PAULO VIEIRA NETO Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira So Paulo, Julho/2006-A Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 1Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira Matemtica Financeira:Dentrevriasdefinies,acinciaque estudaodinheironotempo(LawrenceJeffrey Gitman). O conhecimento de matemtica financeira indispensvel para compreender e operar nos mercados financeiro e de capitais, e atuar em administrao financeira com baixos tempo e custo de deciso. 1. Qual o objetivo principal da matemtica financeira? Amatemticafinanceirabusca,essencialmente,analisaraevoluododinheiroaolongodotempo,determinandoo valor das remuneraes relativas ao seu tempo. 2.Conceitos bsicos de juro, capital e regime de capitalizao. 2.1. juro: a remunerao, a qualquer ttulo, atribuda ao capital.1 2.1.1. Fatores necessrios para calcular o valor do juro: Capital, Principal ou Valor Presente; Taxa de Juros [Rate: i/100 ]. (i = Interest = juros);Tempo, Prazo ou Perodo. [Empregaremos a letra n, do ingls - number] 2.2. Capital: quantia de dinheiro envolvida numa operao financeira.2.3. Regime de capitalizao: Entende-se por regime de capitalizao o processo de formao de juro.H dois tipos de regimes de capitalizao: 2.3.1. Regime de capitalizao a juro simples2: por conveno, os juros incidem somente sobre o capital inicial. Apenas o capital inicial rende juros, i.e., o juro formado no fim de cada perodo a que se refere a taxa. Noincorporadoaocapital,pararenderjuronoperodoseguinte;dizemosqueosjurosnoso capitalizados3. 2.3.2. Regime de capitalizao a juro composto: o juro formado no fim de cada perodo incorporado ao capital que tnhamos no incio desse perodo, passando o montante a render juro no perodo seguinte; dizemos que os juros so capitalizados. 2.4. Juro exato e juro comercial 2.4.1. Juro exato: o juro obtido tomando como base o ano de 365 ou 366 dias como os anos bissextos; 2.4.2. Juro comercial: o juro obtido tomando como base o ano de 360 dias (ano comercial) e ms de 30 dias (ms comercial). 2.5. Montante: define-se como montante de um capital, aplicado taxa i e pelo prazo de n perodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial. Seja C o principal, aplicado por n perodos e taxa de juros i, temos o montante (M) como sendo:M = C + J 3.Fluxo de caixa: o conjunto de entradas e sadas de dinheiro, seja de uma empresa ou uma pessoa fsica por um determinado perodo de tempo.Sua representao consta de um eixo horizontal onde marcado o tempo, a partir de um determinado instante inicial (origem) dia, ms, ano etc.". As entradas de dinheiro so indicadas por setas voltadas para cima, as sadas, por setas para baixo. Entrada ( + ) R$. t0t1 ( - ) R$Sada I. Taxa de Juros TaxadeJuros:Ojurodeterminadoatravsdeumcoeficientereferidoaumdeterminadoperododetempo.Tal coeficiente corresponde remunerao do capital aplicado por um prazo igual quela taxa. As taxas de juros so apresentadas de duas maneiras: Formapercentual:Nestasituaodiz-seaplicadaacentosdocapital,isto,aoqueseobtmapsdividir-seo capital por 100; Forma unitria: Aqui, a taxa refere-se unidade do capital, ou seja, calculamos o rendimento da aplicao de uma unidade do capital no intervalo de tempo referido pela taxa; Forma percentualTransformaoForma Unitria 12% a.a.12/1000,12 a.a. 3% a.t.3/1000,03 a.t. 1% a.m.1/100 0,01 a.m. Diagramas de capital no tempo [Fluxos]: Os problemas financeiros dependem basicamente de um fluxo (entradas e sadas) de dinheiro no tempo. Este fluxo conhecido como fluxo de caixa, que uma representao esquemtica til na resoluo de problemas. Basicamente conta com um eixo horizontal onde marcamos o tempo, a partir de um instante inicial(origem); marcamos a unidade de tempo (ano, semestre, ms, dia etc.). A representao pode ser a seguinte: 600400500 (+) Entradas . ..................... 01 2 3 4 5 6( - ) Sadas 1000 500 Taxa Nominal: aquela cujo perodo de capitalizao no coincide com aquela a que se refere.

1 TOSI, Jos Armando. Matemtica Financeira: prtica e objetiva. So Paulo : mimo. 2 A capitalizao simplesest mais relacionada s operaes com perodos de capitalizao inferiores a 1 e a descontos de ttulos junto aos agentes financeiros (GIMENES, 2006:19) 3 CRESPO, Antnio Arnot. Matemtica comercial e financeira fcil. So Paulo : Saraiva, 2001, p. 80. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 2 Taxa Efetiva: aquela que realmente apurada (paga). Taxas Proporcionais: so proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no clculo dos juros simples de um mesmo capital, por um certo perodo de tempo, produzem juros iguais. II. JUROS SIMPLES Noregimedejurossimples,osjurosincidemsomentesobreaaplicaocapitalinicial,qualquerquesejaonmeroperodos de capitalizao.Por definio, o juro simples diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicao, sendo a taxa de juro por perodo o fator de proporcionalidade4. Assim, sendo: C = Capital inicial ou principal; [C, P ou PV: Present Value] j = juro simples; n = tempo de aplicao .i = taxa de juros unitria.[ i/100 ] vamos escrever a frmula de juros simples da seguinte maneira:J = Cin Juros simples Rendimento Ms CinJurosMontante 11.000,005%150,001.050,00 21.000,005%150,001.100,00 31.000,005%150,001.150,00 41.000,005%150,001.200,00 J = Cin ( 1 ) M = C + j ( 2 ) M = C +Cin( 3 )J =M - C( 4 ) M = C (1+ in) ( 5 ) Capitalizao Simples: .M = C(1 + in) (5) . .C = M/(1 + in) (6). NacalculadorafinanceiraHP-12Cpode-secalculardiretamentequalquerumadasvariveisdafrmula.Ataxade juros simples deve ser expressa em anos e o perodo em dias. Exemplo: Aplica-se um capital de $ 5.000,00 a 3% a. m. durante 5 meses. a)qual o Juro e montante Comercial?"Juro comercial: o juro obtido considerando o ano de 360 dias (ano comercial) e ms de 30 dias (ms comercial). b)Qual o juro e o montante exato?"Juro Exato: o juro obtido considerando o ano de 365 ou 366 dias. C = 5.000 - i = 3/100 = 0.03- n = 5 J = Cin 5000 x (0,03 x 5) = 750. O juro produzido no perodo igual a $ 750,00. Vamos utilizar a calculadora HP-12CSoluo:3% a. m. igual a 36% a. a. 5 meses igual a 150 dias 5000CHSPVCapital inicial com sinal ( - ) 36i Taxa de juros em anos 150nPerodo em dias fINT750 juro comercial +5.750 montante

Ateno,noapagueosdadosinseridos.Paracalcularojuroemontanteexatosbastateclaraseqnciadeteclasa seguir: .fINTR X Y 739,73 juro exato +5.739,73 montante exato Observaes: Para que a calculadora HP-12C funcione de maneira correta, quando o prazo (n) no for inteiro, torna-se mister que ela esteja ajustada para a conveno exponencial (juros compostos). No visor, direita - embaixo - precisa que aparea a letra"c". Se no estiver aparecendo, tecle.STO. EEX . Para retirar essa instruo, volte a teclar as mesmas teclas. Se no aparecer a letra "c", a calculadora HP-12C no capitaliza prazos fracionrios.

4 CRESPO, op cit. pp. 80-1. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 3 Da frmula de Juros [Frmula (1)], [ dada 3 variveis, encontrar a 4 varivel ] [7]inJC = CnJiCin J [8] [1] = =[9]CiJn = Exemplo: C: 1200,00J = Cin i: 5% a.m. J = 1200,00 x [ (5/100) x 4 ] n: 4 m.J = 1200,00 x 0,2 J: ?J = 240,00 i: 5% a.m. C = J / in n: 4 mC = 240,00 / [ (5/100) x 4 ] J: 240,00C = 240,00 / 0,2 C: ?C = 1200,00 C: 1200,00i = J / cn n: 4 mi = 240,00 / [ 1200,00 x4 ]J: 240,00i = 240,00 / [ 4800,00 ]i: ? i = 0,05 [ 0,05 x 100 ] 5%i = 5%. C: 1200,00n = J / ci i: 5% a.m.n = 240,00 / [ 1200,00 x (5/100) ]J: 240,00n = 240,00 / 60,00 n: ?n =4 Exerccios Resolvidos 1.Um capital de $ 2.000,00 foi aplicado durante 3 meses, juros simples, taxa de 30% a.a. Pede-se:a) Juros b) Montante.

1) J = Cin2) M = C + J3)M = C +Cin4) M = C (1+ in)5)J =M - C 5b) J = C (1+ in) - 1 Soluo: C = 4000,00i = 18% a.a.n = 3 m [Frmula 1]HP-12C Calculadora Cientfica J = Cin fixar 8 Casas decimaisfixar 8 Casas decimais .2nd .TAB. 8J = 4000 x{ [ ( 18/100 )/12 ] x 3 }.f. 8 18 100 12 x 3 x 4000 = J = 4000 x{ [ ( 0,18 ) /12 ] x 3 }4000 CHS PV180,00000000 J = 4000 x{ [ 0,015] x 3 }18 iPara representar os valores em Reais, J = 4000 x{0,045}90 n.Vamos fixar 2 Casas decimais .2nd .TAB. 2J = 4000 x 0,045 .f .INT.180,00 J = 180,00 180,00000000M = C + JM = C + J fixar 2 Casas decimaisM = 4000,00 + 180,00 M = 4000,00 + 180,00 .f. 2M = 4.180,00 M = 4.180,00 Montante tecle + Ou pela frmula do Montante [Frmula 4] M = C (1+ in)HP-12C Calculadora CientficaM = 4000 x{1 +[ (( 18/100 ))/12) x 3] }.f. 6.2nd .TAB.8-Fixa 8 casas decimais M = 4000 x{ 1 + [ (( 0,18 ) /12 ) x 3 ] }18 Enter18 100 12 x 3 + 1 =1,045 M = 4000 x{ 1 + [ ( 0,015 ) x 3 ] }100 [0,180000]x 4000 = M = 4000 x{ 1 + [0,045 ] }12 [0,015000]4.180,00 = M M = 4000 x{ 1 + 0,045}3 x [0,045000]J = M - C M = 4000 x{ 1,045 }1 +[1,045000]4180 - 4000 =180,00000000 M = 4.180,00. 4000 x[4.180,000000] .2nd .TAB. 2-Fixa 2 casas decimais Aplicando a frmula 5: J = M - C 4000 -[180,000000] 180,00 J = 4180,00- 4000,00 = . J = 180,00..f. 2 [180,00] Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 42.Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado durante 120 dias, juros simples, taxa de 48% a.a. Pede-se:a) Juros b) Montante. [Frmula 1] J = Cin HP-12C Calculadora CientficaJ = 5000 x{ [ ( 48/100 )/360 ] x 120 }.f. 8.2nd .TAB.8-Fixa 8 casas decimais J = 5000 x{ [ ( 0,48 ) /360 ] x 120 }48 Enter48 100 360 x 120 =0,16 J = 5000 x{ [ 0,000133333333] x 120 }100 [0,480000]x 5000 = J = 5000 x{0,16}360 [0,00133333]800,00000000 = J J = 5000 x 0,16 120 x [0,16000000]M =C + J J = 800,005000 x[800,0000000] .2nd .TAB. 2-Fixa 2 casas decimais M = C + J M = 5000,00 + 800,00.f. 2 [800,00]5000 + 800 =M = 5.800,005000 +[5.800,00]5.800,00 Ou pela frmula do Montante [Frmula 4]Ano Comercial: 360 dias, meses: 30 dias M = C (1+ in) M = 5000 x{1 +[ (( 48/100 ))/360) x 120] }Ano civil: 365 ou 366 dias. M = 5000 x{ 1 + [ (( 0,48 ) /360 ) x 120 ] } M = 5000 x{ 1 + [ ( 0,000133333333 ) x 120 ] } M = 5000 x{ 1 + [0,16 ] } M = 5000 x{ 1 + 0,16} M = 5000 x{ 1,16 } M = 5.800,00.Aplicando a frmula 5: J = M - C J = 5800,00- 150,00 =. J = 800,00. [ Juro comercial ] 3. Utilizando os dados do exerccio 2, calcule o juro exato e o Montante [365 dias]. [Utilizando a frmula 1] J = Cin J = 5000 x{ [ ( 48/100 )/365 ] x 120 } J = 5000 x{ [ ( 0,48 ) /365 ] x 120 } J = 5000 x{ [ 0,001315068] x 120 } J = 5000 x{0,157808219} J = 5000 x 0,157808219 J = 789,04M = C + J M = 5000,00 + 789,04 M = 5.789,04 II.1.MONTANTE:Define-secomoMontantedeumcapital,aplicadotaxaiepeloprazodenperodoscomo sendo a soma do juro mais o capital inicial5. M=C+J:Demodoanlogoaovistoparajuro,dado3valoresdafrmulapoderemosobteroquartovalor.[como vimos nas frmulas 1 a 5].

