Apostila Matemática Financeira

FACULDADE PITÁGORAS UBERLÂNDIA

GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO

DISCIPLINA:

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Prof. Ms. LEONARDO BARBOSA DE REZENDE

UBERLÂNDIA 2013

APRESENTAÇÃO

Este material foi elaborado com o objetivo de apresentar os fundamentos da

Administração Financeira, baseados na Matemática Financeira que por sua vez trata do valor

do dinheiro no tempo.

O conteúdo aqui apresentado foi concebido de forma a atender ao programa do curso

de Graduação em Administração da FACULDADE PITÁGORAS UBERLÂNDIA.

Para atender à carga horária de 60 (sessenta) horas - aula, dividiu-se o conteúdo

programado em 3 (três) módulos, divididos em 7 (sete) capítulos.

O primeiro módulo, de fundamentação, apresenta os conceitos gerais da Matemática

Financeira, destaca as regras básicas para os cálculos matemáticos financeiros, os critérios de

capitalização dos juros, as fórmulas e aplicações dos juros simples e compostos.

O segundo módulo, de aplicação prática da Matemática Financeira, apresenta os

conceitos e aplicações da equivalência de capitais e os produtos financeiros de curto prazo.

O terceiro módulo dedica-se aos fluxos de caixa de rendas certas e aos principais

sistemas de amortização.

Além dos exercícios ilustrativos, que exemplificam cada um dos conteúdos

programados, são propostos ainda exercícios para resolução em sala de aula.

As aulas são expositivas com o auxílio de data show, retro - projetor e utilização da

calculadora financeira HP – 12C.

Espera-se com este curso, dar ao Graduando do curso de Administração da

FACULDADE PITÁGORAS UBERLÂNDIA, um sólido embasamento ao estudo de

Finanças e Gestão.

SUMÁRIO

MÓDULO - I .............................................................................................................................. 4

1 INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA .......................................................................... 4 1.1 O que trata a Matemática Financeira? .......................................................................... 4 1.2 Taxas Unitárias e Percentuais ....................................................................................... 5 1.3 Regras Básicas .............................................................................................................. 6 1.4 Critérios de Capitalização dos Juros ............................................................................. 7

2 JUROS SIMPLES ................................................................................................................... 11 2.1 Fundamentos ............................................................................................................... 11 2.2 Juros Simples .............................................................................................................. 13

2.3 Montante de Juros Simples ou Valor Futuro de Juros Simples .................................. 15 3 JUROS COMPOSTOS ............................................................................................................. 17

3.1 Fundamentos ............................................................................................................... 17 3.2 Juros Compostos ......................................................................................................... 20

MÓDULO - II ........................................................................................................................... 26

4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS .............................................................................................. 26

4.1 Fundamentos ............................................................................................................... 26 4.2 Equivalência de Capitais ............................................................................................ 29

5 DESCONTOS ........................................................................................................................ 32

5.1 Desconto Simples ....................................................................................................... 32 5.2 Desconto Composto .................................................................................................... 38

5.2.1 Desconto Composto Racional ou (Por Dentro) ....................................................... 38

5.2.2 Desconto Composto Bancário ou Comercial ou (Por Fora) .................................... 41

MÓDULO - III ......................................................................................................................... 44

6 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES ....................................................................................... 44

6.1 Classificação das Rendas ............................................................................................ 44 6.2 Classificação das Rendas Certas quanto ao Pagamento da Primeira Prestação ......... 45

6.3 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata ....................... 46 6.4 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata .......................... 46 6.5 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada................... 46

6.6 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada ..................... 47 6.7 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida ....................... 47

6.8 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida .......................... 47 7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ................................. 53

7.1 O que trata os Sistemas de Amortização? .................................................................. 53 7.2 Termos Utilizados: ..................................................................................................... 53 7.3 Definições Básicas:..................................................................................................... 53 7.4 Modalidades de Sistemas de Amortização: ................................................................ 54

REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 62

MÓDULO - I

1 Introdução à Matemática Financeira

1.1 O que trata a Matemática Financeira?

Do estudo do valor do Dinheiro no Tempo.

Receber R$100,00 hoje, não é a mesma coisa que receber R$100,00 daqui 60 dias.

O sacrifício de receber R$100,00 daqui 60 dias tem que ser recompensado.

O valor deste sacrifício é definido pelos JUROS.

Juro é a remuneração do capital aplicado numa operação financeira.

As Taxas de Juros devem ser eficientes para remunerar:

1. O Risco (Incerteza Futura);

2. A perda do poder de compra do Capital pela Inflação;

3. E gerar um lucro que compense a privação do consumo imediato, ou o rendimento de

outra aplicação.

5

1.2 Taxas Unitárias e Percentuais

A Taxa de juro é a unidade de medida dos Juros.

A Taxa correspondente à remuneração paga pelo uso, durante determinado tempo, de

01 (uma) unidade de capital é uma (taxa unitária).

Exemplo:

Um capital de R$1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende juros, ao final deste período

de:

A Taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 por unidade de

capital aplicada.

A Taxa correspondente à remuneração paga pelo uso, durante determinado tempo, de

100 (cem) unidades de capital é uma (taxa centesimal ou percentual), que refere-se aos

“Centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital.

Do exemplo acima tem-se:

O capital de $1.000,00 tem dez centos. Como cada cento rende 20, a remuneração

total da aplicação no período é $200,00

A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão

da notação percentual por 100, e para a transformação da taxa unitária em percentual basta

multiplicar a taxa unitária por 100.

$200,00 Juros

100

20 $1.000,00 Juros

20% $1.000,00 Juros

$200,00 Juros

20 100

$1.000,00 Juros

20% $1.000,00 Juros

100 UnitáriaTaxa Percentual Taxa

100

Percentual Taxa UnitáriaTaxa

6

Exemplo:

Taxa Percentual Taxa Unitária

1,5% 0,015

8% 0,08

17% 0,17

84% 0,84

120% 1,20

1.3 Regras Básicas

1ª) NAS FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA TODOS OS CÁLCULOS

SÃO EFETUADOS UTILIZANDO-SE A TAXA UNITÁRIA DE JUROS. JÁ OS

ENUNCIADOS E AS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SÃO INDICADOS PELA TAXA

PERCENTUAL.

2ª) NAS FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA, TANTO O PRAZO DA

OPERAÇÃO COMO A TAXA DE JUROS DEVEM NECESSARIAMENTE ESTAR

EXPRESSOS NA MESMA UNIDADE DE TEMPO.

Exemplo:

1) Um fundo de Poupança que esteja oferecendo juros de 2% ao mês e os rendimentos

sendo creditados mensalmente. Obedece a regra de expressar a taxa de juros e o prazo de

capitalização na mesma unidade de tempo (mensal).

2) Um fundo de Poupança que esteja oferecendo juros de 2% ao ano e os rendimentos

sendo creditados mensalmente. Não Obedece a regra de expressar a taxa e o prazo de

capitalização na mesma unidade de tempo, pois a taxa de juros está expressa ao ano e o

período de capitalização em meses.

Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo,

podem ser efetuados através das regras de juros simples (média aritmética) e de juros

compostos (média geométrica), dependendo do regime de capitalização definido para a

operação. Como regra adota-se o ano comercial de 360 dias e o mês de 30 dias.

7

1.4 Critérios de Capitalização dos Juros

A operação de formação e incorporação dos juros ao capital tem o nome de

CAPITALIZAÇÃO.

Existem dois regimes de capitalização:

Regime de Capitalização Simples ou (linear);

Regime de Capitalização Composto ou (exponencial).

1.4.1 Regime de Capitalização Simples:

Este regime de capitalização comporta-se como se fosse uma progressão aritmética,

crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo.

Neste critério, a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial da operação.

Exemplo:

Vamos admitir um empréstimo de $1.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros

simples de 10% ao ano.

