FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAGAvenida das Torres, 500 – Fone: (45) 3321-3900 Fax: (045) 3321-3913

CEP: 85802-640 – Cascavel – ParanáEmail: fag@fag.edu.br

Introdução ao Cálculo Agronomia

Profª. Alessandra S. F. MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

Cascavel – 2009

.a.e .i

.o .u

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

ConjuntosNotação e Representação:Listagem dos elementos

Exemplo: {a; e; i; o; u}Por meio de uma propriedade comum somente a seus elementos.

Exemplo: {x/x é vogal}Graficamente pelo uso do diagrama de Euler-Venn.

A

Pertinência:Indica quando um elemento (pertence) ou

(não pertence) a um determinado conjunto.

Exemplo:A = {a, e, i, o, u}a A e b A

InclusãoIndica quando um conjunto está contido ( ) ou não está contido (

) em outro conjunto. Um conjunto estará contido em outro se todos os elementos do primeiro conjunto pertencerem também ao segundo conjunto. O primeiro será chamado de subconjunto do segundo.

ExemploA = {a, e, i, o, u)B = {a, e, u}C = {a, b, i, u}

B AC Ay xz x

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

2

Conjuntos EspeciaisUnitário – um único elemento

Exemplo: A = {x R / 2x = 6} = {3}

Vazio – nenhum elemento

Exemplo: A = {x N / 2x = 5} =

Nota: A, A

Conjuntos das Partes de AConjuntos de todos os subconjuntos do conjunto A, sem esquecer o conjunto vazio e o próprio

conjunto A.n

ExemploA = {a, e, i}

P(A): {; {a}; {e}; {i}; {a, e}; {a, i}; {e, i}; {a, e, i}}

Igualdade de Conjuntos:A = B e

Exemplo{1, 2} = {2, 2, 1, 1, 2}

Operações entre Conjuntos:União

{ A ou }

ExemploA = {1, 2, 3, 4}B = {3, 4, 5, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

A B

Intersecção

e

Exemplo:A = {1, 2, 3, 4,}B = {3, 4, 5, 6}A B = {3, 4}

A B

DiferençaA – B = { e }

ExemploA = {1, 2, 3, 4}B = {3, 4, 5, 6}A – B = {1, 2}B – A = {5, 6}

A – B

B – A

Conjuntos ComplementaresSe , temos: = A – BExemplo: A B

Números de Elementos da União de ConjuntosExemplos1) Se A = {a, b, c, d, e, f} B = {d, e, f, g, h} então n(A B) é?

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) = 6 + 5 – 3 = 8

2) Sendo A = {0; 1; 2; 3; 4} e B = {2; 4; 8}• A B = {0; 1; 2; 3; 4; 8}• A B = {2; 4}• A – B = {0; 1; 3}• B – A = {8}

3) Sendo A = {1; {2}; 3}, é correto afirmar que:• 1 A• {2} A• 3 A• {1} A• {{2}} A• {3} A• {1; 3} A• {1; {2}} A• {{2}; 3} A• A• A A

4) Dado o conjunto A = {0; 1; 3; {3}}, verifique a veracidade das afirmações:( ) 0 A ( ) {0; 1} A( ) 1 A ( ) A( ) {3} A ( ) A( ) {3} A ( ) 3 A

5) Obtenha todos os subconjuntos dos conjuntos de A = {0; 2; 4}

6) Considere o diagrama a seguir e complete:

a) B C =b) A B =c) A C =d) A B C = e) A B =f) A C =g) B C = h) A B C = i) A – B =j) A – C =k) B – C =l) B – A =m) C – A =n) C – B =

7) (FAAP – SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

Exercícios1) Nas sentenças abaixo, assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas:

I) {2} {0; 1; 2}II) {5; 6; 7}III) { ; 4}IV) 5 }3; {5; 1}; 4}V) {5; 6} {5; 6; 7}

Nesta ordem, a alternativa correta é:a) F, V, V, F, Fb) V, F, F, V, Fc) F, V, V, F, Vd) V, F, F, V, V

2) Sendo A = {{1}; {2}; {1;2}} pode-se afirmar que:a) {1} Ab) {1} Ac) {1} {2} Ad) 2 Ae) {1} {2} A

3) Se M = {1; 2; 3; 4; 5} e N são conjuntos tais que M N = {1; 2; 3; 4; 5} e M N = {1; 2; 3}, então o conjunto N é:

a) Vaziob) Impossível de determinarc) {4; 5}d) {1; 2; 3}e) {1; 2; 3; 4; 5}

4) (FGV – SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A é: a) 8b) 256c) 6d) 128e) 100

5) Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem de samba nem de rock?a) 800b) 730c) 670d) 560e) 430

6) Sabe-se que os conjuntos A e B têm, respectivamente, 64 e 16 subconjuntos.Se A B tem 7 elementos, então A B tem:

a) nenhum elementob) três elementosc) dois elementosd) um elementoe) quatro elementos

GABARITO:1) A 04) B2) E 05) E3) D 06) B

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

Conjuntos Numéricos:Números naturaisN = {0, 1, 2, 3, ...}

Números inteirosZ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Números racionaisQ =

Os inteiros são racionais, pois .

Os decimais exatos são racionais, pois 2,3056 = .

As dízimas periódicas são racionais, pois 1,3232... = 1,32 = .

Os números que não são racionais são denominados irracionais, por exemplo:, , 1, 10, 100, 1000, 1...

Números reaisR = {x/x é racional ou x é irracional}

Nota: é o conjunto dos números inteiros não negativos, e o conjunto dos números inteiros não positivos.

IntervalosIntervalo Aberto

É um subconjunto do conjunto dos números reais x, tais que:a < x < b

ou seja, números que estão entre a e b.(a; b) = ]a; b[ = {x IR | a < x < b}

Intervalo FechadoÉ um subconjunto do conjunto dos números reais x, tais que:

a x b

ou seja, números até b.[a; b] = {x IR/ a x b}

Exemplos1) Se A = {x IR / 2 < x < 5} e

B = {x IR / 3 x 8}, determinar:A B; A B; A – B; B – A

AB

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

8

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

A B

AB A B

AB A – B

AB B – A

2) Usando a notação de conjuntos, escreva os seguintes intervalos que estão representados a seguir.

-1

Exercícios1) Seja IR o conjunto dos números reais, IN, o conjunto dos números naturais e Q o conjunto dos

números racionais. Qual a afirmativa falsa?a) Q IN IRb) Q IN IRc) Q IN = IRd) Q IR = Qe) Q R

2) Sejam os intervalos A = (- ; 1],B = (0; 2] e C = [-1; 1]. O intervalo C (A B) é:

a) (– 1; 1]b) [-1; 1]c) [ 0; 1]

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

9

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

d) (0; 1]e) (– ; – 1]

3) Se designarmos por [3; 4] o intervalo fechado, em IR, de extremidades 3 e 4, é correto escrever:a) {3; 4} = [3; 4]b) {3; 4} [3; 4]c) {3; 4} [3; 4]d) {3; 4} [3; 4]e) n. d. a.

4) Dados os conjuntos:A = {x IN / 2 x 5}B = {x IN / x é ímpar e 1 x < 7}C = {x IN / 0 < x 3}

O conjunto-solução de (A – B) (B – C) é:

a) {1; 2}b) {2; 4; 5}c) {0; 1; 3; 5; 7}d) {1; 2; 3; 4; 5}e) {0; 4; 5}

5) Dados os intervalos A = (-2; 1] e B = [0; 2], então A B e AB, são respectivamente:

a) (0; 1) e (– 2; 2)b) [0; 1] e (– 2; 2]c) [0; 1) e [– 2; 2]d) (0; 1] e (– 2; 2]e) [0; 1) e [– 2; 2)

6) Dado A = {x IR | |x| = 2}, tem-se:a) A INb) A IR+

c) A Z+ = Z+

d) A Z – = Ae) A IN = {2}

7) Sejam A e B os seguintes subconjuntos de IR:A = {x IR / 2 x 5}B = {x IR / x < 4}Então podemos afirmar que:a) A – B Bb) A – B Ac) B – A Ad) A – B = {x IR / 2 < x <4}e) B – A + {x IR / x 5}

8) São dados os conjuntosA = {x IN / x é par}B = {x Z / -1 x < 6}

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

1

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

C = {x IN / x 4}

O conjunto X, tal que X B e B – X = A C:a) {0; 3; 5}b) {1; 3; 5}c) {0; 1; 3; 5}d) {-1; 1; 3; 5}e) {-1; 1; 3; 5; 6}

9) Dados os conjuntosA = {x/x é número par}B = {x/x é número inteiro}C = {x/x é número ímpar}

A afirmativa falsa é:a) (B C) A = Bb) (A B) C = Bc) (B C) A = B d) (A C) B = Be) (A B) C = B

10) Se A = {x IN / x = 4n} com n IN, então o número de elementos de A B é:a) 3b) 2c) 1d) 0e) Impossível de determinar

GABARITO:1) C 06) E2) B 07) B3) C 08) D4) B 09) A5) B 10) B

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

1

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

CURSO DE AGRONOMIAEXERCÍCIOS –Conjuntos numéricos e Intervalos

1. Represente no eixo real cada um dos intervalos:

2. Dados os intervalos e , determine:

3. Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos:

4. Associe V ou F a cada uma das seguintes afirmações:

5. Dados e , determine:

6. Considere os conjuntos e . Quantos elementos tem o conjunto ?

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

1

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

Sistemas de Medidas

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

* Definição

O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro.

O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição.

Desde os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de medidas. Cada um, desta forma, tinha seus próprios métodos de medição.

Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de informações entre os povos era confusa.

* As primeiras medições

No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao homem moderno medir comprimentos. Porém nem sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de comprimentos?

Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto à necessidade de contar. Quando o homem começou a construir suas habitações e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivência e desenvolvimento econômico, que se fazia necessário medir espaços, então houve ai a necessidade de se medir espaços.

Desta forma, para medir espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda são usadas até hoje, como é o caso da polegada.

Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o “cúbito”, que é a distância do cotovelo a ponta do dedo médio.

Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o “cúbito” variava de uma pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergência nos resultados finais de medidas.

Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu adotar uma outra forma de medir o “cúbito”, passaram então ao invés de usar seu próprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim deu-se origem então o “cúbito padrão”.

Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo egípcio então começou a usar cordas, para medir grandes áreas. Tinham nós que eram igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo entre estes nós, poderia medir “x” cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, originou-se o que chamamos hoje de “trena”.

Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas em suas respectivas grandezas.

Então no ano de 1971, um grupo de representantes de diversos países reuniu-se para discutir a forma de adotar um sistema de medidas único que facilitasse a troca de informações entre os povos. Foi desenvolvido o sistema métrico decimal.

* O metro

O termo “metro” é oriundo da palavra grega “métron” e tem como significado “o que mede”. Estabeleceu-se no princípio que a medida do “metro” seria a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado no de 1799 e hoje é baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo em um determinado período de tempo.Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

1

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

* Múltiplos e submúltiplos do Metro

Como o metro é a unidade fundamental do comprimento, existem evidentemente os seus respectivos múltiplos e submúltiplos.

Os nomes pré-fixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo, hecto, deca, centi e mili.

Veja o quadro:

Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar medição em pequenas distâncias.

No caso de haver necessidade de fazer medições milimétricas, onde a precisão é fundamental, podem-se utilizar as seguintes medições:

No caso de haver necessidade de fazer medições astronômicas, pode-se utilizar a seguinte medição:

Ano-Luz é a distância percorrida pela luz em um ano.

* Nomes e funções de algumas medidas

* Leitura das Medidas de comprimento

Podemos efetuar a leitura corretas das medidas de comprimento com auxilio de um quadro chamado “quadro de unidades”.

Exemplo: Leia 16,072 m

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

1

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

 

Após ter colocado os respectivos valores dentro das unidades equivalentes, lê-se a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal com a unidade de medida o último algarismo.

Veja outros exemplos de leitura:

8,05 km = Lê-se assim: “Oito quilômetros e cinco decâmetros”

72,207 dam = Lê-se assim: “Setenta e dois decâmetros e duzentos e sete centímetros”

0,004 m = Lê-se assim: “quatro milímetros”

* Transformar unidades

Observe a tabela abaixo:

Agora observe os exemplos de transformações

1) Transforme 17,475hm em m

Para transformar hm (hectômetro) em m (metro) - observe que são duas casas à direita - multiplicamos por 100, ou seja, (10 x 10).

