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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ
ESCOLA POLITÉCNICA
APOSTILA DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
2
INTRODUÇÃO
Este material tem por finalidade oferecer aos alunos da disciplina de Introdução ao
Cálculo a possibilidade de ao longo de uma leitura orientada adquirir conhecimentos
referentes ao estudo da Geometria Plana e da Espacial.
Objetivo geral: capacitar o aluno para a compreensão dos teoremas relacionados à
geometria e para as aplicações de propriedades de figuras e sólidos geométricos.
Temas: Ângulos, Teorema de Tales, Polígonos, Pirâmides, Prismas, Poliedros, Cilindros,
Cone e Esfera.
Objetivos Específicos da disciplina: Desenvolver a capacidade do aluno de observação
e representação dos objetivos geométricos e físicos. Identificar os diversos tipos de
figuras planas e sólidos geométricos. Fornecer ao aluno, uma bagagem de
conhecimentos que lhes permita resolver problemas práticos e abstratos encontrados
no dia ou em outras disciplinas.
3
CONTEÚDO
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................ 2
CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES ................................................................................................................. 5
0.1. NOÇÕES PRIMITIVAS ............................................................................................................................... 5
0.2. PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS ........................................................................................................................ 5
0.3. DEFINIÇÕES ........................................................................................................................................... 6
0.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTOS, RETAS E PLANOS ................................................................................... 7
0.5. EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................... 8
CAPÍTULO 1 – ÂNGULOS ........................................................................................................................ 9
1.1. EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................... 10
CAPÍTULO 2 – TRIÂNGULOS ................................................................................................................. 11
2.1. ELEMENTOS ........................................................................................................................................ 11
2.2. CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS LADOS ........................................................................................................ 14
2.3. CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS .................................................................................................... 14
2.4. TEOREMA ANGULAR DE TALES................................................................................................................. 15
2.5. SEMELHANÇAS DE TRIÂNGULOS ............................................................................................................... 15
2.6. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ....................................................................................... 15
2.7. RELAÇÕES DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA ....................................................... 16
2.8. Exercícios ......................................................................................................................................... 17
CAPÍTULO 3 – POLÍGONO ..................................................................................................................... 20
CAPÍTULO 4 – CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................................... 22
4.1. EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................... 23
CAPÍTULO 5 - ÁREAS ............................................................................................................................ 24
5.1. EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................... 26
CAPÍTULO 6 - POLIEDROS CONVEXOS .................................................................................................. 28
6.1. PRISMAS ............................................................................................................................................. 30
6.1.2. Área e Volume .............................................................................................................................. 33
6.2. PIRÂMIDE ........................................................................................................................................... 34
6.2.1. Pirâmide regular ........................................................................................................................... 35
6.2.2. VOLUME DA PIRÂMIDE ....................................................................................................................... 36
6.2.3. EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................... 37
6.3. CILINDRO ............................................................................................................................................ 37
6.3.1. Área lateral e área total ............................................................................................................... 38
6.3.2. Volume do cilindro ....................................................................................................................... 39
6.3.4. Exercícios ...................................................................................................................................... 39
6.4. CONE CIRCULAR ................................................................................................................................... 40
6.4.1. Área lateral e área total ............................................................................................................... 41
6.4.2. Volume do cone ............................................................................................................................ 41
6.5. ESFERA ............................................................................................................................................... 42
4
6.5.1. Área da superfície esférica ........................................................................................................... 44
6.5.2. Volume da esfera ......................................................................................................................... 44
6.5.3. Exercícios ...................................................................................................................................... 45
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................................ 48
5
CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES
A seguir estão listadas as nomenclaturas e os seus significados que utilizaremos
no decorrer deste material.
1. Noções primitivas - estabelecidas sem definição; 2. Proposições primitivas (postulados ou axiomas) - são afirmações aceitas sem
demonstração; 3. Definição - caracterização de elementos; 4. Propriedades, proposições, teoremas, corolários, lemas - são afirmações que
devem ser aprovadas.
Agora falaremos de algumas noções intuitivas, postulados e definições necessárias
para o estudo da geometria.
0.1. Noções primitivas
Adotaremos sem definir os conceitos de Ponto, Reta e Plano.
Pontos: Letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, ...
Retas: Letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, ...
Planos: Alfabeto grego: , , ,...
0.2. Proposições primitivas
1. Postulado da existência (a) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. (b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos. 2. Postulados da determinação (a) Da reta: dois pontos distintos, A e B, determinam uma única reta que passa por eles.
