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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO CENTRO DE CIÊNCIAS AGRARIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FLORESTAL ELEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E DE ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS NORMAN BARROS LOGSDON CUIABÁ, MT. - 1989

Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSOCENTRO DE CIÊNCIAS AGRARIAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FLORESTAL

ELEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAISE DE ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS

NORMAN BARROS LOGSDON

CUIABÁ, MT. - 1989

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SUMÁRIO

CONTEÚDO PÁGINA

1. RESUMO DE ALGUNS PRINCÍPIOS DA ESTÁTICA 11.1. SISTEMA DE UNIDADES 11.2. NOÇÕES SOBRE FORÇAS 21.3. DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA 31.4. EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 51.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7

2. APOIOS 92.1. APOIO MÓVEL 92.2. APOIO FIXO 102.3. ENGASTAMENTO MÓVEL 122.4. ENGASTAMENTO FIXO 122.5. ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS 132.6. CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO (ESTRUTURAS

ISOSTÁTICAS) 152.7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21

3. ESFORÇOS SOLICITANTES 233.1.CONCEITUAÇÃO 233.2. BARRAS, VIGAS E PILARES 253.3. CÁLCULO DE ESFORÇOS SOLICITANTES 263.4. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES 313.5. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS 403.6. RELAÇÕES DIFERENCIAIS ENTRE ESFORÇOS SOLICITANTES 463.7. TEOREMAS AUXILIARES PARA O TRAÇADO DE DIAGRAMAS

DE ESFORÇOS SOLICITANTES 483.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 64

4. ESTUDO ELEMENTAR DA RESISTÊNCIA 684.1. TRAÇÃO E COMPRESSÃO 684.2. CISALHAMENTO SIMPLES 724.3. FLEXÃO DE BARRAS COM SEÇÃO SIMÉTRICA 734.4. DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO 794.5. FLAMBAGEM 884.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 95

5. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES PLANAS 985.1. GENERALIDADES 985.2. DEFINIÇÕES 100

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CONTEÚDO PÁGINA

5.3. TABELAS DE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕESPLANAS 101

5.4. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 1045.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 115

6. TEORIA DAS TRELIÇAS 1176.1. GENERALIDADES 1176.2. TIPOS DE TRELIÇAS 1176.3. NOMENCLATURA UTILIZADA 1216.4. CÁLCULO DE ESFORÇOS NAS BARRAS DE TRELIÇAS

ISOSTÁTICAS 1226.5. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS LINEARES 1406.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 153

7. BIBLIOGRAFIA 165

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PREFÁCIO

O objetivo deste trabalho é condensar, em um texto único, os conceitos básicos,sobre Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas, necessários ao curso deEngenharia Florestal.

A necessidade, sobre o assunto, para o Engenheiro Florestal, é relativamentepequena, limitando-se as estruturas isostáticas simples, como vigas, pilares e treliçasplanas.

Desta forma, este trabalho não pretende esgotar o assunto, restringindo-se a estasestruturas. Para melhor assimilação do assunto algumas demonstrações são simplificadaspela omissão de alguns fenômenos, integrantes do problema em questão, sem, entretanto,invalidar a teoria para o caso geral , outras não passam de mera mostra de cálculo.

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l. RESUMO DE ALGUNS PRINCÍPIOS DA ESTÁTICA

Uma estrutura é uma obra estática, isto é, não deve sofrer deslocamentos, por este motivo,introduzir-se-á neste capitulo alguns dos princípios da estática, tais como: sistema deunidades, noções sobre forças e equilíbrio de um corpo rígido.

1.1. SISTEMA DE UNIDADES

Neste curso adotar-se-á o SISTEMA INTERNACIONAL (MKS), por ser o sistema deunidades oficial, vigente no pais, as unidades básicas deste sistema são:

Para as UNIDADES DE COMPRIMENTO o sistema utiliza o METRO (m) seus múltiplose submúltiplos:

Metro (m)Centímetro (cm)Milímetro (mm)Quilômetro (km)

1 cm = 10-2 m 1 mm = 10-3 m = 10-1 cm 1 km = 103 m = 105 cm = 106 mm

Para as UNIDADES DE MASSA o sistema utiliza o QUILOGRAMA (kg) seus múltiplose submúltiplos:

Quilograma (kg)Grama (g)Tonelada (ton.)

1 g = 10-3 kg 1 ton. = 103 kg = 106 g

Para as UNIDADES DE TEMPO o sistema utiliza o SEGUNDO (s) e seus múltiplos:

Segundo (s)Minuto (min)Hora (h)

l min = 60 s 1 h = 60 min = 3600 s

A unidade de força, neste sistema, é obtida das anteriores. Sabendo-se que FORÇA É ACAUSA DE UMA ACELERAÇÃO SOBRE UMA DETERMINADA MASSA (F = m.a),a unidade de força é composta, produto de uma unidade de massa por uma unidade deaceleração, resultando kg.m/s2 ao qual denomina-se NEWTON (N). Assim paraUNIDADES DE FORÇA o sistema utiliza o NEWTON (N) e seus múltiplos:

Newton (N)Quilonewton (kN)Meganewton (MN)

1 N = 1 kg.m/s2

1 kN = 103 N 1 MN = 103 kN = 106 N

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1.2. NOÇÕES SOBRE FORÇAS

A força mais conhecida é o PESO (P), definido como sendo A CAUSA DAACELERAÇÃO DA GRAVIDADE (g = 9,81 m/s2) SOBRE UMA DETERMINADAMASSA (P = m . g), TEM SEMPRE A DIREÇÃO VERTICAL E O SENTIDO PARABAIXO.

Em estruturas, em geral, as forças atuantes são originárias de pesos, entretanto sua direçãopode ser diferente da vertical, conforme exemplo representado na figura 01.

FIG. 01 - Força atuante, em direção diferente da vertical , originária de um peso

O peso de um corpo é na realidade a soma dos pesos de todas as suas moléculas, na prática,entretanto, não existe interesse em se conhecer o peso de uma molécula, pois é quaseimpossível se determinar quantas moléculas existem no corpo. Um valor mais acessível é oPESO ESPECÍFICO (γ), definido como o PESO POR UNIDADE DE VOLUME (γ = P/V).As unidades usuais do peso especifico são: N/m3 , N/cm3 , N/mm3 e etc..

Quando se estuda uma estrutura, as forças atuam distribuídas em uma certa área, assimcriou-se o conceito de PRESSÃO que é A FORÇA POR UNIDADE DE ÁREA (p = F/A),ver figura 02. Um conceito semelhante é o de TENSÃO, que é a FORÇA (como reaçãointerna do material) POR UNIDADE DE ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL (σ = F/A),ver figura 03. A unidade usual de pressão ou de tensão é o PASCAL (Pa) ou seu múltiplo oMEGAPASCAL (MPa), definidos como:

Pascal (Pa)Megapascal (MPa)

1 Pa = 1 N/m2

1 MPa = 106 Pa ⇒ 1 MPa = 106N/m2 = 1 N/mm2

FIG. 02 - Força por unidade de área (pressão)

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FIG. 03 - Força por unidade de área da seção transversal (tensão)

Muitas vezes defronta-se com problemas onde uma das dimensões da área, onde sedistribui a força, é muito pequena em relação a outra. Nestes casos em vez de se usar oconceito de pressão, é melhor, na prática, a utilização do conceito de CARGAUNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA que é a FORÇA POR UNIDADE DECOMPRIMENTO (p = F/L), a figura 04 é um exemplo de carga uniformementedistribuída. As unidades usuais para carga uniformemente distribuída são: N/m, N/cm,N/mm e etc..

FIG. 04 - Força distribuída por unidade de comprimento (carga uniformemente distribuída)

Outra ocorrência comum, na prática, aparece quando a área, onde se distribui a força, temas duas dimensões muito pequenas, em relação as demais dimensões do problema, nestecaso costuma-se utilizar a força como CARGA CONCENTRADA em apenas um ponto, afigura 05 é um exemplo deste tipo de carregamento. As unidades usuais para cargaconcentrada são as mesmas utilizadas para forças, isto é: N, kN e etc..

FIG. 05 - Força aplicada em um ponto (carga concentrada)

1.3. DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA

Um sólido submetido a um sistema de forças, não em equilíbrio, sofre uma aceleração emuma determinada direção e sentido. Uma força que cause uma aceleração de mesma

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magnitude direção e sentido que este sistema de forças é conhecida como RESULTANTEDAS FORÇAS deste sistema, e, é a soma vetorial das forças deste sistema.

Algumas vezes, em estruturas, é conhecida a resultante das forças, porém o problema émais facilmente resolvido ao se conhecer um sistema de forças de direções ortogonaisconhecidas e de mesma resultante. Neste caso pode-se decompor a força nas direçõesortogonais desejadas, bastando para isto multiplicar esta força pelo coseno do ângulo queela forma com cada uma destas direções, obtendo as COMPONENTES desta força nasdireções consideradas.

αcos.FFx =

( ) ααβ sen.90cos.cos. FFFFFF yo

yy =⇒−=⇒=

FIG. 06 - Decomposição da força F em Fx e Fy

Note na figura 06, que:

αα cos.cos FFFF

xx =⇒=

ββ cos.cos FFFF

yy =⇒=

Note ainda, que a força F é a soma vetorial de Fx e Fy.

FIG. 07 - Soma vetorial de Fx e Fy resultando F

A titulo de exemplo, pode-se decompor o carregamento da estrutura representada na figura08, em duas forças, uma axial e outra normal ao eixo da estrutura, conforme segue:

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FIG. 08 - Exemplo dado FIG. 09 - Decomposição do carregamento

mLL 00,500,300,4 222 =⇒+=

80,000,500,4cos ==β

60,000,500,3cos ==α

NFFa 120060,0.2000cos. === α

NFFn 160080,0.2000cos. === β

Resultando o carregamento equivalente da figura 10.

FIG. 10 - Carregamento equivalente ao do exemplo dado

1.4. EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO

Todo sólido submetido à ação de forças se deforma, entretanto, na prática, a natureza doproblema em estudo, muitas vezes permite abstração desta deformação e considerar o

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sólido como um corpo rígido.

CORPO RÍGIDO É TODO SÓLIDO CAPAZ DE RECEBER FORÇAS SEM SEDEFORMAR.

Seja um corpo rígido contido em um plano e cujos deslocamentos possíveis tambémestejam contidos neste plano. Neste caso este corpo rígido estará em equilíbrio se esomente se as três equações fundamentais da estática forem satisfeitas:

1 - A soma das componentes horizontais de todas as forças aplicadas a este corpo rígido énula.

∑ = 0hF

2 - A soma das componentes verticais de todas as forças aplicadas a este corpo rígido énula.

∑ = 0vF

3 - A soma dos momentos, em qualquer ponto do corpo rígido, oriundos de todas as forçasaplicadas a este corpo rígido, é nula.

∑ = 0OM

Sendo o MOMENTO (Mo) definido pelo PRODUTO DA FORÇA (F) PELA DISTÂNCIA(z) DO PONTO CONSIDERADO (O) À LINHA DE AÇÃO DESTA FORÇA. Estadistância é conhecida por BRAÇO DE ALAVANCA. As unidades usuais de momento são:N.m, N.cm, N.mm e etc..

zFMO .=

O corpo rígido descrito acima é na realidade uma abstração, entretanto grande parte dasestruturas podem ser estudadas como um conjunto de estruturas menores que secomportam da forma descrita acima, Estas estruturas são ditas ESTRUTURAS PLANASpois estão CONTIDAS EM UM PLANO COM DESLOCAMENTOSEXCLUSIVAMENTE NESTE PLANO.

A titulo de exemplo, pode-se obter as forças Fl , F2 e F3 para que o corpo rígido da figura11 esteja em equilíbrio.

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FIG. 11 - Corpo rígido em equilíbrio

Aplicando-se as equações de equilíbrio, obtêm-se, as incógnitas Fl , F2 e F3.

( ) NFFFh 1000010000 11 =⇒=−∴→= +∑

( ) 30000 32 =+∴↑+=∑ FFFv

∑ = 0OM 000,5.0.100050,2.30000.0. 321 =−+++∴ FFFNF 15003 =⇒

Substituindo-se o resultado de ∑ = 0OM , na equação ∑ = 0vF , obtém-se:

1500300015003000 2232 =⇒=+⇒=+ FFFF

Assim, o corpo rígido representado na figura 11 estará em equilíbrio se Fl = 1000 N,F2 = 1500 N e F3 = 1500 N, e ainda, nas direções e sentidos indicados na figura 11.

1.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1.5.1. Quais são as unidades básicas do sistema internacional?

1.5.2. Como é obtida a unidade de força no sistema internacional? Como é denominadaesta unidade?

1.5.3. O que é peso? Quais suas características? Quais as unidades utilizadas?

1.5.4. O que é peso especifico? Quais as unidades utilizadas?

1.5.5. O que é pressão? Quais as unidades utilizadas?

1.5.6. O que é tensão? O que a diferencia de pressão?

1.5.7. O que é carga uniformemente distribuída? Quais as unidades utilizadas?

1.5.8. O que é carga concentrada? Quais as unidades utilizadas?

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1.5.9. O que é resultante de um sistema de forças?

1.5.10. Como se obtém a componente de uma força em determinada direção?

1.5.11. Decompor as forças representadas na figura 12, nas direções dos eixos x e y.

FIG. 12 FIG. 13

1.5.12. Obter um carregamento equivalente, ao representado na figura 13, de tal forma aobter cargas axiais e normais ao eixo da estrutura.

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2. APOIOS

Entende-se por APOIO, O ELEMENTO DE VINCULAÇÃO (vínculo) DA ESTRUTURAPROPRIAMENTE DITA COM O SOLO OU QUALQUER OUTRO ELEMENTO DAINFRAESTRUTURA (pilares, colunas etc.).

Existem vários tipos de apoio, sendo os mais utilizados: o apoio móvel, o apoio fixo, oengastamento móvel e o engastamento fixo.

2.1. APOIO MÓVEL

Em um laboratório, um apoio móvel pode ser formado por dois berços (superior e inferior),um rolo entre eles que permite a rotação e dois outros rolos nos quais se apoia o berçoinferior, permitindo a translação do conjunto sobre a superfície de apoio. O sistema possuiDOIS GRAUS DE LIBERDADE, isto é, ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO PARALELA ÀSUPERFÍCIE DE APOIO. O sistema possui apenas uma REAÇÃO cuja direção éPERPENDICULAR À SUPERFÍCIE DE APOIO e passa pelo centro do rolo que dáformação a rótula.

A figura 14 representa este tipo de apoio, a figura 15 mostra sua representação esquemáticae a figura 16 sua forma mais comum em estruturas de madeira.

FIG. 14 - Apoio móvel (esquema delaboratório)

FIG. 15 - Apoio móvel (representaçãoesquemática)

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a) Perspectiva do apoio

b) Vista lateral c) Vista frontal

FIG. 16 - Apoio móvel (exemplo em estruturas de madeira)

2.2. APOIO FIXO

O apoio fixo difere do apoio móvel apenas por não permitir a translação pode ser montadoem laboratório, conforme representação da figura 17. O sistema possui somente UMGRAU DE LIBERDADE, A ROTAÇÃO. Sua REAÇÃO é de direção desconhecida,podendo ser decomposta em duas, uma PERPENDICULAR e outra PARALELA ÀSUPERFÍCIE DE APOIO. A figura 18 mostra a representação esquemática deste apoio e afigura 19 sua forma mais comum em estruturas de madeira.

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FIG. 17 - Apoio fixo (esquema delaboratório)

FIG. 18 - Apoio fixo (representaçãoesquemática)

a) Perspectiva do apoio

b) Vista lateral c) Vista frontal

FIG. 19 - Apoio fixo (exemplo em estruturas de madeira)

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2.3. ENGASTAMENTO MÓVEL

Um engastamento móvel pode ser montado, em laboratório, conforme a representação dafigura 20. O sistema possui somente UM GRAU DE LIBERDADE, ou seja, ATRANSLAÇÃO PARALELA À SUPERFÍCIE DE APOIO. Sua REAÇÃO é definida porum momento, dito MOMENTO DE ENGASTAMENTO, que impede a rotação, e umaREAÇÃO PERPENDICULAR À SUPERFÍCIE DE APOIO passando pelo eixo médio dosrolos, que impede a translação na direção deste eixo.

O engastamento móvel pode ser representado de forma esquemática conforme a figura 21.Em estruturas de madeira esse engastamento é pouco utilizado, podendo, entretanto, serassociado à colocação da peça de madeira em um orifício, preparado com antecedência, emum bloco de concreto, sem que ocorra aderência da madeira ao concreto.

FIG. 20 - Engastamento móvel (esquema delaboratório)

FIG. 21 - Engastamento móvel (re-presentação esquemática)

2.4. ENGASTAMENTO FIXO

O engastamento fixo é um tipo de apoio, que NÃO POSSUI GRAU DE LIBERDADE.Sua REAÇÃO é definida através de três parâmetros: REAÇÃO PERPENDICULAR,REAÇÃO PARALELA AO EIXO LONGITUDINAL DA PEÇA E MOMENTO DEENGASTAMENTO. As reações impedem as translações e o momento impede a rotação.

Este tipo de engastamento, em estruturas de madeira, pode ser conseguido pelo simplesembutimento da peça de madeira em um bloco de concreto, onde deverá existir a aderênciada peça ao concreto. Esta aderência é melhorada, na prática, pela colocação de pregos naregião, da peça, embutida no bloco de concreto.

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FIG. 22 - Engastamento fixo (esquema delaboratório)

FIG. 23 - Engastamento fixo (repre-sentação esquemática)

2.5. ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS

Uma das condições para que uma estrutura seja segura, é que as condições de apoio sejamestáveis. Entende-se por CONDIÇÃO DE APOIO ESTÁVEL, como regra e portantoexistindo exceções, ditos casos especiais, QUALQUER COMBINAÇÃO DE APOIOSQUE FORNEÇA TRÊS OU MAIS REAÇÕES DE APOIO, a figura 24 apresenta algunsexemplos de condição de apoio estável.

FIG. 24 - Exemplos de condição de apoio estável

Quanto a combinação de apoios, externamente, as estruturas podem sem ser:

ESTRUTURAS HIPOSTÁTICAS são as estruturas nas quais a COMBINAÇÃO DEAPOIOS É INSTÁVEL, portanto possuem em geral MENOS DE TRÊS REAÇÕES. Porterem combinação de apoio instável NUNCA DEVEM SER UTILIZADAS.

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FIG. 25 - Exemplos de estruturas hipostáticas

ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ou ESTRUTURAS ESTATICAMENTEDETERMINADAS são as estruturas cuja COMBINAÇÃO DE APOIOS É ESTÁVEL,entretanto possuem APENAS TRÊS REAÇÕES, as quais podem ser OBTIDASATRAVÉS DAS TRÊS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO.

FIG. 26 - Exemplos de estruturas isostáticas

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS ou ESTRUTURAS ESTATICAMENTEINDETERMINADAS, são estruturas que possuem uma COMBINAÇÃO DE APOIOSESTÁVEL, porém com MAIS DE TRÊS REAÇÕES e portanto as três equações deequilíbrio não são suficientes para obtê-las, assim NECESSITAM EQUAÇÕESSUPLEMENTARES ORIUNDAS DA COMPATIBILIDADE DE DESLOCAMENTOS,para obter suas reações. Este tipo de estrutura não será objeto de estudo deste cuirso.

FIG. 27 - Exemplos de estruturas hiperestáticas

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2.6. CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO (ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS)

O cálculo das reações de apoio de uma estrutura isostática, como já foi visto, é feito com oauxilio das três equações de equilíbrio (∑ = 0hF ,∑ = 0vF e ∑ = 0OM ). A seguir éapresentado um roteiro para se calcular as reações de apoio de uma estrutura isostática,com relativa facilidade.

ROTEIRO PARA CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO

1. Substituir os apoios por suas reações, utilizando-as como incógnitas. O sentidodas reações é adotado arbitrariamente.

2. Concentrar, se necessário, os carregamentos uniformemente distribuídos nocentro do trecho carregado e/ou decompor cargas inclinadas.

3. Aplicar as três equações de equilíbrio e resolver o sistema de equaçõesresultante obtendo as reações de apoio. Para facilitar os cálculos costuma-seescolher um dos apoios, o que contiver maior número de reações, para seaplicar a equação ∑ = 0OM .

4. Fornecer a solução em desenho, invertendo o sentido das reações queresultarem negativas na resolução do sistema.

Para melhor entendimento do roteiro descrito, apresenta-se a seguir o cálculo das reaçõesde apoio para alguns exemplos.

EXEMPLOS - Calcular as reações de apoio, para as estruturas isostáticas, esquematizadasna figura 28.

FIG. 28 - Exemplos - para cálculo das reações de apoio

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a) O primeiro passo é substituir os apoios por suas reações, conforme figura 29, O sentidodestas reações são adotados arbitrariamente.

FIG. 29 - Substituição dos apoios por suas reações

O segundo passo que seria concentrar os carregamentos uniformemente distribuídos, nestecaso, não existe.

O terceiro passo é aplicar as três equações de equilíbrio. Para isto deve-se adotar,arbitrariamente, o sentido positivo das forças ou dos momentos, estes sentidos estãorepresentados ao lado de cada uma das equações. O ponto adotado para explicar a equaçãode momentos foi o ponto A.

( ) NHHF AAh 000 =⇒=−∴→= +∑

( ) 50000030000200000 =+⇒=−−+∴↑+=∑ BABAv VVVVF

∑ = 0AM ( )+++++∴ 50,100,1.3000000,1.200000.0. AA VHNVV BB 19000000,5. =⇒=−

Ainda no terceiro passo resolve-se o sistema de equações resultante, obtendo-se as reaçõesde apoio.

