Embed Size (px)
Citation preview
APOSTILA DE ESTATÍSTICA
Esta apostila tem a finalidade de apresentar conhecimentos de estatística para facilitar
o aprendizado em sala de aula e reproduzir os textos e imagens apresentados nas aulas
presenciais e com isso permitir que o tempo de aula presencial seja exclusivamente para o
aluno realizar atividades de raciocínio, evitando-se assim que o aluno tenha que copiar do
quadro negro integralmente os textos apresentados pelo professor.
As conclusões e observações do aluno poderão ser anotadas diretamente na apostila.
Os exercícios poderão ser resolvidos nesta mesma apostila e com isso o aluno poderá ter uma
fonte de consulta melhor para a preparação para as avaliações durante o ano.
2
SUMÁRIO
FORMULÁRIO DE ESTATÍSTICA .................................................................................... Pg 3
1. INTRODUÇÃO...................................................................................................................... Pg 4
2. CONCEITOS INICIAIS....................................................................................................... Pg 6
3. VARIÁVEIS.......................................................................................................................... Pg 7
4. POPULAÇÃO E AMOSTRA.............................................................................................. Pg 8
5. SÉRIES ESTATÍSTICAS..................................................................................................... Pg 9
6. APRESENTAÇÃO DE DADOS....................................................................................... Pg 10
7. ARREDONDAMENTO DE DADOS................................................................................ Pg 11
8. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS............................................................................................ Pg 12
9. ☺DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊCIA............................................................................. Pg 12
.
10. MEDIDAS DE POSIÇÃO................................................................................................. Pg 16
11. ☺MEDIDAS DE SEPARATRIZES................................................................................. Pg 23
12. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE.................................................... Pg 24
13.☺ ANÁLISE COMBINATÓRIA (CONTAGEM): ......................................................... Pg 31
14. ☺PROBABILIDADE CONJUNTA: ............................................................................... Pg 38
15. ☺ DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE (VARIÁVEL DISCRETA): ................. Pg 51
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS........................................................................................... Pg 57
3
FORMULÁRIO DE ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA:
Média Mediana
Com nº par de elementos Com nº impar de elementos:
MEDIDAS DE DISPERSÃO:
Variância Desvio Padrão
ANÁLISE COMBINATÓRIA (CONTAGEM):
PFC Combinação Arranjo Permutação
n = nº de elementos
Combinados
n = nº de elementos Combinados k = nº de elementos agrupados
n = nº de elementos Arranjados k = nº de elementos agrupados
n= nº de elementos permutados n1 = nº de vezes que o 1º elemento repete n2 = nº de vezes que o 2º elemento repete, etc
PROBABILIDADE:
Elementar ou Simples Eventos quaisquer Eventos Mutuamente Excludentes
Eventos Complementares Eventos Independentes Eventos Dependentes (Condicional)
ou
ou
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE: (VARIÁVEL ALEATÓRIA X)
Média Variância Desvio Padrão
ou .
ou
.
4
1. INTRODUÇÃO1
1. O QUE É ESTATÍSTICA?
O que modernamente se conhece como Ciências Estatísticas, ou simplesmente Estatística, é
um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que entre outros tópicos envolve o planejamento do
experimento a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, a inferência, o processamento, a análise
e a disseminação das informações.
O desenvolvimento e o aperfeiçoamento de técnicas estatísticas de obtenção e análise de
informações permite o controle e o estudo adequado de fenômenos, fatos, eventos e ocorrências em
diversas áreas do conhecimento. A Estatística tem por objetivo fornecer métodos e técnicas para
lidarmos, racionalmente, com situações sujeitas a incertezas.
2. DESDE A ANTIGUIDADE
Apesar da Estatística ser uma ciência relativamente recente na área da pesquisa, ela remonta
à antiguidade, onde operações de contagem populacional já eram utilizadas para obtenção de
informações sobre os habitantes, riquezas e poderio militar dos povos. Após a idade média, os
governantes na Europa Ocidental, preocupados com a difusão de doenças endêmicas, que poderiam
devastar populações e, também, acreditando que o tamanho da população poderia afetar o poderio
militar e político de uma nação, começaram a obter e armazenar informações sobre batizados,
casamentos e funerais. Entre os séculos XVI e XVIII as nações, com aspirações mercantilistas,
começaram a buscar o poder econômico como forma de poder político. Os governantes, por sua
vez, viram a necessidade de coletar informações estatísticas referentes a variáveis econômicas tais
como: comércio exterior, produção de bens e de alimentos.
3. ATÉ NOSSOS DIAS
Atualmente os dados estatísticos são obtidos, classificados e armazenados em meio magnético e
disponibilizados em diversos sistemas de informação acessíveis a pesquisadores, cidadãos e
organizações da sociedade que, por sua vez, podem utilizá-los para o desenvolvimento de suas
atividades. A expansão no processo de obtenção, armazenamento e disseminação de informações
estatísticas tem sido acompanhada pelo rápido desenvolvimento de novas técnicas e metodologias
de análise de dados estatísticos.
4. AS APLICAÇÕES DA ESTATÍSTICA
Grande parte das informações divulgadas pelos meios de comunicação atuais provém de pesquisas e
estudos estatísticos. Os índices da inflação, de emprego e desemprego, divulgados e analisados pela
mídia, são um exemplo de aplicação da Estatística no nosso dia a dia. O Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística - IBGE, ao qual a Escola Nacional de Estatísticas está vinculada, é o órgão
responsável pela produção das estatísticas oficiais que subsidiam estudos e planejamentos
governamentais no país.
5. UMA FERRAMENTA MULTIDISCIPLINAR
Os conceitos estatísticos têm exercido profunda influência na maioria dos campos do conhecimento
humano. Métodos estatísticos vêm sendo utilizados no aprimoramento de produtos agrícolas, no
desenvolvimento de equipamentos espaciais, no controle do tráfego, na previsão de surtos
epidêmicos bem como no aprimoramento de processos de gerenciamento, tanto na área
governamental como na iniciativa privada.
Na prática, a Estatística pode ser empregada como ferramenta fundamental em várias outras
ciências. Na área médica, por exemplo, a Estatística fornece metodologia adequada que possibilita
decidir sobre a eficiência de um novo tratamento no combate à determinada doença. A Estatística
1- Fonte: www.ence.ibge.gov.br
5
permite identificar situações críticas e, conseqüentemente, atuar em seu controle, desempenhando
papel crucial no estudo da evolução e incidência de uma doença como a AIDS. Na área tecnológica,
o advento da era espacial suscitou diversos problemas relacionados ao cálculo de posição de uma
astronave, cuja solução depende fundamentalmente de conceitos e teorias estatísticas mais
elaborados, considerando que estas informações, como sinais de satélite, são recebidas de forma
ruidosa e incerta.
6. UM CONHECIMENTO CUJA DEMANDA CRESCE DIA APÓS DIA
O crescente uso da Estatística vem ao encontro da necessidade de realizar análises e avaliações
objetivas, fundamentadas em conhecimentos científicos. As organizações modernas estão se
tornando cada vez mais dependentes de dados estatísticos para obter Informações essenciais sobre
seus processos de trabalho e principalmente sobre a conjuntura econômica e social.
As informações estatísticas são concisas, específicas e eficazes, fornecendo assim subsídios
imprescindíveis para as tomadas racionais de decisão. Neste sentido, a Estatística fornece
ferramentas importantes para que as empresas e instituições possam definir melhor suas metas,
avaliar sua performance, identificar seus pontos fracos e atuar na melhoria contínua de seus
processos.
7. O MERCADO DE TRABALHO
A diversidade de atuação é um dos grandes atrativos da Estatística, que pode promover a melhoria
da eficiência e também a solução de vários problemas práticos importantes em quase todas as áreas
do saber: das ciências naturais às sociais. Exemplificamos, a seguir, algumas das áreas em que a
atuação do estatístico adquire maior relevância, bem como as principais atribuições desse
profissional.
Indústria
No planejamento industrial, a atuação do estatístico começa nos estudos de
implantação de uma fábrica até a avaliação das necessidades de expansão industrial; na pesquisa e
desenvolvimento de técnicas, produtos e equipamentos; nos testes de produtos; no controle de
qualidade e quantidade; no controle de estoques; na avaliação de desempenho das operações; nas
análises de investimentos operacionais; nos estudos de produtividade; na previsão de acidentes de
trabalho; no planejamento de manutenção de máquinas, etc.
Área de Recursos Humanos
Na área de RH, o estatístico realiza pesquisa de compatibilização entre os
conhecimentos e habilidades dos empregados e as atividades desenvolvidas por eles; estuda os
salários , as necessidades de treinamento, assim como a avaliação dos treinamentos realizados;
propõe planos de avaliação de desempenho do quadro funcional; elabora planos de previdência
complementar e de fundos de pensão; avalia planos de saúde, etc.
Universidades e Instituições de Pesquisas
O estatístico pode atuar como docente, ministrando disciplinas relacionadas à Estatística, pesquisando e desenvolvendo novas metodologias de análise estatística para os mais
variados problemas práticos e teóricos. Pode, ainda, assessorar pesquisadores de outras áreas,
dando-lhes suporte científico para que consigam tomar decisões acertadas dentro da variabilidade
intrínseca de cada problema, auxiliando-os na escolha da metodologia científica a ser adotada, no
planejamento da pesquisa, na escolha qualificada dos dados, na análise das respostas, etc.
