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RESISTENCIA DOS MATERIAIS , . ____________________________________________________________1/58 Técnico em Mecânica

Apostila de Resistencia Dos Materiais

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RESISTENCIA DOS MATERIAIS

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Técnico em Mecânica

Page 2: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Presidente da FIEMG

Robson Braga de Andrade

Gestor do SENAI

Petrônio Machado Zica

Diretor Regional do SENAI e

Superintendente de Conhecimento e Tecnologia

Alexandre Magno Leão dos Santos

Gerente de Educação e Tecnologia

Edmar Fernando de Alcântara

Unidade Operacional

Centro de Formação Profissional “Jose Fernando Coura”

São Gonçalo do Rio Abaixo – MG

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Page 3: Apostila de Resistencia Dos Materiais

SumárioAPRESENTAÇÃO

DEFINIÇÃO DE RESISÊNCIA DOS MATERIAIS

HISTÓRICO DE DESENVOLVIMENTO

FORÇA NORMAL N

TRAÇÃO E COMPRESSÃOTENSÃO NORMAL TUNIDADES DE TENSÃO NO SI ( SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS )

LEI DE HOOKDEFORMAÇÃO LONGITUDINALDEFORMAÇÃO TRANSVERSAL

1.CISALHAMENTO....................................................................................................11.1. PINOS, REBITES,PARAFUSOS.........................................................................11.2. FORÇA DE CORTE PARA ABRIR FUROS EMCHAPAS..................................51.3. LIGAÇÕES SOLDADAS...................................................................................101.4. CHAVETAS PLANAS .......................................................................................161.5.EXERCÍCIOS DE REVISÃO..............................................................................22

2.FORÇA CORTANTE - MOMENTO FLETOR........................................................39CONCEITO DE VIGA ..............................................................................................39TIPOS DE CARGAS NAS VIGAS............................................................................39TIPOS DE VIGAS.....................................................................................................39FORÇA CORTANTE ................................................................................................41MOMENTO FLETOR................................................................................................42EXPRESSÕES DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR ..........................42DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR..............................43

3- TORÇÃO SIMPLES.............................................................................................24MOMENTO TORÇOR OU TORQUE (MT)...............................................................24TORQUE NAS TRANSMISSÕES.............................................................................24ESTUDO CINEMÁTICO, POLIA/CORREIA, SISTEMA REDUTOR.........................25TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO ( t )...................................................27DISTORÇÃO (g) E ÂNGULO DE TORÇÃO (q)........................................................28FORÇA TANGENCIAL (FT) .....................................................................................32

4.TABELAS ..............................................................................................................44

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................47

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Page 4: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Apresentação“Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade do

conhecimento“.

Peter Drucker

O ingresso na sociedade da informação exige mudanças profundas em todos os

perfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos na produção,

coleta, disseminação e uso da informação.

O SENAI, maior rede privada de educação profissional do país, sabe disso, e,

consciente do seu papel formativo, educa o trabalhador sob a égide do conceito

da competência: ”formar o profissional com responsabilidade no processo

produtivo, com iniciativa na resolução de problemas, com conhecimentos

técnicos aprofundados, flexibilidade e criatividade, empreendedorismo e

consciência da necessidade de educação continuada”.

Vivemos numa sociedade da informação. O conhecimento, na sua área tecnológica,

amplia-se e se multiplica a cada dia. Uma constante atualização se faz necessária.

Para o SENAI, cuidar do seu acervo bibliográfico, da sua infovia, da conexão de suas

escolas à rede mundial de informações – internet - é tão importante quanto zelar pela

produção de material didático.

Isto porque, nos embates diários, instrutores e alunos, nas diversas oficinas e

laboratórios do SENAI, fazem com que as informações, contidas nos materiais

didáticos, tomem sentido e se concretizem em múltiplos conhecimentos.

O SENAI deseja, por meio dos diversos materiais didáticos, aguçar a sua

curiosidade, responder às suas demandas de informações e construir links entre

os diversos conhecimentos, tão importantes para sua formação continuada!

Gerência de Educação e Tecnologia

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Page 5: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Resistência dos Materiais

Introdução

A resistência dos materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre as

cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas

atuantes no corpo. Este assunto envolve também o cálculo das deformações do

corpo e propicia um estudo de sua estabilidade, quando submetido à forças externas.

