Apostila - Elementos de Máquinas

ELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINAS

Prof. Dra. Katia Lucchesi Cavalca

Revisores: Prof. Dra. Kátia Lucchesi Cavalca Gregory Bregion Daniel (PED)

Ana Flávia Nascimento (Monitora)

Agosto/2008

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA DEPARTAMENTO DE PROJETO MECÂNICO

ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I

1

CAPÍTULO I INTRODUÇÃO AO PROJETO DE COMPONENTES MECÂNICOS 1.1. INTRODUÇÃO

O texto aqui apresentado é essencialmente dirigido ao projeto de componentes de

máquinas, ou sistemas mecânicos específicos. A competência e o bom entendimento nesta

disciplina são básicos para futuras considerações e sínteses em máquinas e sistemas

completos, a serem desenvolvidos em disciplinas subseqüentes, ou mesmo durante a prática

profissional. É fato comprovado que, mesmo para o projeto de um simples parafuso ou de

uma mola, o engenheiro deve aplicar os melhores conhecimentos científicos disponível,

aliados às informações empíricas, ao bom senso, e até mesmo a um certo grau de

engenhosidade e criatividade, que permitam a este criar e desenvolver melhores produtos,

mais adequados à demanda da sociedade atual.

As considerações técnicas envolvidas no projeto de componentes mecânicos são

fundamentalmente centradas em torno de duas áreas principais de conhecimento: as relações

tensão-deformação-resistência dos materiais, envolvendo o rompimento de elementos sólidos;

e os fenômenos de superfície (compreendendo atrito, lubrificação, desgaste e deterioração

ambiental). Dentro deste escopo, disciplinas que desenvolvem temas associados às

propriedades metalúrgicas dos materiais, resistência dos materiais, cinemática e dinâmica de

mecanismos, teoria de falhas, fadiga, e danos de superfície, tem seus conceitos fortemente

aplicados no projeto de componentes e sistemas mecânicos.

1.2. O PROJETO DE MÁQUINAS

1.2.1 Design e Projeto

O que significa design? O termo design pode assumir uma enorme variedade de

significados, como, por exemplo, referir-se a aparência estética de um objeto: design de

móveis, de roupas, de automóveis, etc. Neste último caso, o termo design refere-se não só a

aparência externa, mas a todos os demais aspectos de projeto envolvidos, como toda mecânica

interna do automóvel (motores, freios, suspensões...), cujo design deve ser melhor executado

por engenheiros que por artistas, embora, em alguns casos, sejam necessárias ao engenheiro


2

algumas aptidões artísticas, enquanto desenvolvendo o design de máquinas e componentes. O

design em engenharia pode ser definido como "O processo de aplicar várias técnicas e

princípios científicos, com o propósito de definir um dispositivo, um processo ou um sistema,

suficientemente detalhado de maneira a permitir sua realização”.

Dentro desta filosofia, o enfoque principal deste texto será o design de máquinas e

componentes, estendendo-se à criação de maquinário que trabalhe bem, de maneira segura e

confiável. Seguindo esta linha de pensamento, as noções e os conceitos de design, vão

diretamente de encontro ao projeto mecânico de máquinas e componentes.

1.2.2 Considerações Relativas à Segurança

Naturalmente, no passado, as primeiras considerações de projeto eram de caráter

funcional e econômico, pois, a não ser que os dispositivos fossem produzidos para atender a

uma aplicação funcional, estes não apresentavam interesse do ponto de vista da engenharia.

Além disso, se a produção de um ítem não visasse um custo acessível à sociedade

contemporânea, representava um desperdício de tempo e esforços em engenharia. Neste

sentido, as gerações anteriores de engenheiros tiveram pleno sucesso em desenvolver uma

infinidade de produtos que funcionam e podem ser produzidos economicamente.

Em parte por este motivo, houve um redirecionamento dos esforços em engenharia, no

sentido de incrementar cada vez mais, considerações de projeto relativas à influência dos

produtos e dos processos, sobre as pessoas e o meio ambiente. A segurança pessoal vem

sendo uma das considerações de projeto do ponto de vista da engenharia, sendo que,

atualmente, adquiriu uma ênfase crescente, como resultado das demandas e necessidades

contemporâneas.

O primeiro passo, no sentido de desenvolver a competência do engenheiro atual em

segurança de projeto, é cultivar uma consciência de sua importância. Numa primeira instância,

a segurança de um produto ou processo seria de responsabilidade de legisladores e juizes, ou

mesmo de executivos de empresas seguradoras, os quais, porém, nada podem acrescentar

diretamente na melhoria deste quesito dentro de seu projeto, sendo capacitados apenas para

acrescentar ou evidenciar determinados ítens a serem mais ou menos enfatizados dentro deste

escopo.

Uma vez que o engenheiro é suficientemente consciente da relevância das

considerações em segurança, incorporando este conceito ao seu raciocínio geral, existem

algumas técnicas que auxiliam no desenvolvimento de um projeto seguro:

1) Revisão de todas as fases da realização do produto, desde o início de sua produção

até sua disposição final para consumo, observando, em cada etapa, possíveis falhas

descobertas e que tipos de situações podem ocorrer durante a manufatura, o

transporte, a estocagem, a instalação, o uso e a reciclagem do produto em questão.


3

2) Certificar-se que as medidas de segurança representam uma aproximação

balanceada, ou seja, o critério não é resolver os riscos de maior custos, mas sim

priorizar os riscos mais significativos para segurança pessoal, que envolvam estes

maiores ou menores custos.

3) Desenvolver a segurança como parte integral do projeto básico, sempre que

possível, ao invés de somar dispositivos de segurança ao projeto definitivo.

4) Aplicação do "fail-safe design" quando possível em fase de projeto. A filosofia

aqui proposta é tomar precauções no projeto para evitar a ocorrência de falhas.

Porém, se esta ocorrer, que suas conseqüências não sejam catastróficas, ou ainda,

que o projeto permita a continuidade de operação do produto apesar da falha.

5) Verificação das normas governamentais de segurança para assegurar-se dos

requisitos legais do projeto.

6) Providenciar avisos sobre todos os danos ou falhas significantes, que porventura

permaneçam após a conclusão do projeto. Ninguém melhor que o engenheiro, que

desenvolveu e projetou o produto, para evidenciar estes pontos de maior atenção e

cautela.

Finalizando, nota-se que o grupo de pessoas envolvidas no aspecto da segurança em

projeto, deve considerar algumas características pessoais não técnicas das pessoas

possivelmente envolvidas com a produção ou com a utilização do produto, tais como:

capacidade fisiológica e psicológica de alguns indivíduos técnicos ou da comunidade de

consumo, comunicação entre o produto e o usuário, tanto do ponto de vista da segurança

como de sua utilização, cooperação entre engenheiros de projeto e membros de outras

disciplinas de aspectos governamentais, de gerenciamento, de vendas, etc.

1.2.3 Considerações de Caráter Ambiental

Existe uma dependência inerente entre o ser humano e o seu meio-ambiente (ar, água,

alimento, e materiais para roupas e abrigos). Na sociedade primitiva, os detritos gerados pela

população eram naturalmente reciclados pela natureza. Com a introdução de materiais

sintéticos, a natureza tornou-se incapaz de compensar e reciclar os detritos produzidos pelo

homem, dentro de períodos de tempo aceitáveis e compatíveis com o equilíbrio ambiental. Os

ciclos ecológicos foram, então, interrompidos, dando início a uma série de danos permanentes

a médio e longo prazo. Os principais objetivos do projeto em Engenharia Mecânica, dentro do

enfoque ecológico, podem ser compreendidos em dois tópicos bem simples:

1) Utilizar materiais que possam ser reciclados de maneira econômica, dentro de

períodos de tempo razoáveis, sem provocar contaminações excessivas do ar ou da

água, principalmente.


4

2) Minimizar a taxa de consumo de fontes de energia não-recicláveis, como os

combustíveis fossilizados, tanto no sentido de conservar estas fontes, como para

minimizar a poluição térmica.

Entretanto, a consideração de fatores ecológicos é bem mais complexa, em termos de

projeto mecânico, se comparada aos fatores de segurança em projeto, por exemplo.

1.2.4 Considerações de Caráter Social.

O objetivo básico de qualquer projeto em engenharia é conceber máquinas ou

dispositivos que possam beneficiar a humanidade, ou ainda, aumentar a qualidade de vida

dentro de nossa sociedade. Entretanto, os principais ítens a serem considerados como parte da

definição da qualidade de vida de uma população, podem variar significativamente dentro dos

muitos segmentos da sociedade e, também, com o passar do tempo. Alguns dos fatores mais

importantes, dentro da sociedade atual, são os seguintes:

1) Saúde física.

2) Bens materiais.

3) Segurança com relação à criminalidade e acidentes.

4) Preservação do meio-ambiente, sobretudo no gerenciamento dos recursos naturais.

5) Desenvolvimento cultural e educacional.

6) Tratamento e infra-estrutura para pessoas portadoras de deficiências.

7) Igualdade de oportunidades.

8) Liberdade pessoal.

9) Controle populacional.

A maior parte do pessoal envolvido com produtos de engenharia desenvolve uma ou

mais das seguintes funções: pesquisa, projeto, desenvolvimento, manufatura e produção,

vendas, e prestação de serviços, associados a estes produtos. O esforço conjunto deste grupo

de pessoas, associado aos recursos naturais apropriados, conduz a sistemas de produção que

enfatizam produtos utilizáveis, materiais descartáveis e experiência. Esta última pode ser

adquirida de duas maneiras, basicamente:

1) Experiência direta de trabalho, construtiva e satisfatória, de alguns indivíduos;

2) Conhecimento empírico obtido através da eficiência de todo sistema, com as

devidas implicações em seu futuro melhoramento.

Apesar das enormes diferenças de caráter individual, existem algumas características

básicas, inerentes ao ser humano, que são permanentes, inclusive ao longo do tempo. Tais


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características foram sintetizadas por Abraham Maslow, psicólogo da Universidade de

Brandeis, em cinco palavras-chave:

1) SOBREVIVÊNCIA (survival);

2) SEGURANÇA (security);

3) ACEITAÇÃO SOCIAL (social aceptance);

4) RECONHECIMENTO (status);

5) AUTONOMIA PESSOAL (self-fulfillment).

O ingrediente básico da sociedade humana é a mudança. O engenheiro deve procurar

entender, não apenas as necessidades atuais da sociedade, mas também a direção e a rapidez

com que as mudanças sociais estão ocorrendo. Para o engenheiro de projeto, o objetivo mais

importante seja, talvez, o de incrementar a tecnologia, de forma que esta possa promover

mudanças no sentido de incrementar a qualidade de vida da sociedade contemporânea.

1.2.5 Considerações Gerais

Os projetos em engenharia envolvem uma infinidade de considerações, e o desafio do

engenheiro é justamente reconhecer a proporção adequada de cada uma delas. Algumas das

principais categorias de informações e considerações envolvidas em projeto são descritas a

seguir:

a) Considerações Tradicionais:

i) Para o corpo do componente: resistência, deflexão, peso, tamanho e forma.

ii) Para as superfícies do componente: desgaste, lubrificação, corrosão, forças de

atrito, aquecimento por atrito.

iii) Custo.

b) Considerações Modernas:

iv) Segurança.

v) Ecologia (poluição do solo, do ar, da água, térmica, sonora; conservação dos

recursos naturais).

vi) Qualidade de vida.

c) Considerações Gerais:

vii) Confiabilidade e Mantenabilidade.

viii) Estética de projeto ou design.

A difícil tarefa do engenheiro será a de satisfazer, dentro de algumas tolerâncias, todas

as categorias de considerações, muitas vezes, incompatíveis entre si.


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1.3. O PROJETO DE COMPONENTES MECÂNICOS NO CURSO DE

ENGENHARIA

Uma máquina pode ser definida de duas maneiras básicas:

1) Um aparato composto por unidades interrelacionadas.

2) Um dispositivo que modifica força ou movimento.

As unidades interrelacionadas, citadas na primeira definição, podem ser denominadas,

dentro deste contexto, de elementos de máquinas. O conceito de trabalho útil é fundamental

para o funcionamento da máquina, que normalmente envolve uma transferência de energia.

Quando projetando uma unidade de uma máquina, o engenheiro facilmente percebe que este

projeto é, direto ou indiretamente, dependente de muitas outras partes interrelacionadas dentro

da mesma máquina. Portanto, o enfoque aqui proposto, é o de projetar os componentes dentro

da máquina como um todo. Para tanto, é necessária uma bagagem razoável de conhecimentos

em engenharia, como estática, dinâmica, análise de tensões e deformações, propriedade dos

materiais, etc.

O objetivo final em projeto de componentes será, portanto, dimensionar e modelar as

unidades, selecionando materiais e processos de fabricação adequados, de modo que a

máquina resultante possa desempenhar sua função na ausência de falhas, durante um certo

tempo. Assim sendo, uma análise completa de tensões e deformações de cada unidade é de

fundamental importância. Como as tensões ocorrem em função de cargas aplicadas ou

inerciais, bem como da geometria de cada unidade, estas devem ser precedidas por uma

análise de esforços, envolvendo forças, momentos, torques existentes, além da dinâmica do

sistema completo.

Uma derivação desta análise ocorre se a máquina a ser projetada não possui partes

móveis. Neste caso, trata-se de um caso particular de projeto de estruturas. Existem diferenças

básicas no enfoque do projeto de máquinas e no de estruturas estáticas, como o piso de uma

construção, dimensionado para suportar um determinado peso. Neste último caso, quanto

maior a quantidade de material distribuído nas unidades estruturais, maior o fator de

segurança da estrutura. Apesar de maior peso próprio (ou peso morto), a estrutura apresentará

uma maior capacidade de suportar peso vivo (compensação de carga). Numa máquina

dinâmica, o aumento de massa de partes móveis acarreta um efeito oposto, reduzindo não só o

fator de segurança do sistema, mas sua velocidade de operação e sua capacidade de

compensação de carga.

Geralmente, antes de entrar em fase de dimensionamento das unidades dos

componentes de uma máquina, é esperado que as características cinemáticas do sistema

estejam bem definidas, bem como devem ser conhecidas as eventuais forças externas atuantes


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sobre o sistema. Portanto, o que resta a definir são as forças inerciais, geradas pelas

conhecidas acelerações cinemáticas que, por sua vez, atuam sobre as indefinidas massas das

unidades móveis do sistema. Tal problema admite soluções razoáveis apenas por iteração, ou

seja, após estimar áreas de um determinado material, através da análise de tensões e

deformações, é necessário proceder com uma simulação cinemática e dinâmica do sistema e,

de acordo com as respostas obtidas, retornar ao cálculo inicial da fase precedente. Somente

após compatibilizar todas as análises, retoma-se o projeto no sentido de dimensionamento das

unidades interrelacionadas da máquina completa.

1.3.1 Metodologia de Projeto

O processo de projeto é essencialmente um exercício de aplicação da criatividade.

Algumas metodologias foram desenvolvidas no sentido de auxiliar na organização das várias

etapas a serem cumpridas no projeto global. Uma das versões mais simples, porém não menos

elucidativa, divide a metodologia de projeto em dez etapas principais:

1) Identificação das Necessidades.

2) Pesquisa Bibliográfica e Estado da Arte.

3) Definição dos Objetivos.

4) Especificações de Projeto.

5) Síntese ou Procura de Soluções (fase de criação).

6) Análise de Soluções (cálculos e estimativas).

7) Seleção da Melhor Solução.

8) Projeto Detalhado.

9) Prototipagem e Testes.

10) Produção.

É importante destacar que, a partir do passo nº 5, todas as etapas estão sujeitas à

iteração. Os passos de 1 a 4 compõem o Estágio de Definição do processo de projeto, ou

ainda, o Estudo de Viabilidade do Projeto. Os passos de 5 a 7 fazem parte do Estágio de

Projeto Preliminar . Os passos 8 e 9 são o próprio Estágio de Projeto Detalhado.

Cada estágio do projeto global deve ser adequadamente documentado, de modo a

conter determinadas informações numa ordem cronológica pré-definida:


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Figura 1.1 - Expansão dos Principais Estágios de Projeto.

No estudo de viabilidade, é fundamental identificar o problema, definindo claramente

os dados de entrada, bem como as principais considerações e limitações impostas ao projeto.

No projeto preliminar, todos os cálculos e dimensionamentos devem ser realizados,

concluindo-se com um esboço ou croquis do projeto em sua forma geral. O estágio final de

projeto detalhado envolve uma simulação numérica e, eventualmente, uma reavaliação do

projeto, ou de determinadas fases de projeto, concluindo-se com o conjunto de desenhos

completos e relatório final. A documentação do projeto deve conter uma descrição clara e

abrangente de todas as etapas envolvidas, desde o processo criativo, seleção das soluções,

dimensionamentos e especificações (catálogos ou normas), croquis iniciais, modelagem

matemática, simulação numérica, e desenhos completos.

1.4. SISTEMAS E COMPONENTES - PRINCIPAIS FUNÇÕES

Vê-se como o estudo dos detalhes construtivos em projeto mecânico, não só a análise

dos parâmetros de projeto de um componente de uma máquina, mas também sua

representação em um modelo analítico que possibilite, através de uma simulação numérica

adequada, o estudo de seu comportamento dinâmico, e conseqüentes efeitos causados pelo

mesmo no sistema completo. Assim sendo, alguns componentes de máquinas serão

enfatizados segundo sua aplicabilidade e importância na resposta final do sistema:

• Eixos;

• Mancais;

• Acoplamentos;

• Elementos de união ou junções;

• Elementos de suporte flexíveis ou rígidos.

1) DEFINIÇÃO DO PROBLEMA 2) DEFINIÇÃO DOS DADOS 3) CONSIDERAÇÕES APROPRIADAS 4) DECISÕES DE PROJETO PRELIMINAR 5) CROQUIS DO PROJETO 6) MODELO MATEMÁTICO 7) ANÁLISE DO PROJETO 8) AVALIAÇÃO 9) DOCUMENTAÇÃO DOS RESULTADOS

ESTUDO DE VIABILIDADE

PROJETO PRELIMINAR

PROJETO DETALHADO


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O entendimento deste tipo de análise é importante para o engenheiro atual, pois sua

aplicação em projeto por similaridade, bem como em técnicas de monitoramento e diagnose é

imediata.

Um sistema mecânico é um agrupamento de componentes conectados de tal forma a

possibilitar a execução de um trabalho ou de uma seqüência de eventos. Muitas vezes, é

desejável subdividir um sistema mecânico em uma série de componentes, a fim de facilitar a

aplicação de um tipo específico de modelagem matemática. Uma das formas de subdividir um

sistema é segundo as particularidades do movimento executado por cada componente, no

exercer de sua função útil. Um sistema pode ser, normalmente, subdividido em componentes

do tipo:

• Rotativos;

• De fixação ou de posicionamento;

• De conexão.

Os elementos rotativos são aqueles aos quais é imposto unicamente um movimento de

rotação no exercício de seu trabalho útil. A modelagem destes elementos deve contemplar os

efeitos da dinâmica da rotação, efeitos de inércia e quantidade de movimento angular, etc.

Eixos, acoplamentos, discos e pás de turbinas, são exemplos deste tipo de componente.

Os elementos de fixação são aqueles que servem de sustentação à máquina e demais

componentes. A função destes elementos pode ser estática, ou pode admitir um tipo de

movimento não rotativo puro. São incluídos nesta classificação: caixas, carcaças e estatores de

motores e geradores; carcaças, pás fixas e dutos de turbinas; todos os tipos de estruturas de

suporte e fundação, molas, etc.

Os elementos de conexão são aqueles que fazem a interface entre os dois grupos

anteriores. Estes elementos têm parte de sua estrutura sujeita à rotação, e parte ligada à

estrutura da máquina. Mancais de rolamento, mancais hidrostáticos e hidrodinâmicos, e selos

mecânicos de fluxo, são os mais comuns representantes deste tipo de componentes.

Em cada uma das três famílias citadas, estão considerados os elementos de união, ou

as junções, cuja função é ligar rigidamente partes distintas de um conjunto, de modo que

atuem como uma parte única. Nesta categoria encontram-se as uniões por roscas, rebites e

soldas.


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1.5. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS

1.5.1 Fatores de Segurança

O fator de segurança pode ser interpretado como a medida de incerteza do projeto

dentro do modelo analítico, das teorias de falha e dos dados de propriedades de materiais

utilizados, sendo tipicamente expresso como a razão entre duas quantidades de mesma

natureza e, portanto, de mesma unidade: Tensão de Escoamento por Tensão Admissível,

Carregamento Crítico por Carregamento Aplicado, Velocidade Máxima de Segurança por

Velocidade de Operação, etc.

A forma de expressar o fator de segurança pode ser escolhida com base no tipo de

carregamento que atua sobre a unidade a ser projetada. Em unidades sujeitas a um

carregamento cíclico, pode ocorrer falha por fadiga. A resistência à fadiga dos materiais é

representada em um diagrama que relaciona um dado nível de tensão com o número máximo

de ciclos de tensão alternada, atuando sobre a unidade. Nestes casos, o fator de segurança

pode ser adequadamente expresso como a razão entre o número de ciclos esperados até a falha

do material, e o número de ciclos aplicados para uma determinada vida do material da unidade

projetada. O fator de segurança para uma unidade, como uma polia ou um volante, pode ser

expresso como a relação entre a rotação máxima de segurança e a mais elevada rotação

esperada em serviço.

Normalmente, se a tensão é uma função linear da carga aplicada em serviço, o fator de

segurança será praticamente o mesmo nos vários casos analisados. Porém, se esta relação é

não linear, como no caso de colunas, então o carregamento crítico de falha, para cada coluna

em particular, deve ser estimado para comparação com o carregamento aplicado. Em casos de

operação em sobrecarga, este carregamento excessivo deve ser considerado no fator de

segurança. Portanto, quando o fator de segurança é igual à unidade, significa que a tensão

aplicada é igual à resistência do material, e portanto, a falha ocorre.

A escolha do fator de segurança pode representar, muitas vezes, uma grande

dificuldade inicial para o engenheiro projetista principiante. O valor de N (fator de segurança)

depende de várias condições de projeto, inclusive o nível de confiança do modelo sobre o qual

foram realizados os cálculos, o conhecimento prévio da faixa de possíveis condições de

carregamento em serviço, bem como a confiança nas informações de resistência do material

disponíveis. Portanto, a realização de testes extensivos, sobre protótipos funcionais do

projeto, permite a utilização de um menor valor de N. Na eventual ausência de códigos de

projeto, que especifiquem o valor de N para casos particulares, a escolha do fator de segurança

envolve uma avaliação do engenheiro. Uma aproximação razoável é estimar os carregamentos

máximos esperados em serviço, incluindo sobrecargas, bem como a mínima resistência dos

materiais envolvidos.


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Ndúctil = MAX (F 1, F2, F3)

Tabela 1.1 - Fatores de Segurança para Materiais Dúcteis.

Informação Qualidade da Informação Fator F1

Dados de O material realmente utilizado foi testado 1.3

Propriedades de Dados representativos de teste de material 2.0

Materiais Dados satisfatórios de teste de material 3.0

Disponíveis de

testes. Dados escassos de teste de material 5.0 +

F2

Condições Idênticas às condições de teste 1.3

Ambientais de uso Ambiente essencialmente controlado 2.0

Real e efetivo. Ambiente com alterações moderadas 3.0

Ambiente com alterações extremas 5.0 +

F3

Modelo analítico Modelos testados por experimentos 1.3

Para carregamento Modelos representativos precisos 2.0

e tensões. Modelos representativos aproximados 3.0

Modelos grosseiramente aproximados 5.0 +

Algumas diretrizes podem ser definidas para a escolha do fator de segurança no

projeto de máquinas, baseadas na qualidade e apropriação dos dados disponíveis de

propriedades dos materiais, das condições ambientais reais esperadas, da precisão dos

modelos de carregamento e análise de tensões desenvolvidas. A Tabela 1.1 apresenta alguns

fatores de segurança para materiais dúcteis, que podem ser obtidos a partir de três categorias

diversas. O fator N total será considerado como o maior valor obtido das três categorias de

análise.

Materiais frágeis, por sua vez, são projetados por resistência à fratura, enquanto que

materiais dúcteis, para carregamento estático, são projetados por resistência elástica, onde se

espera uma indicação de falha antes da ocorrência da fratura. Portanto, o fator de segurança

para materiais frágeis é, comumente, o dobro utilizado para materiais dúcteis.

Nfrágil = 2*MAX (F 1, F2, F3)


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1.5.2 Códigos de Projeto

Muitas associações em engenharia e agências governamentais desenvolveram códigos

de projeto aplicados a áreas específicas da engenharia. Alguns destes códigos são apenas

recomendações, enquanto outros representam verdadeiras normas legislativas. As principais

associações em engenharia, bem como organizações governamentais e industriais,

relacionadas a seguir, possuem suas publicações sobre padronização de componentes e

normas técnicas de projeto de grande interesse para o engenheiro mecânico.

American Gear Manufacturers Association (AGMA)

American Institute of Steal Construction (AISC)

American Iron and Steal Institute (AISI)

American National Standards Institute (ANSI)

American Society for Metals (ASM)

American Society for Mechanical Engineers (ASME)

American Society of Testing and Materials (ASTM)

American Welding Society (AWS)

Anti-friction Bearing Manufacturers Association (AFBMA)

International Standards Organization (ISO)

National Institute for Standards and Technology (NIST)

Society of Automotive Engineers (SAE)

Society of Plastics Engineers (SPE)

Norma Alemã (DIN) e Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).

1.5.3 Conceitos Fundamentais: Trabalho e Energia

Todo sistema mecânico envolve os conceitos de carga aplicada e movimento relativo

que, associados, podem representar trabalho ou energia. Define-se trabalho W, realizado pela

força F, atuando num determinado ponto de um componente, o qual, por sua vez, move-se da

posição p1 a posição p2, como sendo o produto escalar dos vetores força e deslocamento,

dentro do intervalo percorrido ds:

W F ds

p

p

= ∫ .

1

2

(1.1)

Portanto, para estimar corretamente o valor da integral acima, é necessário o

conhecimento prévio da variação da força em função do deslocamento. O trabalho realizado

por uma força é sempre uma grandeza relativa a um intervalo percorrido, sendo expresso pelo

produto da unidade de força e da unidade de deslocamento, por exemplo [N.m]. Em uma


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máquina rotativa, o trabalho W realizado pelo ponto de aplicação de uma força F, após n

revoluções, a uma distância R do centro de rotação, é dado por:

( )W F R n F S= =2π .∆ (1.2)

Na qual: ∆S = espaço percorrido pelo ponto de aplicação da força F.

Se a mesma máquina gira de um ângulo θ sob ação de um torque T, temos a expressão

para o trabalho realizado como:

( )W F R T= =θ θ (1.3)

Muitas análises em projeto de máquinas são realizadas com base na taxa de energia

transferida por tempo. Neste aspecto, a taxa de energia transferida pelo trabalho realizado

denomina-se POTÊNCIA, sendo equivalente ao produto da força aplicada pela velocidade do

ponto de aplicação da força.

PotdW

dtW F V= = =ɺ . (1.4)

Partindo-se da equação (1.4), pode-se facilmente obter a expressão do trabalho

realizado pela força F, em função num intervalo de tempo dt:

W Wdt F Vdt

t

t

t

t

= =∫ ∫ɺ .

1

2

1

2

(1.5)

Como a potência representa a taxa de trabalho realizado num intervalo de tempo, então

a mesma é expressa pela razão entre qualquer unidade de energia e tempo. Por exemplo,

[N.m] representa um joule [J], e portanto, [J/s] é unidade de potência, conhecida por Watt

[W].

Da mesma forma descrita anteriormente, para o componente de uma máquina rotativa,

a expressão da potência transmitida (Pot) pelo eixo de raio R, sujeito a um torque T e com

uma velocidade de rotação ω, é dada por:

( ) ( )ɺ . .W F V T R R T= = =ω ω (1.6)

Para um sistema onde não ocorre transferência de massa em seus limites de contorno,

aplica-se o princípio da conservação de energia, conforme expressão (1.7):


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∆ ∆ ∆ ∆E KE PE U Q W= + + = + (1.7)

sistema pelo realizado trabalho=

sistema o para da transferi térmicaenergia=

sistema do interna energia da variação

sistema do nalgravitacio potencial energia da variação

sistema do cinética energia da variação

sistema do energia de totalvariação

:qual No

W

Q

U

PE

KE

E

=∆=∆=∆

=∆

O balanço energético pode ser expresso através de sua taxa de variação instantânea

temporal:

( ) ( )dE

dt

d KE

dt

d PE

dt

dU

dtQ W= + + = +ɺ ɺ (1.8)

1.6. SISTEMAS DE UNIDADES

Diversos sistemas de unidades são utilizados em engenharia. Os mais comuns, na

prática, são três: Sistema Americano fps (foot/pé-pound/libra-second/segundo), Sistema

Americano ips (inch/polegada-pound/libra-second/segundo), Sistema Internacional SI (metro-

kilograma-segundo). A diferença básica entre os sistemas americanos e o sistema

internacional é que ambos os sistemas americanos definem as grandezas de comprimento-

força-tempo, sendo conhecidos como sistemas gravitacionais, enquanto o sistema

internacional define as grandezas de comprimento-massa-tempo. A Tabela 1.2 relaciona as

principais variáveis às suas unidades nos três sistemas apresentados, enquanto que a Tabela

1.3 seleciona alguns fatores de conversão de unidades.


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Tabela 1.2 - Variáveis e Unidades.

VARIÁVEL símbolo Sistema ips Sistema fps Sistema SI

força F libra (lb) libra (lb) newton (N)

comprimento l polegada (in) pés (ft) metro (m)

tempo t segundo (sec) segundo (sec) segundo (s)

massa m blobs (bl) lb.sec2 / in

slug (sl) lb.sec2 / ft

kilograma (kg)

peso W libra (lb) libra (lb) newton (N)

pressão p psi (lb / in2) pfs (lb / ft2) pascal (Pa)

velocidade v in / sec ft / sec m / s

aceleração a in / sec2 ft / sec2 m / s2

tensão σσσσ,ττττ psi (lb / in2) pfs (lb / ft2) Pa = N/m2

ângulo θθθθ graus (deg) graus (deg) graus (deg)

velocidade angular ωωωω rad / sec rad / sec rad / sec

aceleração angular αααα rad / sec2 rad / sec2 rad / sec2

torque T lb-in lb-ft N-m

momento de inércia de massa

I lb-in-sec2 lb-ft-sec2 kg-m2

momento de inércia de área

I in4 ft4 m4

energia E in-lb ft-lb joule (N-m)

potência P in-lb / sec ft-lb / sec watt (N-m/s)

volume V in3 ft3 m3

peso específico νννν lb / in3 lb / ft3 N / m3

densidade de massa ρρρρ bl / in3 sl / ft3 kg / m3


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Tabela 1.3 - Fatores de Conversão de Unidades.

Grandeza

inicial

Fator de

Conversão

Grandeza

final

Grandeza

inicial

Fator de

Conversão

Grandeza

final

aceleração momento de inércia de massa

in / sec2 0.0254 m / sec2 lb-in-sec2 0.1138 N-m-s2

ft / sec2 12 in / sec2

momentos e energia

ângulos in-lb 0.1138 N-m

radianos 57.2958 graus ft-lb 12 in-lb

N-m 8.7873 in-lb

área N-m 0.7323 ft-lb

in2 645.16 mm2

ft2 144 in2 potência

HP 550 ft-lb/ sec

momento de inércia de área HP 33000 ft-lb/min

in4 416231 mm4 HP 6600 in-lb/sec

in4 4.162E-7 m4 HP 745.7 watts

m4 1.0E12 mm4 N-m / s 8.7873 in-lb/sec

m4 1.0E8 cm4

ft4 20736 in4 pressão e tensão

psi 6894.8 Pa

densidade psi 6.895E-3 MPa

lb / in3 27.6805 g / cc psi 144 pfs

g / cc 0.001 g / mm3 kpsi 1000 psi

lb / ft3 1728 lb / in3 N / m2 1 Pa

kg / m3 1.0E-6 g / mm3 N / mm2 1 MPa

força constante de mola

lb 4.448 N lb / in 175.126 N / m

N 1.0E5 dyne lb / ft 0.08333 lb / in

ton (short) 2000 lb

velocidade

comprimento in / sec 0.0254 m / s

in 25.4 mm ft / sec 12 in / sec

ft 12 in rad / sec 9.5493 rpm


17

Grandeza

inicial

Fator de

Conversão

Grandeza

final

Grandeza

inicial

Fator de

Conversão

Grandeza

final

massa volume

blob 386.4 lb in3 16387.2 mm3

slug 32.2 lb ft3 1728 in3

blob 12 slug cm3 0.061023 in3

kg 2.205 Lb m3 1.0E9 mm3

kg 9.8083 N

kg 1000 g

ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II

18

CAPÍTULO II TEORIAS DE FALHA ESTÁTICA E DINÂMICA 2.1. TEORIA DE FALHA ESTÁTICA

2.1.1 Introdução

O motivo pelo qual elementos ou unidades mecânicas falham é uma questão na qual

cientistas e engenheiros têm se ocupado constantemente. Uma resposta, provavelmente

correta, seria que tais elementos falham por estarem submetidos a tensões que superam sua

resistência.

Porém, existe uma questão muito mais complexa, que se refere ao tipo de tensão ou

solicitação que causou a falha (tensão de tração, de compressão, de cisalhamento, etc). A

resposta a esta questão depende do material utilizado e suas respectivas resistências à tração,

compressão ou cisalhamento. Além disso, depende também do tipo de carregamento (estático

ou dinâmico) e da presença ou ausência de trincas no material.

Geralmente, materiais dúcteis sujeitos à tração estática, têm seu limite de resistência

dado pelo cisalhamento, enquanto que materiais frágeis são limitados por sua resistência à

tração, sendo exceções algumas situações em que os materiais dúcteis se comportam como

frágeis. Portanto, frente a esta situação, são necessárias diferentes teorias de falhas para as

duas classes de materiais existentes, dúcteis e frágeis.

A definição cuidadosa do que se entende por falha, também é de significativa

importância dentro deste contexto. Falha pode significar escoamento e distorção suficientes

para impedir o funcionamento de um elemento, ou ainda, falha pode significar simplesmente

fratura ou quebra. Ambas definições são válidas, porém geradas por mecanismos

completamente diversos. Um escoamento significativo precedendo a falha, somente é possível

para materiais dúcteis. Materiais frágeis sofrem fratura, praticamente sem mudanças

significativas de sua forma externa. Tais diferenças de comportamento são perfeitamente

visíveis em diagramas tensão-deformação para cada tipo de material. Além disso, a presença

de trincas em materiais dúcteis pode provocar fraturas repentinas, quando sujeitos a tensão

nominal, logo abaixo de sua resistência ao escoamento, mesmo sob carregamento estático.

A Tabela 2.1 relaciona a nomenclatura e a simbologia a serem utilizadas neste

capítulo.


19

Tabela 2.1 Nomenclatura e Simbologia.

Símbolos Variáveis Unidades ips Unidades SI

A comprimento característico da trinca in m

B largura característica da superfície da

trinca in m

E módulo de Young ou de elasticidade psi Pa

N fator de segurança adimensional adimensional

Nfm fator de segurança para falha mecânica

por fratura adimensional adimensional

Suc limite máximo de resistência à

compressão psi Pa

Sut limite máximo de resistência à tração psi Pa

Sy limite de escoamento ou deformação

plástica de tração psi Pa

Sys limite de escoamento ou deformação

plástica por cisalhamento psi Pa

U energia total de deformação in-lb Joules

Ud energia de deformação por distorção in-lb Joules

Uh energia de deformação hidrostática in-lb Joules

β fator de geometria tensão-intensidade adimensional adimensional

ε deformação relativa adimensional adimensional

ν coeficiente de Poisson adimensional adimensional

σ1 tensão principal psi Pa

σ2 tensão principal psi Pa

σ3 tensão principal psi Pa ~σ tensão efetiva de Mohr modificada psi Pa

σ tensão efetiva de Von Mises psi Pa

K fator de intensidade de tensão psi - in0.5 Pa – m0.5

Kc resistência à fratura psi - in0.5 Pa – m0.5

Kt fator de concentração de tensão para

tração adimensional adimensional

Kts fator de concentração de tensão para

cisalhamento adimensional adimensional

Outro fator fundamental em falhas é a característica do carregamento, se estático ou

dinâmico. Carregamentos estáticos são aplicados lentamente, permanecendo constantes com o


20

tempo. Carregamentos dinâmicos podem ser aplicados de duas maneiras básicas:

repentinamente, como no caso do impacto; ou variando repetidamente com o tempo, como no

caso de cargas por fadiga. Ambas solicitações também podem ocorrer simultaneamente.

A Tabela 2.2 apresenta quatro classes de carregamentos, baseados no movimento das

partes solicitadas, e na sua dependência no tempo.

Tabela 2.2 Classes de Carregamentos.

Cargas Constantes Cargas Variáveis no Tempo

Sistemas

Estacionários

Classe 1 - carga estática -

estrutura de uma base do tipo

plataforma fixa.

Classe 2 - carga dinâmica -

estrutura de uma ponte, sujeita a

variação de carga dos veículos e

da intensidade do vento.

Sistemas

Móveis


cortador de grama motorizado,

sujeito a carga externa constante

de cortar grama e às acelerações

das pás, devido ao movimento

rotativo.


motor de um automóvel, sujeito

a cargas variáveis devidos às

explosões de combustível e às

variações de aceleração de suas

massas inerciais.

2.2. TEORIA DE FALHA ESTÁTICA

2.2.1 Falha de Materiais Dúcteis sujeitos à Carregamento Estático

Sabe-se que os materiais dúcteis sofrem fratura quando estaticamente tensionados

além de sua máxima resistência à tração, ou tensão de ruptura. Porém, a falha dos

componentes de máquinas para este tipo de material é, geralmente, considerada quando este

sofre escoamento sob carregamento estático. Sua resistência ao escoamento é

consideravelmente inferior à sua resistência máxima.

Algumas teorias foram formuladas e desenvolvidas para este tipo de falha:

a) Teoria da Máxima Tensão Normal.

b) Teoria da Máxima Deformação Normal.

c) Teoria da Energia de Deformação Total.

d) Teoria da Energia de Distorção ou Critério de Von Mises-Hencky.

e) Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento.

Porém, os critérios que melhor se ajustam aos resultados de dados experimentais são o

da Teoria da Energia de Distorção ou Critério de Von Mises-Hencky e o da Teoria da Máxima

Tensão de Cisalhamento. Destes dois critérios, o de Von Mises-Hencky ainda é o mais

preciso.


21

Teoria da Energia de Distorção ou Critério de Von Mises-Hencky

O mecanismo microscópico de escoamento ocorre devido ao deslizamento relativo das

partículas de material dentro dos limites de sua estrutura. Tal deslizamento é provocado por

tensões de cisalhamento, sendo acompanhado por uma distorção na forma do elemento em

questão. A energia armazenada neste elemento devido à distorção é um indicador das tensões

de cisalhamento presentes no material.

Energia Total de Deformação

Define-se por energia de deformação U a área sob a curva tensão-deformação, contida

até o ponto correspondente à tensão aplicada σi, para um estado de tensão unidirecional.

Considerando a curva tensão-deformação essencialmente linear, até o ponto de escoamento do

material, a energia total de deformação, considerando um estado tridimensional de tensões, é

dada por:

( )3322112

1

2

1 εσεσεσσε ++==U (2.1)

Onde: σ1, σ2, σ3 são as tensões principais presentes no material.

A expressão que relaciona as tensões reais aplicadas às tensões principais é dada pela

expressão associada às figuras 2.1 (a) e 2.1 (b), abaixo:

Figura 2.1 - Estado de Tensões Aplicadas (a) e Principais (b).

Obtêm-se três raízes para o determinante do Tensor abaixo: σ1, σ2, σ3

σ σ τ ττ σ σ ττ τ σ σ

x xy xz

yx y yz

zx zy z

−−

−

=n

n

n

x

y

z

0

σ1

σ2 σyy

σxx σxx

σyy

τyx

τyx

τxy

τxy

σ1

σ2

(a) (b)


22

Substituindo as deformações principais relativas em função das tensões principais,

atuantes nos planos de tensão de cisalhamento nula, obtém-se:

( )

( )

( )

ε σ νσ νσ

ε σ νσ νσ

ε σ νσ νσ

1 1 2 3

2 2 1 3

3 3 1 2

1

1

1

= − −

= − −

= − −

E

E

E

(2.2)

Figura 2.2 - Círculo de Mohr para Estado de Tensões Tridimensional.

A tensão de cisalhamento máxima é sempre o maior valor resultante das expressões:

τσ σ

τσ σ

τσ σ

131 3

211 2

322 3

2

2

2

=−

=−

=−

Portanto, substituindo (2.2) em (2.1), obtem-se:

( )[ ]UE

= + + − + +1

221

222

32

1 2 2 3 1 3σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ (2.3)


23

Figura 2.3 - Diagrama Tensão-Deformação.

Componentes da Energia de Deformação

A energia total de deformação, em um elemento sujeito a carregamento estático, é

composta, basicamente, por duas componentes: uma devido ao carregamento hidrostático, o

qual altera seu volume; e outra devido à distorção, que altera sua forma.

Entende-se por carregamento hidrostático, por exemplo, quando um material é

submetido à compressão muito lento, muito além de sua resistência máxima, sem falha,

gerando tensões uniformes em todas as direções. Desta forma, o elemento sofre uma redução

de volume, sem alterar sua forma.

Assim, separando as duas componentes da energia de deformação e isolando a

componente da energia de distorção, esta será um indicador da tensão de cisalhamento

presente no elemento. Se Ud é a energia de deformação por distorção e Uh representa a energia

de deformação hidrostática, então:

U = Ud + Uh (2.4)

As tensões principais, por sua vez, também podem ser expressas em termos de

componente hidrostático (ou volumétrico), que é a mesma para todas as faces do material; e

da componente de distorção, que varia de acordo com a face considerada.

σσσσ σσσσ σσσσσσσσ σσσσ σσσσσσσσ σσσσ σσσσ

1 1

2 2

3 3

= += += +

h d

h d

h d

(2.5)

E

U

Energia de Deformação

σ σi

εi ε


24

Somando as tensões principais, temos:

( )( )dddh

dddh

321321

321321

3

3

σσσσσσσσσσσσσσ

++−++=+++=++

(2.6)

Para uma redução volumétrica, sem distorção, a tensão hidrostática se reduz a uma

média aritmética das tensões principais:

3321 σσσσ ++=h (2.7)

Substituindo Uh na expressão (2.3):

( )

UEh h=

−3

2

1 2 2νσ (2.8)

Substituindo (2.7) em (2.8):

( ) ( ) ( )[ ]31322123

22

21

2

321 26

21

3

21

2

3 σσσσσσσσσνσσσν ++−++−=

++−=EE

Uh (2.9)

A energia de distorção é, então, obtida, subtraindo a expressão (2.9) da expressão

(2.3):

( ) [ ]U U U

UE

d h

d

= −

=+

+ + − − −1

3 12

22

32

1 2 2 3 1 3

νσ σ σ σ σ σ σ σ σ

(2.10)

Para se obter um critério de falha, compara a energia de distorção, por volume unitário,

dada pela expressão (2.10), com a energia de distorção, por volume unitário, presente num

teste de falha por tração, por ser esta a principal fonte de dados de resistência dos materiais.

Trata-se, portanto, da resistência ao escoamento Sy. O teste de tração é um estado de

tensão uniaxial onde, no escoamento, tem-se σ1 = Sy e σ2 = σ3 = 0. Portanto, da expressão

(2.10), obtem-se a energia de distorção para o teste de tração:

( ) 2

yS3

1

EUd

ν+= (2.11)


25

Figura 2.4 - Círculo de Mohr para Tensão de Tração Unidirecional.

O critério de falha por energia de distorção, para um estado tridimensional de tensões,

iguala as expressões (2.10) e (2.11).

[ ]S

S

y

y

212

22

32

1 2 2 3 1 3

12

22

32

1 2 2 3 1 3

= + + − − −

= + + − − −

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ (2.12)

Para um estado bidimensional de tensões, σ2 = 0:

Sy = − +σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ12

1 3 32 (2.13)

A equação (2.13) descreve uma elipse nos respectivos eixos σ1 e σ3 . O interior da

elipse define a região das tensões biaxiais combinadas, dentro dos limites de segurança quanto

ao escoamento, sob carga estática. A equação (2.12) descreve um cilindro de seção circular,

inclinado em relação aos eixos σ1, σ2 e σ3 , de modo que sua interseção com qualquer dos

três planos principais, seja uma elipse como a da figura 2.5.

Figura 2.5 - Elipse da Energia de Distorção em 2-D para Resistência ao Escoamento.

σ

σ1 σ2 = σ3 = 0

τ13 , τ12

Sy

σ σ σ σ12

1 3 32

1− +

=1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

0.0 -1.0 1.0 1.5 0.5 -0.5

σσσσ3

σσσσ1

A

B

Para torção pura Sys = 0,577Sy


26

Tensão Efetiva de Von Mises

Para materiais dúcteis sujeitos as tensões combinadas de tração e cisalhamento,

atuando sobre um mesmo ponto, é possível e conveniente definir uma tensão efetiva que

represente esta combinação de tensões.

Define-se como tensão efetiva de Von Mises (σ’ ) uma tensão de tração uniaxial, capaz

de gerar a mesma energia de distorção, como aquela resultante da combinação das tensões

reais aplicadas.

31322123

22

21' σσσσσσσσσσ −−−++= (2.14)

A tensão efetiva de Von Mises também pode ser representada em termos das tensões

aplicadas:

( ) ( ) ( ) ( )222222 6' zxyzxyxzzyyx τττσσσσσσσ +++−+−+−= (2.15)

Para o caso bidimensional:

222 3' xyyxyx τσσσσσ +−+= (2.16)

Fator de Segurança

De acordo com a definição de fator de segurança, as equações (2.12) e (2.13) definem

as condições de falha.

Dentro do escopo de projeto, é interessante incluir uma estimativa do fator de

segurança N, de modo que o estado de tensões esteja dentro dos limites de segurança da elipse

de tensões.

'σyS

N = (2.17)

Para o estado tridimensional de tensões:

S

Ny = + + − − −σ σ σ σ σ σ σ σ σ1

222

32

1 2 2 3 1 3 (2.18)

O fator de segurança para o estado bidimensional é dado por:

S

Ny = + −σ σ σ σ1

232

1 3 (2.19)


27

Cisalhamento Puro

Para o caso de cisalhamento puro, como ocorrem para carregamentos torcionais puros,

as tensões principais tornam-se:

Figura 2.6 - Círculo de Mohr para Tensão de Cisalhamento Puro.

Na figura 2.5, o estado de tensão torcional puro está representado pela reta que corta a

elipse a – 45o, interceptando-a em dois pontos, A e B.

O critério de falha aplicado corresponde à equação (2.13):

ysyy

max

maxy

SSS

S

===

=+−=

577,03

3 22331

21

τ

τσσσσ (2.20)

Esta relação define a resistência ao escoamento por cisalhamento para materiais

dúcteis (Sys), como uma fração da resistência ao escoamento por tração (Sy).

Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento

A teoria da máxima tensão de cisalhamento estabelece que a falha ocorre quando a

tensão de cisalhamento máxima em uma região supera a tensão de cisalhamento resultante de

um teste de falha por tração. Neste caso, a resistência ao cisalhamento é a metade da

resistência ao escoamento por tração, para materiais dúcteis.

Sys = 0,50 Sy (2.21)

Portanto, este critério estabelece um limite mais conservativo que o critério de Von

Mises-Hencky.

τ

σ σ1 σ2 σ3

τmax

σ1 = −σ3 = τmax e σ2 = 0


28

Figura 2.7 - Círculo de Mohr para Solicitação por Tração.

A figura 2.8 ilustra a envoltória de falha hexagonal para o critério do máximo

cisalhamento bidimensional. O hexágono está contido dentro da elipse do critério de Von

Mises-Hencky, correspondendo, portanto, a um critério de falha mais rígido.

São consideradas dentro dos limites de segurança, as tensões combinadas que se

localizarem na área interna ao hexágono, estando o elemento sujeito à falha quando estas se

posicionarem sobre o contorno que delimita o hexágono. Os pontos C e D definem o critério

para cisalhamento puro torcional.

Figura 2.8 - Elipse da Energia de Distorção e Hexágono da Máxima Tensão de Cisalhamento,

em 2-D para Resistência ao Escoamento.

2.2.2 Falha de Materiais Frágeis sujeitos à Carregamento Estático

Materiais frágeis estão mais sujeitos à fratura que ao escoamento. A fratura frágil em

tração ocorre devido à tensão de tração normal apenas e, portanto, a teoria da máxima tensão

normal é amplamente aplicada nestes casos. A fratura frágil em compressão ocorre quando

τ

σ

τmax

σ3 = σ2 = 0 σ1

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

0.0 -1.0 1.0 1.5 0.5 -0.5

σσσσ3

σσσσ1

tensão/Sy

C

D

Para torção pura Sys = 0,5 Sy


29

existe uma combinação das tensões de compressão normal e de cisalhamento e, portanto,

requer teorias de falha particulares.

Figura 2.9 - Diagrama Tensão-Deformação para Materiais Frágeis.

Materiais regulares e irregulares

Materiais regulares são aqueles que tendem a apresentar uma resistência a compressão

igual a resistência a tração. Muitos materiais fundidos, como o ferro fundido cinza,

apresentam uma resistência à compressão muito superior à sua resistência à tração, sendo

denominados materiais irregulares. A baixa resistência à tração ocorre devido à presença ou

formação de imperfeições microscópicas na fundição, as quais atuam, quando sujeitas à

tração, como nucleadores para formação de trincas. Em compressão, estas imperfeições são

prensadas e preenchidas, elevando a resistência ao escorregamento devido às tensões de

cisalhamento. Outra característica importante dos materiais frágeis é a ocorrência de uma

resistência ao cisalhamento superior à resistência à tração: σt < τ < σc.

As figuras 2.10 (a) e (b) ilustram o Círculo de Mohr para materiais frágeis regulares e

irregulares. A área contida entre os círculos e as linhas tangentes de falha, representa a região

de segurança de projeto.

Su

Sy

E

ε

σ


30

(a)

(b)

Figura 2.10 - Círculo de Mohr para Testes de Tração e Compressão, para materiais frágeis

regulares (a) e irregulares (b).

Para materiais regulares, figura 2.10(a), as linhas de falha são constantes e independem

do valor da tensão normal, sendo, portanto, definidas pelo critério da máxima resistência ao

cisalhamento do material.

Por sua vez, os materiais irregulares apresentam as linhas de falha como uma função

de ambas as tensões, normal (σ) e de cisalhamento (τ). À medida que aumenta a tensão

normal de compressão, a resistência ao cisalhamento do material torna-se mais elevada.

Teoria de Coulomb - Mohr

A teoria de falha de Coulomb-Mohr é uma adaptação da teoria da máxima tensão

normal que, para materiais dúcteis, estabelece a ocorrência da falha quando a tensão normal

supera algum limite de resistência do material, no caso dúctil, Sy.

linhas de falha τ

τi

σ θ φ φ

compressão

τ

tração

µ = tgθ = ∆τ / σ ∆τ = µσ τmax = µσ + τi

τmax

σ

Linhas de falha

compressão tração


31

Figura 2.11 - Critério da Máxima Tensão Normal para Materiais Dúcteis.

A figura 2.12 ilustra o critério de Coulomb-Mohr para materiais frágeis, considerando

a máxima resistência à tração Sut.

Para materiais regulares temos: Sut = - Suc. Ou seja, a máxima resistência à tração é

igual à máxima resistência à compressão, conforme o quadrado simétrico da figura 2.12.

Os materiais frágeis irregulares apresentam uma resistência à compressão Suc muito

superior a resistência à tração Sut, caracterizando o quadrado maior assimétrico no diagrama

da figura 2.12.

Porém, a envoltória de falha para materiais irregulares é válida somente nos 1º. e 3º.

quadrantes, por não considerar a relação de variação existente entre as tensões normal e de

cisalhamento (figura 2.10 (b)).

Na figura 2.13, a relação de dependência entre σ e τ é contemplada através da união

dos vértices destes dois quadrantes. Este critério para materiais frágeis irregulares difere do

critério da máxima tensão de cisalhamento para materiais dúcteis, apenas por dois pontos: a

σ1

σ3

Sy

Sy

σ3

Figura 2.12 - Critério de Coulomb - Mohr para Materiais Frágeis.

Sut , -Suc

Sut , Sut

Sut , -Sut

-Suc , -Suc

-Suc , Sut

-Sut , -Sut

-Sut , Sut

Material Regular ou Estavel

Material Irregular ou Instável

σ1


32

assimetria típica de materiais irregulares e a utilização do limite de resistência máxima de

ruptura Su (e não do limite de escoamento Sy). Porém, testes experimentais superpostos aos

diagramas revelaram que as falhas coincidem com os limites do 1º quadrante da figura 2.13.

Para os 2º e 4º quadrantes, os pontos de falha permanecem dentro do critério da máxima

tensão normal, estando, porém, fora dos limites do critério de Coulomb-Mohr.

Figura 2.13 - Critério de Coulomb - Mohr para Materiais Inteligentes.

Teoria de Mohr Modificada

Os dados de falha reais seguem o critério da máxima tensão normal para materiais

irregulares no primeiro quadrante da figura 2.13. Prosseguindo, então, para os vértices do

quarto quadrante, a teoria de falha de Mohr Modificada é ajustada experimentalmente (figura

2.14).


33

Figura 2.14 - Critério de Mohr Modificado.

Fator de Segurança

Analisando os primeiro e segundo quadrantes da figura 2.14, para o critério de Mohr

Modificado, definem-se claramente três planos de condições de tensão: plano A, onde σ1 e σ3

são sempre positivos; plano B, onde σ1 e σ3 tem sinais opostos e o limite de resistência em Sut;

plano C, onde σ1 e σ3 tem sinais opostos e os limites de resistência em Sut e Suc.

O fator de segurança para os planos A e B, é, portanto:

NSut=σ1

(2.22)

Pois a falha ocorre quando as linhas de carga ultrapassam os pontos A’ e B’,

respectivamente, para os planos A e B. Para o plano C, a interseção da linha de carga com a

envoltória de falha em C’, define o fator de segurança N.

Para equação da reta entre (0 , -Suc) e (Sut , -Sut), obtem-se:

( ) ucutucut

utuc

ut

ut

ut

SSSS

SS

S

S

S

=++−

+−−=

+−

131

3

1

σσσ

σσ

( )S S

S Sut uc

ut uc− + +=

σ σ σ1 3 1

1

(2.23)


34

A expressão (2.23) estabelece uma relação entre os limites máximos de resistência à

tração (Sut), à compressão (Suc) e as tensões principais σ1 e σ3, igual à unidade, o que significa

justamente a reta que contorna o critério de falha para o quarto quadrante.

Para valores superiores à unidade, o estado de tensões se encontra no interior do

hexágono deformado pelo critério de Mohr Modificado, estando, portanto, a favor da

segurança.

( )S S

S SNut uc

ut uc− + +=

σ σ σ1 3 1

( )( )S S N S Sut uc ut uc= − + +σ σ σ1 3 1 (2.24)

( )

( ) NSS

NS

NS

NS

SS

S

SN

SN

SSSNNS

utuc

ut

ut

ut

utuc

ut

ut

ut

ucutucut

+−−=

+−

+−−=

+−

=++−

3

1

3

1

131

σσ

σσ

σσσ

Na aplicação desta teoria, pode ser conveniente a definição de uma tensão efetiva

(expressão de Dowling):

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

CS S

S

CS S

S

CS S

S

uc ut

uc

uc ut

uc

uc ut

uc

1 1 2 1 2

2 2 3 2 3

3 3 1 3 1

1

2

2

1

2

2

1

2

2

= − + + +

= − + + +

= − + + +

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ σ

(2.25)

O maior valor estimado entre C1, C2, C3, σ1, σ2 e σ3, será assumido como tensão

efetiva para materiais frágeis.