Ano Saldo no início

de cada ano

Juros apurados para

cada ano

Saldo devedor ao

final de cada ano

Crescimento

anual do Saldo

Devedor

Início do

1º ano

1.000,00 - - -

Fim do 1º

ano

1.000,00 100,00 1.100,00 100,00

Fim do 2º

ano

1.100,00 100,00 1.200,00 100,00

Fim do 3º

ano

1.200,00 100,00 1.300,00 100,00

Fim do 4º

ano

1.300,00 100,00 1.400,00 100,00

Fim do 5º

ano

1.400,00 100,00 1.500,00 100,00

8

Observações importantes:

- Os juros incidem exclusivamente sobre o capital inicial de R$1.000,00 e

apresentam valores idênticos ao final de cada ano (0,10 x $1.000,00 = $100,00);

- Em conseqüência, o crescimento dos juros no tempo é linear ($100,00 por ano)

como o de uma Progressão Aritmética, atingindo um total nos cinco anos de

$500,00;

- Se os juros simples não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do

capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial ($1.000,00), não

ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período;

- Como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do custo total da dívida

no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de

anos pela taxa anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para os 5 anos.

1.4.2 Regime de Capitalização Composto:

Por este regime de capitalização, incorpora-se ao capital não somente os juros

referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento

anterior.

Admitindo-se o exemplo anterior, que a dívida de $1.000,00 deve ser paga em juros

compostos, à taxa de 10% ao ano:


de cada ano

Juros apurados para

cada ano

Saldo devedor ao

final de cada ano

Crescimento

anual do Saldo

Devedor

Início do

1º ano

1.000,00 - - -

Fim do 1º

ano

1.000,00 100,00 1.100,00 100,00

Fim do 2º

ano

1.100,00 110,00 1.210,00 110,00

Fim do 3º

ano

1.210,00 121,00 1.331,00 121,00

Fim do 4º

ano

1.331,00 133,10 1.464,10 133,10

Fim do 5º

ano

1.464,00 146,41 1.610,51 146,41

9

Observações importantes:

- No critério composto, os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial de

$1.000,00, mas sobre o saldo total existente no início de cada ano, que incorpora o

capital inicial mais os juros incorridos em períodos anteriores;

- O juro do 1º ano é produto da incidência da taxa de 10% ao ano, sobre o capital

emprestado de $1.000,00, totalizando $100,00;

- No 2º ano, os $210,00 de juros acumulados ao saldo devedor inicial identificam a

seguinte operação:

Juros referentes ao 1º ano: 0,10 x $1.000,00 = $100,00

Juros referentes ao 2º ano: 0,10 x $1.000,00 = $100,00

Juros sobre os juros apurados no 1º ano: 0,10 x $100,00 = $10,00

$210,00

10

Exercícios Propostos:

1) Preencha a Tabela abaixo admitindo um empréstimo de $1.550,00 pelo prazo de 5

anos, pagando-se juros simples de 25% ao ano.


de cada ano

Juros apurados para

cada ano

Saldo devedor ao

final de cada ano

Crescimento

anual do Saldo

Devedor

Início do

1º ano

1.550,00 - - -

Fim do 1º

ano

Fim do 2º

ano

Fim do 3º

ano

Fim do 4º

ano

Fim do 5º

ano

2) Admita um empréstimo de $1.550,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros

compostos de 25% ao ano.


de cada ano

Juros apurados para

cada ano

Saldo devedor ao

final de cada ano

Crescimento

anual do Saldo

Devedor

Início do

1º ano

- - 1.550,00 -

Fim do 1º

ano

Fim do 2º

ano

Fim do 3º

ano

Fim do 4º

ano

Fim do 5º

ano

11

2 Juros Simples

2.1 Fundamentos

2.1.2 Taxas Proporcionais e Equivalentes de Juros Simples

Em toda operação financeira, tem-se sempre a existência de dois prazos: O prazo a que

se refere à taxa de juros: i = 5% a m, e o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros: n = 5

meses.

Em muitos casos, estes prazos não são coincidentes.

Por exemplo, sabe-se que a caderneta de poupança paga aos seus depositantes uma

taxa de juros de 6% ao ano, a qual é capitalizada ao principal todo mês através de um

percentual proporcional de 0,5%. Têm-se aqui, então dois prazos – prazo da taxa: ano e prazo

de capitalização: mês.

Para o uso das fórmulas da matemática financeira, estes prazos têm que ser iguais.

Esta transformação é denominada de Taxa Proporcional de juros. A taxa proporcional

é obtida através da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes

em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).

Exemplo:

1) Considerando o regime de juros simples, determine qual a taxa mensal proporcional

a 48 % ao ano?

As taxas de juros são ditas Equivalentes, quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo

mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros e consequentemente o

mesmo montante linear de juros.

1

1

2

2

Dados do exercício:

i 48% a. a. 100 = 0,48 a. a.

n 1 ano

i ? % a. m.

n 12 meses

1 1 2 2

2

2

2

2

Solução:

i n i n

0,48 1 = i 12

0,48i =

12

i = 0,04 a. m. 100

i = 4% a. m.

12

Exemplo:

2) Em juros simples, um capital de $500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao

semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros:

Sendo:

n i PV J

J (2,5% a m) = 500.000 x 0,025 x 12 = $150.000,00

J (15% a s) = 500.000 x 0,15 x 2 = $150.000,00

Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais, logo são definidas

como Taxas Equivalentes. No regime de Juros Simples, Taxas Proporcionais e Taxas

Equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente à classificação de duas taxas

de juros como proporcionais ou equivalentes.


3) Dada a taxa de 34,5 % ao trimestre, determine as taxas proporcionais para:

a) Um Ano:

b) Um Semestre

c) Um Bimestre

d) Um Mês

e) 17 Dias

f) 2 m e 7 dias

4) Determinar a taxa de juros anual proporcional, dadas as seguintes taxas:

a) 3% a t

b) 27% ao quadrimestre

c) 5% a m

13

2.2 Juros Simples

O Juro Simples é produzido unicamente sobre o Capital Inicial também denominado

de Valor Presente, e seu valor é calculado a partir da seguinte expressão:

Onde:

J = Valor dos juros expresso em unidade monetária;

PV = Valor Presente ou Capital Inicial;

i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária;

n = prazo ou período da operação.

Esta é a formula básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores

financeiros nela representados mediante simples dedução algébrica.

Exemplo:

1) Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante três meses.

Pede-se determinar o valor dos juros simples acumulados neste período.

J = PV i n


PV = $80.000,00

i = 2,5% a.m. 100 = 0,025 a.m.

n = 3 meses

J = $?

Solução:

J = PV i n

J = 80.000 0,025 3

J = $6.000,00

14


5) Calcular os juros simples de $20.000,00 a 2% a m, durante 2,5 anos.

6) A que taxa devemos aplicar o capital de $10.000,00 para que em 1 ano 3 meses e 5

dias produza $2.275,00 de juros simples?

7) Durante quanto tempo deve ficar aplicado um capital à taxa de juros simples de

11% a m, para que seus juros se igualem ao capital?

8) Qual o capital, que aplicado a taxa de juros simples de 42% a a pelo prazo de 100

dias produz $175,00 de juros?

9) Durante quanto tempo um capital colocado a taxa de juros simples de 5% a a rende

juros a 1/50 de seu valor?

15

2.3 Montante de Juros Simples ou Valor Futuro de Juros Simples

Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por

determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de Montante ou Valor Futuro.

Montante ou Valor Futuro é o capital acrescido de seus juros.

Sendo:

Tem-se:

Evidenciando PV, a fórmula do Valor Futuro de Juros Simples é:

Exemplos:

1) Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar

o montante simples ao final deste período.

2) Determinar o valor futuro simples, decorrentes de uma aplicação de $25.000,00 a

80%ao semestre durante 2 anos.

FV = PV + J

J = PV i n

FV = PV + PV i n

FV = PV (1+i n)


PV = $18.000,00

i = 1,5% a.m. 100 = 0,015 a.m.

n = 8 meses

FV = $?

Solução:

FV = PV (1+i n)

FV = 18.000 (1+0,0150 8)

FV = $20.160,00


PV = $25.000,00

i = 80% a.s. 100 = 0,80 a.s.

n = 2 anos

FV = $?

