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Logaritmos Você deve ter estudado os tópicos "Aritmética Básica " e "Exponenciais" antes de começar por aqui. Este tópico vem após exponenciais pois é usado como a "volta" da exponencial. Veja só: Sabemos que 5 elevado à potência 2, resulta 25, agora mudamos o contexto e vou fazer uma pergunta: - Qual o número (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25?

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Logaritmos

Voc deve ter estudado os tpicos "Aritmtica Bsica" e "Exponenciais"antes de comear por aqui.Este tpico vem aps exponenciais pois usado como a "volta" da exponencial. Veja s:Sabemos que 5 elevado potncia 2, resulta 25, agora mudamos o contexto e vou fazer uma pergunta:- Qual o nmero (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25?Voc deve estar pensando:-Mas isso eu resolvo com exponenciais!!!Sim, porque essa bem fcil, as difceis no saem to simples assim. Vamos comear de baixo.O logaritmo serve para isso!Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma:

Onde"x" o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25.Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, potncia 2) para obtermos 25, chegamos concluso que o logaritmo de 25 na base 5 2:

Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver:

No exemplo anterior,, temos ento que abase 5, ologaritmando 25e ologaritmo de 25 na base 5 2.Note que, anteriormente, dissemos que"x" o expoente de"b", e na figura acima est escrito que "x" o "logaritmo". Isso acontece pois oLOGARITMO UM EXPOENTE.Agora, com esta breve introduo, podemos escrever uma primeira defino de logaritmo (hei, ainda no a oficial, mas o que temos at agora):Logaritmo de um nmeroN, na baseb, o nmeroxao qual devemos elevar a basebpara obtermosN.

Esta a apenas uma definio, voc deve ter entendido bem o que est escrito acima dela para ir ao prximo captulo de estudo.Veremos quais as condies que a base, o logaritmando e o logaritmo devem satisfazer para termos um logaritmo.No podemos sair escrevendo logaritmo de qualquer nmero em qualquer base. Existem algumas regras para que o logaritmo exista, so as:condies de existncia dos logaritmos.Para mostrar quais so estas condies, vou dar umEXEMPLO ERRADOpara cada restrio existente, para que voc veja o absurdo que seria se elas no existissem.Veja primeiro o exemplo abaixo:Ex. 1: Quanto vale?Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o nmero 4 para obtermos -16. Voc viu no captulo de potenciao que no h valor para este expoente. Chegamos ento a um absurdo.Por causa deste tipo de absurdo, h uma restrio quanto ao sinal do logaritmando:PRIMEIRA CONDIO DE EXISTNCIA (logaritmando):O logaritmando deve ser um nmero positivo.Veja que esta primeira restrio j inclui o fato de que o logaritmando deve ser diferente de ZERO. Duvida? Experimente encontrar o logaritmo de ZERO na base 3(log30).

Veja o prximo exemplo errado para ilustrar a prxima restrio:Ex. 2: Quanto vale?Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o nmero -4 para obtermos 4. Novamente chegamos em um absurdo, no h expoente que faa isso.Ainda olhando para a base:Ex. 3: Calcule.Queremos saber qual o expoente que devemos elevar a base 1 para obtermos 4. Como visto no captulo de potenciao, a base 1 elevada a qualquer expoente resulta 1, ou seja, no existe expoente para a base 1 que resulte 4. Absurdo!Ex. 4: Calcule.Traduzindo, qual o expoente que devemos elevar a base 0 para obtermos 4. Absurdo!Com estes trs exemplos sobre a base do logaritmo, chegamos na segunda condio de existncia.SEGUNDA CONDIO DE EXISTNCIA (base):A base deve ser um nmero positivo diferente de 1.Note que dito que a base deve ser um nmero positivo, ou seja, no pode ser ZERO tambm.

Portanto, resumindo as trs condies em um quadro s:CONDIES DE EXISTNCIA

logbN = x1N > 0

2b > 0

3b 1

T, e voc deve estar se perguntanto: Como que isso cai no vestibular? Uma maneira muito comum de cair a questo perguntar odomnio de uma funo com logaritmos.Lembrando que domnio o conjunto dos nmeros para os quais a funo existe, devemos apenas aplicar as condies de existncia no logaritmo para encontrar seu domnio. Veja os exemplos abaixo:

1)Qual o domnio da funo real definida por?Vemos que a base j est definida, vale 5. Portanto, no devemos aplicar a condio de existncia na base, somente no logaritmando.arrumando termos,as razes da funo do segundo grau so 2 e 3 e o grfico tem concavidade para baixo. Desenhando a parbola:

Portanto, os valores nos quais a parbola retorna valores positivos esto no intervalo entre 2 e 3. Este ser o domnio:Domnio =

Com a idia bsica vista nos dois captulos anteriores podemos dar mais um passo. Agora sim em direo a uma matria que j pode ser cobrada no vestibular (ah, mas mesmo a matria anterior no sendo cobrada diretamente, necessrio sab-la para compreender esta aqui e as posteriores).Lembrando que o logaritmo um expoente, podemos enunciar a equivalncia fundamental dos logaritmos:EQUIVALNCIA FUNDAMENTAL

Note que temos, na expresso acima, exatamente as duas maneiras de mostrar a pergunta feita no incio do estudo de logaritmos: "Qual o expoentexque devemos elevar a basebpara resultarN".