( )~ , , , , ,σ σ σ σ= MAX C C C1 2 3 1 2 3

Se ( )MAX C C C1 2 3 1 2 3 0 0, , , , , ~σ σ σ σ≤ ⇒ =


35

A tensão efetiva de Mohr Modificada pode, então, ser comparada à máxima resistência

à tração, para o fator de segurança N:

NSut= ~σ

(2.26)

2.2.3 Mecânica da fratura e Concentração de Tensões

As teorias de falha vistas até então, assumem materiais cujas superfícies são

perfeitamente homogêneas, isotrópicas e contínuas, sendo, portanto, livres de defeitos como

trincas, entalhes e inclusões que, por sua vez, atuam como incremento de tensões. Porém, este

fato não ocorre na realidade, sendo considerado que todos os materiais possuem microtrincas,

não mesmo visíveis macroscopicamente.

Contornos de geometria funcionais, projetados juntamente com o elemento em

questão, podem elevar as tensões locais de forma previsível, de modo a serem levadas em

consideração na análise de tensões, para posterior aplicação dos critérios de falha.

A grandeza associada à concentração de tensões, para uma determinada geometria, é

definida por um fator de concentração de tensões geométrico Kt, para tensões normais, ou Kts,

para tensões de cisalhamento.

A tensão máxima no local de incremento de tensões é dada por:

σ σmax t nomK= e nomtsmax K ττ = (2.27)

Onde σnom e τnom são as tensões nominais estimadas para um determinado

carregamento, sem considerar a concentração de tensões.

Para cargas estáticas, os materiais dúcteis escoam localmente na região de incremento

de tensões, enquanto o material tensionado, imediatamente próximo à descontinuidade

geométrica, permanecer abaixo de seu ponto de escoamento.

Os materiais frágeis não escoam por não apresentarem uma região plástica de

deformação. Portanto, quando as tensões na região de incremento excedem a resistência à

fratura, inicia-se a formação da trinca, que reduz a resistência à carga, e aumenta a

concentração de tensões nas suas vizinhanças.

Não só para carregamento dinâmico, a presença de uma trinca aguda em um campo de

tensões gera concentrações de tensões que, teoricamente, tendem ao infinito:

Ka

ct = +

1 2 (2.28)


36

Figura 2.15 - Variação do Fator de Concentração de Tensões devido a uma Trinca Elíptica.

Quanto menor a espessura da trinca (c → 0), a concentração de tensões Kt tende a

infinito. Como nenhum material pode suportar níveis tão elevados de tensões, ocorrem

escoamento local (materiais dúcteis) ou microtrinca local (materiais frágeis), na raiz da trinca.

Teoria da Mecânica da Fratura

Fratura Mecânica pressupõe a existência de uma trinca. Se a região de escoamento, nas

vizinhanças da trinca é pequena, então a teoria da fratura mecânica elástica linear é aplicada

(LEFM). Dependendo da orientação do carregamento em relação à trinca, a carga aplicada

pode abrir a trinca em tração (modo I), pode cisalhar a trinca no plano (modo II), ou pode

cisalhar a trinca fora do plano (modo III ). Limitar-se-á neste texto, a análise ao modo I.

Fator de Intensidade de Tensão

Considera-se, para efeito de análise, que a trinca é aguda em suas extremidades, tendo

sempre sua largura (2a) superior a sua espessura (2c). Conforme a figura (2.16), a trinca pode

ser interna, como na figura 2.16(a), ou de borda (entalhe na superfície), conforme figura

2.16(b).

Kt

c/a 0

5

10

2 4 6 8 10

a

c

P

P


37

Figura 2.16 - Trinca interna (a) e Entalhe (b) em tração.

Um sistema de coordenadas polares permite a representação das tensões nas

proximidades da trinca, de acordo com a teoria da elasticidade linear, para b>>a, no plano de

tensões:

0 e ...2

3sen

2sen

2cos

2

...2

3sen

2sen1

2cos

2

...2

3sen

2sen1

2cos

2

=+=

+

+=

+

−=

zxy

y

x

r

K

r

K

r

K

σθθθπ

τ

θθθπ

σ

θθθπ

σ

(2.29)

Para o plano de deformações:

( )

0==

+=

zxyz

yxz

ττ

σσνσ (2.30)


38

Portanto, o ângulo θ define o perfil de distribuição de tensões para qualquer raio r, a

partir da extremidade da trinca. Assim, se r tende a zero, então σx , σy e τxy tendem ao

infinito.

Figura 2.17 - Variação da Tensão de Von Mises na Região Plástica.

As tensões mais elevadas, próximas à extremidade final da trinca, causam escoamento

local, gerando uma região plástica de raio ry (correspondente a uma tensão efetiva igual ao

limite de escoamento). Para qualquer distância da extremidade final da trinca, o estado de

tensão na região plástica é proporcional ao fator de intensidade de tensão K. Para a figura

2.17(a), tem-se:

b.a aK nom << paraπσ= (2.31)

A precisão da equação (2.31) será inferior a 10% de erro se a/b for inferior a 0.4.

Se o comprimento característico da trinca (a) é considerável em relação à meia largura

do plano (b) adiciona-se o fator geométrico β:

aK nom πβσ= (2.32)

a

b

P

P

x

y r

θ

Região Plástica

σ’

σ’ θ

r

0 180 360

Sy

ry


39

Tenacidade à fratura

Quanto mais abaixo estiver o valor de K do valor crítico, denominado tenacidade à

fratura (KIC), maior a possibilidade de se considerar a trinca em modo estável, para carga

estática e meio não corrosivo; ou ainda, em modo de progressão lenta para carga dinâmica e

meio não corrosivo. Se o meio é corrosivo, a trinca encontra-se em modo de progressão

rápida.

Se, pelo incremento da tensão nominal, ou crescimento da trinca, o fator K atingir KIC,

a trinca propagar-se-á repentinamente até a falha. Nestes casos, portanto, o fator de segurança

é dado por:

K

KN IC

FM = (2.33)

Pela própria definição, nota-se que o fator de segurança pode ser variável no tempo, se

a trinca se encontrar em modo de progressão, pois K é função do comprimento característico

(2a) da trinca. Assim sendo, conhecidos a largura da trinca e a resistência a fratura (KIC) para

o material, a tensão nominal máxima permissível pode ser determinada para qualquer valor do

fator de segurança NFM.

Procedimento Geral.

A seguir, estão organizadas, num diagrama de blocos, as principais etapas para o

cálculo do fator de segurança e análise de fratura de um elemento.


40

ANÁLISE DE FALHA PARA CARGA ESTÁTICA

Forças, Torques e Momentos

Seções mais Solicitadas

Geometria do Elemento

Diagrama de Corpo Livre

Distribuição de Tensões

Tensões Principais

Máxima Tensão de

Cisalhamento

Níveis mais elevados e tensões

combinadas

ESTADO DE TENSÕES

Materiais Dúcteis

Tensão efetiva de Von Mises

Fator de segurança

N = Sy / σ

Características Metalúrgicas

Fator de segurança

N = Sut / σ’

Características Metalúrgicas

Tensão efetiva de Coulomb-Mohr

Materiais Frágeis

FIM Fator de Intensidade de

Tensão K

Resistência a Fratura KIC FRATURA

TRINCA NÃO SIM


41

2.3. TEORIA DE FALHA POR FADIGA

2.3.1 Introdução

Carregamentos variáveis no tempo são causa muito mais freqüente de falhas do que os

carregamentos estáticos. As falhas por carregamento dinâmico ocorrem, tipicamente, a níveis

de tensões significativamente inferiores ao da resistência ao escoamento dos materiais.

A Tabela 2.3 relaciona a nomenclatura e a simbologia a serem utilizadas nesta seção.

Tabela 2.3 - Nomenclatura e Simbologia.

Símbolos Variável Unidades ips Unidades SI

a meia largura da trinca in m

b meia largura da superfície trincada in m

A razão de amplitudes adimensional adimensional

A95 área tencionada acima de 95% de σmax in2 m2

Ccarga fator de carregamento adimensional adimensional

Cconf fator de confiabilidade adimensional adimensional

Ctam fator de tamanho ou dimensões adimensional adimensional

Csup fator de acabamento superficial adimensional adimensional

Ctemp fator de temperatura adimensional adimensional

dequiv diâmetro equivalente para A95 de seções

não circulares in m

N número de ciclos adimensional adimensional

Nf fator de segurança em fadiga adimensional adimensional

q sensibilidade ao entalhe do material adimensional adimensional

R razão de tensões adimensional adimensional

Se limite de resistência à fadiga corrigido psi Pa

Se’ limite de resistência à fadiga (testes) psi Pa

Sf resistência à fadiga corrigido psi Pa

Sf’ resistência à fadiga (testes) psi Pa

Sn resistência média para qualquer N psi Pa

Sus máxima resistência ao cisalhamento psi Pa

β fator de geometria tensão-intensidade adimensional adimensional

σa, σm componentes normais alternada e média psi Pa

σa’, σm’ componentes efetivas alternada e média

de Von Mises psi Pa


42

σmax máxima tensão normal aplicada psi Pa

σmin mínima tensão normal aplicada psi Pa

σ1 σ2 σ3 tensões principais psi Pa

σ tensão normal psi Pa

σ’ tensão efetiva de Von Mises psi Pa

Kf fator de concentração de tensões em

fadiga adimensional adimensional

K fator de intensidade de tensão psi- in0.5 Pa – m0.5

Kc resistência à fratura psi- in0.5 Pa – m0.5

∆K faixa do fator de intensidade de tensão psi- in0.5 Pa – m0.5

∆Kth

limite inferior da variação do fator de

intensidade de tensão abaixo do qual

não há a propagação da trinca

psi- in0.5 Pa – m0.5

2.3.2 Mecanismo de Falha por Fadiga

Falhas por fadiga também se iniciam a partir de uma trinca. Esta, por sua vez, pode

estar presente no material desde a fabricação do elemento, ou pode se desenvolver com o

tempo, devido a deformações cíclicas em torno da região de concentração de tensão.

Em fadiga, a trinca geralmente se inicia em uma imperfeição ou descontinuidade do

material, que atuam como pontos de concentração de tensões. Existem três estágios básicos e

fundamentais na falha por fadiga: a nucleação da trinca, a propagação da trinca e a fratura

súbita, devido ao crescimento instável da trinca.

Estágio de Nucleação da Trinca

Assumindo um material dúctil, onde não ocorrem trincas inicialmente, mas sim

inclusões ou imperfeições metalúrgicas, existem regiões de concentração de tensão

geométrica, situadas em posições de significativas tensões variáveis no tempo. Tais tensões

apresentam uma componente positiva de tração, conforme a figura 2.18.

Figura 2.18 - Tensões Variáveis no tempo.

t t

t

alternada simétrica pulsante flutuante

tensão tensão tensão


43

Como as tensões são variáveis, um escoamento local pode ocorrer, mesmo estando,

neste caso, a tensão nominal abaixo da resistência ao escoamento do material. O escoamento

plástico localizado causa distorção, criando bandas de deslizamento devido ao movimento de

cisalhamento (ondulações microscópicas) a cada ciclo. Assim sendo, com os ciclos de tensão,

bandas adicionais ocorrem em torno do núcleo da trinca (figura 2.19).

Figura 2.19 - Mecanismo de Falha por Fadiga em materiais dúcteis.

Estágio de Propagação da Trinca

Uma vez iniciada a microtrinca, forma-se o campo de tensão, já descrito no ítem 2.3.

A trinca aguda gera concentrações de tensões, mais elevadas que as já existentes na

imperfeição inicial. Assim, uma região plástica se desenvolve na extremidade da trinca, cada

vez que a tensão de tração tende a abri-la, atenuando a geometria aguda da extremidade e,

consequentemente, reduzindo a concentração de tensão efetiva nesta região. A trinca, então,

aumenta levemente. Quando a tensão de tração diminui, ou se alterna para um valor nulo ou

negativo (figura 2.18), ocorre o fechamento da trinca e, momentaneamente, o escoamento

cessa, assumindo a extremidade da trinca, uma forma aguda novamente, sendo, porém, de

maior extensão. Este processo permanece o tempo necessário para que a tensão local passe a

oscilar de valores inferiores a valores superiores ao limite de escoamento, na extremidade da

trinca. Portanto, o crescimento da trinca ocorre devido à tensão de tração, e sempre na direção

normal à máxima tensão de tração aplicada.

A taxa de propagação da trinca é muito pequena, sendo de uma ordem de grandeza

entre 10-8 e 10-4 in por ciclo, que corresponde às distâncias entre as ondulações. Esta taxa

aumenta à medida que o número de ciclos aumenta. Não se devem confundir as ondulações

NUCLEAÇÃO DA TRINCA

MARCAS DE PRAIA

REGIÃO DE RUPTURA


44

com marcas de praia. As ondulações são marcas microscópicas na superfie de fratura e

mostram o quanto à trinca avança em um ciclo de carregamento. Já as marcas de praia são

macroscópicas e se devem a variações na amplitude ou na freqüência do carregamento cíclico.

Ao contrário das ondulações que estão sempre presentes nas peças que falham por fadiga, as

marcas de praia não estão presentes nos corpos de provas que são ensaiados a uma rotação

constante e sem variação na amplitude de carregamento. Entretanto, em peças que falham por

fadiga, as marcas de praia “contam a história da peça”, pois registram na superfície da trinca

as partidas e paradas da máquina e as sobrecargas devido a imprevistos durante a operação.

Fratura

A trinca continua a crescer, enquanto estiver presente a ação da tensão de tração

alternada, e/ou se atuarem fatores agravantes, como um meio corrosivo, por exemplo.

Em algum ponto, as dimensões da trinca tornam-se suficientemente elevadas, de modo

que o fator de intensidade de tensão K, associado à extremidade da trinca, possa atingir o

limite de resistência à fratura do material (KC), desencadeando a falha repentina e instantânea

no próximo ciclo de tensões.

Este efeito é semelhante ao descrito para carga estática, onde por crescimento da trinca

ou por incremento da tensão nominal, a condição K = KC é atingida. O resultado é sempre o

mesmo: fratura súbita e catastrófica, sem aviso.

2.3.3 Cargas Alternadas em Fadiga

Qualquer carregamento variável com o tempo pode causar fadiga.

O caráter destas cargas, porém, pode variar substancialmente. Em máquinas rotativas,

tais cargas tendem a manter sua amplitude no tempo, repetindo-se segundo uma determinada

freqüência. As funções típicas que descrevem a variação da tensão no tempo, para estas

máquinas, podem ser modeladas como funções senoidais.

Figura 2.20 Tensões Variáveis no Tempo e as Principais Grandezas associadas.

t t t

alternada simétrica pulsante flutuante

σ σ σ

σmax σmax

σmax

σmin

σmin

σmin = 0

σm σm

σm= 0 σa

σa

σa

∆σ

∆σ

∆σ


45

A faixa de variação de tensões ∆σ é dada por:

minmax σσ∆σ −= (2.34)

A componente alternada (ou variável da tensão) é:

2minmax σσ

σa

−= (2.35)

A componente média, em torno da qual oscila a tensão:

2minmax σσ

σm

+= (2.36)

Tem-se, ainda, a razão de tensões R e a razão de amplitudes A:

max

min

σ

σR = e

m

a

σ

σA = (2.37)

Para tensão alternada, tem-se R = -1 e A tende a infinito.

Se a tensão é pulsante, então R = 0 e A = 1.

Para tensão flutuante, R e A são positivos e .10 ≤≤ R

A presença da componente média da tensão σm pode influir de maneira significante na

vida em fadiga de um componente.

2.3.4 Principais Diagramas

Curva S-N: relaciona o nível de tensão com o número de ciclos aplicado até a falha. O

nível de tensão pode ser dado por Sf (resistência à fadiga) ou pela relação Sf / Sut, ou seja, entre

a resistência à fadiga e a máxima resistência à tração. N representa o número de ciclos até a

falha.

Por exemplo, para 105 ciclos, o limite de resistência à fadiga é de, aproximadamente,

220 MPa . Note que a escala para a curva S-N é representada em coordenadas log-log.

Aço Se’ ≅ 0,5 Sut para Sut < 200 ksi (1400MPa)

Se’ ≅ 100 ksi (700MPa) para Sut ≥ 200 ksi (1400MPa)

Ferro Se’ ≅ 0,4 Sut para Sut < 60 ksi (400MPa)

Fundido Se’ ≅ 24 ksi (160MPa) para Sut ≥ 200 ksi (400MPa)


46

Figura 2.21 - Curva S-N para carga axial alternada e flexão alternada (eixos rotativos).

A resistência à fadiga diminui estacionária e linearmente com o aumento do número de

ciclos, até atingir um ponto onde ocorre a formação de um cotovelo entre, aproximadamente,

106 e 107 ciclos. Este ponto define o limite de resistência para o material, ou seja, o nível de

tensão abaixo do qual o material pode ser submetido a um número infinito de ciclos, sem

ocorrência de falha. Porém, nem todos os materiais apresentam este ponto nas curvas S-N.

Para alguns, a curva S-N cai continuamente com o acréscimo do número de ciclos N. Para

fadiga torcional, os pontos de falha, para flexão e torção alternadas, são plotados num gráfico,

cujos eixos relacionam σ1 e σ3 (figura 2.22).

Figura 2.22 - Pontos de falha por fadiga sobre o critério da energia de distorção para carga

estática.

N

150

200

250

300

Sf [ ]MPa

Axial Alternada

Flexional Alternada

104 105 106 107

σ3 / Sn

σ1 / Sn

Torção Alternada Reversa

Teoria da Energia de Distorção

Flexão Reversa


47

Nota-se a semelhança com a elipse da teoria de falha por energia de distorção, para

carga estática. Portanto, a relação entre a resistência à fadiga torcional e a resistência à fadiga

flexional mantém-se a mesma, tanto para carregamento cíclico, como para estático. A

resistência à fadiga torcional (ou limite de fadiga torcional) para um material dúctil, será 58%

da resistência à fadiga flexional (ou limite de fadiga flexional).

ffs SS 577,0= (2.38)

A presença da componente média da tensão variável no tempo tem um efeito

significativo sobre falhas em fadiga. Quando a componente média de tração é adicionada à

componente alternada da tensão (figura 2.20 para tensões pulsante e flutuante), o material

falha a níveis de tensões alternadas inferiores ao caso de tensão alternada simétrica.

A figura 2.23 representa os resultados de testes para aços, em aproximadamente 107

ciclos, para vários níveis de combinação das componentes média e alternada da tensão.

Figura 2.23 - Efeito da Tensão Média sobre a Resistência à Fadiga, para um elevado número

de ciclos.

Os eixos são normalizados, sendo que, para as ordenadas, tem-se a relação da

componente alternada da tensão pela resistência à fadiga do material, para tensão cíclica

reversa (σa / Sf); enquanto que, para as abcissas, tem-se a relação entre a componente média

da tensão e a máxima resistência à tração do material (σm / Sut).

A parábola que ajusta os dados com precisão razoável, é denominada linha de Gerber;

enquanto que, a linha reta que une os pontos extremos de resistência à fadiga e de máxima

σa / Sf

0.8

1.0

0.6

0.4

0.2

0.0 0.5 1.0

σm / Sut

Linha de Gerber

Linha de Goodman


48

resistência à tração, chama-se linha de Goodman, e representa uma boa aproximação para o

limite inferior dos dados de testes.

A linha de Gerber representa a medida do comportamento médio destes parâmetros

para materiais dúcteis; enquanto que a linha de Goodman é o limite mínimo para este

comportamento, em flexão alternada, sendo aplicada como critério de projeto, uma vez que

está mais a favor da segurança.

Quando σm é diferente de zero, isto significa que ocorre a componente média de

tensão. No caso de compressão, este efeito pode ser benéfico pela introdução de tensões

residuais no material. Para tração, o efeito é bem mais restritivo quanto aos limites de

resistência (figura 2.24).

Critério de Fratura Mecânica

O limite de resistência à fratura estática (KIC), já descrito anteriormente, será adequado

ao caso de solicitação dinâmica.

Para o caso de falha por fadiga, a faixa de tensões aplicadas estende-se de σmin a σmáx.

A faixa do fator de intensidade de tensões ∆K, pode ser estimada para cada condição de tensão

flutuante.

Na figura 2.24, a escala é logarítmica somente para as ordenadas (σa).

maxmin

minmax

0 K∆KKse

KK∆K

=⇒<

−=

ou ainda, ( )minmax σσπaβ∆K −=

(2.39)

Figura 2.24 - Efeito da Componente Média de Tensão na Vida em Fadiga.

A taxa de crescimento da trinca em função do número de ciclos (da/dN) pode ser

estimada, definindo-se uma curva que relaciona esta grandeza com a faixa do fator de

intensidade de tensões ∆K, ambos em escala logarítmica.

σa

N (número de ciclos) 103 108

σm compressão

σm = 0

σm tração


49

Figura 2.25 - Três Regiões da Curva de Taxa de Crescimento da Trinca.

A figura 2.25 divide-se em três regiões: Região I, correspondente ao estágio de

formação da trinca; Região II , ao estágio de propagação da trinca; e Região III , ao estágio de

fratura instável.

A Região II é de particular interesse na predição da vida em fadiga, sendo que a curva,

nesta região, se comporta como uma reta em escala log-log.

( )n∆KA

dN

da = (2.40)

Tabela 2.4 - Parâmetros A e n, para vários tipos de aços.

SI ips

Aços A n A n

Ferrítico-Perlítico 12109,6 −x 3,00 101060,3 −x 3,00

Martensítico 101035,1 −x 2,25 91060,6 −x 2,25

Austenítico Inoxidável 121060,5 −x 3,25 101000,3 −x 3,25

A vida, durante a propagação da trinca em fadiga, é dada pela integração da equação

(2.40), tendo como limites inferior e superior, respectivamente, um comprimento inicial

assumido e um comprimento final máximo aceitável para a trinca.

A Região I é também de interesse, pois evidencia a existência de um valor mínimo

∆Kth, abaixo do qual não ocorre o crescimento da trinca.

I II III dN

da

∆K ∆Kth Kc


50

Fatores de Correção para a Resistência a Fadiga

A resistência à fadiga, obtida através de testes de fadiga padronizados, deve ser

adequada às diferenças físicas existentes entre o ambiente de teste e o elemento real a ser

projetado. Os principais fatores a serem considerados para correção ou adequação deste

parâmetro são: carregamento aplicado, tamanho ou dimensões, acabamento superficial,

temperatura ambiente e confiabilidade.

Se = Ccarga.Ctam.Csup.Ctemp.Cconf.Se’

Sf = Ccarga.Ctam.Csup.Ctemp.Cconf.Sf’ (2.41)

Na qual: Se representa a resistência à fadiga corrigida para um material, cuja curva S-N

apresente o cotovelo que caracteriza o limite de resistência à fadiga para este material. Sf

representa a resistência à fadiga corrigida para um material, cuja curva S-N não possui o limite

de resistência à fadiga e, portanto, decresce continuamente. Se’ representa o limite da

resistência à fadiga do corpo de prova, obtido no laboratório.

Efeito do Carregamento: A grande maioria dos dados de testes relativos à resistência

à fadiga é realizada para flexão alternada, sendo aplicado um fator de correção para

carregamento axial.

Flexão Alternada: Ccarga = 1,0

Carga Axial: Ccarga = 0,70

Para teste de fadiga torcional (figura 2.22), a resistência à fadiga por cisalhamento é

0,577 vezes a resistência à fadiga por flexão alternada. Assim, para torção pura, deve-se

aplicar Ccarga = 1,0. Para tensões alternadas combinadas, deve-se estimar a tensão efetiva de

Von Mises a partir das tensões aplicadas, para comparação direta com a resistência à fadiga

por flexão.

Efeito de Tamanho: Os corpos de prova utilizados em testes de fadiga apresentam,

normalmente, dimensões reduzidas. Um fator de redução de resistência, associado à correção

de tamanho, deve ser aplicado para elementos com dimensões superiores àquelas empregadas

nos testes; pois, em um volume maior, aumenta a probabilidade de imperfeições, ocasionando

falhas a níveis de tensões bem mais baixos em relação aos testes. A equação (2.42) apresenta

os fatores de tamanho para peças de aço.


51

0,18mmou in 30 =≤ tamC.d

0970

0970

189,1 mm 250 mm 8

869,0 in 10 in 0.3.

tam

.tam

dCd

dCd−

−

=≤≤

=≤≤ (2.42)

Para dimensões muito elevadas, deve-se aplicar Ctam = 0,6.

A expressão (2.42) foi ajustada para elementos cilíndricos. Para seções com outras

formas geométricas, ou ainda, não circulares, toma-se por equivalência a área tencionada

acima de 95% da tensão máxima presente na superfície do elemento. Define-se, portanto, um

diâmetro equivalente, por similaridade de área tencionada, para uma viga rotativa de teste.

Como a distribuição de tensões é linear através do diâmetro da seção circular, para

uma viga rotativa sujeita a flexão alternada, o diâmetro varia de 0,95 d a 1,0 d na seção sujeita

a uma distribuição de tensões entre 95% a 100% de σmax.

( ) 222

95 0766,04

95,0d

ddπA =

−= (2.43)

O diâmetro equivalente, para um elemento de seção não circular, é dado por:

0766,095A

dequiv = (2.44)

Figura 2.26 - Área Tencionada acima de 95% da Tensão Máxima.

Sendo A95 a porção da área da seção não circular, tencionada entre 95% e 100% da

tensão máxima de flexão. Para as principais seções utilizadas em projeto, tem-se:

A95

τmax

95% τmax

0,95 d

d


52

Figura 2.27 - Cálculo de A95 para algumas seções mais comuns.

Seções carregadas axialmente sempre têm Ctam = 1,0, porque evidências experimentais

mostram que não existe sensibilidade das propriedades de resistência a fadiga quanto ao

tamanho da peça, para este tipo de carregamento.

Efeito de Acabamento Superficial: O corpo de prova empregado nos testes apresenta

um acabamento superficial polido espelhado, de modo a evitar imperfeições de superfície que

atuem como incrementos de tensões. Como este nível de acabamento raramente ocorre em um

elemento real, a rugosidade de seu acabamento deve reduzir a resistência à fadiga,

introduzindo fatores de concentração de tensões, ou alterando as propriedades físicas da

superfície. O fator de redução da resistência por acabamento superficial, Csup, leva em

consideração tais diferenças. A figura 2.28 indica alguns valores para o fator de correção, para

acabamento superficial, de acordo com os acabamentos mais comuns para aços.

d

295 0766,0 dA =

b

h

bhA 05,095 =

1

1

2 2

b

h

t

x

( )xhtbxA

btbh,A

−+=

≥=

−

−

05,0

025,0 05,0

22

11

95

95

b

h

t

1

1

2 2

btbh,A

btA

025,0 05,0

10,0

22

11

95

95

≥=

=

−

−


53

(a)

(b)

Figura 2.28 - Fator de Correção de Superfície para Aços (a) e em função da Rugosidade do

Material (b).

Shigley e Mischke (1989) desenvolveram uma equação exponencial para representar o

fator de superfície em função da máxima resistência a tração (Sut), em [kpsi] ou [Mpa].

( )C A Sutb

sup = (2.45)

Se Csup > 1,0, aplica-se então, Csup = 1,0.

Polimento

Retífica fina ou Polimento comercial

Corroído em água salgada

Corroído em água

Usinado ou trabalho a frio

Laminado a quente


54

Tabela 2.5 - Coeficientes para a Equação de Fator de Correção de Superfície.

MPa kpsi

Acabamento Superficial A b A b

Polimento fino comercial 1,58 -0,085 1,34 -0,085

Usinado ou Estampado a frio 4,51 -0,265 2,70 -0,265

Rolado a quente 57,7 -0,718 14,40 -0,718

Forjado 272 -0,995 39,90 -0,995

Efeito de Temperatura: Testes de fadiga são realizados, geralmente, a temperatura

ambiente. O limite de resistência à fratura decresce a baixas temperaturas, elevando-se para

valores moderadamente altos de temperatura (até 350o C). Porém, o limite de resistência à

fadiga (cotovelo da curva S-N) desaparece para temperaturas muito altas. A resistência à

fadiga passa a apresentar um comportamento continuamente decrescente com o aumento do

número de ciclos.

Outro fenômeno importante é a queda do limite de resistência ao escoamento (Sy) do

material, continua para temperaturas acima da ambiente, causando o escoamento antes da

falha por fadiga, algumas vezes.

Para temperaturas próximas àquela de fusão do material, o escorregamento ou

deslizamento do material na superfície do elemento torna-se um fator significativo, não sendo

mais válidas as aproximações para a vida do elemento em número de ciclos, sob tensão

alternada. Uma aproximação para determinação da vida por deformação, deve levar em conta

a combinação de ambos os efeitos, deslizamento e fadiga, para elevadas condições de

temperatura.

O fator de redução da resistência à fadiga devido a elevadas temperaturas, Ctemp, é

definido por Shigley e Mitchell (1989), como:

( )

( )( ) F1020840 para 8400032,01

C550450 para 4500058,01

F840C450 para 0,1

≤≤−−=

≤≤−−=

≤=

TTC

TTC

TC

temp

otemp

ootemp

(2.46)

Os valores acima são válidos para aços e não devem ser usados para outros metais, tais

como alumínio, manganês e ligas de cobre.

Efeito de Confiabilidade: Muitos dos dados de resistência disponíveis na literatura

são valores médios, resultantes de uma série de múltiplos testes do mesmo material, testado

sob as mesmas condições. Para os aços comerciais, o desvio padrão da resistência à fadiga

atinge 8% do seu valor médio.


55

A Tabela 2.6 estabelece fatores de confiabilidade para um desvio padrão de 8%. O

fator de redução da resistência, devido à confiabilidade, é definido de acordo com os níveis

deste parâmetro.

Para 50% de confiabilidade nos dados de testes, assume-se um fator igual à unidade.

Para valores de confiabilidade superiores, a resistência à fadiga deve ser corrigida pelo fator

de confiabilidade. A tabela 2.6 mostra os fatores de confiabilidade para um desvio padrão de

8%.

Tabela 2.6 - Fatores de Confiabilidade para desvio padrão de 8%.

CONFIABILIDADE 50 % 90 % 99 % 99.9 % 99.99 % 99.999 %

Cconf 1,0 0,897 0,814 0,753 0,702 0,659

Entalhes e Concentração de Tensões

Entalhe é um termo genérico que se refere a um contorno geométrico, que interrompe

o fluxo de forças através do elemento. Pode ser um furo, uma ranhura, ou uma mudança de

área de seção. Serão analisadas as alterações geométricas funcionais introduzidas no projeto,

por exemplo: ranhuras em eixos para instalação de O-rings, furos para junções, etc.

Os fatores de concentração de tensão, Kt (tensão normal) e Kts (tensão de

cisalhamento), definidos para carga estática, devem ser modificados para carregamento

dinâmico, com base na sensibilidade ao entalhe do material, para obtenção do fator de

concentração de tensão em fadiga (Kf), que será aplicado às tensões nominais de projeto.

Define-se, portanto, o fator de sensibilidade ao entalhe:

( )( )qK

K

f

t

=−

−

1

1 (2.47)

Na qual, Kt é o fator de concentração de tensões geométrico (ou estático) e Kf é o fator

de concentração de tensões dinâmico (ou em fadiga).

( )K q K qf t= + − ≤ ≤1 1 0 1, onde (2.48)

Inicialmente, determina-se o fator Kf , de acordo com a geometria funcional

introduzida no elemento, selecionando-se o fator de sensibilidade ao entalhe q correspondente

ao material utilizado.

Pela expressão (2.48), estima-se o fator dinâmico Kf, a ser utilizado nos cálculos:


56

σ σ

τ τ

=

=

K

K

f nom

f nom

(2.49)

O fator q também pode ser definido pela expressão de Kunn-Hardrath (1952), em

função da constante a e do raio do entalhe r:

qa

r

=+

1

1

(2.50)

A tabela 2.7 mostra os valores da constante a , também conhecida como contantes de

Neuber, para aços em função de seu limite de ruptura.

Tabela 2.7 - Constante de Neuber.

Sut (ksi) 50 55 60 70 80 90 100

a (in0,5) 0,130 0,118 0,108 0,093 0,080 0,070 0,062

Su t(ksi) 110 120 130 140 160 180 200

a (in0,5) 0,055 0,049 0,044 0,039 0,031 0,024 0,018

Sut (ksi) 220 240

a (in0,5) 0,013 0,009

Projeto para Tensões Alternadas Simétricas ou Completamente Reversas

Recomenda-se o seguinte roteiro para o cálculo da resistência à fadiga:

1) Determinar o número de ciclos N do carregamento cíclico para o qual o elemento

deverá ser projetado.

2) Determinar a faixa da carga alternada aplicada, pico a pico.

3) Determinar os fatores de concentração de tensões geométricos (Kt ou Kts).

4) Definir as propriedades do material Sut , Sy , Se’ ou Sf’ e q.

5) Converter Kt para Kf, aplicando q.

6) Determinar a componente alternada σa, a partir da análise de tensões,

incrementando, se necessário, através do fator de concentração de tensões em

fadiga Kf.


57

7) Determinar as tensões principais alternadas nas localizações críticas, já

considerando o efeito de fatores de incremento de tensões.

8) Estimar a Tensão Efetiva de Von Mises nas regiões críticas.

9) Determinar os fatores de correção para a resistência à fadiga (Se’ ou Sf’):

Se’ = 0.5 Sut.

10) Calcular a resistência à fadiga corrigida para o ciclo de vida N esperado. Se a curva

S-N apresenta o cotovelo que caracteriza o limite de resistência à fadiga para vida

infinita, então, Sf = Se.

Para materiais sem o limite de resistência para vida infinita, escreve-se a equação da

reta para a curva S-N, em escala log-log.

S aNnb=

NbaSn logloglog +=

Para N = N1 = 103 ciclos, tem-se Sn = Sm, que intercepta o eixo das ordenadas.

Para N = N2 = 106 ciclos, tem-se Sn = Se, para materiais com cotovelo em S - N.

Figura 2.29 – Curva S-N para materiais sem o limite de resistência para vida infinita.

Para N = N2 = 106 ciclos, tem-se Sn = Sf, para materiais com cotovelo em S - N.

NbSa n logloglog −=

bSNbSa mm 3loglogloglog 1 −=−= (2.51)

(2.52)

)/log(loglog

1

loglog

loglog

log

log

2121em

emn SSNNNN

SS

N

Sb

−=

−−

=∆∆

= (2.53)

Sm = 0,90 Sut para flexão alternada

Sm = 0,75 Sut para carga axial alternada

Sf

N

Se

Sm

103 106


58

11) Comparar a tensão alternada efetiva de Von Mises com a Resistência à Fadiga

corrigida, obtida da curva S-N, para o ciclo de vida desejado.

12) Calcular o Fator de Segurança Nf = Sn / σ.

Projeto para Tensões Alternadas Flutuantes

Recomenda-se o seguinte roteiro para o cálculo da resistência à fadiga:

1) Determinar o número de ciclos N do carregamento cíclico para o qual o elemento

deverá ser projetado.

2) Determinar a amplitude da componente alternada do carregamento e da componente

média.

3) Determinar os fatores de concentração de tensões geométricos (Kt ou Kts).

4) Definir as propriedades do material Sut , Sy , Se’ ou Sf’ e q.

5) Converter Kt para Kf, aplicando q.

6) Determinar a componente de tração nominal alternada σa, a partir da análise de

tensões, nas regiões críticas, bem como a componente média σm.

7) Determinar as tensões reais alternada e média, nas localizações críticas, já

considerando o efeito do fator de concentração de tensões em fadiga.

8) Para proceder com o passo (7), é necessário definir Kfm, ou seja, o fator médio

associado à componente média de tensões σm.

0 então ,2 Se c)

então Se b)

então Se a)

minmax

max

max

=≥−

−=≥

=≤

fmyf

m

afyfmyf

ffmyf

KSσσK

σ

σKS K , SσK

KK , SσK


I II III

Kfm

σmax

Kf

Sy / Kf 2Sy / ∆σKf


59

9) Estimar a Tensão Efetiva de Von Mises, a partir do estado real de tensões, para as

componentes média e alternada.

222 3 xymymxmymxmm τσσσσσ +−+=′

222 3 xyayaxayaxaa τσσσσσ +−+=′

(2.54)

(2.55)

10) Determinar os fatores de correção para a resistência à fadiga (Se’ ou Sf’): Se’ = 0,5 Sut.

11) Criar o Diagrama de Goodman Modificado para a resistência a fadiga corrigida (Se ou

Sf), utilizando como limite do material, a resistência máxima à tração Sut.

Figura 2.31 – Diagrama de Goodman Modificado.

Note que, para materiais com vida infinita, Sf = Se.

12) Determine os principais pontos de falha e calcule os Fatores de Segurança a eles

associados.


σa

σm

σa’

σm’

Se ou Sf

Sy

Sy Sut

Estado de Tensão de Von Mises

σa

σm

σa’

σm’

Se ou Sf

Sy

Sy Sut

Nf1

Nf2 Nf3

Nf4


60

Nf1 : Para componente alternada constante e componente média variável.

NS

Sfy

m

a

y1 1=

′− ′

σ

σ (2.56)

Nf2 : Para componente média constante e componente alternada variável.

NS

Sff

a

m

ut2 1=

′− ′

σσ

(2.57)

Nf3 : Para componentes média e alternada variáveis, mantendo, porém, uma relação

fixa entre se (σa’ / σm’ = cte).

NS S

S Sfut f

a ut m f3 =

′ + ′σ σ (2.58)

Nf4 : Para componentes média e alternada variáveis quaisquer.

( ) ( )22

2222

4

ma

asamsmmafN

σσ

σσσσσσ′+′

′−′+′−′+′+′= (2.59)

( )22

2

utf

mutaffutms

SS

SSSS

+

′+′−=′

σσσ (2.60)

( )

f

ut

msf

as SS

S+

′−=′

σσ (2.61)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III

61

CAPÍTULO III PROJETO DE EIXOS DE TRANSMISSÃO E ACOPLAMENTOS RADIAIS E AXIAIS 3.1. EIXOS DE TRANSMISSÃO

3.1.1 Introdução

O termo eixo refere-se, geralmente, a um componente de seção transversal circular,

cujo comprimento axial supera o diâmetro da área de seção transversal, e que possui rotação

em torno de seu eixo de simetria, transmitindo rotação e torque, ou ainda, potência.

Componentes como engrenagens, polias, cames, volantes e outros, são normalmente

fixados axial e/ou radialmente ao eixo através de chavetas, retentores ou anéis de fixação, e

são normalmente denominados de "elementos associados". Acoplamentos (rígidos e

elásticos), juntas universais e juntas homocinéticas, são considerados elementos responsáveis

pela união axial de um ou mais eixos a uma fonte de potência ou de carregamento. Um eixo

que não possui rotação é considerado um elemento estacionário ou de suporte, como uma

viga.

Os eixos podem ser submetidos a várias combinações de carregamentos: axial,

transversal, flexional ou torsional, que podem ser estáticos ou dinâmicos.

Normalmente, um eixo rotativo transmitindo potência (em regime), está sujeito à ação

de um momento torsor constante, que produz uma tensão de cisalhamento estática, e um

momento fletor orientado, que por sua vez, produz uma tensão normal alternada simétrica (as

fibras de uma região do eixo são sucessivamente submetidas à tração e à compressão, devido

à rotação e deflexão do eixo), solicitando este elemento em fadiga. Portanto, para satisfazer os

critérios de falha associados aos conceitos de resistência dos materiais, os eixos devem ser

projetados de forma que suas deflexões permaneçam dentro de limites aceitáveis. Uma

deflexão lateral excessiva em um eixo pode comprometer o funcionamento de engrenagens e

cames, causando ruído excessivo. A deflexão angular, por sua vez, pode ser destrutiva quando

atuando em mancais de rolamento não autocompensadores. A torção pode afetar a precisão de


62

um came ou de um trem de engrenagens. Além das condições citadas, vale lembrar que,

quanto maior a flexibilidade do eixo, tanto mais baixa será a velocidade crítica

correspondente, a qual pode então se posicionar anteriormente à rotação operacional do eixo.

Neste caso, a cada acionamento do sistema, o eixo deve ultrapassar sua condição de

ressonância, até atingir seu regime de operação, o que demanda energia (ou torque de

acionamento) suficientemente elevada para superar esta região crítica de funcionamento da

máquina.

Muitas vezes, os elementos associados são parte integral do eixo. Normalmente, são

construídos separadamente e montados sobre o mesmo através de elementos de fixação como:

• Pinos: encaixe simples para transmissão de carregamentos leves. Os principais

tipos são: pino reto, pino cônico, pino elástico e pino ranhurado.

• Chavetas: utilizadas para taxas mais pesadas de serviço ou operação. Principais

tipos: chaveta de seção quadrada, retangular, redonda, chavetas em montagem

dupla a 90°, chaveta woodruff (meia pastilha), chavetas com cabeça e, ainda, as

parafusadas.

• Anel de fixação axial ou retentores: método excelente e de baixo custo para

posicionamento e fixação axial em eixos. Os tipos convencionais são montados

em ranhuras, enquanto que os tipos sob pressão não necessitam das mesmas. Em

ambos os casos, os anéis podem ser externos (montados sobre os eixos) ou

internos (montados na caixa ou equivalente).

• "Splines" ou eixos ranhurados ou estriados: normalmente permitem uma conexão

axial mais resistente para altas taxas de transmissão de torque.


63



A área in2 2m

c distância da fibra externa à linha

neutra in m

d diâmetro in m

e excentricidade in m

G módulo de cisalhamento psi Pa

E módulo de Young psi Pa

I momento de área in 4 4m

J momento polar de área in4 4m

Cf coeficiente de flutuação adimensional adimensional

Ek , Ep energia cinética e energia potencial in-lb Joule

F força ou carregamento lb N

Fl flutuação (em velocidade angular) rad/sec rad/sec

fn freqüência natural em Hz Hz Hz

Ny fator de segurança em escoamento adimensional adimensional


g aceleração da gravidade 2secin 2secm

k constante de mola lb / in N / m

Kf , Kfm fator de concentração de tensão em

fadiga adimensional adimensional

Kt , Kts fator de concentração de tensão

geométrico (estático) adimensional adimensional

m massa lb sec / in2− kg

l comprimento in m

M momento fletor lb-in N-m

P potência hp watts

p pressão psi Pa

r raio in m

T torque ou momento torsor lb-in N-m

W peso lb N

α aceleração angular 2secrad 2secrad

δ deflexão in m



64

θ deflexão angular rad rad

γ densidade de peso lb in3 3mN


σ’ tensão de Von Mises psi Pa

τ tensão de cisalhamento psi Pa

ω velocidade angular em rad/sec rad / sec rad / sec

ωn freqüência natural em rad/sec rad / sec rad / sec

ζ fator de amortecimento adimensional adimensional


Sf resistência à fadiga corrigido psi Pa

Sy limite de resistência ao escoamento psi Pa

Sut máxima resistência à tração psi Pa

3.1.2 Materiais para eixos

No sentido de minimizar deflexões, o aço é a escolha lógica como material para

fabricação de um eixo, devido ao seu alto módulo de elasticidade, embora o ferro fundido ou

o ferro nodular sejam, algumas vezes, também usados, especialmente se engrenagens ou

outros acessórios forem fundidos juntamente com o eixo. Materiais como bronze ou aço

inoxidável podem ser também utilizados em equipamentos marinhos ou em equipamentos

expostos a outros tipos de ambientes corrosivos. Em casos onde o eixo atua como munhão,

deslocando-se no interior de um mancal, a dureza torna-se uma característica necessária ao

material. Neste caso, a dureza do aço pode ser a melhor opção de escolha como material do

eixo.

A maioria dos eixos de transmissão de máquinas é constituída de aço baixo-médio

carbono, que podem ser tanto laminados a quente quanto a frio, embora as ligas de aço sejam

também utilizadas onde a característica de elevada resistência seja necessária, ou ainda, onde

ocorrem maiores solicitações. Essas mesmas ligas, quando laminadas a frio, apresentam

propriedades mecânicas mais elevadas em relação às ligas laminadas a quente, devido às

propriedades do trabalho a frio. Porém, apresentam também a desvantagem da ocorrência de

tensões superficiais residuais, devido a este processo de fabricação. O aço laminado a frio é

mais usado para eixos de reduzido diâmetro (menores que 3 in ou 8 mm), podendo ser

aplicados sem necessidade de usinagem prévia, a não ser em casos onde acessórios são

acoplados ao eixo, exigindo, assim, uma superfície de melhor precisão e qualidade. Os aços

laminados a quente são aplicados para os eixos de maior diâmetro, e devem ter toda a sua


65

superfície usinada, de modo a remover toda a camada carbonizada pelo processo. Em eixos

onde foram usinados rasgos de chaveta, ranhuras ou variações de diâmetro (como para eixos

escalonados) caracterizam-se as regiões de incremento ou concentração de tensões, o que

pode vir a causar urdimento do eixo. Eixos de aço pré-endurecidos (30 HRC) e com precisão

da própria laminação, podem ser obtidos em pequenas dimensões e podem, igualmente, ser

usinados com ferramentas de carboneto. Eixos laminados de elevada dureza (60 HRC) podem

ser obtidos, porém, não podem ser usinados.

3.1.3 Potência Transmitida pelo Eixo

A potência transmitida por um eixo é obtida através de princípios simples. Em

qualquer sistema rotativo, a potência instantânea é obtida pelo produto do torque pela

velocidade angular (Capítulo I):

P = T . ω (3.1)

No qual ω é a velocidade angular em radianos por segundo.

Qualquer que seja a unidade de medida usada para os cálculos, a potência é,

geralmente, convertida em unidades do Sistema Inglês ips (HP) ou do Sistema Internacional

SI (KW). Tanto o torque como a velocidade angular, pode variar com o tempo, embora a

maioria das máquinas rotativas seja projetada para operarem a uma velocidade constante, ou

aproximadamente constante, por um longo período de tempo. A potência média é, então,

obtida a partir de:

PAVG = TAVG. ωAVG (3.2)

3.1.4 Solicitações do Eixo

O caso mais comum de solicitação do eixo está na aplicação de momento torsor e

momento fletor alternados cíclicos e combinados. Podem ocorrer solicitações axiais, no caso

de eixos verticais, ou no caso de existirem elementos acoplados, como hélices ou turbinas,

que, em operação, geram uma componente normal de força. Um eixo deve ser projetado de

modo a minimizar a ação dessas tensões axiais, apoiando-o em mancais axiais nas regiões

mais próximas aos pontos de aplicação destas cargas. Tanto o momento torsor, quanto o


66

momento fletor, podem variar no tempo, conforme visto no Capítulo II, apresentando,

portanto, componentes alternadas variáveis e componentes médias constantes.

A combinação do momento fletor e do momento torsor em um eixo rotativo gera, no

mesmo, um estado de tensão múltipla (Capítulo II). Se as cargas são assíncronas ou dispostas

aleatoriamente, então ocorrerá um caso complexo de tensões multiaxiais. Porém, o estado

multiaxial de tensões pode ocorrer mesmo se momentos torsor e fletor atuam em fase (ou

defasados de 180º). O fator crítico para definir um estado simples ou complexo de tensões

multiaxiais, é a direção da tensão principal alternada, num dado elemento do eixo. A maioria

dos eixos rotativos, submetidos aos momentos fletores e torsores, encontra-se na categoria de

estado combinado de tensões. Combinando os efeitos de flexão e cisalhamento, para

visualização gráfica no Círculo de Mohr, obtém-se um estado de tensão principal alternada,

que varia de direção. Uma exceção é o caso de momento torsor constante, superposto a um

momento fletor que varia no tempo. Desde que o momento torsor constante não apresente

uma componente alternada, para variar a direção da tensão principal alternada, este se torna

um caso simples de esforço multiaxial. Entretanto, se existirem concentrações de tensões

presentes, como rasgos de chavetas ou ranhuras no eixo, por exemplo, incrementos de tensão

locais são introduzidos, e requerem uma complexa análise de fadiga multiaxial.

Assume-se, portanto, que a função distribuição do momento fletor ao longo do eixo é

conhecida numa dada situação, e que esta distribuição apresenta tanto uma componente média

Mm, como uma componente alternada Ma. Da mesma maneira, assume-se que o momento

torsor é conhecido, e que este apresenta tanto uma componente média quanto alternada, Tm e

Ta. Então, o procedimento de análise para esta situação é o mesmo introduzido no Capítulo II

para solicitação em fadiga. Em qualquer ponto do eixo, surgirão momentos e torques

(especialmente em combinação com pontos de concentração de tensões), que devem ser

analisados por critérios de falha por fadiga, assim como por uma análise dimensional da seção

e/ou das propriedades do material, de modo a serem ajustados convenientemente.

3.1.5 Análise de Tensões no Eixo

Para compreender como as seguintes equações foram obtidas, para múltiplos pontos do

eixo, e seus efeitos multiaxiais combinados também considerados, deve-se, primeiramente,

obter as tensões aplicadas em todos os pontos de interesse. As diversas componentes de

tensões alternadas e médias, devido à flexão na superfície do eixo, são obtidas a partir de:


67

σa = Kf . Ma . c / I σm = K fm . Mm. c / I (3.3)

No qual Kf e Kfm são os fatores de concentração de tensão em fadiga, devido ao

momento fletor, para as componentes alternadas e médias, respectivamente. Sendo um eixo de

seção constante e sólida, podemos substituir C e I por:

c = r = d / 2 I = π . d4 / 64 (3.4)

Substituindo (3.4) em (3.3), obtem-se:

σa = K f . 32. Ma / π . d3 σm = K fm . 32. Mm / π . d3 (3.5)

As componentes alternada e média das tensões de cisalhamento devido ao momento

torsor, são obtidas a partir de:

τa = K fs . Ta . r / J τm = K fsm . Tm . r / J (3.6)

No qual Kfs e Kfsm são os fatores de concentração de tensão em fadiga, devido ao

momento torsor, para as componentes alternadas e médias, respectivamente.

Para um eixo de seção constante e sólida, pode-se substituir R e J por:

r = d/2 J = π . d4 / 32 (3.7)

Assim:

τa = K fs .16. Ta / π . d3 τm = K fsm . 16. Tm / π . d3 (3.8)

Se uma carga FZ, que produz uma tensão axial, estiver presente, produzirá apenas uma

componente média, obtida a partir de:

σm axial = Kfm . FZ / A = Kfm . 4 .FZ / π . d2 (3.9)


68

3.1.6 Testes de Falhas para Eixos Submetidos a Carregamentos Combinados

Extensivos estudos de falhas por fadiga, tanto para aços dúcteis, quanto para ferro

fundido frágil, submetidos à torção e flexão, foram originalmente realizados nos anos 30 por

Davies e por Gough e Pollard. Os resultados destes estudos encontram-se na Figura 3.1,

obtida da norma ANSI/ASME Standard B106.1M-1985 para Design of Transmission Shafting

(Projeto de Eixos de Transmissão). A combinação de torção e flexão para materiais dúcteis

em fadiga, portanto, foi obtida através da equação geral, apresentada na Figura 3.1. Para

materiais frágeis, os resultados (não apresentados), foram obtidos a partir do critério de

máxima tensão principal. Estes resultados são similares aos obtidos para um estado de tensão

combinada de torção e flexão, para carregamentos alternados simétricos.

3.1.7 Projeto de Eixos

Tanto as deflexões quanto as tensões devem ser consideradas no projeto de um eixo.

Muitas vezes, a deflexão pode se tornar o fator crítico, desde que excessivas deflexões podem

causar um rápido desgaste dos mancais nos quais o eixo está apoiado. Engrenagens, correias

ou correntes de acionamento, podem também sofrer com o desalinhamento que as excessivas

deflexões do eixo produzem. Note que as tensões podem ser calculadas localizadamente para

diversos pontos ao longo do eixo, baseando-se no conhecimento das cargas e da seção

considerada. Porém, os cálculos de deflexão requerem que toda a geometria do eixo seja

definida.

Assim, geralmente, o eixo é projetado inicialmente sob as considerações da análise de

tensões e, então, a partir do cálculo das deflexões, a geometria é totalmente definida. A

relação entre as freqüências naturais do eixo, tanto em torção como em flexão, e a freqüência

das funções de torque e de força de excitação, variáveis no tempo, pode ser crítica se as

funções de excitação apresentam freqüências próximas à freqüência natural do eixo,

provocando um estado de ressonância e, consequentemente, gerando elevados níveis de

vibrações, tensões e deflexões.


69

(a) (b)

Figura 3.1 - Resultados de testes de fadiga em Aços sujeitos a Flexão e Torção Combinada, (a) Tensão de flexão alternada simétrica e Tensão de cisalhamento constante e (b) Tensões de flexão e de cisalhamento alternadas

simétricas.

3.1.8 Considerações Gerais

Algumas normas gerais para o projeto de eixos são apresentadas a seguir:

1. Para minimizar tanto as tensões quanto as deflexões, o comprimento do eixo deve

ser o menor possível, assim como o número de apoios.

2. Na possibilidade de se escolher entre uma viga biapoiada e uma viga em balanço,

é mais conveniente utilizar a viga biapoiada, com o intuito de minimizar as

deflexões, uma vez que a viga em balanço apresenta deflexões mais acentuadas. O

uso de vigas em balanço só deve ser feito quando detalhes de montagem exigirem

seu uso.

3. Um eixo tubular apresenta uma menor relação massa/rigidez (rigidez específica) e,

portanto, freqüências naturais mais elevadas, quando comparado a um eixo sólido.

Porém, pode ser mais caro e necessitar de um diâmetro externo maior.

4. As regiões de incremento de tensões devem ser localizadas o mais distante

possível das regiões de maior concentração de momentos fletores, minimizando

seus efeitos com maior diâmetro da seção em questão.

5. Se a prioridade é a de minimizar as deflexões, o aço baixo-carbono pode ser a

melhor opção de material, pois a sua rigidez é tão elevada quanto à de aços mais

aço

aços Aço carbono

aço


70

caros. O eixo projetado para pequenas deflexões apresentará níveis de tensões

mais baixos.

6. As deflexões geradas pela fixação de engrenagens ao eixo não podem ultrapassar

o valor de 0.005 in (130µm). A deflexão angular do eixo, neste caso, não pode

ultrapassar o valor de 0.03°.

7. Na presença de mancais hidrodinâmicos, as deflexões do eixo, nas seções

próximas aos mancais, devem ser menores que a espessura do filme de óleo do

mancal.

8. Se o mancal de rolamento empregado não for autocompensador, as deflexões

angulares do eixo, próximas ao mancal, devem ser inferiores a 0.04°.

9. Se o eixo estiver submetido a carregamentos axiais, mancais axiais devem ser

empregados de modo a impedir o deslocamento axial do eixo. Porém, esses

mancais não devem ser posicionados distantes um do outro, pois o intervalo entre

eles pode sofrer uma dilatação térmica que, por sua vez, virá a comprometer o

trabalho dos mancais.

10. Sempre que possível, a primeira freqüência natural do eixo deve ser, no mínimo,

o triplo da maior freqüência de excitação esperada em operação.

