Apostila elaborada para o projeto PROMOPETRO

UFPE IFPE

Apoio:

Recife, 2014

Integrantes Promopetro:

Coordenador:

Professor Sérgio Lucena

Edição de Apostilas

Aklécio N. Silva

Paloma Boa Vista Felix

Sérgio Lucena

Valnísia Nogueira

Capa

Cléber Souza

APLICAÇÃO DA MATEMÁTICA À ENGENHARIA Objetivos:

Apresentar conceitos matemáticos, suas operações e propriedades, e discutir

exemplos de fixação baseados em casos típicos da engenharia. Através de

casos do dia a dia mostramos uma ligação entre tais conceitos e sua

utilização na engenharia.

Projeto Promopetro:

O projeto tem como metodologia a elaboração de material didático impresso

e multimídia sobre as disciplinas de ensino médio, e fará uso da simulação

computacional, de aulas expositivas e práticas possibilitando visualização de

unidades de processo através de maquetes virtuais. As apostilas fazem

ligações entre as informações e conhecimentos sobre assuntos abordados na

Engenharia e assuntos que podem ser estudados no ensino médio.

A metodologia procura utilizar conceitos ligados à engenharia para

estabelecer uma forte conexão entre as atividades de ensino das ciências

exatas, como matemática, física, química e informática, e as áreas de

processos petroquímicos e de bicombustíveis. Isto permitirá envolver os alunos

de ensino médio com os problemas tecnológicos e a escolha do seu futuro

profissional.

Estas disciplinas ligadas à engenharia, mesmo abordadas dentro de uma

perspectiva de ensino médio trazem informação e conteúdo para uma

formação adequada do aluno, e fazem uso de uma forte base das ciências

exatas. A concepção do processo químico, o dimensionamento dos

equipamentos, o desenho dos equipamentos de processo e o simulador

computacional de processos serão aprendidos e executados passo a passo

pelos alunos envolvidos. Isso permitirá uma interação entre atividades de

ensino superior e as atividades de ensino das ciências exatas no ensino médio.

~ 5 ~

SUMÁRIO

CURIOSIDADE: PETRÓLEO E REFINO .............................................................................. 7

CAPÍTULO1- TEORIA DOS CONJUNTOS ........................................................................ 8

1.1- CONJUNTOS NO R² INTRODUÇÃO: .................................................................................................. 8 1.2- CONJUNTO: .................................................................................................................................... 8 1.3- NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO:........................................................................................................ 8 1.4- RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA: ............................................................................................................. 9 1.5- RELAÇÃO DE INCLUSÃO SUBCONJUNTO: ......................................................................................... 9 1.6- CONJUNTO UNIVERSO: ................................................................................................................. 11 1.7- CONJUNTOS NUMÉRICOS: ............................................................................................................. 11 1.8- CONJUNTO DE PARTES:.................................................................................................................. 13 1.9- CONJUNTO DE IGUALDADE: .......................................................................................................... 14 1.10- OPERAÇÕES COM CONJUNTOS: .................................................................................................... 14 1.11- UNIÃO: ......................................................................................................................................... 15 1.12- INTERSECÇÃO: .............................................................................................................................. 16 1.13- DIFERENÇA: .................................................................................................................................. 16 1.14- COMPLEMENTAÇÃO: .................................................................................................................... 17 CURIOSIDADES: SETE USOS SURPREENDENTES PARA O PETRÓLEO. ................................................................ 18 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: ...................................................................................................................... 20

CAPÍTULO 2- VETORES: CONHECENDO A MECANICA DOS FLUÍDOS. ...................... 22

VETORES NO PLANO: ................................................................................................................................ 23 2.1- INTRODUÇÃO: ........................................................................................................................................ 23 2.2- GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS: ..................................................................................................... 23 2.3- DEFINIÇÕES, ETIMOLOGIA E NOTAÇÕES: ................................................................................................ 23 2.4- VETORES PARALELOS: ............................................................................................................................. 25 2.5- MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR: ................................................................................... 26 2.6- VETORES COPLANARES E NÃO COPLANARES: ........................................................................................ 27 2.7- ADIÇÃO DE VETORES: ............................................................................................................................ 27 2.8- SUBTRAÇÃO DE VETORES: ....................................................................................................................... 30 2.9- COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES: ....................................................................................................... 30 2.10- EXPRESSÃO CARTESIANA DE UM VETOR: ............................................................................................... 30 2.11- CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES: .................................................................................. 32 2.12- CONDIÇÕES DE COPLANARIDADE DE VETORES: ................................................................................... 33 2.13- COMBINAÇÃO LINEAR DE 4 VETORES: .................................................................................................. 34 2.13- ÂNGULO DE 2 VETORES: ....................................................................................................................... 36 2.14- MULTIPLICAÇÃO INTERNA OU ESCALAR: ............................................................................................... 36 CURIOSIDADES: POR QUE O AVIÃO VOA? ...................................................................................................... 39 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: .............................................................................................................................. 41

CAPÍTULO 3- ESTUDO DA RETA: CONDUÇÃO DE CALOR E A RETA. .......................... 44

CAPÍTULO 4 – NOÇÕES DE LÓGICA ........................................................................... 62

1. PRINCÍPIOS E LEI FUNDAMENTAIS DE LÓGICA CLÁSSICA................................................................ 62 2. SENTENÇA MATEMÁTICA ............................................................................................................... 63 3. SENTENÇAS VÁLIDAS E INVÁLIDAS................................................................................................. 63 4. PROPOSIÇÃO ................................................................................................................................ 63 5. CÁLCULO PROPOSICIONAL ........................................................................................................... 64 6. PROPOSIÇÃO SIMPLES ................................................................................................................... 64 7. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES .................................................................................... 65

~ 6 ~

8. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: CONECTIVOS E CONDICIONAIS ....................................................... 66 9. CONJUNÇÃO: CONECTIVO ∧ (LÓGICA E) ................................................................................... 66 10. DISJUNÇÃO: CONECTIVO ∨ (LÓGICA OU) ................................................................................... 67 11. CONDICIONAL SIMPLES: SÍMBOLO LÓGICO → (SE..., ENTÃO...) ................................................... 68 12. BICONDICIONAL: EQUIVALÊNCIA LÓGICA ↔ (SE...,E SOMENTE SE,...) .......................................... 69 13. TAUTOLOGIA: PROPOSIÇÃO LOGICAMENTE VERDADEIRA ............................................................. 70 14. PROPOSIÇÃO LOGICAMENTE FALSA .............................................................................................. 71

~ 7 ~

CURIOSIDADE: PETRÓLEO E REFINO

Formado a milhares de anos, quando

pequenos animais e vegetais marinhos foram

soterrados e submetidos à ação de

microorganismos, do calor e de pressões

elevadas, ao longo do tempo, o petróleo é sem

duvida uma das maiores descobertas para a

vida moderna.

Ao ser extraído no campo de produção, o petróleo é chamado de Óleo Cru

e dependendo do tipo de rocha em que ele é extraído é possível obter o

petróleo nas cores, amarelo, verde, marrom e preto.

Dependendo da localização, produção, transporte, processamento e da

distribuição dos hidrocarbonetos que existe nos poros e canais de uma rocha

reservatória, dentro do campo petrolífero com isso estabelece-se cinco

segmentos básicos da indústria do petróleo, que são: exploração, Explotação

(Perfuração + Produção), transporte e refino.

O Refino:

Para obter os produtos finais do petróleo, como diesel, gasolina, querosene,

entre outros é necessário fazer o refino do petróleo, e esse processo é feito

através do beneficiamento pelos quais passam o produto bruto, para obter os

produtos desejados, ou seja, o refino de petróleo nada mais é que separar as

frações que se deseja para se processar e industrializá-las até que se

transformem em produtos vendáveis.

Uma refinaria representa um conjunto de processos, e num desses processos

esta o refino do petróleo, onde este é recolhido aos tanques de

armazenamento após ser transportado por via marítima ou terrestre e depois de

ter percorrido, às vezes, milhares de quilômetros. Compete aos laboratórios a

avaliação do petróleo a ser destilado, bem como a indicação da possibilidade

de obtenção dos derivados. (COOPETRÓLEO, acessado em março, 2012)

Deste modo, é possível observarmos uma relação entre a matemática e a

engenharia, como é mostrado no texto acima na representação dos conjuntos

numa refinaria de petróleo.

Figura 1: Barril De Petróleo

~ 8 ~

CAPÍTULO1- TEORIA DOS CONJUNTOS

1.1- CONJUNTOS NO R² INTRODUÇÃO:

A teoria dos conjuntos possui grande utilidade nas diversas áreas da

matemática, como também em outros ramos educativos nas áreas das

ciências físicas e humanas.

Para inicio do assunto devemos ter em mente a existência de alguns conceitos

para estabelecer o estudo dos conjuntos.

Assim, teremos de inicio três conceitos primitivos que são: Elemento, Conjunto e

Pertinência, onde precisamos entender que cada vogal do alfabeto é um

elemento do conjunto do alfabeto, ou melhor, cada vogal pertence ao

conjunto do alfabeto.

1.2- CONJUNTO:

Conjunto é um grupo de objetos e cada objeto que forma o conjunto é

chamado de elemento.

Exemplo: Conjunto de vogais do alfabeto:

Elementos: a, e, i, o, u.

1.3- NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO:

Para dar nome aos conjuntos, geralmente são usadas letras maiúsculas do

nosso alfabeto e a representação pode ser de varias maneiras como:

I- Listagem dos Elementos:

O conjunto é apresentado pela listagem de seus elementos, onde todos os

elementos que pertencem a esse conjunto são colocados entre chaves e

separados por vírgulas ou por ponto e vírgulas caso haja representação de

números decimais.

Exemplo: 1º Seja A o conjunto das vogais da palavra “PAPAGAIO”

𝐴 = {𝑎, 𝑖, 𝑜}

2º Seja C o conjunto dos algarismos decimais:

𝐶 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

II- Diagrama de Euler-Ven:

~ 9 ~

A representação de conjunto por meio do diagrama de Euler-Ven é muito

pratica, por se tratar de uma representação gráfica, ou seja, os elementos do

conjunto são colocados dentro de uma linha fechada.

A C

Exemplo: a i 0 1 2 3

O 4 5 6 7 8 9

1.4- RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA:

Relação para indicar que um determinado elemento Z faz parte do conjunto B,

dessa forma diz que:

𝒁 ∈ 𝑩

Em que, corresponde ao símbolo indica a relação de pertinência. Para o caso

de o elemento Z não pertencer ao conjunto B utilizamos o símbolo ∉ (não

pertence).

Exemplo: Consideremos o conjunto: 𝐴 = {0, 2, 4, 6, 8}

O algarismo 2 pertence ao conjunto A: 𝟐 ∈ 𝑨

O algarismo 7 não pertence ao conjunto A: 𝟕 ∉ 𝑨

1.5- RELAÇÃO DE INCLUSÃO SUBCONJUNTO:

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então

dizemos que A está contido em B:

𝑨 ⊂ 𝑩

Quando pelo menos um elemento de A não pertence a B, dizemos que A não

esta contido em B:

𝑨 ⊄ 𝑩

Ou seja:

B B B

A A A

A ⊂ B A ⊄ B A ⊄ B

~ 10 ~

Se o conjunto A está contido no conjunto B, temos que A é

um subconjunto de B. Como todo elemento do conjunto A pertence

ao conjunto A, dizemos que A é subconjunto de A logo temos que,

todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Na relação de pertinência segue a relação em que um elemento esta para um

conjunto, já a relação de inclusão refere-se em todos os casos a dois conjuntos.

Exemplos:

{𝟐} ⊂ {0,2, 4, 6, 8}

𝟐 ∈ {0,2, 4, 6, 8}

{𝟐} ∈ {0, (2), 4, 6, 8}

{𝟐} ⊄ {0, (2), 4, 6, 8}

Nos exemplos acima se percebe que há uma diferença entre 2 e {2}, onde o

primeiro representa o elemento 2 e o segundo é o conjunto formado pelo

elemento 2. Um par de brincos e uma caixa de jóia são coisas diferentes por isso

devem ser tratadas de modo diferentes.

É possível também haver que, dentro de um conjunto, outro conjunto pode ser

visto como um de seus elementos:

Exemplo: {1,5} é um conjunto, mas no Conjunto 𝐴 = {1,3, {1,5}, 4} ele será

considerado um elemento, ou seja, { 1,5} ∈ 𝑨.

Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da

cidade, porém uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que

formam um Estado.

Outros tipos de conjuntos:

I- Conjunto Unitário:

Ao conjunto formado por um único elemento, chamamos de conjunto unitário.

Exemplo: Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2}

Conjunto das letras que recebem cedilha: {Ç}

II- Conjunto Vazio:

~ 11 ~

Conjunto formado por nenhum elemento. O conjunto vazio é considerado um

conjunto, quando ele é formado por elementos que admitem uma propriedade

impossível.

