Apostila Eletrotécnica II

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FUNDAMENTOS DE ELETROTÉCNICA II

1. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES

Atualmente, dois tipos de corrente elétrica são usados nos equipamentos elétricos e eletrônicos: a corrente contínua (CC), cuja intensidade e sentido não variam com o tempo, e a corrente alternada (CA), cuja intensidade e sentido mudam constantemente.

A seguir, veremos uma introdução à análise de circuito na qual abordaremos somente circuitos de corrente contínua. Os métodos e conceitos envolvidos serão discutidos em profundidade para esse tipo de corrente; em vários casos, um breve comentário será suficiente para explicar quaisquer diferenças que possamos encontrar quando considerarmos a corrente alternada em tópicos posteriores.

Inúmeras vezes tem-se necessidade de um valor maior de resistência diferente dos valores fornecidos pelos resistores de que dispomos; outras vezes, deve-se atravessar um resistor corrente maior do que aquela que ele normalmente suporta e que o danificaria. Nesses casos deve-se fazer uma associação de resistores.

Os resistores podem ser associados de diversos modos. Basicamente existem dois modos distintos de associá-los: em série e em paralelo. 2. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE

Um circuito consiste em um número qualquer de elementos unidos por seus terminais, com pelo menos um caminho fechado através do qual a carga possa fluir. O circuito da figura 1 possui três elementos, conectados em três pontos (a, b e c), de modo a constituir um caminho fechado para a corrente I.

Dois elementos estão em série se: 1- Possuem somente um terminal em comum (isto é, um terminal de um está conectado somente a um terminal do outro). 2- O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento percorrido por corrente.

TURMA: 01

CURSO TÉCNICO EM ELETROMENÂNICA

PROFESSOR:

Eduardo Gabriel Ramos de Oliveira Flávio Augusto Lima Ribeiro

V


FIGURA 1: Circuito em série. Na figura 1, os resistores R1 e R2 estão em série porque possuem somente o ponto b em comum. As outras extremidades dos resistores estão conectadas a outros pontos do circuito. Pela mesma razão, a bateria V e o resistor R1 estão em série (terminal a em comum) e o resistor R2 e a bateria V estão em série (ponto c em comum). Como todos os elementos estão em série, o circuito é chamado de circuito em série. Em uma associação de resistores em série, a resistência equivalente é igual à soma das resistências associadas.

RT=R1+R2+R3+... +RN

Aplicando a Lei de Ohm em cada resistor da figura 1 teremos:

V1=R1.I, V2=R2.I

Então, a tensão em cada resistor de uma associação em série é diretamente proporcional à respectiva resistência.

No resistor equivalente, a tensão vale:

V=RT.I

e sendo

RT=R1+R2

temos

RT.I= R1.I+ R2.I

portanto

V= V1+V2

A tensão total de uma associação de resistores em série é a soma das tensões em cada resistor associado. A potência elétrica em uma associação de resistores em série, as potências dissipadas são diretamente proporcionais às respectivas resistências.

P1=R1.I2; P2=R2.I2; PN=RN.I2


Exemplo: Dados RT e I,calcule R1 e V para o circuito abaixo.

VV

xxV

RIV

kR

kkR

kkRk

RRRR

T

T

72

)1012).(106(

.

2

1012

6412

33

1

1

1

321

=

=

=

Ω=

Ω−Ω=

Ω+Ω+=Ω

++=

−

2.1 FONTES DE TENSÃO EM SÉRIE Duas ou mais fontes de tensão podem ser ligadas em série para aumentar ou diminuir a tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada somando-se as tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A polaridade resultante é aquela para qual a soma é maior. Exemplo: No circuito a as fontes estão “forçando” a corrente para a direita, de modo que a tensão total é dada por:

VT=V1+V2+V3

VT=10+6+2

VT=18V

V

V1 V2 V3 VT

V1 V2 V3 VT


Já no circuito b, a maior força é para a esquerda, o que resulta em uma tensão total dada por:

VT=V2+V3-V1

VT=9+3-4

VT=8V

2.2 REGRA DOS DIVISORES DE TENSÃO

Nos circuitos em série, a tensão dos elementos resistivos se divide na mesma proporção que os valores de resistência. Por exemplo: as tensões entre os terminais dos elementos resistivos da figura 2 são dadas. O maior resistor de 6Ω, captura a maior parte da tensa aplicada, enquanto o menor resistor R3 fica com a menor. Note também que, como a resistência R1 é 6 vezes maior que a de R3, a tensão nos terminais de R1 é também 6 vezes maior que entre os terminais de R3.