3.1.9 Projeto para Flexão Alternada Simétrica e Torção Constante

Esta é uma situação particular do caso geral de carregamento em torção e flexão

flutuantes e, devido à ausência da componente alternada do momento torsor, é considerado

um caso simples de fadiga multiaxial. Porém, a presença de tensões locais concentradas pode

causar um estado de tensão multiaxial complexo. A norma para projeto de eixos de

transmissão da ANSI/ASME está publicada como B106.1M-1985. Esta norma apresenta uma

aproximação simplificada para o projeto de eixos. A aproximação da ASME assume que o

carregamento gera tensão normal de flexão alternada simétrica (componente média nula) e

momento torsor constante (componente alternada nula), a ponto de criar tensões abaixo da

resistência ao escoamento torsional do material. A norma classifica os casos de diversos eixos

de máquinas nesta categoria. Utilizando a curva da figura 3.1(a), o limite de resistência à

fadiga por flexão é descrito no eixo de σa , enquanto que o limite de resistência ao escoamento

por cisalhamento, no eixo de τm. A substituição do limite de escoamento em tração pelo limite

de escoamento por cisalhamento é justificada pelas relações de Von Mises. As derivações de


71

equações de eixos da norma ASME são apresentadas a seguir, onde da elipse para critério de

falha da figura 3.1(a), tem-se:

1

22

=

+

ys

m

e

a

Ss

τσ (3.10)

Introduzindo o fator de segurança Nf .

1

22

=

+

ys

mf

e

af

sN

sN

τσ (3.11)

Relembrando a relação de Von Mises para SYS .

3

y

ys

SS = (3.12)

Substituindo (3.12) na equação (3.11):

Ns

Nsf

a

ef

m

y

σ τ

+

=

2 2

3 1 (3.13)

Substituindo as expressões para σa e τm , das equações (3.5) e (3.8), respectivamente,

tem-se:

KM

d

N

SK

T

d

N

Sfa f

efsm

m f

y

32 16 31

3

2

3

2

π π

+

= (3.14)


72

Quando resolvida para o diâmetro d, a equação (3.14) fica:

dN

KM

SK

T

Sf

fa

efsm

m

y

=

+

32 3

4

2 212

13

π (3.15)

A norma utiliza ainda a aproximação de reduzir a resistência de fadiga Sf pelo fator de

concentração de tensões em fadiga Kf. Entretanto, as normas da ASME assumem que o fator

de concentração de tensões, para componente média de tensões de cisalhamento, seja sempre

unitário em todos os casos, o que resulta em:

dN

KM

S

T

Sf

fa

e

m

y

=

+

32 3

4

2 212

13

π (3.16)

É importante aplicar a equação (3.16) somente em situações onde as cargas assumidas

sejam exatamente como as consideradas na dedução da expressão, isto é, com momento torsor

constante e momento fletor alternado simétrico.

A Figura 3.2 apresenta o diagrama elíptico de falha de Gough, superposto com a

parábola de Gerber, e as linhas de Sodenberg e Goodman modificadas. Note que a elipse de

Gough se aproxima da parábola de Gerber a esquerda da linha de escoamento, divergindo,

porém, a partir da interseção com a mesma. A elipse de Gough tem a vantagem de considerar

um possível escoamento antes da fadiga, sem a necessidade de envolver a linha de

escoamento. Entretanto, a elipse de Gough, enquanto bom critério de falha, é menos geral que

a combinação das linhas de Goodman e de escoamento, comumente utilizadas como critérios

de falha.


73

Figura 3.2 - Principais Linhas e Curvas de Falha por Fadiga.

3.1.10 Projeto para Flexão e Torção Flutuantes

Quando o torque não é constante, sua componente alternada irá criar um estado

complexo de tensões multiaxiais no eixo. A aproximação utilizada considera as componentes

de Von Mises médias e alternadas, através das equações (3.17).

′ = + − +

′ = + − +

σ σ σ σ σ τ

σ σ σ σ σ τ

a xa ya xa ya xya

m xm ym xm ym xym

2 2 2

2 2 2

3

3 (3.17)

Um eixo rotativo, submetido à torção e flexão combinadas, apresenta um estado de

tensões biaxial, que faz com que a equação 3.17 apresente duas componentes:

( )′ = +σ σ τa a a2 23 e ( )′ = + +

σ σ σ τm m m maxial

2 23 (3.18)

As tensões de Von Mises podem, agora, fazer parte do diagrama modificado de

Goodman, para um determinado material, para obter seu respectivo fator de segurança.

Para projetos onde o diâmetro é a incógnita a ser obtida, as equações (3.5), (3.8) e

(3.18) devem ser trabalhadas a partir de um processo iterativo, para a obtenção do diâmetro,

dados como conhecidos o carregamento e as propriedades do material. Isso não representa

σa

σm Sy Sut

Sy

Se ou Sf

Linha de Escoamento

Linha de Goodman

Elipse de Gough

Parábola de Gerber

Linha de Soderberg


74

grandes dificuldades quando pacotes computacionais, como o TKSolver, por exemplo, são

utilizados. Entretanto, o trabalho manual com estas equações é extremamente oneroso, devido

a sua forma. Se um caso particular de falha é assumido, a partir do diagrama de Goodman

modificado, as equações podem ser manipuladas para se obter uma equação similar à equação

(3.15), para o diâmetro do eixo na secção de interesse. Considerando o caso particular de falha

onde as componentes alternadas e médias apresentam uma razão de variação constante, a

falha ocorrerá no ponto onde o fator de segurança é definido como:

1N S Sf

a

e

m

ut

= +σ σ (3.19)

No qual Nf é o fator de segurança desejado, Se é o limite de fadiga corrigido para um

determinado ciclo de vida, e Sut é o limite de resistência à ruptura do material. Considerando

carga axial no eixo nula, e substituindo as expressões correspondentes na equação (3.19),

obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )d

NK M K T

S

K M K T

Sf

f a fs a

e

fm m fsm m

ut

=+

++

323

4

3

4

2 2 2 2

13

π (3.20)

A equação (3.20) pode ser usada para se obter o diâmetro do eixo para qualquer

combinação de flexão e torção, considerando-se carga axial nula e componentes alternadas e

médias do carregamento variando a uma relação constante ao longo do tempo.

3.1.11 Verificação da Deflexão do Eixo

O eixo é uma viga de seção circular, que sofre uma deflexão transversal, sendo, ao

mesmo tempo, uma barra em torção, que sofre uma deflexão angular. Ambos os modos de

deflexão devem ser analisados.


75

a) Deflexão Transversal de Eixos.

Sabe-se que, em coordenadas cartesianas, a curvatura da linha elástica é dada pela

equação diferencial fundamental:

1

1

2

2

23

2ρ=

+

d y

dx

dy

dx

(3.21)

Sendo ρ o raio de curvatura do eixo, y a deflexão transversal e x a coordenada axial do

eixo.

A grandeza dy / dx representa a declividade angular da linha elástica, sendo, portanto,

um valor muito pequeno. Assim, desprezando-se o quadrado da declividade na equação

(3.21):

1 2

2ρ= d y

dx (3.22)

Como 1 / ρ = M / EI, a expressão (3.22) torna-se:

d y

dx

M

EI

2

2= (3.23)

Portanto, a expressão geral para deflexão transversal do eixo, é dada pela integral

dupla:

δ

θ

= + +

= +

∫∫

∫

M

EIdx C x C

M

EIdx C

1 2

1

(3.24)

O único fator de complexidade é a presença de variações de seção transversal, por

exemplo, em um eixo escalonado, cujas propriedades geométricas da seção analisada variam

ao longo de seu comprimento. A integração das funções M / EI torna-se, então, mais


76

complexa, devido ao fato de que, tanto o momento fletor (M) quanto o momento de área (I),

variam ao longo do eixo. Se os carregamentos e momentos variarem no tempo, então seus

valores de amplitude máxima deverão ser usados para calcular a deflexão. A função deflexão

irá depender do carregamento e das condições de contorno relativas ao tipo de apoio ou

vínculo utilizado.

b) Deflexão Angular de Eixos

A deflexão angular θ (em radianos) para um eixo de comprimento L, módulo de

cisalhamento G, e momento polar J, com torque transmitido T é:

θ = T L

G J

.

. (3.25)

Do qual se pode obter a expressão para a constante elástica torsional:

KT G J

LT = =θ

. (3.26)

Se o eixo é escalonado, as mudanças da seção circular dificultam os cálculos para a

deflexão torsional, pois estes irão variar com o momento polar de inércia da seção.

O conjunto de seções adjacentes de um eixo, com diferentes diâmetros, pode ser

analisado como um conjunto de molas em série, com pequenas deflexões angulares, desde que

estas deflexões se somem, e que o torque transmitido através das diferentes seções permaneça

constante. Uma rotação constante pode ser obtida para cada seção do eixo, como também os

momentos polares de inércia, com o intuito de obter as deflexões angulares relativas entre

cada seção. Para um eixo com três seções distintas, definem-se J1, J2 e J3 de cada seção, com

os seus correspondentes comprimentos L1, L2 e L3. A deflexão angular total será a soma das

deflexões de cada uma das seções. Assim:

θ θ θ θ= + + = + +

1 2 3

1

1

2

2

3

3

T

G

L

J

L

J

L

J (3.27)


77

A constante de mola torsional efetiva, para um eixo de três seções diferentes, é dada

por:

1 1 1 1

1 2 3K K K KTeff T T T

= + + (3.28)

Estas expressões podem ser estendidas para qualquer número de segmentos de um

eixo escalonado.

3.1.12 Pinos, Chavetas, Eixos Estriados e Interferência

3.1.12.1 Pinos

A norma da ASME define um pino ou uma chaveta como uma peça desmontável que,

quando assentada a um rasgo, produz a transmissão de torque entre o eixo e o elemento

associado por esta conexão radial. Pinos e chavetas encontram-se normalizados sob tamanhos

e perfis diversos.

O pino circular reto apresenta diâmetro constante ao longo de seu comprimento. O

pino cônico apresenta seção circular, porém seu diâmetro varia linearmente ao longo de seu

comprimento. O pino elástico apresenta-se como um elemento tubular com um rasgo de uma

extremidade à outra de seu comprimento, o qual permite seu ajuste por pressão no interior do

furo passante nas peças a serem conectadas. O mesmo efeito elástico está presente em pinos

ranhurados de seção de base circular (Figura 3.3).

Figura 3.3 - Tipos de Pinos – acoplamento radial.

Pino Reto Pino Cônico

Pino Elástico Pino Estriado

d

D


78

a) Esforços em Pinos

A capacidade de carga de um pino, em relação ao torque, é limitada pela resistência

deste elemento ao duplo cisalhamento, em ambas as extremidades do pino. Para um pino

sólido de diâmetro d e resistência ao escoamento por cisalhamento Sys, a capacidade máxima

de torque será:

Dd

SD

FT ys 422

2π== (3.29)

Algumas vezes, pinos em cisalhamento, aplicados a transmissão de torque, são

utilizados como dispositivos de segurança para o eixo de transmissão, sendo manufaturados

com dimensões inferiores às mínimas necessárias, e/ou de materiais pouco resistentes, de

forma a romper antes de o eixo estar submetido à carga máxima de torque transmitido.

3.1.12.2 Chavetas

Uma chaveta reta é aquela que apresenta seção retangular e cujas dimensões não

variam ao longo do seu perfil. A chaveta inclinada apresenta largura constante, porém a altura

varia linearmente ao longo do seu perfil, em uma razão de 1/8 in de altura por unidade de

comprimento. A cabeça desse tipo de chaveta pode ser plana ou perfilada, de modo a facilitar

a sua remoção. A chaveta Woodruff apresenta seção semicircular e dimensões constantes ao

longo de seu perfil. É assentada em rasgos semicirculares usinados no próprio eixo por

pastilhas de perfil circular. A chaveta inclinada também serve para posicionar axialmente o

acessório ao eixo, porém, as chavetas retas e as chavetas Woodruffs necessitam de outros

tipos de fixação, que possam garantir o posicionamento axial, tais como anéis de fixação e

grampos.

Figura 3.4 - Tipos de Chavetas – acoplamento radial.

Chaveta Reta

H

L

Chaveta Chanfrada com Cabeça Chaveta Woodruff


79

a) Chavetas Retas

As chavetas retas são as mais comumente utilizadas. As normas da ANSI definem

particulares dimensões de seções de chavetas e, dimensões do assento destas, como uma

função do diâmetro do eixo no posicionamento da chaveta. Uma reprodução parcial dessas

especificações é encontrada na Tabela 3.2, para eixos de pequenos diâmetros. Para eixos de

maiores dimensões, deve-se consultar a norma. Chavetas quadradas são indicadas para eixos

de diâmetro superior a 6,5 in, enquanto que para eixos de diâmetro inferior a 6,5 in,

recomenda-se o uso de chavetas retangulares. As chavetas são montadas entre o eixo e o

elemento associado, com metade de sua altura assentada no eixo e a outra metade, no

acessório, conforme mostrado na Figura 3.4.

As chavetas retas são, geralmente, feitas de aço laminado a frio, com tolerância

negativa, isto é, suas dimensões nunca podem ser superiores à sua tolerância nominal,

somente inferiores (caso contrário ocorreria interferência na montagem). A tolerância positiva

pode acontecer em alguns casos, onde seja necessário que a chaveta se ajuste ao rasgo com

interferência.

A fixação da chaveta é importante quando abordada sob o ponto de vista dos esforços

ao qual o eixo está submetido. Quando o torque alterna entre positivo e negativo para cada

ciclo, a chaveta é submetida a esforços que causam impactos e, conseqüentemente, fadiga. A

norma também prevê que, no sentido de minimizar esforços sobre as chavetas, estas devem

apresentar um comprimento de, no máximo, 1,5 vezes o diâmetro do eixo (Lchaveta = 1,5Deixo),

de modo a evitar que seu comprimento venha a interferir na deflexão do eixo. Caso seja

necessário um maior comprimento de chaveta, podem-se utilizar duas chavetas, defasadas de

90o entre si.

b) Chavetas Inclinadas

As larguras para chavetas inclinadas, dado um eixo de diâmetro específico, são as

mesmas que para chavetas retas. A conicidade e a cabeça deste tipo de chaveta são

especificadas na norma. A conicidade é capaz de travar axialmente o elemento associado ao

eixo, devido ao surgimento de uma força de atrito entre o contato da superfície da chaveta

com a superfície do acessório. As chavetas inclinadas com cabeça são utilizadas em

montagens onde, devido às pequenas dimensões, a retirada da chaveta seria de difícil acesso.

Chavetas inclinadas tendem a criar excentricidades entre o eixo e o acessório, por

concentrarem as folgas radiais de um único lado.


80

c) Chavetas Woodruff (Meia-Pastilha)

As chavetas Woodruff são comumente utilizadas em eixos pequenos. São auto-

alinháveis, sendo preferencialmente aplicadas em eixos afunilados. A montagem desta

chaveta no elemento associado ao eixo, corresponde à metade da sua altura.

Tabela 3.2 Medidas Padronizadas para Chavetas Retas.

Diâmetro do Eixo (in) Largura Nominal da

Chaveta (in)

437.0312.0 ≤< d 0.093

562.0437.0 ≤< d 0.125

875.0562.0 ≤< d 0.187

250.1875.0 ≤< d 0.250

375.1250.1 ≤< d 0.312

750.1375.1 ≤< d 0.375

250.2750.1 ≤< d 0.500

750.2250.2 ≤< d 0.625

250.3750.2 ≤< d 0.750

750.3250.3 ≤< d 0.875

500.4750.3 ≤< d 1.000

500.5500.4 ≤< d 1.250

500.6500.5 ≤< d 1.500

O rasgo feito no eixo, para o assentamento deste tipo de chaveta, apresenta perfil

semicircular, o que evita a existência de cantos e, consequentemente, pontos de concentração

de tensões. A relação entre a largura da chaveta Woodruff e o diâmetro do eixo é a mesma

apresentada na Tabela 3.2. As outras dimensões da chaveta Woodruff são especificadas pela

norma ANSI, e o corte dos assentos, previamente verificados para estas dimensões. A Tabela

3.3 apresenta um exemplo da norma para as dimensões das chavetas. Cada medida encontra

uma especificação numérica para o tipo de chaveta presente na norma. Os dois últimos dígitos

fornecem o diâmetro nominal da chaveta, em oitavos de polegada, e os dígitos precedentes,


81

fornecem a largura nominal da chaveta, em trinta e dois avos de polegada. Por exemplo, uma

chaveta de número 808 define um chaveta de tamanho 8/32 x 8/8.

Tabela 3.3 - Medidas Padronizadas para Chavetas Woodruff (ANSI).

Número da Chaveta Largura / Comprimento(in) Altura H (in)

202 0.062x0.250 0.106

303 0.093x0.375 0.170

404 0.125x0.500 0.200

605 0.187x0.625 0.250

806 0.250x0.750 0.312

707 0.218x0.875 0.375

608 0.187x1.000 0.437

808 0.250x1.000 0.437

1208 0.375x1.000 0.437

610 0.187x1.250 0.545

810 0.250x1.250 0.545

1210 0.375x1.250 0.545

812 0.250x1.500 0.592

1212 0.375x1.500 0.592

Existem dois modos de falha em chavetas: por cisalhamento e por compressão. A falha

por cisalhamento ocorre quando a chaveta se rompe ao longo de seu comprimento, na

interface entre eixo e elemento associado. A falha por compressão ocorre quando a chaveta é

submetida a uma compressão violenta em ambos os lados, sofrendo esmagamento.

FALHA POR CISALHAMENTO: a tensão de cisalhamento, atuando na interface

eixo-elemento associado, é definida por:

τ xys

F

A= (3.30)


82

No qual F é a força aplicada e AS é a área submetida à tensão de cisalhamento. No caso

da chaveta, AS é dada pelo produto da largura W pelo comprimento da chaveta L. A força que

atua na chaveta pode ser obtida pela razão do torque T ao qual o eixo está submetido, e o raio

do eixo r = D / 2. Se o torque for constante ao longo do tempo, a força também o será, e o

fator de segurança N pode ser obtido por comparação entre o valor da tensão de cisalhamento

τ e da resistência ao escoamento por cisalhamento do material Sys da chaveta. Se o torque

variar no tempo, então existe a possibilidade da chaveta falhar por fadiga. Uma aproximação

está em considerar as componentes médias e alternadas da tensão de cisalhamento e usá-las

para obter as componentes média e alternada da tensão efetiva de Von Mises. Estes valores

podem, então, ser utilizados no diagrama modificado de Goodman, para obtenção do fator de

segurança.

FALHA POR COMPRESSÃO: a tensão de compressão, na superfície lateral da

chaveta, é definida por:

σ x

F

A= (3.31)

No qual F é a força aplicada, e A é a área lateral de contato entre a chaveta e o eixo, ou

entre a chaveta e o acessório. Para uma chaveta reta A = L*H . Uma chaveta Woodruff

apresenta diferentes áreas de contato para o acessório e para o eixo. A área de contato entre o

acessório e a chaveta Woodruff é bem menor, quando comparada a sua área de contato com o

eixo, falhando assim, na superfície em contato com o acessório. Os esforços por compressão

devem ser calculados com o uso do maior valor, em módulo, da força aplicada, seja esta

constante ou variável no tempo. Considerando-se que a tensão de compressão não causa falha

por fadiga, esta tensão de compressão pode ser considerada estática. O fator de segurança N é

obtido por comparação entre a máxima tensão de compressão σ e o limite de escoamento por

compressão do material Sy.

Comparando a resistência ao cisalhamento e a resistência à compressão, para uma

chaveta reta de seção retangular, tem-se:

d / 8

d / 4


83

a) Capacidade de Torque do Eixo:

2

32 : ,

4 Dre

DJonde

J

Tr === πτ

τ lim .= =S Sys y0577

16577.0

2

32577.0

34 DS

D

DS

r

JST yy

ys ππ ===

b) Cisalhamento na Chaveta:

8577.0

24

2LDS

DLDSrFT yyss ===

DLLD

SD

ST yy 57.18

577.016

577.023

=⇒== π

c) Compressão na Chaveta:

1628

2LDS

DDLSrFT yyc ===

DLLD

SD

ST yy 82.11616

577.023

=⇒== π

Devido ao fato das chavetas estarem submetidas ao cisalhamento, materiais dúcteis são

usados em sua confecção. O aço baixo-carbono é a escolha mais adequada, a não ser que se

trate de um ambiente corrosivo, que requer o uso de materiais como latão ou aço inoxidável.

Chavetas retas são laminadas a frio e, então, cortadas em seu comprimento. Chavetas cônicas

e do tipo Woodruff são, geralmente, laminadas a quente.

São poucas as variáveis a serem analisadas no dimensionamento e projeto de chavetas.

O diâmetro do eixo, onde será assentada a chaveta, determina o valor da largura da mesma. A

altura da chaveta (ou o quanto a mesma se encaixa no acessório) é proporcional a sua largura.

Resta apenas o comprimento de cada chaveta e o número de chavetas que serão usadas por

acessório. A chaveta cônica pode apresentar o mesmo comprimento do acessório. A chaveta


84

Woodruff pode ser definida em função do diâmetro, que corresponde a sua altura, e ao quanto

este se encaixa no acessório.

Em projeto de chavetas é comum considerar um estado de tensão aonde a chaveta que

venha a falhar primeiro, e não o seu assento, o que acarretaria a troca do eixo e de um maior

número de elementos associados. Tal consideração se deve ao fato de que uma chaveta é um

elemento barato e de fácil reposição. Isso justifica também o uso de materiais dúcteis em sua

confecção, o que fará com que a falha ocorra na chaveta e não venha a prejudicar o sistema.

Neste caso, a chaveta funcionaria como um dispositivo de segurança.

Considerando-se que as chavetas apresentam, geralmente, bordas de raio pequeno

(cantos praticamente vivos), os seus rasgos também o apresentam, o que provoca uma

significativa concentração de tensão nesta região. Os rasgos são brochados no cubo, correndo

ao longo de seu comprimento, enquanto que no eixo, o rasgo deve ser usinado com grande

precisão geométrica, de modo a minimizar as interferências. Se os cantos usinados, para o

rasgo em um eixo, apresentarem cantos vivos (como é o perfil de chavetas retas e cônicas),

estes serão pontos de acúmulo de tensão, que devem ser minimizados com o arredondamento

dos mesmos.

Peterson demonstrou, experimentalmente, o acúmulo de tensões nos cantos vivos de

rasgos, para eixos submetidos tanto à torção quanto à flexão. Estes estão reproduzidos nas

curvas da Figura 3.5. Os fatores de concentração de tensão, nestas regiões, oscilam entre 2 e 4,

dependendo da razão entre o raio da ferramenta e o diâmetro do eixo.

Figura 3.5 - Fator de Concentração de Tensão em Flexão Kt e Torção Kts.


85

3.1.12.3 Eixos Estriados, Ranhurados ou Splines

Quando um torque a ser transmitido por um eixo excede o valor limite suportado por

uma chaveta, estrias sobre o eixo podem ser usadas. Estrias são como que chavetas usinadas

na superfície externa do eixo e na superfície interna do acessório, de modo que seus perfis se

encaixem. Algumas estrias apresentam dentes de seção quadrada, ou mais comumentes em

forma de envolvente, conforme Figura 3.6. A forma envolvente de estrias apresenta,

praticamente, as mesmas características (posição, ângulos e alturas) que as engrenagens, e as

técnicas de corte de engrenagens são também aplicadas na manufatura das estrias. A vantagem

do corte de estrias envolventes, em relação às estrias quadradas, é que esta última minimiza a

concentração de tensões. A norma da SAE define as especificações, tanto para estrias

quadradas quanto para as envolventes, enquanto que a norma da ANSI define as

especificações apenas para estrias envolventes. A norma para estrias envolventes define um

ângulo de pressão de 30 graus e uma altura correspondente à metade da altura definida para

dentes de engrenagens. O tamanho do dente é definido pela fração, cujo numerador é o

diâmetro primitivo (que define a largura do dente) e o denominador é a altura do dente.

Passos diametrais normalizados são 2.5; 3.0; 4.0; 5.0; 6.0; 8.0; 10.0; 12.0; 16.0; 20.0;

24.0; 32.0; 40.0 e 48.0. Estrias padronizadas podem apresentar de 6 a 50 dentes. Estrias

podem ter a raiz plana ou filetada, como mostra a Figura 3.6.

Figura 3.6 - Geometria da Estria Envolvente.

Algumas das vantagens do uso de estrias é a resistência máxima da raiz, devido a sua

forma curvilínea, o que evita o acúmulo de tensões; bem como sua fácil usinagem através de

ferramentas específicas. A maior vantagem das estrias sobre as chavetas é a de possibilitar

uma grande acomodação axial entre o eixo e o acessório, enquanto ocorre a transmissão de

di

dr

do

dp

Diâmetro Primitivo


86

torque. São usadas para conectar a saída da transmissão do eixo para a barra de direção em

automóveis e caminhões, onde o movimento da suspensão causa esforços axiais entre os

membros. Também são usadas em transmissões não-automáticas e não-sincrométricas de

caminhões, para acoplar axialmente as engrenagens de câmbio aos seus respectivos eixos.

Além disso, o torque do motor é, geralmente, transmitido através de eixos estriados, que

conectam a embreagem ao eixo de transmissão, permitindo o esforço axial necessário para

desacoplar o volante da embreagem.

A carga que atua nas estrias é puramente torsional, sendo de natureza tanto estática

quanto dinâmica. Assim como as chavetas, dois tipos de falhas podem ocorrer nas estrias:

cisalhamento e compressão. Assim como nas chavetas, alguns dentes da estria podem sofrer

cisalhamento devido ao carregamento. O ideal é que o comprimento L da estria seja tão longo

quanto necessário, de modo que, em cada dente, a resistência ao cisalhamento do dente seja

igual à resistência ao cisalhamento torsional em todo o eixo. Se a estria for feita corretamente,

sem variações no tamanho dos dentes ou no espaçamento entre eles, o esforço se distribuirá

igualmente em todos os dentes. Entretanto, a realidade da manufatura das estrias impossibilita

essa condição ideal. A norma da SAE afirma que, na prática, as falhas na manufatura do

espaçamento e na forma dos dentes permitem que apenas 25% dos dentes estejam em contato

ideal e que, devido a este fato, uma boa aproximação para o comprimento L da estria em um

eixo é dada pela expressão:

L

dd

d

d

ri

r

p

≅−

34

4

2

1

(3.32)

No qual dr é o diâmetro da raiz, di é o diâmetro interno do eixo (se este for tubular) e

dp é o diâmetro primitivo da estria (Figura 3.6).

A variável L representa o comprimento do dente da estria, e deve ser considerada

como o valor mínimo necessário para apresentar a resistência necessária para cada dente, para

um eixo de diâmetro equivalente.

A tensão de cisalhamento é calculada a partir do diâmetro primitivo da estria, e a área

de cisalhamento é dada por:


87

Ad L

S

p=π . .

2 (3.33)

A tensão de cisalhamento pode ser calculada, considerando a afirmativa da SAE de

que apenas 25% dos dentes do eixo estriado apresentam contato perfeito e, conseqüentemente,

sofre mais intensamente o cisalhamento. Para isso, basta considerar 1/4 da área de

cisalhamento. Assim:

τπ

≅ = = =4 4 8 16

2

F

A

T

r A

T

d A

T

d LS p S p S p. . . . (3.34)

No qual T é o torque ao qual o eixo está submetido. Qualquer tensão de compressão na

estria, deve ser calculada, e devidamente combinada com o cisalhamento. Se a carga

corresponde simplesmente à torção estática pura, então a tensão de cisalhamento, obtida

através da equação (3.34), é comparada com o limite de escoamento por cisalhamento do

material Sys, de modo a obter o fator de segurança N. Se o carregamento é flutuante, ou a

compressão está presente, a tensão aplicada deve ser convertida para tensão de Von Mises, e

convenientemente comparada no diagrama modificado de Goodman.

3.1.12.4 Montagem por Interferência

Outro modo comum de acoplar radialmente acessórios aos eixos é através de pressão

ou ajuste por interferência. O ajuste por pressão é obtido através da usinagem do orifício do

acessório com uma diferença mínima entre seu diâmetro e o diâmetro do eixo, como é

mostrado na Figura 3.7. As duas partes são, então, forçadas lentamente para o encaixe,

usando, de preferência, um lubrificante aplicado na junção. A deflexão elástica, tanto no eixo

quanto no acessório, atua gerando uma elevada força normal e de atrito entre as partes. A

força de atrito transmite o torque do eixo para o acessório, como também resiste aos esforços

axiais. A “American Gear Manufactures Association” (AGMA) publicou a norma AGMA

9003-A91, Flexible Couplings-Keyless Fits, na qual define expressões para o cálculo do ajuste

por interferência.

Somente diâmetros relativamente pequenos podem ser acoplados por pressão, sem que

a força necessária exceda o limite que a peça suporta. Para peças maiores, o ajuste por

interferência pode ser feito pelo aquecimento do acessório, provocando a expansão de seu


88

diâmetro interno, e/ou através do resfriamento do eixo, de modo a reduzir o seu diâmetro. As

partes quente e fria podem, então, ser acopladas através de um leve esforço axial e, quando

alcançarem o equilíbrio térmico com o ambiente, suas variações de dimensões criarão a

interferência ou o contato por atrito desejado. Outro método consiste em expandir o acessório

hidraulicamente com óleo pressurizado, através de dutos em contato interno com o acessório.

Esta técnica é também utilizada para desacoplar o acessório do eixo.

A interferência necessária para se alcançar uma junção adequada, varia com o

diâmetro do eixo. Aproximadamente 0,001 a 0,002 unidades de interferência diametral, por

unidade de diâmetro do eixo, é a opção típica para os mais diversos tamanhos de eixo. Por

exemplo, a interferência para um eixo de 2 in de diâmetro pode ser algo em torno de 0.004 in.,

mas um eixo de 8 in de diâmetro permite uma interferência entre 0.009 a 0.010 in. Outra regra

simples é utilizar 0,001 in de interferência para diâmetros próximos a 1 in, e 0,002 in de

interferência para diâmetros entre 1 e 4 in.

Figura 3.7 - Montagem com Interferência.

A fixação por interferência gera um estado de tensão semelhante a um eixo submetido

a uma distribuição uniforme de pressão em sua superfície. O cubo, ou elemento associado,

sofre o mesmo estado de tensão que um cilindro sob pressão distribuída internamente. As

equações para o estado de tensão em cilindros sob pressão interna dependem das pressões

aplicadas e do raio do elemento. A pressão P, criada pelo ajuste por pressão, pode ser obtida

pela deformação do material, causada pela interferência:

Pr

E

r r

r r

r

E

r r

r ri

o

o

oo

i

i

i

=+−

+

+ +

−−

052 2

2 2

2 2

2 2

. δ

ν ν

(3.35)

EIXO

CUBO

ri

r r

ro

∆r


89

No qual δ=2∆r é a interferência diametral total entre as partes, r é o raio nominal da

interface entre as partes, r i é o raio interno do eixo (se o mesmo for tubular) e ro é o raio

externo relativo ao cubo do acessório, como mostra a Figura 3.7. E e ν são o Módulo de

Young e o Coeficiente de Poisson dos materiais de ambas as partes, respectivamente.

O torque máximo a ser transmitido por um ajuste por interferência, pode ser definido

em função da pressão P na interface, a qual cria uma força de atrito em relação ao raio do

eixo.

PLrT µπ 22= (3.36)

No qual L é o comprimento do cubo do elemento acoplado radialmente ao eixo, r é o

raio do eixo, e µ é o coeficiente de atrito entre o eixo e o cubo. A norma da AGMA sugere

valores para µ entre 0,12 e 0,15, para acessórios expandidos hidraulicamente; e entre 0,15 e

0,20, para acessórios montados sob pressão. A norma AGMA assume (e recomenda) uma

superfície de rugosidade igual a 32 µin rms (1,6 µm Ra), a qual requer um bom acabamento

das partes. As equações 3.35 e 3.36 podem ser combinadas, para fornecer a expressão que

define o torque obtido a partir de uma particular interferência, coeficiente de atrito e

geometria:

TLr

E

r r

r r E

r r

r ri

o

o

oo

i

i

i

=+−

+

+ +

−−

π µδ

ν ν1 12 2

2 2

2 2

2 2

(3.37)

A pressão P é utilizada para obter o estado de tensão, radial e tangencial, em cada

parte.

Para o eixo, tem-se:

σTEi

i

Pr r

r r= − +

−

2 2

2 2 (3.38)

σRE P= − (3.39)


90

No qual r i é o raio interno de um eixo tubular. Se o eixo for sólido, r i será nulo.

Para o elemento associado ao eixo, tem-se:

σTAo

o

Pr r

r r= +

−

2 2

2 2 (3.40)

σRA P= − (3.41)

Este estado de tensão deve ser mantido abaixo do limite de escoamento do material

utilizado, de modo que a interferência possa ser mantida. Caso a interferência não suporte a

carga, o acessório provavelmente danificará o eixo.

Concentração de tensões ocorre devido à existência de uma tensão de compressão

neste tipo de montagem, principalmente nas extremidades do acessório, onde ocorre uma

variação abrupta entre o material comprimido e o não comprimido. A concentração de tensões

ocorre, principalmente, nos cantos vivos, e pode ser reduzida com o uso de um entalhe

circunferêncial no elemento associado, em uma região próxima ao eixo. Tais entalhes

aumentam a resistência do acessório em fletir com o eixo, e ainda minimizam o acúmulo de

tensões.

A Figura 3.8 mostra algumas curvas de fatores de concentração de tensão para ajustes

por interferência entre eixos e acessórios. Os valores nas abcissas são as razões entre os

comprimentos dos acessórios e os diâmetros dos eixos. Estes fatores geométricos de

concentração de esforços são aplicados da mesma maneira que antes. Para carregamentos

estáticos, devem ser usados para determinar se o limite local irá comprometer a interferência.

Para carregamentos dinâmicos, variam para cada material, fornecendo o fator de fadiga para

concentração de tensão.


91

Figura 3.8 - Concentração de Tensão em Montagem com Interferência.

3.2. PROJETO DE VOLANTES

Um volante é usado para suavizar variações na velocidade, geralmente causadas por

flutuações de torque. Muitas máquinas estão sujeitas aos carregamentos que causam a

variação da função do torque no tempo. Pistões de compressores, prensas de estampagem,

trituradores de rochas, etc., possuem carregamentos variáveis no tempo. O motor primário

também pode introduzir oscilações no torque do eixo transmissor. Motores de combustão

interna com um ou dois cilindros são um exemplo. Outros sistemas podem apresentar fontes

de torque e de carregamento suaves, como um gerador elétrico, acionado por uma turbina a

vapor. Estes dispositivos não necessitam de um volante. Se a fonte do torque ou do

carregamento possui uma natureza flutuante, então o volante é normalmente utilizado.

Um volante é um dispositivo armazenador de energia. Ele absorve e armazena energia

cinética quando acelerado, restituindo energia ao sistema quando necessário, através da


92

diminuição de sua velocidade rotacional. A energia cinética Ek em um sistema rotativo é dada

por:

2mI

2

1 ω=kE (3.42)

No qual Im é o momento de inércia de todas as massas rotativas do eixo, na direção de

rotação, e ω é a velocidade rotacional do eixo. O momento de inércia Im inclui o motor e

qualquer outra massa rotativa com o eixo, além do volante.

Volantes podem ser simples, como um disco cilíndrico de um material sólido, ou um

dispositivo com raios, cubo e coroa. Este último arranjo é mais eficiente para qualquer

material, especialmente para grandes volantes, uma vez que concentra a maior parte da massa

na borda, ou ainda, na extremidade de maior raio. Desde que o momento de inércia de massa

Im de um volante é proporcional a mr2, a massa localizada em um raio maior apresenta um

efeito de inércia muito mais acentuado. Se for assumida uma geometria de disco sólido, com

raio interno r i e raio externo ro, o momento de inércia de massa é:

( )Im = +m

r r i2

02 2 (3.43)

A massa de um disco circular vazado, de espessura constante t é:

( )trrgg

Wm i

220 −== γπ (3.44)

Substituindo (3.44) na equação (3.43), obtem-se uma expressão para Im, em função da

geometria do disco:

( )Im = −π γ2

04 4

gr r ti (3.45)

No qual γ é a densidade de peso do material, e g é a constante gravitacional.


93

Existem dois estágios no projeto de um volante. No primeiro estágio, a quantidade de

energia exigida, para o grau de suavidade desejado, deve ser estimada, e o momento de inércia

necessário para absorver esta energia deve ser determinado. Então, no segundo estágio, a

geometria do volante deve ser definida, para suprir o momento de inércia de massa em um

elemento de dimensão razoável e, ao mesmo tempo, seguro contra falhas em velocidades de

projeto.

3.2.1 Variação da Energia em um Sistema Rotativo

A Figura 3.9 mostra um volante, projetado como um disco circular plano, vinculado a

um eixo de motor. O motor fornece um torque de magnitude Tm, o mais constante possível, ou

seja, próximo ao valor do torque médio Tavg. Assume-se que o carregamento, após o volante,

demande um torque Tl, variante no tempo. Esta variação de torque pode causar a variação da

velocidade do eixo, dependendo da característica torque-velocidade do motor de acionamento.

Necessita-se determinar o momento de inércia Im a ser acrescentado, na forma de um volante,

para reduzir a variação da velocidade do eixo a um nível aceitável no sistema.

Figura 3.9 - Volante em um eixo de Transmissão.

Pela Lei de Newton, para o diagrama de corpo livre da figura 3.9:

αmI=∑T então αmI=− ml TT (3.46)

Sabe-se que o ideal seria um valor médio constante para o torque:

avgm TT = ou ainda αmI=− avgl TT (3.47)

Motor Eixo

Volante

Tm

Tl


94

Substituindo α na expressão (3.47):

θωωθ

θωωα

d

d

dt

d

d

d

dt

d =

== (3.48)

θωω

d

dTT avgl mI=− e então ( ) ωωθ dIdTT mavgl =− (3.49)

Integrando (3.49) obtem-se:

( ) ∫∫ =−→

→

max

min

max

minmI

ω

ω

ωθ

ωθωωθ ddTT avgl ou ( )

→

→−=−∫

2min

2maxmI

2

1max

minωωθ

ωθ

ωθdTT avgl (3.50)

O lado esquerdo da expressão (3.50) representa a variação na energia cinética Ek, entre

os valores máximo e mínimo da velocidade angular ω do eixo, sendo igual à área do diagrama

torque-tempo, entre os valores extremos de ω.

O lado direito da equação (3.50) é a variação da energia cinética armazenada no

volante. Para extrair a energia cinética do volante deve-se desacelerá-lo. É impossível obter

uma velocidade exatamente constante do eixo, em face de demanda de energia variável

devido à carga. É possível, contudo, minimizar a variação da velocidade (ωmax - ωmin) através

de um volante, com Im suficientemente elevado.

3.2.2 Determinação da Inércia de um Volante

Trata-se de determinar as dimensões de um volante, necessárias para absorver a

variação de energia cinética, com uma variação aceitável de velocidade angular ω. A variação

da velocidade do eixo, durante um ciclo, é chamada de flutuação Fl:

Fl max min= −ω ω (3.51)

Normalizando a flutuação para uma razão admensional, dividindo-a pela média da

velocidade do eixo, obtem-se o coeficiente de flutuação Cf :


95

( )Cf

max min

avg

=−ω ω

ω (3.52)

Este coeficiente de flutuação é um parâmetro de projeto a ser definido pelo projetista.

É tipicamente utilizado um valor entre 0,001 e 0,05 para máquinas de precisão e, de 0,20 para

máquinas de triturar ou de martelar, o que corresponde de 1 a 5% de flutuação na velocidade

do eixo. Quanto menor o valor selecionado, maior deverá ser o volante. Por sua vez, um

volante maior acarretará maior custo, acrescentando mais peso ao sistema, fatores estes a

serem considerados, em detrimento da suavidade da operação desejada.

A variação requerida na energia cinética Ek, através da integração da curva do torque:

( ) kavgl EdTT =−∫ θωθ

ωθ

max

min

@

@ (3.53)

Igualada ao lado direito da equação (3.50):

( )2min

2max2

1 ωω −= mk IE (3.54)

Fatorando esta expressão:

( )( )minmaxminmax2

1 ωωωω −+= mk IE (3.55)

Se a função torque x tempo for puramente harmônica, então seu valor médio pode ser

expresso como:

( )2

minmax ωωω +=avg (3.56)

As funções de torque raramente serão harmônicas puras, porém o erro introduzido

através do uso da expressão (3.56), como uma aproximação da média, é aceitável.

Substituindo as equações (3.52) e (3.56) na equação (3.55), obtemos uma expressão para o


96

momento de inércia de massa Is, necessário ao sistema rotativo completo, para se obter o

coeficiente de flutuação selecionado.

( )( )avgfavgsk CIE ωω22

1= ou ainda 2avgf

ks

C

EI

ω= (3.57)

A equação (3.57) pode ser usada para projetar o volante físico, através da escolha de

um coeficiente de flutuação Cf adequado, e do valor de Ek, obtido de uma integração numérica

da curva de torque, além da velocidade angular ω média do eixo, para calcular o Is necessário

do sistema. O momento de inércia de massa Im do volante físico é, então, igualado ao

momento de inércia requerido do sistema Is. Porém, se os momentos de inércia de massa dos

demais elementos rotativos do eixo (como o motor) são conhecidos, o momento Im do volante

físico pode ser reduzido.

O projeto mais eficiente de volante, em termos da maximização do momento de

inércia Im, para um mínimo de material utilizado, é tal que a massa seja concentrada na sua

coroa, e seu cubo seja suportado por raios, como uma roda de carruagem ou bicicleta. Desta

forma, a maior parte da massa localiza-se a uma distância maior possível do cubo,

minimizando o peso para um dado Im. Mesmo que um projeto de volante circular plano seja

escolhido, por simplicidade de manufatura, ou para se obter uma superfície plana para outras

funções (como uma embreagem de automóvel), o projeto deve ser feito com a devida atenção

para a redução do peso e, consequentemente, do custo.

Como, geralmente, Im = mr2, um disco estreito e de grande diâmetro exigirá menor

massa de material, para obter um certo valor de Im, que um disco mais espesso e de diâmetro

menor. Materiais densos, como ferro fundido e aço, são as melhores escolhas para um volante.

O alumínio é raramente empregado e, apesar de muitos metais (chumbo, ouro, prata, platina)

serem mais densos que o ferro e o aço, raramente se conseguirá a aprovação do departamento

financeiro para o uso destes em volantes.

3.2.3 Tensões em Volantes

Conforme um volante gira, a força centrífuga atua em sua massa distribuída, tentando

puxá-la para fora. Estas forças centrífugas são similares àquelas causadas por uma pressão

interna em um cilindro. Deste modo, o estado de tensão em um volante girando, é análogo a


97

um cilindro de parede espessa sob pressão interna. A tensão tangencial em um volante sólido,

na forma de disco, em função de seu raio é:

++−++

+= 22

22222

3

31

8

3r

r

rrrr

goi

oit νννωγσ (3.58)

A tensão radial é dada por:

σγ

ων

r i oi o

gr r

r r

rr=

+

+ − −

2 2 2

2 2

223

8 (3.59)

No qual γ = densidade de peso do material, ω = velocidade angular em rad/sec, ν =

coeficiente de Poisson, r = raio de um ponto de interesse, r i e r0 = raios interno e externo do

volante sólido, respectivamente.

A figura 3.10 mostra como estas tensões variam ao longo do raio do volante. A tensão

tangencial é máxima no raio mais interno. A tensão radial, por sua vez, é nula nos raios

interno e externo, e seu valor máximo ocorre em um ponto interno, porém em uma posição

em que supera a tensão tangencial correspondente ao mesmo ponto. O ponto de maior

interesse é, portanto, no raio interno. A tensão tangencial de tração, neste ponto, é responsável

pela falha do volante e, quando ocorre à fratura, o volante fragmenta-se e explode, com

resultados extremamente desastrosos. Sendo as forças causadoras das tensões, funções da

velocidade rotacional, sempre haverá alguma velocidade em que o volante falhará. A

velocidade de operação mais segura deverá ser calculada para o volante, e algumas medidas

devem ser tomadas para impedir sua operação a velocidades mais altas, como um controle de

velocidade ou um limitador de velocidade. O fator de segurança contra o excesso de

velocidade de rotação pode ser determinado como o quociente entre a velocidade que causa

escoamento e a velocidade de operação, Nos = ωyield / ω.

Critério de Falha para o Volante

Se o volante passa a maior parte de sua vida útil, operando a uma velocidade

praticamente constante, então se pode considerar o carregamento estático, e o limite de


98

escoamento é utilizado como um critério de falha. O número de ciclos partida-parada, em seu

regime de operação, determinará se uma condição de fadiga no carregamento deve ser

considerada. Cada variação da velocidade, partindo do repouso, até a velocidade operacional e

vice-versa, constitue um ciclo de tensão flutuante. Se o número desses ciclos superar a vida

prevista em projeto do sistema, então o critério de falha por fadiga deve ser aplicado. Um

regime de fadiga de baixo ciclo requer uma análise de falha por fadiga baseada na

deformação, ao invés de tensão, particularmente se existe a possibilidade de qualquer excesso

de carregamento transiente, que possa causar tensões locais excessivas, superando o limite de

escoamento nas localidades de concentrações de tensão.

(a) (b)

Figura 3.10 - Distribuição de tensão tangencial (a) e radial (b).

3.3. ACOPLAMENTOS

3.3.1 Introdução

Os acoplamentos são utilizados para unir subsistemas ou componentes de máquinas

rotativas. Se os acoplamentos forem projetados apropriadamente, eles podem diminuir a

sensibilidade relativa ao desalinhamento que existe entre os componentes acoplados. Uma

ampla variedade de acoplamentos axiais comerciais entre eixos está disponível, desde

acoplamentos rígidos, até projetos mais elaborados, que utilizam engrenagens, elastômeros,

ou fluidos para transmitir torque entre eixos, ou para outros dispositivos, quando na presença

de vários tipos de desalinhamentos. Os acoplamentos podem ser, de modo geral, divididos em

duas categorias: rígidos e flexíveis. Acoplamentos flexíveis, dentro deste contexto, incluem os

acoplamentos que podem absorver algum desalinhamento entre dois eixos, enquanto que para

acoplamentos rígidos, nenhum desalinhamento é permitido entre os eixos conectados.

Raio do Volante

Raio do Volante Tensão Tangencial

Tensão Radial


99

O desalinhamento entre os rotores é uma condição na qual as linhas de eixo destes não

são geometricamente coincidentes. Existem três tipos de desalinhamentos entre os rotores: o

paralelo, o angular, e o axial. Entretanto, na realidade, o desalinhamento entre rotores é uma

combinação dos três tipos de desalinhamento (paralelo, angular, e axial) como é mostrado na

Figura 3.11. O alinhamento perfeito entre os rotores acoplados é difícil de ser obtido devido a

muitos fatores práticos, e ainda se obtido, é difícil de ser mantido durante o tempo de

operação dos sistemas mecânicos. O grau de desalinhamento entre eixos permitido pelos

acoplamentos é variável, e depende do tipo de acoplamento usado. O desalinhamento pode

causar forças radiais que atuam sobre o sistema. Se estas forças radiais forem consideráveis,

os componentes tais como os mancais, selos e eixos, poderiam sofrer tensões indevidas, e

falhar prematuramente. Os materiais mais flexíveis exercem forças radiais menores do que as

exercidas pelos materiais mais rígidos.

A freqüência natural de um sistema pode ser alterada através da variação da inércia de

qualquer um de seus componentes, ou da rigidez do acoplamento usado. Depois que um

sistema é projetado, torna-se difícil e custoso alterar a inércia dos componentes. Portanto, a

seleção do acoplamento é usada para alterar a freqüência natural do sistema.

Em resumo, as funções dos acoplamentos mecânicos podem ser: transmissão de

potência, facilitar a montagem e desmontagem das máquinas, isolar e amortecer as vibrações

torcionais, permitir o movimento axial devido à expansão ou contração térmica, absorção do

movimento axial para prever o carregamento axial ou manter a peça alinhada, permitir

desalinhamento angular, paralelo ou misto. Entretanto, se o desalinhamento não for

minimizado, as conseqüências podem ser: ruído, vibração, perda de potência, rápido desgaste

dos mancais, selos e montagens, dano ou falhas das engrenagens, falha por fadiga do eixo e

falha do acoplamento.


100

Desalinhamento Paralelo

Desalinhamento Axial Desalinhamento Angular

Desalinhamento Real

DesalinhamentoAxial

DesalinhamentoAngular

DesalinhamentoParalelo

DesalinhamentoTorcional

Figura 3.11 - Tipos de desalinhamento entre eixos acoplados.

3.3.2 História dos Acoplamentos Mecânicos

O desenvolvimento dos acoplamentos está intimamente relacionado com o

desenvolvimento da roda, ainda que só tenha ocorrido a quase cinco milênios depois.

Enquanto os primeiros registros de rodas datam de 5000 A.C., os acoplamentos não

antecedem os 300 A.C., sendo utilizados pelos Gregos, os quais correspondiam a uma junta

universal. Os Chineses foram os primeiros a utilizar este conceito aproximadamente em 25

D.C..

A origem dos modernos acoplamentos é delegada a Jerome Cardan, que no século 16

inventou um mecanismo composto por dois braços de ligação, uma cruz e quatro mancais.

Este acoplamento foi o antecessor comum de todos os acoplamentos flexíveis, e atualmente

ainda é utilizado, e continuamente melhorado com a tecnologia. Porém, ele não projetou a


101

junta que leva seu nome, Junta Cardan, tendo desenvolvido apenas um de seus componentes.

A Junta Cardan também é conhecida como “Junta Hooke”. A primeira aplicação para esta

junta foi desenvolvida por Robert Hooke por volta do ano de 1650, quando também

equacionou as flutuações na velocidade angular causadas por uma Junta Cardan.

No século subseqüente, quase não há registros de avanços nos acoplamentos. Estes só

começaram a surgir novamente com a Revolução Industrial, e especialmente, com a revolução

automobilística, que motivou o desenvolvimento de muitos acoplamentos flexíveis. Roots F.

(1886), teorizou que, em se afinando a seção da flange de um acoplamento rígido, esta poderia

ter certa flexibilidade que preveniria falhas para o equipamento e o eixo. Esta idéia foi a

precursora dos acoplamentos de diafragma atuais. O acoplamento de compressão de Davis foi

desenvolvido para eliminar o uso de chavetas, através do uso de cubos em compressão sobre

os eixos, acreditando-se que eram os mais seguros. Acredita-se que o primeiro acoplamento

de correntes foi aquele descrito em maio de 1914, na revista Americana “Scientific

American”.

Na década de 20, a indústria dos acoplamentos flexíveis expandiu-se rapidamente,

motivada diretamente pela invenção do automóvel. Surgiram muitos novos modelos e

empresas especializadas no assunto, entre eles as companhias “Thomas Flexible Coupling”,

“Ajax Flexible Coupling” e outras. Este desenvolvimento teve continuidade nas décadas de 30

e 40. Neste período, foram introduzidos os acoplamentos flexíveis de uso geral dentro do

mercado industrial. Entre os acoplamentos mais utilizados pode-se citar: de corrente, de

grade, de garras, de engrenagem, de disco, de bloco quadrado corrediço e a junta universal.

A partir da segunda metade da década de 40 até a década de 50, observou-se um rápido

avanço tecnológico e a introdução de equipamentos rotativos de maior porte e de maior

torque, levando à necessidade de acoplamentos com capacidade de maior torque e de

assimilação de maiores desalinhamentos. Neste período, foi desenvolvido por completo o

acoplamento de engrenagens de perfil envolvente, introduzido na indústria de aço. A

utilização de turbinas a gás em aplicações industriais (geradores, compressores) tornou-se

popular, e com isso tornaram-se necessários os acoplamentos com maiores velocidades de

operação. Portanto, os acoplamentos de engrenagens e de disco foram melhorados para suprir

essas necessidades. Entretanto, com o aumento da velocidade de operação, necessitou-se de

acoplamentos mais leves e com características torcionais. Esses acoplamentos com

características torcionais utilizam materiais como os elastômeros, que suavizam o


102

funcionamento do sistema, e em alguns casos, são capazes de absorver ou amortecer os

carregamentos de pico causados pelas oscilações torcionais.

Na década de 60 houve uma maior exigência em relação às máquinas rotativas com

maior torque e maiores velocidades de operação, observando-se a introdução de novos tipos

de acoplamentos. Alguns fabricantes lançaram acoplamentos de engrenagens padronizados,

muito utilizados no mercado. Os acoplamentos de grade e de corrente eram populares para as

aplicações gerais e os acoplamentos de pneus de borracha eram oferecidos em modelos

próprios por cada fabricante. Durante este período, foram introduzidos acoplamentos de

elastômeros sofisticados para resolver os diferentes problemas que eventualmente surgiam nos

sistemas. A utilização de acoplamentos sem lubrificação cresceu rapidamente neste período,

ou seja, até a primeira metade da década de 80.

Os avanços nos acoplamentos desde a segunda metade da década de 80 até os dias

atuais ficaram por conta da melhoria dos materiais, da análise através dos elementos finitos e

novos métodos de fabricação. Os acoplamentos sem lubrificação, ao serem projetados através

da análise de elementos finitos, são mais confiáveis e tem maiores capacidades. Os avanços

nos equipamentos de controle numérico (CNC), permitiram o desenvolvimento de

acoplamentos de diafragma de uma só peça, eliminando-se, dessa forma, a utilização da solda.

A otimização da forma e a melhoria nos materiais dos elastômeros do projeto permitiram

maior capacidade e maior tempo de vida útil nos acoplamentos de elastômeros.

Atualmente, tem-se, principalmente, o desenvolvimento de micro-mecanismos, além

de melhorias contínuas nos acoplamentos já em uso, direcionados para aplicações específicas

em miniaturas (servomecanismos, equipamentos de oficina, e mecanismos pequenos), ou

então para acoplamentos com excessivas exigências de potência.

3.3.3 Classificação dos Acoplamentos Mecânicos

No mercado há uma vasta variedade de acoplamentos mecânicos disponibilizados, os

quais, em geral, são agrupados em acoplamentos rígidos e acoplamentos flexíveis. Este

segundo grupo é dividido em vários subgrupos. Rivin E.(1986), propôs uma classificação dos

acoplamentos considerando a função do acoplamento nos sistemas de transmissão. Nessa

classificação ele subdividiu os acoplamentos flexíveis em: Acoplamentos com compensação

de desalinhamento, Acoplamentos torcionalmente flexíveis e Acoplamentos de propósito

mistos.


103

Marangoni R., Xu M. (1990) classificaram os acoplamentos flexíveis em 4 tipos, de

acordo com seus princípios de operação, denominando cada grupo como: Acoplamentos

mecanicamente flexíveis; Acoplamentos de membranas metálicas; Acoplamentos de

elastômeros; Acoplamentos de miscelâneas (mistos). Childs D., et al. (1992), agruparam os

acoplamentos em 3 grandes grupos, sendo que os 2 últimos grupos correspondem aos

acoplamentos flexíveis: O primeiro deles não utiliza componentes intermediários entre as

superfícies em contato do acoplamento, além de uma camada de lubrificação, ou não,

dependendo da flexibilidade das superfícies em contato; O segundo grupo utiliza uma peça

intermediária de ligação entre as superfícies em contato do acoplamento. Esta peça pode ser

metálica, ou um elastômero, a qual tem características próprias de rigidez e amortecimento,

assim como suas condições de balanceamento. Hodowanec M. (1997), classificou-os em 2

tipos: acoplamentos flexíveis metálicos e acoplamentos flexíveis de elastômeros.


104

Figura 3.12 – Classificação geral dos acoplamentos mecânicos

Finalmente Mancuso J. (1999), fez uma classificação de acoplamentos similar àquela

publicada por Xu M., Marangoni R. (1990), com a diferença de que Mancuso acrescenta uma

classificação das aplicações dos acoplamentos, como é mostrada na Figura 3.12. De acordo

com o texto anterior, não existe uma classificação única para os acoplamentos flexíveis, mas a

mais completa até o presente momento é a citada por Mancuso.

