Apostila HP 12C

MATEMÁTICA FINANCEIRA HP 12c

FACILITADOR Nelson Luiz Fernandes Bravo

Outubro/ 2010

IV

V

A CALCULADORA HP 12C

O objetivo deste material é apresentar de forma sim ples e

clara , os principais recursos disponíveis na calc uladora HP 12C , os quais

envolvem operações algébricas , funções estatística s , cálculos com datas ,

operações com percentagens e recursos aplicáveis á matemática financeira.

A fim de apresentar a mais popular calculadora fina nceira no

mercado brasileiro, foram efetuadas perguntas e res postas , do ponto de vista

de uma pessoa que acabou de tirar a calculadora da caixa.

Como há um número grande de funções e, para reduzir o

tamanho da calculadora, cada tecla possui na verdad e 3 funções.

A principal, escrita em branco no corpo da tecla (c hamada de

flag) e duas secundárias, escritas em azul, na part e inferior da tecla, e em

dourado, na parte superior. Assim, caso queira aces sar uma dessas funções,

O que são os símbolos escritos acima e abaixo das t eclas?

VI

você precisa primeiro, pressionar a tecla acionador a da função secundária

desejada e depois a mesma.

Onde [f], com a cor da tecla dourada, acionará as funções

grifadas em dourado e [g], com a cor da tecla azul, acionará as funções

grifadas em azul. Associando-se a cor da tecla de f unção a cor da função que

será utilizada.

A HP12C usa a Notação Polonesa Invertida para efetu ar as

operações. O que isso quer dizer? Enquanto em outra s calculadoras para

realizar uma conta como 5 + 2 = 7 você pressiona a s teclas nessa ordem, na

HP12C você digitará 5 ENTER 2 + e aparece o resulta do 7

A HP12C tem 5 tipos de memórias:

1. pilha operacional,

2. registradores de uso geral,

3. registradores financeiros,

4. memórias de programação

5. memórias estatísticas.

Como o próprio nome diz é um tipo de memória usado para

arquivar dados. Quem utiliza a calculadora comum co nhece esse tipo de

registrador pelas teclas M+, M-, M=.

Como a HP faz contas ? Cadê o sinal de igual ?

A HP12C possui memória?

O que é uma memória de uso geral ?

VII

A HP12C possui 20 registradores disponíveis mas ape nas os

registradores 0 1 2 3 e 4 aceitam acumulação, ou se ja, mais de um número.

Nos outros apenas uns dados pode ser arquivado.

A HP12C utiliza 4 memórias, sendo 1 principal (X) e 3

auxiliares (Y, Z e T). Falaremos muito em registrad or X, registrado em Y,

números em Z, etc... sempre se referindo aos número s armazenados nessas

memórias. Estas memórias são "colocadas" uma em cim a da outra , na

seguinte ordem, de baixo para cima: X, Y, Z, T. For mando um "stack" ou seja,

uma pilha.

Vamos supor que você está utilizando pela primeira vez a

HP12C e você digita um número e depois outro número . No visor você vê

apenas o que está digitando mas a HP vai "empurrand o" para as memórias

secundárias os números digitados anteriormente. Iss o é uma característica

muito útil como veremos adiante.

Como Limpar sua calculadora

E o que são stacks ou pilhas operacionais?

Teclas Significado f CLEAR REG (f CLX) Limpa “tudo”, exceto a memória de programação f CLEAR � Limpa os registros estatísticos, os registros da p ilha

operacional e o visor f CLEAR FIN Limpa os registros financeiros f CLEAR PRGM Limpa a memória de programação (quando no modo

PRGM) CLX Limpa os valores contidos no Visor

VIII

BREVE HISTÓRICO

De todas as máquinas financeiras atualmente disponí veis no

mercado , a HP 12 C é , provavelmente , a mais anti ga. Foi lançada em 1981,

dentro da clássica série de calculadoras 10C , comp osta pelas máquinas HP

10C , 11C , 12C , 15C e 16C, todas lançadas entre o s anos de 1981 e 1985.

Suas características principais incluem o fato de p ossuir

mais de 120 funções específicas para usos em negóci os , as quais permitem

trabalhar com 20 diferentes fluxos de caixa , opera ções com taxas internas de

retorno e valores presentes líquidos. É caracteriza da por trabalhar com lógica

RPN (do inglês REVERSE POLISH NOTATION , ou NOTAÇÃO POLONESA

REVERSA) , o que permite uma entrada mais rápida de dados e execução mais

eficiente dos cálculos. Apresenta , ainda , de ac ordo com o site da

HP ( http://www.hp.com ) , baterias de longa duração , tamanho pequeno e

conveniente , além de programação pelo teclado.

O site do HP Museum ( http://hpmuseum.org ) apresenta-a

como a calculadora que não morrerá , sendo a mais a ntiga e a mais bem

vendida calculadora de todo o mundo. Embora modelos mais novos e com

muito mais recursos tenham sido lançados posteriorm ente , as vendas da

velha HP 12C seguem de vento em popa.

Alguns catálogos de vendas destacaram a superiorid ade

mecânica de outras máquinas , como a HP 17BII (apre sentada como 15 vezes

mais rápida que a 12C e com capacidade de armazenam ento e processamento

IX

quatro vezes superior) ou a HP 19BII (15 vezes mais rápida e com capacidade

nove vezes superior de processamento de informações ).

E quais seriam as razões da persistência do uso da velha HP

12C a ponto , por exemplo , de justificar sua aplic ação em um texto escrito

longo 20 anos depois ? O próprio HP Museum apresent a algumas

justificativas:

1.) É uma calculadora puramente RPN , sem opções

algébricas para confundir o comprador , ou o usuári o. As

calculadoras mais novas , HP 17B e 19B , foram lanç adas

em versões algébricas , rapidamente substituídas pe las

versões BII , com RPN opcional ;

2.) Os compradores , geralmente profissionais ligad os a

áreas de negócios são sempre ligeiramente

conservadores , o que os torna aficcionados pela H P 12C

, já tradicional no mercado ;

3.) Possui uma excelente ( e cara ) aparência ;

4.) Como todas as outras calculadoras da série 10C , possui

uma boa e sólida aparência , “feita como um tijolo“ ,

especialmente quando comparada com outros modelos

de calculadoras disponíveis no mercado ;

5.) Já se tornou parte do “elegante uniforme do exe cutivo de

negócios“ o que a distingue facilmente dos modelos mais

baratos ;

X

6.) Talvez forneça as funções apropriadas , de form a

apropriada e pelo preço mais justo possível em virt ude

dos benefícios proporcionados , etc.

De modo geral , as duas principais características de a

calculadora poderiam ser representada por sua robus tez (bem cuidada , a

máquina dura indeterminadamente) e simplicidade (é fácil de operar ,

possuindo as principais funções necessárias em mate mática financeira , por

exemplo).

Com a evolução das planilhas eletrônicas , como o E xcel, os

usos da HP 12C ficaram limitados a rápidas operaçõe s , ou cálculos mais

simples. Didaticamente , ainda representa excelente recurso , em função de

executar as principais funções financeiras e aprese ntar um custo muito mais

baixo que o de um microcomputador portátil , por ex emplo.

XI

REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA

Os objetivos consistem em apresentar breve revisão das

principais regras e conceitos da matemática básica para a estruturação do

raciocínio e formação dos modelos a serem empregado s com o uso da HP 12

C, portanto, torna-se necessário a compreensão da m atemática básica.

OPERAÇÕES ALGÉBRICAS BÁSICAS

Antes de iniciarmos a apresentação dos conceitos ap licados à

matemática financeira e calculadoras financeiras, c onvém fazer breve revisão

de alguns conceitos básicos de matemática básica, m uito úteis em operações

da matemática financeira.

As operações algébricas básicas são : a adição , su btração,

multiplicação e a divisão. Além delas, existem outr as operações fundamentais,

como a potenciação e a radiciação.

Alguns aspectos devem ser lembrados :

• A operação de multiplicação é um resumo da operação de

adição. Ou seja, em vez de escrever 4+4+4+4+4+4, po de-se

escrever apenas, 4x6.

• A divisão corresponde à operação inversa da multipl icação.

Enquanto aquela corresponde a uma sucessão de adiçõ es,

esta é uma sucessão de subtrações. Por exemplo, 6 pode

ser subtraído de 30 cinco vezes, ou 30-6-6-6-6-6=0 , ou

30÷6=5.

XII

• A potenciação corresponde à operação resumo da

multiplicação. Em vez de fazer 4x4x4, basta represe ntar 4 ³.

A radiciação corresponde à operação inversa da

potenciação, ou seja , ³√4.

Assim, ao resolver operações algébricas, deve-se se mpre resolver

as operações na seguinte ordem :

1. Operações de potenciação ou radiciação;

2. Operações de multiplicação ou divisão;

3. Operações de adição ou subtração.

Algumas vezes, podem ser empregados parênteses, col chetes ou

chaves para indicar a prioridade de determinada ope ração. Nesses casos,

deve-se adotar a seguinte ordem :

1. Operações dentro dos parênteses;

2. Operações dentro dos colchetes;

3. Operações dentro das chaves.

Exercícios .: a) Calcule

1) 12 ⁽ ⁴⁻² ×¹⁾

2) { 4 x [ 36 - ( 6 – 4 ) ³ ] }

XIII

OPERAÇÕES COM PERCENTAGENS

As operações que envolvem percentagem são bastante simples e

usuais. Por exemplo, nas apresentações de taxas de juros, sempre se utiliza da

notação percentual.

Por exemplo.: 7%am ; 16%aa ; 8% as , etc.

Um percentual do tipo”c por cento”(%) representa c dividido por

100 ( c ÷ 100 ). O símbolo % significa que o valor está dividido por 100. Assim,

existem duas formas básicas de notação de valores :

• Forma Unitária.: exibe o número puro, permitindo operações

algébricas. Por exemplo : 0,07; 0,16; e 0,08.

• Forma Percentual. : exibe o número que deve ser dividido

por 100. Não permite operação algébrica imediata.Po r

exemplo.: 7%; 16%; e 8%.

Para converter um número para a forma percentual ba sta

multiplicá-lo 100. Para convertê-lo para a forma un itária, basta dividi-lo por

100.

Exercício.: a) Converta para a forma percentual

1) 0,37 2) 4,16 3) 1,37

b) Converta para a forma unitári a

1) 136% 2) 4.230% 3) 36,58%

Algumas vezes, é comum utilizar a expressão de para indicar uma

multiplicação. Observe os exemplos a seguir :

c) Calcule quanto vale :

XIV

1) 15% de 800 2) 40% de 30 3) 200% de 1000

Resposta.: Como valores percentuais não podem ser e mpregados em

resoluções algébricas, deve-se transformá-los para a forma unitária.

1) 15%÷100= 0,15 x 800 = 120

2) 40%÷100= 0,40 x 30 = 12

3) 200%÷100= 2,00 x 1000 = 2000

OBS.: Em operações que envolvem aumentos percentuai s, para obter o valor

final, basta multiplicar o valor inicial por (1 + v ariação percentual em forma

unitária ). Por exemplo, um carro foi comprado por R$ 23.000,00. Por quanto

deverá ser vendido, para permitir um ganho de 18% s obre o preço inicial ?

Para responder, bastaria multiplicar R$ 23.000,00 p or ( 1 + 18%), ou 23.000,00 x

( 1 + 0,18 ) = R$ 27.140,00. O mesmo raciocínio apl ica-se quando as variações

são negativas. Por exemplo, um novo modelo de DVD t em preço igual a R$

530,00. Para incentivar as vendas, a loja optou em conceder um desconto de

20%. Qual o novo preço? Para responder basta aplic ar a expressão anterior :

novo preço = 530,00 x (1 – 0,20) = R$ 424,00.

Exercícios.: d) Um corretor de imóveis vende um apa rtamento por R$

130.000,00. Sua corretagem é de 5%. Quanto ganhou ?

e) Um vendedor tem seus ganh os calculados por meio de

comissão na base de 2,8%. Tendo vendido, durante de terminado mês, o total

de R$ 210.000,00, quanto terá de salário para receb er , no mês referido ?

XV

f) Um imóvel foi adquirido po r R$ 250.000,00; de impostos foram

pagos R$ 6.000,00; ao corretor coube 5% de comissão ; foram feitas

benfeitorias no valor de R$ 25.000,00. Por quanto d eve ser vendido, para que

haja um lucro de 20% sobre o investimento inicial t otal ?

RAZÃO

O conceito de razão, em matemática básica, expressa a relação,

ou quociente, que existe entre dois valores de mesm a grandeza.

Algebricamente, pode ser representada de acordo com a equação abaixo :

Razão = Termo Antecedente Termo Conseqüen te

Por exemplo, se em uma urna existem 54 bolas pretas e 36

vermelhas, a razão entre as bolas pretas e vermelha s pode ser expressa por

meio da seguinte relação :

Razão = 54 = 3 ( antecedente) 36 2 (conseqüente)

Se por outro lado, fosse desejada a razão entre as bolas

vermelhas e pretas seria :

Razão = 36 = 2 (antecedente) 54 3 (conseqüente)

Nesta última situação, os termos antecedentes e con seqüentes

inverteram-se, da mesma forma que a razão entre amb os.

Exercício.: a) Em uma sala de aula do Ensino Univer sitário do Curso de

Administração existem 36 alunos do sexo feminino e 18 do sexo masculino.

XVI

Calcule a razão entre os alunos : 1) do sexo femini no e do sexo masculino e 2)

do sexo masculino e do sexo feminino.

