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Ensino Fundamental Roteiro geral 1. Dicionário de Matemática Elementar Pequeno dicionário de Matemática Elementar. 2. Origem dos números O surgimento do processo de numeração. Representação numérica. A capacidade humana de quantificar objetos. O ábaco. O sistema de numeração indo-arábico. Notação posicional e a criação do zero. O sistema de numeração. Observações sobre a numeração egípcia. O sistema de numeração romana. 3. Números naturais (primeira parte) Introdução, construção, igualdade, desigualdades e operações com números naturais. 4. Números naturais (segunda parte) Múltiplos e Divisores naturais. Números primos. Crivo de Eratóstenes. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e o algoritmo para a sua obtenção. Máximo Divisor Comum (MDC) e o algoritmo para a sua obtenção. Relação entre MMC e MDC. Primos entre sí. Radiciação. 5. Critérios de divisibilidade Lista ímpar de Critérios de divisibilidade por: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e 49. Certamente você não encontrará este material em livros comuns! Em todos os casos há exemplos para você praticar. 6. Exercícios sobre mmc, mdc e divisibilidade Exercícios Resolvidos sobre Números Naturais, Múltiplos e Divisores naturais. 7. Números inteiros Curiosidades com números inteiros. Introdução aos números inteiros. Sobre a origem dos sinais. O conjunto Z dos Números Inteiros. A Reta Numerada. Ordem e simetria no conjunto Z. Módulo de um número Inteiro. A soma de números inteiros e suas propriedades. A Multiplicação de números inteiros e suas propriedades. A propriedade distributiva. Potenciação e radiciação de números inteiros. 8. Frações O papel das frações e números Decimais. Elementos históricos sobre os números Decimais. Frações e números Decimais. Leitura de Números Decimais. Transformação de frações decimais em números decimais. Transformação de números decimais em frações decimais. Propriedades dos números decimais. Operações com números decimais. Expressões com números decimais. Comparação de números decimais. Porcentagem. 9. Frações decimais Frações: elementos históricos, conceito, construção, definição, leitura, tipos e a propriedade fundamental. A fração como classe de equivalência. Números mistos. Simplificação de frações. Representação gráfica. 10. Números racionais Relação entre números racionais e frações. Dízima periódica. A Conexão entre números racionais e números reais. Geratriz de uma dízima periódica. Números irracionais. Representação geométrica dos racionais. Ordem e simetria no conjunto Q. Módulo de um número racional. Adição e propriedades dos números racionais. Produto e propriedades dos números racionais. Propriedade distributiva em Q. Potenciação de números racionais. Radiciação de números racionais. Médias: Aritmética, Aritmética Ponderada, Geométrica e Harmônica. 11. Exercícios sobre frações e números decimais Exercícios resolvidos de frações decimais e números Decimais. 12. Equações do 1o. grau

Apostila ef ii

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Ensino Fundamental Roteiro geral

1. Dicionário de Matemática Elementar

Pequeno dicionário de Matemática Elementar.

2. Origem dos números O surgimento do processo de numeração. Representaçã o numérica. A capacidade humana de quantificar objetos. O ábaco. O sistema de numeraçã o indo-arábico. Notação posicional e a criação do zero. O sistema de numeração. Observações sobre a n umeração egípcia. O sistema de numeração romana.

3. Números naturais (primeira parte) Introdução, construção, igualdade, desigualdades e operações com números naturais.

4. Números naturais (segunda parte) Múltiplos e Divisores naturais. Números primos. Cri vo de Eratóstenes. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e o algoritmo para a sua obtenção. Máximo Divisor C omum (MDC) e o algoritmo para a sua obtenção. Relação entre MMC e MDC. Primos entre sí. Radiciaçã o.

5. Critérios de divisibilidade Lista ímpar de Critérios de divisibilidade por: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e 49. Certamente você não encontrará este material em liv ros comuns! Em todos os casos há exemplos para você praticar.

6. Exercícios sobre mmc, mdc e divisibilidade Exercícios Resolvidos sobre Números Naturais, Múlti plos e Divisores naturais.

7. Números inteiros Curiosidades com números inteiros. Introdução aos n úmeros inteiros. Sobre a origem dos sinais. O conjunto Z dos Números Inteiros. A Reta Numerada. O rdem e simetria no conjunto Z. Módulo de um número Inteiro. A soma de números inteiros e suas p ropriedades. A Multiplicação de números inteiros e suas propriedades. A propriedade distributiva. Po tenciação e radiciação de números inteiros.

8. Frações O papel das frações e números Decimais. Elementos h istóricos sobre os números Decimais. Frações e números Decimais. Leitura de Números Decimais. Tran sformação de frações decimais em números decimais. Transformação de números decimais em fraç ões decimais. Propriedades dos números decimais. Operações com números decimais. Expressõe s com números decimais. Comparação de números decimais. Porcentagem.

9. Frações decimais Frações: elementos históricos, conceito, construção , definição, leitura, tipos e a propriedade fundamental. A fração como classe de equivalência. Números mistos. Simplificação de frações. Representação gráfica.

10. Números racionais Relação entre números racionais e frações. Dízima p eriódica. A Conexão entre números racionais e números reais. Geratriz de uma dízima periódica. Nú meros irracionais. Representação geométrica dos racionais. Ordem e simetria no conjunto Q. Módulo d e um número racional. Adição e propriedades dos números racionais. Produto e propriedades dos númer os racionais. Propriedade distributiva em Q. Potenciação de números racionais. Radiciação de núm eros racionais. Médias: Aritmética, Aritmética Ponderada, Geométrica e Harmônica.

11. Exercícios sobre frações e números decimais Exercícios resolvidos de frações decimais e números Decimais.

12. Equações do 1o. grau

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Introdução as equações e sentenças matemáticas. Equ ações do primeiro grau (1 variável). Desigualdades do primeiro grau (1 variável). Desigu aldades do primeiro grau (2 variáveis). Sistemas de equações primeiro grau. Desigualdades com duas equa ções.

13. Razões e proporções Razões. Proporções. Propriedade fundamental das pro porções. Razões e Proporções de Segmentos. Polígonos e Figuras Semelhantes. Aplicações prática s das razões.

14. Aplicações das Razões e proporções Proporções com números e propriedades. Grandezas di reta e inversamente proporcionais. Elementos históricos sobre a Regra de três. Regras de três si mples direta e inversa. Regras de três composta. Porcentagem. Juros simples.

15. Divisão proporcional Decomposição de um número em n partes: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais, simultaneamente em n partes direta e inversamente p roporcionais. Regras de Sociedade.

16. Expressões algébricas Expressões Numéricas e a sua importância. Elementos históricos. Expressões algébricas. Prioridade das operações numa expressão algébrica. Monômios e polinômios. Valor numérico de uma expressão algébrica. A regra dos sinais (multiplicação ou div isão). Regras de potenciação. Eliminação de parênteses em Monômios. Operações com expressões al gébricas de Monômios. Alguns Produtos notáveis.

17. Equações do 2o.grau Equações do segundo grau. A fórmula de Sridara (con hecida como sendo de Bhaskara). Exercícios e algumas tabelas interessantes.

18. Funções quadráticas A função quadrática ou trinômia do segundo grau. Qu atro importantes aplicações das parábolas nem sempre encontradas em livros básicos de Matemática até mesmo porque tais aplicações envolvem conhecimento de assuntos tratados num curso superio r.

1- Ensino Fundamental: Mini Dicionário de Matemátic a Elementar

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T V

ábaco Uma calculadora com várias hastes de metal, sustentando bolinhas que podem ser manipuladas, servindo para realizar operações matemáticas.

abscissa Ver coordenadas

adição Uma das quatro operações básicas da aritmética, utilizada para adicionar um número a outro.

3+2=(1+1+1)+(1+1)=(1+1+1+1+1)=5

algarismo Símbolo utilizado para escrever os números. Em nosso sistema de numeração de base 10, existem dez algarismos:

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0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

algoritmo Um conjunto de regras necessárias à resolução de um problema ou cálculo. Consideremos o problema: Sobre o conjunto dos números reais, resolver a equação a.x+b=0, sendo a constante a diferente de zero. Para resolver este problema, podemos utilizar o:

Algoritmo

1. Escrever a equação a.x+b=0.

2. Somar o oposto de b, que é -b a ambos os membros da igualdade.

3. Usar o fato que b+(-b)=0, sendo que 0 é o elemento neutro da adição de números reais.

4. Verificar que: ax=-b.

5. Multiplicar ambos os membros da nova igualdade por a-1 que é o inverso multiplicativo de a que está garantido porque a é não nulo.

6. Usar o fato que a.a-1=1, sendo que 1 é o elemento neutro da multiplicação de números reais.

7. Obter a solução x=a-1.b.

amostra Um conjunto escolhido para representar uma coleção ou população.

ângulo Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum. A interseção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é denominada vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ou semi-retas).

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ângulo agudo Um ângulo que mede menos do que 90 graus e mais do que 0 graus.

ângulo obtuso Um ângulo que mede mais do que 90 graus e menos do que 180 graus.

ângulo raso Um ângulo que mede exatamente 180 graus.

ângulo reto Um ângulo que mede exatamente 90 graus ou um ângulo formado pela interseção de duas retas perpendiculares.

arco de curva Parte de uma curva situada entre dois pontos quaisquer da curva. Se A e B são dois pontos quaisquer de uma circunferência , existem dois arcos AB, estes arcos são de comprimentos diferentes se A e B não são pontos extremos do diâmetro, o maior é designado arco maior e o outro, arco menor.

área É a medida de uma superfície, muitas vezes mal denominada também como superfície.

aresta A interseção de duas faces de um sólido. No desenho em anexo, é o segmento de reta que representa a interseção de duas faces coloridas.

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aritmética É o ramo da Matemática dedicado ao estudo das regras de cálculo com números.

arredondar Fazer uma aproximação do valor de um número.

3,14 é um arredondamento de Pi=3,14159...

associativa Lei que permite reagrupar os termos de uma adição ou multiplicação sem alterar o resultado.

(A+B)+C = A+(B+C) (A×B)×C = A×(B×C)

A multiplicação é associativa:

a×(b×c) = (a×b)×c 2×(3×5) = (2×3)×5 =30

A adição é associativa:

a+(b+c) = (a+b)+c 2+(3+5) = (2+3)+5 =10

atributo Uma qualidade ou característica de um objeto matemático.

baricentro de um triângulo As três medianas de um triângulo se encontram num mesmo ponto, o baricentro, este ponto divide cada mediana em duas partes tais que, a parte que contém o vértice é o dobro da outra. Uma lamina triângular com densidade uniforme tem este ponto como centro de massa.

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base de um triângulo É conveniente considerar um dos lados do triângulo como sendo sua base, a distância entre a base e o vértice oposto a base é a altura do triângulo.

bilhão 109=1000000000. Número 1 seguido de 9 zeros.

bissetriz É a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Na figura a semi-reta OM é a bissetriz do ângulo AÔB pois os ângulos AÔM e MÔB são congruentes.

biunívoca Correspondência de cada objeto a um único objeto. Por exemplo, uma pessoa para cada carteira de identidade.

blocos lógicos Blocos utilizados em atividades didáticas de classificação e seriação gráfica. Tais objetos normalmente são coloridos e têm formas distintas.

calcular Realizar uma operação, como por exemplo, a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão ou potenciação, visando obter um resultado.

capacidade É a quantidade que um recipiente pode conter, esta quantidade pode ser de óleo, água, etc. Normalmente a capacidade é medida em litros.

cilindro Uma região bidimensional no espaço tridimensional formada por uma superfície curva e por duas superfícies planas que são congruentes. Um cilindro circular reto pode ser visto no cotidiano como uma lata de óleo ou de ervilha.

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círculo Uma figura plana formada pelo conjunto de todos os pontos deste plano situados a uma distância menor ou igual que uma medida conhecida como raio do círculo, a partir de um ponto fixo denominado centro do círculo.

circunferência Uma curva plana formada pelo conjunto de todos os pontos deste plano situados a uma distância exatamente igual a uma medida conhecida como raio da circunferência, a partir de um ponto fixo denominado centro da circunferência. É a linha que envolve o círculo.

classificação Forma de separar objetos ou números que possuem certos atributos ou características.

colinear Um número qualquer de pontos são colineares se todos estiverem sobre uma mesma reta.

compensação Um modo de realizar uma estimativa onde se pode ajustar um resultado subestimado (abaixo do valor) ou superestimado (acima do valor), para chegar a um resultado aproximado mais próximo da realidade.

comutativa Lei que permite mudar a ordem dos termos de uma adição ou multiplicação sem alterar o resultado.

A+B = B+A A×B = B×A

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A multiplicação é comutativa:

a×b = b×a 5×2 = 2×5 = 10

A adição é comutativa:

a+b = b+a 5+2 = 2+5 = 7

concêntrico Figuras concêntricas são aquelas que possuem o mesmo centro.

cone Uma figura espacial tendo (em geral) uma base circular delimitada por uma superfície curva obtida pela rotação de uma reta em torno de um eixo fixo, sendo que estas duas retas cruzam-se no vértice do cone.

congruência Característica do que é congruente.

congruente Figuras congruentes são aquelas que têm a mesma forma e a mesma medida.

consecutivo Números consecutivos são números que se seguem. Por exemplo, 3, 4, 5 e 6 são números consecutivos.

contar Associar objetos de uma forma unívoca aos números naturais.

coordenadas As coordenadas de um ponto no plano são identificadas por um par ordenado P=(x,y) de números, que servem para determinar a posição deste ponto em relação ao sistema

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considerado de eixos. A primeira coordenada×do par ordenado é a abscissa e a segunda coordenada y é a ordenada.

As coordenadas de um ponto no espaço são identificadas por um terno ordenado P=(x,y,z) de números que servem para determinar a posição do ponto no espaço em relação ao sistema considerado de eixos. A primeira coordenada×de um terno ordenado é a abscissa, a segunda y é o afastamento e a terceira z é a cota.

corda Dois pontos A e B pertencentes a uma curva definem um segmento de reta AB denominado corda.

criptograma Um jogo no qual os algarismos são trocados por letras ou outros símbolos de uma operação aritmética.

cubo Um prisma retangular que tem as seis faces quadradas. Cada conjunto de três arestas se encontra num ponto denominado vértice e duas destas arestas sempre formam um ângulo reto. As seis faces são paralelas duas a duas.

dados Elementos numéricos ou algébricos de informação de um problema.

decágono Um polígono com 10 lados.

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denominador Na fração é o número que fica em baixo. É o número que indica em quantas partes iguais será dividido o número de cima. Na fração 3/4 o denominador é o número 4.

desigualdade Desigualdade é uma expressão em uma das formas: a b, a<b, a<b, a>b, aexpressões. Em desigualdades sã

não é igual (diferente), < é menor do que, é maior do que e > é maior ou igual a.

diagonal Segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono.

diâmetro No círculo, é a medida dpelo centro e que une dois pontos da circunferência do círculo.

diferença O resultado de uma subtração.

2 é a diferença entre 5 e 3, porque 2=5

Na fração é o número que fica em baixo. É o número ue indica em quantas partes iguais será dividido o número de cima.

Na fração 3/4 o denominador é o número 4.

Desigualdade é uma expressão em uma das formas: b, a>b, a>b, onde a e b são quantidades ou

expressões. Em desigualdades são usados os seguintes símbolos: não é igual (diferente), < é menor do que, < é menor ou igual a, >

é maior ou igual a.

Segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos

No círculo, é a medida do segmento de reta que passa pelo centro e que une dois pontos da circunferência do círculo.

O resultado de uma subtração.

2 é a diferença entre 5 e 3, porque 2=5-3.

Na fração é o número que fica em baixo. É o número ue indica em quantas partes iguais será dividido o número de cima.