O fato de R2 ser 3 vezes maior que R3, resulta em uma tensão três vezes maior nos terminais de R2. Em geral, a tensão entre os terminais de resistores em série está na mesma razão que suas resistências.

É a relação entre os valores dos resistores que conta para a divisão da tensão e não o valor absoluto dos resistores.

Há, entretanto, um método, conhecido como regra do divisor de tensão, que permite determinar as tensões sem que seja necessário calcular a corrente. A regra pode ser deduzida analisando a figura 3.

Figura 2: Como a tensão se divide entre os elementos resistivos em série.

V


Figura 3: Dedução da regra dos divisores de tensão.

RT=R1+R2

TR

VI =

Aplicando a definição de resistência:

VR

RR

R

VIRV

VR

RR

R

VIRV

TT

TT

..

..

2222

1111

=

==

=

==

Então, podemos escrever a equação para regra dos divisores de tensão da

seguinte forma:

VR

RV

T

xx .=

Em palavras, a regra dos divisores de tensão determina que a tensão entre os terminais de um resistor em um circuito série é igual ao valor desse resistor vezes a tensão total aplicada aos elementos em série do circuito dividida pela resistência total dos elementos em série.

V


Exemplo: Determine a tensão V1 para o circuito abaixo.

VVVRR

RV

R

RV

T

1680

1280.

6020

20..

21

111 ==

+=

+==

3. LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES (LTK)

A Lei de Kirchhoff para tensões afirma que a soma algébrica das variações de potencial em uma malha fechada é nula.

Uma malha fechada é qualquer caminho contínuo que deixa um ponto em um único sentido e retorna ao mesmo ponto vindo do sentido oposto, sem deixar o circuito. Na figura 4, seguindo a corrente, podemos traçar um caminho contínuo que deixa o ponto a através de R1 e retorna através de V sem deixar o circuito. Assim, abcda é uma malha fechada.

Para podermos aplicar a lei de Kirchhoff para as tensões, a soma dos aumentos e quedas de potencial precisa ser feita percorrendo a malha em um certo sentido.

Por convenção, o sentido horário será usado para todas as aplicações da lei de Kirchhoff para tensões que se seguem. Porém, o mesmo resultado seria obtido se o sentido escolhido fosse o anti-horário.

Figura 4: Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões a um circuito em série. Um sinal positivo indica um aumento de potencial (de – para +), e um sinal negativo, uma queda (de + para -). Se seguirmos a corrente na figura 4 a partir do ponto a, primeiro encontraremos uma queda de potencial V1 (de + para -) entre os

V


terminais de R1 e outra queda V2 entre os terminais de R2. Ao passarmos pelo interior da fonte, temos um aumento de potencial V (de – para +) antes de retornar ao ponto a.

+V-V1-V2=0

V=V1+V2 Exemplo: Determine as tensões desconhecidas nos circuitos abaixo.

+Vx-V1-V2-Vy=0

V1=Vx-V2-Vy

V1=16-4,2-9

V1=2,8V

Para a figura a:

Vx Vy


Para a figura b:

Se o resultado for positivo, é porque a polaridade escolhida estava correta; se for negativo, o valor calculado para a tensão está correto, mas a polaridade terá que ser invertida. 4. ASSOCIAÇÃO DE RESITORES EM PARALELO

Dois elementos, ramos ou circuitos estão ligados em paralelo quando possuem dois pontos em comum. Na figura 5, os terminais a e b são comuns aos elementos 1 e 2, portanto estão ligados em paralelo.

FIGURA 5: Elementos em paralelo.

Os elementos que aparecem na figura 6 também estão ligados em paralelo, porque satisfaz, nos três casos, o critério acima. Essas três configurações têm o objetivo de ilustrar diferentes traçados para o mesmo circuito em paralelo. O formato retangular das conexões nos casos (a) e (b) não deve obscurecer o fato de que todos os elementos estão ligados ao mesmo terminal na parte superior, acontecendo o mesmo na parte inferior, como vemos na figura 6 (c) (circuito misto).

FIGURA 6: Modos diferentes de representar elementos em paralelo.


Os elementos 1 e 2 na figura 7 estão em paralelos, pois possuem os terminais a e b em comum. Esta combinação em paralelo está em série com o elemento 3, pois o terminal b está ligado tanto a 3 quanto à combinação em paralelo 1 e 2.

FIGURA 7: Circuito no qual 1 e 2 estão em paralelo e 3 está em série com a combinação em paralelo.

Na figura 8, os elementos 1 e 2 estão em série devido ao ponto comum a, e esta combinação em série está em paralelo com o elemento 3, como evidenciam as ligações comuns aos pontos b e c.

