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1 FÍSICA II Objetivos da disciplina Física II: Compreender e aplicar os conceitos básicos de equilíbrio do corpo rígido, rotação, da estática e dinâmica de fluidos. Entender a importância da temperatura e dilatação de materiais e os processos de transferência de calor. Conhecer os princípios da termodinâmica e suas aplicações no estudo de máquinas térmicas, assim como entender os princípios das ondas mecânicas e seus efeitos e o comportamento da luz ao interagir com diversos dispositivos. Programa da disciplina: 1. Equilíbrio de Corpos Rígidos : Centro de gravidade. Condições de equilíbrio. Aplicação. 2. Rotação : Velocidade Angular. Aceleração Angular. Rotação com Aceleração Angular Constante. Energia Cinética de Rotação. Trabalho e Potência no Movimento Rotacional. 3. Hidrostática : Densidade. Pressão em Fluídos. Medidores de Pressão. Princípio de Pascal. Princípio de Arquimedes. 4. Hidrodinâmica : Tipos de escoamento. Equação da Continuidade. Equação de Bernoulli. Viscosidade. Equação de Poiseuille. Lei de Stokes. 5. Temperatura e Calor : Escalas de temperatura. Dilatação térmica. Quantidade de calor. Transferência de calor por condução, convecção e radiação. 6. Termodinâmica : Trabalho e Energia em Termodinâmica. Energia Interna. Primeira Lei da Termodinâmica. Processos termodinâmicos. Segunda Lei da Termodinâmica. 7. Ondas : Tipos de ondas mecânicas. Equação de onda. Velocidade de uma onda. Potência de uma onda. Interferência. Ressonância. 8. Som : Intensidade do som. Batimentos. Efeito Doppler 9. Ótica : Polarização. Princípio de Huygens. Reflexão e Refração. Espelhos e Lentes. Bibliografia mínima: o YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A. Física. São Paulo: Pearson, 2003, v. 1, 2 e 4. o KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J. Física. São Paulo: Makron Books, 1999, v. 1 e 2. o HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1996. v. 1, 2 e 4. o TIPLER, P.A. Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1999. v. 1 e 2. o HENNIES, C. E.; GUIMARÃES, W.O.N; ROVERSI, J.A. Problemas Experimentais em Física. Campinas-SP: UNICAMP, 1993. v. 1 e 2. Avaliação: - 2 provas escritas. O assunto abordado no laboratório também faz parte da prova escrita. - Relatórios das práticas realizadas no laboratório. - Exercícios. Pesos: Provas: 7. Relatórios: 2. Exercícios: 1. 10 ) . 1 . 2 . 7 ( ME MR MP MD + + = onde: MD = média na disciplina. MP = média das 2 provas. MR = média dos relatórios. ME = média dos exercícios. Os arquivos das aulas teóricas e os roteiros para laboratório serão disponibilizados no site da FIEL.

Apostila Física II

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Physics formulae II

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Page 1: Apostila Física II

1FÍSICA II

• Objetivos da disciplina Física II:

Compreender e aplicar os conceitos básicos de equilíbrio do corpo rígido, rotação, da estática e dinâmica de fluidos. Entender a importância da temperatura e dilatação de materiais e os processos de transferência de calor. Conhecer os princípios da termodinâmica e suas aplicações no estudo de máquinas térmicas, assim como entender os princípios das ondas mecânicas e seus efeitos e o comportamento da luz ao interagir com diversos dispositivos.

• Programa da disciplina:

1. Equilíbrio de Corpos Rígidos: Centro de gravidade. Condições de equilíbrio. Aplicação. 2. Rotação: Velocidade Angular. Aceleração Angular. Rotação com Aceleração Angular Constante. Energia

Cinética de Rotação. Trabalho e Potência no Movimento Rotacional. 3. Hidrostática: Densidade. Pressão em Fluídos. Medidores de Pressão. Princípio de Pascal. Princípio de

Arquimedes. 4. Hidrodinâmica: Tipos de escoamento. Equação da Continuidade. Equação de Bernoulli. Viscosidade.

Equação de Poiseuille. Lei de Stokes. 5. Temperatura e Calor: Escalas de temperatura. Dilatação térmica. Quantidade de calor. Transferência de

calor por condução, convecção e radiação. 6. Termodinâmica: Trabalho e Energia em Termodinâmica. Energia Interna. Primeira Lei da Termodinâmica.

Processos termodinâmicos. Segunda Lei da Termodinâmica. 7. Ondas: Tipos de ondas mecânicas. Equação de onda. Velocidade de uma onda. Potência de uma onda.

Interferência. Ressonância. 8. Som: Intensidade do som. Batimentos. Efeito Doppler 9. Ótica: Polarização. Princípio de Huygens. Reflexão e Refração. Espelhos e Lentes.

• Bibliografia mínima:

o YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A. Física. São Paulo: Pearson, 2003, v. 1, 2 e 4. o KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J. Física. São Paulo: Makron Books, 1999, v. 1 e 2. o HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Científicos, 1996. v. 1, 2 e 4. o TIPLER, P.A. Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1999. v. 1 e 2. o HENNIES, C. E.; GUIMARÃES, W.O.N; ROVERSI, J.A. Problemas Experimentais em Física.

Campinas-SP: UNICAMP, 1993. v. 1 e 2. • Avaliação:

- 2 provas escritas. O assunto abordado no laboratório também faz parte da prova escrita. - Relatórios das práticas realizadas no laboratório. - Exercícios. Pesos: Provas: 7. Relatórios: 2. Exercícios: 1.

10).1.2.7( MEMRMPMD ++

=

onde: MD = média na disciplina.

MP = média das 2 provas. MR = média dos relatórios. ME = média dos exercícios.

• Os arquivos das aulas teóricas e os roteiros para laboratório serão disponibilizados no site da FIEL.

Page 2: Apostila Física II

2Equilíbrio de Corpos Rígidos O estudo de um objeto extenso em equilíbrio estático fornece informações sobre algumas forças que atuam sobre ele. Estas informações são importantes, por exemplo, na escolha de materiais e componentes de uma estrutura predial. • Centro de massa de um sistema de partículas

O centro de massa de um sistema de partículas é uma posição média do sistema. Esta é uma média ponderada, de acordo com as massas e as posições das partículas que compõem o sistema. O vetor posição rCM do centro de massa é:

M

rmr ii

CM

∑=r

r

onde mi é a massa e ri é o vetor posição da partícula i; M é a massa total do sistema. Separando rCM em suas componentes, obtemos as coordenadas do centro de massa:

M

xmx ii

CM

∑= M

ymy ii

CM

∑= M

zmz ii

CM

∑=

Na figura abaixo temos a representação de três partículas e o seu centro de massa.

• Centro de gravidade de um objeto

A aceleração gravitacional diminui com a altitude, fazendo com que corpos iguais tenham pesos menores a uma altitude maior. Assim, em corpos muito altos, como por exemplo, os grandes edifícios, o peso da parte inferior é maior do que da parte superior. Se o edifício tiver formato de um paralelepípedo homogêneo, por exemplo, o seu centro de massa será no centro do edifício, mas o seu centro de gravidade será abaixo deste ponto. Para objetos com pequena altura, o centro de gravidade coincide com o centro de massa. • Equilíbrio estático de um corpo rígido

Se uma partícula permanece em repouso em um referencial inercial, sua aceleração é zero e, pela segunda lei de Newton, a força resultante sobre a partícula é zero. Esta é a condição necessária (e suficiente) para o equilíbrio estático de uma partícula, conforme já estudado. No mundo real, entretanto, devemos lidar com objetos extensos, e não com partículas.

"Um objeto extenso está em equilíbrio estático se todo ponto do mesmo está em repouso e permanece em repouso".

Page 3: Apostila Física II

3Alguns objetos extensos, dependendo do material com que são feitos, podem mudar de forma e

tamanho em resposta a forças aplicadas. Por outro lado, uma chave metálica permanece rígida e indeformável, se utilizada dentro de seu limite. Assim, podemos definir corpos rígidos:

"Um corpo (ou objeto) é chamado rígido se a distância entre dois pontos quaisquer permanece fixa. Um corpo rígido conserva sua forma e tamanho sob a aplicação de forças".

Na prática, todo objeto sofre alguma deformação em resposta a forças aplicadas externamente, mas se essas variações forem desprezíveis, o objeto é considerado um corpo rígido.

O movimento do centro de massa de um objeto extenso é determinado pelas forças externas. Diz-se que o objeto está em equilíbrio translacional se a aceleração do centro de massa é zero. Então:

0Fext =∑

Esta é a condição para o equilíbrio translacional. Mesmo que o centro de massa de um corpo rígido permaneça em repouso, o objeto não está, necessariamente, em equilíbrio estático. O objeto pode estar mudando sua orientação espacial, girando em torno do centro de massa. Por exemplo, uma polia montada em um eixo, que passa pelo seu centro de massa, pode girar. Os pontos da polia estão em movimento, embora o centro de massa permaneça em repouso. Um objeto que não está girando, ou gira de modo constante em torno de um eixo, está em equilíbrio rotacional. "Um corpo rígido em equilíbrio estático não se translada nem gira; está em equilíbrio translacional e rotacional".

Porta giratória vista de cima

Na figura anterior, temos: (a) A porta gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa. (b) Duas pessoas exercem forças iguais, porém opostas, sobre a porta. A força externa resultante é

zero, mas a porta não em equilíbrio rotacional. (c) Duas pessoas exercem forças iguais e opostas, produzindo uma força externa resultante nula. Por

simetria, a porta está em equilíbrio rotacional. (d) A porta estará em equilíbrio estático se os módulos das forças F1 e F2 forem inversamente

proporcionais às distâncias do eixo a seus pontos de aplicação, ou seja:

1

2

2

1

xx

FF

= ⇒ 2211 xFxF = ⇒ 0xFxF 2211 =−

• Torque em relação a um eixo

No equilíbrio de um objeto, como uma porta, que pode girar em torno de um eixo, é importante o ponto de aplicação da força. A grandeza que leva em conta esta característica é chamada de torque. O torque faz com que o objeto tenda a girar em torno do eixo.

