apostila - econometria espacial

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_____________________________________________________________________________ CURSO DE ECONOMETRIA ESPACIAL APLICADA PROF. DR. EDUARDO SIMES DE ALMEIDA ESALQ-USP Piracicaba, 2004 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ SOBRE O AUTOR OprofessorEduardoSimesdeAlmeidaeconomista,mestreedoutorem EconomiapelaFaculdadedeEconomiaeAdministraodaUniversidadedeSoPaulo (FEA-USP).Conquistouo21PrmioBNDESdeEconomia,comasuadissertaode mestradoem1997.Ottulodesuatesededoutorado"UmModelodeEquilbrioGeral AplicadoEspacialparaPlanejamentoeAnlisedePolticasdeTransporte".Recebeu recentementeoPrmioCNTdeProduoAcadmica2003peloartigocientfico"Quanto Custa o Descaso com as Nossas Estradas", extrado da sua tese de doutorado. Foi pesquisador visitante, por meio de uma bolsa "sandwich" concedida pela CAPES, no Regional Economics Applications Laboratory (REAL), da Universidade de Illinois (EUA) em2001-02.NaUniversidadedeIllinois,desenvolveuasuatesededoutoradoerealizou estudossobreEconometriaEspacial.FoialunodoProf.LucAnselin,daUniversidadede Illinois, assistindo aos cursos "Spatial Analysis" e "Spatial Econometrics". FoidurantedezanospesquisadorcientficodaFundaoInstitutodePesquisas Econmicas(Fipe),desenvolvendovriosprojetosnasreasdetransportes,logstica, modelagemeconmica,desenvolvimentoregionalendiceseconmicos.Auxiliouno desenvolvimentodomodeloeconomtricoespacialparaprojeoconsistentedeculturas agropecurias (MEECA). Publicoudezenasdeartigoscientficosemrevistaseapresentoudiversostrabalhos em congressos nacionais e internacionais na rea de modelos de equilbrio geral computvel, econometria espacial e anlise espacial. Copyright Eduardo Simes de Almeida1 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Temumalargaexperinciadedocncia.FoiprofessordeEstatsticaEconmicada UniversidadeMackenzie.MinistrouumminicursoEconometriaEspacialAplicada,na disciplina"EconomiaRegional",docursodePs-graduaodoInstitutodePesquisas EconmicasdaUniversidadedeSoPauloem2002.FoiProfessordadisciplinaMtodos QuantitativoseAnlisedeDados,doMBA-GestodeOperaes,daFundaoCarlos Alberto Vanzolini, da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, em 2003. Atualmente,pesquisadoreprofessorvisitantenoDepartamentodeEconomia, AdminstraoeSociologiadaEscolaSuperiordeAgriculturaLuizdeQueiroz,da Universidade de So Paulo (ESALQ-USP), no campus em Piracicaba. CONTATOS DO AUTOR Endereo comercial: Departamento de Economia, Administrao e Sociologia, da ESALQ-USP Av. Pdua Dias, 11 Cx. Postal 9 CEP 13418-900Piracicaba SP Tel.: (019) 3417-8726 (011) 9932-6377 Fax.: (019) 3434-5186 E-mails: [email protected] [email protected]

Copyright Eduardo Simes de Almeida2 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ CAPTULO 1 INTRODUO preciso medir tudo o que mensurvel, e tornar mensurvel o que no ... Galilei Galileu 1.1.Por que Estudar Econometria Espacial? Suponhaqueumpesquisadorestejainteressadoemestimarumafunodeproduo agrcola agregada em nvel microrregional, ou seja, uma cross-section de microrregies. Como a teoriadaproduorecomenda,elepretenderegrediraquantidadeagrcolaproduzidacontra insumos,taiscomoaquantidadedetrabalho,capital,terrautilizadaetc.Asuaprimeiraidia adotar o modelo clssico de regresso linear.Vamos comear especificando o modelo clssico de regresso linear: + = X y(1.1)) , 0 ( ~ I N em que y a varivel dependente com n linhas, X uma matriz de variveis explicativas com n linhas e k colunas, um vetor com k coeficientes de regresso e um vector com n termos aleatriosdeerro,seguindoumadistribuionormal.Ospressupostossubjacentesparaesse modelo clssico so os seguintes: a)Uma funo linear de um conjunto especfico de variveis independentes relevantes, com coeficientes fixos;b)Termos aleatrios de erro tm mdia zero; c)Todosostermosdeerrotmamesmavarinciaenosocorrelacionadosentresi(em outros termos, os termos de erro so esfricos); d)As observaes sobre as variveis independents podem ser fixas em amostras repetidas;e)A matriz X tem pleno posto. Opesquisadorpodeseconsiderarmuitosortudoseofenmenoestudadocomportar-se conformeospressupostosdomodeloclssicodeanlisederegressolinear.Omundoreal Copyright Eduardo Simes de Almeida1 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ muito mais complexo, impondo desafios ao pesquisador que deseja compreend-lo e quantific-lo.Odesenvolvimentohistricodaeconometriaexplicadopelatentativadesuperaras violaes dos pressupostos do modelo clssico, tais como a multicolinearidade, a correlao de X com o termo de erro , a heterocedasticidade etc. Existemumasriedelivrosemnveldegraduaooups-graduaoqueforneceas diretrizespararesolveressesproblemas.Contudo,umaclassedeproblemasrelacionadas dificuldadedeestudarfenmenosqueocorremnoespaonocontempladaporesseslivrose pela econometria convencional. Vamosvoltarnecessidadedeestimarafunodeproduoagrcola.Agoraconsidere queopesquisadorverificouqueaproduoagrcoladependentedadistribuioderecursos naturais,taiscomoqualidadedosolo,regimepluviomtrico,ecujarespostaaosinsumos trabalho,capitaleterranouniformeatravsdosmunicpios.Issopodeacarretarqueos coeficientestenhamestimativasdiferentesparacertossubconjuntosdosseusdados(para algumasregies).Ouavarinciadoerrono constanteemtodososmunicpios.Ou,ainda,a forma funcional, pressuposta ser linear, para alguns grupos de municpios