17,475 x 100 = 1747,50

Ou seja

17,475 hm é = 1747,50m

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

1

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

2) Transforme 2,462 dam em cm

Para transformar dam (Decâmetro) em cm (Centímetro) – observe que são três casas à direita – multiplicamos por 1000, ou seja, (10 x 10 x 10).

2,462 x 1000 = 2462

Ou seja

2,462dam é = 2462cm

3) Transforme 186,8m em dam.

Para transformar m (metro) em dam (decâmetro) – observe que é uma casa à esquerda – dividimos por 10.

186,8 ÷ 10 = 18,68

Ou seja

186,8m é = 18,68dam

4) Transforme 864m em km.

Para transformar m (metro) em km (Kilômetro) – observe que são três casas à esquerda – dividimos por 1000.

864 ÷ 1000 = 0,864

Ou seja

864m é = 0,864km

Conversão de medidasMedidas de COMPRIMENTO

Unidade Símbolo Equivalência

metro (SIU) m = 1 m

polegada pol(") = 2,54 x 10-2 m

pé pé(') = 12 pol = 0,3048 m

jarda jd = 3 pés = 0,9144 m

milha mi = 1760 jd = 1609,344 m

ano-luz a.l. ~ 9,460 730 472 580 8 x 1015 m

segundo-luz

s.l. = 2,997 924 58 x 108 m

Medidas de ÁREAUnidade Símbolo Equivalência

metro quadrado

m² um quadrado com 1 metro de lado

acre acre aprox. 4046,856 m² (aprox. 0,4047 ha)

are a 100 m²

hectare ha 104 m²

alqueire paulista

2,42 ha

alqueire goiano

4,84 ha

alqueire baiano

9,68 ha

alqueire do norte

2,72 ha

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

1

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

Medidas de VOLUMEUnidade Símbolo Equivalência

metro cúbico

m3 = 1 m3

litro l, L = dm3 = 10-3 m3

galão (US) US-gal = 3,78541 dm3

galão (UK) B-gal = 4,546 09 dm3

Medidas de MASSAUnidade Símbolo Equivalência

quilograma kg = 1 kg

tonelada (métrica)

t = 103 kg

libra (avoirdupois) lb = 0,453 592 37 kg

onça (avoirdupois)

oz ~ 28,3495 g

onça (troy) oz (troy) ~ 31,1035 g

grão gr = 64,798 91 mg

Medidas de TEMPOUnidade Símbolo Equivalência

segundo

s 1 s

minuto min = 60 s

hora h = 3600 s

dia d = 86400 s (convencionado)

semana h = 7 dias

mês h = 30 dias (convencionado)

ano a ~ 31 556 952 s

Algarismos significativosO resultado de uma medição expressa o valor de uma grandeza física. É muito importante saber distinguir o valor efetivamente obtido no processo de medição, daqueles decorrentes de cálculo ou arredondamento numérico. Assim, dado o resultado de uma medição, os algarismos significativos são todos aqueles contados, da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero. Exemplos:45,30cm > tem quatro algarismos significativos;0,0595m > tem três algarismos significativos; e 0,0450kg > tem três algarismos significativos. Algarismo correto e algarismo duvidoso:Vamos supor que você está efetuando a medição de um segmento de reta, utilizando para isso uma régua graduada em centímetros.Você observa que o segmento de reta tem um pouco mais de vinte e sete centímetros e menos que vinte e oito centímetros.Então, você estima o valor desse "pouco" que ultrapassa vinte e sete centímetros, expressando o resultado da medição assim: 27,6 centímetros.Ou seja, você tem dois algarismos corretos (2 e 7) e um duvidoso (6), porque este último foi estimado por você - um outro observador poderia fazer uma estimativa diferente. Significados do zero, à esquerda e à direita Zeros à esquerda do primeiro algarismo correto, antes ou depois da vírgula, não são significativos. Refletem apenas a utilização da unidade, ou seus múltiplos e submúltiplos.

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

1

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

Note que se você preferisse expressar o resultado 0,0595m em centímetros, ao invés de metros, você escreveria 5,95cm . Nada se altera, você continua com os mesmos três algarismos significativos.Zeros colocados à direita do resultado da medição, são significativos.O resultado 0,0450kg é diferente de 0,045kg , pois o primeiro tem três algarismos significativos enquanto o segundo só tem dois. No primeiro caso, o zero é o algarismo duvidoso, enquanto no segundo caso o algarismo duvidoso é o cinco. Isso significa que houve maior exatidão de medição no processo para se obter o resultado 0,0450kg. Influência dos cálculos Vamos supor que você fez três medições de massa de um mesmo corpo em uma balança de leitura digital que apresenta o resultado em gramas, obtendo os seguintes valores: 5202g; 5202g e 5203g. Você obteve resultados com quatro algarismos significativos.Para apresentar o resultado da medição, você resolveu fazer a média entre as três leituras obtidas, utilizando três casas decimais para o cálculo:5202g + 5202g + 5203g = 15607g : 3 = 5202,333gOra, se você apresentar como resultado da medição o valor 5202,333g , sem qualquer informação adicional, você o estará falseando, pois este exibe sete algarismos significativos. Nesse caso, o resultado apresentado não é resultante apenas do processo de medição, mas foi influenciado pelo cálculo com três casas decimais. Você passará a informação de que a medição foi realizada com exatidão muito superior ao que de fato ocorreu no processo de medição. O correto é dar o resultado com a mesma quantidade de significativos da medição realizada: 5202g (quatro significativos).O contrário também pode ocorrer. Pegando o mesmo exemplo, digamos que você tenha decidido apresentar o resultado da medição em quilogramas, ou seja, 5,202kg. Aí você resolve arredondar o valor obtido para 5,2kg. Esse resultado apresenta apenas dois algarismos significativos e expressa uma exatidão inferior àquela obtida pelo processo de medição. Assim, a maneira correta de apresentar esse resultado é 5,202kg, portanto com os mesmos 4 significativos originais.

Arredondamento de Dados Nos resultado final dos cálculos, se o último dígito está acima de 5 arredondamos para cima e se o último dígito

está abaixo de 5 ou é 5 ,basta suprimi-lo. O procedimento correto é arredondar somente no final dos cálculos e levar todos os dígitos na memória da calculadora até o último estágio.

adição resultado arredondamento

0,19 + 0,13 = 0,32 0,3

0,19 + 0,17 = 0,36 0,4

0,19 + 0,26 = 0,45 0,4

Como arredondar as dízimas?Dízima: 1,50494847...Dízima periódica: 1,505050... =

De acordo com o número de casas após a vírgula podemos classificar os números em:a) Decimais: uma casa após a vírgula – 0,1; 0,3; 3,2; 5,4.b) Centesimais: duas casas após a vírgula – 0,12; 2,14; 5,23; 7,89; 15,24.c) Milesimais: três casas após a vírgula – 45,123; 56,789; 1,002.

Regras para arredondamento de dados:Se o Algarismo a ser suprimido for:

a) Menor que 5 : Basta suprimí-lo. Ex: 5,052 (Para um número centesimal) – 5,05 Ex: 24,994 (Para um número centesimal): Ex: 103,701 (Para um número decimal):

b) Maior que 5 ou igual a 5 : Basta suprimi-lo, acrescentando uma unidade ao algarismo que o precede.Ex: 5,057 (Para um número centesimal) – 5,06

Ex: 24,791 (Para um número centesimal): Ex: 103,998 (Para um número decimal):

Nas Operações:

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

1

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

Adição e subtração Quando adicionamos ou subtraímos, o número de lugares decimais no resultado deveria ser o mesmo do menor número de decimais nos dados que dispomos.

Multiplicação e divisão Quando multiplicamos ou dividimos, o número de algarismos significativos no resultado deveria ser o mesmo do menor número de algarismos significativos nos dados que dispomos.

Números inteiros e exatos Quando multiplicamos ou dividimos por um número inteiro ou exato, a incerteza do resultado é determinada pelo valor medido. Alguns fatores de conversão das unidades são definidos exatamente, menos se não são números inteiros. Por exemplo, 1 polegada é definida exatamente como 2,54 cm e 273,15 na conversão entre as temperaturas celsius e kelvin também é exata, então 100,000C se converte exatamente em 373,150 K. O valor numérico e Notação Científica de uma grandeza

Obviamente, é preciso poder expressar as unidades em múltiplos e submúltiplos, pois a apresentação a medida da distância de São Carlos à São Paulo (235.000 m) ou o tamanho médio de uma ameba gigante 0,0001 m apresentadas assim, não são práticas operacionalmente. Costumamos representar as medidas em notação científica. Assim como 1.000 m = 1 quilômetro, podemos escrever a distância São Carlos - São Paulo como 235.000 m = 235 103

m = 235 km, e o tamanho dessa ameba como 10 4 m. Apresentamos na tabela a seguir os prefixos de potências de 10 usados em notação científica.

Se um valor numérico é igual a 105, isso significa que o número é igual a 0,00001, ou seja

10-5 = 0,00001 (4 zeros depois da vírgula seguidos do algarismo 1), da mesma forma,

10-8 = 0,00000001 (7 zeros depois da vírgula seguidos do algarismo 1), e de uma forma geral, um submúltiplo é escrito como:

10-n = 0,0.....0000001 (n-1 zeros depois da vírgula seguidos do algarismo 1).

Para um múltiplo, escrevemos:

101 = 10 (um zero depois do algarismo 1) 102 = 10 10 = 100 (dois zeros depois do algarismo 1) 103 = 10 10 10 = 1000 104 = 10 10 10 10 = 10000 10n = 10 ... ... 10 10 10 = (n zeros depois do algarismo 1)

Para um submúltiplo, escrevemos:

101 = 0,1 (uma casa depois da vírgula) 102 = 0,1 0,1 = 0,01 (duas casas depois da vírgula) 103 = 0,001 (três casas depois da vírgula) 104 = 0,0001 (quatro casas depois da vírgula) 10n = 0,00000....1 (0 seguido de n casas depois da vírgula)

Na notação científica, um número é escrito como N 10n. Aqui N é um número decimal com um dígito diferente de zero e menor que nove, na frente do ponto decimal e n é um número inteiro. Por exemplo, 456 é escrito como 4,56 102.

Números entre 0 e 1 são expressos da mesma forma, mas com uma potência negativa de 10; eles tem a forma

N 10n, com 101 = = 0,1, e assim por diante. Então 0,0456 na notação decimal é 4,56 102.

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

1

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

Exercícios

01) Faça o arredondamento dos números abaixo, de acordo com o que se pede:

Milesimal Centesimal Decimal

a) 57,8755

b) 24,0540

c) 130,056

d) 92,445

e) 113,372

f) 89,1750

g) 19,935

h) 5,789

i) 202,49876

j) 11,25465

l) 794,20951

m) 701,09954

n)201,95456

o) 3,39999...

p) 3,14151...

q) 16,909987

r) 1,0092014

2) Escreva os números em notação cientifica:a) 570.000b) 12.500c) 50.000.000d) 0,0000012e) 0,032f) 0,72g) 56,7h) 86.700i) 0,00567

j) 10,1 10-6

k) 0,00236 10-6

l) 82 103

m) 640 105

n) 9.150 10-3

o) 200 10-5

p) 0,05 103

q) 0,0025 10-4

3) Converta na forma decimal os seguintes números escritos em notação científica.a) 5,67 101

b) 7,2 105

c) 1,23 10-4

d) 8,67 1022

e) 9,1 10-12

f) 1,02 10-1

4) Efetue as operações colocando a resposta em notação científica:a) 5 103 1,5 102

b) 3,2 105 2 10-3

c) 4,5 10-3 1,2 10-5

d) 5 10-8 3 105

e) (7,5 104) ( 3 104)f) (2,5 10-3) (5 103)g) 5,6 + 15,2 10-1 + 250 10-2

h) 7,8 10-4 – 52,4 10-5

5) Dê suas respostas a seguir em notação científica:a) Converta 75 centímetros em quilômetros.b) Converta 135 quilômetros em centímetros.c) Converta 950 quilogramas em miligramas.

d) Converta 83,5 miligramas em quilogramas.e) Converta 432 segundos em microsegundos

6. Que unidade de comprimento você usaria para medir:a) a largura de seu caderno?b) a distância entre Brasília e Salvador?c) a altura de um prédio?d) a espessura de um vidro?

e) a extensão de um rolo de barbante?f) ingredientes de receita culináriag) pequenos animais ou pessoash) safra agrícola

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

2

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

12. Efetue as seguintes transformações:a) 3,10 h em horas e minutosb) 5,15h em horas e minutosc) 7,20 h em horas e minutosd) 1,25 h em horas e minutose)4,21666... em horas e minutosf) 2 h e 20 min em horasg) 5 h e 35 min em horash) 10 h e 40 min em horasi) 5,555... h em horas, minutos e segundos.j) 2 h,l3 min e 7s em segundos

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

2

Introdução ao Cálculo Agronomia- FAG

Profª. Alessandra Stadler Favaro MisiakProfª Elizangela Aparecida Santos Faria

2

Razão, Proporção, Regra de Três e Porcentagem

Razões - Introdução

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

  (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde

a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)

o quociente ou a:b.