FIGURA 8: Circuito onde 1 e 2 estão em série e 3 está em paralelo com a combinação em série de 1 e 2.

Como vimos, vários resistores estão associados em paralelo quando são ligados pelos terminais, de modo a ficarem submetidos à mesma tensão (figura 9).

(a)

I3

I1

I I

I2

I


(b) Figura 9: Resistores associados em paralelo ficam submetidos à mesma tensão. A intensidade de corrente I do circuito principal divide-se, nos resistores associados, em valores I1, I2 e I3, como mostra a figura 9 (a). Então, podemos concluir que a intensidade de corrente em uma associação de resistores em paralelo é a soma das intensidades de correntes nos resistores associados.

321 IIII ++=

Pela Lei de Ohm: V=RP.I; V=R1.I1; V=R2.I2; V=R3.I3 isto é, em uma associação de resistores em paralelo são iguais os produtos das resistências elétricas pelas respectivas intensidades de corrente. Também:

3

3

2

2

1

1 ,,R

VI

R

VI

R

VI ===

podendo-se dizer que, em uma associação de resistores em paralelo, as intensidades de corrente são inversamente proporcionais às respectivas resistências. O resistor equivalente à associação Rp figura 9 (b), submetido à tensão V da associação, será percorrido pela corrente total I.

IRV p.= pR

VI =

Como,

I=I1+I2+I3

Temos:

321 R

V

R

V

R

V

R

V

p

++=

321

1111

RRRRp

++=


Isto é, em uma associação de resistores em paralelo, o inverso da resistência equivalente da associação é igual à soma dos inversos das resistências associadas. No caso de dois resistores associados em paralelo:

21

111

RRRp

+= =2.1

21

RR

RR +

Portanto:

soma

produto

RR

RRRp →

+=

21

2.1

Se tivermos n resistores iguais, de resistências R cada um, resultará:

R1=R2=R3...=R e, então, R

n

RRRRp=+++=

1...

111

n

RRp =

A potência elétrica dissipada em cada resistor da associação pode ser escrita:

3

2

3

2

2

2

1

2

1 ,,R

VP

R

VP

R

VP ===

ou seja, em uma associação de resistores em paralelo, as potências dissipadas são inversamente proporcionais às respectivas resistências. Exemplo: Um resistor de 5Ω e um resistor de 20Ω são associados em paralelo e à associação aplica-se uma tensão de 100V. Determine:

a) Qual a resistência equivalente da associação? b) Qual a intensidade de corrente de cada resistor? c) Qual a intensidade de corrente na associação?

Solução:

a) A resistência equivalente é:

Ω=+

=+

= 4205

20.5.

21

21

RR

RRRp

b) Pela Lei de Ohm, as intensidades e corrente são:

AR

VI 50

5

100

1

1 === e AR

VI 5

20

100

2

2 ===

c) A corrente na associação valerá:

20Ω

5Ω

100V


I=I1+I2

I=20+5

I=25A

5. REGRA DO DIVISOR DE CORRENTE

A regra do divisor de corrente nos diz que uma corrente que entra em conjunto de elementos em paralelo se divide entre estes elementos.

No caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente se distribui entre os dois elementos em partes iguais. Se os elementos em paralelo tiveram resistências diferentes, o elemento de menor resistência será percorrido pela maior fração da corrente. A razão entre os valores das correntes nos dois ramos será inversamente proporcional à razão entre as suas resistências.

No caso de circuitos para os quais conhecemos apenas o valor dos resistores e a corrente de entrada, devemos, utilizar a regra do divisor de corrente para calcular as correntes nos vários ramos. Vamos deduzir uma expressão algébrica para esta regra utilizando o circuito da figura 10.

FIGURA 10:Dedução da regra do divisor de corrente.

A corrente de entrada é dada por TR

V, onde RT é a resistência total do circuito.

Substituindo nesta expressão para I o valor de V=Ix.Rx, onde Ix é a corrente que atravessa o ramo de resistência Rx, obtemos

IR

RI

T

1

1 =

para I2,

IR

RI

T

2

2 =

e assim por diante. No caso de dois ramos em paralelo, a corrente através de um deles é igual ao produto da resistência no outro ramo pela corrente de entrada dividido pela soma dos valores das duas resistências em paralelo.


FIGURA 11:Dedução de uma fórmula para a divisão da corrente entre dois resistores em paralelo.

21

21.