Área de Demografia
O estatístico estuda a evolução e as características da população; estabelece tábuas de
mortalidade; analisa os fluxos migratórios; estabelece níveis e padrões para testes clínicos; planeja e
realiza experimentos com grupos de controle, para avaliação de tratamentos; desenvolve estudos
sobre a distribuição e incidência de doenças, etc.
6
Área de Marketing e Análise de Mercado
O estatístico tem um perfil adequado para trabalhar na monitoração e análise de
mercado; nos sistemas de informações de marketing, na prospecção e avaliação de oportunidades;
na análise e desenvolvimento de produtos, nas decisões relativas a preços, previsão de vendas,
logística da distribuição e nas decisões de canais; no desenvolvimento e avaliação de campanhas
publicitárias, etc.
Área Financeira e Bancária
Na área financeira o estatístico pode atuar no departamento de seguros e análise
atuarial; na avaliação e seleção de investimentos, no estudo e desenvolvimento de modelos
financeiros; no desenvolvimento de informações gerenciais; na definição, análise e
acompanhamento de carteiras de investimentos; nas análises de fluxo de caixa; na avaliação e
projeção de indicadores financeiros; na análise das demonstrações contábeis; no desenvolvimento e
acompanhamento dos produtos e serviços financeiros.
2. CONCEITOS INICIAIS
1. INTRODUÇÃO:
Origem da palavra:
Estatística é uma palavra derivada de “Estado” e designa a análise de dados
sobre o Estado. A palavra foi proposta pela primeira vez no século XVII, em latim, por Schmeitzel
na Universidade de Lena e adotada pelo acadêmico alemão Godofredo Achenwall. Aparece como
vocabulário na Enciclopédia Britânica em 1797, e adquiriu um significado de coleta e classificação
de dados, no início do século 19.
Gottfried (Godofredo) Achenwal (1719-1772):
Economista alemão é considerado o “pai” da estatística. Ele batizou a nova
ciência com o nome de Estatística, determinando o seu objetivo e suas relações com as ciências.
Conceito de Estatística:
É um método de observação de fenômenos coletivos que permitem a
descrição de tais fenômenos bem como a TOMADA DE DECISÕES fundamentadas em tais
informações.
2. MÉTODO CIENTÍFICO:
Experimental:
Consiste em manter constante todas as causas (fatores), menos uma, e variar
esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus defeitos, caso existam. No método
experimental consegue-se isolar uma das variáveis, podendo-se alterar as outras e com isso fazer
experimentos. É usado mais nas ciências exatas, na Química e na Física principalmente. Ex.
fórmula ideal de um bolo, no teste de capacidade de tensão elétrica em um componente eletrônico.
7
Estatístico:
Diante de impossibilidades de manter as causas constantes, admitem-se todas
as causas presentes, variando-as, registrando-as e procurando determinar, no resultado final, que
influências cabem a cada uma delas.
O pesquisador não consegue manter constante uma das causas.
O método estatístico é utilizado, por exemplo, na determinação das causas
que definem o preço do produto. Ex: na entressafra de um produto agrícola, a oferta diminui, o
preço do produto aumenta.
É muito utilizado nas Ciências Sociais.
3. MÉTODO EMPÍRICO:
Que se orienta pela experiência, com desprezo por qualquer metodologia
científica. É aquele que não tem comprovação cientifica.
☺4. RAMOS DA ESTATÍSTICA:
Descritiva ou Dedutiva:
Descreve os dados do conjunto estudado, sem procurar fazer generalizações
ou influencias a respeito da população onde os dados foram retirados. Ex. população.
Inferencial ou Indutiva:
Permite fazer generalizações e previsões a respeito da população onde os
dados foram retirados. Ex. amostra
5. FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO:
1. Coleta de dados
2. Criticas dos dados
3. Apuração dos dados
4. Exposição ou apresentação dos dados (armazenar em tabelas)
5. Analise dos resultados
3. VARIÁVEIS
1. QUALITATIVA:
Quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino –
feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha);
- Nominal: ex: sexo (F/M), Frutas (maçã, pêra), etc.
- Ordinal: ex: classe social (A,B,C), níveis de escolaridade (Fundamental,
Médio, superior), etc.
2. QUANTITATIVA:
Quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade
dos alunos de uma escola, número de filhos, etc.).
☺- Variável contínua: uma variável quantitativa que pode assumir,
teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex: altura, peso, etc.
8
☺- Variável discreta: uma variável que só pode assumir valores
pertencentes a um conjunto enumerável. ex: número de filhos, número de vitórias.
EXERCÍCIO 1: Complete.
a) Uma variável que toma valores numéricos com os quais tem sentido efetuar operações
matemáticas, é chamada variável _______________________
b) Em uma pesquisa cujos dados anotados se referem a sexo, estado civil, a variável em
questão é classificada como variável ___________________________
EXERCÍCIO 2: Classifique as variáveis em quantitativas ou qualitativas (se forem quantitativas
dizer se são discretas ou contínuas).
a) Universo: alunos de uma escola. Variáveis: cor dos cabelos.
b) Universo: casais residentes em uma cidade. Variáveis: número de filhos.
c) Universo: as jogadas de um dado. Variáveis: o ponto obtido em cada jogada.
d) Universo: peças produzidas por certa máquina. Variáveis: número de peças produzidas por hora.
e) Universo: peças produzidas por certa máquina. Variável: diâmetro externo.
EXERCÍCIO 3: Ao nascer, os bebês são pesados e medidos, para saber se estão dentro das tabelas
de peso e altura esperados. Estas duas variáveis são:
a) qualitativas.
b) ambas discretas.
c) ambas contínuas.
d) contínua e discreta, respectivamente.
e) discreta e contínua, respectivamente.
4. POPULAÇÃO E AMOSTRA
☺1. POPULAÇÃO OU UNIVERSO ESTATÍSTICO:
É qualquer conjunto que compreenda os elementos que tenham pelo menos uma
característica em comum. Utilizada para estatística dedutiva ou descritiva. Ex: Censo
demográfico, todos os alunos de uma faculdade, todos os automóveis vendidos no Brasil,
etc.
☺2. AMOSTRA:
É qualquer subconjunto finito e não vazio de uma população que não compreende todos
os elementos desta. Utilizada para estatística inferencial ou indutiva.
9
☺A = População / Estatística Dedutiva:
☺B = Amostra / Estatística Indutiva
S (Espaço Amostral) =50 elementos A=30 B=20 (Dados Brutos)
S (Espaço Amostral) =100% de elementos A=60% B=40% (Dados Relativos)
Apresente os dados no Espaço Amostral “S” abaixo, Dados Brutos no retângulo da esquerda e Dados
Relativos no da direita.
3. REPRESENTATIVIDADE DE UMA AMOSTRA:
A representatividade de uma amostra está ligada à capacidade que ela tenha de apresentar as
mesmas características estatísticas da população que a originou. Assim uma amostra perfeitamente
representativa deveria apresentar valores de frequências relativas, média, desvio padrão, etc.
idênticos aos da população de onde ela foi retirada. As estatísticas amostrais são estimativas dos
verdadeiros parâmetros da população, e como tais, elas tanto podem resultar em valores bastante
próximos dos verdadeiros parâmetros, ou até iguais, como podem resultar em valores não tão
próximos quanto seria desejável.
5. SÉRIES ESTATÍSTICAS
1. TABELA: é um quadro que resume um conjunto de observações:
- As tabelas são normatizadas pelo CNE (Conselho Nacional de Estatística), órgão
pertencente ao IBGE, e pela ABNT, através das Normas de Apresentação Tabular.
2. QUADRO: não é normalizado, ou seja, é toda a apresentação não enquadrada como
tabela.
3. SÉRIES ESTATÍSTICAS: é toda a tabela que apresenta a distribuição de um conjunto
de dados estatísticos em função da época (histórica), do local (geografia) ou da espécie (especifica).
B
a
A
B
a
A
10
1. Séries históricas, Cronológicas, Temporais ou Marchas:
Título: Produção de Café
Brasil 1991-1995.
Anos Produção(1.000 ton)
1991
1992
1993
1994
1995
2535
2666
2112
3750
2007
Rodapé Fonte Brasil em dados.
6. APRESENTAÇÃO OU CLASSIFICAÇÃO DE DADOS
☺1. DADOS ABSOLUTOS: são dados sem outra manipulação senão a contagem ou medida.
☺2. DADOS RELATIVOS: são resultados de comparação por quociente (razões). Exemplos:
índices, coeficientes, percentagens.
3. PERCENTAGEM (%): a base de comparação é cem. Pode ser calculada com uma regra de
três.
4. ÍNDICES: razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra.
Quociente Intelectual: QI = Idade mental x 100
Idade cronológica
Renda per capita = Renda .
População
5. COEFICIENTE: razão entre o numero ocorrências e o numero total.
Coeficiente de natalidade = Numero de Nascimento
População Total
6. TAXAS: são Coeficientes multiplicados por uma potencia de 10, 100, etc.
Taxa de Mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1000
Cabeçalho Unidade de medida
Células
Linhas
O que? Quando? Onde?