NH A 0=

NVB 19000=

NVVVV AABA 31000500001900050000 =⇒=+⇒=+

O quarto passo é fornecer a solução em desenho. Como os resultados obtidos foram todospositivos, e portanto, os sentidos inicialmente adotados estão corretos, não se deve inverternenhum dos sentidos iniciais na solução representada na figura 30.

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FIG. 30 - Solução do item a do exemplo

b) O primeiro passo é substituir os apoios por suas reações, conforme a figura 31. Osegundo passo, necessário neste exemplo, é concentrar a carga uniformementedistribuída no centro do trecho carregado, conforme a figura 32.

FIG. 31 - Substituição dos apoios porsuas reações

FIG. 32 - Concentração da carga uniforme-mente distribuída

O terceiro passo é aplicar as equações de equilíbrio, conforme segue:

( ) NHHF AAh 000 =⇒=−∴→= +∑

( ) 100000100000 =+⇒=−+∴↑+=∑ BABAv VVVVF

∑ = 0AM 000,5.00,2.100000.0. =−++∴ BAA VVHNVB 4000=⇒

Ainda no terceiro passo resolve-se o sistema de equações resultantes, obtendo-se asreações de apoio.

NH A 0=

NVB 4000=

NVVVV AABA 600010000400010000 =⇒=+⇒=+

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Finalmente, no quarto passo, apresenta-se a solução em desenho, conforme a figura 33.

FIG. 33 - Solução do item b do exemplo

c) Para este problema, a solução tem a mesma seqüência de operações do item anterior,com a qual obtém-se:

FIG. 34 - Substituição dos apoios por suasreações

FIG. 35 - Concentração da carga unifor-memente distribuída

( ) NHHF AAh 000 =⇒=−∴→= +∑

( ) 460000200002000060000 =+⇒=−−−+∴↑+=∑ BABAv VVVVF

∑ = 0AM ( )+++++∴ 50,100,1.2000000,1.60000.0. AA VH( ) 000,5.50,150,100,1.20000 =−+++ BV

NVB 27200=⇒

Resultando, assim:

NH A 0=

NVB 27200=

NVVVV AABA 18800460002720046000 =⇒=+⇒=+

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FIG. 36 - Solução do item c do exemplo

d) Este problema, além de dispensar o segundo passo, tem como novidade o engastamentofixo que possui um momento de engastamento como reação de apoio. Para esteproblema tem-se:

FIG. 37 - Substituição do apoio por suas reações

( ) NHHF AAh 3000030000 −=⇒=−−∴→= +∑

( ) NVVF AAv 000 =⇒=∴↑+=∑

∑ = 0AM 000,3.30000.0. =−−+∴ AAA MVHmNM A .9000−=⇒

Resultando:

NH A 3000−= (sentido contrário ao adotado)

NVA 0=

mNM A .9000−= (sentido contrário ao adotado)

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FIG. 38 - Solução do item d do exemplo

e) Este problema tem seqüência semelhante à do item anterior, obtendo-se:

FIG. 39 - Substituição do apoio por suas reações

( ) NHHF AAh 000 =⇒=−∴→= +∑

( ) NVVF AAv 200000200000 =⇒=−∴↑+=∑

∑ = 0AM 000,0.200000.0. =+−+∴ AAA MVHmNM A .0=⇒

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FIG. 40 - Solução do item e do exemplo

2.7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

2.7.1. O que se entende por apoio? Quais os principais tipos de apoio?

2.7.2. Descreva o apoio móvel.

2.7.3. Descreva o apoio fixo.

2.7.4. Descreva o engastamento móvel.

2.7.5. Descreva o engastamento fixo.

2.7.6. Represente, esquematicamente, com suas reações de apoio: o apoio móvel, o apoiofixo, o engastamento móvel e o engastamento fixo.

2.7.7. O que se entende por condição de apoio estável? Represente, esquematicamente,algumas estruturas com condição de apoio estável.

2.7.8. O que são estruturas (externamente) hipostáticas? Represente, esquematicamente,alguns exemplos.

2.7.9. O que são estruturas (externamente) isostáticas? Represente, esquematicamente,alguns exemplos.

2.7.10. O que são estruturas (externamente) hiperestáticas? Represente, esquematicamente,alguns exemplos.

2.7.11. Conforme a combinação de apoio, fornecer o tipo das estruturas representadas nasfiguras 41 a 49.

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FIG. 41 FIG. 42

FIG. 43 FIG. 44

FIG. 45 FIG. 46

FIG. 47 FIG. 48 FIG. 49

2.7.12. Calcular as reações de apoio, das estruturas isostáticas do exercício anterior(2.7.11).

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3. ESFORÇOS SOLICITANTES

3.1. CONCEITUAÇÃO

Seja um corpo rígido em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças (figura 50).

FIG. 50 - Corpo rígido em equilíbrio

Cortando-se este corpo rígido em uma seção qualquer, figura 51, obtém-se duas partes nãomais em equilíbrio.

FIG. 51 - Corte em uma seção do corpo rígido em equilíbrio

Page 28: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

24

Conclui-se que a seção do corpo rígido, onde se fez o corte, transmitia esforços de umaparte à outra, estes são usualmente ditos ESFORÇOS SOLICITANTES ou ESFORÇOSSECCIONAIS.

Para impedir a translação na direção do eixo a-a, produzida por Fl, aparece na seção umaforça axial, dita FORÇA NORMAL (N), em sentido contrário a Fl.

Para impedir a translação na direção do eixo c-c, produzida pele resultante (F3+F2-F2-F4),aparece una força transversal, dita FORÇA CORTANTE (V), em sentido contrário a estaresultante.

Para impedir a rotação em torno do eixo b-b, produzida pelo momento oriundo de F3,aparece na seção um momento, dito MOMENTO FLETOR (M), em sentido contrário aoprovocado por F3.

Para impedir a rotação em torno do eixo a-a, produzida pelo momento oriundo do bináriode F2, aparece na seção um momento, dito MOMENTO TORÇOR (T), em sentidocontrário ao binário de F2.

FIG. 52 - Esforços solicitantes na seção do corte

Assim, ESFORÇOS SOLICITANTES SÃO AS FORÇAS E MOMENTOS QUEAPARECEM NAS SEÇÕES DE CORPOS RÍGIDOS EM EQUILÍBRIO. As figuras 53 a56 representam estes esforços, com a respectiva convenção de sinais.

FIG. 53 - Força normal - Convenção de sinais

Page 29: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

25

FIG. 54 - Força cortante - Convenção de sinais

FIG. 55 - Momento fletor - Convenção de sinais

FIG. 56 - Momento torçor - Convenção de sinais

3.2. BARRAS, VIGAS E PILARES

De maneira geral, barras são componentes de estruturas nos quais as dimensões da seçãosão nitidamente menores que o comprimento do eixo da peça. Quanto a transmissibilidadede esforços solicitantes pode-se distinguir a barra simples, ou simplesmente BARRA, que éo elemento estrutural que TRANSMITE APENAS um esforço, a FORÇA NORMAL, e abarra geral, ou CHAPA, que é o elemento estrutural CAPAZ DE TRANSMITIR, FORÇANORMAL, FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR. Os exemplos mais comuns de

Page 30: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

26

chapas, são as VIGAS e os PILARES, ambos tem as mesmas funções estruturais,entretanto, em geral, as vigas são usadas horizontalmente e os pilares verticalmente.

3.3. CÁLCULO DE ESFORÇOS SOLICITANTES

Os esforços solicitantes que aparecem em estruturas planas são: Força Normal (de traçãoou de compressão), Força Cortante e Momento Fletor. O Momento Torçor só aparece emestruturas espaciais.

O cálculo dos esforços solicitantes em determinada seção de uma estrutura plana, pode serrealizado conforme o roteiro que se segue:

ROTEIRO PARA CÁLCULO DE ESFORÇOS SOLICITANTES EMDETERMINADA SEÇÃO DE UMA ESTRUTURA PLANA

1. Cálculo das reações de apoio.2. Cortar a estrutura, na seção, onde se deseja encontrar os esforços solicitantes,

colocando os esforços solicitantes, isto é, as incógnitas, com seu sentidopositivo.

3. Escolher uma das partes da estrutura, para os cálculos, e se necessário,concentrar os carregamentos uniformemente distribuídos no centro dos trechoscarregados e/ou decompor cargas inclinadas.

4. Aplicar, na parte escolhida, as três equações de equilíbrio(∑ = 0hF ,∑ = 0vF e ∑ = 0OM ) obtendo, da solução do sistema deequações resultantes, os esforços solicitantes nesta seção, Para facilitar oscálculos, costuma-se escolher o ponto de corte para aplicar a equação

∑ = 0OM .

Para melhor entendimento do método descrito, apresenta-se a seguir alguns exemplos.

EXEMPLO l: Calcular os esforços solicitantes na seção genérica C, da viga representadana figura 57.

p = carga uniformemente distribuída

l = vão livre da viga

A = apoio fixo

B = apoio móvel

x = distância da seção genérica C ao apoiofixo A

FIG. 57

Page 31: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

27

a) Cálculo das reações de apoio

FIG. 58 - Substituição dos apoios por suasreações

FIG. 59 - Concentração do carregamentouniformemente distribuído

( ) NHHF AAh 000 =⇒=−∴→= +∑

( ) ll .0.0 pVVpVVF BABAv =+⇒=−+∴↑+=∑

∑ = 0AM 2.0.

2..0.0. l

ll

lpVVpVH BBAA =⇒=−++∴

Resultando:

NH A 0=

2.lpVB =

2..

2.0. l

ll

lpVppVpVV AABA =⇒=+⇒==+

FIG. 60 - Reações de apoio para o exemplo 1

Page 32: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

28

b) Corte da estrutura em C com seus esforços solicitantes, considerados positivos.

FIG. 61 - Corte da estrutura na seção C

c) Escolhendo-se a parte esquerda, da estrutura, e concentrando-se o carregamentouniformemente distribuído, obtém-se o esquema apresenta do na figura 62.

FIG. 62 - Corte da estrutura na seção C

d) Aplicando-se as equações de equilíbrio, obtém-se:

( ) 00 =∴→= +∑ NFh

( ) xppVVxppFv .2.0.

2.0 −=⇒=−−∴↑+=∑ ll

∑ = 0CM 0.2.

2..0.0. =+−++−∴ xpxxpNVM l

2..

2. 2xpxpM −=⇒l

Resultando, para a seção C:

0=N

−= xpV

2. l ( )xxpM −= l.

2.

EXEMPLO 2: Calcular os esforços solicitantes na seção genérica C, do pilar representadona figura 63.

Page 33: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

29

p = carga uniformemente distribuída

P = carga concentrada

l = altura do pilar

A = extremo livre do pilar

B = engastamento fixo

x = distância do extremo livre à seção genérica C

FIG. 63

a) Cálculo das reações de apoio

FIG. 64 - Substituição do apoio por suasreações

FIG. 65 - Concentração do carregamentouniformemente distribuído

Resultando:

FIG. 66 - Reações de apoio para o exemplo 2

Page 34: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

30

b) Corte da estrutura em C com seus esforços solicitantes, considerados positivos.

OBS.: No caso deste exemplo, para a convenção do momento fletor M, é necessário seconvencionar ou "escolher" um "embaixo" para o pilar,

FIG. 67 - Corte da estrutura na seção C

c) Escolhendo-se a parte superior, do pilar, e concentrando-se o carregamentouniformemente distribuído, obtém-se o esquema apresentado na figura 68.

FIG. 68

d) Aplicando-se as equações de equilíbrio, obtém-se:

( ) x.pVx.pVFh −=⇒=−−∴→= +∑ 00

Page 35: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

31

( ) PNPNFv −=⇒=−−∴↑+=∑ 00

∑ = 0CM 200

200

2x.pM.Px.x.p.V.NM −=⇒=++++∴

Resultando, para a seção C:

PN −= x.pV −=2

2x.pM −=

3.4. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES

Pode-se observar, a partir dos exemplos apresentados no item anterior, que pare cada seçãoescolhida (diferentes valores de x) existirão determinados valores para os esforçossolicitantes. Para se calcular uma estrutura é necessário se ter uma visão destes esforços emtodas as seções da estrutura, pois o dimensionamento da estrutura deve ser tal que todas asseções suportem os esforços que nela atuam.

A fim de permitir uma visão global, da variação dos diversos esforços solicitantes, é usualtraçar-se os DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES, que são diagramas queREPRESENTAM A VARIAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES AO LONGO DAESTRUTURA.

Estes diagramas são construídos sobre o eixo da estrutura, representando suas abscissas,tendo em cada seção, representado nas ordenadas, o valor do esforço solicitanteconsiderado. O diagrama de Momento Fletor é sempre desenhado do lado tracionado daestrutura dispensando-se a utilização de sinais. O mesmo não acontece com os diagramasde força normal e força cortante, cujos sinais são indispensáveis. Quando, em determinadotrecho, o diagrama é constante é comum se usar um sinal de igual, sobre este trecho,assinalando o valor do esforço solicitante sobre ele.

A titulo de exemplo, os diagramas de esforços solicitantes das estruturas apresentadas nosexemplos do item anterior seriam:

EXEMPLO l:

FIG. 69

Page 36: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

32

a) Diagrama de MOMENTO FLETOR (figura 70)

A equação 22

2x.px..pM −=l

caracteriza

uma parábola do segundo grau e, portanto, édefinida por três pontos:

• Para 0=x (apoio A) 0=⇒ M

• Para 2l

=x (centro) 2

2l.pM =⇒

• Para l=x (apoio B) 0=⇒ MFIG. 70

b) Diagrama de FORÇA NORMAL (figura 71)

A equação 0=N caracteriza umaconstante, que independe de x:

Em todas as seções a Força Normal é nula.

FIG. 71

c) Diagrama de FORÇA CORTANTE (figura 72)

A equação x.p.pV −=2l

caracteriza uma

reta e, portanto, é definida por dois pontos:

• Para 0=x (apoio A) 2l.pV =⇒

• Para l=x (apoio B) 2l.pV −=⇒

FIG. 72

EXEMPLO 2:

FIG. 73 FIG. 74 FIG. 75 FIG. 76

Page 37: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

33

a) Diagrama de MOMENTO FLETOR (figura 74)

A equação, 2

2x.pM −= , do momento fletor, caracteriza uma parábola do segundo grau, e

portanto necessita três pontos para sua definição:

• Para 0=x (extremo livre) 0=⇒ M

• Para 2l

=x (centro) 8

2l.pM −=⇒ (tração em cima)

• Para l=x (engastamento fixo) 2

2l.pM −=⇒ (tração em cima)

b) Diagrama de FORÇA NORMAL (figura 75)

A equação, PN −= , independe de x e portanto a força Normal assume o valor P− , decompressão, em todas as seções da estrutura.

c) Diagrama de FORÇA CORTANTE (figura 76)

A equação, x.pV −= , da força a cortante, é equação de uma reta, e portanto definida pordois pontos.

• Para 0=x (extremo livre) 0=⇒V• Para l=x (engastamento fixo) PV −=⇒

Para cada valor de l, ou para cada conjunto de valores de P e p, os exemplos apresentadosrepresentam estruturas diferentes ou com carregamentos diferentes, respectivamente.Assim os resultados destes exemplos podem ser utilizados em diferentes estruturas,acentuando a viabilidade de se montar tabelas para os casos de ocorrência mais comum.Para montagem destas tabelas deve-se ter em mente que sempre que houver alterações nocarregamento ocorrerão alterações nos diagramas, e portanto, as equações dos esforçosdevem ser obtidas por trechos.

A seguir apresentam-se alguns diagramas, para os casos de ocorrência mais comum,incluindo as equações de flechas (v), ou deslocamentos verticais, cuja determinação é feitautilizando condições de contorno e a seguinte equação diferencial (ver item 4.4):

Mdxvd.I.E −=2

2

Page 38: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

34

DIAGRAMAS E FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DE VIGAS

a) Viga simplesmente apoiada - Carga uniformemente distribuída.

2l.pVR ==

−= x.pVx 2l

8

2l.p)centrono(M máx =

( )x.x.pM x −= l2

I.E..p.)centrono(vmáx 384

5 4l=

( )323 224

xx...I.E.x.pvx +−= ll

FIG. 77

b) Viga simplesmente apoiada - Carga concentrada no centro.

2PVR ==

4l.P)centrono(M máx =

22x.P)xpara(M x =≤

l

( )x.P)xpara(M x −=≥ ll

22

I.E..P)centrono(vmáx 48

3l=

( )22 43482

x...I.E.x.P)xpara(vx −=≤ l

l

( ) ( )[ ]22 43482

x...I.E.x.P)xpara(vx −−

−=≥ ll

ll

FIG. 78

Page 39: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

35

c) Viga simplesmente apoiada - Carga concentrada em qualquer ponto.

FIG. 79

l

b.P)basemáximo(VR =≤= 11

l

a.P)basemáximo(VR =≥= 22

l

b.a.P)aargcasob(Mmáx =

l

x.b.P)axpara(Mx =≤

( )=≥

+= )baseb.a.axem(vmáx 3

2

( ) ( )l.I.E.

b.a.a..b.a.b.a.P27

232 ++=

l.I.E.b.a.P)aargcasob(va 3

22=

( )222

6xb.

.I.E.x.b.P)axpara(vx −−=≤ ll

( ) ( )2226

axx....I.E.x.a.P)axpara(vx −−

−=≥ l

l

l

d) Viga simplesmente apoiada - Carga uniforme parcialmente distribuída.

( )bc.2..2b.p)casemáximo(VR 11 +=≤=l

( )ba.2..2b.p)casemáximo(VR 22 +=≥=l

( ) ( )ax.pR)baxapara(Vx −−=+≤≤ 1

+=+=

p.R

a.R)pR

axem(Mmáx 21

11

x.R)axpara(M x 1=≤

( ) ( )21 2ax.px.R)baxapara(M x −−=+≤≤

( ) ( )x.R)baxpara(Mx −=+≥ l2

FIG. 80

Page 40: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

36

e) Viga simplesmente apoiada - Carga uniforme parcialmente distribuída em um extremo.

FIG. 81

( )a...a.p)máximo(VR −== ll

2211

l.a.pVR

2

2

22 ==

x.pR)axpara(Vx −=≤ 1

p.R

)pR

xem(Mmáx 2

211 ==

2

2

1x.px.R)axpara(Mx −=≤

)x.(R)axpara(M x −=≥ l2

=≤ )axpara(vx

( ) ( )[ ]3222 22224

a.a..x.a.a..a..I.E.x.p

llll

+−−−=

( ) [ ]222

2424

ax..x...I.E.x.a.p)axpara(vx −−

−=≥ l

l

l

f) Viga simplesmente apoiada - Carga uniforme parcialmente distribuída nos doisextremos.

FIG. 82

( )l

l

.c.pa..a.p

VR2

2 221

11+−

==

( )l

l

.a.pc..c.p

VR2

2 212

22+−

==

( ) a.pR)baxapara(VV x 113 −=+≤≤=

x.pR)axpara(Vx 11 −=≤

( ) ( )x.pR)baxpara(Vx −+−=+≥ l22

1

21

111

1

2 p.R

)a.pRsepR

xem(M máx =≤=

2

22

222

2

2 p.R

)c.pRsepR

xem(Mmáx =≤−= l

2

21

1x.p

x.R)axpara(M x −=≤

( ) ( )ax..a.p

x.R)baxapara(M x −−=+≤≤ 221

1

( ) ( ) ( )2

22

2x.px.R)baxpara(Mx

−−−=+≥

ll

Page 41: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

37

g) Viga simplesmente apoiada - Duas cargas concentradas iguais e simetricamentelocalizadas.

FIG. 83

PVR ==

a.P)asargcasentre(Mmáx =

x.P)axpara(M x =≤

( )x.P)axpara(M x −=−≥ ll

a.Ptetancons)asargcasentre(M x ==

( )22 4324

a...I.E.a.P)centrono(vmáx −= l

( )22336

xa.a...I.E.x.P)axpara(vx −−=≤ l

( ) ( )22336

ax.x...I.E.x.P)axapara(vx −−=−≤≤ ll

h) Viga simplesmente apoiada - Duas cargas concentradas iguais em qualquer posição.

FIG. 84

( )ba.P)basemáximo(VR +−=≤= ll

11

( )ab.P)basemáximo(VR +−=≥= ll

32

( )ab.PPRV −=−=l

12

a.R)basemáximo(M 11 =≤

b.R)basemáximo(M 22 =≥

x.R)axpara(M x 1=≤

( ) ( )ax.Px.R)bxapara(M x −−=−≤≤ 1l

Page 42: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

38

i) Viga engastada - Carga uniformemente distribuída.

FIG. 85

l.pVR ==

)zero(H 0=

x.pVx −=

2

2l.p)fixoextremono(MM máx ==

2

2x.pM x −=

I.E..p)livreextremono(vmáx 8

4l=

( )434 3424

ll .x..x.I.E.

pvx +−=

j) Viga engastada - Carga concentrada no extremo livre.

FIG. 86

PVR ==

)zero(H 0=

PtetanconsVx −==

l.P)fixoextremono(MM máx ==

x.PM x −=

I.E..P)livreextremono(vmáx 3

3l=

( )323 326

xx....I.E.

Pvx +−= ll

Page 43: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

39

k) Viga engastada - Carga concentrada em qualquer ponto.

FIG. 87

PVR ==

)zero()axpara(Vx 0=≤

P)axpara(Vx −=≥

b.P)fixoextremono(MM máx ==

)zero()axpara(M x 0=≤

( )ax.P)axpara(M x −−=≥

( )b..I.E.b.P)livreextremono(vmáx −= l3

3

2

I.E.b.P)aargcasob(va 3

3=

( )bx...I.E.b.P)axpara(vx −−=≤ 33

6

2l

( ) ( )xb..I.E.x.P)axpara(vx +−

−=≥ l

l 36

2

l) Viga simplesmente apoiada com um balanço - Carga concentrada no extremo dobalanço.

