Apostila Fundamental II

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  • 7/31/2019 Apostila Fundamental II

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    Aula n umero 1 (13/08)

    (1) Sistemas de coordenadas .

    Esta se cao funciona como uma prepara cao psicologica para a nocao de variedadediferenci avel e para os enunciados das formas locais das imers oes, submers oes e para oteorema do posto.

    Comecamos com uma pergunta: qual deve ser a deni cao correta para o conceito desistema de coordenadas? Bom, a ideia b asica e a seguinte: comecamos com um mundoabstrato X onde temos uma certa quantidade de habitantes. Um certo habitante deX deseja usar algum sistema de coordenadas para descrever (ao menos uma parte de) X .Tal habitante deve ent ao associar a cada ponto de X uma n-upla ( x1 , . . . , x n ) de numerosreais, que seriam as coordenadas desse ponto x. Um bom sistema de coordenadas deveter a propriedade que pontos diferentes possuem coordenadas diferentes (sen ao seria uma

    tremenda confusao!). Essa vis ao caricata do conceito de sistema de coordenadas motiva aseguinte:

    Deni cao. Seja X um conjunto qualquer. Um sistema de coordenadas em X e uma func ao bijetora : U U , onde U e um subconjunto de X e U e um subconjunto abertode IR n para algum n.

    A exigencia de que U seja aberto em IR n e feita por razoes tecnicas e e importante nateoria de variedades diferenci aveis. Num primeiro momento, seria razo avel exigir apenasque U fosse um subconjunto arbitr ario de IR n .Exemplo . Seja X = IR n . Fazendo U = U = IR n e igual a aplica cao identidade ent ao

    o sistema de coordenadas : U U em X = IRn

    e chamado o sistema de coordenadas cartesianas .Exemplo . Escolha 0 IR e seja U = A0 IR 2 o aberto de IR 2 cujo complementar e asemi-reta fechada (t cos 0 , t sen 0) : t 0 . Seja U = ]0, + [ ]0 , 0 + 2 [ e dena : U U fazendo (x, y ) = ( , ), onde = x2 + y2 e ]0 , 0 + 2 [ e determinadopelas identidades x = cos e y = sen . E facil ver que a aplica cao : U U e defato bijetora e e portanto um sistema de coordenadas em IR 2 ; esse e chamado o sistema de coordenadas polares (relativo a escolha de 0) no plano IR 2 .Exemplo . Escolha 0 IR e dena A0 como no exemplo anterior. Considere os abertosU = A

    0 IR IR 3 , U = ]0, + [ ]0 , 0 + 2 [ IR IR 3 e dena : U U fazendo

    (x,y,z ) = ( , ,z), onde e sao denidos a partir de x e y como no exemplo anterior.Temos que : U U e um sistema de coordenadas no espa co IR 3 chamado o sistema de coordenadas cilndricas (relativo a escolha de 0) no espa co IR 3 .

    Exemplo . Sejam U = IR 3 \ ] , 0]{ 0} IR , U = ]0 , + [ ] , [ ]0, [ e : U U a aplica cao denida por (x,y,z ) = ( r,, ), onde r ]0, + [, ] , [ e ]0, [ saoos unicos escalares para os quais as rela coes:

    x = r cos sen , y = r sen sen , z = r cos ,

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    sao satisfeitas (note que r = x2 + y2 + z2). Temos que e um sistema de coordenadasem IR 3 chamado o sistema de coordenadas esfericas do espa co IR 3 .Exemplo . Seja B = ( bi )ni =1 uma base arbitr aria de IR n . Seja : IR n IR n a unicatransformacao linear tal que (bi ) e o i-esimo vetor da base can onica de IR n para todoi = 1 , . . . , n . Temos que e um isomorsmo e portanto um sistema de coordenadas (comU = U = IR n ) em IR n . Note que para todo x IR n temos que (x) coincide precisamentecom a n-upla formada pelas coordenadas de x na base B . Dizemos que e um sistema de coordenadas linear em IR n . Quando B e a base canonica, temos que = Id, i.e., reobtemosas coordenadas cartesianas. Em geral, o sistema de coordenadas corresponde a ideia deusar eixos de coordenadas oblquos e escalas de medida arbitr arias em cada um doseixos. Mais geralmente, xada uma base B em IR n e um ponto O IR n ent ao podemosdenir um sistema de coordenadas : IR n IR n fazendo (x) igual as coordenadas dex O na base B . Dizemos ent ao que e um sistema de coordenadas am com origem O.Quando O = 0, estamos de volta ao caso de um sistema de coordenadas linear.

    A denicao de sistema de coordenadas que demos no incio da se cao e um tantogeral demais para nossos prop ositos imediatos. De fato, observe que todos os sistemas decoordenadas mencionados nos exemplos acima se enquadram na seguinte deni cao maisrestrita.

    Deni cao. Um sistema de coordenadas de classe C k (1 k ) em IR n e um difeo-morsmo : U U de classe C k , onde tanto U como U s ao abertos em IR n . Por umsistema de coordenadas de classe C 0 em IR n entendemos simplesmente um homeomorsmo : U U , onde U e U s ao abertos em IR n .

    Observe que todos os exemplos mencionados acima s ao sistemas de coordenadas declasse C em IR n .

    Para nalizar, apresentamos alguns exemplos um pouco diferentes (que n ao corres-pondem a sistemas de coordenadas em IR n ).Exemplo . Denote por S 2 a esfera unit aria bidimensional , ou seja:

    S 2 = (x,y,z ) IR 3 : x2 + y2 + z2 = 1 .

    Seja U S 2 o aberto (relativo a S 2) denido por:

    U = S 2 \ {0} [0, + [ IR ,

    i.e., U e o complementar em S 2 de um meridiano fechado. Denimos uma aplica cao : U IR 2 fazendo (x,y,z ) = ( , ) onde e a longitude de ( x,y,z ) e e a latitudede (x,y,z ); mais explicitamente, ] , [, 2 ,

    2 sao unicamente determinados

    pelas rela coes:x = cos sen , y = cos cos , z = sen .

    Temos que e uma bijecao sobre o aberto U = ] , [ 2 ,2 em IR

    2 . Portanto eum sistema de coordenadas na esfera unit aria S 2 .Exemplo . Seja V um espa co vetorial real de dimensao n < + e seja B = ( bi )ni =1 uma basepara V . Existe uma unica aplica cao linear : V IR n que leva o vetor bi sobre o i-esimo

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    vetor ei da base can onica de IR n . A aplicacao e um isomorsmo que leva cada vetorv V sobre a n-upla que contem as coordenadas de v na base B . Temos que : V IR ne um sistema de coordenadas em V ; diz-se que e um sistema de coordenadas linear noespa co vetorial V . Na verdade, o presente exemplo e apenas uma pequena generaliza caodo exemplo onde mencionamos sistemas de coordenadas lineares em IR n (veja tambem oExerccio 2 para uma generaliza cao dos sistemas de coordenadas ans). Observe no entantoque se V e um espaco vetorial real arbitr ario de dimens ao n ent ao nao ha um sistema de coordenadas canonico em V (por isso um espa co vetorial real generico de dimens ao 3 eum modelo mais adequado para o espa co fsico do que IR 3 , ja que o espa co fsico n aopossui uma base canonica na verdade, espa cos ans de dimens ao 3 sao um modelo aindamelhor, j a que o espa co fsico n ao possui sequer uma origem canonica).Observa c~ao . Quem j a estudou um pouco de teoria de cardinais em cursos de teoria dosconjuntos sabe que existe uma bije cao : S 2 IR da esfera unitaria S 2 sobre a reta real IR(isso segue por exemplo do teorema de Schr oderBernstein e do fato que IR 3 tem a mesmacardinalidade que IR ). Tal bije cao e a rigor um sistema de coordenadas em S 2 pelanossa deni cao geral, apesar do fato que esse sistema de coordenadas deve parecer umtanto estranho. Quando estudarmos a no cao de variedade diferenciavel faremos algumasrestri coes adicionais sobre a nocao de sistema de coordenadas que eliminam patologiasdesagradaveis como essa.

    Deni cao. Sejam X , Y conjuntos e : U X U IR m , : V Y V IR nsistemas de coordenadas para X e Y respectivamente. Seja f : X Y uma fun c ao tal que f (U ) V e considere a fun c ao f : U V dada pela composic ao f = f 1 . Dizemos que f e a fun c ao que representa f com respeito aos sistemas de coordenadas e .

    A rela cao entre f e f e representada pelo seguinte diagrama comutativo:

    U f

    / /

    =

    V

    =

    U

    f / /V

    o smbolo = foi usado para indicar que e sao bije coes. No Exerccio 1 pedimos paravoces relacionarem a no cao acima com a no cao usual da Algebra Linear de matrizes querepresentam operadores lineares em bases.

    (2) A versao linear do teorema do posto .Em algebra linear e muito estudado o problema de diagonabilidade de operadores

    lineares T : V V , onde V e um espaco vetorial de dimensao nita. O problema consisteem achar uma base de V de modo que a matriz que representa T nessa base seja diagonal.Tal tarefa nao e sempre realizavel, i.e., existem operadores que n ao sao diagonaliz aveis.A vantagem basica de diagonalizar um operador linear e basicamente obvia: quer-se umsistema de coordenadas no qual T seja descrito de maneira simples.

    Vamos tratar aqui um problema muito mais simples do que o da diagonaliza cao: dadauma transforma cao linear T : V W (com V , W espa cos vetoriais possivelmente distintos,

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    de dimens ao nita), queremos encontrar bases de V e W que tornem a representa caomatricial de T o mais simples possvel. Note que mesmo quando V = W tal problemae mais simples do que o problema usual de diagonaliza cao; de fato, permitimos aqui quesejam usadas bases diferentes no domnio e no contra-domnio de T .

    Temos o seguinte:

    Teorema. Sejam V , W espa cos vetoriais com dim( V ) = m < + e dim( W ) = n < + .Dada uma transforma c ao linear T : V W ent ao existem bases B e B para V e W respectivamente de modo que a matriz [T ]BB que representa T com respeito a tais bases e dada (em nota c ao de blocos) por:

    [T ]BB = Ik 0k (m k )0(n k ) k 0(n k ) (m k ),

    onde Ik denota a matriz identidade k k e 0 denota a matriz nula . Alem domais, o numero k e precisamente o posto de T (i.e., a dimens ao de Im( T )).

    Demonstra cao. Em primeiro lugar, se tais bases existirem ent ao k deve coincidir com oposto de T pois o posto de T deve ser igual ao posto da matriz [ T ]BB (que e k). Vamosagora mostrar a existencia das bases B e B . Escolha uma base qualquer de Ker( T )e complete-a ate uma base de V ; obtemos ent ao uma base B = ( bi )mi =1 de V tal que(bi )mi = k +1 e uma base de Ker( T ). Temos que ( bi )

    ki =1 e uma base para um subespa co S V

    tal que V = S Ker( T ). Da T leva S isomorcamente sobre T (V ) = Im( T ) W (vejaExerccio 3); conclumos ent ao que bi = T (bi ), i = 1 , . . . , k nos da uma base para a imagemde T . Escolha agora B = ( bi )ni =1 como sendo um completamento qualquer de ( bi )ki =1 ateuma base de W . Segue agora facilmente que [ T ]BB assume a forma desejada.Observa c~ao . Usando o resultado do Exerccio 1, vemos que se B e B sao bases como no

    enunciado do teorema acima e se B : V IR m , B : W IR n sao os correspondentessistemas de coordenadas ent ao temos um diagrama comutativo:

    V T / /

    = B

    W = B

    IR m F / /IR

    n

    onde F : IR m IR n e dada por:

    F (x1 , . . . , x k , . . . , x m ) = ( x1 , . . . , x k , 0, . . . , 0

    n k zeros),

    para todo x = ( x1 , . . . , x m ) IR m . Encontramos ent ao sistemas de coordenadas (lineares)em V e W que tornam a representa cao de T (ou seja, F ) bem simples!Observa c~ao . Se T : V W e injetora ent ao k = m n e o teorema nos d a sistemas decoordenadas nos quais a representa cao de T e dada por:

    F (x1 , . . . , x m ) = ( x1 , . . . , x m , 0, . . . , 0

    n m zeros).