PROPORÇÃO

O conceito de proporcionalidade em matemática básic a está

associado à igualdade de duas razões. Por exemplo, podemos afirmar que um

está para dois, assim como quatro está para oito. L ogo, as grandezas ½ e

⁴⁄⁸ são proporcionais. Em proporção, diz-se que o produ to dos extremos é

sempre igual ao produto dos meios.

Por exemplo : 1 = 4 ou 1÷2 = 4÷8 2 8

Já que o produto dos extremos é igual ao produto do s meios,

pode se dizer, também que : 1x8 = 2x4

Outro exemplo: sabe-se que, de cada cinco alunos de determinada faculdade ,

três desejam continuar os estudos até a pós-graduaç ão. Em uma classe

formada por 20 alunos, quantos desejam estudar até a pós-graduação? Para

encontrar a resposta, basta aplicar o conceito da p roporção. Fazendo “x” ser

igual ao número de alunos que deseja estudar até a pós-graduação, tem-se

que :

3 = k , ou tornando o produto dos extremos igual ao prod uto dos meios, 5 20

XVII

3 x 20 = 5 x “k” , assim, k = 3 x 20 = 12 alunos 5

REGRA DE TRÊS SIMPLES

O emprego da regra de três simples permite a compar ação de

duas razões ou grandezas, de forma a constituir uma proporção direta ou

inversa.

Por exemplo : se dois pares de sapatos idênticos cu stam R$ 180,00, quanto

custam cinco pares idênticos? Para solucionar, bast a estruturar o problema de

acordo com a expressão dada a seguir :

2 pares de sapatos es tão para R$ 180,00

5 pares de sapatos est ão para Y

Nesta situação, as grandezas são diretamente propor cionais. Ou

seja, espera-se que o aumento do número de pares de sapato incremente,

também , o custo associado. Para resolver o problem a e encontrar o valor de

Y, basta aplicar o conceito de proporções :

2 ÷ 180,00 = 5 ÷ Y , como o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, temos : Y = 180,00 x 5 = R$ 450,00 , ou seja , os cincos pares de

2 tênis custam R$ 450,00.

XVIII

POTENCIAÇÃO

A operação de potenciação representa um resumo das operações

de multiplicação. Por exemplo, em lugar de escrever e executar 4x4x4x4x4,

pode-se escrever simplesmente 4 ⁵.

Geralmente, o termo que está sendo multiplicado rec ebe o nome

de “BASE”, e o número de multiplicações recebe a de nominação de

“EXPOENTE”.

Base ←4⁵→Expoente

RADICIAÇÃO

Da mesma forma que a subtração corresponde à operaç ão inversa

à adição, a radiciação corresponde à operação opost a à da potenciação. Ou

seja, se 5 elevado ao quadrado é igual a 25, a raiz quadrada de 25 é 5.

Genericamente, os componentes de uma operação de ra diciação podem ser

demonstrados como :

Índice

↑┌→ radical

²√25 = 5 →resultado ou raiz

└→ radicando

XIX

LOGARITMOS

Se X٧ = Z, pode-se dizer que o logaritmo de Z na base X é igual a Y

, ou expressando algebricamente :

Logaritmando

• LOG×Z = Y

• Base

Para a solução ser possível , a v ariável Z deve ser positiva, ou Z > 0.

Por exemplo.: Se 10 ² = 100, pode-se dizer que o logaritmo de 100 na base 10 é

igual a 2. Expressando algebricamente, LOG ¹º 100 = 2 , OU LOG 100 = 2.

EQUAÇÕES

As equações são representadas por meio de alegações de

igualdade, em que se deseja obter um valor desconh ecido. Por exemplo, uma

mercadoria , antes de sofrer um aumento de preço, custava R$ 400,00. Após o

aumento, passou a custar R$ 430,00. De quanto foi o aumento ? Para achar o

valor do aumento, representado pela incógnita “X” , basta representar a

equação da seguinte forma : 400 + X = 430

Operando-se algebricamente os termos da equação, am bos os

lados podem ser subtraídos de 400. Assim : 400 + X – 400 = 430 – 400. Logo ,

chega-se à conclusão de que X = 430 – 400 = 30. Po rtanto, podemos assim

definir que o aumento foi de R$ 30,00.

XX

COMANDOS , FUNÇÕES E TESTES INICIAIS

1.) LIGAR E DESLIGAR A CALCULADORA

Para ligar e desligar a calculadora , basta pressio nar a tecla [ON].

[ON] → Liga a calculadora (se ela estiver desligada) ;

[ON] → Desliga a calculadora (se ela estiver ligada).

2.) AUTOTESTE DOS CIRCUITOS

Para saber se a calculadora está funcionando normal mente ,

existem alguns procedimentos de teste que podem ser efetuados , como :

2.1)TESTE AUTOMÁTICO : com a calculadora desligada , pressione e

mantenha pressionada a tecla [x] ou [+] e depois li gue a HP 12C , pressionando

a tecla [ON]. Solte a tecla [ON ] e depois a tecla [ x ] ou [ + ]. Um autoteste ser á

realizado. Se o mecanismo da máquina estiver funcio nando corretamente ,

dentro de aproximadamente 25 segundos ( durante os quais no visor será

exibida a palavra RUNNING piscando ) todos os indic adores do visor serão

exibidos ( á exceção do *(Asterisco) : que indica quando a bateria está frac a )

juntamente com todos os campos preenchidos com o nú mero 8. Se aparecer a

expressão ERROR 9 ou não aparecer nada , a calculad ora está com problemas.

2.2)TESTE SEMI-AUTOMÁTICO : com a calculadora desligada , pressione e

mantenha pressionada a tecla [ + ] e depois ligue a HP 12C , pressionando a

tecla [ ON ]. Solte a tecla [ ON ] e depois a tecla [ + ]. Para verificar TODAS as

XXI

teclas da máquina , da esquerda para a direita , de cima para baixo. Ou seja , é

necessário pressionar todas as teclas , da tecla [ n ] até a tecla [ + ] , depois da

tecla [ y² ] até a tecla [ x ] , da tecla [ R / S ] até a tec la [ - ] , pressionando , na

passagem , a tecla [ ENTER ] e , por último , da tecla [ ON ] até a tecla [ + ],

passando também pela tecla [ ENTER ]. Assim, a tecl a [ ENTER ] deverá ser

pressionada em duas passagens distintas.

De forma similar ao teste anterior , se o mecanismo da

máquina estiver funcionando corretamente , após pre ssionar todas as teclas

na ordem descrita , o visor indicará o número 12 no centro. Se aparecer a

expressão ERROR 9 , ou não aparecer nada , a calcul adora está com

problemas. ( Este teste são para as calculadoras ma is antigas ).

3.) FUNÇÕES AMARELAS E AZUIS

Como forma de economizar teclas , a HP emprega o re curso

de atribuir á mesma tecla diferentes funções. Algum as teclas apresentam

legendas em BRANCO (função principal), em AMARELO ou em AZUL. Para

empregar uma função “amarela“ é necessário pression ar a tecla [ f ] antes.

Bem como para empregar uma função “azul“ é necessár io pressionar a tecla

[g] antes.

EXEMPLO.: a tecla [ i ] apresenta duas outras funções adicion ais : a função

[ INT ] em amarelo e a função [ 12 + ]. Para usar a função [ i ] , basta pressionar

a tecla [ i ]. Para usar a função [ INT ] é necessá rio pressionar antes a tecla [ f ]

( note que o visor indicará que a tecla [ f ] foi p ressionada) e depois a tecla

XXII

[ INT ]. De forma similar , para usar a função [ 12 + ] é necessário pressionar

antes a tecla [ g ] ( note que no visor indicará qu e a tecla [ g ] foi pressionada)

e depois a tecla [ 12 + ].

Observações complementares :

Lembre-se de que , quando a tecla [ f ] ou [ g ] é pressionada ,

somente as funções em amarelo ou azul serão ativada s.

Caso as teclas [ f ] ou [ g ] tenham sido pressiona das de

forma indesejada , para cancelar a operação , basta pressionar as teclas [ f ]

[ PREFIX ] .

4.) FORMATAR EXIBIÇÃO DE CASAS DECIMAIS

Embora sempre trabalhe internamente com valores com

muitas casas decimais , a HP 12C permite a EXIBIÇÃO de um número de casas

decimais prefixado. Para fixar um número de casas d ecimais , pressione a

tecla [ f ] e depois o número de casas decimais de sejado. Por exemplo , para

trabalhar com 2 casas decimais , basta pressionar [ f ] 2. Para exibir 4 casas

decimais , pressione [ f ] 4 e assim sucessivamente .

Importante lembrar : embora EXIBA valores com um n úmero

de casas decimais predefinido , internamente a máqu ina processará um número

com um maior número de casas decimais. Em cálculos sucessivos , os valores

das etapas intermediárias exibidas no visor podem , portanto , ser diferentes do

valor final exibido. Assim , evite transcrever valo res para o papel e depois para

a calculadora.

Tente sempre usar as pilhas e os registradores da

calculadora.

XXIII

5.) SELECIONAR PONTO OU VÍRGULA

A HP 12C permite usar o ponto ( Padrão americano , ou seja o

dólar é descrito da seguinte forma : US$ 10.00 ) ou a vírgula ( Padrão brasileiro ,

ou seja o real é descrito da seguinte forma : R$ 10 ,00 ) , como separador de

casas decimais. Para trocar a opção em vigor , desl igue a máquina , pressione a

tecla [ . ] e depois ligue a máquina , liberando pr imeiro a tecla [ ON ] e depois a

tecla [ . ] . Automaticamente , a HP 12C trocará o separador de casas decimais.

6.) NOTAÇÃO DE NÚMEROS MUITO GRANDES OU MUITO PEQUE NOS.

A HP permite a realização de cálculos com números q ue

sejam maiores que 10 e menores que 10 .Já que o visor só permite a

exibição de números com até 10 algarismos , números muito grandes ou muito

pequenos são exibidos sob a forma de notação cienti fica , onde a mantissa é

apresentada primeiramente e , depois , o expoente d e 10 que multiplica a

mantissa. Por exemplo , 14 milhões multiplicados po r 24 milhões será exibido

na HP como [ 3,360000 14 ]. Note a existênc ia de espaço entre 3,360000 e

14.O primeiro número [3,360000] é a mantissa e o se gundo [ 14 ] é o expoente

de 10 que está multiplicando a mantissa. De outra f orma : 14.000.000 x

24.000.000 = 336.000.000.000, que é igual a 3,36000 0 x 10¹⁴.

Um forma de trabalhar com valores muito grandes na HP é

viabilizada pela tecla [ EEX ], que representa o ex poente de 10 que multiplica o

número que está sendo digitado.

XXIV

7.) INDICAÇÃO DE BATERIA FRACA

Caso a bateria da máquina esteja fraca , aparecerá um

indicador * (asterisco) piscando no canto inferior esquerdo. Pa ra evitar um

desgaste antecipado da bateria , deve-se evitar col ocar a calculadora próxima

a fontes de campos eletromagnéticos , como alto-fal antes automotivos ,

aparelhos de som , televisores , etc.

8.) LÓGICA RPN E PILHAS

As duas principais características das calculadoras HP 12C

consistem na lógica RPN (no inglês , REVERSE POLISH NOTATION , ou

NOTAÇÃO POLONESA REVERSA) e na pilha de registrador es.

8.1.) LÓGICA RPN ⇒⇒⇒⇒ Note que a HP 12C não possui uma das principais te clas

de calculadoras algébricas comuns , que é a tecla d e [ = ] igualdade. A razão

dessa inexistência consiste no fato de a HP trabalh ar com uma lógica

matemática diferente : a lógica RPN. Enquanto em um a operação algébrica

comum os operandos devem ser intercalados por oper adores, na lógica RPN

os operandos devem ser colocados primeiramente e , depois devem ser

colocados os operadores.

A lógica RPN (segundo o HP Museum) , foi criada com base

nos trabalhos apresentados por JAN LUKASIEWICZ , ma temático polonês ,

nos anos 20. Consiste , basicamente , em um sistem a lógico formal que

permite a especificação de expressões matemáticas sem o uso de parênteses

XXV

, por meio da colocação dos operadores antes (notaç ão prefixada) , ou depois

( notação pós-fixada ) , dos operandos.

A notação prefixada recebeu o nome de Notação Polon esa ,

em homenagem a JAN LUKASIEWICZ. A HP ajustou a not ação pós-fixada para

o teclado das calculadoras , mediante o uso de pilh as para armazenamento

dos operandos e funções especificas para o manuseio das pilhas. Assim ,

denominou a lógica criada de NOTAÇÃO POLONESA REVER SA , ou

simplesmente , RPN , mantendo a homenagem a JAN LU KASIEWICZ.

Por exemplo , para somar 5 e 4 em uma operação algé brica

deve-se fazer 5+4=9. Em uma operação com lógica RPN , é necessário entrar

com o 5 e o 4 e , depois , com o operador da adiçã o. Para poder separar os

números ( isto é , indicar para a calculadora que o 4 e o 5 são dois números

distintos e não 45 ) , a HP disponibiliza a tecla [ ENTER ] . Assim , para somar

5 e 4 na HP será necessário pressionar as teclas 5 [ ENTER ] 4 [ + ]. No visor

aparecerá a resposta 9 .

EXERCÍCIOS.: Calcule na HP 12C os resultados das op erações :

a) 145 + 152 =

b) 123 –189 =

c) 47 x 5,21 =

d) 4 ÷ 4,23 =

XXVI

8.2.) PILHAS DE REGISTRADORES

Outra característica da HP é representada pela pilh a de

registradores. Embora apenas um dos registradores d a máquina seja sempre

exibido (o visor , também denominado registrador x) , existem outros ,

dispostos em forma de “pilha“ , que permitem e faci litam a realização de

cálculos sucessivos.