11
7. ARREDONDAMENTO DE DADOS
Regras: Portaria 36 de 06/07/1965 - INPM - Instituto Nacional de Pesos e Medidas.
1. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 0 a 4, conservamos o
algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes.
Ex.: 7,34856 (para décimos) = 7,3
2. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 6 a 9, acrescenta-se
uma unidade no algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes.
Ex.: 1,2734 (para décimos) = 1,3
3. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for 5, seguido apenas de
zeros, conservamos o algarismo se ele for par ou aumentamos uma unidade se ele for ímpar,
desprezando os seguintes.
Ex.: 6,2500 (para décimos) = 6,2
12,350 (para décimos) = 12,4
Obs: se o 5 for seguido de outros algarismos dos quais, pelo menos um é diferente de zero,
aumentamos uma unidade no algarismo e desprezamos os seguintes.
Ex.: 8,2502 (para décimos) = 8,3
8,4503 (para décimos) = 8,5
4. Quando, arredondarmos uma série de parcelas, e a soma ficar alterada, devemos fazer um
novo arredondamento (por falta ou por excesso), na maior parcela do conjunto, de modo que a soma
fique inalterada.
Ex.: 17,4% + 18,4% + 12,3% + 29,7% + 22,2% = 100%
COMPENSAÇÃO: arredondando para inteiro.
17% + 18% + 12% + 30% + 22% = 99%
17% + 18% + 12% + 31% + 22% = 100%
12
8. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
1. REQUISITOS FUNDAMENTAIS:
- Simplicidade
- Clareza
- Veracidade
2. Normas de Apresentação Tabular:
Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado. A
elaboração de tabelas obedece à Resolução nº 886, de 26 de outubro de 1966, do Conselho
Nacional de Estatística. As normas de apresentação são editadas pela Fundação Brasileira de
Geografia e Estatística (IBGE).
3. PRINCIPAIS GRÁFICOS:
1. Diagramas
- Linha ou curva
- Colunas ou barras
- Colunas ou barras múltiplas
- Setores ou pizza
- De Pareto
- Ramos e folhas
- De caixa ou Box Plot
2. Polar
3. Cartograma
4. Pictograma
5. Histograma
9. ☺DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊCIA
1. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSE -
(VARIÁVEL CONTÍNUA):
Não será objeto de estudo do curso.
2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALOS DE CLASSE -
(VARIÁVEL DISCRETA):
☺EXERCÍCIO 1: Uma construtora irá fazer um novo empreendimento imobiliário e quer saber o
número de quarto das casas ocupadas por 20 famílias de um bairro de possíveis compradores de
imóveis. A partir dos dados coletados abaixo faça o que se pede:
a) Monte o ROL
b) Faça a tabela de Distribuição de Frequência.
c) Faça o HISTOGRAMA (gráfico de Distribuição de Frequência).
d) Foi utilizada uma amostra neste experimento?
e) As 20 famílias são uma População?
f) Para tirar conclusões a respeito do bairro pesquisado você utilizou que ramo da estatística?
13
g) Qual o percentual de famílias do bairro que tem casas com até 4 quartos?
h) Qual o percentual de famílias do bairro que tem casas com 3 quartos?
i) Qual o percentual de famílias do bairro que tem casas com 3 ou 4 quartos?
j) Qual o percentual de famílias do bairro que tem casas com mais de 4 quartos?
- Calcule no decorrer do semestre:
k) A média, moda e mediana.
l) m) n) o) p) (estas letras foram suprimidas devido a adequação do conteúdo ao curso)
q) A variância.
r) O Desvio Padrão.
Tabela Primitiva ou Rol: Dados Ordenados
Dados Brutos de maneira crescente ou decrescente
2 3 2 6 3
3 4 3 2 4
4 2 4 5 3
3 5 3 4 7
Rol são os dados apresentados de maneira ordenada, ou seja, crescente. O rol pode ser em
um conjunto, um quadro ou tabela, basta que os dados estejam ordenados.
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
i Xi fi fri Fi Fri
-- -- Σfi= Σfri= -- -- Fonte: turma de aula
i = índice dos valores distintos de “x”. Atenção, Quando os dados estão tabelados, este “i” é
o indexador da Classe, não é dos valores ordenados da variável.
x i = variável “x” indexada (nº de quartos).
f i = frequência simples ou absoluta (de casas).
fr i = frequência relativa de x i.
F i = frequência acumulada.
Fr i = frequência acumulada relativa.
14
GRÁFICO DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
(fi)
8
6
4
2
2 3 4 5 6 7 (xi)
EXERCÍCIO 2: A Tabela Primitiva abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado
aparelho elétrico durante um mês por uma firma comercial.
a) Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classes, com fi, fri, Fi, e Fri.
b) Faça o Histograma.
Tabela Primitiva ou Dados Brutos
14 12 11 13 13
12 14 13 11 12
12 14 10 15 11
15 13 16 14 14
Rol com 8 elementos distintos
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
i xi fi fri Fi Fri
1
2
3
4
5
6
7
Σfi=
15
EXERCÍCIO 3: Complete a distribuição abaixo, determinando as frequências simples ou
absolutas.
Calcule ao longo do semestre:
a) Média, Moda e Mediana
g) Variância para população (σ2)
h) Desvio Padrão para população (σ)
i Xi fi Fi
1 2 2
2 3 9
3 4 21
4 5 29 5 6 34
- - --
EXERCÍCIO 4: Complete a tabela abaixo:
i Xi fi fri Fi Fri
1 8 4
2 16 10
3 24 14
4 32 9
5 40 3
- -
EXERCÍCIO 5: Dada a distribuição de frequência abaixo, determine:
a) ∑fi
b) As frequências relativas.
c) As frequências acumuladas.
d) As frequências relativas acumuladas.
Xi 3 4 5 6 7 8
fi 2 5 12 10 8 3
16
10. MEDIDAS DE POSIÇÃO
Formulário:
Média Mediana
Com nº par de elementos Com nº impar de elementos:
Medida de Posição
Medidas de
Tendência
Central
1.Média (ẍ)
1.Aritmética ( ) 2.Ponderada ( ) 3.Geométrica (Mg)
4.Harmônica (Mh)
2.Mediana (Md)
3.Moda (Mo)
Separatrizes
1.Própria mediana (Md)
2.Quartis (Qn)
3.Percentis (Pn)
4. Quintis (Kn)
☺1. MÉDIA ARITMÉTICA:
AMOSTRA( ) OU POPULAÇÃO(μ) - DADOS NÃO AGRUPADOS EM TABELA:
Fórmula da Média:.......
sendo “n” o número de elementos do ROL.
Media: valor linear central que expressa o conjunto todo de forma que todos os valores que
estão acima dela também estão abaixo.
Exemplo:
O Número de erros nos processos de um software, em cada mil execuções foi de:
Conjunto de Erros: X = {10,14,13,15,16,18,12} → dados brutos, amostra.
17
Rol de Erros: X ={10,12,13,14,15,16,18} → Rol = dados ordenados em ordem crescente.
Xi=? → X1 =10 → X2 =12 ... X7 = 18
2. DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA: (di)
Utilizando o exemplo anterior vamos calcular os desvios de calda elemento do Rol do
conjunto X em relação a média obtida:
3. PROPRIEDADES DA MÉDIA:
1. A soma algébrica dos desvios, tomados em relação à média é nula. Σdi = 0 (nula).
No exemplo anterior temos: Σdi = (-4) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 4 = 0
2. Somando ou subtraindo, ou então, multiplicando ou dividindo, uma constante “C” de
todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica somada ou subtraída, ou então,
multiplicada ou dividida dessa constante “C”.
Yi = Xi (+ - * / ) C ; então: Média (Y) = Média (X) (+ - * / ) C
Ainda considerando o Exemplo anterior:
Rol de Erros: x ={10, 12, 13, 14, 15, 16, 18}
Yi= Xi + 2 = {12, 14, 15, 16, 17, 18, 20} → então média Yi = media Xi + 2
Comprovando:
Média Yi = 112 / 7 = 16 → Média Yi = 14 + 2 = 16
☺4. MÉDIA PONDERADA ( ) - DADOS AGRUPADOS EM UMA TABELA:
Média:.......
EXERCÍCIO 1: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de 4 filhos, tomando para a
variável o número de filhos do sexo masculino, calcule a média e faça a interpretação da mesma.
Calcule a Moda e a Mediana e justifique.
18
TABELA DE FILHOS Mostre os cálculos aqui:
Nº Homens fi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
Σfi=34 Fonte: fictícia
Interpretação do resultado:
☺5. MEDIANA (MD)
- DADOS NÃO AGRUPADOS EM TABELA:
Conceito: a mediana de um ROL é o valor situado de tal forma no conjunto que o
separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
- 1º caso: Número IMPAR de elementos: Mediana =
Dados brutos X={5, 12, 10, 2, 18, 15, 6, 19, 9}. → Rol X={2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18}
n=9 (impar) portanto há somente um termo central do ROL.
Fórmula para mediana em rol impar:
- 2º caso: Número PAR de elementos: Mediana =
Dados brutos X = { 6, 21, 7, 2, 18, 10, 12, 13 } → Rol B = {2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21}
n = 8 (par) há dois termos centrais no ROL.