No projeto de qualquer estrutura ou máquina, é necessário inicialmente utilizarmos

os princípios da estática para determinarmos tanto as forças atuantes quanto as

forças internas sobre seus vários elementos. As dimensões de um elemento, seus

deslocamentos e sua estabilidade dependem não apenas das cargas internas, mas

também do tipo de material com que o elemento é fabricado.

Consequentemente, serão de vital importância para o desenvolvimento das

equações da mecânica dos materiais o entendimento e a determinação precisa do

comportamento do material.

Desenvolvimento histórico

A origem da resistência dos materiais data do inicio do século XVII, quando Galileu

realizou experimentos para estudar o efeito de forças aplicadas a barras e vigas

fabricadas de vários materiais. Entretanto, para um entendimento apropriado do

fenômeno, foi necessário estabelecer um procedimento experimental preciso das

propriedades mecânicas dos materiais. Estes procedimentos foram bem definidos no

início do século XVIII. Naquele tempo ,tanto estudos experimentais quanto teóricos

sobre o assunto foram realizados inicialmente na França, por estudiosos como Saint-

Venant, Poiston, Lamé e Navier. Tendo sido seus esforços baseados nas aplicações

da mecânica a corpos materiais, eles denominaram este estudo de Resistência dos

Materiais.

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Técnico em Mecânica

Page 6: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Atualmente, este estudo é conhecido como mecânica dos corpos deformáveis, ou

simplesmente, Mecânica dos Materiais.

Ao longo dos anos, depois que muitos problemas fundamentais da resistência dos

materiais foram resolvidos, tornou-se necessário utilizar o cálculo avançado e

técnicas computacionais na solução dos problemas mais complexos. Como

resultado, este assunto expandiu-se para outros temas da mecânica avançada, como

a teoria da elasticidade e a teoria da plasticidade. Muitas pesquisas nestes campos

estão em andamento, não apenas para atender a demanda na solução de problemas

avançados de projetos, mas também para justificar as utilizações e limitações nas

quais a teoria fundamental da resistência dos materiais é baseada.

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Page 7: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Força normal (N)

Define-se como força normal ou axial

aquela força que atua

perpendicularmente (ou normal)

sobre a área de uma seção transversal

de uma peça.

Tração e compressão

Podemos afirmar que uma peça está submetida a esforço de tração ou

compressão, quando uma carga normal F atuar sobre a área de seção transversal

da peça, na direção do eixo longitudinal. Quando a carga atuar com o sentido dirigido

para o exterior da peça (puxando), a mesma estará tracionada. Quando o sentido de

carga estiver dirigido para o interior da peça (apertando), a mesma estará

comprimida.

Peça Tracionada Peça Comprimida

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Page 8: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Tensão normal TA carga normal F, que atua na peça, origina nesta, uma tensão normal que é

determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada, e a área da

secção transversal da peça.

T = F A

Onde:

T - tensão normal

F - força normal ou axial

A - área da secção transversal da peça

Unidade de Tensão, no SI (Sistema Internacional)

A unidade de tensão no SI é o pascal, que corresponde à carga de 1N atuando sobre

uma superfície de 1m².

Como a unidade pascal é infinitesimal, utiliza-se comfrequência, os seus múltiplos:

GPa (giga pascal) GPa = Pa

MPa (mega pascal) MPa = Pa

KPa (quilo pascal) KPa = Pa

A unidade MPa (mega Pascal, corresponde à aplicação de 10 6 N (um milhão de

Newtons ) na superfície de um metro quadrado (m2). Como m² = 106 mm², conclui-

se que:

MPa, corresponde à carga de 1N atuando sobre a superfície de 1mm2.

