Apostila EsSA - Matematica

8/13/2019 Apostila EsSA - Matematica

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Apostila EsSA & EsPCEX 2012 2013, Marcos Barros.

MATEMTICA

1) Conceitos e relaes numricasa)Conjuntos numricos:Naturais - Qualquer nmero que resulte de uma contagemde unidades chamado de nmero natural. O conjunto dos nmeros naturais representado por N maisculo, e estes nmeros so feitos com algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, e o conjunto dos nmeros naturais no-nulos, representado por *

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...}IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...}

Inteiros- Definimos o conjunto dos nmeros inteiros como a reunio do conjunto dos nmerosnaturais, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este conjunto denotadopela letra Z (Zahlen=nmero em alemo). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}Exemplos de subconjuntos do conjunto Z.Conjunto dos nmeros inteiros no nulos

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}Conjunto dos nmeros inteiros no negativos:

Z + = {0, 1, 2, 3, 4,...}Conjunto dos nmeros inteiros no positivos:

Z - = {..., -4, -3, -2, -1, 0}Conjunto dos nmeros inteiros positivos:

Z + = { 1, 2, 3, 4,...}Conjunto dos nmeros inteiros negativos:

Z - = {..., -4, -3, -2, -1, }

Racionais - Os Nmero decimais so aqueles numero que podem ser escritos na forma defrao. Podemos escrev - los de algumas formas diferentes; Por Exemplo:

Em forma de frao ordinria: ; ; e todos os seus opostos.

Esses nmeros tem a forma com a, b z e b 0.

Nmeros decimais com finitas ordens decimais ou extenso finita:

Reais - O conjunto dos nmeros reais surge para designar a unio do conjunto dosnmeros racionais e o conjunto dos nmeros irracionais. importante lembrar que oconjunto dos nmeros racionais formado pelos seguintes conjuntos: NmerosNaturais e Nmeros Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidos formam osnmeros reais. Veja:


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Nmeros Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ....Nmeros Inteiros (Z): ...,8,7,6,5,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....Nmeros Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, 5/4,Nmeros Irracionais (I): 2, 3, 5, 1,32365498...., 3,141592....

Os nmeros reais podem ser representados por qualquer nmero pertencente aosconjuntos da unio acima. Essas designaes de conjuntos numricos existem nointuito de criar condies de resoluo de equaes e funes, as solues devem serdadas obedecendo aos padres matemticos e de acordo com a condio deexistncia da incgnita na expresso.

Complexos- E definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por nmeros reais,onde so definidas a adio e a multiplicao e a igualdade.

Adio: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).Multiplicao: ( a, b) . ( c, d ) = ( acbd, ad + bc ).

Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.Sendo que, por exemplo, o nmero real apossui como parte complexa 0. Ele ser o nmero

complexo (a, 0). Unidade imaginria indicada pela letra i, sendo que seu valor ( 0, 1),onde se realizarmos i2teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (1,0).

Assim temos a notao usual que i2=1. E que i =Tomando-se um nmero z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos

termos que a a parte real de z e b a parte complexa de z.Para esta nova notao iremos definir as operaes novamente de maneira mais usual.

Adio: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)iMultiplicao: (a + bi).( c + di) = ( ac bd) + (ad + bc)i

Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = dOperaes ePropriedades- Uma reviso dos aspectos mais importantes sobre as operaes deadio, subtrao, multiplicao e diviso com nmeros inteiros.

Adio - Os termos da adio so chamadas parcelas e o resultado da operao deadio denominado soma ou total.1 parcela + 2 parcela = soma ou total. A ordemdas parcelas nunca altera o resultado de uma adio: a + b = b + a. O zero elementoneutro da adio: 0 + a = a + 0

Subtrao - O primeiro termo de uma subtrao chamado minuendo, o segundo,subtraendoe o resultado da operao de subtrao denominado restoou diferena.A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtrao: a - b b - a.

Dois nmeros a e b so ditos simtricos ou opostos quando: a + b = 0Exemplos:

-3 e 3 so simtricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0.4 e -4 so simtricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.

O oposto de 5 -5.O simtrico de 6 -6.

O oposto de zero o prprio zero.Operaes e Propriedades - Qualquer adio, subtrao ou multiplicao de dois nmerosinteiros sempre resulta tambm um nmero inteiro. Dizemosento que estas trs operaes esto bem definidas em Z ou, equivalentemente, que oconjunto Z fechado paraqualquer uma destas trs operaes.As divises, as potenciaes e as radiciaes entre dois nmeros inteiros nem sempre tmresultado inteiro. Assim, dizemos que estas trs operaes no esto bem definidas noconjunto Z ou, equivalentemente, que Z no fechado para qualquer uma destas trs

operaes. Calcular o valor da seguinte expresso: 10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4


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Soluo : Faremos duas somas separadas- uma s com os nmeros positivos: 10 + 15 + 4 = +29- outra s com os nmeros negativos: (-7) + (-9) + (-3) = -19Agora calcularemos a diferena entre os dois totais encontrados: +29 - 19 = +10

Ateno: preciso dar sempre ao resultado o sinal do nmero que tiver o maior valor

absoluto!Calcular o valor da seguinte expresso: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 - 21 passo: Achar os totais (+) e (-):

(+): +4 + 3 = +7(-): -10 - 7 - 8 - 2 = -27

2 passo: Calcular a diferena dando a ela o sinal do total que tiver o maior mdulo:-27 + 7 = - 20

Multiplicao - Os termos de uma multiplicao so chamados fatores e o resultado daoperao de multiplicao denominado produto. 1 fator x 2 fator = produto

O primeiro fator tambm pode ser chamado multiplicandoenquanto o segundo fatorpode ser chamado multiplicador.

A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicao: a x b = b x a O nmero 1 o elemento neutro da multiplicao: 1 x a = a x 1 = a

Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto ser adicionado de kvezes o outro fator: a x b = c (a + k) x b = c + (k x b)

Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto ser multiplicadopor k: a b = c (a k) b = k c

Fatoraes - transformar equaes algbricas em produtos de duas ou mais expresses,chamadas fatores. Ex: ax+ ay= a.(x+y) Existem vrios casos de fatorao como:

Fator Comum em evidncia: Quando os termos apresentam fatores comuns.Observe o polinmio:ax+ ay Ambos os termos apresentam o fator a em evidncia.

Assim: ax+ ay= a.(x+y)Forma fatorada

Fatorao por agrupamento: Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comumem alguns polinmios especiais.Como por exemplo:

ax+ ay+ bx+ byOs dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois ltimos termos

possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidncia:

a.(x+y) + b.(x+y)Este novo polinmio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidncia:

(x+y).(a+b)Ou seja: ax+ ay+ bx+ by= (x+y).(a+b)

Fatorando:

a)x fator a fator (x-3) fator comum Forma

comum comum fatorada

b)

fator fator (2+a) fator comum Forma

comum comum fatorada


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Fatorao por diferena de quadrados - Consiste em transformar as expresses em produtosda soma pela diferena, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

Assim:Ex: Fatores:

a)

b)

c)

Fatorao do trinmio quadrado perfeito: O trinmio que se obtm quando se elevaum binmio ao quadrado chama-se trinmio quadrado perfeito. Por exemplo, os

trinmios ( ) e ( ) so quadrados perfeitos porque soobtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.

Assim:

| |

| |2x 3y|__________|

|

2.2x.3y = 12xy note que igual ao segundo termo dePortanto trata-se de um trinmio quadrado perfeito.