1

1

2

2

Solução:

i 80% a. s. 100 = 0,80 a. s.

n 2 semestres

i ? % a. a.

n 1 ano

16


10) Uma pessoa empregou seu capital a taxa de 5% ao ano retirou no fim de 6 meses,

capital e juros e colocou-os a taxa de 6% ao ano durante 4 meses recebendo no fim deste

prazo $20.910,00. Calcule o capital inicial, considerando o regime de juros simples.

11) Em uma instituição, foi aplicado $20.000,00 a 10 % a m, e, noutra instituição

financeira, foi aplicado $18.000,00 a 12% a m. Depois de quanto tempo os montantes serão

iguais, considerando o regime de juros simples?

12) Se um capital de $2.000,00 gerou um montante de $2.840,00 em 2 anos, qual é a

taxa de juros simples equivalente trimestral?

1 1 2 2

2

2

2

2

i n i n

0,80 2 = i 1

1,60i =

1

i = 1,60 a. a. 100

i = 160% a. a.

FV = PV (1+i n)

FV = 25.000 (1+1,60 2)

FV = $105.000,00

17

3 Juros Compostos

3.1 Fundamentos

3.1.2 Taxas Proporcionais e Equivalentes de Juros Compostos

Os conceitos emitidos para taxas Equivalentes no regime de juros simples são os

mesmos para o regime de juros compostos diferenciando-se, no entanto, a formula de cálculo

da taxa de juros, e o fato de no regime de juros compostos as taxas Proporcionais não serem

Equivalentes, conforme demonstrado no exemplo a seguir:

Exemplo:

1) Três investidores A, B, e C, tem cada um $10.000,00 para aplicar. A aplicou a

120% a.a. B aplicou a 60% a s. e C aplicou a 10 % a m. Quais os montantes de cada um,

depois de decorrido um ano?

a) Capitalização Anual (A)

$22.000,00 FV

)2,1(1 10.000,00 FV

i)(1 PV FV

1

n

b) Capitalização Semestral (B)

$25.600,00 FV

)60,0(1 10.000,00 FV

i)(1 PV FV

2

n

c) Capitalização Mensal (C)

$31.384,28 FV

)10,0(1 10.000,00 FV

i)(1 PV FV

12

n

Definição:

18

Duas Taxas são equivalentes, quando aplicadas sobre um mesmo capital, durante um

mesmo prazo (períodos de capitalização diferentes), produzem montantes iguais.

Se por definição FV1 = FV2 e PV = PV logo, fazendo (1) = (2) deriva-se a fórmula

geral de equivalência de Juros Compostos:

Exemplo:

2) Determinar a taxa semestral equivalente a 10% a m.

Dado que: Solução:

Cálculo das taxas equivalentes compostas utilizando a HP – 12C:

Solução na HP – 12C

Teclas Visor Significado

f FIN f REG 0,00 Limpa Registros

1 CHS PV -1,00 Valor Presente

10 i 10,00 Taxa i1 mensal dada

6 n 6,00 Prazo n1 mensal equivalente

FV 1,77 Valor Futuro

1 n 1,00 Prazo n2 semestral equivalente

i 77,16 Taxa i2 semestral equivalente


(2) )i (1 PV FV

(1) )i (1 PV FV

2

1

n

22

n

11

)i (1 )i (1 21 n

2

n

1

s. a. 77,16% i

100 s. a. 0,7716 i

i 1- (1,1)

)i (1 0,10) (1

)i (1 )i (1

2

2

2

6

1

2

6

n

2

n

121

semestre 1 n

s. a. ?% i

meses 6 n

m. a. 10% i

2

2

1

1

19

Demonstre as soluções dos exercícios pela fórmula matemática e pelas teclas

financeiras da HP – 12C.

13) Dada a taxa de 34,5 % ao trimestre, determine as taxas equivalente compostas

para:

a) Um Ano:

b) Um Semestre

c) Um Bimestre

d) Um Mês

e) 17 Dias

f) 2 m e 7 dias

14) Determinar a taxa de juros equivalente composta, dadas as seguintes taxas:

a) 3% a t

b) 27% ao quadrimestre

c) 5% a m

20

3.2 Juros Compostos

Afirma-se que um capital está empregado a juros compostos ou no regime de

capitalização composta, se no fim de cada período financeiro determinado, o juro produzido é

somado ao capital para formando um novo capital, produzir juros no período seguinte e assim

sucessivamente. É o “juro sobre juro” ou “juros capitalizados”.

– Fórmula do Montante de Juros Compostos:

Identificando-se:

PV = Valor Presente ou Capital

FV = Valor Futuro ou Montante

n = Período

i = Taxa

Sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é apurado pela diferença entre o montante

(FV) e o Capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela seguinte expressão:

J = FV – PV

Como:

FV = PV x (1+i)n

Colocando-se PV em evidência, obtém-se a Fórmula do Juro Composto:

ni) (1 PV FV

1] - i) [(1 PV J n

21

Exemplos:

1) Se uma pessoa deseja obter $27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela

depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?





1,7 i 1,70 Taxa i1 mensal dada



1 n 1,00 Prazo n2 anual equivalente

I 22,42 Taxa i2 anual equivalente

f FIN i 22,42 Limpa memória financeira e

entra com a taxa anual

27.500 FV 27.500 Valor do Montante

1 n 12 Prazo em ano

PV -22.463,70 Valor Presente


FV = $27.500,00

n = 1 ano

i = 1,7% a.m.

PV = $?

1

1

2

2

Solução:

i 1,7% a. m. 100 = 0,0170 a. m.

n 12 meses

i ? % a. a.

n 1 ano

1 2n n

1 2

12 1

2

2

2

2

2

(1+ i ) (1+ i )

(1+ 0,0170) (1+ i )

1,2242 = 1+ i

i = 1,2242 - 1

i = 0,2242 a. a. 100

i = 22,42% a. a.

n

1

FV = PV (1+i)

27.500 = PV (1+0,2242)

PV = $22.463,70

22

2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de

8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a m?

Dados do exercício: Solução:




12.000 CHS PV -12.000,00 Valor da Aplicação

8 n 8 Prazo em meses

3,5 i 3,5 Taxa em meses

FV 15.801,71 Valor do Resgate

3) Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que

produz um montante de $43.894,63 ao final de quatro meses?


? Fv

m. a. 0,035 i

meses 8 n

$12.000,00 PV

$15.801,71 FV

0,035) (1 12.000,00 FV

i) (1 PV FV

8

n

m. a. % ? i

meses 4 n

$43.894,63 FV

$40.000,00 PV

m. a. 2,35% i

100 m. a. 0,0235 i

i 1 (1,0974)

i) (1 1,0974

i) (1 1,0974

i) (1 40.000,00 43.894,63

i) (1 PV FV

1/4

4 44

4

4

n

23





43.894,63 FV 43.894,63 Valor do Resgate

4 n 4 Prazo em meses

I 2,35 Taxa ao mês

4) Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de

juros de 2,4% ao mês, um montante de $26.596,40. Calcular o prazo da operação.






2,4 i 2,40 Taxa i1 mensal dada



30 n 30,00 Prazo n2 diário equivalente

i 0,0791 Taxa i2 diária equivalente

meses 8 n

0,0237 n 0,1897

LN1,024 n 1,0289 LN

(1,024) 1,2089

0,024) (1 22.000,00 26.596,40

i) (1 PV FV

n

n

n

meses ? n

m. a. 0,024 i

$26.596,40 FV

$22.000,00 PV

24

Continuação...

f FIN i 0,0791 Limpa memória financeira e

entra com a taxa diária


26.596,40 FV 26.596,40 Valor do Resgate

N 240 Prazo em dias

30 ÷ 8,0000 Período em meses


15) Adote os conceitos de taxas equivalentes em juros compostos, demonstre a

solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP – 12C para o calculo do

montante de uma aplicação financeira de $80.000,00 admitindo as seguintes taxas e prazos: a)

i = 9 % ao bimestre e n = 1 ano e 8 meses; b) i = 12 % ao ano e n = 108 meses.