1 KGF=10N 1m² = 10² dm²

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Page 9: Apostila de Resistencia Dos Materiais

1Pa=1N/m²(Pascal) cm²

1 KPa = 10³Pa = 10³ N/m² ( Kilo Pascal ) mm²

1 MPa = 106Pa = 106 N/m² ( Mega Pascal )

1 GPa = 109Pa = 109 N/m² ( Giga Pascal )

Lei de HookeAs tensões e as deformações específicas são proporcionais, enquanto não se

ultrapassar o limite elástico. Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou

alongamento, constando que:

Quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da peça, maior o

alongamento, e que, quanto maior a área da secção transversal e a rigidez do

material, medido através do seu módulo de elasticidade, menor o alongamento,

resultando daí a equação:

∆l = F.L E.AComo T= F podemos escrever a Lei de Hooke:

A E = T ou ∆l = T

ε EOnde:

Δl=alongamento da peça

T= tensão normal

F= carga normal aplicada

A= área da secção transversal

E=módulo de elasticidade do material

l=comprimento inicial da peça

O alongamento será positivo, quando a carga aplicada tracionar a peça, e será

negativo quando a carga aplicada comprimir a peça. É importante observar que a

carga se distribui por toda área da secção transversal da peça.

Δl= l - lf

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Page 10: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Onde:

lf = comprimento final da peça

l = comprimento inicial da peça

Δl = alongamento

A lei de Hooke, em toda a sua amplitude, abrange a deformação longitudinal e a

deformação transversal .

Deformação Longitudinal

Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento de uma peça

submetida à ação de carga axial. Pode ser determinada a partir da seguinte relação

matemática:

ε = ∆l l

Onde:

ε = deformação longitudinal.

Δl = alongamento.

l = comprimento inicial.

Diagrama tensão x deformação para materiais frágeis

Ponto O = início do ensaio (carga nula).

Ponto A = limite máximo de resistência (ponto de ruptura do material).

Diagrama tensão x deformação para materiais dúcteis

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Page 11: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Ponto O = início do ensaio (carga nula).

Ponto A = limite de proporcionalidade.

Ponto B = limite superior de escoamento.

Ponto C = limite inferior de escoamento.

Ponto D = final do escoamento e início da recuperação do material.

Ponto E = limite máximo de resistência.

Ponto F = limite de ruptura do material.

Módulo de elasticidade E

Definimos como módulo de elasticidade a capacidade que um material possui em

suportar uma deformação relativa. Quando um material recebe excesso de tensão

que ele pode suportar, ocorre um deslocamento irreversível de sua estrutura interna.

Ao cessarmos a tensão, se o valor do módulo de elasticidade não tiver sido

ultrapassado, o material retorna ao seu comprimento original. Seu valor pode ser

obtido pela expressão:

E = T / ε

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Page 12: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Onde:

E = módulo de elasticidade.

T = tensão normal.

ε = deformação longitudinal.

Tensão de cisalhamento Tcis

Definimos tensão de cisalhamento como sendo a intensidade média da força por

unidade de área atuante na direção tangente a área de seção transversal de uma

peça. A expressão matemática que define o valor da tensão cisalhante é:

T = F A

Onde:

T = tensão cisalhante.

F = força cortante.

A = área da seção transversal da peça.

Observação:

a) Cisalhamento simples: ocorre quando temos duas juntas sobrepostas e

apenas uma área sujeita ao corte. As espessuras dos componentes são

consideradas finas e o atrito entre as partes pode ser desprezado.

b) Cisalhamento duplo: ocorre quando temos duas ou mais juntas sobrepostas e

mais de uma área sujeita ao corte. A força cortante atua em cada área presente

na conexão dos componentes.

Deformação do Cisalhamento

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Page 13: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Supondo-se o caso da secção transversal retangular da figura, observa-se o

seguinte: Ao receber a ação da carga cortante, o ponto C desloca-se para a posição

C’, e o ponto D para a posição D’, gerando o ângulo denominado distorção.

A distorção é medida em radianos (portanto adimensional), através da relação entre

a tensão de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal do material.

Tensão admissível Tadm

É a tensão ideal de trabalho para o material nas circunstâncias de aplicação.

Geralmente esta tensão deve ser mantida na região de deformação elástica do

material. Porém, existem situações em que a tensão admissível deverá estar na

região de deformação plástica do material, visando a redução do peso da estrutura,

como acontece nos aviões, foguetes, etc. Trataremos apenas o primeiro caso, pois

ocorre com maior frequência na prática.

A tensão admissível é determinada através da relação entre tensão de escoamento

(Tesc) , coeficiente de segurança (K) e tensão de ruptura (Trup). Matematicamente,

podemos expressar a tensão admissível pelas seguintes fórmulas:

a) Para materiais dúcteis: Tadm = T esc Ks

b) Para materiais frágeis:

Tadm = T rup Ks

Observação:

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Page 14: Apostila de Resistencia Dos Materiais

a) Material dúctil é aquele que, ao ser submetido a um ensaio de tração,

apresenta deformação plástica (irreversível) precedida por um deformação

elástica (reversível) antes de romper-se.

