em Ωε temos que

22

2

)()1(dxdu

udx

ud ++=Ωε (2. 284)

assim Ωε fica da seguinte forma

221

22102 )2() 1(2 xaaxaxaaa +++++=Ωε (2. 285)

reescrevendo a equação (2. 285) temos,

22121

21

22212022

)2(.4

222 2

xaaxaaa

xaaxaaaaa

+++

++++=Ωε (2. 286)

Reordenando os termos da equação (2. 286) temos,

22221

21

22212022 44222 2 xaxaaaxaxaaaaa ++++++=Ωε (2. 287)

Agora, na equação anterior substituindo os valores de 0a =0 e de 2a = 11 a− temos os

seguinte resultado.

22111

21

221

1111

)1(4)1(4)1(2

)1(20).1(2 )1(2

xaxaaaxa

xaaaa

−+−++−

+−+−+−=Ωε (2. 288)

Reescrevendo a equação (2. 288) temos:

84

22211

211

21

2211

2111

)21(444

)21(222 22

xaaxaxaa

xaaxaxaa

+−+−+

++−+−+−=Ωε (2. 289)

Agora aplicando

=1

0

0ΩεΩ wd (2. 290)

Pelo método da colocação por subdomínio, temos que ω =1. Assim (2. 290) fica.

=1

0

0ΩεΩ d (2. 291)

Substituindo Ωε na equação acima ficamos com:

0)21(444

)21(222 22[1

0222

11211

21

2211

21111 =

+−+−+

++−+−+− dx

xaaxaxaa

xaaxaxaaa (2. 292)

Efetuando os cálculos da integral temos o seguinte resultado,

0]34

38

34

22

32

34

32

22[

10

321

31

31

221

21

21

321

31

3221

211

=+−+−+

++−+−+−

==

xxxaxaxaxaxaxa

xaxaxxaxaxax (2. 293)

Agora substituindo os extremos superiores e inferiores da integral, temos:

0]0[]1..34

1..38

1..34

1..2

1..21.1..32

1..34

1.32

1.1. 122[

321

31

31

221

21

21

321

31

3221

211

=−+−+

−+++−+−+−

aaaa

aaaaaaa (2. 294)

Agora reordenado a equação (2. 294) temos:

04.3.0 121 =+− aa (2. 295)

Resolvendo esta equação temos o seguinte resultado:

34

1 =a (2. 296)

85

Encontrado 34

1 =a levamos este valor na equação (2. 283) para encontrar 2a , que tem o

seguinte resultado:

31

34

1 22 −=−= aa (2. 297)

Agora levando este valor na equação de (2. 275) temos o seguinte resultado:

2

31

34

0)( xxxu −+= (2. 298)

86

2.11.6 – Resolver a equação diferencial

A equação do deslocamento vertical de um cabo suspenso entre dois pontos é

0)(2

2

=+ xpdx

ud onde p(x) a razão entre a carga distribuída e a força nos extremos. Use a

formulação fraca e aproximação homogênea da solução de contorno para calcular a

inclinação nos extremos para um cabo que se estende desde x = 0 até x = 1 com condições de

contorno u(0) = 0 e u(1) = 0. A função p(x) é dada por.

<≤

<≤

<≤

=

1 x 43

, 0

43

x 41

, 1

41

x 0 , 0

)(xp (2. 299)

Solução:

Seja a equação diferencial,

0)(2

2

=+ xpdx

ud (2. 300)

O erro de aproximação Ωε é dado por:

0)(2

2

≠+= xpdx

udΩε

(2. 301)

A sentença básica dos resíduos ponderados é dada por.

=1

0

0ΩεΩ dw (2. 302)

Logo, substituindo (2. 301) em (2. 302) obtemos o seguinte resultado,

=

+1

02

2

0)( Ωwdxpdx

ud (2. 303)

Integrando por partes uma 1ª vez temos:

87

=++

−=

+ ==

1

0

1

0

102

2

0][).()( xx

vu

duv

udv

dxdu

wdxwxpdxdw

dxdu

dwxpdx

ud

Ω (2. 304)

onde

+−=

==

==uvvduudv

xdud

vdx

uddv

dxdx

wdduwu

2

2 (2. 305)

Integrando por partes novamente (uma 2ª vez) temos o termo em

dxdw

dxdu

na equação

anterior

)()(1

0

1

0

1

0

1

02

2

++

+

−−=+

− dxdu

wwdxxpudxd

dxdx

wdudxwxp

dxdw

dxdu

udv

ω

(2. 306)

onde

+−=

==

==uvvduudv

uvdxdu

dv

dxdx

wddu

dxwd

u 2

2

(2. 307)

rearranjando os termos temos:

0)(1

0

1

0

1

02

2

=

+

+

+ dxdw

uwdxdu

dxwxpdx

wdu (2. 308)

ou

[ ]101

0

1

02

2

)( qwdxdw

udxwxpdx

wdu −

=

+ (2. 309)

onde

88

dxdu

q = (2. 310)

Satisfazendo a condição homogênea devemos ter:

02

2

=dx

wd (2. 311)

Logo

= dxdxdx

wd0

1

02

2

(2. 312)

Logo

1adxdw = (2. 313)

e

dxadxdxdw

= 1 (2. 314)

Portanto,

21 axaw += (2. 315)

Usando (2. 311) em (2. 309) temos:

[ ]101

0

1

0

)( qwdxdw

uwdxxp −

= (2. 316)

Substituindo (2. 313) e (2. 315) em (2. 316) temos:

[ ] [ ]1021101

1

021 )(])[( axaquadxaxaxp +−=+ (2. 317)

Aplicando as condições de contorno temos:

0)1(0)0( ==== xuexu (2. 318)

Logo (2. 317)) fica:

89

[ ] [ ]1021

0

11

1

021 )()0()1(])[( axaqauaudxaxaxp +−−=+

=

(2. 319)

Então

[ ]1021

1

021 )(])[( axaqdxaxaxp +−=+ (2. 320)

ou

20211

1

021 )(])[( aqaaqdxaxaxp ++−=+ (2. 321)

Separando a função p(x) nos intervalos:

20211

0

1

4/321

4/3

4/121

0

4/1

021

)(

])[(])[(])[(

aqaaq

dxaxaxpdxaxaxpdxaxaxp

++−=

+++++

==

(2. 322)

A primeira e a terceira integral são nulas, pois p(x) nestes intervalos vale zero, conforme

mostra a Figura - 2. 4:

Figura - 2. 4. Intervalo de validade da função p(x).

Logo

90

20211

4/3

4/121

1

)(][)( aqaaqdxaxaxp ++−=+=

(2. 323)

Integrando temos:

20211

4/3

4/12

2

1 )(2

aqaaqxax

a ++−=

+ (2. 324)

sendo

202112

2

12

2

1 )(41

41

21

43

43

21

aqaaqaaaa ++−=

+

−

+

(2. 325)

Ou

202112121 )(41

321

43

329

aqaaqaaaa ++−=

+−

+ (2. 326)

E

2021121 )(42

328

aqaaqaa ++−=+ (2. 327)

2021121 )(21

41

aqaaqaa ++−=+ (2. 328)

rearranjando os termos temos:

2011121 )(21

41

aqqaqaa +−+−=+ (2. 329)

Como a1 e a2 são arbitrários por comparação dos coeficientes de a1 e a2 temos

necessariamente que:

21

41

011 =+−−= qqeq (2. 330)

logo

91

41

21

0 −=q (2. 331)

Portanto,

41

41

10 −== qeq (2. 332)

Observe que se p(x) = 0 temos:

00 2

2

2

2

=⇔=dx

wddx

ud (2. 333)

Logo nos intervalos 0 ≤ x ≤ ¼ e 3/4 ≤ x ≤ 1,

uw = (2. 334)

Ou seja:

Figura - 2. 5. Intervalo de validade da função p(x).

Se u = w e 21 axaw += então:

<≤<≤

+=14/34/10

21 x

xparaaxau (2. 335)

derivando u temos:

92

===

=−==

=

=

1

0

111

100

xparaaqdxdu

xparaaqdxdu

x

x (2. 336)

Como 4/110 =−= qq então a1 = -¼.

i) Mas nestes intervalos devemos ter que;

4/1

021

4/1

021 )(])[( axaqdxaxaxp +−=+ (2. 337)

e

0)41

(][0 20214/121

4/1

0

=−+

−=+ aqaaqaxa (2. 338)

Logo

20214/1 )41

( aqaaq =+

− (2. 339)

como q0 =-a1 = ¼ temos:

224/1 41

)41

41

( aaq −=+− (2. 340)

Logo

2

24/1 161

4a

aq

−= (2. 341)

ii) Por outro lado temos:

1

4/321

1

4/321 )(])[( axaqdxaxaxp +−=+ (2. 342)

e

93

0)43

()1(][0 214/321121

1

4/3

=+−+−=+ aaqaaqaxa (2. 343)

Logo

)43

()( 214/3211 aaqaaq +=+− (2. 344)

como q1 =a1 = -¼ temos:

)43

41

()41

(41

24/32 aqa +−=+−− (2. 345)

Logo

2

24/3 163

)41(a

aq

+−−= (2. 346)

Portanto,

2

24/1 161

4a

aq

−=

2

24/3 163

)41(a

aq

+−−=

(2. 347)

Conclusão

Embora seja possível calcular a inclinação dos extremos do cabo, nos pontos x =

0 e x =1, não é possível determinar os valores de a1 e a2 porque a função p(x) (função de

Heaviside) é descontinua nos pontos x = 1/4 e x = ¾, ficando os valores de q1/4 e q3/4

indeterminados.

94

Capítulo – III

INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

RESUMO

Neste capítulo será visto a origem do Método dos Elementos de Contorno. Este

método se apresenta como uma alternativa ao Método dos Elementos Finitos.

3. 1 -Objetivos do capítulo

i) Entender a origem do Método dos Elementos de Contorno

ii) Saber aplicar o Método dos Elementos de Contorno nas suas mais diferentes

formas

iii) Resolver problemas de equações diferenciais pertinentes ao método.

3. 2 - Introdução

Este método foi a principio chamado de Método das Equações Integrais. Mas

para distingui-lo dos outros métodos que envolviam também equações integrais, ele foi

finalmente chamado de Método dos Elementos de Contorno.

O Método dos Elementos de Contorno (MEC) tem sido estabelecido como um método

numérico alternativo ao Método dos Elementos Finitos (MEF). Isto se deve a sua

simplicidade e redução na dimensionalidade do problema. Por exemplo, um problema

bidimensional se reduz somente a linha unidimensional de contorno do domínio necessário a

ser discretizado dentro dos elementos e, um problema tridimensional se reduz a uma

superfície do domínio que necessita ser discretizado. Isto significa que, comparado à analise

95

de um domínio tipo MEF, uma análise de contorno resulta em uma substancial redução na

preparação dos dados e, um sistema algébrico de equações muito menor a ser resolvido

numericamente.

3. 3 – Precursores do Método de Elementos de Contorno

O Método dos Elementos de Contorno teve como precursores matemáticos para o

seu desenvolvimento os seguintes Métodos mostrados na Figura - 3. 1. Junto com esses

métodos, o Método de Green, é utilizado no desenvolvimento matemático do Método dos

Elementos de Contorno, como uma formulação básica necessária para a solução da equação

integral do problema singular equivalente na variável, w, a qual é a função de ponderação. ou

seja, a Função de Green do operador diferencial do problema original, é a função de

ponderação, w, conforme veremos no desenvolvimento a seguir:

Figura - 3. 1. Resumo da Evolução dos Métodos Aproximados baseados nos Resíduos Ponderados

96

3.3.1 – Método das Funções de Green

Seja a equação diferencial linear não homogênea, válida para todo x, na qual não

são impostas condições de contorno.

)()]([ xfxu = (3. 1)

onde é um operador linear com coeficientes constantes.

Quando o termo f(x) é substituído por )'( xx −δ , função delta de Dirac, na qual

x’ é um parâmetro, a equação (3. 1) é reescrita como:

)'()]',([ xxxxG −= δ (3. 2)

A função )',( xxG , solução da equação (3. 2), chama-se Função de Green para o

operador e representa o efeito, em x, devido a uma função delta de Dirac que atua em x’, (o

ponto x é chamado de campo e o ponto x’ é chamado de fonte).

Para resolver (3. 1) com o auxílio de (3. 2) os termos à esquerda e à direita em (3.

2) são inicialmente multiplicados por f(x’), em seguida efetua-se a integração no domínio

∞<<∞− 'x . Assim:

∞

∞−

)(')'()'(')'()]',([ xfdxxfxxdxxfxxG =−= ∞

∞−

δ (3. 3)

Trocando, em (3. 3), a ordem do operador diferencial e do sinal de integração, obtém-se:

)(')'()'(')'()]',([ xfdxxfxxdxxfxxG =−= ∞

∞−

∞

∞−

δ (3. 4)

Comparando-se as equações (3. 4) e (3. 1), conclui-se que a solução da equação

(3. 1) pode ser escrita como:

')'()]',([)( dxxfxxGxu ∞

∞−

= (3. 5)

No Método dos Elementos de Contorno as Funções de Green são as Funções de

Ponderação.

97

3.3.2 – Integração por Partes em duas dimensões

Seja a integral

dxdyx

dx yx ∂

∂=∂∂

ψφΩψφ

Ω

(3. 6)

Conforme mostra a Figura - 3. 2, onde ),( yxφφ = e ),( yxψψ = ;

Figura - 3. 2. Integral por partes em duas dimensões em relação a x.

Integrando por partes em relação a x:

ψψ

φφ

=∂∂=

∂∂==

vx

dv

dxx

duu

;

; (3. 7)

Logo

[ ] dxdyx

dydxdyx xy

y

yxxxx

xy

T

BED ∂

∂−−=∂∂

==φψψφψφψφ (3. 8)

Para x = xD, tem-se:

98

Considerando um elemento de contorno, Γd , quando x = xD, tem-se:

x

x

nddy

ddy

nΓ

Γβ

β=

=

=

cos

cos (3. 9)

onde nx é o cosseno diretor da normal ~n ao contorno, Γ, em relação ao eixo x.

~~~jninn yx += (3. 10)

Assim, o primeiro termo à direita em (3. 8) pode ser interpretado como uma

integral, no sentido anti-horário, ao longo do contorno, Γ. Portanto,

∂∂−=

∂∂

ΩΓΩ

ΩψφΓψφΩψφ dx

dndx x (3. 11)

Para x = xE, tem-se:

Da mesma maneira, considerando um elemento de contorno, Γd , quando x = xE,

tem-se:

x

x

nddy

ddy

nΓ

Γγ

γβ−=

=

−==

cos

coscos (3. 12)

99

Figura - 3. 3. Integral por partes em duas dimensões em relação a y.

Analogamente, o segundo termo à direita em (3. 8) pode ser interpretado como

uma integral, no sentido horário, ao longo de Γ. Portanto,

∂∂−=

∂∂

ΩΓΩ

ΩψφΓψφΩψφ dy

dndy y (3. 13)

As integrais (3. 11) e (3. 13) serão utilizadas no desenvolvimento do Método dos

Elementos de Contorno, a seguir. Unindo (3. 11) com (3. 13) obtemos a primeira identidade

de Green.

∂∂+

∂∂−+=

∂∂+

∂∂

ΩΓΩ

ΩψφφΓψφΩψψφ dyx

dnndyx yx )( (3. 14)

ou simplesmente:

ΓψφΩφψψφΓΩ

dnd

=∇+∇ )( (3. 15)

Utilizando esses precursores matemáticos podemos a partir de agora elaborar o

desenvolvimento matemático do Método dos Elementos de Contorno.

100

3. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método

Considere a Equação de Poisson em duas dimensões:

02

2

2

2

=+∂∂+

∂∂

byu

xu

em Ω (3. 16)

Com as condições de contorno:

Essenciais uemuu Γˆ= (3. 17)

e

Naturais qemqnu

q Γˆ=∂∂= (3. 18)

onde

quUΓΓΓ = (3. 19)

e ~n é a normal ao contorno, dirigida para fora do contorno.

Sendo u uma solução aproximada do problema, que não atende as condições de

contorno, três tipos de resíduos, ou erros, são gerados:

a) em Ω

02

2

2

2

≠+∂∂+

∂∂= b

yu

xu

Ωε (3. 20)

b) em uΓ

0ˆ ≠−= uuuΓε (3. 21)

c) em qΓ

0ˆ ≠−=∂∂−

∂∂= qq

nu

nu

qΓε (3. 22)

os quais devem ser ponderados

A sentença básica de resíduos ponderados é escrita como:

101

0)ˆ()ˆ()( 2 =−+−++∇ ΓΓΩΓΩ Γ

dwqqdwuuwdbuqu

(3. 23)

onde o Laplaciano 2∇ é dado por:

2

2

2

22

yu

xu

u∂∂+

∂∂=∇ (3. 24)

As funções de ponderação www e,, podem ser escolhidas convenientemente,

de maneira a simplificar o problema.

Integrando por partes, a integral que contém o Laplaciano em (3. 23), obtém-se:

)()()(2

2

2

22 =

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=∇ ΩΓΩΩ

ΩΩ ΓΩ

dyw

yu

xw

xu

wdnyu

nxu

wdy

u

x

uuwd yx

(3. 25)

onde

qnnu

nyu

nxu

yx =∂∂=

∂∂+

∂∂ (3. 26)

Integrando novamente por partes, a integral de domínio à direita em (3. 25), tem-se:

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂

ΩΓΩ

ΩΓΩ duyw

xw

dunyw

nxw

dyw

yu

xw

xu

yx )()()(2

2

2

2 (3. 27)

onde

qnnw

nyw

nxw

yx ˆ=∂∂=

∂∂+

∂∂ (3. 28)

Substituindo, agora, (3. 27) em (3. 25) temos:

∇=∂∂−+∇

ΩΓΩ Γ

ΩΓΓΩ duwdnw

uwdqwdu 22 (3. 29)

Substituindo agora, (3. 28) em (3. 24) temos:

−+−+∂∂−++∇

Γ Γ ΓΓΩ ΩΓΓΓΓΩΩ

u q

dwqqdwuudnw

uwdqwdbduw )ˆ()ˆ(2

(3. 30)

102

Observando agora que quUΓΓΓ = , pode-se escrever:

+=u q

wdqwdqwdqΓ ΓΓ

ΓΓΓ (3. 31)

ΓΓΓΓΓΓ

dnw

udnw

udnw

uqu

∂∂+

∂∂=

∂∂

(3. 32)


0ˆˆ

2

=−+++∂∂−

∂∂−+++∇

ΓΓΓΓΓ

ΓΓΓΩΩ

ΓΓΓ ΓΓ

ΓΓΓΩ Ω

dwqdwqdwudwudnw

u

dnw

uwdqwdqwdbduw

qqu uq

uqu (3. 33)

A expressão (3. 33) pode ser simplificada fazendo ww −= e, anulando-se

respectivamente as integrais em qΓ que contém os valores aproximados q , e nw

w∂∂= ,

anulando-se as integrais em uΓ que contém os valores aproximados u . A expressão

resultante é denominada Formulação Inversa de Resíduos Ponderados.

ΓΓΓΓΩΩΓΓΓΓΩ Ω

wdqdwqdnw

udnw

uwdbduwuqqu

−−∂∂+

∂∂=+∇ ˆˆ2 (3. 34)

ou, simplificando as expressões para as integrais de contorno:

ΓΓΩΩΓΓΩ Ω

wdqdnw

uwdbduw −∂∂=+∇2 (3. 35)

Nas integrais de contorno em (3. 35), deve-se substituir u por u em uΓ na

primeira integral e q por q , na segunda integral.

OBS:

1) Sabendo-se que ww −= e que nw

w∂∂= , a sentença básica de resíduos ponderados,

equação (3. 24), pode ser escrita como:

103

2) De (3. 25) e (3. 35) pode-se escrever a forma fraca da sentença de resíduos ponderados

como:

∂∂−−−

=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

uq

u

dnw

uuwdqq

wdbdyw

yu

xw

xu

wdq

ΓΓ

ΩΓΓ

ΓΓ

ΩΓΓ

)ˆ()( (3. 36)

Considerando que:

+=qu

wdqwdqwdqΓΓΓ

ΓΓΓ (3. 37)

A expressão (3. 36) pode ser escrita como:

ΩΓΓΓΓΩΓΓΓΓ

wdbdnw

uuwdqwdqdyw

yu

xw

xu

uquu

+∂∂−−+=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

)ˆ(ˆ

(3. 38)

Como alguns termos se anulam temos:

ΩΓΓΓΩΓΓΓ

wdbdnw

uwdqdyw

yu

xw

xu

uqu

+∂∂+=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

ˆ (3. 39)

Nós havíamos visto que:

ΓΓΩΩΓΓΩ Ω

wdqdnw

uwdbduw −∂∂=+∇ 2 (3. 40)

No Método dos Elementos de Contorno, a função de ponderação, w é solução do

problema singular-equivalente, isto é, ela é a Função de Green do operador diferencial.

3.4.1 – Solução Fundamental-Função de Ponderação

Para a equação de Poisson, a função de Green para o operador, 2

2

2

22

yx ∂∂+

∂∂=∇

representada por ),(* Xu ξ , é a solução do problema, ou seja,

)(),(*2 XXu −−=∇ ξδξ (3. 41)

104

O ponto X é denominado ponto campo, e, o ponto ξ é denominado ponto fonte.

Assim, ),(* Xu ξ , denominada, solução fundamental, pode ser interpretada como o efeito,

no ponto campo, de uma fonte concentrada aplicada no ponto fonte.

Em duas dimensões, X é o ponto de coordenadas (x, y) = (x1, x2) e ξ é o ponto de

coordenadas (ξx, ξy) = (ξ1, ξ2). A expressão para u* é:

rXu ln21

),(*π

ξ −= (3. 42)

onde r é a distância entre ξ e X.

Em três dimensões, X é o ponto de coordenadas (x, y, z) = (x1, x2, x3) e ξ é o ponto

de coordenadas (ξx, ξy, ξz) = (ξ1, ξ2, ξ3). A expressão u* é:

rXu

πξ

41

),(* −= (3. 43)

Conhecida a solução fundamental, a sua derivada em relação à direção da normal

ao contorno é calculada como:

),(*

),(* Xn

uXq ξξ

∂∂= (3. 44)

ou

nr

Xr

uXq

∂∂

∂∂= ),(

*),(* ξξ (3. 45)

As expressões de ),(* Xq ξ , em três e em duas dimensões, são:

)3(4

1),(* 2 D

nr

rXq

∂∂−=

πξ (3. 46)

e

)2(21

),(* Dnr

rXq

∂∂−=

πξ (3. 47)

onde, em (3. 46)

105

zyx nzr

nyr

nxr

nr

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

(3. 48)

E em (3. 47)

yx nyr

nxr

nr

∂∂+

∂∂=

∂∂

(3. 49)

Utilizando a notação do método dos elementos de contorno, a equação (3. 35) pode ser

reescrita fazendo,

qq

uu

→→

(3. 50)

Como:

)()(),(*)()(),(*

)()(),(*)()(),(*2

XdXqXuXdXuXq

XdXbXuXdXuXu

ΓξΓξ

ΩξΩξ

ΓΓ

Ω Ω

−=

=+∇ (3. 51)

Em (3. 51), )()( xuxu = e )()( Xqxq =

Como )(),(*2 XXu −−=∇ ξδξ , a primeira integral de domínio à esquerda de

(3. 51) se reduz a:

)()()()()()(),(*2 ξΩξδΩξΩ Ω

uXdXuXXdXuXu −=−−=∇ (3. 52)

Da substituição de (3. 52) em (3. 51) resulta a equação integral de contorno:

ΩξΩξ

ΓξΓξξ

Ω

Γ Γ

∈+

−=

;)()(),(*

)()(),(*)()(),(*)(

XdXbXu

XdXuXqXdXqXuu

(3. 53)

Lembrando que:

qq

q

uu

u U

ˆˆ =↓

=↓

= ΓΓΓ (3. 54)

onde:

106

)(?);(ˆ)(?;)(ˆ

incógnitauprescritoqq

incógnitaqprescritouu

q

u

==→==→

ΓΓ

(3. 55)

Vejamos o exemplo:

Figura - 3. 4. Exemplo de um domínio, Ω, com raio, r, e ponto fonte, ξ, e contorno Γ = Γu U Γq.

Embora a equação integral de contorno represente a solução do problema para

pontos, ξ, pertencentes ao domínio, Ω, ela não pode ser utilizada enquanto os valores de q(X)

em Γu e de u(X) em Γq não forem conhecidos. Para resolver esse problema, torna-se

necessário encontrar uma expressão limite da equação, na qual o ponto ξ ∈ Γ. Para a obtenção

da expressão limite, que torna possível a solução do problema, o ponto ξ é levado até o

contorno e, ai, exclui-se do domínio uma esfera de raio ε e centro em ξ (caso 3D) ou um

círculo (ou setor circular) de raio ε e centro em ξ (caso 2D). Em seguida, calcula-se o limite

quando ε → 0.

Figura - 3. 5. Solução geométrica para o problema do ponto fonte, ξ, o qual é transferido do interior do domínio para o contorno.

107

OBS:

1) Se Ωε, é o domínio excluído, em Ω - Ωε, tem-se, 0),(*2 =∇ Xu ξ pois )( εΩΩξ −∉

2) As integrais de contorno devem ser avaliadas em )( εΓΓ − , onde εΓ representa o

contorno que foi excluído, e em Γε, que representa o contorno da esfera ou do setor círcular.

A equação , quando , é escrita como:

0*****lim0

=

+−−+

−−−→

εεεεε ΩΩΓΓΓΓΓΓε

ΩΓΓΓΓ bduqduqduudqudq (3. 56)

As integrais em podem ser calculadas como (note que r = ε = constante, dΓ =

εdθ).

1)

0..ln21

lim*lim0

00=

−= →→

α

εΓ

εθεε

πΓ

ε

dqqdu (3. 57)

2)

πξαθε

πεξ

ΓξΓξΓ

α

ε

Γ Γε

Γε

ε εε

2)(

).1(2

1)(lim

*)()]()([*lim*lim

00

00

udu

dquduxuqudq

=−

−=

=

+−=

→

→→ (3. 58)

O termo α/2π é designado por C(ξ); Assim

∈

∉

=

)()(121

)(0

)(

internopontodomíniodepontose

suavecontornoése

aexternopontoése

C

Ωξ

ξ

ΩΩξ

ξ (3. 59)

As integrais em )( εΓΓ − devem ser avaliados no sentido de Valor Principal de

Cauchy. A integral em (Ω - Ωε) não requer nenhum trabalho especial.

A equação integral básica do método dos elementos de contorno, )( Γξ ∈ é

escrita como:

108

+−=ΩΓΓ

ΩξΓξΓξξξ )()(),(*)()(),(*)()(),(*)()('

XdXbXuXdXuXqXdXqXuuC

(3. 60)

Esta é a Equação de Laplace na formulação integral, da qual a equação () pode ser

considerada um caso particular.

3.4.2 - Valor Principal de Cauchy

Definição: Integrais de funções que se tornam infinitas em um ponto do intervalo

de integração; são integrais impróprias:

Dada a integral imprópria:

=b

a

dxxfI )( (3. 61)

que apresenta uma assintota vertical (uma descontinuidade infinita) em x = c, a < b < c, então

I pode ser calculada como:

+

→

−

→+=

b

c

c

a

dxxfdxxfIδ

δ

ε

ε)(lim)(lim

00 (3. 62)

Se dois limites existem a integral converge, ou é chamada convergente. Se por

outro lado:

±∞=

±∞=

+→

−

→

b

c

c

a

dxxf

dxxf

δδ

ε

ε

)(lim

)(lim

0

0 (3. 63)

Então a integral diverge, ou é chamada não-convergente (divergente).

Fazendo-se δ = ε a integral imprópria não convergente (divergente) pode existir

no sentido de Valor Principal de Cauchy, possuindo um valor finito.

+=

+

−

→

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxfVPε

ε

ε)()(lim)(:

0 (3. 64)

Embora

109

±∞=−

→

ε

ε

c

a

dxxf )(lim0

(3. 65)

e/ou

±∞=+

→

b

c

dxxfε

ε)(lim

0 (3. 66)

Por exemplo, se

f(x) = 1/xα (3. 67)

Então x = 0 é uma assimptota vertical da curva é a integral:

−

=1

1

1dx

xI α (3. 68)

deve ser avaliada como:

−

−+

−−−

−=

=−

+−

=

=+=

−

→

−−

→

−

→

−

−

−

→

→

−

−→

]1[1

1lim)1()(

11

lim

1lim

1lim

1lim

1lim

1

0

11

0

11

01

1

0

1

01

0

αδ

ααε

δ

α

δ

εα

ε

δαδ

ε

αε

δα

εα

ααxx

dxx

dxx

I

(3. 69)

Se 1<α , então 01 >−= αk e a integral imprópria converge, pois:

0lim0)(lim00

==−→→

kk e δεδε

(3. 70)

Se 3

1)(;3

xxf ==α

∞==

∞==−

→

−

→

→

−

→

20

2

0

20

2

0

1lim)(lim

1lim)(lim

δδ

εε

εδ

εεe

a integral é divergente (3. 71)

110

Calculando o Valor Principal de Cauchy

]1)1()[(lim1

11: 111

0

1

1

αααεα εε

α−−−

→−

−+−−−−

= dxx

VP (3. 72)

Quando α = 3

]1)1()[(lim31

11 313131

0

1

13

−−−

→−

−+−−−−

= εεε

dxx

(3. 73)

]1)1()[(lim211 222

0

1

13

−−−

→−

−+−−−−= εεε

dxx

(3. 74)

ou

0]11[211

0]1

11)(

1[lim

211

1

13

220

1

13

=+−−=

=−+−−

−=

−

→−

dxx

dxx εεε

(3. 75)

3.4.3 – Solução Numérica da Equação de Laplace

Para a solução numérica da equação integral (3. 60) associada a equação de

Laplace, a equação é reescrita para um número finito de pontos ξ selecionados. Essas

equações particularizadas são obtidas utilizando o Método da Colocação no qual a equação

(3. 60), com b(x) = 0 é ponderada ao longo do contorno Γ ’(ξ). Utiliza-se, portanto, como

função de ponderação o Delta de Dirac )( 0ξξδ − onde ξ0 corresponde à posição

selecionada. Pode-se escrever (admitindo b(x) = 0):

)(')()()(),(*

)(')()()(),(*)(')()()(

0'

' '00

ξΓξξδξ

ξΓξξδξξΓξξδξξ

Γ Γ

Γ Γ Γ

dXdTXqXu

dXdTXqXuduC

−

−

−

=−

.

(3. 76)

111

Invertendo a ordem da integração:

)()(')()(),(*

)()(')()(),(*)(')()()(

'0

'0

'0

ξΓΓξξδξ

ΓξΓξξδξξΓξξδξξ

Γ Γ

Γ Γ Γ

dXdXuXq

XddXqXuduC

−−

−=−

.

(3. 77)

Aplicando a propriedade da função Delta de Dirac, a equação (3. 77) é escrita

como:

−=ΓΓ

ΓξΓξξξ )()(),(*)()(),(*)()( 0000 XdXuXqXdXqXuuC (3. 78)

O domínio Ω deve ficar sempre a esquerda do sentido do percurso do contorno, de

tal forma que o vetor normal à superfície de contorno seja dirigido para fora do contorno,

conforme mostra a Figura - 3. 6

Figura - 3. 6. Aplicação da propriedade da função delta de Dirac sobre o ponto fonte ξ, sobre o contorno.

112

3. 5 – Discretização do Contorno

Para a obtenção de um sistema de equações algébricas a partir de (3. 78), cuja

solução forneça os valores de q(X) em Γu e de u(X) em Γq, o contorno Γ é aproximado ou

discretizado por elementos de geometria conhecida, denominada elementos de contorno.

Os tipos mais comuns são os lineares e os quadráticos. Na aproximação linear os

elementos são segmentos de reta, definidos por dois nós geométricos. Na discretização (ou

aproximação) quadrática os elementos são parabólicos e, são necessários definir três nós

geométricos.

Figura - 3. 7. Discretização linear do contorno de um domínio, Ω.

Pode-se utilizar, para representar a variação de u(X) e de q(X), funções de forma

(ou de interpolação) em cada elemento, que pode ser constante linear ou quadrática,

dependendo do número de nós funcionais. Os nós funcionais são os nós onde os valores de

u(X) e de q(X) são conhecidos ou prescritos. Assim, no caso de elemento constante, há

somente um nó funcional, situado no meio do elemento. No caso do elemento constante ou

linear, a situação mais comum ocorre quando os dois nós funcionais coincidem com os nós

geométricos. Quando a discretização for linear, no caso do elemento quadrático, os nós

funcionais também coincidem com os nós geométricos da discretização quadrática.

Por exemplo:

113

Figura - 3. 8. Tipos de elementos de contorno, linear ou parabólico e tipos de nós, geométricos e funcionais, onde os nós funcionais podem ou não coincidir com os nós geométricos.

Figura - 3. 9. Esquematização de nós para o problema de uma barra engastada.

3.5.1 - Elemento Constante – Discretização Linear

Para um elemento constante e uma discretização linear temos o exemploda Figura

- 3. 10.

114

Figura - 3. 10.

FIF

II

FI

F uuXu)()(

)()(

)(ΓΓΓΓ

ΓΓΓΓ

−−+

−−= (3. 79)

e

FIF

II

FI

F qqXq)()(

)()(

)(ΓΓΓΓ

ΓΓΓΓ

−−+

−−= (3. 80)

3.5.2 - Elemento Linear – Discretização Linear

Para um elemento linear e uma discretização linear temos o exemploda Figura - 3.

11.

Figura - 3. 11.

115

Figura - 3. 12. Discrretização do contorno, Γ.

Se o contorno é discretizado (aproimado) em n elementos constantes, a versão

discretizada da equação (3. 78), para um ponto fonte, ξi , i = 1, 2, 3,...n (situado no meio de

cada elemento) é escrita como:

jj

n

jij

n

jjiii dquduquC

j

ΓΓΓ

==

=+11

** (3. 81)

onde

jjiii

jiiiiX

Xqqxqquu

XuuxuuCCΓ

ξξξξ

∈

===

===

)(),(**)(

)(),(**)( (3. 82)

Como uj e qi são constantes Γj pode-se escrever:

jjiiii qdudqu ΓΓΓΓ = ** (3. 83)

E

jjijji udqduq ΓΓΓΓ = ** (3. 84)

Por exemplo, para 8 elementos temos:

82828218188828218188

81821211181821211111

.......:

.......

qgqgqguhuhuhuC

qgqgqguhuhuhuC

++=++++

++=++++ (3. 85)

Como o contorno é suave em cada elemento, temos:

116

niCC ii ,...,2,1;21

)( ===ξ (3. 86)

Figura - 3. 13. Cálculo do coeficiente C(ξi) para um ângulo α qualquer.

onde

21

__/__2

)( ==∩= CpC παπ

αξ (3. 87)

Substituindo (3. 83), (3. 84) (3. 86) em (3. 81) temos:

jj

n

jijj

n

jii qduudqu

j

ΓΓΓ

==

=+11

**21 (3. 88)

Fazendo

jiijjiij dugedqhjj

ΓΓΓΓ == **ˆ

(3. 89)

A equação (3. 88) é escrita como:

j

n

jijj

n

jiji qguhu

===+

11

ˆ21 (3. 90)

Agrupando as n equações (3. 90) escrita para ξ1,ξ2,...ξn, obtém-se um sistema do

tipo:

