1

1-DEFINIÇÕES CLASSICAS 2 1.1- INTRODUÇÃO: .......................................................................................................................... 2 1.2-EXPERIMENTO ALEATÓRIO ................................................................................................... 2 1.3-ESPAÇO AMOSTRAL ................................................................................................................ 2 1.4-EVENTOS .................................................................................................................................... 3 1.5-DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE .......................................................................................... 4

2-PROBABILIDADE CONDICIONAL E TEOREMA DE BAYES ................................................... 8 2.1-PROBABILIDADE CONDICIONAL.......................................................................................... 8 2.2-EVENTOS INDEPENDENTES................................................................................................... 9 2.3-O TEOREMA DE BAYES ......................................................................................................... 12

3-VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: 17 3.1-INTRODUÇÃO: ......................................................................................................................... 17 3.2-DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE .............................................................. 18 3.3 –FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA ............................................................................ 19 3.4-VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA ................................................................................... 23 3.5-FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE ...................................................................... 23 3.6-MEDIDA DE POSIÇÃO E MEDIDAS DE DISPERSÃO........................................................... 25

4-ALGUMAS DISTRIBUICÃO DE PROBABILIDADE ................................................................. 27 4.1- DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ................................................................................................... 28 4.2-DISTRIBUIÇÃO POISSON ....................................................................................................... 28 4.3-A DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA ............................................................................... 29 4.4- A DISTRIBUIÇÃO DE PASCAL E DISTRIBUIÇÃO RELACIONADAS ............................... 30 4.5-DISTRIBUIÇÃO NORMAL ...................................................................................................... 32 4.6-A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................ 39 4.7-DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO ......................................................................................... 40 4.8- DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT ........................................................................................... 42 4.9-DISTRIBUIÇÃO F .................................................................................................................... 44 Exercícios Extras .............................................................................................................................. 46 Anexos: ............................................................................................................................................ 57

TABELA - Distribuição Normal Padrão Z~N(0,1) ..................................................................... 57 TABELA - Distribuição Qui-Quadrado ........................................................................................ 58 TABELA - Distribuição t de Student (Unicaudal e Bicaudal) ....................................................... 59 TABELA - Distribuição F de Fisher = 5% ............................................................................. 60

2

PROBABILIDADES

1-DEFINIÇÕES CLASSICAS

1.1- INTRODUÇÃO:

A teoria do cálculo das Probabilidades começou formalmente (definição axiomática) com uma correspondência entre dois matemáticos franceses, Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), em 1654, a respeito de dois problemas formulados por um jogador compulsivo, Chavalier de Méré, embora existem relatos de aplicações de problemas envolvendo a teoria de probabilidade em datas anteriores, tais como Jerônimo Cardano (1501-1576) em sua obra Líber de Ludo Aleae. A partir daquele momento, realizam-se estudos de modelos matemáticos com exemplos essencialmente de jogos de azar (afinal era a motivação naquela época). Mesmo hoje ainda há muitas aplicações que envolvem jogos de azar, tais como os diversos jogos de loterias, bingos, roletas, baralhos, as corridas de cavalos, etc.. Todavia, a utilização das probabilidades ultrapassou, e muito, o âmbito desses jogos. Hoje os governos, as empresas, as organizações profissionais incorporam a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações.

Embora o cálculo das probabilidades pertença ao campo da Matemática, a sua associação a Estatística se justifica pelo fato de a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística ser de natureza aleatória ou probabilística. Consequentemente, o conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferencial. Neste texto procuramos resumir os conhecimentos que julgamos necessários para termos um ponto de apoio em nossos primeiro passos no caminho da ESTATÍSTICA INFERENCIAL. Ao leitor interessado em um estudo mais aprofundado na teoria da probabilidade sugerimos a consulta de textos de níveis intermediários tal como Barres James (veja Ref. [1]) . Esses passos serão apresentados em 4 capítulos, sendo que no capítulo 3 , mostraremos as noções de variáveis aleatórias e no capítulo 4 as principais distribuições de probabilidades de variáveis discretas e variáveis contínuas. 1.2-EXPERIMENTO ALEATÓRIO Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o ACASO. Podemos citar como exemplo, afirmações do tipo “ É provável que o Goiás ganhe a partida de hoje”, o que pode resultar nos seguintes possíveis resultados: a) que apesar do favoritismo, ele perca; b) que, como pensamos, ele ganhe a partida; c) que ele empate. Note que, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esse são chamados de fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios, e em geral denotamos por E. Experimento ou fenômeno aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. 1.3-ESPAÇO AMOSTRAL A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Vejamos por exemplo: a) Considere-se o experimento E= jogar um dado e observar o número de pontos na face voltada para cima, onde, o conjunto de todos os resultados possíveis é:

3

.6,5,4,3,2,1S b) Se o experimento E= jogar duas moedas e observar as faces voltadas para cima, então o conjunto de

todos os resultados possíveis é:

,),(),,(),,(),,( kkccckkcS onde c cara e k coroa. Assim: O conjunto desses resultados possíveis, denominamos espaço amostral ou conjunto universo e vamos representa-lo por .S Cada um dos elementos do espaço amostral S corresponde a um possível resultado, por exemplo, se o experimento, consiste em jogar duas moedas e observar sua face de cima, neste caso,

),(),,(),,(),,( kkccckkcS é o espaço amostral e os pares ),(),,(),,( ccckkc e ),( kk correspondem os elementos de S . Se S é um espaço amostral qualquer e x é um elemento de S , então dizemos que x é um ponto amostral. 1.4-EVENTOS Denominamos por evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório. Em particular , o próprio espaço amostral S e o conjunto vazio são eventos, onde S é dito o evento certo e o evento impossível. Usando as operações com conjuntos, podem-se formar novos eventos, assim: i) BA é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem; ii) BA é o evento que ocorre se A e B ocorrem; iii) A é o evento que ocorre se A não ocorre. Representação em Diagrama de Venn

BA AB

BA

BA

4

Exemplos 1.1:

a) Seja o experimento E : jogar três moedas e observar os resultados : Então o espaço amostral é:

),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,( kkkkkckckckkcckckckcccccS , Seja A o evento: ocorrer pelo menos 2 coroas (k). Neste caso,

),,(),,,(),,,(),,,( kkckckckkkkkA . b) Seja o experimento E : lançar um dado e observar o número de cima. Neste caso o espaço amostral é 6,5,4,3,2,1S . Seja B o evento: ocorrer múltiplo de 2 e C o evento: ocorrer número primo. Então, 6,4,2B e 5,3,2C Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos, se eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é, BA . Exemplo 1.2: :E jogar três moedas e observar a face de cima.

),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,( kkkkkckckckkcckckckcccccS Sejam os eventos: A= ocorrer pelo menos 2 coroas, e B= ocorrer exatamente três caras. Então, ),,(),,,(),,,(),,,( kkckckckkkkkA e ),,( cccB , BA . A e B são mutuamente exclusivos, pois os dois conjuntos são disjuntos 1.5-DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE Dado um experimento aleatório E , sendo S o espaço amostral, probabilidade de um evento A é um número )(AP onde P é uma função de conjuntos, definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas: A1) 1)(0 AP ; A2) ;1)( SP A3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é, BA , então

).()()( BPAPBAP

Propriedades imediatas: 1. Se é o conjunto vazio , então 0)( P .

2. Se A é o complemento do evento A , então )(1)( APAP . 3. Se BA , então )()( BPAP . 4. Teorema da soma: Se A e B são eventos quaisquer, então:

5

)()()()( BAPBPAPBAP . Se S é um espaço amostral finito e todos os elementos de S tem a mesma chance de ocorrer, dizemos que S é um espaço equiprovável. Neste caso, a probabilidade de um evento SA é o numero real

)(AP definido por:

)()()(

SnAnAP ou

CTNFCNAP..

...)( ,

onde: )(An é o número de elementos de A . )(Sn é o número de elementos de S . ... FCN “número de caso favoráveis do evento A”, ou seja, o número de vezes que o evento A pode ocorrer. ... CTN “número total de caso possíveis”, ou seja, o número de vezes em que o Espaço Amostral S ocorre. Observação 1.1:

a) A definição de probabilidade como quociente do número de “casos favoráveis” sobre o número de “casos possíveis” foi a primeira definição formal de probabilidade, e apareceu pela primeira vez em forma clara na obra Líber de Ludo Aleae de Jerônimo Cardano (1501-1576).

b) No caso dos espaços amostrais equiprováveis, o cálculo da probabilidade de um evento reduz-se a um problema de contagem. Faremos então, o uso da Análise Combinatória (Teoria de Contagem) para resolvermos tais problemas. Na maioria dos problemas tratados neste texto a combinação é a técnica que pode ser aplicada. Combinação de r elementos tomados (combinados) p a ).( rpp Calcula-se por

)!(!!

, prpr

pr

C pr

onde: 1)...2)(1(! rrrr , 1)...2)(1(! pppp e por convenção .1!0 EXEMPLO 1.3:

a) Escolha aleatoriamente (a expressão “aleatória”nos indica que o espaço é equiprovável) uma carta de um baralho com 52 cartas. Seja: ourodeécartaaA figuraumaécartaaB Calcular )(AP e )(BP . SOLUÇÃO: Como o espaço é equiprovável e 13)(,52)( AnSn e 12)( Bn (4 reis, 4 damas e 4 valetes ), temos:

41

5213)( AP e

133

5212)( BP

a) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas ao acaso (“aleatoriamente”). Calcule: i)A probabilidade de ambas serem defeituosas; ii)A probabilidade de ambas não serem defeituosas; iii) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.

6

SOLUÇÃO: i) sdefeituosasãoambasA

A pode ocorrer 6!2.2!2.3.4

)!24(!2!4

24

maneiras(“casos favoráveis”)

S pode ocorrer 66!10.2

!10.11.12)!212(!2

!122

12

maneiras(“casos possíveis”),

logo, .111

666

.....)( CTNFCNAP

ii) sdefeituosasãonãoambasB

B pode ocorrer 28!6.2!6.7.8

)!28(!2!8

28

vezes

S pode ocorrer 66!10.2

!10.11.12)!212(!2

!122

12

vezes,

logo, .3314

6628

.....)( CTNFCNBP

iii) defeituosaéumamenosaoC , neste caso, C é o complemento de ,B isto é, BC . Assim pela propriedade 2 da probabilidade:

3319

33141)(1)()( BPBPCP

1-Exercícios Propostos- Capítulo 1:

1) Determinar a probabilidade de obter um ás (A), um reis (K) ou um dois (D) ao se retirar aleatoriamente uma carta de uma baralho de 52 cartas. (R.. 3/13)

2) Determinar a probabilidade de cada evento:

a) Um número par aparece no lançamento de um dado. (R.. ½) b) Uma figura aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas. (R.. 3/13) c) Uma carta de ouro aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.(R.. ¼) d) Uma só coroa aparece no lançamento de três moedas. (R.. 3/8)

3) Um inteiro entre 3 e 11 será escolhido ao acaso.

a) Qual é a probabilidade de que este número seja impar? (R.. 3/7) b) Qual é a probabilidade que este número seja impar e divisível por 3? (R.. 1/7)

4) Um casal planeja ter três filhos. Determinar a probabilidade de nascerem:

a) três homens; (R.. 1/8) b) dois homens e uma mulher.(R.. 3/8)

7

5) Com referência à Tabela abaixo, qual a probabilidade de que uma família aleatoriamente escolhida tenha renda familiar (a) entre 400 reais e 999,999 reais;(R.. 0,20) (b) menos que 1000 reais; (R.. 0,32) (c) um dos extremos: menos que 400 reais ou pelo menos 6000 reais?(R..0,20)

Categoria Níveis de renda(em reais) Número de famílias 1 2 3 4 5

Menos do que 400 R$ 400-999,99 R$ 1000-1999,99 R$ 2000-5999,99 R$ 6.0000 R$ ou mais

60 100 160 140 40 Total 500

6) De 100 pessoas que solicitam empregos de programador de computador, durante o ano 2005, em uma

grande empresa, 40 possuíam experiência anterior (W) e 30 possuíam certificado profissional (C). Vinte dos candidatos possuíam tanto experiência anterior como certificado profissional e foram incluídos nas contagem dos dois grupos.

a) Elaborar um diagrama de Venn para descrever estes eventos graficamente. b) Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha experiência ou certificado (ou

ambos)? (R.. 0,5) c) Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido, tenha experiência ou certificado,

mas não ambos? (R.. 0,30)

7) De 300 estudantes de administração, 100 estão matriculados em Contabilidade e 80 em Estatística. Estes dados incluem 30 estudantes que estão matriculados em ambas as disciplinas. Qual a probabilidade de que um estudante aleatoriamente escolhido esteja matriculado em Contabilidade (C) ou em Estatística (E)? (R.. 0,50)

8) Seja P uma probabilidade sobre os eventos (sub-conjuntos) de um espaço amostral S . Sejam A e B

eventos tais que 32)( AP e

94)( BP .

