APOSTILA_-_IC283_e_IC284 (1)

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

Departamento de Matemática

Área Estatística

IC 283 – BIOESTATÍSTICA

IC 284 – ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL

Marcelo Jangarelli Prof. Adjunto – DEMAT/ICE/UFRRJ

Seropédica – Rio de Janeiro

Outubro – 2013

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

Departamento de Matemática

Área Estatística

IC 283 – BIOESTATÍSTICA

IC 284 – ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL

Esta apostila constitui o material básico das disciplinas IC 283 – Bioestatística e IC

284 – Estatística Experimental. Em todas as aulas serão feitas complementações

suplementares com o objetivo de atualizar, acrescentar novas informações relevantes ainda

não implementadas e facilitar o entendimento do material apresentado.

Marcelo Jangarelli Prof. Adjunto – DEMAT/ICE/UFRRJ

Seropédica – Rio de Janeiro

Outubro – 2013

Sumário

I Distribuição Amostral e Intervalo de Confiança 01

II Testes de Hipóteses 05

III Princípios Básicos da Experimentação 16

IV Delineamentos Experimentais e Teste de Comparação de Médias * 20

V Experimentos Fatoriais 37

VI Regressão Linear 42

VII Listas de Exercícios 47

VIII Gabarito 62

Referências 65

Apêndice 66

* O tópico “Delineamento em Quadrado Latino” presente no CONTEÚDO IV apenas será

abordado na Disciplina IC 284 – Estatística Experimental.

IC283 – Bioestatística e IC284 – Estatística Experimental Professor Marcelo Jangarelli – DEMAT – ICE - UFRRJ

1

CONTEÚDO I

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E INTERVALO DE CONFIANÇA

1 – INTRODUÇÃO

Ao retirarmos uma amostra aleatória de uma população e calcularmos a partir desta

amostra qualquer quantidade (medidas descritivas numéricas), encontramos a estatística, ou

seja, chamaremos os valores calculados em função dos elementos da amostra de estatísticas.

As estatísticas, sendo variáveis aleatórias, terão alguma distribuição de probabilidade,

com uma média, uma variância, etc. A Distribuição de Probabilidade de uma estatística é

denominada de Distribuição Amostral.

A Inferência Estatística tem por objetivo fazer generalização sobre uma população

com base em dados de uma amostra (Estatísticas). As populações são caracterizadas por

medidas descritivas numéricas, chamadas de parâmetros. Muitas pesquisas tem por objetivo

fazer inferência a respeito de um ou mais parâmetros da população. Essa inferência pode ser

por meio de um único valor numérico (Estimação por Ponto), por uma amplitude de valores

numéricos (Estimação por Intervalo) ou pelo simples “sim” ou “não” (Teste de Hipótese).

Como exemplo, considere uma nova marca de inseticida lançada no mercado. A

pesquisa pode ter diversos interesses: i) saber qual dose de inseticida mata 90% dos insetos

(estimação por ponto); ii) desejar um intervalo da dose com coeficiente 1 – α de confiança

para que se tenha a mortalidade de 90% dos insetos (estimação por intervalo); iii) ou ainda o

interesse poderia focar se o inseticida novo é melhor do que os já existentes no mercado

(testes de hipóteses).

A estimação por ponto utiliza a informação da amostra para chegar a um único valor

numérico ou ponto, que estima o parâmetro de interesse (parâmetro populacional). Ex: Média,

Variância, Coeficiente de Variação, etc.

A estimação por intervalo utiliza a informação da amostra para chegar a dois números,

entre os quais pretende-se que esteja o parâmetro de interesse. Caso esse intervalo esteja

associado a uma probabilidade “1 – α”, tem-se um intervalo de confiança com coeficiente de

confiança de 1 – α.


2

2 – DEFINIÇÕES

• População: é o conjunto de todos os elementos sobre os quais desejamos desenvolver

determinado estudo;

• Amostra: é uma parte desses elementos, ou seja, qualquer subconjunto da população;

• Parâmetro: é uma medida utilizada para descrever uma característica da população;

• Estatística: é uma característica da amostra, ou seja, uma estatística T é uma função

de X1, X2, X3, ..., Xn → T = f (X1, X2, X3, ..., Xn);

• Estimador: é qualquer estatística T = f (X1, X2, X3, ..., Xn) utilizada para estimar uma

quantia desconhecida. Em geral, ele é representado por uma determinada fórmula;

• Estimativa: é o valor numérico assumido pelo estimador quando os valores

observados (X1, X2, X3, ..., Xn) são considerados.

3 – DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA

A distribuição amostral de determinada estatística é a distribuição de todos os

possíveis valores que ela pode assumir, calculados a partir de todas as possíveis amostras de

mesmo tamanho.

Para determinado tamanho “n” da amostra, tomada de uma população com média “µ”,

o valor da média amostral ( X ) irá variar de uma amostra para outra. A distribuição amostral

da média é descrita para determinar o valor esperado [E( X )] e o desvio padrão [σ( X )] da

distribuição das médias. Uma vez que este desvio padrão indica a acurácia da média da

amostra como um estimador por ponto, σ( X ) é usualmente chamado de erro padrão da

média. Em geral, o valor esperado e o erro padrão da média são definidos como:

E( X ) = µ

σ( X ) = n

σ

Se o desvio padrão da população (σ) for desconhecido o erro padrão da média pode ser

estimado por meio do desvio padrão amostral (s).

s( X ) = n

s


3

4 – INTERVALO DE CONFIANÇA (IC)

A estimação por ponto é bastante útil, embora não indique nenhuma acurácia ou

precisão associada a ela. Assim, ao invés de inferirmos sobre um único valor referente ao

parâmetro populacional, podemos inferir se o verdadeiro parâmetro está contido em um

determinado intervalo compreendido entre dois valores, que representam os extremos do

intervalo (LSuperior e LInferior).

O objetivo da estimação por intervalo é gerar intervalos pequenos que incluam o

verdadeiro parâmetro populacional com alta probabilidade.

Os extremos do intervalo podem variar aleatoriamente de uma amostra para outra, pois

estão em função das médias amostrais (estimativas).

O comprimento do intervalo pode ser obtido pela diferença entre os limites superior e

inferior (LSup. – LInf.).

4.1 IC para a média (µ) de uma população normal com σ2 conhecida

P

+≤≤−

nZX

nZX

σµ

σαα

22

= 1 – α

IC (µ) 1 – α: X ± n

Zσ

α

2

Note que, o comprimento do IC também pode ser obtido pela expressão:

2.n

Zσ

α

2

Caso seja mantido os valores de “n”, “σ” e “α” o seu comprimento será fixo/constante.

Já a estimativa da média ( X ) continua sendo uma variável aleatória, determinando os

extremos do intervalo de acordo com a amostra considerada.

A interpretação do IC pode ser assim mencionada: Tem-se 1 – α (%) de confiança de

que o parâmetro populacional (µ) esteja compreendido no intervalo obtido. Ou mesmo, se

construirmos n intervalos do mesmo tipo (tamanho e nível de confiança), espera-se que em 1

– α (%) deles contenha o verdadeiro parâmetro (µ).


4

4.2 IC para a média (µ) de uma população normal com σ2 desconhecida

Se a variância populacional (σ2) não for conhecida, podemos substituir o σ( X ) por

s( X ), em que o desvio padrão amostral (s) é a raiz quadrada da variância amostral (s2).

A pressuposição da distribuição normal é garantida para amostras grandes (n ≥ 30), ou

mesmo amostras menores, desde que sua população seja normalmente distribuída e o σ

conhecido. Para amostras pequenas em que não se pode afirmar sobre sua normalidade, a

distribuição normal (Z) deve ser substituída pela distribuição t de Student.

IC (µ) 1 – α: X ± n

st

2

α … ..)1(2

lgnt −α

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1 – Uma Variável Aleatória X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10. a) Qual a P (90 < X < 110)?

b) Se X é a média de uma amostra de 25 elementos, calcular P (95 < X < 105); c) Qual tamanho deveria ter a amostra para que P (90 < X < 110) fosse obtido a 95% de

confiança? 2 – Seja X a duração da vida de uma peça de equipamento tal que σ = 5 horas. Admita que

100 peças foram ensaiadas fornecendo uma duração de vida média de X = 500 horas. a) Obter um intervalo de 95% para a média µ; b) Qual o tamanho da amostra para o intervalo obtido? “IC (µ)95%: 500 ± 1,63” c) Com a amostra de 100 peças foi obtido o intervalo 500 ± 0,765. Determinar a

confiança (%) utilizada para obter este intervalo; 3 – Em uma amostra aleatória de 25 crianças de uma determinada comunidade encontrou-se altura média 150 cm e desvio padrão 5 cm. Admitindo que a distribuição das alturas das crianças é normal, determine:

a) Um intervalo de 95% de confiança para a altura média da população; b) O comprimento do intervalo obtido na letra “a”.


5

CONTEÚDO II

TESTES DE HIPÓTESES

1 – INTRODUÇÃO

As duas principais áreas de inferência estatística são: estimação de parâmetros

populacionais e testes de hipóteses.

O objetivo dos testes de hipóteses é desenvolver métodos gerais para testar hipóteses,

aplicando tais metodologias a alguns problemas comuns. Em geral, é feita uma determinada

afirmação sobre uma população, usualmente sobre um parâmetro desta, e desejamos saber se

os resultados de uma amostra contrariam ou não tal afirmação.

Desta forma, a finalidade do teste estatístico de hipótese é fornecer ferramentas que

nos permitam validar ou rejeitar uma hipótese através dos resultados amostrais.

2 – DEFINIÇÕES

Parâmetro → é uma função de valores populacionais. Em geral, representa um valor

desconhecido associado à população;

Estimador → O estimador de um parâmetro é qualquer função das observações

amostrais (X1, X2, ..., Xn). Ele representa uma determinada fórmula de cálculo, fornecendo

valores diferentes conforme a amostra selecionada;

Estimativa → É o valor numérico assumido pelo estimador quando os valores

amostrais (X1, X2, ..., Xn) são considerados.

3 – TESTES DE HIPÓTESES

É uma regra decisória que nos permite aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com

base nos elementos de uma amostra. Estas hipóteses são, em geral, sobre parâmetros

populacionais ou relacionadas à natureza da distribuição da população.


6

3.1 Hipótese Estatística

É uma suposição referente ao valor de um parâmetro populacional que será verificada

por um teste paramétrico, ou mesmo uma afirmação quanto à natureza da população que pode

ser verificada por meio de um teste de aderência.

Exemplos de hipóteses estatísticas:

1. A média populacional da altura dos brasileiros é de 1,66 metros, isto é, µ = 1,66;

2. A proporção de brasileiros com determinada doença é de 40%, ou seja, p = 0,40;

3. A distribuição dos pesos dos alunos da UFRRJ é normal, ou seja, X ~ N (µ;σ2);

Hipóteses a serem formuladas:

3.1.1 Hipótese de Nulidade (H0)

É a hipótese a ser testada, também chamada de hipótese básica ou nula. Os testes são

construídos sobre a pressuposição de que H0 seja verdadeiro.

O teste de hipótese consiste em verificar se determinado valor estimado, a partir de

uma amostra representativa da população, difere significativamente do resultado esperado sob

H0.

Exemplos:

1. Um pesquisador informa que a produtividade média de uma cultura é de 500 kg/ha;

H0: µ = 500;

2. Duas marcas de rações (I e II) para leitões em fase de crescimento propiciam em

média o mesmo ganho de peso. H0: µ1 = µ2.

Para os dois exemplos, o raciocínio é que enquanto não houver evidências amostrais

sugerindo que tais informações não sejam verdadeiras, elas são tomadas como verídicas

(verdadeiras).

3.1.2 Hipótese Alternativa (H1)

É a hipótese que contraria H0, formulada com base no conhecimento prévio do

problema, informações de pesquisas/científicas, entre outras indagações. Considerando os

exemplos anteriores:


7

1. H1: µ > 500 ou µ < 500 ou µ ≠ 500;

2. H1: µ1 > µ2 ou µ1 < µ2 ou µ1 ≠ µ2.

No teste de hipótese, a rejeição de H0 implicará na aceitação automática de H1. Isso se

deve ao fato dessas hipóteses serem contrastantes e mutuamente excludentes,

impossibilitando que sejam simultaneamente verdadeiras.

Denomina-se teste de significância àquele utilizado para se testar tais hipóteses.

3.2 Região Crítica (RC)

É a faixa de valores da estatística do teste que nos leva a rejeição da hipótese H0, ou

seja, a RC para um teste de hipótese é a que nos leva a rejeição de H0. É válido ressaltar que o

teste estatístico é construído na suposição de que H0 é verdadeiro.

Caso o valor observado da estatística do teste (F, t, 2χ , etc.) pertença à região crítica,

rejeitamos H0, caso contrário, não rejeitamos ou aceitamos H0.

3.3 Tipos de Erros

Para qualquer decisão que tomarmos, a partir de uma amostra da população, estaremos

sujeitos a erros, pois trabalhamos com amostras e não com a população como um todo.

3.3.1 Erro tipo I ou erro α

O erro tipo I é caracterizado pelo fato de rejeitarmos H0 sendo H0 verdadeiro. Sua

probabilidade é representada por “α”, sendo denominada nível de significância do teste. Logo,

α = P (erro tipo I) = P (rejeitar H0/ H0 é verdadeiro).

3.3.2 Erro tipo II ou erro β

O erro tipo II é caracterizado pelo fato de não rejeitarmos H0 sendo H0 falso. A

probabilidade de cometermos este tipo de erro é indicada por β. Logo, β = P (erro tipo II) = P

(não rejeitar H0/ H0 é falso).


8

A tabela a seguir apresenta as probabilidades de cometermos os erros do tipo I e do

tipo II.

Decisão \ Realidade H0 é verdadeiro H0 é falso

Rejeitar H0 α 1 – β

Não rejeitar H0 1 – α β

3.4 Tipos de Testes

3.4.1 Teste Unilateral à Direita

A partir de uma valor C (ponto crítico), rejeita-se H0 se X ≥ C.

