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Fenômenos de Transporte Prof a . Mara Nilza Estanislau Reis 1º semestre 2008

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Fenomenos de Transporte

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Fenômenos

de

Transporte

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

1

Disciplina: Fenômenos de Transporte

Cursos: Engenharia de Controle e Automação

Engenharia Elétrica

Prof a.: Mara Nilza Estanislau Reis

1º semestre 2008

Objetivos: - Aprender os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de

Calor;

- Analisar as distribuições de pressão em fluidos em repouso;

- Analisar as distribuições de força em corpos e superfícies submersas;

- Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos;

- Analisar as maneiras através das quais o calor é transmitido.

Ementa:

Mecânica dos Fluidos: Propriedades Físicas; Equações Gerais da Estática, Cinemática e

Dinâmica dos Fluidos; Cálculos de Pressões Hidrostáticas, de Forças sobre Superfícies

Submersas e de Perda de Carga; Medição de Viscosidade, Pressão e Velocidade.

Transferência de Calor: Condução, Convecção, Radiação, Aplicações. Transferência de

Massa: Difusão, Coeficiente de Transferência de Massa, Teoria da Camada Limite,

Aplicações.

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

2

Índice

1. Introdução a Mecânica dos Fluidos.................................................................. 12

1.1. Definição............................................................................................. 12

1.2. Objetivo............................................................................................... 12

1.3. Aplicação............................................................................................. 12

2. Definição de um Fluido..................................................................................... 12

2.1. Introdução........................................................................................... 12

2.2. A Hipótese do Contínuo...................................................................... 13

2.3. Princípio da Aderência........................................................................ 13

3. Métodos de Análise........................................................................................... 14

3.1. Sistema................................................................................................ 14

3.2. Volume de Controle............................................................................ 14

4. Dimensões e Unidades...................................................................................... 14

4.1. Introdução............................................................................................ 14

4.2. Sistemas de Dimensões....................................................................... 14

4.3. Sistemas de Unidades.......................................................................... 15

5. Propriedades Físicas dos Fluidos...................................................................... 16

5.1. Peso Específico.................................................................................... 16

5.2. Volume Específico.............................................................................. 17

5.3. Densidade Relativa.............................................................................. 17

5.4. Massa Específica ou Densidade Absoluta........................................... 18

5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico.................................................. 19

5.5.1. Condições Isotérmicas............................................................. 19

5.5.2. Condições Adiabáticas............................................................ 19

5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ............................................... 19

6. Campo de Velocidade....................................................................................... 20

7. Regime Permanente e Transiente...................................................................... 21

7.1. Regime Permanente............................................................................. 21

7.2. Regime Transiente............................................................................... 21

7.3. Campo Uniforme de Escoamento........................................................ 21

8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional.............................................................. 21

8.1. Escoamento Unidimensional............................................................... 21

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

3

8.2. Escoamento Bidimensional................................................................. 22

8.3. Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Corrente............ 23

8.4. Campos de Tensão............................................................................... 26

9. Viscosidade....................................................................................................... 27

9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)............................................. 27

9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)............................................................... 29

9.3. Número de Reynolds: (Re) ................................................................. 29

9.4. Tipos de Escoamento........................................................................... 30

10. Pressão............................................................................................................ 32

10.1. Lei de Pascal...................................................................................... 34

11. Fluidoestática.................................................................................................. 34

11.1. A Equação Básica da Estática dos Fluidos........................................ 35

11.2. Pressão Manométrica........................................................................ 37

11.3. Pressão Absoluta............................................................................... 38

11.4. O Barômetro de Mercúrio................................................................. 38

11.5. Aplicação para a Manometria............................................................ 39

11.6. Tipos de Manômetros........................................................................ 41

11.6.1. Manômetros de líquido.......................................................... 41

11.6.2. Manômetros metálicos.......................................................... 43

12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes.................................................................... 43

12.1. Princípio de Arquimedes................................................................... 44

13. Fluidodinâmica................................................................................................ 47

13.1. Sistema.............................................................................................. 47

13.2. Volume de Controle.......................................................................... 48

13.3. A Relação Entre as Derivadas do Sistema e a Formulação Para

Volume de Controle................................................................................... 48

13.4. Equação da Continuidade (de Conservação da Massa) Para um

Volume de Controle Arbitrário.................................................................. 49

13.4.1. Casos Especiais..................................................................... 50

13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica.................................... 51

13.5. 1a Lei da Termodinâmica Aplicada ao Volume de Controle............. 53

13.6. Equação de Bernoulli........................................................................ 55

13.6.1. A Equação de Bernoulli Para Fluidos Ideais......................... 57

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

4

13.6.1.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli...... 57

13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli..................................... 59

13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................. 59

13.6.2.2. Medidores de Vazão............................................... 60

13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................... 62

13.6.2.2.2. Tubo de Pitot........................................... 63

13.6.2.2.3. Placa de Orifício...................................... 65

13.6.2.2.4. Pressão de Estagnação............................. 68

13.7. Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais – Perda de Carga............. 68

13.7.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli Para Fluidos

Reais.................................................................................................. 69

13.7.2. Tipos de Perda de Carga........................................................ 70

13.7.2.1. Perdas de Carga Contínuas..................................... 70

13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas.................................. 74

13.8. Potência Fornecida por uma Bomba................................................. 81

14. Transferência de Calor.................................................................................... 86

14.1. Introdução.......................................................................................... 86

14.2. Modos de Transferência de Calor..................................................... 86

14.2.1. Condução............................................................................ 86

14.2.2. Convecção.......................................................................... 87

14.2.3. Radiação............................................................................. 87

14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor............................................. 88

14.3.1. Condução............................................................................ 89

14.3.2. Convecção.......................................................................... 92

14.3.3. Radiação............................................................................. 93

15. Condução........................................................................................................ 96

15.1. Introdução à Condução...................................................................... 96

15.2. Propriedades Térmicas da Matéria.................................................... 97

15.3. Conservação de Energia em um Volume de Controle....................... 98

15.4. Equação da Difusão de Calor............................................................ 101

15.4.1. Coordenadas Cartesianas.................................................... 101

15.4.2. Coordenadas Cilíndricas..................................................... 104

15.4.3. Coordenadas Esféricas....................................................... 104

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

5

15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial........................ 105

15.5. Condução Unidimensional em Regime Permanente......................... 108

15.5.1. Parede Simples.................................................................. 108

15.5.2. Resistência Térmica........................................................... 109

15.5.3. Parede Composta................................................................ 113

15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo....................................... 116

15.5.5. Resistência de contato........................................................ 116

15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas

Radiais – Cilindro....................................................................................... 119

15.6.1. Distribuição de Temperatura.............................................. 119

15.6.2. Parede Cilíndrica Composta............................................... 122

15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento......................................... 125

15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente –

Sistemas Radiais – Esfera............................................................... 129

15.8. Condução com Geração de Energia Térmica........................ 130

15.8.1 Condução com Geração de Energia Térmica -

Parede Plana....................................................................... 130

15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica –

Sistemas Radiais................................................................. 133

16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas......................... 134

16.1. Introdução.......................................................................................... 134

16.2. Tipos de Aletas.................................................................................. 136

16.3. Balanço de Energia para uma Aleta.................................................. 137

16.4. Aletas com área da seção transversal constante................................ 138

16.5. Desempenho da Aleta........................................................................ 143

17. Condução Transiente....................................................................................... 146

17.1. Introdução.......................................................................................... 146

17.2. Método da Capacitância Global........................................................ 146

18. Convecção....................................................................................................... 148

18.1. Fundamentos da Convecção.............................................................. 148

18.2. As Camadas Limites da Convecção.................................................. 160

18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica......................................... 151

18.2.2. As Camadas Limites de Concentração.................................. 152

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

6

18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................... 153

18.4. A Camada Limite Térmica................................................................ 156

EXERCÍCIOS RECOMENDADOS..................................................................... 158

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................. 159

Apêndice A........................................................................................................... 160

Apêndice B............................................................................................................ 164

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

7

Figuras

Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. 12

Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de

uma Força de Cisalhamento Constante.

13

Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas ∞ 13

Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. 14

Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. 14

Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. 20

Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. 22

Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional. 22

Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. 28

Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. 30

Figura 11 - Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. 31

Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. 33

Figura 13 – Fluida em Repouso. 34

Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. 35

Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. 37

Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. 38

Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio. 39

Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 39

Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. 40

Figura 20 – Manômetro de Líquido. 41

Figura 21 – Manômetro de Líquido. 42

Figura 22 – Manômetro de Líquido. 42

Figura 23 – Tubo de Bourdon. 43

Figura 24 – Manômetro de Diafragma. 43

Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. 43

Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. 47

Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. 48

Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 48

Figura 29 – Escoamento Unidimensional. 52

Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento 58

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

8

Unidimensional em um Duto.

Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes

Delgadas. 59

Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o

volume de controle usado para análise. 60

Figura 33 – Tubo de Venturi. 62

Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot. 63

Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico. 64

Figura 36 – (a) Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão –

Placa de orifício. (b) Placa de Orifício. 66

Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática. 68

Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido

Real. 69

Figura 39 - Ábaco de Moody. 72

Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa. 73

Figura 41 – Valores aproximados de k. 74

Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e

Aço. 75

Figura 43- Redução de Área – Bocal. 77

Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. 78

Figura 45 – Válvula de gaveta. 79

Figura 46 – Válvula Globo. 80

Figura 47 – Válvula de Retenção. 80

Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba. 81

Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima. 83

Figura 50 - Transferência de calor. 86

Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da

energia provocada pela atividade molecular. 87

Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção

natural. (b) Convecção forçada. 87

Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 88

Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 88

Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana. 89

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

9

Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor. 91

Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies. 94

Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria. 97

Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). 102

Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas). 104

Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas). 105

Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 108

Figura 63 – Circuito Térmico. 111

Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 113

Figura 65 – Circuito térmico equivalente. 114

Figura 66 – Parede Composta. 116

Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta. 116

Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato. 117

Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco. 119

Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica

Composta. 121

Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas. 124

Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta. 125

Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2. 128

Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica. 129

Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor.

(a) Condições de contorno assimétricas. (b) Condições de contorno

assimétricas. (c) Superfície adiabática no plano intermediário.

131

Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida. 134

Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de

Calor. 132

Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de

Calor. 132

Figura 79 – Trocadores de Calor com tubos aletados. 133

Figura 80 – Configurações de Aletas. 133

Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida. 134

Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante. 139

Figura 83 – Eficiência de aletas. 144

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

10

Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retang. b) Anulares. 146

Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente. 147

Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a

diferentes números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por

convecção.

148

Figura 87 - Transferência convectiva de Calor. 148

Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana. 149

Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica. 151

Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite. 152

Figura 91 – Camada Limite. 153

Figura 92 – Camada Limite Térmica. 156

Figura A1 – Viscosidade Absoluta de Alguns Fluidos 166

Figura A2 – Viscosidade Cinemática de Alguns Fluidos à Pressão Atm. 167

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

11

Tabelas

Tabela 1 – Sistemas de Unidades. 15

Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. 16

Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. 71

Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. 76

Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão. 76

Tabela 6 – Coeficiente de Perda de Carga para Redução Suave da Seção. 77

Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e

Conexões 78

Tabela 8 – Valores de h (W/m².K) 92

Tabela 9 – Equações de Taxa 96

Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas 96

Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob

condições de vácuo e (b) Interface de Alumínio com diferentes fluidos

interfaciais

118

Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas 118

Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos 163

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

12

1. Introdução a Mecânica dos Fluidos

1.1. Definição: é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e as leis que

regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso

(Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica).

1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido é o

meio produtor de trabalho.

1.3. Aplicação: máquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas),

aeronaves, automóveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilação de

residências, edifícios comerciais, sistemas de tubulações, corpos flutuantes, medicina,

etc.

2. Definição de um Fluido 2.1. Introdução: É uma sustância que se deforma continuamente sob a aplicação de

uma tensão de cisalhamento (força tangencial), não importa sua intensidade (figura 1).

Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas

quais a matéria existe.

Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante.

A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu

comportamento. Ao ser aplicada uma força tangencial F (fig.2a) sobre um sólido fixado

entre as duas placas, o bloco sofre uma deformação e se estabiliza no novo formato. No

regime elástico do material, ao cessar a aplicação da força, o sólido retorna à forma

original. Repetindo a experiência para um fluido, ele se deformará continuamente,

enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele (fig.2b).

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

13

Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força

de Cisalhamento Constante.

1a Situação:

Figura 2a

Mantida a Ft constante o sólido deformar-se-á até alcançar uma posição de equilíbrio

estático.

2a Situação:

Figura 2b

Sob a ação da Ft deforma-se continuamente, não se alcançando uma posição de

equilíbrio estático.

2.2. A Hipótese do Contínuo: Como o espaço médio entre as moléculas que compõem

o fluido é bastante inferior às dimensões físicas dos problemas estudados, considera-se

o fluido como uma substância que pode ser dividida ao infinito.

2.3. Princípio da Aderência: “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície

sólida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato;

não há deslizamento naquelas fronteiras”. (fig.3)

Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas Infinitas.

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

14

3. Métodos de análise 3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema

separam-no do ambiente à volta; não há transferência de massa através das mesmas,

calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 .

Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro.

3.2. Volume de controle: volume do espaço através do qual o fluido escoa (arbitrário),

a fronteira geométrica é chamada superfície de controle, conforme mostrado na fig. 5.

Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo.

4. Dimensões e unidades 4.1. Introdução

Dimensões: são grandezas mensuráveis (quantidades físicas: podem ser primárias

(básicas) e secundárias (derivadas)).

Unidades: são nomes arbitrários dados às dimensões.

4.2. Sistemas de Dimensões

Lei da Homogeneidade dimensional: “Todos os termos de uma expressão matemática,

que, traduz um fenômeno físico, devem possuir a mesma dimensão”.

Exemplo:

200 at2

1Vxx ++=

( ) ( ) ( ) ( )22 tt

L2

1tt

LLL ×+×+=

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

15

4.3. Sistema de Unidades

Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento,

etc.). Países diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960,

instituiu-se o Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronização. Foram

definidas 7 grandezas básicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente

elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades.

A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as

grandezas elétricas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de

unidades. No Sistema Britânico, as grandezas básicas são força, comprimento,

temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundária.

SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente elétrica),

quantidade de matéria e intensidade luminosa.

Técnico inglês: F(força), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura).

Tabela 1 – Sistemas de Unidades. SISTEMA

DE

UNIDADES

MASSA COMPRI-

MENTO

TEMPO TEMPE-

RATURA

CORRENTE

ELÉTRICA

QTE DE

MATÉRIA

INTENSI-

DADE

LUMINOSA

SI Kg m s K A mol cd

ABSOLUTO g cm s K

TÉCNICO utm m s K

INGLÊS slug ft s R

INGLÊS

TÉCNICO

lbm ft s R

Força: 2sm1kg1N =

Força: 2scm1g1dina =

Massa fts1lbf1slug

2

=

No Apêndice B são apresentados os fatores de conversão entre os sistemas para as

diferentes grandezas.

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

16

A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos

pequenos ou muito grandes de uma maneira mais concisa.

Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia.

Fator

Multiplicativo

Prefixo Símbolo

109 Giga G

106 Mega M

103 Kilo k

10-1 Deci d

10-2 Centi c

10-3 Mili m

10-6 Micro µ

10-9 Nano n

10-12 Pico p

5. Propriedades físicas dos fluidos

5.1. Peso especifico: (γ)

É o peso do fluido contido em uma unidade de volume.

γ: Peso específico [F/L3]

∀=

Wγ W: Peso da substância [F]

][L fluido do Volume: 3∀

ggmmg ργ =∀

=∀

=

Unidades: (N/m3; kgf / m3; lbf / ft3)

DIM: [F / L3]

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

17

5.2. Volume específico: (ν)

Inverso da massa específica.

υ: Volume específico [L3/M]

ρυ 1

=∀

=m

ρ: Massa específica ou densidade

absoluta [M/L3]

Unidades: (m3 / kg; cm3/ g; ft3/ slug; ft3/ lbm)

DIM: [L3/ M]

5.3. Densidade relativa: (δ,d ou SG)

Razão entre a massa específica de uma substância e a massa específica de uma

substância de referência. Para líquidos, o fluido de referência é a água e, para os gases, o

ar. Quando se trabalha com densidades relativas de sólidos, é comum que a substância

de referência seja a água.

δ: Densidade relativa [adimensional]

ref

SGdρρδ === ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3]

ρref.: Massa específica ou densidade absoluta da

substância de referência [M/L3]

δ=d = SG=padrãofluido

fluido ρ

ρ = padraãofluido

fluido γ

γ

DIM: [1]

Page 19: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

18

5.4. Massa específica ou densidade absoluta: ( β )

Também conhecida como densidade absoluta, é a quantidade de massa do fluido contida

em uma unidade de volume.

ρ: Massa específica [M/L3]

∀=

mρ m: Massa do fluido [M]

][L fluido do Volume: 3∀

Unidades: (kg / m3; g / cm3; slug / ft3)

DIM: [M / L3]

A densidade dos gases variam bastante quando são alteradas sua pressão, e/ou sua

temperatura. Ao contrário, a densidade dos líquidos apresenta pequenas variações com

alterações de pressão e temperatura, são, em sua maioria, considerados incompressíveis.

Na Tab. A.1 (Apêndice A), são apresentados valores de massa específica para alguns

fluidos, a 20°C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respectivamente, a variação da

massa específica da água e do ar com a temperatura, para a pressão de 1 atm.

5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico: (β)

Razão entre uma variação de pressão e a correspondente variação de volume por

unidade de volume.

β: Módulo de elasticidade volumétrico

∀∀∆∆−

=/Pβ ∆P: Variação de pressão [F/L2]

][L Volume de Variação:∆ 3∀

][L Volume: 3∀

O sinal negativo indica que um aumento de pressão corresponde a uma redução de

volume.

Unidades: (N/m2; kgf / m2 ; lbf / ft2)

DIM: [F / L2]

Page 20: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

19

Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substância é a

medida da variação relativa de volume decorrente de aplicação de pressão. O módulo de

compressibilidade de líquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases,

o seu valor depende do tipo de processo que resulta da compressão.

5.5.1. Condições isotérmicas: T = constante

P.V. = constante P1V1 = P2V2

12

21

PP

VV

=

P.dV + V.dP = 0

P.dV = - V.dP

PPdP

VdV

=

−=

β

5.5.2. Condições adiabáticas:

P.Vk = constante

k = Cp / Cv

P1.V1k = P2.V2

k

Vk .dP + Vk-1P.k.dV = 0

P.k.dV + V.dP = 0

kPkPdP

VdV

=

−=

β

5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C)

Inverso do módulo de elasticidade volumétrico.

β1

=C C: Coeficiente de compressibilidade [L2/F]

β: Módulo de elasticidade volumétrico

[F/L2]

Unidades: (m2/N; m2/kgf; ft2/lbf)

DIM: [L2/F]

Page 21: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

20

6. Campo de velocidade

Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume

de fluido ∀ mostrado na Fig. 6.

Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto.

A velocidade instantânea do fluido no ponto C é igual à velocidade instantânea do

volume infinitesimal ∀δ que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão.

O campo de velocidade, Vr

, é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa

representação do campo de velocidades é dada por:

( )tzyxVV ,,,rr

=

O vetor velocidade, Vr

, pode ser expresso em termos de suas três componentes

escalares. Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e

w, o campo de velocidades pode ser escrito como:

kwjviuV ˆˆˆ ++=r

,

onde: ( ) ( ) ( )tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu ===

Exemplo: Dados os campos de velocidade listados abaixo, determine:

(a) As dimensões de cada campo de velocidade

(b) Se está em regime permanente ou não

(1) [ ]iaeV bx ˆ−=r

(2) jbxiaxV ˆˆ2 +=r

Page 22: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

21

(3) jbxiaxV ˆˆ −=r

(4) ( ) jbyitaxV ˆˆ 2−+=r

(5) ( ) ( )kzyxaV ˆ13

2122 +=

r

Resolução:

(1) Unidimensional ( ( )xVVrr

= ), regime permanente ( )tVVrr

≠ .

(2) Unidimensional ( ( )xVVrr

= ), regime permanente ( )tVVrr

≠ .

(3) Bidimensional ( )yxVV ,rr

= , regime permanente ( )tVVrr

≠ .

(4) Bidimensional ( )yxVV ,rr

= , regime não permanente ( )tVVrr

= .

(5) Tridimensional ( )zyxVV ,,rr

= , regime não permanente ( )tVVrr

= .

7. Regime permanente e transiente 7.1. Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento,

não variam com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é:

0=∂∂

tη , onde η representa uma propriedade qualquer do fluido.

7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo.

7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o módulo e o sentido do

vetor velocidade são constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas

espaciais, através de toda a extensão do campo.

8. Escoamentos uni, bi, tridimensional. Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o

número de coordenadas necessárias para se definir seu campo de velocidades.

8.1. Escoamento unidimensional:

Exemplo:

Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seção

transversal constante mostrado na Fig. 7.

Page 23: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

22

Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional.

A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela

equação:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

max 1Rruu

Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é

unidimensional.

8.2. Escoamento bidimensional:

Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o

canal é considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo das velocidades será

idêntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de

velocidades é função somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é,

portanto, bidimensional.

Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional.

Page 24: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

23

8.3. Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente:

Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter

uma representação visual de campo de escoamento. Tal representação é provida de

linhas de tempo, de trajeto, de emissão e de corrente.

Se num campo de escoamento uma quantidade de partículas fluidas adjacentes forem

marcadas num dado instante, elas formarão uma linha no fluido naquele instante, esta

linha é chamada de linha de tempo.

Uma linha de trajeto é o caminho ou trajetória traçada por uma partícula fluida em

movimento. Para torná-la visível, temos que identificar uma partícula fluida, num dado

instante, por exemplo, pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia

de exposição prolongada do seu movimento subseqüente. A linha traçada pela partícula

é uma trajetória.

Por outro lado, poderíamos preferir concentrar a atenção em um lugar fixo do espaço e

identificar, novamente pelo emprego do corante, todas as partículas fluidas que passam

por aquele ponto. Após um curto período, teríamos uma certa quantidade de partículas

fluidas identificáveis no escoamento. Todas elas, em algum momento, teriam passado

por um local fixo no espaço. A linha em que une as partículas fluidas, num ponto fixo

no espaço, é definida como linha de emissão.

As linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que,

num dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo.

Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo,

não pode haver escoamento através delas.