Exemplo: Conjunto dos meses do ano que começam com a letra P: { }

Conjunto dos números negativos maiores que zero: { }

Note que o conjunto vazio pode ser representado por { } ou pelo símbolo ∅, cuja

origem é norueguesa.

É importante observar que não se pode confundir as duas representações do

conjunto vazio { } ou ∅ e não por { ∅ }, pois assim ele seria considerado um

conjunto unitário.

Todo conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é

considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.

1.6- CONJUNTO UNIVERSO:

Conjunto no qual pertencem todos os elementos, representado pela letra ∪.

Exemplo: Se estivermos analisando o conjunto de crianças que passam fome,

seu conjunto-universo poderá ser o Brasil, a África, acidade de São Paulo, etc.

1.7- CONJUNTOS NUMÉRICOS:

Conjunto dos números naturais (N):

𝑵 = {0,1,2,3,4,5,6, . . . }

Conjunto dos números inteiros (Z)

𝒁 = {. . . , −4, −3, −2, −1,0,1,2,3, . . . }

É evidente que 𝑵 ⊂ 𝒁.

Conjunto dos números racionais (Q)

São aqueles que podemos obter pela divisão de dois inteiros.

𝑸 = {𝑥; 𝑥 = 𝑝/𝑞 𝑐𝑜𝑚 𝑝 ∈ 𝒁, 𝑞 ∈ 𝒁 𝑒 𝑞 ≠ 0}.

Todo numero racional tem uma representação decimal exata ou infinita

periódica.

~ 12 ~

Exemplo:

{−1; ½; 0; 3,2; 2,3333 . . . }

Note que 𝑵 ⊂ 𝒁 ⊂ 𝑸.

Dízimas periódicas:

Simples: Coloca-se o período como numerador e tantos noves quantos forem os algarismos do período no denominador.

Exemplo: {0, 3333 = 3/9 = 1/3}

Compostas: Coloca-se como numerador o numero após a vírgula ate o período, menos a parte não periódica. Como denominador vão tantos noves quantos forem os algarismos do período e tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplo:

4,18989. . . = 4 (189 − 1/990) = 4 (188/990) = 4 (94/495) = 2074/495

Conjunto dos números irracionais (I)

São números que não podem ser obtidos pela divisão de dois inteiros.

I = {x; x é uma dízima não periódica}.

Todo numero Irracional tem uma representação decimal infinita e não

periódica.

Exemplo:

2 = 1, 1442135 …

= 3,1415926. ..

Conjunto dos números reais (IR)

O conjunto dos números reais são todos os números irracionais (I) ou Racionais

(Q), ou seja, 𝑰𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑰

Todo numero real corresponde a um ponto na reta e

todo ponto na reta corresponde a um numero real.

~ 13 ~

Representação na reta:

1.8- CONJUNTO DE PARTES:

Seja o conjunto A, dizemos que o conjunto de partes de A, representado por

P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

Determinação do conjunto de partes de A, P(A):

Sendo o conjunto 𝐴 = {1, 4, 6}, vamos observar a partir deste exemplo como

funciona o procedimento para determinar o conjunto de partes de A, ou seja,

para obter o conjunto de partes de A basta escrever todos os subconjuntos de

A como mostra o procedimento abaixo:

1- Subconjunto vazio: ∅, pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer

conjunto,

2- Subconjuntos de apenas um elemento: {1}, {4}, {6},

3- Subconjuntos com dois elementos: {1,4}, {1,6}, {4,6}

4- Subconjunto com três elementos: {1,4,6}, porque todo conjunto é

subconjunto dele mesmo.

Logo temos que o conjunto P(A) pode ser descrito da seguinte forma:

𝑷(𝑨) = { ∅, {𝟏}, {𝟒}, {𝟔}, {𝟏, 𝟒}, {𝟏, 𝟔}, { 𝟒, 𝟔}, {𝟏, 𝟒, 𝟔} }

Números de elementos do conjunto de partes:

É possível se determinar a quantidade de elementos de P(A), sem

necessariamente escrever todos os elementos do conjunto de partes de A. Para

obtermos os números de P(A), partimos do seguimento de que cada elemento

do conjunto de A, possui duas opções de formação dos subconjuntos: ou o

elemento pertence ao subconjunto ou não pertence ao subconjunto e usando

o principio multiplicativo das regras de contagem, se cada elemento apresenta

duas opções, temos então:

𝒏[𝑷(𝑨)] = 𝟐𝒏{𝑨}

Pelo exemplo anterior A {1,4,6} vemos que ele possui 3 elementos, então pela

formula dos números de elementos do conjunto de partes de A temos:

𝑵[𝑷(𝑨)] = 𝟐𝟑{𝟏,𝟒,𝟔}

Logo:

𝒏[𝑷(𝑨)] = 𝟖

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1.9- CONJUNTO DE IGUALDADE:

Dados os conjuntos A e B, A, será igual a B se e somente se cada elemento de

A, está em B e cada elemento de B está em A.

Simbolicamente temos: 𝑨 = 𝑩 ↔ 𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑩 ⊂ 𝑨.

Ou seja, dois conjuntos serão iguais se e somente se eles possuírem os mesmos

elementos, em qualquer ordem, sem importar o numero de vezes que eles

aparecem.

Exemplo:

{1, 2, 3} = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2,2} = {3, 2, 1}

RESUMUNDO:

1.10- OPERAÇÕES COM CONJUNTOS:

Na aritmética é possível somar, multiplicar ou subtrair dois números

quaisquer, já na teoria dos conjuntos existem as operações união,

intersecção, diferença e complemento que se assemelham

respectivamente as operações de adição, multiplicação e subtração de

números.

Na tabela abaixo temos um resumo das operações de conjuntos que serão

estudados separadamente:

∈ : pertence ∃ : existe

∉ : não pertence ∄: não existe

⊂ : está contido ∀ : para todo (ou qualquer que seja)

⊄ : não está contido ∅: conjunto vazio

⊃ : contém 𝐍: Conjunto dos números naturais

⊅ : não contém 𝐙: Conjunto dos números inteiros

/: tal que 𝑸: Conjunto dos números racionais

⟹ : implica que 𝑸′ = 𝑰: Conjunto dos números irracionais

⇔ : se, e somente se 𝐑: Conjunto dos números reais

OPERAÇÃO COM OS CONJUNTOS A E B SIGNIFICADO

União ∪ 𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ⇔ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩

Intersecção ∩ 𝒙 ∈ 𝑨 ∩ 𝑩 ⇔ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩

Diferença − 𝒙 ∈ 𝑨 − 𝑩 ⇔ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 (𝒙 ∉ 𝑩)

Complementação . 𝐜 𝒙 ∈ 𝑼 / (𝒙 ∉ 𝑨)

TABELA 1: OPERAÇÕES DE CONJUNTOS

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DOIS CONJUNTOS A E B DIZEM-SE DISJUNTOS SE 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅.

1.11- UNIÃO:

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, a união A ∪ B é o conjunto dos elementos

x tais que x pertence ao menos um dos conjuntos A e B, ou seja, x ∈ A ∪ B ⇔x ∈

A ou x ∈ B.

Exemplo: 𝐴 = {1, 2,3 } 𝑒 𝐵 = { 5,6,4} então 𝑨 ∪ 𝑩 = { 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 }

Q = Conjunto dos números racionais e Z= conjunto dos números inteiro,

então,

𝒁 ∪ 𝑸 = 𝑸 𝒆 𝑸 ∪ 𝒁 = 𝒁.

Propriedades Da União:

Inclusão na união: para todos os conjuntos A e B.

𝑨 ⊂ 𝑨 ∪ 𝑩

𝑩 ⊂ 𝑨 ∪ 𝑩

Considere agora três conjuntos quaisquer, A, B e C. Então são verdadeiras as

seguintes propriedades:

Idempotência:

𝐴 𝑈 𝐴 = 𝐴, ou seja, A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é

igual a A;

Comutativa:

𝐴 𝑈 𝐵 = 𝐵 𝑈 𝐴;

Elemento Neutro:

Ø 𝑈 𝐴 = 𝐴 𝑈 Ø = 𝐴, ou seja, oconjunto Ø é o elemento neutro da união

de conjuntos;

Associativa:

(𝐴 𝑈 𝐵) 𝑈 𝐶 = 𝐴 𝑈 (𝐵 𝑈 𝐶).

Propriedade transitiva dos subconjuntos: para todos os conjuntos A, B e C.

𝑆𝑒 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐵 ⊂ 𝐶 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 ⊂ 𝐶

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1.12- INTERSECÇÃO:

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, a união A ∩ B é o conjunto dos elementos

x tais que x pertencem ambos os conjuntos A e B, ou seja:

𝒙 ∈ 𝑨 ∩ 𝑩 ⇔ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩.

Se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, dizemos que A e B são disjuntos.

Exemplos:

1- A = {2, 3, 5} 𝑒 𝐵 = {1, 4, 3, 5}, então 𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟑, 𝟓}

2- Im = conj. dos números imaginários e R= conj. Dos números reais, então

𝑰𝒎 ∪ 𝑹 = 𝜱, ou seja, são disjuntos.

Os fatos acima nos dizem que A intersecção B é um subconjunto de A e de B,

ou seja:

𝑨 ∩ 𝑩 ⊂ 𝑨 𝒆 𝑨 ∩ 𝑩 ⊂ 𝑩

Propriedades da Intersecção

Considere agora três conjuntos quaisquer, A, B e C. Então são verdadeiras as

seguintes propriedades:

Idempotência: 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴

Comutativa: 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐵 ∩ 𝐴

Elemento Neutro, ou seja, o conjunto universo U é o elemento neutro da

intersecção de conjuntos: 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴

Associativa:

𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶

1.13- DIFERENÇA:

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, a diferença 𝐴 − 𝐵 é o conjunto dos

elementos x tais que x pertencem ao conjunto A e x não pertencem ao

conjunto B, ou seja:

𝒙 ∈ 𝑨 − 𝑩 ⇔ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 (𝒙 ∉ 𝑩)

Exemplo: 𝐴 = {1, 3, 7} 𝑒 𝐵 = {1, 2, 4, 5}, então 𝑨 − 𝑩 = {𝟑, 𝟕}

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1.14- COMPLEMENTAÇÃO:

Esse tipo de operação esta relacionada à diferença, então, dados dois

conjuntos quaisquer A e B, a complementação BC A é o conjunto dos elementos

de x tais que x ao conjunto A e x não pertence ao conjunto B, ou seja,

𝒙 ∈ 𝑩𝑪 𝑨 = 𝑨 – 𝑩 ⇔ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 (𝒙 ∉ 𝑩).

Exemplo: 𝐴 = {2, 5, 6, 8} 𝑒 𝐵 = {6, 7, 8}

𝐵 ⊂ 𝐴, então o conjunto complementar será 𝑪𝑨𝑩 = 𝑨 – 𝑩 = {𝟐, 𝟓}

Propriedades da Complementação

Considere agora três conjuntos quaisquer, A, B e C. Então são verdadeiras as

seguintes propriedades:

1- 𝑪𝑨𝑩 ∩ 𝑩 = 𝜱 𝒆 𝑪𝑨𝑩 𝑼 𝑩 = 𝑨 2- 𝑪𝑨𝑨 = 𝜱 𝒆 𝑪𝑨𝜱 = 𝑨 3- 𝑪𝑨 (𝑪𝑨𝑩) = 𝑩 4- 𝑪𝑨 (𝑩 ∩ 𝑪) = 𝑪𝑨𝑩 𝑼 𝑪𝑨𝑪 5- 𝑪𝑨( 𝑩 𝑼 𝑪) = 𝑪𝑨𝑩 ∩ 𝑪𝑨𝑪

A complementação de conjuntos é uma operação unária que a cada

conjunto P faz corresponder o conjunto representado por P’ ou 𝑷 definido por:

𝑷’ = {𝒙 ∶ 𝒙 ∈ 𝑼 𝒆 𝒙 ∉ 𝑷},

onde U é o universo de definição do conjunto.

P’ diz-se o complementar de P no universo U, entao temos que :

𝑷 ∪ 𝑷’ = 𝑼

A reunião de um conjunto qualquer com o seu complementar é o universo.

Leis de De Morgan

𝒊) (𝑷 ∩ 𝑸) ‘ = 𝑷’ ∪ 𝑸’

O complementar da intersecção de dois conjuntos é igual à reunião dos

complementares dos conjuntos.

𝒊𝒊) (𝑷 ∪ 𝑸) ‘ = 𝑷’ ∩ 𝑸’

O complementar da reunião de dois conjuntos é igual à intersecção dos

complementares dos conjuntos.

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CURIOSIDADES: SETE USOS SURPREENDENTES PARA O PETRÓLEO.