H0: µ = K

H1: µ > K

3.4.2 Teste Unilateral à Esquerda

A partir de uma valor C (ponto crítico), rejeita-se H0 se X ≤ C.

H0: µ = K

H1: µ < K

3.4.3 Teste Bilateral

Rejeita-se H0 se X ≤ C1 ou X ≥ C2.

H0: µ = K

H1: µ ≠ K

3.5 Etapas para construção de um Teste de Hipótese

1. Enunciar a hipótese nula (H0) e a hipótese alternativa (H1);

2. Especificar o nível de significância (erro I ou α) a ser utilizado, selecionando a

estatística do teste;


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3. Estabelecer o valor crítico (C) ou os valores críticos (C1 e C2) da estatística do teste

em função do nível α e das tabelas estatísticas apropriadas;

4. Determinar o valor real da estatística do teste por meio dos elementos amostrais;

5. Tomar a decisão pela não rejeição ou rejeição de H0 (conclusão) pela comparação do

valor obtido na 4ª etapa com o valor crítico (ou valores críticos) fixado (s) pela

estatística do teste na 3ª etapa.

4 – DISTRIBUIÇÃO “t” DE STUDENT E O TESTE PARA UMA MÉDIA DA

POPULAÇÃO COM DESVIO PADRÃO POPULACIONAL (σ) DESCONHECIDO

(Teste t)

Para testar hipóteses referentes à média de uma população, cujo desvio padrão

populacional (σ) é desconhecido, utiliza-se a estatística “t” (Teste t), definida por:

n

s

X

s

Xt

X

calc

µµ −=

−=

)(

. ,

que tem Distribuição de Student com n – 1 graus de liberdade (g.l.).

Hipóteses:

H0: µ = K

H1: µ > K ou

µ < K ou

µ ≠ K

Valor crítico da distribuição t:

ttab. = f [α; (n – 1)g.l.]

Tomada de decisão (conclusão):

• Se .calct ≥ ttab: Rejeita-se H0;

• Se .calct < ttab: Não Rejeita-se H0 ou Aceita-se H0.


10

OBS: A tabela da distribuição t de Student a ser utilizada em nossas aulas é bilateral. Assim,

se o teste efetuado for bilateral, entra exatamente com o α na tabela. Caso contrário, o teste

realizado seja unilateral, deve-se entrar com 2α na tabela.

5 – DISTRIBUIÇÃO “t” DE STUDENT E O TESTE PARA COMPARAR MÉDIAS DE

DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES DE POPULAÇÕES NORMAIS COM

VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS (Teste t)

Muitos problemas aparecem quando se deseja testar hipóteses sobre médias de

populações. Por exemplo, um pesquisador pode ter interesse em investigar um novo tipo de

adubo, comparando a produtividade de determinada cultura em dois períodos simultâneos, um

referente à utilização do adubo antigo e outro referente à utilização do adubo novo.

Quando as variâncias das populações são substituídas pelas variâncias das amostras,

isto é, σ2 por s2, o teste recomendado é o Teste t. A execução do teste fica na dependência se

as variâncias das populações são ou não iguais entre si, tendo assim dois casos a serem

considerados.

Seja X a medida de certo atributo dos elementos de uma população A, e Y a medida

do mesmo atributo dos elementos de uma população B. Sejam X e Y normalmente

distribuídas com variâncias desconhecidas.

Considere as hipóteses:

H0: µA = µB

H1: µA > µB ou

µA < µB ou

µA ≠ µB

Inicialmente deve-se efetuar um Teste Preliminar com o objetivo de comparar as

variâncias das duas populações, ou seja, aplicamos o Teste F.

A Distribuição F (Teste F) testa a diferença entre duas variâncias de populações

normais. Considere duas amostras, casuais e independentes, de tamanho nx e ny,

respectivamente.


11

Sejam as hipóteses:

H0’: 2

xσ = 2yσ

H1’: 2

xσ > 2yσ ou

2xσ < 2

yσ ou

2xσ ≠ 2

yσ

Para testar H0, utiliza-se a estatística “F” (Teste F), definida por:

2

2

.y

x

Calcs

sF = ,

que tem Distribuição de Fisher com (nx – 1) e (ny – 1) graus de liberdade.

OBS: Para simplificar o uso da tabela utilizaremos à expressão:

1var

var.. >→

<

>= Calccalc F

iância

iânciaF

Assim, a hipótese alternativa corresponderá a um teste unilateral à direita.

H0’: 2

xσ = 2yσ

H1’: 2

xσ > 2yσ

O valor crítico da distribuição F será estabelecido de acordo com o nível de

significância (α) e o número de graus de liberdade.

Ftab = f (α; n1 ; n2)

n1 = número de g.l. do numerador

n2 = número de g.l. do denominador


• Se Fcalc. ≥ Ftab: Rejeita-se H0’;

• Se Fcalc. < Ftab: Não Rejeita-se H0’ ou Aceita-se H0

’.

Ao testarmos as hipóteses do Teste F teremos dois casos a considerar:


12

5.1 Caso 1 ou Caso A

Quando H0’ não for rejeitada. Admitimos que as variâncias sejam iguais, cujos valores

assumidos por 2As e 2

Bs são estimativas de um mesmo valor σ2. Devemos combinar essas

variâncias ( 2As e 2

Bs ), estimando-se uma variância comum ( 2Cs ).

2As = 2).1(

1 AAA

A

A snSQDn

SQD−=→

−

2Bs = 2).1(

1 BBB

B

B snSQDn

SQD−=→

−

2Cs =

22

).1().1( 22

−+

+=

−+

−+−

BA

BA

BA

BBAA

nn

SQDSQD

nn

snsn

A seguir, testa-se H0 utilizando-se a distribuição t de Student (Teste t), definida por:

+

−=

BA

C

calc

nns

YXt

112

.

ttab. = f (α ; nA + nB – 2 g.l.)




5.2 Caso 2 ou Caso B

Quando H0’ for rejeitada. Admitimos que as variâncias sejam diferentes, não devendo

assim estimar uma variância comum. Neste caso, utilizaremos para o nosso teste, os valores

assumidos por 2As e 2

Bs .

Neste caso, a estatística t de Student (Teste t) fica definida:

B

B

A

A

calc

n

s

n

s

YXt

22.

+

−= ,

que segue distribuição “t” com n* graus de liberdade, em que n* é dado por:


13

11

2222

222

*

−

+−

+

=

B

B

B

A

A

A

B

B

A

A

n

n

s

n

n

s

n

s

n

s

n

ttab. = f (α ; n* g.l.)

OBS: Adotar como g.l. o maior valor inteiro desde que não supere o valor calculado.




6 – DISTRIBUIÇÃO “t” DE STUDENT E O TESTE PARA COMPARAR A

DIFERENÇA ENTRE AS MÉDIAS DE DUAS AMOSTRAS DEPENDENTES (DADOS

PAREADOS/EMPARELHAD0S) (Teste t)

Os procedimentos do item seis (6) são baseados na hipótese de que as duas amostras

foram coletadas independentemente uma da outra. Contudo, em muitas situações as amostras

são coletadas como pares de valores, tal como medidas sobre o mesmo indivíduo antes e

depois da aplicação de algum medicamento; sobre um mesmo animal antes e depois do

fornecimento de uma suplementação alimentar; ou também sobre uma mesma planta antes e

depois de administrar um determinado fertilizante. Referimo-nos a isto como

observações/dados emparelhados ou pareados. Contrastando com amostras independentes,

duas amostras que contém observações emparelhadas são chamadas de amostras dependentes.

Para observações emparelhadas, o teste apropriado para a diferença entre as médias

das duas amostras consiste em determinar primeiro a diferença “d” entre cada par de valores,

e então testar a hipótese nula de que a média das diferenças na população é zero (ou igual a

determinado valor ∆). Logo, do ponto de vista de cálculo, o teste é aplicado a uma única

amostra de n diferenças di.

A média e o desvio padrão da amostra de valores di são obtidos pelas fórmulas básicas

de estatística, substituindo os valores Xi por di.


14

n

d

d

n

i

i∑== 1 e

11

2

12

−

−

=∑

∑

=

=

n

n

d

d

s

n

i

n

i

i

i

d

O erro padrão da diferença média entre as observações emparelhadas é obtido por:

n

ss d

d=

Sejam as hipótese:

H0: D = 0

H1: D > 0 ou

D < 0 ou

D ≠ 0

Para testar H0, utiliza-se a estatística “t” de Student, definida por:

d

i

calcs

Ddt

−=.

Sob H0 D = 0:

n

s

d

n

s

dt

d

i

d

i

calc =−

=0

. ,

que tem distribuição “t” de Student, cujo grau de liberdade representa o número de pares

observados menos um, ou seja, (n – 1) graus de liberdade (g.l.).

ttab. = f [α; (n – 1)g.l.]





15


1 – Um fertilizante foi aplicado a uma variedade de tomate. As produções, em kg, de dez pés de tomate foram: 1,6; 1,7; 1,8; 1,4; 1,5; 1,9; 2,3; 2,1; 1,9 e 1,7 Kg. Verificar se o fertilizante proporciona uma produção superior a 1,5 kg por pé de tomate. Adotar α = 5%. 2 – Em indivíduos sadios o consumo renal de oxigênio (O2) distribui-se normalmente com média de 12 cm3/minuto. Deseja investigar, com base em cinco indivíduos portadores de certa doença, se esta tem influência no consumo renal médio de O2. Os consumos medidos para os cinco pacientes foram: 14,4; 12,9; 15,0; 13,7 e 13,5 cm3/minuto. Qual a conclusão ao nível de 1% de significância? 3 – Os dados a seguir referem-se a um experimento de competição de duas progênies de Eucalyptus saligna. Cada progênie foi cultivada em solos com características semelhantes e a avaliação das plantas foi feita pela média dos diâmetros à altura do peito (DAP) de cada parcela. Foram utilizadas dez parcelas para cada progênie. Avaliar as progênies (A e B) com relação à característica mensurada. (α = 5%)

Progênie A Progênie B Média – DAP (cm) 15,4 13,5 Variância – DAP (cm2) 2,5 3,0 Número de Parcelas 10 10

4 – Desejando saber se duas rações A e B, para determinada raça de suínos, são equivalentes ou se a ração A é superior a ração B em relação ao ganho de peso, há 11 animais sorteados ao acaso foi dado a ração A e a outros 19 a ração B. Os resultados, em kg, foram:

AX = 66 kg e 2As = 40 kg2

BX = 63 kg e 2Bs = 16 kg2

A que conclusão chegar se adotarmos o nível de significância de 5%? 5 – A Tabela abaixo apresenta dados da pressão sanguínea sistólica de dez mulheres, na faixa etária de 30 a 35 anos, que fizeram uso de anovulatório por determinado período e depois não o fez, e vice e versa. Teste a hipótese de que o uso de anovulatório não tem efeito sobre a pressão sanguínea sistólica. (α = 5%)

Anovulatório Mulheres (30 – 35 anos) Sim 111 119 121 113 116 126 128 123 122 121 Não 109 113 120 117 108 120 122 124 115 112


16

CONTEÚDO III

PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO

1 – INTRODUÇÃO

Grande parte do conhecimento que a humanidade acumulou ao longo dos séculos foi

adquirido através da experimentação. A ideia de experimentar não se limita a antiguidade,

pois também está presente no nosso dia a dia. Todos nós já aprendemos alguma coisa ao

longo da vida experimentando. Entretanto, a experimentação só se difundiu como técnica

sistemática de pesquisa há pouco mais de um século, quando foi formalizada através da

estatística (Vieira, 2006).

Entende-se por experimento uma experiência realizada sob condições previamente

estabelecidas e que opera com causas controladas. O propósito da estatística experimental é

analisar, objetivamente, os dados experimentais, isolando as causas da variação do acaso,

próprias de qualquer conjunto de dados observados (Dias & Barros, 2009).

A experimentação tem por objetivo o estudo dos experimentos, ou seja, seu

planejamento, execução, análise dos dados e interpretação dos resultados.

2 – CONCEITOS

a) Experimento ou Ensaio: é um trabalho previamente planejado seguindo

determinados princípios básicos. Nele se faz a comparação dos efeitos dos

tratamentos;

b) Tratamento: é o método, elemento ou material cujo efeito desejamos medir ou

comparar em um experimento;

c) Unidade Experimental: é a unidade que vai receber o tratamento e fornecer os dados

que deverão refletir o seu efeito;

d) Variável Resposta: é a variável (característica) mensurada no experimento utilizada

para avaliar o efeito do (s) tratamento (s);

e) Delineamento Experimental: é o plano utilizado na experimentação. Implica na

forma como os tratamentos serão designados às unidades experimentais e em um

amplo entendimento das análises a serem feitas quando todos os dados estiverem

disponíveis.


17

A pesquisa científica está constantemente se utilizando de experimentos para avaliar e

validar suas hipóteses. Apesar dos experimentos variarem de uma pesquisa para outra, todos

eles são regidos por alguns princípios básicos, necessários para que as conclusões que venham

a ser obtidas se tornem válidas.

3 – PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO

São três os princípios básicos da experimentação: Repetição, Casualização e Controle

Local.

3.1 Repetição

O princípio da repetição consiste na reprodução do experimento básico e tem por

finalidade propiciar a obtenção da estimativa do erro experimental. A repetição consiste em

aplicar determinado tratamento em várias parcelas em um mesmo experimento.

Quanto maior o número de repetições, maior será a precisão do experimento. Contudo,

esta relação é válida até determinado número de repetições, a partir do qual o incremento na

precisão não é significativo.

O número de repetições é dependente do conhecimento que o pesquisador tem sobre o

assunto e do conjunto de condições em que será realizado o experimento. O número de

tratamentos, o nível de precisão desejado, o tipo de unidade experimental a ser

estudada/utilizada e o custo da realização do experimento são alguns exemplos de fatores

limitantes ao número de repetições.

O número de repetições necessárias pode ser calculado através de fórmulas. A

aplicação de tais fórmulas exige, no entanto, que o pesquisador tenha informações estatísticas

de experimentos anteriores.