RR

RRRT

+=

IR

RR

RR

IR

RTI

1

21

2.1

11

+==

IRR

RI

21

2

1

+=

Analogamente para I2,

IRR

RI

21

1

2

+=

Exemplo: Determine a corrente I2 no circuito abaixo.

AIRR

RI F 2)6(

2

4)6(

84

8.4

21

1

2 ==+

=+

=

Exemplo: Calcule a corrente I1 no circuito abaixo.


Existem duas maneiras de resolver este problema.

1ª forma:

2292,00208,00417,016667,048

1

24

1

6

11=++=++=

TR

Ω== 363,42292,0

1TR

Logo

mAxR

RI

T45,30)1042(

6

363,41

3

1

1 ===−

Podemos também achar a resistência equivalente da combinação em paralelo de R2 com R3, ou seja,

mAx 54,30)1042(616

16I

1614824

48.2448//24

31 =

+=

Ω=+

=ΩΩ

−

Os dois métodos forneceram, é claro, a mesma resposta. 6. LEI DE KIRCHHOFF PARA A CORRENTE

Algumas definições:

Ramo: trecho do circuito constituído de um ou mais bipolos ligados em série; Nó ou ponto elétrico: é a intersecção de dois ou mais ramos; Malha: todo circuito fechado cujos lados são constituídos de ramos.

Figura 12: Exemplo de ramo, nó e malha.

São ramos: AB, BC, AC, etc. São nós: A, B, C etc. São malhas: ABCA, BDCB, DCABD.


A Lei de Kirchhoff para a corrente (LKC) afirma que a soma algébrica das correntes que entram e saem de uma região, sistema ou nó é igual a zero. Em outra palavras, a soma das correntes que entram em uma região, sistema ou nó deve ser igual à soma das correntes que saem de uma região, sistema ou nó. A Lei de Kirchhoff para a corrente é mais frequentemente aplicada no caso de um nó onde se encontram dois ou mais caminhos para o escoamento de carga (ou ramos), como mostra a figura 13. A corrente I1 está entrando no nó, enquanto que as corrente I2 e I3 estão saindo do nó.

Figura 13: Demonstração da lei de Kirchhoff para a corrente.

Exemplo: Determine as corrente I3 e I4 no circuito abaixo, utilizando a lei de Kirchhoff para a corrente.

Em a:

AI

III

5323

213

=+=

+=

Em b:

AI

III

6154

534

=+=

+=

7. ASSOCIAÇÃO MISTA DE RESISTORES A associação mista de resistores é composta de resistores dispostos em série e em paralelo.


Figura 14: Associação mista de resistores. 8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Determine a resistência total do circuito abaixo.

1. Inicialmente reduzimos a associação em paralelo dos resistores 20Ω e 30Ω.

Em seguida reduzimos a associação em série (resistores de 12 Ω e 28 Ω).


Reduzimos a associação em paralelo dos resistores de 60 Ω e 40 Ω.

Segue

Resultando em


Ω=+

= 122030

20.30RT

Logo,

2. Determine as tensões V1 e V2, no circuito abaixo, considerando: a. A chave S1 aberta; b. A chave S1 fechada e RL ajustada em 450Ω; c. A chave S1 fechada e RL ajustada em 61,2 kΩ.

R1=2,6 kΩ; R2=3,6 kΩ e V=18,6V


OBSERVAÇÃO:


Verifica-se que as condições de um divisor de tensão são completamente diferente para as condições sem carga. Além disso, a tensão de saída vai depender do valor da carga conectada, conforme se verifica nos desenvolvimentos b e c. O divisor de tensão sem carga não consome nenhuma corrente além daquela drenada pela rede divisora, entretanto, geralmente na prática, os divisores de tensão alimentam uma carga a qual consome uma determinada corrente. O divisor de tensão com carga é muito utilizado nas saídas de fontes de alimentação, para suprir várias tensões que são distribuídas a diferentes circuitos. 3. Dados os circuitos, determine as correntes nos resistores.

(a)

(b)


BIBLIOGRAFIA

ALBUQUERQUE, Rômulo Oliveira. Análise de Circuitos em Corrente Contínua. São Paulo. Ed. Érica. 1987 RAMALHO, F; FERRARO, N; SOARES, P. Os Fundamentos da Física. São Paulo. Ed. Moderna. 1999. SENAI. CPM – Programa de Certificação de Pessoal de Manutenção – Elétrica. Espírito Santo. 1999. CNPNSP – Eletricidade Básica. Rio de Janeiro. 2004. BOYLESTAD, Robert L.Introdução a Análise de Circuitos. Ed. Prentice-Hall do Brasil Ltda. 8ª Edição. Rio de Janeiro. 1998.

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