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    Nesse caso, podemos fazer ainda uma pequena melhora no enunciado do teorema: e possvel para toda base B de V encontrar uma base B de W na qual [T ]BB tem a forma desejada.De fato, se B = ( bi )mi =1 e uma base qualquer de V ent ao bi = T (bi ), i = 1 , . . . , m e umconjunto linearmente independente e portanto pode ser completado a uma base B paraW . Segue que [T ]BB e dada por:

    [T ]BB = Im0(n m ) m.

    Observa c~ao . Se T : V W e sobrejetora ent ao k = n m e o teorema nos d a sistemasde coordenadas nos quais a representa cao de T e dada por:

    F (x1 , . . . , x m ) = ( x1 , . . . , x n ).

    Nesse caso, podemos tambem fazer uma pequena melhora no enunciado do teorema: epossvel para toda base B de W encontrar uma base B de V na qual [T ]BB tem aforma desejada. De fato, se B = ( bi )ni =1 e uma base qualquer para W , escolha umsubespa co S V com V = S Ker( T ); da T |S : S W e um isomorsmo e portantobi = ( T |S ) 1(bi ), i = 1 , . . . , n nos da uma base de S . Seja (bi )mi = n +1 uma base qualquer deKer( T ), de modo que B = ( bi )ni =1 e uma base de V . Segue que [T ]BB e dada por:

    [T ]BB = ( I n 0n (m n ) ) .

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    Exerccios .(n ao e para entregar, mas e bom dar uma olhada e quem tiver problemas me procura).

    Algebra Linear .

    1. Sejam V , W espa cos vetoriais reais de dimensao nita e B = ( bi )mi =1 , B = ( bi )ni =1bases para V e para W respectivamente. Denote por:

    B : V IR m , B : W IR n ,

    respectivamente os sistemas de coordenadas em V e W associados a B e a B , i.e., Be o isomorsmo que leva B sobre a base canonica de IR m e B e o isomorsmo queleva B sobre a base can onica de IR n . Dada uma transforma cao linear T : V W ,denote por A a matriz real n m que representa T com respeito as bases B e B ,i.e., para i = 1 , . . . , n , j = 1 , . . . , m , Aij e a i-esima coordenada na base B do vetor

    T (bj ); denote tambem por LA : IRm

    IRn

    o operador de multiplica c ao por A, i.e.,LA (x) = Ax para todo x IR m , onde interpretamos x como uma matriz coluna m 1.Mostre que o seguinte diagrama:

    V T / /

    = B

    W = B

    IR m L A / /IR

    n

    comuta, i.e., mostre que B T = LA B . Isso signica que LA e a fun cao querepresenta T com respeito aos sistemas de coordenadas B e B !2. Sejam V um espa co vetorial real e P um conjunto; seja dada tambem uma aplica cao

    : V P P satisfazendo as seguinte propriedades:(i) v, (w, p) = (v + w, p) para todos v, w V , p P ;

    (ii) (0, p) = p para todo p P ;(iii) se para algum v V , p P temos (v, p) = p ent ao v = 0;(iv) para todos p, q P existe v V com (v, p) = q.

    A trinca ( P,V, ) e dita um espaco am e V e dito o espa co vetorial paralelo a tal

    espa co am. Tipicamente pensa-se em P como um conjunto de pontos e, para p P ,v V , escreve-se p + v em vez de (v, p), i.e., diz-se que (v, p) e a soma do vetor v com o ponto p. Mostre que dados O P e B = ( bi )ni =1 uma base para V ent ao para cada p P existe um unico x = ( x1 , . . . , x n ) IR n tal que p = O + ni =1 x i bi ; denindo ( p) = x,mostre que obtem-se uma bije cao : P IR n . Diz-se que e o sistema de coordenadas am em P com origem O e eixos (bi )ni =1 .Observa c~ao . Para quem ja estudou um pouco de teoria de a cao de grupos: as condi coesimpostas acima sobre : V P P dizem que e uma ac ao livre e transitiva do grupoabeliano aditivo ( V, +) no conjunto P (livre = sem pontos xos).

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    3. Sejam V , W espa cos vetoriais e T : V W uma transforma cao linear. Mostre queas seguintes condicoes sao equivalentes sobre um subespa co S V :(i) V = Ker( T ) S ;

    (ii) T |S : S Im( T ) e um isomorsmo.

    [dica : supondo (ii), para mostrar que V = Ker( T ) + S , tome v V e olhe para o vetor(T |S ) 1 T (v) S ].

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    Aula n umero 2 (15/08)

    Nota c~ao : se V , W sao espa cos vetoriais (sobre um mesmo corpo de escalares), denotamos

    por Lin( V, W ) o espaco dos operadores lineares T : V W .Nota c~ao : se V , W sao espa cos vetoriais reais de dimensao nita (tipicamente V = IR m ,W = IR n ) e se f e uma aplicacao denida num aberto de V tomando valores em W ent ao,se f e diferenci avel num ponto x V do seu domnio, denotamos por d f (x) Lin( V, W ) odiferencial de f no ponto x. Se S V e um subespaco, denotamos por S f (x) Lin(S, W )a restri cao de df (x) ao subespa co S ( S f (x) e a diferencial de f no ponto x ao longo dosubespaco S ). Caso seja xada pelo contexto uma decomposi cao em soma direta V =

    ni =1 V i ent ao escrevemos i f (x) = V i f (x) ( i f (x) e a diferencial parcial de f no ponto

    x com respeito a i-esima vari avel ).

    (1) A forma local das imers oes .Nosso objetivo agora e generalizar os resultados da aula anterior para o caso de trans-

    forma coes nao lineares (mas diferenciaveis). Come camos com a generalizacao do teoremada aula anterior no caso de transforma coes lineares injetoras.

    Deni cao. Seja f : U IR n uma fun c ao denida num aberto U IR m . Se f e dife-renci avel num ponto x U e se a transformac ao linear df (x) : IR m IR n e injetora ent aodizemos que f e uma imers ao no ponto x. Se f e diferenci avel em U e se df (x) e injetora para todo x U ent ao dizemos simplesmente que f e uma imers ao.

    Obviamente so e possvel que f : U IR m IR n seja uma imersao num ponto x U se m n.

    Demonstramos agora a forma local das imers oes que nos diz que se f e uma funcaode classe C k que e uma imersao num ponto x0 ent ao e possvel obter um sistema decoordenadas de classe C k no contra-domnio de f em torno de f (x0) de modo que arepresentacao de f nesse sistema de coordenadas seja dada, em alguma vizinhan ca de x0 ,por x (x, 0).

    Teorema. (forma local das imers oes) Suponha que f : U IR n e uma func ao de classe C k ( 1 k ) denida num aberto U IR m e suponha que f e uma imers ao num pontox0 U . Ent ao existem abertos V IR m , W, W IR n e um difeomorsmo : W W de classe C k com x0 V U , f (V ) W e de modo que:

    ( f )(x1 , . . . , x m ) = ( x1 , . . . , x m , 0, . . . , 0

    n m zeros),

    para todo x = ( x1 , . . . , x m ) V .

    Demonstra cao. Seja S IR n um subespaco (de dimens ao n m) tal que:

    IR n = Im df (x0) S.

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    Dena uma aplicacao G : U S IR n fazendo:

    G(x, y ) = f (x) + y,

    para todos x U , y S . Obviamente G e de classe C k e a diferencial:

    dG(x0 , 0) : IR m S IR n

    e dada por:dG(x0 , 0) (h, k ) = d f (x0) h + k,

    para todos h IR m , k S . Segue facilmente do fato que d f (x0) e injetora e de IR n =Im df (x0) S que dG(x0 , 0) e um isomorsmo. Pelo teorema da fun cao inversa, G levauma vizinhanca aberta de ( x0 , 0) em U S (que podemos escolher da forma V V , comV U e V S abertos) difeomorcamente sobre uma vizinhan ca aberta W = G(V V )de G(x0 , 0) = f (x0) em IR n . Escolha agora um isomorsmo qualquer T 0 : S IR n m econsidere o isomorsmo T : IR m S IR n denido por T (x, y ) = x, T 0(y) , x IR m ,y S . Temos agora que a aplicacao : W IR n denida por = T (G|V V ) 1 e umdifeomorsmo de classe C k sobre o aberto W = T (V V ) = V T 0(V ) em IR n . Alemdo mais, se x V ent ao (x, 0) V V e:

    G(x, 0) = f (x) W = G(V V );

    nalmente, temos:

    f (x) = T (G|V V ) 1 f (x) = T (x, 0) = ( x, 0) = ( x1 , . . . , x m , 0, . . . , 0

    n m zeros

    ),

    para todo x = ( x1 , . . . , x m ) V . Isso completa a demonstra cao.Observa c~ao . Intuitivamente, se f e uma imersao ent ao a imagem de f possui a mesmadimens ao (num sentido que ser a feito preciso no futuro) que o domnio de f . A formalocal das imers oes conrma essa ideia intuitiva.

    (2) A forma local das submers oes .

    Deni cao. Seja f : U IR n uma fun c ao denida num aberto U IR m . Se f e dife-renci avel num ponto x U e se a transformac ao linear df (x) : IR m IR n e sobrejetora ent ao dizemos que f e uma submers ao no ponto x. Se f e diferenci avel em U e se df (x) e sobrejetora para todo x U ent ao dizemos simplesmente que f e uma submers ao.

    Obviamente so e possvel que f : U IR m IR n seja uma submersao num pontox U se m n.

    Demonstramos agora a forma local das submers oes que nos diz que se f e uma funcaode classe C k que e uma submers ao num ponto z0 ent ao e possvel obter um sistema decoordenadas de classe C k no domnio de f em torno de z0 de modo que a representa caode f nesse sistema de coordenadas seja dada, em alguma vizinhan ca de z0 , pela proje caoz = ( x, y ) x.

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    Teorema. (forma local das submers oes) Seja f : U IR n uma fun c ao de classe C k( 1 k ) denida num aberto U IR m e suponha que f e uma submers ao num pontoz0 U . Ent ao existem abertos V, V IR m e um difeomorsmo : V V de classe C kde modo que z0 V U e:

    f 1

    (v1 , . . . , v m ) = ( v1 , . . . , v n ), para todo v = ( v1 , . . . , v m ) V .

    Demonstra cao. Seja S IR m um subespaco (de dimens ao n) tal que:

    IR m = Ker df (z0) S.

    Dena uma aplicacao G : U IR n Ker df (z0) fazendo:

    G(x, y ) = f (x, y ), x ,

    para todos x Ker df (z0) , y S tais que ( x, y ) U Ker df (z0) S = IR m .Obviamente G e de classe C k e sua diferencial no ponto z0 = ( x0 , y0) Ker df (z0) S e dada por:

    dG(x0 , y0) (h, k ) = 1f (x0 , y0) h + 2f (x0 , y0) k, h ,

    para todos h Ker df (z0) , k S . Como 2f (x0 , y0) = d f (z0)|S : S IR n e umisomorsmo, segue facilmente que:

    dG(x0 , y0) : IR m = Ker df (z0) S IR n Ker df (z0) ,e um isomorsmo. Pelo teorema da fun cao inversa, G leva uma vizinhanca aberta V de z0 =(x0 , y0) em U difeomorcamente sobre uma vizinhan ca aberta V de G(z0) = f (z0), x0)em IR n Ker df (z0) . Escolha um isomorsmo qualquer T 0 : Ker df (z0) IR m n econsidere o isomorsmo T : IR n Ker df (z0) IR m denido por T (u, x ) = u, T 0(x) ,u IR n , x Ker df (z0) . Temos agora que V = T (V ) e um aberto de IR m e que aaplica cao : V V denida por:

    = T G|V ,

    e um difeomorsmo de classe C k . Para nalizar, seja v = ( v1 , . . . , v m ) V . Temosque T 1(v) = ( u, x ) V , onde u = ( v1 , . . . , v n ) IR n e x Ker df (z0) satisfazT 0(x) = ( vn +1 , . . . , v m ). Da:

    1(v) = ( G|V ) 1(u, x ) = ( x, y ),

    onde y S e caracterizado pelo fato que ( x, y ) V e f (x, y ) = u. A conclusao agora e

    obtida observando que:f 1 (v1 , . . . , v m ) = f 1 (v) = f (x, y ) = u = ( v1 , . . . , v n ).

    (3) O teorema do posto .O pr oximo teorema generaliza tanto a forma local das imers oes quanto a forma lo-

    cal das submersoes. Ele nos diz que uma fun cao de classe C k cuja diferencial tem postoconstante pode (em abertos sucientemente pequenos) ser representada por uma fun caoda forma ( x, y ) (x, 0) em sistemas de coordenadas de classe C k convenientemente esco-lhidos.