A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:

1. Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

  (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

2. Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

  (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4 1:4 ou ou 0,25.

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre   é .

Termos de uma razão

Observe a razão:

    (lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou, o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. Veja o exemplo:

3:5   = 

Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

Razões inversas

Considere as razões .

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.

Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

Observações:

1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.

Exemplo: O inverso de .

Exemplos:

1) Calcular a razão entre a altura de dois pés de milho, sabendo que o primeiro possui uma altura h 1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:

 2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2.

Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete:

3) Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão?    Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").

Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

4) Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?Solução:

Razão =

Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.

5) O estado do Paraná no censo de 2005 teve uma população avaliada em 10.261.856 habitantes . Sua área é de 199.709 km². Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão?Solução:

Razão =

Razão = 51 hab/km2 (lê-se "51 habitantes por quilômetro quadrado").

Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 51 habitantes.

6) Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm  =  1cm3

Razão =

Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").

  Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

Proporção

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes: Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade é uma

proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números A, B, C e D são denominados termos Os números A e B são os dois primeiros termos Os números C e D são os dois últimos termos Os números A e C são os antecedentes Os números B e D são os conseqüentes A e D são os extremos B e C são os meios

Exemplo:

(3 está para 4 assim como 27 está para 36) Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa razão.

Propriedades das proporções

1ª Propriedade

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Produto dos meios = 4.30 = 120Produto dos extremos = 3.40 = 120

Exemplo:

1. Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5.x = 8.15

x   =  24

Logo, o valor de x é 24.

2. Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:

A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.

Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.

1.2 = 0,04x 0,04x=2

x = 50 m3

Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

2ª PropriedadeA soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos

dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

3ª PropriedadeA soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos

dois últimos está para o quarto termo, isto é:

4ª PropriedadeA soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos conseqüentes, assim como cada

antecedente está para o seu conseqüente, isto é:

Grandezas Diretamente ProporcionaisDuas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na

mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:

Exemplos:Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de

água.

15 minutos50 cm

30 minutos100 cm

45 minutos150 cm

Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:Tempo (min) Altura (cm)15 5030 10045 150

Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.

Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

(a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais:

(b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais:

Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

Grandezas Inversamente ProporcionaisDuas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma

proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:

X · Y = K

Exemplos:A professora de um colégio tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma

quantidade de livros para cada aluno.O melhor aluno receberá 24 livros2 melhores alunos, cada um terá 12 livros3 melhores alunos, cada um terá 8 livros4 melhores alunos, cada um terá 6 livros6 melhores alunos, cada um terá 4 livros

Alunos escolhidos Livros para cada aluno1 242 123 84 66 4

De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.

Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.

Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.

Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

Exercícios

1. Dois homens pintam um muro em 18 horas de serviço. Se em vez disso houver 3 homens, ou 4 homens, o que

ocorrerá? Essas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais?

2. Identifique, nas grandezas a seguir, se a variação é diretamente ou inversamente proporcional:

a) Número de carros e número de rodas;b) Número de teares iguais e metros de panos produzidos;c) Litros de leite e preço pago pela conta;d) Homens trabalhando e horas a serem trabalhadas;e) Velocidade e tempo;f) Número de pessoas e quantidade de alimentos.g) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poderá consumirh) A área de um retângulo e o seu comprimento, sendo a largura constante.i) Número de erros em uma prova e a nota obtida.

j) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa.k) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago.

3.Um homem consegue estender 400m de fio de arame em 10 horas de serviço diário. As grandezas metros de fio

estendido e tempo de trabalho são diretamente proporcionais?

4. Considere as grandezas: medida do lado de uns quadrados e área dos quadrados.

Preencha a tabela abaixo:

Medida do lado do quadrado 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm

Área do quadrado

As grandezas medida do lado e área são proporcionais?

5. Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela e responda:

 Número de acertadores Prêmio

3 R$ 200.000,004 R$ 150.000,00

 a) Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00 para o prêmio de R$150.000,00? b) Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores? c) O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

6. Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os números x e y. 7. Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente proporcionais aos números 180, 120, 200 e 480, determine os números a, b e c. 

Regra de Três

Elementos históricos

Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

Regra de Três Simples É um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles.

Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

É importante observar que as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas na

mesma unidade de medida. (Km/h, m/s, Kg, l).

Veja.

Ex1: Comprei 6m de tecido e paguei R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?

Tecido R$

6 15

8 ?

Se aumentar a quantidade de tecido, aumenta o valor? Sim.

Então as grandezas são diretamente proporcionais.

Para expressar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais usamos “setas”. Sempre

colocamos primeiro a seta na coluna que contém x, com a seta voltada para ele, e a outra vai depender da proporção ser

direta ou inversa.

No nosso exemplo é direta, então; as setas ficam voltadas para o mesmo lado.

6 15 e montamos a proporção da maneira que está.

8 x

Ex2: Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra, com a mesma

carga horária?

Operários dias

6 10

20 x

Aumentam-se os operários, aumentam os dias? Não. Então é inversamente proporcional.

Como é inversamente proporcional:

6 10

20 x

para resolvermos devemos deixar as duas setas no mesmo sentido, então, invertemos os valores da coluna de número

de operários:

20 10

6 x

Agora, resolvemos como no anterior:

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2 m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5 m2, qual será a energia produzida?

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Regra de Três Composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, diretas ou inversamente proporcionais.

Consideremos a seguinte situação:

Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipos serão

produzidas por 7 operários, trabalhando durante 9 dias?

Resolução:

Vamos organizar os dados no seguinte quadro, indicando o número de peças

pedido pela letra x:

Número de operários Número de dias Número de peças

5 6 400

7 9 x

A B C

Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C:

Se dobramos o número de dias, o número de peças também dobrará, logo, as grandezas B e C são diretamente

proporcionais.

Fixando a grandeza B vamos relacionar as grandezas A e C:

Se dobrarmos o número de operários, o número de peças também dobrará; logo, as grandezas A e C são

diretamente proporcionais.

Então a grandeza C é diretamente proporcional às grandezas A e B logo, seus valores serão diretamente

proporcionais aos produtos dos valores das grandezas A e B, ou seja:

Resposta: Produzirão 840 peças.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Exercícios1) Na extremidade de uma mola colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos

que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola?

2) Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso?

3) Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?

4) Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia?

5) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?

6) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?

7) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

8) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?

9) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?

GABARITO1 2 3 4 5 6 7 8 9

81 18 9 4 6 35 15 10 2025

PorcentagemPorcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo símbolo % que significa por cento.

Exemplo

1) = 5% 2) = 21% 3) = 15%

A forma de representação (5%, 21%, 15%) chama-se taxa percentual.

ObservaçãoOs problemas de porcentagem são resolvidos pelo mesmo processo de regra de três simples, onde as grandezas

são diretamente proporcionais.

Exemplos1) Em uma pesquisa sobre futebol, foram entrevistadas 840 pessoas. Destas, 25% torcem pelo time x. quantas pessoas,

entre as entrevistadas, torcem pelo time x?

2) Em uma escola com 1810 alunos, 1086 são meninas. Qual a taxa percentual de meninas?

3) Um objeto foi comprado por R$ 3.100,00 e revendido por R$ 3.472,00. Determine a taxa percentual acrescida.

4) Uma conta de R$1.250,00 foi paga com atraso e sofreu uma multa de 3,5%. Calcule o valor pago.

Lista de Exercícios

1 – Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?

2 – Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam empregados para fazer a mesma

viagem, percorrendo-se 200Km por dia?

3 – Um muro deverá ter 40m de comprimento. Em 3 dias foram construídos 12m do muro. Supondo que o trabalho continue

a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?

4 – Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água, em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros?

5 – Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m2. Quantos litros são necessários para pintar uma parede de

15 m2?

6 – Um caminhão gasta 10 litros de combustível para percorrer 70 km. Quantos km percorrerá com 43 litros de

combustível?

7 – Uma máquina trabalhando durante 40 min, produz 100 peças. Quantas iguais a essas, serão produzidas pela máquina

em duas horas e trinta minutos?

8 – Se 1 cl. de álcool pesa 8g, quantos litros equivalem 32,4 kg de álcool?

9 – Num estádio de futebol, 120.000 torcedores acabaram de assistir a um jogo. Por cada uma das 6 saídas disponíveis

podem passar 1.000 pessoas por minuto. Calcule o tempo mínimo necessário para que todos os torcedores saiam do

estádio.

10 – Num acampamento há 48 pessoas e alimento suficiente para 1 mês. Retirando-se 16 pessoas, para quantos dias dará

a quantidade de alimentos?

11 – Quatro operários produzem em 10 dias, 320 peças de certo produto. Quantas peças desse mesmo produto serão

produzidas por operários em 16 dias?

12 – Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia, fazem determinado serviço em 12 dias. Em quantos dias, 12 operários

que trabalham 9 horas por dia farão serviço idêntico?

13 – Quatro máquinas produzem 32 peças de madeira em 8 dias. Quantas peças iguais as primeiras serão produzidas por

10 máquinas em 6 dias?

14 – Seis datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias em quantos dias, 8 datilógrafos, de mesma capacidade dos

primeiros prepararão 800 páginas?

15 – A alimentação de 12 animais, durante 8 dias custa R$ 16,00. Qual será o custo da alimentação de 15 animais durante

5 dias?

16 – Uma secretária datilografa 40 folhas de 60 linhas por página durante 6 horas. Quantas folhas baterá tendo 40 linhas

por página durante 10 horas?

17 – Duas máquinas empacotam 1000 litros de leite por dia. Quantas máquinas são necessárias para empacotar 2000 litros

de leite em meio dia?

18 – Um motoqueiro percorre 720 km, em 2 dias, rodando 4 horas por dia. Quanto percorrerá rodando 6 horas por dia, em 5

dias?

19 – Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?

20 – Em cada passo que dou, sempre ando 40cm. Como tenho que percorrer 800m, quantos passos devo dar?

21 – Se 16 operários levam 3 dias para completar uma certa obra, quantos operários seriam necessários para completar

essa mesma obra em 2 dias?

22 – Para construir uma ponte em 75 dias de 8 horas diárias de trabalho, foram contratados 100 operários. Como se deseja

terminar a obra em 40 dias de 10 horas diárias de trabalho, determine quantos operários a mais devem ser contratados?

23– Para remoção das vítimas da enchente de uma cidade foram necessários 480 homens trabalhando durante 8 dias.

Quantos homens seriam necessários para se fazer o mesmo trabalho em 144 horas?

24 – Trabalhando 8 horas por dia, certo operário ganha em 15 dias a importância de R$ 120,00. Se trabalhasse 9 horas por

dia qual remuneração teria em 21 dias?

25 – Para fazer um muro de 52m de comprimento, 30 operários gastam 15 dias de 8h. Quantos dias de 9 horas gastarão 25

operários para fazer 39 m de um muro igual?

26 – Dois litros de um gás exercem uma pressão de 0,4 atm. Cinco litros do mesmo gás, à mesma temperatura, exercerão

que pressão?

27 – Se de uma obra foram avaliados em R$ 268,40; qual é o valor de da mesma obra?

GABARITO1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1463 9 7 4 6 301 375 40,5 20 45 768 14 60 1515 16 17 18 19 20 21 21 23 24 25 26 27

12,5 100 8 2700 6 2000 24 150 640 189 12 1 152,5

ÁreasO conceito de região poligonal

Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e, além disso, uma região poligonal pode conter "buracos".

Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:

1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das

n-regiões.

Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.

Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.

Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)

Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.

Área do Retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC. Assim:

A = b × h

Área do quadrado

Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.

Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.

A = x²

Área do Paralelogramo

Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.

No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.

No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.

A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h.

A=b×h

Área do losango

O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.

A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais.

Área do trapézio

Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida B2 e uma altura com medida h.

A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura.

Área do Triângulo

A área de um triângulo qualquer é a metade do produto da medida da base pela medida da altura.