Mostre que:

a) 32)( BAP ;

b)95)(

92

BAP ;

c) .94)(

91

BAP

9) No jogo da Loto são sorteadas 5 dezenas distintas entre as dezenas 01-02-...-99-00. O apostador escolhe

6,7,8,9 ou 10 das 100 dezenas e é premiado se são sorteadas 3(terna), 4(quadra) ou 5 (quina) das dezenas por ele escolhidas. Determinar a probabilidade de um apostador que escolheu 10 dezenas fazer:

a) uma terna;(R.. 1335/209132) b) uma quadra;(R.. 15/59752) c) a quina.(R.. 1/298760)

10) Uma caixa contém 20 peças em boas condições e 15 em más condições. Uma amostra de 10 peças

é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa.(R.. 0,999=99,9%)

8

2-PROBABILIDADE CONDICIONAL E TEOREMA DE BAYES 2.1-PROBABILIDADE CONDICIONAL Inicialmente vamos entender o que é uma probabilidade condicional ou condicionada. Considere o lançamento de um dado. Qual é a probabilidade de ter ocorrido o número 2?. Como o dado tem seis faces,

a probabilidade de ter ocorrido a face 2 é 61 = 0,1667 ou 16,67%.

Suponhamos que o dado foi lançado novamente e temos a informação que ocorreu face com número par, então qual a probabilidade de ter ocorrido o número 2?. Podemos observar que temos agora uma situação diferente à pergunta feita anteriormente, ou seja se ocorreu face com número par, só pode te

ocorrido os números 2,4 e 6. Logo a probabilidade de ter ocorrido o número 2 é : 31 = 0,3333 ou 33,33 %,

portanto a probabilidade de ocorrer determinado evento pode ser modificada quando se tem alguma informação a priori, ou melhor, quando se impõe uma condição adicional. Denomina-se probabilidade condicional à probabilidade de um determinado evento sob uma dada condição. Então a probabilidade de ocorrer o evento A sob condições de que um evento B ocorre é definida e denotada por :

)()()/(

BPBAPBAP

, desde que ,0)( BP

e lê “probabilidade de A dado B”. O caso onde 0)( BP foge do âmbito deste texto. Exemplo 2.1: Um grupo de pessoas está classificado da seguinte forma:

Fala inglês Fala alemão Fala francês Homens Mulheres

92 101

35 33

47 52

Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que esta pessoa fala francês, qual é a probabilidade de que seja homem? Resposta: Seja F o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala francês e H se a pessoa escolhida é homem. Temos

,36099

3605247)(

FP

,36047)( HFP

e portanto

%.47,479947

36099

36047

)()()/(

FPHFPFHP

9

Exemplo 2.2: Um grupo de pessoas foi classificado quanto a peso e pressão arterial de acordo com as proporções do quadro a seguir:

Peso Pressão Excesso Normal Deficiente Total Alta Normal Total

0,10 0,15 0,25

0,08 0,45 0,53

0,02 0,20 0,22

0,20 0,80 1,00

a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso naquele grupo ter pressão alta? b) Se verifica-se que a pessoa escolhida tem excesso de peso, qual a probabilidade de ter também pressão

alta? Solução:

a) Como a pessoa escolhida ao acaso em um grupo onde 20 % tem pressão alta, 20,0)( AP é a probabilidade pedida (chamamos A o evento “ter pressão alta”).

b) Chamamos de B o evento “ter excesso de peso”. Ante a informação de que a pessoa tem excesso de peso, passam a não nos interessar a 2 a e 3 a colunas do quadro. Quanto à primeira coluna, vemos que, no grupo

dos que têm excesso de peso, a proporção dos que têm pressão alta é 25,010,0

=0,40, isto é:

)()(

25,010,0)/(

BPBAPBAP

O que estamos fazendo é precisamente estabelecer )/( BAP a partir de 10,0)( BAP e 25,0)( BP . É a probabilidade condicional de A dado B

2.2-EVENTOS INDEPENDENTES Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S, se )()/( APBAP , ),()/( BPABP os dois eventos são ditos independentes. A ocorrência de um deles não interfere na ocorrência do outro. A Probabilidade condicional de um deles, dado o outro, é igual à respectiva probabilidade simples. Neste caso , ).()()( BPAPBAP Exemplo 2.3: No exemplo 2.2 os eventos “excesso de peso” e pressão alta são independentes? Solução: Note que 20,0)( AP 40,0)/( BAP . Portanto, os eventos A e B não são independentes ( como era de esperar, aliás). Exemplo 2.4: Treze cartas são escolhidas de um baralho de 52 cartas. Seja A o evento “o ás de copas está entre as 13 cartas” e B o evento “as cartas são do mesmo naipe”. Mostre que A e B são eventos independentes. Solução: Notemos que:

10

;41

5213

!52!39!12!39!13!51

13521251

)(

AP

;

13524

)(

BP

.

13521

)(

BAP

Portanto )()()( BPAPBAP ou seja A e B são eventos independentes. Exemplo 2.5: Uma bolsa contém 4 bolas brancas e 2 pretas; e outra contém 3 brancas e 5 pretas. Se for retirada uma bola de cada bolsa, determinar a probabilidade de : (a) ambas serem brancas; (b) ambas serem pretas; (c) uma branca e a outra preta. Solução: Sejam bolsaprimeiranabrancabolaumadeocorrênciaB 1 , bolsasegundanabrancabolaumadeocorrênciaB 2 .

a) Como os eventos são independentes, temos

41

533

244)()()()( 212121

BPBPBBPocorrerBeBP

.

b)Notemos que 11 BbolsaprimeiranapretabolaumadeocorrênciaP e que 22 BbolsasegundanapretabolaumadeocorrênciaP , assim:

.245

535

242)()()()()( 21212121

BPBPBBPPPPPePP

Exemplo 2.6: (Um versão do problema de Méré) O problema de Méré é um dos problemas que deram origem ao cálculo das probabilidades. Determinar qual o resultado mais provável nas duas situações: obter a face 6 ao menos uma vez em quatro jogadas de um dado, ou obter a soma 12 ao menos uma vez em 24 jogadas de dois dados. Solução: Jogando-se um dado 4 vezes:

.518,0651)"6"(1)"6"(

4

nenhumPummenosaoobterP

Jogando dois dados 24 vezes:

.491,036351)"12"(1)"12"(

24

nenhumPésomaavezumamenosaoP

Portanto a primeira situação apresenta maior probabilidade de acontecer.

11

2.1-Exercícios Propostos. 1) As probabilidades de um estudante passar em Álgebra (A), em Literatura (L) e em ambas (AL) são 0,75, 0,85 e 0,63, respectivamente. Qual a probabilidade de passar em Álgebra, sabendo-se que passou em Literatura? (R.. 0,75) 2) Seja E o experimento “lançar dois dados”, e

.

;;

;8

segundodovalorovezesduasigualédadoprimeirodovaloroDsegundooquedomaiorédadoprimeirodovaloroC

iguaisvaloressairBaigualéresultadosdossomaaA

Calcular: a) )/( BAP 1/6 b) )/( DCP 1 c) )/( CDP 1/5 d) )/( CAP 0 e) )/( CAP 2/15 f) )/( DCBAP 0 3) Consideremos dois dados: um deles equilibrado ( 6/1)}6({...})2({})1({ PPP ) e outro viciado com 2/1})1({ P e .10/1})6({...})3{})2({ PPP Escolhe-se um dos dados ao acaso e se efetuam dois lançamentos, obtendo-se dois uns. Qual a probabilidade condicional de que o dado escolhido tenha sido o viciado? 9/10 4) Dois diferentes departamentos de produção que fazem parte de uma grande empresa são: Produtos Marítimos (M) e produtos para Oficinas (O). A probabilidade de que a divisão de Produtos Marítimos tenha, no corrente ano fiscal, uma margem de lucros de no mínimo 10% é estimada em 0,30; a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para oficinas tenha uma margem de lucros de pelo menos 10% é de 0,20; e a probabilidade de que ambas divisões tenham uma margem de lucro de no mínimo 10% é de 0,06. a) Determinar a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros no mínimo de 10% dado que a divisão de Produtos Marítimos tenha alcançado tal nível de lucro. 0,20 b) Os eventos O e M são independentes ? Sim. 5) Suponha que um aluno bastante otimista estime que a probabilidade de receber um conceito final “A” em Estatística é de 0,60 e a probabilidade de um “B” é de 0,40. É claro que ele não pode receber os dois conceitos como conceitos finais, uma vez que eles são mutuamente exclusivos. a) Determinar a probabilidade condicional de que obtenha um “B” , dado que de fato tenha

recebido um “A” , utilizando a fórmula de cálculo apropriada. 0. b) Os eventos são independentes ? Sim. 6) Duas pessoas, A e B jogam partidas de xadrez, das quais 6 são vencidas por A, 4 por B e 2 terminam empatadas. Elas combinam a disputa de um torneio constante de 3 partidas. Determinar a probabilidade de: a) A vencer as três partidas; 1/8 b) duas partidas terminarem empatadas; 5/72 c) B vencer pelo menos uma partida. 19/27 7)De acordo com uma certa tábua de mortalidade, a probabilidade de João está vivo daqui a 20 anos é 0,60 e a mesma probabilidade para Maria é 0,90. Determinar as probabilidades: a) de ambos estarem vivos daqui a 20 anos: 0,54 b) nenhum estar vivo daqui a 20 anos; 0,04 c) um estar vivo e outro estar morto daqui a 20 anos. 0,42

12

2.3-O TEOREMA DE BAYES 2.3.1-PARTIÇÃO DE ESPAÇO AMOSTRAL. Seja S um espaço amostral. Dizemos que um número de eventos finitos nAAA ,...,, 21 é uma partição de S se: a) Os eventos iA são disjuntos (mutuamente excludentes) dois a dois, isto é, ji AA , para qualquer i j.

b) SAn

ii

1

, isto é, os eventos iA são exaustivos , isto é, “cobrem todo o espaço S ”.

O diagrama abaixo (Figura 1) ilustra uma partição de .S Figura 1.- Partição de um conjunto S . Teorema de Bayes Sejam nAAA ,...,, 21 , uma partição do espaço amostral S . Suponhamos que as probabilidades

niAP i ,...,1),( sejam conhecida e seja B um evento arbitrário com .0)( BP Se as probabilidades condicionais )/( iABP são conhecidas, então, para cada “i” tem-se

)/()(...)/()()/()()/()(

)/(2211 nn

iii ABPAPABPAPABPAP

ABPAPBAP

.

O resultado acima é bastante importante pois relaciona probabilidade a “priori” )( iAP com probabilidade a “posteriori” )/( BAP i , que significa a probabilidade de iA depois que ocorrer .B Note ainda que o teorema de Bayes é uma generalização da probabilidade condicional ao caso de mais de dois eventos. Para ilustrá-la, consideremos a Figura 2, abaixo:

Como os iA formam uma partição de S , temos que: )(...)()( 21 BABABAB n

já que os eventos niBAi ,...,1, são mutuamente exclusivos. Então

)()(...)()()( 21 BAPBAPBAPBAPBP in .

s

A1 A2

A3 A4

A5 A6

A7

13

Figura 2.- Cobertura do evento B . Então pela definição de probabilidade condicional,

)(

)()(

)()/(

BAPBAP

BPBAP

BAPk

iii ,

e portanto,

.)/()(

)/()()/(

kk

iii ABPAP

ABPAPBAP

Exemplo 2.7: Um fabricante tem três máquinas A,B,C, que respondem, respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção. Dois por cento da produção da máquina A consiste em peças defeituosas; essa proporção é de 1% para máquina B e de 3% para máquina C. Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a probabilidade de ter sido produzido pela máquina B? Solução: Vamos denotar por B o evento “fabricado pela máquina B” e por D o evento “a peça é defeituosa”. Queremos encontrar a probabilidade )/( DBP . Pela definição de probabilidade condicional, temos:

.)(

)/()()(

)()/(DP

BDPBPDP

DBPDBP

Como a peça defeituosa pode provir de qualquer uma das três máquinas (e só de uma). Logo, )./()()/()()/()()( CDPCPBDPBPADPAPDP Mas:

e assim 019,0)( DP , e portanto:

%.4,18184,0)03,0)(25,0()01,0)(35,0()02,0)(40,0(

)01.0)(35,0()(

DP

A visualização deste problema é facilitada quando utilizamos o chamado “Diagrama em Árvores”, conforme se pode observar a seguir (Figura 3):

,0075,0)03,0).(25,0()/()(;0035,0)01,0).(35,0()/()(

;008.0)02,0).(40,0()/()(

CDPCPBDPBPADPAP

s

A 1 A 2

A 3A 4

A 5 A 6

A 7

B

14

Figura 3-Diagrama em árvore. Exemplo 2.8: Num exame há 3 resposta para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade 1/3 de escolher a resposta certa se ele está adivinhando(chute) e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30% das resposta do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual é a probabilidade de que a adivinhou ? Solução: A árvore correspondente é dada na figura abaixo,

Utilizando o Teorema de Bayes temos

.167

)1)(30,0()3/1)(70,0()3/1)(70,0()/(

corretarespostaadvinhouP

O exemplo de aplicação seguinte foi adaptado de Bekaman e Neto (1980). Exemplo 2.9: Um instituto especializado em meteorologia acerta 90% dos dias em que chove e 95% dos

dias em que não há chuva. Sabe-se que chove em 10% dos dias. Na previsão feita em dado dia, qual a

probabilidade de Chover?

