84
DESENHO GEOMÉTRICO Clarissa Ferreira Albrecht Luiza Baptista de Oliveira Coordenadoria de Educação Aberta e a Distância 20 Departamento de Arquitetura e Urbanismo

Apostila desenho geométrico

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Apostila de Desenho com exercícios.

Citation preview

  • DESENHOGEOMTRICO

    Clarissa Ferreira Albrecht Luiza Baptista de Oliveira

    DESENHODESENHOGEOMTRICOGEOMTRICOGEOMTRICOGEOMTRICO

    Clarissa Ferreira Albrecht Clarissa Ferreira Albrecht Luiza Baptista de Oliveira Luiza Baptista de Oliveira

    Coordenadoria de Educao Aberta e a Distncia20

    Departamento de Arquitetura e Urbanismo

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    2

    DESENHOGEOMTRICO

    Universidade Federal de Viosa

    ReitoraNilda de Ftima Ferreira Soares

    Vice-ReitorDemetrius David da Silva

    Conselho EditorialAndra Patrcia Gomes

    Joo Batista MotaJos Benedito Pinho

    Jos Luiz BragaTereza Anglica Bartolomeu

  • 3DESENHOGEOMTRICO

    DiretorFrederico Vieira Passos

    Avenida PH Rolfs s/nCampus Universitrio, 36570-000, Viosa/MGTelefone: (31) 3899 2858 | Fax: (31) 3899 3352

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    4

    DESENHOGEOMTRICO

    ALBRECHT, Clarissa e OLIVEIRA, Luiza - Desenho Geomtrico. Viosa, 2012.

    Layout e Capa: Diogo Rodrigues e Daniel Fardin

    Editorao Eletrnica: Diogo Rodrigues

    Desenhos elaborados no GeoGebra: Cristiano Ferreira de Oliveira

    Reviso Final: Joo Batista Mota

  • 5DESENHOGEOMTRICO

    1. INTRODUO2. A TCNICA3. CONSTRUES FUNDAMENTAIS4. TANGNCIA5. CONCORDNCIA6. MTODOS DE ESTUDO DOS PROBLEMAS DE DESENHO GEOMTRICO7. OS PRINCIPAIS LUGARES GEOMTRICOS8. SEGMENTOS PROPORCIONAIS9. EQUIVALNCIA10. SEMELHANA E HOMOTETIA11. CNICAS12. ESPIRAIS13. PROCESSOS APROXIMADOSREFERNCIAS BIBLIOGRFICASNOTAS FINAIS

    SUMRIO79

    15323537404656637074778384

    APRESENTAO 6

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    6

    DESENHOGEOMTRICO

    Este material foi desenvolvido como apoio didtico disciplina de graduao ARQ 102 Desenho Geomtrico, oferecida pelo Departamento de Arquitetura e Urbanismo da Universidade Federal de Viosa.

    O objetivo apresentar, de forma lgica e instrutiva, o contedo abordado na disciplina Desenho Geomtrico, possibilitando o estudo e o entendimento de outros tipos de desenhos teis na Arquitetura, Engenharia, Matemtica e outras reas de conhecimento.

    Ressalta-se que o estudo e a prtica do Desenho Geomtrico se constituem num exerccio mental capaz de desenvolver o raciocnio lgico-dedutivo e a cria-tividade na busca por solues de problemas diversos.

    Apresentao

  • 7DESENHOGEOMTRICO

    Introduo

    !

    1.1 O que o Desenho Geomtrico

    De acordo com sua nalidade, o desenho pode ser classi cado em trs reas gerais:

    Desenho de Expresso ou Artstico Desenho de Representao ou Tcnico Desenho de Resoluo ou de Preciso

    O Desenho de Resoluo ou de Preciso abrange o Desenho Geomtrico, a Geometria Descritiva e a Perspectiva.

    Especi camente, o Desenho Geomtrico um conjunto de tcnicas utiliza-das para construo de formas geomtricas desenvolvidas na resoluo de pro-blemas para obter-se respostas to precisas quanto possvel.

    O processo de Desenho Geomtrico baseia-se nas construes com rgua e compasso regidas pelos trs primeiros dos cinco Postulados de Euclides, sendo eles:

    a. Traar uma linha reta de um ponto qualquer a outro ponto qualquer;b. Estender um segmento de reta continuamente em uma linha reta;c. Descrever um crculo com qualquer centro e qualquer raio;d. Todos os ngulos retos so iguais;e. Que, se uma linha reta caindo sobre duas linhas retas faz ngulos inter-

    nos do mesmo lado cuja soma seja menor do que dois retos, as duas linhas retas, se estendidas inde nidamente, encontram-se no mesmo lado em que a soma dos ngulos internos menor do que dois retos.

    Embora o uso de rgua e compasso tenha uma relevncia histrica, a im-portncia do Desenho Geomtrico para o desenvolvimento das faculdades es-paciais tem favorecido a adeso de sistemas computacionais como ferramentas no processo de ensino-aprendizagem. Tais sistemas possibilitam a obteno de desenhos ainda mais precisos, alm de favorecer a aplicao do Desenho Geomtrico nas reas de atuao que nele se baseiam.

    1.2 A origem do Desenho Geomtrico

    As formas geomtricas esto em toda parte. A Geometria foi desenvolvida a partir de observaes exaustivas para suprir a necessidade do homem em domi-nar as propriedades do espao utilizando o sistema de pontos, linhas, superfcies e slidos.

    Para os matemticos da Antiguidade, foi imprescindvel que houvesse m-todos de construes geomtricas necessrios ao entendimento e enriqueci-mento terico da Geometria, e ao desenvolvimento das solues dos problemas geomtricos.

    A Geometria como cincia dedutiva teve incio na Grcia Antiga, aproxima-damente no sculo VII a.C., graas aos esforos de lsofos predecessores de Euclides, como Tales de Mileto, Pitgoras e Eudoxio. Por volta de 300 a.C., Euclides deu uma grande contribuio para a Geometria ao escrever o livro Elementos

    Captulo 1DESENHOGEOMTRICO

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    8

    DESENHOGEOMTRICO

    que constitudo por 13 volumes. Nesta obra, o autor descreveu a Geometria de modo elaborado e estabeleceu um mtodo de demonstrao clara e rigorosa.

    Foram os gregos que deram um molde dedutivo Matemtica. A partir da Geometria Grega foi desenvolvido o Desenho Geomtrico a ser tratado nesta apostila. No havia entre os gregos uma diferenciao entre Desenho Geomtrico e Geometria. O Desenho Geomtrico era utilizado na forma de construes geo-mtricas para solucionar um problema terico dos textos de Geometria.

    Assim, pode-se dizer que o Desenho Geomtrico uma parte da Geometria que, desde a Antiguidade at os dias atuais, prope-se a resolver gra camente problemas de natureza terica e prtica que permeiam inmeros mbitos do cotidiano.

    1.3 A importncia do Desenho Geomtrico

    O Desenho Geomtrico ocupa lugar de destaque no estudo e na prtica da Matemtica devido ao fato de muitos problemas tcnicos poderem ser resol-vidos com maior rapidez e clareza por meio de processos gr cos do que por processos analticos.

    O Desenho Geomtrico uma das bases que sustentam o Desenho Tcnico, o Desenho de Resoluo (Grafosttica, ptica Gr ca e Namogra a etc.) e ainda o Desenho Artstico.

    A exatido e a preciso exigidas no Desenho Geomtrico fazem dele um alia-do importante na aplicao de conceitos da Geometria em reas signi cativas do conhecimento humano, como a Arquitetura, a Engenharia, a Matemtica, en-tre outras. Por meio do Desenho Geomtrico so encontradas respostas precisas para problemas de natureza prtica ou terica. O exerccio intelectual feito na busca por solues exatas permite que o estudante desenvolva a habilidade de visualizar, prever e gerar novas ideias.

  • 9DESENHOGEOMTRICO

    2.1 Postulados do Desenho Geomtrico

    Cada tipo de desenho tem seus prprios postulados, inclusive seus prprios instrumentos de trabalho. Para que o estudo do Desenho Geomtrico possa ser encadeado de forma lgica e racional, visando a construo do conhecimento e o desenvolvimento do raciocnio gr co, necessria a adoo de alguns postu-lados, baseados na teoria e consagrados pelo uso.

    1 Postulado: Os instrumentos permitidos no Desenho Geomtrico so a r-gua e o compasso comum e de ponta seca, com os quais podem ser executadas as seguintes operaes gr cas: Assinalar um ponto geomtrico, pela intercesso de duas linhas; Traar uma reta completamente arbitrria ou arbitrria passando por um

    ponto; Traar uma reta por dois pontos conhecidos; Traar um arco de circunferncia, de centro e raio arbitrrios ou um deles

    conhecido; Traar um arco de circunferncia de centro e raio conhecido; Transportar um segmento conhecido.A graduao da rgua somente deve ser utilizada para colocar no papel os

    dados de um problema ou eventualmente para conferir uma resposta.

    2 Postulado: No permitido fazer contas com as medidas dos dados de-vendo a resposta ser obtida gra camente, entretanto, so permitidas considera-es algbricas na deduo ou justi cativa de um problema.

    Ex. determinao do ponto mdio de um segmento, quarta proporcional etc.

    3 Postulado: No permitido obter respostas mo livre ou por tentativa e erro. Esses mtodos podem levar a particularizao da soluo, que pode no se aplicar quando alteram-se os dados do problema.

    2.2 O material de desenho

    Na prtica do Desenho Geomtrico, ter o material adequado fundamental, mas no su ciente; imprescindvel saber us-lo de forma correta.

    a) Superfcie de trabalhoA superfcie de trabalho deve ser plana, regular e limpa. O papel deve ser

    xado sobre a mesa de trabalho com uso de ta adesiva em suas extremidades.

    b) LapiseiraPriorizar o uso de lapiseira com ponta de, no mximo, 0,5mm e gra te com

    dureza mdia, tipo HB. Ao utilizar a lapiseira, apie bem a mo sobre o papel e trace da esquerda para direita.

    c) Borracha aconselhvel que a borracha seja macia, apague com facilidade - sem agre-

    dir o papel, esteja sempre limpa e seja movimentada sempre no mesmo sentido, segurando a folha com a outra mo.

    Captulo 2A tcnica

    DESENHOGEOMTRICO

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    10

    DESENHOGEOMTRICO

    d) RguaDeve-se utilizar uma rgua de alta preciso. Conserve a rgua limpa usando

    uma anela. No utilize a rgua para cortar papel.

    e) Compasso importante que o compasso apresente abertura rme, e que a ponta de

    gra te esteja lixada corretamente. O raio do compasso deve ser ajustado fora do desenho em resoluo. O giro do compasso deve ser conduzido apenas no sentido horrio.

    2.3 Erros Gr cos

    Um futuro pro ssional de Matemtica, Engenharia ou Arquitetura precisa saber desenhar com preciso e destreza. O estudo dos erros gr cos funda-mental para que, desde o incio, o estudante desenvolva o hbito de desenhar de forma correta e, assim, alcanar uma preciso cada vez maior na resoluo gr ca de problemas.

