Apostila II de Mec Sol

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia MecnicaGrupo de Anlise e Projeto Mecnico

CURSO DE MECNICA DOS SLIDOS II

Prof. Jos Carlos Pereira

SUMRIO

REVISO DE TRANSFORMAO DE TENSO E CRITRIOS DE

RUPTURA ........................................................................................................5

9 - TRANSFORMAO DE TENSO..........................................................5

9.1 Equaes para transformao de tenso plana........................................5

9.2 - Crculo de tenses de Mohr.....................................................................6

9.3 Construo do crculo de tenses de Mohr.............................................8

9.4 - Importante transformao de tenso......................................................13

9.5 Tenses principais para o estado geral de tenses................................14

9.6 Crculo de Mohr para o estado geral de tenses....................................16

CRITRIOS DE ESCOAMENTO E DE FRATURA ..................................17

9.7 Observaes preliminares.....................................................................17

9.8 Teoria da mxima tenso de cisalhamento (Tresca) (mat. dcteis).......18

9.9 Teoria da mxima energia de distoro (von Mises) (mat. dcteis)......20

9.10 Teoria da mxima tenso normal (mat. frgeis)..................................23

10 VASOS DE PRESSO...........................................................................24

10.1 Vasos cilndricos................................................................................24

10.2 Vasos esfricos...................................................................................25

11 DEFLEXO DE VIGAS........................................................................31

11.1 Introduo..........................................................................................31

11.2 Relao entre deformao-curvatura e momento-curvatura................31

11.3 Equao diferencial para deflexo de vigas elsticas..........................32

11.4 Condies de contorno.......................................................................33

MTODOS DE INTEGRAO DIRETA ...................................................34

11.5 Soluo de problemas de deflexo de vigas por meio de integrao

direta.............................................................................................................34

MTODO DE REA DE MOMENTO ........................................................40

11.6 Introduo ao mtodo de rea de momento........................................40

11.7 Deduo dos teoremas de rea de momento.......................................40

11.8 Mtodo da superposio.....................................................................46

11.9 Vigas estaticamente indeterminadas- mtodo de integrao...............50

11.10 Vigas estaticamente indeterminadas - mtodo de rea de momento..54

11.11 Vigas estaticamente indeterminadas - mtodo da superposio........58

12 MTODO DA ENERGIA......................................................................62

12.1 Introduo..........................................................................................62

12.2 Energia de deformao elstica..........................................................62

12.3 Deslocamentos pelos mtodos de energia...........................................65

12.4 Teorema da energia de deformao e da energia de deformao

complementar...............................................................................................70

13.5 Teorema de Castigliano para deflexo................................................73

12.6 Teorema de Castigliano para deflexo em vigas.................................76

12.7 Teorema de Castigliano para vigas estaticamente indeterminadas......78

12.8 Mtodo do trabalho virtual para deflexes..........................................80

12.9 Equaes do trabalho virtual para sistemas elsticos..........................83

13 - MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS............................................92

ELEMENTOS FINITOS PARA TRELIAS ...............................................92

13.1 Matriz de rigidez de um elemento de barra.........................................92

13.2 Matriz de rigidez de um elemento de barra num sistema arbitrrio....94

13.3 Fora axial nos elementos..................................................................96

13.4 Tcnica de montagem da matriz de rigidez global..............................97

13.5 Exemplos.........................................................................................101

ELEMENTOS FINITOS PARA VIGAS ....................................................109

13.6 Matriz de rigidez de um elemento de viga........................................109

13.7 Propriedades da matriz de rigidez de um elemento de viga...............112

13.7 Vigas com carga distribuida.............................................................116

14 FLAMBAGEM DE COLUNAS...........................................................121

14.1 Introduo........................................................................................121

14.2 - Carga crtica......................................................................................121

14.3 Equaes diferenciais para colunas..................................................123

14.4 Carregamento de flambagem de Euler para colunas articuladas.......126

14.5 Flambagem elstica de colunas com diferentes vnculos nas

extremidades...............................................................................................128

14.5.1 - Coluna engastada-livre...................................................................................128

14.5.2 - Coluna engastada-apoiada..............................................................................130

14.5.3 - Coluna engastada-engastada..........................................................................131

14.6 Limitao das frmulas de flambagem elstica................................135

14.7 Frmula generalizada da carga de flambagem de Euler....................136

14.8 Colunas com carregamento excntrico.............................................137

14.9 Frmulas de colunas para cargas concntricas..................................140

Bibliografia

- Introduo Mecnica dos Slidos, Egor P. Popov, Edgard Blcher Ltda.

- Mechanics of Materials, R.C Hibbeler, Prentice Hall.

- Finite Element Structural Analysis, T. Y. Yang, Prentice Hall.

Reviso de Transformao de Tenso e Critrios de Ruptura 5

REVISO DE TRANSFORMAO DE TENSO E CRITRIOS DE

RUPTURA

9 - TRANSFORMAO DE TENSO

9.1 Equaes para transformao de tenso plana

Uma vez determinadas as tenses normais sx e sy e a tenso de cisalhamento txy,

possvel determinar as tenses normais e de cisalhamento em qualquer plano inclinado em um

dado estado de tenso.

Aplicando as equaes de equilbrio esttico:

sx txy

txy

tyx

sy

sx x

y

q

dA

sx dA txy dA

tyx dA senq

sx dA cosq x

y

q

sy dA senq

tyx dA cosq

x

y

sx

sy

txy

tyx

txy

tyx

sx

sy

x

y

+ q

+ q

A

B

Cq

Curso de Mecnica dos Slidos II6

0F'x= , 0cossendAsensendA

sencosdAcoscosdAdA

xyy

xyx'x

=qqt-qqs

-qqt-qqs-s (9.1)

qqt+qs+qs=s sencos2sencos xy2

y2

x'x (9.2)

Sabendo-se que:

qq=q cossen22sen , q-q=q 22 sencos2cos , q+q= 22 sencos1

Assim:

22cos1

cos2q+

=q , 2

2cos1sen2

q-=q

Substituindo as expresses de sen 2q, cos 2q e sen 2q em (9.2), tem-se;

qt+q-

s+q+

s=s 2sen2

2cos12

2cos1xyyx'x (9.3)

qt+qs-s

+s+s

=s 2sen2cos22 xy

yxyx'x (9.4)

0F'y= , 0sensendAcossendA

coscosdAsencosdAdA

xyy

xyx'y'x

=qqt+qqs

-qqt-qqs+t (9.5)

qt+q

s-s-=t 2cos2sen

2 xyyx

'y'x (9.6)

As equaes (9.5) e (9.7) so as equaes de transformao de tenso de um sistema de

coordenadas a outro.

9.2 - Crculo de tenses de Mohr

Sejam as equaes de transformao de tenso:

qt+qs-s

=s+s

-s 2sen2cos22 xy

yxyx'x (9.7)


qt+qs-s

-=t 2cos2sen2 xy

yx'y'x (9.8)

Elevando ao quadrado ambas as equaes e somando-as tem-se:

2xy

2yx2

'y'x

2yx

'x 22t+

s-s=t+

s+s-s (9.9)

Esta equao pode ser de maneira mais compacta:

( ) 22xy2'x Ra =t+-s (9.10)

A equao acima a equao de um crculo de raio 2xy

2yx

2R t+

s-s= e centro

0be2

a yx =s+s

= .

O crculo construdo desta maneira chamado crculo de tenso de Mohr, onde a

ordenada de um ponto sobre o crculo a tenso de cisalhamento txy e a abcissa a tenso

normal sx.

tmax t

2yx s-s

A(sx, txy)

B(sx, -txy)

s1s2 s

q = 0

|tmin|=tmax

2yx s+s

2 q1


Concluses importantes:

A maior tenso normal possvel s1 e a menor s2. Nestes planos no existem tenses de

cisalhamento.

A maior tenso de cisalhamento tmax igual ao raio do crculo e uma tenso normal de

2yx s+s atua em cada um dos planos de mxima e mnima tenso de cisalhamento.

Se s1 = s2, o crculo de Mohr se degenera em um ponto, e no se desenvolvem tenses de

cisalhamento no plano xy.

Se sx + sy = 0, o centro do crculo de Mohr coincide com a origem das coordenadas s - t,

e existe o estado de cisalhamento puro.

Se soma das tenses normais em quaisquer dos planos mutuamente perpendiculares

constante: sx + sy = s1 + s2 = sx + sy = constante.

Os planos de tenso de cisalhamento mxima ou mnima formam ngulos de 45 com os

planos das tenses principais.

9.3 Construo do crculo de tenses de Mohr

Ex: Com o estado de tenso no ponto apresentado abaixo, determine as tenses principais e

suas orientaes e a mxima tenso de cisalhamento e sua orientao.

sx = - 20 MPa (20 x 106 N/m2) , sy = 90 MPa , txy = 60 MPa

Procedimento:

1 Determinar o centro do crculo (a,b):

x

y

60 MPa

90 MPa

20 MPa

Ponto A


MPa352

90202

a yx =+-

=s+s

= , b = 0

2 Determinar o Raio 2xy

2yx

2R t+

s-s= :

MPa4,81602

9020R 2

2

=+

--=

3 Localizar o ponto A(-20,60):

4 Tenses principais:

s1 = 35 + 81,4 = 116,4 MPa , s2 = 35 - 81,4 = -46,4 MPa

5 Orientaes das tenses principais.

=

+=q 7,47

352060

2tgarc2 ''1 , q1 = 23,85

2 q1 + 2 q1 = 180 q1 = 66,15

A(-20,60)

B(90, -60)

tmax = 81,4

s2 = 35-81,4 = -46,4 s (Mpa)

t (Mpa)

2 q2

s1 = 35+81,4 = 116,4

35 20

602 q12 q1

2 q2


6 Tenso mxima de cisalhamento:

tmax = R = 81,4 Mpa

7 Orientao da tenso mxima de cisalhamento:

2 q1 + 2 q2 = 90 q2 = 21,15

Ex: Para o estado de tenso abaixo, achar a) as tenses normais e de cisalhamento para q =

22,5, b) as tenses principais e suas orientaes, c) as tenses mxima e mnima de

cisalhamento com as tenses associadas e suas orientaes.

x

y

s1 = 116,4 MPa

2

1

q1 = 66,15

s2 = 46,4MPa

x

y

s = 35 MPa

x

y

q2 = 21,25

tmax = 81,4MPa


sx = 3 kgf/mm2 , sy = 1 kgf/mm2 , txy = 2 kgf/mm2

Procedimento:

1 Determinar o centro do crculo (a,b):

2yx mm/kgf22

132

a =+

=s+s

= , b = 0

2 Determinar o Raio 2xy

2yx

2R t+

s-s= :