O torque é definido como o produto da força aplicada e a distância perpendicular entre a linha de ação desta força e o eixo de fixação do objeto. De acordo com as figuras a seguir, o torque τ produzido pela força F, em relação ao eixo O, pode ser dado por:

Page 4: Apostila Física II

4

Figura 1 Figura 2

Da figura 1: rsenFrF θ==τ ⊥ ou, da figura 2: θ==τ ⊥ senrFrF De maneira resumida podemos escrever: θ===τ ⊥⊥ senrFrFrF No S.I., o torque τ é dado em newton.metro (N m). A distância perpendicular entre a linha de ação da força e o eixo de fixação é chamada de braço de momento da força, e o torque τ produzido é chamado de momento da força. • Condições para o equilíbrio estático

A condição para o equilíbrio translacional de um objeto é 0Fext =∑ . Um corpo rígido em equilíbrio estático deve estar em equilíbrio tanto rotacional como translacional. A condição para o equilíbrio rotacional é dada em termos de torques produzidos pelas forças externas que atuam sobre o corpo rígido. O equilíbrio rotacional exige o balanceamento das tendências para girar em sentido horário e em sentido anti-horário em torno de qualquer eixo, devido aos torques em relação à estes eixos. Assim, temos as condições para o equilíbrio estático de um corpo rígido:

"Para um corpo rígido em equilíbrio estático, a força externa resultante deve ser zero, e o torque externo resultante também deve ser zero".

0Fext =∑ e 0ext =∑ τ

Em geral, referimo-nos a estas condições como primeira ( 0Fext =∑ ) e segunda ( 0ext =∑ τ ) condições de equilíbrio para um corpo rígido. Como o torque em relação a um eixo pode causar rotação, ou a tendência de rotação, em sentido horário ou anti-horário, adota-se torque positivo quando a força produzir rotação, ou tendência de rotação, no sentido anti-horário, e, negativo, se em sentido horário.

Page 5: Apostila Física II

5• Exemplos 1. Localizar o centro de gravidade de uma peça de máquina, composta de um disco de 6 cm de

diâmetro e 3 cm de espessura e de uma barra de 4 cm de diâmetro e 15 cm de comprimento, ambos homogêneos.

2. Uma pessoa puxa uma porta aplicando uma força horizontal de 25 N, de acordo com a figura, que

representa uma vista superior da porta. Determine o torque produzido pela força aplicada.

3. Uma tábua uniforme de 48 N e 3,6 m de comprimento repousa horizontalmente sobre dois

cavaletes, de acordo com a figura. Quais as forças normais, nos pontos P e Q, exercidas pelos cavaletes sobre a tábua?

Page 6: Apostila Física II

6Rotação

• Período (T): tempo necessário para um objeto realizar uma volta completa, no S.I., em segundos (s). • Frequência (f): número de voltas (ou ciclos) que um corpo efetua numa unidade de tempo, no S.I.,

em rotações por segundo (rps) = hertz (Hz).

f1Tou

T1f ==

• Velocidade angular média (w). No S.I., em radianos por segundo (rad/s):

f2T

2wt

w π=π

=⇒∆θ∆

=

• Velocidade angular instantânea.

dtd

tlimw 0t

θ=

∆θ∆

= →∆

• Aceleração angular média. No S.I., em rad/s2.

tw∆∆

• Aceleração angular instantânea.

dtdw

twlim 0t =∆∆

=α →∆

• Velocidade média (v). No S.I., em m/s.

rwT

r2vtSv =

π=⇒

∆∆

=

• Aceleração centrípeta (ac). É uma aceleração com o sentido para o centro da circunferência. Como é MCU, esta aceleração produz somente mudança de direção e sentido do objeto. No S.I., em m/s2.

rwr

va 22

c ==

• Aceleração tangencial média (at).

tvat ∆

∆=

θo = posição angular inicial, em radianos.

θ = posição angular final, em

radianos. ∆θ = deslocamento angular, em

radianos. ∆s = deslocamento sobre a

circunferência, no S.I., em metros. R = raio da circunferência, no S. I., em

metros (m). θ∆=∆ RS

Page 7: Apostila Física II

7• Aceleração tangencial instantânea.

dtdv

tvlima 0tt =∆∆

= →∆

• Aceleração linear (a). Aplicando Pitágoras na figura abaixo, temos:

2

c2

t )a()a(a +=

• Relação entre aceleração tangencial (at) e aceleração angular (α).

Como Rwv = , podemos dividir a equação por t∆ : rtw

tv

∆∆

=∆∆

Assim, temos: rat α=

• Analogia entre os movimentos de Translação e de Rotação. Translação Rotação Velocidade linear constante: Velocidade angular constante: x = xo + v t θ = θo + w t Aceleração linear constante (a = constante): Aceleração angular constante (α = constante): v = vo + a t w = wo + α t x = xo +vo t + a t2/2 θ = θo + wo t + α t2/2 v2 = vo

2 + 2 a (x - xo) w2 = wo2 + 2 α (θ - θo)

• Energia Cinética de Rotação. Momento de Inércia

A velocidade de uma partícula num corpo rígido rodando em torno de um eixo fixo é wrv= onde r é a distância da partícula ao eixo e w é a velocidade angular do corpo. A energia cinética de uma partícula de massa m é, então,

222 wrm21vm

21

=

A energia cinética total do corpo é a soma das energias cinéticas de todas as partículas que constituem o corpo, assim,

∑=++= 22ii

2222

2211c wrm

21...wrm

21wrm

21E

[ ] 22iic wrm

21E ∑=

O termo entre colchetes é chamado de momento de inércia (I), também chamado de inércia rotacional, do corpo em relação ao eixo de rotação:

Page 8: Apostila Física II

8 ∑= 2

ii rmI no S.I., o momento de inércia é dado em kg.m2. "O momento de inércia de um objeto em relação a um eixo é a propriedade do objeto que o faz resistir a uma variação em sua velocidade angular em relação àquele eixo". Assim, a energia cinética rotacional do corpo pode ser escrita como:

2c wI

21E =

equação análoga à da energia cinética translacional:

2c vm

21E =

isto é, para a rotação em torno de um eixo fixo, este momento de inércia é análogo à massa m (ou inércia), e a velocidade angular é análoga à velocidade linear v. Entretanto, o momento de inércia de um corpo depende da localização do eixo de rotação, e isto deve ser sempre especificado quando se descreve o momento de inércia de um corpo. Tabela - Momento de Inércia de alguns corpos. Em todos os casos, a densidade é uniforme e o eixo

de rotação passa pelo centro de massa; M é a massa do corpo. (a) cilindro de parede delgada; (b) cilindro de parede delgada; (c) esfera oca de superfície delgada; (d) cilindro sólido; (e) cilindro sólido; (f) esfera sólida; (g) cilindro oco de parede espessa; (h) haste longa e delgada; (i) chapa retangular.

Page 9: Apostila Física II

9• Teorema do Eixo Paralelo

O cálculo do momento de inércia de um objeto em relação a um eixo, que não é eixo de simetria, pode ser obtido facilmente através do teorema do eixo paralelo. Este teorema dá uma relação entre o momento de inércia IP em relação a um eixo por um ponto P arbitrário e o momento de inércia ICM em relação a um eixo paralelo passando pelo centro de massa do objeto.

O momento de inércia do objeto, representado na figura anterior, em relação ao eixo que passa

pelo ponto P (eixo B) será dado pelo equação: 2

CMP dmII += onde IP = momento de inércia do objeto em relação ao eixo que passa pelo ponto P. ICM = momento de inércia do objeto em relação ao eixo que passa pelo centro de massa (CM). m = massa do objeto. d = distância entre os eixos que passam pelo CM e pelo ponto P. • Rolamento

Figura - Trajetória de dois pontos em um disco, em movimento de rolamento, localizados no seu centro de massa e na periferia.

Figura - Movimento de translação e rotação de uma roda de raio R. (a) movimento de translação: todos os pontos movem-se com a mesma velocidade V; (b) rotação: todos os pontos giram com a mesma velocidade angular w, fazendo com que w.R = V; (c) rotação e translação: superposição dos movimentos indicados em (a) e (b). As velocidades resultantes são: no ponto P, a velocidade V é nula; no ponto O, a velocidade é V e no ponto T, a velocidade é 2V.

Page 10: Apostila Física II

10

Figura - Foto de uma roda de bicicleta deslocando-se sobre um plano horizontal. Observe que os raios da parte superior da roda estão mais embaçados do que os da parte inferior. Isto ocorre porque as velocidades dos pontos superiores são maiores do que as velocidades dos pontos inferiores. Energia Cinética de um objeto rolando:

22CMc vm

21wI

21E +=

assim, a energia cinética de um objeto rolando pode ser expressa como a soma da energia cinética de rotação em torno do centro de massa com a energia cinética de translação do centro de massa. • Exemplos 1. Uma esfera maciça e uniforme rola, sem deslizar, sobre uma superfície horizontal a 20 m/s. Em

seguida sobe um plano inclinado, que forma um ângulo de 30o com a horizontal. Se as perdas por atrito são desprezíveis, qual será o valor da altura máxima vertical que a bola alcança?

2. Um disco circular e uniforme da figura tem massa 6,5 kg e 80 cm de diâmetro. Calcule o momento

de inércia em relação a: (a) um eixo perpendicular ao disco passando pelo ponto G; (b) um eixo perpendicular ao disco, passando pelo ponto A.