A r B
PONTO, RETA E O PLANO
A r s
PONTO, RETA E O PLANO
A r s
6
(b) Do plano: três pontos, A, B e C não colineares (pontos que não pertencem a uma mesma reta) determinam um único plano que passa por eles. 3. Postulado da inclusão: Se uma reta tem dois pontos distintos contidos num plano, então esta reta está contida nesse mesmo plano.
0.3. Definições
1. Pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano.
2. Dada uma reta r e um ponto A sobre r, chama-se semi-reta a cada uma das
regiões determinadas por A.
B A O
R
3. Duas retas são concorrentes, se e somente se, elas têm um único ponto
comum.
4. Duas retas, r e s, são paralelas se ou são coincidentes ou são coplanares e não
possuem nenhum ponto em comum. Notação: r ∥ s.
r
r s = P
r s =
s
7
5. Duas retas são reversas se não existe um plano que contém as duas retas.
s
r
0.4. Posições relativas entre pontos, retas e planos
8
0.5. Exercícios
1. Retas reversas podem ser paralelas? Justifique. 2. Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos? Justifique. 3. Três retas, duas a duas concorrentes, passando pelo mesmo ponto, estão
contidas no mesmo plano? Justifique. 4. Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) justificando a resposta.
a. Por um ponto passam infinitas retas. b. Uma reta contém dois pontos distintos. c. Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta. d. Por três pontos dados passa uma só reta. e. Três pontos distintos são sempre colineares. f. Três pontos distintos são sempre coplanares. g. Quatro pontos todos distintos determinam duas retas. h. Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares. i. Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q, e
P e Q pertencem às retas r e s, então r = s. j. Três pontos distintos determinam um plano. k. Um ponto e uma reta determinam um único plano. l. Duas retas distintas paralelas e uma reta concorrente com as duas
determinam dois planos distintos. m. Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos. n. Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três
planos.
5. Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas podemos construir?
6. Quantas e quais são as retas determinadas por pares de pontos A, B, C e D, dois a dois distintos, se eles não são coplanares.
7. Quais são os planos determinados por quatro pontos distintos A, B, C e D? 8. Prove que: duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são
coplanares. 9. Quantos são os planos que passam por uma reta? Justifique. 10. Prove que: se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma
delas e um ponto da outra, contém a outra. 11. Duas retas distintas r e s, reversas a uma terceira reta t, são reversas entre si?
Justifique.
9
CAPÍTULO 1 – ÂNGULOS
Definição de ângulo: Chama-se ângulo à união de duas semi-retas de mesma
origem não colineares.
O ponto O é o vértice do ângulo. As semi-retas AO
e
BO
são os lados do ângulo.
Um ângulo é dito reto, quando seus lados são perpendiculares e sua medida é
900.
Um ângulo é dito agudo, quando é menor que o ângulo reto.
Um ângulo é dito obtuso, quando é maior que o ângulo reto.
O
A
B
)
10
Um ângulo é dito raso, quando sua medida é 1800.
Dois ângulos são complementares, quando sua soma é igual a um reto.
Dois ângulos são suplementares, quando sua soma é igual a dois retos.
1.1. Exercícios
1. Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o
suplemento do outro, nessa ordem é 8
1. Determine esses ângulos.
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CAPÍTULO 2 – TRIÂNGULOS
DEFINIÇÃO DE TRIÂNGULO: Dados três pontos A, B e C não colineares, à união dos
segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo ABC.
2.1. Elementos
Vértices: São os pontos A, B e C.
Os segmentos AB (de medida c), BC (de medida a) e CA (de medida b) são os lados do triângulo.
Ângulos internos: são os ângulos BCAeCBACAB ˆˆ,ˆ .
Os suplementares dos ângulos internos chamam-se ângulos externos.
Perímetro: 2p = a + b + c
Altura: é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao suporte do lado oposto.
Um triângulo possui três alturas que se encontram num ponto notável do triângulo
chamado ortocentro.
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Mediana: é o segmento cujos extremos são um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto.
Um triângulo possui três medianas que se encontram num ponto notável do triângulo chamado baricentro.
Bissetriz interna: é o segmento da bissetriz de cada ângulo interno que tem por extremos o vértice do ângulo e a intersecção com o lado oposto.
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Um triângulo possui três bissetrizes que se encontram num ponto notável do
triângulo chamado incentro.