Quanto menor a diferença a ser comparada entre os tratamentos, maior deverá ser o

número de repetições para cada tratamento. Aumentando o número de repetições, menores

diferenças entre os tratamentos podem atingir a significância estatística, isto é, há um

aumento da precisão do experimento.

De acordo com Gomes (2009), os experimentos devem ter pelo menos 20 unidades

experimentais (parcelas) e 10 graus de liberdade para o erro experimental ou resíduo.


18

3.2 Casualização

O princípio da casualização tem por finalidade propiciar, a todos os tratamentos, a

mesma probabilidade de serem designados a qualquer uma das unidades experimentais. Desta

forma, seu objetivo é evitar que determinado tratamento venha a ser sistematicamente

favorecido ou desfavorecido por fatores externos nas diversas parcelas. Isto significa que a

distribuição dos tratamentos nas unidades experimentais deve ser feita ao acaso, através de

um mecanismo qualquer de sorteio.

O princípio da casualização se faz necessário para que as variações que contribuem

para o erro experimental sejam convertidas em variáveis aleatórias. Além disso, a

casualização permite obter uma estimativa válida do erro experimental, além de garantir o uso

de testes de significância por tornar os erros experimentais independentes.

É digno de nota ressaltar que sem os princípios básicos da repetição e da casualização

não existe experimentação.

3.3 Controle Local

A finalidade do controle local é dividir um ambiente heterogêneo em sub-ambientes

homogêneos, tornando o experimento mais eficiente pela redução do erro experimental. O

controle local isola fontes de variação que podem ser controladas e que normalmente seriam

incluídas no resíduo, o que acarreta a redução do erro.

O material experimental é dividido em porções homogêneas ou blocos, cada um dos

quais contendo todos os tratamentos. A formação dos blocos corresponde a uma

estratificação. A casualização dos tratamentos às unidades experimentais sofre a restrição de

ser dentro de cada bloco.

Entre os blocos poderá existir grande variabilidade. Entretanto, dentro de cada bloco a

uniformidade/homogeneidade deve ser máxima.

4 – FONTES DE VARIAÇÃO DE UM EXPERIMENTO

4.1 Premeditada

É a variação introduzida pelo pesquisador com a finalidade de fazer comparações.

Exemplo: os tratamentos.


19

4.2 Sistemática

Variação não intencional, porém de natureza conhecida. São variações inerentes ao

material experimental, que podem ser controladas pelo pesquisador. Exemplo:

heterogeneidade do solo, tamanho de semente, idade dos animais, etc.

4.3 Aleatória

São variações de origem desconhecida, que não podem ser controladas. Constituem o

erro experimental propriamente dito. São resultantes de duas fontes: variações do material

experimental e falta de uniformidade nas condições experimentais.

Ressalta-se que nem sempre é possível distinguir claramente esse tipo de variação da

variação sistemática.


20

CONTEÚDO IV

DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS E TESTE DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS

1 – DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC)

É o tipo de delineamento mais simples que existe, representando o delineamento

básico. Os demais delineamentos se originam dele, pela imposição de restrições (ex. controle

local). A distribuição dos tratamentos às unidades experimentais é feita completamente ao

acaso, ou seja, sem nenhuma restrição na casualização.

O DIC envolve dois princípios básicos da experimentação: repetição e casualização.

Ele é indicado quando as condições experimentais são homogêneas, sendo mais recomendado

em experimentos de laboratório e casas de vegetação, em que as condições ambientais podem

ser melhor controladas.

Para a instalação deste delineamento no campo deve-se ter certeza quanto à

homogeneidade das condições ambientais e do material experimental.

1.1 Vantagens e Desvantagens do DIC

1.1.1 Vantagens

� Pode-se utilizar qualquer número de tratamento e repetições, sendo que o número de

repetições pode variar de um tratamento para outro sem ocasionar maiores

dificuldades na análise estatística. No entanto, sempre que possível, deve-se manter o

mesmo número de repetições entre os tratamentos;

1.1.2 Desvantagens

� Exige homogeneidade total das condições experimentais;

� Pode conduzir a uma estimativa da variância residual bastante alta, uma vez que ao

não utilizar o princípio do controle local todas as variações serão consideradas como

variação do acaso, exceto as devidas aos tratamentos.


21

1.2 Quadro de tabulação dos dados

A título de exemplo, considere um experimento instalado no DIC com I tratamentos e

J repetições. A coleta de dados da pesquisa pode ser resumida no quadro a seguir:

Tratamentos Repetições 1 2 ..... I

1 Y11 Y21 ..... YI1 2 Y12 Y22 ..... YI2

..... ..... ..... ..... ..... J Y1J Y2J ..... YIJ

Totais T1 T2 ..... TI

Deste quadro podem-se retirar algumas informações de interesse:

• Nº de unidades experimentais: N = I x J

• Total geral: G = ∑∑=

==

=I

i

i

JI

ji

ij TY1

,

11

• Total para o tratamento i: Ti = ∑=

J

j

ijY1

• Média para o tratamento i: ^

im = J

Ti

• Média geral do experimento: ^

m = IJ

G

1.3 Análise de Variância (ANOVA)

É uma técnica de análise estatística que permite decompor a variação total, ou seja, a

variação existente entre todas as observações, na variação devido à diferença entre os

tratamentos e na variação devido ao acaso (erro experimental ou resíduo). Entretanto, para

que esta técnica seja empregada é necessário que sejam satisfeitas diversas pressuposições,

entre elas citam-se:

� Os erros são variáveis aleatórias independentes;

� A variância é constante (homocedasticidade);

� A distribuição dos erros é normal ou aproximadamente normal.


22

Por meio do modelo estatístico pode-se decompor a variação total entre as observações

em duas partes que a compõem, como será demonstrado a seguir.

Considere o modelo estatístico para um experimento instalado segundo o DIC:

Yij = m + ti + eij ,

fazendo ti = mi – m, tem-se:

(Yij – m) = (mi – m) + eij ,

Substituindo m e mi por seus estimadores, elevando ambos os membros ao quadrado e

aplicando somatório, tem-se:

∑∑∑=

===

==

+−=−JI

ji

ij

JI

ji

i

JI

ji

ij emmmY,

11

22^,

11

^2

,

11

^

)()(

Escrevendo de forma mais simplificada, a igualdade anterior representa:

SQTotal = SQTratamentos + SQResíduo

Aplicando as propriedades do somatório em cada termo da soma de quadrados tem-se

o desenvolvendo de fórmulas mais práticas para encontrar os valores das respectivas somas de

quadrados.

Para a SQTotal tem-se que:

SQTotal = 2,

11

^

)(∑==

−JI

ji

ij mY = IJ

Y

Y

JI

ji

ijJI

ji

ij

2,

1,1,

11

2

)( ∑∑ ==

==

−

Para a SQTratamento:

SQTrat. = 2^,

11

^

)( mmJI

ji

i∑==

− = IJ

Y

J

T

JI

ji

ijI

i

i

2,

1,1

1

2)( ∑

∑ ==

=

−


23

Esta fórmula é utilizada quando o número de repetições é igual para todos os

tratamentos. Quando ocorrer variação no número de repetições entre os tratamentos a fórmula

apropriada é:

SQTrat. = N

Y

J

T

JI

ji

ijI

i

i

2,

1,1

1

2)( ∑

∑ ==

=

− ,

em que:

• N = é o número de unidades experimentais = ∑=

I

i

ir1

;

• ri = é o número de unidades experimentais (repetições) do tratamento i.

A soma de quadrados do resíduo é obtida por diferença:

SQResíduo = SQTotal – SQTratamento

O quadro da Análise de Variância (ANOVA) para um experimento instalado segundo

o DIC, com igual número de repetições para todos os tratamentos, é dado a seguir:

FV GL SQ QM F

Tratamentos (I – 1) SQTrat.

1−I

SQTrat

Resíduo I(J – 1) SQRes.

)1(

Re

−JI

sSQ

sQM

QMTrat

Re

Total IJ – 1 SQTotal - -

A partir das SQTratamentos e SQResíduo obtêm-se os respectivos quadrados médios,

por meio do quociente entre a soma de quadrado com o respectivo número de graus de

liberdade.

Para concluir se existe diferença entre os tratamentos calcula-se o valor da estatística

F, que é obtido pelo quociente do QMTrat. com o QMRes. Este valor, denominado F

calculado, deve ser comparado com o valor de F tabelado, o qual é obtido na tabela de

distribuição da variável aleatória F (Fisher), de acordo com o nível de significância do teste, o

grau de liberdade para tratamento e o grau de liberdade para resíduo.


24

As hipóteses para o Teste F da Análise de Variância são:

• H0: m1 = m2 = ... = mI = m; O que equivale a dizer que todos os possíveis contrastes

entre as médias dos tratamentos são estatisticamente nulos ao nível “α” de

probabilidade/significância em que foi realizado o teste;

• H1: não H0; O que equivale a dizer que existe pelo menos um contraste entre as

médias dos tratamentos estatisticamente diferente de zero ao nível “α” de

probabilidade/significância em que foi realizado o teste.

A regra decisória para o Teste F é a seguinte:

• Se o valor do F calculado for maior ou igual ao valor do F tabelado, rejeita-se H0.

Conclui-se que os tratamentos tem efeitos diferenciados ao nível de significância em

que foi realizado o teste;

• Se o valor do F calculado for menor que o valor do F tabelado, não rejeita-se H0.

Conclui-se que os tratamentos tem efeitos iguais ao nível de significância em que foi

realizado o teste.

2 – MEDIDAS DE AVALIAÇÃO DA QUALIDADE DOS EXPERIMENTOS

2.1 Coeficiente de Variação (C.V.)

O Coeficiente de Variação permite avaliar a precisão do experimento. Quanto menor o

C.V., maior será a precisão do experimento. O conhecimento desta precisão auxilia na

avaliação dos seus resultados.

O C.V. é calculado da seguinte maneira:

100.Re

.(%).^

m

sdQVC

µ= , em que

N

Gm =^

De acordo com Gomes (2009), na experimentação agrícola (experimentos de campo) o

coeficiente de variação pode ser classificado nas seguintes categorias, com relação a sua

precisão:


25

C.V.(%) Precisão < 10% Alta

10% a 20% Média 20% a 30% Baixa

> 30% Muito Baixa

2.2 Coeficiente de Determinação (R2)

Por definição, o Coeficiente de Determinação (R2) é a razão entre a soma de quadrado

de tratamento e a soma de quadrado total, isto é:

SQTotal

SQTratR

.2 =

Portanto, o R2 é uma medida da proporção da variação total explicada pela variação

devido aos tratamentos. Como o valor de R2 varia entre 0 e 1, pode-se interpretá-lo como uma

percentagem.

Ex: R2 = 0,9215 → 92,15% da variação total está sendo explicada pela variação devido

aos tratamentos.

3 – TESTE DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS

Os modelos de Análise de Variância são geralmente utilizados para analisar os efeitos

de um ou mais fatores (variável independente sob estudo) sobre a variável dependente.

O Teste F tem seu emprego na Análise de Variância dos delineamentos experimentais.

Ele é utilizado para comparar variâncias, representando um teste preliminar, cujo resultado

estabelece se será necessária uma detalhada análise dos efeitos dos níveis do fator em estudo.

Se o Teste F leva a conclusão que os efeitos dos níveis do fator são iguais, a

implicação é que não existe nenhuma relação entre o fator e a variável dependente. Todavia,

se o Teste F leva a conclusão que nem todos os níveis do fator tem efeitos idênticos, a

implicação é que existe uma relação entre o fator e a variável dependente.

Em experimentos envolvendo dois ou mais tratamentos (ou níveis do fator) é de

interesse saber onde estão as diferenças no caso em que o Teste F leva a rejeição da hipótese

de igualdade dos efeitos dos tratamentos. Isso pode ser feito pela comparação direta dos

tratamentos (ou níveis do fator) utilizando técnicas de estimação. Neste caso, podem-se


26

estimar contrastes entre os níveis do fator em estudo e, posteriormente, aplicar um Teste de

Médias.

Existe um grande número de procedimentos para comparações de médias utilizados

posteriormente à Análise de Variância quando o Teste F for significativo. Os testes de médias

são utilizados para identificar os níveis do fator (ou tratamentos) que diferem estatisticamente

entre si. Cada teste está fundamentado em um particular conjunto de suposições que o torna

efetivo para os propósitos específicos.

3.1 Contraste

O estudo de contraste na estatística experimental é de grande relevância,

principalmente quando o experimento em análise é composto por dois ou mais tratamentos. O

uso de contraste possibilita ao pesquisador estabelecer comparações entre tratamentos ou

grupos de tratamentos que sejam de interesse. Os contrastes assim estabelecidos podem ser

testados por meio de um teste de comparação de médias, o qual complementa o resultado da

análise de variância.

3.1.1 Definição de Contraste

Considere a seguinte função linear de médias populacionais de tratamentos:

Y = a1m1 + a2m2 + ... + anmn

A função Y será um contraste entre médias se satisfazer a seguinte condição:

01

=∑=

n

i

ia

3.1.2 Estimador do Contraste

Na prática, geralmente não se conhece os valores das médias populacionais (mi), mas

sim suas estimativas (^

im ). Dessa forma, na estatística experimental não trabalhamos com o

contraste Y, mas sim com seu estimador Ŷ. Este também representa uma função linear de


27

médias obtidas por meio de experimentos ou amostras. Assim, o estimador para o contraste de

médias é dado por:

Ŷ = a1

^

1m + a2

^

2m + ... + an

^

nm

3.2 Teste de Tukey

O teste de Tukey, baseado na amplitude total estudentizada, pode ser utilizado para

comparar todo e qualquer contraste entre duas médias de tratamentos. Ou seja, para nI

tratamentos (número de tratamentos ou de níveis do fator em estudo) poderão ser

estabelecidos nI(nI – 1)/2 contrastes do tipo Yij = mi – mj, para i ≠ j.

Este teste baseia-se na diferença mínima significativa (DMS), representada por ∆, dada

por:

∆ = q^^

)(2

1YV

em que:

� ∆ = é a diferença mínima significativa (DMS);

� q = é o valor tabelado da amplitude estudentizada, que é obtido pela expressão:

qα(n1;n2), em que α é o nível de significância; n1 é o número de tratamentos ou níveis

do fator e n2 representa o número de graus de liberdade do resíduo na Análise de

Variância.