No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece

constante com o tempo e, em conseqüência, as linhas de corrente não variam de um

instante a outro. Isto implica que uma partícula localizada numa determinada linha de

corrente permanecerá sobre a mesma. Além disso, partículas consecutivas passando

através de um ponto fixo do espaço estarão sobre a mesma linha de corrente e,

subseqüentemente permanecerão nela. Então num escoamento permanente, trajetórias e

linhas de emissão e de corrente são linhas idênticas no campo de escoamento.

A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for

transiente. Neste caso, as trajetórias, as linhas de emissão e as linhas de corrente não

coincidem.

Page 25: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

24

Exemplo:

Considere o campo de escoamento ∧∧→

−= jbiaxtV , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s. As

coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1)

no instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s.

Compare esta trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos

instantes t = 0, 1 e 3 segundos.

Resolução:

Partindo do princípio dtdxu = e

dtdyv = , então:

dtdxaxtu == , ∫∫ =

tx

x

dtatx

dx

0

.0

2

0 21ln at

xx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ e

22

1,021

0 3 tatexexx =∴=

e também, bdtdyv == , ∫∫ =

ty

y

bdtdy00

, tybtyy 310 +=∴+=

ty

ex t

313

21,0

+== Região a ser plotada no plano xy.

Temos que uv

dxdy

s

= .

Logo:axtb

dxdy

= .

Aplicando equações diferenciais temos: x

dxatbdy

x

x

y

y∫∫ =

00

ou ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

00 ln

xx

atbyy .

Substituindo os valores de a, b, x0 e y0, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

3ln151 x

ty .

Para t=1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

3ln151 xy

t=2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

3ln5,71 xy

t=3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

3ln51 xy

Page 26: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

25

Exemplo:

O campo de velocidade ∧∧→

−= jbyiaxV , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como

representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as

linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro

quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0).

Resolução:

A inclinação das linhas de corrente no plano xy é dado por:

uv

dxdy

=

Para ∧∧→

−= jbyiaxV , façamos u = ax e v = -by, logo:

xayb

uv

dxdy

.

.−==

Para resolvermos esta equação diferencial, separamos as variáveis e integramos:

∫∫ −=x

dxab

ydy

∴+−= cxaby lnln c = constante

∴+=−

cxy ab

lnlnln ln c = constante

Page 27: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

26

Portanto: ab

cxy−

=

Para o campo de velocidade dado, as constantes a e b são fixas. As linhas de corrente

são obtidas definindo valores diferentes para a constante de integração c.

Como a = b = 1 sec-1, então 1=ba , e a equação das linhas de corrente é dada por:

xccxy == −1 ou

ycx =

Para c = 0, y = 0 para todo valor de x e x = 0 para todo valor de y.

• A equação xcy = é a equação da hipérbole.

• As curvas estão mostradas para diferentes valores de c.

8.4. Campo de Tensão

Tanto forças de superfície quanto forças de campo são encontradas no estudo da

mecânica dos meios contínuos. As forças de superfícies atuam nas fronteiras de um

meio através de um contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e

distribuídas por todo o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças

gravitacionais e eletromagnéticas são exemplos de forças de campo.

A força gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é dada por dVgρ ,

onde ρ é a massa específica (massa por unidade de volume) e g é a aceleração local da

gravidade. Segue-se que a força de campo gravitacional é gρ por unidade de volume e

g por unidade de massa.

O conceito de tensão nos dá uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as

forças atuantes na fronteiras do meio são transmitidas através deles. Então campo de

Page 28: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

27

tensões seria a região através da qual as forças atuantes seriam transmitidas através de

toda extensão do material.

Como a força e a área são ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de

tensão não será vetorial. O campo de tensões normalmente é chamado de campo

tensorial devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um

tensor de 2ª ordem.

Dividindo a magnitude de cada componente da força pela a área , xAδ , e tomando o

limite quando xAδ se aproxima de zero, definimos as três componentes da tensão

mostradas abaixo:

x

z

x

y

x

x

AF

AF

AF

xxx A

xy

A

xy

A

xx

δδ

δδ

δδ

δδδ

τττ limlimlim000 →→→

=∴=∴=

Utilizamos o índice duplo para designar tensões. O primeiro índice (neste caso x) indica

o plano no qual a tensão atua (neste caso a superfície perpendicular ao eixo x). O

segundo índice indica a direção na qual a tensão atua. Também é necessário adotar uma

convenção de sinais para a tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu

sentido e o plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos.

9. Viscosidade 9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)

Propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força de cisalhamento, ou

seja, a dificuldade do fluido em escoar.

Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior

move-se a velocidade constante (δu), sob a influência de uma força aplicada δ Fx.

Page 29: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

28

Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido.

A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por:

dAydFx

AyFx

Ayyx ==→ δ

δτδ 0lim

A taxa de deformação é igual a:

dtd

tt

αδδα

δ=

→0lim

A distância entre os pontos M e M’é dada por:

tVl δδδ = (a)

Para pequenos ângulos, δαδδ yl = (b)

Igualando-se (a) e (b),

dydu

dtd

yu

t=⇒=

αδδ

δδα

Para fluidos Newtonianos, a tensão tangencial é proporcional à taxa de deformação, ou:

dydu

dydu

yxyx µττ =⇒∝ .

A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, µ.

DIM: [F.t / L2= M/L.t]

Unidades: (N.s/m2 ; kgf.s /m2 ; lbf.s /ft2)

Os fluidos mais comuns, como a água, o ar e a gasolina, são newtonianos em condições

normais.

Page 30: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

29

Se considerarmos as deformações de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo,

glicerina e água, verificaremos que eles irão se deformar as taxas diferentes sob a ação

da mesma tensão de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistência à

deformação muito maior do que a água. Dizemos, então, que ela é muito mais viscosa.

A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O

comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig.

A.1 e. A.2. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura,

enquanto que os líquidos apresentam comportamento inverso.

9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)

Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica.

ν: Viscosidade cinemática [L2/t]

ρµυ = µ: Viscosidade dinâmica [Ft/L2]

ρ: Massa específica ou densidade absoluta

[M/L3]

DIM: [L2/t]

Unidades: (m2/s; cm2/s; ft2/s)

Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stokes, sendo 1 Stokes =

1cm2/s.

9.3. Número de Reynolds: (Re)

Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas.

Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido.

Re: Número de Reynolds [adimensional]

ρ: Massa específica ou densidade absoluta

[M/L3]

µρ **

Re LV= V*: Velocidade do fluido [L/t]

L*: Comprimento característico [L]

Page 31: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

30

µ = Viscosidade dinâmica [F.t/L2]

DIM: [1]

O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele

determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no

interior de tubos, o valor aceito para se caracterizar a transição do escoamento laminar

para turbulento é 2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Deve-

se ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, à velocidade e ao

comprimento característico do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, a

velocidade V* é a velocidade média no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. Para

escoamentos sobre placas planas, V* é a velocidade da corrente livre e L*, o

comprimento da placa.

Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds.

Como a viscosidade absoluta da glicerina é 1500 vezes superior à viscosidade da água,

para que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo diâmetro, tenham

comportamentos semelhantes (mesmo número de Reynolds), a velocidade da glicerina

deve ser 1174 vezes maior do que a velocidade da água.

9.4. Tipos de escoamento:

- Escoamento laminar ( em tubulações Re 2300≤ )

- Escoamento turbulento (Re > 4000)

Page 32: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

31

Figura 11 – Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos.

O escoamento compressível ou incompressível é definido a partir de um parâmetro

chamado número de Mach, que é definido como sendo a razão da velocidade do

escoamento (V ) pela velocidade do som (S) do meio.

SVMa =

Exemplo:

Um eixo com diâmetro externo de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um

mancal de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo

com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque

necessário para girar o eixo é de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se

encontra na folga anular, em (Pa.s)

Resolução: Para calcular a viscosidade do óleo devemos utilizar a fórmula de tensão

de cisalhamento:

dydu.µτ =

Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual

possamos trabalhar:

Mecânica dos Fluidos

Fluido não viscoso µ = 0

Fluido viscoso µ ≠ 0

Compressível Incompressível Ma < 0,3

Laminar Re ≤ 2300

Turbulento Re > 4000

Page 33: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

32

smru

sradrrotrrot

rpsW

13,1

/6,125..2.2020..21

20

max ==

⎩⎨⎧

→→→

=

ω

ππ

60..230

.

max

max

max

ndu

dnu

ruou

π

πω

=

=

=

Devemos calcular agora a área de contato entre o fluido e o material:

26

33

10.39,3

10.60.10.18

..

mA

A

LDA

−−

=

=

=

π

π

Pelo torque, podemos tirar a força:

NF

F

rF

rF

4,010.90036,0

.

3

=

=

=

=

ττ

Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinâmico fazendo analogia

à força:

2

3

3

.0208,0

13,1.10.39,310.2,0.4,0

msN

dudy

AF

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

µ

µ

µ

, onde y

udydu max=

10. Pressão Força exercida em uma unidade de área.

P: Pressão [F/L2]

AFP = F: Força [F]

A: Área [L2]

Unidades: (N/ m2 = Pa; atm; lbf / ft2; m.c.a; lbf / ft2 = psi; mmHg)

DIM: [F / L2]

Page 34: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

33

A pressão é uma variável dinâmica muito importante na Mecânica dos Fluidos. Um

escoamento só é possível se houver um gradiente de pressão. Para gases ideais, a

pressão pode ser relacionada à densidade e à temperatura através da seguinte expressão:

TRnP =∀

Onde: n: quantidade de matéria [mol]

R : constante universal dos gases = 8,3144 kJ/kmol.K

DIM: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

TkmolLF..

.

T: temperatura absoluta do gás [T]

Se, ao invés do número de moles, for considerada a massa m do gás, a equação

pode ser reescrita na forma:

mRTP =∀

Onde R é a constante específica de cada gás, relacionada à constante universal dos gases

através da massa molecular do gás MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema

Internacional. A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns.

MMRR =

A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinâmicas de gases comuns na condição

padrão ou “standard”.

A pressão atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser

calculada da maneira mostrada a seguir:

Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente.

Page 35: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

34

A pressão na superfície do fluido é igual a P0.

A força na superfície do fluido é dada por AP0

A força exercida pela coluna de fluido é devida ao seu peso:

( ) ghAgAhgmgFfluido ρρρ ==∀==

A força na base do recipiente é, então, obtida como a soma da força na superfície do

fluido e do peso da coluna de fluido:

ghAAPF

FFF fluidoerfície

ρ+=

+=

0

sup

A pressão na base do recipiente é dada pela razão entre a força e a área da base:

AFF

AFP fluidoerfície +== sup

ghPA

ghAAPP ρρ+=

+= 0

0

Para condições pré-fixadas, P0, ρ e g são constantes.

Assim, a pressão é função apenas da altura da coluna de líquido h.

10.1. Lei de Pascal:

“No interior de um fluido em repouso, a pressão é constante em cada ponto”.

Figura 13 – Fluido em Repouso.

11. Fluidoestática É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso.

A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. Em um

problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da

distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido.

Page 36: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

35

11.1. A equação básica da estática dos fluidos:

Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças

de superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças

desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o

caso das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força

de corpo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é

a força gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas

fronteiras de um meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só

poderão estar presentes forças normais à superfície (por definição, o fluido é a

substância incapaz de resistir a forças de cisalhamento sem se deformar). A única força

de superfície a ser considerada é, portanto, a força de pressão.

Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig.

14.

dx

dy

dz

y

x

z

Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal.

A força total atuando no elemento é dada por:

SSC FdgdmFdFdFdrrrrr

+=+= .

A força líquida de pressão é dada pela soma da força de pressão em cada uma das faces

do elemento. A força de pressão atuando na face esquerda do elemento é:

jdzdxdyyPpFd L

ˆ.2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=r

A força de pressão na face direita é dada por:

( )jdzdxdyyPpFd R

ˆ.2

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=r

Page 37: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

36

A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do

elemento,

( ) jdzdxdyyPpidzdydx

xPpidzdydx

xPpFd S

ˆ.2

ˆ.2

ˆ.2 ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=r

( ) ( )kdydxdzzPpkdydxdz

zPpjdzdxdy

yPp ˆ.

2ˆ.

2ˆ.

2−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++

dzdydxkzPj

yPi

xPFd S ..ˆˆˆ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−∂∂

−=r

A força total é dada, portanto, por:

dzdydxkzPj

yPi

xPgdmFdgdmFd S ..ˆˆˆ.. ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−∂∂

−+=+=rrrr

Como

dzdydxddm .... ρρ =∀= ,

( ) ∀∇−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−∂∂

−+= dPgdzdydxkzPj

yPi

xPgdzdydxFd rrr

...ˆˆˆ..... ρρ

A 2ª Lei de Newton estabelece que:

admFd rr.=

Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas

as forças deve ser zero. Assim,

( ) 0. =∇− Pgrρ

Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares,

0=+∂∂

− xgxP ρ 0=+

∂∂

− ygyP ρ 0=+

∂∂

− zgzP ρ

Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor

gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z

apontado para cima )ˆ( kgg −=r , as equações podem ser reescritas como:

0=∂∂

xP 0=

∂∂

yP 0=

∂∂

zP

Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois

pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig.15).

Page 38: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

37

Conclusões:

1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer,

situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à

mesma pressão;

2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna

fluida (Equação Fundamental da Hidrostática);

3. No limite para ∆z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz = Pn =

Px, ou seja, a pressão em um ponto de um fluido estático é independente da

orientação (Lei de Pascal).

Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois

pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles -

Equação Fundamental da Hidrostática (Fig.15).

Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático.

Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As

maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado.

Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas.

Quando o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são

denominadas pressões manométricas ou efetivas.

11.2. Pressão Manométrica:

Pressão medida tomando-se como referência o valor da pressão atmosférica (Patm).

Patm = 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2 = 1,0332 kgf/cm2 = 10,332 m.c.a. =

760 mmHg

ghPP CB ρ+=

Page 39: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

38

A pressão manométrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos.

Se P>Patm, Pman > 0

Se P<Patm, Pman < 0

Se P=Patm, Pman = 0

11.3. Pressão Absoluta:

Pressão medida a partir do zero absoluto.

manatmabs PPP +=

ou

atmabsman PPP −=

A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras

equações de estado é a pressão absoluta.

Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica.

11.4. O Barômetro de Mercúrio:

A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor

de pressão atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto

peso específico (geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório

contendo o mesmo fluido. No processo de inversão do tubo, o mercúrio desce, criando

vácuo na parte superior do tubo, como mostrado na Fig. 17.

Page 40: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

39

Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio.

hghPghP

PghPP

PPPP

atm

A

E

EA

AA

atmA

γρρ

ρ

==∴==

+===

vácuo0

repouso) em fluido mesmo no altura (mesma isobáros pontos '

Portanto, a pressão atmosférica pode ser medida a partir da altura de uma coluna líquida

de mercúrio. mmHgatmmmHgh 7601760 =⇒=

11.5. Aplicação para a Manometria:

( )

γρ

ρ

121212

1212

PPg

PPzz

zzgPP−

=−

=−

−=−

Uma variação na elevação é equivalente a uma variação de pressão.

Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos.

Page 41: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

40

1) ( )5445 zzgPP m −=− ρ

2) ( )4334 zzgPP g −=− ρ

3) ( )3223 zzgPP a −=− ρ

4) ( )2112 zzgPP o −=− ρ

Agrupando as equações acima temos:

( ) ( ) ( ) ( )5443322115 zzgzzgzzgzzgPP mgao −+−+−+−=− ρρρρ

Exemplo:

1) Determine a pressão manométrica no ponto “a”, se o líquido A tem densidade

relativa dA= 0,75, e o líquido B, dB=1,20. O líquido em volta do ponto “a” é

água e o tanque à esquerda está aberto para a atmosfera.

Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes.

Resolução:

Para calcular a pressão no ponto´´a´´, devemos calcular a diferença de pressão

do ponto em aberto (Patm), até chegar em ´´a´´.

Primeiramente faremos algumas transformações para simplificar os cálculos:

1 pol = 25,4 mm

36 pol = 0,914 m

15 pol = 0,381 m

10 pol = 0,254 m

5 pol = 0,127 m

P1

Patm

P2P336pol

dB=1,20

dA=0,75

Page 42: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

41

Calculamos as diferenças de pressão:

PaPa

PhgPa

hgPPa

PaP

hgSGPPhgPP

PaP

hgSGPPhgPP

PaP

hgSGPhgPP

oh

oh

Apadãof

A

Bpadãof

B

atmBpadrãof

atmBatm

81,831.707,340.5.254,0.81,9.10.1

3..

..3

07,340.5127,0.81,9.75,0.10.147,274.63

...23..32

47,274.6381,0.81,9.20,1.10.160,759.102

...12..21

60,759.10914,0.81,9.20,1.10.11

...1..1

3

34

34

3

32.

32

3

21.

21

3

1.

1

2

2

=+=

+=

=−

=−=

−==−

=−=

−==−

==

==−

ρ

ρ

ρρ

ρρ

ρρ

Temos então como pressão no ponto “a”´:

PaPa 81,831.7=

11.6. Tipos de Manômetros:

11.6.1. Manômetros de líquido: São tubos transparentes e curvos, geralmente em

forma de U, que contêm o líquido manométrico. Para medição de altas pressões,

utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mercúrio. No caso de menores

pressões, utilizam-se fluidos com menores pesos específicos, como água ou óleo.

Figura 20 – Manômetro de Líquido.

Page 43: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

42

BA

BatmB

AatmA

BA

ppghppghpp

hh

=+=+=

=

ρρ

Figura 21 – Manômetro de Líquido.

BbatmB

AaatmA

BA

ghppghpp

pp

ρρ

+=+=

=

Figura 22 – Manômetro de Líquido.

AaBbmanC

BbatmB

AaCA

BA

ghghpghpp

ghpppp

ρρρρ

−=+=+=

=

,

Page 44: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

43

11.6.2. Manômetros metálicos: São instrumentos usados para medir as pressões dos

fluidos através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon) ou de um diafragma, que

cobre um recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em aplicações

industriais.

Figura 23 – Tubo de Bourdon. Figura 24 – Manômetro de Diafragma.

12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo para cima de

uma força igual ao peso do volume do fluido deslocado.

As densidades dos líquidos podem ser determinadas observando-se a profundidade de

flutuação de um densímetro.

Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua denomina-se

empuxo de flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 25, imerso em um fluido em

repouso.

Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático.

O empuxo vertical no cilindro elementar de volume ∀d é dado por:

Page 45: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

44

( ) ( )( ) ∀=−=

+−+=−=

gddAhhgdFdAghPdAghPdF

dAPdAPdF

atmatm

ρρρρ

12

12

12

O empuxo total é obtido integrando-se dF, ou seja,

∫∫ ∀=∀== ggddFF ρρ

12.1. Princípio de Arquimedes:

“Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um

empuxo vertical de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume deslocado

pelo corpo.”

O corpo pode estar, no entanto, imerso ou flutuando no fluido.

Corpo Imerso:

E = peso do volume de fluido deslocado

gW

gE

corpocorpo

corpofluido

∀=

∀=

ρ

ρ

Corpo Flutuante:

E = peso do volume de fluido deslocado

gW

gE

corpocorpo

deslocadofluido

∀=

∀=

ρ

ρ

Page 46: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

45

Situações Possíveis:

• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio:

corpofluido

WEρρ =

=

• Corpo Afunda

fluidocorpo

EWρρ >

>

• Corpo Fica Parcialmente Imerso

corpofluido

WEρρ >

>

O ponto de aplicação do empuxo é chamado Centro de Flutuação ou de Carena (C).

Corresponde ao centro de gravidade do volume de fluido deslocado.

Page 47: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

46

• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio:

O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo.

• Corpo Afunda

O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo.

• Corpo Fica Parcialmente Imerso

O centro de flutuação está localizado abaixo do centro de gravidade do corpo.

Quando o corpo está em equilíbrio, E e W possuem a mesma linha de ação. Se o corpo

for afastado da condição de equilíbrio, pode ocorrer uma das seguintes situações:

• Corpo imerso

Page 48: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

47

Se for aplicado um afastamento θ do equilíbrio no corpo, ele permanecerá na nova

posição. Assim, E e W estarão sempre na mesma linha de ação. Nesta situação, o corpo

está em equilíbrio indiferente.

• Corpo flutuante

Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso.

Se o corpo for inclinado de um pequeno ângulo ∆θ (Fig. 26b), o volume da parte de

fluido deslocado irá se alterar, provocando uma mudança na posição do centro de

flutuação do corpo, que muda de B para B'. A linha vertical passando por B' irá

interceptar a linha de simetria do corpo no ponto M, chamado Metacentro.

Se o metacentro estiver localizado acima do CG do corpo, haverá um momento

restaurador, que tenderá a retornar o corpo para a sua posição de equilíbrio inicial. Neste

caso, o corpo se encontra em equilíbrio estável.

Se o metacentro estiver localizado abaixo do CG do corpo, o momento tenderá a afastar

o corpo ainda mais da posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo está em

equilíbrio instável.

13. Fluidodinâmica

Os fluidos podem ser analisados utilizando-se o conceito de sistema ou de volume de

controle, figuras 27 e 28.

13.1. Sistema:

Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem ser fixos ou

móveis, mas não se verifica transporte de massa através deles.

Page 49: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

48

Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro.

13.2. Volume de Controle:

Volume arbitrário do espaço, através do qual o fluido escoa. O contorno geométrico do

volume de controle é denominado Superfície de Controle. A superfície de controle pode

ser real ou imaginária, e pode estar em repouso ou em movimento.

Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo.

13.3. A relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de

controle:

As leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre

quando há uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos

problemas de Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-

se a formulação de volume de controle. O teorema de Transporte de Reynolds permite

que as leis da Mecânica sejam escritas para um volume de controle. Se N for uma

propriedade extensiva arbitrária qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds

estabelece que:

∫ ∫∀

∀==)( )(sistemamassa sistema

ddmNsistema ηρη

(N) é uma propriedade extensiva (varia diretamente com a massa). Exemplo: massa.

(η) é uma propriedade intensiva (independente da massa). Exemplo: temperatura.

Page 50: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

49

∫∫ •+∀∂∂

=∀ SCCsistema

AdVdtdt

dN ηρηρ

Onde:

.sistdtdN : é a taxa de variação total de qualquer propriedade extensiva arbitrária do

sistema.

∫∀

∀∂∂

C

dt

ηρ : é a taxa de variação com o tempo, da propriedade extensiva arbitrária, (N),

dentro do volume de controle.

