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UNIS-MG Engenharia Mecânica 5º Periodo MECÂNICA DOS FLUÍDOS ___________________________________________________________________ Eng. MSc. Henrique Marcio P. Rosa Notas de Aula pag. 1 APOSTILA DE MECÂNICA DOS FLUÍDOS Professor: Henrique Marcio P. Rosa

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APOSTILA DE

MECÂNICA DOS FLUÍDOS

Professor: Henrique Marcio P. Rosa

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1-INTRODUÇÃO, UNIDADES E PROPRIEDADES

1.1-INTRODUÇÃO

A Mecânica dos Fluídos é a parte da mecânica aplicada que se dedica a análise do

comportamento dos líquidos e gases tanto em equilibrio quanto em movimento.

O Que é Fluído?

Fluídos são substâncias capazes de escoar e tomar a forma de seus recipientes. Quando em equilibrio, os fluídos não suportam forças tangenciais ou de cisalhamento. Todos os fluídos possuem certo grau de compressibilidade e não oferecem resistência a mudança de forma.

Sólido Fluído

Duro, resistente a deformação Mole, facilmente deformável

Pequeno espaçamento intermolecular Grande espaçamento intermolecular

força intermolecular elevada Força intermolecular reduzida

Não escoam quando submetidos a uma tensão de cisalhamento

Escoam quando submetidos a tensão de cisalhamento

Metal, concreto, rocha, etc.. Água, ar, óleo, etc...

Fluido como Continuo

Em se tratando de relações sobre escoamento de fluídos em base matemática ou analítica, é necessário considerar que a estrutura molecular real é substituida por um meio contínuo hipotético, chamado o contínuo, de forma, que as caracterísitcas dos fluidos variam contiunuamente através do fluído.

Quando nos referirmos a um ponto, estamos considerando uma pequena esfera de raio grande se comparado com a distância intermolecular, sendo que dentro desta pequena esfera há uma quantidade enorme de moléculas. Dessa forma, a velocidade ou uma caracterísitca qualquer num ponto é a média da característica de todas as moléculas que estão dentro da esfera.

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1.2-UNIDADES

Os sistemas de unidades mais conhecidos são apresentados na tabela abaixo:

Sistemas de Unidades

Sistema Massa Comprimento Tempo Força

SI (sistema internacional)

kg m s N

1 N = (1 kg) . (1m/s2)

Britânico gravitacional (inglês usual)

slug ft s lbf

1 lbf = (1 slug) . (1 ft/s2)

Inglês de engenharia

(inglês incoerente)

lbm ft s lbf

1 lbf = (1 lbm).(32,174 ft/s2)

gc

Métrico (cgs) g cm s d

Métrico (mks) kg m s Kgf

Os sistemas mais utilizados são o SI e o inglês usual, sendo que com o tempo deverá permanecer somente o SI.

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Conversão de unidades do sistema Inglês usual para SI

Parâmetro Conversão

Comprimento 1ft = 0,3048m

1in= 1” = 0,0254m

Massa 1slug = 14,59 kg

Força 1lb = 4,448N

Peso específico 1lb/ft3 = 157,1 N/m3

Massa específica 1slug/ft3 = 515,2 kg/m3

Densidade O mesmo valor pois é adimensional nos dois sistemas

Viscosidade dinâmica 1lb.s/ft2 = 47,88 N.s/m2

Viscosidade cinemática 1ft2/s = 0,0929 m2/s

Pressão 1lb/ft2 = 47,88 Pa

1lb/in2 = 6,895kPa

Tensão superficial 1lb/ft = 14,59 N/m

Temperatura

SI: ºK = ºC + 273,15 (ºK – Kelvin é a temperatura em escala absoluta)

Inglês usual: ºR=ºF+ 459,67 (ºR - Rankine é temperatura em escala absoluta)

TºF = 1,8. TºC + 32

Aceleraçãda da gravidade

Sistema SI: g=9,807 m/s2~9,81 m/s2

Sistema inglês usual: g=32,174 ft/s2

Pressão

1 Pa = 1 N/m2 (sistema SI)

1 Psi = 1 lbf/in2 (inglês usual)

1 Psf = 1 lbf/ft2 (inglês usual)

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Outras unidades de pressão

1 kgf/cm2 = 14,2233 Psi = 105 Pa = 0,9678 atm

1 atm = 101,33 kPa = 10,33 mcH2O (para g=9,807m/s2 e água=1000 kg/m3)

1 atm ~ 760 mmHg (milimetro de coluna de mercúrio)

Outras grandezas

Watts: 1W= 1 J/s = 1 N.m/s (Potência no sistema SI)

1 hp = 745,7 W = 0,7457 kW

Prefixos utilizados no SI

Fator de multiplicação da unidade

Prefixo Símbolo

1012 Tera T

109 Giga G

106 Mega M

103 Kilo k

10 Deca de

10-1 Deci d

10-2 Centi c

10-3 Mili m

10-6 Micro

10-9 Nano n

10-12 pico p

1.3-PROPRIEDADES DOS FLUÍDOS

Fluídos diferentes podem apresentar características muito distintas.

Exemplo: Gases são leves e compressíveis. Já os líquidos são pesados e relativamente incompressíveis.

Assim, torna-se necessário certas propriedades para quantificar as diferenças.

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1.3.1-Massa Específica ()

A massa específica de uma substância é definida como a massa por unidade de volume.

V

M

No Sistema SI é dado em kg/m3

1.3.2-Volume Específico ()

Volume específico é o volume ocupado por unidade de massa.

M

V1

No Sistema SI é dado em m3/kg

1.3.3-Peso Específico ()

O peso específico de um fluído é defindo como o peso por unidade de volume.

g.V

g.M

V

Peso

Onde g= acelaração da gravidade

No Sistema SI é dado em N/m3

1.3.4-Densidade

Densidade de um fluído é definida como a razão entre a massa específica do fluído e a massa específica da água numa certa temperatura. Usualmente 4ºC (nesta

temperatura água=1000 kg/m3)

O2HOH2

d

1.3.5-Lei dos Gases Perfeitos

Os gases são compressíveis e sob certas condições, a massa específica de um gás está relacionada com a pressão e temperatura através da equação:

RTP

P- pressão absoluta (Pres. Relativa + Patmosférica)

-massa específica T-temperatura absoluta

R- constante do gás

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A equação acima também é conhecida como a lei dos gases perfeitos ou equação de estado para os gases perfeitos.