Mediatriz de um segmento: é toda linha perpendicular ao segmento e que
passa pelo seu ponto médio, ou lugar geométrico dos pontos equidistantes dos
extremos.
Mediatriz de um triângulo: é a mediatriz de cada um dos lados desse triângulo. O encontro das três mediatrizes chama-se circuncentro.
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2.2. Classificação quanto aos lados
Triângulos equiláteros: possui os lados congruentes.
Triângulos isósceles: tem dois lados congruentes.
Triângulos escalenos: dois quaisquer lados não são congruentes.
2.3. Classificação quanto aos ângulos
Retângulo – quando possui um ângulo reto.
Acutângulo – quando todos os ângulos são agudos.
Obtusângulo – quando possui um ângulo obtuso.
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2.4. Teorema angular de Tales
A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 1800.
2.5. Semelhanças de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar)
proporcionais.
2.6. Relações métricas no triângulo retângulo
'C'A
AC=
'C'B
BC=
'B'A
AB
a hipotenusa
b cateto
c cateto
h altura relativa a hipotenusa
m projeção do cateto c
n projeção do cateto b
A
cc bb
aa
h
nmB C
H
A
cc bb
aa
h
nmB C
cc bb
aa
h
mB C
Hn
16
Relações métricas:
1ª) h² = m . n
2ª) b² = m . a
3ª) c² = n . a
4ª) a . h = b . c
Teorema de Pitágoras
5ª) a² = b² + c²
2.7. Relações do triângulo equilátero inscrito numa circunferência
B
A C
D
E
OR
R
B
A C
D
E
OR
R
OD = R
BO = R
OE = r = 2
R apótema raio da circunferência inscrita
EC = 2
BE = h
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2.8. Exercícios
1. Qual a área de triângulo equilátero de lado a.
2. Determine os raios das circunferências circunscrita e inscrita do triângulo
equilátero de lado a em função da altura h.
3. Sabendo que as retas r e s são paralelas, determine o valor de a nas quatro
situações indicadas nas figuras:
4. Os triângulos ABC e PQR são semelhantes. Determine x e y.
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5. Em um terreno de formato triangular, deseja-se construir uma casa de formato
retangular (conforme figura). Determinar as dimensões x e y, da casa, de modo que
a área construída seja máxima. Qual é o valor da área máxima?
6. Determine os valores literais indicados nas figuras:
a.
b.
c.
CASA
10 m
20 m
x
y
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7. Na figura, o ângulo C é reto, D é ponto médio de AB, DE é perpendicular a AB,
AB = 20 cm e AC = 12 cm. Calcule a medida do segmento ED.
8. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo (em cm²) é:
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CAPÍTULO 3 – POLÍGONO
Polígono é uma figura geométrica cuja palavra é proveniente do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos(ângulos). Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, não colineares em que a origem coincide com a extremidade.
Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os
ângulos internos congruentes.
Área dos polígonos regulares
S = p.a
p semiperímetro
a apótema
21
QUADRADO
l : lado do quadrado
a : apótema do quadrado
R : Diagonal do quadrado
2l : Área do quadrado
HEXÁGONO REGULAR
R : lado do hexágono
a : apótema do hexágono
Ra3 : Área do hexágono
R
a
22
CAPÍTULO 4 – CIRCUNFERÊNCIA
Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes a
um ponto fixo. A distância fixa chama-se raio e o ponto fixo chama-se centro.
Círculo é o conjunto dos pontos do plano limitado pela circunferência e cujas
distâncias ao ponto fixo é menor que o raio.
Comprimento da circunferência
rC 2
23
4.1. Exercícios
1. Uma circunferência intercepta um triângulo equilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme mostra a figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da circunferência. Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na figura é:
24
CAPÍTULO 5 - ÁREAS
Paralelogramo
Retângulo
Quadrado
Triângulo
Trapézio
h.b=A
h.b=A
2
h.b=A
2
h).b+B(=A
2=A
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Losango
Círculo
Setor circular
2
d.D=A
R 2R.=A
2
R.=A
2
26
5.1. Exercícios
1. A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior,
cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores.
Determine a área do pentágono hachurado.
2. De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado
na figura. Se a medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm2)
não aproveitada da chapa?
3. Na figura a seguir tem-se uma circunferência C de centro O e raio de medida 3 cm. Os pontos A e B pertencem a C, e a medida do ângulo AÔB é 45°. A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é igual a:
4. Determine a área do hexágono regular inscrito numa circunferência de raio
2=R .
