Apostila - Laboratorio de Fisica

Faculdade Pitágoras Laboratório de Física Pág. 1 / 61

LABORATÓRIO

DE

FÍSICA Disciplinas: Física: Mecânica Física: Energia Física: Eletromagnetismo Física: Ondas e Ótica Autor: Cláudio Henrique Soares [email protected]

Colaborador: Anderson Augusto Freitas [email protected]

Versão: Fevereiro de 2011


Sumário

Página

Objetivo e descrição das disciplinas ............................................................... 03

Ementa das disciplinas .................................................................................. 03

Instruções para a confecção de relatório ........................................................ 04

Normas e procedimentos de segurança .......................................................... 07

Medidas e Erros ........................................................................................... 08

Relação das Práticas ..................................................................................... 19

Roteiro de Práticas de Física: Mecânica............................................................ 20

Roteiro de Práticas de Física: Energia.............................................................. 38

Roteiro de Práticas de Física: Eletromagnetismo............................................... 48

Roteiro de Práticas de Física: Ondas e Ótica..................................................... 57

Referências Bibliográficas ............................................................................. 61


Objetivo e Descrição das Disciplinas

Com as disciplinas Física pretende-se que o aluno: observe e analise os fenômenos físicos pela experimentação; desenvolva o raciocínio lógico e crítico na resolução de problemas; aprenda a utilizar modelos para a análise de situações reais; familiarize-se com o uso de instrumentos de medida; desenvolva habilidade na confecção de relatórios, incluindo gráficos e análise estatística relacionando as grandezas físicas; desenvolva habilidade na realização de atividades em equipe.

Espera-se que, após cursar essas quatro disciplinas, o aluno esteja apto a relacionar os conceitos práticos e teóricos da Física aos diversos problemas da sua profissão, resolvendo problemas e analisando os resultados, e dominando as principais técnicas e recursos tecnológicos próprios desta disciplina.

Ementa das Disciplinas

Física: Mecânica Cinemática. Dinâmica. Equilíbrio de Partícula e Corpo Rígido. Impulso, Quantidade de Movimento e Colisões.

Física: Energia Trabalho e Energia. Conservação de Energia. Conservação de Momento Angular. Temperatura e Transferência de Calor.

Física: Eletromagnetismo Eletrostática. Eletricidae. Magnetismo.

Física: Ondas e Ótica Oscilações. Movimentos Ondulatórios. Ótica Geométrica.


Instruções para a confecção de relatórios

Introdução

Cada experimento compreende três atividades intimamente relacionadas:

A observação de dado fenômeno, em geral bastante simples, o que implica no uso de diversos aparelhos para efetuar diferentes medidas e o registro imediato destas;

A avalição crítica das medidas, requerendo cálculos, a construção e a análise de gráficos; A apresentação adequada dessas informações e dos resultados obtidos, o que obedece a

regras bem definidas, de uso universal em ciência.

É importante que sua conduta no laboratório seja construtiva. Seja cuidadoso com os aparelhos que utilizar, ainda que sejam muito simples e baratos.

Não se intimide com os instrumentos, mas também não seja imprudente: não force um aparelho ou instrumento que não estiver funcionando bem, mas peça auxílio ao instrutor.

É quase inevitável que no decorrer de um experimento surjam pequenos problemas imprevistos; procure resolvê-los por si mesmo!

Lembre-se de deixar a bancada organizada após a realização da atividade prática.

Relatório

A apresentação do que foi executado no experimento é o que se chama relatório, que não deve ser entendido como uma peça literária longa e cheia de palavras mais ou menos inúteis. O relatório é simplesmente o registro das observações efetuadas (medidas, características de instrumentos, ajuste de aparelhos etc), da análise destas e a apresentação dos resultados alcançados. Por isso, o relatório pode e deve ser elaborado durante a aula prática.

Não se preocupe em “passar a limpo” suas anotações, para que o relatório fique “limpinho” e “bonito”. Você tem a obrigação de empenhar-se pare que seu relatório seja o mais ordenado e claro possível, lembrando-se sempre da seguinte regra: um relatório destina-se a transmitir informações de modo simples e preciso, de forma que outra pessoa, apoiando-se nele, possa repetir o experimento sem necessitar que você esteja presente para “decifrá-lo”.

As informações essenciais de um relatório são descritas a seguir:

1. Capa

Identifique o título do trabalho feito, por exemplo: “Determinação da aceleração gravitacional com um pêndulo simples”.

Informe os autores, turma, curso, faculdade, data e professor/instrutor.


2. Objetivo e introdução

Ressalte sucintamente o que se pretende obter da experiência.

Deve ser feita uma breve apresentação do experimento: que fenômeno será estudado, que medidas serão feitas, que relações matemáticas são relevantes.

3. Procedimento, material, instrumentos

Descreva o método ou procedimento seguido em aula (não o proposto, necessariamente), relatando como foram obtidos os dados experimentais. Mencione as possíveis dificuldades encontradas.

Faça um esboço do aparelho ou montagem utilizada, identificando seus componentes principais. Mas atenção: o que se quer é um esboço, não um desenho artístico!

É importante destacar que uma reprodução fotográfica poupa tempo e pode representar muito bem a montagem.

4. Medidas e resultados

Anote as medidas que fizerem, à proporção que elas forem sendo realizadas; de preferência, esse registro dever ser feito em tabelas.

Nunca registre as observações em pedaços soltos de papel; além disso, se você errar uma anotação, não a apague, simplesmente cancele a anotação errada com um traço.

Quando for o caso, informe os dados mais importantes e esboce os gráficos apresentados pela calculadora TI-89 em um papel milimetrado ou quadriculado, de preferência. Atenção para a escolha das escalas!

Frequentemente será necessário efetuar cálculos com as medidas colhidas. Por exemplo, se deve ser determinado o valor de uma constante física, basta escrever a fórmula que vai utilizar, explicando o significado dos símbolos, e os resultados obtidos, sem necessidade de registrar as operações intermediárias, sobretudo quando utilizar uma calculadora.

Represente corretamente as medidas (unidades, algarismos signiticativos, erro etc).

5. Análise dos resultados e conclusões

Uma discussão dos resultados dos cálculos e da análise gráfica, relacionando-os com os modelos e métodos empregados para sua obtenção, é de grande importância no relatório.

Se o experimento envolve a determinção de uma constante física (p. ex.: a constante gravitacional, a carga do elétron etc), o valor encontrado deve ser acompanhado sempre do respectivo erro (incerteza). Veja o item “Medidas e Erros” deste material.


É importante também comparar o valor que você obteve com o valor mais aceito e tentar explicar a diferença que, por acaso, houver entre eles.

Mencione se os objetivos propostos foram ou não alcançados.

Sugestões sobre modificações que aperfeiçoem o experimento serão muito bem recebidas.

6. Pré-Relatório:

É recomendado que o aluno faça uma leitura prévia do roteiro da prática e, se possível, elaborar um pré-relatório, constando: capa, introdução, objetivo, procedimento prévio, material e instrumentos.

Durante a aula prática são observados os fenômenos, realizadas as medidas, os cálculos, encontrados os resultados. Recomenda-se que ainda no laboratório seja feita a análise dos resultados e a conclusão.


Normas e Procedimentos de Segurança Laboratório Didático de Física

O laboratório tem por finalidade o estudo experimental e a aplicação dos conhecimentos científicos com objetivos práticos.

Quanto às normas de segurança, este texto tem por objetivo prevenir a ocorrência de acidentes durante as aulas experimentais realizadas nos laboratórios de ensino e esse objetivo só será alcançado com a colaboração de todos.

Segurança é assunto de máxima importância e especial atenção deve ser dada às medidas de segurança pessoal e coletiva em um laboratório. Embora não seja possível enumerar aqui todas as normas de segurança, existem certos cuidados básicos, decorrente do uso de bom senso e de conhecimento científico, que devem ser observados. São eles:

O laboratório é um lugar de trabalho sério. Trabalhe com atenção, método e calma. O seu comportamento no laboratório é um fator determinante na sua segurança e no desenvolvimento eficiente de seus experimentos.

Prepare-se para realizar cada experiência, lendo antes os conceitos, o roteiro referente à prática e principalmente as informações referentes à manipulação e cuidados com os equipamentos e instrumentos de medida.

Não use sandálias ou chinelos que não protegem de respingos e de queda de objetos. Use somente sapatos fechados, de preferência de couro.

Não fume, não coma e não beba nada no laboratório. Isto pode comprometer o funcionamento do equipmentos.

Não coloque bolsas, malhas, livros etc, sobre a bancada, mas apenas o caderno de anotações, caneta e calculadora.

Não brinque no laboratório. Esteja sempre atento à experiência e faça apenas as experiências indicadas pelo professor.

Não trabalhe sozinho no laboratório. É preciso haver outra pessoa para ajudar em caso de emergência.

Siga rigorosamente as instruções fornecidas pelo professor/instrutor e consulte-o antes de fazer qualquer modificação na experiência.

Consulte o professor/instrutor caso esteja usando um aparelho pela primeira vez.

Dedique especial atenção a qualquer operação que necessite aquecimento prolongado ou que libere grande quantidade de energia. (reações exotérmicas).

Não trabalhe com material imperfeito. Verifique e inspecione a vidraria a ser utilizada.


Nas montagens de estruturas, verifique se conexões e ligações estão seguras antes de iniciar o procedimento da prática.

A bancada de trabalho e o piso do laboratório devem ser mantidos limpos e secos.