Solução:

Consideremos os eventos:

A - Chove no dia em que foi feita a previsão;

A - Não chove no dia em que foi feita a previsão;

B - O instituto faz previsão de chuva;

B - O instituto faz previsão de não chover.

Podemos escrever pelas leis de Bayes as probabilidades:

15

90,0/ ABP , então, 10,0/ ABP ;

95,0/ ABP , então, 05,0/ ABP ,

Como chove em 10% dos dias, então: 10,0AP então 90,0AP , pela lei da probabilidade total,

temos:

ABPAPABPAPBAPBAPBP // . Substituindo os valores dos eventos,

05,090,090,010,0 xxBP , 1350,0045,009,0 BP .

Note que 0,1350 é a probabilidade de haver previsão de chuva, independente do real estado da natureza.

Pelo teorema de Bayes, temos, 6667,0

1350,009,0/

BPBAPBAP ou 66,67%, que é a

probabilidade de chover. Podemos observar que embora o instituto seja confiável, a probabilidade de uma

previsão de chuva estar correta é menos de 70%. Em compensação, podemos observar que a

probabilidade de que uma previsão de não chover esteja certa é:

010,010,0.10,0/ ABPAPBAP ;

855,095,0.90,0/ ABPAPBAP ;

865,0855,0010,0 BAPBAPBP ;

9884,0

865,0855,0/

BPBAPBAP .

Assim, a probabilidade de chover no dia em que foi feita a previsão é 0,09 e de não chover é de 0,01. No

entanto, a probabilidade do instituto fazer previsão e não chover é de 0,045 e a probabilidade de não

chover é de 0,95

2.2-Exercícios Propostos: 1) Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4/10. O Goiás ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Vila Nova ganhou o jogo naquele dia de agosto, qual é a probabilidade de que choveu nesse dia. ½. 2) Admita a seguinte configuração:

Urnas Cores U1 U2 U1

Pretas 3 4 2 Brancas 1 3 3 Vermelhas 5 2 3

16

Escolhe-se uma urna ao acaso e dela extrai-se um bola ao acaso verificando-se que a bola é branca. Qual é a probabilidade da bola ter vindo da urna 2? Da 3? 24/59 e 8/59. 3) Em um certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que 1,8m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80 m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher? 4/19

4) Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que tem tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não tem tuberculose reagem positivamente. Um pessoa da população é selecionada ao acaso e o teste Y é aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste? 8/35

5) A caixa I tem duas bolas brancas e duas pretas; a caixa II tem duas bolas brancas e uma preta; a caixa III tem uma bola branca e três pretas.

a) Tira-se uma bola de cada caixa. Determinar a probabilidade de serem todas brancas. 1/12 b) Escolhe-se uma caixa ao acaso e tira-se uma bola. Qual é a probabilidade de ser branca? 13/36 c) Em (b), calcular a probabilidade de ser sido escolhida a caixa I, sabendo-se que a bola extraída é branca.

6/13

17

3-VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: 3.1-INTRODUÇÃO: Muitos experimentos produzem resultados não-numéricos. Antes de analisa-los é conveniente transformar seus resultados em valores numéricos, o que é feito através da variável aleatória, que é uma regra que associa a cada ponto amostral (eventos simples) um valor numérico, formalmente temos a seguinte definição: Seja E um experimento aleatório e S o espaço associado ao experimento. Uma função X que associa a cada elemento Ss um numero real )(sX é denominada variável aleatória. Vejamos a ilustração: Figura 3.1-Variável Aleatória.

Observação (3.1): a) Em geral, uma variável aleatória X é uma função cujo o domínio é S e contradomínio é . b) Se o conjunto imagem da variável aleatória X é um conjunto finito ou enumerável infinito (subconjuntos dos números inteiros ou racionais) , dizemos que X é uma variável aleatória discreta. c) Se o conjunto imagem da variável aleatória X é um intervalo ou uma coleção de intervalos reais, dizemos que X é uma variável aleatória contínua. d) Existem variáveis que não são discreta e nem contínuas. Exemplo 3.1.: Na jogada de duas moedas, o espaço amostral :

),(),,(),,(),,( cckcckkkS . Seja X o numero de caras ( c ) . A cada evento simples, ou ponto amostral de S , podemos associar um numero como descrito abaixo:

Evento cckcckkk ,,),(),( X 0 1 1 2

Neste caso X é uma variável aleatória, e alem disso, a cada valor de X está associada uma probabilidade:

0X corresponde ao evento kk, com probabilidade 41 ;

1X corresponde aos eventos ck , ou kc, com probabilidade 21 ;

s X(s)

S

18

2X corresponde ao evento cc, com probabilidade 41 .

Para estudar e tomar decisões em situações onde está presente a incerteza, temos basicamente de identificar a v.a. (variável aleatória) de interesse e obter sua distribuição de probabilidade, e a partir daí obter os elementos necessários para tomada de decisão. Exemplo 3.2: Suponha-se que estejamos testando uma partida de válvula eletrónica e que a probabilidade de um teste

ser positivo seja de 43 daí, a probabilidade de o teste ser negativo será

41 . Os testes prosseguem até que

apareça a primeira válvula positiva. Definido a v.a. como o numero de testes necessários para concluir o experimento, o espaço associado é:

...,.,,, S Os pontos amostral de S e os valores da v. a. correspondente são: primeira válvula positiva no primeiro teste 1X ; primeira válvula positiva no segundo teste 2 X ; primeira válvula positiva no terceiro teste ;3 X

.

.

.

Para determinar a distribuição de probabilidade de X , notemos que os valores possiveis de X são: 1,2,3,4,....n,....Teremos por exemplo o valor nX se e somente se as n-1 primeiras valvulas forem negativas e a n-ésima positiva. Admitindo que uma válvula não influencia a condição de outra (independencia) , podemos escrever:

,43

41)()(

1

n

nXPtesteésimonnoapenaspositivaválvulaprimeraP

,....2,1n Obviamente, esses valores )( nXP satisfazem às condições básicas probabilidade, isto é :

0)( nXP e

1

1)(n

nXP .

No intuito de entendermos melhor o conceito de variável aleatória, é necessário percorremos por algumas etapas. Assim, nas próximas seções estudaremos algumas características gerais das distribuições das variáveis aleatórias e em seguida veremos as distribuições mais importante, que descrevem um grande número de fenômenos aleatórios. 3.2-FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA

Seja X uma variável aleatória discreta, e seja Im(X)={x1,x2,...} o conjunto imagem da variável X.

Uma função de distribuição discreta de probabilidade da variável aleatória X é uma relação(função) que associa a cada valor distintos xi de X a uma probabilidade p(xi). Notação:A notação a ser utilizada é: P(X=xi)= p(xi) ou pi: representa a probabilidade de X assumir o valor xi, i=1,2,..., ou ainda, X x1 x2 x3 . . . pi p1 p2 p3 . . .

19

Uma função de probabilidade satisfaz 0 pi 1 e .1i

ip

Note que, na maioria dos caso, X terá apenas um número finito de valores possíveis e, assim, a verificação de que a soma de probabilidades é igual a 1 é através de uma soma finita. As variáveis aleatórias são completamente caracterizadas pela sua função de probabilidade e uma parte importante da Estatística é, justamente, obter, para uma dada variável de interesse, uma função de probabilidade que melhor represente seu comportamento na população. Exemplo 3.3: Com dados do último censo, a assistente social de um Centro de Saúde constatou que para a família da região, 20% não têm filhos, 30% têm um filho, 35% têm dois filhos e as restantes se dividem igualmente entre três, quatro ou cinco filhos. Suponha que uma família é escolhida aleatoriamente, nessa região e o número de filhos averiguado. Defina a variável aleatória N representando o números de filhos e construa a sua função de probabilidade mediante das informações dadas. Solução: Seja N : a variável aleatória representado o número de filhos , note que os possíveis valores de N são: 0 (nenhum filho), 1(apenas um filho), 2 (dois filhos), 3(três filhos), 4(quatro filhos) e 5 (cinco filhos). Sendo assim, mediante das informações disponíveis podemos definir a função de probabilidade da seguinte maneira: Como: 20% não tem filho 20,0)0( NP ; 30% têm um filho ;30,0)1( NP 35% têm dois filhos ;35,0)2( NP x% têm três filhos ;)3( pNP x% têm quatro filhos ;)4( pNP x% têm cinco filhos ;)5( pNP Como 1)5()4()3()2()1()0( NPNPNPNPNPNP temos:

135,030,020,0 ppp 1385,0 p

.05,0

315,0

p

Logo, a função de probabilidade para N é dada pela tabela a seguir:

3.3 –FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA A função de distribuição ou função acumulada de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é definida, para qualquer número real x , pela seguinte expressão:

xx

ii

xXPxXPxF )()()(

onde xi é um elemento genérico do contra domínio da variável aleatória X.

N 0 1 2 3 4 5pi 0,2 0,3 0,35 0,05 0,05 0,05

20

Propriedades: Seja X uma variável aleatória discreta, e F sua função de distribuição acumulada. As seguintes propriedades podem ser demonstradas:

1.

xx

ii

xXPxF )()( ;

2. 0)( F ; 3. 1)( F ; 4. )()()( aFbFbXaP ; 5. )()()()( aXPaFbFbXaP ; 6. )()()()( bXPaFbFbXaP ; 7. )(xF é contínua à direita, ou seja, )()(lim 0

0

xFxFxx

;

8. Se 0)( 0 xXP , então, )()(lim 00

xFxFxx

, ou seja, )(xF é descontínua no ponto 0x ;

9. A função )(xF é não decrescente, isto é, ),()( bFaF para todo ba .

Exemplo 3.4: Admita que a variável aleatória, X tome os valores 2,1,0 com probabilidade 21,

61,

31

respectivamente. Então,

.21

;2121

;1031

;00

)(

xse

xse

xse

xse

xF

Graficamente: Exemplo 3.5: Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo para determinar a efetividade de uma vacina contra um tipo de alergia. No estudo, as crianças recebiam uma dose de vacina e, após um mês, passavam por um novo teste. Caso anda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose da vacina. Ao fim de 5 doses todas as crianças foram consideradas imunizadas. Os resultados completos estão na tabela a seguir.

Doses 1 2 3 4 5 Freq. 245 288 256 145 66

0 1 2 3 x

F(x) 1 1/2 1/3

21

Supondo que uma criança dessa população é sorteada ao acaso, qual será a probabilidade dela ter recebido 3 doses? Encontre a função de probabilidade e a função de probabilidade acumulada para variável D ( números de doses recebidas). Solução: Como D é a variável aleatória que representa o números de doses recebidas, então, os possíveis valores de D são: 1,2,3,4 e 5. Utilizando a idéia de atribuir probabilidade através da freqüência de ocorrência, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter recebido 3 doses é 256,01000

256 , ou seja, .256,0)3( DP Usando

este raciocínio, podemos encontrar a função de probabilidade a variável D : D 1 2 3 4 5 pi 0,245 0,288 0,256 0,145 0,066 Suponha que desejamos calcular a probabilidade da criança ter recebido até duas vacinas, por exemplo, neste caso precisamos obter a função de distribuição no ponto 2x , ou seja, calcularmos a probabilidade acumulada de ocorrência de valores menores ou iguais a 2. Assim,

533,0288,0245,0)2()1()2()2( DPDPDPF . Note que, tendo em vista que a variável D só assume valores inteiro (1,2,3,4 e 5), esse valor fica inalterado no intervalo [2,3). Isto é, )999,2(),...,3,2(),1,2( FFF têm todos o mesmo valor de )2(F . Por esta razão escrevemos:

,533,0)2()( DPxF para .32 x Seguindo este raciocínio, podemos obter os valores completos da função de distribuição e são os seguintes:

.51;54934,0;43799,0;32533,0;21245,0

;10

)(

xsexsexsexsexse

xse

xF

Graficamente, temos:

0 1 2 3 4 5 x

F(x) 1 0,934 0,533 0,245

22

Exercícios- Capítulo 3-Série I.

