U N I V E R S I D A D E D E S O R O C A B A

E S T A T S T I C A G E R A L

E

A P L I C A D A

E N G E N H A R I A S

NOME DO(A) ALUNO(A):_____________________________________________________

CURSO:____________________________________________________

TURMA:_______ TURNO:________________ SALA:____________

AVALIAES:

1) Dia____/____/2012 Pginas:______________________________________

2) Dia____/____/2012 Pginas:______________________________________

3) Dia____/____/2012 Pginas:______________________________________

2 Semestre / 2012 Prof. Sergio Rocha

1

S U M R I O

pg.

INTRODUO O que Estatstica?........................................................................................................................ 3

Ramos da Estatstica....................................................................................................................... 3

Usos e abusos da Estatstica.......................................................................................................... 4

Anlise exploratria dos dados....................................................................................................... 4

Estatstica com calculadoras e computadores................................................................................ 4

Arredondamento de dados.............................................................................................................. 5

ESTATSTICA DESCRITIVA

Variveis quantitativas e qualitativas............................................................................................... 9

Amostras e populaes................................................................................................................... 12

Planejamento de experimentos....................................................................................................... 12

Tabelas estatsticas......................................................................................................................... 13

Tabelas de frequncias................................................................................................................... 15

Como construir uma tabela de frequncias..................................................................................... 15

Frequncias relativas e frequncias acumuladas............................................................................. 24 REPRESENTAO GRFICA DAS VARIVEIS QUALITATIVAS E QUANTITATIVAS

Grfico de Colunas.......................................................................................................................... 26

Grfico de Colunas no EXCEL........................................................................................................ 26

Diagrama de Pareto........................................................................................................................ 27

Grfico de Linhas............................................................................................................................ 28

Grfico de Barras............................................................................................................................ 29

Grfico Pictrico.............................................................................................................................. 29

Grfico de Setores........................................................................................................................... 30

Histograma...................................................................................................................................... 31

Polgono de Frequncias................................................................................................................. 32 MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL

Mdia aritmtica simples.................................................................................................................. 34

Mdia aritmtica ponderada............................................................................................................. 35

Mdia aritmtica para dados tabulados........................................................................................... 36

Mediana para dados no tabulados................................................................................................. 41

Mediana para dados tabulados........................................................................................................ 43

Moda para dados no tabulados...................................................................................................... 46

Moda para dados tabulados............................................................................................................. 47

Anlise das medidas de tendncia central....................................................................................... 50

Separatrizes: quartis, decis e percentis............................................................................................ 51

Separatrizes para dados tabulados.................................................................................................. 52

MEDIDAS DE DISPERSO OU VARIABILIDADE

Amplitude......................................................................................................................................... 56

Intervalo semiquartil........................................................................................................................ 56

Desvio mdio e desvio padro (para dados no tabulados)............................................................ 57

Varincia.......................................................................................................................................... 57

Clculo do desvio mdio e do desvio padro pelas FRMULAS.................................................... 58

Clculo da mdia e do desvio padro nas CALCULADORAS........................................................ 62

Clculo de medidas usando o EXCEL............................................................................................. 63

Coeficiente de variao de Pearson................................................................................................. 64

Desvio mdio e desvio padro (para dados tabulados)................................................................... 67

MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE...................................................................................... 70

Assimetria......................................................................................................................................... 70

Curtose............................................................................................................................................. 71

PROBABILIDADES

Introduo......................................................................................................................................... 79

Probabilidades simples..................................................................................................................... 82

Regra da Adio e da Multiplicao................................................................................................. 82

Diagrama da rvore.......................................................................................................................... 86

2

ANLISE COMBINATRIA Princpio Fundamental da Contagem.............................................................................................. 95

Fatorial............................................................................................................................................ 96

Arranjos simples............................................................................................................................... 96

Permutao simples......................................................................................................................... 97

Combinao simples........................................................................................................................ 97

Combinaes complementares........................................................................................................ 99

DISTRIBUIES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribuio Binomial........................................................................................................................ 101

Distribuio Hipergeomtrica........................................................................................................... 107

Distribuio de Poisson.................................................................................................................... 113

DISTRIBUIO CONTNUAS DE PROBABILIDADES Distribuio exponencial................................................................................................................... 114

Distribuio uniforme........................................................................................................................ 114

Distribuio normal (ou de Gauss).................................................................................................... 115

O coeficiente z.................................................................................................................................. 116

Como usar a Tabela 1 (Tabela do coeficiente z)............................................................................. 116

Aplicaes (Distribuio normal)...................................................................................................... 118

INFERNCIA ESTATSTICA Amostragem...................................................................................................................................... 128

Mtodos de amostragem probabilstica............................................................................................ 128

Mtodos de amostragem no probabilstica..................................................................................... 130

Distribuio amostral......................................................................................................................... 132

Intervalos de confiana..................................................................................................................... 132

ESTIMAO..................................................................................................................................... 132

ESTIMATIVA DE UMA MDIA POPULACIONAL........................................................................... 133

1 caso: Estimativa da mdia (quando o desvio padro populacional conhecido)....................... 133

Valor do coeficiente z (para intervalos de confiana)....................................................................... 135

Erro de estimao da mdia............................................................................................................. 141

Erro padro da mdia....................................................................................................................... 141

Fator de correo para populao finita........................................................................................... 143

Estimativa da mdia para populao finita (desvio padro populacional conhecido)....................... 143

Tamanho da amostra (para estimativa da mdia populacional)....................................................... 146

Tamanho da amostra para populao finita...................................................................................... 148

2 caso: Estimativa da mdia (quando o desvio padro populacional desconhecido).................. 149

Como usar a Tabela 2 (Tabela do coeficiente t).............................................................................. 149

Estimativa da mdia para populao finita (desvio padro populacional desconhecido)................. 153

ESTIMATIVA DE UMA PROPORO POPULACIONAL............................................................... 170

Estimativa de uma proporo para populao finita......................................................................... 172

Tamanho da amostra (para estimativa de uma proporo populacional)......................................... 173

TESTES DE HIPTESES OU DE SIGNIFICNCIA Hipteses estatsticas....................................................................................................................... 181

Nveis de significncia....................................................................................................................... 182

Testes unilaterais e bilaterais............................................................................................................ 182

Valor da estatstica de teste.............................................................................................................. 184

Testes de hipteses ou de significncia para mdias populacionais................................................ 184

Exemplos e exerccios de testes de hipteses (utilizando o teste bilateral)..................................... 185

Exemplos e exerccios de testes de hipteses (utilizando o teste unilateral esquerda)................ 195

Exemplos e exerccios de testes de hipteses (utilizando o teste unilateral direita)..................... 199

NOES DE CORRELAO E REGRESSO

Correlao e regresso..................................................................................................................... 203

Correlao linear direta, inversa e nula............................................................................................ 204

Correlao no linear........................................................................................................................ 204

Coeficiente de correlao linear simples.......................................................................................... 205

Regresso linear simples.................................................................................................................. 206

Exemplo: correlao linear direta (com grfico)................................................................................ 207

Exemplo: correlao linear inversa (com grfico)............................................................................. 209 Aplicaes (correlao linear)........................................................................................................... 211

TABELA 1 (Distribuio Normal Padronizada): coeficiente z.................................................... 225

TABELA 2 (Distribuio de Student): coeficiente t...................................................................... 226

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.................................................................................................... 227

3

I N T R O D U O

O que Estatstica?

A palavra estatstica derivada da palavra latina status (que significa estado). Os primeiros usos da

estatstica envolviam compilao de dados e grficos que descreviam vrios aspectos de um estado ou pas. A

partir de 1662, com a publicao de John Graunt, com a informao estatstica sobre nascimentos e mortes,

iniciaram-se os estudos sobre taxas de mortalidade, doenas, tamanho de populaes, renda, taxa de

desemprego etc.

Segundo Dug de Bernonville, a Estatstica um conjunto de mtodos e processos quantitativos que serve

para estudar e medir os fenmenos coletivos.

Tambm, podemos definir a Estatstica como um conjunto de tcnicas que permite, de forma sistemtica,

organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer

rea do conhecimento.

R a m o s d a E s t a t s t i c a

A Estatstica se divide em trs ramos:

Estatstica Descritiva

Teoria da Probabilidade

Inferncia Estatstica

E s t a t s t i c a D e s c r i t i v a

A Estatstica Descritiva compreende a organizao, o resumo e, em geral, a simplificao de informaes

que podem ser muito complexas. Ela utiliza nmeros para descrever fatos. Como exemplos, citamos: a mdia

industrial, a taxa de desemprego, a durabilidade mdia de produtos, a mdia de estudantes etc.

Aqui se enquadram as medidas de tendncia central ou medidas de posio (mdia aritmtica, mediana e

moda) e as medidas de disperso ou variabilidade (desvio mdio e desvio padro).

T e o r ia d a P r o b a b i l i d a d e

A probabilidade utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenmenos de carter aleatrio.

Fenmeno aleatrio: uma situao ou acontecimento cujos resultados no podem ser previstos com certeza. Por exemplo, as condies climticas, taxa de inflao etc.

A teoria da probabilidade est dentro do que conhecido como um sistema axiomtico: comeamos com algumas verdades bsicas conhecidas e construmos um sistema lgico ao seu redor. Em sua forma mais pura, o sistema no tem valor prtico. Sua praticidade vem do conhecimento de como utilizar a teoria para produzir aproximaes prticas.

Por mais potente que seja, natural que nenhuma estatstica vai convencer algum que uma determinada concluso seja verdadeira.

Uma aplicao importante da teoria feita nos testes de diagnsticos. A incerteza est presente porque, apesar das alegaes dos fabricantes, nenhum teste disponvel perfeito. Podemos, por exemplo, concluir que cada amostra de sangue cujo resultado seja positivo para o HIV abrigue realmente o vrus? Para responder esta questo, precisamos confiar no comportamento de mdio e longo prazo dos testes de diagnsticos. A teoria da probabilidade nos permite quantificar esse comportamento.