Casos especiais: Conhecidos dois lados (a e b) e o ângulo ( ) formado por eles:

Conhecidos três lados (a, b e c):

Área do Triângulo eqüilátero

No triangulo eqüilátero, todos os lados são congruentes, todos os ângulos internos são congruentes (600, 600, 600) e toda altura é também mediana e bissetriz. Assim:

Área do hexágono regular

O hexágono regular é um polígono especial, pois é formado por seis triângulos eqüiláteros. Assim:

Área do circulo regular

Área do círculo é o valor limite da seqüência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

EXERCÍCIOS:1. Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os lados indicados na figura abaixo. Nessas

condições, qual é a área do terreno?

2. Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 20m e 14m, e a altura 11m. Nesse terreno, construiu-se uma piscina retangular de 8m por 5m. No restante do terreno foram colocadas pedras. Qual área foi utilizada para colocar pedra?

3. Um campo de futebol tem 80 m de comprimento e 42 m de largura. Qual é a sua área?

4. O proprietário de uma casa quer transformar um quartinho em uma dispensa e quer azulejar as paredes. As medidas desse cômodo são: 2 paredes de 2 m de comprimento por 2 m de altura e outras 2 paredes de 1,5 m de comprimento por 2 m de altura, menos a medida da porta de entrada que é de 1 m por 2 m de altura. Sabendo que os azulejos medem 20 cm por 20 cm. Quantos azulejos, no mínimo, devem ser comprados.

5. Uma piscina tem 25 m de comprimento por 10 m de largura por 2 m de profundidade. Quantos litros de água são necessários para enchê-la?

6. Um terreno tem forma quadrada, de lado 30,2m. Calcule a área desse terreno.

7. Para ladrilhar totalmente uma parede de 27m2 de área foram usadas peças quadradas de 15cm de lado. Quantas peças foram usadas?

8. A área de um trapézio é 39m2. A base maior mede 17m e a altura é 3m. Qual é a medida da base menor?

9. O perímetro de um triângulo eqüilátero é 30cm. Calcule a área desse triângulo.

10. De uma chapa de alumínio foi recortada uma região retangular eqüilátera de lado 20cm. Qual área dessa região foi recortada?

11. Qual é a área de toda a parte colorida da figura abaixo? E da área não pintada?

12. Calcule a área de uma região triangular limitada pelo triangulo cujos lados medem 4cm, 6cm e 8cm?

13. Calcule a área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas pela figura.

14. Qual a área região triangular limitada pelo triangulo cujas as medidas estão indicadas na figura ao lado?

15. Um terreno tem a forma da figura abaixo e suas medidas estão indicadas na figura. Calcule a área desse terreno.

16. A área de um triângulo eqüilátero é de cm2. Nessas condições, qual é perímetro do triângulo?

17. Calcule a área da região poligonal de uma cartolina limitada por um hexágono regular de lado 10cm.

18. Um piso de cerâmica tem a forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8cm. Qual é a área desse piso?

19. Um hexágono regular tem 12cm de lado. Determine a área desse hexágono.

20. Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas grandes, de forma circular, por R$ 5,40. Para atender alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecer a seus clientes pizzas médias, também de forma circular. Qual deverá ser o preço da pizza média, se os preços das pizzas médias e grandes são proporcionais às suas áreas? ( raio da pizza grande 18cm e da média 12cm)

21. Um disco de cobre tem 20cm de diâmetro. Qual é a área desse disco?22. Qual é a área da figura a seguir?

23. Quatro círculos de raios unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é:

4m

4m

24. Na figura, ABCD é uma figura de lado igual a 8. Os arcos que limitam a região sombreada tem raios iguais a 8 e seus centros em A e C. Calcule a área pintada.

25. Determine a área das figuras a seguir:

a) 10cm b) 7cm

10cm

7cm 10cm

c) d)

26. Determine a área das figuras Hachuradas.

a) b)

c)

A

C

B

D

d)

Poliedros e VolumesPoliedro

Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

Poliedros Regulares

Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro

Características dos poliedros convexos

Notações para poliedros convexos: V: Número de vértices, F: Número de faces, A: Número de arestas, n: Número de lados da região poligonal regular (de cada face), a: Medida da aresta A e m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo.

Característica dopoliedro convexo

Medida da característica

Relação de Euler V + F = A + 2Número m de ângulos diedrais m = 2 A

Na tabela a seguir, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos. Estes poliedros são conhecidos como poliedros de Platão.

Poliedro regularconvexo

Cada faceé um

Faces(F)

Vértices(V)

Arestas(A)

Ângulos entreas arestas (m)

Tetraedrotriângulo

equilátero4 4 6 12

Hexaedro quadrado 6 8 12 24

Octaedrotriângulo

equilátero8 6 12 24

Dodecaedropentágono

regular12 20 30 60

Isocaedrotriângulo

equilátero20 12 30 60

Prisma

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo

Bases são regiões poligonais congruentes

A altura é a distância entre as bases

Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas

Faces laterais são paralelogramos

Objeto Prisma reto Prisma oblíquoArestas laterais têm a mesma medida têm a mesma medida

Arestas lateraissão perpendiculares

ao plano da basesão oblíquas

ao plano da baseFaces laterais são retangulares não são retangulares

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal

Base:Triângulo Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono

Seções de um prisma

Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.

Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.

Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Prisma regular

É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

Planificação do prisma

Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases.

As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

Área da superfície do prisma

Em todo prisma, consideramos:

Área lateral (Al): é formada pela área da superfície lateral;

Área total (At): é formada pela área da superfície lateral e pelas bases;

EXEMPLOS:1. Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3cm e a aresta da face lateral mede 6cm. Calcule:a) área da base;b) área lateral;c) área total.

2. Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas de sabão com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, calcule aproximadamente, quantos m2 de papelão serão necessários.

3. Quantos cm2 de cartolina, aproximadamente, foram usados para montar um cubo de 10cm de aresta?

4. Dispondo de uma folha de cartolina de 50cm de comprimento por 30cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha. Quantos cm2 de material são necessários terá essa caixa?

Volume de um prisma

O volume de um poliedro correspondente à região de espaço limitada pelo poliedro. O volume de um prisma é dado por:

V(prisma) = Abase.h

Volume do paralelepípedo reto retangular:

V = a.b.c

Volume do Hexaedro regular ou cubo:

V = a3

EXEMPLOS:1. Qual o volume de concreto necessário para fazer uma laje de 20cm de espessura em uma sala de 3m por 4m?

2. Quais são as medidas das arestas dos cubos cujos volumes são:

a) 125 dm3 b) 3 cm3

3. Sabendo-se que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa cúbica , calcule o volume da mesma.

4. Qual o volume de areia que cabe em uma caixa de base hexagonal de aresta da base 11cm e de altura 35cm ?

5. Calcule o volume do prisma reto indicado na figura abaixo:

Introdução aos cilindros

O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.

15cm20cm 12 cm

25 cm

Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?

   

A Construção de cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.

Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

 

Objetos geométricos em um "cilindro"

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:

1. Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.2. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".3. Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".

4. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.

5. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.6. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.7. Área total: É a medida da superfície total do cilindro.8. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro

do cilindro com o cilindro.

Classificação dos cilindros circulares

1. Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.2. Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de

cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.3. Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

Área lateral e área total de um cilindro circular reto

Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por:

Alateral =

onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

Atotal = Alateral + 2. Abase

Atotal =

Atotal =

Volume de um "cilindro"

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = Abase .h

Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:

V =

Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:

Alateral =

Abase =

Atotal = Alateral + 2. Abase =

Volume = Abase .h = =

EXEMPLO

1. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.

2. Qual a capacidade de uma lata de refrigerante que tem a forma cilíndrica, com 7cm de diâmetro e 14 cm de altura?

3. Para fabricar uma caixa de lápis de cor, é preciso saber inicialmente qual é o volume de cada lápis. Calcule então o volume de um lápis (sem apontar) que tem 8mm de diâmetro e 8cm de comprimento e, em seguida, determine o valor aproximado de 20 lápis (use = 3,14).

O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.

Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

1. Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.2. Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.3. Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice

P e pelo centro da base.4. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.5. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.6. Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva

que envolve a base.7. Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.8. Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do

mesmo.

Classificação do cone

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

A área da base do cone é dada por:

Abase =

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

Alateral =

A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

Atotal = + = =

O volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V =

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

O volume do cone eqüilátero é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V =

A área lateral pode ser obtida por:

Alateral = = =

E a área total será dada por:

Atotal =

EXEMPLOS1. Um cone tem 10cm de altura e raio da base igual a 4cm. Calcule a:

a) medida da sua geratriz;b) área lateral;c) área total;d) o volume

2. Qual a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cônica cujo diâmetro é de 6cm e cuja altura é 10cm?

O conceito de esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.

Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula.

Aplicação: volumes de líquidos

Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (polo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência.

A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.

A superfície esférica

A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo chamado centro.

Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?

Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.

É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se deve confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações.

O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta.

Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).

Seccionando a esfera com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte ("boca para baixo") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul ("boca para cima") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva.

Se seccionarmos a esfera por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ. Existem infinitas circunferências maximais em uma esfera.

Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução.

Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica.

Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei "calota esférica" com aspas para o sólido e sem aspas para a superfície.

A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica.

De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos uma "calota esférica" superior e uma "calota esférica" inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.

Consideremos uma "calota esférica" com altura h1 e raio da base r1 e retiremos desta calota uma outra "calota esférica" com altura h2 e raio da base r2, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas.

No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, "calota esférica" para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, Alateral será a área lateral e e Atotal será a área total.

Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricosObjeto Relações e fórmulas

EsferaVolume =

Atotal =

Calota esférica(altura h, raio da base r)

Alateral =

Atotal =

V=

Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da "calota esférica" em função da altura da mesma.

Volume de uma calota no hemisfério Sul e Norte

Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.

A fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul e Norte com a altura h no intervalo [0,R], dada por:

VC(h) = Pi h²(3R-h)/3

EXEMPLOS:1. Sabendo que a linha do Equador que divide o Planeta Terra em dois hemisfério tem aproximadamente

80.000 Km de diâmetro, Determine:a)O volume do Planeta terra e a área de sua superfície.b) A área coberta por água (em Km2) em sua superfície.

2. Uma esfera é seccionada por um plano α distante 12cm de seu centro. O raio da secção obtida é 9cm. Calcule o volume da esfera e da calota no hemisfério Norte.

3. Um cone eqüilátero esta inscrito em uma esfera. O raio da base do cone é 2cm. Calcule o volume da esfera.

EXERCÍCIOS

1. Num paralelepípedo, as dimensões da base são 4cm e 7 cm. Sendo a altura do paralelepípedo 5cm, determine o volume. Quanto material será usado para construir está caixa?

2. Quantos litros de água são necessários para encher uma caixa d`água cujas dimensões são: 1,20m por 90cm por 1m? (lembre-se que 1m3 =1000l).

3. Um cubo tem área de 96 m2. Qual é a medida da aresta do cubo? Determine seu volume.

4. As bases de um prisma são triângulos eqüiláteros e a s faces laterais são regiões retangulares. Determine a área total do prisma sendo 6cm a medida da aresta da base e 10cm a medida da aresta lateral. Determine seu volume.

5. Quantos cm2 de papel adesivo são gasto para cobrir a superfície total de uma peça sextavada cuja a forma e medidas estão na figura abaixo? Qual o volume da peça?

6. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 5cm, 8cm e 12cm. Uma cavidade em forma de prisma reto de base triangular de 3cm de lado, estende-se da base inferior à base superior do paralelepípedo. Determine a área total da figura resultante (Contanto a parte de dentro e de fora). Determine o volume do sólido resultante (sem o prima triangular).

7. A área da base de um prisma regular de base hexagonal é de cm2. Calcule a área lateral, sabendo que a

aresta lateral é o dobro da aresta da base.8. É dado um prisma pentagonal regular no qual a aresta da base mede 5cm e a aresta lateral mede 10cm. Qual a área lateral do prisma?

9. Quantos m2 de azulejo são necessários para revestir até o teto a s quatro paredes de uma cozinha com as dimensões da figura ao lado? Sabe-se, também, que cada porta tem 1,60m2 de área e a janela tem uma área de 2m2. Qual o volume dessa cozinha?

10. Qual é o volume em litros de uma caixa-d`água cúbica cuja aresta mede 120cm? Quanto material cm 2 de material é necessário para construir essa caixa?

11. Qual é o volume de um cubo de aresta ? E a área total?

12. Quanto mede a aresta de um cubo que tem 1000 dm3 de volume?

13. Qual deve ser a medida da aresta de uma caixa-d’água cúbica para que ela possa conter 8000 l de água?

14. Uma caixa de papelão tem o tipo e o tamanho da figura ao lado. Sua base é uma região limitada por um trapézio isósceles de altura 20cm e de bases 10cm e 40cm. Quantos m2 de papelão são necessários para se fazer uma caixa desse tipo? Determine o volume da caixa.