~~~~qGuH = (3. 91)

No qual os elementos da matriz ~H são defindos como:

117

=+

≠=

)sin(21ˆ

)sin(ˆ

gularelementojiseh

gularnãoelementojisehh

ij

ij

ij (3. 92)

De forma geral temos:

~~~

1

2

2

1

1

2

2

1

1

11

12

12

11

2

21

22

22

21

2

12

22

22

12

1

11

21

21

11

1

2

2

1

1

2

2

1

1

11

12

12

11

2

21

22

22

21

2

12

22

22

12

1

11

21

21

11

ˆˆ

:

ˆˆ

:::

..

..

..

..

..

..

::ˆ

::::

..

..

..

..

..

..

::

qGuH

q

q

q

q

q

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

u

u

u

u

u

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

n

n

n

nn

nn

nn

n

n

nn

nn

nn

n

n

nn

nn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

nn

nn

n

n

nn

nn

nn

n

n

nn

nn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

=

=

−

−

−

−

−

−−

−−

−

−

−

−−

−−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−−

−−

−

−

−

−−

−−

−

−

−

−

−

−

(3. 93)

Um exemplo para 6 elementos a matriz se reduz a:

~~~

6

5

4

3

2

1

66

56

46

36

26

16

65

55

45

35

25

15

64

54

44

34

24

14

63

53

43

33

23

13

62

52

42

32

22

12

61

51

41

31

21

11

6

5

4

3

2

1

66

56

46

36

26

16

65

55

45

35

25

15

64

54

44

34

24

14

63

53

43

33

23

13

62

52

42

32

22

12

61

51

41

31

21

11

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

qGuH

q

q

q

q

q

q

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

u

u

u

u

u

u

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

=

=

(3. 94)

Após a imposição das condições de contorno, obtém-se um sistema do tipo:

~~~fyA = (3. 95)

é obtido, no qual a matriz ~A é constituída pelas colunas de

~H e

~G associados aos valores

incógnitas de u e q, agora armazenados nos vetores ~y , e

~f é o vetor que contém as

contribuições de contorno, ~A , intercâmbiando os valores conhecidos da matriz, com os sinais

trocados, conforme mostra o esquema abaixo:

118

~~~

6

5

4

3

2

1

66

56

46

36

26

16

65

55

45

35

25

15

64

54

44

34

24

14

63

53

43

33

23

13

62

52

42

32

22

12

61

51

41

31

21

11

6

5

4

3

2

1

66

56

46

36

26

16

65

55

45

35

25

15

64

54

44

34

24

14

63

53

43

33

23

13

62

52

42

32

22

12

61

51

41

31

21

11

ˆˆˆˆˆˆ

fyA

q

q

u

u

q

q

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

u

u

q

q

u

u

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

=

−−−−−−

−−−−−−

=

−−−−−−

−−−−−−

(3. 96)

Os valores de q conhecidos (ou prescritos) qq ˆ= pelos valores de q a ser

calculados (ou não prescritos) q = q.

Os valores de u conhecidos (ou prescritos) uu ˆ= pelos valores de u a ser

calculados (ou não prescritos) u = u.

119

3. 6 – Exemplos e Aplicações

0)()()(1

0

1

0

22

2

=−−−+

−+ ==

xx

wqqdxdw

uuwdxbudx

ud λ (3. 97)

120

3. 7 – Exercícios e Problemas

121

Capítulo – IV

PROBLEMAS DE POTENCIAL

RESUMO

Neste capítulo será visto a solução do problema do potencial, equação de Poisson

e Laplace, por meio do Método dos Elementos de Contorno.

4. 1 - Objetivos do capítulo

i) Entender a teoria matemática fundamental da obtenção das equações integrais

ii) Saber aplicar o Método dos Elementos de Contorno em problemas de potencial

nas suas mais diferentes formas



O problema do potencial consiste em como se obter a equação integral para o

problema?. Existem três formas básicas para se chegar a essa equação integral, a saber:

- pelo Método dos Resíduos Ponderados

- pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais

- pelo Teorema da Reciprocidade de Betti

- pela Terceira Identidade de Green

A vantagem de usar o Método dos Resíduos Ponderados é sua generalidade, que

permite a extensão do método para resolver equações diferenciais parciais mais complexas.

Este método também pode ser usado para relacionar elementos de contorno a outras técnicas

numéricas e pode ser facilmente entendida pelos engenheiros.

122

4. 3 – A Equação de Poisson

No capítulo anterior vimos o desenvolvimento da versão unidimensional da

equação de Poisson, agora veremos a versão bidimensional desta equação.

4.3.1 – O problema bidimensional

Uma importante equação na engenharia é a tão chamada equação de Poisson que

para duas dimensões pode ser escrita como:

022

2

21

2

=+∂∂+

∂∂

bx

u

x

u em Ω (4. 1)

ou

bu =∇2 em Ω (4. 2)

onde 22

2

21

22 )()(

)(xx ∂

∂+∂∂=∇ , é chamado do operador de Laplace e x1 e x2 são as duas

coordenadas e b é uma função conhecida de x1 e x2. Ω é o domínio no qual a equação se aplica

e é suposto ser contornada pela curva Γ . O vetor normal dirigido para fora do contorno é

definido como n , conforme mostra a Figura - 4. 1.

Figura - 4. 1. Domínio sob consideração para as definições básicas da equação de Poisson.

A equação de Poisson ou sua forma homogênea (isto é b = 0) a qual é chamada de

equação de Laplace, governa muitos tipos de problemas em engenharia, tais como: análises de

seepage e aquifer, condução de calor, processo de difusão, torção, movimento de fluidos e

outros. Consequentemente esta é uma equação muito importante na análise de engenharia.

123

4.3.2 – A 2ª Identidade de Green

Agora nós também podemos introduzir aqui a idéia de multiplicar a equação (4. 1)

ou (4. 2) por uma função arbitrária w, contínua em ordem acima da derivada segunda, de

acordo com a sentença de resíduos ponderados, fornecendo:

0)( 2 =−∇ ΩΩ

wdbu (4. 3)

1ª Integração por Partes

Integrando por partes os termos, em x1 e x2, temos:

ΩΩΩΩ

dxw

xu

xw

xu

dxxu

dxxu

wdx

u

x

uw

vduv

u

dv

u

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂

2211

12

21

22

2

21

2 (4. 4)

onde wu = e 22

11

dxxw

dxxw

du∂∂+

∂∂= e Ωd

x

u

x

udv

∂∂+

∂∂=

22

2

21

2 logo

∂∂+

∂∂= 1

22

1

dxxu

dxxu

v . Como Γdndx 21 −= e Γdndx 12 = temos:

02211

22

11

22

2

21

2

=Ω

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−Γ

∂∂+

∂∂=Ω

∂∂+

∂∂

ΩΓΩ

dxw

xu

xw

xu

dnxu

nxu

wdx

u

x

uw

(4. 5)

chamando de:

jninn ˆˆˆ 21 += (4. 6)

e

jdxidxrd ˆˆ21 += (4. 7)

logo

2211.ˆ dxndxnrdn += (4. 8)

ou

124

0ˆ.ˆˆ.ˆ.ˆ 2112 =−= jjd

dxdxii

ddxdx

rdnΓΓ

(4. 9)

Portanto, os vetores n e rd

são perpendiculares ( rdn⊥ˆ ) entre si, pois 0.ˆ =rdn

jddx

iddx

nd ˆˆˆ 21

ΓΓ−= (4. 10)

Logo

12

21

dxxu

dxxu

nu

∂∂+

∂∂=

∂∂

(4. 11)

Portanto, a equação (4. 5) fica:

02211

22

2

21

2

=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂=

∂∂+

∂∂

ΩΓΩΩΩ

dxw

xu

xw

xu

dnu

wwdx

u

x

u (4. 12)

sendo

nunu ˆ.∇=

∂∂

(4. 13)

e ainda

jxu

ixu

u ˆˆ21 ∂

∂+∂∂=∇ (4. 14)

com

jxw

ixw

w ˆˆ21 ∂

∂+∂∂=∇ (4. 15)

temos:

ΩΓΩΩΓΩ

wdudnuwudw ∇∇−∇=∇ ˆ.2 (4. 16)

Logo substituindo (4. 16) em (4. 3) temos:

( ) odnuwdbwwudbuw =∇+−∇−∇=−∇ ΓΩΩΓΩΩ

ˆ.)(2 (4. 17)

ou

125

022

11

22112

2

2

21

2

=

∂∂+

∂∂+

+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−=

−

∂∂+

∂∂

Γ

ΩΩ

Γ

ΩΩ

dnxu

nxu

w

dbwxw

xu

xw

xu

dbx

u

x

uw

(4. 18)

Neste caso a integração por partes dos dois termos produz as derivadas de u com respeito a

normal, isto é, nu ∂∂ / o qual será chamado posteriormente de q, isto é, nuq ∂∂= / .


Integrando por partes novamente os termos, em x1 e x2, onde

)( 12

21

dxxw

dxxw

u∂∂+

∂∂= e Ωd

x

w

x

wdu

∂∂+

∂∂= 2

2

2

21

2

e

∂∂+

∂∂= 2

21

1

dxxu

dxxu

dv logo

uv = .

−=

+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂− vduuvdbw

xw

xu

xw

xu

udv

ΩΩ 2211

(4. 19)

obtemos:

ΩΩΩΩ

dx

w

x

wudx

xw

dxxw

udxw

xu

xw

xu

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

22

2

21

2

12

212211

(4. 20)

Como Γdndx 21 −= e Γdndx 12 = temos:

ΩΓΩΩΓΩ

dx

w

x

wudn

xw

nxw

udxw

xu

xw

xu

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

22

2

21

2

22

112211

(4. 21)

Como

12

21

dxxw

dxxw

nw

∂∂+

∂∂=

∂∂

(4. 22)

logo

126

ΩΓΩΩΓΩ

wdudnw

uwdu 2∇+

∂∂−=∇∇− (4. 23)

logo

0

/

22

11

/

22

11

22

2

21

2

=

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂+

−

∂∂+

∂∂

∂∂∂∂

ΓΓΩΓΓΩ

dnxw

nxw

udnxu

nxu

wdbwx

w

x

wu

nwnu

(4. 24)

ou

( ) 02 =

∂∂−

∂∂+−∇ ΓΓΩ

ΓΓΩ

dnw

udnu

wdbwwu (4. 25)

A expressão (4. 25) é igual a (4. 3) e portanto pode-se escrever:

( ) ( ) 022 =

∂∂−

∂∂+∇=∇ ΓΓΩΩ

ΓΓΩΩ

dnw

udnu

wdwuduw (4. 26)

onde o termo em b tem sido eliminado porque este aparece dos dois lados da equação.

A equação (4. 26) pode também ser expressa na forma conhecida como teorema

de Green, isto é:

ΓΩΓΩ

dnwuuwdwuuw ˆ).()( 22 ∇−∇=∇−∇ (4. 27)

Embora este teorema em muitos casos forneça o ponto de partida para muitas

aplicações em engenharia, incluindo a formulação dos elementos de contorno, este teorema é

muito mais esclarecedor no uso do conceito de distribuição, conforme se ilustra os graus de

continuidade requerida das funções e a importância do correto tratamento das condições de

contorno.

127

4.3.3 - Levando o problema para o contorno

Neste momento vamos agora considerar que o contorno Γ do domínio Ω sob

estudo é dividido em duas partes, Γ1 e Γ2 (Γ = Γ1 + Γ2) tal que:

uu = em Γ1 (4. 28)

qnu

q =∂∂= em Γ2 (4. 29)

Portanto, a equação (4. 25) pode agora ser escrita como:

( )2121

2 =

∂∂−

∂∂−++−∇ ΓΓΓΓΩ

ΓΓΓΓΩ

dnw

udnw

uwdqwdqdbwwu

(4. 30)


Mais uma vez podemos integrar por partes, para recuperar o Laplaciano original

u2∇ de forma a ver como a importância das condições de contorno afeta a equação.

Integrando por partes novamente nós temos:

021

21212211

=

∂∂−

∂∂−

++

∂∂+

−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

+=

ΓΓ

ΓΓΓΩ

ΓΓ

ΓΓΓΓΓΩ

dnw

udnw

u

wdqwdqdnw

udbwxu

xw

xu

xw

(4. 31)

Pode-se dividir a primeira integral em Γ em dois termos (um em Γ1 e o outro em Γ2), o

segundo termo do qual pode ser cancelado com a última integral em (4. 31). Este fornece

012

112211

=

∂∂−+

++

∂∂+

−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

ΓΓ

ΓΓΩ

ΓΓ

ΓΓΩ

dnw

uwdq

wdqdnw

udbwxu

xw

xu

xw

(4. 32)

128


Integrando por partes novamente a seguinte expressão é obtida:

012

1121

22

21

2

=

∂∂−+

++

∂∂+−

−

∂∂−

∂∂−

+=

ΓΓ

ΓΓΓΩ

ΓΓ

ΓΓΓΓΓΩ

dnw

uwdq

wdqdnw

uwdqdbx

u

x

uw

(4. 33)

ou

0ˆ.

ˆ.)(

12

1121

2

=∇−+

+∇−−−∇

+=

ΓΓ

ΓΓΓΩ

ΓΓ

ΓΓΓΓΓΩ

dnwudwq

dqwdnwudwqdbwwu

(4. 34)

A primeira integral em Γ pode novamente ser escrita como uma soma de duas

integrais, uma em Γ1 e a outra em Γ2. A primeira em Γ1 pode ser cancelada com a integral em

Γ1 de qw na segunda equação. Isto fornece

( ) 01212

2 =

∂∂−+

∂∂+−−∇ ΓΓΓΓΩ

ΓΓΓΓΩ

dnw

uwdqdnw

uwdqdbuw

(4. 35)

Esta fórmula pode ser escrita como:

( ) 0)()(12

2 =

∂∂−+−−−∇ ΓΓΩ

ΓΓΩ

dnw

uuwdqqdbuw (4. 36)

Mais uma vez esta expressão mostra que está se tentando satisfazer a equação

diferencial no domínio, Ω, e junto com mais dois tipos de condições de contorno, as

condições essenciais uu = em Γ1 , mais as condições naturais qq = em Γ2. Isto é muito

mais do que tem sido mostrado na equação, (2. 23) com a única exceção de que o sinal do

último termo é diferente em ambas as expressões. Isto porque na equação (2. 23) as derivadas

foram tomadas com relação a x ao invés de ser com relação a normal, n , como elas são agora.

129

4. 4 – A Formulação Fraca do Método dos Resíduos Ponderados

O estabelecimento das integrais fundamentais do Método dos Elementos de

Contorno e do Método dos Elementos Finitos pode ser interpretada como uma combinação de

uma Sentença de Resíduos Ponderados e de um processo de integração por partes, que reduz

ou “enfraquece” a ordem da continuidade requerida para a função u.

4.4.1 – Resolvendo o problema no contorno

Se retornarmos a equação de Poisson em (4. 2) com b ≡ 0, por questões de

simplicidade, isto é:

02 =∇ u em Ω (4. 37)

a equação de Laplace em (4. 36) pode ser escrita como:

( ) 0)()(12

2 =

∂∂−+−−∇ ΓΓΩ

ΓΓΩ

dnw

uuwdqqduw (4. 38)

ou em termos das funções residuais,

012

12 =Γ

∂∂+Γ−Ω

ΓΓΩ

dnw

RwdRRdw

q

(4. 39)

Conforme mostra a Figura - 4. 2.

Figura - 4. 2. Domínio Ω e o contorno Γ = Γ1 + Γ2, de um problema de Laplaciano de um potencial, u.

130

Vejamos um caso particular ou especial desta equação em cujo caso a função de

aproximação u satisfaz exatamente as condições de contorno “essenciais” uu = em Γ1 o que

resulta em 01 =R . Neste caso a equação (4. 39) torna-se:

uu = em Γ1 R1 = 0 (4. 40)

logo

ΓΩΓΩ

wdRRdw =2

2 (4. 41)

ou

( ) ΓΩΓΩ

wdqqduw )(2

2 −=∇ (4. 42)

5ª Integração por Partes (Formulação Fraca)

Uma forma mais usual desta expressão pode ser obtida pela integração por partes

mais uma vez a qual fornece.

0)(2

22

112211

=−−

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂− ΓΓΓΩ

ΓΓΓΩdwqqwdn

xu

wdnxu

dxu

xw

xu

xw

(4. 43)

onde 021

==

∂∂

+=

ΓΓΓΓΓΓ

dqwwdnu

fluxo

logo

ΓΓΓΩΓΓΓΩ

dnw

uuwdqwdqdxu

xw

xu

xw

∂∂−−−−=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

112

)(2211

(4. 44)

onde dudsudssduduvuvdvu −=→−= 2

0212211

=++

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂− ΓΓΩ

ΓΓΩ

wdqwdqdxu

xw

xu

xw (4. 45)

131

Da equação (4. 45) se impusermos que as funções w satisfazem a versão

lagrangeana das condições de contorno essenciais em Γ1, então w = 0 em Γ1 (onde o potencial

é conhecido). Logo,

01

= ΓΓ

wdq (4. 46)

Portanto, não vemos mais porque nos preocuparmos com o fluxo em Γ1. Isto resulta que:

ΓΩΓΩ

wdqdxu

xw

xu

xw

=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

22211

(4. 47)

Esta equação traduz o Método dos Elementos de Finitos (MEF) de uma forma suscinta que

corresponde a Formulação Variacional Fraca.

Deve-se observar que a equação (4. 45) poderia também ser obtida pela integração

por partes sobre o domínio da Sentença de Resíduos Ponderados para u2∇ e então

introduzindo as condições de contorno, isto é, iniciando com:

( ) 02 =∇ ΩΩ

duw (4. 48)

Pode-se integrar por partes mais uma vez para produzir a seguinte expressão:

ΓΩΓΩ

dnu

wdxu

xw

xu

xw

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

2211

(4. 49)

Introduzindo-se então as correspondentes condições de contorno em Γ (Γ = Γ1 + Γ2) resulta

na equação (4. 45).

O último termo na equação (4. 45) é geralmente forçado ser identicamente igual a

zero pelo requerimento de que as funções w tem de satisfazer a versão lagrangeana das

condições de contorno essenciais, ou das condições sobre Γ1, isto é, w = 0 em Γ1. Isto dá uma

relação bem conhecida no Método dos Elementos Finitos, isto é:

ΓΩΓΩ

wdqdxu

xw

xu

xw

=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

22211

(4. 50)

A equação (4. 49) é geralmente interpretada em termos do trabalho virtual ou da

potência virtual, pela associação de w com uma função virtual. Note que a integral no lado

esquerdo é uma medida do trabalho virtual interno e o lado direito o trabalho virtual realizado

132

por forças externas q . A equação (4. 49) é o ponto de partida da maioria dos esquemas de

elementos finitos para problemas Laplacianos e é geralmente chamada de uma formulação

variacional “fraca”.

4.4.2- Motivos da “fraqueza”

A fraqueza pode ser interpretada como devido a duas razões:

(i) A ordem da continuidade da função u foi reduzida e como suas derivadas agora

são de uma ordem mais baixa ou inferiores (isto é, primeira ao invés de segunda)

(ii) A satisfação das condições de contorno naturais ( qq = ) é feita de uma forma

aproximada ao invés da maneira exata, que reduz a precisão dos resultados desses valores no

contorno desta variável. (Note que R2 é geralmente diferente de zero).

A formulação do Método dos Elementos de Contorno pode ser interpretada pela

introdução de um passo formal a mais no processo de integração por partes nas derivadas de

u, e consequentemente enfraquecendo os requisitos de continuidade para u.

Se partirmos novamente da equação (4. 38) e integrarmos por partes como antes, a

expressão mais completa é obtida como segue:

ΓΓΓΩΓΓΓΩ

dnw

uuwdqwdqdxu

xw

xu

xw

∂∂−−−−=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

112

)(2211

(4. 51)

133

4. 5 – A Formulação Inversa do Método dos Resíduos Ponderados

Vejamos agora a formulação inversa do Método dos Resíduos Ponderados

aplicado a equação de Laplace.


Integrando-se novamente de forma a eliminar todas as derivadas em u no lado

esquerdo da integral, acha-se

( ) ΓΓΓΓΩΓΓΓΓΩ

dnw

udnw

uwdqwdqdwu

∂∂+

∂∂+−−=∇

2112

2 (4. 52)

Esta é a sentença de partida para a formulação do Método dos Elementos de

Contorno da Equação de Laplace. A mesma equação pode ser obtida partindo-se da Integral

dos Resíduos Ponderados sobre o domínio Ω (equação (4. 48)), integrando-se por partes duas

vezes e então introduzindo as condições de contorno. O processo já tem sido mostrado a partir

de uma outra equação de campo na fórmula (4. 3) a (4. 25) e então (4. 28) e (4. 30), a única

diferença agora esta sendo que b é zero.

134

4. 6 – Equações Integrais Básicas

Para se resolver problemas de potenciais, surge a seguinte pergunta:

Como obter a equação integral para o problema do potencial?

Como resposta temos três formas básicas diferentes:

- Por meio do Método dos Resíduos Ponderados

- Pelo Terceira Identidade de Green

- Pelo Teorema da Reciprocidade de Betti.

- Pelo Principio dos Trabalhos Virtuais.

Considere que nós estamos procurando achar a solução da equação de Laplace em

um domínio Ω (bi ou tridimensional) (Figura - 4. 3).

Figura - 4. 3. Definições geométricas da equação de Laplace.

Seja a equação de Laplace (em 2D ou 3D), dada por:

02 =∇ u em Ω (4. 53)

sob as seguintes condições sobre o contorno Γ.

(i) “Condições Essenciais”do tipo.

uu = em Γ1 (4. 54)

(ii) “Condições Naturais tais como:

qnuq =∂∂= / em Γ2. (4. 55)

onde n é o vetor normal ao contorno, Γ = Γ1 + Γ2 e as barras indicam que aqueles valores são

conhecidos conforme mostra a Figura - 4. 3. Condições de contorno mais complexas tais

como a combinação das duas condições acima, isto é:

135

(iii) “Condições Mistas tais como q = q(u):

γβα =+ qu em Γ3 (4. 56)

onde α e β e γ são parâmetros conhecidos, que podem ser facilmente incluídos mas ele não

serão considerados agora por questão de simplicidade.

Em princípio o erro introduzido na equação acima se os exatos valores de u e q

(desconhecidos) são substituídos por uma solução aproximada que pode ser minimizada pela

ortogonalização delas com relação a uma função de ponderação u*, com derivadas sobre o

contorno nuq ∂∂= /** .

Em outras palavras se R são os resíduos, pode-se escrever de forma geral que:

02 ≠∇= uR (4. 57)

e

01 ≠−= uuR (4. 58)

02 ≠−= qqR (4. 59)

onde u e q são valores aproximados. (O fato que um ou mais dos resíduos pode ser

identicamente zero não diminui a generalidade do argumento).

A ponderação pode agora ser realizada como mostrado no Capítulo II, isto é,

através do Método dos Resíduos Ponderados, onde w = u* e */ qnw =∂∂ , temos:

Γ ΓΩ

+Γ=Ω2 1

*** 12 qRduRduR (4. 60)

ou

−−−=∇2 1

*)(*)(*)( 2

Γ ΓΩ

ΓΓΩ dquuduqqduu (4. 61)

Integrando por partes o lado esquerdo desta equação obtemos:

−++−=

∂∂

∂∂

2 1 11

*****

Γ Γ ΓΓΩ

ΓΓΓΓΩ dqudqudquduqdxu

xu

kk

(4. 62)

onde k = 1, 2, 3 e a tão chamada notação de somatória de Einstein para índices repetidos, têm

sido usada. Integrando por partes novamente o termo do lado esquerdo obtém-se:

136

++−−=∇2 2 11

*****2

Γ Γ ΓΓΩ

ΓΓΓΓΩ dquduqdquduqduu (4. 63)

Esta é uma importante equação, assim ela é o ponto de partida para a aplicação do Método

dos Elementos de Contorno. Note que a equação (4. 63) é a mesma que o Teorema de Green

(equação (4. 27)) depois da substituição da equação (4. 53) e uma vez que as condições de

contorno são aplicadas. Nosso objetivo agora é transformar a equação (4. 53) em uma

equação integral de contorno. Mas como?. Isto é feito usando-se um tipo especial de função

de ponderação u* chamada de solução fundamental.