Outras aplicaes:

a) Que garantia temos de que todos os paraquedas iro funcionar corretamente quando acionados?

b) Que garantia temos do fabricante de latas em conserva de que o produto poder ser consumido dentro

da validade especificada? Ele ter o mesmo valor nutritivo?

c) Que garantia temos de um fabricante de medicamentos de que o produto poder ser utilizado dentro da

validade especificada? Ele ter o mesmo efeito desejado?

4

I n f e r n c i a E s t a t s t i c a

Este o terceiro ramo da Estatstica, no qual envolve a formulao de certos julgamentos sobre um todo

(populao) aps examinar apenas uma parte dele (amostra aleatria), isto , tomar decises com base em

dados colhidos de uma amostra.

A inferncia estatstica feita por meio de testes de hipteses, mas como toda inferncia, est sujeita a erro.

A inferncia estatstica est baseada na Teoria das Probabilidades.

Inferir significa tirar por concluso; deduzir pelo raciocnio.

U s o s e A b u s o s d a E s t a t s t i c a

A Estatstica tornou-se uma ferramenta to importante que nos dias de hoje utilizada praticamente em todos os campos do conhecimento.

Como exemplos, podemos citar: os fabricantes esto fornecendo melhores produtos a custos menores, atravs dos controles de qualidade; controle de doenas, poluio atmosfrica, mais segurana nas empresas e nas rodovias, maior produo na agricultura etc.

Mas, tambm temos que tomar alguns cuidados para no obter resultados distorcidos, ocasionados por descuido ou ignorncia, por objetivos pessoais, por alegaes enganosas etc.

A n l i s e E x p l o r a t r i a d o s D a d o s

Ao coletarmos determinados dados em um levantamento, podemos ter um objetivo especfico, ou

simplesmente, estamos fazendo uma observao para saber o que esses dados nos revelam. importante saber

que devemos relacionar trs caractersticas dos dados:

1) A natureza ou forma da distribuio;

2) Um valor representativo (mdia, mediana, moda);

3) Uma medida de variao (desvio mdio, desvio padro).

Devemos tomar o cuidado de observar e analisar os dados coletados para evitarmos erros grosseiros que

podero prejudicar as nossas concluses.

Como exemplo, se estivermos coletando os salrios dos funcionrios de determinada categoria de uma

empresa, que esto compreendidos numa faixa de R$ 800,00 a R$ 1.500,00, exceto um deles de que foi de R$

10.000,00, no podemos simplesmente considerar todos esses valores para obtermos as caractersticas dessa

distribuio; precisamos verificar se esse salrio que est muito alto em relao aos demais no foi um erro de

digitao, ou seja, o salrio real poderia ser de R$ 1.000,00 e foi digitado R$ 10.000,00, e isto ir distorcer

totalmente as nossas concluses a respeito desses salrios.

E s t a t s t i c a c o m C a l c u l a d o r a s e C o m p u t a d o r e s

Todos os estudantes de Estatstica percebem a importncia e facilidade que as calculadoras proporcionam

na aprendizagem dos diversos tpicos que so estudados no decorrer do curso.

Com o advento do computador, diminumos, e muito, a rdua tarefa de trabalhar com uma grande

quantidade de nmeros. Podemos citar, entre outros, dois softwares que esto no mercado e que muito nos

auxiliam: o STATDISK e MINITAB. Mas precisamos tomar alguns cuidados com essa automao, pois ela pode

levar um indivduo sem preparo especfico a utilizar tcnicas inadequadas para resolver determinado tipo de

problema, logo necessria a compreenso e domnio dos conceitos bsicos da Estatstica.

C l c u l o d e M e d i d a s

Antes de iniciar os clculos para a determinao das medidas necessrias para o desenvolvimento e

entendimento dos conceitos em Estatstica, o estudante deve familiarizar-se com a sua calculadora para

efetuar os clculos com mais segurana e rapidez.

5

A R R E D O N D A M E N T O D E D A D O S

Critrios para o arredondamento de um dado estatstico

De acordo com a Resoluo 886/66, da Fundao IBGE, o arredondamento feito da seguinte maneira:

1 caso: Arredondamento por falta

Quando o primeiro dgito dos que iro ser eliminados for menor ou igual a quatro (isto , menor do que 5).

Exemplo: Nmero a arredondar Arredondamento para Nmero arredondado a) 11,372 Inteiros 11 b) 46,8417 Dcimos 46,8 c) 261,761 Centsimos 261,76

2 caso: Arredondamento por excesso

Quando o primeiro dgito aps aquele que ser arredondado for maior ou igual a cinco, seguido por dgitos

maiores que zero: acrescentar uma unidade no algarismo a ser arredondado.

Exemplo: Nmero a arredondar Arredondamento para Nmero arredondado a) 32,827 Inteiros 33 b) 16,763 Dcimos 16,8 c) 23,42502 Centsimos 23,43

3 caso: Caso particular: nmeros terminados em 5

Quando o nmero a ser arredondado for:

uma decimal exata

terminada em cinco (ou for um cinco seguido somente de zeros)

e o arredondamento for feito no dgito imediatamente anterior a esse 5 em que o

nmero est terminando

procedemos da seguinte forma:

1) NO ALTERAR o valor desse dgito, se o mesmo for PAR.

2) AUMENTAR em uma unidade se esse dgito for MPAR (ou seja, o caso geral de arredondamento, pois

o dgito posterior ao dgito a ser arredondado igual a 5).

CUIDADO para no utilizar o caso particular nos casos gerais!

Exemplos: Arredondar para centsimos:

73,365 73,36 (como a 2 decimal o algarismo 6, que par, deixar o prprio algarismo 6 na 2 decimal)

61,135 61,14 (como a 2 decimal o algarismo 3, que mpar, acrescentar uma unidade ao 3, ou seja, a 2 decimal passar a ser 4)

ATENO: No devemos NUNCA fazer arredondamentos sucessivos.

Exemplo: Para arredondar o nmero 21,74631 para dcimos, o nmero arredondado ser 21,7. Agora, se

algum arredondar primeiramente para centsimos obter 21,75, e se arredondar este ltimo para

dcimos, obter 21,8, e no 21,7, que o correto.

6

OUTROS EXEMPLOS DE ARREDONDAMENTOS

2. Arredondar os seguintes nmeros:

a) 43,269 para dcimos................................... Resposta: 43,3

b) 6,83172 para milsimos.............................. Resposta: 6,832

c) 52,7444... para o dcimo mais prximo...... Resposta: 52,7

d) 61,823 para a unidade mais prxima.......... Resposta: 62

e) 32,3961 para centsimos............................ Resposta: 32,40

f) 182,71888... para dcimos.......................... Resposta: 182,7

3. Arredondar os seguintes nmeros para centsimos:

a) 58,7248 58,72 (como a 3 casa decimal o algarismo 4, que inferior a 5, devemos manter o

algarismo 2 na 2 casa decimal)

b) 47,2361 47,24 (como a 3 casa decimal o algarismo 6, que maior ou igual a 5, devemos aumentar

o valor do algarismo 3 da 2 casa decimal em uma unidade, ou seja a 2 casa

decimal passar a ser 4)

c) 27,845 27,84 (esse o caso particular de arredondamento, no qual o nmero termina em 5 e o arredondamento ser feito no algarismo 4 que se localiza na casa decimal imediatamente anterior a esse 5: como 4 par, dever permanecer com o mesmo valor)

d) 71,935 71,94 (embora esse nmero termine em cinco e o arredondamento ser feito na casa decimal imediatamente anterior; este caso particular de arredondamento recai no caso geral de arredondamento, pois a casa decimal anterior a esse 5 o algarismo 3, que mpar, logo devemos acrescentar uma unidade ao 3)

e) 4,785 4,78 ( o caso particular de arredondamento: como o 8 par, dever permanecer o mesmo 8)

f) 42,375 42,38 ( caso particular, mas como antes do 5 aparece o 7, que mpar, devemos aplicar o caso geral de arredondamento, ou seja, o 7 ser aumentado em uma unidade)

g) 6,785... 6,79 (NO caso particular, pois como aparece o smbolo de reticncias aps o 5, isso significa que esse nmero continua tendo mais algarismos, ou seja, o caso geral de arredondamento)

h) 17,125 17,12 ( caso particular de arredondamento: como 2 par, dever permanecer o mesmo algarismo 2)

i) 17,125... 17,13 (NO caso particular, pois como aparece o smbolo de reticncias aps o 5, isso significa que esse nmero continua tendo mais algarismos, ou seja, o caso geral de arredondamento)

j) 17,1255 17,13 (NO caso particular, pois o arredondamento no ser feito no ltimo 5, e sim no penltimo 5, logo o caso geral de arredondamento)

k) 17,125000000 17,12 ( caso particular de arredondamento, pois os zeros que aparecem aps o 5 no so considerados)

l) 12,145 12,14 (caso particular)

m) 12,14500 12,14 (caso particular)

n) 12,1450000000 12,14 (caso particular)

o) 12,145... 12,15 (caso geral)

p) 12,14555 12,15 (caso geral)

q) 203,315 203,32 (caso particular)

r) 73,3655 73,37 (caso geral)

s) 61,1255 61,13 (caso geral)

t) 67,3972 67,40 (caso geral)

u) 39,6725 39,67

v) 82,7295 82,73

w) 0,785 0,78

x) 122,13777... 122,14

y) 8,68222... 8,68

z) 1,615... 1,62

7

A l g a r i s m o s s i g n i f i c a t i v o s

Os algarismos significativos (ou dgitos significativos) de um nmero so os algarismos separados dos zeros

necessrios para a localizao da vrgula.