15. Três cubos de chumbo são com arestas de 6cm, 8cm e 10cm, respectivamente, são fundidas em uma única peça cúbica. Qual é o volume da peça cúbica única? Qual é a medida da aresta? Determine a área total.

16. Calcule o volume de uma peça de metal cuja formas estão na figura abaixo:

17. Uma piscina tem as dimensões: 12m de comprimento, 7m de largura e 2,70m de profundidade. Qual é a quantidade máxima em litros que essa piscina pode conter. Se para ladrilhar a piscina foram usados azulejos quadrados de 20cm de lado. Quantas peças, aproximadamente, foram usadas?

18. O volume de um prisma de base quadrada é 700cm3. O perímetro da base é de 40cm. Calcule a altura o prisma e a área total.

19. Qual é a capacidade de uma lata que tem a forma cilíndrica, com 10cm de diâmetro e 20 cm de altura? Quanto alumínio é gasto para construir esta lata/.

20. Um cilindro circular reto tem 10cm de altura e sua base tem 12cm de diâmetro. Determine a área da base, área lateral, área total e seu volume.

21. Quantos centímetros quadrados de papel são necessários, aproximadamente, para a fabricação de um cigarro, sabendo que o cigarro tem a forma cilíndrica cuja a base tem 8mm de diâmetro e seu comprimento é de 8cm? Qual o volume do cigarro?22. Um tanque cilíndrico tem 3m de profundidade. Sua base superior é aberta e tem 4m de diâmetro. Quantos galões de tinta são necessários para pintar o interior desse tanque, se para cada m2 gasta-se de galão?

23. Duas latas tem a forma cilíndrica. A lata mais alta tem o dobro da altura da outra, mas seu diâmetro é a metade do diâmetro da lata mais baixa. Em qual das duas latas se utiliza menos material? Em qual a capacidade é maior?

24. Uma caneta esferográfica tem a forma cilíndrica. O raio da base é 6mm e o comprimento da caneta 16cm. Quantos cm2 tem a superfície lateral dessa caneta? Qual é o volume de tinta que cabe no interior dela?

25. Um cilindro reto tem 48π m2 de área total. A altura do cilindro é 5cm. Determine o volume do cilindro. Qual é a sua área total?

c) a área total;d) seu volume.

c) a área total;d) seu volume.

26. Uma peça de madeira tem as dimensões e a forma da figura abaixo. Qual é o volume de madeira empregado para fabricar essa peça?

27. Um cone tem 10cm de altura e raio da base igual a 4cm. Determine sua área lateral e seu volume.

28. Um cone tem 24cm de altura e o raio da base é igual a 8cm. Calcule;a) a medida da geratriz;b) a área lateral;

29. A geratriz de um cone circular reto mede 10cm e o raio da base é igual a 4cm. Calcule:a) a medida da altura do cone;b) a área lateral;

30. A área lateral de um cone é 24π cm2 e o raio de sua base é 4cm. Qual a área total do cone? Determine o volume

31. Um tanque cônico tem 4m de profundidade e seu topo circular tem 6m de diâmetro. Qual é o volume máximo, em litros, que esse tanque pode conter de líquido? Determine quantos m2 de material foi utilizado para construir este tanque.

32. Qual é a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cônica cujo diâmetro é 8cm e cuja a altura é 12cm? ( 1cm3 = 1ml)

33. Determine a área da superfície esférica cujo raio é 6cm. Determine seu volume.

34. Numa esfera o diâmetro é 10cm. Qual é a área da superfície dessa esfera?

35. Uma laranja tem a forma esférica de diâmetro 8cm. Qual é a área da casca da laranja? Qual é seu volume?

36. Quantos de borracha (em cm2) se gasta para fazer a bola cuja medida do diâmetro é 30cm? Qual é o volume de ar que cabe em seu interior?

37. Qual é a medida da superfície do hemisfério norte de uma esfera de 20m de diâmetro? E o seu volume?

38. Sabemos que a bóia serve para orientar os navios na entrada do porto. Essa bóia é formada por um hemisfério de 2m de diâmetro e por um cone de 80cm de altura. Qual é o volume da bóia?

39. Considere uma laranja como uma esfera de 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja tem 8cm de diâmetro, qual é o volume de cada gomo?

40. Um reservatório tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro. Qual será o volume, em litros, de um liquido que ocupe totalmente o reservatório?

O PLANO CARTESIANOO PLANO CARTESIANO

A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de números reais e escrevemos P( x, y ) para indicar este ponto.

Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do plano em quatro partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas.

A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares.

Observações:I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas.

II. Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas.

III. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice-versa.

IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-versa.

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

1º QUADRANTE( +, + )

4º QUADRANTE( +, - )

2º QUADRANTE( -, + )

3º QUADRANTE( -, - )

x ( eixo das ABSCISSAS )

Y ( eixo das ORDENADAS )

Bissetriz dos quadrantes pares Bissetriz dos quadrantes ímpares

P Є 0x P = ( x, 0 )

P Є 0y P = ( 0, y )

A Є bi A = ( a, a )

B Є bp B = ( b, -b )

1. Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(3, 4), B(-2, 3), C(2, 0), D(0, -3)

E( , - 5), F(-1, 1) E G(2, -2).

2. Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

3. O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se:a) Qual a ordenada do ponto P?b) Em que quadrante encontra-se o ponto P?c) Qual a distância do ponto P à origem?

02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos:

ou

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS4. Calcule a distância entre os pontos dados:a) A (3, 7) e B (1, 4)b) E (3, -1) e F (3, 5)c) H (-2,-5) e O (0, 0)

d) M (0, -2) e N ( , -2)e) P (3, -3) e Q (-3, 3)f) C (-4, 0) e N (0, 3)

5. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a.

6. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles éa) 10

yb - ya

xb – xa

xa xb

ya

yb

A

B

dAB

b)c)d) 2e) 16

7. A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é:a) 5b) 10c) 15

d) 20e) 25

8. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:a) -1b) 0c) 1 ou 13

d) -1 ou 10e) 2 ou 12

9. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?a) (0,5)b) (5,0)c) (2,3)

d) (6,2)e) (-1,0)

10. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é:a) 5b) 10c) 20

d) 17e) 29

03. PONTO MÉDIO03. PONTO MÉDIO

Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto médio, temos:

M é o ponto que divide o segmento AB ao meio.

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

11. Determine o ponto médio do segmento de extremidades:a) A (-1, 6) e B (-5, 4)b) A (1, -7) e B (3, -5)

c) A (-1, 5) e B (5, -2)d) A (-4, -2) e B (-2, -4)

12. Calcule os comprimentos das medidas do triângulo cujos vértices são os pontos A (0, 0) e B (4, 2) e C(2, 4).

13. Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é:a) (4, 8)b) (2, 4)

c) (8, 16)d) (1, 2)

A

xA

M A

xM XB

B

yA

yM

yB

e) (3, 4)

14. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto médio, o ponto B vale:

a) (1, 6)b) (2, 12)c) (-5, 4)

d) (-2, 2)e) (0, 1)

04. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS04. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão alinhados, se e somente se:

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

15. Verifique se os pontos A (0, 2) , B (-3, 1) e C (4, 5) estão alinhados.

16. Determine x de maneira que os pontos A (3, 5) , B (1, 3) e C (x, 1) sejam vértices de um triângulo.

17. O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:a) 0b) 10c) 3

d) 12e) -4

18. Os pontos (1, 3), (2, 7) e (4, k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se:a) k = 11b) k = 12c) k = 13

d) k = 14e) k = 15

05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

O coeficiente angular de uma reta é um número real “a” que representa a sua inclinação (a). Por definição, temos que:

a = tg a

A(xA, yA)

B(xB, yB)

C(xC, yC)

São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:

Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos:

a = ou a = ou a =

06. EQUAÇÃO GERAL DA RETA06. EQUAÇÃO GERAL DA RETA

Toda reta no plano possui uma equação de forma:

na qual a, b e c são constantes e a e b não são simultaneamente nulos. Ela é denominada equação geral da reta.

Podemos determinar a equação geral da reta de várias formas: Conhecido dois pontos e

Conhecido um ponto e a declividade a da reta:

onde a = ou a =

19. Obtenha a equação geral da reta que por P e tem declividade a.a) P(2, 3); a = 2

b) P(-2, 1); a = -2

c) P(4, 0); a =

20. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação a.

a) P(2, 8) e a = 45º

b) P(-4, 6) e a = 30º

c) P(3, -1) e a = 120º

21. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelos pontos a seguir:a) A(1, 1) e B(-2, -2)

b) A(3, 1) e B(-5, 4)

c)A(2, 3) e B(8, 5)

22. Determine a equação geral da reta:

23. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4)a) 4x + 3y + 1= 0b) 3x + 4y + 1= 0c) x + y + 3 = 0

d) x + y – 4 = 0e) x – y – 1 = 0

07. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA07. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA

É toda equação do tipo y = ax + b, onde “a” é chamado de coeficiente angular (ou declividade) e “b” é chamado de coeficiente linear.Exemplos:

24. Os coeficientes angular e linear da reta 3y - 2x + 12 = 0 são respectivamente:a) 2/3 e 4b) 3/2 e 12c) -2/3 e -12

d) 2/3 e -4e) -3/2 e 4

25. Os pontos A(x, 0) e B(3, y), pertencem a reta de equação x – 3y + 9 = 0. A distância entre eles é:

a) b) 2c) 3

d) 4e) 10

26. A reta da figura abaixo tem como coeficiente angular e linear, respectivamente:a) ½ e -2b) 2 e -1/2c) -1/2 e -2d) -2 e -1/2e) ½ e -1/2

27. Determine a equação reduzida da reta:a) y = x + 3b) y = -x + 3c) y = 2x+6d) y = x – 3e) y = - 3x + 2

08. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS08. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS

RETAS PARALELASRETAS PARALELAS

Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:

(r) y = a1x + b1

(s) y = a2x + b2

Para essas retas, temos as seguintes possibilidades:

PARALELAS DISTINTAS

-2

4

3

3

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

28. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(1, 2) e é paralela à reta de equação 8x + 2y -1 = 0

29. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, 5) e é paralela à

reta de equação

30. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(4, -4) e é paralela à reta de equação x + y – 5 = 0

31. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, -3) e é paralela à reta de equação 5x – 2y +1 = 0

32. Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas.

a) 1b) 2c) - 3

d) - 6e) 5

33. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0.

a) 2x – y + 9 = 0b) 2x – 3y – 15 = 0c) 3x + 2y – 15 = 0

d) x – 2y + 9 = 0e) 3x – 2y + 15 = 0

34. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0.

a) y = 2x – 3b) y = 4x – 10c) y = - x + 15

d) y = x + 5e) y = - 4x +5

RETAS PERPENDICULARESRETAS PERPENDICULARES

Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:

(r) y = a1x + b1

(s) y = a2x + b2

PARALELAS COINCIDENTES

Para essas retas, temos a seguinte possibilidade:

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

35. Determine o ponto de encontro das retas cujas equações são: a) x + 2y – 3 = 0 e x -2y + 7 = 0b) 2x + y – 1 = 0 e 3x + 2y - 4 = 0

c) e

36. Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam perpendiculares.

a) 1b) 6c) -10

d) 15e) 5

37. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x + 3y - 12 = 0.

a) y = -2x – 1b) y = x + 4c) y = 3x + 2

d) y = -x + 5e) y = - x – 12

38. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4).a) y = - 2x + 13b) y = 2x – 13c) y = x + 1

d) y = 13x + 2e) y = x – 4

09.09. PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETASPONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETAS

Para determinarmos o ponto de intersecção entre duas retas basta resolvermos o sistema formado pelas suas equações.

Podemos analisar a posição relativa formada pelas equações das duas retas da seguinte forma:

Sistema possível determinado (um único ponto em comum): retas concorrentes Sistema possível indeterminado (infinitos pontos em comum): retas coincidentes Sistema impossível (nenhum ponto em comum): retas paralelas.

