Apostila Matematica Cesgranrio - Apostila Completa Cesgranrio

Apostila de

Matemática

Contendo teoria e

117 questões gabaritadas

Apostila de Matemática

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Sumário

Capítulo 1- Divisão Proporcional

Divisão Proporcional............................................................................ 01

Testes de aprendizagem:..................................................................... 03

Gabarito............................................................................................... 04

Capítulo 2 - Regras de três

Regras de três ................................................................................... 07

Testes de aprendizagem:................................................................... 07

Gabarito ............................................................................................ 11

Mínimo múltiplo comum (MMC):..................................................... 11

Maximo divisor comum (MDC)......................................................... 12

Testes de Aprendizagem................................................................... 14

Gabarito............................................................................................ 16

Capítulo 3- Equação do 1º grau, equação do 2º grau e problemas

Equação do 1º grau.......................................................................... 17

Testes de aprendizagem................................................................... 18

Gabarito............................................................................................ 22

Equação do 2° grau........................................................................... 25

Testes de aprendizagem................................................................... 27

Gabarito............................................................................................ 29

Capítulo 4- Funções de 1° e 2° graus. Exponenciais e logaritmos

Função do 1°grau............................................................................ 30

Função do 2°grau............................................................................ 31

Função exponencial........................................................................ 35

Função logarítmica.......................................................................... 36

Capítulo 5- Progressão Aritmética e progressão geométrica



Progressão aritmética.................................................................... 38

Progressão Geométrica................................................................. 39

Testes de aprendizagem............................................................... 40

Gabarito........................................................................................ 41

Capítulo 6- Análise Combinatória e Probabilidade

Análise Combinatória.................................................................. 41

Probabilidade............................................................................... 48


Gabarito........................................................................................ 50

Capítulo 7- Matriz, Determinante, Sistema Linear

Teoria das Matrizes...................................................................... 50

Teoria dos Determinantes............................................................ 55

Testes de aprendizagem.............................................................. 60

Gabarito....................................................................................... 61

Capítulo 8- Sistema de Medida e Problemas

Medidas de comprimento.......................................................... 61

Medidas de Área......................................................................... 62

Medidas de Volume.................................................................... 62

Medida de capacidade................................................................ 62

Medidas de Massa....................................................................... 63

Testes de aprendizagem.............................................................. 63

Gabarito....................................................................................... 64

Capítulo 9- Juros Simples e compostos

Fator de aumento e de diminuição............................................... 64

Ganho ou perda real..................................................................... 64

Juros Simples................................................................................. 64



Juros Compostos........................................................................... 65


Gabarito........................................................................................ 70

Capítulo 10- Geometria Básica:Plana e Espacial

Geometria Plana......................................................................... 70

Geometria espacial..................................................................... 77



1

ATENÇÃO

Dúvidas sobre as questões constantes desta apostila favor entrar em contato para que possamos ajudá-lo;

Divisão proporcional e cálculos básicos

1. Divisão Proporcional

1.1. Grandezas diretamente proporcionais:

Duas grandezas são chamadas diretamente proporcionais quando,

aumentando-se ou diminuindo-se uma delas, a outra aumenta ou

diminui na mesma proporção.

Exemplo: Duas grandezas a e b foram divididas, respectivamente,

em partes diretamente proporcionais a 3 e 4 na razão 1,2. O valor

de ba 23 + é:

A) 6,0 B) 8,2 C) 8,4 D) 14,4 E) 20,4

SOLUÇÃO: 2,13

=a

6,332,1 =⋅=⇒ a 2,14

=b

8,442,1 =⋅=⇒ b

Para calcular o valor de ba 23 + , basta substituir a e b pelos valores

acima, logo, teremos: ( ) ( ) 4,206,98,108,426,3323 =+=⋅+⋅=+ ba

ALTERNATIVA: E

Quando for mencionado apenas grandezas Proporcionais, será

interpretado como Grandezas diretamente Proporcionais.

1.2. Grandezas inversamente Proporcionais: quando,

aumentando-se uma delas, a outra diminui na mesma proporção

ou, diminuindo-se uma delas, a outra aumenta na mesma

proporção

Exemplo: (FCC/TRT 5ª R/2003) Três funcionários, A, B e C, decidiram dividir entre si

a tarefa de conferir o preenchimento de 420 formulários. A divisão deverá ser feita na

razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no tribunal. Se A, B e C trabalham

no Tribunal há 3,5 e 6 anos, respectivamente, o numero de formulários que B deverá

conferir é

a)100 b)120 c)200 d)240 e)250

DICA PARA SOLUÇÃO:

Como o teste fala em divisão inversa, invertemos os tempos de trabalho: 6

1,

5

1,

3

1



2

Observar que 420 representa uma soma do total a ser preenchido pelos 3

funcionários.

Logo, iremos fazer a soma dos inversos dos tempos, ou seja:

10

7

30

21

30

5610

6

1

5

1

3

1==

++=++

Dividimos a soma pela soma, ou seja: 6007

10420

10

7420 =⋅=÷

Multiplicando-se 600 por 5

1que represente a parte de B obtemos para resultado 120.

Alternativa correta: B

1.3. Grandezas diretamente e inversamente Proporcionais ao

mesmo tempo: Multiplicam-se os valores das partes diretamente

proporcionais pelos inversos dos valores correspondentes as partes

inversamente proporcionais

Exemplo:

Dividir o número 246 em partes diretamente proporcionais aos números 2, 3, 5 e ao mesmo

tempo em partes inversamente proporcionais aos números �� , ��

SOLUÇÃO: Multiplicam-se 2, 3, 5 pelos inversos de �� , ��

2. 4 =8

3. 8 = 24

5. 10=50 Somando-se os produtos, teremos: 8 + 24 + 50 = 82

246 ÷ 82 = 3

Para obter-se o resultado, multiplica-se 3 por 8, 24 e 50, ou seja:

3. 8=24

2. 24=72

3.50=150 Resultados: 24, 72 e 150



3

Testes de aprendizagem:

1) (COSEAC/MDA/2009) Um lucro de R$ 360.000,00 foi calculado, após o término de uma

sociedade, e terá de ser dividido entre os três sócios, que tiveram as seguintes partições:

sócio A capital de R$20.000,00 e participação de 3 anos; sócio B capital de R$15.000,00 e

participação de 2 anos; sócio C capital de R$30.000,00 e participação de1 ano e meio. A

parte desse lucro que caberá ao sócio majoritário, nessa divisão, é de:

a)R$40.000,00 b)R$80.000,00 c)R$120.000,00 d)R$160.000,00 e)R$200.000,00

2) (Instituto Cidade/ Instituto de Botânica/2009) A sucessão (3,9, a) é diretamente

proporcional à sucessão (4, b, 16). Então podemos afirmar que:

a)a=2b b) a=b/2 c) a=b d) a-b=1

3)(NCE/INFRAERO/2004) Pedro gasta 1/5 de seu salário liquido com transporte e 3/10

com moradia. Ainda sobram R$ 243,00 para suas outras despesas. O salário líquido de

Pedro, em reais, é igual a:

a) 258,00 b)312,00 c)338,00 d)412,00 e) 486,00

4) (FCC/TRF 5ª R/2003) Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar 153

documentos e os dividiram entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 32 e 40

anos. O número de documentos catalogados pelo mais jovem foi

a)87 b)85 c)70 d)68 e)65

5) (Instituto cidades/ Instituto de Botânica/2009) Dividindo-se o número 204 em partes

diretamente proporcionais aos números 4 e ¼, a menor das partes será:

a)8 b)12 c)16 d)34

6) TRT/BA - Técnico Judiciário-2003.

Três funcionários, A, B e C, decidiram dividir entre si a tarefa de conferir o

preenchimento de 420 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus

respectivos tempos de serviço no Tribunal. Se A, B e C trabalham no Tribunal há 3, 5 e 6

anos, respectivamente, o número de formulários que B deverá conferir é

a)100 b)120 c)200 d)240 e)250



4

7)TRT/ES- Técnica Judiciário-2004

Certo dia, dois técnicos judiciários protocolaram todos os documentos de um lote. Eles

dividiram o total de documentos entre si na razão inversa se seus respectivos tempos

de serviço na repartição: 6 anos e 14 anos. Se o que trabalha há 6 anos protocolou 42

documentos, o total existente inicialmente no lote era

a)60. b)78. c)82. d)96. e)140.

8)TRT/RS- Técnico Judiciário-2006

Uma certa mistura contém álcool e gasolina na razão de 1 para 5,

respectivamente.Quantos centímetros cúbicos de gasolina há em 162 litros dessa

mistura?

a)135.000 b)32.400 c)1.350. d)324. e)135.

9)TRT/PE- Auxiliar Judiciário-2006.

Certo dia, três auxiliares judiciários protocolaram 153 documentos e, curiosamente, foi

observado que as quantidades que cada um havia protocolado eram inversamente

proporcionais às suas respectivas idades. Se um deles tinha 24 anos, o outro 30 anos e

o terceiro, 32 anos, então o número de documentos protocolados pelo mais velho era

a)35. b)42. c)45. d)52. e)60

10) TRE/PE- Técnico Judiciário-2004

Certo dia, um técnico judiciário constatou que, de cada 8 pessoas que atendera, 5 eram

do sexo feminino. Se, nesse dia, ele atendeu a 96 pessoas, quantas eram do sexo

masculino?

a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38

GABARITO

1-D 2-C 3-E 4 - B 5 - B 6 - B 7 - A 8-A 9-C 10-D

Divisibilidade

Através da divisibilidade podemos verificar se um número é divisível

por outro sem necessidade de efetuarmos os cálculos

Divisibilidade por 2: Um número natural é divisível por 2 quando

ele for par.

Ex: 2008, 120, 13564 são pares,logo, divisível por 2.



5

Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 quando a soma

dos valores absolutos dos algarismos que formam o número for

divisível por 3.

Ex: 2142 é divisível por 3, pois 2 + 1 + 4 + 2 = 9, que é divisível por 3.

Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quando termina

em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos

da direita for divisível por 4.

ex: 4600 termina em 00 e 3916 termina em 16, logo, são divisíveis

por 4

Divisibilidade por 5: um número natural é divisível por 5 quando ele

termina em 0 ou 5.

ex: 8370 termina em 0 e 24675 termina em 5, logo, são divisíveis

por 5.

Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quando a soma

dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Ex: 18351 é divisível por 9, pois 1 + 8 + 3 + 5 + 1 = 18, que é divisível

por 9.

2.3 Números Primos: Chamam-se números primos os números que

admitem apenas dois divisores: ele mesmo e a unidade. O número

1 não é primo e o número 2 é o único número primo e par que

existe

Exemplos de alguns números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,

29,.......

Obs.: Quando o número não é primo é chamado COMPOSTO

Exemplos de Decomposição em fatores primos

Cálculo da quantidade de divisores positivos de um Número

Obs: A quantidade de diversos positivos de um número N é

calculada de a seguinte forma:

a) decompõe-se o número dado em seus fatores primos.



6

b) soma-se o valor 1 aos expoentes e após, multiplicam-se os

resultados

Ex: calcule a quantidade de divisores positivos do número 360.

Fazendo-se a decomposição de 360 em fatores primos, obtém-se:

5.3.236023

= Somando-se 1 a cada expoente ficamos com:

( ) ( ) ( ) 24111213 =+⋅+⋅+

Logo, 360 têm 24 divisores positivos. Se quisermos saber a

quantidade total de divisores positivos e negativos basta multiplicar

24 por 2, ou seja: 24 . 2 = 48

2.4. Dízima Periódica: é um número decimal não exato e periódico,

apresenta uma parte decimal que sempre se repete chamada de

período. Toda Dízima periódica é um número racional, ou seja,

pode ser representada por uma fração chamada de fração geratriz

da dízima periódica. Uma dízima periódica pode ser formada por

três partes: parte inteira, a parte não periódica e o período

Exemplos:

a) 5, 4377777777... = parte inteira = 5, parte não periódica = 43,

período = 7

b) 0, 44444444.......= parte inteira = 0, parte não periódica = não

possui, período = 4

Para calcularmos a fração geratriz, devemos adicionar a parte

decimal à parte inteira. A parte decimal será transformada em uma

fração cujo numerador é o período da dízima e o denominador é um

número formado por tantos noves quantos são os algarismos do

período.

Ex.: 0, 434343..... = 99

43

Se a dizima possuir uma parte não periódica, devemos adicionar à

parte inteira uma fração cujo numerador é formado pela parte não

periódica, seguida de um período, menos a parte não periódica, e

cujo denominador é formado de tantos noves quantos são os

algarismos do período de tantos zeros quantos são os algarismos da

parte não periódica.

Ex.:



7

90

129

90

3990

90

39901

90

391

90

4431....43333,1 =

+=

+⋅==

−=

9900

11398

9900

14989900

9900

149899001

9900

14981

9900

1515131......15131313,1 =

+=

+⋅==

−=

2.5. Algarismo e Números: no sistema numérico decimal, base 10,

usamos os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. O número é formado

por algarismos dispostos em uma determinada posição,

caminhando da direita para a esquerda.

Regras de três, MMC e MDC

1. Regras de três é um processo prático para resolver problemas

que envolvam duas ou mais grandezas podendo ser direta ou

inversa. Uma regra de três é classificada em simples ou

composta.

Duas grandezas são ditas diretas quando variam no mesmo

sentido, se uma aumenta a outra também aumenta e se uma

diminui a outra também diminui.

Duas grandezas são ditas inversas quando variam em sentidos

contrários, se uma aumenta a outra diminui e se uma diminui a

outra aumenta.

1.1. Regras de três simples: é a regra de três que relaciona duas

grandezas, representada por 2 colunas.

2.2. Regras de três compostas: é a regra de três que relaciona mais

de duas grandezas, representada por mais de 2 colunas.

Testes de aprendizagem

1) TRE/AC – técnica de controle-2003

Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de

uma empresa em 3 horas. Havendo um aumento de 50% no total de boletos a serem

emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o



8

trabalho em 1 hora e

a)30min b)35min c)40min d)45min e)50min

2)Prefeitura de santos-2003

Uma impressora opera em duas velocidades, podendo imprimir três mil páginas por

hora ou 1.800 páginas por hora. Se na velocidade mais alta essa máquina executou

certo serviço em 5h 40min, então em quanto tempo o mesmo serviço seria executado

na velocidade mais baixa?

a)8h 18 min. b)8h 42 min. c)9 h 6 min. d)9h 30 min. e)9h 54 min.

3) Prefeitura de santos-2003

Supondo que 20 fiscais do cppss, trabalhando 8 horas por dia, levam 25 dias para

executar uma determinado tipo de fiscalização. O esperado é que o número de fiscais

necessário para executar a mesma tarefa em 10 dias, trabalhando 10h/d, seja?

a) 18. b)24. c)32. d)36. e)40.

4) Prefeitura de santos-2003

Suponhamos que a planta da cidade de Santos tenha sido desenhada na escala

1:80.000, o que significa que as medidas reais são iguais a 80.000 vezes as medidas

correspondentes a planta. Assim, uma medida de 4,5 cm na planta corresponde a

quantos quilômetros de medida real?

a) 0,36. b)3,6. c )36. d)360. e)3.600.

5) TRE/AM- Técnico judiciário-2003

Se os 13,56 litros de água no interior de uma bebedouro estão ocupando os 2/3 de sua

capacidade, quantos metros cúbicos de água faltam para encher esse bebedouro?

a) 0,968. b)0,678. c)0,0968. d)0,0678. e)0,00678.