= forma fatorada|_________________|

Sinal

Logo: = forma fatorada|_________________|

Razo e Proporo- Chama-se de razo entre dois nmeros racionais a e b, indica-se a razode a para b por a/b ou a : b. Exemplo:Na sala da 6 B de um colgio h 20 rapazes e 25 moas.Encontre a razo entre o nmero de rapazes e o nmero de moas. (lembrando que razo diviso)

Voltando ao exerccio anterior, vamos encontrar a razo entre o nmero de moas e rapazes.

Um automvel percorre 160km em 2 horas. Qual a razo entre a distncia percorrida eo tempo gasto? Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distnciapercorrida varia de 80 Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na razo de 1/2enquanto a distncia percorrida varia na razo 80/160. Assim temos que tais razesso iguais, isto :


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Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distncia percorrida varia de 160Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na razo 2/3 e a distncia percorrida narazo 160/240 e observamos que essas razes so iguais, isto: Conclumos que o tempo gasto e a distncia percorrida,variam sempre na mesma razo e isto significa que a

distncia percorrida diretamente proporcional ao tempogasto para percorr-la, se a velocidade mdia do automvel se mantiver constante.

Razo e Proporo- a igualdade entre razes.Exemplo: meu carro faz 13km por litro decombustvel, ento para 26km preciso de 2L, para 39km preciso de 3L e assim por diante:

Logo R1=R2

Razes entre grandezas de mesma espcie no possuem unidade de medida

Razes entre grandezas de espcies diferentes possuem unidade de medida (Ex:Km/h,Km/l,)

Grandeza diretamente proporcional- Um forno tem sua produo de ferro fundido de acordocom a tabela abaixo:

Observe que uma grandeza varia de acordo com aoutra. Essas grandezas so variveis dependentes.Observe que:Quando duplicamos o tempo, a produo tambmduplica.5 min ----> 100Kg10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produo tambmtriplica.5 min ----> 100Kg15 min ----> 300KgDuas grandezas variveis dependentes so diretamente proporcionais quando a razo entre osvalores da 1 grandeza igual a razo entre os valores correspondentes da 2.

Grandeza inversamente proporcional- Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metroscontra o relgio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, umtempo correspondente, conforme a tabela abaixo:Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas so variveis

dependentes. Observe que:Quando duplicamosa velocidade, o tempo ficareduzido metade.5 m/s ----> 200s10 m/s ----> 100sQuando quadriplicamosa velocidade, o tempo ficareduzido quarta parte.5 m/s ----> 200s20 m/s ----> 50sDuas grandezas variveis dependentes soinversamente proporcionaisquando

a razo entre os valores da 1 grandeza igual ao inversoda razo entre osvalores correspondentes da 2.

Tempo (minutos) Produo (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Velocidade (m/s) Tempo (s)

5 200

8 125

10 100

16 62,5

20 50


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Verifique na tabela que a razo entre dois valores de uma grandeza igual ao inverso da razoentre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

b) Sequncia de nmeros reais: Seqncia sucesso, encadeamento de fatos que sesucedem. comum percebermos em nosso dia-a-dia conjuntos cujos elementos estodispostos em certa ordem, obedecendo a uma seqncia.O estudo de seqncia dentro da matemtica o conjunto de nmeros reais dispostos em

certa ordem. Assim chamado de seqncia numrica.Exemplo:

O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) a seqncia de nmeros pares.

O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) a seqncia de nmeros impares 7 e 15.

O conjuntoordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) uma seqncia de nmeros quecomea com a letra D.

Matematicamente quando temos uma seqncia numrica qualquer, representamos o

seu 1 termo por a1assim sucessivamente, sendo o n-simo termo an.Exemplo:

(2, 4, 6, 8, 10) temos: a1= 2; a2= 4; a3= 6; a4= 8; a5= 10

A seqncia acima uma seqncia finita sua representao geral (a1, a2, a3,..., an), para asseqncias que so infinitas a representao geral (a1, a2, a3, an, ... ).Para determinarmos uma seqncia numrica precisamos de uma lei de formao.

Exemplo:

A seqncia definida pela lei de formao an= 2n - 1, n N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... e an otermo que ocupa a n-sima posio na seqncia. Por esse motivo, an chamado de termogeral da sequncia.

Utilizando a lei de formao an= 2n - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termosda seqncia. n = 1 a1= 2 . 1 - 1 a1= 1 n = 2 a2= 2 . 2 - 1 a2= 7 n = 3 a3= 2 . 3 - 1 a3= 17 n = 4 a4= 2 . 4 - 1 a4= 31

Assim a seqncia formada (1, 7, 17, 31, ...)Progresso Aritmtica- um tipo de seqncia numrica que a partir do segundo elementocada termo (elemento) a soma do seu antecessor por uma constante.Exemplo: a1= 5 a2= 5 + 2 = 7 a3= 7 + 2 = 9 a4 = 9 + 2 = 11 a5= 11 + 2 = 13 a6= 13 + 2 = 15

a7= 15 + 2 = 17Essa seqncia uma Progresso aritmtica, pois os seus elementos so formados pela somado seu antecessor com a constante 2.Essa constante chamada de razo e representada por r. Dependendo do valor de r aprogresso aritmtica pode ser crescente, constante ou decrescente.

P.A crescente: r > 0, ento os elementos estaro em ordem crescente. P.A constate: r = 0, ento os elementos sero todos iguais.


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P.A decrescente: r < 0, ento os elementos estaro em ordem decrescente. Termo Geral de uma P.A - Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de

razo igual a r, sabemos que:

a2a1= r a2= a1+ r

a3a2= r a3a1r = r a3= a1 + 2ra4a3= r a4a12r = r a4= a1 + 3r

a n = a1 + (n1) . rPortanto o termo geral de uma P.A calculado utilizando a seguinte frmula:

Exemplo 1:Calcule o 16 termo de uma P.A, sabendo que a1= -10 e r = 3.

an= a1 + (n1) . ra16= -10 + (161) . 3

a16= -10 + 15 . 3

a16

= -10 + 45a16= 35O 16 termo de uma P.A 35.

Soma dos termos de uma P.A finita - Se tivermos uma P.A finita qualquer, parasomarmos os seus termos (elementos) chegaremos seguinte frmula para somarmosos n elementos de uma P.A finita.

Exemplo 2: Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos 324e que a 8 = 79.

Retirando os dados:n = 8

Sn= 324a 8 = 79

Sn= (a1+ an) . n2

324 = (a1+ 79) . 82

324 . 2 = 8 a1+ 79 . 8648 = 8 a1+ 632

16 = 8 a1a1= 2

Precisamos encontrar o valor de r (razo) para encontrar o valor dos outros elementos.an= a1+ (n1) . r79 = 2 + (81) . r

79 = 2 + 7 . r792 = 7r

77 = r7

r = 11Progresso Geomtrica- Como qualquer seqncia de nmeros reais ou complexos,onde cada termo a partir do segundo, igual ao anterior, multiplicado por umaconstante denominada razo.Exemplo:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razo 2(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razo 1


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(100,50,25, ... ) PG de razo (2,-6,18,-54,162, ...) PG de razo -3

Frmula do termo geral - Seja a PG genrica: (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) , onde a1 oprimeiro termo, e an o n-simo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razoda PG, da definio podemos escrever:

a2= a1. qa3= a2. q = (a1. q) . q = a1. q2a4= a3. q = (a1. q2) . q = a1. q3

Infere-se (deduz-se) que: an= a1.qn-1, que denominada frmula do termo geral da PG.Exemplos:

a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o dcimo termo.Temos: a1= 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o dcimo termo ou seja a10, vem pela

frmula:a10= a1. q9= 2 . 29 = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente igual a 20 e o oitavo termo igual a 320. Qual a razo desta PG?