A estimativa da variância da estimativa do contraste é dada por:

^^

)(YV = QMRes

+

ji rr

11

Para ri ≠ rj, o cálculo de ∆ é dado pelo seguinte estimador:

∆ = q sQMrr ji

Re11

2

1

+

Para ri = rj = r, o cálculo de ∆ pode ser representado pela expressão:

∆ = qr

sQM Re


28

Para a realização do Teste de Tukey é necessário:

a) Enunciar as hipóteses:

H0: mi = mj

H1: mi ≠ mj , para i ≠ j

b) Obter as estimativas dos contrastes: jiij mmY^^^

−= , com base nos valores amostrais;

c) Calcular a diferença mínima significativa (∆);

d) Concluir a respeito da significância dos nI(nI – 1)/2 contrastes em teste, utilizando a

seguinte relação:

• Se ∆≥ijY^

, rejeita-se H0;

• Se ∆<ijY^

, não rejeita-se H0.

Neste caso a conclusão será única para todos os contrastes que se fizerem necessário

avaliar: “As médias seguidas por pelo menos uma mesma letra não diferem entre si ao nível

“α” de probabilidade pelo Teste de Tukey”.

4 – DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS (DBC)

O Delineamento em Blocos Casualizados (DBC) constitui no delineamento estatístico

mais utilizado na pesquisa agronômica, devido a sua simplicidade, flexibilidade e alta

precisão. Ele é utilizado quando as condições experimentais não são completamente

homogêneas. Nesta situação, devemos subdividir a área ou o material experimental em blocos

(ou grupos), de modo que exista homogeneidade dentro de cada bloco e que ele contenha uma

repetição de cada tratamento, distribuído dentro de cada bloco inteiramente ao acaso.

Os experimentos em blocos casualizados levam em consideração os três princípios

básicos da experimentação: repetição, casualização e controle local. No controle local faz-se a

divisão do local ou material experimental em subgrupos ou blocos, de tal forma que se tenha

garantido a uniformidade dentro de cada bloco.

Em experimentos de campo deve-se subdividir a área em blocos de maneira que se

tenha homogeneidade dentro deles, por exemplo: com relação à declividade do solo; a

fertilidade do solo; a incidência de luz solar; etc. Em experimentos zootécnicos deve-se


29

subdividir os animais em blocos de tal forma que cada bloco possa ser homogêneo dentro de

si, por exemplo: com relação a idade; peso; raça; etc.

Em experimentos instalados segundo o DBC, não importa que as condições

experimentais de um bloco sejam diferentes das condições experimentais do outro bloco. O

importante é a homogeneidade dentro de cada bloco.

4.1 Vantagens e Desvantagens do DBC

4.1.1 Vantagens

� Se o controle local se fizer necessário, esse delineamento é mais eficiente que o

inteiramente casualizado (DIC), pois a formação dos blocos isola as variações

controláveis (sistemática) que causam a heterogeneidade, diminuindo sensivelmente a

variação ao acaso (aleatória ou erro experimental);

� O delineamento não tem restrições de uso, seja com relação ao número de tratamentos

(Delineamento em Quadrado Latino – DQL), seja por exigir uniformidade nas

condições experimentais (DIC).

4.1.2 Desvantagens

� O delineamento perde eficiência quando o controle local for dispensável, uma vez que

o número de graus de liberdade do resíduo será menor ao que se obteria caso o

delineamento utilizado fosse o inteiramente casualizado;

� Esse delineamento exige que todos os tratamentos tenham o mesmo número de

repetições. Logo, quando há perda de parcela a soma de quadrado para tratamento

(SQTrat.) é apenas aproximada.

4.2 Quadro de tabulação dos dados

Considere um experimento instalado no DBC, com I tratamentos e J repetições

(blocos). A coleta de dados da pesquisa pode ser resumida no quadro a seguir:


30

Tratamentos Blocos 1 2 ..... I Totais

1 Y11 Y21 ..... YI1 B1

2 Y12 Y22 ..... YI2 B2

..... ..... ..... ..... ..... ..... J Y1J Y2J ..... YIJ BJ

Totais T1 T2 ..... TI G

Deste quadro podem-se retirar as seguintes informações:

• Nº de unidades experimentais: N = I x J

• Total geral: G = ∑∑=

==

=I

i

i

JI

ji

ij TY1

,

11

=∑=

J

j

jB1

• Total para o tratamento I: Ti = ∑=

J

j

ijY1

• Total para o bloco J: Bj = ∑=

I

i

ijY1

• Média para o tratamento I: ^

im = J

Ti

• Média para o bloco J: jm^

= I

B j

• Média geral do experimento: ^

m = IJ

G


Para analisar os dados obtidos no delineamento em blocos casualizados deve-se

decompor a variação total, que existe entre todas as observações, na variação devido à

diferença entre os efeitos de blocos, na variação devido à diferença entre os efeitos de

tratamentos e na variação devido ao acaso, que também é denominada de erro experimental

ou resíduo.

Neste tipo de delineamento a decomposição é feita da seguinte forma:


31

SQTotal = IJ

Y

Y

JI

ji

ijJI

ji

ij

2,

1,1,

11

2

)( ∑∑ ==

==

−

SQTrat. = IJ

Y

J

T

JI

ji

ijI

i

i

2,

1,1

1

2)( ∑

∑ ==

=

−

SQBloco = IJ

Y

I

B

JI

ji

ijJ

j

j

2,

1,1

1

2 )( ∑∑ ==

=

−

SQResíduo = SQTotal – SQTratamento – SQBloco

O quadro da Análise de Variância (ANOVA) para um experimento instalado no DBC

é dado a seguir:

FV GL SQ QM F

Blocos (J – 1) SQBlocos - -

Tratamentos (I – 1) SQTrat.

1−I

SQTrat

Resíduo (I – 1)(J – 1) SQRes.

)1)(1(

Re

−− JI

sSQ

sQM

QMTrat

Re

Total (IJ – 1) SQTotal - -

As hipóteses para o Teste F da Análise de Variância são as seguintes:

• H0: m1 = m2 = ... = mI = m

• H1: não H0

Ou,

• Todos os possíveis contrastes entre as médias dos tratamentos são estatisticamente

nulos ao nível “α” de probabilidade/significância;

• Existe pelo menos um contraste entre as médias dos tratamentos estatisticamente

diferente de zero ao nível “α” de probabilidade/significância.


32

Por fim chega-se a tomada de decisão:

• Se Fcal ≥ Ftab → Rejeita-se H0

• Se Fcal < Ftab → Não Rejeita-se H0

5 – DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO (DQL)

Os delineamentos em quadrado latino, assim como os blocos casualizados, consideram

os princípios da repetição, casualização e controle local. Neste delineamento o controle é

efetuado em duas direções: blocos horizontais (linhas) e blocos verticais (colunas).

Entretanto, os delineamentos em quadrado latino são menos usuais na experimentação

agrícola, em analogia aos blocos casualizados.

O Delineamento em Quadrado Latino (DQL) é mais utilizado nas pesquisas em que

duas fontes principais de variação estão presentes e precisam ser controladas, sendo sua

aplicação mais comum na experimentação animal. A sua configuração é constituída de linhas

e colunas, cada qual estruturado como um bloco. Assim, em caso de I tratamentos, o número

total de parcelas é I2. No DQL cada tratamento está representado uma única vez em cada linha

e em cada coluna. Logo, o DQL é utilizado quando podemos observar duas fontes de

variabilidade nas unidades experimentais.

Vejamos alguns exemplos ilustrativos nos quais o seu emprego é recomendado:

Exemplo 1 – Em um laboratório devem ser comparados cinco métodos de análise (A,

B, C, D, E), programados em cinco dias úteis e, em cada dia, é feita uma análise a cada hora,

totalizando um período de cinco horas.

O quadrado latino assegura que todos os métodos sejam processados uma única vez

em cada período e em cada dia. O quadro abaixo ilustra a configuração a ser adotada.

Dias Períodos 1 2 3 4 5

1 A E C D B 2 C B E A D 3 D C A B E 4 E D B C A 5 B A D E C

OBS: Note que os níveis de uma fonte formam as linhas e os níveis da outra fonte formam as

colunas.


33

Exemplo 2 – Em um experimento com suínos pretende-se avaliar quatro tipos de

ração (A, B, C, D), em quatro raças distintas e em quatro idades de animais. Como o interesse

é avaliar os quatro tipos de ração, tomam-se as raças e as idades dos animais como blocos, ou

seja:

Raças Idades R1 R2 R3 R4

I1 A B D C I2 B C A D I3 D A C B I4 C D B A

5.1 Características do DQL

� O número total de unidades experimentais necessárias é igual a I2, sendo I o número

de tratamentos;

� Cada tratamento é representado uma única vez, e ao acaso, em cada linha e em cada

coluna;

� O número de tratamento é igual ao número de repetições;

� Este delineamento é aconselhável quando o número de tratamentos oscila entre 3 e 10.

Contudo, para 3 e 4 tratamentos somente quando se puder repetir o experimento em

vários quadrados latinos.


Admitindo-se K tratamentos, I linhas e J colunas (I = J = K), o esquema da Análise de

Variância fica conforme o quadro a seguir:

FV GL SQ QM F

Linhas (I – 1) SQLinhas -

Colunas (J – 1) SQColunas - -

Tratamentos (K – 1) SQTratamentos QMTrat.

Resíduo (K – 1)(K – 2) SQResíduo QMRes. sQM

QMTrat

Re

Total (K2 – 1) SQTotal - -


34

Considerando:

� LI = Total da linha i;

� CJ = Total da coluna j;

� TK = Total do tratamento k;

� G = Total geral.

As somas de quadrados são dadas por:

SQTotal = CYJI

ji

ij −∑==

,

11

2 → C = 2

22

2,

1,1

)(

I

G

IJ

G

IJ

YJI

ji

ij

==

∑==

SQLinhas = CLI

I

i

i −∑=1

21

SQColunas = CCI

J

j

j −∑=1

21

SQTratamentos = CTI

K

k

k −∑=1

21

SQResíduo = SQTotal – SQLinhas – SQColunas – SQTratamentos

As hipóteses para o Teste F da Análise de Variância, bem como a tomada de decisão,

seguem os mesmos princípios já mencionados para os delineamentos anteriores (DIC e DBC).

Hipóteses:

• H0: m1 = m2 = ... = mI = m

• H1: não H0

Ou,

• Todos os possíveis contrastes entre as médias dos tratamentos são estatisticamente

nulos ao nível “α” de probabilidade/significância;

• Existe pelo menos um contraste entre as médias dos tratamentos estatisticamente

diferente de zero ao nível “α” de probabilidade/significância.

Tomada de decisão:

• Se Fcal ≥ Ftab → Rejeita-se H0

• Se Fcal < Ftab → Não Rejeita-se H0


35


1 – Para comparar o crescimento de mudas de quatro espécies de eucalipto um pesquisador tomou 20 parcelas similares e distribuiu, inteiramente ao acaso, cada uma das quatro espécies em cinco parcelas experimentais. A partir dos dados fornecidos abaixo, é possível concluir que existe diferença significativa entre as espécies com relação ao crescimento das mudas? Utilizar o nível de significância de 5%.

Espécies A B C D 25 31 22 33 26 25 26 29 20 28 28 31 23 27 25 34 21 24 29 28

Totais 115 135 130 155 2 – Considere as seguintes produções diárias (kg) de leite a 4% de gordura de vacas em lactação submetidas à administração de raízes e tubérculos como suplementação de inverno na alimentação.

Sem Suplementação Mandioca Araruta Batata Doce 19,58 23,40 35,42 22,15 21,07 22,37 32,47 24,37 23,43 24,36 34,48 26,54 25,42 25,12 33,79 20,37 22,81 22,94 35,04 19,54 23,54 - 35,19 24,06

a) Ao nível de 5% de significância, concluir a respeito das suplementações utilizadas; b) Obter o Coeficiente de Variação; c) Obter o Coeficiente de Determinação, interpretando-o.

3 – Foi montado um experimento no DIC com o objetivo de verificar qual meio de cultura (A, B, C e D) propicia maior crescimento de colônias bacterianas. O número de colônias bacterianas, 48 horas após a inoculação, é fornecido abaixo:

Meio de Cultura Nº. de Colônias Bacterianas Totais A - 19 31 15 30 95 B 40 35 46 41 33 195 C 39 27 20 29 45 160 D 27 12 13 28 30 110

Considerando o nível de significância de 5%, pede-se:

a) Proceder a ANOVA; b) Aplicar o Teste de Tukey, se necessário; c) Estabelecer um contraste entre o meio de cultura A versus os meios de culturas B, C e

D. Obter sua estimativa e interpretação.


36

4 – Aplicar o Teste de Tukey as comparações múltiplas obtidas com as médias dos tratamentos. O experimento foi conduzido utilizando o Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC). Concluir para o nível de 1% de significância.