( )[10] in 1MC+= [11] [6] 100 Xn1CM iin) C(1 M(((((

|.|

\|= + =[12]i1CM n(((((

|.|

\|= Exemplo: C: 1200,00[6]M= C(1 + in) M = 1200 x {1 +[(5/100) x 4]} i: 5% a.m. M = 1200 X {1 + [0,05 x 4]} M = 1200 x {1 +0,2} n: 4 mM = 1200 X 1,2}M: ?M = 1440,00 M: 1440,00[10]C= M(1 + in) C = 1440/{1 +[(5/100) x 4]} i: 5% a.m. C = 1440 /{1 +[0,05 x 4]}C = 1440/{1 +0,2} n: 4 m.C = 1440/1,2 C: ?C = 1200,00

5MATHIAS, Washington Franco. Matemtica Financeira. So Paulo : Atlas, 1993, p. 26. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 5 C: 1200,00[11]i = {[(M/C) -1]/n} x 100 i = {[(1440/1200) -1] /4} x 100M: 1440,00 i = {[1,2 1]/4]} x 100 i = {0,2/4} x 100 n: 4 mi =0,05 x 100i = ? i = 5% C: 1200,00[12]n = {[(M/C) -1]/i} n = {[(1440/1200) -1] /(5/100)} M: 1440,00n = {[1,2 1]/0,05]} i: 5% a.m.n =0,2/0,05n = ?n = 4 III. RAZES E PROPORES Razo de dois nmeros:Razo do n a para o n b (diferente de zero) o quociente de a por b. indicado por: a/b ou a : b ( lemos: a para b ) Os nmeros a e b so os termos da razo; a chamado antecedente e b, conseqente da razo. Exemplos: A razo de 5 para 15 :1)3/15 = 1/5;2) 18/3 = 6;3) 5 e 1/2 = 5/(1/2) = 5 x (2/1) = 10 Duas razes so inversas entre si quando uma igual ao inverso multiplicativo da outra. Se a e b so nmeros reais no-nulos, ento a/be b/a so razes inversas; a/b x b/a = 1. 1. A razo inversa de 3/4 4/3;2. A razo inversa de 4 1/4;3. A razo inversa de 1/5 5. Proporo:Dados, em certa ordem, quatro nmeros ( a, b, ce d ) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporo quando a razo entre os dois primeiros (ae b ) igual a razo entre os dois ltimos. A razo a/b igual a razo c/d. Essa proporo indicada por a/b = c/d, onde a e d so chamados extremos e b e c so chamados meios. Na proporo: a/b = c/d, temos: a, b, ce dso os termos ( 1, 2, 3 e 4 termos, respectivamente) ae cso os antecedentes be dso os conseqentes ae dso os extremosbe cso os meios Propriedade fundamental: Sejam a, b, ce dnmeros reais diferentes de zero, tais que: a/b = c/d,Multiplicando os dois membros da igualdade b/d, (produto dos conseqentes da proporo), obtemos: a/bxbd = c/dxbd . Simplificando temos: a/d = c/b,Logo, podemos afirmar que: Em toda proporo, o produto dos extremos igual ao produto dos meios

Exemplo: Dada a proporo 6/8 = 3/4, temos: 6 x 4 = 24 8 x 3 = 246 x 4 = 8 x 3 IV. DIVISO PROPORCIONALEREGRA DE SOCIEDADE Dividirumnmero em partes proporcionais a vrios outros nmeros dados decomp-lo em parcelas proporcionais a esses nmeros. Exemplo: Vamos supor que Maria, Carlos e Jorge tenham associados para comprar uma casa no valor de $ 60.000,00. Maria entrou com a maior parte, $ 30.000,00, Carlos com $ 20.000,00 e Jorge, com a menor parte, $ 10.000,00. Um ano depois eles venderam essa casa por $ 90.000,00. Qual a parte que cabe a cada um deles? Porconveno,acada$1,00empregadonacompradacasadevecorresponderamesmaquantiaresultanteda venda, i.e., uma quota. Essa quota , o quociente do preo de venda pelo preo de compra, ou seja: 90.000/60.000 =1,5. Logo: Maria:30.000 x 1,5 = $ 45.000 Carlos:20.000 x 1,5 = $ 30.000 Jorge:10.000 x 1,5 = $ 15.000 Total 60.000 x 1,5 =90.000 V. REGRA DE SOCIEDADE A regra de sociedade uma das aplicaes da diviso proporcional.O objetivo a diviso dos lucros ou dos prejuzos entre as pessoas envolvidas (scios) que formam uma sociedade, por ocasio do Balano geral exigido anualmente por lei ou quando da sada de uma das pessoas da sociedade ou da admisso de um novo membro sociedade constituda. Porconveno,olucroouprejuzodivididopelossciosproporcionalmenteaosrecursosempregados,levandoem conta as condies que rezam no contrato. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 6H quatro casos a considerar: 1 Os capitais so iguais e empregados durante o mesmo tempo. Afim de obter a parte de cada um dos scios, divide-se o lucro ou prejuzo pelo nmero deles. Exemplo:Trsscioslucraram$222.600noltimoexerccio.Sabendoqueseuscapitaiseramiguais,determinea parte de cada um nos lucros: 222.600/3 = 74.200 Logo, a parte que cabe a cada um de $ 74.200. 2)Oscapitaissodesiguaiseempregadosduranteomesmotempo.Nestecaso,divide-seolucroouprejuzoem partes diretamente proporcionais aos capitais dos scios. Exemplo:NaapuraodoBalanoanualdaempresaZYX,formadapor3scios,apurou-seumlucrode$33.750. Determine a parte corresponde a cada scio, sabendo que seus capitais so de $ 540.000, $ 450.000 e $ 360.000: A 540A = 540 x 0,025 = 13,50 33,75B 450 y = 33.75/1350 = 0,025 B = 450 x 0,025 = 11,25 C 360C = 360 x 0,025 =9,00 1.35033,75 Logo, o Lucro de cada scio de: $ 13.50, $ 11,25 e $ 9,00, respectivamente. 3) Os capitais so iguais e empregados durante tempos desiguais. Teoricamente, o lucro ou prejuzo que cabe a cada sc determinado dividindo-se o lucro ou prejuzo, da sociedade, em partes diretamente proporcionais aos tempos.io

4) Os capitais so desiguais e empregados durante tambm por tempos desiguais. Teoricamente, as partes do lucro ou prejuzo seriam diretamente proporcionais aos capitais pelos respectivos tempos de dos scios. VI. TAXA PROPORCIONAL: Duas taxas so proporcionais quando seus valores formam uma proporo com os tempos a elas referidos, reduzidos mesma unidade. Dadaduastaxas(percentuaisouunitrias)iei',relativas,respectivamente,aostemposnen',referidosmesma unidade, temos: nnii= Logo, as taxas 30% ao ano ou 2,5% ao ms, por exemplo, so proporcionais, pois: | | | | meses) 12 ano (11 0,30 0,30 12 x 0,025 1 x 0,30 1120,0250,30 ou 1122,530= = = = Determinemos ento uma frmula para facilitar obter, mais rapidamente, uma taxa proporcional a outra taxa dada. Seja i a taxa de juro relativa a um perodo e ika taxa proporcional: ) 12 ( ki= ik Exemplo:1. Calcule a taxa mensal proporcional a 18% ao ano. 1,512 18ik kiik = = = 2. Calcule a taxa mensal proporcional a 0,05% ao dia. Soluo:[1 ms = 30 dias] | | a.m. 1,5% i 1,5 i i 30 x 0,05 30i0,05 = = = = 3. Calcule a taxa anual proporcional a 4,5% ao trimestre. Soluo:[1 ano = 4 trimestres] | | a.a. 18% i 18 i i 4 x 4,5 4 i4,5 = = = = Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 7TAXAPROPORCIONAL(2):Duastaxassoproporcionaisquando,aplicadassucessivamentenoclculode juros simples de um mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem juros iguais. Exemplos: a) 5% ao ms 30% ao semestre (5 x 6 =30) b) 3% ao ms 36% ao ano (3 x 12 =36) c) 18% ao ano 1,5% ao ms ( 18 / 12 = 1,5) d) 5% ao trimestre 20% ao ano (5 x 4 =20) DEPARAFRMULADEFRMULAPARA a.m.a.a. ia= ( im ) x 121,5% a.m.[(1,5%) x 12] 18% a.a. a.d.a.m. im = ( id ) x 30 0,05% a.d. [(0,05%) x 30] 1,5% a.m. a.d.a.a. ia= ( id ) x 3600,05% a.d. [(0,05%) x 360] 18% a.a. a.a.a.m. im = ( ia )/ 1218% a.a.[(18%) / 12] 1,5% a.m. a.m.a.d. ia= ( im ) / 30 1,5% a.m.[(1,5%) / 30]00,5% a.d. a.a.a.d. id= ( ia ) / 36018% a.a.[(18%) / 360]00,5% a.d. Exerccios: 1a) Calcular os juros de uma aplicao de $ 15.000,00 a 30% ao ano, pelo prazo de 1 trimestre. Dados:Soluo: C = $ 15.000,00J = Cin i =30% a.a.J = 15000 x { [ (30/100)/12 ] x 3 } n = 1 trimestre = 1/4 anoJ = 15000 x { 0,075 }J = 1.125,00 1a) Calcular os juros de uma aplicao de $ 15.000,00 a 2,5% ao ms, pelo prazo de 90 dias. Dados:Soluo: C = $ 15.000,00J = Cin i =30% a.a.J = 15000 x { [ (2,5/100)/30 ] x 90 } n = 1 trimestre = 1/4 anoJ = 15000 x { 0,075 } J = 1.125,00 Nota-seque,nasduassituaes,osjurosproduzidossoiguais.Portanto,30%aoanoe2,5%aomssotaxas proporcionais. VII. DESCONTOS: Desconto: Quando uma pessoa faz um investimento, com vencimento predeterminado, ela obtm um comprovante da aplicao,quepodeser,porexemplo,umaletradecmbioouumanotapromissria.Caso,estapessoa,precisedo dinheiro antes de vencer o prazo da aplicao, ela deve procurar a instituio onde fez a aplicao, transferir a posse do ttulo e levantar o principal acrescido dos juros j ganhos. Outrasituao:Umaempresafazumavendaaprazoerecebeumaduplicatacomumcertovencimento.Seesta empresaprecisardodinheiro,antesdovencimentodaduplicata,elapodeiraumbancoetransferirapossedesta duplicata, recebendo dinheiro em troca. Estas operaes so chamadas de desconto e o ato de efetu-las chamado de descontar um ttulo. DDDEEESSSCCCOOONNNTTTOOO: a quantia abatida do valor nominal, isto , a diferena entre o valor nominal e o valor atual.[Valor Nominal tambm chamado de Valor Futuro ou Valor de Face ou Valor de Resgate] DESCONTO COMERCIAL E DESCONTO RACIONAL Adiferenabsicaentreessasduasmodalidadesdeclculododescontoqueodescontoporforarepresentaojuro incidente sobre o valor nominal (valor de fora, o maior valor) e o desconto racional representa o juro incidente sobre o valor atual ou lquido (valor de dentro, menor valor). ChamamosdeDESCONTOCOMERCIAL[Dc],bancrioouporfora,oequivalenteajurossimples, produzido pelovalor nominal[ N ] do ttulo no perodo de tempo correspondente e a taxa fixada. Valor do desconto comercial: Dc = Nin 1 . Onde: Dc: o valor do desconto comercial; N: o valor Nominal do ttulo; Vc: o valor atual comercial ou valor descontado comercial; n:tempo; i: a taxa de desconto. Valor atual comercial ou valor descontado comercial. Vc = N - Dc 2 . Substituindo Dc pelo seu valor obtido em1 . Vc = N - Nin 3 . Vc = N(1 - in) 4 . Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 8DESCONTO RACIONAL ou por dentro, o equivalente a juros simples, produzido pelo valor atual do ttulo numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. Se preferir: DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO :Definio: o desconto obtido pela diferena entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n perodos antes do seu vencimento. Logo: Dr = N Vr, onde Dr denota o desconto racional. Desconto a quantia a ser abatida do valor nominal. Valor descontado a diferena entre o valor nominal e o desconto, isto ,Vr = N Dr, onde Dr o desconto e Vr, (ou V, se no houver perigo de confuso), o valor atual ou valor descontado racional. Emsntese:Nodescontocomercial(porfora),ataxadedescontoincidesobreovalornominal(N)dottuloeno desconto racional ele incide sobre o valor atual ( V ). Dr = Vin 5 . Vr = N - Dr 6 . Vr = N - Vin 7 . V = N - Vin N = V + Vin[ Vamos adotar Vr = V ] N = V + Vin 8. N = V(1 + Vin) 9.

in 1NV+= 10.

Da frmula 6 V = N - Dr,chegamos frmula Dr = N - V. 11 . SeDr = N - V [ V da frmula 10, vamos substitu-lo em 12 ] Dr = N- in 1N+ 12. Uma coisa ns j verificamos, o desconto comercial maior que o desconto racional efetuado nas mesmas condies. Dc>Dr As frmulas para calcul-los so: Nin Dc in 1NinDr =+= Vamos usar estas duas frmulas: in1NinDr+= [1] Dc = Nin [2]VA = N d [3]d = N VA [4]

in 1NVAr+=[5] VAc = N(1 in) [6] Se fizermos a diviso do desconto comercial pelo desconto racional, membro a membro, temos: inNinDrNin Dc+= =1 ( )| |( )in 1DrDcportanto in 1 DrDc + = ((