Temos a4

= 20 e a8

= 320. Logo, podemos escrever: a8

= a4

. q8-4

. Da, vem: 320 = 20.q4

Ento q4=16 e portanto q = 2. Soma dos n primeiros termos de uma PG - Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an, ...).

Para o clculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:Sn= a1+ a2+ a3+ a4+ ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razo q vem:Sn. q = a1. q + a2.q + .... + an-1 . q + an.q .

c) Introduo matemtica financeira - uma medida de razo com base 100. ummodo de expressar uma proporo ou uma relao entre 2 valores (um a parte e ooutro o inteiro) a partir de uma frao cujo denominador 100, ou seja, dividir umnmero por 100.Exemplo: Dizer que algo (chamaremos de blusas) 70% de uma loja(l-se: "as blusas so setenta por cento de uma loja"), significa dizer que blusas

equivalente a 70 elementos em um conjunto universo de 100elementos (representando lojas, que pode ter qualquer valor), ouseja, que a razo a diviso:

para 1.Ou seja, a 0,7 parte de 1, onde esse 1 representando o valor inteiro da frao, nocaso, "loja".Em determinados casos, o valor mximo de uma percentagem obrigatoriamente de100%, tal qual ocorre na umidade relativa do ar. Em outros, contudo, o valor podeultrapassar essa marca, como quando se refere a uma frao maior que o valor (500%de x igual a 5 vezes x).

Juros Simples- O regime de juros ser simples quando o percentual de juros incidirapenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada perodo no incidironovos juros.

Aonde : J = P . i . nJ = juros

P = principal (capital)i = taxa de juros

n = nmero de perodos

Exemplo: Temos uma dvida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m.pelo regime de juros simples e devemos pag-la em 2 meses. Os juros que pagarei

sero:J = 1000 x 0.08 x 2 = 160


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Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nmero de perodos ).Juros Composto- Os juros compostos so utilizados na remunerao das cadernetas depoupana, pois oferecem uma melhor remunerao.Exemplo: Fernando empresta o

capital inicial de R$ 4,000,00 para Pedro cobrando juros composto de 4% ao ms.Pedro prometeu pagar tudo em 5 meses. Qual sera o valor que ele tera que pagar ?Para resolvermos esse problema de juros composto podemos usar a seguinte formula:

M = C*(1+i)tM = Montante

C = Capital Iniciali = taxa de juros

t = tempoUsando a formula, temos: M = ? ( valor a ser descoberto )

C = R$ 4,000,00i = 4% / 100 = 0,04

t = 5M = 4000 * ( 1 + 0,04 )M = 4,000 * (1,04)5M = 4000 * 1,2165

m = 4866Subtraindo o Capital Inicial pelo Montante, temos : J = 4866 - 4000 = 866

Portanto, Pedro tera que devolver o valor de R$ 4866 para Fernando, Sendo R$ 866 deJuros.

d) Matrizes: operaes e propriedades; Matriz Identidade -

Matriz Transposta (At) - a matriz que se obtm trocando ordenadamente as linhaspelas colunas da matriz dada.

Matriz Diagonal - uma matriz quadrada onde aij= 0, para i j, isto , oselementos que no esto na diagonal principal so nulos.

Matriz Simtrica - uma matriz quadrada A tal que At = A, isto , aij = aij paraij.


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Matriz Oposta - Chama-se matriz oposta de A a matrizA, cuja soma com A

resulta na matriz nula. Dada a matriz: A oposta de A

ser:

Pois :

Matriz Anti-Simtrica- uma matriz quadrada A tal que At= -A , isto , a ij= -aij

para iejquaisquer.

Adio e Subtrao de Matrizes - Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B,denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos

correspondentes de A e B.Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.

Soluo:

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferena (A-B) a matriz obtidasubtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.

2)Algbraa)Equaes:Conjunto Universo e Conjunto Verdade - O conjunto universocontm todosvalores possveis para as incgnitas. indicado pela letra U.Dada a equao 2x + 4 = 0, tendo sido determinado que a incgnita x s pode assumir osvalores -2, 0e 2, temos ento que o conjunto universo desta equao :U = { -2, 0, 2 }. O conjunto verdadeouconjunto soluo o conjunto dos valores deUque so

razes da equao, ou seja, so os valores que ao substiturem as incgnitas tornam a equaoverdadeira. Indica-se porVouS.Para a equao2x + 4 = 0,cujo conjunto universo U = { -2, 0, 2 },temos que destes trselementos apenas o elemento -2torna a equao verdadeira, pois2 . (-2) + 4 = 0,temos entoque oconjunto verdadeousoluo:V = { -2 }ou S = { -2 }.

Equaes racionais e inteiras- Toda equao fracionria algbrica possui no seu denominadoruma incgnita. Devemos sempre observar as estries. pois no podemos ter divises porzero.

Exemplo1:


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Exemplo2:

Exemplo3: a densidade de um corpo de massa igual a 600g e volumex cm e diminuda de 50g/cm igual a 100g/cm. Qual o volume

desse corpo ?

A Soma de um nmero com a sua tera parte igual metade desse nmero acrescida de 30.

Qual esse nmero ?

Encontrar dois nmeros consecutivos cuja soma seja igual soma de 2/3 do menor com 9/7 domaior.

Sistemas de equaes lineares- As equaes do tipo a1x1+ a2x2+ a3x3+ .....+ anxn= b, soequaes lineares, onde a1, a2, a3, ... so os coeficientes; x1, x2, x3,... as incgnitas e b o termoindependente.A equao 4x3y + 5z = 31 uma equao linear. Oscoeficientes so 4,3 e 5; x, ye z as incgnitas e 31 o termoindependente.


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Para x = 2, y = 4 e z = 7, temos 4*23*4 + 5*7 = 31, conclumos que o terno ordenado (2,4,7) soluo da equao linear.

4x 3y + 5z = 31.Para x = 1, y = 0 e z = 3, temos 4*13*0 + 5*3 31, conclumos que o terno ordenado (1,0,3)no soluo da equao linear.

4x 3y + 5z = 31.

Sistemas LinearesDizemos que o conjunto de equaes lineares forma um sistema linear.

Exemplos2x + 3y = 10

x5y = 2 Sistema linear com duas equaes e duas incgnitas.

5x6y2z = 159x10y + 5z = 20

Sistema linear com duas equaes e trs incgnitas.

x + 9y + 6z = 203x10y12z = 5-x + y + z = 23

Sistema linear com trs equaes e trs incgnitas.x+ y + z + w = 36

2xy +2z + 9w = 40-5x + 3y5z + 5w = 16

Sistema linear com trs equaes e quatro incgnitas.O sistema linear abaixo admite o terno ordenado (1, 2, 3) como soluo.

x + 2yz = 22xy + z = 3x + y + z = 6

1 + 2*23 = 2 1+ 4 3 = 2 2 = 22*12 + 3 = 3 2 2 + 3 = 2 3 = 3

1 + 2 + 3 = 6 6 =6No entanto, ele no admite como soluo o terno ordenado (1, 2, 4).