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    Teorema. (do posto) Seja f : U IR n uma fun c ao de classe C k ( 1 k ) denida num aberto U IR m . Suponha que o posto de df (x) e (constante e) igual a r para todo x U , para algum r = 0 , . . . , min{m, n }. Ent ao para todo z0 U existem abertos V, V IR m , W, W IR n e difeomorsmos : V V , : W W de classe C k comz0 V U , f (V ) W e:

    f 1(v1 , . . . , v m ) = ( v1 , . . . , v r , 0, . . . , 0

    n r zeros),

    para todo v = ( v1 , . . . , v m ) V .

    Demonstra cao. Seja S IR n um subespaco (de dimens ao n r ) tal que:

    IR n = Im df (z0) S. (1)

    Segue ent ao da continuidade de d f e do lema a seguir que Im df (z) + S = IR n para todoz em alguma vizinhanca aberta V 0 de z0 em U ; como Im df (z) tem dimens ao r , obtemos:

    IR n = Im df (z) S, (2)

    para todo z pertencente a V 0 . Seja : IR n Im df (z0) o operador de projecao cor-respondente `a soma direta (1). Segue de (2) e do Exerccio 1 que leva Im df (z)isomorcamente sobre Im df (z0) . Conclumos ent ao que a aplica cao:

    f |V 0 : V 0 Im df (z0)

    e uma submers ao (de classe C k ), j a que d( f |V 0 )(z) = df (z), para todo z V 0 .Observe tambem que a injetividade da restri cao de a Im df (z) implica que:

    Ker df (z) = Ker df (z) , (3)

    para todo z V 0 .Escolha um isomorsmo qualquer T : Im df (z0) IR r ; obviamente T f |V 0 e

    ainda uma submers ao. Pela forma local das submers oes, existem abertos V, V IR m e umdifeomorsmo : V V de classe C k com z0 V V 0 e:

    T f 1 (v1 , . . . , v m ) = ( v1 , . . . , v r ), (4)

    para todo v = ( v1 , . . . , v m ) V ; podemos tambem supor que V e da forma V = V 1 V 2 ,onde V 1 e um aberto de IR r e V 2 e um aberto conexo de IR m r . Diferenciando (4) numponto v = (z) V e aplicando ao i-esimo vetor ei da base can onica de IR m obtemos:

    T df (z) d(z) 1 ei = 0 , i = r + 1 , . . . , m ,

    11

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    para todo z V . Como T e um isomorsmo, usando (3) e a f ormula acima conclumosque d(z) 1 ei Ker df (z) , i = r + 1 , . . . , m e portanto:

    d f 1 (z) ei = df (z) d(z) 1 ei = 0 , i = r + 1 , . . . , m ,

    para todo z V . Segue que para todo u V 1 IR r , a funcao:

    V 2 u f 1(u, u ) IR n

    denida no aberto conexo V 2 IR m r possui diferencial identicamente nula e portanto econstante; isso signica que f 1 n ao depende das ultimas m r vari aveis, i.e., existeuma fun cao : V 1 IR n de classe C k com:

    f 1(u, u ) = (u), (5)

    para todos u V 1 , u V 2 (para denir , escolha qualquer u 0 V 2 e ponha (u) =f 1(u, u 0), u V 1). Considere as coordenadas 1 : V 1 Im df (z0) e 2 : V 1 S de com respeito a decomposi cao IR n = Im df (z0) S . A igualdade (4) nos diz que:

    T 1(u) = u, (6)

    para todo u V 1 . Denimos agora o difeomorsmo : W W de classe C k fazendoW = T 1(V 1) S Im df (z0) S = IR n , W = V 1 IR n r IR n e:

    (w, w) = T (w), T

    w

    2 T (w) , wT

    1(V 1), w

    S,

    onde T : S IR n r e um isomorsmo qualquer. Segue agora de (5) e de (6) que f (V ) W e que:

    f 1 (u, u ) = ( u, 0),

    para todos u V 1 IR r , u V 2 IR m r .

    Lema. Sejam V , W espa cos vetoriais reais de dimens ao nita e S W um subespa co.Ent ao o conjunto dos operadores lineares T : V W tais que Im( T ) + S = W e abertoem Lin(V, W ).

    Demonstra cao. Considere o espa co quociente W/S e seja q : W W/S a aplica caoquociente. E facil ver que Im( T ) + S = W se e somente se q T : V W/S e sobrejetora.Mas a aplica cao:

    Lin(V, W ) T q T Lin(V,W/S )

    e contnua (pois e linear) e o subconjunto de Lin( V,W/S ) formado pelas aplicacoes sobre- jetoras e aberto (vide Exerccio 2). A conclus ao segue.

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    Exerccios .(n ao e para entregar, mas e bom dar uma olhada e quem tiver problemas me procura).

    Algebra Linear .1. Seja V um espa co vetorial e sejam V

    1, V

    2, V

    2subespa cos de V tais que:

    V = V 1 V 2 , V = V 1 V 2 .

    Denote por : V V 2 a proje cao em V 2 relativa a decomposi cao V = V 1 V 2 e por : V V 2 a proje cao em V 2 relativa a decomposi cao V = V 1 V 2 . Mostre que:

    |V 2 : V 2 V 2 e |V 2 : V

    2 V 2

    sao isomorsmos mutuamente inversos.2. Dados espa cos vetoriais reais de dimensao nita V , W , mostre que os conjuntos:

    T Lin(V, W ) : T e injetora e T Lin(V, W ) : T e sobrejetora ,

    sao abertos em Lin( V, W )[dica : as condicoes de injetividade e sobrejetividade signicam que um determinante menorda matriz que representa T numa base xada e diferente de zero].

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    Aula n umero 3 (20/08)

    (1) A importancia das fun coes de transi cao .Esta se cao tem como objetivo dar mais motiva cao a deni cao de variedade dife-

    renci avel. Explicamos como um sistema de coordenadas num conjunto X pode ser usadopara transferir alguma estrutura existente no espa co IR n para o conjunto X ; mostramosent ao, atraves de um exemplo, que dois sistemas de coordenadas diferentes em X de-terminam a mesma estrutura em X se e somente se sua fun cao de transicao preserva acorrespondente estrutura em IR n .

    Deni cao. Seja X um conjunto e sejam : U X U IR n , : V X V IR nsistemas de coordenadas em X . A funcao de transicao de para e a fun c ao bijetora:

    1 : IR n (U V ) (U V ) IR n .

    Note que se U V = ent ao a fun cao de transicao de para e vazia.Lema. Sejam X um conjunto e : X IR n uma fun c ao bijetora. Ent ao existe uma unica estrutura de espa co vetorial real em X tal que e um isomorsmo.

    Demonstra cao. Para que seja um isomorsmo, as opera coes em X devem ser necessa-riamente denidas por:

    v + w = 1 (v) + (w) , cv = 1 c(v) ,

    para todos v, w X , c IR . E facil vericar que as operacoes acima de fato tornam X

    um espa co vetorial real e que e linear.A estrutura de espa co vetorial em X que torna a bijecao um isomorsmo e chamadaa estrutura de espa co vetorial induzida por em X .

    Lema. Sejam X um conjunto e : X IR n , : X IR n func oes bijetoras. Ent ao e induzem a mesma estrutura de espa co vetorial em X se e somente se a func ao de transi c ao 1 : IR n IR n e um isomorsmo.

    Demonstra cao. Denote por X 1 o espaco vetorial X com a estrutura induzida por e porX 2 o espaco vetorial X com a estrutura induzida por . Queremos mostrar que X 1 = X 2se e somente se 1 e um isomorsmo. Em primeiro lugar, e f acil ver que X 1 = X 2se e somente se a aplica cao identidade Id : X 1 X 2 e um isomorsmo. Agora temos umdiagrama comutativo:

    X 1Id / /

    =

    X 2

    =

    IR n

    1 / /IR n

    As echas verticais no diagrama s ao isomorsmos; logo Id e um isomorsmo se e somentese 1 o e.

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    Dois sistemas de coordenadas : X IR n e : X IR n num conjunto X taisque a fun cao de transicao 1 e um isomorsmo sao ditos linearmente compatveis .E facil ver que compatibilidade linear e uma rela cao de equivalencia no conjunto B dossistemas de coordenadas : X IR n (veja Exerccio 1). Seja A B uma classe deequivalencia correspondente ` a rela cao de equivalencia de compatibilidade linear. Ent aoexiste uma unica estrutura de espa co vetorial real em X (de dimens ao n) tal que cada Ae um isomorsmo. Reciprocamente, se e dada uma estrutura de espa co vetorial realem X de dimens ao n ent ao o conjunto de todos os isomorsmos : X IR n e uma classede equivalencia correspondente ` a rela cao de compatibilidade linear. Essas observa coes noslevam a seguinte deni cao alternativa para o conceito de espa co vetorial real (de dimensaon): um espa co vetorial real e um par (X, A), onde X e um conjunto e A Be uma classe de equivalencia correspondente ` a rela c ao de compatibilidade linear .

    Na secao seguinte, usamos as ideias explicadas acima para transferir para um conjuntoM a estrutura diferenci avel do IR n , i.e., a estrutura que nos permite estudar c alculo dife-rencial. A no cao de compatibilidade linear ser a substituda pela no cao de compatibilidadediferenci avel; de fato, as fun coes de transi cao consideradas, serao os isomorsmos do c alculodiferencial: a saber, os difeomorsmos. Um conjunto M munido de uma estrutura di-ferenciavel, transferida de IR n atraves de sistemas de coordenadas, ser a chamado umavariedade diferenciavel . Ressaltamos uma diferen ca importante entre a no cao de espa covetorial e a no cao de variedade diferenciavel; enquanto todo espa co vetorial real de di-mensao n e (globalmente) isomorfo a IR n , uma variedade diferenci avel de dimens ao n eapenas localmente difeomorfa a IR n , i.e., os sistemas de coordenadas que usamos paradenir a estrutura diferenci avel em M sao denidos apenas em subconjuntos de M .

    (2) A nocao de variedade diferenciavel .

    Nesta se cao introduzimos a nocao de variedade diferenciavel de classe C k

    (considera-mos ao longo da se cao um valor xado para k, 0 k ).

    Deni cao. Seja M um conjunto e sejam : U U IR n , : V V IR n sistemas de coordenadas em M (i.e., e s ao bijec oes, U , V s ao subconjuntos de M e U , V s aoabertos em IR n ). Dizemos que e s ao compatveis em classe C k (ou C k -compatveis ) se (U V ) e (U V ) s ao abertos em IR n e a func ao de transi c ao 1 e um difeomorsmode classe C k (por um difeomorsmo de classe C 0 entendemos um homeomorsmo).

    Convencionamos que a aplica cao vazia e um difeomorsmo de classe C k para todo k;logo e sao sempre C k -compatveis se U V = .

    Observa c~ao : se n = 0 entao quaisquer sistemas de coordenadas s ao C k

    -compatveis, paratodo k (ja que toda funcao denida ou tomando valores em IR 0 = {0} e de classe C ).Observa c~ao : a nocao de C k -compatibilidade para sistemas de coordenadas : U U e : V V faria sentido tambem na situa cao mais geral em que U e um aberto de IR m e V e um aberto de IR n (onde, a princpio, m nao precisa ser igual a n). Mas se U V = , talcompatibilidade implicaria na existencia de um difeomorsmo de classe C k de um abertonao vazio de IR m sobre um aberto de IR n , o que implicaria m = n (no caso k 1, isso seguedo fato que a diferencial de tal difeomorsmo em qualquer ponto fornece um isomorsmode IR m sobre IR n ; para o caso k = 0, veja o Exerccio 5).

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    Na secao anterior vimos que a rela cao de compatibilidade linear e uma rela cao deequivalencia; a no cao de compatibilidade em classe C k e reexiva e simetrica, mas n ao e transitiva . De fato, se : U U , : V V , : W W sao sistemas de coordenadas emM com C k -compatvel com e C k -compatvel com ent ao so podemos garantir quea funcao de transicao 1 seja de classe C k em (U V W ) (veja Exerccio 2). E bempossvel, por exemplo, que U V = , V W = (o que torna a C k -compatibilidade entre e e entre e triviais), mas que U W = e que e nao sejam C k -compatveis.Deni cao. Seja M um conjunto. Um atlas de classe C k e dimens ao n em M e umconjunto A = i : U i U i iI de sistemas de coordenadas em M , com cada U i abertoem IR n , tal que M = iI U i e tal que i e C

    k -compatvel com j para todos i, j I .