A constante do gás, R, é função do tipo de gás e está relacionada à sua massa molecular. No SI a unidade de R é J/kg.ºK.

1.3.6-Viscosidade

-fluído entre duas placas planas paralelas próximas, espaçadas por uma pequena distância e;

-placa inferior é fixa e a superior pode se movimentar;

-aplicação de uma força F movimenta a placa superior de área A, com velocidade

constante;

-o fluído em contato com superfície sólida tem a mesma velocidade da superfície (isto é uma característica de qualquer fluído). Assim, junto a placa inferior, o fluído terá velocidade nula e junto à placa superior terá a velocidade U da mesma;

-o fluído na área abcd escoa para a nova posição ab’c’d com cada particula fluída movendo-se paralelamente à placa com velocidade u, variando linearmente de zero até U.

-a experiência mostra que mantendo-se a outras grandezas constantes, F é diretamente proporcional à A e U, e inversamene proporcional à e. Isto resulta a seguinte equação:

e

AUF

é o fator de proporcionalidade que depende do fluído em estudo.

A tensão de cisalhamento será:

e

U

A

F

A relação U/e é a velocidade angular do segmento ab, ou é também a velocidade de deformação angular do fluído. A velocidade angular também pode ser du/dy, pois

expressa uma variação de velocidade dividida pela distância ao longo da qual a variação ocorre. Entretanto du/dy é mais geral porque continua válida em situações onde a velocidade angular e a tensão de cisalhamento variam com y. Logo:

Figura 1-Comportamento de um fluído sob força de cisalhamento

e

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dy

du

É a relação entre a tensão de cisalhamento a velocidade angular para escoamento unidimensional. A equação acima é também chamada de Lei de Newton da

Viscosidade. O fator de proporcionalidade é denominado viscosidade do fluído.

A viscosidade é também conhecida como viscosidade dinâmica. Entretanto é muito comum encontramos a viscosidade dinâmica combinada com a massa

específica, resultando na viscosidade cinemática .

No SI as unidades de viscosidade são:

Viscosidade dinâmica : N.s/m2=Pa.s

Viscosidade cinemática : m2/s

Outras unidades utilizadas para viscosidade cinemática são:

[] = cm²/s = stokes (St)

1 centiStoke = 1 cSt = 10-2 St = 10-2 cm²/s = 10-6 m²/s

Os fluídos podem ser classificados como Newtonianos ou não-Newtonianos. No Newtoniano existe uma relação linear entre a tensão de cisalhamento aplicada a velocidade angular de deformação. Já para o fluído não-Newtoniano esta relação é não-linear. A maioria dos fluídos comuns, tanto líquidos como gases, são Newtonianos.

Figura 2 – Diagrama reológico

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1.3.7-Módulo de Elasticidade Volumétrica (Coeficiente de Compressibilidade)

O módulo de elasticidade volumétrica Ev é a propriedade normalmente utilizada para caracterizar a compressibilidade de um fluído.

V/dV

dpE v

Onde dp é a variação diferencial de pressão necessária para provocar uma variação diferencial de volume dV num volume V. O sinal negativo é incluído para indicar que um aumento de pressão resultará numa diminuição do volume considerado.

Sabendo que um decréscimo no volume resulta num aumento da massa específica

(M=V), podemos escrever:

/d

dpE v

No SI a unidade do módulo de elasticidade volumétrico é N/m2 (Pa).

1.3.8-Pressão de Vapor

Quando a evaporação ocorre em um espaço fechado, a pressão parcial provocada pelas moléculas de vapor é chamada pressão de vapor. A pressão de vapor depende da temperatura e cresce com ela. Seu valor é tabelado.

1.3.9-Tensão Superficial

Na interface entre um líquido e um gás, ou entre dois líquidos imiscíveis, se forma uma película ou camada especial no líquido devido à atração entre as moléculas abaixo da superfície.

Tensão superficial é então a força de coesão necessária para formar a película, obtida então pela divisão da energia de superfície pela unidade de comprimento da película em equilíbrio.

Considerando uma pequena gota esférica de raio R, a pressão interna P necessária

para equilibrar a força de tração devido a tensão superficial é calculada em função das forças que atuam em um corpo hemisférico.

2RPR2 R

2P

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EXERCICIOS RESOLVIDOS

Exercício resolvido 1: Se 6m3 de óleo pesam 47 kN, cálcule seu peso específico ,

sua massa específica , seu volume específico , e sua densidade.

Considerar H2O=1000 kg/m3

Solução:

33

m/N78336

10.47

V

Peso

3m/kg79881,9

7833

gg.

kg/m001253,0798

11 /3

798,01000

798d

OH2

Exercício resolvido 2: Um tanque de ar comprimido apresenta volume igual a 2,38x10-2 m3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual à 340kPa. Admitir que a temperatura do ar no tanque é 21ºC e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa.

Solução:

Utilizando a lei dos gases perfeitos, temos que:

RT

P

Da tabela de propriedade físicas, temos que R=2,869x10-2 J/Kg.ºK.

Logo:

3

2

3

m/kg23,5)2115,273)(10x869,2(

10x)3,101340(

RT

P

Notar que os valores utilzados para pressão e temperatura são absolutos. Notar também que as pressões foram dadas em kPa.

Cálculo do peso:

Temos que: gV

Peso.