222

mm/kgf24,222

13R =+

-=

3 Localizar o ponto A(3,2):

x

y

2 kgf/mm2

1 kgf/mm2

3 kgf/mm2

Ponto A

x

22,5

A(3,2)

B(1, -2)

tmax = 2,24

s2 = 2-2,24 = -0,24 s (kgf/mm2)

t (kgf/mm2)

2 q2

s1 = 2+2,24 = 4,24

2

3

22 q1 A

45

B


a)

Ponto A:

4,6323

2tgarc'2 1 =

-=q

sx = 2 + 2,24 cos(63,4 - 45) , sx = 4,13 kgf/mm2

txy = 2,24 sen(63,4 - 45) , txy = 0,71 kgf/mm2

Ponto B:

sy = 2 - 2,24 cos(63,4 - 45) , sy = - 0,13 kgf/mm2

b)

s1 = 4,24 kgf/mm2 (trao) , s2 = -0,24 kgf/mm2 (compresso)

212

2tg 1 ==q

2 q1 = 63,4 q1 = 31,7

2 q1 = 2 q1 + 180 q1 = 121,7

c) tmax = 2,24 kgf/mm2

2 q2 + 2 q1 = 90 q2 = 13,3

x

y

4,24 kgf/mm2 0,24 kgf/mm2

1

2

q1 = 31,7

q1 = 121,7

x

y

x

y

q = 22,5

0,71 kgf/mm20,13 kgf/mm24,13 kgf/mm2

Ponto A


2 q2 = 2 q2 + 180 q2 = 76,7

Observe que: q1 - q2 = 31.7 (-13.3) = 45 e q1 - q2 = 121.7 76.7 = 45

9.4 - Importante transformao de tenso

Seja um elemento sujeito a um estado de tenso de cisalhamento puro(caso de um eixo

em toro).

Para este caso, tem-se que sx = 0 e sy = 0, logo o centro do crculo de Mohr est na

origem do sistema de coordenadas s-t e o raio do crculo R = txy.

x

y

2,24 kgf/mm2

2 kgf/mm2

x

y

q2 = 13,3

q2 = 76,7

x

y

txy

txyT


xy21 t=s

=q12tg

-==q=q

)compresso(45135

)trao(45

1

1 .

Assim:

9.5 Tenses principais para o estado geral de tenses

Considere um estado de tenso tridimensional e um elemento infinitesimal tetraedrico.

Sobre o plano obliquo ABC surge a tenso principal sn, paralela ao vetor normal unitrio.

x

y

s1=|txy|

1 2

q1 = 45

q2 = 135

s2=|txy|

tmax = txy

s

t

s1 = txy2 q12 q1

s2 = -txy


O vetor unitrio identificado pelos seus cosenos diretores l, m e n, onde cos a = l,

cos b = m, cos g = n. Da figura nota-se que: l2 + m2 + n2 = 1.

O plano oblquo tem rea dA e as projees desta rea nas direes x, y e z so: dA.l,

dA.m e dA.n. Impondo o equilbrio esttico nas direes x, y e z, temos:

0Fx = , 0ndAmdAldAl)dA( xzxyxn =t-t-s-s

0Fy = , 0ldAndAmdAm)dA( xyyzyn =t-t-s-s

0Fz = , 0mdAldAndAn)dA( yzxzzn =t-t-s-s

Simplificando e reagrupando em forma matricial, temos:

=

s-sttts-sttts-s

0

0

0

n

m

l

nzyzxz

yznyxy

xzxynx

sx

sz

sy

sxy

szx

sxy

szysyz

x z

y

sx

sy

y

x

z

sx

txz

txy

sn

n

sy

sz

txy

tyz

txz

tyz

A

B

C

y

x

z

Vetor unitrio

m

n l

A

a g

b


Como visto anteriormente, l2 + m2 + n2 = 1, os cosenos diretores so diferentes de

zero. Logo, o sistema ter uma soluo no trivial quando o determinante da matriz de

coeficientes de l, m e n for nulo.

0

nzyzxz

yznyxy

xzxynx

=s-stt

ts-sttts-s

A expanso do determinante fornece um poninmio caracterstico do tipo:

0IIIIII n2n

3n =-s+s-s sss

onde: zyxI s+s+s=s

)()(II 2xz2yz

2xyxzzyyx t+t+t-ss+ss+ss=s

)(2II 2xyz2xzy

2yzxxzyzxyzyx ts+ts+ts-ttt+sss=s

As equaes acima so invariantes, independentemente do plano oblquo que tomado

no tetraedro. Logo, as razes do polinmio caracterstico j so as tenses principais.

9.6 Crculo de Mohr para o estado geral de tenses

Qualquer estado de tenso tridimensional pode ser transformado em trs tenses

principais que atuam em trs direes ortogonais.

sx

sz

sy

sxy

szx

sxy

szy

szy

x z

y

3

1

2

s1

s2

s3


Admitindo que s1 > s2 > s3 > 0.

CRITRIOS DE ESCOAMENTO E DE FRATURA

9.7 Observaes preliminares

A resposta de um material tenso axial ou tenso de cisalhamento puro pode ser

convenientemente mostrada em diagramas de tenso-deformao. Tal aproximao direta no

possvel, entretanto, para um estado complexo de tenses que caracterstico de muitos

elementos de mquina e de estruturas. Desta forma, importante estabelecer critrios para o

comportamento dos materiais com estados de tenso combinados.

Nesta parte do estudo sero discutidos dois critrios para anlise do comportamento

das tenses combinadas em materiais dcteis e em seguida ser apresentado um critrio de

fratura para materiais frgeis.

s3

s1 s2

s3

s1

s2

s3

s1

s2

tmax

s3 s2 s

t

s1


9.8 Teoria da mxima tenso de cisalhamento (Tresca) (mat. dcteis)

A teoria da mxima tenso de cisalhamento, resulta da observao de que, num

material dctil, ocorre deslizamento durante o escoamento ao longo de planos criticamente

orientados. Isso sugere que a tenso de cisalhamento mxima execute o papel principal no

escoamento do material.

Para um teste simples de trao onde s1 = sesc, s2 = s3 = 0, tem-se:

2esc

crticomaxs

=tt

Considerando um fator de segurana n, a tenso de cisalhamento crtica ou admissvel

da forma:

n2esc

crticos

=t

Para aplicar o critrio da mxima tenso de cisalhamento para um estado de tenso

biaxial devem ser considerados dois casos:

s

e

material frgil

srup

s

e

material dctil

sesc

tmax = (s1)/2

s2 = s3 s

t

s1


Caso 1: Os sinais de s1 e s2 so iguais.

Para |s1| > |s2| |s1| sesc

Para |s2| > |s1| |s2| sesc

Caso 2: Os sinais de s1 e s2 so diferentes.

22esc21 s

s-s

Para o escoamento iminente: 1esc

2

esc

1 =ss

-ss

s1

s2

tmax = (s1)/2

s3 s2

s

t

s1

s1

s2

tmax = |(s1- s2)/2|

ss2

s

t

s1s3


9.9 Teoria da mxima energia de distoro (von Mises) (mat. dcteis)

Considere a energia de deformao total por unidade de volume em um material

isotrpico (densidade de energia de deformao) para um estado multiaxial de tenses:

( ) ( )( )xz2yz2xz2

xzzyyx2

z2

y2

xtotal

G21

EE21

U

t+t+t+

ss+ss+ssn

-s+s+s=

L

L

Esta energia de deformao total, medida nos eixos principais da forma:

( ) ( )133221232221total EE21

U ss+ss+ssn

-s+s+s=

A energia de deformao total acima, dividida em duas partes: uma causando

dilatao do material (mudanas volumtricas), e outra causando distorses de cisalhamento.

interessante lembrar que em um material dtil, admite-se que o escoamento do material

depende apenas da mxima tenso de cisalhamento.

s1/sesc

1.0

1.0

-1.0

-1.0

B( -1.0, 1.0)

A( 1.0, 1.0)

s2/sesc

s1

s3

s2

Energia dedeformao total

=

s

s

s Energia de dilatao

+

s-s3

s-s1

Energia de distoro

s-s2


Para um estado de tenso uniaxial as energias de dilatao e de distoro so

representada da seguinte forma:

No tensor correspondente a energia de dilatao, os componentes so definidos como

sendo a tenso hidrosttica mdia:

3321 s+s+s=s

onde s1 = s2 = s3 = p = s .

A energia de dilatao determinada substituindo s1 = s2 = s3 = p na expresso de

energia de deformao total e em seguida substituindo 3

p 321s+s+s

=s= :

( )2321dilatao E621

U s+s+sn-

=

s1

Energia dedeformao total

=

Energia de distoro

s1

Energia de dilatao

s1/3

s1/3

s1/3

+

s1/3

s1/3

+

s1/3

s1/3

tmax = s1/3

s

t

s1/3s1/3

0

tmax = s1/3

s

t

s1/3s1/3

0


A energia de distoro obtida sustraindo da energia de deformao total a energia de

dilatao:

( ) ( ) ( )[ ]213232221distoro G121

U s-s+s-s+s-s=

A energia de distoro em um ensaio de trao simples, onde neste caso s1 = sesc e s2

= s3 = 0 da forma:

G12

2U

2esc

distoros

=

Igualando a energia de distoro de cisalhamento com a energia no ponto de

escoamento trao simples, estabelece-se o critrio de escoamento para tenso combinada.

( ) ( ) ( ) 2esc213232221 2s=s-s+s-s+s-sou:

1esc

1

esc

3

esc

3

esc

2

esc

2

esc

12

esc

32

esc

22

esc

1

=

ss

ss

-

ss

ss

-

ss

ss

-

ss

+

ss

+

ss

L

L

A equao acima conhecida como sendo o critrio de Von Mises para um estado

multiaxial de tenses para materiais isotrpicos. Para um estado plano de tenso, s3 = 0, tem-

se:

12

esc

2

esc

2

esc

12

esc

1 =

ss

+

ss

ss

-

ss

s1/sesc

1.0

1.0

-1.0

-1.0

B( -1.0, 1.0)

A( 1.0, 1.0)

s2/sesc


9.10 Teoria da mxima tenso normal (mat. frgeis)

A teoria da mxima tenso normal estabelece que a falha ou fratura de um material

ocorre quando a mxima tenso normal em um ponto atinge um valor crtico,

independentemente das outras tenses. Apenas a maior tenso principal deve ser determinada

para aplicar esse critrio.

|s1| ou |s2| ou |s3| srup

s1/srup

1.0

1.0

-1.0

-1.0

B( -1.0, 1.0)

A( 1.0, 1.0)

s2/srup


10 VASOS DE PRESSO

Vasos cilndricos e esfricos so comumente utilizados na indstria para servir como

caldeiras ou tanques. Quando os vasos so submetidos a presso, o material com o qual so

feitos os vasos, submetido a carregamentos em todas as direes. Normalmente a relao

raio/espessura do vaso r/t 10, podendo assim ser considerado de parede fina. Neste caso a

distribuio de tenso normal na direo da espessura pode ser desprezvel.