4.6.1 – Solução Fundamental

A solução fundamental u* que satisfaz a equação de Laplace, ∇2u = 0, e

representa o campo de solução gerado por uma fonte ou partir de uma carga unitária

concentrada agindo em um determinado ponto “ï” em um domínio infinito. O efeito desta

carga é propagado desde i até o infinito sem qualquer consideração de condições de contorno.

Porque desta solução pode ser escrito.

0*2 =+∇ iu δ (4. 64)

onde δi = δ(X-Xi) representa a função Delta de Dirac a qual tende a infinito em qualquer ponto

X = Xi e é igual a zero em qualquer outro lugar. A integral de δi contudo é igual a um. O uso

da função delta de Dirac é uma forma elegante de representar cargas concentradas unitárias

como forças quando estamos tratando com equações diferenciais.

A solução particular u* é a solução da equação particular.

),(*2 Xu ξδ−=∇ (4. 65)

para X = ξ → ∞. ou em coordenadas cartesianas

( )yxXyu

xu

u yx −−−=−=∂

∂+∂

∂=∇ ξξδξδ ,),(**

* 2

2

2

22 (4. 66)

Transformando em coordenadas polares

),(*1*1

* 2

2

22 x

urr

ur

rru ξδ

θ−=

∂∂+

∂∂

∂∂=∇ (4. 67)

A solução fundamental é esfericamente ou circularmente simétrica

137

),(

),(

yxXyx

=

= ξξξ (4. 68)

e

ξ−= Xr (4. 69)

ou

22 )()( yx yxr ξξ −+−= (4. 70)

conforme mostra a Figura - 4. 4.

Figura - 4. 4. Espaço vetorial das soluções fundamentais circularmente simétricas.

Logo para r > 0 δ(ξ, x) = 0, temos:

01*1

2

2

2 =∂∂+

∂∂

∂∂

θu

rru

rrr

(4. 71)

Definido pela simetria circular, temos:

0**

2

2

=∂∂→=

∂∂

θθu

constanteu

(4. 72)

logo

138

),(*1

xr

ur

rrξδ−=

∂∂

∂∂

(4. 73)

donde

0*1 =

∂∂

∂∂

ru

rrr

(4. 74)

A equação (4. 74) pode ser resolvida com integração unidimensional

(considerando o domínio isotrópico).

=

∂∂

∂∂

drdrr

ur

r0

* (4. 75)

ou

Ar

ur =

∂∂ *

(4. 76)

logo

drrA

drr

u =

∂∂ *

(4. 77)

Portanto, a solução da equação homogênea é:

( ) BrAu += ln* (4. 78)

Observemos que u é singular em r = 0.

Resolvendo para acharmos A e B devemos calcular, a integral aplicando a

propriedade da função Delta de Dirac:

1),(*2 −=−=∇ ΩξδΩΩΩ

dxdu (4. 79)

Aplicando o teorema de Green-Gauss (teorema da divergência) transformamos a integral de

domínio em uma integral de contorno.

ΓΩΓΩ

dnw

wd ∂∂=∇2 (4. 80)

logo

139

1*

*2 −=∂

∂=∇ ΓΩΓΩ

dn

udu (4. 81)

Vamos definir um domínio Ω por um círculo de raio r ao redor de ξ (centrado),


Figura - 4. 5. Circulo de raio r centrado em ξ no domínio infinito Ω∞.

A partir de (4. 76) temos:

rA

ru =∂

∂ * (4. 82)

Como r

e n possuem a mesma direção podemos escrever:

θθΓΓΩππ

ΓΓΩrd

rA

rdr

ud

ru

dn

udu =

∂∂=

∂∂=

∂∂=∇

2

0

2

0

2 ****)( (4. 83)

12)02(2

0−==−== AAA ππθ π (4. 84)

Logo

π21−=A (4. 85)

Portanto, a solução fundamental será:

140

cte

Br

u +

= 1ln

21

*π

(4. 86)

onde B é uma constante arbitrária e adota-se B = 0, logo, para um meio isotrópico

bidimensional a solução fundamental da equação (4. 64) é:

=r

u1

ln21

*π

(4. 87)

u* é a nossa função de ponderação. E o fluxo q* é dado por:

rnr

ru

nu

qπ21**

* −=∂∂

∂∂=

∂∂= (4. 88)

A equação apresentada se aplica a uma fonte unitária concentrada em ξ. Deve-se

lembrar que u* e q* são as respostas a uma distância r de uma fonte de carga unitária

concentrada em ξ em um espaço infinito com contorno infinito. Para o caso de um domínio

isotrópico tridimensional, a solução fundamental é:

ru

π41

* = (4. 89)

Que é singular em r = 0, onde r é a distancia desde o ponto Xi de aplicação da função delta a

qualquer ponto sob consideração. E o fluxo q* em três dimensões é dado por:

241**

*rn

rr

un

uq

π=

∂∂

∂∂=

∂∂= (4. 90)

4.6.2 – Análise das soluções fundamentais bi e tridimensional

È fácil checar que a solução (4. 87) e (4. 89) satisfaz as equações de Laplace tri- e

bidimensional. Considere por exemplo a equação tridimensional em termos de coordenadas

polares após se desprezar os termos que são nulos devido a simetria da solução, isto é:

i

ru

rru

u δ−=∂

∂+∂

∂→∇ *2** 2

22 (4. 91)

Simplesmente substituindo a solução (4. 87) e (4. 89) nós podemos checar que a equação é

satisfeita para qualquer valor de r diferente de zero. Para o caso onde r ≡ 0 nós precisamos

realizar a integração ao redor de uma esfera de raio ε e então fazer ε tender a zero. Considere

141

que a esfera tem um domínio Ω, e integramos por partes para expressar o Laplaciano em

termos dos fluxos de contorno nu ∂∂ /* , isto é:

( ) ΓΓΩΓΓΩ

dr

ud

ru

du∂

∂=

∂∂=∇

***

21

2 (4. 92)

Note que n ≡ r sobre a superfície da esfera.

Substituindo agora a solução fundamental (4. 87) em (4. 91) e fazendo r (ou ε)

tender a zero temos:

144

lim

41

lim*

lim

2

2

0

20021

−=

−=

−=

∂∂

→

→→

πεπε

Γπε

Γ

ε

Γε

Γε

ddr

u

(4. 93)

Note que a superfície da esfera é 24πεΓε = . Similarmente para o caso

bidimensional pode-se definir um pequeno círculo de raio ε e então tomar o limite quando ε

→ 0, isto é:

122

lim

21

lim*

lim

2

2

0

0021

−=

−=

−=

∂∂

→

→→

πεπε

Γπε

Γ

ε

Γε

Γε

ddr

u

(4. 94)

Aqui o perímetro do pequeno círculo é Γ = 2πε.

4.6.3 – Aplicação da Solução Fundamental a Equação Integral

Voltando-se a equação integral (4. 63) observa-se que no lado esquerdo havia um

termo do tipo:

( ) ( ) )(),(*2 ξΩξδΩΩΩ

ii udXuduu −=−=∇ (4. 95)

A integral da função delta de Dirac multiplicada por qualquer outra função é igual ao valor da

última no ponto Xi. Portanto, a equação integral (4. 63) pode agora ser escrita como:

142

+=++2 2 11

*)(*)(*)(*)()(Γ Γ ΓΓ

ΓΓΓΓξ duXqduXqdqXudqXuu i (4. 96)

onde qu e são valores conhecidos. Necessita-se lembrar que a equação (4. 96) aplica-se a

uma carga concentrada em “i” e consequentemente os valores de u* e q* são aqueles

correspondentes a aquela posição particular da carga. Para cada outra posição Xi acharemos

uma nova equação integral.

4.6.4 – Equação Integral de Contorno

Nós temos agora deduzido a equação (4. 96) a qual é válida para qualquer ponto

dentro do domínio Ω. Em elementos de contorno é geralmente preferível por razões

computacionais aplicar a equação (4. 96) no contorno e portanto nós precisamos achar o que

acontece quando o ponto Xi está sobre Γ. Uma simples forma de fazer isto é considerar que o

ponto i está sobre o contorno, mas o domínio ele mesmo é aumentado por um hemisfera de

raio ε (em 3D) conforme mostrado na Figura - 4. 6 (para 2D o mesmo se aplica mas nós

consideraremos um semicírculo ao invés de uma semi-esfera).

Figura - 4. 6. Pontos de contorno para o caso bi- e tridimensional, aumentado por uma pequena hemisfera ou semicírculo.

O ponto Xi é considerado ser no centro e então o raio ε é tomado a zero. O ponto então tornará

um ponto de contorno e a expressão resultante a especialização de (4. 96) para um ponto sobre

143

Γ. No presente nós somente consideraremos superfícies suaves como representado na Figura -

4. 6 e discutiremos o caso dos cantos em outras secções.

É importante neste estágio diferenciar entre dois tipos de integrais de contorno em

(4. 96) conforme a solução fundamental e sua derivada comportam-se diferentemente.

Considere por questão de simplicidade a equação (4. 96) antes de quaisquer condições de

contorno terem sido aplicadas, isto é:

=+Γ Γ

ΓΓ dquduqu i ** (4. 97)

onde 21 ΓΓΓ += e satisfazendo as condições de contorno será deixada para depois.

Integrais do tipo mostrado no lado direito de (4. 97) são fáceis de tratar porque

elas apresentam uma baixa ordem de singularidade, isto é, para os casos tridimensionais a

integral ao redor de Γ fornece:

042

lim

41

lim*lim

2

2

0

0011

≡

=

=

→

→→

πεπε

Γπε

Γ

ε

Γε

Γε

q

dqduq (4. 98)

Em outras palavras nada ocorre no lado direito da integral quando (4. 96) ou (4. 97) são

levadas para o contorno. O lado esquerdo da integral, contudo comporta-se de uma forma

diferente. Aqui nós temos ao redor de Γε o seguinte resultado.

iuu

dudqu

21

42

lim

41

lim*lim

2

2

0

20011

≡

−=

−=

→

→→

πεπε

Γπε

Γ

ε

Γε

Γε

(4. 99)

Eles produzem o que é chamado de termo livre. É fácil checar que o mesmo ocorrerá para os

problemas bidimensionais em cujo caso o lado direito da integral ao redor de Γε é também

identicamente igual a zero e o lado esquerdo da integral torna-se

144

iuu

dudqu

21

2lim

21

lim*lim

0

0011

≡

−=

−=

→

→→

πεπε

Γπε

Γ

ε

Γε

Γε (4. 100)

Desde a equação (4. 98) a (4. 100) pode-se escrever a seguinte expressão para os

problemas bi- e tridimensionais

=+Γ Γ

ΓΓ dquduqu i **21 (4. 101)

onde as integrais estão no senso do Valor Principal de Cauchy.

Este é a equação integral de contorno geralmente usada como um ponto de partida

para os elementos de contorno.

4. 7 – Método de Discretização do Contorno

Vamos agora considerar como a expressão (4. 101) pode ser discretizada para

achar o sistema de equações do qual os valores de contorno podem ser achados. Suponha por

questões de simplicidade que o corpo é bidimensional e seu contorno é dividido em N

segmentos ou elementos conforme mostrado na Figura - 4. 7. Os pontos onde os valores

desconhecidos são considerados são chamados “nós” e são tomados ser no meio do elemento

para o tão chamado elemento-constante (Figura - 4. 7a). Estes serão elementos considerados

nesta secção, mas depois nós usaremos e também discutiremos o caso de elementos lineares,

isto é, aqueles elementos para os quais os nós são nós extremos ou pontas (Figura - 4. 7b) e

elementos curvos tais como os quadráticos mostrados na Figura - 4. 7c e para o qual um nó a

mais no meio do elemento é necessário.

Figura - 4. 7. Diferentes tipos de elementos de contorno.

145

Observe que a geometria dos elementos de contorno pode ou não ser compatível

com a geometria do contorno. No caso da Figura - 4. 7 têm-se um contorno curvo aproximado

por elementos lineares constantes, ou segmentos de reta. Para facilitar o entendimento vamos

“visualizar” a discretização com elemento constante de geometria linear ou reta.

Portanto, para os elementos constantes considerados aqui o contorno Γ é suposto

ser dividido em N elementos, Γj, j = 1,2,3 ...N, temos:

=

=N

jj

1

ΓΓ (4. 102)

Os valores de u e q são supostos ser constantes sobre cada elemento e igual ao valor no meio

do nó.

A equação (4. 101) pode ser discretizada para um dado ponto “ï” antes de aplicar

quaisquer condições de contorno, logo a equação de contorno pode ser escrita como segue,

==

=+j j

duXqdqXuuN

j

N

j

i

Γ ΓΓΓξ *)(*)()(

21

11

(4. 103)

O ponto i é um dos nós do contorno. Note que para este tipo de elemento (isto é constante) o

contorno é sempre suave conforme o nó está no centro do elemento, portanto o multiplicador

de cada ui é ½ . Γj é o contorno do elemento j. ξ é o ponto em que será aplicado cada um dos

nós funcionais dos elementos.

Os valores de u e q podem ser levados para fora das integrais porque eles são

constantes sobre cada elemento. Eles serão chamados de uj e qj para o elemento j. Portanto,

j elementono fluxo1j ponto no potencial1

texto)no de (posição i cada em colocação de ponto

no potencial

**)(21 j

N

ji

jN

ji

i qduudqujj

==

=

+

ΓΓ

ξξ

ΓΓξ

(4. 104)

onde Γj são as funções de forma adotadas que podem ou não representar perfitamente o

contorno. Note que para montar uma equação que relaciona u(X)’s e q(X)’s existem dois tipos

de integrais a serem efetuadas sobre os elementos, isto é, aquelas dos seguintes tipos

j j

dudqΓ Γ

ΓΓ *e* (4. 105)

146

Estas integrais relacionam o nó “i” onde a solução fundamental está atuando com

o outro nó “j”. Por causa de que seus valores resultantes são algumas vezes chamados de

coeficientes de influência. Nós chamaremos eles ijH e Gij, isto é:

==j j

duGdqH iij

iij

Γ ΓΓΓ **ˆ

(4. 106)

i: posição da fonte unitária no contorno. j índice associado ao nó do elemento que está sendo

integrado. Note que nós estamos assumindo que a solução fundamental é aplicada a um nó

particular “i”, que também varia de 1 a N, embora isto não está explicitamente indicado na

notação em u*, q* para evitar proliferação de índices. Portanto, aplicando um fonte ou carga

unitária em “i”, calcula-se Hij e Gij. Logo para um ponto particular “i” pode-se escrever:

jN

j

ijjN

j

iji qGuHu ==

=+11

ˆ21 (4. 107)

4.7.1 – Montagem das matrizes Hij e Gij

Se nós supusermos que a posição de i pode também variar de 1 até N, isto é, a

fonte unitária é aplicada em cada um dos nós funcionais do contorno (um ponto de colocação

por vez), nós observamos que a solução fundamental sendo aplicada a cada um dos nós

sucessivamente obtém-se um sistema de N equações resultante da aplicação de (4. 107) a cada

um dos pontos em volta do contorno.

iN

i

N

j

ijiN

i

N

j

ijN

i

i qGuHu = == ==

=+1 11 11

ˆ21 (4. 108)

O valor do índice j percorrerá todo o contorno, a partir de um índice i fixado. Mas em um

determinado momento i será igual a j e neste ponto teremos:

iN

i

N

i

iiiN

i

N

h

iiN

i

i qGuHu = == ==

=+1 11 11

ˆ21 (4. 109)

Observe que para i = j este índice percorre todo o contorno em N elementos. Portanto,

podemos escrever:

iN

i

iiiN

i

ii qGuH ==

=

+11 2

1ˆ (4. 110)

Chamando de:

147

jiparaHH iiii =+=

21ˆ (4. 111)

E para os elementos diferentes do índice i fixado, teremos:

ijij HH ˆ= (4. 112)

Portanto a equação (4. 107) pode agora ser escrita como:

jN

j

ijjN

j

ij qGuH ==

=11

(4. 113)

onde

≠

=+=

jiquandoH

jiquandoHH

ij

ijij

ˆ21ˆ

(4. 114)

Esta série de equações pode ser expressa na forma matricial como:

GQHU = (4. 115)

onde H e G são duas matrizes N x N e U e Q são vetores de comprimento N.

Note que N1 valores de u e N2 Valores de q são conhecidos em Γ1 e Γ2

respectivamente (Γ1 + Γ2 = Γ), então existem somente N valores desconhecidos no sistema de

equações (4. 115). Para introduzir estas condições de contorno em (4. 115) temos de

rearranjar o sistema movendo as colunas de H e G de um lado ao outro. Uma vez que todos os

valores desconhecidos são passados para o lado esquerdo nós podemos escrever:

FAX = (4. 116)

onde X é um vetor de valores nodais dos potenciais u e dos fluxos q desconhecidos no

contorno. F é achado pela multiplicação da coluna correspondente da matriz resultante do

rearranjo das colunas de H e G pelo valores conhecidos ou prescritos de u’s ou q’s resultante

do rearranjo das linhas de U e Q. É interessante apontar que os valores desconhecidos são

agora uma mistura do potencial e de suas derivadas, ao invés do potencial somente como em

elementos finitos. Isto é uma consequência do Método dos Elementos de Contorno de ser uma

formulação mista e dá uma importante vantagem sobre o Método dos Elementos Finitos.

A equação (4. 116) pode agora ser resolvida e todos os valores de contorno são

então conhecidos. Uma vez que isto é feito, é possível calcular qualquer valor interno de u or

148

de suas derivadas. Os valores de u’s são calculados em qualquer ponto interno “i” usando a

fórmula (4. 96) a qual pode ser escrita como:

−=j HijGij

i dquduquΓ Γ

ΓΓ **

(4. 117)

Note que agora a solução fundamental é considerada ser atuante sobre um ponto interno “i”e

que todos os valores de u e q já são conhecidos. O processo é então de integração (em geral

numericamente). A mesma discretização é usada para as integrais de contorno, isto é,

jN

j

ijjN

j

iji uHqGu ==

−=11

ˆ (4. 118)

Os valores de uj e qj agora são os valores conhecidos no contorno que foram calculados

anteriormente.

Os coeficientes Gij e Hij foram calculados novamente para cada diferente ponto

interno.

Os valores dos fluxos internos nos duas direções x1 e x2, 1/1

xuqx ∂∂= e

2/2

xuqx ∂∂= , são calculados efetuando-se as derivadas em (4. 117), isto é:

( )

( ) ΓΓ

ΓΓ

ΓΓ

ΓΓ

dxq

udxu

qxu

q

dxq

udxu

qxu

q

ii

x

ii

x

222

111

**

**

21

2

21

1

∂∂−

∂∂=

∂∂=

∂∂−

∂∂=

∂∂=

(4. 119)

Note que as derivadas são efetuadas somente sobre a soluções fundamentais u* e q* conforme

nós estamos calculando as variações de fluxo ao redor do ponto “i”.

O cálculo das integrais para os pontos internos em (4. 118) e (4. 119) são

geralmente efetuadas numericamente.

onde

=

Nu

u

u

U:2

1

e

=

Nq

q

q

Q:2

1

(4. 120)

e

149

=

NNNN

N

N

HHH

HHH

HHH

H

..::::

..

..

21

22221

11211

e

=

NNNN

N

N

GGG

GGG

GGG

G

..::::

..

..

21

22221

11211

(4. 121)

Agora vamos calcular os elementos da matriz H e G na diagonal e fora da

diagonal

4. 8 – Elementos de Discretização de um Contorno em 2D

A discretização de um contorno Γ, é feita dividindo-se este em N elementos

geométricos de aproximação, denominados elementos de contorno, que percorrem todo ele,

procurando reproduzi-lo matematicamente de forma aproximada.

Define-se elemento de contorno, ao ente geométrico unitário que possui forma e

funcionalidade definida por meio de seus nós geométricos e funcionais. conforme mostra a

Figura - 4. 8.

Figura - 4. 8. Elementos de Contorno, linear ou curvo (parabólico ou cúbico) definido por meio dos nós geométricos.

150

Os nós geométricos são formados pelo conjunto de pontos de localização do

elemento, que define a forma geométrica do elemento. Estes são representados graficamente

por um “×”, conforme mostra a Figura - 4. 8. Os elementos de contorno podem possuir

basicamente duas formas geométricas, a linear e a curva. Os elementos curvos podem ser de

geometria parabólica, cúbica, etc. Os tipos de elementos que podem existir quanto a sua forma

geométrica são mostrados na Figura - 4. 8.

Os nós funcionais são formados pelo conjunto de pontos pertencentes ao elemento

de contorno que possuem valores definidos dos potenciais u’s, ou dos fluxos q’s, no contorno

localizados nesses nós. Eles são representados geometricamente por um “• ”, conforme

mostra a Figura - 4. 9. Estes nós podem ou não coincidir com os nós geométricos.

Figura - 4. 9. Elementos de Contorno, linear ou curvo (parabólico ou cúbico) definido por meio dos nós funcionais.

Cada elemento possui certo número de nós geométricos e funcionais que

dependem das funções de aproximação escolhidas ou utilizada para representar a geometria e

151

a funcionalidade do elemento. O caso isoparamétrico é definido quando os nós geométricos

coincidem com os nós funcionais. As funções de forma são funções de aproximação para a

geometria do contorno. As funções de interpolação são funções que aproximam o potencial

u(x) e o fluxo q(x), respectivamente. Observe que os valores das incógnitas de potencial e

fluxo estão localizados nos nós funcionais. Quanto à funcionalidade os elementos de contorno

podem ser:

4.8.1 – Elementos de função constante ou Elementos Constantes

Nos elementos constantes as funções u e q possuem valores constantes. Para se

discretizar um contorno em elementos constantes utiliza-se duas funções de interpolação do

tipo:

2)1(

)(ηηφ −=a (4. 122)

e

2)1(

)(ηηφ +=b (4. 123)

As coordenadas x e y dos pontos sobre o elemento são dadas por:

)()( ηφηφ bbaa xxx += (4. 124)

e

)()( ηφηφ bbaa yyy += (4. 125)

Substituindo (4. 122)e (4. 123) em (4. 124) e (4. 125) temos:

2)1(

2)1( ηη −++= ba xxx (4. 126)

E

2)1(

2)1( ηη −++= ba yyy (4. 127)

Ou

η2

)(2

)( abba xxxxx

−+

+= (4. 128)

152

E

η2

)(2

)( abba yyyyy

−+

+= (4. 129)

Chamando de:

2)( ba

xxx +

=ξ (4. 130)

e

2)( ba

yyy +

=ξ (4. 131)

e de

2)( ab

xxx

l−

= (4. 132)

e

2)( ab

yyy

l−

= (4. 133)

temos:

ηξ2x

xl

x += (4. 134)

E

ηξ2y

y

ly += (4. 135)

4.8.2 – Elementos de função linear ou Elementos Lineares

Nos elementos constantes as funções u e q possuem valores que variam

linearmente com a posição. Para se discretizar um contorno em elementos lineares utiliza-se

duas funções de interpolação do tipo:

2)1(

)(ηηφ −=a (4. 136)

153

e

2)1(

)(ηηφ +=b (4. 137)

As coordenadas x e y dos pontos sobre o elemento são dadas por:

)()( ηφηφ bbaa xxx += (4. 138)

e

)()( ηφηφ bbaa yyy += (4. 139)

Substituindo (4. 122)e (4. 123) em (4. 124) e (4. 125) temos:

2)1(

2)1( ηη −++= ba xxx (4. 140)

E

2)1(

2)1( ηη −++= ba yyy (4. 141)

Ou

η2

)(2

)( abba xxxxx

−+

+= (4. 142)

E

η2

)(2

)( abba yyyyy

−+

+= (4. 143)

Chamando de:

2)( ba

xxx +

=ξ (4. 144)

e

2)( ba

yyy +

=ξ (4. 145)

e de

2)( ab

xxx

l−

= (4. 146)

154

e

2)( ab

yyy

l−

= (4. 147)

temos:

ηξ2x

xl

x += (4. 148)

E

ηξ2y

y

ly += (4. 149)

4.8.3 – Elementos de função parabólica ou Elementos Quadráticos

Nos elementos constantes as funções u e q possuem valores que variam

quadraticamente. Para se discretizar um contorno em elementos quadráticos a funções de

interpolação do tipo:

[ ]12

−

= ηηφa (4. 150)

[ ]12

+

= ηηφb (4. 151)

[ ]21 ηφ −=c (4. 152)

155

4. 9 – Os Métodos de Cálculo das Integrais Hij e Gij

Para o cálculo das integrais Hij e Gij, as técnicas de integração utilizadas

dependem da posição do nó i (colocação da fonte) em relação ao elemento j, sendo integrado,

em Γj, conforme mostra a Figura - 4. 10.

Figura - 4. 10. Diferentes tipos de integração de acordo com a posição relativa dos nós nos elementos de contorno.

Algumas integrais de contorno apresentam singularidades. Estas singularidades

estão presentes na solução fundamental, ou seja,

i) Em 2D temos:

Γ=Γ= ΓΓ

drduHjj

ijij ))(ln(* ϑ (4. 153)

e

Γ=Γ= ΓΓ

dr

dqGjj

ijij )1

(* ϑ (4. 154)

ii) Em 3D temos:

Γ=Γ= ΓΓ

dr

duHjj

ijij )1

(* ϑ (4. 155)

e

Γ=Γ= ΓΓ

dr

dqGjj

ijij )1

(* 2ϑ (4. 156)

156

4.9.1- Integrações Não-Singulares

Integrais como Gij e ijH nas expressões acima podem ser calculadas usando

fórmulas de integração numérica (tais como regras de Quadratura de Gauss, é o mais

utilizado) para o caso i ≠ j e r ≠ 0..

4.9.2- Integrações Quase-Singulares

As integrais quase-singulares aparecem quando o elemento i = j e o raio é

diferente de zero (r ≠ 0), conforme mostra a Figura - 4. 11.

Figura - 4. 11. Erros de aproximação cometidos em integrais quase-singulares devido ao número de pontos de Gauss sobre o próprio elemento.

4.9.3- Integrações Singulares

As singularidades aparecem quando tem-se i = j, e o raio é igual a zero (r = 0),

por exemplo. Várias técnicas são utilizadas (dependendo da singularidade).

Para o elemento i = j, contudo, a presença da singularidade sobre aquele elemento

devido a solução fundamental requer uma integração mais precisa. Existem várias técnicas

que dependem da ordem da singularidade. Para estas integrais é recomendado usar regras de

integração de alta ordem ou uma fórmula especial (tais como logarítmica e outras

transformações as quais será discutida posteriormente). Contudo, para o caso particular de

geometria reta como os elementos constantes e lineares, as integrais ijH e ijG podem ser

calculadas analiticamente.

157

4. 10 – O Mapeamento Global do Contorno para o Cálculo das Integrais Hij e Gij

Considere o contorno Γ, suave, de um problema de equação diferencial

bidimensional, de forma geométrica qualquer, conforme mostra a Figura - 4. 12. Utilizando as

coordenadas globais do contorno, vamos agora efetuar cálculos analíticos para determinar o

valor das integrais não-singulares de Hij e Gij para i ≠ j.

Figura - 4. 12. Mapeamento Global de um contorno Γ.

4.10.1 - Cálculo Analítico da Integral Hij para i≠ j

Considere o desenho da Figura - 4. 13 para i ≠ j onde o vetor r

e o vetor jn está

traçado entre dois elementos de contorno diferentes, ou seja, ji Γ≠Γ .

158

Figura - 4. 13. Integração entre dois elementos de contornos i e j diferentes.

Sabendo que ji ≠ , neste caso temos que a distância d entre o centro dos

elementos i e j é não nula, ou seja, d ≠ 0, temos:

21ˆ += ijij HH (4. 157)

Esta é uma integral não-singular para r >0 dada por:

ΓΓΓΓ

dnu

dqHjj j

iijij

∂∂

==*

*ˆ (4. 158)

Mas )(** ruu ii = , logo usando a regra da cadeia podemos escrever:

j

i

j

i

nr

ru

nu

∂∂

∂∂

=∂∂ ** (4. 159)

Portanto,

Γ

∂∂

=Γ= ΓΓ

ddndr

ru

dqHj

iijij

jj

**ˆ (4. 160)

Como )ln(21

* rui

−=π

temos que: rr

u i 121*

−=∂

∂π

, logo

159

Γ

−= Γ

ddndr

rH

jij

j

121ˆπ

(4. 161)

Para se calcular as integrais Hij e Gij temos vários problemas a resolver. O

primeiro deles diz respeito a variável de integração pois sendo

211

21*

+Γ

−=Γ

∂∂

= ΓΓ

ddndr

rd

dndr

ru

Hjj

iij

jjπ

(4. 162)

A variável no integrando está em r e o incremento está em Γj. Logo devemos

relacionar Γj com r. Mas isso tornará a integral dependente da forma do contorno. Mas resta

ainda saber quanto vale jdndr / . Para determinar o valor dessa derivada devemos lembrar

que as integrais Hij e Gij dependem da posição do nó de referência i em relação ao elemento j.

Para resolver esta questão utilizaremos um mapeamento linear que será feito posteriormente.

Figura - 4. 14. Relação entre elementos retos diferentes i ≠ j.

Considerando um elemento de contorno reto, a partir da Figura - 4. 14, podemos

observar que para ji ≠ a integral acontece fora do elemento do contorno i. Neste caso a

integral (4. 162) continua valendo, mas para calculá-la precisamos determinar analiticamente

ou geometricamente quanto vale jdndr / quando os elementos i e j são diferentes.

160

4.10.2 - Cálculo Analítico de dr/dnj para i ≠j

A derivada direcional dr/dnj pode ser escrita em termos do gradiente de r como:

jj

nrdndr ˆ.∇=

(4. 163)

Sendo

rr

rr

==∇ ˆ (4. 164)

podemos escrever:

r

nr

dndr j

j

ˆ.

= (4. 165)

Mas a partir da Figura - 4. 15 nós temos que ijj dnr =ˆ.