Logo: NxxxVgPeso 22,11038,281,923,5.. 2

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Exercício resolvido 3: A Distribuição de velocidade do escoamento de um fluído Newtoniano num canal formado duas placas paralelas e largas (Veja figura a ER-3) é dada pela equação:

2

h

y1

2

V3u

Onde V é a velocidade média. O fluído tem viscosidade dinâmica igual a 192N.s/m2. Admitindo V=0,6m/s e h=5mm, determine:

(a) tensão de cisalhamento na parede inferior do canal

(b) tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal

Solução:

Para este tipo de escoamento a tensão de cisalhamento pode ser obtida com a eq.

dy

du

Se a distribuição de velocidade, u=u(y), é conhecida, a tensão de cisalhamento, em qualquer plano, pode ser determinada a partir do gradiente de velocidade, du/dy. Para a distribuição de velocidade fornecida, temos:

2h

Vy3

dy

du

(a)-para a parede inferior do canal temos que: y = -h,

logo o gradiente de velocidade será: h

V3

dy

du

e a tensão de cisalhamento será:

22

3eriorinf.parede m/N10x91,610x5

6,0x392,1

h

V3

Figura ER-3

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Esta tensão cria um arraste na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor e sentido da tensão na parede inferior.

(b)-no plano médio, temos que: y = 0

logo: 0dy

du

Assim a tensão de cisalhamento neste plano é nula, ou seja:

0planomédio

Exercício resolvido 4: Determinar a viscosidade para que o sistema a seguir tenha uma velocidade de deslocamento igual a 2 m/s constante. A área de contato entre o fluído e o bloco é de 0,5m2.

Dado: G = 392,4 N e Pbloco=Peso do bloco = 196,2 N

Solução:

Sabendo que a velocidade é constante, então no corpo G a tensão na corda T será igual ao peso do corpo.

T = G = 392,4 N

G

30 º

Fluido lubrificante

bloco

Dado: Fios e polias ideais

2 mm

G

30 º

Fluido lubrificante

bloco

Dado: Fios e polias ideais

G

30 º

Fluido lubrificante

bloco

Dado: Fios e polias ideais

G

30 º

Fluido lubrificante

bloco

G

30 º

Fluido lubrificante

bloco

G

30 º

Fluido lubrificante

bloco

G

30 º

Fluido lubrificante

bloco

G

30 º

Fluido lubrificante

G

30 º

Fluido lubrificante

G

30 º

G

30 º

G G G G G G G G

30 º

Fluido lubrificante

bloco

2 mm

Figura – ER-4

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Para impor a condição acima deve-se inicialmente estabelecer o sentido de

movimento, isto pelo fato da força de resistência viscosa (F) ser sempre contrária ao mesmo. Consideraremos que o corpo G desce e o bloco sobe. Então:

T= Pbloco x sen30º + F

392,4 = 196,2 x 0,5 + F

F= 294,3 N

Da lei de Newton da viscosidade temos:

e

U

A

F

Para o filme de óleo em estudo temos que:

F=F U= 2m/s ; e= 2mm = 2.10-3 m ; A= 0,5 m2

Logo: 310.2

2

5,0

3,294

= 0,589 N.s/m2

Exercício resolvido 5: A figura ER-5 mostra uma placa grande e móvel localizada entre duas placas grandes e fixas. Os espaços entre as placas estão preenchidos com fluídos que apresentam viscosidades dinâmicas diferentes. Determine as tensões de cisalhamento que atuam sobre as placas imóveis quando a placa móvel apresenta a velocidade mostrada na figura. Admita que os perfis de velocidade são lineares.

Solução:

O perfil de velocidade linear implica que a relação u(y) será uma relação linear, que obedecerá a seguinte equação: u = ay + b

Nesta eq. devem ser determinados a e b. Para isto devemos utilizar as condições de contorno.

Figura ER-5

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Para a placa imóvel superior temos:

Sendo perfil de velocidade linear e adotando o sentido de y como mostrado na figura acima, temos :

u = ay + b

1ª condição de contorno: para y= 0 -> o fluído faz interface com a placa superior fixa e possui a mesma velocidade da placa, u= 0, o que resulta: b= 0

2ª condição de contorno: para y= 0,006m -> o fluído faz interface com a placa móvel e possui a mesma velocidade da placa, u= 4m/s, o que resulta: a=667

Logo: u = ay + b = 667y

O gradiente de velocidade será: 667dy

du

A tensão de cisalhamento será:

2m/N34,13667x02,0dy

du

Para a placa imóvel inferior temos:

Sendo perfil de velocidade linear e adotando o sentido de y como mostrado na figura, temos :

u = ay + b

1ª condição de contorno: para y= 0 -> o fluído faz interface com a placa inferior fixa e possui a mesma velocidade da placa, u= 0, o que resulta: b= 0

2ª condição de contorno: para y= 0,003m -> o fluído faz interface com a placa móvel e possui a mesma velocidade da placa, u= 4m/s, o que resulta: a=1334

Logo: u = ay + b = 1334y

O gradiente de velocidade será: 1334dy

du

A tensão de cisalhamento será:

2m/N34,131334x01,0dy

du

V= 4 m/s

y

V= 4 m/s

y

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2-ESTATICA DOS FLUÍDOS

2.1- PRESSÃO

A pressão P é definida como uma força F atuando perpendicularmente a uma

superfície de área A e é dada por

A

F

Area

ForçaPressão (2.1)

A pressão é uma quantidade escalar e é expressa em dimensões de ML-1T-2. A unidade no S.I. para pressão é N/m2 . Esta combinação é denominada Pascal e é abreviada por Pa (1 N/m2= 1 Pa). Outras unidades são muito usadas na prática: -atmosfera (atm) -bar -milímetro de mercúrio (mmHg) -metro de coluna d’água (mcH2O) -kgf/cm2 -"libra" (lb/in2) (psi) -lb/ft2 (psf)

Exercício resolvido 1: Tocando um disco, uma agulha de fonógrafo exerce 3,5 g dentro de uma área circular de 0,30 mm de raio. Determine a pressão exercida pela agulha do fonógrafo no disco.

SOLUÇÃO

A pressão exercida pela agulha do fonógrafo pode ser determinada da definição de pressão:

P = F

A

m g

r

x kg ms

x mx N m

.

.

( , . ).( , )

, .( , ), .