1 + 2*23 = 2 1+ 4 3 = 2 2 = 22*12 + 3 = 3 2 2 + 3 = 2 3 = 3

1 + 2 + 4 = 6 7 6

Regras de Cramer- Consideremos um sistema de equaes lineares com n equaes e nincgnitas, na sua forma genrica:

a11x1+ a12x2+ a13x3+ ... + a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ a23x3+ ... + a2nxn= b2a31x1+ a32x2+ a33x3+ ... + a3nxn= b3an1x1+ an2x2+ an3x3+ ... + annxn= b4

Dado o sistema linear ( a seguir ) , para resolv-lo podemos utilizar da regra de Cramer, poisele possui 3 equaes e 3 incgnitas, ou seja, o nmero de incgnitas igual ao nmero de equaes.

Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que ser chamada de A.


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Agora calculamos o seu determinante que ser representado por D.

D = 1 + 6 + 2 + 31 + 4D = 15.

Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formandoassim uma segunda matriz que ser representada por Ax.

Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx.

Dx = 8 + 4 + 3 + 28 + 6Dx = 15

Substitumos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a

matriz Ay.

Agora calcularmos o seu determinante Dy.

Dy = -3 + 24 +492 + 16Dy = 30

Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompletaformaremos a matriz Az.

Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.

Dz = 45Depois de ter substitudo todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes,iremos colocar em prtica a regra de Cramer.

A incgnita

A incgnita

A incgnita

Problemas de 1 e 2 grausEquao de 1 grau qualquer igualdade que s satisfeita paraalguns valores dos seus domnios.

Ex: 2x5 = 3 o nmero desconhecido x recebe o nome de incgnitaDe princpio, sem conhecer o valor da incgnita x, no podemos afirmar se essa igualdade

verdadeira ou falsa.Porm podemos verificar facilmente que a equao acima se torna verdadeira para x = 4.

2x5 = 3 2x = 8 x = 4Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluo (S) 4.

Equao de 2 ( ax+bx+c = 0 ) Soluo pela frmula de Bskara.Chamada : delta = D = b-4ac


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Ex : x-4x+3=0onde

a=1, b=- 4 e c=3D=4-4 .1.3=16-12=4 , e V4=2

logo

x=(4+-2)/2logox1=(4+2)/2=3 e x2=(4-2)/2=1

A equao do 2 tem duas razes.Veja que se substituir 1 e 3 em:x-4x+3=0 fica

1-4.1+3=1-4+3=-3+3=0e

3-4.3+3=9-12+3=-3+3=0Significando que, a igualdade se verificou.

Equaes algbricas- Sendo P(x) um polinmio em C , chama-se equao algbrica igualdade

P(x) = 0 . Portanto, as razes da equao algbrica , so as mesmas do polinmio P(x) . O graudo polinmio , ser tambm o grau da equao .Exemplo: 3x4- 2x3+ x + 1 = 0 uma equao do 4 grau .Propriedades importantes :

P1 - Toda equao algbrica de grau n possui exatamente n razes .Exemplo: a equao x3- x = 0 possui 3 razes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos entoque o conjunto verdade ou conjunto soluo da equao dada S = {0, 1, -1}.

P2 - Se o nmero complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , ento o conjugado a - bi tambmser raiz .

Exemplo: qual o grau mnimo da equao P(x) = 0, sabendo-se que trs de suas razes so osnmeros 5, 3 + 2i e 4 - 3i.Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i so tambm razes. Logo, porP1, conclumos que o grau mnimo de P(x) igual a 5, ou seja, P(x) possui no mnimo 5 razes.

P3 - Se a equao P(x) = 0 possuir k razes iguais a m ento dizemos que m uma raizde grau de multiplicidade k .

Exemplo: a equao (x - 4)10= 0 possui 10 razes iguais a 4 . Portanto 4 raiz dcupla ou demultiplicidade 10 .Outro exemplo: a equao x3= 0, possui trs razes iguais a 0 ou seja trsrazes nulas com ordem de multiplicidade 3 (razes triplas).A equao do segundo grau x2- 8x +16 = 0, possui duas razes reais iguais a 4, (x = x = 4). Dizemos ento que 4 uma raiz dupla

ou de ordem de multiplicidade dois. P4 - Se a soma dos coeficientes de uma equao algbrica P(x) = 0 for nula , ento a

unidade raiz da equao (1 raiz).Exemplo: 1 raiz de 40x5-10x3+ 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes igual a zero

P5 - Toda equao de termo independente nulo , admite um nmero de razes nulasigual ao menor expoente da varivel .

Exemplo: a equao 3x5+ 4x2= 0 possui duas razes nulas .A equao x100+ x12= 0, possui 100 razes, das quais 12 so nulas!Determinao de razes - Sep(x) for um polinmio de grau n 1 ou seja ana0, a1, ... , an, reaisou complexos, com an 0 , entop(x) tem pelo menos um zero, ou seja um C tal que

p( ) = 0 .

Teorema de Bolzano - Seja p(x) um polinmio com coeficientes reais x[a,b].Sep(a) .p(b) < 0 um nmero impar de razes reais em [a,b] .

Sep(a) .p(b) > 0 um nmero par ou no existe razes reais em [a,b] . Mtodo de Birge-Vieta- O mtodo de Birge-Vieta uma variante do mtodo de


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Newton-Raphson e utilizado associado ao Mtodo de Horner para o clculo de valoresde polinmios se torna computacionalmente mais eficiente. Sep(x) for um polinmio,o processo iterativo do

Mtodo de Newton-Raphson passa a ser:

Xk-1= Xk-

Onde:R o resta da diviso

R o resta da diviso

Como viu-se os valores de R e podem ser calculados de forma eficiente atravs do

Mtodo de Horner.Exemplo : Obter utilizando o Mtodo de Birge-Vieta uma raz dex3+ 2x1, com = 0 o

x e trsiteraes, utilizando o Mtodo de Horner.

p(x) = ((x + 0)x + 2)x 1Primeira Iterao

Segunda Iterao

Terceira Iterao


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Exemplo:O preo vista (PV) de uma mercadoria R$ 300,00, que pode ser financiado com umaentrada (E) de R$ 100,00 e mais 04 (p) prestaes mensais de R$ 80,00 (PM). Qual a taxade juros (J).

=

ExemploDetermine a raiz do polinmio com = 0 o x e utilizando o Mtodode Birge-Viete e o Mtodo de Horner.

p(x) = 2,5x5 3,5x4 + 0x3 + 0x 2 + 0x +1 = 0

Mtodo de Lin- O mtodo de Newton-Raphson pode tambm ser utilizado no clculode razes complexas. Basta mudar o algoritmo para aritmtica complexa e iniciar comuma soluo inicial complexa.

Relao entre os coeficientes e as razes de uma equao algbrica - So as relaesexistentes entre os coeficientes e as razes de uma equao algbrica .Para uma equao do 2 grau , da forma ax2+ bx + c = 0 , j conhecemos as seguintesrelaes entre os coeficientes e as razes x1e x2:

x1+ x2= -

e x1. x2=

.