6,230ˆ 1 =m ; 2,217ˆ 2 =m ; 9,204ˆ 3 =m ; 9,209ˆ 4 =m ; 3,188ˆ 5 =m

r1 = r2 = r3 = 4 ; r4 = r5 = 3

C.V.(%) = 2,7483%

5 – Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma alimentação mais apropriada, um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como eram de idades diferentes elas foram divididas em sete grupos, de modo que dentro de cada grupo existiam quatro ovelhas com idade similar e homogeneidade para as demais características. Em cada grupo foi realizado um sorteio para distribuir inteiramente ao acaso quatro tipos de alimentação. O experimento iniciou-se no momento de se realizar uma nova tosquia, obtendo os seguintes resultados expressos em unidades de medidas de lã por animal:

Grupos Alimentação 1 2 3 4 5 6 7 Totais

1 30 32 33 34 29 30 33 221 2 29 31 34 31 33 33 29 220 3 43 47 46 47 48 44 47 322 4 23 25 21 19 20 21 22 151

Totais 125 135 134 131 130 128 131 914 Avaliar os tipos de alimentação, aplicando o teste de Tukey se necessário. Adotar α =

1%. 6 – Com os resultados apresentados a seguir, resultantes de um experimento conduzido no Delineamento em Quadrado Latino (DQL), pede-se: (α = 5%)

Dias Períodos 1 2 3 4 5 Totais

1 40,8 (A) 57,3 (E) 61,8 (C) 38,6 (D) 50,6 (B) 249,1 2 66,3 (C) 46,5 (B) 54,8 (E) 38,7 (A) 30,2 (D) 236,5 3 33,4 (D) 70,6 (C) 53,2 (A) 41,7 (B) 50,1 (E) 249,0 4 60,2 (E) 35,6 (D) 54,2 (B) 64,0 (C) 45,3 (A) 259,3 5 51,7 (B) 48,7 (A) 29,8 (D) 55,3 (E) 65,7 (C) 251,2

Totais 252,4 258,7 253,8 238,3 241,9 1.245,1

a) ANOVA; b) Aplicar o Teste de Tukey, se necessário.


37

CONTEÚDO V

EXPERIMENTOS FATORIAIS

1 – INTRODUÇÃO

Os Experimentos Fatoriais são aqueles em que se estudam dois ou mais fatores

simultaneamente, cada qual com dois ou mais níveis. O experimento fatorial é um tipo de

esquema, ou seja, uma maneira de organizar os tratamentos, não constituindo um tipo de

delineamento.

Os experimentos fatoriais são montados seguindo determinado tipo de delineamento

(DIC, DBC ou DQL). Neles, os tratamentos são obtidos pelas combinações dos níveis dos

fatores. Cada nível de um fator combina com todos os níveis dos outros fatores.

Exemplo:

• Fator A → A1 ; A2 ; A3 ; A4 (quatro níveis)

• Fator B → B1 ; B2 ; B3 (três níveis)

A combinação dos níveis entre os Fatores A e B totalizam 12 tratamentos (4Ai x 3Bj).

O objetivo da aplicação dos experimentos fatoriais é avaliar o efeito/influência de

diversos fatores sobre a variável em estudo, bem como o relacionamento entre os fatores

sobre a variável resposta.

A simbologia comumente utilizada é indicar o produto dos níveis dos fatores em teste.

Exemplo: o experimento fatorial (2 x 4 x 6) informa que foram testados três fatores

simultaneamente. O primeiro com dois níveis, o segundo com quatro níveis e o terceiro com

seis níveis. Quando o número de níveis é igual para todos os fatores pode-se utilizar a

seguinte simbologia: nF, em que: F é o número de fatores e n é o número de níveis de cada

fator. Exemplo: 43 → indica que no experimento fatorial foram testados três fatores com

quatro níveis cada (4 x 4 x 4).

2 – VANTAGEM E DESVANTAGEM DO EXPERIMENTO FATORIAL

2.1 Vantagem

� Permite o estudo dos efeitos principais dos fatores e a interação entre fatores;


38

2.2 Desvantagem

� Requer maior número de unidades experimentais em comparação aos experimentos

simples.

3 – EFEITOS AVALIADOS EM UM EXPERIMENTO FATORIAL

Nos experimentos fatoriais podem ser estudados os seguintes efeitos:

• Efeito Principal: é o efeito de cada fator, independente do efeito dos outros fatores;

• Efeito da Interação: é o efeito simultâneo dos fatores à variável em estudo. Ocorre

interação entre os fatores quando os efeitos dos níveis de um fator são modificados

pelos efeitos dos níveis de outros fatores.

4 – QUADRO DE TABULAÇÃO DOS DADOS

Uma maneira de tabular os dados de um experimento fatorial com dois fatores A e B,

com i e j níveis, respectivamente, instalados segundo o DIC com k repetições, é fornecida

abaixo:

A1 A2 ... AI

B1 B2 ... BJ B1 B2 ... BJ ... B1 B2 ... BJ

Y111 Y121 ... Y1J1 Y211 Y221 ... Y2J1 ... YI11 YI21 ... YIJ1

Y112 Y122 ... Y1J2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Y11K Y12K ... Y1JK Y21K Y22K ... Y2JK ... YI1K YI2K ... YIJK

A1B1 A1B2 ... A1BJ A2B1 A2B2 ... A2BJ ... AIB1 AIB2 ... AIBJ

• Total do ij-ésimo tratamento : (AB)ij = ∑=

K

k

ijkY1

• Total do i-ésimo nível do fator A: Ai = ∑==

JK

jk

ijkY;

11

• Total do j-ésimo nível do fator B: Bj = ∑==

IK

ik

ijkY;

11

• Total geral: G = ∑===

IJK

ijk

ijkY;;

111


39

• Média do i-ésimo nível do fator A: JK

Am i

Ai =^

• Média do j-ésimo nível do fator B: IK

Bm

jBj =

^

• Média geral: IJK

Gm =^

A tabulação dos dados fornecida acima pode ser resumida no quadro a seguir:

Bj \ Ai A1 A2 ... AI Total

B1 A1B1 A2B1 ... AIB1 B1

B2 A1B2 A2B2 ... AIB2 B2

... ... ... ... ... ...

BJ A1BJ A2BJ ... AIBJ BJ

Total A1 A2 ... AI G

5 – ANÁLISE DE VARIÂNCIA

A Análise de Variância de um experimento fatorial é feita desdobrando-se a soma de

quadrados de tratamentos (SQTrat.) nas partes devido aos efeitos principais de cada fator e na

parte devido à interação entre os fatores.

O quadro abaixo representa a ANOVA de um experimento fatorial com dois fatores A e

B, com i e j níveis, respectivamente, e com k repetições, instalado segundo o DIC.

FV GL SQ QM F

Fator A (I – 1) SQA QMA

sQM

QMA

Re

Fator B (J – 1) SQB QMB

sQM

QMB

Re

Interação (AxB) (I – 1)(J – 1) SQ(AxB) QM(AxB)

sQM

QMAxB

Re

Tratamento (IJ – 1) SQTrat.(AB) -

Resíduo (IJ)(K – 1) SQResíduo QMRes.

-

Total (IJK – 1) SQTotal - -

SQTotal = IJK

GY

KJI

kji

ijk

2,,

111

2 −∑==

=

SQTrat(AB) = IJK

GBA

K

JI

ji

ji

2,

11

2)(1

−∑==


40

SQA = IJK

GA

JK

I

i

i

2

1

21−∑

=

SQB = IJK

GB

IK

J

j

j

2

1

21−∑

=

SQ(AxB) = SQTrat(AB) – SQA – SQB

SQResíduo = SQTotal – SQTrat(AB)

ou

SQResíduo = SQTotal – SQA – SQB – SQ(AxB)

As hipóteses estatísticas para o Teste F da análise de variância devem ser lançadas

para cada um dos efeitos principais, como também para a interação. As hipóteses serão assim

enunciadas:

� Efeitos Principais

Fator A:

H0: mA1 = mA2 = ... = mAI = m

H1: Não H0

Ou,

H0: Todos os possíveis contrastes entre as médias dos níveis do fator A são estatisticamente

nulos ao nível de α% de probabilidade;

H1: Existe pelo menos um contraste entre as médias dos níveis do fator A estatisticamente

diferente de zero ao nível de α% de probabilidade.

Fator B:

H0: mB1 = mB2 = ... = mBJ = m

H1: Não H0

Ou,

H0: Todos os possíveis contrastes entre as médias dos níveis do fator B são estatisticamente

nulos ao nível de α% de probabilidade;

H1: Existe pelo menos um contraste entre as médias dos níveis do fator B estatisticamente

diferente de zero ao nível de α% de probabilidade.


41

� Efeito da Interação

H0: Os fatores atuam independentemente;

H1: Os fatores não atuam independentemente.

Os valores de Fcal obtidos na análise de variância para cada uma das fontes de variação

em teste (efeitos principais e efeito da interação) devem ser comparados com os valores de

Ftab apropriados, os quais serão obtidos na tabela para valores de F, de acordo com o nível de

significância (α) desejado, graus de liberdade da fonte de variação em teste (n1) e o grau de

liberdade do resíduo (n2).

A Tomada de Decisão deve ser feita inicialmente para a interação. Se Fcal ≥ Ftab → A

decisão é Rejeitar H0 ao nível de significância em que foi executado o teste. Caso contrário

(Fcal < Ftab) → Não Rejeita H0.

A Não Rejeição de H0 para a interação implica que os fatores atuam

independentemente. Assim, devem-se estudar os fatores isoladamente. Neste caso, observa-se

o resultado do teste F para cada fator e, caso ele seja significativo, aplica-se um teste de média

para comparar os níveis do fator.

A Rejeição de H0 para a interação implica que os fatores não atuam

independentemente. Assim, não se devem estudar os fatores isoladamente. Neste caso, deve-

se proceder a uma nova análise estatística de cada fator dentro dos níveis do (s) outro (s) fator

(es).

EXERCÍCIO PROPOSTO

1 – Considere um Experimento Fatorial com dois fatores: Variedade de Sorgo com três níveis e Adubação Nitrogenada com quatro níveis. Ele foi instalado utilizando o DBC, com três repetições (blocos). Os dados, para os totais de produção, são apresentados a seguir:

Adubação Nitrogenada

Variedade de Sorgo 1 2 3 4 Totais

1 25,4 27,8 29,6 31,4 114,2 2 23,1 25,0 27,2 29,6 104,9 3 20,5 22,8 24,8 26,8 94,9

Totais 69,0 75,6 81,6 87,8 314,0 Dados: SQResd. = 36,2780 e α = 5% Pede-se:

a) ANOVA; b) Aplicar o Teste de Tukey, se necessário.


42

CONTEÚDO VI

REGRESSÃO LINEAR

1 – INTRODUÇÃO

A Análise de Regressão consiste na realização de uma análise estatística com o

objetivo de verificar a existência de uma relação funcional entre variáveis dependente e

independente.

A expressão Análise de Regressão Simples indica que a predição da variável

dependente é feita por uma única variável independente, enquanto a Análise de Regressão

Múltipla diz respeito à predição da variável dependente com base em duas ou mais variáveis

independentes.

Na análise de regressão obtém-se uma equação que tenta explicar a variação da

variável dependente pela variação dos níveis da (s) variável (is) independente (s). As variáveis

independentes são classificadas como quantitativas, cujos níveis representam diferentes

quantidades de um mesmo fator.

2 – ANÁLISE DE REGRESSÃO

Para tentar estabelecer uma equação que representa o fenômeno em estudo pode-se

plotar (desenhar) um Diagrama de Dispersão para verificar como se comporta os valores da

variável dependente (Y) em função da variação dos níveis da variável independente (X). O

diagrama de dispersão é um gráfico no qual cada ponto plotado representa um par observado

de valores para as variáveis dependente e independente. O valor da variável independente X é

plotado no eixo horizontal, enquanto o valor da variável dependente Y no eixo vertical.

O comportamento de Y em relação a X pode-se apresentar de diversas maneiras:

linear, quadrático, exponencial, etc. Para estabelecer o modelo apropriado para explicar o

fenômeno, deve-se verificar qual o tipo de curva e equação de um modelo matemático que

mais se aproxima dos pontos plotados no diagrama de dispersão.

Contudo, pode-se observar que os pontos do diagrama de dispersão não se ajustarão

perfeitamente ao modelo matemático proposto. Existirá, na maioria dos pontos, uma distância

entre os pontos do diagrama e os pontos do modelo matemático. Isto é devido ao fato do

fenômeno em estudo não ser um fenômeno matemático e sim um fenômeno sujeito a


43

influências que acontecem ao acaso. Desta forma, o objetivo da regressão é obter um modelo

matemático que melhor se ajuste aos valores observados de Y em função da variação dos

níveis da variável X.

2.1 Modelo da Regressão Linear Simples e Método de Estimação dos Parâmetros

O modelo estatístico da Regressão Linear Simples é definido por:

Yi = β0 + β1Xi + ei

em que:

• Yi → é o valor observado para a variável dependente Y no i’ésimo nível da variável

independente X;

• β0 → é a Constante de Regressão. Representa o intercepto da reta com o eixo Y;

• β1 → é o Coeficiente de Regressão. Representa a variação de Y em função da variação

de uma unidade da variável X;

• Xi → é o i’ésimo nível da variável independente X (i = 1, 2, 3, ..., n);

• ei → é o erro associado a distância entre o valor observado Yi e o seu respectivo

correspondente na curva do modelo proposto (valor estimado).

Um método adequado para estimar os parâmetros da equação de regressão linear

simples entre duas variáveis X e Y será aquele que minimize as distâncias entre os pontos do

diagrama de dispersão e do modelo matemático. Este método é denominado de Método dos

Mínimos Quadrados (MMQ). Nele, a soma dos quadrados das distâncias entre os pontos do

diagrama de dispersão e os respectivos pontos na reta/curva da equação estimada é

minimizada, obtendo assim uma relação funcional entre X e Y com o mínimo de erro possível,

de acordo com o modelo escolhido.

Os estimadores de β0 e β1 são então obtidos pelo MMQ, minimizando a soma de

quadrados dos erros, por meio de derivações. Os estimadores pelos quais se estimam os

valores de β0 e β1 são:

XY^

1

^

0 ββ −=


44

( ) ( ) X

XY

SQD

SP

n

XX

n

YXXY

n

n

XX

n

n

YXXY

XVar

YXCov=

−

−

=

−

−

−

−

==

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑∑ ∑

2

2

2

2

^

1

1

1.

),(β

Uma vez obtida as estimativas de ^

0β e ^

1β , podemos escrever a equação estimada de

Regressão Linear Simples da seguinte maneira:

iXY^

1

^

0

^

ββ +=

2.2 Avaliação Estatística do Modelo

2.2.1 Análise de Variância da Regressão

A obtenção da equação estimada apenas estabelece uma relação funcional entre a

variável dependente e a variável independente para o fenômeno em estudo. A simples

obtenção da equação estimada não responde ao pesquisador se a variação dos níveis da

variável independente (X) influencia significativamente a variável dependente (Y).