Exemplos

1. Quantidade de algarismos significativos dos nmeros: a) 2,55 tem 3 algarismos significativos

b) 16,875 tem 5 algarismos significativos

c) 8,701 tem 4 algarismos significativos

d) 0,043 tem 2 algarismos significativos

e) 0,0403 tem 3 algarismos significativos

f) 0,0006 tem 1 algarismo significativo

g) 7,62 tem 3 algarismos significativos

h) 7,6200 tem 5 algarismos significativos

i) 43 tem 2 algarismos significativos

j) 43,0 tem 3 algarismos significativos

k) 1,6x10-3 (notao cientfica) = 0,0016 tem 2 algarismos significativos

l) 1,600x10-3 (notao cientfica) = 0,001600 tem 4 algarismos significativos

m) 2,8100 tem 5 algarismos significativos

n) 2810000 na notao cientfica: 2,81X106 tem 3 algarismos significativos

o) 2810000 na notao cientfica: 2,8100X106 tem 5 algarismos significativos

2. Arredondar os seguintes nmeros: a) 43,341 para 3 algarismos significativos................... Resposta: 43,3

b) 14,62 para 2 algarismos significativos..................... Resposta: 15

c) 8,27481 para 4 algarismos significativos................. Resposta: 8,275

d) 0,01953 para 2 algarismos significativos................. Resposta: 0,020

E X E R C C I O S (arredondamento de dados)

1. Fazer o arredondamento dos seguintes nmeros:

Nmero a arredondar Arredondamento para Nmero arredondado

a) 53,479 Inteiros

b) 26,571 Dcimos

c) 152,9838 Centsimos

d) 31,834 Dcimos

e) 65,0921 Centsimos

f) 16,504 Inteiros

g) 27,587 Centsimos

h) 37,6032 Centsimos

i) 44,964 Dcimos

j) 315,500 Inteiros

k) 316,500 Inteiros

l) 316,750 Dcimos

m) 316,705 Centsimos

n) 316,735 Centsimos

o) 4,972618 Milsimos

p) 10,739274 Dcimos de milsimos

q) 81,938372 Milsimos

r) 0,0034186 Dcimos de milsimos

s) 0,00083724 Centsimos de milsimos

Respostas: a) 53; b) 26,6; c) 152,98; d) 31,8; e) 65,09; f) 17; g) 27,59; h) 37,60; i) 45,0; j) 316; k) 316; l) 316,8; m) 316,70; n) 316,74; o) 4,973; p) 10,7393; q) 81,938; r) 0,0034; s) 0,00084

8

2. Indicar como cada um dos seguintes valores seria arredondado:

Nmeros para arredondar Respostas

a) 12357 (para a dezena mais prxima)

b) 5789 (para a centena mais prxima)

c) 6501 (para o milhar mais prximo)

d) 130,055 (para a unidade mais prxima)

e) 28,65 (para o dcimo mais prximo)

f) 28,655 (para o dcimo mais prximo)

g) 19,95 (para o dcimo mais prximo)

h) 32,505 (para o centsimo mais prximo)

i) 325,455 (para o centsimo mais prximo)

j) 32,505 (para o dcimo mais prximo)

k) 32,505 (para a unidade mais prxima)

l) 5,825 (para o centsimo mais prximo)

m) 5,825... (para o centsimo mais prximo)

n) 2995,00 (para a dezena mais prxima)

o) 265,31 (para a dezena mais prxima)

p) 265,0 (para a dezena mais prxima)

q) 48,85002 (para o dcimo mais prximo)

Respostas: a) 12360; b) 5800; c) 7000; d) 130; e) 28,6; f) 28,7; g) 20,0; h) 32,50; i) 325,46; j) 32,5; k) 33; l) 5,82; m) 5,83; n) 3.000; o) 270; p) 260; q) 48,9

3. Indicar como cada um dos seguintes valores seria arredondado:

Nmeros para arredondar Respostas

a) 57,8755 (para quatro dgitos significativos)

b) 24,54 (para trs dgitos significativos)

c) 92,445 (para quatro dgitos significativos)

d) 8,875 (para trs dgitos significativos)

e) 15,05 (para a primeira decimal)

f) 113,35 (para a primeira decimal)

g) R$ 63,50 (ao real mais prximo)

h) R$ 64,50 (ao real mais prximo)

i) R$ 64,51 (ao real mais prximo)

j) 0,05050 (para um dgito significativo)

k) 0,05150 (para um dgito significativo)

l) 0,05150 (para dois dgitos significativos)

m) 0,05049 (para dois dgitos significativos)

n) 0,05050 (para dois dgitos significativos)

o) 0,05051 (para dois dgitos significativos)

Respostas: a) 57,88; b) 24,5; c) 92,44; d) 8,88; e) 15,0; f) 113,4; g) R$ 64; h) R$ 64; i) R$ 65; j) 0,05; k) 0,05; l) 0,052; m) 0,050; n) 0,050; o) 0,051

9

E S T A T S T I C A D E S C R I T I V A

(1 ramo da Estatstica)

V A R I V E I S Q U A N T I T A T I V A S E Q U A L I T A T I V A S

Ao fazermos um levantamento de um conjunto de dados, a questo inicial a de como tratar os valores, numricos ou no, a fim de se extrair informaes a respeito de uma ou mais caractersticas de interesse. Cada uma das caractersticas obtidas, tais como o peso, altura, idade, sexo, nmero de filhos, religio, salrio, nvel de educao etc., denominada de varivel.

V a r i v e l a l e a t r i a: aquela cujos valores so determinados por processos acidentais, ao acaso,

que no esto sob o controle do observador.

Por exemplo, ao jogarmos um dado para o ar, a varivel aleatria o resultado possvel nessa jogada, isto , 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, mas no podemos predizer qual ser esse resultado.

As variveis de natureza numricas so denominadas quantitativas, e as no numricas, qualitativas.

VARIVEIS

QUANTITATIVAS (numricas)

QUALITATIVAS (categorizadas)

Discreta

Contnua

Ordinal

Nominal

V A R I V E I S Q U A N T I T A T I V A S

As variveis quantitativas podem ser subdivididas em discretas e contnuas:

( I ) V a r i v e i s q u a n t i t a t i v a s d i s c r e t a s: Quando os valores podem ser contados. So as

observaes que podem ser feitas somente em pontos isolados ao longo de uma escala de valores.

Exemplos

Nmero de peas defeituosas encontradas em um lote Nmero de residncias que possuem energia eltrica Nmero de caminhes que chegam, por hora, em um depsito Quantidade de peas defeituosas produzidas por uma mquina Nmero de mudas de rvores plantadas no ms passado em determinada cidade Quantidade de pessoas que trabalham em determinada obra Capacidade mxima de passageiros (trem, nibus, avio, navio) Nmero de alunos numa sala de aula Nmero de alunos que possuem computadores em casa Nmero de artigos defeituosos produzidos Nmero de clientes cadastrados Nmero de computadores em um laboratrio Nmero de conveniados de um Plano de Sade Nmero de experincias realizadas em um laboratrio Nmero de jogos empatados

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Nmero de filhos de um casal Nmero de funcionrios de uma empresa Nmero de mquinas de uma empresa Nmero de pacientes atendidos em certo dia num pronto-socorro Nmero de partidas de futebol Nmero de pessoas por domiclio Nmero de pessoas que tomaram vacina contra a gripe Nmero de unidades estocadas de um artigo Quantidade de anncios publicados em um jornal Quantidade de comprimidos em uma caixa de remdios Quantidade de frutas em uma caixa Quantidade de notas fiscais expedidas em certo dia

(II) V a r i v e i s q u a n t i t a t i v a s c o n t n u a s: Quando se pode tomar qualquer valor de um

determinado intervalo de nmeros reais, ou seja, a varivel pode assumir um valor em qualquer ponto

fracionrio ao longo de um intervalo especificado de valores.

Exemplos

Altura mdia que certo tipo de planta atinge aps trs meses de seu plantio Capacidade mdia de passageiros (trem, nibus, avio, navio) Comprimento do veculo (nibus, avio, navio) Consumo mdio de gua por residncia em certa cidade Consumo mdio de combustvel de um automvel Dimetro de um rolamento Durao mdia de uma conversa telefnica Estatura das pessoas Gasto mdio com transporte para se deslocar at o local de trabalho Idade em meses e dias Mdia de clientes atendidos por dia Nmero mdio de clientes potenciais visitados por vendedores durante o ltimo ms Nmero mdio de pacientes atendidos em certo dia num pronto-socorro Nmero mdio de pessoas por domiclio em uma grande comunidade Peso de cada remessa Peso do contedo de um pacote de cereais Peso mdio de um grupo de pessoas Salrio (dirio, semanal, mensal) Tempo decorrido antes da primeira falha de um dispositivo Tempo mdio de atendimento dos pacientes de um hospital Tempo mdio de efeito de um medicamento Tempo mdio dirio que os estudantes gastam com o uso de computadores Tempo mdio para a realizao de uma experincia em um laboratrio Tempo mdio para executar um programa de computador Tempo mdio para fabricar determinado tipo de pea

Observao: A varivel idade, medida em nmero de anos, pode ser considerada como discreta, porm, se

medida em meses, ou em dias, pode ser considerada contnua.

V A R I V E I S Q U A L I T A T I V A S

As variveis so qualitativas (ou atributos) quando os possveis valores que assumem representam

atributos e/ou qualidades. So classificadas como ordinais ou nominais:

(III) V a r i v e i s q u a l i t a t i v a s o r d i n a i s: Quando as variveis tm uma ordenao natural,

indicando intensidades crescentes de realizao.

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Exemplos

Tamanho (pequeno, mdio ou grande) Nvel de instruo da pessoa, do aluno, do pai, da me (Ensino Fundamental, Mdio ou Superior) Classe social (baixa, mdia ou alta; ou A, B, C, D, E) Atuao escolar (fraca, regular, boa ou tima) Gravidade de uma doena (leve, moderada, severa)

(IV) V a r i v e i s q u a l i t a t i v a s n o m i n a i s: Quando no possvel estabelecer uma ordem natural

entre seus valores.