6)TRT/BA- Técnica Judiciário-2003

uma máquina copiadora produz 1.500 cópias iguais em 30min de funcionamento outra

máquina, com rendimento correspondente a 80% do da primeira, produziria 1.200

dessa cópias?

a) 30. b)35. c )40. d)42. e)45.

7)TRT/MS- Técnica Judiciário-2003

Considere que a carência de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao valor

da franquia a diretamente proporcional à idade do segurado. Se o tempo de carência

para um segurado de 20 anos, com uma franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o tempo

da carência para um segurado de 60 anos com uma franquia de 1.500,00 é



9

a) 4 meses. b)4 meses e meio. c)5 meses. d)5 meses e meio. e)6 meses.

8)TRT-MS -Técnica Judiciário-2003

Uma indústria tem 34 máquinas. Sabe-se que 18 dessas máquinas têm, todas, a

mesma eficiência e executam certo serviço em 10 horas de funcionamento contínuo.

Se as máquinas restantes têm 50% a mais de eficiência que as primeiras, funcionando

ininterruptamente, executariam o mesmo serviço em

a)7h 15 min . b)7h 30min. c)7h 45 min. d)8h 20min. e)8h 40min.

9) TRT-PI -Técnica Judiciário-2004

Dos x reais que foram divididos entre três pessoas, sabe-se que: a primeira recebeu

2/3 de x,diminuídos de R$ 600,00; a segunda, 1/4 de x; e a terceira, a metade de x,

diminuída de R$ 4.000,00. Nessas condições, o valor de x é

a)10.080. b)11.000. c)11.040. d)11.160. e)11.200.

10) TRT-PI -Técnica Judiciário-2004

Franco e Jade foram incumbidos de digitar as laudas de um texto. Sabe-se que ambos

digitaram suas partes com velocidades constantes e que a velocidade de Franco era de

80% da de Jade. Nessas condições, se Jade gastou 10min par digitar 3 laudas, o tempo

gasto por Franco para digitar 24 laudas foi

a)1h 15min. b)1h20min. c)1h30min. d)1h40min. e)2h.

11) TRT-ES -Técnica Judiciário-2004

Um técnico judiciário foi incumbido de arquivar os processos de um lote e observou

que, em média, gastava 1min 15 s para arquivar três processos. Se ele cumpriu essa

tarefa trabalhando ininterruptamente por 1h 17 min 30 s, o número de processos do

lote era

a)126. b)153. c)186. d)192. e )201.

12) TRT-ES -Técnica Judiciário-2004

Todas as páginas de um texto foram digitados por dois técnicos judiciários. Se,

trabalhando ininterruptamente, um deles levou 2 horas e 30 minutos para digitar 2/3

do total das páginas, em quanto tempo o outro deve ter digitado as páginas restantes,

se a sua capacidade operacional é de 80% da capacidade do primeiro?

a)1h 23min 30s. b)1h 33min 45s. c)1h35min 15s.

d)1h45min 30s. e)1h 48 min 45s.

13) TRT-SP- Técnica Judiciário-2004



10

Uma máquina é capaz de imprimir 4.500 cópias em 5 horas de trabalho ininterrupto.

Outra máquina, com capacidade operacional de 80% da primeira imprimiria 3.600

cópias em

a)4h. b)4h 30min. c)4h45min. d)5h. e)5h 30 min.

14) TRT-PE- Técnica Judiciário-2004

Uma máquina corta 15 metros de papel por minuto. Usando-se outra máquina, com

60 % da capacidade operacional da primeira, é possível cortar 18 m do mesmo tipo de

papel em

a) 1min 20s. b)1min 30s. c)2min. d)2 min 15s. e)2 min 25s.

15) TRT-11ª Região - Técnica Judiciário-2005

Na oficina de determinada empresa há um certo número de aparelhos elétricos a

serem reparados. Incumbidos de realizar a tarefa, dois técnicos dividiram o total de

aparelhos entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço na

empresa: 8 anos e 12 anos. Assim, se a um deles coube 9 aparelhos, o total reparado

foi

a)21. b)20. c)18. d)15. e)12.

16) TRF-1ª Região – Auxiliar Judiciário-2006

Uma máquina tem um jogo de duas rodas dentada para transmissão de movimentos:

uma com 45 dentes e outra com 15 dentes. A cada 3 voltas completas da roda maior,

quantas voltas completas dá a menor?

a)6. b)9. c)12. d)15. e)18.

17) TRT-RS - Técnico Judiciário-2006

Considere que uma máquina específica seja capaz de montar um livro de 400 páginas

em 5 minutos de funcionamento ininterrupto. Assim, outra máquina, com 50% de

capacidade operacional da primeira, montaria um livro de 200 páginas após funcionar

ininterruptamente por um período de

a)2min 30s. b)5min. c)6min 15s. d)7min. e)7min 30s.

18) TRT-RS – Analista Judiciário-2006.

Dois analistas judiciários devem emitir pareceres sobre 66 pedidos de

desarquivamento de processos. Eles decidiram dividir os pedidos entre si, em

quantidade que são, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas

idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no

tribunal regional do trabalho. Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no



11

tribunal, enquanto o outro tem 48 anos e lá trabalha há 16 anos, o número de

pareceres que o mais jovem deverá emitir é

a)18. b)24. c)32. d)36. e)48.

19) TRT-PE – Analista Judiciário-2006.

Uma máquina gastou 27 minutos para tirar cópias das páginas de um documento. Se o

mesmo serviço tivesse sido executado por outra máquina, cuja capacidade operacional

fosse igual a ¾ da capacidade da primeira então teriam sido gastos

a)36min. b)30min 40 s. c)30min . d)27min30 s. e)20min 15s.

d)600. e)800.

20) TRF-4ª Região – Auxiliar Judiciário-2007.

Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade operacional, são capazes de montar

100 aparelhos em 10 dias, se funcionarem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas

condições, o número de aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em

20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é

a)100. b)200. c)400. d)600. e)800.

GABARITO

2. Mínimo múltiplo comum (MMC): dois ou mais números inteiros

sempre possuem múltiplos comuns entre si e dentre eles

destacamos o menor múltiplo comum, também chamado de

mínimo múltiplo comum.

2.1. Cálculos de MMC: para calcular o MMC iremos proceder da

seguinte forma:

2.1.1. Fatoração dos números

1. °) fatorar os números, ou seja, transformá-los como produto de

seus fatores primos.

2.°) o MMC será o produto dos fatores primos comuns e não

1.A 2.D 3.E 4.B 5.E 6.A 7.A 8.B 9.C 10.D 11.C 12.B 13.D 14.C 15.D 16.B 17.B 18.E 19.A 20.E



12

comuns, elevados aos maiores expoentes.

ex: MMC (180,72)

180=2.3.5 72=2�.3 MMC (180,72)=2�.3.5=360

2.1.2. Processo de Decomposição simultânea

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo,

para tanto, traçamos uma reta vertifical, onde ficarão os divisores

simultâneos.

Ex.: MMC (24, 32,48)

24, 32, 48 2

12, 16, 24 2

6, 8, 12 2

3, 4, 6 2

3, 2, 3 2

3, 1, 3 3

1, 1, 1 1

MMC (24,32,48)=2�.3�=96.

2.2. Problemas envolvendo MMC: quando temos problemas cujos

fenômenos acontecem periodicamente e em um determinado

momento eles estão juntos, para se calcular quando é que eles

voltarão a se encontrar utilizaremos o MMC.

Ex: Um cometa passa perto da terra de 20 em 20 anos e outro

cometa de 50 em 50 anos. Se hoje eles passaram juntos perto da

terra, daqui a quantos anos esse fenômeno voltará acontecer?

Tempo de encontro: MMC (20,50) = 100 anos.

3. Maximo divisor comum (MDC): dois ou mais números inteiros

sempre possuem divisores comuns entre si e dentre eles

destacamos o maior divisor comum, também chamado de máximo

divisor comum.



13

3.1. Cálculo do MDC

A) Fatoração dos Números

1. Fatoram-se os números, ou seja, calculamos os produto de seus

fatores primos.

2. O MDC será o produto dos fatores primos comuns elevados aos

menores expoentes.

ex: MDC (180,72)

180= 2.3.5 72=2�.3 MMC(180,72)=2.3=36.

B) Regras das divisões sucessivas

1. Dividimos o número maior pelo menor.

2. Como não deu resto zero, dividimos o divisor pelo resto da

divisão anterior.

3. Prosseguimos com as divisões sucessivas ate obter resto zero.

EX: MDC (160, 64)

1) 160: 64 dá resto 32.

2) 64: 32 dá resto zero, logo, MDC (160,64) = 32.

Obs.: Se o MDC entre dois números for igual a 1, então esses

números são ditos primos entre si.

Ex: MDC (9 , 4 )=1, logo, 4 e 9 são primos entre si, o que não

quer dizer que 4 e 9 sejam números primos.

3.2. Problemas Envolvendo MDC: normalmente são

problemas em que determinados valores serão divididos ao

mesmo tempo por um número que é o maior possível.

Ex: (TRE/AM/2003) Um auxiliar de enfermagem pretende

usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar

120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro

tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma

quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos



14

de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá

usar?

a)33

b)48

c)75

d)99

e)165

Solução

Se ele for utilizar a menor quantidade de gavetas significa que

a quantidade de medicamento será maior e como a

quantidade de medicamentos será a mesma, então esta

quantidade será o maior valor que divide 120, 150 e 225 ao

mesmo tempo, ou seja, será o MDC (120, 150, 225) = 15. Para

calcularmos a quantidade de gavetas façamos as divisões

120:15=8, 150:15=10 e 225:15=15, assim sendo, temos 33.

Opção A.

4. Relação entre o MMC e MDC de dois números

MMC (a, b). MDC (a, b) = a.b

Testes de Aprendizagem

1)(VUNESP/CESP SP/2009) Três representantes de indústrias farmacêuticas

visitam regularmente clínicas médicas. O primeiro retorna a uma determinada

clínica a cada 40 dias; o segundo, a cada 50 dias, e o terceiro, a cada 60 dias.

Se os três representantes se encontrarem nessa clínica num certo dia, então

eles irão se encontrar novamente na mesma clínica a cada

a)630 dias. b) 600 dias. c)540 dias. d)360 dias. e)300 dias

2)(FCC/TRT 21ª R/2003) Três funcionários fazem plantões nas seções em que

trabalham: um a cada 10 dias, o outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20

dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 o três

estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de

seus plantões foi

a)18/11/02 b)17/09/02 c)18/08/02 d)17/07/02 e)18/06/12

3) (FCC/TRF 5ª R/2003) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de

canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um



15

funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que

cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos

os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de

pacote que ele poderá obter é

a)8 b)10 c)12 d)14 e)16

4) (FCC/TRT 5ª R/2003) uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos

com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibióticos.

Deverá distribuí-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior

quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que

todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamentos,

o número de recipientes necessários para essa distribuição é

a)24 b)16 c)12 d)8 e)4

5)(PUC PR/COPEL/ 2010)Dois navios de cruzeiro saem do porto de Santos: o

primeiro de 14 em 14 dias e o segundo de 24 em 24 dias.Se os dois navios

saírem do porto num mesmo dia, o tempo para tornarem a sair novamente no

mesmo dia é:

a)120 dias b)168 dias c)125 dias d)48 dias e)96 dias

6)(VUNESP/CETESB/2009) Quatro luminosos acendem suas lâmpadas em

intervalos regulares. O primeiro a cada 10 segundos, o segundo a cada 12

segundos, o terceiro a cada 15 segundos e o quarto a cada 30 segundos. Se, às

5 h 25 min, os quatro acenderem ao mesmo tempo, os luminosos voltarão a

acender todos juntos, novamente, às

a)6 h 25 min. b)6h 16 min. c)6h 06 min. d)5 h 26 min. e)5 h 35 min.

7) (CESGRANRIO/DECEA/2009) Carlos está doente e seu médico mandou que

ele tomasse dois remédios diferentes durante uma semana. Um deles deve

ser tomado de 5 em 5 horas e o outro, de 8 em 8 horas. Às 6h da manhã de 2ª

feira, Carlos tomou os dois remédios ao mesmo tempo. Seguindo

corretamente a prescrição do médico, em que dia e em que horário ele

tomará, de novo, os dois remédios juntos?

a) 2ª feira, às 23 h. b) 3ª feira, às 6 h. c)3ª feira, às 22

h. d) 4ª feira, às 11h. e)4ª feira, às 12 h.

8) (CESGRANRIO/TRANSPETRO /2006) Luiz vai de bicicleta de casa até sua

escola em 20 minutos, percorrendo ao todo 4 km. Se, pedalando no mesmo

ritmo, ele leva 1h 10 min para ir de sua casa até a casa de sua avó, a distância,

em km, entre as duas casas é de:

a)14 b)16 c) 18 d)20 e)22

9)(NCE/arquivo Nacional/2006) /Maria e Ana se encontram de três em três

dias, Maria e Joana se encontram de cinco em 5 dias e Maria e Carla se

encontram de dez em dez dias. Hoje, as quatro amigas se encontraram. A



16

próxima vez que todas irão se encontrar novamente será daqui a:

a) 15 dias b) 18 dias c)28 dias d)30dias e) 50dias

10)(FAPEU/TRE SC/2002) três trabalhadores foram admitidos em uma

repartição pública, em cargos diferentes, no ano de 1992, e terão direito à

licença- premia, respectivamente, a cada 24, 32 e 36 meses trabalhados.

Assinale, abaixo, o ano em que os 3 trabalhadores poderão gozar da licença-

premia, simultaneamente.

a)2084 b)2024 c)2016 d)1994

GABARITO

1-B 2-D 3- C 4- A 5-B 6-D 7-C 8-B 9-D 10-C

5. Questões envolvendo torneiras e ralos

A) Consideremos 2 torneiras enchendo um tanque ao mesmo tempo.

Para calcular o tempo que as 2 torneiras levam para encher o tanque

multiplicam-se os tempos e divide-se o resultado pelos mesmos.

Sejam as torneiras A e B.

BA

BAt

+

⋅=

Ex 1: Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Outra

torneira o enche em 4 horas. Abrindo-se as 2 torneiras

simultaneamente, em quanto tempo o tanque ficará cheio

Solução: horas 4,210

24

46

46==

+

⋅=t - 2 horas e 24 minutos

B) Consideremos agora uma torneira enchendo um tanque e

uma válvula esvaziando. Nesse caso multiplicam-se os

tempos e divide-se o resultado pela diferença entre eles.

Ex 2: Uma torneira enche um tanque em 6 horas e uma

válvula o esvazia em 2 horas. Mantendo-se a torneira e a

válvula abertas em quanto tempo o tanque ficará cheio?

Solução: 122

24

46

46==

−

⋅=t horas.

C) Sejam 2 torneiras enchendo um tanque simultâneamente

e um ralo esvaziando. Iremos, para realizar esse cálculo de

forma rápida utilizar três palavras: inverte, soma e inverte.



17

Observe o exemplo abaixo

Ex 3: Uma torneira enche um tanque em 2h, outra torneira

enche o mesmo tanque em 3 h e um ralo esvazia o tanque

em 6 h. Abrindo-se as torneiras e o ralo no mesmo instante,

em quanto tempo o tanque ficará cheio?