O petróleo é mais, muito mais do que a matéria prima dos combustíveis de

automóveis. Na realidade dependemos pesadamente dos compostos

provenientes do petróleo, que se nos transformam mais variados produtos de

consumo.

Confira essa lista com sete usos surpreendentes da substância:

7. Batom:

Por muitos anos os cosméticos foram feitos apenas de

produtos naturais, mas, hoje, um dos principais ingredientes

de maquiagens é o petróleo. Ele é a matéria-prima de

componentes como o propileno glicol e os corantes. O

petróleo é o responsável pela fixação e pelas cores vibrantes

das maquiagens atuais

6. Painéis Solares:

A energia solar é limpa e faz com que as pessoas não usem

mais combustíveis fósseis, certo? Nem tanto. Os painéis

utilizados para capturar a luz solar são feitos de resina e

plástico – produtos baseados em petróleo. As indústrias que

produzem esses painéis estão pesquisando bio resinas para

substituir os plásticos.

5. Poliéster:

Para muitas donas de casa, roupas que não ficam

amassadas e não precisam ser passadas são de grande

ajuda. Mas isso só acontece por causa do petróleo. A

substância é usada para formar fibras de tecido em sua

camisa sintética. A parte boa é que o poliéster pode ser

reciclado. A parte ruim é que ele está bem fora de moda.

4. Chiclete:

Do que você pensava que ele era feito? Se você gosta da

duração e da textura de sua goma de mascar então

agradeça ao petróleo. As primeiras gomas de mascar

derivavam de um látex conhecido como “chicle”, mas as

atuais são feitas de polímeros – por isso os chicletes

demoram a se decompor quando você os cospe na rua.

Eles não são biodegradáveis.

Figura 2: Batom Derivado de Petróleo

Figura 3: Painéis Solares

Figura 4: Tecido De Poliéster

Figura 5: Chiclete Derivado Do Petróleo

~ 19 ~

3. Aspirina:

Sua companheira pós-ressaca também é feita de petróleo.

Pessoas as tomam para curar dores de cabeça, febre e para

se prevenir de ataques cardíacos e derrames – e o remédio

se mostrou ser um dos mais confiáveis. O famoso ácido

acetilsalicílico é um produto natural, mas outros

componentes da aspirina, como o benzeno, é derivado do

petróleo.

2. Giz de Cera:

Eles não são realmente feitos de cera. Grande choque,

certo? Pelo menos não de cera natural. Eles são formados

de parafina, a mesma substância que os surfistas usam em

suas pranchas e que produtores de maçãs passam nas frutas

para dar brilho a elas. Até mesmo o brilho do chocolate que

você come por der do petróleo.

1. Meia Calça:

Elas possuem nylon lembra? Milhões de mulheres as usam

todos os dias e mal sabem que estão se vestindo com

petróleo. O nylon é um termo-plástico desenvolvido em 1935

por um químico chamado Wallace Carothers. Hoje o nylon

está presente até nos pára-quedas.

Por Miguel Kramer, disponível em

http://hypescience.com/28404-sete-usos-surpreendentes-

para-o-petroleo/, março 2012.

Figura 6: Pílulas De Aspirinas

Figura 7: Giz De Cera

Figura 8: Meia Calça Em Nylon

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1- No gráfico abaixo (temperatura e composição) temos as faixas de denominação

de alguns dos derivados do petróleo (Ex. querosene é qualquer coisa entre 150 e

300C). Como exemplo, podemos definir dois conjuntos, o composto chamado

gasóleo atmosférico e a nafta. Dentro do conjunto do gasóleo atmosférico temos

o próprio gasóleo e o querosene. O segundo conjunto será definido pela Nafta o

qual apresenta em sua composição à nafta e o querosene:

Q (querosene)

N (nafta)

G (gasóleo)

Solução:

Temos então que a intersecção desses dois conjuntos é o querosene, pois ele

pertence à faixa de temperatura entre o gasóleo e a nafta.

Assim sendo: 𝑵 ∩ 𝑮 = 𝑸

2- Os derivados do petróleo são obtidos através do processo de refino, pela

destilação fracionada e a vácuo, e produzem tanto matérias prontos para

consumo, quanto também produtos que servirão para transformação e

acabamentos de outros.

Obtido por destilação fracionada do óleo cru, o querosene é um produto

intermediário do refino do petróleo situado entre a gasolina e o óleo diesel.

Sendo uma de suas varias características, uma ampla curva de destilação

que por sua vez oferece um ótimo poder de solvência e baixa taxa de

Figura 9: Gráfico (Intersecção)

~ 21 ~

evaporação, e ponto de fulgor adequado para

manuseio com segurança. É utilizado desde

produto de limpeza, iluminação até

combustível para aviação.

A partir dos dados obtidos no texto acima

represente o conjunto dos processos do refino e

represente um subconjunto de um desses processos:

Solução:

Seja R o conjunto dos processos do refino e S o subconjunto temos:

R = {Destilação Fracionada, Destilação a vácuo}

S = {Querosene, Gasolina, óleo diesel}

Figura 10: Caminhões Tanque. Os Caminhões Apenas Carregam As Bombas Necessárias E Os Aparatos De Pressão, Mas Não Combustível.

~ 22 ~

CAPÍTULO 2- VETORES: CONHECENDO A

MECANICA DOS FLUÍDOS.

Para entendermos com clareza a Mecânica dos Fluidos, temos que relembrar

conceitos de fluidos, assim como sua dinâmica.

FLUIDO: é uma substância amorfa, que não tem forma própria, diferentemente

dos sólidos.

Todo fluido se apresenta nas fases liquida ou

gasosa e se adequa ao formato de qualquer

recipente, esta característica é devido ao grau

de liberdade de movimento de suas moléculas.

Então, um conceito de mecânica dos fluidos

seria a ciência que trata do comportamento dos

fluidos em repouso e em movimento.

Neste capitulo abordaremos a relação

entre a mecânica dos fluidos e o conceito

de vetores integrando na pratica como a

engenharia pode se adequar a

matemática tanto no dia a dia quanto na

tecnologia.

Deste modo podemos dizer que o estudo

da mecânica dos fluidos é quesito básico

para quase todas as áreas da ciência,

principalmente para engenharia em que

as aplicações são visíveis e essenciais.

O entendimento das idéias básicas de fluidos referentes à evolução de seus

estudos durante os tempos faz-se necessário para maior clareza e

entendimento dos fenômenos que envolvem fluidos seja na natureza, ou em

máquinas.

Figura 12: Exemplo De Fluído (Água)

Figura 11: Exemplo De Sólido (Cubos De Gelo)

Figura 13: Barragem Como Exemplo De Um Fluído Escoando.

Figura 14: Avião Representando A Aerodinâmica Como Exemplo Para Uso De Mecânica Dos Fluidos

~ 23 ~

VETORES NO PLANO:

2.1- INTRODUÇÃO:

A regra do paralelogramo foi descoberta por volta de 1586, por Simon Stevin,

um engenheiro flamengo, mais conhecido como Arquimedes Holandês,

quando a partir de um problema de forças foi enunciado uma regra empírica

para se achar a soma de 2 forças aplicadas num mesmo ponto, então, a

partir desde estudo da mecânica foi proposto o conceito dos vetores.

Já em 1797, os vetores foram considerados como “Linhas Dirigidas” na obra

Ensaio sobre a representação da direção, de Gaspar Wessel, matemático

dinamarquês.

A sistematização da teoria dos vetores ocorreu no século XIX através dos

estudos do irlandês William Hamilton, do alemão Hermann Grasmann e do

físico norte-americano Josiah Gibbs.

2.2- GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS:

Certas grandezas como temperatura, pressão, massa e outras podem ser

definidas como escalares, porque graficamente elas podem ser vistas como

um ponto numa escala.

Já outras grandezas como velocidade, forças e outras precisam além de um

valor escalar, uma direção e no gráfico é representada por um segmento de

reta com seta. A essas grandezas chamamos de Vetoriais.

Deste modo um vetor é defino como uma grandeza pelo seu comprimento e

do ângulo que faz com uma referência.

2.3- DEFINIÇÕES, ETIMOLOGIA E NOTAÇÕES:

Vetor:

I- É uma tripla constituída de uma direção, um sentido e um número

não negativo.

II- È o conjunto de todos os segmentos orientados na mesma direção,

sentido e comprimento.

Imagem geométrica ou representante de um vetor:

O segmento orientado é um conjunto de pontos, ao

passo, que o vetor é um conjunto de segmentos.

Assim, cada segmento orientado é sempre a

imagem geométrica ou representante de um vetor.

~ 24 ~

Notações dos vetores:

Os vetores podem ser representados das seguintes maneiras:

I- Por uma seta em cima de uma letra latina minúscula:

Exemplo: 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , . ..

II- Por uma sobre linha numa letra latina minúscula:

Exemplo: 𝑑, 𝑒, 𝑓, . ..

III- Dois pontos que são a origem e a extremidade de um representante de

um vetor.

Exemplo: A soma do ponto A como vetor 𝑣 é o ponto B:

𝐵 = 𝐴 + 𝑣 , ou seja, 𝑣 = 𝐵 – 𝐴 e também pode ser descrita como: 𝒗 = 𝑨𝑩

IV- Por um conjunto ordenado 𝑢 = (𝑋1 , 𝑌1 , 𝑍1), onde 𝑢 = (2, 6, 8), vemos na

figura abaixo, que 𝑢 = 𝐷 − 𝑂, e como O está na origem, logo, 𝑢 = 𝐷

V- Também podem se em módulo de 𝑣 ( 𝑣 ):

Exemplo: 𝑣 = 4

VI- Vetor Nulo (0 ), esse vetor possui modulo igual a zero, com coordenadas

(0,0,0)e é representado graficamente como a origem nos sistemas de

coordenadas cartesianos.

VII- Vetor Unitário: Possui módulo igual a 1

Exemplo: então 𝑣 = 1

~ 25 ~

VIII- Versor, num vetor não nulo, o versor é o vetor unitário que tem a

mesma direção e mesmo sentido de 𝑣 .

Exemplo:

𝑣 =𝑣

3 e 𝑤 =

𝑤

4

Então: 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑣 =𝑣

𝑣

𝑣𝑒𝑟𝑠. 𝑣 𝑣

𝑣𝑒𝑟𝑠. 𝑤 𝑤

O vetor unitário coincide com seu próprio versor.

Vetor Oposto: seja um vetor 𝑨𝑩, o seu oposto é 𝑩𝑨 que pode ser indicado por

– 𝑨𝑩. Então, temos que um vetor oposto 𝒗 é representado por: − 𝒗

Exemplo: 𝒗 −𝒗

2.4- VETORES PARALELOS:

Dois vetores U e V são paralelos quando possuem mesma direção, ou seja,

suas imagens geométricas são representadas sobre uma mesma reta.

Exemplo: 𝒖

𝒗

Os vetores acima u e v, são paralelos e podem ser representados

colinearmente.

𝒖 𝒗

Vetores Equiversos e Contraversos: São vetores equiversos os que possuem

mesmo sentido e ao contrario são os contraversos.

Exemplo: 𝒖 𝒖 𝒗 𝒗

~ 26 ~

2.5- MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR:

Seja x um escalar e v, o vetor; temos que o produto deste vetor com um

real (x) é representado por 𝑥𝑣 . Com isso:

I- Se, x > 0:

Então os vetores 𝑣 e 𝑥𝑣 serão equiversos.

Exemplo: 𝑝 (dado) ½ 𝑝

5 𝑝

Se, x < 0:

Então os vetores 𝑣 e 𝑥𝑣 serão controversos.

Exemplos: 𝑝 (dado). − ½ 𝑝

− 5𝑝

Casos Particulares:

𝟎(𝒗 ) = 𝟎

𝒙𝒗 = 𝟎, 𝒔𝒆 𝒙 = 𝟎, 𝒐𝒖 𝒗 = 𝟎

(−𝟏) 𝒗 = −𝒗 (𝒒𝒖𝒆 é 𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒗 )

Propriedades:

Seja p e q escalares aleatórios e 𝑣 e 𝑤 vetores quaisquer, então:

Propriedades Associativas em Relação aos Escalares:

𝑞 (𝑝𝑣 ) = 𝑝 (𝑞𝑣 ) = 𝑝𝑞(𝑣 )

Prpriedade Distributiva em relação a Adição de Escalares:

( 𝑝 + 𝑞) 𝑣 = 𝑝𝑣 + 𝑞𝑣

Prpriedade Distributiva em relação a Adição de vetores:

(𝑣 + 𝑤 ) 𝑝 = 𝑝𝑣 + 𝑝𝑤

Se, 𝑣 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1), temos que:

𝑝𝑣 = 𝑝 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1) = (𝑝𝑥1 , 𝑝𝑦1 , 𝑝𝑧1)

~ 27 ~

2.6- VETORES COPLANARES E NÃO COPLANARES:

Os vetores (𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ), são ditos coplanares quando possuem imagens

geométricas paralelas e no mesmo plano. É importante dizer que, dois vetores

são sempre coplanares, enquanto que três ou mais vetores podem ou não

serem coplanares.