Esta equivalncia muito importante, pois muitos exerccios sobre logaritmos necessitam dela para sua resoluo. Veja, que, a flecha indicada nessa propriedade est nos dois sentidos, ou seja, voc pode transformar logaritmo em exponencial e exponencial em logaritmos.Vamos dar um exemplo de cada:

Ex. 1 - Qual o logaritmo de 216 na base 6?Em outras palavras, podemos escrever esta pergunta como:

Ondex o valor procurado, ou seja, o logaritmo elucidado no enunciado.Agora, para resolver, aplicamos a equivalncia fundamental:

Camos em uma exponencial, para resolver devemos igualar as bases (como visto na lio anterior). Fatorando o.Cortando as basesPortanto,log6216 = 3

Ex. 2 - Qual o valor de "x" na equao?Estamos perguntando: "Qual o expoente x que devemos elevar a base 5 para resultar 6 ?". Aplicando a "volta" da equivalncia fundamental podemos escrever esta igualdade como sendo:

Este o valor de x

Ex. 2 (UFRGS) A forma exponencial da igualdade:(A)(B)(C)(D)(E)Esta s aplicar a equivalncia fundamental.

Resposta correta, letra "B".

Veja agora alguns exemplos de aplicao da equivalncia fundamental:Este o logaritmo que queremos saber. Primeiro de tudo devemos igualar a "x".

Agora s usar a equivalncia fundamental

Camos em uma equao exponencial. Vamos fatorar!

Bases igualada s cortar.

Esta a resposta:

Mais um exemplo:Sempre, o que devemos fazer primeiro igualar a "x".

Aplicando a equivalncia fundamental.

Esta uma exponencial. Fatorando.

Cortando as bases

Esta a resposta:

Mais um exemplo nunca demais:Igualando a "x".

Aplicando a equivalncia fundamental.

Agora para facilitar o clculo, vamos transformar o nmero decimal em frao e fatorar o que der.

Aplicando as propriedades de potenciao.

Cortando as bases.

Esta a resposta:

Esta a tcnica para se calcular o valor do logaritmo de algum nmero em uma base definida. Na prxima pgina h alguns exerccios para voc resolver e comparar com a nossa resoluo.Veja no prximo tpico as propriedades fundamentais de logaritmo para clculo de equaes.1) Calcule o valor dos seguintes logaritmos:a)b)

c)d)

e)f)

g)h)

a)Igualando a "x"

aplicando a equivalncia fundamental

Igualando as bases (utilizando base 2)

Aplicando as propriedades de potncias

Corta-se as bases

Isolando x

Simplificando

Esta a resposta!!

c)Igualamos a "x"

Aplicamos a equivalncia fundamental

Pra facilitar o clculo, vamos transformar a frao

Agora, transformar em potncia

Aplicamos a propriedade de diviso de potncias de bases diferentes

Simplificamos a funo

Novamente, propriedades de potenciao

Corta-se as bases,

Esta a resposta final.

d)Igualando a "x"

aplicando a equivalncia fundamental

Vamos aplicar algumas propriedades de potncias e Igualar as bases (utilizando base 7)

Aplicando as propriedades de potncias

Corta-se as bases

Isolando x

Esta a resposta!!!

2) Calcule o valor da incgnita"N"em cada exerccio, aplicando a equivalncia fundamental:a)b)c)d)

a)Neste tipo de exerccio no necessrio igualar a "x", pois j h uma igualdade, vamos direto aplicar a equivalncia fundamental.

Pronto, j temos a resposta, agora s desenvolver a potncia 3.

Esta a resposta!!! :)

d)Novamente, vamos direto aplicar a equivalncia fundamental.

Pronto, j temos a resposta, agora s desenvolver a potncia 2.

Resposta final.

3) Calcule o valor da incgnita"a"em cada exerccio, aplicando a equivalncia fundamental:a)b)c)d)

a)Este exerccio tambm no precisa igualar a "x", pois tamb j existe uma igualdade. Portanto, vamos direto aplicar a equivalncia fundamental.

Vamos fatorar o 81.