FIG. 88

l

a.PVR == 11

( )a.PVVR +=+= ll

212

PV =2

a.P)x,xem(Mmáx === 01l

l

x.a.P)apoiososentre(M x −=

( )11xa.P)balançono(M x −−=

===I.E..

.a.P)xemapoiososentre(vmáx393

2ll

I.E.a.P.,

2064150 l

=

( )a.I.E.a.P)axembalançono(vmáx +== l

3

2

1

( )22

6x.

.I.E.x.a.P)apoiososentre(vx −= ll

( )211

1 3261

xx.a..a..I.E.x.P)balançono(vx −+= l

Page 44: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

40

NOTAÇÕES UTILIZADAS NOS DIAGRAMAS

H = reação de apoio (horizontal)R = reação de apoio (vertical)V = esforço cortantep = cargas uniformemente distribuídasM = momento fletorP = carga concentradav = deslocamento vertical (flecha)Zx (Zx1) = esforço solicitante (M, N, V ou v) a uma distância genérica x (x1)Zmáx = esforço solicitante (M, N, V ou v) máximoa, b, c e d = distâncias cotadas no desenhoE = módulo de elasticidade do materialI = momento de inércia, em relação a linha neutra da seção da viga.

OBS.: Os diagramas de FORÇA NORMAL, não foram representados nas tabelas porserem todos nulos.

3.5. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

Os diagramas apresentados no item anterior, resolvem muitos problemas com os quaisdefronta-se na prática, entretanto existem alguns casos onde somente estes diagramas nãoresolvem o problema, nestes casos o Princípio da Superposição de efeitos é uma poderosaarma.

O Principio da Superposição de Efeitos só pode ser aplicado a estruturas poucodeformáveis, onde a configuração de equilíbrio com o carregamento pode ser consideradaigual a configuração antes do carregamento, nas quais as tensões são proporcionais àsdeformações, e portanto teoria linear de primeira ordem. Estas condições são atendidaspela maioria das estruturas, tendo por exceções principais as estruturas pênseis.

O Principio da Superposição de Efeitos rege que: se o carregamento de uma estrutura foruma combinação linear de outros carregamentos, mais simples, os efeitos produzidos poreste carregamento, podem ser obtidos pela combinação linear equivalente dos efeitos dosdiversos carregamentos, mais simples, atuando isoladamente na estrutura.

A titulo de exemplo de aplicação deste princípio, a seguir, são resolvidos alguns exemplos:

EXEMPLO 1: Traçar os diagramas de Momento Fletor (M), Força Normal (N) e ForçaCortante (V) para a estrutura representada na figura 89.

FIG. 89 - Exemplo 1

Page 45: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

41

O carregamento da figura 89 é uma combinação de dois carregamentos, cujos diagramasencontram-se tabelados:

FIG. 90 - Decomposição do problema dado em problemas mais simples

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA l: A solução do problema 1 é tabelada na aliena e (figura81) dos diagramas fornecidos no item anterior.

FIG. 91 - Problema 1

m,em,a,m/NP 0060022000 === l

( ) N,a...a.pVR 3333332

211 =−== ll

N,.a.pVR 67666

2

2

22 ===l

m.N,p.R

)m,pR

xem(Mmáx 7727772

671211 ====

2002

2

1x.px.R)m,axem(M x −=== ou

m.N,)x.(R)m,x(M x 682666002 2 =−== l

Para a superposição necessita-se ainda:

==≥= )m,am,xpara(M x 002003

m.N,)x.(R)m,x(M x 002000003 2 =−== l

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2: A solução do problema 2 está tabelada, alínea b(figura 78) dos diagramas apresentados no item anterior:

Page 46: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

42

FIG. 92 - Problema 2

m,eNP 00620000 == l

NPVR 100002===

m.N.P)centrono(M máx 300004

==l

Para a superposição necessita-se ainda:

m.Nx.P)m,m,xem(M x 167002

0032

671 ===<=l

m.Nx.P)m,m,xem(M x 200002

0032

002 ===<=l

SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS ( Resolução do Problema 0): Superpondo-se os efeitosobtém-se:

FIG. 93 - Superposição de efeitos - Exemplo 1

Page 47: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

43

FIG. 94 - Diagramas de esforços solicitantes - Exemplo 1

EXEMPLO 2: Traçar os diagramas de M, N e V para a estrutura representada na figura 95.

FIG. 95 - Exemplo 2

O carregamento da figura 95 é uma combinação de dois carregamentos, cujos diagramasencontram-se tabelados.

Page 48: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

44

FIG. 96 - Decomposição do problema dado em problemas mais simples

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 1: A solução deste problema está tabelada, alínea a(figura 77) dos diagramas fornecidos no item anterior, resultando:

FIG. 97

m,em/NP 0055000 == l

N.pVR 125002

===l

m.N.p)centrono(M máx 156258

2==

l

Para a superposição necessita-se ainda:

Nx.p)m,xem(Vx 50002

501 =

−==l

Nx.p)m,xem(Vx 50002

503 −=

−==l

( ) m.N,x.x.p)m,xem(M x 7579682

750 =−== l

( ) m.Nx.x.p)m,xem(Mx 131252

501 =−== l

( ) m.Nx.x.p)m,xem(Mx 131252

503 =−== l

( ) m.N,x.x.p)m,xem(Mx 7579682

254 =−== l

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2: A solução deste problema está tabelada, alínea d(figura 80) dos dia8ramas fornecidos no item anterior, resultando:

Page 49: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

45

FIG. 98

,m/NP 2000= ,m,a 501= ,m,b 002= m,c 501= e

m,005=l

( ) Nbc...b.PVR 20002

211 =+==l

( ) Nba...b.PVR 20002

222 =+==l

m.Nx.R)m,axem(M x 3000501 1 ====

m.Np.Ra.R)m,

pRaxem(Mmáx 4000

2502 1

11 =

+==+=

( ) m.Nx.R)m,baxem(Mx 3000503 2 =−==+= l

Para a superposição, necessita-se ainda:

m.Nx.R)m,am,xem(M x 1500501750 1 ===<=

( ) m.Nx.R)m,bam,xem(Mx 1500503254 2 =−==+>= l

SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS ( RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 0): Superpondo-se osefeitos obtém-se:

FIG. 99 - Superposição de efeitos - Exemplo 2

Page 50: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

46

Resultando, para o exemplo dado, a seguinte solução:

FIG. 100 - Diagramas de esforços solicitantes - Exemplo 2

3.6. RELAÇÕES DIFERENCIAIS ENTRE ESFORÇOS SOLICITANTES

Considerando-se a carga p e os esforços solicitantes M, N e V como funções de umamesma abscissa x, pode-se obter relações entre estes esforços.

Seja o elemento de viga representado na figura 101, sujeito a uma carga distribuída p, nãosingular dentro do elemento de comprimento dx.

Page 51: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

47

FIG. 101 - Elemento de viga FIG. 102 - Concentrando-se p

Do equilíbrio horizontal do elemento, figura 102, resulta:

( ) ( ) 00 =++−∴→= +∑ dNNNFh

0=dN Eq. 01

Do equilíbrio vertical do elemento, figura 102, resulta:

( ) ( ) 000 =−⇒=+−−∴↑+=∑ dVdx.pdVVdx.pVFv

dxdVp −= Eq. 02

Do equilíbrio de momentos, no ponto A, do elemento, figura 102, resulta:

∑ = 0AM ( ) ( ) 02

=+−+++∴ dMMdx.dVVdx.dx.pM

02

2 =−++∴ dMdx.dVdx.Vdx.p

Desprezando-se os diferenciais de segunda ordem, obtém-se:

0=− dMdx.V

dxdMV = Eq. 03

Derivando-se uma vez em x e substituindo-se o resultado da equação 02, obtém-se:

2

2

dxMd

dxdV

=

2

2

dxMdp −= Eq. 04

Page 52: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

48

3.7. TEOREMAS AUXILIARES PARA O TRAÇADO DE DIAGRAMAS DEESFORÇOS SOLICITANTES

Existem problemas para os quais o Principio da Superposição de Efeitos não é suficientepara sua solução, nestes casos os teoremas, que serão apresentados a seguir, poderão serutilizados em conjunto com o cálculo dos esforços solicitantes em algumas seçõespreviamente determinadas, para o traçado de diagramas de esforços solicitantes.

TEOREMA 1 - Mudanças no carregamento, ao longo da estrutura, podem alterar asequações dos esforços solicitantes e portanto podem provocar mudanças de curvas nodiagrama.

FIG. 103 - Mudanças no carregamento provocando mudanças de curvas

DEMONSTRAÇÃO - No item anterior notou-se que o carregamento está intimamente

ligado aos esforços solicitantes (dxdVp −= e 2

2

dxMdp −= ). Assim, ocorrendo mudanças

no carregamento p, poderão ocorrer alterações nos esforços solicitantes V e M econsequentemente mudanças de curvas nos respectivos diagramas.

TEOREMA 2 - Em trechos, de estruturas, sem carregamento vertical, o diagrama de forçacortante, sob este trecho, apresentar-se-á constante, e o diagrama de momento fletor, linear.

Page 53: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

49

FIG. 104 - Forma dos diagramas sob trechos de estrutura sem carregamento

DEMONSTRAÇÃO - Neste caso, basta fazer p=0 nas equações 02 e 04, do item anterior, eintegrá-las em x.

Integrando-se, uma vez em x, a equação 02, com 0=p obtém-se:

0=dxdV

tetanconsCV == 1

E portanto o diagrama de força cortante, sob o trecho sem carregamento, é constante.

Integrando-se, duas vezes em x, a equação 04, com 0=p , obtém-se:

02

2=

dxMd

1CdxdM

=

retaumadeequaçãoCx.CM =+= 21

E portanto o diagrama de momento fletor sob o trecho sem carregamento, é linear.

TEOREMA 3 - Em trechos, de estruturas, sob carga vertical uniformemente distribuída odiagrama de força cortante, sob este trecho, apresentar-se-á linear, e o diagrama demomento fletor, parabólico, possuindo ainda, no ponto central do trecho, uma distância (d)entre a parábola e a linha de fecho dada por:

8

2a.pd =

Onde:

d = distância entre a parábola e a linha de fecho, no ponto central;p = carga uniformemente distribuída;a = comprimento do trecho, sob o carregamento uniformemente distribuído.

Page 54: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

50

FIG. 105 - Forma dos diagramas sob trechos de estruturas com carga uniformementedistribuída

DEMONSTRAÇÃO - Neste caso, integrando-se em x as equações 02 e 04 do itemanterior, mantendo-se tetanconsp = , obtém-se as formas dos diagramas de V e M.

Integrando-se uma vez em x, a equação 02, obtém-se:

pdxdV

−=

retaumadeequaçãoCx.pV =+−= 1

E portanto o diagrama de força cortante, sob o trecho com carregamento uniformementedistribuído, é linear.

Integrando-se duas vezes em x, a equação 04, obtém-se:

pdxMd

−=2

2

1Cx.pdxdM

+−=

parábolaumadeequaçãoCx.Cx.pM =++−= 212

2

E portanto o diagrama de momento fletor, sob o trecho com carregamento uniformementedistribuído, é parabólico.

Associando-se os resultados ao trecho do diagrama de momentos fletores correspondente,figura 105, obtém-se:

Page 55: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

51

212

1 2Cx.Cx.pM ++−= , na abcissa x

( ) ( ) 212

3 2Cax.Cax.pM ++++−= , na abcissa ( )ax +

( )

++

−++−+

−= 21

2

12

3 22Ca.Ca.pCa.p.xp.xM

21

2

2 222Cax.Cax.pM +

++

+−= , na abcissa

+

2ax

++

−+

+−+

−= 21

2

12

2 2822Ca.Ca.pCa.p.xp.xM

( ) ( ) ( )

2

222

2

21

2

12

212

31

++

−++−+

−+

++

=+

=

Ca.Ca.pCa.p.xp.xCC.xp.xMM

y

++

−+

+−+

−= 21

2

12

2422Ca.Ca.pCa.p.xp.xy

848

222

2a.pa.pa.pyMd =+

−=−=

Assim, a distância (d) entre a parábola do diagrama de momento fletor, e a linha de fecho,

no ponto central, do trecho sob carga uniformemente distribuída, é dada por: 8

2a.pd = .

TEOREMA 4 - Em seções, de estruturas, sob carga vertical concentrada, o diagrama deforça cortante, nesta seção, sofre um "salto" de valor idêntico à carga concentrada,apresentando valores diferentes para a força cortante à esquerda e à direita da carga.

FIG. 106 - Forma do diagrama de força cortante em seção sob carregamento concentrado

DEMONSTRAÇÃO - Fazendo-se o equilíbrio vertical de um elemento de viga com cargaconcentrada no centro, figura 107, obtém-se:

Page 56: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

52

FIG. 107 - Elemento de viga

( ) ( ) 00 =+−−∴↑+=∑ dVVPVFv

PdV −=

E portanto o diagrama de força cortante, sob carga concentrada, sofre um "salto" no valorda carga concentrada, pois:

VVe =

PVdVVVd −=+=

( ) PVPVVV ed −=−−=−

TEOREMA 5 - Em seções, de estruturas, onde ocorre um momento aplicado, o diagramade momento fletor sofre um "salto" no valor do momento aplicado, apresentando valoresdiferentes para o momento fletor à esquerda e à direita do momento aplicado.

FIG. 108 - Forma do diagrama de momento fletor em seção de ocorrência de momentoaplicado

DEMONSTRAÇÃO - Fazendo-se o equilíbrio de momentos de um elemento de viga commomento aplicado, figura 109, obtém-se:

Page 57: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

53

FIG. 109 - Elemento de viga

∑ = 0AM ( ) 0=+−++∴ dMMMdx.VM a

aMdx.VdM +=∴

Desprezando-se o infinitésimo dx.V , em relação a aM , obtém-se:

aMdM =

E portanto o diagrama de momento fletor, sob momento aplicado, sofre um "salto" novalor do momento aplicado, pois:

MMe =

ad MMdMMM +=+=

( ) aaed MMMMMM =−+=−

TEOREMA 6 - Em trechos, de estruturas, sob carregamento axial uniformementedistribuído, o diagrama de força normal apresentar-se-á linear.

FIG. 110 - Forma do diagrama de força normal sob carga axial uniformemente distribuída

DEMONSTRAÇÃO - Fazendo-se o equilíbrio horizontal de um elemento de viga comcarga axial uniformemente distribuída, obtém-se:

Page 58: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

54

FIG. 111 - Elemento de viga FIG. 112 - Concentrando-se p

( ) ( ) 00 =++−−∴→= +∑ dNNdx.pNFh

dx.pdN =

pdxdN

= Eq. 05

Integrando-se una vez em x, resulta:

retaumadeequaçãoCx.pN =+= 1

E portanto o diagrama de força normal, sob trechos com carga axial uniformementedistribuída, é linear.

TEOREMA 7 - Em trechos, de estruturas, sem carregamento axial, o diagrama de forçanormal apresentar-se-á constante. Em particular estruturas sem carregamento axialapresentam diagramas de força normal nulo, bem como reações horizontais nulas.

FIG. 113 - Forma do diagrama de força normal sob trecho sem carga axial

FIG. 114 - Estrutura sem carregamento axial apresenta diagrama de força normal nulo ereação no sentido axial também nula

Page 59: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

55

DEMONSTRAÇÃO - Fazendo-se 0=p , na equação 05, e integrando-se uma vez em x,resulta:

0=dxdN

tetanconsCN == 1

E portanto em trechos sem carga axial o diagrama de força normal apresenta-se constante.

Aproveitando-se o exemplo da figura 114, estrutura sem carregamento axial, pelademonstração acima conclui-se que seu diagrama de força normal seria constante,entretanto calculando-se o valor desta constante, na seção à esquerda do apoio móvel B,nota-se que:

FIG. 115

( ) 00 =∴→= +∑ NFh

Sendo 0== tetanconsN , o diagrama de força normal, em estruturas isostáticas semcarregamento axial, é nulo.

Fazendo-se o equilíbrio horizontal, da estrutura representada na figura 114, obtém-se:

( ) 00 =∴→= +∑ HFh

E portanto a reação no sentido axial, de estruturas isostáticas sem carregamento axial, énula.

TEOREMA 8 - Em seções, de estruturas, sob carga axial concentrada, o diagrama deforça normal sofre um "salto", nesta seção, no valor da carga, apresentando valoresdiferentes para a força normal à esquerda e à direita da seção considerada.

FIG. 116 - Forma do diagrama de força normal sob carga axial concentrada

Page 60: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

56

DEMONSTRAÇÃO - Fazendo-se o equilíbrio horizontal, de um elemento de viga comcarga axial concentrada no centro, figura 117, obtém-se:

FIG. 117 - Elemento de viga

( ) ( ) 00 =++−−∴→= +∑ dNNPNFh

E portanto o diagrama de força normal, sob a seção de aplicação da carga axialconcentrada, sofre um "salto" no valor da carga, pois:

NNe =

PNdNNNd +=+=

( ) PNPNNN ed =−+=−

TEOREMA 9 - Estruturas simétricas com carregamentos simétricos, apresentarão:

FIG. 118 - Estrutura simétrica com carregamento simétrico

Page 61: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

57

• Reações de apoio simétricas• Diagrama de força normal simétrico• Diagrama de momento fletor simétrico• Diagrama de força cortante assimétrico

DEMONSTRAÇÃO - É evidente que a magnitude do esforço solicitante ou da reação empontos simétricos é a mesma, pois se a estrutura for simétrica e o carregamento simétricoolhando-a pela frente ou por trás ver-se-á a mesma estrutura, isto é, na figura 118, porexemplo, o ponto "A" dista do apoio esquerdo de "a" e olhando-a por trás, esta mesmafigura, ver-se-á a mesma estrutura da figura 118, onde agora é o ponto "B" que dista de "a"do apoio esquerdo, desta forma os valores dos esforços solicitantes no ponto "B" serão osmesmos do ponto "A".

Entretanto, os sinais destes valores podem se alterar, pois os mesmos foramconvencionados conforme o sentido do esforço.

Fazendo-se um corte na estrutura no ponto "A" e colocando-se seus esforços solicitantes,figura 119.

FIG. 119 - Corte no ponto "A" (M, N e V > 0)

E fazendo-se o mesmo no ponto "B", nota-se que para que os esforços solicitantesmantenham o mesmo sentido físico, o sinal da força cortante deve ser alterado.

FIG. 120 - Corte no ponto "B" (M e N > 0, mas v < 0)

Assim, nota-se que, em estruturas simétricas com carregamentos simétricos, os esforçossolicitantes em pontos simétricos ficarão:

• Força normal: de mesma magnitude e sinal• Momento fletor: de mesma magnitude e sinal• Força cortante: de mesma magnitude porém de sinal trocado

E portanto, conclui-se que, estruturas simétricas com carregamento simétricos,apresentarão diagramas de:

• Força Normal simétrico• Força Cortante assimétrico (troca sinal)• Momento Fletor simétrico

Page 62: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

58

Para se traçar diagramas, usando estes teoremas e calculando os esforços solicitantes emseções predeterminadas, pode-se utilizar o seguinte roteiro:

ROTEIRO PARA TRAÇADO DE DIAGRAMAS DE ESFORÇOSSOLICITANTES, SEM AUXÍLIO DAS TABELAS

1. Calcular as reações de apoio.2. Determinar as seções onde devem ser obtidos os esforços solicitantes (Pontos

Chaves), que são: à esquerda e à direita de cargas concentradas ,3. seções onde ocorrem mudanças de carregamento e as extremidades da estrutura.4. Determinar os esforços solicitantes nestas seções, os pontos chaves, conforme

roteiro dado anteriormente (Roteiro para cálculo de esforços solicitantes emdeterminada seção de um a estrutura plana, visto na página 26).

5. Iniciar o traçado dos diagramas, pilotando os resultados obtidos no passoanterior.

6. Completar os diagramas utilizando os teoremas apresentados neste item.

A titulo de exemplo, pode-se resolver os seguintes exemplos:

EXEMPLO 1 - Traçar os diagramas de M, N e V da estrutura representada na figura 121.

FIG. 121 - Exemplo 1

a) Cálculo das reações de apoio.

O cálculo das reações fica simplificado, pois observa-se que:

• A estrutura e o carregamento são simétricos, portanto as reações sãosimétricas.

• A estrutura não possui carregamento no sentido axial, portanto reaçãoneste sentido (horizontal) é nula.

FIG. 122 FIG. 123

Page 63: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

59

Neste caso, as reações podem ser obtidas apenas com o auxilio da equação ∑ = 0vF .

( ) ⇒=⇒=−−−+∴↑+=∑ 180002040001000040000 111 V.VVFv

)adotadotido(senNV 90001 =

b) Determinar os "pontos chaves"

FIG. 124 - Escolha dos "Pontos Chaves"

Existem um total de seis seções, nas quais se deve obter os esforços solicitantes. Entretantoda simetria da estrutura e carregamento sabe-se que:

• Ponto 6 é simétrico do Ponto l, assim: 16 MM = , 16 VV −= e 16 NN =

• Ponto 5 é simétrico do Ponto 2, assim: 25 MM = , 25 VV −= e 25 NN =

• Ponto 4 é simétrico do ponto 3, assim: 34 MM = , 34 VV −= e 34 NN =

c) Determinar M, N e V nos pontos chaves.

Pelo exposto acima, basta determinar os esforços solicitantes nos pontos l, 2 e 3.

