Apostila Desenho Geometrico Parte2

FAM AC DESENH O GEOM ETRICO E GEOM ETRIA DESCRITIVA.

Aula 5

CAPTULO.II Concordncia: a reunio de duas linhas de forma que no haja inflexes nos pontos de contato. - Para concordar uma curva com um segmento de reta necessrio que o centro da curva esteja sobre a perpendicular ao segmento que passa pelo ponto de concordncia. - Para concordar duas curvas necessrio que o ponto de concordncia e o centro de concordncia pertenam a mesma reta.I.Ligar duas paralelas com um arco. 1 - traar uma reta perpendicular s retas O 2

determinando os pontos 1 e 2 - atravs da mediatriz destes pontos, encontrar o ponto O, que ser o centro do arco de

concordncia.

II.

Concordncia de arco com duas retas quaisquer.

- Sejam duas retas quaisquer: s e t; - Seja o raio de concordncia r; - Traar uma reta auxiliar perpendicular reta s, marcando nela a distncia r; - Traar s1 paralela a s com distncia r; - Traar uma reta auxiliar perpendicular reta t, marcando nela a distncia r; - Traar t1 paralela a t com distncia r; - O encontro das duas paralelas auxiliares o centro (C) do arco concordante. - Traar uma perpendicular reta s, passando pelo centro (C), encontrando o ponto 1 de concordncia na reta s; - Traar uma perpendicular reta t, passando pelo centro (C), encontrando o ponto 2 de concordncia na reta t; - Centrar em (C) com abertura C1 ou C2 e traar o arco.

P ro f. Elso n F . G . N egreiro s.

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III.

Concordncia de arco com arco e reta.

- Seja a circunferncia C1(O1,r1) e a reta t; - Seja r o raio do arco concordante; - Traar uma reta perpendicular auxiliar reta t, e marcar a distncia r; - Traar uma reta paralela reta t, com distncia de r; - Em uma reta suporte, marcar o raio r e, consecutivamente, marcar o raio r1. O segmento AC = r+r1; - Centrar em O1, com abertura AC e traar um arco. A interseo da paralela com o arco o ponto P (centro do arco concordante); - Traar uma perpendicular reta t, passando por P, encontrando o ponto 1 de concordncia; - Unir P a O1, encontrando o ponto 2 de concordncia na circunferncia; - Centrar em P, com abertura P1ou P2, e traar o arco concordante.

IV.

Ligar duas retas convergentes com uma curva em forma de S. 1 r A B mediatriz

- sejam as retas AB e CD, traar retas perpendiculares extremidades; - arbitrar raio (r) desenhando um arco com raio centro sobre a sobre outra 1,ligar uma das perpendiculares, repetir a medida do perpendicular 1 a C, determinando nas suas

C

C r C

D determinar sua mediatriz; - onde a mediatriz toca a outra perpendicular determina-se C , centro do outro arco de concordncia.


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V.

Concordncia externa de arco com dois arcos. (SOMA DE RAIOS)

- Sejam as circunferncias C1(O1;r1) e C2(O2;r2); - Seja o raio concordante r; - Em uma reta suporte, marcar consecutivamente o raio r e o raio r1. OO1 = soma dos raios; - Com a abertura OO1, centrar em O1 e traar um arco; - Em outra reta suporte, marcar consecutivamente o raio r e o raio r2. OO2 = soma dos raios; - Com a abertura OO2, centrar em O2 e traar outro arco. Ponto M = Interseo dos arcos ; Unir M a O 1, encontrando o ponto 1 de concordncia na circunferncia (O1; r1); - Unir M a O2, encontrando o ponto 2 de concordncia na circunferncia (O2; r2); - Centrar em M com abertura M1 ou M2 e traar o arco concordante.

VI.

Concordncia interna de arco com dois arcos. (DIFERENA DE RAIOS)

- Sejam as circunferncias C1(O1;r1) e C2(O2;r2); - Seja o raio concordante r; - Em uma reta suporte, marcar o raio r e, em seguida, marcar o raio r1 internamente ao r, a partir de sua origem. O segmento restante (AB) a diferena r - r1; - Com a abertura AB, centrar em O1 e traar um arco; - Em outra reta suporte, marcar o raio r e, em seguida, marcar o raio r2 internamente ao r, a partir de sua origem. O segmento restante (CD) a diferena r - r2; - Com a abertura CD, centrar em O2 e traar outro arco. Ponto M = Interseo dos arcos, centro do arco concordante; - Unir M a O1, encontrando o ponto 1 de concordncia na circunferncia (O1; r1); - Unir M a O2, encontrando o ponto 2 de concordncia na circunferncia (O2; r2); - Centrar em M com abertura M1 ou M2 e traar o arco concordante.


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VII.

Concordncia interna e externa de arco com dois arcos. (SOMA E DIFERENA DOS RAIOS)

- Sejam as circunferncias C1(O1,r1) e C2(O2,r2); - Seja r o raio concordante; - Numa reta suporte, marcar os pontos A, B e C, onde AC = r + r1; - Centrar em O1, com abertura AB e traar um raio; - Em outra reta suporte, marcar os pontos D, E e F, onde EF = d1 = r - r2; - Centrar em O2, com abertura EF e traar um raio. A interseo dos raios o ponto M = centro do arco concordante; - Unir M a O1, encontrando o ponto de concordncia 1; - Unir M a O2, encontrando o ponto de concordncia 2; - Centrar em M, com abertura M1 ou M2, e traar o arco concordante.

Exerccios:a) Traar arco de concordncia com a reta r, em T, atravs de um arco de raio 2 cm.