, logo temos:

r

d

dndr ij

j

= (4. 166)

onde dij é um valor único para cada par de elementos iΓ e jΓ .

Observe a partir da Figura - 4. 15 que

θcosˆ.ˆ.

r

nr

r

nr

dndr jj

j

== (4. 167)

Como jn é um vetor unitário temos 1ˆ =jn , logo

θcosˆ.

r

r

r

nr

dndr j

j

== (4. 168)

161

Figura - 4. 15. Cálculo das distâncias entre os elementos i ≠ j.

mas rr ≡ , logo teremos

θcosˆ.

==r

nr

dndr j

j

(4. 169)

onde

2222ˆ

ˆ.cos

yxyx

yyxxj

rrnn

rnrn

rn

nr

++

+==

θ (4. 170)

Como 1ˆ =jn temos:

θcos22

=+

+=

yx

yyxx

j rr

rnrn

dndr (4. 171)

Observe que jdndr / é igual ao cosseno do ângulo θ entre o vetor r

e a direção na normal

jn . Este valor da projeção de r

na direção de nj é único e fixo para cada par de elementos i e

j, e vale dinj não dependendo de r para um elemento de contorno constante, ou seja,

θcos.

22=

+

+==

yx

yyxxj

j rr

rnrn

r

nr

dndr

(4. 172)

Onde jij ndnr =ˆ.ˆ logo teremos:

162

θcos==r

nd

dndr ji

j

(4. 173)

Onde jind é um valor único para cada par de elementos Γi e Γj e não depende do raio r entre

o centro do elemento i e qualquer ponto X = (x,y) sobre a extensão do elemento j. Logo

retornando a (4. 161) temos:

Γπ Γ

dr

nd

rH ji

ij

j

−= 121ˆ (4. 174)

Portanto,

211

2 2+

−= Γ

π Γ

dr

ndH

j

jiij (4. 175)

Esta integral pode ser calculada analiticamente ou numericamente utilizando o método da

quadratura de Gauss.

4.10.3 - Cálculo Analítico da Integral Gij para i≠ j

Sabendo que i ≠ j e dinj ≠ 0, temos:

Γ

Γ=j

duG ijij *

(4. 176)

Esta é uma integral não-singular, onde )(** ruu ijij = e

rru ij ln21

)(*

−=π

(4. 177)

Logo

Γπ

ΓΓΓ

dr

nlduGjj

ij

== 1

21

* (4. 178)

e

Γ

−= Γ

drrGj

ij )ln(21

)(π

(4. 179)

163

Vamos agora utilizar cálculos analíticos para calcular o valor das integrais quase-

singulares e singulares de Hij e Gij para i = j para r > 0 e r = 0 respectivamente.

4.10.4 – O Cálculo da Integrais Hij = Hii para i = j para r ≠ 0

Considere o desenho da Figura - 4. 16 para i = j onde o vetor r

e o vetor jn estão

sobre o mesmo elemento de contorno, ou seja, ji ΓΓ = . Neste caso a integral acontece sobre

o próprio elemento, conforme mostra a Figura - 4. 16.

Figura - 4. 16. Integração entre dois elementos de contornos i e j diferentes.

Sabendo que ji = , neste caso temos que a distância d entre o centro dos

elementos i e j é nula, ou seja, d = 0, temos:

21ˆ

21ˆ +=→+= iiiiijij HHHH (4. 180)

Esta é uma integral singular dada por:

∂∂==

i i

dnu

dqHi

ii

Γ Γ

ΓΓ **ˆ (4. 181)

Mas u*(r)=u*(r) logo usando a regra da cadeia podemos escrever:

ii dndr

ru

nu

∂∂=

∂∂ ** (4. 182)

Portanto,

164

= =

∂∂==

ji ji

ddndr

ru

dqH ii

Γ ΓΓΓ *

*ˆ (4. 183)

como )ln(21

* rui

−=π

temos que: rr

u i 121*

−=∂

∂π

, logo

Γπ Γ

ddndr

rH

iii

i

−= 1

21ˆ (4. 184)

Portanto,

211

21

21*

+

−=+

∂∂

= Γπ

ΓΓΓ

ddndr

rd

dndr

ru

Hji

iii

jj

(4. 185)

4.10.5 - Cálculo Analítico de dr/dni para i = j

De forma análoga ao caso anterior a derivada direcional dr/dni pode ser escrita em

termos do gradiente de r como:

jiji

nrdn

dr=

=∇= ˆ.

(4. 186)

Sendo

rr

rr

==∇ ˆ (4. 187)

podemos escrever:

r

nr

dndr ji

ji

=

==

ˆ.

(4. 188)

Mas iiji ndnr ==ˆ.

, logo temos:

r

nd

dndr jii

ji

=

== (4. 189)

ou

165

θcosˆ.ˆ.

r

nr

r

nr

dndr iji

ji

== =

=

(4. 190)

Como in é um vetor unitário temos 1ˆ =in , logo

θcosˆ.

r

r

rnr

dndr i

ji

===

(4. 191)

Mas rr ≡ , logo

θcosˆ.

=== r

nr

dndr j

ji

(4. 192)

Considerando um elemento de contorno reto, a partir da Figura - 4. 17 podemos

observar que para 0≠r

, os vetores r

e n são perpendiculares ( jinr =⊥ ˆ). Logo a derivada

direcional entre eles é nula, ou seja:

0ˆ. == = jiji nrnd (4. 193)

E consequentemente

0ˆ.

== =

= r

nr

dndr ji

ji

(4. 194)

Figura - 4. 17. Cálculo das distâncias entre os elementos i =j para um elemento reto.

Para mostra que nr ˆ⊥ devemos ter o produto escalar nulo, logo:

166

yyxxj rnrnrnnr +== θcosˆˆ. (4. 195)

logo

2222ˆ

ˆ.cos

yxyx

yyxxj

rrnn

rnrn

rn

nr

++

+==

θ (4. 196)

Como 1ˆ =jn temos:

22cos

yx

yyxx

rr

rnrn

+

+=θ (4. 197)

Onde

)360sen(;)360cos(

sen;cos

ββαα

−=−=

==

rrrr

nn

yx

yx (4. 198)

ou

ββ sencos rrerr yx −== (4. 199)

Logo, substituindo (4. 198) e (4. 199) em (4. 195) temos:

αβαβ sensencoscos.ˆ rrrni −= (4. 200)

A partir da Figura - 4. 18 nós temos que:

αββα sencoscossen90 ===+ ;eo (4. 201)

Portanto,

)sencoscos(sen.ˆ αααα −= rrni (4. 202)

Logo

rnrni ⊥= ˆ0.ˆ (4. 203)

E portanto

0ˆ.

==rnr

dndr i

i

(4. 204)

167

Ou seja, a separação entre os elementos i e j é nula, pois logicamente eles coincidem.

Portanto, retornando a equação nós temos que:

Figura - 4. 18. Decomposição do vetor normal em termos dos cossenos diretores.

Observe que rnddndr jij // = é igual ao cosseno do ângulo θ entre o vetor r e

a direção na normal nj. Este valor da projeção de r na direção de nj é único para cada par de

elementos Γi e Γj (i = j), não dependendo de r entre o centro do elemento i e qualquer ponto X

= (x,y) sobre a extensão do próprio elemento j=i. Para um elemento de contorno constante, ou

seja,

θcos22

=+

+=

yx

yyxx

j rr

rnrn

dndr (4. 205)

Onde jij ndnr =ˆ.ˆ logo teremos:

θcos==r

nd

dndr ji

j

(4. 206)

Os termos iiij HH ˆˆ = , por exemplo, são identicamente zero, pois a normal n e a

coordenada do elemento estão sempre perpendiculares uma a outra, isto é:

021ˆ =+= ii

ii HH para i = j e r ≠ 0 (4. 207)

168

4.10.6 – O Cálculo da Integrais Hij = Hii para i = j para r = 0

Neste caso em que i ≡ j e 0=r

temos que Hij = Hii é uma integral singular que

deve ser resolvida por um processo limite, ou por uma análise geométrica. Sendo

21ˆ += iiii HH (4. 208)

E

Γπ

ΓΓΓ

ddndr

rd

dndr

ru

Hji

iii

jj

−=

∂∂

= 1

21*ˆ (4. 209)

Temos:

211

21 +

−= Γπ Γ

ddndr

rH

jii

j

(4. 210)

Sendo

rnr

dndr i

i

ˆ.

= (4. 211)

Para 0=r

, nós temos uma indeterminação, a qual deve ser resolvida por um processo limite

em termos do Valor Principal de Cauchy, da seguinte forma:

211

21 +

−= drdrd

dndr

rH

j

r

rii

b

a

Γπ

(4. 212)

Observe que para i = j temos:

drrdd 22 == Γ (4. 213)

Logo a equação (4. 212) pode ser escrita como:

21

21

21 +

−= drdndr

rH

j

r

rii

b

aπ

(4. 214)

ou simplesmente

169

2111 +

−==

drdn

drr

Hji

r

rii

b

aπ

(4. 215)

a qual pode ser integrada tomando-se um raio ε em torno do ponto ξi = j e fazer ε → 0 da

seguinte forma:

drdn

drr

drdn

drr

drdn

drr

Hji

r

jijirii

b

a

−+

−+

−==+=

+

−=

−

ε

ε

ε

ε

πππ111111ˆ

(4. 216)

Conforme mostra a Figura - 4. 19.

Figura - 4. 19. Intervalo de raio ε sobre o elemento reto ξi = j.

para as integrais fora do intervalo de raio ε temos que nr ˆ⊥ e 0ˆ.

====

iii

ji

ndrnr

dndr

que

repete a situação anterior ficando apenas a integral:

drdn

drr

Hji

ii

−==

+

−ε

επ11ˆ (4. 217)

Tomando o limite de ε → 0 temos:

drdn

drr

Hji

ii

−==

+

−→

ε

εε π

11limˆ

0 (4. 218)

Onde r ≡ ε → 0 então:

εεεπ

ε

εε

ddnd

Hj

ii

−= +

−→

11limˆ

0 (4. 219)

Sabendo que o integrando é a própria definição de raio de curvatura )()( ερρ ≡r onde

170

01

)(11

lim0

→∞

→=

→ ερε

εεjdn

d (4. 220)

Ou

01

)(11

lim0

→∞

==

→ rdndr

r jr ρ

(4. 221)

Portanto para i ≡ j e ∀ r

temos:

0ˆ =iiH (4. 222)

E finalmente

21

21ˆ =+= iiii HH (4. 223)

4.10.7 – O Cálculo da Integral Gij = Gii para i = j e r ≠0

Sabendo que i = j e dinj = 0, temos:

ΓΓΓΓ

duGduGjiji

jiiijiij

==

== =→= ** (4. 224)

Esta é uma integral não-singular, onde )(** ruu ijij = é dada por:

rruru iiij ln21

)(*)(*

−==π

(4. 225)

Logo

Γπ

ΓΓΓ

dr

nlduGjii

ii

== =

121

* (4. 226)

Estas integrais Gii requerem um manuseio especial. Para um elemento

unidimensional, por exemplo, elas podem ser calculadas analiticamente ou numericamente

utilizando o método da quadratura de Gauss.

Para se realizar a integração de forma que esta não dependa da forma do contorno

do problema, precisamos também fazer um mapeamento linear onde as coordenadas de r(x,y)

171

passem a depender de um parâmetro genérico η, para todos os elementos do contorno. Isto

reduzirá o número de integrais a serem calculadas.

4. 11 – Mapeamento Local do Contorno

Considere o contorno Γ, suave de forma geométrica qualquer, referente a um

problema de equação diferencial bidimensional, , conforme mostra a Figura - 4. 20.

Figura - 4. 20. Transformação entre as coordenadas globais e as coordenadas locais de um contorno de geometria qualquer.

Vamos agora realizar uma transformação de coordenadas generalizada sobre o

contorno, Γ,. Esta transformação será efetuada de tal forma que mudará o mapeamento global

do contorno, Γ, o qual é feito por meio das coordenadas globais X(x, y) em um mapeamento

local, por meio de uma função de parametrização X(η), de variável local, η, sobre cada

elemento do contorno. Isto transformará de forma genérica este mapeamento global em um

mapeamento local conforme mostra a Figura - 4. 20. Logo as integrais Hij e Gij ficam:

211

2 2+

−= η

ηΓ

π η

ddd

r

ndH ji

ij (4. 227)

e

ηηΓ

π η

ddd

rrGij

−= )ln(21

)( (4. 228)

A transformação de coordenadas (parametrização do elemento j) do mapeamento

linear do elemento de contorno Γj é feita por meio da definição das funções de interpolação

172

locais, )(ηφa e )(ηφb , que variam em um intervalo de -1 ≤ η ≤ 1 em correspondência ao

elemento j, com coordenada X = (x,y) que varia desde xa ≤ x ≤ xb e ya ≤ y ≤ yb.

Sendo x = x(η) e y = y(η) e r = r(x,y) a função r = r(x,y) passa a depender do

parâmetro η, onde:

))(),(( ηφηφ baxx = ))(),(( ηφηφ bayy = → x = x(η) e y = y(η) (4. 229)

Portanto,

)())(),((),( ηηη ryxryxr →→ (4. 230)

A partir da Figura - 4. 12 temos de forma genérica que:

irryxr Xjij ξ −=),( (4. 231)

onde ),( iy

ixi

r ξξξ = e ),( yxrjX =

, temos que de um elemento i para um ponto qualquer

sobre o elemento j temos:

22 )()().( iyj

ixjij yxyxr ξξ −+−= (4. 232)

Esta expressão representa o raio que separa o centro dos elementos i e j.

4.11.1 – Mapeamento Linear do Contorno

De forma geral as coordenadas globais do ponto Xj = (xj, yj), com raio rX = (x’, y’)

global e raio rj = (xj, yj) (coordenadas locais) a partir do ponto de colocação ξi = (ξix, ξi

y), são

dadas por:

bj

bajj xxxa

φφ += (4. 233)

e

bj

bajj yyya

φφ += (4. 234)

onde

2)1( ηφ −=a (4. 235)

e

173

2)1( ηφ +=b (4. 236)

que corresponde ao mapeamento local do elemento j do contorno, conforme mostra a Figura -

4. 21. O mapeamento local também é valido quando i = j e este mapeamento se dá sobre o

próprio elemento de referência i. Neste caso todas as expressões com índice j passarão a ter

índice i.

Figura - 4. 21. Mapeamento linear local da geometria do elemento reto j de funcionalidade constante em u e q.

Portanto, substituindo (4. 235) e (4. 236) em (4. 233) e (4. 234) podemos escrever

as coordenadas X = (x,y) do ponto de raio r, como sendo:

)(ηjjj xxx =→ e )(ηjjj yyy =→ (4. 237)

ou

2)1(

2)1(

)(ηηη ++−= j

bj

aj xxx (4. 238)

2)1(

2)1(

)(ηηη ++−= j

bj

aj yyy (4. 239)

Rearranjando os termos e reescrevendo temos:

ηη2

)(2

)()(

ja

jb

jb

jaj xxxx

x−

++

= (4. 240)

174

ηη2

)(2

)()(

ja

jb

jb

jaj yyyy

y−

++

= (4. 241)

Sendo as coordenadas do ponto ξj do elemento j são dadas por:

2)( j

bj

ajx

xx +=ξ (4. 242)

e

2)( j

bj

ajy

yy +=ξ (4. 243)

Logo )(ηjj xx = e )(ηjj yy = para um elemento i ou j será dado por:

ηξη2

)()(

ja

jbj

xj xx

x−

+= (4. 244)

e

ηξη2

)()(

ja

jbj

yj yy

y−

+= (4. 245)

Observe da Figura - 4. 12 que:

22 )()( iy

ixi

r ξξξ += (4. 246)

e

irryxr Xjij ξ −=),( (4. 247)

onde

22 )()().( iyj

ixjij yxyxr ξξ −+−= (4. 248)

Portanto, substituindo (4. 244) e (4. 245) em (4. 247) temos:

22

2)(

2)(

).(

−

−++

−

−+= i

y

ja

jbj

yix

ja

jbj

xyyxx

yxr ξηξξηξ (4. 249)

Observe que sendo

175

ix

ja

jb

ja

jbi

xxxxxx

xr ξηξ −−++=−=2

)(2

)( (4. 250)

e

iy

ja

jb

ja

jbi

yyyyyy

yr ξηξ −−++=−=2

)(2

)( (4. 251)

ou

ix

ja

jbj

xixx

xxxr ξηξξ −−+=−=

2)(

(4. 252)

e

iy

ja

jbj

yiyy

yyyr ξηξξ −−+=−=

2)(

(4. 253)

Sabendo que iy

ix ξξ e podem ser expressos em termos de (4. 242)e (4. 243) como:

2)( i

biai

xxx +=ξ (4. 254)

e

2)( i

biai

yyy +=ξ (4. 255)

e ainda

)( ja

jb

jx xxl −= (4. 256)

temos

)( ja

jb

jy yyl −= (4. 257)

Logo as componentes rx e ry podem ser escritas como:

ηξξ2

jxi

xj

xxl

r +−= (4. 258)

e

176

ηξξ2

jyi

yj

yy

lr +−= (4. 259)


[ ] [ ]22).( ηξξηξξ j

yiy

jy

jx

ix

jx llyxr +−++−= (4. 260)

e desenvolvendo os quadrados dentro da raiz temos:

[ ][ ] 222

222

)()(2)(

)()(2)(

ηηξξξξηξξ

ηηξξξξηξξjy

jy

iy

jy

iy

jy

jy

iy

jy

jx

jx

ix

jx

ix

jx

jx

ix

jx

lll

lll

+−+−=+−

+−+−=+− (4. 261)

Somando os quadrados temos:

2).( ηη CBAyxr ++= (4. 262)

Onde:

22

22

)()(

)(2)(2

)()(

jy

jx

jy

iy

jy

jx

ix

jx

iy

jy

ix

jx

llC

llB

A

+=

−+−=

−+−=

ξξξξ

ξξξξ

(4. 263)

Observe que se i = j , então o raio ficará:

22

2)(

2)(

).(

−+

−=

====

ηηji

aji

bji

aji

b yyxxyxr (4. 264)

ou

−+−= ====

2)()().( 22 ηji

aji

bji

aji

b yyxxyxr (4. 265)

Observe que o termo na raiz é igual a li=j, que é o comprimento do elemento i = j,logo

= = 2η

jilr (4. 266)

e

177

jilddr

==η

(4. 267)

4.11.2 – Calculo da derivada dr/dn da Transformação de coordenadas do Mapeamento Linear do Contorno

A derivada dr/dnj para r = r(η) pode ser calculada a partir da equação (4. 205)

dada por:

θcos22

=+

+=

yx

yyxx

j rr

rnrn

dndr (4. 268)

cuja derivada de r em relação a η pode ser calculada substituindo rx(η) e ry(η) na expressão

(4. 268) e obtendo:

22

2)(

2)(

2)(

2)(

−+−+

−+−

−+−+

−+−==

ηξξηξξ

ηξξηξξ

ja

jbi

yj

y

ja

jbi

xj

x

ja

jbi

yj

yy

ja

jbi

xj

xxij

j yyxx

yyn

xxn

r

d

dndr (4. 269)

Usando (4. 256) e (4. 257) temos:

22

22

22

+−+

+−

+−+

+−

==

ηξξηξξ

ηξξηξξ

jxi

yj

y

jxi

xj

x

jyi

yj

yy

jxi

xj

xxij

j ll

ln

ln

r

d

dndr (4. 270)

Para i = j temos:

22

2)(

2)(

2)(

2)(

−+

−

−+

−

==j

aj

bj

aj

b

ja

jb

y

ja

jb

xij

j yyxx

yyn

xxn

r

d

dndr

η

ηη (4. 271)

Ou

178

22

2)(

2)(

2)(

2)(

−+

−

−+

−

==j

aj

bj

aj

b

ja

jb

y

ja

jb

xij

j yyxx

yyn

xxn

r

d

dndr (4. 272)

que não depende do parâmetro η.

Usando (4. 256) e (4. 257) em (4. 272) temos:

22

22

22

+

+==

jy

jx

jyy

jxx

ij

j ll

lnln

r

d

dndr

(4. 273)

Sendo:

Γ

Γ

ddl

n

d

dln

jx

y

jy

x

−=

= (4. 274)

Sendo 2/jdld =Γ temos:

j

jx

y

j

jy

x

dldl

n

dl

dln

−=

= (4. 275)

Substituindo (4. 275) em (4. 273) temos:

22

22

22

+

−==

jy

jx

j

jx

jy

j

jy

jx

ij

j ll

dl

dll

dl

dll

r

d

dndr (4. 276)

ou

179

[ ] [ ]22 jy

jx

j

jx

jy

j

jy

jx

ij

j ll

dl

dll

dl

dll

r

d

dndr

+

−== (4. 277)

como

[ ] [ ]22 jy

jxj lll += (4. 278)

Ficamos com:

−==

j

jx

jy

j

jy

jx

j

ij

j dl

dll

dl

dll

lr

d

dndr 1

(4. 279)

cujo resultado é nulo, ou seja:

0==r

d

dndr ij

j

(4. 280)

4.11.3 – Jacobiano da Transformação do Mapeamento Linear do Contorno

Para resolver a integral (4. 227) e (4. 228) precisamos explicitar o Jacobiano

ηΓ ddJ /= de transformação de r(x,y) → r(η) que é dado por:

22 )()(ηηη

Γddy

ddx

dd

J +== (4. 281)

logo

ηηΓ

Γ dd

dd j

j = (4. 282)

ou seja

ηηη

Γ dddy

ddx

d j22 )()( += (4. 283)

Agora podemos derivar x(η) e y(η) a partir de (4. 244) e (4. 245) em relação a η e obter:

180

2)( j

aj

bj xx

ddx −

=η

(4. 284)

E

2)( j

aj

bj yy

ddy −

=η

(4. 285)

Substituindo (4. 284) e (4. 285) em (4. 283) obtemos:

ηηηηηΓ

dyyxx

dd

d ja

jb

ja

jbj

22

2)(

2)(

−+

−= (4. 286)

Mas ),( ja

ja yx e ),( j

bj

b yx são as coordenadas das extremidades do elemento de contorno j.

Portanto, o Jacobiano de um elemento constante corresponde a metade do comprimento desse

elemento.

ηηηΓ

Γ dl

dd

dd jj

j

==

2 (4. 287)

4. 12 – Aplicação do Mapeamento Local as Integrais Hij e Gij

Vamos agora aplicar o resultado do mapeamento local com elemento constante no

cálculo das integrais Hij e Gij.

4.12.1 – O Cálculo da Integral Hij para i ≠ j

Retornando-se a integral Hij nós podemos agora escrever a forma do mapeamento

global do incremento dΓj de uma forma geral em termos do mapeamento local da seguinte

forma:

ηηΓ

ΓΓΓΓ

dd

d

dndr

drdu

ddndr

drdu

ddndu

H j

j

ij

j

ij

j

iij

jj

=

=

=

−

1

1

***

(4. 288)

Sendo ( )2// jj lddJ == ηΓ o Jacobiano da transformação de coordenadas temos:

181

ηddndr

drdul

Hj

ijij

=

−

1

1

*2

(4. 289)

ou seja

ηηη ddndr

rql

ddndr

drdul

Hj

ij

j

ijij

=

=

−−

1

1

1

1

))((*2

*2

(4. 290)

Sendo rrui ln)2/1()(* π−= e drrdurq ii /)(*)(* = e r(x,y) → r(η) assim

como )(*)(* ηii uru → e )(*)(* ηii qrq → . Logo

ηηπ

ηη ddndr

r

lHd

dndr

rql

Hj

jij

ji

jij

−=→

=

−−

1

1

1

1 )(1

4))((*

2 (4. 291)

Observe que o problema do diferencial ηηΓΓ dddd )/(= que fornecem as integrais (4.

288) e (4. 314) já foi resolvido.


ηηπ

η dr

ldHd

rrqld

H jijij

ijijij

−−

−=→

=

1

12

1

1 )(1

4)(*

2 (4. 292)

Sendo

ηξξξη2

)())((

ja

jbi

xj

xix

jx

xxxr

−+−=−= (4. 293)

e

ηξξξη2

)())((

ja

jbi

yj

yiy

jy

yyyr

−+−=−= (4. 294)

E

22yx rrr += (4. 295)

ou

182

22

2)(

2)(

−+−+

−+−= ηξξηξξj

aj

biy

jy

ja

jbi

xj

xyyxx

r (4. 296)

temos que:

22

2)(

2)(

2)(

2)(

−+−+

−+−

−+−+

−+−==

ηξξηξξ

ηξξηξξ

ja

jbi

yj

y

ja

jbi

xj

x

ja

jbi

yj

yy

ja

jbi

xj

xxij

j yyxx

yyn

xxn

r

d

dndr (4. 297)

Logo a equação (4. 292) fica:

η

ηξξηξξπ

dyyxx

ldH

ja

jbi

yj

y

ja

jbi

xj

x

jijij

−

−+−+

−+−

−=

1

122

2)(

2)(

14

(4. 298)

Desenvolvendo os quadrados temos:

−+

−−+−=

−+−2

2

22

4)(

))(()(

2)(

η

ηξξξξηξξ j

aj

b

ja

jb

ix

jx

ix

jxj

aj

bix

jx xx

xxxx

(4. 299)

e

−+

−−+−=

−+−2

2

22

4)(

))(()(

2)(

η

ηξξξξηξξ j

aj

b

ja

jb

iy

jy

iy

jyj

aj

biy

jy yy

yyyy

(4. 300)

Somando estes quadrados temos:

222

22

])()[(

)])(())([(])()[(

η

ηξξξξξξξξj

aj

bj

aj

b

ja

jb

iy

jy

ja

jb

ix

jx

iy

jy

ix

jx

yyxx

yyxx

−+−+

−−+−−+−+−= (4. 301)

Chamando de:

])()[( 22 iy

jy

ix

jxA ξξξξ −+−= (4. 302)

e

183

)])(())([( ja

jb

iy

jy

ja

jb

ix

jx yyxxB −−+−−= ξξξξ (4. 303)

e

])()[( 22 ja

jb

ja

jb yyxxC −+−= (4. 304)

temos que a integral em (4. 298) pode ser escrita como:

ηηηπ

dCBA

ldH jij

ij − ++

−=

1

12

14

(4. 305)

Cujo resultado é:

ηηηπ

dCBA

ldH jij

ij − ++

−=

1

12

14

(4. 306)

Esta integral pode ser calculada analiticamente ou numericamente pelo método da quadratura

de Gauss.

4.12.2 – O Cálculo da Integral Hij = Hii para i = j

Neste caso temos ix

jx ξξ = e i

yj

y ξξ = logo

22

2)(

2)(

−+

−= ηηj

aj

bj

aj

b yyxxr (4. 307)

Ou

22

2)(

2)(

−+

−=j

aj

bj

aj

b yyxxr η (4. 308)

temos que:

22

2)(

2)(

2)(

2)(

−+

−

−+

−

==j

aj

bj

aj

b

ja

jb

y

ja

jb

xij

j yyxx

yyn

xxn

r

d

dndr

η

ηη (4. 309)

Ou

184

22

2)(

2)(

2)(

2)(

−+

−

−+

−

==j

aj

bj

aj

b

ja

jb

y

ja

jb

xij

j yyxx

yyn

xxn

r

d

dndr (4. 310)

Logo a equação (4. 306) fica:

ηηπ

dyyxx

yyn

xxn

lH

ja

jb

ja

jb

ja

jb

y

ja

jb

xj

ij −

−+

−

−+

−−

=1

1222

1

2)(

2)(

2)(

2)(

4 (4. 311)

Usando (4. 279) em (4. 311), neste caso temos que essa integral pode ser escrita como:

ηηπ

ηηπ

ddl

dll

dl

dllH

ddl

dll

dl

dll

l

lH

j

jx

jy

j

jy

jx

ij

j

jx

jy

j

jy

jx

j

jij

−

−

−−=

−

−=

1

12

1

12

14

1

114

(4. 312)

Cujo resultado é:

0=iiH (4. 313)

4.12.3 – O Cálculo da Integral Gij para i ≠ j

Retornando-se a integral Gij nós podemos agora escrever a forma do mapeamento

global do incremento dΓj de uma forma geral em termos do mapeamento local da seguinte

forma:

ηηΓ

ΓΓ

dd

duduG j

jjjij

j

==

−

1

1

** (4. 314)

Sendo ( )2// jj lddJ == ηΓ o Jacobiano da transformação de coordenadas temos:

185

ηΓΓ

dl

uduG jjjjij

j

==

− 2**

1

1

(4. 315)

ou seja

ηdrul

G jj

ij −

=

1

1

)(*2

(4. 316)

Sendo rrui ln)2/1()(* π−= e drrdurq ii /)(*)(* = e r(x,y) → r(η) assim

como )(*)(* ηii uru → e )(*)(* ηii qrq → . Logo

[ ] ηηπ

η drl

Gdrul

G jijj

jij )(ln

4)(*

2

1

1

1

1−−

−=→

= (4. 317)

Observe que o problema do diferencial ηηΓΓ dddd )/(= que fornecem as integrais (4.

288) e (4. 314) já foi resolvido.