• Ponto 1 (parte esquerda)

( ) NNFh 00 1 =∴→= +∑( ) NVFv 90000 1 =∴↑+=∑

FIG. 125 ∑ = 01M m.NM 01 =∴

Page 64: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

60

• Ponto 2

FIG. 126 FIG. 127

( ) NNFh 00 2 =∴→= +∑( ) NVVFv 50000400090000 22 =⇒=−−∴↑+=∑

∑ = 02M m.NM,.,.M 14000000290000014000 22 =⇒=−+∴

• Ponto 3 (parte esquerda)

FIG. 128 FIG. 129

( ) NNFh 00 3 =∴→= +∑( ) NVVFv 50000400090000 33 =⇒=−−∴↑+=∑

∑ = 03M m.NM,.,.M 19000000390000024000 33 =⇒=−+∴

Obtém-se, assim, para os seis "pontos chaves" os seguintes esforços solicitantes:

NN 01 =

NV 90001 =

m.NM 01 =

NN 02 =

NV 50002 =

m.NM 140002 =

NN 03 =

NV 50003 =

m.NM 190003 =

NN 04 =

NV 50004 −=

m.NM 190004 =

NN 05 =

NV 50005 −=

m.NM 140005 =

NN 06 =

NV 90006 −=

m.NM 06 =

Page 65: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

61

d) Traçar os diagramas de M, N e V

ADy

ABBC

=

AB.AD21

=

m.Na.pd 10008

2==

⇒=001002

14000,y

,

m.Ny 7000=

m.NdyM 8000=+=

FIG. 130 - Diagramas de esforços solicitantes - Exemplo 1

EXEMPLO 2 - Traçar os diagramas de M, N e V para a estrutura representada na figura131.

FIG. 131 - Exemplo 2

a) Cálculo das reações de apoio

OBS.: Para se determinar o diagrama deM, necessita-se obter mais umponto da parábola, normalmente seusa o ponto central.

Page 66: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

62

FIG. 132

FIG. 132

( ) NHHFh 000 =⇒=−∴→= +∑( ) NVVFv 100000100000 =⇒=−∴↑+=∑

∑ = 0AM m.NM,.M 30000000310000 =⇒=+−∴

b) Determinar os "Pontos Chaves"

FIG. 133

c) Determinar M, N e V, nos "pontos chaves"

• Ponto 1 ( parte esquerda)

( ) NNFh 00 1 =∴→= +∑( ) NVVFv 100000100000 11 =⇒=−∴↑+=∑

FIG. 134∑ = 01M ⇒=+∴ 0300001M m.NM 300001 −=

Page 67: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

63

• Ponto 2 (parte esquerda)

( ) NNFh 00 2 =∴→= +∑( ) NVVFv 100000100000 22 =⇒=−∴↑+=∑

FIG. 135

∑ = 02M ⇒=−+∴ 000310000300002 ,.M m.NM 02 =

• Ponto 3 (parte direita)

( ) NNNFh 000 33 =⇒=−∴→= +∑( ) NVFv 00 3 =∴↑+=∑

FIG. 136

∑ = 03M m.NM 03 =∴

• Ponto 4 (parte direita)

( ) NNNFh 000 44 =⇒=−∴→= +∑( ) NVFv 00 4 =∴↑+=∑

FIG. 137∑ = 04M m.NM 04 =∴

Obtém-se, assim, para os quatro "pontos chaves" os seguintes esforços solicitantes:

NN 01 =

NV 100001 =

m.NM 300001 −=

NN 02 =

NV 100002 =

m.NM 02 =

NN 03 =

NV 03 =

m.NM 03 =

NN 04 =

NV 04 =

m.NM 04 =

d) Traçar os diagramas de M, N e V

Page 68: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

64

FIG. 138 - Diagramas de esforços solicitantes - Exemplo 2

3.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

3.8.1. O que se entende por esforços solicitantes?

3.8.2. Quais são os esforços solicitantes? Conceitue-os sucintamente.

3.8.3. Esquematize a convenção de sinais dos esforços solicitantes.

3.8.4. O que se entende por barra? E por chapa?

3.8.5. O que se entende por viga? E por pilar?

3.8.6. Quais são os esforços solicitantes das estruturas planas?

3.8.7. Calcule os esforços solicitantes na seção "C", das estruturas, representadas nasfiguras 139 a 143.

FIG. 139 FIG. 140

Page 69: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

65

FIG. 141 FIG. 142 FIG. 143

3.8.8. O que são diagramas de esforços solicitantes?

3.8.9. Como são construídos os diagramas de esforços solicitantes?

3.8.10. Utilizando os diagramas e fórmulas para o cálculo de vigas, trace os diagramas demomento fletor (M), força normal (N) e força cortante (V), para as estruturasrepresentadas nas figuras 144 a 148.

FIG. 144 FIG. 145

FIG. 146 FIG. 147 FIG. 148

3.8.11. O que afirma o Principio da Superposição de Efeitos?

3.8.12. Em que condições pode ser aplicado o Principio da Superposição de efeitos?

Page 70: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

66

3.8.13. Utilizando o Principio da Superposição de Efeitos, e os resultados do exercício

3.8.14. Trace os diagramas de M, N e V para as estruturas representadas nas figuras 149 a152.

FIG. 149 FIG. 150

FIG. 151 FIG. 152

3.8.15. Faça um resumo dos teoremas auxiliares para o traçado de diagramas de esforçossolicitantes, apresentados no item 3.7.

3.8.16. De que forma é possível se traçar diagramas de M, N e V , sem o auxilio detabelas?

3.8.17. Trace os diagramas de M, N e V, das estruturas representadas nas figuras 139 a 143e 153 a 156.

Page 71: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

67

FIG. 153 FIG. 154

FIG. 155 FIG. 156

Page 72: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

68

4. ESTUDO ELEMENTAR DA RESISTÊNCIA

O estudo da resistência, tem por finalidade a determinação da seção da peça componentede uma estrutura, de modo que esta satisfaça certas condições relativas à segurança contraruptura e à deformação.

Iniciar-se-á aqui o estudo da resistência pela interpretação mais simples possível dosfenômenos a ela relacionados.

4.1. TRAÇÃO E COMPRESSÃO

No ensaio de tração, figura 157, o corpo de provas é solicitado por uma força axial (F). Amáquina de ensaio permite aumentar esta força, gradativamente, até o valor da carga deruptura (Fr) que produz o rompimento do corpo de provas.

a) Esquema do ensaio b) Ruptura do corpo-de-prova

FIG. 157 - Esquema de um ensaio de tração em um corpo-de-prova de madeira

Page 73: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

69

Dispondo-se de um grande número de ensaios de tração observa-se que:

1. A carga de ruptura (Fr) não depende do comprimento da barra (L) nemda forma da seção.

2. A carga de ruptura (Fr) é proporcional à área da seção (A), sendo arelação (Fr/A) um parâmetro característico do material.

A relação (Fr/A) é conhecida como TENSÃO DE RUPTURA e corresponde a forçatransmitida por unidade de área no instante da ruptura.

Os ensaios de compressão em peças curtas, figura 158, permitem as mesmas observaçõesdo ensaio de tração. Já nas peças mais compridas o problema de ruptura depende docomprimento (L) e da forma da seção, tais peças sofrem perda de estabilidade lateral, ouflambagem (ver item 4.5.).

a) Esquema do ensaio b) Ruptura do corpo-de-prova

FIG. 158 - Esquema de um ensaio de tração em um corpo-de-prova de madeira

Excluindo as peças compridas com força de compressão, o efeito da força normal (N) embarras é interpretado pela seguinte hipótese de trabalho: a força normal, N , provoca umaTENSÃO NORMAL, uniformemente distribuída na seção, dada por:

AN

=σ Eq. 06

Sendo:

σ = tensão normal, na seção;N = força normal, atuante na seção;A = área da seção transversal.

Page 74: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

70

As tensões serão positivas, quando de tração, e negativas se de compressão, conseqüênciaimediata da convenção de sinais adotada para força normal.

Nas barras de uma estrutura não se pode aproveitar integralmente sua resistência, deve-sedeixar uma margem para evitar com segurança a ruptura. Desta consideração nasce a noçãode TENSÃO ADMISSÍVEL(fAdm) que é a tensão de ruptura minorada por um coeficientede segurança. Por exemplo a seção (A) de uma barra solicitada pela força normal (N) ésuficiente quando:

AdmfAN≤=σ Eq. 07

Além da resistência deve ser estudada a deformação das estruturas. As barras tracionadassofrem alongamentos e as comprimidas encurtamentos. Nos ensaios de tração ecompressão pode-se, através de extensômetros, ler a deformação (∆l) entre dois pontosdistantes de um comprimento (l). A relação(∆l/l) dita DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA (ε),representa o alongamento, ou encurtamento, por unidade de comprimento.

Traçando-se um gráfico de tensões contra deformações especificas, de um ensaio de tração,ou compressão, obtém-se um diagrama como o da figura 159.

FIG. 159 - Diagrama "σ x ε" para ensaio de tração, ou compressão, em madeira

A observação dos ensaios de tração e compressão permite observar que:

3. O diagrama "σ x ε" apresenta um trecho linear OA , onde as tensões sãoproporcionais as deformações, este trecho é limitado superiormente pelaTENSÃO NO LIMITE DE PROPORCIONALIDADE (σe). Um corpo

Page 75: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

71

de prova submetido a um esforço normal N, cuja tensão AN=σ é

inferior a σe, quando retirado o esforço, assume um comportamentoelástico voltando a sua forma inicial, por este motivo diz-se que o trechoOA corresponde a um REGIME ELÁSTICO. No caso da madeira olimite de proporcionalidade, praticamente, coincide com o limiteelástico.

4. O diagrama "σ x ε" apresenta um trecho curvilíneo AC limitadoinferiormente pelo limite de proporcionalidade (σe) e superiormente pelaruptura (fr). Um corpo de prova submetido a um esforço normal N, cujatensão A

N=σ se posiciona entre σe e fr, quando retirado o esforço,assume um comportamento inelástico não mais voltando a forma inicialmas permanecendo deformado, por este motivo diz-se que o trecho ACcorresponde a um REGIME INELÁSTICO.

A segurança contra ruptura exige tensões admissíveis contidas sempre na zona deproporcionalidade. Isto permite estabelecer um cálculo fácil dos alongamentos, ouencurtamentos, encontrados em barras de estruturas. Expressando-se a proporcionalidadeentre σ e ε por um parâmetro E , dito MÓDULO DE ELASTICIDADE, ou, MÓDULO DEYOUNG, obtém-se:

εσ .E= Eq. 08

Eσε =

Substituindo-se ε por ∆l/l e σ por N/A, obtém-se:

A.EN

=l

l∆

Eq. 09

A.E.N l

l =∆

Sendo:

σ = tensão atuante na barra;ε = deformação especifica;E = módulo de elasticidade do material;∆l = deformação da barra;N = força normal atuante na barra;l = comprimento da barra, eA = área da seção transversal da barra.

Page 76: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

72

As equações 08 e 09 são formas de uma lei, válida para o regime elástico, conhecida porLEI DE HOOKE. Note, da equação 08, que sendo l

l∆ε = isento de unidade, as unidadesde módulo de elasticidade são as mesmas de tensões.

4.2. CISALHAMENTO SIMPLES

O cisalhamento simples só tem interesse nas ligações de estruturas de madeira, visto quena maioria das vezes o esforço cortante está agindo em conjunto com momentos fletores eo tratamento que, aqui, será empregado não é suficiente para explicar o fenômeno, o qualserá estudado adiante, no item 4.3.

Do ensaio de cisalhamento, em peças de madeira, representado figura 160, observa-se que:

a) Corpo-de-prova b) Esquema doensaio

c) Ruptura dapeça

d) Corpo-de-provarompido

FIG. 160 - Esquema de ensaio de cisalhamento em um corpo-de-prova de madeira

1. Fazendo abstração do pequeno momento produzido, a carga de ruptura(Fr) é proporcional a área cisalhante (Ac), sendo a relação (Fr/Ac),conhecida como TENSÃO DE RUPTURA AO CISALHAMENTO, umparâmetro característico do material, que corresponde a forçatransmitida por unidade de área da seção cisalhante, no instante deruptura.

Esta observação é interpretada pela seguinte hipótese de trabalho: a força F, provoca umaTENSÃO DE CISALHAMENTO, uniformemente distribuída na área da seção cisalhante,dada por:

cAF

=τ Eq. 10

Sendo :

τ = tensão de cisalhamento;F = carga aplicada, eAc = área da seção cisalhante.

Page 77: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

73

4.3. FLEXÃO DE BARRAS COM SEÇÃO SIMÉTRICA

Estudar-se-á, agora, a flexão de vigas com seção simétrica, e, cujo "plano das forças" é oplano de simetria da viga, figura 161. Apesar, do problema lançado, ser limitado, é o casomais freqüente em estruturas de madeira.

FIG. 161 - Flexão de viga com seção simétrica

A observação de vigas fletidas, com momento fletor positivo, permite observar que:

1. As fibras inferiores são esticadas e as superiores são comprimidas,indicando que a região inferior da viga possui tensões de tração(produzem alongamentos) e a superior tensões de compressão(produzem encurtamentos).

2. Não ocorrendo força normal, a linha que une os centros de gravidadedas seções, em vigas de material homogêneo, não tem seu comprimentoalterado, indicando que nesta linha as tensões serão nulas. A linha detensões nulas é chamada de LINHA NEUTRA.

Estas informações permitem supor a seguinte hipótese de trabalho: o momento fletorproduz tensões linearmente distribuídas sobre a seção, ou seja:

y.k=σ

Com esta hipótese, fazendo-se o equilíbrio de uma seção submetida a momento fletor M,figura 162, obtém-se:

a) Seção b) Diagrama linear de tensões

FIG. 162 - Seção submetida a momento fletor

Page 78: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

74

Calculando-se o diferencial de momento fletor (dM), produzido pelas tensões (σ) atuantesno diferencial de área (dA), a uma distância (y) do centro de gravidade (C.G.), obtém-se:

dA.y.kdA.y.y.ky.dA.dM 2=== σ

Integrando-se ao longo da seção, resulta:

∫∫ ==ss

dA.y.kdA.y.kM 22

Definindo-se:

∫= sdA.yI 2 Eq. 11

O parâmetro ∫= sdA.yI 2 , por analogia ao momento de inércia, ∫ dm.r 2 , estudado na física,

é conhecido por MOMENTO DE INÉRCIA, o qual, por depender apenas da seção, é umacaracterística geométrica da seção.

E portanto o momento fletor é dado por:

I.kM = , e portanto IMk =

E a tensão, provocada pelo momento fletor, a uma distância (y) do centro de gravidade édada por:

y.IM

=σ Eq. 12

Sendo:

σ = tensão normal na seção, devido a M, em um ponto distante do eixo x-x, que passa pelocentro de gravidade, de "y";

I = momento de inércia da seção;y = distância do ponto considerado ao eixo x-x que passa pelo centro de gravidade.

Para se estudar o efeito da força cortante (V), que em geral atua em conjunto com omomento fletor (M), em vigas fletidas, separa-se um elemento de viga, entre as seções x ex+dx e limitado por um plano y constante, figura 163.

Page 79: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

75

a) Seção b) Elemento de viga c) Perspectiva do elemento

FIG. 163 - Elemento de viga entre as seções x e x+dx

As tensões normais σx e σx+dx, provocadas pelos momentos Mx e Mx+dx, nas seções x ex+dx, produzirão es resultantes Tx e Tx+dx, no elemento considerado, assim:

y.IM x

x =σ

y.I

M dxxdxx

++ =σ

∫∫∫ ===111 y

y

xy

y

xy

y

xx dA.y.IM

dA.y.IM

dA.T σ

∫∫∫ ++++ ===

111 y

y

dxxy

y

dxxy

y

dxxdxx dA.y.I

MdA.y.

IM

dA.T σ

Definindo-se:

∫=1y

y

dA.yS Eq. 13

O parâmetro ∫=1y

y

dA.yS , por analogia ao momento z.FM = é conhecido por MOMENTO

ESTÁTICO, o qual, por depender apenas da seção, é outra característica geométrica daseção.

Assim as resultantes Tx e Tx+dx, ficarão:

S.IM

T xx =

S.I

MT dxxdxx

++ =

Page 80: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

76

Isolando-se o elemento considerado, figura 164, com as resultantes Tx e Tx+dx, nota-se queo elemento só estará em equilíbrio, na direção axial, se existir uma força aplicada no planoy. Admitindo-se que esta força seja fornecida por tensões uniformes τh, então:

FIG. 164 - Elemento considerado em equilíbrio horizontal

( ) ( ) 00 =−−∴→= ++∑ dx.b.TTF hxdxxh τ

dx.bTT xdxx

h−

= +τ

Substituindo-se Tx+dx e Tx, obtidos anteriormente, resulta:

( )dx.b.IS.MM

dx.b

S.IMS.

IM

xdxx

xdxx

h −=

= +

+

τ

Sendo:

dMMM xdxx =−+

Obtém-se:

I.bS.

dxdM

h =τ

Aplicando a equação 03, do item 3.6, resulta:

I.bS.V

h =τ

Isolando-se um cubo de dimensões infinitesimais dx, limitado pelo plano y e pela seção x,e sendo xxdxx dσσσ +=+ , figura 165, obtém-se:

Page 81: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

77

FIG. 165 - Cubo de dimensões infinitesimais

Da figura 165, nota-se que para ocorrer equilíbrio de momentos, devem existir forças Fl, F2e F3, como as representadas nessa figura.

Equilibrando-se momentos no ponto A, obtém-se:

∑ = 0AM ( ) 022

223

2 =+−+−∴dx.dx.ddx.Fdx.Fdx.dx. xxx σσσ

02

223 =−+−

dx.dx.ddx.Fdx.F xσ

Desprezando-se os infinitésimos de ordem superior, resulta:

32 FF =

Equilibrando-se momentos no ponto B, obtém-se:

∑ = 0BM ( ) 022

21

22 =−+−+∴dx.dx.dx.Fdx.dx.dx.dx.d xhxx στσσ

02 1

22 =+− dx.Fdx.dx.dx.dx.d hx τσ

Desprezando-se os infinitésimos de quarta ordem, resulta:

21 dx.F hτ=

Do equilíbrio vertical do elemento, obtém-se:

( ) 00 21 =−∴↑+=∑ FFFv

21 FF =

Assim: 2321 dx.FFF hτ===

Admitindo-se que as forças F1, F2 e F3 sejam uniformemente distribuídas no elemento,então:

Page 82: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

78

211 dx.F τ=

222 dx.F τ=

233 dx.F τ=

E portanto, ficou estabelecido, aqui, o TEOREMA DE CAUCHY, que afirma que astensões cisalhantes em planos perpendiculares são iguais, ou seja:

321 ττττ ===h

Suprimindo-se os índices das tensões cisalhantes, devido a igualdade destas, obtém-se:

321 τττττ ==== h

I.bS.V

=τ Eq. 14

Até o momento, ficou estabelecido que o momento fletor produz um M diagrama linear de

tensões normais y.IM

=σ e que a força cortante produz tensões de cisalhamento I.bS.V

=τ ,entretanto a distribuição das tensões ao longo da seção não ficou estabelecida.

Estudando-se a forma da distribuição, ao longo de uma seção retangular, das tensões decisalhamento τ, obtém-se:

FIG. 166 - Seção retangular

I.bS.V

V = constante = força cortante na seção

b = constante = largura da seção

I = constante, pois ∫= sdA.yI 2

Page 83: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

79

dy.bdA =

1111

2

2y

y

y

y

y

y

y

y

Cy.bdy.y.bdy.b.ydA.yS ∫∫∫

+====

21

222

22221

y.by.bCyCy

.bS +−=

+−

+=

⇒+−=

+−== 2

122

12

2222y.

I.Vy.

I.Vy.by.b.

I.bV

I.bS.Vτ equação de uma parábola

O ponto de máximo τ , será obtido por:

0=dydτ e 02

2<

dyd τ

y.IVy.

I.Vy.

I.V

dyd

dyd

−=

+−= 2

12

22τ

⇒=⇒=−⇒= 000 yy.IV

dydτ

posição do centro de gravidade

022

21

22

2

2

2<−=

−=

+−=

IVy.

IV

dydy.

I.Vy.

I.V

dyd

dyd τ

E portanto, a seção retangular, apresenta uma distribuição parabólica de tensões decisalhamento, cujo valor máximo se encontra no centro de gravidade. Assim o momentoestático que conduz a máxima tensão de cisalhamento é o de meia seção.

4.4. DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO

Em uma viga solicitada por momento fletor positivo as fibras inferiores recebem tensõesde tração e se esticam, as superiores recebem tensões de compressão e se encurtam. A vigatoma uma forma curva, e os pontos que formavam, antes da deformação, o eixo da viga,formarão, depois, uma curva denominada LINHA ELÁSTICA da viga, ou simplesmenteELÁSTICA.

A finalidade deste estudo é obter um método que permite calcular s equação da elástica( )xvv = . A figura 167 mostra um elemento antes do carregamento (1 - 2 - 3 - 4) e na sua

posição deslocada e deformada (1' - 2' -3' - 4'), para perceber melhor a deformação odesenho do elemento deformado foi repetido na posição não deslocada (1 - 2" - 3 - 4").

Page 84: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

80

a) linha elástica da viga b) Posição do elemento antes e depois dadeformação

FIG. 167 - Deslocamento e deformação da viga fletida

Segundo a lei de Hooke, equação 08 item 4.1. , o alongamento ∆dx, do elemento, seria:

dx.E

dxEdx

dxE

σ∆σ∆σε =⇒=⇒=

OBSERVAÇÃO: A distribuição linear de alongamentos, utilizada aqui, é conseqüência dadistribuição linear de tensões. Historicamente foi utiliza da a suposição de BERNOULLI-NAVIER segundo a qual as seções planas permanecem planas após a deformação porflexão.