10.1 Vasos cilndricos

Considere um vaso cilndrico tendo espessura t e raio interno r submetido a uma

presso interna p devido a um gas ou a um flido considerado de peso desprezvel.

Onde:

s1 = tenso circunferencial (hoop)

s2 = tenso longitudinal (axial)

A magnitude das tenso s1 determinada a partir de um elemento de comprimento dy

longe o suficiente das extremidades.

0Fx = , 2[s1(t dy)] p (2r dy) = 0 , trp

1 =s

s1

s1

dy

2rp

t

t

s1

s2

t

x

y

z

Vasos de Presso 25

A magnitude da tenso s2 determinada a partir de um corte do cilindro na direo

circunferencial.

0Fy = , s2 (2p r t) p (pr2 ) = 0 ,

t2rp

2 =s

10.2 Vasos esfricos

Considere um vaso esfrico tendo espessura t e raio interno r submetido a uma presso

interna p devido a um gas ou a um flido considerado de peso desprezvel.

Devido a simetria s1 = s2. A magnitude da tenso s2 determinada a partir de um

corte do cilindro na direo circunferencial.

s2

p

t

r

s1

s2

tx

y

z

r

tmax = s1/2

s

t

s1s3s2

p

t r

s2tmax = s1/2

s

t

s1=s2s3


0Fy = , s2 (2p r t) p (pr2 ) = 0 ,

t2rp

2 =s

Nestas consideraes a tenso radial s3 considerada desprezvel em relao a s1 e

s2, onde s3 mxima no lado interno da parede (s3)max = p, nula no lado externo da

parede parede s3 = 0.

Ex: Um vaso de presso cilndrico tem raio r = 1000 mm e espessura t = 10 mm. Calcule as

tenses circunferencial e longitudinal e a variao de dimetro do cilindro causados por uma

presso interna de 0,80 MPa. Tome E = 200 Gpa e n = 0,25.

10100080,0

trp

1 ==s , s1 = 80 Mpa

10.21000.80,0

t2rp

2 ==s , s2 = 40 Mpa

Deformao na direo circunferencial: ( )[ ]3211 E1

s+sn-s=e . Considerando a tenso

radial s3 = 0.

[ ]40.25,08010.200

131

-=e , e1 = 0,35 .10-3 mm/mm

rr

r2r2)rr(2

LL

o1

D=

pp-D+p

=D

=e , 1000

r10.35,0 3

D=- , Dr = 0,35 mm

Ex: Um vaso cilndrico de presso de 3 m de dimetro externo, usado no processamento de

borracha, tem 10 m de comprimento. Se a parte cilndrica do vaso feita de chapa de ao de

25 mm de espessura e o vaso opera a presso interna de 0,1 kgf/mm2, determinar o

alongamento total da circunferncia e o aumento de dimetro provocados pela presso de

operao. E = 20 000 kgf/mm2 e n = 0,3.

trp

1 =s , 2510.5,1.1,0 3

1 =s , s1 = 6 kgf/mm2

t2rp

2 =s , s2 = 3 kgf/mm2

Vasos de Presso 27

( )1

1211 L

L

E1 D

=ns-s=e , ( )3

1

10.3

L3.3,06

000201

p

D=- , DL1 = 2,4 mm

( )dd

dddd

L

L

1

11

D=

pp-D+p

=D

=e , ( )310.3

d3.3,06

000201 D

=- , Dd = 0,765 mm

Ex: Um vaso de presso de ao, cilndrico fechado, de 2,5 m de dimetro mdio, com

espessura de parede de 12,5 mm, tem costura soldada topo a topo ao longo de um ngulo de

hlice a = 30. Durante a pressurizao, a medida de deformao atravs da solda, isto , em

uma linha medida de a + 90, de 430x10-6 mm/mm. (a) Qual a presso no vaso? (b) Qual

era a tenso de cisalhamento ao longo da costura? Considerar E = 20 000 kgf/mm2, G = 8 000

kgf/mm2.

( )n+= 12E

G , n = 0,25

( )LT1 E1

ns-s=e , ( )LT6 25,0000201

10.430 s-s=- , LT 25,06,8 s-s= (1)

trp

1 =s , 5,1210.25,1p 3

1 =s , s1 = 100 p

t2rp

2 =s , s2 = 50 p

s1

s2

30

30

s2

s1longitudinal

transversal


( )p25

2p50p100

221

max =-

=s-s

=t

( )p75

2p50p100

221' =

+=

s+s=s

p5,8760cos.p25p75T =+=so (2)

p5,6260cos.p25p75L =-=so (3)

Substituindo (2) e (3) em (1):

8,6 = 87,5 p 0,25.62,6 p , p = 0,12 kgf/mm2

t = tmax sen 60 = 25 . 0,12 . sen 60 = 2,59 kgf/mm2

Ex: Uma caldeira construida com placas de ao de 8 mm de espessura que so rebitadas nas

extremidades juntamente com duas contra-placas de 8 mm de espessura. Os rebites tem

dimetro de 10 mm e so espaados de 50 mm. Se a caldeira tem dimetro interno de 0,75 m e

a presso de 1,35 Mpa, determine (a) a tenso circunferencial das placas numa posio

distante da unio entre elas, (b) a tenso circunferencial na contra-placas e (c) a tenso de

cisalhamento em cada rebite.

50 mm

8 mm

750 mm

tmax = (s1-s2)/2

s

t

s1s2 sL

60

sT

s

Vasos de Presso 29

(a)

8

10.75,0.35,1trp 3

1 ==s , s1 = 126,6 Mpa

(b)

0Fx = , 2[(s1)cp (tcp dy)] +s1 (t dy) p (2r dy) = 0, cp

cp1 t2rp

)( =s

8.210.75,0.35,1

)(3

cp1 =s , (s1)cp = 63,3 Mpa

(c)

s1

s1

dy

2rp

t

t

(s1)cp

t

dy b

tcp

s1

(s1)cp

dy

2rp

t

t

tcp

s1

(s1)cp

dy

2rp

t

t

tcp


= 0Fcircunf , (s1)cp.tcp.dy - t b dy = 0 , (s1)cp.tcp.dy = t.b.dy = dF

)tocisalhamendefluxo(qdydF

t)( cpcp1 ==s

qdydF

mm8mm

N3,63

2==

q = 506,4 N/mm

(fluxo de cisalhamento)x(espaamento) = q.e = fora cortante que deve resistir cada

rebite.

V = q.e = 506,4 . 50 = 25320 N

410

25320

4d

V22 p

=p

=t , t = 322,4 MPa

Deflexo de vigas 31

11 DEFLEXO DE VIGAS

11.1 Introduo

A ao de foras aplicadas provoca deflexo do eixo de uma viga em relao a sua

posio inicial. Devido a isto, deve-se frequentemente limitar os valores de deflexo de

maneira a impedir desalinhamentos em elementos de mquinas, e deflexes excessivas de

vigas em prdios na construo civil. Neste contexto, sero discutidos mtodos de

determinao de deflexo e inclinaes em pontos especficos da viga.

11.2 Relao entre deformao-curvatura e momento-curvatura

No desenvolvimento da teoria de deflexo de vigas, deve-se considerar a hiptese

fundamental da teoria da flexo na qual as sees planas de uma viga, tomadas normalmente a

seu eixo, permanecem planas aps a viga ser submetida flexo.

A D D

ab

Du

superfcieneutrar

B C C

cf

Dx

-y

Dq

Ds

centride

A D

B Cx Dx

M MA D

B C

r

O

y

z

r = raio de curvatura

Dq

Ds


A variao de comprimento Du das fibras pode ser expressa por:

qD-=D yu

Dividindo a expresso acima por Ds, comprimento das fibras sobre a superfcie neutra,

e levando ao limite, tem-se:

slimy

su

lim0s0s D

qD-=

DD

DD ou

dsd

ydsdu q

-=

onde du/ds a deformao linear de uma fibra da viga a uma distncia y do eixo neutro.

Assim:

dsdu

=e

e da figura acima, tem-se a relao:

qDr=Ds ou r

=D

qD 1s

ou r

=q

=D

qDD

1dsd

slim

0s

Substituindo as duas relaes anteriores em dsd

ydsdu q

-= , tem-se:

y1 e

-=k=r

onde k definido como sendo a curvatura.

A relao acima pode ser usada tanto em problemas elsticos como em problemas

inelsticos, j que na sua deduo no foram utilizadas as propriedades do material. Para o

caso elstico, sabe-se que Ex

xs

=e e IyM

x -=s , logo:

IEM1

=r

11.3 Equao diferencial para deflexo de vigas elsticas

A curva elstica da viga pode ser expressa matemticamente por v = f(x). Para obter

esta equao, preciso representar a curvatura (1/r) em termos da deflexo v e x que da

Deflexo de vigas 33

forma:

( ) 2/322

2

dxdv1

dxvd

1

+

=r

,

( ) IEM

dxdv1

dxvd

12/32

22

=

+

=r

A equao acima chamada elstica cuja soluo d a soluo exata da curva elstica.

Como para a maioria das vigas usadas em engenharia a curva elstica a deflexo pequena, a

inclinao dv/dx tambm pequena, podendo ser considerada desprezvel comparada com a

unidade. Com esta simplificao, a equao da curva elstica pode ser expressa por:

IEM

dx

vd2

2= ou M

dx

vdIE

2

2=

Considerando que )x(VdxdM

-= e )x(wdxdV

-= , temos:

)x(Vdx

vdIE

dxd

2

2-=

e )x(w

dx

vdIE

dx

d2

2

2

2=

Para o caso da rigidez em flexo EI ser constante:

)x(Vdx

vdIE

3

3-= e )x(w

dx

vdIE

4

4=

11.4 Condies de contorno

Para a soluo dos problemas de deflexo de vigas, alm das equaes diferenciais,

devem ser prescritas as condies de contorno. Alguns tipos de condies de contorno so as

seguintes:


v = 0

M = 0

Rolete (extremidade da viga)

v = 0

M = 0

Pino (extremidade da viga)

v = 0 Rolete (posio qualquer ao longo da viga)

v = 0 Pino (posio qualquer ao longo da viga)

v = 0

dv/dx=0

Suporte fixo ou engastado

V = 0

M = 0

Extremidade livre

M = 0 Articulao

onde v = deflexo, M = momento fletor e V = cortante.