Conforme foi dito anteriormente , o visor é denomin ado

registrador X. Além dele , existem outros registrad ores , como o Y , Z e T.

Quando um número é digitado na máquina , ele é , au tomaticamente inserido

no registrador X ( visor ). Ao pressionar a tecla [ ENTER ] , o número é

duplicado , sendo seu valor copiado para o registra dor Y. As operações da

máquina são quase sempre efetuadas com os registrad ores X e Y . Assim ,

sugere-se que , antes de iniciar operações sucessiv as na HP a limpeza da

pilha. Para limpar a pilha , basta pressionar as te clas [ f ] [ REG ] .

A tecla [ ENTER ] consiste no principal mecanismo p ara a

operação de pilhas com a HP 12C. Ao pressionar [ EN TER ] , os registradores

são “empurrados “ para cima na pilha, sendo o conteúdo do visor

( registrador X ) duplicado. Quando as operações sã o efetuadas , a calculadora

opera os registradores X e Y , mantendo o resultado no visor ( registrador X ) .

É importante destacar que a única ocasião em que a

tecla [ ENTER ] deve ser pressionada é quando se deseja dois números que

estão sendo introduzidos consecutivamente , um núme ro imediatamente após o

outro. Apenas nessas ocasiões o [ ENTER ] deve ser utilizado.

XXVII

A operação de adição entre o 4 e o 5 da calculadora poderia

ser representado como :

Sequência das teclas :

a) Limpar a pilha com a função [ f ] [ REG ]

b) Digita-se o valor do primeiro operando : 5. Nota -se que o valor

foi armazenado no registrador X;

c) Separa-se a entrada dos operandos 5 e 4 com a tecla

[ ENTER ] ;

d) Digita-se o valor do segundo operando : 4 . Nota -se que o valor

foi armazenado no registrador X ;

e) Solicita-se a operação desejada : soma mediante o operador

[ + ]. Nota-se que o registrador Y foi adicionado a o registrador

X. No visor ( registrador X ), é fornecido o result ado : 9 .

É importante ressaltar a importância da pilha na re alização de

cálculos seqüenciais. Por exemplo , a operação ( 45 + 5 ) ÷ ( 17 – 12 ) pode ser

feita de forma simples na HP , mediante o uso da pi lha. Note que na HP , em

função da pilha , não é necessário o uso de parênte ses.

Solução.: 45 [ ENTER ] 5 [ + ]

17 [ ENTER ] 12 [ - ]

Divisão ÷

Resultado .: No visor 10

XXVIII

Exercícios .: Calcule com o auxilio da pilha de re gistradores

da HP 12C , as seguintes operações :

a) ( 80 – 50 ) = ( 36 ÷ 7 )

b) ( 56 ÷ 6 ) x 5 =

c) [ ( 45 ÷ 9 ) – 3 ] = { [ ( 29 x 3 ) ÷ 20 ) – 21 ] }

d) { 45 [ - 7 x ( 91 ÷ 9 ) ] } =

DIFICIL ! NÃO, APENAS DIFERENTE.

XXIX

8.3.) FUNÇÕES DE OPERAÇÕES DE PILHA

Algumas funções da HP são próprias para as operaçõe s que

envolvem a pilha de registradores . Deve-se destaca r :

[ R ⇓⇓⇓⇓ ] : Rola a pilha para baixo

Exemplo .: após entrar com as teclas

[ f ] [ REG ] 1 [ ENTER ] 2 [ ENTER ] 3 [ ENTER ] 4 [ ENTER ] , pode-se ver o

conteúdo da pilha mediante a rolagem para baixo.

Outras funções aplicáveis a manipulação de pilha sã o :

[ X ⇔⇔⇔⇔ Y ] Troca a posição dos registradores X e Y ;

[ LST X ] recupera o último registrador X ;

[ CLX ] limpa o registrador X ( apenas ) ;

[ f ] [ REG ] limpa todos os registradores da HP ( não apenas a

pilha ) , incluindo os registradores financeiros e os estatísticos.

8.4.) REGISTRADORES ADICIONAIS

Outro conjunto de registradores da HP pode ser util izado

mediante o emprego das teclas :

[ STO ] ⇒⇒⇒⇒ do inglês STORE , armazene. Armazenar valores

em um registrador que pode variar de 0 a 9 e .0 a . 9 ( vinte opções de memória

disponíveis ) ;

[ RCL ] ⇒⇒⇒⇒ do inglês RECALL , recupere. Recupera valores

armazenados na função [ STO ].

XXX

Por exemplo , o valor de 165,23 pode ser armazenado no

registrador 1 : digite 165,23 [ STO ] 1 . Após lim par o visor : [ CLX ] , o valor

pode ser recuperado por meio da tecla [ RCL ] : bas tando digitar o seguinte :

[ RCL ] 1 ⇒⇒⇒⇒ 165,23 ( aparecerá no visor o valor armazenado na

memória 1 .

Os registradores permitem operações matemáticas , c omo soma ,

subtração , multiplicação e divisão .

Para somar 10 ao conteúdo do registrador 1 , basta fazer

[ STO ] +1 . Em outras palavras , adicione o valor 10 ao valor que estava

armazenado no registrador 1 .

Por exemplo , suponha que seu último saldo no banco era igual a

R$ 560,00. Desde a última posição , você emitiu che ques nos valores de R$

96,00 e R$ 154,00. Além disso , efetuou um depósito no valor de R$ 420,00.

Qual o valor de seu saldo atual ?

Solução.: o saldo pode ser controlado diretamente em um dos

registradores da HP , como o registrador 1 , de aco rdo com os passos

seguintes :

PASSOS TECLAS DESCRIÇÃO

1 560 Digita-se o saldo inic ial

2 STO 1 Armazena-se o saldo 560 , no registrador 1

3 96 CHS Entra-se com o valor da pr imeira movimentação : pagamento ( sinal negativo ) com cheque no valor de R$ 96,00

XXXI

4 STO + 1 Acrescenta-se o valor no v isor ( - 96 ) ao registra dor 1 ( que era de 560 e passou a ser 464 )

5 154 CHS Entra-se com o valor da Se gunda movimentação pagamento ( sinal negativo ) com cheque no valor de R$ 154

6 STO + 1 Acrescenta-se o valor no visor ( - 154 ) ao registrador 1 ( que er a 464 e passou a ser 310 )

7 420 Entra-se com o valor da terceira movimentação: depósito no valo r de R$ 420,

8 STO + 1 Acrescenta-se o valor no visor ( 420 ) ao registra dor 1 ( cujo sald o era de R$ 310 e passou para 730 )

9 RCL 1 Recupera-se o valor arma zenado no registrador 1. No visor aparece o valor de 730.

8.5.) REGISTRADORES ESTATISTICOS

Um grupo de funções e recursos especiais da HP 12 C

permite a execução de cálculos estatísticos básicos . Para isso , é necessário

entrar com os dados necessários , empregando a funç ão [ ∑+ ]. Caso algum

valor errado tenha sido incluído , pode-se excluí-l o mediante a tecla [ ∑- ].

Naturalmente , antes de armazenar valores nos regis tradores estatísticos , é

necessário limpar o conteúdo anterior , mediante a função [ f ] [ ∑ ].

Funções estatísticas básicas :

[ f ] [ ∑ ] : limpa valores armazenados nos registradores estatísticos ;

[ ∑ + ] : acrescenta dados aos registradores estatísti cos da HP12C ;

[ ∑ - ] subtrai dados aos registradores estatísticos d a HP 12C.

É interessante observar que a HP 12C não armazena d ados

individuais , mas um conjunto de somatórios , descr ito abaixo. Dos somatórios

XXXII

armazenados é possível construir as principais medi das estatísticas , como a

média , o desvio-padrão e o coeficiente de correlaç ão :

REGISTRADOR ESTATISTICO REGISTRADOR DA HP 12C

N : Número de dados armazenados R1 : Registrador 1

∑X : Somatório de X R2 : Registrador 2

∑x² : somatório de x ao quadrado R3 : Registrador 3

∑Y : somatório de Y R4 : Registrador 4

∑y² : somatório de y ao quadrado R5 : R egistrador 5

∑XY : somatório de ( X vezes Y ) R6 : Registrador 6

Assim , para recuperar o número de elementos incluí dos nos

somatórios ( n ) , basta recuperar o registrador 1 : [ RCL ] 1 . Para recuperar o

∑ XY , basta recuperar o registrador 6 : [ RCL ] 6.

Exemplo : As vendas de uma mercearia em uma semana de

maio foram iguais a 5 , 7 , 3 , 1 e 9. Calcule , co m base nesses dados , o

somatório das vendas.

SOLUÇÃO.: Basta entrar com os valores e depois solicitar o

somatório.

PASSO TECLAS DESCRIÇÃO

1 [ f ] [ ∑ ] Limpam-se os registradores estatísticos

2 5 [ ∑ + ] digita-se o primeiro valor e se acresce nta aos

regist radores estatísticos

3 7 [ ∑ + ] digita-se o próximo valor e se acrescenta aos

XXXIII

registr adores estatísticos

4 3 [ ∑ + ] digita-se o próximo valor e se acrescent a aos

regist radores estatísticos





7 [ RCL ] 2 Recupera o val or do registrador 2 ( que representa

a somat ória de X ( ∑ X ), no visor aparecerá 25.

8.6.) REGISTRADORES FINANCEIROS

Podem ser de dois tipos básicos : registradores de série

uniformes e registradores de fluxos de caixa ( séri e não uniforme ).

Séries Uniformes : os registradores de séries uniformes são

representados pelas teclas localizadas logo abaixo do visor : [ n ] , [ i ] , [ PV ] ,

[ PMT ] e [ FV ].

Séries não uniformes : os registradores da séries não

uniformes são ativados por meio das funções [ g ] [ CFo ] e [ g ] [ CFj ] e

armazenados nos registradores numéricos. Podem ser armazenados até 20

registradores de fluxo de caixa não uniformes. As p rincipais funções são

representadas pelas teclas : [ f ] [ NPV ] e [ f ] [ IRR ].

XXXIV

8.7.) FUNÇÕES ALGÉBRICAS

As funções algébricas da HP 12C permitem a realizaç ão de

cálculos matemáticos elementares. As principais fun ções são representadas

pelos operadores algébricos básicos [ + ] , [ - ] , [ x ] e [ ÷ ], que ,

respectivamente , efetuam as operações de soma , su btração , multiplicação e

divisão.

Exercícios .: Efetue as operações relacionadas a se guir na HP 12C .

a) 58 + 76 =

b) 127 – 85 =

c) 35 + 69 + 21 + 58 =

d) 21 – 58 + 23 =

Outras funções para operações algébricas elementare s da HP

12C podem ser apresentadas por :

[ CHS ] : do inglês CHANGE SIGN , “troca de sinal “ do

registrador X , isto é , multiplica seu valor por – 1. Por exemplo , para entrar

com o valor – 105 na HP 12C é preciso colocar o val or 105 e depois trocar seu

sinal por meio da tecla [ CHS ] .

[ EEX ] : do inglês ENTER EXPOENT , introduz o exp oente ,

isto é , coloca o expoente de 10 que multiplica o n úmero que está sendo

inserido. Permite operações com números grandes. Po r exemplo : para digitar

R$ 17.000.000.000,00 , basta teclar 17 [ EEX ] 9 . De forma similar, para digitar

0,000008 na HP 12C , bastaria teclar 8 [ EEX ] [ CH S ] 6 .

XXXV

[ 1 / x ] : calcula o inverso do registrador X. Pa ra calcular ,

por exemplo , 1 / 153 , bastaria teclar 153 [ 1 / x ].

Exercícios.: Calcule os invers os de :

a) 15

b) – 32

c) 0,23

d) 48

e) – 1,56

Algumas outras funções algébricas da HP 12C permite m

operações com raízes , potências , fatoriais ou log aritmos :

[ g ] [ √x ] : calcula a raiz quadrada do registrador x . Po r

exemplo , para calcular a raiz quadrada de 7.225 , basta teclar 7225 [ g ] [ √x ].

O visor fornece a resposta : 85,0000.

[ Y² ] : calcula o registrador y elevado ao registr ador x. Por

exemplo , para calcular o cubo de 14 , basta teclar na HP 12C : 14 [ ENTER ] 3

[ y² ] . O visor fornece a resposta : 2.744,0000. P ara calcular a raiz enésima de

um número qualquer , basta elevá-lo ao inverso do í ndice da raiz . Por exemplo

, para calcular a raiz Quinta de 371,293 , basta el evar o número ao inverso de

cinco. Na HP 12C :

371293 [ ENTER ] 5 [ 1 / x ] [ y ² ]. O visor forne ce a resposta : 13,0000.

XXXVI

[ g ] [ n ! ] : calcula o fatorial do registrador d e X . Por

exemplo , para calcular 7! , basta teclar na HP 12C : 7 [ g ] [ n! ] . O visor

fornece a resposta : 5.040.0000.

[ g ] [ LN ] : calcula o logaritmo neperiano do reg istrador X.

Por exemplo , para calcular o logaritmo neperiano d e 80 , basta teclar : 80 [ g ]

[ LN ] . A HP 12C fornece o resultado : 4,3820.

