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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
PROF. VINICIUS
3. Geometria Analítica Plana
3.1 Vetores no plano
Intuitivamente, sabemos que o conjunto dos números reais podem ser distribuídos
em uma reta. Deste modo, todo número real corresponde a um ponto da reta e vice-versa. A
seguir, tendo em vista a correspondência apresentada acima, serão definidos alguns objetos
que constituem a base da Geometria Analítica Plana.
Definição (origem): O ponto é chamado de origem.
Definição (unidade de medida): Chamamos de unidade de medida a distância entre
dois números inteiros consecutivos na reta. A unidade de medida é inteiramente arbitrária,
não influenciando no estudo qualitativo dos objetos matemáticos do plano.
Definição (sentido positivo e negativo): O sentido positivo na reta corresponde ao
sentido de crescimento dos números e o sentido negativo na reta corresponde ao sentido
oposto, ou seja, de decrescimento dos números.
Definição (números positivos e números negativos): Números negativos são
números a esquerda da origem e números positivos são números a direita da origem.
Definição (abscissa): O número real associado a cada ponto é denominado abscissa.
Definição (reta orientada): A reta obtida a partir das definições dadas acima é
chamada de reta orientada.
Definição (distância entre dois pontos na reta orientada): A distância entre dois
pontos e , de abscissas e , respectivamente é dada por .
Exemplo: A distância entre o ponto na reta de abscissa e o ponto da reta de
abscissa é dada por .
Definição (sistema cartesiano ortogonal): O sistema cartesiano ortogonal é
constituído por dois eixos, e , perpendiculares entre si, com mesma origem, a qual
constitui o ponto de intersecção. Para evitar confusão, os números reais associados a
são chamados de abscissa e os números associados a são chamados de ordenadas.
Definição (segmento orientado): Um segmento orientado é um subconjunto de uma
reta, que possui um ponto como origem (primeiro ponto), e outro ponto como extremidade
(último ponto). Adotando o sentido de um ponto para um ponto ,
podemos definir um segmento orientado .
Exemplo: Se e , então .
Exercício 3.1: Sejam , e . Calcule , , e .
Definição (segmento nulo): Segmento nulo é aquele em que a origem e extremidade
coincidem.
Definição (segmento oposto): O segmento oposto a um segmento é o segmento
, ou seja, inverte-se a origem e a extremidade. Logo, se , então
.
Exemplo: Se e , então . E o
segmento oposto de é o segmento .
Exercício 3.2: Sejam , e . Calcule os vetores opostos dos
vetores , e .
Definição (direção): Chamamos de direção o ângulo entre um segmento de reta e
uma reta paralela ao eixo .
Definição (sentido): Chamamos de sentido de um segmento orientado a
especificação da extremidade, dada a direção do segmento.
Definição (módulo): Dados a origem de um segmento orientado e sua
extremidade , o módulo do segmento é o seu comprimento, de acordo com a unidade de
medida adota. Na seção 3.4 (relativa a distância) será fornecida a fórmula da distância entre
pontos, o que permitirá determinar o módulo de um vetor.
Definição (segmentos equipolentes): Dois segmentos chamados equipolentes
quando possuem mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
Definição (vetor): Um vetor é o conjunto de todos os segmentos equipolentes a um
segmento orientado . Usualmente, denota-se um vetor por , , et Cetera. Módulo,
direção e sentido são características de um vetor, uma vez que todos os seus elementos são
segmentos equipolentes.
Definição (vetores iguais): Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo,
direção e sentido.
Definição (vetor nulo): Vetor nulo é aquele que possui módulo igual a zero.
Definição (vetor oposto): Dado um vetor , o seu oposto é vetor que contém
todos os segmentos orientados opostos dos segmentos do vetor .
Definição (vetor unitário): Um vetor é unitário se .
Exemplo: O vetor é um vetor unitário, pois .
Exercício 3.3: Dados , e , verifique quais vetores
são unitários e quais não são.