𝑢 , 𝑣 𝑒 𝑤 são coplanares

𝑢 , 𝑣 𝑒 𝑤 não são coplanares

O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor, e é coplanar a qualquer conjunto de

vetores coplanares.

2.7- ADIÇÃO DE VETORES:

Sejam dois vetores 𝑢 e 𝑣 , fixamos um ponto qualquer A do plano 𝑢 e 𝑣 , para

obtermos a soma desses vetores (𝑢 + 𝑣 ). Então, considerando 𝐵 = 𝐴 + 𝑢 e

𝐶 = 𝐵 + 𝑣 (de acordo com a figura abaixo), temos nessas condições:

𝒖 + 𝒗 = 𝑪 – 𝑨.

Por diferença de pontos: 𝑢 + 𝑣 = (𝐵 – 𝐴) + (𝐶 – 𝐵) = (𝐶 – 𝐴), em que 𝐴𝐶 é o

vetor resultante obtido da adição de 𝑢 com 𝑣 .

Geometricamente, ao somar dois vetores, com n um inteiro positivo qualquer,

fazemos a consideração das imagens dos vetores, de modo que a

extremidade se um vetor coincida com o início do outro. Dizemos então que o

vetor soma é o vetor que fecha a poligonal.

Exemplo: Representar através dos gráficos geométricos o vetor soma para os

seguintes vetores: 𝑢 , 𝑣 𝑒 𝑤 :

Dados os seguintes vetores:

~ 28 ~

a) 𝒖 + 𝒘 = ?

Solução:

b) 𝒗 + 𝒘 = ?

Solução:

c) 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 = ?

Solução:

Como foi possível observar graficamente, o vetor soma é o segmento que

fecha a poligonal, cuja origem é a origem do primeiro vetor e a extremidade é

a extremidade do ultimo vetor.

Podemos ainda ter adição de vetores sob formas triplas:

Exemplo: 𝒑 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 , 𝒒 = (𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐), então:

𝒑 + 𝒒 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐, 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐)

Propriedades:

A partir dos vetores 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 temos as seguintes propriedades?

Comutativa: 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖

Exemplo: considere a figura abaixo:

~ 29 ~

A partir da figura temos que:

1- No primeiro membro: 𝑢 + 𝑣 = (𝐵 – 𝐴) + (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 – 𝐴)

2- No segundo membro temos que: 𝑣 + 𝑢 = (𝐷 – 𝐴) + (𝐶 − 𝐷) = (𝐷 – 𝐴).

Com isso, vemos que ocorre a regra do paralelogramo, onde a diagonal do

paralelogramo construído sobre as imagens geométricas de 𝑢 e 𝑣 representa a

soma desses dois vetores. Como mostra a figura ao lado.

Associativa:

(𝒖 + 𝒗 ) + 𝒘 = 𝒖 + (𝒗 + 𝒘 )

Exemplo: considere a figura abaixo:

A partir da figura temos que:

1- No primeiro membro: (𝑢 + 𝑣 ) = (𝐵 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐷) = (𝐶 – 𝐴)

(𝒖 + 𝒗 ) + 𝒘 = (𝑪 – 𝑨) + (𝑫 – 𝑪) = (𝑫 – 𝑨)

2- No segundo membro temos que: 𝑣 + 𝑤 = (𝐶 –𝐵) + (𝐷 – 𝐶) = (𝐷 – 𝐵)

𝒖 + ( 𝒗 + 𝒘 ) = ( 𝑩 – 𝑨) + ( 𝑫 – 𝑩) = ( 𝑫 – 𝑨 )

Elemento Neutro: 𝒖 + 𝟎 = 𝒖

~ 30 ~

Elemento Oposto: Seja o vetor u, o seu oposto é dado por – 𝑢

𝒖 + (−𝒖 ) = 𝟎

Lei do Cancelamento: 𝒖 + 𝒗 = 𝒖 + 𝒘 = 𝒗 + 𝒘

2.8- SUBTRAÇÃO DE VETORES:

Sejam os vetores u e v, chamamos de diferença de vetores: 𝒖 – 𝒗 = 𝒖 + (− 𝒗 ).

Exemplo: A partir os dois casos abaixo temos que:

𝑢 – 𝑣 = ( 𝐵 –𝐴 ) – ( 𝐶 – 𝐴 ) = ( 𝐵 – 𝐶 )

𝑣 – 𝑢 = (𝐶 – 𝐴) – (𝐵 – 𝐴) = (𝐶 – 𝐵)

Através dos gráficos acima percebemos que a diferença entre vetores 𝑢 e 𝑣 é

feita quando estes se encontram na origem, deste modo, percebemos que a

subtração de vetores não é comutativa: 𝑢 – 𝑣 ≠ 𝑣 – 𝑢 .

Exemplo: Se | 𝑠 − 𝑡 | = | 𝑠 | − | 𝑡 |, então a e b tem mesma direção:

2.9- COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES:

Sejam os vetores 𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 , . . . 𝑢 𝑛 e os escalares 𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 , . . . 𝑑𝑛 , temos que a

combinação linear do vetor 𝑣 é:

𝒗 = 𝒖𝟏 𝒅𝟏 + 𝒖𝟐, 𝒅𝟐, + 𝒖𝟑 𝒅𝟑 + . . . 𝒖𝒏 𝒅𝒏

2.10- EXPRESSÃO CARTESIANA DE UM VETOR:

~ 31 ~

I- Seja um sistema cartesiano ortogonal como

a figura ao lado e seus eixos x, y e z, então,

para este sistema têm os versores definidos

por 𝑖 , 𝑗 𝑒 𝑘 para x, y e z.

𝑖 = (1, 0, 0)

𝑗 = (0, 1, 0)

𝑘 = (0, 0, 1)

E pela definição de versores vemos que:

│𝒊 │ = │𝒋 │ = │ 𝒌 │ = 𝟏

𝒊 , 𝒋 𝒆 𝒌 Constituem a base ortogonal de E³, porque é formada por vetores

unitários e mutuamente ortogonais.

II- Seja 𝑃 (𝑥 ,𝑦 𝑒 𝑧) , um ponto no espaço

tridimensional e 𝑖, 𝑗 𝑒 𝑘 os versores do sistema

cartesiano. O vetor 𝑣 = (𝑃 − 𝑂), onde sua

origem é em O e sua extremidade em P,

podendo ser expresso como combinação

linear de i, j e k pelo paralelogramo da figura

ao lado:

(𝑷 – 𝑶) = (𝑷 𝒙 – 𝑶) + (𝑷𝒚 – 𝑶) + (𝑷𝒛 – 𝑶)

E como: (𝑃𝑥 – 𝑂) = 𝑥 𝑖 (𝑃𝑦 – 𝑂) = 𝑦 𝑗

(𝑃𝑧 – 𝑂) = 𝑧 𝑘

Temos: (𝑷 – 𝑶) = 𝒗 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌

Onde esta Expressão é chamada de expressão cartesiana do vetor (𝑃 − 𝑂). O

vetor 𝑣 representa a diagonal do paralelepípedo reto cujas arestas são os

vetores coordenados 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 𝑒 𝑧𝑘

~ 32 ~

Exemplos:

𝐴 – 𝑂 = 2𝑖 𝐶 – 𝑂 = 4𝑗 (𝐺 – 𝑂) = 3𝑘

(𝐵 – 𝑂) = 2𝑖 + 4𝑗

(𝐷 – 𝑂) = 2𝑖 + 3𝑘

(𝐹 – 𝑂) = 4𝑗 + 3𝑘

(𝐸 – 𝑂) = 2𝑖 + 4𝑗 + 3𝑘

2.11- CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES:

Seja k um escalar, então dois vetores não nulos 𝑣 e 𝑢 são paralelos se e

somente se k existir:

𝒗 = 𝒌𝒖

Assim, afirmamos que 𝑣 é a expressão linear em função de 𝑢 .

Pela demonstração temos:

𝑢 𝑒 𝑣 Paralelos, então os versores só podem ser definidos pela direção:

𝒗𝒆𝒓𝒔 𝒖 = ±𝒗𝒆𝒓𝒔 𝒖 , ou

𝑣

│𝑣 │= ±

𝑢

│𝑢 │ ou, 𝑣 = ± │𝑣 │

│𝑢 │𝑢

Mas como, ±│𝑣 │

│𝑢 │ é um numero real, k, chegamos à expressão: 𝑣 = 𝑘𝑢 .

I- Vetores representados por pontos:

A regra para expressão linear de um vetor da equação acima serve também

quando é representada por pontos numa reta.

Seja 𝑢 = (𝐵 − 𝐴) 𝑒 𝑣 = (𝑃 – 𝑂) ∴ (𝑃 – 𝑂) = 𝐾 (𝐵 – 𝐴)

Exemplo: (𝑩 – 𝑨) = 𝟐 (𝑫 – 𝑪):

~ 33 ~

A B

C D

F G

(𝑫 –𝑪) = ½ (𝑩 – 𝑨)

(𝑭 – 𝑮) = −𝟑 (𝑫 – 𝑪)

(𝑩 – 𝑨) = − 𝟐/𝟑 (𝑭 – 𝑮)

Vetores representados por Triplas:

Pela definição acima 𝑣 = 𝑘𝑢 , os vetores 𝑢 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2), são

paralelos entre si, se e somente se existir o numero real k. Com isto, obtemos a

condição de paralelismo de 𝑢 𝑒 𝑣 .

𝑥2

𝑥1=

𝑦2

𝑦1=

𝑧2

𝑧1= 𝑘

Exemplo: Pela figura abaixo vemos que os vetores 𝑢 = (0,3, 6) e 𝑣 = (0, 2, 4) são

paralelos, em que 𝑢 = ( 𝐴 – 𝑂) e 𝑣 = (𝐵 – 𝑂), vemos que 𝑢 = 2 𝑣 e que em

particular os vetores 𝑢 e 𝑣 tem imagens geométricas no plano xz.

2.12- CONDIÇÕES DE COPLANARIDADE DE VETORES:

O vetor v é coplanar aos vetores 𝑢 1𝑒 𝑢 2, que por sua vez são não nulos e

paralelos entre si, se:

𝒗 = 𝒌𝟏𝒖 𝟏 + 𝒌𝟐𝒖 𝟐,

Onde esta expressão nada mais é que uma combinação linear de v em

função de 𝑢1 e 𝑢2 , sendo k1 e k2 escalares.

~ 34 ~

Dados os vetores coplanares 𝑣 , 𝑢1 𝑒 𝑢2 , e a

imagem geométrica de 𝑣 = (𝐵 – 𝐴) da

figura ao lado.

Através da origem em A, conduzimos uma

paralela ao vetor 𝑢1 e pela extremidade

em B uma paralela ao vetor 𝑢2 . E em C

temos o ponto de intersecção entre as

duas paralelas.

𝒌𝟏𝒖𝟏 = (𝑪 – 𝑨)

e

𝑲𝟐𝒖𝟐 = (𝑩 – 𝑪) ∴ (𝑩 − 𝑨) = (𝑪 – 𝑨) + (𝑩 – 𝑪)

Substituindo: 𝑣 = 𝑘1𝑢1 + 𝑘2𝑢2 , obtemos a equação da combinação linear.

I- Coplanaridade de vetores representados por tripla:

Sejam 3 vetores: 𝑣1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑣2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 e 𝑣3 𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 , temos que se um

deles forem combinação linear do outro eles são coplanares e o seu

determinante tem que ser zero.

𝑥1 𝑦1 𝑧1𝑥2 𝑦2 𝑧2𝑥3 𝑦3 𝑧3

= 0

Exemplo: Os versores 𝑝 = (2, 3, 5), 𝑞 = (3, 0, −1) e 𝑑 = (7, 6, 9), são coplanares,

porque seu determinante será zero.

2 3 53 0 −17 6 9

= 0

2.13- COMBINAÇÃO LINEAR DE 4 VETORES:

~ 35 ~

A partir de um espaço tridimensional, sejam

3 vetores : 𝑢 1, 𝑢 2 , 𝑢 3, que são não nulos e não

coplanares, então qualquer vetor v pode ser

expresso como combinação linear de

𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3. Ou seja:

𝒗 = 𝒌𝟏𝒖 𝟏 + 𝒌𝟐𝒖 𝟐 + 𝒌𝟑𝒖 𝟑

Onde podemos provar esse resultado a seguir:

A partir do plano tridimensional E³, fixemos um ponto A qualquer e tracemos o

plano 𝛼 (alfa), que é paralelo a 𝑢 1 𝑒 𝑢 2 e que passa pelo ponto A. E (B – A), a

imagem geométrica do vetor 𝑣 .