[ ] ηηπ

η drl

Gdrul

G jijj

jij )(ln

4)(*

2

1

1

1

1−−

−=→

= (4. 318)

usando o fato de que:

22

2)(

2)(

−+−+

−+−= ηξξηξξj

aj

biy

jy

ja

jbi

xj

xyyxx

r (4. 319)

temos:

ηηξξηξξπ

dyyxxl

Gj

aj

biy

jy

ja

jbi

xj

xj

ij

−+−+

−+−

−=

−

221

1 2)(

2)(

ln4

(4. 320)

Desenvolvendo os quadrados temos:

−+

−−+−=

−+−2

2

22

4)(

))(()(

2)(

η

ηξξξξηξξ j

aj

b

ja

jb

ix

jx

ix

jxj

aj

bix

jx xx

xxxx

(4. 321)

186

e

−+

−−+−=

−+−2

2

22

4)(

))(()(

2)(

η

ηξξξξηξξ j

aj

b

ja

jb

iy

jy

iy

jyj

aj

biy

jy yy

yyyy

(4. 322)

Somando estes quadrados temos:

222

22

])()[(

)])(())([(])()[(

η

ηξξξξξξξξj

aj

bj

aj

b

ja

jb

iy

jy

ja

jb

ix

jx

iy

jy

ix

jx

yyxx

yyxx

−+−+

−−+−−+−+−= (4. 323)

Chamando de:

])()[( 22 iy

jy

ix

jxA ξξξξ −+−= (4. 324)

e

)])(())([( ja

jb

iy

jy

ja

jb

ix

jx yyxxB −−+−−= ξξξξ (4. 325)

e

])()[( 22 ja

jb

ja

jb yyxxC −+−= (4. 326)

temos que a integral em (4. 320) pode ser escrita como:

[ ] ηηηπ

dCBAl

G jij

21

1

ln4

++

−=

−

(4. 327)

Ou

[ ] ηηηπ

dCBAl

G jij

21

1

ln8

++

−=

−

(4. 328)

Cujo resultado é:

[ ] ηηηπ

dCBAl

G jij

21

1

ln8

++

−=

−

(4. 329)

Esta integral pode ser calculada analiticamente ou numericamente pelo método da quadratura

de Gauss.

187

4.12.4 – O Cálculo da Integral Gij = Gii para i = j

De forma a integrar facilmente a expressão acima nós podemos mudar as

coordenadas para uma coordenada homogênea η sobre o elemento da Figura - 4. 22, tal que:

2l

r η= (4. 330)

onde l é o comprimento do elemento.

Figura - 4. 22. Sistema de coordenada do elemento de contorno

Portanto, levando em conta a simetria (4. 224) pode ser escrita como:

+

=

=

=

=

ηηπ

ηηπ

πΓ

π

dnll

nll

dl

nll

drr

nldr

nlGPonto

Ponto

Ponto

Ponto

ii

12/

12

1

2/1

21

11121

1

0

1

0

1

0

2

1

2

1

(4. 331)

A última integral é igual a 1, logo:

+

= 12/

1ln

21

ll

G ii

π (4. 332)

Para casos mais complexos são usadas fórmulas ponderadas. As outras integrais (isto é para i

≠ j) podem ser calculadas usando simples regras de quadratura de Gauss Nós dois programas

fontes descritos neste capítulo uma regra de 2 e 4 pontos tem sido usada (vide Apêndice A).

188

4. 13 – Integração Numérica pelo Método da Quadratura de Gauss

O método da quadratura de Gauss é um método utilizado para se calcular integrais

numericamente. A vantagem desse método é que ele é fácil de programar e possui boa

precisão.

Considere um elemento de contorno Γj, conforme mostra a Figura - 4. 23

Figura - 4. 23. Transformação de coordenadas do mapeamento linear do contorno.

no qual deseja-se calcular a seguinte integral:

==j

b

a

drfdrfIΓ

ΓΓ )(*)(* (4. 333)

fazendo-se uma transformação de coordenadas através do mapeamento linear onde a distância

ξ−= Xr (4. 334)

é transformada em )(ηrr → . Logo teremos:

ξηηξ −=→−= )()( XrXr (4. 335)

desta forma a integral (4. 333) pode ser expressa como:

+

−

=→=1

1

))((*)(* ηηΓηΓ d

dd

rfIdrfIb

a

(4. 336)

onde ηΓ

dd

é o Jacobiano da Transformação das Coordenadas Globais para as Coordenadas

Locais. Queremos encontrar uma solução numérica aproximada para a integral de tal forma

que:

189

=

+

−

≅→=g

k

N

kkk w

dd

rfIddd

rfI1

1

1

))(())((*ηη

ΓηηηΓη (4. 337)

onde ηk são as coordenadas e pesos da quadratura.

Considere a seguinte integral

=

+

−

≅→=gN

kkk wzIdzI

1

1

1

)()( ηηη (4. 338)

onde ηΓηη

dd

rfz ))((*)( = e k

dd

rfz kkηη

Γηη ))((*)( =

O nosso objetivo, portanto, é avaliar essa expressão (integral) através de um

somatório de amostras ponderadas de z(η) em pontos η1, η2, η3,...ηk, da seguinte forma:

ErrowzdzIgN

kkk +≅=

=

+

− 1

1

1

)()( ηηη (4. 339)

onde os wk são os pesos de Gauss e os ηk são as coordenadas generalizadas de Gauss,

conforme está representado na Figura - 4. 24.

Figura - 4. 24. Integral de Gauss da função z(η) nas coordenadas de generalizadas ηk.

Podemos definir os pesos e as coordenadas de Gauss de tal forma que as integrais

de polinômios sejam efetuadas com exatidão, por meio da seguinte regra geral: Com N pontos

de Gauss integra-se com exatidão polinômios de grau 2N-1. Por exemplo:

I) Para dois (2) pontos de Gauss (polinômio do 3º grau).

190

Neste caso teremos 4 incógnitas (w1,η1) e (w2,η2). Logo o polinômio de grau 3

possui quatro (4) coeficientes arbitrários, ou seja:

033

2210 =+++ xaxaxaa (4. 340)

Vamos agora calcular os pesos e as coordenadas de Gauss para 2 pontos de Gauss.

)()()( 2211

1

1

ηηηη zwzwdz +≅+

−

(4. 341)

como

33

2210)( ηηηη aaaaz +++= (4. 342)

Temos:

0)(1

1

33

1

1

22

1

11

1

10

1

1

=+++= +

−

+

−

+

−

+

−

+

−

ηηηηηηηηη dadadadadz (4. 343)

Como 3210 e,, aaaa são arbitrários, cada uma das integrais acima deve ser integrada com

exatidão. Fazendo.

i) 0,1 3210 ==== aaaa e z = 1

1.1.2))1(1)( 211

1

1

10

1

1

wwdadz +==−−=== −

+

−

+

− ηηηη (4. 344)

logo

221 =+ ww (4. 345)

ii) 0,1 3201 ==== aaaa e z = η

2211

221

1

21

11

1

1

02)1(

2)1(

2)( ηηηηηηη wwdadz +==−−+===

−

+

−

+

− (4. 346)

logo

02211 =+ ηη ww (4. 347)

iii) 0,1 3102 ==== aaaa e z = η2

191

222

211

331

1

31

1

22

1

1 32

3)1(

3)1(


+

−

+

−

+

− (4. 348)

logo

322

222

11 =+ ηη ww (4. 349)

iv) 0,1 2103 ==== aaaa e z = η3

322

311

441

1

41

1

33

1

1

04)1(

4)1(


−

+

−

+

− (4. 350)

Logo

0322

311 =+ ηη ww (4. 351)

Portanto, a partir do resultado destes cálculos podemos montar um sistema de

equações para calcular os valores de wk nos pontos ηk da seguinte forma:

0

3/2

0

2

322

311

222

211

2211

21

=+

=+

=+=+

ηη

ηη

ηη

ww

ww

ww

ww

(4. 352)

ou

=

3/202

0

0

00

101

2

1

32

31

22

21

21

w

w

ηη

ηηηη

(4. 353)

Resolvendo esse sistema não-linear de equação

57735.0;57735.0

1

21

21

≅−≅==

ηηww

(4. 354)

Logo, substituindo esses valores em (4. 341) temos:

192

)57735.0(.1)57735.0(.1

)()()( 2211

1

1

zz

zwzwdz

+−=

+≅+

−

ηηηη (4. 355)

ou

)57735.0()57735.0()(1

1

zzdz +−≅+

−

ηη (4. 356)

Graficamente corresponde a:

Figura - 4. 25. Processo de Integração de Gauss.

para qualquer polinômio de grau 3.

Esta solução será exata se z(η) for um polinômio de 3º grau (no máximo para Ng

= 2) e será aproximado para funções z(η) quaisquer.

A obtenção dos pesos e coordenadas para um número maior de pontos de Gaus

segue o mesmo raciocínio. Para funções z(η) aproximadas por polinômios. Quanto melhor for

a proximidade da função z(η) com o polinômio de grau N utilizado mais próximo será o

resultado do valor exato, ou seja, menor será o erro de aproximação.

Observe que se z(η) for uma função linear do tipo:

2)1(

)(+=+= ηη baxz (4. 357)

Conforme mostra a Figura - 4. 26 temos:

193

Figura - 4. 26. Integração de Gauss para um função linear.

Sabemos que o valor da área deste triangulo vale:

12

122. =×== hb

A (4. 358)

e pela aproximação da quadratura de Gauss temos:

12

)157735.0(2

)157735.0( =+++−=I (4. 359)

194

Capítulo – V

APLICAÇÕES PRÁTICAS

RESUMO

Neste capítulo será resolvido o problema de um potencial escalar, u, aplicado a

uma placa plana de dimensões conhecidas, que satisfaz a equação de Laplace. O problema

será resolvido analítico e numericamente.


i) Resolver um prolema prático de Método de Elementos de Contorno aplicado ao

problema de potencial em uma placa plana.

ii) Utilizar um programa fonte para avaliar os resultados obtidos numericamente a

partir de cálculos aproximados realizados a “mão”e comparar com os resltados analíticos.

iii) A prender a utilizar uma ferramenta computacional de cálculo numérico tais

como o FORTRAN, o outra qualquer.

iv) Avaliar os resultados obtidos pela entrada e a saídas de dados.


Para exercitar a utilização do Método dos Elementos de Contorno, vamos resolver

o problema do potencial escalar, u. Considere que esse potencial, u, satisfaz a equação de

Laplace, e pode ser aplicado a uma placa plana que transmite e dissipa calor através de sua

massa, a qual está sujeita as condições de contorno de potencial e fluxo estacionário

aplicados, ou seja, alguns valores no contorno são prescritos e outros serão calculados. Para

esta situação vamos considerar as condições dadas a seguir.

195

5. 3 – Problema de o Potencial Escalar sobre uma Placa Plana

I) Considere uma placa plana bidimensional e quadrada de tamanhos (2,0m x 2,0m) sujeita as

condições de contorno de potencial uu = e fluxo qq = , conforme mostra a Figura - 5. 1.

Figura - 5. 1. Placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (2,0m x 2,0m) sujeitos as condições de contorno de potencial constante uu = e fluxo constante qq = .

i) Discretizar esta placa no contorno em oito elementos retos de funcionalidade constante,


ii) Resolver o problema da equação diferencial de Laplace, 02 =∇ u , pelo Método dos

Elementos de Contorno mostrando todas as passagens e os cálculos com seus resultados

numéricos.

iii) Utilizar dois pontos na quadratura de Gauss para o cálculo das integrais não-singulares de

Hij e Gij.

iv) Montar o sistema de equações de Hu = Gq e representar todos os valores de contorno

matricialmente e resolver o sistema de equações montando o sistema Ax=b, apresentando a

solução.

v) Calcular os valores do potencial u nos pontos A, B, C e D interiores da placa, utilizando a

integral −=Γ Γ

ΓΓ dudqu ** .

196

Figura - 5. 2.. Placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (2,0m x 2,0m) com oito elementos retos de funcionalidade constante, sujeitos as condições de contorno de potencial constante uu = e fluxo constante

qq = .

II) Alterar o programa POCONBE de cálculo pelo Método de Elementos de Contorno, que

utiliza elemento constante, do Livro: C. A. Brebbia and J. Dominguez, “Boundary Elements,

An Introductory Course”, 2nd Edition, Computatonal Mechanics Publications, McGraw-Hill

Book Company., de tal forma que as integrações não-singulares sejam efetuadas com um

número de pontos de Gauss (Ng) respeitando as seguintes regras:

i) Se

42 => gNentãold

(2. 348)

ii) Se

621 =≤< gNentãold

(2. 349)

iii) Se

81 =≤ gNentãold

(2. 350)

onde d é a distância entre o centro dos elementos i e j e l é o comprimento deles, conforme

mostra a Figura - 5. 3.

197

Figura - 5. 3. Dependência da distância d com o raio de integração entre os elementos de contorno.

Verifique o efeito dessa modificação ao rodar o programa POCONBE, da seguinte

forma:

iv) Rode o programa na forma original (da forma como está) para Ng = 4 e depois faça a

modificação e rode-o novamente para os Ng variáveis conforme as regras acima e, no final

compare a precisão dos resultados de u e de q nos pontos solicitados.

Dica: As regras i) ii) e iii) poderão acontecer nas situações mostradas na Figura -

5. 4.

Figura - 5. 4. Variação da distância relativas entre os elementos de um contorno.

Utilize comandos if ( ) then ( ) else

198

if ( ) then ( ) else .... para fazer as modificações no

programa.

199

5. 4 – Solução do Problema de o Potencial Escalar sobre uma Placa Plana

5.4.1 – Mapeamento Linear do Contorno do Problema

Segue o que foi desenvolvido no capítulo anterior.

200

5.4.2 – Elementos Constantes

Segue o que foi desenvolvido no capítulo anterior:

[ ]ηφ +

= 121

a (2. 351)

[ ]ηφ −

= 121

b (2. 352)

201

5.4.3 – Elementos Lineares e Quadráticos

Segue o que foi desenvolvido no capítulo anterior, mas não será utilizado nesta

aplicação

[ ]12

−

= ηηφa (2. 353)

[ ]12

+

= ηηφb (2. 354)

[ ]21 ηφ −=c (2. 355)

202

5.4.4 – Análise da Simetria do Problema na redução do número de integrais

No cálculo da placa plana com oito elementos constantes, para se montar as

matrizes H e G é necessário a principio resolver um número de 128288 =×× integrais.

Contudo, este número pode ser reduzido utilizando-se a propriedades de simetrias da placa

quadrada, conforme mostra o esquema da Figura - 5. 2, reduzindo-se para um número de 12

integrais pois as quatro primeiras das dezesseis mostradas na Figura - 5. 5 são nulas.

11,33,55,77, 22,44,66,88

12,34,56,78 21,43,65,87

23,45,67,81 32,54,76,18

28,42,64,86 13,35,57,71

203

24,46,68,82 31,53,75,17

25,47,61,83 16,38,52,74

14,36,58,72 27,41,63,85

26,48,62,84 15,37,51,73

Figura - 5. 5. Simetrias no processo de integração das Matrizes Hij e Gij entre os elementos do contorno de uma placa plana.

204

5.4.5 – Mapeamento Numérico dos Elementos e de suas Coordenadas

As coordenadas (x.y) dos nós funcionais e geométricos são mostradas na Figura -

5. 6.

Figura - 5. 6. Placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (2,0m x 2,0m) com oito elementos de funcionalidade constante, sujeitos as condições de contorno de potencial constante uu = e fluxo constante

qq = .

205

5.4.6 – Tabelas de Hij e Gij para dois pontos de Gauss

Após a realização do cálculo das integrais Hij e Gij podemos montar a seguinte

Tabela - V. 1.

Tabela - V. 1. Coordenadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno

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206

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207

Tabela - V. 2. Coordenadas dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno

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208

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209

Tabela - V. 3. Cálculo das Coordenadas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno

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210

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211

Tabela - V. 4. Cálculo das Coordenadas das Normais e de suas Derivadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno

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5.4.7 – Tabelas de Cálculo de Inversão das Matrizes Hij e Gij para dois pontos de Gauss

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Tabela - V. 9. Cálculo das Coordenadas e dos raios de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno

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1,00000 2,00000 2,00000 1,21132 1,78868 1,51481 1,69470

1,00000 1,78868 1,21132 2,00000 2,00000 1,63116 1,22719

1,00000 0,78868 0,21132 2,00000 2,00000 1,04083 1,04083

1,00000 0,00000 0,00000 1,78868 1,21132 0,93381 0,54282

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1,00000 0,21132 0,78868 0,00000 0,00000 1,63116 1,22719

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5.4.10 – Tabelas de Cálculo de Inversão das Matrizes Hij e Gij para quatro pontos de Gauss

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Tabela - V. 22. Cálculo das Abcissas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno

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Tabela - V. 23. Cálculo das Ordenadas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno

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242

Tabela - V. 24. Cálculo dos Raios de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno

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243


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244

Tabela - V. 26. Cálculo das Matrizes Hij e Gij dos Pontos Internos dos Elementos de Contorno

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245

5. 5 – Alteração do programa POCONBE de cálculo pelo Método de Elementos de Contorno para o Problema do Potencial Escalar

O programa POCONBE utiliza elemento constante, do Livro: C. A. Brebbia and J.

Dominguez, “Boundary Elements, An Introductory Course”, 2nd Edition, Computatonal

Mechanics Publications, McGraw-Hill Book Company., foi modificado de tal forma que as

integrações não-singulares são efetuadas com um número de pontos de Gauss (Ng)

respeitando as seguintes regras:

i) Se

42 => gNentãold

(2. 356)

ii) Se

621 =≤< gNentãold

(2. 357)

iii) Se

81 =≤ gNentãold

(2. 358)

onde d é a distância entre o centro dos elementos i e j e l é o comprimento deles, conforme


Figura - 5. 7. Dependência da distância d com o raio de integração entre os elementos de contorno.

O efeito dessa modificação foi verificado ao rodar o programa POCONBE, da

seguinte forma:

246

iv) Rodou-se o programa na forma original (da forma como está) para Ng = 4 e depois

fizemos a modificação e rodou-se novamente para os Ng variáveis conforme as regras acima e

no final comparamos a precisão dos resultados de u e de q nos pontos solicitados.

Dica: As regras i) ii) e iii) aconteceram nas situações mostradas na Figura - 5. 8.

Figura - 5. 8. Variação da distância relativas entre os elementos de um contorno.

Utilizou-se os comandos if ( ) then ( ) else

if ( ) then ( ) else .... fez-se as modificações no

programa conforme mostra o Apêndice A.2.

247

5.5.1 - Entrada de Dados do Programa POCONBE na forma Original

Exemplo de placa com 8 nós (8 elementos constantes) 8 3 0. 0. 1. 0. 2. 0. 2. 1. 2. 2. 1. 2. 0. 2. 0. 1. 1 0 1 0 0 100 0 100 1 0 1 0 0 300 0 300 1. 1. 1.5 1. 1. 1.5

248

5.5.2 - Saída de Dados do Programa POCONBE na forma Original

*************************************************************************** EXEMPLO DE FLUXO DE CALOR (8 ELEMENTOS CONSTANTES) Dados Numero de Elementos de Contorno = 8 Numero de pontos internos onde a função é calculada = 3 Coordenadas dos pontos extremos dos elementos de contorno Ponto X Y 1 0.00000E+00 0.00000E+00 2 0.10000E+01 0.00000E+00 3 0.20000E+01 0.00000E+00 4 0.20000E+01 0.10000E+01 5 0.20000E+01 0.20000E+01 6 0.10000E+01 0.20000E+01 7 0.00000E+00 0.20000E+01 8 0.00000E+00 0.10000E+01 Condicões de Contorno nó Código Valor Prescrito 1 1 0.00000E+00 2 1 0.00000E+00 3 0 0.10000E+03 4 0 0.10000E+03 5 1 0.00000E+00 6 1 0.00000E+00 7 0 0.30000E+03 8 0 0.30000E+03 *************************************************************************** Resultados Nós do Contorno X Y Potencial Derivada do Potencial 0.50000E+00 0.00000E+00 0.25176E+03 0.00000E+00 0.15000E+01 0.00000E+00 0.14834E+03 0.00000E+00 0.20000E+01 0.50000E+00 0.10000E+03 -0.10601E+03 0.20000E+01 0.15000E+01 0.10000E+03 -0.10601E+03 0.15000E+01 0.20000E+01 0.14834E+03 0.00000E+00 0.50000E+00 0.20000E+01 0.25176E+03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.15000E+01 0.30000E+03 0.10572E+03 0.00000E+00 0.50000E+00 0.30000E+03 0.10572E+03

249

Pontos Internos X Y Potencial 0.10000E+01 0.10000E+01 0.20004E+03 0.15000E+01 0.10000E+01 0.14961E+03 0.10000E+01 0.15000E+01 0.20002E+03 ***************************************************************************

250

5.5.3 - Saída de Dados do Programa POCONBE na forma Modificada

*************************************************************************** EXEMPLO DE FLUXO DE CALOR (8 ELEMENTOS CONSTANTES) Dados Numero de Elementos de Contorno = 8 Numero de pontos internos onde a função é calculada = 3 Coordenadas dos pontos extremos dos elementos de contorno Ponto X Y 1 .00000E+00 .00000E+00 2 .10000E+01 .00000E+00 3 .20000E+01 .00000E+00 4 .20000E+01 .10000E+01 5 .20000E+01 .20000E+01 6 .10000E+01 .20000E+01 7 .00000E+00 .20000E+01 8 .00000E+00 .10000E+01 Condicoes de Contorno nó Código Valor Prescrito 1 1 .00000E+00 2 1 .00000E+00 3 0 .10000E+03 4 0 .10000E+03 5 1 .00000E+00 6 1 .00000E+00 7 0 .30000E+03 8 0 .30000E+03 *************************************************************************** Resultados Nós do Contorno X Y Potencial Derivada do Potencial .50000E+00 .00000E+00 .25172E+03 .00000E+00 .15000E+01 .00000E+00 .14828E+03 .00000E+00 .20000E+01 .50000E+00 .10000E+03 -.10586E+03 .20000E+01 .15000E+01 .10000E+03 -.10586E+03 .15000E+01 .20000E+01 .14828E+03 .00000E+00 .50000E+00 .20000E+01 .25172E+03 .00000E+00 .00000E+00 .15000E+01 .30000E+03 .10586E+03 .00000E+00 .50000E+00 .30000E+03 .10586E+03

251

Pontos Internos X Y Potencial .10000E+01 .10000E+01 .20000E+03 .15000E+01 .10000E+01 .14959E+03 .10000E+01 .15000E+01 .20000E+03 ***************************************************************************

252

Capítulo – VI

INTRODUÇÃO A TEORIA DA ELASTICIDADE

Apresentamos neste trabalho o desenvolvimento matemático da Teoria da

Elasticidade Linear, por meio do método das Equações Integrais de Contorno. Para isso

utilizamos a identidade de Somigliana e a equação integral de Betti para equacionar a Teoria

Elástica Linear em termos do Método dos Elementos de Contorno. O Método dos Elemento

de Contorno para a Teoria da Elasticidade Linear foi desenvolvido matematicamente desde

sua forma analítica básica até a sua formulação final em termos das matrizes H e G, para a

implementação computacional numérica.

Os problemas da Teoria Elástica Linear são muito interessantes para a

Engenharia de uma forma geral. Nesta disciplina estamos interessados em aplicar o Método

dos Elementos de Contorno a problemas acadêmicos de Elasticidade. Os exemplos de

aplicação que serão aqui estudados são, o de uma placa plana com um furo circular, que

representa um exemplo de domínio finito; o de uma cavidade circular, que representa um

domínio infinito e um exemplo de viga parede que representa um problema muito comum em

Engenharia. Em todos esses problemas o recurso de simetria pode ser ou não, utilizados para

simplificar o cálculo e o custo computacional do problema a ser resolvido. Todos esses

exemplos são clássicos e aparecem em diversos problemas de Engenharia

6. 1 - Elementos de mecânica dos sólidos

Uma abordagem a solução de problemas em mecânica dos sólidos é estabelecer

relações primeiro entre cargas aplicadas e tensões internas e, subseqüentemente, considerar as

deformações. Uma outra abordagem é examinar as deformações inicialmente, e então

proceder às tensões e as cargas aplicadas. Desprezando-se da eventual solução o caminho

253

selecionado, é necessário derivar as relações dos componentes individualmente. Neste

capítulo, a primeira série de equações as quais descrevem o equilíbrio entre forças externas e

tensões internas são derivadas.

6. 2 - Análise do estado das tensões

6.2.1 – Tração e vetores de acoplamento das tensões

Um corpo deformável sujeito a um carregamento externo é mostrado na Figura -

6. 1. Podem existir cargas aplicadas sobre o exterior, propriamente chamada de forças

superficiais, e cargas distribuídas dentro do interior do corpo, conhecidas como forças

internas. Um exemplo da última é o efeito da gravidade, a qual produz o peso-específico do

corpo.

Focando a atenção sobre um elemento com área ∆Na sobre ou dentro do corpo e

orientada conforme especificada por um vetor normal n, nós acumulamos a força resultante

∆Fn e o momento ∆Mn. Ambas são grandezas vetoriais e não são, em geral, paralelas a n.

Logo buscamos a intensidade das resultantes sobre a área ∆Na na forma.

Figura - 6. 1. Corpo deformável sob carregamento externo.

f ≡ lim = dFn/dVn; (vetor), (6. 1)

Onde Tn é conhecido como vetor das tensões ou tração, e Cn é chamado de vetor do

acoplamento das tensões.

A teoria da elasticidade elementar procede da superposição de que Cn = 0,

enquanto a tração Tn representa a intensidade das tensões em um ponto para uma orientação

254

particular de elemento de área especificada por n. Uma descrição completa no ponto requer

que o estado das tensões seja conhecido por todos as direções, tal que Tn ele mesmo é

necessário, mas não suficiente, para esta proposta.

6.2.2 – Componente das tensões

Nós agora estudamos um paralelepípedo retangular infinitesimal no ponto em

questão e construímos uma série de coordenadas cartesianas xi paralelas ao lado, conforme

mostrado na Figura – 2.2 correspondente a cada eixo coordenado é um vetor unitário êi.

Mostrado na figura são as trações Ti que atuam sobre cada face i, com o subscrito escolhido

correspondente a face normal êi. Novamente enfatiza-se que, em geral, Ti não é paralelo a êi, o

qual é perpendicular a face do paralelepípedo.

Figura - 6. 2. Tensor das tensões normais e cisalhantes em um corpo.

Cada tração pode ser escrita em termos das componentes cartesianas na forma:

f = f1ê1 + f2ê2 + f3ê3 = fiêi, (6. 2)

ou

( ) iiêf

ê

ê

ê

ffff ≡

=

3

2

1

321

(6. 3)

Mas

255

jiji êT σ=

(6. 4)

a qual expandindo explicitam,ente em três equações fornece:

jjêêêêT 13132121111 σσσσ ≡++=

(6. 5)

jjêêêêT 23232221212 σσσσ ≡++=

(6. 6)

jjêêêêT 33332321313 σσσσ ≡++=

(6. 7)

ou ainda

[ ] jijê

T

T

T

ê

ê

ê

T σσσσσσσσσσ

≡

≡

=

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

(6. 8)

Os coeficientes σ11, σ12, ...., σ33, são conhecidos como componentes das tensões

ou simplesmente como tensões, enquanto que toda a matriz forma o tensor das tensões

quando a regra de transformação apropriada é verificada. O subscrito e a convenção dos sinais

para as componentes das tensões σij são como segue:

1) O primeiro subscrito i refere-se à normal êi, a qual denota a face sobre a qual Ti

atua.

2) O segundo subscrito j corresponde à direção êj na qual a tensão atua.

3) As tão chamadas componentes normais σii(Σi) são positivas se elas produzem

tensões, e negativas se elas produzem compressões. As componentes de cisalhamento σij (i ≠

j) são positivas se direcionadas na direção positiva xj enquanto atuam sobre a face com a

unidade normal +êi, ou se direcionadas na direção negativa xj enquanto atuam sobre a face

com unidade normal –êi.

Enquanto é algumas vezes vital distinguir entre tensão e compressão a diferença

entre cisalhamento positivo e negativo é igualmente arbitrário.

256

6.2.3 – Tensão em um ponto

Nós agora estamos em posição de proceder o principal objeto desta secção, e

então estabelecer condições suficientes para descrever completamente o estado tensões em um

ponto. Nós mostraremos que isto pode ser realizado por especificação das trações Ti sobre

cada um dos três planos êi as quais pela equação, é equivalente a especificar as nove

componentes das tensões σij. Então, se a tração Tn atua sobre qualquer elemento arbitrário da

superfície, definida por um n apropriado, pode ser avaliado, a proposição é provada e o tensor

das tensões σij, referido a qualquer sistema cartesiano conveniente, completamente especifica

o estado das tensões no ponto.

Figura - 6. 3. Forças agindo sobre um tetraedro elementar em um ponto P.

O tetraedro diferencial na Figura - 6. 3 mostra a tração Tn atuando sobre o

plano identificado por n, ao longo com trações sobre as faces indicadas por êi e a força interna

f por unidade de volume. A força sobre a face inclinada é TndAn enquanto a força sobre cada

uma das outras faces é –TidAi, i = 1, 2, 3, desde que elas têm normais unitárias nas direções

negativas êi.

As áreas dos planos estão relacionadas por (6. 8), onde

inini êndAendAdA ˆ)ˆ,ˆcos( == (6. 9)

tal que

257

i

i

i

in n

dAen

dAdA ==

ˆˆ (6. 10)

onde

),ˆcos(ˆ.ˆ iii ênenn == (6. 11)

éa componente de n na direção êi e também a direção cosseno.

A força de equilíbrio para o tetraedro da:

0)31

(332211 =+−−− nnn hdAfdATdATdATdAT

(6. 12)

Onde h é a altura do tetraedro. Usando as equações (6. 9) a (6. 11), a equação (6. 12) torna-se:

0)3

( =+− niinn dAh

fdATdAT

(6. 13)

Logo, resolvendo Tn em componentes cartesianas Tiêi e tomando o limite quando h → 0 a

condição de equilíbrio é satisfeita se:

iiii nTêT

= (6. 14)

O próximo passo é escrever Ti em termos das componentes das tensões usando a equação (6.