η: é a propriedade intensiva correspondente a N (η=N por unidade de massa).

∀dρ : é um elemento de massa contido no volume de controle.

∫∀

∀C

dηρ : é a quantidade total da propriedade extensiva, N, contida no volume de

controle.

∫ •SC

AdVηρ : é a vazão líquida em massa, da propriedade extensiva, N, saindo pela

superfície de controle.

AdV •ρ : é a vazão em massa através do elemento de área Ad .

AdV •ηρ : é a vazão em massa da propriedade extensiva, N, através da área Ad .

nV rr• : é o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor normal à área.

13.4. Equação da continuidade (de conservação da massa) para um volume de

controle arbitrário:

Se este teorema for aplicado à equação de conservação da massa,

MNsistema = 1==dmdMη

( )∫∫ •+∀∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∀SC

Csistema

dAnVdtdt

dM rrρρ

Como a massa não varia no interior do sistema,

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sistemadtdM

Page 51: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

50

( ) 0=•+∀∂∂

∫∫∀SC

CdAnVd

trr

ρρ

Onde:

θcosunV =•rr

Deve ser ressaltado que o produto escalar entre o vetor velocidade e o elemento de área

é dado por:

θcos. AdVAdVrrrr

= , onde θ é o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor normal à área.

Como o vetor normal à área é sempre perpendicular a ela, apontando para fora, uma

entrada de tubulação tem θ = 180° e uma saída de tubulação tem θ = 0°

Na entrada de uma tubulação, unV −=•rr

, e, na saída, unV =•rr

Para um volume de controle fixo,

( ) ∑∑∫ −=•entradasaídaSC

uAuAdAnV ρρρrr

Como o volume de controle é fixo,

0=−+∀⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑∑∫∀

entradasaídaC

uAuAddtd ρρρ

ou

0=−+∀⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑∑∫∀

entradasaídaC

mmddtd

&&ρ

13.4.1. Casos especiais:

Em algumas situações, é possível simplificar a equação de conservação da massa.

Para escoamento em regime permanente, não há variação das propriedades do

escoamento com o tempo. Assim, a equação é escrita como:

0=•∫SC

AdVρ

Ou, para um escoamento com um número finito de entradas e saídas, esta equação é

dada por:

Page 52: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

51

0=− ∑∑entradasaída

mm && , lembrando que o produto escalar dentro da integral é positivo para

saídas e negativo para entradas.

Para um fluido incompressível, a massa específica não varia com o tempo ou com a

posição. Assim, a equação de conservação da massa pode ser escrita como:

( ) 0=•+∀∂∂

∫∫∀SC

CdAnVd

trr

ρρ

saídaentrada ρρ =

A integral de ∀d em todo o volume de controle é simplesmente o volume. Como ele

não varia ao longo do tempo, a equação de conservação da massa para fluidos

incompressíveis é dada por:

0=•∫SC

AdV

Definindo-se a vazão volumétrica Q por:

∫ •=SC

AdVQ

a equação de conservação da massa pode ser escrita, para um número finito de entradas

e saídas, como:

0=− ∑∑entradasaída

QQ

A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a magnitude da

velocidade média em uma seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica e a área

da seção, ou:

∫ •==SC

AdVAA

QV 1r

13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica:

Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento que pode ser descrito por

apenas uma coordenada espacial s, função do tempo, ou seja, por s(t).

Page 53: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

52

Figura 29 – Escoamento Unidimensional.

Seja m a massa fluida ocupando a área A no instante de tempo t:

∀= ρm&

A vazão mássica, definida como sendo a taxa de variação da massa com o tempo, é dada

por:

( )dt

ddtdmm ∀

==ρ

&

Aplicando-se a regra da cadeia,

( )dt

ddtdmm ∀

==ρ

&

Mas:

( ) AudtdsAAs

dtd

dtd

===∀

Assim:

dtduAm ρρ ∀+=&

DIM: [M/t]

Para escoamento incompressível, 0=dtdρ .

uAm ρ=&

A vazão volumétrica, ou a taxa de variação do volume com o tempo, é dada por:

uAdtdQ =∀

=

DIM: [L3/t]

A vazão mássica e a vazão volumétrica podem ser relacionadas pela expressão: Qm ρ=&

Page 54: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

53

13.5. 1a Lei da Termodinâmica aplicada ao volume de controle:

A primeira lei da Termodinâmica é uma afirmação da conservação da energia. Sua

formulação para sistema é:

..

..

sistsist dtdEWQ =−

Onde: .

Q : é a taxa de transferência de calor trocada entre o sistema e a vizinhança. A

convenção de sinais adotada estabelece que a taxa de calor é positiva quando o calor é

adicionado ao sistema. .

W : é a taxa de trabalho realizada pelo sistema (convencionada positiva) ou pelo meio

sobre o sistema (negativa).

E: é a energia total do sistema, dada por:

∫∫∀

∀==)()( sistemasistemaM

deedmE ρ

e = é a energia intensiva, dada pela soma entre a energia interna, a energia cinética e a

energia potencial do sistema (por unidade de massa).

ugzVe

UmgzmVE

++=

++=

2

21

2

2

As formulações para sistema e volume de controle são relacionadas por:

∫∫ •+∀∂∂

=∀ SCCsistema

AdVdtdt

dN ηρηρ

∫ ∫∀ ∀

∀==C sistema

ddnNsistema)(

ηρη

A fim de deduzir a formulação para volume de controle, da primeira lei da

termodinâmica, estabelecemos:

N = E

N = η. M

dmdE

η=e

∫∫ •+∀∂∂

=−∀ SCC

sistema AdVedet

WQr

ρρ..

no instante t0:

Page 55: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

54

Csist

WQWQ∀

−=−..

.

..

O termo .

W tem um valor numérico positivo quando o trabalho é realizado pelo volume

de controle sobre o meio que o cerca. A taxa de trabalho realizado sobre o volume de

controle é de sinal oposto ao realizado pelo volume de controle.

outroscisalnormaleixo WWWWW.....

+++=

∫ •=SC

normal AdVpW.

∫∫∫ •+∀∂∂

=⎟⎟

⎜⎜

⎛++•+−

∀ SCC

outroscisal

SC

eixo AdVedet

WWAdVpWQ ρρ....

( )∫∫ •++∀∂∂

=−∀ SCC

AdVpedet

WQr

ρρ..

AdVugzVdet

WQSCC

rr&& •⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++++∀

∂∂

=− ∫∫∀

ρρυρ2

2

Sendo: ρ

υ 1=

É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina.

Para maiores informações, recomenda-se consultar os livros de Mecânica dos Fluidos

sugeridos. Na equação, eixoW.

é qualquer taxa de trabalho de eixo (potência) realizado

sobre ou pelo volume de controle, outrosW.

é qualquer taxa de trabalho não considerada,

como trabalho produzido por forças eletromagnéticas.

Exemplo: Ar entra em compressor a 14 psia, 80ºF com velocidade desprezível e é

descarregado a 70 psia, 500ºF, com velocidade de 500 pés/s, se a potência fornecida ao

compressor for 3200 hp e a vazão em massa 20 lbm/s, determine a taxa de transferência

de calor.

Resolução: Para calcular a taxa de transferência de calor precisamos recorrer à

seguinte fórmula:

Page 56: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

55

AdVugzVdet

WQSCC

rr&& •⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++++∀

∂∂

=− ∫∫∀

ρρυρ2

2

Levando agora em consideração as duas superfícies de controle e o regime

permanente:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−=− 1222

22

2221111

21

111 22υρυρ pugzVAVpugzVAVWQ &&

Colocando a vazão mássica em evidência

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−+

−=− 11221212

21

22

2υυ ppuuzzgVVmWQ &&&

h = entalpia específica = u + pυ

( ) ).(() 1211122212 TTCpupuhhh p −=+−+=∆=− υυ

01 =V 21 ZZ =

OBS.: Cp é tabelado, Rlbm

BtuCpar ⋅⋅= 24,0 e

RlbmftlbfRar ⋅

⋅= 3,53

s

ftlbfHP ⋅⋅= 5501 e ftlbfBtu

⋅=778

1

T (ºR) = 460 + T (ºF)

Substituindo os parâmetros acima na equação (A) temos:

( ) WTTCVmQ p&&& +⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅= 12

22

2

( )s

BTU,s

lbmRlbm

BTU,sftQ 7122612053995923990

2500

02

22

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅⋅+⋅=&

s

BTUQ 6.

10.49,2−=

13.6. Equação de Bernoulli:

Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento

em regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com

apenas uma entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode

ser simplificada.

AdVugzVdet

WQSCC

rr&& •⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++++∀

∂∂

=− ∫∫∀

ρρυρ2

2

(A)

Page 57: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

56

Adotando-se as hipóteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de

trabalho realizadas, a equação se reduz a:

AdVugzVWQSC

rr&& •⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=− ∫ ρρυ

2

2

Chamando a entrada da tubulação de (1) e a saída da tubulação de (2), e considerando

que, em uma dada seção, a energia interna (u), a pressão e a distância vertical (z) não se

alteram, a equação pode ser dada por:

( )( ) ( ) 11

21

22

22

22221111

2222

AdVVAdVVmugzmugzWQAA

rrrr&&&& •⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−•⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++++−++=− ∫∫ ρρυρυρ

No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressível, a vazão mássica se conserva.

( ) 11

21

22

22

111212

1222

dAVVdAVVmuugzgzWQAA

•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−•⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−+−=− ∫∫ ρρυρυρ &&&

Definindo-se o coeficiente de energia cinética de forma que:

VdAVVdAV

AA

ραρ ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛22

22

Onde:

α: é o fator de correção da energia cinética

Pode-se escrever a equação da energia de uma forma mais compacta:

mVVppuugzgzWQ &&&⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−+−=−

22

21

1

22

2121212 ααυυ

Para escoamento em regime turbulento, α é aproximadamente igual à unidade. Para

escoamento em regime laminar, α = 2.

Dividindo-se a equação pela vazão mássica, tem-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−+−=−

22

21

1

22

2121212VVppuugzgz

mW

mQ ααυυ

&

&

&

&

Reescrevendo-se a equação,

( )mQuu

mWVpgzVpgz

&

&

&

&−−+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 12

22

222

21

111 22αυαυ

Os termos entre parênteses do lado esquerdo da equação representam a energia

mecânica por unidade de massa em cada seção transversal do escoamento. O termo .

mW&

representa a potência de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido

Page 58: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

57

(Hs) e o termo .

12 )(mQuu&

−− representa a conversão irreversível de energia mecânica na

seção (1) em energia térmica não desejada e a perda de energia por transferência de

calor.

13.6.1. A Equação de Bernoulli para fluidos ideais:

Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais se pode desprezar os efeitos

de atrito (fluidos ideais), têm que: .

12 )(mQuu&

=−

A equação de Bernoulli pode ser dada então por:

sHVpgzVpgz =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++

22

22

222

21

111 αυαυ

Quando, além disso, não há nenhuma potência de eixo, toda a energia mecânica se

conserva. A equação é dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++

22

22

222

21

111VpgzVpgz αυαυ

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ HVpgz

2

2

αυ constante Equação de Bernoulli para fluidos ideais

A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível

em regime permanente é constante.

13.6.1.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli:

Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um escoamento

por meios gráficos. Cada termo na equação de Bernoulli, na forma apresentada tem

dimensões de comprimento, ou carga do fluido em escoamento. Os termos individuais

são:

:g

Energia de Pressão por unidade de peso do fluido ou carda devida à pressão

estática local.

z: Energia de Posição por unidade de peso do fluido ou carga de elevação.

Page 59: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

58

gV2

2

α : Energia Cinética por unidade de peso do fluido ou carga devida à pressão

dinâmica local.

H: Energia Total por unidade de peso do fluido ou carga total do escoamento.

Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva.

A energia total por unidade de peso do fluido (ou carga total do escoamento). A linha

energética representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equação de

Bernoulli, a altura da linha energética permanece constante para o escoamento sem

atrito, quando nenhum trabalho é realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezométrica

representa a soma das alturas de carga devidas à elevação e à pressão estática. A

diferença entre as alturas da linha energética e da linha piezométrica representa a altura

de carga dinâmica (de velocidade).

Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento Unidimensional em um

Duto.

Linha Energética: g

Vgpz

2

2

++ρ

Linha Piezométrica: g

Pzρ

+ .

Page 60: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

59

13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli:

13.6.2.1. Teorema de Torricelli:

Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante,

contendo um fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício

lateral.

Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas.

A aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais conduz a:

gVz

gP

gVz

gP

21

11

22

22 ++=++

ρρ

Para escoamento turbulento, assume-se α1 = α2 = 1

A equação da Continuidade estabelece que a vazão volumétrica seja constante, ou seja,

2211 VAVAQ ==

No entanto, 21 AA >> . Pode-se considerar, portanto, 01 =V .

Como o jato de saída é livre à pressão atmosférica, atmPPP == 21 .

Além disso, hzz =− 21

Portanto,

gVh2

22=

ghV 22 =

Teorema de Torricelli: “A velocidade de um líquido jorrando por um orifício através de

uma parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma

altura h.”.

Page 61: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

60

13.6.2.2. Medidores de vazão:

Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem

diferentes dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em

duas classes: instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos

mecânicos medem a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade. Os

dispositivos de perda de carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma

corrente fluida, como mostra na fig. 32 para um bocal genérico.

Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de

controle usado para análise.

A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de

uma zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A

corrente principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma

vena contracta na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do

tubo. Na vena contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima.

A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da

equação de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação de massa. A

equação de Bernoulli estabelece que

gVz

gP

gVz

gP

22

21

111

22

222 α

ρα

ρ++=++

Como z1 = z2, a equação se reduz a:

gV

gP

gV

gP

22

21

11

22

22 α

ρα

ρ+=+

Assim, considerando-se escoamento turbulento, α1= α2 = 1 e:

Page 62: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

61

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=−

21

2221 2

VVPP ρ

⎟⎟

⎜⎜

⎛−=− 2

2

21

22

21 12 V

VVPP ρ

As velocidades 1V e 2V podem ser relacionadas através da equação de conservação de

massa,

2211 AVAV =

Ou

1

2

2

1

AA

VV

=

Assim,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

1

222

21 12 A

AVPP ρ

A velocidade teórica (ideal) 2V é, portanto, dada por:

( )

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

2

1

2

212

1

2

AA

PPV

ρ

A vazão volumétrica teórica é dada, portanto, por:

22 AVQ =

( )2

2

1

2

21 .

1

2A

AA

PPQ

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

ρ

No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equação anterior para o cálculo da

vazão através do medidor. A área do escoamento real na seção 2 é desconhecida quando

a vena contracta é pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade não podem ser

considerados uniformes na seção. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes

quando os contornos medidos são abruptos. Finalmente, a localização das tomadas de

pressão influencia a leitura da pressão diferencial.

A equação teórica é ajustada pela definição de um coeficiente de descarga empírico tal

que:

Page 63: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

62

( )td AC

AA

PPQ ..

1

22

1

2

21

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

ρ

Deve ser observado que no cálculo da vazão real a área que deve ser utilizada é a área

da garganta, e não a área do escoamento na seção 2.

São apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazão,

medidos com distribuições de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na

entrada do medidor.

13.6.2.2.1. Tubo de Venturi:

O tubo de Venturi é um dispositivo utilizado para medição da vazão ou da

velocidade em uma tubulação. Consiste em uma redução da seção do escoamento,

provocando um aumento de velocidade e uma queda na pressão. Em geral, os medidores

são fundidos e usinados com pequenas tolerâncias, de modo a reproduzir o desempenho

de projeto. A perda de carga total é baixa. Dados experimentais mostram que os

coeficientes de descarga variam de 0,98 a 0,995 para altos números de Reynolds

(maiores que 2.105). Por isso, C= 0,99 pode ser usado para medir a vazão em massa

com cerca de 1% de erro. Para menores números de Reynolds, a literatura dos

fabricantes deve ser consultada.

A diferença de pressão entre um ponto no escoamento e um ponto no

estrangulamento é medida através de um líquido manométrico, como mostrado na fig.

33.

Figura 33 – Tubo de Venturi.

Aplicando-se a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 (fluido A),

2

222

1

211

22z

gV

gPz

gV

gP

AA

++=++ρρ

Page 64: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

63

No entanto, z1 = z2

gV

gP

gV

gP

AA 22

222

211 +=+

ρρ

Falta ainda relacionar as velocidades 1V e 2V à vazão mássica ou à vazão volumétrica.

A equação da continuidade estabelece que, para fluidos incompressíveis:

2211 AVAVQ ==

Ou:

2

112

22

11

AA

VV

AQV

AQV

=

=

=

Igualando-se as expressões P1 e P2 e substituindo-se as expressões para as velocidades,

chega-se a:

( )

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅=

1

22

2

1

211

AA

PPAQ

13.6.2.2.2. Tubo de Pitot:

Assim como o tubo de Venturi, o tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para a

medição de vazão ou a velocidade de um escoamento. Podem ser utilizadas 2

configurações. Na primeira (Fig. 34), um tubo é inserido no escoamento. Ao entrar no

tubo, a velocidade do fluido é reduzida a zero, sem atrito. Aplicando-se a equação de

Bernoulli:

Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot.

Page 65: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

64

2

222

1

211

22z

gV

gPz

gV

gP

++=++ρρ

Mas: z1 = z2

2V =0

Assim,

gP

gV

gP

ρρ2

211

2=+

ou:

2

2112 VPP

=−ρρ

As pressões podem ser relacionadas às alturas do fluido:

P1 = Patm+ 1ghρ

P2 = Patm+ 2ghρ

Substituindo-se na equação de Bernoulli,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

gPPgV

ρ12

1 2

( )121 2 hhgV −=

Na segunda configuração, é inserido um fluido manométrico, no qual será lida a

diferença de cotas (Fig. 35). Aplicando-se a equação de Bernoulli ao fluido A,

Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico.

2

222

1

211

22z

gV

gPz

gV

gP

AA++=++

ρρ

Page 66: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

65

Mas: z1 = z2

2V =0

Assim,

gP

gV

gP

AA ρρ2

211

2=+

ou:

2

2112 VPP

AA

=−ρρ

As pressões nos pontos 1 e 2 podem ser relacionadas através das seguintes expressões:

PC = P1+ 1ghAρ

PD = P2+ 2ghAρ

Mas,

)( 21 hhgPP BDC −+= ρ

Assim,

ghhPP BA ))(( 2112 −−=− ρρ

A velocidade do escoamento é dada, então, por:

A

BA hhgVρρρ ))((2 21

1−−

=

13.6.2.2.3. Placa de orifício:

A placa de orifício é uma placa fina que pode ser colocada entre flanges. Como a

sua geometria é simples, é de baixo custo e de fácil instalação e reposição. As principais

desvantagens são a sua capacidade limitada e a elevada perda de carga. As tomadas de

pressão podem ser posicionadas em diversos locais. Como a localização das tomadas

influencia o coeficiente de descarga, valores consistentes devem ser selecionados de

manuais. A equação de correlação recomendada para um orifício concêntrico com

tomadas de canto (fig.36) é: 5,2

75,0

81,2

Re71,91184,00312,05959,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

DlD

DlD

DlDC t

Dl

tt

Page 67: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

66

Figura 36 (a) – Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – Placa de

orifício.

Equações de correção similares estão disponíveis para placas de orifícios com tomadas

de flange e com tomadas de pressão D e D/2.

Figura 36 (b) – Placa de Orifício.

A1 = área da seção reta do tubo.

A3 = área da seção reta à entrada do orifício (montante).

A2 = área da seção reta à saída do orifício (jusante).

Aplicando a equação de Bernoulli entre A1 e A2, temos:

2

222

1

211

22Z

gVpZ

gVp

++=++γγ

(1)

Porém, a área na seção reta na “vena contracta” será multiplicada por um fator CC

chamado coeficiente de contração, então:

02 ACA C= (2)

Page 68: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

67

Assim sendo,

0211 ACVAVQ c== (3)

Cortando Z1 e Z2 na equação (1) e substituindo (3) em (1), temos,

20

22

21

21

22 )AC(gQP

gAQP

c

+=+γγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− 2

120

2

2

2111

2 AACgQhh

C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=− 2

120

2

20

221

2

21 2 AACACA

gQhh

C

C

( )2120

221

21

20

2

2 hhgACA

AACQC

C −⋅−

=

( )212

1

02

2

1

120

2

2

1

hhg

AAC

AAAC

Q

C

C

−⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

( )212

1

02

0 2

1

hhg

AAC

ACQ

C

C −⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

Para obtermos a vazão real, devemos considerar o coeficiente de velocidade “CV”

responsável pelas perdas por atrito e choques no orifício, então:

( )212

1

02

0 2

1

hhg

AAC

ACCQ

C

CV −⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= (4)

Definimos o coeficiente de forma do orifício “C” como sendo a relação:

2

1

021 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

AAC

CCC

C

CV (5)

A equação (4) pode ser escrita:

( )210 2 hhgCAQ −= (6)

Page 69: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

68

13.6.2.2.4. Pressão de estagnação:

É obtida quando um fluido em movimento é desacelerado até a velocidade zero

por meio de um processo sem atrito.

Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática.

=++ zg

VP2

2

γ constante

gVPP2

20 +=

γγ

onde:

P0: é a pressão de estagnação

00 =V

z0 = z

P: pressão estática (é a pressão termodinâmica, é aquela pressão que seria medida por

um instrumento movendo-se com o escoamento).

gVPP2

20 =−γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

γPPgV 02

13.7. Equação de Bernoulli para fluidos reais – perda de carga:

pHg

Vzg

Pg

Vzg

P∆+++=++

22

21

11

22

22

ρρ

Este último termo é denominado perda de carga, (∆HP) que é a energia por unidade de

peso do líquido, dissipada em forma de calor devido à viscosidade e ao desvio de massa

pelos acessórios e, quando turbulento o regime de escoamento, pela rugosidade.

Page 70: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

69

13.7.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli para fluidos reais:

Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido Real.

:g

Energia de Pressão por unidade de peso do fluido.

:z Energia de Posição por unidade de peso do fluido.

:2

2

gV Energia Cinética por unidade de peso do fluido.

:pH∆ Perda de Carga entre os pontos 1 e 2.

