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APOSTILA DE TÉCNICAS DIGITAIS – LDM1 PROF ANDRÉ GARCIA

1.0 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Sistemas de numeração são mecanismos usados para numerar determinados eventos, através de uma lei de formação. Todos os sistemas que a seguir terão como referência o sistema DECIMAL conhecido pelo aluno (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,.....,1010,1011,1012, etc).

1.1 – Sistema binário de numeração:

Sistema no qual possui apenas dois algarismos para representá-lo, o zero e o um. Também chamado de sistema de base 2, conforme tabela abaixo:

DECIMAL BINÁRIO DECIMAL BINÁRIO 0 1 2 3 4 5

000 001 010 011 100 101

6 7 8 9

10 11

110 111 1000 1001 1010 1011

1.2 – Conversão do sistema binário para decimal: Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em decimal,

conforme regra abaixo: a) Multiplica-se o algarismo do número binário pela base elevada ao

expoente de sua colocação no número, sendo que a base do número binário é dois. No número 11001(b) = 25 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerda 1 1 0 0 1 24 23 22 21 20

1x24 1x23 0x22 0x21 1x20

16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25

2

O número 10011(b) = 19 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerda 1 1 0 0 1 24 23 22 21 20

1x24 0x23 0x22 1x21 1x20

16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 25

Transforme os números abaixo de binário para decimal: a) 1110 (b) = __________________ b) 1010 (b) = __________________ c) 1100110001 (b) = _________________ respostas: 14 , 10 , 817 1.3 – Conversão do sistema decimal para binário:

Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em binário, conforme regra abaixo:

Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 2, obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outra divisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos um resultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número em questão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemplo abaixo:

a) Qual o número binário referente ao decimal 47? 47/2 = 23 23/2 = 11 11/2 = 5 5 /2 = 2 2/2 = 1 ( 1 < 2, acabou!) resto: 1 1 1 1 0 Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o número ficaria assim: 47 = 101111 (b)

b) Qual o número binário referente ao decimal 400?

400/ 2 = 200/ 2 = 100/ 2 = 50/ 2 = 25/ 2 = 12/ 2 = 6/ 2 = 3/ 2 = 1 resto : 0 0 0 0 1 0 0 1

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o número ficaria assim: 400 = 110010000 (b)

3

Transforme os números abaixo de decimal para binário: a) 21 = __________________ b) 552 = __________________ c) 715 = _________________

Respostas: 10101 b ; 1000101000 b ; 1011001011 b 1.4 – Sistema octal de numeração:

Sistema no qual possui apenas oito algarismos para representá-lo, o 0,1,2,3,4,5,6 e o 7. Também chamado de sistema de base 8, conforme tabela abaixo:

DECIMAL OCTAL DECIMAL OCTAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7

10 11

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

12 13 14 15 16 17 20 21 22 23

1.5 – Conversão do sistema octal para decimal:

Nada mais é do que transformar um número qualquer octal em decimal, conforme regra abaixo:

a) Multiplica-se o algarismo do número octal pela base elevada ao

expoente de sua colocação no número, sendo que a base do número octal é oito. No número 144(o) = 100 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerda X X 1 4 4 X X 82 81 80

1x82 4x81 4x80

64 + 32 + 4 = 100

4

O número 312(o) = 202 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerda 3 1 2 82 81 80

3x82 1x81 2x80

192 + 8 + 2 = 202

Transforme os números abaixo de octal para decimal: a) 77 (o) = __________________ b) 100 (o) = __________________ c) 476 (o) = _________________ d) Por que o número 3489 não é um número octal?

____________________ Respostas: 63 ; 64 ; 318 ; pois possui algarismos oito e nove. 1.6 – Conversão do sistema octal para binário:

Nada mais é do que transformar um número qualquer octal em binário, conforme regra muito simples abaixo:

Toma-se cada algarismo octal e transforme-os em binário

individualmente, mas obedecendo sempre a transformação com três dígitos binário para cada número octal: 27(o) = 010111 (b) 536(o) = 101011110 (b)

2 7 5 3 6 010 111 101 011 110

Transforme os números abaixo de octal para binário: a) 34 (o) = __________________ b) 256 (o) = __________________ c) 44675 (o) = _________________