Acoplamentos Rígidos

Acoplamentos Flexíveis

Acoplamento Flexível

Miniatura

Acoplamento Industrial de

Propósito Geral

Acoplamento Industrial de Propósito Especial

Acoplamento Rígido de Flanges

Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - sem lubrificação

Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - dentes retos - dentes de envolvente Acoplamento por Corrente - corrente de aço - corrente de náilon Acoplamento por Grade - tampa bipartida verticalmente - tampa bipartida horizontalmente

Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - de maior ângulo (gear spindle) - altas velocidades (lubrificação

selada) - altas velocidades (lubrificação

continua) - altas velocidades (lubrificação

continua, tipo marinha)

Acoplamento Rígido Bipartido

Elemento Elastomérico - acoplamento elastomérico de

uretano

Elemento Elastomerico Em Cisalhamento - pneu de uretano - pneu com fibra - câmara toroidal partida Em Compressão - câmara toroidal - calços - garras(dentado) - pinos e buchas

Elemento Elastomerico Em Cisalhamento - elastômero aderido nos cubos Em Compressão - calços

Acoplamento Rígido de Luva

Elemento Metálico Acoplamento de viga metálica Acoplamento de disco metálico Acoplamento de sanfona

metálico

Elemento Metálico De Disco - disco circular - disco quadrado - disco curvado (Scalloped) - discos articulados

Elemento Metálico De Disco - de momento reduzido(Scalloped) - tipo da marinha (Scalloped) - arranjo de discos De Diafragma - cônico (soldada) - de peça única - retas múltiplas - de convolutas múltiplas

Acoplamento Rígido de eixo oco

Miscelâneas - de pino e bucha - de viga metálica - de bloco quadrado corrediço

Miscelâneas - tipo excêntrico (Schmidt) - de mola tangencial


105

3.3.3.1 Acoplamentos Rígidos

Acoplamentos Rígidos travam os dois eixos conectados, não permitindo movimento

relativo entre eles, apesar de algum ajuste axial ser possível na montagem.

Estes acoplamentos são utilizados quando não há desalinhamento ou quando este

desalinhamento é muito pequeno, ou ainda, quando os eixos do equipamento ou do

acoplamento (rígido de eixo vazado) são muito robustos, ou seja, longos e suficientemente

finos para que possam flexionar e assimilar as forças e os momentos de reação produzidos

pela deflexão mecânica dos acoplamentos rígidos, impostas pelo desalinhamento. Nestes

casos, estes acoplamentos são muito eficientes na conexão de equipamentos. Em geral, estes

acoplamentos permitem a transferência de potência de uma peça para outra do equipamento.

Eles permitem também a conexão de eixos de diferentes dimensões.

São aplicados na união de eixos perfeitamente alinhados, quando precisão e fidelidade

na transmissão do torque são de extrema importância, como por exemplo, quando a relação de

fase entre dispositivos acionadores e os acionados deve ser precisamente mantida. Máquinas

de produção automatizadas, acionadas por longos eixos lineares, geralmente utilizam

acoplamentos rígidos, entre seções de eixos, por esta razão. O alinhamento entre eixos

acoplados deve ser ajustado com precisão, para evitar a introdução de grandes forças laterais e

momentos, quando o acoplamento é posicionado.

Alguns exemplos de acoplamentos rígidos comerciais são ilustrados a seguir. Há três

tipos principais: acoplamento por engrenamento plano, acoplamento por flanges e

acoplamento bipartido.

Acoplamentos por engrenamento plano ou bucha: utilizam um parafuso de elevada

dureza, que perfura o eixo para transmitir torque e carregamento axial. Estes acoplamentos

são recomendados somente para aplicações de carregamento leve, podendo afrouxar-se com

maiores níveis de vibração.

O acoplamento rígido de bucha (com ou sem luva) é uma das mais simples formas de

acoplamentos, utilizada para transmissões de frações de 1 hp, na qual os eixos conectados são

de mesmo diâmetro, sendo que estes acoplamentos são fixados nos eixos por parafusos. Na

indústria, não há um padrão para este tipo de acoplamento, sendo que os de maiores

dimensões são fornecidos com buchas substituíveis para montagem e desmontagem. Os

acoplamentos mais simples são utilizados nas transmissões motor-bomba e os mais

sofisticados para aplicações de maior torque, como eixos de propulsão da marinha.


106

Figura 3.13 - Acoplamento por Engrenamento Plano ou Bucha.

Acoplamento por flanges: utiliza chaveta convencional e pode transmitir um torque

substancial. Parafusos são geralmente utilizados em combinação com a chaveta, estando

localizados a 90o da chaveta. Para fixação própria contra vibração, um parafuso de pressão

com ponta cavada é utilizado para atravessar o eixo. Para maior segurança, o eixo pode ser

provido de um furo raso vazado, sob o parafuso de pressão, para fornecer uma interferência

mecânica contra um deslizamento axial, ao invés de contar somente com o atrito.

Os acoplamentos de flanges rígidas são provavelmente o tipo mais comum de conexão

rígida. Seu projeto é limitado pelo número, tamanho e tipo de parafuso usado. Nas diferentes

análises de tensão, que usualmente são consideradas, os limites deveriam considerar as

tensões nos parafusos, cubos e nos flanges. Estes acoplamentos podem ser usados quando não

há desalinhamento ou quando estes forem virtualmente nulos. Algumas aplicações são as

bombas (verticais, horizontais) e as transmissões de guindastes.

Figura 3.14 - Acoplamento por Flanges.

Acoplamentos bipartidos: existem diversos projetos, sendo mais comuns os

acoplamentos de uma-ou-duas-partes bipartidas, que se ajustam ao redor de ambos eixos,

transmitindo torque através do atrito. O acoplamento rígido bipartido é usado onde a

facilidade de montagem e desmontagem é requerida. O eixo e o cubo do acoplamento são

geralmente chavetados. As duas metades são unidas rigidamente por parafusos radiais na

região segmentada, cujo número de parafusos pode variar dependendo do tamanho do


107

acoplamento. O torque é transferido de uma metade para outra, pela força de atrito produzida

pelos parafusos. Estes acoplamentos são amplamente utilizados para aplicações de baixo

torque e baixa velocidade, tais como em bombas verticais, agitadores, transmissão de guincho

e muitos outros tipos de aplicações.

3.3.3.2 Acoplamentos Flexíveis ou de Compensação.

Os acoplamentos flexíveis unem dois eixos de equipamento rotativos, enquanto

permitem algum grau de desalinhamento ou movimento relativo dos extremos dos eixos. As

três funções básicas deste tipo de acoplamento são: transmitir potência de uma máquina para

outra sob a forma de torque numa dada velocidade (dependendo das características do

acoplamento, a eficiência da transmissão será melhor ou pior); assimilar o desalinhamento

entre as linhas de centro dos eixos conectados, que podem ser paralelo, angular, ou misto,

sendo este último o que mais ocorre na realidade; compensar o movimento axial nos extremos

dos eixos conectados, sendo também possível restringí-los. Além das funções básicas

descritas, os acoplamentos flexíveis podem ter outras funções como: amortecer a vibração e

reduzir as cargas de choque ou pico; proteger o equipamento de sobrecargas; medir torques de

saída no equipamento acionado; isolar o equipamento motriz do equipamento acionado;

posicionar o rotor de um motor ou gerador, e para posicionar o sistema fora de seu modo

crítico torcional.

Um eixo, considerado como um corpo rígido, tem seis graus de liberdade, em relação a

um segundo eixo. Porém, devido à simetria, somente quatro desses graus de liberdade são de

interesse. Eles estão associados ao desalinhamento axial, angular, paralelo e torcional, como

mostrado na figura 3.11. Estes podem ocorrer separadamente ou em combinação, e podem

estar presentes na montagem, devido às tolerâncias de manufatura, ou podem ocorrer durante

a operação, devido aos movimentos relativos dos dois eixos.

Mesmo que o alinhamento entre os eixos adjacentes seja preciso, podem ocorrer

desalinhamento axial, angular e paralelo, em qualquer máquina em funcionamento. O

desalinhamento torcional ocorre, dinamicamente, quando a carga acionada tende a prender o

motor acionador. Se o acoplamento permite qualquer folga angular, haverá recuo quando o

torque inverter de sinal. Isto é indesejável no caso da necessidade de precisão da fase, como

em servomecanismos. Flexibilidade torcional, em um acoplamento, pode ser desejável, se

grandes carregamentos de choque, ou vibrações torcionais, devem ser isoladas entre os eixos.


108

Numerosos projetos de acoplamentos flexíveis são produzidos, oferecendo cada um,

uma diferente combinação de características. O projetista, geralmente, pode selecionar um

acoplamento adequado e disponível comercialmente, para qualquer aplicação. Acoplamentos

flexíveis podem ser divididos em diversas subcategorias, que estão listadas na Tabela 3.4,

juntamente com algumas de suas características.

Tabela 3.4 - Tipos de Acoplamentos - Tolerância de Desalinhamento.

Classe Axial Angular Paralelo Torcional Comentário

RÍGIDO grande nenhum nenhum nenhum alinhamento

preciso

ELÁSTICO DE

PINOS suave

suave

(< 2 graus)

suave

(3% d) moderado

absorção de

choque e recuo

ENGRENAGEM grande suave

(< 5 graus)

suave

(< 0.5% d) nenhum

recuo suave e

capacidade de

torque elevada

RANHURAS grande nenhum nenhum nenhum

recuo suave e

capacidade de

torque elevada

HELICOIDAL suave grande

( 20 graus)

suave

(< 1% d) nenhum

peça compacta,

sem recuo

BELLOWS suave grande

( 17 graus)

moderado

(20%d) nenhum

sujeito à falha

por fadiga

DISCO

FLEXÍVEL suave

suave

( 3 graus)

suave

( 2% d)

suave ou

nenhum

absorção de

choque, sem

recuo

HOOKE nenhum grande grande

(aos pares) nenhum

variação de

velocidade e

recuo suave

RZEPPA nenhum grande nenhum nenhum velocidade

constante

Acoplamentos com elemento elástico deformável: apresenta dois cubos (geralmente

idênticos) com pinos sobressalentes, como mostrado na Figura 3.15 (a) e (b). Estes pinos

encaixam-se axialmente, e engrenam torcionalmente através de um complemento flexível de


109

borracha ou metal-leve. A folga permite algum desalinhamento axial, angular e paralelo, mas

pode também permitir algum recuo indesejável.

(a)

(b)

Figura 3.15 - Acoplamento Elástico de Pinos: (a) Oldham e (b) Teteflex.

Acoplamentos de Discos Flexíveis: são similares ao anterior, pois seus dois cubos são

ligados por um membro flexível (disco) de elastômero ou metal elástico, como mostrado na

Figura 3.16. Estes acoplamentos permitem desalinhamento axial, angular e paralelo, com

alguma flexibilidade torcional, porém, permitem pouco ou nenhum recuo.

Figura 3.16 - Acoplamento de Discos Flexíveis.


110

Acoplamentos de engrenagens e ranhuras: utilizam dentes retos ou curvos

engrenados com dentes internos, como mostrado na Figura 3.17 (a). Permitem movimento

axial substancial entre eixos e, dependendo da forma do dente e das folgas entre eles, podem

absorver pequenos desalinhamentos angulares e paralelos. Possuem alta capacidade de torque,

devido ao número de dentes no engrenamento.

(a) (b) (c) (d)

Figura 3.17 - Acoplamentos Flexíveis: (a) de Engrenagens, (b) Tipo Bellows, (c) Junta Universal e (d) Helicoidal.

Acoplamentos Helicoidais e Tipo Bellows: são empregados em projetos que utilizam

suas deflexões elásticas para permitir desalinhamentos axial, angular e/ou paralelo, com

pouco ou nenhum recuo. Acoplamentos Helicoidais (Figura 3.17 (d)) são feitos de um cilindro

sólido de metal, cortado com uma fenda helicoidal para aumentar sua flexibilidade. Os tipos

bellows (Figura 3.17 (b)) são feitos de uma fina folha de metal, através da solda de uma série

de arruelas juntas. Estes acoplamentos têm capacidade de torque limitada, comparada a outros

projetos, mas oferece recuo zero e alta rigidez torcional, em combinação com desalinhamento

axial, angular e paralelo.

Juntas Universais: São de dois tipos comuns. O acoplamento Hooke (Figura 3.17

(c)), que não possui velocidade constante (CV) e o acoplamento Rzeppa, que possui

velocidade constante. Acoplamentos Hooke são, geralmente, usados aos pares para cancelar

seu erro de velocidade. Ambos os tipos podem lidar com grande desalinhamento angular e,

aos pares, podem fornecer grande compensação paralela também. Estes acoplamentos são

utilizados em eixos acionadores de automóveis.


111

Figura 3.18 - Acoplamento de Molas.

3.3.4 Critérios para Seleção de Acoplamentos.

Os acoplamentos são de vital importância para um sistema de transmissão de

potência, mesmo que o seu valor monetário não supere no geral 10% do custo total do

sistema. Entretanto, muitos projetistas consideram os acoplamentos como se estes fossem

peças de hardware. O tempo gasto na seleção de um acoplamento e a determinação de sua

interação com o sistema deve ser não só função do custo do equipamento, mas também função

do tempo de substituição ou de reparo devido a uma falha ocorrida. Em alguns casos, esta

análise pode envolver um curto período de tempo com base em experiências anteriores.

Entretanto, um sistema complexo pode requerer uma análise por elementos finitos e

eventualmente possíveis testes com protótipos devem ser feitos.

O projetista de um sistema deve selecionar um acoplamento que seja compatível com

o sistema. A complexidade e o aprofundamento do processo de seleção dependerá do quão

crítico e quão custoso será a parada para o usuário final. Segundo Mancuso J. (1999), existem

usualmente 4 passos que deveriam ser considerados para uma apropriada seleção de um

acoplamento:

• Revisão dos requerimentos iniciais para um acoplamento flexível e seleção do

tipo de acoplamento que melhor satisfaz o sistema;

• Fornecer ao fabricante a informação pertinente, para que o acoplamento possa

ser apropriadamente dimensionado, projetado e fabricado para satisfazer essas

necessidades. No mínimo 3 itens são necessários para dimensionar um acoplamento:

potência, velocidade e informação da interface;


112

• Obter informação sobre as características do acoplamento, devido a interação

deste com o sistema que deve ser analisado, para garantir compatibilidade e prever o

surgimento de forças e momentos prejudiciais. Sendo o acoplamento selecionado,

dimensionado e projetado adequadamente, não é garantida uma operação sem problemas.

Os acoplamentos geram suas próprias forças e podem também amplificar as forças do

sistema, mudando as características originais do sistema ou as condições de operação.

Algumas características do acoplamento que podem interagir com o sistema são: rigidez e

amortecimento torcional, folga, massa, efeito da rotação do volante do acoplamento,

centro de gravidade, quantidade de desbalanceamento, força axial, momento de flexão,

rigidez lateral, freqüências naturais axial, lateral e torcional. O efeito da rotação do volante

de um acoplamento é o produto da massa do acoplamento pelo quadrado do raio de

rotação (raio no qual a massa do acoplamento pode ser considerada concentrada);

• Verificar a interação com o sistema, e se as condições do sistema se alterarem,

deve-se contatar o fabricante para que as novas condições e seus efeitos sobre o

acoplamento selecionado possam ser analisadas. Repetir este processo até o sistema e o

acoplamento serem compatíveis. As características do acoplamento são utilizadas para a

análise do sistema axialmente, lateralmente, térmicamente e torcionalmente.

Uma razão importante para o balanceamento do acoplamento, é devido às forças

geradas pelo desbalanceamento do mesmo, as quais poderiam ser prejudiciais para o sistema

(equipamentos, mancais e estrutura de suporte). Existem na indústria 4 padrões de

balanceamento, que são mais freqüentemente utilizados para acoplamentos: API671,

AGMA9002, ANSI S2 19-1989, e ISO1940/1(1a edição, 1986-09-01). De todos eles, somente

um foi especificamente escrito para acoplamentos AGMA9002. Os outros três padrões usam

tolerâncias que foram desenvolvidas para rotores ou outras peças rotativas.

ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV

113

CAPÍTULO IV MANCAIS 4.1. INTRODUÇÃO

Mancais são elementos que permitem o movimento relativo entre componentes de

máquinas. Sua forma depende da natureza do movimento relativo que se deseja obter, ou

ainda, depende do tipo de par cinemático envolvido para realizar este movimento.

Os pares cinemáticos mais comuns encontrados em máquinas são:

• Movimento em torno de um ponto - rodas, pêndulos, etc;

• Movimento em torno de uma reta - cilindros e eixos rotativos em geral;

• Movimento ao longo de uma reta - bielas, barramentos, etc;

• Movimento conjugado em torno de uma reta - roscas e parafusos;

• Movimento no plano - mesas magnéticas.

Os movimentos em torno de um ponto ou de uma reta, ou seja, as rotações contínuas

ou oscilatórias, envolvem fenômenos e, principalmente, detalhes construtivos de projeto

muito interessantes, por se relacionarem à dinâmica de rotação. Para estes movimentos,

existem formas construtivas específicas de mancais, destinados a cada tipo de aplicação. Os

tipos mais comuns de mancais, e seus respectivos mecanismos principais de falha, são:

1. Mancal de rolamento - vida limitada pela fadiga sub-superficial;

2. Mancal de escorregamento seco - normalmente um par

cinemático não metálico, com vida limitada pelo desgaste

abrasivo;

3. Mancal de escorregamento com lubrificação limite - vida limitada pelo

desgaste e pela degradação da lubrificação;


114

4. Mancal hidrostático - aplicável a toda faixa de carregamento e

rotação, com pressões de alimentação de 3 a 5 vezes a pressão

média do mancal. A vida é limitada pela manutenção da pressão;

5. Mancal hidrodinâmico - a pressão do filme lubrificante é gerada

pela rotação entre os elementos do mancal, sendo inoperante no

início e no final do movimento. A vida é limitada por vibrações e

contaminação do lubrificante.

4.2 Tipos de lubrificação:

Há três tipos básicos de lubrificação, que podem ocorrer em mancais: lubrificação

completa, mista e limite. A lubrificação completa descreve uma situação na qual as

superfícies do mancal estão completamente separadas por um filme de óleo lubrificante,

eliminando qualquer contato. A lubrificação completa pode ser hidrostática, hidrodinâmica ou

elastohidrodinâmica. A lubrificação limite descreve uma situação onde, por razões como

geometria, acabamento da superfície, carga excessiva, ou falta de lubrificação suficiente, as

superfícies do mancal tem contato direto, podendo ocorrer adesão ou desgaste abrasivo. A

lubrificação mista representa uma combinação de uma lubrificação parcial, associada a um

contato intermitente entre as superfícies, devido à suas rugosidades.

Três mecanismos podem originar lubrificação completa: lubrificação hidrostática,

hidrodinâmica e elastohidrodinâmica.

A lubrificação é normalmente classificada de acordo com o grau de separação,

fornecido pelo lubrificante, para as superfícies com movimento relativo:

a) Lubrificação Hidrodinâmica : A lubrificação hidrodinâmica refere-se ao

suprimento de um lubrificante suficiente (tipicamente um óleo) para a interface deslizante, de

modo a permitir a velocidade relativa necessária para bombear o lubrificante dentro do espaço

livre, separando as superfícies por um filme de fluido dinâmico. Neste caso, as superfícies

estão completamente separadas pelo filme lubrificante. O carregamento, que tende a provocar

o contato entre as superfícies, é inteiramente suportado pela pressão do fluido, causada pelo

próprio movimento relativo entre as superfícies (Figura 4.1(a)). Problemas como desgaste das

superfícies são raros (apenas em cavitação ou instabilidade) e as perdas por atrito são devidas

apenas ao atrito viscoso do lubrificante. A espessura mínima do filme lubrificante varia entre

0.008 e 0.020 mm.


115

b) Lubrificação Mista : os picos, que porventura ocorrem no acabamento das

superfícies, entram em contato intermitente, provocando uma sustentação hidrodinâmica

parcial (Figura 4.1(b)). Com projeto adequado, o desgaste superficial pode ser atenuado. A

faixa para os coeficientes de atrito encontra-se entre 0.004 e 0.10.

c) Lubrificação por Camada Limite: neste caso, o contato entre as superfícies é

contínuo e extenso (Figura 4.1(c)), enquanto que o lubrificante está continuamente distribuído

entre as superfícies, proporcionando uma camada de filme continuamente renovada, que

reduz o atrito e o desgaste. A lubrificação limite refere-se às situações nas quais alguma

combinação da geometria na interface, altos níveis de carga, baixa velocidade ou quantidade

de lubrificante insuficiente, excluem o início de uma operação hidrodinâmica. As

propriedades da superfície em contato e do lubrificante, outras que não a viscosidade,

determinam o atrito e o desgaste nesta situação. A viscosidade do lubrificante não é um

parâmetro influente. O atrito é independente da velocidade na lubrificação limite, o que é

consistente com a definição de atrito de Coulomb. A lubrificação limite implica sempre em

algum contato metal-metal na interface, se o filme de lubrificante não for espesso o suficiente

para “mascarar” as asperezas nas superfícies. Superfícies rugosas causam esta condição. Se a

velocidade relativa ou o suprimento de lubrificante, numa interface hidrodinâmica, forem

reduzidos, a situação reverte para uma condição de lubrificação limite. Superfícies como os

dentes de engrenagens e cames, que não envolvem uma à outra, podem estar em lubrificação

limite, se as condições EHD não prevalecerem. Mancais de rolamento também podem operar

na lubrificação limite, se a combinação de velocidades e cargas não permitir que a condição

EHD ocorra (Figura 4.1 (e) e (f)). A lubrificação limite é uma condição menos desejada do

que as demais descritas acima, pois permite que as asperezas das superfícies entrem em

contato, causando desgaste rapidamente. Algumas vezes, este fato é inevitável, como nos

exemplos de cames, engrenagens e mancais de rolamento citados. Os lubrificantes EP, foram

criados para estas aplicações de lubrificação limite, especialmente para engrenagens que

trabalham em altas velocidades de escorregamento e elevados carregamentos. O coeficiente

de atrito, em uma interface de deslizamento com lubrificação limite, depende dos materiais

utilizados, assim como do lubrificante, estando na faixa de 0.05 a 0.15, sendo na maioria das

vezes 0.10.

d) Lubrificação Hidrostática: O tipo de lubrificação mais adequado, na maior parte

dos casos, é obviamente a hidrodinâmica, mas a lubrificação hidrostática também pode

fornecer uma separação completa das superfícies (Figura 4.1 (d)). Um fluido (ar, óleo, água,


116

etc.) altamente pressurizado, é introduzido no interior da área de carregamento do mancal.

Sendo o fluido pressurizado por meios externos, a separação plena pode ser obtida com ou

sem o movimento relativo entre as superfícies, ou seja, durante a partida e em baixas

velocidades de rotação da máquina. Este tipo de mancal apresenta baixo atrito durante todo

tempo de operação. O custo elevado e a complexidade, bem como os problemas associados ao

fornecimento do fluido pressurizado, fazem com que sua aplicação seja altamente específica.

A lubrificação hidrostática refere-se ao fornecimento de um fluxo de lubrificante

(tipicamente óleo) à interface deslizante, a uma pressão hidrostática elevada (≅ 102 a 104 psi).

Tal processo requer um reservatório para armazenar, uma bomba para pressurizar e um

sistema para distribuir o lubrificante. Quando realizado adequadamente, com folgas radiais

adequadas, pode eliminar todo o contato metal-metal na interface, durante o escorregamento.

As superfícies são separadas por um filme de lubrificante que, se mantido limpo e livre de

contaminantes, reduz a taxa de desgaste praticamente a zero. Em velocidade relativa nula, o

atrito também é praticamente nulo. A uma velocidade relativa mais elevada, o coeficiente de

atrito, em superfícies lubrificadas hidrostaticamente, está entre 0.002 e 0.010. Este é também

o princípio de um mancal aerostático, usado em “air pallets” para deslocar cargas sobre uma

superfície, permitindo que se mova lateralmente com pouco esforço. “Hovercrafts”

funcionam por um princípio similar. Água é algumas vezes usada em mancais hidrostáticos.

O “Denver’s Mile High Stadium” tem uma arquibancada de 21000 lugares, a qual desliza

sobre um filme hidrostático de água, convertendo o estádio de baseball para futebol

americano. Os mancais axiais hidrostáticos são mais comuns que os mancais radiais

hidrostáticos .

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Coroa

Pinhão

Superfície do Came Rolete


117

Figura 4.1 Tipos de Lubrificação.

e) Lubrificação Elastohidrodinâmica: Quando as superfícies em contato são não-

deformáveis, como os dentes de uma engrenagem ou came, mostrados na Figura 4.1 (e) e (f),

então torna-se mais difícil formar um filme de lubrificante completo, já que as superfícies

não-deformáveis tendem mais a expelir do que envolver o fluido. Em baixas velocidades,

estas juntas estarão em lubrificação limite, e altas taxas de desgaste podem resultar em

possível deterioração e danos de superfície. A carga cria uma pequena área de contato a partir

das deflexões elásticas das superfícies. Esta pequena área de contato pode ser a área de uma

superfície plana, cujas dimensões permitem a formação um filme de lubrificante

hidrodinâmico se a velocidade de escorregamento relativa for suficientemente elevada. Esta

condição é chamada de lubrificação elastohidrodinâmica (EHD), já que depende das

deflexões elásticas das superfícies e do fato de que altas pressões (100 a 500 Kpsi), dentro da

zona de contato, aumentam bastante a viscosidade do fluido (por outro lado, a pressão do

filme de lubrificante em mancais com materiais deformáveis é somente em torno de 1000 psi

e a mudança na viscosidade devido à esta pressão é desprezível).

A lubrificação limite ocorre nas operações de ligar e desligar e, se prolongada, causará

desgaste intenso. Juntas de cames podem também lubrificação limite nos locais de pequeno

raio de curvatura do came. Os três regimes também são válidos para os mancais de rolamento.

O parâmetro mais importante, que determina qual situação ocorre nos contatos não-

deformáveis, é a razão entre a espessura do filme de óleo e a rugosidade da superfície. Para se

obter lubrificação completa e evitar contato áspero, a Rms ou rugosidade média da superfície

(Rq) não superar cerca de 1/2 a 1/3 da espessura do filme de óleo. A espessura de um filme de

lubrificação EHD completa é normalmente da ordem de 1µm. Em cargas muito altas, ou

velocidades muito baixas, a espessura do filme, na lubrificação, deve se tornar muito pequena

para separar as asperezas da superfície, ocorrendo lubrificação mista ou limite. Os fatores que

mais influenciam nas condições de lubrificação EHD são: aumento da velocidade relativa,

viscosidade do lubrificante e raio de curvatura no contato . A redução da carga unitária e

rigidez reduzida do material apresentam menor efeito.

4.3 Seleção de Mancais

A seleção normalmente é feita levando-se em conta os parâmetros mais significativos

relacionados às condições de uso do mancal.

• Seleção quanto à capacidade de carga dos mancais sujeitos à rotação contínua:


118

Inicialmente, o tipo de mancal adequado era especificado graficamente (Figura 4.2),

de forma que este apresentasse a máxima capacidade de carga a uma dada velocidade de

rotação, e para um determinado diâmetro do eixo. Esta seleção é baseada em uma vida

equivalente a 10.000 horas para mancais de escorregamento e de rolamento. Reduzindo-se o

carregamento e a rotação, pode-se prolongar a vida do componente. Para muitos mancais

planos, assume-se que a largura é igual ao seu diâmetro (L/D = 1), e o lubrificante é um óleo

mineral de viscosidade média.

Mancal de Escorregamento Seco — — — — — — —

Mancal de Escorregamento por Camada Limite

— · · —— · · —— · · —

Mancal de Rolamento ———————————

Mancal Hidrodinâmico — · — · — · — · — · — · —

Figura 4.2 - Seleção de Mancais quanto à capacidade de carga e velocidade de rotação.


119

Em muitos casos, além da capacidade de carga, o ambiente de operação ou as

exigências especiais de funcionamento podem ser de maior importância na seleção do tipo de

mancal apropriado. Assim sendo, pode-se aplicar os conceitos das Tabelas 4.1 e 4.2.

Tabela 4.1 - Seleção para Condições Ambientais Especiais em Rotação Contínua.

Tipo de Mancal

Alta

Temperatura

Baixa

Temperatura

Vácuo

Umidade

Sujeira ou partículas suspensas

Vibração Externa

Mancal de

Escorregamento Seco

Bom até a temperatura limite

do material

Bom Excelente Bom, mas o eixo não deve ser sujeito a corrosão

Bom, mas necessita

de vedação

Bom

Mancal de

Escorregamento Com Lubrificação

Limite

Ruim, pois o

lubrificante oxida

Razoável, pois pode exigir um alto torque de

partida

Possível com lubrificação

especial (graxas)

Bom Vedação é essencial

Bom

Mancal de Rolamento

Acima de 150ºC deve-se consultar

o fabricante

Bom Razoável com lubrificação

especial (graxas de molibidênio)

Bom com vedação

Vedação é essencial

Razoável - Consultar o fabricante

Mancal Hidrodinâmico

Bom para

temperatura limite do lubrificante

Bom, mas pode necessitar de

elevado torque de acionamento

Possível com lubrificação

especial

Bom Bom com vedação e filtragem

Bom

Mancal Hidrostático

Excelente se com lubrificação a gás

Bom Não, a alimentação de

lubrificante afeta o vácuo.

Bom Excelente se

lubrificado a gás

Bom

Tabela 4.2 - Seleção para Aplicações Especiais em Rotação Contínua.

Tipo de Mancal

Precisão

de Montagem

Capacidade de

Carga Axial

Baixo

Torque de Acionamento

Nível de Ruído

Componentes Disponíveis

Simplicidade

de Lubrificação

Mancal de

Escorregamento Seco

Ruim Razoável em muitos casos

Ruim Razoável Alguns Excelente

Mancal de Escorregamento com Lubrificação Limite

Bom Razoável Bom Excelente Sim Excelente

Mancal de Rolamento

Bom Boa, em muitos casos

Muito bom Satisfatório Sim Bom se lubrificado com graxa

Mancal Hidrodinâmico

Razoável É necessário um mancal axial

Bom Excelente Alguns Exige um sistema de

circulação ou fluxo

Mancal Hidrostático

Excelente É necessário um mancal axial

Excelente Excelente Nenhum Ruim, exige um sistema

especial


120

4.4. MANCAIS DE ELEMENTOS ROLANTES (ESFERAS ou ROLOS) Rolamentos são conhecidos por mover objetos pesados desde os tempos antigos, e há

evidências do uso de mancais axiais de esferas no primeiro século antes de Cristo. Porém, foi

apenas no século XX, que materiais avançados, unidos a tecnologia de fabricação, permitiram

uma precisão na construção de elementos de rolamentos de mancais. As necessidades de

maiores velocidades de rotação, baixo atrito e maior resistência a temperaturas elevadas,

foram geradas a partir do desenvolvimento do avião de turbina de gás. Consideráveis esforços

em pesquisa, desde a II Guerra Mundial, resultaram em alta qualidade e alta precisão dos

elementos de rolamento dos mancais (ERM), sendo estes disponíveis a preços razoáveis.

É interessante notar que, nos projetos mais antigos datados de 1900, mancais de

esferas e mancais de rolamentos foram mundialmente padronizados em dimensões métricas. É

possível remover um ERM de uma roda de automóvel antigo, fabricado nos anos 20, por

exemplo, e encontrar um de reposição em um catálogo atual de fabricante de mancais. Os

novos mancais são muito mais evoluídos em termos de projeto, qualidade e confiança, mas

apresentam as mesmas dimensões externas.

4.4.1 Materiais

A maioria dos mancais de esfera modernos são feitos do aço AISI 5210 e endurecidos

a alta temperatura. Esta liga aço-cromo é endurecida até uma dureza HRC 61-65. Mancais de

rolamento são, geralmente, feitos de um invólucro endurecido de ligas de aço tipo AISI 3310,

4620 e 8620. Recentes desenvolvimentos no processo de fabricação do aço tem resultado em

mancais com níveis de impureza reduzidos. Mancais fabricados com este aço “limpo”

apresentam um aumento significativo na vida útil e na confiabilidade.

4.4.2 Fabricação

Mancais de rolamento são produzidos por todos os maiores fabricantes de mancais no

mundo e, a fim de padronizar as dimensões definidas pela Associação de Fabricantes de

Mancais Anti-Atrito (AFBMA) e/ou pela Organização de Padrões Internacionais (ISO), tais

dimensões são imutáveis. Os padrões da AFBMA, para o projeto de mancais, foram adotados

pelo Instituto Nacional de Padrões Americanos (ANSI). Algumas informações desta seção

foram colhidas da ANSI/AFBMA, padrão 9-1990, para mancais de esferas, e padrão 11-1990,

para mancais de rolamentos. As normas também definem uma classificação de tolerância para

os mancais. Mancais radiais são classificados pela ANSI dentro da ABEC -1 até a


121

classificação de tolerância -9, sendo que a precisão aumenta com o número da classificação.

A norma ISO define desde a classificação 6 até a classificação 2, com precisão variando

inversamente com o número de classificação.

4.4.3 Comparação entre o Mancal de Rolamento e o Mancal de Deslizamento

Os mancais de rolamentos apresentam algumas vantagens sobre os mancais de

deslizamento, e vice-versa. São as seguintes vantagens dos mancais de rolamento sobre os

mancais de deslizamento por camada limite:

1. Baixo torque de partida e bom trabalho de atrito, µESTÁTICO ≅ µDINÂMICO;

2. Pode suportar cargas radiais e axiais combinadas;

3. É menos sensível a interrupções para lubrificação;

4. Não apresenta instabilidade por auto-excitação;

4 Boa partida a baixa temperatura;

5 Permite selar o lubrificante dentro do mancal para determinado tempo de uso e;

6 Requer menos espaço em direção axial.

A seguir, são numeradas as desvantagens dos mancais de rolamentos, quando

comparados aos mancais hidrodinâmicos:

1. Mancais de rolamento podem, eventualmente, falhar por fadiga;

2. Necessitam de mais espaço em direção radial;

3. Baixa capacidade de amortecimento;

4. Maior nível de ruído;

5. Maior custo e;

6. Maior atrito.

4.4.4 Tipos de Mancais de Elementos Rolantes

Mancais de elementos rolantes podem ser agrupados dentro de duas categorias gerais:

mancais de esferas e mancais de rolamentos, ambos apresentando variantes construtivas.

MANCAIS DE ESFERA

Consistem de um número de esferas de aço batido endurecido, posicionadas entre dois

trilhos, um interno e outro externo, de um mancal radial; ou trilhos de topo e fundo, para

mancais axiais. Um retentor (também chamado gaiola ou separador) é utilizado para manter

as esferas adequadamente espaçadas ao longo do trilho, como mostrado na Figura 4.3(a).

Mancais de esferas podem suportar cargas radiais e axiais combinadas. A figura 4.3(b) mostra


122

um mancal de esferas de contato angular, projetado para suportar cargas axiais, além das

cargas radiais. Alguns mancais de esferas são disponíveis com blindagem (proteção) e

selagem. Mancais de esferas apresentam menor custo em dimensões menores e para cargas

mais leves.

(a) (b)

Figura 4.3 - Mancais de Esferas (a) Contato Radial (Tipo rígido de esferas) e (b) Contato

Angular.

MANCAIS DE ROLAMENTOS

Os rolos podem ser de forma reta, cônica ou envoluta, conforme Figura 4.4. Em geral,

mancais de rolamento podem suportar maiores cargas estáticas e dinâmicas (choque), se

comparados aos mancais de esferas, devido à sua linha de contato, e são mais baratos em

dimensões maiores, quando sujeitos a cargas mais pesadas.

A menos que os rolos sejam do tipo agulha ou evolvente, podem suportar apenas a

carga em uma direção, seja do tipo radial ou do tipo axial, de acordo com o projeto do

mancal. A Figura 4.4 (a) mostra um mancal de rolamento de forma cilíndrica reta, desenhado

para suportar apenas cargas radiais. Apresenta atrito muito baixo e flutua axialmente, o que

pode ser uma vantagem em eixos longos, onde a expansão térmica pode sobrecarregar um par

de mancais de esferas na direção axial, se não forem apropriadamente montados. Figura 4.4

(b) mostra um mancal de agulha, com rolos de pequeno diâmetro, que podem ter ou não um

trilho interno. Suas principais vantagens são a maior capacidade de carga , devido ao total

preenchimento de rolos, e sua compacta dimensão radial, especialmente se usado sem um

trilho interno. Em tais casos, o eixo sobre o qual os rolos correm deve ser endurecido. A

Figura 4.4 (c) mostra um mancal de rolamento cônico, projetado para suportar maior carga

axial, além de cargas radiais. Estes são, geralmente, usados como mancais em rodas de

automóveis e caminhões. Mancais de rolamentos cônicos podem ser desmontados axialmente,

o que torna a manutenção mais fácil do que para os mancais de esferas, de montagem

Anel Externo

Anel Interno

Gaiola Esfera

Anel Externo

Anel Interno

Esfera Gaiola


123

permanente. A Figura 4.4 (d) mostra um mancal de rolamento evolvente auto-alinhado, não

permitindo a ação de momentos no mancal.

MANCAIS AXIAIS

Mancais de esferas e de rolos são também feitos para cargas axiais puras, como

mostrado na Figura 4.5 . Mancais axiais de rolamentos cilíndricos (Figura 4.5 (b)) apresentam

maior atrito, se comparados aos mancais axiais de esferas (Figura 4.5 (a)), devido ao

deslizamento que ocorre entre o rolamento e os trilhos (por que apenas um ponto no

rolamento pode causar a variação linear da velocidade sobre o raio dos trilhos), e não

deveriam ser usados em aplicações de alta velocidade.

(a) (b) (c) (d)

Figura 4.4 - Mancais de Rolamentos.

(a) (b)

Figura 4.5 - Mancais Axiais.

4.4.5 Classificação dos Mancais de Elementos Rolantes

A Figura 4.6 mostra a classificação dos tipos de mancais de elementos rolantes (REB

– Rolling Elements Bearing). Cada uma das categorias principais de esferas e rolamentos

divide-se em subcategorias, relativas à carga radial e axial. Dentro destas divisões, muitas

variedades são possíveis. Configurações de carreira simples ou dupla são oferecidas,

permitindo maior capacidade de carga. Outro critério de escolha é em relação ao contato

(a) (b) (c) (d)

(a) (b)


124

unidirecional ou angular, quanto ao padrão aceito de carga radial ou de carga axial “pura” e,

finalmente, uma combinação de ambas. Mancais rígidos de esferas são capazes de suportar

carregamentos radiais elevados e limitadas cargas axiais, e são os mais comumente usados.

Figura 4.6 - Classificação dos Mancais de Elementos Rolantes.

Rolamentos Radiais de Esferas

Rolamentos de Esferas

Rolamentos Axiais de Esferas

Mancais de Rolamento

Rolamentos Radiais de Rolos

Rolamentos de Rolos

Rolamentos Axiais de Rolos

Rolamento Rígido de Esferas – carreira simples

Rolamento Rígido de Esferas – máxima capacidade

Rolamento Rígido de Esferas de Contato Angular - carreira simples

Rolamento Rígido de Esferas de Contato Angular – montagem dupla

Rolamento Rígido de Esferas de Contato Angular – carreira dupla

Rolamento Rígido de Esferas com 4 pontos de contato Rolamento Autocompensador de Esferas – carreira dupla Rolamento Axial de Esferas (escora simples) Rolamento Axial de Esferas (escora simples e anel de cx. esférica) Rolamento Axial de Esferas (escora dupla) Rolamento Axial de Esferas (escora dupla e anéis de cx. esférica) Rolamento Axial de Esferas de Contato Angular Rolamento Radial de Rolos Cilíndricos – carreira simples Rolamento Radial de Rolos Cilíndricos – carreira dupla Rolamento Radial de Agulhas Rolamento Radial de Rolos Cônicos - carreira simples Rolamento Radial de Rolos Cilíndricos – carreira dupla Rolamento Radial Autocompensador de Rolos

Rolamento Axial de Rolos Cilíndricos Rolamento Axial de Agulhas Rolamento Axial de Rolos Cônicos Rolamento Axial Autocompensador de Rolos


125

O mancal de esfera de contato angular pode sustentar maiores cargas axiais, em

relação ao mancal rigido de esferas, mas apenas em um sentido de aplicação da carga. São,

geralmente, aplicados aos pares, para absorver cargas axiais em ambos sentidos, numa mesma

direção. Os mancais de esferas de máxima capacidade apresentam uma fenda adicional, que

permite a alocação de mais esferas, em relação à montagem por deslocamento excêntrico dos

trilhos, como é feito com o mancal rígido de esferas. Porém, o preenchimento da fenda limita

sua capacidade de carga axial. Projetos de mancais com auto-compensação tem a vantagem

de acomodar eixos desalinhados. Apresentam atrito muito baixo. Na aplicação de mancais

sem auto-compensação, os pedestais dos mancais devem ser cuidadosamente alinhados por

colinearidade e angularidade, para evitar a geração de cargas residuais na montagem dos

mesmos, diminuindo sua vida útil. A Figura 4.7 mostra uma ficha de avaliação de um

fabricante, com recomendações relativas ao uso de vários tipos de mancais. Como exemplo:

Note que poucos tipos são disponíveis em polegadas, mas a maioria está disponível apenas

em dimensões métricas (Sistema Métrico). A coluna entitulada capacidade (Capacity) indica

a capacidade relativa para acomodar cargas radial e axial, para cada tipo de mancal. A coluna

velocidade limitada (Limiting Speed) usa o mancal rígido de esferas como padrão de

comparação, por apresentar a melhor capacidade de trabalhar a elevadas velocidades.

4.4.6 Falha dos Mancais de Rolamentos

Se o mancal de rolamento for suficientemente lubrificado, e o lubrificante, por sua

vez, não for contaminado, as falhas ocorrerão por fadiga de superfície. Considera-se a

ocorrência de falha quando, tanto as pistas, interna e externa, ou as esferas (rolamentos),

exibem o primeiro “pit” ou entalhe. Normalmente, uma das pistas falhará primeiro. O mancal

dará uma indicação auditiva do surgimento da primeira descontinuidade de material, quando

emitir ruído e vibração. Apesar de continuar funcionando, a superfície continuará a se

deteriorar, os níveis de ruído e de vibração aumentarão, resultando eventualmente, na quebra

dos elementos e, por conseqüência, do mancal, e possível esmagamento e dano dos demais

elementos a ele conectados. Em uma amostragem extensa de mancais, serão obtidas grandes

variações no tempo de vida útil destes elementos. Os modos de falhas não se distribuem

estatisticamente em uma simetria Gaussiana, mas sim de acordo com a distribuição de

Weibull, que apresenta uma forma variável, podendo se adequar às diversas distribuições,

com a vantagem da representação matemática. Mancais são tipicamente classificados por sua

vida útil, através do número de revoluções (ou das horas de operação na velocidade de


126

projeto), em que 90% de uma amostra aleatória de mancais, de determinada dimensão, possa

atingir ou exceder seu carregamento de projeto. Em outras palavras, 10 % do lote está sujeito

à falha nestas condições, antes que a vida útil de projeto seja alcançada. Isto é designado

como vida L10. Alguns fabricantes de mancais preferem se referir a esta vida util como B90 ou

C90 , considerando a sobrevivência de 90% dos mancais, e não a falha de 10% .

Figura 4.7 - Informações de desempenho, dimensões e disponibilidade para Mancais de

Elementos Rolantes.


127

Para aplicações críticas, uma porcentagem de falha menor pode ser projetada, mas a

maioria dos fabricantes padronizam na vida L10, como definição das características carga-vida

útil de um mancal. O processo de seleção de mancais de rolamento envolve extensivamente

este parâmetro, para obter qualquer nível de vida útil desejado, sob as condições antecipadas

de carga ou sobrecarga esperadas em serviço.

A Figura 4.8 mostra uma curva de falha para mancais, com as respectivas

porcentagens de sobrevivência, como uma função da fadiga relativa. A vida útil L10 é

utilizada como referência. A curva é relativamente linear ate 50% de falhas, que ocorrem num

período de 5 vezes a vida útil de referência. É necessário um tempo 5 vezes maior para 50%

dos mancais falharem, comparado ao tempo de falha de 10% dos mancais. Após este ponto, a

curva torna-se completamente não linear, necessitando de um tempo 10 vezes maior que a

referência L10 para que 80% dos mancais venham a falhar. Comparado ao tempo de falha para

10% dos mancais (L10), após um período de cerca 20 vezes a vida L10 , ainda alguns dos

mancais originais estarão funcionando.

Figura 4.8 - Distribuição de Vida para mancais de rolamento.

4.4.7 Seleção de Mancais de Rolamento

Uma vez que um tipo de mancal, para determinada aplicação, for especificado com

base nas considerações discutidas anteriormente, a seleção de um mancal apropriado depende

das magnitudes das cargas estática e dinâmica aplicadas, e da vida em fadiga desejada.

Testes extensivos, realizados por fabricantes de mancais, tem mostrado que a vida em

fadiga L de mancais de rolamentos, é inversamente proporcional à terceira potência da carga

aplicada, para mancais de esferas, e a potência de 10/3, para mancais de rolos. Estas relações

podem ser expressas como:

Po

rcen

tag

em d

e R

ola

men

tos

Sem

Fal

ha

Po

rcen

tag

em d

e R

ola

men

tos

Co

m F

alh

a


128

mancal de esferas: LC

P=

3

(4.1)

mancal de rolos: LC

P=

10 3/

(4.2)

Onde: L é a vida em fadiga, expressa em milhões de revoluções, P é a carga constante

aplicada, e C é a taxa de carga dinâmica básica, para o mancal especifico, definida pelo

fabricante e publicada para cada mancal em catálogos comerciais.

Note que, uma carga externa constante, aplicada ao mancal rotativo, gera cargas

dinâmicas nos elementos do mancal, da mesma maneira que um momento constante em um

eixo rotativo causa tensões dinâmicas, pois qualquer ponto na esfera, no rolamento ou nas

pistas, sente a carga indo e vindo, quando o mancal gira.

A taxa de carga dinâmica básica C é definida como a carga que dará uma vida em

fadiga da ordem de 1 milhão de revoluções na pista interna do mancal. A carga C é, portanto,

superior à qualquer carregamento, na prática, a que se sujeitaria o mancal, devido ao fato de

que a vida útil desejada em projeto é, geralmente, muito superior a 1 milhão de revoluções. A

carga C é, simplesmente, um valor de referência, que permite prever a vida do mancal em

algum nível real de carga aplicada. A Figura 4.9 ilustra a página de um catálogo de fabricante

de mancais, que especifica o valor de C. A velocidade máxima limite é também definida para

cada mancal.

Deformações permanentes em rolamentos ou esferas podem ocorrer, mesmo para

cargas leves, devido às altíssimas tensões, geradas numa pequena área de contato. O limite de

carregamento estático num mancal é definido como a carga que produzirá uma deformação

permanente total nos trilhos e no elemento rolante, em algum ponto de contato, cuja extensão

é 0.0001 vezes o diâmetro do elemento rolante. Maiores deformações causarão aumento na

vibração e no nível de ruído, podendo levar a uma falha prematura por fadiga. As tensões

necessárias para causar esta região de deformação estática de 0.0001d, em um mancal de aço,

são bem elevadas, sendo de aproximadamente 4.0 GPa (580 kpsi) para mancais de rolamento,

e de 4.6 GPa (667kpsi) para mancais de esfera. Fabricantes de mancais fornecem uma taxa C0

de carga estática básica para cada mancal, calculada de acordo com os padrões da AFBMA.


129

Aberto

1 Placa de

Proteção

2 Placas de

Proteção

1 Placa de

Vedação

2 Placas de

Vedação

Placa de

Vedação e

Proteção

Aberto –

Ranhura e Anel

de Retenção

Placa de Vedação

Radial e

Proteção

Sufixo: .Z .2Z .RS .2RS .RSZ .NR .RSRZR

No. Do

Rolamento

Dimensões Principais Peso

Aproximado

Sl

Velocidade

Limite

C

Cap. Carga

Dinâmica

Ca

Cap.

Carga

Estática

Figura 4.9 - Dimensões e Taxas de Carga para Mancais de Rolamento Rígido de Esferas série

métrica média 6300.


130

Este carregamento pode, algumas vezes, ser excedido sem a ocorrência de falhas,

especialmente se a velocidade de rotação é baixa, o que evita problemas de vibração.

Geralmente, é necessária uma carga de 8C0, ou ainda maior, para provocar a quebra de um

mancal. Na Figura 4.9, também é especificado o valor de C0 para cada mancal.

4.4.7.1 Cargas Radial e Axial Combinadas

Se as cargas são aplicadas em ambas direções, radial e axial, de um mancal, uma carga

equivalente deve ser calculada para aplicação nas equações 4.1 e 4.2. A AFBMA recomenda

a seguinte expressão:

P = XVFr + YFa (4.3)

onde: P = carga equivalente.

Fr = carga radial constante aplicada.

Fa = carga axial constante aplicada

V = fator de rotação (ver figura 4.10)

X = fator radial (ver figura 4.10)

Y = fator axial (ver figura 4.10)

O fator de rotação V é igual a 1 para um mancal com anel de rotação interno. Se o

anel de rotação é externo, V é igual a 1.2, para certos tipos de mancais. Os fatores X e Y

variam com o tipo de mancal, e relacionam-se à capacidade do mesmo em acomodar cargas

axiais, bem como cargas radiais. Valores de V, X e Y são definidos pelos fabricantes de

mancais em tabelas, tal como reproduzido na Figura 4.10. Alguns mancais, tais como os de

rolamento cilíndrico, que não podem suportar cargas axiais, não são incluídos nesta tabela.

Um fator e é também especificado para os tipos de mancais incluídos na Figura 4.10,

definindo uma razão mínima entre as forças axial e radial, abaixo da qual a força axial pode

ser desprezada na equação 4.3.

F

VFea

r

≤ , então, X = 1 e Y = 0 (4.4)


131

4.4.8 Procedimento de Cálculo As equações 4.1, 4.2 e 4.3 podem ser resolvidas simultaneamente, para qualquer

situação em que a carga aplicada, ou a vida em fadiga desejada, seja conhecida. Geralmente,

as cargas radiais e axiais, agindo em cada localização do mancal, serão conhecidas através da

análise de esforços realizada no projeto. Na maioria das vezes, o diâmetro do eixo será

conhecido, através da analise de tensões e deflexões. Um catálogo de mancais deve ser

consultado, e então, um ou mais mancais selecionados, assim como os valores de C, C0, V, X

e Y extraídos. A carga efetiva P pode ser encontrada da equação 4.3 e utilizada em 4.1 e 4.2,

juntamente com C, para encontrar a vida em fadiga prevista L.

Figura 4.10 - Fatores V, X e Y para mancais radiais.

Uma outra alternativa é determinar V, X e Y, os quais independem das dimensões do

mancal, resolvendo simultaneamente as equações 4.1 e 4.2, para os valores do fator de carga

dinâmica C, necessários para atingir um nível de vida desejado L. Os catálogos de mancais

devem fornecer, neste ponto, um mancal de dimensões razoáveis para com o valor de C

desejado. A carga estática deve, então, ser comparada ao fator de carga estática Co, para evitar

excessivas deformações no mancal.


132

4.4.9 Detalhes na Montagem de Mancais

Mancais de rolamentos são fabricados com tolerâncias próximas em seus diâmetros

interno e externo, para permitir encaixe sob pressão no eixo ou no acoplamento. Os anéis

interno e externo dos mancais devem estar firmemente acoplados ao eixo, e externamente

fixados, para garantir que o movimento apenas ocorra dentro do mancal, com baixo atrito. O

encaixe de pressão de ambos os anéis pode dificultar a montagem ou desmontagem, em

alguns casos. Várias combinações de parafusos (braçadeiras) são comumente usadas para

prender o anel, interno ou externo, sem ajuste de pressão. O anel interno é, geralmente,

montado contra um escalonamento do eixo. Catálogos de mancais possuem diâmetros

recomendados para tais escalonamentos, os quais devem ser observados para evitar

interferência com lacres ou blindagens (proteção).

A Figura 4.11 (a) mostra uma porca e uma montagem de vedação (combinando arruela

e trava) usada para prender o anel interno ao eixo, evitando um ajuste de pressão. Fabricantes

de mancais fornecem porcas especiais e arruelas padronizadas para ajustar os mancais.

A Figura 4.11 (b) mostra um anel retentor de pressão, usado para posicionar

axialmente o anel interno do mancal sobre o eixo. A Figura 4.11 (c) mostra o anel externo

preso axialmente na caixa, e o anel interno posicionado por uma espaçador, disposto entre o

anel interno e uma flange auxiliar externa no mesmo eixo.

(a) (b) (c)

Figura 4.11 - Tipos de Montagens de Mancais de Rolamento.

Pares de mancais no mesmo eixo são normalmente necessários para dar suporte de

momento. A Figura 4.12 mostra uma possível combinação para suportar axialmente a

PORCA ANEL DE

RETENÇÃO

PORCA DE TRAVAMENTO

ESPAÇADOR


133

montagem, sem correr o risco de introduzir forças axiais no mancal, provenientes da expansão

térmica das partes.

Os trilhos internos de ambos os mancais são presos axialmente por uma porca à

esquerda e um espaçador entre eles. O trilho externo do mancal da direita é preso axialmente

na caixa, enquanto que o trilho externo do mancal da esquerda é livre axialmente, permitindo

expansão térmica. É de boa prática fazer montagens axiais longas, evitando esforços axiais,

induzidos por expansão nos mancais, o que reduziria seriamente a vida em fadiga. Outra

maneira de realizar esta montagem, é utilizar apenas um mancal que possa suportar uma carga

axial (por exemplo, um mancal de esfera) e um rolamento cilíndrico ou outro tipo de mancal,

que não possa suportar carga axial através de seus elementos rolantes, na outra extremidade

da haste.

Figura 4.12 - Mancais sobre um eixo: um fixo e outro flutuante axialmente.

4.5 MANCAIS HIDRODINÂMICOS E LUBRIFICAÇÃO

O termo mancal pode ser utilizado num contexto bem amplo. Sempre que duas peças

possuem movimento relativo, estas constituem um mancal por definição, independentemente

de sua forma ou configuração. Normalmente, a lubrificação é necessária em qualquer mancal

para reduzir o atrito e dissipar calor. Os mancais podem rolar, escorregar, ou ambos

simultaneamente.

Em um mancal, uma das partes em movimento geralmente será de aço, ferro fundido,

ou outro material estrutural, com o objetivo de proporcionar a resistência e a dureza

necessárias. Por exemplo: eixos de transmissões, acoplamentos e pinos estão nesta categoria.

As partes que realizam o movimento contrário serão, usualmente, feitas de um material

próprio para mancais, como: bronze, babbit, ou um polímero não-metálico.

FIXO

FLUTUANTE


134

Alternativamente, um mancal de rolamento, o qual tem esferas ou rolos de aço

endurecido por tratamento térmico, pode ser utilizado para se obter baixo atrito. Mancais de

escorregamento são, em geral, projetados especificamente para uma determinada aplicação,

enquanto que os mancais de rolamento são, geralmente, escolhidos a partir dos catálogos de

fabricantes, para atender aos carregamentos, velocidades de rotação e vida em fadiga

desejados, para uma determinada aplicação.

A.G.M. Michell, um pioneiro na teoria e projeto de mancais de escorregamento, e um

dos inventores do mancal segmentado, definiu o que se deseja em um mancal como segue:

“Para o projetista de máquinas, todos os mancais são, é claro, somente elementos

indesejáveis , contribuindo em nada para o produto ou função da máquina, e qualquer

virtude que eles possam ter, pode ser apenas de caráter negativo. O seu mérito consiste em

absorver tão pouca potência quanto possível, se desgastar tão lentamente quanto possível,

ocupar o menor espaço possível, e custar tão pouco quanto possível.”