Desigualdade é uma expressão em uma das formas: b, onde a e b são quantidades ou

o usados os seguintes símbolos: é menor ou igual a, >

Segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos

o segmento de reta que passa pelo centro e que une dois pontos da circunferência do círculo.

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5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=(1+1)=2

dígitos Símbolos usados para escrever números em representação decimal ou alguma outra base. Em notação decimal os dígitos usados são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em notação binária são usados apenas dois dígitos 0 e 1.

distributiva Lei que permite distribuir uma adição ou subtração em relação ao produto, sem alterar o resultado.

a×(b+c) = (a×b)+(a×c) a×(b-c) = (a×b)-(a×c)

A multiplicação é distributiva sob a adição:

5×(10+2) = (5×10)+(5×2)

A multiplicação é distributiva sob a subtração:

5×(10-1) = (5×10)-(5×1)

dividendo O número que será dividido em uma operação de divisão. Na operação 18÷9=2, 18 é o dividendo.

divisão Uma das quatro operações básicas da aritmética. Usada para saber o número de vezes que um número está contido em outro número.

6÷3 = (2+2+2)÷3 = 2

divisor É o segundo termo da divisão. É o que divide o dividendo. Na operação 18÷9=2, 9 é o divisor.

dodecaedro Um poliedro com 12 faces.

dodecágono Um polí com com 12 lados.

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eixo de simetria A reta que separa uma figura de sua reflexão ou rebatimento.

elemento Um objeto de um conjunto é um elemento deste conjunto.

eneágono Um polígono com 9 lados.

enumerar Associar objetos de uma forma unívoca aos números naturais.

esfera Uma figura formada pelo conjunto de todos os pontos do espaço tridimensional, equidistantes de um ponto fixo denominado centro da esfera, por uma distância fixa conhecida como o raio da esfera.

estimativa Atitude de estimar um resultado numérico. É o resultado aproximado de uma operação. Pode ser feito mentalmente ou por escrito. Embora saibamos que Pi=3,1415926535..., podemos fazer uma estimativa para o valor de Pi como sendo a divisão de 22 por 7.

expressão numérica Uma expressão matemática que pode também conter termos não matemáticos.

faces São os polígonos que delimitam um sólido.

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fator Os números inteiros multiplicados em uma multiplicação são os fatores. Na equação 2×6 = 12, 2 e 6 são os fatores de 12.

figura geométrica Um desenho serve para representar diversas noções matemáticas. Uma figura geométrica pode ter dimensão: 0, 1, 2, 3, ...,n. Por exemplo, o ponto é uma figura geométrica sem dimensão, ou seja 0-dimensional, a reta é 1-dimensional, o triângulo é 2-dimensional e o cubo é 3-dimensional. Às vezes, simplesmente escrevemos que o cubo é 3D.

figura plana É uma figura em duas dimensões, como o círculo, o quadrado, o pentágono, o trapézio, etc.

fração Representa as partes de um todo ou de um conjunto, a razão entre dois números inteiros ou uma divisão.

fração decimal Um numero fracionário que expressa uma forma decimal como 4,8 ou 7,23.

4,8=24/5 7,23 = 723/100

fração irredutível Uma fração onde o numerador e o denominador não têm um fator comum maior do que 1. A fração 3/4 é irredutível, mas 5/25 não é.

fração ordinária É a fração que não é decimal. A fração 1/4 é ordinária.

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fração simplificada ver fração irredutível

frações equivalentes São frações que representam a mesma quantidade. As frações 1/2, 2/4 e 8/16 são equivalentes.

fundo de um gráfico Geralmente é a região sobre a qual um desenho é colocado.

gabarito Um modelo que permite reproduzir figuras.

geoplano Uma prancheta de madeira ou de plástico composta de pregos ou metais disposta em quadrado, permitindo a construção de vários polígonos e aprofundamento de uma variedade de conceitos geométricos.

gráfico Um quadro que permite representar os dados.

gráfico de barras Um gráfico onde os dados são representados com faixas verticais ou horizontais.

gráfico de linha Um gráfico formado por uma linha construída pela ligação de segmentos de reta, unindo os pontos que representam os dados.

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grau Unidade de medida de ângulo muito utilizada nos primeiros níveis educacionais. Ela é obtida pela divisão da circunferência em 360 partes iguais, obtendo-se assim um ângulo de um grau, sendo que a notação desta medida usa um pequeno º colocado como expoente do número, como 1º.

heptágono Um polígono com 7 lados.

hexaedro Um prisma retangular que tem as seis faces quadradas. Cada conjunto de três arestas se encontra num ponto denominado vértice e duas destas arestas sempre formam um ângulo reto. As seis faces são paralelas duas a duas.

hexágono Um polígono com 6 lados.

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histograma Um diagrama com faixas representando valores contínuos.

icosaedro Um poliedro com 20 faces.

inclinação de uma reta Se dois pontos de uma reta têm a mesma abscissa, diz-se que a reta é vertical e se as abscissas são diferentes a reta é inclinada. Quando é possível, a inclinação é obtida pela divisão entre a diferença das ordenadas e a diferença das abscissas de dois pontos quaisquer.

infinito Que não é finito. O conjunto dos números naturais é infinito, pois sempre existirá um outro natural que supera o anterior. Significa algo tão grande que não pode ser contado.

interseção A interseção de dois conjuntos é o conjunto de todos os elementos que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente. A interseção dos conjuntos A e B é denotada por A B e lê-se "A interseção B". A interseção de conjuntos satisfaz as seguintes propriedades:

1. A A = A e A Ø=Ø

2. A B = B A (A interseção é comutativa)

3. (A B) C = A (B C) (A interseção é associativa).

intervalo Um intervalo finito da reta real R é um subconjunto de R que possui uma das seguintes formas:

1. [a,b]={x real: a<×< b}

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2. (a,b)={x real: a<×< b}

3. [a,b)={x real: a<×< b}

4. (a,b]={x real: a<×< b}

linha Uma figura geométrica 1D ou seja unidimensional.

linha de tempo Colocação de eventos em ordem cronológica juntamente com os períodos ou datas das ocorrências dos fatos.

losango Um paralelogramo com quatro lados iguais, dois a dois paralelos, sendo que os ângulos opostos obtidos a partir de uma mesma diagonal são iguais.

massa A massa de um objeto é a propriedade de ser mais ou menos pesada. A massa de um objeto depende de seu volume e da matéria de que o objeto é constituído. O peso de um objeto, além disso, depende do local onde se encontra (sobre a Terra ou sobre a Lua, no Polo Sul ou sobre a Linha do Equador...): o peso mede a força com a qual o objeto é arremessado.

mil 10³=1000. 1 seguido de três zeros.

milhão 106=1000000. Número 1 seguido de seis zeros.

milhar 10³=1000. 1 seguido de três zeros.

milheiro 10³=1000. 1 seguido de três zeros.

modelo Ver motivo e motivo numérico.

módulo Ver valor absoluto

multiplicação Uma das quatro operações básicas da aritmética, que realiza o produto de dois ou mais termos denominados fatores. A

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multiplicação é uma adição repetida: 8x4 é a mesma coisa que 8+8+8+8=32.

multiplicador O número pelo qual se multiplica. No produto 8x4=32, 4 é o multiplicador.

multiplicando O número que será multiplicado por outro. No produto 8x4=32, 8 é o multiplicando.

múltiplo Um múltiplo de um número inteiro é o produto deste número por um outro número inteiro. 0, 4, 8, 16... são múltiplos de 4.

multívoca Correspondência de um objeto com vários. Por exemplo, um carro de $10.000,00 corresponde a dez motos de $1.000,00, pelo menos em termos monetários.

numerador Indica o número de partes em consideração com o todo. Na fração é o número que fica em cima. É o número que é dividido pelo número de baixo. Na fração 3/4 o numerador é o número 3.

número Um símbolo que representa uma quantidade, uma grandeza, uma posição. Os símbolos utilizados podem ser de algarismos (26), de letras (vinte e seis) ou outros (lA), sendo que este último é uma mistura de letras e números e corresponde ao número 26 na base hexadecimal.

número cardinal É o número de elementos de um conjunto. a característica associada ao número cardinal é a cardinalidade.

número composto É um número que tem mais do que dois divisores naturais distintos, tais como 4, 6, 12, 15, 49.

número decimal Número no qual a parte inteira é separada da parte decimal por uma vírgula.

número ímpar Um número inteiro que não é múltiplo de 2. Exemplos de tais números são:

..., -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, ...

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número inteiro Números inteiros são os números naturais e seus opostos, reunidos ao zero.

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

número irracional Um número que não pode ser escrito sob a forma da divisão de dois números inteiros, tais como pi=3,1415926535... e e=2,71828...

número misto É um número obtido pela soma de um número inteiro com uma fração ordinária, como:

6 2

7

= 6 + 2

7

número natural Números naturais são aqueles provenientes dos processo de contagem na natureza. Existe discussão sobre o fato do 0 (zero) ser considerado um número natural uma vez que este foi criado pelos hindús para dar sentido à nulidade de algo.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

número ordinal O ordinal de um número exprime sua posição em uma sequência, tal como primeiro, segundo, terceiro, vigésimo.

número par Um número inteiro que é múltiplo de dois. Exemplos de tais números são:

..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...

número primo Um número inteiro maior do que 1, que não é divisível por qualquer outro número exceto por ele e por 1. Um número primo tem somente dois divisores naturais diferentes.

número racional Um número que pode ser colocado sobre a forma de uma fração, sendo que o numerador e o denominador devem ser dois números inteiros, sendo que o denominador não pode ser zero (0).

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octaedro Um poliedro com 8 faces.

octógono Um polígono com 8 lados.

ordem Arranjo ordenado que pode ser em ordem crescente ou decrescente. Existe um padrão de comportamento para os objetos.

ordem crescente Arranjo de um grupo de números em ordem, de modo que um número menor é sempre colocado antes de um maior. Exemplo: 3, 6, 9, 12, 27.

ordem decrescente Arranjo de um grupo de números em ordem, de modo que um número maior é colocado antes de um menor. Exemplo: 27, 12, 9, 6, 3.

ordenada Ver coordenadas.

padrão Um procedimento onde se utilisa as figuras congruentes repetidas, seja para recobrir uma superfície ou para criar uma borda. É também uma regularidade, um modelo, uma sequência: quando se pode identificar o próximo evento ou objeto que virá, se encontrou um padrão.

padrão numérico Uma regularidade, um modelo, uma sequência: quando se pode identificar o próximo número que virá, se se encontrou um padrão numérico.

par Um número inteiro que é divisível por 2. Também entendido como um conjunto que contem dois elementos.

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paralelepipedo Sólido geométrico com seis faces, sendo que as faces opostas são paralelas. Este sólido se assemelha a uma caixa de sapato.

paralelogramo Um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

pentadecágono Um polígono com 15 lados.

pentágono Um polígono com 5 lados.

pentominó Todas as figuras em duas dimensões formadas pela combinação de 5 quadrados congruentes adjacentes.

perímetro O comprimento da curva em torno de uma figura fechada e limitada.

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perímetro da circunferência É a medida do comprimento da circunferência. Se esta tem o raio igual a r e Pi é a constante cujo valor é 3,1415926535..., então o perímetro P é calculado por:

P = 2 × Pi × r

peso Ver massa.

pictograma Um gráfico no qual os dados são representados por desenhos ou imagens.

pirâmide Um poliedro que tem como base um polígono e como lados, triângulos que se reunem em um ponto comum.

plurívoca Correspondência de vários objetos com vários objetos. Quatro doces de $5,00 correspondem a cinco doces de $4,00, pelo menos no preço.

poliedro Um sólido limitado por polígonos.

polígono Uma região plana fechada limitada por segmentos de retas.

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polígono circunscrito Um polígono é circunscrito a uma circunferência se todos os seus lados são tangentes à circunferência. Neste caso pode-se dizer que a circunferência é inscrita no polígono.

polígono inscrito Um polígono é inscrito a uma circunferência se todos os seus vértices são pontos da circunferência. Neste caso podemos dizer que a circunferência é circunscrita ao polígono.

polígono regular Um polígono que tem todos os ângulos e lados congruentes.

ponto Uma figura geométrica sem dimensão.

ponto de referência Um dado conhecido que nos permite estimar uma quantidade desconhecida.

predição A declaração de que se deve chegar, fundamentada no raciocínio ou experiência científica. Pode-se fazer previsões sobre a meteorologia, tremores de terra, resultados de competições esportivas, etc.

previsão Ver predição

prisma Um poliedro limitado por dois polígonos paralelos e congruentes reunidos por dois paralelogramos.

prisma retangular Um prisma que tem polígonos quadriláteros paralelos e congruentes.

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prisma triangular Um prisma que tem polígonos triangulares paralelos e congruentes.

probabilidade É o quociente entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis em uma experiência. A probabilidade de obter o número 4 no lançamento de um dado sem defeito é 1/6.

produto Uma das quatro operações básicas da aritmética, que realiza o produto de dois ou mais termos denominados fatores. A multiplicação é uma adição repetida: 8x4 é a mesma coisa que 8+8+8+8=32.

quadrado Um quadrilátero que tem todos os quatro ângulos retos e os quatro lados congruentes, paralelos dois a dois.

quadrado mágico Os números são dispostos em quadrados (3x3, 4x4, 5x5, ...) de modo que a soma dos números na vertical, na horizontal ou na diagonal é sempre a mesma. Apresentamos dois quadrados mágicos, o primeiro com os números 1, 2 e 3 e o outro com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. As tabelas foram postas ao lado para aproveitar o espaço.

1 3 2

8 1 6

3 2 1

3 5 7

2 1 3

4 9 2

quadrante Uma região do plano cartesiano delimitada por duas semi-retas. O plano cartesiano possui 4 quadrantes.

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quadrilátero Um polígono com quatro lados.

quociente O resultado de uma divisão. Na divisão de 8 por 4 o quociente é 2

radiano É a unidade de medida de ângulo no Sistema Internacional, o procedimento para obter um radiano é o seguinte: Tomamos um segmento de reta OA. Com um compasso centrado no ponto O e abertura OA, traçamos um arco de circunferência AB, sendo que B deve pertencer ao outro lado do ângulo AOB. Se o comprimento do arco for igual ao comprimento do segmento OA, diremos que este ângulo tem medida igual a 1 radiano (1 rad).

raio O segmento de reta que liga o centro do círculo a qualquer ponto da circunferência do círculo.

rede Obtém um padrão quando se desenvolve um sólido, isto é, se estende a superfície exterior de um sólido para obter uma superfície plana.

reflexão A formação dos pontos de um objeto de modo que a nova figura obtida se pareça como uma imagem refletida em um espelho.

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relação de Euler (lê-se:"Óiler") Num poliedro convexo, a soma do número V de vértices com o número F de faces é igual ao número A de arestas mais dois.

V+F = A+2

resto A quantidade que sobra após a divisão de um número inteiro por outro. Ao dividir 13 por 4, o quociente é 3 e o resto é 1.

reta (Conceito primitivo) É um conjunto infinito de pontos alinhados de tal forma que os segmentos com extremidades em dois quaisquer desses pontos têm sempre a mesma inclinação.

reta numerada Uma reta graduada que tem o número 0 (zero) como ponto inicial, um número 1 (unidade) como ponto de referência e outros números em ordem crescente (por convençao: para a direita), relativamente à medida do segmento que começa em 0 e termina em 1.

retângulo Um paralelogramo que tem 4 ângulos retos e os lados são paralelos e congruentes dois a dois.

retas concorrentes Retas que se cruzam.