4). Contudo, é conveniente primeiro mudar o índice mudo sobre o r.h.s da equação (6. 14) de

i para j, então:

ijjijjii ênnTnT σ==

(6. 15)

O qual permite que os coeficientes de êi nas equações (6. 14) e (6. 15) sejam equacionadas

fornecendo:

jjii nT σ= (6. 16)

Reciprocamente, se as componentes Ti são conhecidas, a magnitude de Tn pode ser avaliada

como:

2/1)( iinn TTTT ==

(6. 17)

desde que Tn representa uma componente da tração que atua sobre um plano arbitrário como

definido por n, o conhecimento das componentes da tensão referidas as coordenadas

258

cartesianas é realmente suficiente para especificar completamente o estado das tensões no

ponto. Na equação (6. 16), Ti e nj são ambas componentes de um tensor [σ] de ordem 2.

Portanto, se as componentes das tensões são conhecidas em um sistema de coordenadas, dito

o sistema xi, elas podem ser avaliadas por um outro sistema de coordenadas, dito o sistema xi’,

pela lei de transformação para os tensores de segunda ordem.

kljlikij σαασ =' (6. 18)

Onde cada direção cosseno é:

),'cos( jiij xx=α (6. 19)

conforme introduzido anteriormente (6. 19) representa o cosseno do ângulo entre os eixos xi’,

e xi.

desde que a regra de transformação executa um papel importante na teoria da

elasticidade, vale a pena reafirmar que αij ≠ αji, isto é a direção dos cossenos não são

simétricos.

6.2.4 – Tensão sobre o plano normal

É algumas vezes útil resolver Tn em componentes que são normais e tangenciais

ao elemento diferencial de superfície dAn, conforme mostrado na Figura - 6. 4.

Figura - 6. 4. Elemento diferencial de superfície

A componente normal é calculada por:

nTN nnn ˆ.

==σ (6. 20)

259

nêT ii ˆ..

= (6. 21)

ii nT .= (6. 22)

ou da equação (6. 17)

ijijnn nnσσ = (6. 23)

a componente tangencial é:

sTs nns ˆ ==σ (6. 24)

sêT ii ˆ..

= (6. 25)

ii sT .= (6. 26)

ijjins snσσ = (6. 27)

onde

sês ii ˆ.= (6. 28)

Isto freqüentemente conveniente calcular σns usando o teorema de Pitágoras como

2/12 )( nniins TT σσ −= (6. 29)

conduzindo a resolução a um passo a mais, as componentes cartesianas de N e S podem ser

avaliadas:

knnkknn ênêN .ˆ.)( σσ ==

(6. 30)

knnnσ= (6. 31)

260

kijji nnnσ= (6. 32)

onde k = 1, 2, 3.

a partir da equação (6. 28) para σns, a simples adição dá

.3,2,1)()( =−= kT knnnknn σσ (6. 33)

onde Tk são as componentes cartesianas de T conforme dado pela equação (6. 23).

6.2.5 – Representação dyádica das tensões

Conceitualmente, pode ser útil ver o tensor das tensões como uma grandeza tipo

vetorial tendo uma magnitude e direções associados, especificadas por vetores unitários. O

dyádico, atribuido ao matemático J. Willard Gibbs é uma tal representação. Nós escrevemos o

tensor das tensões ou dyádico das tensões como:

[ ] jiij êê ..σσ = (6. 34)

333323321331

322322221221

311321121111

......

......

......

êêêêêê

êêêêêê

êêêêêê

σσσσσσ

σσσ

++++++

++= (6. 35)

Onde os duplos vetores justapostos são chamados diádicos. As trações correspondentes são

avaliadas por uma operação análoga ao produto escalar ou a operação de produto na

aritmética vetorial:

[ ] jijii êêT .. σσ ==

(6. 36)

A operação ponto (.) de êi sobre [σ] seleciona componentes com o segundo vetor diado igual

a êi desde que êi.êj = δij. A equação (6. 36) é idêntica a equação (6. 4). Similarmente, as

componentes normais e tangenciais da tração Tn sobre um plano definido pela normal n são:

[ ] nnnn ˆ.ˆ.σσ = (6. 37)

nTn ˆ.

= (6. 38)

261

jiij nn ..σ= (6. 39)

e

[ ] snns ˆ.ˆ.σσ = (6. 40)

sTn ˆ.

(6. 41)

jiij sn ..σ= (6. 42)

como previamente achado nas equações (6. 33) e (6. 34), respectivamente.

6. 3 - Equações de Equilíbrio

A partir de agora vamos estudar as equações de equilíbrio ara os sólidos as quais

são decorrentes da Mecânica Newtoniana.

6.3.1 – Princípios Físicos e Matemáticos

O estado das tensões em um ponto em qualquer direção tem sido mostrado ser

completamente determinado pelas componentes do tensor cartesiano das tensões σij.

Naturalmente, as tensões variam dentro do corpo. As equações que governam a distribuição

das tensões são conhecidas como as equações de equilíbrio e são derivadas a partir da

aplicação dos princípios fundamentais da física do momento angular e do momento linear à

região mostrada como na Figura - 6. 5 com a área superficial A e o volume V.

262

Figura - 6. 5. Corpo em equilíbrio.

O princípio do momento linear é:

=+VV A

dVudATdVf

.ρ (6. 43)

no qual ρ é a densidade de massa; u é o vetor deslocamento, e o símbolo (..) significa a

derivada em relação ao tempo duas vezes.

As equações precedentes podem ser escritas na forma de componentes

reconhecendo-se que:

ii êff .=

(6. 44)

e

iiêTT =

(6. 45)

logo

ijji ên ..σ= (6. 46)

a partir da equação (6. 29). Considerando o vetor posição r.

6.3.2 – Momento linear

Para problemas estáticos, o r.h.s. das equações (6. 43) são zero. Substituindo-se as

equações , e em nós temos que as equações estáticas do momento linear são:

263

=+AV

dAnTdVf 0ˆ].[.

(6. 47)

ou equivalentemente

=+A

ijjiiV

i dAêndVêf 0. σ (6. 48)

e

0. =

+ i

Ajji

Vi êdAndVf σ (6. 49)

ou

=+A

jjiV

i dAndVf 0. σ (6. 50)

Supondo que as componentes σij das tensões são funções contínuas de classe C1 e

possuem derivadas contínuas, pode-se usar o teorema da divergência para transformar a

integral de superfície em uma integral de volume. Portanto,

=∇AV

dAnTdVT ˆ].[]).[( (6. 51)

Logo substituindo em tem-se:

=∇+VV

dVTdVf 0]).[(

(6. 52)

ou

0]).[( =∇+ dVTfV

(6. 53)

ou

0)( =∂∂

+ dVx

fV j

jii

σ (6. 54)

Como todo elemento de V em equilíbrio, a região de integração é arbitrária, valendo para

qualquer volume V, a equação é satisfeita se o integrado desaparece. Portanto,

264

0=∂∂

+j

jii x

fσ

(6. 55)

Esta é a condição de equilíbrio para o momento linear, a qual representa as três equações de

equilíbrio em termos das nove componentes desconhecidas da tensão σij.

6.3.3 – Momento angular

O princípio do momento angular é:

dVurdATrdVfrVAV

)()()( ρ ×=×+× (6. 56)

No qual r é o vetor posição como mostrado na Figura - 6. 5.

O equilíbrio dos momentos demanda que:

0ˆ])[()( =×+× dAnTrdVfrAV

(6. 57)

onde

332211 êxêxêxr ++= (6. 58)

a forma escalar de (6. 57) é:

0=+ dAnxdVfx llkjA

ijkV

kjijk σεε (6. 59)

onde

−=

2,3,1,,13,2,1,,1

,,0

depermutaçãoumaékjise

decíclicapermutaçãoumaékjise

iguaissãokjidoisquaisquerse

ijkε (6. 60)

Usando o teorema da divergência temos:

0)( ==∂∂

dAnxdVxx llkj

Aijk

Vlkjijk

l

σεσε (6. 61)

265

0)( =+∂

∂+∂∂

dVfxdVx

xx

xkj

Vijk

l

lk

Vjlk

l

jijk εσσε (6. 62)

logo

0])([ =∂∂

++∂

∂ dV

x

xf

xx

V l

jlkk

l

lkjijk σσε (6. 63)

usando (6. 60) em (6. 63) onde:

≠=

===∂∂

ljse

ljsedVdV

x

xjljl

Vlkijk

V l

jlkijk 0

1;0 δδσεσε (6. 64)

temos:

0])([ =++∂

∂ dVf

xx

Vjllkk

l

lkjijk δσσε (6. 65)

usando a expressão (6. 55) temos:

0== dVdVV

jkijkV

jllkijk σεδσε (6. 66)

Como a relação é válida para qualquer volume temos:

0=jkijkσε (6. 67)

a equação (6. 67) pode ser avaliada para i = 1,2,3, onde

02312332132 =+ σεσε (6. 68)

e

01321331231 =+ σεσε (6. 69)

e

01231221321 =+ σεσε (6. 70)

Logo

2332 σσ = (6. 71)

266

1331 σσ = (6. 72)

e

1221 σσ = (6. 73)

ou ainda de forma geral

jiij σσ = (6. 74)

a qual é uma condição da simetria do tensor das tensões e que, além disso, implica que σij tem

seis componentes independentes, em vez de nove componentes. A equação (6. 74) é muito

importante em todo o campo da mecânica dos sólidos.

Nós podemos reescrever a equação (6. 16) como:

jiji nT σ= (6. 75)

e a equação (6. 35) como:

0=∂∂

+j

iji x

fσ

(6. 76)

A qual é agora uma série de três equações e seis incógnitas. Desde que elas são usadas

repetidamente, esta é útil escrever as últimas equações na forma explícita:

03

13

2

12

1

111 =

∂∂+

∂∂+

∂∂+

xxxf

σσσ (6. 77)

e

03

23

2

22

1

212 =

∂∂+

∂∂+

∂∂+

xxxf

σσσ (6. 78)

e

03

33

2

32

1

313 =

∂∂+

∂∂+

∂∂+

xxxf

σσσ (6. 79)

a qual representa um sistema que é ainda estaticamente indeterminado.

267

6. 4 - Tensões Principais

Em todo ponto em um corpo existe um plano, chamado de plano principal, tal que

o vetor tensão se estende ao longo da normal n a este plano. Isto é,

jijii nnT σδσ == (6. 80)

onde σ é a tensão normal que atua sobre este plano. A implicação é que não existe

cisalhamento agindo sobre o plano principal. A direção de n é referida à direção principal. A

introdução da equação (6. 80) na equação (6. 16) fornece:

0)( =− jijji nσδσ (6. 81)

A qual é uma série de três equações homogêneas para a direção dos cossenos ni que definem a

direção principal. Desde que nini = 1, então para evitar a solução trivial (0, 0, 0) devemos ter:

0det =− jijji nσδσ (6. 82)

a qual em uma forma matricial é:

0

333231

232221

131211

=

−−

−

σσσσσσσσσσσσ

(6. 83)

Esta é uma equação cúbica em σ que pode ser escrita como:

0322

13 =−+− III σσσ (6. 84)

Onde I1, I2, I3 são grandezas escalares que são independentes do sistema de coordenadas na

qual as componentes das tensões são expressos. Elas são chamadas de tensões invariantes

como:

iiI σ=1 (6. 85)

e

)(21

2 ijijjjiiI σσσσ −= (6. 86)

e

268

krjqippqrijkI σσσεε61

3 = (6. 87)

Em uma forma extendida temos:

3322111 σσσ ++=I (6. 88)

e

231

223

2121133332222112 )( σσσσσσσσσ −−−++=I (6. 89)

e

=

333231

232221

131211

3

σσσσσσσσσ

I (6. 90)

Devido à simetria do tensor das tensões existem três raizes reais (σ1, σ2, σ3),

referente as tensões principais da equação (6. 83). Associado a cada tensão principal existe

uma direção principal satisfazendo a equação (6. 81) e nini =1. As três direções principais e os

planos associados são mutuamente ortogonais. Pode ser mostrado que as tensões principais

correspondem ao valor máximo, intermediário e mínimo das tensões normais em um ponto

(circulo de Mohr). Contudo, a máxima tensão de cisalhamento neste ponto é igual a metade da

diferença entre as tensões principais máxima e mínima que atua sobre o plano, fazendo um

ângulo de 45o graus com a direção das tensões. Um conhecimento das tensões principais é

importante porque elas formam a base da teoria das falhas dos materiais.

6. 5 – Análise das deformações

Considere um corpo flexível como uma gelatina, sofrendo “pequenas

deformações”, conforme mostra a Figura - 6. 6.

)',','(''),,( 321321 xxxrrexxxrr == (6. 91)

e

333222111 )'()'()'(' êxxêxxêxxrru −+−+−=−= (6. 92)

269

Figura - 6. 6. Deformação tridimensional em um corpo flexível.

onde

traçãodeounormaissdeformaçõell

xu

ll

xu

ll

xu

∆=∆=∆=

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1 ;; (6. 93)

tocisalhamendeoustangenciaidefor

ll

xu

ll

xu

ll

xu

ll

xu

ll

xu

ll

xu

.;;

;;

2

3

2

3

3

2

3

2

1

3

1

3

3

1

3

1

1

2

1

2

2

1

2

1

∆=∆=∆=

∆=∆=∆=

(6. 94)

Chamando de:

j

iij l

l∆=ε , (6. 95)

podemos escrever:

jiji xu ε= . (6. 96)

Para uma deformação qualquer temos:

270

j

iij x

u∂∂=ε , (6. 97)

Para o caso de i ≠ j temos duas situações:

Figura - 6. 7. Casos de a) deformação e b) rotação do ponto de vista de deslocamento vetorial.

Para o caso de formação pura temos:

2112

1

2

2

1

εε =

∆=∆ll

ll

, (6. 98)

logo

2)( 1221

12εεε += , (6. 99)

e para o caso de rotação pura temos:

2112

1

2

2

1

εε −=

∆−=∆ll

ll

, (6. 100)

logo

271

02

)( 122112 =+= εεε , (6. 101)

Para que uma rotação pura não seja incluída no cálculo das deformações,

conforme é mostrado no exemplo da Figura - 6. 7 acima, devemos construir um tensor

de deformações simétrico onde εij = εji, logo de uma forma geral devos ter:

)(21

j

i

i

jij x

ux

u

∂∂+

∂∂

=ε , (6. 102)

Observe que esta construção também inclui as deformações normais, sendo portanto uma

definição absolutamente geral.

6.5.1 – Tensor das deformações

Somando-se as contribuições de cada deformação para encontrar a deformação

resultante em uma dada direção temos:

3132121111 xxxu εεε ++= , (6. 103)

e

3232221212 xxxu εεε ++= , (6. 104)

e

3332321313 xxxu εεε ++= , (6. 105)

Escrevendo sob a forma de matriz nós temos que o tensor das deformações é dado por:

=

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

x

x

x

u

u

u

εεεεεεεεε

, (6. 106)

Escolhendo a origem onde o vetor u = (u1, u2, u3) é nulo, o tensor εij dá a relaçào

entre dois vetores; o vetor coordenada r = (x1, x2, x3) e o vetor deslocamento u = (u1, u2, u3).

6.5.2 – Densidade de energia de deformação

A densidade de energia de deformação, W = W(εkl), é uma função potencial das

deformações definida como:

272

ijijij dWkl

εσεε

=0

)( , (6. 107)

Cuja convexidade e condição de estabilidade é dada por:

)''()()''( klklkl

ijij

ij

WWW εε

εεε

ε

−∂∂≥− , (6. 108)

Usando (6. 107) temos:

ijijij ddW εσε =)( , (6. 109)

onde

ijij

Wε

σ∂∂= , (6. 110)

Logo

)''()()''( klklijijij WW εεσεε −≥− , (6. 111)

6.5.3 – Equações de compatibilidade

A partir da regra de Schwartz temos que:

ijklklij

WWεεεε ∂∂

∂=∂∂

∂ 22

, (6. 112)

Portanto

kl

ij

ij

kl

εσ

εσ

∂∂

=∂∂

, (6. 113)

Desta forma o Jacobiano fica:

2

22

2

2

2

2

klijkl

klijij

klij WW

WW

W

εεε

εεεεε

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=∂∂

∂, (6. 114)

273

Logo

022

2

2

2

2

≠∂∂

∂∂∂

∂−∂∂

∂∂

ijklklijklij

WWWWεεεεεε

, (6. 115)

6.5.4 – Materiais Elásticos Lineares

Considerando o caso de materiais elásticos lineares a densidade de energia de

deformação pode ser expandida em série de Taylor da seguinte forma:

...)(

21

)0()( +

∂∂+= klij

klij

ijkl

WWW εε

εεε

ε , (6. 116)

Considerando que o primeiro termo da expansão acima se anula por ser uma posição de

equilíbrio, nível zero da densidade de energia potencial, temos:

klijijklkl CW εεε21

)( = , (6. 117)

Esta é a Lei de Hooke na sua forma generalizada, onde:

klijklij

klij C

W εεεσ =

∂= )(

, (6. 118)

Esta equação matricial dá origem a uma matriz Cijkl de 9 linha e 9 colunas em um

total de 81 elementos na matriz. Porém por simetria temos que:

klijijklijlkijkljiklijkl CCCCCC === ;; , (6. 119)

Logo reduzimos os elementos para o número de 21, os quais escritos de forma explicita

temos;

=

xy

zx

yz

zz

yy

xx

xy

zx

yz

zz

yy

xx

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

εεεεεε

τττσσσ

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

, (6. 120)

Definindo o módulo de cisalhamento, G, como sendo dado por:

274

yzyz Gετ = , (6. 121)

e

zxzx Gετ = , (6. 122)

e

yzyz Gετ = , (6. 123)

logo

klij Gετ = , (6. 124)

e o módulo de Poisson para i ≠ j ,como

jj

iiijv

εε−= , (6. 125)

As equações de tensões podem ser escritas em termos do módulo elástico, E,

como:

zzyyxxxx vEvEE εεεσ ++= , (6. 126)

e

zzyyxxyy vEEvE εεεσ ++= , (6. 127)

e

zzyyxxzz EvEvE εεεσ ++= , (6. 128)

A matiz anterior pode ser escrita como:

=

xy

zx

yz

zz

yy

xx

xy

zx

yz

zz

yy

xx

G

G

G

EvEvE

vEEvE

vEvEE

εεεεεε

τττσσσ

000000000000000000000000

, (6. 129)

Logo as equações de deformação ficam:

275

)]([1

zzyyxxxx vE

σσσε +−= , (6. 130)

e

)]([1

zzxxyyyy vE

σσσε +−= , (6. 131)

e

)]([1

zzxxzzxzz vE

σσσε +−= , (6. 132)

Sabendo que:

GvE )1(2 += , (6. 133)

De uma forma geral, isto é, para um material isotrópico as equações de tensão

podem escritas como:

)21

(2 kkijijij vv εδεµσ

−+= , (6. 134)

Onde µ ≡ G : é o módulo de cisalhamento

Combinando as equações (6. 117) e (6. 118) temos:

ijijW εσ21= , (6. 135)

Substituindo a equação (6. 134) em (6. 135) temos:

)21

()( jjiijiijij vv

W εεεεµε−

+= , (6. 136)

6.5.5 – Complementaridade da densidade da energia de deformação

A existência de uma única inversa da relação constitutiva (6. 113)

ij

kl

kl

ij

σε

σε

∂∂=

∂∂

, (6. 137)

Assegura a existência da complementaridade da densidade de energia de deformação, W* =

W*(σij), definida por transformada de Legendre como:

276

WW ijij −= εσ* , (6. 138)

A partir da regra da cadeia derivando a equação (6. 138) temos:

ij

ij

ijij

ij

WWσε

εε

σ ∂∂

∂∂−=

∂∂ *

, (6. 139)

Substituindo a equação (6. 118), para 0=∂∂

ij

ijσ

ε temos:

ij

ijijij

ij

Wσε

σεσ ∂

∂−=

∂∂ *

, (6. 140)

Portanto,

ijij

W εσ

=∂∂ *

, (6. 141)

É direta mostra que a convexidade de W* segue da convexidade de W.

Para um material frágil elástico linear a combinação de (6. 135) com (6. 138)

fornece:

ijijWW εσ21* == , (6. 142)

Pode-se escrever para este caso que:

klijijklkl CW σσσ **

21

)( = , (6. 143)

Onde o tensor C*ijkl é o inverso do tensor Cijkl e da mesma forma:

klijijklijlkijkljiklijkl CCCCCC ****** ;; === , (6. 144)

Segue de (6. 141) e (6. 143) que:

klijklij

klij C

W σσσε *

* )( =∂

= , (6. 145)

Para um material isotrópico a equação (6. 145) se reduz a

277

kkijijij Ev

Ev σδσε −+= 1

, (6. 146)

e W* torna-se:

llkkklklkl Ev

Ev

W σσσσσ22

1)(* −+= , (6. 147)

Se uma lei de potência entre tensão e deformação existe, dada pela equação (6.

118), de tal forma que a deformação é uma função homogênea de grau n da tensão (equação

(6. 145)), então a equação (6. 142) implica que W* deve ser uma função homogênea das

componentes da tensão de grau n+1. Isto segue do teorema de Euler para funções

homogêneas, portanto:

ijijijij n

Wn

W εσσσ 1

11

1 **

+=

∂∂

+= , (6. 148)

Combinado (6. 138) com (6. 148) temos:

ijijnn

W εσ1

*

+= , (6. 149)

Quando a tensão é proporcional a deformação (n = 1) então as equações (6. 142),

(6. 148) e (6. 149) tornam-se idênticas a equação (6. 135).

278

Capítulo – VII

PROBLEMAS DE ELASTOSTÁTICA

RESUMO

Neste capítulo será visto a formulação integral básica da Teoria da Elasticidade, a

Lei de Hooke, para a obtenção da Solução Fundamental do Método dos Elementos de

Contorno e o estabelecimento da sua Implementação Numérica, tanto para regiões finitas

como infinitas.


i) Entender a formulação Integral Básica da Teoria da Elasticidade

ii) Saber aplicar o Método dos Elementos de Contorno em problemas de potencial

nas suas mais diferentes formas envolvendo a Teoria da Elasticidade.



A Teoria da Elasticidade nasceu a partir da lei de Hooke para a deformação

elástica de uma mola. Com a idéia do contínuo e, pelo fato dos corpos sob tensão se

comportarem de forma análoga a um mola distendida, a teoria elástica linear adquiriu uma

roupagem matemática útil para a sua aplicação em corpos sólidos. Desta forma ela é a base

para outras áreas da ciências tais como: a Mecânica dos Sólidos, a Mecânica Estrutural, a

Mecânica da Fratura, etc. sendo uma teoria fundamental que possui larga aplicação na

Engenharia.

279

7. 3 – Notação Cartesiana Indicial

Os índices 1, 2, 3, são usados para substituir x, y, z e os símbolos de somatório são

desnecessários sempre que um mesmo índice aparece duas vezes em um termo qualquer.

Exemplo: No caso 3D

=

=++=3

1

223

22

21

iiii aaaaaa (7. 1)

e

=

=++=3

1332211

iiikk bbbbb (7. 2)

O símbolo do Delta de Kroeneker δij é definido como:

≠=

=jise

jiseij 0

1δ ijij aaEx =→ δ: (7. 3)

Como por exemplo:

1313212111 aaaa

aa ijij

=++=

=

δδδδ

(7. 4)

Para problemas tri-dimensionais (3D), os índices variam de 1 a 3, para problemas

bi-dimensionais, de 1 a 2.

7. 4 – Teoria da Elasticiade Linear

A equação de equilíbrio estático no interior Ω de um corpo é dada por:

0, =+ jiij bσ (7. 5)

ou

0,,,3

3

2

2

1

1332211 =+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=+++ jjjj

jjjj bxxx

bσσσ

σσσ (7. 6)

e

280

0

0

0

33

33

2

23

1

13

23

32

2

22

1

12

13

31

2

21

1

11

=+∂

∂+∂

∂+∂

∂

=+∂

∂+∂

∂+∂

∂

=+∂

∂+∂

∂+∂

∂

bxxx

bxxx

bxxx

σσσ

σσσ

σσσ

(7. 7)

onde:

ijσ : representa as componentes do tensor de tensão

bj: representa as componentes das forças de volume.

As derivadas espaciais são indicadas por uma vírgula

3

3

2

2

1

1

321

,

,,,,

xxxxjjj

i

ijiij

ijijijiij

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

=

++=

σσσσσ

σσσσ (7. 8)

A condição de equilíbrio no contorno Γ do corpo é dado por:

jiji np σ= (7. 9)

onde pi representa as componentes do vetor de força de superfície e nj representa os cossenos

diretores da normal dirigida para fora do corpo, conforme mostra a Figura - 7. 1.

Figura - 7. 1. Domínio Ω finitos e infinitos com contorno externo e interno respectivamente.

Para um material elástico isotrópico onde não existem variações de temperatura a

lei de Hooke fornece:

281

ijkkijij vGv

G δεεσ)21(

22

−+= (7. 10)

onde:

G: módulo de elasticidade transversal

v: coeficiente de Poisson

ijε : tensor de deformação específica de Cauchy

),,(21

ijjiij uu +=ε (7. 11)

Sendo ui os componentes do vetor de deslocamentos.

Alternativamente, a equação (7. 10) pode ser escrita como:

klijklij C εσ = (7. 12)

onde Cijkl é o tensor isotrópico de quarta ordem de constantes elásticas.

)()21(

2jkijjlikklijijkl G

vGv

C δδδδδδ ++−

= (7. 13)

A substituição da equação (7. 11) na equação (7. 10) permite representar as

tensões em termos de derivadas de deslocamentos. Esta equação resultante pode, então ser

substituída em (7. 5) e (7. 9) para fornecer as equações de equilíbrio também em termos de

derivadas de deslocamentos. Como resultado dessas operações, são obtidas as equações de

equilíbrio de Navier.

0,)21(

, =+−

+ jkjkkkj buv

GGu em Ω (7. 14)

Trabalho do curso - 1:

Fazer a substituição da equação (7. 11) na equação (7. 10) e obter a equação (7.

14), usando (7. 5) e (7. 9).

Solução:

Fazendo a substituição da equação (7. 11) na equação (7. 10) temos:

282

ijkkkkijjiij uuv

GvuuG δσ

+−

+

+= ),,(21

)21(2

),,(21

2 (7. 15)

ou

ijkkkkijjiij uuv

GvuuG δσ ),,(

)21(),,( +

−++= (7. 16)

Logo

ijkkijjiij uv

GvuuG δσ ,2

)21(),,(

−++= (7. 17)


0,,2)21(

),,( =+

−++ jiijkkijji bu

vGv

uuG δ (7. 18)

Logo

0,2)21(

),,( =+−

++ jijkikiijjii buv

GvuuG δ (7. 19)

usando a propriedade da função Delta de Dirac temos:

0,2)21(

),,( =+−

++ jkjkiijjii buv

GvuuG (7. 20)

pela igualdade de Schwartz onde iijjii uu ,, = podemos escrever a expressão (7. 20) como:

0,2)21(

),,( =+−

++ jkjkiijiij buv

GvuuG (7. 21)

ou

0,2)21(

,2 =+−

+ jkjkiij buv

GvGu (7. 22)

dividindo toda a expressão por dois temos:

021

,)21(

, =+−

+ jkjkiij buv

GvGu (7. 23)

283

Como o índice “i” é mudo ele pode ser trocado pelo índice “k”, ficando:

021

,)21(

, =+−

+ jkjkkkj buv

GvGu (7. 24)

- x – x -

Por outro lado, multiplicando a equação (7. 17) por ni, temos:

jijkkjijjijij nuv

GvnuuGn δσ ,2

)21(),,(

−++= (7. 25)

usando a propriedade da função Delta de Dirac temos:

ikkjijjijij nuv

GvnuuGn ,

)21(2

),,(−

++=σ (7. 26)

e substituindo (7. 9) em (7. 26) temos:

ikkjijjii nuv

GvnuuGp ,

)21(2

),,(−

++= (7. 27)

- x – x -

Então, as forças de superfície no contorno devem satisfazer a seguinte equação:

ijijjiikk pnuuGnuv

Gv =++−

),,(,)21(

2 em Γ (7. 28)

As equações (7. 5) a (7. 28) são válidas para problemas tridimensionais.

Para problemas bi-dimensionais, além dos índices variarem de 1 a 2, e além disso

tem-se:

- Para problemas de estado plano de tensão, ν deve ser substituído por )1/( vvv += em

todas as equações (e G permanece o mesmo).

- Para problemas de estado plano de deformação o valor de ν não se altera.

284

7. 5 – Método dos Elementos de Contorno

Seja o corpo definido por Ω + Γ que está em equilíbrio sob a ação de cargas e

deslocamentos prescritos. Esse estado é representado pelo grupo σij, εij, ui, pi e bi, conforme


Figura - 7. 2. Corpo em equilíbrio sob a ação de cargas e deslocamentos prescritos.

Admite-se então a existência de um domínio Ω* com contorno Γ* que contém o

corpo Ω + Γ. Como anteriormente, essa nova região também está em estado de equilíbrio,

representado por, σij*, εij*, ui*, pi* e bi*, conforme mostra a Figura - 7. 3.

Figura - 7. 3. Região complementar em equilíbrio sob a ação de cargas e deslocamentos prescritos.

Da equação (7. 12) temos:

klijklij C εσ = (7. 29)

e

285

** klijklij C εσ = (7. 30)

Então multiplicando-se a primeira equação (7. 29) por εij* temos:

*** ijijklklijklijklijij CC εεεεεσ ==

(7. 31)

como

klijijkl CC = (7. 32)

tem-se:

**** klklijklijklijijklklijij CC σεεεεεεσ ===

(7. 33)

Assim:

ijijijij εσεσ ** = (7. 34)

pode-se integrar no domínio Ω e obter:

ΩεσΩεσΩΩ

dd ijijijij ** = (7. 35)

Integrando por partes os dois lados de (7. 35) e usando as equações (7. 5) e (7. 11), encontra-

se:

+=+ΓΩΓΩ

ΓΩΓΩ dupdubdupdub iiiiiiii **** (7. 36)

Que corresponde ao 2º teorema de Betti (Reciprocidade).