Solução: Tempos parcial: 2h, 3 h e 6h

Inicialmente invertem-se os tempos dados: 6

1,

3

1,

2

1

Somam-se e subtraem-se respectivamente os valores acima

3

2

6

4

6

123

6

1

3

1

2

1==

−+=−+

Para chegar ao resultado, inverte-se o resultado. O inverso de

3

2 é

2

3. Logo, o tempo necessário para o tanque ficar cheio é

igual a 2

3hora = 1 hora e 30 minutos

Equação do 1º grau, equação do 2º grau e problemas

1. Equação do 1º grau

É toda a equação que se apresenta na forma 0=+ bax

com a 0≠

Exemplos

a) 23

66351131153 =⇒=⇒=⇒−=⇒=+ xxxxx

b) (TRT/BA- Técnico Judiciário-2003) -

Qual a idade de atual de uma pessoa, se daqui a 8 anos ela terá exatamente o

triplo da idade que tinha há 8 anos?

a) 15 anos. b) 16 anos. c) 24 anos. d) 30 anos. e) 32 anos.

Idade atual: x

Daqui a 8 anos a idade será x + 8

Há 8 anos atrás sua idade será representada por x – 8

( ) 1623232482438838 =⇒=⇒−=+⇒−=+⇒−=+ xxxxxxxx

Alternativa Correta: B



18


1)Prefeitura de Santos-2003

Certo mês, três técnicos protocolaram um total de 1.557 documentos, sendo

que o primeiro protocolou 609 deles. Se a diferença entre os números de

documentos protocolados pelos outros dois técnicos é 94, o menor desses

dois números é

a) 521 b)par. c) multiplico de 3.

d)o triplo de 142. e) a terça parte de 1.281.

2) Prefeitura de Santos-2003

Num determinado ano, do total de processos de solicitação de pensões

arquivados por um técnico auxiliar administrativo, sabe-se que 2/5 foram

arquivados no primeiro quadrimestre e 3 /8 no segundo quadrimestre. Se os

36 processos restantes foram arquivados no terceiro quadrimestre, o total de

processos era

a) 156. b)160. c)168. d)170. e) 176.

3) Prefeitura de Santos-2003

Certo dia, 3 técnicos administrativos atenderam um total de 130 pessoas. O

primeiro atendeu 8 pessoas a mais do que o segundo e este, 5 a menos do que

o terceiro. O número de pessoas atendidas pelo

a) primeiro foi 45. b) primeiro foi 47. c) segundo foi 37.

d) segundo foi 38. e) terceiro foi 42.

4) TRT/BA- Técnico Judiciário-2003

O primeiro andar de um prédio vai ser reformado e os funcionários que lá

trabalham serão removidos. Se 1/3 do total dos funcionários deverá ir para o

segundo andar, 2/5 do total para o terceiro andar e os 28 restantes para o

quarto andar, o número de funcionários que serão removidos é

a) 50. b)84. c)105. d)120. e) 150.


Qual a idade atual de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o

triplo da idade que tinha há 8 anos?

a) 15 anos. b) 16 anos. c) 24 anos. d) 30 anos. e) 32 anos.

6) TRT/RN- Técnico Judiciário-2003

Um determinado serviço é realizado por uma única maquina em 12h de



19

funcionamento ininterrupto, e em 15 h, por uma outra máquina, nas mesmas

condições. Se funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão

esse mesmo serviço?

a)3h. b)9h. c)25h. d)4h 50min. e)6h 40min.

7) TRF/4ª Região- Auxiliar Judiciário- 2004.

Certo dia, no início do expediente de uma Repartição Pública, dois

funcionários X e Y receberam, cada um, uma dada quantidade de impressos.

Então, X cedeu a Y tantos impressos quanto Y tinha e, logo em seguida, Y

cedeu a X tantos impressos quanto X tinha. Se, após as duas transações,

ambos ficaram com 32 impressos, então, inicialmente, o número de impressos

de X era

a) 24. b) 32. c) 40. d) 48. e) 52.

8) TRT/23ª Região- Técnico Judiciário- 2004.

A figura indica um quadrado de 3 linhas e 3 colunas contendo três símbolos

diferentes:

Sabe-se que:

- cada símbolo representa um número;

- a soma dos correspondentes números representados na 1ª linha é 16;

- a soma dos correspondente números representados na 3ª coluna é 18;

- a soma de todos os correspondentes números no quadrado é 39.

Nas condições dadas, o valor numérico do símbolo ⨀é

a) 8. b) 6. c) 5. d) 3. e)2.


Em uma eleição em que concorreram os candidatos A, B e C, cada eleitor

recebeu uma cédula com o nome de cada candidato e deveria atribuir o

numero 1 à sua primeira escolha, o numero 2 à sua segunda escolha, e o

numero 3 à terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos os eleitores

votaram corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato

foi:



20

-22 para A;

-18 para B;

-20 para C.

Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a

a) 6. b) 5. c) 10. d) 12. e) 15.

10) TRT/PI- Técnico Judiciário-2004

Dos X reais que foram divididos entre três pessoas, sabe-se que: a primeira

recebeu 2/3 de X, diminuídos de R$ 600,00; a segunda, 1/4 de X; e a terceira, a

metade de X, diminuída de R$ 4.000,00. Nessas condições, o valor de X é

a) 10.080. b) 11.000. c) 11.040. d) 11.160. e) 11.200.

11) TRT/ES- Técnico Judiciário-2004

No almoxarifado de certa empresa há 16 prateleiras, todas ocupados com dois

tipos de impressos, A e B, que totalizam 2.610 unidades. Se algumas das

prateleiras contêm, cada uma, 150 unidades de impressos, unicamente do tipo

A, e cada uma das restantes contêm 180 impressos, somente do tipo B, a

diferença positiva entre os números de impressos de cada tipo é

a) 65. b) 80. c) 85. d) 90. e) 120.

12) TRT/SP- Técnico Judiciário-2004.

No almoxarifado de uma empresa há canetas e borrachas num total de 305

unidades. Se o número de canetas é igual ao triplo do número de borrachas

diminuído de 35 unidades. O número de canetas é

a) 160. b) 190. c) 200. d) 220. e) 250.


Hoje, dois técnicos judiciários, Marilza e Ricardo, receberam 600 e 480

processos para arquivar, respectivamente. Se Marilza arquivar 20 processos

por dia e Ricardo arquivar 12 por dia, a partir de quantos dias, contados de

hoje, Marilza terá menos processos para arquivar do que Ricardo?

a) 12. b) 14. c) 16. d) 18. e) 20.

14) TRE/PE- Técnico Judiciário-2004.

Alguns processos a serem arquivados foram distribuídos a três técnicos

judiciários, A, B e C, do seguinte modo: B recebeu o triplo de A e C recebeu a

metade de B. Se a diferença entre a maior e a menor quantidade de processos

distribuídos era de 48 unidades, o total de processos era

a) 132. b) 148. c) 156. d) 168. e) 176.



21


Pretende-se dividir a quantia de R$ 2.500,00 em duas partes tais que a soma

da terça parte da primeira com o triplo da segunda seja igual a R$ 2.700,00. A

diferença positiva entre os valores das duas partes é de

a) R$ 700,00. b) R$ 800,00. c) R$ 900,00

d) R$ 1.000,00. e) R$ 1.100,00


No esquema seguinte têm-se indicadas as operações que devem ser

sucessivamente efetuadas, a partir de um numero X, a fim de obter- se como

resultado final o número 12.

X→ adicionar 39 →dividir por 4 → subtrair 12 →multiplicar por 3 → 12

É verdade que o número X é

a) primo. b) par. c) divisível por 3.

d) múltiplo de 7. e) quadrado perfeito.


Na figura abaixo tem-se um quadrado mágico, ou seja, um quadrado em que

os três números dispostos na celas de cada linha, coluna ou diagonal têm a

mesma soma.

X 9/2 -2,5

Y 1/2 Z

7/2 T 1,5

Nessas condições, os números X, Y, Z e T devem ser tais que

a)X< Y<Z<T. b)T<Y<X<Z. c)T<X<Z<Y.

d)Z<T<X<Y. e)Z<Y<X<T.


Pretendendo incentivar seu filho a estudar Matemática, um pai lhe propôs 25

problemas, prometendo pagar R$1,00 por problema resolvido corretamente e

R$ 0,25 de multa por problema que apresentasse solução

errada.Curiosamente, após o filho resolver todos os problemas, foi observado

que nenhum devia nada ao outro. Se x é o número de problemas que

representaram solução errada, então



22

a) x>18. b) 12<x<18. c) 8<x<12. d) 4<x<8. e) 0<x<4.

19) TRF/1ª Região- Auxiliar Judiciário- 2006.

Um auxiliar Judiciário foi incumbido de encadernar um certo número de

livros. Sabe-se que, no primeiro dia de execução da tarefa ele encadernou da

metade do total de livros e, no segundo, a terça parte dos livros restantes.

Se no terceiro dia ele encadernou os últimos 12 livros, então o total inicial era

a)32. b)36 c)38. d)40. e)42.

GABARITO

1.2. Inequação do 1º grau: é toda inequação que pode ser

reduzida a uma das seguintes formas: a. x + b > 0, a. x +b ≥ 0,

a. x + b < 0 e a . x + b ≤ 0.

Obs.: Quando multiplicamos ambos os membros da

desigualdade por um número negativo, inverte-se o sentido

da desigualdade.

Ex: Resolver a inequação 2(2x-1)-3(4x-2)≥3 em U= IR.

2(2x-1)-3(4x-2)≥3 4X-2-12X+6≥3 = 4X-12X≥3+2-6

-8X≥-1 (multiplicando por -1) 8x≤1 = x≤1/8

Podemos representar a solução de uma inequação do 1º grau

por meio da reta real.

Ex: x ≥ 3 ou [3, + ∞) ou [ 3, + ∞[, note que temos o sinal de

igual, logo, a ¨bola¨ é fechada.

3

Ex.:x > 3 ou (3, + ∞) ou ]3, + ∞ [, note que não temos o sinal

1 -e 2- b 3-b 4- c 5 -b 6- e 7-c 8-e 9-c 10-c 11-d 12-d 13-c 14-a 15-e 16-e 17-b 18-a 19-b

Apostila de Matemática Cesgranrio





23

de igual,logo, a “bola” é aberta.

3

Ex.: x ≤ 3 ou (- ∞, 3] ou] -∞, 3]

Ex.: x < 3 ou (- ∞, 3) ou] -∞, 3[

3

Ex.: 1 ≤ x ≤ 2 ou [1,2]

1 2

Ex.: 1 < x ≤ 2 ou (1,2] ou] 1, 2]

1 2

Ex.: 1 ≤ x < 2 ou [1,2) ou [1,2 [

1 2

Ex.: 1 < x < 2 ou (1,2) ou ] 1,2[

1 2

3


Ex.:x > 3 ou (3, + ∞) ou ]3, + ∞ [, note que não temos o sinal



24

1.3 Sistema do 1º Grau: É um sistema formado por duas

equações do 1º grau. De uma forma geral os problemas

envolvem duas equações e duas variáveis, sendo expressas na

forma:��. � + ��. � = ��. � + �. � = �

Existem basicamente dois métodos para resolvermos

sistemas do 1º grau a duas variáveis:

1.º) Método de Adição:

Este método consiste em adicionarmos as duas equações

membro a membro, observando que nesta operação

deveremos eliminar uma variável.

Ex: � � + � = 92. � − � = 3 adicionando membro a membro as duas

equações eliminamos o y

3. x = 12 x = 4, substituindo este valor em qualquer das duas

equações encontramos o valor x.

Vamos substituir na 1º equação, 4 + y = 9, o y por 5, logo, a

solução desse sistema é o par ordenado (4,5), ou seja, S=

{(4,5)}.

Ex: �3. � + 2. � = 13� + 3. � = 9 neste caso iremos multiplicar a 1ª

equação por 3 e a 2ª por -2, eliminando o y.

�3. � + 2. � = 13. (3)� + 3. � = 9. (−2) � 9. � + 6. � = 39−2. � − 6. � = −18 somando

membro a membro iremos eliminar o y.

7. x = 21 x = 3, substituindo em

qualquer equação calculamos o y.



25

Vamos substituir na 2º equação original, 3 + 3. y= 9 por 2,

logo, a solução será S= {(3,2)}.

2.°) Método das substituição:

Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação

e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se

numa equação do 1° grau com uma única incógnita.

Ex:� 2� + � = 62. � + 3. � = 2 iremos isolar o y da 1ª equação, y = 6 - 2.x,

e substituir no y da 2ª equação.

2 . x + 3. (6 – 2. x) =2 2. X +18 - 6. x = 2 -4.x = - 16. (-1)

4. x =16

x=4, substituindo este valor em y=6-2.x, calculamos y, logo,

y=6 -2.(4)=-2, logo, S={(4, -2)}.

1.4. Sistema de inequação do 1° grau: Resolvemos cada uma

das inequações e calculamos a intersecção das soluções.

2. Equação do 2° grau

2.1. É toda equação da forma, ou redutível a, a.x2 +b.x+c=0,

com a, b, e c reais e a ≠ 0, . Toda equação do 2° grau possui

duas raízes (�� e �) que são calculados pela formula de

Báskara:

� = !"±$"%!�.&.'.& = !"±√∆.& em que ∆= �-4.a.c é o discriminante.

2.2. Discussão da existência das Raízes: dependendo do

discriminante ∆ podemos ter raízes reais ou complexas.

Vejamos as condições:

1.) ∆ > 0: teremos duas raízes reais e desiguais ��≠�. 2.) ∆ =0: teremos duas raízes reais e iguais (uma raiz

dupla) ��=�. 3.) ∆ <0: teremos duas raízes complexas ou imaginárias, ou

seja, as raízes não serão reais.



26

2.3. Soma e Produto das Raízes: seja a.x2 +b.x+c=0 de

raízes ��e �, Logo:

S: a

bxx −=+

21 P:

a

cxx =⋅

21

Podemos montar uma equação de 2° grau conhecendo

apenas a soma e o produto de suas raízes.

X2 - S. x + P = 0

2.4. Equação do 2° grau incompleta: três casos a

considerar:

1.) a. x2 + b. x + c = 0, se b=0 teremos a. x2 + c = 0 e x

=a

c−±

2.) a. x2 + b. x + c = 0, se c = 0, teremos a. x2 + b. x = 0

poderemos colocar x em evidência x. (a. x + b) = 0, logo

teremos x = 0 ou a.x+ b=0 que dá x= - a

b. Note que neste

caso uma raízes é nula (igual a zero).

3.)a . x2 + b. x + c = 0, se b = 0 e c = 0, teremos a . x2 = 0 e as

duas raízes serão nulas.

2.5. Equação biquadrada: é toda a equação que se

apresenta na forma a.x4+b.x2 +c=0 que, após a mudança

de variável y= x2, se transforma na equação do 2º grau

a.y2 + b.y +c =0. A equação biquadrada possui quatro

raízes.

2.6. Sistema do 2º grau: ocorre quando temos pelo menos

um termo do segundo grau em alguma das equações do

sistema. Neste caso, quando isolamos uma variável e

substituímos na outra equação, teremos uma equação do

segundo grau.



27

2.7. Inequação do 2º grau: é toda inequação que pode ser

reduzida a uma das seguintes formas:

a.x2 + b.x+c >0, a.x2 +b.x+c 0≥ , a.x2+b.x+c 0< e

a.x2 + b.x +c 0≤

Para resolvermos uma inequação do 2º grau iremos

proceder da seguinte forma:

1) O coeficiente a, que multiplica o�, terá que ser sempre

positivo, se não for, multiplique a inequação toda por (-1),

lembrando que inverter a desigualdade.

2) calcular as raízes como se fosse equação, se houver o

sinal de igual na inequação,as raízes terão “bola fechada”,

se não houver o sinal de igual, as raízes terão “bola

aberta”.

3) se o sinal da desigualdade for maior, a solução estará

fora das raízes, se o sinal da desigualdade for o menor, a

solução estará dentro das raízes.