    Para o resto desta se cao, convencionamos que todos os atlas s ao de dimens ao n e que todos os sistemas de coordenadas considerados tomar ao valores em abertos de IR n .Observa c~ao : seria possvel tambem considerar uma deni cao mais geral de atlas de classeC k , onde cada i tem como contra-domnio um aberto U i de IR n i (n i 0 podendo dependerde i). Optamos por nao admitir essa possibilidade. Para uma discuss ao mais detalhada,veja o Exerccio 6.

    Deni cao. Um sistema de coordenadas em M e dito C k -compatvel com um atlas Ade classe C k em M se e C k -compatvel com cada A.

    Como vimos acima, a relacao de C k -compatibilidade n ao e uma relacao de equivalenciano conjunto dos sistemas de coordenadas em M ; temos porem o seguinte:

    Lema. Sejam M um conjunto e A = i : U i U i iI um atlas de classe C k em M . Se

    1 : V 1 V 1 , 2 : V 2 V 2 s ao sistemas de coordenadas em M , ambos C k -compatveis com A, ent ao 1 e 2 s ao C k -compatveis.Demonstra cao. Para cada i I , temos que 1 e C k -compatvel com i e i e C k -compatvel com 2 ; pelo resultado do Exerccio 2, 1(V 1 U i V 2) e aberto em IR n e2 11 e de classe C k em 1(V 1 U i V 2). Como M = iI U i , temos:

    1(V 1 V 2) =iI

    1(V 1 U i V 2),

    e logo 1(V 1 V 2) e aberto em IR n . Alem do mais, o fato que 2 11 e de classe C kem cada aberto 1(V 1 U i V 2) implica que 2 11 e de classe C k em 1(V 1 V 2).Similarmente, mostra-se que 2(V 1 V 2) e aberto em IR n e que 1 12 = 2

    11

    1

    e de classe C k

    em 2(V 1 V 2).Queremos agora denir a no cao de estrutura diferenci avel de classe C k num conjuntoM . A princpio, pareceria uma boa ideia denir que uma estrutura diferenci avel de classeC k num conjunto M e simplesmente o mesmo que um atlas de classe C k em M . Temosporem um problema. Se dois atlas A1 e A2 em M sao tais que todo A1 e C k -compatvelcom todo A2 ent ao os atlas A1 e A2 deveriam denir a mesma estrutura diferenci avelde classe C k em M . Vamos entao, dentre a classe de equivalencia de todos os atlas em M que denem a mesma estrutura diferenci avel de classe C k (veja Exerccio 3), escolher umrepresentante can onico. Temos a seguinte:

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    Deni cao. Um atlas A de classe C k num conjunto M e dito maximal se ele for umelemento maximal no conjunto de todos os atlas de classe C k em M , parcialmente ordenado por inclus ao; mais explicitamente, A e um atlas maximal de classe C k se A n ao est a propriamente contido em nenhum atlas de classe C k em M .

    Lema. Sejam M um conjunto e A um atlas de classe C k em M . Ent ao existe um unicoatlas maximal de classe C k em M contendo A.

    Demonstra cao. Seja Amax o conjunto de todos os sistemas de coordenadas em M quesao C k -compatveis com A. Obviamente A Amax e segue do lema anterior que Amax eum atlas de classe C k em M . Alem do mais, e claro que Amax e o maior atlas de classe C kem M contendo A, i.e., todo atlas de classe C k em M contendo A est a contido em Amax .E facil vericar entao que Amax e o unico atlas maximal de classe C k contendo A.

    Em vista do lema anterior (vide tambem o Exerccio 4), temos a seguinte:

    Deni cao. Uma estrutura diferenci avel de classe C k num conjunto M e um atlas maximal de classe C k em M .

    Como difeomorsmos s ao tambem homeomorsmos (i.e., aplica coes que preservam aestrutura diferenci avel de IR n tambem preservam a estrutura topol ogica de IR n ) e naturalesperar que um atlas de classe C k num conjunto M possa ser usado para denir umatopologia em M . Este e o conteudo do seguinte:

    Lema. Sejam M um conjunto e A = i : U i U i iI um atlas de classe C k em M .

    Ent ao existe um unica topologia em M tal que cada U i e aberto em M e cada i e umhomeomorsmo.

    Demonstra cao. Dena:

    (A) = V M : i (V U i ) e aberto em IR n para todo i I .

    As identidades:i (U i ) = , i (M U i ) = U i ,

    i

    V U i =

    i (V U i ), i (V 1 V 2 U i ) = i (V 1 U i ) i (V 2 U i ),

    mostram que (A) e uma topologia em M . Vamos agora mostrar que, relativamente ` a

    topologia (A), cada U i e aberto em M e cada i e um homeomorsmo. Para isso, esuciente demonstrar a seguinte arma cao: dado i I e V U i ent ao V (A) see somente se i (V ) e aberto em IR n (verique que essa armacao de fato implica napropriedade sobre (A) que desejamos mostrar!). Vamos mostrar tal arma cao. Sejamdados i I e V U i . Obviamente, se V (A) ent ao i (V ) = i (V U i ) e aberto emIR n . Reciprocamente, suponha que i (V ) e aberto em IR n . Para mostrar que V (A),devemos mostrar que, para todo j I , j (V U j ) e aberto em IR n ; mas isso segue daigualdade:

    j (V U j ) = j 1i i (V ) i (U i U j ) ,

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    e do fato que j 1i : i (U i U j ) j (U i U j ) e um homeomorsmo entre abertos deIR n .

    Fica demonstrada ent ao a existencia da topologia como no enunciado do lema (asaber: = (A)). Vamos mostrar agora sua unicidade; seja ent ao uma topologia em M relativamente ` a qual cada U i e aberto e cada i e um homeomorsmo. Vamos mostrar quenecessariamente = (A). Em primeiro lugar, se V ent ao V U i para todo i I e logo i (V U i ) e aberto em IR n . Isso mostra que V (A), i.e., (A). Suponhaagora que V (A). Ent ao i (V U i ) e aberto em IR n para todo i I e portantoV U i = 1i i (V U i ) e aberto em ( M, ) para todo i I . Mas ent ao V = iI V U ie aberto em ( M, ). Isso mostra que (A) e completa a demonstra cao.

    Deni cao. Se A = i : U i U i iI e um atlas de classe C k num conjunto M ent ao

    a unica topologia = (A) relativamente `a qual cada U i e aberto em M e cada i e umhomeomorsmo e chamada a topologia em M induzida pelo atlas A.

    Observa c~ao : se dois atlas A1

    e A2

    de classe C k em M sao tais que A1A

    2e um atlas de

    classe C k em M ent ao as topologias induzidas em M por A1 e A2 coincidem. De fato, efacil ver que ambas coincidem com a topologia induzida pelo atlas A1 A2 . Observe emparticular que a topologia induzida por um atlas A coincide com a topologia induzida peloatlas maximal que o contem.

    Recordamos que uma topologia num conjunto X e dita Hausdorff (ou T2 ) se doispontos distintos quaisquer de X pertencem a abertos disjuntos. Uma topologia satisfaz osegundo axioma da enumerabilidade se ela possui uma base enumeravel de abertos (recordeque uma base de abertos para uma topologia e uma cole cao de abertos tal que qualqueraberto e uni ao de abertos dessa colecao).

    Deni cao. Uma variedade diferenciavel de classe C k e dimensao n e um par (M, A), onde M e um conjunto, A e um atlas maximal de classe C k e dimens ao n em M e a topologia induzida por A em M e Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade.

    Quando nos referirmos `a topologia de uma variedade diferenci avel, estaremos semprenos referindo a topologia induzida pelo seu atlas. As condi coes que impusemos sobre atopologia de uma variedade diferenci avel n ao sao necessarias ao longo de toda a teoriade variedades, mas elas sao hip oteses padrao que s ao necessarias em diversos teoremascentrais da teoria. Sua motiva cao car a mais clara ao longo do curso.

    Deni cao. Se (M, A) e uma variedade diferenci avel ent ao um elemento Ae chamadouma carta (ou tambem um sistema de coordenadas ) na variedade (M, A).

    Em geral, para simplicar a nota cao, escrevemos apenas M para denotar a variedade(M, A). Nas pr oximas se coes, quando M for uma variedade diferenci avel e dissermos que : U U e um sistema de coordenadas em M , signicaremos que e um elemento doatlas maximal A e nao apenas que e uma bijecao arbitraria denida num subconjuntoarbitrario U M .Observa c~ao : dado um conjunto M ent ao existe um unico atlas maximal A em M dedimens ao zero. Ele e constitudo pelo sistema de coordenadas com domnio vazio e pelos

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    sistemas de coordenadas x : {x} IR 0 = {0}, onde x percorre M . A topologia induzidapor esse atlas e a topologia discreta. Tal topologia e sempre Hausdorff; ela satisfaz osegundo axioma da enumerabilidade se e somente se M e enumeravel. Temos entao queuma variedade diferenci avel de dimens ao zero e unicamente determinada por um espa cotopol ogico discreto enumeravel.Observa c~ao : se M = e se A e o atlas formado apenas pelo sistema de coordenadas comdomnio vazio ent ao (M, A) e uma variedade diferenci avel de dimens ao n e de classe C kpara todo n e todo k. A menos desse caso trivial, uma variedade diferenci avel (M, A)possui uma dimensao bem denida.Observa c~ao : uma variedade diferenciavel de classe C 0 e tambem chamada de variedade topol ogica (na verdade, nao se usa o termo variedade diferenci avel nesse caso). Umavariedade topologica e muitas vezes denida como sendo um espa co topol ogico M , comtopologia Hausdorff e satisfazendo o segundo axioma da enumerabilidade, e tal que todoponto de M possui uma vizinhanca aberta homeomorfa a um aberto de IR n . Nesse caso,o conjunto A de todos os homeomorsmos : U U , com U aberto em M e U abertoem IR n e um atlas maximal de classe C 0 em M que induz a topologia original de M (vejaExerccio 7).

    (3) Alguns exemplos simples .Exemplo : A aplica cao identidade Id : IR n IR n e um sistema de coordenadas em M = IR ne o conjunto unitario A = {Id} e um atlas de classe C k em M . E facil ver que o atlasmaximal Amax que contem A consiste de todos os difeomorsmos : U U de classeC k , com U , U abertos em IR n . Como Id e um homeomorsmo com domnio aberto(relativamente ` a topologia usual de IR n ), vemos que a topologia induzida por A em IR n ede fato a topologia usual. Em geral pensaremos sempre no espa co IR n como uma variedade

    diferenci avel de dimens ao n, munida do atlas Amax .Exemplo : Se (M, A) e uma variedade diferenci avel de classe C k e se Z e um aberto de M ent ao o conjunto A de todos os elementos de A com domnio contido em Z e um atlasmaximal de classe C k em Z (para vericar que os domnios dos elementos A cobremZ voce deve usar o resultado do Exerccio 1 da aula n umero 4). A topologia induzida porA em Z coincide com a topologia induzida de M . A estrutura diferenci avel A em Z echamada a estrutura diferenci avel induzida por ( M, A) em Z . Em geral, sempre considera-remos um aberto de uma variedade diferenci avel como sendo uma variedade diferenci avel,munida da estrutura diferenci avel induzida. Observe que em particular abertos de IR n saovariedades diferenciaveis de dimens ao n.

    Observa c~ao : Seja (M, A) uma variedade diferenci avel de classe C k

    e sejam Z 1 , Z 2 M abertos com Z 1 Z 2 . Ent ao (M, A) induz uma estrutura diferenci avel A1 em Z 1 e umaestrututa diferenci avel A 2 em Z 2 . Note agora que Z 1 tambem e um aberto na variedade(Z 2 , A2) e portanto ( Z 2 , A 2) induz uma estrututa diferenci avel em Z 1 . E facil ver que essaestrutura diferenci avel coincide com A 1 .Exemplo : Se (M, A) e uma variedade diferenci avel de classe C k e se 0 k k ent ao Ae um atlas de classe C k

    e portanto esta contido num unico atlas maximal A de classeC k

    . Tanto A como A induzem a mesma topologia em M . Logo (M, A ) e uma variedadediferenci avel de classe C k

    .