Page 11: Apostila Física II

11• Trabalho e Potência no Movimento Rotacional

Uma força resultante F(componente perpendicular ao raio) aplicada a um corpo em rotação realiza trabalho (W) sobre o corpo (figura a seguir); este trabalho pode ser expresso em termos do torque da força e do deslocamento angular. Se a força F for constante, temos:

Como o trabalho resultante também pode ser expresso pela variação da energia cinética (visto no item Trabalho e Energia), temos;

2i

2ftetanresul wI

21wI

21W −=

• Torque e Aceleração Angular

Na figura anterior, a força resultante F aplicada produz uma aceleração tangencial at que pode ser expressa através da segunda lei de Newton: tamF = sabemos que a aceleração tangencial está relacionada com a angular da seguinte forma: α= ra t , então: α= rmF se multiplicarmos os dois membros da equação anterior por r, temos: α= 2rmrF mas IinérciademomentormetorquerF 2 =τ= , então: α=∑ τ I o torque resultante em um corpo é igual ao seu momento de inércia multiplicado pela aceleração angular. • Momento Angular e Impulso Angular

O momento angular (L) é definido como o produto entre o momento linear (p) do corpo e o seu raio (r). Assim, temos: rvmrpL == como v = r w, temos: wrmr)wr(mL 2==

SFW ∆= Como θ∆=∆ RS , temos: θ∆= RFW Mas τ= torqueRF , então:

θ∆τ=W (trabalho no movimento rotacional)

Dividindo a equação acima por t∆ , temos: tt

W∆θ∆

τ=∆

Como Ppotênciat

W=

∆ e wangularvelocidade

t=

∆θ∆

,

então:

wP τ= (potência no movimento rotacional)

Page 12: Apostila Física II

12 wIL= o momento angular L de um corpo pode ser expresso pelo produto do seu momento de inércia I e sua velocidade angular w. A unidade de momento angular, no S.I., é kg.m2/s. Quando um torque constante atua em um corpo de momento de inércia I, durante um intervalo de tempo de t1 a t2, a velocidade angular varia de w1 a w2, de acordo com:

−−

=α=τ12

12

ttww

II

121212 LLwIwI)tt( −=−=−τ o produto do torque pelo intervalo de tempo durante o qual ele atua é chamado de impulso angular do torque, denotado por Jθ. Então, a equação acima mostra que o impulso angular que atua sobre um corpo é igual à variação no seu momento angular em relação ao mesmo eixo )tt(JAngularpulsoIm 12 −τ== θ 12 LLLAngularMomentodoVariação −=∆= assim, LJ ∆=θ Um grande torque que atua apenas durante um curto intervalo de tempo é chamado de torque impulsivo. • Conservação do Momento Angular

Quando o torque externo resultante sobre um corpo, ou sistema de corpos, é nulo, o momento angular total do sistema é constante, ou seja, temos a conservação do momento angular. Assim:

Linicial = Lfinal

Tabela - Analogia entre as equações do Movimento Linear e do Movimento de Rotação MOVIMENTO LINEAR MOVIMENTO DE ROTAÇÃO Deslocamento: x∆ Deslocamento angular: θ∆ Velocidade:

dtdxv=

Velocidade angular:

dtdw θ

=

Aceleração: 2

2

dtxd

dtdva ==

Aceleração angular: 2

2

dtd

dtdw θ

==α

Velocidade: v = vo + a t Velocidade angular: w = wo + α t v2 = vo

2 + 2 a ∆x w2 = wo2 + 2 α ∆θ

Posição: x = xo + vo + a t2/2 Posição angular: θ = θo + wo t + α t2/2 Massa: m Momento de inércia: I Momento linear: p = m v Momento angular: L = I w Força: F Torque: τ Energia cinética:

2c mv

21E =

Energia cinética: 2

c wI21E =

Potência: P = F v Potência: P = τ w 2a lei de Newton:

amdtdpF tetansulRe ==

2a lei de Newton: α==τ I

dtdL

tetansulRe

Page 13: Apostila Física II

13• Exemplos: 1. Uma corda está enrolado em torno de um disco uniforme que pode girar, sem atrito, em torno de um

eixo fixo que passa pelo seu centro. A massa do disco é 3 kg e o seu raio 25 cm. Se a corda é puxada com uma força de 10 N, qual a aceleração angular produzida?

2. O motor de um carro gera um torque de 380 N.m a 3200 rpm. Determine (a) o trabalho que o motor

realiza a cada rotação; (b) a potência do motor. 3. Um menino de massa 50 kg, correndo com velocidade 5 m/s, salta para a beira de um carrossel, de

200 kg e e raio 1,5 m, que está inicialmente em repouso. Qual é a velocidade angular do carrossel, após o menino entrar em repouso? Considere que o torque devido ao atrito no eixo do carrossel é desprezível.

4. Uma professora está sentada em um banco que está girando em torno de um eixo vertical com

velocidade angular wi. A professora tem os braços distendidos e segura um haltere em cada mão (figura a), de modo que o momento de inércia do sistema (professora, assento e halteres) é Ii. Ela puxa rapidamente os halteres, encolhendo os braços (figura b), de modo que o momento de inércia final do sistema é um terço do momento de inércia inicial. (a) qual é sua velocidade angular final? (b) compare as energias cinéticas final e inicial do sistema.

Page 14: Apostila Física II

14Hidrostática • Hidrostática: estudo de fluidos em repouso. • Fluido: substância que pode escoar; se adapta ao contorno de qualquer recipiente que o contém. Na

definição mais formal, fluido é uma substância que não suporta uma tensão de cisalhamento, ou seja, ele se deformará continuamente sob a ação de uma força cisalhante. Os líquidos e os gases são classificados como fluidos.

• Densidade

Densidade ou massa específica de um material é a razão entre a massa e o volume ocupado por uma amostra deste material:

Vm

a densidade ρ, no S.I., é dada em kg/m3. Porém, a unidade g/cm3, no sistema CGS, também é muito utilizada. A relação entre estas duas unidades é,

3

33 m

kg10cm

g1 =

Tabela - Densidade aproximada de alguns materiais, à 20 oC e 1 atm.

Material Densidade ρ (kg/m3) Material Densidade ρ (kg/m3) Alumínio 2,7.103 Sangue 1,05.103 Cobre 8,9.103 Álcool etílico 0,81.103 Ouro 19,3.103 Mercúrio 13,6.103 Irídio 22,6.103 Água 1,00.103 Ferro ou aço 7,8.103 Água do mar 1,03.103 Chumbo 11,3.103 Platina 21,4.103 Espaço interestelar 3.10-22 Tungstênio 19,3.103 Melhor vácuo no laboratório 10-17

Sol: média 1,4.103 Osso 1,8.103 núcleo 1,6.103 Concreto 2,4.103 Terra: média 5,5.103 Diamante 3,5.103 núcleo 9,5.103 Vidro 2,6.103 crosta 1,4.103 Gelo 0,92.103 Estrela de nêutrons (núcleo) 1018 Madeira 0,7.103 Buraco negro 1019 Ar 1,29 Hélio 0,179 Vapor (100oC) 0,090 Hexafluoreto de urânio 15

• Pressão em fluidos

Pressão em um ponto qualquer é a relação entre a força normal (dF), exercida sobre uma área elementar (dA):

dAdFp =

Se a pressão for a mesma em todos os pontos de uma superfície plana finita de área A, temos:

AFp =

Page 15: Apostila Física II

15 A pressão em um fluido estático varia com a posição vertical, devido ao seu peso. Por exemplo, a pressão num lago ou oceano aumenta quando a profundidade aumenta, enquanto que a pressão da atmosfera diminui com o aumento da altura. Num líquido como a água, cuja densidade é constante (numa ampla faixa de pressões), a pressão cresce linearmente com a profundidade. Na figura a seguir, consideramos uma coluna de líquido de altura h e de área da seção transversal A. A pressão no fundo da coluna deve ser maior que a pressão no topo da coluna, a fim de suportar o peso da coluna.

Utilizando a definição de densidade, temos a massa desta coluna:

hAVmVm

ρ=ρ=⇒=ρ

e o seu peso é: ghAgmP ρ== Sabendo-se que p=F/A, ou seja, F=pA, temos: Fo = po A e F = p A Como a coluna de líquido está em equilíbrio, a força resultante tem que ser nula. Assim devemos ter: F - Fo - ρ A h g = 0 p A - po A - ρ A h g = 0 p - po - ρ g h = 0 p = po + ρ g h Em um recipiente aberto, se po for a pressão na superfície de um líquido, então po é igual à pressão que a atmosfera exerce sobre esta superfície. Assim, temos, po = patm então, p = patm + ρ g h onde p é a pressão total ou absoluta a uma profundidade h, no líquido. p - patm = ρ g h = pressão manométrica = pressão devido somente à coluna de líquido.

Page 16: Apostila Física II

16• Medidores de pressão

Manômetro de tubo aberto em U:

No mesmo nível e no mesmo líquido, as pressões são iguais. Assim, a pressão p do gás dentro do balão é: pc = pB = p = patm + ρ g h Barômetro de mercúrio: Barômetro é um dispositivo para medir pressão atmosférica.

Como os pontos 1 e 2 estão no mesmo nível e mesmo líquido, a pressão atmosférica pode ser calculada por: p1 = p2 = patm = ρ g h Manômetro de Bourdon: O manômetro de Bourdon é utilizado para medir pressão de gases e líquidos.