São exemplos de materiais dúcteis: aço,alumínio, cobre, bronze, latão, níquel.

b) Material frágil é aquele que ao ser submetido a um ensaio de tração, não

apresenta deformação plástica, passando da deformação elástica para o

rompimento.

São exemplos de materiais frágeis: concreto, vidro, cerâmica, gesso, cristal,

acrílico.

Coeficiente de segurança Ks

O coeficiente de segurança é sempre representado por um número maior do que 1,

que pode ser obtido através de uma tabela técnica de engenharia ou fornecido pela

norma de projeto do componente em fabricação. Sua utilização é baseada no

dimensionamento dos elementos de construção, visando assegurar o equilíbrio entre

qualidade e custo. Podemos também determinar o coeficiente de segurança em

função dos três tipos de cargas abaixo:

Carga Estática

A carga é aplicada na peça e permanece constante; como exemplos, podemos citar:

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Page 15: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Um parafuso prendendo uma

luminária.

Uma corrente suportando um lustre.

Carga Intermitente

Neste caso, a carga é aplicada

gradativamente na peça, fazendo com

que o seu esforço atinja o máximo,

utilizando para isso um determinado

intervalo de tempo. Ao atingir o ponto

máximo, a carga é retirada

gradativamente no mesmo intervalo

de tempo utilizado para se atingir o

máximo, fazendo com que a tensão

atuante volte a zero.E assim sucessivamente.

Exemplo: o dente de uma engrenagem

Carga Alternada

Neste tipo de solicitação, a carga

aplicada na peça varia de máximo

positivo para o máximo negativo ou

vice-versa, constituindo-se na pior

situação para o material.

Ex.: eixos, molas, amortecedores, etc.

Para determinar o coeficiente de

segurança em função das

circunstâncias apresentadas, deverá

ser utilizada a expressão a seguir:

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Page 16: Apostila de Resistencia Dos Materiais

k = x . y . z . w

- Valores para x (fator do tipo de material)

x = 2 para materiais comuns

x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga

- Valores para y (fator do tipo de solicitação)

y = 1 para carga constante

y = 2 para carga intermitente

y = 3 para carga alternada

- Valores para z (fator do tipo de carga)

z = 1 para carga gradual

z = 1,5 para choques leves

z = 2 para choques bruscos

- Valores para w (fator que prevê possíveis falhas de fabricação)

w = 1 a 1,5 para aços

w = 1,5 a 2 para fofo

Para carga estática, normalmente utiliza-se 2 ≤ k ≤ 3 aplicado a Tesc ,para o material

dúctil e ou aplicado a Trup.

Para o caso de cargas intermitentes ou alternadas, o valor de k cresce como nos

mostra a equação para sua obtenção.

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Page 17: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Fadiga

Quando um material está sujeito a ciclos repetidos de tensões ou deformações,

podemos esperar uma quebra em sua estrutura, o que conduz a sua fratura. Este

comportamento é denominado fadiga e é usualmente responsável por um grande

percentual de falhas, por exemplo, nas bielas e manivelas de um motor, nas pás de

turbinas a gás ou a vapor, nas conexões ou suportes de pontes, eixos e outras partes

sujeitas a carregamentos cíclicos. Em todos estes casos, a fratura ocorrerá a um

nível de tensão abaixo da tensão de escoamento do material.

Aparentemente esta falha ocorre devido ao fato de que existem regiões

microscópicas, geralmente na superfície do elemento, onde a tensão localizada

torna-se muito maior do que a tensão média atuante ao longo da seção transversal

do elemento. Sendo esta tensão cíclica, ela provoca o aparecimento de micro-trincas.

A ocorrência destas trincas causa um aumento na tensão em seu contorno, fazendo

com que se estendam para o interior do material enquanto a tensão continua a ser

ciclicamente aplicada. Eventualmente, a área de seção transversal do elemento é

reduzida ao ponto de não mais resistir à carga, resultando na fratura súbita do

elemento. Assim, um material reconhecido originalmente como dúctil, comporta-se

como se fosse frágil.