+= NinNin ou, Dc = Dr(1 + in) O Desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante do desconto racional calculado para o mesmo perodo e mesma taxa. EXEMPLO:Umadvidade$3.500,00,sersaldada3mesesantesdoseuvencimento.Quedescontoracionalser obtido, se a taxa de juros que reza no contrato de 2,5% a.m.? N = 3.500 n =3 meses i=2,5% a.m. 1. Desconto Comercial a) Vamos Aplicar a frmula n 1.Valor do desconto comercial:Dc = Nin 1 . dc = Nin dc = 3500 x [(2,5/100) x 3] dc = 3500 x [0,025 x 3] dc = 3500 x 0,075 Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 9dc = 262,50 b) Frmula n 2. Valor atual comercial ou valor descontado comercial: Vc = N - Dc 2 . Vc = 3500 - 262,50 Vc = 3.237,50 c) Frmula n 4. Substituindo Dc pelo seu valor obtido em1 .Vc = N - Nin 3. Vc = N(1 - in) 4. Vc = N(1 - in) Vc = 3500{[1 - [(2,5/100) x 3]} Vc = 3500{[1 - [0,025 x 3]} Vc = 3500{1 - 0,075 } Vc = 3500 x 0,925 Vc = 3.237,50 2. Desconto RacionalVamos Aplicar as frmula n 5, 6, 9 a 11. . Dr = Vin 5 . Vr = N - Dr 6 . Vr = N - Vin 7 . V = N - Vin N = V + Vin[ Vamos adotar Vr = V ] N = V + Vin 8. N = V(1 + Vin) 9. NV = --------------- 10. ( 1 + in ) Da frmula 6 V = N - Dr,chegamos frmula Dr = N - V. 11. . a) Para aplicarmos a frmula n 5,precisamos do Valor Atual sem nenhuma correo. Para descobrimos isto aplicamos a frmula 10.. NV = --------------- 10. ( 1 + in ) 3500.3500.3500 V = --------------------------- V = ------------------------V = -------------------- = {1 + [(2,5/100) x 3]}{1 + [0,025 x 3]} {1 + 0,075 } 3500 V = ------------------- = 3.255,81 1,075 b) Frmula n 5.Dr = Vin 5 . Dr = Vin Dr = 3255,81 x [(2,5/100) x 3] Dr = 3255,81 x [0,025 x 3] Dr = 3255,81 x 0,075Dr = 244,19 c) Frmula n 6.Vr = N - Dr 6 . Vr = N - Dr Vr = 3255,81 - 244,19 Vr = 3.011,62 d) Frmula n11. Dr = N - Vr { Frmulas 10 menos 6 }. Resultado frmula n 10 = 3.255,81 Resultado frmula n6 = 3.011,62 Dr = 244,19 EXERCCIOS RESOLVIDOS 1a. Uma dvida de $ 13.500,00, ser saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional ser obtido, se a taxa de juros que reza no contrato de 30% a.a.? N = 13.500 n =3 meses i=30% a.a. Dr = ? Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 10 Para encontrarmos o Dr, poderamos usar a frmula Dr = Vin5se ns conhecssemos o (Vr) Valor Atual [Racional]. Vamos utilizar a frmula12 , pois no conhecemos o (Vr). 941,84 Dr1,0751012,50Dr0,075 10,075 x 13500Dr0,075 10,075 x 13500Dr3] x [0,025 13] x [0,025 x 13500Dr3] x [(0,30/12) 13] x [(0,30/12) x 13500Drin 1NinDr= = += += += += += $ 941,86 , portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dvida. Poderamos utilizar tambm a frmula: Vr = N - Vin 7, conhecendo o Vr = N - Dr = 13500 - 941,86 = 12.558,14.Vr = 13500 - {12558,54 x [(30/12)/100) x 4]} Vr = 13500 - (12558,54 x 0,075) Vr = 13500 - 941,89 Vr = 12.558,14 1b. Vamos calcular o n, nas mesmas condies, admitindo que no o conhecemos: N = 13.500 n =? i=30% a.a. Dr = 941,86 3 n313,953488941,86n n 313,953488 941,86 n 23,54650 - n 337,50 941,86337,50n 23,54650n 941,86n x 0,25 1nx 337,50 941,86n x ) 0,30/12 ( [ 1nx ) /12 0,30 ( x 13500941,86in 1NinDr= = = = = + += += +=a

1c. Vamos calcular a taxa de juros i, nas mesmas condies, admitindo que no a conhecemos: N = 13.500 n =3 i=? Dr = 941,86 Nin 13500 x i x 3n13500 x i x3n 40.500i Dr = ------------- 941,86=------------------- 941,86 =----------------941,86 =------------1 +in 1 +3i1 + i x 3 1 + 3i 941,860451+ 2.825,81395i = 40.500i 941,86= 37.674,81861i 941,86 i = --------------------- i= 0,025 i = 0,025 x 12 = 0,30 0,30 x 100 i= 30% a.a. 37.674,81861 1d. Vamos calcular o valor nominal (N), nas mesmas condies, admitindo que no o conhecemos: N = ?Nin n =3Dr = ----------i=30% a.a.1 +in Dr = 941,86 Nin N x (0,30/12) x 30,075N Dr = ----------- 941,860451=------------------------- 941,860451= ------------- 1 +in 1 +(0,30/12) x 3 1 + 0,075 0,075N1.01250 941,860451=------------1.01250 = 0,075NN = ------------ N = 13.500 1,075 0,075 EXERCCIOS RESOLVIDOS 1.Umttulodescontadode$4.000,00vaiserdescontadotaxa de2.3%aoms.Faltando45diasparaoseuvencimento. Determine: a) o valor do desconto comercial;b) o valor atual comercial. Resoluo: { N = 4.000-n = 45 d-i = 2,3% a.m.= [2,3/100 = 0,023 a.m. - 0,023/30 a.m. ] a)Dc = Nin Dc = 4000 x {[(2,3/100)/30] x 45} Dc = 4000 x {[0,023/30] x 45} Dc = 4000 x {0,0007666667 x 45} Dc = 4000 x 0,0345Dc = 138,00 a)Vc = N - Dc Vc = 4000 - 138Vc = 3.862,00ouVc = N(1 - in) Vc = 4000(1 - 0,0345) Vc = 4000(0,9655) Vc = 4000 x 0,9655 = 3.862,00 Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 112. Uma duplicata de valor nominal de $ 3.500,00, foi resgatada 4 meses antes do seu vencimento, taxa de 26.4% ao ano. Qualo desconto comercial; Dc = Nin Dc = 3500 x {[(26,4/100)/12] x 4} Dc = 3500 x {[0,264/12] x 4} Dc = 3500 x {0,022 x 4} Dc = 3500 x 0,088Dc = 308,00 Utilizando as frmulas6Vc = N(1 - in)e Dc = N - Vc4 . Vc = N(1 - in) Vc = 3500{ 1 - [(26,4/100)/12] x 4} Vc = 3500( 1 - 0,022x4) Vc = 3500( 1 - 0,088) Vc = 3500 x 0,912Vc = 3.192,00 Agora aplicamos a frmulaDc = N - Vc4 .Dc = 3500 - 3192Dc = 308,00 3. O desconto comercial de um ttulo descontado 5 meses antes de seu vencimentoe taxa de 36% a.a. de $ 690,00. Qual o desconto racional? Resoluo: Vamos aplicar a frmula: Dc = Dr(1+in)

i = 36/100 = 0,36 0,36690,00 672,00 = Dr ( 1 +-------x5 ) 672,00 =Dr ( 1 +0,15 ) Dr= -------------Dr=$ 600,00 121,15 4. Uma dvida de $ 13.500,00, ser saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional ser obtido, se a taxa de juros que reza no contrato de 30% a.a.? Nin 13500 x [(0,30/12) x 3]1012,50 Dr = -------------- Dr=------------------------------=---------------= $ 941,86 1 +in 1 + [ (0,30/12) x 3 ] 1,075 $ 941,86 , portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dvida. 5. Por quanto posso comprar um ttulo com vencimento daqui a 5 meses, se seu valor nominal for de $ 15.000,00 se eu quiser ganhar 36% a.a. ? Resoluo: Deve-se calcular o valor atual do ttulo tal que seja possvel obter a rentabilidade de 36% a.a. N: 15.000 i:36% a.a. (36/100) 0,36[ Calcular o Vr: Valor Atual ] n: 5 meses N 15000 15000 Vr = -------------- Dr=----------------------------=-----------= $ 13.043,48 1 +in1 + [ (0,36/12) x 5 ] 1,15 VIII. POTENCIAO E RADICIAO - REVISO: POTENCIAO Para a R, b R, n N, temos:Assim definimos: .a: basea0 = 1a1 = a .an = b, onde n: expoente an = a x a x a ... x a, se n 2a-n = 1/an,a 0 b: potncia Exemplo: .a = 2.an = .23 = 2 x 2 x 2 = 8 .n = 3 Propriedades: Param Z, n Z, a R e b R, temos: [Vide anexo II, conjuntos numricos] a) am an = am+n = 24 x 23 =16 x 8 =128; 27 = 128 b) am / an = am-n = 24 - 23 = 16/8= 2; 21 =2 n c) (am)= am x n = 24 - 23 = 16/8= 2; 21 =2 d) (a b)m = am bm = (2 x 3)3 = 63 = 216; 23 x 33 =8 x 27 =216;e) (a / b)m = am / bm = (6 / 3)3 = 23 = 8; 63 / 33 =216 / 27 =8. RADICIAO Para a R, b R, n N*, mN*, temos: : radical nb = a a: raizb = radicando extrair a raiz n-sima de um n, s exponenci-lo ao inverso do ndicen: ndice Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 12LOGARITMOS O logaritmo de um nmero N, no sistema de base a, o expoente x da potncia a que preciso elevar a baseapara de se obter esse nmero N. A base a deve ser positiva e diferente da unidade e N sempre positivo. Assim, se N = ax, ento x = logaN. Exemplos: 102 = 100 ou log 210=10025251251logou25 = =3 - logou 212-3= =881 1. - Propriedades dos logaritmosa)log b)N log M log N . Ma a a+ = N MNMa a a.|

\|log log log = | c)log d) log M n.log Mana=anM = (1/n) . logaM Normalmenteseconsideraabaseaiguala10(logaritmosdecimaisouvulgares).Assim,ologaNseescreveria simplesmente como logN. Exemplos: 103 = 1000 ou log 1000 = 3 101 = 10 ou log 10 = 110-1 = 0,1 ou log 0,1 = -1 10-3 = 0,001 ou log 0,001 = -3 1.2 - Caracterstica e MantissaEm geral o logaritmo no nmero inteiro, isto , comumente um nmero inteiro mais uma parte fracionria avaliada em decimais. A parte inteira chama-se caracterstica e a parte decimal como mantissa.A mantissa encontrada na "Tbua de Logaritmos" e seu valor sempre positivo.A caracterstica possui duas regras: (a) se o nmero N for maior do que 1, a caracterstica ser igual a tantas unidades, menos uma, quantos algarismos estiverem esquerda da vrgula decimal; e, (b) se o nmero N for menor do que 1, a caractersticasernegativae,seoprimeiroalgarismo,diferentedezero,estivernan-simaordemdecimal,a caracterstica poder ser menos n. Exemplos: 135,2 possui caracterstica igual a 257,35 possui caracterstica igual a 12,693 possui caracterstica igual a 00,0735 possui caracterstica igual a 8-100,000037 possui caracterstica igual a 5-10 1.3. - Antilogaritmos e CologaritmosSeologaritmodado,oproblemaconsisteemencontraronmeroqueooriginou.Estenmerodenominadode Antilogaritmo. A caracterstica do logaritmo dado determina a posio da vrgula decimal no antilogaritmo e a mantissa os seus algarismos. Assim, se sob a forma exponencial, 2,36 = 100,3729, o nmero 2,36 chamado o Antilogaritmo de 0,3729, ou antilog 0,3729. um nmero cujo logaritmo 0,3729.O Cologaritmo de um nmero o logaritmo de seu inverso. Assim, o colog 35,7 = log 1 - log 35 1.4. Logaritmo na base 10 e logaritmo neperiano base e [base e = 2,71828182845905, nmero de Euler]O logaritmo em um novo sistema ser dado pela relao: 1 .logb N= loga N x ---------- loga b Para resolver o problema, bastar multiplicar o logaritmo do nmero no sistema de base a pelo fator constante. 1 M = ------------ loga b que recebe o nome de mdulo do sistema . LN(10) = 2,30258509299405 . a) Passagem do sistema decimal para neperiano6 1 1 mdulo = ------------------------------- =--------- = 2,30258509299405 logaritmo decimal de elog e

6 Em excel: =LN(10)Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 13 b) Passagem do sistema neperiano para decimal 11 mdulo = -------------------------------- =------------- = 0,434294481903252 logaritmo neperiano de 10 ln(10) Para converter LogaritmoEm LogaritmoMultiplicar porAproximadamente DecimalNatural2,302585092994052,3025851 NaturalDecimal0,4342944819032520,4342945 Exemplo: log(6) = 0,778151250 - Algumas calculadoras s tem o LN. H duas opes para obter o log na base 10, se nsdispormossdeLN.Podemosfazeraseguinteoperao:Log(x)=LN(x)/LN(10)-ouusaraconversoacima: Log(x) = LN(x)/LN(10) Vamos obter o Log(6), utilizando a converso acima. Log(6) = LN(6) x 0,434294481903252. Portanto: Log(6) = 1,791759469 x 0,434294482 = 0,77815125 IX. JUROS COMPOSTOS Noregimedejurossimples,osjurosincidemsomentesobreocapitalinicial.Noregimedejuroscompostos,o rendimentogeradopelaaplicaoserincorporadoaelaapartirdosegundoperodo.Dizemos,ento,queos rendimentos ou juros so capitalizados: Juros simplesJuros compostos Rendimento Rendimento Ms CinJuros MontanteCinJurosMontante 11.000,005%150,001.050,001.000,005%150,00 1.050,00 21.000,005%150,001.100,001.050,005%152,50 1.102,50 31.000,005%150,001.150,001.102,505%155,13 1.157,63 41.000,005%150,001.200,001.157,635%157,88 1.215,51 J = Cin(1)M = C(1 + i)n (6) M = C + j(2)M = C + J(7)M = C +Cin(3)J =M - C(5) M = C (1+ in)(4)J = C[(1 + i)n - 1](8) J =M - C(5) Ofator(1+i)n chamadodefatordeacumulaodecapital,parapagamentonico,podesercalculado diretamente, atravs de calculadoras ou pode ser obtido atravs de tabelas financeiras; Nas calculadoras financeiras pode-se calcular diretamente qualquer uma das quatro variveis da frmula, dados os valores das outras trs: PV (Presente Value, do ingls) representa o capital C FV (Future Value, do ingls) representa o montante M iRepresenta a taxa de juros, onde i/100 n Representa o nmero de perodos. Exemplo: Um capital de $ 1.000.00 aplicado a juros compostos durante 4 meses, taxa de 5% a.m., Calcule: a) O montante;b) Os juros auferidos ResoluoCalculadora HP-12C Temos: (5/100 + 1) = 1,055 Enter 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 1,21550625 (Fator de Acumulao)100 M = 1.000 x 1,21550625 = 1.215,511 + (1,05) Resultado J = M - C 1.215,51 - 1.000,00 = 215,514 YX1,21550625 (Resultado) 1000 X1,215,51 (Resultado) Para Calcularmos utilizaremos a seguinte frmula: (Exponencial) M = (1 + i)n M = (1 + 0,05)4 = 1,21550625 M = 1.000 x 1,21550625 = 1.215,51 J = M - C 1.215,51 - 1.000,00 = 215,51 Utilizando uma calculadora Financeira: 4n 5iFV =1.215,51 -1000PV Casonodispomosdeumacalculadorafinanceira,podemoscalcularatravsdelogaritmos.Precisamosdofator (1,05)4=1,21550625.Este fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras, porm se no a tivermos em mos podemosfazeroseguinte:(1+5/100)4.(1,05)4(1,05x1,05x1,05x1,05)=1,21550625oupodemos calcular utilizando logaritmos. Vamos ver como fica? Exerccio: Um capital $ 2.500,00 foi aplicado durante 5 meses, taxa de 3% a.m.. Calcule o Montante e o juro. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 14. t0 i = 3% a.m. 2500 + J . 2500 t5 Soluo C: 2500 i: 3% a.m. [0,03] n: 5 m M = C(1 + i)n M = 2500(1 + 3/100)5 M = 2500(1 + 3/100)5 M = 2500(1 + 0,03)5 M = 2500(1,03)5