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5. Um cateto de um triângulo retângulo mede 5 m, e sua projeção sobre a
hipotenusa mede m13
25. Calcule a área do triângulo.
6. Deseja-se fabricar uma saia com formato aproximado de um trapézio com 50 cm de cintura, 80cm de barra e 70cm de altura. Sabendo-se que o tecido mede 1 m por 1,5 m e 1 m2 de tecido custa R$ 15,00. Determine quantas saias podem ser confeccionadas e qual o custo para fabricá-las.
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CAPÍTULO 6 - POLIEDROS CONVEXOS
Poliedro: é a figura limitada por um número finito polígonos, que têm, dois a dois, um lado comum e que estão situados em planos distintos.
Poliedro convexo: são poliedros que se interceptados por uma reta, a mesma não poderá encontrar a superfície poliédrica em mais de dois pontos.
Poliedro convexo Poliedro não convexo
Elementos de um poliedro: faces, arestas, vértices.
F
A B
CD
E
F
A B
CD
E
A
B
C
D
A
B
C
D
Vértices: A, B, C, D
Faces: ABC, ACD, BCD, ABD
Arestas: AB, AC, AD, BD, CD, BC
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Poliedro convexo regular: é o poliedro cujas faces são polígonos regulares e os ângulos poliédricos são congruentes.
Teorema: Existem somente cinco poliedros regulares convexos. São chamados de poliedros de Platão.
x y A V F POLIEDROS REGULARES
3 3 6 4 4 TETRAEDRO
3 4 12 6 8 OCTAEDRO
3 5 30 12 20 ICOSAEDRO
4 3 12 8 6 HEXAEDRO OU CUBO
5 3 30 20 12 DODECAEDRO
30
6.1. Prismas
Seja um plano e um polígono qualquer contido em e uma reta r que fura (não
necessariamente perpendicular) sobre r tomemos um ponto Q, distinto de P, e por
esse ponto consideremos o plano , paralelo a . Em seguida, construímos todos os
segmentos paralelos a r, que têm uma extremidade num ponto do polígono e a outra
no plano . Unindo todos esses segmentos, obtemos um sólido que recebe o nome de
prisma.
Nomenclatura:
Bases: São os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’
Arestas da base: lados dos polígonos
Arestas laterais: São os segmentos: AA’, BB’, CC’,
DD’ e EE’ todos paralelos a r.
Faces laterais: são paralelogramos.
Altura do prisma: distância entre os planos das bases: h
Área lateral: é a soma das áreas das faces laterais.
Área total: é a soma da área lateral com as áreas das bases.
r
r
Q
E D
CB
A
Q
E
CB
A
E’ D’
B’
C’
h
A’
D
r
r
Q
E D
CB
A
Q
E
CB
A
E’ D’
B’
C’
h
A’
D
31
Classificação dos prismas:
a) Segundo o número de arestas da base.
Prisma triangular: bases são triângulos
Prisma quadrangular: bases são quadriláteros
Prisma pentagonal: bases são pentágonos
b) Segundo a inclinação das arestas laterais.
Prisma reto: tem as arestas laterais perpendiculares aos planos das bases. Neste caso
as faces laterais são retângulos.
Prisma oblíquo: é aquele que não é reto.
32
c) Segundo a forma das bases.
Prisma regular é o prisma reto cujas bases são polígonos regulares.
Princípio de Cavalieri:I
Este princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm
volumes iguais se as secções planas de iguais alturas possuírem a mesma área.
Uma vez que o volume do paralelepípedo é dado por V1 = a.b.c e V2 = Ab.h o volume
do prisma também é dado pela mesma fórmula.
33
6.1.2. Área e Volume
As expressões de áreas lateral e total do prisma reto são :
A = 2p.h área lateral
At = A + 2Ab área total
E o volume é dado por, área da base vezes a altura, isto é, V = Ab.h.
Onde: h altura
2p perímetro da base
Ab área da base
Exemplo: Determine o volume e a área lateral de um prisma reto de 10 cm de altura e
cuja base é um hexágono regular de apótema cm33 .
Resolução: O volume de um prisma é dado pela área da base vezes a altura.
Primeiramente calculemos a área da base deste prisma. Vimos que a área do
hexágono é aR3 , onde 33a é o apótema e R é o lado do hexágono. Encontremos
então o R . Por Pitágoras temos que ²)²2
1(² RRa , isolando obtemos .6R Desta forma
a área do hexágono é 3546.33.3 . Portanto, o volume do prisma é
³.354010.354 cmV
34
6.2. Pirâmide
Definição: Seja um plano e um polígono contido em e um ponto V a . Pirâmide
é o poliedro limitado por um ângulo poliédrico convexo e por um plano que intercepta
todas as arestas do ângulo poliédrico.
