Apostila Geometria Espacial Pre

Apostila de Matemática do Pré-Universitário UFRJ. Autor: Victor T. 26/07/2012.

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Pré-Universitário

UFRJ

Apostila de Matemática: Geometria Espacial

Prof. Victor T.


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Sumário 1)Poliedros ........................................................................................................................ 4

1.1)Componentes .......................................................................................................... 4

1.1.1)Exemplo: Hexaedro (cubo) .............................................................................. 4

1.2)Poliedros Côncavos e Convexos ............................................................................ 4

1.2.1)Exemplo: Poliedro Convexo ............................................................................ 4

1.2.2)Exemplo: Poliedro Côncavo ............................................................................ 5

1.3)Poliedros Regulares ................................................................................................ 6

1.4)Relação de Euler ..................................................................................................... 6

1.4.1)Exemplos ......................................................................................................... 7

1.5)Poliedro Platônico................................................................................................... 7

2)Prismas .......................................................................................................................... 7

2.1)Classificação ........................................................................................................... 8

2.2)Secção no Prisma .................................................................................................... 8

2.2)Área do Prisma ....................................................................................................... 9

2.2.1)Área do Prisma de base hexagonal regular ...................................................... 9

2.3)Volume do Prisma .................................................................................................. 9

3)Cilindros ...................................................................................................................... 10

3.1)Classificação ......................................................................................................... 10

3.2)Secção no Cilindro ............................................................................................... 11

3.3)Área do Cilindro ................................................................................................... 11

3.4)Volume do Cilindro .............................................................................................. 11

4)Cones ........................................................................................................................... 12

4.1)Classificação ......................................................................................................... 12

4.2)Cálculo da Geratriz ............................................................................................... 13

4.3)Secção no Cone .................................................................................................... 13

4.4)Área do Cone ........................................................................................................ 13

4.5)Volume do Cone ................................................................................................... 13

5)Pirâmides ..................................................................................................................... 14

5.1)Classificação ......................................................................................................... 14

5.2)Secção na Pirâmide ............................................................................................... 15

5.3)Área da Pirâmide .................................................................................................. 16

5.3.1)Exemplo de Pirâmide com Base Hexagonal Regular .................................... 16


3

5.4)Volume da Pirâmide ............................................................................................. 17

6)Troncos ........................................................................................................................ 17

6.1)Área do Tronco ..................................................................................................... 18

6.2)Volume do Tronco ................................................................................................ 18

7)Esferas ......................................................................................................................... 19

7.1)Área da Esfera ...................................................................................................... 19

7.2)Volume da Esfera ................................................................................................. 19

8)Exercícios .................................................................................................................... 20


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1)Poliedros

Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos,

pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum.

1.1)Componentes

Um poliedro é composto por três elementos em geral:

Vértices

o “pontas”

Arestas

o “dobras”

Faces

o “lados”

1.1.1)Exemplo: Hexaedro (cubo)

1.2)Poliedros Côncavos e Convexos

Um poliedro é convexo se, e somente se, toda semirreta ligando dois pontos

pertencentes ao poliedro está contida no poliedro.

1.2.1)Exemplo: Poliedro Convexo

Vértice

Face

Aresta

Semirreta contida no poliedro!


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1.2.2)Exemplo: Poliedro Côncavo

Semirreta passa fora do poliedro!


6

1.3)Poliedros Regulares

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos

regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um

mesmo número de arestas.

Quatro poliedros regulares são mostrados na tabela abaixo.

1.4)Relação de Euler

O matemático suíço Leonhard Euler descobriu que para qualquer poliedro

convexo é valida a relação:

Poliedro Planificação Elementos

Tetraedro

4 faces triangulares

4 vértices

6 arestas

Hexaedro

6 faces quadrangulares

8 vértices

12 arestas

Octaedro


6 vértices

12 arestas

Icosaedro


12 vértices

30 arestas


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1.4.1)Exemplos

1.5)Poliedro Platônico

Um poliedro é considerado platônico se, e somente se:

For convexo

Em cada vértice chegar o mesmo número de arestas

Toda face conter o mesmo número de arestas

For válida a relação de Euler

O Hexaedro acima é um poliedro platônico, porém o Prisma acima não é. Saberia

dizer por quê?

2)Prismas

Um prisma é todo poliedro formado por uma face superior e uma face inferior,

paralelas e congruentes (também chamadas de bases) ligadas por arestas. As laterais de

um prisma são paralelogramos.