Podemos cortar os expoentes

Pronto, esta a resposta!

d)Este exerccio parece ser bem mais complicado, mas no se assuste! Resolve-se da mesma forma. Vamos direto aplicar a equivalncia fundamental.

Sabemos, pelas propriedades de potenciao, que ao elevar na potncia 1/2 estamos na verdade tirando a raiz quadrada, portanto:

Vamos aplicar as propriedades de radiciao e fatorar o 27:

Podemos cortar o 3 dos dois lados!

Esta a resposta!! :)))

4) O nmero real x, tal que, (A) (B) (C) (D) (E)Aplicamos a equivalncia fundamental:

Elevamos ambos os lados ao quadrado:

Resposta letra "A"

5) (PUCRS) Escrever, equivale a escrever (A) (B) (C) (D) (E)Note que inicialmente temos uma exponencial com bases iguais a "b", portanto, podemos cortar as bases e igualar os expoentes. Ficando com:

Agora vamos aplicar a equivalncia fundamental:

Aplicando as propriedades de potenciao:

Resposta certa, letra "A"

Considerando a definio do logaritmo e todas condies de existncia, existem alguma propriedades que os logaritmos sempre obedecem.1 Conseqncia:

A pergunta feita por este logaritmo, : Qual o expoente que devemos elevar a base"b"para obter 1? Como sabemos que qualquer nmero elevado ZERO um, ento o logaritmo de 1 em qualquer base ZERO tambm. Esta propriedade est provada.Utilizando a equivalncia fundamental para provar que resulta ZERO. Ento vamos igualar a x:Aplicamos a equivalncia fundamental

Agora devemos recordar que qualquer base elevada ZERO resulta 1.

2Conseqncia:

Qual o expoente que devemos elevar a base"b"para obtermos"b"? Se no houve modificao no nmero, ento o expoente 1.Novamente, com a equivalncia fundamental (agora um pouco mais sucinto):

3Conseqncia:

Qual o expoente devemos elevar a baseapara obtermosam? uma pergunta quase bvia, o expoente m.Equivalncia fundamental:

4Conseqncia:

Esta a mais importante das propriedades, e sua demonstrao no to trivial assim.Vou tentar mostrar com uma questo:Qual o valor de x na expresso.Vamos substituirpor "y". Com isso teremos:

Aplicando a volta da equivalncia fundamental:

Agora, substituindo o valor original de "y":

Com isso podemos cortar os logaritmos de base 5 dos dois lados da igualdade.

Assim, teremos a propriedade:4 Conseqncia

Ou seja, quando tivermos uma potncia, em forma de logaritmo com a mesma base desta potncia, podemos cortar.

5Conseqncia:

Trocando em midos, podemos dizer que, quando temos um logaritmo de cada lado da igualdade,ambos a mesma base, podemos "cortar" os logaritmos e igualar os logaritmandos.

A demonstrao comea aplicando a equivalncia fundamental. Chamamos:Aplicamos a equivalncia fundamental

Agora voltamos a substituio

Podemos ento aplicar a 4 propriedade

Como queramos demonstrar

Historicamente, o logaritmo foi inventado para facilitar os clculos na matemtica antiga, onde no existia calculadora.Ele traz a facilidade de transformar uma multiplicao em uma soma.Imagina voc, sem calculadora, tendo que fazer a multiplicao de dois nmeros grandes! No seria mais fcil som-los? Ou ter a posse de dois nmeros que, somados, do o mesmo resultado que o produto desejado?Pois , estas propriedades mostradas aqui servem pra isso.Essa facilidade (de transformar produto em soma) chamada de PROSTAFRESE.Veja as propriedades abaixo:1Propriedade:

Aqui temos a Prostafrese. Veja que do lado esquerdo da igualdade temos log de uma multiplicao, e na direita uma soma de logs.Para provar essa propriedade no to difcil. Tente acompanhar o raciocnio. Faz de conta que temos um nmeroxque a soma de dois logaritmos que esto na mesma baseb:Se temos esta igualdade, podemos colocar a mesma basebdos dois lados como potenciao:Agora a gente pode aplicar a propriedade de potenciao:E agora aplicar a 4 conseqncia, estudada no captulo anterior:E ficamos com:Agora aplicamos a equivalncia fundamental:e chegamos no valor que queramos demonstrar.

2 Propriedade:

Esta quase a mesma coisa que a anterior, mas em vez de multiplicao temos a diviso e no lugar da soma vira subtrao. A demonstrao extremamente parecida com a 1 propriedade. Tente demonstrar voc, siga os passos da anterior.