Elementos:
Vértice: V
Base: polígono ABCDE
Arestas da base: AB, BC, CD, DE e EA
Arestas laterais: VA, VB, VC, VD e VE
Classificação:
Quanto ao número de arestas da base.
Quanto à forma da base.
V
ED
CB
A
h
V
ED
CB
A
V
ED
CB
A
h
35
6.2.1. Pirâmide regular
A pirâmide regular tem como base um polígono regular, na qual a projeção do vértice
V sobre o plano da base é o centro desse polígono.
Numa pirâmide regular as faces laterais são triângulos isósceles congruentes entre si.
Relações na pirâmide regular:
r apótema da base
ap apótema da pirâmide regular (altura da face lateral)
hal
R
hal
R
hhalal
RR
222Rha
h ap
r
h ap
r
h ap
r
222rha p
ap
al
l /2
ap
al
l /2
ap
al
l /22
22
2
paa
36
Área lateral e total da pirâmide regular:
6.2.2. Volume da pirâmide
Decomposição de um prisma triangular: todo prisma triangular é a soma de três
pirâmides triangulares de volumes iguais.
Assim o volume da pirâmide é: hAV b .3
1
ap
Ab
ap
Ab
triânguloAnA .
bt AAA
37
6.2.3. Exercícios
1. Calcular a área total e o volume de uma pirâmide quadrangular regular, cuja
altura vale 4 cm e a área da base é 36 cm2.
6.3. Cilindro
Sejam os planos e , um círculo e uma reta que fura o plano .
Cilindro é a reunião dos segmentos congruentes paralelos à reta r, como uma
extremidade nos pontos do círculo do plano e a outra no plano .
Elementos:
Raios das bases, geratriz, altura, eixo.
Classificação:
R
R
h
RO O
O’
R
R
h
RO O
O’
R
R
h
RO O
O’
r
38
6.3.1. Área lateral e área total
Área Lateral: hRA ..2
Área Total: 22..2 RhRAt
h
2 R
h
R
h
2 R
h
R
39
6.3.2. Volume do cilindro
Pelo princípio de Cavalieri tem-se:
Vcilindro = Vprisma Vcilindro = Ab . h
6.3.4. Exercícios
1. A área da base de um cilindro reto é 25 cm2 e a sua altura é o triplo do raio
da base. Calcule a área total e o volume do cilindro.
2. A área lateral de um cilindro equilátero é 400 m2. Calcule o volume do
cilindro.
3. A figura mostra uma peça cilíndrica transpassada por um furo circular do centro
de uma base ao centro da outra. Qual é o volume dessa peça?
hR.=V 2
cilindro
14 cm
40
6.4. Cone circular
Classificação
41
6.4.1. Área lateral e área total
Área Lateral: g.R.=A
Área Total: 2
t R.+g.R.=A
6.4.2. Volume do cone
Pelo princípio de Cavalieri o volume do cone é equivalente ao volume da pirâmide
assim:
Vpirâmide = Vcone
h.A3
1=V bcone h.R.
3
1=V 2
cone
42
Exemplo: No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = 10 . O
volume desse sólido é:
Para melhor resolução do problema, separaremos o sólido em duas partes, o cilindro e
o cone.
O cilindro tem como base a circunferência de raio 1 e altura 2. Assim, seu volume é 2π.
O cone tem como base a mesma circunferência, isto é, de raio 1, logo, sua área é π. Já
a sua altura h não foi dada. Para encontrá-la, temos que olhar para o triângulo
isósceles AEB, cuja altura divide a base na metade. Portanto, utilizando o teorema de
Pitágoras, temos que )²10(²1² h , logo a altura é h=3. Sendo assim, o volume do cone
é: π.
Somando o volume do cone e do cilindro, temos que o volume total é 3π.
6.5. Esfera
Definição
43
Superfície Esférica
Secção
Elementos
44
6.5.1. Área da superfície esférica
6.5.2. Volume da esfera
2R.4=A
3R.3
4=V
45
Exemplo: Um tanque de gás tem a forma de um cilindro de 4 m de comprimento,
acrescido de duas semi-esferas de raio 2 m, uma em cada extremidade, como mostra a
figura. A capacidade total do tanque, em m3, é:
Resolução:
Note que o volume deste tanque é a soma do volume do cilindro com a soma do
volume de duas semi-esferas, que é equivalente ao volume de uma esfera.