É importante destacar que a HP 12C não possui a fun ção para

cálculos de logaritmos com base 10 , entretanto , p ode-se empregar uma

propriedade dos logaritmos apresentada como :

Log b = log a ou log x = In x Log b In 10

Assim para obter o lo garitmo neperiano de 100 , por exemplo

, bastaria extrair o logaritmo neperiano de 100 e d ividi-lo pelo logaritmo

neperiano de 10 . Por exemplo , na HP , bastaria fa zer : 100 [ g ] [ LN ] 10 [ LN ] [

+ ] , que é igual a 2.

Exercicios.: Calcule

a) 8²

b) 16¯ º²⁵׳

c) 72³

d) 15¯ º⁵׳

Calcule a raiz quadrada :

a) 390.625

b) 163

XXXVII

c) 489

d) 128

e) 52

Calcule os logaritmos neperianos de :

a) 500

b) 140

c) 3

d) 14

e) 58

Calcule os logaritmos de :

a) 1.000

b) 50

c) 120

d) 80

e) 2.156

Calcule o fatorial de :

a) 5

b) 7

c) 11

Caso seja necessário extrair a parte fracionária ou inteira de

determinado valor , a HP 12C disponibiliza duas fun ções especificas para estas

tarefas :

XXXVIII

[ g ] [ FRAC ] : calcula a parte fracionária do reg istrador X(isto

é , do número registrado no visor ) . Por exemplo , para extrair a parte fra

cionária de 17, 8562 , basta teclar na HP 12C : 1 7,8562 [ g ] [ FRAC ].

O visor fornece a resposta : 0,8562.

[ g ] [ INTG ] : calcula a parte inteira do registr ador X . Por

exemplo , para extrair a parte inteira de 17,8562 , basta teclar na HP 12C

17,8562 [ g ] [ INTG ]. O visor fornece : 17,0000.

Exercicios.: Calcule :

a) 400¼ =

b) LOG 17² 45¾

c) 3²

d) 5³

e) 12¼

Calcule os inversos de :

a) 4

b) 5

c) 0,25

d) 0,3745

e) 5,632

8.8.) FUNÇÕES PERCENTUAIS

São três as funções que facilitam cálculos percentuais na HP :

XXXIX

[ % ] : Calcula a percentagem fornecida no registra dor X , em

cima do registrador Y ;

[ %T ] : Calcula quantos por cento do registrador X , o

registrador Y vale ;

[ ∆% ] : Calcula a variação percentual existente entre os

registradores Y e X , nessa ordem.

Calcule :

a) 25% de 280 =

b) 37% de 782 =

c) 450 + 25% de 450 =

d) 156 – 18% de 156 =

Exercício .: Calcule a evolução percentual , com ba se no

primeiro valor fornecido , dos preços de tonelada d o minério de ferro

apresentada a seguir :

VALOR EVOLUÇ ÃO %

1.256,71 -

1.352,77 A

1.455,20 B

1.578,16 C

Solução.: A) 1.256,71 [ ENTER ] 1.352,77 [ %T ] = 107,6438

B) 1.256,71 [ ENTER ] 1. 455,20 [ %T ] = 115,7944

C) 1.256,71 [ ENTER ] 1.578,16 [ %T ] = 125,5787

Exercícios.: Calcule a variação percentual dos gastos de

uma família relacionados a seguir. Qual item apres entou maior crescimento ?

XL

DESCRIÇÃO 1990 1991 VARIAÇÃO %

Alimentação 400 460 a

Vestuário 260 320 b

Moradia 380 470 c

Solução.: a) 400 [ ENTER ] 460 [ ∆% ] = 15

b) 260 [ ENTER ] 320 [ ∆% ] = 23,0769

c) 380 [ ENTER ] 470 [ ∆% ] 23,6842 . Logo , o item moradia

apresentou maior crescimento.

8.9.) FUNÇÕES DE DATAS

Suponha que você adquira um crediário no dia 10 e, precisa

calcular quantos dias restam até o final do mês. É necessário verificar qual dia

termina o mês (se dia 28, 30 ou 31) e subtrair a di ferença.

Você estará, na verdade, 50% certo. Na verdade, exi stem 2

métodos para calcular um intervalo entre duas datas :Tempo exato: É o referido

acima. Você verifica em que dia, exato, termina o p razo que você tem e calcula

a diferença. Por exemplo, entre 25 de abril e 27 de setembro você tem 155 dias.

Tempo aproximado ou comercial: É aquele no qual

assumimos que cada mês possui 30 dias.

Assim, pegando o intervalo de datas acima temos dec orridos

5 meses de 25 de abril a 25 de setembro (ou seja 15 0 dias) mais 2 dias até 27

de setembro e temos como total 152 dias.

XLI

A diferença, é claro, acaba sendo mínima mas quando altas

quantias estão envolvidas um dia faz muita diferenç a. Lembre-se que, para fins

de equivalência/proporcionalidade, um ano tem 12 me ses e um mês tem 30

dias. Como você percebeu nem tudo é como parece log o de início. Sempre

preste atenção nesses pequenos detalhes.

É importante ressaltar que a HP 12C só permite cálc ulos com

datas entre 15.10.1582 á 25.11.4046. Antes de começ ar a trabalhar com

cálculos de data na HP 12C , é necessário configura r a notação empregada.

Para isso , antes de colocar as datas na máquina , deve-se selecionar uma das

opções representadas nas funções :

[ g ] [ D.MY ] : configura a HP para trabalhar no m odo de

notação , dia , mês e ano , padrão brasileiro ;

[ g ] [ M.DY ] : configura a HP para trabalhar no m odo de

notação mês , dia e ano , padrão americano.

É importante destacar que a entrada de datas na HP 12C ,

configurada para a notação D.MY , deve ser feita co m a separação do dia , com

mês e ano com um ponto . Não devem ser empregados o utros símbolos

gráficos. Por exemplo , a data 26-2-1998. Deve ser colocada na HP da seguinte

forma : 26.021998.

Como , no Brasil , é adotada a convenção de notação de

datas no formato dia , mês e ano , recomenda-se que o indicador D.MY esteja

sempre ativado.

XLII

[ g ] [ DATE ] : com base no registrador Y , calcul a a data

futura ou passada acrescida do número de dias prese nte no registrador X .

[ g ] [ ∆DYS ] : calcula o número de dias corridos existente s

entre as datas fornecidas nos registradores Y e X .

Exercicios .:

a) Um pagamento deveria ser feito em 12-04-00. Entr etanto , foi pago com

atraso em 27-05-00. Com quantos dias de atraso o do cumento foi quitado ?

Solução.:

Com a HP configurada no modo [ g ] [ D.MY ]

Note que a data deve ser digitada com a separação a penas do dia com um

ponto [ . ] .

12.042000 [ ENTER ] 27.052000 [ g ] [ ∆DYS ] = 45 dias de atraso

b) Uma pessoa nasceu em 16-8-76. Em que dia da sema na , ela nasceu ?

Solução.: 16.081976 [ ENTER ] 0 [ g ] [ DATE ] = 16 .081976 1

( Segunda – feira )

Vale lembrar que 1 – Segunda feira

2 – Terça feira

3 – Quarta feira

4 – Quinta feira

5 – Sexta feira

6 – Sabado

7 – Domingo

OBS.: O Calendário da HP 12c , é diferente do calen dário católico.

XLIII

c) Um CDB feito em 8-5-00 vence dentro de 63 dias. Quando será o resgate

dessa aplicação ?

Solução.:

08.052000 [ ENTER ] 63 [ g ] [ DATE ] = 10-07-2000 ( 1 = Segunda feira )

d) Uma pessoa, que nasceu em 20-2-78 , possuía quan tos de dias de vida

em 1-9-99 ?

Solução.:

20.021978 [ ENTER ] 01.091999 [ g ] [ ∆DYS ] = 7.863 dias

e) Faça você agora :

Calcule os prazos ( em dias corridos ) das seguinte s operações

financeiras ) :

DATA OPERAÇÃO

A B C D E F

Inicio 20-01-97 05-05-98 01-08-98 25-04-92 0 5-06-99 23-02-97

Data 30-03-97 30-06-98 01-08-99 30-03-98 05-12-99 12-12-97

f) Um titulo comprado em 1-5-99 teve prazo de 32 di as corridos. Quando

ocorreu seu vencimento ?

g) Calcule as datas em que ocorreu o vencimento das operações bancárias

relacionadas a seguir . Encontre , também o dia da semana ?

XLIV

OPERAÇÃO

DATA A B C D E F

Inicio 20-04-97 03-01-92 30-03-92 14-02-93 02-5-96 23-4-99

Prazo 12 35 180 400 365 95

8.10.) FUNÇÕES FINANCEIRAS

A seguir , serão apresentadas as principais funçõe s

financeiras da HP 12C . Todas essas funções serão abordadas com maior

profundidade durante o módulo de Matemática Financ eira. É importante

ressaltar a necessidade do correto uso de dois i ndicadores ( flags )

fundamentais nos cálculos que envolvem matemática f inanceira com o auxilio

da HP 12C :

FLAG ATIVA DESATIVA DESCRI ÇÃO

C [STO] [EEX] [STO][EEX] Quando ativado,indica a opção de cál- culo de juros compostos nas parcelas fracionárias de períodos não inteiro s. Quando não ativado, indica que n as parcelas fracionárias de períodos n ão inteiros o cálculo no regime de j uros compostos,ocorrerá mediante jur os simples!!!CUIDADO: Nos EUA , qu e comumente apresentam baixas taxas de juros ,os valores são próximos. No Brasil,com taxas de juros mais ele va- das, os valores são muito diferentes !!! BEGIN [g] [BEG] [g] [END] Quand o ativado , indica que a série a ser calculada é antecipada ( prim eira prestação paga no ato ). Quando desa - tivada, indica cálculos com séries pós tecipadas, em que o pagamento da pr i

XLV

meira prestação é diferido.

FUNÇÕES FINANCEIRAS DE SÉRIES UNIFORMES :

[ n ] : número de períodos da série ;

[ i ] : taxa da série ( válido para uniformes e não uniformes );

[ PV ] : do inglês PRESENT VALUE , valor presente d a série ;

[ PMT ] : do inglês PAYMENT, valor da prestação(ou pagamento)

da série ;

[ FV ] : do inglês FUTURE VALUE , valor futuro da s érie ;

FUNÇÕES FINANCEIRAS DE SÉRIES NÃO UNIFORMES :

[g] [Cfo] : do inglês CASH FLOW 0,armazena o fluxo de caixa na

data zero ;

[g] [CFj ] : do inglês CASH FLOW J,armazena o fluxo de caixa na

data j ( j entre 1 e 20 ) ;

[g] [ Nj ] : armazena o número de fluxos de caixas repetidos ;

[f] [ NPV ] : do inglês NET PRESENT VALUE ,calcula o valor pre-

sente liquido de um fluxo de caix a não uniforme.

XLVI

8.11.) FUNÇÕES DE PROGRAMAÇÃO

Um recurso útil da calculadora HP 12C em determinad as

situações . Consiste na possibilidade de programar a máquina. Existem várias

funções e recursos de programação , tais como :

[ R / S ] : do inglês RUN / STOP , solicita ou inte rrompe a execu- ção de um programa ; [f] [ P / R ] : do inglês PROGRAM / RUN , coloca a calculadora no modo de programação ( PROGRAM ) ou de execução ( RUN ). [f] [ PSE ] : do inglês PAUSE ,fornece uma pausa de cerca de um segundo na execução do programa ; [f] [ PRGM ] : do inglês CLEAR PROGRAM , limpa os programas registrados na memória da ca lculadora ; [g] [ GTO ] : do inglês GO TO , executa um desvio d e rotina em programa, com instrução do tip o “vá para “ ; [ SST ] : do inglês STEP , executa o programa passo a passo ; [g] [ BST ] : do inglês BACK STEP , volta um passo na execução do programa.

XLVII

CURIOSIDADE DA HP 12C

Para desligar e travar a calculadora , impossibilit ando o uso

por terceiros , pressione as seguintes teclas :

45 [ ENTER ] ON [ PMT ] simultaneamente,liberando p rimeiro ON

ON [ PMT ] simultaneamente, liberando primeiro o ON

[ 1 / x ] função inversa ou de descapitalização .

( PRONTO MÁQUINA TRAVADA )

Para retornar ou ligar novamente , basta teclar :

ON [ PMT ] simultaneamente , liberando primeiro o O N.

OUTRA FORMA :

[f] [CLX ] [ EEX ] 7 , 8

ON [PMT ] simultaneamente liberando primeiro o ON

ON [ PMT ] simultaneamente liberando primeiro o ON

[ 1 / x ] função inversa ou de descapitalização.

( PRONTO MÁQUINA TRAVADA )

Para retornar ou ligar , basta teclar :

ON [ PMT ]

XLVIII

Exercícios.:

Uma loja que trabalha com artigos importados codifi ca todos

os seus preços em dólares. Todavia , durante qualqu er operação de compra ou

quotação de preço por telefone , é necessário que o preço fornecido seja dado

em real. Crie um programa para converter , automati camente , valores em dólar

para valores em reais.

PROGRAMA PARA CONVERSÃO DE VALORES : US$ para R$

TECLAS VISOR DESCRIÇÃO

[f] [P / R ] 00- Entra no modo de programação da HP 12C

[f] [ PRGM ] 00- Lim pa os programas existentes

[ RCL ] 1 01 – 45 1 Recupe ra o valor armazenado no registrador 1 X 02 – 20 multiplica [g] [ GTO OO ] 03 – 43.33 00 volta para a primeira linha do programa [f] [ P / R ] Encerra o modo de programação da HP 12C

Antes de rodar o programa , é necessário armazenar o valor

da cotação do dólar no registrador 1. Por exemplo , imagine que a cotação do

dólar seja igual a 1,98. Qual é o valor em reais de uma mercadoria com preço

igual a US$ 7,20 ?