A tabela 4.3 mostra as variáveis utilizadas neste capítulo.



A Área in2 2m

cd,cr folga diametral e radial in m

d Diâmetro in m

ε razão de excentricidade in m


Cf coeficiente de flutuação adimensional adimensional

F força ou carregamento lb N

f força de atrito lb N

h espessura do filme de lubrificante in m


g aceleração da gravidade in s2 2sm


Kε parâmetro adimensional adimensional adimensional

m Massa lb sec / in2− kg

l Comprimento in m

n’ velocidade angular rps rps

P força ou reação no mancal lb N

p Pressão psi Pa


135

r Raio in m

T Torque lb-in N-m

R’ raio efetivo in m

U velocidade linear in/s m/s

S número de Sommerfeld adimensional adimensional

α expoente pressão-viscosidade in lb2 lbin2

Φ Potência hp watts


φ ângulo da força resultante rad rad

µ fator de atrito adimensional adimensional

η viscosidade absoluta adimensional adimensional

θmax ângulo de pressão máxima rad rad

ρ densidade de massa blob/in3 kg/mm3

ω velocidade angular rad / s rad / s

υ viscosidade cinemática in2/sec cS

τ tensão de cisalhamento psi Pa A teoria da lubrificação, para superfícies em movimento relativo, é extremamente

complexa matematicamente. As soluções para as equações diferenciais que governam seu

comportamento, são baseadas em suposições simplificadoras, que permitem obter somente

soluções aproximadas.

Tópicos como a teoria da película de lubrificante e “oil whirl” (fenômeno de

instabilidade) não são abordados neste texto, tal como a questão do suprimento de lubrificante

para o mancal e a transferência de calor deste.

Apresenta-se uma abordagem simples, e razoavelmente precisa, ao projeto de

conjuntos eixo-mancais curtos, que permitirá o dimensionamento destes componentes para

carregamentos e velocidades requeridos nas máquinas mais comuns.

4.5.1 Lubrificantes

A introdução de um lubrificante entre as superfícies que deslizam tem muitos efeitos

benéficos no coeficiente de atrito. Os lubrificantes podem ser gasosos, líquidos ou sólidos.

Lubrificantes líquidos e sólidos tem como propriedades baixa resistência à tensão de

cisalhamento e alta resistência à compressão. Um lubrificante líquido, como um óleo derivado

de petróleo é basicamente incompressível, nos níveis de tensão de compressão encontrados

nos mancais, sendo contudo, sujeito ao cisalhamento. Portanto, o óleo torna-se o fluido menos


136

resistente na interface, e sua baixa resistência à tensão de cisalhamento reduz o coeficiente de

atrito.

Lubrificantes também podem atuar como contaminantes para as superfícies metálicas,

revestindo-as com uma camada de moléculas que inibe a adesão, mesmo entre metais

compatíveis.

Lubrificantes líquidos são os mais usados, sendo mais comuns os óleos minerais.

Graxas são óleos misturados com “sabões” cuja finalidade é formar um lubrificante mais

espesso e aderente, utilizado onde líquidos não podem ser supridos ou retidos pelas

superfícies.

Lubrificantes sólidos são usados em situações onde lubrificantes líquidos não podem

atingir as superfícies, ou atender a alguma exigência de projeto, como a resistência à elevadas

temperaturas.

Lubrificantes gasosos são usados em situações particulares, como nos mancais

aerostáticos, para obter atrito extremamente baixo. Lubrificantes, especialmente líquidos,

também dissipam calor da interface.

Lubrificantes sólidos são, na maioria, derivados de petróleo ou óleos sintéticos,

embora a água seja algumas vezes utilizada como lubrificante, em meios aquosos. Muitos

óleos lubrificantes comerciais são misturados com vários aditivos, que reagem com os metais

para formar uma camada de contaminantes.

Os assim chamados lubrificantes EP (“Extreme Pressure”) adicionam ácidos

gordurosos ou outros componentes ao óleo, que atacam o metal quimicamente, formando uma

camada de contaminante que protege a superfície e reduz o atrito, mesmo quando o filme de

óleo é bombeado para fora da interface por elevados carregamentos.

Óleos são classificados por sua viscosidade, assim como pela presença de aditivos

para aplicações EP.

A Tabela 4.4 mostra alguns lubrificantes líquidos comuns, suas propriedades e

utilizações típicas. Os fabricantes de lubrificantes devem ser consultados para aplicações

específicas.

Lubrificantes sólidos são de dois tipos: os que exibem baixa resistência à tensão de

cisalhamento, como a grafite e o dissulfeto de molibdênio, os quais são adicionados à

interface; e camadas como fosfatos, óxidos ou sulfetos, que se formam nas superfícies do

material.


137

Tabela 4.4 - Tipos de Líquidos Lubrificantes.

TIPOS PROPRIEDADES APLICAÇÕES

Óleos Minerais ou de Petróleo

Lubrificação básica regular, porém sujeita a grandes melhorias com aditivos. Ruim a elevadas temperaturas.

Muito ampla e geral.

Silicones

Efeito lubrificante pobre, principalmente contra o aço. Boa estabilidade térmica.

Selagem de borracha e amortecedores mecânicos.

Clorofluorocarbonos

Bons lubrificantes e boa estabilidade térmica.

Compressores de oxigênio e equipamento de processos químicos.

Éteres polifenílicos

Larga faixa de líquidos, com excelente estabilidade térmica e lubrificação razoável.

Sistemas deslizantes a altas temperaturas.

Éteres fosfóricos Bons lubrificantes, com ação EP (pressão extrema).

Fluido hidráulico com lubrificante.

Éteres dibásicos

Boa propriedade lubrificante. Suporta maiores temperaturas que os óleos minerais.

Motores a jato.

Tabela 4.5 - Tipos de Lubrificantes Sólidos.

TIPOS PROPRIEDADES APLICAÇÕES

Grafite e/ou MoS2 com elemento liga

Melhores lubrificantes para uso geral. Baixo atrito (0.12 a 0.06) e vida relativamente longa (104 a 106 ciclos).

Fechaduras e mecanismos intermitentes.

Teflon com elemento liga

Vida não muito longa em relação ao tipo precedente, mas boa resistência a alguns líquidos

Idem aplicação anterior.

Grafite emborrachado ou filme de MoS2

Atrito muito baixo (0.10 a 0.04) e vida muito curta (102 a 104 ciclos).

Estampagem e demais trabalhos sobre metais.

Metal leve

Atrito elevado (0.30 a 0.15) e vida mais curta que para resinas.

Exige proteção temporária em aceleração.

Filme de fosfato anodizado Atrito muito alto (0.20). Ocorre cozimento do filme de resina.

Os materiais grafite e MoS2 são tipicamente supridos em forma de pó, e podem ser

conduzidos a interface juntamente com uma graxa derivada de petróleo ou outro material.

Estes lubrificantes secos tem a vantagem do baixo atrito e da resistência à elevadas

temperaturas, embora esta última seja limitada pela escolha do meio usado para conduzir o


138

pó. Revestimentos, ou camadas de fosfatos ou óxidos, podem ser depositados quimicamente

ou eletroquimicamente. Tais revestimentos são finos e tendem a se desgastar em pouco

tempo. Os aditivos EP, em alguns óleos, proporcionam uma renovação contínua do sulfeto, ou

de outras coberturas quimicamente induzidas. A Tabela 4.5 mostra alguns lubrificantes

sólidos comuns, suas propriedades e suas utilizações típicas.

4.5.2 Viscosidade

Viscosidade é uma medida da resistência do fluido ao cisalhamento. A viscosidade

varia inversamente com a temperatura e diretamente com a pressão, de uma maneira não-

linear. Pode ser expressa tanto como uma viscosidade absoluta η, ou uma viscosidade

cinemática ν, as quais estão relacionadas pela densidade de massa do fluido:

η = ν.ρ (4.5)

Onde: ρ é a densidade de massa do fluido.

As unidades da viscosidade absoluta η são lb.sec/in2 (reyn) no sistema inglês e Pa.s no

sistema SI. Estas unidades são freqüentemente expressas como µreyn e mPa.s, para se

adequarem melhor às magnitudes. Por exemplo, um centipoise equivale a 1 mPa.s. Valores

típicos de viscosidade absoluta a 20° C (68 °F) são: 0.0179 cP (0.0026 µreyn ) para o ar ; 1.0

cP (0.145 µreyn) para a água, e 393 cP (57 µreyn ) para o óleo de motor SAE 30.

A viscosidade cinemática é medida em um viscosímetro, que pode ser rotacional ou

capilar. Um viscosímetro capilar mede a taxa de fluxo através de um tubo capilar, a uma

determinada temperatura, usualmente 40 ou 100°C. Um viscosímetro rotacional mede o

torque e a velocidade de rotação de um eixo vertical, operando dentro de um mancal

preenchido com o fluido a ser testado, em determinada temperatura de teste. As unidades SI

da viscosidade cinemática são cm2 / sec (Stoke), e as unidades inglesas são in2 / sec. Stokes é

uma unidade de grande magnitude, sendo comum o uso de centistokes (cS). A viscosidade

absoluta é necessária para o cálculo da pressão e da vazão de lubrificante nos mancais. É

determinada a partir da viscosidade cinemática medida, e da densidade de massa do fluido na

temperatura de teste.

4.5.2.1 Relação Viscosidade Temperatura


139

A maneira natural de expressar o efeito da temperatura sobre a viscosidade é através

do coeficiente de temperatura, ou variação fracional na viscosidade por grau acrescido na

temperatura. Simbolicamente, o coeficiente viscoso de temperatura é representado como

(1/η).dη/dt, e denotado por a.

O efeito da temperatura sobre a viscosidade é notavelmente maior que seu efeito sobre

qualquer outra propriedade física comum. A variação no volume de um óleo lubrificante,

derivado de petróleo, por grau Farenheit aumentado, é de somente 0.04% a 1%; porém, a

viscosidade de um óleo derivado de petróleo, pode cair de 3% a 4% por grau de acréscimo na

temperatura.

4.5.2.2 Modelos Matemáticos para Temperatura-Viscosidade .

Poiseuille verificou que a resistência ao fluxo é inversamente proporcional à uma

função quadrática da temperatura. Petroff utilizou esta relação como uma fórmula,

relacionando viscosidade e temperatura, em sua discussão, na época ainda incompleta, sobre

equilíbrio térmico:

η = A / ( 1 + c1.T + c2.T2 ) (4.6)

Prof. A.W.Duff, em 1897, mostrou que todas as equações de viscosidade-temperatura,

publicadas desde Poiseuille, eram integrais da equação:

(dη / dt ) / η= 1 / (c1 + c2.T + c3.T2 ) (4.7)

Onde η é a viscosidade absoluta em uma temperatura qualquer T, e c1,c2 e c3 são

constantes empíricas. Dentre as fórmulas às quais a equação de Duff aplica-se, estão as de

Reynolds, Slotte e Vogel. Estas três fórmulas ainda estão em uso devido à sua simplicidade

matemática. A fórmula de Reynolds é uma equação biparamétrica :

η = A.e-m.T (4.8)

Onde: A é a viscosidade absoluta na temperatura T = 0, e m é a inclinação da curva

obtida, plotando ln η x T. As equações 4.6 e 4.8 representam curvas do tipo 1 na Figura 4.13,

aproximando-se de zero, conforme a temperatura T aumenta infinitamente.


140

A fórmula de Slotte contém dois parâmetros, sendo válida em uma faixa extensa de

temperatura:

η = A / ( T - c )2 (4.9)

Onde: c é o ponto de congelamento, ou temperatura de solidificação aparente, já que

η se torna infinito quando T = c. Pode ser reduzida para um parâmetro, eliminando-se c, que

não está muito distante do zero Fahrenheit, desde que utilize-se apenas a escala Fahrenheit.

Isto foi observado por Herschel (1922). Logη deve ser plotado contra logT, o que resulta

numa linha reta, que intercepta log A, tendo uma inclinação negativa. Note que η = A quando

T = c+1. A equação de Slotte (4.9) representa a curva do tipo 2 na Figura 4.13.

A fórmula de Vogel, por sua vez, é uma expressão de três parâmetros:

η = A.em / ( T- c ) (4.10)

Onde: c representa o ponto de congelamento, determinado por tentativas, e A é a

viscosidade para T=∞. Log A é a interseção com o eixo das ordenadas, e m é a inclinação da

reta obtida, quando plotando-se lnη contra 1/( T - c ).

Quando plota-se η contra T, a curva aproxima-se de uma assíntota vertical em T = c e

de uma assíntota horizontal em η = A. Esta é, geralmente, uma aproximação mais precisa do

que as outras duas. A equação de Vogel foi utilizada também por Cameron (1945). Outra

representação amplamente utilizada é, provavelmente, a de Walther (1931). Uma expressão

para a viscosidade cinemática υ, em centistokes, em função de uma temperatura absoluta T:

log ( υ + c ) = A / Tm (4.11)

A fórmula de Walther é triparamétrica, com a constante c fixa em um valor ótimo,

para óleos derivados de petróleo, em uma faixa de temperatura escolhida. O valor 0.8 Cs foi

originalmente atribuído a esta constante. A equação de Walther (4.11) pode ser representada

pela curva 4, Figura 4.13.

Plotando o logaritmo em ambos os eixos, resulta uma linha reta com inclinação

negativa m. O valor dυ / dt é -2.3m(υ + c). Dividindo-se por υ, resulta no coeficiente de

temperatura da viscosidade cinemática, conforme discutido por Kiesskalt (1944). Os


141

coeficientes de temperatura devem ser obtidos de qualquer das equações contendo υ ou η, por

diferenciação. Embora as cinco espressões anteriormente descritas sejam as mais conhecidas,

pelo menos outras seis devem ser mencionadas. A equação de Suge (1933) para a relação

η,P,T pode ser escrita como uma curva isobárica (P=cte) na forma:

log (η/ηo) = (m / (T - r)) - (m / (To - r)) (4.12)

Onde: ηo é a viscosidade em To; m e r são constantes empíricas. A viscosidade é

infinita em T = r, caindo para um valor finito quando T = ∞, como na curva 3 na Figura 4.13.

Uma curva isobárica a duas constantes para a “liquidez” L, foi deduzida por Cragoe

(1934), na qual L é uma função da viscosidade, apresentando uma relação linear com a

temperatura. Se η for restrita a unidade centipoises, L deve ser definido como 1300 dividido

por log 20.η. Então, empiricamente, tem-se que L/Lo é igual a 1+c.(T-To). Aqui, Lo é o valor

de L em T = To, onde η = ηo, e c é uma constante. A viscosidade é infinita a uma temperatura

T1 igual a To-1/c. A viscosidade se aproxima de um valor finito η∞ = 0.05 cP, somente quando

T tende a infinito, como na curva 3 da Figura 4.13, exceto na região das assíntotas. A

expressão a duas constantes, para o valor da viscosidade cinemática em centistokes, deduzida

por G.Barr (1937), foi colocada de acordo com dados experimentais, e possivelmente,

apresenta melhor comportamento que as demais a elevadas temperaturas:

( log ( η +0.8 ))0.3 = A + ( m / T ) (4.13)

Trata-se, aparentemente, de uma expressão a quatro constantes, com duas destas

definidas em 0.8 e 0.3. A curva é do tipo 4, Figura 4.13, com η infinito quando T = 0, e finito

quando T = ∞. A equação de Bradbury (1951) para a relação η, P, T leva a uma curva

isobárica:

log (η /ηo) = c.(e k / T - e k / To ) (4.14)

Como antes, ηo é a viscosidade a uma temperatura absoluta To, enquanto c e k são

constantes empíricas. A viscosidade é infinita em T = 0, porém finita quando T = ∞. Uma

relação mais simples deste tipo é a de Cornelissen (1955):


142

log (η / A) = c / Tm (4.15)

η é infinito quando T = 0, e cai a uma valor limite A, quando T = ∞.

Mais recentemente, Roelands et al. (1964) propuseram um equacionamento como em

(4.16), desde que η esteja em centipoises e T em graus Celsius. Se T estiver em Fahrenheit

basta trocar 135 por 211.

1200 + log η= G / ( 1 + T / 135) (4.16)

Esta nova expressão não se limita apenas à óleos lubrificantes. Leva a um gráfico

viscosidade absoluta - temperatura, que cobre uma faixa mais extensa que o gráfico da

ASTM, com a mesma precisão. A inclinação S das linhas retas, neste gráfico, devem ser

tomadas como um “ índice de inclinação” de maior simplicidade que os convencionais. As

linhas são paralelas para líquidos “naturalmente homólogos”.

Figura 4.13 - Curvas Viscosidade-Temperatura: (1) Reynolds, (2) Slotte, (3) Vogel e (4)

Walther.

4.5.2.3 Viscosidade Vs Temperatura

Gráficos em escalas logarítmicas para viscosidade absoluta versus temperatura, foram

publicados por Herschel em 1922. Baseados na relação Fahrenheit de Slotte, tais curvas

consistem em linhas praticamente retas para óleos derivados de petróleo. Muitos gráficos

(1)

A

η η

c (2)

Log(υ+c)

(4)

η

c (3)


143

deste tipo foram construídos. As linhas retas, em escala logarítmica, tornam possível

determinar a viscosidade cinemática em uma faixa extensa, observando-se apenas duas

temperaturas. Os gráficos para óleos não derivados de petróleo, freqüentemente, apresentam

uma curvatura perceptível, requerendo, portanto, no mínimo três pontos para uma

determinação mais satisfatória.

A Figura 4.14 mostra o gráfico da variação da viscosidade absoluta com a

temperatura, para os óleos mais comuns, derivados de petróleo, designados por seus números

ISO e SAE, tanto na escala de óleos de motores, como na escala de óleos de engrenagens.

Figura 4.14 - Viscosidade Absoluta x Temperatura (Óleos Lubrificantes de Petróleo).

4.5.2.4 Coeficiente de Atrito Vs Velocidade Relativa

A Figura 4.15 mostra uma curva delimitando a relação entre o atrito e a velocidade

relativa de escorregamento em um mancal. Em baixas velocidades, ocorre lubrificação limite,

concomitantemente com alto atrito. Conforme a velocidade de escorregamento aumenta, além

do ponto A, uma película hidrodinâmica de lubrificante começa a se formar, reduzindo o

Vis

cosi

dad

e A

bso

luta

(c

P)

Vis

cosi

dad

e A

bso

luta

(µrey

ns)

Temperatura (oF)

Temperatura (oC) C


144

contato áspero e o atrito no regime de lubrificação mista. Em velocidades mais altas, uma

película de lubrificante completa é formada a partir do ponto B, separando as superfícies

completamente com atrito reduzido (Este é o mesmo fenômeno que faz os pneus dos

automóveis aquaplanem em estradas molhadas. Se a velocidade relativa do pneu, em relação à

estrada molhada, excede um determinado valor, o movimento do pneu empurra uma película

de àgua para a interface, separando o pneu da estrada. O coeficiente de atrito é drasticamente

reduzido, e a perda repentina de tração pode provocar uma situação de perigo). Em

velocidades ainda maiores, as perdas viscosas no lubrificante em cisalhamento aumentam

novamente o coeficiente de atrito.

Figura 4.15 - Coeficiente de Atrito x Velocidade Relativa.

4.5.3 Princípio da Lubrificação Hidrodinâmica em Mancais

Em conjuntos eixo-mancal de escorregamento, todos os três regimes de lubrificação

ocorrerão durante o início e o final da operação.

Assim que o eixo começa a girar, estará em lubrificação limite. Se sua velocidade de

operação for suficiente, passará pelo regime misto, e atingirá o regime de lubrificação

completa desejado, onde o desgaste é reduzido praticamente a zero, se o lubrificante é

mantido limpo e não superaquecido. As condições que determinam estes estados de

lubrificação serão discutidas brevemente e, então, alguns destes estados serão explorados em

maiores detalhes.

Em um mancal hidrodinâmico de escorregamento, com velocidade de rotação nula, o

eixo repousa em contato com a parte inferior do mancal, como na Figura 4.16 (a). Conforme

começa a girar, a linha de centro do eixo se desloca excentricamente dentro do mancal, e o

eixo age como uma bomba, puxando o filme de óleo que, por sua vez, adere à superfície do

A

trito

Velocidade Relativa

Lub

rific

ação

Lim

ite

Lubrificação Completa

Lubrificação Mista


145

mancal. A Figura 4.16 (b) mostra a superfície do mancal envolta pelo filme de lubrificante. A

região externa do filme de óleo adere à superfície do mancal estacionário. Um fluxo se

estabelece dentro da espessura do filme de óleo. Com velocidade relativa suficiente, o eixo

sobe sobre uma cunha de óleo bombeado, e cessa o contato metal-metal com o mancal

posicionado como na Figura 4.16 (c).

Portanto, um mancal lubrificado hidrodinamicamente, somente tem sua superfície em

contato com o eixo quando parado, ou quando operando em uma velocidade abaixo da sua

“velocidade de aquaplanagem”. Isto significa que o desgaste por adesão somente pode ocorrer

durante os estados transitórios de início e final de operação. Quanto mais lubrificante e

velocidade suficientes estiverem presentes, para permitir a operação hidrodinâmica do eixo no

mancal, em sua velocidade de operação, menor será o desgaste por adesão, sendo este

praticamente desprezível. Isto em muito aumenta a vida do mancal, em relação à situação de

contato contínuo. Tal como na lubrificação hidrostática, o óleo deve ser mantido livre de

contaminantes, para evitar outras formas de desgaste, como a abrasão. O coeficiente de atrito,

em uma interface lubrificada hidrodinamicamente, está entre 0.002 e 0.010.

(a) (b) (c)

Figura 4.16 - Condição de Lubrificação Limite e Hidrodinâmica.

Este comportamento é típico em conjuntos eixo-mancal, onde o eixo e o mancal criam

um estreito espaço anular dentro da folga radial, que pode prender o lubrificante, permitindo

que o eixo o bombeie ao redor do espaço anular. Perdas ocorrem nas bordas axiais do mancal,

logo, um fornecimento contínuo de óleo deve ser providenciado para compensar as perdas.

Este suprimento pode ser pressurizado ou não. Este é o sistema utilizado para lubrificar os

mancais do virabrequim e do came em um motor de combustão interna. Óleo filtrado é

Eixo

Amplitude

Óleo

Amplitude


146

bombeado para os mancais, sob pressão relativamente baixa, para repor o óleo perdido

através das extremidades do mancal, mas a condição dentro do mancal é hidrodinâmica,

criando pressões muito maiores para suportar as cargas no mancal.

4.5.4 Materiais em Mancais de Deslizamento

Num processo de lubrificação por filme de fluido, qualquer material com suficiente

resistência a compressão e bom acabamento de superfície seria, a princípio, adequado ao

projeto de mancais hidrodinâmicos. Neste caso, o aço poderia representar uma alternativa.

Porém, durante a partida e a parada do eixo, o mancal hidrodinâmico atua com lubrificação

limite e, desta forma, o eixo de aço seria danificado em sua superfície, a menos que o material

do mancal apresentasse menor dureza. Além disso, qualquer partícula presente no lubrificante

danificaria a superfície do eixo, a menos que esta pudesse imergir num material

suficientemente macio no interior do mancal. Portanto, as propriedades importantes do

material adequado à construção do mancal hidrodinâmico são as seguintes:

Propriedades mecânicas:

Conformabilidade: baixo módulo de elasticidade e deformação plástica, para aliviar altas

pressões locais, devido a desalinhamentos e deflexões do eixo;

Maciez: que permite a imersão de pequenas partículas suspensas no fluido, protegendo o eixo;

Baixa resistência ao cisalhamento: para facilitar a suavização das rugosidades de superfície;

Resistência à compressão e fadiga: suficientes para suportar o carregamento estático e

os esforços cíclicos.

Propriedades térmicas:

Condutividade térmica: suficiente para afastar o calor dos pontos localizados de contato

metal/metal durante a partida, bem como do lubrificante durante a operação;

Coeficiente térmico de expansão: este coeficiente para o material do mancal não deve ser

muito diverso daquele do eixo e da caixa do mancal.

Propriedades metalúrgicas:

Compatibilidade: entre os materiais do mancal e do eixo, para resistir ao riscamento, à micro-

soldagem e à abrasão.

Propriedades químicas:

Resistência à corrosão: principalmente em relação aos ácidos que podem se formar devido a

oxidação do lubrificante, ou por contaminação externa.

As principais propriedades desejáveis em um material para mancal são, portanto, uma

maciez relativa ( para absorver partículas estranhas ), resistência razoável, maquinabilidade


147

(para manter tolerâncias), lubricidade, resistência à temperatura e corrosão e, em alguns

casos, porosidade (para absorver partículas no lubrificante ). O material do mancal deve

apresentar cerca de 1/3 da dureza do material do elemento deslizante contra sua superfície,

com o objetivo de promover absorção das partículas abrasivas. Diversas classes diferentes de

materiais podem ser úteis em mancais, tipicamente aquelas baseadas em chumbo, estanho ou

cobre. Alumínio puro não é um bom material para mancais, embora seja usado como um

elemento de liga em alguns casos.

Babbits

Uma família inteira de ligas a base de chumbo e estanho, em combinação com outros

elementos, é muito efetiva, especialmente quando adicionada, em filmes finos, num substrato

como aço. Disponível em duas bases principais: tin-base (89% estanho, 8% chumbo, 3%

cobre) e lead-base (75% chumbo, 15% antimônio, 10% estanho). Babbit é, provavelmente, o

exemplo mais comum desta família, tendo sido utilizado em mancais de virabrequins e de

cames, em motores de combustão interna, durante amplo período. Como é um metal “macio”,

possibilita a absorção de partículas, permitindo um acabamento de baixa rugosidade. Uma

camada de babbit eletroprateada tem melhor resistência à fadiga que uma bucha grossa de

babbit, mas não pode absorver as partículas tão bem. Uma boa lubrificação hidrodinâmica ou

hidrostática é necessária, já que o babbit tem uma temperatura de fusão baixa, falhando

rapidamente sob condições de lubrificação limite. Eixos suportados por mancais de babbit,

devem ter uma dureza mínima de 150-200 HB e um acabamento com rugosidade absoluta de

0.25 a 0.30 µm ( 10 a 12 µin). A grande desvantagem deste material é a presença de elevados

percentuais de chumbo na liga.

Bronzes

A família das ligas de cobre, principalmente os bronzes, são uma excelente escolha

para uma interface com aço ou ferro fundido. Bronze é mais macio que os materiais ferrosos,

apresentando, porém, resistência mecânica, maquinabilidade, e resistência à corrosão. Além

disso, quando lubrificado, é um bom material para se usar com ligas ferrosas. Há cinco ligas

de cobre, comumente usadas em mancais: cobre-chumbo, chumbo-bronze, estanho-bronze,

alumínio-bronze, e berílio-cobre. Apresentam uma faixa de dureza que vai da dureza dos

babbits até aproximadamente a dureza do aço. Buchas de bronze podem resistir à lubrificação

limite, além de suportar altas cargas e altas temperaturas. Buchas de bronze estão disponíveis

comercialmente em uma ampla variedade de tamanhos.

Ferro Fundido e Aço


148

Ferro fundido cinza e aço são materiais razoáveis para mancais, em baixas velocidades

de operação. A grafite livre no ferro fundido proporciona lubricidade, mas, ainda assim, um

lubrificante líquido é necessário. O aço pode ser usado em ambas as partes deslizantes, desde

que tratadas termicamente e lubrificadas. Esta é uma escolha comum em mancais de

rolamento e em contatos rolantes. Na verdade, aço tratado termicamente pode ser usado com

quase qualquer outro material, desde que com lubrificação apropriada. A dureza típica deste

material parece protegê-lo contra adesão em geral.

Materiais Sinterizados

Materiais sinterizados são formados a partir de pó, sendo que poros microscópicos

permanecem após o tratamento de aquecimento. Esta porosidade permite que quantidades

significativas de lubrificante fiquem no material pela ação capilar, sendo liberadas de volta ao

mancal, quando aquecido. Bronze sinterizado é largamente utilizado com aço ou ferro

fundido.

Materiais Não-Metálicos

Alguns tipos de materiais não-metálicos oferecem a possibilidade de funcionamento à

seco, se apresentarem lubricidade suficiente. Grafite é um exemplo. Alguns termoplásticos,

como o Nylon e Teflon preenchido, oferecem um baixo coeficiente de atrito µ, se utilizados

com qualquer outro material, mas tem baixa resistência mecânica e baixa temperatura de

fusão, o que combinado a sua baixa condutividade térmica, limita muito as cargas e

velocidades de operação que podem sustentar. Teflon tem um µ muito baixo (próximo dos

valores para rolamento), mas necessita de preenchedores para elevar sua resistência a níveis

utilizáveis. Preenchedores inorgânicos, como talco ou fibra de vidro, aumentam

significativamente a resistência e a rigidez de qualquer termoplástico, mas também aumentam

o atrito e a abrasividade. Grafite e pó de MoS2 também são usados como preenchedores,

aumentando a lubricidade, assim como a resistência mecânica e a resistência à temperatura.

Mancais termoplásticos são práticos somente onde há cargas e temperaturas baixas. As

combinações práticas de materiais para mancais e eixos são muito limitadas. Alumínio e prata

são também utilizados nas ligas, bem como fósforo e chumbo. A Tabela 4.6 mostra algumas

combinações úteis de materiais metálicos para mancais, e indica as razões de dureza do

material do mancal e do eixo.

Tabela 4.6 - Materiais recomendados em mancais de deslizamento contra aço ou ferro

fundido.


149

Material do Mancal Dureza do Mancal [kg/mm2]

Dureza mínima do Eixo [kg/mm2]

Proporção

Babbit a base de Chumbo 15-20 150 8 Babbit a base de Estanho 20-30 150 6

Alcalóides endurecidos com Chumbo

22-26 200-250 9

Cobre-Chumbo 20-23 300 14 Prata 25-50 300 8

Base de Cádmio 30-40 200-250 6 Liga de Alumínio 45-50 300 6 Bronze-Chumbo 40-80 300 5 Bronze-Estanho 60-80 300-400 5

4.5.5 Teoria da Lubrificação Hidrodinâmica

Considere o mancal de escorregamento mostrado na Figura 4.16. A Figura 4.17 (a)

mostra um eixo e um mancal similares, porém concêntricos e verticais. A folga diametral cd

entre o eixo e o mancal é muito pequena, tipicamente em torno de um milésimo do diâmetro.

A modelagem considera o deslizamento como duas placas planas, pois a espessura h é muito

pequena, se comparada ao raio de curvatura. A Figura 4.17 (b) mostra, portanto, duas placas

planas separadas por um filme de óleo de dimensão h. Se as placas são paralelas, o filme de

óleo não suportará uma carga transversal. Isso também é valido para um conjunto eixo-

mancal concêntricos. Um eixo concêntrico horizontal, se tornará excêntrico a partir do peso

próprio do eixo, como na Figura 4.16. Se o eixo é vertical, como na Figura 4.17 (a), pode

girar centrado no mancal, já que não há força gravitacional transversal.

Figura 4.17 - Esquema para Teoria de Lubrificação.

Mantendo-se a placa inferior da Figura 4.17 (b) estacionária, e movendo-se a placa

superior para a direita, com uma velocidade U, o fluido entre as placas será cisalhado, da

(a) (b) (c) Conjunto Eixo-Mancal Concêntrico Placas Paralelas cisalhando o óleo Elemento Diferencial de Cisalhamento

Placa Móvel

Placa Fixa

Óleo


150

mesma maneira que na espessura concêntrica da Figura 4.17 (a). O fluido adere à ambas as

placas, tendo velocidade nula na placa estacionária, e igual a U na placa em movimento. A

Figura 4.17 (c) mostra um elemento diferencial de fluido na espessura do filme. O gradiente

de velocidade causa uma distorção angular β. No limite, β=dx

dy. A tensão de cisalhamento τx,

agindo no elemento diferencial de fluido, é proporcional à taxa de cisalhamento, e a constante

de proporcionalidade é a viscosidade η:

τx =ηβ

η η η.d

dt

d

dt

dx

dy

d

dy

dx

dt

du

dy= = =

(4.17)

Em um filme de espessura constante h, o gradiente de velocidade du

dy

u

h= é constante.

A força para cisalhar todo o filme é:

F = A.τx = η.A.U

h

(4.18)

Onde: A é a área da placa.

Para o conjunto eixo-mancal concêntricos da Figura 4.17 (a), a espessura do filme é

hcd=2

, onde cd é a folga diametral. A velocidade linear, na periferia do eixo é U = π.d.n ,

onde n é dado em revoluções por segundo, e a área de cisalhamento A = π.d.l. O torque

necessário para cisalhar o filme é então :

Tod

F=2

. = d

AU

h2. . .η = η . . . . .

. .dd l

d n

cd2 2π

π ou To

d l n

cd=

η π. . . .2 3

(4.19)

Esta é a equação de Petroff para o torque de arrasto necessário, sem carga, em um

filme de fluido.

Para resistir à uma carga transversal, as placas da Figura 4.17 devem ser não-paralelas.

Girando levemente a placa inferior da Figura 4.17(a) no sentido anti-horário, e movendo a

placa superior para a direita, com uma velocidade U, o fluido entre as placas será deslocado

para o espaço reduzido, conforme a Figura 4.18(a), desenvolvendo uma pressão que suportará

a carga transversal P. O ângulo entre as placas é análogo à folga variável, devido à


151

excentricidade ‘e’ , do eixo no interior do mancal da Figura 4.18(b). Quando uma carga

transversal é aplicada ao eixo, este assume uma excentricidade com relação ao mancal,

formando um espaço variável que suporta a carga através da pressão no filme.

A Figura 4.18 (b) mostra a excentricidade ‘e’ exagerada, e a folga h, para um conjunto

eixo-mancal. A excentricidade ‘e’ é medida do centro do mancal Ob ao centro do eixo Oj. A

variável independente θ é estabelecida, para o eixo, de zero a π , ao longo da linha ObOj,

como mostrado na Figura 4.18 (b). O valor máximo possível para ‘e’ é crcd

=2

, onde cr é a

folga radial.

Figura 4.18 - Filme de óleo distribuído entre superfícies não paralelas, sujeito a carga

transversal.

A excentricidade pode ser adimensionalizada para uma razão de excentricidade ε, que

varia de 0 (centrado quando não há carga), a 1 (na carga máxima, quando o eixo toca o

mancal).:

ε = e

cr

(4.20)

Uma expressão aproximada para a espessura do filme de óleo h, como função de θ é :

h = cr (1+ ε. cos θ ) (4.21)

A espessura h do filme de óleo é máxima quando θ = 0 e mínima quando θ = π :

(a) (b) Placas não Paralelas cisalhando o óleo Conjunto Eixo-Mancal Excêntrico

Placa Móvel

Placa Fixa

Óleo


152

hmin = cr ( 1 - ε ) e hmax = cr ( 1 + ε ) (4.22)

Considere o conjunto eixo-mancal, mostrado na Figura 4.19. A espessura do filme é

dada pela Equação 4.21.

Figura 4.19 - Componentes de Velocidade para um mancal excêntrico.

A origem do sistema de coordenadas xy pode ser adotada em qualquer ponto da

circunferência como O. O eixo x é, então, tangente ao mancal, o eixo y atravessa o centro do

mancal Ob, e o eixo z é paralelo ao eixo de rotação do mancal. Geralmente, o mancal é

estacionário e somente o eixo gira, mas em alguns casos, o contrário pode acontecer, ou

ambos podem girar. Também é mostrada a velocidade tangencial U1 para o mancal, assim

como a velocidade tangencial T2 para o eixo. Note que suas direções ( ângulos ) não são os

mesmos, devido à excentricidade. A velocidade tangencial T2 do eixo pode ser decomposta

nas direções x e y, como U2 e V2 respectivamente. O ângulo entre T2 e U2 é tão pequeno, que

seu cosseno é essencialmente 1, e portanto, U2 ≅ T2 . A componente V2 na direção y, devido

ao fechamento (ou abertura ) da espessura h, é dada por V2 = ∂h / ∂t.

Utilizando as hipóteses assumidas anteriormente, podemos escrever a equação de

Reynolds para conjunto eixo-mancal excêntricos, relacionando a espessura do filme de óleo h,

as velocidades relativas entre o eixo e o mancal (V2 e U1 - U2), e a pressão no fluido p, como

função das coordenadas x e z, assumindo que o eixo e o mancal são paralelos na direção z e a

viscosidade η é constante.


153

1

63 3

η∂∂

∂∂

∂∂

∂∂x

hP

x zh

P

z

+

= ( )U U

h

xV1 2 22− +∂

∂. =

( ) ( )U Uh

xU

h

xU U

h

xU

h

x1 2 2 1 22− + = + =∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(4.23)

Onde: U = U1 + U2

4.5.5.1 Solução para Mancais Longos

A Equação 4.23 não apresenta uma solução fechada, permitindo também solução

numérica. Raymondi e Boyd, em 1958, desenvolveram um grande número de cartas para estas

aplicações, para mancais de comprimento finito. Reynolds resolveu uma versão simplificada

na forma de séries (1886), assumindo o mancal infinitamente longo na direção z, o que torna

o fluxo axial praticamente nulo, e a distribuição de pressão constante naquela direção. Logo

∂P/∂z = 0. Com essa simplificação, a equação de Reynolds se torna:

∂∂

∂∂

η ∂∂x

hP

xU

h

x3 6

=

(4.24)

Em 1904, A. Sommerfeld encontrou uma solução fechada para o mancal infinitamente

longo ( Equação 4.24 ) :

( )( )( )( )

pU r

crPo= +

+ +

+η ε θ ε θε ε θ

.. . . sen cos

.cos2 2 2

6 2

2 1

(4.25)

A expressão 4.25 fornece a pressão p, no filme de lubrificante, como função da

posição angular θ ao redor do mancal, para dimensões específicas do raio do eixo r, da folga

radial cr, da razão de excentricidade ε, da velocidade superficial do eixo U, e da viscosidade

η. O termo Po é relativo à qualquer pressão de suprimento, senão à posição de pressão nula a

θ = 0. A Equação 4.25 é referida como a solução de Sommerfeld ou solução para mancal

longo.

Se p for computado, a partir desta equação, de θ = 0 a θ = 2π , serão verificadas

pressões negativas de π a 2π, com magnitudes absolutas iguais às pressões positivas de 0 a π.

Como um fluido não suporta altas pressões negativas sem cavitação, a equação é tipicamente


154

resolvida somente de 0 a π, e a pressão é assumida como Po na outra metade da

circunferência. Esta solução é conhecida como “Solução Parcial de Sommerfeld”.

Sommerfeld também determinou uma equação para a carga total P, em um mancal

longo:

( )( )P

U l r

cr= ×

+ +η π ε

ε ε.. . . . .2

2 2 2 1 2

12

2 1

(4.26)

Esta equação pode ser rearranjada em uma forma adimensional, para se obter um

número característico do mancal, denominado número de Sommerfeld S.

( )( )2 1

12

2 2 1 2 2+ +=

ε επ ε

η. .

. .U l

P

r

cr

(4.27)

A pressão média pavg no mancal é:

pavg =P

A

P

l d=

.

(4.28)

A velocidade U = π.d.n, onde n é em revoluções por segundo, e cr = cd / 2.

Substituindo tem-se:

( )( ) ( )2 1

12

2 212 2 2+ +

=

=

=

ε επ ε

η πη

π. .

. . .

. .

.d n l

d l p

d

cd

n

p

d

cdS

avg avg

(4.29)

S é função somente da razão de excentricidade ε, podendo ser expresso em termos da

geometria, pressão média unitária, velocidade, e viscosidade do mancal.

4.5.5.2 Solução para Mancais Curtos

Mancais longos não são freqüentemente usados em maquinaria moderna por diversas

razões. Pequenas deflexões do eixo, ou desalinhamentos, podem reduzir a folga radial a zero

nas bordas de um mancal longo, e considerações de projeto associadas a dimensões


155

geralmente requerem mancais curtos. As razões l / d mais comuns em mancais modernos

estão na faixa de ¼ a 1. A solução para mancal longo (Sommerfeld), assume que não há

perdas de óleo nas extremidades do mancal. Porém, para relações l / d inferiores a unidade,

estas perdas podem ser significativas. Ocvirk e Dubois resolveram uma forma da equação de

Reynolds, que inclui o termo de perdas nas extremidades.

∂∂

∂∂

η ∂∂z

hP

zU

h

x3 6. . .

=

(4.30)

Esta forma despreza o termo que representa o fluxo de óleo circunferencial ao redor

do mancal, na premissa de que será pequeno se comparado ao fluxo na direção z ( perdas ) em

um mancal curto. A Equação 4.30 pode ser integrada, para obtenção da expressão para a

distribuição de pressão no filme de óleo, como uma função tanto de θ como de z:

( )32

2

2 cos.1

sen..3.

4.

.

θεθεη

+

−= z

l

crr

Up

(4.31)

A Equação 4.31 é conhecida como a solução de Ocvirk ou solução para mancais

curtos. É resolvida para θ = 0 a π , com pressão nula para a outra metade da circunferência. A

Figura 4.20 mostra uma distribuição de pressão sobre as coordenadas θ e z. A posição θ = 0 é

tomada em h = hmax, e o eixo de referencia θ passa através de Ob e Oj. A distribuição de

pressão p, com respeito a z, é parabólica e apresenta um valor máximo no centro do

comprimento do mancal, sendo nula nas extremidades (z = ± l / 2). A pressão p varia não-

linearmente em θ, e atinge seu valor máximo no segundo quadrante. O valor de θmax em pmax

pode ser tirado de:

( )θ

ε

εmax=

− +−cos

.

.1

21 1 24

4

(4.32)

O valor de pmax é encontrado, substituindo z = 0 e θ = θmax na equação 4.31.


156

(a) (b)

Figura 4.20 - Distribuição de pressão em um mancal curto.

A Figura 4.21 compara a variação da pressão circunferencial p no filme, de 0 a 180

graus, para a solução de mancais longos de Sommerfeld (tomada como a referência a 100%),

e a solução para mancais curtos de Ocvirk, para diversas relações l /d de ¼ a 1. Note o erro

elevado, se a solução para o mancal longo fosse aplicada para razões l / d < 1. Para l / d = 1,

as duas soluções fornecem resultados similares, com a solução de Ocvirk predizendo um pico

de pressão levemente maior que a solução de Sommerfeld. Du Bois e Ocvirk verificaram, em

testes experimentais, que a solução para mancais curtos fornece resultados que muito se

aproximam das medições experimentais, para relações l / d de ¼ a 1, verificando-se também

para l / d até 2, se esta razão fosse tomada como 1, para o cálculo de mancais com relações

verdadeiras entre 1 e 2. Devido a maioria dos mancais modernos apresentarem relações l /d

entre ¼ e 2, a solução de Ocvirk proporciona um método de cálculo conveniente e

razoavelmente preciso. A solução de Sommerfeld proporciona resultados precisos para

relações l / d acima de 4.


157

Figura 4.21 - Comparação entre a solução de Ocvirk para mancais curtos e a solução de

Sommerfeld para mancais longos, em diversas condições l/d.

Na Figura 4.20, o valor máximo de pressão ocorre em um ângulo θmax, definido na

equação 4.32. Este ângulo é medido a partir do eixo de referencia, estabelecido ao longo da

linha que une os centros geométricos do mancal e do eixo. O que determina o ângulo desta

linha de excentricidade, entre os centros Ob e Oj é, tipicamente, a linha de ação da força P

aplicada ao eixo, definida por fatores externos. A força P é vertical na figura, e o ângulo entre

esta força e o eixo de referencia em θ = π é mostrado como φ. (O ângulo φ é mais usado do

que o ângulo θp medido a partir de θ = 0, pois será sempre um ângulo agudo).

( )φ

π ε

ε=

−−tan

.

.1

21

4

(4.33)

A magnitude da força resultante P é relacionada aos parâmetros do mancal como:

P KU l

cr= ε η. .

. 3

2

(4.34)

Kε é um parâmetro adimensional , função da razão de excentricidade ε :

( )[ ]( )

Kε

ε π ε ε

ε=

− +

−

. .2 2 2 1 2

2 2

1 16

4 1

(4.35)

A velocidade linear U pode ser expressa como:

U = π.d.n (4.36)

Substituída na Equação 4.34, com cr = cd / 2:

P KU l

cr= ε η. .

. 3

2= K

d n l

cdεπ η

.. .. . . .4 3

2

(4.37)


158

4.5.6 Torque e Perdas de Energia em Conjuntos Eixo-Mancal

A Figura 4.20 mostra o filme de fluido sendo cisalhado entre o mancal e o eixo. A

força de cisalhamento, atuando em cada membro, cria torques de direção oposta, Tr no

membro rotativo e Ts no membro estacionário. Contudo, estes torques Tr e Ts não são iguais,

devido à excentricidade da forca P. O binário P, na Figura 4.20, do qual um componente age

no centro do eixo Oj e o outro, no centro do mancal Ob, forma um par de magnitude P.e.senφ ,

que se adiciona ao torque estacionário para formar o torque rotativo.

Tr = Ts + P.e.senφ (4.38)

O torque estacionário Ts pode ser tirado de:

( )( )

Tsd l U U

cd=

−

−η π

ε.

. ..

22 1

2 1 21

(4.39)

Substituindo a Equação 4.36 na Equação 4.39, para colocar em termos das velocidades

de rotação do eixo e do mancal:

( )( )

Tsd l n n

cd=

−

−η π

ε.

. ..

32 1

2

2 1 21

(4.40)

Perceba a similaridade da Equação (4.40) com a Equação de Petroff para o eixo

concêntrico sem carga, com torque To. Pode-se estabelecer uma relação entre o torque

estacionário em um mancal excêntrico e o torque sem carga como:

( )Ts

To=

−1

1 2 1 2ε

(4.41)

Esta relação é uma função somente da razão de excentricidade ε. Uma relação similar

entre o torque de rotação Tr e o torque sem carga de Petroff também pode ser estabelecida.


159

A perda de potência Φ no mancal, pode ser obtida a partir do torque de rotação Tr e da

velocidade de rotação n.

Φ = Tr.ω = 2.π.Tr.(n2 - n1 ) N-m / s ou in-lb / s (4.42)

4.5.7 Coeficiente de Atrito

O coeficiente de atrito no mancal pode ser determinado como a razão entre a força de

cisalhamento tangencial e a força normal aplicada P.

µ = = =f

P

Tr r

P

Tr

P d

2.

.

(4.43)

4.5.8 Projeto de Mancais Hidrodinâmicos

Usualmente, a força aplicada P que o mancal deve suportar, e a velocidade de rotação

n, são conhecidas. O diâmetro do mancal pode ou não ser conhecido, mas freqüentemente

será definido pela resistência e deflexão do eixo, ou outras considerações. O projeto do

mancal requer que se encontre uma combinação adequada entre o diâmetro e/ou comprimento

do mancal, que irá operar numa viscosidade adequada do fluido, tendo folga radial razoável e

possível de se fabricar, e mantendo uma razão de excentricidade que não permita o contato

metal-metal sob carga, ou qualquer condição de sobrecarga esperada.

Carregamento unitário: como os picos de carga aplicada aos mancais de motores são

de duração apenas momentânea, as pressões resultantes no mancal podem ser da ordem de 10

vezes os valores para carregamento constante.

Razão l / d: variam normalmente de 0.25 a 0.75 atualmente. Em máquinas antigas,

estes valores são mais próximos da unidade. Mancais curtos são menos suscetíveis a efeitos

de borda, causados por deflexão do eixo ou desalinhamentos. Determina-se o diâmetro do

eixo por critérios de resistência estática e deflexão dinâmica, definindo-se o comprimento do

mancal para uma adequada capacidade de sustentação.

Valores aceitáveis de hmin: a espessura mínima aceitável para o filme de lubrificante

depende do acabamento superficial. Um valor empírico de referência é ho=0.005 + 0.00004d

com ho e d em milímetros.

Folga radial (cr): para eixos cujo diâmetro varia de 25 a 150 mm, a razão cr / r é,

aproximadamente, da ordem de 0.001, principalmente em mancais de precisão.


160

Alguns fatores são fundamentais no projeto de mancais hidrodinâmicos:

1. A espessura mínima do filme de lubrificante deve ser suficiente para garantir uma

lubrificação limite;

2. O atrito deve ser o mais baixo possível e consistente com a espessura do filme de

lubrificante;

3. Um fornecimento adequado de lubrificante limpo e suficientemente aquecido deve estar

sempre disponível na entrada do mancal;

4. A temperatura máxima do óleo deve ser aceitável (normalmente não superior a 93-

120oC);

5. O óleo introduzido no mancal deve preencher todo o seu comprimento. Podem ser

necessárias ranhuras no mancal que, neste caso, devem ser posicionados distantes das

áreas altamente solicitadas;

6. Problemas de desalinhamento e deflexão excessivos do eixo podem sempre comprometer

a vida do mancal;

7. A carga dos mancais nas partidas e paradas deve gerar pressões preferivelmente abaixo de

2 MPa ou 300 psi;

8. O projeto deve considerar toda combinação possível entre folga radial e viscosidade do

lubrificante. Fatores como temperatura e circulação de ar podem alterar o filme com o

tempo.

4.5.8.1 O Fator de Carga de Projeto - Número de Ocvirk

Uma maneira conveniente de resolver este problema é definir um fator de carga

adimensional, no qual vários parâmetros do mancal podem ser relacionados, plotados e

comparados. A Equação (4.37) pode ser reescrita para obter tal fator, sendo resolvida para Kε:

KP cd

d n lε η π= .

. . . . .

2

34

(4.44)

Substituindo a Equação 4.28 para a carga P, e introduzindo a pressão média do filme

pavg:


161

Ond

cd

l

d

n

p

d

d

lnd

cddlpK avgavg .

4

1

..4

1.

.....4

... 22

3

2

πηππηε =

==

(4.45)

O termo entre colchetes é o chamado fator de carga adimensional ou n° de Ocvirk On.

( )[ ]( )22

2122222

1

.161....4

. εεεπεππ

η ε−

+−==

= K

d

cd

l

d

n

pOn avg

(4.46)

Esta expressão contém os parâmetros de projeto sobre os quais o projetista tem

controle, e mostra que qualquer combinação daqueles parâmetros, que resulte no mesmo n° de

Ocvirk, terá a mesma razão de excentricidade ε. A razão de excentricidade é uma indicação

de quão próximo de falhar está o filme de óleo, uma vez que hmin = cr.(1 - ε ). Compare o n°

de Ocvirk com o n° de Sommerfeld da Equação 4.29.

A Figura 4.22 mostra um gráfico da razão de excentricidade ε como uma função do n°

de Ocvirk On, e também os dados experimentais para os mesmos parâmetros.

Uma curva empírica é ajustada aos dados, mostrando que a teoria prediz uma

magnitude menor da razão de excentricidade. A curva empírica pode ser aproximada como:

εx ≅ 0.21394 + 0.38517. Log ( On ) - 0.0008. ( On - 60 ) (4.47)

Figura 4.22 - Excentricidade Relativa e Número de Ocvirk (dados analíticos e experimentais).

Ockvirk On

Excentricidade ε

Curva analítica

Curva experimental

Razão de excentricidade nas bordas

Efeito de desalinhamento


162

O cálculo de carga, torque, pressões média e máxima no filme de óleo, bem como

outros parâmetros do mancal, pode ser feito adotando-se o valor empírico ε nas Equações

4.30 a 4.42. A Figura 4.23 mostra razões de pmax/pavg e Ts / To, como uma função do n° de

Ocvirk, para valores experimentais e teóricos de ε. A Figura 4.24 mostra a variação teórica e

experimental dos ângulos θmax e φ com o n° de Ocvirk.

Figura 4.23 - Razão de Pressão e Torque para Mancais Curtos x Número de Ocvirk.

Figura 4.24 - Ângulos θmax e φ x Número de Ocvirk.

analítico

analítico

Ockvirk On

analítico

analítico

Angulos em graus

Ockvirk On


163

4.5.8.2 Procedimentos de Projeto

A carga e a velocidade são dados tipicamente conhecidos. Se o eixo é dimensionado

por resistência ou deflexão, seu diâmetro será também conhecido. O comprimento do mancal,

ou a relação l /d, devem ser escolhidos, baseados em considerações de espaço. Relações l /d

maiores resultam em pressões menores do filme de óleo. A razão da folga diametral é

definida como cd/d. As razões de folga estão tipicamente na faixa de 0.001 a 0.002 e, algumas

vezes, chegam a 0.003. Razões de folga maiores aumentarão rapidamente o n° de carga On já

que cd/d é elevado ao quadrado na Equação 4.46. Um número de Ocvirk maior resulta em

excentricidade, torque e pressões mais elevados, como pode ser visto nas Figuras 4.22 e 4.23.

Uma vantagem de razões de folga maiores é o maior fluxo de lubrificante, o que promove

refrigeração. Relações l / d maiores requerem razões de folga maiores para acomodar as

deflexões do eixo. O n° de Ocvirk deve ser escolhido, e a viscosidade do lubrificante

encontrada, a partir das Equações 4.30 a 4.42.

Se as dimensões do eixo ainda não são conhecidas, diâmetro e comprimento do

mancal podem ser calculados através da iteração das equações do mancal, para um certo valor

do n° de Ocvirk assumido. Um lubrificante de teste deve ser escolhido, e sua viscosidade

encontrada para as temperaturas de operação assumidas dos gráficos (Figura 4.14). Após o

projeto do mancal, uma análise do fluxo de lubrificante e da transferência de calor pode ser

feita, para determinar a taxa de fluxo de óleo necessária e as temperaturas de operação

previstas.

A escolha do n° de Ocvirk tem um efeito significativo no projeto. G. B. Dubois sugere

que um n° de carga On = 30 (ε = 0.82) seja considerado como limite superior para carga

normal moderada, On = 60 para carga pesada e On = 90 (ε = 0,93) para carga severa (crítica).

Para n° de Ocvirk em torno de 30, alguns cuidados devem ser tomados no controle das

tolerâncias de manufatura, acabamento de superfície e deflexões. Para aplicações gerais de

mancais é aconselhável trabalhar com um n° On inferior a 30.

4.5.9 Tipos e Classificação de Mancais Hidrodinâmicos

Os mancais hidrodinâmicos apresentam uma classificação simples e básica quanto a

estrutura de sua geometria. Tem-se os mancais de geometria fixa e os mancais de geometria

variável. Dentre os mancais de geometria fixa, encontram-se os seguintes tipos:

-Mancal cilíndrico: divide-se em mancal de arco parcial (Figura 4.25 (a)) e mancal de furos

bi-axiais (Figura 4.25 (b)).


164

-Mancal multi-lobado: compreende o mancal elíptico (Figura 4.26 (a)), o mancal cilíndrico

descentrado (Figura 4.26 (b)), e os mais comuns tri-lobados (Figura 4.26 (c)) e quadri-

lobados.

Figura 4.25 - Mancais cilíndricos planos: a) Arco parcial, b) Furos bi-axiais.

(a) (c) (b)

Figura 4.26 - Mancais multi-lobados: (a) elíptico, (b) cilíndrico descentrado e (c) tri-

lobado.

O mancal de geometria variável é o mancal segmentado (Figura 4.27), cujo número

mínimo de segmentos é três, sendo, porém, os mais comuns de quatro e seis segmentos.


165

Figura 4.27 - Mancal Segmentado.

4.5.10 Propriedades físicas e aplicações

Define-se pré-carga em mancais hidrodinâmicos como a razão entre a dimensão d, das

Figuras 4.26 e 4.27, e a folga radial Cr, onde d é a descentragem dos lobos em relação ao

centro do mancal. Um valor comum para a pré-carga é 0.5, ou seja, a descentragem dos lobos

é aproximadamente a metade da folga radial. Se d = 0, o mancal é cilíndrico, e se d = 1, o

eixo está em contato com os lobos.