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retas oblíquas Duas retas que se cortam com um ângulo não perpendicular.

retas paralelas Retas que nunca se cruzam e que não estão sobrepostas.

retas perpendiculares Retas que se cruzam formando um ângulo reto.

revolução Um deslocamento no qual cada ponto do objeto se desloca mantendo a mesma distância ao centro de rotação mas formando ângulos diferentes. Por exemplo, o movimento da roda de uma bicicleta é um movimento de rotação em torno de um eixo.

rombo Ver losango.

rotação Um deslocamento no qual cada ponto do objeto se desloca mantendo a mesma distância ao centro de rotação mas formando ângulos diferentes. Por exemplo, o movimento da roda de uma bicicleta é um movimento de rotação em torno de um eixo.

segmento de reta Uma parte de uma reta limitada entre dois pontos.

semelhante Diz-se que duas figuras são semelhantes se ambas são congruentes ou uma delas é uma ampliação ou redução da outra.

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sentença numérica Ver expressão numérica

simetria com respeito a um ponto Quando uma figura é rodada de um ângulo de 1140 graus, pode-se dizer que ela é simétrica com respeito a um ponto.

simetria de rotação Ver simetria com respeito a um ponto

simetria com respeito a uma reta Quando uma figura é rebatida em relação a uma reta, diz-se que ela é a reflexão de uma outra figura ou simétrica em relação a uma reta.

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simétrico Uma figura em uma, duas ou três dimensões é dita simétrica se ela possui um ente de simetria (ponto, eixo ou plano), de modo que do outro lado deste ente de simetria a figura seja semelhante porem invertida como se tivesse sido colocada na frente de um espelho.

sólido Uma figura em três dimensões. Exemplos de sólidos são: cubo, paralelepípedo, pirâmide.

soma Uma das principais operações básicas da aritmética, que resulta na adição de números.

2+3=(1+1)+(1+1+1)=(1+1+1+1+1)=5

subtração Uma das quatro operações básicas da aritmética, que objetiva retirar um número de outro. É uma operação artificial criada a partir da adição.

5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=(1+1)=2

superfície Um ente geométrico bidimensional suave (que não possui bicos ou autointerseções) que possui medida de área, isto é, uma região que pode ser planificada (colocada sobre um plano) de modo que a nova região planificada tenha a área equivalente à de um quadrado.

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tangram Conjunto de peças gráficas específicas que pode ser reunido para montar figuras geométricas. Muito utilizado nas atividades práticas de Geometria.

tentativa e erro, chute Uma estratégia de resolução de problemas onde se faz uma escolha para viabilizar o resultado e assim se procede várias vezes até que que se chegue a alguma conclusão próxima ao objetivo para a resolução do problema.

termo Um dos objetos matemáticos em uma operação.

tetraedro Um poliedro com 4 faces. Se o tetraedro for regular, ele terá 4 faces congruentes, 4 vértices e 6 arestas também congruentes.

total O resultado de uma adição ou de um produto.

transferidor Um instrumento que serve para medir ângulos.

translação O deslocamento paralelo em linha reta de um objeto ou figura. Um elevador realiza uma operação de translação.

trapezóide Um quadrilátero que tem dois lados paralelos.

triângulo Um polígono com três lados.

valor absoluto O valor absoluto de um número real a também chamado "módulo de a" é denotado por |a| e definido como o máximo valor entre a e -a, isto é:

|a|=max{a,-a}

valor posicional O valor da posição de um algarismo depende de sua posição no número. No número 728, o algarismo 7 ocupa a

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posição das centenas, o 2 ocupa a posição das dezenas e o 8 a posição das unidades.

vértice O ponto de junção de duas semi-retas de um ângulo, de dois lados de um polígono ou de três (ou mais) faces de um sólido.

vetor nulo Vetor nulo ou vetor zero de um esapaço vetorial, denotado neste trabalho por Ö.

vírgula É um sinal matemático que separa a parte inteira da parte decimal de um número.

Pi = 3,1415926535

volume O volume de um objeto é definido como a medida do lugar ocupado pelo objeto no espaço. Por exemplo, o volume de uma caixa é medido em cm³. No contexto das artes visuais, o volume representa uma característica do objeto e não uma medida do espaço ocupado.

2- Ensino Fundamental: A origem dos números � A origem dos números � Início do processo de contagem � Representação numérica � Alguns símbolos antigos � O ábaco

� Sistema Indo-Arábico � Histórico: notação Posicional � Histórico: criação do zero � Notação Posicional � Sistema numérico Romano

Introdução sobre a origem dos números

Você já usou muitas vezes os números, mas será que já parou para pensar sobre:

a. O modo como surgiram os números? b. Como foram as primeiras formas de contagem? c. Como os números foram criados, ou, será que eles sempre

existiram?

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Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que tenha gerado os números.

Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.

Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.

Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é a presença dos números.

O Início do processo de contagem

Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.

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O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.

As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio.

A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.

No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.

No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que

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retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.

A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.

Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.

Representação numérica

Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação.

A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos. Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma

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coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção.

O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental.

"Distingüimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo quatro elementos. mas aí para nosso poder de identificação dos números." História Universal dos Algarismos", Georges Ifrah.

Temos também, alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóis e os corvos, que possuem este senso numérico onde reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades. Existe um exemplo célebre sobre um corvo que tinha capacidade de reconhecer quantidades.

Curiosidade: Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de observação de sua mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho. Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro

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homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subsequentes com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso. Finalmente, foram utilizados cinco homens como antes, todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco, voltou imediatamente ao ninho.

Alguns símbolos antigos

No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:

I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos:

I II III IIII IIII I

IIII II

IIII III

IIII IIII

IIII IIII I

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:

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Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado a aproximadamente 4 mil anos.

Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33.

O ábaco

O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com fileiras de arame, cada fileira representando uma classe decimal diferente, nas quais correm pequenas bolas

No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais.

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No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular.

O Sistema de numeração Indo-Arábico

Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.

O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos, multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não deve ter ocorrido por acaso.

Inglês Francês Latim Grego Italiano Espanhol three trois tres treis tre tres

Sueco Alemão Russo Polonês Hindu Português

tre drei tri trzy tri três Notas históricas sobre a atual notação posicional

Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que é comprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).

Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece em muitas inscrições do século III antes de Cristo.

Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno. Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

o que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades mas como um símbolo independente.

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Por muito tempo, estes algarismos foram denominados algarismos arábicos, de uma forma errada.

Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindus passaram a usar a notação por extenso para os números, pois não podiam exprimir grandes números por algarismos.

Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero.

Cada algarismo tinha um nome:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

eka dvi tri catur pañca sat sapta asta nava

Quando foi criada pelos hindús a base 10, cada dezena, cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual:

10 = dasa

100 = sata

1.000 = sahasra

10.000 = ayuta

100.000 = laksa

1.000.000 = prayuta

10.000.000 = koti

100.000.000 = vyarbuda

1.000.000.000 = padma

Ao invés de fazer como hoje, de acordo com as potências decrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordem crescente das potências de 10 por volta do século IV depois do nascimento de Jesus Cristo. Eles começavam pelas unidades,

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depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O número 3.709 ficava:

9 700 3000 nove sete centos três mil nava sapta sata tri sahasra

Poderiamos escrever o número 12.345 como

pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta

pois, 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000, logo:

5 = pañca

40 = catur dasa

300 = tri sata

2.000 = dvi sahasra

10.000 = ayuta

pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta

Esta já era uma forma especial.

Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de 10, por volta do século V depois do nascimento de Jesus Cristo, os matemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar a notação retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números grandes, assim o número 12.345 que era escrito como:

pañca catur dasa tri sata dvi sahasra ayuta

passou a ser escrito apenas:

54321 = pañca catur tri dvi dasa

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12345 = 5 + 4×10 + 3×100 + 2×1000 + 1×10000

e esta se transformou em uma notação falada e escrita posicional excelente para a época, mas começaram a acontecer alguns problemas como escrever os números 321 e 301.

321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100

321 = dasa dvi tri

301 = 1 + 3 x 100

301 = dasa tri

É lógico que este último número não poderia ser o 31, pois:

31 = 1 + 3 x 10

31 = dasa tri

No número 301 faltava algo para representar as dezenas.

Para construir este material, usamos algumas partes do excelente livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985, com a permissão da Editora.

Notas históricas sobre a criação do zero

Tendo em vista o problema na construção dos números como 31 e 301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio (ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem um acento agudo e a letra u tem um traço horizontal sobre ela).

Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim passaram a escrever:

301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100 301 = dasa sunya tri

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Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.

Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicional.

Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimento religioso hindú para enaltecer as suas próprias qualidades científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número 14.236.713 escrito claramente:

triny ekam sapta sat trini dve catvary ekakam

três um sete seis três dois quatro um

Escrever tais números na ordem invertida, fornece:

um quatro dois três seis sete um três

1 4 2 3 6 7 1 3

Números como 123.000 eram escritos como:

sunya sunya sunya tri dvi dasa

que significa:

zero zero zero três dois um

que escrito na ordem invertida fornece:

um dois três zero zero zero

No texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "por ordem de posição".

Page 43: Apostila ef ii

Observamos que tal notação posicional já era então conhecida no quinto século de nossa era por uma grande quantidade de cientistas e matemáticos.

Para escrever este material, usamos alguns tópicos do excelente livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985.

Notação Posicional

O sistema de numeração posicional indiano surgiu por volta do século V. Este princípio de numeração posicional já aparecia nos sistemas dos egípcios e chineses.

No sistema de numeração indiana não posicional que aparece no século I não existia a necessidade do número zero.

Notação (ou valor) posicional é quando representamos um número no sistema de numeração decimal, sendo que cada algarismo tem um determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele ocupa na representação do numeral.

Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valor do número. Por exemplo, tomemos o número 12. Mudando as posições dos algarismos teremos 21.

12 = 1 × 10 + 2 21 = 2 × 10 + 1

O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemático parece ter sido criado pelos babilônios. Os documentos mais antigos conhecidos onde aparece o número zero, não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nesta época, os números continham no máximo três algarismos.

Um dos grandes problemas do homem começou a ser a representação de grandes quantidades. A solução para isto foi instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam

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a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo normal.

Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10.

A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês.

Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta .

Alguma vez você questionou sobre a razão pela qual há 360 graus em um círculo? Uma resposta razoável é que 360=6x60 e 60 é um dos menores números com grande quantidade de divisores, como por exemplo:

D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Os indianos reuniram as diferentes características do princípio posicional e da base dez em um único sistema numérico. Este sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.

Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posição que um número se encontra seu valor é diferente.

O Sistema Romano de Numeração

O sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou seja, sua base é dez. Este sistema é utilizado até hoje em representações de séculos, capítulos de livros, mostradores de relógios antigos, nomes de reis e papas e outros tipos de representações oficiais em documentos. Estas eram as primeiras formas da grafia dos algarismos romanos.

Tal sistema não permite que sejam feitos cálculos, não se destinavam a fazer operações aritméticas mas apenas representar quantidades. Com o passar do tempo, os símbolos utilizados pelos romanos eram sete letras, cada uma com um valor numérico:

Page 45: Apostila ef ii

Letra I Valor 1

Leitura Um Cinco

Estas letras obedeciam aos três princípios:

1. Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o que está à sua esquerda, deve ser somado ao maior.

2. Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está à sua direita, deve ser subtraído do maior.

3. Todo símbolo numérico com um traço representa milhar e o símbolo numérico que apresenta dois traços sobre ele representa milhão.

3- Ensino Fundamental: Números Naturais: Primeira

� Introdução aos Nos. Naturais� A construção dos Nos. Naturais� Igualdade e Desigualdades � Operações com Nos. Naturais� Adição de Números naturais� Propriedades da Adição � Curiosidade: Tabela de adição

V X L C D 5 10 50 100 500

Cinco Dez Cinquenta Cem Quinhentos

Estas letras obedeciam aos três princípios:

Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o que está à sua esquerda, deve ser somado ao maior.

VI = 5 + 1 = 6 XII = 10 + 1 + 1 = 12

CLIII = 100 + 50 + 3 = 153

Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está à sua direita, deve ser subtraído do maior.

IX = 10 - 1 = 9 XL = 50 - 10 = 40

VD = 500 - 5 = 495

Todo símbolo numérico com um traço horizontal sobre ele representa milhar e o símbolo numérico que apresenta dois traços sobre ele representa milhão.

Ensino Fundamental: Números Naturais: Primeira parte

Introdução aos Nos. Naturais A construção dos Nos. Naturais

Operações com Nos. Naturais Adição de Números naturais

Curiosidade: Tabela de adição

� Propriedades da multiplicação

� Propriedade Distributiva� Divisão de Números Naturais� Potenciação de Nos. Naturais� Propriedades da Potenciação� Números grandes

M 1000

Quinhentos Mil

Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o que está à sua esquerda, deve ser somado ao maior.

Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está

horizontal sobre ele representa milhar e o símbolo numérico que apresenta dois

Ensino Fundamental: Números Naturais: Primeira

Propriedades da multiplicação Propriedade Distributiva Divisão de Números Naturais Potenciação de Nos. Naturais Propriedades da Potenciação Números grandes

Page 46: Apostila ef ii

� Multiplicação de Nos. Naturais � Exercícios

Introdução aos Números Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.

Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} A construção dos Números Naturais

1. Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

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Exemplos: Seja m um número natural.

(a) O sucessor de m é m+1.

(b) O sucessor de 0 é 1.

(c) O sucessor de 1 é 2.

(d) O sucessor de 19 é 20.

2. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:

(a) 1 e 2 são números consecutivos.

(b) 5 e 6 são números consecutivos.

(c) 50 e 51 são números consecutivos.

3. Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.

(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.

(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

4. Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

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Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.

(a) O antecessor do número m é m-1.

(b) O antecessor de 2 é 1.

(c) O antecessor de 56 é 55.

(d) O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.

I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} Igualdade e Desigualdades

Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:

(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.

Page 49: Apostila ef ii

Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.

Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.

Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.

Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?

159 170 852 321 587 587

Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:

a. Conjunto N dos números Naturais b. Conjunto P dos números Naturais Pares c. Conjunto I dos números Naturais Ímpares d. Conjunto E dos números Naturais menores que 16 e. Conjunto L dos números Naturais maiores que 11 f. Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28

Page 50: Apostila ef ii

g. Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10 Operações com Números Naturais

Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.

A adição de números naturais

A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.

Propriedades da Adição

1. Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

2. Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido

Page 51: Apostila ef ii

somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.

3. Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

4. Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Curiosidade: Tabela de adição

Para somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um número na 1a. coluna e um segundo número na 1a. linha. Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos números.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Page 52: Apostila ef ii

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.

Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:

4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.

Propriedades da multiplicação

1. Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na

Page 53: Apostila ef ii

literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

2. Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.

(m.n).p = m.(n.p) (3.4).5 = 3.(4.5) = 60

3. Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:

1.n = n.1 = n 1.7 = 7.1 = 7

4. Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.

m.n = n.m 3.4 = 4.3 = 12

Propriedade Distributiva

Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

Page 54: Apostila ef ii

m.(p+q) = m.p + m.q

6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48 Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais

1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

35 : 7 = 5

2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.

35 = 5 x 7

3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:

Page 55: Apostila ef ii

n ÷ 0 = q

e isto significaria que:

n = 0 x q = 0

o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual é o valor da soma do dobro de X pelo triplo de Y.

Potenciação de Números Naturais

Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja:

mn = m . m . m ... m . m m aparece n vezes

O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é donominado potência.

Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:

23 = 2 × 2 × 2 = 8 43 = 4 × 4 × 4 = 64

Propriedades da Potenciação

1. Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1.

Exemplos:

a. 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1 b. 13 = 1×1×1 = 1

Page 56: Apostila ef ii

c. 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1 2. Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1.

Por exemplo: 3. (a) nº = 1

4. (b) 5º = 1

5. (c) 49º = 1

6. A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar nosso link Zero elevado a zero?

7. Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:

8. (a) n¹ = n

9. (b) 5¹ = 5

10. (c) 64¹ = 64

11. Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.