2

3 2

3 2

5 23 5 10 9 8

314 0 30 101 21 10

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2.2- VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUÍDO EM REPOUSO

A pressão num fluído incompressivel em repouso varia linearmente com a profundidade.

h.PP 21 (2.2)

Da equação 2.2, nós podemos observar que diferença de pressão entre dois pontos pode ser especificada pela distância h, ou seja:

21 PP

h (2.3)

Neste caso “h” é denominada carga ou altura de carga e é interpretada como

altura da coluna de fluído com peso específico . Na maioria dos casos existe uma superficie livre (contato com a atmosfera) quando estamos trabalhando com líquidos. Assim é conveniente utilizar o valor da pressão nesta superfície como referência. Dessa forma, a pressão P0 corresponde a pressão que atua na superfície livre (usualmente é igual a pressão atmosférica). Se fizermos P2=P0 e P1=P, temos:

0Ph.P (2.4)

considerando que P0 é a pressão atmosférica, então a altura de carga será:

y

x

Z

Z1

Z2

h=Z2 - Z1

P2

P1

Figura 2.1- Notação para variação de pressão num fluído em repouso e com superficie livre

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Ph (2.5)

Da eq. 2,5, conclui-se que um mesmo valor de pressão pode ser dado em alturas de carga diferentes para liquidos diferentes. Por exemplo, a pressão de 69kPa pode especificada como uma altura de carga 7,04 metros de coluna de água

(=9810N/m3) ou 519mm de Hg (=13300N/m3). Exercício resolvido 2: Ache a pressão no fundo de um tanque contendo glicerina sob pressão, conforme mostrado na figura ER-2 a seguir, considerando que a densidade da glicerina é 1,258.

Considerar H2O=9810 N/m3

Solução:

Pressão no fundo= 3

0O2Hglic0 10x502x9810x258,1Ph..dPh.P

kPa68,74Pa10x68,74P 3

Exercício resolvido 3: Faça as conversões a seguir.

a) Converta uma altura de carga de 4,60m de água em metros de óleo, cuja densidade é de 0,75.

b) Converta altura de carga de 609mm de mercúrio cuja densidade é 13,6 em metros de óleo, cuja densidade é de 0,75.

Figura ER-2

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Solução: a)-de acordo com a eq. 2.5, temos que:

oleo

O2H

O2H´óleo´óleoóleo´O2HO2H´ .h.h.h.hP

m13,675,0

60,4

d

1.h.h

oleo

O2H´óleo´

b)-similarmente ao item a, fazemos

oleo

Hg

Hgóleo´óleoóleo´HgHg´ .h.h.h.h

óleo.de.m04,1175,0

6,1310x609

d

d.h

d

d.h.h 3

oleo

Hg

Hg

O2Holeo

O2HHg

Hgóleo´

2.3- PRESSÃO ATMOSFÉRICA E VÁCUO

No contexto de pressão, o termo vácuo é usado para referir-se a um espaço que tem uma pressão menor que a pressão atmosférica. A pressão atmosférica, refere-se, naturalmente, à pressão existente no ar, em torno de nós. Ela varia um pouco com a mudança nas condições atmosféricas e diminui com a elevação da altitude. Ao nível do mar, a pressão atmosférica média é 101,3kPa, 760mm de mercúrio ou 1 atmosfera. Esta é comumente referida como uma “pressão atmosférica padrão”. Um vácuo é quantificado em relação a quanto de sua pressão está abaixo da pressão atmosférica. Por exemplo, se o ar for bombeado para fora de um vaso de pressão até que a pressão interna chegue 60kPa, a pressão no vaso poderá ser indicada como um vácuo de 101,3 – 60,0 = 41,3kPa.

2.4- PRESSÃO ABSOLUTA E RELATIVA (MANOMÉTRICA)

A pressão num ponto do sistema fluído pode ser designada em termos absolutos ou relativos. As pressões absolutas são medidas em relação ao vácuo perfeito (pressão absoluta nula), enquanto que a pressão relativa é medida em relação a pressão atmosférica local. Deste modo, uma pressão relativa nula corresponde a uma pressão igual a pressão atmosférica local. As pressões absolutas são sempre positivas, mas as pressões relativas podem ser tanto positivas (pressão maior do que a atmosférica local), quanto negativas (pressão menor do que a atmosférica local). Uma pressão negativa é também referida como vácuo. Por exemplo a pressão de 70kPa (abs) como –31,33kPa (relativa), se a pressão atmosférica local é 101,33kPa, ou com um vácuo de 31,33kPa.

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A pressão relativa também é conhecida como pressão manométrica. O conceito de pressão absoluta e relativa está ilustrado graficamente na Figura-2.2 a seguir.

A pressão também pode ser especificada pela altura de uma coluna de líquido. Neste caso a pressão deve ser indicada pela altura da coluna (em metros, milimetros, etc.) e pela especificação do líquido da coluna (água, mercúrio, etc..). A altura de coluna de liquido é justamente a carga ou altura de carga mencionada no item 2.2. OBSERVAÇÃO: No nosso curso, a maioria das pressões utilizadas são relativas e nós indicaremos apenas os casos onde as pressões são absolutas. O aparelho utilizado para medir a pressão atmosférica é conhecido como barômetro. Desta forma, o termo pressão barométrica pode ser utlizado para se referir à pressão atmosférica. Exercício resolvido 4: A água de um lago localizado numa região montanhosa apresenta temperatura média igual à 10ºC, e a profundidade máxima do lago é igual à 40m. Se a pressão atmosférida local é igual à 598 mm Hg, determine a pressão absoluta na região mais profunda do lago.

Considerar H2O=9810 N/m3 ; Hg=133KN/m3

Solução:

Figura 2.2- Representação gráfica das pressões relativa e absoluta

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A pressão na água em qualquer profundidade h, é dada pela equação:

0Ph.P

Onde P0 é a pressão na superfície do lago. Como queremos conhecer a pressão absoluta, P0 será a pressão atmosférica local. A pressão atmosférica local foi dada em termos de coluna de Hg. Devemos transformá-la em Pa. Assim sendo:

kPa5,79598,0x10x133h.P 3

HgHg0

Dessa forma, a pressão na profundidade de h=40m será:

kPa9,47110x5,7940x9810Ph.Ph.P 3

0O2H0

Este exemplo bastante simples mostra que é deve-se estar atento as unidades utilizadas nos cálculos de pressão, ou seja, utilize sempre unidades consistentes e tome cuidado para não misturar cargas ou alturas de cargas ( m ) com pressões (Pa).