Exemplos

Bairro em que reside Regio de procedncia Cor de cabelos (castanho, preto, loiro, ruivo) Esporte que pratica (futebol, natao etc.) Estado civil (solteiro, casado etc.) Estado em que nasceu (So Paulo, Rio de Janeiro, Paran etc.) Fumante (sim ou no) Indicadores de inflao (IPC, dlar oficial etc.) Nacionalidade (brasileiro ou estrangeiro) Religio (catlico, evanglico, esprita, outra) Sexo (feminino ou masculino) Time de futebol (Santos, Fluminense etc.) Tipo sanguneo (A, B, AB, O) Tipos de aplicaes em Banco (fundos de investimentos, dlar, poupana etc.) Turma (A, B ou C) Verdadeiro ou falso

E X E M P L O S (variveis quantitativas e qualitativas)

1. A tabela abaixo envolve todos os tipos de dados mencionados:

Populao

Variveis Quantitativas Variveis Quantitativas

Discretas Contnuas Nominais Ordinais

Funcionrios de uma empresa

N de funcionrios

Tempo de servio na empresa Homens Assiduidade

2. A tabela abaixo corresponde a uma pesquisa realizada com cinco famlias de determinada comunidade:

Famlia Idade do pai

Grau de instruo

do pai Religio Classe social

Renda mensal (salrio mnimo)

Nmero de filhos em

idade escolar

Regio de procedncia

1 25 E. Fundam. Catlica Baixa 4 3 Interior

2 33 E. Mdio Africana Mdia 10 2 Capital

3 42 E. Mdio Esprita Mdia 12 3 Outro Estado

4 28 Superior Nenhuma Mdia 16,5 3 Capital

5 38 Nenhum Catlica Baixa 4 4 Outro Estado

Classificando as variveis da tabela, temos:

V a r i v e l q u a l i t a t i v a:

Qualitativa nominal: Famlia, Religio, Regio de procedncia.

Qualitativa ordinal: Grau de instruo do pai, Classe social.

V a r i v e l q u a n t i t a t i v a:

Quantitativa discreta: Idade do pai, Nmero de filhos.

Quantitativa contnua: Renda mensal.

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A m o s t r a s e P o p u l a e s

Ao fazermos um levantamento com um grande nmero de dados, dificilmente temos acesso ao todo, que se

chama populao ou universo, ento consideramos apenas uma parte dessa populao, que se chama

amostra, e que deve ser aleatria, isto , todo elemento da populao tem a mesma chance que todos os outros

elementos da populao de pertencer a essa amostra.

Por que se usam amostras?

Resposta: So poucas as razes, mas muito relevantes:

a) Custo e demora dos levantamentos.

Exemplo

Qual o peso mdio de todos os recm-nascidos vivos no Brasil em determinado ano?

b) Populaes muito grandes.

Exemplo

Quantos peixes tm no mar?

c) Impossibilidade fsica de examinar toda a populao.

Exemplo

Como uma fbrica faria para testar todos os fsforos por ela produzidos?

d) Comprovado valor cientfico das informaes coletadas por meio de amostras.

Exemplo

Se um pesquisador quiser estudar os hbitos de consumo de bebidas alcolicas entre adolescentes de uma

grande cidade, o melhor que ele pode fazer uma avaliao criteriosa de uma amostra, ao invs de obter

uma avaliao sumria de toda a populao de adolescentes dessa cidade.

P l a n e j a m e n t o d e E x p e r i m e n t o s

Para o planejamento de um estudo que possa trazer bons resultados, destacamos:

a) Definir claramente a populao de interesse.

b) Identificar com preciso e clareza as questes a serem respondidas.

c) Estabelecer um plano de coleta de dados.

d) Efetuar a coleta de dados cuidadosamente.

e) Analisar os dados obtidos, identificar os possveis erros e tirar as concluses.

Se os dados amostrais no forem bem coletados de maneira apropriada, eles podem ser de tal modo

inteis que nenhuma manipulao estatstica poder salv-los.

O r g a n i z a o d e D a d o s

Aps a coleta de um conjunto de dados, a fim de se extrair informaes a respeito de uma ou mais

caractersticas de interesse, geralmente fazemos uso de tabelas e grficos.

Dados brutos: So os dados originais que ainda no se encontram numericamente organizados.

ROL: uma lista em que os valores esto dispostos em ordem crescente ou decrescente.

13

T A B E L A S E S T A T S T I C A S

Aps o trmino da coleta dos dados de uma pesquisa, devemos apresentar esses dados em tabela (j

usamos algumas anteriormente).

Uma tabela composta de trs partes: cabealho, corpo e rodap.

Cabealho: Corresponde ao ttulo, o qual deve explicar o contedo da tabela. No exemplo abaixo, de tabela

histrica, o ttulo : Censo: Populao brasileira.

Corpo: formado por colunas, nas quais so colocados os dados apurados na pesquisa. No exemplo

abaixo, de tabela histrica, so as colunas contendo o ano e as respectivas quantidades de pessoas obtidas em

cada um desses anos.

Rodap: Local onde se coloca a fonte dos dados. No exemplo abaixo, de tabela histrica, a fonte : Censo

Demogrfico do IBGE.

Essa tabela contm os dados da maneira que foram coletados.

T I P O S D E T A B E L A S E S T A T S T I C A S

1. Tabela Histrica

Exemplo: Censo: Populao brasileira

Ano Quantidade

(em milhes) 1920 30,6 1940 41.2 1950 51,9 1960 70,2 1970 93,1 1980 121.1 1991 146,8 2000 166,1 2010 190,7

Fonte: Censo Demogrfico do IBGE

2. Tabela Geogrfica

Exemplo: reas continentais Continente rea(106 km)

sia 43,608

frica 30,335

Amrica do Norte 23,434

Amrica do Sul 17,611

Antrtida 13,340

Europa 10,498

Oceania 8,923

Amrica Central 1,915 Fonte: Atlas Mundial Folha de So Paulo

3. Tabela Especfica

Exemplo: Distribuio da renda na Argentina (2010)

Classe % da renda Pobres 8,2 Classe mdia baixa 18,7 Classe mdia alta 36,8 Ricos 36,3

Fonte: Instituto Nacional de Estatstica e Censo

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4. Tabela Mista

Exemplo: rea e produo agrcola no Brasil (2009)

Classe rea Produo

Norte 3,858 2,2

Nordeste 1,549 6,8

Centro-Oeste 1,602 20,0

Sul/Sudeste 1,503 49,3 Fonte: IBGE; em milhes de km e de toneladas

5. Tabelas de Dupla Entrada (tabulaes cruzadas)

Essa tabela contm duas variveis com dados conjuntos, formando pares de dados.

Exemplos

a) A tabela abaixo apresenta as informaes de se ter ou no planos de sade (varivel X) de um grupo de 48 pessoas, cujas idades (varivel Y) esto subdivididas por faixas etrias, em anos:

X / Y 16 a 25 26 a 35 36 a 45 46 a 55 Total

Sim 4 7 4 8 23

No 3 5 10 7 25

Total 7 12 14 15 48

b) A tabela abaixo apresenta as informaes sobre os salrios (varivel X), em reais, por hora, e o tempo de servio (varivel Y), em anos, de um grupo de funcionrios de uma empresa:

X / Y < 5 5 | 10 10 |15 15 |20 20 Total

< 5 32 20 7 2 1 62

5 | 10 17 30 25 14 5 91

10 | 15 4 7 13 9 7 40

15 1 2 11 6 5 25

Total 54 59 56 31 18 218

c) Acidentes ciclsticos registrados em determinada cidade, durante o ano de 2011:

Leso na Cabea

Uso de Capacete Total

Sim No

Sim 22 230 252

No 131 442 573

Total 153 672 825

d) A tabela abaixo mostra um levantamento feito por um hospital para investigar os indivduos que foram ou no vtimas de infarto agudo do miocrdio e se tm ou no diabetes.

Diabetes

Infarto do Miocrdio Total

Sim No

Sim 46 26 72

No 95 121 216

Total 141 147 288

e) Levantamento feito em uma plantao de tulipas (4 cores) para testar a qualidade das mudas:

Resultados amostrais

Cor Total

Branca Vermelha Amarela Roxa

Floresceram 180 140 70 65 455

No floresceram 20 10 30 15 75

Total plantado 200 150 100 80 530

15

6. T A B E L A S D E F R E Q U N C I A S

Uma tabela de frequncias relaciona classes (categorias) de valores, juntamente com contagens (ou

frequncias) do nmero de valores que se enquadram em cada classe.

Na prtica, em uma tabela de frequncias o nmero de classes deve variar de 5 a 20.

Exemplo

A tabela abaixo nos d os tempos, em anos, de trabalho dos funcionrios em determinada empresa:

Tempo N de funcionrios

0 a 5 18

5 a 10 53

10 a 15 158

15 a 20 65

20 a 25 37

25 a 30 8

Como construir uma tabela de frequncias

Exemplos

A distribuio abaixo fornece os pesos, em kg, de um grupo de 60 pessoas, aleatoriamente escolhidas. Fazer o tabulamento desses dados (isto , construir uma tabela de frequncias).

39 43 45 50 50 53 54 55 58 59 61 61 63 63 63 64 66 68 68 68 68 68 70 71 72 72 73 73 73 74 75 75 75 75 75 76 77 77 78 78 78 79 80 81 81 82 82 82 83 84 84 84 86 88 90 91 95 96 99 106

Soluo: Para se construir uma tabela de frequncias, um dos procedimentos feito da seguinte forma:

1 passo: Determinao do nmero de classes (k).

Como no utilizaremos uma quantidade muito grande de valores no nosso curso, vamos usar SOMENTE

a seguinte frmula prtica: Nk = para determinarmos o nmero de classes de uma tabela de

frequncias. Assim, o nmero de classes, para um total de 60 valores (pesos das 60 pessoas), :

== 746,760k k = 8 classes ATENO: FAZER O ARREDONDAMENTO NORMALMENTE

Obs.: H diversos mtodos para se determinar o nmero de classes de uma tabela de frequncias.

Alm da frmula acima, destacamos:

a) Regra de Sturges: Nk log3,31 += , onde N o nmero total de observaes.

b) No livro The Grouping Data for Graphic Portrayal, Truman L. Kelley, sugere a seguinte tabela:

N 5 10 25 50 100 200 500 1000

k 2 4 6 8 10 12 15 15

16

2 passo: Amplitude (ou intervalo) total (At): a diferena entre o maior e o menor valor, isto ,

At = 106 39 At = 67 .

3 passo: Intervalo de classe ( i ):

375,88

67==i i = 9 kg ATENO: NO FAA O ARREDONDAMENTO; PEGUE SEMPRE

O PRXIMO INTEIRO

ATENO

Como os pesos da tabela so nmeros inteiros, devemos considerar SEMPRE o

PRXIMO nmero inteiro, imediatamente superior a 8,375, mesmo que esse quociente tenha

dado como resultado um nmero inteiro.

Procedimento anlogo deve ser utilizado quando a menor unidade considerada no for

um nmero inteiro.