MTODOS DE INTEGRAO DIRETA

11.5 Soluo de problemas de deflexo de vigas por meio de integrao

direta

Como um exemplo geral de clculo de deflexo de vigas, pode-se considerar uma viga

com carga distribuida. A deflexo neste caso obtida aps quatro integraes sucessivas.

)x(wdx

vdIE

4

4=

Deflexo de vigas 35

1

x

03

3Cdx)x(w

dx

vdIE +=

21

x

0

x

02

2CxCdx)x(wdx

dx

vdIE ++=

32

2

1

x

0

x

0

x

0CxC

2x

Cdx)x(wdxdxdxdv

IE +++=

43

2

2

3

1

x

0

x

0

x

0

x

oCxC

2x

C6x

Cdx)x(wdxdxdxvIE ++++=

As constantes C1, C2, C3 e C4 so determinadas impondo as condies de contorno.

Para o caso de w(x), V(x) e M(x) discontnuos, a soluo pode ser achada para cada segmento

da viga onde as funes so contnuas, impondo a continuidade de deflexo nos contornos

comuns de cada segmento da viga.

Ex: Achar a equao da curva elstica para uma viga simplesmente apoiada de comprimento

L e de constante EI, com um carregamento uniforme wo. (a) determinar a deflexo a partir da

equao de segunda ordem. (b) determinar a deflexo a partir da equao de quarta ordem.

Caso (a):

1 Determinar as reaes de apoio e a funo de momento M(x).

0M A = , ( ) 02L

LwLR oB =- , 2Lw

R oB =

0Fy = , ( ) 02Lw

LwR ooA =+- , 2Lw

R oA =

w = - wo

L

v(L)=0M(L)=0

v(0)=0M(0)=0

x

y,v

wo L

LRA RB


0M = , ( ) 0M2x

xwxR oA =++- , 2xw

2xLw

M2

oo -=

2 Partindo da equao da curva elstica, e integrando duas vezes e aplicando as condies

de contorno:

2xw

2xLw

Mdx

vdIE

2oo

2

2-==

3

3o

2o C

6xw

4xLw

dxdv

IE +-=

43

4o

3o CxC

24xw

12xLw

)x(vIE ++-=

Para x = 0, v(0) = 0 , C4 = 0

Para x = L, v(L) = 0, 0LC24

Lw12

LLw)L(vIE 3

4o

3o =+-= ,

24

LwC

3o

3 -=

( )433o xLx2xLIE24

w)x(v +--=

Devido a simetria, a maior deflexo ocorre em x = L/2. Para casos mais gerais,

0dxdv

= . Assim, vmax :

IE384Lw5

v4

omax -=

wo x

xRAV

M

vmax 0 x

v

Deflexo de vigas 37

A inclinao da curva elstica dxdv

=q da forma:

--==q

24Lw

6xw

4xLw

IE1

dxdv

)x(3

o3

o2

o

Para x = 0, IE24

Lw)0(

3o-=q

Para x = L, IE24

Lw)L(

3o=q

Caso (b):

o4

4w)x(w

dx

vdIE -==

1o3

3Cxw

dx

vdIE +-=

MCxC2x

wdx

vdIE 21

2

o2

2=++-=

Para x = 0, M(0) = 0, C2 = 0

Para x = L, M(L) = 0, 0LC2L

w)L(M 12

o =+-= , 2L

wC o1 =

2xw

2xLw

Mdx

vdIE

2oo

2

2-==

O resto do problema o mesmo que no caso (a). Neste caso nenhum clculo preliminar

das reaes e da equao de momento necessrio. Este mtodo pode ser vantajoso para

alguns problemas estaticamente indeterminados.

-woL3/24EI

0 x

q woL3/24EI


Ex: Achar a equao da curva elstica para uma viga simplesmente apoiada suporta uma fora

concentrada P, a uma distncia a da extremidade A como mostra a figura abaixo. A rigidez

em flexo E I constante.

Para o segmento AD (0 < x < a):

xLbP

Mdx

vdIE

2

2== , x

LIE

bP

dx

vd2

2=

1

2A

2x

LIEbP

dxdv

+= , 213

AxA6x

LIEbP

v ++=

Condies de contorno:

Para x = 0, v(0) = 0, A2 = 0, xA6x

LIEbP

v 13

+=

Para o segmento DB (a < x < L):

)xL(LaP

Mdx

vdIE

2

2-== , x

LIEaP

IEaP

dx

vd2

2-=

P

L

v(L)=0M(L)=0

v(0)=0M(0)=0

x

y,v

BA

b a

RB = Pa/LRA = Pb/L

D

xPb/LV

M

x Pa/L

M

Deflexo de vigas 39

1

2B

2x

LIEaP

xIEaP

dxdv

+-= , 2132

BxB6x

LIEaP

2x

IEaP

v ++-=

Condies de contorno:

Para x = L, v(L) = 0, 0BLB3L

IEaP

)L(v 212

=++=

Para x = a, v(segmento AD) = v(segmento DB)

aA6a

LIEbP

1

3+ = 21

32BaB

6a

LIEaP

2a

IEaP

++-

Para x = a, (dxdv

=q (segmento AD)) = (dxdv

=q (segmento DB))

1

2A

2a

LIEbP

+ = 12

B2a

LIEaP

aIEaP

+-

Soluo:

( )221 bLLIE6bP

A --= , ( )221 aL2LIE6bP

B +-= , IE6

aPB

3

2 =

Equao da curva elstica para o segmento AD:

( )[ ]xbLxLIE6

bPv 223 --=

Equao da curva elstica para o segmento DB:

( )IE6

aPxaL2

LIE6bP

6x

LIEaP

2x

IEaP

v3

2232

++--=

Se a > b, a maior deflexo se dar no segmento AD, logo:

0dxdv

= (segmento AD) , ( )

3bL

x22 -

=

A maior deflexo :


( )( ) LIE39

bLbPv

2/322

max-

=

Se a fora P fosse aplicada no centro do vo onde a = b = L/2, a maior deflexo seria:

IE48LP

v3

max=

MTODO DE REA DE MOMENTO

11.6 Introduo ao mtodo de rea de momento

O mtodo de rea de momento um mtodo alternativo para a soluo do problema da

deflexo, onde o carregamento complexo e as reas das sees transversais da viga variam.

O mtodo usualmente empregado para obter apenas o deslocamento e a rotao num nico

ponto da viga. Ele possui as mesmas aproximaes e limitaes discutidas anteriormente, com

a determinao da deflexo apenas devido flexo, a deflexo devido ao cortante

desprezada.

11.7 Deduo dos teoremas de rea de momento

Os teoremas necessrios se baseiam na geometria da curva elstica e no diagrama

associado (M/EI). Para a deduo dos teoremas, a equao diferencial da curva elstica deve

ser reescrita como:

IEM

dxd

dxdv

dxd

dx

vd2

2=

q=

= ou dx

IEM

d =q

w

A Bdx

Deflexo de vigas 41

Se o diagrama de momento fletor da viga dividido pelo momento de inrcia I e pelo

mdulo de elasticidade E, ento dq igual a rea sob a curva M/EI para o segmento dx.

Integrando do ponto A at o ponto B tem-se:

dxIE

MB

AA/B =q

Esta equao representa o primeiro teorema de rea de momento, que diz: o ngulo

entre as tangentes em dois pontos sobre a curva elstica igual a rea sob a curva M/EI entre

estes dois pontos.

qB/A

A

Tan B

B

Tan Acurva elstica

dq

MM

dx

x

M/EI

BA dx

M/EI

w

A Bdx


Se o desvio vertical da tangente de um elemento dx medido a partir de uma linha

vertical passando por A dt, ento como assumido que as deflexes so pequenas, tem-se

que ds = dt, logo:

q= dxdt

Integrando esta expresso de A at B, o desvio vertical da tangente de A com relao a

tangente B determinada por:

dxIE

Mxt

B

AB/A =

Da equao que fornece o centride de uma rea temos: = dAxdAx . Como

dxIEM

representa a rea sob a curva M/EI, ns podemos escrever:

dxIE

Mxt

B

AB/A =

A distncia x a distncia do ponto A at o centride da rea sob a curva M/EI de A

at B. A equao acima representa o segundo teorema de rea de momento.

dq

A

Tan B

B

Tan A

tA/B

x dx

dsdt

x

M/EI

BA x

Deflexo de vigas 43

O desvio vertical da tangente de B com relao a tangente A pode ser determinada de

maneira anloga e dada por:

dxIE

Mxt

B

A

'A/B =

A distncia x a distncia do ponto B at o centride da rea sob a curva M/EI de A

at B.

Ex: Determine a inclinao no ponto C da viga abaixo. EI constante.

EI64PL3

4L

EI8PL

EI4PL

21

4L

EI8PL

dxEIM 2

TreaRrea

C

DD/CC =

-+

==q=q

444 3444 2143421

Ex: Determine a inclinao no ponto C da viga abaixo. Tome Eao = 200 Gpa, I = 17.10 6

mm4.

P

L/2BA CD

L/4 L/4

qC/D

D

Tan C

C

Tan D

qC

x

M/EI

CD

PL/4EI

PL/8EI

L/4


Para pequenas deflexes, podemos considerar:

||8

t|||||| A/C

A/BA/CAC q-=q-q=q

Pelo primeiro teorema de rea de momento:

IEkNm8

IEkNm8

)m2(21 2

Tdorea

A/C =

=q

44 344 21

Pelo segundo teorema de rea de momento:

444 3444 2143421444 3444 2144 344 21TreaT.centTreaT.cent

A/B EIkNm24

m221

m232

EIkNm24

m621

m631

m2t

+

+=

IEmkN320

t2

A/B =

16 kN

A

2 m

B C 4 m 2 m

x

M/EI

8/EI

24/EI

2 m C

4 m 2 m

qC/A

Tan C C

Tan A

qA

Tan B

tB/A

Deflexo de vigas 45

IEmkN32

IEmkN8

IE8mkN320

||8

t||

222

A/CA/B

C =-=q-=q

rad00941.0m10.17m/kN10.200

mkN32||

4626

2

C ==q -

Ex: Determine o deslocamento do ponto C da viga abaixo se EI constante.