A perda de carga ( )pH∆ depende da rugosidade (ε) e do comprimento (L) da tubulação

e da presença de acessórios e conexões no sistema. A perda de carga total é, portanto, a

soma da perda de carga contínua ( )pCH∆ , devida ao atrito do escoamento com as

paredes ao longo da tubulação, com a perda de carga local ( )pLH∆ , devida à perda de

pressão pelo atrito do escoamento com os acessórios e conexões, mudanças de área e

outros.

PLPCP HHH ∆+∆=∆

A perda de carga unitária é definida como sendo a razão entre a perda de carga e

o comprimento da tubulação:

LHJ P∆

=

Page 71: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

70

A perda de carga entre duas seções quaisquer do escoamento pode ser calculada

através de relações empíricas que dependem principalmente do regime de escoamento e

da rugosidade relativa do duto.

13.7.2. Tipos de perda de carga:

13.7.2.1. Perdas de carga contínuas: ocorre nos trechos retos.

gV

DLfHPC 2

2

=∆

onde: L é a distância percorrida pelo fluido entre as 2 seções consideradas, DIM: [L].

D é o diâmetro do duto, DIM: [L].

V é a velocidade média do fluido, DIM: [L/t].

g é a aceleração da gravidade, DIM: [L/t2].

f é o coeficiente de atrito.

O principal problema consiste então na determinação do fator de atrito.

Basicamente, ele depende da rugosidade (ε) e do diâmetro da tubulação (D), da

velocidade média do escoamento ( )V e das propriedades do fluido (ρ e µ). Através da

análise dimensional, obtém-se que o fator de atrito é função de 2 adimensionais: a

rugosidade relativa (k/D ou ε/D) e o número de Reynolds.

O adimensional de Reynolds, ou Re é dado por:

υµρ DVDV

==Re

O número de Reynolds caracteriza o regime de escoamento:

2100Re ≤ , o escoamento é laminar.

Se 4000Re2100 << , o escoamento está na faixa de transição.

4000Re ≥ , o escoamento é turbulento.

O fator de atrito depende do regime de escoamento. Para escoamentos laminares,

o fator de atrito pode ser calculado por:

Page 72: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

71

Re64

=f

Para escoamentos turbulentos, a determinação do fator de atrito é mais

complicada. A expressão mais largamente utilizada é a de Colebrook:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 5,05,0 .Re

51,27,3

/log21f

Df

ξ

No entanto, a expressão anterior é transcendental, ou seja, deve ser resolvida por

um procedimento iterativo. Miller sugere um valor inicial para o fator de atrito(f0), dado

por: 2

9,00 Re74,5

7,3/log25,0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

Df ξ

Substituindo-se o resultado da equação de Miller na equação de Colebrook,

pode-se determinar um valor para o fator de atrito com cerca de 1% de erro.

Os valores do fator de atrito, para escoamentos laminares e turbulentos, foram

determinados experimentalmente para uma série de valores de Re e de (k/D ou ε/D) e

sumarizados em um ábaco (Fig.38), denominado Ábaco de Moody.

Moody apresenta também uma tabela (Tab.3) para determinação da rugosidade

absoluta (ε) em tubos, para alguns materiais comuns de engenharia.

Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia.

Material Rugosidade ε (mm)

Aço rebitado 0,9 a 9

Aço comercial 0,046

Concreto 0,3 a 3

Ferro fundido 0,26

Ferro fundido asfaltado 0,12

Ferro galvanizado 0,15

Madeira 0,2 a 0,9

Trefilado 0,0015

Page 73: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

72

Figura 39 - Ábaco de Moody.

Page 74: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

73

Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa.

Page 75: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

74

13.7.2.2. Perdas de carga localizadas:

Em um sistema real, muitas vezes o escoamento é obrigado a passar por uma

série de acessórios, conexões, curvas ou mudanças abruptas de seção e direção. Ao

passar por estes obstáculos, o escoamento perde energia e tem sua pressão

diminuída. As perdas de carga locais foram determinadas experimentalmente e

modeladas segundo duas equações diferentes.

1o método: Método direto

( )g

VkHPL 2

2

∑=∆

k: é o coeficiente de perda local (característica do acessório – Fig. 41)

Figura 41 – Valores aproximados de k.

Page 76: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

75

2o método: Método dos comprimentos equivalentes

Consiste em transformar o acessório em trecho reto com o mesmo diâmetro e

material.

gV

DL

fH ePL 2

2

=∆

Le: é o comprimento equivalente da tubulação (Fig. 41)

A perda de carga total é:

PLPcP HHH ∆+∆=∆

Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e Aço.

A entrada do escoamento em tubos pode causar uma perda de carga

considerável, se for mal projetada. Na Tab. 4, são apresentadas 3 geometrias básicas

de entradas. Para saídas, o coeficiente de perda local vale 1,0.

Page 77: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

76

Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos.

Toda energia cinética do fluido é dissipada pela mistura quando o escoamento

descarrega de um tubo em um grande reservatório ou câmara (saída submersa). Assim,

para uma saída submersa, o coeficiente de perda é igual a α, não importando a

geometria.

Um escoamento pode ainda sofrer uma expansão ou contração abrupta. Para este

caso, a Tab. 5 apresenta os coeficientes de perda de carga, em função da razão de área

AR (razão entre a menor e a maior área da contração ou expansão).

Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão.

Para uma expressão abrupta, o coeficiente de perda de carga pode ser modelado pela

equação:

K = (1-RA)2

Page 78: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

77

As perdas decorrentes da variação de área podem ser reduzidas pala instalação

de um bocal ou um difusor entre as duas seções de tubo reto. Um bocal é um dispositivo

utilizado para a redução gradual da seção do escoamento (Fig.43). A Tab. 6 apresenta os

coeficientes de perda de carga para bocais, para diferentes razões de área e para

diferentes ângulos θ.

Figura 43 – Redução de Área – Bocal.

Tabela 6 – Coeficientes de Perda de Carga para Redução Suave da Seção

Kcontração θ

A2 / A1 10º 15º - 40º 50º - 60º 90º 120º 150º 180º

0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26

0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41

0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43

As perdas em difusores (expansão gradual da seção do escoamento) dependem

de diversas variáveis geométricas e do escoamento. Como um difusor provoca um

aumento da pressão estática do escoamento (redução da velocidade média), o

coeficiente de perda é comumente apresentado em termo de um coeficiente de

recuperação de pressão, CP:

21

12

21 V

PPCPρ

−=

O coeficiente de perda é dado por

PCAR

K −−= 211

Definindo-se um coeficiente ideal de recuperação de pressão, CPi, como o coeficiente de

recuperação que existiria se os efeitos de atrito fossem desprezados.

211

ARCPi −=

PPi CCK −=

Page 79: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

78

A Fig. 44 apresenta os coeficientes de carga para difusores, em função do ângulo total

do difusor.

Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor.

Deve ser observado que as perdas de carga são obtidas ao se multiplicar o coeficiente de

perda por (U2/2g). No entanto, em uma redução ou aumento de seção, há duas

velocidades diferentes; a da maior e a da menor seção. Para estes casos, sempre deve ser

usado o maior valor de velocidade.

As perdas de carga em escoamentos através de válvulas e conexões também podem ser

escritas em termos de comprimentos equivalentes de tubos retos. Estes valores, para

cada um dos acessórios, são mostrados na Tab. 7.

Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões.

Acessórios Le/D

Válvula Gaveta 8

Válvula Globo 340

Válvula Angular 150

Válvula de Esfera 3

Válvula Globo de Retenção 600

Válvula Angular de Retenção 55

Page 80: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

79

Válvula de pé com Crivo Guiado 420

Válvula de pé com Crivo Articulado 75

Cotovelo Padrão de 90º 30

Cotovelo Padrão de 45º 16

Curva de Retorno – 180º 50

Tê Padrão: Escoamento Principal 20

Tê Padrão: Escoamento Lateral 60

Válvulas são dispositivos destinados a estabelecer, controlar e interromper a descarga de

fluidos em tubulações. Algumas garantem a segurança da instalação e outras permitem

desmontagens para reparos ou substituições de elementos da instalação. Existe uma

grande variedade de tipos de válvulas, cuja escolha depende da natureza da operação a

realizar, das propriedades físicas e químicas do fluido considerado, da pressão e da

temperatura do escoamento e da forma de acionamento pretendida.

As válvulas de gaveta (Fig.45) são válvulas mais empregadas para escoamento de

líquidos. Possuem custo relativamente reduzido e permitem a redução da vazão do

escoamento através do volante situado na parte superior do corpo da válvula. Quando o

volante é girado, a válvula desliza para baixo na seção.

Figura 45 – Válvula de gaveta.

As válvulas de esfera são válvulas de uso geral, de fechamento rápido, muito usadas

para ar comprimido, vácuo, vapor, gases e líquidos. O controle do fluxo é feito por meio

de uma esfera, possuindo uma passagem central e localizada no corpo da válvula. O

comando é, em geral, manual, com auxílio de uma alavanca. Estas válvulas não se

aplicam, a casos em que se pretende variar a vazão, mas apenas abrir ou fechar

totalmente a passagem do fluido.

Page 81: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

80

As válvulas globo (Fig. 46) possuem uma haste parcialmente rosqueada em cuja

extremidade existe um alargamento, tampão ou disco para controlar a passagem do

fluido por orifício. Servem para regular a vazão, pois podem trabalhar com tampão da

vedação do orifício em qualquer posição, embora acarretem grandes perdas de carga,

mesmo com abertura máxima.

Figura 46 – Válvula Globo.

As válvulas de retenção (Fig.47) permitem o escoamento em um só sentido. Quando há

a tendência de inversão no sentido do escoamento, fecham automaticamente pela

diferença de pressão provocada.

Figura 47 – Válvula de Retenção.

Existe um número muito grande de dados experimentais para as perdas da carga

localizadas. Os valores apresentados constituem uma compilação dos dados da

literatura, proposta por Fox e McDonald (2001). Eles devem ser considerados como

dados representativos para algumas situações comumente encontradas. Para válvulas, o

projeto irá variar significativamente, dependendo do fabricante. Sempre que possível, os

Page 82: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

81

valores fornecidos pelos fabricantes deverão ser utilizados para a obtenção de dados

mais precisos. Além disso, como as perdas de carga introduzidas por acessórios e

válvulas irão variar consideravelmente, dependendo dos cuidados tomados durante a

fabricação da tubulação. Rebarbas do corte de trechos de tubos, por exemplo, poderão

causar obstruções locais, com aumento considerável das perdas.

13.8. Potência fornecida por uma bomba Se for necessário transportar um fluido de um ponto a outro situado em uma posição

mais elevada, pode-se utilizar uma bomba. A bomba fornecerá ao fluido uma

quantidade de energia por unidade de peso do fluido Hman.

Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba.

Aplicando-se a equação de Bernoulli para fluidos reais entre os pontos 1 e 2,

pman Hg

Vg

PzHg

Vg

Pz ∆+++=+++22

222

2

211

1 ρρ

A potência real da bomba, ou seja, a potência que a bomba fornece ao fluido é dada por:

manB QHN γ=

Onde: γ: é o peso específico do fluido ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3LFDIM

Q: é a vazão volumétrica através da bomba ⎥⎦

⎤⎢⎣

tLDIM

3

Page 83: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

82

Hman: é a energia por unidade de peso do fluido fornecida pela bomba (altura

manométrica). É a energia fornecida a cada kgf de líquido para que partindo do

reservatório inferior atinja o reservatório superior, vencendo a diferença de pressão

entre os reservatórios, a altura de desnível geométrico e a perda de carga [ ]LDIM .

No entanto, a energia disponível para a bomba é diferente da energia transferida

pela bomba para o fluido. Uma parte da energia é perdida por fugas de massa e por

dissipação por atrito no interior da bomba. A eficiência da bomba é definida então como

sendo a razão entre a energia disponível para o fluido e a energia disponível para a

bomba, ou seja, a razão entre a potência real da bomba e a sua potência ideal.

idealpotênciarealpotência

A unidade de potência, no SI, é o W (J/s). Uma unidade bastante utilizada é o

cavalo-vapor (cv), sendo 1 cv = 736W = 75 kgfm/s e 1 hp = 746W = 76 kgfm/s, ou seja,

1 hp = 1,014 cv

Nm= η

γ manQH

Exemplo: Um conjunto elevatório esquematizado na figura abaixo trabalha nas seguintes

condições:

- Vazão = 100 l.s-1

- Material = Ferro fundido

- Rendimento total = 75%

- Diâmetro da tubulação de recalque = 200 mm

- Diâmetro da tubulação de sucção = 250 mm

- s

mOH

26

2 10.1 −=µ

Determinar:

a) Perda de carga na linha de sucção em (m).

b) Perda de carga na linha de recalque em (m).

c) Altura manométrica em (m).

d) Potência da bomba de acionamento em (cv).

Page 84: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

83

Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima

Resolução: Para calcularmos os itens acima, iremos dividir em dois blocos: Sucção e

Recalque.

a) Sucção: (Antes da bomba)

*Acessórios na sucção: - 1 válvula de pé e crivo = 65,0 m

- 1 curva de 90º = 3,0 m

Le = 65 m + 3 m

AVQ ×=

( ) 23S

3

m102504

Vs

m100,0 −××π

×=

sm037,2VS =

* Cálculo do número de Reynolds:

υ=

µρ

=DVDVRe

s

m101

m25,0sm037,2

Re 26−×

×=

5101,5Re ×=

Page 85: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

84

* Obtenção do fator de atrito:

Pelo fato do número de Reynolds ter sido maior que 4.000 o escoamento

se caracteriza turbulento.

Depois de consultado a tabela de rugosidade relativa ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =ε 00104,0D

e o

ábaco de Moody, obtemos o fator de atrito de f = 0,0205.

* Cálculo da perda de carga na sucção usando o método do comprimento

equivalente:

( )g2

VD

LeLfH2

SS ×

+×=∆

( ) ( )2

2

3S

sm81,92s

m037,2

m10250m3655,40205,0H

××

×++

×=∆ −

m257,1Hs =∆

b) Recalque: (Depois da bomba)

*Acessórios no Recalque: - 1 válvula de retenção = 25,0

- 1 curva de 90º = 2,4

- 1 registro gaveta = 1,4

Le = 25,0 m + 2,4 m + 1,4 m

AVQ ×=

( ) 23R

3

m102004

Vs

m100,0 −×π

×=

sm183,3VR =

* Cálculo do número de Reynolds:

υ

ρ=

DVDVRe

s

m101

m2,0sm183,3

Re 26−×

×=

51037,6Re ×=

* Obtenção do fator de atrito:

Pelo fato do número de Reynolds ter sido maior que 4.000 o escoamento

se caracteriza turbulento.

Page 86: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

85

Depois de consultado a tabela de rugosidade relativa ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =ε 0013,0D

e o

ábaco de Moody, obtemos o fator de atrito de f = 0,0215.

* Cálculo da perda de carga na sucção:

( )g2

VD

LeLfH2

RR ×

+×=∆

( ) ( )2

2

3R

sm81,92s

m183,3

m102m4,24,125360215,0H

××

×+++

×=∆ −

m597,3HR =∆

m854,4m597,3m257,1HHH RST =+=∆+∆=∆

c) Cálculo da altura manométrica:

* Pela equação de Bernoulli temos:

Perdasg

VPHg

VPman ++=++

22

222

211

γγ

P1+ 1V 2/2.g + Hman = P2+ 2V 2/2.g + perdas ( TH∆ )

P1man=0 ; P2man=0 ; Z1=0 ; Z2=21 m ; V 1=0 ; V 2= V R =3,18m/s

( )m584,4m21

sm81,92s

m183,3H

2

2

man ++×

=

m1,26Hman =

d) Cálculo da potência da bomba:

* Rearranjando a equação de Bernoulli temos:

η

γ manm

QHN =

* Substituindo os valores teremos:

750

1261010010133

33

,

m,sm

mkgf

HQN manm

××××=

η××γ

=−

s

m.kgfNm 3480= s

mkgfvc .75..1 =

.v.c,Nm 446=

Page 87: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

86

14. Transferência de Calor

14.1. Introdução

Sempre que existir um gradiente de temperatura no interior de um sistema ou dois

sistemas a diferentes temperaturas colocadas em contato, haverá transferência de

energia por calor.

A transferência de calor é o trânsito de energia provocado por uma diferença de

temperatura, no sentido da temperatura mais alta para a mais baixa.

Figura 50 - Transferência de calor.

Os processos de transferência de calor devem obedecer às leis da Termodinâmica:

1a Lei da Termodinâmica: A energia não pode ser criada ou destruída, mas apenas

transformada de uma forma para outra.

2a Lei da Termodinâmica: É impossível existir um processo cujo único resultado seja

a transferência de calor de uma região de baixa temperatura para outra de temperatura

mais alta.

14.2. Modos de Transferência de Calor:

Os diferentes processos através dos quais o calor é transmitido são chamados modos. Os

modos de transferência de calor são: condução, convecção e radiação.

14.2.1. Condução:

Transferência de calor que ocorre em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou

um fluido. É um processo pelo qual o calor flui de uma região de temperatura mais alta

para outra de temperatura mais baixa dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou

entre meios diferentes em contato físico direto. A energia é transferida através de

comunicação molecular direta, sem apreciável deslocamento das moléculas.

Calor T1 > T2

S1 S2

Page 88: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

87

Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da energia

provocada pela atividade molecular.

14.2.2. Convecção:

Transferência de calor que ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento,

quando estiverem em temperaturas diferentes. É um processo de transferência de

energia através da ação combinada de condução de calor, armazenamento de energia e

movimentação da mistura. É importante principalmente como mecanismo de

transferência de energia entre uma superfície sólida e um fluido.

Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção natural. (b)

Convecção forçada.

14.2.3. Radiação:

Energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por uma superfície a uma

temperatura finita. É a energia emitida por toda matéria que se encontra a uma

temperatura não nula. O calor radiante é emitido por um corpo na forma de impulsos, ou

quantas de energia.

T1

T2

qc

T1

Tar

CONVECÇÃO NATURAL

qc

T1

Tar

CONVECÇÃO FORÇADA

Page 89: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

88

Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças.

A radiação térmica é a energia eletromagnética propagada na velocidade da luz, emitida

pelos corpos em virtude de sua temperatura. Os átomos, moléculas ou elétrons são

excitados e retornam espontaneamente para os estados de menor energia. Neste

processo, emitem energia na forma de radiação eletromagnética. Uma vez que a emissão

resulta de variações nos estados eletrônicos, rotacional e vibracional dos átomos e

moléculas, a radiação emitida é usualmente distribuída sobre uma faixa de

comprimentos de onda. Estas faixas e os comprimentos de onda representando os

limites aproximados são mostrados na Fig. 54.

Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças.

14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor:

Equações de Taxa

qT

Tviz

Page 90: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

89

Todos os processos de transferência de calor podem ser quantificados através da

equação de taxa apropriada. A equação pode ser usada para se calcular a quantidade de

energia transferida por unidade de tempo.

A taxa de energia é denotada por q, e tem unidade de (W – Watt) no sistema

internacional. Outra maneira de se quantificar a transferência de energia é através do

fluxo de calor, "q , que é a taxa de energia por unidade de área (perpendicular à direção

da troca de calor). No sistema internacional, a unidade do fluxo é (W/m2).

14.3.1. Condução

Equação de taxa: Lei de Fourier

dxdTkqcond −="

onde "cond

q : Fluxo de calor por condução na direção x (W/m2)

k: Condutividade térmica do material da parede (W/m.K)

calor de fluxo do direção na ra temperatude Gradiente :dxdT (K/m)

A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área

perpendicular à direção da transferência de calor,

dxdTkAqcond −=

O sinal negativo aparece porque o calor está sendo transferido na direção da

temperatura decrescente. A lei de Fourier se aplica a todos os estados da matéria

(sólidos, líquidos e gases), desde que estejam em repouso.

Seja a transferência unidimensional de calor em uma parede plana (Figura 55).

Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana.

Page 91: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

90

Considere que, na parede mostrada na figura 55, a superfície em x = 0 se encontra a

uma temperatura T1 e a superfície em x = L se encontra a T2. A transferência de calor é,

portanto, unidimensional (direção x). Para regime permanente sem geração interna de

calor, pode-se considerar que a distribuição de temperaturas no interior da parede é

linear. Assim, o gradiente de temperatura pode ser dado por:

LTT

dxdT 12 −=

O fluxo de calor é dado por:

LTk

LTTk

LTTkqcond

∆=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= 2112"

A taxa de condução de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo pela área

perpendicular à direção da transferência de calor, é dada por:

Aqq condcond"=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=L

TTkAqcond21

Utilizando a analogia com circuitos elétricos, pode-se definir a resistência térmica à

condução Rt,cond a partir da resistência elétrica R.

iVVR 21 −=

condcondt q

TTR 21,

−=

kALR condt =,

onde: Rt,cond. = resistência térmica à condução de calor (W/K)-1

Exemplo: 1) Uma parede de concreto, área superficial de 20 m2 e espessura de 0.30 m, separa uma

sala de ar condicionado do ar ambiente. A temperatura da superfície interna da parede é

mantida a 25ºC, e a condutividade térmica do concreto é 1W/m.K. Determine a perda de

calor através da parede para as temperaturas ambientes internas de – 15 ºC e 38 ºC que

correspondem aos extremos atingidos no inverno e no verão.

Page 92: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

91

Resolução: Para calcularmos a perda de calor através da parede devemos utilizar a

equação que rege a lei básica de transferência de calor referente à condução térmica em

uma parede plana:

LTTAkqcond

21.. −=

Substituindo os valores em relação à temperatura de –15ºC temos a condução

térmica como:

( )

Wqm

CCmKm

Wq

LTTAkq

cond

cond

cond

26673,0

º15º25.20..

1

..

2

21

=

−−=

−=

Substituindo em relação à temperatura de 38ºC temos:

Wqm

CCmKm

Wq

LTTAkq

cond

cond

cond

8673,0

º38º25.20..

1

..

2

21

−=

−=

−=

14.3.2. Convecção

Equação de taxa: Lei de Resfriamento de Newton

Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor.