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    Exemplo : Seja S n IR n +1 a esfera unit aria n-dimensional , i.e., o conjunto dos vetores x emIR n +1 com norma Euclideana unit aria. Denotemos por , o produto interno Euclideanode IR n +1 . Dado u S n ent ao a proje c ao estereogr aca de vertice u e a bije cao:

    pu : S n \ { u} u = v IR n +1 : v, u = 0 ,

    que a cada x S n , x = u, associa a unica intersecao do raio u + t(x u) : t 0 com ohiperplano u. Explicitamente:

    pu (x) = u x u

    x, u 1, x S n \ { u}.

    A inversa da aplicacao pu e dada por:

    p 1u (v) = u + 2v u

    v u2 , vu

    ,

    onde denota a norma Euclideana em IR n +1 . Escolhendo um isomorsmo qualquerT u : u IR n ent ao u = T u pu : S n \ { u} IR n e um sistema de coordenadas em S n .Dados u1 , u2 S n , e facil escrever uma f ormula para a fun cao de transicao de u 1 parau 2 , que mostra que tal fun cao e de classe C . Logo o conjunto A = u : u S n e umatlas de classe C e dimens ao n em S n . Se consideramos em S n a topologia induzida deIR n +1 ent ao as aplica coes u sao homeomorsmos denidos em abertos; logo a topologiainduzida por A em S n coincide com a topologia induzida de IR n +1 .

    Mais adiante, quando estudarmos a no cao de subvariedade, descreveremos a estruturade variedade da esfera de maneira mais natural.Exemplo : Seja V um espa co vetorial real de dimensao n. Ent ao o conjunto A de todosos isomorsmos : V IR n e um atlas de classe C em V . Logo V , munido do atlasmaximal que contem A, e uma variedade diferenci avel de classe C . A topologia induzidapor A em V e a topologia usual (denida por qualquer norma). Espa cos vetoriais reaisde dimens ao nita ser ao sempre considerados como variedades diferenci aveis, munidos doatlas maximal que contem os sistemas de coordenadas lineares (veja o Exerccio 8 parauma generalizacao deste exemplo para espa cos ans).Exemplo patol ogico : Sabe-se que a esfera S n , n 1, tem a mesma cardinalidade queo conjunto IR dos numeros reais, i.e., existe uma bije cao : S n IR . Se A e o unicoatlas maximal de classe C k que contem ent ao (S n , A) e uma variedade diferenci avelde classe C k e dimens ao 1. Tal bije cao nao e um homeomorsmo, se consideramos S ncom a topologia induzida de IR n +1 . Segue ent ao que a topologia da variedade ( S n , A)nao coincide com a topologia usual da esfera. Em geral, quando considerarmos a esfera S ncomo uma variedade, estaremos pensando no atlas que contem as proje coes estereogr acas.

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    Exerccios .(n ao e para entregar, mas e bom dar uma olhada e quem tiver problemas me procura).

    Algebra Linear .1. Seja X um conjunto e seja B o conjunto das bijecoes : X IR n . Mostre que a

    rela cao de compatibilidade linear e uma rela cao de equivalencia em B, ou seja, mostreque a rela cao em B denida por:

    1 e um isomorsmo de IR n ,

    e uma relacao de equivalencia.

    Func~oes de Transi c~ao e Atlas .2. Seja M um conjunto e sejam : U U , : V V , : W W sistemas de

    coordenadas em M , com U , V , W abertos em IR n . Suponha que seja C k -compatvel

    com e que seja C k

    -compatvel com . Mostre que (U V W ) e (U V W )sao abertos em IR n e que a restri cao de 1 a (U V W ) e um difeomorsmode classe C k sobre (U V W ).

    [dica : observe que (U V W ) e a imagem inversa de (V W ) pela aplica cao 1e que a restri cao de 1 a (U V W ) e a composta de 1 com 1].

    3. Seja M um conjunto e sejam A1 , A2 atlas de classe C k em M . Mostre que A1 A2 eum atlas de classe C k em M se e somente se todo A1 e C k -compatvel com todo A2 . Mostre tambem que a rela cao denida por:

    A1 A2 A 1 A2 e um atlas de classe C k em M

    e uma relacao de equivalencia no conjunto de todos os atlas de classe C k em M .4. Sejam A1 , A2 atlas de classe C k num conjunto M . Mostre que A1 A2 e um atlas

    de classe C k em M se e somente se A1 e A2 est ao contidos no mesmo atlas maximalde classe C k em M .

    5. O Teorema da Invari ancia do Domnio , diz o seguinte: se f : U IR n e uma funcaocontnua injetora, com U IR n aberto, entao f (U ) e aberto em IR n e f : U f (U ) e um homeomorsmo (veja, por exemplo, J. R. Munkres, Elements of Algebraic Topology , Theorem 36.5). Esse e um teorema n ao trivial, usualmente provado comtecnicas de topologia algebrica. Assumindo esse teorema, mostre que se um abertonao vazio de IR m e homeomorfo a um aberto de IR n ent ao m = n.

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    6. Poderamos ter desenvolvido a teoria desta se cao admitindo atlas onde os contra-domnios dos sistemas de coordenadas podem ser abertos em espa cos de dimens oesdiferentes. Mostre que se A e um atlas de classe C k num conjunto M e que sea topologia induzida por A torna M conexo ent ao os contra-domnios de todos ossistemas de coordenadas A sao abertos do mesmo espaco IR n .

    [dica : mostre que, dado x M , ent ao existe n = n(x) 0 tal que todos os sistemas decoordenadas : U U pertencentes a A com x U , sao tais que U e um aberto deIR n (x ) . Mostre que a fun cao n : M IN e contnua, onde M tem a topologia induzidapelo atlas A e IN tem a topologia discreta].

    7. Se A e um atlas de classe C 0 e dimens ao n num conjunto M ent ao, relativamentea topologia induzida por A em M , todo ponto de M possui uma vizinhanca abertahomeomorfa a um aberto de IR n . Mostre que, dada uma topologia em M tal quetodo ponto de M possui uma vizinhanca aberta homeomorfa a um aberto de IR nent ao existe um unico atlas maximal A de classe C 0 e dimens ao n em M que induz atopologia .

    [dica : mostre que A e necessariamente o conjunto de todos os homeomorsmos : U U ,com U aberto em M e U aberto em IR n ].

    8. Seja (P,V, ) um espa co am (veja Exercio 2 da aula n umero 1), com V um espa covetorial real de dimensao n. Para cada ponto O P e cada isomorsmo T : V IR n ,dena um sistema de coordenadas O ,T : P IR n em P fazendo O ,T ( p) = T (v),onde v V e o unico vetor tal que p = O + v. Mostre que o conjunto:

    A = O ,T : O P, T : V IR n isomorsmo

    e um atlas de classe C

    em P .

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    Aula n umero 4 (22/08)

    (1) Funcoes diferenciaveis em variedades .

    Vamos agora transferir algumas no coes basicas do c alculo no IRn

    para o contexto devariedades diferenciaveis.

    Deni cao. Sejam M , N variedades diferenciaveis de classe C k ( 0 k ). Uma aplica c ao f : M N e dita de classe C r ( 0 r k) se para todo x M existemcartas : U U em M e : V V em N com x U , f (U ) V e tal que a fun c aof = f 1 : U V que representa f com respeito as cartas e seja de classe C r(veja tambem a deni c ao dada no nal da se c ao 1 da aula n umero 1).

    Usando o fato que as cartas de uma variedade s ao homeomorsmos denidos emabertos, e facil mostrar que toda fun cao f : M N de classe C r e contnua (com respeito

    as topologias induzidas pelos atlas de M e de N ). Quando r = 0, a condi cao de ser de classeC r (no sentido da denicao acima) e de fato equivalente ` a continuidade (veja Exerccio 2).A restri cao de uma carta a um subconjunto aberto do seu domnio e novamente uma

    carta (veja Exerccio 1). Logo, se f : M N e contnua ent ao, para todo x M , podemosencontrar cartas : U U em M e : V V em N tais que x U e f (U ) V (bastaescolher cartas , com x U , f (x) V e trocar pela restricao de ao abertoU f 1(V )). Se f nao e contnua, pode ocorrer que n ao seja possvel encontrar cartas : U U em M , : V V em N com x U e f (U ) V ; mas, como observamos acima,se f nao e contnua ent ao f certamente nao e de classe C r . Em alguns textos, a nocao defuncao de classe C r e denida apenas na classe das fun coes que ja sao contnuas a priori ;

    teoricamente, isso da na mesma, ja que toda funcao de classe C r e contnua. A vantagemde nao supor a priori que f seja contnua na deni cao de fun cao de classe C r e que, emexemplos concretos, nao precisamos vericar a continuidade de f antes de vericar que f e de classe C r usando as cartas.

    Mostramos agora que o conceito de ser de classe C r nao depende das cartas esco-lhidas, i.e., se f e de classe C r no sentido da denicao acima entao as representacoes de f em cartas arbitrarias sao de classe C r .

    Lema. Sejam M , N variedades diferenciaveis de classe C k e seja f : M N uma fun c aode classe C r ( 0 r k). Ent ao, dadas cartas arbitr arias : U U em M e : V V em N com f (U ) V , temos que a fun c ao f = f 1 que representa f com respeitoas cartas e e de classe C r .

    Demonstra cao. Basta mostrar que f e localmente de classe C r . Seja ent ao dado x U e mostremos que f e de classe C r numa vizinhanca de x. Dena x = 1(x); comof e de classe C r , por deni cao, existem cartas 1 : U 1 U 1 em M e 1 : V 1 V 1em N com x U 1 , f (U 1) V 1 e tais que f 1 = 1 f 11 e de classe C r . Seja : (U U 1) 1(U U 1) a funcao de transicao de para 1 e : (V V 1) 1(V V 1)a funcao de transicao de para 1 . Sabemos que e sao difeomorsmos de classe C k (eportanto de classe C r ) entre abertos do espa co Euclideano. Para concluir a demonstra cao,

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    simplesmente observe que a fun cao f coincide com a composta 1 f 1 na vizinhancaaberta (U U 1) de x.

    A demonstracao do Lema acima esclarece porque s o denimos fun coes de classe C rem variedades de classe C k para r k.

    Teorema. A composta de fun c oes de classe C r e de classe C r , i.e., se M , N , P s aovariedades de classe C k e se f : M N , g : N P s ao func oes de classe C r ( 0 r k)ent ao g f : M P e de classe C r .

    Demonstra cao. Seja dado x M . Devemos produzir uma carta em M , cujo domniocontem x, e uma carta em P , cujo domnio contem g f (x) , de modo que a representa caolocal de g f nessas cartas seja de classe C r . Como g e de classe C r , existem cartas : V V em N e : W W em P com f (x) V , g(V ) W e g = g 1 declasse C r . Escolha uma carta : U U arbitraria em M com x U ; como f e contnua,podemos, se necess ario, trocar por uma restricao de de modo que x U e f (U ) V (usamos aqui os resultados dos Exerccios 1 e 2). A representa cao f = f 1 de f nas cartas e e de classe C r (pelo Lema anterior!). A conclus ao segue observando que(g f )(U ) W e que a representacao de g f nas cartas e coincide com a compostag f .

    Algumas propriedades bem simples das fun coes de classe C r (que em geral ser aousadas sem maiores coment arios) est ao listadas no Exerccio 3.Observa c~ao : se Z e um aberto de IR n ent ao Z e uma variedade diferenci avel de dimens aon e a aplica cao identidade Id : Z Z e uma carta em Z . Segue da que, dada umavariedade M de classe C k ent ao uma fun cao f : M Z e de classe C r (0 r k) se esomente se para todo x M existe uma carta : U U em M tal que f 1 : U Z

    e de classe C r

    . Similarmente, uma fun cao f : Z M e de classe C r

    se e somente se paratodo x Z existe uma vizinhanca aberta U de x em Z e uma carta : V V em M comf (U ) V e f |U : U V de classe C r . Observamos tambem que a no cao de ser declasse C r em abertos do espaco Euclideano (no sentido usual do c alculo no IR n ) coincidecom a nocao de ser de classe C r nesses abertos, vistos como variedades diferenci aveis.