Exemplos:

a. 103 = 1000 b. 108 = 100.000.000 c. 10o = 1

Números grandes

No livro "Matemática e Imaginação", o matemático americano Edward Kasner apresentou um número denominado googol que pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros.

1 Googol = 10100

Page 57: Apostila ef ii

Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras. Um googol é um pouco maior do que o número total de partículas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de 1080. Se o espaço com estas partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons, este ficaria com algo em torno de 10128 partículas.

Outro matemático criou então o googolplex e o definiu como 10 elevado ao googol.

1 Googolplex = 10Googol Exercícios

1. Na figura abaixo, insira os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos, de tal modo que a soma de cada lado seja sempre igual a 10.

2. Um gavião viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:

3. Olá minhas 100 pombinhas.

4. Uma delas respondeu:

5. Não somos 100 não meu caro gavião,

6. seremos 100, nós, mais dois tantos de nós

7. e mais você meu caro gavião.

8. Quantos pombos há neste grupo?

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9. Três homens querem atravessar um rio. O barco que eles possuem suporta no máximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual será o processo para eles atravessarem o rio sem afundar?

10. Forme um quadrado mágico com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal deverá ser sempre igual a 15.

4- Ensino Fundamental: Números Naturais: Segunda parte

� Múltiplos de Nos. naturais � Divisores de Nos. naturais � Números primos � Crivo de Eratóstenes � Mínimo Múltiplo Comum � Método para obter o MMC

� Máximo Divisor Comum � Método para obter o MDC � Relação entre o MMC e MDC � Primos entre si � Radiciação de Nos. naturais

Múltiplos de números Naturais

Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que:

a = k × b

Exemplos:

(a) 15 é múltiplo de 5, pois 15=3×5.

(b) 24 é múltiplo de 4, pois 24=6×4.

(c) 24 é múltiplo de 6, pois 24=4×6.

(d) 27 é múltiplo de 9, pois 27=3×9.

Se a=k×b, então a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois:

35=7×5

Page 59: Apostila ef ii

Se a=k×b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a=k×2 onde k é substituído por todos os números naturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará:

0=0×2, 2=1×2, 4=2×2, 6=3×2, 8=4×2, 10=5×2, 12=6×2

O conjunto dos números naturais é infinito, assim existem infinitos múltiplos para qualquer número natural. Se y é um número natural, o conjunto de todos os múltiplos de y, será denotado por M(y). Por exemplo:

M(7)={ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... } M(11)={ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, ... }

Observação: Como estamos considerando 0 como um número natural, então o zero será múltiplo de todo número natural. Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural. Por exemplo:

0=0×2, 0=0×5, 0=0×12, 0=0×15

Observação: Um número b é múltiplo dele mesmo.

a = 1 × b se, e somente se, a = b

Por exemplo, basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio, como: 3=1x3, 5=1x5 e 15=1x15.

Divisores de números Naturais

A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.

Page 60: Apostila ef ii

Exemplo: 3 é divisor de 15, pois 15=3×5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.

Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele.

Os divisores de um número y também formam um conjunto finito, aqui denotado por D(y).

Exemplos:

(a) Divisores de 6: D(6)={1,2,3,6}

(b) Divisores de 18: D(18)={1,2,3,6,9,18}

(c) Divisores de 15: D(15)={1,3,5,15}

Observação: O número zero é múltiplo de todo número natural e além disso, zero não divide qualquer número natural, exceto ele próprio.

Se aceitarmos que 6÷0=b, então teremos que admitir que:

6 = 0 x b

mas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a divisão de 6 por 0 é impossível.

A divisão de 0/0 (zero por zero) é indeterminada, o que significa que pode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentido seguinte:

Page 61: Apostila ef ii

Se aceitarmos que 0÷0=X, então poderemos escrever que:

0 ÷ 0 = X ÷ 1

Como temos uma igualdade de frações, gerando uma proporção, deveremos aceitar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos nesta proporção e assim:

0 × 1 = 0 × X = 0

que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real, razão pela qual a expressão da forma 0÷0 é dita indeterminada.

Números primos

Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores naturais distintos.

Exemplos:

(a) 1 não é primo pois D(1)={1}

(b) 2 é primo pois D(2)={1,2}

(c) 3 é primo pois D(3)={1,3}

(d) 5 é primo pois D(5)={1,5}

(e) 7 é primo pois D(7)={1,7}

(f) 14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}

Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única.

Page 62: Apostila ef ii

Crivo de Eratóstenes

É um processo para obter números primos menores do que um determinado número natural n. Devemos construir uma tabela contendo os primeiros n números naturais. Para determinar os números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.

1. Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo. 2. Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e

eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.

3. Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.

4. Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não marcado da tabela e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela.

5. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo.

6. Os números que não foram eliminados são os números primos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Na tabela, listamos os 100 primeiros números naturais, indicando com a cor mais forte os números primos e com a cor clara os números que não são primos. Como exemplo, 2 é primo, enquanto 25 não é primo, pois é múltiplo de 5.

Page 63: Apostila ef ii

No quadro abaixo, mostramos os números primos menores do que 100, obtidos pelo crivo de Eratóstenes.

P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,

89,97} Mínimo Múltiplo Comum

Diz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b se m é múltiplo de a e também é múltiplo de b, ou seja.

m = k × a e m = w × b

onde k e w números naturais.

Exemplos: Múltiplos comuns

(a) 24 é múltiplo comum de 6 e 8.

(b) 15 é múltiplo comum de 3 e 5.

Determinaremos agora todos os números que tem 18 como múltiplo comum, o que é o mesmo que obter todos os divisores naturais de 18.

18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x18 18 é múltiplo comum de 2 e 9 pois 18=2x9 18 é múltiplo comum de 3 e 6 pois 18=3x6

O número 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo:

D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }

Agora obteremos os múltiplos comuns dos números a e b. Para isso denotaremos por M(a) o conjunto dos múltiplos de a, por M(b) o conjunto dos múltiplos de b e tomaremos a interseção entre os conjuntos M(a) e M(b).

Page 64: Apostila ef ii

Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5.

M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...} M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}

M(3) M(5)={0,15,30,45,...}

Como estamos considerando 0 (zero) como número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de todos os múltiplos de números naturais e será sempre o menor múltiplo comum, mas por definição, o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero. Logo, no conjunto:

M(3) M(5)={0, 15, 30, 45, ...}

o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é igual a 15.

Ao trabalhar com dois números a e b, utilizamos a notação MMC(a,b) para representar o Mínimo Múltiplo Comum entre os números naturais a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo comum deve ser diferente de zero. Por exemplo:

M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...} M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...}

MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12

O conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é igual ao conjunto dos múltiplos comuns de a e b. Por exemplo, se a=3 e b=5:

M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...} M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}

M(3) M(5)={0,15,30,45,...} M(15)={0,15,30,45,60,...}

Page 65: Apostila ef ii

Observe que M(15)=M(3) M(5)

Método prático para obter o MMC

Do ponto de vista didático, o processo acima é excelente para mostrar o significado do MMC mas existe um método prático para realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos.

1. Em um papel faça um traço vertical, de forma que sobre espaço livre tanto à direita como à esquerda do traço.

| | |

2. À esquerda do traço escreva os números naturais como uma lista, separados por vírgulas, para obter o MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço vertical e do lado direito do traço poremos o menor número primo que divide algum dos números da lista que está à esquerda. Aqui usamos o 2.

12 22 28 | 2 | |

3. Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são múltiplos do número primo que está à direita do traço, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divisões (possíveis) e com os números que não foram divididos.

12 22 28 | 2

Page 66: Apostila ef ii

6 11 14 | | |

4. Repetimos a partir do passo 3 até que os valores da lista que está do lado esquerdo do traço se tornem todos iguais a um.

12 22 28 | 2 6 11 14 | 2 3 11 7 | 3 1 11 7 | 7 1 11 1 | 11 1 1 1 | 924

5. O MMC é o produto dos números primos que colocamos do lado direito do traço e neste caso: MMC(12,22,28)=924.

Exemplo: Obtemos o MMC dos números 12 e 15, com a tabela:

12 15 | | |

e depois dividimos todos os números da lista da esquerda pelos números primos (quando a divisão for possível), criando novas listas sob as listas anteriores. O MMC(12,15)=60 é o produto de todos os números primos que colocamos do lado direito do traço.

12 15 | 2 6 15 | 2 3 15 | 3

Page 67: Apostila ef ii

1 5 | 5 1 1 | 60

Máximo Divisor Comum

Para obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vários números naturais. Um número d é divisor comum de outros dois números naturais a e b se, d divide a e d divide b simultaneamente. Isto significa que devem existir k1 e k2 naturais tal que:

a = k1 × d e b = k2 × d

Exemplos: Divisores comuns.

(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 56=7x8.

(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 36=12x3.

Observação: Um número d é divisor de todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois números é finito, pois o conjunto dos divisores de um número é finito. O conjunto dos divisores de um número natural y, será denotado por D(y).

Obteremos agora os divisores comuns aos números 16 e 24, isto é, obteremos a interseção entre os conjunto D(16) e D(24).

D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 } D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }

D(16) D(24)={1, 2, 4, 8}

Ocorre que o menor divisor comum entre os números 16 e 24, é 1, assim não interessa o menor divisor comum mas sim o maior divisor que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.

Page 68: Apostila ef ii

Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo Divisor Comum entre os números naturais a e b. Por exemplo, tomemos os conjuntos de divisores D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, então:

MDC(16,24)=max( D(16) D(24))=8 Método prático para obter o MDC

De forma similar ao cálculo do MMC(a,b), temos também um procedimento prático para determinar o MDC(a,b) entre dois números naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada número pode ser trabalhoso. Para introduzir este método, determinaremos o MDC entre os números 30 e 72, a título de exemplo.

1. Construímos uma grade com 3 linhas e algumas colunas, pondo os números dados na linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.

72 30

2. Realizamos a divisão do maior pelo menor colocando o quociente no espaço sobre o número menor na primeira linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior número na terceira linha.

2

72 30

12

3. Passamos o resto da divisão para o espaço localizado à direita do menor número na linha central.

Page 69: Apostila ef ii

2

72 30 12

12

4. Realizamos agora a divisão do número 30, pelo resto obtido anteriormente que é 12. Novamente, o quociente será colocado sobre o número 12 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 30.

2 2

72 30 12

12 6

5. Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo resto obtido anteriormente que é 6. De novo, o quociente será posto sobre o número 6 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 12.

2 2 2

72 30 12 6

12 6 0

6. Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente obtido representa o MDC entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por:

MDC(30,72) = 6

Exercícios:

Page 70: Apostila ef ii

a. Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o máximo divisor comum entre eles é 18, quais são esses números?

Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser múltiplos de 18 e podem ser escritos na forma X=18a e Y=18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a-18b=126, de onde segue que 18(a-b)=18×7, o que é equivalente a: a-b=7. Tomando a=8 e b=1 teremos X=144 e Y=18.

b. Se a soma de dois números naturais é 420 e o máximo divisor comum entre eles é 60, quais são esses números?

Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=60, os números X e Y devem ser múltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma X=60a e Y=60b onde a e b são números inteiros positivos. Assim: 60a+60b=420, o que garante que a+b=7. Devemos escolher números naturais tal que a+b=7, e assim, temos várias opções.

Se a=6 e b=1 então X=360 e Y= 60

Se a=5 e b=2 então X=300 e Y=120

Se a=4 e b=3 então X=240 e Y=180

Se a=3 e b=4 então X=180 e Y=240

Se a=2 e b=5 então X=120 e Y=300

Se a=1 e b=6 então X= 60 e Y=360

c. Se a divisão entre dois números naturais é igual a 6/5 e o máximo divisor comum entre eles é 15, quais são esses números?

Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=15, então X e Y devem ser múltiplos de 15, logo podem ser escritos na forma X=15a e Y=15b. Assim:

Page 71: Apostila ef ii

(15a)/(15b)=6/5, logo a/b=6/5. Algumas soluções para o problema, são:

Se a= 6 e b= 5 então X= 90 e Y= 75

Se a=12 e b=10 então X=180 e Y=150

Se a=18 e b=15 então X=270 e Y=225

Relação entre o MMC e MDC

Uma relação importante e bastante útil entre o MMC e o MDC é o fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produto de a por b, isto é:

MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × b MDC(12,15) × MMC(12,15)=12 × 15

Esta relação é útil quando precisamos obter o MMC e o MDC de dois números, basta encontrar um deles e usar a relação acima.

Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o MDC(15,20), o primeiro passo é obter o que for possível. Se MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300, basta lembrar que MDC(15,20)×MMC(15,20)=15×20 e fazer:

5 × MMC(15,20) = 300

de onde se obtém que MMC(15,20)=60.

Exercício: Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é o máximo divisor comum entre eles?

Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser divisores de 600, logo devem pertencer ao conjunto D(600):

Page 72: Apostila ef ii

{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600}

Pares de números deste conjunto que somam 320, são: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par não serve pois MMC(300,20)=300. Os números que servem são X=200 e Y=120 pois MMC(200,120)=600 e MDC(200,120)=40.

Primos entre si

Dois números naturais são primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1. Por exemplo, 16 não é um número primo, 21 também não é um número primo mas 16 e 21 são primos entre si pois MDC(16,21)=1.

Radiciação de números naturais

Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número natural b tal que:

bn = a

onde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.

Neste trabalho, representaremos a operação de radiciação por

Rn[a], a1/n, pot(a,1/n), pow(a,1/n),

que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito comum no meio científico é aquela que usa o acento circunflexo: a^(1/n).

Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não negativo b tal que:

b2 = a

Page 73: Apostila ef ii

A raiz quadrada de um número a>0 pode ser denotada por a1/2.

Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve-se obter o valor numérico de b de forma que:

b2 = b × b = 36

Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente

36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6

Portanto 6 é a raiz quadrada de 36.

Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é um número b tal que:

b3 = b . b . b = a

A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a1/3.

Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve-se obter um número b de forma a obter

b3=b×b×b=64

Por tentativa, temos:

1×1×1=1, 2×2×2=8, 3×3×3=27, 4×4×4=64

Portanto 4 é raiz cúbica de 64.

Page 74: Apostila ef ii

Em estudos mais avançados, pode-se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica de um número não necessariamente natural, com qualquer precisão que se queira.

5- Ensino Fundamental: Critérios de Divisibilidade

� Sobre a divisibilidade

� Divisibilidade por 2 � Divisibilidade por 3 � Divisibilidade por 4

� Divisibilidade por 5

� Divisibilidade por 6

� Divisibilidade por 7

� Divisibilidade por 8

� Divisibilidade por 9

� Divisibilidade por 10

� Divisibilidade por 11

� Divisibilidade por 13

� Divisibilidade por 16

� Divisibilidade por 17

� Divisibilidade por 19

� Divisibilidade por 23

� Divisibilidade por 29

� Divisibilidade por 31

� Divisibilidade por 49

Sobre a divisibilidade

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.

Alguns critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Page 75: Apostila ef ii

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Divisibilidade por 6

Page 76: Apostila ef ii

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592 Número sem o último algarismo -16 Dobro de 8 (último algarismo)

16576 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657 Número sem o último algarismo -12 Dobro de 6 (último algarismo)

1645 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164 Número sem o último algarismo -10 Dobro de 5 (último algarismo) 154 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15 Número sem o último algarismo

Page 77: Apostila ef ii

-8 Dobro de 4 (último algarismo) 7 Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

426 Número sem o último algarismo -2 Dobro do último algarismo

424 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

42 Número sem o último algarismo -8 Dobro do último algarismo 34 Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Page 78: Apostila ef ii

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

Número 1 3 5 3 Ordem ímpar par ímpar par

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

Número 2 9 4 5 8

Page 79: Apostila ef ii

Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

Número 2 5 4 3 Ordem ímpar par ímpar par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

Número 6 5 2 0 8 Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11

Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Page 80: Apostila ef ii

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

1656 Número sem o último algarismo +8 Quatro vezes o último algarismo

1664 Soma

Repete-se o processo com este último número.