Page 17: Apostila Física II

17Unidades de pressão: No S. I. a pressão é dada em N/m2 (pascal, Pa). Outras unidades de pressão e seus fatores de conversão: 1 bar = 105 Pa = 1,02.104 kgf/m2 = 1,02 kgf/cm2 = 0,987 atm 1 atm = 760 mmHg = 1,013.105 Pa = 14,7 lb/pol2 (psi) = 1,013.106 dyn/cm2 1 torr = 1 mmHg atm = atmosfera torr = torricelli Pressão atmosférica ao nível do mar: patm = 1 atm = 760 mmHg = 1,013.105 Pa = 14,7 lb/pol2 • Vasos Comunicantes

Se recipientes de formatos diferentes estiverem interligados e contendo um líquido, o nível atingido pelo líquido será igual em todos os recipientes, não importando o seu formato.

• Princípio de Pascal

Enunciado do princípio de Pascal: "Uma mudança de pressão aplicada a um fluido contido em um recipiente é transmitida

integralmente a todos os pontos do fluido e às paredes do recipiente". Prensa hidráulica ou elevador hidráulico: A figura a seguir mostra um dispositivo chamado de prensa hidráulica ou elevador hidráulico, que utiliza o princípio de Pascal para ampliar forças.

De acordo com o princípio de Pascal, temos: 21 pp ∆=∆

1

212

2

2

1

1

AA

FFAF

AF

=⇒=

como A2 > A1, a força F2, no pistão 2, será maior do que a força F1, aplicada no pistão 1.

Page 18: Apostila Física II

18 Se o pistão menor (da esquerda) deslocar uma distância d1, o maior (da direita) se moverá para cima uma distância d2. Como o volume de óleo deslocado no cilindro menor e maior tem que ser igual, temos: V = A1 d1 = A2 d2

2

112 A

Add =

como A2 > A1, o pistão maior desloca uma distância menor do que o outro pistão. • Princípio de Arquimedes

Enunciado do princípio de Arquimedes: "Um corpo total ou parcialmente mergulhado em um fluido recebe deste fluido uma força vertical, de

baixo para cima, cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo". Esta força recebe o nome de Empuxo.

Desta maneira, o empuxo E é dado por:

E = Peso do líquido deslocado pelo corpo

E = mLD g E = ρL . VLD . g onde: ρL = densidade do líquido. VLD = volume de líquido deslocado pelo corpo. g = aceleração da gravidade. Se o corpo flutuar em um fluido, temos que: E = Peso do corpo ρL . VLD . g = ρC . VC . g ρL . VLD = ρC . VC

Page 19: Apostila Física II

19• Exemplos 1. Determine a pressão manométrica e a pressão total ou absoluta no fundo de uma piscina, contendo

água, com 5 m de profundidade. 2. Em um elevador hidráulico, o pistão maior possui um diâmetro de 300 mm e o menor, 17 mm. Se,

sobre o pistão maior, um carro de 1200 kg está sendo equilibrado, qual é a força aplicada no pistão menor?

3. A figura mostra um tubo em U contendo mercúrio e um líquido desconhecido. Sabendo-se que a

densidade do mercúrio é 13,6 g/cm3, determine a densidade do líquido desconhecido.

4. Um bloco de material desconhecido pesa 5 N no ar e 4,55 N quando submerso em água. Determine

a densidade do material.

Page 20: Apostila Física II

20Hidrodinâmica Os fluidos (líquidos ou gases) em movimento são muito mais complexos do que os fluidos em repouso. A descrição de um fluido em movimento envolve o conhecimento da velocidade vetorial do fluido, da pressão e da densidade, em todos os pontos. Um escoamento é chamado de estacionário quando a pressão, a densidade e a velocidade vetorial do fluido não variam com o tempo em um determinado ponto, embora possam variar com a posição no fluido. Quando alguma dessas grandezas variarem com o tempo, o escoamento é chamado de turbulento. Como a análise de um escoamento turbulento é muito complexa, nosso estudo se restringirá ao fluxo não-turbulento (laminar) e a condições estacionárias. • Escoamento laminar: escoamento no qual as camadas adjacentes do fluido "deslizam" suavemente

uma sobre as outras. • Escoamento turbulento: escoamento com velocidades suficientemente elevadas ou com mudanças

bruscas na velocidade, onde o módulo e direção dessa velocidade, em um determinado ponto, varia com o tempo. Isto significa que o fluxo é irregular e não há a configuração estacionária.

• Linha de fluxo (ou linha de corrente): é uma linha que mostra como as partículas do fluido se movem. Ela é traçada de modo que a tangente em cada ponto esteja na direção do vetor velocidade do fluido (figura a seguir).

Figura - Uma linha de fluxo em um fluido escoando. Em cada ponto a linha de fluxo aponta na direção do vetor velocidade do fluido.

• Tubo de fluxo (ou tubo de corrente): conjunto de linhas de fluxo que passam tangenciando um

elemento de área A (figura a seguir).

Figura - Tubo de fluxo contornado por linhas de fluxo. Um fluido que não sofre variação na densidade, é chamado de fluido incompressível. Se variar, é

chamado de fluido compressível. Neste estudo, abordaremos problemas com fluidos incompressíveis.

Na figura a seguir são apresentados alguns exemplos de escoamento laminar, onde podem ser visualizadas as linhas de fluxo.

Figura - (a), (b), (c) Escoamento laminar em torno de obstáculos com formas diversas;

(d) Escoamento laminar através de um canal com seção transversal variável.

Page 21: Apostila Física II

21• Equação de Continuidade (Conservação da Massa) Na figura a seguir temos um trecho de tubo de fluxo.

Figura - Entrada e saída do fluido num trecho de um tubo de fluxo. Na figura anterior, v é a velocidade da partícula de fluido, V é o volume contido no elemento de fluido, A é a área do elemento de fluido, x é o deslocamento do elemento de fluido. Equacionando no tubo de fluxo, temos:

tvxtvxtvx

22

11

∆=∆=⇒∆=

tvAVxAV 111111 ∆=⇒=

tvAVxAV 222222 ∆=⇒=

Para fluido incompressível, o volume (ou massa) que entra no tubo de fluxo é o mesmo que sai (conservação da massa), portanto: 21 VV =

tvAtvA 2211 ∆=∆ 2211 vAvA = O produto Av é a vazão (Q) do escoamento e é constante ao longo do tubo de fluxo: 2211 vAvAQ == No escoamento de água, no fluxo de ar ao redor de asas ou em dutos de aquecimento e resfriamento, onde as variações de pressão são pequenas, a hipótese de fluido incompressível pode ser aplicada. • Equação de Bernoulli (Conservação da Energia) No tubo de fluxo (figura a seguir), aplicaremos a conservação da energia, ou seja, nenhum trabalho é realizado por forças não-conservativas.

Page 22: Apostila Física II

22

Figura - Pressão na entrada e saída do fluido, num trecho de um tubo de fluxo. Em um intervalo de tempo ∆t, um volume ∆V flui através do tubo de fluxo. O trabalho (W) realizado sobre este elemento de volume ∆V durante o deslocamento é: 2211 xFxFW ∆−∆= VpVpxApxApW 21222111 ∆−∆=∆−∆= V)pp(W 21 ∆−= (1) O trabalho W também é igual à soma das variações das energias cinética e potencial do elemento de volume: PC EEW ∆+∆= (2)

21

22CCC vm

21vm

21EEE

12∆−∆=−=∆

)vv(m21E 2

122C −∆=∆

)vv(V21E 2

122C −∆ρ=∆ (3)

12PPP ygmygmEEE

12∆−∆=−=∆

)yy(gmE 12P −∆=∆

)yy(gVE 12P −∆ρ=∆ (4) Substituindo as equações (1), (3) e (4) na equação (2), temos:

)yy(gV)vv(V21V)pp( 12

21

2221 −∆ρ+−∆ρ=∆−

)yy(g)vv(21)pp( 12

21

2221 −ρ+−ρ=−

ou

22221

211 ygv

21pygv

21p ρ+ρ+=ρ+ρ+

Page 23: Apostila Física II

23• Aplicações da Equação de Bernoulli a) As equações da Hidrostática são casos especiais da Equação de Bernoulli, para velocidade nula em todos os pontos. Se v1 e v2 são nulos, temos:

22221

211 ygv

21pygv

21p ρ+ρ+=ρ+ρ+

)yy(g)vv(21pp 12

21

2221 −ρ+−ρ=−

)yy(gpp 1221 −ρ=− hgpp 21 ρ+=

b) Velocidade de descarga (Teorema de Torricelli).

Na figura a seguir temos um reservatório aberto para a atmosfera, com um orifício a uma altura h abaixo do nível do líquido.

A pressão no topo do tanque (ponto 1) e na saída do orifício (ponto 2) é a pressão atmosférica.

Aplicando a equação de Bernoulli nos pontos 1 e 2, temos:

22221

211 ygv

21pygv

21p ρ+ρ+=ρ+ρ+

220

210 v

21phgv

21p ρ+=ρ+ρ+

Como a velocidade v1, com que o nível diminui, pode ser considerado desprezível em relação a v2, temos:

22v

21hg ρ=ρ

hg2v 2 = Se o reservatório for fechado, como na figura a seguir, temos:

2

2221

211 ygv

21pygv

21p ρ+ρ+=ρ+ρ+

Page 24: Apostila Física II

2422atm

21 v

21phgv

21p ρ+=ρ+ρ+

Fazendo a mesma consideração de que a velocidade v1, com que o nível diminui, pode ser desprezada e que a pressão p, no ponto 1, seja muito maior do que a pressão exercida pela coluna de líquido (ρgh), temos:

22atm v

21pp ρ+=

ρ−

=)pp(2v atm

2

c) O medidor Venturi (ou Tubo de Venturi). É um dispositivo usado para medir a velocidade de escoamento de um fluido dentro de um tubo (figura a seguir).