2.5– PRINCÍPIO DE PASCAL

O principio de Pascal estabelece “uma pressão externa aplicada a um fluido confinado será transmitida igualmente a todos os pontos dentro do fluido”. Isto significa que a pressão transmitida não diminui à medida que se propaga pelo interior do fluido. Este resultado torna possível uma grande multiplicação de forças, como se fosse uma alavanca fluida.

Figura 2.3- Princípio de Pascal

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O próximo exercício resolvido mostra melhor o que estamos dizendo. Exercício resolvido 5: Um exemplo do Princípio de Pascal é visto no macaco hidráulico, mostrado na Figura abaixo. Se uma força de 300 N é aplicada a um pistão de 1 cm2 de área transversal, determine a força de ascensão transmitida a um pistão de área transversal de 100 cm2. Solução: De acordo com o Princípio de Pascal, a pressão p1 exercida na coluna da esquerda de área 1 cm2 por meio de uma força de 300 N deve ser igual a pressão p2 que aparece coluna da direita de área 100 cm2.

2

2

1

1

2A1AA

F

A

FPP

N30000F100

F

1

3002

2

A1 A2

Figura ER-5- Macaco hidráulico

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Um exemplo de utilização de macacos hidráulicos é no levantamento de automóveis.

Figura 2.4 – Principio de Pascal aplicado no levantamento de automóveis

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2.6– MANOMETRIA

Uma técnica padrão para medição de pressão envolve a utilização de colunas de líquido verticais ou inclinadas. Os dispositivos para a medida de pressão baseados nesta técnica são denominados manômetros.

2.6.1– Tubo Piezométrico

O tipo mais simples de manômetro consiste num tubo vertical aberto no topo e conectado ao recipiente no qual desejamos conhecer a pressão (Figura 2.5).

Como a coluna de líquido está em equiliíbrio podemos aplicar a eq. 2.4

0Ph.P

Esta equação fornece a pressão provocada por qualquer coluna de fluído homogêneo em função da pressão de referência P0 e da distância vertical entre os planos que representam P e P0.

h

Figura 2.5-Tubo piezométrico

A

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2.6.2– Manômetro com o Tubo em U

O manômetro com o tubo em U, é largamente utilizado. O fluído que se encontra no tubo do manômetro é denominado fluído manométrico (Figura 2.6). A maior vantagem do manômetro em U, é que o fluído manométrico pode ser diferente do fluído no recipiente aonde a pressão deve ser determinada.

Para determinar a pressão PA em função das várias colunas, nós aplicaremos a eq. 2.4. nos vários trechos preenchidos com o mesmo fluído.

A pressão no ponto B é igual a soma de PA com 1h1. A pressão no ponto C é igual a pressão em B, porque as elevações são iguais e os fluídos são iguais. Como conhecemos a pressão em C, nós vamos nos mover para a superfície livre da coluna onde a pressão relativa é nula. Quando nos movemos verticalmente para

cima a pressão cai de um valor 2h2. Estes vários passos podem ser equacionados da seguinte forma.

0h.h.P 2211A

A pressão em A pode ser escrita em função das alturas das colunas do seguinte modo:

1122A h.h.P

(Fluído manométrico)

h1

h2

1

2

Figura 2.6 – Manômetro com tubo em U

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Exercício resolvido 6: Um tanque fechado (Figura ER-6) contém ar comprimido e um óleo que apresenta densidade 0,9. O fluído manométrico utilizado no manômetro em U conectado ao tanque é mercúrio (densidade igual a 13,6). Para os dados de altura dados a seguir, determine a leitura no manômetro localizado no topo do tanque.

h1=914mm ; h2=152mm ; h3=229mm

Solução:

A pressão no ponto 1 será:

)hh.(PP óleoar 211

Esta pressão P1 é igual à pressão no ponto 2, pois os pontos 1 e 2 apresentam a mesma elevação e estão num trecho ocupado pelo mesmo fluído. Por outro lado, a pressão no ponto 2 é igual a pressão na interface fluído-manométrico/ar atmosférico mais a provocada pela coluna com altura h3. Considerando que estamos trabalhando com pressões relativas, então, temos:

3232 0 h.Ph.P HgHg

Como P1 = P2, então:

321 h.)hh.(P Hgóleoar

)hh.(h.P óleoHgar 213

Figura ER-6

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)hh.(.dh..dP OHóleoOHHgar 21232

considerando H2O=9810N/m3, temos

),,(xx,,xx,Par 1520914098109022909810613

Par = 21140 Pa = 21,14 kPa

A pressão Par determinada acima corresponde à pressão na interface ar comprimido/óleo. Entretanto, como o peso específico do ar é muito pequeno, e pode ser desprezado, a pressão devida a coluna de ar entre o medidor de pressão e a interface ar/óleo pode ser desprezada. Dessa forma, a leitura do medidor será igual a Par. Logo:

Pmedidor = 21,14 kPa

Exercício resolvido 7: O manômetro em U mostrado na Figura ER-7, contém óleo (densidade=0,9), mercúrio (densidade=13,6) e água. Determine a diferença entre as pressões nos pontos A e B.

305 mm

100 mm

75 mm

Figura ER-7

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Solução:

A pressão na interface água/mercúrio é igual a pressão no mesmo plano horizontal no mercúrio (trecho do tubo do lado esquerdo). Logo:

),,.(P,.),,.(P OHBHgóleoA 075030503050075010 2

),,.(P,.d),,.(dP OHBOHHgOHóleoA 075030503050075010 222

considerando H2O=9810N/m3, temos

),,(xP,xx,),,(xx,P BA 07503050981030509810613075010981090

3728406921545 BA PP

PaPP BA 38509

Exercício resolvido 8: Determinar o peso específico do fluído desconhecido que está contido no tubo em U mostrado na Figura ER-8.