166 Número sem o último algarismo +16 Quatro vezes o último algarismo 182 Soma

Repete-se o processo com este último número.

18 Número sem o último algarismo +8 Quatro vezes o último algarismo 26 Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Divisibilidade por 16

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

Divisibilidade por 17

Page 81: Apostila ef ii

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

1859 Número sem o último algarismo -40 Cinco vezes o último algarismo

1819 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

181 Número sem o último algarismo -45 Cinco vezes o último algarismo 136 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

13 Número sem o último algarismo -30 Cinco vezes o último algarismo -17 Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Divisibilidade por 19

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

Page 82: Apostila ef ii

Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.

16592 Número sem o último algarismo +16 Dobro do último algarismo

16608 Soma

Repete-se o processo com este último número.

1660 Número sem o último algarismo +16 Dobro do último algarismo 1676 Soma

Repete-se o processo com este último número.

167 Número sem o último algarismo +12 Dobro do último algarismo 179 Soma

Repete-se o processo com este último número.

17 Número sem o último algarismo +18 Dobro do último algarismo 35 Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

427 Número sem o último algarismo +10 Dobro do último algarismo 437 Soma

Repete-se o processo com este último número.

Page 83: Apostila ef ii

43 Número sem o último algarismo +14 Dobro do último algarismo 57 Soma

Repete-se o processo com este último número.

5 Número sem o último algarismo +14 Dobro do último algarismo 19 Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Divisibilidade por 23

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.

18590 Número sem o último algarismo +63 Dobro do último algarismo

18653 Soma

Repete-se o processo com este último número.

1865 Número sem o último algarismo +21 Dobro do último algarismo 1886 Soma

Repete-se o processo com este último número.

Page 84: Apostila ef ii

188 Número sem o último algarismo +42 Dobro do último algarismo 230 Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Divisibilidade por 29

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?

859 Número sem o último algarismo -24 Dobro do último algarismo 835 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

83 Número sem o último algarismo -15 Dobro do último algarismo 68 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

6 Número sem o último algarismo -24 Dobro do último algarismo -18 Diferença

Page 85: Apostila ef ii

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

Divisibilidade por 31

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?

859 Número sem o último algarismo +24 Triplo do último algarismo 883 Soma

Repete-se o processo com este último número.

88 Número sem o último algarismo +9 Triplo do último algarismo 97 Soma

Repete-se o processo com este último número.

9 Número sem o último algarismo +21 Triplo do último algarismo 30 Soma

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

Divisibilidade por 49

Page 86: Apostila ef ii

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Exemplo: 8598 é divisível por 49?

859 Número sem o último algarismo +40 Cinco vezes o último algarismo 899 Soma

Repete-se o processo com este último número.

89 Número sem o último algarismo +45 Cinco vezes o último algarismo 134 Soma

Repete-se o processo com este último número.

13 Número sem o último algarismo +20 Cinco vezes o último algarismo 33 Soma

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.

6- Ensino Fundamental: Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e

Divisores

R[n] = raiz quadrada de z (z>0) e R³[z] = raiz cúbica de z.

Page 87: Apostila ef ii

1. Um conjunto possui 18 elementos. Quais as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos?

Resposta: As possibilidades estão apresentadas na tabela abaixo:

1 grupo com 18 elementos

2 grupos com 9 elementos em cada grupo

3 grupos com 6 elementos em cada grupo

6 grupos com 3 elementos em cada grupo

9 grupos com 2 elementos em cada grupo

18 grupos com 1 elemento em cada grupo

O conjunto dos divisores de 18 é D(18)={1,2,3,6,9,18}.

2. De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n?

Resposta: O conjunto dos números naturais é N={0,1,2,3,4,5,...}. Se n é um número para o qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,...}.

Page 88: Apostila ef ii

3. Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0?

Resposta: O conjunto de múltiplos de 0 possui apenas um elemento e é denotado por M(0)={0}, pois M(0)={0x0,0x1,0x2,0x3,0x4,0x5,...}.

4. Maria possui 3 tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no total?

Resposta: No total, Maria ganhou 6 presentes.

5. Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32 e 60.

Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}. Obtivemos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32: 1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32.

6. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números?

Resposta: O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante, etc...

Page 89: Apostila ef ii

7. João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?

Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.

8. Quando possível, complete o espaço entre parênteses com números naturais.

9. 5×( ) = 20

10. ( )×3 = 18

11. 4×( ) = 10

12. ( )÷2 = 8

13. 3÷( ) = 4

14. ( )÷3 = 4

Resposta: Não existe número natural que multiplicado por 4 produza 10 e não existe número natural que divide o número 3 e tem por resultado o número 4.

15. O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta.

Resposta: Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.

Page 90: Apostila ef ii

16. Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte promoção:

17. 1 ovo = R$ 6,00

18. 2 ovos = R$ 11,00

19. 3 ovos = R$ 15,00

20. 4 ovos = R$ 18,00

Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.

Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos?

Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos?

Sem promoção, quanto ele pagaria

a mais pela compra dos 177 ovos?

Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim ele usou a decomposição: 11=4+4+3. Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00. Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim: 177=4×44+1 Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00.

21. Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos:

22. (a) 49

23. (b) 37

24. (c) 12

Page 91: Apostila ef ii

25. (d) 11

Resposta: 37 e 11 são primos porque seus únicos divisores são o número 1 e eles mesmos. 49 não é primo porque é múltiplo de 7. 12 não é primo porque é múltiplo de 2, 3, 4 e 6.

26. Qual é o menor número primo com dois algarismos?

Resposta: O número 11.

27. Qual é o menor número primo com dois algarismos diferentes?

Resposta: O número 13.

28. Qual é o menor número primo com três algarismos diferentes?

Resposta: O número 103.

29. Qual é o valor do número natural b, tal que 64=b×b×b?

Resposta: R³[64]=4, pois 64=b×b×b, ou seja, 64=b³. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b=4.

30. Tente obter justificativas para garantir que valem as igualdades com potências e radicais.

Page 92: Apostila ef ii

R[9]=3 2³=8 R³[8]=2 R[16]=4 5²=25

31. Exiba todos os números primos existentes entre 10 e 20?

Resposta: 11, 13, 17 e 19.

32. Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos são os números 2 e 3.

Resposta: 18, 12, ... A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos estão na justificativa abaixo. Para obtermos números que possuem apenas os números 2 e 3 como fatores, não precisamos escolher um número e fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um número que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é "criá-lo" multiplicando 2 e 3 quantas vezes desejarmos. Por exemplo: 2×2×3=12, 3×3×2=18, 2×2×3×3×3=108.

33. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?

34. Resposta: 9 quadradinhos. 35. 36. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3².

Resposta: 3²=9.

Page 93: Apostila ef ii

37. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?

Resposta: 27 cubinhos.

38. Qual o valor de 33 (3 elevado ao cubo)?

Resposta: 3³=27.

7- Ensino Fundamental: Números Inteiros � Curiosidades com inteiros � Introdução aos números inteiros � Sobre a origem dos sinais � Conjunto Z dos números inteiros � A reta numerada � Ordem e simetria no conjunto Z � Módulo de um número inteiro � Adição de números inteiros

� Soma de inteiros: Propriedades � Multiplicação de inteiros � Propriedades da multiplicação � Propriedade mista (distributiva) � Potenciação de números inteiros � Radiciação de números inteiros

Curiosidades com números inteiros

12345679 x 9 = 111111111

12345679 x 18 = 222222222

12345679 x 27 = 333333333

12345679 x 36 = 444444444

12345679 x 45 = 555555555

12345679 x 54 = 666666666

Page 94: Apostila ef ii

12345679 x 63 = 777777777

12345679 x 72 = 888888888

12345679 x 81 = 999999999

9 x 9 + 7 = 88

9 x 98 + 6 = 888

9 x 987 + 5 = 8888

9 x 9876 + 4 = 88888

9 x 98765 + 3 = 888888

9 x 987654 + 2 = 8888888

9 x 9876543 + 1 = 88888888

9 x 98765432 + 0 = 888888888

9 x 1 + 2 = 11

9 x 12 + 3 = 111

9 x 123 + 4 = 1111

9 x 1234 + 5 = 11111

9 x 12345 + 6 = 111111

9 x 123456 + 7 = 1111111

9 x 1234567 + 8 = 11111111

Page 95: Apostila ef ii

9 x 12345678 + 9 = 111111111

9 x 123456789 + 10 = 1111111111

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

9 x 7 = 63

99 x 77 = 7623

999 x 777 = 776223

9999 x 7777 = 77762223

99999 x 77777 = 7777622223

999999 x 777777 = 777776222223

9999999 x 7777777 = 77777762222223

99999999 x 77777777 = 7777777622222223

Page 96: Apostila ef ii

1 x 7 + 3 = 10

14 x 7 + 2 = 100

142 x 7 + 6 = 1000

1428 x 7 + 4 = 10000

14285 x 7 + 5 = 100000

142857 x 7 + 1 = 1000000

1428571 x 7 + 3 = 10000000

14285714 x 7 + 2 = 100000000

142857142 x 7 + 6 = 1000000000

1428571428 x 7 + 4 = 10000000000

14285714285 x 7 + 5 = 100000000000

142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000

9 x 9 = 81

99 x 99 = 9801

999 x 999 = 998001

9999 x 9999 = 99980001

99999 x 99999 = 9999800001

999999 x 999999 = 999998000001

Page 97: Apostila ef ii

12 x 12 = 144, 21 x 21 = 441

13 x 13 = 169, 31 x 31 = 961

102x102 = 10404, 201x201 = 40401

103x103 = 10609, 301x301 = 90601

112x112 = 12544, 211x211 = 44521

122x122 = 14884, 221x221 = 48841

99 = 9+8+7+65+4+3+2+1

100 = 1+2+3+4+5+6+7+8 ×9

134498697 = 1 + 2^3 + 4^5 + 6^7 + 8^9

1000 = 8 + 8 + 8 + 88 + 888

45 = 8+12+5+20, 8 +2=12 - 2=5x2=20 ÷2=10

100 = 12+20+4+64, 12 +4=20 - 4=4x4=64 ÷4=16

225 = 1+23+45+67+89, 89 - 67=67 - 45=45 - 23=23 - 1=22

5^2 + 2^1 = (5-2)^(2+1)

Notação: Para indicar que um número x está elevado a y, escreverei x^y, que é uma notação comum no meio científico.

Page 98: Apostila ef ii

Introdução aos números inteiros

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:

x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0

As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.

Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.

Sobre a origem dos sinais

A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.

Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual

Page 99: Apostila ef ii

sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.

Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.

O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z

(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}

(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Observação: Não existe padronização para estas notações.

Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o

Page 100: Apostila ef ii

número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.

Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.

Ordem e simetria no conjunto Z

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).

Exemplos:

(a) 3 é sucessor de 2

(b) 2 é antecessor de 3

(c) -5 é antecessor de -4

(d) -4 é sucessor de -5

(e) 0 é antecessor de 1

(f) 1 é sucessor de 0

(g) -1 é sucessor de -2

Page 101: Apostila ef ii

(h) -2 é antecessor de -1

Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.

Exemplos:

(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.

(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.

Módulo de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:

|x| = max{-x,x}

Exemplos:

(a) |0| = 0

(b) |8| = 8

(c) |-6| = 6

Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.

Soma (adição) de números inteiros

Page 102: Apostila ef ii

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7) perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Exemplos:

(a) -3 + 3 = 0

(b) +6 + 3 = 9

(c) +5 - 1 = 4

Propriedades da adição de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a + b = b + a 3 + 7 = 7 + 3

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

Page 103: Apostila ef ii

z + 0 = z 7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que

z + (-z) = 0 9 + (-9) = 0

Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:

1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:

2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:

(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) × (+1) = (+1)

(+1) × (-1) = (-1)

Page 104: Apostila ef ii

(-1) × (+1) = (-1)

(-1) × (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números Resultado do produto iguais positivo

diferentes negativo Propriedades da multiplicação de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b x c ) = ( a x b ) x c 2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a x b = b x a 3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z 7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que

z x z-1 = z x (1/z) = 1 9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1

Propriedade mista (distributiva)

Page 105: Apostila ef ii

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ) 3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )

Potenciação de números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a × a × a × a × ... × a a é multiplicado por a n vezes

Exemplos:

a. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 b. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8 c. (-5)² = (-5) x (-5) = 25 d. (+5)² = (+5) x (+5) = 25

com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.

Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.

Radiciação de números inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado

Page 106: Apostila ef ii

à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.

Observação: Por deficiência da linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].

Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:

b=Rn[a] se, e somente se, a=bn

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

Page 107: Apostila ef ii

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos:

(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.

(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.

(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.

(d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:

(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.

(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

8- Ensino Fundamental: Frações

� Histórico sobre frações � Frações � Construindo frações � Definição de fração � Leitura de frações � Tipos de frações

� Propriedades fundamentais � Fração=classe de equivalência � Número misto � Simplificação de frações � Comparação de frações � Divisão de frações

Elementos Históricos sobre frações

Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo,

Page 108: Apostila ef ii

para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.

Introdução ao conceito de fração

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.

Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

� Você concorda com esta divisão? Por quê?

Page 109: Apostila ef ii

� Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?

� O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.

Elementos gerais para a construção de frações

Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.

O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.

Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q+, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.

Q+ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,...,2,... }

Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.

Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.

Definição de fração

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.

Numerador

Page 110: Apostila ef ii

Denominador

onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.

Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:

1

4

Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum.

1/4 1/4

1/4 1/4

A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.

Leitura de frações

(a) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10

A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:

Page 111: Apostila ef ii

Fração 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9

Leitura um meio

um terço

um quarto

um quinto

um sexto

um sétimo

um oitavo

um nono

(b) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10

Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.

Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e

se cujo denominador é maior do que dez.

Fração Leitura 1/11 um onze avos 1/12 um doze avos 1/13 um treze avos 1/14 um quatorze avos 1/15 um quinze avos 1/16 um dezesseis avos 1/17 um dezessete avos1/18 um dezoito avos 1/19 um dezenove avos

(c) O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10

Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:

Fração Leitura Leitura Comum 1/10 um dez avos um décimo 1/20 um vinte avos um vigésimo 1/30 um trinta avos um trigésimo 1/40 um quarenta avos um quadragésimo 1/50 um cinqüenta avos um qüinquagésimo 1/60 um sessenta avos um sexagésimo

Page 112: Apostila ef ii

1/70 um setenta avos um septuagésimo 1/80 um oitenta avos um octogésimo 1/90 um noventa avos um nonagésimo

1/100 um cem avos um centésimo 1/1000 um mil avos um milésimo 1/10000 um dez mil avos um décimo milésimo

1/100000 um cem mil avos um centésimo milésimo 1/1000000 um milhão avos um milionésimo

Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um, três mil quinhentos e noventa e sete avos.

Tipos de frações

A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador.

1/4 1/4

1/4 1/4

A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é chamada fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria.

3/3

1/3

1/3

+

2/3

1/3

1/3

=

5/3=1+2/3

1

1/3

1/3

Page 113: Apostila ef ii

1/3

1/3

1/3

Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador e aparenta ser uma fração mas não é, pois representa um número inteiro. Como um caso particular, o zero é múltiplo de todo número inteiro, assim as frações 0/3, 0/8, 0/15 são aparentes, pois representam o número inteiro zero.

Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.