1) Prefeitura de Santos-2003.

Em certo momento, o número P de pessoas que se encontravam em uma fila

para atendimento era tal, que se do seu quadrado subtraíssemos seu triplo,

obteríamos 648. É verdade que

a) P+1=28. b)P+9=321 c)P-8=35. d)2P=64. e) 3P=90

2) TER/AM- Técnico Judiciário-2003

Alguns técnicos judiciários decidiram dividir igualmente entre si as 300 páginas

de um texto a ser digitado. Entretanto, um deles foi designado para outra

atividade e, assim, coube a cada um dos outros digitar 15 páginas a mais que o

combinado. O número de páginas que cada técnico digitou foi

a) 80. b)75. c)72. d)65. e) 60.




28

Numa reunião, o número de mulheres presentes excede o número de homens

em 20 unidades. Se o produto do número de mulheres pelo de homens é 156,

o total de pessoas presentes nessa reunião é

a) 24. b)28. c)30. d)32. e) 36.

4) TRF/4ª Região – Auxiliar Judiciário- 2004.

Um grupo de pessoas fretou um avião de 150 lugares para uma excursão. A

empresa locadora exigiu que cada pessoa pagasse R$600,00 e mais um

adicional de R$50,00 referente a cada lugar vago. Se esse fretamento rendeu à

empresa R$ 328.050,00, o número de pessoas que participou de excursão foi

a) 81. b)85. c)90. d)92. e) 97.

5)TRT/ES- Técnico Judiciário-2004

Todos os 840 litros do interior de um tanque devem ser colocados, em

quantidades iguais, em alguns recipientes. Sabe-se que, se forem usados X

recipientes, cada um deles receberá Y litros de água; entretanto, se forem

usados X-6 recipientes, cada um deles ficará com Y + 16 litros. Nessas

condições, o valor de X é

a) 21. b)36. c)48. d)56. e) 78.

6) TRT/SP- Técnico Judiciário-2004.

Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108

processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria

realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos

outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de

processos que cada técnicos arquivou foi

a) 16. b)18. c)721. d)25. e) 27.


Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si a tarefa de

digitar as 245 páginas de um texto. Entretanto, no dia da divisão, o grupo foi

acrescido de mais dois técnicos e, assim, coube a cada membro do novo grupo

digitar 14 páginas a menos do que inicialmente previsto. O número de técnicos

que cumpriu a tarefa era

a) 7. b)6. c)5. d)4. e) 3.

8) TRT/ 11ª Região – Técnico Judiciário-2005.

Um técnico administrativo foi incumbido de arquivar 120 processos em X

caixas, nas quais todos os processos deveriam ser distribuídos em quantidades

iguais. Entretanto, ao executar a tarefa, ele usou apenas X - 3 caixas e, com



29

isso, cada caixa ficou com 9 processos a mais que o previsto inicialmente.

Nessas condições, o número de processos colocados em cada caixa foi

a) 24. b)22. c)21. d)17. e) 15.

9) TRT/RS– Técnico Judiciário-2006.

Dois técnicos judiciários receberam, cada um, uma mesma quantidade de

processos para arquivar e, ao final do trabalho, anotaram os respectivos

tempos, em horas, que gastaram na execução da tarefa. Se a soma e o

produto dos dois tempos anotados eram numericamente iguais a 15 e 54,

respectivamente, então quantas horas um deles gastou a mais que o outro

para arquivar o seu total de processos?

a) 3. b)4. c)5. d)6. e) 7

GABARITO

1-A 2-B 3-D 4- A 5-A 6- E 7-A 8-A 9-A



30

Funções de 1° e 2° graus. Exponenciais e logaritmos

1.Função do 1° grau: Dados os números reais a e b, com a

≠ 0, chama-se função do 1º grau (ou função afim) a

função: f: IR → IR definida por y= f(x)=a.x+b

o coeficiente a é chamado de coeficiente angular e o b de

coeficiente linear.

1.1 Gráfico da função do 1° Grau: é uma reta e pode ser

crescente (a> 0) ou decrescente (a< 0)

Função crescente a > 0 Função decrescente a < 0

y y

x x

1.2 Raiz e sinal da função do 1° grau: para calcularmos a

raiz da função f(x) = a.x+b, basta fazermos f(x)=0 ou y = 0,

logo, a.x+b=0 → �� = −� → � = - �� que é o ponto onde o

gráfico intercepta o eixo x. Aparte do gráfico que estiver

abaixo do eixo x terá sinal, do y ou f(x), negativo (sinal de

menos), e a parte que estiver acima do eixo x terá sinal, do

y ou f(x), positivo (sinal de mais). Considere as figuras

abaixo

Na primeira figura a função é crescente a > 0 e na segunda

figura a função é decrescente a < 0.



31

2. Função do 2°grau: dados os números reais a, b e c, com

a ≠ 0, chama-se função de 2° grau (ou função quadrática)

a função: f: IR →IR definida por y= f (x) = a . x2 + b . x + c.

2.1. Gráfico da Função do 2° grau: o gráfico da função

f(x)=a. �+b.x+c é uma curva chamada PARÁBOLA, que

possui concavidade para cima (a > 0), ou concavidade para

baixo (a < 0).

a > 0 a < 0

y y

x x

2.2. Vértice da Parábola: é o ponto que nos dará o

máximo (a < 0) ou o mínimo (a> 0), ou seja, teremos o

vértice de máximo, �� , e vértice de mínimo, �í�.

�Á

O vértice da parábola também é representado pelas suas

+ +

- -

�Í�



32

coordenadas x e y,

V=(x,y), ou pelas fórmulas x= - �.� y = - ∆�.� ∆= �- 4.a.c.

A coordenada x do vértice é o ponto médio das raízes.

Estas fórmulas podem ser usadas tanto para vértice de

máximo quanto para o de mínimo.

2.3. Raízes e sinais de uma função do 2° grau: para

calcularmos as raízes da função f(x)= a.� + b.x + c, basta

fazermos f(x)= 0 ou y= 0 e resolvermos a equação a.�+

b.x+c=0.

Dependendo do discriminante, ∆, teremos raízes reais ou

complexas, e dependendo do a teremos concavidade para

cima ou para baixo. Em cada um desses casos teremos os

sinais da função. A parte do gráfico que estiver abaixo do

eixo x terá sinal, do y ou f(x), negativo (sinal de menos), e a

parte que estiver acima do eixo x terá sinal, do y ou f(x),

positivo (sinal de mais). Vejamos então:

∆> 0:�� ≠� → corta o eixo x em dois pontos distintos

que são as raízes.

a > 0 a < 0

y y

v

x x

v

∆= 0:�� =� → corta o eixo x em um ponto,então as

duas raízes são iguais.



33

a > 0 a< 0

y y

V x

x

v

∆ < 0: não temos raízes reais, não corta o eixo x, as raízes

são complexas.

a > 0 a < 0

y y

x

v x v



34

Obs: os sinais de + e de – são sinais da função, ou seja, de

y ou f( x ), e não de valores de x, podemos ter um valor de

x negativo resultando um de y positivo, ou um valor de x

positivo resultando um de y negativo.

2.4. Montagem da função f(x)= a.��+b.x+c: podemos

montar uma função do 2º grau basicamente de duas

formas:

1.)calculando os coeficientes a, b e c: para isso teremos

que conhecer três pontos pertencentes à parábola

substituindo estes valores e resolvendo o sistema que

resultará.

Ex: monte a função f(x)= a.�+b.x+c, sabendo que os

pontos (1, -1), (-1, - 3) e (2, 6) pertencem à parábola.

Vamos substituir cada um dos pontos (1,-1), (-1,-3) e (2,6)

na função (x)=a.�+b.x+c,

(1,-1) → a+b+c= -1

(-1, - 3) → a-b+c=-3

(2,6) → 4.a+2.b+c+6, resolvendo este sistema

encontramos a=2, b= 1 e c =- 4.

Logo, a função será f(x) = 2.�+x – 4.

2.) Se tivermos as duas raízes �� e � podemos montar a

função da seguinte forma:

f(x)= a.(x-��).(x-�) em que a é o coeficiente de �, a poderá

ser calculado com um ponto qualquer da parábola.

3. Função exponencial

É toda função da forma y= f(x) = �� com b ∈ IR, b > 0 e b ≠



35

1. Se b > 1. A função será crescente e se 0 < b< 1 a função

será decrescente. Note que b não pode ser negativo, nem

zero e nem um.

3.1. Propriedade das potências

a) yxyx aaa +=⋅ b)

� �! = ��"#� ≠ 0 c)(��)#=��.#

d)(a.b)�=��. �� e)%��&�

=� � b≠ 0 f) �"�=

��'

a≠ 0

Obs: √�)'= �

*' n≥ 2

3.2. Gráfico da função exponencial

Nunca toca o eixo x

y y

1 x 1 x

0 0

função crescente b > 1 função decrescente 0 < b < 1

3.3 Equação exponencial

É toda equação cuja variável esteja no expoente, para

resolvê-la basta utilizarmos as propriedades das potências

representando a equação como uma igualdade entre

potências de mesma base, cujos expoentes serão iguais,

��= �#, logo, x=y, b>0 e b≠1.

3.4. Inequação exponencial



36

Teremos dois casos:

1.)b>1: a desigualdade entre os expoentes é a mesma

desigualdade entre as bases.

��> �-, logo, x> y, por exemplo.

2.)0 < b<1: a desigualdade entre os expoentes é o inverso

da desigualdade entre as potencias.

��> �-, logo, x< y, por exemplo.

4. Função logarítmica

É toda função da forma y= f(x)=./0� x com b ∈ IR, b > 0 e b

≠1, x>0.

se b> 1, a função será crescente, e se 0< b<1, a função será

decrescente. Note que b não pode ser negativo, nem zero

e nem um. Lembrando que x é chamado de logaritmando.

4.1. Gráfico da função logarítmica

Nunca toca o eixo y, é assíntota ao eixo y.

y y

1

x 1 x

função decrescente 0 < b < 1 função crescente b > 1

4.2. Equação logarítmica

É toda equação cuja variável está no logaritmando e pode

ser reduzida à seguinte forma:./0� x= ./0� y em que x= y.

Também podemos resolver uma equação logarítmica



37

utilizando a relação entre o logaritmo e a exponencial, que

é ./0� A= x ↔��=A, e as propriedade do logaritmo.

4.3 Inequação logarítmica

Teremos dois casos:

1.) b > 1: a desigualdade entre os expoentes é a mesma

desigualdade entre as bases.

./0� x > ./0� y, logo x > y, por exemplo.

2.) 0 < b<1: a desigualdade entre os expoentes é o inverso

da desigualdade entre as potências.

./0� x > ./0� y, logo x < y, por exemplo.

4.4. Propriedades do Logaritmo

1.) ./0� (A.B)= ./0� A+ ./0� B

2.) ./0� (A.B)= ./0� A+ ./0� B

3.) ./0� 2�= n ../0� A

4.) ./0� √2'=./0� 23

5.)mudança de base: ./0� A= 4567�4567�

mudamos para a base

c.

4.5 sistema de logaritmos

Existem os logaritmos decimais, cuja base é o número 10,

e os logaritmos neperianos, cuja base é o número

irracional e, sendo e= 2,71828.... Os logaritmos decimais

podem ser representados por ./0�8 A = log A, e os

logaritmos neperianos, por ./09 A= In A.

ATENÇÃO!!! Em questões envolvendo equações e

inequações logarítmicas, temos que levar em

consideração a validade do logaritmando.



38

Progressão Aritmética e progressão

geométrica

1. Progressão aritmética (PA)

É uma seqüência em que cada termo, a partir do 2 o , é a soma do

termo anterior com uma constante r, esta constante é chamada de

razão da progressão aritmética. A razão do PA pode ser calculada

subtraindo qualquer termo, exceto o 1º, do termo anterior. Podemos

representar os termos de uma PA com n termos da seguinte forma:

( )1 2 3 1, , ,... , .n na a a a a

− �

Se a razão da PA for positiva, r > 0, a PA é crescente, mas se a razão for

negativa, r < 0, a PA será decrescente.

1.1. Termo Geral da PA

Podemos calcular qualquer termo PA, conhecendo o primeiro termo 1

a

e a razão r, pela relação do termo geral, que é:

na =

1a + (n-1). r

1.2. Soma dos termos de uma PA finita

considere os n termos de uma PA finita,

(��, ��, ��… , ��, ��,podemos calcular a soma dos termos pela

relação: =��.�

1.3. Características

1.) Podemos escrever três termos consecutivos em PA da seguinte

forma: (x - r, x, x + r).

2.) Se três termos (a, b, c) estão em PA, então o do meio é média

aritmética dos outros dois, ou seja, b= 2

a c+.

2. Progressão Geométrica (PG)

É uma seqüência em que cada termo, a partir do 2º , é o produto do



39

termo anterior com uma constante q. Esta constante é chamada de

razão da progressão geométrica.

A razão da PG pode ser calculada dividindo-se qualquer termo, exceto

o 1º , pelo termo anterior. Podemos representar os termos de uma PG

com n termos da seguinte forma: ( )1 2 3 1, , ,... , .n na a a a a

−

Se a razão da PG for q> 1, a PG será crescente, mas se a razão for

0< q< 1, a PG será decrescente, e se a razão for q < 0, a PG será dita

alternada ou oscilante.

2.1 Termo Geral da PG

Podemos calcular qualquer termo da PG, conhecendo o primeiro termo ��e a razão q, pela relação do termo geral, que é:

na =

1a .��

2.2 Soma dos termos de uma PG finita

considere os n termos de uma PG finita ( )1 2 3 1, , ,... , .n na a a a a

−podemos

calcular a soma dos termos pela relação:

�=��

2.3. Soma dos termos de uma PG infinita

Se tivermos uma PG infinita ��, ��, ��,...) cuja razão está entre -1 e +1,

-1 <q< + 1 (note que a razão pode ser negativa), então podemos calcular a

soma dos termos desta PG infinita com a relação:

s= ��

2.4 Características:

1.) podemos escrever três termos em PG da seguinte forma: (��, x, x. q)

2.)Se três termos (a, b, c) estão em PG, o do meio é média geométrica

entre os outros dois, ou seja, �� = a.c, note que podemos ter a razão

negativa.



40


1)(CESGRANRIO/PETROBRAS 2010) Devido ao calor, o consumo de energia de certa

residência vem aumentando 10% ao mês, desde setembro de 2009, chegando a

732,05 kWh, em janeiro de 2010. Qual foi, em kWh, o consumo de energia dessa

residência, em outubro de 2009?

a)500 b)525 c) 533 d)550 e)566

2) (CESGRANRIO/PETROBRAS 2010) A série alternada, apresentada a seguir, converge

absolutamente. 12 − 14 + 18 − 116 + 132 −⋯

Seu valor é:

a)1/2 b)1/3 c)1/4 d)1/5 e)1/6

3) (CESGRANRIO/PETROBRAS 2010) Qual é o número que deve ser somado aos

números 1, 5 e 7 pra que os resultados dessa somas, nessa ordem, formem três

termos de uma progressão geométrica?

a)-9 b)-5 c)-1 d)1 e)9

4)(ZAMBINI/CODASP/2010) Um ciclista percorreu 75 km no primeiro dia, no segundo

dia percorreu 5 quilômetros a mais que o primeiro; no terceiro dia, 5 quilômetros a

mais que no segundo e assim por diante. Quantos quilômetros percorreu esse ciclista

ao final de 12 dias?

a)1 230 b)1 005 c)780 d)205 e)130

5)(AOCP/INES RJ/2009) Uma progressão aritmética é tal que a soma dos seus 15

primeiros termos é 1095. Sabendo-se que o quinto termo dessa progressão é 46,

temos que a razão é

a) um número maior que 15. b) um número par. c) um quadrado perfeito

d)um número primo e) um número menor que 5.