Para especificarmos uma resistência segura para um material metálico sujeito a um

carregamento repetido, é necessário determinarmos um limite abaixo do qual não

seja detectada qualquer evidência de falha após a aplicação do carregamento por

um número definido de ciclos. Esta tensão limite é denominada limite de fadiga.

Utilizando uma máquina de testes específica, uma série de corpos de prova é

submetida a uma tensão específica cíclica até sua falha. Os valores são então

colocados num gráfico, onde o eixo x representa o número de ciclos até a falha e o

eixo y representa as tensões aplicadas ao material.

Os valores típicos do limite de resistência a fadiga para vários materiais empregados

em construções mecânicas são normalmente listados em manuais e em normas

técnicas. Uma vez obtido um valor particular do limite de fadiga, admite-se que,

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Page 18: Apostila de Resistencia Dos Materiais

geralmente para qualquer tensão abaixo deste valor, a vida do material será infinita,

e portanto, o número de ciclos para o material falhar não será levado em

consideração.

Pressão de contato

No dimensionamento de juntas rebitadas, parafusadas, de pinos, chavetas, etc,

torna-se necessário a verificação da pressão de contato entre o elemento e a

parede dos furos nas chapas ou nas juntas. Quando a força cortante V atua na

junta, esta tende a cisalhar a seção de área A-A, conforme a figura abaixo.

Ao mesmo tempo, cria um esforço de compressão entre o elemento (parafuso ou

rebite) e a parede do furo (região AB ou AC). A pressão de contato, que pode

acarretar esmagamento do elemento e da parede do furo, é definida através da

relação entre a carga de compressão atuante e a área de seção longitudinal do

elemento, que é projetada na parede do furo.

Tensão de esmagamento Td

É determinada pela seguinte expressão:

Td = F N.AOnde:

Td = tensão de esmagamento. ____________________________________________________________18/42

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Page 19: Apostila de Resistencia Dos Materiais

V = força cortante (tangencial).

N = número de áreas sujeitas ao corte.

A = área projetada.

Observação:

a) Tenha atenção especial ao analisar a área projetada. Seu valor é determinado

conforme o sentido da força cortante.

b) Em geral, a tensão admissível de cisalhamento recomendável está entre 0,6 e

0,8 da tensão admissível normal.

Ligações soldadas

É uma forma de se unir duas ou mais peças de maneira permanente, sendo 2 tipos

mais comuns de juntas.

Juntas de Topo

As chapas são posicionadas uma de frente a outra, separadas por uma pequena

distância entre si (tabelada conforme normas), são também chanfradas.

Este tipo de junta suporta esforços de tração e compressão.

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Page 20: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Equações envolvidas

No dimensionamento do comprimento do cordão de solda, trabalha-se com a

tensão admissível:

Onde:

L=comprimento do cordão de solda

F=Força axial aplicada.

Tadm=tensão admissível da solda.

e=espessura da chapa e da solda

Juntas Laterais ou Sobrepostas:

união de chapas posicionadas uma sobre a outra, podendo suportar os esforços de

tração e compressão.

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Page 21: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Detalhe do cordão de solda:

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Page 22: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Na menor área de cisalhamento, teremos tensão cisalhante máxima.

No cálculo do comprimento do cordão de solda, utiliza-se a tensão admissível, sendo

que deve-se isolar “L” na equação anterior:

L=comprimento do cordão de solda

F=carga ou força de cisalhamento

a=dimensão da solda

Tadm=tensão admissível da solda ao

cisalhamento

ESFORÇOS SOLICITANTES

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Page 23: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Os corpos sólidos não são rígidos e indeformáveis. A experiência mostra que,

quando submetidos a forças externas, os corpos se deformam, ou seja, variam de

dimensões. Os esforços internos que tendem a resistir às forças externas são

chamados esforços solicitantes.

Se as forças externas produzirem tensões abaixo do limite de elasticidade do

material do corpo sólido, ao cessarem, este readquire a forma e as dimensões

originais. Esta propriedade chama-se elasticidade e a deformação chama-se, então,

elástica.

Se as forças, porém, passarem de um determinado valor, de modo que, ao

cessarem, o corpo não volta mais à forma primitiva, mantendo-se permanentemente

deformado, diz-se que o corpo foi solicitado além do limite de elasticidade.