Antes de se retirar do laboratório, deixe toda a bancada organizada, os equipamentos limpos, lave sempre as mãos e verifique se os equipamentos / instrumentos estão desligados.

Em caso de qualquer acidente, procure imediatamente o professor / instrutor, mesmo que não haja danos pessoais ou materiais.

Vidros quebrados devem ser descartados, depois de limpos, em depósitos para lixo de vidro. Nunca jogue vidros quebrados no lixo comum, onde podem causar cortes no pessoal da limpeza.

Medidas e Erros

1. Introdução

O estudo de um fenômeno natural, do ponto de vista experimental, envolve algumas etapas que, muitas vezes, necessitam de uma elaboração prévia de uma sequência de trabalho. Antes de tudo, deve-se ter clareza sobre o problema que se pretende estudar, ou seja, ter um entendimento da proposta de estudo. Para isto é fundamental a elaboração dos objetivos pretendidos.

Obviamente, antes de se iniciar a realização do experimento propriamente dito, o material necessário à montagem - equipamentos e instrumentos, ferramentas de cálculo e tratamento de medidas etc - deve ser preparado e colocado em um ambiente adequado. Após a determinação das etapas a serem desenvolvidas e a maneira de desenvolvê-las, ou seja, o procedimento a ser seguido, passa-se à sua execução. É comum, sobretudo em ciências naturais, a coleta de informações através da realização de um conjunto de medidas. O resultado dessas medidas passa por uma análise, devendo, posteriormente, ser preparado para apresentação (tabelas, gráficos, tratamento matemático).

Chega-se, então, à parte onde a participação do “experimentador” é das mais significativas: a interpretação dos resultados, a conclusão e análise crítica geral de tudo o que foi feito. Geralmente, escreve-se um relatório de maneira a deixar registrado todo o trabalho realizado. Ao se escrever o relatório, o “experimentador” deve considerar que ele tem que ser suficientemente claro e completo de maneira a permitir que uma pessoa com um nível de formação semelhante ao seu compreenda o quê, como e por quê foi feito o trabalho e qual a relavância dos resultados encontrados.


2. Medidas: os resultados e seus desvios (ou erros)

Conforme mencionado anteriormente, em ciências naturais a coleta de informações é comumente feita por meio da realização de um conjunto de medidas de grandezas relacionadas direta ou indiretamente com a análise do fenômeno em questão.

2.1. Medidas diretas e indiretas, algarismos significativos e valor mais provável

Medir uma grandeza significa compará-la com uma outra de mesma natureza, escolhida como unidade. O resultado dessa comparação denomina-se medida da grandeza e nela estão contidas três informações:

o valor numérico, que é o número inteiro ou fracionário; a precisão, expressa pelo número de algarismos significativos; a unidade correspondente utilizada (se a grandeza for dimensional).

O sistema de unidades normalmente utilizado é o Sistema Internacional (SI).

Em experimentos realizados com uma qualidade aceitável, as medidas são feitas com instrumentos calibrados tais como réguas, paquímetros, cronômetros, voltímetros, termômetros e muitos outros. A menor graduação do instrumento representa o menor valor que ele é capaz de medir com confiança. Por exemplo, não faz sentido querer medir o diâmetro de um fio de cabelo usando uma régua graduada em milímetros; a maior precisão que se pode ter de uma medida realizada com esta régua é uma precisão de milímetro, podendo-se estimar o valor entre duas divisões.

Ao se medir o diâmetro de uma moeda de R$1,00 (a nova) com a régua graduada em milímetros, uma pessoa pode escrever o resultado como d = 27,2mm. Aqui o valor numérico da grandeza é 27,2 e a unidade é o milímetro; esse resultado tem 3 algarismos significativos sendo que o último é incerto ou duvidoso.

Analisemos um pouco mais esse resultado. Primeiramente, é claro que se trata de uma medida direta: foi feita uma comparação direta do diâmetro da moeda com uma régua. O resultado tem 3 algarismos significativos, sendo um duvidoso (em qualquer resultado tem-se, em geral, apenas um algarismo duvidoso!).

Essa pessoa poderia querer escrever seu resultado usando outra unidade de comprimento, como por exemplo o metro; nesse caso ela deveria escrever d = 0,0272m ou d = 2,72.10-2m. Em ambos os casos continuaríamos tendo 3 algarismos significativos, com um duvidoso e com a precisão na casa dos décimos de milímetro.

Ou seja, o simples fato de mudar a unidade escolhida para descrever um resultado não pode alterar a sua precisão. Os algarismos “zero” que aparecem antes do primeiro algarismo diferente de zero não são significativos; depois, sim. Sendo assim, não é correto escrever d = 27,20mm, pois, nesse caso, teríamos 4 algarismos significativos com o algarismo duvidoso sendo zero; nessa situação o resultado expressaria uma precisão - centésimo de milímetro - que a régua não tem! Poder-se-ia dizer que numericamente é “a mesma coisa”, mas do ponto de vista científico não é: não se pode alterar a precisão de um resultado acrescentando algarismos significativos a ele.


O perímetro p da moeda de R$1,00 pode ser calculado a partir da medida do seu diâmetro,

usando relação p = 2.π.R, sendo R o raio da moeda. Assim, tem-se p = 85,5mm, podendo-se dizer que foi feita uma medida indireta do perímetro da moeda, uma vez que a grandeza medida diretamente foi o diâmetro e a partir dele é que se encontrou o perímetro. Seria possível medir diretamente o perímetro da moeda utilizando-se uma fita métrica flexível, mas não foi esse o caso. Outra grandeza que poderia ser encontrada a partir da medida do diâmetro da moeda é a área de

sua face, dada por A = π.R2. Assim, teríamos A = 581mm2, que é a área da face da moeda, obtida indiretamente.

Observe que foi mantido o número de algarismos significativos igual a 3 nos resultados obtidos tanto para o perímetro quanto para a área: sempre que se opera com medidas, o resultado também deverá conter apenas um algarismo duvidoso.

O valor do diâmetro da moeda apresentado é o resultado de uma única medida feita por uma única pessoa. É possível (e provável) que outras pessoas encontrem valores ligeiramente diferentes. Mesmo a própria pessoa, ao realizar a medida várias vezes, pode encontrar um conjunto de valores diferentes entre si, distribuídos em torno de um determinado valor. Em situações desse tipo, o que se faz comumente é encontrar o valor médio e utilizá-lo como o valor mais provável para a grandeza. Suponha que quatro medidas do diâmetro d da moeda tenham fornecido os valores 27,2mm; 27,0mm; 27,2mm e 27,1mm; neste caso o valor numérico mais provável seria d = 27,125mm. (Atenção: por enquanto, estamos tratando apenas do valor numérico; o resultado correto, considerando-se o número de algarismos significativos, é apresentado na próxima seção). Aqui foi feita uma média aritmética simples para se encontrar o valor mais provável. Há situações em que são utilizados métodos estatísticos um pouco mais mais complexos (fim deste texto).

2.2. Incerteza ou desvio de uma medida 2.2.1. Medidas diretas: erro de leitura e desvio médio

Como no caso que foi descrito anteriormente, repetindo-se a medida de uma grandeza várias vezes, são encontrados valores nem sempre iguais. Os valores diferentes encontrados podem ser devidos tanto à habilidade de quem realizou as medidas quanto ao instrumento utilizado, ao método empregado, às dificuldades intrínsecas ao processo etc. As flutuações nos valores medidos são chamadas de erro, incerteza ou desvio. Durante um processo de medida podem ocorrer erros sistemáticos e erros aleatórios. Os erros sistemáticos são devidos a problemas de calibração ou fabricação de um aparelho ou a um erro de procedimento; quando acontesse esse tipo de erro os valores encontrados nas medidas são afetados sistematicamente “para mais” ou “para menos”. Os erros aleatórios, também chamados erros estatísticos, afetam desordenadamente a medida, às vezes para mais, às vezes para menos. Esse tipo de erro é intrínseco a qualquer processo de medida e é importante saber calculá-lo ou estimá-lo para que o resultado final de um trabalho experimental seja expresso corretamente.


No caso de medidas diretas, os desvios podem ser facilmente encontrados. Quando se realiza uma única medida de uma grandeza, o desvio pode ser encontrado usando diferentes procedimentos, mas é sempre importante usar o bom senso. Uma regra amplamente difundida é a de que, no caso de medida única, o desvio (erro de leitura) deve ser a metade da menor divisão da escala do instrumento de medida. Por exemplo, para se medir a largura L de uma folha de papel A4 com uma régua de 300mm alguém poderia considerar como desvio, a metade de uma unidade correspondente à menor divisão, ou seja, 0,5 milímetro. Assim, a medida da largura da folha seria escrita como L = (211,5 ± 0,5)mm. O resultado escrito dessa maneira indica que há uma incerteza de 0,5mm (desvio absoluto) na determinação da largura da folha. Entretanto, se essa mesma régua for utilizada para medir a altura da porta da sala de aula, é claro que o desvio não mais poderá ser de 0,5mm. O procedimento de posicionar a régua várias vezes para completar a medida eleva muito o erro na determinação da altura da porta, devendo este ser da ordem de centímetro.

Portanto, essa regra tão difundida de que o desvio é a metade da menor divisão da escala deve ser usada com muito cuidado, sendo poucas as vezes em que ela pode ser aplicada corretamente.