Cada segmento orientado no plano cartesiano possui um segmento equipolente
fixado na origem deste plano, ou seja, um vetor de mesmo módulo, direção e sentido com
origem no ponto do plano cartesiano. Assim, todo segmento orientado pode ser
representado por este segmento na origem. Deste modo, podemos representar um vetor de
acordo com o ponto de extremidade do segmento obtido a partir da origem.
Definição (soma de vetores): Dados dois vetores e , a
soma de e é o vetor .
Exemplo: Se e , então
.
Exercício 3.4: Dados , e , calcule ,
e .
Definição (diferença de vetores): Dados dois vetores e ,
a diferença de e é o vetor .
Exemplo: Se e , então .
Exercício 3.5: Dados , e , calcule ,
e .
Definição (multiplicação por número real): Dado um número real e um vetor
, o multiplicação por número real de e é o vetor .
Exemplo: Se e , então
.
Exercício 3.6: Dados , e , calcule ,
e .
Definição (base): Assumindo e , podemos representar qualquer
vetor do plano cartesiano (fazendo uso de soma de vetores e do produto escalar). Por isto, o
conjunto é chamado de base do plano cartesiano ou base do .
Exemplo: .
3.2 Produto Escalar
Definição (produto escalar): Dados dois vetores e , o
produto escalar é o número .
Exemplo: Se e , então
.
Exercício 3.7: Dados , e . Calcule , e
.
Teorema: Dados dois vetores e , sendo o ângulo formado entre eles, então
.
Exemplo: Se e , então , e portanto,
.
Exercício 3.8: Sabendo que tem módulo , tem módulo e tem módulo ,
que o ângulo entre e é , o ângulo entre e é , e que o ângulo entre e é
, calcule , e .
Definição (vetores ortogonais): Dois vetores e são ortogonais quando .
Exemplo: Se e , então , e portanto,
e são ortogonais.
Exercício 3.9: Dados , e , verifique se existem
vetores ortogonais entre estes três vetores.
Observação: o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor, pois o produto escalar dele
com qualquer outro vetor sempre resulta em zero.
Observação: Um forma alternativa de constatar que a ortogonalidade está ligada ao
fato de o produto escalar resultar em zero é observar que na expressão
do teorema acima, se , então .
3.3 Projeção
Definição (projeção de um vetor): A projeção de um vetor sobre um vetor é
dada por .
Exemplo: Se e , então
.
Exercício 3.10: Dados , , e .
Calcule e .
3.4 Estudo da Reta
Equação Reduzida: .
Exemplo:
Equação vetorial: Seja o vetor que determina todos os pontos de uma reta ,
seja um ponto qualquer de e um vetor que possui mesma direção de . Então
. O vetor é chamado de vetor diretor de .
Exemplo: Partindo de , vamos considerar o ponto , e o vetor
formado por e , no sentido de , ou seja, .
Como possui mesma direção de , então podemos tomar . Logo, a equação
vetorial de pode ser escrita como .
Equações Paramétricas da Reta: .
Exemplo: Partindo da equação vetorial , poderíamos escrever as
equações paramétricas de como , isto é, .
Equação Simétrica: .
Exemplo: Partindo da equação paramétrica , poderíamos escrever a
equação simétrica .
Observação: Da equação simétrica podemos voltar para a equação reduzida. Por
exemplo, da equação simétrica , podemos isolar e obter
, que é exatamente a equação reduzida de onde
partimos.
Exercício 3.11: Obtenha os quatro tipos de equação da reta para as retas ,
, , e .
3.5 Distâncias no Plano
Teorema (distância entre dois pontos no plano cartesiano): Dados dois pontos
e , calcula-se a distância entre eles através de
.
Exemplo: Se e , então .
Exercício 3.12: Calcule, em cada caso, a distância entre os pontos: a) e ;
b) e ; c) ) e .
Teorema (distância de um ponto a uma reta): Seja uma reta. Assim a
distância de até o ponto é dada por .
Exemplo: A distância entre a reta e o ponto é dada por
.
Exercício 3.13: Calcule a distância do ponto a reta em cada caso: a) e
; b) e ; c) e .