16) Adote os conceitos de taxas equivalentes em juros compostos, demonstre a

solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP – 12C para o calculo do juro

de uma aplicação financeira de $100.000,00 admitindo os seguintes prazos e taxas: a) i = 3,5

% ao trimestre e n = 2 anos e meio; b) i = 5 % a s e n = 3 anos.

17) Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP –

12C e calcule a que taxa mensal deve ser colocado um capital de $48.000,00 para que renda

de juros compostos $4.806,25 em 8 meses?

18) Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP –

12C e calcule em quanto tempo um capital dobra se for colocado à taxa de 10% ao mês?

19) Se uma pessoa quiser comprar um carro no valor de $12.000,00 quanto deve

aplicar hoje para que daqui a 7 meses possua tal valor, admitindo-se uma taxa de juros de

3,5% ao mês? Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP

– 12C.

25

20) Calcule a taxa mensal de juros de uma aplicação de $6.600,00 que produz um

montante de $7.385,81 ao final de 7 meses. Demonstre a solução pela fórmula matemática e

pelas teclas financeiras da HP – 12C.

21) Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de

2,2% ao mês? Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP

– 12C.

22) Aplicando primeiro a formula geral de equivalência composta e depois

demonstrando com o uso da calculadora financeira, determine as seguintes taxas:

a) Semestral equivalente a 14% a m

b) Trimestral equivalente a 82,25% a s

c) Diária equivalente a 19,75% a m

23) Qual a melhor opção? Aplicar um capital de $60.000,00 à taxa de juros compostos

de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano? Adote os conceitos de taxas equivalentes

compostas, demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP –

12C.

26

MÓDULO - II

4 Equivalência de Capitais

4.1 Fundamentos

4.1.2 Taxas Nominais e Efetivas

Quando se diz que uma taxa de juros é Nominal, admite-se que o prazo de

capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal)

não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros.

Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada mensalmente.

Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se

refere à taxa de juros igual a um ano (12 meses).

Assim, 36% ao ano representa uma taxa nominal de juros, expressa para um período

inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização.

Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorra por

juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de capitalização é de 36%

÷ 12 = 3 % ao mês (taxa equivalente ou proporcional simples).

Taxa Efetiva de Juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo “n”, sendo

formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o

processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de

capitalização. É obtida pela seguinte expressão:

27




36 ENTER 12 ÷ 3,00 Taxa Nominal proporcional

mensal

i 3,00 Taxa i1 mensal dada





i 42,58 Taxa i2 anual equivalente

Ao se capitalizar a taxa nominal de 3% a.m. = 36% a.a. ÷ 12 apura-se uma taxa

Efetiva de juros ie = 42,58% a.a. superior àquela declarada para a operação.

Da mesma forma, a taxa Efetiva de juros ie = 42,58% a.a. pode ser equivalentemente

definida para a taxa nominal de 36% a.a. da seguinte maneira:

1

1

2

2

i = 3% a. m. 100 = 0,03 a. m.

n = 12 meses

i = ?% a. a.

n = 1 ano

1 2n n

1 2

12 1

2

2

2

2

(1+i ) = (1+i )

(1+0,03) = (1+i )

1,4258 - 1 = i

i = 0,4258 a. a. 100

i = 42,58% a. a.

1

1

2

2

i = 42,58% a.a. 100 = 0,4258 a.a.

n = 1 ano

i = ?% a.m.

n = 12 meses

1 2n n

1 2

1 12

2

1

122

2

2

2

2

(1 + i ) = (1 + i )

(1 + 0,4258) = (1 + i )

(1,4258) = 1 + i

1,03 - 1 = i

i = 0,03 a.m. 100

i = 3% a.m. 12 meses

Taxa Nominal i = 36% a.a.

28





42,58 i 42,58 Taxa i1 efetiva anual dada




i 3,00 Taxa i2 nominal proporcional

mensal equivalente

12 × 36,00 Taxa nominal anual


Demonstre a solução dos exercícios a seguir pela fórmula matemática e pelas teclas

financeiras da HP – 12C

24) Dadas as taxas nominais calcule suas respectivas taxas efetivas:

a) 12% a.a. e capitalização mensal;

b) 6% a.s. e capitalização mensal;

c) 1% a.m. e capitalização diária;

25) Dadas as taxas efetivas calcule suas respectivas taxas nominais:

a) 15% a.a. e capitalização mensal;

b) 6,5% a.s. e capitalização mensal;

c) 1,5% a.m. e capitalização diária;

29

4.2 Equivalência de Capitais

O problema da Equivalência Financeira constitui-se no raciocínio básico da

Matemática Financeira.

Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de certa data são considerados

equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzirem resultados iguais numa data

comum. Esta data comum é chamada de “Data Focal” ou “Data de Equivalência”.

Na equivalência financeira em juros simples, é importante ressaltar que os prazos não

podem ser desmembrados (fracionados) sob pena de alterar os resultados. Ao fracionar os

prazos, dois capitais equivalentes deixam de produzir o mesmo resultado na data focal pelo

critério de juros simples.

Apesar da utilização em determinados casos, do critério de juros simples, será adotado

o critério de juros compostos, devido sua maior aplicação.

Exemplos:

1) Um título A de $120,00 que vence daqui a um ano e outro título B de $100,00, que

vence hoje, são equivalentes a uma taxa de juros de 20%, uma vez que o título B de $100,00,

capitalizado, produzirá os $120,00 do título A dentro de um ano, ou o título A de $120,00 do

final do primeiro ano, resultaria em $100,00 do título B se atualizado para hoje. Ou seja,

ambos os capitais produzem, numa data de comparação (Data Focal) e a taxa de 20% ao ano,

resultados idênticos.

Graficamente tem-se:

$100,00 $120,00

10,2) (1 100 FV

10,2) (1

120 PV

30

2) Admita ilustrativamente que A deve para B, os seguintes pagamentos:

$50.000,00 de hoje a 4 meses;

$80.000,00 de hoje a 8 meses.

Suponha que A tenha proposto à B, pagar $10.000,00 hoje, $30.000,00 de hoje a 6

meses, e o restante ao final do ano.

Sabendo que B exige uma taxa de juros de 2,0% ao mês, qual o saldo a ser pago no

final do ano?

Graficamente tem-se:

Dado que por definição a equivalência ocorre quando A = B, decorre que

considerando a Data Focal em (0) Zero, tem-se:

$98.710,25 B

1,2682 77.832,35 B

) 02 , 0 (1

B 36.639,14 114.471,49

) 02 , 0 (1

B 26.639,14 10.000,00 68.279,22 46.192,27

) 02 , 0 (1

B ) 02 , 0 (1

30.000,00 10.000,00 ) 02 , 0 (1

80.000,00 ) 02 , 0 (1

50.000,00

i) (1

B i) (1

B B i) (1

A i) (1

A

12

12

12 12

12 12

12 12

6 8 4

n 12

n 6

0 n 8

n 4

0 2 4 6 8 10 12Meses

4A

$50.000,00

8A

$80.000,00

0B

$10.000,00

6B

$30.000,00

12B

$?,00

Pagamento de (A) Esquema

Pagamento de (B) Esquema

31


26) Determinar se $438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber

hoje $296.000,00, admitindo uma taxa de juros de 6% ao mês. Justifique sua resposta.

27) Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$25.000,00 e $56.000,00 cada. O

primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O devedor deseja propor a

substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5º mês.

Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros, determinar o valor deste pagamento único.

28) Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros: $35.000,00 vencíveis no

fim de 3 meses e $65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate dessas dívidas, o

devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupança

que rende 66% ao ano. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta

poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de

vencimentos sem deixar saldo final na conta.

29) Uma dívida no valor de $48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende

resgatar a dívida pagando $4.800,00 hoje, $14.000,00 de hoje a dois meses, e o restante um

mês após a data de vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a

data focal da operação, e sabendo-se ainda que é de 34,8% ao ano a taxa de juros adotada

nesta operação, determinar o valor do último pagamento da proposta alternativa.