Se as forças aumentarem ainda mais, as deformações permanentes aumentam

rapidamente até provocarem ruptura do corpo. A força que provoca ruptura do corpo

serve para medir sua solidez, ou seja, sua resistência à ruptura.

Ao se dimensionar uma peça deve-se não só evitar a sua ruptura, como também

evitar deformações permanentes, ou seja, ao cessar a força externa, as deformações

devem também cessar.

Surge então a necessidade de um estudo mais profundo dos esforços a que estão

submetidos os materiais, com vistas a se obter um dimensionamento seguro e

econômico.

Os esforços solicitantes são classificados em:

Força Normal (N)

Força Normal é a componente da força que age perpendicular à seção transversal.

Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicação

da força, produz esforços de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando

encurtamento no sentido de aplicação da força, produz esforços de compressão.

As forças normais são equilibradas por esforços internos resistente e se manifestam

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Page 24: Apostila de Resistencia Dos Materiais

sob a forma de tensões normais (força por unidade de área), representadas pela letra

grega σ (Sigma), que serão de tração ou de compressão segundo a força normal N

seja de tração ou compressão.

Momento de Torção (T)

A componente do binário de forças que tende a girar a seção transversal em torno

de eixo longitudinal é chamado Momento de Torção.

Convenção de sinais

Obtidos os valores de N, V, M e T, podem-se traçar, em escala conveniente, os

diagramas de cada esforço solicitante, também denominados linhas de estado.

Força normal (N)

• tração (+)

• compressão (-)

Força cortante (V)

Força P tendendo girar a barra no sentido horário em relação à seção S: positivo (+)

Força P tendendo girar a barra no sentido anti-horário em relação à seção S:

negativo (-)

Momentos de Torção(T)

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Page 25: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Momento de Torção é considerado positivo quando tende a girar a seção transversal

em torno de seu eixo longitudinal no sentido anti-horário e, negativo, quando tende a

gira no sentido horário.

Regras para o traçado dos diagramas de esforços

solicitantes

1. Nos pontos da barra em que a força é paralela ao eixo longitudinal, o diagrama de

esforços normais apresenta um ressalto de mesma intensidade da força.

2. Nos pontos da viga onde há força concentrada perpendicular ao eixo longitudinal,

o diagrama de esforços cortantes apresenta um ressalto de mesma intensidade da

força concentrada.

3. Nos pontos da viga onde atua um momento externo, o diagrama de momento fletor

apresenta um ressalto de mesma intensidade do momento externo.

4. Nos pontos do diagrama onde o esforço cortante é nulo, o diagrama de momento

fletor apresenta um ponto de máximo.

5. Nos pontos da barra onde há força concentrada perpendicular ao eixo longitudinal,

o diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso.

6. As funções carregamento, esforço cortante e momento fletor, como se verá mais

adiante, estão relacionadas por meio da seguinte equação diferencial de segunda

ordem: . Em outras palavras, a área da figura do diagrama de

força cortante é o valor da do momento fletor.

VIGAS

Vigas são elementos de barras,

submetidas a cargas transversais em

relação a seu eixo e destinadas a

vencer vão. As cargas podem ser

classificadas em relação à área em

que são aplicadas em concentradas e

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Técnico em Mecânica

Page 26: Apostila de Resistencia Dos Materiais

distribuídas. As cargas concentradas

são aquelas cuja superfície de contato

com o corpo que lhe resiste é

desprezível comparada com a área do

corpo. As cargas distribuídas são

aquelas aplicadas ao longo de um

comprimento ou sobre uma superfície,

podendo ser uniforme ou não uniforme.

Tipos de Cargas nas Vigas

Entre os diversos tipos de carregamento, trabalharemos só com os permanentes,

podendo ser: cargas concentradas (aplicadas em determinados pontos), cargas

distribuídas (uniformes ou variando seguindo uma lei qualquer) e binários (de

determinado momento) que se aplicam em determinados pontos da viga. As

cargas distribuídas são em geral, expressas por unidade de comprimentos do eixo

da viga.

Quando se carrega uma viga, aparecem em geral, esforços internos, constituídos

por tensões normais e de cisalhamento, nos diversos pontos de seu interior. Para

determiná-los é necessário calcular a força e o momento que estão solicitando a

seção considerada, através da aplicação das equações da estática.