vizinhos entre si pode ser no-linear.O que fazer?, pergunta o pesquisador. Vamosmaisadiantenoazardopesquisadoresuporqueexisteminteraesentreos produtores agrcolas, fornecendo uma dinmica diferente. Vamos supor que exista um conjunto de produtores que introduz uma inovao agrcola por exemplo, um novo sistema de irrigao propostoporumrgodogovernocomoaEmbrapaqueajudaaelevaraprodutividadedas culturasbeneficiadas.Osagricultoresvizinhosobservamesseefeitosobreaproduoe comeam a imitar essa inovao, difundindo-a. Os vizinhos desses agricultores vizinhos tambm vemosresultadospositivosetambmimitam.Essainovaonaagricultura,queteveum epicentro num municpio (ou num conjunto de municpios), comea a passar por um processo de difuso, transcendendo as fronteiras de um municpio isolado. Essa interao pode acarretar que onveldeproduoagrcoladeumdeterminadomunicpiodependadosnveisdeproduode seus municpios vizinhos.Diante desse fato, o que fazer?, pergunta novamente o pesquisador. Copyright Eduardo Simes de Almeida2 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Estudareconometriaespacialurgentemente,respondoeu,poisdesconsider-la,levara resultados viesados, inconsistente e/ou ineficientes. Isso porque os efeitos apresentados de forma intuitiva nos pargrafos passados no esto sendo levados em considerao. Portanto, o prejuzo paraaanlisepodesermuitoelevado.Chegamos,assim,aopontodeapresentarumramo emergentedaEconometriacominmerasaplicaesquefornecerassoluesquevocest procurando. 1.2.O que Econometria Espacial? A econometria espacial difere da econometria convencional porque leva em considerao os chamados efeitos espaciais na especificao, na estimao e no teste de hiptese e previso de modelos, com dados do tipo cross-section ou com um painel de dados. Ao no reservar ateno a essesefeitosespaciais,osresultadosproporcionadospelaanliseeconomtricaconvencional tornam-se invlidos.1 Adiferenaentreaeconometriaespacialeaeconometriatradicionalconcentra-sena preocupaodeseincorporarnamodelagemopadrodainteraoscio-econmicaentreos agentes num sistema, assim como as caractersticas da estrutura desse sistema no espao. Essas interaeseascaractersticasestruturaisquepodemserinstveisnoespaogeramefeitos espaciais em vrios processos econmicos (Anselin, 2003; Anselin, 1988; Anselin e Bera, 1998).No entanto, talvez uma diferena mais profunda possa ser delineada em termos de ponto de partida metodolgico. Metodologicamente falando, a econometria convencional procura tratar quantitativamenteocomportamentodoagentesegundoumpontodepartidapuramente atomstico,semsepreocuparcomocontextoespacial.Emcontraste,aeconometriaespacial buscatratarquantitativamenteocomportamentodoagentetantodopontodevistaatomstico (quaissoosfatoresexgenosindependentesdoespaoqueinterferememsuatomadade decises)quantodasuainteraocomoutrosagentesheterogneosaolongodoespao,este igualmenteheterogneo.Ummodeloeconomtricoderegressolineartradicionaltema limitao de no ser capaz de controlar para esses efeitos espaciais. 1 De acordo com Anselin (2001b, p. 113), econometria espacial um subcampo da econometria que lida com as complicaescausadaspelainteraoespacial(autocorrelaoespacial)epelaestruturaespacial (heterogeneidade espacial) em modelos de regresso para dados na forma de cross-section e painel de dados. Copyright Eduardo Simes de Almeida3 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Oprimeiroefeitoespacialdizrespeitodependnciaespacialdadapelainteraodos agentes no espao. De modo geral, todo processo que se d no espao est sujeito chamada Lei deTobler,tambmconhecidacomoaPrimeiraLeidaGeografia,cujoenunciadopodeser estabelecidodaseguinteforma:tudodependedetodoorestante,pormoqueestmais prximodependemais.ALeideToblerdestaca,comisso,opapeldaproximidadeparao estabelecimento da interao espacial entre os fenmenos.Noteaparticularidadedanoodeproximidadenessalei.Proximidadepressupea noodedistnciarelativaentreasunidadesespaciais(municpios,distritos,bairros,pases, estados, microrregies etc.) e seus efeitos, discutidos acima. Todavia, vale ressaltar que o efeito dadistnciadevesertomadodemodo amplo, noapenasgeogrfico,pormmaisnosentido dado por Isard, ou seja, a distncia relativa de renda, espao de poltica, correspondendo fora da interao verificada pelas unidades espaciais.Adependnciaespacialsignifica,porsuavez,queovalordeumavariveldeinteresse numacertaregioidependedovalordessavarivelnasregiesvizinhasj.Genericae formalmente, tal conceito pode ser expresso como: ) (j iy f y =ej i (1.2)n i , , 1 K = Podemosrepresentaradependnciaespacial,usandoumesquemagrficosimplificado para capturar a intuio que est por trs da interao: Figura 1.1: Representao Grfica da Interao Espacial yj yi Nesse esquema, existe uma interao entre a varivel de interesse y da unidade espacial i com a mesma varivel localizada na unidade espacial contgua a ela, denominada j. Cabe aqui uma palavra de alerta. Dependncia espacial uma propriedade de funes de densidadeconjunta.Conseqentemente,difcildeseobservarnaprtica.Assim,procura-se Copyright Eduardo Simes de Almeida4 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ avaliar a dependncia espacial pelo momento dessa funo de densidade conjunta, ou seja, pela autocorrelaoespacial,quepodeserestimadaetestada.Portanto,todaaanlisearespeitoda dependncia espacial ser feita por intermdio do conceito de autocorrelao espacial. Usaremos