No exemplo acima, o prximo nmero inteiro, superior a 8,375, o 9, portanto, i = 9 , ou seja, NUNCA

UTILIZE AQUI A REGRA DO ARREDONDAMENTO.

4 passo: EXCESSO:

Para encontrar o excesso, basta multiplicar o nmero de classes (k = 8) pelo intervalo de classe (i = 9) e

subtrair a amplitude total (At = 67) para encontrar o excesso que aparecer na construo dos limites das classes

da tabela de frequncias, isto ,

8 x 9 67 = 72 67 = 5

ou seja, temos um excesso de 5 unidades, o qual deve ser repartido entre os dois extremos da distribuio, ou

seja, o primeiro limite inferior das classes iniciar com 37 (2 unidades antes do 39, que o menor valor da

distribuio) e o ltimo limite superior terminar com 109 (ou seja, 3 unidades aps 106, que o maior valor da

distribuio).

5 passo: Construir a tabela de frequncias dos pesos dessas 60 pessoas:

L f onde,

37 |||| 46 3

46 |||| 55 4 L = limites das classes: inferior ( esquerda) e

superior ( direita) 55 |||| 64 8

64 |||| 73 11

73 |||| 82 19 f = frequncias absolutas das classes, isto ,

quantidade de pessoas em cada uma das

faixas de pesos

82 |||| 91 10

91 |||| 100 4

100 |||| 109 1

N = 60 N = nmero total de pessoas

17

Observaes:

1) O smbolo |||| no intervalo 64 |||| 73 da tabela acima indica que a contagem das pessoas de 64 a 73 kg

inclui as de 64 kg e exclui as de 73 kg.

2) Em todas as tabelas de frequncias que desenvolveremos em nossas aplicaes utilizaremos esse tipo de

intervalo ( |||| ), por ser o mais prtico e mais utilizado.

3) Os outros trs tipos de intervalos utilizados nas tabelas de frequncias so:

a) Intervalo fechado em ambas as extremidades, isto , fechado esquerda e fechado direita ( |||||||| ): inclui os

valores que aparecem em cada um dos extremos.

Exemplos

L f ou L f ou L f

37 |||||||| 45 3 37 |||||||| 45,5 3 36,5 |||||||| 45,5 3

46 |||||||| 54 4 46 |||||||| 54,5 4 45,5 |||||||| 54,5 4

55 |||||||| 63 8 55 |||||||| 63,5 8 54,5 |||||||| 63,5 8

64 |||||||| 72 11 64 |||||||| 72,5 11 63,5 |||||||| 72,5 11

73 |||||||| 81 19 73 |||||||| 81,5 19 72,5 |||||||| 81,5 19

82 |||||||| 90 10 82 |||||||| 90,5 10 81,5 |||||||| 90,5 10

91 |||||||| 99 4 91 |||||||| 99,5 4 90,5 |||||||| 99,5 4

100 |||||||| 108 1 100 |||||||| 108,5 1 99,5 |||||||| 108,5 1

b) Intervalo aberto em ambas as extremidades ( ): exclui os valores que aparecem em cada um dos extremos.

Exemplo: L f

36,5 45,5 3

45,5 54,5 4

54,5 63,5 8

63,5 72,5 11

72,5 81,5 19

81,5 90,5 10

90,5 99,5 4

99,5 108,5 1

c) Intervalo aberto esquerda e fechado direita ( |||| ): exclui o valor da esquerda e inclui o valor da direita ( semelhante ao que utilizaremos em todas as nossas aplicaes).

Exemplo: L f

36 |||| 45 3

45 |||| 54 4

54 |||| 63 8

63 |||| 72 11

72 |||| 81 19

81 |||| 90 10

90 |||| 99 4

99 |||| 108 1

18

A distribuio abaixo nos d o tempo, em minutos, que 55 alunos aleatoriamente selecionados gastaram para desenvolver certa experincia em um laboratrio. Fazer o tabulamento desses dados (isto , construir

uma tabela de frequncias).

20 23 25 27 27 28 28 28 30 31 31 32 32 32 33

34 35 36 36 36 36 37 37 37 38 38 38 39 40 40

41 41 41 41 41 41 42 43 45 45 45 46 48 48 48

48 49 49 50 52 52 54 55 56 60

Soluo:

Nmero de classes: 416,755 ==k k = 7 classes.

Amplitude total: At = 60 20 At = 40 . min

Intervalo de classe: 714,57

40==i i = 6 . min

Excesso: 76 40 = 42 40 = 2 unidades, ou seja, o 1 limite inferior das classes iniciar com 19 (ou seja, 1 unidade antes do 20) e o ltimo limite superior terminar com 61 (ou seja, 1 unidade aps o 60).

A tabela de frequncias dos tempos para a realizao dessa experincia pelos 55 alunos :

L f 19 |||| 25 2 25 |||| 31 7 31 |||| 37 12 37 |||| 43 16 43 |||| 49 9 49 |||| 55 6 55 |||| 61 3 N = 55

A distribuio abaixo nos d o tempo, em segundos, que 80 computadores aleatoriamente escolhidos gastaram desde que foram ligados at estarem prontos para uso. Fazer o tabulamento desses dados.

79 83 65 79 84 80 85 100 75 85 83 85 79 61 93 85 89 79 75 122 73 79 90 81 50 87 79 70 79 84 78 77 74 96 85 79 86 86 68 79 86 83 95 71 92 40 89 100 91 85 136 83 85 55 118 48 91 60 76 46 99 79 103 63 60 87 72 100 96 73 78 84 85 89 80 125 85 83 85 90

Soluo:

Nmero de classes: 94,880 ==k k = 9 classes

Amplitude total: At = 136 40 At = 96 segundos

Intervalo de classe: 667,109

96==i

i = 11 segundos

Excesso: 911 96 = 99 96 = 3 unidades, ou seja, o 1 limite inferior das classes ser igual a 39 (uma unidade antes do menor valor: 40) e o ltimo limite superior ser 138 (duas unidades aps o maior valor: 136).

Tabela de frequncias:

RESPOSTA: L Contagem (para obter as frequncias absolutas): L f

39 |||| 50 ||| 39 |||| 50 3 50 |||| 61 |||| 50 |||| 61 4 61 |||| 72 ||||| | 61 |||| 72 6 72 |||| 83 ||||| ||||| ||||| ||||| ||| 72 |||| 83 23 83 |||| 94 ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| || 83 |||| 94 32 94 |||| 105 ||||| ||| 94 |||| 105 8

105 |||| 116 105 |||| 116 0 116 |||| 127 ||| 116 |||| 127 3 127 |||| 138 | 127 |||| 138 1

N = 80

19

E X E R C C I O S (tabelas de frequncias)

Dadas as distribuies abaixo, fazer o tabulamento dos dados (isto , construir uma tabela de frequncias):

1) Consumo de energia eltrica, em kWh, que 63 residncias aleatoriamente selecionadas em um bairro de baixa renda de determinada localidade gastaram durante o ms passado:

60 62 65 65 66 68 70 70 72 73 74 74 74 75 76 77 77 77 80 80 81 81 81 81 83 85 86 86 86 87 87 88 89 89 89 89 89 90 90 91 91 91 91 91 93 93 95 96 96 98 98 100 101 101 102 103 103 105 107 108 110 111 113

Soluo:

Nmero de classes (k): Tabela de frequncias:

L f

Amplitude: ||||

||||

Intervalo de classe (i): ||||

||||

||||

Excesso: ||||

||||

1 intervalo de classe: Comear com ______ ||||

ltimo intervalo de classe: Terminar com ______ N =

2) Fora de ruptura, em libras, por polegada quadrada, para uma amostra de 70 garrafas descartveis de refrigerante, de 300 ml cada:

53 55 58 60 60 62 65 66 68 68 68 69 70 70 72 73 73 75 76 76 76 78 78 78 78 79 80 80 80 80 80 80 80 81 81 83 83 84 84 84 85 85 86 86 86 88 90 93 93 95 95 97 98 98 100 106 106 107 109 109 112 115 116 116 118 120 121 121 124 126

20

3) Nmero de chamadas telefnicas recebidas, por hora, em uma central de atendimento, para uma amostra de 40 horas aleatoriamente escolhidas:

72 60 53 64 73 57 59 71 53 68 75 63 68 71 60 63 66 70 58 67 55 64 49 60 70 62 59 58 65 64 69 63 61 82 63 74 68 76 66 59

Obs.: Veja a tabulao que foi feita no exemplo 3 (dos computadores), cujos dados esto fora de ordem (no precisa colocar os dados em ordem).

4) Quantidade diria de reclamaes de clientes recebidas pelo setor de atendimento ao cliente de um fabricante de computadores, durante um perodo de 45 dias aleatoriamente escolhidos:

81 83 85 85 86 89 90 92 93 95 96 96 98 101 101 101 102 103 103 103 103 104 104 105 106 106 106 106 107 107 108 110 111 112 112 113 114 115 115 115 116 117 118 120 122

21

5) Nmero dirio de peas defeituosas produzidas por certa mquina: 40 44 47 48 50 53 53 56 58 59 61 61 63 63 63 64 64 65 66 67 68 69 69 71 71 71 71 71 72 72 73 73 74 74 74 74 74 75 75 75 76 77 77 77 77 77 78 78 80 81 82 86 88 89 91 95 99 102 107 112

6) Idades, em anos, de um grupo de pessoas aleatoriamente escolhidas:

18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 22 22 23 24 25 25 26 28 29 30 30 30 30 32 33 35 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 37 37 38 38 39 39 39 39 40 40 42 42 42 42 42 43 43 43 44 45 45 45 45 46 46 48 49 50 50 50 53 56 57 60 68

22

7) Nmero dirio de clientes de um banco atendidos por determinado caixa, durante um perodo de 52 dias aleatoriamente escolhidos:

45 150 100 125 75 150 55 50 125 75 150 45 50 95 30 80 50 75 60 75 165 50 55 100 70 80 47 90 100 125 170 130 150 50 75 130 125 95 65 15 120 50 60 130 100 65 75 47 100 60 80 70

8) Salrios, em reais, dos funcionrios de determinada empresa:

350 390 460 470 480 500 500 500 520 570 600 630 650 650 650 650 660 680 680 700 700 700 700 700 730 730 750 750 780 800 810 820 840 840 850 880 900 920 930 930 940 940 950 950 950 950 970 980 980 980 980 980 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1020 1020 1020 1030 1030 1040 1050 1050 1050 1050 1050 1050 1050 1060 1070 1090 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1130 1130 1150 1150 1150 1180 1200 1210 1380 1400 1400 1440 1450 1490 1500 1790

Obs.: Considerar mltiplos de 10 para o intervalo de classe.