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

39. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: y = 2x - 6 e s: y = 3x + 2.a) (-8, -22) b) (1, 2)

PERPENDICULARES

c) (4, -10)d) (5, 6)

e) (-4, 12)

40. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: 2x + 5y – 9 = 0 e s: y = - 2x – 3.a) (-3, 3)b) (2, -2)c) (5, 22)

d) (1, 2)e) (3, 4)

41. As retas de equação x – 3y – 2 = 0 e y = x – 2k interceptam-se no ponto (k+1, k-1) determine o valor de k e o ponto de intersecção entre as duas retas, respectivamente.

a) 1 e (2, 0)b) 2 e (1, 0)c) 5 e (2, 0)

d) 1 e (0, 2)e) 2 e (1, 2)

10. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA10. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

A distância entre o ponto e a reta (r) Ax + By + C = 0 é dada pela seguinte expressão:

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

42. Nos seguintes casos, calcule a distancia do ponto P à reta r:a) P(0, 3) e 4x + 3y + 1=0b) P(1, -5) e 3x - 4y - 2 =0c) P(3, -2) e 2x + y + 6 =0d) P(6, 4) e y - 2 =0

43. Se a distância do ponto P(0, p) à reta r, de equação 4x + 3y – 2 = 0, e igual a 2 unidades, determine a coordenada p.

44. Sabendo que as retas de equações 4x – 3y + 9 = 0 e 4x – 3y – 6 = 0 são paralelas, determine a distância entre as duas retas.

45. Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0.

11. ÁREA DE UM TRIÂNGULO11. ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Consideramos um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) a sua área é dada por:

P(xP, yP)

d

B(xB, yB)

A =

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

46. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5).a) 16b) 4c) 10

d) 12e) 8

47. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).a) 27b) 54c) 32

d) 19e) 43

48. Calcular a área do quadrilátero de vértices A(1,3), B(5,1), C(6,5) e D(3,7).a) 17b) 34c) 10

d) 6e) 8

C(xC, yC)

A(xA, yA)

Cônicas

12. CIRCUNFERÊNCIA12. CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO REDUZIDAEQUAÇÃO REDUZIDA

Consideremos uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio R, teremos:

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

49. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.

a)

b)

c)

d)

EQUAÇÃO GERALEQUAÇÃO GERALDesenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferênciaDesenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferênciaAx2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro CC(2, -3) e raio r = 4.   A equação reduzida da circunferência é:( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16   Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

Dada à equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.   Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:

os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; não deve existir o termo xy.

Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.

   1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 62º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

xC

RyC

P(x, y)

3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos ( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16

4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

Condições para ser circunferência:

1. A = B ≠ O ( coef. de x2 = coef. y2)

2. C = 0 ( não pode aparecer xy )

3. R > 0 ( O raio de ver ser um número real )

Coordenadas do centro:

Raio:

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

50. Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R igual 4.a) x2 + y2 + 10x + 6y - 18 = 0b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0c) x2 + y2 – 6x - 10y + 18 = 0d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0e) x2 + y2 + 2x – 8y - 27 = 0

51. Determine quais das equações abaixo representam circunferência:a) x2 + y2 - 8x + 6y + 1= 0b) x2 + y2 + xy + 4x + 6y - 3 = 0c) 2x2 + y2 + 4x - 2y + 1 = 0d) 3x2 + 3y2 -12x – 15y - 6 =0e) 4x2 - 4y2 =0 f) x2 -10x + 25 + y2 =0 52. Determine o centro e o raio da circunferência , respectivamente:a) (-2,5) e 7b) (5,2) e 5c) (2,2) e 2

d) (3,4) e 1e) (5,-2) e 7

53. Calcule a área de um quadrado inscrita na circunferência a) 2u.a.b) 4u.a.c) 8u.a.

d) 16u.a.e) 64u.a.

54. Determine o valor de k para que a equação represente uma circunferência:a) k > 5b) k < 5c) k > 10

d) k < 15e) k = 20

41. Escreva a equação da circunferência de centro C(3,5) e tangente a reta (r) 5x + 12y – 10 = 0

a) x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0b) x2 + y2 + 12x + 38y - 1 = 0c) x2 + y2 – 8x + 15y + 1 = 0d) x2 + y2 – 8x – 8y + 7 = 0e) x2 + y2 + 2x – 11y - 8 = 0

13. POSIÇÕES RELATIVAS13. POSIÇÕES RELATIVAS

PONTO E CIRCUNFERÊNCIAPONTO E CIRCUNFERÊNCIA

Para uma circunferência de centro C(xc,yc) e raio R e um ponto P qualquer, compararemos o seguimento de reta PC com R. Há três casos possíveis: 1º) Se dPC = R, então P pertence à circunferência.2º) Se dPC > R, então P é externo à circunferência.3º) Se dPC < R, então P é interno à circunferência.

EXERCÍCIOS:EXERCÍCIOS:

55. Determine a posição do ponto P(5,3) em relação a circunferência

56. Dados os pontos P e a circunferência λ, determine a posição P em relação a λ.a) P( -1, 2) e λ: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 52

b) P( 2, 2) e λ: x2 + y2 - 10x + 8y - 1 = 0c) P( 3, 1) e λ: x2 + y2 – 8x - 5 = 0

RETA E CIRCUNFERÊNCIA RETA E CIRCUNFERÊNCIA

Se substituirmos o valor de uma das variáveis (x ou y) da reta na equação da circunferência, obteremos uma equação do 2º grau (na outra variável).Calculando o discriminante () da equação obtida, poderemos ter:1º) Se > 0, então a reta será secante à circunferência (2 pontos de interseção).2º) Se = 0, então a reta será tangente à circunferência (1 ponto de interseção).3º) Se < 0, então a reta é externa à circunferência (não existe ponto de interseção).

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS57. Determine a posição relativa da reta x – y + 1 = 0 em relação ao círculo :

P

P

P

Interno Pertence Externo

dPC < R dPC = R dPC > R

Secante Tangente Externa

> 0 = 0 < 0

58. Dadas a reta r e uma circunferência λ . Determine a posição de r e λ. Se houver pontos em comuns (Tangente ou Secante), determine esses pontos:

a) r: 2x – y + 1=0 e λ: x2 + y2 – 2x = 0b) r: x = y e λ: x2 + y2 + 2x - 4y - 4= 0

DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Dadas duas circunferências, uma de centro C1 e raio R1 e a outra de centro C2 e raio R2, compararemos o seguimento de reta C1C2 e R1 + R2.

Há três possibilidades:1º) Se dC1C2 = R1 + R2, então as circunferências são tangentes (1 ponto de interseção).2º) Se dC1C2 > R1 + R2, então as circunferências são externas (não existe ponto de interseção).3º) Se dC1C2 < R1 + R2, então as circunferências são secantes (2 pontos de interseção).

Tangentes Secante Externas

dC1C2 = R1 + R2 dC1C2 < R1 + R2, dC1C2 > R1 + R2,

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS59. Qual a posição relativa entre as circunferências () e (d)

.a) tangenteb) secantec) externasd) coincidentese) n.d.a.

60. Dadas as circunferências 1 e 2, descubra suas posições relativas e seus pontos em comuns (Se Houver)

a) (1) : e (2):

b) (1) : e (2):

c) (1) : e (2):

d) (1) : e (2):

Elipse

   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano  tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:

   A figura obtida é uma elipse.

Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.

     A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

 

Elementos

    Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

focos : os pontos F1 e F2 

centro: o ponto O, que é o ponto médio de

semi-eixo maior: a

semi-eixo menor: b

semidistância focal: c

vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

eixo maior:

eixo menor:

distância focal:

Relação fundamental

    Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

Uma importante característica da elipse é sua excentricidade que é definida pela relação:

    Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.

Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência. Por outro lado, quanto mais achatada for a elipse, mais o valor de e se aproxima de 1.

Uma vez fixo o valor de a, há uma correspondência entre o valor de e e a distância focal: quanto mais a elipse se aproxima de uma circunferência, menor a distância entre os focos; e quanto mais achatada for a elipse, maior a distância entre os focos.

É fácil concluir quanto aos valores extremos do domínio de e:

Se e = 0 tem-se uma circunferência de diâmetro 2ª e os focos F1 e F2 coincidem com o centro da circunferência.

Se e = 1 tem-se um segmento retilíneo F1 F2.

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

   Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

   Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

   Nessas condições, a equação da elipse é:

Equação da ElipseFora da origem

1º caso:

Equação da ElipseFora da origem2º caso:

' 2 ' 2

2 2

( ) ( )1

x y

a b

2 2

2 2

(x - h) (y - k) + = 1

a b

1A 2A

2B

1B

C

x

y

h

k

2F

1F

'x

'y

P

x

'x

y 'y

h 'x

x

k

'y

y

ExemploDetermine as coordenadas dos focos, das extremidades do eixo maior e do eixo menor e a excentricidade da

elipse de equação

Solução

Exemplo

Conhecendo os focos e e a excentricidade , determine a equação da elipse.

Solução

Exemplo

1A 2A

1B

2B

1F

2F

Determinar as coordenadas do centro, as coordenadas dos focos da elipse de equação

.

Solução

a2 = b2 + c2

a2 = b2 + c2 25 = 16 + c2

c2 = 9c = 3

C (4, -3)F1 (h + c, k) F1 (7, -3)F2 (h – c, k) F2 (1, -3)

Exemplo

Determine uma elipse , cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos , tem centro , excentricidade e

eixo menor de medida .

Solução

4

2 C

x

y

1A

2A

2B1B

Hipérbole

   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole.

Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos

   Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

focos: os pontos F1 e F2

vértices: os pontos A1 e A2

centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de

semi-eixo real: a

semi-eixo imaginário: b

semidistância focal: c

distância focal:

eixo real:

eixo imaginário:

 Excentricidade

        Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

    Como c > a, temos e > 1.

 Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

F1 (-c, 0)

F2 ( c, 0)

    Aplicando a definição de hipérbole:

Obtemos a equação da hipérbole:

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy

    Nessas condições, a equação da hipérbole é:

Hipérbole eqüilátera

    Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:

a = b

Assíntotas da hipérbole

    Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.

    Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o

coeficiente é .

Equação

    Vamos considerar os seguintes casos:

a) eixo real horizontal e C(0, 0)

    As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

b) eixo vertical e C(0, 0)

    As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

Observações:

1)      Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo x

   

2)      Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo y

   

Exemplos

1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.

Resolução: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos

dividir ambos os membro por 400. Fica então:

x2/16 – y2/25 = 1

Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.

Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41

Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60

Resp: 1,60.

2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .

Resolução: Dividindo ambos os membros por 225, vem:

x2/9 – y2/25 = 1

Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.

Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.

Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34.

3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.

Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x

NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem

(0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.

Dada a hipérbole de equação:

x2/a2 – y2/b2 =1

Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:

R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x

Veja a figura abaixo:

Parábola

    Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.

   Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:

1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:

2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.

3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.

4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.

Elementos

   Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

foco: o ponto F

diretriz: a reta d

vértice: o ponto V

parâmetro: p

Então, temos que:

o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.

Assim, sempre temos .

DF =p

V é o ponto médio de

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal

    Como a reta d tem equação   e na parábola temos:

;

P(x, y);

dPF = dPd ( definição);

        obtemos, então, a equação da parábola:

y2 = 2px

b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal

Nessas condições, a equação da parábola é:

y2 = -2px

c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical

   x2=2py

d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical

 x2= - 2py

Observações:

1)Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria horizontal

Equação: (y – k)2 = 4p(x – h) Diretriz: x = h – p Coordenadas do foco:  F(h + p, k)

2) Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria vertical

Equação: (x – h)2 = 4p(y – k) Diretriz: y = k – p Coordenadas do foco: F(h, k + p)

Exemplos:

1 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

Resolução:  Temos p/2 = 2 p = 4

Daí, por substituição direta, vem:

y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.

2) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

Resolução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.

Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.

3 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

Resolução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.

Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.

4)  Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

Resolução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,

(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.

CURSO DE ENGENHARIA

Exercícios

01. Dê as equações das elipses cujos gráficos são representados abaixo.

02. Calcular a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo menor mede 8

Resp 2c=6

03. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo y e cuja medida do eíxo maíor é 5 e do eixo menor é 2

Resp

04. Calcular a excentricidade da elipse 25x2 + 16y2 = 400

Resp

SUGESTÂO:Calcule inícialmente a equação canônica, dividindo todos os termos por 400

05. A órbita da Terra é uma elipse e o Sol ocupa um dos focos Sabendo que o semi-eixo maior tem 153 493 000 km e que a excentricidade é de 0,0167, calcular a menor e a maior distância da Terra ao Sol

Resp:150929660 km156056330km

06. Determinar os pontos de intersecção da elipse 9x2 + 4y2 =25 com os eixos cartesianos.

Resp :

07. Pede-se a equação da elipse que passa pelos pontos ( -2, 0), (2, 0)e(0, 1)

Resp

08. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, que passa pelo ponto A e de excentricidade

Resp

09. Calcular a equação canônica da elipse de centro na origem, focos no eixo das abscissas e sabendo que passa pelo ponto A e seu semi-eixo menor é 2.

Resp.