Quando se usa, por exemplo, um voltímetro analógico ou qualquer instrumento com ponteiro, tem-se que prestar atenção se a leitura é estável ou se o ponteiro oscila em torno de um valor. Se o aparelho indicar um valor fixo, pode-se considerar como desvio a própria precisão do instrumento ou, no caso de não se ter essa informação, usar uma unidade da menor divisão da escala utilizada. Se houver oscilação é mais razoável calcular o desvio a partir dos limites desta oscilação: o resultado de uma medida poderá ser qualquer valor dentro da faixa de oscilação! Neste caso,

pode-se considerar o valor mais provável como 2

minxxx máx +

= e o erro como

2

minxxx máx −

=∆ .

No caso de aparelhos digitais, pode acontecer também de o resultado se apresentar sem flutuações, ou se apresentar oscilando. A avaliação do desvio deverá, então, ser feita como no caso anterior. Frequentemente é possível e aconselhável realizar várias medidas da mesma grandeza para se encontrar um resultado mais preciso.

Quando se realizam N medidas de uma mesma grandeza deve-se encontrar o seu valor médio, que será o valor mais provável, e tomar como desvio, a média dos valores absolutos das diferenças entre o valor mais provável e cada valor individual.


Como ilustração, considere o seguinte experimento. Para se determinar a altura de uma cachoeira, algumas pessoas mediram o tempo de queda de pedrinhas soltas em queda livre de um mesmo local. Conhecendo-se o tempo de queda t, pode-se calcular a altura h a partir da relação

cinemática: 25,0 gth = , onde g é a aceleração da gravidade. Foi utilizado um cronômetro com

precisão de centésimos de segundo e os valores it obtidos em 8 medidas foram: 1,30s; 1,09s;

1,03s; 1,27s; 1,18s; 1,31s; 1,24s e 1,15s. A dispersão dos valores, entre 1,03s e 1,31s se deve à dificuldade intrínseca do processo particular de medida e ao fato de que a precisão do instrumento utilizado (centésimo de segundo) é bem maior do que a capacidade das pessoas de medir tempo com um tal cronômetro. Para se encontrar o valor mais confiável para h deve-se, então, usar o valor mais provável de tempo t e o

respectivo desvio t∆ .

Numericamente, teremos:

st 196,1)15,124,131,118,127,103,109,130,1(8

1=+++++++=

st 071,0)046,0044,0114,0016,0074,0066,0106,0104,0(8

1=+++++++=∆

e, respeitando-se o critério de se escrever o desvio com um algarismo significativo, a resposta correta para o resultado encontrado para o tempo de queda é:

st )07,020,1( ±=

Utilizando-se esse resultado e considerando 2/)01,078,9( smg ±= chega-se ao valor de

mh )8,00,7( ±= . O desvio de 0,8m foi encontrado usando os processos que estão descritos na

seção 2.2.2.

Deve-se observar que a repetição da medida de uma grandeza várias vezes pode melhorar a precisão na sua determinação, mas esta não deve ir além da precisão do instrumento utilizado para medí-la.

Ao se escrever o valor de uma grandeza com o seu respectivo desvio, está-se indicando um intervalo de valores aceitáveis para ela, de acordo com o procedimento em questão.

2.2.1a. Desvio absoluto e desvio relativo

Nos resultados encontrados anteriormente, estão expressos o valor de t e seu desvio absoluto, ou seja, o tempo de queda foi determinado como sendo 1,20s com um desvio absoluto de 0,07s. Para a altura, foi encontrado mh )8,00,7( ±= . Na medida do tempo cometeu-se um erro de 0,07s


em 1,20s e na medida da altura o erro foi de 0,8m em 7,0m. É muito comum e muito útil expressar resultados em termos de desvio relativo, tt /∆ no caso do tempo e hh /∆ no caso da

altura. O desvio relativo é quem melhor indica a precisão da medida e é comum expressá-lo em termos percentuais. No presente caso ele é de aproximadamente 0,058 ou 6% para o tempo e de aproximadamente 0,117 ou 12% para a altura. Comparando-se os desvios relativos, pode-se ver qual grandeza foi determinada com maior precisão.

2.2.2. Medidas indiretas: propagação de erros

Uma medida é indireta quando é obtida a partir de expressões matemáticas que a relacionam com outras grandezas medidas diretamente. De maneira geral, uma grandeza f será função de outras grandezas x, y, z, t etc, cada uma com seu respectivo erro ∆∆∆∆x, ∆∆∆∆y, ∆∆∆∆z, ∆∆∆∆t etc:

,...),,,( ttzzyyxxff ∆±∆±∆±∆±= (Eq. 01)

Ao expressar o resultado de f obtido indiretamente a partir de cálculos, é importante apresentar qual é o desvio associado, ou seja, qual é o resultado da propagação dos erros. Considere a seguinte situação física: um corpo se desloca em linha reta com aceleração constante, de tal forma que a distância X (em metros) varia com o tempo t (em segundos) de acordo com a equação:

25tX =

Coloca-se a seguinte questão: após um tempo medido de st )4,05,7( ±= , qual a distância

percorrida pelo corpo? A resposta trivial para a questão é X = 281,25m. Entretanto, do ponto de vista de tratamento de medidas, esta resposta está incompleta e incorreta. Considerando que a medida de tempo tem um erro de ±0,4s, fica a pergunta: como este erro afeta o valor calculado da distância? Ou seja, qual erro ∆X deverá ser atribuído à distância calculada X? Para responder esta questão será dada aqui uma visão rápida do que se chama propagação de erros. Existem várias maneiras de acompanhar a propagação dos erros em medidas indiretas; ilustraremos aqui dois métodos.

a) Método baseado no cálculo diferencial

A maneira mais formal utilizada no cálculo de propagação de erros é baseada no cálculo diferencial. Para ilustrar este método, apelaremos para um processo mais ou menos intuitivo, deixando o rigor e o detalhamento matemático para o estudo de diferenciais e derivadas parciais abordado nas disciplinas de Cálculo. A figura seguinte mostra o gráfico da distância percorrida X em função do tempo t.


Considere que as medidas de tempo foram tomadas com o mesmo erro st 4,0±=∆ . Então,

tempos diferentes, por exemplo st 5,71 = e st 0,202 = , com o mesmo erro t∆ , resultam em erros

bastante diferentes nos valores correspondentes de distâncias, conforme se vê na figura anterior. Quanto maior a inclinação da curva (que está associada com sua derivada), mais significativa é a consequência do erro da variável tempo para a função distância. A associação da derivada de uma função com a propagação de erros permite uma analogia útil no cálculo do erro no caso de uma grandeza que é função de outras. A derivada )´(xf de uma função pode ser escrita como o quociente entre os diferenciais da

função e da variável:

dxxfxdfdx

xdfxf ).´()(

)()´( =→= (Eq. 02)

É razoável usar a aproximação de que a diferencial (acréscimo infinitesimal) de uma grandeza pode ser tomada como um erro (acréscimo mensurável) nesta grandeza e pode-se escrever:

xxfxf ∆≅∆ ).´()( ou melhor xxfxf ∆≅∆ .)´()( (Eq. 03)

onde o valor absoluto )´(xf é tomado para garantir sempre um valor positivo para o erro f∆ ,

que determinará a faixa de valores possíveis de f.

A partir dessas considerações, pode-se aplicar a equação 03 no cálculo da propagação de erro para o presente exemplo, ou seja, encontrar o erro X∆ a partir do erro st 4,0=∆ . Teremos,

então:

ttXttXX ∆=∆→∆≅∆ .10.)´( (a derivada de 25tX = em relação a t é t10 ).

Para st 5,71 = tem-se: mXttX 304,0.5,7.10.10 ==∆→∆=∆

Para st 0,202 = tem-se mXttX 804,0.0,20.10.10 ==∆→∆=∆

25tX =


Os valores para as distâncias serão:

mtX 25,2815,7.55 22

1 =→= e mtX 16000,20.55 22

2 =→= .

Sobretudo, os resultados corretos, lembrando-se de usar apenas um algarismo signficativo para o erro, deverão ser escritos como:

mX 2

1 10).3,08,2( ±= e mX 3

2 10).08,000,2( ±=

Foi necessário usar potência de dez para expressar o resultado corretamente pois os números 30 e 80 têm dois algarismos significativos. Na forma de erros relativos, os resutlados acima seriam

mX 2

1 10.8,2= com um erro de 11% e mX 3

2 10.00,2= com um erro relativo de 4%.

Esse processo pode ser estendido aos casos onde a grandeza a ser determinada depende de várias variáveis, ou seja, depende da medida de várias outras grandezas com seus respectivos erros. Seja a função f dependente de x, y, z, t etc. Estas variáveis são grandezas medidas e assim, a cada uma delas tem um erro experimental ∆∆∆∆x, ∆∆∆∆y, ∆∆∆∆z, ∆∆∆∆t etc. Assim, para encontrar o erro f∆ de f, basta generalizar o resultado obtido para uma variável (equação 03) para essa

situação de várias variáveis. Assim, pode-se escrever:

... . . . +∆∂

∂+∆

∂

∂+∆

∂

∂=∆ z

z

fy

y

fx

x

ff (Eq. 04)

onde x

f

∂

∂ representa a derivada parcial de f com relação a x. A derivada parcial de uma função

com relação a uma de suas variáveis é calculada como uma derivada normal, considerando todas as outras como constantes.