os termos autocorrelao espacial e dependncia espacial como sinnimos. possveldestacaralgumasfontesdedependnciaespacial,relacionadasauma variedadedeprocessosdeinteraosocial.DeacordocomHaining(1990,pp.24-25),existem basicamentequatroprocessosespaciais.Oprimeirorefere-seaoprocessodedifusoquese caracterizapelaadoodeumatributodeinteresseporpartedoselementosdeumapopulao fixa.Aqualquermomento,pode-sedescobrirqualaproporodapopulaoquejadotou determinado atributo. Nesse aspecto, a distribuio espacial da populao pode desempenhar um relevantepapelparaodesenvolvimentodopadrodedifusodoatributoemestudo.Um exemplo clssico a difuso tecnolgica. O segundo processo espacial envolve a troca de mercadorias e a transferncia de renda entre unidades espaciais. Segundo o autor, a renda auferida numa regio pode ser despendida em outra. O efeito multiplicador regional da renda desempenha importante papel. Noterceiroprocesso,destacadoocomportamentoestratgicocomoumacaracterstica fundamental,nosentidoemqueenvolveainteraoemqueeventosemumaregio influenciamesoinfluenciadosporeventosemoutrasregies,envolvendocompetioe/ou cooperao.Porexemplo,adeterminaodepreosnovarejodependedascondiesde mercado e da localizao dos vendedores, alm de suas aes e reaes. Oquartoprocessotratadadispersooudoespraiamentodeumatributo.Emcontrate comoprocessodedifuso,aquiaprpriapopulaoquesedispersa.Anaturezadetal disperso gera dependncia espacial no atributo (ou atributos) estudado ao longo do processo. No campodascinciassociais,umbomexemploseriaamigraopopulacional,aopassoqueno campo das cincias naturais seria a disperso de sementes. Copyright Eduardo Simes de Almeida5 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Ooutroefeitorefere-seheterogeneidade espacial. Fenmenos que ocorrem no espao noapresentamestabilidadeestrutural.2Emtermosintuitivos,aheterogeneidadeespacial manifesta-sequandoocorreinstabilidadeestruturalnoespao,fazendocomquehajadiferentes respostas,dependendodalocalidadeoudaescalaespacial.Talinstabilidadepodeserdetectada naformadecoeficientesvariveis,devarincianoconstanteou,ainda,deformasfuncionais diferentesparadeterminadossubconjuntosdedados.Nessecaso,aconseqnciaprticaa inadequao de se ajustar um mesmo modelo terico para todo o conjunto de dados.Aonotrat-laconvenientementenomodelo,paga-seumpreoalto.Oproblemada heterogeneidadepodeprovocarainstabilidadeestruturalsobreosresultadosdaregresso, causando a perda da eficincia. Em alguns casos, como veremos abaixo, possvel acarretar em estimativas viesadas.Como j dissemos, a econometria espacial um ramo emergente com diversas aplicaes prticasemvrioscamposdosaber,taiscomoeconomiaagrcola,finanaspblicaslocais, organizao industrial, economia regional e urbana, economia internacional, cincias ambientais etc. 1.3.Desafios da Econometria Espacial Comopossveldeseperceber,desconsiderarosefeitosespaciaispodeacarretarem estimativas viesadas, inconsistentes e/ou ineficientes. Porm, ao incorporar os efeitos espaciais, a tcnica economtrica, concomitantemente, sofistica-se e torna-se muito mais complexa.Em contraste com as sries de tempo cuja direo da interao e a dependncia no tempo ocorre unidirecionalmente, do passado para o presente e do presente para o futuro, a dependncia noespaobidirecional,expressapeloseguinteenunciado:souvizinhodomeuprprio vizinho.convenientenosedeixarinfluenciarpelasingelezadoenunciado.Elecondensauma dificuldadeinerentequandosetentamodelarprocessosespaciaiscomessegraude 2SegundoBolleretal.(2001,p.566),heterogeneidadeespacialrefere-sesituaoemquecoeficientesouos padresdeerrovariamsistematicamenteatravsdasreasgeogrficas.DeacordocomLeSage, heterogeneidade espacial refere-se variao em relaes atravs do espao. Copyright Eduardo Simes de Almeida6 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ interdependncia.Sparaquesepossaenxergaraprofundidadedainterdependncia,observe queomeuvizinho,almdeservizinhomeu,tambmvizinhodosvizinhosdeleque,porsua vez,someusvizinhosdesegundaordem,eassimpordiante.Esseaspectoenvolvera simultaneidadedainteraoquecomplicarsobremaneiraaestimao,comoservisto posteriormente. De modo prtico, diversas ferramentas, como, por exemplo, o correlograma, que so teis emsriesdetempoperdemseusentidoprtico.Nosepodeadotarocorrelogramaespaciala no ser em situaes extremamente estilizadas e raramente verificadas no mundo real. Outroaspectointrigantequeexistemmodelosespaciaisnoqualotermodeerro aleatrio e bem comportado, ou como se costuma dizer, esfrico. E mesmo assim, por influncia dainterdependnciaeainteraoentreosvizinhossurgirheterocedasticidadejuntoda dependncia espacial. Intuitivamente,afontedesseimbricamentopodeserencontradanaprpriamotivao metodolgica do campo da econometria espacial apresentada no incio de nossa exposio e aqui relembrada: a econometria espacial busca tratar quantitativamente o comportamento do agente tanto do ponto de vista atomstico (quais so os fatores exgenos independentes do espao que interferememsuatomadadedecises)quantodasuainteraocomoutrosagentes heterogneos ao longo do espao, igualmente heterogneo. Note como as idias de dependncia e a heterogeneidade convivem nesse enunciado.Esseumdosmaioresproblemasnesteramodaeconometria:oassimchamado imbricamentodaheterogeneidadeespacialcomadependnciaespacial,conduzindoauma extremadificuldadenacorretaidentificaodosmodeloseconomtricosrelevantesparao fenmeno em estudo. Isso implicar uma srie de procedimentos para contornar tal dificuldade. Umdelesrealizarumaanliseexploratriadedadosespaciaisparaterum conhecimentomaisprecisodanaturezadaestruturaedainteraodoprocessoespacial.Um exemploclarodissoqueaespecificaodemodeloseconomtricosespaciaisenvolve dificuldadesemidentificaromodeloapropriado.Porisso,debomalvitrefazerumaanlise exploratriadedadosespaciaisafimdequesepossasugerirpadreseproverindicaespara auxiliar posteriormente na seleo do modelo mais apropriado. Copyright Eduardo Simes de Almeida7 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Ooutromodoarealizaodetestesparadetectaressesefeitosespaciais,comoser visto no captulo 6. 