3 Propriedade:

Esta propriedade uma "extenso" da primeira. Veja o exemplo abaixo com o expoente 2:sabemos queagora aplicamos a primeira propriedade

Poderamos ter sado da primeira linha diretamente para a ltima, essa a facilidade de saber esta propriedade.Uma maneira de visualizar esta propriedade, e tentar decor-la mais facilmente, imaginando a figura abaixo:

Veja algumas aplicaes:(UFRGS) A raiz da equao(A) 6(B) 3,5(C)(D)(E)Comeamos aplicando a volta da equivalncia fundamental:

Agora vemos que esta resposta no est nas alternativas. Portanto, devemos fatorar o 12:

Aplicamos a 1 Propriedade Operatria

Mas osabemos que vale 2. Portanto:

Resposta correta, letra "E".

(UCS) See, entovale(A)(B)(C)(D)(E)Este tipo de questo clssico nos vestibulares do Brasil. Peguei este exemplo pois no possui muita dificuldade.Comeamos fatorando sempre o logaritmo pedido, neste caso o 12.

Agora devemos aplicar as propriedades operatrias:

E substitumos os valores dados no enunciado:2a+b, Resposta correta, letra "B".

1) (UCS) O valor de (A) (B) (C) (D) (E)Veja que esta uma aplicao direta da4 conseqncia da definio de logaritmospodemos cortar os termos:=Resposta letra "A"

2) (UFRGS) See, ento (A) (B) (C) (D) (E)Este tipo de questo comeamos fatorando o termo que estiver no logaritmando:

Agora podemos aplicar aspropriedades de radiciao:

Ento aspropriedades operatrias dos logaritmos:

Agora s substituir os valores dados no enunciado:

Resposta certa, letra "D".

3) (PUCRS) See, ento igual a (A) (B) (C) (D) (E)Agora a questo ao contrrio. Comeamos aplicando aspropriedades operatriasno logaritmo pedido:

Agora sim substituimos os valores dados no enunciado na expresso acima:

Resposta correta, letra "B".

4) (PUCRS) A soluo da equaopertence ao intervalo (A) (B) (C) (D) (E)Comeamos aplicando a4 conseqncia da definio de logaritmos:

Veja que x logaritmando na equao do enunciado. Respeitando as condies de existncia dos logaritmos, no podemos ter logaritmando negativo, ou seja, descartamos o valor.Resposta final, ou seja, est no intervalo da alternativa "D".

5) Dado, calcule o valor deem funo de P (A) (B) (C) (D) (E)Foi dado apenas uma informao, o valor de.Portanto, devemos moldar os valores no logaritmo que est sendo pedido em funo do nmero 5. Veja s, vamos fatorar o 200:

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

S que o problema agora descobrir o valor de. A que vem a mnha. Veja que podemos trocar o valor 2 como sendo

Sabemos quelog 10 = 1elog 5 = P, portanto,log 2 = 1 - P.Agora que sabemos o valor delog 2 = 1 - Pelog 5 = Ppodemos descobrir o valor delog 200.

Resposta correta, "D".

6) (CAJU) A soluo para o sistema de equaes:

(A) (7, 6) (B) (6, 7) (C) (9, 4) (D) (1, 12) (E) (0, 36)Devemos comear transformando a equao que envolve logaritmos em uma equao sem log.Aplicamos, no lado esquerdo, a propriedade operatria dos logaritmos:

Agora a5 conseqncia da definio de logaritmos:

Agora temos um sistema mais simples de ser resolvido:

Que pode ser resolvido isolando quase de cabea:

Alternativa correta, letra "C".

Em algumas questes, pode ser apresentado um logaritmo que possui uma base no muito boa para a resoluo da questo.Nestas situaes necessrio que troquemos a base do logaritmo!Neste captulo iremos aprender o que fazer para colocarmos qualquer base que quisermos no logaritmo da questo.A regra a seguinte:Mudana de Base

Ou seja, se tivermos um logaritmo na baseb, podemos transformar em uma frao de logaritmos em uma outra base qualquerc.a base nova "c", pode ser qualquer nmero quesatisfaa a condio de existncia da base, ou seja,c > 0 e c 1.

Por exemplo, seja o logaritmo de 45 na base 3:. Mudando para a base 7, teremos:. Poderamos ter colocado qualquer outra basecno lugar do 7.

Podemos provar essa propriedade partindo da frao. Vamos igualar a frao a x e encontrar o valor de x.

Vamos aplicar uma base c de potncia nos dois lados da igualdade:

Agora podemos aplicar a 4 conseqncia da definio no lado esquerdo e rescrever a potncia do lado direito:

E aplicar novamente a 4 conseqncia, agora no lado direito:

Com a equivalncia fundamental:

Que exatamente o valor que queramos chegar.

(UFRGS) Sabendo quee, ento o logaritmo de a na base b (A)(B)(C)(D)(E) dado o valor do logaritmo de a na base 10 e pedido o logaritmo de a na base b.Para adequar o pedido ao informado, vamos transformar opara a base 10.