Fórmula: (Par) →
6. MEDIANA (Md) - DADOS AGRUPADOS EM TABELA:
- Exemplo 1: determine a Mediana.
19
TABELA DE FILHOS
Xi fi Fi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
2
8
18
30
34
-- Σfi=34 --
Número par de elementos pois o ROL tem 34 elementos. Neste caso n = Σfi
Os termos centrais são o Termo na posição n/2 e o Termo na posição ( (n/2) + 1)
A Mediana é a média dos dois termos centrais do ROL.
Fórmula: (Par) →
- Exemplo 2: determine a Mediana.
TABELA X
i Xi fi Fi
1
2
3
4
5
6
12
14
15
16
17
20
1
2
1
2
1
1
1
3
4
6
7
8
-- -- Σfi=8 --
Fórmula: (Par) →
☺7. MODA (Mo) - DADOS NÃO AGRUPADOS EM TABELA:
- Denominamos Moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.
Exemplo:
Conjunto A = {7, 10, 9, 15, 10, 11, 8, 10, 12, 13}
Rol A = {7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15} → Mo = 10
Neste caso o valor modal é 10, valor que ocorre três vezes, é o que mais ocorre.
Conjunto B = {3, 5, 8, 10, 12, 13} → Neste caso a série é Amodal. Nenhum valor ocorre
mais que os outros.
Nesta Classe estão os Termos da
9º posição até a 18º posição.
Nesta Classe está o Termo 4º
Nesta Classe está o Termo 5º
20
Rol C = {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} → Mo = 4 e 7 →Neste caso a série é Bimodal. Os
valores 4 e 7 ocorrem três vezes cada. São os dois valores que mais ocorrem igualmente.
☺8. MODA (MO) - DADOS AGRUPADOS EM TABELA:
Exemplo:
A moda é o valor da série que aparece mais vezes, portanto é o valor que tem a maior
frequência, ou seja, maior “fi”. Neste caso a maior frequência é igual a 12 e, portanto, o valor de Xi
correspondente é igual a 3. Então a Moda é igual a 3.
9. EXPRESSÕES GRÁFICAS DA MODA:
Curva Modal: Curva não Modal: Curva Amodal: Curva Anti-Modal: Curva Bimodal
10. MODA DE PEARSON:
O processo usado por Pearson pressupõe que a distribuição seja aproximadamente simétrica,
na qual a média aritmética e a mediana são levadas em consideração.
Mo = 3·Md – 2·ẍ
Uma distribuição é considerada simétrica quando X = Md = Mo
☺11. POSIÇÃO RELATIVA DA MÉDIA, MEDIANA E MODA:
Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. Porém, a assimetria torna-
as diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a assimetria. Assim, em uma distribuição
temos:
Xi fi Fi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
2
8
18
30
34
Σfi=34
Esta é a Classe Modal, onde
está a maior frequência. Mo=3.
21
< Md < Mo Mo < Md <
12. MÉDIA GEOMÉTRICA (Mg) →
13. MÉDIA HARMÔNICA (Mh) →
14. EXEMPLOS ELEMENTARES DE MÉDIA, MODA E MEDIANA:
Calcule a Média, Moda e Mediana das séries abaixo.
Exemplo 1: X ={1,2,3} →
Moda: Moda é o elemento que mais aparece e não há nenhum valor que se destaca mais vezes.
Mo = Amodal
Mediana: n = 3 (Impar, só um termo central) →
Exemplo 2: X = { 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 }
f=1 f=2 f=3 f=2 f=1
= 3 Mo = 3 Md = 3
15. UTILIZAÇÃO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:
Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para caracterizar o centro de
uma série de dados.
Sendo assim, qual das medidas deve ser utilizada?
Devemos optar pela Média quando houver forte concentração de dados na área
central do Rol.
Devemos optar pela Mediana quando houver forte concentração de dados no início
ou no final do Rol.
22
A Moda deve ser a opção como medida de tendência central apenas em Rol que
apresenta um elemento típico, isto é, um valor cuja frequência é muito superior à frequência dos
outros elementos do Rol.
EXERCÍCIO 2: faça a tabela correspondente a seguinte Distribuição de Frequência. Calcule a
média, a mediana e a moda. Apresente a fórmula e os cálculos.
xi 1 2 3 4 5 6
fi 2 4 6 8 3 1
EXERCÍCIO 3: Faça o cálculo da média utilizando para tal as propriedades da média e de forma a
facilitar os cálculos e evitar operações matemáticas com valores elevados. Isto visa reduzir o uso do
processador dos computadores. Utilize a variável X’=(Xi-160)/4. Calcule a moda e a mediana e
justifique.
xi fi
152
156
160
164
168
172
4
9
11
8
5
3
23
EXERCÍCIO 4: Calcule a mediana e a moda.
11. ☺MEDIDAS DE SEPARATRIZES
Não será objeto de estudo do curso.
xi fi
12
14
15
16
17
20
1
2
1
2
1
1
24
12. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
FORMULÁRIO
Variância Desvio Padrão
1. AMPLITUDE TOTAL (AT):
É a diferença entre o maior e o menor valor da série de valores.
AT = Xmax - Xmin
EXERCÍCIO 1: calcule a Amplitude Total da sequência: X={11,12,9,10,10,15}
EXERCÍCIO 2: determine a Amplitude Total da série.
☺2. DESVIO MÉDIO SIMPLES (DMS):
Não será objeto de estudo do curso.
EXERCÍCIO 3: excluído
EXERCÍCIO 4: excluído
☺3. VARIÂNCIA ( σ2 ):
É definido como sendo a média aritmética dos quadrados dos desvios de cada elemento em
relação à média.
Observações:
1. A variância é dada sempre no quadrado da unidade de medida, ou seja, u.m.2 mas em
alguns casos ela não tem sentido, como por exemplo litros quadrados.
2. A variância não tem interpretação.
xi fi
2
3
5
7
1
6
10
3
-- Σfi=
Se for um ROL usa-se “n” pois ∑ fi = n
Se for uma Amostra usa-se ∑ fi-1
25
☺4. DESVIO PADRÃO ( σ ):
É a média aritmética dos desvios de cada elemento em relação à média, obtido
através da variância, ou seja, é a raiz quadrada positiva da variância.
☺5. REPRESENTAÇÃO DE POPULAÇÃO E AMOSTRA.
POPULAÇÃO AMOSTRA
μ
σ2
σ
MÉDIA
VARIÂNCIA
DESVIO PADRÃO
S2
S
6. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO ( CV ):
Note que o CV é a divisão de elementos de mesma unidade e portanto é considerado um
número puro. Desta forma o CV não pode ser expresso em unidades de medida (u.m.). Assim, o CV
também pode ser expresso em percentual (%).
O CV é considerado uma medida de dispersão relativa.
☺EXERCÍCIO 5: calcule o Desvio Padrão da POPULAÇÃO e faça a interpretação da medida
calculada. Calcule também para o caso da série ser uma AMOSTRA. X={4,5,8,5}.
26
☺EXERCÍCIO 6: calcule o Desvio Padrão da série abaixo representativa de uma POPULAÇÃO
e faça a interpretação da medida calculada.
Xi fi
2
3
4
5
3
5
8
4
Σfi=
☺EXERCÍCIO 7: Calcule o Desvio Padrão do exercício anterior para o caso de uma AMOSTRA.
EXERCÍCIO 8: Dois alunos, João e Paulo fizeram uma bateria de testes para uma vaga de estágio
na IBM. As notas dos testes estão descritas abaixo. Qual aluno deve ganhar o estágio? Justifique.
João 2 3 7 9 11 13
Paulo 3 3 5 9 12 13
27
EXERCÍCIO 9: a distribuição de frequência abaixo representa a idade dos alunos aprovados em
um curso universitário. Calcule:
a) A Média, Moda e Mediana.
b) c) d) (letras suprimidas do exercício)
e) Calcule o Desvio Padrão para esta população e para o caso de amostra.
Idades (anos) Nr de Alunos
17 3
18 18
19 17
20 8
21 4
EXERCÍCIO 10: Calcule, usando a calculadora, a variância e o Desvio Padrão da população:
Idade Nr de alunos
17
18
19
20
21
3
18
17
8
4
EXERCÍCIO 11: Em uma aula de programação o professor pediu para os alunos desenvolverem
um programa para contar palavras em um texto. Os 20 alunos da sala desenvolveram o programa e
o número de linhas do programa de cada aluno é apresentado abaixo:
12 14 14 17 18 16 15 15 14 15
14 13 17 13 15 15 16 15 15 16
a) Monte o rol.
28
b) Monte a tabela abaixo.
xi fi Fi
c) Determine a média.
d) Identifique a mediana.
e) Qual é a moda? Justifique.
f) Calcule o Desvio Padrão.
EXERCÍCIO 12: A série 32, 19, 45, 23, 21, 27, 33, 29 e 30 representa as idades dos funcionários
de uma pequena empresa. Qual a mediana desta série?
a) 29
b) 23
c) 21
d) 22,5
29
EXERCÍCIO 13: Abaixo são apresentados os dados referentes à venda de geladeiras em uma rede
de lojas durante um mês.