No estrangulamento, a área é reduzida de A1 para A2 e a velocidade cresce de v1 para v2. Note que, no estrangulamento, onde a velocidade é máxima, a pressão deve ser mínima. Como previsto pela equação de Bernoulli. Isto é razoável, uma vez que a diferença de pressão está no sentido correto para acelerar o fluido, ou seja, uma partícula de fluido que penetra, pela esquerda, na região do estrangulamento, será acelerada para a direita pela diferença de pressão entre o tubo e o estrangulamento. Considerando o tubo na horizontal, ou seja, y1 = y2, e utilizando a equação de Bernoulli, temos:

222

211 v

21pv

21p ρ+=ρ+

Pela equação da continuidade, temos: 2211 vAvA =

12

12 v

AAv =

Assim,

2

12

12

211 v

AA

21pv

21p

ρ+=ρ+

21

2

2

12121 v

21

AAv

21pp ρ−

ρ=−

ρ=− 1

AAv

21pp

2

2

12121

ρ

−=

1AA

)pp(2v2

2

1

211

Page 25: Apostila Física II

25onde ρ é a densidade do fluido escoando. A diferença de pressão (p1 - p2) pode ser calculada utilizando a altura h da coluna do liquido manométrico de densidade ρ'. Ou seja, p1 - p2 = ρ'g h d) Tubo de Pitot (ou tubo de Prandtl). É um dispositivo utilizado para medir a velocidade de escoamento de um gás.

Consideremos o gás - ar, por exemplo - que escoa através das aberturas existentes em a. Essas aberturas são paralelas à direção de escoamento e suficientemente afastadas na parte posterior para que a velocidade e a pressão fora delas não sejam perturbadas pelo tubo. A pressão no ramo esquerdo do manômetro, que está ligado a essas aberturas é, por isso, a pressão estática da corrente de gás, pa. A abertura do ramo direito do manômetro é perpendicular à corrente. A velocidade reduz-se a zero em b e o gás aí fica estagnado (em repouso); portanto, nessa região a pressão é a pressão total, pb. Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos a e b, obtemos:

b2

a pv21p =ρ+

em que pb, como mostra a figura, é maior do que pa. Sendo h a diferença entre as alturas do líquido nos ramos do manômetro e ρ' a densidade do líquido manométrico, temos: ba phg'p =ρ+ Igualando as duas equações, obtemos:

hg'pv21p a

2a ρ+=ρ+

hg'v21 2 ρ=ρ

ρρ

='hg2v

• Exemplos. 1. Calcule o fluxo, em litros/s, de um líquido não viscoso através de uma abertura de 0,5 cm2 de área,

2,5 m abaixo do nível do líquido, em um tanque aberto. 2. A seção do tubo tem área transversal de 40 cm2 na parte mais larga e 10 cm2 na garganta. No tubo

escoam 30 litros de água em 5 segundos. Determinar: a) As velocidades nas seções largas e estreitas. b) A diferença de pressão entre as duas seções. c) A diferença de altura h no líquido manométrico (mercúrio)

(ρHg = 13,6.103 kg/m3; ρágua = 1.103 kg/m3)

Page 26: Apostila Física II

26• Viscosidade Em geral, as forças não-conservativas em um fluido não podem ser desprezadas, como foi considerado na equação de Bernoulli. Tais forças dissipam a energia mecânica do fluido em energia interna do mesmo. Um fluido com tais forças dissipativas é chamado de viscoso. Se a viscosidade de um fluido não é desprezível, então, a energia mecânica não é conservada, e a equação de Bernoulli não é mais válida. A viscosidade pode descrita como o atrito interno em um fluido. Todos os fluidos reais são viscosos e esta característica tem uma influência muito grande em seu movimento, por exemplo, quando um fluido viscoso escoa em um tubo horizontal uniforme, a pressão decresce à medida que se avança no sentido do escoamento, conforme mostra a figura a seguir.

Observando o efeito de outra forma, é preciso que haja uma diferença de pressão para empurrar um fluido através de um tubo horizontal. Esta diferença de pressão é indispensável em virtude da perda de energia, devido à força de arraste que cada camada de fluido exerce sobre a camada adjacente, que tem velocidade diferente da sua. Estas forças de arraste são denominadas forças viscosas. Em virtude destas forças viscosas, a velocidade do fluido não é constante sobre o diâmetro do tubo. Ao contrário, é maior no eixo central do tubo e vai diminuindo no sentido da parede do tubo, onde zera. Na figura a seguir tem-se o perfil de velocidade de um fluido viscoso escoando em um tubo.

Figura - Perfil de velocidades de um fluido viscoso, em escoamento laminar, dentro de um tubo. O comprimento das setas é proporcional às velocidades, sendo maior no centro e diminuindo no sentido da parede do tubo.

Podemos utilizar o arranjo da figura a seguir para estudar a viscosidade de fluidos. A placa superior é deslocada a uma velocidade baixa, constante, através do topo do fluido. Experimentos mostram que, para a maioria dos fluidos, a velocidade do fluido em pontos entre as duas placas da figura varia linearmente com a distância em relação à placa móvel. Fluidos para os quais a componente horizontal da força necessária para mover a placa é proporcional à velocidade da placa chamam-se fluidos newtonianos. Água e ar são exemplos de fluidos quase newtonianos. Certos plásticos e suspensões, tais como sangue e mistura de água e argila, são exemplos de fluidos não-newtonianos, nos quais o módulo da força necessária para mover a placa poderia ser proporcional ao quadrado da velocidade. Para altas velocidades, o fluxo torna-se turbulento e muito complexo em todos os fluidos.

Figura - Quando a placa superior é puxada lentamente, o fluido viscoso entre as placas flui em

"lâminas", cuja velocidade é proporcional à sua distância até a placa parada na base, conforme indicado pelo comprimento das setas na figura.

A porção de fluido representada na figura anterior possui uma forma que vai se tornando cada vez mais distorcida devido ao movimento da placa superior. Ou seja, o fluido sofre uma contínua

Page 27: Apostila Física II

27deformação de cisalhamento. A razão F/A é a tensão de cisalhamento exercida sobre o fluido. A tensão de cisalhamento depende da taxa de deformação que é dada pela razão v/z. A viscosidade do fluido (η) é definida como a razão entre a tensão de cisalhamento e taxa de deformação:

z/vA/F

deformaçãodeTaxatocisalhamendeTensão

==η

Reagrupando a equação anterior, vemos que a força necessária para o movimento indicado na figura anterior é diretamente proporcional à velocidade:

zvAF η=

A unidade de viscosidade, no SI, é:

N.s/m2 = Pa.s

No sistema CGS, a viscosidade é dada em: din.s/cm2 = poise O fator de conversão entre as unidades SI e CGS é: 1 Pa.s = 10 poise Os fluidos que escoam facilmente, como a água e a gasolina, possuem viscosidades menores do que fluidos como mel e o óleo de motor. As viscosidades dos fluidos são fortemente dependentes da temperatura, aumentando para os gases e diminuindo para os líquidos, à medida que a temperatura aumenta. • Lei de Poiseuille Pela natureza geral dos efeitos viscosos, a velocidade de um fluido viscoso que escoa através de um tubo não será constante em todos os pontos de uma seção transversal do tubo. A camada mais externa do fluido adere às paredes e sua velocidade é nula. As paredes exercem, sobre ela, uma força para trás e esta, por sua vez, exerce uma força na camada seguinte na mesma direção e assim por diante. Se a velocidade não for muito grande, o escoamento será laminar, a velocidade atingirá um máximo no centro do tubo, decrescendo para zero nas paredes.

Na figura a seguir, a força propulsora (FP) do fluido é produzida pela diferença de pressão. Assim temos:

Figura - Forças sobre um tubo de fluxo de um fluido viscoso. 2

22

1P rprpF π−π= 2

21P r)pp(F π−= A força viscosa (retardadora) na parede é dada por:

Page 28: Apostila Física II

28

drdvLr2

drdvAFV πη=η=

Igualando as duas forças, pois temos um escoamento estacionário, temos:

drdvLr2r)pp( 2

21 πη=π−

rL2

)pp(drdv 21

η−

=

drrL2

)pp(dv 21

η−

=

O sinal negativo deve ser introduzido, porque a velocidade v diminui quando r aumenta. Integrando, temos:

∫η−

=∫Rr

210v drr

L2)pp(

dv

cujo resultado é:

)rR(L4

)pp(v 2221 −

η−

=

onde v é a velocidade do fluido na posição de raio r. A equação anterior pode ser usada na determinação do fluxo no tubo. A velocidade, em cada ponto, é proporcional ao gradiente de pressão (p1 - p2)/L, de modo que a razão do fluxo total também deve ser proporcional a essa quantidade. O volume de fluido dV que atravessa os extremos do tubo de fluxo no tempo dt, é (v dA dt), onde v é a velocidade na seção de raio r e dA, a área (2 π r dr)

dtdA)rR(L4

)pp(dtdAv 2221 −

η−

=

dtdrr2)rR(L4

)pp(dV 2221 π−

η−

=

O volume que escoa através de toda a seção transversal do tubo é obtido pela integração de todos os elementos entre r = 0 e r = R:

∫ −η−π

= R0

2221 dtdrr)rR(L2

)pp(dV

dtL8

)pp(RdV 21

4

η−π

=

O fluxo (vazão Q) é dado por:

L8

)pp(RdtdVQ 21

4

η−π

==

Page 29: Apostila Física II

29• Lei de Stokes A força viscosa (força de arraste) sobre uma esfera de raio r, se movendo com velocidade v, em um fluido, é dada por: vr6F ηπ= Uma esfera movendo-se na vertical em um fluido viscoso atinge uma velocidade terminal vT, onde a força viscosa retardadora, somada ao empuxo, se igualam ao peso da esfera: PEF =+ onde: Tvr6F ηπ=

gr34'gV'E 3

esf πρ=ρ=

gr34gVgmP 3

esf πρ=ρ==

Substituindo, temos:

gr34gr

34'vr6 33

T πρ=πρ+ηπ

η

ρ−ρ=

9)'(gr2v

2

T

onde: vT = velocidade terminal da esfera.