Note também que o raio da base do cilindro é o mesmo raio da semi-esfera.
Primeiro encontremos o volume do cilindro, ou seja, Vc= πr²h=π2².4=16π m³.
Agora calculemos o volume da esfera: Ve= (4/3) πr³=(4/3). π.2³= (32/3) π m³.
Desta forma o volume do tanque de gás é 16π + (32/3) π = 80/3 π m³.
6.5.3. Exercícios
1. A figura abaixo é a planificação de uma caixa sem tampa:
a. Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a capacidade dessa
caixa seja de 50 litros.
b. Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro quadrado, qual é o custo de
uma dessas caixas de 50 litros considerando-se apenas o custo da folha retangular
plana?
46
2. Na figura abaixo, vemos uma piscina de 10 m de comprimento por 6 m de
largura. Existe uma parte rasa, com 1,20 m de profundidade, uma descida e
uma parte funda, com 2 m de profundidade. Com as medidas que aparecem no
desenho, calcule o volume da piscina.
3. Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que sua
altura mede 24 cm e que o apótema da pirâmide mede 26 cm?
4. Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta
da base mede 2√3cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é
5. Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na
posição vertical, está completamente cheio com 30 m³ de água e 42 m³ de
petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, calcule a altura
da camada de petróleo.
6. Um produtor de suco armazena seu produto em caixas, em forma de
paralelepípedo, com altura de 20 cm, tendo capacidade de 1 litro. Ele deseja
trocar a caixa por uma embalagem em forma de cilindro, de mesma altura e
mesma capacidade. Para que isso ocorra, qual deve ser o raio da base dessa
embalagem cilíndrica?
7. Um produtor de suco armazena seu produto em caixas, em forma de
paralelepípedo, com altura de 20 cm, tendo capacidade de 1 litro. Ele deseja
trocar a caixa por uma embalagem em forma de cilindro, de mesma altura e
mesma capacidade. Para que isso ocorra, qual deve ser o raio da base dessa
embalagem cilíndrica?
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8. No cone reto a seguir, a geratriz (g) mede 20 cm e a altura mede 16 cm.
Determine seu volume. Considere 3
9. Em uma festa foi servido doce de leite em copinhos em forma de cones retos, cada um com a medida do diâmetro da base e da geratriz conforme figura ao lado. Sabe-se que foram consumidas 600 unidades desses docinhos. Sendo assim, determine, em litros, a quantidade de doce de leite necessária para encher todos os cones consumidos nessa festa.
10. O trato respiratório de uma pessoa é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que cada alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o diâmetro médio de um alvéolo seja, aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume total dos alvéolos de um adulto é igual a 1 618 cm3, o número
aproximado de alvéolos dessa pessoa, considerando = 3, é:
11. Um joalheiro fundiu uma esfera de ouro de raio 6 mm para transformá-la num
bastão cilíndrico reto, cujo raio da base era igual ao da esfera. Calcule o
comprimento do bastão.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
IEZZI, G. et all. Geometria Plana. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Volume 09, 8ª edição, Editora Atual, 2008.
IEZZI, G. et all. Geometria Espacial. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Volume 10, 6ª edição, Editora Atual, 2008.
KALEFF, A. M. Vendo e entendendo poliedros: do desenho ao cálculo do volume através de quebra-cabeças geométricos e outros materiais concretos. 2ª edição, EDUFF, Rio de Janeiro, 2003.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
BARBOSA, J.L.M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2006.
CARVALHO, P.C.P. Introdução à Geometria Espacial. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2005.
GARBI, G. G.. C.Q.D.. 1ª edição, Livraria da Física, 2010.
LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P., WAGNER, E. e MORGADO, A.C. A Matemática do Ensino Médio. Volume 2. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2006.
LIMA, E.L. Medida e Forma em Geometria. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 1991.
MORGADO, A.C., WAGNER, E. e JORGE, M. Geometria I. Editora VestSeller, 2009.
MORGADO, A.C., WAGNER, E. e JORGE, M. Geometria II. Editora VestSeller, 2008.
![Geometria Plana e Espacial[1]](https://img.document.onl/doc/110x75/55cf9bb0550346d033a702e3/geometria-plana-e-espacial1.jpg)