Para solucionar esta indagação é necessário realizar um teste estatístico para a

estimativa do coeficiente de regressão (^

1β ). Um teste que pode ser realizado para verificar tal

fato é o Teste F da Análise de Variância.

O quadro para Análise de Variância da Regressão fica assim estabelecido:

FV GL SQ QM F Regressão p SQRegressão

p

gresSQ .Re

Resíduo da Regressão

n – 1 – p SQResíduo

pn

sdSQ

−−1

.Re

.Re

.Re

sdQM

gresQM

Total n – 1 SQTotal - -

em que:

� p → Número de Coeficientes de Regressão (não inclui o β0);

� n → Número de observações ou níveis;


45

SQTotal = n

Y

Y

n

i

in

i

i

2

1

1

2

)(∑∑ =

=

−

SQRegressão = ( )

)(^

1

2

XY

X

XY SPSQD

SPβ=

SQResíduo = SQTotal – SQRegressão

As hipóteses estatísticas para o Teste F são as seguintes:

• H0: β1 = 0; O que equivale a dizer que a variável independente não exerce influência

na variável dependente, de acordo com o modelo proposto;

• H1: β1 ≠ 0; O que equivale a dizer que a variável independente exerce influência na

variável dependente, de acordo com o modelo proposto.

Considerando Fα (p ; n – 1 – p), a regra decisória para o Teste F é a seguinte:

• Se o valor do F calculado for maior ou igual ao valor do F tabelado, então Rejeita H0

ao nível α% de probabilidade. Pode-se inferir que o modelo proposto é adequado para

descrever o fenômeno.

• Se o valor do F calculado for menor que o valor do F tabelado, então Não Rejeita H0

ao nível α% de probabilidade. Infere-se que o modelo proposto não é adequado para

descrever o fenômeno.

2.2.2 Coeficiente de Determinação

O Coeficiente de Determinação, denominado R2 (Regressão Linear Múltipla) ou r2

(Regressão Linear Simples), fornece uma informação auxiliar ao resultado da análise de

variância da regressão, verificando se o modelo proposto é adequado ou não para descrever o

fenômeno.

R2 = r

2 =

( )

YX

XY

SQDSQD

SP

SQTotal

gressãoSQ

.

Re 2

=

O valor do coeficiente de determinação varia no intervalo de 0 a 1. Valores próximos

de 1 indicam que o modelo proposto é adequado para descrever o fenômeno. Ele representa a


46

percentagem da variação total (Y – variável dependente) que é explicada pela equação de

regressão (X – variável independente).

2.2.3 Gráfico da Equação de Regressão Estimada

O Gráfico da Equação de Regressão Estimada pode ser obtido atribuindo valores para

a variável independente e, consequentemente, obtendo os respectivos valores estimados para a

variável dependente. Esses pares de valores são plotados nos respectivos eixos X e Y, obtendo

assim o gráfico da equação de regressão estimada.

A distância dos pontos observados no experimento em relação ao gráfico (curva ou

reta) da equação de regressão estimada também é uma indicação da adequação ou não do

modelo de regressão proposto para descrever o fenômeno.


1 – De acordo com os dados fornecidos abaixo para a variável X (dose de Zn em ppm) e para a variável Y (MS(g)/planta), pede-se:

a) Obter a equação de regressão de 1º grau; b) Verificar se o modelo de regressão linear de 1º grau é adequado para descrever a

relação entre as variáveis. Utilize os métodos vistos em sala de aula: i) ANOVA; ii) Coeficiente de Determinação; iii) Gráfico da Equação de Regressão Estimada. (α =

5%).

X 1,0 2,5 4,0 5,5 7,0 8,5 Y 20,3 26,3 29,6 31,1 32,2 34,7

2 – Um laboratório está interessado em medir o efeito da temperatura sobre a potência de um antibiótico. Sete amostras foram guardadas em diferentes temperaturas (ºC) e após 15 dias mediu-se a potência. Os resultados estão no quadro abaixo:

Temperatura (ºC) 20 30 40 50 60 70 80 Potência 43 41 34 30 26 23 18

a) Estimar a equação de regressão de 1º grau; b) Proceder a ANOVA (α = 5%); c) A que temperatura (ºC) a potência do antibiótico seria nula?


47

VII – LISTAS DE EXERCÍCIOS

CONTEÚDO I – Distribuição Amostral e Intervalo de Confiança

1 – O peso dos ovos de determinada linhagem de ave de postura tem distribuição normal, com média de 65 gramas e desvio padrão de cinco gramas. Considere uma amostra aleatória de uma dúzia (caixa) desses ovos. Qual a probabilidade de que o peso desta amostra (caixa) esteja compreendido entre o intervalo de 750 e 825 gramas? 2 – Para avaliar a precisão de uma balança de laboratório, pesa-se repetidas vezes um objeto padrão de peso conhecido igual a 10 gramas. As leituras da balança tem distribuição normal. Sabe-se que o desvio padrão das leituras é 0,0002 gramas. Pesa-se o objeto cinco vezes e o resultado médio é 10,0023 gramas.

a) Estabeleça um intervalo de 95% de confiança para a média de repetidas pesagens do objeto;

b) Quantas pesagens ou medidas devem entrar no cálculo da média a fim de que se obtenha uma margem de ± 0,0001 de erro com 95% de confiança?

3 – Uma agência de propaganda, que atende a uma das principais estações de rádio, gostaria de calcular a quantidade média de tempo que a audiência gasta diariamente ouvindo radio. A partir de estudos anteriores, o desvio padrão é calculado em 45 minutos.

a) Que tamanho de amostra é necessário se a agência quiser ter 90% de confiança de estar correta em um intervalo de ± 5 minutos?

b) Se for desejado um nível de 99% de confiança, que tamanho de amostra é necessário para o mesmo intervalo da alínea anterior (± 5 minutos)?

c) Faça inferências a respeito dos tamanhos das amostras encontrados nas alíneas anteriores (a e b), explicando o motivo de ter encontrado dimensões distintas.

4 – O tempo de reação de um novo medicamento pode ser considerado como tendo distribuição normal. Deseja-se fazer inferência sobre a média que é desconhecida por meio de um intervalo de confiança. Vinte pacientes foram sorteados ao acaso e tiveram seu tempo de reação anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos):

2,9 3,4 3,5 4,1 4,6 4,7 4,5 3,8 5,3 4,9 4,8 5,7 5,8 5,0 3,4 5,9 6,3 4,6 5,5 6,2

a) Obter um intervalo de 95% de confiança para a média do tempo de reação; b) Obter um intervalo de 99% de confiança para a média do tempo de reação; c) Estabelecer a amplitude (comprimento) para cada intervalo de confiança obtido nas

alíneas anteriores (a e b). Faça inferências pertinentes ao comprimento.


48

5 – Estudos anteriores levam a supor que crianças de dois meses alimentadas exclusivamente com leite do tipo A sofrem um aumento de peso que segue distribuição normal, com média desconhecida, porém de variância 9.000 gramas2. Escolhe-se ao acaso 20 crianças de dois meses, alimentando-as exclusivamente com leite do tipo A. Nesta amostra o aumento de peso médio foi de 475 gramas. Obtenha um intervalo de 99% de confiança para o aumento médio do peso das crianças nas condições apresentadas. 6 – O consumo mensal de calorias (kcal/g) de certa espécie de esquilos segue distribuição normal com desvio padrão 0,16. Recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão 18 cuja média amostral foi de 0,41.

a) Obtenha um intervalo de confiança a 95% para o consumo médio de calorias; b) Qual deve ser a dimensão da amostra para que um intervalo de confiança a 95% para a

média tenha amplitude 0,2? 7 – Um conjunto, composto por 12 animais em experiência, foi alimentado com uma dieta especial durante determinado tempo e verificou-se que os ganhos de peso (em kg) foram de: 25 – 22 – 30 – 26 – 24 – 39 – 32 – 26 – 32 – 33 – 28 – 30. Encontrar os limites de confiança para a média ao nível de 90% de probabilidade. 8 – Qual deve ser a dimensão da amostra a recolher de uma população normal de valor médio µ e desvio padrão 10 de modo que o intervalo de confiança para µ a 99% tenha amplitude 1? 9 – Considere que o comprimento dos corpos de uma espécie de camarão de água doce apresente distribuição normal. Uma amostra de 60 camarões apresentou uma média de 5,315 cm e desvio padrão 0,8293 cm.

a) Determine um intervalo de confiança a 99% para a média da população; b) Qual o erro padrão associado à média da amostra?

10 – A altura (em mm) da espuma de sabão em uma bacia é importante para os fabricantes de detergentes e supõe-se que sua distribuição é normal. Foi efetuada uma experiência colocando a mesma quantidade de detergente em 10 bacias de tamanho padrão e, depois de certa agitação da água, mediu-se a altura da espuma. Obtiveram-se os seguintes resultados:

22910

1

=∑=i

ix ; ( ) 553.110

1

2=−∑

=i

i xx

a) Determine uma estimativa pontual para a média e para o desvio padrão; b) Determine um intervalo a 99% de confiança para a média; c) Comente os dois tipos de estimativa obtidos (nas alíneas anteriores) para a média.


49

CONTEÚDO II – Testes de Hipóteses

1 – Um experimentador deseja testar o efeito de certo fertilizante na produção de milho. Para realizar o experimento tinha-se 12 unidades experimentais de áreas iguais, onde 7 receberam o fertilizante e as outras não. As demais condições foram mantidas iguais. As produções em kg/unidade experimental foram as seguintes:

c/ fertilizante 25 35 45 30 20 25 30 s/ fertilizante 35 25 20 15 30

De posse dos dados acima, pode o experimentador concluir que há aumento de produção de milho por causa do fertilizante, com nível de significância igual a 5%? 2 – Desejando comparar os efeitos de dois analgésicos, A e B, em termos do tempo de ação sobre pacientes com certa doença, ambos foram aplicados a 14 doentes, em dias diferentes, sendo que 7 pacientes receberam primeiro o A, e os outros 7 primeiro o B. A situação foi controlada de forma a não haver interferência do efeito de um sobre o outro. Os resultados (em minutos) foram: Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

A 362 345 356 370 360 365 345 363 358 332 335 370 335 362 B 320 330 315 325 323 328 318 322 320 310 308 332 307 325

Testar a hipótese de diferença nula entre as médias populacionais, ao nível de significância de 1%. 3 – Considere uma amostra de 10 leitões da raça Large White. Aos 21 dias de idade foram feitas medições dos seus pesos (kg), fornecendo os seguintes dados:

Leitões 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Peso (kg) 5,0 5,2 5,4 4,8 5,1 4,9 5,0 5,2 5,5 5,6

Pode-se concluir, ao nível de 5% de probabilidade, que o peso médio aos 21 dias de idade dos leitões não difere de 5,0 kg? 4 – Determinada cultura apresenta uma produtividade média de 10,8 t/ha. Um experimentador, desejando aumentar a produtividade média, introduziu um novo tratamento à cultura. Uma amostra de 20 parcelas submetidas ao novo tratamento apresentou uma produtividade média de 11,50 t/ha e desvio padrão de 1,2 t/ha. Testar H0 e concluir para α = 5%. 5 – Em um estudo sobre metabolismo de citrato no fígado foram tomadas amostras de sangue da veia hepática de 10 indivíduos normais e amostra de sangue arterial de outros 10 indivíduos normais, obtendo-se as seguintes determinações de citrato em cada amostra (em mg/ml):

Veia Hepática 20,2 24,6 18,3 19,0 29,5 12,6 18,2 30,8 22,2 25,4 Sangue Arterial 26,4 32,2 37,8 25,0 28,4 26,2 31,3 35,0 29,7 27,4


50

Verificar se existe diferença significativa entre o conteúdo médio de citrato do sangue arterial e da veia hepática, adotando α = 1%. 6 – Modificações foram implementadas na linha de produção de determinado artigo, utilizado em motores agrícolas, com o objetivo de reduzir a porcentagem de peças defeituosas produzidas nas diversas máquinas da linha. Considerando os dados abaixo e α = 1%, testar a hipótese H0 e concluir:

Máquina 1 2 3 4 5 6 7 8 % defeito antes (X) 3,8 4,2 2,3 3,3 3,4 3,1 3,0 2,5 % defeito após (Y) 2,5 4,2 2,5 2,2 2,0 1,8 2,0 2,0

7 – Um nutricionista, desejando comparar dois produtos com relação ao teor de Vitamina C, retira 10 amostras de cada produto e obtém os teores listados abaixo:

Produto Teores de Vitamina C (mg) A 20,2 25,3 21,3 27,0 22,0 26,0 20,0 21,2 23,1 29,3 B 27,3 28,4 29,5 27,0 28,0 29,8 30,1 30,5 28,5 29,1

Testar H0 e concluir para α = 5%. 8 – Os dados abaixo referem aos pesos, em gramas, de ratos machos da raça Wistar com 15 dias de idade, segundo a condição normal e submetidos à extirpação do timo aos 4 dias de idade. Verificar se a timectomização piora o ganho de peso destes animais, usando α = 5%.

Condição Normal 40,3 40,0 39,6 35,2 32,0 Timectomizado 18,6 20,3 23,6 22,2 20,9

9 – Para verificar o efeito da suplementação de alfafa no ganho de peso (kg), considerou-se 8 pares de coelhos, cujos resultados são dados a seguir:

Sem Suplementação 0,32 0,49 0,51 0,45 0,70 0,52 0,35 0,60 Com Suplementação 0,72 0,90 0,67 0,83 0,67 0,93 0,80 0,75

Há evidência que a suplementação aumenta o desempenho, considerando α = 5%? 10 – Para verificar o efeito da suplementação de alfafa no ganho de peso (kg), considerou-se 8 coelhos, cujos resultados são dados a seguir:

Sem Suplementação 0,32 0,49 0,51 0,45 0,70 0,52 0,35 0,60 Com Suplementação 0,72 0,90 0,67 0,83 0,67 0,93 0,80 0,75

Há evidência que a suplementação aumenta o desempenho, considerando α = 5%?