η = viscosidade do fluido. ρ = densidade da esfera. ρ' = densidade do fluido.

• Número de Reynolds Quando a velocidade de um fluido que escoa em um tubo excede um certo valor crítico (que depende das propriedades do fluido e do diâmetro do tubo) a natureza do escoamento torna-se extremamente complicada. Dentro de uma camada extremamente fina, adjacente às paredes, denominada camada limite, o escoamento ainda é laminar. A velocidade de escoamento na camada limite é nula nas paredes do tubo, crescendo uniformemente através dela. As propriedades desta camada são da maior importância para se determinar a resistência ao escoamento e a transferência de calor para o fluido em movimento ou proveniente dele. Fora desta camada limite, o movimento é altamente irregular. Desenvolvem-se no fluido, ao acaso, correntes circulares locais, chamadas vórtices, com um grande aumento na resistência ao escoamento. Este tipo de escoamento é chamado turbulento. A experiência indica que uma combinação de quatro fatores determina se o escoamento de um fluido em um tubo é laminar ou turbulento. Esta combinação é conhecida como Número de Reynolds (NR), definido como a razão entre as forças de inércia e viscosa:

acosVisForça

InérciadeForçaNR =

ηρ

=DvNR

Page 30: Apostila Física II

30onde: ρ = densidade do fluido.

v = velocidade média do fluido (a velocidade média é definida como a velocidade uniforme em toda a seção transversal do tubo que produziria a mesma vazão volumétrica).

η = viscosidade absoluta, ou dinâmica, do fluido. D = diâmetro do tubo.

ν=ρη

= viscosidade cinemática do fluido. No SI, é dada em m2/s; no CGS, em cm2/s (stoke =

st).

O número de Reynolds é adimensional e, portanto, seu valor independe do sistema de unidade utilizado.

Um escoamento pode ser classificado, de acordo com o número de Reynolds, em: a) Escoamento laminar: 2000NR ≤

b) Transição (escoamento instável): 3000N2000 R ≤<

c) Escoamento turbulento: 3000NR >

O número de Reynolds constitui a base do estudo do comportamento de sistemas reais, pelo

uso de modelos reduzidos. Dois sistemas são dinamicamente semelhantes se o número de Reynolds for o mesmo. O termo D na equação refere-se, em geral, a qualquer dimensão característica do sistema, por exemplo, o comprimento da asa de um avião. Se a dimensão característica D for reduzida, aumenta-se a velocidade média do escoamento no modelo reduzido, para que tenha o mesmo número de Reynolds que o sistema real. Assim, por exemplo, o escoamento de um fluido em um modelo reduzido na escala 1/2, é dinamicamente semelhante ao sistema real, se a velocidade for duas vezes maior. • Exemplos

1. Água a 20oC escoa por um tubo de 1 cm de raio. Se a velocidade do escoamento no centro do tubo

for de 10 cm/s, determinar a queda de pressão, devido à viscosidade, ao longo de um trecho de 2 m. (η da água a 20oC = 1,005 centipoise)

2. Em um tubo, com raio de 2 cm, escoa água à 20oC. Se a vazão é de 125 ml/s, determine se o

escoamento é laminar ou turbulento. (η da água a 20oC = 1,005.10-3 Pa.s)

Page 31: Apostila Física II

31Temperatura e Calor • Temperatura Temperatura é uma grandeza relacionada com o grau de agitação das moléculas que compõem uma substância. Para medirmos a temperatura dessa substância, podemos utilizar diversos tipos de termômetros: a. Termômetro clínico ou termômetro de uso geral em laboratório: podem ser de mercúrio ou álcool.

Utilizam o princípio da dilatação térmica, que é o aumento nas dimensões da substância quando ela sofre variação de temperatura.

(a) Termômetro clínico (b) Termômetro para uso geral b. Termômetro de lâmina bimetálica: utiliza a junção de dois metais diferentes na forma de lâminas.

Quando este sistema se aquece, um metal dilata mais do que o outro, de modo que a lâmina composta se encurva quando a temperatura varia.

(a) (b) (a) Lâmina bimetálica; (b) Termômetro de lâmina bimetálica.

c. Termopar: liga bimetálica que, ao sofrer variação de temperatura, gera uma corrente elétrica que é proporcional à esta variação de temperatura.

d. Termômetro de resistência: quando um material (fio fino, fio de carbono, cristal de germânio) sofre aumento de temperatura, sua resistência elétrica aumenta, e esta resistência é proporcional à temperatura. Como a resistência pode ser medida com grande precisão, os termômetros de resistência, em geral, são mais precisos do que os outros tipos de termômetro.

e. Pirômetro óptico: consiste, essencialmente num telescópio, no qual monta-se um filtro de vidro vermelho e uma pequena lâmpada elétrica. Quando o pirômetro é dirigido para uma fornalha, observa-se através do telescópio, o filamento escuro da lâmpada contra o fundo brilhante da fornalha. O filamento é ligado a uma pilha e a um reostato (resistência variável). Girando-se o reostato, aumenta-se a corrente no filamento e, consequentemente, sua luminosidade, até que esta se iguale à do fundo. Com uma prévia calibração do instrumento, pode-se fazer com que a escala de amperímetro, no circuito, forneça a temperatura desconhecida. O instrumento não entra em contato com a fonte quente, de modo que o pirômetro óptico pode ser usado para medir temperaturas altas.

Quando dois sistemas (ou corpos) estão em equilíbrio térmico (à mesma temperatura) com um

terceiro sistema, também estarão em equilíbrio térmico entre si. Esta é a chamada Lei Zero da Termodinâmica.

Page 32: Apostila Física II

32• Escalas termométricas

As escalas de temperatura mais conhecidas são a Celsius, Fahrenheit e Kelvin, cujas

temperaturas de fusão do gelo e ebulição da água são dadas na figura a seguir.

Figura - Temperaturas dos pontos de fusão do gelo e ebulição da água nas escalas Celsius, Fahrenheit e Kelvin.

As equações para conversões, de uma escala para outra, podem ser obtidas fazendo uma relação de proporcionalidade entre elas, assim:

15,27315,373

15,273T32212

32T01000T KFC

−−

=−−

=−−

100

15,273T180

32T100T KFC −

=−

=

5

15,273T9

32T5T KFC −

=−

=

com isto, podemos obter as seguintes relações: 15,273TT KC −= 15,273TT CK +=

32)15,273T(59T KF +−= 15,273)32T(

95T FK +−=

)32T(95T FC −= 32T

59T CF +=

• Dilatação Térmica As consequências habituais de variações na temperatura são variações no tamanho dos objetos e mudanças de fase de substâncias. Consideremos as dilatações que ocorrem sem mudanças de fase. Imaginemos um modelo simples de um sólido cristalino. Os átomos são mantidos juntos, em uma disposição regular, por forças de origem elétrica. Em qualquer temperatura, os átomos do sólido estão em vibração, cuja amplitude vale cerca de 10-9 cm e a frequência é de, aproximadamente, 1013 Hz. Podemos, frequentemente, soltar uma tampa metálica que esteja bem ajustada numa garrafa, segurando-a sob uma corrente de água quente. A tampa de metal dilata-se um pouco em relação ao vidro da garrafa à medida que a temperatura sobe. A dilatação térmica não é sempre desejável. Todos nós já vimos fendas de dilatação nas pontes de rodovias. Tubos em refinarias, frequentemente, incluem uma alça de dilatação, de maneira que o tubo não empene à medida que a temperatura aumenta. O material odontológico usado nas obturações deve casar suas propriedades de dilatação com as do esmalte dos dentes.

Page 33: Apostila Física II

33 Quando se eleva a temperatura, a distância média entre os átomos também aumenta. Isto acarreta uma dilatação do corpo como um todo, em virtude do aumento na temperatura.

Figura - Viga de ponte ou viaduto. Espaço deixado numa das extremidades, para a dilatação da viga, colocada sobre roletes.

• Dilatação linear Considere uma barra de comprimento inicial Lo, a uma temperatura To. Aquecendo-se esta barra até uma temperatura final T, a barra passa a ter um comprimento final L.

Neste processo de aquecimento, ocorreu uma variação de temperatura ∆T = T - To que produziu uma dilatação linear, caracterizada pela variação de comprimento ∆L = L - Lo. A variação de comprimento ∆L é proporcional ao comprimento inicial e à variação de temperatura ∆T: TLL o ∆α=∆ onde: ∆L = L - Lo = dilatação linear = variação de comprimento sofrida pela barra, no SI, em metros. α = coeficiente de dilatação linear do material, em oC-1. Lo = comprimento inicial da barra, no SI, em metros. ∆T = T - To = variação de temperatura sofrida pela barra, em oC. Assim, o comprimento final L será: )T1(LL o ∆α+= Tabela - Coeficientes de dilatação de algumas substâncias. Substância (sólido) Coeficiente de dilatação

linear α (10-5 oC-1) Substância (fluido) Coeficiente de dilatação volumétrica γ (10-3 oC-1)

Alumínio 2,4 Acetona 1,5 Aço 1,1 Álcool etílico 1,1 Carbono: Diamante 0,12 Água (a 20oC) 0,21 Grafite 0,79 Ar 3,67 Cobre 1,8 Glicerina 0,49 Concreto 0,7 - 1,4 Mercúrio 0,18 Gelo 5,1 Invar (liga ferro-níquel) 0,1 Latão 1,9 Vidro 0,1 - 1,3 • Dilatação superficial Seja uma placa de área inicial Ao e temperatura To. Se a temperatura aumenta para um valor final T, a área aumenta para um valor final A.