1.4.Um Pouco de HistriaEmtermosquantitativos,ointeresseeapreocupaoarespeitodainflunciadoespao em diversos fenmenos de longa data. Existem relatos indicando que, em 1914, Student j se preocupava com a questo da influncia dos efeitos espaciais na estimao de modelos (Antonio, 1999).Todavia, apenas no final dos anos quarenta, mais precisamente em 1948, com o trabalho de Moran, introduziu-se o primeiro estimador formal da dependncia espacial, o chamado teste I, permitindoqueaestimaodaforadainteraoespacialpudesseserrealizada.OtesteIde Moran,comoveremosnocaptuloquatro,dotipodeumamedidadecorrelaosegundoum certo critrio de associao de variveis. Em 1954, a vez de Geary desenvolver um outro teste, chamado de teste C, para detectar adependnciaespacial,tambmumamedidadecorrelao,usandoumcritriodistintode associao entre variveis.Aindaem1954,Whittlepublicaumartigodiscutindoaparticularidadedeprocesso estocstico no espao, enfocando a bidirecionalidade da interao. Alm disso, o autor prope o modeloeconomtricodoerroauto-regressivoespacial,queservistonoquartocaptulodesta apostila. Em 1973, Cliff e Ord escreveram um livro, cuja segunda edio foi lanada em 1981, que aprofundouaanlisedosprocessosespaciaisnumaabordagememinentementeestatstica, enfocandosobretudoadependnciaespacial.Dequalquerforma,esselivroexpandiua possibilidade de aplicao de um conjunto de tcnicas em vrios campos, inclusive na economia. Outro marco no desenvolvimento desse ramo da econometria foi o livro de Jean Paelinck e Klaassen em 1979, intitulado Spatial Econometrics. Alis, Paelinck considerado at hoje o pai da Econometria Espacial, talvez muito pelo fato de ter cunhado o termo.SegundoFloraxeVlist(2003,p.225),apartirdaaeconometriafoialvodoestudode doisgruposdepesquisadores:deumlado,osholandesescujosprincipaisnomessoBartels, Copyright Eduardo Simes de Almeida8 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Brandsma,Hordjik,KetellappereNijkamp;deoutro,osbritnicos,despontandonomescomo Fingleton, Haining, Ord e Upton.Em 1988, Anselin publica o livro Spatial Econometrics: Models and Methods, que teve o mrito de sistematizar uma srie de conceitos e terminologias nesse campo do saber, at ento semumamarramentoeumaunidade.possvelafirmarqueemalgummomentodosanos oitenta o grande centro de desenvolvimento da econometria espacial passou a ser os EUA, com nomes como o prprio Anselin, Keilejian, Prucha e Cressie.Ograndedesenvolvimento,noentanto,ocorreumesmonosanosnoventacoma conflunciadetrsfatoresqueimpulsionaramaeconometriaespacial.Emprimeirolugar,o desenvolvimentodacapacidadecomputacionalquepermitiuestimarmodeloseconomtricos espaciais,adotandometdosdeestimaocomplexos.Emsegundolugar,adisponibilidadede umaprofusodedadosgeoreferenciados,emgrandeparteemdecorrnciadarevoluodo computador,maisespecificamenteosurgimentodesistemasdeinformaesgeogrficasna forma de softwares. Vamos discutir isso na prxima seo. Oavanodastcnicaseconomtricasespaciaisapresentadoisramosdistintos:o paramtrico e Bayesiano. O ramo bayesiano foi desenvolvido principalmente por Alan Gelfand. Outro nome de destaque Le Sage. Por esse material cobrir exclusivamente o ramo paramtrico da econometria espacial, no dedicaremos ateno ao ramo Bayesiano. 1.5.A Natureza dos Dados Espaciais Nocampodaeconometriaespacial,nosoapenasosmodelosquesodiferentes,mas tambmosdadossodiferenciados.Paraseremincorporadosnosmodelos,osdadosprecisam ser espaciais. Uma primeira questo de uma pessoa que esteja aprendendo econometria espacial saber qual a diferena entre dados no-espaciais (ou a-espaciais) e dados espaciais. Dados a-espaciais denotamavariaodealgumfenmenosemsepreocuparcomadeterminaoemsaberonde ocorretalvariao.Dadosespaciaisdenotamavariaodealgumfenmenotendoa preocupao em determinar onde ocorre tal variao. Portanto, dados espaciais apresentam dois componentes.Umprimeirocomponentereferenteaoatributodofenmenoemestudo;eum Copyright Eduardo Simes de Almeida9 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ outro, de natureza espacial, que fornece a referncia em termos da localizao geogrfica desse atributo. Nosltimosquinzeanos,omundovivenciouaemergnciadeumapletoradedados espaciais, sobretudo de cunho scio-econmico. Anselin (1999, p. 6) menciona uma exploso da disponibilidadedebasesdedadosscio-econmicosgeoreferenciados.Issoocorreudevidoao avano tecnolgico, especialmente vinculado informtica, tanto no que se refere ao hardware quanto ao software, no que tange coleta de dados. Houve a chamada Revoluo do Sistemas de Informao Georeferenciada (SIG), ou seja, o desenvolvimento de programas de computador quepermitiramaestocagem,organizao,descrioeanlisededadosespaciaisou