Este valor encontrado possui termos que foram dados no enunciado, portanto, podemos substituir:

Esta propriedade de mudana de base gera algumas conseqncias legais de sabermos para resolver equaes envolvendo logaritmos.No prximo captulo voc ir aprender estas conseqncias.A mudana de base nos d mais algumas ferramentas para utilizar calculando expresses que envolvam logaritmos.1 Conseqncia:

Essa conseqncia diz que, ao invertermos um logaritmo, devemos trocar a base e o logaritmando de lugar. Por exemplo, o inverso de, e, por essa conseqncia, podemos escrever.A demonstrao desta propriedade atravs da mudana de base. Partimos dee efetuamos a mudana de base para a nova base b.

Mas, sabemos que, portanto:como queramos demonstrar.Veja como pode cair no vestibular esta propriedade atravs do exemplo abaixo:

(CAJU) Sendocalcule o valor de.Podemos rescrever a informaocomo sendoe aplicar a 3 Propriedade Operatria:

Veja que agora temos um logaritmo que exatamente o inverso do logaritmo pedido no enunciado. Portanto, podemos modificar a expresso acima para:

E agora isolar o valor solicitado no enunciado:

Esta a resposta final

2 Conseqncia:

Quando temos uma multiplicao de dois logaritmos em que um deles possui a base igual ao logaritmando do outro, podemos cortar estes dois e transformar em um logaritmo s.

A demonstrao tambm no difcil e s utiliza a troca de base. Partimos da multiplicao:

E trocamos os dois logaritmos para uma base comum qualquer. Pode ser qualquer uma. Vou escolher a basea, ou seja, trocamos as bases dos dois logaritmos para a basea(no caso, o primeiro logaritmo j est na base a, portanto, no precisamos mexer nele):

Agora os dois termospodem se cortar, e sobra:

Como queramos demonstrar.

Veja como pode cair no vestibular.(CAJU)Calcule o valor da expresso.Comeamos somente reagrupando os fatores de maneira a nos facilitar os cortes. Vamos colocar o quarto logaritmo do lado do segundo:

Agora veja que os fatores grifados acima podem ser unidos em um s ao cortar a base 5 do da esquerda com o logaritmando 5 do da direita:

Estes novos termos grifados acima podem ser unidos tambm ao cortar a base 7 com o logaritmando 7:

Estes dois logaritmos que sobraram podem ser unidos ao cortar a base 8:

Agora para descobrir o valor deste logaritmo, aplicamos a equivalncia fundamental:

Esta a resposta final do exerccio.

Agora que j estudamos todas propriedades dos logaritmos, podemos ver como aplic-las na resoluo de equaes logaritmicas.Equaes logaritmicasso quaisquer equaes que tenham a incgnita (normalmente x) dentro de um smbololog.Para resolver este tipo de equao no existe um mecanismo geral, algo que d pra dizer, aplique isso e voc acertar.Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resoluo de uma equao logaritmica, a seguinte:Todas as solues encontradas devem ser TESTADAS na equao ORIGINAL, afim de verificar as condies de existncia.As solues que no satisfizerem as condies de existncia, devem ser DESCARTADAS!

Portanto, para aprendermos a resolver equaes logaritmicas, vamos dar uma olhada em algumas questes chave de vestibulares passados.

01) O conjunto soluo da equao logaritmica:(A) {-1; 2}(B) {-2; 1}(C) {-2}(D) {1}(E) { }Comeamos aplicando apenas aequivalncia fundamental:

Agora s aplicar a frmula deBhaskara.

Chegando no valor de x devemos TESTAR AS SOLUES, como dito na nica regra de resoluo de equaes logaritmicas.Verificao, para:, OKpara:, OKPortanto, as duas respostas so vlidas. E a alternativa correta a letra "B"

2) O nmero real x que satisfaz a equao:(A)(B)(C)(D)(E)Aplicamos aequivalncia fundamental:

Agora camos em umaequao exponencial do tipo II. Efetuando a troca de variveis, temos:

AplicamosBhaskarae chegamos em:

Agora voltamos para x utilizando novamente a troca de variveis feita inicialmente:Absurdo!Aplicamos a equivalncia fundamental,

Agora devemos testar esta soluo na equao original do enunciado. Substituindo este valor de x na equao:

Aplicamos a4 conseqncia da definio do logaritmo:

Aplicamos a3 propriedade operatria, OK. vlida!Resposta correta, letra "E".

3) A equaotem duas razes reais. O produto dessas razes :(A)(B)(C)(D)(E)Esta equao j envolve um truquezinho, igual sequaes exponenciais do tipo II.Comeamos vendo que o9na equao pode virar3.

E aplicamos a3 propriedade operatria:

O pulo do gato vem agora. Devemos ver que os dois logaritmos envolvidos na equao acima so um o inverso do outro (1 consequncia da mudana de base).