21 19 23 21 16 21 19 20 20 21
22 21 22 23 23 18 21 21 17 20
23 21 22 23 23 18 21 20 21 18
a) Monte a tabela de Distribuição de Frequência.
b) Determine a média das vendas.
c) Determine a mediana dessa distribuição.
d) Determine a moda dessa distribuição.
e) f) Determine a Variância.
g) Determine o Desvio Padrão.
h) Determine o Coeficiente de Variação (CV).
i) j) k) (letras suprimidas do exercício)
30
EXERCÍCIO 14: Dados os seguintes valores: 11, 8, 15, 19, 6, 15, 13, 21. A média, moda e
mediana são, respectivamente:
a) 13,5; 15; 14
b) 15; 14; 13,5
c) 14; 15; 13,5
d) 13,5; 15; 19
EXERCÍCIO 15: Num levantamento realizado em 100 jogos de futebol de um torneio foram
colhidos os dados abaixo. O Desvio Padrão do número de gols marcados em cada partida é
aproximadamente igual a:
a) 1,21
b) 1,03
c) 1,67
d) 0,64
EXERCÍCIO 16: Um conjunto de 100 notas de Matemática, de alunos do sexo masculino, tiradas
dos arquivos da secretaria da escola, constitui:
a) um rol.
b) uma relação de dados brutos.
c) uma tabela.
d) uma distribuição de frequência.
EXERCÍCIO 17: Dados os conjuntos de valores abaixo:
A = {3, 5, 6, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 17}
B = {4, 5, 7, 10, 11, 13, 15}
C = {2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 11}
- Em relação à moda, podemos dizer que:
I - A é unimodal e a moda é 10.
II - B é unimodal e a moda é 10.
III - C é bimodal e as modas são 5 e 8.
Então:
a) estas afirmações estão todas corretas.
b) II e III estão corretas.
c) I e II estão corretas.
d) I e III estão corretas.
EXERCÍCIO 18: Em um colégio funciona uma cantina. Os gastos diários de 12 alunos com a
cantina estão relacionados abaixo:
0,80 1,20 0,90 1,40 2,00 1,00 1,50 1,50 0,80 1,50 1,00 0,80
- Qual o Desvio Padrão de gastos?
a) 0,495 b) 0,365
c) 0,294
d) 0,5
EXERCÍCIO 19: A variância e o desvio padrão aproximados da amostra cujos valores são
compostos pelos dez primeiros números naturais pares, são respectivamente:
a) 10; 20
b) 33; 5,7
c) 20,8; 4,5
d) 2; 100
Número de gols por partida 0 1 2 3 4 5
Frequência de jogos 28 26 31 9 4 2
31
13.☺ ANÁLISE COMBINATÓRIA (CONTAGEM):
FORMULÁRIO:
PFC* Combinação Arranjo Permutação
n = nº de elementos
Combinados
n = nº de elementos Combinados k = nº de elementos agrupados
n = nº de elementos Arranjados k = nº de elementos agrupados
n= nº de elementos permutados n1 = nº de vezes que o 1º elemento repete n2 = nº de vezes que o 2º elemento repete, etc
* Principio Fundamental da Contagem
☺1. FATORIAL (n!): n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1 para n ≥2
Se n = 1 então 1! = 1
Se n = 0 então 0! = 1
calcule:
3! =
5! =
=
☺2. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC):
Veja os exercícios a seguir.
EXERCÍCIO 1: De quantas formas distintas uma pessoa pode escolher um combinado de
sanduíche natural e suco, com as seguintes opções de sanduíche (Frango / Atum / Vegetariano /
Queijo) com suco (Laranja / Uva / Morango). Resolva matematicamente e faça também o Diagrama
da Árvore.
Observação Importante: a resolução pelo Diagrama da Árvore não é aceita em prova pelo
fato de que a resolução deve ser matemática e aceitável para aplicação em uma linguagem de
programação.
32
EXERCÍCIO 2: Uma moeda não viciada é lançada três vezes sucessivamente. Quais são as
sequências possíveis de faces obtidas nesses lançamentos? Faça o Diagrama da Árvore.
EXERCÍCIO 3: Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 ?
EXERCÍCIO 4: A seleção brasileira de futebol ira disputar um torneio com outras 5 seleções, nos
sistema todos contra todos, uma única vez. Quais as possíveis sequências de resultados para Vitória
(V), Empate (E) e Derrota (D).
EXERCÍCIO 5: Considerando os algarismos 0,1,2,3,4,5 e 6, quantos números de três algarismos
podemos formar?
33
EXERCÍCIO 6: Quantos carros podem ser emplacados no Brasil com o atual sistema de 3 letras e
4 números? Cada brasileiro, independente da idade, pode ter um carro emplacado?
☺3. PERMUTAÇÃO (Pn):
Sendo: n= nº de elementos permutados.
n1 = nº de vezes que o 1º elemento se repete.
n2 = nº de vezes que o 2º elemento se repete, etc.
REGRA: - os elementos são agrupados de n em n elementos, ou seja, todos com todos.
- uma sequência do tipo ABC é diferente de uma CBA. → ABC ≠ CBA.
EXERCÍCIO 7: Quantos anagramas podem ser formados a partir da palavra “PATO”. Faça o
mesmo para o seu nome.
EXERCÍCIO 8: João e Gabriela têm 3 filhos, Carla, Luiz e Daniel. Responda:
a) de quantas formas distintas os membros da família podem se distribuir para uma foto?
b) em quantas possibilidades o casal aparece junto?
34
EXERCÍCIO 9: Qual é o número de anagramas formados a partir de:
a) LUA
b) GATO
c) ESCOLA
d) REPÚBLICA
EXERCÍCIO 10: Qual é o número de anagramas formados a partir da palavra VENEZUELA?
EXERCÍCIO 11: Qual é o número de anagramas formados a partir da palavra CACHORRO?
EXERCÍCIO 12: Qual é o número de anagramas formados a partir da palavra BANANA?
☺4. ARRANJO A(n,k):
Sendo: n = nº de elementos Arranjados.
k = nº de elementos agrupados.
REGRA: - os elementos são agrupados de k em k elementos, sendo k < n.
- uma sequência do tipo ABC é diferente de uma CBA. → ABC ≠ CBA.
EXERCÍCIO 13: dado o conjunto A={1,2,3,4} calcule a quantidade dos arranjos destes quatro
elementos tomados dois a dois.
35
EXERCÍCIO 14:. no campeonato mundial de basquete feminino de 2006, disputado no Ibirapuera,
em são Paulo, as quatro seleções semifinalistas foram: Brasil, Austrália, Rússia e EUA. De quantas
maneiras distintas poderia ter sido definido o pódio em ouro, prata e bronze?
EXERCÍCIO 15: Para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente de um Conselho
Administrativo de uma empresa candidataram-se dez pessoas. De quantos modos distintos pode ser
feita esta escolha?
EXERCÍCIO 16: No campeonato brasileiro de futebol deste ano participam 20 equipes. Cada time
joga com todos os outros duas vezes. Quantas partidas serão disputadas?
☺5. COMBINAÇÃO:
REGRA: - os elementos são agrupados de k em k elementos, sendo k < n.
- uma sequência do tipo ABC é igual a uma CBA. → ABC = CBA.
EXERCÍCIO 17: De quantas formas distintas podemos escolher dois sabores de torta para um
aniversario dentre os seguintes: Limão, Chocolate, Morango, Abacaxi, Floresta Negra e Quindim.
EXERCÍCIO 18: No caso do exercício anterior, quantas seriam as possibilidades de escolha das
tortas, se decidíssemos comprar 3 sabores diferentes?
36
EXERCÍCIO 19: Em um curso de espanhol estudam 20 alunos, sendo 12 homens e 8 mulheres.
Deseja-se formar uma equipe de quatro alunos para um intercâmbio em outro país. Quantas equipes
de dois homens e duas mulheres podem ser formadas?
EXERCÍCIO 20: De quantos modos distintos podemos escolher quatro entre nove camisetas para
levar em uma viagem?
EXERCÍCIO 21: Um curso de idiomas oferece turmas para iniciantes em inglês, espanhol, alemão,
italiano e japonês. De quantas formas distintas um estudante pode matricular-se em três desses
cursos?
EXERCÍCIO 22: Um casal decidiu fazer uma viagem para o nordeste, de quantas formas distintas
este casal poderá conhecer 3 das 9 capitais.
ATENÇÃO: OS PRÓXIMOS EXERCÍCIOS ESTÃO MISTURADOS
ANALISE POR QUAL LÓGICA DE CONTAGEM ELES DEVEM SER RESOLVIDOS.
EXERCÍCIO 23: De quantas maneiras 10 pessoas poderão sentar-se em um banco, se houver
apenas 4 lugares?
37
EXERCÍCIO 24: Ao lançarmos uma moeda e um dado, nesta sequência, quantos resultados
podemos obter ?
EXERCÍCIO 25: Quantos números de 3 algarismos podem ser escritos nas seguintes condições: o
algarismo das centenas responde a um múltiplo de 3, o das dezenas é 4 ou 7 e o das unidades
corresponde a um múltiplo de 5.
EXERCÍCIO 26: Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4,
5 e 6?
EXERCÍCIO 27: Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos
1, 2, 3, 4, 5 e 6?