Com o programa abastecido , basta fazer :

1,98 [ STO ] 1 : armazena a cotação do dólar no reg istrador 1

7,20 : entra com o preço em dólar

[ R /S ] : roda o programa , convertendo US$ em R$

XLIX

Visor = 14,2560 ( resultado de US$ 7,20 convertido para R$ , com

cotação de 1,98 )

Para rodar outras vezes o programa , basta pression ar a

tecla [ R / S ].

AGORA FAÇA VOCÊ :

US$ R$ US$ R$

a) 4,80 c) 78,45

b) 12,53 d) 91,11

Exercício.: Uma pessoa gostaria de atualizar consta ntemente

seu saldo bancário em decorrência de qualquer movim entação em sua conta

corrente ( depósitos ou retiradas ). Crie um progra ma que permita atualizar , e

manter atualizado , constantemente , o saldo na con ta corrente. O programa

consistiria em :

PROGRAMA PARA ATUALIZAÇÃO DO SALDO DE CONTA CORRENT E :

TECLAS VISOR DESCRIÇÃO

[f] [ P / R ] 00- Entra no modo de programação da HP 12C

[f] [ PRGM ] 00- Li mpa os programas existentes

[ STO ] [ + ] 1 01 – 44 40 1 Acrescenta o valor de visor ao registrador 1

[ RCL ] 1 02 – 45 1 Recupera o valor armazenado no registrador 1

[g] [ GTO OO ] 03 – 43.33 00 Volta para a pri meira linha do programa

[f] [ P / R ] E ncerra o modo de programação da HP 12C

L

Para isso , deve ser abastecido o saldo inicial no registrador

1. Qualquer movimentação ( com sinal de positivo ou negativo ) seria

atualizada no saldo mediante o uso da tecla [ R / S ].

Por exemplo , para um saldo inicial de R$ 56,00 , c alcule os

saldos finais , após as seguintes movimentações :

a) Um depósito de R$ 68,00

b) Um saque de R$ 34,00

Com o programa abastecido , basta fazer :

56 [ STO ] 1 : armazena o saldo inicial no registra dor 1

68 [ R / S ] : acrescenta o valor do depósito , mos trando o novo

saldo. ( visor = 124,0000 )

34 [ CHS ] [ R / S ] : soma o valor do saque( negat ivo , tecla CHS)

mostrando o novo s aldo ( visor = 90,0000)

AGORA FAÇA VOCÊ :

Com o programa anterior abastecido , atualiza

constantemente o saldo de uma conta bancária em dec orrência das seguintes

movimentações :

a) Em 01-06-00 Saldo inicial = R$ 23,40

b) Em 02-06-00 Crédito de R$ 32,98

c) Em 03-06-00 Débito de R$ 15,12

d) Em 05-06-00 Crédito de R$ 43,44.

LI

8.12.) CÓDIGOS DE ERRO

Eventualmente na operação da HP 12C pode ocorrer al guma

falha , resultando em um procedimento incorreto , m uitas vezes indicado por

uma mensagem de erro. As principais mensagens de er ro da calculadora serão

descritas a seguir :

ERROR 0 : Erro em operações matemáticas. Exemplo: divisão

de número por zero, raiz quadrada de número negativ o , logaritmo de número

menor ou igual a zero , fatorial de número não inte iro .

ERROR 1 : ultrapassagem da capacidade de armazenamento

e processamento da máquina : a magnitude do resulta do é igual ou superior a

10100. Por exemplo , fatorial de 73. Note que a men sagem de erro não aparece

: apenas uma série de noves aparece no visor.

ERROR 2 : operações estatísticas com erro. Por exemplo ,

média com n igual a 0.

ERROR 3 : Erro no cálculo da taxa interna de retorno

( IRR ).Nesse caso , a mensagem informa que o cálcu lo é complexo , podendo

envolver múltiplas respostas , e não poderá prosseg uir , a menos que você

forneça uma estimativa para a taxa interna de retor no ( IRR ).

ERROR 4 : erro em operações com a memória da calculadora.

Por exemplo : tentativa de introdução de mais de 99 linhas de programação ;

tentativa de desvio ( GTO ) para uma linha inexiste nte em um programa ;

tentativa de operação com os registradores de armaz enamento ( R5 a R9 ou

R.0 a R.9 ) ; tentativa de utilização de um registr ador ocupado com linha de

programação.

LII

ERROR 5 : erro em operações com juros compostos.

Provavelmente , algum valor foi colocado com o sina l errado ( todos os valores

têm o mesmo sinal ) , ou os valores de i , PV e PF são tais que não existe

solução para n .

ERROR 6 : problemas com o uso dos registradores de

armazenamento. O registrador de armazenamento espec ificado não existe , ou

foi convertido em linha de programação. O número de fluxos de caixa

inseridos foi superior a 20.

ERROR 7 : problemas no cálculo da taxa interna de retorno

( IRR). Não houve troca de sinal no fluxo de caixa.

ERROR 8 : problemas com o calendário. Pode ser decorrente

do emprego de data inapropriada ou em formato impró prio ; tentativa de

adição de dias além da capacidade da máquina.

ERROR 9 : problemas no autoteste. Ou o circuito da

calculadora não está funcionando corretamente, ou a lguns procedimentos no

autoteste apresentaram falhos.

LIII

O MECANISMO DA CAPITALIZAÇÃO

SIMPLES

“Se quiseres ser rico ,não aprende só o modo de gan har, aprende, também, o modo de administrar a tua riqueza.”

Benjamim Franklin

LIV

CAPITALIZAÇÃO DE JUROS SIMPLES

O MECANISMO DA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

A boa notícia a respeito do cálculo de juros simple s é que

este é, a forma mais simples forma de cálculo na Ma temática Financeira. É

composto da seguinte fórmula :

j = C * i * n

Exemplo: Você pediu a seu chefe um empréstimo de R$10.000,0 0 e ele, vai

lhe cobrar uma taxa de juros de 5% ao mês, sobre o capital inicial 6 meses

depois você quitar sua dívida. Quanto a mais você t erá de pagar, a título de

juros? Aplicando a fórmula:

j: o que você quer descobrir

C: 10.000,00

i: 5% a.m.

n: 6 meses

Logo: j = 10000 * 0,05 * 6 = R$3.000,00

Cuidado com as taxas mensais supostamente baixas. P elo

exemplo acima, fica evidenciado que mesmo taxas peq uenas, se forem

aplicadas por um período mais ou menos longo, pode causar um verdadeiro

prejuízo ao bolso. Um grande exemplo do dia-a-dia é o Crediário.

LV

MONTANTE (JUROS SIMPLES)

Montante nada mais é do que a soma de um capital co m os

juros aplicados a ele. Pegando o exemplo da seção a nterior, o Capital inicial

(principal) era de R$10.000,00 e os juros incidente s foram de R$3.000,00 (ou

seja, M = C+j). Logo, o Montante é de R$13.000,00.

A fórmula para calcular o Montante direto é:

M = C * (1 + i * n)

Exemplo: Seu chefe, num ato de generosidade desmedida e pre ssionado

pelo Sindicato, informou que, no mês que vem, dará um aumento de 3% no

salário de todos os funcionários. Supondo-se que vo cê ganhe R$1.100,00, para

quanto irá o seu salário? Aplicando a fórmula:

M: O que você quer descobrir

C: 1.100,00

i: 3% a.m.

n: 1 mes

Logo: M = 1100 * (1 + 0,03 * 1) = R$1.133,00.

LVI

O desconto é aplicado quando um empréstimo é saldad o

antes do vencimento previsto e, claro, desde que es se desconto esteja

previsto em contrato. Assim, não vá correndo pagar todas suas contas com

um mês de antecedência, pensando que com isso você irá conseguir altos

descontos. Mesmo porque se você tiver algum dinheir o sobrando com quase

um mês de antecedência, o melhor é colocar numa apl icação rendendo até o

vencimento.

A fórmula é: d = N * i * n

Exemplo: Qual o desconto de um título no valor de R$50.000, 00, se ele for

pago 2 meses antes do vencimento à uma taxa de 5,5 % a.m.? Aplicando a

fórmula:

d: o que você quer saber

N: 50.000,00

i: 5,5% = 0,055

n: 2

Logo: d= 50000 * 0,055 * 2 = R$5.500,00 de desconto

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

LVII

Há ocasiões em que será necessário verificar se uma taxa de

juros aplicada a um capital e uma taxa de juros, ap licada para fins de

desconto, são equivalentes. Isso é fundamental para decidir se vale a pena

pagar antes, aplicar, reinvestir, etc..

A fórmula para determinar uma taxa equivalente é:

Se você tem a taxa de desconto e quer descobrir a t axa de

juros correspondente:

i / (1 – i) * n

Se você tem a taxa de juros para aplicação e quer d escobrir a

taxa de desconto correspondente:

i / (1 + i) * n

Exemplo: Vamos pegar um capital de R$60.000,00

investido a juros simples de 8% a.m. por 3 meses. Q ual a taxa de desconto

simples equivalente ? Usando a fórmula:

i / (1 + i) * n = 0,08 / 1,08 * 3 = 0,0247

Ou seja, 2,47% a.m. de desconto é equivalente a 8% a.m. para

aplicação, em regime de juros simples, num prazo de 3 meses.

Equivalência entre uma aplicação e um desconto no r egime de juros simples:

LVIII

O cálculo do valor atual está para o Desconto Simpl es como

o Montante para o cálculo de Juros Simples, ou seja , é o valor final após

calcular o desconto.

Pegando o exemplo da seção anterior, o Valor Nomin al do

título era de R$50.000,00 e o desconto incidente fo i de R$5.500,00. (ou seja,

A=N-d). Logo, o Valor Atual é de R$44.500,00.

A fórmula para o cálculo direto do Valor Atual é:

A = N * (1 – i * n)

Exemplo: Após receber sua devolução do I.R., você resolve q uitar de uma

vez as suas parcelas restantes do seu consórcio, nu m valor total de

R$72.000,00. Faltam 5 parcelas mensais e o desconto será de um 1% a.m..

Quanto você terá de pagar em dinheiro? Aplicando a fórmula:

A: o que você quer descobrir

N: 70.000,00

i: 1% a.m.

n: 5 meses

Logo: A = 70000 * (1 – 0,01 * 5) = R$66.500,00.

VALOR ATUAL / NOMINAL

LIX

Antes vamos definir o que quer dizer "taxas equival entes".

Em linguagem simples, é quando você quer verificar se duas taxas quando

aplicadas em determinado espaço de tempo em determi nada quantia têm como

resultado o mesmo valor.

E isso é fundamental, só que há diferentes formas d e avaliar

uma equivalência de taxas conforme o regime. Assim, vamos por partes ou

regime, como preferir:

Pegar a taxa e multiplicá-la (ou dividi-la) pelo pe ríodo

correspondente ao que se deseja descobrir.

Exemplo: Você tem uma taxa de 5% a.m. e quer saber quanto é equivalente

ao ano. Um ano tem 12 meses então é só multiplicar 5% por 12 e você tem 60%

a.a. O inverso também é verdadeiro: você tem uma ta xa de 15% a.m. e quer

saber quanto é ao dia. É só dividir 15% por 30 dias e você tem 0,5% a.d.

TAXAS EQUIVALENTES

Equivalência entre duas taxas no regime de juros si mples:

LX

Se você quer passar de uma unidade de tempo "menor" para

uma "maior", como de mês para ano, você eleva a tax a de juros pelo número

de períodos correspondente.

Se for o contrário, como por exemplo de ano para m ês, você

eleva ao inverso do período. Abaixo uma tabela com as conversões

necessárias:

DE PARA FÓRMULA a.m. a.a. ia = (1 + im)¹²−¹

a.d. a.m. im = (1 + id)³º−¹

a.d. a.a. ia = (1 + id)³⁶⁰−¹

a.a. a.m. im = (1 + ia)¹⁄ ¹²−¹

a.m. a.d. ia = (1 + im) ¹⁄³º−¹

a.a. a.d. id = (1 + ia) ¹⁄³⁶º−¹ Exemplo: Você tem uma taxa de 24% a.a. e quer saber quanto é equivalente

ao mês. Usando a fórmula dá aproximadamente 1,81% a .m.

Ainda descrente? Então faça uma prova de confirmaçã o: Utilize as duas taxas

sobre um valor simples como R$1.000,00 e veja se o resultado é igual. (Na

verdade há uma pequena diferença porque ocorreu um arredondamento da

casa decimal n momento de calcular)

No regime de capitalização simples , ou simplesmen te regime de

juros simples , a taxa de juros incide somente sobre o valor inicialmente

Equivalência entre duas taxas no regime de juros co mposto:

LXI

aplicado ou tomado emprestado. Por exemplo , R$ 100 ,00 aplicados a 5% ao

período , renderá sempre R$ 5,00 ( que é igual a 0, 05 x R$ 100,00 ) por período.

Em três períodos , o total dos juros será igual a 3 x R$ 5,00 = R$ 15,00.

Diagrama da capitalização :

R$ 15,00 juros R$ 115,00 Valor futuro R$ 10 0,00 Valor presente 0 1 2 3 ___________________________________________

R$ 5,00 R$ 5,00 R$ 5,00

R$ 100,00 Valor Presente

Incidência dos juros no Regime de capitalização si mples em operação de aplicação.