( )∞−= TThq sconv

"

onde: ".q conv : Fluxo de calor por convecção (W/m2)

h: Coeficiente convectivo de calor (W/m2K)

Ts: Temperatura da superfície (K)

T∞: Temperatura do fluido (K)

A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:

Aqq convconv"=

Page 93: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

92

( )∞−= TThAq sconv

A Tab. 8 apresenta valores típicos do coeficiente de convecção h:

Tabela 8 – Valores de h (W/m².K)

Gás Líquido

Convecção Natural 5-25 50-1.000

Convecção Forçada 25-250 50-20.000

Ebulição ou Condensação 2.500-100000

A resistência térmica à convecção é dada por:

convconvt q

TTR 21,

−=

hAR convt

1, =

onde: Rt,conv. = resistência térmica à convecção de calor (W/K)-1

Exemplo: 1) Um circuito integrado (chip) quadrado com lado w = 5 mm opera em condições

isotérmicas. O chip está alojado no interior de um substrato de modo que suas

superfícies laterais e inferior estão bem isoladas termicamente, enquanto sua superfície

superior encontra-se exposta ao escoamento de uma substância refrigerante a T∞ = 15ºC.

A partir de testes de controle de qualidade, sabe-se que a temperatura do chip não deve

exceder a T= 85ºC. Se a substância refrigerante é o ar, com coeficiente de transferência

de calor por convecção correspondente de h= 200 W/m2.K. Determine a potência

máxima que pode ser dissipada pelo chip.

Resolução: Para calcular a potência máxima dissipada pelo chip temos que calcular

o fluxo de transferência de calor gerada pelo sistema, levando em consideração a

temperatura máxima à qual o chip pode atingir:

2

2

sup

000.14"

).º15º85(.

200"

)("

mWq

KKm

Wq

TThq

conv

conv

conv

=

−=

−= ∞

Page 94: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

93

Calculamos agora a potência máxima utilizando o valor acima encontrado:

( )W35,0Pq

m10.5.mW14000q

A.''qq

maxconv

2232conv

convconv

==

=

=

14.3.3. Radiação

Lei de Stefan-Boltzmann

A radiação com comprimento de onda de aproximadamente 0,2 µm a 1000 µm é

chamada radiação térmica e é emitida por todas as substâncias em virtude de sua

temperatura.

O fluxo máximo que pode ser emitido por uma superfície é: 4"

srad Tq σ=

onde: q”rad: Energia emitida por unidade de área da superfície (W/m2)

Ts: Temperatura absoluta da superfície (K)

σ: Constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10-8W/m2K4)

Uma superfície capaz de emitir esta quantidade de energia é chamada um radiador ideal

ou um corpo negro. Um corpo negro pode ser definido também como um perfeito

absorvedor de radiação. Toda a radiação incidente sobre um corpo negro

(independentemente do comprimento de onda ou da direção) será absorvida. Embora

um corpo negro não exista na natureza, alguns materiais se aproximam de um corpo

negro. Por exemplo, uma camada fina de carbono preto pode absorver

aproximadamente 99% da radiação térmica incidente.

A quantidade de energia liberada de uma superfície como calor radiante depende da

temperatura absoluta e da natureza da superfície. Uma superfície capaz de emitir esta

quantidade de energia é chamada um irradiador perfeito ou “corpo negro”.

O fluxo de calor emitido por uma superfície real é menor do que aquele emitido por um

corpo negro à mesma temperatura e é dado por: 4"

srad Tq εσ=

Page 95: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

94

onde: ε é a emissividade da superfície. Esta propriedade indica a eficiência de emissão

da superfície em relação a um corpo negro ( )10 ≤≤ ε . A Tabela A.5 (Apêndice A)

apresenta a emissividade de alguns materiais comuns, a 300 K.

Outra propriedade radiativa importante é a absortividade α, que indica a eficiência de

absorção da superfície.

A taxa líquida na qual a radiação é trocada entre duas superfícies é bastante complicada,

dependendo das propriedades radiativas das superfícies e de seu formato. Um caso

especial que ocorre com freqüência envolve a troca líquida de radiação entre uma

pequena superfície a uma temperatura Tsup e uma superfície isotérmica bem maior que a

primeira, que a envolve completamente (Figura 57).

Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies.

Considerando-se a superfície menor cinzenta ( )αε = , o fluxo radiativo líquido pode ser

dado por:

( )44"vizsrad TTq −= εσ

A taxa líquida de troca de calor é:

( )44vizsrad TTAq −= εσ

onde: A: Área da superfície menor

Ts: Temperatura da superfície menor

Tviz.: Temperatura da superfície maior

Manipulando-se a equação anterior, pode-se escrever a taxa líquida como:

Page 96: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

95

( )( )( )22vizsvizsvizsrad TTTTTTAq ++−= σε ou

( )vizsrrad TTAhq −=

onde:

( )( )22vizsvizsr TTTTh ++= εσ

Assim, a resistência térmica à radiação é dada por:

rad

vizsradt q

TTR −=,

AhR

rradt

1, =

onde: Rt,rad. = resistência térmica à radiação de calor (W/K)-1

Deve ser ressaltado que o resultado independe das propriedades da superfície maior, já

que nenhuma parcela da radiação emitida pela superfície menor seria refletida de volta

para ela.

As superfícies mostradas na Fig. 57 podem também, simultaneamente, trocar calor por

convecção com um fluido adjacente. A taxa total de transferência de calor é dada,

portanto, pela soma da taxa de calor por radiação com a taxa de calor por convecção.

convrad qqq +=

Exemplo: 1) Uma superfície com área de 0,5 m2, emissividade igual a 0,8 e temperatura de 150ºC

é colocada no interior de uma grande câmara de vácuo cujas paredes são mantidas a

25ºC. Determine a taxa de emissão de radiação pela superfície?

Resolução: Para calcular a taxa de emissão de radiação devemos utilizar a fórmula

referente à radiação para uma superfície:

( ) ( )

2rad

4442

8rad

sup4

rad

mW22,1452''q

K273150Km

W1067,58,0''q

T..q

=

+×××=

=

σε

A Tab. 9 apresenta um resumo das equações de taxa dos diferentes modos de

transferência de calor.

Page 97: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

96

Tabela 9 – Equações de Taxa

Taxa Fluxo

Condução dxdTKAqcond −=

dxdTK"q cond −=

Convecção ( )∞−−= TThAq sconv ( )∞−= TTh"q sconv

Radiação ( )vizsr TTAhqrad −= ( )T vizT sq rad44" −= εσ

15. Condução 15.1. Introdução à Condução

A Lei de Fourier é uma lei fenomenológica, ou seja, desenvolvida a partir de fenômenos

observados, e não deduzida a partir de princípios fundamentais.

Para a condução unidimensional, dxdTkqcond −="

O fluxo de calor é uma grandeza vetorial, dado por:

TkkzTj

yTi

xTkq ∇−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−= ˆˆˆ"

onde ∇ é o operador gradiente.

kqjqiqq zyxˆˆ" """ ++=

onde: zTkq

yTkq

xTkq zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−= """

A Tab.10 apresenta, para os três sistemas de coordenadas cartesianas, a lei de Fourier.

Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas.

Sistemas de

coordenadas

Lei de Fourier Forma compacta

Cartesianas ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−= kzTj

yTi

xTkq ˆˆˆ" kqjqiqq zyx

ˆ"ˆ"ˆ"" ++=

Cilíndricas ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−= kzTjT

ri

rTkq ˆˆ1ˆ"

φ ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−= kzTjT

ri

rTkq ˆˆ1ˆ"

φ

Esféricas ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= kTr

jTr

irTkq ˆ

sen1ˆ1ˆ"

θθθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= kTr

jTr

irTkq ˆ

sen1ˆ1ˆ"

θθθ

Page 98: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

97

15.2. Propriedades térmicas da matéria:

A condutividade térmica (K) apresenta a capacidade de um corpo de transferir calor. Ela

depende da estrutura física da matéria, a níveis atômico e molecular. Conforme

mostrado na figura 58, em geral, a condutividade térmica de um sólido é maior que a de

um líquido que, por sua vez, é maior que a de um gás. No sistema internacional, a

unidade de k é (W/m.K).

Para uma taxa de calor fixa, um aumento na condutividade térmica representa uma

redução do gradiente de temperatura ao longo da direção da transferência de calor. Esta

tendência se deve, em grande parte, às diferenças de espaçamento intermolecular nos

estados da matéria. A Figura 58 apresenta valores da condutividade térmica para alguns

materiais, a 300 K.

Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria.

Page 99: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

98

O produto ρcp, comumente chamado de capacidade calorífica, mede a capacidade de um

material de armazenar energia térmica. Uma vez que substâncias que possuem

densidade elevada são tipicamente caracterizados por reduzidos calores específicos,

muitos sólidos e líquidos, que são considerados meios bons para o armazenamento de

energia possuem capacidades caloríficas de magnitude apreciável. Ao contrário, devido

às suas baixas densidades, os gases são muito pouco adequados para o armazenamento

de energia térmica. No sistema internacional, a unidade de ρcp é (J/m3.K).

A difusividade térmica (α) é definida como sendo a razão entre a condutividade

térmica e a capacidade calorífica:

pckρ

α =

onde k é a condutividade térmica e pcρ é a capacidade calorífica.

Ela mede a capacidade do material de conduzir a energia térmica em relação à sua

capacidade de armazená-la. Materiais com valores elevados de α responderão

rapidamente a mudanças nas condições térmicas a eles impostas, enquanto materiais

com valores reduzidos de α responderão mais lentamente, levando mais tempo para

atingir uma nova condição de equilíbrio. No sistema internacional, a unidade de α é

(m2/s).

Em geral, os sólidos metálicos têm maiores difusividades térmicas, enquanto os sólidos

não metálicos apresentam menores valores desta propriedade.

15.3. Conservação de energia em um volume de controle

Em qualquer instante, de tempo (t) e intervalo de tempo (∆t), deve haver um equilíbrio

entre todas as taxas de energia.

- Num instante (t): a taxa com que as energias térmica e a energia mecânica entram num

volume de controle, mais a taxa com que a energia térmica é gerada no interior do

volume de controle, menos a taxa com que as energias térmica e a energia mecânica

deixam o volume de controle, devem ser iguais à taxa de aumento da energia

armazenada no interior do volume de controle.

Page 100: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

99

- Num intervalo de tempo(∆t): a quantidade de energia térmica e a energia mecânica

que entra num volume de controle, mais a quantidade de energia térmica gerada no

interior do volume de controle, menos a quantidade de energia térmica e a energia

mecânica que deixa o volume de controle, devem ser iguais ao aumento na quantidade

de energia armazenada no interior do volume de controle.

dtdEEEEE ac

acefgaf ==−+ &&&&

a equação acima pode ser utilizada em qualquer instante de tempo. A forma alternativa,

que se aplica a um intervalo de tempo (∆t), é obtida pela integração da equação ao longo

do tempo:

acefgaf EEEE ∆=−+

Em palavras essa relação diz que as quantidades de energia que entram e que são

geradas atuam em favor do crescimento da quantidade de energia acumulada no interior

do volume de controle, enquanto a energia que sai atua diminuindo a quantidade de

energia armazenada.

Os termos relativos à entrada e saída de energia são fenômenos de superfície. Ou seja,

eles estão associados exclusivamente aos processos que ocorrem na superfície de

controle e são proporcionais a sua área. Uma situação comum envolve a entrada e a

saída de energia por meio da transferência de calor por condução, convecção e ou

radiação. Em situações que envolvem o escoamento de um fluido através da superfície

de controle, os termos também incluem a energia transportada pela matéria que entra e

sai do volume de controle. Essa energia pode compreender as formas interna, cinética e

potencial. Os termos de entrada e saída podem também incluir as interações referentes

ao trabalho que ocorre nas fronteiras do sistema.

O termo da geração de energia está associado à conversão de uma outra forma de

energia qualquer (química, elétrica, eletromagnética, ou nuclear) em energia térmica.

Esse é um fenômeno volumétrico. Ou seja, ele ocorre no interior do volume de controle

e é proporcional a magnitude do seu volume. Por exemplo, uma reação química

exotérmica pode estar acontecendo, convertendo energia química em térmica. Nesse

caso, o efeito a ser computado é um aumento na energia térmica da matéria no interior

Page 101: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

100

do volume de controle. Outra fonte de energia térmica é a conversão de energia elétrica

que ocorre devido ao aquecimento resistivo quando se passa uma corrente elétrica

através de um material condutor. Isto é, se uma corrente elétrica I passa através de uma

resistência R no interior do volume de controle, energia elétrica é dissipada a uma taxa

igual a I².R, que corresponde à taxa na qual a energia térmica é gerada (liberada) no

interior do volume de controle. Embora esse processo possa ser alternativamente tratado

como se houvesse a realização de trabalho elétrico no sistema (entrada de energia), o

efeito líquido continua sendo a criação de energia térmica.

O armazenamento ou acúmulo de energia também é um fenômeno volumétrico, e

variações no interior do volume de controle podem ser devido a mudanças nas energias

internas, cinética e ou potencial do seu conteúdo. Portanto, para um intervalo de tempo

∆t, o termo relativo ao armazenamento de energia, ∆ Eac, pode ser igualado a soma ∆U

+ ∆KE + ∆PE. A variação na energia interna, ∆U, consiste em um componente sensível

ou térmico, que leva em consideração os movimentos de translação, rotação e ou

vibração dos átomos/moléculas que compõem a matéria; um componente latente, que

está relacionado às forças intermoleculares que influenciam as mudanças de fase entre

os estados sólido, líquido e gasoso; um componente químico, que compreende a energia

armazenada nas ligações químicas entre os átomos; e um componente nuclear, que

representa as forças de coesão existentes nos núcleos dos átomos.

Exemplo: 1) Um equipamento eletrônico possui um dissipador de potência agregado à sua

estrutura. Tal dissipador está em um ambiente cuja temperatura do ar, à qual passa por

suas aletas, é de T∞ =27ºC e sua área é de 0,045m2. Qual o coeficiente convectivo de

calor do ar (h), cuja temperatura da vizinhança e da superfície são, respectivamente,

Tviz.= 27ºC e Tsup= 42ºC e a emissividade è de 0,8. A potência dissipada pelo

equipamento é de 20 W.

Resolução: Para calcular o coeficiente convectivo do ar devemos utilizar a equação

que rege a lei de conservação de energia em um volume de controle:

acefgaf EEEE ∆=−+

Page 102: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

101

Como o equipamento não gera energia e o termo referente ao armazenamento de

energia não varia com o tempo, temos:

0=− efaf EE

Identificando os termos acima em parâmetros de convecção e radiação temos:

.convrad.ef

af

qqE

PE

+=

=

Substituindo os valores temos:

( ) ( )300315045,0.300315045,0.10.67,5.8,0

)(.)(

20

448

.sup4

.4

.sup

−+−=

−++=

=

hE

TTAhTTAE

WE

ef

vizef

af

εσ

Substituindo os termos acima na equação :

( ) ( )

KmWh

h

h

EE efaf

.35,24

675,056,320

300315045,0.300315045,0.10.67,5.8,020

2

448

=

−=

−+−=

=−

15.4. Equação da Difusão de Calor

15.4.1. Coordenadas cartesianas

Um dos objetivos principais da análise da condução de calor é determinar o campo de

temperaturas em um meio, ou seja, a distribuição de temperaturas em seu interior. Assim,

pode-se determinar o fluxo de calor por condução em qualquer ponto do meio ou em sua

superfície utilizando-se a lei de Fourier. Para se determinar a distribuição de temperaturas,

considere o volume de controle infinitesimal de dimensões dx, dy e dz mostrado na figura

59. gE& e aE& representam, respectivamente, a geração interna de calor e o acúmulo de

energia que podem existir no volume de controle e qx , qy e qz são as taxas de calor por

condução nas três direções.

Page 103: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

102

Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas).

Fazendo-se um balanço de energia no volume de controle

( ) ( ) dxdydztTcdxdydzqqqqqqq

EEEE

pdzzdyydxxzyx

agse

∂∂

=+++−++

=+−

+++ ρ&

&&&&

q& : Taxa de geração de energia por unidade de volume do meio (W/m3)

tTcp ∂∂ρ : Taxa de variação de energia térmica do meio, por unidade de volume (W/m3)

Fazendo-se uma expansão em série de Taylor nas 3 direções coordenadas,

dzzqqqdy

yq

qqdxxqqq z

zdzzy

ydyyx

xdxx ∂∂

+=∂

∂+=

∂∂

+= +++

Assim,

dxdydztTcdxdydzqdz

zqqdy

yq

qdxxqqqqq p

zz

yy

xxzyx ∂

∂=+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++∂

∂++

∂∂

+−++ ρ&

dxdydztTcdxdydzqdz

zqdy

yq

dxxq

pzyx

∂∂

=+∂∂

−∂

∂−

∂∂

− ρ&

Page 104: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

103

As taxas qx , qy e qz podem ser determinadas utilizando-se a Lei de Fourier,

dxdyzTkqdxdz

yTkqdydz

xTkq zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−=

( ) ( ) ( ) dxdydztTcdxdydzqdzq

zdyq

ydxq

x pzyx ∂∂

=+∂∂

−∂∂

−∂∂

− ρ&

dxdydztTcdxdydzqdzdxdy

zTk

zdydxdz

yTk

ydxdydz

xTk

x p ∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

− ρ&

dxdydztTcdxdydzqdxdydz

zTk

zdxdydz

yTk

ydxdydz

xTk

x p ∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ&

Dividindo-se pelo volume infinitesimal dxdydz,

tTcq

zTk

zyTk

yxTk

x p ∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ&

Muitas vezes, no entanto, é possível operar com versões simplificadas desta equação,

adotando-se algumas hipóteses:

• Condutividade térmica constante (k constante):

tT

kc

kq

zT

yT

xT p

∂∂

=+∂∂

+∂∂

+∂∂ ρ&

2

2

2

2

2

2

ou

tT

kq

zT

yT

xT

∂∂

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

α1

2

2

2

2

2

2 &

onde: pc

α = = difusividade térmica do material (m2/s)

• Regime Permanente ( )0=∂∂

tT :

0=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ q

zTk

zyTk

yxTk

x&

• Condução unidimensional de calor em regime permanente, sem geração

interna de calor:

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdTk

dxd

Page 105: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

104

Neste caso,

constanteconstante == xqdxdTk

Em condições de transferência de calor unidimensional em regime permanente, sem

geração interna de energia, o fluxo de calor é constante na direção da análise.

15.4.2. Coordenadas Cilíndricas

Efetuando-se uma análise similar à realizada para coordenadas cartesianas, pode-se

escrever a equação da difusão de calor em coordenadas cilíndricas e esféricas. Seja o

volume de controle em coordenadas cilíndricas mostrado na Figura 60.

Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∇−= kzTjT

ri

rTkTkq ˆˆ1ˆ"

φ

zTkqT

rkq

rTkq zr ∂

∂−=′′

∂∂

−=′′∂∂

−=′′φφ

tTcq

zTk

zTk

rrTkr

rr p ∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ

φφ&

2

11

15.4.3. Coordenadas Esféricas

Seja o volume de controle em coordenadas esféricas mostrado na Figura 61.

Page 106: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

105

Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∇−= kTr

jTr

irTkTkq ˆ

sen1ˆ1ˆ"

φθθ

φθθ φθ ∂∂

−=′′∂∂

−=′′∂∂

−=′′T

rkqT

rkq

rTkqr sen

tTcqTk

rTk

rrTkr

rr p ∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ

θθ

θθφφθ&sen

sen1

sen11

2222

2

15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial

A solução das equações que governam problema depende ainda das condições físicas

que existem nas fronteiras do meio (condições de contorno) e, quando a situação for

dependente do tempo, também das condições que existem em um certo instante inicial

(condição inicial). Como a equação da condução de calor é uma equação de Segunda

ordem nas coordenadas espaciais, são necessárias 2 condições de contorno para cada

coordenada espacial que descreve o sistema. Como a equação é de primeira ordem no

tempo, basta apenas uma condição inicial. As figuras a seguir mostram as 3 espécies de

condições de contorno comumente encontradas na transferência de calor. Elas ilustram a

situação para um sistema unidimensional, especificando a condição de contorno na

superfície x = 0, com a transferência de calor ocorrendo na direção dos x positivos.

1) Temperatura da Superfície Constante – condição de Dirichlet

sTtT =),0(

Page 107: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

106

2) Fluxo de Calor Constante na Superfície –condição de Neumann

)0("

0x

x

qxTk =∂∂

−=

a) Fluxo de Calor Diferente de Zero

"

0S

x

qxTk =∂∂

−=

b) Fluxo de Calor Nulo (Parede Isolada ou Adiabática)

00

=∂∂

=xxT

3) Condição Convectiva na Superfície

( )[ ]tTThxTk

x

,00

−=∂∂

− ∞=

Exemplo: 1) Uma longa barra de cobre com seção reta retangular, cuja largura W é muito maior

que sua espessura L, encontra-se com a sua superfície inferior em contato com um

sorvedouro de calor de tal modo que a temperatura ao longo de toda a barra é

aproximadamente igual à do sorvedouro, Td = 30ºC. De repente uma corrente elétrica é

passada através da barra, e uma corrente de ar, com temperatura T = 15ºC e coeficiente

convectivo h = 10 W/m2.K, é soprada por sobre a sua superfície superior. A superfície

inferior continua mantida a Td. Obtenha a equação diferencial e as condições inicial e de

contorno que poderiam ser usadas para determinar a temperatura da barra em função da

posição e do tempo.

Resolução: Para obtermos a equação e as condições de contorno e inicial devemos

primeiramente fazer algumas considerações:

Page 108: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

107

* Uma vez que W>>L, os efeitos causados pelas superfícies laterais são

desprezíveis, e a transferência de calor no interior de barra é basicamente

unidimensional na direção do eixo do x.

* Taxa volumétrica de geração de calor uniforme, .q .

* Propriedades físicas constantes.

A distribuição de temperatura é governada pela equação de calor:

tTcq

zTk

zyTk

yxTk

x p ∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ

.

Para as considerações do problema de transferência de calor unidimensional com

propriedades físicas constantes, a equação se reduz a:

tT

kq

xT

∂∂

=+∂∂

α1

.

2

2

A condição de contorno para a superfície inferior sendo esta mantida em um

valor constante em relação ao tempo, temos:

( ) CTtT d º30,0 ==

A condição de contorno em relação à superfície superior da barra será:

( )[ ]∞=

−=∂∂

− TtLThxTk

Lx

,.

A condição inicial é inferida a partir do reconhecimento de que, antes da

mudança das condições, a barra encontrava-se a uma temperatura uniforme Td,

sendo:

( ) CTxT d º300, ==

Page 109: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

108

15.5 Condução Unidimensional em Regime Permanente

15.5.1. Parede Simples

Seja uma parede plana separando dois fluidos em temperaturas diferentes (Figura 62).

