1DIMENSIONAMENTO TORO

Volume 4 Captulo 1

2

1.1- INTRODUOToro de Saint' Venant: no h nenhuma restrio ao empenamento; s surgem tenses tangenciais. Toro com empenamento impedido: surgem tenses normais de trao e de compresso ao longo da barra, alm das tenses tangenciais. Algumas formas de seo, como a circular, por exemplo, no tendem a empenar, de modo que as tenses normais sero sempre nulas.

hh

x

x

T

Dissipao das tenses normais nas proximidades de um engaste

No caso do concreto armado,

as tenses normais so

dissipadas pela fissurao.

3Toro de compatibilidade: surge em consequncia do impedimento deformao (em vigas de borda, por exemplo).

laje

X

momentosfletores na laje

no estdio I

viga

de

bord

a

X

toro na viga

No estdio I, surge o momento de engastamento X da laje, o qual um momento toror por unidade de comprimento para a viga. Aps a fissurao, esse momento toror diminui muito e no necessita ser considerado no dimensionamento da viga.

4

Toro de equilbrio: os momentos torores so necessrios para satisfazer as condies de equilbrio.

A A

A-A

X-

momentos fletores na marquise

XT

T

toro na viga

51.2- TORO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO O dimensionamento toro das estruturas de concreto armado feito com base no modelo de trelia de Mrsch. A trelia espacial, formada por barras longitudinais, estribos verticais e bielas de compresso. De acordo com a NBR-6118, pode-se escolher uma inclinao arbitrria para as bielas de compresso, no intervalo

oo 4530 . Entretanto, na combinao da toro com o esforo cortante, os ngulos de inclinao das bielas de concreto devem ser coincidentes para os dois esforos. Assim, empregando-se o modelo para esforo cortante apresentado no captulo 6 do Volume 1, deve-se considerar o45= para o dimensionamento toro.

6

linha mdiat

t

C1

Os ensaios mostram que, aps o surgimento das fissuras de toro, somente uma pequena casca de concreto, junto face externa da seo transversal da barra, colabora na resistncia toro: a resistncia toro de uma seo cheia equivalente resistncia de uma seo vazada com as mesmas armaduras. O dimensionamento toro de uma seo cheia feito para uma seo vazada equivalente.

Seo vazada equivalente para uma seo poligonal convexa macia

CEB/90: A seo vazada possui o mesmo contorno externo da seo macia e uma parede de espessura t.

7 Nos casos em que a seo real j vazada, deve-se considerar o menor dos seguintes valores para a espessura da parede: a espessura real da parede da seo vazada; a espessura equivalente calculada supondo uma seo cheia de mesmo contorno externo da seo vazada.

At = (Espessura da parede da seo vazada equivalente)

A= rea da seo cheia = permetro da seo cheia.

8

( )hbbht += 2

( )( )thtbAe =( )thbu 22 +=

Critrios da NBR-6118:

9

( )( )11 22 ChCbAe =( )142 Chbu +=( ) 122 Cbhb

bht +=

10

1.3- ANALOGIA DA TRELIA DE MRSCH

Trelia espacial de Mrsch

bm

bm

Td estribo

barra longitudinal

biela de compresso

45o 45o

A

I I

IFazemos o equilbrio do n A

e da seo transversal I-I

11

Equilbrio do n A:

Fte

Fte

Fts

Fts

FcFc45o

45oA

Foras em um n da trelia

Fora de trao nos estribos:

245cos cteo

cte FFFF == (1.3.1)

Fora nas barras longitudinais:

245cos ctso

cts FFFF == (1.3.2)

12

Equilbrio da seo transversal:

Fc/ 2

Fc/ 2

Fc/ 2

Fc/ 2 bm

b m

Projeo das foras de compresso na seo

transversal

Equilbrio da seo transversal:

22 cmd

FbT = (1.3.3)

Fora de compresso na biela de concreto:

2m

dc b

TF = (1.3.4)

13

Substituindo (1.3.4) nas equaes (1.3.1) e (1.3.2):

m

dtste b

TFF

2== (1.3.5)

Dimensionamento dos estribos:

1sA = rea da seo transversal de um estribo. s = espaamento dos estribos ao longo do eixo da pea. A rea total de ao em um comprimento mb

1sm

s Asb

A = (1.3.6) Fora de trao resistente:

ydms

ydster fbsA

fAF 1== (1.3.7) Igu

ais

para

gar

antir

equ

ilbr

io

14

Fazendo teter FF = , chega-se a

yde

dsfA

TsA

21 = , cm2/cm (1.3.8)

onde 2me bA = a rea limitada pela linha mdia da parede fictcia.

yde

dsw fA

TA

2100= , cm2/m (1.3.9)

rea de estribos por metro de comprimento da viga

15

Observaes: No caso da toro, s se pode contar com um ramo dos estribos, pois todos os ramos esto submetidos fora de trao teF , inclusive aqueles situados nas faces superior e inferior da

viga. Desse modo, os estribos para toro devem ser fechados, obrigatoriamente. Antes de empregar as tabelas para estribos de 2 ramos constantes no Apndice 3 do Volume 2, deve-se multiplicar a rea swA por 2.