Respostas: 011100 b ; 010101110 b ; 100100110111101 b

5

1.7 – Conversão do sistema binário para octal: Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em octal,

conforme regra muito simples abaixo: Toma-se cada grupo de três algarismos binários, da direita para

esquerda, e faça a conversão desses grupos individualmente em algarismos octal, mas obedecendo sempre a transformação com três dígitos binário para cada dígito octal: 110010 (b) = 62(o) 11001100(b) = 314 (o)

110 010 011 001 100 6 2 3 1 4

Transforme os números abaixo de binário para octal: b) 10111(b) = __________________ b) 11010101(b) = __________________ c) 1000110011(b) = _________________

Respostas: 27(o) ; 325(o) ; 1063(o)

1.8 – Conversão do sistema decimal para octal: Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em octal,

conforme regra abaixo: Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 8, obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outra divisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos um resultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número em questão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemplo abaixo:

a) Qual o número octal referente ao decimal 92?

92/8 = 11 11/8 = 1 resto: 4 3 Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o número ficaria assim: 92 = 134 (8)

6

b) Qual o número octal referente ao decimal 74?

74/ 8 = 9/ 8 = 1 resto : 2 1

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o número ficaria assim: 74 = 112 (o)

Transforme os números abaixo de decimal para octal: a) 512 = __________________ b) 719 = __________________ c) 200 = _________________

Respostas: 1000(o) ; 1317(o) ; 310(o)

1.9 – Sistema hexadecimal de numeração: Sistema no qual possui apenas 16 algarismos para representá-lo, com

letras inclusas. Também chamado de sistema de base 16, conforme tabela abaixo:

DECIMAL HEXA DECIMAL HEXA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

A B C D E F 10 11 12 13

1.10– Conversão do sistema HEXADECIMAL para decimal:

Nada mais é do que transformar um número qualquer hexa em decimal, conforme regra abaixo:

a) Multiplica-se o algarismo do número hexa pela base elevada ao

expoente de sua colocação no número, sendo que a base do número hexa é 16. As letras deverão ser substituidas pelo equivalente em decimal para fazer a multiplicação. No número 3f1(h) = 1009 (d) ficaria assim:

7

O expoente segue da direita para esquerda X X 3 F 1 X X 162 161 160

3x162 15x161 1x160

768 + 240 + 1 = 1009 O número 312(h) = 786 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerda 3 1 2 162 161 160

3x162 1x161 2x160

768 + 16 + 2 = 786

Transforme os números abaixo de hexadecimal para decimal: a) 1C3 (h) = __________________ b) 238 (h) = __________________ c) 1FC9 (h) = _________________ RESPOSTAS: 451 ; 568 ; 8137

1.11 – Conversão do sistema HEXA para binário: Nada mais é do que transformar um número qualquer hexa em binário,

conforme regra muito simples abaixo: Toma-se cada algarismo hexa e transforme-os em binário

individualmente, mas obedecendo sempre a transformação com quatro dígitos binário para cada número hexa: A7(h) = 10100111 (b) CE3(h) = 110011100011 (b)

A 7 C E 3 1010 0111 1100 1110 0011

Transforme os números abaixo de hexa para binário: c) 1ED (h) = __________________ b) ABF (h) = __________________ c) 37 (h) = _________________

8

Respostas: 111101101 b ; 101010111111 b ; 110111 b

1.12 – Conversão do sistema binário para hexa:

Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em hexa, conforme regra muito simples abaixo:

Toma-se cada grupo de quatro algarismos binários, da direita para

esquerda, e faça a conversão desses grupos individualmente em algarismos hexa, mas obedecendo sempre a transformação com quatro dígitos binário para cada dígito hexa: 11100010 (b) = E2(h) 110011110001(b) = CF1 (h)

1110 0010 1100 1111 0001 E 2 C F 1

Transforme os números abaixo de binário para hexa: d) 1100011(b) = __________________ b) 11000111100011100(b) = __________________ c) 1000110011(b) = _________________

Respostas: 63(h) ; 18F1C(h) ; 233(h)

1.13 – Conversão do sistema decimal para hexa: Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em hexa,

conforme regra abaixo: Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 16, obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outra divisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos um resultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número em questão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemplo abaixo:

a) Qual o número hexa referente ao decimal 1000?