M = 2500(1,159274074) M = 2.898,19 J = M - CJ = 2898,19 - 2500J = 398,19 Vamos utilizar uma calculadora cientfica. Como ficariam os clculos? 1) Vamos resolver o (FC: Fator de Capitalizao): M = C(1 + i)n(Vamos Chamar de Y (1 + i) (Exponencial,Base. Isto , o Y a base) de x n o Expoente, ento o nosso (1 + i)npodemos trocar por YX.2)utilizandoumacalculadoracientficapodemosutilizarateclaYX.Exemplo:vamosencontraroFC(1,03)5.[voc pode fazer o seguinte clculo: 1,03 x 1,03 x 1,03 x 1,03 x 1,03 = 1,159274074]. Clculos simples como este voc no encontra nenhuma dificuldade para faz-lo. Imagine para 60 meses. Vamos aos clculos? 3) com sua calculadora cientfica faa o seguinte: 1,03YX5= 1,159274074 Utilizando-se de logaritmos: JURO COMPOSTO - Clculos[Calculadoras Financeiras; Exponencial,Logaritmos decimal e neperiano e Tabelas Financeiras] Para Calcularmos o Montante utilizaremos a seguinte frmula: (Exponencial) M = (1 + i)n M = (1 + 0,05)5 = 1,276281562 M = 2.000 x 1,276281562 = 2.552,56 J = M - C 2.552,56 - 2.000,00 = 552,56 Utilizando uma Calculadora Financeira: 5.n 5.iFV =2.552,56 -2000PV Casonodispomosdeumacalculadorafinanceira,podemoscalcularatravsdelogaritmos.Precisamosdofator (1,05)5=1,276281562.Este fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras, porm se no a tivermos em mos podemos fazer o seguinte: (1 + 5/100)5. (1,05)5 ( 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 ) =1,276281562 Sequeremoscalcularosjurosdocapitalde$2.000,00,durante4mesestaxade5%a.m.,multiplicamosofator:1,276281562 x 2000 = 2.552,56. Logo, M = 2.552,56. ( J = M - CJ = 2552,56 - 2000 = 552,56) J = $ 552,56 ou podemos calcular utilizando logaritmos. Vamos ver como fica? Utilizando-se de logaritmos: (1 +0,05)5= x, onde x = fator procurado. 5 log (1,05) = log x 5(0,02118930) = log x 0,105946495 = log x. Extramos o antilogaritimo:( 10 0,105946495 ) ( 10 0,08475720 ) = x1,276281563 = x, este o fator procurado: 1,276281563. Est complicado? - Vamos utilizar outro mtodo [que eu acho mais fcil]. Utilizando-se de logaritmos: [ Outro exemplo, uma maneira que gosto de usar ] C = 2500M = (1 + i)n [ Exponencial ] i = 4% a.m.M = C(1 +0,04)5

n = 5mM = 2500(1,04)5 M = 3.041,63 M = 3041.632255 M = (1 + i)n [ Logaritmo ] logM = log[ C(1 + i)n ] Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 15logM = logC + nlog(1+i) logM antilogM M 10M logM = log[ 2500(1 +0,04)5 ] logM = log2500 + 5 log(1,04) logM = 3,3979400009 + [5 (0,01703339)] logM = 3,3979400009 + 0,085166697 logM = 3,483106706 antilogM = 103,483106706 M = 3,041632262 MontanteM = 3.041,63 . Por LN [ Logaritmos Neperianos.] Lembrando: que o sistema LN, a base o nmero e ( e = 2,71828182845905 ), tambm chamado deSistemadeLogaritmosNaturais.OnomeestligadoaoautorJohnNapier(1550-1617). Exemplo: LN 5 = 1,60943791. e1,60943791 = 5, isto , = 2,7182818281,60943791 = 5. M = (1 + i)n

LNM = LN[ C(1 + i)n ] LNM = LNC + nLN(1+i) LNM Antilogaritmo Natural M M eM 2,718281828M. LNM = LN[ 2500(1 +0,04)5 ] LNM = LN2500 + 5LN(1,04) LNM = 7,824046011 + [5(0,03922071)] LNM = 7,824046011 + 0,196103566 LNM = 8.020149577M Antilogaritmo Natural M M eM 2,718281828 8.020149577. M = 3,041632253 Montante M = 3.041,63. Utilizando [Log e LN ], outro exemplo (agora para encontrarmos o tempo: n): Durante quanto tempo um Capital de $ 400.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, taxa de 3.5% a.m., para que produza um montante de 526.723,61? C = 400.000 M = 526.723,61 i = 3.5% = 0.035 526723,61 = 400000 x (1,035)n (1,035)n = 1,31680903 (526723,61/400000) (((((

+|.|

\|=i) log(1 PVFVlogn Tomando o logaritmo decimal de ambos os membros: Log(1,035)n

= Log 1,31680903 n x Log(1,035) = Log 1,31680903 Porm:Log(1,035) = 0,01494035(na Calculadora HP: LogX = LNx / LN10) LN(1,035)/LN(10) = 0,01494035 Log(1,31680903) = 0,119522798 Ento:n x 0,01494035 = 0,119522798 n =0,119522798 /0,01494035=8 meses Por LN [ Logaritmos neperianos.] n=[ LN(FV/PV) / LN(1 + i) ] n=[ LN(526.7236148/400.000) / LN(1.035) ] n=[ LN(1.316809037) / LN(1,035) ] n=[ 0.275211414 / 0.034401427 ] n=8 meses Resolvendo com a ajuda de uma calculadora financeira: 3,5.i 400000PVn =8 meses -526723.61FV Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 16 Resumo: Frmulas Juros Compostos Frmula bsica de Juros Compostos: J = C[(1 + i)n 1] Equao JC-1 Sabendo-se que M = C + J, a frmula do Montante deduzida da frmula bsica de juros compostos : M = C(1 + i)n Equao JC-2 Podemos deduzir outras equaes a partir das equaes dadas: (((

+=i) (1MCn Equao JC-3 (((((

+|.|

\|=i) log(1 CMlogn Equao JC-4 )`((((

|.|

\|= 100 x 1CMin1 Equao JC-5 Utilizando-se de Tabelas Financeiras: fcil usar as tabelas financeiras. s procurar o FC [Fator de Correo] desejado e multiplicar pelo capital inicial (PV)que encontrar o Montante (FV). Exemplo: na tabela abaixo, (procure a tabela) com a taxa i = 5% [s apresentamos uma tabela com i = 5%; n = 1 a 9]. Em n = 5, na segunda coluna encontramos o fator = 1,27628156. [ aplicamos PV x FC ] 2000,00 x 1,27628156 = 2.552,563120 [M ou FV]. Experimentem fazer o seguinte clculo: multiplique o FV = 2552,563120encontrado, x o fator de PV [n = 5, 2 coluna = 0,78352617x2552,563120 = 2.000,00 ]. Tabelas Financeiras(Taxa)i = 5,0 %Prof Paulo Vieira Neto 1 . (1 + i ) n - 1 (1 + i ) n - 1 . i(1 + i )n . i(1 + i ) n - 1 n(1 + i ) n (1 + i ) n i(1 + i ) n i(1 + i ) n - 1(1 + i ) n - 1 11,050000000,952380950,952380951,000000001,050000001,00000000 21,102500000,907029481,859410432,050000000,537804880,51219512 31,157625000,863837602,723248033,152500000,367208560,34972244 41,215506250,822702473,545950504,310125000,282011830,26858270 51,276281560,783526174,329476675,525631250,230974800,21997600 61,340095640,746215405,075692076,801912810,197017470,18763568 71,407100420,710681335,786373408,142008450,172819820,16459030 81,477455440,676839366,463212769,549108880,154721810,14735411 91,551328220,644608927,1078216811,026564320,140690080,13399055 JurosValor AtualAmortizaoCapitalizaoAmortizao Amortizao CompostosPV - (Descontoan( iSn( i1 no ato M = PV + JComposto)PMTPMTPMT X. DESCONTO COMPOSTO Valoratual(VA)deumttulodevalornominalN,resgatveldepoisdeumcertoperodon,umataxaidejuros compostos, aquele que aplicado durante o perodo n, taxa i, se transforma em N. Vamos utilizar a seguinte frmula: Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 17( )( ) ( ) ( ) ni 1 1FVPVouni 1 1N VA ou ni 1 N VA ni 1 VAN(((

(((

+= +=+= + = (((

+=i) (11FV PVn Onde: VA =Valor atual ouPV = Valor Presente N =Valor nominalFV = Valor Futuro [Valor do ttulo no vencimento] n =Perodo i=Taxa de juros compostos DESCONTOCOMPOSTO:Oconceitodedescontocompostosemelhanteaoquevimosemdescontosimples,a diferena quanto ao regime de capitalizao.Para obtermos o desconto composto de um ttulo aplicado, aplicamos a frmula desenvolvida, em epgrafe, onde iremos chamar de d o desconto obtido. Desconto racional: a diferena entre o valor nominal do ttulo e seu valor na data de resgate. d = N - VA. Ex: Um ttulo de valor nominal igual a $ 4.000,00 resgatado 3 meses antes do seu vencimento, segundo o critrio de desconto racional composto. Sabendo que i = 4% a.m., qual o desconto? N = 5000(FV)n =3mi = 4% a.m. ( ) ( ) ( ) 555,02 d4444,98 - 5000 d 4.444,98 VAVA 31,04 5000 VA 30,04 1 15000 VA ni 1 N VA1,1248645000= = = = = += +=(((

(((

DescontoComercial:Consistenaaplicaosucessivadoconceitodedescontocomercialsimples.(naprticao desconto comercial composto raramente usado) Seja N o valor nominal de um ttulo, n o nmero de perodos de antecipao e i taxa de desconto. Calcula-seovalordescontadocomercialsimplesparaoinstante(n-1);sobreestevalordescontadoaplica-senovamenteo desconto comercial simples e obtm-se o valor descontado para o instante (n - 2) e assim sucessivamente. a frmula Dc = N - V Dc = N - N(1 - i)n Ex:Umttulodevalornominaliguala$5.000,00resgatado4mesesantesdoseuvencimento,segundoocritriodedesconto comercial composto. Sabendo que a (taxa de desconto, i) i = 5% a.m., Calcule o Valor Atual comercial e o desconto comercial Desconto Comercial Composto Rendimento MsN.inDescontoValor Atual 15.000,005%1250,004,750,00 24.750,005%1237,504.512,50 34.512,505%1 225,634.286,88 44.286,885%1214,344.072,53 Total927,43 Frmulas Dc = N - N(1 - i)n[1]VA = N(1 - i)n[2]VA = N d [3] N = 5000(FV) n =4m i = 5% a.m. Soluo: VA = N(1 - i)n VA = 5000(1 5/100)4VA = 5000(1 0,05)4VA = 5000(0,95)4 VA = 5000(0,95)4 VA = 5000(0,81450625) VA = 4.072,53 d = N VAd = 5000 - 4072,53 =927,43 Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 18XI. TAXAS EQUIVALENTES O conceito de taxas equivalentes, em juros compostos. semelhante ao estudado em juros simples. Duas taxas so equivalentes a juros compostos quando, aplicadas a um mesmo capital, por um determinado perodo de tempo, produzem montantes iguais. ( ) ( )n22n11i 1 i 1 + = + Exemplo: Qual a taxa semestral equivalente taxa de mensal de 5% a.m., no regime de juros compostos? Vamos adotar como intervalo de tempo um semestre (6 meses ou 180 dias) e chamando de i1 a taxa procurada (um semestre): i1 (taxa semestral)i2 = 5% a.m. n1 =n2 = 6 (1 + i1)1 =(1 +0.5)6 i1 =(1,05)6 -1 i1 = 0,340090,34009 x 100 i1 = 34,01% a.s. De a.m. para a.aia =[(1+im)12 - 1] x 100[ 1 ] De a.d. para a.m. im = [(1+id)30 - 1 ] x 100[ 2 ] De a.d. para a.a.ia = [(1+id)360 - 1] x 100 [ 3 ] De a.a. para a.m. im = [(1+ia)1/12 - 1] x 100 [ 4 ] De a.m. para a.d. id = [(1+im)1/30 - 1] x 100 [ 5 ] De a.a para a.d. id = [(1+ia)1/360 - 1] x 100[ 6 ] Para facilitar nosso entendimento, vamos fazer uso da seguinte frmula: ( )100 x 1tqit1iq((((