10. Uma elipse tem o centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, passa pelo ponto A (1, 1) e tem um foco em F

. Calcular a excentricidade da elipse

Resp

11. Uma elipse tem os focos em F, ( 3,0) e F. (3, 0) e excentricidade igual a 0,5. Forneça a sua equação e a sua àrea S (da Geometria S= )

Resp

12. Um arco é uma semi-elipse e o eixo maior é o vão Se este tiver 40 m e a flecha 10 m, calcular a altura do arco a 10 m do centro da base

13. Determinar o comprimento da corda que a reta determina sobre a elipse

Resp.

14.Determinar os pontos de intersecção da elipse com a reta

Resp

15. Determinar a equação da elipse com centro na origem, focos sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos A (2, 2) e B ( ,0)

Exercícios

1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :

a) m é um número primo b) m é primo e par

c) m é um quadrado perfeito d) m = 0e) m < 4

2. Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :

a) r é um número naturalb) r = - 3c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0

d) r é um número inteiro menor do que - 3 .e) não existe r nestas condições .

3. Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é :

a) 200b) 196

c) 144 d) 36e) 0

4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :

a) (3,0)b) (0, -1)

c) (0,4) d) (0,5)e) (0, 3)

5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a:

a) 25b) 32

c) 34 d) 44e) 16

6. Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ? 7. Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto

G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.Resposta: 850

8. Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :

a) 4b) 3

c) 3,5 d) 4,5e) 2

9. Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ?

10. Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 = 0 , podemos afirmar:a) elas são paralelasb) elas são concorrentes c) as três equações representam uma mesma reta .

11. Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições , pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.

12. Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?

13. Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q é:

a) 12,32b) 10,16

c) 15,08 d) 7,43e) 4,65

14. Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).15. Analise as afirmativas abaixo:(01) toda reta tem coeficiente angular .(02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo .(04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angular é positivo (08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua inclinação será um ângulo agudo .(16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas .(32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular .16. Qual é a equação da circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) ?

17. A = (2, 3), B = (3, 5) e C = (4, 6) são colineares?18. Qual é a equação da paralela a reta y = −2x + 5 passando pelo ponto P = (1, 1)?19. Ache a equação da perpendicular a reta y = 3x − 1 baixada do ponto Q = (2, 2).Respostas:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15c c b d c 850 d plela c (4,2) 3 d Y=x+3 42

Matrizes

Introdução

   O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.

   A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

   Química Inglês Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

   Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

   Vamos agora considerar uma tabela de números  dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

    Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

   Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

   Veja mais alguns exemplos:

é uma matriz do tipo 2 x 3

é uma matriz do tipo 2 x 2

 

Notação geral

   Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

   Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

   Na matriz , temos:

   Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.

Denominações especiais

   Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.

    Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, , do tipo 3 x 1   

Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de

ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

   Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

    Veja:

Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3  + 1 = 3 + 1)

Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.

Por exemplo, .   

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é

representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:

Assim, para uma matriz identidade .   

Matriz transposta: matriz At  obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

    Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.

   Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.

Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,

é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre       a ij = a ij.

   

Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo,

.

 

Igualdade de matrizes

   Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

.

 

OPERAÇÕES ENVOLVENDO MATRIZES

Adição

   Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas matrizes a matriz , tal que Cij = aij + bij

, para todo :

A + B = C

Exemplos:

   

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades

   Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

Subtração

   Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A - B = A + ( - B )

Observe:

  

 

Multiplicação de um número real por uma matriz

   Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:

B = x.A

    Observe o seguinte exemplo:

 

Propriedades

   Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A

b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA = yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A   

Multiplicação de matrizes

   O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.

   Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p  e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

   Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:

1ª linha e 1ª coluna

  

1ª linha e 2ª coluna

  

2ª linha e 1ª coluna

  

2ª linha e 2ª coluna

  

   Assim, .

   Observe que:

   Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

   Vejamos outro exemplo com as matrizes :

   

    Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de

     A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1

   

Propriedades

   Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n

   Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.

   Matriz inversa

   Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 .  

Determinantes

   Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

   A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

   Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;

cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

 

Determinante de 1ª ordem

   Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:

det M =Ia11I = a11

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

   Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

 

Determinante de 2ª ordem

   Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

    Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

  

                       

Menor complementar

   Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .

   Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:

b) Sendo , de ordem 3, temos:

   

Cofator

   Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij

tal que  Aij = (-1)i+j . MCij .

   Veja:

a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:

b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:

Teorema de Laplace

   O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

   Assim, fixando , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, .

Regra de Sarrus

   O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

   Acompanhe como aplicamos essa regra para .

 

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

 

Determinante de ordem n > 3

   Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

   Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

Exemplo:

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Exemplos:

 

P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:

P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao

produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .

Exemplos:

P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:

Exemplo:

P12)

Exemplo:

 

Sistemas Lineares

  Equação linear

  Equação linear é toda equação da forma:

a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b

em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas

x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Veja alguns exemplos de equações lineares:

3x - 2y + 4z = 7 -2x + 4z = 3t - y + 4

(homogênea)

As equações a seguir não são lineares:

xy - 3z + t = 8 x2- 4y = 3t - 4

 

 Sistemas Lineares

Sistema linear

Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

         A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

  Matrizes associadas a um sistema linear

       A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

 matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.

Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema.

Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

  Sistemas homogêneos

      Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:

 Veja um exemplo:

 

A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.

  Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).

Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

   Resumindo, um sistema linear pode ser:

  a) possível e determinado (solução única);  b) possível e indeterminado (infinitas soluções);  c) impossível (não tem solução).

 

  Sistema normal

Um sistema  é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.

Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

 

 Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante  obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

 

  Discussão de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

 a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única.

Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

 

 b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.

Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.

Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0

Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

c) impossível, se D=0 e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução.

Exemplo:

 

                 

Como D=0 e Dx 0,  o sistema é impossível e não apresenta solução.

 

 Sistemas Equivalentes

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Por exemplo, dados os sistemas:

          e   

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2.

 

 Propriedades

a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.

Por exemplo:

e   

S1 ~S2

   b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S1 ~S2

 

c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Por exemplo:

 

Dado  , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:

 

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.

SISTEMAS ESCALONADOS

   Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.

   Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.

   Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

 a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.

 b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

 c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

 

     Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:

I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1:  

1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:

 Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:   

         

 Trocamos  a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:

          

Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:

          

2º passo: Anulamos os coeficientes  da 2º incógnita a partir da 3º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:

          

Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.

-2z=-6 z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):

x + 2(-1) + 3= 3 x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

Exemplo 2:  

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

         

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:

          

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:

Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:

        

Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.

 

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)

Exemplo 3:

 

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

         

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:

                    

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação

         

O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI):

GI= n - m

Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:

Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

          

Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:

           GI  = n-m = 4-3 = 1

Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t= , substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:

12z - 6 = 30 12z= 30 + 6 =

Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:

Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1º equação:

Assim, a solução do sistema é dada por S= , com IR.

Para cada valor que seja atribuído a , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema. 

EXERCÍCIOS –Matrizes

1. Sejam , , e , encontre:

a) A+Bb) A.Cc) B. C

d)C . De)D. Af) D. B

g) - Ah) –D

2. Ache x, y, z, w se .

3. Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: o Jacaré, o Piranha e o Urubu. O termo da matriz A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha mude para o carro da

coluna , quando comprar um carro novo.

ParaJ P U

J 0,7 0,2 0,1De P 0,3 0,5 0,2

U 0,4 0,4 0,2Os termos da diagonal dão a probabilidade de se comprar um carro novo da mesma marca.

representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duas compras. Você pode verificar isto a partir dos conceitos básicos de probabilidade e produto das matrizes.Calcule e interprete.

Respostas:

1.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

17.

EXERCÍCIOS –Determinantes

1) Dadas as matrizes e , calcular o determinante da matriz C onde .

2) Calcule cada um dos determinantes a seguir, utilizando a regra de Sarrus.

3) Seja a matriz , de ordem 3, tal que e . Calcule k de modo que o determinante

da matriz A seja nulo. 4) Dadas as matrizes:

5) Encontre a solução das equações:

=55

6) Calcule os determinantes:

a) usando a definição de

Laplace

b) pela regra de Chió

7) Dada a matriz A = , calcule:

a) det A b) det 2A c) det A2

Lista de exercícios Sistemas Lineares

1 – O sistema é determinado para que valores de K?

2 – Resolva:

a) b) c)

3 – Classifique o sistema .

4 – O sistema

a) tem uma única soluçãob) não tem soluções reais

c) tem 3 soluções distintasd) tem infinitas soluções reais.

5 – Qual dos ternos seguintes não é solução do sistema ?

a) (-3, 2, 0)b) (-7, 3, 1)c) (-11, 4, 2)

d) (1, 1, -1)e) (3, -1, 0)

6 – Qual dos sistemas seguintes é impossível?

a)

b)

c)

d)

e)

7 – (Fuvest-SP) Se , então x é igual a:

a) 27b) 3c) 0

d) –2e) 1

8 – (UEL-PR) Considere o seguinte sistema de equações nas incógnitas x e y. . Esse sistema tem uma e uma só

solução se o número real k for diferente de:

a) 1/5b) 1/4c) 2/5

d) 1/3e) 3/2

9 – Classifique os seguintes sistemas lineares homogêneos e como SPD ou SPI, respectivamente:

a) SPD, SPDb) SPD, SPIc) SPI, SPD

d) SPI, SPIe) N.d.a.

10.Resolva os sistemas lineares usando regra de Cramer:

e)

11.Resolva os sistemas lineares:

a) b) c)

12.Resolva os sistemas lineares:

e)

f)

13. Num retângulo, o triplo do comprimento é igual ao quádruplo da largura. O retângulo tem 56 cm de

perímetro. Calcule o comprimento e a largura.

14. Uma fábrica tem que entregar em dezembro 86 veículos, entre bicicletas e triciclos. Ela vai produzir uma

roda de reserva para cada bicicleta e duas para cada triciclo. Por isso vão ser produzidas 322 rodas. Quantas

bicicletas serão entregues? Quantos triciclos?

15. Um tipo de alimento é composto por açúcar, milho e extrato de malte. A quantidade de milho dessa

composição é o quádruplo da quantidade de açúcar. Sabendo que o preço por quilograma do açúcar, do milho e do

extrato de malte são, respectivamente, 80, 60, e 40 centavos e que o preço, por quilograma, daquele alimento

composto por esses ingredientes é 55 centavos, calcule a quantidade de açúcar que compõe 1 Kg daquele alimento.

16. Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$5,40 por duas latas de refrigerantes e uma porção de

batatas fritas. O segundo pagou R$9,60 por três latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas. Nesse local e

nesse dia, determine a diferença entre o preço de uma porção de batatas fritas e o preço de uma lata de refrigerante.

17. Um orfanato recebeu uma certa quantidade x de brinquedos para ser distribuída entre as crianças. Se cada

criança receber três brinquedos, sobrarão 70 brinquedos para serem distribuídos; mas, para que cada criança possa

receber cinco brinquedos, serão necessários mais 40 brinquedos. Determine o número de crianças do orfanato e a

quantidade x de brinquedos que o orfanato recebeu. (represente o sistema)

Matriz Inversa

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é chamada inversa de A se, e somente se,

em que: B é a matriz inversa de A : B = A–1 In é a matriz identidade de ordem n.

Assim, por exemplo, a matriz é inversa de , pois:

ou seja:AB = BA = In

Obtenção1o modo: a partir da definição.Exemplo

Obter a matriz inversa da matriz , se existir.Resolução:

Supondo que é a matriz inversa da matriz A, temos:

Assim:

Resolvendo os sistemas:a = 1, b = –1, c = –2  e  d = 3Portanto:

Calculando:

Portanto a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz:

2o modo: é possível provar que a matriz inversa de uma matriz A, caso exista, é dada por:

det A 0 cof A matriz dos co-fatores de A. (cof A)t matriz transposta da matriz dos co-fatores. Também chamada de matriz adjunta de A. Acompanhe a resolução de um exemplo.

Dada a matriz , determine a sua inversa, se existir:calculamos det A det A = 0 + 6 = 6 0, logo existe a matriz inversa de A.

determinamos a matriz dos co-fatores de A: A11 = (–1)1 + 1 · (0) = (–1)2 – 0 = 0 A12 = (–1)1 + 2 · 3 = (–1) (3) = –3 A21 = (–1)2 + 1· (–2) = (–1)(–2) = 2 A22 = (–1)2 + 2 · (1) = (1)(1) = 1

determinamos a transposta de cof A, isto é, sua adjunta:

finalmente, determinamos a matriz inversa da matriz A:

fazemos a verificação:

Importante: Para calcularmos o elemento bij da matriz inversa da matriz A = (aij )m · n , aplicamos a fórmula abaixo,

decorrente do teorema;

onde: Aji é co-fator de aji

Exemplo:

Determinar o elemento b23 da matriz inversa de

A =

Resolução:

det A = 1 · 3 · 1 = 3

B23 = · A32

onde  A32= (-1)3+2 · = -2 

b23 =

Propriedades1a) (A–1)–1 = A2a) (A–1)t = (At)–1

3a) (AB)–1 = B–1 · A–1

4a) det A-1 =

Exercícios Resolvidos

01. Encontre a matriz inversa da matriz , se existir.Resolução:

det A = 6 – 6 = 0, logo não existe a matriz inversa.