Tipos de Vigas:

Vigas Isostáticas

São aquelas vigas que, para se determinar as reações, basta aplicar as equações

da estática, ou seja, uma viga é considerada como isostática, quando o número

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Page 27: Apostila de Resistencia Dos Materiais

de incógnitas (ou reações) for igual ao número de equações da estática.

Viga em Balanço ou Engastada

É apoiada somente em uma das extremidades, de tal forma que, nesse ponto,

não possam girar quer o eixo, quer a seção transversal. Na fig.01, temos um

exemplo clássico deste tipo de viga, onde podemos observar, a extremidade livre

da esquerda podendo se deslocar (linear ou angularmente), mas a da direita é

rigidamente fixada, sendo a mesma perfeitamente engastada. Os esforços

reativos, no engastamento, são constituídos por uma força e um binário situados,

ambos, no próprio plano da estrutura.

Vigas Simples

É articulada nas duas extremidades, sendo que, um dos apoios deverá ser

articulado fixo e o outro articulado móvel. No articulado fixo, a reação é uma força

que passa pelo apoio (não sendo conhecido a direção, o módulo e o sentido); no

articulado móvel, a reação é uma força cuja direção se conhece (perpendicular ao

plano de deslizamento do apoio).

Viga submetida a uma carga concentrada P

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Page 28: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Viga submetida a uma carga distribuída P e ao binário de momento M

Vigas Simples com Balanços

É simplesmente apoiada, porém prolongando-se além de um ou de ambos os

apoios, conforme figura a seguir:

Viga em balanço submetida a cargas concentradas

Viga em balanço submetida a uma carga distribuída e concentrada

Vigas Hiperestáticas

São aquelas que, no número de reações excede o das equações fornecidas pela

estática, sendo necessário recorrer a equações que levam em conta as condições

de deformação da viga.

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Page 29: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Apoiada e engastada

Engastada em ambas as extremidades

Contínua, com mais de dois apoios, sem articulações

Força Cortante

É a somatória das projeções verticais de todas as forças situadas à esquerda ou à

direita de uma seção transversal “s” de uma viga em equilíbrio.

Convenção de Sinal

A força cortante é positiva quando tende a deslocar, para cima, a parte da viga

que se situa à esquerda da seção considerada (em relação à parte da direita) e

negativa em caso contrário, ou ainda, as situadas à esquerda da seção produzem

força cortante positiva quando dirigidas de baixo para cima e negativa quando

dirigidas de cima para baixo, conforme o esquema abaixo:

Convenção de Sinal

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Page 30: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Momento Fletor

É a soma algébrica dos momentos das forças exteriores que estão à esquerda da

seção considerada.

Convenção de Sinal

O Momento Fletor é positivo quando tende a fletir a viga com a concavidade para

cima e negativo quando tende a imprimir-lhe concavidade para baixo (supõe-se

sempre que, a viga seja disposta horizontalmente), ou ainda, as forças dirigidas

de baixo para cima produzem momentos fletores positivos, conforme esquema

abaixo:

Expressões de Força Cortante e Momento Fletor

Frequentemente, aparece a necessidade de determinar o Momento Fletor (Mf) e a

Força Cortante (Q) em todas as seções da viga. Para esse fim, podem-se

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Page 31: Apostila de Resistencia Dos Materiais

localizar as diversas seções da viga, por intermédio de suas abscissas x

(distância ao apoio da esquerda) e exprimem-se Q(x) e Mf(x) em função de x.

Força Cortante (Q)

Obtém-se a Força Cortante em uma determinada seção transversal da peça,

através da resultante das forças cortante atuantes à esquerda da seção

transversal considerada.

Seção – AA Q = RA

Seção – BB Q = RA – P1

Seção – CC Q = RA – P1 – P2

Momento Fletor (Mf)

O Momento Fletor atuante em uma determinada seção transversal da peça, obtêm-

se da resultante dos momentos atuante à esquerda da seção estudada.

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Page 32: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Seção – AA Mf = RA . XSeção – BB Mf = RA . X – P1 (X – a)Seção – CC Mf = RA. X – P1 (X – a) – P2 [X – (a + b)]

Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor

A representação gráfica da função Q(x) tem nome de diagrama das forças cortantes;

as abscissas representam as diversas seções da viga e as coordenadas os valores

da força cortante correspondente. Da mesma forma se traça o diagrama de

momentos fletores. Esses diagramas permitem, facilmente, determinar a seção em

que eles atingem seus máximos, ou se anulam; tem-se assim, um processo prático

de obter os esforços solicitante ao longo de toda a viga.