EXERCÍCIO 28: Em uma lanchonete há 5 tipos de sanduíche, 4 tipos de refrigerante e 3 tipos de
sorvete. De quantas maneiras podemos tomar um lanche composto por 1 sanduíche, 1 refrigerante e
1 sorvete?
EXERCÍCIO 29: Quantos anagramas há na palavra anel?
38
14. ☺PROBABILIDADE CONJUNTA:
FORMULÁRIO:
Elementar ou Simples Eventos quaisquer Eventos Mutuamente Excludentes
Eventos Complementares Eventos Independentes Eventos Dependentes (Condicional)
ou
ou
☺1. EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS:
São aqueles que repetidos sobre mesma condição podem conduzir a mais de um resultado.
As condições iniciais não determinam o resultado do experimento o qual acontece por acaso.
Exemplo: lançamento de um dado
☺2. ESPAÇO AMOSTRAL OU CONJUNTO UNIVERSO: (S)
Exemplo 1: lançar uma moeda e observar uma face superior.
S= {Cara, Coroa}
Exemplo 2: lançar um dado.
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo 3: lançar duas moedas e observar as faces superiores.
S= {CaCa, CaCo, CoCa, CoCo}
☺3. ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL:
Um espaço amostral é equiprovável se, e somente se, cada um de seus elementos tiverem
idêntica probabilidade de ocorrência. Ex: lançamento de um dado, número de um bingo, etc.
P1 = P2 = P3 =...= Pn
4. ESPAÇO AMOSTRAL NÃO EQUIPROVÁVEL:
Ex: lançamento de dois dados e soma das faces superiores.
☺5. EVENTOS: (Ev)
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral do experimento:
Exemplo 1: lançamento de um dado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 3, 5}
B = {1, 2}
C = {2, 4, 6}
39
D = {} Evento impossível
S = Evento certo
E = {9} Evento impossível
☺6. OPERAÇÕES COM EVENTOS:
A União B: A U B = { X Ɛ S / X Ɛ A ou X Ɛ B}
A Interseção B: A ∩ B = {X Ɛ S | X Ɛ A e X Ɛ B}
Complementar de A = CA = Ᾱ = {X Ɛ S | X Ɛ A}
A - B = {X Ɛ S / X Ɛ A e X Ɛ B}
EXERCÍCIO 1:
Considere o Experimento Aleatório de o lançamento de um dado.
Sendo A={1,2,3} e B={2,3,6} e C={2,3,4} calcule:
AU B =
A ∩ C =
CA = Ᾱ =
CB = =
C(A U B) =
7. PROBABILIDADE DE UM EVENTO:
Sendo A um evento qualquer de S e S o espaço amostral. n(a) é a quantidade de elementos
do evento A e n(S) é o número de elementos do espaço amostral S. Probabilidade é uma medida
adimensional, ou seja, não tem unidade de medida. Toda a probabilidade é um número
compreendido entre zero e um, ou seja, 0 ≤ P ≤ 1. A probabilidade também pode ser expressa na
base 100, ou seja, em percentual. A probabilidade de ocorrência do espaço amostral S é sempre
igual a um, ou seja, P(S)=1. A probabilidade de ocorrência do vazio é sempre zero, ou seja, P(θ)=0.
EXERCÍCIO 2: Qual a probabilidade de ocorrer um evento “Cara” no lançamento de uma
moeda?
40
EXERCÍCIO 3: No lançamento de um dado numerado, qual a probabilidade de ocorrer:
a) Um nr par?
b) Um nr menor ou igual a 6?
c) O nr 4?
d) Um nr maior que 6?
☺8. EVENTOS COMPLEMENTARES:
Sabendo-se que um evento pode ocorrer ou não e sendo “p” a sua probabilidade de
ocorrência (sucesso) e “q” a probabilidade de NÃO ocorrência (insucesso), então p + q = 1, ou da
mesma forma P(A) + P(CA) = 1.
EXERCÍCIO 4: a probabilidade de um evento ocorrer é 1/5, qual a probabilidade de que ele não
ocorra?
EXERCÍCIO 5: Se a probabilidade de ocorrer o nr 4 no lançamento de um dado é 1/6, qual a
probabilidade de não ocorrer o nr 4?
41
☺9. EVENTOS INDEPENDENTES (REGRA DO PRODUTO):
Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro e
vice-versa. A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram simultaneamente é igual ao
produto das probabilidades deles, ou seja, P total = P(A) x P(B), sendo A e B independentes e P
total a probabilidade dos dois eventos ocorrerem simultaneamente.
EXERCÍCIO 6: Qual a probabilidade de lançarmos um dado duas vezes e obtermos 4 no primeiro
lançamento e cinco no segundo?
☺10. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS OU EXCLUDENTES:
- REGRA DA ADIÇÃO: P (total) = P(A) + P(B)
Não ocorrem simultaneamente, ou seja, a ocorrência de um exclui a ocorrência do outro.
Assim, sendo A e B mutuamente exclusivos, A U B = { } Vazio.
Desta forma a probabilidade de ocorrência de A ou de B é igual à soma das probabilidades
de A e B. P (total) = P(A) + P(B).
EXERCÍCIO 7: Qual a probabilidade de lançarmos um dado duas vezes e obtermos 4 e 5
independente da ordem?
EXERCÍCIO 8: Qual a probabilidade de lançarmos dois dados uma única vez e obtermos 4 e 5?
EXERCÍCIO 9: Qual a probabilidade de se obter 3 ou 5 no lançamento de um dado?
42
☺11. EVENTOS QUAISQUER:
Quando dois eventos possuem elementos em comum, ou seja, há interseção entre esses dois
eventos, podemos calcular a ocorrência de A ou B da seguinte forma:
.
EXERCÍCIO 10: o quadro abaixo representa a classificação de um grupo de 30 mulheres segundo
o estado civil e a cor do s cabelos. Uma mulher é sorteada neste grupo. Determine a probabilidade
dos eventos:
a) Ser casada. d) Ser viúva. g) Ser morena e solteira.
b) Não ser loira. e) Ser solteira ou casada h) Ser viúva e ruiva.
c) Não ser morena nem ruiva. f) Ser loira e casada. i) Ser morena ou casada.
EC / Cor Loira Morena Ruiva
Casada
Solteira
Viúva
Divorciada
5
2
0
3
8
4
1
1
3
1
1
1
Total
43
EXERCÍCIO 11: Um experimento consiste no lançamento de dois dados e observação da soma
dos pontos das faces superiores. Determine o espaço amostral do experimento e a função de
probabilidade para cada elemento do espaço amostral. Qual o valor mais provável de se obter neste
experimento?
EXERCÍCIO 12: Se P (A U B) = 0,8 e P(A) = 0,7 e P(B) = 0,4 então os eventos A e B são
mutuamente exclusivos?
EXERCÍCIO 13: Se a probabilidade de não chover em determinada data é igual a 0,25, qual a
probabilidade de chover nesta mesma data?
EXERCÍCIO 14: Uma caixa contém 15 peças defeituosas em um total de 40 peças. Qual é a
probabilidade de se selecionar ao acaso um peça não defeituosa desta caixa?
EXERCÍCIO 15: Um casal planeja ter três filhos. Determine a probabilidade de:
a) nascerem três homens.
b) dois homens e uma mulher.
44
EXERCÍCIO 16: De acordo com a tábua de mortalidade, a probabilidade de José estar vivo daqui
a 20 anos é de 0,6 e a mesma probabilidade para Manoel é 0,9. Determinar:
a) P ( ambos estarem vivos daqui a 20 anos ).
b) P ( nenhum estar vivo daqui a 20 anos ).
c) P ( um estar vivo e outro morto daqui a 20 anos ).
EXERCÍCIO 17: Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade de a 1ª atingir o alvo é 1/3 e
a probabilidade de a 2ª atingir o alvo é 2/3. Admitindo A e B independentes, se os dois atirarem,
qual a probabilidade de:
a) ambos atingirem o alvo?
b) ao menos um atingir o alvo.
EXERCÍCIO 18: Qual é a probabilidade de extrair um valete de um baralho de 52 cartas, se você
tirou uma figura?
EXERCÍCIO 19: Uma urna tem 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 4 pretas. Uma bola é escolhida ao
acaso e, sem reposição desta, outra é escolhida, também ao acaso, qual a probabilidade de:
a) A 1ª bola ser vermelha e a 2ª branca?
b) A 1ª e a 2ª serem vermelhas?
45
☺12. EVENTOS DEPENDENTES (CONDICIONAL):
Considere o lançamento de um dado e a observação da parte superior. O espaço amostral do
experimento é:
S={1, 2, 3, 4, 5, 6} observe que o conjunto S possui seis elementos no total, ou seja n(S)=6.
A função de probabilidade então será:
S1=1P(1)=1/6
S2=2P(2)=1/6
S3=3P(3)=1/6
S5=5P(5)=1/6
S6=6P(6)=1/6
Veja que o Espaço Amostral neste caso é Equiprovável, ou seja, cada elemento do espaço
amostral tem a mesma probabilidade de ocorrência.
Considere agora o evento A={2, 3, 5, 6} e B={1, 2} então:
A probabilidade de do evento A ocorrer é:
P(A) = n(A) / n(S) = 2/3 (probabilidade simples ou elementar).