1) No lançamento simultâneos de dois dados, considere as seguintes variáveis aleatórias: X = número de pontos obtidos no primeiro dado; Y = número de pontos obtidos no segundo dado. a) Construir a função de probabilidade através de uma tabela e gráfico das seguintes variáveis: i) W=X-Y; ii) A=2Y; iii) Z=XY; iv) B = máximo de (X,Y). b) Construir a Função de distribuição acumulada das variáveis W,Z e B e fazer seus respectivos gráficos.

c) Aplicando as Propriedades da Função de Distribuição Acumulada, calcular as seguintes probabilidades: i) );33( WP 3/4 vii) );8( WP 0 ii) );5,40( WP 5/9 viii) );11( AP 1/6 iii) );6( AP 1/2 ix) );1120( ZP 7/36 iv) );5,5( ZP 5/18 x) );8( BP 0 v) );3( ZP 1/18 xi) );81( AP 1/2 vi) );41( BP 1/4 xii) ).345,3( ZP 5/6

2) Uma variável aleatória discreta tem a distribuição de probabilidade dada por:

xKxXP )( para .7,5,3,1x

a) Calcular o valor de K; 105/176 b) Calcular ).5( XP 21/176 3) Numa sala temos cinco rapazes e quatro moças. São retiradas; aleatoriamente, três pessoas. Faça X a variável aleatória número de rapazes. a) Determinar a função de probabilidade da variável X. Construa uma tabela. b) Determine a função de distribuição acumulada de F(x) e construa o seu gráfico. c) Calcule as probabilidades: i) );0( XP 2/42 ii) );31( XP 25/42 iii) );32( XP 0 iv) );2( XP 5/42 v) );1( XP 1 vi) ).5( XP 1 Determine: ).5,0(),6(),1(),2(),5,3(),5,0(,)3(),5,2( FFFFFFFF 37/42;1;4/42;1;37/42;17/42;1;0 4) Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois lançamentos independentes dessa moeda, estude o comportamento da variável números de caras e faca um gráfico de sua função de distribuição.

X 0 1 2 P(X=x) 0,36 0,48 0,16

5) Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição:

23

.251;25139,0;13125,0;12102,0

;100

)(

xsexsexsexse

xse

xF

Determine:

a) A função de probabilidade de X;

X 10 12 13 25 P(X=x) 0,2 0,3 0,4 0,1 a) );12( XP F(12)=0,5 b) );12( XP F(10)=0,2 c) );2012( XP F(13)-F(10)=0,7 d) ).18( XP 1-F(18)=1-F(13)=0,1 3.4-VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Suponha que X é uma variável aleatória, cujo o conjunto imagem é um intervalo dos números reais, por exemplo, ,100 x ou em uma coleção de intervalos. Neste caso, a variável aleatória é contínua. Relembrando, no caso das variáveis discreta definiu-se )( xXP (função de probabilidade), como sendo uma função que associa a cada elemento xi um número não negativo

,...,2,1),()( ixXPxp ii cuja a soma é igual a 1. Para o caso onde X é uma variável aleatória contínua isto não faz o menor sentido, ou seja, se X é uma v.a. contínua então 0)( xXP para qualquer x real. Para contornarmos este problema, há necessidade de definir outro conceito, o que se passa a fazer nas próximas seções. 3.5-FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade f(x) é uma função que satisfaz as seguintes condições: a) f(x) 0 para todo x . b) .1)(

dxxf

Além disso, defini-se, para qualquer ba em : b

a

dxxfbXaP .)()(

Observação:

24

a) Pela definição acima é fácil verificar que para todo a , tem-se a

a

dxxfaXP )()( 0 (direto

da definição de integral), alem disso, por este fato, as probabilidades abaixo são todas iguais, se a variável X for contínua:

).()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP

b)

a

xFdxxfaXP )()()( é chamada função de distribuição acumulada, ou de função repartição

da variável aleatória contínua X. Exemplo 1. Seja X uma variável aleatória contínua. Com a seguinte função densidade de probabilidade:

valoroutroquaisquerpara

xparaxxf

0102

)(

a) Como podemos ver, )(xf assim definida, é realmente uma função densidade, pois 0)( xf

e para todo x ,

1

012)( xdxdxxf , conforme pode-se observar no gráfico abaixo,

calculando a área entre o eixo das abscissas e curva )(xf :

0 1 x b) Quanto a )(xF tem-se:

1

1,)(1

0,20

;0,00

)(0

22

0

xsedttf

xsextdtx

xsedx

xFx

Exemplo 2. Dada a função de distribuição acumulada (repartição).

f(x)

2

1

25

1

11

12

110

)( x

xpara

paraxxpara

xF

Calcule: a)

)2/12/1( xP b) )0( xP c) )32( xP

3.6-MEDIDA DE POSIÇÃO E MEDIDAS DE DISPERSÃO 3.6.1-MÉDIA OU ESPERANÇA MATEMÁTICA PARA VARIÁVEIS DISCRETAS. Define-se Esperança Matemática ou Média de uma variável aleatória discreta como:

iiX pxXE ][ , onde ).( ii xXPp 3.6.2- MÉDIA OU ESPERANÇA MATEMÁTICA PARA VARIÁVEIS CONTÍNUA. Define-se Esperança Matemática ou Média de uma variável aleatória discreta como:

dxxxfXE X )(][

Exemplo: Considere o seguinte experimento : E lançamento de um dado honesto. Seja X a variável aleatória que determina o ponto obtido, X=1,2,3,4,5,6. As probabilidades são:

61)6(...)2()1( XPXPXP (pois o dado é honesto).

Neste caso o valor esperado(esperança) de X é:

5,361.6

61.5

61.4

61.3

61.2

61.1 XE .

Exemplo: Se um homem adquire um bilhete de loteria, poderá ganhar um primeiro premio de R$ 100.000,00 ou um segundo de R$500,00 com probabilidades de 0,001 e 0,003 respectivamente. Qual será o preço justo a pagar pelo bilhete? Solução: Seja X o valor do premio : X=100.000,00; 500,00; -c (caso não ganhe prêmio algum, c é o custo do bilhete). O valor esperado de X de forma que o jogo seja honesto é tal que 0XE . Assim

000.1000][ XE (0,001)+500(0,003)-c(0,996)=0 90,101$996,0

5.101 Rc .

Propriedades da Média Faremos apenas o caso onde as variáveis são discretas. 1. A média de uma constante é a própria constante. .][ KpKKpKE ii 2. Se K é uma constante e X é uma variável aleatória discreta então:

26

].[XKEpxKpKxKXE iiii 3. A média da soma ou diferença de duas variáveis aleatória é a soma ou diferença das médias, isto é: .YEXEYXE 4. Se ][XE então .0][ XE 5. Se X e Y são variáveis independentes, então .YEXEXYE 3.6.3-MEDIDAS DE DISPERSÃO. Variância: Define-se variância de uma variável aleatória como sendo:

,)()( 222)(

2 XEXEXEXVar XX onde ].[XEX Para X discreta: )()( 22

)( iXiX xXPx

Para X contínua:

dxxfx XX )()(2)( .

Desvio-padrão Por definição, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:

2)()( XX

Propriedades da Variância (Para o caso onde as variáveis são discretas) 1. A variância de um constante é zero, isto é:

.0)()( 222 KKEKE KK

2. .)()( 2)(

2222XXX KXEKKKXEKXVar

3. .2)(XKXVar

Exemplo: Determinar : (a) ][XE ; (b) Var(X)= 2

)( X ; (c) o desvio-padrão de X= )( X , para a seguinte distribuição de probabilidade.

X 8 12 16 20 24 P(X=k) 1/8 1/6 3/8 1/4 1/12

Solução:

(a) 16121)24(

41)20(

83)16(

61)12(

81)8()(][ xXxPXE

(b) .16)(])[(][][ 2222 xXPxXEXEXVar Como ][ 2XE =

276121)24(

41)20(

83)16(

61)12(

81)8( 22222 (conhecido como o segundo momento). Assim:

27

.2025627616276][ 2 XVar (c) Como o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, temos que o desvio-padrão de X é:

47,420 X . Exercícios: 1) Em uma certa especulação comercial, um homem pode ter um lucro de US$ 300,00 , com probabilidade de 0,6, ou um prejuízo de US$100,00, com probabilidade 0,40. Determinar sua esperança. (R. US$140,00) 2) Qual é o preço justo a pagar para entrar em um jogo no qual se pode ganhar US$25 com probabilidade de 0,2 e US$10 com probabilidade 0,4? (R. US$9) 3) Determinar: (a) ];[XE (b) ];[ 2XE (c) ][XVar ; (d) Desvio-padrão de X , para a seguinte distribuição de probabilidade:( R. (a) 7; (b) 590; (c) 541; (d) 541 )

X -10 -20 30 P(X=k) 1/5 3/10 1/2

4) Uma variável aleatória X assume o valor 1com a probabilidade p e o valor 0 com a probabilidade q=1-p. Provar que: (a) ;][ pXE (b) .][ pqXVar 5) Sejam M e N duas variáveis aleatórias com as seguintes distribuições:

N 5 10 12 M 1 3 P(N=k) 0,3 0,5 0,2 P(M=k) 0,6 0,4

(a) Calcule ];[];[ NEME (R. 1,8 e 8,9) b) Calcule os desvios-padrão de m e de N.(R. 96,0 e

09,7 ) 4-ALGUMAS DISTRIBUICÃO DE PROBABILIDADE Como visto anteriormente a distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona o valor da variável com a probabilidade de ocorrência daquele valor de população. Neste capitulo veremos alguns tipos de distribuições especiais: i) Distribuição discreta : Quando o parâmetro sendo medido só pode assumir certos valores como os inteiros 0,1,2,3,4,......,n. Vejamos como se comporta uma distribuição de probabilidade discreta. Dentro das distribuições discretas a Distribuição Binomial e a Distribuição de Poisson são duas importantes distribuições. ii) Distribuição Contínua: Quando a variável sendo medida é expressa em uma escala continua, sua distribuição de probabilidade é chamada distribuição continua.

28

Uma distribuição contínua tem sua forma gráfica, uma curva, sendo igual a probalidade, de modo que a probabilidade de x estar no intervalo entre a e b é definida por :

dxxfbxaPb

a )()(.

Neste texto trabalharemos com as distribuições: Normal, Exponencial, Qui-quadrada, t-Studant e a Distribuição F, sendo com exceção da Exponencial de suma importância para estatística inferencial. 4.1- DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Se p é a probabilidade de um evento acontecer em uma única tentativa (o qual chamaremos de probabilidade de sucesso) e q=1-p é probabilidade de este evento não ocorra em qualquer tentativa única (q é chamada a probabilidade do fracasso), então a probabilidade do evento ocorrer exatamente k vezes, em N tentativas (isto é, de que haja k sucessos e N-k fracassos) é dada por:

kNkqpkkN

NkXP

!)!(

!)(

em que X=0,1,2,...,N-1,N e N!=N(N-1)(N-2)...2.1, 0!=1, por definição. Exemplo 1. Consideremos um processo de fabricação milhões de itens por dia. Em média, 1% desses itens esta fora de especificação. No processo de controle de qualidade desses itens, seleciona-se uma amostra de 50 deles e classifica-se cada item da amostra como sendo dentro ou fora das especificações. Denotando por X a variável aleatória representando o numero de itens não-conformes na amostra, então a distribuição de probabilidade de x é:

50.,....,3,2,1,)99.0()01.0(50

)( 50

xpara

xxXP xx

onde ,)!50(!

!5050xxx

esta é uma distribuição discreta , uma vez que o numero observado de não

conformidade é X = 0,1,2,3,4,....,50, então é chamada distribuição Binomial. A probabilidade de se encontrar no máximo um item foram das especificações é calculada da seguinte forma:

);1()0()1( XPXPXP

)1()0( PP

1

0

50)99,0()01,0(50

i

xx

x

490500 )99,0()01,0(!49!1

!50)99,0()01,0(!50!0

!50

3056,060509,0 9106,0

4.2-DISTRIBUIÇÃO POISSON

29

Em muitos caso , conhece-se o número de sucessos, porém o calculo do numero de fracassos é muito difícil e, as vezes, sem sentido, de encontrar. Por exemplo: Pessoas que passam numa determinada esquina. Pode-se anotar num determinado intervalo de tempo o numero de pessoas que passaram (número de sucesso) , mas , o número de pessoas que deixaram de passar pela esquina (número de fracasso) não poderá ser determinado. Isto nos induz a procurar outro modelo de distribuição que diferente do modelo Binomial, para estes caso uma outra distribuição descreverá melhor esses tipos de fenômenos- A distribuição de Poisson. Seja t um intervalo de tempo, a distribuição discreta de probabilidade:

,...3,2,1,0,!

)(),(

kkettkXP

t

em que e =2,71828... e é uma constante dada( coeficiente de proporcionalidade), é denominada distribuição de Poisson, historicamente pode ter sido Poisson quem a descobriu, no século XIX. Média: Pode-se provar que tX Variância: Pode-se provar que tX 2

)( Exemplo: Em média há duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular a: 1) probabilidade de ser receber no máximo 3 chamadas em 2 horas; 2)a probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos. Solução: 1) Calculo de : Seja ,22 tt uma vez que o intervalo t=1 hora. Assim:

)2,3()2,2()2,1()2,0()2,3( hXPhXPhXPhXPhXP

%31,434331,0

1952,01464,00732,00183,0!3

)4(!2

)4(!1

)4(!0

)4( 43424142

eeee

2)Como a média é t 602 taxa por minutos 301

602

(proporção por minutos). Assim:

%98,40498,0!0

3090

min)90;0( 3

3090

0

ee

XP

Exemplo: Um processo mecânico produz tecido para tapetes com uma média de dois defeitos por jardas. Determine a probabilidade de em 2 jardas ter exatamente um defeito, admitindo que o processo possa ser aproximado por uma distribuição de Poisson. Solução: Neste caso a média de defeito por jardas é t2 , onde t uma jarda(t=1), logo .2 .Assim:

%33,70733,0!1

)4()2,1()4(1

ejardastXP .