6)(CESGRANRIO/BNDES /2008) Uma seqüência de números (��, ��,��,…) é tal que a

soma dos n primeiros termos é dada pela expressão. �=3!�+n O valor do 51º termo é

a)300 b) 301 c)302 d)303 e)304

7)(CESGRANRIO/EPE /2007) Considere a soma dos n primeiros termos da progressão

aritmética 1,1 +1,4+1,7+2,0+2,3+...+ �=278. É correto afirmar que n é um número:

a) primo. b)ímpar. c) múltiplo de 3. d) múltiplo de 5. e) múltiplo de 7.

8)(FUNRIO/INVEST RIO/2010) Calcule a soma da série infinita e assinale a opção



41

correspondente.

2 – 1 + 1 / 2 – 1 / 4 + 1 / 8 -...

a)0 b)-1 c)1 d)3/4 e)4/3

9) (CESGRANRIO/EPE/2009) O valor da soma infinita 2 – 1 + 1 / 2 – 1 / 4 + 1 / 8 -1 /

16... é:

a)4 b)2 c)11/8 d)4/3 e)2/3

GABARITO

1-D 2-B 3-A 4-A 5-C 6-E 7-D 8-E 9-D

Análise Combinatória e Probabilidade

Análise Combinatória: estuda a formação e a contagem dos agrupamentos (Arranjos,

Combinações e Permutações)

1.) Evento Maior: é a mais importante e a mais fácil de identificar, pois é a pergunta da

questão, o que a questão está pedindo para se calcular.

2.) Evento Menor: é toda o que forma ou compõe o evento maior.

3.) A Disposição: realmente é o que temos à nossa disposição, o mais

importante é perceber que o “A Disposição” está ligado com o Evento

Menor.

Vamos identificar nos exemplos abaixo as três partes.

Ex: Uma senha é formada por duas letras seguidas por três algarismos.

Quantas senhas podemos formar com 26 letras e 10 algarismos?

A questão pede para se calcular a quantidade de senhas, note que em

uma senha a ordem dos elementos é importante, logo, se trata de um

arranjo, pois, no arranjo, a ordem é importante. Estas senhas são

formadas por duas letras seguidas por três algarismos. Temos à nossa

disposição 26 letras e 10 algarismos.

Maior: senha (arranjo)

Menor: 2 letras e 3 algarismos

Disposição: 26 letras e 10 algarismos



42

Ex: Uma clínica possui 5 médicos, 7 enfermeiros e 10 técnicos. Quantos

plantões compostos por 2 médicos, 3 enfermeiros e 5 técnicos podem

formar?

A questão pede para se calcular a quantidade de plantões, em um plantão

a ordem dos elementos não é importante, logo, se trata de uma

combinação, pois na combinação a ordem dos elementos não é

importante. Os plantões serão compostos por 2 médicos, 3 enfermeiros e

5 técnicos. Temos à nossa disposição 5 médicos, 7 enfermeiros e 10

técnicos.

Maior: plantões (combinação)

Menor: 2 médicos, 3 enfermeiros e 5 técnicos

Disposição: 5 médicos, 7 enfermeiros e 10 técnicos

Juntamente com as três partes, o Principio Multiplicativo é muito

importante.

Daremos uma definição não técnica, mas você irá entender.

Princípio multiplicativo: iremos multiplicar os valores do evento menor,

os quais serão calculados de uma forma se for arranjo e de outra forma se

for combinação.

Propriedade: sempre que usarmos o “e” poderemos multiplicar e sempre

que usarmos o “ou” poderemos adicionar.

Vamos estudar as características de cada um deles.

1.1 Arranjo: é um agrupamento em que a ordem dos seus elementos é

importante, ou seja, se você mudar algum elemento de posição, teremos

um novo agrupamento. Existem palavras e expressões que no dão a dica

do arranjo.

DICA: senha, código, fila, placa de carro e moto, número de telefone e

identidade, números ordinais (primeiro, segundo,... penúltimo, ultimo),

um após o outro.

Essas palavras, de uma forma geral, aparecem no Evento Maior.

Para calcularmos a quantidade de arranjo simples, existe a formula: �"= !�"�! ATENÇÃO!!! Nos arranjos poderemos repetir os elementos ou não, se o

problema nada disser então os elementos poderão ser repetidos, mas se o



43

problema disser que os elementos são distintos, então os elementos não

poderão se repetir. Agora, cuidado, o único “distintos” importante é

aquele ligado ao Evento Menor.

Ex: 01: Uma senha é formada por duas letras seguidas por três algarismos.

Quantos senhas podemos formar com 26 letras e 10 algarismos?

Solução

Como vimos anteriormente, podemos escrever da seguinte forma:

Maior: senha (arranjo)

Menor: 2 letras e 3 algarismos

Disposição: 26 letras e 10 algarismos

Vamos imaginar que o Evento Maior seja uma “bandeja” e dentro dela

tenhamos o Evento Menor, ora o Evento Menor é formado por 5

elemento, logo, colocaremos5 “tracinhos” dentro da “bandeja”, os dois

primeiros para letras e os outros três para algarismos.

⟨ % % & & &⟩, note que nada foi dito se podemos ou não repetir, logo,

poderemos repetir.

como temos 26 letras e 10 algarismos à nossa disposição ⟨�(% �(% �)& �)& �)& ⟩, pelo

princípio multiplicativo iremos multiplicar os valores do Evento

Menor,logo, 26.26.10.10.10= 676000 senhas.

Ex. 02: (MRE 1999) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é

preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma

senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas

condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é

a) 518 400 A

b) 1 440

c) 720

d) 120

e) 54

Solução

A questão pede para calcular a quantidade máxima de tentativas para

abrir os cadeados, mas essas tentativas estão ligadas à quantidade de

senhas de um e à quantidade de senhas do outro, logo, teremos uma



44

“bandeja” com os três algarismos de um cadeado e os três do outro

cadeado. Cuidado, pois aparece distinto ligado ao Evento Menor e este

distinto é importante.

Maior: Senhas (arranjo)

Menor: 3 algarismos distintos e 3 algarismos distintos

Disposição: 10 algarismos

⟨& & & . & & &⟩ logo, ⟨�)& *& +& . �)& *& +&⟩ 10. 9. 8. 10. 9. 8 = 518400 tentativas.

Ex. 03: Um código é formado por duas letras distintas seguidas por dois

algarismos iguais. Quantos códigos podemos formar?

Solução

MUITA ATENÇÃO!!! Já vimos que os elementos podem se repetir ou

podem ser distintos, mas existe uma terceira opção que é quando são

iguais, vejamos: considere 26 letras e temos no arranjo 2 letras iguais,

para a primeira letra temos 26 opções, destas, iremos escolher 1 para

colocar no arranjo, como as duas são iguais para a segunda letra apenas 1

opção, logo, temos 26.1. E se tivermos 3 letras iguais? Vamos usar o

mesmo raciocínio, para a primeira letra temos 26 opções, para a segunda

letra 1, l opção e para a terceira letra 1 opção, logo, 26.1.1.

Maior: código(arranjo)

Menor: 2 letras distintas e 2 algarismos iguais

Disposição: 26 letras, 10 algarismos

⟨�(% . �,% . �)& . �&⟩ 26. 25. 10. 1= 6500.

1.2 Combinação: é um agrupamento em que a ordem dos seus elementos

não é importante, ou seja, se você mudar algum elemento de posição,

teremos o mesmo agrupamento. Existem palavras e expressões que nos

dão a dica da combinação.



45

DICA: combinação, plantão, conjunto, grupo, equipe.

Essas palavras, de uma forma geral, aparecem no Evento Maior.

para calcularmos a quantidade de combinação simples temos a fórmula -"= !"!.�"�! , o ponto de exclamação representa fatorial, assim 5!= 5.4.3.2.1=

120.

Mas não se preocupe, pois o n não fórmula representa o “A Disposição” e

o p representa o “Evento Menor”, vamos utilizar a “bandeja” só que os

valores serão calculados com a fórmula.

ATENÇÃO: Combinações Complementares: duas combinações são ditas

complementares se forem iguais -"=-. e se p+ m= n.

Ex. 01: sejam 4 médicos, 5 enfermeiros e 7 técnicos. Quantos plantões

distintos podem formar com 2 médicos, 3 enfermeiros e 3 técnicos?

Solução

Maior: plantões (combinação)

Menor: 2M, 3 E, 3 T

Disposição: 4 M, 5E, 7 T

⟨�/ �0 �1⟩ de 4 médicos vamos escolher 2, de 5 enfermeiros vamos escolher

3 e de 7 técnicos vamos escolher 3, logo, ⟨ 234�/ 256�0 276�1⟩. Para casa combinação

utilizaremos a fórmula, mas podemos tomar um caminho mais curto,

vejamos:-9� pela fórmula o 4 ficaria com o fatorial no numerador, mas

façamos o seguinte, numerador teremos o produto dos dois primeiros

números do 4!, Pelo fato de termos o 2 na combinação, e no denominador

teremos o 2 com o fatorial 2 !. Ficamos então com:

-9�=9.��! = 9.��.� = 6. O mesmo para a outra combinação

-,�=,.9.��! = ,.9.��.�.�= 10 e o mesmo para a outra -:�= :.(.,�! = :.(.,�.�.�=35.

Pelo princípio multiplicativo iremos multiplicar os valores do Evento

Menor, logo, 6. 10. 35= 210 plantões.

Muita Atenção!!! Princípio aditivo, e a dica de que a questão será

resolvida com Princípio aditivo é quando aparecer o “ou” no Evento

Menor. Vejamos no exemplo abaixo:

Ex.: (TRE/ MG/ 2008) Se, no departamento de recursos humanos de uma



46

empresa em que trabalhem 5 homens e 4 mulheres, for preciso formar,

com essa equipe, comissões de 4 pessoas com pelo menos 2 homens, a

qualidade de comissões diferentes que poderão ser formadas será

a) Superior ou igual a 200.

b) Superior ou igual a 170 e inferior a 200

c) Superior ou igual a 140 e inferior a 170

d) Superior ou igual a 110 e inferior a 140

e) Inferior a 110

Solução

percebe a expressão “comissões de pessoas com pelo menos 2

homens”, 4 pessoas é o Evento Menor e no Evento Menor temos

pelo menos 2 homens, de 4 pessoas ter pelo 2 homens significa: (2H

e 2 M) ou (3H e 1M) ou (4H),ou seja, temos um “ou” no Evento

Menor, teremos três “bandejas”cujos valores, após calculados,

serão adicionados.

Maior: comissões (combinação)

Menor: (2H e 2 M) ou (3H e 1M) ou (4H),

Disposição: 5H, 4M

⟨254�; . 234�/⟩ → ,.9�.� . 9.��.�= 60

⟨256�; . 23��/⟩ → ,.9.��.�.� . 9�= 40

⟨2539;⟩ → ,.9.�.�9.�.�.�= 5

logo, teremos 60+40+5= 105.opção E.

1.3. Permutação: nada mais é do que a mudança de posição dos

elementos de um agrupamento, em que a ordem seja importante,

ou seja, a permutação é um arranjo. Na permutação nós não iremos

calcular a quantidade de agrupamento e sim a quantidade de

formas de mudarmos os elementos de um dado agrupamento de

posição. Quando permutamos letras também podemos usar a

palavra anagrama.

Teremos três tipos de permutação.

1.) Permutação simples: neste caso todos os elementos serão



47

distintos, diferentes. A quantidade de permutação simples de n

elementos distintos será: P(n) = n!.

Ex. 01: Quantos anagramas possui a palavra CINEMA?

Temos seis elementos, letras, distintas, logo, P(6)= 6 != 6. 5. 4. 3.2.

1= 720.

Cuidado!!! Em algumas questões ele se refere a elementos que

ficarão juntos, então iremos proceder da seguinte forma:

1.) iremos imaginar os elementos que ficarão juntos de um

“saquinho”. Este “saquinho” fará o papel de um elemento.

2.) dentre do “saquinho” iremos calcular depois.

Ex. 02: em quantos anagramas da palavra CINEMA as vogais ficam

juntas?

Iremos colocar as vogais dentro do “saquinho” e as consoantes

ficarão fora.

[I E A] C N M, como o “saquinho” faz papel de um elemento,

teremos, juntamente com vogais, 4 elementos. Permutando esses 4

elementos, 4!, garantimos que as vogais fiquem juntas, mas dentro

do “saquinho” podemos permutar as vogais 3!Logo, o total de

anagramas será o produto 4!. 3!, abrindo os fatoriais teremos 4. 3.

2. 1. 3. 2. 1= 144 anagramas.

2) Permutação com repetição: existem elementos que se repetem,

vamos calcular da seguinte forma:

“fatorial do total de elementos dividido pelo produto dos fatoriais

das quantidades de repetições”.

Ex. 01: Em quantos anagramas possui a palavra ARARAS? (!�!.�! = (.,.9.�.�.��.�.�.�.� = 60,note que o 3! Veio do A que se repete 3 vezes e o 2

veio do R que se repete 2 vezes.

Ex. 02: Em quantos anagramas da palavra PARALELO as letras P, A,

R, A ficam juntas?

Aqui podemos utilizar o mesmo raciocínio do “saquinho” da

permutação simples.

[PARA] LELO, o saquinho” faz papel de um elemento, teremos 5

elementos dos quais o L se repete duas vezes, logo, ,!�!= ,.9.�.�.��.� = 60.

Dentro do “saquinho” temos 4 elementos dos quais o A se repete



48

duas vezes, logo, 9!�!= 9.�.�.��.� = 12 .No total teremos 60.12= 720

anagramas.

3) Permutação Circular: neste caso consideremos os elementos

distintos. Para calcularmos as permutações circulares procederemos

da seguinte forma: “ iremos fixar um elemento e permutar os

restantes”, a permutação circular de n elementos distintos será

PC(n)=(n-1)!. Existem algumas expressões que nos dão a dica da

permutação circular.

DICA: em volta de, em torno de, ao redor de.

2. Probabilidade:

Definição Clássica de Probabilidade: Dado um experimento

aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos

os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja,

que S é um conjunto equiprovável.

P(A)= ú.@ABC@2�DBDE�FBAáF@HD�B@F@IB&ú.@ABC@2�DBD"BDDíF@HD 0 ≤ P (A)≤ 1

Evento Complementar: O complemento de um evento A é,

portanto, o evento contendo todos os resultados no espaço

amostral S que não pertencem a A: P(A)= 1- P(A).

2.1 Teorema da Soma (Probabilidade ou “ou”): dados dois eventos

A e B, a probabilidade de pelo menos um deles ocorrer é igual à

soma das probabilidade de cada um menos a probabilidade de

ambos acorrerem simultaneamente,ou seja:

P(A ou B)= P( A U B)= P (A) +P (B) – P (A∩B)

Se A e B forem mutuamente exclusivos, teremos P(A B)= ø.Assim,

P(A U B)= P(A )+P(B).

Obs.: P(A U B U C)= P (A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P (A C)- P(B C)+ P

(A B C)

2.2. Probabilidade condicional: Existem situações em que a

chance de um particular evento acontecer depende do resultado

de outro evento. A probabilidade condicional de A, dado que



49

ocorreu B, pode ser determinada dividindo-se o número de

elementos de ambos os eventos A e B pelo número de evento de

B (note que haverá uma redução do espaço amostral) como se

mostra a seguir:

P�L|N�= �&∩O��O� n (B) passa a ser o novo espaço amostral.