Aplicando s equação 12, item 4.3., da tensão normal produzida por momento fletor (M),obtém-se:

y.IM

dx.y.I.EMdxdx.

Edx =⇒= ∆σ∆

Assim, conforme a figura 167, tem-se:

dx.I.EM

ydx

rdxd ===

∆ϕ

Page 85: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

81

E portanto, a curvatura da elástica dxdk ϕ

= , será:

I.EM

rk ==

1 Eq. 15

Desta forma, a curvatura da elástica é proporcional ao momento fletor e inversamenteproporcional ao produto E.I, conhecido por RIGIDEZ CONTRA FLEXÃO.

Sabendo-se que, dada uma curva ( )xvv = , entre as derivadas de ( )xv e a curvatura rk 1=

existe a relação:

23

2

2

2

1

1

+

±=

dxdv

dxvd

r

E, como na prática, os deslocamentos v são pequenos, o termo 2

dxdv

pode ser desprezado

em relação a unidade, resultando:

2

21dxvd

r±=

Na prática, consideram-se positivo os v para baixo, e positivas as curvaturas quando aconvexidade também é para baixo, figura 168. Assim, quando as curvaturas são positivas,as segundas derivadas são negativas, e para se obter a convenção de sinal referida, deve-seter:

2

21dxvd

r−=

FIG. 168 - Convenção de sinais para a curvatura e para os deslocamentos

Page 86: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

82

Aplicando, este resultado na equação 15, obtém-se a equação diferencial utilizada nocálculo da linha elástica.

I.EM

dxvd=− 2

2

Mdxvd.I.E −=2

2

Eq. 16

OBSERVAÇÃO: A equação 16, fornece um cálculo aproximado das flechas, não só pelaaproximação da equação da curvatura, mas principalmente pela não consideração da forçacortante no cálculo da flecha. Entretanto, como o cálculo das flechas tem por finalidade:

1. Evitar o efeito estético de uma flecha exagerada, a possibilidade devibrações de uma viga que apoia uma máquina, etc.. Portanto, para estefim, basta um cálculo simples da flecha, pois não afeta a resistência dapeça não alterando portanto a sua segurança.

2. Servir de base pare calcular os esforços de sistemas hiperestáticos. Nestecaso as flechas deveriam ser bastante precisas, entretanto estes esforçossão funções de relações de flechas, na mesma viga, o que permiteconsiderar que um eventual erro sistemático será em grande partecancelado.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO - Calcular a equação da linha elástica, a posição da flechamáxima, e a flecha máxima para a viga, de E.I constante, representada na figura 169.

FIG. 169 - Exemplo dado

Inicialmente calculam-se as reações de apoio, obtendo-se:

NH A 0=

NVA 2375=

4125=BV

Page 87: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

83

FIG. 170 - Reações de apoio

Calculando-se as equações de momento fletor, obtém-se:

• Para o trecho ( )m,xAB 0030 ≤≤

∑ = 0M 02

5002375 =−−∴ Mx.x.x.

x.x.M 2375250 2 +−= )memxsem.N(

FIG. 171

• Para o trecho ( )m,x,BC 504003 ≤≤

∑ = 0M ( ) 050115002375 =−−−∴ M,x.x.

2250875 += x.M )memxsem.N(

FIG. 172

• Para o trecho ( )m,x,CD 006504 ≤≤

∑ = 0M ( ) 00064125 =−−∴ x,.M

247504125 +−= x.M )memxsem.N(

FIG. 173

Page 88: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

84

As condições de contorno para este problema serão:

• Em mx 0=

A flecha é nula, pois o ponto A (figura 170) é um apoio fixo.

( ) 0000 =m,v

• Em m,x 003=

As flechas a esquerda e a direita são iguais, pois a elástica é continua (semdescontinuidade).

( ) ( )m,vm,v .dir.esq 003003 =

As derivadas primeira, a esquerda e a direita, da elástica são iguais, pois a elástica écontinua (não forma quina).

m,x

.dir

m,x

.esq

dxdv

dxdv

003003 ==

=

• Em m,x 504=

Pelos mesmos motivos, apresentados para m,x 003= , tem-se:

( ) ( )m,vm,v .dir.esq 504504 =

m,x

.dir

m,x

.esq

dxdv

dxdv

504504 ==

=

• Em m,x 006=

A flecha é nula, pois o ponto D (figura 170) é um apoio móvel.

( ) 0006 =m,v

Por simplicidade de notação utilizar-se-á, para os trechos ,CDeBC,AB as elásticas( ) ( ) ( ),xvexv,xv 321 respectivamente, assim, as condições de contorno serão:

( ) 00001 =m,v

( ) ( )m,vm,v 003003 21 =

Page 89: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

85

m,xm,x dxdv

dxdv

003

2

003

1

==

=

( ) ( )m,vm,v 504504 32 =

m,xm,x dxdv

dxdv

504

3

504

2

==

=

Aplicando-se a equação diferencial para o cálculo da linha elástica, equação 16, obtém-se:

x.x.dxvd

.I.E 2375250 221

2−=

225087522

2−−= x.

dxvd

.I.E

24750412523

2−= x.

dxvd

.I.E

Integrando-se estas equações, uma vez, em x, obtém-se:

1231

22375

3250 Cx.x.

dxdv.I.E +−=

322 2250

2875 Cx.x.

dxdv.I.E +−−=

523 24750

24125 Cx.x.

dxdv.I.E +−=

Integrando-se mais uma vez, em x, obtém-se:

2134

1 62375

12250 Cx.Cx.x.v.I.E ++−= )m.NemI.Esememv( 2

1

4323

2 22250

6875 Cx.Cx.x.v.I.E ++−−= )m.NemI.Esememv( 2

2

6523

3 224750

64125 Cx.Cx.x.v.I.E ++−= )m.NemI.Esememv( 2

3

Aplicando-se as condições de contorno, obtém-se o seguinte sistema de equações:

Page 90: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

86

02 =C

21012533 4321 −=−−+ CC.CC.

225031 −=− CC

15187529

29

6543 −=−−+ CC.CC.

5062553 −=− CC

2970006 65 =+ CC.

Cujo resultado será:

21 59562 m.N,C = 3

2 0 m.NC =

23 511812 m.N,C = 3

4 51687 m.N,C −=

25 562437 m.N,C = 3

6 77625 m.NC −=

Desta forma, obtém-se as seguintes elásticas:

• Para o trecho ( )m,xAB 0030 ≤≤

x.I.E.

x.I.E.

x.I.E.

v2

1912562375

12250 34

1 +−= )m.NemI.Esem( 2

• Para o trecho ( )m,x,BC 504003 ≤≤

I.E.x.

I.E.x.

I.E.x.

I.E.v

23375

223625

22250

6875 23

2 −+−−= )m.NemI.Esem( 2

• Para o trecho ( )m,x,CD 006504 ≤≤

I.Ex.

I.E.x.

I.E.x.

I.E.v 77625

2124875

224750

64125 23

3 −+−= )m.NemI.Esem( 2

Existindo ponto de máxima flecha, em cada um dos trechos considerados, então tem-

se que 0=dxdv

neste ponto.

Page 91: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

87

• Para o trecho ( )m,xAB 0030 ≤≤

02

191252

23753

250 231 =+−= x.x.dxdv.I.E

O trecho não possui ponto de máximo, pois as raízes da equação 01 =dxdv

,

m,x 60921 −≅ , m,x 22632 ≅ e m,x 634133 ≡ , não pertencem ao trecho considerado.Assim, a máxima flecha, neste trecho, ocorrerá em m,x 003= e será:

( ) ( ) ( )I.E.

,.I.E.

,.I.E.

,.I.E.

v239375003

219125003

62375003

12250 34

1 =+−= )m.NemI.Esem( 2

• Para o trecho ( )m,x,BC 504003 ≤≤

02

2362522502

875 22 =+−−= x.x.dxdv.I.E

As raízes da equação 02 =dxdv

são: m,x 36981 −≅ e m,x 22632 ≅ . Assim, neste trecho,

a máxima flecha ocorrerá em m,x 2263≅ , pertencente ao trecho, e será:

( ) ( ) ( ) ⇒−+−−=I.E.

,.I.E.

,.I.E.

,.I.E.

v233752263

2236252263

222502263

6875 23

2

I.Ev 19816

2 ≅ )m.NemI.Esem( 2

• Para o trecho ( )m,x,CD 006504 ≤≤

02

124875247502

4125 23 =+−= x.x.dxdv.I.E

O trecho não possui ponto de máximo, pois as raízes da equação 03 =dxdv

,

m,x 60731 ≅ e m,x 39382 ≅ , não pertencem ao trecho considerado. Assim a máximaflecha, neste trecho, ocorrerá em m,x 504= e será:

( ) ( ) ( ) ⇒−+−=I.E

,.I.E.

,.I.E.

,.I.E.

v 776255042

124875504224750504

64125 23

3

I.Ev 15398

3 ≅ )m.NemI.Esem( 2

Page 92: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

88

Assim, para a estrutura em questão, a flecha máxima ocorrerá em m,x 2263≅ e será:

I.Evmáx

19816≅ )m.NemI.Esem( 2

4.5. FLAMBAGEM

A perda de estabilidade lateral, em peças comprimidas esbeltas, é conhecida porFLAMBAGEM, na qual a peça flamba bem antes de atingir a carga de ruptura (Fr). Acarga aplicada no momento em que ocorre a flambagem é conhecida como CARGACRÍTICA (Fcr). A figura 174, apresenta algumas barras no momento da flambagem.

a) Barra bi-articulada b) Barra simplesmenteengastada

c) Barra engastadae articulada

d) Barra bi-engastada

FIG. 174 - Exemplos de flambagem

A natureza do fenômeno permite perceber, os seguintes pontos:

1. A teoria de primeira ordem, que permite, nos cálculos dos esforços,confundir a forma inicial da estrutura com sua forma deslocada pelascargas, deve ser abandonada no estudo da flambagem.

2. A flambagem não é problema de resistência e sim de estabilidadeelástica. A carga crescente abandona, no valor da carga critica (Fcr), oregime de equilíbrio estável e entra, em regime de equilíbrio instável, noqual as flechas crescem com uma carga praticamente constante.

3. A ruptura da peça se dá, não por compressão, mas sim, por flexão.

Para se obter o valor da carga critica (Fcr), pode-se estudar o equilíbrio da barra em suaposição deslocada.

Para o caso de uma BARRA BI-ARTICULADA, sujeita à compressão, figura 175, tem-se:

Page 93: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

89

FIG. 175 - Barra bi-articulada

O deslocamento v, em uma abscissa x, provoca na barra um momento fletor M, dado por:

v.FM =

Aplicando-se a equação para o cálculo da elástica, equação 16, item 4.4., obtém-se:

v.Fdxvd.I.E −=2

2

02

2=+ v.

I.EF

dxvd

Eq. 17

Cuja solução geral é:

( ) ( )x.kcos.Cx.ksen.Cv 21 +=

E, portanto:

( ) ( )x.ksen.k.Cx.kcos.k.Cdxdv

21 −=

( ) ( )x.kcos.k.Cx.ksen.k.Cdxvd 2

22

12

2−−=

As condições de contorno, para o problema, são:

1. Em ,v,x 00 == pois é ponto de apoio2. Em ,v,x 0== l pois é ponto de apoio

Page 94: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

90

Para satisfazer a condição l, deve-se ter:

( ) ( ) ( ) 0000 221 =⇒+= C.kcos.C.ksen.Cv

Assim, pode-se reduzir, as equações anteriores à:

( )x.ksen.Cv 1=

( )x.kcos.k.Cdxdv

1=

( ) v.kx.ksen.k.Cdxvd 22

12

2−=−=

Aplicando-se na equação 17, obtém-se o parâmetro k.

02

2=+ v.

I.EF

dxvd

02 =+− v.I.EFv.k

02 =

+−

I.EFk.v

I.EFk =

Para satisfazer a condição 2, deve-se ter:

( ) 01 =

= ll .

I.EFsen.Cv

O que implica, para que exista a elástica no momento da flambagem, em:

0=

l.

I.EFsen

π.n.I.EF

=l

Assim, a carga critica será a primeira ocorrência de elástica, ou seja, para 1=n e portanto:

Page 95: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

91

π=l.I.E

Fcr

2

2

l

I.E.Fcrπ

=

Para o caso de uma BARRA SIMPLESMENTE ENGASTADA, com as condições decontorno, que se seguem, de forma análoga ao caso anterior, obtém-se:

FIG. 176 - Barra simplesmente engastada

• Em ,v,x 0== l pois é ponto de apoio

• Em ,dxdv,x 0== l pois a rotação é nula no engastamento fixo

2

2

4 l.I.E.Fcr

π=

Para o caso de uma BARRA ENGASTADA E ARTICULADA, figura 177, de formaanáloga, obtém-se:

• Em ,v,x 00 == pois é ponto de apoio• Em ,v,x 0== l pois é ponto de apoio

• Em ,dxdv,x 0== l pois a rotação é nula no engastamento fixo

Page 96: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

92

2

22l

I.E..Fcrπ

=

FIG. 177 - Barra engastada e articulada

Para o caso de uma BARRA BI-ENGASTADA figura 178, de forma análoga, obtém-se:

FIG. 178 - Barra bi-engastada

• Em ,v,x 00 == pois é ponto de apoio

• Em ,dxdv,x 00 == pois a rotação é nula no engastamento móvel

• Em ,v,x 0== l pois é ponto de apoio

• Em ,dxdv,x 0== l pois a rotação é nula no engastamento fixo

2

24l

I.E..Fcrπ

=

Page 97: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

93

Utilizando-se o COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM (lfl), apresentados nas figuras 175 a178, em vez do comprimento da barra, a carga critica, para os casos apresentados, pode serobtida por:

2

2

flcr

I.E.Fl

π=

Sendo:

Fcr = carga critica de flambagem, também conhecida por CARGA DE EULER;E = módulo de elasticidade do material;I = momento de inércia da seção, elfl = comprimento de flambagem da barra.

Do conceito de carga critica, surge o conceito de TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM(σcr), ou seja, a tensão atuante na barra no momento da flambagem.

AFcr

cr =σ

A.I.E.

flcr 2

2

l

πσ =

Definindo-se:

AIi

AIi =⇒= 2

OBSERVAÇÃO: O parâmetro i, assim definido, é conhecido como RAIO DEGIRAÇÃO, por analogia ao que se segue:

Seja uma área infinitesimal A, distante i, de um eixo x-x (figura 179). O momento deinércia (I), desta área, em relação ao eixo será:

FIG. 179

A.idA.yIs

22 == ∫

Page 98: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

94

AIi =2

AIi =

Onde, a distância i, mede um raio através do qual a área A gira em torno do eixo x-x.Substituindo-se, e expressão do raio de giração, à tensão critica de flambagem resulta:

2

22

flcr

i.E.l

πσ =

Definindo-se:

ifll

2

22

ifll

OBSERVAÇÃO: O parâmetro λ, assim definido, é conhecido como ÍNDICE DEESBELTEZ, por ser uma relação entre a altura da barra e características da seção,exprimindo de alguma forma o quão delgada é a peça.

Com a utilização do índice de esbeltez, a tensão crítica de flambagem, resultará naFÓRMULA DE EULER:

2

2

λπσ E.

cr = Eq. 19

Sendo:σcr = tensão critica de flambagem;E = módulo de elasticidade do material;

λ = índice de esbeltez, ifll

=λ ;

lfl = comprimento de flambagem da barra;

i = raio de giração, AIi = ;

I = momento de inércia da seção, eA = área da seção transversal.

Cumpre ressaltar, aqui, algumas observações adicionais.

1. A fórmula de EULER, equação 19, só é válida para peças onde aflambagem ocorra em regime elástico. De fato, pois a equação para

Page 99: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

95

cálculo da linha elástica, utilizada para sua demonstração, se utiliza dalei de Hooke, válida somente no regime elástico (ver item 4.4).

2. Do ponto de vista prático, o comprimento de flambagem (lfl) deve serescolhido com pessimismo para se ficar ao lado da segurança. Motivopelo qual a NBR-7190 (Cálculo e Execução de Estruturas de Madeira -Norma Brasileira Registrada) adota para comprimento de flambagem odobro do comprimento da peça (lfl=2.l), quando simplesmenteengastada, e o comprimento da peça nos demais casos (lfl=l).

4.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

4.6.1. Qual a finalidade do estudo da resistência?

4.6.2. O que se entende por tensão de ruptura?

4.6.3. Qual a hipótese de trabalho utilizada para o efeito da força normal em barras deestruturas? Existe alguma restrição? Caso afirmativo, qual?

4.6.4. O que se entende por tensão admissível?

4.6.5. Além da resistência, o que mais deve ser estudado em estruturas?

4.6.6. O que é deformação especifica? O que representa?

4.6.7. O que se entende por tensão no limite de proporcionalidade?

4.6.8. O que se entende por regime elástico? E regime inelástico?

4.6.9. No caso da madeira, existe relação entre o limite elástico e o limite deproporcionalidade? Como?

4.6.10. O que se entende por módulo de elasticidade?

4.6.11. Quais as formas mais conhecidas da lei de Hooke?

4.6.12. Quais as unidades usuais da deformação especifica? E do módulo de Young?

4.6.13. O que se entende por tensão de ruptura ao cisalhamento? E por tensão decisalhamento?

4.6.14. Que observações pode-se tirar de vigas fletidas, com momento fletor positivo?

4.6.15. O que se entende por linha neutra?

4.6.16. Qual a hipótese de trabalho utilizada para exprimir o efeito do momento fletorsobre vigas?

4.6.17. O que se entende por momento de inércia? Qual a analogia utilizada para suadenominação?

Page 100: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

96

4.6.18, Qual a tensão (σ) provocada por um momento fletor (M), em um ponto distante (y)da linha neutra, quando não existe força normal?

4.6.19. O que se entende por momento estático? Qual a analogia utilizada para suadenominação?

4.6.20. O que rege o teorema de Cauchy?

4.6.21. Qual o efeito produzido pela força cortante em vigas fletidas? Como ele é avaliado?

4.6.22. Como se distribuem as tensões de cisalhamento, em uma seção de viga fletida deseção retangular? Onde se encontra seu valor máximo? Qual o momento estáticoutilizado?

4.6.23. O que se entende por linha elástica?

4.6.24. Qual e suposição, histórica, de Bernoulli-Navier?

4.6.25. Como é conhecido o produto E.I, do módulo de elasticidade pelo momento deinércia?

4.6.26. Qual a equação diferencial utilizada no cálculo da linha elástica?

4.6.27. Por que e equação, referida no exercício 4.6.26, fornece um cálculo aproximado?

4.6.28. Justifique porque o cálculo aproximado de flechas é normalmente aceito.

4.6.29. Obtenha a elástica, o ponto de flecha máxima e a flecha máxima, da estruturarepresentada na figura 180.

FIG. 180 - Estrutura dada

4.6.30. O que se entende por flambagem?

4.6.31. O que se entende por carga critica de flambagem?

4.6.32. É possível utilizar a teoria de primeira ordem, no estudo da flambagem? Porque?

4.6.33. A flambagem é problema de resistência? Porque?

Page 101: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

97

4.6.34. A ruptura de uma peça, esbelta, comprimida se dá por compressão? Caso negativo,como ocorre?

4.6.35. Para barras de comprimento l, forneça os comprimentos de flambagem, para osseguintes casos:a) Barra bi-articuladab) Barra simplesmente engastadac) Barra engastada e articuladad) Barra bi-engastada.

4.6.36. Para a barra, representada na figura 181, forneça as condições de contorno e, poranalogia a resultados anteriores, a carga critica de flambagem, bem como ocomprimento de flambagem.

FIG. 181 - Barra dada

4.6.37. Qual a forma geral da carga de Euler?

4.6.38. Como é definido raio de giração? Qual a analogia utiliza da para sua denominação?

4.6.39. Como é definido o índice de esbeltez? O que exprime?

4.6.40. O que se entende por tensão critica de flambagem?

4.6.41. Qual a fórmula de Euler para o cálculo da tensão critica de flambagem?

4.6.42. A fórmula de Euler é aplicável em qualquer problema de flambagem? Justifique.

4.6.43. Como a NBR-7190 (Cálculo e Execução de Estruturas de Madeira - NormaBrasileira Registrada) adota o comprimento de flambagem? Qual o motivo?

Page 102: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

98

5. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES PLANAS

5.1. GENERALIDADES

Durante o cálculo de estruturas, o engenheiro se defronta com problemas de tensões, ouseja os efeitos sobre o material causados por esforços solicitantes.

Pode-se mostrar (ver item 4.3.), por exemplo, que o momento fletor produz sobredeterminada seção uma distribuição linear de tensões normais, representada na figura 182,dadas por:

y.IM

Sendo:

σ = tensão normal atuante em um ponto afastado de "y" da linha neutra (linha de tensãonula que geralmente passa pelo centro de gravidade da seção;

M = momento fletor atuante na seção;I = momento de inércia da seção em relação à linha neutra, ey = distância do ponto em estudo à linha neutra.

FIG. 182 - Distribuição de tensões produzida por momento fletor

Já a força cortante produz, em uma viga de seção retangular, um diagrama parabólico detensões cisalhantes (ver item 4.3), cujo valor máximo é dado por:

I.bS.V

máx =τ

Sendo:

τmáx = máxima tensão de cisalhamento atuante na seção;

Page 103: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

99

V = força cortante atuante na seção;S = momento estático de meia seção em relação à linha neutra;b = largura da seção na linha neutra;I = momento de inércia da seção em relação à linha neutra.