Agora devemos mudar a varivel. Efetuamos a troca:

Podemos multiplicar ambos os lados por y, ou efetuar MMC, tanto faz. Chegamos em:

AplicamosBhaskarae chegamos em. Estes so os valores de y, o exerccio quer os valores de x. Portanto, utilizamos a troca inicial novamente:

para y=2:para y=-1:O produto destes dois valores (como pedido no enunciado) . Resposta, letra "E".

4) (UFRGS) A soluo da equaoest no intervalo:(A) [-2; -1](B) (-1; 0](C) (0; 1](D) (1; 2](E) (2; 3]Esta equao devemos apenas trazer todos os logs para o mesmo lado da igualdade e aplicar as propriedades operatrias:

Aplicamos a2 propriedade operatria dos logaritmos:

Aplicamos aequivalncia fundamental:

Agora testamos na equao original (do enunciado) para ver ascondies de existncia. Psara isso, substitumos o valor de x encontrado na equao do enunciado:

Neste momento no precisamos continuar, s o que devemos saber que, ao substituir o valor de x, no encontramos nenhuma falha nas condies de existncia dos logaritmos envolvidos. Portanto, a resposta mesmoEste valor encontra-se entre 0 e 1. Resposta correta, letra "C".

A representao grfica da funo logartmica deve ser gravada por todos.Vrias questes de vestibular exigem este conhecimento.A representao grfica de um logaritmo pode ser de duas formas. Veja os grficos abaixo mostrando as duas formas para a funo:

CRESCENTE

baseb > 1

DECRESCENTE

base0 < b < 1

Nestes grficos devemos observar, principalmente,duas propriedades. Note que os cortes no eixo x, em ambos os grficos, ocorre no ponto 1. Isso est de acordo com a1 Consequncia da Definio de logaritmos, que diz que logaritmo de 1 em qualquer base ZERO.E oeixo y uma assntota vertical, ou seja, a curva no toca o eixo y nunca, apenas vai chegando cada vez mais perto, sem tocar.Veja um exerccio do vestibular da UFRGS sobre este tema:

(UFRGS) A representao geomtrica que melhor representa o grfico da funo real de varivel real x, dada por, (A)(B)(C)

(D)(E)

O enunciado nos diz que o logaritmo pedido possui base igual a, ou seja, sendo um valor entre 0 e 1 s pode ser um logaritmo decrescente.Dentre as alternativas, somente as letras A e D so decrescentes, mas somente a alternativa A corta o eixo x no ponto 1.Resposta correta, letra A.

Devemos saber tambm que, quanto maior a base de um logaritmo, mais prximo de ambos os eixos estar seu grfico. Veja a figura ao lado.

(UFRGS) Na figura, a curva S representa o cunjunto soluo da equaoe a curva T, o conjunto soluo da equao. Tem-se(A) a < b < 1(B) 1 < b < a(C) 1 < a < b(D) b < a < 1(E) b < 1 < a

Os dois grficos representam logaritmos crescentes, ou seja, ambas as bases so maiores do que 1. Ficamos ento entre as alternativas B e C.Devemos ento saber qual a relao entreaeb. Como a curva S est mais prxima dos eixos x e y do que a curva T, ento sua base maior (a > b).Portanto, resposta correta, letra B.

Se, ao invs de termos uma igualdade entre dois logaritmos, tivermos um sinal de desigualdade (, , ) devemos nos atentar a algumas propriedades.Podemos efetuar todas as operaes que fazemos com igualdades.Em qualquer inequao, quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados por um nmero negativo, devemos inverter a desigualdade. Por exemplo, a inequao:1 - x < 0Podemos passar o 1 para o outro lado:

-x < -1Agora, devemos multiplicar a inequao por (-1). Com isso, invertemos a desigualdade

x > 1E com isso, chegamos ao intervalo da resposta.

Essa regra para todas inequaes.Para inequaes envolvendo logaritmos seguimos alguns passos:1 PassoAplicamos as condies de existncia em todos os logaritmos que possurem a incgnita em alguma de suas partes.Guardamos a intereseco destes intervalos encontrados.

2 PassoAplicamos as propriedades dos logaritmos a fim de tentar deixar apenas um logaritmo de cada lado da desigualdade.Ambos com a mesma base.

3 Passo"Cortamos" os logs dos dois lados, atentando-se para o fato de que se:base > 1Mantm-se a desigualdade

0 < base < 1Inverte-se a desigualdade

E guardamos tambm o intervalo encontrado.