Através de B, conduzimos uma paralela ao veto, 𝑢 3 interceptando 𝛼 no ponto

C.

Do triangulo ABC, temos: 𝐵 – 𝐴 = 𝐶 – 𝐴 + 𝐵 – 𝐶 1

Como (𝐶 – 𝐴) é coplanar a 𝑢 1 𝑒 𝑢 2:

(𝐶 – 𝐴) = 𝑘1𝑢 1 + 𝑘2𝑢 2 2

Como (𝐵 – 𝐶) é paralelo a u3:

𝐵 – 𝐶 = 𝑘3𝑢 3 3

Agora, usando 2 e 3 em 1 temos que:

𝒗 = 𝒌𝟏𝒖 𝟏 + 𝒌𝟐𝒖 𝟐 + 𝒌𝟑𝒖 𝟑

Exemplo: No tetraedro 𝑂𝐴𝐵𝐶, M é o ponto médio de 𝐵𝐶.

Exprimir (𝑀 – 𝐴) como combinação linear de:

(𝐴 – 𝑂), (𝐵 – 𝑂) 𝑒 (𝐶 – 𝑂)

Solução:

(𝑀 – 𝐴) = ½ (𝐵 – 𝑂) + ½ (𝐶 – 𝑂) + (𝐴 – 𝑂)

~ 36 ~

2.13- ÂNGULO DE 2 VETORES:

O ângulo 0º ≤ 𝜃 ≤ 180º de dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 é o ângulo formado entre suas

direções, levando-se em consideração os sentidos de 𝑢 𝑒 𝑣 .

0º ≤ 𝜃 ≤ 90º

90º ≤ 𝜃 ≤ 180º

São Ortogonais

𝜃 = 90º

𝑢 𝑒 𝑣 São equiversos 𝜃 = 0º

𝑢 𝑒 𝑣 São contraversos 𝜃 = 180º

0º ≤ 𝜃 ≤ 90º

2.14- MULTIPLICAÇÃO INTERNA OU ESCALAR:

Essa multiplicação é representada pelo símbolo 𝑢 . 𝑣 , onde essa notação foi

devida ao físico norte americano J. W. Gibss.

O produto interno ou escalar entre dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 , é o numero escalar e

pode ser definido da seguinte forma:

𝒖 . 𝒗 = │𝒖 │. │𝒗 │𝒄𝒐𝒔 𝜽

Em que a medida dos ângulos formados entre os dois vetores é de

Sinal do Produto Interno:

Quando u.v > o significa que cos 𝜽 > 0, isso ocorre quando 𝜃 é um ângulo

agudo. Se v < 0, então 𝜃 será ângulo obtuso.

~ 37 ~

𝑢 . 𝑣 > 0 𝑢 . 𝑣 < 0

I- Nulidade de o Produto Escalar:

𝑢 . 𝑣 = 0

Um dos vetores for nulo

Os dois vetores forem ortogonais, pois cos 90° = 0

II- Módulo de um Vetor:

O modulo de um vetor u pode ser calculado pelo produto interno, pois:

𝑢 . 𝑢 = │𝑢 │. │𝑢 │𝑐𝑜𝑠0º

Em que:

│𝑢 │² = │𝑢 │. │𝑢 │ ∴ │𝒖 │ = 𝒖 . 𝒖

III- Ângulo de dois Vetores:

Para calcular o ângulo entre dois vetores, basta isolar o 𝑐𝑜𝑠𝜽 na fórmula do

produto escalar.

𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑢 . 𝑣

│𝑢 │. │𝑣 │

IV- Interpretação Geométrica de o produto Escalar:

Na figura ao lado, temos que 𝐴’𝐵’ é a medida

algébrica do vetor 𝑣 , sobre a direção do vetor

𝑢 , ou seja,

𝑨’𝑩’ = 𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖 𝒗 1

Então, do triangulo retângulo 𝐴𝐵’𝐵, temos:

~ 38 ~

𝐴’𝐵’ = 𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = │𝑣 │𝑐𝑜𝑠 𝜃

Seja u* o versor do vetor u, logo temos que a igualdade acima não se altera ao

multiplicá-la por │𝑢 ∗│:

𝐴’𝐵’ = │𝑢 ∗││𝑣 │𝑐𝑜𝑠 𝜃

Onde:

│𝒖 ∗│ = 𝒖

│𝒖 │

O que corresponde a equação 1, pois:

𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖 𝒗 = 𝒖 . 𝒗

│𝒖 │

Exemplo: Seja │𝑢 │ = 4 𝑒 │𝑣 │ = 6 𝑒 𝑢 𝑣 = 60º, determine a medida da projeção

de v sobre u:

𝑢 . 𝑣 = │𝑢 │. │𝒗 │ . 𝑐𝑜𝑠 60º ∴

𝑢 . 𝑣 = 4 . 6 . ½ = 12 ∴

𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖 𝒗 = 𝒖 . 𝒗

│𝒖 │=

𝟏𝟐

𝟒= 𝟑

V- Propriedade do Produto Escalar:

1- Comutativa: 𝑢 . 𝑣 = 𝑣 . 𝑢

2- Associativa em relação à multiplicação por um escalar K:

𝐾 (𝑢 . 𝑣 ) = 𝐾𝑢 . 𝑣 = 𝑢 . 𝐾𝑣

3- Distributiva em relação à adição de vetores:

𝑢 . (𝑣 + 𝑤 ) = 𝑢 . 𝑣 + 𝑢 . 𝑤

~ 39 ~

CURIOSIDADES: POR QUE O AVIÃO VOA?

Ah, essa é fácil, é porque ele tem asas hora!

Figura 15: Forças Existentes Na Asa Do Avião

Sim amigo, é verdade é porque ele

tem asas, e sem elas a aeronave

não poderia decolar, mas

fisicamente falando, por que o

avião voa?

Ah, ai eu não sei não...

Bom, os aeródinos (aeronaves mais

pesadas do que o ar), voam

seguindo a 3ª Lei de Newton.

Tá, mas o que é útil para o avião?

Calma, antes vamos determinar as forças em um avião, sendo elas:

Arrasto: é dado pelas resistências ao avanço do avião, bem como: vento de

proa, superfícies, etc.

Sustentação: é gerada pelo movimento do avião através do ar, e a diferença

de pressão entre o extradorso e intradorso.

Peso: é a força que a gravidade exerce sobre o avião.

Tração: Para superar o arrasto, a maioria de aviões tem algum tipo de

propulsão para gerar uma força chamada tração. A intensidade da força de

tração depende de muitos fatores associados com o sistema de

propulsão. (motores)

A asa do avião é responsável por gerar a sustentação no avião:

~ 40 ~

Como podemos ver, a asa do avião (vista de perfil) possuí um

comprimento maior em cima do que em baixo.

Consequentemente na parte de inferior da asa passa ar com

menor velocidade do que na parte superior, isso acontece

porque a parte de cima é curva, aumentando a distância

percorrida pelo ar e consequentemente sua velocidade, pois

o tempo é constante. (Fórmula da velocidade: 𝑉 = 𝑆/𝑡)

Podemos utilizar o princípio de Bernoulli que descreve o

comportamento de um fluido movendo-se ao longo de uma

linha de corrente e traduz para os fluidos o princípio da

conservação da energia.

Seguindo a fórmula: 𝑣2𝜌

2 + 𝑃 + 𝜌𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒

Onde:

V = velocidade do fluido na seção considerada

g = aceleração gravitacional

z = altura na direção da gravidade desde uma cota de referência.

P = pressão ao longo da linha de corrente.

ρ = densidade do fluido.

Isolando P (pressão), veremos que a pressão varia indiretamente com a

Velocidade, ou seja, onde a velocidade é maior, a pressão é menor, e onde a

velocidade é menor, a pressão é maior.

Podemos concluir que na parte de cima a pressão é menor do que em baixo.

Percebe-se então que o avião voa devido à sustentação produzida pelas asas

e a tração produzida pelos motores. (Adaptado de Espaço controlado,

escrito por Igor Ponce, disponível em:

http://espacocontrolado.blogspot.com.br/2011/06/por-que-o-aviao-voa.html

acessado em 24/07/2012).

Figura 17: Forças Que Atuam No Avião

Sabemos que 𝑭 = 𝒎. 𝒂, e sabemos

também que 𝑷 = 𝑭/𝑨, se a Pressão é

menor, consequentemente a força será

menor, pois a área é constante, então se

na parte superior a pressão é menor, a

força exercida para baixo (Peso) e menor.

Já a normal (sustentação) será maior, pois

a pressão em baixo é maior,

consequentemente exerce uma força

maior para cima.

Figura 16: Aplicação Da 3º Lei De Newton

~ 41 ~

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1- O vinho resultante da fermentação do mosto

possui uma composição complexa, com elementos

de natureza líquida, sólida e gasosa.

Em relação à volatilidade, as substâncias

componentes do vinho podem ser dispostas em

dois grupos: voláteis e fixas.

As substâncias voláteis são representadas pelo

álcool etílico, água, alcoóis superiores, entre outros.

O extrato do mosto, células de leveduras e

bactérias constituem as substâncias sólidas e,

conseqüentemente, fixas.

Para separar o álcool dos demais componentes do

vinho, empregam-se várias destilações (Figura 18)

especiais, que são baseadas na diferença do ponto

de ebulição das substâncias voláteis.

A primeira operação de destilação é a purificação do vinho (também

chamada de depuração), com a eliminação parcial de impurezas

(compostos) como aldeídos e ésteres. Esta operação é realizada na coluna de

depuração, de onde resultam o vinho depurado e uma fração denominada

álcool bruto.

Com base no texto acima, e seja 𝒄 o vetor da coluna de destilação cujas

dimensões são 28 x 3 m, calcule a as projeções do vetor 𝑐 nos eixos x e y.

Considere: |𝒄 | = c = 28 m.

Solução:

Sabemos que Para cada vetor, teremos duas projeções, uma no

eixo x (horizontal) e outra no eixo y (vertical) e que projetar um vetor significa

Figura 18: Colunas De Destilação Para Fabricação De Vinho

~ 42 ~

determinar as componentes cartesianas desse vetor. (comprimento da

"sombra" no eixo x e y).

Para poder determinar o comprimento da "sombra" do

vetor 𝑐 no eixo x, é preciso "olhar" o vetor de cima para

baixo até o eixo x e para determinar o comprimento da

"sombra" do vetor 𝑐 no eixo y, devemos "olhar" o vetor de

frente, da direita para a esquerda até o eixo y. Deste

modo temos que:

Módulo de 𝒄 = |𝒄 | = c = 28 m.

Módulo: |𝒄𝒙 | = 0 m

Logo:

𝒂𝒙 = 𝟎 𝒎

𝒂𝒚 = 𝟐𝟖 𝒎

Onde, Vetor paralelo ao eixo = medida real do vetor.

Vetor ortogonal ao eixo = zero.

2- Água, um fluido incompressível, escoa através de uma caixa retangular como

é visto na figura abaixo.

Essa caixa possui áreas de escoamento que são

𝐴1 = 0,05 𝑚2, 𝐴2 = 0,01 𝑚2 𝑒 𝐴3 = 0,06 𝑚2.

A velocidade média de entrada na área 1 é 4 m/s, na área 2 é 8 m/s (também

de entrada). Encontre a velocidade da área 3. O ângulo que a normal à área

da saída faz com a parede é de 60º.

Figura 19: Volume De Controle De Escoamento De Um Fluído

Solução:

A equação de continuidade é uma consequência da aplicação

da conservação da massa no caso do escoamento de um fluido

incompressível.

𝑎 x

𝑐 y

~ 43 ~

Assim, para determinar a velocidade da área 3 usaremos a equação da

continuidade, onde em regime permanente temos a seguinte equação:

𝝆𝑽 𝒏 𝒅𝑨 = 𝟎

Ou seja, a equação da continuidade pode ser representada por:

𝑉𝐴 = 𝑉𝐴 ∴ −(𝑽𝟏

𝑛

𝑠𝑎𝑒𝑚

𝑛

𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚

𝑨𝟏) – 𝑽𝟐𝑨𝟐 + 𝑨𝟑𝑽𝟑) = 𝟎

Como podemos considerar 𝝆 constante ao longo do fluido temos que ele é

diferente de zero por isso o desconsideramos da integral obtendo assim a

equação da continuidade representada acima.

As velocidades 1 e 2 foram definidas como de entrada e o ângulo entre o

vetor velocidade e a normal à área é 180º.