    Deni cao. Sejam M , N variedades de classe C k . Uma func ao f : M N e dita umdifeomorsmo de classe C r ( 0 r k) se f e uma bijec ao de classe C r cuja inversa f 1 : N M e de classe C r . Dizemos que f e um difeomorsmo local de classe C rse todo x M possui uma vizinhanca aberta U M tal que f (U ) e aberto em N e f |U : U f (U ) e um difeomorsmo de classe C r .

    Obviamente todo difeomorsmo (local) de classe C r e um homeomorsmo (local); emparticular, todo difeomorsmo local de classe C r e uma aplica c ao aberta , i.e., leva abertosdo domnio em abertos do contra-domnio. Observe que para r = 0 um difeomorsmo(local) e o mesmo que um homeomorsmo (local).Observa c~ao : segue do item (d) do Exerccio 3 que um difeomorsmo local f : M N declasse C r e um difeomorsmo de classe C r se e somente se for bijetor.

    Mostremos agora que as cartas de uma variedade M sao nada mais que difeomorsmosentre abertos de M e abertos do espaco Euclideano.

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    Lema. Seja M uma variedade diferenciavel de classe C k e de dimens ao n. Dado umsubconjunto U M e um aberto U IR n ent ao uma bije c ao : U U e uma carta de M (i.e., um elemento do atlas maximal que dene a estrutura diferenci avel de M ) se e somente se U e um aberto de M e e um difeomorsmo de classe C k .

    Demonstra cao. Suponha que e uma carta de M . J a sabemos entao que U e aberto eque e bijetora. Podemos agora considerar as representa coes de e de 1 com respeitoas cartas na variedade U e Id na variedade U ; ambas essas representa coes sao iguaisa fun cao identidade de U , que e de classe C k . Logo e um difeomorsmo de classe C k .Reciprocamente, suponha que U e aberto em M e que e um difeomorsmo de classeC k . Para mostrar que e um elemento do atlas maximal A de M , basta mostrar que e C k -compatvel com todo elemento : V V de A. Como e sao homeomorsmosentre abertos, segue que (U V ) e (U V ) sao abertos em IR n . A funcao de transicao 1 e de classe C k pois ela e a representa cao da fun cao 1 : U U de classe C k comrespeito as cartas Id : (U V ) (U V ) e |U V : U V (U V ). Similarmente, a

    funcao de transicao 1

    e de classe C k

    pois ela e a representa cao da fun cao : U U de classe C k com respeito as cartas |U V : U V (U V ) e Id : U U . Logo 1e um difeomorsmo de classe C k entre abertos e portanto e sao C k -compatveis.Observa c~ao : note que ate agora nunca usamos que a topologia das nossas variedades eHausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. De fato, todas as deni coesdadas ate agora fazem sentido (e todos os resultados provados s ao validos) para con- juntos arbitr arios munidos de uma estrutura diferenci avel (i.e., um atlas maximal), semhip otese alguma sobre a topologia induzida por esse atlas. No resto desta se cao usaremosos conceitos denidos e os resultados obtidos ate agora na classe dos conjuntos munidosde estruturas diferenci aveis.

    Corolario. Sejam A1 e A2 estruturas diferenci aveis de classe C k num conjunto M . Ent aoA1 = A2 se e somente se a aplica c ao identidade Id : (M, A1) (M, A2) e um difeomor-smo de classe C k .

    Demonstra cao. Se A1 = A2 ent ao Id e um difeomorsmo de classe C k (veja o item (b)do Exerccio 3). Reciprocamente, suponha que Id e um difeomorsmo de classe C k . SejaU um aberto de M (note que Id e um homeomorsmo e portanto A1 e A2 induzem amesma topologia em M ). Seja A1 |U (resp., A2 |U ) a estrutura diferenci avel induzida porA1 (resp., A2) em U . Da Id : ( U, A1 |U ) (U, A2 |U ) e um difeomorsmo de classe C k .Seja U IR n um aberto e seja : U U uma bije cao. Temos um diagrama comutativo:

    (U, A1 |U ) Id / /

    1

    # # H H H H

    H H H H

    H H(U, A2 |U )

    2

    { { v v v v v

    v v v v

    v

    U

    Temos que a echa numero 1 no diagrama e um difeomorsmo de classe C k se e somentese a echa numero 2 o for. Segue do Lema que pertence a A1 se e somente se pertencea A2 .

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    O Corol ario anterior e util quando queremos demonstrar resultados sobre unicidadede estruturas diferenci aveis satisfazendo certas condi coes.

    Como foi explicado na aula numero 3 (nal da se cao 1), sistemas de coordenadasnum conjunto M podem ser usados para transferir a estrutura diferenci avel do IR npara M . Dada uma cole cao de bije coes i : U i N i iI , denidas em subconjuntosU i M e tomando valores em variedades N i ent ao seria natural que pudessemos usartais bije coes para transferir a estrutura diferenci avel das variedades N i para M ; desde que a colecao {i }iI satiszesse condi coes similares as satisfeitas por um atlas, i.e., M deve ser a uni ao dos domnios U i e duas bije coes i e j deveriam ser compatveis numsentido apropriado. Essa e a motiva cao para o Lema que provaremos a seguir. Observeque um caso particular interessante da situa cao que descrevemos e aquele em que cada N ie um aberto de um espa co vetorial real de dimensao nita V i . E claro que neste caso, umabijecao i : U i N i est a muito perto de ser um sistema de coordenadas; basta escolherum isomorsmo T i : V i IR n e considerar a composta T i i . Ocorre que em algunsexemplos (por exemplo na constru cao da estrutura diferenci avel do Grassmanniano, quesera feita na aula seguinte) esse isomorsmo n ao e can onico e a exposicao ca mais elegantese ele nao tiver que ser explicitado na constru cao da estrutura diferenci avel de M . Umaoutra aplicacao do Lema abaixo aparecer a quando estudarmos brados vetoriais.

    Lema. Seja M um conjunto e seja B = i : U i N i iI uma cole c ao de bije c oes,onde cada U i e um subconjunto de M e N i e munido de uma estrutura diferenci avel A i = i : V i V i IR n i de classe C

    k . Suponha que M = iI U i , que para todos i, j I os conjuntos i (U i U j ) N i e j (U i U j ) N j sejam abertos (possivelmente vazios) e que a func ao j 1i : i (U i U j ) j (U i U j ) seja umdifeomorsmo de classe C k . Ent ao existe uma unica estrutura diferenci avel A em M de classe C k tal que cada U i e aberto em M e cada i e um difeomorsmo de classe C k .

    Demonstra cao. Mostremos primeiramente a unicidade. Sejam ent ao A, A duas estru-turas diferenciaveis de classe C k em M que tornam cada U i aberto e cada i um difeo-morsmo de classe C k . Seja A| U i (resp., A |U i ) a estrutura diferenci avel induzida por A(resp., por A ) em U i . Temos um diagrama comutativo:

    (U i , A| U i )Id / /

    i

    $ $ I I I

    I I I I

    I I(U i , A |U i )

    i

    z z u u u u

    u u u u

    u u

    N i

    onde ambas as echas i sao difeomorsmos de classe C k ; isso mostra que a aplicacaoidentidade Id : ( M, A) (M, A ) restrita ao aberto U i e um difeomorsmo de classe C k .Como M = iI U i , segue que Id e um difeomorsmo de classe C

    k e logo A = A .Vamos agora mostrar a existencia de A. Dena:

    A0 = i = i i | 1i (V i ) : 1i (V i ) V i i ,iI

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    Mostraremos a seguir que A0 e um atlas de classe C k em M . Vamos assumir esse fato poralguns instantes. Se A e o atlas maximal de classe C k que contem A0 ent ao armamosque cada U i e aberto em M na topologia denida por A e cada i e um difeomorsmode classe C k com respeito a estrutura diferenci avel denida por A. A igualdade U i =

    i 1i (V i ) mostra que U i e aberto em M . Alem do mais, para cada i , as

    aplica coes i : 1i (V i ) V i e i : V i V i sao difeomorsmos de classe C k , poisa primeira pertence ao atlas A de M e a segunda pertence ao atlas A i de N i . Segue que 1i i = i | 1i (V i ) :

    1i (V i ) V i e um difeomorsmo de classe C k para todo

    i . Como U i = i 1i (V i ) e N i = i V i , conclumos que i : U i N i e um

    difeomorsmo de classe C k .Para completar a demonstra cao, devemos mostrar que A0 e um atlas de classe C k em

    M . Em primeiro lugar, temos:

    M =iI

    U i =i I

    i

    1i (V i ).

    Sejam dados i, j I , i , j . Vamos mostrar que a funcao de transicao de ipara j e uma funcao de classe C k denida num aberto de IR n . Isso mostrar a tambem(trocando os papes de i e j ) que a fun cao de transicao de j para i e uma funcaode classe C k denida num aberto de IR n . Logo cara estabelecido que i e j saoC k -compatveis e que A0 e um atlas de classe C k em M .

    Temos que a funcao de transicao de i para j e dada por:

    j 1i = j j 1i

    1i ;

    seu domnio e:

    i 1i (V i ) 1j (V j ) = i V i j

    1i

    1(V j ) .

    A conclusao segue observando que i Ai e j Aj sao difeomorsmos de classe C kentre abertos e que, por hip otese, tambem j 1i e um difeomorsmo de classe C k entreabertos.

    Corolario. Seja M um conjunto e seja B = i : U i U i iI uma cole c ao de bije c oes,onde cada U i e um subconjunto de M e U i e um aberto de um espa co vetorial real V ide dimens ao nita n . Suponha que M = iI U i , que para todos i, j I os conjuntos i (U i U j ) V i e j (U i U j ) V j sejam abertos (possivelmente vazios) e que a fun c aoj 1i : i (U i U j ) j (U i U j ) seja um difeomorsmo de classe C k . Ent ao existe uma unica estrutura diferenci avel A em M de classe C k tal que cada U i e aberto em M e cada i e um difeomorsmo de classe C k .

    Demonstra cao. Aplique o Lema para as variedades diferenci aveis N i = U i .Note que tanto no Lema como no Corol ario acima, nao podemos concluir que a topo-

    logia induzida pelo atlas A em M seja Hausdorff ou que ela satisfaca o segundo axioma daenumerabilidade (mesmo que a topologia de cada N i satisfa ca essas condi coes).

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    Corolario. Sejam M , N conjuntos, : M N uma bije c ao e A um atlas maximal de classe C k em N . Ent ao existe um unico atlas maximal A de classe C k em M tal que : (M, A) (N, A ) seja um difeomorsmo de classe C k .

    Demonstra cao. Aplique o Lema para a colecao unit aria : U N , onde U = M .

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    Exerccios .(n ao e para entregar, mas e bom dar uma olhada e quem tiver problemas me procura).

    Cartas e Atlas .1. Seja A um atlas maximal de classe C k num conjunto M e seja : U U IR n um

    elemento de A. Mostre que se V e um aberto de IR n contido em U e se V = 1(V )ent ao a restri cao |V : V V tambem pertence a A.

    [dica : voce deve mostrar que |V e C k -compatvel com A].

    Func~oes Diferenci aveis .2. Sejam M , N variedades de classe C k . Mostre que toda funcao f : M N de classe

    C r (0 r k) e contnua. Mostre tambem que toda fun cao contnua f : M N e de classe C 0 (onde ser de classe C 0 deve ser entendido no sentido da primeiradeni cao da se cao 1, i.e., f e de classe C 0 se f admite representa coes contnuas emsistemas de coordenadas em torno de cada ponto de seu domnio).

    3. Sejam M , N variedades diferenciaveis de classe C k e f : M N uma fun cao. Mostreque:(a) se N 1 e aberto em N e f (M ) N 1 ent ao f : M N e de classe C r se e somente

    se f : M N 1 e de classe C r ;(b) a aplicacao identidade Id : M M e de classe C k ; mais geralmente, se M 1 e um

    aberto de M ent ao a aplica cao inclus ao M 1 M e de classe C k ;(c) se f : M N e de classe C r ent ao, para todo aberto M 1 M , a restri cao

    f |M 1 : M 1 N e de classe C r ;(d) se todo x M possui uma vizinhanca aberta M x M tal que f |M x : M x N e

    de classe C r ent ao f e de classe C r .4. Sejam M , N variedades diferenciaveis de classe C k . Mostre que se existe um difeo-

    morsmo local f : M N de classe C r ent ao dim( M ) = dim( N ).[dica : para o caso r = 0 veja o Exerccio 5 da aula n umero 3].