30) Uma empresa deve $180.000,00 a um banco sendo o vencimento definido em 3

meses contados de hoje. Prevendo dificuldades de caixa no período, a empresa negocia com o

banco a substituição deste compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6

contados de hoje. Sendo de 3,6% ao mês a taxa de juros, pede-se calcular o valor dos

pagamentos propostos sendo a data focal no 5º mês.

31) Um título vence daqui a 4 meses apresentando um valor nominal de resgate de

$407.164,90. É proposta a troca deste título por outro de valor nominal de $480.000,00

vencível daqui a 8 meses. Sendo de 5% ao mês a rentabilidade exigida pelo aplicador, pede-se

avaliar se a troca é vantajosa.

32

5 Descontos

Desconto é a recompensa da operação de se liquidar um título antes de seu

vencimento.

Assim, pode-se entender que Desconto, é a diferença entre o Valor Nominal de um

título e o seu Valor Atualizado apurado “n” períodos antes de seu vencimento.

Por outro lado, Valor Descontado de um título é o seu Valor Atual na data do

desconto, sendo determinado pela diferença entre o Valor Nominal e o Desconto, ou seja:

5.1 Desconto Simples

São identificados dois tipos de Desconto Simples:

Desconto “Por Dentro” (ou Racional) e,

Desconto “Por Fora” (ou Bancário, ou Comercial).

5.1.1 Desconto Simples Racional ou (Por Dentro)

O desconto racional, também denominado de Desconto “Por Dentro”, incorpora os

conceitos e as relações básicas de juros simples.

Assim, o valor do Desconto Racional (Dr), o Capital (ou Valor Atual) (C), a Taxa

periódica de Juros (i) e o Prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado

antes do vencimento) (n), têm-se a conhecida expressão de juros simples:

Na prática, não é possível calcular o desconto racional com essa fórmula, uma vez que

o Valor Atual ou Capital (C) só é conhecido após o cálculo do desconto.

Desconto - NominalValor DescontadoValor

n i C Dr

33

Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de Valor Descontado

no lugar de capital no cálculo do desconto, tem-se:

Sendo:

Dr = Desconto Racional (ou recompensa da liquidação antecipada);

N = Valor Nominal (ou valor de resgate ou montante);

Vr = Valor Descontado racional (ou valor atual) na data da operação.

Como:

Tem-se:

Sendo (1 + i x n) o M.M.C. da fração, tem-se:

Assim, a fórmula do Desconto Racional Simples é:

A partir desta fórmula é possível calcular o Valor do Desconto Racional (Dr) obtido

de determinado Valor Nominal (N) a uma dada taxa simples de juros (i) e a um determinado

prazo de antecipação (n).

Vr - N Dr 1

n) i (1

N C Vr

n) i (1

N - N Dr

n) i (1

N - n) i (1 N Dr

n) i (1

N -n i N N Dr

n) i (1

n i N Dr

2

34

Já o Valor Descontado (Vr), conforme definição apresentada, é obtido pela seguinte

expressão de cálculo:

É importante ressaltar que o juro ou desconto, incide sobre o capital (Valor Presente)

do título, ou seja, sobre o valor liberado da operação.

Exemplos:

n) i (1

N Vr

n) i (1

n i N -n i N N Vr

n) i (1

n i N - n) i (1 N Vr

n) i (1

n i N - N Vr

Dr - N Vr

3

35

1) Seja um título de valor nominal de $4.000,00 vencível em um ano, que está sendo

liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a., a taxa nominal de juros

simples, pede-se calcular o desconto e o valor descontado “por dentro” desta operação:

Dados do exercício: Solução: Valor do Desconto

- Valor Descontado: ou:

2) Determinar a taxa mensal de desconto racional simples de um título negociado 60

dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $26.000,00 e valor atual na

data do desconto de $24.436,10.


?$ Vr

?$ Dr

m. a. 0,035 i

100 m. a. 3,5% i

12 a. a. 42% i

meses 3 n

$4.000,00 N

$380,10 Dr

(1,105)

420 Dr

3) 0,035 (1

3 0,035 4.000,00 Dr

n) i (1

n i N Dr

$3.619,90 Vr

380,00 - 4.000,00 Vr

Dr - N Vr

$3.619,90 Vr

3) 0,035 (1

4.000,00 Vr

n) i (1

N Vr

$24.436,10 Vr

$26.000,00 N

meses 2 dias 60 n

36

Como no desconto racional, o desconto é aplicado sobre o valor atual (capital

liberado) do título, logo:

Solução:

5.1.2 Desconto Simples Bancário ou (Comercial) ou (Por Fora)

Simplificadamente, o “Desconto Por Fora” é assim denominado por incidir sobre o

Valor Nominal (valor de resgate ou montante) do título e não sobre o Valor Descontado

(Capital ou Valor Atual) como ocorre no Desconto Racional.

Esta modalidade de desconto é amplamente adotada pelo mercado, principalmente em

operações de crédito bancário e comercial a curto prazo.

No regime de juros simples, o Valor do Desconto “por fora” (DF) é determinado pelo

produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica “por fora” contratada na

operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n).

O Valor Descontado “Por fora” (VF) aplicando-se a definição, é obtido:

m. a. 3,2% i

100 m. a. 0,032 i

48.872,20

1.563,90 i

2 24.436,10

24.436,10 - 26.000 i

n Vr

Dr i

n i Vr Dr

n i N Df 1

n) i - (1 N Vf

n i N - N Vf

Df - N Vf

2

3

37

Exemplos:

1) Seja um título de valor nominal de $4.000,00 vencível em um ano, que está sendo

liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a a, a taxa nominal de juros

simples, pede-se calcular o desconto e o valor descontado “por fora” desta operação:

Dados do exercício: Solução: Valor do Desconto:

- Valor Descontado:

2) Determinar a taxa mensal de desconto comercial simples de um título negociado 60

dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $26.000,00 e valor atual na

data do desconto de $24.436,10.


?$ Vf

?$ Df

m. a. 0,035 i

100 m. a. 3,5% i

12 a. a. 42% i

meses 3 n

$4.000,00 N

$420,00 Df

3 0,035 4.000,00 Df

n i N Df

$3.580,00 Vf

0,8950 4.000,00 Vf

3) 0,035 - (1 4.000,00 Vf

n) i - (1 N Vf

$24.436,10 Vf

$26.000,00 N

meses 2 dias 60 n

m a % ? i

$1.563,90 DF

24.436,10 - 26.000,00 DF

VF - N DF

38

A taxa aplicada sobre o valor nominal do título é de 3,0075% a.m., contudo, a taxa

efetiva desta operação é a determinada pelo desconto racional composto.

5.2 Desconto Composto

Assim como no regime de juros simples, no regime de juros compostos são

identificados dois tipos de Desconto:

Desconto “Por Dentro” ou Racional;

Desconto “Por Fora” ou Bancário, ou Comercial.

5.2.1 Desconto Composto Racional ou (Por Dentro)

Assim como o Desconto Racional “Por Dentro” Simples é estabelecido segundo as

relações do regime de Juros Simples, o Desconto Racional “Por Dentro” Composto, é

estabelecido segundo as relações do regime de Juros Compostos.

Desta forma, o Valor Descontado Racional Composto (VR), equivale ao Valor

Presente de juros compostos, ou seja:

m. a. 3,0075% i

100 m. a. 0,0301 i

i 2

0,0602

2 i 0,0602

2 i 26.000,00

1.563,90

2 i 26.000,00 1.563,90

n i N DF

n i) (1

N VR

1

39

Por outro lado, sabe-se que o desconto é obtido pela diferença entre o Valor Nominal

(resgate) e o valor descontado (Valor Presente). Logo, o Desconto Racional Composto (DR)

tem a seguinte expressão de cálculo:

- Colocando N em evidência:

Exemplos:

1) Uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes de seu

vencimento. O valor nominal deste título é de $50.000,00. Sendo de 4,5% ao mês a taxa de

desconto composto racional, determine qual o valor descontado, qual o valor do desconto e

qual a taxa efetiva da operação?