Trabalho do curso - 2:

Obter a equação (7. 36) a partir da equação (7. 35).

Solução:

A partir de (7. 11) podemos escrever (7. 34) como:

*),*,(21

* ijijjiijijij uu σσεσ += (7. 37)

Como o tensor das tensões é simétrico podemos escrever:

286

*),*,(21

* ijjijiijijij uu σσεσ += (7. 38)

o que resulta em

*,* jiijijij uσεσ = (7. 39)


ΩσΩεσΩΩ

dud jiijijij *,* = (7. 40)

Mas

( ) *,,**, ijijjiijjiij uuu σσσ −= (7. 41)

Logo substituindo (7. 41) em (7. 40) temos:

ΩσσΩεσΩΩ

duud ijijjiijijij *],*),[(* −= (7. 42)

ou

ΩσΩσΩεσΩΩΩ

dudud ijijjiijijij *,*),(* −= (7. 43)

Pelo teorema da divergência temos que:

ΓΓσσΓΓΩ

dupdunu iiijijjiij ***),( == (7. 44)

Logo podemos escrever (7. 42) como:

ΩσΩΩεσΩΩΩ

dudupd ijijiiijij *,** −= (7. 45)

Usando (7. 5) em (7. 45) temos:

ΩΩΩεσΩΩ

dubdupd iiiiijij *** −= (7. 46)

Logo também vale:

287

ΩΩΩεσΩΩ

dubdupd iiiiijij *** −= (7. 47)

Portanto a partir de (7. 35) temos:

ΩΩΩΩΩΩ

dubdupdubdup iiiiiiii **** −=− (7. 48)

ou finalmente

ΩΓΩΓΩΓΩΓ

dubdupdubdup iiiiiiii +=+ **** (7. 49)

- x – x -

+=+ΓΩΓΩ

ΓΩΓΩ dupdubdupdub iiiiiiii **** (7. 50)

Admitindo que as componentes das forças de volume bi* correspondem as forças

concentradas unitárias aplicadas no ponto ξ e Ω* em cada uma das três direções ortogonais

definidas pelo vetor de componente pj, tem-se:

jj PXb ),(* ξδ= (7. 51)

Onde Pj =1, isto é: P1 = P2 = P3 = 1 conforme mostra a Figura - 7. 4 e ),( Xξδ é a função

delta de Dirac e 0),( =Xξδ se ξ≠x .

Figura - 7. 4. Sistema de coordenadas dos eixos principais, P1, P2, P3, do problema elástico com domínio Ω e contorno Γ e domínio recíproco Ω * e contorno recíproco Γ*.

288

Tendo em vista que:

)()(),()(*

ξΩξδΩ

gXdXXg = (7. 52)

A primeira integral em (7. 50) pode ser substituída por:

)()()()(* 321 ξξξξΩΩ

uuuPudub iiii ++== (7. 53)

Se cada carga unitária concentrada atuar independentemente os deslocamentos e forças de

superfície ( )* podem ser escritas na forma:

iijj

iijj

PXpp

PXuu

),(**

),(**

ξξ

=

= (7. 54)

onde ),(* Xuij ξ e ),(* Xpij ξ representam os deslocamentos e as forças de superfície na

direção “j” no ponto X devido a uma força unitária aplicada na direção “i” e atuando no ponto

ξ.

campopontoX

fonteponto

::ξ

(7. 55)

Alternativamente, a equação (7. 50) pode ser reescrita para representar cada componente de

deslocamento em separado. Com essa finalidade adota-se: iiiiii PePP 321 , δδδ === , este

procedimento produz três equações da forma:

+

−=

Ω

ΓΓ

Ωξ

ΓξξΓξξ

)()(),(*

)(),(),(*)(),(*)(

XdXbXu

XdXuXpXdpXuu

jij

jijjiji

(7. 56)

Trabalho do curso -3:

Obter a identidade Somigliana (7. 56) a partir (7. 50), (7. 51) e (7. 54).

A equação (7. 56) é conhecida como identidade de Somigliana para os

deslocamentos. Esta equação foi obtida através da reciprocidade com a solução singular da

equação de Navier satisfazendo a:

289

0),(*,)21(

*,*

=+−

+

jb

jkjkkkj PXuv

GGu ξδ (7. 57)

As soluções da equação (7. 57) são denominadas soluções fundamentais.

OBSERVAÇÃO:

Notar a liberdade de escolha das condições de contorno e da forma da região Ω*

+ Γ*.

Solução:


+

+=+

Γ

ΩΓΩ

Γξ

ΩξΓξΩξδ

dPpXu

dPbXuduPXpduPX

jiij

jiijijijii

),(*

),(*),(*),(

(7. 58)

Aplicando a propriedade da função Delta de Dirac temos:

+

+=+

Γ

ΩΓ

Γξ

ΩξΓξξ

dPpXu

dPbXuduPXpPu

jiij

jiijijijii

),(*

),(*),(*)(

(7. 59)

Usando o fato de que:

iiiiii PePP 321 , δδδ === (7. 60)

Temos a identidade Somigliana:

+

+=+

Γ

ΩΓ

Γξ

ΩξΓξξ

)(),(*

)(),(*)(),(*)(

XdpXu

XdbXuXdPuXpu

jij

jijjiji

(7. 61)

ou

+

−=

Γ

ΓΩ

Γξ

ΓξΩξξ

)(),(*

)(),(*)(),(*)(

XdpXu

XdPuXpXdbXuu

jij

jijjiji

(7. 62)

290

7.5.1 - Soluções Fundamentais

Existem diferentes soluções da equação (7. 57) que podem ser igualmente

empregadas. Estas soluções variam tanto em relação à região Ω* + Γ* como também em

relação às condições de contorno. Quando o domínio Ω* representa o espaço elástico infinito,

a solução fundamental é denominada solução de Kelvin (Note que Γ* está nesse caso

infinitamente distante de Ω + Γ). Cujos deslocamentos para o estado plano de deformação,

são dados por:

[ ]jiijij rrvGrv

Xu ,,)43()1(16

1),(* +−

−= δ

πξ para 3D (7. 63)

e

[ ]jiijij rrrvGv

Xu ,,)ln()43()1(8

1),(* −−

−−= δ

πξ para 2D (7. 64)

Para o estado plano de tensão, deve-se utilizar )1/( vvv += .Além disso:

[ ]

−−−

∂∂+−

−−= ),,)(21(,,)21(

)1(41

),(* ijjijiijij nrnrvnr

rrvrv

Xp βδαπ

ξ α

(7. 65)

onde α = 2, 1 ; β = 3, 2 para problemas 3D e 2D (EPD) respectivamente. r = r(ξ,X) é a

distância entre ξ e X ; as derivadas de r são em relação às coordenadas de X, ou seja:

)()(;)()()()(

).(

21

22

21

2/1

ξξξ yXyrxXxrxXxr

rrrrrr

iii

ii

−=−=→−=+=→= (7. 66)

e

)()(,

ξi

i

ii x

rrr

Xxr

r∂

∂−==∂

∂= (7. 67)

Como mencionado, as expressões do estado plano de tensão (EPT) são as mesmas

do estado plano de deformação com v substituído por:

vv

v+

=1

(7. 68)

291

7.5.2 - Dedução formal da Identidade Somigliana

A equação (7. 35) pode ser escrita na forma:

)(),(*)()()().,(* XdXXXdXX ijijijij ΩξεσΩεξσεε ΩΩ = (7. 69)

Onde Ωε é o domínio que resta de Ω quando se retira uma esfera de raio ε e o contorno εΓ ,

centrada em ξ, do domínio original Ω, conforme mostra a Figura - 7. 5.

Figura - 7. 5.

em Ωε os tensores ( )* não são singulares (ξ ∉ Ωε)

Portanto, admitindo-se que εij(X) e σij(X) sejam ambos contínuas e limitadas em

qualquer ponto X ∈ Ω, a integração por partes como foi feito anteriormente, fornece.

+

=++

ε

εε

Ω

ΓΓΓΓ

Ωξ

ΓξΓξ

)()(),(*

)()(),(*)()(),(*

XdXbXu

XdXpXuXdXuXp

ii

iiii

(7. 70)

Em relação as integrais definidas em εΓ , tem-se:

0)()(),(*lim0

=→XdXpXu ii Γξ

εΓε

(7. 71)

Pois

Justificativa:

Caso 3D:

292

2)(;1

~),(* εΓε

ξ =XdXu i (7. 72)

Caso 2D:

εΓε

ξ =)(;)1

ln(~),(* XdXu i (7. 73)

Quando 0ln.lim0

=→

εεε

e

+

+−=

ε

εε

Γ

ΓΓ

Γξξ

ΓξξΓξ

)(),(*)(

)()]()()[,(*)()(),(*

XdXpu

XduXuXpXdXuXp

ii

iiiii

(7. 74)

onde, pela hipótese de continuidade de ui(x), ε→ 0, x → ξ, temos:

0)()]()()[,(*lim0

=−→XduXuXp iii Γξξ

εΓε

(7. 75)

Justificativa:

Caso 3D:

22

)(;1

~),(* εΓε

ξ =XdXpi (7. 76)

Caso 2D:

εΓε

ξ =)(;1

~),(* XdXpi (7. 77)

A última integral em (7. 74) é calculada lembrando que a solução fundamental

corresponde a cargas unitárias concentradas aplicadas em ξ. Assim

ijijjiji PPXdXpPXdXp === δΓξΓξεε ΓΓ

)(),(*)(),(* (7. 78)

que fornece:

293

iiii PuXdXpu )()(),(*)( ξΓξξεΓ

= (7. 79)

A expressão (7. 79) é independente de ε e pode ser verificada efetuando-se a integração

analítica.

Consequentemente, tirando-se o limite quando 0→ε e adotando-se cada carga

unitária atuando separadamente, a equação (7. 56) chamada de indentidade Somigliana é

obtida. (deslocamento – tensão – deformação)

7.5.3 - Tensões nos Pontos Internos

A equação (7. 56) é uma representação contínua de deslocamentos em pontos do

interior do corpo. Consequentemente, as componentes de tensão nesses pontos internos

( Ωξ ∈ ) podem ser determinadas derivando a equação (7. 56) em relação às coordenadas do

ponto fonte ξ para obter as deformações específicas e, em seguida, substituindo a expressão

resultante na lei de Hooke (equação (7. 10)).

A expressão final é dada por:

+

−=

Ω

ΓΓ

Ωξ

ΓξξΓξξσ

)()(),(*

)(),(),(*)(),(*)(

XdXbXu

XdXuXpXdpXu

kijk

kijkkijkij

(7. 80)

Observe que as derivadas foram aplicadas diretamente dentro das integrais. Esse

procedimento, válido nesse caso, não é sempre aplicável no caso de integrais realizadas

interior do domínio.

As componentes dos novos tensores são:

[ ]kjiijkjkiikjijk rrrrrrvrv

Xu ,,,),,,)(21()1(4

1),(* βδδδ

παξ α +−+−

−=

para 2D (7. 81)

e

[ ])41(),,)(21(),,,,(

,,,),,(,)21()1(2

),(*

ijkjkiikjjikkijkji

kjiijkjikkijijk

nvnnrrnvrrnrrnv

rrrrrvrvnr

rvG

Xp

δδδββ

γδδδβαπ

ξ β

−−++−+++

−++−∂∂

−= (7. 82)

onde

294

452312

e

e

e

===

γβα

(7. 83)

Para 3D e 2D respectivamente

Notar que a substituição

)(,

)( Xxr

rx

r

ii

i ∂∂−=−=

∂∂

ξ (7. 84)

já foi feita.

7.5.4 - Método dos Resíduos Ponderados

O Problema Elástico do Método dos Resíduos Ponderados consiste em resolver a

equação de Navier abaixo de maneira aproximada:

0,)21(

, =+−

+ jkjkkkj buv

GGu em Ω (7. 85)

com as condições de contorno

2

1

ΓΓ

empp

emuu

ii

ii

==

(7. 86)

Os erros de aproximação podem ser distribuídos de acordo com a sentença dos resíduos

ponderados, da seguinte forma:

−+−=+12

)(*)(**),(ΓΓΩ

ΓΓΩσ duupdppudub kkkkkkkkjjk (7. 87)

Onde uk* e pk* desempenham papeis das funções de ponderação e representam as soluções

fundamentais na região Ω* + Γ* que contém o corpo Ω + Γ.

Integrando por partes o primeiro termo da equação (7. 87) temos:

−+

+−−=+−

1

12

)(*

****

εΓ

ΓΓΩΩ

Γ

ΓΓΩΩεσ

duup

dpudpudubd

kkk

kkkkkkjkjk

(7. 88)

295

Substituindo a equação (7. 12) ( klijklij C εσ = ) em (7. 88) e considerando a simetria do

Tensor Cijkl, o primeiro termo de (7. 88) pode ser novamente integrado por partes. A

expressão resultante é:

−+

+−−=−

21

12

**

***,*

ΓΓ

ΓΓΩΩ

ΓΓ

ΓΓΩΩσ

dupdup

dpudpudubdu

kkkk

kkkkkkkjjk

(7. 89)

Lembrando que a solução fundamental ou a função de ponderação satisfaz

kjjk PX ),(*, ξδσ −= (7. 90)

A equação (7. 56) é obtida, a qual é a identidade Somigliana para a solução aproximada onde

admite-se também que cada carga unitária atua em separado .

É importante notar que ao empregar o Método dos Resíduos ponderados, não foi

necessário admitir que a solução aproximada satisfizesse exatamente a equação de equilíbrio

(7. 14) em Ω. No entanto, pode-se derivar a equação (7. 80) e verificar que, mesmo para

soluções aproximadas, a equação (7. 14) é verificada exatamente, o que valida as formulações

anteriores.

7.5.5 - Equação Integral de Contorno

A identidade de Somigliana não pode ser empregada para obter os deslocamentos

(ou tensões) enquanto os valores de deslocamentos e de forças de superfícies não forem

conhecidos em todo o contorno (as forças de volume são consideradas sempre conhecidas).

Portanto, para a solução do problema, ou seja a obtenção da expressão limite da

equação integral de contorno, deve-se calcular uma expressão para o limite quando o ponto ξ

pertence ao contorno ( Γξ ∈ ), nesse caso, admite-se que o corpo pode ser representado


296

Figura - 7. 6. Ponto de Colocação ξ pertencente ao contorno Γ

Para o corpo acima, a equação (7. 74) pode então ser escrita como:

+

+=+−+−

ε

εεεε

Ω

ΓΓΓΓΓΓ

Ωξ

ΓξΓξ

)()()(*

)()(),(*)()(),(*

XdXbu

XdXpXuXdXuXp

jij

jijjij

(7. 91)

onde a hipótese de que cada carga unitária atua separadamente já foi feita.

Pode-se estudar separadamente o limite quando 0→ε de cada integral de (7. 91)

−→

→+−

→

+

+=

ε

εεε

ΓΓε

Γε

ΓΓΓε

Γξξ

ΓξΓξ

)()(),(*lim

)()(),(*lim)()(),(*lim

0

00

XduXp

XdXuXpXdXuXp

jij

jijjij

(7. 92)

A primeira integral à direita em (7. 92) pode ser escrita como:

→

→→

+

+−=

ε

εε

Γε

Γε

Γε

Γξξ

ΓξξΓξ

)(),(*)(lim

)()]()([),(*lim)()(),(*lim

0

u(X) de decontinuida a devido00

XdXpu

XduXuXpXdXuXp

ijj

jjijjij

(7. 93)

onde a primeira integral à direita é nula, pela continuidade de uj(X) define-se:

297

)(),(*lim)(0

XdXpC ijij ΓξξεΓ

ε →= (7. 94)

(o valor de Cij depende da geometria do contorno no ponto ξ)

Voltando-se à equação (7. 92), verifica-se que a segunda integral à direita deve ser

interpretada no sentido de valor principal de Cauchy, cuja existência pode ser demonstrada se

uj(X) satisfaz à condição de Holder:

αξ BruXu jj ≤− )()( (7. 95)

onde B e α são constantes positivas

As integrais restantes em (7. 91) tem singularidades mais fracas e não apresentam

problemas. Portanto, tomando-se o limite quando 0→ε , a equação (7. 92) resultante

fornece

+

+=+

Ω

ΓΓ

Ωξ

ΓξΓξξξ

)()()(*

)()(),(*)()(),(*)()(

XdXbu

XdXpXuXdXuXpuC

jij

jijjijjij

(7. 96)

onde a primeira integral à direita é calculada no sentido do valor principal de Cauchy. Pode-se

demonstrar que Cij(ξ) = δij/2 para um contorno suave em (7. 96) ξ.

A equação (7. 96) fornece uma relação que deve ser satisfeita pelas forças de

superfície e pelos deslocamentos no contorno (incluindo as forças de volume que são

conhecidas).

Portanto, quando as condições de contorno são aplicadas, essa equação pode ser

usada para calcular as incógnitas no restante do contorno.

7.5.6 - Regiões e Domínios Infinitos

A extensão da equação (7. 96) para o caso de regiões infinitas deve ser satisfeita

levantando-se em consideração algumas hipóteses adicionais relativa às funções envolvidas.

Estas hipóteses estão associadas ao comportamento das funções em uma superfície

infinitamente distante de ξ e definem a chamada condição de regularidade no infinito.

Seja ρ o raio de uma esfera de superfície Γρ, centrada em ξ, que envolve a(s)

cavidade(s) do problema externo representado conforme mostra a Figura - 7. 7.

298

Figura - 7. 7. Regiões e domínios finitos.

A equação (7. 96) pode ser escrita para a região entre Γ e Γρ como (bj = 0 para

simplificar) como:

)()(),(*)()(),(*)()( XdXpXuXdXuXpuC jijjijjij ΓξΓξξξρρ ΓΓΓΓ++

=+

(7. 97)

Tomando o limite quando ρ → ∞, a equação (7. 97) pode ser escrita em termos de

integrais sobre Γ apenas se a condição de regularidade for satisfeita.

[ ]Γξ

ΓξξρΓ

ρ

∈

=−→0)()(),(*)(),(*lim

0XdXpXuXuXp jijjij

(7. 98)

Para problemas 3D (X ∈ Γρ):

tem-se:

)(),(

)(),(*

)()(

2

1

2

−

−

=

=

==

ρϑξ

ρϑξ

ρϑθφΓ

Xp

Xu

JeddJXd

ij

ij (7. 99)

Portanto, se na pior das hipóteses, )()( 1−= ρϑXu j e )()( 2−= ρϑXp j no

infinito, as condições de regularidade (7. 98) são satisfeitas.

299

Deve-se observar que se a carga total aplicada sobre a superfície Γ não for auto-

equilibrada, (o que geraria um decaimento mais rápido ainda), o princípio de Saint-Venant

mostra que uj(X) e pj(X) terão o mesmo comportamento que a solução fundamental

correspondente a uma carga concentrada na direção da resultante. Portanto,

)()( 1−= ρϑXu j e )()( 2−= ρϑXp j são obtidas e cada termo de (7. 98) se anula

separadamente.

Para problemas 2D.

)(),(

;)1(),(*

;)1(ln),(*

)()(

1−=

≠=

=+===

ρϑξ

ϑξρϑξ

ρϑφΓ

Xp

jiXu

jiXu

JedJXd

ij

ij

ij (7. 100)

Portanto, para garantir que cada termo de (7. 98) se anula separadamente, é

necessário que )()( 1−=→ ρϑXuu jj e )()( 2−= ρϑXp j como no caso 3D visto

anteriormente. Esse caso, no entanto, não corresponde ao comportamento da solução

fundamental no infinito.

Com base no que foi feito para o caso 3D, pode-se substituir )(Xu j e )(Xp j

pelos tensores correspondentes à solução fundamental 2D e verificar que a equação (7. 98)

também é satisfeita. A última diferença é que, agora os termos não se anulam separadamente,

mas se cancelam quando ρ → ∞.

Conclusão

Pode-se afirmar, portanto, que as condições de regularidade são sempre satisfeitas

se )(Xu j e )(Xp j se comportam na pior das hipóteses, como a solução fundamental no

infinito. Nesse caso problemas de cavidade em meios infinitos também podem ser

representados pela equação (7. 96)

)()(),(*)()(),(*)()( XdXpXuXdXuXpuC jijjijjij ΓξΓξξξΓΓ =+ (7. 101)

(note que a normal n aponta para dentro da cavidade)

300

Figura - 7. 8. Utilização dos Métodos Numéricos na solução de problemas práticos onde os domínios e os contorno são internos ou externos.

7.5.7 - Implementação Numérica

Seja a equação (7. 101) dada por:

)()(),(*)()(),(*)()( XdXpXuXdXuXpuC jijjijjij ΓξΓξξξΓΓ =+ (7. 102)

Temos como objetivo resolver esta equação (7. 101) ou a equação (7. 96) com as seguintes

condições de contorno:

2

1

ΓΓ

empp

emuu

jj

jj

=

= (7. 103)

Emprega-se o procedimento numérico aproximado que pode ser resumido da

seguinte maneira:

1) O contorno Γ é discretizado (aproximado) em uma série de elementos sobre os quais os

valores de jj peu são interpolados em função dos seus valores nodais.

301

2) A equação (7. 96) é reescrita na forma discretizada para cada ponto nodal ξ do contorno Γ

e as integrais são calculadas (usualmente de forma numérica, aproximada) sobre cada

elemento de contorno. Um sistema de N equações algébricas que envolvem N valores nodais

de deslocamentos e N valores nodais de forças de superfície é obtido.

3) As condições de contorno (7. 103) são impostas, consequentemente N valores nodais são

prescritos (força de superfície ou deslocamentos em cada direção por nó). O sistema de

equações pode, então ser, resolvido da maneira usual para se obter os N valores nodais

incógnitos restantes.

Os valores dos deslocamentos e tensões em qualquer ponto interno ξ (ξ ∈ Ω)

selecionado podem ser obtidas posteriormente empregando a identidade Somigliana mostrada

na equação (7. 56), para deslocamentos, e a equação (7. 80) para tensões.

Observar que as forças de volume, por serem conhecidas, contribuem apenas para

o termo independentemente do sistema de equações.

Figura - 7. 9. Pontos nodais de um contorno regular no caso bidimensional.

Elemento Linear:

As coordenadas cartesianas )(

~

jx dos pontos do contorno localizados ao longo do

elemento Γj são expressos em termos de funções de interpolação ~

M e das coordenadas

nodais (nós geométricos) )(

~

mx do elemento na forma:

302

)(

~~

)(

~

mj xMx = (7. 104)

coordenadas nodais dos nós geométricos.

Figura - 7. 10. Elemento linear com o ponto fonte ou de de colocação ξ coincidente com o nó geométrico.

Figura - 7. 11. Elemento linear com o ponto de colocação ξ coincidente com o ponto de colocação.

De maneira análoga, deslocamentos e forças de superfície são aproximadas sobre

cada elemento, através do uso de funções de interpolação ~N (interpolação funcional)

)(

~~

)(

~

)(

~~

)(

~

mj

mj

pNp

uNu

=

= (7. 105)

onde )(

~

)(

~e mm pu contém os valores nodais de deslocamentos e de forças de superfícies.

Observe que o número de nós geométricos (definição de )(

~

mx ) e funcionais

(definição )(

~

)(

~ou mm pu ) podem ser diferentes.

Admitindo que o contorno Γ é discretizado em L elemento Γj a equação (7. 96)

pode ser escrita como:

)(

~1 ~~

)(

~1 ~~~~**)()( m

L

j

mL

jii pdNuudNpuC

jj

==

=

+

ΓΓΓΓξξ (7. 106)

303

para um ponto ξi.

Tendo em vista que as funções de interpolação ~

M e ~N são normalmente

expressos em termos de uma coordenada adimensional η, deve-se escrever dΓ em relação a

esse sistema de coordenadas:

ηΓ dJd = (7. 107)

onde o jacobiano desta transformação é dado por:

22

21

~

+

=ηη d

dxddx

J (7. 108)

Em casos mais simples, as integrais indicadas em (7. 106) podem ser calculadas

analiticamente. Em geral, processos numéricos (integração tipo Gauss) conduzem a

procedimentos mais eficientes e podem ser usadas com funções de interpolação de ordem

mais elevada. O caso especial ξi ∈ Γj requer cuidados especiais devido à singularidade em r =

0.

Nos casos normais em que ξi ∉ Γj, as integrais são calculadas como:

kk

K

k

NpwJdJNpdNpj

)*(**~~1 ~

1

1~~~~

=−

≅= ηΓΓ

(7. 109)

e

kk

K

k

NuwJdJNudNuj

)*(**~~1 ~

1

1~~~~

=−

≅= ηΓΓ

(7. 110)

onde k é o número total de pontos de integração e wk é o peso associado ao k’esimo ponto.

Da aplicação de (7. 106) a todos os NN pontos nodais funcionais, um sistema de

2NN equações é encontrado.

~~~

^

~~)( pGuHC =+ (7. 111)

304

onde os vetores ~~peu contém os valores de deslocamento e de força de superfície em todas os

pontos nodais (funcionais) e a matriz quase diagonal ~C pode ser incorporada à matriz

^

~H para

forma a matriz~H :

^

~~~HCH += (7. 112)

Assim o sistema de equações pode ser escrito como:

~~~~pGuH = (7. 113)

As submatrizes da diagonal de ~H que correspondem aos coeficientes )(ξijC mais os valores

principais de Cauchy podem ser calculados através da imposição da condição de que

translações de corpo rígido correspondem as forças de superfícies nulas.

=

+

0000

4

3

2

1

4441

31

21

14131211

4

3

2

1

4

3

2

1

u

u

u

u

hh

h

h

hhhh

u

u

u

u

C

C

C

C

(7. 114)

Portanto, adotando-se duas translações independentes 1iiu δ= e 2iiu δ= , a

seguinte relação, válida para corpo finitos, é obtida:

),...,2,1(0~~~1

NNpuHqpq

NN

q

===

(7. 115)

Onde pq

H~

representa as submatrizes (2 x 2) de ),...2,1(e~~~

NNqIuHq

== .

Sendo ~I a matriz identidade de ordem 2.

A equação (7. 115) permite o cálculo indireto das submatrizes da diagonal de ~H

na forma:

),...,2,1()(1 ~~

NNHHq

NN

q q=−=

≠= α

αααα

(7. 116)

A expressão (7. 116) é válida par corpos finitos.

305

Para corpos ou regiões infinitas, no entanto, deve-se observar que como

)1(~

ϑ=q

u é constante, as condições de regularidade são violadas. Consequentemente, deve-

se considerar, nesse caso:

0)(),(*lim)(),(*)()(0

=++ →XdXpXdXpuuC ijijjjij ΓξΓξξξ

ρΓρ

Γ

(7. 117)

onde uj corresponde a uma translação qualquer de corpo rígido e ξ ∈ Γ .

Figura - 7. 12.

Como pij*(ξ,X) corresponde as cargas unitárias positivas aplicadas na direção “i”,

a condição de equilíbrio na região Ω* + Γ* conduz a:

ijij XdXp δΓξρΓ

ρ−=→

)(),(*lim0

(7. 118)

A substituição de (7. 118) em (7. 117) para as translações adotadas anteriormente

produz o seguinte resultado após a discretização:

),...,2,1()(1 ~~~

NNHIHq

NN

q q=−=

≠= α

αααα

(7. 119)

As expressões (7. 116) e (7. 119) fornecem uma maneira indireta de calcular

αα~H , sem necessidade do cálculo analítico dos coeficientes Cij(ξ) e dos valores principais de

Cauchy.

Após a aplicação das NN condições de contorno, o sistema de equações (7. 113)

representado pela equação (7. 106) pode ser reordenado na forma:

306

~~~fyA = (7. 120)

Onde ~A é uma matriz cheia e não simétrica de ordem 2NN, o vetor

~y é formado pelos

valores nodais incógnitos de deslocamento e força de superfície e a contribuição dos valores

prescritos está incluída no vetor ~f

~~~~qGuH = (7. 121)

E

~~~fyA = (7. 122)

(O Programa BEASY – Elementos de Contorno)

Finalmente, cabe observar que, no caso de corpos finitos, a matriz ~H é singular

pois

~~~0=uH (7. 123)

admite soluções não triviais que correspondem a movimentos de corpo rígido.

No caso de corpos infinitos, por exemplo: cavidades, nos quais se admite que as

condições de regularidade são satisfeitas, os movimentos de corpo rígido não são mais livres

e, consequentemente, ~H não é mais singular.

Elemento Constante 2D

Figura - 7. 13. Elemento linear com o ponto de colocação ξ coincidente com o ponto de colocação.

307

~~ 21

)( IC =ξ (matriz identidade 2 x 2) (7. 124)

Neste caso tem-se:

[ ]

==

=

j

j

i

i

mj

x

x

x

x

NINIxMx

xx

2

1

2

1

2~

1~

)(

~~2

1

~

)( (7. 125)

==

=12

11

~

)(

~~2

1

~

)(

u

uIuN

u

uu mj (7. 126)

==

=12

11

~

)(

~~2

1

~

)(

p

pIpN

p

pp mj (7. 127)

2l

J = (7. 128)

Quando ξ ∈ Γj, tem-se:

*2

*2

*2

*1

1

1 ~

1

1~~~~22~

k

K

kk

xpw

ldp

ldIp

ldNp

j

=−−

≅=== ηηΓηΓ

(7. 129)

*2

*2

*2

*1

1

1~

1

1~~~~22~

k

K

kk

xuw

ldu

ldIu

ldNuq

j

=−−

≅=== ηηΓΓ

(7. 130)

Quando ξ ∈ Γj, tem-se:

=j

dpΓ

Γη *~~

sentido o valor principal de Cauchy (7. 131)

308

=j

duqΓ

Γ*~~

singularidade logarítmica (7. 132)

OBERVAÇÃO: No caso de elementos constantes, momentos de corpo rígido provocam,

erradamente, esforço. Isto se dá devido ao fato da geometria do elemento ser interpolada com

funções de ordem superior à das incógnitas.

7.5.8 - Sub-Regiões

No caso em que o corpo não é homogêneo mas apresenta regiões homogêneas ou

o corpo é esbelto e necessita da subdivisão em regiões para evitar mau condicionamento do

sistema de equações.

Figura - 7. 14. Separação do Domínio em Sub-Domínios ou Sub-Regiões e Sub-Contornos.

Γ1 e Γ2 são respectivamente, os contornos externos das regiões 1 e 2. ΓI é a

interfaces entre elas.

Pode-se formular o método dos elementos de contorno para cada região em

separado.

Região 1:

=

1

~

1

~1

~

1

~1

~

1

~1

~

1

~

I

II

I p

pGG

u

uHH (7. 133)

1

~u , 1

~p : Deslocamentos e forças de superfície no contorno Γ1.

309

1

~ Iu , 1

~ Ip : Deslocamentos e forças de superfície no contorno ΓI, admitindo que ΓI é a parte do

contorno de Ω1.

De forma análoga temos:

Região 2:

=

2

~

2

~2

~

2

~2

~

2

~2

~

2

~

I

II

I p

pGG

u

uHH (7. 134)

2

~u , 2

~p : Deslocamentos e forças de superfície no contorno Γ1.

2

~ Iu , 2

~ Ip : Deslocamentos e forças de superfície no contorno ΓI, admitindo que ΓI é a parte do

contorno de Ω2.

Pode-se admitir que as duas regiões estão unidas aplicando-se as:

a) Condições de compatibilidade

IIIuuu~

2

~

1

~== (7. 135)

b) Condições de equilíbrio

IIIppp~

2

~

1

~=−= (7. 136)

Consequentemente a equação (7. 133) pode ser escrita como:

1

~

1

~

~

~

1

~1

~

1

~

1

~pG

p

u

u

GHH

I

III=

− (7. 137)

E a equação (7. 134) como:

2

~

2

~

~

~

2

~2

~

2

~

2

~pG

p

u

u

GHH

I

III=

− (7. 138)

As equações (7. 137) e (7. 138) podem ser escritas juntas na forma:

310

=

−

2

~

1

~2

~

1

~

2

~

~

~

1

~

2

~~

1

~

1

~

1

~

0

0

00

0

p

p

G

G

u

p

u

u

GH

GHH

I

I

I

II (7. 139)

O sistema de equações (7. 139) pode, agora, ser reordenado de acordo com as condições de

contorno conhecidas e Γ1 e Γ2, sendo reescrito como:

~~~fyA = (7. 140)

OBS:

1) Notar que I

u~

e I

p~

são sempre incógnitas do problema e que a matriz ~A é em banda.