0MA = , 0MLR oB =- , LM

R oB =

0Fy = , LM

R oA -=

0M = , 0MMxL

Mo

o =+- , xL

MMM oo -=

Mo A

L/2

B

L/2

C

tC/B

Tan C

CTan AvC

Tan B

tA/B

RBRA

x

Mo

Mo/L

V

M

2L L

xMo/2EI

M/EI

Mo/EI


B/CB/A

c t2

tv -=

EI6

LML

EI

M

21

L31

t2

ooB/A =

=

EI48

LM

2L

EI2

M

21

2L

31

t2

ooB/C =

=

EI48

LM

EI12

LMv

2o

2o

c -= , EI16LM

v2

oc =

O mesmo resultado pode ser obtido a partir de A/CA/B

c t2

tv -=

11.8 Mtodo da superposio

A equao diferencial )x(wdx

vdIE

4

4= satisfaz duas condies necessrias para

aplicar o princpio da superposio, isto , w(x) linear com relao a v(x) e o carregamento

assumido no mudar a geometria original da viga. Logo, as deflexes devido a uma srie de

carregamento atuando na viga, podem ser superpostas.

Ex: Determine o deslocamento no ponto C e a inclinao no suporte A da viga apresentada

abaixo. EI constante.

8 kN

4 m

A B

4 m

2 kN/m

vCqA=

(qA)1

4 m

A B

4 m

2 kN/m

(vC)1+

Deflexo de vigas 47

A partir de tabelas (ver Hibbeler), o deslocamento no ponto C e a inclinao no ponto A so:

Para a carga distribuida:

( )IE

kNm24IE128

)m8()m/kN2(3IE128

Lw3 2331A ===q

( )IE

kNm33.53IE768

)m8()m/kN2(5IE768

Lw5v

344

1C ===

Para a carga concentrada:

( )IE

kNm32IE16

)m8()kN8(IE16

LP 2222A ===q

( )IE

kNm33.85IE48

)m8()kN8(IE48

LPv

333

1C ===

O deslocamento total no ponto C e a inclinao no pontoA a soma algbrica de cada

carregamento calculado separadamente:

( ) ( )IE

kNm56 22A1AA =q+q=q

( ) ( )IE

kNm139vvv

3

2C1CC =+=

Ex: Determine o deslocamento na extremidade C da viga apresentada abaixo. EI constante.

(qA)2

4 m

A B

4 m

8 kN

(vC)2

10 kN

4 m

A C

2 m

5 kN/m

=B


Como tabelas no incluem vigas com extremidades em balano, a viga pode ser separada

numa viga simplesmente apoiada e em outra engastada-livre.

Viga simplesmente apoiada com carga distribuida:

( )IE

kNm33,13IE24

)m4()m/kN5(IE24

Lw 2331B ===q

Como o ngulo pequeno, (qB)1 tan (qB)1, o deslocamento no ponto C :

( )IEkNm67.26

IEkNm33.13

)m2(v32

1C =

=

A fora concentrada aplicada no ponto C pode ser aplicada no ponto B alm de um binrio:

( )IE

m.kN67,26IE3

)m4()m.kN20(IE3LM 2o

2B ===q

Considerando o ngulo pequeno, (qB)2 tan (qB)2, o deslocamento no ponto C :

( )IE

kNm33.53IE

m.kN67.26)m2(v

32

2C =

=

(qB)2

4 m

A

10 kN

2 m

+B (vC)2

(qB)2 20 kN/m

(qB)1

4 m

A

C

2 m

5 kN/m

+B

(vC)1

(qB)1

Deflexo de vigas 49

A fora concentrada aplicada no ponto C para uma viga engastada-livre:

( )IE

m.kN67,26IE3

)m2()m.kN10(IE3

LPv

333

3C ===

O deslocamento total no ponto C a soma algbrica de cada carregamento calculado

separadamente:

( ) ( ) ( )IE

m.kN3,53IE7,26

IE3,53

IE7,26

vvvv3

3C2C1CC =++-=++=

Ex: Determine a rigidez K da mola de maneira que no haja deflexo no Ponto C. EI

constante.

a) deflexo do Ponto C considerando a viga rgida:

10 kN

(vC)3

C

2 m

B

w

b L

A

B

C

RB

K

w

b L

A

B C

RB

K vC1


0M A = , 2Lw

RB =

RB = K . vB , K2Lw

vB =

Por semelhana de triangulos: L

)bL(vv B1C

+= , )bL(

K2w

v 1C +=

b) Deflexo do Ponto C considerando a viga deformvel:

Da tabela: EI24Lw 3

B =q , EI24bLw

bv3

B2C =q=

Vc1 Vc2 = 0 , 0EI24bLw

)bL(K2

w 3=-+ , )bL(

bL

EI12K

3+=

11.9 Vigas estaticamente indeterminadas- mtodo de integrao

Vigas estaticamente indeterminadas so aquelas que apresentam um nmero de

reaes incgnitas maior doque o nmero de equaes de equilbrio. As reaes excedentes

so chamadas de redundantes e no so necessrias para manter o equilbrio esttico. O

nmero de reaes redundantes classifica o grau de redundncia da viga.

Para determinar as reaes nas vigas estaticamente indeterminadas, preciso

especificar as reaes redundantes e determina-las a partir das condies de compatibilidade

da viga. Feito isto, as reaes restantes so determinadas pelo equilbrio esttico.

O mtodo da integrao parte da equao diferencial: IE

M

dx

vd2

2= , onde M pode ser

expresso em termos das redundantes. Aps a integrao, as constantes de integrao e as

w

b L

A

B

C

RB

K

vC2

Deflexo de vigas 51

redundantes podem ser determinadas pelas condies de contorno e continuidade do

problema.

Ex: Determine a reao em A para a viga estaticamente indeterminada como apresentada

abaixo. EI constante.

Diagrama de corpo livre:

A reao no ponto A pode ser considerada redundante e o momento interno pode ser expresso

em funo desta reao:

0M = , 0x.R3x

.L2xw

M Ay2

o =-+ , L6xw

x.RM3

oAy -=

Aplicando a equao do momento interno na equao diferencial da curva elstica:

L6xw

x.Rdx

vdIE

3o

Ay2

2-=

L

A B

wo

2L/3

A

B

woL/2

L/3RAy RBy

RBx

MB

x

A

wox2/2L

RAy

V

M


1

4o

2

Ay C4x

L6w

2x

.Rdxdv

IE +-=

21

5o

3

Ay CxC5x

L24w

6x

.RvIE ++-=

As incgnitas RAy, C1 e C2 so determinadas a partir das condies de contorno:

Para x = 0, v = 0; C2 = 0

Para x = L, 0dxdv

= ; 0C4L

L6w

2L

.R)Lx(dxdv

IE 14

o2

Ay =+-==

Para x = L, v = 0; 0LC5L

L24w

6L

.RvIE 15

o3

Ay =+-=

A soluo :

10Lw

R oAy = , 120Lw

C3

o1 -=

Aplicando as equaes de equilbrio esttico, as reaes restantes so:

0RBx = , 10Lw4

R oBy = , 15Lw

M2

oB =

Ex: Determine as reaes nos suportes para a viga estaticamente indeterminada como

apresentada abaixo. EI constante.


w

L

A B

wL

MB=MRBRAMA=M

Deflexo de vigas 53

Devido a simetria, da equao de equilbrio0Fy = tem-se que:

2Lw

RR BA ==

A nica redundante M, a qual pode ser expressa em funo do momento interno M:

0M = , 0'Mx2Lw

2x

xwM =+-+ , 'M2xw

x2Lw

M2

--=

Substituindo na equao diferencial da curva elstica:

'M2xw

x2Lw

dx

vdIE

2

2

2--=

1

32Cx'M

3x

2w

2x

2Lw

dxdv

IE +--=

21

243CxC

2x

'M4

x6w

3x

4Lw

vIE ++--=

As incgnitas M, C1 e C2 so determinadas a partir das condies de contorno:

Para x = 0, v = 0; C2 = 0

Para x = 0, 0dxdv

= ; C1 = 0

Para x = L, v = 0; 02L

'M4L

6w

3L

4Lw

vIE243

=--= , 12Lw

'M2

=

A condio 0dxdv

= para x = L pode ser verificada substituindo o valor de M na curva de

inclinao da viga.

x

A

wx

RAy=wL/2

V

MMA=M


11.10 Vigas estaticamente indeterminadas - mtodo de rea de momento

Se o mtodo de rea de momento usado para determinar as redundantes em uma viga

estaticamente indeterminada, o diagrama M/EI deve ser representado pelas redundantes que

so incgnitas do problema. Como no mtodo de rea de momento necessrio calcular a

rea sob a curva M/EI e o centride da rea, o mtodo mais convenientemente utilizado

quando aplicado juntamente com o mtodo da superposio, onde as reas e os centrides das

reas so facilmente determinados.

Ex: Determine as reaes de apoio para a viga apresentada abaixo. EI constante.

Diagrama de corpo livre devido a fora P:

O diagrama M/EI devido a fora P :

P

A

L

B

L

P

RAy L

B

L

RAx

MA

2L L x

-2PL/EI

-PL/EI

M/EI

Deflexo de vigas 55

Diagrama de corpo livre devido a redundante RBy:

O diagrama M/EI devido a redundante RBy:

A curva elstica da viga da forma:

Como DB = 0 ; tB/A = 0:

{0)L(

EIPL

21

L32

)L(EIPL

2L

LEI

R

21

L32

t

TreaT.centRreaR.centTrea

By

T.cent

A/B =

-

+

-

+

=

44 344 213214342144 344 21321

RBy = 2,5 P

Das equaes de equilbrio, temos:

RAx = 0 , RAy = 1,5 P , MA = 0,5 P L

Ex: Determine as reaes de apoio para a viga apresentada abaixo. EI constante.

Tan AA

B

tB/A = 0

Tan B

2L L xRByL/EI

M/EI

RBy

RAy L

B

L

RAx

MA



O diagrama M/EI devido a redundante RBy e o momento Mo construido da seguinte maneira.

Devido a redundante RBy:

0MB = , RCy L RAy L = 0 , RCy = RAy

0Fy = , RAy RBy + RCy = 0 , RAy = RBy /2

0M = , 0x2

RM By =- , x

2

RM By=

Devido ao momento Mo:

0Fy = , RAy + RCy = 0 , RAy = - RCy

0MA = , - Mo + RCy 2L = 0 , RCy = Mo/2L , RAy = - Mo/2L

MoA

L

B

L

C

Mo

RAy L L

RAx

RBy RCy

A

RBy/2M

x

2L L

x

RByL/2EIM/EI

Deflexo de vigas 57

0M = , 0xL2

MM o =+ , x

L2

MM o-=

A curva elstica da viga da forma:

Da figura acima, temos:

DA = DB = DC = 0 e C/AC/B t21

t =

44 344 2132144 344 2132144 344 21321Qrea

o

Q.centTrea

o

T.centTrea

By

T.cent

C/B )L(EI2

M

21

L21

)L(EI2

M

21

L32

)L(EI2

LR

21

L31

t

-

+

-

+

=

444 3444 2132144 344 214342144 344 21321reaT

o

T.centreaT

By

T.centreaT

By

T.cent

C/A )L2(EI

M

21

L232

)L(EI2

R

21

L31

L)L(EI2

LR

21

L32

t

-

+

++

=

A soluo :

L2M3

R oBy =

Aplicando as equaes de equilbrio, determina-se as reaes restantes:

A

-Mo/2LM

x

2L L x

-Mo/2EI

M/EI

-Mo/EI

Tan C

A

LB

L

C

tB/CtA/C Tan B

Tan A


RAx = 0 , L4

MR oAy = , L4

M5R oCy =

O problema pode tambm ser resolvido da seguinte maneira:

De onde, tem-se:

A/CA/B t21

t =

11.11 Vigas estaticamente indeterminadas - mtodo da superposio

Para a aplicao do mtodo da superposio necessrio identificar as redundantes e

aplicar as foras externas separadamente. As redundantes so determinadas impondo as

condies de compatibilidade nos apoios.