1000/16 = 62 62/16 = 3 resto: 8 14 Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o número ficaria assim: 92 = 3E8 (16)

9

b) Qual o número hexa referente ao decimal 134?

134/ 16 = 8 resto : 6

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o número ficaria assim: 134 = 86 (h)

Transforme os números abaixo de decimal para hexa: b) 384 = __________________ b) 3882 = __________________ c) 350 = _________________

Respostas: 180(h) ; F2A(h) ; 15E(h)

2.0 – OPERAÇÕES ARITMÉTRICAS NO SISTEMA BINÁRIO

Trata-se de um assunto importante para compreensão de como funciona os processos matemáticos digitalmente.

2.1 Adição no sistema binário: Obedece a seguinte tabela :

0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1

1 + 1 = 10 , sendo que o dígito 1 da esquerda pertenceria a próxima casa binária:

Exemplo: A) 110 b + 111 b = 1101 b

1 1

1 1 0 + 1 1 1

1 1 0 1

10

b) 11001 b + 1011 b = 100100 b 1 1 1 1

1 1 0 0 1 + 1 0 1 1 . 1 0 0 1 0 0 Resolva as seguintes somas binárias: a) 11111 b + 111111 b = _________________ b) 101101 b + 11100011 b = ___________________ c) 10101 b + 111 b = ______________________ Respostas: 1011110 ; 10010000 ; 11100 2.2– Subtração no sistema binário: Obedece a seguinte tabela :

0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0

0 – 1 = 1 , e empresta 1 para próxima casa binária:

Exemplos: a) 1000b – 111b = 0001b . 1 0 0 0 - 1 11111 0 0 0 1 b) 10010 b – 10001 b = 00001 b . 1 0 0 1 0 . - 1 0 0 0 1 1 . 0 0 0 0 1

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Resolva as seguintes subtrações binárias: a) 1111111 b - 111111 b = _________________ b) 101101 b - 111 b = ___________________ c) 10101 b - 101 b = ______________________ Respostas: 1000000 b ; 100110 b ; 10000 b 2.3– Multiplicação no sistema binário: Procede como uma multiplicação no sistema decimal: 0 x 0 = 0 1 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 1 = 1 Exemplos: a) 1000b x 1b = 1000 1000 . x 1 . 1000 b) 1100b x 11b = 100100 . 1100 . x 11 . 1100 . 1100- 100100 b) 11010 b x 101 b = 10000010 b . 11010 . x 101 . 11010 . 00000* . 11010** . 10000010 Resolva as seguintes multiplicações: a) 10101b x 11b = ______________ b) 11001b x 10b = _______________

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c) 5A (h) * 11b = ________________ Rspostas: 111111b ; 11011 ; 100001110 3.0 – FUNÇÕES LÓGICAS – PORTAS LÓGICAS Existe na matemática eletrônica digital um modelo de sistema lógico para cálculos e formações de sistemas digitais. Esse modelo matemático chama-se álgebra de Boole. Conjuntamente com esse modelo, temos as funções lógicas que vão dar formas estruturadas às expressões geradas pela álgebra de Boole. Nas funções lógicas, teremos apenas dois estados:

- estado 0 (zero); - estado 1 (um). Esses estados são níveis de eventos opostos entre si, isto é, se o estado zero representa uma torneira fechada, o estado um representa a mesma aberta; se o estado zero representa uma luz apagada, o estado um representa uma luz acesa.

3.1 – Função E ou AND A função E é aquela que representa a multiplicação booleana de duas ou mais variáveis, e sua representação algébrica igual a S = A x B x ....N., que é o mesmo que S = A and B and ... N , sendo S o resultado da expressão. Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a direita temos o símbolo da porta AND com duas variáveis de entrada. A B S

A S B

0 0 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1

3.2 – Função OU ou OR A função OU (OR) é aquela que representa a soma booleana de duas ou mais variáveis, e sua representação algébrica igual a S = A + B + .... N., sendo S o resultado da expressão, que é o mesmo que S = A ou B ou .... N.