Hexaedro V=8 A=12 F=6

8 + 6 = 12 + 2

Prisma

V=12 A=18 F=8

12 + 8 = 18 + 2

Planos paralelos das bases

Base

Face Lateral

Altura


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2.1)Classificação

Um prisma pode ser classificado como reto ou oblíquo (torto), e como regular

ou não regular.

Um prisma é considerado reto se, e somente se suas arestas são perpendiculares

aos planos das bases. Ele é oblíquo (torto) caso contrário.

Prisma Reto

Prisma Oblíquo

Um prisma é considerado regular se suas bases são polígonos regulares (lados

iguais, ângulos iguais). O exemplo de prisma reto acima não é regular, porém o prisma

oblíquo é, dado que suas faces são quadrados.

2.2)Secção no Prisma

Neste ponto é importante definir um tipo de secção chamada secção transversal:

Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano

paralelo aos planos das bases.

É possível interpretar a secção transversal como um corte horizontal, que fatia

o prisma em dois outros prismas. É importante notar que os prismas gerados pelo corte

são semelhantes, e que todas as secções transversais são congruentes (lados e ângulos

iguais).

Plano de Secção

Paralelos!


9

2.2)Área do Prisma

Em geral, a área de um poliedro é a soma da área de suas bases com a área de

suas faces (conhecida como área lateral).

Assim podemos escrever para a área de um prisma com ‘n’ faces:

2.2.1)Área do Prisma de base hexagonal regular

Consideremos o prisma abaixo, com aresta ‘a’ e altura ‘h’.

É sabido que a área do Hexágono regular é: √

A área de cada face lateral é: ah

Assim a área total é:

2.3)Volume do Prisma

Para o cálculo do volume do prisma (assim como de muitos poliedros), devemos

levar em consideração a área da base e a altura.

O volume do prisma é:

BL AnAÁrea 2

aha 63²3

AlturaAVolume B


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3)Cilindros

Um cilindro é como um prisma de base circular, e por isso muitos conceitos são

similares.

3.1)Classificação

Assim como um prisma, um cilindro pode ser classificado como reto (de

revolução) ou oblíquo (torto).

Cilindros retos são chamados também de cilindros de revolução, pois são

gerados a partir da rotação completa de um retângulo por um de seus lados.

Base Circular

Altura

Geratriz (“aresta”)

Eixo Retângulo Gerador

Aresta Geradora (Geratriz)


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3.2)Secção no Cilindro

No cilindro vale a pena introduzir um outro tipo de secção, em adição a secção

transversal: a secção meridiana.

Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um

plano que contém o eixo. Em contraste com a secção transversal, a secção meridiana

pode ser interpretada como um corte na vertical.

3.3)Área do Cilindro

Com a diferença das bases serem circulares, o cálculo para a área do cilindro é o

mesmo que o do prisma. Precisamos somar as áreas das bases com a área lateral.

É importante notar que no caso do cilindro, a área lateral é um retângulo que tem

como largura o comprimento da circunferência de base.

3.4)Volume do Cilindro

O cálculo para o volume do cilindro é o mesmo do prisma, ou seja, área da base

multiplicada pela altura.

Eixo

Área do círculo: 𝜋𝑟

Área Lateral: 𝜋𝑟ℎ


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4)Cones

Um cone é como um cilindro cuja base vai afinando com a altura, até que no

ponto mais alto sua base seja um ponto.

4.1)Classificação

Assim como um cilindro, um cone pode ser classificado como reto (de

revolução) ou oblíquo (torto).

Cones retos são chamados também de cones de revolução, pois são gerados a

partir da rotação completa de um triângulo retângulo por um de seus catetos.

Base Circular

Altura

Geratriz (“aresta”)

Lado Gerador (Geratriz)

Triângulo Gerador

Eixo


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4.2)Cálculo da Geratriz

Posto que o cilindro reto é gerado pela rotação de um triângulo retângulo,

podemos ver que a hipotenusa desse triângulo retângulo é a geratriz do cone.

Para encontrar o valor exato da geratriz pode-se usar o Teorema de Pitágoras,

que diz que:

4.3)Secção no Cone

No caso do cone, uma secção transversal (horizontal) gera o que nós chamamos

de tronco de cone, que será abordado no futuro.

Já uma secção meridiana (vertical) corta o cone formando um triângulo isósceles

cujos lados iguais são a geratriz e a base é o diâmetro do círculo de base do cone.

4.4)Área do Cone

Assim como no prisma e no cilindro, precisamos conhecer tanto a área da base

(note que só existe uma base), quanto à área lateral, que desta vez é um setor circular.