2.3 Eventos Independentes (probabilidade do “e”): suponha

que dois eventos A e B ocorrem independentes um outro no

sentido de que a ocorrência ou não de um deles ao tenha

nenhuma influencia na ocorrência ou na não ocorrência do

outro. Nessas condições

P(A e B) = P(A B) = P(A). P(B)

2.4. Se os elementos forem retirados simultaneamente, a ordem

dos elementos não é importante, se os elementos forem

retirados um após o outro, a ordem dos elementos é

importante.


1)(ESAF/MPOG/2010) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clinica um

programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados

neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas

diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3

pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de

diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três

diferentes salas, igual a:

a)2.440 b)5.600 c)4.200 d)24.000 e)42.000

2)(PC SP/Escrivão/2009) Oito cavalos distintos disputam uma corrida. Quantas

são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares?

a)56 b)112 c)336 d)452 e)512

3)(PC SP/Escrivão /2009) Lança-se uma moeda 4 vezes consecutivas. Quantas

seqüências de resultados são possíveis?

a)04 b)08 c)16 d)32 e)64

4)(ESAF/MRE/2002)Chico, caio e caco vão ao teatro com suas amigas



50

Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número

de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que

Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:

a)16 b)24 c)32 d)46 e)48

5)(FEPESE/AFRE SC/2010) Sejam dois eventos, A e B, mutuamente exclusivos. A

probabilidade de ocorrência de A vale 0,2. A probabilidade de ocorrência de B

vale 0,4. Quanto vale a probabilidade de ocorrência do evento A união B?

a)0,08 b)0,4 c)0,48 d)0,52 e)0,6

6)(FGV/ICMS RJ/2010) Se A e B são eventos independentes com probabilidade

P[A]=0,4 e P[B]=0,5 então P[A B) é igual a:

a)0,2. b)0,4. c)0,5. d)0,7. e)0,9.

7)(ESAF/ANA/2009) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2

verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da

probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor?

a)11,53 % b)4,24% c)4,50% d)5,15% e)3,96%

8)(CESPE/BASA/2010)Considerando que o anagrama da palavra ALARME seja

uma permutação de letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem

comum, a quantidade de anagramas distintos dessa palavra que começam por

vogal é 360.

certo ( ) errado( )

9)(CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) A vitrine de uma determinada loja possui 5

lugares para colocação de manequins. Considerando que a loja possui 5

manequins, em quantas formas diferentes eles podem ser arrumados?

a)120 b)100 c)50 d)25 e)15

10)(AOCP/INES RJ/2009) Quantos são os anagramas da palavra cola?

a)4 b)12 c)24 d)36 e)48

GABARITO

1-C 2- C 3-C 4-E 5-E 6-D 7-E 8 - 9- A 10-C

Matriz, Determinante, Sistema Linear e Números Complexos

1. Teoria das Matrizes: uma matriz é uma tabela de números dispostos

segundo linhas (i) e colunas (j). Os números são os elementos da matriz e



51

cada elemento é representado pela linha (i) e coluna (j) em que esteja de

forma genérica cada elemento é representado por �HP. As matrizes podem

ser representadas por parênteses ou colchetes.

Ex.: A=Q1 −20 3 R e B S1 30 −22 −5U , ou também c= S-�� -�� -��-�� -�� -��-�� -�� -��U

Note que a matriz A possui 2 linhas e 2 colunas, a matriz B possui 3 linhas

e 2 colunas e a matriz C, 3 linhas e 3 colunas, podemos definir a ordem de

uma matriz que é dada pelo número de linhas e colunas. Logo, a matriz A

é de ordem dois por dois, 2x2, a matriz B é de ordem três por dois, 3 x 2, e

a matriz C é de ordem 3 por 3, 3 x 3. Quando a matriz possuir o número de

linhas igual ao número de colunas dizendo que a matriz é quadrada, a

matriz A é quadrada de ordem 2 ou de segunda ordem. No caso da matriz

quadrada podemos definir a diagonal da matriz. Considere a matriz.

A=S1 −2 −10 4 13 2 5 U

a Diagonal principal é formada pelos elementos (1, 4, 5) e a diagonal

secundária é formada pelos elementos (-1, 4, 3).

obs.: para a diagonal principal iremos associar um sinal de + e para a

secundária um sinal de -. A aplicação será vista no cálculo dos

determinantes.

1.1. Adição e subtração e matrizes: só podemos adicionar e subtrair

matrizes se forem de mesma ordem, portanto, iremos adicionar e subtrair

os termos correspondentes.

vejamos abaixo:

Q 2 3−4 5R+Q1 −23 2 R= Q 2 + 1 3 + �−2−4 + 3 5 + 2 R= Q 3 1−1 7R

Diagonal secundária (-) Diagonal principal (+)



52

S 1 0−3 45 8U-S4 −33 15 9 U=S1 − 40 − �−3�−3 − 34 − 15 − 58 − 9 U=S−33−630 − 1U

1.2. Multiplicação de matriz por uma constante: iremos multiplicar a

constante por todos os elementos da matriz.

8. X2 − 1 �9015−462Y= X8.28. �−1�8. �98.08.18.58. �−4�8.68.2Y=S 16 − 820840−324816U

1.3 Produto de Matrizes: existe Para se multiplicar matrizes, o número de

colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas da

segunda matriz, ou seja, LZ�[. N[�\]^_`a , note que a matriz resultante é de ordem P x Q.

Obs.: o produto de matrizes não é comutativo, ou seja, geralmente A. B

não representa B . A.

Para calcularmos a matriz resultante do produto de duas matrizes C= A .B,

note que C é a ordem 2, iremos preceder da seguinte forma:

c= b2 34 5c.b3 42 1c= d �2.3 + 3. 2� �2.4 + 3.1�4.3 + 5.2� �4.4 + 5.1e os elementos de C são obtidos multiplicando-se ordenadamente os

elementos da linha de A pelos elementos da coluna de B e , em seguida,

adicionando-se esses produtos. -��= 2.3+3.2=12 -��= 2.4+3.1=11

-��= 4.3+5.2=22 -��= 4.4+5.1= 21, logo, a matriz C será c=b12 1122 21c Vamos a mais um exemplo, neste caso matriz A é de ordem 3x 2 e a

matriz B é de ordem 2 x 3, veja que a matriz C será de ordem 3 x 3,

também podemos chamar de ordem 3 ou 3.ª ordem por ser quadrada.

C=S1 23 45 6U.b2 8 73 5 9c=X�1.2 + 2.3� �1.8 + 2.5� �1.7 + 2.9��3.2 + 4.3� �3.8 + 4.5� �3.7 + 4.9��5.2 + 6.3� �5.8 + 6.5� �5.7 + 6.9�Y=

S 8 18 2518 44 5728 70 89U



53

-��= 1.2+2.3=8 -��= 1.8+2.5=18 -��= 1.7+2.9=25 -��=3.2+4.3=18 -��=3.8+4.5=44 -��= 3.7+4.9=57

-��=5.2+6.3=28 -��= 5.8+6.5=70 -��= 5.7+6.9=89

1.4. Igualdades de matrizes: duas matrizes de mesma ordem

são iguais quando os seus elementos correspondentes são

iguais.

Ex: calcule x+y+z, f 1 g − 3 0−2 8 42 h + 2 3i=f1 2 0j + 1 8 42 4 3i.

Como as matrizes são de mesma ordem, os seus elementos

correspondentes serão iguais, logo:

X-3=2 x=5, +2=4 z= 2 e y+1=8 y= 7. Com isso, x+y+z=14.

1.5 Montagem de uma matriz: existem questões em que se

fornece a lei deformação da matriz em função de i e j, do

seu elemento geral �HP . Para montarmos a matriz

procederemos da seguinte forma:

Ex.01: Monte a matriz A, de ordem 2 x 3, definida por �HP = k + l. A matriz A possui 2 linhas e 3 colunas, e é representada por

Ab�� c, basta calcularmos os elementos utilizando a lei de

formação, então: ��=1+1=2 ��=1+2=3 ��=1+3=4 ��=2+1=3 ��=2+2=4 ��= 2+3=5, logo,

A: b2 3 43 4 5c . Ex. 02: monte a matriz S, de 3ª. ordem, definida por �HP=

m 2. k, k > lk − l, k = l.k + l, k < l

A matriz S é de 3ª. ordem, ou seja, possui 3 linhas e 3 colunas, é

quadrada,

s=f��i.



54

note que na lei de formação usaremos 2. i se i>j, i+ j se i = j e i- j

se i < j. Vemos lá: ��=1-1=0 ��=1+2=3 ��=1+3=4 ��=2.2=4 ��=2-2=0 ��=2+3=5

��=2.3=6 ��=2.3=6 ��=3-3=0, logo, s=f046306450i.

1.6. Tipos de Matrizes

a) matriz identidade: é a matriz quadrada que possui os

elementos de sua diagonal principal iguais a 1 e os demais

elementos iguais a 0. A matriz identidade de ordem n é

representada o por p.

p�=f 10 001 000 1i Matriz identidade de ordem 3.

b) Matriz transposta: seja uma matriz A de ordem n x m, a sua

matriz transposta L1 é obtida trocando a linha pela coluna, ou

seja, 1ª. Linha de A será a 1ª coluna de L1, mantendo-se a ordem

dos elementos tanto da matriz a quanto da matriz a quanto da

matriz L1, ou seja, o 1º elemento da 1ª linha será o 1º elemento

da 1ª coluna; o 2º elemento da 1º linha será o 2º elemento da 1º

coluna..., e assim procedendo para todas as linhas de A obtendo

as colunas de L1 . Ex: Considerando a matriz A= f 12030 − 1724016i, monte a sua

transposta.

A 1ª linha de A será a 1ª coluna de L1 e assim sucessivamente,

logo,

L1 = q1 0 42 −1 003 72 16r.

c) Matriz Inversa: para que uma matriz tenha uma inversa ela

terá que ser quadrada, por exemplo, uma matriz L� é a matriz

inversa de A se e somente se A. L�=L�. A=I, ou seja, o produto



55

da matriz pela sua inversa tem que ser a matriz identidade.

Ex.: A=Q1 32 7R e L�= Q 7 −3−2 1 R, pois Q1 32 7R.Q 7 −3−2 1 R=Q1 00 1R,

2. Teoria dos Determinantes: só poderemos calcular

determinante de matrizes quadradas, o determinante é um

número real associado à matriz. Note que poderemos ter

matrizes quadradas diferentes com o mesmo determinante.

Basicamente iremos calcular determinantes de matrizes

quadradas de 2ª e 3ª ordens, ou seja, matrizes 2x2 e 3x3. O

determinante da matriz A será representado por det (A) ou por

meio de duas barras nos colchetes ou parênteses.

Ex: seja a matriz A= Q1 32 7R o seu determinante será det (A) =

s1 32 7s.

2.1. Determinantes de uma matriz 2 x 2:será calculado

subtraindo o produto dos elementos da diagonal principal pelo

produto dos elementos da diagonal secundária, ou seja, ao

produto dos elementos da diagonal principal associamos o sinal

de + e ao produto dos elementos da diagonal secundaria

associamos o sinal de -.

Ex: det(A)= s1 32 7s= + 1. 7- 3. 2= + 7- 6 = 1.

2.2. Determinantes de uma matriz 3 x 3 ( Regra de Sarrus):

iremos utilizar o seguinte método: após a 3ª. Coluna iremos

repetir as duas primeiras colunas, ficando com um total de 5

colunas. Teremos, então, três diagonais principais e três

diagonais secundárias. Ao produto dos elementos de cada

diagonal principal associamos o sinal de + e ao produto dos

elementos de cada diagonal secundária associamos o sinal de -,

somando os resultados. Vejamos um exemplo para você

+ -



56

entender melhor.

Ex: det(A)= t1 222 11132t det(A) = u1 222 11

132u 122211

det(A)= +1 .1. 2 + 2. 3. 2+ 1. 2. 1- 2. 2. 2-1. 3. 1- 1. 1. 2= + 2+ 12 +

2- 8- 3- 2= + 16-13= 3.

2.3. Teorema de Laplace: é utilizado para se calcular o

determinante de matrizes de ordem superior a 3, mas pode ser

usado para ordem 3 e 2. Em outras questões poderemos calcular

o determinante utilizando as propriedades dos determinantes

que veremos depois. Para a utilização do teorema de Laplace

teremos que saber o que é um “Menor Complementar” e um

“Cofator”.

a) Menor Complementar: seja uma matriz quadrada A de ordem

n ≥ 2 e seja �HP um elemento qualquer de A. O Menor

Complementar do elemento �HP, representado por vHP, é o

determinante da matriz formada suprimindo a linha i e coluna j

de A.

Ex.: Considere a matriz A=f122021343i, calcule o Menor

Complementar de �� e de ��. Bem, o �� está ligado com o v��, vamos suprimir a 2ª linha e a 1ª

coluna, o �� está ligado com o v��, vamos suprimir a 3ª. Linha e a

2ª coluna.

v��= t1 0 32 2 42 1 3t= s0 31 3s= + 0. 3- 3. 1= -3 v��= t1 0 32 2 42 1 3t= s1 32 4s= +1.

4 – 3.2 = -2

b) Cofator (Complemento Algébrico): seja uma matriz quadrada

A de ordem n≥ 2 e seja �HP um elemento qualquer de A. O

Cofator do elemento �HP, representado por LHP, será �−1�HwP. vHP. Ex: considere a matriz A=f122

021343i, calcule o Cofator de �� e de



57

��. Basta calcularmos o ��xy�� utilizando os resultados anteriores.

Com isso, L��= (-1��w�.(-3)= (−1��.(-3)=(-1).(-3)=3 e L��=(-1��w�.(-2)=(−1�,. (-2) =2.

Agora podemos enunciar o Teorema de Laplace: “o

determinante de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é a soma dos

produtos dos elementos de qualquer fila (linha ou coluna)

pelos seus respectivos Cofatores”. Iremos escolher qualquer

linha ou coluna e somar os produtos dos elementos escolhidos

pelos respectivos Cofatores. Vamos a um exemplo.

det(A)= z32 15 0 − 22145 36 −14−4 − 6z vamos escolher a 1ª linha e calcular os

cofatores

det(A) = 3. (−1��w�. u523 − 1 146 − 4 −6u+ 1. (-1��w�.u224 − 1 145 − 4 −6u+ 0. (-1��w�. u2543 1456 −6u+ (-2). (-1��w9 .u2543 2−156 −4u= 3. (188) – 1. (121) + 2. (61)

= 565

2.4. Propriedades dos Determinantes: serão muito úteis para

calcularmos certos determinantes.

a) Sejam A matriz quadrada de ordem n e sua matriz transposta L1, logo, det ({|) = det (A).

Ex: u1221 1321 2u=3 e u1221 2113 2u=3

b) Sejam A uma matriz quadrada e L� a sua inversa, logo,

det (A). det(L��= 1. Note que ambos os determinantes são

diferentes de zero, neste não precisaremos calcular a matriz

inversa para calcular o determinante.

Costumamos dizer que “o determinante da inversa é o inverso

do determinante”.