23

9) Nmero de horas de uso do computador pessoal durante uma semana, por um grupo de pessoas: 0,7 1,0 1,2 1,5 2,1 2,5 2,6 3,0 3,1 3,1 3,3 3,4 3,5 3,5 3,6 3,7 3,7 3,9 3,9 4,0 4,1 4,1 4,1 4,2 4,3 4,4 4,7 4,8 5,4 5,6 5,7 5,7 5,7 5,9 5,9 6,1 6,1 6,1 6,7 6,8 7,2 7,6 8,8 9,2 9,5 10,3 10,4 10,8 11,1 12,1 12,9 13,7 14,9

Respostas:

1) L f 2) L f 3) L f 4) L f 5) L f 59 | 66 4 50 | 60 3 48 | 54 3 81 | 87 5 36 | 46 2 66 | 73 5 60 | 70 9 54 | 60 7 87 | 93 3 46 | 56 5 73 | 80 9 70 | 80 14 60 | 66 13 93 | 99 5 56 | 66 11 80 | 87 11 80 | 90 20 66 | 72 11 99 | 105 10 66 | 76 22 87 | 94 17 90 | 100 8 72 | 78 5 105 | 111 9 76 | 86 11 94 | 101 6 100 | 110 6 78 | 84 1 111 | 117 9 86 | 96 5 101 | 108 7 110 | 120 5 117 | 123 4 96 | 106 2 108 | 115 4 120 | 130 5 106 | 116 2

6) L f 7) L f 8) L f 9) L f 16 | 22 14 12 | 35 2 320 | 470 3 0,5 | 2,6 6 22 | 28 7 35 | 58 12 470 | 620 8 2,6 | 4,7 20 28 | 34 8 58 | 81 16 620 | 770 17 4,7 | 6,8 13 34 | 40 19 81 | 104 8 770 | 920 9 6,8 | 8,9 4 40 | 46 15 104 | 127 5 920 | 1070 40 8,9 | 11,0 5 46 | 52 7 127 | 150 3 1070 | 1220 21 11,0 | 13,1 3 52 | 58 3 150 | 173 6 1220 | 1370 0 13,1 | 15,2 2 58 | 64 1 1370 | 1520 7 64 | 70 1 1520 | 1670 0 1670 | 1820 1

24

Frequncias Relativas e Frequncias Acumuladas

E X E M P L O (frequncias absolutas, relativas e acumuladas)

Dada a tabela de frequncias dos pesos de um grupo de 60 pessoas (1 exemplo de tabulamento):

L f

37 |||| 46 3 46 |||| 55 4

55 |||| 64 8 64 |||| 73 11 73 |||| 82 19

82 |||| 91 10

91 |||| 100 4

100 |||| 109 1

N = 60

Determine:

a) a frequncia absoluta relativa de cada classe (fr);

b) a frequncia absoluta percentual de cada classe (fp);

c) a frequncia acumulada de cada classe (F);

d) a frequncia acumulada relativa de cada classe (Fr);

e) a frequncia acumulada percentual de cada classe (Fp).

Soluo:

a) Para determinar a frequncia absoluta relativa de cada classe (fr), basta dividir a frequncia absoluta de cada classe pelo total das frequncias absolutas dessas classes (N).

a) Para determinar a frequncia absoluta percentual de cada classe (fp), basta dividir a frequncia absoluta de cada classe pelo total das frequncias absolutas (N), e multiplicar cada resultado por 100.

c) Para determinar a frequncia acumulada de uma classe (F), basta somar a frequncia absoluta dessa classe com as frequncias absolutas das classes anteriores, ou somar a frequncia absoluta dessa classe com a frequncia acumulada da classe anterior.

d) Para determinar a frequncia acumulada relativa de uma classe (Fr), basta dividir a frequncia acumulada dessa classe pelo total das frequncias absolutas (N).

e) Para determinar a frequncia acumulada percentual de uma classe (Fp), basta dividir a frequncia acumulada dessa classe pelo total das frequncias absolutas (N), e multiplicar cada resultado por 100.

A seguinte tabela nos d os resultados pedidos: a) b) c) d) e)

L f fr fp (%) F Fr Fp (%)

37 |||| 46 3 0,050 5,0 3 0,050 5,0

46 |||| 55 4 0,067 6,7 7 0,117 11,7

55 |||| 64 8 0,133 13,3 15 0,250 25,0

64 |||| 73 11 0,183 18,3 26 0,433 43,3

73 |||| 82 19 0,316 31,6 45 0,750 75,0

82 |||| 91 10 0,167 16,7 55 0,917 91,7

91 |||| 100 4 0,067 6,7 59 0,983 98,3

100 |||| 109 1 0,017 1,7 60 1,000 100%

N = 60 1,000 100,0

25

E X E R C C I O (frequncias absolutas, relativas e acumuladas)

A tabela de frequncias abaixo corresponde s produes mdias dirias de um grupo de operrios durante

certo perodo:

L f

50 |||| 60 3

60 |||| 70 9

70 |||| 80 14

80 |||| 90 20

90 |||| 100 8

100 |||| 110 6

110 |||| 120 5

120 |||| 130 5

N = 70

Determine:

a) a frequncia absoluta relativa de cada classe (fr);

b) a frequncia absoluta percentual de cada classe (fp);

c) a frequncia acumulada de cada classe (F);

d) a frequncia acumulada relativa de cada classe (Fr);

e) a frequncia acumulada percentual de cada classe (Fp).

Soluo:

a) b) c) d) e)

L f fr fp (%) F Fr Fp (%)

50 |||| 60 3

60 |||| 70 9

70 |||| 80 14

80 |||| 90 20

90 |||| 100 8

100 |||| 110 6

110 |||| 120 5

120 |||| 130 5

N = 70

Respostas:

a) 0,043; 0,129; 0,200; 0,286; 0,114; 0,086; 0,071; 0,071

b) 4,3; 12,9; 20,0; 28,6; 11,4; 8,6; 7,1; 7,1

c) 3; 12; 26; 46; 54; 60; 65; 70

d) 0,043; 0,171; 0,371; 0,657; 0,771; 0,857; 0,929; 1,000

e) 4,3; 17,1; 37,1; 65,7; 77,1; 85,7; 92,9; 100,0

26

Representao Grfica das Variveis Qualitativas e Quantitativas

Grfico a representao visual do fenmeno, em termos de sua evoluo ou das relaes entre as

variveis nele envolvidas.

G r f i c o d e C o l u n a s

Exemplo: Construir o grfico de colunas referente s quantidades de 5 tipos de veculos vendidos durante certo perodo, em uma grande cidade, conforme tabela abaixo:

Veculos Vendas

Corsa 550

Plio 400

Uno 1.100

Gol 1.600

Fx 750

Soluo: Vendas

1600

1100

750

550

400

0 CORSA PLIO UNO GOL FX

Tipos de Veculos

IMPORTANTE: A construo de um grfico requer prtica e bom senso.

Grfico de Colunas no EXCEL

Exemplo: Considerando a mesma tabela anterior, construir o grfico de colunas no EXCEL.

Veculos Vendas

Corsa 550

Plio 400

Uno 1.100

Gol 1.600

Fx 750

0

500

1000

1500

2000

Corsa Plio Uno Gol Fx

Vendas

27

D i a g r a m a d e P a r e t o

Um diagrama de Pareto um grfico em colunas para dados qualitativos, com colunas ordenadas de

acordo com as frequncias (absolutas ou relativas).

Exemplo

A tabela abaixo apresenta uma amostra de 150 componentes localizados incorretamente em um processo de

montagem em eletrnica, pelos inspetores de qualidade, e as respectivas causas detectadas. Construir o grfico

de Pareto para esses dados.

Legenda Causas Quantidade

I Dimenses incorretas 41

II Partes danificadas 32

III Mquina 20

IV Parte enferrujada 17

V Fora de ordem 11

VI Solda desalinhada 9

VI Pintura danificada 8

VI Parte errada produzida 4

IX Pintura da base danificada 3

X Porosidade na fundio 3

XI Procedimento imprprio 2

Total 150

Soluo:

41

35

30

25

20

15

10

5

0

I II III IV V VI VII VIII IX X XI

28

G R F I C O D E L I N H A S

Exemplos

Dadas as tabelas 1 e 2 abaixo, referentes s produes mensais, em milhares, de dois tipos diferentes de

peas, construir um grfico de linhas para cada tabela:

TABELA 1 TABELA 2

Ms Quantidade Ms Quantidade

Jan 120 Jan 1040

Fev 90 Fev 1060

Mar 165 Mar 1020

Abr 60 Abr 1100

Mai 105 Mai 1140

Jun 120 Jun 1220

Jul 150 Jul 1160

Ago 75 Ago 1180

Set 30 Set 1080

Out 120 Out 1060

Nov 180 Nov 1120

Dez 135 Dez 1100

O grfico de linhas para os dados da Tabela 1 :

E o grfico de linhas para os dados da Tabela 2 :

29

G r f i c o d e B a r r a s

Exemplo: Construir o grfico de barras referente s quantidades de 4 tipos de revistas mais vendidas durante certo perodo em uma cidade, por uma distribuidora, conforme tabela abaixo:

Revistas Quantidades VEJA 600 ISTO 2.000 POCA 1.600 GALILEU 3.000

Soluo:

Revistas

VEJA

ISTO

POCA

GALILEU

600 1.600 2.000 3.000 Quantidades Vendidas

G r f i c o P i c t r i c o (Pictograma)

Esses grficos so construdos a partir de figuras. So grficos muito comuns em jornais e revistas, e tm a finalidade de despertar a ateno das pessoas.