    O erro gr co relacionado preciso inevitvel, entretanto, pode ser mini-mizado. Para isto, necessrio conhecer os tipos de erros, suas origens e formas prticas de minimiz-los.

    Podemos de nir dois tipos de erros: Erro gr co linear a distncia entre o ponto procurado e o ponto obtido

    gra camente, e; Erro gr co angular o ngulo entre a reta procurada e a reta obtida gra-

    camente.Tanto o erro linear como o erro angular pode ser classi cado em dois tipos: Erro parcial o erro cometido em cada operao gr ca, e Erro total o somatrio dos erros parciais obtido no nal da construo

    gr ca.Existem basicamente trs causas para os erros gr cos parciais: Representao das linhas e pontos geomtricos por meio de traos, pois

    o ponto geomtrico no tem dimenso e a linha, apenas uma dimenso. No entanto, linhas e pontos so representados gra camente por meio de traos, e assim estes elementos adquirem dimenso. Portanto, o trao utilizado na obten-

  • 11

    DESENHOGEOMTRICO

    o de pontos e linhas deve ser o mais estreito possvel. Imperfeies dos instrumentos de desenho. Portanto, para aproximar-se

    mais da preciso exigida devem ser utilizados instrumentos de desenho de me-lhor qualidade e gra te com dureza mdia. De cincia do desenhista, devido falta de prtica, cuidado e conheci-

    mento.

    2.4 Preceitos para minimizar o erro gr co

    Alm da prtica do desenhista aliada ao uso dos instrumentos adequados, algumas tcnicas de desenho podem ajudar a diminuir o erro gr co na reso-luo de um problema de Desenho Geomtrico, de forma a obter um resultado com maior preciso, qualidade bsica no Desenho de Resoluo e Preciso.

    Abaixo encontram-se os preceitos para minimizar o erro gr co no Desenho Geomtrico:

    1 Preceito: Um ponto sempre determinado pela interseo de duas linhas, que no devem se interceptar muito obliquamente, minimizando o erro linear.

    2 Preceito: Uma reta sempre determinada por dois pontos, que devem estar o mais afastado possvel um do outro, minimizando o erro angular a.

    3 Preceito: Para a resoluo de um problema, existe geralmente mais de um processo. Com isso, deve ser escolhido o processo que tem o menor nmero de operaes gr cas, minimizando desta forma o erro total.

    4 Preceito: No fazer operaes supr uas, mas aproveitar traos j dese-nhados.

    5 Preceito: Traar as linhas com comprimento su ciente para no precisar prolong-las depois.

    6 Preceito: No usar linhas de construo tracejadas.

    7 Preceito: Ao traar mais de uma paralela ou perpendicular tenha sempre a mesma reta base como referncia.

    8 Preceito: Procurar usar sempre pontos, linhas e segmentos dados, ao in-vs dos obtidos, minimizando o acmulo de erros gr cos.

    A tcnica

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    12

    DESENHOGEOMTRICO

    2.5 Tipos de linhas

    Na resoluo gr ca dos problemas de Desenho Geomtrico devem ser uti-lizadas somente linhas contnuas estreitas, que devem ser:

    Forte para os dados e resultados Leve para as linhas auxiliares

    2.6 Convenes

    Ao resolver gra camente um problema obrigatrio nomear, ou seja, colo-car letras, nos dados e nas respostas, mas facultativo nomear os pontos e linhas auxiliares. Cada gura geomtrica possui uma conveno espec ca, como se segue:

    A Ponto: qualquer letra latina maisculaa Reta: qualquer letra latina minsculaAB Segmento de reta: duas letras maisculas latinas ngulo: qualquer letra do alfabeto grego= Igual Diferente Coincidente~ Semelhante Equivalente Dimetro^ Perpendicular// Paralelo

    2.7 Conceitos geomtricos

    a) O ponto Em Desenho Geomtrico, o ponto representado pela interseo de duas

    linhas, que podem ser retas ou curvas. O ponto no tem largura nem compri-mento, sendo assim adimensional.

    b) A linhaA representao de uma linha feita pelo movimento da lapiseira sobre o

    papel. A linha no tem largura, tem apenas comprimento.

    ou

  • 13

    DESENHOGEOMTRICO

    c) A reta A reta de nida como o resultado do deslocamento de um ponto em uma

    nica direo. Uma reta possui in nitos pontos e in nita nos dois sentidos, ou seja, no tem comeo nem m. Por um nico ponto passam in nitas retas, en-quanto que, por dois pontos, passa apenas uma reta.

    d) Semirreta A semirreta a parte da reta limitada por um de seus pontos. Assim, trata

    do deslocamento de um ponto em uma nica direo e em um nico sentido. A semirreta apresenta um ponto de origem sendo in nita apenas em um sentido.

    e) Segmento de retaSegmento de reta a parte da reta limitada por dois de seus pontos. Por ele

    ser limitado possvel atribuir-lhe um comprimento.

    2.8 Posies Relativas

    a) Pontos colinearesSo pontos que pertencem a uma mesma reta.

    b) Segmentos colinearesSo segmentos que pertencem a uma mesma reta.

    c) Segmentos consecutivosSo segmentos cuja extremidade de um coincide com a extremidade do ou-

    tro.

    A tcnica

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    14

    DESENHOGEOMTRICO

    d) Retas concorrentesSo retas que concorrem, ou seja, se interceptam, em um nico ponto co-

    mum s duas retas.

    e) Retas perpendicularesSo retas que se interceptam formando um ngulo reto, ou seja, de 90.

    g) Retas paralelasSo retas que conservam entre si sempre a mesma distncia, isto , no pos-

    suem ponto em comum.

    h) Retas oblquas ou inclinadasSo retas que se interceptam formando um ngulo qualquer, diferente de

    90.

  • 15

    DESENHOGEOMTRICO

    As construes fundamentais so aquelas bsicas, necessrias para a resolu-o dos problemas de Desenho Geomtrico e tambm de outros tipos de dese-nho. A seguir, sero apresentados os processos que permitem a soluo com o menor nmero de operaes gr cas utilizadas para as construes fundamen-tais.

    3.1 Transporte, soma e subtrao de ngulos e segmentos

    O transporte, a soma e a subtrao de ngulos so feitos pela construo de tringulos semelhantes, em que um de seus ngulos internos o ngulo dado.

    a. Dada uma reta r com uma inclinao qualquer, construa uma reta s, que apresente a mesma inclinao de r.

    CONSTRUO

    Construir uma reta b qualquer, que intercepte a reta r em A. Com cen-tro em A, traar um arco de raio qualquer que intercepte a reta r em C, e a reta b em B. De nir um ponto D qualquer sobre a reta b. Com centro em D, traar um arco de raio AB que intercepte a reta b em E. Com o raio do compasso igual a BC, marcar o ponto F traando um arco com centro em E. Por m, construir uma reta que contenha D e F. O trans-porte de ngulos feito de maneira anloga.

    Construes fundamentais

    Captulo 3DESENHOGEOMTRICO

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    16

    DESENHOGEOMTRICO

    b. Somar um ngulo de 60, a partir de um ngulo de 90 dado.

    CONSTRUO

    Com centro no ponto A, traar um arco que intercepte a reta r em B. Com centro em B e raio AB interceptar o arco de raio AB em C. Traar um segmento de reta a partir de A em direo ao ponto C. O CAD igual a 150.

    c. Dado um segmento AB qualquer, transportar a medida AB para reta r.

    CONSTRUO

    Com centro em um ponto C qualquer, pertencente reta r, traar um arco de raio AB que intercepte a reta r determinando o ponto D.

    . O

  • 17

    DESENHOGEOMTRICO

    3.2 Construo de ngulos

    ngulo de 60

    CONSTRUO

    Traar uma reta qualquer. Sobre a reta marcar um ponto A. Fazer um arco com centro em A, de raio arbitrrio, encontrando assim o ponto B sobre a reta. Com centro em B e raio AB traar outro arco obtendo assim C. Traar uma reta contendo A e C.

    Bissetriz

    Dado um ngulo formado pelo encontro de duas retas concorrentes, de ne-se como bissetriz a reta que passa pelo vrtice deste ngulo cujos pontos so equidis-tantes das duas retas que determinam o ngulo.

    a. Dadas as retas a e b concorrentes no ponto O, traar a bissetriz do ngulo formado.

    CONSTRUOTraar um arco com raio qualquer e centro em O, determinando os pontos A e B. Traar dois arcos de mesmo raio r, sendo r > 1/2AB, com centros em A e em B determinando C. A bissetriz a semirreta de ori-gem O que contm C.

    Construes fundamentais

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    18

    DESENHOGEOMTRICO

    b. Dadas as retas a e b concorrentes, traar a bissetriz do ngulo sem usar o vrtice.

    CONSTRUO

    Traar uma reta c que intercepte a reta a em A e a reta b em B. Traar as bissetrizes dos ngulos com vrtice em A e em B. A intercesso das bissetrizes de nir os pontos C e D. Traar a reta de nida por C e D.

    ngulo de 90A construo bsica para o traado de duas retas perpendiculares, ou seja,

    que determinam um ngulo de 90 entre si, baseia-se na de nio de mediatriz. Por de nio, a mediatriz de um segmento a reta perpendicular ao segmento no seu ponto mdio, e tem como propriedade que todos os seus pontos, e so-mente eles, equidistam das extremidades do segmento.

    a. Dados os pontos A e B, pertencentes a uma reta a, construir uma reta p perpendicular reta a, passando pelo ponto mdio do segmento AB. Desta for-ma, a reta p ser a mediatriz de AB.

  • 19

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Tomando o ponto A como centro traar um arco de raio r, tal que r >1/2 AB. Com centro em B, traar outro arco de mesmo raio, obtendo assim os pontos C e D, determinados pela interseo dos arcos. A mediatriz ser, ento, a reta p que contm C e D.

    b. Dados uma reta a e um ponto P, construir uma reta b perpendicular reta a passando pelo ponto P. O ponto P pode pertencer ou no reta a.

    CONSTRUO

    Traar um arco com centro em P, cujo raio seja maior que a distncia de P reta a obtendo assim dois pontos A e B. Em seguida traar a me-diatriz do segmento AB, de nida pelos pontos P e C. Note que a reta b procurada mediatriz do segmento AB.

    c. Dada a reta a, construir uma reta b perpendicular reta a.

    Construes fundamentais

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    20

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Marcar um ponto O qualquer sobre a reta a. Com centro em O e raio OA traar uma semicircunferncia obtendo o ponto B. Com centro em A e raio r qualquer, construir um arco determinando o ponto B. Com mesmo raio r, determinar C traando um arco com centro em B. Determinar D traando outro arco de mesmo raio r e centro em C. Por m, determinar a bissetriz do ngulo CD.

    3.3 Paralelas

    Por de nio, duas retas so paralelas quando todos os pontos pertencentes a uma esto mesma distncia da outra, sendo que a distncia entre um ponto e uma reta a menor distncia possvel entre eles. Portanto, esta distncia de-terminada pela perpendicular reta que passa pelo ponto.

    a. Dados uma reta a e um ponto A, traar uma reta b paralela a, utilizando o ponto A.