1/2

1/2

1/2

2/4

1/4 1/4

1/4 1/4

3/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

4/8

1/81/81/81/8

1/81/81/81/8

Propriedades fundamentais

(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:

1

2 =

1×2

2×2 =

2

4

Page 114: Apostila ef ii

(2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:

12

16 =

12÷2

16÷2 =

6

8 =

6÷2

8÷2 =

3

4 A fração como uma classe de equivalência

A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:

C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, ... } Número Misto

Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto.

Transformação de uma fração imprópria em um número misto

17

4 =

16+1

4 =

16

4 +

1

4 = 4+

1

4 = 4

1

4

Transformação de um número misto em uma fração imprópria

4 1 = 4+ 1 = 16 + 1 = 17

Page 115: Apostila ef ii

4

4

4

4

4

Simplificação de Frações

Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.

O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração.

A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível.

36

60 =

36÷2

60÷2 =

18

30 =

18÷2

30÷2 =

9

15 =

9÷3

15÷3 =

3

5

Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3.

Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor.

Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando o Máximo Divisor Comum. Como MDC(54,72)=18, então 54:18=3 e 72:18=4, logo:

54

72 =

54÷18

72÷18 =

3

4 Comparação de duas frações

(1) Por redução ao mesmo denominador

Page 116: Apostila ef ii

Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Por exemplo:

3

5 <

4

5

(2) Tanto os numeradores como os denominadores das duas frações são diferentes

Devemos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na seqüência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.

Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador.

2

3 ?

3

5

Multiplicando os termos da primeira fração por 5 e multiplicando os termos da segunda fração por 3, obteremos:

2

3 =

2×5

3×5 ?

3×3

5×3 =

3

5

Temos então os mesmos denominadores, logo:

2 = 10

? 9

= 3

Page 117: Apostila ef ii

3 15 15 5

e podemos garantir que

2

3 =

10

15 >

9

15 =

3

5

(3) As frações possuem um mesmo numerador

Se os numeradores de duas frações forem iguais, será maior a fração cujo denominador for menor.

Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade

3

4 >

3

8

pode ser dada geometricamente por:

3/4=6/8

1/8 1/8 1/8 1/8

1/8 1/8 1/8 1/8

3/8

1/8 1/8 1/8 1/8

1/8 1/8 1/8 1/8

Observe que a área amarelada é maior na primeira figura.

Divisão de frações

Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:

D = 1

2

÷ 2

3

Page 118: Apostila ef ii

Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:

D = 1

2

÷ 2

3

= 3

6

÷ 4

6

pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.

3/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

4/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?

No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.

Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:

D = 1

2

÷ 2

3

= 3

6

× 6

4

= 18

24

= 3

4

Page 119: Apostila ef ii

Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:

a

b ÷

c

d =

a

b ×

d

c =

a.d

b.c

9- Ensino Fundamental: Frações e Números Decimais � O Papel das frações decimais � Elementos históricos � Frações e Números Decimais � Leitura de Números Decimais � Frações -> números decimais

� Números decimais -> frações � Números decimais: Propried. � Operações com Nos. decimais � Comparando números decimais � Porcentagem

O papel das frações e números Decimais

Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.

Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais.

Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos frequentemente a notação X/Y, por ser mais simples.

Elementos históricos sobre os números Decimais

Page 120: Apostila ef ii

Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas.

Os egípcios usavam apenas frações que possuiam o número 1 dividido por um número inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.

Os babilônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno, possui um número expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para representar frações. A atual maneira de representação data do século XVI.

Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5.

Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês.

1437 1 2 3 = 1, 4 3 7

1000

Page 121: Apostila ef ii

A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.

437

100 = 4,37

Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.

Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.

Frações e Números Decimais

Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.

Exemplos de frações decimais, são:

1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103

Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.

A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:

127

100 = 1,27

Page 122: Apostila ef ii

onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:

127

100 =

100+27

100 =

100

100 +

27

100 = 1+0,27 = 1,27

A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.

Leitura de números decimais

Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.

Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:

Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos

Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:

1 Centena

3 dezenas

0 unidades , 8

décimos 2

centésimos 4

milésimos

Exemplos:

0,6 Seis décimos

0,37 Trinta e sete centésimos

0,189 Cento e oitenta e nove milésimos

3,7 Três inteiros e sete décimos

13,45 Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos

130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quat ro milésimos

Page 123: Apostila ef ii

Transformando frações decimais em números decimais

Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

parte inteira parte fracionária 0 , 1

Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

parte inteira parte fracionária 2 , 31

Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo:

(a) 130/100 = 1,30

(b) 987/1000 = 0,987

(c) 5/1000 = 0,005

Transformando números decimais em frações decimais

Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos:

(a) 0,5 = 5/10

(b) 0,05 = 5/100

Page 124: Apostila ef ii

(c) 2,41 = 241/100

(d) 7,345 = 7345/1000

Propriedades dos números decimais

Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Por exemplo:

(a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000

(b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200

(c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000

Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo:

(a) 7,4 x 10 = 74

(b) 7,4 x 100 = 740

(c) 7,4 x 1000 = 7400

Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Por exemplo:

(a) 247,5 ÷ 10 = 24,75

(b) 247,5 ÷ 100 = 2,475

(c) 247,5 ÷ 1000 = 0,2475

Operações com números decimais

Page 125: Apostila ef ii

Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:

(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:

(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723

(b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723

(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:

i. o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número,

ii. o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número,

iii. o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc),

iv. a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, e v. a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de

forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.

Dois exemplos:

2,400 2,400

+ 1,723 - 1,723

------- -------

(c) Realizar a adição ou a subtração.

Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo:

Page 126: Apostila ef ii

2,25×3,5 = 225

100

× 35

10

= 225×35

100×10

= 7875

1000

= 7,875

Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo:

2,25 2 casas decimais multiplicando x 3,5 1 casa decimal multiplicador 1125

+ 675

7875 7,875 3 casas decimais Produto

Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Por exemplo: 3,6÷0,4=?

Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que "cortamos" a vírgula.

3,6÷0,4 = 3,6

0,4

= 36×10

4×10

= 36

4

= 9

Um outro exemplo:

0,35÷7= 0,35

7

= 0,35×100

7×100

= 35

700

= 35÷7

700÷7

= 5

100

= 0,05

Page 127: Apostila ef ii

Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.

Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?

Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos, 3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.

Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por 100.

dividendo 3500 700 divisor resto 0 0,05 quociente

Realiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.

Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.

10 16 ?

Page 128: Apostila ef ii

(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.

100 16 0,

(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.

100 16 -96 0,6 4

(3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4.

100 16 -96 0,6 40

(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.

100 16 -96 0,62 40 -32 8

(5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um 0 à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.

100 16 -96 0,625 40

Page 129: Apostila ef ii

-32 80 -80 0

A divisão 10/16 é igual a 0,625. O o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.

Comparação de números decimais

A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou = (que se lê: igual).

Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:

(a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.

(b) 3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5.

Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles. Alguns exemplos, são:

(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.

(b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.

(c) 4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3.

Porcentagem

Page 130: Apostila ef ii

Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:

� A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento) � Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista. � O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis

décimos por cento)

A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-se porcentagem.

Exemplos:

(1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que

30

100 = 30%

(2) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:

40

100 =

X

300

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120

Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.

Page 131: Apostila ef ii

(3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?

45

100 =

X

200

o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200-90=110 páginas.

10-Ensino Fundamental: Números Racionais

� Números racionais e frações � Dízima periódica � Números racionais e reais � Geratriz de dízima periódica � Números irracionais � Representação, ordem, simetria � Módulo de um número racional

� Adição de números racionais � Produto de números racionais � Propriedade distributiva � Potências de números racionais � Raízes de números racionais � Médias aritmética e ponderada � Médias geométrica e harmônica

Relacionando números racionais com frações

Um número racional é o que pode ser escrito na forma

m

n

onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.

Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Page 132: Apostila ef ii

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.

No nosso link Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.

Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número real da forma:

m,npppp...

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado.

Exemplos: Dízimas periódicas

1. 0,3333333... = 0,3 2. 1,6666666... = 1,6 3. 12,121212... = 12,12 4. 0,9999999... = 0,9 5. 7,1333333... = 7,13

Page 133: Apostila ef ii

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3 2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:

1. 0,83333333... = 0,83 2. 0,72535353... = 0,7253

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:

1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... 2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... 3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...

A conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.

A geratriz de uma dízima periódica

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a

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geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

1. Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:

10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

10 S - S = 3

donde segue que

9 S = 3

Simplificando, obtemos:

S = 1

3

= 0,33333... = 0,3

Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:

0,99999... = 0,9 = 1

Page 135: Apostila ef ii

2. Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:

100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:

100 T = 31 + T

de onde segue que

99 T = 31

e simplificando, temos que

T = 31

99

= 0,31313131... = 0,31

3. Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Page 136: Apostila ef ii

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:

10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8

Assim:

10R - 71 - R + 7,1 = 0,8

Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:

90 R = 647

Obtemos então:

T = 647

90

= 7,1888... = 7,18

4. Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é

Page 137: Apostila ef ii

não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:

1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

1000(U-7) - (U-7) = 4

Assim:

1000U - 7000 - U + 7 = 4

Obtemos então

999 U = 6997

que pode ser escrita na forma:

T = 6997

999

= 7,004004... = 7,004

Números irracionais

Page 138: Apostila ef ii

Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.

Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:

x=0,10100100010000100000...

Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:

e = 2,718281828459045..., Pi = 3,141592653589793238462643...

que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc...

Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numérico é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.

Representação, ordem e simetria dos racionais

Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:

Page 139: Apostila ef ii

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor do que s, escrevemos:

r < s

Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada.

Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:

(a) O oposto de 3/4 é -3/4.

(b) O oposto de 5 é -5.

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do ponto virtual -q ao espelho.

Módulo de um número racional

O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:

|q| = max{-q,q}

Page 140: Apostila ef ii

Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.

A soma (adição) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:

a

b +

c

d =

ad+bc

bd

Propriedades da adição de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a + b = b + a

Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q + 0 = q

Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (-q) = 0

Page 141: Apostila ef ii

Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é:

p - q = p + (-q)

Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.

A Multiplicação (produto) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

a

b ×

c

d =

ac

bd

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)

(+1) × (-1) = (-1)

(-1) × (+1) = (-1)

(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Page 142: Apostila ef ii

Propriedades da multiplicação de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a × b = b × a

Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q × 1 = q

Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que

q × q-1 = 1

Esta última propriedade pode ser escrita como:

a

b ×

b

a = 1

Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:

p ÷ q = p × q-1

Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?

A divisão de números racionais esclarece a questão:

Page 143: Apostila ef ii

a

b ÷

c

d =

a

b ×

d

c =

ad

bc

Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é também desnecessária no conjunto dos números racionais.

Propriedade distributiva (mista)

Distributiva: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) Potenciação de números racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125

(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8

(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25

(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25

Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.

Page 144: Apostila ef ii

Raízes de números racionais

A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).

Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste trabalho. Assim:

r = Rn[q] equivale a q = rn

Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número racional q por R[q].

A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.

Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.

Exemplos:

(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.

(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.

(c) R[144] = 12 pois 12²=144.

(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos Números Complexos.

Page 145: Apostila ef ii

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos são válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.

Exemplos:

(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.

(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.

(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.

(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:

(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.

(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.

Média aritmética e média ponderada

Page 146: Apostila ef ii

Média aritmética: Seja uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média aritmética entre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:

A= x1 + x2 + x3 +...+ xn

n

Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:

12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33

então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:

A= 12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33

9

= 352

9

= 39,11

o que significa que a idade média está próxima de 39 anos.

Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é:

P= x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pn

p1 + p2 + p3 +...+ pn

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:

12 ganham R$ 50,00

Page 147: Apostila ef ii

10 ganham R$ 60,00

20 ganham R$ 25,00

15 ganham R$ 90,00

7 ganham R$ 120,00

Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:

P= 50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7

12 + 10 + 20 + 15 + 7

= 3890

64

=60,78

Médias geométrica e harmônica

Média geométrica: Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos: x1, x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto é:

G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]

Exemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.

Page 148: Apostila ef ii

G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferencia começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

Média harmônica: Seja uma coleção formada por n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A média harmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:

Page 149: Apostila ef ii

Aplicações práticas: Para as pessoas interessados em muitas aplicações do conceito de harmônia, média harmônica e harmônico global, visite o nosso link Harmonia.

11-Ensino Fundamental: Frações e Números decimais

(Exercícios)

Sugerimos que você tente resolver as questões primeiramente, pois as respostas estão na página apenas para incentivá-lo a aprender mais. Para verificar a resposta, posicione o cursor sobre .

1. Qual é a alternativa que representa a fração 9/2 em números decimais?

2. a. 3,333

3. b. 4,25

4. c. 5,01

5. d. 4,5

6. Qual é a alternativa que representa a fração 35/1000 em números decimais?

7. a. 0,35

8. b. 3,5

9. c. 0,035

10. d. 35

11. Qual é a alternativa que representa o número 0,65 na forma de fração?

12. a. 65/10

13. b. 65/100

Page 150: Apostila ef ii

14. c. 65/1000

15. d. 65/10000

16. Observe as frações e suas respectivas representações decimais.

I. 3/1000 = 0,003 II. 2367/100 = 23,67 III. 129/10000 = 0,0129 IV. 267/10 = 2,67

Utilizando as igualdades acima, escolha a alternativa correta?

a. I e II

b. I e IV

c. I, II e III

d. I, II, III e IV

17. Qual é a alternativa que representa a soma dos números decimais 0,65 e 0,15?

18. a. 0,70

19. b. 0,77

20. c. 0,67

21. d. 1,00

22. Qual é a alternativa que representa a soma 4,013+10,182?

23. a. 14,313

24. b. 13,920

25. c. 14,213

Page 151: Apostila ef ii

26. d. 14,083

27. Qual é a alternativa que é igual à subtração do número decimal 242,12 do número decimal 724,96?

28. a. 48,284

29. b. 586,28

30. c. 241,59

31. d. 482,84

32. Qual é a alternativa que representa a subtração 3,02-0,65?

33. a. 2,37

34. b. 3,37

35. c. 1,32

36. d. 23,7

37. Para cada caso, somar o número de uma linha com o número de uma coluna. O resultado fica no cruzamento da linha com a coluna. Clicar sobre o botão para ver se você acertou a soma?

Soma1,252,53,76,20,25 0,3

38. Para cada caso, subtrair o elemento de cada linha (cor verde) dos elementos das colunas (cor azul). Pressione os botões para ver se acertou.

Subtração1,25 2,5 3,7 6,2 Respostas0,25

0,3

0,07

Page 152: Apostila ef ii

39. O número decimal 0,03 pode ser escrito por extenso como:

40. a. três décimos

41. b. três centésimos

42. c. três milésimos

43. Associar o número 15,435 à alternativa que o representa:

44. a. Quinze inteiros e quatrocentos e trinta e cinco centésimos

45. b. Cento e cinquenta e quatro e trinta e cinco centésimos

46. c. Quinze inteiros e quatrocentos e trinta e cinco milésimos

47. Assinalar a alternativa com a resposta da adição 4/7+2/7:

48. a. 5/7

49. b. 6/14

50. c. 7/6

51. d. 6/7

52. Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro.

Qual alternativa representa a soma destas frações?

a. 5/8

Page 153: Apostila ef ii

b. 7/8

c. 9/8

d. 8/7

53. Qual é a fração que representa a parte colorida na figura?

a. 3/2

b. 6/1

c. 5/6

d. 6/5

54. Associar as frações 3/2, 9/2 e 1/2 com as letras, segundo os seus devidos lugares na reta numerada.

a. A = 1/2, B = 9/2, C = 3/2

b. A = 9/2, B = 3/2, C = 1/2

c. A = 3/2, B = 1/2, C = 9/2

55. Qual das faixas em azul, na tabela representa a fração 5/10?

a.

b.

c.

56.

Page 154: Apostila ef ii

57. Qual é a fração mais simples que equivale a 14/21?

58. Qual das alternativas representa a subtração 8/9-6/9?

59. a. -2/9

60. b. 2/9

61. c. 14/9

62. d. 1/4

63. Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro.