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Page 33: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Torção Simples

Uma peça sofre torção simples, quando em uma de suas extremidades atua um

torque “Mt”, e na outra extremidade atua um contratorque “M’t”.

Momento Torçor ou Torque (Mt)

É o produto entre a carga “F” e a distância desta carga ao centro da seção

transversal da peça. No caso de eixos, temos:

Mt = 2 . F . lOnde:

Mt = momento torçor

F = carga aplicada

l = distância entre o ponto de aplicação da carga e o núcleo da seção transversal

Quando temos mecanismos acionados por motores, polias, rodas de atrito

ou engrenamentos, a expressão matemática que determina o torque pode ser

assim escrita:

T = P / (2 . π . f) Onde:

T = torque.

P = potência.

f = frequência.

Observações:

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Page 34: Apostila de Resistencia Dos Materiais

a) Para converter rotações por minuto (rpm) em hertz (Hz), basta dividir por 60.

Assim:

f = n / 60 Onde:

f = frequência em hertz.

n = rotações por minuto.

b) Quando a potência não for fornecida em watt (W), veja algumas equivalências

de unidades:

1 hp = 745,7 W

1 cv = 735,5 W

1 hp = 550 ft.Lb/s

1 hp = 6600 in.Lb/s

Torque nas transmissões

Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto

entre a força tangencial (Ft) e o raio (R) da peça.

Onde:

Mt = Torque.

Ft = Força tangencial.

R = Raio da peça.

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Page 35: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Estudo Cinemático, Polia/Correia,

Sistema Redutor

= Rendimento (%) Obs.: = ni (letra grega)i = Relação de transmissãon = Rotação= Velocidade angular P = Potência

W = WattHP = Horse PowerCV = Cavalo Vapor

No caso de engrenagens, sistema redutor:

Onde:

dp = Diâmetro Primitivo

Rp = Raio Primitivo

Z = Número de dentes

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Page 36: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Onde:

M = Módulo

Outras Equações Importantes

Onde:

= Velocidade angular (Rad/s)

n = Rotação (rpm)

Onde:

MT = Torque (N. m)

P = Potência (watts)

Onde:

R = Raio (m) Obs.: No caso de engrenagem, usar “RP”.

VT = Velocidade tangencial (m/s)

VP = Velocidade periférica (m/s)

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Page 37: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Onde:

FT = Força tangencial

Tensão de Cisalhamento na Torção ( T )

(para eixos cilíndricos maciços)

Onde:

T = Tensão de cisalhamento na torção

MT = Torque

jp = Momento polar de inércia

R = Raio da seção transversal

(para uma seção circular maciça)

Distorção () e Ângulo de Torção ()

O torque atuante no eixo provoca na seção transversal deste, o deslocamento do

ponto A (na periferia) para uma posição A’.

Na longitude do eixo, origina-se uma deformação de cisalhamento denominada

distorção ().

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Page 38: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Onde:

= Distorção

T= Tensão atuante

G = Módulo de elasticidade transversal do material

GPa = Giga pascal

Pa = N/mm²

Então:

Como 1 kgf = 10 N

e 1 m² = mm²

Concluindo:

O deslocamento do ponto A para a posição A’ gera na seção transversal da peça

um ângulo (de torção), que é definido por:

Onde:

= Ângulo de torção

MT = Torque

L = Comprimento do eixo

jp = Momento polar de inércia

G = Módulo de elasticidade transversal

do material

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Page 39: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Força Tangencial (FT)

Onde:FT = Força tangencial MT = Torque R = Raio P = Potência VP = Velocidade periférica ou tangencial = Velocidade angular

Obs.: Só usar estas equações com unidades do SI (sistema internacional de

unidades).

Tabelas

Centro de Gravidade de Superfícies Planas

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Page 40: Apostila de Resistencia Dos Materiais

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Page 41: Apostila de Resistencia Dos Materiais

Aços Carbono Para Construção Mecânica

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Page 42: Apostila de Resistencia Dos Materiais

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