Ex: Determine as reaes para a viga abaixo escolhendo RBy como sendo redundante. EI

constante.

a) Removendo a RBy:

Tan C

A LB

L

CtB/A

tC/A

Tan B

Tan A

P

A

L/2

B

L/2

=

P

A

L/2 B L/2

+vB

Deflexo de vigas 59

IE48LP5

vB =

b) Removendo a fora P:

IE3

LR'v

3By

B =

c) Condies de compatibilidade

0 = - vB + vB , IE3

LR

IE48LP5

03

By+-= , P165

RBy =

Aplicando as equaes de equilbrio esttico, determina-se as reaes restantes:

0RAx = , P1611

RAy = , LP163

M A =

Ex: Determine as reaes para a viga abaixo escolhendo MA como sendo redundante. EI

constante.

a) Removendo a MA:

A

L/2

B

L/2

vB

RBy

P

A

L/2

B

L/2

=

A

L/2

P

L/2

BqA


IE16LP 2

A =q

b) Removendo a fora P:

IE3LM

' AA =q

c) Condies de compatibilidade

0 = - qA + qA , IE3LM

IE16LP

0 A2

+-= , LP163

MA =

Ex: Determine para a viga abaixo as reaes de apoio.

Devido a simetria: RA = RB = 5400 kgf e MA = MB.

a)

EI66,3.6000

EI6Lw 33

D ==q , EI86,3.6000

EI8Lw

v44

D ==

A

L/2

MA

L/2

BqA

6 000 kgf/m

RA1,8 m

A

RB

MA MB1,8 m 1,8 m

B C D

6 000 kgf/m

1,8 m

A

1,8 m 1,8 m

B D

vB1

Deflexo de vigas 61

vB = vD + qD. 1,8 , 8,1.EI6

6,3.6000EI8

6,3.6000v

34

B +=

b)

EI68,1.6000

EI6Lw 33

C ==q , EI88,1.6000

EI8Lw

v44

C ==

vB = vC + qC. 3,6 , 6,3.EI6

8,1.6000EI8

8,1.6000v

34

B +=

c)

EI3

4,5.5400

EI3

LRv

33B

B ==

d)

EI2

4,5M

EI2

LMv

2B

2B

B ==

vB1 vB3 vB3 + vB4 = 0

MA = MB = 7020 kgf m

6 000 kgf/m

1,8 m

A

1,8 m 1,8 m

B C vB2

RB1,8 m

A

1,8 m 1,8 m

B vb3

1,8 m

A

1,8 m 1,8 m

B MB

vB4


12 MTODO DA ENERGIA

12.1 Introduo

Nos captulos anteriores, as formulaes se apoiam no mtodo newtoniano da

mecnica dentro do qual o equilbrio esttico representado de maneira vetorial. Uma outra

alternativa, utilizar o mtodo lagrangeano que usa funes escalares, baseados em conceitos

de trabalho e energia.

12.2 Energia de deformao elstica

O trabalho interno armazenado em um corpo deformvel como energia elstica de

deformao ou energia de deformao elstica o produto da fora mdia que atua sobre o

corpo enquanto ocorre a deformao, multiplicada pela distncia na qual ela age. Seja ento o

elemento de volume dx, dy, dz:

( ) dV21

dx..dz.dy21

dU xxxx es=e

s=

A densidade de energia de deformao Uo interpretada graficamente como a rea sob

linha inclinada do diagrama tenso deformao.

2U

dVdU xx

oes

==

dy

dxdz

sxsxx

y

z

ex

sx

E

Mtodo da Energia 63

No caso de um elemento de volume dx, dy, e dz submetido a um cisalhamento, a

energia de deformao do tipo:

( ) dV21

dy..dz.dx21

dU xyxyxyxy gt=g

t=

ou:

2U

dVdU xyxy

ocis

cis

gt==

Para o caso de um corpo submetido tenses normais sx, sy e sz e tenses de

cisalhamento txy, txz e tyz, a energia de deformao total :

xzxzyzyzxyxyzzyyxxo 21

21

21

21

21

21

dUdVdU

gt+gt+gt+es+es+es==

Das relaes para deformaes obtidas anteriormente, temos:

( ) ( ) ( )xz2yz2xz2xzzyyx2z2y2xo G21

EE21

U t+t+t+ss+ss+ssu

-s+s+s=

Em geral, para um corpo elstico sob tenso, a energia de deformao total obtida

pela integrao volumtrica:

zyxV odddUU =

ou:

( ) dzdydx21

U V zxzxyzyzxyxyzzyyxx gt+gt+gt+es+es+es=

A equao acima pode ser simplicada, se somente as energias de deformao de barras

axialmente carregadas, vigas fletidas e cisalhadas forem consideradas:

( ) dzdydx21

U V xyxyxx gt+es=

Para materiais linearmente elsticos, com tenso uniaxial, E/xx s=e e no

cisalhamento puro, G/xyxy t=g . Assim a equao anterior pode ser reordenada da sequinte

maneira:


t

+s

= V

2xy

V

2x dzdydx

G2dzdydx

E2U

Energia de deformao para barras axialmente carregadas

Para este caso, AP

x =s e AdzdyA = . Desta forma, P e A so funes somente de

x, logo:

dzdydxEA2

PdV

E2U

V 2

2

V

2x =

s=

dxAE2P

dxdzdyEA2

PU

L

2

AL2

2

=

=

Se P, A e E so constantes ao longo do comprimento L da barra, tem-se:

AE2LP

U2

=

Energia de deformao na flexo

Para este caso, IyM

x -=s e IdzdyyA2 = . Como, M e I so funes somente de

x, logo:

dzdydxyIM

E21

dVE2

U2

VV

2x

-=

s=

dxIE2

Mdxdzdyy

IE2

MU

L

2

A

2

L2

2

=

=

Se M, I e E so constantes ao longo do comprimento L da barra, tem-se:

IE2LM

U2

=

Energia de deformao para tubos circulares em toro

Para este caso, J

T r=t e Jdzdy

A2 =r . Como, T e J so funes somente de x,

logo:

Mtodo da Energia 65

dzdydxJT

G21

dVG2

U2

VV

2

r=

t=

dxJG2

Tdxdzdy

JG2

TU

L

2

A

2

L2

2

=

r=

Se T, J e G so constantes ao longo do comprimento L do tubo, tem-se:

JG2LT

U2

=

Ex: Achar a energia absorvida por uma viga retangular elstica em flexo pura, em termos da

mxima tenso e do volume do material.

IE2LM

U2

= , como 23max hb

M6

12hb

2/hMIcM

===s e 12hb

I3

=

s=

s=

3V

E23Lhb

E2U

2max

2max

Com relao a energia absorvida por uma barra axialmente carregada onde a energia :

( )VE2E2

LA

A

PAE2LP

U2

max2

22 s===

observa-se que a viga absorve somente 1/3 da energia absorvida pela barra. Isto devido ao

fato de que as tenses so variveis ao longo da seo.

12.3 Deslocamentos pelos mtodos de energia

O princpio da conservao da energia, no qual assume-se que nenhuma energia

perdida ou criada, pode ser adotado para a determinao dos deslocamentos de sistemas

elsticos devido s foras aplicadas. Partindo deste princpio, supese que o trabalho

realizado pelas foras externas igual a energia absorvida pelo corpo. Logo.

UWe =


Alternativamente, pode-se dizer que a soma dos trabalhos das foras externas e das

foras internas nulo.

0WW ie =- ou iWU -=

O trabalho interno negativo porque as deformaes sofrem oposio das foras

internas.

O trabalho das foras externas o trabalho da fora mdia, partindo de zero at seu

valor mximo, multiplicada pelo deslocamento na direo de sua ao.

Ex: Achar a deflexo da extremidade livre de uma barra elstica de seo transversal A e

comprimento L, devido a uma fora axial P aplicada na extremidade livre.

AE2LP

U2

= e D= .P21

We

UWe = , AE2LP

.P21 2

=D AE

LP=D

Ex: Achar a rotao da extremidade de um eixo circular elstico, em relao ao extremo

engastado, quando aplicado um torque T na extremidade livre.

JG2LT

U2

= e j= .T21

We

UWe = , JG2LT

.T21 2

=j JGLT

=j

P

L D

L

T

Mtodo da Energia 67

Ex: Achar a mxima deflexo devido a uma fora P aplicada na extremidade de uma viga

elstica em balano, tendo seo transversal retangular, como mostrado abaixo. Considerar os

efeitos das deformaes de flexo e angular.

=-

==L

0

322L

0

2

IE6L.P

dxIE2)x.P(

dxIE2

MU

Como a tenso de cisalhamento constante ao longo da direo x, j que o cortante V

constante e igual a P, e constante ao longo da largura da viga, e da forma

-

=t 2

2

y2h

I2P

, a integral pode se transformar numa integral simples, onde o volume

infinitesimal dV igual a Lbdy.

+

-

-

=

t=

2/h

2/h

2

22

V

2

Lbdyy2h

I2P

G21

dVG2

U

GA5LP3

hb

12G240hbLP

30h

IG8

bLPU

22

3

525

2

2

=

==

onde A = b h, a rea da seo transversal da viga.

D= .P21

We

cisflexoe UUUW +== , GA5LP3

IE6LP

.P21 232

+=D GA5LP6

IE3LP 3

+=D

O primeiro termo da deflexo, devido flexo e o segundo devido ao cisalhamento.

No segundo termo, a relao P/A pode ser interpretada como sendo a tenso de cisalhamento

P

L

b

h

V=P

x

M=-Px

L

g


mdia sobre a seo transversal , AV

med=t . Esta quantidade dividida pelo mdulo de

cisalhamento G a deformao angular GA

VGmed =

t=g , que multiplicada pelo comprimento

L fornece a deflexo na extremidade da barra. O nmero 6/5, que aparece no termo da

deflexo devido ao cisalhamento, pode ento ser interpretado como um fator de correo

utilizado quando considera-se a tenso de cisalhamento constante sobre toda a seo.