+ = Onde: .iq = Taxa procurada (taxa que eu quero).it = Taxa fornecida(taxa que eu tenho) .q = Prazo final(Prazo que eu quero) .t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) Exemplo 1: Tenho a taxa [fornecida] de 34,4888824% a.a. (12 meses) e queroa taxa mensal [procurada] 1 ms. Vamos aplicar a frmula: .iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) iq- i?.it = Taxa fornecida(taxa que eu tenho)34,4888824% .q = Prazo final(Prazo que eu quero)1 ms .t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho)1 ano (12 meses) A frmula a seguinte: iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100. Calculadora HP-12CCalculado Cientfica Transportando os dados para a frmula:34,4888824 Enter34,4888824100 100+ 1 = im = [ (1 + 34,4888824/100)1/12 - 1] x 1001 + 1,344888824 Res.1,344888824 Res. im = [ (1,344888824)0,08333333333 - 1] x 1001 EnterYX (1 12) = im = [ 1,025 - 1] x 10012 0,0833333 Res1,025 Res. im =0,025x 100YX 1,025 Res.- 1= x100 = i =2,5% a.m.1 - 2,5%Res. 100 x 2,5%Res. Ou im = [ (1 + 34,4888824/100)30/360 - 1] x 100 im = [ (1,344888824)0,08333333333 - 1] x 100 Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 19im = [ 1,025 - 1] x 100 im =0,025x 100 i =2,5% a.m. Exemplo 2: Tenho a taxa [fornecida] de 34,4888824% a.a. (12 meses) e queroa taxa diria[procurada] 1 dia. Vamos aplicar frmula: .iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) iq- i?.it = Taxa fornecida(taxa que eu tenho)34,4888824% .q = Prazo final (Prazo que eu quero)1 dia .t = Prazo inicial(Prazo que eu tenho)1 ano (12 meses = 360 dias) Utilizando a frmula: iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100. id = [ (1 + 34,4888824/100)1/360 1 ] x 100 id = [ (1,344888824)0,002777778 1 ] x 100 id = [ 1,000823426 - 1] x 100 id =0,000823426x 100 i =0,0823426% a.d. Exemplo 3: Tenho a taxa [fornecida] de 2,5% a.m. (1 ms). Calcular a taxa equivalente para 36 dias. [Taxa que eu quero]-[procurada] 36 dias. Vamos aplicar frmula: .iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) iq- i?.it = Taxa fornecida(taxa que eu tenho)2,5% .q = Prazo final(Prazo que eu quero)36 dias .t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho)1 ms (30 dias) Utilizando-se a frmula: iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100. i36d = [ (1 + 2,5/100)36/30 - 1] x 100 i36d = [ (1,025)1,2 - 1] x 100 i36d = [ 1,0300745 - 1] x 100 i36d =0,0300745x 100 i36d =3,00745% a.p. Exemplo 4:Tenho a taxa [fornecida] de 3,00745% para 36 dias (36 - perodo). Calcular a taxa equivalente ao ms 30 dias. [Taxa que eu quero -procurada] 30 dias. Vamos aplicar frmula: .iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) iq- i?.it = Taxa fornecida(taxa que eu tenho)3,00745% .q = Prazo final(Prazo que eu quero)36 dias .t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho)1 ms (30 dias) Utilizando a frmula: iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100. i30d = [ (1 + 3,00745/100)30/36 - 1] x 100 i30d = [ (1,0300745)0,8333333333 - 1] x 100 i30d = [ 1,025 - 1] x 100 i30d =0,025x 100 i30d =2,5% a.m. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 20XII. TAXA EFETIVA: ataxadejurosemqueaunidadereferencialdeseutempocoincidecomaunidadede tempo dos perodos de capitalizao. Exemplo: 1% ao ms, capitalizados mensalmente; {[(1+ 0,01)12 - 1] x 100} 12,6825% a.a.3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente {[(1+ 0,03)4 - 1] x 100} 12,55% a.a. 10% ao ano, capitalizados semestralmente: {[(1+ (0,10/2))2 - 1] x 100} = {[(1+ 0,05)2 - 1] x 100} 10,25% a.a. XIII.SRIESUNIFORMESDEPAGAMENTOSOURECEBIMENTOSA JUROS COMPOSTOS Atagora,analisamosproblemasfinanceirosenvolvendocapital(CouPV),aplicadoouemprestadoauma determinada taxa de juros ( i ) simples ou composta. Ao final do perodo ( n ),gerava um determinado montante (M ou FV), isto ,o emprstimo ou aplicao era liquidado atravs de um nico pagamento ou recebimento. Apartirdestemomento,vamosestudaroscasosfinanceirosqueenvolvamoemprstimoouaplicaodeumcapital ( C ou PV ) que ser liquidado em diversas ( n ) prestaes iguais, com periodicidade constante e sucessivas, a uma determinada taxa de juros compostos. Ovalordasprestaes-(PMT,Payment-Pagamento)-iguaiseconsecutivasdeumasrieuniforme,vamos identific-la por PMT. Porora,paratornarmaisprticoeobjetivo,trataremossomentedassriesuniformescomasseguintes caractersticas: Sries uniformes finitas, isto , com um nmero finito de pagamentos (PMT); A periodicidade dos vencimentos sero constantes; Utilizaremosnosclculososjuroscompostos,ondecadaprestaoigualcompostaporumaparceladejurose outra de capital amortizado; Os vencimentos dos pagamentos ou recebimentos podem ocorrer no incio [BGN] (termos antecipados) ou no final [END] (termos postecipados) de cada perodo. Umasrieuniformeumaseqnciadepagamentosourecebimentosiguaiseefetuadosaintervalosiguais.Os vencimentosdostermosdeumasrieuniformepodemocorrernofinaldecadaperodo(termospostecipados)no incio (termos antecipados), ou ao trmino de um perodo de carncia (termos diferidos). Fluxos de sries uniformes: Postecipados . 0 PMT PMT PMT PMT. 1 2 3............ n Antecipados .0 PMT PMT PMT PMT PMT. 12 34 ............ n- 1 Diferidas .0 PMT PMT PMT PMT. PV cc + 1 c +2............ c +n Exemplo:AslojasZYXvendeuefinanciouumaparelhodesomaoSr.LuizCarlosnovalorde$1.200,00paraser liquidadoem4parcelasiguais,mensaiseconsecutivas,comovencimentodaprimeiraparcelaummsapsa contratao do financiamento. A taxa de juros praticada - da financeira ligada s lojas ZXY - de 5% a.m., no regime de juros compostos. Qual o valor das prestaes a serem liquidadas. O fluxo de caixa do Sr. Luiz Carlos: PV = 1200i = 5% a.m . T30 T60 T90T120. T0 PMT PMT PMT PMT Com o uso de uma calculadora financeira: PV = 1200 n =4 i = 5 PMT = ?. Vamos ver como ficam os clculos, sem os recursos das teclas financeiras das calculadoras! Podemos considerar, cada PMT, com um montante (FV) a ser pagos em duas datas distintas, sendo (PV) igual soma dos (PV's) de cada prestao. FV = PV(1 + i)n Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 21( )i 1FVPVn+= Vamos substituir os dados do exerccio: ( ) ( ) ( ) ( ) 40,05 1 PMT

30,05 1 PMT

20,05 1 PMT

10,05 1 PMT 1200+++++++=( ) ( ) ( ) ( ) 40,05 1 1

30,05 1 1

20,05 1 1

10,05 1 1 PMT 1200(((

+++++++= 1200 = PMT [ 0,9523810 + 0,9070295 + 0,8638376 +0,8227025 ]1200 = PMT (3,545950505) 338,41 PMT338,415 3,545950501200 PMT = = = Na HP12-C[No esquea de teclar g END g-8, para indicar calculadora que o clculo a ser efetuado postecipado] 1000 PV 4n 5i PMT ?PMT = -338,41 Com base na expresso: ( ) ( ) ( ) ( )

ni 1PMT 3i 1PMT 2i 1PMT

1i 1PMT PV ++ ++++++= Podemos observar que se trata de uma PG de razo ( )i 11+

Deduzindo da frmula, nos leva a: (((

++=1 11nn) i (i ) i (PV PMT Soluo (1 + 0,05 )4 0,05 PMT = 1200 [---------------------------] PMT = 1200 0,28201183 PMT = 338,41 . (1 + 0,05 )4 -1 1). Prestaes iguais - TERMOS POSTECIPADOS: 1.1) Dado PV - calcular PMT[Taxa e nmero de parcelas iguais] . 0 PMT PMT PMT PMT. PV 1 2 3............ n Frmula: (((

++=1 11nn) i (i ) i (PV PMT UmageladeiraestanunciadanalojaZYXpor$600,00parapagamentoavistaouem6parcelasiguais,mensaise consecutivas, sendo que a primeira parcela ser paga um ms aps a compra (termos postecipados). A taxa de juros cobrada de 8% a.m. Calcule o valor das prestaes [Regime de juros compostos]. Fluxo caixa da financeira da Loja ZYX . 0 PMT? PMT? PMT? PMT? PMT? PMT?. PV= 600123 4 5 6 i = 8% a.m. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 22Soluo (((

++=1 11nn) i (i ) i (PV PMTSoluo ( )( )129,79 PMT 6 0,21631538x 600 PMT 160,08 10,08 x60,08 1x 600 PMT = = ++=(((

1.2) Dado PMT - Calcular PV: DadoPMT-calcularPV[Dadoonmerodeprestaes,valordecadaprestaoeataxadejuros,calcularoPV financiado] . 0 PMT PMT PMT PMT. PV1 23............ n Frmula: PMT PV n1n((

=+ +i i) (1i) (1 Exemplo:Calcularovaloravistadeumfinanciamentoparapagamentoem05prestaes,mensais,iguaise consecutivas de $ 5000 (a primeira paga 30 dias aps a contratao). A taxa de juros de 6% a.m., no regime de juros compostos. . 0 PMT= 5000 PMT= 5000 PMT= 5000 PMT= 5000 PMT= 5000. PV= ?1 2 3 45 i = 6% a.m. Soluo: 21.061,82 PV 4,21236379 00 50 PV 5000 PV PMT PV0,065) 0,06 (115) 0,06 (1 n1n= = ((

= ((

= + ++ +

i i) (1i) (1 1.3) Dado PMT - Calcular FV: Dado PMT- calcular FV[ Dado o nmero de prestaes, valor de cada prestao e a taxa de juros, calcular o valor do montante acumulado FV] . 0 PMT PMT PMT PMT . 1 2 3 ...........n FV = ? Frmula: ( ) (((

+=i1 i 1PMT FVnx Dado PMT - Calcular FV: [ Dado o nmero de prestaes, valor de cada prestao e a taxa de juros, calcular o valor do montante acumulado FV] Frmula: ( ) i1 i 1PMT FVnx(((

+= 3. Dona Ana quer trocar sua geladeira daqui a 4 meses. O preo da geladeira, a vista , $ 862.03. O Gerente da loja garantiu a Dona Ana que o preo se manter inalterado nos prximos 6 meses. A Dona Ana conseguiu encontrou uma instituio financeira que paga 5% a.m. caso ela faa 4 aplicaes, mensais, consecutivas no valor de $ 200,00 por ms. Quanto a Dona Ana ter no final do perodo acordado, isto , 4 meses. Soluo: Vamos ajudar a Dona Ana efetuar os clculos para ver se ela consegue comprar sua geladeira no final daqui a 4 meses. Soluo: Calculadora HP-12C PMT = 200,00200 CHS PMT .i= 5% a.m.5i .n=4 m.4 n [tecle]FV 862,03 .nPMTFV 1200,00200,00 2200,00200 x 1,05 = 210,00410,00 Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 233200,00200 x 1,05 = 210,00210,00 x 1,05 = 220,50630,50 4200,00200 x 1,05 = 210,00210,00 x 1,05 = 220,50220,50 x 1,05 = 231,53862,03 Total200,00210,00220,50231,53862,03 Podemos calcular da seguinte maneira: FV = PMT [ (1 +i)0 + (1 +i)1 + (1 +i)2 + (1 +i)3 +(1 +i)4 + ... + (1 +i )n-1 ] FV = 200 [ (1,05)0 + (1,05)1 + (1,05)2 + (1,05)3] FV = 200 [ 1 + 1,05 + 1,1025 + 1,157625] FV = 200[4,310125] FV = 862,03 D muito trabalho fazer uma tabela semelhante a esta, no mesmo? - Vamos utilizar a seguinte frmula: ( ) ( )862,03 FV4,310125x 200 FV0,050,21550625x 200 FV 0,051 - 1,21550625x 200 FV(5/100)1 -40,05 1x 200 FV 1 -ni 1x PMT FV = = = = += +=((

((

(((

(((

i 2 Exemplo:Calcular o valor de resgate, referente a aplicao de 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas de $ 4000, a uma taxa de juros de 8% a.m., no regime de juros compostos. [Dentro do conceito de termos postecipados]. 012 3 4 5FV = ? . PMT= 4000 PMT= 4000 PMT= 4000 PMT= 4000 PMT= 4000i = 6% a.m. Soluo: ( 1 +i )n -1 (1 + 0,08)5 - 1 FV = PMT [-------------------- ] FV = 4000 [---------------------] FV = 4000 5,86660096 .FV = 23.466,40 . i0,08 HP12-C PMT = 4000 n = 5( termos postecipados ) i =8% ao ms FV=? FV = 23.466,40. 1.4)DadoFV-CalcularPMT:DadoFV-calcularPMT[DadoovalorDomontanteacumulado,nmerode prestaes e a taxa de juros, calcular o valor das prestaes PMT] . 0 PMT PMT PMT PMT . 1 23 ...........n FV = ? Frmula: (((