Com isso a velocidade 3 é:

𝑽𝟑 = 𝑽𝟏𝑨𝟏 + 𝑽𝟐𝑨𝟐

𝑨𝟑 ∴

𝑽𝟑 = 𝟒, 𝟔𝟕 𝒎/𝒔

Vetorialmente obtemos as seguintes expressões:

𝑉3,𝑦 = 𝑉3𝑠𝑒𝑛𝜃 = 4,67 ∗ 𝑠𝑒𝑛 60º = 𝟒, 𝟎𝟒 𝒎/𝒔

𝑉3,𝑥 = − 𝑉3 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 4,67 ∗ cos 60º = −𝟐, 𝟑𝟑 𝒎/𝒔

Como pudemos observar o componente vertical dessa velocidade é

negativo, ou seja, está no sentido negativo do eixo vertical.

~ 44 ~

CAPÍTULO 3- ESTUDO DA RETA:

CONDUÇÃO DE CALOR E A RETA.

A título de conhecimento iremos introduzir a condução térmica ao estudo da

reta, onde essa condução térmica nada mais é que um tipo de transmissão de

calor. Mas como isso é possível?

Bem, a transmissão de calor ocorre quando dois ou mais corpos que estão em

temperaturas diferentes são colocados em contato, ou em um mesmo local,

fazendo com que a energia térmica de um corpo seja transferida para outro.

Essa transmissão acontece em muitas ocasiões do dia a dia tal como:

aquecimento de água numa chaleira, a utilização de garrafas-termos para

evitar o rápido arrefecimento de líquidos quentes, arrefecimento do radiador

do carro pelo ar ambiente circulante, sistemas de ar condicionado, entre

outros.

Esta transferência de calor pode acontecer de três maneiras diferentes, por

condução, convecção ou irradiação.

CONDUÇÃO TÉRMICA:

Trata-se da transmissão de calor molécula a molécula, consequentemente

havendo necessidade de um meio material,

ocorrendo sempre de um ponto de maior potencial

energético (maior temperatura) para um de menor

potencial (menor temperatura).

A condução é expressa pela Lei de Fourier que verifica

experimentalmente que a quantidade de calor que

flui através de um elemento opaco é função do

material que o constitui, da espessura do elemento e

do gradiente de temperatura. A grandeza física que

caracteriza se um material é melhor ou pior condutor

de calor chama-se condutibilidade térmica (k). A

figura ao lado ilustra o processo de transmissão de

calor por condução 𝑞 = − 𝑘 ∆𝑇

𝐿 , onde q é intensidade

de fluxo de calor, em W/m2, ∆𝑻 é a diferença de

temperatura entre exterior e interior, em 0C, k é a

condutibilidade térmica do material, em W/m. 0C e L é a espessura da parede,

em m.

Quando temos a condução de calor em estado permanente de uma

dimensão, sem geração de calor e numa parede plana obtemos a seguinte

expressão:

𝒅𝟐𝑻

𝒅𝒙𝟐 = 𝟎

Que integrando duas vezes obtemos a seguinte expressão:

𝑻 𝒙 = 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐

~ 45 ~

Assim, percebemos a relação da equação da reta 𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝑩 com a equação

da condução de calor em regime permanente e vemos com isso, como é

possível uma aplicação da engenharia na matemática.

3.1- Introdução:

O significado da reta na matemática é um objeto geométrico infinito a uma

dimensão. Para se ter uma bem definida num plano, é preciso conhecer dois

dos seus infinitos pontos, ou seja, com dois pontos conhecidos da reta é

possível identificar sua equação.

Também, podemos identificar uma reta conhecendo um de seus pontos e

pelo seu coeficiente angular.

Uma reta pode ser construída em três posições que são:

Horizontal, vertical e inclinada como é visto respectivamente na figura abaixo:

Duas ou mais retas podem apresentar as seguintes posições:

Concorrentes, paralelas, segmento de reta e semi-reta, como é visto na figura

abaixo:

Onde temos que:

As concorrentes apresentam um ponto em comum porque se cruzam.

As paralelas não apresentam ponto em comum.

Os segmentos de retas são limitados por

dois pontos na reta, em que a parte

entre os pontos P e Q são chamados

segmento de reta.

As semi-retas apresentam início numa

ponta e são infinitas no outro sentido.

~ 46 ~

3.2. Coeficiente Angular (m):

Seja a reta 𝒖 no plano Xe Y, seu coeficiente

angular, ou seja, a inclinação da reta 𝒖 é

dada pela tangente do ângulo 𝛼, que a

reta forma com o eixo X. Desta forma temos

que: 𝒎 = 𝒕𝒈 𝜶

3.2.1- Determinação do Coeficiente Angular:

1º Caso: Com dois pontos distintos

Seja a reta 𝒖 no plano X e Y e dados os pontos A (x1, y1) e B (x2, y2), temos que:

𝒎 = 𝒕𝒈 𝜶 = 𝚫𝒚

𝚫𝒙=

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

2º Caso: Equação da Reta

Seja a reta 𝒖 cuja equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, com 𝑏 ≠ 0, temos que:

𝒎 = − 𝒂

𝒃

3º Caso: Com Ângulo de Inclinação

Seja a reta 𝒖 com ângulo de inclinação 𝜶, temos que:

𝒎 = 𝒕𝒈 𝜶

Exemplo: Calcule o coeficiente angular dos itens abaixo:

a) 2𝑥 + 6𝑦 + 8 = 0 b)

c) 𝐴 = (2,6) 𝑒 𝐵 = (4,9)

Solução:

~ 47 ~

a) 𝑚 = − 𝑎

𝑏=

2

6= 0,33

b) 𝑚 = 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑏 135º = −1

c) Onde, a = (x1, y1) e B = (x2, y2)

𝑚 = Δ𝑦

Δ𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

9 − 6

4 − 2 =

3

2 = 1,5

3.3. Equação Geral da reta:

As retas do plano cartesiano são representadas pela equação na forma

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎, onde a, b, c reais, a e b não nulos.

3.4. As formas da Equação da reta:

3.4.1. Equação Reduzida da Reta:

A partir da equação reduzida da reta podemos visualizar seus coeficientes

angular e linear que cortam o eixo y, cujo modelo é mostrado na figura

abaixo:

Sabendo que:

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝟏

Se 𝐴(0 , 𝑎) for conhecido logo:

𝑦 − 𝑎 = 𝑚 𝑥 − 0 ∴

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒂

Seja 𝒚 = 𝒎 𝒙 + 𝒂, a equação reduzida da reta temos que:

𝒎 = coeficiente angular

𝒂 = coeficiente linear

Seja a reta 𝒖: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎, então toda reta não vertical pode ser escrita

como abaixo:

𝑢: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ∴

~ 48 ~

Sabendo que: 𝒎 = − 𝒂

𝒃, que é o coeficiente angular e que −

𝒄

𝒃, representa o

coeficiente linear da reta 𝑢.

Exemplo: Escreva a equação 5x – 3y -9 = 0 na forma reduzida da equação da

reta:

Solução:

3𝑦 = 5𝑥 − 9 ∴

𝑦 = 5𝑥

3−

9

3 ∴ 𝒚 =

𝟓𝒙

𝟑− 𝟑

𝑚 = − 5

3

3.4.2. Equação Segmentária da Reta:

Na equação segmentaria temos uma fácil visualização dos interceptos

da reta nos eixos x e y, como são visto na figura abaixo:

A partir da equação da reta abaixo, substituímos os pontos A e B:

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 (𝒙 − 𝒙𝟏 )

𝒚 − 𝟎 = 𝒃 − 𝟎

𝟎 − 𝒂 𝒙 − 𝒂 ∴

𝒚 = − 𝒃

𝒂 𝒙 − 𝒂 ∴

𝒚 = − 𝒃

𝒂 𝒙 + 𝒃 ∴

𝒚 + 𝒃

𝒂 𝒙 = 𝒃 ∴

~ 49 ~

Dividindo tudo por b temos:

𝒚

𝒃+

𝒃𝒙

𝒂𝒃=

𝒃

𝒃 ∴

𝒙

𝒂+

𝒚

𝒃= 𝟏 𝒄𝒐𝒎 𝒂 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎

Exemplo: Escreva a equação 3𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0 na forma da equação

segmentária da reta:

Solução: 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟖 ∴ dividindo tudo por 8 temos:

𝟑𝒙

𝟖−

𝟐𝒚

𝟖= 𝟏

Onde a intercepta o eixo x e b intercepta o eixo y.

3.4.3. Equação Paramétrica da Reta:

As equações paramétricas são equações equivalentes à da geral da reta,

onde agora temos 𝒙 = 𝒇 𝒕 𝒆 𝒚 = 𝒈 (𝒕), que irão relacionar as coordenadas x e y

da reta com um parâmetro t.

Exemplo: Seja 𝒙 = 𝒕 + 𝟓

𝒚 = − 𝒕 + 𝟕 , onde 𝒕 ∈ 𝕽, são equações paramétricas de uma

reta s. determine a equação dessa reta:

Solução: para se obter a equação geral da reta s, a partir das retas

paramétricas acima é preciso eliminar o parâmetro t das duas equações:

𝑥 = 𝑡 + 5 ∴ 𝑡 = 𝑥 − 5

Em seguida substituímos o valor de t na equação em y:

𝑦 = − 𝑥 − 5 + 7 ∴

𝑦 = −𝑥 + 12 ⇒ 𝒙 + 𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎

Que é a equação geral da reta s.

~ 50 ~

3.5. Determinação da Equação da Reta:

3.5.1. Por dois pontos Distintos:

Na figura abaixo temos os pontos conhecidos da reta s: 𝐴 (𝑥𝑎 , 𝑦𝑎) e

𝐵 𝑥𝑏 , 𝑦𝑏 que são representados no plano cartesiano, com coordenadas

aleatórias, porque a equação obtida será usada como modelo para poder

obter a equação geral de uma reta qualquer, em que 𝑃 (𝑥, 𝑦) é um ponto

qualquer na reta.

Pela condição de alinhamento de 3 pontos podemos escrever da seguinte

forma:

𝑥 𝑦 1𝑥𝑎 𝑦𝑎 1𝑥𝑏 𝑦𝑏 1

= 0

Ao resolver o determinante temos a seguinte equação:

𝑦𝑎 − 𝑦𝑏 𝑥 + 𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 𝑦 + 𝑥𝑎 . 𝑦𝑏 + ( 𝑥𝑏 . 𝑦𝑎 ) = 0 (𝐼)

Fazendo:

𝑎 = 𝑦𝑎 − 𝑦𝑏

𝑏 = 𝑥𝑎 − 𝑥𝑏

𝑐 = 𝑥𝑎 . 𝑦𝑏 + ( 𝑥𝑏 . 𝑦𝑎 )

Substituindo na equação (𝐼) temos:

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎

Que é a equação geral da reta s.

O coeficiente angular da reta s pode ser calculado pelos pontos 𝐴 𝑒 𝑃 ou 𝐵 𝑒 𝑃,

deste modo temos:

𝑚𝐴𝑃 = 𝑚𝐵𝑃 ∴

𝑦 − 𝑦𝑎

𝑥 − 𝑥𝑎=

𝑦𝑏 − 𝑦𝑎

𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 ∴

~ 51 ~

𝒚 − 𝒚𝒂 = 𝒚𝒃 − 𝒚𝒂

𝒙𝒃 − 𝒙𝒂 ( 𝒙 − 𝒙𝒂 )

3.6. Por Um Ponto E O Coeficiente Angular:

Seja 𝐶 𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 , um ponto qualquer da reta s e 𝑚𝑐 , o coeficiente angular,

temos que:

𝑚𝑐 = 𝑡𝑔 𝛼 = ∆𝑦

∆𝑥 ∴

𝑚𝑐 = 𝑦 − 𝑦𝑐

𝑥 − 𝑥𝑐 ∴

𝒚 − 𝒚𝒄 = 𝒎𝒄 ( 𝒙 − 𝒙𝒄 )

Seja 𝐶 𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 o ponto genérico do plano.

CURIOSIDADES: O Zero absoluto

No estudo da termodinâmica a terceira lei é uma das mais curiosas, pois ela

trata sobre o zero absoluto. De acordo com essa lei, também conhecido

como teorema de Nernst, a entropia de todos os corpos tende a zero quando

a temperatura tende ao zero absoluto. De forma mais simples pode-se dizer

que o zero absoluto é a menor temperatura que qualquer coisa pode atingir

no universo.

Qualquer átomo ou molécula que

chegar a zero da escala Kelvin (0K ou -

273,15 °C) ficaria imóvel. Mas isso não

passa de uma teoria, já que não foi

possível atingir a temperatura nem

mesmo em laboratório – o recorde de

aproximação está em 0,000000000001K.

Entretanto cientistas estão cada vez mais curiosos sobre esta temperatura pois

em experiências foi descoberto que em baixas temperaturas um corpo pode

~ 52 ~

passar por três efeitos colaterais: a supercondutividade, a superfluidez e a

condensação de Bose-Einstein.