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Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a direita temos o símbolo da porta OU com duas variáveis de entrada. A B S

A

S B

0 0 0 1 1 0 1 1

0 1 1 1

3.3 – Função NÃO ou NOT A função NÃO (NOT) é aquela que representa a inversão do estado de entrada da variável, isto é, se na entrada a variável é zero, na saída ficará um; se na entrada a variável é um, na saída ficará zero a S = Ā ou S = A’, sendo S o resultado da expressão. Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a direita temos o símbolo da porta NOT.

A S A S

0 1

1 0

3.4 – Função NE ou NAND A função NE ou NAND é aquela que representa a negativa ou inversão da multiplicação booleana de duas ou mais variáveis, e sua representação algébrica igual a S = A x B x ....N., que é o mesmo que S = A nand B nand ... N , sendo S o resultado da expressão. Abaixo temos a tabela verdade

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dessa função e a direita temos o símbolo da porta NAND com duas variáveis de entrada. A B S

A S B

0 0 0 1 1 0 1 1

1 1 1 0

3.5 – Função NOU ou NOR A função NOU (NOR) é aquela que representa a negativa ou inversão da soma booleana de duas ou mais variáveis, e sua representação algébrica igual a S = A + B + .... N., sendo S o resultado da expressão, que é o mesmo que S = A ou B ou .... N. Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a direita temos o símbolo da porta NOR com duas variáveis de entrada. A B S

A

S B

0 0 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0

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BLOCOS LÓGICOS BÁSICOS PORTA SÍMBOLO TABELA

VERDADE FUNÇÃO LÓGICA

E

AND

A B S Função E: Assume valor 1 quando todas as variáveis forem iguais a 1, e valor zero nos outros casos possíveis.

0 0 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1

OU

OR

A B S Função OU: Assume valor 0 quando todas as variáveis forem iguais a 0, e valor um nos outros casos possíveis.

0 0 0 1 1 0 1 1

0 1 1 1

NE

NAND

A B S Inverso da Função E (AND)

0 0 0 1 1 0 1 1

1 1 1 0

NOU

NOR

A B S Inverso da Função OU (OR)

0 0 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0

NÃO NOT

INVERSOR

A Ā Função NÃO: Inverte a variável aplicada a sua entrada

0 1

1 0

EXERCÏCIO : Faça a tabela verdade e o símbolo das portas NAND e OR com três variáveis de entrada, A,B e C:

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4.0 - CIRCUITOS LÓGICOS, EXPRESSÕES BOOLEANAS E TABELA VERDADE

Através de um ou mais circuitos lógicos associados entre si teremos

uma expressão booleana equivalente. O objetivo será exatamente formar um complexo eletrônico no qual busca-se uma solução digital para um ou mais eventos eventos binário na entrada, através de variáveis.

4.1 – Expressões booleanas geradas por circuitos interligados

Exemplificando, temos o seguinte circuito 1): A S1 S B C Qual seria a expressão booleana?

- Temos S1 = A x B - Temos S = S1 + C - Logo, substituindo S1 , teremos S = A x B + C

Circuito 2) A B C D S = (A+B) x (C+D)

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Circuito 3) A B C D S = (AxB) + C’ + (CxD)’ Circuito 4) A B C D S = { [ (A’ x B) x (B x C)’ x (B + D)’ ]’ }

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Circuito 5) Faça a expressão booleana do seguinte circuito: B C 4.2 - Circuitos obtidos de expressões booleanas: Neste caso teremos uma expressão booleana e formaremos o diagrama do circuito equivalente: Expressão 1) S = (A+B) x C x (B+D) A B C D

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Expressão 2) S = A x B + (A+B) x C’ A B C Expressão 3) S = [ (A x B)’ + (C X D)’ + D] A B C D Expressão 4) ALUNO FAZER S = { [(A’ + B)’ + (C’ x D)’]’ x E + [ (A x D’ x E’) + (C x D x E)] x A’ }

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4.3 - Tabela verdade obtida de expressões booleanas: Para obtermos a tabela verdade, isto é, qual a saída S para todas as combinações nas entradas pelas variáveis, fazemos da seguinte forma: a) Montamos o quadro de combinações das variáveis de entrada; b) Montamos as colunas com os agrupamentos da equação, podendo ter

colunas auxiliares, e uma coluna para o resultado final; c) Preenchemos essas colunas independentemente com resultados obtidos

das variáveis; d) Preenche-se a coluna do resultado final obedecendo os operandos dos

agrupamentos da expressão. Exemplo 1) S = A’ + AB + AB’C (Obs.: Quando coloca-se as variáveis juntas, como AB, é o mesmo que A x B) : A B C 1o Membro