4 PassoComputar a interseco dos intervalos encontrados nos passos 1 e 3.

Veja o exemplo abaixo:

(CAJU) Qual o intervalo soluo da inequao:1 Passo - Pegamos um por dos logaritmandos que possuam "x", e aplicamos as condies de existncia:

No prximo captulo voc encontra alguns exerccios para treinar o que aprendeu aqui.1) (PUCRS) O valor da expresso (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

2) (CAJU) Qual o valor de x na equao? (A) (B) (C) (D) (E)

1)Calcule: Log5625+Log100-Log327?Vamos calcular cada um dos logaritmos separadamente.OLog5625 o expoente da potncia de base5que resulta em625:

Podemos resolver aequao exponencialdecompondo625emfatores primos:

Ou seja,625=54, o que nos leva ao valor dex:

Pudemos calcular o valor dexdesta forma, pois a a base5 positiva e diferente de1. Se voc no se lembra disto, convm consultar o temaequao exponencialpara recordar esta matria.Ento4 oLog5625:

OLog100 o expoente da potncia de base10que resulta em100:

O valor dexagora bvio.Como sabemos, uma potncia de dez com expoente natural resulta em um nmero comeando pelo algarismo1seguido de tantos zeros quanto indicado por este expoente.Sabendo-se disto, se o nmero100possui2zeros aps o1, porque o expoente dapotnciade base dez igual a dois (102=100), isto ,x=2.Ento2 oLog100:

Por ltimo, oLog327 igual a3, pois este o expoente ao qual devemos elevar a base tambm3para obtermos27:

Se voc tem dvidas quanto a isto, tambm podedecompor o nmero 27 em fatores primoscomo fizemos com oLog5625.Realizando as substituies na expresso original temos:

Log5625+Log100-Log327=3.2)Considerando-se Log710=1,1833. Qual o Log770?Para a soluo deste problema vamos recorrer propriedade do logaritmo de um produto.Utilizaremos esta propriedade, pois atravs dela podemos montar uma outra expresso com dois logaritmos conhecidos. Um oLog710, obtido do enunciado e o outro oLog77que como sabemos igual a1. sabido que70 o produto de7por10. Ento temos que:

Atravs da propriedade do logaritmo de um produto podemos assim expressar oLog770:

OLog77=1pois:

Conforme o enunciado, oLog710=1,1833, ento substituindo tais valores na expresso, temos:

Log770=2,1833.3)Calcule o Log35 sabendo que o Log345=3,464974?Novamente, para solucionarmos este problema vamos recorrer a uma das propriedades dos logaritmos.OLog345 fornecido pelo enunciado. Precisamos de algum outro logaritmo fcil de calcular, que nos permita doLog345chegar aoLog35.Uma forma de partindo de45chegarmos a5, dividirmos45por9.Como podemos facilmente calcular oLog39, vamos recorrer propriedade do logaritmo de um quociente para solucionarmos esta questo.A partir do explicado acima podemos escrever que:

Ento, recorrendo propriedade do logaritmo de um quociente temos:

O, visto que3elevado aoquadrado igual a9:

Portanto, ao substituirmos os valores conhecidos chegamos ao resultado desejado:

Log35=1,464974.4)-1,494850 um logaritmo decimal na forma negativa. Qual a sua forma preparada?Obtemos a caracterstica subtraindo1da parte inteira (-1), resultando em-2e a escrevemos utilizando o trao sobre a mesma, sem o sinal de negativo:

A mantissa obtemos subtraindo de1o nmero formado por "0," seguido da parte decimal494850:

Logo a mantissa igual a505150.J que a caracterstica igual a2e a mantissa igual a505150, o logaritmo decimal na forma preparada igual a2,505150.Na forma preparada o logaritmo decimal 2,505150.5)Qual a forma negativa do logaritmo decimal1,511883?Vamos realizar a converso separando o nmero em duas partes.A primeira parte obtida somando-se1 caracterstica1(-1):

Para a segunda parte subtramos o0,511883, referente mantissa precedida de "0,", de1:

Concluindo subtramos as partes obtidas:

A forma negativa deste logaritmo decimal -0,488117.6)O logaritmo decimal de 0,2 igual a -0,698970 na sua forma negativa. Qual o logaritmo decimal de 200?J queLog0,2est na sua forma negativa, devemos primeiramente obter a sua mantissa, visto que ela no a parte decimal do logaritmo informado.J vimos que isto sempre acontece quando o logaritmando maior que0e menor que1e no caso deste exerccio o logaritmando igual a0,2.Para a obteno da mantissa doLog0,2, simplesmente vamos subtrair0,698970. Estamos considerando apenas os algarismos da parte decimal (698970) do logaritmo informado no enunciado, acrescentando o "0," na frente:

Portanto a mantissa doLog0,2 igual a301030.Visto que os logaritmos decimais de dois nmeros que diferem entre si somente pela posio da vrgula, possuem a mesma mantissa, ento ambos os logaritmos decimais de0,2e200possuem a mantissa301030. O que difere neles a caracterstica.Para obtermos a caracterstica doLog200, basta subtrairmos1do nmero de algarismos da parte inteira de200:

Com caracterstica igual a2e mantissa igual a301030, o logaritmo decimal de200 igual a2,301030.Log200=2,301030.7)Utilizando a tbua de logaritmos calcule a raiz quadrada de 961.Atribuindo varivelxa raiz quadrada de961, podemos escrever a seguinte equao:

Recorrendo a logaritmos chegamos a esta equao equivalente:

Agora vamos recorrer propriedade dos logaritmos que diz que para qualquer valor deMnatural, diferente de zero, o logaritmo daraizna baseb igual ao produto do inverso do ndiceMpelo logaritmo deN, tambm na baseb:

Aplicando a propriedade temos:

Chegamos ento seguinte equao:

Recorrendo tbua de logaritmos vamos obter olog961.Para isto vamos comear procurando pela mantissa dolog9,61que se encontra no cruzamento da linha96com a coluna1, que 982723.Na linha96se encontram as mantissas dos nmeros de trs algarismos de9,61a9,69, ou de961a969se voc preferir.A mantissa dolog961 igual a982723, j a sua caracterstica igual a2, visto que este o nmero de algarismos da sua parte inteira reduzida em uma unidade:

Portanto, olog961=2,982723.Desconsiderando-se os erros de arredondamento,2,982723 o expoente ao qual10deve ser elevado para obtermos961:

Voltando equao temos:

Note que o resultado foi arredondado em seis casas decimais, pois est o nmero de algarismos que estamos utilizando nas mantissas da tbua de logaritmos.Temos ento seguinte equao:

J vimos que oslogaritmos decimaiscom caracterstica igual a1so de nmeros maiores, ou iguais a10e menores que100.Ento a raiz quadrada de961encontra-se entre os nmeros10e100, mas que nmero ser este?Procuremos pela mantissa491362na tbua de logaritmos.Ela encontrada na linha31, coluna0.Isto quer dizer que nmeros como0,31;3,1;31e310, dentre outros, que diferemm entre si apenas pela posio da vrgula, possuem a mesma mantissa491362.Destes nmeros relacionados, apenas o nmero31situa-se entre os nmeros10e100, portanto31 a raiz quadrada de961.Apenas para que voc tenha noo disto, este procedimento todo se resume a isto:

A raiz quadrada de 961 31.8)A diferena entre dois nmeros positivos 4207,5 e a diferena entre os logaritmos decimais destes dois nmeros igual a 2. Que nmeros so estes?Vamos chamar deMo nmero maior e deNo nmero menor.O enunciado diz que:

Isto quer dizer que ambos os logaritmos possuem a mesma mantissa e sendo assim eles diferem entre si apenas pela posio da vrgula, significando que se dividirmos o nmero maior pelo nmero menor o resultado ser igual a102:

Atravs do enunciado tambm sabemos que:

Podemos ento montar o seguintesistema de equaes do primeiro grau com duas incgnitas:

Vamos isolar a varivelMda segunda equao:

Agora vamos substituir a varivelMda primeira equao:

Substituindo o valor da varivelNda primeira equao:

Os nmeros so 4250 e 42,5.9)Calcule o Log246 sabendo que o Log276=x que o Log274=y.Para a resoluo deste problema vamos partir do princpio que:

Esta a propriedade que nos permite realizar a mudana de base de um logaritmo.Recorrendo a ela temos:

Como oLog276=x, podemos realizar tal substituio na equao. Alm disto iremos aproveitar para escrever o logaritmando24, nodenominador da frao, como o produto de6por4:

Agora vamos recorrer propriedade do logaritmo de um produto:

J que oLog276=xe oLog274=y, vamos realizar estas substituies na equao:

Portanto:.10)Se o Log603=x que o Log606=y, qual o Log182?O objetivo desta questo escrevermos oLog182em funo dexey.Para alcanarmos tal objetivo faremos algumas operaes para que partindo doLog182, passemos pelosLog603e deLog606.Para comear vamos passar oLog182para a base60.Para isto vamos recorrer propriedade da mudana de base de um logaritmo:

Ento paraa=2,b=18ec=60, temos:

O logaritmando2, no numerador da frao pode ser escrito como a razo de6para3, assim como o logaritmando18, no denominador da frao pode ser escrito como produto de6por3. O motivo disto nos direcionarmos aos logaritmos no enunciado:

No numerador vamos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente e no denominador a propriedade do logaritmo de um produto, quando a sim, iremos obter os logaritmos no enunciado:

Pronto, agora chegamos a um ponto no qual s precisamos trocar oLog603e oLog606porxeyrespectivamente:

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