Qual é a alternativa que representa a diferença destas frações indicada na figura?

a. 1/2

b. 3/4

c. 1/4

d. 4/4

64. Usando uma folha de papel ou um caderno, realizar as operações indicadas abaixo e confirmar as respostas indicadas.

65. a. 3,9 × 8,2 = 31,98

66. b. 2,315 × 6 = 13,89

Page 155: Apostila ef ii

67. c. 26,45 : 5 = 5,29

68. d. 58,24 : 2 = 29,12

69. e. 4/5 × 3 × 7 = 12/35

70. f. 6/7 × 5/3 = 10/7

71. g. 2/5 : 8/7 = 7/20

72. h. 7/9 : 3/16 = 112/27

73. Qual alternativa representa a dízima periódica 0,555... ?

74. a. 5/3

75. b. 5/2

76. c. 5/4

77. d. 5/9

78. Quando calculamos 30% de 100, obtemos: 79. a. 10

80. b. 20

81. c. 30

82. d. 40

83. Quando calculamos 3% de 120, obtemos: 84. a. 36

85. b. 3,6

86. c. 0,36

87. d. 360

Page 156: Apostila ef ii

88. Qual é a alternativa que corresponde a 55% de $500,00?

89. a. $250,00

90. b. $275,00

91. c. $300,00

92. d. $265,00

93. Qual é a dízima periódica representada pela fração 10/3?

94. a. 0,333...

95. b. 1,111...

96. c. 3,0303...

97. d. 3,333...

98. Escrever a fração 5/3 na forma de um número decimal.

99. a. 1,666...

100. b. 1,6060...

101. c. 1,0606...

102. d. 2,1010...

103. Qual é o sinal de desigualdade que deve ser posto em cada situação abaixo? Para verificar se você acertou a questão, pressione o botão que aparece em cada caso e constate que você sabe comparar números decimais?

0,29 0,21 8,9 9,2 1,03 10,2

10,01 9,99 2,09 1,9 0,901 9,01

Page 157: Apostila ef ii

104. Qual é a palavra: "maior" ou "menor" que ser posta entre cada par de frações, nas situações abaixo? Pressione o botão para cada caso e constate que você sabe comparar frações.

1/5 1/3 2/7 3/9 3/4 1/2

105. Após observar as desigualdades, indique qual é a alternativa correta.

I. 10,001<9,99 II. 2,09>1,9 III. 9,01<0,901

106. a. I e II estão certas

107. b. II está errada

108. c. I e III estão erradas

109. d. Todas estão erradas

12-Ensino Fundamental: Equações do primeiro grau

� Equações 1o.grau: Introdução � Equações 1o.grau: 1 variável � Desigualdades 1o.grau: 1 var. � Desigualdades 1o.grau: 2 var.

� Sistemas de equações: 1o.grau � O Método de substituição � Relação entre retas e sistemas � Desigualdades com 2 equações

Introdução às equações de primeiro grau

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Sentença com palavras Sentença matemática

2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

Page 158: Apostila ef ii

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

Equações do primeiro grau em 1 variável

Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos ver que toda equação tem:

� Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;

� Um sinal de igualdade, denotado por =.

Page 159: Apostila ef ii

� Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;

� Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

No link Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

2 x + 2 = 14

1o. membro sinal de igualdade 2o. membro

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

2x + 2 = 14 Equação original

2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros

2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros

x = 6 Solução

Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Page 160: Apostila ef ii

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:

c + a = 22

c + (c - 4) = 22

2c - 4 = 22

2c - 4 + 4 = 22 + 4

2c = 26

c = 13

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:

a + b = 100.000

3b + b = 100.000

4b = 100.000

b = 25.000

Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.

3. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Page 161: Apostila ef ii

Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.

3x + 140 = 260

3x = 260 -140

3x = 120

x = 40

Resposta: Cada quarto tem 40m2.

Exercícios: Resolver as equações

1. 2x + 4 = 10

2. 5k - 12 = 20

3. 2y + 15 - y = 22

4. 9h - 2 = 16 + 2h

Desigualdades do primeiro grau em 1 variável

Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

< menor

> maior

< menor ou igual

> maior ou igual

Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Page 162: Apostila ef ii

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:

2x + 2 < 14

Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:

Passo 1 2x + 2 < 14 Escrever a equação original

Passo 2 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtrair o número 2 dos dois membros

Passo 3 2x < 12 Dividir pelo número 2 ambos os membros

Passo 4 x < 6 Solução

Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:

S = {1, 2, 3, 4, 5}

Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade

2x + 2 < 14

obteremos o conjunto solução:

S = {2, 4}

Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.

Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades:

12 < 2x + 2 < 20

poderemos seguir o seguinte processo:

12 < 2x + 2 < 20 Equação original

Page 163: Apostila ef ii

12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros

10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros

5 < x < 9 Solução

O conjunto solução é:

S = {6, 7, 8, 9}

Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades

12 < 2x + 2 < 20

obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:

S = Ø = { } Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis

Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser:

a x + b y < c

onde a, b e c são valores dados.

Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 0

observamos que o conjunto solução contém os pares:

(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...

Page 164: Apostila ef ii

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;

(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;

(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.

(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.

Sistemas linear de equações do primeiro grau

Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja o sistema de duas equações:

2 x + 3 y = 38 3 x - 2 y = 18

Page 165: Apostila ef ii

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações.

x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

S = { (10,6) } Método de substituição para resolver este sistema

Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.

Para entender o método, consideremos o sistema:

2 x + 3 y = 38 3 x - 2 y = 18

Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:

2x + 3y = 38 Primeira equação

2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtraímos 3y de ambos os membros

2x = 38 - 3y Dividimos ambos os membros por 2

x = 19 - (3y/2) Este é o valor de x em função de y

Substituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18:

3x - 2y = 18 Segunda equação

3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Após substituir x, eliminamos os parênteses

57 - 9y/2 - 2y = 18 multiplicamos os termos por 2

114 - 9y - 4y = 36 reduzimos os termos semelhantes

114 - 13y = 36 separamos variáveis e números

114 - 36 = 13y simplificamos a equação

Page 166: Apostila ef ii

78 = 13y mudamos a posição dos dois membros

13 y = 78 dividimos ambos os membros por 6

y = 6 Valor obtido para y

Substituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos:

x = 19 - (3×6/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10

Exercício: Determinar a solução do sistema:

x + y = 2 x - y = 0

Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.

Relação entre sistemas lineares e retas no plano

No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.

Reta 1: ax + by = c Reta 2: dx + ey = f

Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de:

Page 167: Apostila ef ii

Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;

Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;

Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Exemplos das três situações

Tipos de retas Sistema

Concorrentes x + y = 2 x - y = 0

Paralelas x + y = 2 x + y = 4

Coincidentes x + y = 2

2x + 2y = 4

Problemas com sistemas de equações:

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:

C + A = 22

C - A = 4

Resposta: C = 13 e A = 9

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Page 168: Apostila ef ii

Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:

A + B = 100000

A = 3B

Resposta: A = 75000, B= 25000.

3. Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:

3D + O = 260

O = 140

Resposta: D = 40

Desigualdades com 2 Equações em 2 variáveis

Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:

a x + b y < c d x + e y > f

onde as constantes: a, b, c, d, e, f; são conhecidas.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

Page 169: Apostila ef ii

2x + 3y > 6 5x + 2y < 20

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçar a reta 2x+3y=6 (em vermelho);

(2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz à primeira desigualdade;

(3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);

(4) Traçar a reta 5x+2y=20 (em azul);

(5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2) (não é necessário que seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz à segunda desigualdade;

(6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)

(7) Construir a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.

(8) Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.

Page 170: Apostila ef ii

Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos de otimização. Um dos ramos da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.

13-Ensino Fundamental: Razões e Proporções

� Razões � Proporções � Propriedade fundamental � Razões/Proporções de segmentos

� Polígonos Semelhantes � Figuras Semelhantes � Aplicações práticas das razões

Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A

B

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12

3 = 4

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

3

6 = 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

Page 171: Apostila ef ii

A

B = A/B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.

Líquido Situação1 Situação2 Situação3 Situação4 Suco puro 3 6 8 30

Água 8 16 32 80 Suco pronto 11 22 40 110

Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.

Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.

Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5 Proporções

Page 172: Apostila ef ii

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

A

B =

C

D

Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:

A

B =

C

D

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

3

4 =

6

8

Page 173: Apostila ef ii

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.

Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

x

3 =

4

6

Para obter X=2.

Razões e Proporções de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

A________B, C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

m(AB)

m(CD) =

2

4

Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.

Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.

Page 174: Apostila ef ii

Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF Figuras Semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.

As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.

Exemplo: Nos triângulos

Page 175: Apostila ef ii

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.

Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

vmédia = distância percorrida / tempo gasto

Page 176: Apostila ef ii

Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?

A partir dos dados do problema, teremos:

vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h

o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.

escala = comprimento no desenho / comprimento real

Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.

Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:

Page 177: Apostila ef ii

Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4 Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8

Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6

O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.

3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.

Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.

Page 178: Apostila ef ii

Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:

dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km² densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2

Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.

4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.

Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.

Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.

Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:

Substância Densidade [g/cm³] madeira 0,5

Page 179: Apostila ef ii

gasolina 0,7 álcool 0,8

alumínio 2,7 ferro 7,8

mercúrio 13,6

5. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:

Pi = 3,1415926535

Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:

C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...

significando que

C = Pi . D

Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.

14-Ensino Fundamental: Aplicações das Razões e Proporç ões

� Proporções com números � Propriedades das Proporções � Grandezas diret. proporcionais � Grandezas invers. proporcionais � Histórico sobre a Regra de três

� Regras de três simples direta � Regras de três simples inversa � Regras de três composta � Porcentagem � Juros simples

Proporções com números

Page 180: Apostila ef ii

Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

A

B =

C

D

1. Os números A, B, C e D são denominados termos 2. Os números A e B são os dois primeiros termos 3. Os números C e D são os dois últimos termos 4. Os números A e C são os antecedentes 5. Os números B e D são os consequentes 6. A e D são os extremos 7. B e C são os meios 8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma

constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa razão.

Propriedades das proporções

Para a proporção

A

B =

C

D

valem as seguintes propriedades:

1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

A+B = C+D e A-B = C-D

Page 181: Apostila ef ii

A

C

A

C

3. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:

A+B

B =

C+D

D e

A-B

B =

C-D

D

4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:

A+C

B+D =

A

B =

A-C

B-D e

A+C

B+D =

A-C

B-D =

C

D Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:

X

Y = K

Exemplos:

1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos)

Page 182: Apostila ef ii

15 minutos 50 cm

30 minutos 100 cm

45 minutos 150 cm

2. Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:

Tempo (min) Altura (cm) 15 50 30 100 45 150

3. Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.

4. Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

5. (a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais:

15

30 =

50

100 =

1

2

6. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais:

Page 183: Apostila ef ii

15

45 =

50

150 =

1

3

7. Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

8. Em média, um automóvel percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação:

Distância (Km) Tempo (h) 80 1

160 2 240 3

9. Notamos que quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a distância percorrida e quando o intervalo de tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção.

10. Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de outro modo.

11. (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na razão de 1/2 enquanto a distância percorrida varia na razão 80/160. Assim temos que tais razões são iguais, isto é:

1

2 =

80

160 =

1

3

12. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de 160 Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na razão 2/3 e a distância percorrida na

Page 184: Apostila ef ii

razão 160/240 e observamos que essas razões são iguais, isto é:

2

3 =

160

240 =

1

3

13. Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:

X · Y = K

Exemplos:

1. A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.

2. o melhor aluno receberá 24 livros

3. cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livros

4. cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livros

5. cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livros

Page 185: Apostila ef ii

6. cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros

Alunos escolhidos Livros para cada aluno 1 24 2 12 3 8 4 6 6 4

7. De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

1. Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.

2. Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.

3. Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.

4. Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.

Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

2

4 =

1

12/6 =

1

2 e

12

6 =

1

2/4 =2

Page 186: Apostila ef ii

Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4. Observemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

2

6 =

1

12/4 e

12

4 =

1

2/6

Representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a função f(x)=24/x, apresentada no gráfico

8. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 Km da primeira. Se o percurso é realizado em:

9. 1 hora, velocidade média de 120 Km/h

10. 2 horas, velocidade média de 60 Km/h

11. 3 horas, velocidade média de 40 Km/h

A unidade é Km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação é:

Velocidade (Km/h) Tempo (h) 120 1 60 2 40 3

Page 187: Apostila ef ii

De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 120 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 40 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.

Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.

Elementos históricos sobre a Regra de três

Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

Regra de três simples direta

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

X

Y = K e

W

Z = K

assim

X

Y =

W

Z

Page 188: Apostila ef ii

Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro).

Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:

Massa do corpo (Kg) Deslocamento da mola (cm) 10 54 15 X

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção:

10

15 =

54

X

Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.

Regra de três simples inversa

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.

Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também

Page 189: Apostila ef ii

inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

A · B = K e C · D = K

segue que

A · B = C · D

logo

A

C =

D

B

Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos:

Velocidade (Km/h) Tempo (s) 180 20 200 T

Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.

180

200 =

T

20

Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.

Page 190: Apostila ef ii

Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.

Regra de três composta

Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Situação Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 4 Grandeza 5 Grand... Grandeza ?

Situação 1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1

Situação 2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:

Z1

Z2 =

A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 …

A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a letra B, por

Page 191: Apostila ef ii

exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:

Z1

Z2 =

A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 …

A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 …

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:

Z1

Z2 =

A1 · B2 · C1 · D2

A2 · B1 · C2 · D1

Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.

Exemplos:

1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?

Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

Page 192: Apostila ef ii

No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C)

5 6 400

7 9 X

A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.

Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção:

400

x =

5×6

7×9

que pode ser posta na forma

400 = 30

Page 193: Apostila ef ii

x 63

Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.

2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).

Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

Quilômetros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C)

200 4 2

500 5 X

A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número de horas por dia e se tivermos

Page 194: Apostila ef ii

menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo:

2

X =

200×5

500×4

que pode ser posta como

2

X =

1000

2000

Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias.

Porcentagem

Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.

Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.

Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é:

Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8

Page 195: Apostila ef ii

Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto:

Produto = M%.N = M.N / 100

Exemplos:

1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?

Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13

Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.

2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?

Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma:

X% de 4 = 3

Assim:

(X/100).4 = 3

4X/100 = 3

4X = 300

X = 75

Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.

Page 196: Apostila ef ii

3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?

Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por:

42,5% de X = 255

Assim:

42,5%.X = 255

42,5 / 100.X = 255

42,5.X / 100 = 255

42,5.X = 25500

425.X = 255000

X = 255000/425 = 600

Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.

4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?

Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que

92% de X = 690

logo

Page 197: Apostila ef ii

92%.X = 690

92/100.X = 690

92.X / 100 = 690

92.X = 69000

X = 69000 / 92 = 750

O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.

Juros Simples

Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar:

1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.

2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juros.

3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.

4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante.

Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de i% ao período, basta usar a fórmula:

j = C · i · t

100

Exemplos:

Page 198: Apostila ef ii

1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja?

A diferença entre os preços dados pela loja é:

652,00 - 450,00 = 202,50

A quantia mensal que deve ser paga de juros é:

202,50 / 5 = 40,50

Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma:

X% de 450,00 = 40,50

X/100.450,00 = 40,50

450 X / 100 = 40,50

450 X = 4050

X = 4050 / 450

X = 9

A taxa de juros é de 9% ao mês.

2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado?

O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por:

Page 199: Apostila ef ii

3% de C = 960,00

3/100 C = 960,00

3 C / 100 = 960,00

3 C = 96000

C = 96000/3 = 32000,00

O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.