51

CONTEÚDO IV – Delineamentos Experimentais e Teste de Comparação de Médias

1 – Para comparar a produtividade de quatro variedades de milho, tomou-se 20 parcelas similares e distribuiu, inteiramente ao acaso, cada uma das quatro variedades em cinco parcelas experimentais. A partir dos dados fornecidos abaixo, é possível concluir que existe diferença significativa entre as variedades com relação à produtividade, utilizando o nível de 5% de significância.

Variedades A B C D 25 31 22 33 26 25 26 29 20 28 28 31 23 27 25 34 21 24 29 28

Totais 115 135 130 155 2 – Um treinador de corrida rústica, objetivando melhorar o desempenho de seus atletas, testou três novas técnicas de preparação. Para tanto trabalhou com um grupo de 15 atletas completamente homogêneos para características essenciais. A designação das técnicas de preparação aos atletas foi feita totalmente ao acaso, de tal forma que o número de atletas avaliados em cada uma das técnicas fosse o mesmo. Os resultados obtidos, após determinado período de tempo de aprendizado das técnicas pelos atletas, foram os seguintes:

Técnicas de Preparação Repetições 1 2 3

1 130 125 127 2 129 131 129 3 128 130 131 4 126 129 128 5 130 127 130

Totais 643 642 645 De acordo com os resultados, pede-se:

a) Quais foram os princípios básicos da experimentação utilizados pelo pesquisador neste experimento?

b) Qual/quem foi a unidade experimental utilizada nesta pesquisa? c) É possível concluir que exista diferença entre as técnicas de preparação? (α = 1%) d) Qual seria a técnica a ser recomendada?

3 – Com o objetivo de diminuir o consumo dos motores à gasolina, determinada indústria petroquímica testou quatro novas formulações de gasolina, as quais se diferenciavam pelo tipo de aditivo que era acrescentado à mesma durante o seu processo de fabricação. Para efetuar o teste, a indústria petroquímica utilizou carros completamente homogêneos para todas as características. A designação das formulações aos carros foi feita inteiramente ao acaso. Após os testes de rodagem, os resultados obtidos foram (km/l):


52

Aditivos a base de: Ácido Forte Ácido Fraco Base Forte Base Fraca

Médias 14,81 6,56 10,06 10,09 Nº de carros 10 10 10 10

Dado: SQResíduo = 6,0264

Com base nas informações fornecidas, pede-se:

a) Existe diferença entre os quatro tipos de formulações? b) Estabeleça um contraste entre o grupo à base de formulação ácida contra o grupo à

base de formulação básica. Obtenha a estimativa para este contraste. c) Estabeleça um contraste para comparar aditivos de formulação ácida. Obtenha a

estimativa para este contraste. d) Estabeleça um contraste para comparar aditivos de formulação básica. Obtenha a

estimativa para este contraste. 4 – Com a finalidade de comparar o efeito do tempo de pastejo no desempenho de suínos, foram comparados 16 animais distribuídos em três tempos. Os ganhos de peso (kg) no final do experimento são dados a seguir:

Tempos Ganhos de Peso (kg) 4 h 7,12 6,91 6,80 6,72 6,34 6,45 6 h 8,45 8,53 9,02 8,94 8,35 - 8 h 6,58 7,04 7,15 7,38 7,23 -

Existe algum tempo de pastejo no qual o ganho de peso médio diferiu dos demais, ao nível de 5% de significância? 5 – Dez reprodutores foram separados em dois grupos independentes e alimentados com rações diferentes, obtendo-se os seguintes ganhos de peso (kg):

Ração A 5,0 6,0 7,0 4,0 3,0 Ração B 8,0 9,0 6,0 7,0 10,0

Verifique se as rações influenciam no ganho de peso, ao nível de 5% de significância, utilizando a análise de variância para experimentos inteiramente casualizados. Concluir a respeito das duas rações fornecidas. 6 – Com o objetivo de avaliar a utilização de farelo bruto foi realizado um experimento com uma duração de 28 dias, composto de quatro tratamentos e cinco repetições por tratamento. Cada parcela foi constituída de 50 pintos de um dia de idade, da linhagem “Ross”, sendo 25 machos e 25 fêmeas. Os resultados dos ganhos de peso médio por parcela são dados a seguir:


53

0% de Farelo 10% de Farelo 20% de Farelo 30% de Farelo 0,60 0,82 0,79 0,82 0,62 0,85 0,83 0,81 0,61 0,78 0,82 0,79 0,64 0,79 0,81 0,80 0,63 0,80 0,82 0,79

Ao nível de 5% de significância qual tratamento, em média, propiciou o maior ganho de peso? 7 – Para os dados fornecidos a seguir aplicar o teste de Tukey e concluir adequadamente (α = 5%).

3701

^

=m 3382

^

=m 3803

^

=m 3204

^

=m 3255

^

=m 3676

^

=m ∆ = 33

8 – Com os dados abaixo, oriundos do delineamento inteiramente casualizado (DIC), aplicar o teste de Tukey e concluir ao nível de 5% de probabilidade.

r1 = r2 = r3 = 4 r4 = r5 = 5 ∑ =ji

ijY,

2 51,446.22

T1 = 120,6 T2 = 130,7 T3 = 140,8 T4 = 180,6 T5 = 115,6 9 – Aplicar o teste de Tukey às comparações múltiplas obtidas com as médias dos tratamentos de um experimento realizado no delineamento inteiramente casualizado (DIC). Concluir para o nível de 1% de probabilidade.

SQResíduo = 438,8631 r1 = r2 = r3 = 4 r4 = r5 = 3

6,2301

^

=m 2,2172

^

=m 9,2043

^

=m 9,2094

^

=m 3,1885

^

=m 10 – Em uma propriedade agrícola foi realizado um experimento com cinco empregados. Eles realizaram a pulverização de cinco áreas (uma área/empregado) com pulverizadores costais manuais (em condições iguais). No fim de cada turno de trabalho foi avaliado o consumo do pulverizador por empregado, obtendo, para 10 turnos, as seguintes médias (consumo em litros/100m2):

11,21

^

=m 51,22

^

=m 87,13

^

=m 23,24

^

=m 80,15

^

=m Sabendo-se que a SQTotal = 235,51. Qual empregado apresentou maior consumo em seu pulverizador ao nível de 5% de significância? Se necessário utilize o teste de Tukey. 11 – Um experimento para avaliar a influência de quatro tipos de aleitamento, no ganho de peso de leitões, foi conduzido utilizando o delineamento inteiramente casualizado com quatro repetições. Foram obtidos os seguintes resultados:


54

Tratamentos 1 2 3 4 Totais 37,2 44,8 31,6 32,8

F.V. G.L. SQ QM F

Tratamento Resíduo

Total 33,82 Complete o quadro da ANOVA e, considerando α = 1%, responda: Qual(is) o(s) melhor(es) tipo(s) de aleitamento? (Use o teste de Tukey, se necessário). 12 – Foi realizado um experimento utilizando o delineamento inteiramente casualizado para comparar a produtividade de cinco variedades de mandioca. Os resultados foram:

Variedades 1 2 3 4 5

9,1 11,5 8,2 14,2 15,2 6,8 13,7 11,1 10,9 16,1

11,3 14,1 6,2 13,1 11,1 10,4 8,9 15,7 11,4 14,4 11,4 16,1 11,7

a) Efetuar a análise de variância e concluir para α = 5%. b) Para recomendar a(s) variedade(s) mais produtiva(s) é necessário aplicar algum teste

de médias? Justifique sua resposta. 13 – Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma alimentação mais apropriada, um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como as ovelhas eram de idades diferentes, elas foram divididas em sete grupos, sendo que dentro de cada um destes grupos existiam quatro ovelhas da mesma idade e homogeneidade para as demais características. Em cada grupo foi realizado um sorteio para distribuir, inteiramente ao acaso, os quatro tipos de alimentação (TA) às ovelhas do grupo. O experimento iniciou-se no momento de se realizar uma nova tosquia, da qual se obteve os seguintes resultados, expressos em unidade de medida de lã por animal:

Grupos TA 1 2 3 4 5 6 7 Totais 1 30 32 33 34 29 30 33 221 2 29 31 34 31 33 33 29 220 3 43 47 46 47 48 44 47 322 4 23 25 21 19 20 21 22 151

Totais 125 135 134 131 130 128 131 914 Com base nas informações anteriores, pede-se:

a) Qual o tipo de delineamento experimental utilizado pelo criador? Justifique sua resposta.

b) Existe diferença entre os tipos de alimentação fornecidos às ovelhas? (α = 1%).


55

c) Com base no teste de Tukey, qual (is) seria (m) o (s) tipo (s) de alimentação a ser (em) recomendado (s) às ovelhas?

d) Calcular o coeficiente de variação do experimento. 14 – Um experimento no DBC, com quatro repetições, forneceu os dados abaixo:

Blocos Tratamentos 1 2 3 4 Totais

1 142,36 144,78 145,19 138,88 571,21 2 139,28 137,77 144,44 130,61 552,10 3 140,73 134,06 136,07 144,11 554,97 4 150,88 135,83 136,97 136,36 560,04 5 153,49 165,02 151,75 150,22 620,48

Totais 726,74 717,46 714,42 700,18 2.858,80

Para o nível de 5% de significância, pede-se:

a) ANOVA. b) Teste de Tukey, se necessário.

15 – Com o objetivo de verificar qual tipo de pneu que proporciona menor consumo de combustível, para trabalhar em terrenos encharcados, testou quatro diferentes tipos. Como a área que dispunha para realizar o experimento era heterogênea com relação à declividade, subdividiu a área total em três sub-áreas, de tal forma que dentro de cada uma delas existia uniformidade com relação a declividade. Dentro de cada sub-área realizou-se um sorteio ao acaso dos tipos de pneus às unidades experimentais. Com a realização da pesquisa obtiveram-se os seguintes resultados de consumo, expressos em litros/hora trabalhada:

Pneus Sub-área 1 2 3 4

1 30 32 33 35 2 29 30 31 33 3 25 26 30 31

Por meio das informações fornecidas acima, pede-se: (utilize o nível de 5% de

significância, quando necessário)

a) Quais foram os princípios básicos da experimentação utilizados neste experimento? Justifique sua resposta.

b) Qual foi o tipo de delineamento experimental utilizado? Justifique sua resposta. c) Em termos de consumo, conclua com relação aos tipos de pneus testados, por meio da

análise de variância. d) Qual (is) o (s) tipo (s) de pneu (s) que atende (m) ao objetivo da pesquisa? Use o teste

de Tukey, se necessário.


56

16 – Um experimento com cinco variedades de batata (A, B, C, D e E), em blocos casualizados, apresentou as seguintes produções (toneladas por hectare):

Variedades Blocos A B C D E

1 9 21 22 15 12 2 13 27 29 11 18 3 11 26 24 10 18 4 9 25 25 12 17

Para o nível de significância igual a 5%, pede-se:

a) ANOVA. b) Teste de Tukey, se necessário.

17 – Em um experimento de competição de variedades de cana forrageira foram utilizadas cinco variedades: A = COOO290; B = CO294; C = CO297; D = CO299 e E = CO295. Elas foram dispostas em quadrado latino 5 x 5. O controle feito através de blocos horizontais e verticais teve por objetivo eliminar influências atribuídas as diferenças de fertilidade em duas direções. As produções, em kg/parcela, foram as seguintes:

Colunas Linhas 1 2 3 4 5 Totais

1 432 (D) 518 (A) 458 (B) 583 (C) 331 (E) 2.322 2 724 (C) 478 (E) 524 (A) 550 (B) 400 (D) 2.676 3 489 (E) 384 (B) 556 (C) 297 (D) 420 (A) 2.146 4 494 (B) 500 (D) 313 (E) 486 (A) 501 (C) 2.294 5 515 (A) 660 (C) 438 (D) 394 (E) 318 (B) 2.325

Totais 2.654 2.540 2.289 2.310 1.970 11.763

Considerando α = 5%, pede-se:

a) Análise de Variância. b) Qual variedade deve ser recomendada com relação a sua produtividade? Utilize o teste

de Tukey, se necessário. 18 – Aplicar o teste de Tukey para comparar as médias de tratamentos relativas ao delineamento em quadrado latino 5 x 5.

Dados:

T1 = 3.024,0 T2 = 2.549,0 T3 = 2.349,0 T4 = 1.970,0 T5 = 1.734,0

SQResíduo = 34.116,0


57

19 – O objetivo do experimento foi estudar o efeito da época de castração no desenvolvimento e na produção de suínos. Dispunha-se para este estudo de cinco matrizes da mesma raça, que foram submetidas à mesma alimentação e manejo durante o período de gestação. Os tratamentos foram: (A) Castração aos 56 dias de idade; (B) Castração aos 7 dias de idade; (C) Castração aos 36 dias de idade; (D) Inteiros “sem castração”; (E) Castração aos 21 dias de idade. Foi utilizado o delineamento em quadrado latino buscando controlar a variação entre leitegadas (linhas) e a variação no peso inicial dos leitões (colunas), sendo a parcela experimental constituída de um leitão. Os ganhos de peso, em kg, após o período experimental (28 semanas), estão apresentados no quadro abaixo:

Faixas de Peso Inicial Leitegadas 1 2 3 4 5 Totais

1 93,0 (A) 115,4 (C) 116,9 (E) 110,2 (D) 110,4 (B) 545,9 2 110,6 (C) 96,5 (E) 108,9 (B) 97,6 (A) 112,0 (D) 525,6 3 102,1 (B) 108,6 (D) 77,9 (A) 102,0 (E) 111,7 (C) 523,3 4 115,4 (D) 94,9 (A) 114,0 (C) 100,2 (B) 118,5 (E) 543,0 5 117,6 (E) 114,1 (B) 118,7 (D) 108,8 (C) 80,2 (A) 539,4

Totais 538,7 529,5 536,4 518,8 532,8 2.656,2

Considerando α = 5%, pede-se:

a) Proceder à análise de variância. Dado: SQTotal = 2.998,4824. b) Formule um contraste que permita avaliar o efeito médio da prática de castração.