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34

Ocorre, assim, uma dilatação superficial, caracterizada pela variação de área ∆A: TAA o ∆β=∆ onde: ∆A = A - Ao = dilatação superficial = variação de área sofrida pela placa, no SI, em m2. β = coeficiente de dilatação superficial do material, em oC-1. Ao = área inicial da placa, no SI, em m2. ∆T = T - To = variação de temperatura sofrida pela placa, em oC. A área final da placa é: )T1(AA o ∆β+= • Dilatação volumétrica Um objeto com volume inicial Vo e temperatura To é aquecido até uma temperatura final T, atingindo um volume V.

A variação de volume sofrida pelo objeto é:

TVV o ∆γ=∆ onde: ∆V = V - Vo = dilatação volumétrica = variação de volume sofrida pelo objeto, no SI, em m3. γ = coeficiente de dilatação volumétrica do material, em oC-1. Vo = volume inicial do objeto, no SI, em m3 . ∆T = T - To = variação de temperatura sofrida pela barra, em oC. O volume final do objeto é dado por: )T1(VV o ∆γ+= A relação entre os coeficientes de dilatação é a seguinte:

32γ

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35• Dilatação térmica da água A água, no intervalo de temperaturas entre 0oC e 4oC, diminui de volume quando a temperatura aumenta. Neste intervalo, a água se expande quando aquecida (figura a seguir). Portanto, a densidade da água possui seu valor máximo para 4oC. A água se expande quando se congela, sendo esta razão pela qual ela se encurva para cima no meio dos compartimentos cúbicos das formas para fazer gelo. Em contraste, quase todos os materiais se contraem quando congelam.

Figura - Volume de 1 grama de água no intervalo de 0oC até 10oC. Para 100oC, o volume

é igual a 1,034 cm3. Este comportamento anômalo da água possui um efeito importante na vida de animais e plantas em lagos. Um lago se congela da superfície para baixo; acima de 4oC, a água fria flui para a parte inferior por causa de sua maior densidade. Porém, quando a temperatura da superfície se torna menor do que 4oC, a água próxima da superfície é menos densa do que a água abaixo da superfície. Logo, o movimento para baixo termina, e a água nas proximidades da superfície permanece mais fria do que a água embaixo da superfície. À medida que a superfície se congela, o gelo flutua porque possui densidade menor do que a da água. A água no fundo permanece com uma temperatura da ordem de 4oC até que ocorra o congelamento total do lago. Caso a água se contraísse ao se esfriar, como a maior parte das substâncias, um lago começaria a se congelar do fundo para a superfície. A circulação por diferença de densidade faria com que a água quente fosse transportada para a superfície, e os lagos ficariam totalmente congelados mais facilmente. Isto provocaria a destruição de todas as plantas e animais que não suportam o congelamento. Caso a água não tivesse esta propriedade especial, a evolução da vida provavelmente teria seguido um curso muito diferente. • Calor Quando você coloca uma colher em uma xícara de café quente, a colher se aquece e o café se esfria e eles tendem a atingir o equilíbrio térmico. A interação que produz essas variações de temperatura é, basicamente, uma transferência de energia entre uma substância e a outra. A transferência de energia produzida apenas por uma diferença de temperatura denomina-se transferência de calor ou fluxo de calor, e a energia transferida deste modo denomina-se calor. É importante distinguir com clareza a diferença entre calor e temperatura. A temperatura depende do estado físico de um material e sua descrição quantitativa indica se o material está "quente" ou "frio". Na física, o termo calor sempre se refere a uma transferência de energia de um corpo ou sistema para outro, em virtude de uma diferença de temperatura existente entre eles, nunca indica a quantidade de energia contida em um sistema particular. Podemos alterar a temperatura de um corpo fornecendo calor ou retirando calor do corpo. Quando dividimos um corpo em duas metades, cada metade possui a mesma temperatura do corpo inteiro; porém, para aumentar a temperatura de cada metade até um mesmo valor final, devemos fornecer a metade da energia que seria fornecida ao corpo inteiro. Podemos definir uma unidade de quantidade de calor com base na variação de temperatura de materiais específicos. A caloria (cal) é definida como a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1 grama de água de 14,5oC até 15,5oC. A quilocaloria (kcal), igual a 1000 cal, também é muito utilizada; uma caloria usada para alimentos, também chamada de grande caloria, é na realidade uma quilocaloria.

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36 A caloria não é uma unidade do SI. Como calor é energia, no SI é expresso em joule (J).

1 cal = 4,186 J 1 kcal = 1000 cal = 4186 J

1 BTU = 1055 J = 252 cal (onde BTU = British Thermal Unit = unidade térmica britânica)

• Calor sensível Utilizamos o símbolo Q para expressar a quantidade de calor. Quando associada com uma diferença de temperatura infinitesimal dT, chamamos essa quantidade de dQ. Verifica-se que a quantidade de calor Q necessária para elevar a temperatura da massa m de um material, de T1 até T2, é proporcional à diferença de temperatura ∆T = T2 - T1. Ela também é proporcional à massa m do material. Quando está aquecendo a água para fazer duas xícaras de chá, você precisa do dobro da quantidade de calor necessário para fazer apenas uma xícara de chá, se o intervalo de temperatura for o mesmo. A quantidade de calor também depende da natureza do material: para elevar em 1oC a temperatura de 1 kg de água, é necessário fornecer uma quantidade igual a 4190 J, enquanto que basta fornecer 910 J de calor para elevar em 1oC a temperatura de 1 kg de alumínio. Usando todas as relações mencionadas, obtemos: TcmQ ∆= onde: Q = quantidade de calor envolvida no processo. Se Q > 0, o corpo recebe calor e sua temperatura

aumenta; se Q < 0, o corpo cede calor e sua temperatura diminui. m = massa do corpo. c = calor específico do material do corpo. É uma característica do material, e não do corpo ou objeto. ∆T = T2 - T1 = variação de temperatura sofrida pelo corpo. A quantidade de calor envolvida no processo descrita pela equação anterior é chamada de calor sensível, porque produz somente variação de temperatura no corpo, não ocorrendo, portanto, mudança de fase. O termo mc na equação anterior é chamado de capacidade térmica C (ou capacidade calorífica) do corpo (ou sistema). É uma característica do corpo. Assim, temos:

T

QcmC∆

==

Tabela - Calor específico de algumas substâncias.

Substância Calor específico c (J/kg.oC) Alumínio 910 Álcool etílico 2428 Água (líquida) 4190 Cobre 390 Chumbo 130 Gelo (a 0oC) 2100 Ferro 470 Mármore (CaCO3) 879 Mercúrio 138 Sal (NaCl) 879 Prata 234

• Mudança de fase A palavra fase é utilizado para designar qualquer estado da matéria, tal como o de um sólido, um líquido ou de um gás. A transição de uma fase para outra é chamada de transição de fase ou mudança

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37de fase. Para uma dada pressão, a transição de fase ocorre a uma temperatura definida, sendo usualmente acompanhada por uma emissão ou absorção de calor e por uma variação de volume e de densidade. Um exemplo familiar da mudança de fase é a fusão do gelo. Quando fornecemos calor ao gelo a 0oC, sob pressão atmosférica, a temperatura do gelo não cresce. O gelo derrete e se transforma em água líquida. Adicionando-se calor lentamente de modo que seja mantida a temperatura do sistema muito próxima do equilíbrio térmico, a temperatura do sistema permanece igual a 0oC até que todo o gelo seja fundido. O calor fornecido a este sistema não é usado para fazer sua temperatura aumentar, mas sim para produzir uma mudança de fase de sólido para líquido. É necessário usar 3,34.105 J de calor para converter 1 kg de gelo a 0oC em 1 kg de água líquida a 0oC, mantendo-se constante a pressão atmosférica. O calor necessário, por unidade de massa, denomina-se calor de fusão (também chamado de calor latente de fusão), designado por Lf. Para a água, temos: Lf = 3,34.105 J/kg = 79,6 cal/g Generalizando, para liquefazer a massa m de um sólido, cujo calor de fusão é Lf, é necessário fornecer uma quantidade de calor Q dada por:

Q = m Lf Este processo é reversível. Para congelar a água líquida a 0oC, devemos remover calor da água; o módulo do calor é o mesmo, mas, neste caso, Q é negativo porque estamos removendo calor. Para englobar estas duas possibilidades e para incluir outras transições de fase, podemos escrever: LmQ ±= onde: Q = calor envolvido no processo de mudança de fase. m = massa da substância que sofre a mudança de fase. L = calor latente da substância que sofre a mudança de fase (fusão, vaporização, solidificação,

condensação). Para transformar 1 kg de água líquida a 100oC em vapor d'água a 100oC, devemos fornecer 2,256.106 J de calor, ou seja, o calor latente de vaporização da água Lv é: Lv = 2,256.106 J/kg = 539 cal/g

Figura - Curva de aquecimento para 10 g de gelo.