A’ 2o Membro

AB Auxiliar

B’ 3o Membro

AB’C Resultado

S 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

Exemplo 2) S = A’B + BC A B C Auxiliar

A’ 1o Membro

A’B 2o Membro

BC Resultado S

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 1 0 0 0 1

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Exercício 1) Faça a tabela verdade com o resultado S da seguinte expressão: S = (A+B) x C x (B+D) A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

4.3 - Tabela verdade obtida de circuitos: Basta em primeiro lugar achar a expressão booleana do circuito para depois montar a tabela verdade: Exercício 1) Ache a expressão do circuito abaixo e monte a tabela verdade: A B S C

22

Exercício 2) Monte a Tabela verdade da expressão abaixo: S = [ ( A + B) x C] ‘ + [ D x (C + B)] ‘ A B C D A + B S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

Exercício 3) Prove as seguintes equações, através de tabelas verdades comparando-as: a) (A’ x B’) ≠ (A x B)’ b) (A’ + B’) ≠ (A + B)’ c) (A’ x B’) = ( A + B)’ d) (A’+ B’) = (A x B)’

23

Exercício 4) Obtenha dois inversores, um com uma porta NE, outro com uma porta NOU – Dica, fazer a tabela verdade: 5.0 - CIRCUITOS COMBINACIONAIS: Circuitos combinacionais são aqueles que a saída depende única e exclusivamente das várias combinações entre as variáveis de entrada. Temos, então que analisar uma situação real, definir as variáveis e convenções, formar uma tabela verdade, chegar a uma expressão e, finalmente, montar o circuito:

SITUAÇÃO A SER ANALIZA-DA

TABELA VERDADE

EXPRES- SÃO

CIRCUITO

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EXEMPLO 1) RUA B Sinal 2 SINAL 1 RUA (A) PREFERENCIAL SINAL 1

Sinal 2

Temos um cruzamento entre as ruas A e B, queremos colocar um sistema que acione os dois sinais (1) e (2), obedecendo as seguintes situações: 1- Quando houver somente carros na rua A , o sinal 1 deverá estar verde; 2- Quando houver somente carros na rua B , o sinal 2 deverá estar verde; 3- Quando houver carros transitando nas Ruas A e B, o sinal para rua A ficará verde, pois é preferencial, e o da rua B vermelho; Através dos dados acima, serão definidos variáveis e estados das mesmas, para se montar a tabela verdade: a) Existe carro em A -> A = 1 , caso não exista, A = 0 ; Rua A é uma

variável b) Existe carro em B -> B = 1 , caso não exista, B = 0 ; Rua B é uma

variável c) Vd do sinal 1 (V1) aceso, Vd sinal 2 apagado, vm do sinal 2 aceso =>

V1 = 1 ; V2 = 0 d) Vd do sinal 2 (V2) aceso, Vd sinal 2 apagado, vm do sinal 1 aceso =>

V2 = 1 ; V1 = 0

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TABELA VERDADE SITUAÇÃO RUA A Rua B V1 V2

0 1 2 3

0 0 1 1

0 1 0 1

X(1) 0 1 1

X(0) 1 0 0

Convenciona-se que quando a variável de saída é 1, buscamos as variáveis de entrada. Se estiver 1, temos sua designação igual a mesma sem a barra ou o ‘ . Caso contrário, se estiver 0, temos sua designação barrada ou com ‘ . Exemplo: A = 1 ; Ā = 0. Análise sinal 1: Quando teremos Sinal V1 em verde, e obviamente V2 vermelho? Nas situações 0 ou 2 ou 3. Situação 0 =>>>>> A’ x B’ = 1 ou Situação 2 =>>>>> A x B’ = 1 ou Situação 2 =>>>>> A x B = 1. Logo a expressão do Sinal 1 ficará : V1 = A’B’ + AB’ + AB Análise sinal 2: Quando teremos Sinal V2 em verde, e obviamente V1 vermelho? Na situação 1. Situação 1 =>>>>> A’ x B = 1 Logo a expressão do Sinal 2 ficará : V2 = A’B Agora podemos fazer os circuitos que farão funcionar os dois sinais nas condições propostas: V1 = A’B’ + AB’ + AB V2 = A’B A B

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6.0 - ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO: Muitos dos circuitos já estudados permitem simplificação, diminuindo sua complexidade no ato de se fazer o circuito eletrônico. Para tal fim, far-se-á necessário a compreensão da álgebra de Boole e seus postulados. A álgebra de Boole, que são representadas as variáveis por letras, podem estas assumir apenas os valores 1 ou 0. Desta primícia, foram determinados alguns postulados.