Assim sendo, os mancais cilíndricos não apresentam pré-carga (Figura 4.25), enquanto

que os mancais multi-lobados incorporam a pré-carga em sua geometria (Figura 4.26).

Mancais de geometria fixa podem estar sujeitos a fenômenos de instabilidade, sob certas

condições de operação. O movimento subsíncrono instável representa o maior problema

associado aos rotores de alta rotação, suportados por mancais cilíndricos planos. Tal

fenômeno caracteriza-se por órbitas do eixo de elevadas amplitudes para o ciclo limite, a uma

rotação de 1.5 vezes a velocidade crítica do eixo. Em rotores flexíveis, a instabilidade se

inicia a uma rotação cerca de 2 vezes a rotação crítica, com aumento acentuado da amplitude

com a velocidade de rotação.

Substituindo o mancal cilíndrico por outras geometrias também fixas, foi possível

elevar a velocidade de início da instabilidade, eliminando o problema em muitos casos

práticos. A rotação de início da instabilidade é elevada, nestes casos, devido ao aumento da

excentricidade de operação do mancal, ou seja, os mancais multi-lobados são projetados com

uma pré-carga nos lobos. Desta forma, apresentam maior rigidez e tendem a ser mais estáveis,

particularmente na posição central, onde os mancais cilíndricos possuem baixa rigidez direta

(Kxx e Kyy). Mancais com pré-carga operam com uma espessura mínima de filme de


166

lubrificante superior aos demais, para uma certa dimensão do mancal e para determinados

parâmetros de operação.

Por sua vez, o mancal segmentado é altamente estável, sendo de larga aplicação

quando existe risco de instabilidade durante a operação, ou seja, em rotores flexíveis de alta

rotação. O carregamento pode localizar-se entre dois segmentos ou sobre um segmento

(Figura 4.28). Este mancal pode ser projetado com ou sem pré-carga.

O projeto do mancal segmentado minimiza o problema de instabilidade, praticamente

eliminando os termos cruzados de rigidez equivalente (Kxy e Kyx). Os segmentos são

pivoteados por pinos axiais, que não reagem ao momento, isto é, os segmentos giram

livremente em torno dos pontos de fixação. Assim, a reação nos segmetos, a um carregamento

vertical, ocorre nos pontos de fixação. É importante notar que esta reação se desenvolve sem

provocar um deslocamento lateral do eixo, ou seja, a um carregamento vertical responde

apenas um deslocamento vertical, eliminando os efeitos mistos de forças.

(a) (b)

Figura 4.28 - Carregamento no mancal segmentado: (a) entre segmentos e (b) sobre

um segmento.

ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V

167

CAPÍTULO V UNIÕES E ROSCAS 5.1. INTRODUÇÃO

5.1.1 Classificação Geral

Parafusos e porcas parecem constituir um dos aspectos menos interessantes do ponto

de vista do projeto mecânico e, contudo, também estes elementos apresentam características

de funcionamento e aplicações extremamente importantes. Além disso, o projeto e a

fabricação de junções constituem um dos investimentos mais significativos da economia

atual. Por exemplo, o Boeing 747 possui cerca de 2,5 milhões de junções, sendo que algumas

destas chegam a custar alguns dólares cada. Já as roscas desempenham dois tipos

fundamentais de funções: atuando como junções, ou seja, mantendo duas partes unidas; ou

ainda para mover ou deslocar cargas, tais como os parafusos de potência.

A Tabela 5.1 mostra as variáveis utilizadas neste capítulo e suas respectivas unidades.



A área in2 m2

Ab área total do parafuso in2 m2

Am área efetiva do material na região de

conexão

in2 m2

At área tracionada do parafuso in2 m2

Ccarga fator de carregamento adimensional adimensional

Cconf fator de confiabilidade adimensional adimensional

Ctam fator de tamanho ou dimensões adimensional adimensional

Csup fator de acabamento superficial adimensional adimensional


C constante de rigidez da junta Adimensional adimensional


168

D diâmetro in m

D diâmetro in m

E eficiência adimensional adimensional


F força ou carga lb N

Fb força máxima no parafuso lb N

Fi força de pré-carga lb N

Fm força mínima no material lb N

F força de atrito lb N

HRC dureza Rockwell C adimensional adimensional

J momento polar de área in4 m4

K constante de mola lb / in N / m

kb rigidez do parafuso lb / in N / m

km rigidez do material lb / in N / m

Kf , Kfm fator de concentração de tensão em

fadiga

adimensional adimensional

Kt , Kts fator de concentração de tensão

geométrico


M massa lb sec / in2− kg

L comprimento in m

L comprimento do filete in mm

N número de junções adimensional adimensional

N número de filetes por unidade de

comprimento



Nleak fator de segurança no aperto adimensional adimensional

Nsep fator de segurança na separação adimensional adimensional

Ny fator de segurança em escoamento adimensional adimensional

P passo do filete in mm

P carga lb N

Pb fração da carga no parafuso lb N

Pm fração da carga no material lb N

R raio in m


Sf resistência a fadiga corrigido psi Pa


Sut máxima resistência à tração psi Pa


169

Sus máxima resistência ao cisalhamento psi Pa

Sys limite de resistência ao escoamento

em cisalhamento

psi Pa

T torque lb-in N-m

wi ,wo fatores de geometria do filete adimensional adimensional

W trabalho in-lb Joule

α angulo radial de contato do filete graus graus

δ deflexão in m

µ coeficiente de atrito adimensional adimensional

λ angulação do filete graus graus



5.2. FORMAS PADRONIZADAS DE FILETES

O elemento comum, entre as diversas uniões rosqueadas, são os filetes que, por sua

vez, são constituídos por uma hélice, a qual é responsável pelo movimento de avanço da rosca

dentro do furo ou da porca, através de sua rotação.

A norma ISO define as dimensões dos filetes pelo sistema métrico, enquanto que a

norma UNS define as dimensões no sistema ips americano, ambas utilizando um angulo de

60o entre os filetes adjacentes, e definindo o filete pelo seu diâmetro externo nominal d. O

passo p mede a distância entre dois filetes adjacentes, sendo que arestas e raízes são planas,

objetivando a redução de fatores de concentração de tensões. O diâmetro primitivo dp e o

diâmetro da raiz dr, são definidos em função do passo p. O avanço L do filete corresponde a

distancia axial que a porca avança para uma revolução de rotação. Se o filete é simples, o

avanço L é igual ao passo p. Para filetes múltiplos, o avanço L responderá de acordo com a

multiplicidade do passo p. Por exemplo, para filetes duplos, L = 2p; para filetes triplos, L =

3p, etc.

Três séries padrões de famílias de passos de filetes são definidas: passo normal, passo

fino e passo extrafino. A série de passo normal é a mais comum, sendo utilizada para

aplicações gerais, principalmente se um número razoável de montagens e desmontagens for

necessário, ou quando os materiais a serem unidos forem macios.

A série de passo fino é mais resistente ao afrouxamento por vibrações, devido a um

menor angulo da hélice, sendo utilizada em automóveis, motores a jato, etc.


170

Finalmente, a série de passo extrafino é utilizada quando a espessura das placas é

muito limitada.

Também são definidas 3 classes de ajustes, designadas classe 1, 2 e 3.

A classe 1 apresenta as tolerâncias mais amplas, para usos de qualidade regular, como

as aplicações domésticas, em geral. A classe 2 define tolerâncias mais estreitas, resultando em

melhor qualidade de ajuste, sendo aplicada em projeto de máquinas, em geral. A maior

precisão é dada pela classe 3, sendo utilizada onde alta qualidade de ajuste é exigida, para

segurança do projeto.

A rosca externa é designada pela letra A e a rosca interna, pela letra B. Obviamente, o

custo aumenta para as classes de ajuste mais altas.

A especificação de um filete é feita através de um código que contém informações

sobre o diâmetro, passo, série e classe de ajuste dos filetes.

1/4-20 UNC-2A representa um filete externo de 0.250 in de diâmetro, 20 filetes por

polegada de passo, série normal e tolerância classe 2.

M8 x 1.25 define um filete da série normal ISO com 8 mm de diâmetro e 1.25 mm de

passo.

Todas as séries padrão de filetes são de roscas direitas (RH), enquanto que para roscas

esquerdas, a designação LH é acrescentada à especificação dos filetes.

5.2.1 Área de Tensão de Tração

Um elemento circular filetado, sujeito a tração pura, terá sua resistência limitada pela

área de menor diâmetro, ou seja, a raiz, cujo diâmetro é dr . Porém, testes experimentais

demonstraram que a resistência à tração crítica ocorre, na média, entre o menor diâmetro d e o

diâmetro primitivo dp.

Ad d

t

p r=+

π4 2

2

(5.1)

Para filetes UNS, tem-se:

d d Np = − 0 649519. / d d Nr = − 1226869. / (5.2)


171

Para filetes ISO, tem-se:

d d pp = − 0 649519. d d pr = − 1226869. (5.3)

Onde: N é o número de filetes por polegada, d é o diâmetro externo nominal do filete,

e p é o passo da hélice em mm.

Portanto, a tensão devido a uma carga de tração pura axial F, é dada por:

σ tt

F

A= (5.4)

5.2.2 Dimensões Padronizadas

A Tabela 5.2 mostra as principais dimensões de filetes pela UNS. Para diâmetros

inferiores a 0.25 in, os filetes são especificados por números inteiros padronizados. Para obter

o diâmetro externo do filete, deve-se multiplicar o número padrão por 13 e dividir por 60.

A Tabela 5.3 mostra as dimensões dos filetes pela norma ISO.

Tabela 5.2 - Dimensões para filetes UNS.

PASSO NORMAL PASSO FINO

Tamanho d(in) N[/in] dr(in) At(in2) N[/in] dr(in) At(in2) 0 0.0600 - - - 80 0.0438 0.0018 1 0.0730 64 0.0527 0.0026 72 0.0550 0.0028 2 0.0860 56 0.0628 0.0037 64 0.0657 0.0039 3 0.0990 48 0.0719 0.0049 56 0.0758 0.0052 4 0.1120 40 0.0795 0.0060 48 0.0849 0.0066 5 0.1250 40 0.0925 0.0080 44 0.0955 0.0083 6 0.1380 32 0.0974 0.0091 40 0.1055 0.0101 8 0.1640 32 0.1234 0.0140 36 0.1279 0.0147 10 0.1900 24 0.1359 0.0175 32 0.1494 0.0200 12 0.2160 24 0.1619 0.0242 28 0.1696 0.0258 ¼ 0.2500 20 0.1850 0.0318 28 0.2036 0.0364

5/16 0.3125 18 0.2403 0.0524 24 0.2584 0.0581 3/8 0.3750 16 0.2938 0.0775 24 0.3209 0.0878 7/16 0.4375 14 0.3447 0.1063 20 0.3725 0.1187 ½ 0.5000 13 0.4001 0.1419 20 0.4350 0.1600

9/16 0.5625 12 0.4542 0.1819 18 0.4903 0.2030


172

5/8 0.6250 11 0.5069 0.2260 18 0.5528 0.2560 ¾ 0.7500 10 0.6201 0.3345 16 0.6688 0.3730 7/8 0.8750 9 0.7307 0.4617 14 0.7822 0.5095 1 1.0000 8 0.8376 0.6057 12 0.8917 0.6630

1 1/8 1.1250 7 0.9394 0.7633 12 1.0167 0.8557 1 ¼ 1.2500 7 1.0644 0.9691 12 1.1417 1.0729 1 3/8 1.3750 6 1.1585 1.1549 12 1.2667 1.3147 1 ½ 1.5000 6 1.2835 1.4053 12 1.3917 1.5810 1 ¾ 1.7500 5 1.4902 1.8995 2 2.0000 4.5 1.7113 2.4982

2 ¼ 2.2500 4.5 1.9613 3.2477 2 ½ 2.5000 4 2.1752 3.9988 2 ¾ 2.7500 4 2.4252 4.9340 3 3.0000 4 2.6752 5.9674

3 ¼ 3.2500 4 2.9252 7.0989 3 ½ 3.5000 4 3.1752 8.3286 3 ¾ 3.7500 4 3.4252 9.6565 4 4.0000 4 3.6752 11.0826

Tabela 5.3 - Dimensões para filetes ISO.

PASSO NORMAL PASSO FINO

d[mm] p[mm] dr[mm] At(mm2) p[mm] Dr[mm] At(mm2) 3.0 0.50 2.39 5.03 3.5 0.60 2.76 6.78 4.0 0.70 3.14 8.78 5.0 0.80 4.02 14.18 6.0 1.00 4.77 20.12 7.0 1.00 5.77 28.86 8.0 1.25 6.47 36.61 1.00 6.77 39.17 10.0 1.50 8.16 57.99 1.25 8.47 61.20 12.0 1.75 9.85 84.27 1.25 10.47 92.07 14.0 2.00 11.55 115.44 1.50 12.16 124.55 16.0 2.00 13.55 156.67 1.50 14.16 167.25 18.0 2.50 14.93 192.47 1.50 16.16 216.23 20.0 2.50 16.93 244.79 1.50 18.16 271.50 22.0 2.50 18.93 303.40 1.50 20.16 333.06 24.0 3.00 20.32 352.50 2.00 21.55 384.42 27.0 3.00 23.32 459.41 2.00 24.55 495.74 30.0 3.50 25.71 560.59 2.00 27.55 621.20 33.0 3.50 28.71 693.55 2.00 30.55 760.80 36.0 4.00 31.09 816.72 3.00 32.32 864.94 39.0 4.00 34.09 975.75 3.00 35.32 1028.39


173

5.3. PARAFUSOS DE POTÊNCIA

Estes elementos têm como função principal converter movimento circular em

movimento linear de atuadores, máquinas de produção, etc. Apresentam amplas vantagens

mecânicas e podem elevar ou deslocar cargas consideráveis. Para tais aplicações, foram

desenvolvidos novos perfis, com dimensões adequadas e devidamente padronizadas.

5.3.1 Roscas Quadradas, Triangulares e Dente de Serra

O filete de forma quadrada (Figura 5.1 (a)) apresenta a maior resistência e eficiência,

eliminando também qualquer componente radial de força entre a rosca e a porca. Entretanto, é

de fabricação mais complexa, devido a dificuldade de cortar faces paralelas para os filetes.

O filete de forma triangular apresenta um angulo de 29o entre os filetes da hélice

(Figura 5.1 (b)), sendo de fabricação mais simples. Existe uma variação para esta forma, cuja

altura do filete é de 0.3p, enquanto que a forma padrão apresenta altura de 0.5p. A principal

vantagem desta variação é um tratamento térmico mais uniforme. A forma triangular do filete

é uma opção interessante para casos onde os parafusos de potência estejam sujeitos a cargas

em ambas direções, axial e radial.

Se, por outro lado, a carga axial é unidirecional, a melhor escolha é o filete de forma

dente de serra (Figura 5.1 (c)), por apresentar maior resistência na raiz que as demais formas.

Figura 5.1 - Formas de filetes: (a) Quadrado, (b) Triangular e (c) Dente de Serra.

5.3.2 Aplicação de Roscas de Potência

A Figura 5.2 mostra uma possível montagem de uma rosca de potência, utilizada para

elevação de carga. A porca gira sob ação de um torque T, forçando a translação vertical da

rosca, para deslocar a carga P. Naturalmente, devido à carga P, existe um atrito entre a rosca e

a porca, bem como entre a porca e a base, sendo necessário um mancal axial de esferas para

aliviar tais perdas no contato.


174

Outra aplicação de roscas de potência ocorre em aturadores lineares, onde a rotação da

rosca pode ser motorizada, transladando automaticamente a porca.

Figura 5.2 - Rosca de Potência com Filete Triangular.

5.3.3 Análise de Esforços - Força e Torque

Filetes Quadrados: O filete de uma rosca nada mais é que um plano inclinado, o qual

envolve uma superfície cilíndrica, gerando uma hélice. Se uma revolução da hélice for

desenrolada, obterer-se-á o perfil da Figura 5.3 (a), onde o bloco representa a porca

deslizando para cima, em contato com o perfil do filete quadrado no plano inclinado. A

Figura 5.3 (b) representa a porca deslizando para baixo.

Figura 5.3 - Diagrama de Força na Interface Rosca-Porca.


175

Naturalmente, a força de atrito possui sentido contrário ao movimento.

A inclinação do plano da hélice é dada pelo angulo λ:

tanλπ

=L

dp

(5.5)

A somatória de forças em x e y, para a elevação de carga da Figura 5.3 (a):

( )

F F f N F N N

F N

x∑ = − − = − − =

= +

cos sen cos sen

cos sen

λ λ µ λ λ

µ λ λ

0

(5.6)

λµλ

λµλλλ

sen

PN

PNsenNPfsenNFy

−=

=−−=−−=∑

cos

0coscos

(5.7)

Onde: µ = coeficiente de atrito entre a rosca e a porca.

Combinando as expressões (5.6) e (5.7), temos a expressão para a força F:

( )( )F P=

+−

µ λ λλ µ λ

cos sen

cos sen (5.8)

O torque necessário na rosca, para elevar a carga P:

( )( )T F

d Pdsu

p p= =+

−2 2

µ λ λλ µ λ

cos sen

cos sen (5.9)


176

Muitas vezes é mais conveniente expressar (5.9) em função da extensão L, em

substituição ao ângulo λ, dividindo numerador e denominador por cosλ, e mantendo a relação

dada em (5.5):

( )( )T

Pd d L

d Lsu

p p

p

=+

−2

µπ

π µ (5.10)

A expressão (5.10) leva em conta a interface rosca-porca de um filete quadrado,

porém, o mancal axial de esferas também contribui com o torque de atrito:

2c

ccd

PT µ= (5.11)

Onde: dc = diâmetro principal do colar axial e µc = coeficiente de atrito no colar axial.

Note que o torque necessário para superar o atrito no colar pode igualar ou superar o

torque na rosca. O torque total para elevar a carga P, num filete de forma quadrada é:

Tu = Tsu + Tc.

( )( )T T T

Pd d L

d LP

du su c

p p

p

cc= + =

+

−+

2 2

µπ

π µµ (5.12)

Para movimentação da carga P para baixo, pode-se aplicar o mesmo raciocínio para o

torque de atrito Td.

( )( ) 22

cc

p

ppcsdd

dP

Ld

LdPdTTT µ

µπµπ

++

−=+= (5.13)

Filetes Triangulares ou Inclinados: O ângulo radial do filete introduz um fator

adicional nas equações de torque. A força normal entre a rosca e a porca possui angulação em

dois planos: o ângulo de inclinação tangencial da hélice λ, e o ângulo de inclinação do filete


177

triangular α = 14.5o. Analogamente ao caso de filetes de forma quadrada, derivam-se

expressões para torques de movimentação de carga para cima e para baixo:

( )( )T T T

Pd d L

d LP

du su c

p p

p

cc= + =

+

−+

2 2

µπ α

π α µµ

cos

cos (5.14)

( )( ) 2cos

cos

2c

cp

ppcsdd

dP

Ld

LdPdTTT µ

µαπαµπ

++

−=+= (5.15)

O Coeficiente de Atrito, num par rosca-porca lubrificado, é de aproximadamente

015 005. .± . O coeficiente de atrito num mancal axial plano é semelhante ao da rosca, porém,

se um mancal de esferas for utilizado, seu coeficiente de atrito é de cerca 1/10 do valor

anterior para a rosca, ou seja, de 0.01 a 0.02.

Figura 5.4 - Análise de Esforços num Filete Triangular.

Travamento e Afrouxamento

O travamento de uma rosca se refere a condição em que esta não pode ser girada por

aplicação de qualquer magnitude de força externa axial à porca (sem aplicação de torque). Em

outras palavras, o travamento da rosca suporta a carga em sustentação, sem a aplicação de um

torque resistivo, não necessitando de um freio para segurar a carga.

A situação oposta ao travamento ocorre quando a rosca translada-se axialmente devido

a uma carga axial aplicada à porca, a qual provoca a rotação da rosca.

A condição para o travamento de uma rosca de potência ou deslizamento é facilmente

determinada, se o coeficiente de atrito na junção rosca-porca for conhecido. As relações, que


178

envolvem o coeficiente de atrito e o ângulo de inclinação da hélice do filete, determinam a

condição de travamento deste par cinemático.

µπ

α µ λ α≥ ≥L

dp

cos tan cos ou (5.16)

Se o filete é de forma quadrada, α = 0o e cosα = 1.

µπ

µ λ≥ ≥L

dp

ou tan (5.17)

Note que tais relações presumem uma carga aplicada estática. A presença de

vibrações, ou de outras fontes de carga dinâmica, pode fazer com que o travamento da rosca

solte-se e, conseqüentemente, ocorra escorregamento sobre a inclinação do filete.

Eficiência

A eficiência de qualquer sistema é definida como trabalho que sai / trabalho que entra.

O trabalho realizado por uma rosca de potência, é o produto do torque pelo deslocamento

angular (em radianos), para uma revolução da rosca:

TWin π2= (5.18)

O trabalho liberado, numa revolução, é dado pelo produto da carga P pelo avanço L do

filete.

W PLout = (5.19)

Portanto, a eficiência é dada por:

T

PL

W

We

in

out

π2== (5.20)


179

Desprezando o efeito de atrito no mancal axial da Figura 5.2, substitui-se a expressão

(5.14) em (5.20):

eL

d

d L

d Lp

p

p

=−

+ππ α µπµ α

cos

cos

eg

=−

+cos tan

cos cot

α µ λα µ λ

(5.21)

Para uma rosca com filete de forma quadrada, α = 0, então:

eg

=−

+1

1

µ λµ λ

tan

cot (5.22)

A Figura 5.5 mostra o gráfico das curvas de eficiência para um filete triangular, em

função do angulo da hélice do filete (angulo de inclinação do plano da hélice), para diversos

valores do coeficiente de atrito, desprezando o efeito do colar axial.

Figura 5.5 - Eficiência de uma Rosca de Potência de Filete Triangular.


180

Altos coeficientes de atrito reduzem a eficiência do par cinemático rosca-porca.

Quando λ = 0, a inclinação da hélice é nula, não havendo movimento relativo entre rosca e

porca e, portanto, não havendo realização de trabalho, apesar da presença do atrito, o que

implica em eficiência nula. Quando a inclinação da hélice tende a 90o, a eficiência também

tende a zero, pois neste caso, ocorre apenas um aumento na força normal e, portanto, do

atrito, não havendo componente tangencial de magnitude suficiente para girar a porca. Se o

colar axial for considerado, os valores de eficiência serão, naturalmente, inferiores aos da

Figura 5.5.

Roscas de Esferas

Uma redução significante no atrito dos filetes pode ser obtida com o uso de esferas

entre os filetes, gerando, um contato de rolamento com a porca. A forma do filete é adequada

ao ajuste das esferas, sendo estes endurecidos para incrementar sua vida em fadiga de

superfície.

O coeficiente de atrito é semelhante ao de mancais de rolamento convencionais,

situando este tipo de rosca nas duas curvas de topo da Figura 5.5, correspondentes à eficiência

máxima. O baixo atrito destas roscas não permite seu auto-travamento, sendo necessário um

tipo de freio para manter a sustentação da carga. Sua principal aplicação é, portanto, converter

movimento de translação linear em movimento rotativo. Apresentam alta capacidade de

carga, não estando sujeitas ao efeito stick-slip, típico de escorregamento entre superfícies.

5.4. TENSÕES EM FILETES

A aproximação mais conservativa, no cálculo das tensões em filetes, é assumir o pior

caso, onde um par de filetes suporta toda a carga. A consideração extremamente oposta é

distribuir a carga igualmente entre os filetes em contato. O valor verdadeiro de tensão deve

estar situado entre estes dois extremos. Junções e roscas sujeitas a cargas elevadas são

fabricadas em material de alta resistência e dureza, como os aços. Porcas para roscas de

potência, geralmente, são fabricadas deste mesmo material. Por outro lado, as porcas para

junções comuns são confeccionadas em material mais macio, estando seus filetes sujeitos ao

escoamento durante o aperto da rosca. Porcas endurecidas são utilizadas com parafusos de

alta resistência e dureza.


181

5.4.1 Tensão Axial

Uma rosca de potência pode estar sujeita a carregamentos axiais de tração e de

compressão. Uma junta filetada normal, geralmente, está sujeita a tensão axial de tração.

A seção 2.1 cobre o equacionamento necessário para esta análise.

Para compressão em roscas de potência, deve-se verificar as condições de flambagem

de seu comprimento livre, que se muito curto, estará apenas em compressão. Se o

comprimento livre for longo, a flambagem ocorrerá no momento em que a carga axial superar

um determinado valor crítico.

O fator que determina se uma coluna é curta ou longa é a razão de esbeltez Sr.

Sr = lc / k e k I A= (5.23)

Onde: lc = o comprimento da coluna, k = raio de giração, I = menor momento de área

da seção transversal da coluna e A= área da seção transversal.

Assim sendo, para uma coluna longa, deve-se calcular sua carga crítica Pcr.

A Figura 5.6 mostra uma coluna delgada, sob ação de forças de compressão em ambas

extremidades, atuando na área central da coluna. A deflexão lateral da coluna é dada por:

PyM = (5.24)

Por outro lado, para pequenas deflexões da viga, temos a expressão geral da linha

elástica:

2

2

dx

yd

EI

M =− (5.25)

De (5.24) e (5.25) tem-se:

02

2

=+ yEI

P

dx

yd (5.26)

A solução da expressão acima é dada por:

xEI

PBx

EI

PAseny cos+= (5.27)


182

A e B são constantes de integração, que dependem das condições de contorno e do

comprimento efetivo da coluna, os quais são relatados na Tabela 5.4, para cada caso.

Tabela 5.4 - Comprimento Efetivo de Colunas em Flambagem e carga Crítica associada.

Condições de Contorno

Valor Teórico Valor Efetivo Recomendado pela Norma

Valor Efetivo Mais

Conservativo

Carga Crítica Pcr

Extremidade Livre-livre leff = lc leff = lc leff = lc Pcr = π2EA / Sr2

Extremidades articuladas leff = lc leff = lc leff = lc Pcr = π2EA / Sr2

Extremidades Livre-Fixa leff = 2lc leff = 2.1lc leff = 2.4lc Pcr = π2EA / 4Sr2

Extremidades Fixa-

Articulada

leff = 0.707lc leff = 0.80lc leff = lc Pcr = 2π2EA / Sr2

Extremidades Fixas leff = 0.5lc leff = 0.65lc leff = lc Pcr = 4π2EA / Sr2

Figura 5.6 - Flambagem de uma coluna de Euler.

Os valores de leff utilizados para o cálculo de Sr = leff / k, são as relações teóricas da

Tabela 5.4.

5.4.2 Tensão de Cisalhamento

Um modo de falha possível, em cisalhamento, está associado ao efeito de arrancar os

filetes, sejam estes da porca ou da rosca. A área associada a este cisalhamento, para um filete

da rosca, é a área do cilindro de menor diâmetro, dada por:

pwdA irs π= (5.28)


183

Onde: p é o passo do filete, dr é o diâmetro da raiz, e wi é a porcentagem do passo em

contato com metal no seu menor diâmetro (Tabela 5.5).

Para a porca, a área está associada ao seu maior diâmetro em contato com metal (wo).

A d w ps r o= π (5.29)

Tabela 5.5- Fatores de Área para Filetes em Cisalhamento.

Tipo de Filete wi (menor área) wo (maior área) UNS/ISO 0.80 0.88 Quadrado 0.50 0.50 Triangular 0.77 0.63

Dente de Serra 0.90 0.83

A tensão de cisalhamento τs para o filete arrancado é dada por:

τ =F

As

(5.30)

Se a porca é muito longa, a carga necessária para arrancar os filetes, possivelmente

excederá a carga necessária para falhar a rosca por tração. As expressões para ambos modos

de falha podem ser combinadas, estabelecendo um comprimento mínimo da porca, com um

determinado tipo de filete, para o qual a resistência ao cisalhamento da porca supere a

resistência a tração da rosca.

Para filetes UNS/ISO o comprimento da porca Lp = 0.5d , para d < 1 in, responderá a

esta propriedade. Para filetes triangulares em diâmetros maiores, o comprimento mínimo da

porca deve ser de Lp = 0.6 d.

Se a rosca é introduzida num furo cônico, uma seção filetada mais longa é necessária.

Para combinações de mesmo material, recomenda-se Lp = d. Para rosca de aço em ferro

fundido, Lp = 2d.

5.4.3 Tensão Torcional

Quando uma porca é apertada contra uma rosca, ou quando esta porca transmite um

torque a uma rosca de potência, uma tensão torcional pode se desenvolver na rosca. Este


184

torque depende do atrito na interface rosca-porca. O torque aplicado à porca é transmitido em

parte para a rosca, sendo que existe uma fração deste torque que é perdida através do atrito

entre a porca e a base. Quanto mais ameno for o torque perdido por atrito, maior será o torque

transmitido aos filetes da rosca. Portanto, considera-se o pior caso, em que o atrito entre a

porca e a base é mínimo, devido a um colar de esferas, sendo o torque transmitido, em

praticamente toda sua totalidade, aos filetes.

τ π= =Tr

J

T

dr

163 (5.31)

5.5. TIPOS DE JUNÇÕES

As junções podem ser classificadas de diferentes formas: por sua aplicação, pelo seu

tipo de filete, ou pelo estilo de sua cabeça.

5.5.1 Classificação por Aplicação

Parafusos com e sem Porca: Uma mesma junção assume diferentes designações, de

acordo com sua aplicação em particular. Entende-se por parafuso de fixação (Figura 5.7 (a))

uma junção com uma cabeça e um certo comprimento filetado, a ser utilizado com uma porca,

para unir uma montagem rigidamente, ou apenas como parafusos obturadores ou de

ajustagem (Figura 5.7 (b)), quando inseridos dentro de um furo rosqueado não vazado.

Parafuso Prisioneiro: Trata-se de uma junção sem cabeça, filetada em ambas

extremidades, para ser montado de maneira semi-permanente numa extremidade, enquanto a

outra é rosqueada a uma porca removível (Figura 5.7 (c)). Cada extremidade pode apresentar

passos de filetes análogos ou diferentes. A extremidade permanente, normalmente, apresenta

uma classe de ajuste mais alta, de forma a resistir ao afrouxamento durante a remoção da

porca na outra extremidade.


185

Figura 5.7 - Classificação quanto a aplicação: (a) parafusos de fixação, (b) parafusos de ajustagem em máquinas e (c) parafusos prisioneiros.

5.5.2 Classificação por Tipo de Filete

Todas as junções capazes de abrir seus próprios furos, ou fazer seus filetes, são

denominadas roscas cônicas, classificando-se em quatro tipos principais: junções perfurantes

para remoção de material, junções auto-tarrachantes ou de rosca soberba para formação ou

corte de filetes diretamente no material, e as junções de fixação rápida, que são introduzidas

por impacto, sendo retiradas por contra-rosqueamento, formando, assim, os filetes (Figura

5.8).

Figura 5.8- Tipos de Roscas Cônicas.


186

5.5.3 Classificação por Estilo da Cabeça

Muitos estilos diferentes de cabeças são feitos, incluindo as cabeças com fendas retas,

com fendas em cruz ou cabeça Phillips, e as cabeças perfuradas, incluindo as cabeças

hexagonais, serrilhadas, etc. A forma da cabeça pode ser: redonda, meia-redonda ou achatada,

plana ou rebaixada, cilíndrica com calota, oval ou plana com calota, quadrada, etc. As cabeças

com fenda, e as cabeças Phillips, estão classificadas na Figura 5.10, enquanto que as cabeças

perfuradas e serrilhadas, estão esquematizadas na Figura 5.9.

(a) (b) (c) (d) (e)

Figura 5.9 - Tipos de Cabeças Perfuradas.

Figura 5.10 - Tipos de Cabeças com Fenda ou Phillips.

As cabeças com fenda são aplicadas em máquinas de pequena dimensão, pois o torque

a ser transmitido pelas fendas é limitado. As cabeças hexagonais são de aplicação mais

comum em grandes máquinas, onde não há limitação de espaço, suportando níveis bem mais

elevados de torque no aperto do parafuso.


187

5.5.4 Porcas

Existe uma grande variedade de porcas, disponíveis em diversas formas, para várias

aplicações. A porca hexagonal encontra-se disponível nas dimensões padrão e reduzida (ou

achatada), conforme Figura 5.11(a) e (b). A porca castelo é uma variação da forma hexagonal,

cujos entalhes permitem a inserção de um pino tipo coupilha (Figura 5.11 (c)), para evitar que

esta se solte durante a operação da máquina. As porcas hexagonais fechadas com calota

esférica (Figura 5.11 (d)) são utilizadas com propósitos decorativos, e as porcas borboleta,

permitem fácil remoção sem ferramentas (Figura 5.11 (e)).

Um consenso universal é a prevenção do afrouxamento espontâneo da porca, devido a

vibrações. Para tanto, são feitas inserções de Nylon no interior da porca, que deformam

durante o aperto do parafuso, causando o travamento da montagem. Outro recurso são as

porcas cônicas, também chamadas elípticas, bem como a utilização de pinos e flanges de

travamento (Figura 5.12).

(a) hexagonal (b)hexagonal (c) porca castelo reduzida

(d) hexagonal (e) borboleta com calota

esférica

Figura 5.11 - Tipos de Porcas.


188

(a) porca (b) inserção (c) pino de (d) flange de cônica. de nylon. travamento. travamento.

Figura 5.12 - Montagens para travamento de porcas.

Parafusos e roscas, para aplicação estrutural, devem ser selecionados de acordo com

sua resistência de prova mínima, na qual o parafuso inicia um processo de deformação

permanente, sendo próxima, porem inferior, ao limite de escoamento do material do parafuso.

As normas que definem estes valores, para especificação destes elementos, são: SAE, ASTM,

ISSO.

Tabela 5.6 - Especificação SAE para Parafusos de Aço.

Número

de graduação

SAE

Faixa do

diâmetro

externo [in]

Resistência de

Prova Mínima

[kpsi]

Limite de

Escoamento

Mínimo [kpsi]

Resistência a

Tração Mínima

[kpsi]

1 0.25-1.5 33 36 60

2 0.25-0.75 55 57 74

2 0.875-1.5 33 36 60

4 0.25-1.5 65 100 115

5 0.25-1.0 85 92 120

5 1.125-1.5 74 81 105

5.2 0.25-1.0 85 92 120

7 0.25-1.5 105 115 133

8 0.25-1.5 120 130 150

8.2 0.25-1.0 120 130 150


189

Tabela 5.7 - Especificação ISO para Parafusos de Aço.

Número de

Classe

Faixa do

diâmetro

externo [mm]

Resistência de

Prova Mínima

[MPa]

Limite de

Escoamento

Mínimo [MPa]

Resistência a

Tração Mínima

[MPa]

4.6 M5-M36 225 240 400

4.8 M1.6-M16 310 340 420

5.8 M5-M24 380 420 520

8.8 M16-M36 600 660 830

9.8 M1.6-M16 650 720 900

10.9 M5-M36 830 940 1040

12.9 M1.6-M36 970 1100 1220

5.6. JUNÇÕES PRÉ –TENSIONADAS

Uma das primeiras aplicações de parafusos e porcas, é realizar a união de duas partes,

em situações onde a carga aplicada gera um estado de tração no parafuso (Figura 5.13).

É comum, na prática, pré-carregar a junta através do aperto do parafuso, com torque

suficiente, de modo a gerar tensões de tração, cujo valor se aproxime da resistência de prova.

Para montagens tensionadas estaticamente, a tensão de pré-carga chega a 90% da resistência

de prova. Para montagens tensionadas dinamicamente, uma pré-carga de 75% do valor da

resistência de prova pode ser utilizada.

A principal função da pré-carga é que, se o parafuso não rompe durante o aperto,

dificilmente romperá em serviço. A explicação deste comportamento está na interação entre a

elasticidade do parafuso e a elasticidade das partes unidas.

Figura 5.13 - Parafuso Montado sob Tração.


190

Na Figura 5.14, a elasticidade dos materiais da Figura 5.13é substituída por uma mola,

pois quaisquer que sejam os materiais unidos, estes apresentarão uma constante de mola

equivalente, e serão comprimidos durante o aperto do parafuso.

Figura 5.14 - Simulação dos vários estágios de pré-carga.

Na Figura 5.14 (a) , a mola substitui os materiais unidos pela junta filetada, de modo a

possibilitar um estado de compressão exagerado, para melhor visualização do fenômeno. Um

peso de 100 lb é acrescentado à extremidade inferior da rosca, provocando uma contração da

mola.

Sob efeito da força de 100 lb, a mola se contrai, abrindo espaço entre a porca e a base,

para inserção de um bloco de aço (Figura 5.14 (b)), o qual manterá a mola comprimida por

100 lb, mesmo após a retirada do peso acrescentado (Figura 5.14 (c)). A situação assim

descrita, é representativa, como se somente o aperto da rosca provocasse a pré-carga de

compressão de 100 lb na mola. Na Figura 5.14 (d), uma carga de 90 lb é aplicada à rosca, já

pré-tensionada de 100 lb. A pré-carga no parafuso contínua de 100 lb, devido a presença da

inserção de aço, que absorve as 90 lb de carga externa. Se uma carga externa de 110 lb, e não

de 90 lb, for acrescentada à rosca, esta supera a pré-carga de 100 lb, comprimindo ainda mais

a mola e, consequentemente, liberando a inserção de aço. A pré-carga do parafuso passa,

então, a ser de 110 lb (Figura 5.14 (e)). Este esquema ilustra a importância da pré-carga,

especialmente na presença de cargas externas variáveis.


191

Figura 5.15 - Parafuso pré-tensionado, comprimindo um cilindro sujeito a cargas externas.

É importante examinar previamente as cargas, as deflexões e as tensões no parafuso e

no cilindro em precarga, para depois aplicar a carga externa (Figura 5.15).

A constante de mola, para uma barra em tração, é dada por:

δ =Fl

AE (5.32)

kF AE

l= =

δ (5.33)

A junção como um todo, é composta das partes unidas, que podem ser de materiais

diferentes; e do parafuso que, por sua vez, é composto de duas seções longitudinais diversas,

sendo uma parte de seu comprimento lisa e a outra, filetada. Tais seções apresentam

diferentes valores de rigidez, atuando como molas em série, da seguinte forma:

1 1 1 1 1

1 2 3k k k k ktotal n

= + + + +... (5.34)

Para um parafuso de seção circular de diâmetro d, com um comprimento filetado lt,

sendo o comprimento total da junção l, a constante de mola é dada por:


192

1

k

l

A E

l l

A E

l

A E

l

A Eb

t

t b

t

b b

t

t b

s

b b

= +−

= + (5.35)

Onde: Ab é a área total da seção transversal do parafuso, e At é a área sob tensão de

tração do parafuso, sendo ls o comprimento não-filetado.

Para parafusos de até 6 in de comprimento, a porção filetada é padronizada como duas

vezes o diâmetro do parafuso, adicionados de mais ¼. Parafusos mais longos tem mais ¼

adicional de seu comprimento filetado. Parafusos cujo comprimento é menor que a porção

padrão filetada, devem ser filetados até as proximidades de sua cabeça.

Para as geometrias cilíndricas, desprezando as flanges, a constante de mola do material

será:

1 4 41

1 1

2

2 2

1

12

1

2

22

2k

l

A E

l

A E

l

D E

l

D Em m m eff eff

= + = +π π

(5.36)

Onde: Deff é o diâmetro efetivo das áreas comprimidas.

Se os materiais dos cilindros unidos forem iguais:

kD E

lm

eff m=π 2

4 (5.37)

O diâmetro efetivo é uma média entre os diâmetros aproximados das áreas do material,

sucessivamente em compressão efetiva, conforme o esquema abaixo.


193

Figura 5.16 – Estimativa do material comprimido pelo parafuso.

O valor padrão de d2 é proporcional ao diâmetro nominal do parafuso:

d2 = 2.0 d

d3 = d2 + l.tanφ

Deff = (d2 + d3)/2

Para o material:

( )[ ]A D dm eff= −π 2 2 4

5.6.1 Parafusos pré-tensionados sob Carga Estática

A Figura 5.7 mostra as curvas do comportamento força-deflexão, tanto do parafuso

como do material, num sistema de referência comum, cujo comprimento inicial é considerado

a uma deflexão δ igual a zero.


194

Figura 5.17 - Efeitos de pré-tensão no parafuso e no material: (a) Pré-carga e (b) Carga Aplicada.

O coeficiente angular para o parafuso é positivo, pois seu comprimento aumenta com

a carga aplicada. Para o material, o coeficiente angular da reta é negativo, pois sua espessura

diminui com o aumento da carga externa aplicada. A rigidez do material será superior a do

parafuso, pois sua área é, geralmente, maior. As forças atuantes no parafuso e no material são

as mesmas, desde que estes permaneçam em contato. Para uma força de aperto Fi, as

deflexões δb e δm respondem de acordo com as constantes elásticas, atingindo os pontos A e

B.

Nota-se que o parafuso sofre um alongamento superior à compressão do material.

Quando uma carga externa P é aplicada a esta união, uma deflexão adicional ∆δ gera

uma nova situação de carregamento, de igual magnitude para o parafuso e para o material,

desde que a carga externa não seja tão elevada a ponto de causar a separação entre eles.

A carga no material se reduz ao valor de Pm, correspondente ao ponto D da curva de

coordenadas (δm, Fm), enquanto que no parafuso, a carga aumenta para Pb, correspondente ao

ponto C da curva, de coordenadas (δb,Fb).

Da Figura 5.7 (b), temos:

P = Pm + Pb (5.38)

A carga no material será:

Fm = Fi - Pm (5.39)


195

A carga no parafuso será:

Fb = Fi + Pb (5.40)

Como o material tem uma rigidez km, superior a do parafuso kb, o primeiro suporta a

maior parte da carga adicional na junção, enquanto que o parafuso sofrerá apenas uma

pequena variação de alongamento, comparado ao alongamento inicial de pré-carga.

Se a carga externa P for suficientemente elevada, de forma que sua componente Pm

supere o aperto do parafuso, Pm > Fi, ocorrerá a separação da junção e o parafuso assumirá a

totalidade da carga P.

Tal fato motivou a recomendação do pré-tensionamento destas junções como altas

porcentagens do valor da resistência de prova do parafuso.

A deflexão comum entre os elementos da junção filetada é ∆δ:

m

m

b

b

k

P

k

P ==∆δ (5.41)

Pk

kPb

b

mm= (5.42)

PCPkk

kP

bm

bb ⋅=

+= (5.43)

Onde: C = k

k kb

b m+ é a constante de rigidez da junta, tipicamente menor que a

unidade.

Esta relação confirma o fato de que o parafuso assume somente parte da carga P.

Para o material, temos uma análise análoga:

( )PCPkk

kP

bm

mm −=

+= 1 (5.44)

As expressões (5.43) e (5.44) podem ser substituídas dentro de (5.39) e (5.40).


196

( )

CPFF

PCFF

ib

im

+=

−−= 1

(5.45)

A carga Po necessária para separar a junção,é dada para Fm = 0.

( )PF

Ci

0 1=

− (5.46)

O fator de segurança da junção é, portanto, uma relação entre a carga que causa

separação e a carga aplicada P:

( )CP

F

P

PN i

sep −==

10 (5.47)

5.6.2 Parafusos pré-tensionados sob Carga Dinâmica

O valor do pré-tensionamento é maior para sobrecargas dinâmicas, que para carga

externa estática.

Para o mesmo caso da Figura 5.15, consideramos a carga P variável no tempo, entre

um valor mínimo Pmin e um valor máximo Pmax , ambos positivos. A Figura 5.168 mostra o

diagrama de deflexão para carga flutuante.

Figura 5.168 - Efeito de carga flutuante sobre o parafuso e o material da junção.

Uma situação muito comum é quando o valor mínimo é nulo (Pmin = 0). É o caso de

vasos de pressão, onde os esforços flutuam de uma carga nula até um valor máximo.


197

Quando a componente flutuante cai a zero, o diagrama força-deformação é o da Figura

5.168 (a), com somente a componente estática Fi presente no sistema. Quando a carga atinge

um valor máximo, temos o comportamento da Figura 5.168 (b). A carga máxima Pmax é

dividida entre o parafuso e o material, como no caso estático. O parafuso assume apenas parte

do carregamento flutuante, enquanto que o material absorve as variações de oscilação de

carga. Este comportamento reduz drasticamente a tensão de tração alternada no parafuso,

enquanto que a tensão alternada de compressão no material não ocasiona falha por fadiga.

As forças média e alternada no parafuso são:

FF F

altb i=

−2

FF F

meanb i=

+2

(5.48)

Onde: Fb é calculado pela expressão (5.45).

As tensões média e alternada no parafuso são:

σ alt falt

t

KF

A= σ mean fm

mean

t

KF

A= (5.49)

Onde: Kf é o fator de concentração de tensão em fadiga para o parafuso e Kfm é o fator

de concentração de tensão médio, assumindo valor unitário para parafusos pré-tensionados.

A tensão devido à força de aperto é:

σ i fmi

t

KF

A= (5.50)

Tabela 5.8 - Fatores de Concentração de Tensão em Fadiga para Parafusos.

Dureza

Brinell

Graduação

UNS

Classe

ISO

Kf

Filete Rolado

Kf

Filete Usinado

Kf

Filetado

<200 ≤ 2 ≤ 58. 2.2 2.8 2.1

>200 ≥ 4 ≥ 66. 3.0 3.8 2.3


198

As tensões, assim calculadas, devem ser plotadas e comparadas no diagrama de

Goodmann modificado. Para tanto, a resistência à fadiga deve ser corrigida para um

acabamento superficial usinado e confiabilidade 99%, e para carga axial Ccarga = 0.70.

O fator de segurança em fadiga é aquele que considera a variação das tensões média e

alternada, mantendo uma proporção constante entre as mesmas σa / σm = cte. O valor da pré-

tensão deve ser considerado no fator de segurança, atuando a favor do parafuso.

( )( )N

S S

S Sf

e ut i

e m i ut a

=−

− +σ

σ σ σ (5.51)

5.7. CENTRÓIDES DE JUNÇÕES SOLICITADAS POR CISALHAM ENTO

Parafusos são também utilizados para resistir a esforços cortantes, apesar desta

aplicação ser mais comum em projetos estruturais que em projetos de máquinas. Estruturas

metálicas de construções e pontes são, geralmente, unidas por parafusos de alta resistência e

pré-tensionados (ou ainda, uniões soldadas ou rebitadas).

No projeto de máquinas, onde são exigidas tolerâncias mais estreitas, não é de boa

prática utilizar uniões por parafusos para suportar partes de máquinas sujeitas ao

cisalhamento.

Os furos para inserção de parafusos são, necessariamente, realizados com uma certa

folga de montagem. Se duas placas, sujeitas ao cisalhamento, são unidas por quatro parafusos,

tais folgas não permitirão uma distribuição uniforme da carga nos quatro parafusos.

Provavelmente, apenas dois parafusos sustentariam toda a carga, enquanto os demais não

estariam em contato adequado com o material.

A solução ideal, em projeto de máquinas, é a combinação de parafusos de fixação com

pinos rebitados (dowel pins), cuja folga de montagem é mínima, garantindo excelente

precisão de montagem transversal, e capacidade de carga, em cisalhamento, muito elevada.

Assim, os parafusos sustentariam, prevalentemente, as cargas de tração, enquanto os

pinos rebitados sustentariam as cargas de cisalhamento.

A montagem ideal, para estes casos, é a da Figura 5.179.


199

Figura 5.179 - Junção parafusada e com pinos de precisão em cisalhamento.

Pinos de precisão apresentam tolerâncias muito estreitas, da ordem de in0001.0± de

variação proporcional ao diâmetro, com acabamento superficial fino e geometria cilíndrica.

Sua dureza é da ordem de 40-48 HRC. Estes componentes são, geralmente, ajustados sob

pressão na parte inferior da junção, sendo introduzido com tolerância muito pequena na parte

superior. Os furos para os pinos são realizados com diâmetro inferior, servindo apenas para

direcionar a montagem.

Assim, a montagem tem a vantagem da precisão de posicionamento, sem perder a

possibilidade da desmontagem e remontagem igualmente precisa.

Para um arranjo geométrico de um grupo de junções, é necessária a localização do

centróide do grupo para proceder com a análise de esforços.

As coordenadas para o centróide são:

~ ~xA x

Ay

A y

A

i i

n

i

n

i i

n

i

n= =∑∑

∑∑

1

1

1

1

(5.52)

Onde: n é o número de junções, i está associado a uma determinada junção, Ai é a área

da seção transversal da i-ésima junção, e (xi, yi) são as coordenadas das junções.


200

Determinação do Cisalhamento nas junções

A Figura 5.20 mostra uma junção em cisalhamento com uma carga excêntrica

aplicada.

Figura 5.20 - Junção em cisalhamento, excentricamente carregada.

Assume-se que os quatro pinos de precisão suportarão toda carga de cisalhamento.

O carregamento excêntrico P pode ser substituído por uma carga P atuando no

centróide da junção, associada a um momento M em torno do mesmo centróide (Figura 5.21).

Figura 5.181 - Análise de Esforços numa Junção Excentricamente Carregada.


201

A força P, transferida ao centróide, gera reações iguais (F1) em cada pino. Uma

segunda força, de igual magnitude (F2), atua em cada pino, devido ao momento fletor, em

diferentes direções.

FP

ni1 = (5.53)

∑∑ ==

==n

j j

in

j j

ii

r

Plr

r

MrF

1

2

1

22 (5.54)

A força total Fi, em cada pino, será a soma vetorial das forças F1i e F2i.

A tensão de cisalhamento é dada por:

τ ss

F

A= (5.55)

A tensão de cisalhamento será comparada a resistência ao cisalhamento do material,

Sys = 0.577Sy, conforme Tabela 5.9.

Tabela 5.9 - Resistência ao Cisalhamento para Pinos de Precisão.

MATERIAL Sys [kpsi]

Aço baixo-carbono 50

Aço 40-48HRC 117

Aço resistente a corrosão 83

Latão 40

ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI

201

CAPÍTULO VI MOLAS 6.1. INTRODUÇÃO

Virtualmente, qualquer parte feita de um material elástico tem uma certa rigidez. O

termo mola, no contexto deste capítulo, refere-se às peças feitas em configurações específicas

para promover uma variação de força, correspondente à uma deflexão significativa, e/ou para

armazenar energia potencial. Molas são projetadas para promover uma força que puxa,

empurra ou retorce (torque), ou para armazenar energia, e podem ser divididas nestas quatro

categorias gerais.

Dentro de cada categoria, muitas configurações de molas são possíveis.

As molas devem ser feitas de um arame circular ou retangular inclinado em uma forma

própria, tal como um enrolamento; ou ainda planas carregadas como uma viga.

Muitas configurações padronizadas de molas estão disponíveis, como itens de estoque,

em catálogos de fabricantes de molas. É mais econômico para o projetista, utilizar uma mola

disponível no estoque do que projetar uma mola, caso seja possível. Algumas vezes, é

necessário projetar a mola. Molas projetadas sob encomenda realizam funções secundárias,

como a localização e a fixação de outras peças. Em qualquer um dos casos, o projetista deve

compreender e utilizar devidamente a teoria de projeto de molas para especificar ou projetar a

mola.

A tabela 6.1 mostra as variáveis utilizadas neste capítulo e suas respectivas unidades.


202



A área in2 m2 Ccarga fator de carregamento adimensional adimensional Cconf fator de confiabilidade adimensional adimensional Ctam fator de tamanho ou dimensões adimensional adimensional Csup fator de acabamento superficial adimensional adimensional


C índice de rigidez da mola adimensional adimensional

d diâmetro do arame in m

Di diâmetro interno in m

Do diâmetro externo in m

D diâmetro médio da espira in m


F força ou carga lb N

Fa força alternada lb N

Fi força de pre-carga inicial lb N

Fm força média lb N

Fmax força máxima flutuante lb N

Fmin força mínima flutuante lb N

fn freqüência natural Hz Hz

h altura do cone in m

g aceleração da gravidade in / s2 m / s2

G modulo de cisalhamento psi Pa


kb rigidez do parafuso lb / in N / m

Kb fator de Wahl-flexão adimensional adimensional

Kc fator de curvatura adimensional adimensional

Ks fator de cisalhamento direto adimensional adimensional

Kw fator de Wahl-torção adimensional adimensional

Lb comprimento do corpo-mola de

extensão in m

Lf comprimento livre-mola de

compressão in m

Lmax comprimento da espira in m

Ls altura mínima-mola de compressão in m


203

M momento lb-in N-m

N número de ciclos adimensional adimensional

Nfs fator de segurança em fadiga-torção adimensional adimensional

Nt numero total de espiras adimensional adimensional

Na numero de espiras ativas adimensional adimensional

Nfb fator de segurança em fadiga-flexão adimensional adimensional

Ns fator de segurança em escoamento

estático adimensional adimensional

r raio in m

R razão de tensão adimensional adimensional

Rd razão de diâmetro adimensional adimensional

RF razão de força adimensional adimensional

Ses, , Se limite de resistência a fadiga para

torção e flexão psi Pa

Sfs , Sf resistência a fadiga para torção e

flexão psi Pa

Sfw , Sew resistência a fadiga torcional do

arame psi Pa

Sfwb ,Sewb resistência a fadiga por flexão do

arame psi Pa


Sms resistência média torcional a 1000

ciclos psi Pa

Sut máxima resistência a tração psi Pa Sus máxima resistência ao cisalhamento psi Pa

Sys limite de resistência ao escoamento

por cisalhamento psi Pa

t espessura in m

T torque lb-in N-m

y deflexão in m

W peso lb N

υ coeficiente de Poisson adimensional adimensional

θ deflexão angular-torção rad rad

γ densidade de peso lb / in3 N / m3

ωn freqüência natural rad/s rad/s




204

6.1.1 Rigidez da Mola

Independentemente da configuração da mola, ela terá uma rigidez k, definida como a

inclinação da sua curva força-deflexão. Se a inclinação for constante, a rigidez pode ser

definida como:

y

Fk = (6.1)

Onde: F é a força aplicada e y a deflexão.

Como a função de deflexão pode sempre ser determinada para qualquer geometria e

carregamento conhecidos, e sendo a função de deflexão expressa como uma relação entre a

carga aplicada e a deflexão, esta pode ser sempre rearranjada algebricamente para expressar k

conforme (6.1).

A rigidez da mola pode ser um valor constante (mola linear) ou pode variar com a

deflexão (mola não-linear). Ambas têm suas aplicações, mas, freqüentemente, deseja-se uma

mola linear para melhor controlar a carga aplicada. Muitas configurações de mola possuem

rigidez constante, e poucas possuem rigidez nula (força constante).

Quando várias molas são combinadas, a rigidez resultante depende da montagem das

molas ser em série ou em paralelo. Nas combinações em série, a mesma força passa por todas

as molas, e cada uma contribui com uma fração da deflexão total, como mostrado na figura

6.1(a). Nas molas em paralelo, todas apresentam a mesma deflexão, e a força total divide-se

entre cada uma das molas, conforme a figura 6.1 (b).

Figura 6.1 - Montagens de Molas (a) em série e (b) em paralelo.

k3

k2

k1

x3

x2

x1 F

k1 k2

x

F1 + F2 + F3


205

Para molas em paralelo, a rigidez de cada uma das molas é adicionada diretamente:

kTOTAL = k1 + k2 + k3 + ... + kn (6.2)

Para molas em série, a rigidez de cada uma das mola é adicionada reciprocamente:

1 1 1 1 1

1 2 3k k k k ktotal n

= + + + +... (6.3)

6.1.2 Configurações de Molas

Molas podem ser divididas em categorias de diversas formas, como através de sua

configuração física. A Figura 6.2 mostra uma seleção de configurações de molas. As formas

das molas de arame podem ser em compressão, tração, ou torção helicoidal. Exemplos de

molas planas são as cantoneiras, ou vigas apoiadas. Molas em forma de arruela são

disponíveis em vários estilos: mola prato, curva, ondulada, com garras, com fendas, etc.