FIG. 183 - Distribuição de tensões cisalhantes produzida por força cortante

Enquanto que a força normal de tração e mesmo a de compressão peças curtas e robustas(ver item 4.1), produz um diagrama de tensões normais uniforme, representados nasfiguras 184 e 185, dado por:

AN

Sendo:

σ = tensão normal atuante na seção;N = força normal atuante na seção, eA = área da seção.

FIG. 184 - Distribuição de tensões produzida por uma força normal de tração

FIG. 185 - Distribuição de tensões produzida por uma força normal de compressão

Quando a peça é esbelta (pequena largura e grande comprimento) a força normal decompressão produz o fenômeno da FLAMBAGEM, isto é a perda de estabilidade lateral

Page 104: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

100

devido a compressão. Demonstra-se (ver item 4.5) que, neste caso, a tensão critica deflambagem, ou seja, a tensão na iminência da flambagem é dada por:

2

2

λπσ E.

cr =

Sendo:

σcr = tensão critica de flambagem;E = módulo de elasticidade do material, eλ = índice de esbeltez.

O índice de esbeltez λ, por sua vez é dado por:

ifll

Sendo:

λ = índice de esbeltez;lfl = comprimento de flambagem da peça, o qual depende do esquema estático, isto é, das

vinculações com o meio exterior, ei = raio de giração

Desta forma torna-se obrigatório, ao calculista de estruturas, o perfeito conhecimento dascaracterísticas geométricas de seções planas, bem como obte-las.

5.2. DEFINIÇÕES

As características geométricas de uma seção conhecidas como área da seção transversal,momento estático, momento de inércia e raio de giração são definidas por:

• Área da seção transversal

∫= seçãodAA Eq. 20

• Momento estático

∫=1y

ydA.yS Eq. 21

• Momento de inércia

∫= seçãodA.yI 2 Eq. 22

Page 105: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

101

• Raio de giração

AIi = Eq. 23

5.3. TABELAS DE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES PLANAS

A seguir são apresentados os valores das características geométricas, para as seções maiscomuns.

a) Seção retangular

h.bA =

8

2h.bS xx =− 8

2b.hS yy =−

12

3h.bI xx =− 12

3b.hI yy =−

12hi xx =−

12bi yy =−

FIG. 186 12uraarglmenor

imin =

b) Seção quadrada

2aA =

8

3aSS yyxx == −−

12

4aII yyxx == −−

12aiii minyyxx === −−

FIG. 187

Page 106: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

102

c) Seção circular

4

2d.A π=

12

3dSS yyxx == −−

64

4d.II yyxxπ

== −−

4diii minyyxx === −−

FIG. 188

d) Seção triangular

2h.bA =

2

814 h.b.S xx =−

24

2b.hS yy =−

36

3h.bI xx =− 48

3b.hI yy =−

h.,h.i xx 236062

≅=− b.i yy 126

=−

FIG. 189yyxxmin ieientremenori −−=

e) Seção semicírculo

8

2d.A π=

3008580 d.,S xx ≅−

24

3dS yy =−

4

98

8r.

.I xx

−=− ππ 4

8r.I yy

π=−

r.,ii minxx 26430≅=− 4di yy =−

FIG. 190

Page 107: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

103

f) Seção setor circular

( )2

232

w

wsen.r.c =

2r.2wA =

( )298 2

4wsen.

wr.I xx =− ( )[ ]wsenw.rI yy −=− 8

4

( )232 3 wsen.r.S aa =− ( )[ ]wsenw.rI aa +=− 8

4

FIG. 191 OBS.: w em radianos

g) Seção composta

1. A primeira etapa do cálculo, das características geométricas da seção composta,é identificar os elementos que a compõem e obter, para cadaelemento, iA , xxiI − e yyiI − .

2. Em seguida deve-se adotar um sistema de eixos auxiliar OXY, identificar, nestesistema de eixos, a posição do centro de gravidade de cada elemento (xi e yi) eobter o centro de gravidade da seção composta por:

=

==n

ii

n

iii

g

A

A.x

x

1

1 e

=

==n

ii

n

iii

g

A

A.y

y

1

1

3. Finalmente, em relação aos eixos x-x e y-y, que passam pelo centro degravidade da seção composta, calculam-se as características geométricas daseção composta por:

∑=

=n

iiAA

1

)seçãomeia(A.ySn

iiixx ∑

=− =

1

∆ )seçãomeia(A.xSn

iiiyy ∑

=− =

1

∑∑==

− +=−

n

iii

n

iixx A.yII

xx1

2

1

∆ ∑∑==

− +=−

n

iii

n

iiyy A.xII

yy1

2

1

AI

i xxxx

−− =

AI

i yyyy

−− =

=mini menor valor entre xxi − e yyi − , sempre que existir ao menos um eixode simetria.

Page 108: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

104

NOTAÇÕES:

a, b, h, d, c e r = distâncias cotadas nas figuras;A = área da seção transversal;Sx-x = momento estático, em torno do eixo x-x, para meia seção;Sy-y = momento estático, em torno do eixo y-y, para meia seção;Ix-x = momento de inércia, em torno do eixo x-x;Iy-y = momento de inércia, em torno do eixo y-y;ix-x = raio de giração, em torno do eixo x-x;iy-y = raio de giração, em torno do eixo y-y;imin = raio de giração mínimo;Sa-a = momento estático, da seção, em torno do eixo a-a;Ia-a = momento de inércia, da seção, em torno do eixo a-a;xg e yg = coordenadas do centro de gravidade, da seção composta, em relação aos

eixos adotados X e Y;xi e yi = coordenadas do centro de gravidade do elemento i, em relação aos eixos X

e Y;Ai = área da seção transversal do elemento i;

xxiI − e yyiI − = momentos de inércia do elemento i em relação aos eixos passando pelocentro de gravidade do elemento e paralelos aos eixos x-x e y-y,respectivamente;

∆xi e ∆yi = distâncias entre os centros de gravidade da seção composta e do elementoi, sobre os eixos x-x e y-y, respectivamente.

5.4. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

A titulo de exemplo, pode-se resolver os seguintes problemas:

EXEMPLO l: Calcular as características geométricas da seção representada na figura 192.

FIG. 192 - Exemplo 1

A solução deste problema é simples aplicação de resultados tabelados (alínea e, seçãosemicírculo).

• Posição do centro de gravidade e dos eixos x-x e y-y.

cm,..

.r.yg 244

3104

34

≅==ππ

Page 109: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

105

FIG. 193

• Área da seção transversal (A)

⇒==820

8

22 .d.A ππ 2157cmA ≅

• Momentos estáticos, em torno dos eixos x-x e y-y, para meia seção (Sx-x e Sy-y).

⇒≅≅−33 20008580008580 .,d.,S xx 369cmS xx ≅−

⇒==− 2420

24

33dS yy 3333cmS yy ≅−

• Momentos de inércia, em torno dos eixos x-x e y-y (Ix-x e Iy-y)

−=

−=−

44 1098

898

8.

.r.

.I xx π

ππ

π 41098cmI xx ≅−

⇒==−44 10

88.r.I yy

ππ 43927cmI yy ≅−

• Raios de giração, em torno dos eixos x-x e y-y e raio de giração mínimo (ix-x, iy-y eimin)

⇒≅≅=− 102643026430 .,r.,ii minxx cm,i xx 62≅−

cm,imin 62≅

⇒==− 420

4di yy cm,i yy 05=−

Page 110: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

106

EXEMPLO 2: Calcular as características geométricas da seção composta, representada nafigura 194.

FIG. 194 - Exemplo 2

A seção em questão é uma seção composta por dois elementos. Neste caso, o primeiropasso para se obter es características geométricas da seção é obter para cada um de seuselementos as seguintes características: iA , xxiI − e yyiI − .

ELEMENTO 1

FIG. 195

21 35312 cm.h.bA ===

433

1 2712

31212

cm.h.bIxx

===−

433

1 43212123

12cm.b.hI

yy===

ELEMENTO 22

2 96166 cm.h.bA ===

433

2 204812166

12cm.h.bI

xx===

433

2 28812

61612

cm.b.hIyy

===−

FIG. 196

Em um segundo passo deve-se encontrar a posição do centro de gravidade, pelo qualpassam os eixos x-x e y-y, da seção composta. Para isto adotam-se arbitrariam ente um sistema de coordenadas OXY.

A posição do centro de gravidade é obtida por:

Page 111: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

107

FIG. 197

cm..

A

A.x

x

ii

iii

g 69636

9663662

1

2

1 =++

==

=

=

cm,..,

A

A.y

y

ii

iii

g 59109636

968365172

1

2

1 ≅++

==

=

=

FIG. 198 - Posição do centro de gravidade e dos eixos x-x e y-y.

Finalmente calculam-se as características geométricas da seção composta em relação aoseixos x-x e y-y que passam pelo seu centro de gravidade.

• Área da seção transversal (A)

⇒+=+==∑=

963621

2

1

AAAAi

i 2132cmA =

• Momento estático, para meia seção, em torno do eixo x-x (Sx-x)

FIG. 199 FIG. 200

Page 112: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

108

Neste caso o cálculo de Sx-x pode ser feito para a metade inferior (figura 199) ou para ametade superior (figura 200). Por qualquer dos cálculos, o resultado será o mesmo.

Fazendo-se o cálculo pela metade inferior, obtém-se:

aai

iixx A.y)seçãomeia(A.yS ∆∆ ==∑=

1

1

cm,,ya 295525910

≅=∆

2546359106 cm,,.Aa ≅=

⇒==− 54632955 ,.,A.yS aaxx ∆ 35336 cm,S xx ≅−

Fazendo-se o cálculo pela metade superior obtém-se:

bbaai

iixx A.yA.y)seçãomeia(A.yS ∆∆∆ +==∑=

2

1

( ) cm,,,ya 9162003591016 ≅+−=∆

cm,,yb 70522

591016≅

=∆

21 36312 cm.AAa ≅==

( ) 246325910166 cm,,.Ab ≅−=

⇒+=+=− 4632705236916 ,.,.,A.yA.yS bbaaxx ∆∆ 35336 cm,S xx ≅−

• Momento estático, para meia seção, em torno do eixo y-y (Sy-y)

FIG. 201 FIG. 202

Page 113: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

109

Neste caso o cálculo de Sy-y pode ser f eito para a metade esquerda (figura 201) ou para ametade direita (figura 202). Em ambos o resultado será o mesmo e obtido por:

bbaai

iiyy A.xA.x)seçãomeia(A.xS ∆∆∆ +==∑=

2

1

cmxa 326==∆

cm,yb 5123==∆

21 18362

cm.A

Aa ===

22 481632

cm.A

Ab ===

⇒+=+=− 4851183 .,.A.xA.xS bbaayy ∆∆ 3126cmS yy =−

• Momento de inércia, em torno do eixo x-x (Ix-x)

FIG. 203

∑∑==

− +=−

n

iii

n

iixx A.yII

xx1

2

1

( ) cm,,,,y 9162003591000161 ≅

+−=∆

21 36cmA =

41 27cmI

xx=

Page 114: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

110

cm,,,y 5922001659102 ≅

−=∆

22 96cmA =

42 2048cmI

xx=

[ ] ( ) ( )[ ]⇒+++=− 9659236916204827 22 .,.,I xx 44438cmI xx ≅−

• Momento de inércia, em torno do eixo y-y (Iy-y)

FIG. 204

Neste caso, os centros de gravidade dos elementos, estão sobre o eixo y-y, assim asdistancias ∆xl e ∆x2 são nulas.

cm,xx 00021 == ∆∆

Ficando-se:

yyyyyyyyyyIIIIA.xII

ii

ii

iii

iiyy −−−−−

+==+=+= ∑∑∑∑====

− 21

2

1

2

1

2

1

22

1

0∆

41 432cmI

yy=

42 288cmI

yy=

⇒+=+=−−− 28843221 yyyy

III yy 4720cmI yy =−

• Raio de giração, em torno do eixo x-x (ix-x)

⇒== −− 132

4438AI

i xxxx cm,i xx 85≅−

Page 115: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

111

• Raio de giração, em torno do eixo y-y (iy-y)

⇒== −− 132

720AI

i yyyy cm,i xx 32≅−

• Raio de giração mínimo

Quando a seção tem ao menos um eixo de simetria, x-x ou y-y, os momentos principais deinércia são iguais aos momentos de inércia Ix-x e Iy-y. Desta forma o raio de giração mínimoserá o menor entre ix-x e iy-y.

⇒= − )casono(ii yymin cm,imin 32≅

OBSERVAÇÕES COMPLEMENTARES

Uma análise das equações apresentadas na alínea g, da tabela para cálculo dascaracterísticas geométricas de seções composta, permite tecer algumas observações quefacilitarão o cálculo:

1. Seções com um eixo de simetria terão seu centro de gravidade nesteeixo. Por exemplo, se o eixo y-y for eixo de simetria (figura 205) e osistema de coordenada adotado contiver este eixo, as coordenadas x , docentro de gravidade do elemento i, serão nulas (x3 = x4 = 0) ou terão, emelementos simétricos, coordenadas de sinais contrários (xl = −x2)

anulando ∑=

n

i ii A.x1 e assim xg = 0.

FIG. 205

21 xx −= , 21 AA = e 043 == xx

⇒+++

+++==

=

=

4321

443322114

1

4

1

AAAAA.xA.xA.xA.x

A

A.x

x

ii

iii

g

( )⇒

+++++−+

=4311

431111 00AAAA

A.A.A.xA.xxg 0=gx

2. Seções com dois eixos de simetria terão seus centros de gravidade nocruzamento destes eixos.

3. Algumas seções podem ser tratadas como composta por uma seçãomaciça e um "buraco", diminuindo o número de elementos e com issofacilitando o cálculo. Nestes casos o "buraco" deve ser considerado

Page 116: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

112

como um elemento de área negativa e consequentemente de momento

de inércia negativo

<<= ∫ 002 IentãodAse,dA.yI

seção.

FIG. 206

4. Um caso particular, da aplicação destas observações, é o caso de umaseção composta que pode ser tratada como uma seção maciça e um"buraco" na qual os centros de gravidade da seção composta, da seçãomaciça e do "buraco" coincidem (figura 207), neste caso ascaracterísticas geométricas ficarão:

FIG. 207

∑=

=n

iiAA

121 AAA −=∴

)seçãomeia(A.ySn

iiixx ∑

=− =

1

∆xxxx

SSS xx −−−=∴ − 21

)seçãomeia(A.xSn

iiiyy ∑

=− =

1

∆yyyy

SSS yy −−−=∴ − 21

∑∑==

− +=−

n

iii

n

iixx A.yII

xx1

2

1

∆xxxx

III xx −−−=∴ − 21

Page 117: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

113

∑∑==

− +=−

n

iii

n

iiyy A.xII

yy1

2

1

∆yyyy

III yy −−−=∴ − 21

AI

i xxxx

−− =

AI

i yyyy

−− =

=mini menor valor entre xxi − e yyi − .

EXEMPLO 3 - Calcular as características geométricas da seção representada na figura 208.

FIG. 208

Neste caso o primeiro passo é o cálculo das características geométricas ( iA , xxiS − , yyiS − ,

xxiI − e yyiI − ) dos elementos que compõem a seção composta.

ELEMENTO 1 (Seção maciça)

⇒== 236101 .,h.bA 21 244cmA ≅

⇒==− 8

236108

22

1.,h.bS

xx 31 701cmS

xx≅

⇒==− 8

610238

22

1,.b.hS

yy 31 323cmS

yy≅

⇒==− 12

2361012

33

1.,h.bI

xx 41 10748cmI

xx≅

⇒==− 12

6102312

33

1,.b.hI

yy 41 2283cmI

yy=

ELEMENTO 2 (Buraco)

⇒== 1162 .h.bA 22 66cmA ≅

Page 118: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

114

⇒==− 8

1168

22

2.h.bS

xx 32 91cmS

xx≅

⇒==− 8

6118

22

2.b.hS

yy 32 50cmS

yy≅

⇒==− 12

11612

33

2.h.bI

xx 42 6668cmI

xx≅

⇒==− 12

61112

33

2.b.hI

yy 42 198cmI

yy=

Como neste exemplo, a seção composta possui dois eixos de simetria, o seu centro degravidade se encontra no cruzamento destes eixos. O mesmo acontece com seus elementos.E, ainda, os centros de gravidade dos elementos e o da seção composta coincidem, assim escaracterísticas geométricas da seção composta serão:

• Área da seção transversal (A)

⇒−=−= 6624421 AAA 2178cmA ≅

• Momento estático, para meia seção, em torno do eixo x-x ( Sx-x)

⇒−=−=−−− 9170121 xxxx

SSS xx 3610cmS xx ≅−

• Momento estático, para meia seção, em torno do eixo y-y (Sy-y)

⇒−=−=−−− 5032321 yyyy

SSS yy 3273cmS yy ≅−

• Momento de inércia, em torno do eixo x-x (Ix-x)

⇒−=−=−−− 6661074821 xxxx

III xx 410082cmI xx ≅−

• Momento de inércia, em torno do eixo y-y (Iy-y)

⇒−=−=−−− 198228321 yyyy

III yy 42085cmI yy ≅−

• Raio de giração, em torno do eixo x-x (ix-x)

⇒== −− 178

10082AI

i xxxx cm,i xx 57≅−

• Raio de giração, em torno do eixo y-y (iy-y)

⇒== −− 178

2085AI

i yyyy cm,i yy 43≅−

Page 119: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

115

• Raio de giração mínimo (imin)

Neste caso, a seção tem eixo de simetria e portanto os momentos principais de inércia sãoiguais aos momentos de inércia Ix-x e Iy-y. Assim o raio de giração mínimo é o menor entreix-x e iy-y.

=mini menor valor entre xxi − e yyi − ⇒ cm,imin 43=

5.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

5.5.1. Quais são e como são definidas as características geométricas de uma seção?

5.5.2. Obtenha as características geométricas das seções representadas nas figuras 209 a217.

FIG.209 FIG.210 FIG.211

FIG.212 FIG.213 FIG.214

FIG.215 FIG.216 FIG.217

Page 120: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

116

5.5.3. Mostrar que o momento de inércia, de um quadrado, em torno de seu eixo diagonal éigual ao momento de inércia em torno dos eixos x-x e y-y.

Sugestão: Para obter o momento de inércia em torno do eixo diagonal, calcule umaseção composta por dois triângulos.

?III yyxx −−− ==11

FIG. 218

5.5.4. Uma seção com um eixo de simetria permite afirmar o que em relação a seu centrode gravidade? E com dois eixos de simetria?

5.5.5. Calcular as características geométricas da seção representada na figura 219.

FIG. 219

5.5.6. Calcular as características geométricas das seções representadas nas figuras 220 a222.

FIG. 220 FIG. 221 FIG. 222

Page 121: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

117

6. TEORIA DAS TRELIÇAS

6.1. GENERALIDADES

Treliças são estruturas formadas por barras ligadas pelas extremidades, formando umconjunto rígido, que mantém sua geometria durante o carregamento. Os pontos de uniãodas barras, denominados NÓS DA TRELIÇA, são admitidos como articulações perfeitas(rótulas), em cálculo, embora a ligação tenha alguma rigidez.

As cargas, em uma treliça, são sempre aplicadas a seus nós, evitando o aparecimento demomentos fletores em suas barras, que assim ficarão sujeitas somente a esforços axiais(força normal).

As treliças são utilizadas para os mesmos propósitos das vigas, com a vantagem dealcançarem vãos muito maiores, visto que sendo as barras da treliça sujeitas unicamente aesforços axiais podem utilizar toda a resistência do material, ao passo que as vigas sendo,em geral, fletidas usam somente parte desta resistência, conforme se nota na figura 223.

a) Tensões normais em uma viga fletida b) Tensões normais em uma barra de umatreliça

FIG. 223 - Utilização da resistência do material por uma viga fletida e por uma barra detreliça

6.2. TIPOS DE TRELIÇAS

Existem TRELIÇAS PLANAS (treliças cujas barras e cujo carregamento estão em umúnico plano) e TRELIÇAS ESPACIAIS (treliças cujas barras e cujo carregamento seencontram dispostos em diversos planos), entretanto, na maioria dos casos, as treliçasespaciais podem ser reduzidas a um sistema de treliças planas. Assim, neste curso estudar-se-ão apenas as treliças planas.

Page 122: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

118

FIG. 224 - Redução de uma treliça espacial em treliças planas

a) Quanto a estabilidade geométrica

Quanto a estabilidade geométrica, internamente, as treliças podem ser:

TRELIÇAS HIPOSTÁTICAS, são treliças geometricamente instáveis e portanto nuncadevem ser utilizadas.

32 −< n.b

Onde:

b = número de barras;n = número de nós.

FIG. 225 - Treliça hipostática

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS, são treliças geometricamente estáveis e estaticamentedeterminadas, ou seja, os esforços nas barras são determinados apenas com a aplicação dasequações fundamentais da estática (∑ = 0hF e∑ = 0vF ).

Page 123: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

119

32 −= n.b

Onde:

b = número de barras;n = número de nós.

FIG. 226 - Treliça isostática

TRELIÇAS HIPERESTÁTICAS, são treliças geometricamente estáveis, masestaticamente indeterminadas, ou seja, para se determinar os esforços nas barras, além dasequações fundamentais da estática, são necessárias equações suplementares advindas dacompatibilidade de deslocamentos. As treliças hiperestáticas não serão objeto de estudodeste curso.

32 −> n.b

Onde:

b = número de barras;n = número de nós.

FIG. 227 - Treliça hiperestática

b) Quanto a lei de formação

Quanto a lei de formação as treliças isostáticas podem ser:

SIMPLES, são as treliças formadas a partir de três barras, ligadas em triângulo, juntando-se a estas duas novas barras para cada novo nó. A figura 228 apresenta algumas treliçasisostáticas simples.