A probabilidade de do evento B ocorrer é:
P(B) = n(B) / n(S) = 1/3 (probabilidade simples ou elementar).
Até então estudamos a probabilidade simples ou elementar, vamos agora considerar a
probabilidade CONDICIONAL de B em relação a A.
A1=2P(2)=1/4
A2=3P(3)=1/4
A3=5P(5)=1/4
A4=6P(6)=1/4
- Consideramos o conjunto A como espaço amostral pois desejamos saber a ocorrência de B
dentro do espaço amostral A.
- A probabilidade o evento B ocorrer depois da ocorrência de A é chamada de probabilidade
condicional de B em relação a A e é representada por P(B/A).
46
Vejamos como se resolveria esta probabilidade de maneira simples ou elementar, sem usar a
fórmula:
P(B/A) = P(1)+P(2) = 0 + 1/4 = ¼
Observe que é a probabilidade de B ocorrer dentro do espaço amostral A.
Observe que P(B)P(B/A) ou seja 1/3 ¼
Portanto a probabilidade de B ocorrer diminui se A ocorrer antes de B.
Vamos calcular agora a P(B/A) utilizando a fórmula apropriada.
Repare que n(AB)=1
☺13. EVENTOS INDEPENDENTES E PROBABILIDADE CONDICIONAL:
Eventos independentes já foi objeto de estudo anteriormente. Vamos agora relacionar os
dois conhecimentos:
REGRA: Dois eventos são independentes se a probabilidade da ocorrência de um não afeta
a ocorrência do outro. Portanto, se um evento A é independente de um evento B, então a P(B) não
será afetada pela ocorrência do evento A, ou seja, matematicamente, P(B/A)=P(B). Não adianta
condicionarmos a ocorrência de B ao evento A, pois se eles são independentes, um não depende do
outro e suas probabilidades não se alteram com a ocorrência de outros eventos.
☺Então a condição para dois eventos serem independentes é que: P(B/A)=P(B).
☺Exemplo:
Calcule a P(B/A) sendo S={1, 2, 3, 4, 5, 6} e A={2, 3, 4, 5} e B={1, 3, 4}:
Prove matematicamente que se os dois eventos são independentes ou não.
47
Solução:
Repare que n(AB)=2
Se P(B/A) = P(B) então A e B são independentes.
Vejamos: P(B/A) = P(B) pois 2/4 = 3/6 então os eventos A e B SÃO independentes.
EXERCÍCIO 1: Alguns alunos de um curso foram classificados por bairro e por classe social
segundo a tabela abaixo:
Calcular as probabilidades de que um aluno:
a) Da classe C seja do bairro centro? R: 8/17
b) Da classe B seja do bairro leste? R: 1/3
c) Seja da classe B uma vez que é do bairro sul? R:
6/11
d) Da classe B seja do bairro sul? R: ¼
Bairro Classe social
B C
Centro 10 8
Sul 6 5
Leste 8 4
48
EXERCÍCIO 2: Uma rifa composta por 15 números irá definir o ganhador de dois prêmios
sorteados um de cada vez. Se você adquiriu três números, qual é a probabilidade de ganhar os dois
prêmios? R: 1/35
EXERCÍCIO 3: Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas
brancas, três pretas e cinco vermelhas. Determine a probabilidade de que:
a) ambas sejam pretas. R: 1/15
b) ambas sejam vermelhas. R: 2/9
c) ambas sejam da mesma cor. R: 14/45
d) ambas sejam de cores diferentes. R: 31/45
EXERCÍCIO 4: Se P(A)=0,3 e P(B)=0,5 e P(A∩B)=0,1 os eventos A e B são independentes? R:
não.
49
EXERCÍCIO 5: Se P(AUB)=0,8 e P(A)=0,5 determine P(B) sendo A e B independentes. R: 0,6.
EXERCÍCIO 6: Uma empresa garante na embalagem de seu produto que apenas 2% das peças
produzidas por ela são defeituosas. Se adquirirmos uma caixa contendo doze peças produzidas por
esta empresa, qual é a probabilidade de que as duas primeiras peças selecionadas ao acaso desta
caixa sejam defeituosas? R: 0,0004.
EXERCÍCIO 7: Um projeto de lei para ser transformado em lei deve ser aprovado pela Câmara
dos Deputados e pelo Senado. A probabilidade de um determinado projeto ser aprovado pela
Câmara dos Deputados é de 40%. Caso seja aprovado na Câmara dos Deputados, a probabilidade de
ser aprovado no Senado é de 80%. Calcule a probabilidade deste projeto ser transformado em lei. R:
0,32.
EXERCÍCIO 8: As pesquisas de opinião apontam que 20% da população é constituída por
mulheres que votam no partido X. Sabendo-se que 56% da população são mulheres, qual é a
probabilidade de que uma mulher selecionada ao acaso na população vote no partido X? R: 5/14.
50
EXERCÍCIO 9: Uma empresa avalia em 60% a sua probabilidade de ganhar uma concorrência
pública em uma cidade de São Paulo. Se ganhar a Concorrência nesta cidade, acredita que tenha
90% de probabilidade de ganhar outra concorrência na cidade vizinha. Determine a probabilidade
de a empresa ganhar ambas as concorrências. R: 0,54
EXERCÍCIO 10: No primeiro ano de uma faculdade, 25% dos alunos são reprovados em
Matemática, 15% são reprovados em Estatística e 10% são reprovados em ambas. Um estudante é
selecionado ao acaso nesta faculdade. Calcule a probabilidade de que:
a) Ele seja reprovado em Matemática, sabendo-se que foi reprovado em Estatística. R: 2/3
b) Ele não seja reprovado em Estatística, sabendo-se que foi reprovado em Matemática. R: 0,6
51
15. ☺ DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE (VARIÁVEL DISCRETA):
FORMULÁRIO:
Média Variância Desvio Padrão
ou
. ou
.
☺1. REVISÃO: faça uma revisão dos conceitos de variável discreta e contínua já estudados
na apostila do 1o semestre.
☺- Variável aleatória contínua: quando houver um número incontável de resultados
possíveis, representado por um intervalo sobre o eixo real. Ex: altura e peso dos alunos da turma.
☺- Variável aleatória discreta: quando houver um número finito ou contável de resultados
possíveis que possam ser enumerados. ex: número de filhos, número de vitórias.
2. VARIÁVEL ALEATÓRIA X: representa um valor numérico associado a cada um dos
resultados de um experimento probabilístico.
☺3. DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE: enumera cada valor que a
variável aleatória pode assumir, ao lado de sua probabilidade. Uma distribuição de probabilidade
deve satisfazer às seguintes condições:
1. 0 ≤ P(x) ≥ 1
2. ∑ P(x) = 1
EXERCÍCIO 1 (resolvido): Uma empresa aplicou testes em 200 candidatos para vagas de
programadores. A variável aleatória N representa as notas. Determine a média e o desvio padrão
dessa distribuição de probabilidades. Observe que a quantidade de elementos do Espaço Amostral
(S) é igual a 200 ou seja n(S)=200.
Calculando a probabilidade de ocorrência de cada nota:
Observe que P(0)=0,05 e que P(2,5)=0,25 e assim por diante.
Solução: primeiramente construímos uma tabela de distribuição de probabilidade. Complete
as lacunas na tabela seguinte e verifique se os somatórios estão corretos.
Notas possíveis de serem obtidas (N) 0 2,5 5 7,5 10
Quant. de Candidatos que obtiveram esta nota específica (fi) 10 50 60 50 30
Notas (N) 0 2,5 5 7,5 10
Quant. de Candidatos que obtiveram esta nota específica (fi) 10 50 60 50 30
Probabilidade de ocorrência de cada nota: P(N)=fi/n(S) 0,05 0,25 0,30 0,25 0,15
52
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE
Nota (N) P(N) N.P(N)
0 0,05 0,000 1,5125
2,5 0,25 0,625 2,2500
5 0,30 1,500 0,0750 7,5 0,25 1,875 1,0000
10 0,15 1,500 3,0375
--- 1,00 ∑=5,5 ∑=7,875
Média ou Variância
Valor Esperado
☺4. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE: é a correspondência unívoca entre os valores da
variável aleatória e os valores da variável P (probabilidade).
f(x)=P(x) ou então: P(x)= y
No exercício anterior, haveriam cinco funções de probabilidade, uma para cada valor de N.
P(N)=y então: P(0)=0,05 e P(2,5)=0,25 etc.
EXERCÍCIO 2: Você é o gerente de distribuição de uma empresa de eletrônicos e constatou que
muitos incidentes aconteciam na sua empresa, causando perdas e defeitos nos produtos. Para tal um
psicólogo ministrou um teste de personalidade para tentar determinar as causas humanas, conforme
a tabela. Faça o que se pede:
variável qualitativa variável quantitativa
transformada
Personalidade Escore Funcionários
Extremo Passivo 1 24
Pouco Passivo 2 33
Normal 3 42
Pouco Agressivo 4 30
Extremo Agressivo 5 21
Atenção: esta tabela não apresenta as probabilidades, mas sim, frequências. Ela é uma
Distribuição de Frequência e precisa ser transformada em uma Tabela de Distribuição de
Probabilidades.