6.1 - Postulados. 6.1.1 – Postulado da Complementação: Se A = 0 => A’ = 1 Se A = 1 => A’ = 0 Então, A” = A 6.1.2 – Postulado da Adição: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 Então: A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A A + A’ = 1 6.1.3 – Postulado da Multiplicação: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Então: A x 0 = 0 A x 1 = A A x A = A A x A’ = 0

6.2 – Propriedades: 6.2.1 Propriedade Comutativa:

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6.2.1.1 - Comutativa na soma: A+B = B+A Provar pela tabela verdade: 6.2.1.2 – Comutativa na Multiplicação: AxB = BxA Provar pela tabela verdade: 6.2.2 Propriedade Associativa: 6.2.2.1 – Associativa na Adição: A + (B+C) = (A+B) + C = A + B + C 6.2.2.2 – Associativa na Multiplicação: A x (BxC) = (AxB) x C = A x B xC 6.2.3 Propriedade Distributiva: A x (B+C) = (AxB) +(AxC) 6.3 – Teoremas de Morgan: 6.3.1 – O complemento do Produto é igual à soma dos Complementos de n variáveis: (AxB)’ = A’ + B’ 6.3.2 – O complemento da Soma é igual ao produto dos Complementos: (A+B)’ = A’ x B’ 6.4 – Identidades Auxiliares:

1) A + AB = A Prove: 2) A + A’B = A+B Prove:

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3) (A+B) x (A + C) = A + BC Prove:

6.5 – Simplificação de Expressões booleanas: Baseado nos postulados, teoremas e identidades acima, podemos, quando possível, fazer simplificações de expressões booleanas, facilitando a execução dos circuitos eletrônicos. Exemplo: 1) S = ABC + AC’ + AB’ Resposta : S = A ; Provar: Desenhar os dois circuitos: 2) S = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C Resposta: S = A’C’ + AB’C ; Prove: Exercícios para aula:

a) S = A’B’ + A’B b) S = A’B’C’ + A’BC + A’BC’ + AB’C’ + ABC’ c) S = (A+B+C) . (A’+B’ + C) Respostas: a) S = A’ ; b) S = C’+ A’B ; c) S = AB’ + A’B + C Fazer em casa: S = ( (AC)’ + B + D) ‘ + C(ACD)’ Resposta: S = CD’ + A’C

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6.6 – Simplificação de Expressões booleanas com diagrama Veitch-Karnaugh:

O diagrama Karnaugh foi elaborado com o propósito de simplificar uma expressão ou diretamente de uma tabela verdade.

6.6.1 – Diagrama Karnaugh com duas variáveis:

B’ B A’ 00 01 A 10 11

Exemplo : S = A’B’ + A’B + AB’

B’ B A’ 1 1 A 1 0

Tabela verdade:

A B S 0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

Resposta: S = B’+ A’ 6.6.2 – Diagrama Karnaugh com três variáveis:

A’

B’ B 000 001 011 010

A 100 101 111 110 C’ C C’

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Exemplo 1) : Faça a simplificação da expressão definida pela seguinte tabela verdade:

A B C S 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 0 1 0

S = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’ + A’BC + ABC’

A’

B’ B

A C’ C C’

Resposta: S = A’B + C’ A) : Faça a simplificação da expressão definida pela seguinte tabela verdade:

A B C S 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 0

S =

A’

B’ B

A C’ C C’

Resposta: S = A’C + AC’ + B’C

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B) Faça a tabela verdade e minimize com Karnaugh a seguinte expressão: S = A’B’C’ + A’B’C + A’BC + AB’C + ABC Resp: S = C + A’B’ S = A’BC + AB’C’ + ABC’ Resp.: AC’+ A’BC 6.6.2 – Diagrama Karnaugh com quatro variáveis:

C’ C A’ 0000 0001 0011 0010 B’

0100 0101 0111 0110 B A 1100 1101 1111 1110

1000 1001 1011 1010 B’ D’ D D’

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Exemplo 1)

A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

S = ?