    CONSTRUO

    Marcar um ponto O qualquer sobre a reta a. Com centro em O e raio OA traar uma semicircunferncia obtendo o ponto B. Com raio arbitrrio e centro em A, traar um arco interceptando a semicircunferncia e determinando o ponto D. Com mesmo raio arbitrrio e centro em B, determinar o ponto C. Unindo os pontos C e D tem-se a reta b, paralela reta a.

    b. Dada uma reta a, traar as paralelas b a uma distncia XY da reta a.

    GE = HI

  • 21

    DESENHOGEOMTRICOConstrues fundamentais

    CONSTRUO

    Neste caso necessrio construir pelo menos uma reta perpendicular a e marcar sobre ela, a partir da sua interseo com a, a distncia dada, XY. Para concluir a resoluo, pode ser utilizada a soluo apre-sentada no item anterior ou ser construda outra perpendicular mar-cando a distncia dada sobre ela.

    3.4 Simetria

    A simetria axial consiste na re exo de um ponto em relao a uma reta que o eixo de simetria. Dois pontos simtricos a um eixo de simetria apresentam duas propriedades: a reta determinada por eles perpendicular ao eixo de sime-tria e eles so equidistantes do eixo.

    CONSTRUO

    Dados uma reta a e um ponto A arbitrrio, no pertencente a, marcar um ponto B qualquer sobre a reta a. Com centro em B e raio AB traar um arco obtendo assim o ponto C. Com centro em C e raio AC, obter o ponto simtrico A na interseo entre os arcos.

    A simetria central consiste na re exo de um ponto em relao a outro que o centro de simetria. Dois pontos simtricos a um terceiro apresentam duas propriedades: os dois pontos simtricos e o centro de simetria so colineares, e os pontos simtricos so equidistantes do centro de simetria.

    a

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    22

    DESENHOGEOMTRICO

    3.5 Polgonos

    Polgono a gura plana, fechada, formada por segmentos de reta consecu-tivos e no colineares, mais a sua rea interna.

    O ngulo interno de um polgono o ngulo dentro do polgono for-mado por dois lados consecutivos.

    O ngulo externo de um polgono o ngulo fora do polgono formado entre um lado e o prolongamento do lado consecutivo.

    Polgono regular aquele em que todos os lados e todos os ngulos so iguais, sendo ele equiltero e equingulo.

    Polgono convexo aquele em que todos os ngulos internos so menores que 180.

    Polgono cncavo aquele em que pelo menos um dos ngulos internos maior que 180.

  • 23

    DESENHOGEOMTRICO

    O nmero de diagonais de um polgono convexo de n lados igual a .A soma dos ngulos internos de um polgono de n lados igual a 180 (n - 2).

    3.6 Tringulos

    Dentre os polgonos, o estudo dos tringulos destaca-se e de fundamental importncia para o Desenho Geomtrico por apresentar uma srie de proprie-dades espec cas.

    O tringulo o polgono que apresenta o menor nmero de lados e resul-tado da interligao de trs segmentos de reta consecutivos e no colineares. Para que trs segmentos de reta, AB, BC e AC, formem um tringulo, necessrio que: AB + BC > AC AB - BC < AC

    A forma e o tamanho de um tringulo cam determinados quando se conhe-cem os tamanhos de pelo menos trs elementos do tringulo (lados, ngulos, medianas, alturas, razo entre dois lados etc.), sendo que um desses elementos conhecidos deve ser um comprimento.

    a. Dados os segmentos AB = 5 cm, AC = 4 cm e BC = 3 cm, traar um tringulo retngulo, considerando o ngulo reto com vrtice em C.

    Construes fundamentais

    p

    r

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    24

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Traar uma reta r e uma reta p perpendicular r, no ponto C. Com cen-tro em C, e raio de medida igual ao segmento BC, de nir o ponto B na reta r. Com centro em C e raio de medida igual ao segmento AC, de nir o ponto A sobre a reta p. Traar o tringulo ABC.

    Nos itens seguintes, sero apresentados elementos como pontos, linhas e crculos associados s propriedades dos tringulos.

    Bissetrizes de um tringuloAs bissetrizes de um tringulo correspondem aos segmentos de reta que

    tm origem em cada vrtice dos ngulos do tringulo, dividindo esses ngulos em dois ngulos congruentes. Portanto, em um tringulo h trs bissetrizes in-ternas, sendo que o ponto de interseo por elas determinado chamado de incentro (I).

    A circunferncia que tem o incentro como centro e tangente aos trs lados do tringulo denominada circunferncia inscrita no tringulo.

    CONSTRUO

    Para determinar o incentro necessrio traar as bissetrizes dos trs vrtices do tringulo. O encontro das bissetrizes ser o incentro I. Para encontrar os pontos de tangncia, TA TB e TC da circunferncia inscrita com os lados do tringulo, preciso traar uma perpendicular a cada lado do tringulo, que passe pelo incentro. Os pontos de interseo entre cada perpendicular e o respectivo lado do tringulo sero os pontos de tangncia da circunferncia inscrita no tringulo.

  • 25

    DESENHOGEOMTRICO

    Alturas de um tringuloAltura um segmento de reta perpendicular a um lado do tringulo ou ao

    seu prolongamento, que contenha o vrtice oposto ao lado referido. Esse lado chamado base da altura. O ponto de interseo das trs alturas de um tringulo denominado ortocentro (H).

    CONSTRUO

    Para determinar o ortocentro necessrio traar as alturas referentes a cada um dos vrtices do tringulo. Para encontrar a altura referente ao vrtice C, por exemplo, deve-se traar um arco com centro em C e raio maior que a distncia de C at AB, determinando os pontos D e E. Ento, traar a mediatriz de DE de nindo o ponto Hc. O segmento de reta CHc a altura relativa ao vrtice C. Repetir a operao consideran-do os outros vrtices e determinando as outras alturas do tringulo.

    Medianas de um tringuloMediana o segmento de reta que une cada vrtice do tringulo ao ponto

    mdio do lado oposto. A mediana relativa hipotenusa em um tringulo retn-gulo mede metade da hipotenusa.

    O ponto de interseo das trs medianas o baricentro ou centro de gravi-dade do tringulo (G). O baricentro divide a mediana em dois segmentos pro-porcionais: o segmento que une o vrtice ao baricentro mede o dobro do seg-mento que une o baricentro ao lado oposto deste vrtice. Assim, o baricentro divide a mediana na proporo 2:1, ou seja, sendo A o vrtice: AG/GMA=2/1.

    Construes fundamentais

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    26

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Para determinar o baricentro necessrio traar as medianas do trin-gulo. Para isso, deve-se de nir os pontos mdios MA MB e MC de cada lado do tringulo e unir os vrtices do tringulo aos pontos mdios dos seus respectivos lados opostos. O ponto de interseo das media-nas o baricentro do tringulo.

    Mediatrizes de um tringuloA interseo das mediatrizes relativas aos trs lados do tringulo determina

    o circuncentro (O). Como o ponto O equidistante dos trs vrtices do tringu-lo, ele o centro da circunferncia circunscrita ao tringulo.

    CONSTRUO

    Para determinar o circuncentro necessrio traar as mediatrizes de cada lado do tringulo. A interseo das mediatrizes de ne o circun-centro O. Com o compasso com centro em O e raio at um dos vrtices do tringulo traar a circunferncia circunscrita a ele.

  • 27

    DESENHOGEOMTRICO

    3.7 Circunferncias

    A circunferncia a linha curva, plana, fechada, de nida pelos pontos equi-distantes de um ponto xo chamado de centro (O).

    O crculo a parte do plano interna circunferncia e por ela delimitada.O Quadro 1 apresenta as posies relativas entre uma circunferncia e uma

    reta; e o Quadro 2 apresenta as posies relativas entre duas circunferncias.

    Quadro 1 Posies relativas entre uma circunferncia e uma reta

    Posies relativas entre uma circunferncia e uma reta

    EXTERIORESOr > OR

    Uma circunferncia e uma reta so exteriores quando no tm nenhum ponto em comum.

    TANGENTESOr = OR

    Uma reta e uma circunferncia so tangentes quando possuem um nico ponto em comum (ponto de tangncia T). Ao ligarmos o centro da circunferncia ao ponto de tangncia, temos o segmento OT igual ao raio da circunferncia e perpendicular reta tangente r.

    SECANTESOr < OR

    Uma reta e uma circunferncia so secantes quando possuem dois pontos em comum.

    Construes fundamentais

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    28

    DESENHOGEOMTRICO

    Q uadro 2 Posies relativas entre duas circunferncias

    Posies relativas entre duas circunferncias

    EXTERIORES O1O2 > R1 + R2

    Duas circunferncias so exteriores quando no possuem pontos em comum.

    TANGENTES INTERNAS

    O1O2 = O1R1 - O2R2

    Duas circunferncias so tangentes internas quando possuem apenas um ponto em comum, que um ponto de tangncia, e a distncia entre os centros das circunferncias igual diferena entre raios.

    TANGENTES EXTERNAS

    O1O2 = O1R1 + O2R2

    Duas circunferncias so tangentes externas quando possuem apenas um ponto em comum, que um ponto de tangncia, e a distncia entre os centros das circunferncias igual soma dos raios.

    SECANTESO1O2 < O1R1 + O2R2

    Duas circunferncias so secantes quando possuem dois pontos em comum.

  • 29

    DESENHOGEOMTRICO

    INTERNAS EXCNTRICASO1O2 < O1R1 O2R2

    Duas circunferncias internas excntricas no se interceptam em nenhum ponto, possuem centros distintos e a distncia entre seus centros menor que a diferena entre seus respectivos raios.

    INTERNAS CONCNTRICAS

    O1 O2 e O1R1 O2R2

    Duas circunferncias internas concntricas no se interceptam em nenhum ponto, sendo que seus centros so coincidentes e os raios distintos.

    COINCIDENTES

    O1 O2 e O1R1 = O2R2

    Duas circunferncias so coincidentes quando possuem o mesmo raio e os centros so coincidentes.

    ngulos inscritos em uma circunfernciaUm ngulo est inscrito em uma circunferncia quando tem o vrtice na

    circunferncia e os lados so ambos secantes ou um secante e o outro tangente a ela.

    O ngulo denominado de ngulo central correspondente ao ngulo inscrito, sendo = 2.

    Nos itens abaixo esto representadas quatro diferentes situaes possveis para a aplicao da propriedade = 2.

    Construes fundamentais

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    30

    DESENHOGEOMTRICO

    I. Um dos lados do ngulo inscrito contm o centro da circunferncia

    II. O centro da circunferncia interno ao ngulo inscrito

    III. O centro da circunferncia externo ao ngulo inscrito

    IV. Um lado do ngulo inscrito tangente circunferncia

  • 31

    DESENHOGEOMTRICO

    Nos itens seguintes, esto representadas trs outras propriedades comuns de guras geomtricas inscritas em circunferncias.