Solução:

A pressão na interface entre a água e o fluído desconhecido no lado esquerdo é igual à pressão no mesmo plano horizontal no fluído desconhecido no trecho do tubo do lado direito. Logo:

),,.(),,.(),,.( xOHOH 03600840084012400360140 22

124 mm

84 mm

36 mm

140 mm

Fluído Desconhecido

Água

Aberto Aberto

Figura ER-8

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considerando H2O=9810N/m3, temos

),,.(),,.(),,.( x 0360084008401240981003601409810

),,.(,, x 03600840439221020

Logo o peso específico do fluído desconhecido será:

313079 m/Nx

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2.7– FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFICÍE PLANA

Nós detectamos a presença de forças nas superfícies de corpos que estão submersos nos fluídos. A determinação destas forças é importante nos projetos de tanques de armazenamento de fluídos, navios, barragens e outras estruturas hidráulicas. A força com que o fluído atua nas superfícies é perpendicular a estas quando o fluído está em repouso.

A distribuição de forças resultantes da ação do fluído numa superfície de área finita, pode ser substituída por uma força resultante conveniente na medida em que estejamos interessados apenas nas reação externas.

Neste item determinaremos a intensidade e a linha de ação (centro de pressão) da força resultante.

Na Figura 2.7 está representada uma superfície plana com uma inclinação º em relação á horizontal. Adotemos como eixo x, interseção da superfície livre com o plano da superfície em estudo. O eixo y pertencerá ao plano da superfície em estudo.

Sabendo que força é igual a pressão multiplicada pela área (F=PA), a força que atua

na área diferencial A será:

hdA.PdAdF

Logo, o módulo da força resultante na superfície pode ser determinado somando-se todas as forças diferenciais que atuam na superfície, ou seja:

AA

R dAseny.hdA.F (pois h=y.sen

Sendo e constantes, temos que:

A

R ydAsenF (2.6)

A integral da equação 2.6 é o momento de primeira ordem em relação ao eixo x. Logo:

AyydA c

A

Onde yc é a coordenada do centróide (centro de gravidade) medida a partir do eixo x que passa através de O. Assim a equação 2.6 pode ser reescrita como:

senAyF cR

Ou de modo mais simples:

cR AhF (2.7)

Onde hc é a distância vertical entre a superfície livre do fluído e o centróide da área.

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Apesar de nossa intuição sugerir que a força resultante deveria passar através do centróide da área, este não é o caso. A coordenada yR da força resultante pode ser determinada pela soma dos momentos em torno do eixo x, ou seja, o momento da força resultante precisa ser igual aos momentos das forças devidas a pressão, ou seja,

A A

RR dAy.senydFyF 2

Como senAyF cR então:

Ay

dAy

yc

A

2

R

A integral no numerador desta equação é o momento de segunda ordem (momento de inércia) Ix , em relação ao eixo formado pela interseção do plano que contém a superfície em estudo e a superfície livre. Assim, nós podemos escrever:

yR

yC

y

Ponto de aplicação da força resultante (centro de pressão, CP)

Centróide C

dA

xR

xC

h hC

Figura 2.7 – Força hidrostática numa superfície plana

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Ay

Iy

c

xR

Se utilizarmos o teorema dos eixos paralelos para expressar Ix, como:

2

cxcx AyII

Onde Ixc é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide e é paralelo ao eixo x, temos:

c

c

xc

R yAy

Iy (2.8)

A equação 2.8 mostra que a força resultante não passa através do centróide, mas sempre atua abaixo dele.

A coordenada xR do ponto de aplicação pode ser determinada de modo análogo, ou seja somando-se os momentos em relação ao eixo x.

A

RR xydA.senxF

A.y

I

A.y

xydA

xc

xy

c

AR

Onde Ixy é o produto de inércia em relação aos eixos x e y. Utilizando novamente o teorema dos eixos paralelos podemos escrever:

c

c

xyc

R xA.y

Ix (2.9)

Onde Ixy é o produto de inércia em relação ao sistema de coordenadas ortogonal que passa que passa através do centróide da área.

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a.bA 3

12

1a.bIxc 0xycIa.bIyc

3

12

1a

b

y

x

2RA 4

14R

II ycxc

0xycIR

y

x

R

y

x

y

2

2RA

410980 R,Ixc

439270 R,Iyc 0xycI

R

y

x

4

2RA

4054880 R.,II ycxc 4

016470 R.,Ixyc

Figura 2.8 – Propriedades geométricas de algumas figuras

a

d

b

x

y

)db(a.b

Ixyc 272

2

2

b.aA

36

3a.bIxc

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Exercício resolvido 9: A figura ER-9 mostra o esboço de uma comporta plana circular que está localizada num grande reservatório de água. A comporta está montada num eixo que corre ao longo do diâmetro horizontal da comporta. Se o eixo está localizado à 10m da superfície livre, determine o módulo e o ponto de aplicação da força resultante na comporta.

Solução:

Empregando a eq. 2.7 temos que: cR AhF

Como hc é a distancia vertical entre a superfície livre e o centróide. Como temos uma comporta plana circular, o centróide da mesma se localiza exatamente em seu centro.

Desta forma: hc=10m

Como o diâmetro da comporta é 4,0m (ver figura), temos:

10 m

60o

Centro de pressão

Figura ER- 9

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222

57124

4

4m,

.DA

Considerando H2O=9810N/m3, temos:

10571298104

2

x,xhD.

AhF ccR

FR = 1232761 N = 1232,7 kN

O ponto de aplicação da força (centro de pressão) será dado pela eq. 2.8.

c

c

xc

R yAy

Iy

De acordo com a figura ER-9, temos que: m,ºsensen

hy c

c 5471160

10

Como a comporta é plana circular de raio R=2,0m, temos

444

56124

2

4m,

.RIxc

logo: 54711571254711

5612,

,x,

,yR m,yR 6311

Exercício resolvido 10: Considerando a figura ER-10 a seguir determinar:

a)-a força resultante decorrente da ação da água sobre a comporta retangular A-B de 3m por 6m. Determinar também o ponto de aplicação desta força.

b)-a força resultante decorrente da ação da água sobre a comporta triangular D-C de 4m por 6m, sendo que o vértice superior do triangular está em C. Determinar também o ponto de aplicação desta força.