Como um exemplo de aplicação de propagação de erros em grandezas associadas a dois ou mais valores medidos, considere a situação em que foram medidas a massa m e a velocidade v de um carro e deseja-se calcular qual é a sua energia cinética. Sejam:

kgm 310).1,02,1( ±= e smv /)5,00,20( ±=

A energia cinética Ec é dada pela relação: 2.2

1vmEc = . Usando a equação 04, o desvio em Ec

será:

vv

Em

m

EE cc

c ∆∂

∂+∆

∂

∂=∆ . .

vmm

vEc ∆+∆=∆ .v. .

2

2

JEE cc

4332

10.3 5,0..201,2.1010.1,0.2

20=∆→+=∆ (1 algarismo significativo)


O valor mais provável para a energia cinética Ec é:

JEvmE cc

4232 10.2420.10.2,12

1 .

2

1==→=

Logo: →±= 10).324( 4JEc JEc

510).3,04,2( ±= (notação científica)

Regras de Propagação de Erros

Como consequência da equação 04, as seguintes regras são válidas: a) Se f é a soma ou subtração das grandezas x, y, z ..., então: ...zyxf ∆+∆+∆=∆

O erro absoluto em f é a soma dos erros absolutos das grandezas x, y, z, ...

b) Se f é a multiplicação de uma grandeza x por uma constante k, então: xkf ∆=∆ .

O erro absoluto de f é k vezes o erro absoluto da grandeza x.

c) Se f é a multiplicação ou divisão das grandezas x, y, z ..., então: ...z

z

y

y

x

x

f

f ∆+

∆+

∆=

∆

O erro relativo de f é a soma dos erros relativos das grandezas x, y, z, ...

d) Se f é a potência n de uma grandeza x, então: x

xn

f

f ∆=

∆.

O erro relativo de f é n vezes o erro relativo da grandeza x.

b) Método dos valores limites

Uma outra maneira de se estimar o desvio de uma grandeza f obtida indiretamente é calculando-se os valores limites que f pode assumir a partir dos valores máximos (x + ∆x, y + ∆y, ...) e mínimos (x - ∆x, y - ∆y, ...) das grandezas x, y, z, ... Considere, como exemplo, um experimento de movimento retilíneo com aceleração constante, onde uma partícula percorre uma distância d em um tempo t. Foram medidos dois valores para a distância e o tempo, com desvios ∆d e ∆t, respectivamente, ou seja (d ±∆d) e (t ± ∆t), encontrando-se (12,0 ± 0,4)m e (4,0 ± 0,2)s.

O valor da aceleraçaõ é dado por: 2

2

t

da = . Então, os seus limites serão:

Valor máximo: 2

22/7175,1

)8,3(

4,12.2

)(

)(2smaa

tt

dda =→=→

∆−

∆+=

Valor mínimo: 2

22/3152,1

)2,4(

6,11.2

)(

)(2smaa

tt

dda =→=→

∆+

∆−=


O valor médio da aceleração (ainda sem considerar o número correto de algarismos significativos) será:

Valor médio: 2/5163,1 2

3152,17175,1smaa =→

+=

O desvio da aceleração é dado por:

Valor médio: 22 /2,0a /201,0 2

3152,17175,1smsmaa =→=→

−=

Logo, o valor da aceleração é: 2/)2,05,1(a sm±= Observação: valor médio não é o mesmo que valor mais provável. Neste caso, temos:

Valor mais provável: 2

2/50,1

4

12.2smaa =→=

Pelo cálculo do erro propagado tem-se uma idéia de quão sensível é o resultado à medida de cada uma das variáveis. No exemplo anterior, o erro no valor da aceleração é mais sensível ao erro na medida de tempo (dependência com o quadrado) do que o erro na medida da distância (dependência linear).

Os cálculos de desvios estão sendo, cada vez mais, feitos com a ajuda de calculadoras e programas de computador. Entretanto, é de grande importância que o “experimentador” tenha uma boa noção dos processos empregados nesses cálculos e ainda saiba, usando o bom senso, estimar a precisão de um resultado.

2.3. Precisão e confiabilidade de uma medida

Os conceitos de precisão e de confiabilidade são, frequentemente, confundidos. Uma medida pode ser muito precisa e não ser confiável, por exemplo, quando for feita usando um instrumento de alta precisão, porém descalibrado. O contrário também pode acontecer. É importante, portanto, distinguir os dois conceitos:

Medida Confiável: é aquela onde os erros sistemáticos são muito pequenos. Medida Precisa: é aquela onde os erros aleatórios são muito pequenos.

3. Exemplos de aplicação

Seguem algumas situações que ajudam a entender e fixar os comentários feitos até aqui.

a) Medidas de comprimento Usando uma régua milimetrada, meça a largura e o comprimento de uma folha de papel e expresse seus resultados. Calcule a área dessa folha de papel, com o respectivo erro (valor mais provável e seus respectivo desvio).


b) Medidas de comprimento

Uma grandeza muito importante em ciências é o tempo. A faixa de valores de intervalos de tempo relevantes em Física é enorme; por exemplo, enquanto o período de revolução do Sol em torno da galáxia é de 1016s, o tempo gasto pela luz para atravessar o vidro da janela é de 10-11s. Os relógios e cronômetros permitem medida de tempo compatíveis com os fatos que observamos no dia a dia.

O cronômetro que você vai usar no Laboratório de Física mede até milésimos de segundo. Você acha que, disparando e parando o cronômetro com a mão, é possível ter precisão de milésimo de segundo? Reflita sobre isso: nem sempre a precisão de uma medida é igual à precisão do instrumento utilizado.

Algumas vezes a determinação do valor de uma grandeza é facilitada quando ela pode ser medida num processo cumulativo, como no caso do período de um pêndulo, o que leva a um aumento da precisão. Se você quiser saber a espessura de uma folha de papel e dispõe de apenas uma régua milimetrada você poderá medir a espessura de 100 folhas e, dividindo o resultado por 100, encontrar a espessura de uma folha.

Apêndice: Medidas Diretas - fórmulas gerais para o cálculo do erro

Dependendo do número de medidas, o erro ∆x na medida de x pode ser definido de várias formas, como:

2

minxxx máx −

=∆ N

sx =∆

N

xxx

i∑ −=∆

Quando o número de medidas N for muito grande, todas as definições de ∆x tendem para um mesmo valor. Para um pequeno número de medidas, a distribuição deixa de ser gaussiana e a definição para o erro passa a ser de gosto pessoal ou por comodidade. Como as calculadoras científicas normalmente fornecem o valor médio x e o desvio padrão s, sugere-se que se use uma das duas últimas equações acima com o erro em x. Assim, a forma correta de se apresentar

uma medida é: xxx ∆±= .


Relação das Práticas Física: Mecânica Prática 1: Movimento em Uma Dimensão (MRU e MRUV: queda livre). Prática 2: Equilíbrio de Corpo Rígido: Centro de Massa e Torque. Prática 3: Impulso e Quantidade de Movimento Prática 4: Forças e Coeficientes de Atrito (Estático e Cinético). Prática 5: Equilíbrio de Ponto Material. Prática 6: Movimento Circular e Força Centrípeta (Pêndulo). Prática 7: Equilíbrio de Corpo Rígido: Tombamento e Ponte Rolante. Física: Energia Prática 1: Lei de Hooke. Prática 2: Lei de Newton para o Resfriamento Prática 3: Conservação de Energia. Prática 4: Energia Rotacional e Momento de Inércia Física: Eletromagnetismo Prática 1: Resistência Elétrica de um Condutor Prática 2: Lei de Ohm Prática 3: Circuito Elétrico (Regras de Kirchhoff) Prática 4: Carga e Descarga de um Capacitor Física: Ondas e Ótica Prática 1: Oscilações - MHS: Sistema Massa-Mola Prática 2: Oscilações - MHS: Pêndulo Físico


Roteiro de Práticas de Física: Mecânica

Prática 1 de Física: Mecânica

Título: Queda Livre.

Introdução:

Neste experimento será estudado o movimento de objetos que se deslocam em

queda livre.

Considera-se que um objeto encontra-se em queda livre quando ele está

caindo sem enfrentar qualquer tipo de resistência. Objetos em queda livre

estão sujeitos a uma aceleração constante, conhecida como aceleração da

gravidade (g), cujo valor é aproximadamente 10 m/s2.

A aceleração de um corpo representa a taxa de variação da sua velocidade.

Assim, na queda livre, a cada um segundo, a velocidade do corpo aumenta

aproximadamente 10 m/s. Como na queda livre a aceleração é constante, o

movimento do corpo é classificado como Movimento Retilíneo Uniformemente

Variado - MRUV.

Objetivos:

Verificar a relação entre as grandezas posição, velocidade e aceleração

em movimentos unidimensionais, estabelecendo a conexão com o cálculo

diferencial e integral. Desenvolver habilidade no entendimento do

comportamento de gráficos envolvendo as grandezas citadas. Medir o tempo

de reação de uma pessoa e aceleração da gravidade no laboratório pelo

movimento de queda livre de um corpo.

Material e instrumentos:

Cronômetros com sensores, régua graduada, bola (basquete, por exemplo),

calculadora TI-89 com sensor de movimento.

Procedimento: Siga as orientações do professor/instrutor.

Considere g = 10m/s2.

Use três algarismos significativos (quando possível).

Parte 1: Tempo de Reação

a) Expresse o tempo de queda livre de uma régua em função de sua

distância percorrida.

________)( =dt


b) Com base nas informações do professor/instrutor, meça a distância

percorrida pela régua em queda livre para 2 (dois) componentes da

equipe.