4.5)Volume do Cone

Embora parecido com os anteriores, o cone difere principalmente pelo cálculo

do seu volume.

Pode ser observado experimentalmente que um líquido contido em um cilindro é

suficiente para preencher três cones de mesma altura e mesma base.

Portanto o volume do cone é:

²²² rhGeratriz

Área do setor circular: 𝜋𝑟𝑔

Área da circunferência: 𝜋𝑟

3

AlturaAVolume

B


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5)Pirâmides

Uma pirâmide é como um cone de base poligonal plana.

5.1)Classificação

Assim como os anteriores, uma pirâmide pode ser classificada como reta ou

oblíqua (torta).

Uma pirâmide é considerada regular se sua base é um polígono regular (lados e

ângulos iguais), como no exemplo abaixo.

Altura

Base Poligonal

Face Lateral

Polígono Regular


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5.2)Secção na Pirâmide

Assim como nos cones, se dividirmos uma pirâmide através de uma secção

transversal (horizontal), produziremos uma nova pirâmide menor e um tronco de

pirâmide, que estudaremos adiante.

É importante notar que ao seccionar transversalmente uma pirâmide, as bases da

nova pirâmide e do tronco formados são semelhantes e paralelas.

Uma propriedade interessante de secções transversais em pirâmides que é útil

saber é que a razão entre as áreas das bases das pirâmides maior e menor é igual à razão

entre o quadrado das alturas das duas pirâmides. Ou seja:

Outra coisa interessante é que essa propriedade também se aplica para o volume

das pirâmides, só que levando em consideração o cubo das alturas, como segue:

Bases Semelhantes e Paralelas

Nova Pirâmide

Tronco de Pirâmide

²

²

quenaPirâmidePe

andePirâmideGr

quenaPirâmidePe

andePirâmideGr

Altura

Altura

Área

Área

³

³

quenaPirâmidePe

andePirâmideGr

quenaPirâmidePe

andePirâmideGr

Altura

Altura

Volume

Volume


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5.3)Área da Pirâmide

Como fizemos anteriormente, para calcular a área da pirâmide precisamos levar

em consideração a área da base (lembrando que só existe uma base) e a área lateral.

No cálculo da área de uma pirâmide, é especialmente importante saber calcular a

área da base, posto que possa ser qualquer polígono (em geral regular). A estratégia

recomendada é dividir o polígono em triângulos, sempre que possível.

O exemplo abaixo ilustra o caso onde a base da pirâmide é um Hexágono regular.

5.3.1)Exemplo de Pirâmide com Base Hexagonal Regular

Neste exemplo calcularemos a área da base de uma pirâmide de base hexagonal

regular (lados e ângulos iguais).

É importante notar que o hexágono, por ser regular, pode ser dividido em seis

triângulos equiláteros. Esse fenômeno é observado por que o hexágono pode de fato

ser dividido em seis triângulos (como na figura abaixo), e já que todos os triângulos são

iguais (hexágono regular), portanto todos têm todos os ângulos iguais a 60°,

classificando-os como equiláteros.

Já que conseguimos dividir o hexágono em seis triângulos iguais, só nos resta

encontrar a área do triângulo, e multiplica-la pelo número de triângulos. Para encontrar

a área do triângulo, precisamos da largura da base (aresta do hexágono) e da altura do

triângulo, também chamada de apótema da base.

O apótema da base é o segmento de reta que, partindo do centro do polígono, é

perpendicular a um de seus lados. No nosso caso, o apótema da base é justamente a

altura do triângulo!

Para calcular o apótema da base, podemos usar a fórmula que diz que, dado um

polígono regular de ‘n’ lados, a medida do apótema da base é:

Altura do Triângulo

Apótema da Base

)/tan(2 n

arestaApótema


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Se lembrarmos de que π radianos são 180°, vemos rapidamente que a fórmula do

apótema equivale a fórmula da altura do triângulo equilátero.

Um modo alternativo de calcular a altura de um triângulo equilátero é dividi-lo

em dois triângulos retângulos e aplicar o teorema de Pitágoras.

De ambos os jeitos, a conclusão a que se chega é que a altura do triângulo

equilátero é a seguinte:

Sabendo que a fórmula para a área do triângulo é a metade da medida da base

multiplicada pela altura (base.altura/2), encontramos que a área do hexágono é:

√ .

5.4)Volume da Pirâmide

O cálculo do volume da pirâmide é igual ao do cone, ou seja, um terço do

produto da base com a altura.