georeferenciados.OSIGdisponibilizouumagrandequantidadededadosespaciais,levandoa necessidadedodesenvolvimentodetcnicastantodeanliseexploratriacomodeanlise confirmatria de dados espaciais. Acoletadedadosbeneficiou-setambmdoavanotecnolgicodosensoreamento remotoedarededesatlitesemtornodaterraquepermitiramodesenvolvimentodoGlobal Positioning System (GPS), primeiro para fins militares, e posteriomente, para fins comerciais.Essa pletora de dados georeferenciados contribui para a interpretao de que o campo da econometriaespacialguiadaporessadisponibilidadededados(data-driven).Emterceiro lugar,oavanodateoriaeconmica,preocupadaemestudarainteraoentreosagentesnum contextoespacialemmodeloscomoaNovaGeografiaEconmica.Agrandequantidadede novos avanos da teoria econmica que pressupe a interao dos agentes no espao visto por algunscomoaresponsvelpeloimpulsodastcnicaseconomtricasespaciais,guiadas,assim, pelos modelos tericos (model-driven). Osdadosgeogrficospodemserrepresentadosportrstiposdeobjetosespaciais Fotheringham et al. (2000, p. 17): a)pontos; b)linhas; c)polgonos. Copyright Eduardo Simes de Almeida10 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Nomapa1.1,estorepresentadosostrsobjetosespaciaisnaformadaredeferroviria, hidroviriaeaeroporturia.Nessemapa,ospontosdenotamosaeroportos,enquantoaslinhas representam as ferrovias. J os polgonos, extremamente irregulares, simbolizam as hidrovias. ##################################################### ############################################################################################ Mg_aero_point.shpMg_hidro_region.shpMg_ferro_polyline.shp200 0 200 400 MilesNE WSMapa 1.1: Rede Ferroviria, Hidroviria e Aeroporturia de MG 1.6.Processo Estocstico Espacial Convm destacar um aspecto curioso a respeito dos dados espaciais coletados. Os dados espaciais so uma nica realizao de um processo estocstico do tipo espacial. Veja o mapa 1.2, mostrando a rea colhida per capitapara o Estado de Minas Gerais. Pode-se considerar que esse mapacomdadosespaciaisumarealizao,dentreinmeraspossveis,deumprocesso estocstico espacial. Ou seja, o mapa com a rea colhida per capita para Minas Gerais a nica Copyright Eduardo Simes de Almeida11 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ amostraquesedispedeumapopulaodemapascomareacolhidapercapitaparaMinas Gerais que poderiam ter sido realizados.Mapa 1.2: Distribuio da rea Colhida per Capita em Minas Gerais rea Colhida per Capita0.005 - 0.1350.135 - 0.2930.293 - 0.4850.485 - 0.7260.726 - 1.501200 0 200 400 MilesNE WS Ocernedaquestorepousanarepresentatividadedessenicomapa.Oquegaranteque essemaparepresentativodapopulaodemapasquepoderiamtersidogerado?Percebaque esse um problema parecido enfrentado tambm pela econometria de sries de tempo. Quais so ospressupostosnecessriosparasefazerafimdepoderconsiderarumnicomapacomo representativodetodaumapopulaodemapas?Poressacaractersticaprpriadomecanismo estocsticogeradordedadosespaciais,issocolocaumproblemadecomofazerinferncia estatstica. Asoluoencontra-seemconsiderarqueomecanismoestocsticogeradordedados opera com uniformidade atravs do espao. Como a discusso envolver, portanto, mecanismos geradores de dados que esto vinculados a processos estocsticos, vale a pena definir esse ltimo conceito. Copyright Eduardo Simes de Almeida12 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Umprocessoestocsticoumaseqnciadevariveisaleatriasordenadasdeacordo com um critrio. possvel definir formalmente processo estocstico espacial da seguinte forma (Cressie, 1993; Anselin, 1988): { D i yi : }(1.3) emqueyumavariveldeinteresseassociadavarivel-ndiceiquedesignaumaunidade espacial, ou seja, uma locao no espao pertencente a um subconjunto fixo e finito D que, por sua vez, pertence a.dParacontornaresseproblemaepoderfazerinfernciaestatstica,precisoimporcertas condiesdeestabilidadeaosdadosdomapa,restringindoograudedependnciae heterogeneidadedoprocessoestocsticoespacial.Emoutrostermos,necessrioestabelecera noo de estacionariedade. A importncia disso repousa no fato de que, ao impor essa noo, possvel considerar, no caso em tela, como se houvesse mltiplos mapas com a rea colhida per capita para Minas Gerais. Na ausncia da estacionariedade, o nico mapa (a nica realizao do processoestocsticoespacial)seriaconsideradoumaamostranorepresentativadapopulao, tornando invlida a anlise confirmatria implementada a posteriori.Anoodeestacionariedadepermiteexpressaressascondiesderegularidadeem termosdoprimeiroesegundomomentosdadistribuiodeprobabilidades.Elaenvolvea imposiodasseguintesrestriesvariaodosdadosextradosdeumprocessoestocstico espacial. a)mdia constante: E(yi)=; b)varincia constante: Var(yi)=y2 c)covarincia: Cov(yi, yj)=y2c(). Convmteceralgunscomentriosarespeitodanoodeestacionariedade,condensada nos trs itens acima. As duas primeiras condies so triviais e semelhantes a que se admite em sries de tempo para se obter estacionariedade. Copyright Eduardo Simes de Almeida13 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Oaspectointeressanteresidenaterceiracondio,quetratadacovarincia.Afuno geralc()refere-seposiorelativa,determinadapeladistnciaentreasunidadesespaciais, bemcomodasuaorientaorelativa(angulao).Oproblemaque,aoselevaremcontaa orientao, para uma mesma distncia separadora de duas unidades espaciais, a covarincia pode assumir vrios valores. A soluo