Dados do exercício: Solução: Valor Descontado:

- Desconto:

ni) (1

N - N DR

VR - N DR

2

m. a. ?% i

?$ DR

?$ VR

mês ao 0,045 i

meses 3 n

$50.000,00 N

e

$43.814,83 VR

0,045) (1

50.000,00 VR

i) (1

N VR

3

n

$6.185,16 DR

43.814,83 - 50.000,00 DR

VR - N DR

n i) (1

1 - 1 N DR 3

40

- Taxa Efetiva:

2) Um banco libera a um cliente $6.800,00 provenientes do desconto composto

racional de um título de valor nominal de $9.000,00 descontado à taxa de 4% ao mês. Calcule

o prazo de antecipação que foi descontado este título.


m. a. 4,5% i

100 m. a. 0,0450 i

i 1 - 1,0450

i 1 (1,1412)

)i (1 43.814,83

50.000,00

)i (1 x 43.814,83 50.000,00

)i (1 VF N

e

e

e

e

3

e

3

e

n

e

31

? n

m. a. 0,04 i

$9.000,00 N

$6.800,00 VR

dias 5 e meses 7 n

30 meses 0,1468 n

7 - meses 7,1468 n

0,0392

0,2803 n

0,0392 n 0,2803

1,04 LN n 1,3235 LN

(1,04) 3235 , 1

(1,04) 00 , 800 . 6

00 , 000 . 9

0,04) (1 6.800,00 9.000,00

i) (1 VR N

i) (1

N VR

n

n

n

n

n

41

5.2.2 Desconto Composto Bancário ou Comercial ou (Por Fora)

O Desconto Composto “Por Fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de

desconto sobre o Valor Nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos

obtidos em períodos anteriores.

Assim, pode-se dizer que:

e como:

tem-se:

Onde o valor

é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de desconto nos períodos

seguintes.

Sendo a formula de expressão do cálculo do Desconto Composto “Por Fora” assim

determinada:

Como:

Tem-se:

DF - N VF 1

i N DF

i) - (1 N VF

i N - N VF

i) - (1 N

ni) - (1 N VF 2

VF - N DF

]i) - (1 - [1 N DF

i) - (1 N - N DF

n

n

3

42

Exemplo:

1) Um título de valor nominal de $35.000,00 é negociado através de uma operação de

Desconto Composto “Por Fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada

atinge 5% ao mês. Pede-se determinar o Valor Descontado, o Desconto e a Taxa de Juro

Efetiva da operação.

Dados do exercício: Solução: Valor Descontado:

- Desconto:

- Taxa Efetiva:

m. a. ?% i

?$ DF

?$ VF

m. a. 0,05 i

meses 3 n

$35.000,00 N

e

$30.008,12VF

0,857435.000,00VF

0,05)-(135.000,00VF

i)-(1NVF

3

n

$4.991,88 DF

30.008,12 - 35.000,00 DF

VF - N DF

m. a. % 5,26 i

100 m. a. 0,0526 i

i 1 - 1,0526

i 1 (1,1663)

)i (1 1,1663

)i (1 30.008,12

35.000,00

)i (1 30.008,12 35.000,00

)i (1 VF N

e

e

e

e

3

e

3

e

3

e

n

e

31

43


32) Calcular o Valor do Desconto e o Valor Descontado simples “Por Dentro”

(racional) de um título de valor nominal $54.000,00 descontados 95 dias antes de seu

vencimento a uma taxa de desconto de 4,5% ao mês.

33) O Valor Atual de um título é de $159.529,30 sendo o Valor de seu desconto

racional simples, apurado a uma taxa de juros de 5,5% ao mês, igual a $20.470,70. Com base

nestas informações, determinar o número de dias que falta para o vencimento do título.

34) Calcular o Valor do Desconto e o Valor Descontado simples “Por Fora”

(comercial) de um título de valor nominal $54.000,00 descontados 95 dias antes de seu

vencimento a uma taxa de desconto de 4,5% ao mês.

35) O desconto de uma duplicata de valor nominal de $77.000,00 e com prazo de

vencimento de 141 dias, produz um valor atual de $65.000,00. Determinar a taxa de desconto

simples “Por Fora” desta operação.

36) Um título de valor nominal de $5.000,00 é negociado através de uma operação de

desconto composto “por fora” 4 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada

atinge 3% ao mês. Pede-se determinar o Valor Descontado, o Desconto e a Taxa de Juro

Efetiva mensal da operação.

37) Uma empresa deseja descontar uma duplicata 5 meses antes de seu vencimento. O

valor nominal deste título é de $100.000,00. Sendo de 5% ao mês a taxa de desconto racional

composto, determine qual o valor descontado e qual o valor do desconto da operação?

38) Um banco libera a um cliente $15.357,91 provenientes do desconto de um título

de valor nominal de $20.000,00 descontado à taxa racional composta de 4,5% ao mês. Calcule

o prazo de antecipação que foi descontado este título.

44

MÓDULO - III

6 Rendas Certas ou Anuidades

Rendas ou anuidades é um conjunto de depósitos ou de pagamentos periódicos

destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida.

Cada um dos pagamentos de uma série pode ser denominado de termo, prestação ou

simplesmente pagamento da renda.

Ao intervalo de tempo entre os vencimentos de dois termos consecutivos denomina-se

período da renda ou intervalo de pagamento.

6.1 Classificação das Rendas

- Quanto a sua Periodicidade as rendas são classificadas em:

Certas;

Aleatórias.

- Quanto a sua Duração as rendas são classificadas em:

Temporárias;

Perpétuas.

- Quanto aos seus Valores as rendas são classificadas em:

Constantes;

Variáveis.

- Quanto ao seu Período de Ocorrência as rendas são classificadas em:

Imediatas;

Antecipadas;

Diferidas.

45

6.2 Classificação das Rendas Certas quanto ao Pagamento da Primeira Prestação

6.2.1 Rendas Imediatas

São aquelas cujo primeiro pagamento ocorre no Final do 1º Período e o último

pagamento se dá no Fim do último período (n).

6.2.2 Rendas Antecipadas

São aquelas cujo primeiro pagamento ocorre no Início do 1º Período e o último

pagamento se dá no Início do último período (n).

6.2.3 Rendas Diferidas

Caracterizam-se por terem um prazo de Carência (m) antes do Primeiro pagamento.

0 2 n-1 nPeríodo

1

PMT PMT PMT PMT

0 2 n-1 nPeríodo

1

PMT PMT PMT PMT

0 2 m+1 m + nPeríodo

1

PMT PMTPMT

m + n-1m

Carência

46

6.3 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata

O cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata é dado a

partir da descapitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir:

6.4 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata

O cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata é dado a partir

da capitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir:

6.5 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada

O cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada é dado a


0 2 n-1 nPeríodo

1

PMT PMT PMT PMT?$ PV

i

i) (1 - 1 PMT PV

-n

n0 2 n-1

Período

1

PMT PMT PMT PMT

?$ FV

i

1-i)(1PMTFV

n

0 2 n-1 nPeríodo

1

PMT PMT PMT PMT

?$ PV

i) (1 i

i) (1- 1 PMT PV

-n

47

6.6 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada

O cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada é dado a

partir da capitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir:

6.7 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida

O cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida é dado a


6.8 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida

O cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida é dado a partir

da capitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir:

0 2 n-1 nPeríodo

1

PMT PMT PMT PMT

?$FV

i) (1 i

1- i) (1 PMT FV

n


1

PMT PMTPMT

m + n-1m

Carência

?$ PV

m--n

i) (1 i

i) (1- 1 PMT PV


1

PMT PMTPMT

m + n-1m

Carência

?$FV

i

1-i)(1PMTFV

n

48

Exemplos:

1) Um determinado produto, cujo preço à vista é $6.800,00 está sendo vendido com

uma entrada de 20% do preço e o restante em seis prestações mensais com juros de 5,5% a. m.