+= 1 1n) i (iFV PMT Exemplo:Quanto devo aplicar por ms, a uma taxa de juros compostos de 4% a.m. para resgatar daqui a 5 meses a quantia de $ 5000?[ considerar uma srie uniforme com termos postecipados]. 01 23 45 FV = 5000 . PMT? PMT? PMT? PMT? PMT?i = 4% a.m. Soluo: .i 0,04 PMT = FV [-------------------]PMT = 5000 [------------------]PMT = 5000 [ 0,18462711 ] .PMT = 923,14. (1 +i)n -1 (1+ 0,04)5 -1 HP12-C FV = 5000 n = 5( termos postecipados ) i =4% ao ms PMT=? PMT = -923,14. 2.Prestaes iguais TERMOS ANTECIPADOS: (A primeira prestao paga ou recebida no ato da contratao) 2.1. Dado PV - calcular PMT[Taxa e nmero de parcelas iguais, uma paga no ato da compra], encontrar o valor das prestaes. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 24. 0 PMT ? PMT ? PMT? PMT? PMT ? . PV1 23............ n Vamos utilizar a seguinte frmula para encontrarmos o valor das prestaes. [Lembrando, uma paga no ato]: Frmula: Exemplo: Calcule o valor das prestaes, sabendo-se que a taxa de juroscompostos praticada pela financeira foi de 10% a.m. .0 PMT PMT PMT PMT PMT. 1 2 34 PV = 6000 i = 10% a.m. (1 +i ) i 1 nPMT = PV [ ---------------------- ] ------------(1 +i )-1 (1 + i ) nSoluo Utilizando a frmula (1 + 0,10 ) 0,101(1,10 ) 0,10 1 5 5PMT = 6000 [ ------------------------- ] --------------6000 [ -------------------- ] ---------- (1 +0,10)-1 (1 + 0,10)(1,10)-1 (1,10) 5 5 0,161051 PMT = 6000 [ -------------- ] 0,909090916000 [0,26379748] 0,909090916000[0,23981589] = 1.438,90 0,61051 Utilizando a calculadoraHP 12-C ) i () i (i ) i (PV PMTnn+(((

++= 111 11Umamotocicletaestanunciadapor$6.000,00parapagamentoavista,oufinanciadaem5prestaesiguais,mensaise sucessivas, sendo que a primeira prestao dever ser paga no ato da compra (termos antecipados). TECLEVISORSIGNIFICADO .f CLX0,00Limpa todos os registradores .gBEG[ g7 ]0,00 BEGINColoca no modo "BEGIN" 6000CHSPV -6000,00 BEGINEntra com o valor do principal 10i10,00 BEGINEntra com a taxa de juros mensal 5n5,00 BEGINEntra com o prazo PMT 1.438,90 BEGINCalcula o valor das prestaes 2.2.DadoPMT-calcularPV[Taxaenmerodeparcelasiguais,umapaganoatodacompra],encontrarovalordas prestaes. Vamos utilizar a seguinte frmula para encontrarmos o valor das prestaes. [Lembrando, uma paga no ato]: Frmula: (1 +i)n - 1 PV = PMT [ ---------------------- ] (1 + i ) (1 +i)n i OSr.ZRobertodesejacomprarumaMotocicletaquecusta$6.000,00.AFinanceiraPagaBemsomenteparaoSr.Z Roberto garantiu remunerar ao Sr. Z, nos prximos 5 meses, caso ele efetue depsito, mensais, iguais [sem interrupo], uma remunerao de 10% a.m. Quais as parcelas mensais que o Sr. Z Roberto dever aplicar para que ele tenha $ 6.000,00 daqui a 5 meses.PS: Um pas sem inflao. Fazendo uso da Frmula: i) (1 PMT PV1ni) (11ni) (1+((

= + + Soluo 6.000,00 PV6 4,16986544 1438,89 PV (1,1) 9 3,79078676 8,90 143 PV(1,1) 1438,90 PV (1,10) 1438,90 PV 0,10) (1 1438,90 PV535 0,610510,105(1,10)15(1,10)0,1050,10) (1150,10) (1= = = = = + = ((

((

((

+ +061051 0, Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 25TECLEVISORSIGNIFICADO .f CLX 0,00Limpa todos os registradores .gBEG[ g7 ] 0,00 BEGINColoca no modo "BEGIN" 1438.89535 CHSPMT -1438.89535 BEGINEntra com o valor da parcela 10i 10,00 BEGINEntra com a taxa de juros mensal 5n 5,00 BEGINEntra com o nmero de parcelas PV 6.000,00 BEGINCalcula o valor Presente XIV. EMPRSTIMOS Um emprstimo ou financiamento pode ser feito a curto, mdio ou longo prazo. Dizemos que um emprstimo a curto ou mdio prazo quando o prazo total no ultrapassa 1 ano ou 3 anos, respectivamente. Nessesfinanciamentos usual a cobrana de juro simples, h 3 modalidades quanto forma de o devedor ou muturio resgatar sua dvida . Pagando os juros e o principal no vencimento; .Pagandoosjurosantecipadamente,nadataemquecontraiadvida,erestituindooprincipalno vencimento. Regra geral, essa amodalidade usada pelos bancos; . Pagando os juros e o principal por meio de prestaes. a melhor modalidade, porm pouco usada7. Nota:. A tcnica usada nos clculos relativos aos financiamentos a curto prazo ou mdio prazo idntica aos descontos. Nos financiamentos a longo prazo o devedor ou muturio tem tambm trs modalidades para resgatar a dvida: . Pagando no vencimento o capital e os juros; . pagando periodicamente os juros e no vencimento o capital; . pagando periodicamente os juros e uma quota de amortizao do capital. SAC - Sistema de Amortizao Constante (SAC): O Sistema de Amortizao Constante, tambm chamado Sistema Hamburgus, foi introduzido em nosso meio, a partir de 1971, pelo SFH - Sistema Financeiro de Habitao. Neste sistema, o muturio paga a dvida em prestao peridicas e imediatas, que englobam juros e amortizaes. Sua diferena que, a amortizao constante em todos os perodos. Como os juros so cobrados sobre o saldo devedor e a amortizao constante, as prestaes so constantes. (ARNOT, 2001:164-5) Sistema francs (SF): Por este sistema, o muturio obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestaes iguais entre si e peridicas. Sistema Price: Estesistematambmconhecidocomo"tabelaprice",umcasoparticulardosistemafrancs,comasseguintes caractersticas: 1) A taxa de juros contratada dada em termos nominais. Na prtica, esta taxa dada em termos anuais; 2)Asprestaestmperodomenorqueaqueleaqueserefereataxa.Emgeral,asamortizaessofeitasembase mensal; 3) No clculo utilizada a taxa proporcional ao perodo a que se refere a prestao, calculada a partir da taxa nominal. Sistema francs de amortizao. Osistemafrancsdeamortizaoconhecidotambmcomosistemaprice,poisfoiinventadoporRichardPrice, matemtico e pensador ingls que viveu entre 1723 e 1791.Este sistema leva o nome de sistema francs de amortizao por ter sido adotado na Frana a partir do sculo XIX. No sistema francs, as prestaes so constantes e, partindo delas, podemos preencher as demais colunas da tabela8. Richard Price, dedicou-se ao estudo da Filosofia, Teologia e Matemtica. Foi ensasta e pensador polmico, escrevendo sobreassuntostovariadoscomomoral,filosofia,polticae finanas.Em1771 publicou Observationsonrevertionary payments(observaessobrepagamentoscomdireitoadevoluo),obraquelanaosfundamentoscientficosdos estudosnaturais,revolucionandoaconcepodasseguradorasinglesas.Suainfluncianoserestringeapenas Inglaterra ou ao campo das finanas9. Exerccio:Uma empresa contrai um emprstimo de $ 50.000,00 a 12% a.a. para ser pago em cinco meses. Construa a planilha. Consultando uma tabela para se encontrar o fator de amortizao:

7 CRESPO, Antnio Arnot. Matemtica Comercial e Financeira Fcil. So Paulo : Saraiva, 2001. pp. 156-7. 8 ARAJO, Carlos Roberto Vieira. Matemtica Financeira. So Paulo : Atlas, 1993. pp. 192-3. 9 ARAJO, op. cit. 192. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 26an( i = expresso que representa o fator de valor atual de uma srie de pagamentos. a5( 1 = 4.853431239 PV a5(1 50000 4.853431239 = 10.301,99 = PMT, o valor da prestao, PMT = 10.301,99. Para encontrar o fator de amortizao pela calculadora HP12-C, vamos proceder da seguinte forma: 5 n1 iPara cada uma unidade monetria ($) de PaYmenT [Pagamento, prestao] qual o 1 CHS PMT valor de PV? PV = 4.853431239 Para calcular o valor da prestao [direto ] pela calculadora HP12-C: 5 n 1 i 50000 CHS PV PMT? 10.391,99 Ou ainda, pode-se utilizar a frmula abaixo: (1 + i)n i (1 + 0,01)5 0,01 1,05101005 0,01 PMT = PV [-----------------] PMT = 50000 [-----------------------]PMT = 50000 [ ---------------------- ] (1 + i)n -1(1 + 0,01)5 -11,05101005 - 1 0,010510101 PMT = 50000 [ ----------------- ] PMT = 50000 [ 0,2060398 ] PMT = 10.301,99 0,05101005 PMT = 50000 0,2060398= 10.301,99 Veja como fica a planilha. Analisando o 1 ano.1) O Saldo Devedor ao final do 1 era de saldo anterior ( - ) menos a amortizao: 50.000,00 - 9.801.99 = 40.198,01; A dvida aps o pagamento da 1 Prestao.[PMT = amortizao + Juros] 2) Amortizao ao final do 1 era de Prestao ( - ) menos os Juros [50.000 x 0,01 = 500], logo a amortizao foi PMT - Jr [ 10.301,99 - 500 = 9.801,99 ]. Acabou o segredo, s repetir o procedimento para os demais anos. No 2 ano, SD = 40198,01 x 0,01 = 401,98, valor dojuro;descontamosumaparceladaprestao[40198,019900,01=30.298,00],ovalordaamortizaoiguala 9.900,01.[descontamosdoprincipal,isto,saldodevedor.SD= 40198,01 9900,01 = 30.298,00]. Continua assim at zerar o saldo devedor, como est demonstrado abaixo. Construindo a planilha PerodoSaldo Devedor(Sd)Amortizao - (Am)Juros - (Jr = iSd-1) Prestao(m)(Saldo anterior - Amortiz.)PMT - Juros (Am) + (Jr) 050.000,000,00..-- 150000,00-9801,99 =40.198,0110301,99-500,00 =9801,9950000,00*0,01 = 500,0010.301,99 240198,01-9900,01= 30.298,0010301,99-401,98 =9900,0140198,01*0,01 = 401,9810.301,99 330298,00-9999,01 =20.298,9910301,99-302,98 =9999,0130298,00*0,01 = 302,9810.301,99 420298,99-10099,00 = 10.199,9910301,99-202,99 = 10099,0020298,99*0,01 = 202,9910.301,99 5 10199,99-10099,00 = 0,00.....10301,99-102,00 = 10199,9910199,99*0,01 = 102,0010.301,99 Total50.000,00..1.509,95..51.509,95 Na calculadora HP12-C, veja como est a situao da dvida no 2 ano. 5 n 1 i 50000 CHS PV PMT? 10.301,99 2 f AMORT .......... 901,98 [Juros pagos at a 2 PMT 19.702,00 + 901,98 = 20.603,98] X Y ................19.702,00 [Amortizaes pagas at a 2 PMT 9.801,99 + 9.900,01 = 19.702,00] TeclandoRCL PV = 30.298,00; o saldo devedor ao decorrer do 3 ano. Vamos analisar a composio da dvida utilizando a funo AMORT, perodo a perodo. Vamos comear com n = 1. Damos entrada seqncia: 5 n - 1 i - 50000 CHS PV - PMT; PMT = 10.301,99. Tecle 1 n - f AMORT [500,00 = Juros]X Y [9.801,99 = Amortizao]RCL PV[ -40.198,01 = Saldo Devedor] Tecle 1 n - f AMORT [401,98 = Juros]X Y [9.900,01 = Amortizao]RCL PV[ -30.298,00 = Saldo Devedor] Tecle 1 n - f AMORT [302,98 = Juros]X Y [9.999,01 = Amortizao]RCL PV[ -20.298,99 = Saldo Devedor] Tecle 1 n - f AMORT [202,99 = Juros]X Y [10.099,00= Amortizao]RCL PV[ -10.199,99 = Saldo Devedor] Tecle 1 n - f AMORT [102,00 = Juros]X Y [10.199,99= Amortizao]RCL PV[ 0,00 = 0,00= Saldo Devedor] Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 27SAC-SistemadeAmortizaoConstante-SAC:porestesistemaocredorexigeadevoluodoprincipalemn parcelas iguais, incidindo juros sobre o saldo devedor. SAC - com prazo de carncia e prazo de utilizao unitrio: vamos resolver um exerccio com prazo de carncia. Exemplo: 1) Uma empresa faz um emprstimo de $ 300.000,00 que o banco entrega no ato. Nanegociao,obancoconcedeu3anosdecarncia;osjurosseropagosanualmentetaxade10%aoano.O principal ser em quatro parcelas anuais. Construa a planilha. Resoluo:A amortizao anual : 0,1 10% juros 75.000,004300.000,00o Amortiza = = = Planilha SAC - com perodo de carncia AnoSaqueSaldo Devedor (Sda)AmortizaoJurosPrestao (a)(Am)(Jr)(Am) + (Jr) 0300.000,00300.000,000,00-- 1300.000,000,00 0,1*300000 = 300000+30000 = 30000 2300.000,000,00 0,1*300000 = 300000+30000 = 30000 3 300000-75000 = 22500075.000,00 0,1*300000 = 3000030000+75000 = 105000 4 225000-75000 = 15000075.000,00 0,1*225000 = 2250022500+75000 =97500 5 150000-75000 = 7500075.000,00 0,1*150000 = 1500015000+75000 =90000 0,0075.000,00 0,1*75000 = 75007500+75000 =82500 Total300.000,00135.000,00435.000,00 Seguir o seguinte raciocnio 1) Do incio do primeiro ano (T0) at o final do 3 ano, h 3 perodos, que corresponde carncia; Terminado o perodo de carncia, temos a 1 amortizao de $ 75.000,00 2) Os juros so calculados sempre sobre o saldo devedor do perodo anterior; Isto , Jao juro devido no perodo a, sendo i a taxa de juros e Sda - 1 o saldo devedor do perodo anterior, temos: Ja = iSDa - 1 3) A prestao obtida somando-se, ao final de cada perodo, a amortizao com os juros10. Exemplo:2)Umaempresafazumemprstimode$250.000,00queobancoentreganoato,semcarncia;osjuros sero pagos anualmente taxa de 12% ao ano. O principal ser em cinco parcelas anuais. Construa a planilha. Resoluo:A amortizao anual : 250.000,00Juros: 12% Amortizao = ----------------- =50.000,00 5 Construo da Planilha AnoSaqueSaldo DevedorAmortizaoJurosPrestao (a) (Sda)(Aa)(Ja)(Aa) + (Ja) 0250.000,00250.000,00--- 1200.000,0050.000,0030.000,0080.000,00 2150.000,0050.000,0024.000,0074.000,00 3100.000,0050.000,0018.000,0068.000,00 450.000,0050.000,0012.000,0062.000,00 50,0050.000,006.000,0056.000,00 Total250.000,0090.000,00340.000,00 Pagamento no final - Sistema Amortizao Americano11 No sistema americano, o pagamento do principal efetuado no final do perodo do emprstimo, em uma s vez. Em geral, os juros so pagos periodicamente, porm podem ser eventualmente capitalizados e pagos em uma nica vez junto com o principal (isto depende de acordo entre as partes interessadas). Exemplo: Admita, como exemplo ilustrativo, que um emprstimo de $ 500.000,00, um cliente prope pagar o principal daqui a dois anos, pagando semestralmente os juros de 10% a.s. Construa a planilha. Construo da Planilha SemestreSaldo DevedorAmortizaoJurosPrestao (s)(Sds)(As)(Js)(As) + (Js) 0500.000,000,000,000,00 1500.000,000,0050.000,0050.000,00