Considere a condução unidimensional de calor através da parede, em regime

permanente, sem geração interna. A temperatura é função somente de uma coordenada

espacial (no caso x) e o calor é transferido unicamente nesta direção. A transferência de

calor ocorre por convecção do fluido quente a T∞1 para a superfície da parede a Ts1 em x

= 0, por condução através da parede e por convecção da superfície da parede em x = L a

Ts2 para o fluido frio a T∞2 .

Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana .

A determinação da distribuição de temperaturas no interior da parede é feita através da

solução da equação de calor. Em coordenadas cartesianas, esta equação é dada por:

Equação da Condução de Calor em Coordenadas Cartesianas:

tTcq

zTk

zyTk

yxTk

x p ∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ&

Hipóteses:

• Condução unidimensional ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ =∂

∂=∂∂ 0z

Ty

T

• Sem geração interna ( )0=q&

• Regime permanente ( )0=∂∂

tT

A equação se reduz, então, a

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdTk

dxd

Considerando-se a condutividade térmica do material constante,

Page 110: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

109

02

2

=dx

Tdk ou 02

2

=dx

Td

Integrando-se 2 vezes em x,

1CdxdT

= 21 CxCT +=

Para se determinar as constantes de integração C1 e C2, aplicam-se as condições de

contorno:

( ) 1,0 STT = ( ) 2,STLT =

Pode-se então determinar as constantes de integração:

LTT

C 1,S2,S1

−= 1,2 STC =

Assim,

( ) 1,1,2,

SSS Tx

LTT

xT +−

=

Na condução unidimensional, em regime permanente, numa parede plana, sem geração

de calor e com condutividade térmica constante, a temperatura é uma função linear de x.

A taxa de calor por condução no interior da parede é dada pela lei de Fourier:

( )2,1, SSx TTLkA

dxdTkAq −=−=

O fluxo de calor é dado por:

( )2,1,"

SSx

x TTLk

Aqq −==

Percebe-se, portanto, que, no interior da parede, a taxa e o fluxo de calor são constantes.

15.5.2. Resistência Térmica

Da mesma maneira que uma resistência elétrica se opõe à passagem de corrente em um

circuito, uma resistência térmica se opõe à passagem de calor. Definindo-se a resistência

como sendo a razão entre o potencial motriz e a correspondente taxa de transferência,

conclui-se que a resistência térmica assume a forma:

qTRt

∆=

Assim, para a condução unidimensional através de uma parede plana :

Page 111: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

110

kALR condt =.,

Para a convecção:

hAR convt

1., =

Para a radiação:

AhR

rradt

1., =

Onde ( )( )22∞∞ ++= TTTTh ssr εσ

Deve-se ressaltar que as resistências térmicas à convecção e à radiação assumem a

mesma forma para qualquer sistema de coordenadas, variando-se apenas a expressão

utilizada para a área. No entanto, a resistência à condução assume diferentes expressões

para os diferentes sistemas de coordenadas.

No exemplo da parede plana, toda a energia transferida do fluido quente para a

superfície é conduzida através da parede e, por sua vez, para o fluido frio, ou seja, a taxa

de calor é constante.

Pode-se fazer um balanço de energia entre os fluidos quente e frio,

21 convcondconvx qqqq ===

Aplicando-se as equações de taxa apropriadas,

( ) ( ) ( )2,2,22,1,1,1,1 ∞∞ −=−=−= TTAhTTLkATTAhq SSSSx

Reescrevendo-se a equação anterior,

( ) ( ) ( )Ah

TT

kAL

TT

Ah

TTq SSSS

x

2

2,2,2,1,

1

1,1,

11∞∞ −

=−

=−

=

Utilizando-se o conceito de resistência térmica,

( ) ( ) ( )2

2,2,2,1,

1

1,1,

conv

S

cond

SS

conv

Sx R

TTR

TTR

TTq ∞∞ −

=−

=−

=

Pode-se então fazer um circuito térmico, análogo a um circuito elétrico, com a forma

Page 112: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

111

Figura 63 – Circuito Térmico.

Pode-se, da mesma forma, fazer um circuito térmico equivalente, em função da

diferença global de temperatura, definindo-se a resistência térmica total Rtot.

totx R

TTq 2,1, ∞∞ −

=

Como as resistências térmicas condutivas e convectivas estão em série,

21 convcondconvtot RRRR ++=

AhkAL

AhRtot

21

11++=

onde:

T∞,1- T∞,2 = diferença de temperatura global (K).

Rtot = Resistência térmica total (K/W).

Exemplo: 1) Uma casa possui uma parede composta com camadas de madeira,

isolamento à base de fibra de vidro e gesso, conforme indicado no desenho. Em um dia

frio de inverno, os coeficientes de transferência de calor por convecção são de he=60

W/m2.K e hi=30 W/m2.K. A área total da superfície da parede é de 350 m2.

Page 113: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

112

a) Para as condições dadas, determine uma expressão para a resistência térmica

total da parede, incluindo os efeitos da convecção térmica nas superfícies interna

e externa da parede.

b) Determine a perda total de calor através da parede.

Resolução:

a) Para calcular a expressão para a resistência térmica total da parede devemos

utilizar a seguinte fórmula que rege a resistência térmica, levando em

consideração as camadas da parede.

AhAkL

AkL

AkL

AhR

em

m

f

f

g

g

itotal .

1....

1++++=

b) Para determinar a perda total de calor através da parede devemos utilizar uma

fórmula que relaciona a temperatura das extremidades com a resistência térmica

total.

total

e,i,

RTT

q ∞∞ −=

Calculando a resistência total temos:

Isolamento à base de fibra de vidro (28Kg/m3), kf

Compensado de Madeira, km Camada de gesso kg

Exterior

he, T∞e= -15ºC

Exterior Exterior Interior

hi, T∞,i= 20ºC

20mm 10010mm

Lg Lf Lm

Rconv,i RCond1 RCond2 RCond3

T∞,i T4 T1 T2 T3

Rconv,e

T∞,e

Page 114: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

113

WKR

R

hkL

kL

kL

hAR

AhAkL

AkL

AkL

AhR

total

total

em

m

f

f

g

g

itotal

em

m

f

f

g

g

itotal

310.3,8

601

12,002,0

038,01,0

17,001,0

301

3501

111

.1

....1

−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

++++=

Determinando agora a perda total de calor através da parede:

( )

W86,4216q103,8

1520q

RTT

q

3

total

e,i,

=×−−

=

−=

∞∞

15.5.3. Parede Composta

Seja a condução de calor unidimensional, em regime permanente, através de uma parede

composta, constituída por materiais de espessuras e condutividades térmicas diferentes

(Figura 64).

Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana.

A taxa de transferência de calor qx é dada por:

tot

S

CC

SS

BB

SS

AA

SSSx R

TT

Ah

TT

AkL

TT

AkL

TT

AkL

TT

Ah

TTq 4,1,

4

4,4,4,3,3,2,2,1,

1

1,1,

11∞∞∞∞ −

=−

=−

=−

=−

=−

=

Page 115: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

114

onde AhAk

LAk

LAk

LAh

RRC

C

B

B

A

Attot

21

11∑ ++++==

No exemplo anterior, desprezaram-se as trocas de calor por radiação entre as superfícies

da parede e os fluidos. Ao se considerar estas trocas, o fluxo total de calor entre a

superfície e o fluido seria dado como a soma dos fluxos de convecção e radiação. A

resistência térmica à radiação seria inserida no circuito térmico associada em paralelo à

resistência à convecção, já o potencial (∆T) entre a superfície e o fluido seria o mesmo.

O circuito térmico para a parede constituída por apenas um material é:

Figura 65 – Circuito térmico equivalente.

Muitas vezes, é mais conveniente trabalhar com um coeficiente global de transferência

de calor U.

TUAqx ∆=

onde:

)(mcalor de trocade Área :A

(K) ra temperatude global Diferença :Tm

Wcalor de ncia transferêde global eCoeficient:U

2

2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

K

ARU

tot

1=

Exemplo: 1) A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com

condutividade térmica conhecida, kA= 20 W/m.K e kC= 50 W/m.K, e também

espessura de LA= 0,30m e LC= 0,15m. O terceiro material B que se encontra

entre os materiais A e C, possui espessura LB= 0,15m, mas sua condutividade

térmica é desconhecida.

Page 116: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

115

Em condições de regime estacionário, medidas revelam uma temperatura na

superfície externa do forno de Tsup,e= 20ºC, uma temperatura na superfície interna de

Tsup,i= 600ºC e uma temperatura do ar no interior de forno de T∞= 800ºC. O coeficiente

de transferência de calor por convecção no interior do forno é igual a 25 W/m2.K. Qual

é o valor de kB?

Resolução: Para calcular o valor de kB, devemos primeiro calcular o valor da

resistência total do circuito térmico:

AAAAh

TTRTT

R

RTT

RTT

RTT

RTT

RTT

RTT

RTT

RTq

i

convextitotal

conv

i

total

exti

Ccond

extCB

Bcond

CBBA

Acond

BA

conv

i

total

exti

térmicax

156,0200

2,31

200.25

780

600800.1).20800().(

.int,

,

.

int,.,

.

.,

.

,,

.

,int

.

int,,

===−

−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

∆=

∞∞

∞∞

Encontramos agora a condutividade térmica kB pela soma das resistências:

KmWk

k

k

kAA

AAkAAA

RRRRR

B

B

B

B

B

CcondBcondAcondconvtotal

.53,1

098,015,0

15,0003,0015,004,0156,0

5015,015,0

203,0

2511156,0

.5015,0

.15,0

.203,0

.251156,0

....

=

=

+++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

+++=

+++=

15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo Seja a parede composta apresentada na Figura 66.

Rconv1 RCondA RCondB RCondC

T∞,i Text Tint TAB TBC

Page 117: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

116

Figura 66 – Parede Composta.

Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta.

Se for adotada a hipótese de transferência unidimensional de calor, pode-se representar

o circuito térmico de uma das maneiras mostradas na Figura 67. No caso (a), supõe-se

que as superfícies normais à direção x são isotérmicas e, no caso (b), que as superfícies

paralelas a x são adiabáticas. As taxas de calor são diferentes em cada caso,

representando um intervalo dentro do qual está a taxa real de transferência de calor.

15.5.5. Resistência de contato

É importante reconhecer que, em sistemas compostos, a queda de temperatura

nas interfaces entre os vários materiais pode ser considerável. Essa mudança de

temperatura é atribuída ao que é conhecido como resistência térmica de contato, Rt,c.

Seu efeito é mostrado na figura abaixo. Para uma área de superfície unitária, a

resistência térmica de contato é definida pela expressão:

X

BAct q

TTR"

" ,−

=

Page 118: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

117

Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato

A existência da resistência de contato se deve principalmente aos efeitos da

rugosidade da superfície. Pontos de contato se entremeiam com falhas que são, na

maioria dos casos, preenchidas com ar. A transferência de calor é, portanto, devida à

condução de calor através da área de contato real e à condução e/ou radiação através das

falhas. A resistência de contato pode ser vista como duas resistências térmicas em

paralelo: aquela que se deve aos pontos de contato e aquela que está vinculada às falhas.

Tipicamente, a área de contato é pequena e, sobretudo no caso de superfícies rugosas, a

principal contribuição para a resistência térmica de contato é fornecida pelas falhas.

Para sólidos cujas condutividades térmicas são superiores à do fluido presente

nas falhas (fluido interfacial), a resistência de contato pode ser reduzida pelo aumento

da área dos pontos de contato. Tal aumento pode ser obtido por um acréscimo na

pressão de contato ou na junção e/ou pela redução da rugosidade das superfícies de

contato. A resistência de contato também pode ser reduzida pela seleção de um fluido

com elevada condutividade térmica para preencher as falhas. Nesse sentido, a ausência

de um fluido nas falhas (vácuo na interface) elimina a condução de calor através da

falha, contribuindo para a elevação da resistência de contato.

O efeito de carga ou pressão em interfaces metálicas pode ser visto na tabela 10,

que apresenta uma faixa aproximada de resistências térmicas em condições de vácuo. O

efeito da presença de um fluido nas falhas na resistência térmica de contato em uma

interface de alumínio é mostrado na tabela 11.

A contrário da tabela 10, muitas aplicações envolvem o contato entre sólidos

diferentes, e/ou uma ampla variedade de materiais intersticiais (enchimentos) tabela 11.

Page 119: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

118

Qualquer substância intersticial que preencha as falhas entre as superfícies em contato e

cuja condutividade térmica exceda a do ar irá causar uma redução na resistência de

contato. Duas classes de materiais são bastante adequadas para este propósito são os

metais macios e as graxas térmicas.

De forma distinta das interfaces anteriores, que não são permanentes, muitas

juntas são aderidas definitivamente. Devido às resistências interfaciais entre o material

da superfície original e o da junta de ligação, a resistência térmica real do contato

excede o valor teórico, calculado a partir da espessura L e da condutividade térmica k do

material da junta. A resistência térmica dessas juntas permanentes também é afetada de

maneira adversa por vazios e rachaduras que podem se formar durante a fabricação da

peça ou como resultado de ciclos térmicos que ocorram durante a sua operação normal.

Resistência Térmica, RHt,c × 104 (m2.K/W)

(a) Vácuo na Interface (b) Fluido Interfacial

100 kN/m2 10000 kN/m2 Ar 2,75

6 a 25 0,7 a 4,0 Hélio 1,05

1 a 10 0,1 a 0,5 Hidrogênio 0,720

1,5 a 3,5 0,2 a 0,4 Óleo de Silicone 0,525

Pressão de Contato

Aço Inoxidável

Cobre

Magnésio

Alumínio 1,5 a 5,0 0,2 a 0,4 Glicerina 0,265

Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob condições

de vácuo e (b) Interface de Alumínio com diferentes fluidos interfaciais.

Interface RHt,c × 104 (m2.K/W)

Chip de silício / alumínio esmerilhado com ar

(27 a 500 kN/m2)

0,3 a 0,6

Alumínio / alumínio, com folha de índio

(~100 kN/m2)

~0,07

Aço inoxidável / aço inoxidável, com folha de índio

(~3500 kN/m2)

~0,04

Alumínio / alumínio, com revestimento metálico

(Pb)

0.01 a 0.1

Alumínio / alumínio, com graxa Dow Corning 340 ~0.07

Page 120: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

119

(~100 kN/m2)

Aço inoxidável / aço inoxidável com graxa Dow Corning

(~3500 kN/m2)

~0,04

Chip de silício / alumínio, com 0,02 mm de epóxi

0,2 a 0,9

Latão / latão, com 15 µm de solda à base de estanho 0,025 a 0,14

Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas

15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais –

Cilindro

Com freqüência, em sistemas cilíndricos e esféricos há gradientes de temperatura

somente na direção radial, o que possibilita analisá-los como sistemas unidimensionais.

Seja um cilindro oco cuja superfície interna se encontra exposta a um fluido quente e a

superfície externa, a um fluido frio (Figura 69). Considere a transferência de calor

unidimensional, em regime permanente, sem geração interna no interior do cilindro.

Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco

15.6.1. Distribuição de Temperatura Equação da Condução de Calor em Coordenadas Cilíndricas

tTcq

zTk

zTk

rrTkr

rr p ∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ

φφ&

2

11

Page 121: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

120

Hipóteses:

• Condução unidimensional ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ =∂

∂=∂∂ 0z

TTφ

• Sem geração interna ( )0=q&

• Regime permanente ( )0=∂∂

tT

Após serem feitas as simplificações, a equação se reduz a:

01=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

drdTkr

drd

r

constante constante =⇒= rqdrdTkr

Considerando-se a condutividade térmica k constante,

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

drdTr

drd

rk

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

drdTr

drd

Integrando-se uma vez em r,

1CdrdTr = ou

rC

drdT 1=

Integrando-se outra vez em r,

( ) 21 ln CrCrT +=

Aplicando-se as condições de contorno

( ) 11 sTrrT ==

( ) 22 sTrrT == ,

pode-se obter as constantes de integração C1 e C2

( )21

211 /ln rr

TTC ss −= ( ) 2

21

2122 ln

/lnr

rrTTTC ss

s−

−=

Assim,

( ) 2221

21 ln/ln s

ss Trr

rrTT

T +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

A taxa de transferência de calor é dada por:

drdTrLk

drdTkAqr )2( π−=−=

Page 122: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

121

Onde: A=2πrL é a área normal à direção da transferência de calor.

( )12

21

/ln2

rrTT

Lkq ssr

−= π

O fluxo de calor é dado por:

drdTkqr −="

( )12

21

/ln"

rrTT

rkq ss

r−

=

A taxa de calor, portanto, é constante para qualquer posição radial (não depende do raio

r), o que não acontece com o fluxo de calor, que é função de r.

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

drdTKr

drd

02

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Lq

drd r

π

( ) 0=rqdrd

A taxa de calor é, portanto, constante no interior da parede do cilindro.

A resistência térmica à condução para sistemas radiais é dada por:

r

sscond q

TTR 21 −=

( )Lk

rrRcond π2/ln 12=

Exemplo: 1) Uma barra cilíndrica, de diâmetro 12 mm, possui um revestimento isolante de

espessura 20 mm. A temperatura no interior e na superfície do cilindro são

respectivamente 800 K e 490 K. Determinar a perda de calor por unidade de

comprimento do cilindro, sendo que o isolante térmico é silicato de cálcio (k= 0,089

W/m.K).

( )21

21

/ln1

rrTT

rdrdT ss −

=

Page 123: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

122

Resolução: Para determinar a perda de calor por unidade de comprimento do

cilindro devemos utilizar a fórmula que rege a taxa de transferência de calor:

( )

mW

Lq

KKKm

WLq

rrTTLkq

r

r

ssr

16,118

10.610.26ln

490800..

089,0..2

/ln2

3

3

12

21

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−=

−π

π

15.6.2. Parede Cilíndrica Composta

Considere a condução unidimensional de calor, em regime permanente, sem geração

interna, através de uma parede cilíndrica composta, como mostrado na Figura 70.

Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica Composta.

A taxa de calor é constante através do cilindro. Assim,

2

14

3

43

2

32

1

21

1

1141

conv

s

cond

ss

cond

ss

cond

ss

conv

s

totr R

TTR

TTR

TTR

TTR

TTR

TTq ∞∞∞∞ −

=−

=−

=−

=−

=−

=

onde:

( ) ( ) ( )44

342312

11 21

2/ln

2/ln

2/ln

21

LhrLkrr

Lkrr

Lkrr

LhrRR

CBAttot πππππ

++++==∑

Definindo: AR

Utotal

1=

T∞4,h4 T∞1,h1

Page 124: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

123

Utilizando-se a definição do coeficiente global de transferência de calor,

( ) ( )4141 ∞∞∞∞ −=∆=−= TTUATUATTAUq iir

U = coeficiente global de transferência de calor (W/m2.K)

∆T= diferença global de temperatura (K)

A = área de troca de calor (m2)

Se U for definido em termos da área da superfície interna do cilindro A1 = 2πr1L, tem-se

que:

44

1

3

41

2

31

1

21

1

1 1lnlnln11

hrr

rr

kr

rr

kr

rr

kr

h

U

CBA

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

Esta definição é arbitrária. O coeficiente global de transferência de calor pode ser

definido em termos de A4 ou qualquer uma das outras áreas intermediárias.

totii R

AUAUAUAUAU 144332211 =====

Exemplo: 1) Vapor escoando em um tubo longo, com paredes delgadas, mantém a sua parede a

uma temperatura de 500 K. O tubo é coberto por uma manta de isolamento térmico

composta por dois materiais diferentes, A e B. Suponha existir entre os materiais uma

resistência térmica de contato infinito. A superfície externa está exposta ao ar onde T∞ =

3000 K e h = 25 W/m.K. Qual é a temperatura na superfície externa TsupB?

Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas.

TsupA

TsupB

Tsup1 T∞ ; h

kA=5W/m.K

kB=0,25W/m.K

Page 125: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

124

Resolução: Para calcularmos a temperatura na superfície externa TsupB, devemos

utilizar a seguinte fórmula referente à taxa de calor:

Para obtermos o resultado devemos primeiramente calcular as resistências: Rcond.B e

Rconv.:

( )

LKm

WLLhrR

LLKm

Wmm

LkrrR

conv

BBcond

2

232

.

3

3

12.

10.36,6

.25..10.100.2

12

1

44,0

..

25,0.2

10.5010.100ln

2/ln

−∞

===

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

==

ππ

ππ

Substituindo agora o resultado acima obtido na equação referente a TsupB para

obtermos tal temperatura:

K

KK

RR

RT

RT

T

convBcond

convBcondB 25,325

10.36,61

44,01

10.36,6300

44,0500

112

2

..

..

1sup

sup =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

−∞

Rcond.B Rconv.

Tsup.1 Tsup.B T∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=−

−=

−=

..

..

1sup

sup

..

1sup

..sup

..

sup

.

sup

.

1sup

.

sup

.

sup1sup

11

11

convBcond

convBcondB

convBcondconvBcondB

convconv

B

Bcond

B

Bcond

conv

B

Bcond

Br

RR

RT

RT

T

RT

RT

RRT

RT

RT

RT

RT

RTT

RTT

q

Page 126: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

125

15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento

Para se aumentar ou diminuir a taxa de calor retirada do cilindro sem alterar as

condições do escoamento externo, pode-se colocar uma camada de um segundo material

sobre o cilindro, com condutividade térmica diferente do material do cilindro.

Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta.

A taxa de transferência de calor da superfície interna para o fluido frio irá depender da

espessura de material colocado, ou seja, do raio externo do “novo” cilindro. Como a

resistência à condução aumenta com o raio e a resistência à convecção apresenta

comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de minimizar a resistência

térmica equivalente, maximizando a perda térmica (Fig. 72).

A possibilidade de existência de uma espessura de isolamento ótima para sistemas

radiais é sugerida pela presença de efeitos contrários associados a um aumento nessa

espessura, pois embora a resistência condutiva aumente com a adição de isolante, a

resistência convectiva diminui devido ao aumento da área superficial externa. Para esta

espessura a perda de calor seria mínima, e a resistência total à transferência de calor

seria máxima. Na realidade, uma espessura de isolamento ótima não existe, mas sim,

um raio crítico de isolamento, onde o fluxo de calor é máximo (minimiza a perda

térmica graças a maximização da resistência total à transferência de calor).