De quanto serão a entrada e as prestações?


Solução:

?$ PMT

?$ Entrada

m. a. 5,5% i

Pagamentos 6 n

Entrada - Vista a Preço Financiada Parte

20% vistaa Preço Entrada

$6.800,00 Vista a Preço

$1.088,97 PMT

4,9955 PMT 00,440.5

0,055

0,055) (1 - 1 PMT 5.440,00

i

i) (1 - 1 PMT PV

PV $5.440,00 Financiada Parte

1.360,00 - 6.800,00 Financiada Parte


$1.360,00 Entrada

0,20 6.800,00 Entrada


6-

n-

49




6800 ENTER 20 % 1.360,00 Valor da Entrada

(-) CHS PV -5.440,00 Parte Financiada

6 n 6 Número de Prestações

Mensais


PMT $1.088,97 Valor das Prestações

2) Um determinado produto, cujo preço à vista é $6.800,00 está sendo vendido com

uma entrada de 20% do preço e o restante em seis prestações mensais com juros de 5,5% a. m.

De quanto serão a entrada e as prestações, considerando que a primeira deverá ser paga no ato

da compra?


?$ PMT

?$ Entrada

m. a. 5,5% i

Pagamentos 6 n



$6.800,00 Vista a Preço

50

Solução:




G BEG BEGIN Configuração para Fluxos de

Caixa Antecipados

6800 ENTER 20 % 1.360,00 Valor da Entrada

(-) CHS PV -5.440,00 Parte Financiada

6 n 6 Número de Prestações

Mensais



$1.032,20 PMT

1,055 4,9955 PMT 00,440.5

0,055) (1 0,055

0,055) (1 - 1 PMT 5.440,00

i) (1 i

i) (1 - 1 PMT PV

PV $5.440,00 Financiada Parte

1.360,00 - 6.800,00 Financiada Parte


$1.360,00 Entrada

0,20 6.800,00 Entrada


6-

n-

51

3) Um financiamento no valor de $35.000,00 é concedido para pagamento em 12

prestações mensais, iguais, com 3 meses de carência. Para uma taxa de juros de 3,5% a m,

determinar o valor das prestações.





35000 CHS PV -35.000,00 Valor do Financiamento

3 n 3,00 Período de Carência


FV 38.805,12 Valor Futuro

f FIN 38.805,12 Limpa Registros

CHS PV -38.805,12 Valor do Saldo Devedor

12 n 12,00 Número de Prestações



?$ PMT

m. a. 3,5% i

carência de meses 3 m

Pagamentos 12 n

$35.000,00 nto Financiame do Valor

$4.015,71 PMT

0,9019 9,6633 PMT 00 , 000 . 35

0,035) (1 0,035

0,035) (1 - 1 PMT 35.000,00

i) (1 i

i) (1 - 1 PMT PV

3 - 12 -

m - n -

52


39) Um terreno está à venda em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de

$4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% a m. Até que preço compensa vender o terreno à

vista?

40) Um bem, cujo preço à vista é $10.000,00 está sendo vendido com uma entrada de

20% do preço e o restante em 5 prestações mensais imediatas com juros de 2,5% a. m. De

quanto serão a entrada e as prestações?

41) Uma pessoa quer comprar um apartamento, cujo preço à vista é $80.000,00, mas

só dispõe de $48.000,00 para dar como entrada e poderá pagar prestações mensais de, no

máximo, $500,00. Em quantos pagamentos, no mínimo, poderá comprar o apartamento se a

taxa de juros para comprá-lo a prazo é 1,5% a m e de quanto serão os pagamentos, se forem

iguais?

42) Um empréstimo de $55.000,00 está sendo pago com 10 prestações mensais de

$5.963,88. Qual a taxa mensal de juros cobrada pelo credor?

43) Com o objetivo de fazer uma poupança, uma pessoa deposita $1.000,00 no fim de

cada mês, numa instituição financeira que paga juros de 0,75% a m. Qual será o montante no

fim do ano, após efetuar seu 12º depósito?

44) Faltando oito pagamentos mensais de $5.400,00 para o término de um contrato de

financiamento, o financiado deseja liquidá-lo. Quanto deverá pagar (na data em que pagaria o

primeiro dos oito pagamentos) se a taxa para avaliação da dívida é 4,5% a m ?

45) Um carro está sendo vendido a prazo em 4 pagamentos mensais de $5.000,00.

Sendo de 2,5% a m a taxa de juros, determinar o seu valor final, admitindo que o primeiro

pagamento é efetuado no ato da compra.

46) Um banco concedeu um empréstimo de $50.000,00 em 12 prestações mensais e

iguais, com 4 meses de carência. Para uma taxa de juros de 1,5% a m qual o valor das

prestações?

47) Determine o Valor Futuro do exercício anterior.

53

7 Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos

7.1 O que trata os Sistemas de Amortização?

Tratam da forma pela qual são restituídos, pelo Devedor ao Credor do Capital, os

encargos financeiros e o montante principal, relativos a empréstimos de longo prazo.

7.2 Termos Utilizados:

Credor ou Mutuante: É aquele que dá o empréstimo.

Devedor ou Mutuário: É aquele que recebe o empréstimo.

Encargos (Despesas) Financeiras: Representam os Juros da operação, caracterizando –

se como custo para o devedor e retorno para o credor.

Os Encargos Financeiros podem ser corrigidos por Indexador Prefixado ou Pós –

fixado.

Nas Operações Pós Fixadas, os Encargos Financeiros são desdobrados em Juros e

Correção Monetária, (inflação para dívidas expressas em moeda nacional ou Variação

Cambial para dívidas expressas em moeda estrangeira) que vier a se verificar no futuro.

Nas Operações Prefixadas estipula-se uma taxa única, a qual incorpora-se uma

expectativa inflacionaria para todo o horizonte de tempo.

7.3 Definições Básicas:

Amortização: Refere-se exclusivamente ao pagamento do montante principal do Capital

Emprestado.

Saldo Devedor: Representa o valor do principal da dívida, em determinado momento,

após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização.

Encargos Financeiros: Os Juros são calculados sempre sobre o Saldo Devedor, e se

considera normalmente o regime de Juros Compostos.

Prestação: É composta do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos em

determinado período de tempo.

Carência: É a postergação do início da Amortização do Principal (capital emprestado),

não sendo incluídos necessariamente os juros, durante o prazo de carência. Na hipótese de

Carência de Juros, os mesmos são capitalizados e pagos junto com a primeira parcela de

amortização ou distribuídos para as várias datas de pagamento previamente pactuadas.

54

7.4 Modalidades de Sistemas de Amortização:

Existem diversos sistemas para se amortizar uma dívida, contudo, os mais conhecidos

e utilizados são os descritos a seguir:

Sistema de Amortização Constante – SAC;

Sistema de Amortização Francês – SAF (Price);

Sistema de Amortização Misto – SAM;

Sistema de Amortização Americano;

Sistema de Amortização Variável;

Etc.

7.4.1 Sistema de Amortização Constante - SAC:

Possui as seguintes características:

As Amortizações do Montante Principal são sempre iguais em todo o período da

operação.

Os Juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o

pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos.

Em conseqüência do comportamento da amortização constante e dos juros

decrescentes, as prestações periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes.

Os contratos podem ser firmados entre as partes considerando ou não prazos de

carência.

Se houver carência, três situações podem ocorrer:

1. Os Juros poderão ser pagos durante a carência.

2. Os Juros são Capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira

amortização.

3. Os Juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de

amortização de maior valor.

Como os sistemas de amortização prevêem pagamentos de forma parcelada, é

conveniente tanto para o credor como para o credor a elaboração de um Quadro

Demonstrativo que revele o estado da dívida em cada período do prazo fixado.

55

Exemplos:

1) SAC – Sem Carência:

Admita que um empréstimo no Valor de R$100.000,00 foi concedido a uma empresa

nas seguintes condições: Taxa de Juros de 10% a.a., Amortização em Pagamentos Anuais,

Prazo de Amortização em 5 anos (Sem Carência).