10 MATHIAS, Washington Franco,GOMES, Jos Maria.Matemtica Financeira.So .Paulo : 2.Ed. Atlas, 1993, pp. 310-11. 11 HAZZAN, Samuel e POMPEO, Jos Nicolau. Matemtica Financeira. So Paulo :Saraiva, 2001, p. 149. Vide tambm, ASSAF NETO, Alexandre. Matemtica Financeira e suas aplicaes. So Paulo :Atlas, 2003, pp. 370-2. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 282550.000,000,0050.000,0050.000,00 3500.000,000,0050.000,0050.000,00 40,00500.000,0050.000,00550.000,00 Total500.000,00200.000,00700.000,00 XV. ANLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS At agora estudamos problemas financeiros onde um Capital emprestado ou aplicado a uma determinada taxa de juros, por um certo perodo de tempo, era liquidado atravs do pagamento ou recebimento de uma nica parcela ou em uma srie de pagamentos iguais, consecutivos e com periodicidade constantes. Os principais mtodos de anlise de alternativas econmicas de investimento so: NPV Net Present Value (VPL ValorPresente Lquido); e, IRR - Internal Rate Return (TIR Taxa Interna de Retorno)12. Trabalharemos esses dois mtodos, aplicados a fluxos de caixa, onde os recebimentos e pagamentos podem ter valores e prazos diferenciados. XV.1. Mtodo do NPV Net Present Value (VPL ValorPresente Lqdo). O Mtodo do NPV NetPresent Value (VPL Valor Presente Lqido tambm conhecido por Valor Atual), consiste nasomadosvaloresdefluxodecaixa,jdescontadososjurosembutidosemcadaumdosvaloresexistentesnas demais datas do fluxo. Logo, considera-se a data focal 0 do fluxo de caixa como PV [Valor Atual]. Exemplo 1: OSr.Joopretendecomprarumdeterminadobemeestquerendosaberquantodeveaplicarhojeemuma determinada instituio financeira que remunera certos ttulos a uma taxa efetiva de juros compostos de 4% ao ms. Quanto deve aplicar para fazer frente a suas retiradas ao longo do tempo, segundo o fluxo de caixa abaixo? 0 300 500 200 |1 23 PV [Valor Presente Total] Resoluo:OvalorquesedesejaencontrarconsisteemdeterminarasomadosVP's(ValoresPresentes)decadaumdos recebimentos futuros almejados, de acordo com a taxa de juros pr-fixada junto instituio financeira contratada. Os conceitos sobre Valor Presente, taxa de descontos e equivalncia de fluxos de caixa esto absolutamente interligados. i) (1 C M oui) (1 PV FVn n+ = + = e

i) (1MCoui) (1FVPVn n+=+= Temos: i) (1FV i) (1FV i) (1FVPV332211+++++= onde: 0,04) (1200 0,04) (1500 0,04) (1300PV3 2 1+++++= CF1 = 288,46 + CF2 = 462,28+ CF3 = 177,80 CF1 + CF2 + CF3 = 928,54 288,46 + 462,28+177,80= 928,54 PV = 928,54 Significa que se Joo desejar fazer as retiradas em epgrafe, deve aplicar na data focal 0 [Hoje] a quantia de $ 928,54, taxa de juros compostos de 4% a.m. Utilizando a calculadora HP12-C. [ Tecla % ] 928,54 Enter 4 [%] [37,14] + 965,68 Valor atualizado para o primeiro ms 300 -Primeira retirada 665,68 4 [%][26,63] + 692,31 Valor atualizado para o segundo ms

12 Vide ARAJO (1988), Cap. 13.Investimento e Eficincia Marginal do Capital, pp. 119-136. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 29500 -Segunda retirada 192,31 4 [%][ 7,69]+ 200,00 Valor atualizado para o terceiro ms 200 - ltima retirada [Valor disponvelficou zerado] Checando as variaes percentuais [%]: 928,54 Enter 965,68[%] 4,00 ( 4%) 665,68 Enter 692,31[%] 4,00 ( 4%) 192,31 Enter 200,00[%] 4,00 ( 4%) Este o Mtodo do NPV NetPresent Value (VPL Valor Presente Lqido), o qual tem como objetivo determinar o valor inicial ou VP na data focal 0, a partir de um fluxo de entradas e sadas de caixa ao longo do tempo, descontados a determinada taxa de juros compostos. Na calculadora HP12-C sero utilizadas as seguintes teclas para solucionarmos problemas deste tipo: CF0 Corresponde ao valor do Cash Flow [Fluxo de Caixa] na data 0 (zero). Isto , o fluxo inicial. [Nosso exemplo no tem valor representado por CF0, portanto, a primeira entrada 0CF0 Zero CF0] CFj Corresponde ao valor dos fluxos de caixa nas datas posteriores data 0, conforme o exemplo acima [CF1 = 300, CF2=500eCF3=200].AHPtemcapacidadepara,nomximo,20CashFlowsconsecutivosdevalores diferentes. Nj Corresponde ao nmero de vezes que um fluxo de caixa repete seu valor consecutivo ao longo do tempo. [A HP12-C suporta no mximo 99 repeties]. NPV Corresponde ao valor presente lqido de uma srie de entradas e sadas de um cash flow. IRR (Internal Rate Return) - Taxa Interna de Retorno [TIR] de um determinado fluxo de caixa. Utilizando a calculadora HP-12C para calcular o VPL [NPV], tem-se: PRESSIONEVISORSIGNIFICADO .f CLX0,00Limpa os registradoras 0gCF00,00Entra com o fluxo de caixa na data 0 300 gCFj300,00Entra com o fluxo de caixa na data 1 500 gCFj500,00Entra com o fluxo de caixa na data 2 200 gCFj200,00Entra com o fluxo de caixa na data 3 4 i 4,00Entra com a de juros .f NPV928,54Calcula o Valor Presente Lquido Exemplo 2. O Sr. Joo dispe de R$ 10.000,00 durante os prximos 3 meses. H 3 Bancos que oferecem 3 planos diferentes ao Sr. Joo. O Sr. Joo decidiu que s aplicar seu dinheiro em um dos 3 bancos se obter uma rentabilidade mnima superior 10% a.m. Qual das situaes abaixo o Sr. Joo dever optar? 1 Plano: Banco JKL S.A. Fluxo de caixa: 0 4000 4500 3300 |1 2310000 2 Plano: Banco KLM S.A. Fluxo de caixa: 0 4000 4290 3751 |1 2310000 3 Plano: Banco LMN S.A. Fluxo de caixa: 0 4200 4380 3820 |1 2310000 De posse das 3 situaes acima, o Sr. Joo desenvolveu os seguintes clculos financeiros com sua Calculadora HP-12C para auxili-lo na tomada de deciso. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 30 Fluxo de Caixa do 1 Plano: Banco JKL S.A.: PRESSIONEVISORSIGNIFICADO .f CLX0,00Limpa os registradoras 10000 CHS gCF0-10000,00Entra com o fluxo de caixa na data 0 4000 gCFj4000,00Entra com o fluxo de caixa na data 1 4500 gCFj4500,00Entra com o fluxo de caixa na data 2 3300 gCFj3300,00Entra com o fluxo de caixa na data 3 10 i 10,00Entra com a de juros .f NPV-165,29Calcula o Valor Presente Lquido O NPV NetPresent Value (VPL Valor Presente Lqido) calculado foi de R$ -165,29(-165,29). Isto , demonstra queaaplicaodeR$10.000,00,comasretiradasdeR$4.000,00,R$4.500,00eR$3.300,00,notmoretorno esperado. A taxa de juros que rentabiliza o fluxo de caixa menor que a taxa de atratividade desejada, 10% ao ms. Logo, no um bom negcio para o Sr. Joo. Fluxo de Caixa do 2 Plano: Banco KLM S.A. PRESSIONEVISORSIGNIFICADO .f CLX0,00Limpa os registradoras 10000CHS gCF0-10000,00Entra com o fluxo de caixa na data 0 4000 gCFj4000,00Entra com o fluxo de caixa na data 1 4290 gCFj4290,00Entra com o fluxo de caixa na data 2 3751 gCFj3300,00Entra com o fluxo de caixa na data 3 10 i 10,00Entra com a de juros .f NPV0,00Calcula o Valor Presente Lquido O NPV NetPresent Value (VPL Valor Presente Lqido) calculado foi de R$ 0,00. Isto demonstra que a aplicao inicial de R$ 10.000,00, com as retiradas de R$ 4.000,00, R$ 4.290,00 e R$ 3.751,00 de exatamente 10% ao ms. Como ele espera um retorno superior 10%, este no um bom negcio para ele. Fluxo de Caixa do 3 Plano: Banco LMN S.A. PRESSIONEVISORSIGNIFICADO .f CLX0,00Limpa os registradoras 10000CHSgCF0-10000,00Entra com o fluxo de caixa na data 0 4200 gCFj4200,00Entra com o fluxo de caixa na data 1 4380 gCFj4380,00Entra com o fluxo de caixa na data 2 3820 gCFj3820,00Entra com o fluxo de caixa na data 3 10 i 10,00Entra com a de juros .f NPV308,04Calcula o Valor Presente Lquido O NPV NetPresent Value (VPL Valor Presente Lqido) calculado foi de R$ 308,04. a melhor das 3 situaes. DemonstraqueaaplicaoinicialdeR$10.000,00,comasretiradasmensaisdeR$4.200,00,R$4.380,00eR$ 3.280,00,tmomaiorretornoesperado.Ataxadejurosquerentabilizaofluxodecaixamaiorqueataxade atratividade desejada, de no mnimo 10% ao ms.Logo, o melhor negcio para o Sr. Joo. Resumindo, se: NPV = 0Taxa do Negcio = Taxa de Atratividade NPV < 0 Taxa do Negcio < Taxa de Atratividade NPV > 0 Taxa do Negcio > Taxa de Atratividade XV.2. Mtodo IRR Internal Rate Return(TIR Taxa Interna de Retorno). OMtodoIRRInternalRateReturn(TIRTaxaInternadeRetorno)aquelecujataxatornaequivalentesos capitais futuros e o capital na data focal 0. Segundo (HOJI: 2001, 170) Taxa Interna de Retorno, Mtodo: A taxa de juros que anula o Valor Presente Lqido a taxainternaderetorno(TIR),ou,simplesmente,taxaderetorno.Essemtodoassumeimplicitamentequetodosos fluxos intermedirios de caixa so reinvestidos prpria Taxa Interna de Retorno - TIR calculada para o investimento. Entre duas alternativas econmicas diferentes, a que apresenta a maior taxa representa o investimento que proporciona maiorretorno.OinvestimentosereconomicamenteatraentesomenteseaTIRformaiordoqueataxamnimade atratividade. Exemplo 1. Em uma situao inversa, O Sr. Joo tomou emprestado [na situao anterior ele aplicou] a quantia de R$ 10.000,00. Ele se comprometeu a liquidar a dvida em 3 parcelas, assinando 3 Notas Promissrias durante os prximos 3 meses. Os Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 31valoresdasnotaspromissriasforamR$4.400,00,R$4.961,00eR$2.529,00,vencveisem30,60e90dias respectivamentedadatadecontratao.Deacordocomofluxodecaixaaseguirdetermineataxamensaldejuros compostos cobrada no emprstimo em questo. Fluxo de caixa: 0 4400 4961 2529 |1 23 10000 FV = PV(1 + i)n