Seja um cilindro oco, com a superfície interna exposta a um fluido quente e a superfície

externa, a um fluido frio (Figura 72). A taxa de transferência de calor do fluido quente

para o fluido frio irá depender da espessura de isolamento, ou seja, do raio externo do

cilindro. Como a resistência à condução aumenta com o raio e a resistência à convecção

Page 127: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

126

apresenta comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de maximizar a

perda de calor através da parede do cilindro.

A taxa de calor é dada por:

tot

sr R

TTq )( 21 ∞−=

onde

hLrkLrrRtot

2

12

21

2)/ln(

ππ+=

Assim,

hrkrr

TTLq s

r

2

12

1

1)/ln()(2

+

−= ∞π

Uma espessura ótima para o isolamento térmico está associada ao valor de r que

minimiza o valor de q’ ou que maximiza o valor de R’tot. Tal valor pode ser obtido a

partir da exigência de que:

0'=

drdR tot

Assim:

02

12

12 =−hrkr ππ

ou

hkr =

O mínimo valor de qr é obtido fazendo-se:

02=

drdqr

Esta condição é satisfeita quando:

01)/ln(

11)(2

2

2

12

222

1

2

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

=∞

hrkrr

hrkrTTL

drdq s

r

π

Page 128: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

127

crhkr ==2

rc = Raio crítico de isolamento. Para valores de r menores que rc a taxa de transferência

de calor aumenta com o aumento da espessura de isolamento; para valores de r maiores

que rc a taxa de transferência de calor diminui com o aumento da espessura de

isolamento.

→ O efeito do raio crítico é revelado pelo fato de que, mesmo para uma camada

de isolamento térmico com pouca espessura, a resistência total ainda não é

tão grande quanto o valor para o tubo sem qualquer isolamento.

→ Se r < rcr , a resistência térmica total decresce e, portanto, a taxa de

transferência de calor aumenta com a adição de isolamento.Essa tendência

permanece até que o raio externo da camada de isolamento atinja o raio

crítico. De forma contrária, se r > rcr, qualquer adição de isolamento aumenta

a resistência térmica total e, portanto, diminue a perda de calor.

→ Para sistemas radiais, o problema de reduzir a resistência térmica total

através da aplicação de uma camada de isolamento térmico existe somente

para o caso de tubos ou fios de pequeno diâmetro e para coeficientes de

transferência de calor por convecção pequenos, onde usualmente r > rcr.

→ A existência de um raio crítico exige que a área de transferência de calor

varie na direção da transferência, como é o caso da condução radial em um

cilindro (ou em uma esfera). Em uma parede plana, a área normal à direção

da transferência de calor é constante , não havendo uma espessura crítica

para o isolamento térmico (a resistência total sempre aumenta com o

aumento da espessura da camada de isolamento).

Como a derivada segunda de qr em relação a r2 é negativa, qr tem o seu valor máximo

em r = rc. O comportamento da resistência total é inverso, como mostrado na Fig. 73.

Page 129: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

128

Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2.

Exemplo: 1) Um tubo delgado de cobre, com raio ri, é usado para transportar uma substância

refrigerante que está a uma temperatura Ti, menor do que a temperatura do ambiente T∞

ao redor do tubo. Existe uma espessura ótima associada à aplicação de uma camada de

isolamento térmico sobre o tubo com h= 5 W/m2.K e k= 0,055 W/m.K?

Resolução: A resistência à transferência de calor entre o fluido refrigerante e o

ar é denominada pela condução de calor através da camada de isolamento

térmico e pela convecção no ar. Sendo que, a resistência térmica total por

unidade de comprimento do tubo è:

rhkrr

R itot ππ 2

1.2

ln' +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

E a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo será:

tot

i

RTTq

'' −= ∞

Uma espessura ótima para o isolamento térmico está associada ao valor de r que

minimiza o valor de q’ ou maximiza o valor de R’tot. Tal valor pode ser obtido a

partir de:

hkr =

Page 130: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

129

Uma vez que o resultado da resistência térmica total é sempre positivo, hkr = é o

raio de isolamento para o qual a resistência térmica é mínima, e não um máximo.

Logo uma espessura ótima para a camada de isolamento térmico não existe. Porém

faz sentido pensar em raio crítico de isolamento.

hkrcr =

Abaixo do qual q’ aumenta com o aumento de r acima do qual q’ diminue com o

aumento de r. Calculando em termos de raio crítico:

mrKm

WKm

W

r

hkr

cr

cr

cr

011,0.

055,0

.5 2

=

=

=

15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais –

Esfera

Seja uma esfera oca cuja superfície interna se encontra a uma temperatura Ts1 e a

superfície externa a Ts2 (Figura 74), com Ts1>Ts2. Considere a transferência de calor

unidimensional, em regime permanente, sem geração interna no interior da esfera.

Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica.

Page 131: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

130

Partindo-se da equação da condução do calor em coordenadas esféricas, pode-se obter o

perfil de temperaturas no interior da esfera. A partir daí, obtém-se a taxa de calor, dada

por:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

21

21

114

rr

TTkq ssr

π

Assim, a resistência condutiva é dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

21

114

1rrk

Rcond π

15.8. Condução com Geração de Energia Térmica

Iremos analisar agora o efeito adicional que processos, que podem ocorrer no interior

do meio, têm sobre a distribuição de temperatura nesse meio. É importante ter atenção

para não confundir geração de energia com armazenamento de energia.

15.8.1. Condução com Geração de Energia Térmica – Parede Plana

Seja a parede plana da Fig.75, onde existe geração uniforme de energia térmica por

unidade de volume (q’ é constante) e as superfícies são mantidas em Tsup,1 e Tsup,2. Para

uma condutividade térmica constante k, a forma apropriada da equação do calor:

0'2

2

=+kq

dxTd

Aplicando as condições de contorno e todos os parâmetros, obtemos a distribuição de

temperatura correspondente:

221

2')( 2sup,1sup,1sup,2sup,

2

22 TTLxTT

Lx

kLqxT

−+

−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

O fluxo de calor em qualquer ponto da parede pode ser determinado pela equação

acima. Note, contudo, que com a geração interna de calor o fluxo de calor não é mais

independente de x.

Page 132: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

131

Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor.(a)

Condições de contorno assimétricas.(b) Condições de contorno assimétricas.(c)

Superfície adiabática no plano intermediário.

O resultado anterior é simplificado quando as duas superfícies são mantidas a uma

mesma temperatura, Tsup,1= Tsup,2= Tsup,. A temperatura máxima, neste caso, encontra-se

no plano intermediário:

sup

2

0 2')0( TkLqTT +==

Exemplo:

1) Uma parede plana composta possui duas camadas de materiais, A e B. A camada do

material A possui uma geração de calor uniforme 3mW106.5,1q =& , condutividade

térmica KW75kA = e espessura de LA=50 mm. A camada do material B não apresenta

geração de calor, tem condutividade térmica KW150kB = e espessura LB = 20 mm.

A superfície interna da parede (material A) está perfeitamente isolada, enquanto a sua

superfície externa (material B) é resfriada por uma corrente de água com T∞ = 30ºC e

Page 133: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

132

KmW1000h 2= . Determine a temperatura To da superfície isolada e a temperatura T2

da superfície resfriada.

Resolução: A temperatura na superfície externa T2 pode ser obtida através de um

balanço de energia em um volume de controle ao redor da camada do material. Sendo

assim obteremos T2:

CTKm

W

mmW

CT

hLqTT A

º105.

1000

05,0.10.5,1º30

.

2

2

36

2

.

2

=

+=

+= ∞

Para determinar a temperatura na superfície isolada termicamente temos:

( )1

2.

.2. T

kLqT

A

Ao +=

Onde T1 será determinado visando o circuito térmico equivalente do processo:

( )

CT

m

KmW

KmWmCT

hR

kLR

qRRTT

conv

B

BBcond

convBcond

º115

05,0.10.5,1.

.1000

1

.150

02,0º30

1"

"

".""

1

6

2

1

,

,1

=

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

++=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=

++= ∞

Determinando agora To, substituindo o valor acima na equação , obteremos:

( )

( )

CT

C

KmW

mmW

T

TkLqT

o

o

A

Ao

º140

º115

.75.2

05,0.10.5,1

.2.

23

6

1

2.

=

+=

+=

Page 134: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

133

15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica – Sistemas Radiais

A geração de calor pode ocorrer em uma variedade de geometrias radiais. Considere um

cilindro sólido, longo, que poderia representar um fio condutor de corrente elétrica. Em

condições de regime estacionário, a taxa na qual o calor é gerado no interior do cilindro

deve ser igual à taxa de calor transferido por convecção da superfície do cilindro para o

fluido em movimento. Essa condição permite que a temperatura da superfície seja

mantida a um valor fixo sT .

Sendo assim temos a distribuição de temperatura como:

sr Trr

krqT +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

0

220

.

)( 14.

Para relacionar a temperatura da superfície sT , com a temperatura do fluido, ∞T , tanto o

balanço de energia na superfície quanto o balanço de energia total podem ser utilizados.

Exemplo:

1) Em um bastão cilíndrico e longo, com 200 mm de diâmetro e condutividade térmica

de 0,5 W/m.K, há a geração de volumétrica uniforme de calor a uma taxa de 24000

W/m3. O bastão está encapsulado por uma camada cilíndrica com diâmetro externo

igual a 400 mm, de um material com condutividade térmica de 4 W/m.K. A superfície

externa desta camada está exposta a um escoamento perpendicular de ar a 27ºC com um

coeficiente de convecção de 25 W/m2.K. Determine a temperatura na interface entre o

bastão e a camada cilíndrica, e na superfície externa em contato com o ar.

Resolução: Para determinar a temperatura da superfície externa em contato com o ar

devemos utilizar um balanço global de energia. Sendo assim obteremos:

KTKm

W

mmW

KT

hrqTT

º396.

25.2

10.200.24000º27327

.2.

sup

2

33

sup

.

sup

=

++=

+=

Page 135: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

134

Para determinar agora a temperatura na interface entre o bastão e a camada cilíndrica

devemos utilizar a fórmula que rege a distribuição de temperatura em relação ao raio:

( ) ( )( )

KT

K

KmW

mmW

T

Trr

krqT

r

r

r

º441

º39610.200

10.1001

.4.4

10.200.24000

14.

)(

23

2323

3

)(

sup20

220

.

)(

=

+⎟⎟

⎜⎜

⎛−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−

16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas –

Aletas

16.1. Introdução

Aleta é um elemento sólido que transfere energia por condução dentro de suas fronteiras

e por convecção (e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. As aletas são

utilizadas para aumentar a taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um

fluido adjacente.

Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida.

O aumento da taxa de transferência de calor de uma superfície a temperatura constante

para um fluido externo (Fig. 77) pode ser feito através do aumento do coeficiente de

convecção h ou através da redução da temperatura do fluido T∞.

Page 136: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

135

Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor.

Quando não é possível aumentar a taxa de calor por um destes modos, aumenta-se a

área de troca de calor, através da utilização de aletas (Figura 78), que são elementos

sólidos que transferem energia por condução dentro de suas fronteiras e por convecção

(e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. Elas são utilizadas para aumentar a

taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente.

Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor.

Esquemas Típicos de Trocadores de Calor com Tubos Aletados

Page 137: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

136

Figura 79 –Trocadores de Calor com tubos aletados.

16.2. Tipos de Aletas

A Figura 80 ilustra diferentes configurações de aletas.

Plana, de seção reta uniforme

Plana, de seção transversal não uniforme

Anular

Piniforme (pino)

Figura 80 – Configurações de Aletas.

Page 138: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

137

16.3. Balanço de Energia para uma Aleta

Hipóteses:

• Condução unidimensional de calor

• Regime permanente

• Condutividade térmica da aleta constante

• Radiação térmica desprezível

• Sem geração de calor

• Coeficiente de convecção uniforme

Através de um balanço de energia, pode-se obter a equação da condução de calor.

Considerando-se um elemento infinitesimal de uma aleta de seção reta variável (Fig.

81),

Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida.

Neste caso, vale:

convdxxx dqqq += +

onde ⎪⎩

⎪⎨

==

=

+

fluido o para convecçãopor perdida Energia malinfinitesi volumedo conduçãopor da transferiEnergiamalinfinitesi volumeo para conduçãopor da transferiEnergia

conv

dxx

x

dqqq

Calor transferido por condução para dentro do elemento em x por unidade de tempo

Calor transferido por condução para fora do elemento em (x +dx) por unidade de tempo,

Calor transferido por convecção da superfície entre x e (x + dx) por unidade de tempo = +

Page 139: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

138

A taxa de calor por condução na posição x é determinada pela Lei de Fourier:

dxdTkAq cx −=

onde: Ac é a área da seção reta da aleta na posição x considerada.

Fazendo-se uma expansão em série de Taylor, pode-se determinar a taxa de calor por

condução na posição (x+dx)

dxxqqq xdxx ∂∂

+=+

dxdxdTkA

dxd

dxdTkAq ccdxx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+−=+

dxdxdTA

dxdk

dxdTkAq ccdxx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−−=+

A taxa de calor por convecção transmitida do elemento infinitesimal para o fluido é

dada pela Lei de Resfriamento de Newton:

( )∞−= TThdAdq sconv

onde: dAs é a área superficial infinitesimal do elemento.

Substituindo-se as equações de taxa na equação do balanço de energia,

( )∞−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−=− TThdAdx

dxdTA

dxdk

dxdTkA

dxdTkA sccc

( ) 0=−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞TTdAkhdx

dxdTA

dxd

sc

como a área da seção reta Ac pode variar com x,

( ) 02

2

=−−+ ∞TTdxdA

kh

dxTdA

dxdA

dxdT s

cc

( ) 0112

2

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∞TT

dxdA

kh

AdxdT

dxdA

AdxTd s

c

c

c

Forma geral da equação da energia, em condições unidimensionais, em uma superfície

expandida.

16.4. Aletas com área da seção transversal constante

Quando a área da seção transversal da aleta é uniforme (Fig. 82), a equação anterior

pode ser simplificada.

Page 140: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

139

Cada aleta está ligada na base a uma superfície T (0) = Tb e imersa num fluido na

temperatura T∞.

Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante.

PdxdAPxA

dxdAA

ss

cc

=⇒=

=⇒= 0 constante

( ) 02

2

=−− ∞TTkAhP

dxTd

c

Definindo-se a variável θ (Excesso de Temperatura)

∞−= TTθ

dxdT

dxd

=θ 2

2

2

2

dxTd

dxd

02

2

=− θθ

ckAhP

dxd

Definindo-se:

ckAhPm =2

022

2

=− θθ mdxd

Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes

constantes. A solução geral tem a forma: mxmx eCeCx −+= 21)(θ

Page 141: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

140

Para resolver esta equação, falta definir as condições de contorno apropriadas. Uma

destas condições pode ser especificada em termos da temperatura na base da aleta (x =

0)

Temperatura constante na base da aleta

( ) bTxT == 0

( ) bb TTx θθ =−== ∞0

A segunda condição de contorno deve ser definida na ponta da aleta (x = L). Podem ser

especificadas quatro condições diferentes, cada uma correspondendo uma situação

física e levando a uma solução diferente.

A. Transferência convectiva de calor

A taxa de calor que chega à extremidade da aleta por condução é dissipada por

convecção. Fazendo-se um balanço de energia,

Lxcc dx

dTkATLThA=

∞ −=− ))((

ou

LxdxdkLh

=

−=θθ )(

Aplicando-se as condições de contorno, chega-se a:

[ ] [ ])senh()/()cosh(

)(senh)/()(cosh)(mLmkhmL

xLmmkhxLmx

b +−+−

=θθ

A taxa de calor pode ser determinada através da aplicação da lei de Fourier

00 ==

−=−==x

cx

cbf dxdkA

dxdTkAqq θ

ou

)senh()/()cosh()cosh()/()senh(.

mLmkhmLmLmkhmLhPkAq bcf +

+= θ

Para simplificar a solução, define-se:

( ) bchPkAM θ.= ,

Assim, a equação para a taxa de calor pode ser dada por:

Page 142: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

141

)senh()/()cosh()cosh()/()senh(

mLmkhmLmLmkhmLMq f +

+=

B. Ponta da aleta adiabática (considerando que a perda de calor por convecção na

extremidade da aleta é desprezível)

0==Lxdx

dT

ou

0==Lxdx

Neste caso, [ ]

)cosh()(cosh)(

mLxLm

b

x −=

θθ

)(. mLtghMq f =

C. Temperatura Fixa ( ) LLx θθ ==

[ ])senh(

)(senh)senh()/()(mL

xLmmxx bL

b

−+=

θθθθ

)senh()/()cosh(

mLmLMq bL

fθθ−

=

D. Aleta muito longa

Neste caso, quando 0 , →∞→ LL θ .

mx

bex −=

θθ )(

Mq f =

Exemplo:

1) Uma barra cilíndrica de diâmetro 25mm e comprimento 0,25m, tem uma extremidade

mantida a 100ºC. A superfície da base está exposta ao ar ambiente a 25ºC, com um

coeficiente convectivo de 10 W/m2.K. Se a barra é construída em aço inoxidável, com

condutividade térmica k = 14 W/m.K, determine a temperatura da barra em x=L e a sua

perda térmica para a condição de transferência convectiva de calor.

Page 143: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

142

Resolução: Para calcular a temperatura de barra em x=L devemos utilizar a fórmula

para transferência convectiva de calor:

).senh(..

).cosh(

)].(senh[..

)](cosh[)(

Lmkm

hLm

xLmkm

hxLm

b

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

=θθ

Calculando alguns parâmetros para obter o resultado:

24232

10.9,44

)10.25.(14,34. mdAc

−−

===π

m10.9,7r..2P 2−=π=

WTTkAPhM

mkA

Phm

Bbc

c

52,5).(14.10.9,4.10.9,7.10....

73,1010.9,4.1410.9,7.10.

42

4

2

=−==

===

∞−−

θ

Calculando agora a temperatura da barra em x=L

KT

TT

K

Lmkm

hLm

LLmkm

hLLm

Lx

LxLx

Lx

Lx

b

Lx

58,342558,9

58,9

)25,0.73,10senh(.14.73,10

10)25,0.73,10cosh(

175

).senh(..

).cosh(

)].(senh[..

)](cosh[

)(

)()(

)(

)(

)(

=+=

−=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

=

=

∞==

=

=

=

θ

θ

θ

θθ

Calculando agora a perda térmica para a condição proposta:

Wq

q

Lmkm

hLm

Lmkm

hLmMq

r

r

r

47,5

)25,0.73,10senh(.14.73,10

10)25,0.73,10cosh(

)25,0.73,10cosh(.14.73,10

10)25,0.73,10senh(.52,5

).senh(..

).cosh(

).cosh(..

).senh(.

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

Page 144: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

143

16.5. Desempenho da Aleta

As aletas são utilizadas para se aumentar a taxa de transferência de calor de uma

superfície devido ao aumento da área. No entanto, a aleta impõe uma resistência térmica

à condução na superfície original. Deve ser feita uma análise sobre o desempenho da

aleta.

Efetividade: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa de

transferência de calor que existiria sem a presença da aleta. A utilização de aletas

somente se justifica se εf ≥ 2. A efetividade de uma aleta aumenta com a escolha de um

material de condutividade térmica elevada. Aumenta quando aumenta a razão entre o

perímetro e a área da seção reta.

bbc

f

hAqθ,

fε =

onde: Ac,b é a área da seção reta da aleta, na base. Para aletas com seção reta uniforme,

cbc AA =,

Pode-se definir a resistência da aleta por:

f

bft q

=,

Utilizando-se a resistência à convecção na base:

bcbt hA

R,

,1

=

A efetividade pode ser definida, então, por

ft

bt

RR

,

,fε =

Eficiência: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa máxima de

transferência de calor que existiria pela aleta, se toda a aleta estivesse na temperatura da

base.

bf

fff hA

qqq

ηθ

==max

onde: Af = área superficial da aleta

Para uma aleta com a extremidade adiabática (caso B):

Page 145: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

144

cb

bcf kA

hPmmL

mLhPL

mLhPkA=== ,)tanh()tanh(. .

θθ

η

Este resultado pode ser utilizado para os casos em que há transferência de calor pela

extremidade da aleta:

( )42

,tanh DLLoutLL

mLmL

ccc

cf +=+==η

Figura 83 – Eficiência de aletas.

Page 146: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

145

Eficiência Global da Superfície: A eficiência da aleta ηf caracteriza o desempenho de

uma única aleta. A eficiência global da superfície ηg caracteriza o desempenho de um

conjunto de aletas e da superfície da base sobre a qual este conjunto está montado.

bt

tto hA

qqqη

θ==

max

onde:

qt = taxa total de transferência de calor

At = área total exposta

bft ANAA += Ab = área da superfície exposta – área das aletas

Af = área superficial de cada aleta

N = número total de aletas

A taxa de transferência de calor máxima ocorreria se toda a superfície da aleta, assim

com a base exposta, fosse mantida a bT .

A taxa total de transferência de calor por convecção das aletas e da superfície exposta

(sem aletas) para o fluido é dada por:

bbbfft hAhANq θθη +=

onde ηf é a eficiência de uma aleta.

[ ] bft

ftbftfft A

NAhANAAANhq θηθη ⎥

⎤⎢⎣

⎡−−=−+= 1(1)(

Assim,

)1(1 ft

fo A

NAηη −−=

Page 147: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

146

Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retangulares b) Anulares.

Nas superfícies aletadas, S representa o passo das aletas.

17. Condução Transiente 17.1. Introdução

Condução transiente ocorre em várias aplicações da engenharia e pode ser tratada por

diferentes métodos. De início, deve ser calculado o número de Biot, que relaciona a

resistência à condução no sólido e a resistência à convecção na superfície sólido-

líquido. Se o número de Biot for muito menor que a unidade, o método da capacitância

global pode ser aplicado. Caso contrário, efeitos espaciais ocorrem, e outros métodos

são usados.

17.2. Método da Capacitância Global

Considere um metal com temperatura inicial uniforme Ti, que é resfriado por imersão

em um líquido de temperatura T∞ < Ti. Se o resfriamento se inicia no tempo t = 0, a

temperatura do sólido decrescerá até que eventualmente atinja T∞. A essência deste

método é a consideração de que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em

qualquer instante durante o processo transiente. Esta hipótese é satisfatória quando a

resistência à condução dentro do material for muito menor que a resistência à convecção

na interface sólido-líquido. Neste caso, a equação de condução de calor não pode ser

empregada, e a temperatura transiente é determinada por um balanço global de energia

no sólido.

Page 148: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

147

Aplicando o balanço de energia ao sólido:

as EE && =−

Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente.