Para a engenharia a supercondutividade adquirida ao chegar ao zero

absoluto permite os materiais conduzir corrente elétrica sem resistências e nem

perdas de energia, criando um campo magnético que seria capaz de levitar

um imã. Suas aplicações estão desde a transmissão de energia elétrica à

criação de chips cada vez menores e mais rápidos no processamento de

dados.

Já a superfluidez, com a ausência de resistência mecânica, permitiria que um

líquido subisse pelas paredes de um copo. A última teoria, a de Bose-Einstein, é

a de que o comportamento da matéria muda radicalmente – um corpo

composto de diversas partículas agiria como um condensado, ou seja, como

um único átomo gigante. (Fonte extraída do site:

http://acerteinamosca.blogspot.com.br/2012_07_01_archive.html, postado

por: Rodrigo Lucas, acessado em: 17/12/2012)

http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAV-QAG/transferencia-calor

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/

capitulos/rcap51.html#prob1

http://www.warlisson.com.br/exercicios/exercicios-sobre-equacao-

geral-da-reta

http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-

resolvidos-de-fisica/transmissao-de-calor

http://wwwusers.rdc.puc-

rio.br/wbraga/fentran/transcal/resolvidos/cap5/quinta.htm

~ 53 ~

2- (U.Amazonas-AM) Temos uma barra de chumbo de comprimento 40 cm e

área de seção transversal 10 cm² isolada com cortiça; um termômetro fixo na

barra calibrado na escala Fahrenheit, e dois dispositivos A e B que

proporcionam, nas extremidades da barra, as temperaturas correspondentes

aos pontos do vapor e do gelo, sob pressão normal, respectivamente.

Considerando a intensidade da corrente térmica constante ao longo da

barra, determine a temperatura registrada no termômetro, sabendo que ele se

encontra a 32 cm do dispositivo A. Dado: coeficiente de condutibilidade

térmica do chumbo = 8,2 · 10-2 · cal cm² °C s e lembrando que a temperatura

de fusão da água na escada Fahrenheit é 32F e a de vapor 212F.

Solução

O fluxo de calor através da barra é constante, assim os fluxos através das

partes anteriores e posteriores ao termômetro são iguais, escolhendo o ponto

onde esta o termômetro como referencia temos:

𝑞1 = 𝑞2 ∴ 𝐾 𝐴 ∆𝑇

𝐿1=

𝐾 𝐴 ∆𝑇

𝐿2 ∴

𝐾 𝐴 𝑇1𝐴 − 𝑇2𝐴

𝐿1 =

𝐾 𝐴 𝑇1𝐵 − 𝑇2𝐵

𝐿2

Podemos cortar o k e a área A que são iguais.

(𝑇 – 32)/8 = (212 – 𝑇)/32 ⇒

4𝑇 – 128 = 212 – 𝑇 ⇒

5𝑇 = 340 ⇒

𝑇 = 68 °𝐹

Resposta: 68 °F

http://www.desconversa.com.br/fisica/tag/exercicios-transferencia-de-calor/

~ 54 ~

3- Um aparelho de ar-condicionado precisa manter uma sala de 15m de

comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22ºC. A espessura das

paredes da sala é de 25 cm e feitas de tijolos, cuja condutividade

térmica K= 0,14 Kcal/h. m ºC. A face externa das paredes pode estar a

40º C em um dia de verão, determine o calor a ser extraído da sala pelo

aparelho de ar-condicionado.

Solução:

Para o cálculo da área de transferência de calor desprezamos as áreas do

teto e piso, onde a transferência de calor é desprezível. Desconsiderando a

influência das janelas, a área das paredes da sala é:

Para calcular o fluxo de calor, usamos a equação 𝒒 = 𝑲 𝑨

𝑳 (𝑻𝟏 − 𝑻𝟐) descrita no

exemplo anterior.

http://eletricistamazinho.files.wordpress.com/2011/03/apostila-transef-de-calor.pdf

~ 55 ~

1- Uma parede de um material qualquer é constituída com 0,3m de

largura, 5m de comprimento e 3m de altura e seu coeficiente de

condutividade térmica K= 0,9 W/mºC. A temperatura da superfície

interna é de 16 ºC e a taxa de transferência de calor 630 w. A partir

dessas condições, determine temperatura externa da parede deduzida

pela expressão de distribuição da temperatura 𝑇(𝑋), através da

equação da reta 𝑇 𝑋 = 𝑇1 − 𝐿

𝐾𝐴 𝑞

Dados: Equação do fluxo de calor:

𝑞 = −𝐾𝐴∆𝑇

∆𝐿

Solução: A partir da equação do fluxo de calor podemos obter a equação

da reta para distribuição da temperatura:

𝑞 = −𝐾𝐴∆𝑇

∆𝐿 ∴ 𝑞𝐿 = 𝐾𝐴𝑇1 − 𝐾𝐴𝑇2 ∴ 𝑇2 = 𝑇1 −

𝐿

𝐾𝐴 𝑞

Onde esta ultima equação representa a equação da reta:

Deste modo a temperatura externa na parede é :

𝑇2 = 𝑇1 − 𝐾𝐴

𝐿 𝑞 ∴ 𝑇2 = 16 −

0,3

0.9 ∗ 15∗ 630 = 𝟐 °𝑪

~ 56 ~

A partir dessa equação também é possível fazer um gráfico para

demonstrar o comportamento linear da temperatura em função do fluxo de

calor:

~ 57 ~

CAPÍTULO IV: CIRCUNFERÊNCIAS E CÔNICAS

Cônicas, o que são e onde usar!

O interesse pelo estudo das cônicas é de relevada importância desde a

antiguidade. De fato, estas curvas desempenham um papel importante em

vários domínios da física, incluindo a astronomia, na economia, na engenharia

e em muitas outras situações. Vejamos então algumas situações onde estas

curvas aparecem:

O som emitido por um avião a jato supersônico tem a

forma de um cone. As linhas propagação do som, ao

chocar-se com a Terra vão formar uma curva cônica.

Assim, dependendo da inclinação do avião relativamente

à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hipérboles.

Se girarmos o copo com um movimento rotativo sobre si

próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um

parabolóide. Esta técnica é frequentemente usada para

se obter este tipo de superfície.

Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do

sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o

sol num dos focos. Também os satélites artificiais

enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas.

Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm

órbitas elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os

quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a

sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta. Mas isso

não impede a existência de satélites com esta

trajetória.

A superfície formada pela água dentro de um copo é

elíptica, sendo circular apenas no caso em que o

copo está direito, isto é, está

alinhado com o nível, na horizontal.

A partir das propriedades das parábolas, os engenheiros civis

construíram pontes de suspensão parabólica. Se imaginarmos os

cabos que prendem o tabuleiro da ponte como raios de luz,

facilmente verificamos que o cabo principal, aquele que passa

pelos pilares da ponte, tem forma de uma parábola.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/aplicacoes.htm#Em

Engenharia e Arquitectura

~ 58 ~

4.1- Introdução:

As cônicas na geometria são curvas geradas na intersecção de um plano que

atravessa um cone, por isso temos a origem de seu nome. Através de uma

superfície de um cone podemos perceber a existência de quatro tipos de

intersecção:

Elipse: a cônica obtida através da interseção de um plano que atravessa

a superfície de um cone obliquamente à base do mesmo;

Parábola: é a cônica também definida na intersecção de um plano que

penetra a superfície de um cone e também a circunferência da base;

Hipérbole: é a cônica definida na interseção de um plano que penetra

um cone paralelo ao seu eixo;

Circunferência, que é obtida através da intersecção de um plano que

seja paralelo à base do cone.

As cônicas; em A temos a parábola, em B na parte de baixo temos a

circunferência e na parte de cima a elipse e em C temos a hipérbole.

http://pt.scribd.com/doc/52284844/apostila-geometria-analitica

4.1.1. Lugar geométrico

É um conjunto de pontos caracterizados por uma propriedade. Uma figura é um

lugar geométrico se:

Todos os seus pontos possuem a propriedade;

Só os seus pontos possuem essa propriedade.

Como exemplo de lugar geométrico temos a Circunferência

4.2. ELIPSE

~ 59 ~

A elipse é o lugar geométrico tal que seja constante a soma de suas distâncias

em relação a dois pontos fixos, denominados focos (F1 e F2). O circulo é um

caso especial de elipse.

A elipse é o nome dado ao lugar geométrico dos pontos do plano tais que a

soma das distâncias de qualquer ponto desse lugar geométrico a dois pontos

fixos, chamados focos, é constante e igual a 2a. Abaixo listaremos seus

principais elementos:

A elipse tem dois focos (F1 e F2), que no caso do círculo são sobrepostos. O

segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o

segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular

a ele chama-se eixo menor.

Centro: o ponto (Xo, Yo)

Eixo maior: o segmento AD = 2a

Eixo menor: o segmento BC = 2b

Distância focal: a distância entre os focos Fi e F2 = 2c

Relação notável: a2 = b2 + c2

Excentricidade: a razão entre 'c' e 'a' -> e = c/a.

Se 'e' tende a zero, a elipse tende a ser menos achatada e se parecerá com

uma circunferência; se 'e' tende a um, a elipse será bem achatada

Agora, vamos achar a equação de uma elipse com centro na origem O(0,0) e

eixo maior paralelo ao eixo das abscissas: fig. 09

~ 60 ~

Se a elipse tiver centro no ponto C(Xo, Yo), a equação será:

OBS. 01: Repare que se a = b, caímos na equação de uma circunferência: (X –

Xo)2 + (Y – Yo)2 = r2 assim, concluímos que toda circunferência é um caso

particular de uma elipse.

OBS. 02: Se a elipse tiver seu eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas, sua

equação será:

4.3- Circunferência:

Por definição, circunferência é o conjunto de todos os pontos que estão a

distancia igual de um ponto no centro, onde a essa distancia chamamos e raio

(r). Analiticamente falando, a circunferência é o lugar geométrico dos pontos

que tem distância fixa de um determinado ponto P:

A circunferência é o contorno do círculo.

~ 61 ~

Considere um plano 𝒙𝑶𝒚, e um ponto C (𝑋𝑜 , 𝑌𝑜), onde este será o centro da

circunferência, basta considerar um ponto genérico 𝑃 (𝑋,𝑌) e usarmos a

definição dada para encontrarmos a equação analítica da circunferência:

𝑑𝑝 ,𝑐 = 𝑟 (1)

( 𝑥 − 𝑥0 )2 + ( 𝑦 − 𝑦0)2 = 𝑟 (2)

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

( 𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + ( 𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐 = 𝒓𝟐

A equação acima é a chamada equação padrão da circunferência.

Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), teremos a

equação reduzida:

𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 .

Resolvendo os quadrados dos binômios e passando 'r' para o segundo membro,

teremos:

( 𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + ( 𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐 = 𝒓𝟐

𝑥2 + 𝑦2 − 𝟐𝒙𝟎 . 𝑥 − 𝟐 𝒚𝟎. 𝑦 + (𝒙𝟎)𝟐 + (𝒚𝟎)𝟐 − 𝒓𝟐 = 0

Onde temos que:

− 2𝑥0 = 𝐴

−2 𝑦0 = 𝐵

(𝑥0)2 + (𝑦0)2 − 𝑟2 = 𝐶

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

Que é a equação geral da circunferência.

Exemplo:

~ 62 ~

CAPÍTULO 4 – NOÇÕES DE LÓGICA

1. PRINCÍPIOS E LEI FUNDAMENTAIS DE LÓGICA CLÁSSICA

Mediante uma abordagem axiomática do estudo da lógica, pode-se defini-la

particiona-la em dois grandes arcabouços:

a) Lógica Clássica; e

b) Lógica Não Clássica.

A lógica matemática básica, a qual se propõe o presente estudo, emana de

generalizações da Lógica Clássica (ou Lógica Padrão), de modo que nos

ateremos apenas à explanação desta.

Ainda dentro daquela abordagem axiomática da lógica clássica, há de se

enumerar seus princípios e lei fundamentais, a partir dos quais se definem e se

deduzem todas as suas regras inferenciais e propriedades.

Exprimam-se os princípios e leis fundamentais da Lógica Padrão:

I- Princípio da Idempotência

Estabelece a relação de identidade que as coisas têm consigo mesmas, de

modo que uma informação só pode significar o que ela significa.

Alguns enunciados da Idempotência:

Uma coisa é o que é.

O que é, é; o que não é, não é.

A é A (“A” designando qualquer objeto do pensamento)

Uma proposição é equivalente a si mesma. (Em termos de proposição)

II- Princípio da Não Contradição:

Estabelece que, mediante dois valores lógicos opostos e excludentes

entre si, uma informação só pode conter um desses dois valores.

Alguns enunciados da Não Contradição:

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Uma proposição e a sua negação não podem ser simultaneamente

verdadeiras.

Duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras.

III- Lei do Terceiro Excluído

Estabelece que uma informação só pode ser caracterizada por um, entre

dois valores lógicos reciprocamente excludentes; não sendo possível a terceira

alternativa, em que a referida informação passaria a possuir os dois valores

lógicos ao mesmo tempo.