implica impor a noo de isotropia. Incorporando a isotropia a ltima condio pode ser reescrita como: c) covarincia como funo apenas da distncia relativa de duas regies Cov(yi, yj)=y2c(dij). Notequeagora,nadefiniodacovarincia,apareceafunoc(.)querelacionaas distnciasdasregiesiej,respectivamentedij.Talnoodeestacionariedadeimplicaum processo isotrpico, ou seja, a funo c(.) somente depende da distncia entre as regies e no da direodeseparaodasduasregies.Paraentendermelhoresseconceitodeisotropia, considere a figura 2 abaixo. Figura 2: O Conceito da Isotropia C 100 Km AB D 100 Km Por exemplo, admitindo a propriedade da isotropia, se duas cidades, digamos A e B, esto distantes(dAB)entresipor100quilmetrosnoSulnadireoleste-oesteesehouverduas cidades,digamosCeD,cujadistnciaqueassepara(dCD)tambmde100quilmetrosna Copyright Eduardo Simes de Almeida14 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ direo norte-sul, a covarincia deveria ser igual (ver figura 1.2). Nesse caso, o nico elemento que importa a distncia entre as unidades espaciais, no sendo importante a orientao relativa. Essa a propriedade da isotropia. Para processos isotrpicos, a funo de covarincia depende da distncia e no da direo, isto , a orientao relativa entre as unidades espaciais irrelevante. 1.7.Problemas Especiais com os Dados Espaciais A inferncia a partir de dados espaciais pode ser enganosa e induzir ao erro, se no forem tomadososcuidadosnecessrios.Paraintroduziressesproblemascomosdadosespaciais, vamos supor que um pesquisador esteja interessado em estimar uma funo de produo Cobb-DouglasparaoBrasilparadiferentesescalasespaciais,asaber,emnvelestadual, macrorregional, microrregional ou municipal: yi = A.Ki.Li(1-) (1.3) emqueyonveldeproduo,Koestoquedecapital,Laquantidadedetrabalho,Ao parmetro de eficincia e a participao do capital na produo. O ndice i denota o nvel de escala espacial. provvel que as participaes do capital () e trabalho (1-) sejam diferentes para cada nveldeescalaespacial.Ouseja,seforemusadosdadosmunicipais(umaescala)as participaes de e (1 - ) sero distintas das participaes se os dados em nvel microrregional (outra escala) e assim por diante.Esseoproblemadeescala.Trata-sedoproblemamaisbvioequeexibeamaior aplicaoprtica.Adenominaodoprimeiroproblemaconcernenteescalaespaciale refere-se sensibilidade dos resultados devido a diferentes nveis de escala. Isto , os resultados modificammedidaqueonmerodeunidadesespaciais(escala)seelevanumdeterminado agrupamento. Copyright Eduardo Simes de Almeida15 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Figura 3: O Problema de Escala n=9 n=36 O segundo problema uma sofisticao do primeiro: mesmo mantendo constante a escala espacial,existemdiversasformasdeagreg-lasemzonas,ouseja,hvriasmaneirasdefazer combinaes das unidades espaciais contguas. Tais combinaes so chamadas de zoneamento. Oproblemadozoneamentoouagregaorefere-sesensibilidadedosresultadosobtidosem funo das vrias alternativas de combinaes, dada uma mesma escala. Figura 4: O Problema de Agregao (ou Zoneamento) Essesdoisproblemascompemoqueconhecidonaliteraturacomoproblemada unidade areal (espacial) modificvel, doravante denominado MAUP.3

Copyright Eduardo Simes de Almeida16 3 Do ingls, modifiable areal unit problem (MAUP). Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Umaobservaodeveserregistradaquantoestranhezadoconceitodeunidadeareal modificvel.Eleexisteemcontraposioaunidadesareaisno-modificveis,queseriam indivisveis.SegundoOpenshaw,talunidadearealindivisvel,muitasvezes,arbitrria,em outras,podeserdeterminadacombasenumateoriasubjacente.Oquevaledestacarque,na maioria dos casos, tal unidade areal no-modificvel no pode ser identificada com preciso. Portanto, o MAUP manifesta-se na situao em que os resultados da anlise so sensveis formaqueosdadosespaciaissoorganizados,sobretudocomrelaoaonveldaescala espacialecomrespeitoaoarranjo(configurao)espacialemzonas(combinaodeunidades espaciais contguas). OproblemadoMAUPmanifesta-setantonaanliseunivariadaquantomultivariada (FotheringhameWong,1991).Nocontextomultivariado,oMAUPcriaincertezasobrea validadedosresultadosderivadosdaanliseeconomtrica.Almdisso,oMAUPestreitaa possibilidadedereplicaodeummodeloaumaoutraregiodeestudo,seaagregaoeo zoneamento forem distintos daqueles da aplicao inicial. De acordo com Anselin (1988, pp. 26-27), a metodologia economtrica espacial pode dar um tratamento apropriado aos problemas do zoneamento e de escala, uma vez que cada um deles corresponde a um dos efeitos espaciais.OMAUPestrelacionadoaumproblemaeconomtricodaagregaoqueserefereao efeito da heterogeneidade espacial. Suponha agora o contrrio que o espao fosse absolutamente homogneo.Nessecaso,qualquercombinao(arranjo)deunidadesespaciaisforneceriaos mesmosresultados.Ouseja,ahomogeneidadeespacialimplicaasmesmasrespostasem qualquerpartedoespao,logo,sendovlidaessacondio,oproblemadaagregao(ou zoneamento) no afloraria. Joproblemadaescalavincula-seaoefeitodadependnciaespacial.Comovimos acima, uma das fontes da dependncia so os erros de medida relacionados escala. Alm disso, esseramodaeconometriaenfrentaumgraveproblemadeidentificaodaestruturada dependncia espacial. Nesse ltimo, assoma a importncia da matriz W.SegundoOpenshaweTaylor(1979),oproblemadeescala(ouseja,avariaoda correlaodeunidadesespaciaisespacialmenteagrupadas)estrelacionadocoma Copyright Eduardo Simes de Almeida17 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ autocorrelaoespacial.Porisso,oefeitodeescalanoapareceemdadosespacialmente aleatrios. 