Para uma equao do 3 grau , da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 , sendo x1 , x2 e x3 asrazes , temos as seguintes relaes de Girard :

x1+ x2+ x3= -

x1.x2 + x1.x3+ x2.x3=

x1.x2.x3= -

Para uma equao do 4 grau , da forma ax4+ bx3+ cx2+ dx + e = 0 , sendo as razesiguais a x1, x2, x3e x4, temos as seguintes relaes de Girard :


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x1+ x2+ x3+ x4= -

x1.x2+ x1.x3+ x1.x4+ x2.x3+ x2.x4+ x3.x4=

x1.x2x3+ x1.x2.x4+ x1.x3.x4+ x2.x3.x4= -

x1.x2.x3.x4=

NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( - ) , tornando fcil amemorizao das frmulas

Inequaes de 1 e 2 graus- Uma inequao do 1 grauna incgnitax qualquer expressodo 1 grauque pode ser escrita numa das seguintes formas:

ax + b > 0;ax + b < 0;ax + b 0;ax + b 0.

Onde a, b so nmeros reais com a 0.

Exemplos:-2x + 7 > 0x10 02x + 5 012x < 0

Resolvendo uma Inequao de 1 grau - Uma maneira simples de resolver uma equao do1grau isolarmos a incgnitaxem um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:

Exemplo1: Resolva a inequao -2x + 7 > 0.Soluo:

-2x > -7Multiplicando por (-1)

2x < 7x < 7/2

Portanto a soluo da inequao x < 7/2.Exemplo2: Resolva a inequao 2x6 < 0.

Soluo:2x < 6x < 6/2x < 3

Portanto a soluo da inequao e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequao do 1 graupor meio do estudo do sinal de uma funodo 1 grau, com o seguinte procedimento:1.Iguala-se a expresso ax + ba zero;2. Localiza-se a raiz no eixox;3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

Exemplo1: Exemplo2:


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Resolvendo Inequao de 2 grau- Uma inequao do 2 grauna incgnitax uma expressodo 2 grauque pode ser escrita numa das seguintes formas:

Para resolvermos uma inequao do Segundo grau devemosestudar o sinal da funocorrespondente equao.

1. Igualar a sentena do 2 grau a zero;2. Localizar e (se existir) as razes da equao no eixox.3. Estudar o sinal da funo correspondente, tendo-se como possibilidades:

a > 0 a < 0

Exemplo1: Resolva a inequao -x + 4 0.Soluo:

-x + 4 = 0.x4 = 0.

x1= 2 x2= -2

b) Funo: O conceito de uma funo uma generalizao da noo comum de "FrmulaMatemtica". Funes descrevem relaes matemticas especiais entre dois objetos,xey=f(x). O objetox chamado o argumento ou domnio da funofe o objeto y que dependedex chamado imagem dexpelaf.

A relao expressa por y = f(x).

O conjunto de valores de x dito domnio da funo.

As variveis x e y so ditas, respectivamente, independente e dependente.Funo: uma relao entre dois conjuntos em que, a cada valor do primeiro, correspondesomente umvalor no segundo.Domnio:o conjunto domnio o conjunto de partida de uma funo, pois todos os valores departida tm que fazer parte do domnio. Se o conjunto de partida for um subconjunto, por

exemplo, do conjunto dos nmeros reais ( ) a sua definio obrigatria.Imagem:O conjunto imagem o conjunto de chegada que tambm deve ser definido como noitem anterior

Por exemplo, na funo: f(x)=

o valor de x no pode ser igual a zero (j que no existe diviso

de nmero real por zero. Logo a sua funo domnio : D (f) = { x E | x 0 }
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Dada a funo , tem-se o conjunto domnio:

O conjunto imagem:

O grfico de uma funo linear uma reta e como dois pontos j so suficientes paradetermin-la, tem-se:x = 0, y = 4x = 4, y = 0

Dica: O uso do zero no valor do x e do y facilita a obteno do grfico.

Crescimento e decrescimento- As funes que so expressas pela lei de formao y = ax + bouf(x) = ax + b, onde ae bpertencem ao conjunto dos nmeros reais, com a 0, soconsideradas funes do 1 grau. Esse tipo de funo pode ser classificada de acordo com ovalor do coeficiente a, se a > 0, a funo crescente, caso a < 0, a funo se torna decrescente.Vamos analisar as seguintes funesf(x) = 3xef(x) = 3x, com domnio no conjunto dosnmeros reais, na medida em que os valores de x aumentam.

Exemplo1: f(x) = 3xNote que medida que os valores dex aumentam,os valores de youf(x)tambm aumentam, nessecaso dizemos que a funo crescentee a taxa de

variao da funo igual a 3.

Exemplo2: f(x) = -3x

Nessa situao, medida que os valores dex aumentam, osvalores de youf(x) diminuem, ento a funo passa a serdecrescentee a taxa de variao tem valor igual a3.Ento, a funo crescenteno conjunto dos nmeros reais (R), quando os

valores de x1e x2, sendo x1< x2resultar em f(x1) < f(x2). No caso da funodecrescenteno conjunto dos reais, teremos x1< x2resultando em f(x1) > f(x2).

Funes reais, funo afim e funo quadrtica- Chama-sefuno quadrtica, oufunopolinomial do 2 grau, qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2+ bx+ c, onde a, b e c so nmeros reais e a 0.Vejamos alguns exemplos de funo quadrticas: f(x) = 3x2- 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 ec = 1 f(x) = x2-1, onde a = 1, b = 0 ec = -1 f(x) = 2x2+ 3x + 5, onde a = 2, b = 3 ec = 5

f(x) = - x2

+ 8x, onde a = 1, b = 8 ec = 0 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 ec = 0


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GrficoO grfico de uma funo polinomial do 2 grau, y = ax2+ bx + c, com a 0, uma curva

chamada parbola.Exemplo:

Vamos construir o grfico da funo y = x2+ x:

Primeiro atribumos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, emseguida, ligamos os pontos assim obtidos.

Observao:Ao construir o grfico de uma funo

quadrtica y = ax2+ bx + c, notaremossempre que:se a > 0, a parbola tem aconcavidade voltada para cima;se a < 0, a parbola tem a

concavidade voltada para baixo;

Zero e Equao do 2 GrauChama-se zeros ou razes da funo polinomial do 2 grau f(x) = ax2+ bx + c, a 0, os

nmeros reais x tais quef(x) = 0.Ento as razes da funof(x) = ax2+ bx + cso as solues da equao do 2 grau ax2+ bx +

c = 0, as quais so dadas pela chamada frmula de Bhaskara:

Temos:

ObservaoA quantidade de razes reais de uma funo quadrtica depende do valor obtido para o

radicando , chamado discriminante, a saber: quando positivo, h duas razes reais e distintas; quando zero, h s uma raiz real; quando negativo, no h raiz real.

Funo exponencial e logartmica-Toda relao de dependncia, onde uma incgnita dependedo valor da outra, denominada funo. A funo denominada como exponencial possui essa

relao de dependncia e sua principal caracterstica que a parte varivel representada por xse encontra no expoente. Observe:

y = 2 xy = 3 x + 4y = 0,5 xy = 4 x

A lei de formao de uma funo exponencial indica que a base elevada ao expoentexprecisaser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notao:

f: RR tal que y = a x, sendo que a > 0 e a 1.


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Uma funo pode ser representada atravs de um grfico, e no caso da exponencial, temosduas situaes:a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os grficos so constitudos respeitando as

condies propostas:

Uma funo exponencial utilizada na representao de situaes onde a taxa de variao considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros

compostos, no decaimento radioativo de substncias qumicas ..

Exemplo1

: (Unit-SE) Uma determinada mquina industrial se deprecia de tal forma que seuvalor, t anos aps a sua compra, dado por v(t) = v0 * 20,2t, em que v0 uma constantereal. Se, aps 10 anos, a mquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foicomprada.