Interpretá-lo de acordo com sua estimativa. 20 – Descreva sobre os delineamentos experimentais DIC, DBC e DQL, respondendo: i) Em quais condições são indicados; ii) Características semelhantes; iii) Características que os distinguem.


58

CONTEÚDO V – Experimentos Fatoriais

1 – Abaixo é fornecido o quadro da Análise de Variância e o quadro de Interação para um experimento fatorial instalado segundo o DBC, com 4 repetições, que foi realizado por um Zootecnista para comparar três raças de suíno e dois tipos de ração, com relação ao teor de gordura na carcaça.

FV GL SQ QM F

Ração 5,0400 Raça 1,0000

Interação (Tratamento) (20,3750)

Blocos - Resíduo 15,0000

Total

Rações

Raças 1 2 Totais

1 45 40 85 2 38 45 83 3 39 48 87

Totais 122 133 255

Pergunta-se: Os fatores Raça e Ração atuam independentemente no teor de gordura dos suínos ao nível de 5% de probabilidade? 2 – Suponha que você esteja participando de uma seleção para um emprego em uma empresa de pesquisa. Dentre as várias áreas em avaliação, consta a área de estatística, que objetiva avaliar seus conhecimentos na área de experimentação, não simplesmente pedindo-lhe para fazer “contas” (na ocasião, de menor relevância), mas sim com relação à estratégia de análise, interpretação, discussão e tomada de decisão. São feitas as seguintes perguntas:

a) Como você faria um “leigo” entender o que vem a ser Interação entre dois Fatores A e B.

b) Qual a estratégia de análise a ser efetuada (ou os passos das análises subsequentes) nos seguintes casos de um experimento fatorial com dois fatores A e B: b.1) Interação Não Significativa;

b.2) Interação Significativa. 3 – Do experimento fatorial 3 x 4, instalado no DIC com quatro repetições, são dados:

B1 B2 B3 B4 Totais

A1 29 25 22 18 94 A2 29 23 20 15 87 A3 21 23 19 18 81

Totais 79 71 61 51 262


59

Dados: SQResd. = 56,43 e α = 5%.

a) Proceder a ANOVA; b) Aplicar o teste de Tukey, se necessário.

4 – O experimento fatorial 3 x 2 foi montado no DQL. Os resultados estão apresentados abaixo. Ao nível de 5% de probabilidade, pede-se:

B1 B2 B3 Totais

A1 20,6 40,5 42,3 103,4 A2 19,8 41,6 42,5 103,9

Totais 40,4 82,1 84,8 207,3

Dados: SQLinhas = 18,4682; 22,362.86

1

2 =∑=j

jC ; 32,556.12 =∑ ijkY

a) Testar os efeitos principais (A e B) e o efeito de interação pela ANOVA; b) Aplicar o teste de Tukey, se necessário.

5 – Com o objetivo de se estudar a produtividade de três cultivares de soja plantadas com cinco adubos diferentes, foi instalado um experimento no esquema fatorial 3 x 5, em blocos casualizados com três repetições, obtendo os seguintes resultados:

Cultivares

Adubos IAC-9 UFV-1 Criatalina Totais

1 29,8 53,4 21,0 104,2 2 35,0 42,4 40,1 117,5 3 52,9 44,6 33,7 131,2 4 54,2 49,9 39,0 143,1 5 52,9 23,1 27,5 103,5

Totais 224,8 213,4 161,3 599,5 Dados: SQResd. = 218,73 e α = 5%.

a) Avaliar se a interação entre Adubos e Cultivares é significativa; b) De acordo com o resultado para interação entre Adubos e Cultivares, explique

teoricamente os procedimentos das análises estatísticas a serem executados sequencialmente.

6 – Com os dados do quadro de interação do experimento fatorial 2 x 6, montado no DBC com duas repetições, verificar se os Fatores A e B atuam independentemente. Considere α =

5%. B1 B2 B3 B4 B5 B6 Totais

A1 46,8 48,2 47,3 49,0 48,5 46,9 286,7 A2 47,2 60,8 69,3 71,6 61,5 46,8 357,2

Totais 94,0 109,0 116,6 120,6 110,0 93,7 643,9 Dado: SQResd. = 120,8325


60

CONTEÚDO VI – Regressão Linear

1 – Utilizando os dados amostrais fornecidos abaixo, pede-se:

Temperatura (0C) 10 15 20 25 30 Comprimento (mm) 1.003 1.005 1.010 1.011 1.014

a) Estimar a equação de regressão linear de 1º grau entre o efeito da temperatura sobre o

comprimento de uma barra de aço; b) Avaliar a adequação do modelo de regressão utilizado por meio da Análise de

Variância. (α = 5%) 2 – Para verificar se existe uma relação linear de 1º grau entre Umidade Relativa (UR - %) do ar da secagem de sementes e a germinação das mesmas, um pesquisador realizou um teste com quatro diferentes valores para a porcentagem de UR do ar que atravessava as sementes armazenadas, obtendo-se os seguintes valores amostrais:

UR (%) 20 30 40 50 Germinação (%) 94 96 95 97

a) Estabelecer a equação linear de 1º grau estimada; b) Ao nível de 5% de probabilidade, qual seria a conclusão do pesquisador com relação à

adequação da equação de regressão entre UR e germinação? 3 – Para o conjunto de pares de valores de X (variável independente) e Y (variável dependente), obter a equação de regressão linear de 1º grau estimada e proceder a análise de variância da regressão. Use o nível de significância de 5%.

X 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Y 10,3 18,2 25,1 35,6 43,0 50,0 59,1 67,8 75,2 85,0

4 – O modelo de regressão linear de 1º grau foi proposto para explicar a relação entre a quantidade de ração fornecida e a produção de leite por cabras. Por meio dos dados fornecidos abaixo, pede-se:

Níveis de Ração (g) 50 75 100 125 150 Produção de Leite (l/dia) 1,2 1,7 2,0 2,1 2,5

a) Estimar o modelo de regressão proposto; b) Verificar se o modelo é adequado pela ANOVA; (α = 5%) c) Interpretar o coeficiente de regressão com relação aos níveis de ração fornecida e a

produção de leite pelas cabras.


61

5 – Suponha que tenha sido realizada uma pesquisa a respeito da influência do tempo de estudo na nota da prova de determinada disciplina. Os dados relacionados a cinco alunos aleatoriamente entrevistados são dados abaixo:

X = Tempo de estudo (horas) 2 3 4 5 6 Y = Nota obtida (0,0 a 10,0) 3,0 5,0 6,0 8,0 9,0

Dados:

205

1

=∑=i

iX ; 905

1

2 =∑=i

iX ; 315

1

=∑=i

iY ; 2155

1

2 =∑=i

iY ; 1395

1

=∑=

i

i

iYX

Pede-se:

a) Ajuste um modelo de regressão linear de 1º grau para tentar explicar a variação na nota do aluno em função do tempo de estudo;

b) Poderíamos dizer que o tempo de estudo influencia significativamente a nota obtida? (α = 5%)

c) Estime o tempo requerido de estudo (em horas/minutos) para que o aluno obtenha a nota 7,0 na disciplina.

d) Obter o diagrama de dispersão associado ao gráfico da equação de regressão estimada. 6 – Para estudar a influencia do número de plantas existentes na parcela experimental (X) sobre a produção de grãos (Y), em uma variedade de sorgo gramíneo, montou-se um experimento cujos resultados foram:

X 18 15 17 16 19 24 15 14 17 18 Y 58 90 95 53 92 96 75 84 94 87

Pede-se:

a) Obter a equação de regressão linear de 1º grau estimada; b) Proceder à análise de variância da regressão; (α = 5%) c) Calcular o coeficiente de determinação, interpretando-o; d) Faça inferências a respeito do modelo de regressão escolhido para tentar explicar as

variáveis X e Y, com base nos resultados obtidos nas letras b e c.


62

VIII - GABARITO

CONTEÚDO I – Distribuição Amostral e Intervalo de Confiança

1 – 0,9535

2 – a) 10,0021247 ≤≤ µ 10,0024753

b) n = 15,37 ≈ 16

3 – a) n = 220,52 ≈ 221

b) n = 539,17 ≈ 540

4 – a) 4,279 ≤≤ µ 5,211

b) 4,108 ≤≤ µ 5,382

c) Comprimento(a) = 0,932 ; Comprimento (b) = 1,274

5 – 420,27 ≤≤ µ 529,73

6 – a) 0,3361 ≤≤ µ 0,4839

b) n = 9,83 ≈ 10

7 – 26,473 ≤≤ µ 31,367

8 – n = 2.662,56 ≈ 2.663

9 – a) 5,03 ≤≤ µ 5,6

b) X

s = 0,10706

10 – a) X = 22,9 ; s = 13,136

b) 9,4 ≤≤ µ 36,4

CONTEÚDO II – Testes de Hipóteses

1 – tcal = 1,06 tα = 1,81

2 – tcal = 14,61 tα = 3,01

3 – Teste t para uma média

4 – tcal = 2,61 tα = 1,73

5 – tcal = 3,57 tα = 2,88

6 – tcal = 3,64 tα = 3,00

7 – Teste t para duas médias independentes

8 – tcal = 8,81 tα = 1,86

9 – tcal = 5,19 tα = 1,76

10 – tcal = 4,72 tα = 1,90


63

CONTEÚDO IV – Delineamentos Experimentais e Teste de Comparação de Médias

1 – Fc = 7,8 Fα = 3,24

2 – c) Fc = 0,135 Fα = 6,93

3 – a) Fc = 685,06 Fα = 2,84 b) 1,22 c) 8,25 d) – 0,03

4 – Fc = 63,41 Fα = 3,81

5 – Fc = 9,0 Fα = 5,32

6 – Fc = 118,22 Fα = 3,24 ∆ = 0,0351

7 – Aplicação direta do teste de Tukey

8 – ∆(4;4) = 10,267 ∆(4;5) = 9,7406 ∆(5;5) = 9,183

9 – ∆(4;4) = 16,645 ∆(4;3) = 17,980 ∆(3;3) = 19,22

10 – Fc = 0,1589 Fα = 2,61

11 – Fc = 15,17 Fα = 5,95 ∆ = 2,1

12 – a) Fc = 1,33 Fα = 2,93

13 – b) Fc = 177,81 c) ∆ = 3,84 d) 6,115%

14 – a) Fc = 5,869 b) ∆ = 13,12

15 – c) Fc = 20,96 d) ∆ = 2,36

16 – a) Fc = 37,70 b) ∆ = 5,05

17 – a) Fc = 12,09 b) ∆ = 107,54

18 – ∆ = 107,54

19 – a) Fc = 9,016 b) Ŷ = 33,66

CONTEÚDO V – Experimentos Fatoriais

1 – FA = 5,04; FB = 0,50; FAxB = 7,1675

3 – a) FA = 1,68; FB = 7,85; FAxB = 0,93

b) Teste de Tukey: Fator B (∆ = 1,349)

4 – a) FA = 0,0049; FB = 25,35; FAxB = 0,0393

b) Teste de Tukey: Fator B

5 – a) Interação Significativa

6 – Os fatores A e B atuam independentemente (Interação Não Significativa)

CONTEÚDO VI – Regressão Linear

1 – a) XY 56,04,997^

+=

b) Fc = 84,43


64

2 – a) XY 08,07,92^

+=

b) Fc = 3,55

3 – XY 128,4522,1^

+=

Fc = 8.079,8

4 – a) XY 012,07,0^

+=

b) Fc = 67,669

5 – a) XY 5,12,0^

+=

b) Fc = 225,00

c) 4 horas e 32 minutos

6 – a) XY 648,1895,53^

+=

b) Fc = 0,7947

c) r2 = 0,0904


65

REFERÊNCIAS

BANZATTO, D. A.; KRONKA, S. N. Experimentação Agrícola. 4ª Ed. Editora FUNEP,

2006.

DIAS, L. A. S.; BARROS, W. S. Biometria Experimental. 1ª Ed. Editora UFV, 2009.

FERREIRA, P. V. Estatística Experimental Aplicada à Agronomia. 3ª Ed. Editora

EDUFAL, 2000.

GOMES, F. P. Curso de Estatística Experimental. 15ª Ed. Editora FEALQ, 2009.

GOMES, F. P.; GARCIA, C. H. Estatística Aplicada a Experimentos Agronômicos e

Florestais. Vol. 11. Editora FEALQ, 2002.

SAMPAIO, I. M. S. Estatística Aplicada à Experimentação Animal. 3ª Ed. FEPMVZ –

Editora, 2007.

STORCK, L.; GARCIA, D. C.; LOPES, S. J.; ESTEFANEL, V. Experimentação Vegetal. 2ª

Ed. Editora UFSM, 2006.

VIEIRA, S. Análise de Variância: Anova. 1ª Ed. Editora Atlas, 2006.


66

APÊNDICE

As tabelas que aqui constam foram adaptadas do livro: GOMES, F.P. Curso de

Estatística Experimental. 15. ed. Editora FEALQ, 2009.

Este material será utilizado em provas. Portanto, não deverá conter informações

adicionais.

Nome: _____________________________________________________________________

Matrícula / Curso: ___________________________________________________________


67

Tabela 1. Valores da função de Distribuição Normal Padrão.


68

Tabela 2. Valores de t (Student) em níveis de 10% a 0,1% de probabilidade (Tabela

Bilateral).


69

Tabela 3. Limites unilaterais de F (Fisher) ao nível de 1% de probabilidade (F > 1).

n1 = número de graus de liberdade do numerador

n2 = número de graus de liberdade do denominador

Tabela 4. Limites unilaterais de F (Fisher) ao nível de 5% de probabilidade (F > 1).

n1 = número de graus de liberdade do numerador

n2 = número de graus de liberdade do denominador


70

Tabela 5. Valores da amplitude total estudentizada “q” (Teste de Tukey) ao nível de 1% de

probabilidade.

I = número de níveis (tratamentos) do fator em teste

n2 = número de graus de liberdade do resíduo

Tabela 6. Valores da amplitude total estudentizada “q” (Teste de Tukey) ao nível de 5% de

probabilidade.

I = número de níveis (tratamentos) do fator em teste

n2 = número de graus de liberdade do resíduo

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