Outro exemplo pode ser visto na tabela abaixo , que mostra a

capitalização simples de uma aplicação no valor de R$ 800,00 , capitalizados a

taxa de 8% ao mês durante seis meses. A inicid&enc ia da taxa de juros ocorre

sempre sobre o capital inicial :

MÊS SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL

0 800,00 - 800,00

1 800,00 64,00 864,00

2 864,00 64,00 928,00

3 928,00 64,00 992,00

LXII

4 992,00 64,00 1.056,00

5 1.056,00 64,00 1.120,00

6 1.120,00 64,00 1.184,00

Assim , genericamente , os juros capitalizados por período no

regime de capitalização simples poderiam ser aprese ntados como :

JUROS = VALOR PRESENTE x TAXA

OU

J = VP x I

Onde : J → Juros VP → Valor Presente I → Taxa

Geralmente , a taxa costuma ser apresentada ao dia , ao mês ,

ao bimestre , ao trimestre , ao quadrimestre , ao s emestre ou ao ano. Para

simplificar a notação , os períodos costumam ser ab reviados , conforme

quadro abaixo :

ABREVIATURA SIGNIFICADO

a.d. ao dia

a.m. ao mês

a.b. ao bimestre

a.t. ao trimestre

a.q. ao quadrimestre

a.s ao semestre

a.a. ao ano

LXIII

Exemplo .: Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a t axa de 5%

a.m. no regime de capitalização simples.Qual o valo r dos juros ?

Solução.: Basta aplicar a fórmula : J = VP x i = 50 0 x 0,05 =

$ 25,00 ( lembre-se a taxa deve-ser operada matemat icamente sempre na forma

unitária !!!).

Na HP 12 C : 500 [ ENTER ] 5 [ % ] Visor = 25,00

Em n períodos , os juros totais serão iguais aos ju ros por

período multiplicado pelo número de períodos , ou :

J = VP x I x n

É importante ressaltar que taxa e n devem estar sem pre na mesma base ,

refletindo o mesmo período. Por exemplo , se n repr esenta o número de meses

, o i ( taxa ) deve ser expressa na forma unitária mês. Deve-se , sempre que

possível , evitar transformar o i ( taxa ). Embora no regime de capitalização

simples a transformação da taxa seja extremamente s imples. Assim , sempre

que n e i divergirem , o n deve ser colocado na mes ma base de i .

O montante ou valor futuro no regime de capitalizaç ão simples

pode ser representado como :

VF = VP + J = VP + VP x I x n = VP x ( 1 + i x n )

Onde .: VF = Valor Futuro

VP = Valor Presente

J = Juros

I = Taxa de Juros

N = Número de períodos de capitaliza ção

LXIV

PRINCIPAIS FÓRMULAS NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

VF = VP ( 1 + I x N ) Determinar o montante ou va lor futuro

VP = __ VF _____ Faz a conta inversa para que apartir de um ( 1 + i x n ) montante ou valor futu ro , cheguemos ao valor inicial ou valor presente. I = ( VF / VP – 1 ) Conhecidos os valores futuro e presente + N o período , podemos pela aplicação dessa Fórmula determina r a taxa embutida no cál- culo. N = ( VF / VP – 1 ) Conhecidos os valores futuro e presente + I a taxa , podemos pela aplicação dessa fór- Mula , determinar qual o prazo da aplicação.

LXV

CÁLCULO DE JUROS SIMPLES NA HP 12 C

A HP 12 C , opera , basicamente , no regime de juro s

compostos. Existem , porém , alguns recursos elemen tares para operação com

juros simples. Veja a função apresentada a seguir :

[ f ] [ INT ] : Calcula os juros simples ( interest ) com base na

taxa anual e no número de dias fornecidos. É import ante destacar novamente

que , em qualquer operação de matemática financeira , taxa e prazo devem

estar referenciados na mesma base. Nesse caso , por ém , a taxa é anual e o

prazo é dado em dias.

Exemplo.: Calcule os juros simples sobre uma operaç ão de empréstimo no

valor de R$ 40.000,00 , realizada por 58 dias, com uma taxa igual a 23% a.a.

Resposta.:

PASSO TECLAS DESCRI ÇÃO

01 [ f ] [ REG ] Limpa a m emória da calculadora

02 40000, [ PV ] Abastece o v alor liberado para o empréstimo

03 23 [ i ] Abaste ce a taxa anual

04 58 [ n ] Abastec e o número de dias

05 [ f ] [ INT ] Solicit a os juros obtidos com o ano comercial

06 - 1.482,2222 O visor ret orna o juros calculados com ano

formado por 360 dias

07 [ R&↓ ] [ R& ↓ ] Move a pilha de memória duas posições par a

baixo , com o propósito de recuperar os juros

calculados com o ano exato ou cívil , formado

por 365 dias.

08 - 1.461,9178 O visor ret orna os juros calculados com o ano

formado por 365 dias.

Onde : n = número de períodos da capitalização.

LXVI

Exercicios.:

1.) Um capital de R$ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. no regime de

capitalização simples por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados

durante o período de vigência da aplicação ?

2.) Qual deve ser o valor resgatado de uma aplicaçã o de R$ 1.600,00 feita a

uma taxa de 3% a.m. no regime de juros simples dura nte dois anos ?

3.) Uma empresa tomou R$ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de cinco

meses , a uma taxa de juros simples igual a 6% a.m. . Calcule o valor futuro

dessa operação ?

4.) Uma aplicação feita no regime simples , rendeu um montante igual a R$

750,00 após cinco meses , a uma taxa de 10% a.m. Qu al o capital inicial da

operação ?

5.) O valor de R$ 200,00 foi aplicado por cinco mes es , permitindo a obtenção

de R$ 400,00. Sabendo-se que o regime de capitaliza ção era o simples ,

calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação ?

6.) A quantia de R$ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de R$

68,00 feita a taxa de 2% a.m. no regime de capitali zação simples. Qual a

duração da operação ?

7.) Uma geladeira custava a vista o valor de R$ 900 ,00 , podendo ser paga em

quatro prestações no valor de R$ 250,00. Qual o val or dos juros cobrado

nesta operação ?

8.) A empresa Pague e Leve Eletrodomésticos Ltda , vende suas mercadorias

com pagamento após dois meses. Sabendo-se que deter minado produto a

LXVII

vista custa R$ 550,00 e , após dois meses, custa R$ 715,00 , calcule a taxa

de juros simples mensal obrado pela loja ?

9.) Calcule o rendimento ( ou juros )e o montante a cumulado ao final de 18

meses , de uma aplicação de R$ 68.000,00 , a uma ta xa de 3% am , no

regime de juros simples ?

10.) Em quantos períodos um capital aplicado a juro s simples de 20% ao

período , é quadruplicado ?

11.) Qual o valor que deve ser aplicado hoje a uma taxa de 4% at , para obter

R$ 16.000,00 ao final de dois anos ?

LXVIII

OPERAÇÕES DE DESCONTO

Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro , é com um o

devedor oferecer ao credor um título que comprove e ssa operação. De posse

desse título , empregado para formalizar um comprom isso que não será

liquidado imediatamente , mas dentro de um prazo pr eviamente estipulado , o

credor poderá negociar com uma instituição financei ra o resgate antecipado

desse título.

Normalmente , os títulos de crédito são :

• Nota Promissória .: Pode ser usada entre pessoas fisícas e

instituições financeiras. Consiste em título de cré dito que

corresponde á uma promessa de pagamento , em que vã o

especificados : valor nominal e a quantia a ser pag a ( que é a

divida inicial acrescida dos juros ) ; data de venc imento do

título ( em que a divida deve ser paga ) ; nome e a ssinatura do

devedor ; nome do credor e da pessoa que deverá rec eber a

importância a ser paga.

• Duplicata Mercantil . : é usada por pessoas jurídicas contra um

cliente ( que pode ser pessoa física ou jurídica ) para o qual

vendeu mercadorias a prazo , ou prestou serviços a serem

pagos no futuro ( segundo o contrato ). Da duplicat a devem

constar o aceite do cliente ; o valor nominal ; a d ata do

vencimento ; o nome de quem deverá pagar e o nome d a

LXIX

pessoa a quem deverá pagar. Uma duplicata só é lega l se for

feita com base na NOTA FISCAL.

• Letra de Câmbio. : É um título ao portador , emitido por uma

financeira em operações de crédito direto para pess oas físicas

ou jurídicas. Uma Letra de Câmbio tem especificado : valor de

resgate ( que é o valor nominal acrescido de juros ) , data de

vencimento do título e quem deve pagar.

• Cheques pré-datados.: embora não especificados pela

Legislação , têm sido cada vez mais empregados em

operações comerciais em função da facilidade operac ional do

uso. De forma similar á Letra de Câmbio, o cheque p ré-datado

deve Ter especificado : o valor nominal , a data pr ogramada

para o depósito o emitente ( quem deve pagar ).

As operações de desconto representam a antecipação do

recebimento ( ou pagamento ) de valores futuros , r epresentados por títulos.

Como , obviamente , o dinheiro tem um custo associa do ao tempo , para

antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo d e oportunidade , aplicando

um desconto. Assim o valor futuro torna-se igual ao valor presente mais o

desconto.

Note que o desconto representa os juros associados a

operação. O conceito de juros , porém , está associ ado a operações de

capitalização ( levar do presente para o futuro ) , enquanto o desconto costuma

referir-se a operação de descapitalização ( ou oper ações de desconto , trazer

do futuro para o presente ).

LXX

VP = VF - D ou D = VF - VP

Onde D = desconto

Nas operações de desconto, é comum o emprego de uma

nomenclatura em pouco diferenciada. Por exemplo, no lugar de valor futuro é

comum empregar a terminologia valor nominal. Em vez de valor presente, é

comum usar a expressão valor líquido ( ou valor rec ebido ).

As operações de desconto podem ser de dois tipos: r acional

(desconto também denominado por dentro, em que a ta xa de juros incide

sobre o valor presente) ou comercial ( desconto tam bém denominado por fora,

no qual a taxa de juros incide sobre o valor futuro ).

LXXI

DESCONTO RACIONAL NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLE S

(RCS)

No regime de capitalizaçào simples, os juros sempre incidem

sobre o valor aplicado inicialmente. Nesse regime, as operações de desconto

racional, ou por dentro, representam a aplicação di reta da fórmula de

capitalização dos juros simples, objetivando encont rar o valor presente.

Da fórmula do RCS para a obtenção do valor presente tem se:

VP = ______VF_____

(1+i.n)

Assim, o desconto pode ser apresentado como:

D = VF – VP = VF - ______VF_____ (1+i.n)

Note que nas operações de desconto racional a taxa incide

sobre o valor presente da operação. Dessa forma, o desconto racional também

é denominado desconto por dentro.

Exercício: Um título no valor nominal de R$ 500,00 , com vencimento

programado para daqui a três meses, foi descontado hoje. Sabendo que foi

LXXII

aplicado desconto racional no regime de capitalizaç ão simples, a uma taxa de

4,5% ao mês, calcule o desconto e o valor líquido r ecebido.

Resposta: R$59,47 e R$ 440,53. O valor líquido no d esconto racional

corresponde ao valor presente. Na HP12C : 500 [ENTER] 0,045 [ENTER] 3 [x] 1 [+]

[ / ] Visor �� 440,5286.

VL = VP = ______VF_____ = __500___ (1+i.n) (1+ 0,045 . 3) = 440,53; D = VF – VP = 500 – 440,53 = 59,47

A taxa da operação de desconto racional ou por dent ro é

denominada de taxa efetiva, que, como o próprio no me diz, remunera

efetivamente uma operação de desconto. Taxa efetiva é aquela que incide

sobre o valor presente no processo de capitalização .

Exercício: Uma nota promissória com valor nominal i gual a R$ 7.200,00 e com

vencimento programado para daqui a 8 meses e meio f oi descontada hoje no

banco. Sabendo que o desconto sofrido foi igual a R $ 480,00 , calcule a taxa

mensal efetiva da operação.

Resposta: Se o desconto foi igual a R$ 480,00 o val or líquido seria igual a R$

6.720,00. Na HP12C : 7200 [ ENTER ] 6720 [ / ] 1 [ - ] 8,5 [ / ] Visor �� 0,0084.

D = VF - _____VF_____ então: 480 = 7.200 - __7.200 __ , resolvendo a (1+i.n) (1 + i . 8,5) equação: i = 0,00840336

LXXIII

DESCONTO COMERCIAL E BANCÁRIO

As operações de desconto comercial e de desconto ba ncário

consistem em uma forma diferenciada de aplicação de juros simples. Em

ambas modalidades, porém, os juros incidem sobre o valor futuro ou nominal

da operação.

O desconto comercial comumente falando , é aquele v alor

que se obtem pelo cálculo dos juros simples sobre o valor nominal do

compromisso que seja saldado em n períodos antes de seu vencimento

acrescido de uma taxa prefixada cobrada sobre o val or nominal.

Ou seja, a incidência da taxa de desconto comercial dá-se

sobre o valor futuro da operação. A razão de sua ex istência consiste na

simplificação da operação de desconto. Para saber o valor do desconto, basta

multiplicar a taxa pelo valor nominal ( ou valor fu turo ) e pelo prazo da

antecipação. Em outras palavras:

D = VF . id .n

Onde: VF = valor futuro

Id = taxa de desconto comercial ou por f ora

n = número de períodos de capitalização ( ou de desconto )

Assim, o valor líquido (ou o valor presente) poderá ser expresso

como:

LXXIV

VP = VF – D = VF – VF . id . n = VF ( 1 – id . n )

Após algumas operações algébricas, as fórmulas apli cáveis

às operações de desconto comercial podem ser aprese ntadas conforme

abaixo:

VF = _____VP_____ (1 – i . n)

VP = VF ( 1 – i . n ) i = ( 1 – VP / VF ) n n = ( 1 – VP / VF ) i

Fórmulas de desconto comercial.