Solução:

a) Para o cálculo da Amortização Constante tem - se:

Onde:

A = Amortização

SD0 = Saldo Devedor Inicial, Valor Presente ou Valor do Financiamento

n = Número de Prestações

Logo:

b) O Saldo Devedor é periodicamente reduzido da Amortização:

n

SD A 0

0$100.000,0 Total

20.000,00 A

20.000,00 A

20.000,00 A

20.000,00 A

20.000,00 A

5

100.000,00 A

5

4

3

2

1

$0,00 20.000,00 - 20.000,00 SD

$20.000,00 20.000,00 - 40.000,00 SD

$40.000,00 20.000,00 - 60.000,00 SD

$60.000,00 20.000,00 - 80.000,00 SD

$80.000,00 20.000,00 - 100.000,00 SD

0$100.000,0 SD

5

4

3

2

1

0

56

c) Os Juros são calculados sempre sobre o Saldo Devedor do Período Anterior:

d) A Prestação é a soma da Amortização e dos Juros:

e) Apresentação da Planilha Financeira:

SAC – Com Carência de um ano e pagamento dos Juros:

$2.000,00 0,10 20.000,00 J

$4.000,00 0,10 40.000,00 J

$6.000,00 0,10 60.000,00 J

$8.000,00 0,10 80.000,00 J

$10.000,00 0,10 100.000,00 J

i SD J

5

4

3

2

1

1 -n

$22.000,00 2.000,00 20.000,00 P

$24.000,00 4.000,00 20.000,00 P

$26.000,00 6.000,00 20.000,00 P

$28.000,00 8.000,00 20.000,00 P

$30.000,00 10.000,00 20.000,00 P

J A P

5

4

3

2

1

nn

Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)

0 100.000,00 - - -

1 80.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,00

2 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00

3 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00

4 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00

5 - 20.000,00 2.000,00 22.000,00

Total - 100.000,00 30.000,00 130.000,00

SAC - Sem Carência

57

SAC – Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros e pagamento dos juros

acumulados durante a carência quando do vencimento da primeira parcela de amortização:

SAC – Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros, Acrescidos ao Saldo

Devedor:

Períodos Saldo devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)

0 100.000,00 - - -

1 110.000,00 - - -

2 121.000,00 - - -

3 80.000,00 20.000,00 33.100,00 53.100,00

4 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00

5 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00

6 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00

7 - 20.000,00 2.000,00 22.000,00

Total - 100.000,00 53.100,00 153.100,00

SAC - Com Carência de 2 anos e PG. dos Juros na 1ª Amortização


0 100.000,00 - - -

1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00

2 80.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,00

3 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00

4 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00

5 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00

6 - 20.000,00 2.000,00 22.000,00

Total - 100.000,00 40.000,00 140.000,00

SAC - Com Carência de 1 ano e Pagamento dos Juros


0 100.000,00 - - -

1 110.000,00 - - -

2 121.000,00 - - -

3 96.800,00 24.200,00 12.100,00 36.300,00

4 72.600,00 24.200,00 9.680,00 33.880,00

5 48.400,00 24.200,00 7.260,00 31.460,00

6 24.200,00 24.200,00 4.840,00 29.040,00

7 - 24.200,00 2.420,00 26.620,00

Total - 121.000,00 36.300,00 157.300,00

SAC - Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros e Acrescidos ao Saldo Devedor

58

7.4.2 Sistema de Amortização Francês – SAF.

Por este sistema, o devedor paga o empréstimo em Prestações iguais imediatas,

incluindo em cada uma, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo

devedor anterior. O cálculo das prestações é feito através do Valor Atual das Rendas

Imediatas.

Plano de Amortização Francês (Sistema Price)

Modelo de Quadro Demonstrativo

Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestações (R$)

0 SD0 = PV ---- ---- ----

1 SD1 = PV – A1 A1 = PMT – J1 J1 = SD0 x i PMT

2 SD2 = SD1 – A2 A2 = PMT – J2 J2 = SD1 x i PMT

- - - - -

- - - - -

n SDn = SDn – 1 – An An = PMT - Jn Jn = SDn – 1 x i PMT

Onde:

i

i) (1 - 1

PV PMT

i

i) (1 - 1 PMT PV

n -

n -

59

Exemplos:

2) SAF – Sem Carência:

Admita que um empréstimo no Valor de R$100.000,00 foi concedido a uma empresa

nas seguintes condições: Taxa de Juros de 10% a.a., Amortização em Pagamentos Anuais,

Prazo de Amortização em 5 anos (Sem Carência).

Solução: Utilizando a Calculadora Financeira HP – 12C tem-se:




100000 CHS PV -100.000,00 Valor do Empréstimo

5 n 5,00 Número de Prestações

10 i 10,00 Taxa anual


5 x $131.898,74 Total das Prestações

5 / $26.379,75 Valor das Prestações

1 f AMORT $10.000,00 Valor dos Juros do 1º ano

X<>Y $16.379,75 Valor da Amortização do 1º ano

RCL PV $-83.620,25 Saldo Devedor do 1º ano







E assim por diante até o 5º ano.

60

Quadro Demonstrativo do Sistema de Amortização Francês (Sem Carência):

SAF – Com Carência de um ano e pagamento dos Juros:

SAF – Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros, Acrescidos ao Saldo

Devedor:


0 100.000,00 - - -

1 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75

2 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75

3 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75

4 23.981,59 21.801,44 4.578,30 26.379,75

5 (0,00) 23.981,59 2.398,16 26.379,75

Total - 100.000,00 31.898,74 131.898,74

SAF - Sem Carência


0 100.000,00 - - -

1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00

2 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75

3 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75

4 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75

5 23.981,59 21.801,44 4.578,30 26.379,75

6 (0,00) 23.981,59 2.398,16 26.379,75

Total - 100.000,00 41.898,74 141.898,74

SAF - Com Carência de 1 ano e Pagamento dos Juros


0 100.000,00 - - -

1 110.000,00 - - -

2 121.000,00 - - -

3 101.180,50 19.819,50 12.100,00 31.919,50

4 79.379,06 21.801,44 10.118,05 31.919,50

5 55.397,47 23.981,59 7.937,91 31.919,50

6 29.017,72 26.379,75 5.539,75 31.919,50

7 (0,00) 29.017,72 2.901,77 31.919,50

Total - 121.000,00 38.597,48 159.597,48

SAF - Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros e Acrescimo ao Saldo Devedor

61


48) Um comerciante contratou um empréstimo de $400.000,00 a uma taxa de 12% ao

ano para ser pago em 5 anos. Elabore o Plano de Amortização deste empréstimo, pelo

Sistema SAC, nas seguintes condições:

a) Sem carência;

b) Com carência de 2 anos e pagamento dos juros durante a carência;

c) Com carência de 2 anos, capitalização dos juros e pagamento dos juros

acumulados quando do vencimento da primeira parcela de amortização;

d) Com carência de 2 anos, capitalização dos juros, acrescidos ao saldo devedor.

Demonstre as memórias de cálculo e os quadros demonstrativos.

49) Um banco concedeu um empréstimo de $400.000,00 a uma taxa de 12% ao ano

para ser pago em 5 anos. Elabore o Plano de Amortização deste empréstimo, pelo

Sistema SAf, nas seguintes condições:

a) Sem carência;

b) Com carência de 2 anos e pagamento dos juros durante a carência;

c) Com carência de 2 anos, capitalização dos juros, acrescidos ao saldo devedor.

Demonstre as memórias de cálculo pelas fórmulas matemáticas e também pelas

teclas financeiras da HP – 12C e os quadros demonstrativos.

62

REFERÊNCIAS

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: Atlas,

2006.

ASSAF NETO, Alexandre. Mercado Financeiro. São Paulo: Atlas, 2006.

VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras:

aplicações ao mercado financeiro, introdução à engenharia econômica. São Paulo: Atlas,

2006

MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática Financeira. São Paulo:

Atlas, 2006.

Documents

Apostila Matemática Financeira