Exemplo: Dada a tabela abaixo, referente s quantidades aproximadas de telefones instalados em todo o territrio nacional, construir um grfico pictrico.

Anos N de telefones fixos

1975 10.000.000

1980 20.000.000

1985 40.000.000

1990 70.000.000

1995 80.000.000

2000 100.000.000

2005 130.000.000

Soluo:

Anos Nmero de telefones fixos LEGENDA

= 10.000.000 1975 1980

1985 1990 1995 2000 2005

30

G r f i c o d e S e t o r e s

O grfico de setores (disco, circular, pizza), um diagrama de rea. Consiste em repartir um crculo em

setores circulares correspondentes s propores de cada valor.

Exemplo

Construir o grfico de setores referente aos gastos, em milhares de reais, com propaganda nos meios de

comunicao de determinada empresa, conforme tabela abaixo:

Veiculao Valor

Televiso 500

Radio 160

Jornal 320

Outdoor 150

Internet 120

Outros 250

Total 1500

Despesas com Propaganda

33%

11%

21%

10%

8%

17%

Televiso

Rdio

Jornal

Outdoor

Internet

Outros

31

H i s t o g r a m a

Um histograma um diagrama de barras de uma distribuio de frequncias.

Exemplo

A tabela abaixo apresenta o tempo, em minutos, gasto pelos vendedores de um centro comercial para

atendimento de um grupo de clientes aleatoriamente escolhidos. Construir o histograma para os dados dessa

tabela.

L f

10 |||| 20 2

20 |||| 30 10

30 |||| 40 13

40 |||| 50 16

50 |||| 60 6

60 |||| 70 8

70 |||| 80 3

Histograma

f

16

13

10

8

6

3

2

0

L

10 20 30 40 50 60 70 80

32

P o l g o n o d e F r e q u n c i a s

Um polgono de frequncias um grfico de linha de uma distribuio de frequncias.

Exemplo: A tabela abaixo apresenta as idades, em anos, de um grupo de pessoas. Construir o polgono de

frequncias para os dados dessa tabela.

L f

9 |||| 15 7

15 |||| 21 10

21 |||| 27 11

27 |||| 33 28

33 |||| 39 23

39 |||| 45 15

45 |||| 51 10

Soluo: L f x (pontos mdios)

6

9 |||| 15 7 12

15 |||| 21 10 18

21 |||| 27 11 24

27 |||| 33 28 30

33 |||| 39 23 36

39 |||| 45 15 42

45 |||| 51 10 48

54

0

4

8

12

16

20

24

28

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54

N

de

pes

soas

Idades (anos)

Polgono de Frequncias

33

E X E R C C I O (grficos)

A tabela abaixo apresenta os tempos, em segundos, que uma mquina gastou para produzir cada conjunto de peas e as respectivas quantidades amostrais de conjuntos produzidos nesses tempos.

L f 28 |||| 30 14 30 |||| 32 25 32 |||| 34 32 34 |||| 36 57 36 |||| 38 41 38 |||| 40 19 40 |||| 42 8

a) Construir o Histograma.

b) Construir o Polgono de Frequncias.

34

M E D I D A S D E T E N D N C I A C E N T R A L

Estudaremos a seguir as trs medidas de tendncia central mais utilizadas em Estatstica: a mdia, a

mediana e a moda.

M D I A A R I T M T I C A

De um modo geral, a mdia aritmtica a mais importante de todas as mensuraes numricas descritivas.

MDIA ARITMTICA SIMPLES (M)

( a mdia aritmtica para DADOS NO TABULADOS ou DADOS NO AGRUPADOS)

A mdia aritmtica simples dada por:

n

xM

=

onde,

= smbolo do somatrio (indica a soma das medidas x)

x = medidas (ou observaes)

n = quantidade de medidas (ou observaes)

Exemplos

1. Calcule a mdia aritmtica simples das temperaturas mximas, em graus Celsius, registradas durante 6 dias

consecutivos, em determinada localidade: 32, 18, 22, 27, 20 e 38.

Soluo:

==+++++

=

= K1666,266

157

6

382027221832M

n

xM CM

o2,26=

R E G R A D O A R R E D O N D A M E N T O

Para as mdias, deixar uma casa decimal a mais que os dados originais (exceto

quando se tratar de valor monetrio).

Como no exemplo acima os dados originais so nmeros inteiros, a mdia dever ficar com

uma casa decimal.

2. Calcule a mdia aritmtica simples dos pesos de 60 pessoas (1 exemplo de tabulamento dos dados):

39 43 45 50 50 53 54 55 58 59 61 61 63 63 63 64 66

68 68 68 68 68 70 71 72 72 73 73 73 74 75 75 75 75

75 76 77 77 78 78 78 79 80 81 81 82 82 82 83 84 84

84 86 88 90 91 95 96 99 106

Soluo: ==

= K6166,7260

357.4M

n

xM 6,72=M

kg .

35

MDIA ARITMTICA PONDERADA

A mdia aritmtica ponderada dada por: f

fXM

= ou

N

fXM

=

onde,

= smbolo do somatrio (indica a soma dos produtos de f por X)

f = frequncia da ocorrncia de cada medida de X

X = valor de cada medida verificada

f = N = soma das frequncias (total de medidas ou observaes)

Exemplos

1. Determinada empresa possui trs categorias de salrios em seu quadro de 120 empregados, sendo que 30

deles recebem R$ 1.000,00, 50 recebem R$ 1.300,00 e 40 recebem R$ 1.700,00. Determine o salrio mdio

de todos esses empregados.

Soluo:

Empregados (f) Salrios (X) fX

30 1000,00 30000,00

50 1300,00 65000,00

40 1700,00 68000,00

f = N = 120

fX = 163000,00

(total de empregados) (total pago a todos os empregados)

405030

00,17004000,13005000,100030

++

++=

=

N

fXM

==++

= K333,1358120

00,163000

120

00,6800000,6500000,30000M 33,1358=M , portanto, essa empresa

paga um salrio mdio de R$ 1.358,33 por empregado (ou seja, cada empregado corresponde a um salrio de R$

1.358,33 na folha de pagamento dessa empresa).

2. A prova de um concurso pblico foi dividida em 5 partes (A, B, C, D e E), sendo que a Parte A tinha peso 2, a

Parte B peso 1, a Parte C peso 5, a Parte D peso 4 e a Parte E peso 2. Um candidato obteve as seguintes

notas, em uma escala de 0 a 100: Parte A: nota 64; Parte B: nota 71; Parte C: nota 34; Parte D: nota 57 e

Parte E: nota 81. Calcule a sua mdia na prova desse concurso.

(Obs.: Arredondar a mdia para milsimos)

Soluo:

Parte Pesos (f) Notas (X) fX

A 2 64 128

B 1 71 71

C 5 34 170

D 4 57 228

E 2 81 162

f= 14 fX= 759

K54214214

759

14

16222817071128

24512

812574345711642==

++++=

++++

++++=M M = 54,214 .

36

MDIA ARITMTICA PARA DADOS TABULADOS

( a mdia aritmtica para tabelas de frequncias)

A mdia aritmtica para dados tabulados dada por: N

fxM

=

onde,

= smbolo do somatrio (indica a soma dos produtos de f por x)

f = frequncias absolutas das classes

x = pontos mdios das classes (isto , mdia aritmtica dos limites inferior e superior de cada classe)

N = nmero total de medidas (ou observaes)

Exemplo

Determine a mdia aritmtica para os dados da seguinte tabela (1 exemplo de tabulamento dos dados):

Pontos mdios das classes Multiplicar f por x

L f x fx 37 | 46 3 (37 + 46)/2 = 41,5 3 41,5 = 124,5

46 | 55 4 (46 + 55)/2 = 50,5 4 50,5 = 202,0

55 | 64 8 (55 + 64)/2 = 59,5 8 59,5 = 476,0

64 | 73 11 (64 + 73)/2 = 68,5 11 68,5 = 753,5

73 | 82 19 (73 + 82)/2 = 77,5 19 77,5 = 1.472,5

82 | 91 10 (82 + 91)/2 = 86,5 10 86,5 = 865,0

91 | 100 4 (91 + 100)/2 = 95,5 4 95,5 =382,0

100 | 109 1 (100 + 109)/2 = 104,5 1 104,5 = 104,5

N = 60 fx = 4.380,0

=

=60

0,380.4

N

fxM M = 73,0 kg .

Obs.: Os pontos mdios das classes podem ser determinados das seguintes formas:

1) Somar os limites inferior e superior de cada classe e dividir por 2, como mostra a tabela abaixo.

2) Aps a determinao do primeiro ponto mdio (que a mdia aritmtica dos limites inferior e superior da primeira classe), somando-se o intervalo de classe a esse primeiro ponto mdio encontramos o segundo ponto mdio. O terceiro ponto mdio obtido pela soma do segundo ponto mdio com o intervalo de classe. Os demais pontos mdios so encontrados da mesma forma, como mostra a tabela abaixo.

3) Basta somar a metade do valor do intervalo com o limite inferior de cada classe, como mostra a tabela abaixo.

Limites das classes Formas de se determinar os pontos mdios das classes:

L 1 forma: 2 forma: 3 forma:

37 | 46 (37 + 46)/2 = 41,5 (37 + 46)/2 = 41,5 37 + 4,5 = 41,5

46 | 55 (46 + 55)/2 = 50,5 41,5 + 9 = 50,5 46 + 4,5 = 50,5

55 | 64 (55 + 64)/2 = 59,5 50,5 + 9 = 59,5 55 + 4,5 = 59,5

64 | 73 (64 + 73)/2 = 68,5 59,5 + 9 = 68,5 64 + 4,5 = 68,5

73 | 82 (73 + 82)/2 = 77,5 68,5 + 9 = 77,5 73 + 4,5 = 77,5

82 | 91 (82 + 91)/2 = 86,5 77,5 + 9 = 86,5 82 + 4,5 = 86,5

91 | 100 (91 + 100)/2 = 95,5 86,5 + 9 = 95,5 91 + 4,5 = 95,5

100 | 109 (100 + 109)/2 = 104,5 95,5 + 9 = 104,5 100 + 4,5 = 104,5

37

E X E R C C I O S (mdia aritmtica)

1. Calcule a mdia aritmtica simples (isto , mdia aritmtica para dados no tabulados) dos seguintes

tempos, em segundos, para carga de um aplicativo, num sistema compartilhado, em 70 observaes:

53 55 58 60 60 62 65 66 68 68 68 69 70 70 72 73 73 75 76 76 76 78 78 78 78 79 80 80 80 80 80 80 80 81 81 83 83 84 84 84 85 85 86 86 86 88 90 93 93 95 95 97 98 98 100 106 106 107 109 109 112 115 116 116 118 120 121 121 124 126

2. Durante 7 meses consecutivos, foram registradas as seguintes quantidades mximas de chuva, me mm, em

determinada regio: 63,2; 49,6; 72,9; 87,3; 58,0; 58,3 e 75,1. Calcule a mdia aritmtica simples

dessas quantidades:

3. A tabela abaixo nos d o nmero peas produzidas, por operrio, num certo perodo e o respectivo nmero de

operrios que produziram cada uma dessas quantidades. Calcule a quantidade mdia de peas produzidas

pelos operrios nesse perodo.