1.8.Organizao dos Captulos Almdestecaptulodecunhointrodutrio,estaapostilaestassimorganizada.No prximocaptulo,apresentadaamatrizdepesosespaciaisqueforneceumarranjoespacial definido para que a interao dos agentes ocorra. No terceito captulo, a anlise exploratria de dadosespaciais(AEDE)desenvolvidacomointuitodecomearacontornaroproblemado imbricamentodadependnciacomaheterogeneidadeespacialnaetapadeidentificaodos modelos. O quarto captulo discorre sobre a tipologia de modelos economtricos que levam em consideraoaautocorrelaoespacial.Oquintocaptulotratadaestimaodaautocorrelao espacialnamodelagemeconomtrica.Osextocaptuloapresentaumconjuntodetestestanto para a identificao quanto para o diagnstico dos modelos. No stimo captulo, so expostos e discutidososmodelosqueincorporamooutroefeitoespacial,asaber,ahetorogeneidade espacial. No oitavo e ltimo captulo, desenvolve-se uma aplicao agricultura. Copyright Eduardo Simes de Almeida18 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ CAPTULO 2 MATRIZES DE PESOS ESPACIAIS 2.1.Introduo Vimos no primeiro captulo que a dependncia ou a autocorrelao espacial significa que ovalordeumavariveldeinteressenumacertaregioidependedovalordessavarivelnas regiesvizinhasj.Issopodeserexpressopelaseguinteequao,medindoacovarinciadessas variveis em regies distintas: 0 ) ( ) ( ) ( ) , ( =j i j i j iy E y E y y E y y Covei (2.1)n i , , 1 K = j Comoacovarinciade(2.1)diferentedezero,existeumadependnciaquesedno espao.Representaradependnciaespacialdessaformacorreto,porm,nosemostra operacionalizvel na prtica.Considerandoqueexistamnregies em nossa anlise, haver n*(n-1)/2 interaes entre essasregies.Esseumnmerograndedeinteraesparaqueopesquisadorpossalevarem conta,poissomuitosparmetrosaseremestimados(umparacadainterao).Porexemplo, usandoumacross-sectioncomosmunicpiosbrasileiros,postoqueoseutamanhodaamostra ser de aproximadamente n=5.500, haver 15.122.250 interaes! Assim,pararesolveresseproblema,precisoimporumarranjoparaaocorrnciadas interaesespaciaisentreasregiesafimdesetornaroperacionalizveleimplementvelna prtica. Havendo tal arranjo, o objetivo reduzir a quantidade de parmetros a serem estimados. Na verdade, o que se deseja ter de estimar um parmetro que d a idia do grau de interao.Comtalintuito,especifica-seumamatrizdepesosespaciaisqueprocuracondensarum determinado arranjo espacial das interaes resultantes do fenmeno a ser estudado. Note que a determinaodetalarranjonoprecisaseguirumaabordagemapenasgeogrfica,podendoser determinada segundo uma abordagem scio-econmica. Vamos ver mais detalhadamente abaixo como se constri tal matriz. Copyright Eduardo Simes de Almeida1 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Oconceitodematrizdepesosespaciaisbaseadonacontiguidade,que,porsuavez, podeserdefinidadeacordocomavizinhana,adistnciatantogeogrficaquantoscio-econmica, bem como uma combinao disso.1

Vriosresultadosemeconometriaespacialsosensveisescolhadamatrizdepesos espaciais. Portanto, a discusso a respeito da tipologia das matrizes uma questo importante e espinhosa na literatura. 2.2.Tipologia de Matrizes 2.2.1.Binria A matriz binria de pesos espaciais pode ser construda segundo a idia da contiguidade, cujadefinioqueduasregiessovizinhas,casoelaspartilhemdeumafronteirafsica comum. Com base nesse conceito de contiguidade, atribudo um valor unitrio na matriz a duas regies vizinhas; caso contrrio, atribue-se um valor nulo. Talvez a forma mais simples para definir uma matriz de pesos espaciais seja uma matriz binria de vizinhana: se duas regies so vizinhas, ou seja, partilham de uma fronteira, atribue-se o valor unitrio; caso contrrio, atribue-se o valor nulo. Formalmente: 1se i e j so contguos wij = (2.2) 0se i e j no so contguos Porconveno,wii=0,ouseja,nenhumaregioipodeservizinhadelamesma.Porque convencionalmente os termos da diagonal principal da matriz W so nulos? Em resposta a isso, alude-se facilidade computacional: uma vez que se calcula freqentemente o trao da matriz de pesos espaciais, e como o trao definido como a somatria dos elementos da diagonal principal damatriz,seessesforemnulos,otraoassumir,conseqentemente,ovalornulotambm, facilitando uma srie de contas. Copyright Eduardo Simes de Almeida2 1 Em vista disso, matriz de pesos espaciais e matriz de contiguidade so sinnimos. Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Apesardaaparentesimplicidadedesseconceito,escondem-sevriaspossibilidadespara definir vizinhana, conforme distintas convenes de contiguidade.O problema reside em como se define o conceito de fronteira geogrfica por intermdio daobservaodeummapa.Omapaumamerarepresentaoabstratadarealconfigurao geogrfica.Porisso,contmerrosdemedida.Levandoemcontaesseserrosdemedida,eem aluso ao movimento de peas num tabuleiro de xadrez, a conveno de contiguidade dita ser rainha(queen),caso,almdasfronteirascomextensodiferentedezero,puderemser consideradososvrtices(ns),navisualizaodeummapa,comocontguos.Casoapenasas fronteirasfsicascomextensodiferentedezeroentreasregiessejamlevadasemconta,a conveno de contiguidade considerada como torre (rook).2 Essas duas convenes so as mais utilizadasnaliteratura.Asdiferentesconvenesparaamatrizbinriadepesosespaciaisso mostradas na figura 2.1 abaixo. Figura 2.1: Conveno Rainha de Contiguidade