    I. Os ngulos inscritos em uma circunferncia que interceptam o mesmo arco ou arcos iguais so iguais.

    II. Os ngulos opostos de um quadriltero inscrito em uma circunferncia so suplementares.

    III. Todo ngulo inscrito em uma semicircunferncia reto.

    Construes fundamentais

  • Desenho Geomtrico

    32

    DESENHOGEOMTRICO

    Uma circunferncia tangente a uma reta ou a outra circunferncia, quando existe somente um ponto comum aos dois entes geomtricos envolvidos.

    Em Desenho Geomtrico, chama-se de caso de tangncia todo problema de construo de uma ou mais circunferncias satisfazendo condio de tangen-ciar retas e/ou circunferncias dadas.

    importante ressaltar que, na resoluo dos problemas de tangncia, de-vem ser determinados todos os pontos de tangncia, mesmo que no sejam necessrios todos eles para a determinao das circunferncias procuradas.

    4.1 Circunferncias tangentes

    Quando duas circunferncias so tangentes, os seus centros e o ponto de tangncia T entre elas so sempre colineares.

    4.2 Reta tangente a uma circunferncia

    A cada reta tangente a uma circunferncia corresponde um raio que lhe perpendicular. Desta forma, para construir uma reta tangente a uma circunfern-cia necessrio que o ponto de tangncia e o centro da circunferncia estejam sobre uma mesma que deve ser reta perpendicular reta tangente.

    Tangncia

    Desenho GeomtricoCaptulo4 DESENHOGEOMTRICO

  • 33

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Dados uma circunferncia de centro O e um ponto T pertencente circunferncia. Para construir uma reta tangente a essa circunferncia passando pelo ponto T, basta traar o raio OT e em seguida construir uma perpendicular a OT passando por T.

    4.3 Retas tangentes a duas circunferncias

    As retas tangentes a duas circunferncias podem ser tangentes internas ou externas.

    Tangentes externas

    CONSTRUO

    Com centro em C, traar uma circunferncia cujo raio a diferena (r - r). Traar segmento CC e de nir M como seu ponto mdio. Com centro do compasso em M e raio MC, de nir os pontos E e F na interseo com a circunferncia de raio (r - r). Traar uma reta contendo os pontos C e E e outra reta contendo os pontos C e F at a interseo com a circun-ferncia de raio r, de nindo os pontos T1 e T2. Com centro em M e raio MT1 de nir os pontos T1 e T2. Unir os pontos T1 e T2 aos pontos T1 e T2, respectivamente.

    Tangncia

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    34

    DESENHOGEOMTRICO

    Tangentes Internas

    CONSTRUO

    Com centro em C, traar uma circunferncia cujo raio a soma (r + r). Traar segmento CC e de nir M como seu ponto mdio. Com centro em M e raio MC, de nir os pontos E e F na interseo com a circunfe-rncia de raio (r + r). Traar uma reta que passe pelos pontos C e E, e outra reta que passe pelos pontos C e F, de nindo na interseo com a circunferncia de raio r, respectivamente os pontos T1 e T2. Com centro em M e raio MT1 de nir os pontos T1 e T2. Unir os pontos T1 e T2 aos pontos T1 e T2, respectivamente.

  • 35

    DESENHOGEOMTRICO

    Diz-se que duas linhas, dois arcos, ou um arco e uma semi-reta, so concor-dantes, quando so tangentes e h suavidade na continuidade de um ente geo-mtrico para outro.

    5.1 Princpios fundamentais de concordncia

    Para concordar um arco e uma reta, necessrio que o ponto de concor-dncia e o centro do arco estejam ambos sobre uma mesma perpendicular reta concordante. Nota-se que a reta concordante ao arco tangente circunferncia relativa a ele no ponto de concordncia. Sendo assim, o ponto de concordncia coincide com o ponto de tangncia.

    Para concordar dois arcos, o ponto de concordncia e os centros dos arcos devem ser colineares.

    5.2 Aplicaes dos princpios de concordncia

    Os princpios de concordncia so utilizados para traados de caladas, ruas e rodovias; preciso haver concordncia em vias que so perpendiculares ou

    Concordncia

    Captulo 5DESENHOGEOMTRICO

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    36

    DESENHOGEOMTRICO

    oblquas entre si, de tal modo que a curva atenda s limitaes dos raios de giro dos veculos e para que haja suavidade na converso do motorista.

    Projetos arquitetnicos e paisagsticos muitas vezes valem-se de traados orgnicos e curvos. A correta execuo de tais traados depende da de nio exata de parmetros do Desenho Geomtrico.

    a. Concordar a reta dada r com a reta dada s no ponto A por meio de um arco.

    CONSTRUO

    Por A traar a perpendicular r. Prolongar s at encontrar r determi-nando o ponto B na interseo. Com centro em B e raio BA obter C, ponto de concordncia em s. A bissetriz do ngulo ABC encontra a per-pendicular traada em O, centro do arco procurado.

    b. Concordar dois arcos dados, de centros O e O, e raios R e R, por meio de outro arco de raio r.

    CONSTRUO

    Com centro em O e raio (R + r) e centro em O e raio (R + r), obtemos o centro C do arco concordante procurado. Unir C a O e O, obter os pontos de concordncia A e B. Traar o arco com centro em C e raio CA.

  • 37

    DESENHOGEOMTRICO

    O estudo dos mtodos tem como objetivo determinar o caminho lgico, por meio de um processo dedutivo-analtico, que permite a resoluo de problemas desconhecidos de Desenho Geomtrico. Os vrios mtodos apresentados po-dem ser utilizados isoladamente, entretanto, na prtica, utilizamos uma combi-nao de vrios mtodos.

    6.1 Mtodo algbrico

    Deve ser utilizado nos casos em que a resoluo somente pode ser deduzida algebricamente, como em alguns problemas de equivalncia.

    6.2 Mtodo prtico

    O mtodo prtico consiste em supor o problema resolvido fazendo um ras-cunho, no qual todos os dados so indicados e tambm uma resposta qualquer, no particular, do problema. A seguir, identi cam-se os pontos notveis do pro-blema e estuda-se como chegar at ele. Este mtodo normalmente utilizado em combinao com outro mtodo.

    6.3 Mtodo da reduo a problemas conhecidos

    Este mtodo consiste em dividir o problema em partes, cujas solues sejam conhecidas.

    a. Construir um tringulo ABC, sendo dados AB, AC e hC.

    Mtodos de estudo dos problemas de Desenho Geomtrico

    Captulo 6DESENHOGEOMTRICO

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    38

    DESENHOGEOMTRICO

    6.4 Mtodo da analogia

    A resoluo feita pela comparao com um problema anlogo.

    a. Para construir um retngulo procede-se de forma anloga utilizada para construir um quadrado.

    6.5 Mtodo dos lugares geomtricos

    Ao resolver um problema de Desenho Geomtrico, procura-se por uma de-terminada gura que atenda a todas as condies impostas. A gura procurada pode ser um ponto, uma linha (reta ou curva), ou ainda, um conjunto de linhas.

    Como as linhas e os conjuntos de linhas so formados por pontos que de-vem atender a determinadas condies, o problema pode ser, ento, reduzido pesquisa dos pontos que atendem a estas condies. Deste modo, quando o problema reduzido determinao de um ponto, o enunciado pode ser rees-crito como sendo:

    Obter um ponto, tal que:I) o ponto tem a propriedade 1, eII) o ponto tem a propriedade 2.

    a. Construir um ABC, dados AB, AC e BC. Obs.: Fixando AB, determinar um ponto C, tal que:I) C dista AC de A, eII) C dista BC de B.

    A resposta ao problema ser um ponto que atende simultaneamente s duas propriedades.

  • 39

    DESENHOGEOMTRICO

    Tomando as propriedades isoladamente, por exemplo, a propriedade C dis-ta AC de A, veri camos que os pontos que tm esta propriedade em comum formam uma circunferncia.

    Ao conjunto de pontos que tem uma propriedade comum damos o nome de LUGAR GEOMTRICO (LG), cuja de nio o conjunto de pontos que possui pelo menos uma propriedade comum e exclusiva.

    Desta forma, no exemplo do ABC, a resposta pode ser obtida pela interse-o de dois LGs, que so os pontos que tm as duas propriedades em comum.

    Mtodos de estudo dos problemas de Desenho Geomtrico

  • Desenho Geomtrico

    40

    DESENHOGEOMTRICO

    7.1 Tipos de LG

    Os lugares geomtricos podem ser divididos em trs tipos:a) Um ponto,b) Uma linha, reta ou arco de circunferncia,c) Uma gura. Exemplo I. Pontos que distam menos do que 2 cm de O. Exemplo II. Pontos que distam mais do que 2 cm de O.

    7.2 LG 1 Circunferncia

    O LG dos pontos que esto a uma distncia a de um ponto P a circunfern-cia de centro P e raio a.

    Caso notvel 1. O LG dos pontos P tais que as tangentes a uma circunfern-cia conhecida, por eles conduzida, tm comprimento m constante conhecido, uma circunferncia.

    Exemplo I. OX < 2 cm Exemplo II. OX < 2 cm

    Desenho GeomtricoCaptulo7Os principais lugares geomtricos

    DESENHOGEOMTRICO

  • 41

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Traar uma reta t tangente circunferncia. Com centro em T e raio igual a m, traar um arco obtendo assim D. Com raio OD e centro em O, traar a circunferncia procurada.

    Caso notvel 2. O LG dos pontos P que veem uma circunferncia sob um ngulo uma circunferncia.

    CONSTRUO

    Traar uma reta s passando por O1, centro da circunferncia. Na inter-seo da reta s com a circunferncia determinar o ponto T1. Traar, a partir de s, um ngulo com centro em O1 que seja igual a =[360- (2 x 90)]. Na interseo da circunferncia com a reta que de ne o ngulo , marcar T2. Traar uma reta t, tangente circunferncia, que passe por T2. Na interseo das retas r e t de nir o ponto B. Com o com-passo em O1 e abertura O1B, traar a circunferncia O2.

    Os principais lugares geomtricos

    s

    r

    t

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    42

    DESENHOGEOMTRICO

    7.3 LG 2 Retas paralelas

    O LG dos pontos P que esto a uma distncia a de uma reta r o par de retas r e r paralelas r com distncia igual a.

    CONSTRUO

    Dada a reta r, traar duas retas perpendiculares r. Nomear as perpen-diculares de t e t. A partir do ponto de interseo de cada perpendi-cular com a reta r, marcar com compasso, sobre cada perpendicular a distncia a, abaixo e acima de r. Nomear os pontos de nidos acima de r de P1, na reta t e S1 na reta t. Nomear os pontos de nidos abaixo de r de P2 na reta t e S2 na reta t. Traar uma reta unindo os pontos P1 e S1, e outra reta unindo os pontos e P2 e S2.

    7.4 LG 3 Reta mediatriz

    O LG dos pontos P equidistantes de dois pontos A e B a reta mediatriz do segmento, cujas extremidades so esses dois pontos.

  • 43

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Traar a mediatriz do segmento AB.

    7.5 LG 4 Reta bissetriz

    O LG dos pontos P equidistantes de duas retas a e b concorrentes conhecidas o par de retas c e d que so bissetrizes dos ngulos formados.