C’ C A’ B’

B A

B’ D’ D D’

Resposta: S = D + AC’ + A’B’C Exemplo 2)

A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1

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S = ?

C’ C A’ B’

B A

B’ D’ D D’

Resposta: AB’CD’+ BCD + A’B + A’D Exercícios: Minimize FAZENDO ANTES A TABELA VERDADE: a) S = A’B’C’D’ + A’ B’C’D + A’B’CD’ + A’BC’D + AB’C’D’+ AB’C’D + AB’CD’ + ABC’D + ABCD Resp: S = ABD + C’D + B’D’ b)

A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1

S = ? RESP: S = A’B +BC +D’

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7.0 - CIRCUITOS COMBINACIONAIS PARTE 2: 7.1 – CÓDIGOS Dentro de um aspecto digital, podemos formar as diversas combinações das variáveis de entrada em códigos específicos. Por exemplo, o código específico da tabela verdade de quatro variáveis (A,B,C e D), ou quatro bits, é chamado de código BCD 8421, que significa Binary Coded Decimal. 7.1.1 – CÓDIGO BCD 8421 Neste código temos exatamente a composição binária de soma uma (1) unidade binário com a soma de uma (1) unidade decimal

7.1.2 – CÓDIGO Excesso 3 Neste código temos o início do código binário adiantado de 3 unidades em relação ao decimal. Neste código temos somente de 0 até 9 decimal. Este código é usado em alguns circuitos aritméticos:

DECIMAL Excesso 3 A B C D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0

DECIMAL BCD 8421 A B C D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

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7.1.3 – CÓDIGO Johnson Neste código, de 5 bits, isto é, 5 variáveis de saída, temos os bits de saída = 1 colocados da direita para esquerda, seqüencialmente, como se fosse um “ônibus” atravessando um rua:

DECIMAL Johnson

A B C D E 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

7.1.4 – CÓDIGO GRAY Neste código temos a característica de deslocar para direita as colunas da esquerda, começando a primeira COLUNA com 0, a segunda com 00, a terceira com 0000 e a quarta com 00000000:

7.2 – Codificadores e Decodificadores: A função de um decodificador no sistema digital é fazer com que um código de entrada seja transformado em outro código na saída deste sistema decodificador. Exemplo: Entrada de dados: Código BCD 8421 ==� Sistema � Saída de dados: Excesso 3 Vejo o sistema como codificador Vejo o sistema como decodificador

DECIMAL GRAY A B C D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0

36

7.2.1 – Decodificador BCD 8421 para Excesso 3:

BCD 8421 A B C D

EXCESSO 3 S3 S2 S1 S0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

Teremos que ter 4 circuitos para definir nosso decodificador. Serão eles S1, S2, S3 e S4. Antes de fazer o circuito, teremos que simplifica-los: S3 = A’BC’D + A’BCD’ + A’BCD + AB’C’D’ + AB’C’D S2 = A’B’C’D + A’B’CD’ + A’B’CD + A’BC’D’ + AB’C’D S1 = A’B’C’D’ + A’B’CD + A’BC’D’ + A’BCD + AB’C’D’ S0 = A’B’C’D’ + A’B’CD’ + A’BC’D’ + AB’C’D’ + A’BCD’ S3:

C’ C A’ B’

B A

B’ D’ D D’

Resposta: S3 = A+ BD +BC S2:

C’ C A’ B’

B A

B’ D’ D D’

Resposta: S2 = B’D+ B’C + BC’D’

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S1 C’ C

A’ B’ B

A B’

D’ D D’ Resposta: S1 = C’D’+CD S0

C’ C A’ B’

B A

B’ D’ D D’

Resposta: S0 = D’ Fazer o circuito: 7.2.1 – Decodificador BCD 8421 para Excesso 3: EXCESSO 3