Exercicios Diversos

1.) O banco do Rio do Oeste opera com juros simples , descontando uma

promissória por R$ 20.000,00 , aplicando uma taxa d e desconto comercial

igual a 28% aa. Sabendo que o prazo de vencimento da promissória é de

quatro meses , determine :

a) Seu valor de resgate

b) A taxa anual de desconto racional dessa operação , empregando juros

simples.

Resposta.: a) R$ 22.058,82 b) 30,88%

2.) Um título de R$ 48.000,00 é liquidado 56 dias a ntes de seu vencimento, com

uma taxa de desconto comercial de 5,62% am. Determi neo valor a ser

LXXV

descontado do título e a taxa anual de desconto rac ional , assumundo o

regime de juros simples e o ano com 360 dias ?

Resposta.: R$ 5.035,52 e 75,34%

3.) Uma empresa possui em seu contas a receber qua tro notas promissórias

com o mesmo valor nominal de R$ 30.000,00 e vencime ntos para 30, 60 , 90

e 120 dias. Todos os títulos são descontados de aco rdo com o conceito de

desconto comercial ou bancário, no regime de juros simples. Determine a

taxa mensal de desconto comercial que deve ser apli cada nesses títulos

para que o valor presente dessa operação seja igual a R$ 108.000,00.

Resposta.: 4% am

LXXVI

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Dois ou mais capitais nominais , supostos com datas de

vencimento determinadas , dizem-se equivalentes qua ndo , descontados para

uma data focal , à mesma taxa de juros , e em idênt icas condições , produzem

valores iguais. Deve-se especificar o tipo de desco nto , pois o resultado da

operação de desconto em juros simples depende da mo dalidade adotada. A

data focal consiste na data considerada como base d e comparação dos

valores referidos a diferentes datas.

Por exemplo , para verificar se os fluxos de caixa 1 e 2

apresentados na tabela abaixo são equivalentes medi ante o desconto racional

simples a uma taxa igual a 10% am na data focal zer o , bastaria calcular o valor

presente de cada um dos valores nominais apresentad os , somando-os

posteriormente. Caso as somas sejam iguais pode-se dizer que os fluxos são

equivalentes.

Mês Fluxo de Caixa 1 Mês Fluxo de Caixa 2

1 R$ 110,00 3 R$ 65,00

2 R$ 120,00 6 R$ 240,00

VP = 110,00___ = R$ 100,00 VP = 65,00___ = R$ 50,00 ( 1 + 0,10 ) (1 + 3x0,10) VP = 120,00___ = R$ 100,00 VP = 240,00___ = R$150,00 (1 + 2x0,10) (1 + 6X0,10) TOTAL DOS VPs R$ 200,00 R$ 200,00

LXXVII

Já que a somas de cada fluxo de caixa foram iguais a R$

200,00 , pode-se dizer que ambos os fluxos são equi valentes , havendo ,

portanto , equivalência de capitais na data focal.

Exercicios.:

1.) Verifique se os fluxos de caixa apresentados no s diagramas a seguir são

equivalentes , usando o desconto racional. Consider e a data focal zero e a

taxa de 10% por período.

2.) Com base nos números apresentados nas tabelas s eguintes , verifique se

os fluxos de caixa são equivalentes, usando o desco nto racional. Considere

a data focal zero e a taxa de 10% por periodo.

Fluxo 1 Fluxo 2

Tempo VF Tempo VF

2 150,00 3 200,00

4 72,54 4 100,00

6 400,00 6 300,00

8 750,00 8 877,00

3.) Verifique os fluxos de caixa apresentados a seg uir são equivalentes , usando o desconto comercial. Considere a data focal zero e a taxa de 10% por periodo.

FLUXO 1 FLUXO 2

Tempo VF Tempo VF

1 40,00 5 140,00

2 60,00 6 200,00

3 80,00 7 540,00

4 120,00

5 200,00

LXXVIII

4.) Uma empresa possui em seu contas a receber três notas promissórias com

vencimentos previstos para daqui a dois , cinco e s eis meses e com valores

nominais respectivamente iguais a R$ 500,00 , R$ 40 0,00 e R$ 900,00. Uma

instituição financeira propôs a comprar os títulos , oferecendo R$ 300,00

hoje e mais certa importância daqui a três meses. Q ual deve ser o valor a

ser recebido daqui a três meses , de forma a tornar os fluxos equivalentes

no regime de juros simples , com uma taxa de suros simples igual a 4% am.

LXXIX

PROPORCIONALIDADE DE TAXAS DE JUROS

Pelo critério de proporcionalidade de taxa de juros , diz-se

que duas taxas de juros referidas a períodos difere ntes no RCS , são

proporcionais quando resultam no mesmo montante , o u juro , no fim do prazo

da operação , tendo incidido sobre o mesmo principa l.

Para expressar a fórmula da proporcionalidade , bas taria

operar algebricamente a expressão abaixo :

Iąąąą = iв . ( nв / n� )

Por exemplo , para achar a taxa mensal proporcional a taxa

anual igual a 18% aa , basta aplicar a fórmula :

0,18 x 1 / 12 = 0,015 ou 1,5% am.

Exercicios.:

1.) Determine as taxas semestral e anual proporcion ais a taxa de juros simples

de 3% am ?

2.) Calcule a taxa mensal proporcional de juros de :

a) 90% ao semestre

b) 220,8 % ao ano

c) 96% ao biênio

3.) Determine a taxa de juros simples anual proporc ional as seguintes taxas :

a) 2,5% am b) 56% no quadrimestre c) 32,5% para cinco meses.

LXXX

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

OU JUROS COMPOSTOS

“Os juros compostos são a mais poderosa invenção hu mana” Albert Einstein

LXXXI

MECANISMO DA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

No regime de capitalização composta ( RCC ) , ou re gime de

juros compostos , a incidência de juros ocorre semp re de forma cumulativa. A

taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do periodo

anterior.

Por exemplo, um uma operação de empréstimo de R$ 10 0,00

por três meses , a uma taxa de 60% am , os juros de cada período incidirão

sempre sobre o montante do final do período anterio r. Assim , a composição

dos valores futuros , mediante o emprego de juros s imples e compostos , pode

ser visto a seguir :

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA Tempo VF ( JS ) VF ( JC )

0 100,00 100,00

0,1 106,00 104,81

0,5 130,00 126,49

0,8 148,00 145,65

1 160,00 160,00

2 220,00 256,00

3 280,00 409,60

O valor futuro calculado no regime de capitalização composta

supera aquele obtido no regime de capitalização sim ples para períodos

superiores a unidade. Para períodos menores que 1 , o valor futuro , calculado

mediante o emprego de juros simples , é maior. Note que a forma de

capitalização de taxas de juros no regime composto impede quaisquer

operações de multiplicação ou divisão de taxas de juros. Para tornar

LXXXII

compatíveis taxas e prazos , converta sempre os prazos para a mesma base

das taxas fornecidas. Evite , mais uma vez , conver ter taxas.

Genericamente , a equação de capitalização de juro s

compostos pode ser apresentada da seguinte maneira :

VF = VP ( 1 + I )ⁿ

É importante observar que , há algum tempo , quand o não

existia a fácil disponibilidade de calculadoras fin anceiras ou planilhas

eletrônicas ou em textos destinados ao treinamento para concursos públicos –

no qual o uso de recursos como calculadoras ou plan ilhas era proibidas , os

cálculos baseavam-se em tabelas que apresentavam o fator de acumulação de

capital , ou seja , é a relação de acumulação de ca pital em detrimento ao

tempo.

Por exemplo , para uma taxa de juros igual a 14% e 20

períodos de capitalização , o valor do fator de acu mulação é igual a 13,743490 ,

ou seja , na calculadora HP 12 C →14 [ ENTER ] 100 [ / ] 1 [ + ] 20 Y ² = 13,743490

Exercício.: Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 550,00 feita por

quatro meses a uma taxa de 20% aa ?

LXXXIII

Da equação anterior , é possível deduzirem-se outra s

equações que permitam a obtenção direta do valor pr esente , da taxa ou do

prazo da operação. Veja o quadro abaixo :

VP = _____VF____ (1 + i )ⁿ

VF = VP ( 1 + i )ⁿ i = √VF/ VP – 1 = (VF / VP) ¹⁄ ⁿ –1

n = __log (VF/ VP)__ log (1 + i ) Principais fórmulas no regime de capitalização comp osta.

Exercício 1

Uma operação no regime de capitalização composta re ndeu um

montante igual a R$ 8.400,00 após 6 meses. Sabendo que a taxa da operação

foi igual a 2% a.m. , calcule o valor presente.

Resposta: Basta aplicar, diretamente, a fórmula par a obter o valor presente no

regime de juros compostos: R$ 7.458,96.

VP = ___VF___ = __8.400__ = 7.458,96

(1 + i)ⁿ (1 + 0,02)6

LXXXIV

Exercício 2

Um montante de R$ 630,00 foi obtido após a aplicaçã o de R$

570,00 a uma taxa de juros compostos igual a 3% a.m . . Qual foi a duração da

operação?

Resposta: 3,3859 meses. Para encontrar o valor, bas ta empregar a fórmula

descrita, com o auxílio de uma calculadora (para ob ter os valores dos

logaritmos):

n = __log (630/570) __ = 3,3859 log (1 + 0,03)

LXXXV

Os cálculos envolvendo juros compostos possuem uma

estrutura muito semelhante à usada nos juros simple s, como você verá.

Os juros compostos referem-se às situações em que o s juros

são integrados ao Capital, a cada cálculo. Para fac ilitar, vamos pegar um

exemplo clássico: Caderneta de Poupança. A cada mês os juros são

incorporados ao Capital e no próximo mês os juros i ncidirão sobre esse

montante e assim sucessivamente. No caso dos juros compostos, o resultado

é o próprio Montante. A fórmula é:

Cn = C * (1 + i) n

Exemplo: Uma aplicação bancária está oferecendo juros

fixos de 3% a.m. por 6 meses, sobre um valor mínimo de R$10.000,00. Quanto

renderá ao final desse período?

Aplicando a fórmula:

Cn ou M: o que você quer saber

C: 10.000,00

i: 3 % ou 0,03

n: 6

Logo: Cn = 10000 * (1 + 0,03) 6 = R$11.940,52.

JUROS COMPOSTOS

LXXXVI

O conceito de desconto em juro composto é similar a o de

desconto em juro simples. A fórmula é:

A = N * 1 / (1 + i) n

Exemplo: Suponhamos que você quer descontar um título

de R$25.000,00, 2 meses antes do vencimento, de um banco que utiliza uma taxa de juro composto de 3% a.m.. Calcule o valor a tual do título. Aplicando a fórmula:

A: o que você quer saber N: 25.000,00 i: 3 % ou 0,03 n: 2 Logo: A = 25000 * 1 / (1+0,03) 2 = R$23.564,90

DESCONTO COMPOSTO

LXXXVII

Cálculos de juros compostos na HP 12C

Conforme destacado no início desse material, a HP 1 2C

possui algumas funções muito úteis em cálculos com juros compostos.

Antes de aprender sobre as funções financeiras da H P 12C, é

preciso verificar a ativação de alguns indicadores de visor (flags) que

destacam a configuração da calculadora. Veja o quad ro.

Flag Ativa Desativa Descrição

C

[STO] [EEX]

[STO] [EEX]

Quando ativado, indica a opção de cálculo de juros Compostos nas parcelas fracionárias de períodos não inteiros (vigência da convenção linear). Quando não ativado, indica que nas parcelas fracionárias de períodos não inteiros o cálculo no regime de juros compostos ocorrerá mediante juros simples! . Cuidado: nos EUA, que comumente apresentam baixas taxas de juros, os valores são próximos. No Brasil com taxa de juros mais elevadas, os valores são muito diferentes!

BEGIN

[g] [BEG]

[g] [END]

Quando ativado, indica que a série calculadas é antecipada (primeira prestação paga no ato). Quando desativado indica cálculos com séries postecipadas, em que o pagamento da primeira prestação é diferido

Como, geralmente, no Brasil usa-se a função exponen cial,

isto é, os juros são sempre calculados em sua forma composta de

capitalização, mesmo nos períodos fracionários, é p reciso verificar se o

indicador C está aceso no visor. Caso não esteja ac eso, é preciso ativá-lo por

meio das teclas [STO] [EEX].

As principais funções financeiras da HP 12C , para operações

com juros compostos são:

LXXXVIII

[n]: número de períodos as série

[i]: taxa da séries

[PV]: do inglês present Value, valor presente da sé rie

[FV]: do inglês future Value, valor futuro da série .

Para usá-las, basta abastecer os demais registrador es e

solicitar o registrador desejado. Veja os exemplos fornecidos a seguir. Para

poder empregar os registradores financeiros, é semp re conveniente limpar os

registradores da HP antes das operações. Para isso, dvem ser pressionadas as

teclas [f] [REG] antes de quaisquer operações.

Destaca-se a importância da consideração das conven ções

dos sinais na HP 12C. Desembolsos de caixa devem se r colocados com o sinal

negativo e recebimentos com sinal positivo. No caso da convenção dos sinais

não ser respeitada e todos os parâmetros serem abas tecidos com mesmo

sinal, a HP 12C alerta o usuário com a mensagem:

Error 5: erro em operações com juros compostos. Pro vavelmente, algum valor foi colocado com o sinal errado (todos os val ores têm o mesmo sinal) ou os valores de i, PV e PF são tais que não existe solução para n.