58

Ex.: Seja A= f122021343i, calcule det ({}).

det(A) u1022 3421 3u=-4 e det(A). det({})=1, logo (-4). det({})= 1 e

det({})= -}~ .

c) Teorema de Binet: sejam A e B duas matrizes quadradas de

mesma ordem n, então det(A.B)= det(A). det(B).

d)Se os elementos de uma fila (linha ou coluna), de uma matriz

quadrada, forem todos nulos, então o determinante dessa

matriz vale zero.

det(A)= z 1−2 13 020131 −12 0205 z= 0 det(B)= z 1−2 13 024130 −10 1200 z= 0

e) Se duas filas (linhas ou coluna) paralelas forem iguais ou

proporcionais, o determinante será zero.

det(A)= z 1−2 13 024131 −11 1202 z= 0 A 1ª linha é igual à 4ª linha.

det(B)= z 1−2 13 024631 −11 1 − 202 z= 0 A 4ª coluna é o dobro da 2ª

coluna, ou seja, é proporcional.

f) Se trocarmos sua filas ( linha ou colunas) paralelas de posição,

o determinantes trocará de sinal.

u1022 3421 3u= - 4 logo u2122 3410 3u= + 4 trocamos a 1ª e a 3ª linhas de

posição.

g)Se multiplicarmos todos os elementos de uma fila por uma



59

constante, o determinante ficará multiplicado pela constante.

u2122 3410 3u= + 4 logo u2144 3810 3u= 2.4= 8, pois multiplicamos a

2ªlinha por 2.

h) De uma forma geral, se multiplicarmos todos os elementos de

uma matriz A, de ordem n, por uma constante k, teremos det (k.

A)= �. det(A).

i)Se abaixo ou cima ou abaixo e acima da diagonal principal os

elementos forem todos nulos, o determinantes será o produto

dos elementos da diagonal principal.

z20 34 011300 00 3205 z= 2. 4. 3. 5=120

z21 04 000032 76 3065 z=2.4.3.5=120

z20 04 000000 00 3005 z= 2 .4. 3.5= 120

3. Sistema Linear: é o conjunto de equações lineares.

Basicamente iremos trabalhar com sistemas com duas equações e duas

variáreis e com três equações e três variáveis e estaremos preocupados

com a resolução e com a discussão.

Discutir um sistema significa saber que condições ele deve satisfazer para

que seja possível determinado, possível indeterminado ou impossível

(I)� ��.�w��.�]2��. g + ��.�]24 (II) m��. g + ��. j + -�. h = ��. g + ��.j + -�. h = ��. g + ��. j + -�. h = ��

3.1. Resolução de um sistema linear: resolver um sistema

significa calcular o valor de suas variáveis, no sistema (I)

calcularemos o par (x, y) e no sistema (II) calcularemos o trio (x,





60

y, z), para isso iremos preceder como foi visto anteriormente ou

poderemos utilizar a Regra de Cramer no caso de Sistema

Possível e Determinado, que veremos mais adiante.

3.2. Representação matricial de um sistema: podemos

representar da seguinte forma:

� ��.�w��.�]2��. g + ��.�]24 → Q�1 �1�2 �2R.QgjR=Q-�-�R

m��.��. .g +g +g +��.��.��.j +j +j +-�.-�.-�.h = ��h =h = �� → f

�� -�� -�� -�i . �gjh�=f

��i


1)(ESAF/ATA/2009) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os

elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira

linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica:

a) multiplicado por -1. b) multiplicado por -16/81. c) multiplicado por 2/3.

d) multiplicado por 16/81. e) multiplicado por -2/3.

2)(CESPE/MS/2008) Se a matriz quadrada A= (�HP) tem dimensão 3 x 3 e é tal que �HP=1, se i j e �HP=i-j, se i >j, então o determinante de A é um número

estritamente positivo.

certo( ) errado ( )

3)(CESGRANRIO/ TRANSPETRO/2008)

m2. � + 3. � − 5. � = 1� − 2. � + 3. � = 23. � + � − �. � = �

A respeito do sistema linear acima, em que p e q são números reais, e correto

afirmar que

a) se p 2, não possui solução.

b) se p 2, possui infinitas soluções.

c) se p 2, possui uma única solução.

d) se p 2 e q 3, não possui solução.

e) se p 2 e q 3, não possui solução.

4)(ESAF/AFC/2001) A matriz S=�HP, de terceira ordem, é a matriz resultante da

soma das matrizes A= (�HP) e B (�HP). Sabendo-se que ��HP)=k�+ l� e que( �HP)=2.i.j,

então: a soma dos elementos �� e �� é igual a:



61

a) 12 b)14 c)16 d)24 e)32

5)(NCE/EMGEPRON/2003) O sistema linear formado pelas duas equações 2x+5y=1

e x-2y=5 tem como solução:

a) x=3 e y=-1; b)x=4 e y = 0; c)x=5 e y =1; d)x=6 e y=2; e)x=7 e y=3.

6)(ESAF/ANA/2009) O determinante da matriz f 2�4 + �1�2 + �

0--i é

a) 2bc+ c-a b)2b-c c)a+b+c d)6+a+b+c e)0

7) )(ESAF/APOFP/2009)O determinante de uma matriz 3 x3 é igual a x. Se

multiplicarmos os três elementos da 1ª linha por 2 e os três elementos da 2ª

coluna por -1, o determinante será:

a) −g� b)-2x c)4g� d)g� e)−2g�

8)(CESPE/MS/2008)Se uma matriz quadrada A=��HP) tem dimensão 3 x3 e é tal que �HP=1, se i j e a �HP=i – j, se i > j, então o determinante de A é um número

estritamente positivo.

certo ( ) errado ( )

9) (CESGRANRIO/ PETROBRAS/2010) Sejam z e w dois números complexos não

reais. Se z é o conjugado de w e z= 2-3i, efetuando-se a operação z- w, o resultado

encontrado será

a) -6i b)-4 c)-2 d)+4 e)+6i

10)(CESGRANRIO/BNDES/2009) Para que o sistema linear �5. g − 6. j = 1�. g + 4. j = � possua

infinitas soluções,os valores de a e b devem ser tais que a/b valha

a) - 5 b)-2 c)0 d)2 e)5

GABARITO

1 - E 2-ERRADO

3-D 4-E 5-A 6-E 7-E 8-ERRADO

9-A 10-E

Sistema de Medida e Problemas

1. Medidas de comprimento: a medida básica é o metro (m), mas temos os

múltiplos e submúltiplos. Para irmos de uma unidade maior para uma menor

devemos multiplicar por 10 e para irmos de uma unidade menor para uma maior

devemos dividir por 10, veja abaixo.



62

x10 x10 x10 x10 x10 x10

km hm dam m dm cm mm

:10 :10 :10 :10 :10 :10

2. Medidas de Área: a medida básica é o ��. Para irmos de uma unidade maior

para uma menor devemos multiplicar por 10� e para irmos de uma unidade menor

para uma maior devemos dividir por 10�, veja abaixo.

x10� x10� x 10� x10� x 10� x10�

k�� h�� d�� d�� c�� m��

:10� :10� :10� :10� :10� :10�

3. Medidas de Volume: a medida básica é ��. Para irmos de uma unidade maior

para uma menor devemos multiplicar por 10� e para irmos de uma unidade menor

para uma maior devemos dividir por 10�, veja abaixo.

x10� x10� x10� x10� x10� x10�

k�� h�� d�� d�� c�� m��

:10� :10� :10� :10� :10� :10�

4. Medida de capacidade: a medida básica é o litro (I). Para irmos de uma unidade

maior para uma menor devemos multiplicar por 10 e para irmos de uma unidade

menor para uma maior devemos dividir por 10, veja abaixo.

x10 x10 x10 x10 x10 x10

kl hl dal l dl cl ml

:10 :10 :10 :10 :10 :10

obs.: Existe como relacionarmos medidas de volume com as de capacidade, basta

usarmos a relação 1 d��= 1 l e 1 ��= 1000 l.



63

5. Medidas de Massa: a medida básica é o grama (g). Para irmos de uma unidade

maior para uma menor devemos multiplicar por 10 e para irmos de uma unidade

menor para uma maior devemos dividir por 10, veja abaixo.

x10 x10 x10 x10 x10 x10

kg hg dag g dg cg mg

:10 :10 :10 :10 :10 :10

Testes de Aprendizagem

1)(NCE/Eletrobras/2005) Para encher completamente com água uma caixa d água

com dimensões internas de 1m x1mx1m, utilizando uma garrafa de meio litro, a

quantidade necessária de garrafas cheias de água é:

a)500; b)1.000; c)1.500; d)2.000; e)5.000.

2)(NCE/SEFAZ AM/2005) Mediu-se a capacidade de um recipiente cujas

dimensões foram dadas em centímetros e obteve-se como resposta 538 c��.Essa

medida é expressa em litros como:

a)0,538 b)5,38 c)53,8 d)538 e)5380

3)(ESAF/TJ CE/2002)Quantos c�� existem em 10 litros?

a)10 b)100 c)1.000 d)10.000 e)100.000

4)(ESAF/TJ CE/2002) Se uma solução contém 2mg/ml de uma substância

dissolvida, quanto da substância existe em um litro da solução?

a)200 mg b)2 g c)20g d)200g e)2kg

5)(CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) Certa empresa criou um receptor de TV digital

para carros. O aparelho tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo de

dimensões 5 mm, 90 mm e 74 mm. Qual é, em m��, o volume desse aparelho?

a)1.690 b)3.300 c)16.900 d)33.300 e)33.800



64

6)(UNISUL/SCC SC/2010) Uma empresa de distribuição de bebidas tem que

distribuir 7000 litros de um refrigerante em latinhas com capacidade de 350 ml.

Assinale a alternativa que melhor expressa a quantidade de latas necessárias para

fazer a distribuição desse refrigerante.

a)10.000 latas b)15.000 latas c)35.000latas

d)20.000 latas e)25.000 latas

7)(VUNESP/TJ SP/2009) O tanque de combustível de um veículos contém 10,006 �� de gás. Nessas condições, é correto dizer que o tanque contém 10 �� mais x

c�� de gás, em que x é igual a.

a)6. b)60. c)600. d)6 000. e)60 000.

8)(CESPE/FINEP/ 2009) Se uma fazenda de área igual a 1,04 k�� for vendida por

R$ 46.800.000, então o preço de cada metro quadrado dessa fazenda custará, em

media,

a)R$4,50 . b)R$ 45,00. c)R$450,00.

d)R$4.500,00. e)R$45.000,00.

9)(FCC/TRT 4ª R/2006) Sabe-se que enchendo 72 garrafas, cada uma com

capacidade de 0,80l, é possível engarrafar todo líquido de um reservatório. Se o

volume de cada garrafa fosse 900c��, o número de garrafas utilizadas seria

a)640. b)90. c)86. d)64. e)48.

10)(NCE/ELETROBRAS/2007) Em janeiro de 2007, Claudia gastou 12 �� de gás.

Sabendo-se que 1d��corresponde a 1L, o volume de gás consumido por Claudia

em janeiro de 2007, em litros, foi:

a)1,2. b)12. c)120. d)1.200. e)12.000.

GABARITO

1-D 2-A 3-D 4-B 5-D 6-D 7-D 8-B 9-D 10-E

Juros Simples e compostos



65

3. Juros Simples

3.1. Juro é o resultado de uma aplicação financeira. A palavra juro esta relacionada

a palavra rendimento.O juro é proporcional ao capital aplicado (C), ao prazo de

aplicação (n) e à taxa de juros de aplicação (i, expresso de forma decimal), mas

cuidado, a taxa de juros (i) e o prazo de aplicação (n) têm que estar na mesma

unidade. Se não estiverem, você terá que transformá-los para a mesma unidade.

Nos juros simples (capitalização simples) podemos fazer essa transformação

diretamente, por exemplo, se tivermos 3% ao mês para transformarmos para

semestre, teremos que multiplicar por 6, logo, 6.3%=18% ao semestre.

J = C . i. n

3.2. Montante: é a soma do capital aplicado com o juro obtido.

(M=C+J). Se substituirmos a expressão dos juros no montante teremos:

M=c + j e J=c.i.n M=c+ c. i.n. Colocando C em evidência teremo:

M= C . (1 + i. n).

O fator (1+i.n) é chamado de fator de acumulação de capital no regime simples.

3.3. Juros Diários: temos dois tipos de juros diários.

a) Juro Exato: é obtido quando o prazo está expresso em dias e quando é adotada

a convenção de ano civil (365 ou 366 dias).

b) Juro Comercial (ordinário): é obtido quando o prazo está expresso em dias e

quando é adotada a convenção do ano comercial (360 dias).

4. Juros Compostos: neste caso iremos multiplicar o capital pelo fator de aumento

(1+i) tantas vezes quantas forem o prazo de aplicação, logo, teremos:

M=C. (1+ i�

Note que ainda vale a relação do montante M=C+J para calcularmos os juros, ou

seja, se tivermos o capital e o montante poderemos calcular os juros. Podemos

obter uma relação dos juros compostos, que será J=C.��1 + k� − 1�.

Representação Gráfica:

O montante dos juros simples M=C. (1+ i. n) é representado por uma reta e o

montante dos juros compostos M=C. �1 + k� é representado por uma

exponencial. Note que quando o prazo (tempo) é igual a 1 os montantes são iguais



66

Montante (M)

composto �� Simples

tempo

1

Perceba que se o prazo for menor do que 1 é mais vantajoso o regime simples, mas se for

maior do que 1 é mais vantajoso o regime composto.

O fator �1 + k� é chamado de fator de acumulação de capital no regime composto. Os valores

desse fator estão representados na tabela ao final do livro, mas abaixo temos uma parte para

você conhecer.

n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 8 1,082856 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 9 1,093685 1,195092 1,304773 1,423311 1,551328 1,689478 1,838459 1,999004 10 1,101622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628894 1,790847 1,967151 2,158925 11 1,115668 1,243374 1,384233 1,539454 1,710339 1,898298 2,104852 2,331639 12 1,126825 1,268242 1,425760 1,601032 1,795856 2,012196 2,252191 2,518170

Por exemplo, se você for calcular o fator para a taxa de i= 6 % e um prazo de n=10,

basta observar na tabela e encontrar 1, 790847.

4.1. Estudo das taxas no regime Composto: temos a taxa nominal cuja unidade é

diferente da unidade do prazo, ou seja, não é a taxa que usaremos, por isso

teremos que transformar para a taxa efetiva cuja unidade é igual à unidade do

prazo. A taxa nominal será uma taxa seguida da palavra capitalização ou

capitalizado e, neste caso, mesmo estando na capitalização composta, iremos

transformar para a taxa efetiva como “se fosse capitalização simples”.

Ex: 4% ao bimestre com capitalização semestral, isto significa que 4% ao bimestre

é a taxa nominal que terá que ser transformada para semestre, taxa efetiva, como

“se fosse capitalização simples”. Sabemos que 1 semestre possui 3

bimestres,logo, 3 . 4%=12% ao semestre.



67

Você deve estar se perguntando: “mas e se não tivermos a palavra capitalização

ou capitalizado no regime composto? Se formos transformar 4% ao bimestre em

semestre”?Neste caso, iremos utilizar taxas equivalentes, mas não se preocupe,

vou mostrar passo a passo como calcular.

Ex. 01: 4% ao bimestre equivale a que taxa anual?

1ºPasso: a palavra equivale será representada pelo sinal de igual, logo, 4% ao

bimestre= i ao ano

2ºPasso: note que temos duas unidades de tempo, o bimestre e o ano.