________1 =d ________2 =d

c) Utilize a relação encontrada em “a” para calcular o tempo de reação

dos dois componentes da equipe.

________1 =t ________2 =t

Parte 2: Bola de Basquete

a) Observe as instruções do professor/instrutor.

b) Usando o sensor de movimento da calculadora TI-89, jogue a bola para

cima e registre as medidas de sua posição. Sugere-se que pendure a

bola por um barbante e, após o equilíbrio (sobre o sensor de

movimento), arremesse-a para cima.

c) Plote, na calculadora TI-89, os gráficos posição X tempo, velocidade

x tempo e aceleração x tempo, esboçando-os a seguir.

Responda às perguntas:

1. Explique o comportamento dos 3 (três) gráficos plotados.

2. O tempo de subida pode ser considerado igual ao de descida?

Explique.

3. Qual a aceleração da bola? (calcule a média usando a calculadora

TI-89).

Analise todos os resultados encontrados e faça uma conclusão.

t

a

t

v

t

x



Título: Equilíbrio de Corpo Rígido: Centro de Massa e Torque.

Introdução:

Centro de Massa

O centro de massa pode ser definido como a posição média de toda a massa

que constitui um objeto. Utilizando este conceito, podemos simplificar a

ação da força peso sobre um objeto ao considerar que ela atua sobre um

único ponto do corpo, onde está localizado o seu centro de massa.

Em objetos simétricos e de densidade constante, o centro de massa

coincide com o seu centro geométrico. Já em objetos de forma irregular, o

centro de massa está situado mais próximo da extremidade de maior massa.

Em um bastão de beisebol, por exemplo, o centro de massa está situado

mais próximo do lado mais largo do bastão.

Torque ou Momento

O torque é análogo à força. Enquanto a força tende a alterar o estado de

movimento de um objeto, o torque tende a alterar o seu estado de rotação.

Ele é definido como o produto da força aplicada no corpo pela distância

até o seu o eixo de rotação

dFT .=

onde T é o torque, F é a força e d é a distância até o eixo de rotação.

A localização do centro de massa é extremamente importante para a

estabilidade de um corpo. Para que um objeto esteja em equilíbrio

estável, é necessário que o seu centro de massa esteja acima de sua base

de apoio. Quando isso não acontece, o equilíbrio é dito instável, e surge

um torque causando o tombamento do objeto.

Objetivos:

Estudar o equilíbrio de corpo rígido sob a ação de forças não

concorrentes. Estabelecer e reforçar o método de solução de problemas de

estática, incluindo a grandeza momento (ou torque). Treinar o método:

identificação do problema, isolamento do sistema, representação das

forças aplicadas, equacionamento baseado nas leis de equilíbrio (força

resultante e momento nulos), resolução das equações.

Material e instrumentos: sensor de força da calculadora TI-89, quadro de

forças, fios (barbantes), massas, papelão em forma de L.


Parte 1:

a) Meça as dimensões do corpo (papelão) e determine, algebricamente, as

coordenadas do seu Centro de Gravidade.

∑

∑

=

==n

i

i

n

i

ii

G

A

xA

x

1

1

.

∑

∑

=

==n

i

i

n

i

ii

G

A

yA

y

1

1

.

______=Gx ______=Gy

b) Assinale no corpo a posição do seu CG (calculado) e verifique,

experimentalmente, se o corpo se equilibra ao ser pendurado ou

apoiado pelo CG encontrado. Mostre ao professor / instrutor.

c) Demonstre a origem das equações apresentadas em “a”.

y

xGx

Gy CG


Parte 2:

a) Usando o sensor de força da calculadora TI-89, pese o corpo a ser

suspenso (não se esqueça de zerar o sensor de força).

NP _________=

b) Utilizando o quadro de força, faça a seguinte montagem.

c) Usando o sensor de força da calculadora TI-89 (zere o sensor

novamente), meça os valores de F para três valores diferentes de X,

preenchendo o quadro a seguir:

X (cm) 0 5 10 20

F (N) 0

d) Desenhe o gráfico F x X no quadriculado seguinte.

Analise todos os resultados encontrados (procedimentos 1 e 2) e faça uma

conclusão.

Fr

Pr

sensor de força (TI-89)

10 cm

apoio rotulado

régua graduada X

F(N)

x(cm)



Título: Impulso e Quantidade de Movimento.



Use dois algarismos significativos (no mínimo).

Material e instrumentos: trilho de ar, balança, calculadora TI-89 com

sensor de força, cronômetros (com sensor), fios elásticos.

Parte 1: Conservação da Quantidade de Movimento (trilho de ar).

kgmA _______=

kgmB _______=

Cronômetro em A: md A ______= stA ______=

smvt

dv AA /_______ =→=

Cronômetro em B: mdB ______= stB ______=

smvt

dv BB /_______ =→=

a) Qual o valor da quantidade de movimento inicial do sistema formado

pelos corpos A e B?

smkgQi /._________=


b) Qual o valor da quantidade de movimento final do sistema formado

pelos corpos A e B?

smkgQ f /._________=

c) Estes resultados atendem o princípio da Conservação da Quantidade de

Movimento? Justifique.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Parte 2: Teorema do Impulso (trilho de ar).

kgm _______=

Força máxima:

NFmáx _______. =

Cronômetro em B:

mdB ______=

stB ______=

.

B

Bmáx

t

dv =

smvmáx /_________. =

B

A

0=ov

máxF

0=F

fio de borracha tracionado

máxv

cronômetro

sensor de força da TI-89


a) Plote, na TI-89, o gráfico força x tempo (80 leituras em 5,0 seg).

Esboce o gráfico neste quadriculado, apresentando os principais valores.

b) Determine o impulso fornecido pela força F (variável) sobre o corpo.

Utilizando a TI-89, faça a integral do gráfico Força x Tempo.

∫=f

i

t

tdttFI )( sti ______= st f ______= sNI ._________=

c) Determine a quantidade de movimento do corpo ao passar por B.

vmQ .= smkgQ /.______=

d) Estes resultados atendem o Teorema do Impulso? Justifique.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Analise os resultados encontrados e faça uma conclusão de toda a prática.

F(N)

t ( s)



Título: Forças e Coeficientes de Atrito (Estático e Cinético).

Procedimento: siga as instruções do professor/instrutor.

Objetivos: Familiarização com a calculadora TI-89, inclusive com o sensor

de força; determinação dos coeficientes de atrito entre duas superfícies,

verificando a diferença entre os coeficientes de atrito estático e

cinético; verificação da influência da área de contato e da força normal

na força de atrito.

Material e instrumentos: calculadora TI-89 com sensor de força, suporte

para o sensor de força, bloco com superfícies e rugosidades variadas

(lixas diferentes coladas em duas faces), plano inclinável (40x60cm) de

madeira, régua ou trena, balança.

TI-89: manter o primeiro contato com a calculadora TI-89: ligar/desligar

e conectar/desconectar a interface e o sensor de força. Acessar, por

enquanto, apenas os comandos necessários para a realização da prática,

seguindo as instruções passo-a-passo do professor/instrutor.

Procedimento:

a) Medir o peso do bloco usando o sensor de força da TI-89, considerando

o erro. Zerar o sensor de força na posição vertical. Fixar o sensor

no tripé e pendurar o bloco. Esperar a leitura estabilizar e fazer

3(três) leituras, com 3 casas decimais.

NP ______)(_______1 ±=

NP ______)(_______2 ±=

NP ______)(_______3 ±=

b) Determinar o valor mais provável e o erro para a medida do peso:

NP ______)(_______±=

c) Observar o número de algarismos significativos.


d) Colocar o bloco em repouso sobre uma superfície horizontal (face de

maior área em contato com a madeira da prancha - contato

madeira/madeira).

e) Usando o sensor de força, aplicar uma força horizontal crescente

sobre o bloco. Quando o bloco começar a deslizar, diminuir a força

aplicada de maneira que o movimento do mesmo seja praticamente

uniforme (velocidade constante).

f) Realizar o procedimento anterior sem registrar as leituras do sensor

de força (para treinamento).

g) Preparar a calculadora TI-89 para iniciar as leituras das forças com

o sensor de força. Configurar a calculadora TI-89 para fazer leituras

a cada 0,05s durante 10s, totalizando 200 leituras.

h) Plotar o gráfico Força x Tempo na TI-89. Esboçar esse gráfico no

quadriculado seguinte, indicando os valores principais (tempo e

forças de atrito estático máximo e cinético).

i) Explique o comportamento do gráfico anterior.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

F (N)

t ( s)


j) Determinar (na TI-89) as forças de atrito estático máximo (máxatF ).

Fazer 3(três) medidas de forças com 3 casas decimais. Não precisa

esboçar todos os gráficos no quadriculado anterior.

NF ______)(_______1 ±=

NF ______)(_______2 ±=

NF ______)(_______3 ±=

Valor mais provável: NFmáxat ________=

Erro absoluto: NFmáxat ________=∆

→∆±=máxatmáxatmáxat FFF NF

máxat _____)(______±=

k) Determinar o coeficiente µµµµe a partir da relação NF eat .µ=→ .

Valor mais provável: →=P

Fmáxat

eµ ______=eµ

Erro absoluto: →

∆+

∆=∆ e

máxat

máxat

eP

P

F

Fµµ .