A B C D BCD 8421 S8 S4 S2 S1

0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

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Na tabela verdade do excesso 3 acima, temos parte da numeração do mapa de Karnaught que não faz parte desta codificação, então tanto faz seu resultado a direita do decodificador, pois na prática, nunca será usado. S8 = AB’CD + ABC’D’ S4 = A’BCD + AB’C’D’ + AB’C’D + AB’CD’ S2 = A’BC’D + A’BCD’ + AB’C’D + AB’CD’ S1 = A’BC’D’ + A’BCD’ + AB’C’D’ + AB’CD’ + ABC’D’ S8:

C’ C A’ B’

B A

B’ D’ D D’

Resposta: S8 = AB + ACD S4:

C’ C A’ B’

B A

B’ D’ D D’

Resposta: S4 = B’D’+ AC’D + BCD S2

C’ C A’ B’

B A

B’ D’ D D’

Resposta: S2 = C’D+CD’ S1

C’ C A’ B’

B A

B’ D’ D D’

Resposta: S1 = D’

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Exercício proposto: Fazer a tabela verdade para acender um display de 7 segmentos, fazendo um decodificador de bcd 8421 para display de 7 segmentos, com a numeração de 0 até 9, simplificar com karnaught e desenhar o circuito. Obedecer a disposição nominal abaixo, para o display de 7 segmentos:

a f

b

g e c

d Exemplo: Para formar o número 1, temos que acender as letras b e c, logo temos b = 1 e c= 1

8.0 - FLIP-FLOPS: O flip-flop é um dispositivo que possui dois estados estáveis. Para o flip-flop assumir um desses estados é necessário que haja uma combinação das variáveis e um pulso, um disparo, que chamaremos de CLOCK. 8.1 – FLIP-FLOP RS: Este flip-flop é pouco usado, pois não permite o uso das entradas 1 e 1. .__________ ___________ _________. ___________. ___________

FF RS R S QF 0 0 0 1 1 0 1 1

Qa 0 1

Não permitido

S Q CK R Q’

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8.2 – FLIP-FLOP JK: Este flip-flop, no caso de J = 1 e K = 1, para ter-se QF = Q’a, é necessário que a entrada clock volte à situação zero, após a aplicação dos sinais na entrada, teremos então, com o pulso de clock, o valor Q’A: .__________ ___________ _________. ___________. ___________

FF JK J K QF 0 0 0 1 1 0 1 1

Qa 0 1

Q’A

8.2.1 – FLIP-FLOP JK com entradas Preset e Clear: Podemos forçar a saída inicial de Q em 1 ou zero, uando nosso flip-flop possuir os recursos de Preset (Pr) e Clear (CLR), conforme tabela verdade abaixo:

FF JK usando PR e CLR CLR PR QF 0 0 0 1 1 0 1 1

Não permitido 0 1

funcionamento normal

8.2.2 – FLIP-FLOP JK mestre-escravo: O flip-flop JK tão somente, caso o clock seja 1, e houver uma modificação nas entradas J e K, automaticamente mudará a saída Q, sem termos uma transição de clock, indesejável para certos circuitos. Então surgiu o JK mestre-escravo, que muda o estado da saída Q quando há uma transição do clock de 0 para 1, conforme a entrada apresentado. Depois disto, mesmo mudando a entrada, somente teremos um novo Qf se o clock for a 0, para ir a 1 novamente, estabelecendo essa nova saída. A tabela verdade é a mesma do item 8.2. 8.3 – FLIP-FLOP Tipo T: Basta unir as entradas J e K para termos esse flip-flop. Faça a tabela verdade. 8.4 – FLIP-FLOP Tipo D: Basta unir as entradas J e K’, isto é, colocando um inversor na entrada para K, e teremos esse flip-flop. Faça a tabela verdade.

J Q CK K Q’

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Aluno: _____________________________ Matrícula_______ Rubrica_________________________ Apost num______ Rubrica Professor ______________________________ Exercícios: 1) 11001011 (b) > decimal? 2) 145 (d) > binario? 3) 111100011110 > hexa? 4) 3FE (h) > decimal 5) FA4 (h) > binario Faça: A) soma binario : 10011101 + 111 = B) Subtração binário: 111100101- 10101 = C) Multiplicação binário: 10111 x 101 =