COMPOSTAS, são as treliças formadas pela ligação de duas ou mais treliças simples, pormeio de rótulas ou barras bi-rotuladas. A figura 229 apresenta algumas treliças isostáticascompostas.

COMPLEXAS, são as treliças que não obedecem às regras de formação das anteriores. Afigura 230 apresenta alguns exemplos de treliças isostáticas complexas.

Page 124: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

120

FIG. 228 - Exemplos de treliças isostáticassimples

a) TRELIÇA HOWE - muito utilizada naconstrução de pontes de madeira ou aço.

b) TRELIÇA PRATT ou N - utilizada naconstrução de pontes de madeira ou aço.

c) TRELIÇA WARREN - tambémutilizada na construção de pontes demadeira ou aço.

d) TRELIÇA HOWE DE CONTORNOTRIANGULAR - muito utilizada naconstrução de telhados.

e) TRELIÇA PRATT DE CONTORNOTRIANGULAR - utilizada naconstrução de telhados.

f) TRELIÇA BELGA DE CONTORNOTRIANGULAR - também utilizada naconstrução de telhados.

a) TRELIÇA PONCELEAU ouFINK - utilizada na construção detelhados.

b) PÓRTICO TRELIÇADO TRI-ARTICULADO - utilizado naconstrução de galpões industriais.É comum, nestes galpões, utilizar-se na vedação lateral telhas defibrocimento ou chapas de madeiracompensada.

FIG. 229 - Exemplos de treliças isostáticas compostas

OBS.: Neste caso a "ChapaTerra" age como barrabi-rotulada

Page 125: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

121

a) TRELIÇA DE SHUKHOV

b) TRELIÇA DE DIAGONAISCONVERGENTES

FIG. 230 - Exemplos de treliças isostáticas complexas

6.3. NOMENCLATURA UTILIZADA

É comum, utilizar-se, para as barras das treliças, a seguinte nomenclatura:

• Banzo superior - Barras do contorno superior da treliça.• Banzo inferior - Barras do contorno inferior da treliça.• Montantes - Barras verticais, e as vezes perpendicular ao banzo superior, internas da

treliça.• Diagonais - Barras inclinadas e internas da treliça.• Diagonal (ou montante) de apoio - São as diagonais (ou montantes) da treliça que

fazem parte de seu contorno e situam-se sobre um apoio.

A figura 231 exemplifica esta nomenclatura, mostrando também um caso no qual não épossível identificar os banzos superior e inferior (item d).

FIG. 231 - Nomenclatura utilizada nas treliças

Page 126: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

122

6.4. CÁLCULO DE ESFORÇOS NAS BARRAS DE TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Para obtenção dos esforços normais nas barras de treliças isostáticas planas existemmétodos analíticos e métodos gráficos. Entre os primeiros destacam-se o MÉTODO DERITTER e o MÉTODO DOS NÓS (Equilíbrio de nós) e entre os métodos gráficosdestacam-se o EQUILÍBRIO GRÁFICO DOS NÓS e o PLANO CREMONA.

a) Método de Ritter

O método de Ritter é indicado quando se deseja determinar esforços em poucas barras datreliça, consiste em "cortar" a treliça, por três barras não concorrentes, substituindo estasbarras pelos esforços normais (incógnitas) no sentido positivo (tração) e equilibrar uma daspartes da estrutura. Conforme as equações utilizadas no equilíbrio o método se subdivideem MÉTODO DOS MOMENTOS e MÉTODO DAS CORTANTES.

O MÉTODO DOS MOMENTOS é indicado quando as três barras por onde se fará o cortesão concorrentes duas a duas. Neste caso, no ponto de interseção de duas barras, faz-se oequilíbrio de momentos em uma das partes da estrutura obtendo-se o esforço normal naterceira barra.

EXEMPLO 1 - Calcular os esforços normais nas barras 2-4, 2-5 e 3-5 (N2-4, N2-5 e N3-5) datreliça representada na figura 232.

FIG. 232 - Exemplo 1

Calculando-se as reações de apoio, obtém-se:

Page 127: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

123

FIG. 233 - Reações de apoio e posição do corte I-I

Cortando-se a estrutura, corte I-I, e colocando-se os esforços normais com seu sentidopositivo, tração, obtém-se:

FIG. 234 - Corte da estrutura

Fazendo-se o equilíbrio de momentos no nó 5, ponto de interseção das barras 2-5 e 3-5,para a parte esquerda da estrutura, pode-se obter o esforço na barra 2-4, isto é, N2-4, comosegue:

∑ = 05M 05014000003200000312000 142 =+−−∴ − r.N,.,.,.

142

24000r

N −=⇒ −

O valor de rl é obtido através de relações geométricas, assim:

Do triângulo formado pelos nós l, 6 e 7, obtém-se:

Page 128: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

124

"',,,tg o 4557234440504002

≅⇒≅= αα

Do triângulo formado pelos nós 1 e 5 e pelo ponto A, obtém-se:

m,rsen.,r,r

sen 2181003003 111 ≅⇒=⇒= αα

Obtendo-se para N2-4:

NN,

Nr

N 197042181

24000240004242

142 −≅⇒

−=⇒

−= −−− (compressão)

Fazendo-se o equilíbrio de momentos no nó l, ponto de interseção das barras 2-4 e 3-5,para a parte esquerda da estrutura, pode-se obter o esforço na barra 2-5, isto é N2-5, comosegue:

∑ = 01M 05014000 252 =+∴ − r.N,.2

526000r

N −=⇒ −

O valor de r2 é obtido através de relações geométricas, assim:

Os triângulos 1,2,3 e 2, 3, 5 são iguais, pois têm dois lados iguais (1,50m e r3) e um ânguloigual (90°). Desta forma, do triângulo formado pelos nós 1 e 5 e pelo ponto B, obtém-se:

m,rsen.,r,r

sen 2181003003 222 ≅⇒=⇒= αα

Obtendo-se, para N2-5:

NN,

Nr

N 49262181

600060004252

252 −≅⇒

−=⇒

−= −−− (compressão)

Fazendo-se o equilíbrio de momentos no nó 2, ponto de interseção das barras 2-4 e 2-5,para a parte esquerda da estrutura, pode-se obter o es forço na barra 3-5, isto é, N3-5, comosegue:

∑ = 02M 0501200050112000 353 =−−∴ − r.N,.,.3

5315000r

N =⇒ −

O valor de r3 é obtido através de relações geométricas, assim:

Do triângulo formado pelos nós 1,2 e 3, obtém-se:

αα tg.,r,r

tg 501501 33 =⇒=

Page 129: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

125

Do triângulo formado pelos nós 1,6 e 7, obtém-se:

"',,,tg o 4557234440504002

≅⇒≅= αα

Assim:

m,r,.,tg.,r 66704440501501 33 ≅⇒== α

Obtendo-se, para N3-5:

NN,

Nr

N 225006670

15000150005353

353 ≅⇒=⇒= −−− (tração)

O MÉTODO DAS CORTANTES, por outro lado, é indicado para se obter os esforçosnormais em um montante e/ou uma diagonal em treliças de banzos paralelos. Neste caso,faz-se o equilíbrio vertical em uma das partes, após o "corte", da estrutura.

EXEMPLO 2 - Calcular os esforços normais nas barras 5-6 e 5-8 (N5-6 e N5-8) da treliçarepresentada na figura 235.

FIG. 235 - Exemplo 2

Calculando-se as reações de apoio, obtém-se:

Page 130: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

126

FIG. 236 - Reações de apoio e posições dos cortes I-I e II-II

Cortando-se a estrutura, cortes I-I e II-II, e colocando-se esforços normais com seu sentidopositivo, tração, obtém-se:

FIG. 237 - Corte I-I da estrutura

FIG. 238 - Corte II-II da estrutura

Page 131: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

127

Fazendo-se o equilíbrio vertical da parte esquerda da estrutura, no corte I-I, obtém-se oesforço na barra 5-6, isto é, N5-6, como segue:

( ) NNNFv 100000100000 6565 =⇒=+−∴↑+= −−∑ (tração)

Fazendo-se o equilíbrio vertical da parte esquerda da estrutura, no corte II-II, obtém-se oesforço na barra 5-8, isto é, N5-8, como segue:

( )α

αcos

Ncos.NFv100000100000 8585−

=⇒=−−∴↑+= −−∑O ângulo α é obtido de relações geométricas, assim:

m,diagonaldaocompriment 243433 22 ≅+=

70702434003 ,cos,,cos ≅⇒= αα

Obtendo-se, para N5-8:

NN,cos

N 141447070

10000100008585 −≅⇒

−=

−= −− α

(compressão)

b) Método dos nós

O método dos nós, também conhecido por EQUILÍBRIO DE NÓS, é o método analíticomais indicado quando se deseja obter os esforços normais em todas as barras da treliça.Consiste do equilíbrio de cada nó isoladamente, através das equações ∑ = 0xF e

∑ = 0yF . Para que o método fique mecânico pode-se utilizar o seguinte roteiro:

ROTEIRO PARA CÁLCULO DOS ESFORÇOS NAS BARRAS DE UMATRELIÇA PELO MÉTODO DOS NÓS.

1. Cálculo das reações de apoio2. Cálculo dos comprimentos das barras e dos ângulos entre as barras da treliça3. Cálculo dos esforços nos nós

3.1. Isolar um nó, para o qual concorrem apenas duas barras, substituindo cadabarra por seu esforço normal (incógnita) admitido como sendo de tração(saindo do nó). Em seguida, adotar um sistema de coordenar x, y comorigem no nó e aplicar as equações de equilíbrio ∑ = 0xF e ∑ = 0yF ,obtendo os esforços nas barras. O sinal do esforço obtido indica se a forçaé de tração (sinal +) ou de compressão (sinal -).

3.2. Isolar outro nó, em uma das barras do nó anterior e para o qual concorramapenas duas novas barras. Repetir para este nó as mesmas operações

Page 132: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

128

descritas no passo 3.1, aproveitando os resultados do nó anterior e obtendoos esforços nestas duas novas barras.

3.3. Repetir o passo 3.2, até que terminem os nós ou que se conheçam, porsimetria, os esforços nas outras barras.

4. Fornecer a solução

EXEMPLO 3 - Calcular os esforços, normais em todas as barras da treliça representada nafigura 239.

FIG. 239 - Exemplo 3

Conforme se viu anteriormente, a treliça é uma estrutura formada por nós e barras, na qual,cada barra possui uma única força normal. Separando-se os elementos da treliça ecolocando-se os esforços normais, no sentido positivo, obtém-se o esquema da figura 240,que será bastante útil no entendimento dos cálculos expostos a seguir.

FIG. 240 - Treliça: um conjunto de elementos em equilíbrio

Calculando-se as reações de apoio, obtém-se:

Page 133: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

129

FIG. 241 - Reações de apoio

O cálculo dos comprimentos das barras e dos ângulos entre as barras da treliça, é feitoatravés de relações geométricas e da aplicação do teorema de Pitágoras, obtendo-se, para oexemplo dado:

FIG. 242 - Comprimentos das barras e ângulos entre as barras

• Cálculo dos esforços no Nó 1

FIG. 243 - Nó 1

( ) ⇒=+⇒= −−∑ 04557230 2131 "'cos.NNF ox

2131 91380 −− −= N.,N

( ) ⇒=+−⇒= −∑ 0152662000120000 21 "'cos.NF oy

NN 2462221 −=− (compressão)

Substituindo-se na outra equação:

( ) NN.,N 225002462291380 3131 ≡⇒−−= −− (tração)

Page 134: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

130

• Cálculo dos esforços no Nó 3

FIG. 244 - Nó 3

⇒=−⇒= −∑ 0225000 53NFx

NN 2250053 =− (tração)

NNFy 00 32 =⇒= −∑

• Cálculo dos esforços no Nó 2

N2-3 não foi representado, poisN2-3=0N

FIG. 245 - Nó 2

( )+++⇒= −−∑ "'cos.NNF ox 305547246220 5242

( ) ⇒=− 0152664000 "'cos. o

2299767010 5242 −=+ −− N.,N

( )+−⇒=∑ "'cos.F oy 3042340000

( ) ⇒=− − 03044252 "'cos.N o

NN 492421 −=− (compressão)

Substituindo-se na equação∑ = 0xF , obtém-se:

( ) ⇒−=−+− 2299749246701042 .,N

NN 1969742 −≡− (compressão)

• Cálculo dos esforços no Nó 5

FIG. 246 - Nó 5

( ) ⇒=+−⇒= −∑ 04557234924225000 75 "'cos.NF ox

NN 1800075 ≅− (tração)

( ) ⇒=−⇒= −∑ 01526649240 54 "'cos.NF oy

NN 200054 =− (tração)

Page 135: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

131

• Cálculo dos esforços no Nó 4

FIG. 247 - Nó 4

( )+++⇒= −−∑ "'cos.NNF ox 463565196970 7464

( ) ( ) ⇒=−− 0152662000152664000 "'cos."'cos. oo

1726041320 7454 ≅+ −− N.,N

( ) ( )+−−⇒=∑ "'cos."'cos.F ooy 455723200045572340000

( ) ⇒=− − 014242474 "'cos.N o

NN 602174 −=− (compressão)

Substituindo-se na equação∑ = 0xF , obtém-se:

( ) ⇒≅−+− 1726060214132054 .,N

NN 1477264 −≡− (compressão)

• Cálculo dos esforços no Nó 6

FIG. 248 - Nó 6

( ) ( ) ⇒=+⇒= −∑ 0455723147724557230 86 "'cos."'cos.NF oox

NN 1477286 −≅− (compressão)

( )++−−⇒= −∑ "'cos.NF oy 152661477240000 76

( ) ⇒=− − 01526686 "'cos.N o

( ) 1999152668676 =+ −− "'cos.NN o

Substituindo-se o valor de N6-8, obtém-se:

( ) ( ) ⇒=−+− 1999152661477276 "'cos.N o

NN 799876 ≡− (tração)

Neste ponto, por simetria, conhece-se, em função dos resultados obtidos, os esforços emtodas as barras da treliça. Sendo comum fornecer a solução, em forma de tabela, comosegue:

Page 136: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

132

TAB. 1 - TABELA DE ESFORÇOS NORMAIS (EXEMPLO 3)

TIPO BARRA FORÇA NORMALN (N)

BANZOSUPERIOR

1-22-44-66-88-1010-12

-24622-19697-14772-14772-19697-24622

BANZOINFERIOR

1-33-55-77-99-1111-12

225002250018000180002250022500

MONTANTES

2-34-56-78-9

10-11

Zero200079982000Zero

DIAGONAIS2-54-77-89-10

-4924-6021-6021-4924

CONVENÇÃO DE SINAIS

(−) Barra comprimida(+) Barra tracionada

c) Equilíbrio gráfico dos nós

O equilíbrio gráfico dos nós, é um método gráfico para se deter minar os esforços normaisnas barras de uma treliça. Este método é equivalente ao método dos nós, expostoanteriormente, tendo como diferença ser o equilíbrio de cada nó feito graficamente, emescala, traçando-se o polígono de forças e impondo seu fechamento. Os esforços normaissão medidos, em escala, no desenho e seu sinal é obtido da comparação entre o sentidoobtido no desenho e o sentido do esforço positivo (saindo do nó). É usual, na aplicaçãodeste método, fazer todos os equilíbrios em uma única folha, na qual, desenha-seinicialmente a treliça, em escala, possibilitando, por paralelismo, obter a direção de cadaforça normal.

EXEMPLO 4 - Obter graficamente os esforços, normais, em todas as barras da treliçarepresentada na figura 249. As reações de apoio foram obtidas analiticamente.

Page 137: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

133

FIG. 249 - Exemplo 4, já com suas reações de apoio

• Cálculo dos esforços no nó 1

FIG. 250 - Equilíbrio gráfico do nó 1

• Cálculo dos esforços no nó 3

FIG. 251 - Equilíbrio gráfico do nó 3

Page 138: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

134

• Cálculo dos esforços do nó 2

FIG. 252 - Equilíbrio gráfico do nó 2

• Cálculo dos esforços do nó 5

FIG. 253 - Equilíbrio gráfico do nó 5

• Cálculo dos esforços no nó 4

FIG. 254 - Equilíbrio gráfico do nó 4

Page 139: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

135

• Cálculo dos esforços no nó 6

FIG. 255 - Equilíbrio gráfico do nó 6

Os demais esforços, por simetria, são conhecidos e o resultado pode ser apresentadoconforme a figura 256.

FIG. 256 - Solução do exemplo 4

O erro gráfico cometido neste método é desprezível, frente a magnitude dos esforçosnormais nas barras, no caso do exemplo observou-se, em relação ao exemplo 3, um erromáximo de 2,22%.

d ) Plano Cremona

O Plano Cremona, é o método gráfico mais utilizado para determinação de esforços emtreliças, consiste no equilíbrio gráfico dos nós em um único desenho, sem isolar cada nó. Ométodo segue um roteiro bem determinado, descrito a seguir:

ROTEIRO PARA O TRAÇADO E INTERPRETAÇÃO DO PLANOCREMONA

1. Cálculo das reações de apoio;

Page 140: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

136

2. Desenhar a treliça em escala e adotar um sentido de caminhamento, esteprocedimento é útil para a seqüencialização e interpretação do Plano Cremona;

3. Enumerar, seguindo o sentido de caminhamento, os campos entre duas forças(ou barras). É comum utilizar-se letras maiúsculas para enumerar os camposentre forças externas e letras minúsculas para os campos entre forças (barras)internas;

4. Adotar uma escala de forças;5. Traçar o polígono de forças externas, em escala, neste passo pode-se verificar,

através do fechamento do polígono de forças, se o cálculo das reações de apoioestá correto, entretanto a equação ∑ = 0OM , não é verificada;

6. Traça-se o Plano Cremona, lembrando que para mudar de um campo á outroexiste uma força de direção definida pela barra da treliça entre os campos;

7. Verifica-se, através do erro de fechamento, a qualidade do Plano Cremona,refazendo-o se necessário. Aceita-se, na prática, um erro não superior a 5%;

8. Finalmente, procede-se a LEITURA DOS ESFORÇOS obtidos no PlanoCremona. Para isto cada barra é associada aos campos que a ladeiam (par deletras):8.1. A MAGNITUDE, OU VALOR, DO ESFORÇO é a distância, na escala de

forças, entre o par de letras, no Plano Cremona, que representam os camposque ladeia a barra;

8.2. O SENTIDO, OU SINAL, DO ESFORÇO é obtido aplicando-se a seguinteseqüência de operações:a) Fixa-se, no desenho da treliça, um dos nós da barra que se deseja obter o

sentido;b) Aplica-se, nesta barra (ainda no desenho da treliça), o sentido da força

de tração (saindo do nó, previamente fixado);c) Aplica-se, ao nó previamente fixado (ainda no desenho da treliça), o

sentido de caminhamento (adotado em 2.) e observa-se a seqüência dopar de letras que representam os campos que ladeiam a barra;

d) Aplica-se, agora no Plano Cremona, a seqüência do par de letras (obtidaem 8.2.c) definindo um sentido para o esforço na barra (da letra inicial àfinal);

e) Finalmente, compara-se o sentido do esforço, obtido em 8.2.d (no PlanoCremona), com o da força de tração, definida em 8.2.b (no desenho datreliça), se forem iguais a força na barra é de tração (sinal +), sediferentes a força é de compressão (sinal −).

OBS.: Quando a treliça e o carregamento são simétricos é possível traçar-se oPlano Cremona apenas para meia treliça. Entretanto, a verificação, através do errode fechamento, da qualidade do Plano Cremona, depende de cada caso.

Para melhor entendimento do método, apresentam-se a seguir alguns exemplos, para osquais as reações de apoio foram previamente obtidas, analiticamente.

Page 141: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

137

FIG. 257 - Exemplo 5 (Plano Cremona)

Page 142: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

138

FIG. 258 - Exemplo 6 (Plano Cremona)

Page 143: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

139

FIG. 259 - Exemplo 7 (Plano Cremona)

Page 144: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

140

FIG. 260 - Exemplo 8 (Plano Cremona)

6.5. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS LINEARES

Obtidos os esforços nas barras de uma treliça, a verificação da resistência, destas barras, àtração ou à compressão é imediata (ver item 4.1). Além da resistência, o estudo dosdeslocamentos (flechas) causados pelas deformações das diversas barras da treliça, se faznecessário.

Page 145: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

141

O caminho mais simples para se obter os deslocamentos é através do Principio dosTrabalhos Virtuais.

Na exposição sobre o assunto aparecem termos, cujos significados devem sercompreendidos à prióri. Como, por exemplo, a palavra VIRTUAL que significa:"susceptível de exercer-se, embora não esteja em exercício".

Por DESLOCAMENTO VIRTUAL entende-se um deslocamento hipotético infinitesimal,de um ponto ou sistema de pontos materiais. O deslocamento é suposto infinitesimal demodo a não alterar a configuração estática e geométrica do sistema e das forças que neleatuam, não violando as condições de equilíbrio a que tais forças obedecem. Além disso odeslocamento virtual é causado por uma ação externa qualquer, cuja origem não é objetode discussão. Cumpre ressaltar, todavia, que a ação externa causadora do deslocamentovirtual é independente das forças externas que mantém a estrutura em equilíbrio.

O estudo sobre o assunto será apresentado em etapas. Inicialmente estudar-se-á o Principiodos Trabalhos Virtuais aplicado a corpos rígidos ideais, comentando-se, em seguida, suaaplicação aos corpos deformáveis, chegando-se a sua aplicação às treliças, motivo peloqual se iniciou o estudo e, finalmente, generalizando sua aplicação a estruturas formadaspor chapas.

a) Princípio dos trabalhos virtuais aplicado a corpos rígidos ideais

O Principio dos Trabalhos Virtuais, quando aplicado a corpos rígidos ideais, afirma que: "acondição necessária e suficiente para o equilíbrio é ser nula a soma dos trabalhos virtuaisde todas as "forças" externas, em todos os deslocamentos virtuais independentes,compatíveis com as ligações do sistema".