Operrios Peas

5 21

2 22

7 25

2 28

4 30

38

4. Calcule a mdia aritmtica ponderada das notas obtidas por um aluno em trs provas, sabendo que os

pesos 3, 2 e 5 e respectivas notas foram 68, 37 e 83.

Prova Pesos Notas

A 3 68

B 2 37

C 5 83

5. O Departamento de gua de certa cidade utiliza a tabela abaixo para calcular progressivamente o valor que

dever ser pago, de acordo com cada faixa de consumo da gua (por exemplo, se uma pessoa consumir 15

m, dever pagar um total de R$ 35,00, correspondente a 10 m a R$ 2,00 cada m e 5 m a R$ 3,00 cada m):

Consumo (em m)

Tarifa (em reais, por m)

At 10 2,00

De 11 a 20 3,00

De 21 a 30 5,00

De 31 a 50 6,00

Acima de 50 7,00

a) Quatro pessoas (Antonio, Benedito, Carlos e Dbora) compareceram ao escritrio do Departamento de gua e

disseram que o valor cobrado na sua fatura do ms anterior no estava correto. Se os consumos e respectivos

valores constantes nas faturas foram:

Antonio: 25 m R$ 75,00

Benedito: 58 m R$ 276,00

Carlos: 42 m R$ 182,00

Dbora: 17 m R$ 41,00

Verifique se o valor que cada um ter que pagar est correto.

Soluo:

Antonio: ____________________________________________________________________

Benedito: ___________________________________________________________________

Carlos: _____________________________________________________________________

Dbora: ____________________________________________________________________

Resposta:

39

b) Na residncia de Edson, foram consumidas mensalmente, nos ltimos seis meses, as seguintes quantidades de gua, em m: 38, 71, 14, 29, 43 e 56. Calcule o preo mdio, por m, pago nesse perodo.

Soluo:

Valor pago no 1 ms:___________________________________________________________________

Valor pago no 2 ms:___________________________________________________________________

Valor pago no 3 ms:___________________________________________________________________

Valor pago no 4 ms:___________________________________________________________________

Valor pago no 5 ms:___________________________________________________________________

Valor pago no 6 ms:___________________________________________________________________

Valor total pago nos 6 meses:__________________________________________

Quantidade de gua consumida nesses 6 meses:________________________________________

Preo mdio pago, por m, nesses 6 meses: M =

Resposta:

6. A tabela abaixo apresenta as distncias e respectivas velocidades desenvolvidas por um motorista com seu veculo, em cada um dos quatro trechos de uma viagem de 1.000 km:

TRECHOS A B C D

Distncia percorrida (km) 200 100 400 300

Velocidade (km/h) 80 70 60 50

Calcular:

a) O tempo aproximado gasto para percorrer cada um desses trechos.

b) O tempo total gasto para realizar essa viagem.

c) A velocidade mdia desse automvel nessa viagem.

40

7. A tabela abaixo apresenta alturas, em cm, de um grupo de pessoas. Calcule a mdia aritmtica dessas alturas.

L f

145 | 155 6

155 | 165 11

165 | 175 36

175 | 185 30

185 | 195 19

195 | 205 4

8. A tabela abaixo apresenta as idades, em anos, de um grupo de pessoas. Calcule a mdia aritmtica dessas idades.

L f

16 | 21 14

21 | 26 7

26 | 31 8

31 | 36 19

36 | 41 15

41 | 46 7

46 | 51 3

51 | 56 1

56 | 61 1

Respostas:

1. 4,8670

045.6==M

5. a) Carlos Valor correto: a) 00,17200,61200,51000,31000,210 =+++

5. b) 31,4251

082.1

251

2621789532367148==

+++++=M

2. 34,667

4,464==M 6. a) A: 2,5 h; B: 1,429 h; C: 6,667 h; D: 6 h; b) 16,596 h; c) M =

1.000 = 60,26 km/h

16,596

3. 0,2520

500==M 7. 4,175

106

590.18==M

4. 3,6910

693==M 8. 4,32

75

5,427.2==M

41

M E D I A N A ( Md )

A mediana ( Md ) uma medida que se localiza no centro da distribuio. Os dados da distribuio devem

estar sempre em ordem crescente ou decrescente.

MEDIANA PARA DADOS NO TABULADOS

A posio da mediana em uma distribuio dada por: 2

1+n

Temos dois casos:

1 caso: Quantidade MPAR de valores: a mediana se localiza exatamente no meio da distribuio.

Exemplos

1. Determine a mediana para das seguintes idades, em anos: 26, 28, 28, 29, 32, 34 , 37, 37, 40, 43, 47.

Soluo: Como a posio da mediana nessa distribuio : 62

111

2

1=

+=

+n , ento a mediana o 6 valor dessa

distribuio, e que corresponde a Md = 34 anos .

2. Determine a mediana para as seguintes notas de um grupo de alunos, obtida em um certo teste: 57, 48, 33, 86, 39, 75, 29, 44 e 49.

Soluo: Ordenando essas notas, obtemos: 29, 33, 39, 44, 48 , 49, 57, 75, 86.

Como a posio da mediana nessa distribuio : 52

19

2

1=

+=

+n, ento a mediana o 5 valor dessa

distribuio, e que corresponde a Md = 48 , ou seja, a mediana das notas desses alunos igual a 48 pontos.

3. Determine a mediana para os 55 valores do 2 exemplo de tabulamento:

20 23 25 27 27 28 28 28 30 31 31 32 32 32 33 34 35 36 36 36 36 37 37 37 38 38 38 39 40 40 41 41 41 41 41 41 42 43 45 45 45 46 48 48 48 48 49 49 50 52 52 54 55 56 60

Soluo: Como a posio da mediana nessa distribuio : 282

155

2

1=

+=

+n , ento a mediana o 28 valor

dessa distribuio, e que corresponde a Md = 39 min .

2 caso: Quantidade PAR de valores: neste caso, consideramos um valor intermedirio aos dois valores centrais.

Exemplos

1. Determine a mediana para as seguintes medidas: 28, 35, 38, 40, 42 , 43 , 46, 50, 50, 58.

Soluo: Como a posio da mediana nessa distribuio : 5,52

110

2

1=

+=

+n, ento a mediana est entre o

5 valor (que o 42) e o 6 valor (que o 43), ou seja, a mediana Md = 42,5 ( a mdia aritmtica desses dois

valores). Portanto, o peso mediano desse grupo de pessoas 42,5 kg.

2. Determine a mediana para os dados do 1 exemplo de tabulamento:

39 43 45 50 50 53 54 55 58 59 61 61 63 63 63 64 66 68 68 68 68 68 70 71 72 72 73 73 73 74 75 75 75 75 75 76 77 77 78 78 78 79 80 81 81 82 82 82 83 84 84 84 86 88 90 91 95 96 99 106

Soluo: Como a posio da mediana nessa distribuio : 5,302

160

2

1=

+=

+n, ento a mediana est entre o

30 valor (que o 74) e o 31 valor (que o 75), logo a mediana : Md = 74,5 kg .

42

E X E R C C I O S (mediana para dados no tabulados)

Determine a mediana para as seguintes medidas:

1. Pesos, em kg: 37, 40, 40, 42, 45, 45, 45, 48, 49, 52, 55, 55, 59, 60 e 64.

2. Idades, em anos: 11, 13, 13, 13, 15, 17, 18, 18, 18, 20, 25 e 30.

3. Nmero dirio de clientes atendidos em uma empresa: 26, 15, 37, 12, 45, 34, 52, 29 e 18.

4. Dada a distribuio abaixo, referente aos pesos, em kg, de um grupo de 63 pessoas, Determine o peso mediano dessas pessoas.

60 62 65 65 66 68 70 70 72 73 74 74 74 75 76 77 77 77 80 80 81 81 81 81 83 85 86 86 86 87 87 88 89 89 89 89 89 90 90 91 91 91 91 91 93 93 95 96 96 98 98 100 101 101 102 103 103 105 107 108 110 111 113

5. Dada a distribuio abaixo, referente ao nmero dirio de peas defeituosas produzidas por certa mquina, durante um perodo de 70 dias. Determine a mediana desses dados.

53 55 58 60 60 62 65 66 68 68 68 69 70 70 72 73 73 75 76 76 76 78 78 78 78 79 80 80 80 80 80 80 80 81 81 83 83 84 84 84 85 85 86 86 86 88 90 93 93 95 95 97 98 98 100 106 106 107 109 109 112 115 116 116 118 120 121 121 124 126

Respostas: 1) Md = 48; 2) Md = 17,5; 3) Md = 29; 4) Md = 88; 5) Md = 82

43

MEDIANA PARA DADOS TABULADOS

A mediana para dados tabulados dada por:

+=med

ant

df

FN

ilM 2inf

onde,

252

50

2==

N (lembre-se de que a mediana se localiza no meio de uma distribuio, isto , considera

a metade dos dados da distribuio para o seu clculo)

i o intervalo de classe

linf o limite inferior da classe da mediana

fmed a frequncia absoluta da classe da mediana

Fant a frequncia acumulada da classe anterior a da mediana

Exemplo

A tabela a seguir apresenta os pesos, em kg,