6)Troncos

Durante os capítulos anteriores seccionamos cones e pirâmides, mas nunca

estudamos chamados troncos gerados a partir desses cortes.

Embora seja um tópico mais “incomum”, vale a pena dar uma olhada nos

troncos de pirâmides e cones, principalmente no cálculo de áreas e volumes.

Na figura abaixo podemos ver exemplos de troncos de cone e pirâmide, além

dos novos poliedros formados pelo corte. É importante lembrar que as bases do poliedro

original e do novo são paralelas e semelhantes.

2

3arestaAltura

Tronco

Poliedro Menor


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6.1)Área do Tronco

O contrário do cone e da pirâmide, um tronco tem duas bases ao invés de só uma.

Portanto no cálculo da área de um tronco de cone ou de pirâmide, temos que levar em

consideração tanto a área lateral quanto a área das duas bases.

Vale a pena dar atenção especial a área do tronco de cone, por que o cálculo da

sua área lateral é um pouco diferente do que estamos acostumados.

As bases circulares são circunferências e sabemos que a área de cada uma é

. Já a área da coroa circular mostrada na figura pode ser obtida diminuindo a

área da coroa menor da maior (cone menor do cone original).

6.2)Volume do Tronco

Para o cálculo do volume de um tronco, seja de cone ou de pirâmide, existe uma

única fórmula, que segue abaixo, onde as variáveis indicam as áreas das bases maior e

menor:

Lembrando que o volume do tronco pode sempre ser obtido retirando-se o

volume do poliedro menor do poliedro maior original.

Bases Circulares

Coroa Circular

)(3

bBbB AAAAAltura

Volume


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7)Esferas

A definição de esfera é uma das mais simples de todas, sendo o conjunto de

pontos a uma distância R (raio) de certo ponto O.

A esfera também é chamada de esfera de revolução, pois, parecido com os

cones e cilindros, é um solido formado pela rotação de um semicírculo em torno de um

eixo.

7.1)Área da Esfera

Supondo uma esfera de raio ‘r’, a área da esfera é dada por:

7.2)Volume da Esfera

Supondo uma esfera de raio ‘r’, o volume da esfera é dado por:

Eixo

Esfera

²4 rÁrea

³3

4rVolume


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8)Exercícios

8.1) (Esc.Naval-93) Um poliedro convexo possui 11 faces. Sabemos que, de um de seus

vértices partem 5 arestas, de 5 outros vértices partem 4 arestas e de cada vértice restante

partem 3 arestas. O número de arestas do poliedro é:

(A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 37 (E) 41

8.2) (Esc.Naval-01) Um poliedro convexo de 25 arestas tem faces triangulares,

quadrangulares e pentagonais. O número de faces quadrangulares vale o dobro do

número de faces pentagonais e o número de faces triangulares excede o de faces

quadrangulares em 4 unidades. Pode-se afirmar que o número de vértices deste poliedro

é:

(A) 14 (B) 13 (C) 11 (D) 10

8.3) (AFA-02.Corpo feminino) Um poliedro platônico, cujas faces são triangulares, tem

30 arestas. Determine o número de arestas que concorrem em cada vértice.

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

8.4) (Esc.Naval-88) Um poliedro convexo é formado por 10 faces triangulares e 10

faces pentagonais . O número de diagonais desse poliedro é:

(A) 12 (B) 10 (C) 8 (D) 6 (E) 4

8.5) (AFA-02/ 03) Um poliedro platônico, cujas faces são triangulares, tem 30 arestas.

Determine o número de arestas que concorrem em cada vértice.

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

8.6) (EEAR.02/ 03.C.F.T) Uma caixa d’água, com forma de um paralelepípedo

retângulo, terá seu volume reduzido à metade do que tinha sido projetado inicialmente.

Para isso, o construtor deverá diminuir as dimensões da base dessa caixa de 20% e 50%,

respectivamente. Já em relação à medida da altura dessa caixa d’água, o construtor irá:

(A) aumentá-la de 30%. (C) diminuí-la de 30%.

(B) aumentá-la de 25%. (D) diminuí-la de 25%.

8.7) (EsPCEx.98 /99) Uma piscina em forma de paralelepípedo retângulo tem largura de

6 metros, diagonal do fundo com 10 metros e diagonal da face que contém o

comprimento igual a 4 5 metros. Para enchê-la com água será utilizado um caminhão

tanque com capacidade de 6000 litros. O número de cargas completas, desse mesmo

caminhão, necessárias para que a piscina fique completamente cheia é:

(A) 24 (B) 28 (C) 32 (D) 54 (E) 80

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