A Copyright Eduardo Simes de Almeida3 2 Na situao em que apenas os vrtices so considerados como vizinhos, a conveno chamada de bispo (bishop). Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Figura 2.2: Conveno Torre de Contiguidade B A tabela abaixo mostra a matriz binria de pesos espaciais do Brasil segundo a conveno rainha: Tabela 2.1: Matriz Binria de Pesos Espaciais para as Regies Brasileiras (Conveno Rainha) N NE CO SE S N 0 1 1 0 0NE 1 0 1 1 0CO 1 1 0 1 0SE 0 1 1 0 1S0 0 0 1 0 A desvantagem da matriz binria de pesos espaciais reside no fato de que no garantida uma conectividade balanceada, uma vez que haja regies com grande rea com muitos vizinhos, ao passo que existiro regies com pouca rea e com poucos vizinhos.Para superar esse problema, adota-se a matriz dos k vizinhos mais prximos. Trata-se de umamatrizbinriadecontiguidadecujaconvenodevizinhanabaseadanadistncia geogrfica. Formalmente: Copyright Eduardo Simes de Almeida4 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 1sed d ijwij = (2.3) 0sed d >ij em qued um valor de distncia crtico. Avantagemdessaconvenocombaterodesbalanceamentodaconectividadedeuma matriz, pois todas as unidades espaciais tero o mesmo nmero de vizinhos cada uma. Umavantagemcomumatodasmatrizesdepesosespaciaisdotipobinrioa possibilidade de definir vizinhanas de ordens superiores. Uma matriz de vizinhana de primeira ordemcompostadosvizinhosdasunidadesespaciais.Umamatrizdevizinhanadesegunda ordemcompostadosvizinhosdosvizinhosdasunidadesespaciais(osvizinhosdesegunda ordem) e assim por diante. Paraentenderoconceitodevizinhodesegundaordem,considereamatrizbinriade pesosespaciaisconformeaconvenorainhadosestadosdoBrasil.Osvizinhosdeprimeira ordem do estado de So Paulo so Minas Gerais, Rio de Janeiro, Paran e Mato Grosso do Sul.Osvizinhosdesegundaordemdoestado de So Paulo so Santa Catarina (vizinho do Paran), Bahia(vizinhodeMinasGerais),EspritoSanto(vizinhodoRiodeJaneiroeMinasGerais)e Gois (vizinho de Minas Gerais).A importncia de se definir matrizes de pesos espaciais de ordens superiores repousa em capturarprocessosespaciaisqueapresentaminteraesqueseamortecemcomoseu alastramento.Outro conceito de suma importncia a matriz de pesos espaciais padronizada pela linha. A padronizao da matriz de pesos espaciais pode ser formulada em termos formais como:

=jijij sijwww (2.4) Copyright Eduardo Simes de Almeida5 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ =jsijw 1 (2.5) Apadronizaodamatrizdepesosespaciaistornaamatrizassimtrica,porm,sua relevncia reside basicamente dar a interpretao de mdia dos valores da varivel nos vizinhos paraadefasagemespacial.Ainterpretaodemdiadosvaloresvizinhosachaveparase definirposteriormenteoconceitodedefasagemespacialtantoparaavariveldeinteresse(yi) quanto para as variveis explicativas (X) e o termo de erro (u). Tabela 2.2.: Matriz Binria Padronizada de Pesos Espaciais para as Regies Brasileiras N NE CO SE S N 0,000 0,500 0,500 0,000 0,000NE 0,333 0,000 0,333 0,333 0,000CO 0,333 0,333 0,000 0,333 0,000SE 0,000 0,333 0,333 0,000 0,333S0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 2.2.2.Distncia Inversa Umoutrotipodematrizgeogrficaaquelabaseadanadistnciainversa.Aidia intuitivaqueseencontraportrspodeserestabelecidacomooseguinte:quantomaisdistante duas regies estiverem, menor ser a interao entre elas. Genrica e formalmente: ) (ij ijd f w = (2.6) Os pesos espaciais so uma funo da distncia entre as regies i e j. Vale destacar que a funo f pode assumir vrias especificaes, tais como: Copyright Eduardo Simes de Almeida6 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ a)funo de distncia inversa: bij ijd w= (2.7) b)funo de distncia exponencial: ) exp(ij ijbd w = (2.8) c)funo distncia linear: ij ijbd w = (2.9) Um problema com esse tipo de matriz que o parmetro b , muitas vezes, determinado arbitrariamente.Todavia,oprincipalproblemacomaconvenodadistnciasurgequandodij aproxima-se de zero, wij torna-se muito grande, aproximando-se do infinito.Umaalternativaestim-losjuntodomodelo.Todavia,issoimpeumadificuldade representadapeloproblemadeidentificaoquandoospesossono-linearescomonafuno dedistnciainversaenadistnciaexponencial.Comonaespecificaodosmodelosos parmetrosespaciaismultiplicamospesos,osparmetrospodemnoseridentificados separadamente, pois a sua interao multiplicativa. 2.2.3.Matriz de Pesos Espaciais Gerais de Cliff e Ord Intuitivamente,razovelsuporqueregiesquecompartilhammaiorextensode fronteiraentresitenhamumainteraomaior.Domesmomodo,quantomaisprximasduas regiesseencontram,maiorainteraoentresi.Essasduasforasgeogrficasindutorasde interao esto condensadas na matriz de pesos espaciais gerais de Cliff e Ord (1981). Copyright Eduardo Simes de Almeida7 Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ OspesosespaciaisgeraisoupesosCliff-Ordconsistemnocomprimentorelativoda fronteiracomum,ajustadopeladistnciainversaentreasduasobservaes.Formalmente,os pesos Cliff-Ord podem ser expressos como: ijijijdbw = (2.10) em que bij a parcela da fronteira comum entre as observaes i e j no permetro de i, e e so parmetros. Convm notar que bij no necessariamente igual a bji, como pode ser observado na figura abaixo: Figura 2.3: Representao dos Pesos Espaciais Gerais b R S Claramente,temosquebRS