( )tTcTThAs ∂∂

∀=−− ∞ ρ

Definindo: ∞−= TTθ

Resulta: ∫∫ −=∀

⇒−=∀ t

ssdtd

hAc

dtd

hAc

i 0

θ

θ θθρ

θθρ

Onde: ∞−= TTiiθ

Integrando: thA

c i

s

=∀

θθρ ln ou ⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∀

−=−−

=∞

∞ tc

hATTTT s

ii ρθθ exp

Validade do Método da Capacitância Global

Sob condições de regime permanente, o balanço de energia na superfície do sólido se

reduz a:

( ) ( )∞−=− TThATTLkA

sss 2,2,1,

Rearranjando:

Bik

hLRR

hAkAL

TTTT

conv

cond

s

ss ≡===−

∞ /1/

2,

2,1,

Page 149: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

148

Se Bi << 1, a resistência à condução dentro do sólido é muito menor que a resistência

à convecção através da camada limite do fluido, e o erro associado à utilização do

método da capacitância global é pequeno.

Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a diferentes

números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por convecção.

18. Convecção 18.1. Fundamentos da Convecção

Considere um fluido qualquer, escoando com velocidade V e temperatura T∞ sobre uma

superfície de forma arbitrária e área superficial A, como mostrado na Fig. 87.

Figura 87 - Transferência convectiva de Calor.

Se a temperatura da superfície for superior à temperatura do fluido, haverá uma

transferência de calor por convecção da superfície para o fluido. O fluido térmico local

é dado pela lei de resfriamento de Newton.

).( ∞−=′′ TThq s

onde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção.

q

Ts

T∞

Page 150: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

149

Como as condições variam de ponto para ponto, q” e h irão variar ao longo da

superfície. A taxa total de transferência de calor é obtida integrando-se o fluxo ao longo

da superfície.

( )

ss

sss

dATTq

dATTdAqq

)( ∞

−=

−=′′= ∫∫

Pode-se definir um coeficiente médio de transferência de calor por convecção h para

toda a superfície, de maneira a representar toda a transferência de calor

).( ∞−=′′ TThq s

Igualando-se as expressões para a taxa de calor, os coeficientes local e médio podem ser

relacionados por:

∫=sA s

sdAh

Ah .1

Para uma placa plana de comprimento L e largura b (Fig. 88)

Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana.

( ) bxxAs =

∫=sAhbdx

bLh 1

∫=L

hdxL

h0

1

h = coeficiente médio de transferência de calor por convecção (W/m2. K).

Page 151: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

150

h = coeficiente local de transferência de calor por convecção (W/m2. K).

De maneira análoga, se um fluido com concentração molar de um componente A igual a

CA,∞ escoa sobre uma superfície cuja concentração molar de A é mantida em um valor

uniforme CA,s ≠ CA,∞, haverá transferência deste componente por convecção. A taxa

de transferência de massa pode ser calculada através de um coeficiente local hm.

Se CA,s > CA,∞

N”A = hm(CA,s - CA,∞)

onde:

N”A: fluxo molar da espécie A (Kmol/s.m²)

Hm: coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s)

CA,s: concentração molar de A na superfície (Kmol/m³)

CA,∞: concentração molar de A no fluido (Kmol/m³)

A taxa total de transferência de massa pode ser escrita na forma

( )∞−= ,AS,AsmA CCAhN

onde mh : coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s)

De modo análogo à transferência de calor, o coeficiente médio é relacionado ao

coeficiente local por

∫=s

sms

m

dAdAh

Ah 1

A transferência de uma espécie química também pode ser expressa em termos da massa,

através do fluxo mássico n”A (Kg/s.m²) ou da taxa de transferência de massa nA (Kg/s).

Multiplicando-se a equação para o fluxo molar pela massa molecular de A,

( )( )∞

−=

−=

,AS,AsmA

,AS,AmA

Ahnh"n

ρρρρ

18.2. As Camadas Limites da Convecção

Page 152: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

151

18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica

Seja o escoamento sobre uma placa plana mostrada na Fig. 89.

Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica.

Quando as partículas do fluido entram em contato com a superfície, elas passam a ter

velocidade nula (condição de não deslizamento). Estas partículas atuam no

retardamento do movimento das partículas da camada de fluido adjacente que, por sua

vez, atuam no retardamento do movimento das partículas da próxima camada e assim

sucessivamente, até uma distância y = δ, onde o efeito de retardamento se torna

desprezível. A velocidade u aumenta até atingir o valor da corrente livre, u∞.

1) A espessura da camada limite, δ, é definida como o valor de y para o qual u = 0,99

u∞;

2) O perfil de velocidade na camada limite é a maneira com que u varia com y através

da camada limite;

3) Na camada limite, os gradientes de velocidade e as tensões de cisalhamento são

elevados; fora da camada limite, são desprezíveis;

4) Para escoamentos externos, define-se o coeficiente de atrito local (Cf) a partir do

conceito de camada limite:

22∞

=uτC s

f ρ

onde:

sτ = tensão de cisalhamento na superfície (N/m2)

ρ = massa específica do fluido (kg/m3)

u∞ = velocidade do fluido na corrente livre (m/s)

u∞ u∞

δ (x)

x

τ

CORRENTE

CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA

y

Page 153: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

152

5) Para uma fluido Newtoniano 0=∂

∂=

ys y

uτ µ ,

Com µ = viscosidade dinâmica do fluido (kg/m. s).

18.2.2. As Camadas Limites de Concentração

A camada limite de concentração determina a transferência de massa por convecção em

uma parede. Se uma mistura de duas espécies químicas A e B escoa sobre uma

superfície e a concentração da espécie A na superfície é diferente da concentração na

corrente livre, uma camada limite de concentração irá se desenvolver. Ela é a região do

fluido onde existem gradientes de concentração, sendo sua espessura definida como o

valor de y no qual

∞−−

,,,

AA

ASA

CsCCC

O perfil de concentração na camada limite é similar ao perfil de temperatura na camada

limite térmica (Fig. 90).

Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite.

Em um escoamento sobre uma superfície com diferença de temperatura e concentração

entre ambos, em geral, as camadas limite fluidodinâmica, térmica e de concentração não

se desenvolvem simultaneamente, ou seja, não possuem a mesma espessura

( )ct δδδ ≠≠ .

O objetivo da definição das camadas limite é a simplificação das equações que

governam o escoamento. No interior da camada limite fluidodinâmica,

Page 154: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

153

xv

yv

xu

yu

vu

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂>>

,,

No interior da camada limite térmica,

xT

yT

∂∂

>>∂∂

Desta maneira, as equações podem ser simplificadas e a solução do problema se torna

mais fácil.

18.3. Escoamento Laminar e Turbulento

Os problemas de convecção consistem, basicamente, na determinação dos coeficientes

de convecção. Com eles, pode-se então determinar as taxas de transferência de calor.

Em geral, são obtidas equações empíricas para o cálculo dos adimensionais e, através de

sua definição, calculam-se os coeficientes convectivos. Estas correlações dependem da

geometria do escoamento (escoamento interno ou externo, sobre placa plana, no interior

de um tubo, etc.), do regime do escoamento, se a convecção é natural ou forçada, etc.

Para o tratamento de qualquer problema de convecção é relevante determinar se a

camada limite é laminar ou turbulenta, já que tanto o atrito superficial como as taxas de

transferência de calor por convecção dependem das condições da camada.

Figura 91 – Camada Limite.

Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico para o qual são

definidos os adimensionais é a distância x a partir da origem.

Page 155: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

154

A transição para a turbulência, no interior de tubos, acontecia para números de

Reynolds de aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, 105 ≤

Rex,c ≤ 3 × 106. Um valor representativo é Rex,c = 5 × 105, ou seja, o número de

Reynolds crítico (ou de transição) é dado por:

µρ xu

x..Re ∞= e µ

ρ ccx

xu .,

.Re ∞=

onde:

Rex,c = no de Reynolds crítico (início de transição do regime laminar para turbulento)

Número de Reynolds - é a relação entre as forças de inércia e as forças viscosas:

νµρ VLVL

L ==Re

Número de Prandtl - é a relação entre a difusividade de momento e a difusividade

térmica – relaciona a distribuição de temperatura à distribuição de velocidade:

ανµ

==kcpPr

Para escoamentos laminares nt Pr≈δδ . Para gases tδδ ≈ , metais líquidos tδδ >> , e

para óleos tδδ << .

Número de Nusselt - é o gradiente de temperatura adimensional na interface fluido-

superfície: fk

hL=LNu

Coeficiente de atrito - é tensão de cisalhamento adimensional na superfície:

22VC s

f ρτ

=

Fator de atrito – é a queda de pressão adimensional para escoamento interno:

( )( )22muDL

pfρ∆

=

Parâmetros Adimensionais

• Número de Reynolds

µρud

=Re

Page 156: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

155

• Número de Nusselt

fKhdNu =

• Número de Prandtl

f

p

KC µ

αν==Pr

• Número de Sherwood

AB

m

DdhSh =

• Número de Schmidt

ABDSc ν

=

onde DAB é a difusividade de massa (m²/s)

Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico para o qual são

definidos os adimensionais é a distância x a partir da origem.

A transição para a turbulência, no interior de tubos, acontecia para números de

Reynolds de aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, esta

transição ocorre para Re=5x105, ou seja, o numero do Reynolds crítico (ou de transição)

é dado por:

5, 105Re xxu ccx ==

µρ

onde u∞ é a velocidade da corrente livre.

Para escoamento laminar (Rex< 5x105), a espessura da camada limite fluidodinâmica é

xlam

xRe5

A espessura da camada limite térmica é dada por

31

Pr=tδδ

O número de Nusselt local é dado por

PrRe332,0 3/12/1x

xx

KxhNu == , válida para Pr ≥0,6

Page 157: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

156

Uma outra expressão para o número de Nusselt local, válida para qualquer valor de

Prandtl, é dada por

( )[ ] 4/13/2

3/12/1

Pr/0468,01

PrRe3387,0

+= x

xNu

Para escoamento turbulento (Re>5x105)

xxuxxturb .37,0.Re37,0 5/15/1

5/1 −−

∞−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

µρδ

Quando as camadas limite laminar e turbulenta são comparadas, percebe-se que a

turbulenta cresce muito mais rápido, já que sua espessura varia com x4/5, enquanto no

escoamento laminar, a espessura varia com x1/2.

Para escoamentos turbulentos,

tδδ ≈

O número d Nusselt local é dado por

PrRe0296,0 3/15/4xxNu = , válida para 0,6<Pr<60

18.4. A Camada Limite Térmica

Da mesma forma que há a formação de uma camada limite fluidodinâmica no

escoamento de um fluido sobre uma superfície, uma camada limite térmica deve se

desenvolver se houver uma diferença entre as temperaturas do fluido na corrente livre e

na superfície. Considere o escoamento sobre uma placa plana isotérmica mostrada na

Fig. 92.

Figura 92 – Camada Limite Térmica.

No início da placa (x = 0), o perfil de temperaturas no fluido é uniforme, com T(y) = T∞.

No entanto, as partículas do fluido que entram em contato com a placa atingem o

equilíbrio térmico na temperatura superficial da placa, ou seja, T (x,0) = T∞ . Por sua

T∞ T∞

Tsup.

δ (x)

CAMADA LIMITE TÉRMICA

CORRENTEy

x

Page 158: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

157

vez estas partículas do fluido em contato com a superfície atingem o equilíbrio térmico

com essa superfície, e trocam energia com partículas fluidas em camadas adjacentes,

criando um gradiente de temperatura.

1) A espessura da camada limite térmica, δt, é definida como o valor y para o qual:

( ) ( ) 99,0=−− ∞TTTT ss

2) Na superfície não existe movimentação do fluido e a transferência de calor ocorre

unicamente por condução. Com isso,

0=∂∂

−=′′y

fs yTkq e

=

∂∂−=

TT

yTkh

s

yf 0

onde

kf = condutividade térmica do fluido (W/m.K)

Page 159: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

158

EXERCÍCIOS RECOMENDADOS:

* FOX, Robert W. e Alan T. McDonald, Introdução à Mecânica dos Fluidos, Livros

Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2001. (Quinta Edição)

CAPÍTULO 1:

1.2; 1.25; 1.26; 1.30 e 1.34.

CAPÍTULO 2:

2.1; 2.27; 2.28; 2.32; 2.33 e 2.36 a 2.40.

CAPÍTULO 3:

3.13 a 3.20; 3.22 e 3.27.

CAPÍTULO 4:

4.9 a 4.12; 4.17 a 4.19; 4.23; 4.24; 4.27; 4.29 e 4.182 a 4.188.

CAPÍTULO 6:

6.33; 6.35; 6.36; 6.38; 6.39; 6.40; 6.41 e 6.42.

* INCROPERA, Frank P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa, Livros

Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1998. (Quinta Edição)

CAPÍTULO 1:

1.1 a 1.7; 1.10 a 1.13; 1.15; 1.17 a 1.19; 1.24 a 1.28; 1.35; 1.37; 1.39 e 1.42 a 1.49.

CAPÍTULO 2:

2.2; 2.4; 2.7 a 2.10; 2.14; 2.18; 2.21; 2.23; 2.34 e 2.39.

CAPÍTULO 3:

3.2; 3.10; 3.12; 3.13; 3.15; 3.32; 3.37; 3.38; 3.44 e 3.66.

Page 160: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

159

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

* BASTOS, Francisco de Assis A., Problemas de Mecânica dos Fluidos, Editora

Guanabara Koogan S.A., 1983.

* CARVALHO, Djalma Francisco, Instalações Elevatórias, Bombas, Fumarc, Belo

Horizonte, 1984.

* FOX, Robert W. e Alan T. McDonald, Introdução à Mecânica dos Fluidos,

Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2001.

* HOLMAN, J.P., Transferência de Calor, McGraw-Hill do Brasil Ltda, São

Paulo, 1983.

* INCROPERA, Frank P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa,

Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1998.

* MACINTYRE, Archibald Joseph, Bombas e Instalações de Bombeamento,

Editora Guanabara S.A., Rio de Janeiro, 1987.

* MYERS, J.E. e C.O. Bennett, Fenômenos de Transporte, Quantidade de

Movimento, Calor e Massa, McGraw-Hill do Brasil Ltda, São Paulo, 1978.

* OZISIK, M. Necati, Transferência de calor: um texto básico, Editora

Guanabara Koogan S.A., c1990.

* SCHIOZER, Dayr, Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan S.A.

Rio de Janeiro, 1996.

* SISSOM, Leighton E. E Donald r. Pitts, Fenômenos de Transporte, Editora

Guanabara Koogan S.A. Rio de Janeiro, 1988.

* SHAMES, Irving H., Mecânica dos Fluidos, Volume I e II, Editora Edgard

Blucher Ltda., 1977.

* STREET, Robert L. e John K. Vennard, Elementos de Mecânica dos Fluidos,

Editora Guanabara Koogan S.A., 1978.

* TELLES, Pedro Silva, Tubulações Industriais - Cálculo, Livros Técnicos e

Científicos Editora S.A., 1994.

* TELLES, Pedro Silva, Tubulações Industriais - Materiais, Projeto e Desenho,

Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1994.

* THOMAS, Lindon C., Fundamentos da Transferência de calor, Prentice-Hall

do Brasil, 1985.

* WHITE, Frank M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill Interamericana do

Brasil Ltda., Rio de Janeiro, 2002.

Page 161: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

160

Apêndice A

Tabela A.1 – Propriedades de Fluidos Comuns a 20ºC e 1atm. Massa Específica Viscosidade Absoluta Fluido Kg/m3 Kg/(m.s) ____________________________________________________________________________ Água 998 1,00x10-3 Freon -12 1327 2,62x10-4 Gasolina 680 2,92x10-4 Glicerina 1260 1,49 Mercúrio 13550 1,56x10-3 Óleo SAE 10W 870 1,04x10-1 Óleo SAE 10W30 876 1,70x10-1

Óleo SAE 30W 891 2,90x10-1

Óleo SAE 50W 902 8,60x10-1

Querosene 804 1,92x10-3 Hidrogênio 0,084 9,05x10-6

Hélio 0,166 1,97x10-5 Ar seco 1,203 1,80x10-5 CO2 1,825 1,48x10-5 Tabela A.2 – Massa Específica da Água a 1 atm.

T(ºC) Massa Específica (Kg/m3) 0 1000 10 1000 20 998 30 996 40 992 50 988 60 983 70 978 80 972 90 965

100 958 Tabela A.3 - Massa Específica do Ar a 1 atm.

T(ºC) Massa Específica (Kg/m3) -40 1,520

0 1,290 20 1,203 50 1,090

100 0,946 150 0,835 200 0,746 250 0,675 300 0,616 400 0,525

500 0,457

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

161

Tabela A.4 - Massa Moleculares de Gases Comuns. Fluido Massa Molecular (Kg/Kmol) H2 2,016 He 4,003 H2O 18,02 Ar seco 28,96 CO2 44,01 CO 28,01 N2 28,02 O2 32,00 NO 30,01 N2O 44,02 Cl2 7,091 CH4 16,04

Tabela A.5 – Emissividades a 300K.

Superfície Emissividade Água 0,96 Concreto 0,88-0,93 Folha de amianto 0,93-0,96 Tijolo vermelho 0,93-0,96 Placa de gesso 0,90-0,92 Madeira 0,82-0,92 Pavimentação de asfalto 0,85-0,93 Vidro de janela 0,90-0,95 Teflon 0,85 Alumínio polido 0,03 Solo 0,93-0,96 Pele 0,95

Tabela A.6 – Condutividades Térmicas a 300K. Material K (W/m.K) Aço inoxidável AISI 304 14,9 Alumínio puro 237 Chumbo 35,3 Cobre puro 401 Ferro puro 80,2 Algodão 0,06 Asfalto 0,062 Compensado de madeira 0,12 Manta de fibra de vidro 0,038 Pele 0,37 Solo 0,52 Tijolo comum 0,72 Vidro pyrex 1,4 Ar seco 0,0263

Page 163: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

162

Tabela A.7 – Valores de Densidade para alguns fluidos a 20 °C.

Fluido Densidade (Kg/m3) Hidrogênio 0,087 Ar 1,205 Gasolina 680 Água 998 Mercúrio 13580 Óleo SAE 30 891 Glicerina 1264

Tabela A.8 – Valores de Viscosidade para alguns fluidos a 20 °C.

Fluido Viscosidade (Kg/m.s) Hidrogênio 8,8x10-6 Ar 1,8x10-5 Gasolina 2,9x10-4 Água 1,0x10-3 Mercúrio 1,5x10-3 Óleo SAE 30 0,29 Glicerina 1,5

Tabela A.9 – Propriedades Termodinâmicas de Gases Comuns na Condição Padrão

ou “ Standard” .

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

163

Vapor

Oxigênio

Nitrogênio

Monóxido de C

arbono

Metano

Hidrogênio H

élio

Bióxido de C

arbono

Ar

Gás

H2 O

O

2 N

2

CO

CH

4 H

2 H

e

CO

2

Símbolo

Quím

ico

18,0232,0028,01

28,01

16,042,0164,003

44,01

28,98

Massa

Molecular,

Mm

461,4259,8296,8

296,8

518,341242077

188,9

286,9

~2000909,41039

1039

219014,1805225

840,4

1004

~1540 649,6 742

742,1

1672 10,060 3147

651,4

717,4

~1,301,401,40

1,40

1,311,411,66

1,29

1,40

85,7848,2955,16

55,17

96,32766,5386,1

35,11

53,33

~0,4780,21720,2481

0,2481

0,52313,3881,248

0,2007

0,2399

a Temperatura e pressão na condição padrão ou “standard”. T = 15º = 59ºF e p = 101,325 kPa (abs.) = 14696 psia.

b R ≡ Ru /M

m ; Ru = 8314,3 J/(kgm

ol·K) = 1545,3 pé · lbf/(lbm

ol · ºR); 1 B

tu = 778,2 pé · lbf. c O

vapor d’água comporta-se com

o um gás ideal quando superaquecido de 55ºC

(100ºF) ou mais.

~0,3680,15510,1772

0,1772

0,39932,4020,7517

0,1556

0,1713

Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos

Page 165: Apostila Ft 2008 Pucmg

Fenômenos de Transporte – 01/2008

164

Apêndice B

Tabela B.1– Grandezas e Unidades utilizadas em Mecânica dos Fluidos.

Grandeza Fatores de Conversão

Massa 1 slug = 14,594 kg = 32,174 lbm

1 lbm = 0,4536 kg

1 tonelada = 1000 kg

Comprimento 1 ft = 12 in = 0,3048 m

1 mi = 5280 ft = 1609,344 m

Temperatura T (K) = T (°C) + 273,15

1R = 1,8K

Força 1 kgf = 9,80665 N = 2,2046 lbf

1lbf = 4,4482N

N1x10scm1g1dina 5

2−==

1 onça = 0,27801 N

Energia 1 ft.lbf = 1,3558 J

1 Btu = 252 cal = 1055,056 J

1 kWh = 3,6x106 J

Pressão 1 psi = 6894,76 Pa

atm0,9872x10bar101PamN1 55

2−− ===

1 lbf/ft2 = 47,88 Pa

1 psi = 1 lbf/in2 = 144 lbf/ft 2 = 6895 Pa

1 atm = 101325 Pa

1 bar = 1x105 Pa

linHg (a 20ºC) = 3375 Pa

Potência 1 hp = 550 ft.lbf/s = 745,7 W = 1,014 cv

1 cv = 735 W

Densidade 1 slug/ft3 = 515,4 Kg/m3

Viscosidade 1 slug/(ft.s) = 47,88 kg/(m.s)

1 Ns/m2 = 1 kg/ms = 10 poise

Viscosidade Cinemática 1 stokes (St) = 1 cm2/s = 1x10-4 m2/s

Volume

1 ft3 = 0,028317 m3

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

165

1 galão = 231 pol3 = 0,0037854 m3

1 litro = 0,001 m3 = 0,035315 ft3

Área 1 ft2 = 0,092903 m2

1 mi2 = 2,78784x107 ft2 = 2,59x106 m2

1 acre = 4046,9 m2 = 43560 ft2

Peso Específico 1 lbf/ft3 = 157,09 N/m3

Massa Específica 1 slug/ft3 = 515,38 kg/m3

1 lbm/ft3 = 16,0185 kg/m3

1 g/cm3 = 1000 kg/m3

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

166

Figura A1

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Fenômenos de Transporte – 01/2008

167

Figura A2