______=∆ eµ

→∆±= ee µµµ ___________±=eµ


1. A área de contato interfere no atrito? Explique.

2. Qual coeficiente de atrito é maior, o estático ou o cinético?

Por quê?

3. Por que um carro que tem sistema de freio ABS pára mais rápido?

4. Por que um carro que tem controle de tração arranca mais rápido?

5. A força normal interfere no atrito? Explique.

6. Analise os resultados encontrados e faça uma conclusão.



Título: Equilíbrio de Ponto Material.

Objetivos: Estudar o equilíbrio de corpo pontual sob a ação de forças

concorrentes. Estabelecer e reforçar o método de solução de problemas de

estática, com forças concorrentes, utilizando as Leis de Newton. Treinar

o método: identificação do problema, isolamento do sistema, representação

das forças aplicadas, equacionamento baseado nas leis de equilíbrio

(força resultante nula), resolução das equações.

Material e instrumentos: sensor de força da calculadora TI-89, fios

(barbantes), suporte, transferidor.




a) Usando o sensor de força da calculadora TI-89, pese o corpo a ser

suspenso (não se esqueça de zerar o sensor de força na direção em que

o mesmo será utilizado).

NP _________=

b) Faça a seguinte montagem. Zere o sensor de força na posição mostrada

na figura (mesma direção dos fios) antes de pendurar o bloco (P ).

1Tr

α

2Tr β

Pr


fio (barbante)

1Tr

α

2Tr β

Pr


fio (barbante)


c) Usando o transferidor, meça os ângulos α e β.

°= ______α °= ______β

d) Meça a tração 1T no fio (sensor de força).

NT _________1 =

e) Determine, algebricamente, o valor da tração 1T . Decomponha as forças

1T , 2T e P nas direções horizontal e vertical e utilize a condição de

equilíbrio de uma partícula: 0rr

=∑ xF e 0rr

=∑ yF .

NT _________1 =


1. Compare os valores de 1T obtidos em “d” e “e”.

2. Determine, algebricamente, o valor de 2T .

3. O que acontece com o valor da tração do fio à medida que o peso se

aproxima do sensor de força? Verifique experimentalmente. Explique.




Título: Movimento Circular e Força Centrípeta (Pêndulo).

Objetivos: Verificar a relação entre as grandezas velocidade linear,

tração de um fio, força peso e força centrípeta. Desenvolver habilidade

no entendimento do comportamento de gráficos envolvendo as grandezas

citadas no movimento circular.

Material e instrumentos: régua graduada, fio (ou barbante), calculadora

TI-89 com os sensores de força e de movimento, bola (basquete ou vôlei).




a) Faça a montagem ilustrada e determine as medidas seguintes.

mR _________=

NP _________=

kgm _________=

b) Encontre a relação entre a Tração (T ) do fio e a velocidade ( v) da

bola no ponto mais baixo da trajetória.

_______________)( =vT

Tr

vr

Pr

R

sensor de

movimento


c) Solte a bola de 3 (três) alturas diferentes e meça os valores máximos

da tração no fio e da velocidade da bola. Observa-se que esses

valores máximos ocorrem no instante em que a bola passa pelo ponto

mais baixo da trajetória. Obtenha essas medidas na calculadora TI-89.

Preencha o quadro com os valores medidos e calculados.

Tmáxcalç

(N)

Tmáxmed

(N)

Vmáx

(m/s)

Instante

(s)

P = P = 0,0 -

d) Usando o Excel, plote, em um só gráfico, a Tração Máxima x Velocidade

Máxima da bola.

e) Qual o tipo (linear, parábola, hipérbole etc) desses gráficos?

Por quê?

f) Encontre, no Excel, a equação que melhor se ajusta aos pontos

medidos. Quanto mais próximo o R2 for de 1,00 melhor é o ajuste.

g) Compare e relacione as equações obtidas em “b” e “f”.

h) Analise os todos resultados encontrados e faça uma conclusão.



Título: Equilíbrio de Corpo Rígido: Tombamento e Ponte Rolante.




Parte 1: Tombamento

a) Coloque o bloco (paralelepípedo) apoiado sobre o plano horizontal,

conforme as figuras seguintes. (observe a posição do bloco)

b) Meça as dimensões do bloco e o seu peso.

cmh _________= cmb _________= NP _________=

c) Determine, algebricamente, a relação entre F, P, b, x e h para o

início do tombamento do bloco.

____________),,,( =hxbPF

Fr

b

Pr

h x

horizontal


d) Faça uma análise dimensional da equação encontrada para verificar a

compatibilidade da relação entre as grandezas.

e) Verifique, experimentalmente, a relação anterior para dois valores

diferentes de x.

x (cm) Fcalculada (N) Fmedida (N)

Parte 2: Ponte Rolante

a) Coloque uma régua graduada apoiada em duas balanças (ou pendurada em

dois sensores de força da calculadora TI-89), conforme a figura.

b) Meça a distância L entre os apoios e o peso P do corpo (balança).

cmL _________= gfP ______=

Pr

régua graduada

x ARr

BRr

L

balança balança


c) Determine as indicações das balanças RA e RB em função de x.

_______)( =xRA _______)( =xRB

d) Zere as balanças com a régua apoiada nas mesmas (esse procedimento

despreza o peso da régua).

e) Verifique a relação anterior para os seguintes valores de x.

(cm) x

(gf) calc. R (gf) med. R

AR BR AR BR

0

4L

2L

L

f) Questão sugerida: Apóie uma régua sobre o dedo indicador de cada uma

de suas mãos posicionando-os nas extremidades da régua, como mostrado

na figura com as balanças. Ao tentar aproximar os dedos

vagarosamente, você perceberá que eles se encontrarão no centro de

massa da régua, ou seja, no meio dela. Tente explicar porque isso

acontece.

g) Analise os resultados encontrados e faça uma conclusão


Roteiro de Práticas de Física: Energia

Prática 1 de Física: Energia

Título: Lei de Hooke.

Todo corpo sob a ação de uma força (tração ou compressão) se deforma. O

mesmo ocorre com uma mola helicoidal sujeita a uma força na direção do

seu eixo. Se, ao cessar a atuação dessa força, a mola recuperar sua forma

original, diz-se que a deformação foi elástica. Em geral, existe um valor

limite da força a partir do qual acontece uma deformação permanente no

corpo. No limite elástico há uma relação linear entre a força aplicada e

a deformação.

Material e instrumentos: duas molas helicoidais, massas, suporte, régua,

calculadora TI-89.

Procedimento: siga as orientações do professor/instrutor.



a) Utilizando duas molas helicoidais, faça as montagens A, B, C e D:

Situação A: apenas a mola 1 tracionada.

Situação B: apenas a mola 2 tracionada.

Situação C: duas molas diferentes (1 e 2) associadas em série.

Situação D: duas molas diferentes (1 e 2) associadas em paralelo.

Situação C Situação D Situação A

k1

k2

k1

k1

Situação B

k2

k2


b) Meça a deformação de cada mola (ou conjunto de molas) e preencha o

quadro seguinte:

Obs.: x é a deformação da mola (variação do seu comprimento).

Ponto

Massa

Pendurada

(g)

Força

(N)

Situação A Situação B Situação C Situação D

x (cm) x (cm) x (cm) x (cm)

1 0 0 0 0 0 0

2 50 0,50

3 100 1,0

4 150 1,5

5 200 2,0

c) Utilize o quadriculado seguinte para fazer um esboço dos gráficos

Força (N) x Deformação (cm) referente à situação D.

Aproveite ao máximo a área disponível, escolhendo adequadamente as

escalas dos eixos vertical e horizontal.

F(N)

x(cm)


d) Usando o Microsoft Excel (ou a TI-89), encontre as equações das retas

(y = a.x + b) que melhor se ajustam aos cinco pontos medidos:

Situação A: y = _________.x + _________ ==> R² = ____________

Situação B: y = _________.x + _________ ==> R² = ____________

Situação C: y = _________.x + _________ ==> R² = ____________

Situação D: y = _________.x + _________ ==> R² = ____________

e) Baseando-se no resultado do item anterior, determine as constantes

elásticas das molas ou conjunto de molas. Atenção para a unidade.

Situação A: k1 = _________ N/m

Situação B: k2 = _________ N/m

Situação C: kC = _________ N/m

Situação D: kD = _________ N/m

f) Verifique se a constante elástica dos conjuntos apresentados nas

situações C e D atendem as relações matemáticas seguintes.

21

21.

kk

kkkC

+= (associação em série) _________=Ck

21 kkkD += (associação em paralelo) _________=Dk


1. O que acontece com o comprimento da mola se a carga for retirada?

2. Explique o comportamento do gráfico apresentado no item “c”.

3. O que acontece com a constante elástica de uma mola helicoidal se a

mesma for cortada ao meio, tendo seu comprimento reduzido à metade?

4. Faça a dedução das equações apresentadas no item “f”.




Título: Lei de Newton para o Resfriamento.

A Lei de Newton para o Resfriamento diz que a taxa de esfriamento ou

aquecimento de um corpo é aproximadamente proporcional à diferença de

temperatura entre o corpo e sua vizinhança, que possui temperatura

constante. Sobretudo, essa lei não é valida para grandes diferenças de

temperatura.

Em termos de equações, temos:

A

tk

A TeTTtT +−= − .

0 ).()(

−

−=

A

A

TT

TT

tk 0ln

1

Onde:

→)(tT temperatura do corpo no instante t.

→t tempo de aquecimento ou resfriamento.

→0T temperatura do corpo no instante inicial (zero).