02. Mostre que, se uma matriz quadrada é invertível, então det A 0.Resolução:

Se A é inversível, então:A–1 · A = I det (A–1 · A) = det I(det A) · (det A–1) = 1Portanto det A 0 e

det (A -1) =

03. (UFU-MG) Considere o conjunto das matrizes da forma 

Determine o valor de k para o qual exista exatamente uma matriz não-inversível nesse conjunto.Resolução:

(x-3)·(x-5)-1·(x+k) =

x2 – 8x + 15 – x – k = x2 – 9x + 15 – k

Para não se ter A–1, devemos ter det A = 0.

x2 – 9x + 15 – k = 0

Como queremos uma matriz não-inversível, devemos ter = 0 :

= (–9)2 – 4(1) (15 – k) = 0

81 – 60 + 4k = 0

4k = –21

k=

Resposta: Teremos k = .

04. Calcule se existir, a inversa da matriz A.

Resolução:

1o) Vamos calcular o determinante de A

det A = – 15 logo A tem inversa

2o) Matriz dos cofatores

3o) Matriz Adjunta (transposta da matriz dos cofatores)

4o) Cálculo da inversa

Como det A = –15, temos

Resposta:

Lista de exercícios Matriz Inversa

2. Determine a matriz inversa:

Respostas:

3. Sendo , calcule det A-1. Resposta: 1

5. Dada a matriz calcule a para que A seja inversível. R: a 2

6. Dada a matriz , determine o valor do elemento a 23 de A -1. R:-2

Funções

1 - FUNÇÃO

1.1 O que é uma função

É comum no dia-a-dia situações como as seguintes:1) O custo para colocar combustível em um carro dependerá do preço desse produto.2) O crescimento de uma planta dependerá da quantidade de fertilizante aplicada ao solo.

Analisando a linguagem matemática da primeira situação, verifica-se que, como o preço varia de acordo com o local onde se abastece, ele será denominado variável x; já o custo é uma função de x. Dessa forma, a cada preço x, este irá corresponder a um e somente um valor denominado f(x).

Observa-se, entretanto, que f(x) também é uma variável, porém uma variável dependente de x; assim, x será denominada variável independente.

Definição:

Uma quantidade é uma função de outra quando, para cada quantidade da variável independente x, corresponde a um único valor denominado f(x). O conjunto no qual os valores de x podem ser tomados é chamado de domínio da função, e o conjunto dos valores que f assume para cada x é denominado imagem da função.

1.2 Representações de funções

Uma função pode ser representada no mínimo de três formas: tabelas, gráficos ou equações.Em relação a situação do combustível, citada no início temos:Equação: Domínio: Imagem:

Tabela:xf(x)Gráfico:

Exemplo: A partir de dados experimentais obteve-se a tabela das temperaturas mensais na superfície do solo sem cobertura vegetal, às 9h, no período de 1980 a 1989, em Goiana.

Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.28,26 28,93 28,43 27,71 25,71 24,10 23,59 25,35 28,56 29,84 29,43 27,78

Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico que descreva este fenômeno.

1.3 Funções Crescente e Decrescente

Definição:Função crescente é aquela cujo valor aumenta quando aumenta o valor da variável, ou seja:

x1 < x2 f(x1) < f(x2)Função decrescente é aquela cujo valor diminui quando aumenta o valor da variável, ou seja:

x1 < x2 f(x1) > f(x2)

Exercícios (1.1 – 1.3):

1. Determine o domínio das funções:a)

b)

c)d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

2. O crescimento de uma planta é dado pela função y=4x, onde x representa o tempo em dias e y representa a altura em centímetros. Construa o gráfico que representa o crescimento desta planta até o 10º dia.

3. Um corpo se movimenta com velocidade constante obedecendo a lei , onde (S em metros e t em segundos). Construa o gráfico dessa função.

4. Sabe-se que, sob um certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por

. Qual a altura máxima atingida pela bala? Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima?

5. Um banco paga as contas de um cliente. As contas vencem, no mês de abril, segundo a

função , em que

e y é o saldo do cliente em milhares de reais, no dia x de abril.

a) Em que dia do mês de abril o saldo do cliente chega a R$ 0,00?

b) Em que intervalo de tempo, no mês de abril, o saldo é positivo?

c) Em que intervalo do tempo, no mês de abril, o saldo é negativo?

6. O gráfico a seguir mostra a velocidade (v) de um automóvel em função do tempo (t):

V(m/s)8

a) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é crescente?

b) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é decrescente?

c) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é constante?

1.4 Função do 1º grau

DefiniçãoChama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear. O coeficiente a será também chamado de taxa de variação.GráficoO gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.Exemplo 1: Os dados a seguir descrevem que, em determinada época do ano com temperatura mínima do ar igual a 9ºC, a temperatura mínima da superfície do solo f em ºC é predita em função do resíduo de planta e biomassa na superfície x(g/m²)X 10 20 30 40 50 60 70f(x) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60Faça uma analise da variação da função, determine sua equação, seu domínio e imagem e faça a representação gráfica.

Exemplo 2: Sabe-se que nem toda luz que incide sobre um dossel vegetativo chega a superfície do solo. Tem-se uma possível relação entre o espaçamento das linhas de uma cultura de soja x(m) e a fração da radiação solar que é extinta pela planta g(%).x(m) 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2g(x)(%) 0,53 0,486 0,442 0,398 0,354 0,31

Definição: Dada uma função linear f(x) = ax + b, Se a > 0, o gráfico será inclinado para a direita, ou seja, será uma função crescente (a); Se a < 0, o gráfico será inclinado para a esquerda, ou seja, será uma função decrescente (b); Se a = 0, o gráfico não terá inclinação, ou seja, será uma função constante (c).Os gráficos a seguir ilustram essas possibilidades:

(a) (b) (c)

0 2 7 10 t(s)

Exemplo 3: Considerando que a tonelada (t) de calcário custe R$15,00 e que a tonelada de superfosfato simples custe R$150,00, quais as possibilidades de calcário e de superfosfato que podem ser compradas com R$900,00. Faça a representação gráfica do problema e analise a função.

Exemplo 4: Considerando o mesmo exemplo anterior, suponha, ainda que se possam somente transportar 8 toneladas. Descreva a equação e o gráfico relativamente ao transporte e encontre as quantidades de superfosfato e calcário que correspondem tanto às exigências do custo quanto às do transporte.

Exercícios (1.4):1) Encontre os coeficientes angular e linear das retas dadas pelas equações seguintes e construa o

gráfico correspondente:

a) b) c) d) e)

2) (a) Considerando os dados a seguir, referente à produção de matéria seca de uma planta y(g/m2), como função da quantidade de radiação fotossinteticamente ativa x (W/m2), encontre a equação para os dados, escrevendo x como função de y.

x 0 100 200 300 400 500y 0 190 380 570 760 950

(b) Tem-se os dados da produção de grãos de trigo y(mg/ha) obtida como função linear da quantidade de água no solo x(cm) (balanço de água + precipitação) A partir da tabela a seguir, encontre a equação correspondente:

x 50 52 54 56 58 60 62y 4,58 4,98 5,38 5,78 6,18 6,58 6,98

3) O custo de uma plantação é decorrente da quantidade de hectares plantados. O custo das máquinas é um custo fixo, pois independe do número de hectares plantados. Já o custo de adubação, semente, mão-de-obra varia com o número de hectares plantados e é chamado de custo variável. Supondo que o custo fixo seja R$ 8.000,00 e o custo variável de R$ 200,00 por hectare plantado e considerando x o número de hectares plantados, encontre uma equação para o custo total, trace seu gráfico e explique como visualizar o custo fixo e o custo variável.

4) Evapotranspiração refere-se ao total de água que uma planta perde para a atmosfera, tanto pela superfície do solo como pelas folhas. Em um certo estudo a produção de grãos de trigo (mg/ha) pode ser dada como função linear da evapotranspiração sazonal, considerando que a taxa na qual a produção está aumentando é de 0,0122 e que, para 300mm de água evapotranspirada, tem-se uma produção de 1,14 (mg/ha). Encontre a equação desta função, trace seu gráfico e calcule quanto de água evapotranspirada será necessário para produzir 2(mg/ha).

5) A medida da temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da medida em graus Celsius. Escreva a equação dessa função, sabendo que 0ºC corresponde a 32ºF (água no estado sólido) e 100ºC correspondem a 212ºF (água no estado gasoso). A partir da equação obtida, converta 10ºC em ºF e 120ºF em ºC.

6) Considere dois tipos de adubo: o primeiro contém em cada quilograma 16g de nitrato e 20g de potássio e, o segundo, 24g de nitrato e 12g de potássio. Quantos quilogramas de cada adubo devem ser utilizados de forma que o solo tenha 20g de nitrato e 18g de potássio? Explique a solução geometricamente.

1.5 Funções Polinomiais:

1.5.1 Funções quadráticas

DefiniçãoChama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.

GráficoO gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Exemplo 1: Considere os dados da tabela a seguir, que descrevem a concentração de alumínio y = f(x) (mg/kg) em uma espécie de arroz em função do acúmulo de fósforo no solo x(mg/kg).

x y

10 8,9521

20 4,6891

30 1,7261

40 0,0631

50 -0,299

60 0,6371

70 2,8741

80 6,4111

90 11,248

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

E o discriminante é dado por:

Observação:

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas, ou seja, a curva intercepta o eixo x em dois pontos.

quando é zero, há só uma raiz reais, isto é a curva intercepta uma vez o eixo x. quando negativo, não há raiz real, ou seja a curva não intercepta o eixo x.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Imagem: O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0, 2ª quando a < 0,

Exercícios (1.5):

1. Determine as raízes e o gráfico de cada uma das funções, dando seu domínio e conjunto imagem:a)

a > 0

a < 0

d)e)

b)

c) 2. Determine o valor de máximo (mínimo) e o ponto de máximo (mínimo) de cada uma das funções:a)

b)

c) 3. O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefones é dado pela função

, onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo?4. Em uma fazenda, um trabalhador deve construir um galinheiro de forma retangular. Dispondo apenas de

30m de tela, o homem decide aproveitar um velho muro como uma das laterais do galinheiro. Qual será a área máxima desse cercado, sabendo que o muro tem extensão suficiente para ser a lateral de qualquer galinheiro construído com essa tela?

5. Em um estudo tem-se que a análise do pH do solo determina o grau de ionização da água no solo. Este, por sua vez, afeta o comportamento de partículas carregadas e, conseqüentemente, a capacidade de troca catiônica de um solo. Fassbender relacionou as capacidades de fixação de P no solo com seu pH, por meio da equação . Calcule para quais valores de pH a capacidade de fixação de P no solo é nula.

d)e)f)

RESPOSTAS

Exercícios (1.1 – 1.3):

1. a) b) c) d) e)

f) g) h)

i) j)

2. Y 3) S 40 40

10 x 20 t

4) A altura máxima atingida pela bala é de 500m; a bala atinge a altura máxima em 5s.

5) a) 27 de abril b) de 1 a 26 de abril c) de 28 a 30 de abril

6) a) 0 t 2 b) 7 t 10 c) 2 t 7Exercícios (1.4):

1) a) angular 3 e linear 0 b) angular 0 e linear 5 c) angular e linear -3

d) angular e linear 10 e) não constitui uma equação da reta, pois o valor de

a está indefinido2) a) b)

3) 4)

5) e

6)

Exercícios (1.5):

1) a) ; D = IR; Im= b) ; D = IR; Im=

c) ; D = IR; Im= d)

D = IR Im=

e) não existe raiz real ( < 0); D = IR; Im=

2) a) O mínimo da função é –8; o ponto de mínimo é 3b) O máximo da função é 9. O ponto de máximo é 2c) O mínimo da função é –9; o ponto de mínimo é 0d) O máximo da função é 16; o ponto de máximo é 0e) O mínimo da função é 3; o ponto de mínimo é 1

f) O máximo da função é ; o ponto de máximo é

3) 43

4) 112,5 m

5)