    CONSTRUO

    De nir o ponto C a partir da interseo das retas a e b. Com centro em C e raio qualquer, traar uma circunferncia. De nir os pontos A, B e D e traar a retas bissetrizes dos ngulos ACB e BCD.

    Caso notvel. O LG dos pontos equidistantes de duas retas paralelas t1 e t2 conhecidas uma terceira reta s paralela e equidistante de t1 e t2.

    7.6 LG 5 Arco capaz

    Diz-se que um ponto P v um segmento AB sob um ngulo , quando P o vrtice de um ngulo igual a cujos lados contm A e B.

    Os principais lugares geomtricos

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    44

    DESENHOGEOMTRICO

    Assim, o LG dos pontos P que veem um segmento, de extremidades A e B conhecidas, sob um ngulo de tamanho conhecido o par de arcos capazes do ngulo, construdos sobre o segmento.

    Algumas propriedades do arco capaz: O centro do arco capaz pertence reta mediatriz do segmento AB. Se um dos lados do ngulo inscrito tangente circunferncia, o centro

    do arco capaz pertence reta perpendicular ao lado tangente que passa pelo ponto de tangncia. Os dois arcos capazes so simtricos em relao ao segmento AB.

  • 45

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Traar o segmento de reta AB. Pelo ponto B traar uma reta a que for-me com o segmento AB o ngulo determinado. Traar uma reta b per-pendicular reta a, que passe ponto B. Determinar o ponto mdio M do segmento AB. Traar uma reta perpendicular ao segmento AB, que passe pelo ponto M. De nir o ponto O na interseo entre a reta b e a reta mediatriz de AB no plano superior ao segmento AB. De nir o pon-to O simtrico ao ponto O em relao ao ponto M.Para ngulos menores que 90, com o compasso centrado no ponto O e abertura OA, traar o arco de circunferncia no plano acima do segmento AB e com o compasso centrado no ponto O e abertura OA, traar o arco de circunferncia no plano abaixo do segmento AB.Para ngulos maiores que 90, com o compasso centrado no ponto O e abertura OA, traar o arco de circunferncia no plano abaixo do segmento AB e, com o compasso centrado no ponto O e abertura OA, traar o arco de circunferncia no plano acima do segmento AB.

    Caso notvel. O LG dos pontos que veem um segmento de extremidades conhecidas, sob um ngulo reto, a circunferncia que tem esse segmento para dimetro.

    Os principais lugares geomtricos

  • Desenho Geomtrico

    46

    DESENHOGEOMTRICO

    A construo de segmentos proporcionais baseia-se nas guras semelhantes, ou seja, aquelas que tm a mesma forma, mas no obrigatoriamente o mesmo tamanho. Assim, podemos a rmar que dois polgonos so semelhantes quando os seus ngulos so ordenadamente iguais e os lados homlogos tm a mesma razo.

    8.1 Diviso de segmentos

    A diviso de um segmento em partes proporcionais a nmeros ou a segmen-tos dados pode ser feita por dois processos.

    1o Processo: Dividir um segmento AB na proporo 2:3:1, pelo processo das retas paralelas.

    Segmentos proporcionais

    Desenho GeomtricoCaptulo8 DESENHOGEOMTRICO

  • 47

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Traar uma reta com ngulo qualquer, no plano superior do segmento AB, que passe por A. Transferir o ngulo formado para o ponto B no plano inferior de AB. Com o centro do compasso em A, raio qualquer, traar 6 arcos (6=2+ 3 + 1) sequenciais. Mantendo o mesmo raio do compasso, a partir de B, reproduzir a medida por 6 vezes, sendo que a sequncia da contagem a partir do ponto B ser de 1 + 3 + 2. Traar retas unindo os pontos correspondentes s propores 2, 3 e 1.

    2o Processo: Dividir um segmento AB na proporo 2:3:1, pelo processo do centro de homotetia.

    CONSTRUO

    Traar uma reta qualquer paralela ao segmento AB. De nir uma di-menso no compasso e reproduzi-la no segmento paralelo AB de forma consecutiva na proporo 2:3:1. Traar uma reta por A e pelo ponto mais esquerda de nido sobre a reta paralela. Traar uma reta por B e pelo ponto mais direita de nido sobre a reta paralela. De nir o ponto HD na interseo entre as timas retas traadas. Unir o ponto HD aos pontos que de nem a proporo 2:3:1 na reta paralela at in-terceptar o segmento AB. Desta forma, os segmentos AC, CD e DB divi-dem o segmento AB em partes proporcionais a 2:3:1, respectivamente.

    8.2 Diviso harmnica

    a diviso de um segmento interna e externamente na razo k = m/n, sendo m e n nmeros ou segmentos.

    Exemplo: Dados o segmento AB e k = 3/1.Diviso interna:

    Segmentos proporcionais

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    48

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Sendo AB = m + n, fazer a diviso do segmento AB em quatro partes iguais e consecutivas (4 = 3 + 1 partes), pelo mtodo das retas para-lelas. Na interseo da terceira parte com o segmento AB, marcar o ponto CI.

    Diviso externa:

    CONSTRUO

    Sendo AB = m-n, pelo mtodo das retas paralelas, traar uma reta obl-qua por A. Transportar o ngulo de vrtice A de nido com o segmento AB para o ponto B com sentido inverso. A partir de A determinar trs segmentos iguais e consecutivos sobre a reta oblqua. Com mesmo raio, marcar sobre a outra reta oblqua, a partir de B, um segmento direita de B e dois segmentos consecutivos esquerda de B. Unindo os pontos correspondentes para a diviso do segmento, determinar o ponto CE na interseo do prolongamento de AB.

    3

  • 49

    DESENHOGEOMTRICO

    Construo simultnea:

    CONSTRUO

    Pelo mtodo das retas paralelas, fazer a diviso interna para de nir CI, e a diviso externa para de nir CE.

    8.3 Quarta proporcional

    Chama-se Quarta Proporcional de trs segmentos, ao produto de dois deles dividido pelo terceiro. Logo, dados trs segmentos a, b e c, existem trs quartas proporcionais, x, y e z.

    8.3.1 Quarta proporcional x

    Resoluo gr ca (Teorema de Tales):

    CONSTRUO

    Traar uma reta s, e uma reta r concorrente s que faa um ngulo qualquer com s. A partir de A, marcar o segmento a na reta r e os seg-mentos c e b, respectivamente, na reta s. Traar reta BD, e em seguida traar CE paralela BD para de nir o segmento x.

    Segmentos proporcionais

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    50

    DESENHOGEOMTRICO

    8.3.2 Quarta proporcional y

    Resoluo gr ca (Teorema de Tales):

    CONSTRUO

    Traar uma reta r, e uma reta s concorrente r que faa um ngulo qualquer com r. A partir de A, marcar o segmento a na reta s e os seg-mentos b e c, respectivamente na reta r. Traar BD, e em seguida traar CE paralela BD para de nir y.

    8.3.3 Quarta proporcional z

    Resoluo gr ca (Teorema de Tales):

    CONSTRUO

    Traar uma reta r, e uma reta s concorrente r que faa um ngulo qualquer com r. A partir de A, determinar o segmento b na reta s e os segmentos a e c, respectivamente, na reta r. Traar BD, e em seguida traar CE paralela BD para de nir z.

  • 51

    DESENHOGEOMTRICO

    Obs. Em Desenho Geomtrico, s faz sentido a resoluo gr ca, quando so dados trs segmentos. Quando so dados trs nmeros, mais simples a reso-luo algbrica.

    8.4 Terceira proporcional

    Chama-se Terceira Proporcional de dois segmentos a um terceiro segmento igual ao quadrado de um dividido pelo outro. Logo, dados os dois segmentos a e b, existem duas terceiras proporcionais, x e y.

    8.4.1 Terceira proporcional x

    Resoluo gr ca (Teorema de Tales):

    CONSTRUO

    Traar uma reta r, e uma reta s concorrente r que faa um ngulo qualquer com r. A partir de A, marcar o segmento a na reta s e os seg-mentos b e a, respectivamente na reta r. Traar BD, e em seguida traar CE paralela BD, para de nir x.

    Segmentos proporcionais

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    52

    DESENHOGEOMTRICO

    8.4.2 Terceira proporcional y

    Resoluo gr ca (Teorema de Tales):

    CONSTRUO

    Traar uma reta r, e uma reta s concorrente r que faa um ngulo qualquer com r. A partir de A, marcar o segmento b na reta s e os seg-mentos a e b, respectivamente na reta r. Traar BD, em seguida traar CE paralela BD, para de nir y.

    8.5 Mdia geomtrica

    A mdia geomtrica ou mdia proporcional de dois segmentos o segmen-to cuja medida igual raiz quadrada do produto dos dois segmentos dados.

    Resoluo algbrica:

    Dados os segmentos a e b, a resoluo gr ca pode ser feita por um dos dois processos.

  • 53

    DESENHOGEOMTRICO

    1 Processo:Neste processo, o segmento b tem origem no m do segmento a.

    CONSTRUO

    Sobre uma reta, de nir um ponto A e, a partir de A, traar o segmento a. A partir da extremidade do segmento a, traar o segmento b. De nir os pontos B e C ao m dos segmentos a e b, respectivamente. De nir M, o ponto mdio de AC. Com centro em M e raio MA, traar a semicir-cunferncia cujo AC o dimetro. Traar uma perpendicular AC, que passe por B. De nir o ponto X na interseo da perpendicular com a semicircunferncia. Neste processo, o segmento BX a mdia geom-trica dos segmentos a e b dados.

    2 Processo:Neste processo, os segmentos a e b tem origem no mesmo ponto. Ou seja,

    ambos tem origem no ponto A.

    Segmentos proporcionais

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    54

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Sobre uma reta, de nir um ponto A, traar o segmento a e b ambos a partir de A. De nir os pontos C e B ao m dos segmentos a e b, res-pectivamente. De nir M, o ponto mdio do segmento AB e traar uma semicircunferncia de centro em M e raio MA. Traar uma perpendicu-lar ao segmento AB, que passe pelo ponto C. Na interseo da perpen-dicular com a semicircunferncia, de nir o ponto X. Neste processo, o segmento AX a mdia geomtrica dos segmentos a e b dados.

    8.6 Potncia de ponto

    Dados uma circunferncia, um ponto P e uma reta r que contm P e secante circunferncia, chama-se potncia do ponto P ao produto PA x PB, constante para qualquer reta r.

    PA x PB = PA x PB = PA x PB = ... = k

    8.6.1 O ponto P externo circunferncia

    8.6.2 O ponto P interno circunferncia

  • 55

    DESENHOGEOMTRICO

    8.6.3. O ponto P externo circunferncia e a reta r tangente a ela no ponto T

    Neste caso, temos que os pontos A, B e T so coincidentes e PA = PB = PT, ento:

    Segmentos proporcionais

  • Desenho Geomtrico

    56

    DESENHOGEOMTRICO

    Considerando que o nosso objetivo a resoluo gr ca de problemas de Desenho Geomtrico, podemos de nir de maneira resumida que duas guras so equivalentes quando possuem a mesma rea. O smbolo para indicar que duas guras so equivalentes

    9.1 Construes bsicas

    a. Dois tringulos que tm base e alturas iguais so equivalentes.