Teorema (distância entre retas): Sejam e duas retas no plano. Se e forem
concorrentes, então a distância entre eles é nula, por definição. Se e forem paralelas,
então ou .
Observação: como se vê, a distância entre retas se reduz a distância entre um ponto
e uma reta. Para verificar se as retas são paralelas ou concorrentes, basta igualar as
equações das retas e avaliar o resultado. Se o resultado for matematicamente incoerente,
isto significa que não há intersecção entre as retas, e portanto, elas são paralelas. Do
contrário, elas são concorrentes, e portanto, a distância entre elas será zero.
3.6 Estudo da Circunferência
Equação da Circunferência centrada em com raio :
.
Exemplo: é a circunferência de centro e raio .
Exercício 3.14: Em cada caso, obtenha as coordenadas do centro e a medida do raio
da circunferência: a) ; b) ; c)
.
Posições relativas de um ponto e uma circunferência :
é externo a
é externo a
Exercício 3.15: Determine a posição do ponto em relação a cada uma das
circunferências definidas por: a) ; b)
; c) .
Definição (distância entre a reta e a circunferência): Seja uma reta e seja uma
circunferência de centro e raio . Assim, a distância de a é dada por .
Posições relativas de uma reta e uma circunferência :
e são secantes
e são tangentes
e são exteriores.
Exercício 3.16: Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência definidas
por: a) e ; b) e ; c)
e .
Definição (distância entre duas circunferências): Sejam e duas circunferências
de centros e , e raios e , respectivamente. Assim, a distância de a é dada
por .
Posições relativas entre duas circunferências:
e são tangentes (externamente)
e são tangentes (internamente)
e são secantes
e não se interceptam (externamente)
e não se interceptam (internamente)
e não se interceptam (concêntricas)
Exercício 3.17: Determine as posições relativas entre as circunferências em cada
caso: a) e ; b)
e ; c) e
.
3.7 Estudo das Cônicas
Equação Reduzida da Elipse de centro , e eixos de comprimento e :
.
Exemplo: A elipse tem centro , e eixos de comprimento
e .
Distância Focal na Elipse: , com .
Exemplo: A distância focal da elipse é , com
, ou seja a distância focal desta elipse é igual a .
Focos na Elipse: , se , e , se .
Exemplo: Na elipse , como , então
.
Excentricidade de uma Elipse: , se e , se .
Exemplo: A excentricidade da elipse é .
Exercício 3.18: Determine o centro, os focos e a excentricidade das elipses dadas: a)
; b) ; c) .
Equação Reduzida da Hipérbole de centro e distância entre os vértices :
.
Exemplo: é a hipérbole de centro e distância entre os
vértices .
Distância Focal na Hipérbole: , com .
Exemplo: A distância focal na hipérbole é
Excentricidade de uma Hipérbole: .
Exemplo: A excentricidade da hipérbole é .
Exercício 3.19: Determine o centro, os focos e a excentricidade das hipérboles
dadas: a) ; b) ; c) .
Equação Reduzida da Parábola de vértice e reta diretriz .
.
Exemplo: é a equação da parábola de vértice e reta
diretriz , pois .
Exercício 3.20: Determine o vértice e uma equação para a diretriz nas parábolas
dadas: a) ; b) ; c) .
3.8 Respostas dos Exercícios
3.1) ; ; ; . 3.2) ; ; .
3.3) não é unitário; é unitário; é unitário. 3.4) ; ; .
3.5) ; ; . 3.6) ; ; .
3.7) ; ; . 3.8) ; ; .
3.9) e são ortogonais. 3.10) ; .
3.11) Se você conseguir voltar para a equação reduzida original, então está correto.
3.12) ; ; . 3.13) ; ; .
3.14) e ; e ; e .
3.15) Externo; externo; interno.
3.16) Tangentes; secantes; secantes.
3.17) Secantes; concêntricas; tangentes.
3.18) , , , ; , , , ; ,
, , .
3.19) , , , ; , , ,
; , , , .
3.20) , ; , ; , .
Vinicius Carvalho Beck, 2º edição, Setembro de 2011