Considerar H2O=9810N/m3.

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Solução:

a)Sabendo que a comporta é retangular e analisando a figura ER-10 é possível

verificar que :

hc=4 + 6/2 = 7m

A= 3x6 = 18m2

Assim a força resultante será:

1879810 xxAhF cR FR = 1236060 N = 1232,6 kN

O ponto de aplicação da força resultante será dado por: c

c

xc

R yAy

Iy

Para cálculo de Ixc, utilizamos as fórmulas tabeladas (ver figura 2.8)

433

5412

63

12m

xbaIxc

(cuidado: para não trocar os valores de a e b é necessário transpor corretamente o desenho tabelado para o desenho do exercício)

Como a comporta está na posição vertical yc = hc = 7m, logo:

m,x

yR 4377187

54

b)Sabendo que a comporta é triangular de base 4m e altura 6m: 20122

64m,

xA

e o seu centróide ficará a 2m da base (ponto D), e à 4m do vértice (ponto C). Dessa forma analisando a figura ER-10, verifica-se que:

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hc=3 + 4xsen45º = 5,83m

então:

835129810 ,xxAhF cR FR = 686308 N = 686,3 kN

Para o cálculo do ponto de aplicação, devemos determinar Ixc utilizando as fórmulas tabeladas.

433

2436

64

36m

xbaIxc

(cuidado: para não trocar os valores de a e b é necessário transpor corretamente o desenho tabelado para o desenho do exercício)

Da figura ER-10, temos: m,,

,

ºsen

hy c

c 2487070

835

45

Então:

24812248

24,

x,y

Ay

Iy c

c

xcR m,yR 488

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2.8– FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFICÍE CURVA

Na figura 2.9, F1 e F2 são determinadas utilizando as relações empregadas para superfícies planas. W é o peso do fluído contido no volume limitado pela superfície curva e pelos planos que passam por AB e AC. FH e FV representam as componentes da força que a superfície exerce no fluído.

Do diagrama de corpo livre da figura 2.9, temos.

FH = F2

FV = F1 + W

O módulo da força resultante é obtido pela equação:

2

V

2

HR )F()F(F

Figura 2.9 – Força hidrostática sobre superfície curva

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Exercício resolvido 11: A figura ER-11 mostra o esboço de um conduto utilizado na drenagem de um tanque e que está parcialmente cheio de água. Sabendo que a distância entre A e C é igual ao raio do conduto, determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre a curva BC, devida a presença da água. Admita que esta seção apresenta comprimento igual à 1m.

Considerar H2O=9810N/m3.

Solução:

As forças que atuam no volume são a força horizontal F1, que age na superfície vertical AC, o peso W da água contida no volume e as componentes horizontal e vertical da força que a superfície do conduto exerce sobre o volume (FH e FV).

Figura ER-11

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O módulo da força F1 pode ser determinado pela equação:

N3970)2

9,0(x)1x9,0(x9810AhF c1

O módulo do peso W, será:

N6240)1x4

9,0x(x9810VW

2

Logo:

FH = F1 = 3970 N

FV = W = 6240 N

O módulo da força resultante é:

N7400)6240()3970()F()F(F 222

V

2

HR

2.9– EMPUXO

O principio de Arquimedes diz que a força de empuxo que atua num corpo

parcialmente ou totalmente imerso no fluído, é igual ao peso específico do fluído () multiplicado pelo volume de fluído deslocado (Vdesl.) devido a presença do corpo (volume do corpo que está imerso). O empuxo é uma força que o fluído faz sobre o corpo e é sempre vertical e com sentido para cima.

.deslVE

Exercício resolvido 12: A figura ER-12 mostra uma bóia com diâmetro e peso iguais à 1,5m e 8,5kN e que está presa ao fundo do mar por um cabo. A bóia esta completamente submersa. Determine a força que tensiona o cabo na condição mostrada na figura.

Considerar H2Omar=10100 N/m3.

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Solução:

Fazendo o diagrama de corpo rígido da bóia, temos que:

T = E – W

O empuxo será:

N178486

5,1.x10100

6

dx10100VE

33

.desl

então:

T = 17848 – 8,5x103 = 9350 N = 9,35 kN.

Figura ER- 12

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2.10– PRISMA DAS PRESSÕES

Consiste no método de interpretação gráfica da força desenvolvida por um fluído numa superfície plana. Considere a distribuição de pressão ao longo de uma parede vertical de um tanque com largura b e que contém um liquido que apresenta peso

específico . Nós podemos representar a variação de pressão do modo mostrado na figura 2.10, porque a pressão varia linearmente com a profundidade. Nós podemos representar tridimensionalmente a distribuição de pressão como mostrado na figura 2.10-b, e teremos um volume. A base deste volume é a superfície plana que estamos analisando e a altura em cada ponto é dada pela pressão. Este “volume” é denominado prisma das pressões e a força resultante que atua na superfície vertical é igual ao volume deste prisma. No caso da figura 2.10, trata-se de um prisma triangular, cuja seção transversal é um triangulo. Assim a força resultante será dada por:

)b.(2

h).h.(volumeFR

(2.10)

A linha de ação da força precisa passar pelo centróide do prisma das pressões. O centróide no caso da figura 2.10, está a uma distância de h/3, medido de baixo para cima.

A mesma abordagem pode ser utilizada nos casos em que a superfície plana está totalmente submersa (figura 2.11). Neste caso a seção transversal do prisma é um trapézio. Entretanto, o módulo da força resultante que atua sobre a superfície ainda é igual ao volume do prisma das pressões e sua linha de ação passa pelo centróide do volume. A figura 2.11-b mostra que o módulo da força resultante pode ser obtido decompondo o prisma das pressões em duas partes (ABDE e BCD). Deste modo,

Figura 2.10 – Prisma das pressões

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21R FFF

Onde F1 corresponde a parte de seção transversal retangular e F2 a parte de seção transversal triangular.