    CONSTRUO

    Considerando AC como base do ACB, traar uma reta r paralela r com uma distncia h, de AC. Qualquer ponto pertencente r, no exemplo ilustrado pelo ponto B, formam com a base AC um tringulo de mesma rea, ou seja, equivalente ao ACB.

    b. Dois paralelogramos de base e alturas iguais so equivalentes.

    CONSTRUO

    Considerando AB como base e h como a altura do paralelogramo, tra-ar uma reta r, paralela r e a uma distncia h de r. Em r, de nir o segmento EF com mesma dimenso de AB, e em r de nir o segmento GH com mesma dimenso que CD.

    Equivalncia

    Desenho GeomtricoCaptulo9 DESENHOGEOMTRICO

  • 57

    DESENHOGEOMTRICOEquivalncia

    c. Dois trapzios que tm as duas bases iguais e a altura igual so equivalen-tes.

    CONSTRUO

    Considerando AB como base e h como a altura do trapzio, traar uma reta r, paralela r uma distncia h de r. Em r, de nir o segmento GI com mesma dimenso de AB, e em r de nir o segmento EF com mes-ma dimenso que CD.

    d. Um paralelogramo que tem a base igual metade da base de um tringulo e a altura igual a do tringulo, equivalente a esse tringulo (idem o inverso).

    CONSTRUO

    Considerando AB como base e h como a altura do paralelogramo, tra-ar uma reta r, paralela r uma distncia h de r. Em r, de nir o seg-mento EF com o dobro da dimenso de AB, e em r de nir o ponto G colinear ao segmento CD.

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    58

    DESENHOGEOMTRICO

    e. Transformar um polgono qualquer de n lados em outro equivalente de (n 1) lados.

    CONSTRUO

    Traar uma reta r que passe pelos pontos B e D, de modo que o seg-mento BD seja a base do BDC. Traar uma reta r, paralela r, que passe pelo vrtice C. De nir um ponto C pertencente reta r que seja colinear ao prolongamento do lado AB do polgono. De nir o polgono equivalente de 4 lados AEDC.

    f. Transformar um polgono qualquer de n lados em outro equivalente de (n + 1) lados.

    CONSTRUO

    Traar uma reta r que passe pelo ponto C e intercepte o lado AB no ponto D. Traar uma reta r paralela r que passe pelo ponto B. De nir um ponto B pertencente r, no coincidente com B nem com a in-terseo do prolongamento do lado AC sobre a reta r. Unir os pontos ACBD.

  • 59

    DESENHOGEOMTRICO

    9.2 Retngulo equivalente

    A rea de qualquer gura pode ser expressa pelo produto de dois segmentos m e n, que so os lados do retngulo equivalente.

    reaqq rearea = m x n\reaqq = m x n

    Valores de m e n das principais guras geomtricas: Retngulo: m e n so os lados do retngulo. Quadrado: m e n so os lados do quadrado e m = n. Paralelogramo: m uma das bases e n a altura correspondente. Trapzio: m a base mdia e n a altura. Tringulo: m a base e n a metade da altura correspondente. Polgono qualquer: m a base e n a metade da altura correspondente do

    tringulo equivalente.

    Quadratura de uma guraA quadratura de uma gura ou quadrado equivalente a construo de um

    quadrado equivalente a uma gura dada. Chamando de x o lado do quadrado procurado, cuja rea ser x2 e considerando que a rea da gura dada pode ser expressa por m x n, ento:

    Ou seja, x a mdia geomtrica de m e n.

    Construo do quadrado equivalente a um tringulo dado, ou seja, quadra-tura do tringulo.

    Equivalncia

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    60

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Traar uma reta perpendicular AB, que passe por C. De nir o ponto mdio M1 de CP. Com centro em B e raio M1P de nir o ponto D. De nir o ponto mdio M2 do segmento AD. Traar uma semicircunferncia de centro M2 e raio M2A. Traar uma perpendicular AD, que passe pelo ponto B. Na interseo desta perpendicular com a semicircunferncia, de nir o ponto E. O segmento BE o lado do quadrado BEFG que pos-sui a mesma rea do ABC dado.

    9.3 Aplicaes

    1 Teorema de Euclides: o quadrado que tem por lado um cateto de um tringulo retngulo equivalente ao retngulo que tem por lados consecutivos a hipotenusa e a projeo do cateto considerado, sobre a hipotenusa.

    CONSTRUO

    Dado o tringulo retngulo ACB, traar um quadrado ADEC cujos lados possuem a mesma medida de AC. Traar uma perpendicular AB que passe por A. Com centro em A e raio AB, de nir o ponto J. Traar uma perpendicular AB que passe pelo ponto C e de nir o ponto H. Com centro em H e raio AJ, de nir o ponto I.

  • 61

    DESENHOGEOMTRICO

    Teorema de Pitgoras: em um tringulo retngulo, o quadrado que tem por lado a hipotenusa equivalente soma dos quadrados que tem por lados os catetos.

    Fontes histricas da geometria a rmam que Pitgoras foi o primeiro grego a demonstrar a propriedade geral dos tringulos retngulos, que j era conhecida dos babilnios e chineses havia sculos.

    Existem muitos e belssimos teoremas na Matemtica, mas a aura de surpresa, originalidade, esttica e importncia que cerca o Teorema de Pitgoras fazem dele algo realmente incomparvel em relao aos demais: todos os caminhos da Rainha das Cincias conduzem a ele. (GARBI, 2009)

    No h indicao exata quanto ao caminho gr co seguido por Pitgoras para demonstrao do seu Teorema, mas estima-se que ele tenha utilizado um diagrama chins.

    Seja um tringulo retngulo de hipotenusa a e catetos b e c. Construir um quadrado de lado (b + c). Nele, conforme o diagrama chins, construir quatro tringulos retngulos iguais ao tringulo dado. A rea do quadrado maior (b + c). O quadrado menor a. As reas dos quatro tringulos totalizam 2bc. Logo, a + 2bc = (b + c) e , portanto, a = b + c.

    Outro raciocnio que Pitgoras pode ter adotado para provar seu teorema a partir de um tringulo retngulo qualquer, onde a hipotenusa, e b e c so os catetos. Se b = c, a constatao bvia. Se os catetos so diferentes, por exem-plo, b > c, construir quatro tringulos retngulos iguais ao tringulo dado e um quadrado cujo lado seja b c. Essas cinco guras podem ser dispostas, de modo a formar um quadrado de lado a.

    Equivalncia

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    62

    DESENHOGEOMTRICO

    Existem diferentes maneiras para demonstrar o Teorema de Pitgoras. A de-monstrao pode ser feita, inclusive, pela aplicao do 1 Teorema de Euclides aos dois catetos, conforme apresentado anteriormente. Abaixo ser apresentada uma importante demonstrao do Teorema de Pitgoras por Leonardo da Vinci (1452-1519).

    Dado o ABC, construir o quadrado da hipotenusa e os quadrados dos cate-tos. Sobre o lado FD construir o DEF, igual ao ABC, porm invertido. Unir J a H. Os polgonos GCAI e IJHG so iguais. Os polgonos BAFE e EDCB tambm so iguais entre si. Mas cada um deles igual aos polgonos GCAI e IJHG. Logo:

    rea de ACGHJI = rea de ABCDEFrea de ACGHJI = quadrados dos catetos mais dois tringulos ABCrea de ABCDEF = quadrado da hipotenusa mais dois tringulos ABCSubtraindo os dois tringulos de cada lado da igualdade, o teorema est pro-

    vado.

  • 63

    DESENHOGEOMTRICO

    funo da Geometria, de nir os conceitos de semelhana e de homotetia. Na prtica do Desenho Geomtrico no basta compreender as de nies, pre-ciso tambm visualizar a aplicao destas em problemas gr cos.

    10.1 Semelhana

    Figuras semelhantes tm a mesma forma ou formato. Esta de nio vale tan-to para guras geomtricas como para qualquer outra gura.

    As guras semelhantes apresentam duas propriedades:

    1 Propriedade: os ngulos homlogos so ordenadamente iguais.2 Propriedade: os segmentos homlogos so proporcionais.

    Tomando os dois tringulos semelhantes abaixo, como exemplo, essa pro-porcionalidade pode ser expressa de dois modos.

    Nota: No 2 modo no h reticncias (...), exceto quando existem mais do que duas guras semelhantes.

    Abaixo esto representadas trs importantes aplicaes que se valem das propriedades comuns de semelhana:

    Teorema linear de Tales: Se um feixe de retas paralelas atravessado por um feixe de retas concorrentes, ento a razo entre dois segmentos quais-quer de uma reta igual razo entre os segmentos respectivamente corres-pondentes noutra reta do mesmo feixe.

    Semelhana e Homotetia

    Captulo 10DESENHOGEOMTRICO

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    64

    DESENHOGEOMTRICO

    Teorema de Tales no tringulo:

    Dado um tringulo ABC e um segmento MN paralelo ao lado BC e com extre-midades nos lados AB e AC.

    Caso Particular: se M o ponto mdio de AB, ento N o ponto mdio de AC.

    Teorema das bissetrizes: A bissetriz de um ngulo interno de um trin-gulo divide o lado oposto em partes proporcionais aos outros dois lados.

    k

  • 65

    DESENHOGEOMTRICO

    10.2 Homotetia

    As guras homotticas so guras semelhantes e que, alm disso, tm os segmentos homlogos paralelos. Desta forma, podemos dizer de forma abre-viada que:

    Homotetia = Semelhana + Paralelismo

    As guras homotticas conservam as duas propriedades das guras seme-lhantes e tm, ainda, mais duas propriedades.

    1 Propriedade: os ngulos homlogos so ordenadamente iguais.2 Propriedade: os segmentos homlogos so proporcionais.3 Propriedade: as retas que ligam os pontos homlogos incidem todos no

    mesmo ponto Hd ou Hi, conforme a homotetia seja direta ou inversa. Hd e Hi so denominados de centro de homotetia direta ou inversa.

    4 Propriedade: a razo entre os raios vetores* de pontos homlogos cons-tante e igual a razo de semelhana k, tambm chamada de razo de homotetia.

    Semelhana e Homotetia

    A bissetriz de um ngulo externo de um tringulo encontra a reta suporte do lado oposto, e determina sobre esta um ponto cujas distncias aos extremos do lado so proporcionais aos outros dois lados.

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    66

    DESENHOGEOMTRICO

    * Raio vetor um segmento orientado, com uma extremidade no centro de homotetia e a outra num ponto da gura; esse segmento orientado do centro da homotetia para o ponto da gura.

    ConvenesHomotetia direta (Hd) k > 0 (positivo)Homotetia inversa (Hi) k < 0 (negativo)Valor absoluto de k. Multiplicar uma gura signi ca:Ampli-la, quandok> 1Reduzi-la, quando k< 1

    Problema geral 1

    Multiplicar o polgono ABCD dado pela constante k = +4/3.