4.3-A DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA Considere um população finita de N itens. Algum número, digamos D, DN, destes itens pertence a uma população de interesse. Uma amostra aleatória de n itens é retirada da população sem reposição e o número de itens na amostra que situa na classe de interesse, digamos, X é observado. Então X é uma variável aleatória hipergeométrica com distribuição definida como se segue. Definição A distribuição de probabilidade hipergeométrica é

30

nN

xnDN

xD

xXP )( ),(,,2,1,0 Dnmínx

A média e a variância da distribuição são

NnD

e

112

NnN

ND

NnD respectivamente.

Na definição acima, a quantidade )!(!

!bab

aba

é o número de combinações de a itens

escolhidos b de cada vez. A distribuição hipergeométrica é o modelo probabilístico apropriado para seleção sem

reposição de uma amostra de n itens de um lote de N itens dos quais D são defeituosos ou não-conformes. Por amostra aleatória queremos caracterizar uma amostra que é selecionada de tal forma que todas as possíveis amostra tenham a mesma chance de serem escolhidas. Nestas aplicações, X usualmente representa o número de itens não-conformes encontrados na amostra. Por exemplo, suponha que um lote contém 100 itens dos quais 5 não satisfazem os requisitos. Se 10 itens são selecionados aleatoriamente sem reposição, então a probabilidade de achar no máximo um item não-conforme é

923,010

100995

15

10100

1095

05

)1()0()1(

XPXPXP

4.4- A DISTRIBUIÇÃO DE PASCAL E DISTRIBUIÇÃO RELACIONADAS A distribuição de Pascal, assim como a distribuição binomial, tem sua base em provas de Bernoulli. Considere uma seqüência de provas independentes, cada uma com probabilidade p de sucesso, e seja X o número de provas na qual o r.o sucesso ocorre. Então X é uma variável aleatória de Pascal com distribuição de probabilidade definida como segue. Definição A distribuição de Pascal é

,2,1,,)1(11

)(

rrrxpprx

xXP rxr

onde 1r é um inteiro. A média e a variância da distribuição de Pascal são pr

e

22 )1(

ppr

respectivamente.

Dois caso especiais da distribuição de Pascal merecem atenção. O primeiro deles é quando r>0 mas não necessariamente um inteiro. A distribuição resultante é chamada distribuição binomial negativa. A distribuição binomial negativa, assim como a distribuição de Poisson, é algumas vezes utilizada como modelo estatístico subjacente para vários tipos dedados de “contagem”, tais como ocorrência de peças defeituosas em uma unidade de produção. Há uma importante dualidade entre as distribuições binomial e binomial negativa. Na distribuição binomial,

31

fixa-se o tamanho da amostra(número de provas de Bernoulli) e observa-se o número de sucessos; na distribuição binomial negativa fixa-se o número de sucessos e observa-se o tamanho da amostra (número de provas de Bernoulli) necessário para obtê-lo. Este conceito é particularmente importante em vários tipos de problemas de amostragem.

O outro caso especial da distribuição de Pascal surge quando r=1, no qual temos a distribuição geométrica. Esta é a distribuição do número de provas de Bernoulli até o primeiro sucesso.

Exercícios da seção:

1) Entre as mulheres que estão em um emprego, 25% nunca foram casadas. Selecione aleatoriamente 10 mulheres.

a. O número de mulheres não-casadas em sua amostra possui uma distribuição Binomial. Quais são os valores de n e p?(R.n=10 e p=0,25)

b. Qual é a probabilidade de que, em sua amostra, exatamente 2 das 10 mulheres nunca tenham sido casadas?(R. 2816,0)2( XP )

c. Qual é a probabilidade de que 2 ou menos mulheres nunca tenham sido casadas?(R. 5256,0)2( XP )

d. Em amostras como essa, qual é o número médio de mulheres que nunca casaram? E qual é o seu desvio-padrão?(R. 37,1;5,2 )

2) Tanques de gasolina com vazamento. Nos postos de combustível, o vazamento de tanques de gasolina subterrâneos pode prejudicar o meio ambiente. Estima-se que 25% desses tanques vazem. Você examina aleatoriamente 15 tanques, que são independentes uns dos outros. a) Qual é o número médio de tanques vazando em amostras de 15?(R. 3,75) b) Qual é a probabilidade de que 10 tanques ou mais estejam vazando?(R. 0,0008) c) Suponha que agora você faça um estudo mais abrangente, examinado uma amostra aleatória de 1000 tanques em todo país. Qual é a probabilidade de que pelo menos 275 desses tanques estejam vazando?(R. 0,0336, utilizando a aproximação Normal)

3) Um sujeito que acredita na teoria do “passeio aleatório” do mercado de capital pensa que vale 0,65 a probabilidade de que um determinado índice de ações suba a cada ano. Além disso, a variação do índice em um ano qualquer não é influenciada pelo fato de o índice ter baixado ou subido nos anos anteriores. Considere que X seja o número de anos em que haverá uma subida do índice nos próximos 5 anos. a. X tem uma distribuição Binomial. Quais são os valores de n e p?(R. n=5;p=0,65) b. Quais são os possíveis valores de X?(R.X:0,1,2,3,4 e 5) c. Encontre a probabilidade de cada valor de X, fazendo um histograma de probabilidades para a sua distribuição. d. Quanto vale a média e o desvio padrão dessa distribuição? Marque a localização da média em seu histograma.(R. 067.1,25,3 )

4) Suponha que os navios cheguem a um porto a razão de horasnavios /2 , e que essa razão seja bem aproximada por uma distribuição de Poisson. Observando o processo (distribuição) durante o período de meia hora (t=1/2) , determine a probabilidade de (a) não chegar nenhum navio,(R. 0,368ou 36,8%) (b) chegarem 3 navios. (R. 0,061 ou 6,1 %) 5) Suponha que os defeitos em fios para tear possam ser aproximados por um processo(distribuição) de Poisson com média de 0,2 defeitos por metro ( )2,0 . Inspecionando-se pedaços de fio de 6 metros de comprimento, determine a probabilidade de menos de 2 (isto é, 0 ou 1) defeito. (R. 0,6622 ou 66,22%)

32

5) Os clientes chegam a uma loja à razão de 6,5/hora (Poisson). Determine a probabilidade de que,

durante qualquer hora: a) Não chegue nenhum cliente. b) Chegue ao menos 1 cliente c) Mais de um cliente. d) Exatamente 6,5 clientes. 7) A média de chamada telefônica numa hora é 3. Qual a probabilidade de:

a) receber exatamente 3 chamadas numa hora?(R. 0,2241 ou 22,41% ) b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos? (R. 0,658 ou 65,8% )

8) Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora:

a) atender exatamente 2 clientes;(R.0,270 ou 27%) b) atender 3 clientes. (R. 0,180 ou 18%)

4.5-DISTRIBUIÇÃO NORMAL É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada em inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística. Altura de mulheres adultas, peso de homens adultos e notas de vestibulares são exemplos entre vários de populações distribuídas normalmente. A distribuição normal também é conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss. Seja X uma variável aleatória contínua. Dizemos X tem distribuição normal se: Sua função densidade )(xf é definida por

xexf

x

,2

1)(2

21

onde: média de distribuição; desvio-padrão da distribuição; 3,1416....(constante irracional “Pi”); e 2,7...(constante irracional ). Sendo o seu gráfico:

100%

f(x)

100%

f(x)

33

Para o cálculo das probabilidades, surgem dois grandes problemas:

1. o cálculo

x

dttfxXP )()( só pode ser desenvolvido por séries o que é muito difícil e

inviável portanto há a necessidades de uma tabela para resolver o problema. 2. como )(xf depende basicamente de dois parâmetro ( e ) a elaboração de uma tabela de probabilidades para cada par de parâmetros acarretaria um grande trabalho considerando-se as varias combinações de e . Esses problemas podem ser solucionados por meio de uma mudança de variável, obtendo assim, a distribuição normal padronizada ou reduzida, ou seja, basta conhecermos a distribuição normal onde os parâmetros são 0 e 1 que podemos obter a distribuição(Probabilidades) de qualquer variável X normalmente distribuída. Distribuição Normal Padrão Se X é uma variável aleatória de média e variância então a variável aleatória Z definida por

XZ , tem distribuição normal de média 0(zero) e desvio-padrão igual a 1.

Note que, a média de Z pode ser verificada facilmente usando as propriedades de esperança(média)

XEZE ][ = 01][][1][1

EXEXE .

E sua variância:

1][1][1][ 2

2

22

XVarXVarXVarZVar , e portanto, o desvio-padrão de Z é

.11][ ZVar A função densidade de Z será:

zezz

,21)( 2

2

Sendo o gráfico de )(z igual a :

0

(z)

100%

0

(z)

100%

34

Como a média de Z é 0 e variância 1, as probabilidades (áreas) sob a curva )(z são calculadas e tabeladas. Daremos vários exemplos explicando o uso da tabela da distribuição normal padrão. Para se registrarem distribuições normais usa-se a seguinte notação:

),( 2NX d lê-se “a variável aleatória X tem distribuição normal com média e variância 2 ”. )1,0(NZ d lê-se “a variável aleatória Z tem distribuição normal com média 0 e variância 1”. Ou

simplesmente, distribuição normal padrão. Propriedades da Distribuição Normal Como pode-se observar, o gráfico da função densidade de uma variável normal tem a forma de um sino e é simétrica em relação à média . Fixando-se a média, verifica-se que o achatamento está diretamente ligado ao valor de ; assim 1a Propriedade “ )(xf é simétrica em relação à origem x , ou z é simétrica em relação a origem Z=0.” 2a Propriedade

x

f(x)

1

2

1 < 2

x

f(x)

1

2

1 < 2

)(z

x

f(x)

50% 50%

x

f(x)

50% 50%

0 z

50% 50%

(z)

0 z

50% 50%

(z)

35

“ )(xf possui apenas um ponto de máximo que é o ponto x , ou )(z possui um máximo para 0Z , e neste caso sua ordenada vale 0,39.”

3a Propriedade “f(x) tende a zero quando x tende para ou - , o mesmo acontece com )(z quando Z .”

Combinações de Distribuições Normais Se X e Y são variáveis aleatórias com distribuições normais,onde ))(),(( XXNX d e

))(),(( YYNY d , então: CbYaXW terá distribuição normal com média CYX )()( e variância )()( 2222 YbXa . Uso da Tabela de Distribuição Normal Padrão. Há vários tipos de tabelas que oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva da normal padrão. O tipo mais frequente é a Tabela de Faixa Central. A Tabela da faixa central dá a área sob a curva normal padrão entre z=0 e qualquer valor positivo de z. A simetria em torno de z=0 permite obter a área entre quaisquer valores de z(positivos ou negativos). Note que pela simetria em torno da origem (Z=0) , temos por exemplo que se quisermos calcular a probabilidade da variável Z está entre -2,33 e 1,55 basta encontrar a probabilidade de de Z está entre 0 e 2,33 mais a probabilidade de Z está entre 0 e 1,55, ou seja:

).55,10()33,20()55,133,2( ZPZPZP Note ainda que pelo fato de Z ser uma variável contínua as desigualdades do tipo( , ) podem ser trocada por (<,>) sem alterar o resultados. A Tabela oferece a área entre 0 e 0z , conforme ilustra a figura abaixo e corresponde a ).0( 0zZP

x

f(x)

x

f(x)

0 z

(z)

0 z

(z)

0 z0 z0 z0 z

36

Exemplo. Calcule as seguintes probabilidades: a) )10( ZP ; b) )2,155,2( ZP ; c) )93,1( ZP . Solução:

a) temos, 0 1 z Para obter a probabilidade, basta entrar com a abscissa 1,0( na primeira coluna) e 0,00(na primeira linha) da Tabela. Assim, 3413,0)10( ZP . Confirme o resultado, consultando a Tabela na seção de anexos. b) Para obtermos a probabilidade )2,155,2( ZP basta encontramos a área hachurada da curva abaixo 000000 -2,55 0 1,2 Entra-se na Tabela, com o valor 1,2 na primeira coluna e 00 na primeira linha obtendo 0,3849 que corresponde a área entre a curva e o intervalo [0,1,2] ou seja )2,10( ZP . Lembrando a propriedade de simetria em relação a 0Z , entra-se com 2,5 na primeira coluna e 0,05 na primeira linha, obtendo 0,4946 que corresponde a área entre a curva e o intervalo [-2,55,0]. Portanto

)2,155,2( ZP =0,4946+0,3849=0,8795. c) Queremos encontrar a área hachurada ilustrada pela figura abaixo:

37

Entra-se na Tabela com 1,9 na primeira coluna e 0,03 na primeira linha obtendo 0,4732. Porém, essa é a área comprendida entre 0 e 1,93. Lembrando que a área embaixo da curva a partir de 0 á + vale 0,5, assim a área hachurada é exatamente 0,5-0,4732=0,0268, logo: 0268,0)93,1( ZP . Exemplo: As alturas dos alunos da UCG são normalmente distribuidas com média 1,68m e desvio-padrão 0,30m. Encontre a probabilidade de um aluno medir: a) entre 1,58 e 1,88m; b) mais de 1,83m; c) menos de 1,56m d) Qual deve ser a medida mínima para escolhermos 10% dos mais altos? Solução : a) Sabe-se que 68,1 e 30,0 . Se X representa a variável altura dos alunos da UCG, então

%.79,373779,02486,01293,0)67,033,0()()88,158,1( 21

ZPzZzPXP

onde Z é a distribuição normal padrão e 33,030,0

68,158,111

xz e

.67,030,0

68,188,122

xz

Note que a troca dos limites x1 e x2 por z1 e z2 pode ser ilustrada pela figura abaixo:

b) 3085,01915,0500,0)5,0()()83,1( 1 ZPzZPXP ,

onde, .50,030,0

68,183,11

z

-0,33 0 0,67 z

1,93

1,58 1,68 1,88 x

38

c) 3446,01554,05000,0)4,0()()56,1( 1 ZPzZPXP

onde, .4,030,0

68,156,11

z

d) É o problema inverso dos itens anteriores, pois neste caso tem-se a probabilidade e deseja a medida da abscissa:

Para se encontrar o valor de z que deixa 0,10 à direita, deve-se entrar na tabela com 0,40, assim: descobrimos que .28,1z Logo,

mXXXz 06,230,0

68,128,1

O Teorema Central do Limite A distribuição normal é considerada, com freqüência, como o modelo probabilístico apropriado para uma variável aleatória. Em cursos mais avançados se discute a validade de tal suposição; no entanto, o teorema central do limite é muitas vezes a justificativa para tal aproximação. Definição: O Teorema Central do Limite Se nXXX ,,, 21 são variáveis aleatórias independentes com média i e variância i e se

nXXXY 21 , então a distribuição de

n

ii

n

iiY

1

2

1

se aproxima da distribuição N(0; 1) à medida que n tende a infinito (n cresce). O teorema central do limite estabelece que a distribuição da soma de n variáveis aleatórias independentes é aproximadamente normal, independentemente das distribuições individuais das variáveis. A aproximação melhora a medidas que n aumenta. Em muito caso, a aproximação será boa, mesmo para valores pequenos de n – digamos, n <10-enquanto que, em outras situações, pode ser necessário n grande-digamos, n>100- para se obter uma boa aproximação. Em geral, se as iX são identicamente distribuídas e a distribuição de cada iX não se afasta dramaticamente da distribuição normal, então o teorema central do limite funciona bastante bem para 3n ou 4. Tais condições são freqüentemente encontradas em problemas de controle da qualidade.

00,10 0,40

1,68 x=?

0,40

0 z=?

0,10

39

4.6-A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL A distribuição de uma variável aleatória exponencial X é definida como segue. Definição A distribuição exponencial é

0)( xexf x onde 0 é uma constante. A média e a variância da distribuição exponencial são

1

e

22 1

respectivamente. A distribuição exponencial acumulada é

01

)()(

0

ae

dte

aXPaF

a

at

A distribuição exponencial é amplamente utilizada na área de engenharia de confiabilidade como modelo do tempo de falha de um componente. Em tais aplicações, o parâmetro é denominado taxa de falha do sistema e a média da distribuição

1 é chamada tempo médio de falha. Por

exemplo, suponha que um componente eletrônico em um sistema de radar de aeronave tenha vida útil descrita por uma distribuição exponencial com taxa de falha h/10 4 , isto é, 410 . O tempo médio de falha para este componente é h000.10101 4 . Se queremos calcular a

probabilidade de esse componente falhar antes do tempo esperado de vida, temos que calcular

63212,01)1( 11

0 edteXP t

Este resultado vale independentemente do valor de ; isto é, a probabilidade que o valor de um variável aleatória exponencial seja menor que sua média é 0,63212. Isto acontece, naturalmente, porque a distribuição não é simétrica. Exercicios. 1) Faça Z uma variável com distribuição normal padronizada e encontre (use a Tabela): a) );44,10( ZP (R. 0,4251) b) );085,0( ZP (R. 0,3023) c) );05,248,1( ZP (R. 0,9104) d) );89,172,0( ZP (R.0,2064) e) );08,1( ZP (R. 0,1401) f) );66,0( ZP (R. 0,7454)

40

g) )5,0|(| ZP ; (R. 0,3830) h)P(Z>6,99); (R. 0,0) j)P(Z<6,99) (R. 1,0)

2) O processo de empacotamento em uma companhia de cereais foi ajustado de maneira que uma média de 0,13 kg de cereal é colocada em um saco. É claro que nem todos os sacos têm precisamente

0,13 kg devido a fontes aleatórias de variabilidade. O desvio-padrão liquido é 1,0 kg, e sabe-se que a distribuição dos pesos segue uma distribuição normal.

a) Determinar a probabilidade de um saco escolhido aleatoriamente contenha entre 13,0 e 13,2 kg de cereal. (R. 0,4772 ou 47,72%)

b) Qual a probabilidade de que o peso exceda 13,25 kg?(R. 0,0062) c) Qual a probabilidade de que o peso do cereal esteja entre 12,9 e 13,1 kg?(R.0,6826) d) Ilustrar as proporções da área sob a curva normal que está associada as probabilidades nos

itens a) , b) e c).

3) Um processo industrial produz canos com diâmetro médio de 2,00 polegadas e desvio padrão de 0,01 polegadas. Os canos com diâmetros que variem de mais 0,03 polegadas a contar da média são considerados defeituosos. Suponha normalidade.

a) Qual a porcentegem de canos defeituosos?(R. 0,0028 ou 0,28%) b) Qual a probabilidade de encontrar duas peças defeituosas em sequência?(R. 0,00282) c) Qual a probabilidade de encontrar duas peças perfeitas em sequência?(R. (1-0,0028)2) 4) A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 40 dias.

Sabendo que a duração é normalmente distribuida, calcule a probabilidade de esse componente durar: a) entre 700e 1000 dias;(R. 0,9998) b) mais que 800dias;(R. 0,8944) c) menos que 750 dias.(R. 0,0062)

5) Um fornecedor de ferro alega que seu produto apresenta resistência à tensão aproximadamente normal

com média de 50.000 psi e variância de 8.100 psi. Suponha verdadeira a hipótese, que percentagem de mensurações dará resultado:

a) superior a 50.000 psi;(R. 50%) b) inferior a 49.550 psi;(R. 0,3085) c) a mais de 1.350 psi a contar de 50.000 psi.(R. 0,1336)

6) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele

obedecia a uma didtribuição normal, de média 48.000 km e desvio-padrão 2.000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:

a) dure mais que 46.000 km; (R. 0,8413) b) dure entre 45.000 e 50.000 4.7-DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO A distribuição Qui-quadrado é um modelo de distribuição contínua derivada da distribuição normal e grande importância para a teoria da inferência estatística. Sejam, "",...,, ,21 pXXX p variáveis aleatória independentes, normalmente distribuídas, com média zero e desvio-padrão 1. Defina-se variável aleatória com distribuição qui-quadrado, como:

41

22

221

2 ... pp XXX

onde “p” é um parâmetro da função densidade denominado grau de liberdade. Em geral utiliza-se a letra grega (lê-se fi) para indicar o grau de liberdade. Um fato interessante, que pode ser provado é que a média de uma distribuição qui-quadrado é igual ao grau de liberdade, e que a variância é igual ao dobro do número de graus de liberdade. Assim:

][ 2E 2][ 2 Var

Conforme o numero de graus de liberdade (valor do parâmetro), a curva que descreve a função densidade tem uma determinada forma. Vejamos, por exemplo, algumas dessas curvas ilustradas abaixo:

A distribuição qui-quadrado está tabelada. No anexo desse texto podemos encontrar uma tabela que dá a abscissa da distribuição para diversas áreas(probablidades) da cauda à direita. Veja a curva abaixo:

Na tabela tem-se

Exemplo: a) Admita parâmetro 9, ou seja, 9 e %5 .

valor da abscissa

42

Entrando-se na primeira coluna com 9 e na primeira linha com 05,0 , encontra-se na interseção dessa linha e coluna o número 16,9. Graficamente tem-se:

Sendo 25 e a seguinte distribuição:

O valor da abscissa à direita, chamado qui-quadrado superior, é obtido na tabela encontrando-se na primeira coluna com 25 e primeira linha com 0,025. Assim:

.6,402sup

O valor da abscissa à esquerda, chamado de qui-quadrado inferior, é obtido na tabela entrando na primeira coluna com 25 e primeira linha com 1,00-.,025=0,975, uma vez que a tabela só considera áreas somente na cauda á direita, encontrando-se 13,1. Assim .1,132

inf Exercícios: 1) Considere uma distribuição qui-quadrado, com 23 graus de liberdade. Determine a média, a variância, desvio-padrão, mediana e terceiro quartil.(R. média 23, variância 46, desvio-padrão 6,78, Mediana 22,3, Q3 27,1) 2) Determine o valor de 2

sup e 2inf para a área superior (cauda à direita) e área inferior (cauda à

esquerda) valendo 0,1 e 0,1 respectivamente, com grau de liberdade igual a 8 .(R. 4,132

sup , 49,32inf )

4.8- DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha à distribuição normal padrão, N(0,1). É utilizada para inferências estatísticas, particulamente, quando estamos trabalhando com amostras pequenas (tamanhos inferiores a 30 elementos). Assim como a qui-quadrado a distribuição t também possui um parâmetro denominado grau de liberdade ( ). A média da distribuição é zero, e sua variância é dado por:

)2(2

][

tVar

A distribuição t é simétrica em relação à sua média ou seja em torno de zero. Vejamos como exemplo um gráfico onde compara-se a normal padrão e a t com 4 graus de liberdade:

43

Observe que para valores de <30 a distribuição “t” apresenta maior dispersão do que a N(0,1), uma vez que o dsvio-padrão, nestes caso, é maior do que 1, que é o desvio-padrão da distribuição Normal padrão. Por exemplo, para = 4 (veja figura acima), tem-se

Desvio-padrão de 4t = .41,124

4)( 4

t

Se 35 tem-se:

03,1235

35)( 35

t

Se 60 tem-se:

02,1260

60)( 60

t

Em geral se a amostra for maior que 30, as curvas (normal padrão e da t) praticamente coincidem e portanto consideraremos como normal padrão se as amostra for maior ou igual a 30. A distribuição t está tabelada (veja em anexo). A tabela fornece as abscissas da distribuição para diversas áreas (probabilidades) nas caudas. Trata-se de uma tabela bicaudal (dá as probabilidades nas caudas direita e esquerda). Assim:

Na tabela procede-se assim: Exemplo: Admita parâmetro =9 e =5%, encontre os pontos de abscissas nas caudas esquerda e direita para 9t . Solução: Entrando na primeira coluna com 9 , e na primeira linha com 05,0 , encontrando-se na intercessão dessas linha e colunas o número 2,2622 que corresponde o valor de abscissas da cauda à

valor da abscissa que deixa2

à d ireita( valor positivo)

44

direita com probabilidades 025,02

, consequentemente o valor de abscissa da cauda à esquerda é -

2,2622(pela simetria em torno de zero). Veja figura abaixo:

4.9-DISTRIBUIÇÃO F Novamente temos um modelo de distribuição contínua de suma importância para inferência estatística. A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatória independentes com distribuição qui-quadrado. Assim, uma distribuição F com “p” graus de liberdade no numerador, e “q”graus de liberdade no denominador é expressa por:

pq

q

pqpFq

p

q

p

2

2

2

2

),(

Note que a distribuição F possui dois parâmetro: grau de liberdade do numerador e grau de liberdade do denominador, que são denominados, comumente, por 1 e 2 respectivamente. A média de ),( 21 F é dada por:

2,2 2

2

2

A variância é expressa por:

)4(,)2)(4()2(2

22221

21222

.

Ilustramos abaixo algumas formas de gráficos da distribuição F para determinados graus de liberdade:

45

A distribuição F está tabelada. Nos anexos encontraremos uma tabela que fornece as abscissas que deixam 5% na cauda à direita, conhecidos os parâmetros 1 e 2 . Assim:

Na tabela procede-se assim:

Observação: Para encontrar o valor da abscissas ),( 211 F utiliza-se a seguinte fórmula:

),(1),(

12211

FF

Exemplo: Sendo 91 , 52 e %5 temos que:

1

2

valor da abscissa

46

Exercícios. Distribuição t. 1) Considere uma distribuição t, com 23 graus de liberdade. Determine a média, variância, desvio-padrão e 3o quartil. 2) Determine os valores inferior e superior de uma t com 8 graus de liberdade para valores caudais de 10% e 5%. 3) Calcule: a) );3060,2( 8 tP b) ).1188,31816,1( 22 tP Distribuição F.