A localização da linha de ação de FR pode ser determinada a partir da soma de seus momentos em relação à algum eixo conveniente. Por exemplo se utilizarmos o eixo que passa através de A, temos,

2211RR yFyFyF

Exercício resolvido 13: Aplicando o método do prisma das pressões, determinar a força hidrostática resultante e sua linha de ação na parede vertical mostrada na figura ER-13. A parede possui largura de 10m.

Figura 2.11- Prisma das Pressões para superfície totalmente submersa

yR

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Solução:

Para este caso o prisma das pressões será de seção transversal triangular, conforme figura a seguir.

Foi dado que:

h=8m

b=10m.

A força hidrostática resultante será:

)kN(3139)N(313920010.2

8).8.9810()b.(

2

h).h.(volumeFR

A linha de ação da força ocorrerá no centróide do prisma, ou seja:

m67,23

8

3

hyR (medido de baixo para cima)

=9810 N/m3

h=8m

Figura ER-13

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Exercício resolvido 14: Aplicando o método do prisma das pressões, determinar a força hidrostática resultante e sua linha de ação na comporta quadrada 3mx3m submersa mostrada na figura ER-14.

Solução:

Foi dado que:

h1= 2m

h2= 5m

h= 3m (comprimento da comporta)

b= 3m (largura da comporta)

Figura ER-14

h1=2m

=9810 N/m3

h2=5m

Comporta quadrada 3mx3m

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Eng. MSc. Henrique Marcio P. Rosa Notas de Aula pag. 45

Para este caso o prisma das pressões será de seção transversal trapezoidal, conforme figura a seguir.

Este prisma trapezoidal pode ser dividido em 02 prismas. Um com seção transversal retangular ABDE cuja força resultante correspondente é F1 e o outro com seção transversal triangular BCD, cuja força resultante correspondente é F2.

Assim sendo, a força resultante FR será a soma das forças referentes a cada prisma.

21R FFF

Cálculo de F1 e F2:

)kN(6,176)N(1765803.3.2.9810b.h.h.VolumeF 111

)kN(4,132)N(1324353.2

3).25(9810b.

2

h).hh(VolumeF 12

22

A força resultante será:

)kN(3094,1326,176FFF 21R

Determinação do ponto de aplicação da força resultante.

Para obtermos o ponto de aplicação da força resultante, antes é necessário determinar os pontos de aplicação das forças resultantes parciais F1 e F2.

O ponto de aplicação da força F1 ocorrerá no centróide do prisma de seção transversal retangular:

yR

F1

F2

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Eng. MSc. Henrique Marcio P. Rosa Notas de Aula pag. 46

m5,12

3

2

hy1 (medido de cima para baixo em relação à aresta superior da comporta)

O ponto de aplicação da força F2 ocorrerá no centróide do prisma de seção transversal triangular:

m23.3

2h.

3

2

3

hhy 2 (medido de cima para baixo em relação à aresta superior da

comporta)

O ponto de aplicação da força resultante é determinado sabendo que o momento da força resultante deve ser igual à soma dos momentos das forças F1 e F2. Logo:

2211RR yFyFyF

2.4,1325,1.6,176y.309 R 7,529y.309 R

m71,1yR (medido de cima para baixo em relação à aresta superior da comporta)

OBS: se desejássemos determinar o ponto de aplicação em relação à superfície livre do fluído, então o cálculo seria:

m71,3271,1yL (medido de cima para baixo em relação à superfície livre do fluído)

Exercício resolvido 15: Aplicando o método do prisma das pressões, determinar a força hidrostática resultante e sua linha de ação na comporta retangular mostrada na figura ER-15. A comporta possui largura de 5m.

45º h1=7m

h2=11m

=9810 N/m3

Figura ER-15

Comporta retangular

LC

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Solução:

Primeiramente devemos determinar o comprimento LC da comporta. Analisando a figura ER-15, tiramos que:

m65,5º45sen

4L

L

711º45sen C

C

Recapitulando os dados, temos:

h1= 7m

h2= 11m

LC= 5,65m (comprimento da comporta)

b= 3m (largura da comporta)

Para este caso o prisma das pressões será de seção transversal trapezoidal, conforme figura a seguir.

Este prisma trapezoidal pode ser dividido em 02 prismas. Um com seção transversal retangular cuja força resultante correspondente é F1 e o outro com seção transversal triangular, cuja força resultante correspondente é F2.

Assim sendo, a força resultante FR será a soma das forças referentes a cada prisma.

21R FFF

Cálculo de F1 e F2:

)kN(9,1939)N(19399275.65,5.7.9810b.L.h.VolumeF C111

F1 F2

FR y1

yR

y2 (h2-h1)

h1

LC

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Eng. MSc. Henrique Marcio P. Rosa Notas de Aula pag. 48

)kN(3,554)N(5542655.2

65,5).711(9810b.

2

L).hh(VolumeF C12

22

A força resultante será:

)kN(2,24943,5549,1939FFF 21R

Determinação do ponto de aplicação da força resultante.

Para obtermos o ponto de aplicação da força resultante, antes é necessário determinar os pontos de aplicação das forças resultantes parciais F1 e F2.

O ponto de aplicação da força F1 ocorrerá no centróide do prisma de seção transversal retangular:

m825,22

65,5

2

Ly C

1 (medido de cima para baixo em relação à aresta superior da comporta)

O ponto de aplicação da força F2 ocorrerá no centróide do prisma de seção transversal triangular:

m767,365,5.3

2L.

3

2

3

LLy C

C

C2 (medido de cima para baixo em relação à aresta

superior da comporta)

O ponto de aplicação da força resultante é determinado sabendo que o momento da força resultante deve ser igual à soma dos momentos das forças F1 e F2. Logo:

2211RR yFyFyF

767,3.3,554825,2.9,1939y.2,2494 R 3,7568y.2,2494 R

m03,3yR (medido de cima para baixo em relação à aresta superior da comporta)

OBS: se desejássemos determinar o ponto de aplicação em relação a superfície livre do fluído, então o cálculo seria:

m92,129,903,3º45sen

703,3yL (medido de cima para baixo em relação à superfície

livre do fluído)