  • 67

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Inicialmente deve-se observar a constante k sob dois aspectos. Se k>1, a gura ser ampliada; e se k for positivo, a ampliao ser direta. Dada a gura ABCD, para simpli car a construo, de nir um ponto Hd coincidente com um dos vrtices da gura, no caso o vrtice A. Em seguida, irradiar, isto , unir o ponto Hd a cada vrtice do polgono ob-tendo os raios vetores HdA, HdB, HdC e HdD. Dividir cada raio vetor por trs partes iguais, pois trs o valor do denominador da constante k = +4/3. Traar a partir de Hd quatro vezes a parte encontrada ante-riormente sobre cada respectivo vetor, pois quatro valor do numera-dor da constante k. Obter e unir os pontos A, B, C e D. Outra soluo para este exerccio traar a diagonal da gura, correspondente ao segmento AC, marcar o ponto C no prolongamento dessa diagonal, sendo CC igual a 1/3 AC. Em seguida, traar as paralelas aos lados CD e CB, determinando D e B no prolongamento dos lados AD e AB, res-pectivamente.

    Simpli caes do problema geral 1

    1 Simpli cao: Para o caso do centro de homotetia poder ser de nido arbitrariamente, de nir Hd coincidente com um dos vrtices do polgono dado. Os raios vetores sero os prolongamentos dos lados do polgono.

    2 Simpli cao: Multiplicar apenas o vrtice C do polgono dado. Obter C pelo qual traar paralelas aos lados do polgono dado. Neste caso, convm multi-plicar o vrtice intermedirio, e no o vrtice externo para que no haja acmulo de erros gr cos.

    Problema geral 2

    Dadas duas linhas a e b, um ponto H e um nmero k, construir uma reta x passando por H que intercepta a em A e b em B, de forma que: HA/HB = k

    As duas linhas dadas podem ser: Duas retas Duas circunferncias Uma reta e uma circunferncia

    Se HA e HB tiverem o mesmo sentido, k ser positivo; se tiverem sentidos opostos, ou seja, H est entre A e B, k ser negativo. Abaixo esto representados trs exemplos do problema geral 2.

    a. Dadas duas retas quaisquer e um ponto P no pertencente a elas, traar por P uma reta que intercepta a reta a em A e a b em B, de modo que PA/PB = k.

    Semelhana e Homotetia

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    68

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Considerar P como centro de homotetia direta. Traar uma reta auxi-liar, r, que passe por P e intercepte as retas a e b. Na interseo da reta r com a reta b, de nir o ponto X. Dividir o segmento PX em duas partes iguais (dois o valor do denominador da constante dada). A partir de P, marcar cinco destas partes na reta r (valor do numerador dado) em direo X. Ao m da quinta parte de nir o ponto X. Traar uma reta b paralela b, que passe pelo ponto X. Na interseo da reta b com a reta a, de nir o ponto A. Traar uma reta s unindo os pontos A e P. Na interseo da reta s com a reta b, determinar o ponto B.

    b. Dada uma reta a e uma circunferncia de centro O, traar por O uma reta que intercepta a circunferncia em A e a reta a em B, de modo que OA/OB = k.

    k = Raio = 2 cmOa = 3 cm

    x

  • 69

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Traar reta s auxiliar, que passe por O e intercepte a reta a no ponto Y. Dividir OY em duas partes iguais (dois denominador da constante dada). De nir Z no ponto mdio de OY. Traar uma reta a paralela reta a que passe por Z. No ponto de interseo da reta a com a cir-cunferncia, de nir o ponto A. Traar uma reta passando por AO at interceptar a reta a e ento de nir o ponto B.

    c. Dadas duas circunferncias de centros O1 e O2, secantes em A e B, traar por A uma reta r de forma que a corda determinada na circunferncia de centro O1 seja igual a 3/4 da corda determinada na outra circunferncia.

    Dados: R1 = 2 cm e R2 = 3 cm e O1O2 = 4 cm.

    CONSTRUO

    De nindo Hi coincidente com A, multiplicar O2 por k = -3/4. Traar uma circunferncia com centro em O2 e raio O2Hi. Traar uma reta r que passe pelos pontos C e A para obter o ponto D. CA/AD=3/4.

    Semelhana e Homotetia

  • Desenho Geomtrico

    70

    DESENHOGEOMTRICO

    As cnicas so linhas curvas, planas, originadas de sees feitas em um cone. A superfcie cnica originada de uma reta em rotao ao redor de um eixo. O ponto de interseo entre a reta e o eixo denominado de vrtice da superfcie cnica.

    11.1 Elipse

    a curva gerada pela passagem de um plano secante ao cone, no paralelo base, ao eixo de rotao e nem reta geratriz. O plano determina no cone uma curva plana, fechada e simtrica, na qual a soma das distncias de qualquer de seus pontos a dois pontos interiores xos, denominados de focos, constante.

    Construir uma elipse com distncia focal F1F2 = 6 cm e constante 2a = 9 cm.

    Cnicas

    Desenho GeomtricoCaptulo11 DESENHOGEOMTRICO

  • 71

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Traar AB e F1F2. De nir P1 pertencente AB entre um dos focos, F1 ou F2 e o centro da elipse. Com raio P1A e centro em F1 e F2 traar quatro arcos. Com raio P1B e centro em F1 e F2 interceptar os quatro arcos tra-ados. De nir P2 qualquer, pertencente AB, entre um dos focos, F1 ou F2 e o centro da elipse, e, no coincidente com P1 e repetir a operao executada com P1 dessa vez considerando P2. Os pontos encontrados nas intersees dos arcos pertencem elipse. Unir os pontos mo livre para traar a elipse.

    11.2 Parbola

    a curva gerada pela passagem de um plano secante ao cone, paralelo reta geratriz. O plano determina no cone uma curva plana, aberta e in nita, na qual cada ponto equidista de um ponto xo e de uma reta, denominados de foco e diretriz.

    Cnicas

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    72

    DESENHOGEOMTRICO

    Construir uma parbola com distncia focal igual a 2 cm.

    CONSTRUO

    Dado VF = 2 cm, sabe-se que AF = 2(VF). Traar uma reta eixo denomi-nada e. De nir na reta eixo o ponto V e os pontos A e F equidistantes de V em 2 cm. Construir uma reta diretriz, denominada d, perpendicular reta e, que a intercepte no ponto A. De nir um ponto P1 que esteja localizado aps o vrtice V, no sentido VF. Traar uma reta p perpendi-cular reta e, que passe por P1. Com raio AP1 e centro em F, obter dois pontos de interseo com a reta p. De nir os pontos P2 e P3, segundo os mesmo critrios utilizados para de nir P1 e repetir as operaes se-guintes. Os pontos encontrados nas intersees dos arcos com as re-tas perpendiculares pertencem parbola. Unir os pontos mo livre para traar a parbola.

    11.3 Hiprbole

    a curva gerada pela passagem de um plano secante ao cone, paralelo ao eixo de rotao. O plano determina no cone duas curvas planas, abertas e in- nitas, nas quais constante a diferena entre a distncia de cada um de seus pontos P a dois pontos xos, denominados de focos.

  • 73

    DESENHOGEOMTRICO

    Construir uma hiprbole com distncia focal F1F2 = 7 cm e constante 2a = 4 cm.

    CONSTRUO

    Sabe-se que F1P F2P = A1A2 = 2a. Traar uma reta qualquer e sobre ela marcar os pontos O, A1,A2, F1,F2. Com centro em A1, marcar um ponto P1 que deve estar aps o foco, no sentido do vrtice para o foco. Com raio A1P1 e com centro nos pontos F1 e F2 marcar quatro arcos. Com raio A2P1 e centro nos pontos F1 e F2 interceptar os quatro arcos feitos anterior-mente. De nir P2, colinear A1 e A2 e no coincidente com P1 e repetir a operao. Os pontos encontrados nas intersees dos arcos perten-cem hiprbole. Unir os pontos mo livre para traar a hiprbole.

    Cnicas

  • Desenho Geomtrico

    74

    DESENHOGEOMTRICO

    Espiral uma curva plana que gira em torno de um ponto xo, chamado plo, e dele afasta-se ou aproxima-se segundo uma determinada lei que esta-belea uma relao entre as velocidades de dois movimentos: o circular e o re-tilneo.

    De acordo com suas propriedades, as espirais podem ser classi cadas em bidimensionais, tridimensionais e policntricas. Uma das espirais bidimensionais mais importantes a espiral de Arquimedes.

    12.1 Espiral de Arquimedes

    Se uma reta r gira com movimento uniforme em torno de um ponto xo O pertencente a ela e se um ponto P percorre r com velocidade constante, a traje-tria descrita por P uma curva denominada Espiral de Arquimedes.

    A espiral de Arquimedes pode ser construda traando uma circunferncia com raio igual ao passo desejado e dividindo a circunferncia e o raio em n par-tes.

    a. Construir uma espiral de Arquimedes, com sentido anti-horrio, com passo igual a 8 cm.

    Desenho GeomtricoCaptulo12Espiral

    DESENHOGEOMTRICO

  • 75

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Traar uma reta a, e a reta b, perpendicular reta a, que a intercepte no ponto de O. Utilizando um dos processos de diviso de segmento, dividir o raio OA em n partes, no caso, 8 partes. Obter os pontos P1, P2, P3, P4, P5, P6, e P7. Traar bissetrizes c e d para dividir a circunferncia em n partes, ou seja, 8 partes. Com centro em O e raio OP1, traar um arco que percorra o primeiro setor do crculo. De nir o ponto R. Com centro em O e raio OP2, traar um arco que percorra dois setores do crculo. De nir o ponto Q. Repetir o processo para os demais setores para obter os pontos P, S, T, U, V. Para obter a espiral, unir manualmente os pontos O, R, Q, P, S, T, U V e A.

    12.2 Espirais policntricas

    As espirais policntricas so falsas espirais, formadas por arcos de circunfe-rncias concordantes entre si, podendo ter dois ou mais centros.

    Falsa espiral de dois centrosA falsa espiral de dois centros formada pela alternncia entre dois centros e

    o respectivo aumento do raio necessrio para concordar as semicircunferncias.

    CONSTRUO

    Com centro em O1, traar semicircunferncia de raio O1O2. Obter o ponto A. Com centro O2, traar semicircunferncia de raio O2A. Obter o ponto B. Com centro em O1, traar semicircunferncia de raio O1B. Obter ponto C.

    Espiral

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    76

    DESENHOGEOMTRICO

    Falsa espiral de trs centrosA falsa espiral de trs centros iniciada a partir de um dos vrtices de um

    tringulo. Ela formada pela alternncia entre os trs centros e o respectivo au-mento do raio necessrio para concordar as semicircunferncias.

    CONSTRUO

    Com o centro em O1, e raio O1O3, traar um arco at a interseo do prolongamento do lado O1O2 do tringulo. Obter o ponto A. Com o centro em O2, e raio O2A, traar um arco para obter o ponto B no pro-longamento do lado O3O2. Com o centro em O3, e raio O3B, traar um arco para obter o ponto C no prolongamento do lado O1O3.