15-Ensino Fundamental: Divisão Proporcional

� 2 partes diret. proporcionais � n partes diret. proporcionais � 2 partes invers. proporcionais � n partes invers. proporcionais

� 2 partes direta e inversa � n partes direta e inversa � Regra de Sociedade

Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas

A

p =

B

q

A solução segue das propriedades das proporções:

A

p =

B

q =

A+B

p+q =

M

p+q = K

O valor de K é que proporciona a solução pois:

A = K p e B = K q

Page 200: Apostila ef ii

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:

A

2 =

B

3 =

A+B

5 =

100

5 = 20

Segue que A=40 e B=60.

Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:

A

8 =

B

3 =

A-B

5 =

60

5 =12

Segue que A=96 e B=36.

Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.

X1

p1 =

X2

p2 = ... =

Xn

pn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1

p1 =

X2

p2 =...=

Xn

pn =

X1+X2+...+Xn

p1+p2+...+pn =

M

P = K

Page 201: Apostila ef ii

Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:

A

2 =

B

4 =

C

6 =

A+B+C

P =

120

12 =10

logo A=20, B=40 e C=60.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.

A solução segue das propriedades das proporções:

A

2 =

B

4 =

C

6 =

2A+3B-4C

2×2+3×4-4×6 =

120

-8 = – 15

logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-)

Divisão em duas partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:

A

1/p =

B

1/q =

A+B

1/p+1/q =

M

1/p+1/q =

M.p.q

p+q = K

O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.

Page 202: Apostila ef ii

Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:

A

1/2 =

B

1/3 =

A+B

1/2+1/3 =

120

5/6 =

120.2.3

5 = 144

Assim A=72 e B=48.

Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:

A

1/6 =

B

1/8 =

A-B

1/6-1/8 =

10

1/24 = 240

Assim A=40 e B=30.

Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso

X1

1/p1 =

X2

1/p2 = ... =

Xn

1/pn

cuja solução segue das propriedades das proporções:

X1 = X2 =...= Xn = X1+X2+...+Xn = M

Page 203: Apostila ef ii

1/p1

1/p2

1/pn

1/p1+1/p2+...+1/pn

1/p1+1/p2+...+1/pn

Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:

A

1/2 =

B

1/4 =

C

1/6 =

A+B+C

1/2+1/4+1/6 =

220

11/12 = 240

A solução é A=120, B=60 e C=40.

Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:

A

1/2 =

B

1/4 =

C

1/6 =

2A+3B-4C

2/2+3/4-4/6 =

10

13/12 =

120

13

logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.

Existem proporções com números fracionários! :-)

Divisão em duas partes direta e inversamente propor cionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:

A

c/p =

B

d/q =

A+B

c/p+d/q =

M

c/p+d/q =

M.p.q

c.q+p.d =K

Page 204: Apostila ef ii

O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:

A

2/5 =

B

3/7 =

A+B

2/5+3/7 =

58

29/35 = 70

Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.

Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções:

A

4/6 =

B

3/8 =

A-B

4/6-3/8 =

21

7/24 = 72

Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.

Divisão em n partes direta e inversamente proporcio nais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso

X1

p1/q1 =

X2

p2/q2 =...=

Xn

pn/qn

A solução segue das propriedades das proporções:

Page 205: Apostila ef ii

X1

p1/q1 =

X2

p2/q2 =...=

Xn

pn/qn =

X1+X2+...+Xn

p1/q1+p2/q2+...+pn/qn

Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:

A

1/4 =

B

2/5 =

C

3/6 =

A+B+C

1/4+2/5+3/6 =

115

23/20 = 100

logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.

A montagem do problema fica na forma:

A

1/2 =

B

10/4 =

C

2/5 =

2A+3B-4C

2/2+30/4-8/5 =

10

69/10 =

100

69

A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.

Regra de Sociedade

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.

Page 206: Apostila ef ii

Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:

pk = Ck tk

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C1 + C2 + ... + Cn

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.

Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?

Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:

p1=50x40=2000; p2=60x30=1800; p 3=30x40=1200

A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:

A

2000 =

B

1800 =

C

1200

A solução segue das propriedades das proporções:

A

2000 =

B

1800 =

C

1200 =

A+B+C

5000 =

25000

5000 = 5

Page 207: Apostila ef ii

A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.

16-Ensino Fundamental: Expressões algébricas

� O uso das Expressões algébricas � Elementos históricos � Expressões Numéricas � Expressões algébricas � Prioridade das operações � Exercícios � Monômios e polinômios

� Identificando express. algébricas � Valor numérico expr.algébrica � A regra dos sinais (X e ÷) � Regras de potenciação � Eliminação de parênteses � Operações com expr. algébricas � Alguns Produtos notáveis

O uso das expressões algébricas

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.

Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.

Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.

As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.

Expressão algébrica Objeto matemático Figura

A = b x h Área do retângulo

Page 208: Apostila ef ii

A = b x h / 2 Área do triângulo

P = 4 a Perímetro do quadrado

Elementos históricos

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.

O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.

Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por exemplo:

a = 7+5+4

b = 5+20-87

c = (6+8)-10

d = (5×4)+15

Page 209: Apostila ef ii

Expressões algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo:

A = 2a+7b

B = (3c+4)-5

C = 23c+4

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

1. Potenciação ou Radiciação 2. Multiplicação ou Divisão 3. Adição ou Subtração

Observações quanto à prioridade:

1. Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.

2. A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.

3. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.

Exemplos:

Page 210: Apostila ef ii

1. Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim 2. P = 2.5+10 = 10+10 = 20

Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:

A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28

Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.

3. Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim: 4. X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22

Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.

5. Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então: 6. Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 =

14

Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.

Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.

Exemplos:

1. Um triângulo eqüilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.

Page 211: Apostila ef ii

2. Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L². Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².

Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará para A=8×8=64cm².

3. Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:

4. Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:

a. O dobro desse número. b. O sucessor desse número. c. O antecessor desse número (se existir). d. Um terço do número somado com seu sucessor.

5. Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor numérico:

a. do dobro de y b. do sucessor de y c. do antecessor de y d. da terça parte de y somado com o sucessor de y

6. Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode ser calculada pela expressão algébrica

Page 212: Apostila ef ii

A=(B+b)×h/2, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura.

Monômios e polinômios

São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:

Nome No.termos Exemplo monômio um m(x,y) = 3 xy binômio dois b(x,y) = 6 x²y - 7y trinômio três f(x) = a x² + bx + c

polinômio vários p(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an

Identificação das expressões algébricas

Com muita frequência, as expressões algébricas aparecem na forma:

3x²y

onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:

p(x,y) = 3x²y

para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.

Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.

Page 213: Apostila ef ii

Valor numérico de uma expressão algébrica identific ada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:

p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294

Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:

p(-1,5) = 3 × (-1)² × 5 = 3 × 5 = 15

mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:

p(7,2) = 3 × (-7)² × 2 = 294 A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)

(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1

(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1

(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1

(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1

Regras de potenciação

Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números inteiros, tem-se que:

Propriedades Alguns exemplos xº=1 (x não nulo) 5º = 1

xm xn = xm+n 5².54 = 56 xm ym = (xy)m 5² 3² = 15²

Page 214: Apostila ef ii

xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516 xm ÷ ym = (x/y)m 5² ÷ 3² = (5/3)²

(xm)n = xmn (53)² = 125² = 15625 = 56 xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2 x-m = 1 ÷ xm 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125

x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2 Eliminação de parênteses em Monômios

Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.

Exemplos:

A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x

B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x

C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = - 3x

D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x

Operações com expressões algébricas de Monômios

1. Adição ou Subtração de Monômios

Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.

Exemplos:

1. A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x 2. B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x 3. C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x 4. D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x

Page 215: Apostila ef ii

2. Multiplicação de Monômios

Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y² 2. B = -(4x²y).(+2xy) = -8x³y² 3. C = +(4x²y).(-2xy) = -8x³y² 4. D = +(4x²y).(+2xy) = +8x³y²

3. Divisão de Monômios

Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x 2. B = -(4x²y)÷(+2xy) = -2x 3. C = +(4x²y)÷(-2xy) = -2x 4. D = +(4x²y)÷(+2xy) = 2x

4. Potenciação de Monômios

Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x 6 y³ 2. B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x 6 y³

Page 216: Apostila ef ii

Alguns Produtos notáveis

No link Produtos Notáveis, existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.

1. Quadrado da soma de dois termos

Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que

x² + y² = (x+y)²

a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.

Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:

x+y

x+y

+xy+y²

x²+xy

x²+2xy+y²

Compare as duas

operações

10+3

10- 3

+10.3+3²

10²+10.3

10²+2.10.3+3²

Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Exemplos:

Page 217: Apostila ef ii

(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64

(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²

(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25

Exercícios: Desenvolver as expressões:

(a+8)² =

(4y+2)² =

(9k/8 +3)² =

Pensando um pouco:

1. Se (x+7)²=x²+[ ]+49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?

2. Se (5a+[ ])² = 25a²+30a+[ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?

3. Se ([ ]+9)² = x²+[ ]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?

4. Se (4b+[ ])² = l6b²+36b+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.

5. Se (c+8)²=c²+[ ]+[ ], substitua os [ ] por algo coerente. 2. Quadrado da diferença de dois termos

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:

(x-y)² = x² - 2xy + y²

Exemplos:

(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16

(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²

Page 218: Apostila ef ii

(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²

Exercícios: Complete o que falta.

(5x-9)² =[ ]

(k-6s)² =[ ]

(p-[ ])² = p²-10p+[ ]

3. Produto da soma pela diferença de dois termos

Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.

x+y

x- y

- xy - y²

x²+xy

x² - y²

Compare as duas

operações

10+3

10- 3

- 10.3 - 3²

10²+10.3

10² - 3²

Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.

(x+y)(x-y) = x² - y²

Exemplos:

(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4

(g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64

(k-20)(k+20) = k²-400

(9-z)(9+z) = 81-z²

Exercícios: Complete as expressões:

(6-m)(6+m) =

Page 219: Apostila ef ii

(b+6)(b-6) =

(6+b)(b-6) =

(6+b)(6-b) =

(100-u)(100+u) =

(u-100)(100+u) =

17-Ensino Fundamental: Equações do segundo grau

� Introd. às equações algébricas � Fórmula Bhaskara (Sridhara) � Equação do segundo grau � Equação completa � Equação incompleta � Solução eq. incompletas

� Equaç. incompletas: Exemplos � Solução eq. completas � Uso da fórmula de Bhaskara � Exercícios � Eq. fracionárias � Equações bi-quadradas

Introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos:

1. a x + b = 0 2. a x² + bx + c = 0 3. a x4 + b x² + c = 0

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

Page 220: Apostila ef ii

Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x² + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

Page 221: Apostila ef ii

[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

ou

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

ou

x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

Page 222: Apostila ef ii

onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:

D = b² - 4ac Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:

a x² + b x + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1. 2 x² + 7x + 5 = 0 2. 3 x² + x + 2 = 0

Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1. 4 x² + 6x = 0

Page 223: Apostila ef ii

2. 3 x² + 9 = 0 3. 2 x² = 0

Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0 ou x" = -b/a Exemplos gerais

1. 4x²=0 tem duas raízes nulas. 2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2] 3. 4x²+5=0 não tem raízes reais. 4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

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Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.

1. x² + 6x = 0 2. 2 x² = 0 3. 3 x² + 7 = 0 4. 2 x² + 5 = 0 5. 10 x² = 0 6. 9 x² - 18 = 0

Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

2. Se D=0, há duas soluções iguais:

x' = x" = -b / 2a

3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:

x' = (-b + R[D])/2a x" = (-b - R[D])/2a

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os tipos de raízes da equação.

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Equação a b c Delta Tipos de raízes x²-6x+8=0 1 -6 8 4 reais e diferentes

x²-10x+25=0 x²+2x+7=0 x²+2x+1=0

x²+2x=0 O uso da fórmula de Bhaskara

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6 2. Escrever o discriminante D = b²-4ac. 3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1 4. Escrever a fórmula de Bhaskara:

5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:

x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3 x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

Exercícios

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

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a. x² + 9 x + 8 = 0 b. 9 x² - 24 x + 16 = 0 c. x² - 2 x + 4 = 0 d. 3 x² - 15 x + 12 = 0 e. 10 x² + 72 x - 64 = 0

2. Resolver as equações: a. x² + 6 x + 9 = 0 b. 3 x² - x + 3 = 0 c. 2 x² - 2 x - 12 = 0 d. 3 x² - 10 x + 3 = 0

Equações fracionárias do segundo grau

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0 2. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

1. Consideremos o primeiro exemplo:

3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:

MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)

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Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:

[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0

o que significa que o numerador deverá ser:

3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0

que desenvolvido nos dá:

x2 + 3x - 13 = 0

que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.

2. Consideremos agora o segundo exemplo:

(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)

O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como:

(x+3)(x+4)=2x(2x-1)

x² + 7x + 12 = 4x² - 2x

-3x² + 9x + 12 = 0

3x² - 9x - 12 = 0

x² - 3x - 4 = 0

(x-4)(x+1) = 0

Solução: x'=4 ou x"= -1

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3. Estudemos outro exemplo:

3/(x²-4)+1/(x-2)=0

O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:

3 + (x+2)=0

cuja solução é x= -5

Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:

1. x + 6/x = -7 2. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4) 3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x 4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1

Equações bi-quadradas

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x4 + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:

y = x²

para gerar

a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que

x² = y' ou x² = y"

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e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos:

1. Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:

x² = 4 ou x² = 9

o que garante que o conjunto solução é:

S = { 2, -2, 3, -3}

2. Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:

x² = -4 ou x² = 9

o que garante que o conjunto solução é:

S = {3, -3}

3. Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:

x² = -4 ou x² = -9

o que garante que o conjunto solução é vazio.

18-Ensino Fundamental: Função quadrática (Parábola) � A função quadrática (parábola) � Aplicações das parábolas

� O sinal do coeficiente a � Sinal de Delta e a concavidade

A função quadrática (Parábola)

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A função quadrática f:R->R é definida por

f(x)=ax²+bx+c

onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão

a x² + b x + c = 0

representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.

Aplicações práticas das parábolas

Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:

Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.

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Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente.

Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis.

Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena.

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Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus.

O sinal do coeficiente do termo dominante

O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará voltada para cima e se a<0 estará voltada para baixo.

Exemplo: A parábola, que é o gráfico da função f(x)=x²+2x-3, pode ser vista no desenho.

O modo de construir esta parábola é atribuir valores para x e obter os respectivos valores para f(x). A tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de pontos do plano cartesiano onde a curva deverá passar:

x -3-2-1 0 12f(x) 0 -3-4-305

Como a>0, a concavidade ("boca") da nossa parábola estará voltada para cima.

Exemplo: Construir a parábola f(x)=-x²+2x-3.

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Este exemplo é análogo ao anterior, só que nesse caso, a<0, logo sua concavidade será voltada para baixo. A diferença entre esta parábola e a do exemplo anterior é que, houve a mudança do sinal do coeficiente do termo dominante. A construção da tabela nos dá:

x -1 0 1 2 3 f(x)-6-3-2-3-6

Relacionamento entre o discriminante e a concavidad e

Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante da função polinomial.

Delta A parábola no plano cartesiano

a>0 concavidade (boca) para

cima

a<0 concavidade (boca) para

baixo

D > 0

Corta o eixo horizontal em 2 pontos

D = 0

Toca em 1 ponto do eixo horizontal

D < 0 Não corta o eixo horizontal

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Exercícios: Construir o gráfico cartesiano de cada uma das funções do segundo grau:

a. f(x) = x²-3x-4 b. f(x) = -3x²+5x-8 c. f(x) = 4x²-4x+1

Máximos e mínimos com funções quadráticas

Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de máximos e mínimos.

Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o seu perímetro mede 36 m.

Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a medida da largura, a área será dada por: A(x,y)=xy, mas acontece que 2x+2y=36 ou seja x+y=18, assim:

A(x) = x(18-x)

Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x=0 e x=18 e o ponto de máximo.