A assertiva do principio, assenta-se em que: se o corpo rígido está em equilíbrio então:

∑ = oFh

∑ = oFv

∑ = oM o

Os deslocamentos independentes de um corpo rígido são: translação horizontal (α),translação vertical (β) e rotação (γ).

Assim o trabalho realizado pelas forças externas (Text) será:

∑∑∑ ++= ovhext M.F.F.T γβα

∑∑∑ ++= ovhext M.F.F.T γβα

Page 146: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

142

0=extT Eq. 24

A equação 24, conduz à assertiva do princípio, descrita anteriormente.

Por outro lado, o trabalho total (T) é a soma dos trabalhos das forças externas (Text) e dasforças internas (Tint).

intext TTT += Eq. 25

Entretanto, o trabalho das forças internas, que causariam deformações no corpo, é nulo,pois corpos rígidos não se deformam sob a ação de um sistema de forças, então:

0=intT

0=+= intext TTT

0=T Eq. 26

Podendo-se dizer, de forma geral, que: "Corpos em equilíbrio terão nulo, seu trabalhototal".

b) Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos deformáveis

Para os corpos deformáveis, o principio, afirma que: "em estruturas deformáveis emequilíbrio, a soma dos trabalhos virtuais das "forças" externas em um deslocamento virtualcompatível com as suas ligações, é igual ao trabalho virtual interno, realizado pelosesforços internos na deformação dos elementos da estrutura".

Esta assertiva tem por fundamentação as equações 25 e 26 e ainda o fato de que o trabalhodas forças internas, que procura impedir o desloca mento, se opõe ao trabalho das forçasexternas. Assim os sentidos destes trabalhos são opostos, o que implica a alteração daequação 25, para:

intext TTT −=

Aplicando-se a equação 26, pois a estrutura está em equilíbrio, obtém-se:

0=−= intext TTT

intext TT = Eq. 27

A equação 27, conduz à assertiva do principio descrita anteriormente.

c) Aplicação do princípio dos trabalhos virtuais às treliças

Seja uma treliça em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças, a deformação de cadabarra, tracionada ou comprimida, desta treliça será dada, segundo a lei de Hooke, por:

Page 147: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

143

ii

iii A.E

.N ll =∆

Sendo:

∆li = deformação da barra i;Ni = força normal atuante na barra i;li = comprimento da barra i;Ei = módulo de elasticidade da barra i, eAi = área da seção transversal da barra i.

Se determinado nó da treliça sofrer um deslocamento (v), causado por uma força externa(Fv), aplicada a este nó com a direção e sentido do deslocamento. Para equilibrar esta forçaaparecerão nas barras da treliça esforços (Nvi). Nesta situação o trabalho das forçasexternas será:

v.FT vext =

e o trabalho interno, realizado por cada barra, será:

ivii .NT l∆=

ii

iivii A.E

.N.NT l=

ficando o trabalho interno, de todas as barras, de:

∑=

=n

i ii

iiviint A.E

.N.NT1

l

Aplicando-se o Principio dos Trabalhos Virtuais, na forma da equação 27, obtém-se:

intext TT =

∑=

=n

i ii

iiviv A.E

.N.Nv.F1

l

Sabendo-se que os esforços (Nvi) nas barras são proporcionais à força (Fv) aplicada, então:

vivi F.NN =

( )∑=

=n

i ii

iiviv A.E

.N.F.Nv.F1

l

Page 148: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

144

∑=

=n

i ii

iiivv A.E

.N.N.Fv.F1

l

∑=

=n

i ii

iii

A.E.N.Nv

1

l Eq. 28

Sendo:

v = deslocamento (flecha) de um nó da treliça;iN = esforço, na barra i, devido a um carregamento unitário, na posição e direção de v;iN = esforço, na barra i, devido ao carregamento da treliça, em equilíbrio;

li = comprimento, da barra i;Ei = módulo de elasticidade, da barra i;Ai = área da seção transversal, da barra i, en = número de barras da treliça.

Desta forma, para se obter o deslocamento (flecha) em um determinado nó, de uma treliça,pode-se utilizar o seguinte roteiro:

ROTEIRO PARA CÁLCULO DA FLECHA EM UM NÓ DE UMATRELIÇA

1. Obter os esforços ( iN ), nas barras da treliça para o carregamento dado.2. Obter os esforços ( iN ), nas barras da treliça para um carregamento unitário,

aplicado ao nó considerado e com a direção do deslocamento (v) desejado.3. Aplicar a equação 28, obtendo o valor do deslocamento (v) desejado.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO - Calcular o deslocamento vertical do nó 7, da treliçarepresentada na figura 261. A figura 262 fornece as áreas das seções transversais das barrase respectivos módulos de elasticidade. A figura 263 fornece os comprimentos das barras.

FIG. 26l - Exemplo dado

Page 149: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

145

FIG. 262 - Área e Módulo de Elasticidade das barras

FIG. 263 - Comprimentos das barras

O primeiro passo, na resolução do problema, é obter os esforços ( iN ), nas barras da treliçapara o carregamento dado. Estes esforços podem ser obtidos, por exemplo, através de umPlano Cremona (ver figura 259), cujos resultados são apresentados na figura 264.

FIG. 264 - Esforços nas barras devido ao carregamento dado

Em seguida, devem ser obtidos os esforços ( iN ), nas barras da treliça para umcarregamento unitário aplicado ao nó 7, na direção do deslocamento desejado. Estesesforços podem ser obtidos, através do Plano Cremona representado na figura 265.

Finalmente, aplicando-se a equação 28, com o auxilio da tabela 2, obtém-se odeslocamento (v) desejado.

Page 150: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

146

FIG. 265 - Cálculo dos esforços, devido ao carregamento unitário

Page 151: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

147

TAB. 2 - TABELA AUXILIAR PARA O CÁLCULO DA FLECHA

EsforçosTipo Barra Comprimento

li (mm)

Módulo deElasticidade

Ei (MPa)

ÁreaAi

(mm2) iN (N) iNii

iii

A.E.N.N l

(mm)

Ban

zoSu

perio

r

1-22-44-66-88-1010-12

164116411641164116411641

923192319231923192319231

960096009600960096009600

-24400-19500-14600-14600-19500-24400

-1,23-1,23-1,23-1,23-1,23-1,23

0,5560,4440,3330,3330,4440,556

Ban

zoIn

ferio

r

1-33-55-77-99-1111-12

150015001500150015001500

923192319231923192319231

720072007200720072007200

222002220017800178002220022200

1,121,121,121,121,121,12

0,5610,5610,4500,4500,5610,561

Mon

tant

es

2-34-56-78-9

10-11

667133320001333667

92319231923192319231

72007200720072007200

0200080002000

0

0,000,001,000,000,00

0,0000,0000,2410,0000,000

Dia

gona

is 2-54-77-89-10

1641200720071641

9231923192319231

3600720072003600

-5000-6000-6000-5000

0,000,000,000,00

0,0000,0000,0000,000

==∑=

n

i ii

iii

A.E.N.N

v1

l6,051 mm

d) Aplicação do princípio dos trabalhos virtuais às estruturas formadas por chapas

Em sua forma geral, o cálculo do deslocamento (v) de um determinado ponto de umaestrutura, assume a forma da equação 29. Esta equação, advém da aplicação do Principiodos Trabalhos Virtuais às estruturas formadas por chapas, cuja dedução será, aqui, omitida.

∫∫∫ ++=EstruturaEstruturaEstrutura

dxI.EM.Mdx

A.GV.V.cdx

A.EN.Nv Eq. 29

( I ) ( II ) ( III )

Sendo:

v = deslocamento (flecha) de um determinado ponto da estrutura;

Page 152: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

148

M, N e V = diagramas de: momento fletor, força normal e força cortante, para ocarregamento aplicado à estrutura;

M , N e V = diagramas de: momento fletor, força normal e força cortante, para umacarga unitária aplicada na posição e direção do deslocamento (v) desejado;

E = módulo de elasticidade;A = área da seção transversal;G = módulo de elasticidade transversal, eI = momento de inércia da seção.

A equação 29, para treliças fica reduzida à equação 28, vista anteriormente, pois emtreliças as integrais (II) e (III) se anulam por ser V=0 e M=0. Discretizando-se, então, aintegral (I), obtém-se:

∑∫=

==n

i ii

iii

EstruturaA.E.N.N

dxA.EN.Nv

1

l

Para o cálculo de deslocamentos verticais, em vigas, a integral (I) se anula, pois N=0, e aintegral (II) pode ser desprezada, frente a magnitude dos resultados obtidos da integral(III). Assim, a flecha (v) em determinada seção de uma viga, cuja rigidez contra flexão(E.I) é constante, é dada por:

∫=Estrutura

dxI.EM.Mv

∫=Estrutura

dx.M.MI.E

v 1 Eq. 30

O cálculo da integral, constante da equação 30, pode ser feito a través da tabela paraintegrais de produtos de duas funções (tabela 3), tornando-se relativamente simples.

Assim o cálculo de flechas, em vigas de seção constante de um mesmo material, pode serrealizado através do seguinte roteiro:

ROTEIRO PARA CÁLCULO DA FLECHA EM DETERMINADAPOSIÇÃO DE UMA VIGA DE SEÇÃO CONSTANTE

1. Traçar o diagrama de momento fletor (M), para o carregamento dado.2. Traçar o diagrama de momento fletor (M ), para um carregamento unitário,

aplicado na posição e com a direção do deslocamento (v) desejado.Utilizando-se a tabela para integrais de produtos de duas funções (tabela 3)

calcular: ∫Estrutura

dx.M.M

3. Aplicar a equação 30, obtendo o valor do deslocamento (v) desejado.

Page 153: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

149

TAB. 3 - INTEGRAIS DE PRODUTOS DE DUAS FUNÇÕES

∫l

0

dx).x().x(f ϕ

Número I II III IV V

Núm

ero )x(ϕ

)x(f

1α.a..

21

l α.a..31

l ( )βα +..a.. 261

l γ.a..31

l α.a..41

l

2α.b..

21

l α.b..61

l ( )βα ..b.. 261

+l γ.b..31

l α.b..121

l

3( )α.ba.. +

21

l ( )α.ba... +261

l( )++βα..a.[. 2

61l

( )]..b βα 2++( )γ.ba.. +

31

l ( )α.ba... +3121

l

4α.a..

31

l α.a..41

l ( )βα+..a.. 3121

l γ.a..51

l α.a..51

l

5α.b..

31

l α.b..121

l ( )βα ..b.. 3121

+l γ.b..51

l α.b..301

l

6α.a..

32

l α.a..125

l ( )βα ...a.. 35121

+l γ.a..157

l α.a..103

l

7α.b..

32

l α.b..41

l ( )βα ...b.. 53121

+l γ.b..157

l α.b..152

l

8α.c..

32

l α.c..31

l ( )βα +.c..31

l γ.c..158

l α.c..151

l

9α.c..

21

l α.c..41

l ( )βα +.c..41

l γ.c..1215

l α.c..487

l

10α.c..

21

l αξ.c..

62−

l( ) +−ξα 2

61 ...[c..l

( )]. ξβ ++ 1γ

ξξ .c..3

1 2−+l α

ξξ .c..3

1 2++l

11α.a..

41

l α.a..61

l ( )βα+..a.. 4201

l γ.a..152

l α.a..61

l

12α.b..

41

l α.b..201

l ( )βα ..b.. 4201

+l γ.b..152

l α.b..601

l

[ ]∫l

0

2 dx.)x(ϕ 2α.l 2

31 α..l ( )22

31

ββαα ++ ...l 2

158 γ..l 2

51 α..l

ou o ponto significa que a tangente à curva é horizontal

Page 154: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

150

EXEMPLO DE APLICAÇÃO - Calcular a flecha (deslocamento vertical), na seção sob acarga concentrada, para a viga representada na figura 266.

FIG. 266 - Exemplo dado

O primeiro passo, na resolução do problema, é traçar o diagrama de momento fletor (M)para o carregamento dado, conforme figura 267.

FIG. 267 - Diagrama de momento fletor (M), para o carregamento dado

O segundo passo, na resolução do problema, é traçar o diagrama de momento fletor (M )para um carregamento unitário, na posição e direção da flecha desejada, conformerepresentação na figura 268.

O terceiro passo, na resolução do problema, é calcular, utilizando a tabela 3, a integral, aolongo da estrutura, do produto M.M , para isto deve-se separar a estrutura em trechos, deforma a se obter produtos constantes da tabela 3.

∫∫∫∫∫ ++==m,

m,

m,

m,

m,

m,

m,

m,Estrutura

dx.M.Mdx.M.Mdx.M.Mdx.M.Mdx.M.M006

504

504

003

003

000

006

000

Page 155: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

151

FIG. 268 - Diagrama de momento fletor (M ), para o carregamento unitário

• Trecho AB

FIG. 269 - Decomposição, para o trecho AB , em produtos tabelados

Calculando-se, com o auxilio da tabela 3, estas integrais de produtos, obtém-se:

3003

000

40785562750310034875750

31003 m.N,.,..,.,..,dx.M.M

m,

m,

+

=∫

(1.II) (1.IV)

Page 156: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

152

• Trecho BC

FIG. 270 - Produto tabelado, para o trecho BC

Calculando-se, com o auxilio da tabela 3, a integral deste produto, obtém-se:

( ) ( )[ ] 3504

003

784056187248751251561874875275061501 m.N,..,,..,..,dx.M.M

m,

m,

≅+++=∫ (3.III)

• Trecho CD

FIG. 271 - Produto tabelado, para o trecho CD

Calculando-se, com o auxilio da tabela 3, a integral deste produto, obtém-se:

3006

504

348056187125131501 m.N,.,..,dx.M.M

m,

m,

≅=∫ (1.II)

E portanto, ao longo da estrutura, obtém-se:

3006

000

15398348078404078 m.Ndx.M.Mm,

m,

≅++=∫

E finalmente, aplicando-se, a equação 30, obtém-se a flecha desejada.

∫=Estrutura

dx.M.MI.E

v 1

m,.v 00680153982269000

1≅=

Page 157: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

153

mm,v 86≅

Note que o resultado, aqui obtido, confere com o do mesmo exemplo, quando obtidoatravés da equação da linha elástica, apresentado no item 4.4.

6.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

6.6.1. O que são treliças?

6.6.2. O que se entende por nós de uma treliça? Como são admitidos no cálculo?

6.6.3. Como devem ser aplicadas as cargas em uma treliça? Qual o motivo?

6.6.4. Para que propósitos são utilizadas as treliças? Qual a vantagem? E por que motivo?

6.6.5. O que são treliças planas? E treliças espaciais?

6.6.6. Por que, em geral, se dá mais ênfase ao estudo das treliças planas que ao das treliçasespaciais?

6.6.7. Quanto a estabilidade geométrica, internamente, como podem ser as treliças planas?

6.6.8. O que são treliças hipostáticas?

6.6.9. O que são treliças isostáticas?

6.6.10. O que são treliças hiperestáticas?

6.6.11. Quanto a lei de formação, como podem ser as treliças isostáticas planas?

6.6.12. O que se entende por treliças simples? Esquematize alguns exemplos.

6.6.13. O que se entende por treliças composta? Esquematize alguns exemplos.

6.6.14. O que se entende por treliças complexas? Esquematize alguns exemplos.

6.6.15. Qual a nomenclatura utilizada para as barras de uma treliça? Apresente estanomenclatura em alguns esquemas de treliças.

6.6.16. Quais os métodos mais utilizados para se obter os esforços nas barras de umatreliça?

6.6.17. Para as treliças, representadas nas figuras 272 e 273, obtenha os esforços nas barrasindicadas, nestas figuras, em negrito. Utilize o método de Ritter.

6.6.18. Obtenha, pelo método dos nós, os esforços em todas as barras das treliçasrepresentadas nas figuras 272 e 273.

Page 158: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

154

FIG. 272 FIG. 273

6.6.19. Obtenha, através do equilíbrio gráfico dos nós, os esforços em todas as barras dastreliças representadas nas figuras 272 e 273. Aproveite os resultados do exercício6.6.18. e obtenha o erro médio cometido em seu método gráfico.

6.6.20. Obter os esforços nas barras das treliças representadas nas figuras 274 a 281,traçando os respectivos Planos Cremona com auxilio do sentido de caminhamento,da escala de forças, do campo "A e do ponto "A" ( correspondente ao campo "A"),indicados nestas figuras.

6.6.21. Obtenha o erro médio cometido nos Planos Cremona das figuras 274 e 277(exercício 6.6.20) em relação aos resultados do exercício 6.6.18.

6.6.22. O que se entende pela palavra virtual? E por deslocamento virtual?

6.6.23. O que afirma o Principio dos Trabalhos Virtuais, quando aplicado aos corposrígidos ideais?

6.6.24. O que se pode dizer a respeito do trabalho total dos corpos em equilíbrio?

6.6.25. O que afirma o Principio dos Trabalhos Virtuais, quando aplicado aos corposdeformáveis?

6.6.26. Qual o procedimento utilizado para se obter o deslocamento de um nó de umatreliça?

6.6.27. Calcule os deslocamentos vertical e horizontal do nó 9 da treliça representada nafigura 272. Aproveite os resultados obtidos no exercício 6.6.20, As característicasdas barras, desta treliça, são fornecidas na tabela 4.

6.6.28. Calcule o deslocamento vertical, do nó 5 da treliça representada na figura 273.Aproveite os resultados obtidos no exercício 6.6. 20. As características das barras,desta treliça são fornecidas na tabela 5.

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FIG. 274 - Treliça, Plano Cremona e Esforços nas Barras

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FIG. 275 - Treliça, Plano Cremona e Esforços nas Barras

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157

FIG. 276 - Treliça, Plano Cremona e Esforços nas Barras

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158

FIG. 277 - Treliça, Plano Cremona e Esforços nas Barras

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159

FIG. 278 - Treliça, Plano Cremona e Esforços nas Barras

Page 164: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

160

FIG. 279 - Treliça, Plano Cremona e Esforços nas Barras

Page 165: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

161

FIG. 280 - Treliça, Plano Cremona e Esforços nas Barras

Page 166: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

162

FIG. 281 - Treliça, Plano Cremona e Esforços nas Barras

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163

TAB. 4 - CARACTERÍSTICAS DAS BARRAS DA TRELIÇA

Tipo BarraComprimento

da barrali (mm)

Área da seçãotransversal da barra

Ai (mm2)

Módulo deElasticidade

Ei (MPa)

Ban

zoSu

peri

or

2-4

4-6

6-8

8-9

1521

1521

1521

1521

9600

9600

9600

9600

7750

7750

7750

7750

Ban

zoIn

feri

or

1-3

3-5

5-7

7-9

1677

1677

1677

1677

9600

9600

9600

9600

7750

7750

7750

7750

Mon

tant

es

1-2

3-4

5-6

7-8

2000

1500

1000

500

7200

7200

7200

7200

7750

7750

7750

7750

Dia

gona

is 2-3

4-5

6-7

1953

1677

1521

7200

7200

7200

7750

7750

7750

6.6.29. Qual o procedimento utilizado para se obter a flecha em determinada seção de umaviga, através do Principio dos Trabalhos Virtuais?

6.6.30. Calcule a flecha, na seção "C", das vigas representadas nas figuras 282 e 283.

FIG. 282 FIG. 283

Page 168: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

164

TAB. 5 - CARACTERÍSTICAS DAS BARRAS DA TRELIÇA

Tipo BarraComprimento

da barrali (mm)

Área da seçãotransversal da barra

Ai (mm2)

Módulo deElasticidade

Ei (MPa)

Dia

gona

isde

apo

io 1-2

6-8

5000

5000

24000

24000

14844

14844

Ban

zoSu

peri

or 2-4

4-6

3000

3000

15000

15000

14844

14844

Ban

zoIn

feri

or

1-3

3-5

5-7

7-8

3000

3000

3000

3000

15000

15000

15000

15000

14844

14844

14844

14844

Mon

tant

es 2-3

4-5

6-7

4000

4000

4000

1552

1552

1552

210000

210000

210000

Dia

gona

is 3-4

4-7

5000

5000

19500

19500

14844

14844

Page 169: Apostila Elementos de Resistencia Dos Materiais

165

7. BIBLIOGRAFIA

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - Cálculo e execução deestruturas de madeira - NBR 7190. Rio de Janeiro. ABNT. 1982. 23 p.

__________ - Símbolos gráficos para projetos de estruturas (simbologia) - NBR 7808. Riode Janeiro. ABNT. 1983. 14 p.

ANTUNES, J. C. O. S. & ANTUNES, M. H. C. C. - Exercícios de estática das estruturas.4a edição. São Carlos. Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo(EESC-USP). 1976 (Publicação no 194).

DARKOV, A. & KUZNETSOV, V. - Structural Mechanics. Moscow. Mir Publishers. 703p.

SCHIEL, F. - Introdução à resistência dos materiais. Fascículos I, II e III. 6a edição. SãoCarlos. Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo (EESC-USP).1976 (Publicação no 125). 382 p.

SILVA JR., J. F. - Tabelas para o cálculo de estruturas pelo método da energia dedeformação. São Paulo. Instituto de Pesquisas Tecnológicas (IPT). 1952 (Publicação no

451).

STAMATO, M. C. - Deslocamentos em estruturas lineares. 4a edição. São Carlos. Escolade Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo (EESC-USP). 1976. 118 p.

WOLFF, I. - O princípio dos trabalhos virtuais e o infinitamente pequeno. In: JornadasSul-americanas de Engenharia Estrutural, 3as. Porto Alegre. 1952