~ 63 ~

Alguns enunciados do Terceiro Excluído:

Uma coisa deve ser, ou então não ser; não há uma terceira possibilidade

(o terceiro é excluído).

Uma proposição é verdadeira, ou então é falsa; não há outra

possibilidade.

Se encararmos uma proposição e a sua negação, uma é verdadeira e a

outra é falsa, não há meio termo.

2. SENTENÇA MATEMÁTICA

Sentença matemática é todo e qualquer conjunto de símbolos matemáticos,

formalmente bem ordenados, que produz, através da consonância dos

significados de cada símbolo individual, uma mensagem genericamente

chamada de proposição.

Em princípio, a lógica pode ser definida como uma linguagem, uma vez que

apresenta elementos constitutivos oriundos dos três pilares da semiótica:

a) Gramática;

b) Semântica; e

c) Sintaxe.

A formalidade presente em uma sentença lógica é definida pela sua

característica gramatical, que se refere às regras de construção das sentenças.

3. SENTENÇAS VÁLIDAS E INVÁLIDAS

Se em uma sentença, a formalidade não for corretamente estabelecida, então

a sentença é dita Sentença Logicamente Inválida (SLI).

Exemplo:

8|5=3+>2

No exemplo anterior, é impossível estabelecer algum sentido matemático, no

âmbito simbológico matemático comumente utilizado.

Porém, se em uma sentença, a formalidade for estabelecida corretamente,

então é chamada Sentença Logicamente Valida (SLV).

Exemplo:

2 > 1

Nesse exemplo, tem-se um agrupamento de símbolos matemáticos

corretamente empregados, segundo seus significados individuais e segundo as

formalidades matemática. Portanto, esta sentença é logicamente válida.

4. PROPOSIÇÃO

~ 64 ~

É um termo usado em lógica para descrever o conteúdo de asserções. Uma

asserção é um conteúdo que pode ser tomado como verdadeiro ou falso.

Asserções são abstrações de sentenças não lingüísticas que a constituem. A

natureza das proposições é altamente controversa entre filósofos, muitos dos

quais são céticos sobre a existência de proposições. Muitos lógicos preferem

evitar o uso do termo proposição em favor de usar sentença.

Diferentes sentenças podem expressar a mesma proposição quando têm o

mesmo significado. Por exemplo, "A neve é branca" e "Snow is white" são

sentenças diferentes, mas ambas dizem a mesma coisa, a saber, que a neve é

branca.

Logo, expressam a mesma proposição. Outro exemplo de sentença que

expressa a mesma proposição que as anteriores é "A precipitação de pequenos

cristais de água congelada é branca", pois "precipitação de pequenos cristais

de água congelada" é a definição de "neve".

Proposição é a mensagem ou informação veiculada através uma sentença

logicamente válida (SLV), ficando assim, sujeita a interpretação. Essa

interpretação se dá em função de uma propriedade inerente às proposições,

chamada de Valores lógicos.

I- Valor Lógico

É a característica inerente à proposição que postula as possibilidades de

verificação. Caso o valor lógico de uma proposição seja Verdadeiro, então,

mediante verificação, a informação contida na proposição é verdadeira, e

reciprocamente.

Mas há algo importante a se salientar nesse ponto. A lógica não se preocupa

em verificar se a informação contida na proposição é realmente verdadeira ou

se falsa. O que a lógica faz é postular a Verdade ou Falsidade de uma

proposição, e executar o cálculo.

Para a lógica padrão (ou lógica clássica) são considerados apenas dois valores

lógicos:

Verdadeiro (v); e

Falso (f).

5. CÁLCULO PROPOSICIONAL

Quando se trata da construção de discursos, desde os mais basilares, com

poucas proposições, até os mais complexos, como compêndios de artigos

científicos, cabe a realização de dois mecanismos que testam a validade e o

valor de verdade das proposições. Esses mecanismos são o Cálculos

Proposicional e o Cálculo de Predicados. Vamos tratar, aqui, de dar apenas

uma introdução ao caçulo proposicional.

6. PROPOSIÇÃO SIMPLES

~ 65 ~

Consiste no significado de orações, ou sentenças, que não possuem conectivos,

mas possuem apenas uma afirmação simples, que pode ser dada como

verdadeira ou falsa.

Observemos que toda proposição ou sentença apresenta três características

obrigatórias:

1) Sendo oração, tem sujeito e predicado;

2) É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa); e

3) Tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (v) ou é

falsa (f).

Exemplos: Das Proposições Simples a seguir, todas são verdadeiras, exceto d.

a) 7 ≠ 3 (v)

b) 5 > 1 (v)

c) 4 ∈ ℤ (v)

d) ℤ ⊂ ℚ (f)

Exemplos: Não são Proposições.

a) 2 ∙ 3 + 4 (onde falta predicado)

b) 2 ∈ ℚ? (que é oração interrogativa)

c) 5𝑥 − 2 = 113 (que não pode ser classificada em verdadeira ou falsa)

7. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES

Consiste em uma proposição derivada de outra, chamada primitiva, que possui

valor lógico oposto a essa outra. Se a proposição primitiva é verdadeira, então

a derivada é falsa e reciprocamente. Em Símbolos se diz que de uma

proposição p, a sua negação é ~p.

Exemplo:

a) p: 9 ≠ 5

~p: 9 = 5

b) p: 4 ∈ ℤ

~p: 4 ∉ ℤ

c) p: ℤ ⊂ ℚ

~p: ℤ ⊄ ℚ

d) p: 9 > 5

~p: 9 ≤ 5

e) p: 4|13

~p: 4 ∤ 13

Tabela da Verdade da Negação

p ~p

~ 66 ~

V F

F V

8. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: CONECTIVOS E CONDICIONAIS

A partir de proposições dadas podem ser construídas novas proposições

mediante o emprego de símbolos lógicos chamados conectivos.

Operação Conectivo Símbolo

Conjunção e ∨

Disjunção ou ∧

Negação não ¬ ou ∼

Condicional se... então →

Bicondicional se e somente se ↔

9. CONJUNÇÃO: CONECTIVO ∧ (LÓGICA E)

Se p e q são proposições, a expressão p ∧ q é chamada conjunção de p e q, e

as proposições p e q são chamadas de fatores da expressão. Se conhecermos

os valores lógicos dos fatores de uma conjunção, conheceremos o valor lógico

da própria conjunção, aplicando o princípio da conjunção:

A conjunção é verdadeira se, e somente se, seus fatores são todos

verdadeiros.

Tabela da Verdade da Conjunção

p q p∧q

~ 67 ~

V V V

V F F

F V F

F F F

Exemplos: Argumentos básicos com proposições compostas

a) p: 3 > 1

q: 3 ≠ 2

p ∧ q: 3 > 1 ∧ 3 ≠ 2

b) p: 7|10 (sete é divisor de dez)

q: 9|10 (nove é divisor de dez)

p ∧ q: 7 10 ∧ 9 10 (sete é divisor de dez e nove é divisor de dez)

10. DISJUNÇÃO: CONECTIVO ∨ (LÓGICA OU)

Se p e q são proposições, a expressão p ∨ q é chamada disjunção de p e q, e

as proposições p e q são chamadas de fatores da expressão. Se conhecermos

os valores lógicos dos fatores de uma disjunção, conheceremos o valor lógico

da própria disjunção, aplicando o princípio da conjunção não exclusiva:

A conjunção é verdadeira se, e somente se, seus fatores são todos

verdadeiros.

Tabela da Verdade da Conjunção

p q p∨q

V V V

V F V

F V V

F F F

Exemplos: Argumentos básicos com proposições compostas

~ 68 ~

a) p: 3 > 1

q: 3 ≠ 2

p ∨ q: 3 > 1 ∨ 3 ≠ 2

b) p: 7|10 (sete é divisor de dez)

q: 9|10 (nove é divisor de dez)

p ∨ q: 7 10 ∨ 9 10 (sete é divisor de dez ou nove é divisor de dez)

11. CONDICIONAL SIMPLES: SÍMBOLO LÓGICO → (SE..., ENTÃO...)

Se p e q são proposições, a expressão p → q é chamada condicional de p logo

q, a proposição p é chamada de antecedente, e a proposição q é chamada

de consequente da expressão. Se conhecermos os valores lógicos do

antecedente e do consequente de uma condição, conheceremos o valor

lógico da própria condição, aplicando o princípio do condicional:

Enunciações do Condicional Simples:

O antecedente é necessário para o consequente, e o consequente é

suficiente para o antecedente.

O condicional resulta em falso se, e somente se, o antecedente for

verdadeiro consequente for falso.

Tabela da Verdade do Condicional Simples

p q p→q

V V V

V F F

F V V

F F V

Exemplos: Argumentos básicos com proposições compostas

a) p: 3 > 1

q: 3 ≠ 2

p → q: 3 > 1 → 3 ≠ 2

b) p: 7|10 (sete é divisor de dez)

q: 9|10 (nove é divisor de dez)

p → q: 7 10 → 9 10 (se sete é divisor de dez, então nove é divisor de dez)

~ 69 ~

12. BICONDICIONAL: EQUIVALÊNCIA LÓGICA ↔ (SE...,E SOMENTE

SE,...)

Se p e q são proposições, a expressão p ↔ q é chamada equivalência de p e

q, a proposição p é antecedente e consequente de q, e a proposição q é

antecedente e consequente de p na expressão. Se conhecermos os valores

lógicos das componentes p e q, então conheceremos o valor lógico da

própria equivalência, aplicando o princípio da equivalência ou a conjunção

de condicionais opostas:

Princípio da Equivalência:

A equivalência resulta em verdadeiro se, e somente se, suas

componentes possuem valores lógicos iguais.

A Equivalência resulta em falso se, e somente se, suas componentes

possuem valores lógicos diferentes.

Tabela da Verdade da Equivalência

p q p⟷q

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplos: Argumentos básicos com proposições compostas

a) p: 3 > 1

q: 3 ≠ 2

p ↔ q: 3 > 1 ↔ 3 ≠ 2

b) p: 7|10 (sete é divisor de dez)

q: 9|10 (nove é divisor de dez)

p ↔ q: 7 10 ↔ 9 10 (sete é divisor de dez se, e somente se, nove é divisor

de dez)

~ 70 ~

13. TAUTOLOGIA: PROPOSIÇÃO LOGICAMENTE VERDADEIRA

Tautologias são definidas como proposições logicamente verdadeiras, o que

significa que, diante de uma proposição composta, não importa o quanto se

alteram os valores lógicos das proposições mais simples que compõem

aquela. É sabido que utilizam-se, geralmente, dois vieses de verificação de

valores lógicos de proposições: 1)Tabela da verdade, e 2)Inferências lógicas.

Assim sendo, uma tautologia apresenta, em sua tabela da verdade, apenas o

valor lógico de verdade.

Exemplos:

a)

p Q p∧q ∼ (p∧p) ∼p ∼q ∼p∨∼q ∼ (p∧p) ↔(∼p∨∼q)

V V V F F F F V

V F F V F V V V

F V F V V V V

F F V V V V V V

b)

p q ∼p p∧ ~p p∨q (p∧ ~p) →(∼p∨q)

V V F F V V

V F F F V V

F V V F V V

F F V F F V

~ 71 ~

14. PROPOSIÇÃO LOGICAMENTE FALSA

Proposições logicamente falsas, ou contradições, são definidas como

proposições que resultam sempre em valor lógico falso, o que significa que,

diante de uma proposição composta, não importa o quanto se alteram os

valores lógicos das proposições mais simples que compõem aquela. Utilizando-

se os já mencionados dois vieses de verificação de valores lógicos de

proposições, 1)Tabela da verdade e 2)Inferências lógicas., chega-se à

verificação de sua veracidade.

Assim sendo, uma proposição logicamente falsa apresenta, em sua tabela da

verdade, apenas o valor lógico de falso.

Exemplos:

a)

p ∼p p∧ ~p

V F F

V F F

b)

p q ∼p ∼q p∧ ~q ~p∨q (p∨∼q)↔(~p∧q)

V V F F V F F

V F F V V F F

F V V F F V F

F F V V V F F

~ 72 ~

http://profleonardomatematica.blogspot.com.br/2011/09/conicas-e-

geometria-analitica.html

http://miltonborba.org/Geo_Ana/Conicas.htm

http://joudson.blogspot.com.br/2009/06/estudo-de-conicas-

circunferencias.html

http://www.valci.mat.br/arquivos/Conicas_Circunferencia.pdf

H TTP : //C LU BE S .OB MEP . OR G.BR / BLO G/LU GAR -GE OME TR IC O/LU GAR -GEO M ETR IC O - U M -SEGU ND O - ES TU DO -2 /

http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/estudo-da-reta/lugares-geometricos.html