+=D

2

23

L

hG10E3

1IE3

LP

Na equao anterior, se a relao for E/G = 2,5 para aos mais comumente utilizados,

ela pode ser reescrita da forma:

flexo2

2

L

h75,01 D

+=D

Para vigas curtas, onde por exemplo L = h, a deflexo total igual a 1,75 vezes a

deflexo devido a deflexo, enquanto que para vigas longas, L >> h, a deflexo devido ao

cisalhamento praticamente nula.

Ex: Determine o deslocamento horizontal do ponto D. Considere AE constante.

P

AB

CD

0.6 L

0.8 L

L

P

AB

CD

0.6 L

0.8 L

L

RA RBy

RBx

Mtodo da Energia 69

0M A = , RBy . 0,8 L P . 0,6 L = 0 , P43

RBy =

0Fy = , 0P43

RAy =- , P43

RAy =

0Fx = , 0PRBx =- , RBx = P

Clculo dos esforos internos de cada membro.

Ponto D:

0Fy = , PAD = 0

0Fx = , P + PDC = 0 , PDC = P (trao)

Ponto C:

54

cos =q , 53

sen =q

0Fx = , PDC + PAC cosq = 0 , P45

PAC = (compresso)

0Fy = , PAC senq + PBC = 0, P43

PBC -= (trao)

Ponto A:

0Fx = , - PAC cosq + PAB = 0 , PAB = P (trao)

P

PAD

PDCD

PBC

PDC C

PAC

q

PAB

PAD

A

PACq

RAy


0Fy = , RAy - PAC senq + PAD = 0, P43

RAy = (Ok)

=DEA2

LPP

21

2k ,

( ) ( )AC

2

BC

2

DC

2

AB

2

AELP4/5

AEL6,0P4/3

AEL8,0P

AEL8,0P

P

-+

+

+

=D

AEPL

5,3=D

O mtodo discutido at o momento, s pode ser utilizado para a determinao de uma

incgnita, como por exemplo uma deflexo. Para a determinao de duas ou mais incgnitas

necessrio o desenvolvimento de mtodos mais gerais.

12.4 Teorema da energia de deformao e da energia de deformao

complementar

No clculo das deflexes de sistemas elsticos, o seguinte teorema pode ser

frequentemente aplicado com vantagem: A derivada parcial da energia de deformao de um

sistema elstico linear em relao a qualquer fora selecionada que age sobre o sistema, d o

deslocamento daquela fora na direo de sua linha de ao. As palavras fora e deslocamento

tm sentido generalizado e incluem, respectivamente, momento e deslocamento angular. Esse

o segundo teorema de Castigliano.

Para a interpretao do teorema de Castigliano, considere um caso de uma barra

carregada axialmente. Para um caso mais geral, onde a barra elstica mas no linear, o

diagrama tenso-deformao da forma.

de1e1 e

ds1

s1

s

0

Mtodo da Energia 71

Multiplicando a tenso pela rea da seo transversal A, obtm-se a fora P, e

multiplicando a deformao pelo comprimento L obtm-se a elongao D. O diagrama fora-

elongao (P-D) corresponde ao diagrama tenso-deformao (s-e).

De acordo com a figura acima, quando a fora P1 acrescida de dP1, a barra se alonga

de dD1, logo o trabalho incremental produzido :

( ) 1111111e ddPdPddPPdW D+D=D+=

Desprezando os efeitos de ordem superior, dP1 dD1, trabalho incremental produzido :

11e dPdW D=

Partindo do princpio da conservao da energia, We = U, o incremento de energia de

deformao :

11dPdU D= , D

D==0

11e dPUW

A equao acima pode ser interpretada geomtricamente como sendo a rea sob a

curva fora-deslocamento. A derivada com relao ao limite superior fornece:

PddU

=D

(primeiro Teorema de Castigliano)

dD1D1 D

dP1

P1

P

0

We=U

We*=U*


Uma expresso anloga pode ser obtida quando a elongao D1, acrescida de dD1,

causando um aumento da fora dP1, logo o trabalho incremental produzido, definido como

trabalho complementar, :

( ) 1111111*e ddPdPddPdW D+D=D+D=

Desprezando os efeitos de ordem superior, dP1 dD1 e partindo do princpio da

conservao da energia, We* = U* , o incremento de energia de deformao complementar :

11* dPdU D= , D==

P

011

**e dPUW

A equao acima pode ser interpretada geomtricamente como sendo a rea sobre a

curva fora-deslocamento da direo da fora P. A derivada com relao ao limite superior

fornece:

D=dP

dU* (segundo Teorema de Castigliano)

Generalizando para o caso de vrias foras externas sendo aplicadas num corpo

estticamente determinado, a energia de deformao complementar U* definida como sendo

funo destas foras:

)M,,M,,M,M;P,,P,,P,P(UU pj21nk21** LLLL=

Logo, um incremento infinitesimal na energia dU* dada pelo diferencial:

LLL +d

++d

++d

+d

=d jj

*

kk

*

22

*

11

** M

MU

PPU

PPU

PPU

U

Se for considerado que somente a fora Pk incrementada de dPk, a energia de

deformao complementar ser incrementada de:

Mtodo da Energia 73

kk

** P

PU

U d

=d

A energia de deformao total :

kk

***

total PPU

UU d

+=

E considerando que somente a fora Pk incrementada de dPk, o trabalho

complementar total devido a este incremento :

kk*

e*totale PWW Dd+=

Do princpio de conservao de energia, dU* = dWe*:

kk

*

kk PPU

P d

=Dd , k

*

k PU

=D

Generalizando a equao acima para o caso da aplicao de um momento Mj:

j

*

j MU

=q

onde qj a rotao na direo do momento Mj.

13.5 Teorema de Castigliano para deflexo

O teorema de Castigliano aplicado em sistemas elsticos lineares com pequenas

deformaes. Neste caso, a energia de deformao igual a energia de deformao

complementar, U = U*.


O segundo teorema de Castigliano a consequncia desta igualdade, onde temos:

kk

*

k PU

PU

=

=D , jj

*

j MU

MU

=

=q

Como anteriormente, U funo das foras externas aplicadas, e Dk a deflexo (ou

qk a rotao) na direo da fora Pk (ou momento Mk).

O primeiro teorema de Castigliano, permanece o mesmo como visto anteriormente

considerando a no linearidade do material. Neste caso, U funo dos deslocamentos , e Pk

a fora (ou Mk o momento) aplicada na direo da deflexo Dk (ou rotao qk).

kk

UP

D

= , k

kU

Mq

=

Ex: Aplicando o teorema de Castigliano, determinar as deflexes e rotaes obtidas para uma

barra carregada axialmente, um eixo circular em toro e uma viga engastada livre com uma

carga na extremidade livre.

Barra carregada axialmente (P=constante):

EA2LP

U2

= onde, EALP

PU

=

=D

Eixo circular em toro (T=constante):

JG2LT

U2

= onde, JGLT

TU

=

=q=j

Dk

Pk

Energia dedeformao U

Energia de deformaocomplementar U*=U

0

Mtodo da Energia 75

Viga engastada livre com uma carga na extremidade livre:

GA5LP3

IE6LP

U232

+= onde, GA5LP6

IE3LP

PU 3

+=

=D

Ex: Determine a deflexo vertical do ponto B na estrutura abaixo, causada pela aplicao da

fora P = 3 N usando o segundo teorema de Castigliano. Assumir que cada barra tem seo

transversal constante, com AAB = A1 = 0,125 mm2 e ABC = A2 = 0,219 mm2. Tome E = 2.1

1011 N/m2.

Do equilbrio esttico no ponto B, temos:

5

2cos =q ,

5

1sen =q

22

cos =a , 22

sen =a

0Fx = , - PAB cosq + PBC cosa = 0 , 022

P5

2P BCAB =+- , 2

522

PP BCAB =

0Fy = , PAB senq + PBC sena - P = 0 , P22

P5

1P BCAB =+ , P3

22PBC = ,

P35

PAB =

B

A

C

100 mm

200 mm

200 mm

P = 3 N

PAB

B

a

q

PBC

P


A energia de deformao elstica do sistema :

22

22

2

11

12

12

1k kk

k2

k*

EA2LP

EA2LP

EA2LP

UU +=== =

Derivando a expresso de energia com relao a P, fora atuante em B, temos a deflexo

vertical no ponto B.

PP

EALP

PP

EALP

PU 2

22

221

11

11B

+

=

=D , com 35

PP1 =

e 322

PP2 =

Substituindo os valores na expresso acima, com L1 = 1005 mm e L2 = 2002 mm.

322

10.210.219,0

2200.3/P2235

10.210.125,0

5100.3/P533B

+=D

DB = 0.0306 mm

12.6 Teorema de Castigliano para deflexo em vigas

Ex: Usando o teorema de Castigliano, determine a deflexo e a rotao da extremidade livre

da viga em balano com carregamento uniformente, com EI = constante.

Como nenhuma fora aplicada onde deve ser determinada a deflexo, para a utilizao do

teorema de Castigliano, uma fora fictcia RA = 0 deve ser aplicada neste ponto, oque permite

determinar AR

U

. Logo.

L

wo

A

wo

RA x

M

Mtodo da Energia 77

xR2xw

M A2

o +-= e xRM

A

=

dxIE2

MU

L

0

2

= , dxRM

IEM

RU L

0 AA

=

=D

dx)x(xR2

xw

IE1

RU L

0A

2o

AA +

+-=

=D

IE8

Lw 4oA -=D (direo contrria a direo da aplicao da fora RA)

Como nenhum momento aplicado onde deve ser achada a rotao, para a utilizao do

teorema de Castigliano, um momento fictcio MA = 0 deve aplicado ser neste ponto, oque

permite determinar AM

U

. Logo.