    5. Seja M uma variedade diferenci avel compacta nao vazia de dimens ao n. Mostre quenao existe um difeomorsmo local f : M IR n .

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    Aula n umero 5 (27/08)

    (1) Um exemplo: o Grassmanniano .Dados inteiros n e r com n 0 e 0 r n, denotamos por Gr (n) o conjunto de

    todos os subespacos vetoriais r -dimensionais de IR n . O conjunto Gr (n) e conhecido comoo Grassmanniano real de subespa cos r -dimensionais de IR n . Nesta secao vamos, a ttulode exemplo, construir uma estrutura de variedade diferenci avel em Gr (n). Esse e um bomexemplo de variedade diferenciavel que n ao aparece de maneira natural como subconjuntode um espa co Euclideano IR N .

    Seja IR n = W 0 W 1 uma decomposicao em soma direta de IR n , com dim( W 0) = r(e portanto dim( W 1) = n r ). Se T : W 0 W 1 e um operador linear ent ao seu gr acoidentica-se com um subespa co de IR n , a saber:

    Gr( T ) = v + T v : v W 0 .

    A aplica cao v v + T v fornece um isomorsmo de W 0 sobre Gr( T ) e portanto Gr( T ) temdimens ao r . Observe que Gr( T ) W 1 = {0} (na verdade, IR n = Gr( T ) W 1). Alem domais, se V IR n e um subespaco r -dimensional com V W 1 = {0} (ou seja, IR n = V W 1)ent ao V = Gr( T ) para uma unica aplica cao linear T : W 0 W 1 ; a saber:

    T = ( 1 |V ) (0 |V ) 1 ,

    onde 0 : IR n W 0 , 1 : IR n W 1 denotam as projecoes relativas a soma direta W 0W 1(segue do resultado do Exerccio 1 que a restri cao de 0 a V e de fato um isomorsmo

    sobre W 0). Para determinar T na pr atica, pegamos um ponto generico z V e escrevemosz = x + y, com x W 0 , y W 1 , de modo que x = 0(z), y = 1(z). Obtemos entaofuncoes x = x(z) e y = y(z). A aplica cao T e a aplicacao y = y(x). Devemos ent ao invertera rela cao x = x(z) obtendo z = z(x) e substituir em y = y(z), obtendo y em funcao de x.O diagrama comutativo abaixo ilustra a situa cao:

    y W 1 V =Gr( T )z 1 | V

    o o

    0 | V =

    W 0 x

    T

    f f M M M M M M M M M M M M M

    A discuss ao acima nos diz que a aplicacao:

    Lin(W 0 , W 1) T Gr( T ) Gr (n; W 1)

    e uma bijecao, onde Gr (n ; W 1) denota o subconjunto de Gr (n) denido por:

    Gr (n ; W 1) = V Gr (n) : IR n = V W 1 = V Gr (n) : V W 1 = {0} .

    30

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    Denotamos por W 0 ,W 1 a inversa da bijecao T Gr( T ); obtemos entao uma aplicacaobijetora:

    W 0 ,W 1 : Gr (n; W 1) Lin(W 0 , W 1).

    A aplica cao W 0 ,W 1 nao e exatamente um sistema de coordenadas em Gr (n), pois seu

    contra-domnio e um espa co vetorial real de dimensao nita que e isomorfo, mas n ao igual,ao espa co Euclideano IR r (n r ) . A composicao de W 0 ,W 1 com um isomorsmo qualquerentre Lin( W 0 , W 1) e IR r (n r ) nos forneceria um sistema de coordenadas em Gr (n); no en-tanto, tal isomorsmo n ao e canonico e a exposicao ca mais elegante se n ao explicitarmostal isomorsmo. De fato, toda a teoria desenvolvida nas aulas anteriores funcionaria da mesma forma, se tivessemos denido que um sistema de coordenadas num conjunto M e uma bije c ao entre um subconjunto de M e um subconjunto aberto de um espa co vetorial real de dimens ao nita arbitr ario . Trabalharemos ent ao como se W 0 ,W 1 fosse um sistemade coordenadas em Gr (n) (veja tambem a discuss ao que precede o ultimo Lema da aulanumero 4 e o seu primeiro Corolario).

    Como todo subespaco de IRn

    possui um subespaco complementar, e f acil ver que osdomnios dos sistemas de coordenadas W 0 ,W 1 cobrem Gr (n). Vamos entao estudar a com-patibilidade entre os sistemas de coordenadas W 0 ,W 1 . Sejam dadas duas decomposi coesem soma direta IR n = W 0 W 1 , IR n = W 0 W 1 de IR n , com dim( W 0) = dim( W 0) = r evamos calcular a funcao de transicao de W 0 ,W 1 para W 0 ,W 1 . Observe que os sistemas decoordenadas W 0 ,W 1 e W 0 ,W 1 tem o mesmo domnio e portanto a fun cao de transicao emquest ao ser a uma bije cao de Lin(W 0 , W 1) sobre Lin( W 0 , W 1) (em particular, seu domnioe contra-domnio s ao de fato abertos).

    Seja T Lin(W 0 , W 1). Queremos determinar W 0 ,W 1 Gr( T ) , i.e., queremos escreverGr( T ) como o graco de uma aplicacao linear T : W 0 W 1 . Considere ent ao um ponto

    generico z = v + T v de Gr( T ), onde v W 0 . Denote por 0 : IR

    n

    W 0 ,

    1 : IR

    n

    W 1 asproje coes correspondentes `a decomposi cao W 0 W 1 . Escreva x = 0(z) e y = 1(z); day = T (x). Temos x = 0(v) + 0(T v) = 0(v) e y = 1(v) + 1(T v) = 1(v) + T v. Peloresultado do Exerccio 1, a restri cao de 0 a W 0 e um isomorsmo sobre W 0 e portantopodemos resolver a relacao x = 0(v) para v obtendo v = ( 0 |W 0 ) 1(x). Substituindo emy = 1(v) + T v obtemos a expressao desejada para T . Em resumo:

    W 0 ,W 1 1W 0 ,W 1 : Lin(W 0 , W 1) T T =

    1 |W 0 + T 0 |W 0

    1Lin(W 0 , W 1).

    A formula acima mostra que a aplica cao W 0 ,W 1 1W 0 ,W 1 e de classe C

    ; sua inversa (que

    e dada por uma formula similar, trocando os papeis de W 0 e W 0) tambem e de classe C

    .Logo os sistemas de coordenadas W 0 ,W 1 e W 0 ,W 1 sao C

    -compatveis.Consideramos agora decomposi coes em soma direta IR n = W 0 W 1 = W 0 W 1

    com dim( W 0) = r e vamos calcular a funcao de transicao de W 0 ,W 1 para W 0 ,W 1 . Noteque os sistemas de coordenadas W 0 ,W 1 e W 0 ,W 1 nao tem o mesmo domnio e portantoprecisamos determinar tambem o domnio da correspondente fun cao de transicao; maisexplicitamente, devemos determinar quais s ao as aplica coes T Lin(W 0 , W 1) tais queGr( T ) = 1W 0 ,W 1 (T ) pertence a Gr (n ; W

    1), i.e., tais que IR n = Gr( T ) W 1 . Denote por

    0 : IR n W 0 , 1 : IR n W 1 as proje coes correspondentes `a soma direta W 0 W 1 . Pelo

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    resultado do Exerccio 1, temos IR n = Gr( T ) W 1 se e somente se a restricao de 0 aGr( T ) e um isomorsmo sobre W 0 ; como W 0 v v + T v Gr( T ) e um isomorsmo,temos:

    IR n = Gr( T ) W 1 a aplica cao W 0 v 0(v + T v) e inversvel .

    Seja z = v + T v um ponto generico de Gr( T ), onde v W 0 ; escrevemos x = 0(z)e y = 1(z). Da x = 0(v + T v) = v + 0(T v) e y = 1(v + T v) = 1(T v). Comovimos acima, a condicao Gr( T ) Gr (n ; W 1) e equivalente `a inversibilidade da aplica caoW 0 v x W 0 ; logo:

    T W 0 ,W 1 Gr (n ; W 1) Gr (n ; W 1) Gr( T ) Gr (n ; W 1) Id + 0 |W 1 T : W 0 W 0 e inversvel .

    Conclumos que W 0 ,W 1 Gr (n; W 1) Gr (n ; W 1) e aberto em Lin( W 0 , W 1). Quando arela cao x = x(v) e inversvel (i.e., quando T est a de fato no domnio da fun cao de transicaoque queremos determinar) podemos escrever v em funcao de x e substituir em y = 1(T v);

    obtemos assim, a expressao para y = T (x). Em resumo:W 0 ,W 1

    1W 0 ,W 1 : Lin(W 0 , W 1) T T =

    1 |W 1 T Id + ( 0 |W 1 ) T 1Lin(W 0 , W 1).

    A formula acima mostra que a aplica cao W 0 ,W 1 1W 0 ,W 1 e de classe C

    ; sua inversa (quee dada por uma formula similar, trocando os papeis de W 1 e W 1) tambem e de classe C .Logo os sistemas de coordenadas W 0 ,W 1 e W 0 ,W 1 sao C

    -compatveis.Considere agora duas decomposi coes em soma direta arbitr arias IR n = W 0 W 1 e

    IR n = W 0 W 1 , com dim( W 0) = dim( W 0) = r . Sabemos que W 0 ,W 1 e C -compatvelcom W 0 ,W 1 ; tambem, W 0 ,W 1 e C

    -compatvel com W 0 ,W 1 . Como W 0 ,W 1 e W 0 ,W 1tem o mesmo domnio, segue que W 0 ,W 1 e C -compatvel com W 0 ,W 1 (veja Exerccio 3).

    Mostramos entao que a colecao de todos os sistemas de coordenadas W 0 ,W 1 , onde(W 0 , W 1) percorre o conjunto das decomposi coes em soma direta IR n = W 0 W 1 comdim( W 0) = r , e um atlas de classe C e de dimens ao r (n r ) em Gr (n). Para mostrarque Gr (n) munido da estrutura diferenci avel dada pelo atlas maximal contendo esse atlas euma variedade diferenci avel, devemos mostrar que Gr (n) e Hausdorff e satisfaz o segundoaxioma da enumerabilidade. Come camos com o seguinte:

    Lema. Seja V um espa co vetorial de dimens ao nita e sejam W , W subespa cos de V comdim( W ) = dim( W ). Ent ao existe um subespaco Z V com V = W Z e V = W Z .

    Demonstra cao. Provamos o resultado por indu cao em dim( V ) dim( W ). Se dim( V ) dim( W ) = 0 entao V = W = W e basta tomar Z = {0}. Agora assuma o resultado v alidoquando dim( V ) dim( W ) = k e vamos provar o resultado para dim( V ) dim( W ) = k +1.Como dim( V ) dim( W ) = dim( V ) dim( W ) = k + 1 > 0, temos que W e W saosubespa cos proprios de V e portanto V = W W (veja Exerccio 2). Seja v V comv W e v W . Denote por W 1 (resp., W 1) o subespa co gerado por W (resp., por W ) epor v. Da dim( V ) dim( W 1) = dim( V ) dim( W 1) = k e pela hip otese de indu cao existeum subespaco Z 1 V com V = W 1 Z 1 e V = W 1 Z 1 . Para concluir a demonstra cao,observe que se Z e o subespaco gerado por Z 1 e por v ent ao V = W Z e V = W Z .

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    Corolario. O Grassmanniano Gr (n) e um espa co Hausdorff.

    Demonstra cao. Pelo Lema, dados W 0 , W 0 Gr (n), existe um subespaco W 1 IR n comIR n = W 0 W 1 e IR n = W 0 W 1 . Da o sistema de coordenadas W 0 ,W 1 contem W 0 e W 0em seu domnio. A conclusao segue do resultado do Exerccio 4.

    Lema. O atlas em Gr (n) formado pelos sistemas de coordenadas W 0 ,W 1 contem um atlas nito.

    Demonstra cao. Seja A0 o conjunto de todos os sistemas de coordenadas W 0 ,W 1 ondeIR n = W 0W 1 , dim( W 0) = r e tanto W 0 como W 1 sao gerados por vetores da base can onicade IR n . Obviamente A0 e nito (precisamente, A0 tem nr elementos). Vamos mostrar queA0 e um atlas para Gr (n). Seja dado V Gr (n). Denote por B a base can onica de IR n eseja B uma base arbitr aria para V . Como B e um conjunto linearmente independente eB e um conjunto de geradores para IR n , podemos encontrar um subconjunto B 1 de B talque B B 1 e uma base de IR n . Seja W 1 o subespa co gerado por B 1 e W 0 o subespa cogerado por B 0 = B \ B 1 . Da W 0 ,W 1 A0 e IR n = V W 1 , i.e., V pertence ao domniode W 0 ,W 1 .