Temos que v(10) = 12 000, ento:v(10) = v0 * 20,2*10

12 000 = v0 * 2212 000 = v0 * 1/412 000 : 1/ 4 = v0v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000A mquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

Exemplo2: (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um pas seja de 500bilhes de dlares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual ser o PIB do pasem 2023, dado em bilhes de dlares? Use 1,0320 = 1,80.

Temos a seguinte funo exponencialP(x) = P0 * (1 + i)t

P(x) = 500 * (1 + 0,03)20P(x) = 500 * 1,0320

P(x) = 500 * 1,80P(x) = 900

O PIB do pas no ano de 2023 ser igual a R$ 900 bilhes.Funo exponencial e logartmica - Toda funo definida pela lei de formao f(x) = logax, coma 1 e a > 0, denominada funo logartmica de base a. Nesse tipo de funo o domnio representado pelo conjunto dos nmeros reais maiores que zero e o contradomnio, oconjunto dos reais.

Exemplos de funes logartmicas:f(x) = log2xf(x) = log3x

f(x) = log1/2xf(x) = log10xf(x) = log1/3xf(x) = log4x

f(x) = log2(x1)f(x) = log0,5x


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Determinando o domnio da funo logartmicaDada a funo f(x) = (x2)(4x), temos as seguintes restries:1) 4x > 0 x >4 x < 42) x2 > 0 x > 23) x2 1 x 1+2 x 3

Realizando a interseco das restries 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x 10 < a < 1

Para a > 1, temos o grfico da seguinte forma:Funo crescente

Para 0 < a < 1, temos o grfico da seguinte forma:Funo decrescente:

Funes trigonomtricas seno, cosseno e tangente - A trigonometria considerada uma dasreas mais importantes da Matemtica, possui diversas aplicaes nos estudos relacionados Fsica, Engenharia, Navegao Martima e Area .. Os estudos iniciais sobre a trigonometria soassociados ao grego Hiparco, que relacionou os lados e os ngulos de um tringulo retngulo epossivelmente construiu a primeira tabela de valores trigonomtricos, por isso muitos oconsideram o pai da trigonometria. Os estudos trigonomtricos no tringulo so embasadosem trs relaes fundamentais: seno, cosseno e tangente.

No tringulo, os ngulos de 30, 45 e 60 so considerados notveis, pois esto presentes emdiversos clculos. Por isso seus valores trigonomtricos correspondentes so organizados emuma tabela, veja:


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So igualdades que no so verdadeiras para qualquer valor que x e y assumirem, assim vejaas verdadeiras igualdades para o clculo da adio ou diferena de arcos do seno, cosseno etangente.

Funo Sobrejetora: se, e somente se, o seu conjunto imagem especificadamenteigual ao contradomnio, Im = B. Por exemplo, se temos uma funof : ZZdefinidapor y = x +1 sobrejetora, pois Im = Z. b

Funo Injetora: uma funo injetora se os elementos distintos do domnio tiveremimagens distintas. Por exemplo, dada a funof : AB, tal quef(x) = 3x.Exemplo2:

Funo Bijetora: uma funo bijetora se ela injetora e sobrejetora. Por exemplo, afunof : AB, tal quef(x) = 5x + 4.Exemplo3:

Funo Inversa: uma funo ser inversa se ela for bijetora. Sef : AB consideradabijetora ento ela admite inversaf : BA. Por exemplo, a funo y = 3x-5possuiinversa y = (x+5)/3. Podemos estabelecer a seguinte diagramao:

Note que a funo possui relao deAB e de BA, ento podemos dizer que ela inversa.

c) Polinmios: operaes e propriedades - Polinmio uma expresso algbrica composta pordois ou mais monmios. Na diviso de polinmios, utilizamos duas regras matemticas

fundamentais: realizar a diviso entre os coeficientes numricos e diviso de potncias demesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).


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Quando trabalhamos com diviso, utilizamos tambm a multiplicao no processo. Observe oseguinte esquema:

Vamos dividir um polinmio por um monmio, com o intuito de entendermos o processooperatrio. Observe:Exemplo1:

Caso queira verificar se a diviso est correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, comvistas a obter o dividendo como resultado.

Verificando quociente * divisor + resto = dividendo4x * (3x + x2) + 0

12x + 4x8xCaso isso ocorra, a diviso est correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinmio por

polinmio. Veja:Exemplo2:

Verificando quociente * divisor + resto = dividendo

(2x5) * (5x9) + (5)10x18x25x + 45 + (5)

10x43x + 45510x43x + 40

Caso isso ocorra, a diviso est correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinmio porpolinmio. Veja:

Exemplo3:

Verificando quociente * divisor + resto = dividendo(3x + x1) * (2x4x + 5) + 0

6x412x + 15x + 2x4x + 5x2x + 4x56x410x + 9x + 9x5


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Equaes polinomiais- Equao polinomial ou algbrica toda equao da forma p(x) = 0, emque p(x) um polinmio:

p(x) = anxn+ an-1xn-1+ ... + a1x+ a0de grau n, com n 1. Veja alguns exemplos:

x4+ 9x210x + 3 = 010x62x5+ 6x4+ 12x3x2+ x + 7 = 0

x

8

x

6

6x + 2 = 0x106x2+ 9 = 0As razes de uma equao polinomial constituem o conjunto soluo da equao. Para asequaes em que o grau 1 ou 2, o mtodo de resoluo simples e prtico. Nos casos emque o grau dos polinmios 3 ou 4, existem expresses para a obteno da soluo.

Teorema Fundamental da lgebra (TFA)Toda equao polinomial p(x) = 0, de grau n onde n 1, admite pelo menos uma raiz

complexa.Exemplo1:

Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 a raiz da equao:

2x

4

+ kx

3

5x

2

+ x15 = 0Se 2 raiz da equao, ento temos:2(2)4+ k(2)35(2)2+ 215 = 02*16 + k*85*4 + 215 = 0

32 + 8k20 + 215 = 08k + 3435 = 0

8k1 = 08k = 1k = 1/8

Temos que o valor do coeficiente k

Exemplo2:Determine o valor de m, sabendo que3 raiz da equao: mx3+ (m + 2)x23xm8 = 0.Temos que:

m(3)3+ (m + 2)(3)23(3)m8 = 0m(27) + (m + 2)(9) + 9m8 = 027m + 9m + 18 + 9m8 = 0

27m + 9mm = 818919m =19

m = 1O valor de m 1.

Relao entre coeficientes e razes de polinmios- Consideremos a equao de 2 grau.ax2+ bx + c = 0 a 0 (1)

Onde a, b e c so coeficientes complexos para todo x EC.Como a equao (1) possui duas razes ( em C ), ou seja, x1e x2, ento pelo Teorema daDecomposio, temos :

a( x x1). ( x-x2) = 0 a 0 (2)

De (1) e (2) temos a identidade:ax2+ bx + c = a ( x-x1)( x-x2) a 0

Dividindo ambos os membros por a, temos:

x2+

x +

= ( x-x1)( x-x2) a 0


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Dividindo ambos os membros por a, temos:

x2+

x +

= ( x-x1)( x-x2) a 0

Aplicando a distributiva no 2 membros, temos:

x2+

x +

= x2( x1+x2) x+x1.x2 a 0

E, da identidade de polinmios, vem que :

x1+x2= -

e x1.x2 =

Que correspondem s relaes de Girard para a equao do 2 grau.