Vamos transformar sempre para a menor unidade, ou seja, o ano será

representado por 6 bimestres, lembrando que ao bimestre representa 1 bimestre,

ou seja, 4% 1 bimestre= i 6 bimestres

3ºPasso: iremos utilizar parênteses no 1º e no 2º membros da igualdade da

seguinte forma: o expoente dos parênteses do 1º membro será o número (6) do 2º

membro e o expoente dos parênteses do 2º membro será o número (1 )do 1º

membro e dentro dos parênteses 1 +,

(1+�( =(1+��

a taxa do 1º membro (4%) ficará nos parênteses do 1º membro na forma decimal e

a taxa do 2º membro (i) ficará nos parênteses do 2º membro, logo,

(1+0,04�( =(1+k�� →(1,04�(=(1+k��

Procurando na tabela i= 4% e n= 6 encontramos 1,265319, com isso, (1+i)=

1,265319 i= 1,265319- 1 = 0,265319= 26,5319% ao ano.

Ex. 02: 31,08% ao ano equivale a que taxa trimestral?

1ºPasso: 31,08% ao ano= i ao trimestre

2ºPasso: 31,08% 4 trimestre= i 1 trimestre

3ºPasso: (1+0,3108��=(1+k�9 →(1,3108��=(1+k�9

Na tabela procure, para n=4, o valor 1,3108, ou aproximado,e com isso encontre a

taxa, que será de 7% ao trimestre

n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329

6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874

7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824



68

8 1,082856 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930

9 1,093685 1,195092 1,304773 1,423311 1,551328 1,689478 1,838459 1,999004

10 1,101622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628894 1,790847 1,967151 2,158925

11 1,115668 1,243374 1,384233 1,539454 1,710339 1,898298 2,104852 2,331639

12 1,126825 1,268242 1,425760 1,601032 1,795856 2,012196 2,252191 2,518170

MUITO CUIDADO!!! Existem questões que utilizam o “capitalizado”e a

“equivalência” juntos, você primeiro fará o “capitalizado” e depois “taxas

equivalente”.

Ex: que taxa anual equivale à taxa de 2% ao bimestre, capitalizado quadrimestral

mente?

1ºPasso: i ao ano= 2% ao bimestre, capitalizado quadrimestralmente

i ao ano= 4% ao quadrimestre

2ºPasso: i 3 quadrimestres= 4% 1 quadrimestre

3ºPasso: (1+i��=(1+0,04�� →(1+ i��=(1,04��

Na tabela para n= 3 e i= 4 % teremos 1,124864, com isso, (1+i)=1,124864.

i=1,124864-1=0,124864=12,4864% ao ano.


1)TRT/BA- Técnico Judiciário-2003

Um capital de R$ 750,00 esteve aplicado a juro simples, produzido, ao fim de um

trimestre, o montante de R$ 851,25. A taxa anual de juro dessa aplicação foi

A) 48%. B)50%. C) 54%. D)56 %. E)63%.

2)TER/AM- Técnico Judiciário-2003

Um capital foi aplicado a juros simples e , ao final de 3 anos e 4 meses, teve o seu

valor triplicado. A taxa mensal dessa aplicação foi de

A)2,5%. B)4%. C)5%. D)6%. E)7,5%.

3)TRT/PI - Técnico – Judiciário-2004.



69

Num mesmo dia, são aplicados a juros simples:2/5 de um capital a 2,5% ao mês e

o restante, a 18% ao ano. Se, decorridos 2 anos e 8 meses da aplicação, obtém-se

um juro total de R$ 7.600,00, o capital inicial era

A)R$ 12.500,00. B)R$ 12.750,00. C)R$ 14.000,00.

D)R$14.500,00. E)R$14.750,00.

4)TRT/SP- Técnico Judiciário-2004.

Uma pessoa tem R$ 20.000,00 para aplicar a juro simples. Se aplica R$ 5.000,00 à

taxa mensal de 2,5 %, e R$7.000,00 à taxa mensal de 1,8%, então, para obter um

juro anual de R$ 4.932,00, deve aplicar o restante à taxa mensal de

A)2 %. B) 2,1 %. C)2,4 %. D)2,5 %. E)2,8 %.

5)TRT/RS - Técnico Judiciário-2006.

Uma pessoa tem R$ 2.000,00 para investir. Se aplicar ¾ dessa quantia a juro

simples, à taxa mensal de 5%, então, para obter um rendimento mensal de

R$90,00, deverá investir o restante à taxa mensal de

A)1% B)2% C)3% D)4% E)5%

6) (VUNESP/FUNDAÇÃO CASA/2010) Um capital foi aplicado no sistema de juros

simples durante 20 meses, e o montante recebido ao final da aplicação foi igual a

5/4 do capital inicial. A taxa anual de juros simples dessa aplicação foi

A)15%. B)18%. C)20%. D)22%. E)25%.

7)(CESCRANRIO/ELETRONUCLEAR 2010 ) Uma mercadoria sofreu dois descontos

sucessivos de 30 % cada, passando a custar R$ 392,00. Qual era, em reais, o preço

dessa mercadoria antes dos descontos?

A)600,00 B)662,00 C)700,00 D)774,00 E)800,00

8)(BIORIO/ TRENSURB/2010) Edmilson obteve um empréstimo de R$5.000,00 com

uma taxa de juros (compostos) mensal de 2%. Se ele quitar o empréstimo

decorridos dois meses deverá pagar a seguinte quantia:

A)R$ 5.100,00; B)R$ 5.200,00; C) R$ 5.202,00;

D)R$ 5.220,00; E)R$ 5.222,00.

9)(FCC/INFRAERO/2009) Uma parte de um capital de R$ 18 000,00 foi aplicada a

juros simples à taxa de 6 % a.a. durante 5 anos e rendeu os mesmos juros que a



70

outra parte, que foi também investida a juros simples a 12% a.a. por 2 anos. A

diferença ente a maior e a menor das aplicações foi de

A)R$1 900,00. B)R$1 880,00. C) R$ 2 200,00.

D)R$1 980,00. E)R$2 000,00.

10)(CESGRANRIO/Banco do Brasil/2010) Um investimento obteve variação

nominal de 15,5 % ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 5%. A

taxa de juros real para esse investimento foi

A)0,5%. B)5,0%. C)5,5%. D)10,0%. E)10,5%.

GABARITO

1-C 2-C 3-A 4-A 5-C 6-A 7-E 8-C 9-E 10-D

Geometria Básica:

Plana e Espacial

1. Geometria Plana

1.1 Ângulo: é a região limitada por duas semiretas de mesma origem. Seja ɑ o valor do

ângulo.

A

o ɑ

B

Se yB< ɑ < 90), o ângulo será agudo, ɑ = 90),o ângulo será reto,90) < ɑ <180), o ângulo

será obtuso, e ɑ = 180),o ângulo será raso.

a) Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares quando a soma for 90),

se x for um ângulo, então o seu complemento será90) – x.



71

b) Ângulos Suplementares: dois ângulos são suplementares quando a soma for 180), se

x for um ângulo, então o seu suplemento será 180) - x.

c) Ângulos Replementares: dois ângulos são replementares quando a soma for 360), se

x for um ângulo, então o seu suplemento será 360)- x.

d) Ângulos Alternos Internos são iguais, os Alternos Externos também são iguais, os

Colaterais Internos são suplementares, os Colaterais Externos são iguais e os

Correspondentes também são iguais.

1.2. Polígonos Convexos: Considere um polígono convexo com n lados.

a) Soma dos Ângulos:

Internos: �H = 180). (n-2) Externos: @= 360)

b) Números de Diagonais: D = .��

c) Polígono Regular: é todo polígono que possui todos os lados iguais (eqüilátero) e todos os

ângulos iguais (eqüiângulo). Neste caso poderemos calcular o valor do ângulo interno e do

ângulo externo.

LH = ��°.��4�� L@= 6��°�

Obs.: A soma do ângulo interno com o ângulo externo, relativos ao mesmo vértice, vale 180 .

1.3. Triângulo: a soma dos ângulos internos vale 180 , vejamos alguns tipos de triângulos.

a) Triângulo Isósceles: possui dois lados iguais e os ângulos formados com a base também são

iguais, ou seja, AB = AC, Então o ângulo B é igual ao ângulo C.

B c

b) Triângulo Retângulo: possui um ângulo reto e o lado oposto a este ângulo reto é chamado

de hipotenusa e os outros lados são chamados de catetos, os outros dois ângulos são agudos,

cuja soma vale 90 . No triângulo retângulo temos o teorema de Pitágoras, que diz que “o

quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.

A



72

a b

ɑ + β=��, ¡= ¢¡+�¡ (Teorema de Pitágoras)

ATENÇÃO! Triângulo Retângulo Pitagórico é todo Triângulo retângulo cujos lados são

proporcionais a (3 ,4,5) ou (5,12,13)ou (7,24,25). Lembramos que o maior lado sempre é a

hipotenusa.

c) Triângulo Eqüilátero: possui todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais a 60 .

a a

h

a h=�.√��

d) Semelhança de Triângulos: se dois Triângulos são semelhantes, então a razão entre os

lados homólogos (lados opostos ao mesmo ângulo) e a razão entre as alturas são sempre

iguais e iguais à constante de semelhança. Seja ∆ ABC ~∆L`N`§`,

ATENÇÃO!!! Se traçarmos uma reta paralela ao lado de um triângulo, essa reta irá determinar

um triângulo menor semelhante ao triângulo maior.

Seja o ∆ABC e MN paralelo a BC, logo, o ∆L¨©será semelhante ao ∆ ABC.

β

ɑ

c

h

A

b c

a c B

A`

c`

B` a`

C`

b`



73

Obs.: a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes vale a constante de semelhança ao

quadro (��).

e) Relação Métrica no Triângulo Retângulo:

ℎ�=m.n b.c= a.h

��=a.m �� =�� + -�

-�=a.n

| |

a é a hipotenusa, b e c são catetos, h é a hipotenusa relativa à hipotenusa, m é a projeção do

cateto b sobre a hipotenusa e n é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.

F) Relação Trigonométrica no Triângulo Retângulo:

sen ɑ= ��, cos ɑ=

2� e tg ɑ = �2

- O seno (sen) de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

-O cosseno (cos) de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

-A Tangente (tg) de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Obs.: Pincipais Ângulos

sen 30 = �4 sen 45°= √�� sen 60 =

√��

N

C B

M

A

h c

n

b

m .

.

a

a b

c ɑ .





74

cos 30° √�� cos 45° =√�� cos 60°= ��

Tg 30 = √�� tg 45°= 1 Tg 60°= √3

MUITO CUIDADO!!!Quando um triângulo retângulo possui ângulos agudos de 30 e 60 , o

lado oposto ao ângulo de 30 vale metade da hiponetusa e o lado oposto ao ângulo

de 60 vale a metade da hipotenusa vezes √3. Este triângulo é chamado de triângulo

Egípcio.

1.4. Perímetro e Áreas: seja A a área e P o Perímetro.

a) TRIÂNGULO:

A.1)

A=�.«� P= a +b + c

A.2) TRIÂNGULO EQUILÁTERO:

a

60) 2. a

a. √3 30)

a c

b

h

h a

a

a

.



75

h= �.√�� A=

�4.√�9 P= a+a +a=3.a

B) QUADRILÁTEROS: a soma dos ângulos inteiros vale 360 .

Obs.: (Teorema de Pitot): Se um quadrilátero é circunscrito a um círculo, então a soma dos

lados opostos é igual. No quadrilátero abaixo temos AB + CD = AD + BC.

b.1) Retângulo: os lados opostos são iguais e paralelos, e todos os ângulos internos são de

90 .

A= b. h P=2.b+2.h

b.2) Quadrado: Todos os lados são iguais e D é a sua diagonal.

D = a . √¡ A= ¡ P = a + a + a + a = 4. a.

C

B

A D

h

b

.

. .

.

diagonal 45)

45)

a

a .

.



76

b.3) Paralelogramo: Possui os lados opostos paralelos e iguais, e os ângulos opostos são

iguais:

A= b. h P=2.a+2.b

b.4) Trapézio: Possui dois lados oposto paralelos (b eB) chamados de bases.

A=��wO�.«� P= a+b+c+B

b.5) Losango: todos os lados são iguais, possui duas diagonais perpendiculares.

A= C.C´� P= soma dos lados

c) Círculo: a linha curva fechada, que vemos abaixo, é chamada de circunferência, esta

circunferência limita uma região chamada de círculo, logo, de circunferência calculamos

comprimento e da região calculamos área.

- Comprimento da Circunferência: C = 2 . . r

- Área do Círculo: A = . ®�

Obs.: PI (π) é um número irracional e vale aproximadamente =3, 141592…

Na prática, se não for dado o valor de π, deve-se utilizar 3,14.

h a

B

b

c

b

a h

.

d

d`

o

r



77

- Propriedade: Traçando por um ponto exterior ao círculo duas tangentes, os segmentos

determinados são iguais, logo, RS = RP. Os raios serão perpendiculares nos pontos de

tangências P e S.

d)Hexágono Regular: todos os lados são iguais. Um hexágono regular pode ser dividido em

seis triângulos eqüiláteros.

A-6. ¡.√¯~ =

¯ ¡.√¯¡ P= 6.a

2. Geometria espacial: vamos calcular áreas e volumes.

2.1. Prismas: sólidos geométricos que possuem as bases paralelas iguais; arestas laterais iguais

e paralelas e que ligam as duas bases, na figura abaixo como a base é um hexágono, o prisma é

chamado hexagonal. A área e o volume são dados por:

{°{|±²{° = ³´{µ±. h {|¶|{° = {°{|±²{° + 2 . {´{µ± V= {´{µ± . h

A) Paralelepípedo: unindo os vértices A e B, temos a diagonal (D) do paralelepípedo.

o

R

P

S

a

a

a

a

a

a



78

{°{|. = 2. (a.b+a.c) {|¶|{° = 2. (a.b+a.c+b.c)

V= a.b.c D=· ¡ + ¢¡ + �¡

Obs.: a, b, c são as dimensões do paralelepípedo.

b) Cubo: é um paralelepípedo em que todas as dimensões sãoiguais a a. Se ligarmos os

vértices A e B temos a diagonal (D) do cubo. Logo:

{°{|. = 4. ¡ {|¶|{°] 6. ¡ V= ¯ D√¯

2.2. Cilindro: as bases são círculos paralelos. {°{|.= 2 . ¸. R h {|¶|{° = 2 . ¸ . R. (h+ R) V= ¸. ²¡. h

Obs.: um cilindro é dito equilátero se h = 2. R.

2.3. Cone: também possui um vértice e sua base é um círculo, calculemos o seu

volume: v = ¹.º4.;� , podemos calcular o volume do tronco »1=

¹.C� .(¼� + ¼. ® + ®��, R é

o raio da base maior, r o raio da base menor e d é a altura do tronco. Existe uma

relação entre a altura H do cone, o raio R da base e sua geratriz g, que é ½¡= ¾¡ + ²¡.

c

B b

a

A

h

R



79

PROPRIEDADE: Se traçarmos um plano paralelo à base, dividiremos o cone maior em

um cone menor e em um tronco de cone. A razão entre o volume do cone maior

(».�HBA) e do cone menor (».@BA) é igual á constante de semelhança ao cubo. A

constante de semelhança vale a razão entre as alturas e os raios das bases.

¿.�HBA¿.@BA = �� K = ÀÁ = ÂÃ »IAB2B = ».�HBA - ».@BA, outra

forma de calcular »IAB2B .

ATENÇÃO!!! O mesmo raciocínio vale para a pirâmide.

2.4 Pirâmides: possui um vértice e sua base é um polígono. No caso abaixo temos uma

pirâmide hexagonal, o seu volume e o volume do seu tronco são:

V = &ÄÅÆÇ.«�

»I = È6 . (B + b +√N. � ), B é a área da base maior, b a área da base menor e d a altura do tronco.

2.5. Esfera: A = 4 .¸ . ¼� V =9.¹.º6�

H

d

h g

H

R

r

g

R



80



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