A

2o M2xw

M --= e 1MM

A

-=

dxIE2

MU

L

0

2

= , dxMM

IEM

MU L

0 A

=

=q

dx)1(M2

xw

IE1

MU L

0A

2o

AA -

--=

=q

IE6

Lw 3oA =q (mesma direo que o momento fictcio MA)

Ex: Determine o deslocamento vertical do ponto C para a viga mostrada abaixo. EI

constante. 6 kN/m

2 m4 m

A

B

C

RCRBRA

wo

MA

x M


0M B = , 92R

R CA +=

TRECHO AB (0 < x < 4):

x92

Rx3M C2

++-= e

2x

RM

C

=

TRECHO BC (0 < x < 2):

2C )x2(3)x2(RM ---= e )x2(R

M

C

-=

dxIE2

MU

L

0

2

= , dxRM

IEM

RU L

0 CCC

=

=D

( ) dx)x2()x2(3)x2(RIE

1dx)

2x

(x9x2

Rx3

IE1 2

0

2C

4

0

C2C ----+

++-=D

EI12

C -=D (direo contrria a direo da aplicao da fora RC)

12.7 Teorema de Castigliano para vigas estaticamente indeterminadas

Ex: Considere a viga uniformemente carregada, fixa numa extremidade e apoiada na outra,

como mostrado abaixo. Determine a reao em A.

xR2xw

M A2

o +-= e xRM

A

+=

dxIE2

MU

L

0

2

= , dxPM

IEM

PU L

0

=

=D

0RU

AA =

=D , dx)x(xR

2

xw

IE1 L

0A

2o

A +

+-=D

wo

RA x

M A

Mtodo da Energia 79

0IE3

LRIE8

Lw 3A4

o =+- , 8

Lw3R oA +=

Ex: Determine para a viga apresentada abaixo as reaes de apoio.

0M A = , 32R

R BC +-=

0Fy = , 92R

R BA +-=

TRECHO AB (0 < x < 2):

x2

Rx9x3M B2 -+-= e

2x

RM

B

-=

TRECHO BC (0 < x < 2):

6Rx3x2

RM B

B +--= e 12x

RM

B

-=

dxIE2

MU

L

0

2

= , 0dxRM

IEM

RU L

0 BBB =

=

=D

dx)12x

(6Rx3x2

RIE

1dx)

2x

(x2

Rx9x3

IE1 2

0B

B2

0

B2B -

+--+-

-+-=D

RB = 7,5 kN , RA = 5,25 kN , RC = - 0,75 kN

Ex: Determine para a viga abaixo as reaes de apoio.

6 kN/m

RA

RB

A

RC

B C

2 m 2 m


Devido a simetria: RA = RB = 5400 kgf e MA = MB.

TRECHO AC (0 < x < 1,8m):

x5400MM A +-= e 1MM

A

-=

TRECHO CD (0 < x < 1,8m):

2x

6000)x8,1(5400MM2

A -++-= e 1MM

A

-=

TRECHO DB (0 < x < 1,8m):

)x8,1(5400MM A -+-= e 1MM

A

-=

dxIE2

MU

L

0

2

= , 0dxMM

IEM

MU L

0 AAA =

=

=q

( ) ( )( )

( )( ) dx)1(x8,15400MIE

1

dx)1(x3000x8,15400MIE

1dx)1(x5400M

IE1

8,1

0A

8,1

0

2A

8,1

0AA

--+-

+--++-+-+-=q

MA = MB = 7020 kgf m

12.8 Mtodo do trabalho virtual para deflexes

possivel imaginar que um sistema mecnico real ou estrutural em equilbrio esttico

seja deslocado arbitrariamente de forma coerente com suas condies de contorno ou

vnculos. Durante esse processo, as foras reais que atuam sobre o sistema se movem em

6 000 kgf/m

RA1,8 m

A

RB

MA MB1,8 m 1,8 m

B C D

Mtodo da Energia 81

deslocamentos imaginrios ou virtuais. Alternativamente, foras virtuais ou imaginrias, em

equilbrio com o sistema dado, podem provocar deslocamentos reais cinematicamente

admissveis. Em qualquer dos casos pode-se formular o trabalho imaginrio ou virtual

realizado. Aqui, a discuso ficar limitada considerao de foras virtuais com

deslocamentos reais.

Para foras e deslocamentos que ocorrem da maneira acima, o princpio da

conservao da energia permanece vlido. A variao no trabalho total devido a essas

perturbaes deve ser nula. Logo:

0WW ie =d+d ou ie WW d-=d

onde dWe e dWi so as variaes dos trabalhos virtuais externos e internos.

mais conveniente substituir a variao do trabalho virtual interno dWi pela variao

do trabalho virtual externo nos elementos internos dWei. As quantidades so numericamente

iguais porm de sinais opostos. Logo:

eie WW d=d

A relao acima exprime o princpio do trabalho virtual. Para sistemas de corpo rgido,

o termo dWei igual a zero, enquanto que nos sistemas elsticos dWei = dU.

Para a determinao da deflexo de qualquer ponto do corpo, devido a deformaes

quaisquer que ocorram em um corpo, a equao acima pode ser colocada de forma mais

adequada. Para isto, considere um corpo como mostrado abaixo, no qual procurada a

deflexo de um ponto A, na direo A-B, causada pela deformao do corpo. A equao do

trabalho virtual pode ser formulada pelo emprego da seguinte sequncia de argumentos:

Primeiro, aplicar ao corpo sem carga uma fora imaginria ou virtual

dF, atuando na direo A-B, a qual causa foras internas atravs do corpo. Essas foras

internas, indicadas por df, podem ser achadas nos sistemas estaticamente determinados.


Em seguida, com a fora virtual sobre o corpo, aplicar as foras reais, ou introduzir as

deformaes especificadas, tal como devido a uma variao na temperatura. Isso causa

deformaes internas reais DL, que podem ser calculadas. Devido a essas deformaes, o

sistema de fora virtual realiza trabalho.

Desta forma, como o trabalho externo realizado pela fora virtual dF, movendo-se de

D na direo dessa fora igual ao trabalho total realizado nos elementos internos pelas foras

virtuais internas df, movendo-se das distncias reais respectivas DL, a forma especial da

equao do trabalho virtual se torna:

Dd=Dd LfF

Como todas as foras virtuais alcanam seus valores completos antes de impostas as

deformaes reais, nenhum fator metade (1/2) aparece na equao. A soma, ou em geral, a

integral necessria no segundo membro da equao acima para indicar que todo o trabalho

interno deve ser incluido. particularmente interessante escolher dF igual a unidade:

D=D Lf1

onde:

D = deflexo real de um ponto na direo da fora virtual unitria aplicada,

f = foras internas causadas pela fora virtual unitria,

DL = deformaes internas reais de um corpo.

As deformaes reais podem decorrer de qualquer causa, com as deformaes

elsticas sendo um caso especial. As foras de trao e os alongamentos dos membros so

A

BdF

A fora em umelemento tpico

A

BdF

P1

P2

A deformao emum elemento tpicodevido s foras

DL

Posio finaldo ponto A O deslocamento

do ponto A nadireo A-B D

Mtodo da Energia 83

considerados positivos. Um resultado positivo indica que a deflexo ocorre na mesma direo

que a fora virtual aplicada.

Na determinao das relaes angulares de um membro, usado um conjugado

unitrio no lugar da fora unitria. Na prtica, o procedimento do uso da fora unitria ou do

conjugado unitrio, juntamente com o trabalho virtual, denomina-se mtodo da carga unitria

fictcia.

12.9 Equaes do trabalho virtual para sistemas elsticos

A equao do trabalho virtual pode ser especfica para cada tipo de problema, tanto

para cargas axiais como para membros em flexo.

Trelias:

Uma fora unitria virtual deve ser aplicada em um ponto, na direo da deflexo a ser

determinada.

Se as deformaes reais so elsticas lineares e decorrem apenas de deformaes

axiais, EALP

L =D , logo a equao do trabalho virtual para este caso :

ii

iin

1ii EA

LPp1

==D

onde:

pi = fora axial em um membro devido fora unitria virtual

Pi = fora no mesmo membro devido aos carregamentos reais.

A soma extende-se a todos os membros da trelia.

Vigas:

Da aplicao de uma fora unitria virtual na direo da deflexo desejada, surgiro

momentos fletores internos nas vrias sees designados por m. Ao se aplicar as foras reais,

os momentos fletores giram as sees da viga de dq = Mdx/(EI) radianos. Assim, o trabalho

realizado em um elemento da viga pelos momentos virtuais m mMdx/(EI). Integrando essa

equao ao longo do comprimento da viga, obtemos o trabalho externo nos elementos

internos. Logo a equao do trabalho virtual para este caso :

=DL

0 IEdxMm

x1


Uma expresso anloga pode ser usada para achar a rotao angular de uma seo

particular. Para esse caso, no lugar de se aplicar uma fora unitria virtual, aplica-se um

conjugado unitrio virtual na seo invertigada.

=qL

0 IEdxMm

x1

Ex: Achar a deflexo vertical do ponto B da trelia de ao com juntas de pino, como mostrado

abaixo, devido s seguintes causas: (a) deformao elstica dos membros, (b) encurtamento

de 3 mm do membro AB por meio de um tensor, e (c) queda na temperatura de 60C,

ocorrendo no membro BC. O coeficiente de expanso trmica do ao a = 0,000012

mm/mm/C. Desprezar a possibilidade de flambagem lateral do membro em compresso.

Tome E = 21.103 kgf/mm2.

1 Determinar os esforos internos virtuais, pi:

mm

dx

MM

dx

Mdx/EI

B

A

C

1 m

1 m

1,25 m

A = 100 mm2

L = 1,60m

A = 160 mm2

L = 1,60m

1500 kgf

Mtodo da Energia 85

Equilbrio esttico no ponto B:

6,125,1

cos =q

6,11

sen =q

0Fx = , 06,125,1

p6,125,1

.p BCAB =- , pAB = pBC

0Fy = , 016,11

p6,11

.p BCAB =+-- , pAB = 0,8 (compresso), pBC = 0,8 (trao)

2 Determinar os esforos internos reais, Pi:

B

A

C

RAy

1 kgf

pAB

pBC

RCy

RAx

RCx

Carregamentovirtual

B

1 kgf

pBC

pAB

q

q

B

A

C

RAy

1500 kgf PBC

RCy

RAx

RCx

PAB

Carregamentoreal


Equilbrio esttico no ponto B:

0Fx = , 06,125,1

P6,125,1

.P BCAB =- , PAB = PBC

0Fy = , 015006,11

P6,11

.P BCAB =--- , PAB = -1200 (trao),

PBC = -1200 (compresso)

Caso (a):

Membro p (kgf) P (kgf) L (mm) E (kgf/mm2) A (mm2) p PL/EA

AB - 0,8 + 1200 1600 21000 100 - 0,7314

BC + 0,8 - 1200 1600 21000 160 - 0,4571

S - 1,1886

D = - 1,1886 mm (sentido contrrio a fora unitria)

Caso (b):1 x D = (- 0,8)(- 3) + (+ 0,8)(0)

D = + 2,4 mm (mesmo sentido que a fora unitria)

Caso (c):DLBC = a L DT = 0,000012 . 1600 . (-60) = - 1,152

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Apostila II de Mec Sol