    Corolario. A topologia do Grassmanniano Gr (n) satisfaz o segundo axioma da enume-rabilidade.

    Demonstra cao. Segue do Lema e do resultado do Exerccio 5.

    Nos demonstramos nesta se cao o seguinte:

    Teorema. O atlas maximal de classe C que contem os sistemas de coordenadas W 0 ,W 1faz do Grassmanniano Gr (n) uma variedade diferenciavel de classe C e de dimens aor (n r ).

    Observa c~ao : um trabalho totalmente an alogo ao realizado nesta secao mostra que o Grass-manniano complexo formado pelos subespacos complexos r -dimensionais de C n e uma va-riedade diferenciavel de classe C e de dimens ao 2r (n r ). Neste caso, os sistemas decoordenadas W 0 ,W 1 considerados estariam associados a decomposi coes C n = W 0 W 1 ,com W 0 , W 1 subespa cos complexos de C n e dim(W 0) = r . O contra-domnio de W 0 ,W 1seria o espa co dos operadores lineares complexos T : W 0 W 1 (que e um espaco veto-rial complexo de dimensao r (n r ), mas e tambem um espa co vetorial real de dimensao2r (n r )).

    (2) Um exemplo de aplica cao diferenciavel no Grassmanniano .

    Com o objetivo de apresentar um exemplo n ao trivial de aplicacao diferenci avel entrevariedades, vamos mostrar nesta se cao que a aplicacao complemento ortogonal e umdifeomorsmo de classe C entre Grassmannianos.

    Se V e um subespaco de IR n , denotamos por V o complemento ortogonal de V com respeito ao produto interno Euclideano. Dado r = 0 , . . . , n , temos obviamente umaaplica cao bijetora:

    Gr (n) V V Gn r (n).

    Vamos mostrar que a aplica cao V V e de classe C .

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    Seja W 0 um subespaco r -dimensional de IR n e seja W 1 = W 0 . Da IR n = W 0 W 1 eportanto temos um sistema de coordenadas W 0 ,W 1 em Gr (n). Dado um operador linearT : W 0 W 1 , vamos calcular o complemento ortogonal de Gr( T ). Dados w0 W 0 ,w1 W 1 , temos:

    w0 + w1 Gr( T ) w0 + w1 , v + T v = 0 , v W 0 w0 , v + w1 , T v = 0 , v W 0 w0 , v + T w1 , v = 0 , v W 0 w0 + T w1 , v = 0 , v W 0 ,

    onde T : W 1 W 0 denota o operador transposto de T . Como w0 + T w1 W 0 ,conclumos que w0 + w1 Gr( T ) se e somente se w0 + T w1 = 0, i.e., se e somente sew0 = T w1 . Segue que:

    Gr( T ) = Gr( T ).

    A igualdade acima mostra que a aplica cao V V leva o domnio de W 0 ,W 1 dentro dodomnio do sistema de coordenadas W 1 ,W 0 em Gn r (n); alem do mais, a aplica cao querepresenta V V com respeito aos sistemas de coordenadas W 0 ,W 1 e W 1 ,W 0 e dadapor:

    Lin(W 0 , W 1) T T Lin(W 1 , W 0).

    A aplica cao T T e obviamente de classe C (pois e linear). Alem do mais, paratodo V Gr (n) podemos encontrar um sistema de coordenadas W 0 ,W 1 em Gr (n) cujodomnio contem V e tal que W 1 = W 0 ; basta tomar W 0 = V e W 1 = V . Isso prova quea aplica cao V V e de classe C .

    A inversa da aplicacao bijetora Gr(n) V V G

    n r(n) e dada por:

    Gn r (n) V V Gr (n),

    e e portanto de classe C (basta trocar os papeis de r e n r ). Logo V V e umdifeomorsmo de classe C entre os Grassmannianos Gr (n) e Gn r (n).

    (3) Um conjunto com estrutura diferenciavel e topologia nao Hausdorff .Sejam M um conjunto e A um atlas diferenciavel em M . Veremos nesta se cao um

    exemplo que mostra que a topologia induzida por A em M nem sempre e Hausdorff. Umacondi cao suciente para que a topologia induzida por um atlas seja Hausdorff e dada no

    Exerccio 4. Em geral, uma topologia induzida por um atlas satisfaz apenas o axiomade separa cao T1. Recordamos que um espa co topol ogico X e dito T1 (dizemos tambemque X satisfaz o axioma de separac ao T1) se os pontos de X sao fechados, i.e., se dadosx, y X distintos entao existe um aberto em X que contem x mas n ao contem y. Temoso seguinte:

    Lema. Se A e um atlas num conjunto M ent ao a topologia induzida por A em M e T1.

    Demonstra cao. Sejam x, y M pontos distintos. Queremos achar um aberto em M quecontem x e nao contem y. Seja : U U IR n um sistema de coordenadas pertencente

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    a A com x U . Se y U , nao ha nada a fazer. Se x, y U ent ao (y) U e U \ { (y)}e um aberto de IR n ; como e um homeomorsmo entre abertos, segue que:

    U \ { y} = 1 U \ { (y)}

    e um aberto de M que contem x, mas n ao contem y.Vamos agora construir uma estrutura diferenci avel num conjunto M cuja topologia

    correspondente nao e Hausdorff. Seja X o espaco topol ogico obtido pela uni ao disjuntade duas c opias de IR n , i.e., X = IR n { 0, 1}, onde IR n tem a topologia usual, {0, 1}tem a topologia discreta e X tem a topologia produto (os abertos de X sao da formaU 0 { 0} U 1 { 1} , com U 0 , U 1 abertos em IR n ). Consideramos em X a rela cao de

    equivalencia que identica ( x, 0) com (x, 1) para todo x = 0; mais explicitamente:

    (x, i ) (y, j ) (x, i ) = ( y, j ) ou x = y = 0 .

    Seja M = X/ o conjunto quociente; consideramos M munido da topologia quociente,i.e., U M e aberto se e somente se q 1(U ) e aberto em X , onde q : X M denota aaplica cao quociente. Intuitivamente, o espa co M pode ser pensado como o espa co IR n comuma origem adicional. Armamos que as duas origens de M nao podem ser separadaspor abertos disjuntos. De fato, e f acil vericar que, tanto as vizinhan cas de q(0, 0) comoas vizinhan cas de q(0, 1) em M contem o conjunto:

    q(x, 0) : x IR n , x = 0 , x < r = q(x, 1) : x IR n , x = 0 , x < r ,

    para algum r > 0 sucientemente pequeno. Logo M nao e Hausdorff.Nosso objetivo agora e construir um atlas de classe C em M que induza a topologia

    de M . Comecamos mostrando que q e uma aplicacao aberta. De fato, se:

    U = U 0 { 0} U 1 { 1}

    e um aberto de X ent ao q(U ) e aberto em M , pois:

    q 1 q(U ) = U 0 U 1 \ { 0} { 0} U 1 U 0 \ { 0} { 1}

    e aberto em X . Como IR n { 0} e um aberto de X no qual q e injetora, segue que q levaIR n { 0} homeomorcamente sobre o aberto q IR n { 0} = M \ { q(0, 1)} de M . Logo aaplica cao IR n x q(x, 0) e um homeomorsmo sobre M \ { q(0, 1)}; sua inversa:

    0 : M \ { q(0, 1)} IR n

    e um sistema de coordenadas em M . Similarmente, denotamos por:

    1 : M \ { q(0, 0)} IR n

    a inversa da aplicacao IR n x q(x, 1). Obviamente os domnios de 0 e 1 cobrem M .Alem do mais, a funcao de transicao de 0 para 1 e a aplicacao identidade de IR n \ { 0} e

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    portanto A = {0 ,1} e um atlas de classe C em M . Como 0 e 1 sao homeomorsmosdenidos em abertos de M , segue que a topologia induzida por A em M coincide com atopologia original que tnhamos em M (que n ao e Hausdorff!).

    (4) Produto de variedades diferenciaveis .

    Vamos mostrar nesta se cao que o produto cartesiano de um n umero nito de variedadesdiferenci aveis tem uma estrutura natural de variedade diferenci avel, de modo que umafuncao f a valores nesse produto seja de classe C r se e somente se cada uma de suascoordenadas o for (propriedade an aloga a satisfeita pela topologia produto, no caso deprodutos de espacos topol ogicos). Mais precisamente, temos o seguinte:

    Teorema. Sejam M 1 , . . . , M p variedades diferenciaveis de classe C k e seja M = pi =1 M iseu produto cartesiano. Ent ao existe uma unica estrutura diferenci avel A de classe C k emM tal que (M, A) e uma variedade diferenci avel e tal que as seguintes propriedades s aosatisfeitas:

    (i) as proje c oes i : M M i s ao de classe C k , i = 1 , . . . , p ;(ii) se N e uma variedade diferenci avel de classe C k ent ao uma aplica c ao f : N M e

    de classe C k se e somente se i f : N M i e de classe C k para todo i = 1 , . . . , p .Alem do mais, (M, A) satisfaz tambem as seguintes propriedades:

    (iii) se N e uma variedade diferenci avel de classe C k ent ao uma aplica c ao f : N M e de classe C r (0 r k) se e somente se i f : N M i e de classe C r para todoi = 1 , . . . , p ;

    (iv) a topologia induzida por A em M coincide com a topologia produto;(v) dim( M ) = pi =1 dim( M i ).

    Demonstra cao. Seja n i = dim( M i ), i = 1 , . . . , p , e n = pi =1 n i . Dado, para cadai = 1 , . . . , p , um sistema de coordenadas i : U i U i IR n i em M i ent ao denimos umsistema de coordenadas:

    = p

    i =1

    i : p

    i =1

    U i p

    i =1

    U i IR n

    em M fazendo (x1 , . . . , x p) = 1(x1), . . . , p(x p) , para todos x i U i , i = 1 , . . . , p .Seja:

    A0 =p

    i =1

    i : i sistema de coordenadas em M i , i = 1 , . . . , p .

    Mostremos que A0 e um atlas de classe C k em M . Em primeiro lugar, e f acil ver que osdomnios dos elementos de A0 cobrem M . Agora dados:

    = p

    i =1

    i : p

    i =1

    U i p

    i =1

    U i , = p

    i =1

    i : p

    i =1

    V i p

    i =1

    V i ,

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    em A0 , vamos mostrar que e C k -compatvel com . Para isso, basta observar que afuncao de transicao de para e dada por:

    p

    i =1

    i (U i V i ) (v1 , . . . , v p) (1 11 )(v1), . . . , ( p 1 p )(v p)

    p

    i =1

    i (U i V i ),

    e portanto e um difeomorsmo de classe C k entre abertos de IR n .Mostramos que A0 e um atlas de classe C k em M . Observe agora que, relativamente

    a topologia produto em M , os elementos de A0 sao homeomorsmos denidos em abertos.Logo, a topologia induzida por A0 em M e de fato a topologia produto. Da o atlasmaximal A de classe C k que contem A0 satisfaz as condicoes (iv) e (v) do enunciado doteorema. Como cada M i e Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade,segue que a topologia produto em M tambem e Hausdorff e satisfaz o segundo axioma daenumerabilidade; logo ( M, A) e uma variedade diferenci avel de classe C k .

    Mostremos que as projecoes i : M M i sao de classe C k

    . De fato, dadas cartasj : U j M j U j , j = 1 , . . . , p , ent ao a representacao de i com respeito as cartas = pj =1 j e i e simplesmente a i-esima projecao

    pj =1 U j U j , que e de classe C .

    Logo i e de classe C k . Isso prova a propriedade (i). Provemos a propriedade (iii) (queobviamente implica a propriedade (ii)). Seja N uma variedade diferenci avel de classe C ke seja f : N M uma fun cao. Dena f i = i f , i = 1 , . . . , p . Se f e de classe C rent ao obviamente cada f i e de classe C r , pois as proje coes i sao de classe C r . Suponhaagora que cada f i e de classe C r e mostremos que f e de classe C r . Seja x N e escolhacartas : V V em N e i : U i U i em M i , com x V e f i (x) U i , i