3) Geometria a) Geometria plana, segmentos, ngulos - A Geometria est apoiada sobre alguns

postulados, axiomas, definies e teoremas, sendo que essas definies e postuladosso usados para demonstrar a validade de cada teorema. A Geometria permite que

faamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexoscomo: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ngulos,mdias, centros de gravidade de objetos, etc.Polgono- uma figura plana formadapor trs ou mais segmentoschamados lados de modo que cada lado tem interseocom somente outros dois lados prximos, sendo que tais intersees so denominadasvrtices do polgono e os lados prximos no so paralelos. A regio interior aopolgono muitas vezes tratada como se fosse o prprio polgono.

Polgono convexo- um polgono construdo de modo que os prolongamentos doslados nunca ficaro no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a umpolgono convexo, ento todo o segmentotendo estes dois pontos como

extremidades, estar inteiramente contido no polgono. Um polgono dito noconvexo se dados dois pontos do polgono, o segmentoque tem estes pontos comoextremidades, contiver pontos que esto fora do polgono.

Polgono No. de lados Polgono No. de lados

Tringulo 3 Quadriltero 4

Pentgono 5 Hexgono 6

Heptgono 7 Octgono 8

Enegono 9 Decgono 10

Undecgono 11 Dodecgono 12

Polgono no convexo- Um polgono dito no convexo se dados dois pontosdo polgono, o segmentoque tem estes pontos como extremidades, contiverpontos que esto fora do polgono.


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Tringulo - Considere as seguinte figura :

QuadrilteroConsidere a seguinte figura :

PolgonosConsidere as seguintes figuras :

(Permetros e reas de figuras planas)


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Congruncia e semelhana de tringulos- Temos que dois tringulos so congruentes:Quando seus elementos (lados e ngulos) determinam a congruncia entre os tringulos.

Quando dois tringulos determinam a congruncia entre seus elementos.Casos de congruncia:

1 LAL (lado, ngulo, lado): dois lados congruentes e ngulos formados tambm congruentes.

2 LLL (lado, lado, lado): trs lados congruentes.

3 ALA (ngulo, lado, ngulo): dois ngulos congruentes e lado entre os ngulos congruente.

4 LAA (lado, ngulo, ngulo): congruncia do ngulo adjacente ao lado, e congruncia dongulo oposto ao lado.

Atravs das definies de congruncia de tringulos podemos chegar s propriedadesgeomtricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse mtodo damos o nome dedemonstrao.Dizemos que em todo tringulo issceles, os ngulos opostos aos lados congruentes socongruentes. Os ngulos da base de um tringulo issceles so congruentes.

Circunferncia- o conjunto de todos os pontos de um plano eqidistantes de um ponto fixo,desse mesmo plano, denominado centro da circunferncia.A circunferncia possui caractersticas no comumente encontradas em outras figuras planas.Crculo (ou disco) o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distncia a um ponto fixo0 menor ou igual que uma distncia rdada. tambm a nica figura que simtrica emrelao a um nmero infinito de eixos de simetria.

Algumas definies Raio - Raio de uma circunferncia (ou de um crculo) um segmento de

reta com uma extremidade no centro da circunferncia e a outraextremidade num ponto qualquer da circunferncia.

Arco - uma parte da circunferncia limitada por dois pontos, que sechamam extremidades do arco.


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Neste tringuloABC,vamos calcular a, h, me n:

Seja uma circunferncia de centro O sobre a qual marcamos dois pontos distintos, A e B. Acada uma das partes em que a circunferncia fica dividida chamamos arco de circunferncia.

Trigonometria num tringulo qualquer, leis do seno e do co-seno- Os problemas envolvendotrigonometria so resolvidos atravs da comparao com tringulos retngulos .. algumassituaes envolvem tringulos acutngulos ou tringulos obtusngulos. Nesses casosnecessitamos do auxlio da lei dos senos ou dos cossenos.

Lei dos senosA lei dos senos estabelece relaes entre as medidas dos lados com os senos dosngulos opostos aos lados. Observe:

Exemplo1:No tringulo a seguir, determine o valor dos segmentos x e y.

Aplicando a lei dos senos, temos:
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTnxo2-3YI/AAAAAAAAANs/teEPmduXuug/s1600-h/tri1.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTnxo2-3YI/AAAAAAAAANs/teEPmduXuug/s1600-h/tri1.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTnxo2-3YI/AAAAAAAAANs/teEPmduXuug/s1600-h/tri1.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTnxo2-3YI/AAAAAAAAANs/teEPmduXuug/s1600-h/tri1.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTnxo2-3YI/AAAAAAAAANs/teEPmduXuug/s1600-h/tri1.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTnxo2-3YI/AAAAAAAAANs/teEPmduXuug/s1600-h/tri1.jpg


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Lei dos cossenosEla nos permite trabalhar com a medida de dois segmentos e a medida de um ngulo.Dessa forma, se dado um tringulo ABC de lados medindo a, be c, temos:

Exemplo2:Determine o valor do lado oposto ao ngulo de 60. Observe figura a seguir:

b) Geometria espacial: Por um ponto passa uma nica reta paralela a uma reta dada. Na figuraabaixo, dada a reta r, temos: P s, s // r, s nica.

Duas retas distintas so paralelas quando so coplanares e no tm ponto comum.

Algumas propriedades do paralelismo1 propriedade - Quando dois planos distintos so paralelos, qualquer reta de um deles paralela ao outro.

2 propriedade - Quando uma reta paralela a um plano, ela paralela a pelo menos uma retadesse plano.

3 propriedade- Quando uma reta no est contida num plano e paralela a uma reta doplano, ela paralela ao plano.


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4 propriedade- Se um plano intersecta dois planos paralelos, as interseces so duas retasparalelas.

5 propriedade- Quando um plano contm duas retas concorrentes, paralelas a outro plano,ento os planos considerados so paralelos.

Retas perpendiculares Duas retas r e s so perpendiculares se, e somente se, so concorrentes e formam

ngulos retos.

Indicamos se so paralelas da seguinte forma:

Reta e plano perpendiculares - Uma reta concorrente com um plano, num determinado ponto, perpendicular ao plano quando perpendicular a todas as retas do plano que passam peloponto determinado.

Indicaremos que r perpendicular a por r ou por r.Se uma reta a perpendicular a duas retas, b e c , concorrentes de um plano , ento ela

perpendicular ao plano.

Planos perpendiculares - Dois planos so perpendiculares quando um deles contm uma retaperpendicular ao outro.Indicamos que um plano perpendicular a um plano pelo smbolo ou .


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reas e volumes de prismas, pirmides, cilindros, cones e esferas

Pirmide -

rea da BaseA rea da base de uma pirmide depende da rea do polgono em questo, sendo calculada

pela expresso:

onde P: permetro do polgono e a: aptema do polgono.

rea lateral a soma de todas as reas laterais.

rea totalSoma da rea lateral com a rea da base.

At = Al + Ab

VolumeO volume de uma pirmide dado pela expresso:

onde Ab: rea da base (depende do polgono) e h: altura da pirmide.