→AT temperatura ambiente.

→k constante.

Material e instrumentos: sensor de temperatura da calculadora calculadora

TI-89 (ou termômetro), cronômetro, ebulidor, béquer (com água).


Procedimento:

Trabalhe com 3 (três) algarismos significativos (quando possível).

a) Aqueça a água (ou outro fluido ou corpo sólido qualquer) e verifique

se, ao esfriar, sua temperatura obedece a Lei de Newton para o

Resfriamento.

b) Utilizando o sensor de temperatura da TI-89 (ou termômetro), meça a

temperatura ambiente.

CTA °= _________

c) Meça o tempo (com um cronômetro) e a temperatura do corpo sólido ou

do fluido (sensor de temperatura da TI-89). Anote os valores na 2a

coluna da tabela seguinte.

tempo (min) T medida (°C) T calculada (°C)

0 T0 =

0,5

1

2

5

10

20

CT °= _________0


d) Considerando o tempo de 5 minutos, calcule a constante k.

min_______=t CT °= ________0 CTA °= _______ CT °= _______

−

−=

A

A

TT

TT

tk 0ln

1

__________=k

e) Qual a unidade da constante k? Explique.

Represente a constante k (no item anterior) com sua unidade.

f) Preencha a 3a coluna da tabela apresentada no item “c”.

g) Utilizando o Microsoft Excel, represente, em um só gráfico, as curvas

da temperatura medida e calculada do corpo (ou fluido) em função do

tempo. Encontre as equações que melhor se ajustam aos pontos medidos.

h) Faça a dedução das fórmulas relacionadas com a Lei de Newton para o

Resfriamento. Siga as orientações do professor/instrutor.

i) Explique em que circunstâncias ocorreu a experiência (qual foi o

corpo ou o fluido utilizado, se foi feito algo para acelerar ou

retardar o resfriamento ou aquecimento etc).

j) Sugestão adicional de prática: aqueça o termômetro e deixe-o resfriar

no ar, fazendo as mesmas medidas e verificações constantes neste

roteiro. Aqueça novamente o termômetro, mas agora deixe-o resfriar

imerso em água. Perceba a diferença de condutividade térmica entre a

água e o ar.

k) Analise todos os resultados encontrados e faça uma conclusão.



Título: Conservação de Energia.




Material e instrumentos: suporte, esfera, barbante, régua, balança,

cronômetro (com sensor), trilho de ar.

Parte 1: Pêndulo simples.

kgm ______=

mh ______=

Observação: considere a altura do ponto B como referência para

energia potencial gravitacional nula.

a) Calcule a energia mecânica do corpo em A:

hgmEAM ..= jE

AM ______=

b) Determine a velocidade do corpo ao passar por B:

Obs.: dB = distância entre os sensores do cronômetro instalado em B.

B

BB

t

dv = mdB ________= stB ________= smvB /______=

c) Calcule a energia mecânica do corpo em B:

2.2

1vmE

BM = jEBM ______=

A

B

h


Parte 2: Trilho de ar.

kgmA ______=

kgmB ______=

mh ______=

Observação: considere o piso do laboratório como referência para energia

potencial gravitacional nula.

a) Calcule a energia mecânica inicial do sistema formado por A e B:

jEinicialM _______=

b) Meça o tempo gasto para o bloco A passar pelos sensores do cronômetro

e calcule a velocidade dos blocos após percorrerem a distância h:

Obs.: dC = distância entre os sensores do cronômetro instalado em C.

C

Cfinal

t

dv = mdC _____= stC ______= smv final /_____=

c) Calcule a energia mecânica final do sistema formado por A e B:

jEfinalM _______=


1. Explique se houve conservação de energia mecânica no pêndulo simples

e no trilho de ar.




Título: Energia Rotacional e Momento de Inércia.

Observações: Siga as orientações do professor/instrutor.



Desconsidere a força de resistência do ar.

O momento de inércia mínimo da esfera é: 2.

5

2RmI =

Introdução:

Neste experimento será estudado o movimento de translação e de rotação

combinados. Este tipo de movimento, chamado de rolamento, é muito comum

no dia-a-dia, como, por exemplo, na roda de um carro em movimento.

Objetos em rolamento possuem dois tipos de energia cinética: energia

cinética de translação, devido ao seu movimento linear e energia cinética

de rotação, devido ao seu movimento rotacional.

Um objeto em rotação possui uma inércia rotacional conhecida como momento

de inércia. Assim como um corpo de maior massa possui maior dificuldade

para entrar em movimento linear, um objeto com maior momento de inércia

possui maior dificuldade para entrar em rotação.

O momento de inércia de um objeto depende de sua massa e de como esta

massa está distribuída ao longo de seu eixo de rotação. Ele pode ser

expressado pela equação:

2.. RmI β=

onde I é o momento de inércia, β é uma parâmetro que depende da

distribuição da massa no corpo, m é a massa e R é a distância ao eixo de

rotação.

Assim, quanto mais afastada a massa estiver do eixo de rotação, maior

será o momento de inércia do objeto e, portanto, mais difícil será para

ele rotacionar.

Objetivo:

Esta prática consiste em estudar a conservação da energia mecânica de uma

esfera maciça abandonada em uma calha inclinada, considerando sua energia

cinética de rotação.

Material e instrumentos: calha, esfera maciça, balança, paquímetro,

cronômetro (com sensor), régua (ou trena).


a) Faça a seguinte montagem:

b) Realize as medidas seguintes:

Massa da esfera: kgm _________=

Diâmetro da esfera: m_________=φ

Distância entre os sensores do cronômetro: md _________=

c) Abandone a esfera na calha ( cmh 15±= ) e meça o tempo gasto para a

esfera passar entre os sensores do cronômetro.

Atenção: h é a diferença entre a altura da esfera ao ser abandonada e ao

passar pelo cronômetro.

mh _________= st __________=

d) Determine a velocidade da esfera ao passar pelo cronômetro.

Atenção: d é a distância entre os sensores do cronômetro. Não é a altura!

t

dv = smv /__________=

e) Utilizando o Princípio da Conservação da Energia, encontre a equação

que relaciona a velocidade, v, com a altura, h. Mostre a dedução.

________________)( =hv


1) Atua força de atrito na esfera durante seu movimento? Explique.

2) Verifique se o resultado obtido no item “d” atende a equação

encontrada no item “e”.

3) Qual a velocidade angular (ω ) da esfera ao passar pelo cronômetro.

4) O que acontece com a velocidade, v, se substituirmos a esfera por

outra esfera de massa e diâmetro diferentes? Verifique

experimentalmente. Explique.

calha

esfera

calha

esfera


Roteiro de Práticas de Física: Eletromagnetismo

Prática 1 de Física: Eletromagnetismo

Título: Resistência Elétrica de um Condutor.

Muito cuidado com os aparelhos e instrumentos.

Só ligue o circuito após o professor/instrutor conferir.

Quando necessário, use potência de dez, inclusive nos gráficos.

Introdução:

Neste experimento será estudada a resistência elétrica de um condutor.

Resistência elétrica é uma propriedade que indica a capacidade de um

material resistir à passagem de corrente elétrica. Quando um condutor

possui uma resistência muito alta, ele é chamado de resistor.

A resistência (R) de um fio pode ser expressa pela equação:

A

LR .ρ=

o que mostra que ela depende de fatores como o comprimento do fio (L), a

área da seção transversal (A) e a resistividade (ρ). A resistividade é

uma grandeza que depende das características microscópicas do material de

que é feito o fio. Ou seja, um fio pode ter diferentes resistências

devido a variações em seu formato, porém, possuir a mesma resistividade.

Objetivo:

Determinar a resistividade de um condutor e verificar a relação da

resistência elétrica com o comprimento e a área da seção reta.


Painel de resistores DiasBlanco, multímetro, fios e paquímetro.

Procedimentos:

a) Siga as instruções do professor/instrutor.

b) Utilizando o painel DiasBlanco e o multímetro (como ohmímetro),

preencha a seguinte tabela.


Condutor Comprimento L

(m)

Resistência R

(ΩΩΩΩ)

Razão R/L

1 0 0 -

1 0,25

1 0,50

1 0,75

1 1,0

c) Usando o Microsoft Excel, desenhe (e anexe) o gráfico R x L (observe

a ordem das grandezas) e encontre a equação polinomial que melhor se

ajusta aos pontos medidos (item “a”).

____________)( =LR

________2 =R

d) Considerando todos os condutores com o comprimento igual a 1,0m,

preencha a seguinte tabela.

Número do

Condutor

Diâmetro (mm)

Área da seção transversal

(m²)

Resistência R

(ΩΩΩΩ)

Produto R.A

1

2

3

4

5

e) Como as grandezas R (resistência ôhmica) e A (área da secção reta)

estão relacionadas?

R (Ω)

(m/s)

L (m)


f) Usando o Microsoft Excel, desenhe (e anexe) o gráfico R x A (observe

a ordem das grandezas) e encontre a equação (tipo potência) que

melhor se ajusta aos pontos medidos (item “d”).

____________)( =AR

________2 =R

g) Explique o comportamento dos gráficos e o significado físico das

constantes ou coeficientes encontrados nas equações.

h) Determine o valor da resistividade de cada um dos resistores. Tente

identificar os materiais que constituem os resistores.


R (Ω)

A (m²)



Título: Lei de Ohm.



Quando necessário, use potência de dez, inclusive nos gráficos.