Molas espirais são encontradas em motores de relógios, ou molas de força constante.

A figura 6.2 (a) mostra cinco formas de molas helicoidais de compressão. Todas

proporcionam uma força que empurra e são capazes de largas deflexões. Aplicações comuns

são molas de retorno de válvula em motores. A forma padrão de molas helicoidais de

compressão tem um diâmetro de enrolamento constante, passo constante (distância axial entre

os enrolamentos), e rigidez constante. A maioria das molas é feita de arame circular, podendo

ser também fabricadas em arame retangular. O passo pode ser variado, gerando uma rigidez

variável. Os enrolamentos de razão mais baixa se fecham primeiro, aumentando a rigidez

efetiva quando se tocam.

Molas cônicas podem ser feitas com uma rigidez constante, ou uma rigidez que

aumenta gradativamente. Sua rigidez usualmente é linear, aumentando com a deflexão, pois

os enrolamentos de menor diâmetro têm maior resistência à deflexão, enquanto que os

enrolamentos maiores sofrem deflexão primeiro. Variando o passo do enrolamento, pode-se

obter uma rigidez quase constante. A principal vantagem da forma cônica é a de se fechar

com uma altura tão pequena como o diâmetro do arame. Molas em forma de barril e em forma

de ampulheta podem ser entendidas como duas molas cônicas, postas uma contra a outra,

apresentando também uma rigidez não-linear. Tais formas são usadas para alterar a freqüência

natural da mola no formato padrão.


206

A figura 6.2 (b) mostra uma mola helicoidal de tração, com um gancho em cada

extremidade, proporcionando uma força que puxa ou traciona, e capaz de grandes deflexões.

Estas molas são comumente utilizadas em mecanismos de fechar portas. O gancho é mais

solicitado que as espiras e, geralmente, falha primeiro. Qualquer elemento suspenso pelo

gancho falhará quando a mola de extensão quebrar, fazendo deste tipo de mola um projeto

potencialmente inseguro.

A figura 6.2 (c) mostra uma mola do tipo barras invertidas, que supera tal problema

através da utilização de uma mola helicoidal de compressão em modo de tração. As barras

invertidas comprimem a mola, e caso esta quebre, ainda suportará a carga com segurança. A

figura 6.2 (d) mostra uma mola helicoidal de torção, que é enrolada de modo similar à mola

helicoidal de tração, sendo, porém, solicitada em torção (torque). Aplicações comuns são

portas de garagem e ratoeiras.

A figura 6.2 (e) mostra cinco tipos comuns de molas do tipo arruela. Todas trabalham

em compressão, e são comumente utilizadas para solicitar algum elemento axialmente, tal

como encurtar o jogo de extremidade em um mancal. Têm deflexões pequenas e, exceto pela

mola prato, podem somente suprir pequenas cargas. A mola espiral, mostrada na figura 6.2

(f), trabalha em compressão, apresentando, porém, atrito significativo e histerese.

A figura 6.2 (g) mostra três tipos de molas do tipo viga. Qualquer tipo de viga pode

servir como uma mola. Cantoneiras e vigas simplesmente apoiadas são as mais comuns. Uma

viga pode ter largura constante, ou forma trapezoidal, conforme o exemplo. A rigidez e a

distribuição dos esforços podem ser controladas com mudanças na largura da viga, ou em seu

comprimento. Os carregamentos podem ser altos, mas as deflexões são limitadas.

A figura 6.2 (h) mostra um tipo de mola de potência, também chamada mola de motor

ou mola de relógio. É basicamente utilizada para armazenar energia e promover torção.

Relógios de corda e brinquedos utilizam este tipo de mola.

A 6.2 (i) mostra uma mola de força constante (Negátor) usada para contrabalancear

carregamentos, como no retorno do carro, em máquinas de escrever, e para fazer motores de

corda com torque constante. Proporcionam grandes deflexões com uma força quase constante

(rigidez nula).


207

RigidezConstante

RigidezVariável

Forma deBarril

Forma deAmpulheta

HelicoidalCônica

(a) Molas Helicoidais de Compressão.

(b) Mola Helicoidal de Tração (c) Mola de Barras Invertidas (d) Mola de Torção

Mola Prato Ondulada Com fendas Com garras Curva

(e) Molas Tipo Arruela.

(f) Mola Espiral. (g) Mola Plana Tipo Viga. (h) Mola de Motor oude Potência.

(i) Mola deForça Constante.

Figura 6.2 - Principais configurações de molas.

6.1.3 Materiais para Molas

Há um número limitado de materiais e ligas utilizáveis para a fabricação de molas. O

material ideal para uma mola deve apresentar elevada resistência, alto limite de escoamento, e

um baixo módulo de elasticidade, para proporcionar máximo armazenamento de energia (área

sob a região elástica da curva tensão- deformação). Para molas solicitadas dinamicamente, as

propriedades de resistência à fadiga do material são de importância básica. Alta resistência e

alto ponto de escoamento são possíveis para aços de médio a alto carbono e para ligas de aço,


208

sendo que estes são os materiais mais comuns para molas, apesar de seu alto módulo de

elasticidade. Algumas poucas ligas de aço inoxidável são usadas para molas, assim como

berílio-cobre e fósforo-bronze, entre as ligas de cobre.

A maior parte das molas de baixa solicitação é feita de arame conformado a frio,

circular, retangular, ou de lâminas finas laminadas a frio. Molas de elevada solicitação, como

partes de suspensão de veículos, são feitas a partir de material laminado a quente ou forjado.

Materiais para molas são normalmente tratados termicamente, para atingir a resistência

desejada. Pequenas seções transversais são endurecidas durante o processo de conformação a

frio. Seções largas são tipicamente tratadas termicamente. Tratamentos térmicos de baixa

temperatura (175-510° C) são utilizados após a conformação, para aliviar tensões residuais e

estabilizar as dimensões, mesmo em regiões de pequena seção. Tratamentos de alta

temperatura e têmpera são utilizados para endurecer molas maiores.

Arame para Mola

Arame circular é, seguramente, o material mais comum para molas. É disponível em

uma seleção de ligas, em uma faixa extensa de diâmetros. Arame retangular é disponível

somente em tamanhos limitados. Os diâmetros de arame, comumente disponíveis em estoque,

são mostrados na tabela 6.2, com uma identificação das faixas disponíveis para as ligas de aço

mais comuns, identificadas pelo código ASTM. O projetista deve tentar utilizar estes padrões,

para melhor custo e disponibilidade, embora outros também sejam fabricados.

Tabela 6.2 - Diâmetros de Arame mais comuns.

Ips (in) A228 A229 A227 A232 A401 SI (mm) 0,004 X 0,10 0,005 X 0,12 0,006 X 0,16 0,008 X 0,20 0,010 X 0,25 0,012 X 0,30 0,014 X 0,35 0,016 X 0,40 0,018 X 0,45 0,020 X X 0,50 0,022 X X 0,55 0,024 X X 0,60 0,026 X X 0,65 0,028 X X X 0,70


209

0,030 X X X 0,80 0,035 X X X X 0,90 0,038 X X X X 1,00 0,042 X X X X 1,10 0,045 X X X X 0,048 X X X X 1,20 0,051 X X X X 0,055 X X X X 1,40 0,059 X X X X 0,063 X X X X X 1,60 0,067 X X X X X 0,072 X X X X X 1,80 0,076 X X X X X 0,081 X X X X X 2,00 0,085 X X X X X 2,20 0,092 X X X X X 0,098 X X X X X 2,50 0,105 X X X X X 0,112 X X X X X 2,80 0,125 X X X X X 3,00 0,135 X X X X X 3,50 0,148 X X X X X 0,162 X X X X X 4,00 0,177 X X X X X 4,50 0,192 X X X X X 5,00 0,207 X X X X X 5,50 0,225 X X X X X 6,00 0,250 X X X X X 6,50 0,281 X X X X 7,00 0,312 X X X X 8,00 0,343 X X X X 9,00 0,362 X X X X 0,375 X X X X 0,406 X X X 10,0 0,437 X X X 11,0 0,469 X X 12,0 0,500 X X 13,0 0,531 X X 14,0 0,562 X X 15,0 0,625 X X 16,0


210

Resistência à Tração

A relação entre o diâmetro do arame e a resistência à tração é mostrada na figura 6.3.

Quando os materiais têm uma seção transversal muito pequena, começam a se aproximar dos

altos níveis teóricos de resistência de suas ligações atômicas. Logo, a resistência à tração de

arames de aço muito finos torna-se muito elevada. O mesmo aço que rompe a 200.000 PSI,

em uma amostra de 0,3 in (7,4 mm) de diâmetro, pode suportar quase duas vezes esta carga,

após ser trefilado para 0,010 in (0,25mm). O processo de conformação à frio é responsável

por endurecer e aumentar a resistência do material, ao custo de grande parte de sua

ductilidade.

A figura 6.3 é um gráfico semi-log da resistência do arame vs. o diâmetro, baseado em

extensivos testes da Associated Spring, Barnes Group Inc.

Figura 6.3 - Resistência Mínima de tração para arames de molas.

Os dados, para cinco dos materiais mostrados na figura, podem ser ajustados com boa

precisão através de uma função exponencial na forma:

S A dutb= . (6.4)

Diâmetro do Arame (in)

Diâmetro do Arame (mm)


211

Onde: A e b são definidos na Tabela 6.3 para estes materiais de arames, sobre as faixas

especificadas de diâmetros. Estas funções empíricas proporcionam meios convenientes de se

calcular a resistência à tração para aços, num programa de computador para projeto de molas,

e permite rápidas iterações para a solução apropriada. A figura 6.4 mostra um gráfico destas

funções de resistência empíricas, para mostrar, em eixos lineares, a mudança na resistência

com a redução do diâmetro.

Figura 6.4 - Resistência a Tração Mínima para Arames de Aço.

Tabela 6.3 - Coeficientes para Equação (6.4).

FAIXA Coeficiente A

ASTM Material mm in b MPa psi Correlação A227 trabalhado

a frio 0,5-16,0 0,020-

0,625 -0,1822 1753,3 141040 0,998

A228 corda musical

0,3-6,0 0,010-0,250

-0,1625 2153,5 184649 0,9997

A229 Tempera-do e

revenido em óleo

0,5-16,0 0,020-0,625

-0,1833 1831,2 146780 0,999

A232 Cromado 0,5-12,0 0,020-0,500

-0,1453 1909,9 173128 0,998

A401 Cromado 0,8-11,0 0,031-0,437

-0,0934 2059,2 220779 0,991

Diâmetro do Arame (mm)

Diâmetro do Arame (in)


212

Resistência ao Cisalhamento

Testes práticos determinaram uma estimativa razoável da resistência a torção, de

materiais comuns para molas, de 67% da resistência à tração.

Sus ≈ 0,67 Sut (6.5)

6.1.4 Molas Planas

Lâminas de aço de médio e alto carbono são o material mais comumente utilizado para

molas planas (vigas), molas espirais, molas de potência, molas do tipo arruela, etc. Quando

resistência à corrosão é necessária , ligas de aço inoxidável (301, 302, e 17-7ph), berílio-

cobre, ou fósforo-bronze, são também utilizadas para molas planas.

Aço laminado à frio AISI 1050, 1065, 1074 e 1095 são as ligas mais utilizadas para

molas planas. Estão disponíveis, submetidas à pre-tempera, em um endurecimento de ¼ , ½ ,

¾ ou total. Aço totalmente endurecido pode ser modelado em contornos suaves, mas não

podem ser curvados com pequenos raios. A vantagem de modelar aço pré-tratado é evitar a

distorção, provocada pelo tratamento térmico, da parte modelada.

O processo de laminação à frio cria “fibras” no material, análogas (embora menos

pronunciadas ) às fibras da madeira. Assim como a madeira se rompe, se forçada ao longo de

suas fibras, o metal não permite espiras de pequenos raios ao longo de suas “fibras”. As fibras

se formam na direção de laminação, o que, para este tipo de mola, é ao longo do eixo axial.

Se espiras ortogonais são necessárias, as fibras devem ser orientadas a 45° em relação

as espiras. Um fator de enrolamento adimensional 2r/t (onde r é o raio da espira e t a

espessura do material da mola) é definido, para indicar a conformabilidade relativa do

material utilizado. Baixos valores de 2r/t indicam alta conformabilidade. Aço com

endurecimento total ou de ¾, irá fraturar se fletido ao longo das fibras.

Aço para a fabricação de molas planas é produzido com uma dureza especifica, que se

relaciona a sua resistência a tração. Qualquer dos níveis de carbono, notificados nos aços para

molas AISI, podem ser endurecidos para valores dentro de uma faixa permitida, o que

significa que a dureza final, mais do que a quantidade de carbono, é o fator determinante para

a resistência a tração. A tabela 6.4 mostra valores de resistência, dureza, e fatores de

enrolamento, para alguns materiais comuns para molas planas.


213

Tabela 6.4 - Propriedades dos Materiais para Molas Planas.

Material Sut MPa (kpsi)

Dureza RC

Alongamento %

Fator de Flexão

E GPa(Mpsi)

Coeficiente de Poisson

Aço p/mola

1700(246) C50 2 5 207(30) 0,30

Inoxidável 301

1300(189) C40 8 3 193(28) 0,31

Inoxidável 302

1300(189) C40 5 4 193(28) 0,31

Monel 400 690(100) B95 2 5 179(26) 0,32 Monel K500

1200(174) C34 40 5 179(26) 0,29

Inconel 600

1040(151) C30 2 2 214(31) 0,29

Inconel X-750

1050(152) C35 20 3 214(31) 0,29

Berilio-Cobre

1300(189) C40 2 5 128(18.5) 0,33

Ni-Span-C 1400(203) C42 6 2 186(27) - Latão

CA260 620(90) B90 3 3 11(1.6) 0,33

Fosforo-Bronze

690(100) B90 2 2.5 103(15) 0,20

17-7PH RH950

1450(210) C44 6 plano 203(29.5) 0,34

17-7PH Cond.C

1650(239) C46 1 2.5 203(29.5) 0,34

A figura 6.5 mostra o raio mínimo de flexão que o aço para molas planas pode

suportar, transversalmente às fibras. Três faixas de resistências para aços são mostradas, como

bandas que dependem da espessura e da dureza do material. As linhas horizontais representam

o raio mínimo de flexão, para a dureza do aço numa certa espessura. Interpolação de valores

pode ser feita entre as linhas ou bandas.

6.1.4.1 Feixe de Molas

As molas planas têm como configuração mais comum, o feixe de molas; sendo,

geralmente, montadas como vigas apoiadas, nas formas: um quarto de elipse, semi-elíptica, ou

ainda, totalmente elíptica. Uma leve curvatura é necessária na montagem, principalmente para

a montagem elíptica. O elemento básico deste tipo de mola plana, é a viga de comprimento L,

engastada numa das extremidades, com uma forca F aplicada na extremidade livre. As demais


214

configurações são combinações da forma básica. A forma semi-elíptica é uma montagem em

paralelo de dois elementos básicos (uma quarto de elipse). A elipse completa é uma

montagem de quatro formas básicas, num arranjo série-paralelo.

Figura 6.5 - Razão de flexão mínima transversal.

3

3

3

6

6

Ebh

FL

bh

FL

=

=

δ

σ

3

3

3

6

6

Ebh

FL

bh

FL

=

=

δ

σ

3

3

2

12

6

Ebh

FL

bh

FL

=

=

δ

σ

(a) ¼ de elipse (b) semi - elíptica (c) elíptica

Figura 6.6 - Formas Principais de Molas Planas.

L F L L F F

2F

2F

L L

2F

Esp

essu

ra

(in)

Esp

essu

ra

(mm

)

Dureza Rochwell HRC


215

Uma outra configuração, de ampla aplicação pratica, é a mola plana com distribuição

de tensão constante na seção da viga. A figura 6.7 mostra uma viga de tensão constante, com

largura ω (x) e espessura t (x), variáveis ao longo da viga.

2

6

t

Fx

I

Mc

ωσ ==

Figura 6.7 - Viga de tensão constante.

Para que as tensões de flexão sejam uniformes, ao longo da mola de espessura h

constante, a largura w(x) deve variar linearmente com x, resultando num perfil superior de

forma triangular (figura 6.8 (a)). Sob o mesmo ponto de vista, para uma largura b constante, a

espessura t(x) deve variar parabolicamente com x (figura 6.8 (b)).

Figura 6.8 - Viga de tensão constante: (a) triangular, (b) parabólica.

Por outro lado, a tensão constante pode ser obtida pela variação de ambos os

parâmetros w (x) e t (x), conceito este aplicado aos feixes de molas para automóveis.

L

x

b

h

t

ω

F

L

b

h

F

(a)

h

b

L

F

(b)


216

Figura 6.9 - Feixe de Molas.

Para o caso acima, em montagem semi - elíptica:

3

33

2

6

2 e

6

Ebh

FL

EI

FL

bh

FL === δσ (6.6)

A constante de rigidez será:

3

3

6L

EbhFk ==

δ (6.7)

6.2. MOLAS HELICOIDAIS DE COMPRESSÃO

A mola helicoidal de compressão mais comum é a de diâmetro de espiras constante,

passo constante e arame circular, conforme mostrado na figura 6.2 (a). Considera-se este tipo

como a mola helicoidal de compressão padrão (HCS). Outras configurações são possíveis,

como cônicas, em forma de barril, em forma de ampulheta, e de passo variável, conforme

figura 6.2. Todas proporcionam uma força que comprime, ou empurra, o elemento associado.

Uma mola helicoidal pode ter a orientação do enrolamento tanto esquerda como

direita.

Alguns tipos de molas, e parâmetros dimensionais para uma mola helicoidal de

compressão padrão, são mostradas na figura 6.10. O diâmetro do arame é d, o diâmetro médio

da espira é D, e estas duas dimensões, juntamente com o comprimento livre Lf e o número de

b

Mola Plana Triangular

Feixe de Molas Equivalente

b/ n

1

n

1 n

1

n


217

espiras Nf, ou o passo das espiras p, são usados para definir a geometria da mola, com

propósitos de cálculo e construção. O diâmetro externo Do e o diâmetro interno Di são de

interesse básico para definir a dimensão mínima do furo no qual o componente pode ser

encaixado, ou o diâmetro máximo do pino, sobre o qual a mola pode ser montada. Estas

dimensões são encontradas, adicionando ou subtraindo o diâmetro do arame d do diâmetro

médio das espiras D. As folgas diametrais mínimas recomendadas entre Do e um furo, ou

entre Di e um pino, são 0,10 D para D < 0,5 in (13 mm) ou 0,05 D para D > 0,5 pol (13 mm).

Número de espiras = Nt

(a)

L f D

Do

D

d

p

(b)

Figura 6.10 - Parâmetros Dimensionais para Molas Helicoidais de Compressão.

6.2.1 Comprimento da Mola

Molas de compressão têm muitos comprimentos e deflexões de interesse, como

mostrado na figura 6.11. O comprimento livre Lf é o comprimento total da mola sem carga, ou

seja, como fabricada. O comprimento montado La é o comprimento após a instalação, com a

deflexão inicial yinicial. Esta deflexão inicial, em combinação com a rigidez da mola k,

determina a intensidade da pré-carga de montagem. A carga de trabalho é aplicada com a

compressão posterior da mola, na faixa de deflexão de trabalho y. O comprimento mínimo de

trabalho Lm é a menor dimensão na qual a mola é comprimida durante o serviço. A altura de

fechamento, ou altura sólida Ls , é o seu comprimento quando comprimida de tal modo que as

espiras estejam em contato. O contato permitido ycontato é a diferença entre o comprimento

mínimo de trabalho (Lm) e a altura de fechamento (Ls), expresso como uma porcentagem da

deflexão de trabalho. Um contato mínimo, de 10-15% da deflexão de trabalho y, é

recomendado, para evitar a altura de fechamento durante o serviço, em molas fora de

tolerância, ou com deflexões excessivas.


218

Figura 6.11 - Comprimentos de uma Mola Helicoidal de Compressão.

6.2.2 Detalhes de Construção das Extremidades

Há quatro tipos de detalhes finais, disponíveis para molas helicoidais de compressão:

plana, plana nivelada, quadrada, e quadrada nivelada, conforme mostrado na figura 6.12.

Extremidades retas resultam de simplesmente cortar as espiras, e deixar as extremidades com

o mesmo passo que o restante da mola. Este é o detalhe final mais barato, porém proporciona

um alinhamento deficiente com a superfície contra a qual a mola é pressionada.

As espiras das extremidades podem ser planas e perpendiculares ao eixo axial da mola,

para proporcionar superfícies normais para a aplicação de carga. Uma superfície plana na

extremidade do enrolamento, de pelo menos 270°, é recomendada para operação adequada.

Extremidades quadradas e usinadas, proporcionam uma superfície plana de 270-330° para a

aplicação de carga. É o processo de acabamento mais caro, sendo, entretanto, recomendado

para molas de máquinas, a não ser que o diâmetro do arame seja muito pequeno (d < 0,02 in

ou 0,5 mm), quando as extremidades devem ser apenas quadradas.

Figura 6.12 - Acabamento para Molas Helicoidais de Compressão.

Comprimento Livre de Montagem de Trabalho Mínimo

Sem Carga Pré-Carga

Carga

Máxima Carga Indefnida

Na = Nt Na = Nt – 1 Na = Nt – 2 Na = Nt – 2 (a) (b) (c) (d) Extremidades Planas Planas Niveladas Quadradas Planas Quadradas


219

6.2.3 Espiras Ativas

O número de espiras Nt pode ou não contribuir ativamente para a deflexão da mola,

dependendo do acabamento da extremidade. O número de espiras ativas Na é necessário para

os propósitos de cálculo. Extremidades quadradas efetivamente removem duas espiras da

deflexão ativa. A usinagem, por si mesma, remove uma espira ativa. A figura 6.12 mostra a

relação entre o número total de espiras Nt e o número de espiras ativas Na, para cada uma das

quatro condições relativas às extremidades. O número calculado de espiras ativas é,

usualmente, arredondados para múltiplos de ¼ de espiras, já que o processo de fabricação não

pode atingir precisão melhor.

6.2.4 Índice de Mola

O índice de mola C é a razão entre o diâmetro médio da espira D, e o diâmetro do

arame d:

C = D / d (6.8)

A faixa recomendável de C é de 4 a 12.

Para C < 4, é difícil construir a mola, e para C > 12, as espiras da mola podem se

emaranhar.

6.2.5 Deflexão da Mola

A figura 6.13 mostra uma porção de mola helicoidal, com carga axial compressiva

aplicada. Embora a carga sobre a mola seja de compressão, o arame está em torção, já que a

carga em qualquer espira tende a torcer o arame sobre seu eixo.

Um modelo simplificado deste carregamento, desprezando a curvatura do arame, é

uma barra em torção. Uma mola helicoidal em compressão é, na verdade, uma barra em

torção, acomodada numa forma helicoidal.

A deflexão de uma mola helicoidal de compressão, de arame circular, é:

yF D N

d Ga=

8 3

4

. . .

. (6.9)


220

Onde: F é a carga axial aplicada na mola, D é o diâmetro médio das espiras, d é o

diâmetro do arame, Na é o número de espiras ativas, e G é o módulo de elasticidade

transversal do material.

D

2 F

T

Fd

F

T

F

Figura 6.13 - Diagrama de Forças e Torques nas Espiras.


A equação para a rigidez da mola é encontrada rearranjando a equação da deflexão:

kF

y

d G

D Na

= =4

38

.

. . (6.10)

A mola helicoidal de compressão padrão tem uma rigidez k essencialmente linear,

sobre a maior parte de sua faixa de operação, conforme figura 6.14.

Quando a mola atinge sua altura de fechamento Ls, todas as espiras estão em contato, e

a rigidez da mola aproxima-se do módulo de elasticidade do material.

A rigidez da mola deve ser definida entre 15% e 85% de sua deflexão total, e sua faixa

de deflexão de trabalho (La-Lm) , mantida nesta região.

Força

%Deflexão y

k

0 15 85 100

Figura 6.14 - Curva Força X Deflexão.


221

6.2.7 Esforços em Molas Helicoidais de Compressão

O diagrama de corpo livre, mostrado na figura 6.13, ilustra duas componentes de

solicitação, em qualquer seção de uma espira: uma tensão de cisalhamento torcional, devido

ao torque T, e uma tensão de cisalhamento direto, devido à força F.

Ambas componentes de cisalhamento têm distribuições através das secções, como

mostrado na figura 6.15 (a) e (b).

(a) Distribuição de Tensãopara Cisalhamento porEsforco Cortante.

(b) Distribuição de Tensão deCisalhamento por Torção.

(c) Tensão Combinada deTorção e Cisalhamento por

Esforco Cortante.

(d) Efeito de Concentraçãode Tensão no Diametro

Interno.

Figura 6.15 - Distribuição de Tensão na Seção do Arame.

As componentes se adicionam diretamente, e a máxima tensão de cisalhamento ocorre

na fibra interna da seção transversal do arame, como mostrado na figura 6.15 (c).

( ) ( )τ max

Tr

J

F

A

F D d

d

F

d

F D

d

F

d= + = + = +

. / . /

. / . /

. .

.

.

.

2 2

32 4

8 44 2 3 2Π Π Π Π

(6.11)

Pode-se substituir a expressão, para o índice de mola C, na equação 6.11:

+Π

=

+Π

=Π

+=Π

+Π

=C

,

d.

D.F.

C.d.

C.F.

d.

F.C.F.

d.

F.

d.

C.F.max

501

8

2

11

8484832222

τ

τ max sKF D

d= .

. .

.

83Π

(6.12)

Onde:

+=C

,Ks

501

Esta manipulação coloca o termo de cisalhamento direto da equação 6.12, como um

fator de cisalhamento Ks. As duas equações são idênticas em valor, mas a segunda é mais

aplicada.


222

Se o arame fosse reto, e estivesse sujeito à combinação da força de cisalhamento F e

do torque T, a equação 6.12 seria a solução exata. Contudo, o arame é curvado em uma espira.

Sabe-se que vigas curvas tem uma concentração de esforços na superfície interna da

curvatura.

Wahl determinou o fator de concentração de tensões para esta aplicação, e definiu um

fator Kw que inclui os efeitos do cisalhamento direto, bem como a concentração de tensões

devido à curvatura.

C

,

C.

C.Kw

6150

44

14 +−−= (6.13)

τ max wKF D

d= .

. .

.

83Π

(6.14)

A distribuição de tensão de cisalhamento combinada é mostrada na figura 6.15 (d).

Desde que o fator de Wahl, Kw , inclui ambos os efeitos, pode-se separá-lo em um

fator de curvatura Kc e um fator de cisalhamento direto Ks, utilizando:

K K Kw s c= . KK

Kcw

s

= (6.15)

Se uma mola é solicitada estaticamente, então o escoamento é o critério de falha.

Se o material escoa, irá aliviar a concentração local de tensões, devido ao fator de

curvatura Kc , e a equação 6.12 pode ser usada para considerar o cisalhamento direto. Mas, se

a mola é solicitada dinamicamente, então a falha será por fadiga, em tensões abaixo do ponto

de escoamento (e a equação 6.14 deve ser aplicada), incorporando os efeitos do cisalhamento

direto e da curvatura. Em caso de solicitação por fadiga, com componentes média e alternada,

a equação 6.12 pode ser usada para calcular a componente média do esforço, e a equação

6.14, usada para a componente alternada.

6.2.8 Esforços Residuais

Quando um arame é enrolado em forma de espira, esforços residuais de tração

desenvolvem-se na superfície externa, e esforços residuais de compressão desenvolvem-se na


223

superfície interna. Nenhum destes esforços residuais é benéfico, podendo ser removidos,

aliviando, assim, as tensões na mola.

Pré-assentamento (setting): Esforços residuais benéficos podem ser introduzidos por

um processo chamado de pré-assentamento pelos fabricantes.

Este processo pode aumentar a capacidade estática de 45 a 65%, e dobrar a capacidade

de armazenamento de energia da mola por lb de material. Comprime-se a mola até sua altura

de fechamento, escoando o material para alivio de tensões, introduzindo esforços residuais

benéficos. Para tanto, deve-se supersolicitar (escoar) o material na mesma direção dos

esforços aplicados durante o serviço.

A mola que sofreu pré-assentamento perde um pouco do comprimento livre, mas

ganha os benefícios descritos acima. Com o objetivo de atingir as vantagens do pré-

assentamento, o comprimento livre inicial deve maior que o desejado, sendo projetado para

um esforço, na altura de fechamento, de 10 a 30% maior que o limite de escoamento do

material.

Uma sobrecarga menor não produzirá esforços residuais suficientes. Acima de 30% de

sobrecarga, ocorre pequeno incremento de benefícios e aumenta a distorção.

A resistência, para uma mola que sofreu pré-assentamento, é significativamente maior

que para uma mola comum. Além disso, a equação 6.12, pode ser melhor utilizada para

calcular o esforço no caso de mola que sofreu pré-assentamento, uma vez que, para

carregamento estático, o escoamento durante o pré-assentamento alivia a concentração de

tensões devido à curvatura.

O pré-assentamento é de grande valor para molas solicitadas estaticamente, mas

também tem valor em carregamentos cíclicos.

Nem todas as molas comerciais sofrem este processo, pois aumenta o custo. O

projetista deve especificar o processo, caso necessário. Algumas vezes, a operação de pré-

assentamento é especificada como parte do processo de montagem, mais que como parte do

processo de manufatura da mola.

Carregamento Reverso: Sofrendo o processo de pré-assentamento ou não, as espiras

das molas apresentam alguns esforços residuais. Por esta razão, não é aceitável que se aplique

cargas reversas nas espiras.

Assumindo que os esforços residuais têm o objetivo benéfico contra a direção

esperada de carga, o carregamento reverso irá obviamente incrementar os esforços residuais,

causando falha prematura. Uma mola de compressão nunca deve ser carregada em tração,


224

nem uma mola de tração em compressão. Molas de torção necessitam de um torque

unidirecional aplicado, para evitar falha prematura.

Jateamento de granalha (shot peening): É outro modo de se obter esforços residuais

benéficos em molas, e é mais efetivo contra carregamento cíclico em fadiga. Traz poucos

benefícios para molas carregadas estaticamente. Molas de diâmetros de 0,008 in (0,2 mm) a

0,055 in (1,4 mm) são tipicamente usadas no processo. Molas de diâmetro de espira muito

pequeno não irão se beneficiar do processo de jateamento de granalha como outras molas de

diâmetros maiores. Além disso, se o passo da mola é pequeno, a superfície interna da espira

não será atingida.

6.2.9 Flambagem de Molas de Compressão

Uma mola de compressão é carregada como uma coluna, podendo flambar se for

muito delgada. Uma razão que avalia este fator foi desenvolvida para colunas sólidas. Tal

medida não é diretamente aplicável às molas, devido a sua diversidade de geometrias. Um

fator semelhante é a razão entre o comprimento livre e o diâmetro médio da espira Lf / D. Se

este fator for maior que 4, a mola deve flambar. Flambagens mais críticas podem ser

prevenidas, colocando-se a mola em um furo, ou sobre um pino. Contudo, a fricção das

espiras nestas guias, absorverá uma fração da força da mola devido ao atrito, e reduzirá a

carga aplicada na extremidade da mola. Assim como nas colunas sólidas, o vinculo das

extremidades da mola afetam sua tendência de flambar. Se uma extremidade é livre para se

inclinar, conforme a figura 6.16 (a), a mola irá flambar com uma razão menor que para

extremidades fixas em placas paralelas, como mostrado na figura 6.16 (b).

Figura 6.16 - Condição de Extremidade para caso Critico de Flambagem.

Extremidade Fixa Extremidade Fixa

(a) (b) Extremidades Não-Paralelas Extremidades Paralelas

Livre para Girar Extremidade Paralela


225

A razão entre a deflexão da mola e seu comprimento livre também afeta sua tendência

de flambar. A figura 6.17 mostra um gráfico de duas linhas, que representam a estabilidade

dos dois casos de vinculo da figura 6.16. Molas com razão de deflexão à esquerda destas

linhas, são estáveis contra flambagem.

Figura 6.17 - Curvas para Condição Critica de Flambagem.

6.2.10 Freqüência Natural em Molas de Compressão

Qualquer aparato com massa e elasticidade terá uma ou mais freqüências naturais. As

molas não são exceções à esta regra, e podem vibrar tanto lateralmente quanto

longitudinalmente, quando excitadas, próximas de suas freqüências naturais. Se for permitido

que entre em ressonância, as ondas de vibração longitudinal fazem com que as espiras batam

umas contra as outras. As forças de grande magnitude, provenientes tanto das deflexões

excessivas das espiras, quanto dos impactos, farão com que a mola falhe. Para evitar esta

condição, a mola não deve ser solicitada próxima à sua freqüência natural. A freqüência

natural da mola deve ser, aproximadamente 13 vezes maior que a freqüência da força de

excitação aplicada.

A freqüência natural ωn ou fn de uma mola de compressão helicoidal depende das suas

condições de contorno. Fixar ambas as extremidades é o arranjo mais comum e apropriado, já

que sua fn será o dobro de uma mola com uma extremidade fixa e outra livre.

Para o caso de ambas extremidades livres:

Instável

Extremidades Paralelas

Extremidades Não-Paralelas

Estável

Estável

Instável y

/ L f

Lf / D


226

an W

g.k.πω = rad/sec f

k g

Wna

=1

2.

. Hz (6.16)

Onde: k é a rigidez da mola, Wa é o peso das espiras ativas, e g é a constante

gravitacional.

A freqüência pode ser expressa tanto como uma freqüência angular ωn , como uma

freqüência linear fn. O peso das espiras ativas é:

4

22 γπ .N.D.d.W a

a = (6.17)

Onde: γ é a densidade de peso do material. (para o peso total da mola, substitua Nt por

Na).

Substituindo as equações 6.10 e 6.16 em 6.17, tem-se:

γπ .

g.G.

D

d.

N.f

an 32

22

= Hz (6.18)

Se uma das extremidades da mola for fixa e a outra livre, esta agirá como uma mola

com ambas as extremidades fixas, com o dobro de seu comprimento. Sua freqüência natural

pode ser encontrada utilizando Na como duas vezes o número real de espiras ativas, presentes

na mola com uma das extremidades livres.

6.2.11 Resistência Limite para Molas de Compressão

Dados de testes sobre limites de resistência, para molas helicoidais de compressão de

arame circular, estão disponíveis tanto para carregamentos estáticos como dinâmicos.

Para o projeto de molas, dados adicionais relativos ao limite de escoamento e

resistência a fadiga, são necessários.

Limite de Escoamento Torcional (Sys): O limite de escoamento torcional da mola

varia com o material, e com o fato da mola ter passado por um pré-assentamento ou não. A

tabela 6.5 mostra os fatores de escoamento torcional, recomendados para molas comuns,


227

como uma porcentagem da resistência máxima à tração. Estes fatores devem ser utilizados

para estimar a resistência de molas helicoidais de compressão sob carregamento estático.

Tabela 6.5 - Máxima Resistência ao Escoamento Torcional para Aplicação Estática.

Material Sem pré-assentamento Com pré-assentamento Aço Carbono trabalhado a

frio 45% 60-70%

Aço Baixa-Liga Endurecido e Temperado

50% 65-75%

Aço Inoxidável Austenitico 35% 55-65% Ligas Não-ferrosas 35% 55-65%

Resistência à Fadiga Torcional (Sfωωωω): Na faixa de 103 < N < 107 ciclos, a resistência

torcional varia com o material, considerando se que a mola tenha sofrido jateamento de

granalha ou não. A tabela 6.6 mostra valores recomendados para diversos materiais, nas

condições de submetido ou não a jateamento de granalha, em três pontos dos diagramas S-N:

105, 106, e 107 ciclos.

Note que a resistência à fadiga torcional é determinada a partir de molas carregadas

com componentes médias e alternadas. Logo, tais valores não são diretamente comparados à

resistência a fadiga para carga completamente reversa, de elementos rotativos, devido ao

carregamento torcional e à presença de uma componente média. A designação Sfw é adotada

para a resistência a fadiga, para diferenciá-la da resistência a fadiga de eixos rotativos. Estes

valores são, contudo, muito úteis, pois representam uma situação real de fadiga em molas, e

são geradas a partir de amostras de molas e, portanto, a geometria e o diâmetro são corretos.

Note que a resistência a fadiga, na tabela 6.6, declina com o aumento do número de

ciclos, mesmo acima de 106 ciclos, onde aços usualmente apresentam o limite de resistência a

fadiga, sob carga alternada simétrica.

Tabela 6.6 - Máxima Resistência a Fadiga Torcional para Arames Circulares.

ASTM 228, Aços Inoxidáveis e ASTM A230 e A232 Não-Ferrosos Vida em Fadiga Normal Com jateamento

de granalha Normal Com jateamento

de granalha 105 36% 42% 42% 49% 106 33% 39% 40% 47% 107 30% 36% 38% 46%


228

Limite de Resistência à Fadiga Torcional (Seω): Aços podem ter um limite de

resistência para vida infinita. Materiais de alta resistência tendem a apresentar um “pico” do

limite de resistência, com o aumento da máxima resistência a tração (Sut). Existe um limite de

resistência a fadiga não corrigido, para solicitação completamente reversa, de aços com Sut >

200 kpsi, que se mantém constante quando a resistência a tração o supera. Note que, na figura

6.3, a maioria das molas, cujos diâmetros são menores do que cerca de 10 mm, estão nesta

última categoria de resistência a tração. Isto implica em materiais para molas com limite de

resistência torcional independente do diâmetro do arame, ou da composição de liga em

particular.

Zimmerli afirma que todas as molas de aço, com diâmetro inferior a 10 mm, exibem

um limite de resistência à fadiga torcional para vida infinita, Sew, , para carga flutuante.

Sew ≈ 45.0 kpsi (310 MPa) molas sem jateamento de granalha

Sew ≈ 67.5 kpsi (465 MPa) molas com jateamento de granalha (6.19)

Não há necessidade, neste caso, de se aplicar fatores de correção de superfície,

tamanho, ou carga, tanto para Sfw´ como para Sew , já que os dados de testes disponíveis foram

obtidos em condições reais, para os respectivos materiais para molas.

A tabela 6.6 mostra os dados para resistência a fadiga, tomados a temperatura

ambiente, em meio não corrosivo, sem a presença de variações bruscas.

Se a mola opera em altas temperaturas, ou em meios corrosivos, a resistência a fadiga

(Sfω) ou o limite de resistência (Seω) podem diminuir . Um fator de temperatura Ktemp , e/ou um

fator de confiabilidade Kconf , podem ser aplicados.

Os valores são corrigidos de Sfw´ para Sfw , e de Sew para Sew, , assumindo temperatura

ambiente, ausência de corrosão e confiabilidade de 50%.

PROJETO PARA CARGA ESTATICA

O fator de segurança é obtido por comparação entre a resistência ao escoamento em

torção, para carga estática, e a tensão de cisalhamento.

Ns = Sys / τ (6.20)


229

PROJETO PARA CARGA DINÂMICA (EM FADIGA)

Uma mola carregada dinamicamente vai operar entre dois níveis limites de esforços

Fmax e Fmin. Destes valores, são obtidas as componentes média e alternada da força aplicada.

FF F

FF F

a

m

=−

=+

max min

max min

2

2

(6.21)

Para uma razão de forças, em solicitação flutuante:

RF = Fmin / Fmax = 0 (6.22)

A figura 6.18 mostra o diagrama de Goodmann Modificado, com a linha de

carregamento, para o cálculo do fator de segurança.

Figura 6.18 - Diagrama de Goodmann Modificado.

A linha de carregamento, que define o estado de tensão, não parte da origem, neste

caso, mas de um ponto sobre a abcissa τm,, representando a tensão inicial τi, atuando na

Ponto de falha

Linha de Carregamento

Estado de Tensão

σ a

(kp

si)

σm (kpsi)


230

montagem das espiras. O fator de segurança em fadiga torcional, é dado pela relação da

resistência alternada, no ponto de intercessão com a linha de carga, no ponto D do diagrama,

com a tensão alternada τa.

Nfs = Sa / τa (6.23)

Trabalhando na intercessão das duas retas:

( )( )NS S

S Sfses us i

es m i us a

=−

− +τ

τ τ τ (6.24)

Onde: ewus

usewes SS

SSS

707,0707,0

−= .

6.3. MOLAS HELICOIDAIS DE TRAÇÃO

Molas helicoidais de tração são semelhantes às molas de compressão, sendo, porém,

carregadas em tração (figura 6.2 (b)).

A figura 6.19 ilustra as principais dimensões de uma mola de tração. Ganchos ou

argolas nas extremidades, permitem a aplicação de esforços de tração na mola. Existem

formas e dimensões padronizadas, também para os ganchos, conforme a figura 6.19. As

extremidades padronizadas, consistem em fletir a espira final de 90o. Estas terminações

suportam níveis mais elevados de tensões que o corpo da mola, podendo limitar a segurança

do projeto.

Do

Di

(a)

Comp. argola

Comp. do corpo

da mola Lb

Ll

Lh

Comp. gancho

Di

folga (b)

ComprimentoLivre Lf

Figura 6.19 - Dimensionamento de uma Mola de Tração.


231

6.3.1 Espiras Ativas em Molas de Tração

Neste caso, todas as espiras são ativas, mas é comum adicionar uma espira a mais ao

número de espiras ativas, para o cálculo do comprimento total da mola.

Nt = Na + 1

Lb = d Nt

(6.25)


As espiras da mola de tração são enroladas bem próximas, e o arame é girado a cada

volta de espira, criando uma pré-carga nas espiras, que deve ser superada para separá-las. A

figura 6.20 mostra a curva força-deflexão para molas de tração. O coeficiente de rigidez da

mola é linear, exceto no início do diagrama, e a pré-carga Fi é obtida por extrapolação da

porção linear da curva, até cruzar o eixo das ordenadas.

Figura 6.20 - Diagrama força-deflexão para molas helicoidais de tração.

O coeficiente de rigidez da mola pode ser escrito como:

a

i

ND

Gd

y

FFk

3

4

8=−= (6.26)

Note que nenhuma deflexão ocorre até que a força aplicada supere a pré-carga Fi,

presente na mola.

Força

Deflexão

k

Fi


232

6.3.3 Índice de Mola

Pode ser considerado como para molas de compressão, na mesma faixa de 4 a 12.

6.3.4 Pré-carga da Espira para Molas de Tração

A pré-carga Fi pode ser relativamente controlada, durante o processo de fabricação, e

deve ser projetada para uma tensão inicial na espira dentro da faixa indicada na figura 6.21,

que relaciona faixas de interesse para tensão inicial na espira com o índice de mola C. A

relação entre a tensão inicial e o índice de mola é uma função cúbica, conforme as expressões

abaixo:

máximo limite 38404427,37,139987,2

mínimo limite 28640387,35,181231,423

23

+−+−=

+−+−=

CCC

CCC

i

i

ττ

(6.27)

Figura 6.21 - Faixa para Tensão Inicial em Molas de Tração.

Uma média entre os dois valores é um bom início para a tensão inicial.

Índice de Mola

Faixa de Interesse τ

(kp

si)

τ (

MP

a)


233

6.3.5 Deflexão em Molas de Tração

A deflexão da espira é determinada pela mesma expressão, utilizada para molas de

compressão, incluindo uma modificação para pré-carga.

( )y

F F D N

d Gi a=

−8 3

4 (6.28)

As tensões nas espiras são determinadas através das mesmas expressões utilizadas

para molas de compressão (6.12) e (6.14). Os fatores Ks e Kw são também utilizados como

antes.

6.3.6 Tensões nas Extremidades

Os ganchos padronizados apresentam duas localizações de elevados níveis de tensões,

conforme figura 6.22.

Figura 6.22 - Pontos de Máxima Tensão em Ganchos de Molas de Tração.

A máxima tensão torcional ocorre no ponto B, onde o raio de flexão é menor. O

gancho também está sujeito a uma tensão de flexão no ponto A, desde que carregado como

uma viga curva. Wahl também define o fator de concentração de tensão Kb para flexão de um

arame curvado.

A tensão de flexão no ponto A é dada por:

σπ πA bKDF

d

F

d= +

16 43 2 (6.29)

Máxima Tensão Máxima Tensão de Cisalhamento de Torção


234

( )KC C

C Cb =− −

−4 1

4 112

1

1 1

(6.30)

CR

d112

= (6.31)

Note que, para uma extremidade padrão, o raio médio do gancho R1 é o mesmo que o

raio médio da espira.

A tensão torcional no ponto B é dada por:

τπB wKDF

d= 2 3

8 (6.32)

KC

Cw22

2

4 1

4 4=

−−

(6.33)

d

RC 2

2

2= (6.34)

Sendo que: C2 deve ser superior a 4.

6.3.7 Freqüência Natural

A freqüência natural de uma mola helicoidal de tração, com ambas extremidades fixas,

e sujeita a deflexão axial, é determinada de maneira análoga ao caso de molas para

compressão.

fN

d

D

Ggn

a

=2

322π γ Hz

(6.35)

6.3.8 Resistência de Materiais para Molas de Tração

Os mesmos materiais de arames são utilizados na fabricação de ambos os tipos de

molas, compressão e tração. A tabela 6.7 traz alguns valores mais recomendados de limite de

escoamento estático da espira, bem como para as extremidades, em torção e flexão. A tabela

6.8 mostra valores recomendados de resistência à fadiga, para dois materiais, em alguns ciclos

de vida, fornecendo dados separadamente para o corpo e para os ganchos da mola.


235

Tabela 6.7 - Resistência Máxima ao Escoamento em Torção e Flexão.

PORCENTAGEM DA MÁXIMA RESISTÊNCIA À TRAÇÃO ( Sut)

Sys em Torção Sy em Flexão

Material Corpo da mola Ganchos Ganchos Aço-carbono trabalhado a frio

45% 40% 75%

Aço baixa liga temperado e endurecido

50% 40% 75%

Aço inoxidável Austenitico e ligas não-ferrosas

35% 30% 55%

Tabela 6.8 - Limite de Resistência à Fadiga Torcional para ASTM 228 e Aço Inoxidável 302.

Razão de Tensão R = 0 (esforço flutuante).

PORCENTAGEM DA MÁXIMA RESISTÊNCIA À TRAÇÃO (Sut)

Sfw em Torção Sfw em Flexão

Número de Ciclos Corpo da mola Ganchos Ganchos 105 36% 34% 51% 106 33% 30% 47% 107 30% 28% 45%

PROJETO PARA CARGA ESTÁTICA

O fator de segurança é obtido pela comparação entre o limite de escoamento em

torção, para carga estática, e a tensão de cisalhamento.

Ns = Sys / τ (6.36)


Uma mola carregada dinamicamente vai operar entre dois níveis limites de esforços

Fmax e Fmin. Destes valores, são obtidas as componentes média e alternada da força.


236

FF F

FF F

a

m

=−

=+

max min

max min

2

2

(6.37)

Para uma razão de forças em solicitação flutuante:

RF = Fmin / Fmax = 0 (6.38)

O diagrama de Goodmann Modificado, com a linha de carregamento, para o cálculo

do fator de segurança, é análogo ao da figura 6.18.

A linha de carregamento, que define o estado de tensão, não parte da origem, neste

caso, mas de um ponto sobre a abscissa τm, representando a tensão inicial τi, atuando na

montagem das espiras. O fator de segurança em fadiga torcional é dado pela relação da

resistência alternada, no ponto de intersecção com a linha de carga, no ponto D do diagrama,

com a tensão alternada τa.

( )( )NS S

S Sfses us i

es m i us a

=−

− +τ

τ τ τ

(6.39)

Onde: ewus

usewes SS

SSS

707,0707,0

−= .

Uma análise em fadiga é necessária para os ganchos, assim como para as espiras. Para

tensões de flexão, são necessários os limites de resistência à fadiga e ao escoamento, ambos

em tração. A relação de Von Mises pode ser empregada para converter os dados de fadiga

torcional para fadiga flexional, dividindo o primeiro por 0,577.

6.4. MOLAS HELICOIDAIS DE TORÇÃO

Molas helicoidais de torção apresentam as extremidades das espiras prolongadas

tangencialmente, de modo a formar as alavancas para aplicação do momento torsor (figura 6.2

(d)). As espiras são, geralmente, enroladas muito próximas, como numa mola de tração, não

apresentando, porém, uma tensão inicial. Quando enroladas com um distanciamento entre as


237

espiras, elimina-se o problema do atrito entre as mesmas. O momento torsor aplicado deve

tender a fechar as alavancas uma contra a outra e não deve, de modo algum, ser alternado

simétrico, em serviço. Cargas dinâmicas devem ser cíclicas ou flutuantes. A carga externa

deve ser definida em função do ângulo α, entre as extremidades tangentes, na posição de

carregamento, e não em posição livre.

Devido à solicitação de flexão, o arame de seção retangular é mais eficiente, em

termos de rigidez por unidade de volume. Contudo, muitas molas de torção são feitas de

arame circular, devido ao seu baixo custo e enorme variedade de dimensões.

A figura 6.23 ilustra as principais dimensões de uma mola de torção. Existem formas e

dimensões padronizadas também para as extremidades, conforme a figura 6.23.

Posiçaõ livre

Especificação: α=angulo entre extremidades F=carga na extremidade L=comprimento da alavanca θ=deflexão angular a partir da posição livre

F

L

Posição livre

F

L

Figura 6.23 - Dimensões de uma Mola de Torção.

6.4.1 Número de Espiras

O número de espiras é igual ao número de enrolamentos Nb, adicionados da

contribuição das extremidades. Para extremidades retas, temos o número de espiras

equivalente Ne:

Ne = ( L1 + L2 ) / 3πD (6.40)

Onde: L1 e L2 = comprimentos das alavancas.

O número de espiras ativas será:

Na = Nb + Ne (6.41)


238

6.4.2 Deflexão em Molas de Torção

A deflexão angular da espira é expressa em radianos e, às vezes, convertida em

revoluções.

Ed

MDNaradrev 4

8,10

2==

πθθ (6.42)

Onde:

M = momento aplicado, Na = espiras ativas, D = diâmetro médio da espira, d =

diâmetro do arame e E = módulo de elasticidade. O fator 10,8 leva em conta o atrito entre as

espiras.


A rigidez torcional pode ser obtida a partir da expressão de deflexão. O coeficiente de

rigidez da mola pode ser escrito como:

arev DN

EdMk

8,10

4

==θ

(6.43)

6.4.4 Fechamento da Espira

Trata-se do diâmetro mínimo (comprimento máximo) assumido pela espira, quando o

momento torsor aplicado tende a fechar as alavancas uma contra a outra.

DDN

Ndi

b

b revmin

=+

−θ

(6.44)

( )L d Nmax b= + +1 θ (6.45)

Qualquer diâmetro do pino de montagem deste tipo de mola, não deve superar 90% do

diâmetro interno das espiras.

6.4.5 Tensões nas Espiras

A máxima tensão flexional ocorre nas fibras externas da espira, sendo análoga ao

estado de tensão normal de uma viga curva, cuja tensão se concentra no interior da curvatura.

O fator de concentração de tensão no interior (6.46) e no exterior (6.47) de um arame

circular curvado é dado por:


239

( )KC C

C Cbi =− −

−4 1

4 1

2

(6.46)

( )KC C

C Cbo =+ −

+4 1

4 1

2

(6.47)

A máxima tensão de compressão no interior da espira será:

σπimax bi

maxKM

d=

323 (6.48)

Para o exterior da espira, tem-se:

σπomax bo

maxKM

d=

323

σπomin bo

minKM

d=

323

(6.49)

σσ σ

omomax omin=

+2

σσ σ

oaomax omin=

−2

(6.50)

Note que, para falha estática por escoamento, a tensão de compressão no interior da

espira é a mais crítica. Na falha por fadiga, a tensão de tração, nas fibras externas da espira, é

a mais crítica.

6.4.6 Resistência de Materiais para Molas de Torção

A tabela 6.9 traz alguns valores mais recomendados para o limite de escoamento

estático da espira, em flexão. A tabela 6.10, mostra valores recomendados de resistência à

fadiga, em alguns ciclos de vida, fornecendo dados separadamente para molas tratadas ou não

por jateamento de granalha.


240

Tabela 6.9 - Limite de Escoamento em Flexão.


Material Sem Tratamento Com Pré-Assentamento Aço-carbono trabalhado a frio

80% 100%

Aço baixa liga temperado e endurecido

85% 100%

Aço inoxidável austenitico e ligas não-ferrosas

60% 80%

Tabela 6.10 - Resistência Máxima à Fadiga Torcional - Tensão Cíclica ou Flutuante.


ASTM A228 ou Aço Inox 302 ASTM A230 e A232

Número de Ciclos Não-tratado Tratado Não-tratado Tratado 105 53% 62% 55% 64% 106 50% 60% 53% 62%

O limite de fadiga torcional pode ser utilizado para determinar o limite de fadiga

flexional, através do critério de Von Mises.

Sewb = Sew / 0.577

PROJETO PARA CARGA ESTÀTICA

O fator de segurança, para falha por escoamento, é obtido pela comparação entre o

limite de escoamento, para carga estática, e a tensão de compressão nas fibras internas da

espira.

Ns = Sy / σimax (6.51)


241


Para as fibras externas da espira, em tração cíclica, ou condição de fadiga, tem-se:

( )( )N

S S

S Sfb

e ut omin

e om omin ut oa

=−

− +σ

σ σ σ

(6.52)

onde SS S

S Seewb ut

ut ewb

=−

0 7070 707

,.

.

ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII

242

CAPÍTULO VII

PROJETO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS PLANAS

7.1. INTRODUÇÃO

Quando duas engrenagens se encaixam, temos um par engrenado. Convencionou-se,

chamar a engrenagem menor de pinhão e a maior de engrenagem.

Lei fundamental do engrenamento – A razão da velocidade angular entre as

engrenagens de um par engrenado deve permanecer constante durante todo a

engrenamento.

A razão de velocidade angular mv é igual a razão dos raios primitivos da

engrenagens de entrada e saída:


243

out

in

in

out

v r

r

w

wm ±== (7.1)

Figura 7.1 Par engrenado

(a)

- → engrenagens tem sentido oposto de rotação (par ex-terno)

(b)

+ → engrenagens tem o mesmo sen-tido de rotação (par interno)

Figura 7.2 Relação de engrenamento (a) externa e (b) interna.

Razão de torque ou vantagem mecânica:


244

in

out

out

in

v

A r

r

w

w

mm ±=== 1

(7.2)

Assim sendo: Torque ↑ ↓ → Velocidade ↓ ↑ .

Para cálculos, a razão de engrenagem mB será:

1/, ≥==BABvB

mpmmoumm (7.3)

7.2. NOMENCLATURA E GEOMETRIA

Para que a lei fundamental do engrenamento seja verdadeira os contornos dos

dentes no ponto de engrenamento devem estar conjugados um ao outro.

Existe uma infinidade de pares conjugados que podem ser usados, contudo, apenas

poucas curvas tem tido aplicação prática em dentes de engrenagem. Destacam-se a ciclóide

e a involuta.

INVOLUTA – A involuta de um círculo é uma curva que pode ser produzida

desenrolando-se um fio esticado de um cilindro.


245

Figura 7.3 Geração do perfil do dente da

engrenagem.

O fio é sempre tangente ao cilindro;

O centro de curvatura da involuta está

sempre no ponto de tangência do fio com o

círculo base;

A tangente da involuta é sempre normal ao

fio, que está no raio de curvatura

instantânea da curva involuta.