Esfera - Alguns conceitos bsicos esto relacionados esfera, se considerarmos a superfcieesfrica destacamos os seguintes elementos bsicos:

Plos Equador

Paralelo

Meridiano

rea de uma superfcie esfrica - Temos que a rea de uma superfcie esfrica de raio r igual a:

Volume da esfera - Por ser considerada um slido geomtrico, a esfera possui volumerepresentado pela seguinte equao:


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Cone - Elementos do cone

g: geratriz do coneh: altura do cone

r: raio da basev: vrtice

(Uma importante relao no cone dada por: r + h = g, observe a figura:)

rea da base- Por ser uma circunferncia, a rea da base de um cone dada pela seguinteexpresso:

rea da lateral- A rea lateral do cone dada pela seguinte expresso:

rea total- dada somando-se a rea lateral e a rea da base.

Volume do cone- O volume do cone dado pelo produto da rea da base pela altura dividopor trs.

Cilindro - O cilindro que possui as sees meridianas quadradas chamado de cilindroequiltero. No cilindro equiltero a altura igual ao dimetro da base:

rea Lateral e rea total de um cilindro circular reto - A superfcie de um cilindro reto de alturah e raio da base r equivalente reunio de uma regio retangular, de lados 2r e h, com dois

crculos de raio r. Observe a planificao do cilindro.

A rea do retngulo equivalente superfcie lateral do cilindro a rea lateral A do cilindro,ou seja:


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A rea total At do cilindro igual soma da rea lateral A com as reas das duas bases, ou

seja:

Volume do cilindro circular- O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r

igual ao produto da rea da base, r2, pela altura h, isto :

Prisma - Um prisma todo poliedro formado por uma face superior e uma face inferiorparalelas e congruentes (tambm chamadas de bases) ligadas por arestas. Formulas:

rea total = rea lateral + rea da base.rea lateral = Permetro da base x altura.Volume do prisma = rea da base x altura

c) Geometria analtica,plano Cartesiano e coordenadas de pontos do plano - O Sistema de

Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano, foi criado por RenDescartes com o objetivo de localizar pontos. Ele formado por dois eixos perpendiculares:

um horizontal e outro vertical que se cruzam na

origem das coordenadas. O eixo horizontal

chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada

(y). Os eixos so enumerados compreendendo o

conjunto dos nmeros reais. Observe a seguir uma

figura representativa do plano cartesiano:

As coordenadas cartesianas so representadaspelos pares ordenados (x ; y). Em razo dessa ordem, devemos localizar o ponto observandoprimeiramente o eixo x e posteriormente o eixo y. Qualquer ponto que no se encontrar sobreos eixos, estar localizado nos quadrantes,veja:

1 quadrante = x > 0 e y > 02 quadrante = x < 0 e y > 03 quadrante = x < 0 e y < 04 quadrante = x > 0 e y < 0

Localizando pontos no Plano Cartesiano:


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Distncia entre dois pontos - Observe os pontos A e B no plano cartesiano, iremos estabeleceratravs de mtodos algbricos uma frmula geral para calcular a distncia entre pontos.

Ao analisarmos a construo acima, podemos observar o tringulo retngulo ABC, sendo que adistncia entre os pontos A e B nada mais que a hipotenusa do tringulo. Sabemos que otringulo retngulo admite a relao de Pitgoras

Ao aplicarmos Pitgoras teremos a seguinte situao:Cateto: segmento AC Cateto: segmento BC

Hipotenusa: segmento AB (distncia entre os pontos)

Ponto Mdio de um Segmento - Dados os pontos A e B vamos analisar a ilustrao abaixo edemonstrar o ponto mdio entre eles, sugerindo uma frmula geral para esse tipo de clculo.

Podemos notar que no eixo x a distncia entre e so iguais e no eixo y adistncia entre e so iguais.

Podemos concluir que:

Para constatarmos se trs pontos esto alinhados, podemos montar a seguinte matriz doscoeficientes:

x1 y1 1

x2 y2 1x3 y3 1

=0

Calculando o determinante e obtendo igualdade 0, podemos afirmar que os pontos estoalinhados.


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Permutaes- As permutaes simples dos elementos P, Q e R so: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ,RQP. Para determinarmos o nmero de agrupamentos de uma permutao simples utilizamosa seguinte expresso P = n!.

Exemplo 1:Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?Resoluo:Podemos variar as letras de lugar e formar vrios anagramas, formulando um caso depermutao simples.

Exemplo 2:De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria,Paula e Silvia para a produo de um lbum de fotografias promocionais?Resoluo:Note que o princpio a ser utilizado na organizao das modelos ser o da permutao simples,pois formaremos agrupamentos que se diferenciaro somente pela ordem dos elementos.

Portanto, o nmero de posies possveis 120.

Exemplo 3: De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seismulheres:a) Em Qualquer OrdemResoluo :Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos

b) Iniciando Com Homem e Terminando Com Mulher.

ResoluoAo iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:Seis homens aleatoriamente na primeira posio.Seis mulheres aleatoriamente na ltima posio.

Combinaes Simples - Combinaes Simples de n elementos tomados p a p so ossubconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.Indica-se por Cn,p , Cnp o nmero total de combinaes de n elementos tomados p a p

e calcula-se por C n,p =(Observao: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos no importa.)


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Exemplo:

b) Experimentos aleatrios:Espao Amostral - o conjunto estabelecido por todos os possveisresultados de um experimento.

Exemplo1: No lanamento de um dado, o espao amostral representado pelas fasesenumeradas ( 1, 2, 3, 4, 5, 6).Em um baralho de cartas, o espao amostral envolve 52 cartas.

Eventos- a representao de um subconjunto do espao amostral. Por exemplo, em relaoaos espaos amostrais citadas anteriormente, o numero de eventos so:

Dado: Seis eventosBaralho de Cartas: Cinquenta e dois eventos

Probabilidade de um evento - Para determinarmos a probabilidade de algo acontecer, bastarealizarmos a diviso entre o numero de eventos favorveis e o numero total de resultadospossveis.Vamos determinar a probabilidade de no lanamento de um dado ocorrer o numero 6.Na face do dado temos exatamente um lado com o numero 6. Ao lanarmos o dado, a chancede obtermos o numero indicado de 1 em 6.

No baralho de cartas, temos 52 cartas divididas em 4 naipes: copas, espadas, paus e outro.Dessa forma, temos 13 de cartas de cada naipe. Caso queira retirar uma carta ao acaso, aprobabilidade da carta ser de copas de 13 em 52, isso corresponder 25% de chance, pois:

Probabilidade de um evento; noes de probabilidade em espaos amostrais finitos- Seja Uum espao amostral finito e equiprovvel e A um determinado evento ou seja, umsubconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrncia do evento A ser calculada pela frmula

Onde:n (A) = nmero de elementos de A

n(U) = nmero de elementos do espao de prova U.

c) Noes de estatstica descritiva - o ramo da estatstica que se preocupa apenas emdescrever os dados observados da amostra, sem se preocupar em fazer previses sobre osparmetros do universo. Na estatstica descritiva temos a coleta, organizao e descrio dosdados.

Levantamento de Dados e Tabelas-


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Distribuio de freqnciasA Distribuio de Freqncia uma disposio de dadosnumricos, de acordo com o tamanho ou magnitude dos mesmos.Neste tipo de srie no variam local, tempo e o fato.A distribuio de freqncia pode ser apresentada por va-lor (nico) ou por grupo de escalares(classes), discriminando a freqncia dos mesmos.

Exemplo1:Distribuio de freqncia por valor:

Grficos estatsticos: interpretao-


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Medidas de posio-


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Documents

Apostila EsSA - Matematica