Introducão:

Um resistor elétrico pode ser classificado como ôhmico ou não ôhmico.

Resistor ôhmico é aquele que obedece à Lei de Ohm, segundo a qual a

corrente elétrica em um resistor é diretamente proporcional à tensão

elétrica aplicada nele. Nessa situação, a relação entre a tensão V e a

corrente I é constante para qualquer valor de V aplicado. Dito de outra

forma, isso significa que a resistência elétrica do resistor terá sempre

o mesmo valor independente da tensão aplicada. Em um resistor não ôhmico

a resistência elétrica varia com a tensão, não obedecendo, assim, a Lei

de Ohm.

Objetivo:

Estudar o comportamento de um resistor buscando verificar sua relação com

a Lei de Ohm.


Resistor, multímetro, fios e fonte de alimentação.

Procedimento:

a) Seguindo as instruções do professor/instrutor, monte um circuito

simples para verificar se o resistor é ôhmico.

b) Utilizando o multímietro, verifique se a tensão fornecida pela fonte

está correta.

c) Meça a corrente elétrica no circuito e preencha o quadro seguinte.

Voltagem V) Corrente (A) 0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0


d) Usando o Microsoft Excel, esboce o gráfico V x i e encontre a equação

que melhor se ajusta aos pontos medidos.

Equação:

____________)( =iV

Coeficiente de correlação:

_______2 =R

e) Explique se o resistor é ôhmico ou não-ôhmico.

f) Determine a resistência elétrica do resistor.

Ω= ___________R

g) Analise os resultados encontrados e faça uma conclusão.



Título: Circuito Elétrico (Regras de Kirchhoff).




Resistores, protoboard, multímetro, fios e fonte de alimentação.

Regras de Kirchhoff

a) Regra da Malha: A soma das diferenças de potencial encontradas em um percurso completo ao

longo de qualquer malha fechada em um circuito é zero.

b) Regra do Nó: A soma das correntes que dirigem para um ponto da ramificação é igual à

soma das correntes que partem do mesmo ponto de ramificação.

Procedimento:

a) Monte o seguinte circuito e determine os valores das grandezas:

VV __________1 =

VV __________2 =

Ω= __________1R

Ω= __________2R

Ω= __________3R

1V 2V

1R 2R

3R

1V 2V

1R 2R

3R


b) Meça os valores das correntes elétricas i1, i2 e i3 que passam nos

resistores R1, R2 e R3, respectivamente:

Ai _______1 =

Ai _______2 =

Ai _______3 =

c) Utilizando as Regras de Kirchhoff, determine os valores e os sentidos

das correntes elétricas i1, i2 e i3:

Ai _______1 = sentido: ____________________

Ai _______2 = sentido: ____________________

Ai _______3 = sentido: ____________________

d) Compare os resultados obtidos em “b” e “c”, inclusive os sentidos das

correntes.




Título: Carga e Descarga de um Capacitor.



CAPACITOR

Um capacitor é um sistema constituído por dois condutores separados por

um isolante (ou imersos no vácuo). Em quase todas as aplicações práticas,

cada condutor possui inicialmente carga líquida igual a zero e há

transferência de elétrons de um condutor para o outro; dizemos, nesse

caso, que o capacitor está sendo carregado.

No equilíbrio, os dois condutores possuem cargas de mesmo módulo, mas de

sinais contrários e a carga líquida do capacitor como um todo permanece

igual a zero. Sobretudo, quando afirmamos que um capacitor possui uma

carga Q, queremos dizer que um condutor possui carga +Q e o outro possui

carga -Q.

Um método comum de se carregar um capacitor consiste em conectar esses

dois fios aos terminais opostos de uma bateria. Isso fornece uma

diferença de potencial fixa V entre os condutores.

A razão entre a carga e a diferença de potencial em um capacitor é

chamada de capacitância:

V

QC =

ou VCQ .=

Q – carga (Coulomb), V – voltagem (volts), C – capacitância (Farad)

A capacitância C é a medida da capacidade de armazenar energia em um dado

capacitor. Ela depende da forma e do tamanho de cada condutor e da

natureza do material isolante que existe entre os condutores.

Durante o processo de descarga, a voltagem entre os pólos do capacitor

segue o seguinte modelo:

RC

t

o eVtV−

= .)(


Onde:

V(t) = voltagem no instante t (V);

Vo = voltagem no instante inicial (V);

t = tempo de descarga (s);

R = resistência (Ω );

C = capacitância (F);

R.C = constante de tempo (s).


Fonte de alimentação, resistor, capacitor, protoboard, fios e calculadora

TI com sensor de tensão.

Procedimento:

a) Carregue o capacitor utilizando o circuito apresentado a seguir.

b) Anote os valores nominais da resistência R e da capacitância C:

Ω= ________R FC ________=

c) Determine a constante de tempo nominal (R.C) para o circuito:

sCR _______. =

d) Ao descarregar o capacitor, registre na calculadora TI-89 a voltagem

(V) no capacitor em função do tempo (t).

e) Utilizando a calculadora TI-89, determine a equação da voltagem (V)

em função do tempo (t):

_____________)( =tV

f) Determine a constante de tempo para o circuito:

sCR _______. =

g) Compare os resultados encontrados em “c” e “f”.

h) Analise todos os resultados e faça uma conclusão da prática.


Roteiro de Práticas de Física: Ondas e Ótica

Prática 1 de Física: Ondas e Ótica

Título: Oscilações - MHS: Sistema Massa-Mola.



Material e instrumentos: suporte, mola, balança, massas, cronômetro,

calculadora TI-89 com sensores de força e de movimento.

a) Utilizando uma balança, meça a massa do corpo:

kgm _________=

b) Monte um sistema massa-mola (oscilando verticalmente). Utilize os

sensores de força e de movimento da calculadora TI-89.

c) Meça o tempo de 10 oscilações e determine o período T do movimento:

sT __________10 = sT __________=

d) Repita o procedimento anterior para uma amplitude diferente.

sT __________10 = sT __________=


e) Calcule o valor da constante elástica k da mola:

2.48,392T

mk

k

mT =→= π mNk /__________=

f) Com o sistema oscilando, registre, na calculadora TI-89, a força na

mola (sensor de força) e a posição (sensor de movimento) do corpo.

g) Faça um esboço dos gráficos força x tempo e posição x tempo.

h) Determine, graficamente (na TI-89), o período do sistema massa-mola.

sT __________=


1) O que acontece com o período do movimento à medida que o tempo

passa?

2) O movimento do corpo pode ser considerado amortecido? Por quê?

3) Compare os resultados obtidos em “c” e “d”. Explique.

4) Compare os resultados obtidos em “c” e “h”. Explique.

5) Analise os gráficos, mostrando a relação entre os mesmos.

6) Faça uma conclusão.

F (N )

t (s)

x (cm)

t (s)


Prática 2 de Física: Ondas e Ótica

Título: Oscilações – MHS: Pêndulo Físico.


Considere g = 9,78 m/s2.

Use três algarismos significativos, quando possível.

Barra homogênea de massa m e comprimento L: 12

.2

.

LmImín =

Material e instrumentos: suporte, balança, barra homogênea, cronômetro.

a) Meça a massa e o comprimento da barra homogênea.

kgm _______= mL _______=

b) Articule uma barra homogênea de massa m e comprimento L em uma das

extremidades (veja a figura).

c) Meça o tempo de 10 oscilações e determine o período do pêndulo:

sT __________10 = sT __________=

d) Repita o procedimento anterior para uma amplitude diferente.

sT __________10 = sT __________=

e) Determine, algebricamente, o período do pêndulo em função do

comprimento do fio L: (demonstre)

__________)( =LT

L



1) Compare os resultados obtidos em “c” e “d”. Explique.

2) Compare os resultados obtidos em “c” e “e”. Explique.

3) A massa da barra influencia no período do pêndulo? Por quê?

4) O movimento da barra pode ser considerado amortecido? Por quê?

5) Explique o que acontece com o período à medida que o tempo passa.

6) Qual seria o valor do período do pêndulo simples se tivéssemos uma

esfera de massa m presa em um fio de comprimento L?

7) Faça uma conclusão do experimento.


Referências Bibliográficas

Apostilas diversas do Departamento de Física da UFMG, 2004.

SOARES, C. H. Notas de Aula: Física I, II, III. Belo Horizonte: Faculdade Pitágoras, 2009.

GASTINEAU, J.; et al. Physics With Calculators. Beaverton: Vernier & Tecnology, 2000.

TIPLER, P. A. Física para Cientistas e Engenheiros. Volumes 1 e 2, 4ª ed. RJ: LTC, 2006.

HEWITT, P. G. Física Conceitual. 9ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER. Fundamentos de Física. Vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I, II e III. São Paulo: Pearson, Addison Wesley, 2008. SERWAY, R. A.; JR., J. W. J. Princípios de Física: Mecânica Clássica, Vol. 1. São Paulo: Thomson Learning, 2004.

INTERNET:

Fisica.net: www.fisica.net

Sociedade Brasileira de Física: www.sbfisica.org.br

Sala de Física: www.saladefisica.com.br

Estude Física: www.estudefisica.com.br

Universidade Federal de Minas Gerais: www.fisica.ufmg.br

Universidade Federal de Juiz de Fora: www.fisica.ufjf.br

Universidade de São Paulo: www.if.usp.br

Universidade Federal do Rio Grande do Sul: www.if.ufrgs.br

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Apostila - Laboratorio de Fisica