2) O cálculo de deslocamento e tensão em pontos internos é possível integrando apenas o

contorno da região à qual o ponto pertence.

3) O uso de interpolação sobre as interfaces pode piorar os resultados.

7.5.9 – Propriedades de Simetria

No caso de corpos simétricos sujeitos a carregamentos também simétricos, pode-

se discretizar apenas um quarto do corpo a aplicar as condições de simetria no contorno

inteiro (por meio dos eixos de simetria).

Figura - 7. 15. Problema real de simetria de ordem dois e quatro

311

Figura - 7. 16. Simulação da Simetria de um problema real

Alternativamente, pode-se discretizar o contorno de todo o corpo.

Figura - 7. 17.

O seguinte sistema de equações pode ser escrito como:

=

4~

3~

2~

1~

44~43~42~41~

34~33~32~31~

24~23~22~21~

14~13~12~11~

4

3

2

1

44~43~42~41~

34~33~32~31~

24~23~22~21~

14~13~12~11~

p

p

p

p

GGGG

GGGG

GGGG

GGGG

u

u

u

u

HHHH

HHHH

HHHH

HHHH

(7. 141)

Onde:

1) ij

H~

ou ij

G~

são submatrizes que multiplicam os valores nodais do contorno da região j

quando a carga unitária ou o ponto fonte está em pontos nodais da região i.

312

2) ~

ju ou ~

jp são subvetores que contém os valores nodais ao longo do contorno da região j

do corpo.

As matrizes podem ser condensadas da seguinte forma:

1) 12~

H (12~

G ) os termos que multiplicam )( xx pu têm os sinais trocados e 12~

H (12~

G ) é

somada com 11~

H (11~

G )

2) 13~

H (13~

G ): os sinais são trocados e as submatrizes somadas com 11~

H (11~

G )

3) 14~

H (14~

G ) os termos que multiplicam )( gg pu têm sinais trocados e 14~

H (14~

G ) é

somada com 11~

H (11~

G ).

obtém-se então:

11~11~1~11~'' pGuH = (7. 142)

onde 11~11~' e ' GH e são as matrizes que correspondem a

11~11~ e GH após as operações

descritas anteriormente.

Notar que as dimensões correspondem ao contorno da região (1) apenas.

Figura - 7. 18.

Portanto, pode-se sempre integrar automaticamente sobre elementos refetidos e

montar diretamente as matrizes reduzidas.

313

OBS:

1) Notar que a matriz 11~'H não é mais singular, pois da imposição das condições de simetria

está atendida implicitamente.

Ao comparar as duas opções, tem-se;

a) b)

Figura - 7. 19.

Ainda que o caso a) resulte em uma matriz menor, nem sempre é o mais

econômico, pois deve-se integrar sobre elementos refletidos.

Os resultados de a) são diferentes dos de b), devido as aproximações introduzidas

ao longo dos eixos de simetria em b)

2) A simulação da simetria através da imposição de condições de contorno adequadas nos

eixos de simetria introduz aproximações ao longo dos eixos. Consequentemente, resultados

numéricos são observados em análises realizadas com a simulação e com técnica de

condensação das matrizes.

3) Em termos de programação, geralmente é mais eficiente refletir o nó singular e trocar o

sinal das matrizes dos elementos onde for necessário ao invés de refletir os elementos. Nesse

caso não é necessária a troca da conectividade dos elementos na reflexão.

314

Figura - 7. 20.

7.5.10 - Problema da placa com um furo

Este problema será resolvido como exercício.

Figura - 7. 21. Placa infinita com um furo no meio.

315

Capítulo – VIII

APLICAÇÕES PRÁTICAS EM ELASTICIDADE

RESUMO

Neste capítulo será visto a formulação integral básica da Teoria da Elasticidade, a

Lei de Hooke, para a solução de problemas práticos de uma Placa Plana com furo circular, de

uma Cavidade Circular em um meio infinito e de uma Viga Parede pelo Método dos

Elementos de Contorno e o estabelecimento da sua Implementação Numérica, tanto para

regiões finitas como infinitas.


i) Resolver um problema prático de Método de Elementos de Contorno aplicado

ao problema de uma cavidade circular, de uma placa e de uma viga parede.

ii) Utilizar um programa fonte para avaliar os resultados obtidos numericamente e

duplicar a malha e comparar os resultados.

iii) Aprender a utilizar uma ferramenta computacional de cálculo numérico tais

como o FORTRAN, ou outra qualquer.

iv) Avaliar os resultados obtidos pela entrada e a saídas de dados.


Para exercitar a utilização do Método dos Elementos de Contorno, vamos resolver

alguns problemas práticos de nível acadêmico. Considere uma Placa Plana com Furo, uma

Cavidade Circular em um meio infinito e uma Viga Parede, onde cada um deles possui

316

condições de contorno tais que alguns valores no contorno são prescritos e outros serão

calculados. Para esta situação vamos considerar as condições dadas a seguir.

8. 3 – Problema da Placa Plana com furo circular de raio r = 5,0 resolvido pelo Método dos Elementos de Contorno

8.3.1 – Apresentação do Problema Placa Plana com furo

O problema proposto consiste em realizar uma análise elástica, através do Método

de Elementos de Contorno, para uma placa retangular contendo um furo circular, sujeita a um

carregamento distribuído como ilustrado na Figura - 8. 1 a seguir.

Figura - 8. 1 -Geometria e carregamento da peça em análise como exemplo de um domínio finito. (produzida originalmente por Raphael Scuciato)

O objetivo da análise é determinar a influência da discretização adotada para as

malhas de Elementos de Contorno sobre os valores de deslocamentos e tensões obtidos. Para

tal, a análise será realizada utilizando-se duas malhas com números de elementos diferentes

com vistas a obter-se uma comparação quantitativa e qualitativa dessa influência.

Por tratar-se de uma análise de cunho didático, todas as grandezas envolvidas no

problema foram tratadas de maneira adimensional. A seguir são apresentados os dados

necessários à resolução do problema:

317

Dimensões da Cavidade Circular:

Largura da chapa: 20,0;

Altura da chapa: 36,0;

Espessura: 1,0

Diâmetros do furo: 5,0;

Carregamento distribuído: 50,0;

Módulo de elasticidade longitudinal: 7000,0;

Módulo de Poisson: 0,3;

8.3.2 - Metodologia de Análise do Problema

A análise será realizada considerando-se estado plano de tensões, e será utilizado

um programa acadêmico de Método de Elementos de Contorno, denominado BINN em

linguagem FORTRAN 77, destinado a estudos de problemas elastoplásticos bidimensionais.

8.3.3 – Consideração da Simetria da Peça na Análise Elástica

Como a peça apresenta dupla simetria (horizontal e vertical), se fará uso deste

aspecto para simplificar a entrada de dados do programa, conforme mostra a Figura - 8. 2.

Figura - 8. 2 - Consideração da simetria da peça na análise elástica

318

Os próximos itens apresentam detalhadamente as entradas de dados de cada malha

utilizada na análise em questão.

8.3.4 – Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo

O contorno do corpo foi discretizado em elementos retos de funcionalidade

constante, para a realização do cálculo, conforme mostra a Figura - 8. 3.

Figura - 8. 3 - Discretização do contorno da considerando a simetria do desenho da Malha Original da Placa Plana com furo circular (produzida originalmente por Rapahel Scuciato).

Um arquivo de entrada de dados foi gerado conforme a diretrizes do programa

BINN e de acordo com a Figura - 8. 3.

319

8.3.5 – Arquivo de Entrada de Dados da Placa Plana com furo para o Programa BINN na forma da malha Original

O arquivo de entrada de dados segue o formato das tabelas abaixo: ???9A9A/6:D+6+DA+'+E???

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320

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.

321

8.3.6 - Desenho da Malha Origina da Placa Plana com furo circular

Após a entrada de dados o arquivo texto contendo as tabelas de dados foi utilizado

para gerar o corpo deformado por meio de um programa gerado em DELPHI 6.0, conforme


Figura - 8. 4 - Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo circular (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno)

322

8.3.7 - Arquivo de Saída de Dados da Placa Plana com furo circular para o Programa BINN na forma Original

O arquivo de saída de dados segue o formato das tabelas abaixo: ???3606067A/36706/36+/6??????9A0669+6#A??????A7369A736#'0/76/A??????9A9A/6:D+6+DA+'+E???/D+60A/367E"/D+60ADA7E/D+60/67066/36+/6E/D+6096/367/3+/67E"73+396E696706307F73069A/603/76/A7A739+69+007063+A

E !

3 E

7& E

96776/ E

676 E

98 E 66+0/07067/67066/36+/6

/6 = &

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323

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G= G&

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A /G /G A

324

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/67 3= 3&

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/3,+6067A/367F/3,+607ADA7F?:36+0+,EG?/6G3+67E?07A6/367:6+707D9G/66/36+/6

/6 D 5 3= 3&

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325

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/6293 7= 7=& 7& 9= 9=& 9&

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326

8.3.8 – Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo Circular Deformada

Após a saída de dados o arquivo texto contendo as tabelas de dados foi utilizado



Figura - 8. 5 – Desenho da Malha Original Deformada (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno)

.

327

8. 4 – Problema da Cavidade com Pressão Uniforme – 12 Elementos resolvido pelo Método dos Elementos de Contorno

8.4.1 –Apresentação do Problema da Cavidade com Pressão


de Elementos de Contorno, para uma cavidade circular sujeita a uma pressão interna como

ilustrado na Figura - 8. 6 a seguir.

Figura - 8. 6 - Geometria e Carregamento da Cavidade com Pressão em Análise com um exemplo de domínio infinito (produzida originalmente por Raphael Scuciato).




com vistas a obter-se uma comparação quantitativa e qualitativa dessa influência.




Dimensões da Cavidade Com Pressão:

Diâmetro da cavidade: 5,0;

Espessura: 1,0

Pressão interna: 50,0;

Módulo de elasticidade longitudinal: 7000,0;

Módulo de Poisson: 0,3;

328


A análise será realizada considerando-se estado plano de deformações, e será

utilizado um programa acadêmico de Método de Elementos de Contorno, denominado BINN

em Linguagem FOTRAN 77, destinado a estudos de problemas elastoplásticos

bidimensionais.

8.4.3 – Consideração da Simetria da Cavidade com Pressão na Análise Elástica

Como a peça apresenta dupla simetria, se fará uso deste aspecto para simplificar a

entrada de dados do programa, conforme mostra Figura - 8. 7.

Figura - 8. 7 - Discretização do contorno da considerando a simetria do desenho da Malha Original da Cavidade com Pressão mas sem Deformação (produzida originalmente por Raphael Scuciato).



329

8.4.4 - Arquivo de Entrada de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Original

O arquivo de entrada de dados segue o formato das tabelas abaixo:

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8.4.5 – Desenho da Malha Original da Cavidade Com Pressão mas sem Deformação




Figura - 8. 8 - Desenho da Malha Original da Cavidade com Pressão mas sem Deformação (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).

332

8.4.6 - Arquivo de Saída de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Original

O arquivo de saída de dados segue o formato das tabelas abaixo:

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8.4.7 – Desenho da Malha Original da Cavidade com Pressão Deformada




Figura - 8. 9 - Deformação da Malha Original. Deformada (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).

337

8. 5 – Problema da Viga de Parede resolvido pelo Método dos Elementos de Contorno

8.5.1 – Apresentação do Problema da Viga Parede


de Elementos de Contorno, para uma viga parede com geometria e carregamento ilustrados na

figura a seguir.

Figura - 8. 10 - Geometria e carregamento da peça em análise (produzida originalmente por Raphael Scuciato).




com vistas a obter-se uma comparação quantitativa e qualitativa dessa influência. Temos

também como objetivo de análise determinar o deslocamento nos pontos de contorno da viga

e compará-lo com os valores teóricos determinado pela teoria de viga simples de Euler-

Bernoulli e pela teoria da viga parede de Timoshenko.




Dimensões da Viga Parede:

L = Comprimento da viga: 10,0;

h = Altura da viga: 2,5;

b = Espessura da viga: 1,0;

q = Carregamento distribuído: 5,0;

E = Módulo de elasticidade longitudinal: 7000,0;

ν = Módulo de Poisson: 0,3;

338


A análise será realizada considerando-se estado plano de tensões, e será utilizado

um programa acadêmico de Método de Elementos de Contorno, denominado BINN em

Linguagem FORTRAN 77, destinado a estudos de problemas elastoplásticos bidimensionais.

8.5.3 - Esquema de Análise da Malha Original da Viga Parede

Figura - 8. 11 - Esquema de Análise da Malha Original da Viga Parede (produzida originalmente por Raphael Scuciato).

8.5.4 – Desenho da Malha Original da Viga Parede sem Deformação

Figura - 8. 12 – Desenho da Malha Original da Viga sem Deformação (produzida originalmente por Raphael Scuciato).

339

8.5.5 – Consideração da Simetria da Viga na Análise Elástica

Como a peça apresenta dupla simetria, se fará uso deste aspecto para simplificar a

entrada de dados do programa.

Figura - 8. 13 - Consideração da Simetria da Viga na Análise Elástica (produzida originalmente por Raphael Scuciato).

8.5.6 – Desenho da Malha Original da Viga sem Deformação com Simetria

Figura - 8. 14 - Discretização do contorno da considerando a simetria da Viga na Análise Elástica (produzida originalmente por Raphael Scuciato).



340

8.5.7 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original sem Simetria

O arquivo de entrada de dados segue o formato das tabelas abaixo: ???5,9+0773+???

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8.5.8 - Desenho da Malha Original da Viga Parede sem Simetria




Figura - 8. 15 - Desenho da Malha Original da Viga Parede sem Simetria (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).

343

8.5.9 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original sem Simetria


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8.5.10 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original com Simetria

O arquivo de entrada de dados segue o formato das tabelas abaixo: ???5,9+0673+???

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8.5.11 - Desenho da Malha Original da Viga Parede com Simetria




Figura - 8. 16 - Desenho da Malha Original da Viga Parede com Simetria (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).

351

8.5.12 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original com Simetria

O arquivo de saída de dados segue o formato das tabelas abaixo: ???3606067A/36706/36+/6??????9A0669+6#A??????A7369A736#'0/76/A??????5,9+0673+???/D+60A/367E/D+60ADA7E/D+60/67066/36+/6E/D+6096/367/3+/67E 73+396E696706307F73069A/603/76/A7A739+69+007063+A

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8.5.13 - Desenho da Malha Original da Viga Deformada



mostram as Figura - 8. 17 e Figura - 8. 18.

Figura - 8. 17 - Deformação da Malha Original da Viga Deformada com Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).

Figura - 8. 18 - Deformação da Malha Original da Viga Deformada com Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).

357

8. 6 – Alteração do programa BINN de cálculo pelo Método de Elementos de Contorno para o Problema Elástico

8.6.1 – Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular

A malha original foi duplicada conforme mostra Figura - 8. 19.

Figura - 8. 19 - Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular (produzida por Lucas Máximo Alves).

358

8.6.2 – Arquivo de Entrada de Dados da Placa Plana com furo circular para o Programa BINN na forma da Malha Duplicada


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8.6.3 - Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular




Figura - 8. 20 - Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo circular duplicada (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).

362

8.6.4 - Arquivo de Saída de Dados da Placa Plana com furo circular para o Programa BINN na forma Duplicada


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8.6.5 – Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular Deformada

Após a saida de dados o arquivo texto contendo as tabelas de dados foi utilizado


mostra a Figura - 8. 21

Figura - 8. 21 – Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular Deformada (10x).

369

8.6.6 - Desenho da Malha Duplicada da Cavidade com Pressão para o Programa BINN

A malha original foi duplicada conforme mostra Figura - 8. 22.

Figura - 8. 22 - Desenho da Malha Duplicada da cavidade com Pressão (produzida originalmente por Raphael Scuciato).

370

8.6.7 – Arquivo de Entrada de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Duplicada

O arquivo de entrada de dados segue o formato das tabelas abaixo: ???50069+77J6D/:6+'A/367?????????

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8.6.8 – Desenho da Malha da Cavidade com Pressão na forma Duplicada




Figura - 8. 23 - Desenho da Malha Duplicada da cavidade com Pressão (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).

373

8.6.9 - Arquivo de Saída de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Duplicada


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8.6.10 – Desenho da Malha da Cavidade com Pressão na forma Duplicada




Figura - 8. 24 - Desenho da Deformação Malha Duplicada da Cavidade com Pressão (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).

379

8.6.11 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga sem Simetria

A malha da viga parede foi duplicada de acordo com a Figura - 8. 25.

Figura - 8. 25 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga Parede sem Simetria (produzida por Lucas Máximo Alves).

380

8.6.12 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada sem Simetria


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8.6.13 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga com Simetria

A malha da viga parede foi duplicada de acordo com a Figura - 8. 26.

Figura - 8. 26 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga Parede com Simetria.

385

8.6.14 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada com Simetria


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8.6.15 - Desenho da Malha Duplicada




Figura - 8. 27 - Desenho da Malha Duplicada da Viga (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).

389

8.6.16 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada sem Simetria


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8.6.17 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada com Simetria

O arquivo de entrada de dados segue o formato das tabelas abaixo: ???3606067A/36706/36+/6??????9A0669+6#A??????A7369A736#'0/76/A??????5,9+0673+???/D+60A/367E/D+60ADA7E/D+60/67066/36+/6E/D+6096/367/3+/67E 73+396E696706307F73069A/603/76/A7A739+69+007063+A

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402

8.6.18 - Desenho da Malha Duplicada e Deformada



mostra as Figura - 8. 28 e Figura - 8. 29.

Figura - 8. 28 - Desenho da Malha Duplicada da Viga Parede Deformada sem Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno)..

Figura - 8. 29 - Desenho da Malha Duplicada da Viga Parede Deformada com Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).

403

8.6.19 - Comparação dos Resultados dos Deslocamentos dos Corpos

A tabela a seguir apresenta uma comparação dos resultados obtidos para o

deslocamento no contorno da placa com furo central contra os valores teóricos determinados

pela teoria elástica linear.

Tabela - VIII. 1.Análise dos Resultados para uma Placa com Furo de Raio = 5,0

Malha 1 (Original) Malha 2 (Duplicada) Ponto Deformação Ponto Deformação I!!)D*

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PLACA COM FURO DE RAIO = 5,0

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deslocamento no contorno da cavidade com pressão uniforme contra os valores teóricos

determinados pela teoria elástica linear.

Tabela - VIII. 2. Análise dos Resultados para uma Cavidade com Pressão Uniforme

Malha 1 (Original) Malha 2 (Duplicada) Ponto Deformação Ponto Deformação ')D*

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CAVIDADE COM PRESSÃO UNIFORME

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deslocamento no centro da viga contra os valores teóricos determinados pela teoria de viga

simples e pela teoria de viga de Timoshenko.

404

Tabela - VIII. 3. Análise dos Resultados para uma Viga Parede sem Simetria

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Tabela - VIII. 4. Análise dos Resultados para uma Viga Parede com Simetria

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onde o momento de Inércia I para um ponto central da viga é:

12

3bhI = (8. 1)

e para um ponto acima ou na base da viga vale

3

3bhI = (8. 2)

405

Capítulo – IX

CONSIDERAÇÕES FINAIS

9. 1 – Quanto aos Resultados dos Cálculos da Placa Plana

O problema da placa plana foi resolvido “no braço”, analítica e numericamente

utilizando o MAPLE 9.0, a planilha de EXCEL 2003 e um programa desenvolvido e DELPHI

6.0 e comparados com o Programa POCONBE fornecido pelo livro do Brebbia.

A duplicação dos pontos de Gauss de 2 para 4 pontos apresentaram resultados

mais precisos.

A alteração do Programa POCONBE utilizando um cálculo que dependesse da

distância relativa dos elementos do contorno também mostrou resultados levemente mais

precisos sensíveis apenas na segunda casa decimal.

9. 2 – Quanto aos Resultados dos Cálculos da Elasticidade

Os problemas foram resolvidos numericamente utilizando um programa

denominado BINN desenvolvido em Linguagem FORTRAN 77.

A alteração do Programa BINN para comportar a duplicação dos pontos foi

necessária quanto ao dimensionamento das matrizes e vetores do programa. A duplicação dos

pontos da malha apresentaram resultados mais precisos.

Os resultado numéricos obtidos foram comparados com os resultados analíticos

obtidos pela teoria de vigas simples (Euler-Bernoulli) e pela teoria de vigas de Timoshenko.

Para pontos do contorno os resultados foram próximos. Para pontos fora do contorno isto é no

interior do corpo não foi possível comparar porque o programa BINN não está configurado

para calcular pontos internos.

406

9. 3 – Quanto ao curso de Método de Elementos de Contorno

O curso de Método dos Elementos de Contorno I e II contém uma alta densidade

de informações para serem digeridas em 3 meses apenas. Contudo, todo o esforço foi feito

para que o estudante de doutorado pudesse vencer suas barreiras pessoais no aprendizado no

que diz respeito à utilização de linguagens de programação. Embora o estudante possua quase

nenhuma experiência em FORTRAN, essa dificuldade foi compensada pela utilização de uma

linguagem substituta o DELPHI 6.0 para resolução dos exercícios de programação requeridos

na disciplina.

407

Referências Bibliográficas

BREBBIA, : C. A. and DOMINGUEZ, J. “Boundary Elements, An Introductory Course”, 2nd

Edition, Computatonal Mechanics Publications, McGraw-Hill Book Company

SCUCIATO, Raphael Fernando, TC 705 Trabalho de Método de Elementos de Contorno I,

vol. I , II, e III, UFPR, Curitiba 2005.

TIMOSHENKO, Stephen P, GERE, J. E, Mecânica dos Sólidos vol. I. Livros Técnicos e

Científicos Editora S. A. 1983.

- Cheng, Alexander H-D & Cheng, Daisy T., “Heritage and early history of the boundary

element method”, Engineering Analysis with Boundary Elements 29 (2005), 268-302.

408

Apêndices A. 1 – Cálculo Analítico das Matrizes Hij e Gij

A.1.1 – Cálculo das Matrizes Singulares Hii e Gii usando o Maple – 9.0

> restart: > x:=xa*phi_a+xb*phi_b;

> y:=ya*phi_a+yb*phi_b;

> phi_a:=(1-eta)/2;

> phi_b:=(1+eta)/2;

> x:=xa*phi_a+xb*phi_b;


> x:=(xa+xb)/2 + (xb-xa)*eta/2;

> y:=(ya+yb)/2+(yb-ya)*eta/2;

409

> xo:=(xa+xb)/2;

> yo:=(ya+yb)/2;

> lx:=(xb-xa);

> ly:=(yb-ya);

> restart: > x:=xo+lx*eta/2;

> y:=yo+ly*eta/2;

> r(eta):=sqrt((x-xo)^2+(y-yo)^2);

> r(eta):=abs(l*eta/2);

> drdn(eta):=(nx*x+ny*y)/r(eta);

> drdn(eta):=dinj/r(eta);

> d_Gamad_eta:=l/2;

410

> z(eta):=-1*drdn(eta)*d_Gamad_eta/(2*Pi*r(eta)); >

> H:=int(z(eta),eta=-1..+1);

> G:=-1/(2*Pi)*int(ln(r(eta)*d_Gamad_eta),eta=-1..+1);

> evalf(G);

411

A.1.2 – Cálculo das Matrizes Não-Singulares Hij e Gij usando o Maple – 9.0

> restart: > > x:=xa*phi_a+xb*phi_b;


> phi_a:=(1-eta)/2;

> phi_b:=(1+eta)/2;

> > x:=xa*(1-eta)/2+xb*(1+eta)/2;

> > y:=ya*(1-eta)/2+yb*(1+eta)/2;

> x:=(xa+xb)/2 + (xb-xa)*eta/2;

> y:=(ya+yb)/2+(yb-ya)*eta/2;

> lx:=(xb-xa);

> ly:=(yb-ya);

> l:=sqrt(lx^2+ly^2);

> restart; > x:=xj+lx*eta/2;

412

> y:=yj+ly*eta/2;

> d_Gamad_eta:=l/2;

> > r(eta):=((x-xo)^2+(y-yo)^2)^(1/2);

> r(eta):=((ax+rx*eta)^2+(ay+ry*eta)^2)^(1/2);

> > > > r(eta):=(A+B*eta+C*(eta^2))^(1/2);

> > simplify(r(eta),symbolic);

> dinj:=(nx*x+ny*y);

> drdn(eta):=dinj/r(eta);

> z(eta):=-1*drdn(eta)*d_Gamad_eta/(2*Pi*r(eta)); >

413

> H:=int(z(eta),eta=-1..+1);

> G:=-1/(2*Pi)*int(d_Gamad_eta*ln(r(eta)),eta=-1..+1); >

414

>

415

A. 2 – Listagem fonte do programa POCONBE Original

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A. 3 – Listagem fonte do programa POCONBE Modificado

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423

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A. 4 – Listagem fonte do programa POTENCIAL CONSTANTE

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431

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433

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434

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435

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436

A. 5 – Informativo das Variáveis do programa BINN Original

I – Variáveis

infinito contorno:1

finito contorno::(I1) 1NFB

φ

ITECH (I1) = 1 : variável utilizada na plasticidade: método de resolução

NE (I3) : numero de elementos

NC (I5) : numero de células = φ

NN (I5) : número de nós do contorno

NP (I5) : número de pontos internos

==

deformaçãode planoestado:2

tensãode planoestado:1:(I5) IPL

simetria dupla :3y em simetria :2

xem simetria :1simetria sem :

simetria:(I5) IDSYM

φ

ticaelastoplás análise :2

elástica análise:1:(I5) IPROB

II – Variáveis

IYIED (I5) : critério de escoamento (plasticidade)

E (F1φ.φ) : módulo de elasticidade longitudinal

ET (F1φ.φ) : plasticidade

SY (F1φ.φ) : tensão de escoamento

PO (F1φ.φ) : coeficiente de Poisson

CC (F1φ.φ) : coesão

PHI (F1φ.φ) : ângulo de atrito interno

III – Variáveis

NI = NN + N

437

simetria de eixo ao ou nó/ponto o se indica IDUP duplo nó interno nó/ponto .don

ISYM(K) IDUP(K), Y(K)X(K), K,I(5) ).1,.(F1 (I5)

∉∈≠ φ

φφφφ

F

IV – Incidência dos elementos

final nó inicial nó nóINC(K,2) (K,1) INC K,

V –

NFIP, NDFIP, NMITR, PER, TOL NFP (I5) : n. de nós com deslocamentos prescritos NDFIP (I5) : n. de nós com forças de superfícies prescritas

ticaelastoplás análise para parâmetros ).(F1 TOL).(F1 PER

(I5) NMITR

φφφφ

VI –

NFIP vezes

(y) (x) nó

prescritou : 1livreu :

FIP FP(2K) 1),-FP(2k P(2K), 1),-P(2K K,

=φ

OBS: Admite-se, inicialmente, todo os nós com condições de contorno naturais;

deslocamentos prescritos são identificados com FP ≠ 0.

VII –

NFIP vezes

K, P(2K-1), P(2K)

438

VIII –

Pontos de Integração de elementos (NNPI(1), NNPI(2), NNPI(3)) e de células (NNPC(1),

NNPC(2), NNPC(3))

439

A. 6 – Formato do Arquivo de Entrada de Dados do Programa BINN

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441

A. 7 – Listagem fonte do programa BINN Original

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A. 8 – Listagem fonte do programa BINN Modificado

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