e ( )ni 1FVPV+= Temos FV1FV2FV3 PV = -------------+ -------------+-------------(1 + i)1 (1 + i)2(1 + i)3 onde: 44004961 2529 10.000 = -----------------+ ----------------- + ----------------- (1 + i)1(1 + i)2(1 + i)3 10.000 = [ 4000 + 4100 + 1900 ] 10.000 = [ 10.000 ] Nestasituao,deve-seencontrarumataxanicadejuros(i)quetornaosomatriodosvalorespresentesdas prestaes sejam iguais ao valor do principal emprestado na data 0. AtaxadejurosquetornanulooNPVNetPresentValue(VPLValorPresenteLqido)dofluxodecaixa conhecida como IRR Internal Rate Return (TIR Taxa Interna de Retorno). Como o foco de nosso curso Matemtica Financeira com o Uso da Calculadora HP-12C, a soluo do exerccio acima ser resolvida o auxlio da mesma. Optandopelaresoluodoexerccioporumprocessomanual,pode-seutilizaroutrosmtodo,porexemplo, matemtico, porm bastante demorado e muito complexo. PRESSIONEVISORSIGNIFICADO .f CLX0,00Limpa os registradoras 10000CHS gCF0-10000,00Entra com o fluxo de caixa na data 0 4400 gCFj4400,00Entra com o fluxo de caixa na data 1 4961 gCFj4961,00Entra com o fluxo de caixa na data 2 2529 gCFj2529,00Entra com o fluxo de caixa na data 3 .fIRR10,00Calcula a IRR mensal A operao de emprstimo do Sr. Joo tem embutida uma taxa efetiva de juros compostos de 10,0% ao ms. Casohajadiversascomparaesentrevriosinvestimentosentresi,comonoexemplodoSr.Joo,omelhor investimento aquele que com a maior IRR Internal Rate Return (TIR Taxa Interna de Retorno). Vejamos a soluo dos casos dos bancos JKL, Banco KLM e Banco LMN, segundo este mtodo. Fluxo 1 Banco JKL S.A. PRESSIONEVISORSIGNIFICADO .f CLX0,00Limpa os registradoras 10000CHS gCF0-10000,00Entra com o fluxo de caixa na data 0 4000 gCFj4000,00Entra com o fluxo de caixa na data 1 4500 gCFj4500,00Entra com o fluxo de caixa na data 2 3300 gCFj3300,00Entra com o fluxo de caixa na data 3 .fIRR9,03Calcula a IRR mensal O Banco JKL S.A. cobra uma taxa inferior 10% a.m. e, portanto, uma boa opo para o Sr. Joo. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 32 Fluxo 2 Banco KLM S.A. PRESSIONEVISORSIGNIFICADO .f CLX0,00Limpa os registradoras 10000CHS gCF0-10000,00Entra com o fluxo de caixa na data 0 4000 gCFj4000,00Entra com o fluxo de caixa na data 1 4290 gCFj4290,00Entra com o fluxo de caixa na data 2 3751 gCFj3751,00Entra com o fluxo de caixa na data 3 .fIRR10,00Calcula a IRR mensal Nesta operao, o Banco KLM S.A. cobra exatamente 10% a.m. Fluxo 3 Banco LMN S.A. PRESSIONEVISORSIGNIFICADO .f CLX0,00Limpa os registradoras 10000CHS gCF0-10000,00Entra com o fluxo de caixa na data 0 4200 gCFj4200,00Entra com o fluxo de caixa na data 1 4380 gCFj4380,00Entra com o fluxo de caixa na data 2 3820 gCFj3820,00Entra com o fluxo de caixa na data 3 .fIRR11,77Calcula a IRR mensal Esta a pior das trs opes de emprstimo para o Sr. Joo, pois cobra uma taxa acima de 10,0% a.m. Exemplo 2. A empresa XYZ financiou uma mquina no valor de R$ 700.000,00 para ser pago em 7 parcelas mensais, a primeira 30 diasapsacontratao,sendoas3primeirasdeR$100.000,00,as2seguintesdeR$150.000,00,a6deR$ 200.000,00 e a 7 de R$ 300.000,00. Determine a TIR - Taxa Interna de Retorno da operao. Fluxo de caixa (em $ 1000): 0100100100150150200300 |1 234567 700 PRESSIONEVISORSIGNIFICADO .f CLX0,00Limpa os registradoras 700000CHS gCF0-700000,00Entra com o fluxo de caixa na data 0 100000 gCFj100000,00Entra com o fluxo de caixa na do 1 Grupo 3 gNj3,00Nmero de vezes que este valor se repete 150000 gCFj150000,00Entra com o fluxo de caixa na do 2 Grupo 2 gNj2,00Nmero de vezes que este valor se repete 200000 gCFj200000,00Entra com o fluxo de caixa na do 3 Grupo 300000 gCFj300000,00Entra com o fluxo de caixa na do 4 Grupo .fIRR10,40Calcula a IRR mensal XVI. CALCULADORAHP-12C - Principais Funes e Aplicaes 1. Caractersticas gerais da Calculadora Financeira HP-12C. A Calculadora Financeira HP-12C opera com um sistema de entrada de dados conhecido como RPN (Notao Polonesa Reversa). ACalculadoraFinanceiraHP-12Cvemacompanhadadeumsistemadememriacontnua,mantendoosdadosmanipuladosguardados, com a calculadora ligada ou desligada. Quando a desligamos, esses dados ficam armazenados. Possui 20 registradores de armazenamentos de dados, 05 registradores financeiros, alm de registradores estatsticos e o ltimo registro de dado operado na calculadora (Last X). AsfunescalendriofornecidaspelaCalculadoraFinanceiraHP-12Cpodemmanipulardadoscompreendidosentreasdatasde15de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046. Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 331.1. O que Sistema RPN (Reverse Polish Notation) - Notao Polonesa Reversa. outra maneira de digitar as operaes. Ao invs de: 5 + 3=8,vocdigita:5ENTER3+,8:resultado.Estesistemamuitomaisrpidoeeficientequeoconvencional,principalmentecom expresses longas.Na dcada de 20, do sculo passado, o polons Lukasiewicz desenvolveu um sistema formal da lgica de que permitisse que as expresses matemticasfossemespecificadassemparntesescolocandoosoperadoresantes(notaodoprefixo)ouaps(notaodosufixo)os operandos, como mostramos acima.Um outro exemplo: (3 + 7) 5Como resolveremos a operao acima - pelas calculadoras que no utilizam o RPN? Algebricamente,resolvemosprimeirooqueestemparntesis(3+7)=10,emseguidaresolvemosoresultadoencontradovezes5, portanto: 3 + 7 = 10 10 x 5 = 50. Como resolveremos com o sistema RPN? 3 Enter[3 resultado no visor ] 7 + [10 resultado no visor ] 5 x[50 resultado no visor, resultado da operao ] 2. Como ligar e desligar sua Calculadora Financeira HP-12C. ParapodermoscomearaoperaraCalculadoraFinanceiraHP-12Cpressionamosatecla[ON]e,paradeslig-lapressionamosamesma tecla. [Funciona como Liga/Desliga]. Casoadeixamosligadasempressionarnenhumateclaporumperodomaislongo,automaticamente,entre8e17minutos,elase desligar. 3. Indicao de bateria fraca. Se a bateria da calculadora est fraca, aparecer um indicador [*], asterisco, piscando no canto inferior esquerdo. Para evitar um desgaste antecipado da bateria, deve-se evitar colocar a calculadora prximo a fontes de campos eletromagnticos, como aparelhos de som, tesouras, autofalantes automotivos, televisores etc. clculos sucessivos. 4. Caractersticas gerais da Calculadora Financeira HP-12C. A Calculadora Financeira HP-12C opera com um sistema de entrada de dados conhecido como RPN (Notao Polonesa Reversa). A Calculadora Financeira HP-12C vem acompanhada de um sistema de memria contnua, mantendo os dados manipulados guardados, com a calculadora ligada ou desligada. Quando a desligamos, esses dados ficam armazenados. Possui 20 registradores de armazenamentos de dados, 05 registradores financeiros, alm de registradores estatsticos e o ltimo registro de dado operado na calculadora (Last X). As funes calendrio fornecidas pela Calculadora Financeira HP-12C podem manipular dados compreendidos entre as datas de 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046. 5. Testes Existem alguns testes que voc pode efetuar em sua Calculadora Financeira HP-12C para verificar o seu perfeito funcionamento. 5.1. Primeiro Teste . Para efetuar o primeiro teste da Calculadora, utilizamos as teclas [ON] e multiplicao [x], do seguindo modo: 1 Passo: mantenha a Calculadora desligada;2 Passo: pressione a tecla [ON]; 3 Passo: pressione a tecla [x];4 Passo: Solte a tecla [ON]; 5 Passo: Solte a tecla [x]; A calculadora iniciar um teste completo dos circuitos eletrnicos. SetodososcomponentesdaCalculadoraestiveremfuncionandobem,deveraparecerapalavraRUNNINGe,terminadooteste, aparecer -8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, e todos os indicadores de estado ficaro ativados: USERfgBEGINGRADD.MYCPRGM, exceto ( *indicadordebateriafraca).Casoapareaamensagem"ERROR9",ouumdadodiferentedoexpostosacima,mesmoparcial,a Calculadora necessita de reparos. 5.2. Primeiro Teste. Para efetuar o segundo teste da Calculadora, utilizamos as teclas [ON] e adio [ON], do seguindo modo: 1 Passo: mantenha a Calculadora desligada;2 Passo: pressione a tecla [ON];3 Passo: pressione a tecla [+]; 4 Passo: Solte a tecla [ON];5 Passo: Solte a tecla [+]; similar ao teste anterior, diverge quanto ao tempo de operao. No visor dever apresentar tambm: -8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,8,8,8,etodososindicadoresdeestadoficaroativados:USERfgBEGINGRADD.MYCPRGM,exceto (* indicador de bateria fraca). 5.3. Terceiro Teste. Para efetuar o terceiro teste da Calculadora, utilizamos as teclas [ON] e diviso [], do seguindo modo: 1 Passo: mantenha a Calculadora desligada;2 Passo: pressione a tecla [ON]; 3 Passo: pressione a tecla [];4 Passo: Solte a tecla [ON]; 5 Passo: Pressione todas as teclas da esquerda para a direita. A tecla ENTER dever ser pressionada duas vezes, correspondente linha 3 e a linha 4. Aps pressionar todas as teclas dever aparecer no centro do visor o nmero "12". Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 346. Como Bloquear a Calculadora HP-12C 1 Passo: tecle g7 [BEGIN];2 Passo: Tecle 54 EEX; 3 Passo: Tecle ON + PMT;4 Passo: Tecle ON + PMT (novamente); 5 Passo: Tecle 1/X. A calculadora HP-12C ficar travada. isto , no ligar at que voc tecle ON PMT. 6. 1. Como Desbloquear a Calculadora HP-12C 6.1.1. tecle ON + PMT. (A Calculadora HP-12C destravar) 6.2. O mesmo processo pode ser feito com as teclas ON + n 7. O teclado da Calculadora HP-12C AmaioriadasteclasdaCalculadoraHP-12Cefetuaduasoutrsfunes.Afunoprimriadeumateclaindicadapeloscaracteres brancosimpressosnasteclas.Asfunesalternativasdeumateclaestoimpressosemamareloacimadareferidateclaeafunoazul esto impressos na face oblqua da tecla. 8. Layout do teclado da calculadora HP-12C. 9. Cdigo de Mquina O teclado da mquina est disposto em 4 linhas (L1, L2, L3 e L4) e 10 colunas (C1 ... C10). As teclas so representadas por um cdigo, que a combinao da linha com a coluna, com exceo das teclas numricas, as quais so conhecidas por seu prprio valor. Exemplo: a tecla PV indicada pelo cdigo 13, isto , Linha 1, Coluna 3. (L1,C3). C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10 L111121314151678910 L221222324252645620 L331323334353612330 L441424344450484940 9.1. Teclas Brancas Funo Primria. Ateclabrancatemafunoprimria.Quandopressionamosqualquerteclasemosprefixos[f]ou[g]acalculadora executa o que est impresso em cor branca na referida tecla. 9.2. Teclas Amarelas Funo Secundria Paraindicarmosafunosecundria,alternativa,impressaemamareloacimadatecla,pressionamosateclaamarela,prefixo[f],em seguida pressionamos a tecla da funo desejada. 10. Operaes aritmticas simples Teclas+, . - , . xe. . Exemplo: 5 + 10 = ? Soluo:Calculadora HP-12C. TecleVisorSignificado 1)CLX0,00Limpam os valores do visor 2)f 20,00Fixa 2 casas decimais 3)5 Enter5,00Entra com o primeiro nmero 4)1010,00Entra com o segundo nmero 5)+Entra com a operao desejada (Adio) 6)8 15,00Resultado de 5 + 10 11. Operaes aritmticas em cadeia Exemplo: 15 + 10 - 8 = ? Soluo:Calculadora HP-12C. TecleVisorSignificado 1)CLX0,00Limpam os valores do visor 2)1515,Entra com o primeiro nmero 3)Enter15,00Separa o primeiro do segundo nmero 4)1010,Entra com o segundo nmero 5)+25,00Efetua a primeira operao (Adio) 6)8 8,Entra com o segundo nmero 7) -17,00Resultado final 12. Potenciao - Teclayx . utilizada para elevar qualquer valor na base y a qualquer potncia x (expoente). Soluo:Calculadora HP-12C. TecleVisorSignificado Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 351)CLX0,00Limpam os valores do visor 2)f 20,00Fixa 2 casas decimais 3) 4 Enter 2 yx16,00Calcula 42 4) 1,25 Enter 1 Enter 360 yx1,00062 Calcula 1,25 1/360

5)3 Enter 4 yx81,00Calcula 34 6)1.02532 Enter 12 yx35,00Calcula 1.02532 12 Potncia Conceitos Bsicos de Matemtica Financeira -Paulo Vieira Neto 3613. Inverso de um nmero - Tecla1/x . utilizada para calcular valor inverso de um nmero, isto , divide o valor apresentado no visor por 1. Soluo:Calculadora HP-12C. TecleVisorSignificado 1)CLX0,00Limpam os valores do visor 2)f 30,000Fixa 3 casas decimais 3)5 1/x0,200Calcula 1/5 4) 225 Enter 21/x yx15,000 Calcula 225 1/2 5) 15 Enter12 1/x yx1,253 Calcula 15 1/12 14. Raiz quadrada - Teclax . utilizada para calcular a raiz quadrada do nmero apresentado no visor. Exemplo: 36; 81. Soluo:Calculadora HP-12C. TecleVisorSignificado 1)CLX0,00Limpam os valores do visor 2)f 20,00Fixa 2 casas decimais 2)36gx6,00Calcula 36 3)81gx9,00Calcula 81 15. Logaritmo e Antilogaritmo Natural - TeclasLN .e ex . Com a tecla LN , calcula-se o logaritmo natural do nmero apresentado no visor ecom a tecla. ex . o antilogaritmo natural (base e = 2.71828818.... nmero irracional), este conhecido logaritmo neperiano, (John Napier, autor),tambm chamado Sistema de Logaritmos Naturais.Para calcularmos logaritmos decimais, base 10, vamos - Uma vez que sua HP s tem LN - Vamos aplicar a seguinte frmula:

LN(10)LN(x)Log(x) = LN5 Calcular log5