T

r

b) Desenhar arco de raio 2 cm, que passe por T e tangencie a.

T

a


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c)

Concordar as retas paralelas r e t por um arco.

t

r

d) Concordar as duas retas com um arco de raio = 15 mm.

e)

Concordar o arco de circunferncia com um arco de raio 1 cm, 2 cm e 3 cm.

f) Concordar dois segmentos de reta AB e CD paralelos por uma curva sinuosa e simtrica. A B

CP ro f. Elso n F . G . N egreiro s.

D

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g) Concordar dois segmentos de reta FG e HI por uma curva sinuosa. F G

I H

h) Concordar o arco com a reta r atravs de outro arco de raio 15 mm.

i)

Concordar os dois arcos externamente atravs de um arco de raio = 20mm.


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j)

Concordar os dois arcos internamente atravs de um arco de raio = 45mm.

k) Concordar os dois arcos internamente e externamente atravs de um arco de raio = 40mm.


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FAMAC DESENHO GEOMETRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA.

VIII. 9.1

Curvas Espirais Espirais Verdadeiras

a curva que descreve o deslocamento de um ponto em torno de outro (plo) afastando-se dele, e obedecendo a uma determinada lei, que regule e estabelea uma relao de velocidade entre o movimento circular (em torno do plo) e retilneo (se afastando do plo). As espirais podem se desenvolver no sentido horrio (destrgira) ou no sentido anti-horrio (levgira). So espirais verdadeiras: Espiral de Arquimedes ,logartmica e hiperblica. Espiral de Arquimedes- dividir o passo em um determinado nmero de partes (mnimo 8) e traar as circunferncias concntricas correspondentes - dividir a circunferncia no mesmo nmero de partes. - determinar os pontos por onde passa a espiral e traar a mo livre.1

1

fonte: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/espirais/

Prof. Elson F. G. Negreiros.

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Aula

11

Espiral logartmica Esta espiral aparece na natureza, rege o conchas de2

em abundncia uma forma que vivos como: as

crescimento de muitos organismos caracis vistas frontalmente formam espirais logartmicas , teias de aranha, os insetos aproximam da luz segundo uma espiral logartmica, pois se acostumam a voar com ngulo constante em fonte luminosa, os ciclones tropicais, relao braos dos tambm no existem os se

formam espirais exemplos3

logartmicas,

reino vegetal tambm como

girassis , as margaridas, as pinhas, etc. A diferena da espiral logartmica e da espiral de Arquimedes entre que as distncias seus

braos (passo) se incrementam em progresso geomtrica, enquanto que na espiral de Arquimedes o passo constante.

Espiral logartmica construda a partir de retngulos obtidos pela proporo urea .4

2 3 4

http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/logaritmica/espiral %20logaritmica.htm http://bonsfluidos.abril.com.br/extra/a/beleza5.shtml http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3% Dtmica A


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Aula

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Espiral hiperblica Esta espiral se caracteriza por ser inversa5

a de

Arquimedes,

e

tende

a

aproximar-se do plo, sem nunca alcanlo .

9.2 Espirais Falsas So aquelas se aproximam das espirais verdadeiras. como elementos: - amplitude ngulo descrito pelo ponto em cada centro, calculado dividindo-se 360 pelo nmero de centros da espiral; - centros - uma espiral falsa pode ter 2 ou mais centros; (bicntricas, tricntricas ou policntricas); - passo - calculado multiplicando o lado do polgono de ncleo pelo nmero de centros. IX. Construo da espiral bictrica:Dados os centros A e B construir uma falsa espiral bicntrica. - sobre uma reta localizar o ncleo da espiral (A e B) - com abertura AB e centro em A , traar arco e encontrar 1 sobre a reta - com abertura B1 e centro em B, traar arco 1-2 - com abertura A2 e centro em A, traar arco 2-3

Tem

A

B

Sentido Horrio

Sentido Anti-horrio

5

http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/dema tes23/opciones/investigacion/espirales/esp irales.htm


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X.

Construo da espiral tricntrica:

Sabendo-se que a amplitude da espiral 120, que o passo 1,5 cm, determina-se os centros (A , B e C vrtices de um tringulo eqiltero de lado = 0,5 cm). - prolongar os lados do tringulo ABC - com abertura AC e centro em A , traar arco C1 - com abertura B1 e centro em B, traar arco 1-2 - com abertura C2 e centro em C, traar arco 2-3 - com abertura A3 e centro em A, traar arco 3-4B

3

C B 2

A

1 A 4

XI. Construo da espiral de quatro centros irregular:

- Traar um retngulo 1234 de modo que seuslados sejam o dobro dos outros; - Prolonga-se os lados deste retngulo; - Centrar em 1, raio 13, traar o arco 3A; - Centrar em 2, raio 2A, traar o arco AB; - Centrar em 3, raio 3B, traar o arco BC; - Centrar em 4, raio 4C, traar o arco CD; - Centrar em 1, raio 1D, traar o arco DE; - Centrar em 2, raio 2E, traar o arco EF e assim por diante.

Exercciosa) Construir uma espiral de amplitude 120 e passo 3cm, no sentido horrio. b) Construir uma espiral de amplitude 180 e passo 1 cm, no sentido anti-horrio. c) Construir uma espiral levgira (AH) com 4 centros (quadrado de L = 0.5 cm). d) Construir uma espiral destrgira (H) com 6 centros (hexgono de L = 0.5 cm). e) Construir uma espiral de Arquimedes de passo = 5 cm, no sentido horrio


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