16

Dimensionamento da armadura longitudinal:

Fts

bm

bm

modelo

disposio real

AslModelo e disposio

real das barras longitudinais na seo

m

dtste b

TFF

2== (equao (1.3.5))

tsF = fora de trao solicitante concentrada em cada quina da seo Fora tsf por unidade de comprimento da linha mdia da parede

fictcia: e

d

m

tsts A

TbF

f2

== (1.3.10)

17

Fora de trao resistente por unidade de comprimento da linha

mdia: ufA

f ydsltsr = (1.3.11) onde slA a rea da seo das barras longitudinais distribudas ao longo da linha mdia da parede fictcia e u o permetro da linha mdia da parede.

Igualando (1.3.11) a (1.3.10), resulta

yde

dsl fA

uTA

2= , cm2 (1.3.12)

rea total da armadura longitudinal, distribuda ao longo da linha mdia

18

Verificao das bielas de compresso:

bm

45oho

t

Fc

seo vazada

vista lateralSolicitao na biela inclinada

A fora cF atua em uma rea oc thA = , onde t a espessura da parede fictcia e oh a dimenso normal fora, dada por

245sen moo

mo bhbh == (1.3.13)

2md

c bT

F = (1.3.4) Visto anteriormente

Fazendo ccc AF= , resulta:

tAT

e

dc = (1.3.14)

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Considerando a distribuio das tenses tangenciais na seo transversal vazada, pode-se demonstrar (ver cap.1, Volume 4) que

tdc 2= , onde tATe

dtd 2= (1.3.22) Tenso

convencional de cisalhamento

Segundo a NBR-6118, deve-se limitar cdvc f 50,0 , para no haver esmagamento das bielas.

Fazendo isto, resulta tutd (1.3.24) onde cdvtu f 25,0= (1.3.25) sendo 2501 ckv f= , com ckf em MPa.

20

1.4- CRITRIO DE PROJETO DA NBR-6118

tue

dtd tA

T =2

; cdvtu f 25,0= ;

2501 ckv f= com ckf em MPa Nos casos correntes, onde h toro com flexo, deve-se garantir

que 1+wu

wd

tu

td

onde wd e wu so as tenses tangenciais obtidas no dimensionamento ao esforo cortante.

Verificao da segurana das bielas:

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Estribos verticais para toro: yde

dsw fA

TA

2100= , cm2/m

Armadura longitudinal: yde

dsl fA

uTA

2= , cm2

Para o clculo das armaduras, deve-se limitar a tenso de escoamento do ao em 435 MPa.

Observaes: 1) Os estribos para toro devem ser fechados e com extremidades ancoradas por meio de ganchos em ngulo de 45o. O dimetro da barra do estribo deve ser maior ou igual a 5 mm e no deve exceder 1/10 da largura da alma da viga.

22

2) As armaduras obtidas nos dimensionamentos toro e flexo so superpostas. Na soma das sees necessrias dos estribos, deve-se lembrar que para a toro s se pode contar com um ramo dos mesmos. rea total de estribos: TswVswtotsw AAA ,,, 2+=

VswA , = rea dos estribos para o esforo cortante

TswA , = rea de estribos para toro. 3) A rea total dos estribos, totswA , , deve respeitar a rea mnima,

wwsw bA 100min,min, = , cm2/m, onde wb a largura mdia da seo da pea.

yk

ctmw f

f2,0min, =

23

Tabela 1.4.1 - Valores de min,w (%) para o ao CA-50 ckf (MPa) 20 25 30 35 40 45 50

min,w 0,09 0,10 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 ckf (MPa) 55 60 70 80 90

min,w 0,17 0,17 0,18 0,19 0,20 4) O espaamento mximo dos estribos dado por

306,0max = ds cm, se 67,0+ wuwdtutd ; 203,0max = ds cm, se 67,0>+ wuwdtutd ;

onde d a altura til da seo da viga. 5) A rea mnima da armadura longitudinal, Asl min, , dada por

A ubsl minw min

w,,= 2

, cm2, onde u o permetro da linha mdia da

parede da seo vazada equivalente e w min, dado na tabela.