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38• Trocas de calor Na análise de trocas de calor entre corpos, um princípio básico deve ser considerado: quando ocorre trocas de calor entre dois corpos isolados do meio ambiente, o calor perdido por um dos corpos deve ser igual ao calor ganho pelo outro corpo. O calor é energia em trânsito, portanto, este princípio nada mais é do que uma consequência do princípio da conservação da energia. Consideramos como positivo todo calor que entra em um corpo e como negativo o calor que sai do corpo. Quando ocorre interação entre corpos, a soma algébrica das quantidades de calor transferidas entre todos os corpos deve ser igual a zero. Supondo três corpos isolados do ambiente trocando calor entre si, devemos ter: 0QQQ 321 =++ • Exemplos 1. Qual a temperatura em que os termômetros graduados em oC e em oF indicam o mesmo valor

numérico? 2. Uma barra de cobre está a 8oC em um determinado dia de inverno. Qual é a variação percentual no

comprimento da viga, que ocorre do inverno para o verão, quando a temperatura é de 35oC? Se a barra possui um comprimento de 50 cm, qual a dilatação sofrida?(αcobre = 1,8.10-5 oC-1)

3. Um engenheiro está projetando um elemento para um circuito eletrônico, constituído por 23 mg de

silício. A corrente elétrica transfere energia para o elemento com uma taxa igual a 7,4 mW = 7,4.10-3 J/s. Para que o elemento permaneça com a temperatura estável, qual a taxa de queda da temperatura que deve ser considerada no projeto do sistema de refrigeração deste elemento? (csilício = 705 J/kg.oC)

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39Transmissão de Calor • Condução Quando você segura uma das extremidades de uma barra de cobre e mantém a outra extremidade no interior de uma chama, a extremidade que você está segurando fica cada vez mais quente, embora ela não esteja em contato direto com a chama. O calor é transferido por condução, através do material, até atingir a extremidade mais fria. Em nível atômico, verificamos que os átomos de uma região mais quente possuem, em média, uma energia cinética maior do que a energia cinética dos átomos de uma região vizinha próxima. Eles fornecem uma parte do excesso de energia através de colisões com os átomos vizinhos. Estes vizinhos colidem com outros vizinhos, e assim por diante, ao longo do material. Os átomos não se deslocam de uma região para outra do material, mas a energia cinética é transferida de uma região para outra. Quase todos os metais utilizam outro mecanismo mais eficiente para conduzir o calor. No interior do metal, alguns elétrons se libertam dos seus átomos originais e se movem através da rede cristalina do metal. Estes elétrons livres podem rapidamente transferir energia da região mais quente para a região mais fria do metal, de modo que os metais, geralmente, são bons condutores de calor. Uma barra de metal a 20oC parece estar mais fria do que um pedaço de madeira a 20oC porque o calor pode fluir mais facilmente entre sua mão e o metal. A transferência de calor ocorre somente entre regiões que possuem temperaturas diferentes, e o sentido de transferência de calor é sempre da temperatura maior para a temperatura menor. A figura a seguir mostra uma barra de um material condutor de comprimento L e seção transversal de área A. A extremidade esquerda da barra é mantida a uma temperatura T2 e a extremidade direita é mantida a uma temperatura mais baixa T1, e o calor flui da esquerda para a direita. Os lados da barra estão isolados, de modo que o calor não pode fluir por eles.

Figura - Fluxo de calor estacionário através de uma barra isolada lateralmente. Quando uma quantidade de calor dQ é transferida através da barra em um tempo dt, a taxa de transferência de calor é dada por dQ/dt. Chamamos esta grandeza de taxa de transferência de calor ou fluxo de calor e a representamos por H, ou seja, H = dQ/dt. O fluxo de calor é dado por:

L

TTAkH 12 −

=

onde: H = fluxo de calor, no SI, em J/s (W). k = condutividade térmica do material, em W/m.oC. A = área da seção transversal da barra, em m2. T2 e T1 = temperaturas das extremidades da barra, em oC. L = comprimento da barra, em m. Tabela - Condutividade térmica de alguns materiais.

Material Condutividade térmica k (W/m.oC) Material Condutividade térmica k (W/m.oC)Alumínio 205 Vidro 0,8 Latão 109 Gelo 1,6 Cobre 385 Lã de vidro 0,04 Chumbo 34,7 Isopor 0,01 Mercúrio 8,3 Madeira 0,04 - 0,12 Prata 406 Ar 0,024 Aço 50,2 Argônio 0,016 Tijolo refratário 0,15 Hélio 0,14 Tijolo de argila vermelha 0,6 Hidrogênio 0,14 Concreto 0,19 - 1,3 Oxigênio 0,023 Cortiça 0,04 Água (a 27oC) 0,61 Feltro 0,04

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40• Convecção A convecção é a transferência de calor que ocorre através do movimento da massa de uma região do fluido para outra região. Exemplos familiares incluem os sistemas de aquecimento de água em residências, o sistema de refrigeração do motor de um automóvel e o fluxo do sangue através do corpo. Quando o fluido é forçado pela ação de um ventilador ou de uma bomba, o processo denomina-se convecção forçada; quando o escoamento é produzido pela existência de uma diferença de densidade provocada por uma expansão térmica, tal como a ascensão do ar quente, o processo denomina-se convecção natural ou convecção livre. A convecção natural na atmosfera desempenha um papel importante na determinação do tempo ao longo do dia (figura a seguir), e a convecção nos oceanos é um importante mecanismo de transferência de calor no globo terrestre. O mecanismo mais importante para a transferência de calor no corpo humano (utilizado para manter a temperatura do corpo constante em diferentes ambientes) é a convecção forçada do sangue, na qual o coração desempenha o papel de uma bomba. A água possui um calor específico maior do que o solo, assim, o calor do sol produz um efeito relativamente menor sobre a água do mar do que sobre o solo; portanto, durante o dia o solo se aquece mais rapidamente do que o mar e se resfria mais rapidamente durante a noite. Nas vizinhanças de uma praia, a diferença de temperatura entre o solo e o mar dá origem a uma brisa que sopra do mar para a costa, durante o dia, e da costa para o mar, durante a noite (figura a seguir).

Figura - Correntes de ar convectivas nas regiões litorâneas. Em ambientes fechados, o processo de convecção pode ser acentuado artificialmente com o uso de ventiladores. Da mesma forma, a localização adequada de aparelhos de ar condicionado ou de aquecedores pode favorecer a circulação de correntes de ar frio ou quente. Assim, os dispositivos que resfriam o ar devem ficar na parte superior, porque o ar frio é mais denso e tende a descer; os dispositivos que aquecem devem ficar na parte mais baixa, porque o ar quente é menos denso e tende a subir (figura a seguir).

Figura - Localização adequada dos aparelhos de ar condicionado e aquecedor em um ambiente fechado.

A transferência de calor por convecção é um processo muito complexo e não existe nenhuma equação geral simples para descrevê-lo.

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41• Radiação A transferência de calor pela radiação ocorre em virtude da existência de ondas eletromagnéticas, tal como a luz visível, a radiação infravermelha e a radiação ultravioleta. Todo mundo já sentiu o calor da radiação solar e o intenso calor proveniente de uma churrasqueira ou das brasas do carvão de uma fogueira. A maior parte do calor proveniente destes corpos quentes atinge você por radiação, e não por convecção do ar. Você sentiria o mesmo efeito até supondo que existisse vácuo entre você e a fonte de calor. Qualquer corpo, mesmo com uma temperatura normal, emite radiação eletromagnética. A uma temperatura normal, digamos a 20oC, quase toda energia é transportada pelas ondas infravermelhas que possuem um comprimento de onda maior do que o comprimento de onda da luz visível. À medida que a temperatura se eleva, os comprimentos de onda se deslocam para valores menores. A 800oC um corpo emite radiação visível em quantidade suficiente para adquirir luminosidade própria e assumir uma cor "vermelha quente", embora mesmo nesta temperatura a maior parte da energia seja transportada por ondas infravermelhas. A uma temperatura de 3000oC, temperatura característica do filamento de uma lâmpada incandescente, a radiação contém luz visível suficiente a ponto de se tornar "branca quente". A taxa de radiação de energia de uma superfície é proporcional à área A. A taxa aumenta muito rapidamente com a temperatura, dependendo da quarta potência da temperatura absoluta (Kelvin). Esta taxa também depende da natureza da superfície; esta dependência é descrita por uma grandeza e denominada emissividade. Esta grandeza é um número sem dimensões, compreendido entre 0 e 1, que representa a razão entre a taxa de radiação de uma superfície particular e a taxa de radiação de uma superfície de um corpo ideal, com a mesma área e a mesma temperatura. A emissividade também depende ligeiramente da temperatura. Logo, a taxa de radiação H = dQ/dt de uma superfície de área A, com uma temperatura T e emissividade e, pode ser expressa pela relação: 4TeAH σ= onde: H = fluxo de calor, no SI, em J/s (W). A = área da seção transversal da barra, em m2. e = emissividade da superfície. σ = constante de Stefan-Boltzmann = 5,67.10-8 W/m2.K4. T = temperatura absoluta da superfície, em Kelvin (K). Enquanto um corpo com temperatura T está irradiando, o ambiente que está a uma temperatura Ta também está irradiando, e o corpo absorve uma parte desta radiação. Então, a taxa de radiação de um corpo a uma temperatura T imerso em um ambiente que está a uma temperatura Ta é dada por: )TT(eAH 4

a4

tetansulRe −σ= • Exemplos 1. Uma caixa de isopor usada para manter bebidas frias possui área total (incluindo a tampa) igual a

0,80 m2 e a espessura da parede é igual a 2 cm. Ela está cheia de água, gelo e latas a 0oC. Qual é a taxa de fluxo de calor para o interior da caixa, se a temperatura da parede externa for igual a 30oC? Qual a quantidade de gelo que se liquefaz durante um dia? O calor de fusão do gelo é 3,34.105 J/kg.

2. Sabendo que a área total do corpo é igual a 1,20 m2 e que a temperatura da superfície é 30oC,

calcule a taxa resultante de transferência de calor do corpo por radiação, se o meio ambiente está a uma temperatura de 20oC. A emissividade do corpo é próxima de 1.