A Figura 7.4 mostra duas involutas em cilindros separados em contato ou

engrenamento. Elas representam os dentes da engrenagem. Os cilindros dos quais os fios

são desenrolados são chamadas de círculos bases das respectivas engrenagens. Note que os

círculos base são necessariamente menores do que os círculos de pitch, que estão nos raios

dos cilindros de rolamento originais rp e rg. Os dentes da engrenagem devem ser projetados

abaixo e acima da superfície dos cilindros de rolamento (círculo primitivo) e a involuta

existe apenas do lado de fora do círculo base. A parte do dente que fica acima do círculo

primitivo é o adendo (addendum), mostrado como ap e ag para o pinhão e a engrenagem

respectivamente.

Há uma tangente comum para ambas as curvas do dente da involuta no ponto de

contato, e uma normal comum, perpendicular à tangente comum. Note que a normal

comum é, de fato, os “fios” de ambas as involutas, que são colineares. Assim a normal

comum que é também a linha de ação, sempre passa pelo ponto primitivo independente de


246

onde o carregamento esteja acontecendo. O ponto primitivo tem a mesma velocidade linear

tanto no pinhão quanto na engrenagem, chamada de velocidade linear primitiva. O ângulo

entre a linha de ação e o vetor velocidade é o ângulo de pressão φ

Figura 7.4 Geometria do Contato nos dentes das engrenagens.

Ângulo de pressão – O ângulo de pressão φ num par engrenado é definido como o

ângulo entre a linha de ação (normal comum) e a direção da velocidade primitiva, tal que a

linha de ação seja rodada (girada) φ graus na direção de rotação da engrenagem movida. Os

ângulos de pressão dos pares engrenados são padronizados em poucos valores pelos

fabricantes de engrenagem. Os valores padrões são 14.5, 20 e 25°, sendo 20° o mais usado

e 14.5°, atualmente, obsoleto.

A razão de velocidade do par engrenado será constante, definida pela razão dos

respectivos raios das engrenagens no ponto primitivo.

Os pontos de início e final do contato definem o engrenamento do pinhão e

engrenagem. A distância ao longo da linha de ação entre esses pontos durante o

engrenamento é chamado comprimento de ação Z, definido pela interseção do respectivo


247

círculo addendum com a linha de ação como mostrado na figura. A distância ao longo do

círculo primitivo dentro do engrenamento é o arco de ação, e os ângulos contidos entre

esses pontos e a linha de centro do par engrenado, são o ângulo de aproximação e o ângulo

de afastamento.

Figura 7.5 Ângulo de pressão nos dentes das engrenagens.

Os arcos de ação dos círculos primitivos para o pinhão e a engrenagem devem ser os

mesmos para escorregamento zero entre os cilindros rolantes teóricos. O comprimento de

ação Z pode ser calculado da geometria do pinhão e da engrenagem:

( ) ( ) ( ) ( ) φφφ sinCrarrarZgggppp

−−++−+= 2222 coscos (7.4)

rp e rg raios dos círculos primitivos

ap e ag adendo do pinhão e engrenagem respectivamente

C distância entre centros

φ ângulo de pressão


248

Se a forma do dente da engrenagem não é uma involuta, então um erro na distância

entre centros causará uma variação na velocidade de saída, que não será constante, violando

a lei fundamental do engrenamento. Contudo, com uma forma de dente involuta, erros nas

distâncias de centro não afetarão a razão de velocidade.

Figura 7.6 Distância entre centros.


249

Figura 7.7 Nomenclatura do dente de engrenagem.


250

O passo circular, pc, define o tamanho do dente:

N

dp

c

π= (7.5)

d = diâmetro primitivo, N = número de dentes.

Passo de base pb:

φcoscb

pp = (7.6)

Passo Diametral:

d

Np

d= (7.7)

As unidades de pd são recíprocas: polegadas ou número de dentes

por polegada. Essa medida é usada para especificação de

engrenagens apenas nos EUA.

A relação entre o passo circular e o passo diametral é:

c

d pp

π= (7.8)

O sistema SI, usado para engrenagens métricas, define um parâmetro

chamado módulo, que é o recíproco do passo diametral com o

diâmetro primitivo d medido em milímetros:

N

dm = (7.9)

As unidades do módulo são em milímetros. As engrenagens métricas não são

intercambiáveis com as engrenagens padrão americano, apesar de ambas terem dentes na

forma de involuta. Nos EUA, os tamanhos do dente de engrenagem são especificados pelo

diametral primitivo. A conversão de um padrão para o outro é:

dp

m4.25= (7.10)


251

A razão de velocidade mv de um par engrenado pode ser especificada por:

out

in

out

in

out

in

v N

N

d

d

r

rm ±=±=±= (7.11)

Notando que o passo diametral de ambas engrenagens deve ser o mesmo. A razão

de engrenagem pode ser expressa por:

p

g

G N

Nm = (7.12)

Dentes de engrenagem padronizados – dentes de engrenagem padronizados de

profundidade completa têm adendo no pinhão e na engrenagem iguais, com o dedendum

sendo um pouco maior para folga. A figura mostra os tamanhos reais dos dentes

padronizados de altura completa e de ângulo de pressão 20° para pd = 4 até pd = 80. Note a

relação inversa entre pd e o tamanho do dente.

Apesar de não haver restrições teóricas para os possíveis valores do diametral primitivo, um

conjunto de valores-padrão é definido baseado nos dispositivos padronizados para cortar as

engrenagens.

Figura 7.8 Padronização dos dentes de engrenagens.


252

Tabela 7.1 Diâmetros Primitivos Padrão.

A razão de contato mp define o número médio de dentes no contato em qualquer momento:

b

p p

Zm = (7.13)

Das equações anteriores temos que:

φπ cos

Zpm d

p = (7.14)

Se a razão de contato for 1, significa que um dente estará deixando o contato no

exato momento que o outro esta iniciando o contato. Isso não é desejável, pois um pequeno


253

erro no espaçamento entre os dentes causará oscilações na velocidade, vibrações, e ruído.

Além disso, a carga será aplicada na ponta do dente, criando o maior momento de flexão

possível.

Tabela 7.2 Número mínimo de dentes no pinhão para evitar interferência entre um pinhão de 20o e engrenagens de várias dimensões.

Para razão de contato entre 1 e 2 haverá momentos em que um par de dentes

suportará toda a carga. Contudo, isso ocorrerá em direção ao centro da região de

engrenamento, ou seja, a carga será aplicada numa posição mais baixa do dente. Esse ponto

é chamado de Ponto mais alto de contato de dente simples (Highest point of single-

tooth contact ou HPSTC). O mínimo valor aceitável para a razão de contato para uma

operação suave é 1,2. Uma razão de contato mínima de 1,4 é aconselhável, e quanto maior,

melhor. Quanto menores os dentes (maior pd) e maior o ângulo de pressão, a razão de

contato será maior.


254

7.3. TRENS DE ENGRENAGENS

Um trem de engrenagens é um conjunto de dois ou mais engrenamentos. Um par de

engrenagens está limitado a uma razão de aproximadamente 10:1. Um trem de engrenagem

pode ser simples, composto ou epicíclico.

Trens de engrenagem convencionais, descritos a seguir têm todos um grau de

liberdade. Outra classe de trens de engrenagem, o epicíclico ou trem planetário possui dois

graus de liberdade, e é largamente utilizado.

Trem de engrenagem Simples → cada eixo possui apenas uma

engrenagem. A figura ao lado mostra um trem simples com cinco

engrenagens em série. A razão de velocidade será:

6

2

6

5

5

4

4

3

3

2

N

N

N

N

N

N

N

N

N

Nm

v+=

−

−

−

−= (7.15)

Trem de engrenagem composto → num trem composto, pelo menos

um eixo possui mais de uma engrenagem. O trem composto pode

ser,

1. reverso → os eixos de entrada e saída são concêntricos (figura

inferior direita);

2. direto → os eixos de entrada e saída não são coincidentes

(figura inferior esquerda).

A razão de velocidade do trem será:

−

−=

5

4

3

2

N

N

N

Nm

v (7.16)

Isso pode ser generalizado:

movidaengrenagemdentesdenúmerodoproduto

motoraengrenagemdentesdenúmerodoprodutom

v±=

Figura 7.9 Trens de

engrenagens.


255

Figura 7.10 Trens de engrenagens compostos.

O trem torna-se epicíclico com uma engrenagem solar e uma engrenagem planeta

orbitando ao redor da solar, mantida em orbita pelo braço. Duas entradas são necessárias.

1 GDL

2 GDL


256

Figura 7.11 trens de engrenagens (a) convencional e (b) planetário.

7.4. CARREGAMENTO EM ENGRENAGENS DE DENTES RETOS

Figura 7.12 Estado de Carregamento.

p

pd

p

p

p

pt N

Tp

d

T

r

TW

22=== (7.17)

Tp – torque no eixo pinhão. Np – número de dentes.

rp – raio primitivo. pd – passo diametral do pinhão.

dp – diâmetro primitivo. Wt – força tangencial

O componente radial Wr é:

φtantr

WW = (7.18)

A força resultante é:


257

φcost

WW = (7.19)

Existem dois modos de falha que afetam os dentes de engrenagens, fratura de

fadiga devido à flutuação das tensões de flexão na raiz do dente e fadiga de superfície

(pitting) das superfícies dos dentes.

Tensões de flexão - A equação de Lewis:

YF

pWdt

b=σ (7.20)

Wt – Força tangencial no dente

pd – passo diametral

F – largura da face

Y – fator geométrico adimensional

Equação de tensão de flexão da AGMA – como definido na AGMA padrão 2001-

B88 é válida somente para certas considerações sobre geometria do dente e do

engrenamento:

1. A relação de contato está entre 1 e 2;

2. Não há interferência entre as pontas e os filetes das raízes dos dentes engrenados e

não há rebaixo de dentes abaixo do início teórico do perfil ativo;

3. Nenhum dos dentes é pontiagudo;

4. Existe folga não nula no engrenamento;

5. Os filetes das raízes são padronizados, assumidos como suaves, e produzidos por

um processo de geração;

6. As forças de atrito são desprezadas.

A equação de tensões de flexão AGMA difere um pouco para as especificações U.S

e S.I de engrenagens, devido à recíproca relação entre o passo diametral e o módulo.


258

IBs

v

madt

bKKK

K

KK

JF

pW=σ U.S

IBs

v

mat

bKKK

K

KK

JmF

W=σ S.I

(7.21)

Fator J – O Fator geométrico J pode ser calculado através de um algoritmo definido

na AGMA padrão 908-B89.

Tabela 7.3 Fator Geométrico J para 25o.


259

Fator Kv – O fator dinâmico Kv considera as cargas de vibração geradas

internamente pelos impactos dente-dente induzidos por engrenamentos não conjugados dos

dentes de engrenagens. A AGMA proporciona curvas empíricas para Kv em função da

velocidade da linha primitiva Vt.

B

t

vVA

AK

+= U.S

B

t

vVA

AK

+=

200 S.I

(7.22)


260

Os fatores A e B são definidos como:

( )BA −+= 15650

( )116

4

12 32

≤≤−

=v

v QparaQ

B

(7.23)

Qv é o índice de qualidade da engrenagem com qualidade mais baixa no

engrenamento.

Figura 7.13 Fator de qualidade X velocidade na linha de contato.

Nota-se que tais curvas empíricas terminam abruptamente em um valor particular

Vt. Eles podem ser extrapolados. Os valores terminais de Vt para cada curva podem ser

calculados.


261

( )[ ] min/3 2

maxftQAV

vt−+= U.S

( )[ ]sm

QAV v

t/

200

32

max

−+= S.I

(7.24)

Para engrenagens com 5≤v

Q , uma equação diferente é usada:

t

vV

K+

=50

50 U.S

t

vV

K20050

50

+= S.I

(7.25)

Essa relação é válida somente para 2500≤t

V ft/min (13 m/s) como pode ser

visto da linha Qv = 5.

Fator de distribuição de Carga Km – Qualquer desalinhamento axial ou desvio axial

na forma do dente provoca uma carga transmitida Wt desigualmente distribuída sobre a

largura da face dos dentes da engrenagem. Este problema torna-se mais marcante em

maiores comprimentos de faces. Uma maneira aproximada e conservativa de levar em

conta no mínimo uma distribuição de carga uniforme é aplicando o fator Km para aumentar

a tensão para maiores larguras de face. Uma regra útil é manter a largura da face F de uma

engrenagem de dentes retos dentro do limite 8/pd < F < 16/pd, com o valor nominal de

12/pd. Essa razão é aplicada com o fator da largura da face.

Tabela 7.4 Fator de distribuição de carga Km.


262

Fator de Aplicação Ka – Se a máquina motora ou movida tem torques ou forças

variando no tempo, essas forças aumentam o carregamento lançado pelos dentes da

engrenagem acima dos valores médios.

Tabela 7.5 Fator de aplicação Ka

Fator de tamanho Ks – As amostras de teste usadas para desenvolver os dados de

resistência a fadiga são relativamente pequenos (cerca de 0.3 in de diâmetro). Se a parte

projetada é maior que a medida, pode ser menos resistente do que indicado pelos dados dos

testes. O fator Ks permite uma modificação da tensão no dente para levar em conta essa

situação. A AGMA não estabeleceu padrões para utilizar o fator Ks. Ela recomenda que

seja ajustado para 1, a menos que o projetista deseje aumentar esse valor para levar em


263

conta situações como a de dentes muito grandes. Um valor de 1.25 a 1.5 seria uma postura

conservativa em tal caso.

Fator Espessura da borda KB – A AGMA define uma razão de retorno mB como:

t

r

B h

tm = (7.26)

onde: tr – espessura da borda ht – profundidade total do dente

Figura 7.14

Essa razão é usada para definir o fator de espessura da borda.

2.10.1

2.15.04.32

>=≤≤+−=

BB

BBB

mK

mmK (7.27)

Razão de retorno <0.5 não é recomendada. Engrenagens de discos sólidos sempre

têm KB = 1.

Fator IDLER KI – Uma engrenagem livre está sujeita a mais ciclos de tensão por

unidade de tempo e a cargas alternadas de maior magnitude do que suas vizinhas fixas. Para

levar em conta essa situação, o fator KI é ajustado para 1.42 para uma engrenagem livre ou

1.0 para uma engrenagem fixa.

7.5. TENSÕES DE SUPERFÍCIE EM ENGRENAGENS DE DENTES RETOS


264

No ponto de contato dos dentes das engrenagens há uma combinação de rolamento e

escorregamento. As tensões na superfície do dente são tensões de contato Hertzianas

dinâmicas combinando rolamento e escorregamento. Essas tensões são 3D e têm valores de

pico na superfície ou um pouco abaixo dela, dependendo da quantidade de escorregamento

presente em combinação com o rolamento.

A fórmula AGMA para resistência ao pitting:

fs

v

mat

pcCC

C

CC

dIF

WC=σ (7.28)

Wt – força tangencial no dente.

d – diâmetro primitivo.

F – largura da face.

I – fator de geometria de superfície adimensional para resistência ao pitting.

Cp – Coeficiente elástico que leva em conta as diferenças das constantes dos materiais na

engrenagem e no pinhão.

Os coeficientes Ca, Cm, Cv e Cs são iguais, respectivamente, a Ka, Km, Kv, e Ks

definidos anteriormente. Os fatores I, Cp e Cf serão definidos.

Fator de Geometria de Superfície I – A AGMA define uma equação para I:

p

gp

d

I

±

=

ρρ

φ11

cos

(7.29)

sendo:

ρp e ρg os raios de curvatura dos dentes do pinhão e da engrenagem, respectivamente.

φ - ângulo de pressão.


265

dp – diâmetro primitivo do pinhão.

Os símbolos ± levam em conta se o par engrenado é externo ou interno. O raio de

curvatura dos dentes é calculado a partir da geometria do engrenamento:

( ) φπφρ coscos1 2

2

d

p

d

p

pp pr

p

xr −−

++=

pg C ρφρ ∓sin=

(7.30)

pd – passo diametral.

rp – raio primitivo do pinhão.

φ - ângulo de pressão.

C – distância entre os centros do pinhão e da engrenagem.

xp – coeficiente de addendum do pinhão, que é igual à porcentagem decimal do

alongamento de addendum nos dentes. Para padrão, dente profundidade total, xp=0. Para

25% dentes de longo addendum, xp=0.25, etc.

Fator de Acabamento Superficial Cf – É usado para levar em conta rugosidades não

usuais no acabamento superficial nos dentes das engrenagens. A AGMA não estabelece

ainda padrões para esse fator, e recomenda que Cf seja ajustado 1 para engrenagens feitas

por métodos convencionais. Contudo, esse valor pode ser aumentado caso necessário.

Coeficiente Elástico Cp – Leva em conta diferenças nos materiais do dente:

−+

−=

g

g

p

p

p

E

v

E

vC

22 11

1

π

(7.31)

Ep e Eg são respectivamente os módulos de elasticidade do pinhão e da engrenagem.


266

vp e vg são os respectivos coeficientes de Poisson.

As unidades de Cp são (psi)0.5 ou (Mpa)0.5. A tabela mostra valores de Cp para várias

combinações de materiais comuns de engrenagem e pinhão, assumindo ν=0.3 para todos os

materiais.

Tabela 7.6 Coeficiente de elasticidade Cp.

7.6. RESISTÊNCIA À FADIGA DE FLEXÃO – AGMA

Os dados de resistência à fadiga de flexão AGMA,'fbS , são todos obtidos em 1e7

ciclos de tensão repetidos (preferivelmente do que 1e6 ou 1e8 ciclos algumas vezes usados

para outros materiais), e para um nível de confiança de 99% (preferivelmente do que o

nível de confiança de 50% comum para fadiga geral e dados de resistência estáticos). Essas


267

resistências são comparadas para picos de tensão σb calculado em equações anteriores,

usando uma carga Wt. A análise da linha de Goodman é encapsulada nessa comparação

direta porque os dados de resistência são obtidos de um teste que proporciona um estado de

tensão flutuante idêntico àquele do verdadeiro carregamento da engrenagem.

A equação de correlação para a resistência de fadiga a flexão de engrenagens é:

'

fb

RT

L

fbS

KK

KS = (7.32)

sendo:

'

fbS → é a resistência a fadiga de flexão AGMA publicada

fbS → é a resistência corrigida

K → fatores modificadores para levar em conta várias condições

Fator de vida KL: Uma vez que os dados de teste são para uma vida de 1e7 ciclos,

um ciclo mais longo ou mais curto necessitará modificações na resistência à fadiga de

flexão baseado na relação S-N para o material.

Fator de temperatura KT: A temperatura do lubrificante é razoavelmente a medida

da temperatura da engrenagem. Para materiais de aços e temperaturas de óleo até cerca de

250° F, KT pode ser ajustado em 1. Para temperaturas mais altas, KT pode ser estimado.

620

460F

T

TK

+= sendo TF a temperatura do óleo em °F. Não use esta equação

para materiais que não sejam aço.


268

Figura 7.15 Fator de Vida KL em função do material e do número de ciclos.

Fator de confiabilidade KR: Os dados de resistência AGMA são baseados na

probabilidade estatística de 1 falha em 100 amostras, ou uma confiabilidade de 99%. Se

isso é satisfatório, ajuste KR=1. Contudo, se uma confiabilidade maior for desejável, KR

pode ser ajustado para um dos valores da Tabela 5.7.

Tabela 7.7 Fator AGMA KR


269

A Tabela 7.8 mostra a resistência à fadiga de flexão AGMA para os materiais mais

comumente usados.

Tabela 7.8 Limite de Resistência a Fadiga em Flexão Sfb.

A Figura 7.15 mostra a variação da resistência de fadiga à flexão para aços em


270

função de sua dureza Brinell.

Figura 7.16 Variação da resistência à fadiga em função da dureza Brinell.

7.7. RESISTÊNCIA À FADIGA DE SUPERFÍCIE – AGMA

Os dados de resistência a fadiga de superfície AGMA publicados, 'fcS , necessitam

de quatro fatores de correção para obter o que designa-se com a resistência a fadiga de

superfície corrigida, fc

S :

'

fc

RT

HL

fcS

CC

CCS = (7.33)


271

Os fatores CT e CR são idênticos, respectivamente, a KT e KR e podem ser

escolhidos como descrito anteriormente. O fator de vida CL tem a mesma finalidade que

KL, contudo, referencia um diagrama S-N diferente.

CH fator de relação de dureza para resistência ao pitting.

Fator de Vida Superficial CL: Uma vez que os dados de teste são para uma vida de

1e7 ciclos, um ciclo mais longo ou mais curto necessitará modificações na resistência a

fadiga superficial baseada na relação S-N para o material.

AGMA sugere que a parte acima da zona sombreada pode ser usada para aplicações

comerciais. A parte abaixo da zona sombreada é tipicamente usada para aplicações em

serviços críticos onde pouco pitting e desgaste dos dentes são permitidos e onde uma

operação suave e com baixo nível de vibração seja requerido. Infelizmente, esse tipo de

dado é disponível apenas para aços.

Figura 7.17 Fator de Vida Superficial CL

Fator de dureza CH: Esse fator é uma função da relação de engrenagem e da dureza

relativa do pinhão e da engrenagem. O fator CH é sempre maior do que 1, portanto sempre

aumenta a resistência aparente da engrenagem. Esse fator leva em conta situações nas quais

os dentes do pinhão são mais duros do que os dentes da engrenagem e agem assim para

endurecer as superfícies dos dentes da engrenagem quando em funcionamento. CH é

aplicado apenas para a resistência de dente de engrenagem, não para pinhão.


272

Para pinhões endurecidos, rodando contra engrenagens completamente duras:

)1(1 −+=GH

mAC (7.34)

Sendo mG a relação de engrenagem e A dado como:

Se 02.1 =→< AHB

HB

g

p

Se 00829.000898.07.12.1 −=→≤≤g

p

g

p

HB

HBA

HB

HB

Se 00698.07.1 =→> AHB

HB

g

p

Sendo HBp e HBg a dureza Brinell do pinhão e engrenagem, respectivamente.

Para pinhões com superfícies duras (>48 HRC) rodando contra engrenagens

completamente duras, teremos CH:

)450(1gH

HBBC −+=

qReB

0112.000075.0

−= U.S

qReB

052.000075.0

−= S.I

(7.35)

Rq é rugosidade da superfície rms dos dentes do pinhão em µin rms.

A Tabela 7.9 mostra a resistência à fadiga superficial AGMA para os materiais mais

usados em engrenagens.


273

Tabela 7.9 Limite de resistência à fadiga de superfície Sfc’

A Figura 7.18 mostra a variação da resistência de fadiga superficial para aços em

função de sua dureza Brinell.


274

Figura 7.18 Variação da resistência à fadiga superficial em função da dureza Brinell.

7.8. LUBRIFICAÇÃO DE ENGRENAGENS

Controlar a temperatura na interface de engrenamento é importante para reduzir

desgaste e marcas nos dentes. Lubrificantes resfriam e separam as superfícies dos metais

para reduzir atrito e o desgaste. Uma quantidade suficiente de lubrificante deve ser

fornecida para permitir a troca de calor proveniente do atrito dos corpos com o meio

ambiente sem permitir que a temperatura no engrenamento seja excessiva.

O modo usual é fornecer um banho de óleo através da carcaça às engrenagens por

imersão, na chamada caixa de engrenagens. A caixa de engrenagens é parcialmente

preenchida com um lubrificante apropriado tal que pelo menos um membro de cada par

engrenado esteja parcialmente submerso. (A caixa nunca fica completamente preenchida

com óleo). A rotação da engrenagem carregará o lubrificante para os engrenamentos e

manterá lubrificadas as engrenagens que não estão submersas. O óleo deve estar sempre

limpo e livre de contaminação, e ser trocado periodicamente. Um procedimento menos


275

desejável para lubrificação, e usado em situações em que a caixa de engrenagem não é

prática, é a aplicação periódica de graxa lubrificante nas engrenagens, quando as mesmas

estão paradas para manutenção. Graxas lubrificantes trocam pouco calor, assim sendo, são

recomendadas apenas para baixas velocidades e baixa carga.

Lubrificantes de engrenagem são tipicamente óleos à base de petróleo de diferentes

viscosidades dependendo da aplicação. Óleos leves (10-30W) são algumas vezes usados

para engrenagens com velocidades altas o suficiente e/ou cargas baixas o suficiente para

promover a lubrificação elasto-hidrodinâmica. Em pares engrenados altamente carregados

e/ou com baixa velocidade, ou aqueles com elevado escorregamento, freqüentemente

utilizam lubrificantes de extrema pressão. São óleos 80-90W para engrenagens com

aditivos a base de óleos graxos que garantem lubrificação completa no engrenamento.

ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII

276

CAPÍTULO VIII

PROJETO DE ENGRENAGENS HELICOIDAIS

8.1. INTRODUÇÃO

Engrenagens helicoidais são muito parecidas com as engrenagens de dentes retos.

Seus dentes são involutas. A diferença é que seus eixos são angulados em relação ao seu

eixo de rotação em uma hélice de angulo ψ. Caso a engrenagem seja longa o suficiente

axialmente, algum dente poderá envolver uma circunferência de 360°. Os dentes formam

uma hélice, que pode ser à direita ou à esquerda.


277

Figura 8.1 - Montagem Paralela

Engrenagens Helicoidais Paralelas –

engrenagem com uma combinação de rolamento e

escorregamento com o contato iniciando no final

de um dos dentes e “corre” através da largura de

sua face. Isto é bem diferente que o contato do

dente de engrenagens de dentes retos, o qual

ocorre todo de uma vez ao longo de uma linha

através da face do dente no instante do contato.

Um resultado dessa diferença é que as

engrenagens helicoidais são mais silenciosas e

apresentam menos vibrações do que as

engrenagens de dentes retos em virtude do gradual

contato entre os dentes.

Figura 8.2 - Montagem a 90o

Engrenagens Helicoidais Cruzadas – Seus

dentes escorregam se rolamento e são

teoricamente contato ponto ao invés de contato

linha como as engrenagens paralelas. Isso reduz

drasticamente sua capacidade de carga.


278

8.2 GEOMETRIA DA ENGRENAGEM HELICOIDAL

Figura 8.3 - Geometria da Engrenagem Helicoidal

Os dentes formam um angulo de hélice ψ com o “eixo” do engrenamento. Os dentes

são cortados com esse ângulo e o dente formado está então num plano normal. O passo

normal pn e o ângulo de pressão normal φn são medidos nesse plano. O passo transversal pt

e o ângulo de pressão transversal φt são medidos no plano transversal. Essas dimensões

estão relacionadas através do ângulo da hélice. O passo transversal é a hipotenusa do

triângulo retângulo ABC:

( )Ψ=

cosn

t

pp (8.1)

Um passo axial px pode ser definido com sendo a hipotenusa do triângulo retângulo

BCD:


279

( )Ψ=

sin

pp n

x (8.2)

Pt corresponde ao passo circular Pc, medido no plano de passo de uma engrenagem

circular. O passo diametral é mais comumente usado para definir o tamanho do dente e está

relacionado ao passo circular sendo, N o número de dentes e d o diâmetro do passo.

tcd ppd

Np

ππ === (8.3)

O passo diametral no plano normal é:

( )Ψ=

cost

nd

pp (8.4)

O ângulo de pressão nos dois planos estão relacionados por:

Ψ==

cos

tantantan n

t

φφφ (8.5)

8.3 ESFORÇOS EM ENGRENAGENS HELICOIDAIS

Um conjunto de forças agindo em um dente é mostrado esquematicamente na

Figura 8.3. A força resultante W está num ângulo composto definido pelo ângulo de

pressão e o angulo da hélice em combinação. A componente da força tangencial Wt no

engrenamento pode ser encontrada do torque aplicado na engrenagem ou no pinhão,


280

φtantr WW = (8.6)

Além da componente radial Wr devido ao ângulo de pressão, há também uma

componente da força Wa que tende a separar a engrenagem axialmente.

As componentes da força num par engrenado helicoidal são:

φtantr WW = (8.7)

Ψ= tanta WW (8.8)

n

tWW

φcoscosΨ= (8.9)

8.3.1 Número de dentes Virtuais:

Além de um funcionamento mais silencioso do que as engrenagens de dentes retos, as

engrenagens helicoidais possuem dentes relativamente mais fortes do que uma engrenagem

de dentes retos com o mesmo passo normal, passo diametral número de dentes.

A componente da força que transmite o torque é Wt a qual encontra-se no plano

transversal. O tamanho dos dentes (passo normal) é definido no plano normal. A espessura

do dente no plano transverso é:

Ψcos1 (8.10)

vezes o da engrenagem de dentes retos de mesmo passo normal.

Outra maneira de visualizar isso é considerar o fato de que a interseção do plano

normal e o cilindro primitivo de diâmetro d é uma elipse cujo raio é:


281

Ψ

=2cos

2

d

re (8.11)

Nós podemos definir um número de dentes virtual. Ne como o quociente da

circunferência de um círculo de passo virtual de radio re e o passo normal pc.

Ψ==

2cos

2

nn

ee

p

d

p

rN

ππ (8.12)

sabendo que:

( )Ψ=

cosn

t

pp → )(cos3 Ψ

=t

e p

dN

π (8.13)

e substituindo:

N

dpt

π= → )(cos3 Ψ= N

Ne (8.14)

Isso define uma engrenagem virtual que é equivalente a uma engrenagem de dentes

retos com Ne dentes, porém com dentes mais resistentes tanto para flexão quanto para

fadiga de superfície do que uma engrenagem de dentes retos com o mesmo número de

dentes de uma engrenagem helicoidal.

A razão de contato transversal mp para engrenagens de dentes retos e engrenagens

helicoidais é:


282

bp p

Zm = e φπ cos

Zpm d

p = (8.15)

O ângulo de hélice introduz uma outra razão chamada de razão de contato axial mF,

que é definido como sendo o cociente da largura da face F e o passo axial px:

πΨ

==tand

xF

pF

p

Fm (8.16)

Esta razão deveria ser pelo menos 1.15 e indica o grau de sobreposição helicoidal

(helical overlap) no engrenamento. Assim como uma razão de contato transversal permite a

múltiplos dentes divida a carga, uma largura de face maior para um dado ângulo da hélice

aumentará o entrelaçamento dos dentes e assim promoverá uma divisão da carga. Contudo,

divisão efetiva de carga ainda estará limitada pela precisão com a qual as engrenagens são

feitas. Note que ângulos de hélice maiores aumentarão a razão de contato axial, permitindo

engrenagens de larguras mais estreitas serem usadas, mas isso ocorrerá às custas de

componentes axiais de forças maiores.

Se, mF for mantido acima de 1 como desejado, as engrenagens serão consideradas

helicoidais convencionais. Se mF < 1 elas serão chamadas de engrenagens de razão de

contato convencionalmente baixa e seus cálculos envolvem passos adicionais. Consulte

padrão AGMA para mais informações.

8.4 TENSÕES EM ENGRENAGENS HELICOIDAIS

As equações AGMA para tensões de flexão e tensões de superfície em engrenagens

de dentes retos são também usadas para engrenagens helicoidais. Assim sendo, tudo o que

foi dito anteriormente, a respeito da explicação e definição dos termos não será repetido.

Para tensão de flexão temos:


283

IBsv

madtb KKK

K

KK

FJ

pW=σ US

IBsv

matb KKK

K

KK

JmF

W=σ SI

(8.17)

Para tensão de superfície:

fsv

matc CC

C

CC

dIF

W=σ (8.18)

As únicas diferenças significativas em suas aplicações para engrenagens helicoidais

envolve os fatores geométricos I e J. Os valore de J para algumas combinações de ângulos

de hélice, ângulo de pressão, e razão de addendum (0, 5, 25º) serão apresentados na forma

de tabelas.

O calculo de I para uma par de engrenagens helicoidais convencionais requer a

inclusão de um termo adicional quando comparamos com o mesmo cálculo para

engrenagens de dentes retos.

Npgp

md

I

±

=

ρρ

φ11

cos

(8.19)

sendo mN razão de divisão de carga definida como:

minL

FmN = (8.20)


284

Onde F é a largura da face. O cálculo do mínimo comprimento das linhas de contato

Lmín requer vários passos. Primeiro, dois fatores devem ser formados dos resíduos da razão

de contato transversal mp e da razão de contato axial mF.:

pr mdefracionalparten =

Fa mdefracionalparten =

e se

b

xrapmínra

pnnFmLentãonn

Ψ−

=−≤cos

1 (8.21)

e

( )( )b

xrapmínra

pnnFmLentãonn

Ψ−−−

=−>cos

111 (8.22)

Todos os fatores nessas equações já foram definidos anteriormente exceto bΨ , ângulo

da hélice na base,

Ψ=Ψ −

φφ

cos

coscoscos 1 n

b (8.23)

Também o raio de curvatura de um pinhão helicoidal é calculado com uma formula

deferente daquela usada para engrenagens de dentes retos.

( ) ( )[ ]{ } ( )22 cos5.0 φρ pggppp rarCar −−−±+=

pp sinC ρφρ ±=

(8.24)


285

Sendo

( ) ( )ggpp arear ,,

os raios primitivos e os addendum do pinhão e da engrenagem, respectivamente, e C é a

distância entre centros real de operação.

Tabela 8.1 – Fator geométrico de flexão J da AGMA para φ = 20°, ψ = 10° dentes de

profundidade completa com carregamento na ponta




286








287



ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX

288

CAPÍTULO IX

PROJETO DE EMBREAGENS E FREIOS

9.1. INTRODUÇÃO

Embreagens e Freios são basicamente o mesmo dispositivo, permitindo um

acoplamento friccional, magnético, ou mecânico entre dois elementos. Se ambos os

elementos giram, é chamado de embreagem. Se um elemento gira e o outro é fixo, é

chamado de freio.

9.2. TIPOLOGIA

Freios e embreagens podem ser classificados de várias maneiras: pela natureza de

sua atuação; pelo modo da transferência de energia entre os elementos; e pela natureza do

acoplamento. Os modos de atuação podem ser: mecânico, pneumático ou hidráulico,

elétrico, ou automático.

9.3. EMBREAGENS

9.3.1 Embreagem de contato positivo: Um dos meios de transferência de energia pode ser contato mecânico positivo, como

em uma embreagem dentada. Esses dispositivos não são úteis para freios porque não podem

dissipar grandes quantidades de energia como os freios de fricção. Como embreagem eles

podem ser engrenados apenas em velocidades relativas baixas. Sua vantagem é o

engrenamento positivo e, uma vez acoplado, pode transmitir alto torque sem

escorregamento. Eles são algumas vezes combinados com uma embreagem de fricção, que

arrasta os dois elementos para quase a mesma velocidade antes dos dentes engrenarem.

Esse é o princípio da embreagem sincronizada em uma transmissão automotiva escalonada.


289

Figura 9.1 - Classificação de Embreagens e Freios.

Figura 9.2 - Embreagem e freio de fricção.


290

São os tipos mais comuns. Duas ou mais superfícies são prensadas com uma força

normal para criar um torque de fricção. Pelo menos uma das superfícies de fricção é

tipicamente um metal (ferro fundido ou aço) e a outra é usualmente um material de alta

fricção, aplicado como forro.

Embreagens de fricção

podem ser secas ou lubrificadas

(num banho de óleo). Enquanto

o óleo reduz severamente o

coeficiente de fricção, aumenta

em muito a transferência de

calor. O coeficiente de fricção

das combinações de materiais

embreagem/freio varia de 0.05

em óleo até 0.60 em contato

seco.

Figura 9.3 Embreagem de Fricção.

9.3.2 Embreagens propulsoras:

Também chamadas embreagens “one-way”. Funcionam automaticamente baseadas

na velocidade relativa dos dois elementos, os quais agem na circunferência e permitem

rotação relativa apenas em uma direção. Se tentarmos reverter a rotação, a geometria

interna do mecanismo da embreagem prende, e o eixo trava. Uma de suas aplicações é no

cubo traseiro de bicicletas.


291

Figura 9.4 – Embreagens de sobremarcha; (a) embreagem de escovas; (b) embreagem de mola enrolada

9.3.3 Embreagens Centrífugas:

Engata automaticamente quando a velocidade do eixo excede um certo valor.

Elementos de fricção são jogados radialmente para fora contra a parte interna de um tambor

cilíndrico para engatar a embreagem. Engrenagens centrífugas são usadas algumas vezes

para acoplar um motor de combustão interna e o sistema de transmissão.

9.3.4 Acoplamentos por Fluidos:

Transmitem torque através de um fluído, tipicamente um óleo. Um rotor tendo um

conjunto de lâminas é rodado através de um eixo de entrada e transfere momento angular

para o óleo que o circunda.

Uma turbina com lâminas similares é acoplada ao eixo de saída e é posta em

movimento pelo óleo que se choca contra ela. O princípio de funcionamento é similar ao

de colocarmos dois ventiladores face a face e ligarmos apenas um deles. Usar óleo

incompressível num volume confinado é muito mais eficiente do que duas hélices em

ambiente aberto, especialmente quando o rotor e as lâminas da turbina são otimamente

modulados para bombear o óleo.


292

Um acoplamento por fluido proporciona partidas extremamente suaves e absorve

choques, visto que o fluido simplesmente cisalha quando há um diferencial de velocidade, e

então gradualmente acelera (ou desacelera) a turbina de saída para quase ajustar a

velocidade do rotor.

Haverá sempre algum escorregamento, o que significa que a turbina nunca poderá

atingir 100% da velocidade do rotor (0% de escorregamento), mas pode operar em 100% de

escorregamento quando parada. Toda a energia de entrada será então transformada em calor

cisalhando o óleo. Se usado como um freio, o fluido de acoplamento pode proporcionar

apenas uma resistência para retardar o dispositivo como em um dinamômetro, mas não

pode suportar uma carga estacionária.

Se um terceiro elemento estacionário com um conjunto lâminas curvas, chamado de

reator ou estator é colocado entre o rotor e a turbina, um momento angular adicional é dado

ao fluído e o dispositivo é então chamado de conversor de torque. Conversores de torque

são usados em veículos para acoplar o motor e transmissão automática.

9.3.5 Embreagens e Freios Magnéticos:

Embreagens de fricção são geralmente operadas eletromagneticamente, tendo

muitas vantagens, tais como tempo de resposta rápida, fácil controle, partidas e paradas

suaves e são disponíveis para acionamento e desativação seguros.

Existem versões de embreagens e freios, assim como um módulo combinado de

embreagem-freio.


293

Figura 9.5 - Embreagem de fricção operando magneticamente.

Embreagens e Freios de Partículas Magnéticas – Não têm um atrito direto entre os

discos da embreagem e a armadura (carcaça) e nenhum material de fricção para desgaste.

A fenda entre as superfícies é preenchida com pó de ferro. Quando a bobina é

energizada as partículas do pó de ferro formam uma corrente através das linhas de fluxo do

campo magnético e acoplam o disco com a armadura (carcaça) sem escorregamento. O

torque pode ser controlado variando a corrente na bobina e o dispositivo irá escorregar

quando o torque aplicado exceder o valor ajustado pela corrente na bobina, proporcionando

uma tensão constante.

Embreagens e Freios de Histerese Magnética - Não ocorre um contato mecânico

entre os elementos e assim a fricção é nula no desengate. O rotor é arrastado (ou freado) por

um campo magnético ajustado pela bobina. Esses dispositivos são extremamente suaves,

silenciosos, e possuem longa vida, uma vez que não há contato mecânico dentro da

embreagem, exceto nos mancais.


294

Figura 9.6 - Embreagem de histerese

Embreagens de Corrente Parasita ou de Foucault – São similares em construção aos

dispositivos de histerese magnética, uma vez que eles não têm contato mecânico entre o

rotor e o pólo. A bobina ajusta a corrente parasita que acopla magneticamente a

embreagem. Haverá sempre algum escorregamento nesse tipo de embreagem por causa do

movimento relativo entre as partes para gerar a corrente parasita, que fornece a força de

acoplamento. Assim sendo, essa embreagem não pode suportar cargas estacionárias, apenas

prover a desaceleração de uma velocidade para outra.

9.3.6 Embreagens – Seleção e Especificação:

Fabricantes de embreagens e freios possuem uma vasta gama de informações sobre

a capacidade de torque e potência para os vários modelos em catálogo. Eles também

definem procedimentos para seleção e especificação, usualmente baseados em torque e

potência pré-definidos para aplicação, além de um fator de serviço sugerido que tem como

finalidade ajustar diferentes cargas, instalações, ou fatores ambientais sobre os quais o

produto é testado.


295

Fatores de Serviços – De acordo com muitos fabricantes de embreagem, uma causa

comum de problema é a falha de projeto na aplicação adequada do fator de serviço, levando

em conta a condição particular de aplicação. Isso pode ser, em parte, devido à confusão

gerada pela falta de padronização do fator de serviço. Um fabricante pode recomendar um

fator de serviço 1.5 para uma condição particular, enquanto outro fabricante recomenda 3.0

para a mesma condição. Ambos estarão corretos no projeto da embreagem, porque, em um

caso, o fabricante pode ter considerado um fator de segurança no projeto, enquanto o outro

aplica-o no fator de serviço.

Embreagens que fiquem ligeiramente menores que o necessário para uma carga

aplicada irão escorregar e superaquecer. Em contra partida, uma embreagem excessiva para

a carga é também ruim, já que adiciona inércia ao conjunto e pode sobrecarregar o motor na

aceleração. A principal preocupação dos projetistas de máquinas deve ser a exata definição

da carga e das condições do ambiente de operação, o que requer cálculos extensivos de

momentos de inércia de todos os elementos do sistema movido pela embreagem ou freio

Localização da Embreagem - o sistema necessita de uma embreagem quando uma

máquina apresenta eixos de alta e baixa velocidade.

O torque (e qualquer carga de choque) é maior nos eixos de baixa velocidade do que

em eixos de alta velocidade por um fator igual a razão de transmissão. A potência é

essencialmente a mesma em ambos os locais (negligenciando perdas no trem de

transmissão), mas a energia cinética no eixo de alta velocidade é maior por um fator igual

ao quadrado da razão de transmissão.

A embreagem no lado de baixa velocidade deve ser maior (e assim mais cara) para

suportar o torque maior. Contudo, uma embreagem menor e mais barata no lado de alta

velocidade deve dissipar a energia cinética maior naquele local e assim pode superaquecer

mais rapidamente.

Alguns fabricantes recomendam usar sempre o lado de alta velocidade para

posicionar a embreagem se possível. Assim sendo, a economia inicial é maior. Outros

fabricantes sugerem que um custo inicial elevado, colocando embreagens maiores no lado

de baixa velocidade, será compensado pelo baixo custo de manutenção durante o tempo de

funcionamento. O balanço parece pender para o posicionamento em alta velocidade,

contudo cada situação deve ser analisada individualmente.


296

Tabela 9.1 - Propriedades dos Materiais Mais Comuns em Embreagens e Freios.

9.3.7 Embreagens de Discos: A mais simples embreagem de disco é formada por dois discos, sendo um deles

forrado com material de alta fricção, prensado axialmente com uma força normal, para

gerar a força de fricção necessária para transmitir o torque. A pressão entre as superfícies

da embreagem pode aproximar-se de uma distribuição uniforme sobre a superfície se os

discos forem suficientemente flexíveis. Em tais casos, o desgaste será maior em diâmetros

maiores porque o desgaste é proporcional à pressão X velocidade (p x V) e a velocidade

aumenta linearmente com o raio. Embora os discos desgastem preferencialmente no lado

externo, a perda de material mudará a distribuição de pressão para não uniforme e a

embreagem aproximará uma condição de uso uniforme pV = constante. Assim os dois

extremos são, uma condição de pressão uniforme e uma de desgaste uniforme. Uma

embreagem flexível pode estar próxima de uma condição de pressão uniforme quando

nova, mas tenderá para uma condição de desgaste uniforme com o uso. Uma embreagem

rígida aproximará mais rapidamente da condição de uso uniforme. Os cálculos para cada

condição são diferentes e a suposição de desgaste uniforme fornece uma avaliação de

embreagem mais conservativa, sendo mais aprovada por alguns projetistas.


297

Figura 9.7 - Embreagem de disco axial de superfície simples.

9.4. PROJETO PARA PRESSÃO UNIFORME

Considere um anel de área elementar na face da embreagem de largura dr . A força

diferencial agindo no anel é:

drrpdF π2= (9.1)

sendo r o raio e p a pressão uniforme na face da embreagem.

A força total axial F na embreagem pela integração entre os limites ir e or será:

( )222 ioor

irrrpdrrpF −== ∫ ππ (9.2)

O torque de fricção no elemento de anel diferencial é:

drrpdT 22 µπ= (9.3)

sendo µ o coeficiente de fricção.


298

O torque total para um disco da embreagem é:

( )332

3

22 io

or

irrrpdrrpT −== ∫ µπµπ (9.4)

Para uma embreagem de discos múltiplos com N faces de fricção:

( )NrrpT io33

3

2 −= µπ (9.5)

Combinando as equações obtemos uma expressão para o torque como uma função

da força axial:

( )( )22

33

3

2

io

io

rr

rrFNT

−−

= µ (9.6)

9.5. Projeto para Desgaste Uniforme:

A taxa de desgaste W é proporcional ao produto da pressão p e da velocidade V :

W = pV = constante (9.7)

A velocidade em qualquer ponto da face da embreagem é: ωrV = .

Combinando as equações e assumido uma velocidade angular constate ω :

Pr = constante = K (9.8)

A maior pressão maxp deve ocorrer no menor raio ir :


299

irpK max= (9.9)

Combinando as equações temos uma expressão para a pressão em função do raio r :

r

rpp i

max= (9.10)

sendo que a máxima pressão permissível maxp irá variar com o material de forro usado.

A força axial F é a integral da equação da força diferencial no anel substituindo

( )ioi

r

r

ir

rrrprdrr

r

rpdrrpF

o

i

o

i

−=

== ∫∫ maxmax 222 πππ (9.11)

O torque será:

( )22max

22 ioior

irrrprdrrpT −== ∫ µπµπ (9.12)

Combinado as equações relacionando torque e força tangencial:

( )2

io rrFNT

+= µ (9.13)

sendo N o número de superfícies de fricção na embreagem.

Da equação acima nota-se que o máximo torque para qualquer raio externo or é

obtido quando o raio interno é:

oi rrr 577.031

0 == (9.14)


300

9.6. FREIO A DISCO

As equações para embreagem a disco também se aplicam para freios a disco.

Contudo, freios a disco são raramente forrados em toda a circunferência da face devido ao

superaquecimento. Enquanto embreagens freqüentemente são usadas com ciclo ativo leve,

freios freqüentemente devem absorver uma grande quantidade de energia em aplicações

repetitivas. Freios de disco com pinça, como os usados em automóveis, usam segmentos de

fricção aplicados contra uma pequena fração da circunferência do disco, deixando o

restante exposto para refrigeração. O disco é algumas vezes ventilado com passagens de ar

internas para ajudar a refrigeração. O freio de bicicleta comum é um outro exemplo no qual

o aro da roda é o disco e o freio comprime apenas uma pequena fração da circunferência.

Algumas vantagens do freio a disco sobre o freio a tambor são a boa controlabilidade e

linearidade (torque de frenagem é diretamente proporcional à força axial aplicada).

Figura 9.8 - Freio a disco para bicicletas.


301

9.7. FREIO A TAMBOR

Nos Freios a Tambor (ou embreagens) aplica-se o material de fricção à

circunferência de um cilindro externamente, internamente ou ambos. Esses dispositivos são

mais freqüentemente usados como freios do que como embreagens. A parte na qual o

material de fricção é fixado é chamada sapata do freio e a parte contra a qual fricciona é

chamada de tambor. A sapata é forçada contra o tambor para criar o torque de fricção. A

configuração mais simples do freio a tambor é o freio de banda, na qual uma sapata flexível

circunda grande parte da circunferência externa do tambor, sobre o qual é comprimida.

Alternativamente, uma sapata forrada relativamente rígida pode ser pivotada contra a

circunferência interna ou externa (ou ambas) do tambor. Se o contato da sapata tiver uma

porção angular pequena, o sistema será chamado de freio de sapata curta, caso contrário,

será chamado de freio de sapata longa.

9.7.1 Freio a Tambor Externo com Sapata Curta:

Figura 9.9 - Geometria e forças para um freio a tambor externo de sapata curta; (a) conjunto

de frenagem; (b) diagrama de corpo livre.

Se o ângulo θ formado pelo arco de contato entre a sapata e o tambor for pequeno

(<45°), então podemos considerar que a distribuição de forças entre a sapata e o tambor é

uniforme, e pode ser substituída por um força concentrada nF no centro da área de contato.

Para qualquer pressão permissível no forro maxp , a força nF pode ser estimada:


302

wrpFn θmax= (9.15)

sendo w a largura da sapata do freio na direção z e θ é o ângulo formado em radianos.

A força friccional fF é:

nf FF µ= (9.16)

sendo µ o coeficiente de fricção do material e do freio.

O torque no freio a tambor é então:

rFrFT nf µ== (9.17)

Somando o momento em torno de O :

∑ +−== fna FcFbFaM 0 (9.18)

a

cbF

a

FcFb

a

FcFbF n

nnfna

µµ −=−=−

= (9.19)

As forças de reação no pivô serão:

fx FR −= (9.20)

naa FFR −= (9.21)


303

Processo de Auto-Energização

Figura 9.10 - Auto-Energização.

Com a direção de rotação do tambor mostrada, o momento de fricção fFc

adiciona-se ao momento atuante aFa . Isto é a auto-energização. Com a aplicação de

qualquer força aF a fricção gerada na sapata aumenta o torque de frenagem. Contudo, se

o tambor girar no sentido contrário, o sinal do momento de fricção fFc torna-se negativo

e o freio é então auto-desenergizado.

Essa característica de auto-energização do freio a tambor é uma grande vantagem,

visto que reduz a aplicação da força necessária se comparado a um freio a disco de mesma

capacidade. Freios a tambor têm tipicamente duas sapatas, uma das quais pode ser auto-

energizada em cada direção, ou ambas em uma direção. A última montagem é geralmente

utilizada em freios automotivos para ajudar na parada em movimentos para frente e não

para marcha ré.

Processo de Auto-Travamento

Se o freio é auto-energizado e o produto bc ≥µ , a força aF necessária para

atuar o freio torna-se nula ou negativa. O freio é então chamado de auto-travado. Se a

sapata toca no tambor, ela trava. Isso não é usualmente uma condição desejada exceto nas


304

chamadas aplicações de travamento de retorno (backstoppoing) como descrito em

embreagens propulsoras. De fato, um freio com auto-travamento pode funcionar como uma

embreagem propulsora para “parar a volta” (backstop) de uma carga e preveni-la de soltar

se a potência for cortada.

9.7.2 Freio a Tambor Externo com Sapata Longa:

Figura 9.11 - Geometria e forças para um freio a tambor externo de sapata longa

Se o ângulo de contato θ entre a sapata e o tambor for maior do que 45°, então a

suposição de uma distribuição de pressão uniforme sobre a superfície da sapata não será

exata. A maioria dos freios a tambor tem ângulo de contato de 90° ou mais, então uma

análise mais exata do que a suposição feita em sapatas curtas será necessária.

Uma vez que nenhuma sapata de freio será infinitamente rígida, sua deflexão afetará

a distribuição de pressão. Com o uso, a sapata irá rodar ao redor do ponto O e o ponto A

percorrerá mais do que o ponto B devido a maior distância de O . A pressão em qualquer

ponto na sapata também varia em proporção com a distância de O .

Se o tambor roda com velocidade constante e o uso é proporcional ao trabalho feito,

isto é, o produto pV , então no ponto arbitrário da sapata C a pressão normal p será

proporcional a sua distância do ponto O :


305

( ) ( )θθ sensenbp ∝∝ (9.22)

Desde que a distância b é constante, a pressão normal em qualquer ponto é

proporcional ao ( )θsen :

( )θsenKp = (9.23)

Se a máxima pressão permissível para o material é maxp , então a constate K pode

ser definida como:

max

max

θθ sen

p

sen

pK == (9.24)

sendo maxθ o mínimo entre 2θ e °90 .

Então:

θθ

sensen

pp

max

max= (9.25)

Essa equação define a pressão normal em qualquer ponto da sapata com

θsen desde que maxp e 2θ sejam constantes para qualquer freio particular. Assim, a força

de fricção é pequena para θ pequeno sendo ótima para °= 90θ .

Pouco se ganha usando °>°< 12010 21 θθ ou .

Para obter a força total na sapata, a função pressão deve ser integrada sobre a faixa

angular da sapata. Considerando um elemento diferencial θd , sujeito a duas forças

diferenciais, ndF e fdF , com momentos respectivos ao redor do ponto O de θsenb

e θsenbr − . Integrando :


306

∫∫∫ ==== 2

1

2

1

2

1

2

max

maxθ

θ

θ

θ

θ

θθθ

θθθθθ dsen

sen

pbrwdsenpbrwsenbdrwpM

nF

( ) ( )

−−−= 1212max

max 224

1

2

1 θθθθθ

sensensen

pbrwM

nF (9.26)

sendo w a largura do tambor na direção z . Para o momento devido à força friccional:

( ) ( )∫∫ =−=−= 2

1

2

1

coscosmax

maxθ

θ

θ

θθθθ

θµθθµ dbrsen

sen

prwbrdrwpM

fF

( ) ( )

−−−−= 12

22

12max

max

2coscos θθθθ

θµ sensen

br

sen

prwM

fF (9.27)

Somando os momentos ao redor do ponto O :

a

MMF fn FF

a

∓

= (9.28)

sendo o sinal superior para freios auto-energizados e o sinal inferior para freios auto-

desenergizados. Freio com auto-travamento também pode ocorrer se nFfF MM > .

O torque do freio será obtido integrando a expressão do produto da força de fricção

fF e do raio do tambor r :

∫∫ == 2

1

2

1max

max2θ

θ

θ

θθθ

θµθµ dsen

sen

prwrdrwpT


307

( )21max

max2 coscos θθθ

µ −=sen

prwT (9.29)

As forças de reação xR e yR são obtidas somando-se as forças nas direções x e

y :

∫∫ ∫∫ +=+= 2

1

2

1

coscosθ

θ

θ

θθθµθθθθ dsenprwdprwdFsendFR fnx

∫∫ += 2

1

2

1

2

max

max

max

max cosθ

θ

θ

θθθ

θµθθθ

θdsen

sen

prwdsen

sen

prw

( ) ( )

−−−+

−−= 1212

12

22

max

max 224

1

2

1

22θθθθµθθ

θsensen

sensen

sen

prwRx (9.30)

a

anfy

Fdsensen

prwdsen

sen

prw

FdFsendFR

−+=

−+=

∫∫

∫∫2

1

2

1

2

max

max

max

max cos

cos

θ

θ

θ

θθθ

θµθθθ

θµ

θθ

( ) ( ) ay Fsensensensen

sen

prwR −

−−−+

−−= 1212

12

22

max

max 224

1

2

1

22θθθθθθµ

θ (9.31)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO X

308

CAPÍTULO X

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Norton, R. L., Machine Design – An Integrated approach, Prentice Hall, USA, 2000.

[2] Collins, J. A., Mechanical Design of Machine Elements and Machines, John Wiley &

Sons, USA, 2003.

Índice

1. INTRODUÇÃO AO PROJETO DE COMPONENTES MECÂNICOS 1

2. TEORIAS DE FALHA ESTÁTICA E DINÂMICA 18

3. PROJETO DE EIXOS DE TRANSMISSÃO E ACOPLAMENTOS RADIAIS E AXIAIS 61

4. MANCAIS 113

5. UNIÕES E ROSCAS 167

6. MOLAS 201

7. PROJETO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS PLANAS 242

8. PROJETO DE ENGRENAGENS HELICOIDAIS 276

9. PROJETO DE EMBREAGENS E FREIOS 288

10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 308

Documents

Apostila - Elementos de Máquinas