4) Admite uma distribuição F com 81 e 102 . Determine a média, variância, desvio-padrão e moda bem como as abscissas caudais correspondente 5% (em cada cauda) e 10%(em cada cauda).

5) Calcule: a) );22075,0)4,6(( FP b) ).32,5)8,1(00418,0( FP

Exercícios Extras

1. Sejam A e B dois eventos associados ao mesmo espaço amostra S. Descreva em diagrama de VENN e em notação de conjuntos os seguintes eventos: a) A não ocorre; b) B não ocorre; c) A e B ocorrem; d) A ou B ocorre; e) A ocorre e B não ocorre; f) ocorre somente B; g) A não ocorre e B também não ocorre; h) A e B não ocorrem; i) A não ocorre ou B não ocorre. 2. No lançamento de dois dados distinguíveis, qual a probabilidade de que o número de pontos nas faces voltadas para cima seja: a) exatamente 5 b) no máximo 6 3. No lançamento de 3 moedas distinguíveis, qual a probabilidade de que o número de “caras” nas faces voltadas para cima seja: a) exatamente duas b) pelo menos duas c) no máximo duas 4. Em um baralho normal de 52 cartas, ao retirarmos uma delas, qual a probabilidade de que ela seja: a) um “rei” b) uma “as de espada” c) uma carta vermelha ou um “valete” 5. A e B são eventos tais que P(A)=2/5, P(B)=1/4 e P(A U B)=11/20. Encontre: a) );( BAP b) P ( B); c) P( A B ). 6. Sejam A e B eventos tais que P(A)=1/2, P(A B)=3/4 e P(B)=5/8. Encontre: a) );( BAP b) );( BAP c) P( A B ) d) );( BAP

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7. Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos ou desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável que a queima, esta quatro vezes mais provável que o desgaste das escovas, e que a falha se dever a duas situações, seja a metade da menos provável das duas e ainda, que devido às 3 seja um terço da menos provável das 3. Determine a probabilidade de que a falha seja devida a cada uma das situações. 8. Uma moeda é viciada de tal forma que a face cara é três vezes mais provável de ocorrer que a face coroa. Encontre, em um lançamento, a probabilidade de ocorrência de cada face. 9. Dos 100 alunos de uma turma, 40 gostam de Álgebra, 30 gostam de Geometria, 10 gostam de Álgebra e Geometria, e há os que não gostam de Álgebra e nem de Geometria. Um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade dele: a) gostar de Álgebra? b) gostar de Geometria? c) gostar de Álgebra e Geometria? d) não gostar de Álgebra e nem de Geometria? 10. Sejam A e B eventos, tais que P(A)=3/8, P(B)=1/2 e P(A ∩ B)=1/4. Encontre: a) P(Ā) b) P( B ) c) );( BAP d) );( BAP e) P(A B) f) );( BAP g) P(Ā B ) 11. Sejam A e B eventos tais que P(A)=1/2; P(A B)=3/4 e P(B)=5/8. Encontre: a) );( BAP b) );( BAP c) P(Ā B ) d) );( BAP 12. Um grupo de 100 pessoas foi observado quanto ao sexo e cor dos olhos, tendo-se obtido os seguintes resultados: 54 homens, 68 pessoas de olhos azuis e 34 homens de olhos azuis. Usando sempre as letras A e B que representam os eventos: A = (homens) e B = (pessoas de olhos azuis), formalize e calcule a probabilidade de cada um dos eventos: a) ser mulher b) não ter olhos azuis c) não ser homem de olhos azuis d) ser um homem e não ter olhos azuis 13. Numa classe há 10 homens e 20 mulheres, metade dos homens e metade das mulheres têm olhos castanhos. Ache a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser um homem ou ter olhos castanhos. 14. Um experimento aleatório possui somente três resultados possíveis, a1, a2 e a3. Sabe-se que a1 tem o dobro de chances de a2 que por sua vez tem o triplo de chances de a3. Determine a probabilidade de cada um dos eventos elementares. 15. Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 acertaram o primeiro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso: a) não tenha acertado nenhum problema? b) tenha acertado apenas o segundo problema? 16. Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B e C, constatou-se que entre 1000 famílias, assinam: A: 470; B: 420, C: 315; A e B: 110; A e C: 220; B e C: 140 e 75 assinam os três. Escolhendo-se ao acaso uma família, qual a probabilidade de que ela? a) não assine nenhum dos três jornais b) assine apenas um dos três jornais c) assine pelo menos dois jornais

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17. No estudo de doença pulmonar são examinadas 10.000 pessoas maiores de 60 anos, das quais 4.000 fumam. Entre as fumantes 1.800 apresentam deficiências pulmonares, entre as não fumantes 1.500 apresentam sinais da doença. Os eventos “fumantes” e “deficiências pulmonares” são independentes? 18. Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento aleatório. Se a probabilidade de A ou B ocorrer for igual a 0,6 e a probabilidade da ocorrência de A for 0,4, determine a probabilidade de ocorrência de B. 19. Encontre P(A/B) se: a) B é um subconjunto de A b) A e B são mutuamente exclusivos 20. Dos 50 alunos de uma classe, 10 foram reprovados em Física, 12 em Matemática, sendo que 6 foram reprovados em Física e Matemática. Um aluno é escolhido ao acaso: a) sabendo-se que ele foi reprovado em Matemática, qual a probabilidade de também ter sido reprovado em Física? b) sabendo-se que ele foi reprovado em Física, qual a probabilidade de também ter sido reprovado em Matemática? c) qual a probabilidade dele não ter sido reprovado em Física nem em Matemática? 21. Suponha uma classe de 6 meninas e 10 meninos. Se é escolhido aleatoriamente uma comissão de 2, encontre a probabilidade de: a) 2 meninos serem selecionados; b) exatamente um menino ser selecionado; c) ao menos um menino ser selecionado; d) no máximo um menino ser selecionado. 22. Um grupo de pessoas foi classificado quanto a peso e pressão arterial de acordo com as proporções do quadro abaixo:

a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso naquele grupo ter pressão elevada? b) Se a pessoa escolhida tem excesso de peso qual a probabilidade de ter também a pressão elevada? c) Se a pessoa escolhida tem pressão normal qual a probabilidade de ter excesso de peso? 23. Um comerciante tem um lote de 100 lâmpadas das quais 80 são da marca A e as restantes da marca B. Sabe-se que há 30 defeituosas da marca A e 1 defeituosa da marca B. O comerciante pega ao acaso, uma lâmpada para vender. Qual a probabilidade de: a) ser da marca A b) não ser defeituosa c) ser defeituosa e da marca B d) não ser da marca B e) ser da marca B, sabendo que é defeituosa f) ser defeituosa, sabendo que é da marca A 24. A probabilidade do caçador A acertar o animal é de 7/10 e do caçador B é de 5/10. Se ambos atirarem simultaneamente, qual a probabilidade de: a) somente um acertar? b) o animal ser atingido? c) o animal não ser atingido?

pressão peso excesso normal deficiente totalelevada 0,1 0,08 0,02 0,2normal 0,15 0,45 0,2 0,8total 0,25 0,53 0,22 1

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25. Duas lâmpadas ruins são misturadas com duas lâmpadas boas. As lâmpadas são retiradas uma a uma, até que as duas ruins sejam encontradas. Qual a probabilidade de que a última seja encontrada no: a) segundo teste b) terceiro teste? c) quarto teste? 26. A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é de 2/5; a de sua mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: a) ambos estejam vivos b) somente o homem esteja vivo c)nenhum dos dois esteja vivo d) pelo menos um esteja vivo 27. Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas são extraídas juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra válvula seja perfeita? 28. Uma urna contém 3 bolas brancas e duas amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, uma bola. a) qual a probabilidade de que seja branca? b) se a bola retirada é branca, qual a probabilidade dela ter sido extraída da segunda urna? 29. Temos duas urnas A e B. a urna A tem 3 moedas de ouro e 2 de prata. A urna B tem 4 moedas de ouro e 1 de prata. Seleciona-se uma urna e dela retira-se uma moeda. A moeda é de ouro. Qual probabilidade de que a urna A tenha sido escolhida? 30. A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de ¾, da B é de 1/5 e da C é de 1/20. As probabilidades dos indivíduos comprarem um carro da marca X são de 1/10, 3/5 e 3/10, dado que seja de A, B e C respectivamente. Certa loja vendeu um carro da marca X. Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B? 31. Uma indústria possui três máquinas M1, M2 e M3 produtoras de parafusos, sendo que M1 produz o dobro de M2 e esta 1/3 de M3 e que, da produção 5% de M1, 4% de M2 e 10% de M3 são defeituosos. Se os parafusos são misturados em um depósito, escolhendo-se ao acaso um parafuso constata-se ser defeituoso. Ache a probabilidade dele ter sido produzido pela máquina que apresenta a menor produção. 32. Uma fábrica de lâmpadas tem três linhas de produção A1, A2 e A3 produzindo respectivamente 30%, 25% e 45% da produção total. A primeira linha produz 6% de lâmpadas defeituosas, a segunda 4% e a terceira linha produz 6% de lâmpadas defeituosas. Da produção diária uma lâmpada é escolhida ao acaso. Calcular a probabilidade de que: a) a lâmpada escolhida seja defeituosa b) a lâmpada tenha sido produzida pela linha A2, se resultou defeituosa 33. Uma gaveta contém duas fichas numeradas com 1 e 2. Escolhe-se ao acaso uma ficha e lança-se um dado na quantidade de vezes indicada pela ficha. Qual a probabilidade de: a) obter cinco pontos b) ter lançado duas vezes, se foram obtidos 5 pontos 34. Uma máquina produz parafusos. Sabe-se por experiência que a máquina trabalha corretamente 90% do tempo em funcionamento; se a máquina não está trabalhando corretamente, 5% dos parafusos produzidos são defeituosos; quando trabalha corretamente, somente 0,5% dos parafusos produzidos são defeituosos. Se um parafuso da produção diária é escolhido ao acaso: a) qual é a probabilidade de que seja defeituoso?

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b) qual a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido pela máquina funcionando corretamente, se resultou defeituoso? 35. Uma em cada 10 pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que têm tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não têm tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa é selecionada ao acaso e o teste Y é aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha reagido positivamente ao teste? Se reagiu positivamente ao teste, qual a probabilidade de que tenha tuberculose? 36. Os arquivos da polícia revelam que das vítimas de acidente automobilístico que utilizam cinto de segurança, apenas 10% sofrem ferimentos graves, enquanto que essa incidência é de 50% entre as vítimas que não utilizam o cinto de segurança. Estima-se em 60% a percentagem dos motoristas que usam o cinto. A polícia acaba de ser chamada para investigar um acidente em que houve um indivíduo gravemente ferido. a) calcule a probabilidade de ele estar usando o cinto no momento do acidente. b) a pessoa que dirigia o outro carro não sofreu ferimentos graves. Calcule a probabilidade de ela estar usando o cinto no momento do acidente. 37. Sua firma recentemente apresentou proposta para um projeto de construção. Se seu principal concorrente apresenta uma proposta, há apenas 0,25 de chance de a firma do leitor ganhar a concorrência. Se seu concorrente não apresenta proposta, há 2/3 de chance de a firma do leitor ganhar. A chance de seu principal concorrente apresentar proposta é de 50%. a) Qual a probabilidade de sua firma ganhar a concorrência? b) Qual a probabilidade de seu concorrente ter apresentado proposta, dado que a firma do leitor ganhou a concorrência? 38. Um fazendeiro estima que quando uma pessoa experimentada planta uma árvore, 90% sobrevivem, mas quando um novato as planta, apenas 50% sobrevivem. Se uma árvore plantada não sobrevive, determine a probabilidade de ela ter sido plantada por um novato, sabendo-se que ²/3 das árvores são plantadas por novatos. 39. Sabe-se que determinada moeda apresenta cara 3 vezes mais freqüentemente que coroa. Seja X o número de caras que aparece. Suponha que a moeda foi lançada três vezes. a) descreva o espaço amostral S; b) Obtenha Rx; c) Obtenha a função de probabilidade de X; d) Faça o esboço do gráfico da função de probabilidade; e) Obtenha a função de distribuição – “F(x)”; f) Faça o esboço da função de distribuição; g) Calcule a E(X) e V(X); h) Faça a interpretação da E(X). 40. Seja X a diferença, em valor absoluto, dos números de pontos nas faces voltadas para cima, após o lançamento de um par de dados. Determine todos os itens pedidos no exercício anterior. 41. X é uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidades:

x 0 1 2 3 4

p( i ) 1/4

1/8

1/4

1/8

1/4

a) Obtenha a função de distribuição. b) determine a E(X) e V(X)

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Calcule as probabilidades: c) )20( XP d) P (X > 2) e) )3( XP f) P (X > 4) g) P (1 < X < 3) h) )3( XP 42. Toda vez que ao jogar uma moeda sair cara sua fortuna é dobrada, toda vez que sair coroa, sua fortuna é reduzida pela metade. Você começa com R$ 1.000,00. Qual é a fortuna esperada após três lances de moeda? a) se a moeda é equilibrada; b) se a probabilidade de cara é de 1/3. 43. Um jogador lança um dado não viciado. Se ocorrer um número ímpar ele ganha o equivalente em reais, se ocorrer par ele perde o equivalente em reais. Encontre: a) a média de ganho; b) o desvio padrão de ganho. 44. Uma amostra de 2 objetos é escolhida aleatoriamente sem reposição de uma caixa que contém 12 dos quais 4 são defeituosos. Seja X o número de defeituosos encontrados na amostra, determine: a) a distribuição de probabilidade de X b) a média de X c) o desvio padrão de X 45. Um jogador lança três moedas viciadas de modo que a probabilidade de sair cara é o dobro de sair coroa. Ganha R$ 3,00 se ocorrerem 3 caras; R$ 5,00 se 2 caras ocorrerem e R$ 1,00 se somente uma cara ocorrer. Por outro lado, perde R$ 15,00 se 3 coroas ocorrerem. Encontre o valor esperado do jogo. 46. f (x)= 1/3 x + k , 30 x 0, c.c. Pede-se: a) encontre o valor de k, para que f (x) seja uma f.d.p. b) esboce o gráfico de f (x). c) obtenha F (x) e esboce o seu gráfico. d) calcule )21( XP 47. A f.d.p. de uma v.a. X (Renda mensal em número de salários mínimos em uma localidade) é dada por: 0, x < 1 f (x)= mx – 2/3, 1 ≤ x < 2.

a) encontre o valor de m para que f (x) seja uma f.d.p. b) esboce o gráfico de f (x). c) obtenha F (x). d) encontre o percentual de funcionários que ganham de 1,5 a 3 salários mínimos.