53
a) Faça a tabela de Distribuição de Probabilidade para a variável aleatória X.
b) Faça o gráfico da Distribuição de Probabilidade em percentagem, utilize barras verticais.
c) Determine se x é uma Variável Aleatória Discreta ou Contínua e o por quê.
d) Qual a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ter personalidade Normal ou Pouco
Passiva.
54
e) Calcule a personalidade média (μ) dos funcionários desta empresa.
f) Calcule o Desvio Padrão de personalidade.
g) Faça a interpretação da média obtida.
EXERCÍCIO 3: Uma companhia analisa diariamente o número de vendas de seus novos
funcionários durante um período de testes de cem dias. Os resultados para um novo funcionário são
apresentados na tabela abaixo. Utilize para os cálculos quatro dígitos após a vírgula.
a) Organize as probabilidades em uma distribuição.
vendas por dia (x) 0 1 2 3 4 5 6 7
nº de dias (f) 16 19 15 21 9 10 8 2
55
b) Faça o gráfico da distribuição de probabilidade.
c) Calcule a média e ao Desvio Padrão desta distribuição.
d) Qual a probabilidade deste funcionário realizar mais que três vendas por dia, em percentagem?
EXERCÍCIO 4: Uma empresa promove seus funcionários considerando um período de vendas de
225 dias de um ano. Um vendedor efetua de 0 a 9 vendas por dia, conforme a tabela abaixo. Se esse
padrão for mantido, qual será o Valor Esperado (média) de vendas por dia para esse vendedor?
Monte uma tabela de Distribuição de Probabilidades para realizar os cálculos. Em média quanto
varia as vendas deste funcionário.
Número de vendas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Frequência (em dias) 25 48 60 45 20 10 8 5 3 1
56
EXERCÍCIO 5: Uma distribuição de probabilidades é dada por X = {2, 4, 6, 8} com
probabilidades respectivas p = {0,50; 0,10; 0,15; 0,25}. Qual a média dessa distribuição? Utilizar a
calculadora para obter o resultado imediatamente.
a) 2,10 b) 2 c) 1,5 d) 4,3
EXERCÍCIO 6: A média da variável aleatória discreta é igual:
a) ao valor esperado da variável aleatória
b) ao valor aproximado da variável aleatória
c) ao desvio padrão da variável aleatória
d) ao coeficiente de correlação da variável aleatória
FIM
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS
3. VARIÁVEIS 1: a) quantitativa b) qualitativa
2: a) Qualitativa Nominal
b) Quantitativa Discreta
c) Quantitativa Discreta
d) Quantitativa Discreta
e) Quantitativa Contínua
3: c)
9. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊCIA
1:
2 2 2 2 3
3 3 3 3 3
3 4 4 4 4
4 5 5 6 7
Tabela de Distribuição de Frequência
(fi)
8
6
4
2
1 2 3 4 5 6 7 (xi)
d)R: Sim
e) R: Não
f) R: Inferencial ou Indutiva
g) R: 80%
h) R: 35%
i) R: 60%
j) R: 20%
- Calcule no decorrer do semestre:
k) 3,6 / 3 / 3
l) 4
m) 4
n) 4 / 4
o) 2,5
p) 1,06
q) 1,74
r) 1,32
2:
a) 10; 11; 11; 11; 12;12; 12; 12; 13; 13;13; 13; 14;
14; 14;14; 14; 15; 15; 16
xi;10;11;12;13;14;15;16;-
fi;1;3;4;4;5;2;1;Σfi=20
fri;0,05;0,15;0,20;0,20;0,25;0,10;0,05;1,00
Fi;1;4;8;12;17;19;20;-
Fri;0,05;0,20;0,40;0,60;0,85;0,95;1,00;-
b) em sala.
3: a) 4 b) 1,5 / 4 /5 c) 4 / 4 / 6 d) 4 / 5 e) 4 f) 0,90
g) 1,22 h) 1,10
4: fri = 0,10/0,25/0,35/0,22/0,08/1,00
Fi = 4/14/28/37/40/-
Fri = 0,10/0,35/0,70/0,92/1,00/-
5: a) 40
b) fri;0,05;0,12;0,30;0,25;0,20;0,08;1,00
c) Fi;2;7;19;29;37;40;-
d) Fri;0,05;0,18;0,48;0,72;0,92;1,00;-
10. MEDIDAS DE POSIÇÃO
1: ; Mo=3 ; Md=2
INTERPRETAÇÃO DO RESULTADO: O valor
médio 2,3 meninos sugere, neste caso, que o maior
número de famílias tem 2 meninos e 2 meninas, porém,
há tendência geral de uma leve superioridade numérica
em relação ao número de meninos.
2: 3,4/3,5/4
3: 161/160/160
4: 15,5/14 e 16
11. MEDIDAS DE SEPARATRIZES
1:. 5
2:.. 7,75
3:. 5
4:. 18/19/18/19/21/18≤idade≥19
12. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU
VARIABILIDADE
1: 6
2: 5
3: 1,75 / em média cada elemento da série está afastado
da média 5,25 por 1,75.
4: 0,8 / 1,18 / Cada candidato tem nota afastada
(dispersa) da média 3,0 por 1,18 pontos em média.
5: 1,5 / Os valores da sequência Xi estão dispersos da
média 5,5 para mais ou para menos de 1,5 u.m. em
média /1,73
6: 0,96 / 0,82 / Em média, os valores de x se dispersam
da média por 0,96.
7: 0,99
8: Resposta: João pois as médias são iguais e a decisão
é tomada em função do Desvio Padrão, como o Desvio
Padrão de notas de João (3,99) é menor que o de Pedro
(4,07), ele tem o direito à vaga.
9:
a) 18,84 anos, 18 anos e 19 anos.
b) 18, 19, 19, 18, 21 anos.
c) 35 alunos.
d) 0,83 anos.
e) 1,02 e 1,04 anos.
10: 1,05 / 1,03
11: a) em sala
b)
Xi/12/13/14/15/16/17/18
fi/1/2/4/7/3/2/1/20
Fi/1/3/7/14/17/19/20/-
i Xi fi fri Fi Fri
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
4
7
5
2
1
1
0,20
0,35
0,25
0,10
0,05
0,05
4
11
16
18
19
20
0,20
0,55
0,80
0,90
0,95
1,00
-- -- Σfi=20 Σfri=1 -- --
58
Xifi/12/26/56/105/48/34/18/299
(Xi-Média)2
fi/8,70/7,60/3,61/0,02/3,31/8,40/9,30/40,94
c) 14,95
d) 15
e) 15
f) 1,43 (desvio padrão)
12: a
13:
Xi/16/17/18/19/20/21/22/23/-
fi/1/1/3/2/4/10/3/6/30
fr/0,03/0,03/0,10/0,07/0,13/0,34/0,10/0,20/1,0
Fi/1/2/5/7/11/21/24/30/-
Fri/0,03/0,07/0,17/0,23/0,37/0,70/0,80/1,00/-
Xi.fi/16/17/54/38/80/210/66/138/619
│Xi-Média│fi/4,63/3,63/7,89/3,26/2,52/3,70/
/4,11/14,22/43,96
(Xi-Médis)2.fi/21,44/13,18/20,76/5,32/1,60
/1,40/5,64/33,72/103,06 b) 20,63 c) 21 d) 21 e) 1,47 f) 3,44 g) 1,85 h) 0,09
i) 22 j) 21 k) 22
14: a
15: a
16: b
17: d
18: b
19: b
13. CONTAGEM:
1: 12
2: 8
3: 210
4: 243
5: 294
6: 175.760.000
7: 24
8: a)120 b) 48
9: a) 6 b) 24 c) 720 d) 362.880
10: 60.480
11: 5.040
12: 60
13: 12
14: 24
15: 90
16: 380
17: 15
18: 20
19: 1.848
20: 126
21: 10
22: 84
23: 5.040
24: 12
25: 6
26: 216
27: 120
28: 60
29: 24
14. PROBABILIDADE CONJUNTA:
1:
AU B = {1;2;3;6}
A ∩ C ={2;3}
CA = Ᾱ ={4;5;6}
CB = ={1;4;5}
C(A U B) ={ 4;5}
2: 1/2
3: a) 1/2
b) 1
c) 1/6
d) 0
4: 4/5
5: 5/6
6: 1/36
7: 2/36
8: 2/36
9: 1/3
10:
a).8/15 e) 23/30
b).2/3 f) 1/6
c).1/3 g) 2/15
d) 1/15 h).1/30
i) 11/15
11: 7
12: Não
13: 0,75
14: 5/8
15:
a) 1/8
b)3/8
16::
a) 0,54
b) 0,04
c) 0,42
17: a) 2/9
b) 7/9
18: 1/3
19: a) 4/35
b) 4/15
15. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE:
1 (resolvido):
2: a) omitido
b) omitido
c) Discreta, pois x assume uma quantidade finita ou
contável de valores que podem ser enumerados.
d) R: 0,50.
e) R: 2,94.
f) R: 1,27.
g) A personalidade média é muito próxima da normal.
3: a) omitido.
b) omitido
c) 2,60 e 1,93.
d) 29%.
4: Média=2,44 Desvio Padrão=1,80
5: d.
6: a.