É importante destacar que a HP 12C sempre aproxima o

cálculo do número de períodos (n) para o próximo in teiro superior.

Por exemplo, se o número de períodos exatos encontr ados

após a resolução algébrica for igual a 3,11 , a HP aproximará o resultado para o

primeiro inteiro superior, fornecendo o resultado 4 .

Dessa forma, a depender da complexidade e relevânci a da

operação, os cálculos do número de períodos (n) dev em ser conferidos

algebricamente.

LXXXIX

Esse sistema é utilizado mais em países europeus. A ssim, se

você fizer negócios com a Alemanha, Suíça e outros é bem capaz de você

encontrar esse tipo de amortização.

O que o torna diferente ? Enquanto que nos outros sistemas

de amortização os juros são pagos no vencimento, ne ste sistema os juros são

pagos antecipadamente. Ou seja, quanto você contrai o empréstimo os juros

do primeiro período são pagos; quando for pagar a 1 ª parcela pagará, também,

os juros antecipados da 2ª parcela e assim por dian te.

A prestação é calculada pela fórmula :

p = C * i / 1 - (1 - i) n Exemplo: Na compra de um apartamento de R$300.000,00, você faz um

financiamento em um banco suíço com juros de 4% a.a ., a ser pago em 5 anos.

Calcule a prestação anual.

Aplicando a fórmula: p = C * i / 1 - (1 - i) n

Logo p= 300000 * 0,04 / 1- (1 – 0,04) 5 = R$64.995,80

Ou seja, ao final você pagará R$336.979,02 em 5 pre stações,

correspondente R$300.000,00 ao valor de amortização e R$36.979,02 aos juros.

Verificamos que R$64.995,80 vezes 5 anuidades dá R$ 324.979,00 o que resulta

em uma diferença de R$12.000. Só que você paga os j uros antecipados, 4%

sobre R$300.000 é R$12.000.

SISTEMA ALEMÃO DE AMORTIZAÇÃO

XC

Mostramos abaixo uma tabela para melhor entendiment o.

Parc.

Saldo Devedor

Anuidade

Saldo

Juros

12.000,00

12.000,00

1

300.000,00

9.400,00

64.995,80

235.004,00

2

235.004,20

6.800,00

64.995,80

170.008,00

3

170.008,40

4.200,00

64.995,80

105.013,00

4

105.012,60

1.601,00

64.995,80

40.017,00

5

40.016,80

64.995,80

-24.979,00

Total = R$336.979,00

XCI

Neste sistema, o devedor obriga-se a devolver o pri ncipal em

um único pagamento, normalmente ao final, enquanto os juros são pagos

periodicamente. Nesse caso, não existem cálculos co mplexos.

Se for uma taxa de juros fixa, basta usar um cálcul o de juros

simples que você terá o total de juros, dividindo o mesmo pelo período,

obtendo os pagamentos mensais

Exemplo: Na compra de um apartamento de R$300.000,00, você faz um

financiamento em um Banco Americano com juros de 4% a.m., a ser pago em 5

meses. Calcule a prestação mensal:

Calculando: 300.000 * 4% * 5 = R$60.000,00

Ou seja, você ao final você pagará $ 360.000,00 em 5

prestações, correspondendo R$300.000,00 ao valor de amortização, paga de

uma única vez ao final do período e R$60.000,00 de juros, pagos em 5

prestações iguais de R$12.000,00

Há casos em que o cliente , não desejando pagar de uma só vez o

valor do principal, negocia com o banco a criação d e um fundo de amortização

denominado SINKING FUND de forma que, ao final do p eríodo o total de fundo

seja igual ao valor a pagar. Um tipo de caderneta d e poupança forçada vamos

assim dizer.

Ou se você preferir, divida o principal pelo número de

prestações, que você terá o valor do depósito mensa l a ser feito.

SISTEMA AMERICANO

XCII

Também conhecido como Sistema Price, em homenagem a o

economista inglês Richard Price, o qual incorporou a teoria do juro composto

às amortizações de empréstimos, no século XVIII.

Já a denominação Sistema Francês vem do fato de es se

sistema ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX.

Esse sistema caracteriza-se por pagamentos do princ ipal em

prestações iguais, periódicas e sucessivas.

Os juros são calculados sobre o saldo devedor e o v alor da

amortização é a diferença entre o valor dos juros e da prestação.


financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a s er pago em 5 meses.

Calcule a prestação mensal:

Aplicando a fórmula:

F: 300000

T: Valor das prestações

n: 5

i: 4% ou 0,04

Na HP 12c :[ f ][CLX] , 300000 [CHS][ PV] , 5 [n] , 4[ i][ PMT] = R$ 67.388,13

Ou seja, ao final você pagará R$336.940,67 em 5 pre stações,

correspondente R$300.000,00 ao valor de amortização e R$36.940,67 aos juros

Porém, para se saber qual o valor dos juros, basta digitar a

seguinte seqüência 1 [f][n], para se determinar o valor da amortização

pressionar a tecla [X��Y] e para se determinar o novo saldo devedor [ RCL]

[PV] e assim sucessivamente até a quinta parcela, onde ao final o saldo

devedor se igualará a zero.

SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (SISTEMA PRICE)

XCIII

Neste sistema, o devedor obriga-se a restituir o pr incipal em

n prestações nas quais as cotas de amortização são sempre constantes.

Ou seja, o principal da dívida é dividido pela qua ntidade de

períodos n e os juros são calculados em relação aos saldos existentes mês a

mês. A soma do valor de amortização mais o dos juro s é que fornecerá o valor

da prestação.

Não há necessidade de fórmulas complicadas mas você

precisará montar uma planilha em situações de perío dos mais ou menos

longos. Esse tipo de empréstimo é usado pelo SFH e também, em certos

casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades

governamentais.




O valor da amortização é calculado dividindo-se o p rincipal pela quantidade de

períodos, ou seja: 300.000 / 5 = 60.000.

Os juros são calculados sobre os saldos da prestaçã o, assim:

1º mês

300.000 * 4% = R$12.000,00

2º mês

240.000 * 4% = R$9.600,00

3º mês

180.000 * 4% = R$7.200,00

4º mês

120.000 * 4% = R$4.800,00

5º mês

60.000 * 4% = R$2.400,00

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE

XCIV

Os saldos são calculados subtraindo-se apenas o val or da

amortização. Por exemplo, no primeiro mês você paga rá R$72.000,00 de

prestação mas do saldo devedor será subtraído apena s o valor da amortização

que é R$60.000,00 e assim por diante.

Ou seja, você ao final você pagará R$336.000,00 em 5

prestações, sendo a primeira de R$72.000,00, a segu nda de R$69.600,00, a

terceira de R$67.200,00, a quarta de R$64.800 e a q uinta de R$62.400,00. Disso,

R$300.000, 00 corresponde ao principal e R$36.000,0 0 aos juros.

XCV

Esse sistema é baseado no SAC e no Sistema Price. N esse

caso, a prestação é igual à média aritmética entre as prestações dos dois

outros sistemas, nas mesmas condições.

Esse é o caso típico daquela frase, para que simpli ficar se

podemos complicar... na verdade é apenas mais uma f orma de se fazer um

pagamento, uma outra alternativa que o cliente tem para quitar suas dívidas.




Esse problema já foi resolvido pelos outros dois si stemas,

logo, tudo que temos a fazer é somar os valores das prestações dos dois

casos e dividir por dois.

Ou seja, você ao final você pagará $ 336.470,34 em 5

prestações, divididas da seguinte forma :

1ª - $ 69.694,06

2ª - $ 68.494,07

3ª - $ 67.294,07

4ª - $ 66.094,07

5ª - $ 64.894,07

Sabemos que R$300.000, 00 corresponde ao principal e R$36.470,34 aos juros.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM)

XCVI

BÁSICO

Juros Simples: j = C * i * n

Montante ( Juros Simples): M = C * (1 + i * n)

Juros Compostos: Cn = C * (1 + i) n

Desconto Composto: A = N * 1 / (1+i) n

Desconto Comercial Simples: d = N * i * n

Valor Atual: A = N * (1 – i * n)

EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Entre duas taxas (juros compostos):

DE PARA FÓRMULA

a.m. a.a. ia = (1 + im) * 12 - 1 a.d. a.m. im = (1 + id) * 30 - 1 a.d. a.a. ia = (1 + id) *360 - 1 a.a. a.m. im = (1 + ia) * 1 / 12 - 1 a.m. a.d. ia = (1 + im) *1 / 30 - 1 a.a. a.d. id = (1 + ia) * 1 / 360 - 1

LISTA DE FÓRMULAS

XCVII

ENTRE APLICAÇÃO E DESCONTO (SIMPLES) :

Se você tem a taxa de desconto e quer descobrir a t axa de

juros correspondente:

i / 1- i.n

Se você tem a taxa de juros para aplicação e quer d escobrir a

taxa de desconto correspondente:

i / 1+ i.n

XCVIII

TECLAS PRINCIPAIS

Entenda-se por teclas principais, aquelas cujos sím bolos estão nos corpos das teclas ou flags, em branco: ON Liga/desliga e sai do programa, mas mantêm a memória permanente. f Pressione essa tecla quando necessitar:

• acessar as funções escritas em dourado • especificar o número de casas decimais a trabalhar. Suponhamos que

você deseja trabalhar com 3 casa decimais . Pressione f e em seguida 3 e todos os números aparecerão no formato XX,000.

• usar notação exponencial. Pressione f e em seguida . (ponto decimal).

O que é notação exponencial? É uma forma de representar, de forma graficamente curta, um número "grande". Por exemplo, 17 bilhões ficaria 17.000.000.000; em forma exponencial fica 1,7 X 1010. No visor os dois zeros à direita representam o expoente.

g Pressione essa tecla quando necessitar acessar as funções escritas em azul. ENTER Coloca o número mostrado na pilha. CHS CHange Signal. Muda o sinal do número ou expoente atual. EEX Entrar EXpoente. Após pressionar essa tecla, o próximo número será

considerado como um expoente de base 10.

O que é a base de um número? De forma simplificada seria a maneira

de "contar" uma cadeia de números. Quando trabalhamos com base 10 significa

dizer que temos 10 números básicos e todos os outros são derivados deles. Por

exemplo: 50 é 5 vezes 10; 75 é 5 vezes 10 mais 5; 11 é 10 mais 1.

0-9 Números inteiros. . Ponto decimal. CLX Limpa a tela.

XCIX

+ - x ÷ Operadores aritméticos. STO STOre n. Seguido por um número, armazena na memória o valor desejado

para posterior utilização. Vamos supor que você deseja efetuar uma conta e quer guardar o

resultado. Ao invés de escrever num pedaço de papel você digita STO 1 e

arquiva na memória 1 o valor.

RCL ReCaL n. Seguido por um número, recupera da memória n e apresenta na

tela o valor armazenado naquele registro.

% Percent, ou Percentil, utilizado nos cálculos de porcentagens. Armazena também o resultado numa seção da memória que vamos chamar de Registro - Y. O que será muito útil.

∆∆∆∆ % Compara a diferença percentual entre o valor armazenado no Registro Y e o valor mostrado no visor.

%T Calcula a porcentagem que x é do número armazenado no Registro Y.

i Armazena ou calcula os juros.

n Armazena ou calcula a quantidade de períodos.

PV Armazena ou calcula o valor presente.

PMT Armazena ou calcula pagamentos.

FV Armazena ou calcula o valor futuro de pagamento. SUM+ Acumuladores de estatísticas que usam números de X e Y, registram e

armazenam nos registradores R1 ao R6. Tecle o valor y. Pressione ENTRA. Tecle o valor x. Aperte SUM+. Cada vez você pressionar SUM+, a calculadora faz a seguinte operação: O número em R1 é aumentado antes por 1, e o resultado é copiado no visor. O valor x é acrescentado ao número em R2. O quadrado do valor x é acrescentado ao número em R3. O valor y é acrescentado ao número em R4. O quadrado do valor y é acrescentado ao número em R5. O produto de x e y serão acrescentados ao número em R6.

C

yx Eleva o número no registrador Y pelo registrador X

1/x Divide 1 pelo número mostrado no registrador X

x><y Troca o conteúdo dos registradores x e y entre si

R Baixa o conteúdo das pilhas e mostra-as no visor.

SST Single STep mostra o numero da linha e o conteúdo do programa. Se utilizado em modo Programação (tecla PRGM - função secundária dourada) mostra o número e o conteúdo de todas as linhas, uma por vez. No modo Execução (RUN) executa as instruções, mostra o resultado e move para a próxima linha.

NOMENCLATURA

Afim de poupar tempo e facilitar a aprendizagem, optou-se por agrupar todas as definições dos termos usados neste documento de matemática financeira nesta sessão, ao invés de ficar enunciando-as a cada lição.

i Do inglês Interest, é usado para representar os juros envolvidos em quaisquer operações financeiras.

C Do inglês Capital, é usado para representar o Capital utilizado numa aplicação financeira.

M Do inglês aMount, é usado para representar o Montante, que é o resultado da soma do Capital com os juros.

n Nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período de tempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. Lembre-se da expressão : "levou n dias para devolver o dinheiro..."

a.d. Abreviação usada para designar ao dia

a.m. Abreviação usada para designar ao mês

CI

a.a. Abreviação usada para designar ao ano

d Do inglês Discount, é usado para representar o desconto conseguido numa aplicação financeira.

N Do inglês Nominal, é usado para representar o valor Nominal ou de face de um documento financeiro.

A Do inglês Actual , é usado para representar o valor real ou atual de um documento financeiro em uma determinada data.

BOM TRABALHO !!!

NELSON BRAVO.

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Apostila HP 12C