  • 77

    DESENHOGEOMTRICO

    Alguns problemas do Desenho Geomtrico no tm resoluo gr ca exata utilizando somente a rgua e o compasso. Isto pode ser demonstrado matemati-camente e alguns destes problemas j preocupavam os estudiosos de Geometria da Antiguidade. So exemplos clssicos: a quadratura de um crculo, a reti cao da circunferncia e a trisseo de um ngulo genrico. Para resolver estes casos, e somente estes, permitido usar processos aproximados que no produzem respostas exatas, mas respostas aproximadas. Havendo processo exato, o rigor geomtrico manda no aceitar processos aproximados.

    Na resoluo de um problema por processo aproximado, alm do erro gr- co, ocorre o erro terico, juntos eles somam-se para formar o erro nal. O uso do processo aproximado pode ser justi cado quando o erro terico cometido menor que o erro gr co inevitvel em qualquer construo gr ca. O erro te-rico dado pela seguinte expresso:

    Erro terico = Valor real Valor obtido

    Para efeito prtico, considera-se que o erro gr co total aceitvel em qual-quer resoluo deve ser menor que 0,5 mm.

    13.1 Reti cao da circunferncia pelo Processo de Arquimedes

    Reti car uma circunferncia de raio r construir gra camente um segmento de comprimento 2pir, que o comprimento da circunferncia.

    A reti cao da circunferncia pode ser feita por vrios processos aproxima-dos. Arquimedes desenvolveu um processo de reti cao da circunferncia que conhecido pela simplicidade de aplicao e tambm pela possibilidade de se resolver o processo inverso.

    O Processo de Arquimedes considera que a circunferncia reti cada corres-ponde a trs vezes o dimetro mais 1/7 do dimetro da circunferncia em ques-to.

    Processos aproximados

    Captulo 13DESENHOGEOMTRICO

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    78

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Traar uma reta r tangente circunferncia no ponto A. Sobre a reta r, com centro em A, marcar trs medidas consecutivas do dimetro, de nindo os pontos C, D e E. Dividir o segmento DE em sete partes iguais. Somar uma parte da diviso do segmento DE para obter o pon-to F. Uma forma simpli cada de obter o ponto F, ou seja, de nir 1/7 do dimetro, est ilustrada no desenho acima.

    Clculo do erro terico: Erro terico = Valor real Valor obtido Valor real = 2 pir = pi d = 3,1416 d Valor obtido = 3 d + d/7 = 22/7 d = 3,1429 d Erro terico = (3,1416 3,1429) d Erro terico = - 0,0013 d

    Se considerarmos uma circunferncia de dimetro 100mm, o erro terico ser igual a 0,0013 x 100mm = 0,13 mm, sendo, portanto, menor que o erro gr- co total aceitvel de 0,5mm.

    13.2 Desreti cao da circunferncia pelo Processo de Arquimedes

    A desreti cao de um segmento AB consiste na construo de uma circun-ferncia de comprimento (permetro) igual ao segmento dado. Considerando que pelo processo de reti cao de Arquimedes a circunferncia corresponde a 22/7 d, temos que:

  • 79

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Dividir o segmento AB em 22 partes iguais. O dimetro da circunfern-cia corresponde a 7 das 22 partes de AB.

    13.3 Reti cao de arcos

    Reti car um arco AB obter um segmento AB de comprimento igual ao do arco.

    13.3.1 Arco com ngulo central de 0 a 90

    CONSTRUO

    Dado um arco AB, traar o dimetro AC prolongado e uma reta tangen-te em A. Sobre o prolongamento do dimetro, determinar um ponto D de forma que DC = r. Traar uma reta por D e B at encontrar a reta tangente em B. O segmento AB ser o arco reti cado.

    13.3.2 Arco com ngulo central de 90 a 180

    Processos aproximados

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    80

    DESENHOGEOMTRICO

    CONSTRUO

    Neste caso, divide-se o arco em dois, de forma que ambos tenham n-gulo central menor que 90 e aplica-se o processo utilizado em 13.3.1.

    13.3.3 Arco com ngulo central entre 180 e 360

    CONSTRUO

    Neste caso, primeiro reti ca-se a circunferncia toda. Em seguida, reti- ca-se o arco BB. Por m, constri-se a diferena entre os dois segmen-tos obtidos anteriormente.

    13.4 Desreti cao de arcos

    Para desreti car um arco necessrio ter, alm do segmento dado, informa-es sobre a circunferncia, o raio ou o ngulo central correspondente.

    Desreti cao de um arco dados o segmento e o raioNeste caso, o problema se resume determinao do ngulo central.1 caso: Se o segmento dado menor ou igual a 1,5 vezes o raio, a resoluo

    semelhante ao item 13.3.1., determinando B a partir do ponto B.2 caso: Se o segmento dado de 1,5 a 3,0 vezes o raio, a resoluo seme-

    lhante ao item 13.3.2., determinando A e B a partir dos pontos A e B.3 caso: Se o segmento dado de 3,0 a 2pi vezes o raio, a resoluo seme-

    lhante ao item 13.3.3.

    Desreti cao de um arco dados o segmento e o ngulo central corres-pondente

    Neste caso, o problema resume-se determinao do raio da circunferncia que contm o arco.

  • 81

    DESENHOGEOMTRICO

    a. Desreti car o segmento AB, cujo ngulo central igual a a.

    CONSTRUO

    Traar uma reta r qualquer e em seguida traar uma perpendicular s a r. A partir da interseo entre as duas retas marcar o segmento AB. Traar uma paralela a reta r com a distncia igual a AB. Sobre a reta r marcar o ponto O, arbitrariamente. Com centro em O e raio OA, traar a circunferncia determinando o ponto C sobre r. De nir o ngulo , tendo O como vrtice e um dos lados como OA, e marcar o ponto E na interseo do outro lado do ngulo com a circunferncia. Dividir o seg-mento CO em 4 partes iguais. Com centro em C e raio igual a de CO, determinar o ponto D sobre r. Traar uma reta contendo D e E e marcar o ponto E na interseo com s. Traar uma paralela a OE passando por B e de nir O sobre r. Traar uma paralela a DE passando B. Com centro em O traar uma circunferncia de raio OA que de nir na interseo com a ltima paralela traada o ponto B. O arco AB o arco procurado.

    13.5 Diviso da circunferncia em partes iguais ou proporcionais

    A diviso da circunferncia em partes iguais ou proporcionais pode ser fei-ta por vrios processos aproximados. Um dos processos consiste em reti car a circunferncia, dividir o segmento obtido em partes iguais ou proporcionais e, em seguida, fazer a desreti cao dos segmentos obtidos. Este processo pode ser aplicado tambm para dividir um arco de circunferncia em partes iguais ou proporcionais.

    Outro processo o de Bion, mostrado a seguir. Existem vrios outros pro-cessos para dividir uma circunferncia em um nmero determinado de partes iguais, entretanto, so espec cos para cada caso.

    Processos aproximados

  • Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico

    82

    DESENHOGEOMTRICO

    Processo de BionO Processo de Bion consiste em dividir uma circunferncia em n partes iguais.

    Dividir a circunferncia abaixo em 5 partes iguais.

    CONSTRUO

    Dividir o dimetro AB da circunferncia dada em 5 partes iguais. Com centro em A e depois em B, traar dois arcos de raio AB, determinando os pontos C e D. Por C e D, traar retas passando pelos pontos pares (ou mpares) da diviso do dimetro AB, obtendo sobre a circunferncia os pontos que a dividem em 5 partes iguais, que no exemplo so os pontos A, E, F, G e H.

  • 83

    DESENHOGEOMTRICO

    Referncias bibliogr cas

    BORTOLUCCI, Maria ngela; CORTESI, Myrian V. P. Sistemas Geomtricos. 2. ed. So Carlos: Universidade de So Paulo, 1998.

    GARBI, Gilberto G. A Rainha das Cincias: um passeio histrico pelo mara-vilhoso mundo da matemtica. 3. ed. rev. e ampl. So Paulo: Editora Livraria da Fsica, 2009.

    GIONGO, A onso Rocha. Curso de Desenho Geomtrico. So Paulo: Editora Nobel, 1977.

    MARMO, Carlos M. B. Curso de Desenho. V. 1 - 3. Editora Moderna, 1974.

    PUTNOKI, Jos Carlos. Desenho Geomtrico. 4. ed. So Paulo: Editora Scipione, 1993.

    WAGNER, Eduardo. Construes Geomtricas. 6. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemtica, 2007.

    DESENHODESENHODESENHOGEOMTRICOGEOMTRICOGEOMTRICOGEOMTRICOGEOMTRICO

    DESENHOGEOMTRICO

  • Desenho Geomtrico

    84

    DESENHOGEOMTRICO

    Notas nais

    GeoGebraA maior parte das guras apresentadas nesta apostila foi elaborada por meio

    do software GeoGebra, na verso 4.1.3.0. GeoGebra um software de matemtica dinmica, de distribuio livre sob a

    GNU General Public License. escrito em Java, o que o torna disponvel em mlti-plas plataformas. Foi criado por Markus Hohenwarter para ser utilizado em am-biente de sala de aula. O projeto foi iniciado em 2001, na Universitt Salzburg, e tem prosseguido em desenvolvimento na Florida Atlantic University.

    um programa que permite realizar construes utilizando pontos, vetores, segmentos, retas, sees cnicas assim como funes e alterar todos esses obje-tos dinamicamente aps a construo estar nalizada.

    Alm das construes geomtricas, podem ser includas equaes e coorde-nadas diretamente. Desse modo, o GeoGebra capaz de lidar com variveis para nmeros, vetores e pontos, derivar e integrar funes e ainda oferece comandos para encontrar razes e pontos extremos de uma funo. Com isso, o programa rene as ferramentas tradicionais de Geometria, com outras ferramentas mais adequadas lgebra e ao clculo. Portanto, tem a vantagem didtica de apre-sentar, ao mesmo tempo, duas representaes diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: a sua representao geomtrica e a sua representao algbrica.

    O site o cial do GeoGebra http://www.geogebra.org/cms/pt_BR. A partir desse site possvel fazer o download do programa e do seu tutorial, bem como conhecer mais sobre suas possibilidades e potencialidades.

    CrditosEsta apostila de Desenho Geomtrico constitui parte do material didtico de-

    senvolvido anteriormente pelo professor Rolf Jentzsch, e revisado, em 2010, pela professora Clarissa Ferreira Albrecht, ambos do Departamento de Arquitetura e Urbanismo da Universidade Federal de Viosa.

    As atualizaes e acrscimos do contedo aqui presente foram realizados conjuntamente pela professora Clarissa Ferreira Albrecht (coordenadora) e pelos estudantes Luiza Baptista de Oliveira (tutora, ps-graduao) e Cristiano Ferreira de Oliveira (estagirio, graduao), com o apoio da Coordenadoria de Educao Aberta e Distncia (CEAD) da Universidade Federal de Viosa e da Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (CAPES).

    Desenho GeomtricoDESENHODESENHOGEOMTRICOGEOMTRICO

    DESENHOGEOMTRICO