24

6) Em cada canto da armadura transversal, devem-se colocar barras longitudinais de bitola pelo menos igual da armadura transversal e no inferior a 10. 7) Em sees retangulares com dimenses no superiores a 40cm, a armadura longitudinal para toro pode ser concentrada nos cantos. Em sees maiores, a armadura longitudinal deve ser distribuda ao longo do permetro da seo, para limitar a abertura das fissuras. Recomenda-se que o espaamento dessas barras no seja superior a 20 cm. Em qualquer caso, as barras longitudinais devem ser distribudas de forma a manter constante a relao

uAsl .

25

1.5- EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO

l v=3,

2m

0,25 1,5m

A

25

40

10cm6

A-A

parede: h=1m, e=15cm

marquise

A

P1-25x25

P2-25x25

Viga suportando uma marquise

26

92,02502012501 === ckv f 5,327,0 == wucdvwu f MPa

2,325,0 == tucdvtu f MPa

A) Clculo da marquise Cargas de servio na marquise:

- peso prprio: 22

06,010,025 =

+ kN/m2 - revestimento: 0,8 kN/m2 - carga acidental: 0,5 kN/m2 - carga acidental na extremidade do balano: 1 kN/m

Concreto: 20=ckf MPa; 3,144,1 ==ck

cdf

f MPa

27

1 kN/m3,3 kN/m2

lm=1,63 m

Rk

Xk

Modelo de clculo da marquise

4,6=kR kN/m 6=kX kNm/m

B) Esforos na viga Momento toror por unidade de comprimento 6=kX kNm/m.

6,92

2,362

=== kvkk TxlXT kNm (momento toror)

28

Cargas verticais aplicadas na viga: - ao da marquise: 4,6=kR kN/m - peso prprio: 5,24,025,025 =xx kN/m - parede de tijolo furado: 95,1115,013 =xx kN/m Carga total de servio: 85,10=kp kN/m. Esforo cortante de servio:

36,172

2,385,102

=== kvkk VxlpV kN

29

+= vvpppp

eng lIlIlI

MM24

41 Momento negativo na viga

122vkeng lpM = = momento de engastamento perfeito vI = momento de inrcia da seo da viga

pI = momento de inrcia das sees dos pilares.

2,3=vl m ; 5,3=pl m ; 85,10=kp kN/m 86,21 =M kNm.

30

Momento positivo no vo:

03,1186,28

2,385,108

2

1

2

2 ==+= xMlpM vk kNm

Diagramas de esforos solicitantes de servio na viga

31

Sees para dimensionamento da viga: engaste e seo central

Seo central: apenas o momento fletor 03,112 =kM kNm. Dimensionamento flexo simples armadura mnima.

Logo a seo crtica a seo dos engastes. Esforos solicitantes de clculo no engaste:

44,136,94,1 == xTd kNm (momento toror) 00,486,24,1 == xMd kNm (momento fletor) 30,2436,174,1 == xVd kN (esforo cortante)

32

C) Dimensionamento toro

b=25cm

h=40 d=36

C1=4

4Dados da seo

vazada equivalente

( ) 69,72 =+= hbbht cm

8422 1 == xC cm Como 12Ct < : seo vazada do caso 2 178252 1max === Cbt cm Como 69,7max =< ttt cm

( )( ) 54422 11 == ChCbAe cm2 ( ) 9842 1 =+= Chbu cm

33

Verificao das tenses no concreto:

161,069,75442

13442

=== tde

dtd xxtA

T kN/cm2 ( 61,1=td MPa)

027,036253,24 === wd

w

dwd xdb

V kN/cm2 ( 27,0=wd MPa)

158,0

35

D) Dimensionamento flexo Para o esforo cortante 30,24=dV kN, resulta AswV, = 0, pois ( ) 011,1 == cwdd . Para o momento fletor 00,4=dM kNm, resulta a armadura mnima A bh x xs min min,

,,= = = 0 15

10025 40 1 5cm2 As = 15, cm2

E) Superposio das armaduras rea total dos estribos: A A A xsw tot sw V sw T, , , , ,= + = + =2 0 2 2 84 5 68 cm2/m rea mnima de estribos: 25,2100min,min, == wwsw bA cm2/m Asw tot, ,= 5 68 cm2/m.

36

Como resultou 67,0+ wuwdtutd :

=== 21

306,216,0

maxmax scmcmd

s cm

Tabela A3.3 (Apndice 3 do Volume 2): Para Asw tot, ,= 5 68 cm2/m, obtm-se a soluo 10.3,6 c .

OK!

Superposio das armaduras longitudinais

Engastar as armaduras

longitudinais nos pilares

As=1,5cm2

+

Asl/2=1,39cm2

Asl/2

=

212,5+18(2,95cm2)

para Md

para Td

As 212,5+18