48. A f.d.p. de uma v.a. X é dada por: 0, 0x mx, 10 x f(x)= ¾ , 21 x 0, 2x a) esboce o gráfico de f (x); b) ache o valor de m; c) ache a função F (x); d) calcule P(1/2 < X < 3/2); e) calcule E(X); f) calcule DP (X). 49. Uma v.a. X tem f.d.p dada por:

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f (x)= 0,5 – ax para 20 x 0, caso contrário a) calcule a; b) P (1 < X < 2); c) E (X); d) V (X); e) DP (X). 50. O diâmetro de um cabo elétrico é tomado como uma v.a. com f.d.p. dada por: f (x)= 6 x (1 – x) para 10 x 0, caso contrário a) obtenha a função de distribuição acumulada Calcule: b) a esperança de X; c) o desvio padrão de X; d) P (X < 0,5) ; e) P (X > 0,3). 51. Suponha que a duração em mil horas das lâmpadas produzidas por certa indústria tenha função de densidade de probabilidade dada por: f (x)= - 3/32 x² + 3/8 x; 40 x 0, c.c. Determine: a) a expressão geral para a F (X); b) a probabilidade de uma lâmpada durar menos de 1.500 horas; c) a probabilidade de uma lâmpada ter duração compreendida entre 1.000 e 3.000 horas; d) a porcentagem das lâmpadas desta indústria que terá duração superior a 3.000 horas; e) a esperança de X; f) o desvio padrão de X. 52. Uma v.a. contínua tem uma função de densidade de probabilidade dada por: ax, 0 ≤ x ≤ 1 f(x)= - ax + 3a, 21 x 0, c.c. Determine: a) o valor de a; b) a função de distribuição de X; c) P (X = 0,5) d) P(0,3 < X < 0,5) e) P(X < 0,5 / X > 0,3). 53. Um engenheiro de tráfego relatou que 75% dos veículos que passam por um posto rodoviário são do próprio estado. Qual é a probabilidade de que os próximos 5 veículos que passarem, ao menos 3 sejam de outros estados? 54 – Numa prova de múltipla escolha com três opções para cada uma das 5 questões, com apenas uma alternativa certa, qual é a probabilidade de que um estudante acerte 4 ou mais questões por adivinhação? 55. Suponha que um engenheiro de segurança afirme que somente 60% de todos os motoristas cujos carros são equipados com cinto de segurança, usam esses cintos em viagens curtas. Queremos determinar o número esperado de motoristas que usam os cintos, entre 10 motoristas escolhidos ao acaso, em viagens curtas.

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56. Um homem atira num alvo com probabilidade de 0,4 de acertar. a) Qual é a probabilidade de, atirando 6 vezes, acertar o alvo pelo menos uma vez? b) Quantas vezes deve atirar no alvo para que a probabilidade de acertá-lo pelo menos uma vez seja maior do que 0,77? 57. Em 320 famílias com 4 crianças cada uma, quantas esperaria que tivessem 3 meninos? 58. Pesquisa recente indica que 80% das famílias de uma comunidade que ganham mais de R$ 800,00 possuem dois carros. Supondo verdadeira essa hipótese, e tomada uma amostra de 10 famílias desta categoria, qual é a probabilidade de exatamente 80% da amostra terem dois carros? 59. Um produtor de sementes afirma que 80% das sementes de certo tipo germinam. Um lote de 5 dessas sementes foram plantadas. Determine a probabilidade de nenhuma semente germinar. 60. Estatísticas de tráfego revelam que 25% dos veículos interceptados numa rodovia não passam no teste de segurança. De 16 veículos interceptados determine a probabilidade de 2 ou mais veículos não passarem no teste. 61. Sabe-se que 60% dos alunos da UCG são do sexo feminino. Qual a probabilidade de que uma amostra aleatória formada por 10 alunos desta Universidade apresente: a) pelo menos 8 mulheres b) no máximo um homem. 62. Uma pesquisa indicou que 9 entre 10 carros tem seguro. Se 4 carros sofrerem um acidente, qual a probabilidade de exatamente 2 terem seguro? 63. Se os times A e B têm a mesma chance de ganhar, qual é o número esperado de vitórias do time A, se os times jogarem 4 partidas? 64. O time A tem 1/3 de probabilidade de vencer sempre que joga. Se A jogar 4 vezes encontre a probabilidade de A vencer: a) pelo menos uma partida; b) exatamente duas partidas; c) mais que a metade das partidas. 65. Um proprietário acaba de instalar 20 lâmpadas em sua casa. Suponha que cada lâmpada tenha 0,2 de probabilidade de funcionar por mais de 3 meses. a) Qual a probabilidade de que 5 delas durem mais de 3 meses? b) Qual o número médio de lâmpadas que deverão ser substituídas em três meses? 66. Estudos têm mostrado que 30% dos pacientes atendidos por uma clínica não efetuam seus pagamentos corretamente, e as contas são perdoadas. Dos quatro novos pacientes atendidos hoje na clínica calcule a probabilidade de todos terem as suas contas perdoadas. 67. Pesquisa médica indica que 20% da população em geral sofrem efeitos colaterais negativos com o uso de uma nova droga. Se um médico receita o produto a quatro pacientes qual é a probabilidade de nenhum sofrer efeito colateral? 68. De um lote de 10 mísseis, 4 são selecionados ao acaso e lançados. Se o lote contém 3 mísseis defeituosos, que não funcionam, qual é o número esperado de mísseis defeituosos na amostra? 69. A média de chamadas telefônicas numa hora é 3. Qual a probabilidade de receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos?

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70. Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas havia, em média, um estouro de pneus a cada 5.000 km. Qual a probabilidade de que um carro ande 8.000 km sem estourar nenhum pneu? 71. Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcule a probabilidade de receber 4 chamadas em 2 dias. 72. Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000 habitantes. Em uma cidade de 100.000 habitantes encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido 2 ou mais suicídios. 73. Em um cruzamento de tráfego intenso a probabilidade de 1 carro sofrer um acidente é de 0,0001. No período entre 17 e 19 horas transitam nesta intersecção 1.000 carros. Qual a probabilidade de que dois ou mais acidentes ocorram neste período? 74. A probabilidade de um bezerro morrer no nascimento é 0,01. Qual a probabilidade de que em 220 parições um fazendeiro perca exatamente 3 bezerros? 75. Os clientes chegam a uma loja à razão de 6.5 por hora. Determine a probabilidade de que numa determinada hora cheque ao menos 1 cliente. 76. O número de rádios vendidos por dia por uma firma é em média 1,5. Determine a probabilidade de a firma vender ao menos 4 rádios num período de 3 dias. 77. Se a probabilidade de um indivíduo sofrer reação nociva resultante de injeção de um determinado soro é de 0,001, determine a probabilidade de entre 2.000 indivíduos: a) exatamente 3 sofrerem uma reação nociva; b) mais do que 1 sofrerem reação nociva; c) nenhum sofrer reação nociva. 78. A experiência tem mostrado que, em média, só um em cada 10 poços perfurados fornece petróleo. Seja X o número de perfurações efetuadas até se alcançar o primeiro sucesso. Suponha que essas perfurações representem eventos independentes e calcule )50( XP . 79. Em determinado local a probabilidade de ocorrência de uma tormenta em algum dia durante o verão (nos meses de dezembro e janeiro) é igual a 0,1. Admitindo independência de um dia para outro, qual a probabilidade de ocorrência da primeira tormenta da estação de verão no dia 3 de janeiro? 80. A probabilidade de um bem-sucedido lançamento de foguete é igual a 0,8. Suponha que tentativas de lançamento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem-sucedidos. Qual a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias? 81. Numa sala com 6 rapazes e 4 moças, escolhendo-se ao acaso 3 pessoas para formar uma comissão, qual a probabilidade de se ter pelo menos 1 rapaz nessa comissão? 82. Numa caixa com 10 fusíveis, 2 são defeituosos. Extraída uma amostra de 4, qual a probabilidade de 1 ser defeituoso?

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83. Um lote de 500 peças das quais 50 são defeituosas é apresentado para inspeção. Testa-se uma amostra de 20 peças extraídas sem reposição, aceitando-se o lote se ocorrerem na amostra no máximo 2 peças defeituosas. Qual a probabilidade de aceitação do lote? 84. Sendo X uniformemente distribuída em [-1, 5], encontre: a) a função de densidade de probabilidade de X e seu gráfico; b) uma expressão geral para a função de distribuição de X e seu gráfico;

c) )0( XP d) P (X > 2) d) )45,0( XP e) E (X) f) g) V (X)

85. Sendo X uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída em [1,b] e sabendo-se que P(X > 2)=1/3 encontre:

g) a) o valor numérico de b b) )35,1( XP c) DP(X) 86. Sendo X: U [a,3] e V (X)=0,75 encontre: a) o valor de a b) P (X > 1) c) )21( XP d) E (X) e) P (X = 1) 87. Sendo Z : N (0,1), encontre os valores de: a) )37,2( ZP b) )5,1( ZP c) )2( ZP d) P (Z > 0,73) e) )06,1( ZP f) P (Z > 0) g) )4( ZP h) P (Z < 5,1) i) P (Z > 6,14) j) )7,3( ZP k) )18,207,1( ZP l) )9,21( ZP m) )34,27,0( ZP 88. Sendo Z : N (0,1) encontre os valores de z em: a) )( zZP = 0,9131 b) P (Z < z) = 0,0094 c) P (Z > z) = 0,0495 d) )( zZP = 0,9949 e) )0( zZP = 0,4834 f) )( zZzP = 0,95 89. Sendo X : N (7,9) encontre os valores de: a) )11( XP b) P (X > 3,7) c) )5,81,1( XP 90. A distribuição das médias finais dos 250 alunos que cursaram PE no ano passado foi normal com média 5,6 e desvio padrão 1,7. Quantos destes alunos ficaram com média: a) menor ou igual a 7,0 b) superior a 4,0 c) entre 3,5 e 7,5 91. A distribuição de nossas médias N1 foi normal com média 4,4 e desvio padrão 2,1. a) Se formos ter atividades de recuperação paralela para os 25% de alunos de pior rendimento na N1, quem participará destas atividades? b) se usarmos os 10% de alunos de melhor rendimento na N1 como monitores, quem exercerá esta atividade? 92. A distribuição dos salários dos funcionários de certa empresa é normal com média de R$ 1.850,00 e desvio padrão de R$ 325,00. Qual é o salário que separa os 15% de funcionários melhor remunerados por essa empresa?

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[1] BARRY , JAMES R., Probabilidade: um curso em nível intermediário, Rio de Janeiro, IMPA, 1996, Projeto Euclides. [2] LAPPONI, Juan Carlos, Estatística Usando Excel, Lapponi Treinamento e Editora Ltda, 2000.

[3] MONTGOMERY, Douglas C., Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade, 4a edição, LTC, 2004.

[4] SIMON, Jairo da Fonseca e ANDRADE, Gilberto Martins, Curso de Estatística, 6a edição, Atras, 1996.

[5] STEVENSON, Willian J., Estatística Aplicada à Administração, Editora Harbra Ltda, 1991.

[6] TRIOLA, Mario F.,Introdução à Estatística, 7a edição, LTC, 1999.

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Anexos: TABELA - Distribuição Normal Padrão Z~N(0,1)

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TABELA - Distribuição Qui-Quadrado

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TABELA - Distribuição t de Student (Unicaudal e Bicaudal)

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TABELA - Distribuição F de Fisher = 5%